סיכום הרצאות אנליזה על יריעות
סוכם מפי הרצאותיו של פרופ דן מנגובי ,סמסטר ב׳ תשפ”ב
מסכם :נדב לדרמן
1
תוכן עניינים
I
3
אנליזה על יריעות
1
מושג היריעה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
מושג המימד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3
אינטגרציה על יריעות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1
נפח מקבילון ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rn
6
3.2
אינטגרציה על יריעה k־מימדית ב־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rk
7
4
מפות ,העתקות המעבר ,אטלס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5
שדות וקטוריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6
דיברגנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7
הנורמל ומכפלה מצולבת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
7.1
כיצד נחשב נורמל ליריעה M ⊆ Rnממימד n − 1הניתנת באופן פרמטרי? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
7.2
תחום חלק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
7.3
נורמל פנימי וחיצוני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
משפט הדיברגנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
8.1
פיצול יחידה ־ Partition of unity
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8.2
סיום הוכחת משפט הדיברגנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
8.3
משמעות משפט הדיברגנץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
9
האינטגרל הקווי\מסילתי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
10
משפט גרין ומסקנותיו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
נוסחת שטח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
11
אי־שיוויון האיזופרימטרי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
12
שדות משמרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
תנאי הכרחי לשימור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
13
יריעה עם שפה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
14
רוטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
15
משפט סטוקס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
8
10.1
12.1
2
חלק I
אנליזה על יריעות
1
מושג היריעה
הגדרה ) 1.1גרף של פונקציה ב־ kמימדים(נאמר כי Γ ⊆ Rnגרף של פונקציה ב־ kמשתנים ,אם קיימים אינדקסים 1 ≤ i1 ≤ ... ≤ ik ≤ n
ואינדקסים ,1 ≤ j1 ≤ ... ≤ jn−k ≤ nכך ש:
.1מתקיים }{i1 , ..., ik } ∪ {j1 , ..., jn−k } = {1, ..., n
n
.2קיימת U ⊆ Rkופונקציה f : U → Rn−kכך ש־ }) Γ (f ) = {x ∈ R |XI ∈ U, XJ = f (XIכאשר
) XI = (xi1 , ..., xik
XJ = xj1 , ..., xjn−k
במקרה זה נאמר כי Γגרף של פונקציה .f
הגדרה ) 2.1יריעה k־מימדית כגרף של פונקציה( קבוצה M ⊆ Rnתיקרא יריעה k־מימדית חלקה אם לכל p ∈ Mקיימת W ⊆ Rn
סביבה פתוחה של pכך ש־ ,Γ = M ∩ Wכלומר ניתנת להצגה מקומית כגרף של פונקציה חלקה ב־ kמימדים.
הגדרה ) 3.1יריעה k־מימדית בצורה פרמטרית( קבוצה M ⊆ Rnתיקרא יריעה k־מימדית חלקה אם לכל ,p ∈ M
קיימת W ⊆ Rnסביבה פתוחה של ,pקיימת ,U ⊆ Rkוקיימת r : U → Rnכך ש־ ,r (U ) = M ∩ Wומתקיימים התנאים הבאים:
r .1חח”ע.
r .2הומיאומורפיזם על התמונה.
Dr|r−1 (p) : Rk → Rn .3מדרגה מלאה.
קצת אינטואיציה:
.1נשים לב כי ההגדרה של יריעה היא הגדרה נקודתית כלומר לכל נקודה קיימת פונקציה rכנ”ל ,כך שהיריעה מתוארת ע”י גרף של
פונקציה בסביבה קרובה מספיק.
.2ההגדרה אומרת ש־ M ⊆ Rnהיא יריעה k־מימדית ,אם לכל p ∈ Mקיימת סביבה של pב־ Mשנראית כמו כדור פתוח ב־ .Rk
משפט M ⊆ Rn 4.1יריעה k־מימדית חלקה לפי הגדרה ) 1כגרף של פונקציה kמימדית( אם”ם Mיריעה k־מימדית לפי הגדרה ) 2כלומר
ניתנת להצגה בצורה פרמטרית( .הוכחה :נראה את הגרירה בשני הכיוונים:
• ⇐ :תהא Mיריעה נתונה לפי הגדרה ,1ותהא ,p ∈ Mמההנחה קיימת W ⊆ Rnכך ש־ M ∩ Wהיא גרף של פונקציה ,כלומר קיימת
בחירה של kאינדקסים 1 ≤ i1 ≤ .... ≤ ik ≤ nכך ש־ } I = {i1 , ..., ikונוכל בעזרתה להגדיר } J = {1, ..., n} \I = {j1 , ..., jn−k
כך ש־ } .I ∪ J = {1, 2, ..., nבנוסף קיימת קבוצה U ⊆ Rkוקיימת פונקציה חלקה המוגדרת f : U → Rn−kכך ש־
}) M ∩ W = {x ∈ Rn |XI ∈ U, XJ = f (XI
כעת נגדיר r : U → Rnע”י r (u) = xכאשר XI = uו־) ,XJ = f (uאו בצורה אחרת ))) x = (u, f (uכלומר הרכיבים של x
מורכבים מאינדקסים .(I, Jנראה כי rעומדת בדרישות לפי הגדרה .2נראה כי rהומיאומורפיזם על התמונה ,נראה כי ההעתקה
ההפוכה πI |M ∩W : M ∩ W → Uהמוגדרת ע”י x 7→ XIהיא ההטלה על Iהקורדינטות של .xנגדיר r−1 = πI |M ∩Wונשים לב
כי מהגדרת rוההטלה נראה כי זו אכן הופכית ל־,r
r−1 (r (XI )) = r−1 (x) = XI
r r−1 (x) = r (XI ) = x
3
בנוסף r−1היא רציפה כהטלה ,לכן rהומיאומורפיזם .כעת עלינו להוכיח כי rהעתקה חלקה,ובעל דיפרנציאל מדרגה מלאה .ראשית
נשים לב כי rחלקה בכל קורדינטה כי fשמגדירה את הגרף חלקה בכל קורדינאטה .וכעת נניח בה”כ כי } I = {1, ..., kוכי
} J = {k + 1, ..., n־ זה עוזר להבין כיצד נראית המטריצה של הדיפרנציאל ומדוע היא מדרגה מלאה.
k×k
z
|}
{
1
0
..
.
Dr|r−1 (p) =
) ∈ Mn×k (R
1
0
A
}|{z
n−k×k
כי ההעתקה שולחת את ) ,xI 7→ (xI , xJבפרט ) Drr−1 (pמדרגה מלאה ,כלומר Mיריעה k־מימדית לפי הגדרה 2כלומר מוצגת
באופן פרמטרי.
• ⇒ :תהא Mיריעה נתונה לפי הגדרה ,2ותהא p ∈ Mקיימת W ⊆ Rnסביבה של pוקבוצה פתוחה ,U ⊆ Rkוהעתקה חלקה
r : U → Rnכך ש־ .r (U ) = M ∩ Wובנוסף:
r .1הומיאומורפיזם על התמונה.
) Dr|r−1 (p) : Rk → Rn .2דיפרנציאל( מדרגה מלאה.
נסמן ) u0 = r−1 (pכך שקיימים ) I = (i1 , ..., ikשמקיימים , 1 ≤ i1 ≤ ... ≤ ik ≤ nכך שהמינור } Dru0 |I×{1,...,kהפיך )כלומר
אם נסיר את יתר השורות נקבל מטריצה הפיכה ־ זה נובע מכך שהיא מדרגה מלאה( .נביט בהעתקה πI ◦ r : U → Rkונשים לב
כי D (πI ◦ r) |u0הפיך ולכן ממשפט הפונקציה ההפוכה קיימת סביבה פתוחה של u0נסמנה U0 ⊆ Uוסביבה פתוחה V ⊆ Rkשל
,πI (r (u0 )) = pIכך ש־ πI ◦ r : U0 → Vהפיכה וחלקה .נגדיר f : V → Rn−kע”י )(v
−1
) f (v) = πJ ◦ r ◦ (πI ◦ rכאשר
.J = {1, ..., n} \Iראשית נשים לב כי fחלקה כהרכבה של העתקות חלקות .נגדיר (V ) ∩ W
πI−1
= W0ונרצה להראות כי
}) M ∩ W0 = {x ∈ Rn |XI ∈ V, XJ ∈ f (XIכלומר גרף ) ,Γ (fנוכיח הכלה דו כיוונית:
– ⊇ :תהא x ∈ Rnכך ש־) XI ∈ V, XJ ∈ f (XIנרצה להראות כי ) .x ∈ M ∩ W0 = r (U0נגדיר ) (XI
−1
)u := (πI ◦ r
ונשים לב כי ,u ∈ U0מהגדרת ההופכית .נבדוק כעת כי ,r (u) = x
−1
−1
πI (r (u)) = πI r (πI ◦ r) (XI ) = (πI ◦ r) ◦ (πI ◦ r) (XI ) = XI
−1
−1
πJ (r (u)) = πJ r (πI ◦ r) (XI ) = (πJ ◦ r) ◦ (πI ◦ r) (XI ) = f (XI ) = XJ
|
{z
}
f
כלומר בסה”כ קיבלנו כי r (u) = xכלומר ) x ∈ r (U0כנדרש.
– ⊆ x ∈ M ∩ W0 = r (U0 ) :ולכן קיימת u ∈ U0כך ש־ ,r (u) = xנשים לב כי
) (XI
−1
)πI (r (u)) = XI ⇒ u = (πI ◦ r
ולכן XI = πI (r (u)) ∈ (πI ◦ r) (U0 ) = Vוגם ) (XI ) = f (XI
−1
) ,XJ = πJ (r (u)) = (πJ ◦ r) ◦ (πI ◦ rכלומר
) x ∈ r (U0כנדרש.
הגדרה ) 5.1יריעה k־מימדית באמצעות משוואות( קבוצה M ⊆ Rnתיקרא יריעה k־מימדית חלקה אם לכל p ∈ Mקיימת W ⊆ Rn
סביבה פתוחה של ,pפונקציה חלקה F : W → Rn−kכך ש־
.M ∩ W = {x ∈ W |F (x) = 0} .1
DF |p : Rn → Rn−k .2מדרגה מלאה.
טענה 6.1נניח M ⊆ Rnיריעה k־מימדית חלקה לפי הגדרה ) 1כגרף של פונקציה kמימדית( אם”ם Mיריעה k־מימדית חלקה לפי הגדרה
) 3כלומר ניתנת להצגה על ידי משוואות(
4
הוכחה :נראה את הגרירה בשני הכיוונים:
• ⇐ :תהא Mיריעה נתונה לפי הגדרה ,1ותהא ,p ∈ Mקיימת W ⊆ Rnסביבה של ,pקבוצה פתוחה U ⊆ Rkופונקציה
f : U → Rn−kכך ש־}) .M ∩ W = {x ∈ Rn |XI ∈ U, XJ ∈ f (XIנגדיר ) W0 = W ∩ πI−1 (Uו־ F : W0 → Rn−kע”י
) .F (x) = xJ − f (xIנשים לב כי } M ∩ W0 = {x ∈ W |F (x) = 0n−kוכי DF |p ∈ Mn−k×nוכאשר נסתכל על המינורים
בקורדינטות ה־ Jנקבל ) ,(DF |p ) |(n−k)×J = I(n−k)×(n−kבפרט DF |pמדרגה מלאה.
• ⇒ :תהא Mיריעה נתונה לפי הגדרה ,3ותהא ,p ∈ Mקיימת W ⊆ Rnסביבה של ,pו־ F : W → Rn−kחלקה כך ש־
n
n−k
מדרגה מלאה .כיוון שהדיפרנציאל מדרגה מלאה נוכל למצוא n − k
DF
} M ∩ W = {x ∈ W |F (x) = 0וגם
|p : R → R
∂Fi
עמודות באינדקסים } J = {j1 , ..., jn−kכך ש־
הפיכה .לכן ממשפט הפונקציה הסתומה קיימת Uסביבה של
∂xj
1≤l,i≤n−k
l
pIו־ Vסביבה של ) pJההטלות של pעל Jהקורדינטות ו־ I = {1, ..., n} \Jהקורדינטות( ,וגם f : U → Rn−kחלקה כך שעבור
) W0 = W ∩ πI−1 (U ) ∩ πJ−1 (Vמתקיים }) ,{x ∈ W0 |F (x) = 0} = {x ∈ W0 |XI ∈ U, XJ = f (XIאך נשים לב כי מההנחה
קיבלנו כי } M ∩ W = {x ∈ W |F (x) = 0ולכן }) M ∩ W0 = {x ∈ W0 |F (x) = 0} = {x ∈ W0 |XI ∈ U, XJ = f (XIכלומר
} Γ (f ) = {x ∈ W0 |F (x) = 0כנדרש.
2
מושג המימד
טענה ) 1.2טענת המימד( תהי M ⊆ Rnיריעה k־מימדית חלקה ולא ריקה .אם Mיריעה l־מימדית חלקה אז .k = l
ההוכחה מתבססת על הלמה הבאה:
למה 2.2תהא U ⊆ Rkפתוחה V ⊆ Rl ,פתוחה φ : U → V ,שמקיימת φ ∈ C 1 ,וגם קיימת לה הופכית שמקיימת φ−1 ∈ C 1אז .k = l
הוכחה :תהא ψ : V → Uההעתקה ההפוכה ל־ .φנניח בשלילה כי k > lונביט בהרכבה הבאה .IdU = ψ ◦ φ : U → U
תהא ,u0 ∈ Uנגזור את IdU = ψ ◦ φבנקודה ,u0ומכלל השרשרת נקבל
Ik×k = D (ψ ◦ φ) |u0 = D (ψ) |φ(u0 ) ◦ D (φ) |u0
{z
} } | {z
|
l×k
k×l
נשים לב כי התמונה של D (φ) |u0היא ממימד לכל היותר ,lולכן התמונה של ההרכבה היא לכל היותר lכאשר מההנחה ,l < kבפרט לא
ייתכן כי ההרכבה היא הזהות ,כלומר .k ≤ lבאופן דומה נניח בשלילה כי l > kונביט בהרכבה הבאה .IdV = φ ◦ ψ : V → V
תהא ,v0 ∈ Vנגזור את IdV = φ ◦ ψבנקודה ,v0ומכלל השרשרת נקבל
Il×l = D (φ ◦ ψ) |v0 = D (ψ) |φ(v0 ) ◦ D (ψ) |v0
|
{z
} } | {z
k×l
l×k
נשים לב כי התמונה של D (ψ) |v0היא ממימד לכל היותר ,kולכן התמונה של ההרכבה היא לכל היותר kכאשר מההנחה ,k < lבפרט לא
ייתכן כי ההרכבה היא הזהות ,כלומר .k ≥ lובסה”כ קיבלנו כי .k = l
הוכחה) :טענת המימד( נניח ש־ M ⊆ Rnיריעה ממימד kוגם יריעה ממימד .lתהיינה U1 ∈ Rkפתוחה ,ו־ U2 ∈ Rlפתוחה .נתבונן
בפרטמטריזציות הבאות של :M
r1 :U1 → Rn
r2 :U2 → Rn
ונוכל להניח כי קיימת W ⊆ Rnפתוחה כך ש־ ) r1 (U1 ) = r2 (U2 ) = M ∩ Wכיוון שיש פרמטריזציה לכל היריעה( .נביט בהעתקת המעבר
בין הפרמטריזציות השונות ,φ := r1−1 ◦ r2 : U2 → U1אם נראה כי φחלקה אז נוכל להראות באופן דומה כי φ−1גם כן חלקה ומהלמה
נקבל כי .k = l
5
תהא u2 ∈ U2ותהא ) .u1 = r1−1 ◦ r2 (u2מהגדרת הפרמטריזציה Dr1 |u1 : Rk → Rnמדרגה מלאה ,כלומר נוכל למצוא kשורות כך
שהמינור המתאים עם השורות באינדקסים } I1 = {i1 , ..., ikהפיך .ואז ממשפט הפונקציה ההפוכה πI1 ◦ r1 : U1 → Rkהפיכה וחלקה
בסביבה של ,u1כלומר קיימים U1′ ⊆ U1ו־ V1 ⊆ Rkסביבה של
)) = πI1 (r2 (u2
) πI1 (r1 (u1 )) = πI1 r1 r1−1 ◦ r2 (u2
כך ש־ πI1 ◦ r1 : U1′ → V1הפיכה וחלקה.
כעת נצמצם את עצמנו בתור היריעה בשביל להתאים לתחום החדש ,תהא W0 ⊆ Wפתוחה כך ש־ .r (U1′ ) = M ∩ W0תהא =U2′ :
,r2−1 (M ∩ W0 ) ⊆ U2אזי φ̃ = r1−1 |W0 ◦ r2 |U2′ : U2′ → U1′חלקה כי ◦ πI1 ◦ r2
−1
) φ̃ = r1−1 |W0 ◦ r2 |U2′ = (πI1 ◦ r1כלומר זו הרכבה
של פונקציות חלקות.
3
3.1
אינטגרציה על יריעות
נפח מקבילון ב־ Rn
הגדרה 1.3מטריצת גראהם) (Gramשל הוקטורים v1 , ..., vk ∈ Rnהינה
..
.
Gram (v1 , ..., vk ) := . . . ⟨vi , vj ⟩ . . .
..
.
הערה :נשים לב כי זו מטריצה סימטרית ,אי שלילית אשר נוכל לרשום אותה כ־ G = AT Aכאשר ) .A = (v1 , ..., vkלכן Aניתנת
p
p
qהע”ע אי־שליליים ,בפרט הדטרמיננטה חיובית .בנוסף נשים לב כי = )det (Gram (v1 , ..., vk )) = det (AT A
ללכסון אורתוגונלי וכל
2
)det (A) = det (A
.
הגדרה 2.3נגדיר
)) det (Gram (v1 , ..., vk
p
=Volk (v1 , ..., vk ) :
טענה 3.3נראה כי אם ) ,Volk (v1 , ..., vk ) = vk⊥ Volk−1 (v1 , ..., vk−1אז )) det (Gram (v1 , ..., vk
p
= ) .Volk (v1 , ..., vk
הוכחה :נניח
2
0
⊥vk⊥ , vk
)) det (Gram (v1 , ..., vk
..
.
. . . ⟨vi , vj ⟩ . . .
= det
..
.
0
) = det (T
2
2
2
⊥Volk (v1 , ..., vk ) = vk⊥ Volk−1 (v1 , ..., vk−1 ) = vk
..
.
. . . ⟨vi , vj ⟩ . . .
0
= det
..
.
2
⊥vk
0
..
.
..
.
⊥vi , vk
..
.
...
⟩ ⟨vi , vj
..
.
...
= det
⊥vk⊥ , vk
...
vk⊥ , vj
...
6
נסמן את המטריצה המתקבלת ב־ ,Tוכעת נרשום vk = vk⊥ + α1 v1 + ... + αk−1 vk−1עבור .α1 , ..., αk−1 ∈ Rוכעת נבצע מספר פעולות
שורה באופן הבא
T
RkT → RkT + α1 R1T + ... + αk−1 Rk−1
T
CkT → CkT + α1 C1T + ... + αk−1 Ck−1
ונקבל
)) = det (Gram (v1 , ..., vk
3.2
..
.
..
.
⟩ ⟨vi , vj
..
.
⟩ ⟨vi , vk
..
.
...
⟩ ⟨vk , vk
⟨vk , vj ⟩ . . .
..
.
..
.
...
= det
⊥vi , vk
..
.
...
⟩ ⟨vi , vj
..
.
...
det (T ) = det
...
⊥vk⊥ , vk
...
vk⊥ , vj
...
אינטגרציה על יריעה k־מימדית ב־ Rk
תהא M ⊆ Rnיריעה k־מימדית הניתנת ע”י הפרמטריזציה r : U → Rnכך ש־ U ⊆ Rkו־ .r (U ) = M
כאשר הכל קטן נוכל לקרב את נפח התמונה של המלבן למקבילית ,ולכן
∂r
) (u1 , u2 ) + o (∆u1
∂u1
∂r
r (u1 , u2 + ∆u2 ) = r (u1 , u2 ) + ∆u2
) (u1 , u2 ) + o (∆u2
∂u2
r (u1 + ∆u1 , u2 ) = r (u1 , v1 ) + ∆u1
כלומר נקבל
∂r
∂r
Volk ∆u1
+ o (∆u1 ) , ..., ∆uk
) + o (∆u2
∂u1
∂uk
∂r
∂r
= |∆u1 | · · · |∆uk | · Volk
+ o (∆u1 ) , ...,
) + o (∆u2
∂u1
∂uk
s
∂r
∂r
= |∆u1 | · · · |∆uk | · det Gram
(u1 , u2 ) + o (∆u1 ) , ...,
) (u1 , uk ) + o (∆u2
∂u1
∂uk
s
∂r
∂r
= |∆u1 | · · · |∆uk | · det Gram
, ...,
)+ o (1
∂u1
∂uk
הגדרה 4.3תהא Mיריעה k־מימדית ,ו־ f : M → Rפונקציה רציפה וחסומה ,נגדיר את הנפח של יריעה k־מימדית הנתונה כנ”ל ע”י
s
ˆ
ˆ
∂r
∂r
f dσ = f (r (u)) det Gram
, ...,
du1 ...duk
∂u1
∂uk
U
טענה 5.3ההגדרה של אינטגרל על משטח איננה תלויה בפרטמטריזציה.
T
הוכחה :יהיו r1 , r2פרמטריזציות שונות על יריעה .Mנשים לב כי ) (u1 , uk ) = (Dr|u ) (Dr|u
נגדיר φ : V → Uע”י φ := r1−1 ◦ r2העתקת מעבר נקבל,
r2 = r1 ◦ φ
7
M
∂r
∂uk
(u1 , u2 ) , ...,
∂r
∂u1
Gramולכן אם
ˆ
r
T
det (Dr2 |v ) (Dr2 |v ) dv1 ...dvk
))f (r2 (v
ˆ
= f dVolk
V
dv1 ...dvk
Dr1 |φ(v) · Dφ|v
T
Dr1 |φ(v) · Dφ|v
ˆ
r
det
M
=
)))f (φ (r1 (v
V
det Dφ|Tv Dr1 |Tφ(v) Dr1 |φ(v) · Dφ|v dv1 ...dvk
ˆ
r
=
)))f (φ (r1 (v
V
v
u
u
u
T
f (φ (r1 (v))) u
| · Dr2 |T · Dr2
· Dφ|v dv1 ...dvk
|tdet |Dφ
} {z v} | {zφ(v)} | {zφ(v)} | {z
k×k
n×k
k×k
k×n
det (Dφ|Tv · Dφ|v ) det Dr2 |Tφ(v) · Dr2 |φ(v) dv1 ...dvk
r
det Dr2 |Tφ(v) · Dr2 |φ(v) |Jφv | dv1 ...dvk
r
ˆ
=
V
ˆ
=
)))f (φ (r1 (v
V
ˆ
)))f (φ (r1 (v
det (Dr2 |Tu · Dr2 |u )du1 ...duk
q
=
ˆV
=
))f (r1 (u
U
נשים לב כי הסתמכנו על כך שהעתקת המעבר φהיא חלקה ,ונראה זאת בפרק הבא.
4
מפות ,העתקות המעבר ,אטלס
נגדיר r1 (U1 ) = M ∩ W1ו־ r2 (U2 ) = M ∩ W2כך ש־∅ ≠ ,W1 ∩ W2כעת נוכל להגדיר העתקת מעבר
r1−1 ◦ r2 : r2−1 M ∩ W1 ∩ W2 → r1−1 M ∩ W1 ∩ W2
|
|
{z
}
{z
}
=U1′
}
{z
⊆U1
=U2′
|
{z
}
⊆U2
|
טענה 1.4העתקת המעבר בין פרימטריזציות הן חלקות ,כלומר r1−1 ◦ r2חלקה.
הוכחה :תהא u2 ∈ U2′ו־)) u1 = r1−1 (r2 (u2כלומר מתקיים ) .r1 (u1 ) = r2 (u2נשים לב כי Dr1 |u1 : Rk → Rnמדרגה מלאה ולכן
נוכל למצוא kשורות } I = {i1 , ..., ikכך שהמינור המתאים } Dr1 |I×{1,...,kהפיך ,כלומר D (πI ◦ r1 ) |u1 : Rk → Rkהפיך .ממשפט
הפונקציה ההפוכה πI ◦ r1הפיכה כך שההופכית גם חלקה בסביבת .u1כלומר קיימת U1′′ ⊆ U1′ו־ V ⊆ Rkסביבה של )) πJ (r1 (u1כך
ש־ πI ◦ r1 : U1′′ → Vהפיכה וההופכית שלה גם כן חלקה .באותו האופן U2′′ := r2−1 (r1 (U1′′ )) ⊆ U2′אזי r1−1 ◦ r2 : U2′′ → U1′′ומתקיים
) ◦ (πI ◦ r2
−1
) r1−1 ◦ r2 = (πI ◦ r1כלומר זוהי הרכבה של פונקציות חלקות ולכן חלקה כנדרש.
הגדרה 2.4תהא Mמרחב טופולוגי M ,נקראת יריעה k־מימדית חלקה אם קיים כיסוי פתוח } {Uαשל Mוהומיאומורפיזמים → φα : B
−1
k
φαβ = φ−1
,Uαכאשר Bהוא כדור היחידה הפתוח ב־ .Rולכל ∅ ≠ Uα ∩ Uβמתקיים כי העתקת המעבר → ) β ◦ φα : φα (Uα ∩ Uβ
φ−1חלקה.
) β (Uα ∩ Uβ
5
שדות וקטוריים
תהי Ω ⊆ Rnקבוצה פתוחה f : Ω → R .פונקציה חלקה .נרצה להגדיר את הגרדיאנט של .f
הגדרה gradf (x) 1.5הוא הוקטור היחיד ב־ Rnשמקיים לכל v ∈ Rnכי )(x + tv
8
d
dt |t=0 f
=.⟨gradf (x) , v⟩ = Lv f (x) :
ההעתקה ) v 7→ Lv f (xהיא פונקציונאל לינארי ולכן ממשפט ההצגה של ריס ) gradf (xקיים ויחיד.
הערה:
משפט ) 2.5משפט ההצגה של ריס( אם )⟩· (V, ⟨·,ממ”פ ממימד סופי ו־ α : V → Rפונקציונאל לינארי ,אז קיים vα ∈ Vיחיד כך שלכל
w ∈ Vמתקים ).⟨vα , w⟩ = α (w
אך נשאלת השאלה מדוע ) v 7→ Lv f (xפ”ל? נראה כי מתקיים:
• לכל λ ∈ Rכי
)f (x + tλv) − f (x
)f (x + tλv) − f (x
)f (x + sv) − f (x
= λ lim
= λ lim
)= λLv f (x
t→0
t→0
s→0
t
λt
s
Lλv f (x) = lim
• לכל v, w ∈ Rnמתקיים )(x + tv + tw
d
dt |t=o f
= ) ,Lv+w f (xנגדיר ) g (t, s) = f (x + tv + swונראה כי
d
∂g
∂g
∂g
∂g
d
= )|τ =o g (t, s
= )) |τ =o g (t (τ ) , s (τ
))(t (0) , s (0
(0) +
))(t (0) , s (0
)(0
dτ
dτ
∂t
∂τ
∂s
∂τ
עבור s (τ ) = t (τ ) = τנקבל כי
d
∂g
∂g
∂g
∂g
∂g
∂g
= )|τ =o g (t, s
))(t (0) , s (0
(0) +
))(t (0) , s (0
= )(0
(0, 0) +
)(0, 0
dτ
∂t
∂τ
∂s
∂τ
∂t
∂s
ואילו נשים לב כי
)g (t, 0) − g (0, 0
)f (x − tv) − f (x
∂g
(0, 0) = lim
= lim
)= Lv f (x
t→0
t→0
∂t
t
t
הערה gradf (x) :מתאר את הכיוון שבו fמשתנה באופן המהיר ביותר .ו־∥) ∥gradf (xמהירות ההשתנות המקסימלית.
הגדרה 3.5שדה וקטורי חלק הוא העתקה .F : Ω → Rn
הגדרה 4.5שדה וקטורי תלוי בזמן הוא שדה וקטורי חלק ,F : (0, ∞) × Ω → Rnכך שלכל t > 0מתקבל כי F (t, ·) : Ω → Rnשדה
וקטורי.
טענה 5.5כל שדה וקטורי רדיאלי מהצורה F (x) = g (∥x∥) · xעבור g : R → Rהוא גרדיאנטי.
הגדרה 6.5תהא φ : [0, T ] × Rn → Rnחלקה ,כך שלכל ] t ∈ [0, Tהפונקציה ) x 7→ φ (t, xהיא דיפאומורפיזם ,וכן לכל x ∈ Rn
מתקיים ,φ (0, x) = xאז נאמר ש־ φזרימה ב־ .Rn
טענה 7.5יהא ) F (t, xשדה שמתאים לזרימה ) ,φ (t, xאז Fאיננו תלוי בזמן אם”ם לכל s, t > 0מתקיים )).φ (t + s, x) = φ (t, φ (s, x
משפט 8.5כל שדה וקטורי מתאים לזרימה) ,לא יוכח בקורס זה(.
6
דיברגנץ
הגדרה 1.6יהא F : Ω → Rnשדה וקטורי חלק המוגדר על קבוצה פתוחה .Ωנגדיר פונקציה divF : Ω → Rעל ידי ) .divF = tr (DF |x
פונקציה זו נקראת הדיברגנץ של .F
n
P
∂Fj
= .divF
הגדרה שקולה הינה∂xj :
j=1
9
טענה divF 2.6אינווריאנטי תחת העתקות אורתוגונליות הוכחה :נניח כי ̃ Fשדה וקטורי נוסף כך שקיימת העתקה T : Rn → Rnכך
שמתקיים
)F̃ (T x) = T F (x) ⇔ T −1 F̃ (T x) = F (x
ולכן מכלל השרשרת
−1
) = (DT )F (x) · DFx · (DTx
)T (x
̃DTx = (DT )F (x) DFx ⇔ DF
̃DF
)T (x
נשים לב כי DTמטריצה קבועה ,ולכן
−1
−1
) tr DF̃ (x) = tr (DT )F (x) · DFx · (DTx
) = tr DF · (DTx ) · (DT )F (x) = tr (DFx
משפט ) 3.6משפט הדיברגנץ בקובייה שצלעותיה מקבילות לצירים( תהא Q ⊆ Rnקוביה פתוחה כלומר ) .Q = (a1 , b1 ) × ... × (an , bnיהא
´
F : Q → Rnשדה וקטורי חלק כך ש־ supp (F ) ⊆ Qאז . Q divF dx = 0
n
P
∂Fj
= ,divFכלומר נראה כי האינטגרל על כל רכיב בנפרד שווה לאפס .נסמן
הוכחה :ראינו כי בקורדינטות ∂xj
j=1
) Q = (a1 , b1 ) × ... × (an , bn
לכל ] j ∈ [nמתקיים
∂Fj
dxj dxn ...dxj+1 dxj−1 ...dx1
∂xj
bˆj+1
ˆbn ˆbj
···
an aj
ˆbn
Fj (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) − Fj (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 ) dxn ...dxj+1 dxj−1 ...dx1
bˆj−1
·
···
aj−1 aj+1
bˆj+1
···
an
ˆb1
bˆj−1
·
∂Fj
= dx
∂xj
a1
ˆ
Q
ˆb1
···
aj−1 aj+1
=
a1
הנקודות (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) , (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 ) ∈ ∂Qולכן מהנתון supp (F ) ⊆ Qנקבל
Fj (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) = Fj (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 ) = 0
כלומר כאשר נכניס זאת לאינטגרל נקבל
ˆbn
···
0dxn ...dxj+1 dxj−1 ...dx1 = 0
bˆj−1
bˆj+1
an
ˆb1
···
·
aj−1 aj+1
a1
ובסה”כ נקבל כי
ˆ X
ˆ n
n
n
X
X
∂Fj
∂Fj
= dx
= dx
0=0
∂xj
∂xj
j=1
j=1
j=1
Q
ˆ
= divF dx
Q
Q
משפט ) 4.6משפט הדיברגנץ בקובייה שצלעותיה מקבילות לצירים גרסה (IIתהא Q ⊆ Rnקוביה פתוחה .יהא F : Q → Rnשדה וקטורי
חלק אזי
ˆ
⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1
= divF dx
∂Q
כאשר ̂ nנורמל יחידה חיצוני על .∂Q
10
ˆ
Q
וראינו כיQ = (a1 , b1 ) × ... × (an , bn ) נסמן. מקבילה לציריםQ נבחר מערכת צירים שבה הקוביה:הוכחה
n ˆ
X
∂Fj
divF dx =
dx
∂xj
Q
j=1 Q
ˆ bj−1 ˆ bj+1
ˆ bn
n ˆ b1
X
=
···
·
···
Fj (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 )
ˆ
j=1
a1
aj−1
aj+1
an
− Fj (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 ) dxn ...dxj+1 dxj−1 ...dx1
נשים לב כי נורמל יחידה חיצוני הינו
n̂ (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , ..., xn ) = ej
n̂ (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , ..., xn ) = −ej
ולכן נוכל לרשום
Fj (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) − Fj (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 )
= Fj (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) n̂j (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) + Fj (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 ) n̂j (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 )
|
{z
}
{z
}
|
=1
=−1
= ⟨Fj (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 ) , n̂j (x1 , ..., xj−1 , bj , xj+1 , xj−1 )⟩
+ ⟨Fj (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 ) , n̂j (x1 , ..., xj−1 , aj , xj+1 , xj−1 )⟩
+
U = {∀i ∈ [n] \ {j} , ai < ui < bi } ∂( עבורQ)j נמצא פרמטריצזיה לשפה
rj (u1 , ..., uj−1 , uj+1 , ..., un ) = (u1 , ..., bj , ..., un )
∂r
∂rj
∂rj
∂r
ולכןGram ∂uj1 , ..., ∂uj−1
, ∂uj+1
, ..., ∂unj = In−1 ונשים לב כי
ˆ
ˆ
⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1 =
M
⟨F (u1 , ..., bj , ..., un ) , n̂ (u1 , ..., bj , ..., un )⟩ du1 ...dun
U
ולכן כאשר נציב באינטגרל נקבל
n ˆ
n
X
X
∂Fj
dx =
∂xj
j=1 Q
j=1
ˆ
ˆ
(∂Q)+
j
⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1 +
ˆ
!
(∂Q)−
j
⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1
⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1
=
∂Q
הנורמל ומכפלה מצולבת
7
γ : (−ε, ε) → M אם לכל מסילה חלקהx ∈ M בנקודהM נורמל ל־v נאמר ש־v ∈ Rn יהא, מימדיתk יריעהM תהא1.7 הגדרה
.⟨v, γ (0)⟩ = 0 מתקיים,γ (0) = xכך ש־
M אז נורמל ל־,M ⊆ W חלקה כאשרF : W → R עבורF (x) = 0 הניתנת ע”י המשוואהn − 1 יריעה ממימדM ⊆ Rn אם2.7 טענה
.∇F (x0 ) ניתן על ידיx0 בנקודה
γ (t) = ואם נסמןt נגזור לפיF (γ (t)) = 0 כיt ∈ (−ε, ε) מסילה חלקה מתקיים שלכלγ : (−ε, ε) → M תהא:הוכחה
( אז נקבלx1 (t) , ..., xn (t))
F (x1 (t) , ..., xn (t)) = 0
ולפי כלל השרשרת
d
∂F
∂F
F (x1 (t) , ..., xn (t)) =
(γ (t)) x′1 (t) + ... +
(γ (t)) x′n (t) = ⟨∇F (γ (t)) , γ ′ (t)⟩ = 0
dt
∂γ1
∂γn
11
נציב t = 0ונקבל
⟨∇F (x0 ) , γ ′ (0)⟩ = ⟨∇F (γ (0)) , γ ′ (0)⟩ = 0
כלומר ) ∇F (x0נורמל.
∂f
∂f
− ∂x
,
...,
−
,
1
מסקנה 3.7תהא M ⊆ Rnיריעה n−1מימדית הנתונה כגרף }) M = {(x1 , ..., xn ) ∈ U |xn = f (x1 , ..., xn−1אזי
∂xn−1
1
הוא נורמל ל־ Mבנק׳ ) .(x1 , ..., xm
הוכחה :נגדיר ) F (x) = xn − f (x1 , ..., xn−1ונפעיל את הטענה הקודמת.
7.1
כיצד נחשב נורמל ליריעה M ⊆ Rnממימד n − 1הניתנת באופן פרמטרי?
הגדרה ) 4.7המכפלה המצולבת( יהיו v1 , ..., vn−1 ∈ Rnאז המכפלה המצובלת v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn−1 ∈ Rnהיא הוקטור היחיד המקיים
לכל w ∈ Rnכי
)⟨v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn−1 , w⟩ = det (v1 , v2 , ..., vn−1 , w
כאשר קיום ויחידות נובע ממשפט ריס)כי ) det (v1 , v2 , ..., vn−1 , wפונקציונל לינארי עבור .(w
טענה 5.7תכונות של המכפלה המצולבת :
v1 ∧ ... ∧ vn−1 ̸= 0 .1אם”ם v1 , ..., vn−1בת”ל.
= ⟩ ⟨v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn−1 , wלכן ≠ )det (v1 , v2 , ..., vn−1 , w
הוכחה :נניח כי v1 ∧ ... ∧ vn−1 ̸= 0אז קיים וקטור w ∈ Rnכך ש־̸ 0
0בפרט v1 , ..., vn−1בת”ל .בכיוון השני נניח כי v1 , v2 , ..., vn−1בת”ל ,יהא w ∈ Rnכך ש־ v1 , v2 , ..., vn−1 , wבת”ל ,לכן
⟨v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn−1 , w⟩ = det (v1 , v2 , ..., vn−1 , w) ̸= 0ולכן .v1 ∧ ... ∧ vn−1 ̸= 0
v1 ∧ ... ∧ vn−1 ⊥ vj .2לכל .1 ≤ j ≤ n − 1
הוכחה :נחשב ⟨v1 ∧ ... ∧ vn−1 , vj ⟩ = det (v1 , v2 , ..., vn−1 , vj ) = 0כנדרש.
det (Gram (v1 , ..., vn−1 )) .3
p
= ∥ .∥v1 ∧ ... ∧ vn−1
הוכחה :יהא e1 , ..., enבסיס א”נ ל־ .Rnנחשב ) ⟨v1 ∧ ... ∧ vn−1 , ej ⟩ = det (v1 , v2 , ..., vn−1 , ejולכן
n
X
2
2
= ∥ ∥v1 ∧ ... ∧ vn−1
) det (v1 , ..., vn−1 , ej
j=1
נוכל להניח כי v1 , ..., vn−1בת”ל אחרת?
יהא e1 , ..., en−1בסיס א”נ למרחב ) span (v1 , ..., vn−1נשלים בסיס זה לבסיס א”נ של Rnע”י .enלכן כיוון שהוקטורים תלויים
לינארית בבסיס אז
!
⟨vi , vj ⟩ 0
1
0
= det
|
|
en
vn−1
|
|
−
−
|
v1
−
|
−
−
v1
|
2
2
det (v1 , ..., vn−1 , ej ) = det (v1 , ..., vn−1 , en ) = det
− v
n−1
−
en
n
X
j=1
)) = det (Gram (v1 , ..., vn−1
ולכן כאשר נוציא שורש )) det (Gram (v1 , ..., vn−1
p
= ∥ ∥v1 ∧ ... ∧ vn−1כנדרש.
12
.det (v1 , ..., vn−1 , v1 ∧ ... ∧ vn−1 ) ≥ 0 .4
2
הוכחה :נחשב .det (v1 , ..., vn−1 , v1 ∧ ... ∧ vn−1 ) = ⟨v1 ∧ ... ∧ vn−1 , v1 ∧ ... ∧ vn−1 ⟩ = ∥v1 ∧ ... ∧ vn−1 ∥ ≥ 0
טענה 6.7תהא M ⊆ Rnיריעה ממימד n − 1הנתונה באופן פרמטרי ,כלומר קיימת Uכך ש־ r (U ) = Mעבור r : U → Mפרמטריזציה
∂r
(u) ∧ ... ∧ ∂u∂r
של ,Mאז הוקטור )(u
∂uהוא נורמל ל־ Mבנקודה ).r (u
1
n−1
הוכחה :תהא γ : (−ε, ε) → Mמסילה חלקה כלשהי כך ש־ .γ (0) = r u0נרשום )) γ (t) = r (u1 (t) , ..., un−1 (tונחשב כעת את
) γ ′ (tבעזרת כלל השרשרת,
∂r
∂r
(u1 (t) , ..., un−1 (t)) · u′1 (t) + ... +
)(u1 (t) , ..., un−1 (t)) · u′n−1 (t
∂u1
∂un−1
= )γ ′ (t
נציב כעת t = 0ונקבל
∂r
∂r
u0 · u′1 (0) + ... +
)u0 · u′n−1 (0
∂u1
∂un−1
n
o
∂r
∂r
0
0
נשים לב כי ) γ ′ (0הוא צירוף לינארי של
∂uואולם מתכונות המכפלה כיוון ש־⊥ u0
u
,
...,
u
∂u
1
n−1
∂r
∂uאז בפרט
u0
j
= )γ ′ (0
∂r
∂un−1
∧ u0 ∧ ...
∂r
∂u1
∂r
∂r
∧ u0 ∧ ...
)u0 ⊥ γ ′ (0
∂u1
∂un−1
כלומר המכפלה המצולבת היא הנורמל של Mכנדרש.
שימו לב:
קיימת מסילה γ : (−ε, ε) → Mכך ש־ γ (0) = r u0וגם ) (u0
∂r
∂uj
= ) , γ ′ (0ואכן זו מסילה כנ”ל = )γ (t
.r u0 + t · (0, ..., 1, ..., 0)
|
{z
}
∈Rn−1
n
o
0
u0 , ..., ∂u∂r
u
הערה :המרחב הנפרש על ידי הקבוצה
n−1
ש־ γ (0) = r u0נקרא המרחב המשיק ואנו ניתקל בו בהמשך הקורס.
∂r
∂u1
13
וגם שווה למרחב של כל המשיקים למסילות γ : (−ε, ε) → Mכך
7.2
תחום חלק
הגדרה 7.7תהא Ω ⊆ Rnקבוצה פתוחה .נאמר ש־ Ωקבוצה פתוחה חלקה אם לכל x ∈ ∂Ωקיימת סביבה פתוחה W ⊆ Rn
ודיפאומורפיזם r : B1 (0) → Wכך שתמונת חצי הכדור העליון } B1 (0) ∩ {un > 0היא .Ω ∩ W
למה 8.7אם Ω ⊆ Rnקבוצה פתוחה חלקה אז ∂Ωהיא יריעה n − 1מימדית חלקה.
הוכחה :נשים לב r (u1 , ..., un−1 , 0) ∈ Ω\Ω = ∂Ωכיוון שהקורדינטה האחרונה מונעת מהתמונה להיות ב־ Ωלפי הגדרת rהנ”ל אך ניתן
לבנות סדרה שמתכנסת לנקודה זו ,ואילו r̃ : B1n−1 (0) → Rnעל ידי ) r̃ (u1 , ..., un−1 ) = r (u1 , ..., un−1 , 0נקבל פרימטריזציה של ∂Ω־
נוכל לחזור להגדרה ולדרישות על ̃ rבכדי לראות שכולן מתקיימות.
7.3
נורמל פנימי וחיצוני
בהגדרה של תחום חלק נוכל להניח ,det Dr > 0אחרת נגדיר ) r̃ (u1 , ..., un ) = r (u2 , u1 , ...., unוזה יהפוך את הסימן בדטרמיננטה של
הדיפרנציאל.
למה 9.7אם Ωקבוצה פתוחה חלקה x = r (u) ,ו־ Wו־ rכך ש־ det Dr > 0אז נורמל חצוני של Ωבנקודה ) x = r (uניתן על ידי
)(u
8
∂r
∂un−1
∂r
.− ∂u
∧ (u) ∧ ...
1
משפט הדיברגנץ
משפט ) 1.8משפט הדיברגנץ( יהא Ω ⊆ Rnתחום חלק .יהא F : Ω → Rnשדה חלק ,אז
ˆ
ˆ
divF dx = ⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1
∂Ω
Ω
כאשר ̂ nנורמל יחידה חיצוני ל־.Ω
הערה :אפשר לחשוב על המשפט הזה כאל מקרה כללי של המשפט היסודי ,מצד שמאל יש לנו נגזרות של Fואילו מצד ימין לא קיימות
נגזרות של הפונקציה אלא נגזרת של התחום .הוכחה) :הוכחת משפט הדיברגנץ( נניח x ∈ ∂Ωוכי Wכמו בהגדרה של תחום חלק ,בנוסף
נניח כי .supp (F ) ⊆ W
14
נחשב את אגף ימין
ˆ
ˆ
⟨F, n̂⟩ dVoln−1
⟨F, n̂⟩ dVoln−1
=
|{z}
supp(F )⊆W ∂Ω∩W
∂Ω
ˆ
s
⟨F (r (u1 , ..., un−1 , 0)) , n̂ (r (u1 , ..., un−1 , 0))⟩
=
det Gram
∂r
∂r
, ...,
du1 ...dun−1
∂u1
∂un−1
B1n−1 (0)
ˆ
*
=−
F (r (u1 , ..., un−1 , 0)) ,
∂r
∂u1
∧ ... ∧
∂r
∂u1
B1n−1 (0)
ˆ
= −
|{z}
∗
F (r (u1 , ..., un−1 , 0)) ,
∂r
∂un−1
(u1 , ..., un−1 , 0)
∧ ... ∧
+s
∂r
∂un−1
det Gram
∂r
∂r
, ...,
du1 ...dun−1
∂u1
∂un−1
∂r
∂r
∧ ... ∧
(u1 , ..., un−1 , 0) du1 ...dun−1
∂u1
∂un−1
B1n−1 (0)
ˆ
= −
|{z}
∗∗
det
∂r
∂r
(u1 , ..., un−1 , 0) , ...,
(u1 , ..., un−1 , 0) , F (r (u1 , ..., un−1 , 0)) du1 ...dun−1
∂u1
∂un−1
B1n−1 (0)
∥v1 ∧ ... ∧ vn−1 ∥ =
p
det (Gram (v1 , ..., vn−1 )) (*)
⟨v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vn−1 , w⟩ = det (v1 , v2 , ..., vn−1 , w) (**)
,נחשב את אגף שמאל כאשר ההצבה אפשרית כיוון שהתחום חלק
ˆ
ˆ
divF dx
=
|{z}
divF dx
Substitutionx=r(u) j=1 {un >0}∩B n (0)
1
supp(F )⊆W Ω∩W
Ω
ˆ
n
X
=
|{z}
∂Fj
(r (u)) det (Dr) du1 ...dun
∂xj
ולכן נקבלr (u1 , ..., un ) = (x1 (u1 , ..., un ) , ..., xn (u1 , ..., un )) נסמן
∂x1
∂x1
.
.
.
∂un
∂u1
Dr =
∂xn
∂xn
. . . ∂un
∂u1
של חישוב הדטרמיננטה ונקבלjלשורה ה־
=
ˆ
n
X
j=1
{un >0}∩B1n (0)
det
∂x1
∂u1
∂Fj
∂xj
∂x
(r (u)) ∂uj1
∂xn
∂u1
...
∂Fj
∂xj
∂x
(r (u)) ∂umj
∂xn
∂un
...
(r (u)) כעת נכניס את הסקלר
∂x1
∂un
...
∂Fj
∂xj
du1 ...dun
אתjניזכור כי פעולות שורה אינן משנות את ערך הדטרמיננטה ולכן נוסיף לשורה ה־
∂Fj
∂Fj
∂Fj
∂Fj
(r (u)) · R1Dr + ... +
(r (u)) · R1Dr +
(r (u)) · R1Dr + ... +
(r (u)) · RnDr
∂x1
∂xj−1
∂xj+1
∂xn
כיjוכעת נקבל בשורה ה־
=
n
X
j=1
ˆ
{un >0}∩B1n (0)
n
P
det
k=1
∂x1
∂u1
∂Fj
∂xk
∂x1
∂un
...
k
(r (u)) ∂x
∂u1
∂xn
∂u1
...
k=1
...
15
n
P
∂Fj
∂xk
∂xk
(r (u)) ∂u
n
∂xn
∂un
du1 ...dun
n
P
,כלומר מתקבל
∂Fj
∂xk
k=1
=
j=1
det
ˆ
n
X
{un >0}∩B1n (0)
∂x1
∂u1
k
(r (u)) ∂x
∂ui =
ומכלל השרשרת נשים לב כי מתקיים
∂x1
∂un
...
∂(Fj ◦r)
∂ui
∂(Fj ◦r)
∂u1
...
∂(Fj ◦r)
∂un
∂xn
∂u1
...
∂xn
∂un
du1 ...dun
, ונקבלjכעת נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה ה־
ˆ
n
X
=
j=1
.
∂x1
∂u1
k=1
∂x1
∂un
...
{un >0}∩B1n (0)
n
X
∂ (Fj ◦ r) ˜
Mj,k du1 ...dun
∂uk
∂(Fj ◦r)
∂u1
...
∂(Fj ◦r)
∂un
∂xn
∂u1
...
∂xn
∂un
של המטריצהk והעמודה ה־j היא הדטרמיננטה של המינור המתקבל ממחיקת השורה ה־M˜j,k כאשר
כעת נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל
=
j=1
=
ˆ
n
X
{un >0}∩B1n (0)
ˆ
n
X
j=1
n ∂ (F ◦ r) · M˜
X
j
j,k
∂uk
k=1
∂uk
k=1
du1 ...dun −
ˆ
n
X
j=1
n ∂ (F ◦ r) · M˜
X
j
j,k
{un >0}∩B1n (0)
du1 ...dun −
{un >0}∩B1n (0)
(Fj ◦ r) (u) ·
k=1
ˆ
n
X
j=1
n
X
(Fj ◦ r) (u)
∂ M˜j,k
du1 ...dun
∂uk
n
X
∂ M˜j,k
du1 ...dun
∂uk
k=1
{un >0}∩B1n (0)
.
n
P
k=1
∂ M˜j,k
∂uk
= 0 (Piola )זהות2.8 למה
ונקבל כעת נקבל בעזרת הלמה כיGj (u) = (Fj ◦ r) · M˜j,1 (u) , ..., (Fj ◦ r) · M˜j,n (u) נסמן
=
ˆ
n
X
j=1
n ∂ (F ◦ r) · M˜
X
j
j,k
∂uk
k=1
{un >0}∩B1n (0)
du1 ...dun =
n
X
j=1
ˆ
div (Gj (u)) du
{un >0}∩B1n (0)
supp (Gj (u)) ⊆ { נשים לב כי זה מתאפשר כיוון שאנו יודעים כיun > 0} ∩ B1n (0) ⊆ Q כעת נוכל להרחיב את תחום האינטגרציה לקוביה
לכן נוכל להשתמש במשפט זה, כמו בתנאים של הגרסה השנייה של משפט הדיברגנץsupp (Gj (u)) ⊆ Q ולכן מתקייםB1n (0) ∩ {un > 0}
,ולקבל
=
n ˆ
X
j=1
=−
div (Gj (u)) du =
Q
ˆ
⟨Gj (u) , n̂ (u)⟩ dVoln−1
j=1 ∂Q
ˆ
n
X
j=1
n ˆ
X
(Fj ◦ r) · M˜j,n (u) du1 ...dun−1
B0n−1 (1)
=−
det
∂r
∂r
(u1 , ..., un−1 , 0) , ...,
(u1 , ..., un−1 , 0) , F (r (u1 , ..., un−1 , 0)) du1 ...dun−1
∂u1
∂un−1
B1n−1 (0)
´
.כנדרש
Ω
divF dx =
´
∂Ω
⟨F (x) , n̂ (x)⟩ dVoln−1 כלומר קיבלנו את הביטוי שבפיתוח אגף ימין ולכן
16
נקודות שחסרות מהוכחה:
• כל שדה הוא סכום של שדות עם תומך “קטן” )פיצול יחידה(.
• זהות Piolaלהוכיח.
פיצול יחידה ־ Partition of unity
8.1
דוגמא:
בקטע ] [0, 1נחפש שתי פונקציות רציפות ψ1 : R → R, ψ2 : R → Rעם התכונות הבאות:
0 ≤ ψj (x) ≤ 1 .1לכל .x ∈ R
.2
supp (ψ1 ) ⊆ −1, 32ו־
1
3, 1
⊆ ) supp (ψ2
ψ1 + ψ2 = 1 .3בקטע ].[0, 1
מסקנה 3.8תהא f : [0, 1] → Rרציפה ,אזי קיימות פונקציות רציפות f1 , f2כך ש־ f = f1 + f2כך ש־ supp (f1 ) ⊆ −1, 23ו־
.supp (f2 ) ⊆ 13 , 1
הוכחה :נגדיר f1 = ψ1 · fו־ f2 = ψ2 · fכך ש־ .f = f (ψ1 + ψ2 ) = ψ1 · f + ψ2 · f = f1 + f2
משפט ) 4.8משפט פיצול יחידה( תהא K ⊆ Rnקומפקטית .יהא U1 , ..., Umכיסוי פתוח סופי ל־ Kכלומר Ui
Sm
i=1
⊆ .Kקיימות פונקציות
חלקות ψ1 , ..., ψmשמוגדרות בסביבה של Kכך ש־
0 ≤ ψj ≤ 1 .1לכל ].j ∈ [m
supp (ψj ) ⊆ Uj .2לכל ].j ∈ [m
ψi = 1 .3
m
P
ב־.K
i=1
S
הוכחה :לכל x ∈ Kקיים ] j (x) ∈ [mוקיים r (x) > 0כך ש־ ) .Br(x) (x) ⊆ Uj(xנביט בכיסוי הפתוח הבא ) ,K ⊆ x∈K B r(x) (xמאחר
2
SN
SN
SN
ש־ Kקומפקטית נוכל למצוא x1 , ..., xNכך שמתקיים ) ) K ⊆ i=1 B r(xi ) (xiנשים לב כי ) .( i=1 B r(xi ) (xi ) ⊆ i=1 Br(xi ) (xi
2
2
תהא ψ : B1 (0) → Rכך ש־ ψ|B 1 (0) > 0 ,0 ≤ ψ ≤ 1וחלקה וגם ).supp (ψ) ⊆ B1 (0
2
i
ψ̃i (x) = ψ x−xעבור ] .i ∈ [N
נגדיר ψ̃i : Br(xi ) (xi ) → Rכך ש־ ψ̃i |B r(x ) (xi ) > 0 ,0 ≤ ψ̃i ≤ 1וחלקה ,על ידי
) r(xi
i
2
P
˜
= ) ψ˜j (xלכל ] j ∈ [mכך ש־
̃ψ
)(x
נגדיר
.
j
∈
][m
עבור
ψ
נגדיר
supp
נשים לב ) ψ̃i ⊆ Br(xi ) (xi ) ⊆ Uj(xi
j
i|j(xi )=j i
P
M
˜
˜
.0 ≤ ψ˜j ≤ 1נשים לב כי j=1 ψ˜j (x) > 0ב־ .Kאכן ניקח x ∈ Kאז קיים xi0כך ש־) x ∈ B r(xi ) (xi0ולכן ψ˜i0 (x) > 0ולכן
0
2
PN
˜ PM
j=1 ψ˜j (x) = i=1 ψ̃i (x) > 0נגדיר
˜
)ψ˜j (x
ψj = P
M
˜˜
)j=1 ψj (x
המכנה חיובי בסביבה של Kולכן ψjמוגדרת היטב וחלקה בסביבה של ,Kומתקיים ψj = 1
מינוח:
M
פיצול יחידה כנ”ל ייקרא פיצול יחידה שנשלט על ידי הכיסוי .{Ui }i=1
17
PM
j=1
ב־.K
8.2
סיום הוכחת משפט הדיברגנץ
לכל x ∈ ∂Ωקיימת סביבה פתוחה Wx ⊆ Rnודיפאומורפיזם מיישר rx : B1 (0) → Wxכך ש־un ) rx (B1 (0) ∩ {un > 0}) = Wx ∩ Ω
קורדינטה(.
נביט בכיסוי הפתוח Wx ∪ Ω
x∈∂Ω
S
⊆ .Ωאז קיים תת כיסוי סופי .Ω ⊆ Wx1 ∪ ... ∪ WxM ∪ Ωנמצא פיצול יחידה חלק שנשלט על ידי
כיסוי זה ψ1 , ..., ψM , ψM +1 ,נגדיר
Fj = ψj · F
ונראה כי supp (Fj ) ⊆ Wxjלכל ] ,j ∈ [Mוגם .supp (FM +1 ) ⊆ Ωנשים לב כי Fj : Ω → Rnשדה חלק לכל ] .j ∈ [M + 1ומתקיים
= F
}ψj · F |{z
M
+1
X
= Fj
j=1
j=1
In Ω
M
+1
X
} | {z
In Ω
נשים לב כי עבור כל 1 ≤ j ≤ Mמתקיים
ˆ
⟨Fj , n̂⟩ dVoln−1
ˆ
= divFj dx
Ω
∂Ω
עבור j = M + 1קיימת קוביה Ω ⊆ Cכך ש־
ˆ
⟨FM +1 , n̂⟩ dVoln−1 = 0
ˆ
= divFM +1 dx
ˆ
= divFM +1 dx
Ω
∂Ω
=0
C
כאשר השיוויון משמאל נובע מהגרסה הראשונה של משפט הדיברגנץ שהוכחנו .לבסוף נסיק מאדיטיביות מכפלה פנימית ,אינטגרל ודיברגנץ
כי
ˆ
⟨F, n̂⟩ dVoln−1
+
= FM +1 , n̂ dVoln−1
j=1
∂Ω
8.3
ˆ *M
+1
X
M
ˆ +1
X
= ⟨FM +1 , n̂⟩ dVoln−1
= divFj dx
j=1 ∂Ω
∂Ω
M
ˆ +1
X
j=1 Ω
ˆ
= divF dx
Ω
משמעות משפט הדיברגנץ
אגף ימין ⟨F, n̂⟩ dVoln−1
´
∂Ω
כאשר ) F (xמהירות הנוזל בנקודה ,xכלומר היחידות
length
time
= ] [Fולכן
volume
time
´
= . ∂Ω ⟨F, n̂⟩ dVoln−1
כלומר נוכל לחשוב על זה בתור כמות הנוזל שעוברת בשניה ,כאשר הביטוי הזה נקרא שטף והוא קצב המעבר או קצב הזרימה של הנוזל דרך
השפה של Ωהחוצה.
אגף שמאל divF dx
´
Ω
לכן )divF dx −−−−−→ divF (x
}Ω→{x
´
Ω
1
||Ω
מודד את הנביעה ־ כמה נוזל יוצא מנקודה מסויימת xביחידת זמן.
length
] [F
1
= = time
length
length
time
= ] [divF
כלומר יש למשפט משמעות פיזיקלית.
9
האינטגרל הקווי\מסילתי
הגדרה 1.9תהא Ω ⊆ Rnקבוצה פתוחה ,ויהא F : Ω → Rnשדה וקטורי בתחום .Ωתהא γ : [a, b] → Rnמסילה חלקה ב־ .Ωאז
האינטגרל הקווי של השדה Fלאורך המסילה הוא
ˆb
= ⃗
F⃗ · dl
⟨F (γ (t)) , γ ′ (t)⟩ dt
a
18
ˆ
γ
= ∥)∥γ ′ (t
נשים לב כי ניתן לרשום גם בצורה הבאה כאשר הנורמה ̸ 0
· ∥γ ′ (t)∥ dt
)γ ′ (t
∥)∥γ ′ (t
ˆb
F (γ (t)) ,
ˆ
= ⃗
F⃗ · dl
a
נסמן
)γ ′ (t
∥)∥γ ′ (t
γ
= )) T (γ (tמשיק יחידה ל־) .γ (tולכן
E
F⃗ , T⃗ dl
ˆ D
ˆb
= ⟨F (γ (t)) , T (γ (t))⟩ · ∥γ ′ (t)∥ dt
γ
a
כלומר האינטגרל על היריעה שנוצרת על ידי הפרמטריזציה .γלכן כפי שראינו הוא כמעט אינו תלוי בפרמטריזציה ,הוא תלוי רק במגמה של
,γכלומר האם היא נעה מ־) γ (aל־) γ (bאו להיפך.
טענה 2.9יהי F : Ω → Rnשדה וקטורי בתחום .Ωתהא γ : [a, b] → Rnמסילה חלקה ב־ .Ωנגדיר )) δ (t) = γ (φ (tכאשר
] φ : [c, d] → [a, bומתקיים φ (c) = aוגם .φ (d) = bאזי
ˆ
⃗
F⃗ · dl
ˆ
= ⃗
F⃗ · dl
γ
δ
הוכחה :על פי הגדרה בעזרת שימוש בכלל השרשרת והחלפת משתנה כי
ˆd
⟨F (γ (φ (t))) , γ ′ (φ (t))⟩ · φ′ (t) dt
ˆd
′
′
= ⟨F (δ (t)) , δ (t)⟩ dt
c
ˆ
⃗
F⃗ · dl
c
ˆb
= ⟨F (γ (s)) , γ ′ (s)⟩ · ds
γ
= ⃗
F⃗ · dl
′
= ⟨F (γ (φ (t))) , γ (φ (t)) · φ (t)⟩ dt
c
ˆd
ˆ
δ
)φ(d
ˆ
= ⟨F (γ (s)) , γ ′ (s)⟩ · ds
a
= ))(s = φ (t
)φ(c
מסקנה 3.9פרמטריזציה שהופכת מגמה כלומר באותם תנאים כמו בטענה ,אם ] φ : [c, d] → [a, bומתקיים φ (c) = bוגם ,φ (d) = aאז
´
´
⃗ = − F⃗ · dl
⃗
. δ F⃗ · dl
γ
סימון אם γמסילה אז −γהיא המסילה במגמה ההפוכה.
סימון עבור )) F (x, y) = (P (x, y) , Q (x, yנסמן P dx + Qdy
´
γ
= ⃗
F⃗ · dl
ˆ
γ
ˆ
= [P (γ (t)) x′ (t) + Q (γ (t)) y ′ (t)] dt
P dx + Qdy
γ
10
´
.
ˆb
= ⃗
F⃗ · dl
= ⟨F (γ (t)) , γ ′ (t)⟩ dt
γ
ˆ
a
γ
משפט גרין ומסקנותיו
משפט 1.10תהא Ω ⊆ Rnקבוצה פתוחה חלקה P, Q : Ω → R ,פונקציות חלקות .נכוון את ∂Ωבכיוון החיובי )כלומר התחום Ωיהיה
משמאל לכיוון ההתקדמות( ,אזי
dxdy
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
ˆ
ˆ
= P dx + Qdy
Ω
19
∂Ω
הוכחה :נקבל את משפט גרין כמסקנה ישירה ממשפט הדיברגנץ במימד ,2נגדיר ) F = (Q, −Pונראה כי
dxdy
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
ˆ
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
= divFולכן
ˆ
= divF dxdy
Ω
Ω
נגדיר Tמשיק יחידה על ∂Ωבכיוון ההתקדמות ,נגדיר Rθההעתקה הלינארית של סיבוב בזווית θנגד כיוון השעון ,אז n̂ = R− π2 Tנורמל
יחידה חיצוני ,כאשר
!
אם כך ממשפט הדיברגנץ נקבל כי
+
ˆ
, T dl = P dx + Qdy
!
∂Ω
10.1
P
−1
0
0
1
= R− π2
* ˆ
ˆ
= R π2 F, R π2 R− π2 T dl
Q
∂Ω
ˆ
= T dl
−π
2
F, R
∂Ω
= dxdy
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
ˆ
Ω
∂Ω
נוסחת שטח
מסקנה 2.10יהא Ω ⊆ R2תחום חלק אז
ˆ
xdy − ydx
1
2
ˆ
= −ydx
ˆ
= xdy
∂Ω
∂Ω
= )Area (Ω
∂Ω
הוכחה :נגדיר Q (x, y) = xו־ P (x, y) = 0ואז ממשפט גרין נקבל
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
∂Q ∂P
−
)dxdy = 1dxdy = Area (Ω
= xdy = P dx + Qdy
∂x
∂y
Ω
11
Ω
∂Ω
∂Ω
אי־שיוויון האיזופרימטרי
משפט 1.11יהא Ω ⊆ R2תחום חלק במישור .יהא BΩעיגול באותו היקף כמו של ,Ωאזי
) Area (Ω) ≤ Area (BΩ
בכדי להוכיח משפט זה נשים לב כי עבור Rרדיוס של BΩאזי L (∂Ω) = 2πRולכן מחישוב השטח נקבל כי
2
אם כך המשפט עצמו שקול
L(∂Ω)2
ל־ 4π
)L (∂Ω
4π
2
=
)L (∂Ω
2π
2
Area (BΩ ) = πR = π
≤ ).Area (Ω
הוכחה) :הוכחת המשפט( נתחום את Ωבין שני ישרים מקבילים לציר ה־ yומשיקים ל .Ωיהא δמעגל משיק לשני המקבילים שמרכזו
בראשית הצירים .תהא הפרמטריזציה של ∂Ωנתונה על ידי )) γ (t) = (x (t) , y (tעבור ] .t ∈ [0, T1נגדיר פרימטריזציה למעגל באופן הבא,
20
)) δ (t) = (x (t) , y (tעבור ] t ∈ [0, T1כאשר ) x (t) = x (tו־ yיוגדר באופן הבא :אם ) γ (0היא נקודת השקה לישר הימני ו־) γ (T0היא
נקודת ההשקה הראשונה של γלישר השמאלי אז
0 ≤ t ≤ T0
T0 ≤ t ≤ T1
q
R2 − x (t)2
q
= )y (t
− R2 − x (t)2
כעת ממשפט גרין נקבל כי
ˆT1
x (t) y ′ (t) dt
ˆT1
′
= x (t) y (t) dt
0
= xdy
ˆT1
′
y (t) x (t) dt = −
0
= )Area (Ω
γ
0
ˆT1
y (t) x′ (t) dt
ˆ
ˆ
2
πR = −
ydx = −
0
δ
נחבר ביחד את שתי החישובים ונקבל
!+
dt
)y ′ (t
)−x′ (t
!
,
)x (t
ˆT1
* ˆT1
′
′
= x (t) y (t) − y (t) x (t) dt
)y (y
0
ˆT1
′
ˆT1
′
2
x (t) y (t) dt −
= y (t) x (t) dt
0
0
= Area (Ω) + πR
0
וכעת מאי־שיוויון קושי־שוורץ נקבל כי
ˆT1 q
ˆT1
ˆ
ˆ
2
2
′
′
′
)dt = R x (t) + y (t) dt = R ∥γ (t)∥ dt = R 1dl = R 1dl = R · L (∂Ω
γ
∂Ω
12
)−x′ (t
0
0
כלומר בסה”כ קיבלנו כי ) Area (Ω) + πR2 ≤ R · L (∂Ωמאי־שיוויון הממוצעים
2
!
a+b
2
≤ ab
)y ′ (t
!
ˆT1
)x (t
)y (y
≤
0
√
נקבל
p
)R · L (∂Ω
)L (∂Ω
Area (Ω) + πR2
)L (∂Ω
≤
≤ ⇒ Area (Ω) · π
≤ )⇒ Area (Ω
2
2
2
4π
≤ Area (Ω) · πR2
p
שדות משמרים
תהא Ω ⊆ Rnפתוחה ,ויהא F : Ω → Rnשדה וקטורי.
הגדרה F 1.12ייקרא שדה וקטורי משמר ב־ Ωאם לכל מסילה חלקה למקוטעין γ : [a, b] → Ωהאינטגרל F dl
´
γ
תלוי רק בנקודת
ההתחלה והסיום ).γ (a) , γ (b
¸
סימון :כאשר נרצה לבצע אינטגרציה קווית על מסילה סגורה נהוג לסמן את האינטגרל .
טענה 2.12התנאים הבאים שקולים:
F .1שדה משמר ב־.Ω
¸
.2לכל מסילה סגורה ב־ Ωמתקיים . γ F dl = 0
הוכחה :נראה כי :1 ⇒ 2תהא γ : [a, b] → Ωמסילה כך ש־) .γ (a) = γ (bתהא δ : [a, b] → Ωהמסילה ) .δ (t) = γ (aמאחר ש־γ, δ
שתי מסילות המתחילות ומסיימות באותה הנקודה אז
ˆb
ˆb
′
= ⟨F (δ (t)) , δ (t)⟩ dt
⟨F (δ (t)) , 0⟩ dt = 0
a
a
21
˛
= F dl
˛
= F dl
δ
γ
נראה כי :2 ⇒ 1תהיינה γ1 : [a, b] → Ωו־ γ2 : [c, d] → Ωמסילות כך ש־ γ1 (a) = γ2 (c) = x1וגם γ1 (b) = γ2 (d) = x2נגדיר
δ : [a, b + d − c] → Ωע”י
)γ1 (t
a≤t≤b
= )δ (t
γ (b + d − t) b ≤ t ≤ b + d − c
2
נשים לב ש־ δ : [b, b + d − c] → Ωמתארת את γ2במגמה הפוכה .לכן סה”כ קיבלנו כי δ = γ1 − γ2מסילה סגורה ,ולכן מההנחה
˛
ˆ
ˆ
0 = F dl = F dl − F dl
γ2
כלומר F dl
´
= F dl
γ2
γ1
δ
´
γ1
כנדרש.
משפט 3.12תהא Ω ⊆ Rnפתוחה ,ויהא F : Ω → Rnשדה וקטורי ,אזי התנאים הבאים שקולים:
F .1שדה משמר ב־.Ω
F .2שדה גרדיאנטי ב־.Ω
הוכחה :2 ⇒ 1 :תהא u : Ω → Rכך ש־ ,F = ∇uותהא γ : [a, b] → Ωמסילה ב־ .Ωאזי
ˆ n
X
∂u
= ⟨(∇u) (γ (t)) , γ (t)⟩ dt
(γ (t)) · x′i (t) dt
∂x
i
i=1
b
ˆb
′
a
ˆ
= ∇udl
a
ˆ
= F dl
γ
γ
נשים לב כי לפי כלל השרשרת ומהמשפט היסודי נקבל כי
d
))(u (γ (t))) dt = u (γ (b)) − u (γ (a
dt
ˆb
=
a
קיבלנו כי ערך האינטגרל תלוי אך ורק בנקודת ההתחלה והסיום ולכן Fמשמר כנדרש.
:1 ⇒ 2נוכל להניח ש־ Ωקשיר מסילתית)אחרת נוכל לבחון זאת על כל תחום בנפרד( .יהא x0 ∈ Ωלכל x ∈ Ωנקבע מסילה γx : [0, 1] → Ω
´
כך ש־ .γx (0) = x0 , γx (1) = xנגדיר כעת ,u (x) = γx F dlשימו לב כי Fמשמר ולכן ההגדרה של uאיננה תלויה ב־ γxשנבחר .נחשב
∂u
∂xj
באופן הבא,
ˆ
ˆ
F dl
ˆ
F dl +
= F dl
γx
xx+hej
= ) u (x + hej
γx+hej
שרשור המסילות γxיחד עם הקטע שמחבר את xל־ x + hejנותן מסילה שמתחילה מ־ x0ומסתיימת ב־ x + hejכמו .γx+hejמאחר ש־ F
שדה משמר אז האינטגרלים שווים,אם כן
ˆh
Fj (x + tej ) dt
1
= ⟨F (x + tej ) , ej ⟩ dt
h
0
ˆh
1
= F dl
h
0
נסמן ) g (t) = Fj (x + tejאז Fj (x + tej ) dt
ˆ
1
= F dl
h
´s
0
ˆ
F dl −
γx
xx+hej
ˆ
ˆ
1
)u (x + hej ) − u (x
= F dl +
h
h
γx
xx+hej
= ) G (sולכן
))(G (h) − G (0
)−−−→ G′ (0) = g (0) = Fj (x
h→0
h
ˆh
= Fj (x + tej ) dt
0
כלומר הראנו כי = Fj
∂u
∂xj
כנדרש.
22
1
h
תנאי הכרחי לשימור
12.1
טענה 4.12אם F : Ω → Rnשדה משמר אז
∂Fj
∂xi
=
∂Fi
∂xj
לכל .1 ≤ i, j ≤ nהוכחה F :שדה משמר ולכן ממשפט קודם ראינו כי הוא
2
גרדיאנטי ,נרשום ,F = ∇uבנוסף Fשדה חלק אז u ∈ Cולכן נראה כי ממשפט קלרו
∂Fi
∂2u
∂2u
∂Fj
=
=
=
∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂xi
משפט 5.12יהא B ⊆ Rnכדור .אם F : B → Rnמקיים
∂Fj
∂xi
הוכחה :נוכיח עבור .n = 2יהא ) B = B (x0 , Rנגדיר F dl
נראה ש־ uהוא פוטנציאל ל־ Fב־.B
=
∂Fi
∂xj
´
x0 x
לכל ,1 ≤ i, j ≤ nאז Fמשמר בכדור .B
= u (x) :כאשר זו המסילה המתארת אתהקטע שמחבר בין x0ו־ .x
ˆ
ˆ
ˆ
)u (x + he1 ) − u (x
1
1
=
F dl −
= F dl
P dx + Qdy
h
h
h
x0 x
x0 x+he1
xx0 x+he1
˛
ˆ
1
P dx + Qdy −
P dx + Qdy
=
h
xx0 x+he1 x
x+he1 x
נסמן את השטח הכלוא במשולש שהמסילה x x0 x + he1 xיוצרת ב־ Sוממשפט גרין נקבל כי
ˆ
ˆ
ˆ
ˆh
1
1
1
P dx + Qdy = −
= P dx+Qdy
= P dx+Qdy
)P (x + te1 ) dt −−−→ P (x
h→0
h
h
h
0
xx+he1
x+he1 x
∂Q ∂P
−
dxdy −
∂x
∂y
x+he1 x
ˆ
1
h
=
S
∂u
, ∂uכלומר ) F = (P, Qהוא שדה גרדיאנטי ולכן משמר.
כלומר ראינו כי , ∂x = Pבאופן דומה נוכל לראות כי ∂y = Q
העשרה :המשפט נכון בכל תחום פשוט־קשר.
13
יריעה עם שפה
הגדרה 1.13תהא M ⊆ Rnקבוצה ,נאמר ש־ Mיריעה k־מימדית עם שפה אם לכל p ∈ Mקיימת סביבה פתוחה ,W ⊆ Rnהעתקה
חלקה ) r : B1k (0) → Rnמכדור היחידה ה־ kמימדי( כך ש־ Dr|0 ,r (0) = pמדרגה מלאה .וכך שמתקיימות אחת מבין שתי האפשרויות
הבאות:
rו־ rהומיאומורפיזם על התמונה.
(0) = M ∩ W .1
k
) r B1 (0) ∩ {uk ≥ 0} = M ∩ W .2כלומר התמונה של חצי הכדור( ו־ } r|B1k (0)∩{uk ≥0הומיאומורפיזם על התמונה.
B1k
נקודה p ∈ Mשעבורה מתקיים תנאי 2תקרא נקודת שפה של .Mאוסף נקודות השפה יסומן .∂M
טענה 2.13תהא Mיריעה k־מימדית עם שפה ,אז לכל p ∈ Mמתקיים בדיוק אחד מהתנאים 1או .2
טענה 3.13תהא Mיריעה k־מימדית עם שפה ,אז ∂Mיריעה )(k − 1־מימדית ללא שפה.
הערות:
.1המושג של שפה של יריעה שונה מהמושג שפה בקורס טופולוגיה.
.2יריעה עם שפה שאיננה ריקה איננה יריעה.
23
רוטור
14
: באופן הבאΩ כשדה וקטורי ב־F נגדיר את הרוטור של. שדה וקטורי חלקF : Ω → R3 ויהי, קבוצה פתוחהΩ ⊆ R3 תהא1.14 הגדרה
ˆ
1
(rotF ) (x0 ) = lim
n ∧ F dVol2
r→0 Vol (Br (x0 ))
∂Br (x0 )
.∂Br (x0 ) נורמל יחידה חיצוני עלn כאשר
. אז אגף ימין מחושב רכיב רכיב, הוא וקטורn ∧ F בהגדרת הרוטור:הערה
אזF (x, y, z) = (P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)) הגבול לעיל קיים ואם2.14 טענה
∂R ∂Q ∂P
∂R ∂Q ∂P
−
,
−
,
−
rotF =
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
אזv, w ∈ R3 ראשית נשים לב כי אם:הוכחה
e
1
v ∧ w = det v1
w1
e2
e3
v2
v3
w3
w2
ולכן
e
1
n ∧ F = det n1
P
e2
e3
n2
n3
= (Rn2 − Qn3 , P n3 − Rn1 , Qn1 − P n2 )
R
Q
ˆ
1
lim
r→0 Vol (Br
1
(n ∧ F )1 dVol2 = lim
r→0 Vol (Br
(x0 ))
,נחשב רכיב ראשון
ˆ
Rn2 − Qn3 dVol2
(x0 ))
∂Br (x0 )
∂Br (x0 )
1
= lim
r→0 Vol (Br (x0 ))
1
r→0 Vol (Br (x0 ))
Divergence Thm. = lim
ˆ
ˆ
1
r→0 Vol (Br
+
R , n dVol2
∂Br (x0 )
−Q
0
ˆ
div
R dVol3
Br (x0 )
= lim
0
*
−Q
∂R ∂Q
∂R ∂Q
−
dVol3 =
−
∂y
∂z
∂y
∂z
(x0 ))
Br (x0 )
.נוכל לחזור על חישוב דומה עבור יתר הרכיבים
ˆ
ˆ
n ∧ F dVol2 =
ˆ n ∧ F dVol2 =
∂Ω
rotF dVol3
Ω
∂Ω
ˆ
אז, קבוצה פתוחה כלשהיΩ ⊆ R3 תהא3.14 מסקנה
∂R ∂Q ∂P
∂R ∂Q ∂P
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
ˆ
dVol3 =
rotF dVol3
Ω
Ω
24
ראינו בהוכחה הקודמת כי:הוכחה
טענה 4.14תהא ⟩ O : R3 , ⟨, ⟩ → R3 , ⟨,העתקה אורתוגונלית עם ) det O = 1כלומר .(O ∈ SL3לכל שדה וקטורי Fנגדיר
)F O := OT F (Oxאז
O
) rotF O = (rotF
הוכחה :נראה כי מההגדרה
ˆ
n (y) ∧ OT F (Oy) dVol2
1
)) (x0
ˆ
1
n (y) ∧ F O (y) dVol2 = lim
r→0 Vol (Br
) ∂Br (x0
)) (x0
rotF O (x0 ) = lim
r→0 Vol (Br
) ∂Br (x0
וכיוון ש־ O (v ∧ w) = Ov ∧ Owוגם OT O = I3אז נקבל
ˆ
OT (On (y) ∧ F (Oy)) dVol2
1
= lim
)) r→0 Vol (Br (x0
) ∂Br (x0
כעת נבצע החלפת משתנים ,כאשר היעקוביאן שווה לדטרמיננטה של ההעתקה ולכן ,1נקבל
ˆ
1
OT (n (y) ∧ F (y)) dVol2 = OT lim
(n (y) ∧ F (y)) dVol2
)) r→0 Vol (Br (x0
) ∂Br (Ox0
1
)) (x0
= lim
r→0 Vol (Br
) ∂Br (Ox0
O
15
ˆ
) =OT (rotF ) (Ox0 ) = (rotF
משפט סטוקס
הגדרה 1.15משטח מכוון הוא משטח עם בחירה רציפה של נורמל ,N : Σ → S 2משטח שעבורו לא קיימת בחירה כזו נקרא חסר
אוריאנטציה.
משטח מכוון Σעם שפה משרה מגמה על ∂Σשנקרא לה חיובית )אם היא מקיימת את כלל יד ימין( ,כלומר אם ננוע על ∂Σכך שגופינו
מקביל ל־ Nוראשינו בכיוון שאליו מצביע Nאז המשטח יהיה משמאלנו.
הגדרה 2.15שלשה סדורה של וקטורים בת”ל v1 , v2 , v3היא מכוונת חיובית אם”ם det (v1 , v2 , v3 ) > 0
למה 3.15אם Σמשטח מכוון עם נורמל ̂ ,nו־ ∂Σעם המגמה המושרית r (u1 , u2 ) ,פרמטריזציה ל־ Σבסביבת p ∈ ∂Σכך ש־
∂r
∂r
̂∂u1 , ∂u2 , n
מכוונת חיובית אז ) γ (t) = r (t, 0היא פרמטריזציה ל־ ∂Σעם המגמה החיובית.
משפט ) 4.15משפט סטוקס( יהא Σ ⊆ R3משטח קומפקטי מכוון עם שפה .יהא Fשדה המוגדר בסביבת .Σאז
ˆ
ˆ
F dl = ⟨rotF, n̂⟩ dVol2
Σ
∂Σ
כאשר ̂ nהוא נורמל היחידה הנתון של ,Σו־ ∂Σעם המגמה המושרית מ־.Σ
´
´
למה 5.15אם Σ1 , Σ2 ⊆ R3שני משטחים מכוונים כך ש־ ∂Σ1 = ∂Σ2עם אותה המגמה ,אז . Σ1 ⟨rotF, n̂⟩ dVol2 = Σ2 ⟨rotF, n̂⟩ dVol2
הוכחה) :משפט סטוקס( יהא W1 , ..., WLכיסוי פתוח סופי של .Σע”י סביבות קורדינאטות כמו בהגדרת משטח עם שפהrj : B1 (0) → Rn ,
כך שמתקיימים אחת משתי האפשרויות:
rj (B1 (0)) = Wj ∩ Σ .1
rj (B1 (0) ∩ {u2 ≥ 0}) = Wj ∩ Σ .2
25
)אחרת נהפוך אתdet
∂r
∂r
∂u1 , ∂u2 , n̂
> 0 וכן נניח בה”כ,(2) מתקייםL1 ≤ j ≤ L ( ועבור1) מתקיים1 ≤ j ≤ L1 נניח כי עבור
.(הפרמטריזציה
n̂ =
∂r
∂u1
∂r
∂u1
∂r
∧ ∂u
2
∂r
∧ ∂u
2
D
נקבל כי
∂r
∂u1
.suppF ⊂ Wj כך ש־1 ≤ j ≤ L מספיק להוכיח את המשפט על ההנחה שקיים,בעזרת פיצול יחידה
E
∂r
∂r
∂u1 ∧ ∂u2
∂r
∂r
∂r
אזL1 ≤ j ≤ L אם
∧ ∂u
,
n
=
det
,
,
n̂
>
0ש־
מאחר
,Σ
עם
יחידה
נורמל
הוא
∂u1 ∂u2
∂r
∂r
2
∂u1
∧ ∂u
2
מכאן
*
rotF,
∂r
∂u1
∧
∂r
∂u2
∂r
∂u1
∧
∂r
∂u2
+
*
dVol2 =
rotF,
∂r
∂u1
∧
∂r
∂u2
∂r
∂u1
∧
∂r
∂u2
+s
det Gram
∂r ∂r
,
∂u1 ∂u2
du1 du2 =
∂r
∂r
rotF,
∧
∂u1 ∂u2
du1 du2
∂r ∂r
,
du1 du2
= det rotF,
∂u1 ∂u2
ˆ
ˆ
∂r ∂r
det rotF,
,
∂u1 ∂u2
⟨rotF, n̂⟩ dVol2 =
Σ
ˆ
det
du1 du2 =
supp(rot(F ◦r))
ˆ
supp(rot(F ◦r))
=
∂R ∂Q
−
∂y
∂z
∂z ∂y
∂y ∂z
−
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
אם כך אגף ימין במשפט סטוקס ניתן ע”י
∂y
∂u1
∂y
∂u2
∂x
∂u1
∂x
∂u2
∂R
∂y
∂Q
∂z
−
∂P
∂z
−
∂z
∂u1
∂z
∂u2
∂R
∂x
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
du1 du2
supp(rot(F ◦r))
∂R
∂x ∂z
∂P
∂z ∂x
−
−
∂z
∂x
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
∂Q ∂P
∂x ∂y
∂y ∂x
−
−
+
du1 du2
∂x
∂y
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
ˆ
∂P ∂x
∂P ∂y
∂P ∂z
∂x
=
+
+
∂x ∂u1
∂y ∂u1
∂z ∂u1 ∂u2
−
supp(rot(F ◦r))
∂P ∂x
−
∂x ∂u2
∂Q ∂x
+
∂x ∂u1
∂Q ∂x
−
∂x ∂u2
∂R ∂x
+
∂x ∂u1
∂R ∂x
−
∂x ∂u2
ˆ
=
+
+
+
+
+
∂P ∂y
∂P ∂z
∂x
+
∂y ∂u2
∂z ∂u2 ∂u1
∂Q ∂y
∂Q ∂z
∂y
+
∂y ∂u1
∂z ∂u1 ∂u2
∂Q ∂y
∂Q ∂z
∂y
+
∂y ∂u2
∂z ∂u2 ∂u1
∂R ∂y
∂R ∂z
∂z
+
∂y ∂u1
∂z ∂u1 ∂u2
∂R ∂y
∂R ∂z
∂z
+
du1 du2
∂y ∂u2
∂z ∂u2 ∂u1
∂P ∂x
∂P ∂x
∂Q ∂y
∂Q ∂y
∂R ∂z
∂R ∂z
−
+
−
+
−
du1 du2
∂u1 ∂u2
∂u2 ∂u1
∂u1 ∂u2
∂u2 ∂u1
∂u1 ∂u2
∂u2 ∂u1
supp(rot(F ◦r))
ˆ
∂P ∂x
∂Q ∂y
∂R ∂z
∂P ∂x
∂Q ∂y
∂R ∂z
+
+
−
−
−
du1 du2
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
∂u1 ∂u2
∂u2 ∂u1
∂u2 ∂u1
∂u2 ∂u1
=
supp(rot(F ◦r))
ˆ
=
∂ (F ◦ r) ∂r
,
∂u1
∂u2
∂ (F ◦ r) ∂r
,
∂u1
∂u2
−
∂ (F ◦ r) ∂r
,
∂u2
∂u1
du1 du2
supp(rot(F ◦r))
ˆ
=
+ F ◦ r,
∂r
∂u1 ∂u2
−
F ◦ r,
∂r
∂u1 ∂u2
+
∂ (F ◦ r) ∂r
,
∂u2
∂u1
du1 du2
supp(rot(F ◦r))
ˆ
=
כעת לפי כלל לייבניץ למכפלה נקבל
∂
∂u1
F ◦ r,
∂r
∂u2
supp(rot(F ◦r))
26
−
∂
∂u2
F ◦ r,
∂r
∂u1
du1 du2
כאשרG (u1 , u2 ) = (P (u1 , u2 ) , Q (u1 , u2 )) כעת נוכל להשתמש במשפט גרין עבור
∂r
P (u1 , u2 ) = F ◦ r (u1 , u2 ) ,
∂u1
∂r
Q (u1 , u2 ) = F ◦ r (u1 , u2 ) ,
∂u2
ˆ
=
ונקבלQdu2 = 0 ( כלומרF ◦ r) ({u2 = 0}) = 0 אזsupp (F ◦ r) ⊂ Wj וכיוון ש־
ˆ
ˆ
∂Q
∂P
P du1
P du1 + Qdu2 =
−
du1 du2 =
∂u1
∂u2
supp(rot(F ◦r))
ˆ1
F ◦ r (u1 , 0) ,
=
−1
∂(supp(rot(F ◦r)))∩{u2 =0}
∂(supp(rot(F ◦r)))
∂r
(u1 , 0) du1 =
∂u1
ˆ
ˆ
F dl =
Wj ∩∂Σ
F dl
∂Σ
ונקבל, החישוב זהה פרט לכך שהאינטגרציה על עיגול במקום חצי עיגול1 ≤ j ≤ L1 וכעת עבור,L1 ≤ j ≤ L הוכחנו את הטענה עבור
ˆ
ˆ
ˆ
∂r
∂
∂r
∂
⟨rotF, n̂⟩ dVol2 =
F ◦ r,
−
F ◦ r,
du1 du2 = P du1 + Qdu2
∂u1
∂u2
∂u2
∂u1
Σ
r −1 (Σ)
∂Σ
´
´
. ∂Σ F dl = 0 ∂ וגםΣ P du1 + Qdu2 = 0 אזsuppF ∩ ∂Σ ̸= ∅וכיוון ש־
27
