ANALISIS
MATEMATICO
1
2da. Edición
2010
J . ARMANDO VENERO
B.
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS (U.N.I.)
Con la colaboración especial de
JOSE P. MIGUEL CAÑAMERO
Master en Matemáticas y Ciencias de la Computación
Univeríty oí Britísh Columbia, Vancouver, Canadá.
ALBERTO LUTGARDO YAÑEZ
Master en Matemáticas y Ciencias de la Computación
University of Kentucky, Kentucky, U.S.A.
R. ISABEL VENERO DE LUTGARDO
Tutora en Matemáticas
West Valley College, California, U.S.A.
“E D I C I O N E S C j E M J A . l l
LIMA
PERÚ
A N A L IS IS MATEMATICO 1
2a. E d ic ió n
J. AR M A N D O
VENERO
B.
Estudios de M ag íste r en M A T E M Á T IC A S (P .U .C .P .)
D p to . d e tipeo, d ia g r a m a c ió n y d ise ñ o
A n a M a r ía V a rg a s L o a y z a ,
Lic. en E d u ca ció n (U.N.M.S.M.)
H e c h o el D e p ó s ito L e g a l e n la B ib lio te c a N a c io n a l d e l P e rú Ne 2 0 0 9 -1 2 6 1 7
ISBN : 9 7 8 - 6 1 2 - 4 5 2 1 6 - 1 - 4
© 2 0 1 0 , R ep rese n ta cion e s G e m a r E.I.R .L.
Av. Río V ilca n o ta 168. Ate. Lim a 03
T eléfono: 4 466176 - 3 493708
re p _g e m a r0 9 @ h o tm a il.co m
COPYRIGHT C 2010, 2007, por Representaciones Gemar E.I.R.L. LIMA - PERÚ
P rohibida la re p ro d u cció n p a rcia l o to ta l, por c u a lq u ie r m e ­
d io o m étodo, de este lib ro sin la a u to riza ció n legal del
a utor y/o de R E P R E S E N T A C IO N E S G E M A R E . I . R . L .
L IM A -P E R Ú .
A NA L IS IS IM A T EM A T I C O 1
PRÓLOGO
C om o a lte r n a tiv a a la n e c e s id a d d e c o n ta r con u n libro q u e c o m p le ­
m e n te el p r i m e r c u r so d e m a te m á tic a s u n iv e r s ita r ia s en las e sp ec ia lid a d e s
d e I n g e n ie r ía y C iencias , es q u e p r e s e n t a m o s e sta o b r a q u e tr a ta a c e rc a d el
CÁLCULO D IF E R E N C IA L . E l e s tu d io d e e ste te m a es e n fo c a d o d e dos m a n e ­
ras: teórica y p r á c tic a .
La te o ría n o es ta n r ig u r o s a , con e je m p lo s ilu s tr a tiv o s q u e ex p lic a n
p o r s í m is m o s la im p o r ta n c ia d e e s tu d ia r la teo ría con a te n c ió n y c u id a d o .
E l e s tu d io d e e ste te m a p r e s u p o n e co n o cer, a u n q u e a u n n iv e l ele­
m e n ta l, la L ó g ica S im b ó lic a y la T e o ría d e C o n ju n to s, y a u n m a y o r g r a d o
las p r o p ie d a d e s d e los N Ú M E R O S R E A L E S q u e se re fie re n a s u s a x io m a s , a
la so lu ció n d e E c u a c io n e s e In e c u a c io n e s ta n to L in e a le s c o m o C u a d rá tic a s,
las p r o p ie d a d e s d e l V a lo r A b s o lu to y d e l M á x im o E n te r o , a s í c o m o el A x io m a
d e l S u p r e m o . E s ta s p r o p ie d a d e s se p u e d e n e n c o n tr a r en m u c h o s lib ro s e n tr e
los cuales: M A T E M Á T IC A B Á S IC A o IN T R O D U C C IÓ N A L A N Á L I S I S M A ­
T E M Á T IC O d e m i a u to r ía . S in e m b a r g o , a lg u n o s c o n c e p to s y p r o p ie d a d e s
im p o r ta n te s los p r e s e n ta m o s en e s te libro en u n c a p ítu lo in tr o d u c to r io d e ­
n o m in a d o C a p ítu lo 0: N Ú M E R O S R E A L E S .
L os c a p ítu lo s d e e s ta o b r a s ig u e n u n o r d e n ta l q u e c a d a u n o d e ellos
d e p e n d e d e l a n te r io r en g r a n m e d id a , r a z ó n p o r la c u a l a c o n s e ja m o s a l e s­
tu d ia n te d e d ic a r s e con e s m e r o a c a d a c a p ítu lo , ta n to e n lo q u e r e sp e c ta a su
te o ría c o m o a s u s e je m p lo s resu elto s.
E l p r i m e r C a p ítu lo titu la d o R E L A C IO N E S e s tá d e d ic a d o a la g e o m e ­
tr ía d e c ie rta s g r á fic a s q u e s e r á s u m a m e n t e ú til en el c a p ítu lo s ig u ie n te q u e
tr a ta d e las F u n cio n es. S e p r e s e n t a n los c rite rio s y té c n ic a s p a r a g r a fic a r y
re co n o c e r c u r v a s y r e g io n e s e sp ec ia le s en el p l a n o c a r te s ia n o .
L u e g o se e s tu d ia n las F U N C IO N E S en f o r m a d e ta lla d a , p r e s e n ta n d o
las técn ica s p a r a h a lla r el d o m in io y el r a n g o d e u n a f u n c i ó n d a d a , a s í c o m o
p a r a r e a liz a r o p e r a c io n e s e n tr e f u n c i o n e s y c o n s tr u ir f u n c i o n e s m á s e la b o ­
r a d a s c o m o las F U N C IO N E S C O M P U E S T A S y las F U N C IO N E S IN V E R S A S .
E l te rc e r C a p ítu lo e s tu d ia el c o n c e p to d e L Í M I T E y es el m á s i m p o r ­
ta n te d e l libro p u e s c o n s titu y e la p u e r t a d e e n t r a d a a l u n iv e r s o d e n o m in a d o
A N Á L I S I S M A T E M Á T IC O , y a q u e c o n c e p to s p o s te r io r e s c o m o la C o n tin u i­
d a d , la D e r iv a d a , la I n te g r a l y m u c h o s o tr o s , se d e fin e n en b a se a los
ANALISIS M ATEM ATICO /
L ím ites. L a p r e s e n ta c ió n d e este c a p ítu lo es el r e s u m e n d e m i e x p e rie n c ia
d o c e n te en la e n s e ñ a n z a d e e s te te m a d u r a n t e v a r io s a ñ o s .
E l c u a r to C a p ítu lo acerca d e la C O N T IN U ID A D D E F U N C IO N E S es
c o rto p e r o c o m p le to y es p r á c tic a m e n te u n a e x te n s ió n d e l a n te r io r .
E l q u in to C a p ítu lo tr a ta d e la D E R IV A D A d e f u n c i o n e s , q u e es u n a
n u e v a o p e r a c ió n m a te m á tic a s o b re las fu n c io n e s . P r e c is a m e n te e s te c o n c e p ­
to a s í c o m o el d e la o p e r a c ió n d e n o m in a d a IN T E G R A C IÓ N , d ie r o n u n g r a n
im p u ls o a la C iencia y a l a T ecnología.
E l s e x to c a p ítu lo e s tu d ia las A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A en
lo q u e se re fie re p r in c ip a lm e n te a la R a z ó n d e C a m b io d e u n a f u n c i ó n con
re sp e c to a su v a r ia b le , a las V elo cid a d es, a l cá lcu lo d e v a lo r e s M á x im o s y
M ín im o s y a l tr a z a d o d e G rá fic a s d e F u n cio n es.
A d e m á s , en e s te s e x to c a p ítu lo p r e s e n t a m o s el M É T O D O D E N E W T O N q u e es u n a técn ica m u y sen cilla y a la v e z im p r e s io n a n te , q u e r e q u ie re
a l m e n o s d e u n a c a lc u la d o ra con m e m o r ia , y se u tiliza p a r a c a lc u la r las s o ­
luciones d e a q u e lla s e c u a c io n e s p o lin ó m ic a s y d e o tro s tip o s, q u e r e s u lta n
im p o sib le s d e s e r h a lla d a s en f o r m a e x a c ta , co n el g r a d o d e a p r o x im a c ió n
q u e u n o q u ie ra .
E l ú ltim o c a p ítu lo tr a ta d e la F U N C IÓ N L O G A R IT M O N A T U R A L
(L o g a r itm o N e p e r ia n o ) y la f u n c i ó n E X P O N E N C IA L , s u s d e fin ic io n e s, g r á f i ­
cas, p r o p ie d a d e s , s u s d e r iv a d a s y a lg u n a s a p lica cio n es.
I n c lu y e los lím ite s lo g a r ítm ic o s y e x p o n e n c ia le s , y en e s ta s e g u n d a ed ició n
e s ta m o s p r e s e n t a n d o en u n a f o r m a m u y d id á c tic a to d a s las té c n ic a s p a r a el
cálculo d e lím ite s q u e tie n e n las f o r m a s e x p o n e n c ia le s in d e te r m in a d a s :
C o m o u n a a y u d a a d ic io n a l p a r a el e s tu d ia n te se p r e s e n ta n
series d e ejercicios a l f i n a l d e c a d a c a p ítu lo y a c o n tin u a c ió n su s r e s p e c tiv a s
cla ves d e r e s p u e s ta s , y con a v a n c e s d e s o lu c ió n d e m u c h o s d e ellos.
J. ARMANDO VENERO BALDEÓN
CO NTEN IDO
0
NUMEROS REALES
1
1
2
3
Axiomas de la Relación de Orden
Ecuaciones
Ecuaciones Cuadráticas en una variable
1
Raíces del Trinomio Cuadrático
ax2 + bx + c
2
3
3
5
7
4
Completación de Cuadrados
La técnica de completar cuadrados
5
Discriminante de
6
Valor Absoluto de un número real
12
I
RELACIONES
16
a x 2 + bx + c
1 Pares Ordenados, Producto Cartesiano
2 Relaciones. Tipos de Relaciones
3 Gráficas de Relaciones
4 Relaciones Inversas
5 Distancia entre dos Puntos
6 La recta y sus Ecuaciones
7 Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
8 Distancia de un Punto a una Recta
9 Ángulo entre dos Rectas
10 Gráficas que involucran el Valor Absoluto
I I Gráficas de Ecuaciones: Parábolas, Circunferencias
12 Criterios generales para graficar ecuaciones
13 Serie de ejercicios
2
1
2
3
4
5
6
7
FUNCIONES
Funciones. Dominio, Rango y Gráfica
Cálculo de Dominios y Rangos de Funciones
Funciones Especiales: Identidad, Constante, Escalón
Unitario, Signo, Valor Absoluto, Máximo Entero, Raíz
Cuadrada, Funciones Cuadráticas, Polinomios, Seno y
Coseno
Evaluación de una Función en un Punto
Trazado de Gráficas Especiales
Funciones Pares, Impares y Periódicas
Álgebra de Funciones: Igualdad de Funciones; Suma,
10
16
19
26
34
37
39
43
45
47
49
54
65
71
74
74
80
85
100
108
116
Resta, Multiplicación y Cociente de Funciones
8 Composición de Funciones
9 Funciones Inversas. Funciones Suryectivas,
Inyectivas y Biyectivas. Funciones Inversas
10 Funciones Trigonométricas y sus Inversas
11 Serie de ejercicios
CAPITULO
3
LIMITES
1
2
3
Introducción
Vecindades. Entornos. Vecindades reducidas
Puntos de Acumulación de un conjunto de números
reales. Puntos de Acumulación del dominio de una
Función
4 Límites
5 Teoremas sobre Límites y sus aplicaciones
6 Límites Laterales. Ilustración geométrica
7 Límites de Funciones Compuestas
8 Cálculo de Límites
9 Límites Trigonométricos
10 Límites Infinitos
11 Asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas
12 Serie de ejercicios
CAPITULO
4
CONTINUIDAD
1
2
Continuidad de una Función en un punto
Continuidad de una Función sobre un subconjunto de
su dominio
3 Continuidad por la derecha; continuidad por la izquierda
en un punto
4 Clases de Discontinuidades. Extensión continua
5 Teoremas sobre Continuidad
6 Continuidad de Funciones especiales
7 Problemas resueltos
8 Teoremas Especiales sobre funciones Continuas:
Teorema del Valor Intermedio. Teorema del Cero
9 Funciones acotadas. Teorema Fundamental de las
Funciones continuas. Teorema de los Valores Extremos
Absolutos
10 Serie de ejercicios
CAPITULO
120
130
144
178
189
234
234
234
248
251
262
267
278
282
288
296
309
314
339
339
344
348
350
353
356
359
362
366
374
5
LA DERIVADA
389
1
2
3
4
Recta tangente a la gráfica de una Función
La Derivada de una Función. Funciones Diferenciables
Diferenciación de funciones especiales
Teoremas sobre Derivadas
389
392
396
397
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
CAPÍTULO
6
La Derivada de una Función Compuesta
Problemas resueltos
Derivadas Laterales
Funciones no diferenciables
Diferenciabilidad y Continuidad
Tópicos sobre Análisis de la Diferenciabilidad
Derivadas de orden superior
Diferenciación implícita
Diferenciales. Error Relativo y Error Porcentual
Razón de cambio instantáneo. Velocidad Instantánea
Representación paramétrica de curvas. Derivadas
Trazado de Curvas Paramétricas. Criterios
Serie de ejercicios
403
412
414
417
423
425
436
438
441
449
457
466
474
APLICACIONES DE LA DERIVADA
511
1 Valores Extremos de una Función
2 El Teorema de Rolle. El Teorema del Valor Medio
3 Teorema Generalizado del valor Medio.
Reglas de L’ Hospital
4 Funciones crecientes. Funciones decrecientes
5 Aplicaciones del Teorema del Valor.Medio
6 Puntos Críticos de una función en un intervalo
7 Criterio de la Primera Derivada.
Criterio de la Segunda Derivada
8 Concavidad. Puntos de inflexión
9 Aplicaciones al trazado de curvas
10 Derivada de la Función Inversa
11 Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas
12 Serie de ejercicios
13 Evaluación de Polinomios con calculadoras de bolsillo
14 Aproximaciones Sucesivas. Método de Newton
CAPITULO
7
511
513
518
525
532
539
544
556
563
569
573
584
653
654
LOGARITMO Y EXPONENCIAL
670
1 La Función Logaritmo (Natural)
2 Propiedades de la Función Logaritmo
670
672
675
689
690
697
716
722
738
740
741
749
3
4
5
El Número e. Un estimado de su Valor Numérico
Derivación Logarítmica
Cálculo de Límites Logarítmicos
6 La Función Exponencial (Natural)
7 Límites Exponenciales (Naturales) y Gráficas
8 Gráficas de Funciones Exponenciales
9 Algunos Límites Especiales
10 Derivadas de Funciones Exponenciales Generalizadas
11 Límites de Funciones Exponenciales Generalizadas
Serie de ejercicios
*
.
“La conciencia es como un vaso ;
s i no está limpío e í vaso .. .
resuCtará sucio todo Co que
entre en é í."
Horacio
..
..
.../
Cap. O
- 1-
NUMEROS REALES
1,
a, b , c e R -
Sean
01. LEY DE TRICOTOMÍA:
Si
a e R
,
b e R ,
entonces se cumple
u n a y s o la m e n te u n a de las relaciones :
a < b ,
a =
b
Ó
a >
b .
02. LEY TRANSITIVA:
Si
a < b y b < c
03. LEY DE LA ADICIÓN Y CANCELACIÓN:
a <
b
a <
b
a + c
<
a —c
entonces
Para todo
a < c
c € R ,
b + c
<
b —c
1 El sentido de la desigualdad no cambia si a ambos miembros se le suma (o se le
resta) un mismo número real c “
04. LEY DE LA MULTIPLICACIÓN:
Si
c > O :
a <
b
=>
(a c )
V
O
❖
i)
ii )
Si
c < 0
a <
b
=>
(a c )
>
(b e )
:
El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica a ambos miembros por
un mismo número p o s i t i v o .
2
Análisis Matemático 1
❖
La desigualdad cambia de sentido si se multiplica ambos miembros por una
misma cantidad n e g a t i v a .
EJEMPLOS:
- 2x >
x <
2
Cap. 0
5
- 10
3x <
15
.
Se llaman ECUACIONES EQUIVALENTES a aquellas que tie
nen exactamente el mismo conjunto de soluciones.
Por ejemplo, las ecuaciones
x
-
6x =
tienen ambas exactamente dos soluciones:
0
y
(x -
x = o y
3)
= 9
x = 6 ,
(y ninguna otra).
2.1 O P E R A C IO N E S Q U E O R IG IN A N E C U A C IO N E S E Q U IV A L E N T E S
a)
Sumar el mismo número o expresión a ambos miembros.
b)
Restar el mismo número o expresión a ambos miembros.
c)
Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma CONSTANTE NO NULA.
d)
Multiplicar o dividir ambos miembros por una misma expresión que depende
de una variable, para aquellos valores de la variable que NO PERMITAN que la
expresión tome el VALOR CERO, y siempre que no origine soluciones extrañas
ni que se pierdan algunas soluciones de la ecuación original.
2.2 NOTA.-
RESOLVER UNA ECUACIÓN significa que se deben realizar sucesiva mente las mismas operaciones (permitidas) en ambos miembros con el
objetivo de dejar la incógnita sola en uno de los miembros. Por ejemplo,
para resolver la ecuación
(b )
6x -
11 = 2 x + 9
6x -
11 -
2x
=
2x + 9 — 2x
4x -
11
=
9
11 + 11
=
9 + 11
(a )
4x -
4 x = 20
(c )
(4x)
3
=
(20)
.
(*)
Números Reales
Cap. O
donde
a *
0 , b
y c
3
son constantes reales.
La resolución de la ecuación
(*)
puede realizarse ya sea
FACTORIZANDO
o
COMPLETANDO CUADRADOS, métodos basados en los siguientes teoremas.
3.1
TEOREMA I . -
Si
a e R
a2 =
,
b € R ,
b
b >
0
:
a = ± V~b~
Por ejemplo:
1)
x 2 = 16
=>
x = ± 4 (dos soluciones)
2)
(x -
=>
x -
5 ) 2 = 36
5 =
x - 5 =
x = 11 ,
3)
(2 x + l ) 2 = 7
x = -1
=>
±
tÍ M
± 6
(dos s o lu c io n e s ).
2x + 1 = ± V T
2x = - 1 ± * /7
(dos soluciones)
4)
2 (x -
3 )2 = 5
x = — (~ í ±
2
=>
=>
(x x -
V~7~) .
3 ) 2 = 5 /2
3 = ± ^ 5 /2
x = 3 ± V 5 /2
5)
La ecuación ( 3 x -
5 )2 = - 4
NO TIENE SOLUCIÓN EN
R , pues en
este campo de números un cuadrado toma valor POSITIVO o CERO solamen­
te y en ningún caso podrá tomar el valor: - 4 .
Cabe indicar que esta ecuación sí tiene soluciones en el campo de los NÚME­
ROS COMPLEJOS C , a saber:
x
3.2 TEOREMA
= (5 ± 2 i ) / 3
I I S i
, donde
a,b 6 R
:
í = ^ - i
es la unidad imaginaria.
4
Cap. 0
Análisis Matemático 1
El conectivo lógico
se lee
"o "
en el sentido inclusivo de
"y/o ”
emplea para indicar LA REUNIÓN de las soluciones de ia ecuación
y se
con
las de 1a ecuación
x
-
\ 2 x + 35 = 0
(x - 5 ) ( x (x <£>
7) = 0
5 = 0)
V (x -
( x = 5)
V
7 = 0)
( x = 7) .
Resolver UNA ecuación complicada de segundo grado equivale a resolver DOS
ecuaciones sencillas de primer grado. Esto es un procedimiento usual en el campo
de las matemáticas, en general, y se consigue por factorización.
Este teorema se extiende a productos de tres o más factores:
abe = 0
-O
(a = 0)
V
( b = 0)
(c = 0 ) .
V
3.3 TEOREMA I I I .
En efecto,
a2 = b 2
<=>
( 4 x — l ) 2 = ( 3 x + 15)2
^
<í=>
[4x -
(a — b ) ( a + b ) = 0
<=*►
4x — 1 =
1 = 3x + 15]
V
,
± (3 x + 15)
[ 4 x - 1 = — ( 3 x + 15)]
[
x = 16
]
V
[
[
x = 16
]
V
[
7x =
-14 ]
x = —2 ]
3.4
Son aquellos valores particulares de la variable x que hacen que el
2
trinomio cuadrático a x + b x + c tome el valor CERO.
Por ejemplo, hallaremos varios valores de
Si
x = l
r
+ 2(1) -
Si
x = 2
Si
x = -3
( — 3)
Si
x = 0
0
22
+
x
+ 2x -
8
8 :
=
- 5
=
-5
=
-8
2 (2 ) - 8
+ 2 ( — 3) - 8
+ 2 (0 ) - 8
Cap. O
*
Números Reales
-5 -
❖
=
0
son RAÍCES del trinomio cua
Así resulta que
drático x
+ 2x -
8 .
3.5
Si la ecuación tiene su segundo miembro igual a CERO, entonces
se llaman
a las
x 2 + 2x -
Así, las soluciones de la ecuación
miembro
x 2 + 2x — 8 ,
es decir x = 2
8 = o
y
son las raíces del primer
x = - 4 .
4.
Es un procedimiento algebraico que consiste de transformar la
expresión cuadrática EN FORMA EQUIVALENTE como
donde h y k son constantes reales que pueden tomar valores positivos, negati­
vos o cero. Se le reconoce porque la variable x aparece una sola vez. Por
ejemplo,
(1)
2 x 2 - 1 2 x + 13
(2)
x 2 + 2x -
(3)
— 3 x 2 4- 12x — 14
=
(4)
2 x 2 — 4x + 7
2 (x -
(5)
5 x 2 — 20x + 20
=
5 ( x - 2 )2
(6)
- x 2 + 6 x + 16
=
- (x -
(7)
7x2 -
5
8
=
=
=
2(x - 3 ) 2 - 5
(x + I) 2 -
=
7x2 -
9
— 3 (x — 2 )2 — 2
5
l) 2 + 5
3 ) 2 + 25
n
6
Cap. 0
Análisis Matemático I
La completación de cuadrados es muy importante en varios
aspectos. En particular casi de inmediato te proporciona las raíces reales de cual­
quier trinomio cuadrático:
LAS RAÍCES D E:
2 ( jc — 3 ) 2 — 5
SON LAS SOLUCIONES DE :
2 (x -
3 )2 -
(x -
3 ) 2 = 5 /2
-3
es decir,
x
=
± V 5 /2
=
3 ± J 5 /2
Estas dos SOLUCIONES de la ecuación
del trinomio
2 (x -
3)
2
-
5= 0
2 (x -
3)
.
-5
= 0
son las dos RAÍCES
5 .
Es decir, para hallar las raíces de 2 ( x - 3)
mente)
... TEOR. ( I ) [ 3.1 ]
2
-
5
haces aparecer a su derecha la expresión
, mentalmente (imaginaria­
= 0
y procedes a hallarlas
como acabamos de hacer.
4.1 NOTA.-
Ya puedes darte cuenta de que el trinomio cuadrático a x
presentado en la forma
i)
a (x -
+ bx + c
h )2 + k :
TIENE DOS RAÍCES REALES DISTINTAS SI LOS NÚMEROS a y k TIENEN SIG­
NOS OPUESTOS como en los trinomios cuadráticos ( 1) , ( 2) , (6) y ( 7) :
( x + i)
2
-
9
,
raíces:
x =
=>*
-(x
-
3 ) 2 + 25 ,
-1
x = 2
7x
—5
,
raíces
x =
2)
cuya raíz es
3
,
x = —4
,
x = —2
± J T jT .
TIENE UNA ÚNICA RAÍZ REAL (repetida)
5 (x -
±
x = 3 ± 5
raíces:
x = 8
ii)
2
x = 2
SI
k = O
como en el trinomio (5) :
del cual también se dice que es una raíz de
MULTIPLICIDAD DOS, es decir, repetida.
i i i) NO TIENE NINGUNA RAÍZ REAL SI LOS NÚMEROS a y k TIENEN EL MISMO SIG­
NO, ambos positivos o ambos negativos. Ver los trinomios cuadráticos (3) y (4)
—3 (x -
2)2 -
2
,
2 (x -
1)2 + 5
Números Reales
Cap. O
-7 -
(Ellos tienen raíces COMPLEJAS IMAGINARIAS).
En este último caso, debido a que el trinomio cuadrático
ax
2
+ bx + c
NO SE HACE CERO NUNCA EN r , entonces o toma solamente valores positi­
vos o solamente valores negativos, en R :
( iii) [1 ].
Si
a >
0
:
a x 2 + bx + c >
( iii) [2 ].
Si
a <
o
:
ax
+ bx
0 ,
para todo
x
6
R .
+ c < o ,
para todo
x
6
R ■
A los trinomios cuadráticos de este tipo se les conoce también como TRINOMIOS
CUADRÁTICOS IRREDUCIBLES en r , o EXPRESIONES CUADRÁTICAS IRREDU­
CIBLES en R , como
- 3 x 2 + I2 x -
16
=
- 3 (x -
2 )2 -
4
que no tiene raíces reales y cuyo valor es SIEMPRE NEGATIVO, para cualquier x e R
4.2
FUNDAMENTO :
x
x
2
2
+ 2ax + a
2
, 2
— 2ax + a
x
± 2ax
=
( x + a)
=
(x -
a)
=
(x ± a)
LE SUMAS Y LE RESTAS, EN ESE ORDEN, EL
A LA EXPRESION
DE LA MITAD
CUADRADO
EN
x.
[T ]
DEL COEFICIENTE
DEL TERMINO
ENTONCES, LOS TRES PRIMEROS SUMANDOS CONSTITUYEN EL CUA­
DRADO DEL BINOMIO ( x + a ) 2 O DE
CASO 1
— a
x
— bx
=
X1
(x -
a ) 2 , RESPECTIVAMENTE "
- bx + (b/2)2 — (b/2)2
( * - t 2) 2 - ( t 2) 2
x¿+bx
=
x 2 + bx + ( b /2 ) 2 b ,2
(' + T >
, b
-
T
2
(b/2)2
8
Análisis Matemático I
AL COEFICIENTE
b
DE
x
Cap. 0
LE TOMAS LA MITAD :
b /2
Y LO COLOCAS,
CON SU SIGNO, DENTRO DE CADA UNO DE LOS DOS CUADRADOS.
EL SEGUNDO CUADRADO SIEMPRE APARECE RESTANDO.
=
x2 - 8 x
2 . c
X + 5x
x2 - 8 x
x2 - 8 x
x
=
+ 3
2
=
+ 42 - 4 2
,
,5.2
+ 5x + ( — ) 2
[(x -
4)2 -
,5-2
(— )
2
( x — 4 ) 2 — 16
5 .2
(j c + — ) 2
=
42 ] + 3
=
25
4
( x — 4 ) 2 — 13
CASO 2
COMPLETAS CUADRADOS SOLAMENTE A LOS DOS PRIMEROS SUMANDOS
COMO EN EL CASO 1.
1)
x
2+ 4 x -
7
=
(x + 2)2 -
TIENE DOS RAÍCES REALES
2)
x 2 — 9x + 5
=
(x -
x 2 — 3x + 4
=
x =
— )2 -
TIENE DOS RAÍCES REALES
3)
(2)2 -
2
(x +
2 ) 2 — 11
- 2 ± a/ T T .
(— ) 2 + 5
=
2
x = —
2
(x - — )2 2
7=
±
(— ) 2 +
2
(x -
=
2
4
— )2 - —
2
4
— (9 ± / ó l " ).
2
= ( x - — )2 +
2
—
4
NO TIENE RAÍCES REALES.
4)
x 2 + 12x + 36
=
(x + 6)2 -
6 2 + 36
=
(x + 6)2
[ ya era un cuadrado perfecto ] , TIENE UNA ÚNICA RAÍZ
CASO 3
x =
-6
.
Cap. O
Números Reales
FACTOR1ZAS EL COEFICIENTE
a
9
SOLAMENTE EN LOS DOS PRIMEROS SU­
MANDOS QUE CONTIENEN A LA VARIABLE X .
LUEGO, DENTRO DEL CORCHETE , APLICAS LA TÉCNICA DEL CASO 1.
1)
2 x 2 + 8x + 5
(CASO 1)
=
2 [ x 2 + 4x + [ ]
[]
] +
5
=
2 [ x 2 + 4x + 22 — 22
] +
5
=
2 [ (x + 2)2 -
=
3x2 -
7x + 2
(CASO 1)
x = - 2 ±
.
3[ x 2 - — x
3
=
3 [ ( x — —) 2 — ( — ) 2 ] +
6
6
7 2
3( x --- —) -
=
~~
3( y
tiene dos raíces reales:
- x 2 -5 x + 3
3 /2
=
=
3)
22 ] + 5
2 (x + 2)2 — 3
tiene dos raíces reales:
2)
-
=
x
] + 2
49
—
6
12
? )2
6
25
12
=
— ±
— [ x 2 + 5x
+ 2
—
es decir
x = 2 ,
x = 1/3 .
] + 3
5 2
5 2
[ ( jc -h — ) — ( — )
] + 3
2
2
=
-
=
5.2
25
.
- -( x + — ) + --------- + 3 =
2
4
tiene dos raíces reales:
2
x =
± -2^21. 2
2
-
.
5 .2
37
( x + — ) + -----2
4
- L ( - s ± V~37~) .
2
Cap. 0
Análisis Matemático 1
=
—4 (x — i , 2 +
8
=
- 4 ( x -
"
16
V -
... NO TIENE RAICES REALES.
8
5)
- 25x 2 + 20x -
4
=
-2 5 [ x 2 -
16
— x
25
25 [ x 2
] -
—x
5
4
] -
4
2 2
2 2
—) - ( - )
] 5
5
— 25 [ ( x
— 25 ( x
2
2 2
—)
5
+ 4
4
— 4
j cuadrado per f ect o!
- 2 5 ( x - — )2
5
TIENE UNA ÚNICA RAÍZ:
x = 2 /5
(de multiplicidad dos).
5.
En la fórmula de las raíces dei trinomio cuadrático
,
(*)
a *
ax
+ bx + c :
0, b, c 6 R ,
se llama DISCRIMINANTE a la cantidad subradical
CASO I .
Si
entonces
REALES DISTINTAS
Xj *
factores de grado uno, en
Por ejemplo:
2x 2 + 5
x
— 12
x2
ax
+ bx + c
tiene DOS RAICES
. En tal caso se puede factorizar con dos
IR , de la forma
tiene
DISCRIMINANTE
b2 -
4 ac
=
Cap. O
Números Reales
5 - 4 ( 2 ) ( — 12) =
en efecto,
2x
,
121
+
5x -
12
entonces tiene dos raíces reales distintas ;
( 2x
=
11
- 3) ( x - 4)
2 ( x -------- ) ( x + 4)
=
2
x , = 3/2,
CASO I I .
j c. =
- 4 ,
son sus dos raíces reales distintas.
entonces a x
Si
+
b x + c tiene DOS RAICES
x , = x 2 , es decir tiene UNA UNICA RAIZ REAL
REALES IGUALES
DE MULTIPLICIDAD DOS
(es decir, re p e tid a ).
En tal caso, tenemos un CUADRADO PERFECTO en R , de la forma
Por ejemplo,
3x
- 3 0 x + 75
b2 -4 a c
=
( — 3 0 ) 2 — 4 (3) (75)
=
900 -
3 (300)
tiene una única raíz real repetida; en efecto
3x2 -
3 0 * + 75
( x 2 - 1 0 * + 25)
=
3
=
3 (* -
5r
que tiene como única raíz
CASO I I I .
Si
entonces
ax
=
* 2 =
+ bx + c
5
NO TIENE
NINGUNA RAÍZ REAL , y no se podrá factorizar con dos factores de
grado uno, en R .
Por esta razón a estas expresiones cuadráticas
se les denomina IRREDUCIBLES EN R .
no se hace cero para ningún x e R ,
Y como
ax
+ bx + c
entonces:
O toma valores positivos solamente o toma valores
negativos solamente para to d o x en
i)
Si
y
entonces
R . Así,
12
Cap. 0
Análisis Matemático 1
...
ii )
es POSITIVO para cualquier
x e R .
Si
entonces
...
es NEGATIVO para cualquier x e R .
Por ejemplo,
para
- x
+ 2x -
- x
3 :
b2 -
4ac
=
22 -
=
-8
4 ( — 1) ( — 3)
< 0
+ 2x -
3
NO tiene ninguna raíz real. Y se cumple que
- x 2 + 2x -
3
es siempre NEGATIVO, para todo x e R ,
pues
a = - 1 (negativo).
PROBLEMA.-
Halle el conjunto de valores de K para los cuales el trinomio cuadrático
2
( K + 6) x + ( K — 2 ) x + 1 n o t i e n e soluciones reales.
SOLUCIÓN.-
Ello ocurre si el discriminante es negativo:
(K -
2)
-
4 ( K + 6) < 0
K
-
K2(K -
4K + 4 8K -
20
10) ( K + 2)
4K -
24
< 0
<
0
K € ( - 2 , 10) .
6.
u
TEOREMA.-
1)
si
u
> o
- u
si
u
<
=
u | =
6.1
u
Valor Absoluto de u
Sean
o
es un núm ero no negativo , siempre.
a, b e R :
= I b¡
(reunido con)
2)
Si
b >
0 :
<
0
Números Reales
Cap. O
3)
Si
b >
0 :
a | <
13
b
(intersectado con)
4)
Si
b >
0
a I <
b
4=>
5)
Si
b >
0 :
a I >
b
O
(reunido con)
6)
Si
b >
0 :
a | >
b
O
7)
6.2 TEOREMA.-
Sea a € R ,
1)
Si n es ENTERO POSITIVO PAR
a
2)
6.3 TEOREMA.-
Sea
1)
6.4 NOTA .-
=
i a
a € R ,
Si n es ENTERO POSITIVO IMPAR :
está afuera de la expresión radical n o i n t e r v i e n e
e l v a l o r a b s o l u t o , sea n par o impar.
Si la potencia n
, para todo ENTERO POSITIVO n , par o impar.
6.5 COROLARIO.-
(1)
(2 )
Sea
a 6 R
, si
, si
,
a > 0
a <
0 .
14
Cap. 0
Análisis Matemático 1
EJEMPLO.-
Si
i
x < 0 :
6.6 TEOREMA.-
Sean
X
a y b
4 +,
X
(2 )
a2 =
b2
<=>
=
Vx 2 ( x 2
.
f s - J X2 +
-
- * v
X
+ I)
1
+ 1.
números reales,
a I =
d)
2
a =
I b
± b
(3 )
NOTA.-
En las ecuaciones con radicales del tipo [3 ] lo recomendable es
comprobar cada una de las soluciones halladas al elevar al cua­
drado, en la ecuación original.
EJEMPLO.-
2x
Resolver
x 2 - 2x
=
3x
9x2
=
. Elevamos al cuadrado:
=>
8*
-2x
=
x ( 4 x + 1) = 0
x = - 1/4
se descarta en la ecuación original
(4 )
EJEMPLO.-
2x
< 3x
( x 2 — 2x)
[ donde
8x
+ 2x >
>
0
0
O
^
A
3x
O
0
A
x ( 4 x + I) >
x
x
>
6
x 2 — 2x
<
9x2
0
( — oo , — 1 / 4 ] U [ 0 , oo )
]
C ( { —o o , 0 ] u [ 2 , o o ) ) n [ 0 , o o ) n ( { —o o , —l / 4 ] u [ 0 , o o ) )
x € { 0 } U [ 2 , o o >
=
C.S.
Cap. O
Números Reales
«=>
(5)
4=>
(a
[ ( b < 0)
EJEMPLO:
( x 2 — 2x >
l t ::
0)
A
> 0) a
2x
[(3x
x € ( —o o , 0 ]
6.7 TEOREMA.-
Si
[ ( b > 0)
{ ( b > 0) a ( a > b 2) } ]
( a > 0)
a
a
(a >
b2) ]
> 3x
< 0)
x € (< -o o ,0 ]u [2 ,o o ))
-O
[ Cb < 0 ) v
(a > 0 ) ] v
a
- 15 -
=
a y
n
V
{(3x
>
[ ( — oo , 0 )
0)
A
( x 2 — 2x >
U { [ 0 , oo > n
C.S.
b 6 R+
, ambos positivos,
(1)
—a <
x <
b
0 < |x | <
(2)
—a < x <
b
0 < x2 <
(3)
0 < a <
b
(4)
0 <
b
a <
O
a2 <
-/a " <
m áx
m áx
b2 .
VTT .
9x2) } ]
■<=>
[ - 1 / 4 , 0 ] } ]
-16 -
Cap. 1
RELACIONES
Los PARES ORDENADOS son entes matemáticos que consisten de
dos elementos a
y
b , denominados PRIMERA COMPONENTE y SEGUNDA COM­
PONENTE respectivamente, y se les denota por el símbolo :
DEFINICIÓN FORMAL-
(a , b) .
En términos de conjuntos, el PAR ORDENADO ( a , b )
se defi
ne como el conjunto:
(a , b) =
1-1
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-
Dados dos pares ordenados
y
(a , b ) =
(c , d )
{ {a }, {a, b } } .
(c,d),
si y só lo si
( a , b)
entonces
a =
c
y
b =
d .
Para la prueba se utiliza la Definición F o r m a l , considerando los dos casos:
i)
1.2
a =
NOTA:
b
,
ii)
a *
b .
De (1.1) tenemos que: DOS PARES ORDENADOS s o n i g u a l e s si y só­
lo si sus primeras componentes son iguales entre sí, y sus segundas
componentes también son iguales entre sí.
1.3
EJEMPLOS .-
a)
(2,3)
y
( 3 , 2) no son pares ordenados iguales.
b)
(6,3)
y
( 6 , 9 ) tampoco son pares ordenados iguales ,
pues difieren en la segunda componente.
Cap. 1
b)
Si
Relaciones
( 2 x + y , 1) = ( 3 , 2 x - y )
simultaneas:
1.4
entonces se cumple el sistema de ecuaciones
f
2x + y = 3
1
1 = 2x -
i
-17 -
O
y
x = l ,
y = 1
__________ ___
Dados dos conjuntos no vacíos A
y B
A x B como el conjunto de pares ordenados:
PRODUCTO CARTESIANO
A x B
=
{ (a,b)
/
a € A
yb €
tales que su primera componente está enel conjunto A ,
B
}
se define el
,
y su segunda componente en
el conjunto B .
1.5
EJEMPLOSean
A x B
=
A = { l , 2, 3 } ,
B= { a , b } , entonces
{ ( i , a ) , ( 1 , b ) , ( 2 , a ) , ( 2 , b ) , (3 , a ) , (3 , b ) }
, cuyos
elementos pudieron haberse distribuido en un DIAGRAMA DE ÁRBOL :
B
A xB
a
—►
(1 , a )
b
—►
(1 , b )
1
1.6
NOTA.-
a
—►
(2 , a )
b
—>
(2 f b )
a
~¥
(3 , a )
b
—>
(3 , b )
TOTAL:
3 x 2 = 6 elementos en A x B
En general, si los conjuntos A y B son finitos con m y n elemen­
tos respectivam ente, entonces el Producto Cartesiano A x B tiene
m x n
elementos. De aquí proviene su nombre y su notación.
El concepto de producto Cartesiano se puede extender a más de dos
conjuntos no vacíos:
A x B x C
= {
(a ,b ,c)
/
a e A
a
b ^ B
A
surgiendo así el concepto de T e r n a O r d e n a d a :
( a , b , c) =
{ { a } , { a , b } , { a , b , c }
}
c e C
}
-18 -
Cap. 1
Análisis Matemático 1
B
{ a , b },
B = {1 , 2 } ,
C
A x B X C
1
1
C = { r,s }
=>
r
(a,
1 , r)
s
(a,
1 , s)
r
(a,
2, r )
s
(a,
2 , s)
Total:
r
(b,
1, r )
elementos.
s
(b ,
1, s )
r
(b ,
2, r )
s
(b ,
2, s )
2 x 2 x 2
En general, el producto cartesiano no es conmutativo; es decir
A x B
1.8
EJEMPLO
Si
*
B x A
A = {1 >,
mientras que
1.9
EJEMPLO
,
a menos que
B = {2 }
B xA
entonces
A = B.
A xB
= {(l,2)>
= {(2,1)}.
Demuestre que:
A
M X N c
1)
M C A
N C B
2)
A X (B n
C)
=
(A x B) n
3)
A x (B U C)
=
( A x B ) U ( A X C)
A X B
( A x C)
SOLUCION :
1.
Sea
x G M
(x , y ) € M x N
A
y e N
por hipótesis
x G A
A
y G B
(x , y) 6 A x B
Por lo tanto,
2.
Sea
M x N
c
A x B .
( x , y ) e A x (B n C)
x e a
x G A
A
( y é B A y 6 C)
(x G A
A
x G A) A y G B A
(a G A
A
b G B ) A (a € A
( x , y) G A x B
A
3.
EJERCICIO.
(x , y) G A x C
a
y e (B n C)
y G C
A
O-
b G C)
O-O
( x , y ) G ( A x B ) n ( A x C ).
,
Cap. I
1.10
Relaciones
PR O B LEM A.-
Demuestre que
(A X B );
SOLUCIÓN
[ - ( a 6 A)
p
=
( A ' X B)
(a , b ) g A x
— [ a € A
(pues
=
U (A X B ') U ( A ' x B ') .
Sea
(a , b ) € ( A x B ) '
=
-19-
A
=
A
(b
€ BV
p a
V)
(a € A ' A
■<=> ~
[ (a , b ) €
==
— (a 6 A ) V
~ ( b € B)
b € B ')]
V [ (a € A V
a € A ' ) A ~ ( b 6 B) ]
b 6 B]
B
NOTA
=
,
b 6 B ) V (a € A A b C B ' ) V (a G A ' A b € B ' )
( a , b ) 6 ( A ' x B) U (A x B ') U ( A ' x B ')
1.12
A x B]
Al Producto Cartesiano
A x A
.
también se le representa por
A
2
2.
Dados dos conjuntos no vacíos A y
res ordenados se le denomina RELACIÓN DE
A
B ( a un conjunto *
EN
B
si es que *
de pa­
es un
subconjunto cualquiera de A x B . También se le llama RELACIÓN BINARIA.
es una R e l a c i ó n d e A e n B
2.1
EJEMPLO.-
Dados
A = { 3 , 4 , 5 }
si y sólo s i
, B = {1,2}.
*
c
A x B
Los siguientes conjun­
tos de pares ordenados son algunas RELACIONES de A en B :
* , = { ( 3 . 1 ) } ,
* 4 = { (3,
* 2 = { ( 5 , 1) } ,
* 3 = { ( 3, I), ( 4 , 2 ) , ( 5 , 1 ) }
I), (3, 2), (4, i ) , (4, 2 ) } , * 5 = A X B .
Puesto que, en general, si A x B tiene n elementos entonces A x B tiene
2
subconjuntos; por lo tanto, existen
2
relaciones de A en B .
Cuando un par ordenado ( a , b ) pertenece a una relación *
ta:
a
*
“ a
b . Es decir,
a *
b
está relacionado con
si y sólo si
b
según la relación *
Para las relaciones previamente dadas:
Y si
(a , b) g *
(a , b ) € *
3
entonces se denota
i ,
a
4
2.
b .
ta m b ié n se deno­
, y en tal caso se lee:
20
Cap. 1
Análisis Matemático 1
2.2
Se dice que ^
DEFINICIÓN.-
es una
C
2.3
EJEMPLO
^
=
RELACIÓN EN UN CONJUNTO
A x A
Si
^
es una Relación en
^
=
{ ( x , y) /
A
si
.
A = {2,3,4}
x2 }
y + i <
tal que
entonces
{ ( 2 , 2 ) , (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) },
pues para ( x , y ) e A x A , con
x e A
x =
2 :
y + I < 22
=>
x =
3:
y + 1 < 32
=?► y €
1 =
4:
y + 1 < 42
=> y 6 { 2 , 3, 4 }
En
y € {2 , 3}
a
(2 , 2 ) , ( 2 , 3) 6
=>
{2, 3 ,4 }
=>•
=>•
A = {1,2,3,4,5}
ye A :
( 4 , 2) , ( 4 , 3) , ( 4 , 4 )
e
PROBLEMA
ül
= { (1 , 1 ). (2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) . ( 5 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 5) } .
Si
M = { (x € A /
P =
{x e A /
SOLUCIÓN
( x , 5) e ^
> .
halle
N =
{ (y € A
(M u N ) -
/
(3 , y ) e
>
P .
Verifique que
M = { (x 6 A /
( x , 2) €
N = { (y e A /
(3, y) €
P =
} ,
$(.
se define la relación
2.4
( x , 2) e
“
R.
(3 , 2) , (3 , 3) , ( 3 , 4) €
} = { 2, 5 >
%. } =
{ x € A /
( x , 5 ) (2 ! £ }
( M U N) -
P
Sean
2.5 PROBLEMA
=
= {1 .2 ,4 ,5 }
{ 2 , 3 , 5 }
- { 1 , 2 , 4 , 5 }
A = { 1 , 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8 }
(a , b) 6
(a , b) €
Así ( l , i ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 )
C
e
R
a
=
{ 3 } .
y la relación R en A :
es d iv is o r d e b .
n ú m e r o de e le m e n to s de la relación ^
Halle n ( ^ . ) =
SO LUCIÓ N.-
{ 3, 5 }
A x A
^
b es m ú ltip lo d e
.
a .
. En general:
= { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 1 , 7 ) , ( 1 , 8 ) , ( 2 , 2) , ( 2 , 4 ) ,
( 2 , 6 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 6 ) , ( 7 , 7 ) , ( 8 , 8) }
n (^ )
=
20 elementos.
21
Relaciones
Cap. 1
2.6 EJERCICIO
.-
Se define una relación ^
(a , b ) 6
Demuestre que:
SOLUCIÓN
1)
en
-O-
( a , a) 6 ^
V
( a , b ) e ^ . =>•
3)
( a , b ) e 3 t
V
a e Z ,
a
2)
Si
(a , b ) e
-
es m ú ltip lo de 3 .
a 6 Z
( b , a ) e ^
( b , c ) € ^ .
a
a — b es m ú ltip lo de 3
1)
como :
a — b
,
2)
z
a
— b
=
3 k ,para algún
a = o = 3 x o , con 0 e Z
entonces
a -
b
-
3k
=>( a , c ) € ? . .
=>
, para algún
(a , a) e ^
3)
— (a — b ) €
y ( b , c) e ^
Si ( a , b ) €
k3 =
k e Z
.
=>■
a -
b = 3kj ,
algún
=>
b — c = 3k2 ,
algún
Entonces, sumando ambas igualdades:
.
k e Z ,
- ( a - b ) = 3 ( - k ) , donde — k e Z , pues
b —a =
k e Z
a -
kj e Z
k2 e Z
c = 3 k 3 , donde
(k j + k 2 ) e Z ,
( a , c ) € ^ .
2.7
Una relación ^
[
c
es una RELACIÓN REFLEXIVA EN
A x A ] si para todo a 6 A :
Es decir,
^
A
( a , a ) e ^ ,
es REFLEXIVA en A si to d o e le m e n to de A está rela cio n a d o
co nsigo m is m o m e d ia n te la relación ^ .
2.8
EJEMPLO.-
A =
Sean
^
y las relaciones en A :
{1,2 ,3 ,4 }
= { ( 1 , 2 ) , (3,3), (3,4), (4,4), (4,1), ( 2 , 2 ) , ( 1 , 1 ) }
= { (1,1), ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 ,4 ) }
entonces
8
^
“i
8
es reflexiva en A pues
, V a e A
( a , a) e ^
, además de
~
É
8
I
otros puntos, en cambio en í^,2 falta
i
-
•
( 3 , 3)
|
para serlo.
2.9
Una relación
SIMÉTRICA en
A
en un conjunto A
si se cumple la implicación siguiente:
es una RELACIÓN
-22 -
Análisis Matemático 1
(a , b) e ^
Es decir,
en
2.10
si
( a , b ) está en
para que ^
=>
Cap. 1
( b , a ) e 3?..
entonces el elemento ( b , a )
también debe estar
sea S IM É T R IC A .
EJEMPLO.-
Dados A = { 1 , 2 , 3 , 4 }
y las relaciones en A :
= { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , (3 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 4 ) > ,
= { (1,1),(2,2),(3,3) }
^ .3
vemos que
^
= { (1,1), ( 3 , 3), ( 4 , 1 ) , ( 2 , 3), ( 1 , 4 ) } ,
y
ta el elemento
,
^
son S im é tric a s , pero que
(3 , 2)
no lo es, pues le fa l­
para serlo.
2.11
Una relación ^
en un conjunto A es TRANSITIVA si se cumple
la implicación:
[ (a , b) e ^
2.12
Dado
EJEMPLO.-
a
( b , c ) e ^ . ]
=>
( a , c ) e ^
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , la relación en A :
= {
( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 1 ,1 ) } .
NO ES TRANSITIVA, pues si bien se cumplen las implicaciones:
y
en cambio falla en:
A
( 2 , 3 ) 6 ^ ,
( 1 , 3 ) 6 ^ ,
A
( 3 , 1 ) € ^ . |
( 2 , 3) e
pues falta
( 2 , 1) en
En cambio
^ . 2 =
^ .3
( 1 , 2 ) 6 ^
,
a
(3 , 1) e
{ ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1) , ( 2 , 2 ) , ( 1 , 1) }
=*
0 , 3 ) 6 ^ ,
( M ) € ^ ,
}
=>•
( 2 , l) 6
%. j ,
sí es Transitiva ,
= { ( 1 , 4 ) , ( 4 , 1) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) >
no es Transitiva ,
pues le faltan por lo menos 7 elementos para serlo. [ ¿Cuáles son? ]
RPJA:
Son:
( 1, 1 ) ,( 2 , l ) ,(3 , l ) , ( l , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 3 ) , y
(4,4).
2.12
Una relación
en A es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA si
satisface (simultáneamente) las tres condiciones:
V a e A
1)
REFLEXIVA :
2)
SIMÉTRICA :
Si ( a , b ) €
entonces
3)
TRANSITIVA :
Si [ ( a , b ) e ^
a
2.13
23
Relaciones
Cap. 1
EJEMPLOS.-
1)
Sea
^
,
(a , a) e
( b , a) e
e ^
( b , c)
A = { 1, 2 ,3 ,4 }
]
(a , c) e
entonces
entonces la relación
= { (1 ,1 ), ( 2 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) }
es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA en A .
2)
La relación
^
definida en
= { (a , b ) 6
z
Z x Z
(enteros) por:
/
es m ú ltip lo d e 3 }
(a — b )
también es de EQUIVALENCIA, lo cual ya fue demostrado en el Prob. [2 .6 ]
2.14
Se llama
DOMINIO de la relación
al conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados de ^
Y se llama RANGO de la relación
.
al conjunto de todas las segundas com­
ponentes de los pares ordenados de % .
2.15
D o m (^ .)
=
{ x /
( * , y) € ^
R a n g (í^ )
=
{ y
(x , y) € ^ . }
EJEMPLO
/
Dada la relación en
}
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) :
Ot = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 3) }
entonces
D om ( ^ )
=
Rang ( ^ )
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ,
=
{ 1 , 2 , 3 } .
SERIE DE EJERCICIOS
1. Demuestre que:
(A -
B) x C =
2. ¿Cuántos elementos tiene
B = { x 6 Z
3.
A x B si
/ 10 <
(B x C ) .
A = { x € Z /
x2<
- l 2 < x + 6 < 2 0 )
400 } ?.
Halle por extensión el conjunto
M = { (s,t) € R x R
4.
(A x C) -
En
A = {1,2,3,4,5}
/
( s 2 + 3s, t 2 -
se define la relación
7t)
= (-2,-12)
:
} .
-24 -
Análisis Matemático 1
^
= { ( 1 , 0 , ( 2 , 2), (3, 3), ( 5, 1) , ( 2 , 4 ) , (5, 4), ( 5 , 2 ) , (4, 3), ( 3 , 5 ) } •
Si
M = {x G A /
( x , 2) €
Si
N = { y e A / (3, y ) €
} ,
P = { x € A / ( x , 5 ) g ! £ }
5.
Cap. I
,
A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , io } ,
halle:
(M u N ) -
,
P.
entonces dada la relación en A :
= { ( x , y ) / y es múltiplo de x , x * y } c A x A
,
halle la suma de todos los elementos del Dominio de ^
6.
Demuestre que si A y 6 son conjuntos no vacíos y se cumple que
( A x B ) u (B x A ) = C x C entonces A = B = C .
7.
Dadas las relaciones en
=
8.
^
*
i x
>y
v
* < y
>x
Dados los conjuntos
y
x < 5 } , C
A= z
=
x
y
2•
-
{ U » y) / y = 3 } ,
} , halle
= { x e N /
2y = 3 }
ha||e ^ . i
í^ 3 -
,u ^ .2) .
A = { x e N / x < 3 > ,
Halle ( A n B ) x (C Sea
>»
x2-
y las relaciones en U :
2
= y } .
= { (x , y) / y
10.
^ , = { ( x , y) /
Dado el Universo U = { 1 , 2 , 3 , 4 } ,
^ .i = { ( * » y ) / *
9.
Z:
B = { x € N/
es i m p a r ,
x es par
x < 6>.
A) .
. En A definimos la relación T mediante la condición:
O* x — y
(x , y) 6 T
es divisible
por 5 .
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? :
11.
a)
( x .y ) e T
=> ( y , * ) e T ,
b)
C)
(2,17) 6 T
,
d)
Sea
U = {1,2,3,4,5}
x +
y = 5 }
ción
(^
dos
, u
y
(x,4)eT
=>
x es múltiplo de 5.
(7n , — 8n) 6 T, V n 6 Z.
^., = { ( x , y ) /
x < y },
^
2 = {(x,y)/
relaciones en u . Halle elnúmero de elementos
de la rela­
2 ).
*
12.
Si
A =
{
( x , y ) / ( x 2 + 3 x , y 2 + 3y -
B = { (x ,
13.
y) /
Dado el conjunto
y =
A = {a,b ,c},
conjunto
15.
x € Z
A = [1,8] n z
(a , b) e ^
14. Sean
x,
(A x B) -
},
2) = ( - 2 , 2x)
halle:
} C Z x Z,
A —B .
, se define la relación ^
a es divisor de b .
Halle
B = {a,b,d,e>,
n (^ )
en A como:
.
¿Cuántos subconjuntos tiene el
(B x A ) ? .
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :
a)
A c
A x A , v conjunto A ;
b)
A x B c
(A x B) u C
Cap. 1
16.
Relaciones
C)
( A X B ) U (C X D) = ( A
d)
( A - B ) x (C -
Si
A
17.
Dados
C) n ( B ' x D ' )
x = (2 k -
l)/3 , k € N },
x2 + i
(a , a) € %
,
V
b)
(a , b) G
=>
c)
( a , b ) G 9^ A
Indicar además si ^
18.
<
A = { l , 2 , 3,4} y
% .= { ( x , y ) / x = y
a)
U C) X (B U D)
D) = (A x
= { x 6 N /
B = { x e N /
25
12 } ,
halle ( A
n
B ) x (B -
A) .
la relación en A definida por:
v
x + y = 3 } , ¿Cuáles son verdaderas? :
a G ^
( b , a) G %
(b,c)
.
€
^
V
(a , b ) G £
( a , c) G ^
.
.
es o no una relación de equivalencia.
En A = { l , 2 , 4 , 6 , 8 } se define ^
= { ( x , y ) / 3 es divisor de x + y }
halle la suma de todos los elementos del rango de la relación 9^.
19.
En A
= { - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 }
se define ^
= { ( x , y) /x 2 + x
= y 2 + y } , halle la suma de todos los elementos del dominio de 9(^.
20.
Dada la relación
a)
b)
21.
^. = { ( x , y ) G R x R /
( | x - l |
= | y - l | } ,
¿Es A una relación de equivalencia?. ¿Porqué?
Para cada x fijo, calcule
A
= { y / ( x , y ) G ^ . } .
Si U es el conjunto de triángulos en el plano R x R
nida en U por la regla:
y si
s i y só lo s i
(x , y ) g S
S es la relación defi­
x es semejante a y ,
demuestre que S es una relación de Equivalencia.
22.
Una relación
en un conjunto A
( a , b ) g 9^
a
se llama ANTISIMÉTRICA si cumple que:
( b , a) g
a =
b
(*)
Demuestre que son antisimétricas las siguientes relaciones definidas en
= ( (* , y) /
SUG:
23.
x <
y
}
9^ 7 : " ( x , y ) G ^
En
=
y
{ (x, y) /
( x , y) G
x <
y
} .
" es FALSO pues " x <
y y < x"
es absurdo. Luego,
Si
son dos relaciones REFLEXIVAS definidas en un conjunto A ,
y 5
(*)
y
z :
es VERDADERA,
¿Cuáles son verdaderas? :
a)
c)
9{ u 5
u
es reflexiva ,
5) n
n
5)
b)
9^ n S
es reflexiva.
es reflexiva ,
y
-26 24.
Cap. 1
Análisis Matemático 1
En
A = {1,2,4,6,8}
se define la relación
^
{ ( x , y ) / 3 es divisor de
=
x + y } . ¿Cuáles son verdaderas? :
a)
üt
es reflexiva t
c)
b)
^
es simétrica ,
d)
^
es transitiva ,
tiene
9
elementos.
CLAVE DE RESPUESTAS
2.
992; ' 3)
M = { ( - 1 , 3 ) , ( - 1 , 4 ) , ( - 2 , 3 ) , ( —2 , 4 ) } ;
5.
12;
{(3,3),(-1,-1)}
9.
{(2 ,3 ),(2 ,5)} ;
12.
{(-2,-1),(-1,0),(-1,-3))
15.
Sólo ( b )
7)
18. 3 6 ;
24.
19)
Sólo ( b )
10)
;
-7
20. a)
y
8)
Sólo ( a ) ,
y (d )
;
;
16)
;
b)
{3}
{ ( 1, 4) , ( 2 , 4) , (3 , 4) , ( 1, 2) }
(c)
y (d)
13)20;
{ ( l , 2 ) , (3 , 2 ) }
Sí,
4)
14)
;
;
11)
2® =
256
17) Todas, Sí.
= { x, l — x } ;
A
12 ;
23) Todas
(d ) .
3.
Dada una relación
del DOMINIO de
se consideran los valores
en el Eje X , y los valores del RANGO de ^
en el Eje Y ,
y luego se van ubicando los puntos en el plano cartesiano correspondiente.
Así por ejemplo, la representación gráfica de la relación
=
{(1,1), (2,1), (2 ,2 ), (3,1), (3,2), (4 ,2 ), (5,3) }
Corresponde a la figura adyacente
3.1
AY
NOTACION.-
%
3R x R
=
K
2 ••
1• •
0
3.2
EJEMPLO
Bosquejaremos las gráficas de las siguientes relaciones en R :
x = y
} ,
L
= { ( * , y ) e R x R /
S
= í(x,y)G R x R
/
x = 2 } = { ( 2, y) / y e
R }
T
= { ( í , s ) é R x R
/
y — i
R }
}
= { (jc , 3) / x e
-27-
Relaciones
Cap. 1
P a ra q u e u n p a r o r d e n a d o se e n c u e n tr e en la relación £ s u s dos c o m p o ­
n e n te s d e b e n ser IG U A LE S.
Así, algunos pares ordenados en £ son:
( - 2 , - 2 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 0 , 0 ) , (1,1), ( 6 , 6 ) , ( 7 / 5 , 7 / 5 ) ,
etc., y donde resulta en
este caso que:
Dom ( ü ) = { — o o , o o ) = M
[ Eje X ]
R a n g (£ ) = ( —0 0 , 0 0 ) = R
[Eje Y ]
En general, como el dominio
ha de ser un conjunto continuo,
entonces uniendo todos los pun­
tos de £ se obtiene una RECTA.
y = x
Algunos elementos de la relación
Sson ( 2 , - 2 ) , ( 2 , - 1) , (2 , 0 ) , ( 2 , 1)
,
( 2 , 3 / 2 ) , etc. Aquí basta que la primera componente sea igual a 2 para que talpar
ordenado se encuentre en la relación
S = {(* , y) € R x R /
X
■
= 2}
=
{ (2 , y)
y € R } .
Yi
La segunda componente no tiene
restricciones en R :
Dom (S ) =
/
x -
2
3 -'
{2 }
2 ••
(2,3/2)
R a n g (S ) = { — 0 0 , 0 0 )
( 2 , 1)
Aquí también la gráfica co­
rresponde a una RECTA (VER­
TICAL), que precisamente pasa
por x = 2 .
En general, toda ecuación de la forma:
0
x = C
(2 , 0)
>
1
- 1 ■■
(2 ,-1)
-2
(2 , - 2)
t
*
(C constante) en el plano XY
corresponde a una RECTA VERTICAL que pasa por x = c
precisamente.
28
Cap. 1
Análisis Matemático 1
Análogamente, podemos ver que la gráfica de la relación T definida por
T = { ( x , y ) e R x R /
y = 3 } corresponde a una RECTA HORIZONTAL que
pasa a la "altura"
y = 3 .
Dom ( T )
=
{ - oo . oo )
R a n g (T )
=
{3 }
Y
En general, toda ecuación de la forma:
, con
plano XY
0
X
NOTA.-
La gráfica correspondiente a
b) la ecuación
PROBLEMA .-
y = 0
x = 0
coincide con EL EJE X
coincide con EL EJE Y.
Bosqueje la gráfica de la relación:
T =
SO LUCIÓ N.-
y = C.
que pasa precisamente a la altura
a) la ecuación
3.4
en el
corresponde a una RECTA
HORIZONTAL
3.3
C constante,
( x - 3 ) ( y - 2) = 0
{ (x , y) € R X R /
De la propiedad
O
[
[ x -
3 = 0
ab = 0
( x - 3) ( y - 2) = o
<í=¡>
<í=>
x = 3
a = 0
v
V
V y -
}
b = 0 ]:
y —2 = 0 ]
2
y por tener el conectivo logi
c o d e la DISYUNCIÓN y
su
gráfica consiste de (LA REU
NIÓN DE) ambas rectas , es
decir, de toda la cruz de la
figura siguiente.
A continuación presentamos las gráficas de las siguientes relaciones (v e rific a r):
R =
{ ( t.y )
e R x R
/
y - x2 >
S =
{ ( x , y ) e R x R
/
y = - s /T }
T =
{ ( x , y) e R x R
/
y = - V T
}
Relaciones
Cap. 1
- 29 -
x = y2 >
W = { U , y) 6 R x R /
ANALITICAMENTE Y GRAFICAMENTE
y = x
x
=>
-1
0
> 0
no tiene restricciones.
Dom(R) =
( — oo , o o ) = R
Rang(R) =
[ 0 , oo)
X
y = V T , x > 0
y = V T
Ó
> 0
D om (S ) =
[ 0 , oo)
Rang (S ) = [ 0 , o o )
y =
- V T
y =
D om ( T ) =
<
o
[ 0 , oo)
Rang ( T ) = ( - oo , 0 ]
* =
y
y
> 0
sin restricciones
D om ( W ) =
[0 , oo)
Rang ( W ) = ( — 0 0 , 0 0 )
3.5
NOTA
Como
x = y2
O
[ y = V T
v
y = - V T , V x >
0 ] ,
entonces la gráfica de W corresponde a la reunión de las gráficas de las
relaciones S y T.
-30
Análisis Matemático I
Cap. 1
La figura adyacente corresponde
a la gráfica de la relación CÚBICA:
B = { ( x , i / ) 6 R x K
/
y = x3 }
Dom ( B)
=
('o o ,
R a n g (B )
=
( —0 0 , 0 0 )
y =
3
00}
►
X
Ahora bosquejaremos las gráficas de las siguientes relaciones (RECTAS):
y = 2x
L,
= { (x , y) /
y = 2x }
/
✓
' y =
= x
✓
/ f
---------
/ 1 '
/
'* 1
•- - / --- jh [ ' 1 >
. /y >1( /
»
/ j/ r
1
1
1 2
1
1
1
1
— 1-------- 3
3
4
y = -2 x
L3 = { (x , y) /
y
= - 2x }
L4 = { (x , y) /
y
=
y = 2*
►
X
Cap. 1
Relaciones
31
3.6
S =
{ ( x , y)
El punto ( x , y )
6
R x R /
y <
satisface la condición
x }
y < x
(véase en el Eje Y ) siem­
pre que se encuentre en la s e m ir r e c ta v e r tic a l que c o m ie n z a en la recta y baja
sin lím ite . [ Zona sombreada de la figura ( a ) ] .
La relación S
= { (x , y ) /
y <
x }
corresponde a la gráfica que sigue
a continuación pero con excepción de los p u n to s del b o rd e y = x . [ Fig. ( b ) ]
y = x
Fig.(a)
Cuando
x
toma todos los
valores en el Eje X, la semi­
rrecta hallada barrerá toda la
zona sombreada.
Del mismo modo se puede bosquejar la gráfica de la relación T ,
T = { (x , y ) /
2y > - x
} = { (x , y ) /
y >
- —x
} ,
2
partiendo de la gráfica del borde
Fig. ( b )
y = - — x , sin incluirlo. Fig. ( c )
2
Fig. ( c )
i Y
...................
. . . . . .
'
i '
y > — x
1
2 •
i i i «y
H 1 II
1
2
1
f
1
1
1
11
11
11
11
1•
(*
y)
X
X
i
y = - T *
-32 3.7
Cap. 1
Análisis Matemático 1
EJERCICIO
Halle la gráfica de la intersección de las relaciones:
S = { ( x , y) /
*
< 3 } ,
T =
{ (x,y) /
SOLUCION
AY
y =x
YA
\
y < x 2 }.
9
i
i
\
L
r
\
i- y < x
x < 3
---------------------------
0
Isl“-
T ---
Ay
*
’\
b
A
* *
/-
\
/: :
\
b-
\
--- s n T
3.8
RESUMEN
Si la inecuación puede expresarse como
i)
o como
y >
ii)
(E X P R E S IÓ N en x )
y >
,
( EXPRESIÓN en x ) ",
entonces su gráfica tiene como b o rd e : y =
( EXPRESIÓN en x )
(i )
tiene como gráfica a la p a r t e s u p e r io r del p l a n o , SIN EL BORDE.
(ii)
tiene como gráfica a la p a r t e s u p e r io r del p l a n o , CON EL BORDE.
En los casos :
y
<
...
(ó
y
<
...
EJEMPLO
SOLUCIÓN
y
<
...
).
Grafique las relaciones determinadas por las inecuaciones:
a)
y < |* |
.
y
) l a gráfica corresponde a la re­
gión debajo del borde s in incluirlo (o incluyéndolo si
3.9
f
b)
y > |x | .
Cap. 1
a)
Relaciones
)*|
>
y
O
í x > y
V
x < -y
]
y <
V
y <
]
[
X
,
y
<
La gráfica corresponderá al complemento de la gráfica de (a) más la frontera, pues:
y
>| * |
-o-
\x \ < y
-O-
(y > 0) A
( y > o ) a
(y
( intersección
3.10
- *
y = -
que corresponde a la
(RE)UNIÓN de las dos
regiones:
b)
33
PROBLEMA.-
s = { ( * , y) /
y
A
(y >
< *
-x )
de las tres regiones)
* > y > x3 , x > o }
X
< y <
X3 t
X
< o }
^
corresponde a laintersección de las tres regiones:
i)
y <
S
i)
< y )
Grafique la (re)uníón de las relaciones en R :
, y) /
SOLUCIÓN
> x)
( -y
x
A
ii)
y > x3
A
iii)
x >
0
corresponde a la intersección de las tres regiones:
y >
X
A
ii)
y < x3
A
iii)
x < 0
Note que el origen (0 , 0) no se incluye en ninguna de las dos relaciones:
^
ó S.
34
3.11
Grafique la región definida por la relación:
PROBLEMA
S = { ( x , y) € R x R
SOLUCIÓN
i)
»)
Cap. 1
Análisis Matemático I
y
i
y
S es la intersección de:
>
2
x
o
y > x~
I y I > a:
x2
| y | >
^
s i y sólo si
<
/
a
,
| y \ <
I y I <
|x | ,
I >
donde
v
x > 0
A
| y | <
x
x < 0
A
| y | <
—x
v
o
( x > 0)
A
(-x
( x < 0)
A
(y > x)
< y)
A
(y < * )
v
A
( y < —x )
/í/ = *
y = -* \
y = *
y = -x
Toda RELACIÓN ^
en A , denotada por ^
9^
Así,
de A en B
tiene una RELACIÓN INVERSA de B
1 , y definida por:
- i
=
{ ( b , a) /
los elementos de 9^
-i
'
(a , b) e K
}
•
son aquellos pares ordenados obtenidos al in­
tercambiar las componentes entre sí de cada uno de los pares ordenados de la relación
directa ^
4.1
.
EJEMPLO.-
Si
A = {1,2,3},
91
entonces
B = {4,5}
y la relación ^
=
{ ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5) }
=
{ ( 4 , 1 ), (5 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 2) }
de A en B :
Cap. 1
Relaciones
4.2 EJEMPLO,
Dado
V =s { i , 2 , 3 , 4 }
^
^
y la relación en V :
= { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) > , entonces
-i
En este caso vemos que
35
=
^
{ (1,l ) }(2 ,2),(3,3),(4,4) } .
-i
^
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES INVERSAS.-
4.3
D a d a u n a relación ^
-1
de A en B y su relación in v e rsa
de B en A :
*
-i
DOMINIO de
^
RANGO
%
de
1 =
-i
RANGO de ^
DOMINIO de %
=
En el primer ejemplo tenemos que
-i
D om ( ! £
R a n g (^ .
-l
)
=
{ 4, 5}
=
Rang ( ^ )
‘ )
=
{1,2}
=
D o m (^ .)
4.4
De la definición
mando el caso
^
^
-1
=
( a , b) e
{ ( b , a) /
= { ( 2 , 0 ) , (1,1), ( 3 , 2 ) }
} , y to­
entonces su inversa resulta ser
ÁY
' = { ( 0 , 2 ) , (1,1), ( 2 , 3 ) >
3 _________
a
En la figura se han ubicado los puntos de ^
y
, y vemos que
(0 , 2)
✓'
'
✓ i <v «
i1
i
i
✓
I
✓ i
i
i
------ ,-------»
i
(V
1 (2,0) 3
si se considera a la RECTA y = x
como un ESPEJO DOBLE
entonces
precisamente se obtiene ^ _ 1
mo LA
IMAGEN
DE ^
co­
(3,2)
A TRAVÉS
DE DICHO ESPEJO.
En este caso, se dice que la recta y = x
es una RECTA DE SIMETRÍA, y que:
LA GRAFICA DE LA RELACION INVERSA
LA GRÁFICA DE ^
^
-I
'
ES S I M E T R I C A A
CON RESPECTO A LA RECTA
y = x .
X
-36 -
Análisis Matemático I
Cap. 1
En los diagramas siguientes , las
curvas continuas corresponden a
la relación directa ^
, y las cur­
vas punteadas a la relación inver
sa í £ _ l
.
En la figura izquierda ^
consiste de toda la circunferencia y de toda la zona sombreada.
✓
y - x
-i
Observe que la Relación Inversa de una Recta Horizontal
cta Vertical
y
x
= C , y viceversa.
^
= ((4,
z) /
= { ( z , 4) /
y = C
es la Re­
En efecto,
z 6 K
}
tiene ecuación
x = 4
z g R
}
tiene ecuación
y = 4 .
La Relación Inversa de la parábola
:
x = y , la cual se obtuvo in te r c a m b ia n d o x
y = x1
con
es la parábola í ^ - 1 :
y en la relación inicial ^ .
Cap. I
Relaciones
37
Q = (x2 , y 2 ) ,
La DISTANCIA entre los puntos P = ( x , , y , ) y
denotada por d = d [ P , Q ]
=
X2
satisface la siguiente condición:
YA
2
- X,
= (x, -
X,
+
y2
- ^
)2 + (y , -
y2
y. ) 2 .
«1
y1
k
5.1
E J E M P L O P a r a los puntos:
1)
p = (3 . 4 ), Q = (6 , 8 ):
2)
P = (-1 ,-4 ),
=
d[P,Q]
3)
P = (-8,
NOTA.-
V ['I - (-I)]2 + [(-9) -
(-4)]2
V [o -
í - * ) ] 2 + I* -
=
C - 7) ] 2
d[P,Q]
=
=
/ 'Í 6 9 '
=
13
V 289
=
17
4)
es is ó s c e le s .
Para que ello ocurra, dos de sus lados deben tener longitudes iguales.
Podemos verificar que, en efecto:
PROBLEMA
= 3VT
, d[A, C] =
VTT , d [ B , C ]
Halle una ecuación para los puntos
de
SOLUCION .-
= 5
Demuestre que el triángulo de vértices
d [ A , B]
5.4
= J ls
d [ Q , P ] > 0 .
A = ( 2 , 3) , B = ( - 1 , 0) , C = ( - 2 ,
SOLUCIÓN.-
4)2
Q = ( 0 , 8) :
Siempre se cumple que
5.3 PROBLEMA
= V (6 - 3 ) 2 + (8 -
d [ P , Q]
Q = (11,-9) :
-7) ,
d [ P , Q] =
5.2
x2 " * l
A = ( —2 , 3)
y
P = ( x , y)
B = ( 5 , 7) .
=
VTT .
que equidisten
38
Cap. 1
Análisis Matemático 1
Por la condición:
i Y
d [ P, A ] = d [ P, B] :
J
B = (5,7)
(x + 2 )2 + (y - 3 ) 2
A = ( —2 , 3 ) -C _
=
^ (.x - 5 ) 2
+ (y -
7)2
P = (x,y)
Elevando al cuadrado y redu­
ciendo :
\4 x + 8 y = 61.
5.5
PROBLEMA.-
Demuestre que los puntos A ( - 3 ,
2),
B(5, - 6 )
y
C(l, -2 )
son coiineales [que se e n c u e n tr a n en u n a m is m a recta ].
SOLUCIÓN
Ello ocurrirá en el único caso en que, considerando las distancias entre
ellos, la SUMA de dos de tales distancias debe coincidir con el valor
de la tercera. Así, podemos verificar que esto es cierto puesto que
d [ A , C]
= 4 -/T
, d [ C, B]
= 4 /7
, d[ A,
En la recta vemos que el Punto Medio M entre
a
B]
y
b
= 8 -/7 .
es
b —a
IR
M
a + b
(SEMISUMA de a y b )
Usaremos este hecho en ambos Ejes X , Y , para hallar las coordenadas del punto
M = ( r , s ) que se encuentra a la mitad del segmento de recta que une a los puntos
P = ( * | » !/])
y
Q =
( * 2 * y2 ^ *
Por el Teorema de Tales, si M
es punto medio del segmento
PQ , entonces
r
es punto
medio entre x } y x 2 , y s es
punto medio entre
y y2 :
Cap. 1
r
Relaciones
*i + x2
=
— --------- — ,
s =
y i + y->
— --------- -
Por lo tanto,
y se lee :
LA SEMISUMA DE LAS COORDENADAS DE LOS EXTREMOS
5.7 EJEMPLO.-
El punto medio M entre A =
M = (
3 + 9
(3,7)
7 + (-5)
)
y
=
P y Q .
B = (9, - 5 )
es
(6,1)
6.
Si una recta es v e r tic a l sabemos que su ecuación es de la fornia
, siendo C : una constante.
Si la recta L no es v e rtic a l
(x
, y0 )
y pasa por un punto fijo
llamado PUNTO DE PASO de la recta, entonces
PQ =
L forma un ángulo fijo
a x 90° con el Eje X, medido en s e n tid o a n tih o r a r io a p a r t i r del sem ieje p o ­
sitivo del Eje X . Este ángulo se llama ÁNGULO DE INCLINACIÓN de L
Un punto
P = ( * , y)
pertenecerá a la recta L
YA
o
L
y --------
si y sólo si
--
(y -
Si
f0)
Q = (X j , y , ) € L ,
entonces también se cumple que:
y, - y 0
Tan
a
=
*l
6.1
PENDIENTE
~ xo
Se llama PENDIENTE de una recta L al valor de la tangente
de su ángulo de inclinación a , y se le denota
m
=
Tan
a
y. -
yo
*! “
*0
=
,
a *
90°
donde los puntos (je, , y t ) = Q y ( x Q , y Q ) p e r te n e c e n a m b o s a la recta L .
-40
Cap. 1
Análisis Matemático 1
El valor de la PENDIENTE siempre es c o n s t a n t e para cada recta, y proporcio­
na una medida de su inclinación con respecto al Eje X . Así, la ecuación de una recta
que NO ES VERTICAL L queda determinada tan sólp indicando su PENDIENTE m , y las
coordenadas de cualquier PUNTO DE PASO
6.2
PROBLEMA
(x
o
en la forma:
yV
Halle la ecuación de la recta L que pasa por ( 1 , 2 )
y tiene án­
gulo de inclinación de 45° .
SOLUCIÓN.-
a = 45° . La pendiente m es :
= Tan a = T an 45°
m
y como pasa por ( x Q , y Q ) = ( 1 , 2 ) ,
y Q = m ( x - x Q)
L :y =>
L:
y — 2 =
=
l ,
entonces
=>
y -
x — 1 , es decirf
2 = 1• ( x -
L :
1)
y = x + 1.
6.3 P R O B L E M A H a l l e la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A = ( 3 , 4)
y
SOLUCION
B = ( 5 , 8) .
Como ambos puntos pertenecen a la^recta L , se puede tomar cualquiera
de ellos como PUNTO DE PASO PQ = ( x
, y Q ) ; digamos
PQ = A = ( 3 , 4)
.
Ahora sólo falta hallar el valor de la pendiente m , y con las coordenadas del punto
B = ( x , y ) = ( 5 , 8 ) obtenemos
y - y 0
8 - 4
4
,
= ----------- = — = 2
5 —3
2
m = --------------x — xQ
Y la ecuación de L :
yQ = m (x - xQ)
y -
Pero, si en lugar de
PQ =
tonces se habría obtenido
L :
y -
y0
=
''
=>•
2 (x
m = 2
=>
y -
A se hubiese coñsiderado
4 = 2 (x -
PQ =
3)
... (1)
B = ( 5 , 8)
en­
m = 2 ,
- xo )
=>
L :
y -
8 = 2 (x -
5)
... (2)
que aparentemente es diferente de (1) pero si seefectúan las reducciones necesarias
se encontrará que (1) y (2) son equivalentes obteniéndose en ambos casos:
L:
y =
2x -
2
La ecuación para L en la form a:
la FORMA PUNTO-PENDIENTE.
y -
y0 =
m (x -
x0 )
es denominada
-41 -
Relaciones
Cap. I
Ahora, consideremos como Punto de Paso a ( 0 , b ) .d o n d e L intercepta al EJE
Y ,
entonces
L
-L :
y -
b =
m fx -
0)
Esta forma proporciona directamente la PENDIENTE m
como el coeficiente de
la variable x t
mientras que el término independiente b indica el punto en
el EJE Y
donde la recta
L lo corta y
< 0 .
b
obviamente puede ser: > o , = 0
y - 3 * - l corresponde
Así, por ejemplo, la ecuación
con pendiente
m
y punto de paso
= 3,
(0 , b)
= (0 , - l )
SÍ la recta L tiene su á n g u lo d e inclin a ció n
1)
0 <
a
<
2)
a
=
o
3)
90° < a
90°
< 180° :
m =
Tan a
m =
Tan 0 =
m = Tana
> 0
<
ó
a la recta
.
a , tal que:
... PENDIENTE POSITIVA.
0
... Recta HORIZONTAL.
0
...
PENDIENTE NEGATIVA.
Cualquier otro ángulo se reduce a los tres casos dados para efectos
del cálculo de la PENDIENTE m =
6.4
m =
NOTA
1
m = —1
4=>
Tan a .
Tana = 1
44>
a = 45°
T a n a = —1
43-
a = 135°
Yi
y = x + b
Y si
o <
a
< 90° , la pendiente m
aumenta de valor conforme el ángulo a
va creciendo. En general se tiene el siguiente esquema gráfico:
42 -
Análisis Matemático I
6.5 PROBLEMA.-
Dada la ecuación de la recta
L:
Cap. 1
2 x + Ay = 4 , halle su p e n ­
diente, un punto de paso, y bosqueje su gráfica.
SOLUCIÓN
Para hallar algún punto de paso basta dar un valor real cualquiera a la
variable x , y despejar el correspondiente valor de y , o viceversa.
Así, para y = o se tiene x = 2 J u e g o PQ
= ( 2 , 0) resulta ser un punto de paso
(pero NO ES EL ÚNICO). Despejando y :
=
y
— -x
2
+ t
=>
m = — - .
2
YA
Note que la recta también
pasa por el punto ( 0 , b )
¡
m =
= (0,1)
6.6
TEOREMA .-
Si
a
y
b
ecu a ció n :
no so n a m b o s ceros a la vez , e n to n c e s la
a x -I- b y + c =
s ie m p r e r e p r e s e n ­
0
ta a una r e c t a en el p l a n o XY .
PRUEBA . - i )
Si
a = 0 , b * 0 :
y =
- c / b , ( L
ii )
Si
a * 0 , b = 0 :
x =
- c /a
iii)
Si
a * 0 , b * 0 :
y -
,
HORIZONTAL)
( L V E R TIC A L)
(_JL)X + ( - — )
b
b
que es una
Cap. 1
Relaciones
m = — a /b , y
recta con p e n d ie n te
43
pasa por (0, — c/b).
7.
Dos rectas
L{ y
L2
son PARALELAS { L } / / ¿ 2 )
si tienen el mismo ángulo de
inclinación:
a ] = a 2 =
a .
En el caso de rectas que
no son verticales , esto
equivale a que sus pen­
dientes sean iguales:
m j = m 2 = m = Tan a
Si ninguna de las dos rectas L x y ¿ 2 es vertical, entonces ellas serán PERPENDICU
LARES
si y sólo si
a 2 = 90° -
( -
o r. -
a.
= 90°,
flfj)
T an o r2 = C o t ( = —Cot (
)
)
= — 1 /T a n (a , )
(T a n OTj ) ( T an a 2 ) = —1
m
m r
[ PRODUCTO DE PENDIENTES =
7.1
Sean
TEOREMA.-
-
L
1 ]
j
y
¿ 2 d o s re cta s de p e n d ie n te s
y
n ij
m 2
r e s p e c tiv a m e n te , e n to n c e s
7.2
i)
I,
ii)
L . X
EJEMPLOS.-
son PARALELAS
// ¿
L
son PERPENDICULARES
Las rectas
L
:
¿ 2 :
<=>>
2x + y + l =
2y
=
—5 — 4 x
0
m j •m 2 =
=>•
=
=>
m 2 =
—l
-2
—2
-44 -
Cap. 1
Análisis Matemático 1
son PARALELAS , pues sus pendientes son iguales.
L! :
Las rectas
ax + by + c = 0
— bx + ay + d = 0
son PERPENDICULARES, pues
n ij =
-a/b
y
m. • m 2 = ( - — )• ( — ) = - 1
1 2
Las rectas
i
b
m2 =
.
a
3x — 2y + 1 = 0
m,
=
3/2
*
:
4 x + 6 y — 12 = 0
=>
también son perpendiculares :
m 0 = —4/6 =
m .-m .
—2 / 3
=
-1
2
7.3 PROBLEMA
b/a
3
Halle el valor de k para que la rectas dadas sean paralelas
Ly :
SOLUCION.-
k x + ( k — l ) y + 18 =
-k
nrij =
m 2
=
0,
2 *
4 x + 3y + 7 =
0
, y como las rectas deben ser pa­
-
k - 1
ralelas entonces
7.4
PROBLEMA.-
mj
=
m2 .
De esta ecuación despejamos
¿Son las rectas
Ly : —2 x + y = —2 ,
k = 4 .
¿ 2 : x + y = 7
perpendiculares? . Halle su punto de intersección Q .
SOLUCION .
m, = 2
m
2
“
—
1
m
j
• m 2 ve - l . Luego, las dos rectas
NI SON perpendiculares NI SON paralelas.
El punto Q = ( x , y ) buscado, al estar
en ambas rectas, deben satisfacer las dos
ecuaciones simultáneamente, lo que indica
que se debe resolver el sistema:
-2 x + y = -2
* + y =
x = 3 ,
y -
7
4
Q = (3,4) .
7.5
NOTA .- Cuando dbs ecuaciones (simultáneas) de dos rectas no tienen ninguna so
lución, es porque ambas rectas s o n p a r a l e l a s y e s t á n s e p a r a d a s e n t r e sí.
Cap. 1
45
Relaciones
Tai es el caso de las rectas:
Lj :
2x -f y
— 2
L. :
4 x + 2 y = 10
... (2)
que al reemplazar (1) en (2) se llega a que
4 =
pues al tener las pendientes el mismo valor:
m 1 =
mente que las dos rectas SON PARALELAS
tienen que ser coincidentes.
L
j
/ /
lo
(ABSURDO),
m 2 = - 2
¿2
,
y esto ocurre
se concluye única­
pero que no necesariamente
Podemos ver que estas dos rectas dadas son paralelas,
pero están separadas:
2x + y = 2
Lj :
L~ : 2 x + y = 5
7.6
PROBLEMA
SOLUCION
L :
Si
L : 3 * + 4 y - 2 = o , halle la ecuación de la recta
Lf
tal que
L* J_ L , y que pasa por ( 4 , 2) .
3x + 4 y — 2 =
Y como ( 4 , 2) e L ;
k = 10 ,
8
0
se cumple que
V :
I' :
- 4x + 3y + k =
0
- 4( 4) + 3(2) + k = 0
- 4 x + 3 y + 10 = 0 .
.
Dados un punto Q = ( x v y x) y la recta L de ecuación
L :
ax + b y + c = 0
entonces la recta
pendicular a la recta L tiene como ecuación :
L*:
— b x + a y + (b x j — a y ^ ) = 0
L * que pasa por Q y es per­
(v e r if ic a r )
46
Cap. 1
Análisis Matemático 1
YA
La distancia de Q a L es
igual a la distancia de Q al punto
R G i . n L 7 .
Resolviendo el sistema de ecua­
ciones de L y L 7 se obtienen
las coordenadas del punto R :
x = ( b 2x ( — a b y 1, — ac ) / ( a 2 + b 2 )
a i / j - a b x , — be
i
y =
a 2 +, ib2
=>
0
(x -
x .)
a ( a x 1+ b y 1 + c)
1
=
= a 2k 2
a2 + b2
( y - y , )
=
b ( a x j + b y , + c)
1
=
,2
b
. 2
k
a2 + b 2
axj + b y ( + c
donde
k =
Por lo tanto,
t2
a 2 +, b
d = d [ Q, L ] = d [ Q, R]
’
d = | k | ^ a2 + b 2
donde
L :
8.1
EJEMPLOS.-
Dados los puntos
A = (9 , l)
respectivas a la recta L : 3 x -
d [A ,L ]
=
3 ( 9 ) _ 4 (1 ) + 7
30
y
Q -
(xr y
y
ax + by + c = 0 .
B = (3 , 4) ,
las distancias
4 y + 7 = o son :
=
6 ,
A = ( 9 , 1)
V 32 -+- 4 2
d[B,L]
=
3(3) -
4(4) + 7
0
= 0
,
B = ( 3 , 4)
J 32 + 4 2
Esto implica que el punto B PERTENECE A LA RECTA L , como se puede verificar sus
tituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación de L .
8.2
PROBLEMA.-
Demuestre que la d is ta n c ia e n tr e las R e c ta s P a r a le la s :
L. :
ax + by + C =
0
y
L. :
ax + b y + C7 = 0
Cap. 1
Relaciones
47
está dada por
SOLUCIÓN.-
i)
Si
L 2 y si son verticales entonces b = 0 .
//
[ Completar esta prueba como ejercicio ]
ii )
Si
Lj
y
¿2
n o s o n v e r tic a le s
entonces
b *
0 t
Q e L 2 cualquiera, digamos:
tomamos un punto
Q = (0 , - c ' / b )
d [ L 2 , L, ]
d [Q, L1 ]
=
a • ( 0) -f b ( - — ) + c |
b
V a 2 + b2
c'\/i¡a2+ b 2
d [ L 2 , £ , ] = |c -
8.3
EJEMPLO.-
La distancia entre las rectas
Lj :
¿ 2 : — 6x — 8 y + 20 = 0
3x + 4 y + 5 = o ,
=>■
¿ 2 : 3 x + 4 y + 10 = 0
donde identificamos los valores de c = 5 , c ' = - 1 0
d[ L
i
]
5 -
=
(-10)
15
y
, está dada por
=
3 unidades.
y
¿ 2 , medido en sentido p o s it iv o
^ 32 + 42
9.
Si
(ANTIHORARIO), y si
tivamente con
0
es el ángulo entre
a l y « 2 son los ángulos de inclinación de L } y ¿ 2 respec­
a. < a ,
como en la figura, entonces:
m2 — mj
T an 0
=
I
+
m . *
m
?
-48 -
Análisis Matemático 1
En efecto,
Cap. 1
YA
mj =
pendiente de
m2 =
pendiente de
¿ 2 = T a n o r2
L} y ¿2 :
ÁNGULO ENTRE
a} .
0 = a, -
Así, la fórmula
= Tanc^
(*)
viene de la relación
Ta n a 2 — Ta n a j
Tan 0 = T an ( o r - — a . ) =
donde si
1 + Ta n a 2T a n a j
i)
Si
T an 0 > o
entonces
0 es un ángulo AGUDO
ii)
Si
T an 0 < 0
entonces
0 es un ángulo OBTUSO.
Y si
p = 3i
-
0
9.1
PROBLEMA.-
es el ángulo suplementario entre L. y
Halle la ecuación de la recta
con
L:
3x -
para L* y los denotamos
Como L
tiene pendiente
Tan0( =
pero hay dos posibles soluciones
y
YA
Li \
1
1+ m m
Y siendo
y + l = 0 , y que pasa por ( 0 , 1 ) .
m = 3 :
m — m
:
L f que forma un ángulo de 45°
Sólo falta hallar la pendiente de i *
SOLUCIÓN.-
: TanP = - T a n 0
1
= 45°i
0 j = 45° = 0 2 :
0. = 4 ¿ *
3 — m
I
I =
I + 3m
entonces
ml =
1
l
L. : y ~ \ = — x
1
L2 •
2
m2— m
Tan ©2
1 + m m-
1 =
m 2 ~~ ^
1 + 3m ,
(0 , 0
Relaciones
Cap. 1
9.2
Si
PROBLEMA.-
0
es uno de los ángulos entre las rectas
y si
SOLUCIÓN.-
| Tan 0 1 = 2 ,
y
¿2 ,
halle el valor de:
i)
La tangente del ángulo agudo entre
L} y ¿2 .
ii)
La tangente del ángulo obtuso entre
y
Como
i)
0 j agudo
ii)
©2 obtuso
9.3
49
L2 .
Tan0 = ± 2
entonces
=>-
+ 2
(pues
T a n 0 1 debe ser
Tan 0 7 = - 2
(pues
T a n 0 2 debe ser <
Tan0j =
> 0)
0)
NOTA.- Las tangentes del ángulo agudo y del ángulo obtuso entre dos rectas sólo
difieren en el signo.
10.
GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSOLUTO
La ecuación
y >
0 A
[ x = y
v
\x\
y =
x = - y ]
es equivalente a la condición
y > 0 A [ y
que equivale a considerar los puntos de ambas rectas:
lamente en el semiplano superior
La ecuación
x -
y = \x -
1+ x =
y >
i|
2x -
= x
y — x
,
v
y = - x ]
y = —x
pero so­
o
+ x
es equivalente a :
para
x > l
para
x < 1
y
1—
2x -
X
+
X
1 ,
Si
x > 1
si
x < i
^
YA
y
que consiste de dos partes: la parte
de la recta y = 2x - 1 corres­
pondiente solamente a los valores
de x > 1 , y la parte de la recta
0
*
x
50
Cap. I
Análisis Matemático 1
y = l (hor i z ont al ) correspondiente sólo a la parte del plano ubicada
de x = i , es decir: x < l .
La ecuación
4 -
|y -2 x |
2x — y >
0
= 4 - 2 x - y
[y
A
4=>
, que es equivalente a:
— 2 x = 4 — 2x - y
y < — 2x + 4
[y
A
consiste de aquellos puntos del pla­
no que están en las rectas y = 2
(hor i z ont al ) y
y — 2x =
v
= 2
V
x =
y <
— 4 + 2x + y ]
I ]
y < — 2x + 4 \
4
x = 1 ( ver t i cal )
pero solamente aquellos que se en­
cuentran
debajo
de
la
recta
y = - 2x + 4 , es decir, en la
región
a laizquierda
' J O . 2)
- 2x + 4 .
X
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.
Grafique la relación
2.
Grafique e indique el dominio de la relación:
R
3.
R 2/
| x — 1 | = \y -
2 < | x — 4 | < 12
H
>
}
= {(x,
y) €
R 2/
|y |
> x1
a |y|
Grafique la región S indicando su dominio y rango:
S
5.
= { ( x , y) €
R“ /
Grafique e indique el dominio y el rango de la relación
S
4.
R = { ( x , y) e
= {(x,
y) €
R2/
|y |
< \x\
< 3
}.
Grafique la región definida por la relación
S = { ( x , y ) £ R x R /
| y | > x 2
e indique su dominio y rango.
6.
Grafique la región determinada por la relación
blema anterior.
SUG.- Utilice la recta
7.
y = x
SUG.-
i[~y > x 4 = > -
para la relación S del pro-
como espejo doble.
Grafique la región definida por la relación inversa
S = ‘1 ( x , y ) 6 R 2 /
8.
S
-1
fy
> x
S
donde
}
y > 0 A [ x < 0 V ( x > 0 A y > x 2)]
Halle la pendiente d & la recta que pasa por los puntos:
a)
(2.1)
y
(3,4)
b)
(6,-3)
y
( - 2 , l)
Cap. 1
Relaciones
■M ■ I
c)
9.
■■■!■■
(0,1)
I I I
y
■ M ■ I ■ ■M
I
I
ÉI
■■
|
■■ I
I
(1, 0)
Encuentre el valor de las pendientes de las rectas que son bisectrices entre las
rectas y - x y el EJE X .
SUG.-
m = T a n (a /2 )
_
, .
Tan ( a )
10.
■
- 51 -
donde
Tana = i
2Tan(a/2)
------------------ — —
1 - Tan2 (a /2 )
=
=
y = x )
(Pendiente de
,
, y despeje
Una recta con pendiente negativa pasa por ( - 1 , 1 )
_
,
...
T a n (a /2 ) .
y dista
V~5~ unidades del
punto A = ( 4 , 1 ) . Halle el valor de su pendiente y la ecuación de dicha recta.
11. Sea P = ( a , b )
un punto del plano tal que la recta OP que lo une con el origen
tiene pendiente - 3
y la recta M P
tiene pendiente 2 . Halle el valor de
12.
trazada por los puntos
M = ( 3 , i)
a + b .
Halle las ecuaciones de las rectas Ly y L 2 que pasan por ( 5 , 6) y tales que
L y es paralela a 2 x + y + 1 =
L
13.
P y
7
3x + 2y + 2 =
es perpendicular a
Halle el ángulo obtuso
0
, y
0
0 .
que forman las rectas
L } con pendiente k y la recta
L 2 con pendiente ( k - 1) / ( k + 1) .
SUG.14.
Halle T a n G
, con valor negativo.
Una recta cuya ordenada en el origen es tres veces la de
el origen) es dos veces la de
2x - y +
1 =
o (en
2 y — 4 x + 12 = o , forma un triángulo en el pri­
mer cuadrante con los ejes coordenados. Halle su área.
15.
Halle la ecuación de la recta L que pasa por el origen de coordenadas sabiendo
que la longitud de su segmento comprendido entre las rectas
Ly : 2 x - y + 5 = 0
y
L2 :
2x -
y + 10 = 0
es
-/T Ó ".
Se sabe además que la recta no pasa por el segundo cuadrante.
SUG.16.
Bosqueje una gráfica aproximada.
Dada la familia de rectas
2kx + y + k 2 = 0
, halle la tangente del ángulo
agudo entre las dos rectas de la familia que pasa por ( 1 , - 8 ) .
17.
La ecuación
x + y -
2 + k ( x - y
+ 6) = o
representa una familia de rec­
tas que pasan todas por un mismo punto. Halle las coordenadas de este punto.
18.
Una recta que
pasa
por el
origen
y = 2 x + 4 en los puntos A y B
corta
a las
rectas
x -
y = 3
y
respectivamente. Si el origen es punto me­
dio del segmento AB , halle la abscisa del punto A .
52
19.
Análisis Matemático 1
Entre las rectas que pasan por
comprendido entre las rectas
A
2x -
= (3,0)
y =
Cap. 1
halle una manera que el segmento
2 y x + y + 3 = 0 sea dividido por
la mitad por el punto A .
20.
Uno de los vértices de un triángulo es
A
= (3 , - 1)
y las ecuaciones de la bi­
sectriz y de la mediana trazadas desde vértices diferentes son respectivamente
x - 4 y + 10 = 0 y 6 x + l O y - 59 = 0 . Halle la pendiente del lado que
contiene al vértice A y al vértice que se encuentra en la bisectriz.
21.
Halle la gráfica de las relaciones determinadas por las ecuaciones
y = -Í£ -L — i
a)
,
y = \ x - 2\ -
b)
x .
X
22.
L con pendiente positiva pasa por
Una recta
rectas
3x + 4 y -
2 = o y
A
= ( i, - 2)
4 * + 3y + i = 0
y forma con las
un triángulo isósceles cuyos
lados iguales están sobre las rectas dadas. Halle la ecuación de L .
23.
Un rayo de luz corre a lo largo de la recta
pejo cuya ecuación es
x -
2y + 5 =
0
hasta llegar al es­
3 x — 2 y + 7 = o en el cual se refleja. Halle la ecuación
de la recta L en la que el rayo reflejado se encuentra.
24.
Halle la gráfica de la relación A n B donde
A
=
{ ( x , y) /
* - l <
y
<
x
+ l
},
B =
{ ( x , y ) /
l < x < 3 } .
CLAVE DE RESPUESTAS
1.
2.
—8
1
2 6
16
(1,-D
c
4.
-
“
-
............ ^ ( 3 , 3 )
2. D o m R = [ - 8 , 2 )
3.
U ( 6 , 16]
Dom S = ( 0 , 1 )
Rang S = < — 1, 1 > — { 0 }
*(3 ,-3 )
4.
Dom S = [ - 3 , 3 ]
Rang S = [ — 3 , 3 ]
Cap. 1
Relaciones
5)
53
AY
YA
YA
-a 0 .0
,1
(1,-1)
-1
8.
a)
m = 3 ,
b)
9.
n i|
- ■JT - 1 .
X
X
-1
m = — 1/2
,
m2 =
c) m = — 1
+ 1) . Note que ambas bisectrices son per­
pendiculares entre sí. (Esto siempre se presenta así.)
10.
m = - 1/2
, L :
y = l - ( l/2 ) ( x + l)
L: y
= mx + b
L: y
= m x + ( m + 1) , 0 también
Luego,
* /T
,
( —1,1) 6
m = ±
12.
mj = — 2
m 2 = 2/3
=>- L j i y
=>■
Tan 0 = ± [ ----- ¿
1 + n i|m 2
14.
9u2 ,
16.
Tan 0 =
19.
8x — y — 24 = 0 ,
15.
b = m + l ,
mx
de donde
— y + ( m + 1) = 0
m = 1/3
12/31
YA
,
17.
...
A
m 2 4- 1
y elegimos el signo
b = — 3a
=>
(-)
.
a = 1 , b = —3 .
— 6 = — 2 ( x — 5)
¿2 : y -
13.
21. a)
1/ 2
— 2 pues —------ — 2
a —3
a + b =
^
= d [ L ; (4 , 1) ] = 14m — l + ( m +
^
11.
£
pues
6 = (2/3)(x -
]
=>-
L\
,
Tan 6 = - 1 ,
6 = 3jt/4 .
x = 3y .
A = ( - 2 , 4)
20.
5)
m = 6/7 .
b)
18.
1,
A = (1 , - 2 ) .
54
Cap. 1
Análisis Matemático 1
22.
m = 1,
oo
23.
m
L : y -f 2 = x — \ .
29
_
------ , L :
24.
29 ,
y — 2 = ----- ( x + 1)
V = x + 1
/
’ 7Y ' \
✓
l - r v l
y
' y = x —1
y
1. GRAFICA DE LA PARÁBOLA
Ya vimos que la gráfica de la ecuación de primer grado de
la forma
es una recta.
Ahora conoceremos las gráficas
de las ecuaciones de segundo grado de la forma
Esta completación de cuadrados siempre se puede realizar, donde h y k
son ciertas constantes que dependen de a , b y c , y que pueden tomar cualquier
valor real.
1.1
DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES
GRÁFICA DE LAS P A R Á B O L A S
Para
y = x
2 .
.
x
y
y = (x - 3 ) 2 :
y == X
-3
9
2
2
-1
4
1
1
y = {X - 3 ) 2 :
0
i
2
3
0
i
4
9
x
0
1
2
3
4
5
6
y
9
4
1
0
1
4
9
55
Relaciones
Cap. 1
= (*-3 )
y =x
1.2 NOTA.-
La forma de la gráfica de la ecuación
y = ( x - 3)
de y = x 2 , a la que se le ha d e s p la z a d o
es la misma que la
3 u n id a d e s HACIA LA
DERECHA.
a)
tiene la misma forma que la de
La gráfica de
a la que se le desplazado | h |
unidades HORIZONTALMENTE y
-
HACIA LA DERECHA
si
h > o
-
HACIA LA IZQUIERDA
si
h < 0 .
Así, la gráfica de y = ( x + 3 ) 2 = 0 - ( - 3 ) ] 2
es,
para
h = -3
:
y = (jc + 3 )
GRÁFICAS DE :
y = -
y = -x
y
y = - (x -
3 r
:
y = - ( x - 3)
h = 3 > 0 ,
a la DERECHA
-56-
Análisis Matemático l
1.3 NOTA.- La gráfica de y = — x
2
tiene la misma forma que ia de
y ahí se reflejara la gráfica de y
=
2
y = x
a c tu a r a c o m o un ESPEJO
p e r o v o l t e a d a , c o m o s i el EJE X
1.4
Cap. 1
x2.
D E S P L A Z A M I E N T O S VERTICALES.-
y = X
GRÁFICAS D E :
y = *
2
:
y = x2 + 1:
2
2
y
y --= a:
0
i
2
x
-2
y
4
1
0
i
4
X
-2
-1
0
i
2
V
5
2
i
2
5
-1
Observe que la gráfica de
tiene la misma forma que la de
a la cual se le ha subido 1 unidad VERTICALMENTE.
AY
y = *2+ l
= X
1.5
NOTA
En general, la gráfica de la ecuación
la misma forma que la de
plazado
• HACIA ARRIBA,
• HACIA ABAJO,
fica d e
y = a (x -
y = a{x - h )2 + k
h )2
tiene
a la que se le ha des­
| k | unidades, VERTICALMENTE:
si
si
k >
o
k <
0
Com binándolas NOTAS ( 1 . 2 ) y ( 1 . 5 ) podemos bosquejar la grá2
2
y = {x — 4) - 2 , tomando la gráfica de y = x
y desplazándola
Relaciones
Cap. I
| h t = 14 1 = 4 unidades HACIA LA DERECHA
| h | = | — 2 | = 2 unidades HACIA ABAJO
57
(h
(k
= 4 > 0) ,
y luego
= - 2 < 0) :
= ( x - 4)
y =
= ( x - 4 r
-
si
1
2
Analicemos ahora la mayor o menor
abertura de estas parábolas.
GRÁFICAS DE :
y = x
i i
\
\¡ \
2
1
y = — X
2
,
■\ \1
2
i
I'
v, \
y = 2x“
1.6 N O TA .-
Al punto v
es :
La gráfica de
a)
MÁS ANGOSTA que la de
b)
MÁS ANCHA
= (h,k)
que la de
x
y = x
si
a
o <
>
<
1
se le llama VÉRTICE DE
en
LA PARÁBOLA , siendo su abscisa:,
GRAFICAS DE
y -
h = — b /(2 a ) .
58
Análisis Matemático 1
U
Cap. 1
A y
a < 0
V
k---
k--
X
1.7
PROBLEMA
Bosqueje las gráficas de las ecuaciones:
a)
SOLUCIÓN.a)
y = 2 x 2 + I 2x + 7 ,
b)
2y = 2 x - x 2 + 3
Completando cuadrados:
y — 2 { x + 3)
— 1
VÉRTICE V = ( h , k ) = ( - 3 , - 1 ) , a = 2 > 0
b) y = - L ( x - l ) 2 + 2
VÉRTICE V = ( h , k ) = ( 1 , 2 ) , a = — — < 0
2
2
AY
A y
> 0
2--
V = ( 1, 2)
a < 0
V = ( —3 , — I)
1. 8
Aquí bosquejaremos las gráficas de las ecuaciones de la forma
Observe que la ordenada y debe satisfacer
ejemplo,
y =
(x -
2 )- -
3
y >0
(semiplano superior). Por
Relaciones
Cap. 1
^
y >
o
A
[
y = (x -
2)~ -
59
3
y = - ( X - 2 )“ + 3 ]
cuyos puntos, de cada parábola,
se encuentran en el semiplano
superior
y >
0 :
= -(x -
2)"+ 3
La forma de ambas en la misma, solamente que una de ellas está dirigida
hacia arriba con vértice ( 2 , - 3 ) y la otra hacia abajo con vértice ( 2 , 3 ) .
La gráfica resultante (curva continua),
se obtiene también considerando al
EJE X como un ESPEJO , y donde la parte de la parábola
se encuentra en el s e m ip la n o in fe r io r
plano superior y > o
y < 0
(como si hubiese girado en
(*)
y = (x -
2 )2 -
3
que
se ha reflejado hacia el semi­
180°
alrededor del E J E X . )
METODO PRACTICO :
Para
dado de manera que
y =
| a(x -
a > 0 t se gráfica
h)2 + h I
y = a (x -
de esta parábola cae en el semiplano inferior
y < 0
h)
2
, donde se ha acomo+ k , y si alguna parte
, esta parte se ha de reflejar en
el ESPEJO ( EJE X ) “ girando " hacia el semiplano superior.
1.9
EJEMPLO.-
Para graficar
mienza graficando la parábola
y = | - ( x + 3 )2 + 2 | = | ( x + 3 )2 y = ( x + 3)
2
-
2 , y luego lo que se encuentre en
la zona y < o lo reflejamos (respecto al E J E X )
HACIA LA PARTE SUPERIOR y
>
0 :
2 1 se co-
YA
60
2
Análisis Matemático 1
Cap. 1
.
P(x,y)
Una CIRCUNFERENCIA es el conjunto de todos los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo C = ( h , k ) llamado el CENTRO.
Al valor de dicha distancia constante se le llama RADIO de la circunferencia.
P(x,y)
, C = (h,k)
CONDICIÓN:
d(P,C) = r , r > 0
P = ( * , y)
es decir
h )2 + (y -
k)2
=
r
EJEMPLOS
1.
Laecuación
(x -
i) 2 + (y -
rencia con centro
2.
La ecuación:
( h , k) = (1,3), y
(x + 2 )2 +
cunferencia con centro
3.
La ecuación ( y + 2)
centro
2.1
(h,k)
EJERCICIO
2
(y -
+ (x -
i)
radio
2
= 36
r =
a una cir­
r = -/ó " .
corresponde a una circunferencia con
6 .
Especifique qué tipo de gráfica corresponde a la ecuación:
8x + 2 x 2 + 2 y 2 + 25 = 0 .
Completando cuadrados para cada variable:
2)2 -
8 +
2(y + 4)2 -
(x - 2)2 + (y +
4 ) 2 = 15/2
32 + 25 = 0
que corresponde a una circunferencia de centro
2.2
r = 5 .
( - 2 , 1) , y radio
= ( 1 , - 2 ) y radio
2(x -
r = / T 5 /2
corresponde a una circunfe­
l ) 2 = 6 = (V~6~)2corresponde
(h , k) =
16y SOLUCIÓN.-
3 ) 2 = 25 ( = 52 )
(h , k) = (2 , - 4 )
y
radio
.
NOTA.-
I)
Puesto que:
entonces
(x + 3)2 + (y -
a 2+ b 2 = 0
2)2 = 0
<=>
<=>
O
x+
a = 0
a
b =0,
3 = o
a
y-
x = 3
,
2 = 0
y =
2
Cap. 1
Relaciones
61
que tiene solución gráfica la intersección de la recta
es decir, el punto ( - 3 , 2 )
Asimismo,
id
a
2
?
= -k
( k > 0 )
no tiene solución real para
b , entonces la ecuación
(x -
1)2 + ( y + 2 ) 2 + 2 =
no tiene r e p r e s e n ta c ió n g r á fic a en el p l a n o XY ,
(x -
1)
2
,
es el único punto del plano que satisface la ecuación.
+ b
a y
x = 3 y con ia recta y = 2
+ ( y + 2)
2
= - 2
0
pues
tiene conjunto solución VACIO.
Ambos casos (I) y ( II) se consideran "Casos E s p e c i a l e s ” de circunferencias.
2.3
T o d a e c u a c ió n d e la f o r m a
TEOREMA
x 2 + y 2 4- D x + E y + F =
0
c o r r e s p o n d e a u n a C i r c u n f e r e n c i a o a u n o d e s u s C a so s E s p e c ia le s .
PRUEBA.-
1)
Si
En efecto, al completar cuadrados:
(x + — ) 2 + ( y + — ) 2 = — (D 2 + E 2 — 4 F)
(*)
2
2
4
2
2
D + E — 4F >
o , entonces se tiene una circunferencia de centro
( - D / 2 , —E/2) .
2)
Si
D2 + E 2 - 4 F
=
3)
Si
D2 + E 2 - 4 F < 0
2.4
PROBLEMA
0 ,
(*)
corresponde al único punto
NO EXISTE REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
,
Halle el radio de la circunferencia que pasa por los puntos
A = ( 3 , 3)
, B = ( 0 , - 6)
Sea x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
SOLUCIÓN
(-D /2 ,-E /2 ).
,
y
C = (-2 ,-2 ).
su ecuación; como
A, B y
C pertenecen a esta circunferencia entonces satisfacen su ecuación :
•
Para A :
9 + 9 + 3D + 3E + F = 0
=>
•
Para B :
0 + 36 + 0 - 6 E
0
=>
•
Para C :
4+ 4 - 2 D - 2 E
+ F = 0
=>
Resolviendo el sistema:
x 2-
D = -6
6x + y 2 -
que tiene como centro
+ F =
4y -
, E = 4,
12 = 0
C = (3 , - 2 )
y radio
3D + 3E + F = — 18
-6E + F= - 3 6
- 2 D - 2 E
+ F= -8
F = - 1 2 , y reem plazando:
(x r = 5 .
3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25 ,
-62 -
2.5
Grafique la ecuación :
PROBLEMA
SOLUCION
y
Cap. 1
Análisis Matemático 1
y = ij 4 -
(x - 2)
Observe que la ecuación implica y > o (Semiplano superior) y que
en forma equivalente se tiene la ecuación
(x -
= 4 -
y > o
2)
=>•
(x -
2 )2 + y 2 = 4
y > o
cuya gráfica corresponde a la
de la circunferencia de centro
C = ( 2 , 0) y radio r =
2 ,
pero solamente la parte que
cae en la región
2.6
y > o :
Grafique la ecuación :
EJERCICIO
SOLUCIÓN
y = 2 — •/ 5 + 4x — x
Observemos que
(y -
,
2 )2 = 9 — (x — 2 )2
además se tiene
(x -
2 )2 + (y -
2 )2 =
9
de modo que la gráfica buscada corresponde a la parte de la circunferencia de centro
(2,2)
y radio r = 3 ,
que se encuentra en la región
Ay
y < 2 .
2.7
PROBLEMA .-
SOLUCIÓN
Grafique
y = | 2 - V 9 - (x + 2 )2 | .
Se sigue elmismo procedimiento que para
y -
| a ( x - h)2 + k |
en el que el EJE X hace el papel de un ESPEJO para reflejar hacia el
semiplano superior
y >0
todo lo que está en el semiplano inferior y
Graficamos primero y = 2 - J 9 r ( x + 2)2 . Observe que y
< 2
<o .
y queade-
63
Relaciones
Cap. 1
más es equivalente a
(x -
2)
2
+ (y -
2)
2
= 9
, y <
2
la cual ya graficamos
en el problema anterior,
pero que ahora le aplicacamos el valor absoluto:
(curva gruesa continua)
2.8
EJERCICIO
Grafique la relación definida por:
^ . = { (x , y) /
SOLUCIÓN
i)
8 <
^
8 <
x2 + y2 <
16
A
es la intersección de las regiones ( i )
x 1 + y 2 < 16
y
| x | + | y | < 4 }.
( i i ):
que corresponde a la zona de barrido de la circunferencia
x 2 + y 2 = r 2 desde r 2 = 8 hasta
cir, desde
ü)
y ^ O :
Ix I < 4 — y
-O-
0 <
0 < y <
y < 0 :
|x | <
y + 4
■O
-O-
—4 <
r = 2V2
4
hasta
y <
A
y
4
<
—4 < y < 0
y < 0
A
y >
A
r = 4.
y —4 <
x + 4
A
r 2 = 16, es de­
a
y < —x + 4
— 4 —y < x < y
—x — 4
A
Vi
4
x < 4 — y
y = -x + 4
+ 4
y > x — 4
64
Cap. 1
Análisis Matemático 1
2.9
La ecuación de 2 o grado
1)
Tiene una única solución
<£>
su DISCRIMINANTE
A
= b
2)
Tiene dos raíces reales distintas
-O
b2 -
4ac > 0
3)
No tiene ninguna solución real
-O-
b2 -
4ac < o .
En g e n e ra l, este criterio se utiliza para hallar una recta
TANGENTE a una curva
C
C:
— 4 a c = CERO,
¿T :
cuya ecuación cuadrática tiene la forma:
A x 2 + Bx y + C y 2 + Dx + Ey + F =
y =
para lo cual se reemplaza en ( * ) la relación
mx + b
0
(*)
obteniéndose una ecua-
ción de 2o grado en u n a sola v a r ia b le :
ax2 + bx + c = o
y como esta ecuación DEBE TE­
NER UNA UNICA SOLUCIÓN por la
CONDICIÓN DE TANGENCIA, en­
tonces debe cumplirse que
DISCRIMINANTE =
2.10
EJEMPLO
0
b
es decir
Halle el valor de
—
16 ( n -
Reemplazamos
y = 6x
2
y = 2x + m
— x + n
^
6x
ac
m)
ser tangente a la parábola
SOLUCIÓN .-
4
2.11
=
0
PROBLEMA
SO LUCIÓ N.-
Sea
es decir
.
0
si la recta
y = 6x
2
-
y = 2x + m
ha de
x + n .
en la ecuación de la parábola:
2
-
3x + (n -
y como debe satisfacer la Condición de TANGENCIA:
b 2 — 4ac
=
9 — 4(6)(n — m)
=
m) = 0
DISCRIMINANTE
0
=>
=
0 :
16(n — m ) = 6 .
Halle la ecuación de las dos rectas tangentes trazadas desde el
2
2
punto ( 2 , 7 ) a la circu n fe re n cia : x + y
= 6 x + 16 .
y =
y como
mx + b
(2,7)
una ecuación genérica de la recta tangente ¿ T ,
€ l T
entonces
7 = 2m + b
=>-
b = 7 - 2 m
Relaciones
Cap. 1
Reemplazando en y =
mx + b :
Reemplazando en la circunferencia:
-65 -
y = m x + 7 — 2m
x 2 + . ( m x + 7 — 2 m )2 =
6 x + 16
(1 + m 2 ) x 2 — 2 ( 2 m 2 — 7 m + 3 ) x + ( 4 m 2 — 28m + 33)
Aquí aplicamos la Condición de Tangencia
=
0.
DISCRIMINANTE = C E R O :
12m 2 —7 m — 12 = 0 = (3 m — 4 ) (4 m + 3 )
=>
= —,
m 2 = —3
Existen DOS RECTAS TANGENTES que pasan por ( 2 , 7 ) , con ecuaciones :
Ly
12
y - 7 = y ( x - 2)
L 2:
*
y - 7 =
( - —)(* 4
2) .
.
I)
Se hace y = 0
a) CON EL EJE X :
en la ecuación y luego se despejan los
valores correspondientes de
b) CON EL EJE Y :
Se
'
* si
x = 0 :
y
hace x = 0
x .
en la ecuación y luego se despejan los
valores correspondientes de y
=16
y = ±4
=>
.
(0,4)
y
(0, - 4 )
son puntos de la gráfica, en el Eje Y.
í* si
y = 0 :
x = 3 ± 5
x = 8, - 2
=>
( 8 , 0) y ( - 2 , 0)
son puntos de la gráfica, en el eje X .
66
Cap. 1
Análisis Matemático l
i d
riables x
y y
Se trata de indicar los intervalos máximos en los cuales las va*
toman valores permisibles para la ecuación dada. Por ejemplo,
en la ecuación ( x - 3)
*
= 3 ±
que:
i
- 5 <
2
+ y
2
= 25
al despejar la variable x ,
, el cual tiene sentido para aquellos valores y
vemos que ésta será válida sólo para aquellos valores
3) 2 <
tales
y < 5.
y = ± -J 25 — ( x - 3)
Análogamente, despejando la variable y :
(x -
se obtiene
25
- 5 < x -
3 <
5
x
tales que
«=>■
x € [ - 2 , 8] .
YA
Así, la gráfica está contenida
Fig. 2
5
en la región del plano limitado
por el siguiente rectángulo que
determina su extensión en el
I
- 2
plano (Fig. 2 ) .
B
1
i
8
l
l
l
l
l
-5
ni)
Sea
que el punto
i)
ii)
L _L Q Q ' ,
L
L una recta y Q un punto cualquiera, entonces se dice
Q ' es el SIMÉTRICO DE
(QQ'
es el segmento que va de
intercepta ai segmento Q Q '
su p u n t o m e d io M .
La recta L se llama EJE DE SIME*
TRÍA de los dos puntos Q y Q ' ,
y actúa como un ESPEJO.
Se dice
además que dos puntos P y Q son
SIMÉTRICOS ENTRE SÍ CON RESPEC
TO A UN PUNTO M , si M es el
punto medio del segmento
Q con resp ecto a la recta L si
PQ.
en
Q
a Q ') ,
y si
Cap. 1
Relaciones
67
Este punto M se denomina
CENTRO DE SIMETRÍA.
a) SIMETRÍA RESPECTO AL EJE X
Si V (x , y) : (x, y) e G (gráfica) => (x, - y) 6 G tam­
bién, entonces se dice que la gráfica G es SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE X. Esto
se refleja en la ecuación, la cual NO VARÍA si se reemplaza y por - y .
Por ejemplo, en la ecuación x = y
sustituimos y por
2
:
— y
x = (-y )2
= y
=>
X =
2
y*
y vemos que la ecuación
original N O VARÍA.
b) SIMETRÍA RESPECTO AL EJE Y
Esta simetría ocurre si:( x , y) e G
Y la ecuación NO DEBE VARIAR si se reemplazar x por
Por ejemplo en
(-*, y) e G
—X .
y = x
y = ( - x f = X2 ,
(NO VARÍA)
c) SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN
Se presenta cuando: (x,y) e G
(-x,-y) G G
La ecuación por lo tanto N O DEBE VARIAR si se sustituye simultáneamente
x
y
por — x
por - y
68
Cap. 1
Análisis Matemático 1
Por ejemplo, en
x
+ y
(-* )2+ (-y )2 =
=
16 :
16
\(x ,y )
/
x 2 + y 2 = 16 ,
X
la ecuación NOVARÍ A.
IV) ,___________
Si la distancia de un punto de la curva a una recta fija L va dis­
minuyendo, te n d ie n d o a c e r o , conforme el punto se aleja ilimitadamente de! origen,
entonces dicha recta recibe el nombre de ASÍNTOTA DE LA CURVA.
IV.1)
1)
ASINTOTAS HORIZONTALES :
Se despeja
lores de
x
en términos de y , se hallan los va­
que h a c e n CERO al d e n o m i n a d o r
y
(si h u b ie ra n ), y si es que para tales
—
o
entonces dichos valores de
y
y
la expresión NO SE HACE
coincidirán con las ecuaciones de
las rectas asíntotas horizontales.
2)
ASÍNTOTAS VERTICALES :
Se despeja
y
x , se hallan los valo­
en términos de
res de x q u e A N U L A N al d e n o m i n a d o r (si hubie­
ran), y si para tales
chos valores de
EJEMPLO.-
a)
x
la expresión NO SE HACE —
0
x corresponderán a las rectas asíntotas verticales.
xy - y + I = 0 .
Asíntotas de la gráfica de :
Despejando x :
x = y ~ 1
y
...
(*)
,
vemos que el denomina-
dor se anula para y = 0 . Al reemplazar este valor en
x = —-----0
/.
La ecuación
entonces di-
= — 0
(*)
re su lta :
( d ife r e n te d e — )
y = o (Eje X )
0
representa la única asíntota h o rizo n ta l.
Relaciones
Cap. 1
b)
Despejando y :
y =
69
x = i es la única asín­
observamos que
x
1-
to ta v e rtic a l de la curva dada.
IV.2)
x2y2 =
Graficaremos la ecuación :
1.
a)
1.
INTERCEPTOS CON EL EJE X :
Hacemos
y = 0
en la ecuación dada resultando:
o = l
lo cual es AB­
SURDO; ello implica que la gráfica nunca corta al Eje X .
b)
2.
INTERCEPTOS CON EL EJE Y :
y2 =
EXTENSIÓN :
Análogamente, como
No existen
x *
o
(¿Porqué?)
x e R - { o} .
, es decir
x 2 = —*
y e R -
0 , entonces
{ 0 >.
y
3.
SIMETRIAS.Es simétrica respecto al EJE X , pues su ecuación no varía al reemplazar y
por - y .
Es simétrica respecto al EJE Y , pues su ecuación no varía al reemplazar x
por - x .
Es simétrica respecto al ORIGEN
también.
(¿Por qué ?)
Debido a estos resultados sólo será suficiente graficar la ecuación en el
primer cuadrante, y el resto se completará por simples simetrías.
4.
ASINTOTAS..
y = ±
1
..
x = 0
vemos que
(EJE Y ]
es la única ASÍNTOTA
y = 0 [EJE X ]
es la única ASÍNTOTA
V E R T IC A L .
x = ±
\_
• ••
vemos que
y
HORIZONTAL .
TABULACION.
X
i
2
3
4
5
1/3
1/4
y
± i
± 0 .6
±1/3
±1/4
± 0 .2
3
4
70
Cap. !
Análisis Matemático 1
PROBLEMA.-
Grafique la ecuación:
x2y - y — 1 = 0 .
SOLUCIÓN.a)
INTERCEPTOS con los Ejes:
b)
EXTENSIÓN:
I)
II)
c)
ASÍNTOTAS:
d)
SIMETRÍAS:
e)
TABULACIÓN :
X
y
EJE Y :
y = \ ¡ { x 2 - l)
=*► *
X - ± V (y + D / y
x = -1
,
(0 ,-1 );
x = 1 ,
e R -
=> y
6
EJE X :
No lo corta.
{ - l , 1}
( - 0 0 , - 1 ] u (0,oo)
y = O.
Es simétrica respecto al E je Y solamente.
0
- 1
Será suficiente tabular para
x > o , x *
\ :
1/2
3/4
5/4
2
4
-4/3
-16/7
16/9
1/3
1/15
= -1.3
^ -2.3
= 1.8
^ 0.33
^ 0.07
Relaciones
Cap. I
71
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Bosqueje las gráficas de:
a)
y
= x2 +
6 x —8
b)
y
- 2x — x 2 + 6
c)
Bosqueje las gráficas de (1)
sus valores absolutos.
3.
Bosqueje las gráficas de:
5.
cuando se reemplazan los segundos miembros por
a)
x =
y 2 - 6y - 8
c)
x .=
b)
x =
2y — y 2 + 6
d)
x =
Bosqueje las gráficas de: a)
y (d) del Problema
[3 ]
2 x 2 — 12x + 10
d) y = 18 — 8 x — 2 x 2 .
2.
4.
y =
2y2 -
12y + 10
18 — 8 y — 2 y 2
x = \ y — 6 y — 8 | .Grafique
además (b), (c)
con esta modificación.
Bosqueje las gráficas de:
a)
y
= — -yj x
b)
y
= -
— 2
V 4 -
c)
*
d)
y = 3 + ^ 4 — 2x
y = 4 -
^ 2x -
6 .
6.
Bosqueje las gráficas de [5 ] incluyendo el 2* miembro dentro de un valor absoluto.
7.
Bosqueje las gráficas de:
a)
x 2 + y 2 — 6 x + 4 y — 12
b)
2x2
c)
8.
+ 2 y 2 + 16x - 8 y
= 0
= 0
d)
e)
x 2 + y 2 + 6x — 2y + 1 = 0
f)
x 2 + y 2 — 6y = 0
x2 + y2 -
2| x | -
6y -
4 ( x + l ) 2 + 4 ( y — l ) 2 = 100
Bosqueje las gráficas de:
a)
b)
y = —2 — ^ 16 — 6 x x = —4 +
x2
c)
y =
1 + ^ — x 2 + 6x
16 + 4 y — y 2
d)
x — — ^ 6y — y
2
SUG: Las gráficas corresponden a una parte de cada gráfica en [ 7 ] ;
9.
15 = 0
Bosqueje las gráficas de [ 8 ]
soluto.
¿a cuál?
incluyendo el lado derecho dentro de un valor ab­
10. Halle los puntos de intersección donde fuese posible de la circunferencia de radio
5 y centro en el origen, con:
11.
a)
La recta
y =
x + 5 .
b)
c)
La recta de pendiente
d)
La recta que pasa por ( 5 , 3 )
-3/4
La recta que pasa por ( 2 , 1 )
y
(-1,1).
y que pasa por ( 3 , 4 ) .
y tiene pendiente
La recta L es tangente a x 2 + y 2 = I en
- 3 /5 .
A = ( - i/V T , I/V T ) .
72
Cap. 1
Análisis Matemático 1
La cuerda que va de A al punto
B = (1,0)
forma un ángulo con L .
Halle la tangente del ángulo agudo.
12.
Encuentre la suma de las coordenadas del punto de tangencia de fa recta
x + 2y =
10
13. Halle la mínima distancia del punto
2
x
14.
+ y
2
x 2 + y 2 - 2x - 4y = o .
con la circunferencia
A = (4,5)
a la curva de ecuación:
— 4x — 2y = 0 .
¿Qué valores debe tener a para que las intersecciones de las curvas
x + ay = 2
= 2,
+ y
2
sean reales?
15. Bosqueje la gráfica de la ecuación
x 3 - x 2y - x y + y 2 = 0 .
x ( x 2 — y) - y ( x 2 — y) = 0 .
SUG.16. Sea
x
2
y
2
x + 3*
2
y — 6xy = o
una ecuación factorizable. Halle el área de la
región encerrada por su gráfica.
17.
Una circunferencia pasa por el punto
3a: -
2y -
( - 2 , 1)
y es tangente a la recta
6 = 0 en el punto ( 4 , 3 ) .
Halle la suma de las coordenadas del centro de tal circunferencia.
18.
vertical que pasa por
B = ( 0 , 3) . Halle
19.
(2 a: - a + b ) ( y — a - b ) = 2 tiene una asíntota
La gráfica de la ecuación
= ( 4 , 0)
a
2a
y
De la gráfica de la ecuación
y una asíntota horizontal que pasa por
2b .
y
2
(x
2
-
y
2
-4 )
= o , ¿cuáles son verdaderas? :
a)
Su dominio es todo R .
b)
Es simétrica respecto al origen.
c)Interfecta
al Eje X en más de 6 puntos.
20.
Si
R ,= { ( x , y ) /
|x | +
| y | < 1 >,
R2 = { ( x , y) /
x2 + y2 <
k },
¿Cuáles son verdaderas? :
a)
Para k e [ 0 , 1 ]
=>
R2 c
b)
k 6 [ - 1 / 2 , 1/2]
=>
R 2 C R,
C)
k € [-1,
SUG.21.
Graficar
Rj
I]
y
=>
para el que
Cr n
(x R *
R, C R 2
R2 .
Sean las regiones del plano
Cf = { ( x , y) /
Rt
i)
R = { ( ^ , y ) / x
2
0 .
4* ( y -
1)
2
=
r
2
+ 2 y < l }
y
} , halle el menor valor de r
Relaciones
Cap. 1
73
22. Grafique las siguientes ecuaciones indicando interceptos, extensión, asíntotas y
simetrías.
(xy - 4y ) ( x -
a)
x y 2 4- x y — 2 x — 2 = 0 , Dom = ( — oo , — 8 /9 ) U ( 0 , oo ) .
b)
23.
24.
2) = 1
2
-
xy
e)
x2 =
(y -
g)
xy
-4
=
x
2
C)
2
.
d)
l) 2
f)
y =
h)
(x - 2 ) (y
= y
,
2
-
x
2
y
.
=
\
1
- x2
t
- 3) =
|x | *
1.
- 4 .
Indicando el dominio y el rango, grafique:
a)
( x 2 + 6x
+
9 ) ( y 2 — 4 x + 4) =
b)
(x2 -
2x
+
3) ( y 2 — 4 ) — 0
C)
y2 =
(x
-
l)/(x -
d)
V xy
=
I.
0
3)
Indique la extensión para x e y de las gráficas de las ecuaciones siguientes
a)
x 2y + 2 x y
b)
2 x y ( y + 1) =
c)
2y(x
2
-
y
— 1= 0
2
1
2
) =x
(solamente
para y ) .
CLAVE DE RESPUESTAS
10. a)
c)
11.
( 0 , 5) y
( - 5 , 0)
b)
(3 , 4)
( ± 2 - / ó " , i)
d) No hay intersección.
( V T . d
12.
6
13. V T
14.
a € { — o o , — 1 ] U [ 1, oo ) .
15.
La gráfica corresponde a la reunión de los puntos de las gráficas de las ecuacio
2
nes:
y = x , y = x
16.
6u2
19.
Todas
17.
20.
21-
r m in = r =
24.
a)
d [(l,
39/7
,
y 6 ( - o o , — 1] U ( 0 , o o )
A r e < - o o , - 2 ] u ( 0 , o o > ,
c)
j/
[ 0, 1/2)
-5
= 2 //I
b)
e
11 y
Sólo (b) y (c).
1) ; 1 ]
x € R — { 0 , 2 }
18.
U <1/2, oo) .
y e u - {0 , - 1 }
-74 -
Cap. 2
FUNCIONES
1.
Estudiaremos aquí una clase especial de relaciones en­
tre elementos de
un conjunto
FUNCIONES DE A
EN
A
y elementos de un conjunto
B , llamadas
B .
Así, una FUNCIÓN expresa la idea de una cantidad que depende de
otra o que está determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un cuadrado depende de
la medida de su la d o t y se dice que el valor del á r e a d e un c u a d r a d o está en f u n ­
ción d e la lo n g itu d d e su lado.
1.1 DEFINICIÓN.-
Dados dos conjuntos no vacíos A y
f C A x B
entonces
B , y una relación
El conjunto
f es una F U N C IÓ N
d e A en B
para cada
x e A , existe a lo m á s un e le m e n to
tal que el p a r o r d e n a d o
A =
Conjunto de Partida ,
1.2
EJEMPLO.-
Tomemos
1)
f = { ( l , b ) , (2 , a ) , (3 , d ) }
pues cada elemento de
uno.
B =
A = { 1 , 2 , 3}
A
s i:
Conjunto de Llegada.
,
B = { a , b , c , d , e } :
es u n a f u n c i ó n de A en
f
B
(x , y) e f.
está asignado a un elemento de
Vemos que no es necesario que
ye
B , (Ver fig.) ,
B , y solamente a
cubra a todo el conjunto B .
Funciones
Cap. 2
2)
NO es f u n c i ó n de A en B :
pues el elemento
x = \
de
75
f = { (1 , b ) , (1 , c ) , (2 , a ) , (3 , e ) }
A
está asignado a DOS ELEMENTOS DE
i/j = a , y 2 = c , es decir, tales que
(t,a) e f
y
B :
( l , c ) € f , haciendo
fallar la definición de F u n c ió n de A en B.
3)
S í es f u n c i ó n de A en B :
f = { ( I , b ) , (2 , c ) }
pues aún cuando el elemento x = 3
de A no está asignado a ningún elemento
de B , esta posibilidad está contemplada en la Definición de f u n c ió n de A en B .
4)
S í es f u n c i ó n de A en B :
x
x
x
f = { (1 , c ) , (2 , c ) , <3 , c ) }
= 1 está asignado
= 2 está asignado
a solamente un elemento y =
c e B .
a solamente un elemento y
=
c e B .
= 3 está asignado
a solamente un elemento y
=
c € B .
pues
76
Análisis Matemático 1
1.3 OBSERVACIONES.-
Cap. 2
Dada una función f de A en B , se tiene que
1.
Cada elemento x de A debe ser la primera componente d e a lo m á s u n p a r
o r d e n a d o de f , como en los ejemplos ( 1) , (3) y (4) previos.
2.
No pueden existir dos pares ordenados diferentes con la m is m a p r i m e r a c o m ­
p o n e n te .
3.
Pueden existir varios pares ordenados con la m i s m a s e g u n d a c o m p o n e n t e ,
como en el ejemplo (4) previo.
4.
No es obligatorio que todo elemento
par ordenado
(x,y)
y e B sea la segunda componente de algún
G f , como en el ejemplo (1) los elementos
c
y
e del
conjunto de llegada B no constituyen la segunda componente de ningún par orde­
nado en la función dada.
5.
Si un elemento del conjunto de llegada
y e B es la 2da. componente de un par
ordenado de f
entonces este mismo elemento puede ser la 2da. componente de
va rio s p a r e s o r d e n a d o s d e la f u n c i ó n f , como en el ejemplo (4) de [ 1 . 2 ] .
1.4
1.
Se llama APLICACIÓN DE A
todo e le m e n to x de
de
B , y
Si
sin excepción, está a s ig n a d o a u n e le m e n to y
s o la m e n te a u n o . En tal caso, se denota
f :
2.
A ,
EN B a toda aquella función de A en B tal que
(x,y)
y = f (*)
A
o también
* B ,
e f , función de A en B , a la 2da. componente y
[ léase :
f en x
o
( * , y) € f
3.
A
x
f de x ] ;
se le denota
es d e c ir :
y = f (*)
-
y
es la IMAGEN DE
-
x
es la CONTRAIMAGEN (o ANTECEDENTE) de
-
x
es la v a r ia b le in d e p e n d ie n te .
y se dice que
, v ía la f u n c i ó n f .
y
, vía f .
Una parte de los autores considera como sinónimos a FUNCIÓN y APLICACIÓN.
En este texto remarcaremos la diferencia.
Cap. 2
4.
El
Funciones
DOMINIO de la función
ponentes de
los
Dom f
f c
A x B
77
es el
conjunto de todas las primeras com­
elementos (pares ordenados) de f :
={ x 6 A /
Existe
fa lq u e
y 6 B
(x , y)
6 f } C A .
EtRANGO o RECORRIDO de la función f es el conjunto de todas las segundas
componentes de los elementos (pares ordenados) de f . Es decir, esel conjunto
de todas las IMÁGENES de f , y no siempre cubre a todo B :
Ran f = { y G B /
=
{
Existe
f (x ) € B /
x G A
tal que
x € Dom f }
ElDOMINIO de toda APLICACIÓN f :
} C
B
C B .
--------- ► B
A
y = f (x )
siempre coincide con todo el
conjunto A , por definición de APLICACIÓN.
El RANGO de f
1.5 EJEMPLO
no siempre coincide con el conjunto de llegada B .
Sean
A = { 1,2,3,4 }
función
,
B = { a , b , c , d , e } . Si
fesla
f = { ( i , a ) , (2 , b ) , ( 3 , c ) , ( 4 , c ) }
entonces
Dom f =
{1,2,3,4}
=
A ,
Rang f = { a , b , c } C B ,
* B .
Además,
«
f (1)
= a
pues ( i , a ) 6 f
, a
es la imagen de
f (2 )
= b
pues ( 2 , b ) € f
, b
es la imagen de 2 vía f ,
f (3 )
= c
pues ( 3 , c ) € f
i c
es la imagen de 3 vía f ,
f(4)
= c
pues ( 4 , c ) € f
i c
es la imagen de 4 vía f ,
pues por notación, si
(x , y) g f
entonces
I vía f ,
y = f (x ) .
En este ejemplo también se ilustra él hecho de que un solo elemento
puede ser la imagen de varios elementos
x e A .
1.6 DEFINICIÓN.-
f :
Dada una función
A
y B
y g B
y un subconjunto S de A
se llama CONJUNTO IMAGEN DE s vía f , al conjunto:
f(S ) = { f (x) /
x € S }
y viene a ser el conjunto de imágenes correspondientes a todos
los elementos del conjunto s.
Según esta definición,
Rang f =
f (A ) =
IMAGEN DE TODO EL DOMINIO A ,
vía la función f .
-78
Análisis Matemático 1
Cap. 2
1.7
Si
1),
M C A ,
f ( M U N ) = f ( M ) U
N C A ,
f (N )
f : A
* B
entonces
,
,
2)
f (0 ) = 0
,
3)
En general:
f(M n N )*
EJEMPLO.-
f = { (1,6), (2 ,6 ), (3,8) }
f(M )n f(N ).
M n N = 0
,
,
M = { I } ,
N = {2,3}
f ( M) = {6 } y f ( N ) = { 6 , 8 } , d e donde
f ( M) n f ( N) = { 6 }
f (M n
4)
s i y sólo s i
f ( M) = 0
N)
=
f (0 )
M = 0
,
= 0
5) f ( M n N ) c
f ( M) n
f ( N) .
PRUEBA DE [ 1 ] :
y € f (M u N )
-O-
«=>
y = f (w ) ,
para algún
w € M u N
f
y = f (w ) e f (M ) ,
si
w 6 M
1
y = f ( w ) 6 f (N)
si
w e N
y = f (w)
€
,
f ( M ) u f ( N ) , para
V
w e M u N .
Las propiedades [2 ] y [ 4 ] se pueden probar por reducción al absurdo.
Con frecuencia se define una función mediante una regla que permite calcular
para cualquier x dei D om f su imagen y = f ( x ) .
Por ejemplo, y = f ( x ) = x 2 es una regla que hace corresponder a cada x e D om f
el elemento
y = x
2
dei conjunto de llegada.
A esta regla se le llama REGLA DE CORRESPONDENCIA de f .
Al símbolo
x
se le llama
VARIABLE INDEPENDIENTE.
Al símbolo
y
se le llama
VARIABLE DEPENDIENTE.
Más aún , u n a F U N C IÓ N e s tá c o m p le ta m e n te d e te r m in a d a (d e fin id a )
c u a n d o se esp ecifica n a m b o s : su D O M IN IO y su REGLA DE C O R R E S­
P O N D E N C IA .
79
Funciones
Cap. 2
1.8
En general, una FUNCIÓN f viene a ser un conjunto de pares ordenados
f = { ( x , y) /
x e A
A
y
= f (x) € B } .
Aquí consideraremos funciones entre conjuntos de Números Reales:
B c
A c
R
a
R , y las llamaremos FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
Por ser estas funciones Relaciones en R , tienen representaciones
el plano X Y = R
. L a variable independiente x
mientras que la variable dependiente
gráficas en
está representada en el EJE X ,
y = f ( x ) es leída en el EJE Y .
LA GRÁFICA de f se define como el conjunto de pares ordenados:
Gf
x e Dom f
= { ( x , y) € R x R /
A
y = f (x ) }
Así vemos que el dibujo que sigue corresponde a la GRÁFICA de la función
f = { ( l , D , (2,1), (3,2), (4,3), (5,2) }
f(x)
donde
Dom f = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
30 - -
Rang f = { 1 , 2 , 3 } .
2 "--
El R A N G O de f se
lee en el E J E Y.
1' *
O
1
En general estudiaremos funciones cuyo dominio consiste de una can2
tidad infinita de elementos, como es el caso de y = f ( x ) = x , x e D om f =
= R = { — o o , o o ) , en las
que usualmente sus gráficas
estarán constituidas por rectas
o curvas o combinaciones de
ambos tipos.
El rango de f se lee en el
Eje Y .
Rang f = [ O , o o ) .
y = f (*) = x
80
Cap. 2
Análisis Matemático I
Por la definición de FUNCIÓN , ésta no debe tener dos pares ordenados con la misma
primera componente.
La gráfica adyacente no correspon­
de a una función pues tiene dos
pares ordenados
(x , y ,)
,
diferentes con la
componente x .
(x , y2 )
misma
primera
x
En cambio, esta segunda gráfica sí
corresponde a una FUNCION
1.9
X
( * 2, y)
PROPIEDAD F U N D A M E N T A L DE LAS FUNCIONES REALES
Una relación f es una FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
si y sólo s i toda recta vertical corta a su gráfica a lo m á s en
u n p u n to .
Según esta propiedad, las gráficas de las rectas verticales, de hipérbolas o de
circunferencias completas no c o r r e s p o n d e n a fu n c io n e s .
a)
2.
El dominio de una función se halla ubicando el conjunto de
todos los valores que puede tomar la variable independiente x ■„ excepto en el ca­
so en que dicho dominio haya sido previamente indicado claramente.
Funciones
Cap. 2
2.1
81
En la función
y = f(x) = 3 ,
está indicado:
Dom f = [0,4].
EJEMPLO .-
v x € [ 0 , 4 ] , el dominio ya
Rang ( f ) = { f ( x ) / x 6
[0 ,4 ]}
= {3}
YA
Observe que el rango de f consiste de un único
elemento, como se puede leer en el Eje Y, aun­
que su gráfica consista del segmento de recta
graficada a la altura y = 3 , pero sólo correspondiente a los valores de x e [ o , 4 ] .
f
►
0
A
EJEMPLO.-
Si se nos pide encontrar el dominio y el rango de la función f tal que
f(x)
= J (X -
l)(x -
9)
,
el dominio estará constituido por todos aquellos x
> o , es decir
presión subradical satisfaga la condición:
( x — 1) ( x — 9) > 0
«=>•
Dom f = { x
( x — 1) ( x — 9) >
6 R /
que hagan que la ex­
x € < - o o # 1] U [ 9 , o o )
0 }
= ( - oo , I ] U [ 9 , o o >
Para hallar elR A N G O se parte de la condición dada para los x
en el D O M IN IO y
se construyen las cotas o valores adecuados para la variable y = f (x)
V x 6 { - OO, 1] U [ 9 , o o )
( x — 1) ( x — 9) > 0
y = f ( x ) = ^ ( x - l ) ( x - 9)
O-
2.2
y -
4=>
Rang ( f ) = { f ( x ) / x 6 D o m f } =
[ 0 , oo > .
++ *0
**
m * *+* * *
PROBLEMA.-
Halle el rango de la función
SOLUCIÓN.-
D o m f = [0,8]
x E
4=>
[0,8]
O4=>
2.3
> 0
PROBLEMA.-
m* m * w
f ( x ) € [ 0 , oo )
m
f( x ) = ./x "T T ,
o < x < 8.
:
1 < x + 1 < 9
<£S>
1<
x + 1 < 3
y = f (x) = J I T + T € [ 1 , 3 ]
Rang ( f )
=
[1,3]
=
Halle el dominio y el rango de
{ f (x) / x e [ 0 , 8 ] } .
f (x )
=
x
+ 7x
+ I4 x + 8
x 2 + 6x + 8
-82
Análisis Matemático 1
SOLUCIÓN.-
y
x
+ 6x + 8 =
= f(x) =
Cap. 2
<=>
( x + 4) (x — 2) = 0
( x + 1) (JC + 4) ( x + 2)
x = —4 , —2
= x + i , para
x *
,
- 4 , - 2
( x + 4) ( x + 2)
Dom f
=
IR — { — 2 , — 4 > .
Así tenemos que su gráfica corresponde a la de la recta
suprimido DOS PUNTOS, los correspondientes a
y = x + 1 a la que se le ha
x = - 2 ya
x = -4
pues no
se encuentran en el dominio de f .
Observando el Eje Y en la gráfica teñe
mos que:
Rang ( f )
2.4
PROBLEMA.-
=
R -
{ - 1 , - 3}
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f (x ) = x 2 — 6x + 8 .
4
x puede tomar cualquier valor en R :
SOLUCION.-
f (x ) =
O
f (x ) >
^
f(x)
O-
Rang ( f ) = [ - 1 , o o )
NOTA 2.1
- 1 ,
x2-
6x + 8
=
D om f = R
( x — 3 )2 — 1 >
-1 ,
,
V x 6 R
V x e R
6 [ - 1 , oo)
Cuando una función está constituida por varias funciones con distintas re­
glas de correspondencia como
Funciones
Cap. 2
f. ( x )
,
83
x € A
f (*)
A n B = 0
f2 (x)
,
Dom f = A U B =
,
entonces
x € B
Do m f, U Do m f
2
Rang f = R a n g ( f j ) U R a n g ( f 2 )
pues
R a n g (f) = f ( A u B )
=
f(A)uf(B )
=
R a n g ( fj) U R a n g (f2 ) .
Esto puede extenderse a funciones con tres o más reglas de correspondencia.
2.5
i)
EJEMPLO.-
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
hj (x ) = x 2 -
4 , x < 3
=>
ii)
=>
x2 > O
h , ( x ) > - 4
h 2 ( x ) = 2 x — 5 , x € [ 3 , oo )
=3-
6 < 2 x
=>
h 2 (x)
=>
=>
=>
1
Rang ( h j ) = [ - 4 , o o )
1 <
=>
2x — 5 =
D om ( h )
= ( —o o , 3 )
U [3,oo)
Rang ( h )
= Rang ( h j )
U Rang ( h 2 )
= [ — 4 , oo )
U [ 1, oo ) =
=
R
[ — 4 , oo )
y la gráfica de h se consigue de la siguiente forma:
para
x e <-oo,3)
•
para x e [ 3 , o o )
,
,
se gráfica la parábola
se gráfica la recta
h 2 (x)
Rang ( h 2 ) = [ 1, oo ) .
Por lo tanto,
•
—4
3 < x
=>•
>
x2— 4 >
y = x2- 4
y = 2x - 5
-84-
De esta gráfica, vemos que en efecto:
2.6
Cap. 2
Análisis Matemático 1
PROBLEMA.-
Rang ( h )
=
[ - 4, oo) .
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
,
x € [-4, -1)
0
,
* € (0,2)
2x — 1
,
x 6 ( 2, 4 ]
* f(*)
=
1
SOLUCION.-
Dom f = [ - 4 , - 1 )
U (0,2)
U (2,4]
Rang ( f ) =
[ - 5 , - 2 )
U {0}
U ( 3, 7]
-4
2.7
PROBLEMA.-
Halle el rango de la función
f(x)
=
2 x + 14
l +
,
-5
< x < 2
-3
SOLUCION.i)
f ( x ) = i + ^ X2. - 2 x + 14
= 1 + ^ ( x - I ) 2 + 13 ,
-5
< x < 2
Funciones
Cap. 2
donde
x < 2
- 5 <
0 < U
ii)
1)
-
1 + V ~ iT
<
i +
i + VTT
<
f. ( x )
(*
-
+
13
1)
I) <
13 < ( x -
1
1)
+13 <
49
< 7
+13
< 8
Rang ( f . ) = [ l + V T F , 8 ]
< 8
V x 6 [ —2 , 4 )
f* (x) = —3 ,
Por lo tanto,
- 6 < (x -
O " < 36
V(*
V
VTT <
=>
-
85
Rang ( f 2 ) = { - 3 }
Dom f
=
[- 5 ,2 )
U [2,4)
=
[-5 ,4 )
Rang f
=
[ 1+ /T 7 , 8] U { - 3} .
FUNCIONES ESPECIALES
3.
3.1 FUNCION
Dominio
IDENTIDAD
= R ,
i o
id : R
Regla de correspondencia
Su gráfica es una recta de pendiente
y = 1(x ) = x
m = 1 que pasa por el origen.
Si la función IDENTIDAD ha de tener como dominio un subconjunto
R
entonces se le denota
IA
o
Id A
V x € A
y se dice que es la FUNCIÓN IDENTIDAD SOBRE A , O la RESTRICCIÓN DE
SUBCONJUNTO A .
3.2 FUNCIÓN CONSTANTE : c
Es una función cuyo dominio
y cuyo rango consiste de un so­
lo elemento C en r :
y =
c
(x)
=
c
, v
c
X e
YA
R
Rang ( C ) = { C > .
Su gráfica es una recta horizontal a la
altura y = C .
de
:
I A (x) = x ,
es R
A
0
— .
'w
ld
AL
86
Cap. 2
Análisis Matemático 1
3.3 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO ; u a
Para cada a e IR (fijo), se define la FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
r
U a(x)
=
o
.
x <
\
L i
x >
AY
Dom U a =
I -------- * —
!
i
u
K
Rang U a = { 0 , 1 }
o
Note que en el punto x = a , la gráfica da un salto vertical unitario
Por ejemplo:
u 3 (x ) =
|
o
x < 0
0
x < 3
ly x )
=
x > 0
AY
YA
u
1
u
¥
o
3.4
NOTACION
o
X
UQ también se le denota simplemente p o r : u
A la función
es decir,
U Q( x ) =
3.5 FUNCIÓN SIGNO :
U (x) .
Sgn
Ay
-1
Sgn ( x ) =
Dom Sgn
=
x < 0
0
x = 0
I
x > 0
0
R
Rang Sgn = { - 1 ,
o
0, I }
í
-
1
,
Funciones
Cap. 2
87
3.6 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO :
x > 0
y = f( x ) = Ixl
=
—x
x < 0
Su gráfica está constituida por una parte de la recta y = x , ( para x > O ] y por
una parte de la recta y = - x , (para* < 0).
Dora
= R
y =
*
Rang | I = [ 0 , o o )
3.7 FUNCIÓN MAXIMO ENTERO
I
]]
Es aquella función definida por la regla de correspondencia:
f ( x ) = [[*]]
=
n
cuyo Dominio es todo R
,
si
n < x < n + l , n e
y cuyo Rango es Z
Para algunos valores de n :
2
,
SI
-2
<
X
<
- 1
t
si
-1
<
X
< 0
0
,
si
0 <
X
< 1
si
1 <
X
< 2
si
2 <
X
< 3
~
f(x ) = lx ]\
=
I
2
,
Ay
fU ) =
QV[]
2"
2
+■
-I
-1
- I
[Enteros] .
z ,
88
Análisis Matemático 1
3.8 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA :
Cap. 2
i
1/2
y = f(x) = -Í7
y = f ( x ) = * ,/2
Dominio:
Rango:
[ o , oo)
[ o , oo)
3.9 FUNCIONES CUADRÁTICAS
FORMA GENERAL :
a *
0
,
y completando cuadrados siempre pueden transformarse, en la forma
Sus gráficas corresponden a PARÁBOLAS con el eje focal paralelo al EJE Y, con vér
tice V = ( h , k ) , siendo su abscisa:
i)
ii)
Si
a
y cuyo Dominio es todo R ,
> 0 :
a > 0
Dom f
= R
Rang f
= [ k , oo)
Si
h = — b /(2 a )
a < 0 :
Dom f = R
a < 0
Rang f = ( — oo , k ]
Y como es posible expresar
f(x) =
a [ (x + — ) 2 2a
] ,
donde
A
=
b
-
4ac ... DISCRIMINANTE
4a
y pueden presentarse los casos:
1)
f(x)
TIENE
r a íc e s r e a l e s
, es decir, valores de
x
para los cuales se
tiene que :
i)
f(x)
Que
si y sólo si
f(x) = 0
tie n e d o s raíces reales d i s t i n t a s
y se puede factorizar:
ii)
- 89 -
Funciones
Cap. 2
f(x)
f (x )
=
x, ^
x2
-O
A
a (x — X j) (x — x 2 ).
>
0 ,
F¡g. OO
tiene u n a sola r a íz real (doble)
si y sólo si
A
= 0
.
En tal caso se puede factorizar en la forma:
(como un CUADRADO PERFECTO).
Por ejemplo,
y satisface:
f ( x ) = 3x
A
= b
— I 2 x + 12
-
4ac
=
tiene
144 -
a = 3 , b = —12 ,
4 (3 )(1 2 )
=
c = 12
0 .
Entonces f ( x ) debe tener UNA SOLA R A ÍZ REAL (doble). En efecto, vemos
que podemos factorizar
f (x )
en la forma:
f ( x ) = 3 (x -
cuya ÚNICA R A ÍZ REAL (de multiplicidad dos) es:
2)
2
xQ = -
= 2
2a
[ Ver Fig. ( l i i )
Fig. ( 1 ¡ )
para
A
a = 3 >
>
0
Fig.(1ii)
x Q = —b / ( 2 a )
0
] .
90
2)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
NO TIEN E N IN G U N A R A Í Z R E A L
f(x)
<&■
A
AY
<
0 .
a < 0
X
►
V
V
X
3.11
POLINOMIOS
Las funciones cuadráticas son casos especiales de p o lin o m io s.
Un POLINOMIO es una función de la forma:
n —1
f(*)
donde n
es un entero > 0 .
Si
an *
0
+
...
+
aj x
+
entonces el polinomio es de GRADO n t
y al coeficiente a n se le llama COEFICIENTE PRINCIPAL.
Un polinomio de grado
0 es una F u n c ió n
Un polinomio de grado
I
es una F u n c ió n
C o n s ta n te
L in e a l
f ( x ) = a0 .
f ( x ) = ax + b .
Si r es una raíz de un polinomio f ( x ) , esdecir que satisface la relación
f(r)
= o ,
d e g ra d o n ,
f(x)
donde
Se llama
Q(x)
entonces se puede expresar en la forma
= (x -
r).Q (x)
es un polinomio de grado
RAÍZ DE MULTIPLICIDAD
m
de
(n -
f (x )
1 ).
a aquella raíz
r
tal que hace
posible expresar:
f(x)
donde
Q(x)
= (x -
es un p o lin o m io de g r a d o
Un polinomio de grado n
cidades;
r ) m • Q(x) ,
plicidad 2 y
0 ,
(n — m ).
tie n e a lo m á s n raíces contando sus multipli-
así por ejemplo
es un polinomio de grado
Q(r) ^
f( x ) = 3(x n =
i ) 2 ( x + 4 ) 3 ( x 2 + I)
7 , con dos raíces reales:
r = - 4 de multiplicidad 3 .
r = 1 de multi­
91
Funciones
Cap. 2
Otro ejemplo:
f ( x ) = — x 4 ( x + l ) 3 ( x — 5 ) 2 ( x 6 + 4)
es un polinomio de grado n =
tiplicidad 4),
3.12 PROBLEMA.-
r = - l
15 con tres raíces reales:
(de multiplicidad 3)
Encuentre un polinomio
P(x)
y
r = 0 (de mul­
r = 5 (de multiplicidad 2).
d e g ra d o
n = 10
que tenga
una raíz doble en - 2 , una raíz doble en 3 , una raíz simple en
— i y una raíz triple en o y ninguna más.
RPTA:
Una posible solución válida es:
P (x ) = - 4 ( x + 2)2 (x -
3.13 FUNCIÓN SENO :
3 ) 2 ( x + l ) ( x 3 ) ( x 2 + 3) .
y = Sen(x).
La variable
x e R
Dom ( S e n ) = M ,
3.14 FUNCIÓN COSENO:
y = Cos(x)
se considera medida en radianes.
Rang ( S e n ) = [ —1, 1]
92
Análisis Matemático 1
Dom ( Cos) =
R
,
Rang (Cos) = [ —1, I ]
Rang ( Cos ) = [ — 1, 1 ] ,
SOLUCIÓN
pues
—1 <
Grafique la función:
3.15 EJERCICIO
f (x)
Cos ( x ) <
= | x -
V x e R .
1 ,
2 | + i ,
x e [ - i , 6]
Por propiedad del Valor Absoluto:
€ [ - i , 2)
fÜ O
Cap. 2
,
pues
|x -
2| = 2 -
x
a q u í,
,
pues
Ix -
2 I = x -
2
a q u í.
=
x — l
,
x € [ 2, 6 ]
En la gráfica vemos que
Rang ( f ) = [ 1 , 5 ]
= { 1, 4 ] U [ 1 , 5 ]
Grafique la función
3.16 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN
Como
v *
> o,
f(x)
V x > 0 ,
=
entonces
=
V x
,
de modo que la gráfica de
f(*)
=
f(x) =
resulta ser la misma que la de
y = v x
.
X
3.17
PROBLEMA.-
SO LUCIÓ N.-
Grafique la función
f(x)
=
x |
.
D om ( f ) = R . Observamos que la gráfica de y = f ( x ) = ^ | x |
es simétrica con respecto al
plazar x por - x ; y como
f(x)
= V "*~
Para
Eje Y , pues la ecuación
|x | = x , v x > 0 ,
no varía alreem
entonces
x 6 [ 0 , oo)
y por la simetría completamos la gráfica en la región:
x € { - oo, 0 ]
Funciones
Cap. 2
93
R ang(f) = [ 0 , oo).
3.18 PROBLEMA
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f(x) =
ÍV "*"]]
*
SOLUCIÓN
¡V7]
-
■T7
n
D om f =
[ O, oo)
3.19 PROBLEMA.SO LUCIÓN.-
< (n + l) 2
<
X
0
,
x
I
,
2
,
,
n >
0
,
n 6 Z
~
para
n = 0
en
(*)
* 6 [1 , 4)
para
n = 1
en
(*)
x € [ 4 , 9)
para
n =
en
(*)
€ [0 ,
Rang f = Z
Grafique la función
[[2x]] = n
,
l)
2
(•>
U { 0> .
f(x ) = [[2 x ]] .
s i y sólo s i
n <
2 x < ( n + I)
n 6 Z .
Luego,
f(x)
=
2
,
x 6 [-1 , -1/2)
n
-2
I
,
x € [-1/2,0)
n
-1
0
,
x 6 [ 0 , 1/2)
n
0
1
,
x € [ 1 / 2 , 1)
n
1
2
.
x € [1,3/2)
n
2
94
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Dom f
Rang f
3.20 PROBLEMA
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f(x) =
SOLUCION
a)
b)
Dom f =
v i £
u,
v x e
f(x)
=
u
2
,
f(x) =
|x | -
f(x) =
—x
[ o , oo)
f(x) =
x -
f(x) =
x -
x <
o ,
[[x ]]
=
— n
-o-
,
o ,
x >
[ x ]
n ,
,
para
-x + 2 ,
x e [-2, -i)
-x + 1 ,
x € [ - 1 , 0)
X -
x Rang ( f ) = [ 0 , l ) U
,
1 ,
2 ,
{1,2]
x €[0,
X
-x -
X I
, de donde
=
,
n €
Z
X
+ l ) , n > 0 , n 6
Z
f(x) € < 5 , 6 ]
n
-3
o
f(x ) € (3, 4]
n
-2
^
f ( x ) € (1,
2] , n
-1
f(x ) € [0,
1) , n
0
l)
x € [ 2 , 3)
[[x ]]
jc e [ n , n + l )
-2)
x € [ 1, 2)
= —x
x 6 [ n , n
x e [-3,
X
.
de lo cual resulta que
-x + 3 ,
<
[[* ]]
R
= {- oo,o)
=
|x| -
<=>•
f(x ) € [0,
l ) , nn = 1
f( x ) € [0,
l) , n
u ( 3 , 4 ] u ( 5 , 6 ] u { 7 , 8 ] ü
...
= 2
95
Funciones
Cap. 2
3.21 PROBLEMA
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función:
f(x)
1
‘
=
X
—— *
. x .
SOLUCIÓN
D om f = R -
a)
= { 0 , o o ) , n > 0 ,
V x e u .
n = 0 :
[[l/x]]
=>
0 <
l/x
<
0 . Es decir,
=
n > 0 :
n <
l/x
[ [ l / x ] ] = n . Y de
{0 }
1
x 6 ( I , oo)
-O-
f(x)
<
n e Z :
=
0
, V x G { I , oo) .
*
---------- <
n + 1
n + 1
n
(ff) :
< xn
<
^
1
x < —
n
••
. (a)
1
n + 1
0 < —i — <
n + 1
a1)
x [[l/x ]] <
1 .
ll/xj
x [[l/x | = 1
-
= l/x
= n 6 Z+
'*
f(x)
a2)
=
n
0 <
'
1
.
x
=
X
.
< x
n + 1
V x =
i
_1_
< 1 -o-
x *
X
1
■
■
f (x ) =
1 ,
= 0
X
,
1
—
n
( de donde
V x > 0 , x *
V x 6
ü, =
n G Z
+
n
. x .
b)
1
( - 00, 0)
= n
,
,
n € Z
( n < — 1)
x
1
n < —
x
<=>
b1)
b2)
< n + 1.
n = -1
:
f (x ) =
m
n <
-1
f (x ) =
u
« t
•
Verifique que
:
=
V x G { —m — 1 ,—m ] ,
m entero > 1
Verifique que
1
= (-1 ,0 )
O
f(x)
,
.
1
x 6 ( ( O , 1] — { — / n e Z + } )
n
1
x 6 { — /
n
+
n G Z ' } U ( —2 , 0 )
x € ( - 3 , - 2 ]
U <1, o o )
96
Cap. 2
Análisis Matemático 1
f(x)
*
{
La gráfica como ejercicio
3.
3.22 EJERCICIO.-
Halle el rango y la gráfica de
SUG.-
f (x )
=
[[|x|J.
Ver la simetría.
3.23 P R O B L E M A H a l l e el dominio, el rango y la gráfica de la función:
fu )
SOLUCIÓN
Dom f :
o <
Luego,
f(x)
=
n > ]]
x -
0
V M
[[x ]] -
x -
lo que implica que
=
x
<
[[x ]]
-
>
0
*
, y como se sabe además que
p a r a to d o x real.
I
= 0
para todo x e Z
<=>
[[x j =
x
•O-
x € Z
=
=
D om f
D om f .
YA
Rang ( f ) = { 0 >
f
-2
3.24 PROBLEMA.-
0
-1
Sea
x
y = f (x )
que expresa el área de un rectángulo de base
y cuya longitud de perímetro sea
2a ,
a >
0 . Halle el
dominio y el rango de f .
SOLUCION.x >
= a —x
0 :
2 x + 2h = 2a
ÁREA
=
x h
=>■
=
f ( x) = x (a — x)
c, \
RANGO DE f :
y = f (x ) = a x — x
Además,
x < a
0 <
2
,
= —( x
h = a — x
x (a — x )
,
,
0 < x < a
Do m f = { 0 , a )
a .2
a
) + —
Cap. 2
/.
3.25
Funciones
Rang ( f ) = ( 0 , a
PROBLEMA.-
-97-
/4 ] .
Halle el dominio y el rango de la función
x + \x \
f (x ) =
*1 - D > J
SOLUCIÓN.-
(Verificar)
D om f = R -
{ 0 , 1 , 2 , 3, . . . } ,
RANGO DE f :
i)
x > 0 :
[[* ]] = n
2x
y =
para
x € [ n , n + 1) ,
2x
<=>■
n entero >
x € { n , n + 1) ,
0
n > 0
x —n
- M
n = 0 :
,
y = 2 ,
V x e ( 0 f l>
yn
y - 2
x =
n > 1 : despejando
,
V X 6 ( n , n + l) , n >
1
(» )
n
y - 2
i < i + — -—
<
y - 2
i + —
n
entonces, para cada
y > 2
ii)
n >
y - 2
1 , n e Z+
y > ( 2 n + 2)
A
( y > 4)
V
(y >
x < 0 :
[[*]] = n
6)
V
(
3.26 PROBLEMA.-
y > 2n + 2
( y > 8)
V
...
,
es decir
=
x € [ n , n + 1) , n < 0
x —x
y = f (x) =
Rang ( f ) = { 2 }
2n
= 0 ,
|x | = —x
,
V x < 0
U < 4 . oo > U { 0 > = { 0 , 2 }
U <4,oo)
Halle el rango y la gráfica de la función
fW =
1 x*+
SOLUCIÓN.0 <
Puesto que
3
< 3
x
+ 1 >
V x
1 1
l
, V x
r e a l , entonces
r e a l , y así el máximo entero de esta expresión
x2+ 1
sólo puede ser:
0,1,2
y 3 ;
luego ,
98
i)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
[[-]] = 0
O
0 < 3/(*
+ 1) <
2
.
x* + 1 > 3
o-
2
..
x“ >
2
x G ( —oo , —VT ) U ( VT , oo )
^
x
e
ii)
[[•]] = i
ü i)
[[■ ]] = 2
^
x e [■
iv )
[ [ 'I
^
x = 0
= 3
I
VT, - i / V T )
[ -
1/VT, 0)
u
u
<i/VT, V T ]
(0,1/VT]
Rang f
verifique ( i i ) , ( i i i ) y ( i v ) .
= { 0 , 1, 2 , 3 }
I ••
-VT
3.27 PROBLEMA.-
-í/VT
Además,
f(x)
í/VT 1
|x ]]+
Como x — [ [ * ] ] >
,
n <
V * -
[[* ]]
0 (V x € R
x < n +
Dom f = R
= n
f (x)
= n + V x — n
,
x € [ n , n + 1) , es decir
- i
,
x e [ - i , o>
+ V T T T
I,
=>•
Jx]]
=
n g Z
,
* e [o,i>
^
k
VT
Halle el dominio y la gráfica de la función
f(x) =
SOLUCIÓN.-
o
1+ V X -
1
,
x 6 [1, 2)
2 + V * -
2
,
x € [ 2 , 3)
. .
99
Funciones
Cap. 2
Halle el rango de la función
3.28 PROBLEMA.-
f(x)
X
= x2
X
— 4x
2
SOLUCIÓN.-
Dividiremos el dominio
x 6 <2,6].
3 J
<2,6]
en subintervalos de manera adecuada
a los dos máximos enteros involucrados:
Jx/2 J = n
•<=>
n <
I- /3 Ü
-O-
3m < x < 3m + 3
=
Como en
m
(a )
x/2 < n + I
x < 2n + 2
2n <
...
los intervalos van de 2 en 2 , y en
...
(a)
(/?) .
(P )
de
3
en3,los interse care ­
mos de modo que sigan cubriendo al Dominio < 2 , 6 ] :
([2,4) U [4,6) U {6 })
n ( [ 0 , 3) U [ 3 , 6 ) U { 6 } )
= ( 2 ,3 ) U [3,4)
a)
x
e
( 2 , 3) :
x 6[ 3 , 4 )
:
x € [ 4 , 6) :
d)
•
e
,
( 2/ 3 , 1 ) ,
2)2 -
x/2 6 [ 2 , 3 )
,
4x
f 00 € (4,9)
x / 3 € [ 1, 4 / 3 )
4 e [ - 3 , O)
= 2 (x -
l)2 -
2
f ( x ) = f (6) = 36(3) -
3.29 PROBLEMA.-
U [-3 ,0 )
=> f ( x ) € [ - 3 , O )
£ [ 16 , 48 )
f V «V «V M
Rang ( f ) = < 4 , 9 )
,
x/3 € [ 4 / 3 , 2 ) ,
4V ^0
x = 6 :
•
:
4x-0 = x 2 € ( 4 , 9 )
4x = (x -
f (x) = 2 x 2 M
x/3
x / 2 £ [ 3/ 2 , 2 )
f (x) = x 2 C)
U {6}
x/2 e < 1 , 3 / 2 ) ,
f (x) = x 2 -l b)
U [4,6)
DD o m f =
24(2)
=
«V 0 *
60
U [ 16 , 48 ) U { 60 }
Halle el rango de la función definida por:
]
*2 ||A lÜ L || + 3 x - >
fOO
=
|5x -
SOLUCIÓN.- i)
ii)
[ [ —x / 2 J
r - x'
L 2 .
2
= n
-O
-
n <
l| -
V
—X
-2
2.
<
= 1+
n + 1
x < 5
15 + 6 | x + 2|
i
<
X
2J
<=> — 2n — 2 < x < — 2n
100
Cap. 2
Análisis Matemático 1
y para estar dentro del Dominio de
f :
(-2,1/5)
basta elegir
n = - l
y
n = O . Además, debido a los "puntos críticos" de los valores absolutos:
x
f(x)
+ 3x — 1
- 2 <
x < 0
,
para
n = o
en (ii)
para
n = — 1 en ( ii)
x - 2
=
3x x -
1
0 <
x <
2
Calcularemos los rangos para cada regla, y los reuniremos al final:
a)
y =
*
3 * -------- -
*
x -2
3x - l
y = -----------x - 2
y = 3 -I
3 ±
V (y -
( 2 y - 1)
+
0
=
3)2 -
4(2y -
1)
] / 2
<
0
... (verificar) .
2 , 1]
,
5
= 3+ -------x — 2
A
----- 6 ( 3 - —
x Rang ( f )
y)x
-
y < ± V y 2 - 14 y + 13 < y
y € [ 1/
b)
(3
X2 +
2
< x = [ y -
-1 -
k\
O
2
, 3 -
0 <
x
<
1 /5
— ) =
9
2
= [ 1 / 2 , 1] U ( 2 / 9 , 1 / 2 )
9
=
2
(2/9,1].
4.
Dada una función mediante su regla de correspondencia, como
f(x) = x
+ 3x + l
. ..
(*)
es precisamente esta regla la que indica que, para evaluar f ( x )
•
eleva al c u a d r a d o , al r e s u lta d o se le s u m a el trip le d e
tado se le s u m a i .
f (4 ) =
f ( — 3)
f (a ) =
(4 )
^ *
+ 3(4) + 1
= (-3)
=
29
+ 3 ( — 3) + 1 = 1
a2 + 3 a + 1
z 2 + 3z + 1
se le
x , y al n u e v o r e su l­
Entonces, se puede evaluar por ejemplo:
t
f (z ) =
a la variable x
para
x = 4
para
x = -3
,
,
Funciones
Cap. 2
f ( w + 2) =
f (* /u ~ ) =
f (3x)
=
( w + 2 ) 2 + 3 ( w + 2) + i
(V~ü~ ) 2 + 3 (V "u ~ ) + 1
(3x)2 + 3(3x) + 1
lo cual indica que si en
f (x )
x
,
haciendo
x = w +
,
haciendo
x = -/"u" ,
9x 2 + 9
=
la variable x
lo, entonces en el segundo miembro de
aparezca
101
+ \
x
2,
,
es reemplazada por cualquier otro símbo­
(*)
también debe reemplazarse donde
por el nuevo símbolo, siempre que este nuevo símbolo represente un va­
lor que se encuentre en el Dominio de f , claro está.
4.1
EJEMPLO
Si
f (x -
5) = x 2 -
de f , es decir
SOLUCIÓN
2 x + 3 , halle la regla de correspondencia
f (x ) .
z = ( x — 5)
Sea
f(z)
x = z + 5
entonces
= ( z + 5 ) 2 — 2 ( z + 5) + 3
=>
. . . (a )
y considerando nuevamente el símbolo x como otro símbolo en ( a ) :
f (x )
4.2
=
EJERCICIO
(x + 5 )2 -
Si
2 ( x + 5) + 3 =
4 f (x -
3) = x 2 -t- 4
rango de g sea ( - 3 , 3 )
g(x)
SOLUCIÓN.-
f (2 x -
.
=>
,
, donde
hacemos
f ( z ) = — [ (z +
4
,
x2+ 1— Kx
g ( x ) = ---------------------x + 1+ x
—3 <
,
3) = — [ ( ( 2 x 4
que por la condición requerida:
, halle los valores de K tales que el
f ( 2 x - 3) - K x
— -----------f ( 2 x - 3) + x
f (x - 3 ) = ( x 2 + 4 ) / 4
x = z -f 3
Luego,
=
x 2 + 8 x + 18 .
,
3) -
< 3 ,
V x € R ■
z = x-
3
3 )2 + 4 ] .
3)2 + 4 ]
=
x2+ 1
V x e K
g(x) € ( - 3 , 3 )
x2+ I — K x
-----------------------x2+ 1+ x
,
, se llega a que
p a r a todo x € R .
, de donde
102
Resolviendo la cadena y viendo que
v
x €R
ii)
x 2 + x + 1 = (x + I / 2 ) 2 + 3/4 > o
, se llega equivalentemente a que se debe resolver simultáneamente:
2 x 2 + ( K + 3) x + 2 > 0
p a r a todo x en R
4 x 2 + (3 — K ) x + 4 >
p a r a todo x en
i)
y
Cap. 2
Análisis Matemático 1
0
los que se resuelven haciendo el
R,
DISCRIMINANTE A
< 0
, ya que no deben
existir raíces reales ni en (i) ni en ( i i ) :
(K + 3)2 O
16 <
0
K + 3 e ( - 4 , 4 )
K e (-7 ,1 )
4.3 PROBLEMA.-
(K -
A
K - 3 é ( - 8 J )
D (-5,11)
=
3)2 -
64 < 9
(-5,1)
=
C.S.
En el triangulo de la figura cuya base es
b =
10 y cuya altura es
H = 6
"S "
es el área de dicho
rectángulo, expresar
una función
A
" S"
está inscrito un rectángulo. Si
como
" S ( x ) M de su ba­
se " x " . Construya ia gráfica de
esta función y halle su máximo
valor.
H
K
SOLUCIÓN.-
10
S = x H ,
J—
H
0 < x < ! 0 ,
r + x + s = 10
(*)
Por semejanza de triángulos:
r
£
7
h
h
6
Despejando r y s , y reemplazando
en ( * ) :
(h /2 ) + x + (7h/6)
=
10
h
=
3(10 -
x)/5
De donde la función área es:
y =
S (x)
=
— x(IO 5
correspondiendo el valor máximo para
x)
xQ = 5 :
- — (x 5
5 ) 2 + 15 <
15
Cap. 2
Funciones
103
YA
s
n,<¡*
=
D om f = ( 0 , 10 )
1 5
15----------Observe la figura.
10
*
4.4
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
Grafique la función
PUNTOS CRÍTICOS:
h ( x ) = | x + 2| x = - 2 y x
—x — 2 — 2 + x
h(x)
=
x + 2 — 2 + x
=
x + 2 — ( x — 2) = 4
x <
,
-2
,
2
=>
= 2
—4 ,
— 2x
|x -
-2
< x < 2
x > 2
.
de donde vemos además que
Rang ( f ) = [ - 4 , 4 ]
4.5
PROBLEMA.-
.
Halle el rango de la función f definida por la regla:
| X + 11 -
3
f(x) =
*
1 + lx -
SOLUCIÓN.-
PUNTOS CRÍTICOS:
X
f(x)
=
<
+ 4
x -
4
x -
2
1+
3l
x = - 1 y
8
x = 3
-2
x -
2
x -
2
<
X
<
1 <
X
< 3
- 1
x —4
-
4 —x
V
=
€ [ - 2 , 4)
x —4
3 <
x < 4
- 104 i)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Rang ( f )
- 2 < x < —1
para
f(x)
=
es decir
8
8
4
x —4
6
3
— 4) ] €
1+ [8 /U
-6
< 1 ----- — , 1 ----- — ] =
5
4.6
PROBLEMA.-
SOLUCION.-
S gn (u)
]
< — — , -----
5
f (x ) :
U [ - 3 / 5 , 1) U { 1 }
Grafique la función
4) < - 5
3
Procediendo en forma análoga con las otras partes de
Rang f = ( - 3 / 5 , - 1 / 3 ]
< (x -
=
[-3/5,1].
f ( x ) = S g n ( —----- - )
x + 2
.
Por definición
—1
,
SÍ
u
0
,
SÍ
u = 0
SÍ
u
=
1
Aquí hacemos
u = Jí
L
x + 2
<
>
0
0
t y obtenemos a s í :
f ( x ) = S g n ( —----- - )
x + 2
1
, si
( x — l ) / ( x + 2)
< 0
0
, si
( x - l ) / ( x + 2)
= 0
1
, Si ( x - l ) / ( x + 2)
> 0
Es decir,
-1
f U ) = S g n ( — ----- - )
x + 2
,
0
1
,
Six e ( - 2 , l )
si
X =
1
si
x €
( - 00, - 2 ) ü ( l , o o )
AY
1
I
1
1
1
1
f
1
1
- 2 .
i
1
1
-1
0
Rang ( f ) =
= {-1,0,1}
•l
1
1
1
- 1
4.7
PROBLEMA.-
Halle el dominio, el rango y bosqueje la gráfica de:
f U )
=
/TI
x 2 - Sgn ( — * + 2 ) +
x - 1
1
2x + 5
-
x + 3 1
I
.
Funciones
Cap. 2
SOLUCIÓN.-
Dom f :
9 > x
x *
A
105
1
a
x *
—3
A
2 + x > 0 :
mm fm
x 6 ( [ - 3 , 3 ] n [ — 2 , oo ) ) a)
b)
2x + 5
2
{1 ,-3 }
=
[ — 2 , 1> U ( 1 , 3 ] =
>
0 , para
x > i
=
0 , para
x =
-2
<
o f para
x <
1
x > - 2
a
x >
-2 .
= 2 +
-
y además,
x + 3
x + 3
a
Dom f
x + 3
— í—
x + 3
V x 6 Dom f
2x + 5
= 2 4- ( - 1 ) = 1
,
<
6
V x € Dom f
x + 3
c)
De (a) y ( b ) , e intersectando con el
Domf = [ - 2 , 1 }
u {1,3]
obtene
mos una regia de correspondencia más simple para la función f :
,
y = f(*)
0
=
X G ( - 2 , 1)
x = -2
x € (1 , 3]
Así, se verifica que para cada símbolo de raíz cuadrada la gráfica corresponde a una
parte de la circunferencia
x 2 + y 2 = 9 , más el punto
VT
(-2 ,0 ) .
Rang f =
= [-3 , - / ? )
U [0 ,
VT)
106
4,8
Cap. 2
Análisis Matemático 1
PROBLEMA.-
Bosqueje las gráficas de las funciones
a)
f (x) = Sen(4x)
,
x 6 [ 0 , 2n ]
b)
g ( x ) = Cos ( x / 2 )
,
* 6 [ 0 , 4 tt] .
SOLUCIÓN.a)
Sea
z = Ax , entonces
Sen(4x) = Sen(z)
x e [ 0 , 2n ]
Así, graficar f con respecto a z
y -
Sen z , z 6 [ 0 , 87t]
es como si la gráfica de
y donde
si y sólo s i
z e [ 0 , 8n ]
equivale a graficar
(cuatro períodos de 2 n )
y = S e n (x )
donde
(en líneas punteadas) se hubiese encogido
horizontalmente en un factor de 4 .
entonces
Cos ( x / 2 ) = C o s ( z )
x 6 [ 0 , 4n ]
z = 0
<í=>
x = 0
,
z = n /2
X = 7T ,
Z = 71
x = 2n
-O-
y
z e [0,2Jt]
z = 3 tt/ 2
z = 2n
O
X = 371
a
z = x/2 ,
II
Sea
X
b)
107
Funciones
Cap. 2
y es como si la gráfica de
y = C o s ( x ) , en líneas punteadas, se hubiese estirado
horizontalmente en un factor de 2 .
4.9
PROBLEMA.-
Grafique las funciones:
a)
f ( * ) = 3Sen(x)
,
b)
f (x) = — Cos(x) .
2
SOLUCIÓN.a)
Verifique las siguientes soluciones:
Es como si la gráfica de
y = Sen x
se hubiese estirado VERTICALMENTE en
un factor de 3 a ambos lados del Eje X .
b)
Es como si la gráfica de
y = Cos x
se hubiese encogido VERTICALMENTE en
un factor de 2 a ambos lados del Eje X .
b)
- 108 -
Cap. 2
Análisis Matemático 1
y - f (x )
Tomando como base la gráfica de una función
veremos
en esta sección cómo trazar las gráficas de funciones de los siguientes tipos:
1)
g(*)
= f (x) + K
g (x ) = f (x -
2)
g(x)
=
g(x) = f (
3)
g(x)
= a ■f ( x )
g (x) = f (ax)
4)
g(x)
= I f (x) |
to d a s en base a la g r á fic a de
f ( x)
1a) La gráfica de
y = f(x)
,
x)
g (x ) = f (x -
h) + K
g(x) = - f ( - x )
.
y = f (x) :
se consigue desplazando la gráfica de
VERTICALMENTE en
K unidades
La gráfica de
y = f(x)
h)
HACIA ARRIBA , si K > 0 .
se consigue desplazando la gráfica de
VERTICALMENTE en
K unidades
HACIA ABAJO , S¡ K > 0 .
g(x) = x 2 + 3
,
f(x) = x
h(x) = x
se consigue desplazando la gráfica de
1b) La gráfica de
y = f(x )
HORIZONTALMENTE en
1b) L a g rá fic a d e
y = f(x)
h > 0 .
— 2
g(*) =
h unidades HACIA LA DERECHA, si
f(x + h )
HORIZONTALMENTE en
h > 0.
se consigue desplazando la g rá fic a d e
h
unidades HACIA LA IZQUIERDA,
con
- 109 -
Funciones
Cap. 2
K(x)
-5
-4
pues si
-3
f(x ) =
2
x
y en el caso de
,
entonces
k ( x ) = ( x + 3)
y
f ( x — 4) =
( x — 4)
=
g (x )
f(x+ 3 )
(x + 3 )2 =
k (x )
2
=
= [ x — ( —3 )]
2
=>•
,
h = —3
se obtiene como combinación de (1a)
1c) La gráfica de
y (1b)
2
en cualquier orden.
\
£f . \
2
f
(
x
)
=
x
=
YA
/
\
o
y=
x
2\
,3
X
-3
2a) La gráfica de
y = f(x)
ESPEJO:
g(x) =
♦ /
/
/
-
= U - 5)2 - 3
f (x)
se obtiene por REFLEXIÓN de la gráfica de
CON RESPECTO AL EJE X , considerando al
EJE X como
DOBLE
110
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Yi
y = -fíx)
y = f(x)
vr
y = f(x)
X,
y = -f(x)
( todo lo que está arriba del Eje X
2b) La gráfica de
se refleja hacia abajo, y viceversa )
se obtiene por REFLEXION de la gráfica de la
función y = f ( x )
en el EJE Y , considerando a este eje como ESPEJO DOBLE.
y = f(x)
y = f (-x)
\
Todo lo que está a la derecha del EJE Y se refleja hacia la izquierda y viceversa.
se obtiene como c o m b in a c ió n de (2a) y (2b)
2c) La gráfica de
5.1
EJEMPLO .
Como aplicación de (2c) graficaremos la función
y =
SOLUCIÓN
- ( *
-
2 ) 2 + 1.
Definamos
f (x ) =
f(-x )
=
[ ( - x) + 2 ]2 - 1
y =
f (
x)
=
(x + 2 )2 -
- ( x
-
I
=
,
entonces
(x — 2)2 — 1
2 f + I.
Cap. 2
Funciones
111
-x)=
=
( - x + 2y
-
(x —2) 2 -
i
I
f ( x ) 4 \ ( x + 2)
i '
= \ - f ( - x ) = — ( x — 2)
+ 1
aunque, por supuesto, pudimos haber graficado esta parábola directamente.
3a) La gráfica de
i)
E stira n d o la gráfica de
si
ii)
a >
Si
a > l
,
0 < a <
i , e nco g ie n d o la gráfica de
f(x ) = 3Senx
3b) La gráfica de
a ,
ii)
,
si a >
0 < a <
h (x ) = — Cosx .
2
0 , se obtiene:
en un fac to r
f(x)
y =
f (x)
en un fa c to r a ,
1 .
h ( x ) = C o s (— x ) .
2
,en los casos (3a) y (3b) se usan las reglas de:
a < 0
EJEMPLO.-
SO LUCIO N.-
y =
I , con base en el Eje Y .
y = f (-x )
5.2
a >
,
HORIZONTALMENTE la gráfica de
Ya vimos estos casos en
Para
VERTICALMENTE
y = f (x)
E stirando HORIZONTALMENTE la gráfica de
si
,
.
Ya vimos estos casos en
E ncogiendo
VERTICALMENTE en un fa c to r a
y = f (x)
con base en el Eje X .
en un fa c to r a
i)
0 , se obtiene:
f ( x ) = Sen(4x)
y
y = — f ( —x) .
Grafique la función:
Como
f(x) =
y
2Sen(
f ( x ) = 2 S e n ( ——
4
71
x)
4
entonces graficamos en el orden:
=
x)
, xe [0 ,2 n].
—2 S e n ( x — — ) ,
4
Cap. 2
Análisis Matemático 1
a)
y = 2 Sena: f
4)
GRÁFICA DE
b)
y =
2 Sen (a:
:
Desde que
y =
71
f(x)
c)
y =
— 2 Sen ( x — — )
4
y = I S en ( x )
| f(x) | > 0
fU )
y =
),
, y
si
f (x) > 0
si
f(x)
=
—f (x)
,
<
0
entonces la gráfica se encontrará c o m p le ta m e n te en el S E M IP L A N O SU P E R IO R
y > 0 y se consigue a partir de la gráfica de y = f ( x ) REFLEJANDO HACIA
EL SEMIPLANO SUPERIOR ( y > 0 ) TODO LO QUE SE ENCUENTRE DEBAJO
DEL EJE X , QUEDANDO INTACTA LA PARTE DE LA GRÁFICA DE y = f ( x )
QUE ORIGINALMENTE YA SE ENCONTRABA ARRIBA DEL EJE X .
5.3
EJEMPLO.-
Bosquejaremos la gráfica de
f ( x ) = I Sen ( x )
y = Sen x
YA
1
y = I Sen x
Funciones
Cap. 2
5.4
PROBLEMA.-
113
Dada la gráfica de f (fig u ra ),
halle la gráfica de
g (x) = 4 -
—■
*
- 2 -1
SOLUCIÓN.-
' ----- *—
1
2
f ( x — 2)
-------------------.
— 4 —
3
.
4
Construiremos la gráfica de g mediante la siguiente secuencia de gráfi­
cas:
5.5
a)
y = f (x - 2) ,
c)
y -
EJERCICIO
- f (x -
b)
y = - f ( x - 2) ,
2) + 4
Grafique las siguientes funciones:
a)
c)
g(*) = V
g(x) =
b)
»
| [[* ]] |
g(x)
■
SOLUCION .
a)
Si se considera la función
g(x)
=
V
-x
= f(-x)
EJE Y : ESPEJO DOBLE
f ( x ) = *J~x
entonces
=
|[- * ]]
-114 b)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Consideramos primero
EJE Y :
f (x ) =
[[* ]]
g(x) =
l - x j
,
y donde
=
f (-x)
ESPEJO DOBLE.
f ( x ) = ( [x ]]
YA
g (x )=
:
l-x j :
g
2* ■
I
-3
O
Consideramos primero
g(x) =
o
-2
•-
c)
•
f (x ) =
| E -xJ |
E * ]]
» Y Para graficar su valor absoluto
, donde todo lo que está debajo del EJE X
se
( y < 0)
refleja hacia la p a r t e s u p e r i o r ( y > 0) :
ÍY
g
f : ------------
•2
g*
1
3
X
— 2
5.6
EJERCICIO
Halle la gráfica y el rango de la función
f (x )
SOLUCIÓN.-
=
E Sen * ] ]
>
x e [ 0 , 2n ] .
Observando la gráfica (adyacente) de
y = Sen x , tenemos:
AY
•
Sen x = 1 , si
•
Sen x e [ 0 , l )
x =
I
para
x G [0 ,J i/2 )u (jt/2 ,7 i]U {2 n }
•
Sen x g [ - 1 , 0 )
x 6 ( n $2n) .
para
X
Cap. 2
-115 -
Funciones
entonces
f(x)
= [[sen x ]] =
1
x 6 ( Jt , 2jt )
o
x 6 [0,n/2)u(ji/2,ji]u{2ji}
-1
x = n /2
nY
1---------
f :
Ran ( g ) = { - 1 , 0, 1>
271
o
' \
1 \
'
-I
5,7
EJERCICIO.-
Observe con atención lo que ocu­
rre con la gráfica de una función
cuando se le aplica el [ [ J .
/i
/ »
I
I
s
Pruebe que, en efecto, dada la gráfica de
y = f (*) :
entonces la gráfica de
y = [[f (x)]]
es :
2 n ------
+
-3
i
i
•
i
i
i
I
I
I
O
“ 2
-1
I
I
I
o
8 3
0
t
¿ p o r qué ?
De modo que si el Rango de
entonces el Rango de
y =
y =
f(x)
[[ f ( x ) ]]
es :
[-1 ,2 ]
es : { - l , o , l , 2 } .
X
Análisis Matemático I
Cap. 2
6.
6.1 FUNCIÓN PAR
Una función f se denomina FUNCIÓN PAR s i :
x €
i)
A
ii)
— x 6 Dom f
Dom f
f(-x )
=
f(x )
Por ejemplo,
f
f(x) = X2
f ( x ) = Cos x
f (at) =
x
n
(-x ,f(-
, n par,
(x , f ( x ) )
son Funciones Pares.
X
6.2 FUNCIÓN IMPAR
Una función
i)
A
ii)
f se denomina
x 6 Dom f
f(-x )
=
FUNCIÓN IMPAR si:
— x 6 Dom f
-f(x )
AY
Por ejemplo,
f(x) = * 3
( x ,f(x))
f (x) = Sen x
X
f (x) = x n , n impar,
- X )
=
- f ( x )
son Funciones impares.
a)
Si una función f es P A R , su regla de correspondencia y = f (x) n o v a r í a
si se reemplaza x por - x :
y = f (_x) = f (x)
y por lo tanto, su gráfica es SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y.
b)
Si una función f es I M P A R entonces la regla y = f (x)
emplaza simultáneamente: x por - x y y por — y :
y = f(-x) = -f(x)
N O varía si re­
y = f(x)
resultando de este modo que su gráfica es SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN DE
COORDENADAS.
Funciones
Cap. 2
-
117-
Un ejemplo de función que es a la vez PAR e IMPAR, es
f (x ) = o
,
x e [ - 6 , - 2 )
para
u (2,6]
YA
-2
-6
6.3 EJEMPLO.-
SOLUCIÓN.-
ii)
0
¿ E s par o impar la función
f(x) =
f(-x )
- x € Dom f
=
[ ( - x ) | - x |
=
-(x |x |
( x | x | + — ) Sen(x2 )
x
?
. Se cumple que:
Dom f = ( - o o , 0 ) u ( 0 , o o )
x € Dom f
i)
O
2
(válida)
+ — !—
(-*)
]S e n ((-x )2)
+ — ) Sen(x2 )
x
=
-f(x)
f es una función IMPAR .
6.4
FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función f
T í
0
en R
tal que:
se dQQomina FUNCIÓN PERIÓDICA si existe un número
i)
y
ii)
x 6 Dom f
f ( x + T)
=>
=
f (x)
x + T
,
e Dom f
V x € Dom f
f ( x ) = f (x + T)
X+ T
x + 2T
Toda función periódica tiene su gráfica de tal manera que la misma forma que tiene
en un intervalo de longitud T se repite horizontal y p e r i ó d i c a m e n t e
rior y en el siguiente intervalo de longitud T .
Tal número T recibe el nombre de PERÍODO DE f
en el ante­
-118-
Análisis Matemático 1
Las funciones SENO y
COSENO tienen período T = 2n ; en efecto,
S e n (x + 2j i)
= Sen ( x ) t
V x 6 R
Cos ( x + 2 j i )
= C o s (x ) ,
V x E
También se ve que ± 4 7 1 ,
± 6n
ríodos de S e n o y C o s e n o , siendo
PROBLEMA.-
Como
Cos(wx)
Z , son pe­
2n
w T = 2 n =>
y g(x)=
S e n (u ;x )
T = 2 jt/|u ;|.
f ( x + T ) = Cos ( u ; [ x + T ] )
entonces, de ( * ) :
n 6
m e n o r p e r ío d o p o sitiv o .
Demuestre que f ( x ) =
Cos ( ujx + 2 j i ) = C o s ( iu x ) ,
, 2n7i ,
de f al menor de los períodos positivos.
tienen período mínimo
SOLUCIÓN
R.
,. . .
2 jt el
Se define como p e r í o d o m í n i m o
6.5
Cap. 2
=
T =
=
Cos ( t u x + u>T)
(*)
Período Mínimo de COSENO
2n / w
y como el período mínimo debe ser positivo entonces
,
T = 2n / \ w | .
Análogamente para
g ( x ) = Sen(u>x)
6.6
Halle el período mínimo y las gráficas de las funciones:
EJERCICIO
a)
(Ejercicio).
f (x ) = | Senx |
,
b)
g(x) =
| C o s (2 x ) |
SOLUCIÓN .a)
Gráfica de
| Sen ( x +
f(x) =
7 1)
| =
|Senx| :
| — Sen ( x ) | =
Algo similar ocurre con
b)
Puesto que
Sen2 ( x )
C o s ( i u + 71) =
| Sen ( x ) |
,
Cos2 ( x ) .
-C o s(u > )
| Co s ( uj + Jt) | =
f ( x + Jt) =
=>
f (x ).
(Verifíquelo)
entonces
| — C o s ( i u ) | = | Co s ( u í ) |
Luego, si T ha de ser el Período Mínimo, hagamos
w -
2x :
... ( * )
Funciones
Cap. 2
g (x + T ) =
| Cos [ 2 ( x + T ) ] | =
=
T =
6.7
=>
| Cos(2x) |
n /2
PROBLEMA.-
a)
f(x + T)
=
T = 1
| C o s (2 x + 2 T ) |
Pruebe que la función
Haciendo T =
f ( x + 1) =
71 ,
2T =
es el Período Mínimo de
Período T = 1 .
SOLUCIÓN
119
por (*) ,
g(x) = |Cos(2x)|
f ( x ) = [[2 x ]] -
(Vergráfica)
2 Q X fl
es periódica
Bosqueje su gráfica.
1 ,
| 2 ( x + 1 )J -
2 [ [ ( x + 1)1
=
[[2 x + 2 j
2 ( [ [ x ] ] + I)
=
M
+ 2 - 2W
=
M
-
2W
=
2
f(*)
es un período.
Y como se puede verificar que
[[2 x ]] = n
n
si
< x <
n +
2
fU) = <
0
,
Si
1
,
Si
l
,
Si
- 1 /2
o , si
mínimo
<
0
0
<
x
<
1/2
1 /2
<
x
<
1
n
=
— I
n
=
1
n
=
2
x < 3 /2
AY
el período
es 1 .
-
6.8
x
1 <
• •
Note que
<
EJERCICIO
1/2
0
5 /2
3 /2
1/2
Halle el dominio y la gráfica de la función
,
si
IxJ
es par.
i]J | ,
si
[[x j
es impar.
- H
f(x) =
x -
([x +
Indique el período mínimo de f .
1
-120 SOLUCIÓN
*)
Como
o < x -
1 = n = 2k
I* -
ii)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
M
Si
I
=
[[* ]] < 1
2k <
,
x < 2 k 4- 1
* - I M
=
x -
[ [ x ] ] = n = 2 k + 1 t si
2k + 1 <
=>
1- x + [ [ x ] ]
| ^ - [ [ ^
+ l]]|
-
=
V
2k
2k
x <
u »
k € Z ,
,
2k + 2
,
de donde
•
,
k 6 Z
... (ver ( * ) ) .
2k <
SI
... ( * )
x < 2k + 1
f(x)
- 2k) — x
Vemos que f tiene Período Mínimo
2k + I < x < 2k + 2
SI
T = 2 , D om f =
R , R a n g (f) = [ 0 , 1 ].
7.
7.1
IGUALDAD DE FUNCIONES.
Dos funciones f y g son IGUALES si
i)
En tal caso se denota
A
ii)
f = g
ó
Dom f = Dom g
f ( x ) = g ( x ) , V x G Dom f = Dom g
. También se dice que son IDÉN -
TICAMENTE IGUALES.
Así, las funciones:
f(x) = x
+ I ,
g(x) = x 2 +
l ,
x e [0,2]
x € [0,3]
,
,
NO SON IGUALES , pues
a pesar de tener la misma regla de correspondencia no tienen los dominios iguales.
7.2 PROBLEMA
Halle los dominios y determine si son iguales las funciones:
f (x) -
7 x - 2 - ^ x - 3
,
g (x ) = ^ (x -
SOLUCION .D om f =
{ x
6
R /
( x — 2) >
0
A
( x - 3 ) > 0 }
2)(x -
3)
-121 -
Funciones
Cap. 2
= [ 2 , oo) n
[ 3 , oo)
Dom g = { x 6 R /
=
[ 3 , oo)
( x — 2 ) 0 — 3) > 0 }
=
( — o o , 2]
U
[ 3 , oo) .
Como los dominios no coinciden entonces las funciones f y g NO SON IGUALES.
Es decir,
f *
g .
7.3
Recordemos que una función está completamente definida
cuando se especifica su Dominio y su Regla de Correspondencia.
7.4
DEFINICIÓN.-
Si
f y g son funciones con dominios D o m f y D o m g , se define
la nueva SUMA
i)
ii)
D o m ( f + g)
(f +g )(x )
Así, el valor de la función
de f y de g en x .
" f + g H , tal que:
=
=
Dom f D Dom g
f (x) + g (x ) .
" f + g " en
x , es igual a la suma
de los valores
Por lo tanto ,
f + g
=
(f + g)(x)
{ ( X , f (x)
=
+ g (x) ) / x
6 Dom f n Dom g
}
f ( x ) + g(x)
f(x ) + g(x)
gU)
ü
f(x)
Dadas las funciones:
f = { ( l , 4 ) , ( 2 t 5 ) >( 3 , 6 ) , ( 5 , 5 ) }
=
{(x,
g = { ( 0 , - 3 ) >( l , 0 ) , ( 2 , 0 ) >( 3 , - 8 ) f ( 4 , l ) >
=>
D om f -
{1,2,3,5},
Do m g = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
;
luego,
f(x))/
=
x 6 Dom f }
{ (x, g (x ))/
x € Dom g }
122
Cap. 2
Análisis Matemático l
=>
D o m ( f + g) = D o m f n
Y como todo elemento
forma ( x ,
Dom g
( x , ( f + g)(x))
f ( x ) + g ( x ) ) , entonces:
{ 1,2,3}
de la función SUMA
x
= l
=>
(l, f ( l) + g (l))
si
x
= 2
=>■
(2, f ( 2 ) + g ( 2 ) ) = ( 2 , 5 + 0)
Si
x
= 3
=>■
(3,
+ g =
Mf + g "
es de la
V x e D o m ( f + g) = { 1 , 2 , 3 }
si
f
.
=
(l, 4 + 0)
= ( l , 4 ) € f
:
+ g
= ( 2 , S ) € f
f (3) + g ( 3 ) ) = (3, 6 + ( - 8 ) ) = ( 3 , - 2 ) 6 f
+g
+ g
{ ( 1, 4 ) , ( 2 , 5) , ( 3 , - 2 ) } .
7.5
DEFINICIÓN.-
Si
f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g , enton
ces
a)
b)
"f -
g"
y
" f g H son dos nuevas funciones tales que
Dom ( f — g ) = D o m f O D o m g
(f - g)(x) = f(x ) -
g(x)
D o m ( f g ) = Dom f n
Dom g
(fg )(x) = f(x )-g (x )
de modo que el valor de
" f - g "
y
en un punto x es la resta y el producto,
"fg"
respectivamente, de los valores de f y de g en el punto x :
f -
g
fg
EJEMPLO.-
=
{ (* , f (*) -
g(*)) /
=
{ (x , f (x)- g ( x ) ) /
X
X
e Dom f n Dom g }
e Dom f n Dom g } .
Dadas las funciones f y g , hallaremos
f - g
y
fg :
f = { ( 1 , 4 ) , (2 , 5 ) , ( 3 , 6), (5, 5 ) }
g = { ( 0 , - 3 ) , (1, 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , - 8 ) , ( 4 , 1) } :
Dom ( f — g)
f - g
fg
=
=
Dom ( f g )
{ ( 1 , f (1) -
=
Dom f D Dom g
g ( l ) ) , (2, f(2 ) -
=
{1 ,2 ,3 },
g ( 2 ) ) , ( 3 , f (3) -
=
{ ( 1, 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 14) }
=
{ ( 1, f ( l ) - g ( l ) ) , ( 2 , f ( 2 ) * g ( 2 ) ) , (3 , f (3) • g ( 3 ) ) }
=
{ (1, 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , - 4 8 )
7.6 NOTACIÓN.-
f2 = f *f ,
fn =
}.
f - f - ... -f
( n factores)
g(3))}
Cap. 2
Funciones
D om (f
n
123
) = (D om f) n (D om f) n
... n ( D o m f) = D o m f.
Así, el dominio de cualquier potencia entera positiva de f coincide con el dominio de f .
7.7
PROBLEMA.-
f + g
Halle
,
f - g
,
f-g
,
f2
y
f2- 2 g
.donde
g ( x ) = { ( - 2 , 1). ( - 1 , 2 ) , ( 0 . 3 ) . ( 1, 6 ) , ( 2 . 5) , ( 3 . 5 ) .
,(4,3)}
SOLUCIÓN.-
y
f 2 = { (x, f( x ) - f( x ) )
Dom ( f 2 ) = D o m f = [ 0 , oo )
xe[o,oo> .
= (x, V T / 7 ) /
X É Dom ( f 2 ) }
, Dom g = { — 2 , — 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
(Dom f ) n (D om g) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
f + g = { (*, f(x) + g (*)) /
f(x) = V T ,
.
* € { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } }
= {(0 ,V "< r + 3), ( 1 . / 7 + 6), ( 2 . V 7 + 5), (3, V T + 5), ( 4 . - / T + 3 )}
f
+ g =
{(0,3), (1,7), (2, VT
= { (0,-3), (1,-5),
f - g
f-g
(0,0), (1,6),
= {
f2 = f-f
=>•
(2,
5), (3, VT+5), (4, 5)}
+
V T - 5 ) , (3, V T - 5 ) , (4, -
(2,
5-/T), (3, 5VT),
= { (x, V T V T ) /
y = f 2 (x) = x
2g = { ( x , 2 g ( x ) ) /
,
x >
x >
0 }
=
1)
}
( 4 , 6) }
{ (x , x) /
x > 0 }
0 . [ ( V~x" ) 2 = x , siempre ]
x € { - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 , 3 , 4 } }
=
{ ( - 2 , 2(1)),
( - 1, 2 ( 2 ) ) . ( 0 , 2 ( 3 ) ) , ( 1, 2 ( 6 » , (2 , 2 ( 5 » , (3 , 2 ( 5 » , ( 4 , 2 ( 3 » }
2 g = { ( - 2 , 2 ) , ( - 1 , 4 ) , ( 0 , 6 ) , ( 1, 1 2) . ( 2 , 1 0) , ( 3 , 10), ( 4 , 6) }
Dom ( f 2 — 2 g) = Dom ( f 2 ) n Dom ( g )
{0 ,1 ,2 ,3 ,4 }
f2-
2g = { ( x , f 2 (x) -
f2-
2g = { ( 0 , 0 -
f2-
2 g = { ( 0 , - 6 ) , ( 1, - 1 1 ) , ( 2 , - 8 ) , ( 3 , - 7 ) , ( 4 , - 2 ) } .
7.8 EJEMPLO.-
2g(x)) /
=
6 ) , ( 1, 1 -
g(x) =
entonces
12), ( 2 , 2 -
Dadas las funciones
f ( * ) = 2x -
Dom ( f g )
=
10), ( 3 , 3 -
f y g definidas por
I ,* € [ 0 , 2 ]
,
D om fn
x € { 0 , 1, 2 , 3 , 4 } }
*
Domg
€ [1, 4 ]
=
,
[1,2]
y
10), ( 4 , 4 -
6) }
-124
(f + g ) ( x ) = 2x — 1 + / T
( f g ) ( x ) = (2x 7.9
Cap. 2
Análisis Matemático 1
EJERCICIO.-
Halle
l)/x ~
x € [ 1, 2 ] .
,
f + g ,
f - g ,
2x + 1
r
x e [ 1, 2 ]
.
y
fg ,
para
x 6 [0,2]
,
f (x)
=
g(x)
SOLUCIÓN
l
3
' x
6
= -{
x e [3,5]
■
-{í:
■
^ e [ 1» 4 ]
,
x 6 [5 , 6 ]
Cuando se trata de funciones definidas por la u n i ó n d e d o s o m á s
f u n c i o n e s d i s j u n t a s , s e in te r s e c ta c a d a u n o de los d o m i­
n io s p a r d a l e s d e u n a f u n c i ó n c o n c a d a u n o d e los d o m i ­
n i o s p a r c i a l e s d e la o t r a .
Se recomienda mantener la separación de intervalos para las operaciones :
Dom f n D o m g = ( [ 0 , 2 ] U [ 3 , 5 ] ) n ( [ l , 4 ] U [ 5 , 6 ] )
[ 1, 2 ]
=
U [3, 4] U { 5 }
Dom ( f + g) = Dom ( f — g) =
D om (fg) .
Luego,
( 2 x + 1) + V T
(f + g )(x )=
{
3 + -J~x
3+ ( - 1 )
= 2
,
x € [I, 2 ]
,
x
G[3,4]
,
x
= 5
2x + 1 —
(f-g )(x )=
i
, x € [ 1, 2 ]
3 - / 7
3— ( — I)
( 2 x + I)
(fg)(x) =
{
EJERCICIO.-
4
x
6 [3,4]
,
x
= 5
,
x € [1,2]
(
* e [ 3 , 4]
,
x =
+ V x
3 / 7
3 ( — 1)
7.10
=
,
= -3
Halle y grafique la función
1f(x)
r
.
g(x)
=
|
X
, para las funciones
, - 1 <
2
Sen x
f + g
2x
[£ 3 + Cos x j
.
5 .
,
. x <
.
0 <
x < 0
x > 0
0
x < n
Funciones
Cap. 2
SO LUCIÓ N.-
[[3 + C o s x ]]
Dom ( f + g ) =
=
125
3 + [[C o s x l
,
([-1, 0)u[0, oo))n({-oo, 0)u[0,
71 ] )
= [ - 1 , 0 ) U [ 0 , 31]
[[Cos x ] ] =
I
,
x = 0
0
,
x 6 (0, Jt/2]
,
x 6 ( 31/2 , 31 ]
-1
1-
2x + x
= (x -
1)
,
x 6 [ - 1 , 0)
x = 0
(f + g )U ) =
3 + Sen x
x e (o, ti/2 ]
2 + Sen x
x € ( t i / 2 , 71 ]
= Sen x
7.11 PROBLEMA.-
Si
f (x ) = Sen(4x)
,
F ( x ) = Cos(4x)
G ( x ) = Sen ( x )
g (x) = Cos(x)
la función
4 ( f g + FG) + 6 ( F g - f G )
,
pruebe que
es periódica, y halle
su período mínimo.
SOLUCIÓN.h(x) =
Definimos las funciones
h(x)
y
H(x) :
4 (f g + FG)(x) = 4Sen(4x + x)
=
4Sen(5x)
H (x ) = 6(Fg + fG )(x ) = 6Cos(4x + x)
=
6Cos(5x)
Probaremos que ambas funciones h ( x ) y H ( x )
tienen como período m ín im o
2 71
5
h ( x + T ) = 4 Sen [ 5 ( x + T ) ]
5T = 2 ti
•
•
Análogamente se prueba que para H ( x )
=
4 S e n ( 5 x + 5T)
=
4Sen(5x)
es el período mínimo de
también es T =
2n/5 .
h(x) .
:
126
Luego,
7.12
h(x) + H(x)
PROBLEMA .*
SOLUCIÓN
a)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
también tiene como período mínimo a T = 2 ^ / 5 .
Encuentre el período mínimo de las funciones siguientes:
a)
f(x)
= Sen ( 3 x ) + Cos ( 4 x ) ,
b)
g (x ) = Cos(2x) + Sen(4x)
c)
h ( x ) = S e n ( x / 3 ) + S e n (5 x ) .
Sea T tal período
f ( x + T ) = Sen [ 3 ( x +
mínimo :
T ) ] + Cos [ 4 ( x + T ) ]
= Sen ( 3 x + 3 T ) + Cos ( 4 x + 4 T ) = Sen 3 x + Cos 4 x = f ( x )
3T =
2 n K.
,
para algún
K.
4T =
2nK2 ,
para algún
K2 6 Z
si y sólo si ^
2 j i K.
T =
i3
debiendo elegirse
dición; así
Kj
,
4
2 ti K ~
--------- -4
=
€ Z+
+
=>
+
K - = — K, € Z
1
3
1
,
K 2 , como los menores enteros positivos con esta con­
Kj = 3 y
K2 = 4 .
/.
T = 2 ti
es el Período Mínimo.
b) g ( x *f T ) = C o s (2 x + 2 T ) + S e n ( 4 x + 4 T )
=
C o s ( 2 x ) + S e n (4 x )
2T =
2 J tk (
,
algún
4T =
2nk2
,
algún K 2 6 Z +
■=>
T = — 2nK. =
2
1
=>
K1 = l , K 2 = 2
T /3 =
c)
Análogam ente:
dedonde
Kj € Z +
— 2tiK.
4
2k.Tr
=>
=>
K? = 2K
¿
T = ti
6 Z+
período mínimo.
,
para algún
K. € Z +
5T = 2 k 7 Tt ,
para algún
K2 g Z
i
T = 2 7 t ( 3 K . ) = 2n ( — K . )
1
5
2
Elegimos el menor entero positivo
El Período Mínimo es
K2 :
=>
= 15
K. = — K - G Z * .
1
15
2
Kj =
1
Cap. 2
Funciones
7.13 PROBLEMA.-
Pruebe que la función
127
f(x) =
Sen —
2
Cos —
2
+
es pe
riódica. Halle su período mínimo y grafique f .
SOLUCIÓN.-
Graficaremos la función f sumando
Sen —
2
y
Cos —
2
geométricamente:
nv
2--
de donde vemos que
f (x + n) =
T = n . En efecto,
Sen ( — + — )
2
2
+
Cos ( — + — )
2
2
= | —C o s (x /2 )| + | —S e n (x /2 )|
=
=
|C o s (x /2 )| + |S en(x/2)
H x) .
7.14
Dadas dos funciones
i)
D om ( f / g ) =
ii)
( f / g ) ( jc) =
f y g
se define la FUNCIÓN COCIENTE f / g
( D o m f n D o m g ) — { x 6 Do m g /
:
g(x) = 0 }
fU )
g(x)
La condición
(i)
va lo res de x
EJEMPLO.-
exige que el dominio de f / g
n o d e b e c o n te n e r aquello
q u e h a g a n C E R O a la J u n c i ó n
H a lla r e m o s la f u n c i ó n Cociente í / g
g (x).
p a r a las f u n c i o n e s :
f = { ( 1 . 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , —6 ) , ( 5 , 5 ) }
g = { ( 0 , —3 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 3 , — 8 ) , ( 4 , 1 ) }
,
-128-
Análisis Matemático 1
a)
Do m f = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
b)
{ x /
i)
g (x) = o }
=
,
Dom g
= { 0 , 1 , 2 , 3, 4 }
, pues
g ( l) = o ,
{1 ,2 }
g (2 )
Dom ( f / g ) = (D o m f n D om g ) — { x e D om g /
= {1, 2 , 3 , 4 }
Ü)
Cap. 2
f/g =
{ U , —
) /
-
{1, 2 }
=
=
0
g(x)
{3, 4}
r€D o m (f/g )
=
;
= 0 }
.
{ 3 , 4 } }
gOO
=
{ (3 ,
, (4 ,
) }
g ( 3)
7.15 PROBLEMA.-
Si
SOLUCIÓN.2x -
l]
Dom f =
= 0
Dom f / g
= 2r + 3 ,
f/g
=
2x + 3
(f/g )U ) =
8
g ( x ) = [[2 x -
2 jc — 1 < 1 <=>
l]j
1 < 2* <
,
halle la función
V
X
2
,
D om g ) —{ x / g ( x )
,
(4, - 6 ) } .
,
x € [ 1/ 2 , 1 )
(D o m f n
-A),
.
R = D om g
0 <
O
{ (3 ,
g (4)
f(x)
cociente
=
e
= 0 } =
R - [1/2,
R — [1/2,1)
1> .
[ 2 X - 1]
7.16 PROBLEMA.-
f(x)
Dadas las funciones f y g
=
f
<
Ix -
11 I sg n ( 3 -
^
=
2 |
f(x)
,
x 6 [0,6]
,
x 6 ( 6 , 10)
x € (-8 ,3 ]
,
x 6 ( 3 , 8 ) .
Es aconsejable mantener las subdivisiones en el dominio de f y g .
Dom g = ( — 8 , 3 ]
{ x /
,
g / f , donde
.
x | x — 2 |
SOLUCIÓN.-
x )|
X2
x
g(*)
halle
= 0 }
f j (x )
U (3,8)
,
Do m f = [ 0 , 6 ] u ( 6 , l 0 ) ,
:
= | x — 1 | • [ [ Sgn (3 —x ) ] ]
= 0 <=>
( p u e s S g n ( u ) = 0si y sólo s i
f 2 (x )
= x 2 n u n c a se a n u la en ( 6 , 1 0 )
u =
x
= 1
0 )
,x = 3
Cap. 2
Funciones
{ x / f ( x )
= 0}
=
{ ! , 3 } .
129
Con esto obtenemos:
Do m ( g / f ) = ( < - 8 , 3 ] U ( 3 , 8 > ) n ( [ 0 , 6 ] U < 6 , 1 0 ) ) -
=
(g /f)U )
7.17
{ 1, 3 >
[ 0 , 1} U < 1 , 3 ) U < 3 , 6 ] U < 6 , 8 )
(2 -
x )/(l -
x)
|x -
2 | / (x -
x e [o, i)
1)
, x € ( 1, 3 )
=
x(x -
2 )/(I -
x(x -
2)/x
FUNCION RACIONAL
x)
,
x € (3, 6]
,
x 6 (6 , 8)
Se llama así a toda función que tiene la forma de
un Cociente de dos p o lin o m io s , como,
x
+ 3x + 2
x
- 4x + 3
cuyo dominio , en este caso, es el conjunto de valores de x tales que el deno2
minador no se anule:
x - 4 x + 3 = ( x - 3 ) ( x - i ) * o , es decir
Dom f
=
R — {1,3 > .
7.18
Dos polinomios P ( x )
y
Q(x)
son IGUALES s i y sólo si
ios coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
En tal caso, también se dice que son POLINOMIOS IDÉNTICAMENTE IGUALES
Por ejemplo, si los polinomios
P(x) =
a4 x
Q (x) =
b2 x
4
+ a3 *
3
+ 5x
+ b jX + b
2
—x + 4 ,
0
han de ser idénticamente iguales, entonces por c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i
nados:
a. = 0 ,
a, = 0 ,
b-, = 5 ,
b. = — 1 ,
b„ = 4 .
o
130
Cap. 2
Análisis Matemático 1
8.
Esta es una nueva operación entre funciones, y será motivada con al
gunos ejemplos previos. Consideremos la función
f(x)
entonces
x
=
+ 2x
•
(*)
•
f (3 )
=
( 3 r + 2(3)
=
15
f (-4 )
=
( - 4 ) ¿ + 2( — 4)
=
8
f (u)
=
u
f (3a)
=
( 3 a r + 2(3a)
haciendo
u = 3a
( a + 4)
haciendo
u = a + 4
f (a + 4) =
+ 2u
Vemos de ( * ) y
(**)
•
+ 2(a + 4)
é
(* *)
•
y de las demás representaciones mostradas que la
variable independiente x puede ser representada p o r c u a lq u ie r sím bolo, siempre
que se reemplace este nuevo símbolo donde sea que aparezca x , en ( * ) .
z =
Así tenemos que si
f(g (*))
3x - 4
=
g(x)
=
[g (*)]2+ 2[g(*)]
=
(3x -
4)2 + 2 (3 * -
4)
entonces,
=
en(**):
9x 2 - 1 8 x + 8 .
Lo que aquí hemos obtenido ha sido u n a n u e v a f u n c i ó n llamada
"f
COMPUESTA CON g " ,
denotada por
f o g
,
cuya regla de corresponden­
cia es:
Estudiemos esta nueva función compuesta para las siguientes funciones:
f = { ( 2 , 6 ) , ( 3 , 7 ) , ( 0 , 8 ) , ( 1, 9) }
g = í ( 1, - 5 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) }
con
Dom f =
g (i) =
(f o g)(x)
=
{2 ,3 ,0 ,!}
-5
,
f(g (x))
,
D o m g = { 1, 4 ,
g(4) = 3 ,
5}
g(5) = 2 ,
para aquellos valores
f o g ( 1)
=
f ( g (1) )
=
f ( - 5)
f o g( 4 )
=
f ( g (4))
=
f (3)
=
7,
f o g (5)
=
f ( g (5))
=
f(2 )
=
6
x€
y donde evidentemente
y queremos evaluar
Domg
NO EXISTE , pues
donde se pueda:
- 5 0
Dom f .
Cap. 2
Funciones
131
g
f
A
>
B
C
►
Nótese que, partiendo del dominio A de g , solamente hay dos caminos que, PA­
S A N D O P O R B, llegan hasta C. Esto precisamente equivale a evaluar:
i)
g (4 ) =
3
, y luego
f (3 )
=
7
= f (g(4))
=
f o g (4)
ii)
g ( 5) =
2
, y luego
f (2)
=
6
= f(g (5 ))
=
f o g (5)
Si consideramos a las funciones g y f como dos viajes: de A hasta B y de B
hasta C respectivamente, entonces el viaje completo desde A hasta C viene aser el
denotado por " f o g " , que se lee como " f COMPUESTA CON g M , y cuya regla
de correspondencia es
( f o g ) W
=
f o g W
=
f(g (x ))
x e Dom g
lo que implica además que es válida solamente para aquellos elementos
que LLEGAN A REALIZAR EL VIAJE COMPLETO Y CON ESCALA OBLIGATORIA;
Dom ( f o g )
=
{ x € Dom g /
=
{ x /
g ( x ) € Dom f }
x € Dom g A
g(x)
De aquí concluimos que la nueva función f o g
R an g (g ) n Dom f
8.1
DEFINICIÓN F O R M A L :
i)
Dom ( f o g )
=
=
ii)
(fog)(x)
fo g
=
=
*
{ x € Dom g /
0
/
(NO VACÍO) .
es aquella que satisface:
g ( x ) € Dom f }
{ x / x 6 Dom g
{ (x, f(g (x )))
€ Dom f }
existirá siempre que
La función f o g
f(g (x ))
es decir
A
g ( x ) 6 Dom f
}
... Regla de Correspondencia.
x € Dom ( f o g)
} .
Para las funciones f y g del ejemplo previo:
f = { ( 2 , 6), (3, 7), ( 0 , 8 ) , ( 1 , 9 ) } ,
g = { ( 1, - 5 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2) }
-132 -
Análisis Matemático I
donde g ( i ) = - 5
g(4) = 3 ,
,
Dom ( f o g ) = { x € D o m g /
Cap. 2
g ( 5 ) = 2 , se tiene que
g ( x ) 6 Dom f }
g ( 4) = 3 6
Dom f
g (5) = 2 6
Dom f
=
{4,5}
pues
Entonces
f o g = { ( x f f (g ( x ) )) / x e D o m ( f o g )
=
{4 ,5 }}
= { ( 4 , f ( g ( 4) ) ) f (5, f ( g ( 5) ) ) }
= { ( 4 , f ( 3 ) , (5 , f (2) ) }
fog
8.2
=
PROBLEMA.-
{ ( 4 , 7 ) , ( 5 , 6) }
Halle la composición
f =
=
.
{ ( 4 , 7 ) , ( 5 , 6) }
( Verifíquelo con la fig. anterior.)
fo g
para
{ ( I , - 2 ) , ( 2, - 5 ) , (3, 0), ( 4, - 1 ) }
g = { ( 0 , 1), ( I , 0 ) , ( 3 , 3 ) , ( - 1 , 4 ) , ( 2 , I n
SOLUCIÓN.Dom ( f o g) = { x /
Dom g
{ x /
= {-1 ,0 , 1,2,3}
g( x ) 6 Do m f }
D om (f o g ) =
Dom g n
,
Dom g
Dom f =
A
g ( x ) 6 Dom f }
{1,2, 3,4}
,
=
{ x € Dom g /
g ( x ) € Do m f }
=
{ x 6 Dom g /
g( * ) € { ! , 2 , 3 , 4 } }
=
{ 0 , 3 , - 1 , 2 }
{ x /
,
entonces
g ( x ) € Dom f }
= { —1,0, 1,2, 3 }
f o g = { ( x , f (g ( x) ) ) /
x€
n
{ 0 , 3 , —1,2}
x 6 Do m ( f o g )
=
{0,3, - 1 ,2 }
= { - 1 , 0 , 2 , 3 } }
= { ( - 1 , f ( g ( - D ) ) , (0, f ( g ( 0 ) ) ) , (2, f ( g ( 2 ) ) ) , (3, f ( g ( 3 ) ) ) }
= { ( - 1 , f ( 4 ) ) , (0 , f (1 )), (2 , f (1 )), (3, f (3 )) }
= {(- 1 ,-1 ) , (0,-2),(2, -2 ), (3,0)}
g
f
¿Cuáles elementos de g llegan a realizar el viaje completo?. La respuesta viene a ser
precisamente: el D o m in io de f o g .
Cap. 2
8.3
Funciones
PROBLEMA.-
Halle las composiciones
f = { ( x , *J~x ) /
133
f o g
y
g o f , para
e [ 0 , oo ) }
X
g = { ( 0 , 1), ( 2 , - 3 ) , ( 4 , 7 ) , ( 8 , - 1 ) , ( 3 , 1) } .
SOLUCIÓN.i)
f o g :
donde
f (x) =
,
*
6 [ o , oo )
;
cuando, como en este
es u n c o n ju n to in fin ito entonces se pue­
de ver por simple observación que los x válidos para Dom ( f o g ) son
caso,
Dom g = { 0 , 2 , 3 , 4 , 8 }
aquellas primeras componentes de los pares ordenados de g cuya segunda com­
ponente se encuentre en el Dom f = [ o , oo > . Es decir, que no sean < o .
Dom ( f o g )
= {0 ,4 ,3 }
f o g = { (0, f ( g ( 0 ) ) ) , (4, f ( g ( 4 ) ) ) , (3, f ( g ( 3 ) ) ) }
= { ( 0 , 1), ( 4 , V T ) , ( 3 , 1) } .
ii)
g o f :
Dom (g o f ) = { x
=
6 Domf /
f ( x ) £ Dom g }
Dom f n { x /
f ( x ) 6 Dom g = { 0 , 2 , 3, 4 , 8 } }
f (x) =V T
<J~x -
0 para
x -
0
,
V~x"
= 4 para
x = 16
■/x" =
2 para
x = 4
,
-/T
=
x = 64
V "x" =
3 para
x =
Dom ( g o f )
g o f
=
6 Dom g = { 0 , 2 , 3 , 4 , 8 }
s i y sólo si
y como
8 para
9 .
= [ 0 , oo ) n
{ 0 , 4 , 6 , 16 , 64 }
{ (x , g ( f (x) ) ) / x 6 {
= { 0 , 4 , 9 , 16 , 64 } ,
0 , 4 , 9 , 16 , 64 } }
= { ( 0, g ( f ( 0 ) ) ) , ( 4, g ( f ( 4 ) ) ) , ( 9, g ( f ( 9 ) ) ) ,
( 16, g ( f ( 1 6 ) ) ) , ( 6 4 , g Cf (6 4 ) ) ) }
=
{ ( 0 , g ( 0 ) ) , ( 4 , g ( 2 ) ) , ( 9 , g ( 3 ) ) , ( 16, g (16) ) , (64 , g ( 6 4 ) ) }
= { ( 0 , 1), ( 4 , - 3 ) , ( 9 , 1), ( 16, 7 ) , ( 6 4 , - 1 ) } .
8.4
PROBLEMA.-
Sean
halle
SOLUCIÓN.-
g(x) = x 3 t
g ( f ( x ) ) = x 3 — 3 x 2 + 3x — 1
8.5
(er)
PROBLEMA.
y (¡3) :
Sean
1,
, para x real.
f (x )
g (x) = x 3
Entonces.de
(g o f ) ( x ) = x 3 - 3 x 2 + 3 x -
=>
g (f(x ))
f(x) = x -
g (x ) =
8x3 -
=
=
(x — l)3
[f(x)]3
...
(a)
...
Ifi)
I .
12x2 + 6x - I ,
Halle la regla de correspondencia de
(fo g )(x )=
f (x ) .
2 x + 3.
134
Cap. 2
Análisis Matemático 1
SOLUCION.-
g (x ) = (2x -
f ( g ( x ) ) = 2x + 3
l ) 3,
=>
f [(2x -
l ) 3 ] = 2x + 3
= (2x
Hacemos
u = (2 x
- i) 3
f ( u ) = V~ü" + 4 ,
=¿*
2x -
l
=
- 1) + 4
,de modo
... (/?)
que, en (y?) :
y regresando al símbolo x :
f (*) =
^ 7
8.6PROBLEMA.-Halle la composición
f
f (x ) =
2x + 6
g (x) =
x2- 1
,
,
+ 4 .
o g ,para
x € [0,8]
x € [- 2 ,2 )
.
SOLUCIÓN.Dom ( f o g ) = { x
/
x
€ Dom g
A
g ( x ) 6 Dora f }
= { x
/
X
€ [ - 2 , 2 ) A ( x 2 - 1) € [ 0 , 8 ] }
= { x
/
x
€ [ —2 , 2 ) A x 2 € [ 1 , 9 ] }
= { x
/
x
€ [ - 2 , 2) A x € [ - 3 , - 1 ]
... ( * )
U[ 1 , 3 ] }
= [ - 2 , 2} n ( [ - 3 , - 1 ] U [1, 3 ] )
= [ - 2 , - 1 ] U [1, 2) .
Y además,
8.7
(f o g)(x)
NOTA.-
=
=
2g(x) + 6 =
=
2x2 + 4 .
,
2(x2 -
l) + 6
,
,
A2 =
Dom f 2
, x 6
Bj =
Dom g j
g2 (*)
>x €
B 2 = Dom g 2
g3 (x)
, x 6
B 3 = Dom g 3
(x)
=
x 6 A . = D o m f.
i
f2 (x)
g(*)
f(g (x ))
Cuando las funciones están definidas por varias reglas de corresponden
cía, como por ejemplo:
f, ( x )
f(x)
=
{
donde los conjuntos
DE LA COMPOSICIÓN
B( ,
f o g
X e
B2
y
A, n
A2 = 0
B 3 son disjuntos dos a dos, entonces el DOMINIO
se halla como sigue:
Funciones
Cap. 2
Dom ( f o g ) =
{ x /
x G D om g
A
135
g ( x ) G D om f }
= { x / x G Dom g j = B j
A
U { x / x € D om g 2 = B 2
A
U { x / x € Dom g 3 =
A
g J (jc ) G A ( U A 2 =
^
^
A 1U
g 3(x ) €
Dom f } U
A 2 ” ^ om * ^ U
U A 9 = D om f }
= { x / x 6 Dom g j A g j ( x ) € D om f j } U { x / x 6 Dom g j A g ( ( x ) G D om f 2 }
U { x/ x
6 Dom g 2 A g 2 ( x ) G Dom f j } U { x / x G D om g 2 A g 2 ( x ) G D om f 2 >
U { x/ x
G Dom g 3 A g 3 ( x ) G Dom f ( } U { x / x G Dom g 3 A g 3 ( x ) G D om f 2 }
Con este resultado se ha demostrado la siguiente propiedad:
Dom ( f o g )
=
Dom ( f ^ o g j ) U Dom ( f 2 o g j ) U
Dom ( f | o g 2 ) U Dom ( f 2 o g 2 ) U
Dom ( f j o g 3 ) U D o m ( f 2 o g 3 ) .
donde
f(x)
g(*)
fj (x)
,x
G Dom f ]
f2 (x)
,x
G Dom f 2
gj(x)
, x G Dom g j
=
=
^
g 2 (x)
,
x G Dom g 2
g3 (x)
,
x G Dom g 3
.
Observe bien el orden en que aparecen las u n io n e s en el recuadro anterior.
8.8
EJEMPLO.-
Halle la función compuesta f o g , donde
3x + 4
f (*)
=
,
x
fx 2
€ [0,2]
<
gU)
—x + 1 ,
x 6 (2, J]
, x € [ 0, 3 >
=
I4
, x € [ 3 , 6] .
SOLUCIÓN.3x + 4
,
x e [ 0 , 2 ] = Dom f (
f , (x) = —x + 1
,
x 6 (2,5]
f,(x)
f (x)
=
=
g,(x) = x
gOO
2
= Dom f -
,
x 6 [ o , 3) = Dom g,
.
x 6 [3, 6] =
=
g2 U ) = 4
Domg2
136 -
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Dom ( f o g)
=
Dom ( f j o g j ) U Dom ( f 2 o g ( ) u
Dom ( f j o g 2 )
U Dom ( f 2 o g 2 ) .
D o m ( f (o gj ) = { x /
i)
= { x /
x € Dom gj A
gj ( x ) € Dom fj }
x 6 [ 0 , 3)
X2 € [ o , 2 ] }
A
= [o, 3 ) n [ - V T , V T ]
=
[o.V T ]
0*0 0*0 0*0 0*0 0*0 0*0
ii)
Dom ( f 2 o g j ) = { x /
x € Domgj
= { x / x € [ 0 , 3 )
A
A
gj ( x ) € Dom f 2 }
2 6 { 2 , 5 ] }
x
= [ o , 3 > n ( [ - / r , - V T ] u ( V T , / ? ] )
=
( V T .V T ]
M
iii)
Dor a ( f Jo g 2 ) = { x /
x 6 Dom g 2
= { x /
x € [3 > 6]
= { x /
x 6 [3,6]
A
g 2 ( x ) € Dom f ( >
A
4 6 [0 ,2 ]}
A
F
}
=
t
SIEMPRE FALSA
iv)
Do m ( f 2 o g 2 ) = { x /
x 6 Dom g 2
A
= { x / x e [ 3 , 6 ]
A
= { x /
A
x € [3 , 6]
M
0
t
VACÍO.
g 2 ( x ) € Dom f 2 >
4 6 ( 2 , 5 ] }
V
}
=
[3, 6]
0*0 0*0 0*0 0*0
^
(VERDADERO)
Do m ( f o g )
=
[ 0 , V T ] U ( - / T , V T ] U [ 3 , 6 ]
.
Y manteniendo esta subdivisión tenemos directamente que:
r
fog(x)
8.9
NOTA.-
=
= f 1( x 2 )
= 3x2 + 4
, x e
f2 tg , ( x ) )
= f2 (x2)
= - x 2 + i
, x e ( / T , / T ]
f2 (g2 (x))
= f 2 (4)
= -3
, x 6 [3,6]
f ! Cg | ( x ) )
En ( i i i ) y ( i v ) :
[ 0 , V~2~ )
F =
FALSO
0
V
VERDADERO
U (UNIVERSO)
=
(VACÍO)
Este problema [8 .8 ] ha servido para apreciar un método muy adecuado para re
solver este tipo de ejercicios.
Funciones
Cap. 2
8.10 EJERCICIO.-
Para
f y g
137
dadas en [8.8] ,
Dom (g o f )
=
(g o f ) ( x )
=
halle
"g o f" .
[0,2/3]
RPTA
8.11
Halle g o f SÍ
PROBLEMA.-
f (x)
=
4
,
l/(x -
V x €
[0 , 2/3] .
2)
,
x > 3
,
x >
g (x ) = (2x + l ) / x
SOLUCIÓN.- Siendo
Dom (g
of ) =
( g o f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) , entonces
{ x /
x G Dom f
= { x /
donde
— !—
x - 2
En ( * ) :
1/2 .
A
f (x)
x € [ 3 , oo )
e
A
[1 /2 , oo)
----- !----- G [ 1/2 , oo ) }
x - 2
<í=>
«•
— !------------ - >
x - 2
2
O-
— ——
x - 2
< 0
«
<=>
x
2 ^ ¿ ± ¿
2 ( x - 2)
= g (f (x)) =
(*)
>
0
x G <2,4]
G [ 3 , oo)
A
x G (2,4]
= [ 3 , o o ) O( 2 , 4 ]
(go f ) ( x )
...
— í—
> —
x - 2
2
o
Dom ( g o f ) = { x /
G Dom g }
2f
+
1 =
=
J 3 , , 4]_
x
,
}
V x € [3 , 4]
f M
8.12 EJERCICIO.-
En el problema [8.11]
RPTA:
Dom( f o g)
8.13 PROBLEMA.-
f(x)
= <
x
— 1,
f o g .
= [ 1 / 2 , 1] ,
Halle f o g y
I —x ,
2
halle
g o f
(f o g)(x) = x
para
,
.
las funciones
2
x Sgn x ,
x g ( —1,1)
g(x)
x G { 1, 2 )
x € [ - 1, 1 ]
=
[
V 3 -
X
,
x € { 1, 3 ]
SOLUCIÓN.f . (x) =
f(x)
=
1—x
, x G ( —1, 1) = D om f.
;
f 2 (x) = x 2 — 1
(
, x € (1» 2 )
- x 2
(
x
G [ —1 , 0 )
0
,
x
= 0
,
x
€ (1,3]
V 3 -
x
= Dom
f2
138
Cap. 2
Análisis Matemático 1
'
g(x)
=
= g j (a:)
- X 2
<
V 3 -
jc
=
g2(*)
=
g 3 (x)
,
x €
,
[-1,0)
=
Domgj
x € [0,1]
=
Domg2
x e (1,3]
=
Domg3
Por lo tanto,
i)
Do m ( f , o g , )
=
{ x /
x e Dom g ,
=
{ * / * €
[ - 1 , 0 )
A
g , ( x ) € Do m f , }
A
- x
6
(- 1 ,1 )
}
(VERIFICAR)
ii)
Dom ( f . o g . )
=
{ x /
* € [ - 1, 0 )
-x
A
=
€ < 1 , 2 ) }
VACIO
üi)
D om ( f
|
o g2 )
=
í x /
x e Dom g2
=
{ * /
x
€ [ 0 , 1]
A
A
g2 (x)
x2 6
€
Dom f
( - 1, 1 )
j
}
}
(VERIFICAR)
iv)
Do m ( f 2 o g 2 ) =
{ x /
v)
Dom ( f ! o g 3 ) =
{
x
x € [0,1]
x
/
= { x /
vi)
Dom ( f - o g . )
€ Dom g 3
x e ( l , 3 ]
=
<1, 3 ]
n
=
{ x /
=
( 1, 3] n
x2 € (1,2 ) }
A
A
V 3 -
A
<2,3]
g3 (x) e
x
=
Dom f , }
e ( - l , l )
}
=
x 6 < 1, 3 ]
( - 1 , 2)
A
J 3 - x
€
(1,2)}
=
Y como
Dom ( f o g)
entonces
Dom(fog)
=
Dom (f j o g j ) U Dom ( f 2 o g ( ) U
U
D om (fj o g 2 ) U D o m (f2 o g2 ) U
U
Dom (f| o g 3 ) U D o m ( f 2 o g 3 )
=
(-1 ,0 )
u
[0,1) u
(2,3]
,
u (1,2) .
Ahora, manteniendo esta división de los intervalos hallados, y consideran
do las funciones parciales correspondientes que dieron origen a estos dominioí
parciales de f o g :
Cap. 2
Funciones
f,(g,(x)) = f , ( - x
f,(g 2(x)) =
(f o g ) U )
139
)
f,(x
=
)
1-
x
,
x e < - i , o)
,
x e [ o, i )
= <
x ) = 1- J 3 - x ,
fj (g3 ( x ) ) = f , (V 3 -
k f 2 (g 3 ( x ) ) = f 2 (V 3 ~ x ) = 2 -
x
.
x € ( 2 , 3]
x € <1, 2 )
Para la función g o f invitamos al lector a resolverla, para lo cual le presenta
mos la respuesta para que la compruebe:
g2(fj(x ))
= g 2 (I -
x)
g2 (f2 (x )) = g2 (x 2 gof(x)
x)2
= (1 -
•1)' =
(' x 2 -
,
-1)' 2
x 6 [0, i)
(i,
VT]
,
X e
,
x € ( - 1 , 0)
=
g ( f , ( x ) ) = g 3 (l g3 ( f2 ( x ) ) = g3 (x
8.14 PROBLEMA.-
, x 6 ( VT, 2)
/TI
=
1)
f (x )
- i — í.
X
SOLUCIÓN.-
-
Halle todos los polinomios
(f o f) ( — ) =
= J 2 + X
x)
,
de 1er. grado tales que
x *
0 .
X
f (x) debe tener la forma: f (x) = ax + b , a * 0.
Verifique que debe llegarse a la condición:
b ( a 4- l ) x + a
2
= 4 —x ,
2
A a =4
b ( a + 1) = - 1
i)
8.15 PROBLEMA.-
f ( x ) = 2x -
( 1 /3 )
0
=>
,
Hay dos soluciones
ii)
f(x) = - 2 x + l .
Sean f y g dos funciones definidas por:
xl -
fO O
x *
2
,
-1
<
x <
1 ,
=
x
+ 2x
1 < x <
,
g(x) =
x 1-
-2
< x < -1
t
x
0 <
x < 3
2
(x
*
0) :
V
140
Cap. 2
Análisis Matemático 1
x
Probando previamente que
-
2
=
- I
,
V x G ( - M )
,
compruebe que:
-1
,
* € t - 2 , - 1 ) U < 0 , 1) U [ I , 2 )
,
x e [ i , 2)
f(g (x)) =
x
^ x 2 + 2x
g o f(x) = | 1 -
8.16 PROBLEMA.-
+ i
I ,
x 6 [ 1, 2 ) .
Dadas las funciones f y g tales que:
Ix |
V x -
, x 6 t - I. 3]
f(x) =
, gU)
1
,
x € [ 1, 2 >
=
-2x + 3 , x € (3,6]
[[* ]]
. * 6 [ 2 , 5> ,
compruebe que
3 ,
x £ [ 2 , 3)
3 ,
x € [ 3. 4)
- 5 ,
x É [4,5)
(f o g )(x ) =
8.17 PROBLEMA.-
Sea
g(x) =
, (g o f ) ( x ) =
( f o g) (x ) = x 2 -
(x + l ) / ( x — O .
x2-
x + 1 =
Sea
t = (x + i) /( x -
yen
(*) :
f(t)
i)
entonces
= ( - ^ t± ) 2 t - I
X - 1
— { x /
, x G [2,3)
, x = 3
x G [ —1,4] — {1} ;
D om f = ( — 1, 2 ] — { 1 }
) 2
= f ( * + 1 )
X — 1
t —
,
x €
x = (t + i ) / ( t -
f (x )
1
C * + 1 ) + 1
X - l
x G [ — 1i 4 ] — { I }
1)
Do m ( f o g )
(» )
,
+ l
Ahora encontraremos el dominio de la composición
Do m ( f o g )
2
f o g .
f (g(x))
f (x) = ( X + 1
i , x e [ i , 2)
x + l . Halle la regla de correspondencia de
así como el dominio y el rango de
SOLUCIÓN.-
V x -
3
la función f tiene dominio
tal que
, x = —1
0
■J x - I , x 6 [ 1 , 2 )
A
(REGLA DE CORRESPONDENCIA DE f )
f o g :
x -f 1
x -
i
e <— i» 2 ] — í i } }
Funciones
Cap. 2
Do m ( f o g )
Y puesto que
141
= [ —1 , 0 > U [ 3 , 4 ]
(VERIFICAR)
( f o g) ( x ) = x 2 — x + 1 =
(x — - ) 2 + — ,
2
4
completando cuadrados y usando ( * * ) hallamos el
(VERIFICAR)
Rang ( f o g ) = ( l f 3 ] U [ 7 , 13]
8.18 PROBLEMA.
Si el dominio de F o G es [ 4 , 6 ] , halle el dominio y la regla de
correspondencia de (F o G ) o ( g / f ) .
G = (I -
4) ( I + 4)
, g = 21 ,
Además,
f = 1-
F =
2 ,
I
1/2
donde
I = función IDENTIDAD.
SOLUCION.Dom ( F o G ) o ( g / f ) = { x 6 D o m ( g / f ) /
(g /f)U )
=
2x
x -
x —4
---------- <
X - 2
y como
€ [ 4 , 6 ]
4*
2x
4 <
2
0
x A
x — 3
x -
Dom (F o G) o ( g / f )
> 0
,
2
x -
x € [ 3, 4 ]
<
6
2
(VERIFICAR) ,
=
entonces
(R
( F o G) o ( g / f ) ( x ) = V [ ( g / f ) ( x ) ] 2 -
p a r a todo
Sea
*4»
2x
2
D om ( g / f ) = R - { 2 }
8.19 PROBLEMA.-
( g / f ) 6 [ 4, 6 ] = D o m ( F o G) }
-
{2})
16
n [3. 4 ]
=
= V M x 2 /(x -
x 6 [3,4] .
f la función cuya gráfica es
[3,4]
2)2 ] -
,
16 ,
-142 -
compruebe que la gráfica de
- 5
SUG.-
Cap. 2
Análisis Matemático 1
-3
g (x ) = 2 -
f ( - x + i)
es:
-2
Construir tal gráfica realizando los siguientes pasos:
1®)
y = f {x + i )
3®)
y = 2 -
4®)
y = - f ( x + 1)
4®)
g(x) = 2 -
f ( x + 1) = h ( x )
f ( - *
+ 1) = h ( - x )
8.20
Dadas las funciones
=
f, g, h,
I =
ASOCIATIVIDAD
1)
( f o g ) o h
2)
E xiste u n a y s o la m e n te u n a f u n c i ó n , d e n o ta d a
f o 1 =
f
f o ( g o h )
ID EN TID AD :
=
I o f
•
V
(f + g ) o h = (f o h) + (g o h)
4)
(f - g ) o h = (f o h) • (g o h)
Además, en general, ya vimos que:
Por ejemplo, si:
*
4 (C o n s ta n te ),
h o ( f + g)
=
(h
O g)
O
f ) + (h
f o g
(h o f ) + (h o g)
h =
4 o ( I + I) =
•
función f .
3)
h o ( f + g)
•
[ I = IDENTIDAD ]
*
g o f
f
yh o ( f * g )
*
f = g =
4 o
tal que
I ,
(2 1 ) =
= (4 o I ) + (4 o I ) = 4 + 4
I
,
entonces
4(Constante)
=
PRUEBA DE (1) :
Dom ( f o g ) o h
= { x e
Dom h /
( h o f ) - ( h o g)
h ( x ) 6 Dom f o g }
8
(Constante)
Funciones
Cap. 2
Y además,
= { x
G
Dom h
/ h ( x ) 6 Dom g
= { x
€
Dom h
A
= { x
G
Dom g
oh /
= Dom [
f o ( g
oh ) ] .
[(fo g )o h ](x ) =
=
5)
I
6)
I
8.21
n
n
o I
m
*
I
o ( f + g)
nm
,
A
g (h(x)) G
Dom f }
h ( x ) 6 Dom g
/g (h (x))6
Dom f }
g o
n
,
f = 3l2+ 4 l - 2 t
=
2
71 + 8 1 - 2
f o g =
( 3 I 2 + 41 -
2) o ( I 2 -
=
-
21 + I
,
entonces :
21 + 0
21 + 1) + 41 o ( I 2 -
3 ( I 2 — 21 + l ) 2 + 4 ( I 2 4
31 -
I
2
+ 1)
4
3
31 - 2 1 -
=
[ f o (g o h ) ] ( x )
para n entero positivo.
2)(I2 - 2 1
( 3 1” ) o ( I 2 -
=
f (g(h(ac)))
enteros positivos.
g =
=
( x ) GD o m f }
=
f[(g o h)(x)]
Dadas las funciones
( 3 I 2 + 41 -
h
(fog )(h (i))
para m y n
= ( f + g)
EJEMPLOS.-
fg =
143
21 + 1) -
21 + 1) -
2 o (I2-
21 + 1)
2
3
2
61 + 191 - 1 4 1 + 5.
Además, si se definen las funciones
I+
y
I_
I + (x)
=
x ,
V x >
O
I_(x)
=
x ,
V x <
O
como
entonces se puede probar que
1/n
o í
n
. .
= | |
a)
I
b)
i+ u ( - i _ ) = ||
c)
I/ n
Io I
PRUEBA DE ( a ) :
=
I
V X g
,
=
I
o i
n
I o
1/n
1/n
I
,
= i
para
t
n
^ „
para n PAR.
IMPAR.
R :
I
pues
n
xn =
1/n
n, v
o I (x) =
| x |n
,
ni n
V x
=
para n PAR.
i
*
| x I , (PARA n PAR)
144
Cap. 2
Análisis Matemático 1
8.22 PROBLEMA.-
Indicando las funciones elementales que intervienen, expresar las
siguientes funciones como composición de otras
~ x
a)
f (x )
=
V I x + 2I
b)
g(x)
=
a)
f
=
l ' /2o ( O
b)
g
=
l ' / 3 o ( I + l ' /2
X + X
SOLUCION.o ( i + 2) (i
I)
+ | | ))
9.
Las funciones
INVERSAS constituyen un grupo particular de R e l a ­
ciones I n v e r s a s que ya fueron estudiadas, pero antes presentaremos tres tipos
de funciones muy importantes: las funciones S u r y e c tiv a s , las funciones In y e c tiv a s o U n iv a le n te s y las funciones B iyectiva s.
9.1 FUNCIONES SURYECTIVAS
se dice que es una
Una función
SURYECTIVA
o función SOBRE, si el C o n ju n to I m a g e n de A , vía f , C U B R E a
todo el conjunto de llegada B . Es decir, si
o equivalentemente, si
El conjunto de llegada B
debe coincidir con el Ran­
go de f .
9.2
EJEMPLOS
1)
La función
f:
( - 00, 00)
» [ o , 00 > ,
SURYECTIVA (o SOBRE), pues
Rang ( f ) =
[ 0 , 00 )
=
B
,
Dom f
f (x) = x
= <-oo,oo)
es d e c ir :
f (A ) =
B .
=
ES
,
A
y
Funciones
Cap. 2
2)
La función
f :
[ - 1, OO )
145
+ [ - 2 , oo)
,
f (x) = x
,
NO ES
SURYECTIVA, pues
f(x) = x
Rang ( f )
y donde el conjunto de llegada
Rang ( f )
=
e [ o , oo)
=
[ 0 , oo )
B = [ - 2 , oo )
no c o in c id e
con el
[ 0 , oo ) ;
es decir,
R a n g (f)
3)
se B
De la definición se concluye que toda función de la forma
♦ Rang ( f )
f : A
siempre es SURYECTIVA , pues el conjunto de llegada es
9.3
PROBLEMA.-
Pruebe que la función
tal que
f (x)
=
x + i
Dom f = [ - 1 , 1) = A
y = f (x) =
X+ 1
x - 1
x = y + ■ e [ - i , i)
y - i
Rang(f) .
f : [ - i , i )
x SOLUCIÓN.-
B =
es s u r y e c tiv a .
,
l
,
B = < - oo f 0 ] ,
xy - y = x + l
O
x
=
y + '
y - i
^
-i
<
y + 1 < i
y - i
y = f ( x ) 6 ( ( — oo, 0 ] U ( 1 , o o ) ) n ( — oo, l ) = ( - 0 0 , 0 ]
Rang ( f ) = ( — 00 , 0 ] =
B .
f
(VERIFICAR)
es s u r y e c tiv a .
Como vemos, para comprobar si una función f es suryectiva o no, basta hallar
el
Rang ( f )
y ver si coincide o no con el conjunto de llegada B .
-146 -
Cap. 2
Análisis Matemático 1
9.4 FUNCIONES INYECTIVAS
Una función f es INYECTIVA si a cada valor en su rango le corresponde un único valor en el dominio.
Es decir, si es que exis­
tieran dos valores en el
dominio cuya imagen es
la misma , vía f » enton­
ces f n o es y iy e c tiv a .
f
INYECTIVA
FUNCIÓN NO INYECTIVA
9.5 DEFINICIÓN FORMAL.-
Una función
f
es INYECTIVA,
si para todo x , , x 2
6 D o m f , se cumple que:
o equivalentemente, si para
x, , x -
e Dom f :
que es la forñna más útil cuando se trata de cálculos y demostraciones.
9.6 NOTA.- A estas funciones también se les llama UNIVALENTES o UNO A UNO
9.7 EJEMPLOS.a)
i Y
4 ..
La función
f = { (1,1 ), (2, 3),
( 3 , 2 ) , ( 4 , 4) }
es inyectiva:
f
3 ■
2 ■- 1..
4---------- i---------- t---------- 1-------------- ►
0
1
2
3
4
X
b)
-147 -
Funciones
Cap. 2
La función
no es I n y e c t i v a pues
f = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1), (3 , 2 ) , (4 , 1) }
( 2 , 1) 6 f
f (2) =
1
( 4 , 1) €
f (4) =
I
f
pero debería ocurrir que:
f (2) *
AY
3"
1"
f (4)
1 •
para que f sea inyectiva
0
9.8 CONCLUSIÓN.
f
Una función es INYECTIVA si es que NO CONTIENE DOS PARES
ORDENADOS DIFERENTES CON LA MISMA 2da.COMPONENTE.
NO INVECTIVA
f
INVECTIVA
9.9 OBSERVACIONES.
1. Geométricamente, se reconoce a una FUNCIÓN INYECTIVA cuando TODA RECTA
HORIZONTAL CORTA A SU GRÁFICA A LO MÁS EN UN PUNTO.
2. Analíticamente, se prueba que una función es INYECTIVA partiendo de la hipótesis:
f(*j)
=
f( x 2)
para
Xj , * 2 € D o m f
y mediante operaciones adecuadas se debe llegar a la igualdad siguiente:
x \
EJEMPLO.-
La función
=
x2
f ( x ) = 3x + 4
,
*
e R
,
ES INYECTIVA pues
148
Cap. 2
Análisis Matemático 1
3 x ( + 4 = 3 X j+ 4
3Xj = 3 x 2
3.
Para probar que una función NO ES INYECTIVA basta con presentar un contra­
ejemplo, es decir, basta indicar d o s p u n t o s en el d o m in io , que te n g a n la
m is m a im a g e n (la m i s m a s e g u n d a c o m p o n e n te ) vía la / u n c i ó n f .
f (x ) = x 2 ,
EJEMPLO:
( - 2 , 4) e f
A
x e R , NO ES INYECTIVA pues existen
( 2 , 4) € f
A
f (-2 )
= 4 ,
f (2)
= 4 .
Es decir, tanto
Xj = - 2
como
*2
= 2
tienen la misma imagen:
i
4 , para esta
función f .
9.10 PROBLEMA.-
Demuestre que la función f dada, es inyectiva:
f(x)
SOLUCIÓN.f (x|) =
pues
= s - J T -
f (x) — 5 f(x 2)
—l <
Xj <
0
a
^ 6 -
(x -
x
+ 2x
,
;
1)
2
—1 <
=
5
/
— -y 6
6 -
(x2 -
-V6 -
(x, -
1)
=
(x2 -
I)
= (*, -
—1 <
x2 <
x 2 ~~ *
=
I x. -
1 — X~
=
1— X
0
0 .
V Xj , x , G Do m f :
(xl -
1)
x <
— ( x 2 — 1)
2
1)
O
1
Xj — I <
...
(*)
0 , x2 — 1 < 0
Funciones
Cap. 2
-149 -
Así hemos verificado que se cumple la implicación:
f (Xj) =
f (x2 )
x\ =
, para
x2
x. , x~ 6 D o m f
,
y que por lo tanto f es inyectiva.
9.11
9.12
EJERCICIO.-
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
Demuestre que la función f del problema previo sigue siendo in
yectiva si su dominio es
[ - i , o> .
Demuestre que la función:
es inyectiva.
f(x) =
X *
x
1
1
f(x) = 1 + [2/(x -1)] . Partimos de la premisa
I + [2/(xt - I)] = 1 + [2/(x - I)]
Xj — I =
9.13
PROBLEMA.-
SOLUCION.-
Sea
Demuestre que la función
es inyectiva (univalente).
x, < 0 ,
X2 — 1
f(x) = x
— 1,
x < 0 ,
x2 < 0
2
2
Xj — 1 = x 2 — 1
l*,l
=
X1 =
*1
= *2
I
—X
pues
x t < 0 , x, < 0 ,
Esto significa que la función dada
ES INYECTIVA .
.9.14 PROBLEMA.-
¿En qué dominios máximos es inyectiva la función con regla de co
rrespondencia
f (x) = x 2 - 6x + 10
?
150
Cap. 2
Análisis Matemático 1
SOLUCIÓN.- Como la gráfica de f es una parábola hacia arriba, entonces f no es
inyectiva, a menos que se elija una
cualquiera de sus ramas laterales.
Además, expresando
f (x ) = (x vértice
3 )2 + 1
tiene
( 3 , 1 ) . Luego, f será in­
yectiva en cualquiera de los casos
de máximo dominio
0
9.15
a)
Dom f = [ 3 , oo )
b)
Dom f
NOTA.-
= ( - o o , 3] .
Cuando se trata de probar que una función f es inyectiva EN EL CA
SO en que f está constituida por la unión de varias funciones como
f j (*)
f U ) =
,
f 2 (x)
f, (x)
donde, por supuesto,
x € Dom f j = A j
x 6 Dom f 2 = A 2
,
x € D om f, =
Aj , a 2 y
a
A
3 s o n d is ju n to s d o s a d o s .s e
procede de la siguiente manera:
n Rf
R ',
Rf.
__________
R ',
Rf.
0
=
0
=
0
2
n Rr
p
=
3
n Rf
Para que f sea inyectiva
no basta que
Rf
n Rf
I
1
Se prueba que cada función
Dom f * =
f^
es in y e c tiv a
= 0
n Rf
2
3
en su respectivo dominio
A fc .
2® Luego, como en el caso de la figura , SE DEBE VERIFICAR QUE LOS TRES
RANGOS DEBEN SER DISJUNTOS DOS A DOS.
Cap. 2
Funciones
-151 -
Este criterio se generaliza al caso de dos, tres o más funciones
9.16 TEOREMA.-
Si
f y
que
SOLUCIÓN.g(*,)
g son in y e c tiv a s y s i existe
Que f y g sean inyectivas implica que:
x { = x2
= g (*2)
(f o g X x p
lo cual significa que
9.17 PROBLEMA.-
u>| =
(*) ,
y
(**)
;
n> = g ( * ) :
haciendo
g(*,) = g(x7)
= (f o g )(x2)
x,
=
x2
X|
=
x2
de
(**)
de
(*) -
.
es in y e c tiva .
fo g
Demuestre que la función f es inyectiva
f(x)
SOLUCIÓN.-
w2
= f ( g ( * 2))
f(g(x,))
a)
ta m b ié n es in yectíva .
fo g
f O j ) = f (w 2 )
Así,
f o g , d e m u e s tr e
- x
,
X <
0
i/V T
,
x >
o
=
Denotando
fj(x) = - x
,
x 6 (-o o ,0 ]
-X ,
( y como
2
=
2
- x 2
x2
x. < O , x 7 < O )
— x 2
=
X,
=
X
=
— 3
i
en ( - o o , O ]
b)
f 7 (x) =
i/V"x"
,
x e ( o , oo) :
i/ J x
. . / i
en
/*7 = { ¿ r
( o, oo)
Además, podemos verificar fácilmente que
Rang ( f . ) = ( - o o , 0 ]
A
R a n g ( f 7 ) = ( O , oo )
-152 -
Análisis Matemático 1
=>
Rang ( f
f
9.18
j
Cap. 2
) n Rang ( f 2 ) = { — o o , 0 ] n ( 0 , o o )
=
0
VACÍO
ES INYECTIVA en todo su dominio.
PROBLEMA.- Si
A
y B son in t e r v a lo s y f :
f (x ) =
1/ (1 — x 2 )
A ------------► B
definida por
es una función inyectiva y suryectiva.
Halle A y B máximos para que ello ocurra.
SOLUCIÓN.- D om f c R — { — l , 1 } • Verificamos la INYECTIVIDAD
f (*,) =
f (x2)
=>■
2
2
=>
x, =
x2
=>
Xj =
x2
1/(1 -
) =
1/(1 -
=> (x, -
* 2 )(Xj + x 2 ) = 0
como sigue:
x2 )
= —x 2 •
V Xj
De aquí vemos que, si consideramos intervalos con valores de un sólo signo, la función
será inyectiva para:
i) {— oo,— i) u (— 1 , 0 ]
Verifique para cada una que el
Rang(f) =
B
es el que está indicado.
Cap. 2
9.19
Funciones
-153 -
FUNCIONES BIYECTIVAS
Se llaman así a todas aquellas funciones
f : A -------- ► B
que son a la
vez INYECTIVAS y SURYECTIVAS.
9.20
FUNCIONES INVERSAS
Dada una función f u n iv a le n te , sabemos que el conjunto
x e
{ ( f (x)f x) /
Dom f }
te la Relación Inversa de
f
=
f
constituye otra " función ", que es precisamen­
= { ( x , f (x)) /
{ ( f (x) , x) /
x e
x e
Dom f }
y es denotada:
Dom f }
f
f
- I
En la sección correspondiente a las RELACIONES INVERSAS (Cap.1)
vimos
que la gráfica de una Relación Inversa se halla reflejando la gráfica de la Re­
lación original con respecto a la recta de ecuación
y = x
, que actúa co­
mo un espejo, de modo que:
* Para que
f
1 resulte ser una función, su gráfica debe satisfacer
la condición de que TODA RECTA VERTICAL puede cortarla a lo más
en un punto ; esto equivale a que TODA RECTA HORIZONTAL corte
a la gráfica de la función f a lo más en un punto ( por la simetría
con respecto a la recta
y = x ).
Esto significa que la función f debe ser INYECTIVA necesariam ente."
Como consecuencia de ello resulta que la función inversa
f
1
también es
INYECTIVA y por lo tanto posee una función inversa que coincide con la
f u n c i ó n o r ig in a l f :
(f
*)
es decir,
=
{ ( x , f (x) ) /
x € Dom f }
f
.
=
f ,
154
Cap. 2
Funciones
- 1
Además, de la definición de f
se deduce que:
Dom f
1 =
Rang f
Rang f
* =
Dom f
Así, una función
f : A ------- ► B
tiene función inversa
f
1: B
s í y sólo si
f es inyectiva y sur-
yectiva (es decir, f es biyectiva)
9.21
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS
= { ( x , y) / y = f (x) , x e
f
f
- 1
Dom f }
y = f(x)
{ ( y , x) / y = f ( x ) , x 6 Dom f }
=
X
=
f
'( y )
Es decir:
,
V x € Dom f
de lo cual obtenemos la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS:
a)
f
1 [ f (x)]
=
x
,
V x e Dom f .
b)
f [ f ” 1( y ) ]
=
y
,
V y e Dom f " 1 =
Rang ( f ) .
En efecto, tenemos del último recuadro y del anterior que:
f
1 ( f ( x ) ) = f “ 1( y )
f ( f ” 1(y ) ) =
f (*)
=
x
,
V x € Dom f
=
y
,
V y 6 Dom f ” 1 =
Rang f .
Y equivalentemente,
f
o
f
=
id
f o f _I
=
id
B
(Identidad sobre
A = D om f )
(Identidad sobre
B = R a n g (f)).
Cap. 2
Análisis Matemático 1
9.22 EJERCICIO.-
- 155 -
Demuestre que:
1) =
Dom f
1o f ) =
Dom f
a)
Dom ( f o f
b)
Dom ( f
De todos estos resultados vemos que si
entonces la función
f - 1 : R a n g (f)
f:
1 =
Rang f
-------- ► R a n g ( f )
A
es univalente
es una nueva función que regresa
-------- > A
todas las imágenes de f a sus puntos de partida.
A
B
y =
9.23 PROBLEMA.-
x = í
f (x)
Dada la función
1(y)
f = { (2 , 6) , ( 4 , 7 ) , ( 1, 8) , (3 , 9) }
halle, si existen,
f ~ 1 ,
f o f _l
y
f “ ' o f
.
SOLUCIÓN.i)
i " '
= { ( 6 , 2 ) , ( 7 , 4 ) , ( 8, 1), ( 9 , 3) >
ii)
Do m ( f o f “ 1) = Do m f “ ' = Rang f = { 6 , 7 , 8 , 9 }
= B
f o f ' 1 = { ( 6 , f ( f “ 1 ( 6) ) ) , ( 7 , f ( f ~ 1 ( 7) ) ) , (8 , f ( f “ 1 ( 8) ) ) ,
( 9, f ( f ~ ' ( 9 ) ) ) }
f o f -1
= { ( 6 , 6 ) , ( 7 , 7 ) , ( 8 , 8) , ( 9 , 9) }
f o f -1
=Id B
=
^
0 *0
0 *0
ID E N T ID A D SOBRE B ,
0 *0
0 *0
A»
0 *0
donde
iii)
f
o f
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
0 *0
*0
B = D om f ~ 1 =
= { ( 2 , 2 ) , ( 4 , 4 ) , (1 , 1 ), ( 3 , 3) }
=
{ ó , 7 ,8 ,9 }.
IdDomf-
156
Cap. 2
Funciones
9.24
Si
TEOREMA I
f
es u n a f u n c i ó n u n iv a le n te
f:
* B
A
B s= Rang f , y si existe
A = D om f ,
* A
g: B
u n a f u n c i ó n tal que
i)
g o f = Id
Dom f
A
ii)
f
O
g =
I d Rangf
,
entonces:
Es decir,
1
-
i)
1 es la ÚNICA f u n c i ó n que s a tisfa c e las igualdades:
f
f
o f
PRUEBA.-
=
I d Domf
ii)
A
f o f
Veremos que g es univalente; sean
u>( , u>2 e Rang f =
existen ú n ico s
Uíj = f ( X j )
1
1
Id
Rang f
w í , w 2 e D om g = B = R a n g f ,
t
entonces
tales que
w2 = f (x2)
A
=
x 6 A = Dom f }
{ f O) /
Xj , x 2 6 Dom f = A
-
...
(a)
de modo que:
g(uíj) = g(u;2 )
g(f(x,))
= g (fO O )
[g o f ](x .)
I d A(x.) =
Veamos ahora que:
en efecto,
g ( iu ) = f
[ f o g](u>)
f
- 1
=
(u>) ,
I d B ( u; )
([ f o g](iu))
=
f
- 1
la )
= [g o f ]( x ,)
Id A (x .)
para todo
w
=
de
de (i)
w e Rangf = B ,
... de (ii)
(w )
-
[ ( f
' o f l o g l M )
=
f
'(w)
Id A (g(uO) = f
1
lw)
g ( u í ) = f _ 1 ( u; )
Es decir,
9.25
g =
NOTA.-
f
- 1
La relación:
p r e c is a m e n te
in d ica el p r o c e d i m i e n t o a s e g u ir p a r a h a lla r la regla d e corres- 1
p o n d e n c ia de la f u n c i ó n in v e r s a f
(y ) :
Cap. 2
157
Análisis Matemático 1
y = f ( x ) , y luego se despeja x en términos de y \
" Se parte de la regla
9.26 EJEMPLO.-
f (x ) = V x + i
La función
x g [ — i , oo )
,
es inyectiva (verificar), de modo que existe su función inversa f “ 1
De
y = y x + I
d e s p e ja m o s x :
x = y
_ i
y como
x
Do m f
ss f
(y )
,
entonces
* = Rang f = { f ( x ) /
x € [ — 1, oo ) = D o m f
O-
2
— 1
_ i
(y ) = y
f
2
-
l
x € [ — 1, oo ) = Dom f
—1 < x
-O
(a )
...
}
:
x + 1 > 0
y = V * + 1 > 0
^
-O-
f ( x ) 6 [ 0 , oo )
-O-
Rang f = [ 0 , o o )
De { a ) y
(/?) :
o en forma
equivalente ( regresando al símbolo x ) :
f
'(y )
f
9.27 OBSERVACIÓN
= y 2-
1,
y € [0 , oo)
' (x) = x 2 — 1 ,
. . . (/?)
,
x € [ 0, oo) .
tien e in v e r s a , solamente
Para determinar si una función
hay que verificar que sea INYECTIVA en su dominio.
9.28
NOTA.-
Cuando una función INYECTIVA
f i M
y = f(x)
=
ción
fj
y
f2
es la unión de
yf2 :
x € A . = D om f j
^
f 2 (x)
entonces su INVERSA
.
f
f
f
x e
Dom f 2 ,
1 se determina encontrando la inversa de cada fun­
en sus dominios respectivos
Además, observamos que
A2 =
Dom (f
1) =
Aj
y
A2 :
R a n g f( u
Rang f 2 .
Esta regla se extiende a cualquier función que sea unión de tres o más funciones
f| , f 2 ,
i
158
Cap. 2
Funciones
9.29 PROBLEMA.-
Halle la función inversa
f
—x
f U )
SOLUCIÓN.-
=
i
1 , si existe, de la función
,
x e { — oo , o ]
,
x € ( o , oo ) .
i
En la sección de F unciones ¡ n y e c tiv a s demostramos que esta función
era inyectiva. Por lo tanto existe su función INVERSA f
1 , de la cual
hallaremos primero su dominio:
i)
y = f | (x) =
V x 6 ( —o o , 0 ] :
x = ± 7 - y
, y elegimos
- x 2 € { — oo , O]
(-)
-i
i------x = fj
(y) = —V —V
»
pues
V x
€ ( O, oo )
:
—i ( * )
y 6 D om fj
p a r a todo
V~x~ 6 ( 0 , o o ) 4=>
luego,
1 /V T
y = f ^ ( x ) = \/4~ x
e
i
=>
.’.
x= f,'(y )
=
1/ y 2
=¡. 1 / y
V y
,
=>
e Dom f ,
=
Rang f , = { - o o , 0 ]
e ( O , oo ) ,
(O.oo)
= Rang f 2 =
=
Despejando, .. V x
(*)
x e ( - oo, o ] :
=
ii )
...
x = 1/ y
Dom f 0
2
' = Rang = ( O ,
oo )
De (i) y ( i i ) :
_ i
f
I
(y)
- V - y
=
■ y e ( - oo, o ]
2
i/y “
,
y e ( o , oo)
- V —x
*
x € ( - oo , o ]
o bien, regresando al “símbolo" x :
_ ,
f
(x)
=
i
.
l/x
9.30
PROBLEMA.-
a)
Pruebe que
es inyectiva.
2
f (x) = x +
, x € ( o , oo ) .
x2+ 9 ,
x e [ - 4 , 4 ]
,
159
Análisis Matemático 1
Cap. 2
b)
Si
f (x ) =
x — 4
4 + J x2+ 9
.
g(x)
x 6 ( - oo , 4 ]
,
,
y
x > —4
=
, x <
8
halle
t
f + g
y
-4
,
( f + g ) “ 1 , si existen.
SOLUCION.a)
Sea
f(xj)
=
f ( * 2)
xi + J xi + 9
=>
x2 + f x 2 + 9
=
(x2 -
X j ) ( x 2 + Xj )
x\ - x2 =
x\ + 9
i)
Sien
(*)
Xj x
x0
—( x 2 + X j )
entonces:
-J x 2
=
^ (Xj2 + 9 ) ( x 2 + 9)
=
=
o ,
=£•
ii)
(*) :
RANGO D E f :
De
9
x} = x2 .
/.
y = x+ J x 2+ 9
y2 — 9
x = —---------- 6 [ — 4 , 4 ]
2y
...
(Xj + x 2 ) 2
lo cual es absurdo pues en
bro es siempre
Por lo tanto, de
^ x 2 4-
0 .
f
ES INYECTIVA.
V x € R
(<*)
A
(y - 9 ) ( y + i ) < Q
y
y e [ - 9 , - i ] u [ i , 9]
Rang(f) = ( [ - 9 , - I ] U [1, 9 ] )
I -* 2 ~ 9
=<
el 2do. miem
si y sólo si
«=>
(x )
0
(* *)
y
( f + g)
=
>
> 0 ,
(y + 9 ) ( y - O > 0
b)
(**)
Xj X2 - 9
9 ( x 12 + x 2 ) + 18 X j X 2 = 0
x + x2
+
+ 9
n ( 0 , oo > = [ 1 , 9 ]
.
x 6 [ 1, 9 ]
,
x < 0
2x
x - 4
(verificar)
...de
(a )
160 9.31
Cap. 2
Funciones
PROBLEMA.-
Dada la función f cuya regla de correspondencia es:
/
y x
-
f(x)
2
x < -1 1
+ 12x + 27
=
x
x > 0
+ 6x + 6
- 1
Demuestre que
f es univalente (inyectiva) y halle la función inversa
f
SOLUCION.a)
i)
f,(x )
J ( x + 6)
= 4 -
-
9
x. , x , € < - o o , - u ]
, y sean
(x
+ 6)2 - 9
(x 2 + 6)2
(Xj + 6)2 =
I x, + 6 | =
( y como
Xj , x 2 G < - o o , -1 1 ]
= 4 - J ( x 2 + 6) - 9
I x, + 6 I
X j + 6 ,
(xj + 6 )
-
x , +
6 e
( - 0 0 , - 5 ] )
- ( x 2 + 6)
es INYECTIVA .
CALCULO DEL RANGO DE f
:
V x G Dom
(x + 6)
>
x <
1
J (x + 6 )2 - 9
25
y = f . ( x ) = 4 - ^ (x + 6)
-I
Dom f j
CALCULO DE
x + 6 < —5 < 0
-1 1
:
en donde elegimos el signo
-
9
=
<
>
pues
Rang f
j
x + 6
=
4
( — oo , O ] .
x + 6 = ± ( ( y debe ser
,
ii)
=
O
Despejamos x en
(-)
/T íT
En forma análoga se prueba que la función
v
<
4)
o . As í ,
y g ( - o o , o] .
+ 9
Análisis Matemático 1
Cap. 2
161
2
f
O ) = x 2 + 6 x + 6 = ( x + 3)
es INYECTIVA sobre
D om f 2 = ( 0 , o o ) t que
b)
Rang(fj) n
Rang f 2 = { 6 , o o )
y
v y e { 6 , oo ) .
.
Además, como
— 3
Rang(f2 ) =
f es INVECTIVA.
0
De (i) y (ii):
4)
f
9.32 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
'(*)
+ 9
f
tal que
,
x E { 6 , oo ) .
( - o o J l
(y ) = (y -
b)/a
i
f = f
y = f (x) = ax + b , a * O , x
- 1
x 6
=
Halle una función lineal
x = f
,
E { —oo, oo)
E ( - oo , o o )
y e { - o o , oo)
,-1 , ^
x - b
f
( x ) = -----------
y regresando al símbolo x :
Y como debe ser
f = f
1
entonces
V x 6 ( —0 0 , 0 0 ) .
f (x ) = f
* ( x ) , y por ser ambas fun
ciones p o l i n o m i o s :
ax + b =
a
= 1
A
a = ± l
(a b + b ) = O
A
b (a + l) = 0
x
,
DOS G R U P O S DE SOLUCIONES:
i)
a = 1
ii)
a = - 1
9.33 PROBLEMA.-
b = O
b e R
f (x ) =
(cualquiera)
x 6 R
f (x ) = —x + b ,
x E R .
Dada la función
—x
f (x )
=
— 6x — 8
x -I- 3
,
x 6 ( - 0 0 , - 3]
,
X E ( - 3 ,
,
x E { 1, 0 0 )
0)
a)
Determine si f es inyectiva.
SUG.- Complete cuadrados.
b)
Si f no es inyectiva , re s trin g ir adecuadamente su dominio para que la nueva
función tenga función inversa y que su rango sea igual al de la función f original.
162
Cap. 2
Funciones
SOLUCIÓN.-
Hallando los rangos de cada función parcial obtenemos el
Rang f = ( — o o , I ] u
(0,3)
U { 0 , oo )
=
R
y vemos que no son disjuntos, y por lo tanto f no es inyectiva; tal es el
caso de
Mantenemos el
f (5 ) = f ( - l ) = 2 .
D om fj = ( - o o , - 3 ]
, cuyo rango es ( - o o , l ] , y varia­
mos los otros dominios parciales de manera que la unión triple de sus rangos correspon
dientes siga siendo
❖
para que
R a n g f = ( - 0 0 , 0 0 ) , pero disjuntos dos a dos :
Rang ( f 2 ) = (l,3)
: x + 3 e (1, 3)
x e (-2,0)
❖
1f(x)
=
=>
x + 3
V x -
resulta ser in y e c tiv a
,
x <
,
1
,
=
9.34 PROBLEMA.-
=>
x <
f
”
1
1
,
I < x < 3
x2+ 1
,
x
> 3
(VERIFICAR)
f o g - 1 , si existe, para las funciones
g = { (x, J 3 -
Siendo
10
X - 3
f = { {x, x 2) /
SOLUCIÓN.-
0
y por lo tanto existe la función inversa
]
Halle
x <
x >
,
(NUEVO)
-3
—2 <
—3 — ^ \ ~ x
f~'(x)
(NUEVO)
x € [ 10 , 00 ) = D o m ( f 3 )
(x + 3 )2 ,
J
= D om (f2 )
-J x - 1 € [ 3 , 0 0 ) implica que
para que Rang ( f 3 ) = [ 3 f 0 0 ) :
x —I > 9
s i y sólo si
V T (x -
x ) /
l) >
0 }
- 1 < x < 3 > .
Como g resulta ser inyectiva (¿?), hallaremos la función g
g(x) = ^ 3 -
g (x ) = V 3 “
Además,
g“ *(x) = 3 -
Y como
V T (x -
x
x
para
G [0,2)
x2
1) > 0 ,
,
- l
=>
x G [0,2)
es decir
<
x < 3
-3
Rang ( g ) = [ 0 , 2 )
1 .
< - x
= D om g
(VERIFICAR)
x g { 0 } u [ 1, o o ) =
<
D om f ,
1
Análisis Matemático t
Cap. 2
Dom ( f o g
-1
) = { x /
x £ Dom g
- 1
= { x / x e l 0 , 2 )
163
A
A
g
3 -
- 1
( x ) 6 D om f }
x 2 6 { 0 } U [1, oo) >
= [ o, 2) n ({ ± V T } u [ - V T , V T ] )
= [0 , / T ]
=
U {VT>
x 2 )2 ,
( f o g - 1 ) ( x ) = f ( g ~ 1 ( x ) ) = [ g _ 1 ( x ) ] 2 = (3 -
x € [o, V T ] u { V T } .
9.35
EJERCICIO.-
Dada la función
b tales que
SOLUCION.-
Para que
f = f
Do m f = D o m f
9.36 PROBLEMA.-
21X ^ 7
Sea
f ( x ) = -------------2x - b
i)
- 1
D om f
- 1
= R - { 3 >
ii)
a
- 1
f
= R £x]]
RPTA:
{3}
+ / x
-
JxJ
a = 6 ,
*
b) Halle f
b = 6
6 [-1 ,2 ] .
a) Bosqueje la gráfica de f y de la función inversa f
- 1
= f
debe tenerse que
- 1
f (x) =
, halle los valores de a y
-
1
, analíticamente.
SOLUCION.a)
La gráfica de f ya fue hallada antes; con ella se puede trazar la de la función in
versa
b)
f
f
1 por reflexión respecto a la recta y = x .
1( x ) = n + ( x -
n)2 ,
para x € [ n , n + 1) n [ - 1 , 2 ]
con
9.37
n = - 1, 0 , 1, 2 .
PROBLEMA.-
Dada la función
sabiendo que
y = f (x) = x
Rang f = [ 3 , o o )
que además el dominio de f .
-
2x + 4
y que
,
halle
f
- 1
( 0 , 4 ) e f . Indi­
-164 -
Funciones
SOLUCIÓN.-
De los datos:
Cap. 2
a)
0 e D om f
f (0) = 4
b)
Dom f — 1 = Rang f = [ 3 , oo ) ,
a
faltando solamente indicar la regla de correspondencia de la función inversa
y = x 2 — 2x + 4
=
y como ( 0 , 4)
debe satisfacer
0 -
1 = ± ^
4 -
3
x -
1 = -
V y “
3
f
Además,
9.38
f
=>
,
- 1 = ± i
1( y )
=
,
1-
y 6 [3 , oo)
Rang f ~ 1 = { - o o , l ]
{a )
y elegimos
V y -
=
(-)
en ( a )
3 •
D om f
( ¿Por qué? ) .
Si existe , determine la función inversa de la función definida por
, encontrando previamente su dominio
f (*) -
RPTA:
3
...
entonces
x = f
D om f =
EJERCICIO.-
(a )
= ± VT
V y -
1( y ) = I -
=> x — \ = ± ^ y — 3
( x —l ) 2 + 3
f “ 1 :
1( y )
=
if
—^ —
y
y su rango.
*
.
y € [0 ,l)u (l,o o >
, pues
- i
D om f = ( — o o , 0 ] U ( 1 , o o ) .
9.39 M ET ODO PARA ANÁLISIS DE INYECTIVIDAD, CÁLCULO DEL RANGO
Y DE LA INVERSA DE FUNCIONES DE LOS TIPOS SIGUIENTES:
I)
f (x ) = a x 2 + bx + c
,
a *
0
II)
f(x)
=
2d * + 6-----ax + bx + c
,
a *
0
I„)
f(x)
=
p* 2 + q * + r
ax
,
0
, p ^ O .
+ bx + c
Si la función f es univalente (inyectiva) y continua tenemos los siguientes resultados
válidos referidos a los dominios y a los rangos correspondientes de estos tipos de fun­
ciones:
Análisis Matemático I
Cap. 2
DOM f
INTERVALO
165
RANG f
<r , s >
< f ( r ) , f (s) )
Ó <f(s),f(r)>
D E P E N D IE N D O DE C U Á L E X TR E M O ES M AYO R
[ r , s>
[ f(r), f(s))
Ó <f ( s ) , f ( r ) ]
( r , s]
<f ( r ) , f(s) ]
Ó [ f(s ), f(r))
[ r , s]
[ f ( r ) , f (s) ]
Ó [ f (s),
9.40 I ) FUNCIONES DEL TIPO:
f (r) ] .
con
a *
0 .
(COMPLETAR CUADRADOS). Esto será de mucha utilidad, tanto para la univa- 1
lencia de f como para hallar la función inversa x = f
( y ) . Veamos:
EJEMPL01.a)
Sea
Análisis de
f(x)
COMPLETANDO CUADRADOS:
= x
-
f (x ) = (x (x, -
f (x ,) = f (x2 )
4)
*1 pero como
x, , x , 6 ( 4 , 8 ]
4|
entonces
Xj — 4
b)
CÁLCULO DEL RANGO DE f :
8x + 4
,
4)
* 6 ( 4 , 8 ] :
-
=
(x2 -
4)
=
|x 2 -
4
x, -
4 > o
,
x, -
4 >
o
— x2— 4
f(4) = -12
,
f ( 8) = 4
Rang f = { f ( 4 ) , f ( 8) ] = ( - 1 2 , 4 ]
C)
12 ; veamos la UNIVALENCIA
, de donde
(verifíquelo)
CÁLCULO DE LA FUNCIÓN INVERSA
y = (x y como
4)
-
— 4 = ± ^ y + 12
12
x e {4 , 8] :
x - 4 e { o , 4 ]
=>
. . .
(•)
x - 4 > o
entonces elegimos el signo ( + ) , y por lo tanto obtenemos
- 1
(y) =
NOTA.-
X
= 4 + V y + 12
•
V y 6 ( —12,4]
= Rang f .
Para la elección del signo basta tomar un par ordenado
(x,y)
€ f
y reemplazar estas coordenadas en ( * ) ; por ejemplo, debido a que
f (7 ) = - 3
en
(*)
, es decir ( 7 , - 3 )
resulta
7 -
4 =
e f , al sustituir estas coordenadas
± ^ - 3 + 12
-
± J V
-
± 3 .
166
Cap. 2
Funciones
Por lo tanto, debemos elegir el signo ( + )
EJEMPLO 2.-
Análisis de
f (x ) = - 2x
UNIVALENCIA:
Sea
( Xj -
1)
(♦) .
x e { - o o , 1]
+ 4x + 6 t
Completando cuadrados:
a)
en
f(x) = - 2 ( x -
f(x,) =
f(x,)
= (x2 -
1)
I)
2
x x , x 2 6 ( - oo , 1 ]
,
= 0
x, -
I|
I — Xj
(
b)
Como
x
C)
Pues
x . - i ,
x . - i
f ( i) = 8 , " f ( - o o )
), entonces
Rang f
e (-oo.o]
= -oo"
)
=
|x2-
=
l —
1
=>•
(predomina el signo del coeficiente de
= ( - 00, 8 ] .
y = — 2 ( x — 1) + 8
INVERSA:
+ 8 .
■
1
=
±l
y para la elección del signo tomamos por ejemplo
8 -
y
(0,6) e f
y sus­
tituimos estos valores obteniendo
O-
f
1 = ± V (8 — 6)/2
8 -
'(y ) = x
¡S IG N O
= ± 1
y
,
y
(-)!
( - 00, 8] .
€
■
9.41
II)
FUNCIONES DEL TIPO:
Para probar la UNIVALENCIA de esta y muchas otras funciones utilizaremos el si
guiente resultado sobre los NÚMEROS REALES :
,
EJEMPLO 1.-
SOLUCIÓN.-
(a)
v a 6 R
Demuestre que se cumple la implicación siguiente:
x y + 4 ( x + y) = ( x + 4 ) ( y + 4) — 16
—6 < x
de
( a)
,
+ 4 < 5
-30
—6 <
...
1/ + 4 < 5
< ( x + 4 ) ( y + 4 ) < 36
,
167
Análisis Matemático 1
Cap. 2
x y 4- 4 ( x 4- y ) = ( x 4- 4 ) ( y 4- 4) — 16
(a)
ANALISIS DE
f(*)
2x — 5
=
,
*
6
( - 4 6 , 20 ]
e [2,4}
:
x** 4~ 2 x — 3
a)
UNIVALENCIA:
Sea
*>
xj" 4- 2Xj — 3
2
x ^ 4- 2 x 2 — 3
Xj M X j x 2
4- x 2 ) -
5 ,
.
x . x , --------- ( x . + x . , ) =
1 2
1
<
x2 -
=»
de ( a )
—
4
se deduce que
6
x 2 — Xj = o
=>
... (/?)
f (2 ) = - 1 / 5
,
FUNCIÓN INVERSA
,
<
(/?)
e ( - 9 , - 6 ]
l oque
(/?) .
.
[2,4)
f (4) =
x = f ” 1( y ) :
*
( - 7 , - 4 ]
Rang f = [ f ( 2 ) , f ( 4 ) )
c)
0
'
Xj = x 7
es inyectiva (o univalente) sobre
RANG ( f ) :
< (
el 29 factor de
indica que nunca se hace cero, y así, de
b)
=
,
5 ,,
5 . 2 5
( x . --------) ( x - ---------) ---------2
1
2
4
- —
'
(5/2) < 3 / 2
( x . - — )(x, - — ) 1
2“
2
f
2]
e [ 2 , 4 )
x , - (5/2) < 3 / 2
r
-1/2
x, , x ,
2x 7 — 5
, , .
pero, de ( or ) :
<
para
2Xj — 5
(x 2 -
-1/2
f(x. ) = f ( x , )
De
.
1/7
=
=>■
( - 1 / 5 , 1/7]
.
2x ~ 5
y = f (x ) =
x 2 4- 2 x - 3
y x 2 4- 2 x ( y -
x
=
1) 4- (5 -
3y) = 0
(1 - y ) ± V C y ^ i ) ^ y ( 5 ^ ^
---------------------------------------------------------------
...
(8)
...
(*)
...
(**)
y
ó
xy
=
(I -
Ahora tomemos el par
en la fórmula
(* * ) ;
y) ±
(x,y)
(y -
I)2 -
= (2,-1/5)
y (5 e f
3y)
y reemplacemos sus coordenadas
entonces se llega a la relación
2 = (6 ± 8 ) / ( - l )
=>
EN (*)
SE DEBE ELEGIR EL SIGNO ( - ) .
Cap. 2
Funciones
168
A s i , de
( * ) , obtenemos la regla de correspondencia
(
de la función inversa de f :
i — y — V Cy — i ) 2 — y ( 5 - 3 y )
y e
] 5
y
5/2
OBSERVACIÓN.-
,
{ 0}
7
y = 0
Para este análisis se ha requerido que el dominio de f sea UN
INTERVALO, y solamente se debe tener el cuidado del final que
y = 0 e
se presenta cuando
Rang ( f )
CERO en el d e n o m i n a d o r :
9.42 I I I )
y
se h a r ía
(*)
se busca el x para el cual
y = 0 ; en este caso x =a * 5 /2
+ b, x en
+ (6
c ) . (verifíquelo)
FUNCIONES DEL TIPO :
f(x) =
A x 2 + Bx + C
Se divide para obtener la forma:
dx + e
+
f(x) =
Ax
EJEMPL01
Anal izar
SOLUCIÓN.-
y ya estamos en el caso I I .
+ Bx + C
4 * + 3* ----2 x 2 — 4x + 5
f (x) =
y = f(x) = 2 +
11
x -
(
2x
a)
UNIVALENCIA :
b)
RANG(f):
,
1
x e < 3, 6 ] .
) .
— 4x + 5
Como en ( I I ) .
f(3) = 4
,
f (6 )
=
161/53
S
3.1
Rang ( f ) = [ 1 6 1 / 5 3 , 4 ) .
C)
2(y — 2)x
y = f (x)
— ( 4 y + 3 ) x + ( 5 y — 1) = 0
-
usamos
(4,25/7)
e f
para el signo al despejar
4 y + 3 + \ ( 4 y + 3)
f
-
|
x = f
(y )
(*)
y e [161/53,4)
considerar
y asi
2 ) ( S y + 1)
'(y)
4(y -
para
8(y -
,
y =
2
para
=
Dom f
(*)
-1
pues
=
1)
Rang f
2 g D om f
, y no tenemos porque
- 1
= Rang f .
9.43
169
Análisis Matemático 1
Cap. 2
METODO PARA HALLAR INVERSAS DE FUNCIONES DE LAS FORMAS :
, a y c
I)
del mismo signo.
, a y c de signos opuestos.
II)
Se puede demostrar que los casos I y I I originan funciones inyec
tivas en sus respectivos dominios.
- i
Para hallar f
en cada caso, consideremos los dos ejemplos siguientes.
I.-
ANALISIS PARA
Identificando,
f (3) = 8
A
x € [3,99) :
,
a = 2
, c = 1 . Para hallar el
f (9 9 ) = 208
=>
- I
Dom f
Rang f = [ 8 , 208 )
= Rang f
.
Esto se puede hacer pues el dominio es un INTERVALO. Despejando
x = i
(y -
1( y )
2x)
:
4x
= x + l
2
(4y + l) 2 -
x
=
[ 4y
x
=
(4 y + 1 ±
— x ( 4 y + 1) + y
1 6(y2 -
1)
2
— 1 = 0
]/8
J Zy + 17 ) / 8
...
Para la elección del signo adecuado en ( * ) , tomemos
(.•)
(8 ,1 9 ) e f
y susti
tuyamos sus coordenadas en el p r i m e r m ie m b r o de la f o r m a s ig u ie n te di
(*) :
8x -
4y -
1 =
64 -
76 -
1 =
± ^ 8y + 17
-1 3
=
±
f — 1( y ) = x = ( 4 y + 1 -
II)
=>
...
=>
/ 7 y + Ti
¡ SIGNO
)/ 8 ,
INVERSA PARA
Despejamos
(-)
!
y € [ 8 , 208 ) .
, x € < - 83 , - 11 ] :
x = (4y -
5 ±
-J 9 - 8y ) / 16
...(*)
Para la elección del signo adecuado, consideremos
tuyamos sus coordenadas en
I6 x -
4y + 5 =
(-1 1 ,-4 8 )
±
-& y
e f
y susti­
■
(ya vimos que ES SUFICIENTE CONSIDERAR EL SIGNO DEL PRIMER
MIEMBRO)
170
Cap. 2
Funciones
16 ( — 11) -
4 C— 48) + 5 =
y para el rango de f :
=>
Dom f
f "'(y )
1 =
= (4y -
f ( — 83) = — 344 t
Rang f
NOTA.-
f( - n )
(+ ) !
= — 48
= ( — 344 , — 48 ]
5 + V* -
f — 1( x ) = ( 4 x — 5 + ^ 9 -
9.44
¡SIGNO
+21
8y
8x
)/1 6
)/1 6
- 3 4 4 < y < - 48
t
— 344 < x < — 48
,
Para el caso de funciones
es mucho más útil
dividir y obtener la forma:
f(x )
=
—
c
+ ------------ex + a
9.45
fo g
En efecto, sean
Si f y g son ambas funciones inyectivas, entonces la función
también es inyectiva, y satisfacen la relación:
x € D om ( f o g ) ,
( g " ' o f " l)o (fo g )(x )
z € Dom (g
1o f
= g - 1 o (f _1 o f) o g (x)
=
8
-1
O
( I d Domf o g )(x )
-1
= g
(g (*))
=
( f o g) o (g
* o f
=
,
x
,
f O (g o g
* )(z)
f (Id
1) o f
Rang g o f
= f (f
( f o g) o (g
(z ))
,
Id A
* ) o ( f o g)
* o f
' )
x € D om ( f o g )
V x 6 D om ( f o g )
1( z )
'(z))
V z 6 Dom (g
,
'o f
v
1
-
(g
1) :
=
Id
B
V z 6 D om ( g
,
-I
- I
o f
o f
A = Dom ( f o g )
B = Rang ( f o g )
-1
-1
)
)
Análisis Matemático 1
Cap. 2
Y , debido
al
TEOREMA I
anterior
[9.24]
:
171
1o
g
f
1 = (f o
g)
1
Otra propiedad es :
puesto que
9.46
NOTA.-
( fo g o h )
=
( [ f o g ) o h)
=
h
* o [ f o g]
= h
og
of
Una o ambas de las funciones f y g pueden no ser inyectivas y sin
embargo puede existir la función inversa
(fog)
Lo que ocurre en este caso es que ya no se aplica la relación
(fog)
=
g
1o f
debido a que ésta no tiene sentido cuando, en la función compuesta
del miembro derecho, al menos una de las funciones inversas
g
Sabiendo que
9.47 PROBLEMA.-
f = h
2 - x2
fix)
■ f\T
gU )
b)
a)
-
-
f
- 1
=
= (h
f o g
(h
x < -4
,
x e ( “ OO, - 4 ] U ( 0 , 2 ]
4 ,
b)
Encuentre la función h .
Ejercicio para el lector
De la hipótesis
Y como
< x < 2
/T
1- 4
h
Pruebe que f y g son inyectivas.
SOLUCIÓN.-
donde
=
1-
a)
t
o g
,
1)
_ i - i
h = (f o g
)
h
' o g
- 1
:
- 1
fo g
o g ) o g
1 =
h
, entonces
-i
= (g
1 ,
[9.53] )
1 , no existe. (Ver el PROBL.
- l
f
_i
)
o f
- 1
=
g o f
= h
o I =
h
172
Cap. 2
Análisis Matemático I
Evaluando
f
1
,
f
00
V
Sólo tenemos que componer
g (f
(x))
(x -
^
g o f
|
=
,
x
1
l)2 + 4
=
V X + 2
,
x
-
4
h =
f o g
e n to n c e s
=
9.49
9.50 EJEMPLO.-
h = f o g
f o g
cuyo dominio es
mas no con
]
[ — 2 , — 1]
" ' ) )
-
' ](x )
Rang g
n
= [f
,
, que, en g e n era l, es
,
o h](x)
, que, en g e n e ra l, es u n a
G Dom ( f o g )
Este TEOREMA I I nos indica que, al despejar una función f en una
composición, en general lo que se obtiene no es toda la función f si­
no solamente una parte, es decir, una RESTRICCIÓN de f . Para
reconstruir toda la función f se necesitarían más datos.
Sean
f(x) =
entonces
Si quisiéramos despejar
h =
€
Dom ( g o f
= [ h o g
g (x)
x + 2 ,
g (x ) = x si
2 - / T
— x — 3 , x G { — o o ,1 — 2 V T ]
G Dom f
Si
h = f o g
e n to n c e s
p e r o S O L A M E N T E p a r a los x
p a rte de D o m g .
NOTA.-
1 -
y g , s e c u m p le que
f (x)
p e r o S O L A M E N T E p a r a los x
una p a rte de D om f .
b)
{ - o o ,
=
T E O R E M A I I . - D a d a s las f u n c i o n e s f
Sí
G
. x
(Verifique estos resultados para h , hallando
a)
[ - 2 , - 1 ]
h ; así,
x — 1| — 4
9.48
6
=
-
h (x)
x
2 “
=>•
f
1
h (x ) = x + l
x G [ 0 , 8 ]
,
,
x G [ —5 , 5]
,
x
;
[ 1, 5 ] = D o m h .
g
de esta ecuación veamos lo que ocurriría:
h o g
—i
=
f o g o g
—i
=
f
=>■
f
D o m h o g ~ 1 , y probaremos que coincide con
Dom f
:
=
h o g
“ i
D o m f n Rang g
Cap. 2
Funciones
Además,
Dom f =
[0,8]
Dom f n
a
Rang g
=
173
Rangg = [ — 6 , 4 ]
implica que
[0 ,4 ],
i
Así, f ( x ) =
=>■
h ( g - 1 ( x ) ) = h ( x + 1) = x + 2 , x
f (x) = x + 2
t
V x € [ 0, 4 ]
€ [ 0 , 4 ] = Dom h o g " 1
,
y vemos que lo que hemos obtenido es solamente una RESTRICCIÓN de
[ 0 , 4 ] , pues la función f original era:
f (x) — x + 2
9.51
PROBLEMA.-
,
V x € [ 0, 8 ] .
Dada la función:
(x + 2 )(x
f (x ) =
(x -
+ 6 x — I 6 ) ( x — 6)
2 )(x2 -
4x -
12)
a)
Demuestre que f es inyectiva (univalente), y esbozar su gráfica.
b)
Halle la función inversa
SOLUCIÓN.-
f (x ) = —
f “ * , y esbozar su gráfica.
+ 2 H x + 8) ( * “ 2 )
”
( x - 2) ( x - 6 ) ( x + 2)
f(x) = x + 8 ,
f
Además, si
f al intervalo
p a r a todo
6)
x 6 R - { - 2 , 2 , 6 }
es inyectiva, por ser una función lineal.
x *
-2
entonces f ( x )
* 6
x *
2
entonces f ( x )
* 10
x í
6
entonces f ( x )
* 14
,
por ser la gráfica de f una
recta inclinada.
✓ y ==
Luego,
y = f (x) = x + 8
X =
i
\ y )
x = y - 8
•
•
f ~ 1( y ) =
f
(x) —
y - 8 .
x
8 ,
x e R - {6 ,1 0 ,1 4 }
X
174
9.52 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.a)
Cap. 2
Análisis Matemático 1
f
(x.)
=>
,
a)
Demuestre que f es inyectiva.
b)
Halle la función inversa
Sean
=
f ( x ) = 3x + J x 2 + 7
Sea
x| ,x2 e
f (x7)
- 3 (x 2 -
x»
2
x ()
(VT,3]
e
. Partiendo de:
:
(x 2 -
x ,)(X j + x2)
2
I
=
Xj + 7
a1)
Si
x2 — x j = 0
=>
a2)
Si
x 2 — Xj
=>•
*
f ~~ 1
f = (VT,3]
Do m
x. ,
,
x € ( V T , 3]
o
3( ^ Xj
+ 7
2
+ -/ x j
+ 7
+ ^ x2 + 7 ) =
- (X j + x 2 )
(*)
lo cual es absurdo pues
Xj , x 2 € { VT, 3 ]
=>
y el primer miembro de ( * )
x (
+ x 2 > 2VT >
0
resultaría negativo .
Sólo procede la conclusión
x 2 - Xj = 0 , es decir
x] = x2 .
A s í i resulta se r i n y e c t i v a .
b)
Siendo el
“ posible
entonces
Rang f
Además,
v a lo r " de
f(VT) =
= ( 3 + 3 V T , 13 ]
I
T
y = 3 x + -y x “ + 7
=>•
3 + 3 VT
=
Dom f
(y — 3x)
8x2 -
2
f (3 ) =
y
13
~1 .
9
= x“ + 7
6x y + ( y 2 -
7) = 0
3 y ± -J y 2 + 56
X
---------
=
,
(**)
8
8x Para la elección del signo en
de f ,
digamos de
elegir el SIGNO
( * * ) , sustituyamos las coordenadas de algún punto
( 3 , 1 3 ) e f , en la relación
(-)
( a ) , y veremos que debemos
, y por lo tanto:
f ” 1( y ) = x = — ( 3 y 8
3y = ± V y 2 + 56
^ y 2 + 56 )
,
V y € ( 3 + 3 - V T , 13]
Funciones
Cap. 2
f
1( x ) = — ( 3 x 8
9.53 PROBLEMA.-
175
- / T 2 + 56 )
Dadas las funciones
,
V x € (3 + 3
f (x) =
halle la función
SOLUCIÓN.-
dominio
x + 1 ,
( f o g ) " 1,
Se puede verificar que
[ - 3, 3] ,
0 <
x <
5 ,
si existe.
f (x ) = (x pues
2 x + 2 , x e[ - 3, 3 ]
x2-
g (x) =
, 13] .
i) 2 + 1
no es inyectiva en su
f ( 0 ) = 2 = f ( 2 ) , y por lo tanto no se
puede a p lic a r la fó rm u la :
( f o g ) -1
=
g _ l o f _1
, 1 a cual
es válida sólo si ambas funciones f y g tienen funciones inversas.
Entonces, debemos hallar la función
Dom ( f o g )
h =
= (0,2]
= x2+ 1 ,
De aquí podemos ver que esta función
tanto existe su función inversa:
V x
fo g
e ( 0 , 2 ] .
sí es inyectiva sobre
(f o g ) - I (y)
f(x)
=
8x + 7
^ y - I
=
Si existe, halle la función inversa
x2-
f
,
' ,
(0,2]
,
y € (i,5]
.
donde
x g <4,7] U [ - 3 , - 1 )
2x
. x 6 [ - 1, 3 ) .
Como se puede expresar en forma equivalente:
f (x) =
<
f, (x)
= (x -
4)2 -
9 ,
f 2 (x)
= (x -
4)2 -
9 ,
- 3 <
= V 7 -
2x
,
<
f3 (x)
-1
4 <
x < 7
x <
x <
f3
- I
3.
Se puede verificar fácilmente que cada una de las funciones
Rang f j
y por lo
;
V 7 -
SOLUCIÓN.-
y determinar si es o no in y e c tiv a :
(verificar)
(f o g )(x) = f ( g ( x ) )
9.54 PROBLEMA.-
f o g
f , , f2 y
son inyectivas en sus respectivos dominios, y que sus rangos:
= <— 9 , 0 1
,
Rang f 2 = ( 16, 40 ] ,
Rang f 3 = ( 1 , 3 ]
resultan ser disjuntos dos a dos.
Por lo tanto, f resulta ser inyectiva, y en consecuencia tiene inversa:
•176 -
Análisis Matemático 1
\x)
f
9.55 PROBLEMA.-
4 + fj x + 9
,
x G < - 9 , 0]
J x + 9
,
x € (16, 40]
— (7 - x 2 )
2
,
x e (1, 3] .
4 -
=
Cap. 2
Halle la función f ( x ) = g ( x ) - h ( x ) ,
x € R ,
h(x) =
donde
g ( x ) = Sen x
u ( x + 7i) — u ( x — jt) ,
0
si
x <
1
Si
X > 0 t
x € R ,
0
u (x) =
y determ ines!
f
es una función par o impar.
SOLUCIÓN.u ( x + jt)
=
u ( x — Jl)
=
0
,
0
para
x + 71 < 0
X < - 7T
para
x + 71 >
X > — JT
para
X — 71 < 0
X < 71
para
X — 71 > 0
X > 71
0
Luego,
0
h (x ) =
u ( x + Ti) — u ( x — 51) =
1 í
0
f M
Se n x
,
X < — 71
,
— 71 < X < 7T
X > 71
,
— ti <
x
jt
<
= g (x ) • h (x )
X < — 71
0
V
X > 71
Por lo tanto, la función
f resulta IMPAR .
9.56
PROBLEMA.-
Halle
f
1o g
,
si existe, donde
f y g son :
177
Funciones
Cap. 2
f ( x)
=
— —
x - 2
(x -
g (^)
=
x e [0 ,4 ]-{ 2 }
.
3)2
,
1 < x < 5
;
x + 3
,
—6 <
x <
1
SOLUCIÓN.f(x )
=
f.(x ) =
8 /(x -
2)
,
x 6 [0 , 2)
f 2 (x) =
8 / ( x — 2)
,
x 6 (2,4]
¡
Se prueba que f
es inyectiva verificando que lo son tanto f (
rangos Rang f j
= < -o o ,-4 ]
como
y Rang f 2 = [ 4 , o o )
f 2 ,siéndolos
disjuntos; por lo tanto
f es inyectiva sobre todo su dominio, y su inversa es
f
(x) = 2 + — ,
x
Dom ( f - 1 o g) =
a)
Si
x 6 ( - o o , - 4 ] U [4 , oo)
{ x 6 Dom g /
g ( x ) 6 D om f
' }
x 6 D om g j = [ 1 , 5 ) :
2
g j ( x ) 6 Dom f “ 1
( x — 3)
(x 4=>
G [ 4 , oo )
3)2 > 4
x —3 >
5
2
V
V
4=>
x >
x
■O-
x 6 { —o o , l ]
x —3 <
< 1
U [5,
Dom ( f ” 1o g , ) = (D om g j ) n ( ( - o o , l ] u [ 5 , o o ) )
b)
Si
x € Do m g 2 = [ — 6 , 1)
%2
^
Dom f
—2
oo)
=
{ l }
:
1
x + 3 < —4
4=>
x 6 (-o o , -
V x + 3 >
4
7] U [1, oo)
D o m ( f " 1 o g 2 ) = ( D o m g 2 ) n ( ( - oo , - 7 ] U [ 1, oo ) )
= [-6 ,1 )
De (a) y (b) :
Dom ( f
1og)
O ( ( - 0 0 ,- 7 ]
= Do m ( f
=
{ 1}
U [ 1 , oo ) )
1 o g ( ) U Dom ( f
U
0
=
{ 1} ,
=
1 o g2 )
0
178
Cap. 2
Análisis Matemático 1
f
1o g
=
{ ( I, f
1 Cg (1) ) ) }
=
{ (1 , f
'(4)) > =
{ ( 1, 4) > .
10.
De nuestro conocimiento previo de las funciones
tenemos que:
1)
2)
3)
D om (S E N ) = D om (COS) = R.
Sen x = 0
-O
Cos x = 0
n 7i
y que
V n 6
71
x = — + n7i
4=>
Cos ( n ti ) = ( — 1)
,
S en(x) y C os(x)
n
V n 6 Z
De aquí hallamos los dominios de las otras funciones trigonométricas:
Sen x
Tan x =
V
x ■*. — + n 7i
Cos x
Cot x =
,
n €
,
n € Z
,
n 6 Z
2
Cos x
V x & n ti
Sen x
}
Sec x =
V
x * — + n tí
Cos x
2
1
Csc x =
V x * n 7t
n € Z
Sen x
10.1
1)
4)
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
S e n 2 x + C os2 x =
1 ,
2)
1 + T a n 2 x = Sec2 x
3)
1 + C ot2 x
= Csc2 x
Sen (a ± b ) = Sen a Cos b db Sen b Cos a
5)
Cos (a ± b ) = Cos a Cos b *
Sen a Cos b
6)
Sen (2 a ) = 2 Sen a Cos b ;
Cos (2 a ) = Cos2 ( a ) -
7)
Cos ( a ) — Cos ( b )
8)
Cos ( a ) + Cos ( b )
=
— 2 Sen ( a + ^ ) Sen ( —----------- )
2
=
2 Cos (
a + b
) Cos (
2
9)
10)
Sen ( a ) + Sen ( b )
Tan ( 0 )
=
Sen2 ( a )
=
2 Sen (
Sen (2 0)
1 + Cos (2 0)
a + b
) Cos (
----------)
2
a — b
)
Cap. 2
Funciones
- 179-
10.2 DEFINICION.Q (1 , Tan x )
Se llama CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
a un círculo con centro en el origen
( 0 , 0 ) y de radio 1 , tal que:
1)
La medida del arco desde
hasta
h = Tan x
(1,0)
P = (Cos x , Sen x ) es
x
unidades.
2)
Los valores de Sen x y Cos x
R 0 ,0)
son
las componentes del punto P , hori­
zontal y vertical respectivamente ,
en los ejes coordenados.
OP = Sec x
Es por esto que al EJE X se le llama
EJE DE COSENOS, y al EJE Y se le
denomina EJE DE SENOS.
3)
La medida vertical del punto Q al punto
en el
A
R ( l , 0)
es igual a
ORQ :
cateto opuesto
Tan x =
_
h
cateto adyacente
4)
h = Tan x .
1
Si el ángulo x
(radianes)
es medido en sentido antihorario
sentido horario
(x <
y si x se ubica en el 2® ó en el 4* cuadrante en­
tonces el valor de
5)
" Tan x " , pues
0)
Cot x =
>
0)
ó en
" Tan x * es negativo.
La medida horizontal del punto N
al punto R ( 1, 0) es " C o f x " ,
pues en el
(x
A OCN :
YA
C(0,1)
Cot x
1
N ( z , 1)
Cateto adyacente
cateto opuesto
Cot x =
z
=
z
I
Tan x '
Además, en esta figura observa­
mos que:
Cosec x =
ON .
Utilizando todas estas características podemos graficar las curvas que representan a
cada una de las funciones trigonométricas:
-180 -
Análisis Matemático 1
Cap. 2
Cap. 2
Funciones
- 181 -
De acuerdo a estas gráficas, la periodicidad de las funciones trigo­
nométricas impide la existencia de sus funciones inversas en todo su dominio,
pero si restringimos estos dominios de manera que las funciones sean in y e c ­
tiv a s entonces podremos construir sus f u n c i o n e s inversas.
é
Y como evidentemente existirán infinitas " funciones inversas * para
cada una se elegirán las RAMAS PRINCIPALES (d o n d e el d o m in io d e la
/ u n c i ó n d irecta se e n c u e n tr a m á s cerca al o r ig e n ) , y se les asigna
nombres especiales.
1.
La función
x e [ — j t / 2 , n ¡ 2 ] es inyectiva, y su inversa
,
se llama FUNCIÓN SENO INVERSO o ARCO SENO ,
denotada
Esta función se lee: " A r c o c u y o S e n o es
... ’ .
Además ,
Dom ( A r e S e n ) = Rang (S en)
= [ - M ]
y = Are Sen x
,
✓
Rang ( A r e Sen ) = D om (S e n )
[ - 7 1 / 2 , ti/2 ]
Y su regla de correspondencia:
y = Are Sen ( x ) , | a: | < 1
.
f c — , y = Sen x
-182 -
Cap. 2
Análisis Matemático 1
2.-
, x e [ 0 , j i ] es una función univalente cuya inversa es lia
mada FUNCIÓN COSENO INVERSO O ARCO COSENO :
D om (A rcC o s)
=
Rang (C o s)
Rang ( A r e C o s )
= D om (C o s )
=
[ —1 , 1 ]
=
[ 0, n ]
YA
•7t
y = Are Cos x
= Cos
-1
XI <
(x)
n/ 2
1
— Cos x
10.3 OBSERVACIÓN.
3.-
Are Cos x >
Note que
, x € ( - n / 2 , n/2)
0 , V x
X
en su dominio.
es una función univalente cu ya in ve r
sa es llamada TANGENTE INVERSA O ARCO TANGENTE .
o también
Se le denota
y se lee
" A r c o cuya Tangente es
Dom ( A r e T a n )
=
Rang ( T a n )
=
( —00, 00)
Rang ( A r e T a n )
=
Dom (T a n )
=
( —n/2, n / 2 )
4.
,
x e ( o , n)
es una función univalente cuya inversa se
llama COTANGENTE INVERSA
Se le denota
y se lee
... *
O ARCO COTANGENTE .
o también
- A r c o cuya Cotangente es
D o m (A rc C o t)
=
Rang ( C o t )
=
( —0 0 , 0 0 )
Rang ( A r e C o t)
=
Dom (C o t)
=
( 0 , jt )
...
Cap. 2
5.-
Funciones
183
, x € [ - 7 i, - n / 2 ) u [ 0 , 7 i/2 > es una función inyectiva
cuya inversa se llama
D om (A re Sec)
=
SECANTE INVERSA o ARCO SECANTE :
Rang (S ec) = ( — o o , — 1 ] U [ 1, oo )
Rang (A re Sec) = D om (Sec) = [ — n , — n / 2 ) U [ 0 , t t / 2 )
6.-
, x € ( - ti , - n / 2 ] u { 0 , n / 2 ]
es inyectiva , cuya
inversa se llama COSECANTE INVERSA o ARCO COSE
CANTE :
D om ( A r e Csc ) = Rang (C sc) = { — o o , — 1 ] U [ 1, oo )
Rang ( A r e Csc ) = D om (C s c ) = { — n , — n / 2 ] U ( 0 , n / 2 ]
- 1
x
>
1
-184 -
Cap. 2
Análisis Matemático l
Are Cosec = Cosec
- 1
0
y = Are Cosec x ,
x | > 1
- 71
10.4 PROBLEMA.-
Halle
a)
A rc C o s (V T /2 )
b)
Are T a n ( 2 ) .
(*)
SOLUCIÓN.-
a)
De ( * ) :
w
b)
De ( * ) :
Sea
= A r e Cos ( V T / 2 )
w
entonces
Cos w
= Cos ( A r e Cos ( V T / 2 ) )
Cos w
= Cos ( C o s - ! ( V T / 2 ) )
=
ji/4
Sea
w
=
=
=
V T /2
A r c o c u y o CO SENO es
Are T a n ( 2 )
entonces
Tan w
=
Tan (A re Tan (2) ) =
Tan w
=
2
w = 1.10714 =
w
w 6 [ o , 7t ]
.
¡2
6
( — 7 1/
(Tan o Tan
2
,
7 1/ 2
(*)
)
1) (2) =
2
A r c o c u y a T A N G E N T E es 2 .
10.5 DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1)
2)
y = Are Sen ( x )
s i y só lo s i
x = Sen ( y )
, V y e [ — ti/2 , n /2 ] ,
i)
Sen ( A r e Sen x )
= x
para
i i)
Are Sen (Sen y )
= y
para
y = Are Cos ( x )
-O
x = Sen ( y )
x e [ - 1, 1]
y € [ — n / 2 , n /2 ] .
V y e [ 0 , 31 ]
,
i)
Cos ( A r e Cos x )
= x
para
x € [-1,1]
ii)
Are Cos (Cos y )
= y
para
y e [ o , ti ]
Cap. 2
3)
4)
Funciones
y = Are T a n ( x )
x = Tan ( y )
185
V y € ( - n / 2 f n/2)
,
,
i)
Tan (Are Tan x) = x
,
para
x 6 ( —0 0 , 0 0 )
ii)
Are T a n ( T a n y ) = y
,
para
y € ( —n / 2 , n /2 ) .
y = Are Cot ( x )
-O-
x = Cot ( y )
, V y
6 (0,
ji)
,
i)
Cot (A r e Cot x ) = x
, para
x € ( - 00, 00)
ii)
Are Cot (C o t y ) = y
, para
y e (0,n)
Continuaremos con las otras dos funciones trigonométricas inversas en lo que
a sus propiedades se refiere.
5)
y = Ar e Sec x
=>
6)
10.6
x = Sec y
, y e
[ —n , —n /2 )
Sec (A r e Sec x ) = x
, x € [ —00 , —1] u
ii)
Are Sec (Sec y ) = y
, y € [-7r,-n/2>
U [0,ji/2)
O-
, y € ( —n t —h / 2 ]
U { 0 , n/2 ]
x = Csc y
Csc (A r e Csc x ) = x
, x c { —o o , — l ] u [ I , o o )
ii)
Ar e Csc (C sc y ) = y
, y 6 { - n , - n/2 ] U {0, n/2 ]
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
n
Are Cos x
— (A r e S e n x )
Are Sec x
=
Are Cos ( — )
X > 1
x
3.
Are Csc x
=
Are S e n ( — )
x
x > 1
4.
Are Cot x
=
——
x
2
5)
6)
7.
[ 1, 0 0 )
i)
2
2.
U [ 0 , n/2 )
i)
y = Are Csc x
=>
t.
*<=>■
(Are Tan x)
€
R
-186 -
8.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
(777
=
Csc (A re Cot x )
,
x € R .
PRUEBA.1.
Sea
z = Are Cos x ,
A re Sen x
2.
Sea
z = Are Sec x
entonces:
=
——
,
Cosz
z
=
=
—
Sec z
=
3.
4.
Sen ( ——
2
z)
x
=
1 /C o s z
C osz =
Are Cos
,
x >
1
l/x
I
1
€ (0 , I]
.
Análogo a (2).
Sea
w =
Are Cot x € { 0 , n )
Are T an x — ——
7T
5.
tt
=
— (A re Cos x ) .
de donde
z =
x
|x | <
1
^
71
Cot w = x = T an ( -------- w )
2i
:
w € ( — ti / 2 , ti / 2 )
— Are Cot x .
w = A re Sen x 6 [ — j i / 2 , t i / 2 ] , y como
Cos w > 0
V w € [ - n /2 , n /2 ] :
Cos w = ( + ) ^ 1 — S e n 2 w
Cos (A re Sen x )
6.
Análogo a [5 ] .
7.
Ix I >
i
x = C ot w >
Csc2 w =
8.
•
.
w = A re Csc x € ( — ti , j i / 2 ] U ( 0 , 7 i/2 ]
=>
•
h - x 2
=
= ^ 1 — [ Sen (A re Sen x ) ] 2
Cot (A re Csc x )
o
,
entonces
Cot w = ( + ) V Csc
l + C o t2 w
=
( + ) ^ Csc 2 (A re Csc x ) — 1
( 7
=
w — 1
-
1
.
(EJERCICIO).
10.7 PROBLEMA.1)
Sen y
,
Dado
ii)
y =
Tan y
A re Cos ( - 2 / 3 )
,
iii)
Cot y
,
, halle exactamente:
iv )
Sec y
t
v)
Csc y .
Funciones
Cap. 2
SOLUCIÓN.-
Por definición:
y =
como
187
e [-1,0]
-2/3
, entonces
Are Cos ( — 2 / 3 ) 6 [ 7t/ 2 , t i ] <=>
Cos y = — 2 / 3 < 0 f
y por las propiedades y por las definiciones anteriores obtenemos:
i)
ii)
Tan y <
0
Tan y
=£■
—
Sec2 y
Sec
0
pues
Cot y
1/Cosy =
—3/2
v)
Csc y
=
1 /S e n y =
3 /VT .
SOLUCIÓN.-
Dado
i)
Sen y <
Sec
2
ii )
Dado
0
— ^ ( l/ C o s
y) — 1
= -V7/2 .
—2
-JT / 3
=
,
resulta que:
w
Sec y
Sen y
=
— 2/3
i v)
10.8 PROBLEMA.-
= VT/3
y 6 [ n / 2 , ti]
Cos y
=
l+ T a n 2y
(y ) — I
Sen y
i)
=
y = —V (9/4) - 1
Tan
Cot y <
=
1 - (—2/3)2
n / 2 < y < 7t ;
pues
además, de
iii)
=
Sen y = Sen (A re Cos ( — 2 / 3 ) )
VT
, halle exactamente
y = Are T an ( - 2 )
Cos y
,
iii)
Cot y
,
iv )
Sec y
y = Are T an ( — 2) 6 ( — n / 2 , 0 )
pues
1
=>>
— = 1 + Ta n
I — Sen
=>•
=^*
v)
Ta n y
Sen y
2
li)
iii)
Cot y = - 1 / 2
;
-2/VT
—2
i v)
y
=
—
Tan2 y
1
= —= r .
V 5
Sec y =
= -2
y
1 + Tan2 y
Sen y
Cos y = ------------ =
Tan y
Csc y .
t además:
y 6 <-7r/2,0)
y = 1 + Tan“ y
,
VT
;
v)
Csc y = — VT/2
2
VT '
188
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Halle el valor exacto de:
10.9 PROBLEMA.-
a)
Are T an (Sen ( — ti / 2) )
,
b)
Are Sen (Cos ( 2 j i / 3 ) ) .
SOLUCIÓN.a)
z ~ Sen ( — n / 2 ) = — 1
=>-
Are T a n (Sen ( — 7 i/2 ) ) =
= Are T a n ( — 1) = — ti / 4 .
b)
z — C o s ( 2 j i / 3 ) = — 1/ 2
=£■
Are Sen (Cos ( 2 j t / 3 ) ) =
= Are Sen ( — 1/ 2) = — tt/ 6
Evalúe exactamente:
10.10 PROBLEMA.-
a)
Cos (2 Are Sen ( — 5/ 13) )
b)
T an ( A r e Sec ( 5 / 3 )
+
;
Are Csc ( - 1 3 / 1 2 ) )
SOLUCION.a)
z =
Are Sen ( — 5 /13)
Cos 2 z =
b)
1-
=>
2 Sen2 z =
Sen z =
1-
(5 0 /1 6 9 ) = 119/169 .
u = Are Sec ( 5 / 3 ) € [ 0 , t t / 2 )
A
^
Sen u =
Sen u > 0
— 5/13
Sec u = 5 /3
1 — Cos2 u
v = Are Csc ( — 13/ 12) € ( — ti , — n / 2 ]
A
Cos v < 0
A .
Ademas,
=>
=>
Cos v = — ^ 1 — S e n 2 v
Tan u + Tan
,
>
T a n (u + u) =
=>•
Cos u = 3 /5
= 4 /5 .
Sen v =
— 12/13
= — 5/13
v
1 — Tan u T a n v
(4 /3 ) -
(1 2 /5 )
16
1 + (48/15)
Demuestre que
10.11 PROBLEMA.-
63
Are Cos ( - T — ) 4- Are Cos (
VIO
) = —
V5
4
SOLUCIÓN.^
u = Are Cos (
A
) e [ 0 , — ) = > Cos u =
V
10
v = Are Cos (
2
) 6 [ 0 , — ) = > Cos u =
V 5
2
___
•
=> Sen u =
Vio
■-
VT
;
V
=>
Sen v =
(-f)
10
(+ )
V 5
Funciones
Cap. 2
-189-
u + v = Are Cos (Cos ( u + u ) ) = Are Cos (Cos u Cos u — Sen u Sen v )
1
= Are Cos (
50
y como
V~50
Cos ( A r e Cos (
Cos ( — ) = —^L r
4
V 2
=£•
u + u =
) = Are Cos ( —j = = - ) G [ 0 , — >
V2
2
) ) = Cos ( u + u)
V T
71
Are Cos ( ■ ^
V IO
) + Are Cos ( ■■■ ?
VT
) = —
4
11. SERIE DE PROBLEMAS.
1
Sean
a
= { 0 , 1}
,
B = { 0 , 1 } . Si
F = { f : A
— ► B }
es el con­
junto de todas las funciones de A en B con Dominio el conjunto A ,
a)
b)
c)
d)
2.
¿Cuántos
¿Cuántos
¿Cuántos
¿Cuántos
Dada la función
f (x ) =
3.
elementos tiene F y cuáles son?
elementos son funciones suryectivas?
son funciones inyectivas?
son funciones biyectivas?
f : A — ► R
3
2
X 4* 2 x
4 X
J -----------------------x - 2
Sea A = { x /
tal que
v
x € A :
, determine su dominio máximo A .
x es u na p ro p o s ic ió n } . Se define la función f : A -------► R
tal que
í
f(x)
x
si
si
1 ■
es Verdadera
L o , si x
es Falsa
demuestre que
4.
a)
f (p a q ) = f (p ) f (q )
b)
f(~p)
C)
f ( p ------ ►q ) = 1 -
= 1 - f(p)
f (p)
f (~ q) -
Si f es una aplicación de A en B , ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?:
i)
V a G A ,
ii)
V b G B,
( a , b) € f
3 a G A /
i i i ) Siempre se cumple que
iv )
v)
A
( a , c) 6 f
(a , b)
b = c.
G f
D o m f n R a n g (f) *
0
Rang ( f ) = { y G B / 3 x G A , ( x , y ) G f }
V a G A ,
V b G A
,
a *
b
^
f ( a) *
f ( b) .
190
5.-
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Sean
A = {2,4,6,8,10}
,
B = { a , b , c , d , e }
¿Cuáles de los s i­
guientes conjuntos definen funciones de A en B ?
6.-
C =
{
(2 ,
a ) , ( 4 , c ) , ( 10, c ) , ( 8 ,
e), (6,e)}
D =
{
(10, a ) , ( 6 , b ) , ( 2 , a ) , ( 6 ,
e), (4 ,d )}
E =
{
(6,
F =
{ ( 2 , b ) , ( 4 , e ) , ( 6 , a) }
G =
{ (10, b ) , ( 8 , b ) , ( 4 , b ) , (2 , b) , ( 6 , b ) } .
b ) , ( 4 , a ) , ( 8 , d ) , ( 1 0 , e) }
Dadas las funciones
f (x ) =
x /(x 2- l )
,
\ / ^ ¡ 10 + x
g(x) =
, halle
D om f n D om g .
7.
¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de
definen funciones tales que
R x R
y = f ( x ) ?:
8.-
a)
{(x, y)/ x 2 + y2 = 4 }
b)
{ ( . x , y) / y = - 3 }
Dadas las funciones
g(*)
9.-
Sea
=
f
2
•{
L 2x
, d)
{ ( 0 , 0 ) , (1, 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4) > .
f (*) = 2 ;
,
x
< 0
,
x
> 0
f : X --------► R
f : A ------- ► B
,
f (x) =
,
¿Cuáles son verdaderas? :
10. Sea
{ ( x , y) / x = | y \ }
, c)
,
halle Rang f n
( x + 2 ) / ( x + 1)
a)
Qx = { l }
b)
Rf =C{ -1 >
c)
x
f (x) =
y
,
Rang g .
X
c
R
máximo
R f son disjuntos.
x2 -
4
;
halle
A -
B
si f
A
x < 4
x 2 + 5x + 6
11.
suryectiva y
a
máximo posible.
La ecuación
x 2 + y 2 = 16
define una relación T . D e :
a)
y 2 = - x 2 + 16
d)
y = — ^ 16 - x
b)
y = ± ^ 16 — x 2
e)
y =
c)
y = V 16 - x 2
^16 — x 2
2
A
x > 0
halle sus gráficas e indique cuáles definen funciones.
12.
Dadas las funciones
halle
R a n g (f) n
f ( x ) = - x 2 + 3x + l
R ang(g) .
,
g (x ) = 3 x 2 + 2x + l
es
Funciones
Cap. 2
13.
191
Dar un ejemplo de una función f (como conjunto de pares ordenados) que cum­
pla con los siguientes cuatro requisitos:
a)
f tiene 10 elem entos,
b)
d)
Rang ( f ) C B = { 2 m /
f (x ) = x 2
0 <
m <
,
70 ,
c)
Dom f c
Z
m G Z }
¿Cuántas de tales funciones existen?
14.
Si el gráfico de la función f
está representado por la figura
adjunta, halle su regla de co­
rrespondencia:
15.
Halle a y b
-
para que
a ) , (a + b 2 , a ) }
YA
A = { ( 2 , 5 ) , ( - 1 , - 3 ) , (2 , 2a -
b ) , ( - 1, b -
sea una función f . Encuentre f .
9
16.
Para cada
n e Z
Dada la relación
(n fijo), sea
S c
R x R
( * , y ) 6 S «O- 3 una f
f
: R
► R
tal que
f n ( * ) = x + n.
definida por:
: R ------ > R / f n ( * ) = y p a r a a lg ú n
n G Z
demuestre que S es una relación de equivalencia.
17.
Dar un ejemplo de una función
f(A n B ),
f
que demuestre que:
para dos subconjuntos no vacíos A y
f (A ) n
f(B)
£
B del dominio de f.
Bosqueje la gráfica de su función hallada.
18.
Dado un conjunto de 5 elementos
ciones f tales que
A = {1,2,3,4,5}
, halle todas las fun­
f = A x B , eligiendo B un subconjunto particular de A
para cada f. Grafíquelas.
SUG.19.
Si B tuviera 2 ó más elementos , A x B
Determine una función (de las muchas que hay) indicando su regla de correspon­
dencia, que tenga R
como dominio y tal que
f ( - 3 ) = 2 , f (2) = 0 ,
f (4 ) = 3 .
20.
no sería función, ¿p o r q u é ?
Halle el dominio, el rango y la gráfica de :
a)
b)
f(x) =
13x - 3
x + 3
192 -
Cap. 2
Análisis Matemático 1
C)
f(x)
x -
d)
f (x )
x
=
— 4x
15 -
f)
f(x)
2x
,
x > 3
,
x < 5
,
x >
5
( x 2 + 3 x — 4 ) ( x 2 — 5 x + 6)
=
(x2-
g)
3
4 —x
f (x ) =
e)
x < 3
U + 2)
=
x4-
f(x) =
3x + 2 ) ( x -
3x3 -
3)
l l x 2 + 23x + 6
x2+ x —6
f ( x ) = 1 + ^ x ( x — 3)
h)
21.
.
Sea f la función cuyo dominio es
P (R ) — { 0 }
cuya regla de corresponden
cia es
0 >
i)
ü)
Halle
Si
f (Q ) — f( Q
B = { x e R /
)
,
Q
racionales.
V
^ r r u h - x M
0}
halle
,halle
+ 1 '---------- I + Ix - 3I
*
Rf .
x + 3
f : [ - 2 , 4)
22.
Sea
23.
Dada la función
> R , f(x) =
x -
Hx) =
x54x
-
-
1
, x e D f - ( 2 , 6 ) ; D ( C [ - 4 , 6 ;
4 x + 16
determine el mayor dom inio de f t su rango y su gráfica.
24.
Halle
Rang(f) n
x € (-0 0 ,-1 1 ]
R a n g (g )
,
f(B)
, x e (2,6)
6
1 7 x 3 + 16
16x
-
x h
si
f ( x ) = 4 + J ( x + 6)~ — 9
g ( x ) = (x + 3)2 -
3 ,
x € (0,oo).
,
Funciones
Cap. 2
193
25. Una esfera de radio R lleva inscrito un cilindro. Halle la dependencia funcional
entre el volumen V del cilindro y su altura x.
Indique el dominio de definición.
26. Una construcción tiene la siguiente forma: Un cono circular recto truncado cuyos
radios de base son 2 R (inferior) y R (superior) y cuya altura es R, sostiene
un cilindro de radio R y altura 2 R .
Este último sostiene, a su vez, una semiesfera de radio R. Exprese el área S de
la sección transversal de la construcción como función de la distancia entre la sec­
ción y la base inferior del cono. Grafique S (x ).
27. Un alambre metálico de ion
de resistencia se corta en dos partes las cuales se
conectan en paralelo. Sea Rj la resistencia de una de las partes. ¿Qué rango de
valores puede tomar R j si la resistencia equivalente de la conexión en paralelo
no ha de exceder de
NOTA.-
?
1.60
La resistencia R equivalente de una conexión en paralelo está dada por
R
R
R
2
28. Dada la función
x < O
halle el conjunto de valores x tales que
x -
2 <
f (x) .
29. Halle el dominio y él rango de la función
y el dominio de
g (x ) =
1 - [[ x j / ( x [ [ 2 x -
l]]
-
2x) .
2
30. Para la función cuadrática
f (x) = a(x - h) + p ; a * O
¿Cuáles son
verdaderas?
i)
ap > O
= > f (x)
=
O
ii)
p = O
=>■ f ( x )
=
O tiene dos raíces reales iguales.
iii)
ap < O
= > f (x)
=
O
31. Sea f : R
>R
,
no tienen soluciones reales.
tiene dos raíces reales diferentes.
f (x) = a x 2 + bx + c
gura adyacente. Halle el conjunto solución de
y tal que su gráfica es la fi­
(x2 -1 6 )
f (x) < O .
194
Cap. 2
Análisis Matemático 1
k < 0
32.
Sea
f (x) = x
(s,0),(0,K )
33.
0
+ bx + c
, cuya gráfica intersecta a los ejes en
y
¿Cuáles son verdaderas?
i)
(r >
A
...
u)
/ r + s x
f ( ------------) <
K > 0
s >
0
0)
ü)
iii)
g(*)
0
A
c >
0
y h condom inio
f ( x ) = ( 1 /2 ) x 2 + 3 x + 2
9 <
iii)
(r <
,
Dadas las funciones f , g
i)
V
(r, 0),
s < 0)
R , ¿Cuáles son verdaderas? :
corta al eje X
= — ( l / 3 ) ( x 2 + 3 x + a) , a *
en dos puntos,
0 , no tiene solución en R
si
4a .
h(x) = x
2
+ (a + l ) x + a
,
1 corta al eje X en dos puntos dife-
a
rentes siempre.
34.
35.
Sea f ( x ) = a x
+ bx + c
f ( - l ) + f(l/2)
= 15/ 4
f ( — I) = 0 ,
halle
f (I) = 8
f (2 )
Halle la gráfica y el rango de
a)
f (x)
_
=
r x2\
4 ,
C)
f (x)
x <
=
x
b) g ( x ) =
x
— 1 ,
x + 1
x -
x <
, -1
3
<
x >
Halle el rango y la gráfica de las funciones
g (x ) =
-
2x — 1 , x >
2x +
36.
,
,
| x + 2|
— 2 13 — x | ,
37.' Halle el dominio y el rango de:
I
» 1^1 < 9
.
x <
—2
x <
2
2
f(x )=
|x -
para todo x real.
11+ | x — 2
-9
Funciones
Cap. 2
a)
38.
7 I Sen x I
f (x ) =
•
b)
g (x ) =
Halle el dominio, rango y gráfica de
SUG.-
f (x) = V V
,
Halle el dominio, rango y gráfica de
40.
Halle el rango y la gráfica de
f (x) =
,
para
Halle la gráfica y el rango de
43.
Grafique las siguientes funciones:
f (x )=
1
,
x <
[[S e n x ]] ,
a)
|x |
■e)
(y
>
-1
■
< x <
2 .
,
(n —2 )/2 .
x e [ 0 , 2 n ] .
b)
^ [[x ]|
,
[[1*1 H•
0) :
a)
f (x ) = x 2 — 4x + 3
b)
f (x) = —x 4 + 2 x3 — x 2
c)-
f(x) = - ( x + l)(x -
d)
ct \
f (x) =
X —8
e)
x
l)(x2 -
4) .
2
#\ r / ^
X + 5 X
+ 4
f) f ( x ) = ---------------- -—
2 — 2x
* + 6
2
—4
f ( x ) = — 2---------- .
x
46.
> 0.
En las siguientes funciones halle los intervalos, si existen, en los que las funciones
no son negativas
45.
*
f (x ) = V * - 1 * 3 1
(n — 3 )/2 <
C) I E*]] I . d) I VT
31
.
halle su dominio y su gráfica.
42.
44.
f ( x ) = V ÍT^
f (x ) = x + [[x ]j
x / [ [ 2 x + 3 ]|
SUGf ( x ) = x / n
2 + V Ix 2 — 91
X < n + 1 , n entero
n <
39.
41. Si
195
-
25
Halle el dominio, el rango y la gráfica de :
a)
f ( x ) = Sgn ( x 2 ) -
b)
f(x)
c)
f (x) = 2 + ( - l) n
= (x -
Sgn ( x )
Ix J )2
,
donde
n = [[x ]] .
Halle la gráfica y el rango de las funciones:
a)
f (x ) =
JCosxJj
,
0 < x <
2n .
196
Cap. 2
Análisis Matemático 1
b)
gU)
SUG.-
=
[ [ - Cos ( x -
Grafique primero
— ) |
,
x < 2n .
0 <
y = -Cos(x)
y = -C o s (x -— )
y fuego
4
48.
Halle la gráfica y el rango de :
a)
f(x)
b)
c)
= l 2 x j
d)
f (x) =
|x
f ( x ) = [ [ at/ 3 |
e)
f (x ) =
[[l -
f(x)
f)
f (x) = V
= |[2 x + i ] ]
f (x ) = S e n (l/x ) ,
x *
b)
f (x) = x S e n (l/x )
Halle las gráficas de:
52.
N > o
,
*
■
0
x ?= 0 .
como una suma de dos sumandos positivos tales
a) El producto sea el mayor posible.
b) La suma de los cuadrados sea la menor posible.
SUG .-
51.
"
a)
49.
que:
W
l j .
Halle la gráfica y el rango de
Presentar el número
x j
f (x ) = x / [[x +
47.
50.
+ i- ]
Buscar una completación de cuadrados.
Una ventana de forma rectangular está rematada
en la parte superior por un semi­
círculo. ¿Cuál debe ser la base del rectángulo para que la ventana tenga la mayor
superficie siendo el perímetro igual a 2 m. ?
Demuestre que si
o <
c <
1 , la función
y = f (x )
=
-
x~ + 2>x + c
X
2
+ 4 x 4- 3c
puede tomar cualquier valor real.
SUG .53.
Rang ( f ) = R .
Demuestre que la función general de
puede expresar como
SUG
54.
2e grado
f (x ) = a x 2 + b x + c
se
f = al2+ b l + c .
I es la función Identidad.
Debe construirse una lámina triangular isósceles y de
60 cm .
de perímetro de tal
manera que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determine un
sólido de volumen máximo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la
lámina triangular?
55.
Halle el dominio, rango y gráfica de
SUG.-
f (x ) = —x + n
f (x ) =
x + n
,
x
,
f (x ) = |x | +
[[x j
€ [ n ,n
+ I)
,
nG Z_ ,
x G [ n ,n
+ 1)
,n e Z +
U { 0 } .
Funciones
Cap. 2
56.
Halle el dominio, rango y gráfica de la función
fW
57.
=
I * + 4|
x < 0
2(x - l )2
x e [0,2)
2 — \x — 4
x € [ 2 , oo ) .
Halle el dominio, rango y gráfica de la función
f (x) =
SUG.-
58.
| x + 2| + | x - 2 | - | x | - l
x € ( - o o , - 2 > U [ - 2 , 0 ) u [ 0 , 2 ) u [ 2 , o o )
Halle el dominio, rango y gráfica de la función
fu >
x
= ir
SUG.-
-
y como
(x -
i)
> 0
-
60.
Dada la gráfica de f
bosqueje las gráficas de:
g(x) =
f C| x | )
b)
h (x) =
I f (X) I
Dadas las funciones
1
i
■
O
n
f (x ) =
x 6 [-1,3]
2 ( n + 1) <
el menor n e s
Halle el rango de la función
a)
2x -
I ] =
59.
61.
- 197 -
n =
- i .
f (x ) = x 2 J x /2 ]]
X (X
1)
(x -
1)
< 2 ( n + 2)
( n = - 1, 0, 1) .
— 4x [[x /3 ]] ,
,
g(x)=
Ambas funciones son iguales.
Rang ( g ) - Rang ( f ) = { - 1 }
c)
0 < x <6 .
x ,¿Cuáles son verdade-
x — l
ras?:
62.
a)
b)
Dom g -
Dom f *
Indique cuáles funciones son pares, impares o de ninguno de estos tipos.
a)
f (x ) = 3
j) f ( x ) =
|x |
b)
f (x ) = 4x
k) f ( x ) =
lf~x
c)
f(x) = - x
I) f ( x ) =
|x | +
x4
0 .
198
Cap. 2
Análisis Matemático 1
d)
f(x)
= x + 6
e)
f(x)
= x1
9)
f(x)
= 3 x 2 + 2x -
h)
f(x)
= x 3 + 4x
= 3x
f(x)
¡)
-
4
4
— 2x
2
I
+ 1
m)
f(x)
= (X 2 + 2 ) 5 -
n)
f(x)
=
o)
f(x)
=
P)
fU )
= j x 2+ 3 / x
q)
f(x)
= Sen ( x 2 + 1)
x/{3 + x 2 )
x3-
63.
Dar tres ejemplos de una función que sea a la vez par e impar.
64.
Si
f(x). =
i)
+ x •[[-*]] ,
V x 6 Dom f :
Ü) f ( - x )
demuestre que
f .
= f(x)
es decir, que
65. Sean
— x € Dom
1
f es una función PAR.
f ( x ) = j^ x + y J
g(x)
, * € [ - 1 , 1],
= | jx | + y j j
,
x e
[ —1,1] ,
determine su condición de PAR o IMPAR de cada función.
66.
Demuestre que
m
67.
f (x ) =
-
m [[x ][]
tiene periodo
T =
1 , si es que
es un entero positivo.
Sea
f (x ) = 1 -
niotodo
todo
R
2 |x |
,
x e [ - 1/2 , 1/2 ] . Si
x tal
que - 1 / 2
<
x <
1/ 2
:
f
tal que para
g ( x ) = f ( x ) . Halle la regla de co­
cuyo dominio es
presada como la suma de dos funciones
IMPAR :
= i
en todo su dominio y bosqueje sugráfica.
Demuestre que cualquier función
SUG.-
g ( x ) tiene como domi­
y es una función periódica con período mínimo T
rrespondencia de g ( x )
68.
[m x ]
g (x ) y
[ - L ,L ]
puede ser ex­
h ( x ) , donde g es PAR y
f (x ) = g (x ) + h (x ) .
Hacer
g(x) = (1/2)[f(x) + f ( - x ) ]
h ( x ) = ( 1 /2 ) [ f ( x ) -
f(-x )]
,
y verifique que g es PAR y que h es IMPAR .
69.
Si
f (x) = x 2 + x + 1 ,
g(x)
= f ( x ) — f ( —x )
í
70.
Si
h (x) =
g(x) =
o
,
0 <
,
x
•{
I 1 ,
X > 71
f ( x ) + f ( —x )
,
¿Cuál de h y g es par y cuál es impar?
<
n
h
Funciones
Cap. 2
Halle el dominio, el rango y la gráfica de
71.
Dada la función periódica
f (x ) =
199
f ( x ) = g ( x ) | Sen x | .
2x - [[2 x + l j + 1 .
a) Halle D o m f , Rang f y su gráfica.
b) Halle el período mínimo T de f , gráfica y analíticamente.
72.
Demuestre que
a) Si f y g son funciones PARES entonces f + g y f g son PARES.
b) Si f y g son funciones IMPARES entonces f g es PAR.
73.
Halle la gráfica de f ( x ) = |Sen x | + | Cos x | e indique su período mínimo T.
74.
Si f ( x ) = | x | , g ( x ) = x S g n ( x ) , D o m f =
tre que
75.
Dom g
=
R , demues­
f = g .
Dadas las funciones
2 < x < 8
5 x — l | — 15 + 6 | x + 2 | ,
—3 <
1 <
halle el dominio y el rango de la función cociente
76.
77.
f/g
x
<
0
x <
6
,
Analice si la siguiente proposición es verdadera o no lo es:
f (x)
= V* ~ 1
para
x >
l
y
A
x <
SÍ*)
= Vx +
1
(fg)(*)
- 1 .
Sean
,
f (x) =
■
x € ( - 4 , - i ]
x €
[0 , 2]
x 6 (-1 ,0 ) U (2,3]
78.
x 6 D om f
Dadas las funciones
g ( x ) = [[VT — l U .
X e [0 , 9)
,
halle
f + g
y
= ? (el m a y o r),
f/g
.
200
Análisis Matemático I
Cap. 2
79. Si
f(x)
Ix
=
11 E Sgn
-
(3 -
x )J
X2
x - 2|
g(x)
,
Dadas las funciones f y g definidas por:
si
f (x) = V i
2x
1=
[ [ 4 + Cos jc J]
-2
5
, g (x) = | J x + \
< x <
- 1
-1
x > 0
,
x < 0
,
=
Sen x — 5
,
halle y grafique la función
x
h =
€ [ 0 ,n ] ,
f + g.
Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
f ( x ) = Sgn ( x + 1) a)
Si
b)
Sgn ( x -
f(x) = x2 + l
cumple que
Si
,
1) .
halle dos funciones g ( x )
f (g ( x ) ) = 4 x 2 -
f (x) = x
+ 2x + 2
(f o g)(x) = x 2 84.
2 *3 +
,
< n-
x2—5
83.
,
g /f .
81.
82.
jc e ( 6 , 1 0 )
x € <3, 8 ]
Halle D om ( g / f )
gU)
,
=
80.
f ( j C)
x € [0 , 6 ]
, x 6 ( —8 , 3 ]
* I* — 2 |
halle
,
para
los cuales se
I 2 x + 12 .
, halle dos funciones
g ( x ) tales que
4x + 5 .
Dadas las funciones
f = { ( 0 , 1 ), (1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1) }
g = { ( 6 , 7), (5, 4), (4 , 3), (2, 4), ( 1 , 4 ) , ( 0 , 7 ) }
halle
85.
(fog)
Si f ( x )
=
y
,
(g o f ) .
I/(x -
2)
,x > 3 ,
g (x) = (2x
+ l)/x ,
x >
1/2 ,
= x 3—3x2
+ 3 x — l , halle la regla
halle la función compuesta g o f .
86.
a) Sean
g ( x ) = x 3 , (g o f ) ( x )
de correspondencia
b)
Sean
f (x ) .
g = { ( o , 0 ) , ( i , 2 ) , ( 4 , i ) , ( 9 , 3) }
y f(x)= ( x - 2 ) 2,
Funciones
Cap. 2
x 6 flfc • Halle la función compuesta
201
g o f .
8 7 -
2
s¡
f(x)
=
,
,
g(x) = x + 5 ,
Si
f
(jc )
=
l / ( 2 x + 7)
,
=
^
fo g
,
x < 0
X2
,
x e [ 0 , l ]
0
,
x > 1
Halle la función compuesta
f (*) =
i
3x
f o g .
,
,
halle
f o g .
para
,
g (x )=
f
1
\
2 x ,
1
fo g
1
,
i
x <
0
x 6 [0,1]
x >
1
2
3 < x <
5 ,
g(x) =
9 <
6
91. Halle
,
D om ( f o g )
f (*) =
X + 1
t
,
para
0 < x <
,
halle
x g ( 6 , 12]
0
2x — 1 ,
,
x 6 [-3 ,6 ]
Halle la función compuesta
f(x)
90.
x € [ 1 0 , 16)
x € [1,12]
g (x ) — x 2 — 4x + 8 ,
89.
e [5 . 9)
;
■Tx
88.
i
x <
1
5 < x < 8
y
D om ( g o f )
0 < x < 6 ,
para
g (x ) — ^ x 2 — 4x + 8 , 0 < x <
x + 2
92.
a)
Si
f(x)
tal que
b)
Si
c)
Si
= ^ 2x -
a)
f (x) =
f(x) = x 2 , x < 0 ,
4x2 -
(g o f ) ( x ) = x + 2 ,
Si
g(x) = ^ 2x2 -
y l — x 3 , halle g ( x )
correspondencia de
b)
,
7
,
halle una función h
(f o h)(x) = g(x).
(f o g)(x) =
93.
i
halle
tal que
g(x)
(f o g )(x ) =
x + 1
i¡~x*
tal que se cumpla que
12x + 9 .
f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + I 2 x + 8 , halle la regla de
g (x ) .
(g o f ) ( x ) = Sen / " x 2 + 1
,
halle
g (x )
para que se cumpla que
202
Cap. 2
Análisis Matemático 1
c)
d)
Si
F ( x ) = Cot x
g ( x ) = Sec x
de
h (x )
Si
F ( x ) = (1 — Cos 2 x ) Sec x
,
para que
, halle la regla de correspondencia
F ( x ) = (h o g ) ( x ) .
, g ( x ) = Sec x
, halle
f (x )
tal que
F(x) = f(g (x ) ) .
94.
Dadas las funciones f y g ambas con dominio todo
f ( x — l) = 3x 2 + a x + 12,
halle el valor de
Halle
96.
f o g ,
a
para que
R t donde
g { x + 1) = 5 x + 7 ,
(f o g ) ( - 2 )
= -4 a
.
si existe.
Si
^
f U)
ix|
=
x € [- 5 , - 1 ]
J H > -1]]
g(x) = <
^
x
i
2
halle
,
f o g ,
» x € [ 1> 2 ]
.
x € [0,2)
,
x € 1 2, 3 ]
si existe.
97. Si
( w
i
.
■ x e " • 6>
(1 -
x)/4
t
x € [ - 3 , 0]
g = { ( 8 , 7 ) , ( 4 , 4 ) , ( 5 , - 1 ) , (3 , 5 ) , ( - 2 , - 1 ) , ( - 3 / 4 , 6) }
Halle
98. Si
f o g y
4 f (x -
sea
g o f s i existen.
3) = x 2 + 4 ,
(-3 ,3 )
halle los valores de u tales que el rango de g
donde
, .
f ( 2 x — 3) — u x
g (x ) = — ¡
'
f ( 2 x - 3) + x
SUG.- a x 2 + b x + c >
99.
Sean
f ( x ) = ij x 2 -
0 ,
4
,
V x e R ,
g(x)
. .
para todo
( a > 0 )
= V x + 2
,
_
x e R .
siempre que
A < 0
halle el dominio y la regla
de correspondencia de la función h tal que
h ( x ) = f ( x + 2 ) / [ 2g ( x ) 100. a) Determine si la función
f(x)
f (x ) ] .
= (x|x|
i
2
+ — )Sen(x )
es par o impar.
Funciones
Cap. 2
b) Grafique
203
f ( x ) = S g n ( —------! - ) .
x + 2
-
101. Pruebe que
f ( x ) = | Sen — | + | Cos — |
2
2
período mínimo.
102. Halle todos los polinomios
f (x )
de 1er. grado tales que
( f o f ) ( — ) = (4 — x ) / x
x
103.
Sean
1
f (x ) = x +
es periódica, halle su gráfica y su
,
x ^
0 .
u
F r( x )\ = a 2 x2 ,+ -
,
1
a
que
104.
2
x
g(x)
para
f (g ( x ) ) = F ( x ) .
Halle
f o g si
— ( —---- — )
f(x)
4
=
)
x + 3
g(x)
=
.
X
,
x 6 ( - 1 , 2]
e ( - o o , - 6 ) U ( 2 , oo)
x 4- I
Sgn ( x
(2x -
-
4 <
1
2)/(3 -
x)
Demuestre que la función
x <
0
l < x < 4
A
x = 3
x
,
4 Sgn ( — x )
105.
2
halle
V
(I + x 2 ) I/2
y = f ( x ) = --------x
,
x *
3
> 4 .
x e [ - 2 , - 1 ] ,
posee función inversa y hállela.
106.
y = f (x ) = 4
Pruebe que la función
x
—x
posee
x € [ 0 , 1]
función inversa y hállela.
107.
Dada la función cuadrática
f (x ) = 3x2 + 6
,
x <
a) Encuentre el dominio de f , y el rango de la inversa
b) Si
108.
g ( x ) = 3x + 6 , V x e R ,
o ,
f ” 1
halle la función
f
- i
Dadas las funciones g y h , definidas en todo R , tales que
h (x) =
5x -
cumpla que
3
,
encuentre el valor de la constante " p "
o g
g(x) = px + 4
de modo que se
h “ 1( g ~ 1( p x ) ) = x / 5 .
109. Determine el rango de la función inversa de la función g ( x ) =
x -
2
x + 5
204
Cap. 2
Análisis Matemático l
Encuentre también el rango de g .
y
110. Si f : R
Y
es suryectiva tal que
f (x ) =
| x - 2 1- x
,
halle el conjunto Y.
111. Sea
f
f (x )
x 2 + lO x + 2 !
=
x + 1
112.
x 6 [ - 7 , - 5 ) u [ - 2 , - I)
,
+1
,
x € ( — 1, 3 ]
a)
Demuestre que f es inyectiva y halle f “ 1 .
b)
Halle si existe f - f “*1 .
a) Halle dos funciones inyectivas diferentes cuyo producto sea una función inyec­
tiva.
b) Sea
f (x )
D om f n
^ 4 —x
=
{ —2 , 2 }
Sgn(— - — )
x2- 1
donde
= 0 . Comprobar gráficamente que f es una función
impar inyectiva.
c) Demuestre que existe la función ( i / f ) “ 1 y hállela , para la función
X
{
,
-1
<
X <
0 <
x <
0
f U )
1113.
x
,
Halle si existe la función inversa de
y = f (x ) =
114.
X2 - \
5 +
, x < -^To
Halle la función inversa, si existe, de
x + V * + 2
nx)
=
i
x > 2
,
x <
;
*f-x
115.
I.
- 4 .
Halle el conjunto B para que
a)
f: ( - 1 , 0 ]
b)
f : (1,2]
SUG.f -1
y B, f ( x ) = ( x
------- > B
Bosqueje
116.
Halle
para
117.
Demuestre que
118.
a) Demuestre que
,
+ l)/(x2 -
l)
sea suryectiva
f (x) = (x + i ) / ( x 2 -
i)
sea suryectiva.
f (x ) .
f(x)
f (x ) =
= x
+
x / ( l + x)
f (x ) = x 2
x - \ ,x > 17 .
, x >-1
- 1 , x< 0
,
es inyectiva.
, es inyectiva.
b) ¿En qué dom inio máximo es f ( x ) = x 2 - 6 x + 10
inyectiva ?
Funciones
Cap. 2
119.
Halle
f
120.
Dada la función
y = f (x ) =
1 para
f (x ) =
205
5x + ^ x 2 — I
x / (l + | x | ) , — 1 <
,
x >
1.
x <
1 , pruebe que es in­
x <
1 , pruebe que es uni­
yectiva y encuentre su función inversa.
121.
Dada la función f ( x ) = x / ( i - | x | ) ,
- I <
valente y encuentre su función inversa.
122.
a) Demuestre que
=>•
donde
=
M
máx { | a c | » | b d | }
b) Demuestre que:
c) Dada la función
,
N
= x/(l + x
=
2
),
<
u v
<
M
,
m ín { — Ia d | , — | b e | } .
=>
x , y g ( - 1, 1)
f(x)
N
-2
<
xy -
<
*
<
- l
l
l < 0 .
,
pruebe que es
inyectiva y encuentre su rango y su función inversa.
123.
Dada la función
2 r “ — 3 r — 20
f ( x ) = ----------------------------- ,
x 2 - 4 x ~ 12
x
e [-
i , 5] ,
a) Pruebe que f es inyectiva.
b) Halle el rango de f , y encuentre la función inversa
124.
Halle, si existe, la función inversa de
f (x ) =
Además, bosqueje las gráficas de f y
125.
¿Es la función
f:
R - { - 3 }
f (x) = ( x 2 126.
¿Es posible hallar a y b
f:
127.
[1,4]
Halle a y b para que
f (x ) =
128.
x —i
1.
biyectiva?
f (x)
=
f sea biyectiva:
1/Cax +
b)?
> [-1,5]
f : [ a, b]
tal que
sea biyectiva?
Halle a y b para que la función
f { x ) = i / ( 6 x + 6)
129.
,
para | x | >
tal que
para que la función
--------► [ - 2 , 5 ]
x /( i- |x |) ,
f “ 1.
------- ► K
9 ) / ( x + 3)
.
f:
[ b , —2 ]
------- ► [ a , - 1 / 2 4 ]
sea biyectiva.
Dada la función
x
halle la función inversa de f ,
si existe.
<
0
,
tal que
-206130.
Demuestre que f es inyectiva, y halle su función inversa.
V x 2 + 12 x + 27
-
f(x) =
x
131.
Dada la función
+ 6x + 6
f (x ) = (2 x + 3 ) / ( x -
pruebe que existe
132.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
I)
133. Si
f (x ) =
-4
<
4|x| -
x < 0 ,
-8
a) Halle
g o f
,
f ” 1 .
para
x >
< x <
2
g (x) =
1 ,
b)
,
x < 2
x + 6
x2 ,
x > 0
f -
+ 8x — 7 ,
=
,
(7/2,9/2),
Demuestre que f es inyectiva y halle la función f _ l
f(x)
x < - II
, x €
f “ 1. Además, halle la función
— 2x
,
7 1-
x
Si existe, halle ( f o g )
,
- I
134. Si
x 2 — I
f(x)
=
{
135. Demuestre que
X <
-
2x — 1
1
gU )
X +
halle la función
,
I
fo g
,
X >
,
x < 0
,
x > 0 ,
=
V T
-1
- I
f(x) = 4 V "x "-x
,
x e [0,1]
posee función inversa,
y encuéntrela.
136.
Dada la función
x + 2 x - 2
f(x)
=
| x + 3|
x -
demuestre que existe
f
- I
21 -
,
x
,
x € (-I,1 )U (1 ,2 >
€ [ - 3 , - 2 )
,
1
y encuéntrela.
137. a) Una función es llamada HOMOGRÁFiCA si tiene la forma:
f(x)
=
ax + b
-------------ex + d
,
a d — be ^
0
,
demuestre que su función inversa también es HOMOGRÁFICA.
b) ¿Cuál debe ser la condición para que una función homográfica sea igual a su
función inversa?
Funciones
Cap. 2
138.
207
= y an — x n , a > 0 ,
Demuestre que
f (x)
a) Dominio:
i)
R
si es que n es impar.
ii)
[ -
a, a]
b) Función inversa
i)
f ” 1 si es que:
n es impar y
D om f = R .
ii)
n
es par y el dominio D om f se restringe a [ O , a ] .
iii)
n
es par y el dominio D om f se restringe a [ — a ,O ]
baría que
f ( f ( x ) ) = x ,x e [ O ,
f “ * sobre
[ O , a ] , en
En [ b ] ( i i i ) : demuestre que
f ~ 1( x ) =
decir que
tiene:
si es que n es par.
c) En [b ] ( i i ) : demuestre que
d)
n e N ,
f =
f “ ' = - f o ( - l )
.
a] ,
lo que pro­
[b ] ( i i ) .
-
f (-x) , x e
sobre [ O , a ] , en
[ O, a ] , es
[b ] ( ii i ) y donde
I
es la FUNCIÓN IDENTIDAD.
139.
140.
a)
Demuestre que si
b)
Dada
x , y e <- 1 , l )
f (x ) = x / ( l + x 2 )
para
i)
ii)
Pruebe que f es univalente.
Halle el rango de f .
iii)
Halle la función inversa f _ 1
Dada la función
f (x )
=
—2 < xy
entonces
x 6 [ —1,1) ,
, siexiste.
Sen ( — [T x l ] ) +
2
Sen ( — x ) ,
2
determine su rango y bosqueje su gráfica.
141.
Demuestre que:
a) Sen ( A r e Cos x ) = ( + W i - * 2
b) Cos (A re Sen x ) =
V 1-
.
X2
M
< 1
M
< 1
c) T a n ( A r e Cot x ) = l / x
X * 0
d) Cot ( A r e T a n x ) = \ / x
X * 0
e) Sec (A re Csc x ) = x / < j x 2 - \
f)
Csc (A re Sec x ) =
x/J x2- 1
g)
T a n (A re Cos x ) =
ij 1 - x 2 /
h)
Sec (A re T a n x ) =
■J l + x 2
— \ < O.
1*11 >
1
1* 1 > 1
X
,
X 3= 0
X € R
x e [ —2 , 2 ] ,
-208 -
142.
Cap. 2
Análisis Matemático I
¡)
T an (A rcS e cx) =
^ x2- 1
i)
Cot ( A r e Sen x ) =
V 1-
k)
Tan ( A r e Sen x ) =
X /V 1-
1)
Cot ( A r e Cos x ) =
X/1¡ l - X
f
X2 / *
X
2
$
n)
C s c (A rc C o tx ) =
V l + X2
}
o)
Cos ( A r e T a n x ) =
1 / 1/1 +
P)
Sen ( A r e T a n x ) =
x / V 1+ x
Si
a > 0 , demuestre que:
(X — Are Cos
f
-U
a
—
X
2
x
0
1*1 <
1
1*1 <
1
1*1 >
1
2
J x2- I
1
X *
.
m) Cot ( A r e Csc x ) =
>
M
X € R
2
X € R
2
X € R
Are Sen —
\
i
—------------------- )
SUG.143.
Sen
a
=
(x/a)
2
x 6 [ 0, £]
,
x 6 [ —a ,0 ]
a
=
— Are Sen —
a
2
,
si y sólo s i
Sena
=
i
i
|x /a |.
Halle el intervalo máximo en que varía x , y en el cual se cumple que:
a)
Are Sen ( x ) + Are Cos ( x )
=
n /2
4
b)
Are Sen ( <J~x ) + Are Cos ( V "x" )
c)
Are Cos ^ 1 — x 2
=
Are Sen x
d)
Are Cos ^ 1 — x 2
=
— Are Sen x
e)
Are T a n x
=
A rc C o t(l/x )
f)
Are T a n x
=
Are Cot ( 1 / x ) — n
g)
1— x2
Are Cos ( -------------- )
1+ x2
h)
1— x2
Are Cos ( -------------- ) =
=
=
n /2
2 Are T a n x
— 2 Are T a n x
1+ x2
i)
Are T a n ( x ) + A re T a n (1)
=
1+ x
Are T a n ( ------------)
1- x
Funciones
Cap. 2
j)
144.
Are Tan ( x ) +
Are T a n (1)
=
209
1
X
1-
x
n + Are Tan ( ----------- ) .
Halle el dominio de las siguientes funciones:
a)
f (x) =
2 Are Cos ^ I — x 2
b)
f (x) =
Are Sen ( ^ I — x
C)
f (x) =
1— x2
Are Cos ( -------------- )
1+ x 2
d)
f (x) =
Are T a n ( x ) — A r c C o t ( l / x ) .
) + Are Sen ( *f~x )
145. Demuestre que si f es una función impar en [ — a f a ] , y si tiene función inver­
sa
146.
f ” 1 entonces
f “ 1
también es una función impar.
Demuestre que la inversa de
función
SUG.-
g (x )
Como
= (A re Cos x ) — ( ti / 2)
h (x )
x e [ - 71/ 2 , 71/ 2 ]
h(x) = -S e n x ,
,
es impar entonces
x 6 [ — 1, 1 ]
g(x)
es la
.
también es impar.
147. Demuestre que
a)
Ar e Sen ( — x ) =
— Ar e Sen x
b)
Ar e Cos ( — x ) =
ti
c)
Ar e Tan ( — x ) =
d)
Ar e Cot ( — x )
=
, |x | <
— Ar e Cos x
, |x|
— Ar e Ta n x ,
7t — Are Cot x ,
148.
1
x 6 R
,
x>
1
Are Sec ( — x )
Are Sec x + 71
f)
<
x € R
Are Sec x — 71
e)
I
,
x <
—1
Are Csc x — 7i
, x >
1
Are Csc x + 71
,
—1
Are Csc ( — x )
Grafique la función
x <
f ( x ) = Are Sen ( S e n x ) y demuestre que es periódica
con período mínimo.
149.
Halle las gráficas de las siguientes funciones así como susperíodos mínimos:
a)
f ( x ) = Are Cos (Cos x )
b)
f (x) =
c)
f ( x ) = x — Are Tan ( T a n x )
d)
f ( x ) = x — Are Sen (Sen x )
e)
f ( x ) = Are Cos (Cos x ) — Are Sen (Sen x ) .
Are T an ( T a n x )
210
Cap. 2
Análisis Matemático 1
150.
Dada la función u
(escalón unitario), grafique
u (x
— x) .
151.
Halle el dominio y el rango de la siguiente función expresando además
f (x )
las barras ni ios corchetes.
X X —
f(x)
=
(l -
152.
Sean
X
f(x)
X -
[[*]] ) ( l + V I * ] ] -
1
,
x € [ 2 n , 2n + 1)
0
,
x € [ 2 n + l # 2n + 2 )
)
X
=
g U ) = (x -
, n e Z
I x J ) f ( x ) + [ 1 - f ( x ) ] Sen2 ( t t x / 2 ) .
Es g una función periódica?
SUG.-
Pruebe que
x — 2n
x G [ 2 n , 2 n 4- 1)
n 6 Z
g(x)
Sen2 ( ? ix / 2 )
153.
x 6 [ 2n + 1 , 2n + 2 )
Dadas las funciones
si
2x + 1
fW
=
g(x)
=
Grafique
es par
si
x
es impar
0
si
x
no es entero
h * i 2- H
,
halle
g o f .
'/2
f + g , indicando su rango , si
Sgn | x 2 — 4 1 ,
f(x)
x
x
1*3 154.
,
I(x
=
x
g(x) = 3
,
+ 6)/3Ü
,
+ l Ox + 21
si
x2 < 9
Si
X2 - 12x < - 27
SI
x -
3
> 6
x £ R — [ 9 , oo) .
155.
Halle el dominio de la función
156.
Sean
f ( x ) = Ar e Sen
x — 2| + 4 x — x — 2
f(x)
.
=
x2—x
1
2 < x <
6
sin
Funciones
Cap. 2
g ( x ) = 3x
157.
— x
,
x € R - [ - 3 , - l )
,
halle
g o f
Halle el rango de la función
(x + 5)/(x f(*)
=
x
2)
,
|x -
2x -
2| >
•/T -
+ 4x — 1
2+
158.
211
5
3
2 < x <
1
2 < x <
3
Halle el dominio y el rango de la función
f =
) /
{ (x ,
V T (x 2-
4) > 0 }
x — 4
159.
Halle el rango y la gráfica de la siguiente función
-5
f(x)
=
x + 3 (3x -
160.
2
0 <
,
x <
16) / ( x -
5)
[[x j
—3 < x <
0
1 < x <
6
5
x > 6
Dadas las funciones
4x +
fU )
gU )
,
=
U
+ 1|
=
x - 5
Halle la función
161.
< x < -3
0 < x < 3
f + g , y esboce su gráfica.
Si el área total de un cono circular recto mide 4 n
unidades cuadradas, halle su
altura como una función del radio. Indique su dominio y esboce su gráfica.
162.
Sea
f(x) = - — -
1
+
x - \
(x -
,
D om f
=
(1,2).
iy
Demuestre que f es univalente (inyectiva) y encuentre su función inversa.
163.
Sea
f
f(x) =
4x2 + 1
x < 0
4x — x
0 < x <
x
2 < x < 3
-
6x + 8
(x -
2 )/(3 -
x)
,
x > 3
2
164.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
212
a)
Halle el rango de f .
b)
Pruebe que f es inyectiva.
Dada la función periódica
f (x ) = 4Cos2 x
t halle el período mínimo de f .
CLAVE DE RESPUESTAS.
1.
a)
4;
f,
= { ( o , 0 ) , ( 1, 1) }
,
f2 = { ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) }
{ ( 0 , l ) , ( l , i ) } , f 4 = { ( 0 , l ) , ( l , 0) } ; b) 2 ,
2.
A = <—o o , 0 ] u ( 2 , o o )
6.
( - i o ,o o ) -
10.
A —B
= {1 ,-4 }
,
11.
Sólo ( c ) , (d) y (e)
;
13.
Existen
11
{ - 1, 1 }
;
;
4.
(i) y (iv ) ;
7. (b) y (d) ;
8.
A = R — { —3 , —2 }
12.
,
c) 2 ,
f3 =
,
d) 2 .
5.C, E, F y G.
{ 2} ;
,
9.Ninguna.
B = R -
{ - 4 , 1} .
[ 2 / 3 , 13/4]
de estas funciones, y una de estas es :
f = { ( - 8 , 6 4 ) , ( - 6 , 3 6 ) , ( - 4 , 16) , ( - 2 , 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , 4 ) , ( 4 , 16) ,
( 6 , 3 6 ) , ( 8 , 6 4 ) , ( 1 0 , 100) } .
f
14.
f(x) =
x
i
1
,
3/2 < x <
6 - x
,
9/2 < x < 6 .
a = 2
16.
Pruebe que se puede expresar
17.
b = - l
= { ( x , y) 6
=
f (x ) = x 2 — 1 ,
9/2
f = {(2 ,5 ),(-1 ,-3 ),(2 ,5 )}
{ ( x , y ) 6 R x R / y
D om f =
e Z para el cual
= x +
R ,
f n (x )
n , para algún
,
= y }
n e Z } .
A = [ —1 , 0 ] ,
f (A n B) = { - i }
.
B = [ 0 , 1]
f (A ) =
[ - i , o ] = f (B ) .
Sólo existen 5 funciones así, y todas constantes:
f n (x ) =
19.
f (x )
20.
,
R x R / 3 n
de donde se tiene que
18.
x < 3 /2
3
15.
S
,
0-
a)
=
n
,
V x e
A
,
para n = l , 2 , 3 , 4
f
2
,
<
0
,
—3 < x < 2
L
3
,
x > 2 .
y
5.
x < -3
D om f
=
[ — 1, 4 ]
Rang f
=
[0,5/2]
b)
Dom f
Rang f
=
=
R — { —3 } ,
[ — 5 , oo )
Cap. 2
c)
e)
Funciones
Dom f
[ - 7 , oo )
Rang f
[ - 5 , oo )
Dom f
=
R = Rang f
d)
f)
213
Dom f
[ -
Rang f
[0, 2]
D om f
=
2, 2]
R - { 1, 2,3 }
R -
{ 5 , 6 , 7}
I 2 3
g)
D om f
=
R — { 2 , —3 }
Rang f = ( — 5 , oo )
AY
h)
Dom f = { — o o , 0 ] u [ 3 , o o )
Rang f
YA
=
[ 1, oo )
214
21.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Se prueba que
a + f - a j
■/ a ~ + I - a3
+ i >
o
(<=>
= 0
a e Z ),
en cuyo caso:
viene a ser una tautología sobre los
a e A
a € Z } = A n z
, y así:
a
a e Z . Luego,
f (A ) = { a e
i)
ii)
f (Q) = Q n
z
=
B = [ - 8 , - 4 )
=>
22.
A /
Rang ( f )
Z
,
- 3 /5
V A c
f (Qc ) = Qc n Z
=
0
=
{ - 8 , - 7 , - 6 ,
2 < x < 6
Rang
(f)
Dora
f
=
=
(x
+ 4x)/4
(4 ,3 ]
[ —4 , 6 )
-
,
x
e
[ - 4 , 2 ]
-
{ - 1 , 1 }
AY
{5/4}
— { — 1,1}
-¿
25. V = j t [ R 2 24. Rang
(f) =
Rang ( f )
26.
S(x)
=
(x 2 / 4 ) ]
[8 , oo)
x
,
,
0 < x < 2R
Rang (g)
n
Rang (g) = [ 8 , oo ) .
f
n(2R -
<
x)2
Jt R 2
ti[
pues
Z c
-5, -1,0, 1,2}
, 1] .
23.
^
R
U ( -2 ,2 ]
f ( B) = B n Z
= [
,
R2 — (x -
3R)2 ]
= (
6 , oo )
,
0 < x <
,
R <
,
3R <
R
x < 3R
x <
4R
Q
Funciones
Cap. 2
27.
R j + R 2 = 40
0 <
_1_
R , ( 10 -
R, 6 [ 0 , 1 0 ]
30.
— 1]
{ — oo , V l Y
Rang
( f)
1.6
10
R
28.
R <
=
Todas.
31.
0 <
R -
R =
R^lQ ~ Rt )
n( ( - o o , 2] U [8, oo))
29.
Dom
f
= {
—oo
=
[ 0 , 2 ] U [ 8 , 10 ] .
, —2 ] U [2 ,o o )
Do m g = R
Dom f =
[ - 4 , 4]
32. y 3 3 . :
Todas.
Rang ( f ) = [ 2 , o o )
U
[ 2 n ti , ( 2 n + 1) n ]
n 6 Z
Rang ( f) = [ 0 , 1 ] .
38.
Dom f =
{ n enteros>
0 } ,
Rang ( f ) = { 0 , 1, V T , V T , V T , V T , ... > .
39.
Dom f =
Rang (f) =
R
[0 ,
,
, D om g = { — oo , 0 ) U ( 0 , 3 / 2 ) .
36.
37.
1.6
10
R ,)
.
[ 0 , oo )
215
, pues 0 < x
1>
YA
-
< i,
vx e r
34.
21
216
40.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
f(x)
Para
= x + n ,
n <
x < n + 1 t
n = - 1 , 0 , 1, 2
R f = [ - 2 , - I ) U [ 0 , 1} U [ 2 , 3 )
41.
D f = R — [ - 3 / 2 , - 1)
42.
YA
R* = { - 1 , 0 , 1 }
I
1
2 jt
7t
1
I
l
-O
7t'i
2
• O
b)
X
YA
2
0
d)
1
1
—
»
$
1
1
t
1
1
1
1
1
1
-4— 5
5
YA
3
2
r v r u
1+ -
01
i
e)
YA
2
[ [ M ]
i
0
1
I
i
-h
X
Funciones
Cap. 2
44.
45.
a)
x
c)
e)
e
-217-
( - o o , - 1 ] U [ 3 , oo )
b)
[ 0 , 1]
x € t - 2 , -- 1 ] U [ 1 , 2 ]
d)
R -
x 6 { - oo , - 5 ) U [ - 2 , 2 ] U ( 5 , oo>
f)
[ - 4 , - 1 )
b)
a)
f (x) = (x -
n)
,
[ - 6 , 8)
x e [ n , n + 1>
f
V
C)
f(x)
para
=
x
2 + (-1)"
e
ti.
,
f
[ n , n + l )
D om f = R
Rang f = { 1 , 3 }
46.
a)
♦
jt
3 ti / 2
♦
i
i
i
O
ni
4
-1
- O
i
i
i
-o 271
b)
j i/ 4
0
—i—
3j i/ 4
— •-
i
i
5 tt/ 4
7 ti / 4
U (-1,1)
2n
X
218
Análisis Matemático 1
Cap. 2
Funciones
Cap. 2
50.
a) N = x + y
,
x (N - x)
219
y = N —x
- — )2 + ( N 2 /4)
= -(x
,
N
0< x <
2
el producto alcanza su valor máximo para
b)
, y = N —x ,
N = i + y
x = y = N /2 .
*>
?
x~ + ( N — x )
N 2
= 2 ( x ---------) +
2
x -
esta suma de cuadrados toma su valor mínimo para
51.
Maximizando el
'
AREA
drados, corresponde a :
52.
a)
x =
Jl + 4
( ------------ ) + *
8
:
4
N /2 .
vemos que al com pletarcua
- b / ( 2 a ) = 4 /(? i + 4) .
V y e R ,
Probaremos que
0 < c <
= -x
2
y -
2N^
e x is te
x € R
tal que
y = f (x )
cuando
l :
y e
Para cualquier
R :
(y - i) x
2
+ 2 ( 2 y - l ) x + c ( 3 y - 1) = 0
y como debe existir al menos una solución:
(4 -
3 c ) y 2 + 4(c -
l)y -
(c -
A
>
o , es decir
1) > 0 ,
y siendo y cualquier número real esta desigualdad es válida si
4 -
3c > 0
De aquí resulta
A
o < c <
£f ^
f (x)
=
16 (c l .
x + 2
------------x + 4
* Pues si
Los lados iguales miden
45/2
56.
D om f = Rang f = R ,
4 (4 - 3 c )( c -
1)
c = o , entonces
1
= —
2
cuyo rango NO ES TODO R , sino
54.
l) 2 +
{ - oo, oo) -
{1 } *
cada uno, y el otro lado mide 15.
< 0 .
220
57.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
Df = R
R f = [ 1 , OO )
58.
i
x € (i -
0
x e
{ - í . i - V T ]
x €
{-1,3}
-
f(x)
=
59.
,
0
, i + V T )
u
x 6 [0,2]
[í + V T ,
Rf = { 0 }
=
x
V
2
— 4x
x € [4,6)
60
x = 60
U
U {60} .
x 6 [3,4)
lx ~ - 4x
U [4,9)
[ - 3 , 0> U [ 1 6 , 4 8 )
x € [2,3)
fU )
3)
60.
62. PARES: a, e, i , j , I, m, p, q
IMPARES: b', c , h , k , n ;
NINGUNO:
63.
a)
C)
64.
f (x) =
h (x)
0 ,
= 0 ,
Se prueba que
que
f (x ) = x
V
X
€ R
,
b)
d, g, o
g (x) = 0 ,
X
e { - 3 , - 1 ] U [ 1, 3 )
x 6 [ — 1 0 , —4 ] u ( —3 , — l ) u ( 4 , 1 0 ] .
x + [[—*]] = 0
V x 6 Z
en este caso (debido al ra d ic a l); es decir
(enteros)
y así
Funciones
Cap. 2
i)
65.
x 6 Dom f = Z
=>•
221
— x € Z = Dom f ,
ii)
f ( —x) = —f (x)
Se prueba que
-1
f(*)
,
0
=
JC 6 t - l , - 1 / 2 )
x 6
[ - 1 / 2 , 1/2)
x e [ 1 / 2 , 1]
1 . x 6 [-1, - — ] u [— , 1]
g(x)
2
=
^
f no
66.
f (x + T )
0 ,
2
x € ( - 1 / 2 , 1/2)
espar ni impar, g es par.
= f ( x + 1) = [ [ m x +
= Jm xJ
— m ( [ [ * ] ] + 1)
+ m — m |[x | -
= [[m x] 67. Como
Bosqueje sus gráficas.
m [[x ]]
g (x + l) = g (x ) , V x e R
x e [ - 1 / 2 , 1/2] :
69.
70.
h
es p a r ,
f(x)
g es impar.
0
,
0 <
Sen x |
,
x > n
X <
=
71
=
m ,
f(x)
,
pues 1
V
y m e Z
x e R .
, g (x ) = f (x ) = 1 -
2 1x | , para
222
71.
Cap. 2
Análisis Matemático 1
a)
b)
D om f =
R
Rang
[0,1)
T
=
. =
mi n
1/ 2
'
73.
Período mínimo
T = 71/2
75.
D
R
76.
f/g
f/g
= < - 2 , 0] U { 1 } U ( 2 , 6] ,
= [— . - ] U { - 2 } U [ 1 , 5 )
2
4
FALSO, pues
(fg)(x)
.
x 6 D o m f D D o m g = [ 1, ex?) .
1 ,
77.
78.
Do m f =
( —4 , 6 ]
,
Do m f + g = [ 0 , 6 ]
r
79.
(g/f)(x)
x -
Dom ( f / g ) = [ 0 , 1 ) — [ 4 , 6 ]
.
2
x —
X 6 [ 0 , 3) - { 1 }
=
:::: 2 x ) / x
i
x 6 ( 6, 8) .
Cap. 2
80.
Funciones
223
D o m ( g / f ) = [ — I , oo ) .
81.
(x h ( at) = ( f + g ) ( x )
i r -
5
,
- 2 <
0
=
x <
- l
x = 0
— 1 + Sen x
0 < x < n/ 2
— 2 + Sen x
n/2 <
x < n
AY
82.
Dom f = R
Rang f = { 0 , 1 , 2 }
1
i
o
1
83.
a)
f (g(x)) = (g(x))
g(x) = (4x2 -
b)
+ l = 4x
12x + 11)1/2
2
Ó
(.X
0
I 2 x + 12 ,
I
de donde resulta
g ( x ) = —( 4 x 2 -
f (g(x)) = [g ( x ) ]2 + 2 [g (x )] + 2 ;
[g( x) + l ] 2 =
84.
2
01
1
I
I
•
I
I
I
f (g(x)) = x 2 -
g (x) = X - 3 ,
- 2)2
12x + 1 I ) , / 2
4x + 5
g (x) =
1-
f o g = { ( 5 , 3 ) , ( 2 , 3 ) . ( 1, 3) }
g o f = { (0, 4), ( 1 , 4 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 4 ) } .
85.
Do m ( g o f ) = [ 3 , 4 ]
86.
a)
[ f (*) ]3 = (x — l)3
b)
g o f
,
(g o f ) (x) = x .
=t~
f (x ) = x — !
= { ( 2 , 0 ) , ( 1, 2 ) , ( 3, 2 ) , ( 0 , I ) , ( 4 , 1), ( 5 , 3 ) , ( - 1 , 3) }
x
-224
87.
U
( f o g) ( * )
x 6 [1, 4)
+ 5)
=
V x + 5
88 .
(f o g)(x)
=
l/(2x2 -
8x + 23)
,
x 6 R (f o g )(* )
=
<
0
x e (1/2,1]
=
91.
Dom ( f o f ) = [ 0 , 6 )
92.
a)
h(x) = x2 - 3 .
c)
g(x)
-
a)
gU )
= V T
C)
h (x) =
a =
-
1
x € [1,4]
9
x = 9
6
x e
( 9 , io]
, D om ( f o g ) = [ o , 2 ) , completando cuadrados
b)
4x
-
[ 0 , 1]
* 6 [0,1/2]
x
(f ° g ) U )
x € (6, 2 + 3V T ]
4x
90.
94.
x e [5,11)
,
89.
93.
g(x) = [ l -
— \2x + 9
~ l/V x2~ I
.
b)
g ( x ) = Sen ( x + 1)
d)
f (x) = (2 x2 -
- 1
(f o g ) (*)
,
2)/x
96.
'
(g o f ) ( x )
*g o f
f Og =
=
x 6 [0,1)
l / ( ^ x 2- 1 - 1) , x 6 [1,VT>
=
x2
98.
( x 4 + l ) 7/ 3 ] ' / 3
53 .
95.
97.
Cap. 2
Análisis Matemático I
, x e ( V T , V T )
X2 ,
x € [ —3 , - 2 ]
0
,
x 6 ( - 2 , - 1 ]
.
x € [1, 2]
no existe.
{ (4 , V T ) , (5 , 1 / 2 ) , (3 , 2 ),. ( - 2 , 1/ 2) }
u e ( - 7 , 1) n
( - 5 ,
11)
=
( - 5 , 1 ) .
Cap. 2
99.
Funciones
Do m h = [ 2 , 6 ) u ( 6 , o o )
,
225
h (x) =
( x + 2) “ -
4
- / T
I
2Jx+2
100.
a)
D om f =
R -
{0 }
,
b)
f es impar
= - f (x)
f (-x)
AY
1
—
2
1
1
1
1
¡
-
1
0
1
I
-
101.
T m in = 7t
;
103.
Como
0 t
x *
g ( x ) = a2 x 2
102.
f (x ) = 2x -
a *
Ó
104.
1
0
,
( 1 /3 )
g ( x ) * 0 ,
;
entonces
g(x) = l/(a2 x 2 )
1/10
,
f(x) = - 2 x + 1
•«
. Dos soluciones.
x € ( - oo , - 4 )
I . ie(-4,-3)u(-3,-2)u(-2,0]u(l,2]
(f o g)(x) =
0 , x = —2 ,
(x -
105. f
'(x) =
2 )/(x +
x =
1)
l / ( x 2 - 1)1/2
1
x 6
,
(2 ,
3)
U
(3, 4)
.
x 6 [ - V T , - — VT ] .
2
106. f
'(x) =
107. a)
Rang f = [ 6 , oo ) ,
b)
— ( x — 8) — 4 ^ 4 — x
f ” 1 o g (x ) =
Rang f
- V~x~
,
-
,
1
x € [0,3]
= { — oo ,0 ]
x 6 [ 0 , oo ) .
108.
p = 4 /3 .
109.
Rang ( g ) = [ 0 , 1 ) U ( 1, oo ) , Rang g
110.
Y = [ - 2 , oo) .
5 -- i-y¡/ xX + 4
111 .
f
'(x)
=
5 +
x
2
,
x +• 4
.
— 2x
-1
=
D om g = R -
x 6 ( —4 , 0 ]
, x € [5,12)
.
x € ( I, 3 ]
[ - 5, 2)
-226 -
Cap. 2
Análisis Matemático 1
( x + 5)
(f -
f
')(*)
4x +
=
+ / 7 7 T
— 1 ,
x £ [ — 2 , — 1)
1 + / 7 7 T
+ 6 ,
x £ ( —1, 0]
V x + 1 — x 2 + 2x + 1 ,
1 1 2 . a)
f (x) = x
x £ { 0 , oo )
,
-1 7 1
b)
f(x)
=
x = 0
0
X e ( - 1 , o) u ( i , 2)
son arcos de la circunferencia
_ i
x
2
(x)
,
f
'(x)
=
t/ 1 + (x - 5)2
-
114.
(2x + 1 f
(x )
a)
116.
f
118.
b)
119.
f
120.
f
121.
1
t
'(x)
Ó
= ( 5x
(x) =
a) Sí,
X
x >
1 + V 1-
£
( -
>
1
o o ,
-
1)
8 .
4x )/2
,
x G ( 4 , oo )
,
x €
b)
f
,
x € [ 21, oo )
[3, oo) ,
- / T I
24 ) / 2 4
x / ( 1— |x |)
-
( - 00, - 6 )
B = [ i , oo) .
b)
( x ) = (1 + 2 x — V 4 x — 3 ) / 2
{ —o o , 3 ]
-
,
^ 4x + 9 )/2
B = [ — i , — 1/2 > ;
-
X
=
(2x -
115.
= 4 . Bosquéjela
=
(x — l ) / x
113.
2
+ y
l/x
(i/f)
x £ ( 0 , oo ) .
,
x € ( — 2 , — 1) U ( 0 , 1)
r r -
c)
g ( x ) = 1/ x
;
x £ ( 1, 3 ]
I
‘ (x) =
,
,
x >
x £ ( “ 1/2,0)
x/(l -
|x|)
5 .
U [0,1/2)
,
x £ R .
,
x £ [ - 1 / 2 , 0) U ( 0 , 1/2)
122. c)
1
-
V
1
-
2x
4 x 2
Funciones
Cap. 2
123.
227
b)
x + 3 — V 49x~ — 170x + 169
f
15
,
’ (*)
2(x -
*
€
[
15
,
2)
7
]
7
-4 /5
- 1
(x ) =
124.
f
x / (1 — | x | )
125.
NO;
para ello debería ser
126.
NO;
pues como
tal que
0 e
f (x
,
|x | >
f:
1.
» R - { - 6 } .
R - { - 3 >
xQ e [1 ,4 ]
[ - 2 , 5 ] , debería existir un
1
) = —
=
o
,
lo cual es absurdo.
a x_ + b
o
127.
a =
O
,
128.
a =
- 1/6
129.
R a n g f ~ 1 = D om f
Dom f
b =
126 ;
,b = -
5.
=( —o o , 0 ) u [ 2 , o o )
' = Rang f
= R ,
x + 2
\x)
f
,
,
x >
0
=
x < 0 .
130
-6
-1
lj ( x -
[ f -
f
-
I
l ](x)
x
=
2 - /l~ T
>1
f
a)
g o f (x ) =
-
b)
x <
0
x
6 .
0 ( X
X
>
7/2
<
x
<
4
- 2)
,
X <
1
ix) =
L
133.
+ 9
— 3x — 3
(X -
132.
4)
(x) =
f
131.
-
( f o g)
1
6/ (x
V
1 < x < 2
— 1)
X2 + 4x + 1 ,
no existe pues
X 6 ( - 2 - 2 / 7 ,
D om ( f o g )
=
0
.
- 4 )
- {2 }
-228 -
134.
[ ( x + 0/2 ] 2
fo g
* (x)
X 2 +
1 ,
x < -3
1
( x + 3)
135.
Cap. 2
Análisis Matemático l
f
1(x )
=
8 — x — 4-^4 —
136.
‘ (x)
=
x -
[ - 3 ,
- i )
x G [0 ,3 ]
x + 3
—1 —
f
X e
,
x 6 { — 2 , 1]
3
G { — o o , — 5 ) U { 1 , oo )
x
x + 1
[122]
140.
Sen(nx/2)
,
— 1 + Sen ( j t x / 2 )
f(x )
=
x € [ - 2 , - 1 )
,
x € [-1 ,
Sen(7ix/2)
,
x G [0 ,
1 + Sen ( jix/ 2 )
,
x G [1 , 2}
0
143.
a)
1
145.
f (— x) =
X
G
f(f
/.
[-
- i, i]
b)
;
'
y)
I
=
- y
=
0
c)
1
X
<
< 1 ■
f)
— oo <
X
< 0 ,
9)
¡)
—
oo
X
<
1
j)
•
f
c)
x
<
6 [0 ,
- f (x) , V |x| < a
'(-y ))
f
,
1
= —f ( f
- f ~ 1 (y) .
11 ]
;
,
X
y como
'(y ))
=
e r
;
* = f
f (—f
d)
- i
X
a)
,
<
V
O
144.
oo
x
o
h) — oo <
<
1)
x = 2
0 <
b)
VI
X
,
H
V
o
e)
<
M
0)
<
d)
< x < 0
OO
I
< oo
X
Ver
A
139.
x G R - {0}
'(y)
'(y))
Funciones
Cap. 2
146.
( — Sen x ) € [ — 1, 1 ]
( Ix | <
n/2 ) =
=
^
229
& (h ( * ) )
=
Arc C ° s ( “ Sen x ) — —
A re Cos [ Cos ( x + — ) ] — —
2
2
(x
+
ti /
2)
-
ti/
2
X ,
r=
pues
x
+ —
“
— Sen ( A r e Cos x
h (g ( x ) ) =
=
= X ■,
t i
]
< 1
pues | x |
<
Cos ( Are Cos x )
1.
i
-
h
147.
Cos ( A r e Cos x )
|x \
( n / 2 ) + Sen ( n / 2 ) •
Cos
[ 0 ,
2
—n/ 2) ,
= — Sen (A re Cos x ) •
6
= g .
Fáciles de probar: (a) y ( c ) .
b) De los problemas [1 4 6 ] y [1 4 5 ] : g ( x ) =
|x| <
l
t es una función IMPAR;
Are Cos ( — x ) — ( n / 2 )
Are Cos ( — x )
=
=
€
( — ti/2 ,
7i — A re Cos x
n/2
y por lo tanto que
g( —x )
)
,
es
g(x)
=
, con
2
si y sólo si
—g ( x )
— [ A re Cos x — ( t i / 2 ) ]
d) Demuestre que la inversa de
x
A re Cos x — —
,
h(x)
1.
= C o t ( x + ? i/2 ) = - T a n x
g (x )
es
|x | <
(A re Cot x )
=
—
n/2
,
V x
,
6
K
IMPAR pues h ( x ) lo es . Luego, proceda
como en (b).
e)
i)
Sea
x >
1 ,
—x < —I
entonces
A re Sec x
, Are Sec ( — x )
6
6
[0 , n/2)
[ —n , — n / 2 )
,
, de donde
n + A re Sec ( — x ) € [ 0 , n / 2 )
Cos [ Are Sec ( — x ) + n ]
=
1
1
Sec [ Are Sec ( — x ) ]
(—x)
x
1/Sec ( Are Sec x )
^
Sea
Sec ( — x ) ] • Sen 7t
1
y como C O S E N O
ii)
=
Cos [ Are Sec ( —x ) ] • Cos ti — Sen [ Are
=
=>
=
Cos ( A r e Sec x )
(*)
tiene inversa en [ o , ti ] d [ 0 , jt/ 2 ]
Are Sec ( — x ) + n
x < —1 ,
...
=
Are Sec x e [ — n , — t i /
( A r e Sec x ) + n 6 [ 0 , n / 2 ) ,
Cos [ Are Sec ( x ) + n ] =
de ( * ) ,
Are Sec x
2 )
,
x >
—x >
1
Are Sec ( — x ) 6 [ 0 , n / 2 )
—I/x
=
1/ ( — x )
=
1.
Análisis Matemático 1
230
1/Sec [ A r e Sec ( — x ) ]
=
Cos [ A r e Sec ( — x ) ]
=
Y como COSENO tiene inversa en
n =
A r e Sec ( x ) +
Cap. 2
...
(**)
[ G , t i ] D [ O . ji / 2 )
A r e Sec ( —x )
,
x <
-1
de
(**)•
(f) Análogo a [e ].
148.
El período de
f (x) =
2n ],
período
Are Sen (Sen x )
tt/2
y por
(*)
2 ti
y = Sen x
[p u e s
tiene
pero por definición de inversa se tiene que
f ( x ) = Are Sen (Sen x ) = x
Para
es
< x <
3j t / 2
=
se tiene que
w = x - ti
si hacemos
Ar e Sen (Sen x )
, pero sólo para
-ti/2
x € [ — — »— ]
<
,
entonces u> e [ - 7 i / 2 , t i / 2 ]
y :
Ar e Sen [ Sen (tu + t i ) ]
=
Ar e Sen [ Sen w Cos tt + Sen ti C os w ] =
=
— Ar e Sen [ Sen w ] =
=
TI — X
pues
—w
w
Por lo tanto,
€
,
f(x )
n < n/2
x -
(*)
=
ti — x
,
=
— ( x — ti )
[ -
ti/2 , ti/2 ]
x e
[ - t i / 2 ,
x
— Sen w ]
Are Sen [
e
.
ti/2 ]
[ ti/ 2 , 3 n / 2 ]
p o r p e r io d ic id a d
(2 ti)
en el resto
AY
f ( x ) = Are Sen (Sen x )
ti/
149.
2
••
Note que todos tienen como un período a 2 n , pero podría no ser el mínimo pe
ríodo:
a)
f (x )
=
Para x
€
Are Cos (Cos x ) =
€ [ o,
Are Cos
x
[ tt, 2 tt] :
ti
]
;
y si
x
— ti
si y só lo s i
€
x €[
[ 0
ti
,
ji
]
x
,
6
sea
[ 0 , ti ]
.
w = x — ti
=>-
, 2 ti ] entonces
(Cos x ) = Are Cos [ Cos (tu +
ti)
=
7i — Are Cos (Cos tu)
=
2 ti — x
]=
Are Cos ( — Cos
=
ti
— tu =
ti
tu)
— (x —
ti)
231
Funciones
Cap. 2
x
f(x )
=
x e [0 , n]
,
2n — x
,
x e [ ti , 2 ti ]
P o r p e r io d ic id a d (2 tt) en el r e s to .
x
f(x )
=
x — ti
,
x € [ - 7 1 / 2 , 71/ 2]
,
x
6
[ ti/ 2 , 3 j i / 2 ]
P or p e r io d ic id a d (2
ti)
en el resto
x
f ( x ) = x — Are Tan ( T a n x ) =
^
, x e [ o , ti ]
2 x — 2 7i
,
x 6 [ 7 i, 2 jt ]
p o r p e r io d ic id a d
Grafique esta función y vea que su período mínimo es
d)
(2 ti)
en el resto.
2 7t .
Pruebe que
x € [-
0
f ( x ) = x — Are Sen (Sen x ) =
«
2 x — 7t
,
i/
7
2
, ti / 2 ]
x 6 [7 i/2 ,3 7 i/2 ]
p o r p e r io d ic id a d
(2 ti)
Grafique esta función y v e r if iq ú e s e su período mínimo es
en el resto
2 71 .
232
e)
Cap. 2
Análisis Matemático I
Pruebe que
f (x) =
Are Cos (Cos x )
— Are Sen (Sen x )
0
x e [ o , t i /2]
2x — n
X € [ 7i / 2 , tt]
=
X
71
4 ti — 2 x
,
6
151.
Dom f = Z
=
(f)
{
0, -
2,
El período mínimo es
x
e
[ 2n
Luego,
.
0
=
x | x - | x | | = <
l~ 2 x ¿
152.
2 tt
x) :
f ( x )
Rang
]
x 6 [ 37 i / 2 , 2 tt]
Grafique esta función y verifique que su período mínimo es
U (x4 -
X >3 ji/2
p o r p e r io d ic id a d ( 2n) en el resto.
^
150.
t
,
2n
+
1]
-
8 , - 1 8, - 32 , - 50 ,
=>
2n
g (x
(x
2)
=
>
X
z
e
= { - 2 n 2/
n
€
T = 2 (Bosqueje su g rá fic a ):
g(x) = x +
...
,
+
\.x +
2) -
2
2 (n
[ 2 (n
€
+
1)
+
=
x
1) , 2 ( n
-
2n
+
=
1)
+ 2 ]
g (x)
La parte trigonométrica tiene también este período.
, si x es entero par.
153.
g o f(x )
=
si x es entero impar.
si x no es entero.
154.
f
(f + g) ( x ) = <
4
*
3
x G { - 2 ,2 }
6
x 6 (3,6)
7
x G [6,9)
€
[ - 3 , 3 ]
-
{ - 2 , 2 }
Z +
}
Funciones
Cap. 2
Rang ( f + g ) = [ - 1 » oo )
155.
Dom f = [ - 3 , - 2
156.
Se prueba que
VT ]
f(jc)
=
t
Dom ( f + g) = ( - oo , 9 )
VT , 3 ]
U [ 2
4V * -
j
233
2
-
2 <
,
0 < *
—x
(g
rw
o
^
f ) ( * )
,
=
48 u
.
x - 2
— 2) —
6
<
2
, x e
[2,6]
, x €
( 0 , 1) .
^
3x2 + x
157.
* <
Rang f = ( { - ± , i ) u ( l , — > ) U ( 0 . 2 ) u [ 2 , 3 ] =
3
3
158.
Dom f = [ 2 , 4 ) u ( 4 , o o )
159.
Rang f = [ 0 , 4 ) u ( 1 , 6 ]
, Rang f =
=
3
3
( — o o, — 1 ] U ( 1 , oo )
U
(2,3)
[0,6].
1
,
x 6 (-3 ,-2 )
,
x = -2
,
* 6 ( 1 , 3 ] .
160.
'
(f + g)(x)
=
2x 4
2x
x2—x + 6
161.
\6 - 8 r / r )
h (r) =
ÁREA TOTAL
162.
f(x)
=
[ i
expresión
Luego,
163.
a)
= n rg
,
!----- ] 2 ;
( x - l)
f ~ 1( x )
=
x = -l
Dom h = ( 0 , V T ]
+ ?ir2
[ ------ ¡---------- l ]
( x - 1)
,
g = ^ h
,
+ r
U ( - 2 , - 1 )
, pues
.
además, para x € ( i , 2 )
se tiene que la
e { o , oo > , es estrictamente positiva.
^ +
1+ Vx
,
Rang f = ( 4 , o o ) U [ 0 , 4 ]
x >
0 .
U [ —1,0)
U ( — oo , — 1)
=
R
b) f es univalente sobre cada subdominio, y los correspondientes rangos son
disjuntos'dos a dos.
164.
4 C os2x
=
2 (I + Cos2x)
,
Período mínimo
=
n .
-234 -
Cap. 3
LIMITES
1. INTRODUCCIÓN
A partir de este capítulo encontraremos ciertos conjuntos y
puntos característicos relacionados con una función f ( x ) que son fundamenta­
les en el ANÁLISIS MATEMÁTICO tales como las VECINDADES O ENTORNOS y los
PUNTOS DE ACUMULACIÓN.
2
.
Se llama VECINDAD DE CENTRO
Y RADIO
x O yJ extremos
y x Q + 8 , y se le denota por v g ( x Q) :
al intervalo abierto de centro
Note que su punto medio es precisamente el punto
x = x
t
IR
6
Note que
En efecto,
x
o
x
o
+
6
x Q € V g ( x o ) , que V g { x Q) tiene longitud 26 y que
x e V g ( x Q)
-o -
x e ( x Q - 6 , Jf0 + S )
5 >
O
0
— 8
Cap. 3
Límites
- 235 -
x Q— 8 < x < x q + 6
<=>
<=>
—8 <
<=>
\ X -
x —
x0\
<8
x q
<
8
2.1 EJEMPLOS.a)
Sea
5 = 0.4 , entonces
la vecindad de centro
b)
Todo intervalo abierto
x
0
a + b
2
V g ( 3) = ( 3 - 0 . 4 ,
x Q = 3 y radio
(a , b )
y radio
,
5
con
3 +
0 . 4 ) = ( 2 . 6 , 3. 4)
es
= 0.4 > o .
a <
b , esuna vecindad
decentro
8 = | b - a | / 2 > 0 .
xo
o
4 ■ ■ ■ 110 —--------------------- ---
a
a + b
b
®
2
es decir:
( a , b ) = Vo ( a + b )
°
2
c)
El intervalo ( - 2 . 2 , 4 . 8 )
+ (4.8)]/2 =
,
con
8 = — |b —a
2
es la vecindad v g ( x Q)
1.3 , y radio
6 =
— | 4.8 2
de centro x Q = [ ( - 2 . 2 ) +
(-2.2) I = —
2
2.2
Se llama ENTORNO o VECINDAD DE
a b ie rto q u e c o n te n g a a
x Q . Esto implica que
XQ a c u a lq u ie r in te rv a lo
x Q no necesariamente es
el punto medio de dicho intervalo abierto. Usualmente a los entornos de
x Q se
les denota por Af ( x Q ) :
JV(.x o )
^
O
a
Note que x Q € A Í ( x q ) .
también un e n to r n o de x Q .
^
I
x0
------------- v
O
b
R
Obviamente, toda vecindad del tipo V g ( * o ) es
Análisis Matemático 1
2.3
PROPOSICIÓN.-
Cap. 3
Todo entorno ^ ( ^ 0 ) de x Q siempre contiene al menos una
v e c in d a d d e ra d io
y c e n tr o
8 > 0
xQ ,
para algún
6 > 0.
PRUEBA.-
Sea ^ ( * 0 ) = < a , b )
8 = m ín { I b - x j
NOTA.-
, entonces basta elegir
, \ x Q-
Dados una función f , un subconjunto
de centro
L y radio
8 = e >
v g (xo )
para
a | } .
A c Dom f , y la vecindad
0 , entonces,
siendo f ( A )
Ve (L)
el conjunto
imagen de A vía f , se tiene la siguiente equivalencia:
En efecto,
f(A ) C V
(L)
f(A) C v
(L)
&
| f ( x ) - L | < £
,
O
f(x) e V„(L)
&
<=>
f(x ) e (L -
8, L + e)
^
f(x) -
(-8 ,
<=>
| f (x) — L | < 8
L
€
,
V x 6 A C Dom f
V x e A
C Do m f
e>
,
V x € A C D om f
y cuya representación geométrica está localizada en el EJE Y (ver la fig.).
La relación dada indica que la imagen
cae precisamente, vía f ,
dentro de la vecindad
tenga que cubrirlo necesariamente.
f(A)
V
£
(L )
del conjunto
A c
D om f
de longitud 28 , aunque no
Límites
Cap. 3
2.4
EJERCICIO.-
Dada la función
237
f(x ) = 2* -
x 6 V 0_4 (3 )
2 ,
demuestre que
f ( x ) 6 V, ( 4 )
tanto analítica como gráficamente.
SOLUCION.-
Siendo
V Q 4 (3 ) =
(3 -
V. ( 4 )
<4 — 1, 4 + 1)
=
0. 4, 3 + 0 . 4 ) = ( 2 . 6 , 3. 4)
=
<3,5)
V 0.4<3 )
2 x e ( 5 . 2 , 6. 8)
X 6 V 0 4 ( 3)
2.5
NOTA.-
f(x)
= 2x - 2
fU )
€ V, ( 4) .
6 ( 3 . 2 , 4.8) C ( 3 , 5 )
Respecto al gráfico anterior y desde que
A c
‘ Si
Dom f
= V, ( 4)
f( A ) = { f (x ) / x e A } ,
, el enunciado del ejercicio es equivalente a :
f ( x ) = 2 x — 2 , d e m o s tr a r q u e
Es decir, " La im a g e n de la v e c in d a d
f [ V Q 4 (3 ) ] C V j ( 4 )
'
V Q 4 (3 ) , vía la fu n c ió n f , cae d e n tr o
de la v e c in d a d V j ( 4 ) ' .
En efecto,
f [ v Q4(3)]
c
V, ( 4 )
V x e v Q 4 ( 3) ,
[ x e
v0
4 (3)
f ( x ) 6 v ] (4)
f ( x ) 6 V . (4) ]
238
Cap. 3
Análisis Matemático 1
2,6
VECINDAD REDUCIDA DE CENTRO
Y RADIO
6 > 0
x Q a la
Es aquel conjunto que resulta de quitarle el punto centro
vecindad
V g ( x Q)
y se le denota
V g ( x Q) :
V8(*o) = V8 (xo) - { *o> = ( xo - 6’ xo) U (xo’ )to+ 6 >
xo~ 5
2.7 NOTA.-
"V
*o+6
K
De este modo cuando estemos analizando alguna cuestión referente a una función f ( x )
en una
VECINDAD REDUCIDA
V g ( x Q) en la cual
tie n e que h a b e r e le m e n to s d el D o m in io de f . En general ,
Equivalentemente,
pues
0 < |x -
xQ| <
[ Recuerde que
Estas
2.8
v e c in d a d e s
EJERCICIO.-
-O
| x — x Q| > 0
|
x € E -
^
x e V6 (xo ) n t R -
^
*
{ x Q}
=
x e Vg (xo )
a
€ VS ( x o ) ”
A n ( B - C )
]
{ x o }
( A n B ) - C
**
x e V8 (xo )
].
son las más importantes en el Análisis Matemático.
r e d u c id a s
0 e x is te u n
x — x Q|< 8
| x - x o| < 8
a
^
Dada una función
" P a ra cadae >
[ 0 <
8
f(x),
8
>
demuestre que la proposición:
0 (que depende de x Q y
Ax € Dom f ]
=¿-
£ ) ta l q u e :
| f (x ) — L | < £
es equivalente a:
“ D ado
£ >
0
e x is te
8 > o ( que depende de £
f [ v '( x 0 ) n
SOLUCIÓN.-
En efecto pues
D° m f ]
C
V
y de x Q )
ta l que
(L)
f [ v g ( * 0 ^ n Dom f ]
c
ve (L)
^
Cap. 3
Limites
V x 6 V g ( x o„ )
n
Dom f :
<=>
[ jc f
Vg ( x Q)
A
a: 6 Dom f
<í=>
[0
\x
<
— x q |
< 8
A
- 239 f(x) € V„(L)
=>•
f U ) € V (L)
x 6 Dom f
f (x)
-
]
L I <
e
]
.
La representación geométrica de esta situación funcional es la siguiente , donde origi­
nalmente se ha construido el intervalo
V
donde se trata de hallar, geométricamente,
(L )
el
=
( L - £ ,
8 > 0
L + e)
en el Eje Y, y
que cumpla con la condición
requerida para una función dada:
Así, para que cualquiera de las equivalencias dadas sea válida, se da una
VECINDAD V
£
(L )
en el EJE Y , de centro L
y radio e > 0 , y debe poder
encontrarse una VECINDAD V g ( x Q ) en el EJE X , de centro x Q y radio 8 > 0
tal que la IMAGEN, vía f , de aquella parte de la VECINDAD REDUCIDA V g ( x Q )
que se encuentre en el Dominio de f se ubique dentro de la vecindad
V
&
(L ) .
Es d e c ir ,
En la figura siguiente :
Si eligiéramos
V '(x 0) =
Vg
8 = S 2 = m á x { 6 ] , 8 2 } llegaremos a un ABSURDO : que
( x Q)
, y vemos que su imagen
f [ V g ( x Q) n
Domf ]
NO ESTARÁ ÍNTEGRAMENTE CONTENIDA en la vecindad
Vp ( L ) , pues existi-
rán puntos x , € v g ( * 0 ) n D o m f
£ V£ (L) .
tales que
f(xj)
-240 -
Cap. 3
Análisis Matemático 1
En cambio vemos que si elegimos
8
=
8j
queda resuelto, pues te imagen de Vg (*o )
= m í n { Sj,
82
}
el problema
vía f ahora sí caerá dentro de la
vecindad V £ (L> en el Eje Y .
2.9' NOTA.*
Observe que una. vez hallado un
83
> o y menor que
8
8
>
0
, es decir
0
<
lido, Esto indica que cuando existe un
infinitos valores válidos para 8 .
£.10
NOTA.-
adecuado, cualquier otro
8]
8
<
>
8
0
, también es vá­
entonces existen
En este proceso no interesa el valor de f en xQ pues este punto no
está en Vg (x Q ) por ser vecindad reducida.
Límites
Cap. 3
241
En los ejemplos que presentaremos a continuación se seguirán los pasos análogos
a la ilustración geométrica dada:
1C.- Se considera un
e > o
ra que se cumpla que
. es decir una vecindad V ( L ) en el Eje Y
| f (x ) -
L | < e .
2C.- Utilizando la función dada, se elige el
la vecindad
Vg ( x Q)
hallar el 8 > o
un 8 ,
Tal
8j
8 > o adecuado correspondiente a
en el dominio de f en el Eje X . Si no fuese posible
directamente mediante cálculos con el valor f ( x )
ces uno se da un 8 j
pa-
> 0
enton­
y * c a s i " arbitrario, con el que luego se hallará
8 = m ín { 8 j , 8 2 }
> 0 . Finalmente se elige
inicialmente puede elegirse
Sj = i ,
=
en el Eje X .
1/ 2 , 1 / 3 , 1/4
.se­
gún el problema.
2.11 EJEMPLO.-
Dada
f(x)
= 3 x , pruebe que para
SOLUCIÓN.-
0<
| f (x )-
|x
—4| < 8
12 | =
| 3* -
=>■ | f ( x )
8 = e /3 >
0 < | x - 4 | < 8
existe unco­
|x — 4 |
0, y vemos por los cálculos
= e /3
— 12 | < e .
12 | =
si y sólo si
Elegimos así
o
8 > Gr que satisface que:
rrespondiente
Si
cada e >
entonces
|x -
< e /3
= 8 .
hechos que si x satisface
4| <
8 = e /3
| f ( x ) — 12 | = 3 1x — 4 | < e
lo que indica que, siendo
Dom f = R
x Q = 4 , L = 12 ,
entonces
2.12 EJEMPLO.-
f ( x ) = 4x -
Dada
si
, V ^ 3 ( 4 ) n Dom
f(v¿(4)) c
V £ (12)
f
=
para
V ^ 3 (4 )
8 = e /3 .
3 , halle un 8 > o para e = o .o i
o < |x — 3 | < 8
entonces
| f (x ) -
,
tal que
9 | < e = o .o i .
SOLUCIÓN.
f(x) -
9 | = I (4x -
3) -
9 I = I 4x -
12 I =
s i y sólo s i
Podemos elegir
0 <
8 = e / 4 = 0 .0 1 /4 =
0.0025 ;
| x — 3 |<
x —3| <
8
=> |
| x — 3 | < e/4 = 8 .
En tal caso vemos que en efecto
8 = e /4
242
Análisis Matemático 1
4|x — 3 | < £
Pudimos haber elegido cualquier 8 tal que
por ejemplo,
2.13
8 = 0 . 00 2
NOTA.-
=>*
Cap. 3
|f(x —9 | < £
= 0.0I
0 < 8 < 0.0025 y también sería válido;
, 8 = o.ooi , etc.
Observe cuidadosamente en los ejemplos anteriores, la forma en que se
ha considerado el primer paso, hasta el recuadro.
A continuación presentaremos un par de ejemplos no tan simples.
2.14 EJEMPLO.-
Dada
f ( x ) = - * - - 1-
, xQ = 1 , £ =
, L = 0
10- 4
,
2x2 + 2
halle un
SOLUCION.-
8 >
0
tal que
x -
L| =
i
-
2x
x + l > l
— l | < 8
O
| x - l | < 2 e (
=>
x -
2x
1I <
28
f (x) =
,
x -
o < |x -
L = 2 ,
=
L I =
I f(x ) -
— 2
primer
depende de x
< e
L | < e .
e = 0.001 r halle
8 >
0
fa lq u e
2
4 | < 8
f(x ) -
4 -
2 I < £
2|x — 4
2x + 4
x -
\x - 2 \
2
Después del último paso todavía no nos conviene hacer
21
1
4
x — 2
|x -
-
+ 2
| f(x ) -
SOLUCIÓN.-
= 8).
8 = 2 e = 0.0002 . Comprobando tenemos que
= 2C
Dada
1^ W
P
V
2
2x2 + 2
+ 2
x - 1 L <^ J\ x
2.15 EJEMPLO.-
\ x - 1|
.
l * - l l
0
V x € R )
Vemos que podemos elegir
0 < |x
| f (x) — L | < e
11 < 8
Comenzamos en la misma forma:
f(*) -
( pues
0 < |x -
| < £ | pues el denominador
y debería ser u n a c o n s ta n te , lo que nos sugiere tomar un
arbitrario, por ejemplo:
:
(« )
el cual será usado p a r a a c o ta r
2
x -
superiormente:
2
Límites
Cap. 3
1 < JC — 2 <
< 2
1
1
— <
3
x -
=>
3
,
243
< \
2
—
3
=>
2
2
<
<
2
x —2
con lo cual pasamos a ( * ) :
| x - 2
f(x) -
Ix • 4
2-¡
<
x - 2‘
2 | =
, ( recién aquí hemos
requerido que sea < e ) ,
encontramos otro 8 :
|x -
8 2 = e /2
; entonces un 8 >
8 = mín { Sj , 6 2 }
2.16
1.-
0 adecuado se elige como
0.001/2 = 0.0005
=
8 .
OBSERVACIONES.En todos
los casos,
ANTES DE LLEGAR A LA DESIGUALDAD:
tado de llegar mediante igualdades o desigualdades del tipo
f (x ) — L I
<
...
KI x — x
<
para alguna constante K y algún entero
mos que la expresión
I f(x) — L | <
y elegíamos el
2.-
( = 82 )
m ín { 1, e / 2 }
=
m ín { 1, 0 . 0 0 1 / 2 } =
=
4 | < e /2
K | x —x
I
o
n > o
<
<
< e , se ha tra
ala expresión
e
; y recién en este paso hacía­
| tenga que ser MENOR QUE e :
K | x - x 0 |n <
e
O-
8 correspondiente como
| x - x 0 | < ( e / K ) 1/n
8 = ( e / K ) 1^ ”
.
En los primeros tres ejemplos no se presentó prácticamente ningún problema, pero
en el cuarto ejemplo se llegó a la expresión:
| f (x ) — L |
que es adonde
=
| g (x ) | - 1x -
SIEMPRE
ACOTAR la expresión
x Q|
(para
n = l)
K
,
SE DEBE
a la derecha (superiorm ente), usando un pri­
mer 8 j > o inicial lo que permitirá hallar una c o n s ta n te
En ( * )
(*)
se debe tratar de llegar, y a continuación
|g(x)|
| g(*) | <
...
V x :
0 < |x -
K > o
x Q| <
esto dará como resultado, por ejemplo ( para el caso:
tal que
8, .
n = l )
244
Cap. 3
Análisis Matemático 1
obteniéndose un
8^ = e / K
. Así, el
,
8 adecuado es elegido como
pues en tal caso:
0 < |x -
8 < Sj
y
8 <
=>■
|
f (x )
1/ 3
L | <
£
inicial se elige el más simple posible 8 ( =
pero no siempre será lo suficientemente pequeño, lo cual forzará a elegir
8j =
-
x0 \ < 62
0 < I* “
0
de donde
x 0 | < 8,
0 < | x - x rt| < 8 = ^ ^ A
Usualmente, en estos casos el 8 j >
82
, etc. dependiendo de la función dada y del punto
S{ =
1/2
l
ó
x Q , como en el si­
guiente ejemplo que es una variante de [2 .1 5 ].
En el caso general se tendrá que
2.17 EJEMPLO.-
Dada
f(x)
8 2 = ( £ / K ) l>/n .
=
4/(x -
0 < |x — 3| <
SOLUCIÓN.-
xQ= 3
=
S ,=
:
l
4=>
=
—1 <
8. <
b)
:
Si
<
4
| g ( x ) | = -------------x - 2‘
nuestra elección de
8. =
1/2
l
0 <
4
--------------' x — 2'
x — 3 <
1
------------ <
x - 2
0 ,
halle
8 > 0 tal que
<
4
| X ~ 31
\x - 2
K :
l
1
oo
(*)
=>
0 <
O-
|x -
31 <
x — 2 <
2 <
1
2
4
------------ <
x - 2
oo
no está acotado superiormente; esto ocurre pues
ha sido muy grande.
\x — 3| < 8. = —
1
O
=
0 < |jc —3 |< 8 1 =
1
—
2
Vemos que
£ >
| f (x ) — 4 | < £ .
| — ---------- 4 |
x - 2
donde debemos acotar | g ( x ) |
Si elegimos
8
y
, L = 4 .
| f ( * ) - 4 |
a)
2)
— 1/2 <
x — 3 <
=3*
| jc — 3 1 <
—
2
O
1/2 <
2 <
2
1/2
x -
3/2
Cap. 3
Límites
Ig(*)I
< 8
=
245
, en
o < | jc — 3 1 <
1/ 2
=
8
\ x ~ 21
de modo que en ( * ) :
| f (x ) — 4 1 =
x -
4
3
<
x - 2
|x — 31 <
Luego, un
8
8 /8
.
Así tenemos como un
adecuado se elegirá como
8
=
8 - = 8 /8 .
mín{8.,8~}
1
1
=
i
mín { — , — }
2
8
cuya solución queda así indicada.
2.18
EJEMPLO.-
Dada la
y dado
Si
x e D om f
8 > o
y
f(x)
=
4 x - 1, x Q = 1/ 2 ,
halle
8 >
0
8
entonces
0 < |x — - 1 <
SOLUCIÓN.- Tomando
| f(x) -
función
Dom f = [ l / 4 , o o )
L I = I V 4x — ! -
4x - i
siendo
4 / ( i + -J 4 x -
=
4 \ x - 1/ 2 |
i )
1 + V 4x -
1
4
l + V 4x -
(*)
1
superiormente:
4x - l > l
1+
> o
f (x) — L I < 8 .
:
1 + V 4x debemos acotar | g ( x ) |
1
tal que:
| 4x — 2
1I =
L =
x e D om f
para todo
< 4 .
l
En ( « ) :
I f(x) -
L|
4 1x -
=
1/ 2 |
1 + J 4x -
<
\
s i y sólo si
Así, nos basta elegir 8 = 8 / 4
2.19 EJEMPLO.-
Dada
x -
f (x ) =
Como
9
L = 2
,
x q
y
0 < |x -
fOO -
L
^
e
—
=
—
7
y
8 > O ,
1
0 < |x — xQ | < 8 ]
xQ| < 8
implicará
±
x - 1
-
2
|
=
I
-
5 -
7
=>
| f (x ) — L ( < 8
| f(x) — L| < e :
|* + 7|
£
^
1 <
I
8 > 0 tal que:
[ x 6 D om f
SOLUCIÓN.-
1
"directamente"
x halle
x
| JC — ( — 7) I
. 7
\ x - 1|
(*)
246
a)
Cap. 3
Análisis Matemático 1
Si
8, =
1:
0 < | x
+ 7 |< 8 j
—9 <
l
| f(*) -
=>>
V x t.q.
\ x + 71
2 | =
— 1< x
=>
x — 1. < — 7
— < ------ !------ < —
9
| x — 11
7
En ( ») :
=
+ 7 <
1
7 < [ jc — l .| <
9
+ 7 |< 8 .
= l.
0 < | x
<
X —
s i y sólo s i
RPTA :
8=
| x + 7| <
mín { 8^ , 8 2 }
=
7 8 .Así, hagamos
S2 =
7e .
mín { 1, 78 } .
Ahora analice cuidadosamente los siguientes ejemplos.
2.20
EJEMPLO.-
Dada
8 >
f(x) =
pero siendo
A
Debemos hallar
[ x
e Dom f
0 < | x
8
yO
>
—
x q | <
0 tal que
< IX I <
o , halle
6 ]
8
^
]
(pues
| f (x) — L | < 8.
xQ= 0 :
=>*
I V ” *~ | = - / x " < 8
Do m f = [ 0 , o o ) :
J1T Y como la proposición:
o <
0
<
|
x
| <
x < e2
(*)
8 ]
0 < x < 8
Porlotanto.de ( * ) :
2.21 EJEMPLO.-
o I = *J~x < e
[ x e Dom f = [ o , oo a
es e q u iv a le n te a:
0 <
Dados
halle
[ x € Dom f
SOLUCIÓN.-
e >
que satisfaga la siguiente implicación:
0
[ x 6 Dom f
SOLUCIÓN.-
, L = o , x o = o y
Dom f =
x < e 2 . Así, identificamos
f(x ) = x3 + ( l/x )
8>
0
A
0 < | x
R -
{ 0} .
,L = 2
,
8 = 82 .
xQ=
1 y
8 > 0
que satisfaga la siguiente implicación:
| f (x) — L | < 8 .
— x0 | < 8 ] = ^
| f (x) — L |
=
Cap. 3
a)
Sea
Límites
5? =
1 :
247
im p lica
O < | x — 11 < 6 ( = 1
O <
x <
=>
2
— < — < oo
2
b)
Sea
8, =
1
1
3
— < x < —
2
2
">
x“ + x
y además
...
8 . = 1 NO SIRVE
~I -------------------------
x
0 < |x — i | < 8 . = —
1
2
— :
2
—1 < x — 1 < 1
— - <
2
im p lica
.
2
=>
I
< —
x
—
3
x —I < —
2
< 2
9
3
19
+ l < — + — + i = —
4
2
4
<
5 .
De modo que en ( * ) :
| f (x ) — L | <
|x -
1| ( | x 2 + x + 1[ + —
)
<
|x -
x|
O8
2.22
|x -
1| < —
7
= m ín { 8 j , 8 2 }
halle
Dom f
x = 2
m í n { 1/ 7 , E / 7 } .
A
0 <
, L = 3,
e
x q
= 2
y
E > 0 ,
tal que
|x — 2 | <
8
| f (x ) — L | <
£.
= R ,
| f ( x ) - L |
pues si
8 - = e /7 .
1
8 en términos de
x 6 Dom f
------------------
así, elegimos
Dado f ( x ) = | 2 x - 7|
EJEMPLO.-
SOLUCIÓN.-
=
¡
11(5 + 2) < £
entonces
queña alrededor del punto
| f (x ) — L I =
4=>
=
| | 2 jc — 7 | — 3 |
2 x - 7
xQ = 2
I (7 |x -
= | (7 — 2 jc)
—3 |
= - 3 < 0 , d e modo que en una vecindad pe
la expresión
2 x ) - 3| =
O
2 | < —
2x -
7 es
< 0 ,
\ — 2x + 4 | =
;
así elegimos
y por lo tanto:
2 |x -
2 | < e
8 = £/2.
8 = £/2 .
2.23 |_______
Se llaman ENTORNOS REDUCIDOS de
x
( o VECINDADES REDUo
CIDAS de x Q )
a aquellos e n to r n o s ^ ( x Q )
x Q . Se les denota
v
a los que se les ha quitado el punto
91* ( x Q ) :
¡ v : 'u 0 )
=
u íx
0) - {
xo
}
248
Cap. 3
Análisis Matemático 1
Oi
I
i
*0
O
a
-o *í'(*0 )
b
R
o
Obviamente, toda Vecindad Reducida
de x Q y radio
^ g (* 0)
xQ .
6 es también un ENTORNO REDUCIDO de
3.
*£(*0 )
PUNTOS DE ACUMULACIÓN DE UN CONJUNTO
A c ®
Un punto x Q , que no necesariamente pertenece al conjunto A , se
llama PUNTO DE ACUMULACIÓN DE A
si cualquier vecindad
x } de A y distinto de x Q :
contiene al menos un punto
Vg ( * 0 )
de
xQ
x} * xQ .
Equivalentemente:
Un punto
VECINDAD REDUCIDA
En símbolos: " x
O
se llama PUNTO DE ACUMULACIÓN DE A
V g ( x Q)
de
x Q contiene al menos un punto x x e A .
es un PUNTO DE ACUMULACIÓN de A
V 5 > 0 ,
3.1
EJEMPLO.-
xg = 2
2 -8
— i------------- o
i)
Si o <
8 < 6
Si 8 >
o <
6
2 -8
■
,
V g ( x Q) n
(novacío)'.
(2,8]
= A ,
• -------
A
*
0
:
entonces
=
ii)
x.
■
Vg (* 0 )
V¿ ( 2 ) n A = ( ( 2 - 8 , 2 )
pues
-O
v g ( xD) n A * 0
es un punto de acumulación de
para toda vecindad reducida
(2 ,2 + 8)
8 <
entonces
2+ 8 > 8 > 2
6
U (2,2 + 8))
n
(2,8]
implica que
( 2 , 2 + 8) d
=>
si TODA
Vg(2) n
H (2,8]
= (2,2 + 8 ) *
2 < 2+ 8 <
(2,8]
(2,8] =
0
8 .
pues
(2,8] ^
0
pues
Cap. 3
3.2
Límites
x Q = 2 es un punto de acumulación de
EJERCICIO.- Verifique que el punto
A = [2,8]
- 249 -
también. El procedimiento es el mismo, pues lo que
interesa es ver qué sucede en las vecindades reducidas
Vg ( x Q )
xQ = 2 .
alrededor de
Eneste caso el punto de acumulación x Q
sí resulta ser un elemento del conjunto A .
3.3
{ 1 , 2 , 3 , 4 }
EJERCICIO.- Dado el conjunto A =
, probaremos que
xQ= 2
NO ES PUNTO DE ACUMULACIÓN de A :
t
I
*o
• ------1 •
3
i 4
I
• i
2 i
l
5
pues existen
6 > o
tal que
• ----------1--------R
5
Vg(*o) n A
= 0 , es decir, existen vecindades al­
rededor de x Q que no contienen ningún punto de A distinto de x Q . Así por ejemplo,
si
8 =
En efecto,
1/2
:
Vg ( * o ) n A = 0
V ' ( x Q) = V¿ ( 2 ) = ( 2 - 8 , 2 )
= (2 -
.
u ( 2 , 2 + 8)
— , 2) U ( 2 , 2 + — )
2
2
= (3/2,2)
que al intersectar con el conjunto
3.4
PROBLEMA.-
A = { 1, 2, 3, 4}
Dado el conjunto
A
— ,
4
...
...
U (2,5/2)
, — ,
n
=
}
da el conjunto vacío.
{ — / n e Z + } =
n
, pruebe que
x
= o
acumulación de A . ( Vemos que en este caso
SOLUCIÓN.-
{ i , — , — ,
2
3
es un punto de
xQ = o í
A )
Para que ello ocurra TODA VECINDAD ALREDEDOR DE * 0 = O DEBE
CONTENER PUNTOS DE A DISTINTOS DE x Q = O :
-250 -
Análisis Matemático 1
Tomemos una vecindad reducida cualquiera
de x Q = o ; erttcmcec
Vg ( x Q = 0) , con
V¿ ( 0 ) = < - 5 , 8 > -
Y por la Prop. Arquimediana:
para cada
De aquí vemos que nos conviene elegir el punto
De esta manera, en
Xj
x
Vg ( 0 )
=
0 , alrededor
( - 6 ,0 )
tal que
u (0,8)
0 < —— < 8 .
x } = -------
(=0) .
, el cual pertenece al
no
xt 6 A
hemos hallado un elemento
x Q ( = o ) . Es decir,
Esto significa que
{ 0}
8 >
8 > 0 existe un e n te r o p o s itiv o n Q ,
que depende de 8 ,
conjunto A y es tal que Xj *
Cap. 3
V 8 >
0
,
A
Vg ( 0 ) n
tal que
,
0
es un p u n t o d e a c u m u la c ió n d el c o n ju n to A .
xQ = 0
3.5 OBSERVACIONES.1.
Todo punto x Q perteneciente a un intervalo abierto < a , b ) es p u n t o de
acu­
m u la c ió n d e ( a , b ) , así como también lo son a y b .
2.
Todo punto x Q perteneciente al intervalo cerrado
[a,b]
t
con
a < b
, es
p u n t o d e a c u m u la c ió n d e [ a , b ] .
3.
Los conjuntos finitos, de números reales { x ] ( x 2 , . . . , x n }
,
no p o se e n
p u n to s d e a c u m u la c ió n .
4.
En el Problema [3 .4 ] previo, o es un punto de acumulación del conjunto
A = { —
n
/
n es un entero positivo } t
y es además el único punto de acumulación de este conjunto.
3.6 PUNTO DE ACUMULACIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN f
A = Dom
Este es el caso particular en que
un punto
x Q , que no necesariamente pertenece al
ACUMULACIÓN de D o m f
si toda vecindad
Dom f ,
V g ( x Q)
f(cK)
:
esun PUNTO DE
alrededor x Q contiene
puntos Xj del Dominio de f , d ife r e n te s de x Q ; es decir, si se cumple que :
V 8
>
0,
(Dom f ) n
[ Vg ( x 0 ) -
{ x0} ]
*
0
Cap. 3
- 251 -
L im ite s
4.
4.1
LÍMITE
Este es el concepto más importante en el ANÁLISIS MATEMÁTICO, y
antes de definirlo lo motivaremos con un ejemplo sencillo.
f (x ) = x + l ,
Sea
x *
3
*o = 3
a pesar de que x Q = 3 no p e r te n e c e al Dominio de f , deseamos ver qué su­
cede con las imágenes
f (x )
de aquellos x
que , en un entorno de x Q = 3 ,
comienzan a desplazarse hacia
xQ = 3
tanto por la derecha
( x
como por la izquierda
f(*)
y Xj
respectivamente).
En este caso notamos que desde
arriba
L = 4
f(x)
se acerca hacia
tanto como deseemos
AUNQUE NO LO TOQUE ,
haciendo que x se acerque por
la derecha hacia
xQ = 3 ,
PERO SIN TOCARLO
.
Esto se logra haciendo x — x Q
que sea x -
xQ ^
O s ie m p r e ;
Análogamente,
f(Xj)
cada vez más pequeño, pero de modo tal
es decir:
se acerca desde abajo, hacia
deseemos AUNQUE NO LO TOQUE, haciendo
sin que
Xj
O < |x — xQ
toque a x Q , es d e c ir :
*1 -
|x{ -
L = 4 , tanto como
x Q | más pequeño cada vez pero
*0 I > 0
•
Ahora, utilizando la regla de correspondencia de f , si x se acerca a
x Q = 3 entonces
f(x) = x + l
se acerca a:
xQ + l = 4 .
Nótese que se ha remarcado el hecho de que los valores de
x tienden a
xQ
PERO SIN TOCARLO, porque lo que aquí interesa es precisamente EL PROCESO DEL
LÍMITE o VALOR LÍMITE o LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f en el punto x Q .
4.2
DEFINICIÓN
El número L es llamado LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
f
EN EL
PUNTO x Q (que no necesariamente pertenece a D om f ) si
- 252 -
Cap. 3
Análisis Matemático 1
para cada
e > o
es posible hallar un
x 6 Dom f
A
0 <
8 >
o , que depende de
|x — * 01 <
| f(x) -
8
y
l
e , tal que
| < e
y en tal caso se denota :
" L es el lím ite d e
y se lee
4.3
NOTA.-
c u a n d o x tie n d e a x Q " .
f (x )
De aquí en adelante, cada vez que tratemos del límite de una función f
en el punto
d el
x Q t asumiremos que
Dom f;
puntos
x Q es u n p u n t o d e a c u m u la c ió n
es decir que toda vecindad V g ( x Q ) de x Q contiene
x x del Dominio de f diferentes de x Q .
Geométricamente significa que:
ta n cerca d e x 0 co m o se q u ie ra
s ie m p r e se e n c o n tr a r á n p u n t o s d el D om f d i s t i n t o s d e x Q .
4.4 NOTA.-
Por la definición de Límite, el valor de
que también sean válidos, to d o s los
8 >
8j
0 una vez hallado hace
m e n o r e s q u e 8 : es decir
0 < 8t < 8 .
Esto implica que, en el análisis del Límite de f
en un punto
xQ t
SOLAMENTE INTERESA SABER LO QUE OCURRE CON LAS IMÁGENES
PARALOS X EN UNA PEQUEÑA VECINDAD REDUCIDA ALREDEDOR
f(x)
DE
x Q , n o im p o r ta n d o q u é ta n p e q u e ñ a sea.
Esta nota es muy útil en general y muy particularmente en los problemas que invo­
lucran al M á x im o E n tero .
Cuando x Q no es un punto de acumulación del
4.5 NOTA.-
te un 8 > 0 muy pequeño tal que
entonces exis­
v g ( x Q) n D om f = 0 , (vacío),
con lo que la im p lic a c ió n en la d e fin ic ió n d e
válida para cualquier número real L
D om f
LÍMITE siempre será
[ pues el a n te c e d e n te siempre será f a l s o
( F ) en este caso ] , y así resultaría que cualquier número real sería el l í m i t e
de
f
en
x no .
De este modo tenemos el caso del LÍMITE NO ÚNICO EN x Q , pero que
no tomaremos en cuenta en nuestro estudio.
Cap. 3
Límites
- 253 -
Observe que la implicación en la definición de LÍMITE ya fue estudiada al iniciar
esta sección y donde la expresión :
el valor de f en
o < |x -
xQ | <
8
indica que no interesa
x = xQ .
Además, el problema de hallar analíticamente el
8 > o de la definición de LÍMITE de
f en x Q ya fue considerado en la sección de VECINDAD de este capítulo.
4.6
REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL PROCESO DEL LÍMITE
Dado £ > 0 , p o r m u y p e q u e ñ o q u e sea
Se halla
de
V
8 > o alrededor
x Q tal que:
ÍL)
V ¿ ( x 0 ) n Dom f ] C V
(L)
En términos de vecindades el proceso de límite se puede expresar:
L
=
para toda vecindad
lím
V£ (L )
f [ (V¿ U 0 ))
s i y sólo si
f (x)
n
existe una vecindad V g ( x Q ) tal que:
Dom f ]
C
Ve (L)
En este gráfico y en el siguiente notamos la dependencia de 8 con respecto a
e y x Q:
si
e
es más pequeño entonces 8 se hace más pequeña en general.
Asimismo se ilustra la dependencia de 8
con respecto a x Q ; en este segundo
gráfico vemos que, manteniendo e fijo en el Eje Y, si x Q se va desplazando hacia la
- 254 -
Cap. 3
Análisis Matemático 1
derecha entonces el 8 óptimo máximo se va haciendo más grande, y si x Q se va acer­
cando hacia el punto a entonces el 8 óptimo máximo se va haciendo más pequeño.
4.7
PROBLEMA.-
Gráficamente, demuestre que
lím
X
SOLUCIÓN.-
Para x * 3 :
f (jc ) = —-------— — 1 ,
x —3
f ( x ) = ( x + 3) -
l
x *
3 ,
= x + 2 .
—9
[ --------------------l ]
3
X 3
L = 5 ,
x
Dado e > o
=
5 .
= 3 .
(eje Y )
La gráfica es una recta agu­
jereada de pendiente 1 , por
lo que se tiene:
8 = e .
El estudiante puede verificar que, analíticamente, el valor óptimo máximo de
8 > o (dado e l e > o ) e s
8 = e.
Limites
Cap. 3
- 255 9
4.8
EJEMPLO.-
Usando la definición demuestre que
SOLUCION.- f(x) =
x~ - 9
(x -
x —3
x~ — 9
lím
3 ) ( x + 3)
-------------
= x + 3 ,L
=
6.
= 6 , x o = 3 ;
( x - 3)
x Q = 3 sólo interesan las
y como para el proceso del límite en
x * 3 entonces,
EN EL PROCESO DEL LÍMITE :
r/ x
( x - 3 ) ( x + 3)
f ( x ) = ---------------------------( x - 3)
Luego, dado
e > 0
=
debemos hallar un
x + 3
,
pues
8 > o tal que, para
O < Ix — 3 I < 6
x *
3 .
x e D om f
f (x ) — 6 | < 8
...
(*)
Veamos,
| f(x) -
.
x2 - 9
6 | = I ( - -----------) x - 3
=
6
( x + 3) — 6
lo cual es suficiente para la validez de
(x -
3) ( x + 3)
6
-
( x - 3)
=
(*)
x —3
=>
< 8
8 = 8
según vimos en la sección de VECINDA
DES, al comienzo de este capítulo de LÍMITES.
Habiendo hallado
8 = e
hemos comprobado que, en efecto,
x2- 9
lím
------x —► 3 x - 3
Equivalentemente, como
w
hm
4.9
2- 9
------------- =
x
EJERCICIO.-
x *
lim
X —► 3
=
6 .
3 en el proceso del limite entonces
( x — 3) ( x + 3)
fx
—
=
33
x
hm
- f 3
Dada la función id e n tid a d
I(x) = x
lím
I (' x )7 =
X —► X^
o
[Ó
I (vx o )
,
t
( x + 3)
,
=
. . .
3 + 3 =
,
6
demuestre que
lím
x =
X - + XA
o
xo ].
= 8 .
RPTA:
4.10 PROBLEMA.-
Dada la f u n c i ó n c o n s ta n te
f(x) = C
todo punto de acumulación x Q del dominio de f :
, demuestre que para
Cap. 3
Análisis Matemático 1
SOLUCIÓN.-
Dado
[ 0 < | x
—
x
e > o , debemos hallar
q | < 8
a
x
G Dom f
8 >
en términos de
0
C -
]
8
tal que
C I = 0 < 8
pero, como la conclusión es siem pre V e r d a d e r a (V) , entonces la implicación es
siempre cierta para cualquier 8 > o . En particular podemos tomar 8 = l o bien
8 = f e
8 = e ,
4.11
1.-
PROBLEMA.lím
X -4
Demuestre, por la definición de LÍMITE ,
12
4
O*
II
lím
x -> 3
7.-
lím
x —► 1 2 ( x ¿ + 1)
4.-
lím
(— —
)
x —► 4
x - 2
5.-
o
1 <
H
3.-
x —9
lím
X -4
7
-
que:
J 4x — I = 1
lím
x -H /2
6.-
rn
1
X
2.-
3x =
, etc.
X -
= 2
1
lím
x —v 0
2
9.-
lím ( x 3 + — ) = 2
x —► 1
JC
lím ( — — ) = 4
x —>3
x - 2
10.
II
8.-
=
= 0
lím
| 2x — 7 | = 3 .
X —4 2
SOLUCIÓN. Ya fueron demostrados en la sección de VECINDADES.
4.12 PROBLEMA.-
Si
f(x) =
l / J i - x
lim
i'
^
x - 4 —3
SOLUCIÓN.-
2
y l —
Dado
8 > o en términos de
De
| f(x ) — L|
A
=
0 < | x
|
demuestre que
\_
1
Domf = { —o o , i ) .
[ x G Dom f
,
8
8 > o ,
tal que se cumpla la implicación:
i
+ 3 | < 8 ]
1
1
2
2V I
—
I 4 — (1 — x ) |
2V 1Sea Sj =
i :
=>
* ( 2 + -J l -
x + 31 <
—4 <
x <
debemos hallar algún
- 2
8,
=1
=>-
VT < Vi - * < VT
l * + 3|
2 (2) V 1 -
x )
implica
2 <
=>■
...
x
- 1 < x + 3 <
—x <
4
=$■
3 <
i/VT < i / V1-
(*)
1
1—x <
5
x < '/VT
257
Límites
Cap. 3
En ( * ) :
1 f (x ) -
si y sólo si
RPTA:
L | <
<
mín { 8 j , 8 2 }
4.13 PROBLEMA.-
.
Aquí elegimos
lím
x -H
|x2-
Dado e > 0 , debemos hallar 8 >
=>■
0 < |x — I | < 6
Notemos que si
x =
de x =
do que:
3 | -
| |x 2-
2x-
2x -
3 | = 4 .
0 , en términos de £
(1 — 2 — 3) =
1 la expresión
4 |
S2 = ( 4 V T ) £ .
tal que
I | jx2 — 2jc — 3 I — 4 I < £ .
1 : ( x 2 — 2 x — 3) =
en un entorno pequeño
e
m ín { 1 , 4 ^ ^ T £ } .
=
Demuestre que
<
4V 3
| x + 3 1< (4 V T ) e
8 =
SOLUCIÓN.-
■l* - — L
4 /í - x
(x 2 -
=
| - (x 2 -
=
I x2-
2x -
2x -
2x + l I
—4
3) es< 0 t
3) =
, y por
lo tanto
de mo
4 |
I x — 112 < £
I x — 11 < V~£
/.
RPTA:
8 = /£
= 8
.
4.14 REGLA PARA ELEGIR UN 5 t INICIAL ADECUADO
Sea
f(x)
una función que tiene la forma:
f(x)
=
,
p(^)
donde
x = a es una R A Í Z de p ( x ) ,
donde
h(a) ^ 0
; esto significa que
x— a
asíntota vertical de la gráfica de f . Y si se
lím
f(x)
x-+xQ
ello indica que dado
£ >
0
=
L
Así, partiendo de
,
0 ,
x
*
a
| f (x ) — L | <
=
...
y
desea demostrar que, en efecto
0
en términos de
se cumpla que
=>
| f (x ) — L |
p(a) =
es la ecuación de una recta
se debe encontrar un 8 >
£ y x q , tal que para x e Dom f
0 < | x — x Q| < 8
es decir que
=
...
<
£ .
| g(x) | | x — xo
- 258 -
Análisis Matemático I
lo que se busca es a c o ta r s u p e r io r m e n te
K > 0
|g (x )| <
dentro de algún intervalo de la forma :
Precisamente este
8,
Cap. 3
K , para alguna constante
o < |x -
x
| < 8j .
se elige como cualquier valor que satisfaga la relación :
d is ta n c ia entre x Q y la abscisa
DE LA ASÍNTOTA VERTICAL x =
y que en p a rtic u la r se puede e le g ir
NOTA.-
=
— |xQ- a |
a
.
En el caso de existir más de una asíntota, se toman las d is ta n c ia s de x Q
a cada una de tales asíntotas, luego se elige como S t la mitad de la m e n o r
de to d a s e sa s d is ta n c ia s . .
4.15 EJEMPLO.-
Demuestre que :
l í m ----------- 1 o 2
x
2x — 5x + 2
SOLUCIÓN.-
jcq = 1 , 2 x 2 - 5x + 2 = 0
|f(*)-L|
=
| _ _ £ ------ + l| =
2x2 -
1
5x + 2
=
—1 .
(2 x — 1) (x —
=>
2)
= 0 ,
2x2 - 4 x + 2 ,
2 x 2 — 5x + 2
lx - l |2
2
, .
. . .
2x
Siendo las asíntotas
I—
2
- x
o
x =
| =
|—
i
1/2
—
1 11 x
—
2
, x = 2 , tomamos las diferencias (distancias)
- i| = -
| 2 - x | = |2 - i| = i .
y
2
0
Elegimos la primera de ellas y le tomamos la m ita d , es decir:
-
t ' t - ' - I
=
f
2
para acotar superiormente la expresión
(2x 0 < | x - x
=>
| < 8 ,
°
1
5
4
3
y
4
x -
,
1) ( x -
4
< —
2|
3
1
—
4
_
t
< x < —
4
3
— < 2x - 1 < —
2
V
en (*) :
2)
0 < | x — 11 < —
4
< x —2 <
1
(*)
2
1
------------------ < 2 .
12x — 11
Límites
Cap. 3
De modo que en
259
(*) :
2
| f ( x ) - L |
Por lo tanto,
SOLUCIÓN.-
------2 | X ~ 11-------I 2 x — 111 x — 2|
mín { 6 . , 8 - }
8 =
4.16 PROBLEMA.-
=
Demuestre que
i) Para a = 0
ii)
Para
a >
ya fue
a >
0
E
\x - II <
8, .
( 3 c / 16)
entonces
x
fie
=£►
= i ^ - aL
7 - J I \
J —
16
lím
=
¿
} .
V *
=
a
demostrado.
x> 0
0 :
2 ( 2 ) ( — ) | x — 112 <
3
mín { 1/4 ,
=
si
<
+ f~ a
>f T
<
>
0 :
< e
x + V a
\ x - a l < V"a~ £
4.17 LEMA.-
\x \ < 8
Si
p a r a to d o
e >
PRUEBA.- Supongamos que x * o , entonces
entonces
8j >
o;
y en particular para
y como
|x |
< 8
8 = -/a " £ .
, entonces
|x | >
e. = — |x |
1
0
=>■
x
=
0 .T om em os
0 .
=|x|/2
se cumple para todo e
> 0,
, entonces
2
o < IX| <
e, = y | x |
=>
1 < y
lo cual es ABSURDO. Luego, nuestra suposición de partida no resulta váli­
da y por lo tanto se tiene que :
4.18 PROBLEMA.-
Si
lím
x
C
SOLUCIÓN,
i)
Si
f (x ) =
L
, entonces para cualquier constante real
x„o
se cumple que:
C = 0 :
lím
[Cf](x)
X —f Xo
=
CL .
trivial.
,v
ii ) Si
C *
o :
por hipótesis, dado
C
-
a
8 > o y
,
e1 = 8 / | C | > 0
260
Cap. 3
Análisis Matemático 1
|C|
| [C f ](x) -
4.19
TEOREMA.-
Si
lím
f(x)
= L
existe un número
8 >
x —►xA
0
CL | <
y si
a <
Sea
e = mín{
£ <
=>
a < L
Y puesto que
y
L — a
— £
lím
L - a ,
<
L
<
f (x) =
L
=>
L
L <
entonces
b
x € D om f :
a <
f(x)
<
b .
, entonces se cumple:
b - L } > 0
£ < b
L.q.q.d.
0 tal que, para
0 < \x — x 0 | < 6
PRUEBA.-
£
— L
+ £ <
b
...
(*)
entonces para tai £ > o existe un
8
> o tal
X —► x ^
o
que, para x e D om f :
< | x —x Q |
0
[<£>■
De ( * )
y
L— E
(**) :
<
f (x)
V x G Dom f
a <
4.20
<
TEOREMA.-
Para
< 8
| f (x) — L | <
=»
L +
£
. . . ( * ♦ ) ]
0 < |x — xQ | <
a
8
L —£
< f (x)
<
L + £
a
< f (x)
<
b
n G Z+ :
lím
CASO 1.-
Sea
L =
n € Z+
lím
x —> x
existe
“V T
=
b ,
^/ f ( x )
ni
=
¡Tm
f (x )
V
o
0 :
por el Teorema anterior con
Sj > 0
x € D om f
■V7777 _
<
f(x) ,
L >
a
,
.
X ~¥Xn
PRUEBA.-
£
A
f
V [f(x )]n-1
tal que
f(x) >
L/2
0 < | x — x 0 | < 8j
—
(
m
-
l
_
+ nV L [ f ( x ) ] " — 2
a =
> 0
,
L /2
p a r a toó
y como
-----------------------------+ . . . + "V L n “ '
261
Límites
Cap. 3
I ^H x)
lím
pero como
X —►X
existe
§2 >
0
f(x)
-
V l
I <
| f ( x ) — L | / nV L n
= L , entonces dado e > 0 y
p a r a to d o x 6 D o m f
tal que
m í n { 8 } , S2 }
Eligiendo
8=
tal que x
G D om f
A
n IMPAR
-
lím
X-+X
-
<
=
V f(x )
=
n i mpar ,
... ( * * )
[ x G Dom f
A
I f (x)
=4*
- L > 0 ,
—L
- V
;
[ x
G
,
lím
=4*
f(x ) >
0
Domf A
0 < | x
— xo | < 8 ]
SOLUCIÓN.-
> O
=4-
| f (x) — 0 | < 8 1 = 8 n
existe
-
0 | < 8 .
L
[ — i— ]
SÍ*)
=
*
0
tal que
0
,
= | ^f(x)
O
-
0 | < 8
pruebe que
--------- !--------lím S Í*)
x-»xQ
8j >
8 >
| f (x) — 0 | = f ( x) < 8 n
n/ T w
=
existe
0
para todo x g D o m f :
Por el último teorema, supongamos que
a = L /2
X
| V fW
Sj = e n > o
lím
g(x)
X —► X
o
:
S /T
8 > 0 tal que
, para
Hm
=
existe
e > 0
Si
“/ f(x )
e > 0 , entonces para S j = e n >
Dado
PROBLEMA.-
C = -1
Dado
O
4.21
y del C A S 0 1 :
y considerando
=4-
l
0 < | x — x Q| < 8 ]
L = 0
x
— L I / V L." - 1
O
n par,
y así p a r a to d o
(* *) ,
X
L = 0 :
| < 8
— x q
8 ,
L > 0 :
^/ - f ( x )
lím
e.
X -► X_
CASO 4.-
e . = e V L n ~~ 1 > 0
0 < |x
a
se cumple ( * ) y
V T I
Z+ a
g
L | <
0 < |x — x Q | <
I *¡ f ( x )
CASO 3.-
. . . (*)
o
| f (x) -
CASO 2.-
1
L >
tal que
=
—
L
.
o , entonces para
- 262 -
Análisis Matemático 1
[ V x
€ Dom g
Asimismo, dado
[ V x
e > 0
V x E D om g
1
g(x)
1
£, = 1
2
0
<
g(x) >
—
2
87 > 0
>
0
(*)
tal que
*
=>
xQ | < 62 ]
| g(x) -
se tiene, de
0 < |x — xQ | <
A
(*)
y
L | . < e, ( * * )
( * * ) , que:
8
\ g (, x )\ - iL i <
*
L
|x -
=>
e L ' , existe un
m ín { 8 j , 8 2 }
8 =
* i
< | x — x | < 8. ]
o
i
y
6 D om g A
Entonces, eligiendo
i
0
A
Cap. 3
2
1 _. 2
— --------£ L
=
i 2
2
----------8. =
L-L
1
|g(x)|L
8 .
5.
5.1
TEOREMA DEL SANDWICH.-
Si existe un entorno reducido n ' ( x q )
de x Q tal que :
i)
f (*)
ii)
<
lím
x
g(x)
f(x)
<
=
Xn
h(x)
lím
X
o
entonces
h(x)
=
y
L
o
lím
g(x)
X —►X
PRUEBA.- Tomemos
p a r a to d o x en N ' ( x q ) ,
=
L
o
8 > 0 , por (ii) existe 8 j
tal que si
x g D om f n Dom h ,
entonces
° <
y existe un
82 >
0 <
De la condición dada para
manera que
( x Q) c
V x € v ¿ ( x o ):
Es decir,
|g(x) -
implica que:
lím
Ix — xQ | < 8j
— XQ | < § 2 =>
g ( x ) , de ( * ) ,
£ <
L
e
g(x) =
f(x) <
L + 8
—8 < h ( x ) < L + 8
( * * ) , yde haber elegido 8 ,
N ' ( x q ) , i = 1, 2 , y eligiendo
L
L| <
L -
(*)
tal que, para los mismo x previos:
o
|x
=>■
-
8 <
f(x) <
g(x)
para todo x tal que
L
.
<
0 <
y
(* *)
8 2 de
8 = mín { 8 , , 8 2 } :
h(x) <
|x -
L + 8.
x0 | < 8 ,
lo que
Límites
Cap. 3
263
5.2 TEOREMA.- Si
y s i x Q es u n p u n t o d e a c u m u la c ió n d e
a)
lím
[ f + g ](x )
= [
lím
o
b)
lím
[ f - g ] ( jc)
lím
=
[
1
[ -
]
[
f (x) ] • [
lím
X
=
entonces
g(x)]
=
g(x)]
=
L 1+ L 2
,
si
L, *
,
si
L) ' L 2
O
O
lím
g(x) ]
x-+xQ
lím
f (x) ]
]
[
g(x)
Dom g
o
lím
[
lím
x-+ x
lím
1
[
d)
f (x) ] + [
o
X
c)
D om f n
lím
L2 *
O
g(x) ]
X —¥ X _
e)
lím
[ C f(x ) ]
tí
lím
[ xn ]
L
J
9)
lím
[ f x —► x o
=
=
C[
lím
f (x) ]
,
V constante C
, para todo entero positivo n .
x°
o
g ](x ) = [
lím
f (x) ] — [
lím
o
g(x) ]
=
l
, -
l
2
o
PRUEBA,
a)
Sea
s > O , entonces para
tales que para x e
o < I* o
< |x -
Sea 6
Dom f n
= e 2 = 8 /2
| f(x) =>■
x j
< 8
| (f +
L . | < e. = e / 2
V x e Dom (f + g)
o y
(.)
tales que
g ) ( x ) - (L , + L 2 ) | = | f ( x ) — L, + g ( x ) -
<
Sea e >
...
:
< | f (x) -
b)
o , 62 > o
| g(x) - l 2 | < e 2 = e/2
= m í7 i{ 6 j , 8 2 } , entonces
O < |x -
Sj >
Dom g :
X0 I < 8 1
x o| < 8 2
existen
L, | + | g (x) -
e/2 + e/2
e. =
e / [ 2 ( | L, | + l ) ]
> o
e, =
e / [ 2 ( | L.l + i ) ]
>
L2 |
O ; existen
=
L2
e .
6. , 8 , >
O
264
Cap. 3
Análisis Matemático 1
| f (Jt) — L j | < 8 ,
V x
€ Dom f
A 0 <
| g(x) — L 2 | < e ,
V x
6 Dom f
A 0 < |x —
Y dado
e
= i , y
3
lím
r —v y
V x 6 Dom g
A
g(x) =
0< | x -
L.
| x — x Q | < S(
I < s2
entonces existe
¿
xQ | <
63
=>
5, > 0
tal que :
*
| g(x) -
L2 | <
I
I g(x) | < 1 + | L 2 | .
6 = mín
Eligiendo
0 < |x -
{ 8 j , 8 2 , 8^ } ,entonces V x
xQ | < 8
1( f g ) ( * ) -
(Lj
6 D om (fg)
tales que
se cumple que :
L2) | =
| f (x)g(x) -
g (x) L,
< | g ( x ) || f ( x ) -
+
g (x ) Lj -
Lj L 2 |
L , | + | L j || g ( x ) -
L2|
< e , ( | l 2 | + i ) + \ L X\ E 2
£
( I L 2 | + 1)
-
2
c)
Ya fue probado.
f)
Se sigue de
Usar (e)
g
+
<
( | L 2 | + 1)
d) U sar(b) y (c).
—
2 ( | L , | h- 1 )
g
+
—
2
.
2
e) También ya fue probado.
(b)repitiendo un número finito de veces, y de que
lím
x —► x
g)
| L. | £
para
x
=
x
.
0
O
C = - l , y el resultado de ( a ) .
5.3 TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE.
Si
lím f ( x )
x -¥ x n
o
=
y
L.
1
lím
f(x)
x —► x_
o
=
entonces L . =
L-
¿
\
L- ,
¿
siempre que x Q sea punto de acumulación del dominio de f .
PRUEBA.X
x
e
6
V £ > 0 , £j = £ 2 = £ / 2
> o , existen
Dom f A
0 <
|x
— xQ| <
8j
Dom f A
0 <
|x
-
82
x Q| <
=>
y como x Q es un p u n t o d e a c u m u la c ió n de
to
Xj e D o m f tal que
Xj
*
xQ
, 8 2 > o tales que
| f (x) | f(x) -
|
L2|
< £(
(a)
< e2
(P)
D o m f entonces existe algún otro pun­
y tal que
0 < | x, — x Q | <
8
=
mín { S j , 8 2 } .
Esto implica que
COROLARIO
Si
Lj - f(x,) + f(Xj) - L 2 |
L. -
Y como | L, — L 2 1 <
5 .4
265
Límites
Cap. 3
lím
e
<
f (xt ) -
<
e,
V e >
+
Lj | + | f ( j f j ) -
8j
=
L2
2e{ = e
o , entonces
L( -
l
de (a) y (P).
2 =
o ,
L( =
L2
0
, K í
0,
(IM P O R T A N T E ) . f (x ) = A
í
0
x —y x 0
lím
>
X —►X
h(x) = B í
0
entonces
PRUEBA.
Usando el TEOREMA 5.3 (b), (c), (d) y (e) sucesivamente.
5.5 NOTA.-
Este COROLARIO 5.3 indica que cuando se va a calcular el límite de
una función que contiene UNO o VARIOS FACTORES , CUYOS LÍMITES
(parciales) SON DISTINTOS DE CERO cuando
* -+ * 0
entonces es­
tos LÍMITES NUMÉRICOS PARCIALES se calculan y se colocan como
coeficientes adelante del límite g e n e ra l, tanto en el numerador como
en el d en o m in a do r, respectivamente .
Esto permite limpiar y aliviar la carga de la parte operativa del cálculo del límite.
En particular, este resultado es sumamente útil en el cálculo de LÍMITES TRIGO NOMÉTR1COS.
EJEMPLO.-
lim
x ~¥2
( x 2 +
5x - 1 ) ( x 2 - 4 )
— -------------------------------V x +3 ( x 2 + 3 x - 1 0 )
13
—= ■ • l i m
{ ¿ S ^ f¡ { x
+
2 )
--------- — ------------
VT *-+2 ^><rf(x + 5)
,,
■ —■• l i m
13
VT
(x - 4 )
------------------2 (x + 3 x - L 0 )
' 2
13
,,
( x + 2)
—— - * h m -----------V5
x - ► 2 ( x + 5)
(13)(4)
VT (7)
266
Cap. 3
Análisis Matemático 1
5.6 APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS AL CÁLCULO DE LÍMITES
1.-
lím
( 2 x 2 — 3 x + 4) = 2 ( l í m
=
2.-
x —5
lím
-► 13
2(2)2 -
3¡ l í m
=
x )2 — 3 C l ím
<yx _ H 3
3(2) + 4
( x — 5)
l í m — ----- —
* - ► 3 12 - 4 x
=
lím
x-í-3
, ^
7
x->0
-
■■ =
4£U~<x)
„
^
6
13 — 5
x *
=
-
=
2
4
3 .
x-+ 0
x (^ x + 3 + V T )
1
jc^o VTTT + VT
5.-
3/1"
u + » - 3
x
x
--------------------lím
x —*■5 /2 [ [ x + 2 j ]
=
lím (— )
x —> 3
4
pues en el proceso del límite siempre se tiene que
4..
=
l í m ( 4)
x
2
31 l í m ( x ) — l í m
(5)
V x-*13
x-H 3
=
=
3.-
x ) +
1
1
VT + V7
2VT
X
=
lím
-----------------------x —► 5 / 2
[[x j + 2
. . . (*)
y como para efectos del límite basta analizar el comportamiento de los x de algu
na vecindad reducida
V¿ ( 5 / 2 ) , de radio
por muy pequeña que sea, entonces para
V x € V'(5/2) = ( 5 / 2 - 6 ,
= (2,3)
Luego,
Hm
=
- { 5 / 2 } ,
lira
— -—
X -> 5 /2 2 + 2
[ _ í
L _
]
=
-
{5/2}
se tiene que
lím
x -» 5 /2
i ím
—
4
[
J = I|m
jr_fl
x3- l
lira
-~
-+ 2
1 ( x 2 + x + 1)
[[ x j
= 2 .
, a :
=
_
x3- l
= ,Im [
(_ 2)
=
x Q = 5 /2
6 = 1/2:
5/ 2 + 6 )
x3- l
=
o , alrededor de
( * ) es equivalente , EN EL PROCESO DEL LÍMITE
( * ) . . .
6.-
8 >
— .
8
- Z iíil+ Ü + J I]
X
— 1
- 2 i4 ^ r T ( « t2 )
X_H j¿ ^ '- 'f f ( x 2 + x + 1)
= (—2) (—) = - 2 .
3
Cap. 3
267
L ím ite s
7.-
1
* J!
l í m —I r[ -----------+. —
x-X ) x
x —3
3
_
8.-
f ( x + h) — f ( x )
hm
-------------------------------h —* O
h
1
11 m ------------=
x —> O 3 ( x — 3)
=
,, .
1
f(x ) = ——
para
I .
------------9
,
x *
0 .
x
1
SOLUCION.-
f ( x + h) =
~
.
En el proceso de este límite x está
Cjc -h h )
=
,,
lim
1 r
1
— [
h- >Q h
(x + h )2
—
fijo y lo que varía es h :
I
x2
prim ero se cancela la va ria b le h , por ser
=
— lím
h _ *'°
1
J =
h *
2x + h
2
x 2 (x + h )2
x3
1 r - h ( 2 x + h) n
h m — [ -------------------------- ]
h_í'° h
(x + h )2 x 2
0 , y luego se pasa al lím ite:
6.
Los límites laterales de f , por la izquierda y por la dere­
cha de x Q , se presentan cuando el análisis se realiza restringiendo el dominio de la
función f a los subconjuntos siguientes:
❖
Dom f n < - o o , x 0 )
para el LÍMITE DE f
POR LA IZQUIERDA DE x Q
❖
Dom f n ( x o , o o )
para el LÍMITE DE f POR LA DERECHA DE x o
En estas dos situaciones también se sigue considerando a
x Q un punto de
acumulación del dominio de f .
6.1
L
DEFINICIÓN
es el LÍMITE DE f POR
existe algún
x € Do m f D ( x
o equivalentemente:
LA DERECHA DE x Q s i : dado e > 0 ,
8 > 0{ que d e p e n d e d e
, oo )
A
£ y de
0 < |x — xQ | <
8
x Q ) tal que:
| f (x) — L | <
£
268
Cap. 3
Análisis Matemático 1
o también
En tal caso se denota
LÍMITE LATERAL
DERECHO DE f
EN x
o
Para los casos prácticos esta definición indica que, para el análisis del lím i­
te lateral derecho de f en
x Q , basta analizar el comportamiento de f en los pun­
tos a la derecha de x Q y muy cercanos a éste, n o i m p o r t a n d o q u é t a n c e r c a ,
pues el valor de 8 >
6.2
EJEMPLO.a)
o puede ser tomado todo lo pequeño que se necesite.
Evalúe los siguientes límites laterales derechos:
lím
( [ [ 2jc ] ] + x )
x —► 3 +
x > 3
,
b)
lím
x->3 +
x > 3
( [ [ 2* + ”
]| + 6 x )
2
SOLUCIÓN.a)
Si x tiende a 3 p o r la d e re c h a (es decir,
tiende a 6 .
Veamos cómo es esto:
x
3
+
, x > 3)
entonces
2x
Límites
Cap.
Si analizamos para
6 =
1:
x > 3
=>
6
x e
( 3 , 3+ 6 ) = ( 3 , 4 ) ,
< (2x) < 8
[[2 x ]]
pero como
(2x)
6
- 269 -
puede ser
=
6
ó
7
puede ser tomado más pequeño, lo elegiremos de manera que
se encuentre entre dos enteros consecutivos.
Para asegurar esta situación elegiremos, por ejemplo,
x e (3, 3 + 8) = (3, 3 + — )
3
B > ]|
= 6
p a r a to d o
y el problema se reduce a
lím
=>-
( [^2 x]] + x )
6 <
2x < —
3
<
7
x € ( 3 , 10/3)
la forma simple:
=
x —► 3 +
x > 3
(6 + x )
lím
=
9 .
x —)■3 +
x> 3
Compruebe que hubiese sido suficiente con tomar
6.3 NOTA.-
6 = 1/3:
6 = 1/2.
Después de reducir la expresión en el proceso del límite a una equi­
valente en una vecindad pequeña a la derecha de x Q ,
y luego de
esto recién se pasa al límite.
b)
Si x tiende a 3+
(por la derecha) entonces
2x + —
2
tiende al valor
6 + — = 7.5 , de modo que podemos considerar 6 = 1 / 4 :
2
x € (3,3 + 6)
=
( 3 , 3.25 )
=>
2 x € ( 6 , 6.5 )
2x + — € (7 .5 , 8 )
2
de donde,
V x e ( 3 , 3. 25) :
[[ 2x + — ] j
=
7 .
Es así que, restringiendo nuestro análisis a este nuevo dominio:
lím
([Í2x + — l l + 6 x ) =
x —► 3+
1
2
6.4 OTRA FORMA EQUIVALENTE.-
lím
(7 + 6 x )
=
25
+
Y más rápida para el cálculo de límites latera
les que involucran el m á x i m o e n t e r o :
270
a)
Cap. 3
Análisis Matemático 1
Hallar
lím
( ¡T 2jcü
x-+3+
lím
f
x
+ x )
es equivalente a
([[2xJ) + x )
ó
lím
- í- 3
(fl^xj]
+ x)
f
l x > 3
|
en donde la expresión en las llaves indica que el proceso del límite se está realizan
do con los x
inmediatamente a la derecha de
x Q = 3 ( x > 3)
hacia este punto; ello indica que si partimos de la expresión
"x
y viajando
> 3 " , para fo r­
mar la que está dentro del m á x im o e n te r o tendremos:
x
> 3
2x
> 6
(2x) > 6
x
y como
2x > 6
está viajando a 3 , entonces
y por lo tanto,
pasar por
7
6 < 2x <
lím
+ x)
=
lím
=
X
([[2x]]
+ x)
( |£ 2 x + t J
+ 6x)
3
lím
x
x
lím
p o r la derecha) .
x —► 3 +
X >
Hallar
(6 + x)
=
9 .
—►3 +
> 3
, que equivale a hallar
-¥ 3
lím
3+
3
3
... ( * )
( [T 2 x + — 1] + 6 x )
IL
2 iJ
Para ello partimos de
ha tenido que
(en el proceso del límite cuando x viaja
6
x —> 3 +
b)
en la forma
7
[[ 2 x ]] =
([[2x]]
(2x)
6
es decir
hacia 3+
Luego,
está viajando a
en algún momento la expresión
para después llegar a 6 ;
lo que implica que
2
x > 3
2x >
( viajando x hacia 3 )
6
2x + (3 /2 ) >
6 + ( 3 / 2 ) = 7.5
2x + ( 3 /2 ) >
7.5
Cap. 3
Límites
y como
x
está viajando hacia 3
2x + ( 3 /2 )
está viajando hacia
- 271 -
entonces la última desigualdad indica que
7.5
(por la derecha, en este caso), y que por
lo tanto ha tenido que haber pasado por 8 para luego ir acercándose hacia
7^ :
2 x + ( 3 / 2 ) > 7.5
8 >
[[2 x + (3/2)]]
=
7
EN EL PROCESO DEL LÍMITE
De ( * ) :
( [[ 2x + ( 3 / 2 ) ]] + 6x )
Hm
x->3 +
x > 3
=
lím
(7 + 6 x )
=
7 + 18
=
25
6.5 DEFINICION
El valor L
“ Dado
es el
e >
LÍMITE DE
f
POR LA IZQUIERDADE x Q Si :
0 es posible hallar (existe) 8 >
0 , que depende de
e y del punto x Q , tal que :
A x Q— 8 <
[ x G D om f
x < xQ ]
=>
| f (x ) — L |
<
£"
^
| f ( x) — L |
<
£"
O equivalentemente
[ x 6 D om f
En tal caso se denota
A x € ( x0 - 8 , x0 > ]
L =
lím
f(x)
=
X —► X Q
6.6
EJEMPLO.-
Calcule
lím
lím
f(x)
=
X —¥ X Q
X C Y
^ x0 ^
LIM ITE
LATERAL
IZQ UIERDO DE f
([[4 x ]]-2 x ).
x —► 3—
SOLUCIÓN.-
En forma equivalente,
Partimos de la desigualdad
Y EN EL PROCESO DE LÍMITE :
lím
x -> 3
x < 3
( [[4 x ]] -
x <
3
4x <
12
II < 4x <
2x )
12 ,
pues cuando x viaja hacia 3 (por la i z q u i e r d a ) , 4 x
viaja hacia 12 ( p o r l a i z -
- 272 -
Cap. 3
Análisis Matemático 1
qu ierd a ) pasando obviamente por 11 ; así
I 4* l
lím
=
( ! 4* ] ]
( en el p ro c eso del lím ite )
11
-
2x)
=
lím
x-+3~
x-»3
x < 3
6.7
EJEMPLO.-
2x)
(II
=
11-6
Calcule el siguiente límite lateral izquierdo:
1
x
lím
\ +
SOLUCION.-
lím
x
+
x
I
X >
partimos de
1
X
1
y en el proceso del límite :
0 <
l
>
1
>
1
<
1
<
1
0
Así,
6.8
1
EJEMPLO.-
SOLUCIÓN.-
4
- L
]
H,m
.+
.
x •0
lím
0
=
o
- ,i+
Calcule
Partiendo de
x
0 <
0 <
<
x
<
1
x
<
i
1
2 >
1
>
1
(en el proceso del límite)
l
>
I
(en el proceso del límite)
=
5
ASÍ.
273
Límites
Cap. 3
II»
, [ - L ]
.—
lím
x •1 =
x-H
lím
=
1
.
X - H
6.9 ILUSTRACION GEOMETRICA DE LOS LIMITES LATERALES.-
f (4
En la gráfica siguiente existen ambos límites laterales :
+
) =
lím
f (x) = a
f (4 ) =
lím
f(x ) =
x
4+
x —► 4
x < 4
x > 4
b
= b
y sin embargo
lím f ( x )
x -> 4
NO EXISTE .
Para que este límite exista en el punto
x Q = 4 las gráficas de la función f a ambos lados de x Q = 4 deben estar al mis­
mo nivel, es decir
a =
b , lo que significa que los límites laterales deben coincidir:
274
Cap. 3
Análisis Matemático 1
Note que el
lím
x
f(x )
a [ = b ]
=
4
rente de
lím f ( x )
x -+ 4
6.10
TEOREMA.-
=
a
EXISTE
aún cuando f ( 4 ) = c sea dife
(pudiendo inclusive no estar definido el valor f ( 4 ) ) .
S i f e stá d e fin id a en un e n to r n o re d u cid o
de a , y s i
R , e n to n c e s se c u m p le que
L 6
si y sólo si
lím f ( x ) = L
x —► a
lím
f (x)
=
L
=
x —>a +
x > a
[ s ó lo s i ] :
PRUEBA.-
Dado
t x € Dom f a 0 < | x
{
e >
0
lím
f (x)
x —► a ~
x < a
existe
—a | < 8 ]
6 >
=>*
0
tal que:
| f (x) — L | < e
;de aquí
[ x
€ Dom f
A
r 6 (a,a + 8 )]
^
| f (x ) —L | < 8
... ( a )
[ x
€ D om f
A
x € (a — 8 ,a )]
= ^- | f ( x ) — L | < 8
... (p )
Así concluimos, de
(a):
lím
f ( x ) = L , y de ( P) :
x —► a +
[ si ]:
í ^ 7(a)
Dado e
[ x € Dom f
A x e ( a , a + 8j ) ]
[ x 6 D om f
A x 6 ( a
debido a que l í m
f(x)
8
...
| f (x ) — L | < 8
...
lím f (x) = L
—r'-
x G { a , a + 8j )
x G ( a - 8 , a )
=>■
x e ( a - 8 2 ,a)
A
(p )
respectivamente.
resulta que
x G (a , a + 8 )
[ x G D om f
(a )
x —► a ~
8 = m ín { S j , 8 2 >
y por lo tanto, de ( a )
= L.
tales que:
=>■ | f ( x ) — L | <
y
x —► a +
Eligiendo
82 > o
— 82 , a ) ] ^
= L
f(x)
x —► a
d{ > 0 y
> o , existen
lím
y
(P ):
x € ( a
— 8 , a + 8)
— {a }]
| f ( x ) — L | < 8.
Cap. 3
Límites
De esto concluimos que:
lím
- 275 -
f(x)
= L .
lím
- ¡ - ii.
x —¥ a
6.11
EJERCICIO.-
Demuestre que:
x
SOLUCIÓN.a)
- > 0
no existe.
x
Hallaremos los límites laterales:
lím
=
lím
x
—
x —>• o +
=
*
lím
... primero se cancela y
1 = 1
x —► o +
x > 0
después se pasa al límite pues
b)
lím
=
x
x —
lím
--
x —► 0
x < 0
|x | = x .
x > o
* ■ =
x
lím
(-1)
=
-1
.
x —►0
Como los dos límites laterales en o existen, pero son diferentes , entonces
el lím ite en o no existe, por el teorema previo.
Calcule los límites laterales en x Q = 1 de
6.12 PROBLEMA.-
*>
.(M I
( x * + 2)
,
SOLUCIÓN.-
i) x -► 1+ , x >
^
1
f(x)
=
x -H +
lím
2
(x¿+ 2 )
=
x
1+
x > 1
ii)
lím
x —► 1~
6.13 PROBLEMA.-
x >
,
x < 1.
i < x < 2
=>
lím
,
1
(en el proceso del lím ite ),
0 > ]| = 1 ;
lím
luego ,
2
I
( x ¿ + 2)1 = 3 =
+
f ( l+ )
x —►1+
f (x)
= lím
lf~x = V T
=
1 = f ( I
) .
x-H ~
x < 1
Para la función dada en el problema anterior, demuestre por la de
finición que:
276
Análisis Matemático 1
xQ = 1 t
SOLUCIÓN.-
L = 3 ; dado
e > 0
Cap. 3
, elegimos un
6( >
1:
( x 2 + 2)
Luego:
| f (x ) -
31 =
| ( x 2 + 2) - 3 | = | x 2 -
=
| x — 1 11 x + 1 |
<
l|
3 IJC — 1|
si y sólo si
8 = mín{8| ,8 2}
=
< e
| jc — 1 1 < e / 3
( pues si x € < 1, 2 >entonces x
Elegimos
.
82
1 € (2 , 3 > ).
+
mín{l,e/3}
=
=>■
8 < l
y
8 < e /3
,
y además :
[x
G Domf
A
x e
(1,1 + 8 ) ]
=>
| f (x) -
x + l||x - l |
3 | = | ( x 2 + 2) <
3|x -
l| < 3
3| =
e
e .
3
Y por lo tanto:
f(I+ )
=
lím
f(x )
=
3.
2
6.14 PROBLEMA.-
Calcule
X >
SOLUCIÓN.-
lím
. ,+
I
Hallaremos en el proceso del límite una expresión equivalente a la del
máximo entero:
f(x )
=
lím
.+
x
I
X >
f ((xx ) :
x >
O-
1
<
9 -
8
1
O
en el proceso del límite ,
X
-
7 < 9 —x < 8
-J~7 < -^9 - 1 c
2 <
lím
X> 1
x <
H
—
+
*
< -/T
------- 2 2
+
2
3
<
3
Cap. 3
Límites
6.15 EJERCICIOS PROPUESTOS.-
Usando la definición de LÍMITE
1.
Demuestre que:
lím |x |
x -*• 0
2.
Demuestre que:
lím | f ( x ) |
x
a
= 0
3.
Demuestre que:
lím f ( x ) =
* —> a
L
4.
Demuestre que:
lím f ( x )
x -> a
SUG:
11 a | — | b 11 <
=
- 277 -
:
0 .
s i y sólo s i
si y sólo si
= L
lím
x -> a
lím
x —► a
= > lím
|
x -»• a
f(x ) = 0.
|f ( x ) — L | =
f (x) | =
0 .
| l |.
| a - b |
Además, dé un ejemplo que muestre que el recíproco no se cumple.
r
RPTA:
f(x )
i
Demuestre que ,
SUG:
6.
Si
,
a <
b + e
Suponer que
a >
b
L =
SUG:
- i
si
a < f (x ) <
lím
x —►x o
,
f(x) ,
,
p a r a to d o
£ >
A
0 .
0 , entonces a
<
b .
b) > 0 .
x e ( c , d ) , x Q € { c , d ) , y si existe
demuestre que
a <
xo e ( c , d ) = ^ f ( x o ) € < a , b ) ;
[ x 6 D om f
a =
< 0
*
y elegir £ = (a -
p a r a to d o
b
o
x >
i
=
1
5.
,
lím
x —y x „o
f(x)
<
b.
V £ > 0 existe 8 > 0
0 < |x — xQ| < 8 ]
=^-
L —£ <
tal que
f (x ) <
L + £
Aquí aplicamos la condición dada y obtenemos:
=>■
a - e
<
a + £
<
f ( x ) - e
L
<
b
<
L
+ £
<
f(x) + e
p a r a to d o
t
<
b + e
£ > 0 .
Y por el Problema [ 5 ] concluimos que:
7.
¿Existe
lím
RPT: SÍ,
x - J x -J x - 1 + i] x — 1 ) / ( [ 2 — x — x 2 J ?
(
L = 0 . En este caso
lím
f (x ) =
lím
f(x) =
lím
X - * l +
X - H
f(x)
+
x > 1
pues la función
lím
+
x -»• 1
[
2
-
f(x)
x
-
x
no está definida para x <
2
]
=
u
m
+
( x
1, y
+
i - ) 2
]
=
-
1
-278 -
Análisis Matemático I
Cap. 3
7.
7-1
TEOREMA
lím
PRUEBA.-
Para cada
[ x 6 Do m f
A
f (x ) =
e >
0 existe
s i y s ó lo s i
8 >
[ x Q + h 6 Do m f
lím
=>
| f (x) — L | < £
de donde x = x Q + h ,
A
0 <
|h —0 | <
f (x Q+ h) = [ f o ( i+ x
lím [ f o ( i + x rt) ] ( h )
h-fO
0
) ] (h )
=$»
=L
f ( * 0 + h) = L
0 tal q u e :
0 < | x - x q | < 8 ]
H a cien d o h = x — x Q
Y como
L
6
,
(*)
=>•
(*)
e q u iv a le a :
| f ( * 0+h) — L | < £ .
entonces
l í m f ( x rt + h )
h-»0
°
=
L
=
lím f (x)
x —y XQ
%
7.2 NOTA.-
Este procedimiento recibe el nombre de REDUCCIÓN DEL LÍMITE DE
x0
a
x —x
0 . En la práctica consiste en hacer un CAMBIO DE VARIABLE:
o
=
h
, de modo que cuando
x -► x Q entonces
h -► 0
y v ic e v e rs a .
Y como en el proceso del Límite el símbolo
h es a mudo B, y es llamado v a r i a b l e m u d a , podemos regresar
al símbolo x y escribir directamente como una regla ; es decir
L
=
lím
f(x)
=
x-+x
7.3
EJEMPLO.-
l í m [ x 2+ 2 x ] =
1
7.4
EJERCICIO.-
SUG:
+ 2 (1 )
Demuestre que:
lím
=
lím f ( x + x Q)
*-» x0
[ ( x + l ) 2 + 2 ( x + 1) ] =
(0 + i r
lím
f (x )
x -¥ x Q+ a
Aplique la regla del teorema previo
+ 2 ( 0 + 1)
=
1+ 2
=
lím
f ( x + a)
x —► x_
3
L ím ite s
Cap. 3
C *
0 :
x
PRUEBA.-
Para cada e
>
O existe
O < | x | < 8j
O < |C h | <
L
ii
Para
H
w
TEOREMA.-
3
7.5
279
>
8
f (C x )
x —► 0
0
| f (Ch) -
x
O tal que si
| f (x ) — L | <
8, =>■
lím
=
L | <
£
e D om f
.Haciendo
h
secumple:
=
x /C :
8 .
O equivalentemente:
O < |h |
<
8 , / 1C |
=>
I f (Ch) -
=>
L I < £
lím
f (Ch) =
h -> O
y el teorema queda probado regresando al símbolo
7.6
EJERCICIO.-
7.7
[ =
L
en tugar de
lím f ( x ) ]
x —► O
h .
lím
f( 2 x ) = lím
f ( x / 3 ) = lím
f (—x)
x —► O
x —► O
x —> O
Directo del TEOREMA 7.5 :
C = 2 ,
C =
1/3
; C = -1
.
TEOREMA.
lím
f(x)
«+
SOLUCIÓN.-
Dado e >
0
a < x < a
Haciendo
x = a + h
2
existe
(*)
lím
L
=
8 >
0
lím f(a + h2)
h -► O
tal que, si
x e Dom f :
| f (x ) — L | < £
(*)
se transforma equivalentemente en:
-«>]
0 < Ih I < V T
=>
| f(a + h 2 ) -
Con esto último se concluye que
EJERCICIO.-
=
+ 8
[ 0 < h2 < 6
7.8
8 = 8,/lCl
Demuestre que
lím
f (x) =
x —► O
SOLUCIÓN.-
x
.
lím
f (a + h
h —► o
[T 3 x + 1 T] = l í m
J
h^O
=
2
,
8' = V T
L | <
)
=
L
e
.
.
3(l + h2 ) + l
U-
lím ( í [ 3 h 2]l
h —► 0
+ 4 )
=
0 +
4
=
4
280
Análisis Matemático 1
7.9
TEOREMA.-
Si
x
x
0
0
Cap. 3
entonces
X
ii
—¥
X
w
w
B
X
lím
f(xx
x —►I
o
( Ei delta para el límite del segundo miembro tómese como
x —2
x->4
7.10
=
(4x) -
lím
Si
a *
0
,
).
Analice en los dos casos:
i)
tQ = o
Si
lím
—
f (x) =
2
4 + 1
5
lím
f (ax)
♦ (v—a )J
,
ii)
x ->• o
pectivo reduciendo ambos límites a :
4 - 2
entonces
lím f ( x )
jc —► t
o
TEOREMA.-
2
x - f 1 (4x) + I
x + 1
COROLARIO.*
7.11
6 / 1jcq |
xQ = 4 :
Por ejemplo, para
lím
)
L
t
*
o
ó x -► i
, y aplicar el teorema res
.
y si se cumplen las condiciones:
X -► X .
1)
lím
t
-
1o
2)
y
g(t)
xo
es u n p u n t o d e a c u m u la c ió n del d o m in io de f o g
t
S i e x iste C > 0
3)
ta l que
V t:
0 < | t -
t Q| <
C
g(t)
o '
entonces
7.12 EJEMPLO.-
Dadas
x
SOLUCIÓN.a)
lím
t
t
g(t)
*>
=
=
2
=
f(x)
= 9x2 -
lím g ( t )
t —¥ I
,
l , g(t) =
lím f( x )
x —y x
O
es un punto de acumulación del
lím
t -► 2
2t
t2+ 2
2 1 2 / ( t 2 + 2 ) , en R , halle
y
lím f ( g ( t ) ) .
t —►2
Dom(f o g) ,
8
4
6
3
=
x
Cap. 3
b)
L im ite s
lím
f (x )
*-*•*(,
C)
lím
=
t —► 2
7.13
lím
( 9 x “ — 1)
X-.-4/3
=
f(g (t))
TEOREMA.-
- 281 -
lím
[ 9( - Í i —
t -+ 2
t
Si
f(x)
=
)2-
y
lím
h ( jc) = 0
x —► a
lím
[h(x)-f(x)]
x —► a
| f(x) | <
K
,
=
entonces
0
K > 0 se cumple que :
V x 6 N g (a) n
lím
[h(x)*f(x)]
x —► a
lim
h ( x ) = 0 , dado e > 0
x -+ a
[ x 6 D om h
Dom f
A
=
existe
0 < |x — a | < 6. ]
0
8 = m f n í S j , S2 } > 0
V x
€ Dom h n
=>
Dom f
| h(x).f(x) -
Por lo tanto, concluimos que :
7.14 EJEMPLO.-
Puesto que
lím
¥ 7
0 |
A
=>
| h (x) | < —
K
a | < 62
| h ( x ) || f ( x ) | < — - K
K
lím
[h(x)*f(x)]
x -* a
| S e n (l/x 2)| <
= 0
entonces
tal que:
tenemos que:
0 < |x =
.
8- > 0
L
Y eligiendo
15
lím
h(x) = 0
x —► a
ENTONCES
Como
=
4 + 2
Es decir, si para alguna constante
PRUEBA.-
15
= 9 ( ^ ^ - ) 2 - l
+ 2
x = a
ENTONCES
ii)
1 ]
=
está acotada en algún entorno reducido, muy pe­
queño de
i)
9 ( — )~ — 1
3
1
lím
=
para todo
=
£
0.
x *
0 , y
V x " • Sen ( —^—) =
0 .
-282 -
8
Análisis Matemático 1
Cap. 3
.
8.1
PROBLEMA.-
Calcule los siguientes límites:
.
a)
x 3 + 27
lim
-------------x
- 3
x + 3
w
c)
SOLUCIÓN.-
lím
x
2 - 3 x
+
.
b)
2
-----------------------x 2 — 4x + 3
lim
x —v 0
x
V 2x + 1 - 3
— ------------------------- = L
V x - T - V T
d) l i m
En los cuatro casos si se reemplaza x
x 2 + 7x
por el valor del x Q corres­
pondiente se obtiene una expresión que tiene la forma
, que se dice
que es una F o r m a I n d e t e r m i n a d a ,
Existen 7 de estas Formas Indeterminadas en el Análisis Matemático.
Esto significa que existe un Límite escondido y que para hallarlo debe­
mos efectuar algunas operaciones matemáticas para levantar la
indeterminación, eliminando a la vez los factores que hacen 0 (CERO)
tanto al numerador como al denominador, en el caso de esta primera
forma indeterminada.
a)
r
Como
x 3 + 27
( x + 3) ( x 2 - 3x + 9)
2
,
, A
--------------- = ---------------------------------------- = x — 3 x + 9 ,
x + 3
x + 3
lím x + ^
x —► — 3
x + 3
entonces
K\
D)
o
ir
x“ +7x
l í m --------------x -* 0
x
=
C)
,,
x 2 - 3x + 2
l i m ---------------------x —> 1 x 2 _ 4 X + 3
d)
Como
^ 2x +
V
X
-
2
lím
( x 2 — 3x + 9)
x —v — 3
X ( x + 7)
l i m ----------------x —► 0
x
=
=
( ^
+ 0 - 9
V 2x +
V T
_
9
-
1
=
27
l i m ( x + 7)
x —► 0
( x — 1) ( x — 2)
= l i m --------------------------x -*• 1 ( x — 1) ( x — 3)
l ~ 3
-
=
=
=
4) ( V x -
x
7
x - 2
l i m ----------x -> I x — 3
.
+3
x ^
-
2 -
2+
V T )
( * — 4) ( V 2x + 1
+3)
„
—3 ,
2
=
1
—
2
Cap. 3
Entonces
8.2
L =
i,m
„ V x 2—
hm
x -► 4
PROBLEMA.-
,)
283
L ím ite s
2 + VT
2(2
=
-----------^ 2x + I + 3
-J~2 )
2 V T
=
3
6
.
Evalúe
ÍZ jií1I± ± .
Jf - + 8
(x -
Km
¿jEZIWZILii
*->°
X
„>
8)2
SOLUCIÓN.a)
Puesto que
V x2
-
4 IT T + 4 =
(V T
-
2 )2
= [
{¥~ x - V T ) 2
=
( * - 8 )
.
] 2
( V T 2* ) + ( V ^ - ) + ( V ü 2" )
Entonces L =
lím
J C -
b)
Hagamos
x
[ —
(VT7 ) + 3
/ i7
> 8
z -v
si y sólo s i
L= Km
2 }
E
±
L
z
;
1
=
*
144
+ VT7
l H
y así,
±
L
= llm
l l
x
x —► 0
z -+ 1
z 10 __ J
( z — 1 ) ( 2 z 4 + 2 z 3 + 2 z 2 — z — 1)
lím —
z
1
( z — l ) ( z 9 + z 8 + . . . + z + 1)
Km
z
8.3
]
z = (x + l) 1^10 , resulta (x + l) = z 10. Además,
0
L =
.. _---------- !---------------
( 2 z 4 + 2z 3 + 2 z 2 — z — I)
1
PROBLEMA.-
(z9 + z 8 + . . . + z
_
__4_
+ l)
_
I®
_ _2
5
Evalúe
I| + _ L ]
L = Km [ * 2^ X/2J + _L_ _
x —► 0
1* 1I
Ia I
M
1
J
X2
SOLUCIÓN.- Este es un problema muy interesante en lo que al proceso del límite res­
pecta. Cuando x - ^ 0 "
3x <
0
A
-x/2
PROCESO DEL LÍMITE .
> 0
O
-1
(x <
0)
:
< 3x < 0
[[3xJ
= -1
,
,
I >
- x/2 > 0
J-x/2 ]]
= 0 .
EN EL
-284 -
Análisis Matemático I
Así, cuando
Luego,
(x < 0) :
x -> 0 ~
L =
lím
[ 0 h
X->0~
Cap. 3
í — x ^ 2 ~^
-—
—
(—*)
_
11 h— !— ]
\
x2
2------
=
=
o .
oo — oo
(F. IN D E T E R M IN A D A )
2
=
lím
x->0~
=
----------- l— J x 2 + l
x
1*1
[
=
lím
PROBLEMA.-
=
x ( l
]
+
X2 +
1)
0 .
i + V * 2 +1
Calcule
L =
/
—w 4
lím
-»8
Aplicando el T e o re m a :
- h x
1 ^ - 2
2 -
lím
V
f(x)
X /2
=
X —b X Q
L =
x
*
[ -------------- X
lím
]
X
SOLUCIÓN.-
+
lím
x->0_
x -»■ 0
X
[
x -+°~~
8.4
=
x
x -* 0
=
2
+ 1 -1
—--------------------
lím
]
^ §x — 2
l í m —---------------—
* -> I
2 - y4x
V 6x -
2
-
2 —
a/8x
--------
,
lím
f ( x x ) ,
X —►
1
x
*
0
y puesto que se cumple que:
-y] 6 x — 2 -
^ /T x
4x
2
2
2 — ^~4x"
2 — ^ 4x
♦
6 (x -4 (x -
Por lo tanto,
1) ( 2 + / T 7 )
1)(2 + V 6 * -
L
=
PROBLEMA.-
2 )
4( 1 -
- - — i- + —
2
8.5
8 ( l- x )
Dada la función
2
=
[4 + 2
x)
(S x ) 2 ]
- —
12
f(x) =
(2 + / J 7 )
6
3
,
x e
1
,
x
Z
¡
1
6
R - Z
¿ En qué puntos del dominio de f no existe límite ?
Cap. 3
- 285 -
L ím ite s
SOLUCION.-
2+
1
- 1
0
x £ z
~ S _______
Vemos que para
Por ejemplo, sea
r
=
existe
lím
f (x)
x
1/2
=
lím 1 = 1 .
xQ
x
xq
x e ( 1 / 2 - 8 , 1/2 + 6 ) ,
y
8 = — :
2
°
entonces
x e (o,l>
de d o n d e :
Si
xQ =
lím
x -H /2
f ( x ) = l , p a r a todo
=>■
f(x)
=
lím
1
x -H /2
=
x e (0,1)
1.
n € Z :
V x e ( n , n
=>-
+ 8 ) , 8
f(x) -
1
= 1
=>•
yl í m
f (x)
n < x < n + 1
=
lím
x-»n+
V x € (n — 8 , n ) ,
=>■
f(x) = 1
8 =
I
y
=
1
x->n +
=>
lím
1
n - l < x < n
f (x)
= lím
x —► n “
1 = 1 .
x —> n ~
Luego, de ambos casos podemos concluir que :
lím
f (x) =
1 , PARA TODO
n€ Z
.
x —y n
Así vemos que este límite existe y vale 1 , aún cuando
f (n ) = 3
lo cual como ya
sabemos no in te re s a .
Por lo tanto, existe límite en todo punto del
D o m f = R , y su valor es 1 .
3/1
y x —x
8.6
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
Calcule
L =
lím
Observa que el dominio es
, I 2
+ y x + x
- -----------------------------------5J1
x + 2x
( - o o ,
-
I]
u
(o ,
o o )
por lo que el lí
mite buscado en 0 existe y corresponde a sólo el límite p o r la d erech a de o :
-286 -
Análisis Matemático 1
VT
„
L =
lím
=
+ / 7 / 7 7-T—
] ¡ x 2 - ¡
+
^
7
Í
x
4
+
2
x 2 ’/ , 5 . *^ y 2 x- i- i ++ *x 3'’ , 0 . v/ 7x T+ 7i
-------------------------------------------------------------- =
lím
+
Calcule
problem a.-
L
=
2
lím
L =
x e (2 - 8 , 2 ) =
lím
(x
8.8
PROBLEMA.-
.
a)
,,
lím
X->
4
x
“
~~ 4 H *
b)
,
-
1
\ x 2 + 38* -
[[“ “
, con
40
“ ¡“ J
6 = 1/ 2 .
=
x —¥ 2 ~
(*
5
Entonces
5x
lim
5)
-
=
~~ 4 ) ( *
"
5
—
5)
3
5J 7 x + 4 -
,,
lím
*-+4
- 3
^
l[~2x +
^ 3 *
+ 4
x - 3
- 3
Hallando los límites de los recíprocos según convenga
r
[
^ 2 7
-
2
--- — ^
+4 6 - 7
L =
=
U1
b)
x -
7
r
/7 7 T T
h m [ --------I - í’ 4
/ I 7 -
3
6 - 7
9x
Tomando el recíproco:
.,
~
0
Calcule
6 - / 0 7
--------------------^
^ 2 i r + \¡ x - 3
SOLUCIÓN.lim
(1.5 , 2 )
5 x (x -2 )
-----------------------------------------
x —* 2 ~
a)
x3
1^1 -
Pruebe que en el proceso del límite se cumple:
para
=
^
x-+2
SUG:
0 + 0
—--------
Í 7 7 7
X
8.7
Cap. 3
-
1
]=
2
4
9
L = - 3/ 2
- U ñ
2
--
9
3
es el límite buscado.
1----- 1)
.
------+ (---- ) =
9x
2 + ( ^ x- 3
.
t f i? -
/I7
/7 7 T 7
- 2 + ( l¡ x - 3
J
-
I)
y para calcularlos por separado evaluamos los recíprocos , resultando :
l
= —
!----------------------- ! _
(120/21)
(4 8 /9 )
8.9 PROBLEMA.-
=
Dadas las funciones
—
L .
80
f(x) = 7 x + 1
»
-1
< x < 2 ,
Cap. 3
L ím ite s
,
M
g (x ) =
X
a) Halle f o g , ygrafíquela.
o
( f o g ) W
=
8.10 PROBLEMA.-
,
O
x > O
b)
Calcule
L
= lím ( f o g)(x)
x
o
, -I < x < 0
;
x ,
-
<
;
x2- 1 ,
RPTA:
287
0 <
lím
<
V 3
;
L =
0
3Í
T + ! V 5/3~ ^2 — x
V ~x3 — 8
.
Calcule
x
f
*
0 (7~77 - (7777
SOLUCIÓN.- Aquí tenemos la forma indeterminada 0 / 0 . Podemos expresar:
L =
( 2 - i j s - x 3 ) + ( V 32 - x 10
_____________________________
hrn
X
°
a
Hacemos
( J x3+ 4
= 8 -
x3
,
— 2) + ( 2 —
b = 32 -
x 10
-
2 )
x 4 + 16
,
)
c = x 4 + 16 , y empleamos los
factores racionalizantes en cada juego de paréntesis :
-(7777
3I ( 2 2 + 2 a ' ' 3 + a 2' 3
(7777°~-2 = -x,0/(b4/5+2b3/5+22b2/5+23b1/5+24)
(1777-2
x 3/ ( ( x 3 +
2.(777
2
=
x
)
=
=
4
-
x
4/ (
23 +
22
+ 2 )
c
' ' 4 +
Note que los cuatro denominadores son justamente los
2
c
2' 4 +
c
3' 4 )
,
FACTORES RACIONALIZANTES
de las expresiones correspondientes, expresiones que reemplazamos en
( * ) , y a con­
tinuación dividimos al numerador y denominador entre x 3 y hacemos que
L
8.11
=
PROBLEMA.-
( i/ l2 ) + (0/80)
j_
(1/4) + (0/32)
12
Calcule
L
=
=
3
V
lím
I
2_
I
x [ [ ( 1 / x 2 )]]
2 - x2
+
7
x -> 0
:
288
Cap. 3
Análisis Matemático 1
SOLUCION.a)
Límite por la derecha
L+ :
b)
•
L+
=
L
:
I <
=
i
-> l
3
x-> r
1 ,
,
=>
V T
=
0
=
I
.
1/ - / T
=
x2 > I
[[(1 /x 2 ) |
v t
,
1/x2 < 2
X + 7
] 2 - x2
lím
x >
=>
3 — 2 —
x - y ¡ + V 2 - X2
=>■
=
,
i ím
Límite por la izquierda
L
l+
\/x2 < 1
0 <
•
x
x < l
<
[ [ ( 1/jc2 ) ]
=
2 .
De (a) y (b) concluimos que el límite no existe.
9.
En Análisis Matemático los ángulos (o variables) de las funciones
trigonométricas numéricamente representan r a d i a n e s .
En esta sección demostraremos que:
Sen x < x
,
V
lím
Sen ( x )
x —► 0
x > 0
=
0
| Sen x | < | x |
,
lím
Cos(x)
x —► 0
V x *
=
0
1
(0, 0
para lo cual utilizaremos
un círculo trigonométri­
co, como en la figura
adyacente.
P = (Cos x , Sen x )
T = ( 1 , Tan x )
Cos*
Q
(1,0)
Límites
Cap. 3
o < x < n / 2 , el ángulo x
Considerando el PRIMER CUADRANTE :
en ra d ia n e s , lo que hace que el arco
A s í,
para
o <
n /2
x <
289
está medido
mida x unidades.
PQ
(de la figura) tenemos que, si denotamos
/ ( P R ) < x < / ( PS ) + / ( R S )
/(P S )
/ ( PS ) + / ( RS )
<
*(ST )
<
/ ( ST ) + / ( RS )
=
/ ( RT )
=
T an x
De esta relación y de la figura:
0 < l ( PQ ) <
0 < Senx <
Entonces, d e :
/(P R )
<
Sen x <
De modo que, para
—n /2 <
0 < x <
t -
1
x < 0
(—x 2)
-------2
-
<
<
x
<
<
Tanx
Tanx
Sen x
Cos x < ---------- <
x < T an x
+ Sen2 x
<
1
x
1
< Cos x .
-
n /2 :
1
Si
/(P S ) + / (SR )
/
2
2
y ( C o s x — 1) + Sen x
^ ( C o s x — 1)
y de :
/ ( Are PR ) <
<
-
entonces
0 < (-x )
,
»
< Cos ( - x ) <
Cos x
<
_
Cos x
— Sen x
--------------
<
n /2
<
S e n (— x )
i
(-x )
<
<
Sen x
----------
<
1
, .
(*)
, y por ( * ) :
1
1 .
—X
Por lo tanto,
Y como
V X € v ; /2 (0)
lím
( 1 -------x —¥ 0
2
lím
Cosx
x -f 0
Si
— n /2 <
) = l
=
x < 0
entonces por el Teorema del Sándwich :
1
entonces
0 <
- x
<s n /2
[ y de la relación
-290 -
Análisis Matemático 1
x
0 < Sen x <
p a r a todo x e ( 0 , n / 2 ) ]
0 < Sen ( — x ) < ( — x )
Así,
0 < | Sen x | < | x |
x
| Sen x | = o
9.1
0
PROBLEMA.-
a)
lím
x
a
b)
d)
=
0
o
Usando el resultado previo
lím
x —►0
Sen
lím
u
0
lím
Sen ^
u. —y 0
Y
w
hm
(^ )
a
b)
a *S e n (u )
-----------------u
Luego ,
( a ) • ( 1)
=
x
X
1/2
a
(1 + Cos x )
!----
X - * 0
=
u
Sen2 x
Hm
0
Sen ( u )
a • lím
u -+ 0
(I — C o s x )(l + Cosx)
1 — Cos x
1
u
u = ax->0.
x 2 (1 + C o s x )
1 — C os[ax]
=
hacemos
S e n (u )
------------- =
1 — Cos x
c)
2
1 — C o s(x)
lím
=
x
0 .
0
y en la nueva variable: x - + 0
lím
=
1 — Cos x
lím
x
1 — C o s(a x)
L =
L =
Sen x
0 :
1 — C o s(a x)
SOLUCIÓN.-
En
x —►0
0
e) l í m
a)
a *
lím
0
lím
x
, y lo mismo se cum
pues -1 < Sen x < 1 , para todo x € R ■
y por consiguiente:
=
x —» 0
c)
0 < — Sen x < — x
Verificar que , para
S e n .(a x )
se sigue que:
V x 6 ( - n / 2 , ji/2 ) - { 0 }
plirá p a r a to d o x e R - { 0 }
Por el Teorema del Sándwich:
lím
Cap. 3
x —► 0 ( 1 + Cos x )
=
1
1
1+ 1
.
(1 — Cos [ a x ] ) (1 + Cos [ a x ] )
Sen [ a x ]
x 2 ( 1 + Cos [ a x ] )
x (1 + Cos [ a x ] )
Límites
Cap. 3
lím
x -y O
I — Cos [ a x ]
291
, Sen [ a x ] .2
l i m t ---------------- ) • l i m
x —► 0
x
x
0
=
a
1
(1 + C o s [ a x ] )
i
(i + o
..
d)
.
e)
l-C o s (x )
l í m --------------------x —► 0
x
,,
lím
r l-C o s (x ).l í m ( [ * ] • [ -----------------------] )
x —► 0
v-
=
1 — C o s(a x)
---------------i —
,,
lím
=
x h
9.2
ESQUEMA PRÁCTICO.-
n r í — C o s(a x)
( [ jc] - [ ------------- i — - ] )
=
, a N
( 0 ) • ( -------) =
0
O
Muchos límites trigonométricos de la forma
0 /0
pueden
ser transformados a una o varias de las formas siguientes,
de modo que se apliquen estos resultados para simplificar la
parte operativa.
Indirectamente, todos ellos fueron demostrados en el
PROBLEMA 9.1 , por lo cual estos límites "clásicos " son
considerados como axiomas.
9.3
EJEMPLO.-
Los siguientes límites tienen la forma
a)
w
1 “ C os ( 5 x )
-------lím
x —y 0
^
=
0 /0 :
1 - Cos ( 5 x )
1
l í m [ ---------------------- ] • [ -------- - ]
x —► O
x + 8
=
r 52 ir 1 i
[ —
][— ]
2
8
292
=
b)
Cap. 3
Análisis Matemático 1
Sen ( 2 x
lím
x
3
25/16
+ 2 x — 24 )
=
Sen [~2(x — 3) ( jc + 4 ) ]
lím
(x -3 )(x + 2 )
x “— x — 6
Sen [ 2 ( x - 3 ) ( x + 4 ) ]
(x + 4 )
Sen [2 ( x - 3 ) ( x + 4 ) ]
= l i m ------------------------------------ = l i m [ --------------] . [ ------------------------------------ ~ ]
x -t-3
( x - 3 ) ( x + 2)
x -+ 3
( x + 2)
( x - 3 ) ( x + 4)
L . i t n
( pues
9.4
□
. 2
-S e n ( 2 D )
P
= ( x - 3 ) ( x + 4)
PROBLEMA.-
Calcule:
0
a)
14
=
cuando
jc
—► 3 ) .
lím
xSen —
X -> 0
x
b)
lím
x -¥ 0
x Cos ( ------ ) .
SOLUCION.a)
Puesto que
o
<
| x Sen 1
rema del Sándwich:
x
<
Ix l
,
1
lím
I x Sen
x
o
x
V x / 0
=
=
debido a la propiedad :
0
4=>-
Análogamente a la parte [ a ] :
9.5
p r o b l e m a .-
| f (x ) | =
0.
Calcule:
Sen x — T an x
lím
lím
x —y 0
b)
a)
entonces por el Teo-
0
Esto implica que
lím
f(x )
x —► 0
,
x —>0
d)
lím
x
0
(1 + x ) 1/ 3 — Cot x — 1 + Cosec x
| 2 Sen x — Sen ( 2 x ) |
b)
c)
lím
x —y 3
( x — 3 ) Cosec (?rx)
e)
lím
x —► 0
lím
J g " * - 1
x - > ji/4 x - ( n /4 )
t)
Sec x — 2 Tan x
lim
---------------------------x —► n / 4
1 + Cos 4 x
SOLUCION.
a)
L =
lim
x
0
r
, S e n x . , I - Cos x . .
l
.
,
L - ( -----------) * ( --------- r-----------) • ( ------- ) J =
Cos x
1W 1 W1 >
( - ! ) ( — )(!)
\
2
Cap. 3
b)
L ím ite s
L =
x Cosec [ jt ( x + 3) ]
lím
=
lím
x -» 0
x-+ Q
= _
c)
, ím
i-> 0
L =
----S e m ij;
„ m
=
,
-------------------------- =
S e n (7 xx + 3n)
—1 / [ l í m ( S e n ( ^
x —► 0
x
Tan ( y + n / 4 ) —
x-iO
- 293 -
=
1¡m
X
x
0
[ 2 S 2 i . _ ! ---------------- !--------- ]
' ^ 0
'
COS'
)]
=
- —
"
,
2 Tan *
x
1 — Tan x
,
t2 , ( , ) < „
,
1 - T .n *
2
Tan x = 0)
(K m
x -► o
d)
L =
lím [
X —► 0
(1 + X ) 1 / 3 -
X
d1) Haciendo
L« =
=>*
^
z = (1 + x ) 1^ 3
lim
------------------------- =
*-►0
x
x =z3 -
-
z
lim
z - H
z
=
| 2 Sen x — Sen ( 2 x ) |
X
— + —
3
2
=
I
z
r 2 (-S e n x )
X
Sen x <
=hm
- >1 z 2 + z + i
(1/2)
=
1
= —
3
1
=
_
2
1
| 1 — Cos x j
x
0 :
1 :
1
3 _ ,
r
Para — n / 2 < x <
]
— .
6
2 | Sen x |
3
COt *
X
w
✓ 1 — Cos x x . w
, Sen x „
= lím
( -------) / l í m ( ------------ )
x —► 0
x2
x _► o
*
L = L. + L 1
1
,,
C° sec * ~
. de donde
( l - x ) 1/3- l
,
L,
d2)
‘ ] + lím [
X
0
2
0 ,
(1 -C o s x )-,
,
U
i
hm L------------------- 1-----J = (~2)(1)(—) = —1
x
x -*0 “
x
2
Sec2x — 2 Tan x
1 — 2SenxCosx
I + Cos ( 4 x )
2 C o s 2x
1
f)
L =
2 ( 1 -
__________________1_________________
_ __
lím
2 ( Cos2x ) ( I + Sen 2 x )
x —► n / 4
Sen2 2
x
)
1___________ _
2 * [ 1+ 1 ] - ( l / V T ) 2
J Cos ( 5 x / 3 ) + 1
9.6
PROBLEMA.-
Si existe, calcule
L
=
lím
x
3ji/5
^ 3jt — ^ 5x
J_
^
294
Análisis Matemático 1
Cap. 3
SOLUCiON.L =
J 1 + Cos x
lim
n
------- ■— V 371 “ / " 3 j T
=
lim
J I + Cos ( x + k )
x -> 0 i f J n
,,
J 1 - Cos Xt ,
= l í m - = ^ -------x —► 0 y 371 — y 3 x + 37t
r
=
=
— / 3 x ~+ 3tt
I Sen x I
V 371 + J 3x^+* 3n ,
lim
[ ■■
x -fO
V 1 + Cos x
( — 3x)
2 / 7 jT
Sen x
lim
( --------- = - ) • J----------- L
x —► 0
3V 2
x
J
,
de donde vemos que el límite L no existe , p u e s :
9.7
L+
=
Límite por la derecha de
Q =
L~
=
Límite por la izquierda de
0
PROBLEMA.-
Si
f (x )
- 2 /3 7 1 /( 3 - /T )
=
2 / T tT / ( 3 / T )
es una función tal que, para algún
t + x2 <
calcule
f(x )
<
.
6 > 0:
T a n ( x + ti / 4) ,
Vx
6 V ' (0)
,
lím
f(x ) .
x —> 0
é
SOLUCION.lím
Aplicaremos el Teorema del Sándwich, debido a que
(1 -f x 2 ) =
x-+ 0
9.8
lím
Tan ( x + — )
x —>• O
_ .,
Evalué
PROBLEMA.-
=
L =
L =
lím
lím
x
=
[ pues
0
f (x) = 1 .
x —►O
J 1 + ( x Sen x )
— J Cos2x
y
Tan2 (x /2 )
[ I + (x S e n ,3 S e n 2 ( x / 2 ) [ ^ 1 + ( x Sen x )
]
-f
Cos 2 x ]
1
( \ — C o s ( 2 x ) + x Sen x .
r (x/2 )
-.2
— • h m ( ------------------------------------------J • 4 • L------J
2 x —)■0
x2
Sen ( x / 2 )
lím
J I + ( x Sen x )
x —)■0
= 2 . lím
[
j
+ J Cos 2 x
~ C os(2x)
x -* 0
=
lím
4
x ~¥ °
SO LUCIÓ N,
1
2 . [ ü ¿
=
+
2 ,
S e n ^ jj-
x2
+
1 ].[1 ]2
x
=
lím
x —> 0
6
Cos2 ( x / 2 ) =
(x /2 )
Sen ( x / 2 )
j2
1 ]
Cap. 3
- 295 -
L im ite s
S e n ( n x / 2 ) + Cos
9.9
PROBLEMA.-
Calcule
L =
(
tía : )
lím
¡ x2
x-* 1
-
I
SOLUCIÓN.1
L =
S e n ( 7 i x / 2 ) + 1 — 2 Sen
lím
V T
x -► I
(jtJt/2)
(¿ p o rq u é ? )
+
[ 2 S e n (jix /2 ) + l ] [ I — S e n (jrx /2 )]
VT
+
1
y como
x -
S e n (jix /2 )
=
C o s ( ji / 2 — n x / 2 )
=
Cos [ JT( x — 0 / 2 ] ,
(
lím
y¡ X
-
1
=
Co s ( j i x / 2 — ti / 2 )
z = x - i
hacemos el cambio de variable :
L =
1
lím
)(
CoS(Ttz/2)
-!
)
-J= (0 )(0 + )
=
VT
+
*
-
H
9.10 PROBLEMA.-
+
Calcule :
a)
lím
t -► 0
Sen ( T a n t )
b)
Sen t
Sen (2 Cos x )
lím
x —>• j t / 2
Cos x
SOLUCION.a)
Como ¡
L =
b)
Como
lím T a ñ í = 0 ! :
í ->• 0
Hm
Sen ( T a n Q
í —* 0
(T a ñ í)
lím
9.11 PROBLEMA.-
Cosx = 0
L =
, , ¡m
í —► 0
lím
í
— -— . [ -^ erl T an ^
0 Cos í
Ta n í
]
_
Cosí
entonces
1
lím
Sen (2 C o s x )
X~*7l / 2
(C osx)
_
^
Dadas las funciones
J 2 - ( x - 1)
f(x )
=
-2
2 „
, ti x .
x Sen ( --------)
( x + 2) / ( x -
V * - 2 /(x
0
0 < x < 4
5)
g(*) =
evalúe, si existen
< x <
+ 4) ,
-4
<
x <
0
i <r y ^
v
=
O
296
Análisis Matemático 1
a)
lím ( f
+ g )(x) ;
b)
X —¥ 0
X
SOLUCIÓN.a)
b)
(f o g )(x)
a =
lím
*-► 6
=
lación del dominio de
lím
f(g (x ))
x —► 6
—
40
=
( f ° g) ,
=
c)
—
20
=
l - — =
5
, siendo x
lím
f(a )
a - ) - 1/20
lím
a —► I / 20
lím ( f ° g ) ( x ) .
JT —►2
u [2,4]
lím
(f+ g )(x )
x —► 0~"
g (x ) =
;
—►6
Dom ( f + g ) = [ - 2 , 0 >
lím ( f + g ) ( x )
De
lím
Cap. 3
=
-
.
5
= 6 un punto de acumu*
— — Sen ( j i / 6 0 )
400
f(a ) =
=>
Sen ( n / 6 0 ) ,
400
J x _ 2
c)
Como a
=
lím g ( x )
x
donde
=
2
lím
x
g (x)
= lím
—* 2 +
----------------------
x-> 2+
x = 2 es un punto de acumulación del dominio de
lím
f (a )
a —► 0 +
entonces
lím
x->2
=
lím
a —► 0 +
(f o g )(x ) =
a2 S e n (-^-)
3
lím
x —► 2
=
= 0+ ,
x2+ 4
fo g
, y
0
f(g (x )) =
lím
x —► 0 +
f(a ) = 0 .
10 ,
Consideremos la función
cuya gráfica es mostrada:
f (x ) =
x -
1
L ím ite s
Cap. 3
Vemos que, cuando
x
xQ = l
se acerca hacia
quiera, las imágenes f ( x )
297
por la derecha
ta n to c o m o se
van creciendo ilimitadamente cada vez más. Esto motiva
la siguiente definición. ( En todos los casos consideraremos a
x Q punto de acumula­
ción del dominio de f ) .
10.1
DEFINICIÓN.-
Se dice que
+oo
es el LÍMITE DERECHO DE f EN EL PUNTO
x Q si para cada número
6 > 0 que depende de x Q y M ,
existe
x e Dom f :
tal que para
* € < *0
f(x ) >
*o+ 5 >
M > O
y se denota
10.2
DEFINICIÓN.x
Se dice que
+oo
es el LÍMITE IZQUIERDO DE f EN EL PUNTO
existe
si para cada número
tal que para x e D om f :
*o -
ó >
8 < x < x
o que depende de x Q y M ,
f (x ) >
o
M > O
y se denota
En la figura vemos que cuando x se acerca a x Q =
imágenes
f (x)
l
por la izquierda, sus
se ubican en el semieje negativo de Y haciéndose cada vez más ne­
gativos ilimitadamente.
10.3
DEFINICIÓN.-
Una función f tiene LÍMITE - oo
para cada número
que para x e D om f :
existe
*o -
8 >
0
POR LA IZQUIERDA DE x Q si
que depende de x Q y M , tal
8 < x < x0
f(x )
< - M
y se denota
10.4
DEFINICIÓN.-
Una función f tiene LÍMITE - oo
para cada número
que para
existe
8 >
O
POR LA DERECHA DE x Q si
que depende de x Q y M ,
x e D om f :
*0 < x < * 0 + 5
f ( x ) < —M
tal
298
Análisis Matemático 1
Cap. 3
y se denota
Según la figura vemos que:
lím
=
f (x)
lím
x —► I
x
lím
=
f (x)
DEFINICION.-
Y f tiene LÍMITE - oo
a)
+ oo
Dada
Sea
M >
Así, para
o :
x >
— oo
1
EN x Q si los límites late­
si los límites laterales en x
1
=
— oo
=
+ oo
=
— oo
x -
o
!
Dom f = ( — o o , l )
u ( 1, o o )
1
debemos hallar un
8 > o
f (x ) >
M > O
f (x ) >
o
x -1
lím
,
f (x ) =
1:
X -
=
1
1
l
lím
x - ,+
Demuestre que
x a)
"
+ oo
Estos límites se denotan:
x -H SOLUCIÓN.-
*
lím
f(x )
x —y x „
0
Demuestre que
b)
+oo
EN x
son iguales a — oo .
10.6 PROBLEMA.-
+
=
son ig u a les a + oo .
rales en x
=
H
x —> 1-
Se dice que f tiene LÍMITE
lím
f (x)
X -H►XA
0
-
lím
x -> l“
10.5
1
M > O
tal que
V x € ( l , l
+ 8 ) n
>
s i y só lo s i
Do m f
M >
O
x - 1
O
O < x -
1 <
l
M
1 < x <
1+
I
M
de modo que si elegimos
8 =
l/M
> o
entonces, para x en el dominio de f
> M > O.
f(x) =
i < x < l +
M
x - 1
Cap. 3
b)
Sea
L ím ite s
M > o :
debemos hallar un
8 > o
V x 6 (1—8,8)
Así, para
x < 1:
f (x)
<
299
n
- M
tal que
Dom f :
<
f (x)
1
O-
O
O
>
<
- M
<
O
<
- M
<
O
-(x
-
I) >
o
M
O
i
< x <
-
1
M
de modo que si elegimos
i
< x <
-
1 /M > o entonces, para x en el dominio de f
8 =
1
<
f (x ) =
M
X -
- M < O .
1
f(x )
=
Conforme x va creciendo ilimitadamente hacia + oo
se van acercando al límite
I L = 0 I en el Eje Y.
en el Eje X , los f ( x )
Lo mismo ocurre cuando x va ha­
ciéndose más negativo ilimitadamente.
10.7
DEFINICION.-
Un número real L se dice que es el LÍMITE DE f
si para cada
pende de
e > o
existe un número
e , tal que para
x > N
En tal caso, se denota:
EN
, que de­
x e D om f :
f(x ) -
+ oo
L I < e
-300 10.8
Cap. 3
Análisis Matemático 1
DEFINICION.-
Un número real L
da
e >
0
es el LÍMITE DE f
EN
-o o
si para ca­
, que depende de
existe un número
e t tal que para x g Dom f :
x < -N
| f(x ) -
lím
En tal caso, se denota:
f (x)
=
l
| < e
L
X —► — o o
10.9 PROBLEMA.-
Demuestre que
lím
=
x -» + oo
SOLUCIÓN.-
x
Dado e > 0 debemos hallar un
x >
Considerando
I f(x )-
x >
0 I
10.10 EJERCICIO.-
10.11 DEFINICIÓN.
.
1
N > 0 (en términos de e ) tal que
| f (x) — 0 | < £
( x G D om f )
1 :
<
=
x -
Nos basta elegir
N
-
0
N =
1
X -
i+ ( i/e )
Demuestre que
>
x >
l + (i/e )
I
o .
=
lím
Una función f tiene LÍMITE + o o
mero
£
0
.
EN + o o
si para cada nú­
tal que para
existe un número
x G Dom f :
y se denota:
lím
f(x )
x —f oo
=
oo
9
X
lím
f ( x ) = + oo
-» + oo
Análogamente se pueden definir los limites:
lím
x
—
f ( x ) = + oo
oo
10.12 PROBLEMA.-
lím
f ( x ) = — oo
x —V OO
X
lím
f (x) =
- 9 — oo
Para n g Z + , demuestre que
n
lím
X — ¥ OO
ax
_
f
+oo
,
a > 0
L
— oo
,
a <
0
— oo
SOLUCIÓN.i)
301
L ím ite s
Cap. 3
Tomando
a > 0
:
f(x ) =
Elegimos un primer
x > Nj
y sea
ax"
(=
N. =
1)
M
x > —
a
M > 0 :
:
I
N 2 = M /a
>
entonces
axn > ax
> 0
ax >
=4*
=>
Basta elegir
;
0
y
,
V n € Z+ ,
M
f(x ) = a x n > ax > M > 0
N = máx { N j , N 7 }
m áx { I ,
=
}
a
Así se cumple que
f(x ) = a x n > ax >
y por lo tanto
lím
axn
=
+ oo
M > 0
.
X —►o o
ii)
a < 0 :
análogo.
2
10.13 EJEMPLO.-
Calcule
lím
x —► oo
4y
+ 2x ~Ll
2x + 5
Dividimos al numerador y denominador por el t é r m in o d e m a y o r g r a
d o del d e n o m i n a d o r , x en este caso :
SOLUCIÓN.-
4 x 2 + 2x + 1
4x + 2 + (1 /x )
2x + 5
2 + (5 /x )
Este artificio actúa de manera que cuando x
crece ilimitadamente entonces
(5 /x )
tiende a 0 así como ( l / x ) , mientras que el término ( 4 x ) tien d e a oo . Luego,
L
=
lim
x -> oo
4x + 2 + ( l/ x )
=
oo + 2 + 0
2 + (5 /x )
2 + 0
Formalmente esto puede demostrarse utilizando la relación (para
4 x 2 + 2x + I
_
2x + 5
>mpre que
=
oo
4x + 2 + ( l/ x )
>
_4x_
+ oo .
2
x >
5 ):
M
0
2 + (5 /8 )
x > ( 3 M / 4 ) > 0 , y eligiendo
N =
3M
m á x { 5 , -------- }
4
x > N > 0
=
=>
í(x) > M > 0
, pues en tal
302 -
10.14
Análisis Matemático 1
TEOREMA.-
PRUEBA.-
Sea
lím
f (x)
*->oo
L e R ,
dado
x = l/h
h 6 Dom (f o i
1)
=
lím
f (— )
h->n+
b
=
0
existe un
0
x > N
x e Dom f :
Aquí hacemos
8 >
Cap. 3
N >
|f(x ) -
0 <
0 < h < —
f(— ) h
N
6 = l/N
Aquí es suficiente elegir
L =
10.15 NOTA.
tal que para
L| < 8 .
x = l/h > N > 0
a
L
h <
1 /N
y
| < e.
l
> 0
lím
(f o I
h —»• 0 +
1) ( h )
lím
f (— ) .
h -> 0 +
h
=
Cuando se tienen FUNCIONES RACIONALES , es decir, COCIENTES DE
POLINOMIOS, el análisis del comportamiento asintótico en
±oo
se
la
realiza dividiendo tanto al numerador como al denominador entre
m a y o r p o te n c ia del d e n o m i n a d o r : x
Así,
siendo los coeficientes principales
anx
f(x )
=
■
b
entonces
x
m
ni
+ an - l *
i
+ b
,x
m —1
an *
0
y
+
ni — 1
b__
m *
i
f(x)
r e s p e c t i v a m e n t e . * Es d e c ir ,
---------------* - >4 u - 4) 2
lím
i
+ . . . 4- b . x + b A
i
u
e x a c ta m e n te el m ism o que el de
Demuestre que
en
+ alX + a0
" el c o m p o rta m ie n to a sin tó tic o de
10.16 PROBLEMA.-
0
=
+oo .
en
dt oo
es
en
i
,
oo
Cap. 3
L im ite s
SOLUCIÓN.-
Dado
f(x)
■O-
=
M >
-------(x -
o < |x -
- 303 -
0 :
>
M
-O-
(x — 4 )2 <
0 <
4)2
41<
M
| —
= 8.
Basta elegir
8 =
2
M
10.17
SOLUCIÓN.-
Dado
S¡
x G (2 — 8 , 2 )
8. =
1
V M
lím
x + 2
x -> 2 ~
(x — 2)3
Demuestre que
PROBLEMA.-
8 < x < 2
2 -
M > 0 .:
= (1 ,2 )
x -
f U ) =
^ + 2,
( x - 2)
Y eligiendo
=>
<
(x -
\j ( 3 /M ) <
5 =
m ín { Sj , 8 2 } =
8 <
l
2 -
8 < x < 2
lím
y
f(x)
8 <
=
2 <
<
x
=
-oo.
;
3 <
=>
- < - M < 0
2 )3
2 -
O
—
0
x + 2 <
=>•
O-
(x -
_ 3/ _ L
K m
2 . Tomamos
82
4
2)3 <
< ( X _ 2) < 0 ( * )
= (3/M )
mín { l , \/ ( 3 / M )
0
} >
.
o, vemos que
V (3/M )
=£•
— oo
f (x) < - M
de ( * ) ;
.
x-v2"
10.18 NOTA.-
En lo que a LÍMITES de COCIENTES se refiere presentamos las
primeras cuatro FORMAS INDETERMINADAS:
0
0
9
OO
9
0 0 — 00
9
0 • oo
oo
Cada vez que llegue a alguna de estas formas, trate de transformarla
a una de las dos formas:
—
0
ó
—
oo
terminación para hallar el límite buscado.
.
Luego, levante tal inde-
•3 0 4 •
10.19
C Á L C U L O S C O N LÍMITES INFINITOS.a)
X
lím
—► oo
x
SOLUCIÓN.-
x + 1
x2-
3+
( x + I)
—
( x + 3) ( x -
lím
* —► 3 “
lím
L =
x2+ 3
lím
X -¥ -
OO
X +
=
( — ) • ( + oo )
6
=
+ oo
,
x > 3.
=
( — ) • ( - oo )
6
=
-o o
,
x < 3
=
3)
3)
2)
0
+
lím
x —f — oo
+ oo
1
lím
1
—
OO
.
=
x
0
=
0
X
lím
(x)
x -*• — oo
=
— oo .
Evalúe:
x 2 + 7 x + 10
lím
=
X -¥ -
lím
[ ^ ( x + 2 ) ( x + 5)
x —* ± oo
X —►¿
2)
x + 1
lím
f)
lím
10.20. PROBLEMA.-
b)
(x -
x* + 3
x + 2
X —► — o o
a)
x- +2
9
lím *
—
x —> 3+ ( x + 3) ( x -
L
lím
4
a) 1/3
(x -
f)
x2-
9
x + 1
x2-
Calcularemos:
e)
(* + O
d)
e)
d)
3x" + 2
lím
x -► 3~
C)
c)
x* + 5
lím
b)
b)
Cap. 3
A n á lis is M a te m á tic o 1
— x ]
c)
d)
OO
*i -
lím
lím
x-^oo
V I*T
*/7T7
V
x + V x
X +
1
SOLUCION.a)
Siendo
( x + 2 ) ( x + 5) -
7 x 4- 10
x
x + J x 2 + I x + 10
x + |x |
V 1+
(7/JC) + ( 1 0 / x 2 )
,+
L
*+
L
L
c)
x [ l + C10/JC) ]
,,
=
lim
-------------------------------------------------------x
oo
r
/
2 i
x [ l 4- V 1 + ( l / x ) + ( 1 0 / x ) J
lím
[ ^ ( x + 2) ( x + 5)
x —► — oo
=
b)
V x 2 + 7 x + 10
=
=
305
L ím ite s
Cap. 3
1
'
|x | V 1+
=
V x 2 + 7 jC
lím —
x
oo
+
l0
=
x
ix
2
i
(l/x)
+ (10/X2 )
ir
X
lím
x —y oo
+ l x + 10
lim
—-------------------------- =
x —> — o o
x
lím
i-> 0 +
* ~ ^
=
lím
x2+ x
lim
x —► 0—
x2+ x
=
Por lo tanto, el límite [ c ]
r
2
=
oo — ( —oo)
=
oo + oo
\Q ~
7
(-x)
oo
\
I)
=
X
lím
*_> 0 +
=
=
1{m
x2— x
•/7(0-l)
(-1) (+ o o )
lim
x -> 0+
—
*(0 -1 )
=
—1
x 2
_ /7
x -+ 0 +
lím
-^L r]
x-» 0 + V x
x
/
7
--------------
1
. 7 , 10
11 H------ + — ~
x
-
=
=? + OO
,
x ( x + l)
lím
x-> 0+
—
I 1 + — + ——
x v
x
x2
V T (> /T
(-1 )[
x
?
x
V
----------- --------- =
—
lím
x-» —
x —*■ 0 +
=
— x ]
=
7
=
X
— oo
/
7
(
/
7
i
)
-----------------------
lim
* _ > 0+
x ( x — 1)
1
———
= + oo
Vx
NO EXISTE .
J 1 + ^ ( l / x ) + •/
d)
l.m
X - ► OO
'•
'
,(l/
V x
1
]
[ S e n /T T T
-
=
1.
1+ ( l/x )
10.21 PROBLEMA.- a)
L =
lím
SenVT ].
X - + + oo
b)
lím
x —► oo
[ Sen V e / x 2 + 1 ) + 2
J
— Sen V ( / x 2 + 3 ) + l ]
306
SUG.- b)
SOLUCIÓN.-
a)
De
^ * + 2—
lím
lím
-»
-
b
=
nm
2
2 S e n ( —------— ) Cos ( a + ^ )
2
2
— -
x -► o o
Sen (
------— — )
oo
+
Sen a — Sen
Obviamente el problema está en evaluar previamente:
x - * ° o
x
Cap. 3
A n á lis is M a te m á tic o 1
J
=
- i -------— -
X
+
lím
2
x
+
2
=
o , se tiene
V X
Sen ( —- --------- ^------ — - )
oo
,] x
Sen ( — í— )
=
-► +
+
2
+
v
T
Sen ( 0 )
=
0
+ o o
i
y como
t
L
x —►+
+
2
+
V
x
i
| Cos ( —-------------------------- ) |
<
, V x >
i
oo
2
función f ( x )
tiende a CERO
el p ro d u c to de a m b a s
=
0
g ( x ) e s t á a c o t a d a entonces
y otra función
f(x ).g (x )
que indica que si una
t i e n d e a CERO.
Análogamente a la parte [ a ] se prueba que este Límite [ b ] también es 0 .
Calcule
10.22 PROBLEMA..
a)
SOLUCIÓN.-
L =
L =
x 3 [ 1 + C o s (71 + l / x ) — S e n 2 (7i + l / x ) ]
f
hm
----------------------------------------
x-*-o o
1 + 2x
lím
b)
a)
entonces
2
Esto es cierto por el Teorema [7 .1 3 ]
b)
0 ,
o c
( ■ /*"+ "2 ~ V T "
^
, V * + 2 + VT"
2 S e n ( —--------------------------- ) C o s ( —-------------------------- )
i'
lim
=
x
x —y — 00
[
Cos(7i + l / x ) =
lím
x-> -o o
lím
x-y-oo
[
í
x4+ 8
—
—C o s (l/x ) ,
][
Cos ( — ) ] [
(l + 2x)
x
[ - — ] [ Cos ( 0 ) ] [
2
x2+ 1 ] .
S e n (jt+ l/x )
1 ~ C° s
(l/x )
]
(1/jt)
=
—S e n (l/x )
]
•
z = ±
*
Límites
Cap. 3
L .
llm
—
b)
307
( - ± , ( l ) [ Í J l £ 2 1 i ]
o-
2
=
( - ± ) ( 1 ) ( ± )
«J
2
=
- 1
2
4
"Racionalizando* dos veces obtenemos:
— 2x~ + 7
L =
lím
X —►— o o
[ T¡ x 4 + 8 + V
lím
x -f-° °
,
—
x
+ J ' + —
x
[
+ S + x2+ I ]
x 4
[ —2 + ( 7 /jr2 ) ]
---------------------------------------------------------------r
8
i
i
ir
¡+ JT
=
I ] [ i¡
X2 +
V
lím
- ! - ] ■ [ - - ]
x - v - oo x
4
10.23 PROBLEMA.-
Evalúe
x
=
a)
-
1+ —
i
x
+ ,
+ —
x
J
>
1 — Cos ji z
-------------------
0 +
z
i
b)
i i
0.
lím
z
l U
8
J Sen
lím
V 1x
j—
jix
—
J\
—
x + Cos ?ix
SOLUCIÓN..
a)
b)
.
L
2
|,
r Sen2 ( j t z ) .
z
=
lím
L
J* ------------------------- =
Z
o+
Z2
( 1 + Cos KZ )
Como
x <
1:
hacemos
z =
1— x > 0
V Sen ( ti - ti z ) - V T "
L =
lím
V z . -----------------------------------------0+
1 — z + Cos [ n ( 1 — z ) ]
z
n•
z
ti
=
=>
x =
1-
z
V zSen
=
lím
z -> 0 +
z
V T
0
(1 + O
i—
Sen
0
— i
1 “
Cos
,
jtz
-
( jiz) —
z
z
308
10.24
COROLARIO.lím
x —y +
PRUEBA.-
f (x) =
e >
0
o
=>-
8
= l/N
>
o :x >
y sea
t
= i/x
entonces ( * )
"D a d o
8
> O
existe 8 = l / N
1 / t = x 6 D om f
L =
10.25
10.26
lím
y
f (— )
O <
existe
I f(x ) N
N >
0 tal que si
L I < e
>
=
L
1
t -)■ 0+
N >
Sea
s i y só lo si
L
00
Por hipótesis, dado
X >
x e D om f :
(*)
O < \ / x < 8 = 1 /N ,
o
es equivalente a que:
>O
t <
tal que si
=>
8
t e D om I _1
|f (1 /t) -
L | <
8 ’
±00
.
:
lím
f (— ) .
t —f o +
t
NOTA.-
Este corolario también es válido cuando
L =
COROLARIO. lím
f (x ) =
L
=í>
10.27 EJEMPLO.-
Calcularemos
L =
lím
x
2
hm
Sen ( 7 1 1)
2
------- -— -------- 71
t _► o+
Aquí hicimos
ti
t =
=
7i
t
2
•
f( — )
0+
=
L
X
x 2 Sen2 ( — )
—y + 0 0
hm
t
l/x
lím
X —*■ + OO
x -> 0 +
.
L =
Cap. 3
Análisis Matemático 1
:
x
r Sen ( 7 1 1) -.2
[ ----------------- J
=
2 .2
7t - 1
=
n1
, y aplicamos el COROLARIO [ 1 0 .2 5 ] .
COROLARIO.lím
f (x) =
x —y — 0 0
lím
f (x )
x —> 0 “
=
L
lím
t-> c T
L
t
f(—)
=
L
4
lím
f(—)
—>— OO
1
=
L
ti
2
Límites
Cap. 3
309
11 .
11.1
x - a es una ASINTOTA VERTICAL de la gráfica de
la función y = f ( x )
si
DEFINICION.-
La recta
...
As. Vertical Superior Derecha
— oo
...
As. Vertical Inferior Derecha
+ oo
...
As. Vertical Superior Izquierda
— oo
...
As. Vertical Inferior Izquierda
+ oo
lím
f(a + )
f (x)
x —► a+
O Si
f(a
) =
lím
f(x )
x —► a ~
Por ejemplo, la función
f( l+ ) =
lím
x
f(x )
f(x )
= + oo
=
,
2x — 1
-----------x - i
f (1
1
2+ -----------x - l
=
) =
i+
lím
f(x )
satisface
= — oo
x —> 1—
de modo que la g r á fic a de f tiene a la
recta vertical x = 1 tanto como A s í n ­
tota Vertical SUPERIOR DERECHA ,
así como
A s í n t o t a V ertica l INFE­
RIOR IZQUIERDA .
11.2
DEFINICION.-
La recta
y = K
es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de
la gráfica de la función y = f ( x )
si
❖
lím
f(x ) = K
x —y + oo
...
ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA ,
❖
lím
f (x ) = K
x —V — oo
...
ASINTOTA HORIZONTAL IZQUIERDA.
Así, la función previamente dada
tiene a la recta horizontal
y/o SÍ
f ( x ) = 2 + ( -----------)
x - I
y — 2 como A s í n t o t a H o r iz o n ta l tanto Derecha como
Izquierda , debido a que
lím
X —> ±
f(x )
oo
=
lím
X —►±
[ 2 + ( -----!------) ]
oo
X — l
=
2
(FIGURA DE ARRIBA)
310
Cap. 3
Análisis Matemático 1
Para indicar cualquiera de los límites de la DEFINICIÓN [11.2] , los denotaremos:
f(+ o o )
11.3
y
f(-o o ),
DEFINICIÓN.
respectivamente.
La recta
y = mx
+
b
es a s í n t o t a o b l i c u a d e r e c h a
y = f (x)
de la gráfica de la función
si existen en R los dos
límites siguientes':
i)
11.4
lím
[
x —► + o o
NOTA.-
^
] =
m
,
ii)
lím
x
x
a) Si en la DEFINICIÓN [11.3]
[ f (x) — m x ] =
b
—► + oo
se sustituye
por
+oo
,
- oo
se
obtiene la definición de a s í n t o t a o b l i c u a i z q u i e r d a .
b)
En caso que
y =
11.5 EJEMPLO.-
m = o
se tiene la recta
a s ín t o t a h o r iz o n t a l
b .
Halle todas las asíntotas de la gráfica de la función
*2
f(x)
=
- ■
-,
x
6
( - 0 0 ,- 1 )
U
(I ,o o ) .
7
SOLUCIÓN.2
1)
lím
f (x)
lím
X
x - * l+
V U + O U - l)
=
+
2
=
X
J x - \
lím
x —► 1+
V2
la r e c ta x = 1 es una ASÍNTOTA VERTICAL .
Se prueba también que
m
=
1/
f (^)
lim
-
A\
2)
x —> + oo
=
x
lím
=
+ oo
.
es otra a s í n t o t a v e r tic a l.
x = -1
|/
X
—. .
X —>+ oo
/ 2
V X
7
— 1
1
|/
=
lim
x -+ + oo
I
|l
=
i
+
X
2
2
b =
lím
[ f ( x ) - m x ]
=
,,
lim
X
=
+ oo
[
x —► + oo
X —► + oo
=
lím
x
[ X2 + X
1
y x
2
^ X2 + 1 ] ^ X2 — 1
1'
lim
1
X —> + o o
(• + J i + - V
2
X
) V * 2-
1
— x ]
X
—
2
7
— 1
...
(♦)
|
1
Cap. 3
y = mx + b :
En
3)
311
L ím ite s
fU )
---------
, ,
m =
lim
y = *
w
=
lirn
X —¥ — o o
=
lím
* -* -° °
b =
J x2 - l
=
—
V\v 2\
V 1- 0 / * )
[ f (x ) — m i ]
1
lím
X —►— o o
■r
lím
( l/* 2)
=
lím
—¥ — OO
X
ASINT. OBLICUA DERECHA.
X
—
X
[
OO
/ 2
i X
4- x ]
=
0
-
7
=
lím
z —► +
[
oo
,
/
-
=
z ]
2
0
...
por (*) para
z = - *
,
V Z ...
ASINTOTA OBLICUA IZQUIERDA,
lo cual tiene sentido pues la gráfica de f es simétrica respecto al Eje Y. Así, en
total se tiene cuatro asíntotas.
YA
y =
y = x
X = - 1
11.6 PROBLEMA.-
Dada
f(x )
=
X
=
| * + 4|
1
, halle todas las asín-
+
x
-
3
totas de f .
SOLUCIÓN.a)
lím
f (x )
=
lím
-
f ( x ) = — oo
x —► 3~~
x —► 3 +
x
lím
oo
f ( x ) = — oo ,
3
+
x = 3 ,
x
x = -3
lím
- 3~
son
SU S
f (x) =
4-00
ASINTOTAS VERTICALES
312
u\
D)
Cap. 3
Análisis Matemático 1
i'
m =
f (* )
hm
x —» +
b =
lwi r n
x —>• +
=
x
oo
x — 4
4
[ r -------------H---------- --------]i
oo
x
x ( x — 3)
[ f (x) — m x ] =
lím
[ x + 4 H
lím
x —► + o o
i
1
=
¡verificar!
x ]
= 4 .
x —3
x —> + o o
9
Entonces la recta
c)
i'
hm
m =
x
b =
x
f (*)
---------
—> — o o
lím
y = x + 4
es una ASÍNTOTA OBLICUA DERECHA.
i'
hm
=
x
x
r
[
—+ -
[ f (x ) — m x ]
oo
4
4
h
x
=
x ( -
lím
x
—»• — o o
Entonces, la recta
- x -
x
—
X
.
— 1
3)
[ — x — 4 --------
—►— o o
y = - x - 4
,
'
J =
h x ] =
+
—4
3
es una ASÍNTOTA OBLICUA IZQUIERDA.
En total, la gráfica de f tiene cuatro asíntotas, y ninguna de ellas es horizontal. '
11.7 PROBLEMA.-
SOLUCION.V x
re a l:
a) | x >
i |:
Evalúe
a)
lím
x —>• OO
ÍT xfl
^ M
b)
X
X
[[x ]] <
En ( * )
x < [[x ]] + 1
,
x -
1 < [[x j
x ~ 1 < J L í l . .< i
,
(*)
►OO
=
i
X
y luego aplicamos el Teorema
X
del Sándwich obteniéndose
li m
x —► — oo
ff xTI
^
^
=
1 también.
x
Halle, si existen,
a)
a)
|TxT|
li m
x ~~ 1 > J L á L . > i f
X
11.8 PROBLEMA.-
...
y ahora aplicamos el Teorema
X
En ( * )
< x
x
del Sándwich con lo cual resulta que
SOLUCIÓN.-
.
Para ambos casos aplicaremos la propiedad siguiente:
x
b) | x < o | :
fTx"[]
lím
JLJL
—► — OO
X
lím
- --- ■,
Puesto que el
b)
lím
—-— ,
Domf = ( - o o , 0 )
c)
u [l,oo)
lím
X
, entonces el lí
mite (a) n o t i e n e s e n t i d o , es decir el l í m i t e n o e x i s t e .
Cap. 3
Límites
b)
lím
=
x < O
c)
lím
H
X —►O -
lím
x -*°
-313=
X -¥ 0 ~
*
=
O
I)
Hm
— -—
M
—
0
M
4"
[ debido a la parte (a) ]
Calcule:
11.9 PROBLEMA.-
lím
x-fO
x • í —
LL x i -
SOLUCION.i)
x —► 0+ :
—
—> + oo
así
n < —
, entonces
< n + 1
— J
=>•
— !— < x < —
n + 1
n
x
•>
- n
< nx < —
n + 1
n
<=>*
-—
n+ l
1
ii)
x —► 0
n —► + oo
:
x
*
•••
lím
...(*)
Í t I*
(* *)
n -> + oo . Luego, como
entonces
- --- ► - o o
<
n + 1
f[ — ]1 <
IL x iJ
< *
,
n
w
si y sólo si
De (*) : x — ► 0+
cuando
t.
n
= n entero > 0 ,
l/(n + 1) — ► 0
x
+
m
-
-
pues x < 0 ; se verifica que para n € Z +
x
s ’ Í T Í < ' * 7T7 n — 1
donde
—n < —
Por lo tanto,
de (i)
y ( ii) :
11.10 EJERCICIOS.-
lím
<
lím
x —> 0
—n + 1 ,
X Í ““ J
n —► + oo
=
**
x
* [ - 7 ]
=
>■
Verifique que:
a)
lím
jr->o°
—— —
M
=
1
b)
lím
^
-
_*
00
W
=
1
314
Análisis Matemático 1
Cap. 3
12. SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Demuestre, medíante la definición de LÍM IT E , que:
a)
lím
x
b)
=
6
lím
c)
d)
x + 4
SUG:
d)
8 =
e = 3 /5
Halle un 8 >
*
O
i ím
1
4
2
S e n < '/* >
2 + Sen x
(3
= 0
=
X -> 1
1
v x
= 4
h)
lím
x —* 2
m í n { I , 16 E }
g)
8 = m í n { 1/2, e/(2 V T ) }
■
Ü -— J x + 2 - 2
= 4
halle un 8 > 0 tai que
Ix — 3| -
lím
x ->• 1
3.
9)
= 4
+ x + 1
lím
V T
x —► 64
, ím
x
I + Sen2 x
lím
lím
x -H /2
f)
= 0
x
Si
e)
x - 3
0
2.
2
\_
0
| x + 2|
0 < 8 <
l * + l|
tal que:
0 < | x — 11 <
2x
6
-
3x + 1
< 0.2
x2+ I
4.
Utilizando la definición, demuestre que
a)
b)
C)
d)
e)
lím
x2 = 9
x —► 3
li m
V T
x —► 4
lím
lím
x - + 1/3
lím
t-> 5
f)
2
x2-
4
-
g)
=
1
—4
= 2
h)
=
2
lím
(5 — x — x
x
—3
\_
1
lím —
x ►1 V 5 -
)
x
2
i)
lím
{x ¿ - 3x) =
x —► 5
j)
lím
J x + 5 = 3 .
x —► 4
3x — 1
t - 3
8
9
=
9x
lím
2t + 3
10
2
Cap. 3
5.
315
Límites
Sea
f
la función definida por: f ( x ) = | x +
{ x e R / V 8 -
I i ~ x
i| -
2
,
donde
Dom f =
x 2 ) < o } , encuentre todos los pun­
tos de acumulación de D om f y comprobar que existe un único " a " e Do m f
I *
+ 6 -
que no es punto de acumulación de D o m f .
Luego, demuestre que para cada
x € Dom f
6.
A
0 < |x —a | < 8
l-----------------—
Demuestre que
x 2 + 16
8.
<
| (l + x )
por definición que
lím
(1 + x ) 3 =
x —► o
Demuestre que
— ( — !----------- - ) + —
x
2 + x
2
4
lím
xA —y x o
Si
(c o n
f(x ) = A ,
| f ( x ) — f (a) | < £ .
l í m ------- !-------x " 4 3 x 2 + 16
-
I | <
0 tal que:
—— | x — 3 1
500
Demuestre que
8 = m ín { 1 , 4 e }
9.
=>■
25
y por lo tanto demuestre que
7.
e > 0 existe 8 >
= —
25
7 1x|
,
si
si
,
& > 0 ).
< e
l
, y pruebe
si
0 < | x | < 8 ,
donde
Interprete esta situación en la forma:
f(x )
, x
b x 2 + ab
> * > 0
2(
,
y
A.
f(x ) =
x
2 +
b ) 1^ 2 — b
x
<
lím
f ( x ) = f (0 )
x —► 0
0
y
f (i) = i
lím
f (x )
si existe, para
Demuestre que
lím
[[x ]]
>
0
f(x ) =
x
11.
por definición.
- 1 < x <
X2 , x
Halle
x < 4 t
1 .
identificando
halle a y b para que
10.
2 <
= n
para cada
, x < 0
n e Z
.
x -*n +
.
12.
Si
^
f ( x ) - f ( x ft)
0
f(x ) = |
,
calcule
2
x
,
x > 0
para
lím
---------------------—
x -► x n
x - x„
0
0
xQ = o .
-316 -
13.
Sea
a)
14.
Cap. 3
Análisis Matemático 1
f(x ) = ( x - 2 [[x ]]) ~
lím
x -+ - \
f(x )
b)
,
calcule si existen
lím f ( x ) .
x -► l
Usando límites laterales analice la existencia de
lím
f(x )
x —► — 2
E* - ' I - x
-9
para
<
x <
-2
V x - n>]]
fíx) =
<
E 3 xl
-
3 E x] ]
-
X —
15.
Halle:
a)
lím
(x
8 E^/3]]
-2
<
x < 7
lím
x —► 2
|f(x)|
X
+ 2 x ) [[ 1 — x j
x -> 2 +
b)
16.
18.
Calcule
Sea
a)
lím
lím
x —* —2
f (x ) =
lím
Si
f(x )
y
•
lím
f(x )g (x )
x ->• 2
lím
g (x )
x —► 2
y
no existen.
y 3x + 5 + x + 3
^ x + 1 + 1
[[x j
+ [£4 — x ]]
f (x )
b)
lím
, trace la gráfica de f y encuentre si existen:
f(x )
c)
lím
f (x ) .
x —► 3 —
a)
Evalúe
b)
Halle expresiones equivalentes para
c)
]
10
f(x) = ( Ex + 3 /2 ]] - E 3 /2 ]] )/x ;
tes si
20.
36 + 5x
10
x -3 +
19.
5x
Definir dos funciones f y g tales que
existen pero que
17.
[
lím
ín \
x —f 3
36 -
f( i) ,
o
<
ídem ( b ) , si
Si f ( X ) = \ x 2 -
f {— l), f ( l/ 2 ) , f ( - l / 2 ) ,
x <
f (1 /4 ),
f (x )
f ( — 1/4) .
donde no aparezcan los corche
1/2
-1 /2
< x < 0
11/ (jc -
d) ¿ C uáles
1) ;
a)
Exprese
f ( x ) sin las barras si
b)
ídem ( a ) , pero para el caso:
x
>
0< x <
1 .
i
.
lím
x
f(x ) ?.
o
Límites
Cap. 3
c)
21.
Si
¿Qué se puede decir acerca de
f (x ) = ( | 2 + x | -
lím
f(x )
x —*• O
22.
Si
lím
x
24.
f(x )
b)
2 ) / x , ¿qué se puede decir acerca del
lím
f(x )
c)
x —>n / 2 ~
Grafique f ( x )
para
lím
x -»■ 0~
lím
[ f(x )*S e n — ] .
x —► O
x
,
lím f ( x )
x -> 1
para
x íf ^ 9 - x
—
x + 2
f(x )
] 2
, x >
( x + 3 ) / ( 2 x + 1)
b)
c)
d)
l í m ------------------x —» 3
3 - x
lím
lím
, x 6 ( O , 1)
y
r - i
2
x —x
lím
— ------------------------------* - + 2 x - 2 x - 16x + 32
b)
lím
x -* -l
Analice los siguientes límites:
2
c)
lím
x-H
f(x )
---------------|x | + 1
, para
x >
f(x)
1
=
2
1
e)
O
25.
f(x ) .
x e {-n /2 , 2n) .
lím
f ( x ) = 0 , calcule
x
o
Evalúe:
a)
?
, ¿existen los siguientes límites ? :
0
SUG:
lím f ( x )
x —► I
?
f( x ) = [[S e n x J
a)
23. Si
|x | -
317
2
x < 1
Cap. 3
Análisis Matemático I
318
d)
lím
x -> 5
e)
2x + 1
26. Evalúe
a)
SUG:
1'
x
-
x* -
I 6 x + 20
lOx
x 3 — 9 x 2 + 24x — 20
— k.
Pruebe que
M
b)
lím
* “* 2
*- x - 1 -1
l ím
*
-
x 2 - Bx + 12
X3 -
[ [ ( 2 x + 1) / ( x -
1) ] ]
= 5
, en un entorno de
x =
5.
Ex - 0
- x
— -----, ------
lim
1 J -w
* J
c)
d)
e)
f)
g)
Si
(xS e n — )
x
<
f(x )
<
|x |
,
lím
x
1
xP + , - x p - x
+ l
x 11 x + 4 | — 2
lím
X —f — CÍO
3 -
Ix
—x
lím
x -> °
e
Calcule
*3
lím ( f + g ) ( x )
x -*•1
, para
x <
1
f(x ) =
g (x ) =
4 — x
-
Si
f (x )
x /(l +
x >
X)
,
+ 2x
(3 x -
,
X <
-
lím
x —► 2
f(x -
x <
7
,
x >
7
g (x -
h ( x + 5)
x —
, X
=1
, x
> 1
1
2)
,
I + 2x ,
x) ,
— 2 2 x + 56
3) -
< 1
X <
1
x >
1
g (x ) =
=
2x
, x
- 1 /x
1
x > —I
2 1 ) /( 7 -
3 — 2x
4x — 2
1
,
x
¿existe
,
=
h (x)
lím
f(x ) .
x —► 0
n x D + 1 — ( n + 1) x n + 1
5x — 1 ,
27.
halle
Cap. 3
28.
Límites
Calcule
L =
->
x~
lím
x -► o
3r
y
SUG :
^
7
7
319
r*
1 +
r
X
- ^ 1+ x2
2”
V
—
1 +
X
= [ ij 1 + x 3
-
1 ] + [ 1 — -^1 + x 2 ]
luego tome el recíproco de L . Al final tome otra vez el recíproco.
29.
x <
x + 2
x > 0
0
f(x) =
Dada la función
averigüe si existe el
30.
x2—l ,
,
lím
(f o f)(x ) .
x —y — I
Indique dos funciones f y g tales que
lím
f(x )
y
lím
X —> 1
pero que
b)
Indique dos funciones f
Halle
SUG:
32.
33.
II™
X —►1
NUM = (
lím
x
1
y g tales que
~ ^ ^
x2
y
lím
x
g (x )
o
.
+ 4
( 7 7 Í - VT )
nx
lím
f (x )
x —► o
lím
(fg )(x ) = - 3
x ->• o
+ ‘
^
x- yO
Calcule
+ (
VT
-
ij x 2 + 4
) .
n —1 , ,
, v i i —2
n —3
n —4 ,
+ (n — l ) x
— nx
— nx
+ x
x -
1
Evalúe los siguientes límites:
»
a)
b)
hm
x ^
x
I
lím
*-*■0
34.
no existan,
lím ( f + g ) ( x ) = 2 .
x
i
existan, pero que
31.
g (x )
n
x
.
— 1
c
.
— 1
lím
x —» 2
— [ --------!----------------L ]
*
(4 + x ) 2
16
d)
lím
* - ► - !
x
3
, 2 - + x — 5x — 2
x
108 ( *
2 - 4
+
( x 3 + l ) 3 ( x - l )
Calcule
x —>■0
^2
x —►3
+ D
3 —x
r
Análisis Matemático 1
SUG:
35.
a)
N U M = ( >/ x 4 + 1 -
b)
Introducir x en el radical.
Una circunferencia de centro
centro ( 0 , 0 ) y'radio h .
l ) -
( /"x 2 +1
Sea
A = (0 , h)
h <
^ 1+ 2
*
37.
.x
b)
c)
lím
z .
h —¥ 0
NUM = (i¡ 1 + z 2
— 1) + (1 — í J 1 — 2 z )
lím
x -* o
——
d)
x
Sen2 ( 4 h )
lim
-----------------h —► 0
h
x
e)
lím
x —► o
x [TxT]
Sen2 ( h + a) — Sen2 a
lím
h —► 0
h
lím
— Cos ( x + — ) Sen ( — ) .
h —► 0 h
2
2
Calcule:
x
a)
b)
lim
x
?t/3
lím
c)
Tan x + Tan 2x
Cos x + Cos 2 x
* 2se" ( ' / * )
0
lím
Sen x
J 1 + Sen x — J ! — Sen x
-------------------------------------------------- .
x —y 0
39.
es el punto de intersec­
Evalúe:
a)
38.
el punto de intersección de
~ t / 1 - 2z
z2+ z
z 2 + z = z ( z + 1) ;
SUG:
y B
Q = ( z , 0)
ción de L con el eje de las abscisas , halle
lím
1) , a dos fracciones
6) .
Si L es la recta que pasa por A y B , y
Calcule
-
( 3 , 0 ) y radio 3 intersecta a otra circunferencia de
ambas en el primer cuadrante, (0 <
36.
Cap. 3
x
Sea P un punto de coordenadas ( x , Sen
Se supone que P es ^
(0,0)
2
y que - n
x)
sobre la gráfica de y = Sen
2
x .
< x < n . La perpendicular media-
triz del segmento OP intersecta al eje Y en un punto E . A medida que P se mueve
a lo largo de la gráfica y se aproxima a o , ¿cuál es la posición límite de E ?
40.
Calcule:
a)
b)
lím
SUG.41.
\
a)
b)
^ Sen2 ( x / 2 )
11 M
x - > 0 + V 1 “ Cos x
= | S e n (x /2 )|
, x < 0
x = —\x
w
Sen ( 6 x )
lim
--------------x —y 2 n / ' i 3 x — 2 ti
Halle:
En la figura, C es una circunferencia unitaria cuyo centro es el origen de co
ordenadas, T es la recta tangente a C en el punto P y 0 < x < n / 2 .
Halle:
DE
lím
x —y n /2 -
42.
------
lím
•J 1 — Cos x
x-yO
*4
321
Límites
Cap. 3
Encuentre
lím
X
o ll^
SUta.-
OA
T g O ” *> + C o s ( * x / 2 ) + T g Q u r / 8 ) ,
—¥ 2
(x
+ 4x -
= L
12)
f
1 ,,
T g ( 2 : i x ) - Cos ( t i x / 2 ) + T g ( n x / 8 + n / 4 )
L = — l i m -------------------------------------------------------------------------8 x-y 0
g
43.
~
.
Calcule
w
lim
1 — 256 Cos x
------------------------x —y n/ 3 S e n ( x — 7 i/3 )
x 5 S e n ( I / | x | 3 ) — |S e n x |
,
44.
Dada
f(x ) =
x
+ l -
1
,
calcule
45.
Calcule:
x < 0
lím
x —y 0
a)
f (x )
lím
x -y i
si es que existe.
S e n (3 ? ix ) + C o s ( n x ) + 1
x2-
1
x > 0
-322
Análisis Matemático 1
V X + 6
h m ---------------— ----------* —> 3
V x + 1 —2
X
b)
46.
Cap. 3
-
6 -
Evalúe:
x
a)
b)
6 x — Sen 2 x
11 m — :---------- :------x ► 0 2 x + 3 Sen 4 x
1 — 2 Cos x + Cos 2 x
lím
x —* 0
v
C)
d)
e)
3 Sen (7tx ) — Sen ( 3 n x )
-
----------------------
lim
i)
Sen 3x Sen 5x
.lím
x —y 0
lím
x —► 0
Pruebe que :
48.
Evalúe:
v
a)
b)
c)
49.
si
i/
~ , n Sen 2 x v
lim
Cos ( ----------------- )
x -+ 0
3x
lím
x —► 5
x -
Calcule:
lirn
e)
5
f)
lím
- os
- + ji / 2
lím
3
x
x
Calcule
SUG.-
(3 * }
b)
C o s^(x )
L =
lím
x -*• n
-
x
2
+ a x + 12
Cos x — Cos 2 x
I — Cos x
’
a
0
b íO
lím
Sen (2 C o s x )
---------------------Cosx
,,
Sen ( x - 1)
l i m --------------------x -+1
x - 1
lím
x —► 0
lím
x —► 0
x
S e n (l/x )
Sen x
Cos x )
Tan x
Evalúe:
n Sen x — x Sen n
n Cos x — x Cos n
Pasar a un límite equivalente para
e)
lím
x —► o
Además, calcule L .
— 4 b x + 4b
nominador entre x .
52.
3 .) 2
Cosec(bx)
x-tn/2
Sen x
a)
X
Halle los valores de a y b si se sabe que
L =
51.
d)
Sen ( T g x )
lím
x -► 0
-
lím
g (x )S e n (l/x ) = 0
x —► 0
Sen ( 2 x — 10)
x
50.
lím
g(x) = o
x -► o
(X
Cosec(ax)
x —* 0
47.
~ t
Sen x — T a n x
x -> 0
, y dividir al numerador y de
Límites
Cap. 3
a)
lím
(
2
x)C o s—
(tt —
323
c)
ti
lím
+ 2 x )C o s (-^2 - + 3x)
1
Sen (
b)
lím
1 ~ Sen ( * / 2 )
ti
53.
( tt — jc)
j ím
^ £ l£ i
X ->-0
X
x^>0 +
III)
=
Sen2 ( 6 x ) + T a n (3 x)
x-*n/3
3 x — 7t
^ £ ÍL £
X - * 0
\x\
,
*
lím
x —► O
no existe.
Evalúe:
L =
lím
r
[
J 14x — 3 1
y 1 ■
x -
*-► 3
/------------ r
3 / 2
x - T
x2
-
3
-
1
42x
x
2 +
x
8
- 1 2
(x
-
]
3)2
Calcule:
II x + 21 - 3
a)
C)
lím
*-► 0
lím
Sea
^
+ ^
t
1
lím
x —> a
SUG.-
f~2
T
y x —a
t = X 1/2
r „
,
n ti x + 1 ^ „
2 , n jrx + 1 x . t
[ Cos ( ----------------- ) — Sen ( ----------------- ) + 1 J ,
nx
n x
f(x ) =
Halle
^
V~T — V a " + V x + a
X — 1
4 + mx
a)
b)
—------i j x + 36 - 2
X -* 1
56.
Iím
, ím
JE E K =
id
55.
3x)
Dadas las proposiciones siguientes, ¿cuáles son verdaderas?
I)
54.
^
+
n
m
s¡
lím
f ( x ) = — 1/24 .
SUG.-
t =
I/x .
x —f o o
b)
Halle la ecuación de una de las asíntotas horizontales de la gráfica de la fun­
ción f .
57.
Halle el límite del ángulo interno de un polígono regular de
tiende a infinito.
58.
Demuestre que :
a)
lím
xSen( — ) = n
x - f o o
x
,
b)
n
lados cuando
lím
xSen( — ) = 0
x -y o
x
n
-324 59.
Cap. 3
Análisis Matemático I
Calcule:
+
1¡ X
a)
l j X
+
lím
X —►o o
b)
lím
( v^ xX ++ v- / xx ++ v> /x" x "
—
V~x” )
X —►o o
c)
d)
60.
61.
62.
i
lím
( Sen V 4 + x*"
x — y oo
lím
x ( -y x A + 3 -
x —►— o o
Calcule:
— Sen x )
í
lím
8x
x)
+ x2
-
í
x —►o o
SUG:
Sólo factorice x en el numerador.
Dada
f ( x ) = ( [[ x -
a)
lím
x - f —8
lj -
f(x )
x)/ij x -
b)
lím
a)
lím
b)
x
lím
a, b 6 R
,
halle
Sen ( — )
X
X
(
).
1
X2 -
64.
Dada la función
1
a Sen ( 2 x ) + b Cos ( x
lím
oo
0 < | f (x) | <
f(x )
x —>■— 3~
x + I
x 3 -
SUG.-
lím
x -+ -3 +
Halle si existen:
Si
c)
f (x )'
X —►— o o
63.
, calcule los lim ite s :
[[x ]]
)
1+ x 2
( |a | + | b | )/(! + x 2 ) .
f definida sobre R 2 3
■y] x + 2 —
{ - 5, - l }
por
x + 5 —x
f (JC) =
x 2 + 6x + 5 |
a)
¿Existe
lím
x —► —I
f(x ) ? .
b)
Halle si es posible
lím
x —>—5
f(x ) .
Cap. 3
65.
Si
a, b 6 R
,
lím
a x Sen ( — )
x - * oo
x
A = { x e R /
SUG.-
ax + b > x 2 }
Pruebe que:
Halle
L =
lím
x —► oo
x
z = \/x , x
SUG.-
b)
C)
d)
a2 h
z
1
) ]
I
x S e n (— )
lím
0
lím
)/(1 + x
=
1
X
OO
z2 - 1
Sen [ n ( -------------) ]
Z2 +
=
0 .
1
lím
x - t oo
lím
oo
2x
e)
3 x 2 - 2x + 1
2x
+ 7x + 5
f)
x 3 + 2x + I
2x
lím
oo
lím
x —*■oo
+ 3x + 5
+ 1
g)
x + 3
- Sen ( — )
x
h)
2x
lím
X—► — oo
4- 1
x + 3
lím
( V * 2 + 2x x —► oo
lírn
x —► — oo
lim
00
x ;
( / x 2+
(
(.x
2
3/
—y x
)
6
T I
— 2x
Evalúe:
a)
b)
69.
y
Evalúe:
a)
68.
,
S u p ( A ) = a + b , halle
+
67.
b — I
S e n (l/x )
X
L =
,
=
b — 1 = 0.
Sen [ 7 t ( l — x
66.
325 -
L im ite s
Si
a)
C)
lím
(
x —+ 00
)
x + 2
x3-
3x + | x | ■ ,
7x - 5 | x |
lím
f (x )
x —► 00
lím
x —► 0
f (x)
+
i ím
jL ± S e q .iL
X—> OO X + Cos X
8
lím
x - > 2 \ x - 2 j ( jc — 4) 1/2
f(x ) =
C,
d )
l l m
*-► ± 8
I
*
1 '
Ix -
halle :
b)
d)
lím
f (x )
x —► — 00
lím
x —► 0 —
3
f(x)
!
-
3 I
3
)
-326 -
Análisis Matemático I
x
e)
,,
lím
r, *
f(x )
«
f)
lím
x — 0
x -¥ 0
70.
Cap. 3
C o s a x — Cos b x
--------------- -------------
2
Calcule:
a)
>/ I + x 2
lím
-
V I -
2x
x + x2
b)
lím
( ^ x “ — 2x — 1 — ^ x ' — 7x + 3 )
x —► ± oo
c)
lím
[ x 3' 2 ( ^ x 3 + 1 x —y oo
d)
lím
[ - “ L
f -> oo
2t
-
^ x3-
1 ) ]
( 2 t- D O r 2+ ^ 2 )
4
4- 1
]
1 2
[ V
e)
lím
X
[ V x ( x + a) — x ]
f)
OO
| _ x2|
lím
X2 — 2
X - W 2
nmJ n n L z ±
„
8
X -y
lím
x -
^
8
^
"1"
x-»oo
i)
» m
100)
x '° +
I 0 10
y T T T - J f s T T T ^
Vx + 3 “
*-►6
3
VT + VT + VT
l)
lim
-------------------x -> oo
v 2x + 1
SUG.71.
,
- s ] -
(i)
y =
x -
6
,
NUM = ( V T T Y
-
2) -
( V 5X -
3 -
3).
Evalúe:
n _
a)
.
c)
lím —
x-> 1 xm -
lím
* - ► 0 0
-
1
3
,
m , n € Z
b)
1
(777 + V2,3-1
’
6^
8
X
7
+
X
+
I
—
X
lím
*-*°°
2
( — ----------------)
2x2 — 1
2x + 1
Límites
Cap. 3
d)
lím
x
f)
ax
-> oo
lím
X —> ]
h)
J x 2 +1 - Í 7 7 i
4/
4
tJ 7 +
.
5Í
+1
— -y x
X 2
-
4
e)
X —¥ o o
+ I
T¡ 3 + x 2
í x7
i)
+ 1
4/
x
+
a:
—
x
1 + X 2 - V 1 - 2x
l í m -ü-------------------- 1 -----------x
0
x + xn
g)
Í 7 7 7 - Í 7 7 7
X — ¥ OO
f . .
lím
.
- í ----------------------” --------------X — 1
lím
327
lím
[ V ( x + a) ( x + b ) — x ]
x —)■oo
n
¡v
l)
k)
,,
,
X
-
1
hm
-----------------x —)■ I m
x - 1
lím
,
donde
x [ i / / xx ^“ ++ V
x 4' + l
7
m , n € Z
+
.
— x */T ]
x —► o o
I)
72.
lím
x
1
(-0
m)
x — i
Hm
( i _
X —f ± oo
[Tx]]
6 - ^ r
fTxTI
+ J L J L -)
Evalúe:
a)
lím
S en(x
n
)
para
n >
m € Z
+
.
x ~~1y 0 (Sen x ) m
b)
lím
x —> 0
d)
1 + Sen x — Cos x
c)
i — Sen x — Cos x
lím
x^x/2
Sen x
lím
71 1 — ( x / n )
1 — Sen x
e)
( J L - . x)2
lím
x —>j t / 2
’- h -
2
rv
f)
73.
—a v ^
Cos x
71 x
lím
Sen ( ------------ )T a n ------x —>• a
2
2a
g)
lím
X ^ n' 2
Sen x )
| Cos x
Sen x )'2
Evalúe:
a)
lím
(1 — Cos x )
C)
x —>0 j a n * 5* _ S e n ^ x
b )
i í m
x-+ n/ 6
^
2
~
Cos*
Sen ( x — n / 6 )
e)
I ím
x —► oo
lím
* + Sen*
x + Cos x
Cos x
— ___________
x - > n / 2 + V 1 - Sen x
-328 -
d)
T a n 2 ( x ) [ ^ 2 S e n 2* + 3 Sen x 4- 4 — ^ Sen2 * -t- 6 Sen x + 2 ]
lím
x
74.
Cap. 3
Análisis Matemático I
n/ 2
Evalúe:
a)
( Cos J x + 1 — Cos V""x")
lím
X —■
f oo
b)
c)
SUG.-
(b)
lím
x —> 0
lím
x —¥ oo
lím
x —y 0
1 — Cos ( 1 — Cos x )
d)
( l — Cos x ) =
. 4
x 4 -Sen
=
75. TEOREMA.-
2 Sen2 [ S e n 2 ( - Í - ) ]
2
f (x) > 0
lím
,
x_
. Sen ( x / 2 )
r ~ 2.
,2
[ Sen ( x / 2 ) ]
Si
76. TEOREMA.-
Si
e =
f(x ) < 0
lím
TEOREMA.
Si
,
l/M
lím
x-> a +
M >
lím
,
=
oo
0
1
f(*)
x 6 { a, b) :
f ( x ) = oo
— !—
x-+ a + f(x )
lím
\_
8
:
x —► a +
0
4
.4
, dado
x e (a,b)
f (x) = 0
f (x) >
_ L
1
lím
--------x —> a + f ( x )
x —>■a +
77.
2
x e (a , b) :
f (x) = 0
Tomar en particular
=
.4 , , _ 4
2 (x/2 )
x ->■ a +
SUG.-
lím
x —► 0
)
1
(x/2 )
_2 S e n 2 ( S e n 2 ( x / 2 ) )
o
Sen ( x
lím
2S en2 (— ) = 0 ,
x -y 0
2
2 S e n 2 ( S e n 2 ( x / 2 ) ) <Sen4
x —f 0
L
x 2 (1 — C o s — )
1 — Cos (1 — Cos x )
L =
=
=
o
Cap. 3
Si
0
f(x )
,
tomar en particular
< 0 ,
x 6 (a , b) :
o o
a"*"
*
•
_
,
a
+
f
J/777 - v
*3+ 4
lím
+ 2
SUG.-
—
o
Evalúe:
-*■
i/e
II
x
M =
E
3
78. TEOREMA.-
e >
II
Dado
X
SUG.-
79.
- 329 -
Limites
-
Pruebe que la fracción es equivalente a :
(at~ +
2 )3^4 +
( x 2 +
2 )2^4 ( y 2 — 3 )'^ 4
U 3 + 3 ) 2 / 3 + u 3 + 3 ) , / 3 u 3 + 4 ) , / 3 + ( ; r 3 + 4 ) 2/ 3
5
+
( ^ + 2 ) 1 / 4 u 2 _ 3 ) 2 / 4 + u 2 _ 3 ) 3/ 4
+
( x 3 + 3 ) 2 / 3 + ( x 3 + 3 ) , / 3 ( x 3 + 4 ) l / 3 + ( x 3 + 4 ) 2 /3
3/ 2
| x | ' “
yfactorice
80.
Evalúe:
b)
a)
lím
z —y 0
en el numerador y
l í m --------Sen
z ^ ►x
z
x
z
x
z-----Se-n *
2
— X2
Cos a z — Cos p z
2
en el denominador.
SUG:
c)
lím
z —► 0
x + 1+
81.
Dada la función
h = z -
x -»■ o
1 — (Cos z ) ^ Cos 2z
,
x < -1
,
x >
x 4* 1
f (x ) =
2x2 / (x 2 + 1 )
—1
halle las ecuaciones de todas las asíntotas de la gráfica de f .
82.
Sea
I 3 — x 2| — i
f ( x ) = - — :— :— ---------x - 2
¿existe alguna asíntota vertical en la gráfica de la
función f ?
En caso afirmativo, encuentre a e R
asíntota vertical.
tal que x = a
sea la ecuación de una
330
83.
Determine las ecuaciones de todas las asíntotas de la gráfica de
f(x)
=
X4 -
84.
I 2 x 2 + 2 x '3 -
8 x + 32
Determine las ecuaciones de todas las asíntotas de la gráfica de
f í \
f (x )
x2+ i
=
&
85.
Cap. 3
Análisis Matemático 1
a)
+ 1
Halle todas las asíntotas de la gráfica de la función
f (jc)
=
- x
+
2X
1 +
^ x 4 — 1 3 x 2 + 36
b)
Calcule
5_
3
[ *¡ — ------—
lím
x - + o o
v
x
-
x ]
2 + 3
f (x ) = ( 2x 2 -
86.
Halle todas las asíntotas de
87.
Halle todas las asíntotas de la gráfica de:
3x + 5) / ( - x -
1)
2
f (x )
=
3 -
2x -
*
x - 2
88.
89.
Demuestre que la función
f (x)
Halle las asíntotas de la curva
= T an x
f(x)
=
tiene infinitas asíntotas verticales
1
^
— (x" + 2 x - l ) .
x
90.
Halle las asíntotas de:
a)
91.
f(x)
Calcule
=
(x2 + l)/(x
lím
b)
,
2 y(x + l)2 =
x 3.
V 9 ( x - 5)
--------------------------------
x —► 5
92.
+ 1)
y 625 [ 2 5 -
x 2V x -
4 ]
Halle el valor de la constante C si se sabe que
4 . ^ 3
lím
[
x— +S . x + 1
x
SUG:
3
_
j x 2+ 3 x -1 0
— x + 1
Sumar y restar x a toda la expresión.
]
3
2
Límites
Cap. 3
93.
a)
Halle el dominio y las asíntotas de la gráfica de la función
x
{ (x ) = x + 4
n t
U\
b)
i
i'
Calcule
c)
4
- x~ + 9
+ 6 — 4^ X+ 7
--------------------------------*2 _ 4
x
—
| / + , _ /77T
lím
x^O
*2
Calcule:
I3
x
lím
x-> o+
+ —
1
Halle las asíntotas de
La función
f (x)
SUG.-
x
I3
+ ——-
2a)
=
Yx '
x3- a 3, a >
0. Esboce un gráfico.
Simetría respecto al eje X.
cumple las dos propiedades siguientes:
es una asíntota derecha de la gráfica de f .
f ( x ) = f ( - x)
ii)
lím
jr —► o—
y 2 (x -
y = 3x + 5
i)
b)
x“
Halle su dominio.
96.
- 9x
En el numerador restar y sumar 12.
Calcule:
a)
95.
6
o
x“ — 5
6 tJ
h rn
x -+ 2
SUG.-
94.
331
,
V X 6 R .
f (x)
Calcule los límites de
cuando
x
> ±
oo
.
Y 3 x 2 + Sen x
SUG.-
La condición ( ii) implica que f es una función PAR y que por lo tanto su
gráfica es simétrica respecto al eje Y.
97.
Demuestre que si
|f(x)|
lím
g (*) = +oo
x —* — oo
,
<
K
V x
,
entonces
e
y si secumple que
( - o o , a )
lím
x —► — oo
f (x )
--- = 0 .
g (x )
2
98.
Halle las asíntotas de
f(x)
=
*
+
x -
5 .
^ x2+ 4
99.
Si
lím
x
[Kx + b
oo
x2x
3x
— ]
+ 1
=
10 ,
halle las constantes
que cumplen con este resultado. Interprételo geométricamente.
K y b
-332 100.
Análisis Matemático I
Cap. 3
Dada la función
21) ( x “ + 2 x + 3)
( x 2 — 4x -
l)2 (2x2 -
(x -
x
f(x) =
(x -
f Z
(
5 , 2
+
x
x < -3
3 x + 5)
.
2x
—
2) ( x ~ + 2 x -
,
x G (-3 ,2 )
,
x >
-
{1}
3)
n
2
encuentre todas sus asíntotas.
101.
Dado el sector circular de radio
triángulo equilátero de lado
"a"
R
Calcule
SUG.-
R y ángulo central " x " se inscribe en él un
lím
—
x - v 5 ; i/ 3 3 x — 5 JT
Exprese R como una
función de x .
102.
Calcule:
a)
b)
C)
lím
x —>• — oo
d)
^ I — 4x2
lím
[
x -> + oo
—x ]
.......
/ x2
lím
[ x + h
x —►+ oo
X3 ]
-
e)
lím
[ x +
x
+ oo
lím
[
x —►+ oo
.
116 -
x ' I + 1
lím
--------------------------x-+4
(4 — x ) ^ 5 — I x + 1|
103.
Calcule
104.
Dada la función
7 x
II
7x
+
i
f(x ) =
x 3/ ( 3 6
X 2
\x\ > 6
+ 5
- x 2)
halle las asíntotas de la gráfica de f .
x^ + 1 ]
]
-
V x2+ 1
Cap. 3
105.
Límites
333
Calcule:
>/ * - V 2x
lím
[ J x + V 2x
x —► OO
a)
% x + \
----------------------------- »x
11m
b)
VT
-
]
1/l2
V T T 7 - VT
c)
V Tan x
lím
x -► 0
VT/
Are Cos (1 — x)
Csc x — Cot x
CLAVE DE R E S P U E S T A S
1.
a)
5
=
m ín { 1 , 2 8 } ,
d)
5
=
mín { 1, 16 8 }
g)
8
= m í n { 1/2 , 8 / ( 2 V T ) }
,
b) 5 = 8
c)
8 = m ín { 1, 3 8 /2 8 }
e) 8 = 8 / 2
f)
8= V T
h)
8 = m ín { 1 , 2 8 } .
,
8 = m í n { 1, 2 8 / 3 } = 2 /5
4.
5.
a)
8
3.
8 =
m ín { 1, 8 / 7 }
b)
8 = 28
mín{l,S/3}
e)
8
m í n { 1, 8 / 2 }
f)
8 = m í n { 1/2 ,1 8 8 /1 3 }
9)
s
m ín { 1 , 8 / 6 }
h)
8= m ín { l,4 V T s }
i)
8
mín {1, 8 / 8 }
j)
8 = 38.
Do m f = [ - 3 , - 2 ]
u
{3}
punto de acumulación del
= 1/15 .
,
,
de donde por ser a = 3 un punto aislado no es
D om f
[ y es además el único punto del dominio de f
que no es punto de acumulación de este conjunto ] .
6.
8 =
5 0 0 8 /7 .
8.
f(x ) = [g (x ) -
9.
a = 3 ,
13.
a)
14.
L_=
a)
;
L_ = 9
donde
10.
;
g ( x ) = l / ( x + 2) , x Q = 0 , A = - 1 / 4
L = 0
b)
;
L = i
11.
8 = 1 ;
si existe.
lím
-1 6
( 4
- 2~ V * + 3
,
b)
1 ,
16.
8 = 8 /7 .
g (0) ] / x
b = 1/4
L+ = 1 ,
x
15.
7.
10.
x > 0
f(x) =
1 ,
x > 0
1 ,
x < 0
g(x) =
-1
> x <0
12.
L = 0
-334
Análisis Matemático 1
17.
6 ;
19.
a)1 , - 1 , 2 , 0 , 0 , 0 ;
18. a) 3
,
b)
20 . a)
f (x) = x
+ i
c)
no existe:
L_ = 2,
21 . a)f ( x ) = o ,
,
b)
b)
3 ,
o
;
L_ =
1
,
a)
no existe
24.
a)
4 /3
,
25.
a)
1/ 9
,
b)
L _ = 0 ,
26.
a)
+oo
,b)
L+ = - i / ( 2 V T )
d)
n ( n + 1) / ( 2 p )
27.
L+ =
29.
L_ = — l ,
L_ =
b) o
b)
-7/2,
b)
2
33.
a)
n ,
34.
a)
L =
35.
Pruebe que
-1 /4 ;
,
C)
.
f) 0
y
37.
a)
0 ,
38.
a)
-8 /V 7
39.
E = — - x
2
0,
,
c)
b)
;
e)
c)
o ,
g)
5.
5/7.
no existe.
—1 ,
x
> 0
g (x ) =
(3 n + 3)
c)
11/4 ,
d)
b)
- 7 /2 .
,
L=
27 .
- h2 / 6 ) ,
lím z
— 6 ) ,
)=
,,
=
lím
o ,
c)
,
,
=
12 .
, ,
0
,
=
1
— .
2
e) Sen ( 2 a )
l.
lím
x
NUM
d)
z
h —► 0 +
lim
( ----------- • 1)
z —>■0
z
(C o s x )/2
+ —
2 Sen2 x
- 1 ,
.
lím
f of ( x )
x ->• - l
=(h2 /6, h / 3 6
b)
I .
|l , x < 0
w
, NUM
1
,
lim
( -----------------z —► 0
z
z + I
L =
L_ =
-1/36.
(¿ p o rq u é ? ),
h —y 0
36.
d)
L_ = -2 /7 1 7
x < 0
z = — h 2/ ( ^ 36 — h 2
e)
3/2
f
1/2 = - 1/2
B
0 ,
1/3,
x > 0
b)- 1 / 3 2 ,
L_ =
,
d)
L = -1 /2
L =
32.
0 -
,
-l/2 ,
,
—3 ,
L =
,
= 0 .
23. o .
+ oo ,
28.
existe
c) no existe:
1/ 6
{
f(x) =
31.
e)
d)
1 .
-
L+ =
1/3 .
L =
+
c)
c)
,
3 ,
30.
,
c) 0 ;
- 2 .
22 .
,
3.
- ( x + i)
b)f ( x ) =
f(x ) =
c)
Cap. 3
E = —
0
2
,
40.
a)
- V T
. b)
V T
41.
OA = Cos x
42.
9 jt / 3 2
44.
L_
= l
45.
a)
-3 n /2
46.
a) 2 / 7
48.
a) - 1 / 2 ,
b)
2 ,
49.
a) 9
b)
o .
50.
x 2 - 4 bx + 4b2 = (x - 2 b )2
DE = (Cosec x ) — I ,
,
,
8 /7
43.
, L+ = 0
. b)
, b)
,
7 0 /3 .
-1
,
d) 15
,
e) 3
,
f)
b /a .
c)
1
d) 2
,
e) 2
,
f)
0 .
, y por ser una función racional el numerador
2 b ) 2 ( x — K ) . De aquí se obtiene:
( jc -
a = —8 ,
,
b) 0 ,
K = —3
L = 5 .
(Sen n — n C o s n ) / ( C o s n + n S e n n ) .
I)
c)
2 /3
,
,
d)- !
,
e) - 1 / 2
.
FALSA , pues los límites laterales son iguales para ambas funciones pero
ca­
da una de ellas no tiene límite en o debido a que sus límites
laterales, aún cuando existen, difieren en cada función por separa­
do.
II) FALSA ,
III) VERDADERA:
Pruebe que
lím
X
3
L+
=
1 ,
L_ = 0 .
1
8
[ ----------------------------------------------- ]
X 2 + x - 12
( x - 3 )2
=
-o o
y que
( x — J 4x — 3 ) ( x 2 J x — 2 — 3 — 2 x ) 2^
[ le r . Sum ando ] = H m ---------------------- —
■■
* “ >3
( x x - 2 - 3 - 2x)
lím
(x — 3 )(x — l ) [ x 2
lím
,
. ■, . ■
x2
.
Por lo tanto ,
55.
a) 3 2 /2 7
,
— —. . . ---- --------
L = — oo .
b)
n 2m = 12
a > 0: L = l/ / 2 a "
,
orn = n —( 2 n / n )
a) l ,
b)
l ,c)
b)
,
0,
;a = 0 :
L = oo
, c)
13/12.
y = — 1/24 .
ello implica que
d)
lim
- o o . 60.
L
=
-yj x — 2 + (3 + 2 x ) ]
( x - 3 ) ( x 4 + x 3 + 3 * 2 + 5x + 3)
= 0
a)
x — 2 — (3 + 2 x ) ] 2^ [
■.
* “ }' 3
59.
4j i3 ,
L =
53.
57.
c)
1 ,
a) 0 ,
56.
L no existe.
luego ,
b =
52.
54.
L = 0 .
.
;
debe ser de la forma:
51.
335
Límites
Cap. 3
=
n .
=
2 -
l=
l .
336 -
Cap. 3
Análisis Matemático I
61.
a) L + = — oo
62.
a) Tome
,
L _ = —2
x < -5 :
;
b)
[[(x + 0 / * ] ]
L + = — oo
= o ■ Entonces
,
L_
= —2 .
L = O pues, prime­
ro, la expresión es CERO en una vecindad (izquierda) de
— 5 , y luego
se pasa al límite.
b)
No existe, pues
63.
L = o
,
64.
a) L +
65.
A =( ( a
L_
O ,
L_ =
(a + ^ a 2 + 4 ) / 2
67.
68.
a)
2 /3
=
o
S u p (A )
c)
V T
,
h)
2 /3 .
g)
a) 2
, b)
L = L + = oo
OO
c)
Dividiendo por x : L =
d)
L ( + oo) =
o ,
L ( — oo ) =
—oo,
70.
a)
f)
b)
1/6
,
b)
1/2
L + = oo
a) n / m
h)0 ,
,
i)
e)
, L_
lím
d)
=
a) + o o
74.
a)
79.
L ( + oo)
80.
a) (Sen 2 x ) / ( 2 x )
b)
b = 1, a = O .
O ,
e)
-V T
x < V T ) ;
1/6
,
e) No existe , f)
d)
c)
oo ,
j) m / n
; 1 ,
si m = n
,
,
, h) 100,
d) 1,
,
-1 /2
e) - 1
,
k)
; b)
lím
= + oo
e)
,
f)
1 /2
,
1/ 8 , c)
= — oo
c) i
1/ 2
,L ( — oo)
, b)
,
,
=
d)
1/12
,
,
g)
I) - oo
,
m) 4
,
c) n / 2
,
,
f) — a f n
1/2
d) 1/2
,
e) - V T .
.
Difer. De Cosenos :
j) I / V T
-1 /4
d) o .
— oo
.
a /2
i) - 1 1 / 1 8 ,
0 ,
—I
— (b2 - a 2)
2
x —>n / 2
73.
0 ,
, y de aquí se tiene:
=>•
d)
0 , g) 1/48
= — oo
b)
,
=-o o .
4 )/2 )
a + b
c) l ,
x n / 2 +
,
L
(1 + 0 ) / ( l + 0 ) = 1
,
1/4 ,
n > m
b)
( V T < x < 3) .
± 5 /2
(a + b ) / 2
a) 0 , si
.
,
(3 <
, c) 2 ,
b)
=
,
,
a) 2 ,
72.
b)
,
) / 2, ( a + ^ a 2 +
f) 1
69.
71.
,
L+ = -o o
O , L = O
J a2 + 4
-
,
x -> + o o .
cuando
=
= + oo
L = {p2 - a 2)
g)
+oo
.
81.
c)
(Conjugada)
a)
x = - i
b)
As. Oblicua Izq.:
82.
83.
85.
L = 3 /2
.
(asíntota de la rama izquierda)
y = x + l , As. Oblicua Derecha:
2_
—----------------- =
lím
x ~ 2
Asimismo:
lím
f (x ) = 4
x —► — 2
a) Verticales:
( x + 2) = 4 ,
lím
x —»■2 +
b)
84.
337
Límites
Cap. 3
x —► 2 +
x = 2 ,
,
x
* “
2
= -4
:y = 0
No hay asíntotas verticales.
Asíntotas Oblicuas: Izquierda
y
= —x
a) Verticales:
=
- 3 , x = 2 ,
x
lím
no existen asíntotas verticales.
x =- 2 ,
x = 3 ,
2
—----------- = 4
x —►2 ~
± oo
Asíntota horizontal en
y = 2 .
,
y=
Derecha
x
x .
= - 2 .
y = x + 1
Asíntotas Oblicuas Izquierda: y = x + l
Asíntotas Oblicuas Derecha:
b)
86.
o
Asíntota Vertical:
x = -1
Asíntota Oblicua Izquierda y derecha:
87. Vertical:
x =
i
,
y = - 2x + 5 .
x = 2 ; oblicua derecha:
y = -3 x + — ;
2
y = -x
Oblicua izquierda:
88.
En x = ( j i / 2 ) + n n
89. Vertical:
x = o
;
?
n
- (7 /2 ).
e Z .
90.
a)
x = —1 ,
y = x — 2 ; b)
91.
L = - ^ T /5 .
92.
93.
a) Dominio:
( - oo, —3] u
Asíntotas:
Vertic:
Oblicua izquierda:
b)
{ -
x = —1 ,
y = (x — 2 )/2 .
c = 3 .
V T , - 1] u[ l ,
x = ± V T
;
y = 0 ;
b)
V T ) u [ 3, o o )
Oblicua derecha:
-1 /2 4
94.
a) 2
95.
Ver la solución después de la respuesta del Ejercicio
96.
VT
98.
Oblicua derecha:
99.
k = 1 ,
100.
;
y = x + 2 .
Oblicua derecha e izquierda:
;
y = 2x ,
c)
-1/2
.
- 2 .
[ 100 ] .
(a m b o s ).
y -
2x -
5
, Oblicua izquierda:
b = 6 .
Asíntotas verticales:
x = 2 ,
x = -3
y -
-5
.
-338
Asíntota Oblicua Derecha:
y =
Asíntota Oblicua Izquierda:
95.
Dominio
= ( - oo , a ] u
Asíntotas:
Vertical
103.
-1/2
lím
1/2 .
( 2a , oo)
+ — Co t —
R(x) =
a)
y =
2
,
=
b)
lím
y = x + a .
x = 2a ; Oblicua derecha:
2
102.
- x + 2
y = - x - a
Oblicua izquierda:
101.
Cap. 3
Análisis Matemático l
o
=
Límite
L = — a /3 .
2
,
c) 0
+ oo
,
d)
1/ 2
,
e)
-oo
.
x-+4
104.
Asíntotas Verticales:
x = ±6.
Asíntota Oblicua Derecha:
y = I4 x-
Asíntota Horizontal Izquierda:
105.
a)
.
C)
V T
L =
,
b)
11
y = -1 1 /3 .
3 /4
A re Cos (1 — x )
[ h m ------------ — ---------- J [
^ ►0
V x
, r
][
Z
= [ / T n V T ]
=
2 .
Tan x
1/2
lim
------------------------------]
x _j.o + Cosec x — Cot x
hm
r_»0+
I + Cos x
1/2
----------------- ]
COSX
Cap. 4
CONTINUIDAD
1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La idea de la CONTINUIDAD de una función f en un punto x Q d e su
d o m in io [ f ( x Q ) debe estar definido ] es que la gráfica no t e n g a r u p t u r a s
tipo ' salto vertical ‘ a lo la r g o d e la recta v e r tic a l
f ( x Q)
x = xn :
está definido.
f(*0 ) + e
. No hay salto vertical sobre x Q .
f(x0 ) í
• Existe el límite
f(*0)-e t
lím
f(x)
x->xQ
f
=
f(x
)
ES CONTINUA EN x Q .
t Fig. 1 ]
No existe salto en
xQ (
x Q pues
D om f
No tiene sentido analizar la
continuidad de f en
[ Fig. 2 ]
xQ .
Cap. 4
Análisis Matemático 1
340
Note que en la Figura 2 la función f sí es continua en cada x . g D om f .
f(*0)
está definido,
xo
salto de f en
existen
límites
diferentes en
laterales
*
f NO c o n t i n u a en x
o
[Fig-3]
salto de f en
xQ
existe
f (x ) = L
lím
x —► x
o
(los límites laterales coinci­
den en
x
)
o '
está definida
L *
f
en x Q pero
f ( x Q)
f NO ES CONTINUA en x Q .
1.1
DEFINICIÓN.-
La función
f
cada
o , existe un
e >
es
CONTINUA en
8 >
x Q € D om f
si para
0 (que depende de
e
y
de x Q ) tal que:
x G D om f
A
|x — xQ | < 8
| f ( x ) - f ( x 0) | < Z
1.2 OBSERVACIONES.1.
Debido a la definición dada, solamente tiene sentido analizar la continuidad de f
en p u n t o s del DOMINIO d e í .
2.
No es necesaria la restricción:
al
| x - xQ | <
8 , pues
D o m f , entonces para x = x Q también se cumple
I f (*o ) ”
3.
o <
f ( V
I < e *
puesto que | f ( x Q ) -
Si x Q es además un punto de acumulación del Dom f
ma equivalente que:
al pertenecer
xQ
que:
f ( x Q) | = 0 ( < e )
.
entonces se tiene en for­
Cap. 4
Continuidad
" f ES CONTINUA EN x =
i)
f ( * Q)
4.
si se cu m p len las tres condiciones :
está definido.
Existe el l í m i t e d e f en
ii)
y
x q
iii)
lím
f (x )
x->xQ
Las condiciones [ i i ]
=
xQ .
f(x
) .
en [3 ] ambas equivalen a que en x Q
y [iii]
bos límites laterales y que coincidan con
5.
Si
- 341 -
x Q no es punto de acumulación del
mente c o n t in u a EN x q .
existan am­
f ( x Q) .
Dom f
entonces f resulta
automática­
En efecto :
Existe una vecindad de x Q , de radio 8 , donde no existe ningún otro punto
del
D om f
"x
€ Domf
x
=
* 0
1
I f(x ) -
que sea diferente de x Q
a
y Para
|x -
xQ| < 8 "
;
de esta manera la condición
es satisfecha por un único punto
et cual
f ( x 0) | = | f ( x o ) -
f ( x o) | = o <
e , v
8 >
o .
1.3 CONCLUSION.-
Para que una función f sea CONTINUA EN x Q se debe verificar que :
i)
ii)
x Q e D om f
Si
[ e s decir que
f ( x Q)
x Q no es punto de acumulación del
debe estar definido ] .
D om f
entonces f
x Q por [ 5 ] . Por ejemplo, si Dom f = < - 4 , o ) u { 2 }
ya es continua en
entonces x Q = 2
no es punto de acumulación de D o m f . Así resulta ser i c o n tin u a en
iii)
Si
xQ-
2.
x Q es punto de acumulación del Dom f entonces se calcula el límite de f en
x Q f el cual debe existir en R
1.4 EJEMPLO.-
Probaremos que
y este límite además debe coincidir con f ( * 0 ) .
f es continua en
x2+ 2
2 Sen x
x
xQ = o
,
x < O
,
x > O
para
En efecto,
i)
f(0)
está definido:
f (0) = 2
x Q = 0 es un punto de acumulación de D om f
ii)
lím
f ( jc)
=
lím
x —¥ 0~
.
f (x)
,,
lim
=
x —► 0 +
=>■
1.5
lím
f (x)
x
0
=
{
Es cierto f pues x Q = 0
ii)
lím
f(x )
x —► 0
NOTA
,
, x
0
=
ES un punto de acumulación del
=
lím
x —► 0
[xS e n — ] =
0
x
f
.
lím
f (2 )
(
f (x) =
=
5
^
f (0) .
.
lím
( * f ( 2 )
?
,
x = 2
,
x ^
3x2 - Ix + 2
-----------------------x - 2
está definido:
x-*2
=
y
D om f , a menos que se considere algún dominio muy particular.
f
...
u)
=
,
serán puntos de acumulación
3
i)
Dom f = R
puntos x Q en los cuales se analice la condi­
¿ Es la función f continua en x Q = 2
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
x Q = o , si
x =* 0
ción de continuidad de una función
1.6
2
x
De aquí en adelante los
del
=
xQ = 0 .
0
f (0 ) = o
= 2
2 .
x Sen —
i)
y :
x
Pruebe que la función f es continua en
f(x) =
2)
2 Sen x
--------------
x —> 0 +
La función f es CONTINUA en
EJEMPLO.-
(x 2 +
= R
x -*• 0~
li m
/.
Cap. 4
Análisis Matemático 1
342
f (2 ) = 3 .
3 x 2 — 1x + 2
------------------------ =
x - 2
= 3)
2
=>
lím
x-+2
f
( 3 x — 1) ( x — 2)
( X - 2)
NO ES CONTINUA EN x Q = 2
Cap. 4
Continuidad
343
Para ia función f cuya gráfica se presenta a continuación
1.7
EJEMPLO.*
a)
Dom f = ( — 2 , l ) U ( l , 5 ] U { 6 } U ( 7 , 9 ) U ( 9 , 15)
b)
lím
f (x)
=
lím
f (x)
=
8
lím
f ( x ) = lím _ f ( x ) = 8
x —► 5
x —► 5
;
lím f (x )
x
i
+
lím
f(x )
no e x is te
;
lím f ( x ) =
x —►6
f ( x ) = 10 t
lím
lím
-
H
f(x ) = 2 .
l
+
= i ? ; este análisis no tiene sentido pues l g D o m f
¿En
x Q = 2 ? Rpt.: Sí
¿En
x
/.En
x_ = 6 ? Rpt.: S í ,
= 5 ? Rpt.: Sí
;
¿En
xQ = 3 ?
Rpt.: Sí
¿En
x
Rpt.:
=
11 ?
No
;
no es un punto
por la sencilla razón de que 6
de acumulación de
d)
6
CUALQUIER NÚMERO L
x-+n"
c) ¿ Es f continua en x
=
Dom f .
¿En cuántos puntos de su dominio es continua ía función f ?
Rpt:
En uno solo : en x o = 11 .
r
1.8
PROBLEMA.-
Demuestre formalmente que f ( x ) =
*o = 3
SOLUCIÓN.-
f( * 0)
[[x ]]
no es continua en
*
está definido : su valor es
f ( x Q ) = f ( 3 ) = 3 . La condi
ción para que exista continuidad en xn es que :
-344 -
Análisis Matemático 1
MV £ > 0 , 3 8 >
Cap. 4
0 /
V x G D om f ,
|x — 3| <
8
| f(x ) -
f (3) | < £ M
| f (x) -
f (3) | >
y que esto no se cumpla es equivalente a ( la negación ) :
" 3 £ >
0 /
V 8 >
0 :
3 x € D oraf /
|x — 3| < 8
A
£ "
En e fe c to , como
*
e
[2,3)
f(*)
x € [ 3, 4)
f (2) = 2 ;
2£
f (3) = 3 ,
es suficiente elegir £ =
1/2
para que se cumpla la negación
Y vemos en la gráfica adyacente
que en cualquier vecindad V § (3 ) f
x. G (3 — 8 , 3 )
x, -
c
Vo (3 )
3 I < 8
es d e c ir,
tales que:
fU ,) -
debido a que se puede elegir
£ =
para todo
f(3)
8 >
0 existen puntos
x . g ( 2 , 3 ) c Dom f
= I2 -
3 I =
1 >
satisface
£
1/2 .
2.
Se define la
RESTRICCIÓN DE
S n D om f ,
f c (*) =
f (x) ,
lo que indica que en
A UN CONJUNTO S
cuyo dominio es la
a una nueva función ( una parte de f ) que se denota
intersección
f
y cuya regla de correspondencia es :
V x G (S n
D om f )
s n D om f , los valores de
=
Dom f
f g y f coinciden.
Continuidad
Cap. 4
- 345 -
10
11
D o m f = [ - 8 , 10) .
S =
( - 6 , - 2 )
Dom f g =
U [- 1 ,4 ]
S n
Dom f
U {5}
= ( - 6 , - 2 )
U ( 6 , 1 0 ] U <11, 1 3 ] .
U [ —1 ,4 ]
U { 5 } U < 6 , 1 0 ].
De modo que cuando hablamos de la FUNCIÓN RESTRINGIDA
fg
se momento nuestro Universo (o dominio) se limita al conjunto
, a partir de eS n Dom f ( el
nuevo universo ) y todo otro punto ( afuera de este nuevo universo ) involucrado
anteriormente pierde sentido (desaparece) para nosotros.
Una aplicación inmediata de este concepto ya lo vimos cuando estudiamos
los límites laterales de una función f en un punto x Q :
❖ para
lím
f(x) ,
x-* x+
*> para
nm
x _► x ~
f (x ) ,
nuestro nuevo universo se limitaba al conjunto
( x Q , oo ) n D om f
de puntos a la derecha de x Q .
nuestro nuevo universo se limitaba al conjunto
{ - o o , x Q ) n D o m f de puntos a la izquierda de x Q
De manera que en particular si
lím
ya que hablar de
Dom f
f (x ) =
lím
f(x)
lím
= (5,oo)
entonces era válida la relación
f (x )
no tenía sentido, pues los puntos x <
5
no exis
x-+5"
ten en este universo
Dom f = { 5 , o o ) .
Análogamente, vemos que si
Dom f =
( - oo, xQ )
entonces se cumple que
-346 -
Análisis Matemático I
Cap. 4
pues nuestro universo sólo consiste de
los puntos x a la izquierda de x Q .
2.1
DEFINICIÓN.-
La función f se dice que es
S c D om f
CONTINUA SOBRE UN CONJUNTO
si la función RESTRINGIDA
da punto de S ( S *
fg
es continua en ca
0 ) .
De manera que:
1.
s = <a,b) ,
Si
la definición dada resulta equivalente a:
" La función f es CONTINUA SOBRE ( a , b ) c
Dom f
si f es continua en
cada punto de ( a , b >
2.
Si
S = [ a, b ]
,
la definición resulta equivalente a que:
" La función f es CONTINUA SOBRE [ a , b ] c
i)
3.
f es continua sobre
D om f
s i:
(a, b ) ,
ü)
lim
f (x)
+
x
a
x > a
=
f (a)
..
f es CONTINUA POR LA DERECHA en a .
iii)
lim
f(x)
x -► b ~
x < b
=
f(b)
..
f es CONTINUA POR LA IZQUIERDA en a .
Si
S = [a ,b )
,
la definición equivale a que:
" La función f es CONTINUA SOBRE [ a , b ) c
i)
ü)
f es continua sobre
lím
(a, b )
Dom f
s i:
,
f (x) = f(a ) .
+
Análogamente se define la continuidad de una función f sobre
S = (a , b ].
Por ejemplo, para la función f cuya gráfica acabamos de ilustrar tenemos que
sí es continua sobre el conjunto
S = S n
D o m f = ( — 6 , — 2 ) U [ — 1, 4 ] U { 5 } U ( 6 , 1 0] C Dom f
pues f es continua en cada punto de
S
(ver la fig u ra ).
Así por ejemplo, la función
f (*) =
[[jt]] + 1 ,
x G [ 0 , 2 ) = Dom f ,
f
Continuidad
Cap. 4
n o e s c o n tin u a so b re su d o m in io [ 0 , 2 )
347
pues falla en serlo en el punto
xQ= 1
donde existe un salto vertical de la gráfica de f ; sin embargo, resulta ser continua sosobre el conjunto A = [ 0 , 1 )
c
D om f , pues lo es en cada punto de A .
Inclusive lo es en x = o , que es un punto de A , y también lo es sobre el conjunto
B =
[1,2)
C
Dom f .
YA
21
0
Con este ejemplo vemos que si f es continua sobre A , y es continua sobre B
entonces no necesariamente ha de ser continua sobre
Podemos observar además que si
sí es continua sobre S ,
A u B .
S = [ 0 , l) u ( l, 2 )
entonces f
pues es continua en cada punto de S y por lo tanto no tiene
x Q = 1 " . Esto se debe a que este
sentido hablar de " u n sal t o vertical en el p u n t o
punto B no existe a en el contexto del análisis sobre el conjunto S .
f(x) =
H
+ 1
S = [0,1) U (1,2)
2.2
EJEMPLO.-
Ya hemos visto que la función
x €
Z
x
R -
(enteros)
f(*)
€
Z
tiene límite e n t o d o p u n t o de su dominio R .
Pero, si
xQ €
Z
[ e s decir, si
x 0 es u n e n te r o ] entonces
-348 -
Cap. 4
Análisis Matemático 1
YA
i)
lím
x —► x_
f (x )
ii )
f ( x Q)
=
=
f
2
3 * 2
la función f no es
xQ e Z
continua en
- 2
o
-i
1
3.
a)
Una función
£ >
f
0 existe un correspondiente
(para aquellos)
x e D om f
6 >
a
| f(x) -
b)
Una función
e >
f
x € D om f
=>
3.1 NOTA.
Si
xQ
0
tal que:
x e [ xQ , xQ+ 8)
f ( x Q) | < e
x = x Q si para cada
es CONTINUA POR LA 1ZUIERDA en
0 existe un correspondiente
(para aquellos)
x = x Q si para cada
es CONTINUA POR LA DERECHA en
8 >
a
I f(x) -
0 tal que:
* € { xQ-
8 ,x Q ]
f ( x Q) | < £
no es punto de acumulación del D o m f entonces f e s c o n tin u a
p o r la d e rec h a d e x Q , y t a m b i é n es c o n tin u a p o r la izq u ierd a
de x Q , pues en tal caso las premisas en las implicaciones de (a) y
(b) son satisfechas por el único punto
x Q , es decir porque
Si
a)
xQ
x = x Q en algún entorno de
| f ( x Q) - f ( x o) |
es un punto de acumulación de
=
D om f
La función f e s c o n t i n u a p o r l a d e r e c h a e n
>)
f ( * 0 ) está definida ,
y
ii)
lím
0
<
e
entonces se tiene que
x = xQ
f(x)
=
si :
f(*0 )
Cap. 4
- 349 -
Continuidad
La función f e s c o n t i n u a p o r l a i z q u i e r d a e n
b)
>)
f (* 0 )
lím
ü)
x = xQ
si :
está definida
f (x)
=
f (x Q) .
X —¥ X
Por ejemplo, la función
f(x) =
[[x ]] + i
es continua por la derecha en x Q =
(Ver la fig u ra ), pues
lím
([[x]]
+1)
=
lírn
(2 + l )
=
3
=
x —►2
= Q>J
X
1
2
o
3
f(2 )
Pero
+
f
no es continua por la izquierda en
lím ^
x
( Ix J
+ I)
2~
lím
xQ = 2 ,
(1 + 1)
=
pues
2
=*
f (2)
=
3
x->2~
3.2 TEOREMA.-
Dada una función f con dominio S , x Q € S , entonces :
La f u n c i ó n
f
es c o n tin u a en x Q
si y sólo si
f
PRUEBA.-
es c o n tin u a p o r la d e rec h a y p o r
la izq u ierd a en x Q .
Considere los dos casos :
i)
Cuando
x Q es punto de acumulación de D om f =
S
ii)
Cuando
x Q no es punto de acumulación de D om f =
S
f(2)
2
Análisis Matemático 1
-3 5 0
Cap. 4
4.
4.1 DEFINICION.-
Un punto a 6 R
es llamado un
PUNTO DE DISCONTINUIDAD
de f ñ satisface alguna de las condiciones siguientes, donde a
es un p u n t o de a c u m u la c ió n del D o m in io d e f :
YA
1) f ( a + ) = ± o o
f (a
y/o
2) Existen
) = ± oo
f(a+ )
f(a+ ) *
(DISCONTINUIDAD INFINITA)
y
f(a
f(a
),
3)
f ( a ) no está definido y existe
)
(DISCONTINUIDAD DE SALTO o
DISCONTINUIDAD ESENCIAL)
L =
lím f ( x )
x —► a
(DISCONTIN. EVITABLE)
f (a )
L
está definido , y existe
=
lím
f(x)
x —► a
*= f ( a )
(DISCONTINUIDAD EVITA8LE o REMOVIBIE)
4.2 NOTA.-
En los casos (2) , (3) y (4)
se dice que el punto
x = a
tO de DISCONTINUIDAD FINITA.
4.3
DEFINICIÓN.-
lím
En el Caso ( 1 ) ,
1
1
- =
lím H x)
x-j-a" f W
entonces el punto a de d i s ­
c o n t i n u i d a d in fin ita reci­
be el nombre de POLO de f .
=
si
0
a g D om f
y si se cumple que
es un pun
4.4
351
Continuidad
Cap. 4
DEFINICION.-
Un punto a
es llamado p u n t o de DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
o EVITABLE si :
O si
i)
a £ Domf ^
en R
existe
lím f (x )
x -> a
ii)
a 6 D o m f *=
en R
existe
lím f (x ) *
x —> a
f(a ) .
es un punto de d is c o n tin u id a d re m o v ió le de las dos
Así, por ejemplo , a = 2
funciones
x = 2
3
2
0
3
X
pues
l í m f ( x ) = 4 (existe)
x -4 2
lím g (x ) = 4
x —► 2
3=
A
g(2) =
2
3
g Domf
( 2
6
Dom g ) .
En este tipo de discontinuidad se han empleado las palabras B r e m o v i ó l e "
y " evita ó le "
debido a que la función
continua redefiniéndola en
lím
g ( x ) = g (a )
x —> a
x = a
f en este punto
de tal manera que
lím
x = a
f(x )
puede volverse
=
en la siguiente forma:
YA
x = 2
f
f(a )
y
Cap. 4
Análisis Matemático 1
-3 5 2
que son las variantes continuas de f y g respectivamente en a = 2 . En adelante
omitiremos en general el símbolo
A , sin olvidar que en realidad se trata de funciones
diferentes de f y g respectivamente pues sus dominios son diferentes y/o sus reglas
de correspondencia.
4.5
DEFINICIÓN.-
Dado un punto
a £ D om f
de
DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
de una función f , se dice que la función
CONTINUA DE
f en a si
f (x)
f(x) =
'í
f es una EXTENSIÓN
, x €E D o m f
lím f( z )
z —► a
tal es el caso en el ejemplo anterior, de
,
( i.e:
x x a)
x = a
x2—4
f ( x ) = ------------- ,
x - 2
x x 2
, del punto
a = 2 , donde:
i)
ii)
a = 2 i
Dom f
x2 —4
lím
f (x) =
l í m ------------- =
l í m ( x + 2) = 4
x
a
x —► 2 x — 2
x -* 2
entonces la EXTENSIÓN CONTINUA de f en
f(x) =
f (x) =
x2-
4
x -
2
lím
f (x) =
x —► 2
a = 2
es :
x x
= x + 2
4
,
x = 2
(Tan x ) / x ,
4.6
EJEMPLO.-
La función
2
x x
f (x ) =
0
es una Extensión
i
f ( x ) = -T a ? x
Continua de
i*
hm
f / \
f (x)
X —►0
4.7
PROBLEMA.-
=
,
i.
lím
X —►0
x x
o t
Tan x
-----------
pues
=
1 .
y
¿Qué elección (si existe) de
f (0 )
hace continua en
cada una de las funciones siguientes:
x = o a
Cap. 4
Continuidad
,
r,
.
a)
f( x )
=
b)
f(x)
=
RPT.:
a)
2
4x
i
f (x)
-+
d)
f( x ) = Cos(l/x) .
4.8 PROBLEMA.-
X
-
-----------
, b)
f(0) =
,
1 /4
fu )
---------- i —
c) f ( 0 )
=
,
x < n /2
=
3t
i-
d)
no existe
k x + 3n t
x > n/2
;
sea continua en a = n / 2 .
halle k de modo que f
tt/
Sen { n / 2 )
= 1=
2 )
lím
x —» n / 2 +
f (x )
Hm
x —> t i / 2 "
f (x ) =
=
Sen x
lím
x —»-7t/ 2 +
=1
...
( k n + 3n) =
lím
+ 3n
x —y n / 2
y como debe existir l í m
f (x )
y ser igual a f
...
(/?)
(— ) = l
, entonces igualando
2
1 = ( k ? i/ 2 ) + 3 n
resulta que:
(or)
2
x -+ n /2
( a ) y (fi)
=
Dada la función
Sen x
(
Tan(3x)
C)
^
f
/* y x
2x
----------------------—
f (0 ) = — 2
SOLUCIÓN.-
- 353 -
=>
k = (2 -
6n ) / n .
5.
5.1
Si
TEOREMA.-
f y g son c o n tin u a s en
f + g
.
ción f / g
x = a e n to n c e s las f u n c i o n e s
f - g y fg
son c o n tin u a s en x = a y la f u n ­
es c o n tin u a en x = a s ie m p r e q u e g ( a ) * 0 .
PRUEBA.Si
a no es punto
tinuasen
=>*
de acumulación de
Df n
Dg
a ; y si a es punto de acumulación de
lím f
x —► a
(x)
lím
x —► a
(f
= f (a)
±
g )(x )
A
lím
x —► a
=
lím
x
Df n
f ± g
±
y fg
D g entonces como
g (x ) = g(a)
f( x )
a
entonces
lím
x —> a
g (x )
son con­
-354 -
Análisis Matemático 1
= f (a ) ±
lím
(fg)(x) =
x —» a
f ± g
yf g
La variante para f / g
5.2
es
g (a ) = ( f ±
= f (a) g (a) -
( f g) (a)
son continuas en
x = a .
J
análoga.
lím
t
p u n t o d e a c u m u la c ió n del
lím
f
g ) (a )
r
lím
f o o i r límg(x)~|
L x -+ a
J Lx
a
S e a f c o n tin u a en a ,
TEOREMA.-
Cap. 4
g(f) = a ,
un
í
1o
°
D o m ( f o g ) ; e n to n c e s
f ( g (í))
=
f(lím
'o
'
g(f) )
=
f(a)
*0
Lo cual también se expresa diciendo que si f es continua en a y
punto de acumulación de
D om ( f ° g )
t
es un
entonces el límite puede pasar hacia
dentro de la función f .
PRUEBA.-
f continua en a ' = ^
x 6 Dom f
y
lím
V e > 0
|x -
A
g(f) = a
a| <
implica que
¡3
3 / ? > 0
^
tal que :
| f ( x ) — f ( a ) |< C
p a r a ta l
(*)
B > O 38 > O
tal que
p
(* *)
‘ ""o
t € Dom g
Además,
A 0 < | t - t o| < 8
te D o m ( f ° g)
t
Y puesto que
g(t) e
O < | t — t | <
a
6 D om g
Domf
=>
A
|g(t) -
| g(t) - a | <
8
y ( * * ) implican que:
a| <
, entonces, por ( * ) :
V t 6 D om ( f o g )
A
O < | t — t
| f (g ( t) ) - f(a) I < e
que es lo que queríamos demostrar.
| < 8
se cumple que
Cap. 4
5.3
Continuidad
PROBLEMA.-
a)
Demuestre que f ( x )
b)
Calcule
355
= Cos*
lím Cos( —
t-> o
3
es continua en todo
r
.
.
t
SOLUCION.a)
V a e R
demostraremos que
lím
x
dos conocidos:
x
x
Cosa
l í m Sen x = o .
x —f 0
1 ,
Así,
C o s ( x + a)
0
lím
Q
[ Cos x Cos a — Sen x Sen a i
(Cos a ) • [ l í m
x
0
Cos x ]
( Sen a ) • [
-
(Cos a ) • 1 — (Sen a ) • 0
b)
, utilizando los resulta
a
lím
Cosx =
x —► 0
lí m
Cosx =
o
Cos a .
Como la función C oseno es continua sobre todo R
y
l í m — Sen t
t —> 0 3
t
= —
3
entonces, por el Teorema anterior:
hm
t-fO
_
f n Sen t .
Cos ( ----------------) =
3
t
,
n Sen t .
Cos ( l í m ---------------- )
t-*0 3
t
=
5.4
COROLARIO.-
Si
g(t)
Cos( — )
3
=
i"
2
•
es una función continua en
t
y
ción continua en g ( t Q) entonces f ( g ( t ) )
SOLUCIÓN.f(g(t))
t
no es punto de acumulación del
es continua en t
entonces, como
bién de
Si
. Y si
Dom ( f o g ) c
Dom g y
t
f(x)
es continua en t Q.
D om (f o g)
es un punto de acumulación de
Dom g , t
lím
g(t) = g(t
t-+ to
es una fun­
entonces
Dom ( f o g )
debe ser punto de acumulación tam­
)
pues
f(
lím
t-»t
g es continua en
t
.
Así, por el Teorema anterior resulta que
lím
t
t
f(g(t))
f(g(t))
o
=
es una función continua en
g(t))
f(g(t
))
°
o
t
=
.
- 356 ■
5.5
Análisis Matemático 1
Cap. 4
PROBLEMA.a)
Demuestre que la función S e n o es continua en tpdo R .
b)
Demuestre que las demás funciones trigonométricas son continuas en sus res­
pectivos dominios.
SOLUCIÓN.a)
Análoga a la del C o s e n o [PROBLEMA 5.3 (a) ]
b)
Haremos la demostración solamente para la función TANGENTE :
Como
T an x — -^ €n X
Cos x
para
=
x
ta l q u e
Cos x *
0
Sen x ]
[ lím
lím
Tan x
x —► a
x 6 R
a
,
siempre que
C o s a =* 0 ,
[lím
Cos x ]
x —► a
—
Sen a
-----------Cos a
_
Ta n a .
=
6.
6.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
(POLINOMIOS)
Por tener las funciones polinómicas la forma general
tw
P (*) =
E
ak *
k=0
k
=
an x
n
an—1x
n~l ,
n—2 .
an—2 x
+ ..- + a|x + a()
con coeficientes a k € R , y por estar constituida de un número finito de sumas y
productos y sumas de la función Identidad y las funciones constantes , (las cuales
son continuas sobre todo R
❖
Si
ak =
❖
SÍ
n € Z
pues ya se demostró que
función Constante
entonces
entonces
lím
xn
=
lím a k =
x->x0
xa
)
ak .
,
X —►x ^
o
es que TODO POLINOMIO
P(x)
es una función c o n t in u a sobre todo R
6.2
357
Continuidad
Cap. 4
FUNCIONES RACIONALES.-
Tienen la forma general
R(x)
=
---------
QM
( cociente de dos polinomios
Por un Teorema anterior
R(x)
P(x)
6.3
R ( x ) , entonces
FUNCIÓN RAÍZ
Por ser
R(x)
= T\Ta
exceptuando
Q ( x ) , pero como estos puntos no están en el
resulta ser continua sobre todo su dominio.
n-ÉSIMA.-
lím
Q (x)).
resulta ser continua en todo punto de R
aquellos que anulen al denominador
dominio de
y
f(x) =
W
, a e D om f , esta función es continua sobre
x —¥ a
todo su dominio y por lo tanto también lo son las funciones algebraicas simples.
6.4
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.-
6.5
LAS FUNCIONES COMPUESTAS
Ya fueron estudiadas.
entre todas las anteriores son también con­
tinuas por el corolario y teorema últimos.
6.6
p r o b l e m a .-
¿Es la función f definida por
SOLUCION.a)
V
X
€ { - n /2 , n /2 )
-
{ 0}
:
f (x)
=
-1 2 ÍJ L
es continua.
x
b)
En
x = 0 , como
lím
f (x )
=
lím
^ an *
=
1 =
f(0)
entonces también f es continua en o .
Por lo tanto f es continua sobre todo
6.7
TEOREMA.-
Si f
( - n / 2 , n /2 ) .
es c o n tin u a en x Q y si
a <
e n to n c e s existe u n a v e c in d a d de x
o
f (x ) <
b ,
d e la f o r m a
• 358 -
Análisis Matemático I
PRUEBA.-
Como
lím
f(x) = f(x
X -¥ X
V £ > 0
38
> 0
| x -
/ x 6 D om f
8
Si elegimos en particular
=>■
£ <
f (x)
|x -
8
es decir,
6.8
<
a < f (x ) <
b
a = o y
b =
Y tomando
COROLARIO.-
8 <
a
e <
Por lo tanto:
f ( x Q) -
£ < f(x)
b - f(*0)
f ( x Q) + £ <
e
b
=>■
v
x
,
V x € Vg ( * Q ) n
o
) > 0
f (x) >
0
en
£
(*)
(*)
, para todo x e
v g ( x Q) n
D om f
tal que
Dom f .
Domf .
se obtiene el siguiente corolario.
Si f es una función continua en
f(x
< f (xQ ) +
mín { f ( x Q) - a , b - f ( x Q) }
£=
a <f (*0) -
;
y
=>
f(*0) - a
xQ | <
por hipótesis, entonces
°
O
xo | <
)
Cap. 4
,
x = x
o
,
existe una vecindad V 6 ( x Q)
, p a r a to d o
y si
7
tal que :
x e Vg ( * 0 ) n D o m f .
YA
Existe un corolario
análogo para cuando
f(*0) > o
f(x
) < 0 .
fU )-
6.9 TEOREMA.-
Sí
f es c o n tin u a en
x = a , e n to n c e s la f u n c i ó n
|f|
ta m b ié n es c o n t i n u a en x = a .
SOLUCIÓN.-
1)
Si
a
no es punto de acumulación de
a e Domf =
D o m | f | entonces
|f|
Domf =
D om |f|
es continua en a .
y
Continuidad
Cap. 4
2)
Si
359
a es punto de acumulación de
lím f(x) = f(a)
Dom f = Dom | f |
=>
x —► a
entonces
lím | f(x) | = |f(a)|
x —> a
por un teorema de límites correspondiente. Y justamente esto signifi­
ca que la función
7.
7.1
x = a .
| f | es continua en
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA.-
Pruebe que la función
f(x)
1 x
=
’
,
2x
x >
x <
2
2
es continua en todo R .
SOLUCIÓN.i)
Vx
>
2
:
f(x)
=
x
ii)
Vx
<
2
:
f(x)
=
2x
iii)
por ser unpolinomio resulta ser una función con­
tinua en este dominio parcial.
3 /2
(ídem)
Sólo falta analizar en el punto
lím
f (x)
=
x —f 2 +
lím
lím
(— x3)
x —»■2+
f(x)
x -4 2~
xQ = 2 :
=
lím
x
= —
2
= 4
2
(2x)
=
4
2~
%
Esto implica que existe el
lím
x-í-2
f(x)
=
4
La función f resulta ser continua en elpunto
Así tenemos que f es una función continua en todo
7.2
PROBLEMA.-
=
f(2).
xQ = 2
también.
R.
Halle los valores de a y b para que la función f sea continua en
( - 5 / 2 , oo)
,
estando f definida por:
T an Tix
,
-5/2
< x <
,
—2 <
x <
-2
x + 2
f ( x ) = <
ax + b
2 Sen x + 3 S en2 x
r~ 4
• x + 2x
SOLUCIÓN.-
0
0 < x
En cada punto de cada dominio p a rc ia l: ( - 5 / 2 , - 2 ) ,
(-2,0)
- 360 •
Cap. 4
Análisis Matemático 1
y {0, o o )
la función resulta continua.
Sólo falta analizar en los puntos
X =T
-Z
y x = o , donde para que f sea continua debe cumplirse que
lím
lím
f (x) =
f(x)
lím
=
f(x)
+
lím
f (x)
=
f ( — 2)
=
f (0)
=
=
— 2a + b
b
+
0
es decir
lim
-i
lím
T a n 7tx
------------x + 2
=
lím
x
(ax + b) =
X
Y reemplazando en (*) :
a =
( a x + b)
n — — 2a + b
=>
(*)
-2
lím
+
-¥ 0
2 Sen x + 3 Se n “ x
4
x + 2x
: 2 .
— (2 — rt) .
2
7.3 NOTA.-
x
t.
hm
_ 2-
T a n 7ix
-----------^ + 2
w
lím
x
Tan t i ( x - 2)
-------------------------
0
x
hm (-------- )
7 tX
PROBLEMA.-
hm
A
. Sen 7ix
7.4
=
Tan 7ix
71
=
71
Cos x
Si f es una función definida en todo R , tal que
i)
ii)
f
es continua en a = o .
f ( x + y)
=
f(x)-f(y)
,
V x , y
reales ,
demuestre que f es continua en cualquier punto a e R
SOLUCIÓN.-
Debemos demostrar que
Como
lím f(x) =
x -4 a
f es continua en o entonces
f (a) , V a e R .
lím
X
La condición (i i )
implica que, para
f(x) = f(0)
o
x = y = o :
f(o + 0) = f (0).f(0)
f (0)
f ( O)- Ei - f ( 0 )] = o
f(0) = 0
=
[ f (0) ] “
Ó
f(0) = I
Así tenemos que
Si f (0) = o
entonces
f(a) = f(a + 0) = f(a)-f(0) = 0 ,
(*)
Cap. 4
Continuidad
lím
x
—►
f (x) —
lím
x —►
a
f ( x + a) =
x
0
= f (a) * [
Así resulta que
-
Si
lím
f(x)]
x
0
lím f ( x ) =
x -► a
f (0) = 1 :
lím
f(x)-f(a)
=
f ( a ) • f ( 0) = ( 0 ) - ( 0 ) = 0 = f ( a )
/.
f es continua en a .
lím f ( x + a ) =
x —► 0
=
=
—> 0
f(a)
lím
f(x )=
x —> a
361
f(a)-[
lím
x —>0
lím [ f ( x ) • f ( a ) ]
x —» 0
f(x)]
= f(a)-f(0)
= f ( a ) ■1
Así, f resulta ser continua en a ,
7.5
PROBLEMA.-
que o <
f ( x ) = n+ ^ x
x -
— n
f resulta continua en
(n ,n
Para
a=
tomemos
x e( n - l , n )
f(x)
lím
x —► n
+
lím
x —> n
=>
lím
x
=
x —v n
f(x)=
f (x)
,
[[x ]] <
, sí
=>
lím
también en este caso.
+ ^ x - JxJ
J x ]]
Recordemos
n
f(a) .
Analice la continuidad de la función
f(x) =
SOLUCIÓN.-
=
i
V x
,
x 6 [n ,n
V x
f resulta ser continua en todo
R
Z
< n , n + l ) .Entonces se tiene
u
[n + J x - n ]
+
n
ne
n e Z .
+ l) ,
— f (n) ^
en R ,
+ l) ,
=
In I
J— 1
lím
[ ( n — 1) + ^ x — ( n — 1) ]
x
n
= n
real .
f
es
=
continua en n
n — 1+ 1 =
e Z.
n
362 -
8.
Cap. 4
Análisis Matemático 1
TEOREMAS ESPECIALES SOBRE FUNCIONES CONTINUAS
8.1
TEOREMA DEL VALOR I N T E R ME D I O . Si
í
es u n a f u n c i ó n c o n tin u a so b re
[a,b]
,
f(a) < f(b)
y si k es c u a lq u ie r n ú m e r o real tal que
f(a) <
k < f(b)
e n to n c e s existe (al menos uno) un p u n t o
f(c)
=
f,
tal que
k
Es decir, cualquier valor entre
imagen, vía
c e (a, b )
f (a ) y
f (b )
corresponde a la
de (al menos uno) un punto c entre a y b .
Este teorema asegura la existencia de al menos un punto c entre a y b que satisfa­
ce tal condición. Pero, pueden existir más de uno de tales c como ocurre para el caso
del valor
k'
k' =
PRUEBA.-
de la figura y para el
f(cj ) =
Sea
f(c2)
cual existen tres valores
c tales que:
= f ( c 3) .
S = { * e [ a , b ]
a e S [ debido a que
/
f(x)
f(a) <
acotado superiormente, pues como
ser una cota superior de
S .
k
<
k>
y
a e [a ,b ]].
S c
. Vemos que
[a , b ]
S í
0
pues
Además S está
entonces b viene a
Luego, por el Axioma de la MINIMA COTA
Cap. 4
Continuidad
363
se concluye que S tiene una MÍNIMA COTA SUPERIOR o
c = S u p (S ) en R . Recordemos que
SUPERIOR
Suprem o
MENOR d e to d a s las co ta s S u p e r io r e s d e S .
S u p (S ) =
Luego,
i)
V x G S c [ a , b ] ,
a <
x <
Sup (S ) €
ii)
V
[ a , b ] =>•
( =>
e > 0 , 3 x, G s
Veremos que si asumimos
a)
Si
f (c ) <
k
=>
a < x < Sup (S ) <
b
b
c = Sup (S ) € [ a , b ]
.
f (x ,)<
k )/
f(c)
k llegaremos a una contradicción:
*
c e [ a, b)
(o sea,
c -
c <
8 < x, < c
b ) pues
(*)
k <
f (b ) ,
y entonces por un teorema anterior existe una vecindad alrededor de
c ,
V 6 ( c ) , tal que
f ( x ) < k
( y donde tal
,
V
x
(
g
c
— S, c
+ 8 ) n [ a , b ]
8 siempre se puede acortar de manera que:
existiendo por lo
tanto un
xQ G ( c , b )
tal que
xQ G S C [ a , b ] ,
rior de S ; luego,
b)
Si
f Ce)
>
k
^
c g (a , b ]
(e s
b )
)< k , es decir,
b
es la Mínima Cota
Supe­
f (a ) >
k
vecindad
V g (c )
tal que
,
dentro de esta vecindad
V § (c )
lo cual es falso por ( ii) ( * )
f(c) *
además implica que
c
*
f(a)
k
a y
<
pues si a = c
V x g (c — 8,c + 8 ) n [ a , b ]
S = { x G [a , b ] /
Luego, la suposición
a < c
... a b s u r d o ) , y además existe una
entonces
c G [ a, b ]
c + 8 <
xQ < c .
f (x ) > k
Y como
cc + 8
x Q , lo cual es a b s u r d o , pues c
c <
f(x
0
*
c —8
y tal que
se
f(x)
no existen puntos de
<
k }
.tom ando
8 = 8 .
no procede y por lo tanto: f ( c )
c *
k
entonces
=
b , pues
f(c)
<
f(b) .
c g (a,b)
.
= k , lo q u e
- 364
8.2 NOTA.8.3
Cap. 4
Análisis Matemático 1
Existe un teorema análogo con la hipótesis:
f(b)
<
f(a).
TEOREMA DEL CERO.- S i f es c o n tin u a so bre [ a , b ] , y sí
f(a) y f(b) tienen s ig n o s o p u e s to s e n to n c e s existe un n ú m e r o
c € (a, b)
f(c) = 0 .
tal q u e
PRUEBA.i) Si f(a) < f(b) entonces
f(a) < 0 < f (b) por hi­
pótesis; aquí aplicamos el
Teorema del Valor Interme­
dio con k = o .
ii) Análogamente si
f(a) > f(b) .
8.4
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
Demuestre la existencia del número irracional
f(x) = x 2 -
La función
f(l) = - i
y
c e (1,2)
tal que
2
es continua sobre
es d e c ir :
que es la ecuación que precisamente define al número
PROBLEMA.-
Demuestre que la gráfica de
y = Sen(3x)
SOLUCIÓN.-
= Sen(3x) -
lo tanto sobre el intervalo
[ n / 6 , n /4 ] ,
=
1 — (n/6)
f(n/4) = ( 2 - /T -
>
x ,
:n )/4 <
0
donde
c =
c2 = 2 ,
VT .
corta a la gráfica de
[jt/6 ,ji/4 ].
entonces f es continua en
R
y por
.
y = Sen(3x)
tal que
f ( c ) = 0 ; es decir tal que
Sen ( 3c ) = c .
Esto implica que las gráficas de
y = x , y = Sen ( 3 x )
se cortan en el mismo punto
[1,2]
0
Por el Teorema del CERO existe
un c e ( 71/ 6 , 71/4 )
y = x
en el intervalo
f(x)
f (ji/6)
Sea
.
f ( 2 ) = 2 , por el TEOREMA DEL CERO existe un
f (c ) = o ,
8.5
V T
c e
( 71/ 6 , 71/ 4 )
Cap. 4
8.6
Continuidad
TEOREMA.-
Un conjunto
puntos
(<£=)
R
d
en
c ,
< c , rf) c
PRUEBA.-
S c
S
365
es un IN T E R V A L O
S
con
c < d
4=> V
,
par de
se tiene que
(*)
(= M
S iS
= 0
ó
S = { Un solo p u n t o }
entonces S es un intervalo.
Asumamos que S tiene por lo menos dos puntos:
i)
sea a = S u p ( S )
Si Sestá acotado,
a < x < b
tal que
I n f (S ) , entonces
, b=
se tiene que por ser a =
V
x
S u p (S )
y b = I n f { S ),
(a,b)
(**)
existen puntos c y d en S tales que
a < c < x < d < b ,
=>-
i
6 (c.d)
C S
V *
en
x 6 S .
=>■
Además, de ( * * ) :
{ a , b>
(a , b) c S c
=>
ii)
C <c, d ) C S C [a , b ]
[ a , b ] . Luego,
-
Si a
€ S ,
b G
S
•
Si a
6 S ,
b g
S
-
Si a
£ S ,
bG S
-
Si a
£ S ,
b £
S= [ a, b]
=>-
S = [a , b)
S = ( a , b]
=>
S
S = (a , b) .
Si S está acotado interiormente pero no superiormente:
sea
a = i n f (S ) ,
x > a existen c y d en S
a < c < x < d
tales que
=>•
entonces p a r a todo
jt e ( c , d )
{ a ,o o ) C ( c , d )
c
S
cS c
=£•
...(**)
x g S .
[ a , oo)
.
Además, de ( * * ) :
Luego,
-
Si
a GS
entonces
S = [ a , oo)
-
Si
a i S
entonces
S = ( a , oo)
.
iii)
Análogamente al caso ( ii) cuando S está acotado superiormente, pero no
interiormente.
iv )
Análogamente, si S no está acotado superior ni interiormente entonces
S = R = ( — oo , oo ) .
366
Cap. 4
Análisis Matemático 1
Con esta caracterización para intervalos se puede demostrar que el Teorema,
del Valor Intermedio implica que la imagen de un intervalo, vía una función continua f ,
es también un intervalo.
8.7
TEOREMA.-
S i I es un in te r v a lo y f es u n a f u n c i ó n c o n tin u a sobre
I , e n to n c e s el c o n ju n to im a g e n :
f ( i)
{ H x) /
=
x
el }
es ta m b ié n u n in terva lo .
PRUEBA.i) Si
f (I) = 0
ii)
Si
f(I)
con
k
f (c) <
f(d)
es un intervalo.
,
f(c)
y
f ( d ) € f (I)
entonces por el Teorema del Valor Intermedio
e x is te u n p u n t o
w
que
e (c , d)
ó
para
€ ( d , c)
tal
f (w ) = k .
Así, tenemos que
k = f(w )
{ f (c), f (d)) c
8.8
f (I)
consiste de p o r lo m e n o s d o s p u n to s : sean
€ ( f (c), f (d))
que
=>
ó { un solo punto }
EJEMPLO.-
La función
e f(I),
f (I)
=>
para cada
f(l)
k e (f(c),f(d ))
,
es un intervalo.
f ( x ) = x 2 satisface que:
f (<1, 3>) =
(1,9)
,
f ( { - i , 1>) = [ 0 , 1 )
.
9.
9.1
DEFINICIÓN.-
Una función f es ACOTADA SUPERIORMENTE SOBRE UN CON­
JUNTO S c D o m f
si existe un número real M tal que
f (x ) <
9.2
DEFINICIÓN.- Una función f
JUNTO
9.3
M
D om f
f (x ) >
m
|f(x)|
p a r a todo
x
e
S
.
es ACOTADA INFERIORMENTE SOBRE UNCON­
S c
DEFINICIÓN.- Una función f
positivo M >
,
si existe un número real m tal que
,
p a r a todo
x
e
S .
es ACOTADA SOBRE S si existe unnúmero
0 tal que
< M
, p a r a todo x
e
O equivalentemente, si existen dos números reales m y M
S .
tales que
real
Continuidad
Cap. 4
m <
f(x)
<
367
» p a r a todo
M
x 6 S .
Y
1
f(x)
f (S)
X
También, en forma equivalente, se tiene que:
1.
Una función
f
es ACOTADA SUPERIORMENTE SOBRE
S c
D om f
si el co n ­
Dom f
si el co n ­
j u n t o d e im á g e n e s f ( S ) está a c o ta d o s u p e r io r m e n te .
2.
Una función
f
es ACOTADA INFERIORMENTE SOBRE
j u n t o d e im á g e n e s
3.
f (S ) está a c o ta d o in fe rio r m en te.
Una función f está ACOTADA SOBRE
f (S )
S c
D om f
s i el c o n ju n to d e im a g e n
e s tá a c o ta d o en R .
9.4 DEFINICIÓN.-
El SUPREMO de f sobre S es el número
Sup f (S ) =
9.5
S c
DEFINICIÓN.-
Sup { f ( x ) /
(si existe)
x € S } .
El ÍNFIMO de f sobre S es el número (si existe)
Inf i (5 )
Por ejemplo, dada la función
f ( S ) = ( 0 , 1] ,
=
In f { f (x ) /
f ( x ) = Sen*
y donde
x 6 S > .
, S = (0 ,n )
vemos que
Y
Sup f ( S ) =
= Sup{ f ( x ) /
x € S }
fU )
= Sup { Sen x / x € { 0 , j i ) }
Análogamente, observamos que para
el menor valor que toma f ( x ) :
I n f f ( S)
=
In f ( { 0 , 1] ) =
0 .
0
x
n /2
*------------- S
n
X
368
Cap. 4
Análisis Matemático 1
S = <o , n )
En este ejemplo podemos notar que en el dominio
f alcanza su MÁXIMO VALOR
Sup f (S ) =
1 =
x Q = n /2 e S =
para
f {n/2)
MAX f(S )
=
Sin embargo, no existe ningún punto jcq
en
!a función
es decir
,
pues
S = { o , ti)
n /2 6 S .
donde los valores
f(x)
de la función f alcancen su MÍNIMO VALOR, es decir que no existe ningún valor
en
S = ( 0 , ti )
para lo cual
9.6
DEFINICIÓN.-
f(*0) =
Una función
S c
Dom f
xQ
/n/f(S) .
so b re un c o n ju n to
si existe al menos un punto x Q en el conjunto S
f
a lc a n za su
MÁXIMO
tal que
f ( x Q) = S u p { f ( x ) /
9.7
x € S > .
NOTA.Como
f(x)
< f ( x Q)
p a r a to d o x en S ,
entonces al número f ( x Q) se le
f(S)
d e la
llama un MÁXIMO VALOR
fu n c ió n f , sobre el dominio S .
f ( x .)
9.8
DEFINICIÓN.-
f(x,) =
Si
+
Se dice que una función f a lc a n z a su
j u n t o S c D om f
9.9 NOTA.-
-
f(x,)
<
si EXISTE al menos un x ( en S tal que:
ínf { f ( x ) / x € S
f(x) , V x
MÍNIMO so b re el c o n ­
} (fig.)
en S , entonces a f ( x , )
se le llama un
VALOR MÍNIMO d e la f u n c i ó n f , sobre S .
Presentaremos un teorema sobre las FUNCIONES CONTINUAS
que asegura la existencia de una cota superior y de una cota inferior del conjunto
imagen f ( S ) , cuando S es un INTERVALO CERRADO [ a , b ] .
Y en base a este TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES
CONTINUAS daremos la prueba de un resultado que afirma que, en el caso en que
S
valor
= [ a , b ] , la función c o n tin u a f alcanza tanto su valor máximo como
mínimo sobre el conjunto
S = [ a, b ] .
su
Cap. 4
Continuidad
9.10.
369
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
S i f es c o n tin u a so b re [ a , b ] e n to n c e s
f e s tá acotada s o b r e [ a , b ] . Es decir, el conjunto imagen
f ( [ a , b ] ) , representado en el EJE Y , está acotado supe­
rior e interiormente.
La prueba de este teorema emplea la definición de C o n tin u id a d y los con­
ceptos de s u p r e m o e ín fim o así como sus propiedades correspondientes.
TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS ABSOLUTOS
9.11
S i f es c o n tin u a s o b r e el in te r v a lo c e r r a d o [ a , b ] e n ­
to n ces f a lc a n z a su s v a lo r e s MÁXIMO y MÍNIMO en [ a , b ] ; es
decir que,
existe n
x Qy x^ € [ a , b ]
tales que
f U 0) =
Sup { f ( x ) / x 6 [ a , b ] } = m áx { f ( x ) /
x 6 [ a t b ]}
f (Xj) =
I n f { f ( x ) / x € [ a , b ] } = mín { f ( x ) /
x € [ a ,b ] }
PRUEBA.a)
Sea
M = Sup { f ( x ) /
ra todo
x € [ a , b ] }
x g [ a , b ] , entonces a h í :
y supongamos que
f(x) <
f (x ) *
M
pa­
M . Así, la función definida
por
g ( x ) = -------- !-------M - f(x)
resulta ser continua sobre
[ a , b ] , y en conse-
cuencia, por el Teorema Fundamental de las Funciones Continuas, g está acotada so-
370
bre [ a , b ] , por lo que existe un
V x
€
[a, b ] :
f (x ) <
•<=>
es ABSURDO pues
f ([ a , b ]).
--------- ---------M - f (x)
V x €
>
M — (l/k)
El caso de
, k
k
>
0,
f([a ,b ])
, lo cual
es \e m í n i m a cota s u p e r io r
, y porque M
b ]
tal que
f ( x Q) = M = S u p f ( [ a , b ] )
b)
[ a , b ]
<
De modo que nuestra suposición original no procede y por lo tanto
xQ e [ a ,
existe un
,
=
resulta ser u n a cota s u p e r io r de
,
M
> o tal que
k
|g(*)|
M — (1/k)
M — (1/k)
de
Cap. 4
Análisis Matemático 1
= máx f
Xj : f ( X j ) = í n f f ( [ a , b ] )
9.12 PROBLEMA.- ¿ Alcanza la función
f(x) =
valor mínimo sobre
( [ a , b ]) .
es análogo a [ a ] .
x -j[x ]]
su valor máximo y su
[ 0 , 2 ]?
SOLUCIÓN.*
,
x -
I ,
0
de lo cual
f([o,2])
,
x e [ o , i > =>
f (x)
e [0,1)
x € [1, 2)
f(x)
6 [0,1)
f (2)
= 0
=>
x = 2
= [ o , i ) u [ o , i ) u { o }
=
[ 0 , 1) .
Así vemos que
ín / f [ 0 , 2 ] = 0 =
= f ( 0 ) = f (1) = f ( 2 ) ,
resultando que f alcanza su
mínimo en tres valores de
X] :
0 ,1
y
2 g [0,2].
S u p f ( [ 0 , 2 ] ) = 1 * f ( x ) p a r a todo x 6 [ 0 , 2 ] ,
y por lo tanto la función f NO ALCANZA SU M ÁXIMO SOBRE EL INTERVALO CE­
RRADO [ 0 , 2 ] , y esto ocurre pues f a to ES CONTINUA SOBRE [ 0 , 2 ] , como
Sin embargo,
puede observarse en la figura.
9.13
COROLARIO.-
La
IMAGEN de un INTERVALO CERRADO (y acotado)
[ a , b ] , vía una f u n c i ó n c o n tin u a , es también un IN­
TERVALO CERRADO y acotado.
371
Continuidad
Cap. 4
9.14PROBLEMA.-
Pruebe que si f y gson funciones acotadas sobre
p a r a to d o
f (*) <g(*)
SOLUCIÓN.-
a)
a)
í n f f (S ) < í n f g (S )
b)
Sup f (S ) <
V x € S :
, entonces
Sup g (S ) .
m f = í n f f ( S ) = í n f { f ( x ) / a: 6 S }
Sea
y
x € S
S tales que
m
= ín/g(S)
g
mf <
f (x )
<
,
(*)
entonces
g(x)
=>■
< g(x)
V x € S ,
(HIP.)
=>
"mf "
es u n a cota in fe r io r de
g ( S ) , y como
m g = ín /g (S )
es la m a y o r d e las co ta s in fe rio re s de g ( S ) entonces
<
mg <
Y por lo tanto, de ( * ) :
b)
Sea
V x 6 S ,
g(x)
ín/f(S) <
M f = Sup f ( S ) ,
ín /g (S ) .
M g = Sup g ( S ) = Sup { g (jc ) / x e S } ,
dejamos como ejercicio análogo a la parte (a) probar que:
9.15 PROBLEMA.-
Halle los valores máximo y mínimo de
a) f ( x ) = — - —
x + 4
SOLUCIÓN.a)
* +4 6
V X e [ 0, 4]
[4,8]
=>■
MÁX f [ 0 , 4 ]
M ÍN f [ 0 , 4 ]
b)
x 2- 6 x
+ 8= (x =>
=>
b)
sobre
[0,4]
f (x ) = x 2 — 6x + 8 .
:
1/ ( X + 4) € [ 1 / 8 , 1 / 4 ]
=►f(x )
/.
,
f
< Mg .
=
=
= 2 / ( x + 4) € [ 1 / 4 , 1 / 2 ]
1/2 =
f (0)
pues
0 6 [0,4]
1/4 =
f (4 )
pues
4 6 [0,4]
3 )2 - 1
—3 < x —
f(x)
donde * - 3
€ [ - 3 , 1 ]
3 <
0 < (x -
= (x -
MÁX f ( [ 0 , 4 ] )
=
8
M ÍN f ( [ 0 , 4 ] )
=
-1
1 =>•
3)2 =
I € [ - 1, 8 ]
f(0)
=
3)2 < 9
f (3)
pues 0 € [ 0 , 4 ]
pues
3 € [ 0 , 4 ] ,
para
372 -
Cap. 4
Análisis Matemático 1
9.16 PROBLEMA.a)
Halle
Sea
f(x) = x | x
[ [ y j
A = { x € D om f /
J
, x € { - y ,
- 1 } U ( 0 ,oo >
f es d is c o n tin u a en x }
b) ¿Es f acotada sobre D o m f ?
c)
halle el ín fim o y el s u p r e m o de la función f
En caso afirmativo, en ( b ) ,
sobre D om f .
SOLUCIÓN.-
f(— 1/2) = -1/2
, f(-l) =
l/x 6 [ l , o o )
n <
l/x
<=>
<
n + I
xn
e
V x € (0, 1] ,
e Z + fa lq u e
para n
se tiene que
x í f 1/ Jcl ] =
-1
0 < — !— < x < —
n + 1
n
< 1 -----------—
, 1] C
<0, I]
.
n + 1
Además, si
x e (i.o o )
(
x€ ...
=>
o <
=>
[[i/* ]]
0
,
x
, x = 1, 1 / 2 , 1 / 3 ,
x
, x = - 1/2 , - 1 .
l/x
<
i
H x) =
= o
U { 1 / 4 , 1/3) U ( 1 / 3 , 1/2)
0 :
U ( 1 / 2 , 1) U ( 1 , o o )
1/4, ...
Rang ( f ) = { - 1 , - 1 / 2 , 0 } U { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . }
—1 <
f(x) <
Y por no ser
— 1/2
1
y
f
- l
está acotado sobre D o m f
puntos de acumulación del
(*)
(b)
D o m f entonces f re­
sulta ser continua en estos dos puntos.
Si
n e Z+ :
lím
x
f(x)
(laterales) ,
pero
— »• l / n
lím f ( x )
x
= 0
—
^
= 0
f(l/n)
= l/n
,
n
€ Z+ .
l / n
Por lo tanto:
a)
A =
b)
f
c)
Inf
{ x 6 D om f /
sí es acotada sobre
{ f(x)
Sup { f ( x )
f es d is c o n tin u a en x } = { — / n € Z + }
n
D om f .
/ x 6D o m f } = — 1
de ( * ) ,
/ x e
de ( * ) •
Dom f } =
1
Cap. 4
Continuidad
9.17 PROBLEMA.-
- 373 -
Sea f una función continua sobre [ a , b ]
v
e
x , , x.,
[ a , b ] . Si se cumple que
X\ < X2
^
f(*j)
>
demuestre que f tiene función inversa
SOLUCIÓN.-
Probaremos que f es univalente sobre
x} , x2 €
Sean
nemos que
i)
[a,b]
H
x2
)
(*)
f _ l sobre [ a , b ] .
[ a, b ] :
, entonces si
f ( x { ) = f ( x 2 ) y si supo­
x 2 , se tiene que se cumple
Xj *
Xj >
tal que
i
x\ < x2 '
0 s' no
Luego,
i)
Si
x, >
x 2:
entonces ( * )
implica que f ( x j )
<
f ( x 2 ) a b s u rd o
ii)
Si
Xj <
x2:
entonces ( * )
implica que f ( X j )
>
f ( * 2 ) a b s u rd o
debido a que
tanto
f ( X j ) = f ( x 2 ) . Así, nuestra suposición no es válida y por lo
Xj = x 2 . Por lo tanto, f resulta ser univalente, implicando esto que exis­
te la función inversa
9.18
PROBLEMA.- Si
f ” 1 sobre
Domf
=
[ a, b ] .
R
, f(x) =
A = { n € Z / f
SOLUCIÓN.-
f(x) = nx
f ( x ) = —2 x
—x
0
,
,
< x < -1
, —1
< x < 0
0< x
< 1
;
;
;
n + 1
,
n e Z
9.19
,
f(x) = x
,
1 < x < 2
f ( x ) = 2x
,
2 <
x < 3
. . .
Vemos que (por los límites laterales) el único entero n
n = 0 . Por lo tanto,
,halle el conjunto
es c o n tin u a en n } .
n < x <
, -2
x [[x ]]
donde existe continuidad es
A = { 0} .
PROBLEMA.- Si x >
x2
2x
f ( x ) = í n f { — ----------------- /
t2
»
0y
¿es f continua sobre
0<
t <
2x } ,
( o , oo) ?
2
SOLUCIÓN.-
Sea h ( t ) =
—
t
variando en
ín f h ( ( 0 , 2 * ] ) :
h(t)
.
0 <
t <
2x
,
x > 0 ; lo que está
1
es
t ,
y está fijo
x > o . Hallaremos
h ( t ) = [ ( * / t ) — 1] 2 — 1
,
1 6 ( 0 , 2 * ]
• 374 *
Análisis Matemático 1
1 / t € [ l / ( 2 x ) , oo )
=>
=>
(x/t) -
=►
[U /O
=►
=>
=
=
e
x/t
[1 /2 , oo)
1 6 [ - 1 / 2 , oo)
-
e
I]2
[ 0 , oo)
h(t) = [ (x /t) -
h((0,2x]) = [ - l,oo).
= ínf { ( x 2 / t 2 ) - 2 ( x / t ) /
f ( x)
Cap. 4
1 6 [ - 1 , oo)
Entonces observamos que:
0 <
ínf { h ( t ) / t 6 ( 0 , 2 x ] }
í n f [ — 1, o o ) = — 1 ,
l]2-
t <
ínf h ( { 0 , 2x ] )
=
=>-
2x }
f (x) = —1 V x € ( 0 , oo)
f es co n sta n te y en consecuencia c o n t i n u a sobre
(0,oo)
.
10. SERIE D E EJERCICIOS
1.
Si f es una función continua tal que
i)
f es continua en 0 ,
ii )
f (x + y) =
D om f
=
R
y
f (x) + f (y )
,
x , y en R ,
V
demuestre que f es continua en cualquier punto
2.
y
f
f(x) = i
Demuestre que la función
l
a en
x racional
,
l o
,
a
,
R .
x
irracional
,
no es continua en ningún punto.
SUG.-
Suponga que f es continua en
lím
f ( x ) = f ( a ) , y trate de
x —► a
llegar a una contradicción.
3.
Si
f ( x ) = J 7 x 2 — 7 J]
,
a)
¿Es f continua en o ?
b)
4.
Si
f
f(x) =
x , si
x
=
¿Es f continua en V T
1 /n
,
?
para cada n entero
positivo
i
L
0 f otro valor
¿Es f continua en 0 ?
SUG:
5.
Pruebe, por definición, que
Halle a y b
lím
f(x)
x —> 0
=
0
=
f (0 ) .
para que la función f sea continua en x Q = 2 :
Cap. 4
f(x) =
6.
- 375 -
Continuidad
b [[ 3x + 4 ]]
,
x G [1,2)
3x
a — 2x
,
x € (2,3)
18
,
x =
2
Halle las constantes a y b para que f sea continua:
r
s“ J i i
,
,
€
ax + b
,
x
€
Cos x
,
x
6 [ n , 2n )
X
f (x) =
7.
i)
l
Sea
^ ^
f(x) =
— — ,
x -
Definir
ii)
f (3 2 )
[ 0,n )
x se 32 .
32
para que f sea continua en
R .
Si
" x
f(x)
+ 2c
,
3 ex + k
,
3 x — 2k
,
= {
x < —2
-2
< x
<
1
x > 1
Halle los valores de c y k para que f sea continua.
8.
Dada la función
r
fo o
=
x -
2 ,
\
L x + I
x > 3
,
x < 3
pruebe que
9.
a)
f no es continua en a = 3 .
b)
f es continua en{ - 0 0 , 3 ) .
c)
f es continua en [ 3 , 0 0 ) .
d)
f no es continua en ( - 0 0 , 3 ] .
Dadala función
f(x)=
halle los valores
^
a y b
— 2 Sen x
,
x < — j i/ 2
a + b Sen x
,
x G ( —n/2 , n / 2 )
1 — Sen x
,
x G [ n /2 , 00 )
para que
f
sea continua en
R .
376 -
Cap. 4
Análisis Matemático 1
10. Sea f la función definida por:
a * 4- b + Sup { t 2 — 2 t x — 2 x 2 / — x <
f (x ) = ^
t < 2x } , 0 <
a + b
x < 2
, x = 2
^ b x — 9 + (x — 2)2 S e n [ l / ( x — 2 ) ]
encuentre los valores de a y b
,
2 <
x <
3
para que f sea continua sobre (0,3] .
11. Analice la continuidad de la función •
fj*) _ j
* + *• /
.
,
el e n te r o m á s
cerca n o a x
SUG.-
si x no es punto medio entre
dos enteros consecutivos.
Bosqueje la gráfica de f .
12. Analice la continuidad de
f(x) -
^
2
,
0
,
-2
SUG.-
si x es punto medio entre dos
enteros consecutivos
fo g
x >
g o f
donde
0
x =
0
, x <
Encuentre
y de
,
g ( x ) = x (4 -
x 2) .
g o f
y luego grafíquelas.
0
fog y
13. ¿En qué puntos las siguientes funciones tienen una discontinuidad en a de algu
no de los tipos indicados en la teoría?.
Si es removible, definir f (a)
a)\
*✓ x
f(x) =
9* 2 — 4
3x -
b)
2
f (x
x -
c)
e)
para remover la discontinuidad:
f (x) = i
f(x)
x
= — —
X -
2
8
-
9 ,
’
x < 3
x
,
x > 3
Li. , *
1
*
i .
1
d)
f(x) =
<
X - 4
0
, x = 4
Cap. 4
14.
Continuidad
Analice la continuidad de
í x 2]
fW
=
J
Considere
— [T x ]]2
----- ! L J L x ' - I
Cpn
15.
- 377 -
x 6
{— I , I > .
v
= -----------------
f(x)
.
x ( x
-
,
x g (0, l) .
Definir f ( 0 ) y f (1)
para
I)
hacer f continua sobre [ 0 , l ] .
16.
La función f está definida por la regla indicada.
a)
b)
c)
Indicar el dominio correspondiente.
¿Para qué valores de x es la función dada continua?
Redefinir la función en los puntos donde es posible convertirla en continua.
x3 — i
i)
f(x)
=
-
x2+ X + I
...
n)
.
f(x) =
x~-I6
x + 6 - 5 -J~x
....
lll)
.
f ( jc)
x 2 — 5 x — 20
------------------------(x2 -
. .
IV )
,,
.
f ( x )
8x -
3x + 5
=
V 2x -
17.
20) ij X 2 - 25
¿Cuál debe ser
f ( j i / 2)
3 -
V 5x -
para que
6 + V 3x -
f(x)
=
Cos 3*
Cos 5x
5
sea continua sobre
{ 2 n /5 , 3 t i/ 5 ) ? .
18. a)
Definir f en o y en l de modo que sea continua sobre
r, x
I — Cos 2 n x
f ( x ) = — ----------------*(1
-
Si
f(x)
=
2 -!—
x
¿ Es f continúa en
19.
¿Es f continua en
donde
(o < x < 1 .
x)
1
b)
[0,1]
Co S í
1
Sen x
}
,
x *
0 t
f (0) = 1 .
x = 0 ?
{ —n / 4 , l / 3 ]
nir f para lo que sea?.
1
u
{ n } ?. Si así no fuera, ¿se puede redefi
378
Cap. 4
Análisis Matemático 1
x 2 Sen3 [ i / ( x 2 + I) ]
f
<
x <
0
Sen 4 x
i
f(x) =
x 2 [ [ 3* -
1] ]
,
0
20. Sea
21.
f(x) =
C o s ^n x / 2 ^
Sen n x
1/3
( determine la validez de las afirmaciones:
f
b)
f tiene una discontinuidad esencial en
x = 2n + 1 , para n entero par.
tiene una discontinuidad removible en
f(x) =
x <
x = 0, 1/3, n
,
a)
Sea
0 <
^ Sen 3 x
,
x = n / 2 , para n entero par.
analice la continuidad de la función sobre
0 > /3 U - 1
el intervalo
22.
[ -12, - 3
Dado el conjunto
y la función
.
A = { x € R /
f(x) = 1 -
ii)
Si
f
y
g
-/T -^ c
las funciones
m ( x ) = mín { f ( x ) , g ( x ) }
Pruebe que
^ 2 - x
-
>
xQ = a
, demuestre que para
M ( x ) = máx { f ( x ) , g ( x ) }
son continuas en
f y g
máx { f , g }
=
(f + g + | f - g | ) / 2
mí n { f , g }
=
(f + g -
| f - g | ) / 2
puntualmente,
f(x) =
las funciones definidas por
x — Ix |
I i i ,
2
V X €
Sean
i)
f y g
lím
x-*a
r
;
donde la función
h = f o g
dos funciones definidas en
g(x)
=
0
,
para
a e S .
s c
R
x
<
gíx) =
1
Halle los valores de x
25.
s
y
xQ = a .
y aplique los teoremas sobre límites y continuidad.
24. Sean
0 }
f en el conjunto A .
son dos funciones continuas en
x € D om f n D om g
SUG.-
4 -
[ [ * / 2 ] ] f con x € A ,
Halle el conjunto A .
Analice la continuidad de
i)
23.
]
, x <
0
. x >
0
7
x
es continua.
tales que
Continuidad
Cap. 4
ii)
| f (x) -
f (a ) | <
Demuestre que
e
, x
A g (x )
S,
a)
f es continua en a .
b)
Existe una vecindad
| f (*) | <
M
,
379
A constante
V g (a )
e
V x
y
>
M > 0
V R (a) n
0 .
tal que
Dom f
i
SUG.-
(ii)
g(x) > o
(i)
Existe
,
v i (a ) /
en ( ii) :
26.
V x 6 s
0 <
y
A > o .
g(x) < —
lím
f(x)
x —► a
=
f(a)
Se verifica [a ]
Dada la función
Sen(2x) — Cos(2x) — 1
n / 4 < x < n /2
,
Cos x — Sen x
f(*)
2 ^ 2 n x — 2 x — ti
=
n /2 < x < n
2 x — 71
1
¿Es f continua en
( 71/ 4 , 71) u
que sea continua en [ n / 4 , n ]
27.
Pruebe que
SUG.-
28.
l
{ 2 n } ?. Redefinir f , si es posible, de modo
u {2 ji} .
es satisfecha por algún valor c e ( 0 , j t ) .
Aplique el Teorema del Valor Intermedio sobre
Demuestre que la ecuación
c
29.
Sen x
x = n / 2 , 2n
,
tal que
x3-
3x + l = 0
[ n ¡6, 5n/6 ] .
tiene por lo menos una raíz real
l < c < 2 .
Demuestre que cualquier polinomio
P ( x ) d e g r a d o i m p a r tiene por lo menos
una raíz reai.
SUG.-
30.
ak x
,
lím P ( x ) = + o o
x —> OO
,
P(x) =
¿
k = o
Demuestre que la ecuación
SUG.-
Para cada
Tan x = x
+
para
0 ,
implica que
lím
P ( x ) = — oo
X —► — oo
.
tiene infinitas raíces reales
f(x ) = Tanx -
f ( x ) = — oo
lím
.
n e Z ,
con a Q >
x ,
pruebe que:
a = (2 n -
l)n /2
*380
Análisis Matemático I
f ( x ) ~ + oo
lím
x —► b ~
,
para
Cap. 4
b = ( 2 n + 1) 71/ 2 ,
y luego aplique el Teorema del Cero.
31.
Si
a
es un número real positivo y n
x > 0
SUG.-
tal que
Sea
Z
+
,
demuestre que existe un único
xn = a .
k £ Z + , a < k , entonces
rema del valor Intermedio en
Dada una función
k >
1
f(x) = x n
luego emplee la continuidad de
32.
e
y
0 < a <
sobre
[0,k]
f continua sobre
=4*
€ Rang f c
a <
f(a) <
kn
, y el Teo­
[ 0, k ] .
[ a ,b ]
, a <
b ,
tal que Rang f
( a , b > . Demuestre que existe x Q e { a , b ) tal que f ( x
SUG.- f ( a ) , f ( b )
k <
{a, b)
=>
f(a),
b , a < f ( b ) < b .
Sea
)= x
c
.
f(b ) € (a , b)
g (x ) = f (x ) — x ,
entonces g es continua sobre [ a , b ] ; luego aplique el Teorema del
Valor Intermedio a
g(x)
sobre
2
33.
SUG.-
- 2
2
x + 1
x + 1
f ( x ) = ---------------- + ------------x + 2
x - 3
Explique por qué
raíz entre
f (x ) = + 00 ,
lím
a >
(-2 ,3 )
f (x ) = —
a + x
b >
c >
te tres raíces
—a
o tiene por lo menos una
f ( x ) = —00
lím
y
f(x)
es conti-
x —v 3—
nua sobre
Sea
=
y 3 .
x -» -2 +
34.
[a ,b ].
.
Aplique aquí el Teorema del Valor Intermedio.
------------1 , donde
c + x
b + x
0 . Explique por qué la ecuación
f(x) =
A , B, C > 0,
0 tiene exactamen­
x { , x 2 , x 3 , que satisfacen las relaciones:
2
<
Xj <
2
2
—b
< x 2 <
SUG.- Tom ar límites laterales cuando
—c
< x^ .
x - > - a 2 , x - > - - b 2 , x - ^ - c 2,
y analizar la forma de la gráfica entre las asíntotas verticales.
35.
Sea f es continua en R ,
f(x)
lím
= - i ,y
lím
f(x)
=
10 . Expli-
X —¥ OO
X —► — OO
que cómo usar el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que existe por lo
menos un valor de x tal que:
f (x ) = 0 .
SUG.-
Para
| f(x) + 1| <
e > o
I
,
existen
M >
V x < N < 0 ,
0
y
=>
N >
o
tales que
—2 < f ( x )
<
10
Cap. 4
Continuidad
| f ( x ) — 10 | <
1 ,
elegimos a y b tales que
9 <
f (b) <
f (a ) <
11 .
0 ,
V x >
a < N < 0 ,
Entonces :
f(b)
>
M
> o
- 381 -
0 ,
=>■
—2
a < 0 <
9 <
< f(a) <
b ,
f(x)
0 t
<
b>
II ;
M >
o,
f continua en [ a , b ] ,
, luego aplicamos el Teorema del Cero. (Corolario del
Teorema del Valor In te rm e d io ).
36. Supóngase que f es continua en el intervalo [ 0 , 4 ] , f ( 0 ) = 1 , f ( 4 ) = — I ,
¿puede tener f un número infinito de ceros en este intervalo?. Bosqueje alguna
gráfica al respecto.
37.
Demuestre que la ecuación
. tiene por lo
x = a + b S e n x ,donde
0 <
g(a)
b tal que
SUG.-
y
f(b ) > g(b) .
h(x) = f ( x ) - g ( x )
Analice la existencia
SUG.-
o,
[ a, b]
tales que
f (c ) = g (c ) .
Tome
3x3 -
a>
Pruebe que existe un número c entre a y
. Entonces h es continua sobre [ a , b ] .
Aplique ahí el Teorema del Valor Intermedio, a
39.
< I ,
menos una raíz positiva no mayor que a + b .
38. Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo cerrado
f (a ) <
b
h (x ) .
deuna solución real dela ecuación:
4 x 2 + 13x + 2 = 0 .
f ( x ) = 3x
i
-
4x
2
+l3x + 2
es continua sobre
40. Sea f una función continua sobre [ a , b ] , a <
Demuestre que la ecuación
(a -
x ) 2 (x -
b , tal que
b) f (x ) = 0
[-1 ,0 ].
f ( a ) •f ( b ) < o .
tiene por lo menos
tres raíces reales distintas.
41.
Pruebe que si
f
está acotada sobre S y si C es una función constante, entonces
ínf [ ( C f ) ( S )
C ín f f ( S ) 1
] =
i)
sup[ ( C f ) ( S )
] =
C sup f ( S) J
í n f [ ( C f ) (S )
] =
C sup f (S )
42.
Pruebe que si
f
y
g
C í n f í (S )
C >
r
C < 0
para
J
están acotadas sobre S entonces
a)
sup [ ( f + g ) ( S ) ]
<
sup f ( S) + sup g ( S )
b)
í n f [ ( f + g ) ( S) ]
>
í n f f ( S) +
SUG.-
a)
0
1
ii)
sup [ ( C f ) ( S ) ] =
> para
(f + g)(x) = f(x ) + g(x)
ínf g(S) .
<
Mf + M g,
V X € S , donde
382 -
Análisis Matemático 1
= sup f (S) ,
Cap. 4
= sup g ( S ) .
M
o
43. Sea
f(x) =
{0,1]
44.
?.
2xS en(l/x) SUG.-
Sen x
lím
x-*o+
f
acotada sobre el intervalo
Aplique la Desigualdad Triangular para
Sen x
x
Demuestre que la función
SUG.-
C o s ( l / x ) . ¿ Es
= l
está acotada sobre
=$►
para
e = 1/2
| f (x ) | ,
(o , n / 2 ] .
existe
8 >
0 tal que:
x
x 6 (0,8)
=>
0 < I f(x)|
=
<
e
=
1/2
,
X
y como tal
8
puede elegirse de modo que
n / 2 =>
8 < x <
f ( x ) = (Sen x ) / x
l
,
y además
es continua y por lo tanto
acotada
[ 8 , n /2 ] .
sobre el intervalo
Entonces
| f(x)|
Y siendo
|f(x)|
<
<
k
para algún
1/ 2
en
| f (x ) | <
45.
o < 8 <
k >
(0,8]
o y para todo x e [ 8 , n / 2 ] .
, entonces
m á x { k , 1/2 } ,
V x € ( 0 ,
n /2 ] .
Sea f la función definida por
f(x) = i
x
Compruebe
n
,
si
x 3 = 9x
—x
,
si
—3 <
x <
0
,
si
0 <
x <
2
2 - [ [ | x - 1 | + 2 ] ] x + [ [ x ]]
que f está acotada sobre D om f . Luego , halle el
ín fim o y el s u ­
p r e m o de f sobre D om f , y los puntos donde f tiene discontinuidades removibles y/o esenciales. ¿En qué puntos de su dominio es la función f continua? .
SUG.46.
x 3 = 9x
<*=>•
x €
{ - 3 , 0 , 3 } .
Si
2/(1 + | x | )
f (*) =
{
2 - — ( x - 3)2
,
x < 2
,
2 <
x <
4
9
4
,
x
=
4
4 —x
,
x
>
4
a)
b)
Analice la continuidad de f .
Halle el supremo y el ínfimo de f sobre
[ - 3 / 2 , 3/2 ]
c)
Halle el supremo y el ínfimo de f sobre
( 3 / 2 , 7/2 ]
Continuidad
Cap. 4
383
47. Grafique
*i
fe*) =
<
,
X >
— 1 , X se 1
,
x <
- I
i* — H
Sgn ( | x 2 — 11 — 1)
Además, analice la continuidad de f
, indicando intervalos de continuidad y tipos
de discontinuidad.
48. Demuestre que
Tan *
= — ( T a n a + Tan b )
o
^
donde
[ a , b ] C <7i(2n -
SUG.-
La función
0 / 2 , 7t(2n + 0 / 2 )
f ( x ) = Tan x
49. Dada la función
para algún x
^
6 (a, b)
, n € Z .
es continua sobre
[a, b ] .
l i - x j + u> - q
O < x < 2
2x — 5
,
x >
2 .
Analice la continuidad de f . En caso de ser discontinua indique los intervalos de
continuidad.
50. Sea
x3 + ax2 + x
f (x) =
,
^
— 1 , x < —1
b + x - 2x
1-------------X + 1
a 2x 2 -
l Ox -
, ^
>- 1 < x <
4
,
,
1
1 < x < 3
Halle los valores de a y b para los cuales f es continua en
- 1 y en l .
CLAVE DE RESPUESTAS.
2.
Para
£ =
1/2
existe 8 / 0 < | x
—
a | < 8
=£* | f ( x )
— L|
existen puntos ra c io n a le s x ,
y como en toda vecindad
Vg ( a )
cionales x 2 entonces
| f(X j) — L| =
f( x 2) -
L| =
11 — L | <
| L| <
1/2
1/2
1 = |1—L + L| < |1— L | + |L | < — + 2
2
<
1/2 ,
ypuntos ir r a ­
así como
- 384
1 <
3.
a)
4.
S í:
Sí
I
(ABSURDO)
(¿por qué ? ) ;
dado
V n >
e >
nQ :
1/n <
| f(x)|
5.
a = 13 ,
7.
i)
9.
a = 1
,
x
c
tal que
0 < [ x - 0 | < 6
6.
a
=
= 1/3
,
k = 2/3
a = -4
,
b
=
, x
.
= x2
,
V x 6 ( 0 , 2 )
G [ n , n + 1/ 2 )
n + 1 , x
n + 1
14.
1 .
n G Z :
f (x) = 4
13.
b= —
5.
n
12.
0,
= i/n Q .
— x < t < 2x } =
sup { ( t — x ) 2 — 3 x 2 / — x < t < 2 x }
11.
además,
b = —1 .
s u p { t 2 — 2 t x — 2x~ /
=>
e ;
x = 1/n , n G Z +
;
ii)
tal que i / n Q <
x = 1/n , n G Z +
,
para todo
1/320 ,
Z+
6 ,y
,
0
< e
g
l/n Q <
x — l/n
b = 2
f ( 32) =
b) No.
o existe n Q
Í
10.
Cap. 4
Análisis Matemático 1
=n + —
, x
f
es continua en
f
no es continua en
€ (n + 1/ 2 , n + 1)
R - { n
+ i/2 /
{ n + 1/ 2 /
n G Z } .
fo g
tiene discontinuidades esenciales en :
g o f
es continua en todo
R , pues
g o f
a)
a = 3 /2 , removible ,
f ( a ) = 13/ 4 .
b)
a = 8
, re m o vib le ,
f ( a ) = 1/48 .
c)
a = 3
t esencial
f(x) =
^
~ ' / (x
0
-
,
d) a = 4 ,
D . J r e ( - I . O )
, *
n e Z >
6 [0 , I)
—2, 0
=
y 2
;
o .
polo ;
e)
a = 1 , esencial
f
es continua sobre ( - 1 , 0 ) , sobre [ o , l ) ,
hay una discontinuidad esencial en
15.
^ ,
v
Sen t i x
,
-------------• (
.,
f (0 ) =
hm
0+
r/1.
x -
Dom f
ii)
Dom
iii)
Dom
i v)
Dom
17.
(-3 /5 )
19.
lím
f
R
x -> 0 ~
x
( — oo , — 5 ) U
(5,10)
f
=
[ 5 / 3 . oo )
{ 2
18.
a)
=
-
f ( 0) = f ( l )
lím
=
. m, ; .
tambi én.
— 7t
,
7/6 }
= 2n2 ;
,
b)
.
Sí.
lím
f (x) =
0
x —> 0 ~
lím
f (x)
x —► 0
=
no e x is te ;
0
lím
f(x) =
x —> l / 3 ~
lím
( — x " ) = — 1/9;
X-+1/3-
f (1/3) = - 1 / 9
con lo cual f resultará continua
{n} .
( - ji / 4 , 1 / 3 ] u
V e rd a d e ro ;
;
o )
= [ 5 / 3 , 2 ) U ( 2 , oo )
x-v0+
f (x)
,f ( 4) = — 4
(10,o
U
(—x “ ) = 0
entonces se puede redefinir
b)
lím
- Sen tix
----------------
=
x —► — vt/ 4+
a)
X - 1
f
=>
20.
x
,x 6 R;
x->0+
sobre
ti
[ 0 , 4 ) u ( 4 , 9 ) u ( 9 , o o )
f (x)
lím
Sen
=
;
pues
— 7i
x _n~
x
=
( - 1, l >,
1
Sen ( tix + ti)
------------------------- =
x —► 0 ~
=
hm
x ( x - 1)
hm
i)
)
------------- =
|-
=
-v
Sen j i x
hm
pero no sobre
x = o .
I
x
.,
f (1) =
16.
385
Continuidad
Cap. 4
se puede redefinir como
Sólo es verdadero para
n/2
1/2.
O
n = 4 (múltiplo de 4 ) ,
con
así que (b) es Falsa.
21.
f es discontinua en
22.
i)
x = - 9 , - 6 , - 3 .
~ 5 , -L ]
x 6 A = (
4
=>
ii)
C
(-1 ,1 ]
2
x/2 6 ( - 1 / 2 , 1/2] .
El único punto de discontinuidad se presenta para
x/2 =
0 , es decir, en
x = 0 .
23.
f y g continuas en a implican que
que | f -
g | es continua en a ,
f + g , f — g son continuas en a ,
y en consecuencia que la función
-386 -
Análisis Matemático 1
f + g + I f —g I
24.
r
t pues
25.
(b):
(a)
f y g
es continua en a .
=£*
26.
Como
R .
implica que existe una vecindad
M
=
lím
V fi ( a )
f(a) — e <
tal que, p a r a io d o
f (x)
< f (a) + e
m áx { | f ( a ) — € | , | f ( a ) + e | } .
f(x) = 0=
lím
x - m /2 +
[ 2a
M es continua en a .
son continuas sobre
X 6 Vg ( a ) n S :
Cap. 4
f(x) ,
f(n/2)
= 1 , f ( 2 tt)
= 1
x-»n/2"
no es punto de acumulación del
Domf ]
, entonces f
es continua en
2n , pero no en n / 2 . Así, f no es continua sobre ( n / 4 , a ) u { 2 n } .
Redefiniendo:
f(tt/2) = 0 ,
f(a/4) = —- /T
f(a) = 2 ^ 2 - 3
,
,
se vuelve continua a la función f .
27.
—
a
> — , pues
3
37.
Sea f ( x ) =
n
9 >
ii)
Si
Si
< —
5 jt
3
b S e n x + a - x =>
f (0) = a > 0 ;
i)
;
f ( a + b)
pues
=
b Sen ( a + b ) — b<
1
xQ = a + b
es una raíz de la ecuación:
Sen (a + b ) <
1
entonces
f( a + b) = 0 ,
entonces
xQ e {0 1a + b )
40.
que
43.
Sí.
, donde
b — b = 0
es decir
;
que
tal que
y
f(0) = a >
0
:
f ( x Q) = 0 .
tal que f ( x Q)
= 0 ,
a + ( b Sen x Q ) = x Q .
Dos raíces son a y b.
existe al menos un
5a .
f(x) = 0 .
f( a + b) < 0
Por lo tanto, siempre existe un x Q € ( 0 , a + b ]
es decir, tal que
10 <
f es continua sobre R
Sen (a + b ) =
entonces existe un
9 <
Como
f(a)
c € (a , b)
c = e a , C 3 e b ,
y
f(b)
tal que
tienen signos opuestos entonces
f(c) = 0 .
(a — c ) “ ( c — b ) f ( c ) = 0
.
Esto también implica
45.
387
Continuidad
Cap. 4
n
x €
{ - 3 , 0 , 3 }
—x
x e
( - 3 , o >
f (x) =
x~ - 2x
f(x) =
x
2x + I
-
,
0
donde
Dom f = [ — 3 , 2 ]
-3
x < I
I <
x < 2
x = 2
Sup{f) = 71,
*o =
0 <
Ran ( f ) = ( — 1 , 3 ) u
U {3}
Inf ( f ) = — l .
Además,
f
{ tt }
es continua en 3
es punto de discontinuidad removible, pues
lím
x
-
>
-
3
exi st e; no se considera el límite lateral izquierdo
f(x) = 3
+
lím
f(x) .
x -► - 3 “
O
es punto de discontinuidad removible,
pues
es punto de discontinuidad removible,
pues
l í m f (x ) = O .
x -► O
lím
x
no se considera el límite lateral derecho
f(x)
2”
lím
f(x) .
x —► 2 +
es punto de d is c o n tin u id a d esencial
* 0
=
1
lím
f (x ) = — I
*
x —► l -
a) Discontinuidad e n x
Sup ( f ) = 2 ,
C) Sup ( f ) = 2 ,
b)
lím
x -> l
Así, f resulta continua sobre
46.
pues
(-3,1)
= 2 y x
I n f ( f ) = 4 /5
I n f ( f ) = 2/3
=
u
4.
+
= O
f(x)
( 1, 2 ) u { 3 }
.
.
=
i ;
388
Cap. 4
Análisis Matemático 1
Puntos de discontinuidad:
x = — - / T , — 1, i
(esenciales todos).
Intervalos de discontinuidad:
( - o o , - V T > ,
48.
f (a) <
f(b)
continua en
=>•
[ a, b ]
tencia de al menos un
49.
f(a) <
< - i , i ) , <i, o o > .
k = - - -
f(b)
xQ 6 (a , b )
y
es
f(*0 ) = k .
tal que
La función es continua en x = 2 . La función esdiscontinua e n x
(a , b ) = ( 4 , 5)
, y como f
2
entonces el Teorema del Valor Intermedio asegura la exis­
La función es continua en los intervalos ( 0 , 1 )
50.
<
(-3, -9) .
y
( i , oo) .
= o ! x =
i.
Cap. 5
- 389 -
LA D E R I V A D A
1.
El concepto de LADERIVADA está motivado por la idea
intuitiva que se tiene de la RECTA TANGENTE
punto
LT
y = í ( x ) en un
PQ = ( x Q , y Q) de ésta.
Esta recta tangente
LT
está caracterizada por el valor de su p e n ­
d ien te ( tangente de su ángulo de inclinación a
el punto ( x
a la curva
, y
)
con respecto al semieje
X + ) en
de la gráfica de f :
LT : y donde
= (x0 , f ( x 0 ))
o
.
V*o>
f (x
) = m T (x -
m T = Tan a .
x Q)
390
Cap. 5
Análisis Matemático 1
Como existen muchas rectas, además de la tangente L T , que pasan por
PQ y que en general son r e c ta s s e c a n te s
punto
PQ = ( x Q , y 0 )
Lh
que cortan a la gráfica de f en el
y en el punto genérico
Ph = ( j f 0 + h ,
entonces se puede intuir que para conocer el á n g u lo de inclinación
p o r m ed io d e s u p e n d i e n t e
f ( t Q+ h ) )
a
de
,
LT ,
no es necesario conocer globalmente el comportamiento
de la función f .
El conocimiento de la función en una vecindad pequeña
suficiente para determinar dicha dirección a
V g ( x Q)
de * 0
debe ser
, no in te re sa n d o qué tan pequeña sea
tal ve cindad.
Esto quiere decir que el radio 8 de la vecindad V g ( x Q ) puede tener la
magnitud de un millonésimo, o cualquier cantidad mucho menor inclusive, p e r o s ie m ­
p r e p o s itiv a , lo cual sugiere que debe emplearse un proceso de límite.
(s e c a n te )
P ( x 0 + h, f ( x G+ h))
V * o )
Para algún
mento h
8 >
0 , fijo pero muy pequeño, y conforme el valor del incre­
v a y a te n d ie n d o h a c ia o , el punto
EN EL EJE X , ubicándose dentro de la vecindad
y por lo tanto el punto
recta secante
Lh
x Q+ h
se acercará al punto
V g ( x Q) = { x Q - 8 , x Q + 8 )
P = ( x Q+ h , f ( x Q+ h ) ) e f
te n d e r á hacia
t e n d e r á a c o in c id ir con la recta ta n g e n te
La recta secante
tiene pendiente
xQ
?Q y la
LT .
m h y tomando un proceso de límite
cuando el incremento h tie n d e a o entonces la recta secante
Lh
,
tiende a coincidir
Cap. 5
391
L a D e r iv a d a
con la Recta Tangente L T
y la pendiente m h
tenderá a ser igual a la pendiente
m T de la Recta Tangente :
f ( x Q + h) mh
f(*o)
f ( * Q + h) -
f (x
)
=
<x o + h ) -
*0
y por el proceso de límite se tiene la pendiente:
T an a
m~
T
=
=
l í m m.
h-í-0
h
f U 0 + h) - f U 0)
lím
h —> O
■■ ■
h
siempre y cuando este límite exista. Esta última suposición es equivalente a la existen­
cia de una recta tangente bien definida en el punto Po .
Ahora bien, no siempre existe tal limite, como ocurre en la gráfica de la fun• »
cion
f (x ) =
|x -
2 1+ l
, en el punto
PQ = ( 2 , i) ,
YA
pues geométricamente, en
¿Lx ?
pq
existe una esquina ( o v é rtic e )
I
y no es posible tener una recta
tangente bien definida en dicho
' - - y * ' p0" - - ^
I '
¿l t ?
^*
4
punto.
o
Analíticamente, tenemos que
Hx
+ h ) - f ( x Q)
xQ -
h -> O
f(x
) = f(2) = l :
f (2 + h) — f (2)
f ( x Q+ h) - f ( x )
lím
-------2-------------------- —
h
h
O+
lím
2 ,
f ( x n + h) - f ( x
-------2--------------------
=
lím
h —► O+
(1(2 + h) -
=
1
2 | + 1) -
1
( p o r la derecha)
h
)
=
lím
h —» O
=
-
1
( por la izquierda)
- 392 -
Análisis Matemático 1
NO EXISTE la pendiente (o Derivada) : m T =
1
Cap. 5
lím
+ h) -
EJEMPLO.- Demuestre que la gráfica de la función
f (*
--- ------------—
h —► o
y por lo tanto no existe Recta Tangente en el punto p
1.1
f (x
)
h
= (2 , 1) .
f (x) =
3 -
(x -
3)
tiene una recta tangente en el punto PQ = ( 4 , 2) .
SOLUCIÓN.Sólo falta hallar la pendiente de
para
x
mT =
=
LT
= 4 :
lím
h —► 0
f (x
-------
lím
h —y 0
+ h) -
f (x
)
—
p0 ( 4 , 2 )
h
f (4 + h ) -
f(4)
y tal como indica la figura debe cum­
plirse que m T < o , entonces
mT =
1
lim
h -i O
3 -
(4 + h - 3)
RECTA TANGENTE
Lx :
-
2
(-X )(h + 2)
X
Lim
h —► 0
y - f ( x Q) =
mT ( x - x o)
y - 2
( — 2) ( x — 4)
=
,
=
m
-2
= -2
y tal como indica la figura, la pendiente resultó n e g a tiv a en este caso.
Es precisamente a esta pendiente
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
2
f
EN
mT
a la que, c u a n d o existe, se le denomina
x Q , y se le denota:
.
Dada una función f y un punto x Q en el d o m in io
de f , se llama DERIVADA DE f
EN EL PUNTO
siempre que tal límite exista. En tal caso también se lee
al valor numérico :
“ f p r i m a en
x QV
Cap. 5
2.1
39 3
L a D e r iv a d a
DEFINICIÓN.-
Si
f
es una función entonces la
FUNCIÓN DERIVADA DE f ,
denotada por f ' , está definida por la regla
y es tal que su dominio consiste de aquellos puntos del
límite dado exista. En general se tiene que
D om f
Dom f ' c
para los cuales el
Dom f .
2.2 O T R A S N O T A C I O N E S P A R A L A D E R I V A D A
1.
x — x Q+ h
Si
h = x — xQ
entonces
f'(x „)
2.
y
f(x) - f ( x j
---------------------- 2 _ , .
lím
=
en la variable x se le denota
Al incremento h
,
A x
= h =x - x 0 , y
para
tal incremento existe un incremento en el valor de la función al que se le denota
A y
=
f(x o + A r ) - f ( x o)
=
f ( x ) - f ( x Q)
,
y de lo cual se tiene:
f (xQ+ A x ) -
4.
D f
—
=
A x
f'
=
=
=►
D
dx
que se lee
0
D f (x
Df(x)
f'
i.
lim
A y
— ~
A x —> 0
A x
=
o
3.
f ( x Q)
A x
)
=
f(x)
—
=
)
f'(x )
(x D) =
dx
1D eriva d a de
f'(x
f'(x
Ó
D f (í)
=
f'(x )
.
, lo que indica que la variable es x
)
Ó
—
(x)
=
f'(x)
dx
°
f con resp ecto a
x en el p u n to
xQ
( O en
el punto x , respectivamente ) * .
2.3 DEFINICIÓN F O R M A L D E R E C T A T A N G E N T E .
La recta tangente
Po = ( x
, f ( x Q) )
LT
a la gráfica de una función f ^ en el punto
es la recta que pasa por Pq y que tiene pendiente
f ' ( * 0 ) , cuando exista, es decir
394
Análisis Matemático I
Cap. 5
Y se llama RECTA NORMAL L n a la g r á fic a de f en
PQ = ( x Q , f ( * 0 ) ) a
la recta que pasa por Po y que es perpendicular a la recta tangente L T en
2.4 DEFINICIÓN.-
xQ e D om (f')
Si
pq .
entonces se dice que f es DIFERENCIABLE
en x Q . Es decir, si es que f tiene derivada en x Q .
2.5
DEFINICIÓN.-
Se dice que la función f es
INTERVALO I
DIFERENCIABLE SOBRE UN
si la función r e s t r i n g i d a
fj
es diferen­
c ia r e en cada punto de I .
Si
es un in te r v a lo a b ie r to se tiene la definición equivalente:
I
" La / u n c ió n
f es d ife r e n c ia b le s o b r e el in te r v a lo a b ie r to I
s i f es d ife r e n c ia b le en c a d a p u n t o de I “ .
Si I es un intervalo cerrado
[ a, b] , a <
b , entonces la definición dada
es equivalente a :
’ La fu n c ió n
i)
y
f es d if e r e n c ia b le s o b re el intervalo cerrado
si f es diferenciable en cada punto del intervalo abierto
ii)
[a , b ] :
(a, b) ,
si existen AMBOS LÍMITES LATERALES:
r,
f
, ,
(a)
„
, .
f _ (a)
„
hm
f (a + h ) - f í a )
---------------------------------
h-+0+
h
„
lím
f (b + h) - f ( b )
----------------------------------
h —► 0 —
h
=
=
llamados DERIVADA POR DERECHA d e
a ,y
DERIVADA POR IZQUIERDA d e b ,
respectivamente “ .
En el caso de una FUNCIÓN CONSTANTE, como
f(x)
=
5 , su gráfica
es una recta h o r iz o n ta l, lo que significa que su p e n d i e n t e es ig u a l a CERO; es
decir, que en cada punto de su gráfica, su recta t a n g e n t e coincide con la g r á fic a
de f , y que su p e n d i e n t e E S CERO , o lo que es lo mismo, su d e r iv a d a es CERO :
t *
En efecto,
r
rt,
f
^
(x)
=
w
lím
h *4 O
f(x + h ) — f(x)
-----------------------------------
h
=
w
lím
h—►0
5 - 5
Cap. 5
La Derivada
lím —
h-fO h
En el caso de las rectas
=
395
lím 0
h —> 0
=
f ( x ) = ax + b f
0
en cada punto de la gráfica, la recta
tangente coincide con la gráfica de f
y por lo tanto su pendiente que es igual al valor
a debe ser precisamente la derivada
f ' (x )
f'(x)
=
lím
h
0
lím
h —► 0
lím
h —► 0
2.6
NOTA.-
2.7
PROBLEMA.-
f ( x + h) — f ( x )
[ a ( x + h) + b ]
ah
En particular
Si
para cualquier x . En efecto,
=
lím a
h
0
D I = I , pues
f ( x ) = Sen x
, halle
— [ a x + b ]
=
a .
I(x) = x
( a = 1, b = 0 ) .
f ' (x ) .
SOLUCION.f'(x) =
=
lím
h —► 0
f ( x + h) — f ( x )
lím
b —► 0
Sen. ( x + h ) — Sen x
^ - il *i m —I • Cos ,( ------------2 * + h )x* Sce n (/—h )>
2
h —► 0 h
2
2
2 • Cos ( l í m 2 1 + J L ) . H m j e n j h / J )
h —► 0
2
h -* 0
h
=
Cos x
2.8
EJERCICIO.-
Demuestre que
2.9
PROBLEMA.-
Encuentre
SOLUCIÓN.-
Sea
f(x) =
f'(x)
=
= (2 C o s x ) *
=
lím
0
h
D
x
(Cosx) =
,
entonces,
f (x + h) — f (x )
+
-Senx
í V T ) .
VT
lím
h —► 0
[V
D
h
+ VT ]
=
si
x > o :
=
lím
h
0
lím
h -> 0
1
------- —
—
^ x + h + V x
- 396 -
Análisis Matemático 1
, donde
1
Cap. 5
x > o .
2.10 PROBLEMA.- Demuestre que la función
* 3 / 2 Sen ( — )
,
x í
0
f(*) =
, x = 0
0
es diferenciare en xQ = 0 . Es decir, demuestre que existe f'(0).
SOLUCION.-
,'(0, »
Para
*0 = o :
1,„
h —» O
=
h
f ( h ) — f (0)
= l í m ---------------------h —► 0
h
h3 / 2 Sen(l/h)
I i r n ----------------- — ----h —► 0
h
f'(0) = 0
2.11 PROBLEMA.-
Hm
f < ° .+
h —>■O
f ( h ) - 0
l í m ----------------h —►0
h
=
=
,,
U 1/ 2 „
1
hm
h ' Sen—
h —f 0
h
Dada la función
f'(* 0) =
=
=
*.
=
f (x) = y x
f'(0 )
,
x e M , demuestre que f
xQ = o .
=
f{x
+ h ) - f ( x
l í m ------h -> O
)
—
f(h )-f(0 )
=
h
y~h - o
hm
-----------------h —> 0
h
,,
= hm
h —> 0
hm
h —► O
h
=
+ oo .
i
3/ ^ 2
f'(0) no existe . Así, f no es diferenciable en xQ = o .
3.
1.
0
.
no es diferenciable en el punto
SOLUCIÓN.-
h
Para toda función c o n s ta n te
f(x) = C :
D
C =
0
Cap. 5
La Derivada
Sen x =
D
Cos x
,
Cos x
D
5.
=
397
— Sen x
n 6 Z+ .
6.
V n € Z+ :
* PRUEBA DE ( 5 ) :
^
D
, n^
(x ) =
*
Para
y
n € Z+
f ( jc) = x D ,
(* + h )n - x n
h m -------------------------h —> 0
h
[ ( x + h) - x ] [ ( x + h ) n
=
lím
h -► 0
=
l ím [(x + h)n
h —► 0
x
Dr ( x l / n )
1 (1 / n) - 1
— x
n
n — 1
+ x
,
+ ... + x
n - l
=
2+ xn
*]
t
i \ n —2 ,
n - 1,
+ (x + h) x
+ x
]
2x + .
1+ (x + h ) n
n — 1 ,
2 x + ... + (x + h )x n
' + ( x + h)n
nx
n —1
( n SUMANDOS )
PRUEBA DE ( 6 ) :
lím
h —► 0
v r n r
-
v r
—
lím
[
h —► 0
(x + h) — x
1
u + h ) ( n - 1)/n + ( * + h ) ( n - 2 ) / v
1
n x
]
/n +
+ ( x + h ) l / n x ( n - 2 ) / n + x ( n - 1)/n
1
(n - t ) / n
( para
n en Z + ).
n í nV T ) n - '
4.
4.1
TEOREMA.-
Si f y g
( f + g)
a)
D [f + g](x)
b) D [ f g ] ( x )
so n d iferen cia b les en u n in te r v a lo I e n to n c e s
y ( f g)
son d iferen cia b les en
=
D f(x)
+ Dg ( x )
=
f(x)-Dg(x) + g(x)-Df(x)
I,
y además :
398
Cap. 5
Análisis Matemático l
PRUEBA.-
a)
D
[ f
+
g
]( x )
=
lím
h ->0
*
j.
( f + g ) U + h) h
f ( x + h) + g ( x + h) -
h —> 0
lím
|- f ( x + h ) -
[f-g ](x )=
*
_
1¡m
f (x) +
lfm
h
f ( x + h ) - g ( x + h) -
g (x)
j
gU + h)-g(x) j
h —► 0
h
g(x) .
l í m i.^ .g
h -> 0
~
tf- A liU
h
f( x + h)«g(x) + f( x + h )-g (x) - f( x ) - g ( x )
h
líra f ( x + h ) - g ( x + h ) h —► 0
h
=
g ( x + h) -
+
h -»0
=
g (x)
h
Hm [ !SX± . h).
f (x) +
D
f (x) -
h
h —► O
b)
g)(x)
h
h ->0
=
+
(f
f(x)-D
g(x) +
g(x)-D
sU)
+
f(x)
lím g(x)
h— 0
[pues
f (* + h) - f W
h
lím f (x + h) = f (x) ].
h -> 0
x
La observación hecha entre corchetes es cierta debido a que siendo f diferenciable en
x entonces es continua en x , como se verá en seguida.
4.2 DIFERENCIABILIDAD IMPLICA C O N T I N U I D A D
TEOREMA.Sí
PRUEBA.lím
[f(x
Dada una función f y un punto x Q e
f es diferenciable en x Q e n to n c e s
Como por hipótesis existe
+ h) -
h —► 0
f(x
)]
=
0
= [
lím
h ->•<)
0 =
f'(*0)
lím
en
se cumple que:
f es continua en x Q .
K , y además:
f (x + h) - f (jt )
[ ------- 2-------------------- 2 _ . h ]
h->0
h
f (x + h) - f (x )
------- 2---------------------» _ ] . [
h
lím
[ f (x + h) h —► 0
°
Domf
i ím
h ]
=
t f (x
h-fO
f (x
)]
°
=
lím
f(x + h ) h-+0
0
) ] • [ 0]
=
0
0
lím
h->0
f (x
)
0
La Derivada
Cap. 5
O =
/ .
f
[ l í m f ( x + h) ] h -> O
°
f(x
)
399
=>•
l í m f ( x + h)
h —►O
0
0
=
f(x
) .
0
ES CONTINUA EN EL PUNTO x q .
S i f no es continua en x o e n to n c e s
COROLARIO.-
f no es d ife re n c ia re en
el punto x Q .
4.3 EJEMPLOS.( x 3 + x 2 + 3) =
1.
( x 3 ) + Dx ( x 2 ) + D ^ O )
3 x 2 + 2x + 0
=
2. D x ( x 2 S e n x )
=
x2
4.4
COROLARIO.-
Sí
f y
(Sen x ) + (Sen x )
x 2 Cosx
=
g
+
D [ C f ] (x )
=
d)
D [ f — g ] (x) =
(x 2)
2xSenx.
son d iferen cia b les so b re un in te r v a lo
es u n a c o n s ta n te e n to n c e s C f
c)
3 x 2 + 2x .
=
I y
es d ife re n c ia b le y :
C [ D f (x)]
D f ( x ) — Dg ( x ) .
PRUEBA.-
c
,
c
c)
f =
D
d)
Dx [ f - g ] ( x )
= 0
aplicando (b) de [ 4 . 1 ] .
Dx [ f + ( - l ) - g ] ( x )
=
[ de ( c ) : ]
...
=
Dx [ f ] ( x )
+ Dx [ ( - i ) - g ] ( x )
=
Dx f(x ) + í - l ) * D x g(x)
=
4.5 TEOREMA.- S i g es d iferen cia b le so b re un in te r v a lo
V x 6 I
, e n to n c e s
1/ g
...de
Dy f (x) -
I y
(a)
Dx g(x)
si g( x ) *
es d iferen cia b le en I ,
0,
y
V x € I
PRUEBA.[ — ] ( x + h) D_ [ J-](x) =
lím
[ — ](X)
— ------------------------ i ---------- =
Hm
1
1
g U + h)
g(x)
5
=
_
Hm
h -.0
[
g ( * + h > - g ( * . ) _ -------------- !------------ ]
h
g ( x ) g ( x + h)
C
400
Cap. 5
Análisis Matemático l
1
g'(x)-
l í m ----------h
0 g ( x ) • g ( x + h)
=
I
- g ' U )
S i f y g son d ife re n c ia b le s so b re un in te r v a lo
g ( x ) ^ 0 en I e n to n c e s se c u m p le que
4.6 COROLARIO.-
I
t V *
PRUEBA.4.7
Aplique la derivada del producto a :
f-(— )
g
=
f/g
y si
6 I
.
EJEMPLO.Cos x D
Sen x
D * T an x =
Sen x — Sen x D
Cos x
Cos x
C os" x
(Cos x ) (Cos x ) — (Sen x ) ( — Sen x )
Sec2 x
Cos“ x
C os2 x
En forma análoga se puede demostrar las fórmulas [ 3 ] a [ 6 ] siguientes:
1)
D
Senx
=
C osx
,
4)
D
2)
D
C osx
=
— Sen x
,
5)
Dx Sec ( x )
3)
D
Tan x
=
Sec
x ,
6)
D
*r\
7)
^k
d
* n\
(x
)
=
nx
n 1 I
^k
Cotx
=
=
C o s e c (x ) =
— Cosec
x
S e c (x )T a n (x )
— Cosec(x)Cot(x)
V,
V n £ Z
,
dx
8)
(xr )
=
rx
r - 1
( r a c io n a le s )
V r € Q
dx
En general se tiene que:
PRUEBA DE ( 7) :
Dx (xr )
Ya vimos que para
n e Z+
Ahora veamos para
n e Z“
=>
=
r i r
1
V r € Q
se cumple la fórmula.
n e Z~ :
(-n )
=
m eZ +
para el cual
Cap. 5
La Derivada
z
\
= ( —m ) x
4.8
EJERCICIO..
a)
b)
ni
1
nx
=
n
i
- 401 ^
,
_
n € Z
Halle la derivada de
., _
Cos x
f ( x ) = — ------x“ + 2
.
c)
1 + xSenx
f ( x ) = — ----- - -------1 + Cos x
d)
,, .
Sen x
f ( x ) = ---------*
. . .
f(x)
=
3x
2
+ 5x
Sec x
SOLUCION.a)
f ' ( x ) = [ ( x 2 + 2) ( - Sen x ) -
2 x Cos x ] / ( x 2 + 2 ) 2
..
b)
,, , ^
( I + Cos x ) ( x Sen x + Sen x ) — (1 + x Sen x ) ( — Sen x )
f ( x ) = ------------------------------------------------------- ------------------------------------(1 + Cos x )
c)
f ' (x) = (xCosx — S e n x )/x 2
d)
f( x ) = (3x2 + 5x)Cosx
f ' ( x ) = ( 3 x 2 + 5 x ) ( — Sen x ) + ( 6 x + 5) Cos x
= ( 6 x + 5) Cos x — ( 3 x 2 + 5 x ) Sen x .
4.9
PROBLEMA.-
Halle la derivada de las funciones:
a)
f (x ) = 5 / 7
+ 4
+ ( 2 / ^ T x" )
b)
f ( x ) = (3 Cos x)V ~ x~ .
SOLUCIÓN.a)
f'(x)
=
—
5
x
5
, 4 -2/3
+ — X
3
+ —
-
2 -6/5
— X
5
4
í
b)
f'(x)
=
— 3 (Sen x ) ( Ü~x ) +
4.10 PROBLEMA.-
6
3 Cos x
Dada una función f tal que:
i)
ii )
f (x + y) = f ( x ) - f ( y )
f (0) =
l
,
y existe
,
f'(0) ,
V x , i/
reales.
Cap. 5
Análisis Matemático I
probar que existe
f'(x )
, y que
f'(x )
=
, V x real.
f'(0 )-f(x )
4
En el siguiente proceso h es variable, mientras que x es constante:
SOLUCION.t (x;
=
=
=
4.11
f ( x + h ) - f ( x )
l í m -----------------------------h —► O
h
f (h) - 1
f ( x ) • l i m ---------------- =
h —► 0
h
,
Si
TEOREMA.-
pues
PRUEBA.-
donde
f'(a)
=
f ( a ~ h )h
Si
s i y só lo si
L =
f ( 0)
f'(0 ) .
a , entonces
y aquí hacemos
h -*
t = - h
0 ; así
— lím
h —► 0
Sumar y restar
f (1 + h ) 2h
f (1 -
h)
f (a)
x2 ,
en el numerador.
evalúe
f (1 + h ) -
lí m
h —► 0
h) -
x = a , e n to n c e s
f (a )
f (jc ) = * 620 + x 200 -
f (a -
f (1 -
h)
2h
Como f es un polinomio, es diferenciable en todo R ;
Corolario anterior para a = 1 tenemos que
lí m
h —¥ 0
y =
L
n
— f ' ( a)
=
es d ife r e n c ia b le en
f
L =
SOLUCIÓN.-
^
h
f (a)
(-h)
SUG.-
4.13 EJERCICIO.-
en
f ( a + h) — f ( a )
Sí
.
,
t
t —► 0
COROLARIO.-
f (0 + h ) -
y puesto que existe
f(a)
f ' (a )
f (a + t ) -
lím
t -► 0
lím
h —►O
I
f(x)
h
f (x) • h m
h -+ 0
f (0) =
Como existe la derivada
f f ( a) =
fU)-f(h) -
es d ife r e n c ia b le en x = a , e n to n c e s
f
lim
h —► 0
4.12
=
€f .
f ( x ) • f ' (0)
I;_
lim
h —►0
=
f'O )
así usando el
Y como
f ' ( x ) = 6 2 0 x 6 l9 +
L = f'(l)
5.1
403
L a D e r iv a d a
Cap. 5
LEMA.-
=
200
620 + 200 -
Si una función
f
x
199 -
2
=
2
,
x
818 .
es diferenciable en
una función e = 6 ( h )
Como existe la derivada
0(h) =
f (x + h) ------- 2
h
lím
0 (h )
h —>0
=
=
f (x
x Q € Dom f , entonces existe
tal que
donde 6 satisface la condición:
PRUEBA.-
entonces
f ' ( x Q)
)
—
-
lím
6(h) = 0 .
h —f o
en
f (x
R , definimos
)
entonces
f (x + h) - f (x )
lím
------- 2---------------------2
h —► O
h
-
f,(V
=
lím
f'(x „)
h —>0
°-
5.2 TEOREMA (REGLA DE LA CADENA):
Sí g es diferenciable sobre un intervalo I
y si f es diferenciable
sobre un intervalo
J 3 g(I) =
{ g (x) /
x G I }
entonces
fo g
e s diferenciable sobre I . Además,
O sino
5.3 OBSERVACIÓN.- Note que en el 2do. Miembro la función D e r iv a d a D f e s tá
e v a l u a d a e n g ( x ) , mientras que la función D e r iv a d a D g
está e v a l u a d a e n x :
404 -
Cap. 5
Análisis Matemático 1
DEMOSTRACION.Sea xQ e g(l) c J , donde
g (I) es también un intervalo pues g es una fun
ción continua, y debemos demostrar que:
f [g(x + h)] - f[g(x )]
J i m -------------------------h —► O
h
Para ello definamos la función
=
f [ g ( x )]-g (x ) .
o
o
k = k(h) = g(*o + h) - g ( * 0 ) . Como g es
diferenciadle en xQ resulta que g es continua en xQ , entonces
k (0) = 0
y
lím k (h) = lím [ g ( x + h) - g ( x ) ] = g ( x ) - g ( x )
h -> 0
h->0
0
0
0
0
=
0 =
Además, siendo f diferenciare en
==>■
k(0)
g(*0 )
k es continua en 0.
entonces EXISTE una función
0
(k)
tal que
f tg(*0 ) + k] =
donde
Jim
0
f [ g (xQ ) ] + k f /[g(xQ )] + k
(k) = 0 .
Por lo tanto, podemos definir
para hacer que
Luego,
f[g(x0 + h ) ]
0
0
0
(k)
(0 ) = 0
sea continua en 0.
=
f[g(xQ ) + k] =
f [ g(xQ ) + k (h) ]
=
f [g(*0 ) ] + L(h)-f/ [ g(xQ )] + k(h).0[k(h)]
=
f [ g U 0 )] + k (h)-[f'tg(x0 )] + 0 [ k ( h ) ] ]
f; [ g u o + h ) ] - f [ g (x0 ) ] = g u 0 + h ) - g cxo ) j{f/(gUo)) + 0[k(h)]}
f [ g ( x D+ h )] - f[ g ( x 0 )]
l í m ------------2----------------------------2----- = g ( x
h —> 0
h
ydonde
lím
0 [k(h)]
h —► 0
=
0 [
) • { f [ g ( x Q) ] +
0
lím k (h ) ]
h —¥ 0
0
=
0 ( 0) =
lira 0 [ k ( h ) ] }
h _^0
0.
La Derivada
Cap. 5
5.4
EJEMPLO.-
D adas
- 405 -
, .
g (x)
f(x)=Cosx,
=
X
n
3
X
2 .
+
X
halle
,
2
a)
Dx C o s ( g ( x ) )
,
b)
(f o g )'(ji/2 ) .
SOLUCION.f ' (x)
f ( x ) = Cos x
f \
g(x)
=
X
71
3
X
2 ,
+ X
(x)
g '
=
— Sen x
3x2 —
=
71X +
I
,
2
a)
b)
Dx C o s ( g ( x ) )
( f o g ) ' (n /2 )
=
Dx (f o g ) '( x )
=
f ' [ g ( * ) ] • g' (x)
=
— Sen ( x 3 — — x 2 + x ) • ( 3 x 2 — n x + 1)
=
(fo g )'(x )
=
- Sen [ g ( x ) ] • g ' ( x )
f'[g (* /2 )].g '(n /2 )
x3
7t , Jt . 2
Sen [ ( — ) --------- ( — )
2
2
2
o
-
r t *
Sen ( — ) ■(
2
5.5 NOTA.-
=
1
+
ti2/
4
)
, Jt
,
7T
Jí
H-------] • (3 —
2
4
=
- 0
71
+ —
+ O
)
Cuando se trata de tres funciones f, g, h, se tiene que:
(fo g o h )'(x )
=
f'{g [h (x )]}-g '[h (x )]-h '(x )
REG L A DE LA C A D E N A
Observe que las derivadas se van sucediendo desde la función más
externa hacia la función más interna.
PRUEBA.Sea
F = f
D [ f o g oh](x)
,
G = g o h
,
=
D[ f
h) ] ( x )
=
F '[G (x)]-G '(x)
=
f'[(g o h )(x )]-g '[h (x )]-h '(x )
=
f'[g (h (x ))]-g '[h (x )]-h '(x )
o
(g
o
G '(x) = g '[ h ( x ) ] - h '( x )
=
=
D [ F o G ] (x)
f , [ G ( x ) ] - G / (x)
Esta regla se puede generalizar a cualquier número finito de funciones y es llamada
la REGLA DE LA C A D E N A por la " cadena ordenada * de derivadas que se van su­
cediendo y donde solamente se debe tener cuidado de evaluarlas en el punto correcto.
Análisis Matemático 1
406
5.6 APLICACIÓN.-
Puesto que I ( x ) = x
entonces
Cap. 5
I n (x) =
,
[f(x)]“ =
xn ,
In [f(x)]
n e
=
+
( I n of)(*)
donde vemos que la POTENCIA n es la función " más externa ", y por lo tanto
D (In ) =
D [f(x)]n
5.7
n I n —1
ó
( I n )'
=
=
D (In o f)(,)
=
D ( I n ) [ f ( x ) ] • {' (x)
=
n I D _l [f(*)].f'(x)
D j. ( x 2 + 5 x ) I°
2)
( i “ o f)'(jc)
=
=
1 0 (*2 + 5x)9 -D x
=
1 0 ( * 2 + 5 x ) 9 - ( 2 x + 5)
{ Cos ( Sen ( x ) ) }
=
3 ( Tan x ) 2 D
x
2 +
5x )
Cos' (Sen ( x ) ) • Se n ' ( x )
— Sen ( Sen x ) • Cos x
~
(Tan x )
(
D
(Tanx)5 =
D
|2
2
2
2
( T a n o ------------) ( x ) = jy T a n ( — ------- ) = Sec2 ( —
) D r ( — ---- )
1+ 1
*
x + 1
x + 1
x x + \
_
occ2 (
xl
)
3 T a n 2x S e c 2x
íX +
X + 1
2
c 2f x
.
= Sec ( ----------- )
* + 1
5.
n[f(Ar)]n _ l -f'(x )
=
=
4.
,
EJEMPLOS.1)
3.
n l n_1
D
[ 3 x 2 + Sen5 (
”
{X + 1)
(^2)(0
2
2 , .
x + 2x
(x + t)2
VT ) ]
= 2 [ 3 x 2 + Sen5 (
VT ) ] • D
= 2 [ 3 x 2 + Sen5 (
VT ) ] * [ 6 x
= 2 ( 3 x 2 + Se n 5 (
VT ) ] • [
[ 3 x 2 + Sen5 (
+ 5 Sen4 (
6x + 5 Sen4 (
VT )
VT ) • D
]
Sen (
VT ) ]
VT ) Cos ( VT )
-----^ = - ]
Cap. 5
6.
D
La Derivada
[
Tan x
] 3
=
3 [
x4+ I
_
] 2 . p
x 2 r a n x
^ £ x 2 Tan X j 2
4
x + i
PROBLEMA.-
[
* T a n *
x4+ 1
]
x4+ 1
( x 4 + I ) ( 2 x Tan x + x 2 Sec2 x ) — ( x 2 Tan x ) ( 4 x 3 )
á
(x4+ i r
'y
X
IT
( X 2 ) 1/ 2
5.8
- 407 -
x * 0
M
Calcule las derivadas de las funciones siguientes:
a)
f(x) = [ [ x j
c)
f(x) =
|x |
b)
f(x) = [[g(*)]]
d)
f(x ) = | g(x) |
SOLUCIÓN.a)
Como todo máximo entero es un NUMERO ENTERO , y es constante en una ve
cindad de x ,en caso de que x * Z :
f(x) =
[[xj =
para todo x g < n ,
Pero, si
h m
x =
n
si x € [ n
n
n
6 Z , es decir x entero ,entonces f'(x)
h-»0+
=
lím
h
h m
f( n + h) - f (n)
---------------------------------------
h-»0~
h
Por lo tanto,
-
lím
^
h -)■ 0+
—
^
[ [ n + h3
M
l í m ------ -----------------------------------------
=
h-fO
lím
h —> 0 ~
h
h —► 0
— ------- —
0+
( n - 1) n
----------------------------
lím
existe pues
no
0 > + h I
M
-------------------------------------------
h m
h
=
f'(x) = 0
+ 1) ,es decir p a ra todo x no entero.
f( n + h) —
f(n )
--------------------------------------- =
h-*0+
+ 1> , lo que implica que
, n
= h
n
m
1
----------------- =
h —y 0~
+
h
= f'(n)
+ oo.
h
no existe
=
0
408
b)
f (x) = l g ( x ) J = n
g(x) e (n, n + 1> , de donde resulta que
si
f'(x) = 0 , para todo x tal que
c)
Como
f(x) =
|jc | =
f'(x) =
* (*)
=
V x2
=
f
i
g(x) 0 Z
i
si
x >
0
L - 1
si
X <
o
[ i.e. g(x)
no entero].
, utilizaremos el Ejemplo [7] previo:
x * 0 , de donde
, para todo
Expresando de otra manera:
d)
Cap. 5
A n á lis is M a te m á tic o 1
H ' =— ■ •
Id =
Identidad.
f (x) = |g (x) | , aquí aplicaremos el resultado (c):
f' (jc) = ig(x)r = i-i'(gu))-g'u)
-
[-ü]<.<x».,'Cx> -
1Jl8U)) -.-ix)
|g(*)|
f'(x) =
’g ^ x )
, para todo x talque
g(x) * 0
|g(*)|
V x t.q. g (x) * 0
5.9 EJEMPLOS.- 1) Si
f (x) = 3x2 + 4x - 2
D x | 3 x 2 + 4x 2)
Si
f(x) = x 2 + Cosx
3.
Si
tal que
=
0 , V x
talque
f(x) 0 Z .
, entonces
D
V x
2J
entonces
| x " + Cos x | =
-( * +
■( 2 x | x 2 + Cos x |
Sen x ) ,
x 2 + Cos x * 0 .
f (x) = [[óx5 - 2x]j
D , | [ 6 x! - 2 x] |
=
, entonces
- |[ .x » - 2 x ] |'
= 0
-
0
La Derivada
Cap. 5
para todo x
tal que
5.10 COROLARIO.-
PRUEBA.-
Si
[[óx5 - 2 x ] ]
g
- 409 -
Z .
P a r a t o d o r r a c io n a l:
r = 0 :
xr =
l
(*)
, entonces ambos miembros de ( * )
coinciden
y son iguales a 0 .
a)
Si
r > 0 :
r =
m /n
con
D X ( * r ) = DX
m y
= Dx U l / n ) m
. y de [ 3. 5] :
= m ( x 1/n)m - , -D x ( x , / n )
, l/n ^ m -l
=
m (x
)
m
( m / n ) —1
= — x
=
n
b)
5.11
Si
r < o t
entonces
COROLARIO.-
'
rx
—r > 0 ,
5.12
=
m
(m — l)/n (1/n) —1
— x
n
•xw
r —I
y se procede como en (a).
Sea f diferenciable; para todo r
Dx [ f ( x ) ] r
NOTA.-
, y de [ 3. 6] :
1 (I/ n) —1
•— x
n
p r i m o s e n tr e s í ,
n 6 Z+ , y
=
r [f( x ) ] r
ra cio n a l
' - f ' (xr)
Los COROLARIOS [5 .1 0 ] y [5 .1 1 ] también se cumplen PARA TODO r
REAL como veremos en el Capítulo de la FUNCIÓN EXPONENCIAL GENERAL.
EJEMPLOS..
a)
, y~ Y .
_
(V x
) s D
_
D
x
b)
D
X
*/ Sen x
= D
- 5/4.
5
(5/4)- I
íx ' ) = - xv ' '
x
4
X
( S e n x ) 1^ 3
=
- ¡ - ( S e n x ) ^ 3^
^
= — (Sen x ) ~ 2^ 3 • Cos x
3
5.13 NOTACION
DE
LEIBNIZ
PARA LA
Cuando se tiene
resulta
=
5
1/ 4
— x '
4
=
1• D
=
X
5 4/—
— V x
4
.
Sen x
— (Cos x ) / S e n 2^ 3x .
• 3
REGLA DE LA CADENA.
y = f(x)
,
donde
x = g(t) ,
y = ( f o g ) ( t ) , cuya derivada puede escribirse como
entonces
410
Análisis Matemático I
dy
CO
dx
Cap. 5
f '(*)•
=
(f ° g ) ' (t) == f ' [ g ( t ) ] • g ' ( t )
=
dy
dx
d y U). ix m
-
dx
Así obtenemos la NOTACIÓN
DE LEIBNIZ para la REGLA
DE LA C A D E N A :
dt
dt
(t)
dx
dt
dy
dx
dy
dt
dx
La cual se lee:
" La derivada de y respecto a t es igual al producto de la derivada
de y respecto a x por la derivada de x respecto a t \
Esta es una forma muy fácil de recordar, pues aparentemente si en el 2do. miembro se
"cancelara" los dx se obtendría precisamente el 1er. miembro.
Sin embargo, formalmente, no tiene sentido "cancelar" los d x .
Por ejemplo, si
y = h(t) =
(t + t2 )3 + 3(t + t 2 ) 2 , podemos expresar
2
y = x 3 *f. 3x
donde
entonces la derivada de la función h(t)
dy
dx
dy
dt
h'(t) =
dx
dt
x = t+ t
respecto a t está dada por:
= (3x + 6x) • (1 + 2t)
[ 3 (t + t2 )2 + 6(t + t2 )]-(i + 2t) .
Sea
5.14 EJEMPLO.-
donde
y =
u = *f~x
,
x = t 2 + Cost
entonces
y =
f(t)
- i t
=
+ Cos t
[
1+ U
+ Cos t
1+
Para hallar su derivada
aplicamos la REGLA DE
LA C A D E N A sucesiva­
mente:
dy
dt
dy
dx
Así,
dy
dt
-
=
t
2
(1 + u )
]
1
1- u
( 2 1 — Sen t )
dx
dt
= -1 +
1+ u
]
La Derivada
Cap. 5
=
[ -----------,
(1 +
2
- - ] • (
,
1
■ ) ■( 2 t — Sen t ) .
2 ^ t 2 + Cos t
t 2 + Cos t ) "
Como se ha v isto en este ejem plo, la R egla de la C adena es m u y ú til p a r a
o r d e n a r los cálculos y e v i t a r c o m p lic a rs e con las v a r ia b le s in v o lu c ra d a s.
5.15 EJEMPLO.-
Evalúe
f'(l)
Hagamos
z = 3 + x3 ,
entonces
y = fU )
para
f(x)
t = 2 + -J~z
= Vu
,
J 1+ / T +
=
t
u = 1 + V~t* ,
y por la regla de la cadena :
dy
dy
du
dt
dz
1
1
1
dx
du
dt
dz
dx
2 Vu"
2 -/T
2 -J~z
y como para
f ' (0
1)
d
x = l se tiene que :
z = 4 t
t = 4
,
= - ^ - ( 1 ) = — L = - ------7 = " ------- ^ = r - ( 3 - ( l 2 ) )
dx
2 V 3 2 V 4 2 V 4
5.16 EJERCICIO.*
Si
, n.
(y ) =
dx
^ 3 + X
3
(3x2 )
u = 3,
=
32
y = f ( x ) , entonces
d
r n. dy
( y ) ■ — 2-
dy
dx
=
(ny
n —K
dy
dx
V n ra cio n a l:
2)
—
(y3+ x 2) =
dx
3)
—
(3y2 - - ^ - )
+ 2x .
dx
( 2 x + x 3y 2 ) = 2 + 3 x 2y 2 + x 3 - ( 2 y )
dx
4)
Para calcular
[ Sec ( x 2 + 3 x 2y 4 ) ]
,
dy
dx
hacemos
u = x 2 + 3 x 2y 4
dx
^
dx
Sec ( x 2 + 3 x 2 y 4 ) = - ^ - S e c ( u )
dx
=
[-^-S ec(u)]
du
— [ Sec ( u ) T a n ( u ) ] a [ 2 x + 6 x y 4 + 3 x 2 • ( 4 y 3 •
^U
dx
) ]
dx
= [ Sec ( x 2 + 3 x 2 y 4 ) Tan ( x 2 + 3 x 2y 4 ) ] - [ 2 x + 6 x y 4 + 1 2 x 2 y 3 - - ^ - ] .
dx
412
5.
Análisis Matemático 1
Hallaremos
—— Cosec3 (5x2 + Sen y)
Cap. 5
, donde
y = y(x) :
dx
Sean
^
2
u = 5x
+ Sen y
, t = C o s e c (u )
r
3 rc 2 . o
Cosec ( 5 x + Sen y )
=
dx
=
,
entonces
dt*
dt3
dt
du
dx
dx
du
dx
3 t 2 • [ — Cosec ( u ) Cot ( u ) ] ■ [ l Ox + ( C o s y ) * - ^ - ]
dx
= — 3 Cosec2 ( 5 x 2 + Sen y ) • Cot ( 5 x 2 + Sen y ) • [ l Ox + (Cos y ) *
] .
dx
NOTA.- Se recomienda analizar cuidadosamente tos EJEMPLOS [4] y [5] previos.
6. PROBLEMAS RESUELTOS
6.1 PROBLEMA.-
a) Halle la ecuación de la recta normal {p e r p e n d ic u la r ) a la curva
f (x) = x 3 - l en elpunto
(2,7).
b) ¿Dónde corta a los ejes coordenados la recta tangente en (1 , 3)
a la curva y = x 2 + 2x ?
SOLUCIÓN.- Recordemos que la ecuación de la r e c t a t a n g e n t e a la curva
y = f(x) en el punto (jc , f (x )) tiene la forma:
L tT :
y
y — f(x o ) =
f;(x
)*(x — x o )
v o
y la ecuaciónde la r e c t a n o r m a l en el mismo punto (xQ ,f (xQ )) es
i)
'
ii)
Si f'(x ) ^ O , L m :
v o'
*
N
Si f*(x0 ) = O ,
Ln
y — f (x ) =
3
v oJ
entonces
-----í
f'(x )
*(x — x ) ,
es una recta h o r iz o n ta l que p a s a
por
(xQ , f (*Q )) , y por lo tanto la recta normal
Ln
es u n a recta v e r tic a l q u e p a s a p r e c is a -
m ente p o r
x — xQ :
La Derivada
Cap. 5
a)
f(x) = x - 1
. f'Uc ) =
f(*Q ) = f(2) = 7
Luego,
= 3x
f'(x)
x Q = 2 , de donde
;
f ' (2)
=
3 (2 )
=
12
1
y - f(x0 ) =
N ’
413
O
y - i
N *
b)
Luego,
6.2
2)
f'(x) = 2x + 2 ;
L
x
= 1 , f(1) = 3
y
y
_ 3 =
4(x -
(x,, 0) € L x
X j = 1/4
Intercepto con el Eje X
(0, y ,)
y1 = — i
Intercepto con el Eje Y
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
€
Lt
Bosqueje la recta tangente a la curva f ( x ) = x
coordenadas.
1)
en el origen de
f ' ( x o ) = 3 x j j . En el caso de x Q = 0 (origen de coordenadas)
m = f / ( x Q) = f ' ( 0 ) = 0
Lt :
(x -
12
f ( x ) = x Á + 2x
entonces
=
y = f(x0)
y = 0
que indica que L T es una recta horizontal
[ = f(0) = o ]
(El Eje X )
Este es u n o de los ca sos d e R E C T A S
T A N G E N T E S q u e no so n ta n g e n te s
e x te rn a s a la c u r v a sin o q u e la c r u ­
zan.
6.3 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.y como
Sea
Halle el punto en la curva f (x) = 2x + 4x - 3
pendiente de la recta tangente es igual a 8 .
(x0 ,f(xQ ))
tal punto donde
f'(x0 ) = 4x0 + 4
4xQ + 4 =
de donde
m = f'(xQ ) = 8
entonces obtenemos la ecuación
m
= 8
* 0
=
1
f(xQ ) = f (1) = 3 .
Por lo tanto, el punto buscado, sobre la curva, es:
en el que la
(1,3) € f n L T .
414
6.4
Cap. 5
Análisis Matemático 1
Dada la curva
PROBLEMA.-
halle los puntos
f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 — 3 6 * + 12
sobre para los cuales sus rectas tangentes son paralelas al Eje X .
SOLUCIÓN.-
Como L T debe ser horizontal, su pendiente debe ser igual a 0:
m = f ' (x) = 0 ,
resolviendo f'(x) = o
donde
f ' ( x ) = 6 x 2 4- 6 x — 36
6 ( x + 3) ( x -
a) Para
x = -3
f (-3)
b) Para
x =
f(2) = -3 2
2
2) = 0
6 (x2 + x -
=
x =
—3 , x =
( - 3 , 93)
€ f O Lt
(2 ,-3 2 )
e
= 93
f n
6)
2 .
l t
7.
Se llama DERIVADA LATERAL D E R E C H A
punto
x 0 6 Dom f
de f en el
al límite r e a l :
y se llama DERIVADA LATERAL IZQUIERDA de
f
en el punto
xQ € Dom f
al
límite r e a l :
f (x
=
7.1
EJEMPLO.-
Dada la función
laterales
SOLUCIÓN.Luego,
=
lím
h —► O
=
lím
+
o
)
0
y
C o s ( — + h ) — Cos ( — ) |
2
2
(*/2)
f (x
lím
f ( x ) = |Cosx|
(n/2)
+ h) -
, calcularemos las derivadas
(jt/2) .
=
| Sen ( — h ) |
f ( ( n / 2 ) + h) -
Sen ( h )
f(n/2)
| Cos ( ( jt/ 2 ) + h ) | — | Cos ( n / 2 ) |
=
=
lím
b —> 0
Sen(h)
=
1
Cap. 5
r_
(
La Derivada
tt/
2 )
=
f C í n / 2 ) + h) -
hm
h —* O
f(n/2)
415
=
Sen h
hm
=
- I
,
porque
h -¥ O
Por lo tanto, NO EXISTE
f'(7r/2)
=
lím
h -+ 0
f ( ( ti / 2) + h ) -
f (n/2)
sus correspondientes límites laterales existen pero n o s o n ig u a le s .
Esto indica que la gráfica de
f ( x ) = | Cos x |
= I Cos
tiene
una esquina (vértice , pico)
en x
= 7 t/2 :
o
'
De este ejemplo se puede intuir que si las derivadas laterales de f
IGUALES entonces la función f resulta diferenciable en el punto
EXISTEN Y SON
, y la Recta Tan­
gente EXISTE Y ES ÚNICA .
7.2
TEOREMA.-
Dada una función f definida en un intervalo abierto
al cual pertenece
f es d ife re n c ia b le en
x
x
o
(a,b )
, entonces:
las d e r iv a d a s la tera les
existen y so n ig u a le s :
o
s i y s ó lo s i < •
7.3 LÍMITE LATERAL DE LA DERIVADA
Y
DERIVADA LATERAL
( NO ES LO MISMO )
Recordemos que f ( a + )
f
en
x =
es el
lím ite la tera l D erecho de
a :
f (a+ ) =
lím
+
f (x )
...
(1)
416
Cap. 5
Análisis Matemático 1
el cual puede existir aún cuando f (a) no esté definido, es decir, aún cuando el punto
x = a no p e r te n e z c a al D o m in io d e la f u n c i ó n f .
Luego, por extensión, la notación f' (a+ ) representará al LÍM ITE LATERAL
DERECHO d e la f u n c i ó n D e r iv a d a d e f en el p u n t o x = a :
f'(a + ) =
lím
x —► a
f'U )
+
■
(2 )
el cual puede existir aún cuando a no p e r te n e z c a al D o m in io de la /unción
o incluso a ú n c u a n d o no e x ista la d e r iv a d a f'(a) .
Sin embargo,
x = a :
f'(a+ )
f
,
no representa la Derivada Lateral Derecha de f en
(a) , laque, por definición, es igual a
f + (a)
=
f ( a + h) -
lím
h —► 0
=
f (x) -
lí m
+
Es decir,
f(a)
DERIVADA LATERAL DERECHA
f (a )
... (3)
x —a
f'(a+ ) ^
i 9 (a) , a m e n o s que
f
sea c o n tin u a p o r la d e ­
recha en x = a , y e x is ta n a m b o s lím ite s (2) y (3). [ Esto será visto en e
Capítulo siguiente, en la Sección de las REGLAS DE L'HOSPITAL ].
7.4
Sea
EJEMPLO.-
f(x)
=
—
x
,
x > 0
2
y
X
— 0
y
X
<
X
0
vemos que f es discontinua en x = 0 ,
y además
1 ,
f'U)
La derivada f '
LATERAL
=
si
—I ,
si
x > 0
x < 0
no existe en el punto x =
0
(*)
puesto que no existe/a
(0) : en efecto ,
f ; (o)
=
lím
0+
f ( x + 0) - f (0)
d e r iv a d a
La Derivada
Cap. 5
=
x
2
li m
------------
x —» 0 +
*
sin embargo, e x i s t e e l l í m i t e l a t e r a l
f'(0 + )
=
lím
417
=
-2
=
— oo
0+
f ' ( o + ) por la d e r e c h a d e
x = o :
f'(x)
X -> 0 +
[ (*) => ]
=
lím
1 =
1
x->0 +
f'(o + )
x
f; (o)
.
Así, vemos que en general
*
[ Un análisis similar se realiza para la d e r i v a d a l a t e r a l i z q u i e r d a
con respecto al l í m i t e l a t e r a l i z q u i e r d o d e l a d e r i v a d a
f'
en
i f_ ( x Q )
xq ]
7.5 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DEL LÍMITE LATERAL DE LA DE­
RIVADA EN x = a :
f ' (a+ )
representa el v a lo r lím ite q u e to m a la
p e n d ie n te de la g r á fic a d e y = f ( x )
c u a n d o x tien d e al p u n t o a , p o r la
d erech a d e a .
8.
cuando
h
Ya sabemos que si existe en
R
f ( x 0 + h) -
f ( x o + h) -
f(xo)
el límite del cociente
f ( x Q)
O entonces existe una recta ta n g e n te bien determinada en el punto
( x 0 , f ( * 0 ) ) ■ Pero si tal límite NO EXISTE en
R
entonces
NO EXISTE RECTA
TANGENTE NO VERTICAL , y esto ocurre en los siguientes casos, en que:
a)
Las derivadas laterales existen pero SON DIFERENTES :
418
Cap. 5
Análisis Matemático 1
V
X
N
v
V
y = \x
b)
Una o ambas de las derivadas laterales no existen: es
f '-
c)
lím
/
(*i)
=
— oo
,
(X j)
=
h —► o
=
lím
h ->°
1
— ,___
oo
/
VÉRTICE
ESQUINA
ó - oo
,
+ oo .
Ambas derivadas laterales coinciden con
...
3/—
_
II 0 + h - V~0
+
/
/
/
+ c© (o ambas con -
oo
) como en
La Derivada
Cap. 5
419
entonces
f ; (o)
=
lím
=
I
*foo
=
4-oo
o+
Puesto que en x Q = O
tiene una recta tangente vertical, esto significa geométrica­
mente que f no es diferenciable en este punto.
8.1
PROBLEMA.-
Verifique geométrica y analíticamente que la función
f(x )=
\¡T 7 \
no es diferenciable en
xQ = O .
( En tal punto se presenta una esquina, pico o una recta tangente vertical).
SOLUCIÓN.-
f ( x)
= |tf71
lím
h —► O
=
lím
h
-y O
CO) = + o o
(0) =
d)
Cuando
- oo
l ^ l
----------h
( h - f 0+ )
( h —► 0 — )
f' (x Q) no existe y los valores de
f (x
4- h )
f(*0)
---- -------
con alta frecuencia en cualquier vecindad reducida de xQ .
Tal es el caso de
f (x) =
x Sen
1
x
* O
* 0
O
x = O
y
= v
y =
=
0
OSCILAN
420
Cap. 5
Análisis Matemático 1
8.2 CONCLUSION.-
Una función f es N O DIFERENCIABLE en un punto x =
xq
donde es continua, si su gráfica en dicho punto tiene un vértice,
pico, esquina, cúspide.
8.3 DEFINICIONES.1.
Sea f una función continua tal que
f'_ (xQ ) = b ,
V (x Q ) = a ,
- Si a = b entonces f es diferenciable en x
- Si a * b
entonces
o
f es no diferenciable en
x Q ,y se dice que
gráfica de f tiene un ÁNGULO o ESQUINA en el punto (x
la
, f (x )) .
Esto también se dice cuando se cumple que:
i) a € R
y
ii) a = i c o
2. Sea
i)
b = ±oo,ó
y
b e R .
f continua en x Q tal que se cumple alguno de los casos:
f'(xQ ) = + o o
, ó
ii) f'(xo ) = - o o
entonces se dice que la recta tangente en
, f (x )) es VERTICAL y
x = xo
L~ :
i
3. Seaf continua en
(x
x Q tal que se cumple uno de los casos:
*)
(*0) - + °°
ii)
(xQ ) = -
y
f^_ (x0 ) = +oo
y
OO
, ó
i*_ (xQ ) = - OO ,
entonces se dice que lagráfica de
tangente vertical de ecuación:
f tiene un PICO o CÚSPIDE con una recta
Lrr :
r
X =
X
o
En un problema previo vimos que:
a)
f(x) = ¥ 7
tiene como RECTA T A N G E N T E VERTICAL a la recta
LT :
b) f (x) = | |
=
LT : x = o
x = 0
^ |x|
, pues
pues
f'(0) = + c »
(Caso 2)
tiene una recta tangente Vertical, de ecuación
í'+ (0) = + oo
y
{'_ (0) = - oo
(Caso 3)
Cap. 5
8.4
La Derivada
- 421 -
a) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva
PROBLEMA.-
f (x) = x
que forma 45° , en sentido antihorario, con el Eje OX
b)
+
¿En qué puntos la pendiente de la recta tangente a la curva
y = x3
es igual a
3
?.
SOLUCION.a)
Pendiente
m
=
Tan 45°
*0 =
=
b)
8.5
m
=
3
En
=
1 =
RPTA:
En
(1/V T ,
f(±
(1,1)
í/V T )
1/C 3-/T))
=
y
3x
o
i/V T
±
f u 0) =
RPTA:
=
=
± 1/ ( 3 a / T )
, (-1 /V T ,
x
3 x q
1 / ( 3 -yfT ) ) .
= ± 1 ,
) = ± 1 .
(-1,-1) -
¿Qué ángulo forman al cortarse la hipérbola
PROBLEMA.-
f (x
y = —
x
y la parábola
y = -/x "
?
SOLUCIÓN.- Tal ángulo es el que forman las rectas tangentes a ambas curvas en el
punto de intersección
Pq = ( x Q , y Q) .
Sea
f(x) = l/x , g(x) = 4~x
1
Intersectándolas,
—
= v x
x
=>
X3 =
(X
1
=>
X =
I ,
, y0 ) = (1,1) •
Para f : f'(x) = - l/x2 ,
mj =
f'(l)
T •
y -
Para g :
= - i
i = ( - l ) O r - 1)
g '( x ) =
I
= g'O) = 1/2
T •
y -
1 = (1/2) (x - 1)
422
Cap. 5
Análisis Matemático 1
( 1/ 2 ) - ( - 1)
Ta n 0 =
=
3
=>
0 =
Are Tan 3 .
I + 0 /2 M -I)
8.6
PROBLEMA.-
¿En qué punto la tangente a
45°
SOLUCIÓN.- Sea
con la recta
pendiente de
m1 = 3 =
m — m
a)
y
3x -
entre L^, y L (
0 = <
y sea
Lj :
f(x) = x
+ 1 = 0 ?
m =
Lj :
b) T an 45° =
1 + n ij m
1 4- m m 1
Para (a) :
l = (m - 3 ) / ( l + 3 m )
m = —2
Para (b) :
1 = (3 -
m =
Y como
m ) / ( l 4- 3 m )
m = f'(x) = 2x
R P T A : En los puntos
8.7
+1/2
entonces
- 2 = 2x
1/2 = 2x
Para (a):
Para (b):
pendiente de L T
n ij — m
1
Tan 45° =
, forma un ángulo de
x
- 1
1/4
X
(-1,1)
y
f( - O = 1
f (1/4) = 1/16
(1/4, 1/16).
Dar la ecuación de cada una de las rectas tangentes a la curva
PROBLEMA.-
y —x —
7
y que pasan por el punto
(3,-2) .
SOLUCIÓN.f(x) = x — 7 , f'(x) = 2x
m =
{' ( x ^ ) = 2 x j
= PENDIENTE EN x
U p fU j))
f(x.) - (-2)
f'u ,)
= ------- 1---------------X ,-3
{ x ‘ - 7) - (-2)
2*, =
* | - 3
Xj — 6Xj 4- 5 = 0 = (Xj — 5) (Xj
x( = 5
v
Xj =
ambién
O
1 ,
que originan dos puntos de contacto:
gente solución:
-
LTl :
y —
LTl
t» -l i
(5,18) y (1,-6) , uno para cada recta tan­
18 = 10 ( x — 5) ,
— in r
LT2 :
y
4- 6 = 2 ( x - 1)
La Derivada
Cap. 5
8.8
423
PROBLEMA.- ¿Para qué valor de la variable independiente x son paralelas las rec­
tas tangentes a las curvas
y = x 2 y y = jc3 ? .
Además, halle las ecuaciones de dichas rectas tangentes.
SOLUCIÓN.Sea f(x) = x 2 , g(x) = x 3 ,
m =
m =
f'(* 0) =
2*o
xo
=
z ' ( x0 )
3* o
88 0
*o = 2/ 3
a)
Para
■
xQ = O : m = O
y
L T (f) : y = O (Eje X )
y = f (o) = o
L t (g ) :
y —g ( 0 )
= O * ( x — 0)
L t (g) :
y ~ g(o) = o
b)
Para
xQ = 2/3 : m = 4/3 , f(*0 ) = 4/9
L t (f):
y —
— íx - — ) ,
3
3
l t (g):
1
,
y
y = O (Eje X )
g(*Q ) = 8/27
27
r x
—4 (
3
2)
^
3
9.
9.1
TEOREMA.-
Dada una función f y
x Q e D o m f , se cumple que:
Si f es diferenciable en xQ entonces f es continua en xQ
Este teorema ya fue probado antes. La recíproca no siempre es valida, como en el
caso de f(x) = |x| y xQ = o donde ya sabemos que f es continua en todoR ,
pero f'(0) no existe pues
f (x) = |x |
(0) =
l
, f l (0) = — 1 .
(Verificar la afirmación previa).
- 424 -
9.2
Análisis Matemático 1
Cap. 5
Dada una función f y un intervalo I ,se cumple que :
COROLARIO.-
Si f es diferenciable sobre I entonces f es continua sobre I.
PRUEBA.- Este es un caso particular del teorema anterior para la función restrin­
gida fj .
9.3
Dada una función
COROLARIO.-
y xQ €
f
Dom f ,
se cumple que :
Si f no es continua en x o entonces f no es diferenciable en x o
Es decir que, en tal caso, no existe la derivada f'(x Q ) .
9.4 EJEMPLO.-
Dada la función
x
2
1
x * 0
Sen (— ) ,
f(x) =
1
a) ¿ Es f continua en
x = 0
,
xQ - o ? ¿ Es diferenciable en xQ = o ?
b) Si no lo es, ¿cómo debería definirse f (0) para que f seacontinua en
c) En (b), halle
xQ = 0 ?
f' (0) .
SOLUCIÓN.a) Como
lím f (x) =
x -y 0
entonces
lím ac2 Se n—
x -*■ 0
x
=
0 se l
= f (0) ,
f no es continua en xQ = o , y por lo tanto
f no esdiferenciable
en xQ = o [por el Corolario anterior].
b) Debería redefinirse f como
2 0
1
x Sen —
f(*)
f'(0)=
lím
h —► O
=
..
lím
h —y O
H ° - ± - hJ _ - ; W
=
h
0
---------------- =
h 2 Sen ( 1 / h ) h
0
=
0
0
x
.
,
x = 0
lím
fOO-f(O).
h —>■0
h
,,
1
lir n
h Sen—
h —f 0
h
= 0 .
Luego, f'(0 ) = o , lo que implica que f es diferenciable en xQ = 0
siempre que
esté definida como en (b), y por lo tanto f resulta ser continua en el punto xQ = 0 .
Cap. 5
10
La Derivada
425
.
Recordemos algunos hechos sobre la díferenciabrlidad :
1.
f es diferenciable en el intervalo abierto (a , b ) si y sólo si
ferenciable en cada punto
2.
f es di
xQ e { a , b ) .
La diferenciabilidad de f en el intervalo
o [a ,b ]
[a ,b ),(a ,b ]
es equi
valente a las dos condiciones siguientes:
i)
ii)
La función f es diferenciable en el intervalo abierto
(a , b > ,
Existen las derivadas laterales siguientes:
(a)
f'_ ( b )
(a)
para el intervalo [ a , b )
para el intervalo
y
(a ,b ]
ambas , para el intervalo
f l (b)
[a ,b ],
respectivamente.
3.
f diferenciable en x Q e
f continua en xQ .
D om f
Esta proposición [3] es equivalente a :
f no continua en x
4.
f no diferenciable en x
o
o
Estos últimos resultados nos ayudan a prevenir los
drían com eterse si no se tiene cuidado en el análisis.
10.1
PROBLEMA.-
Investigar porqué se presenta la falacia indicada, en el siguiente
razonamiento:
Dada la función
f(x)
=
f 3 (x) = x — I
,
x < 2
f 2 (x) = x + I
,
x >
y puesto que
f'(x )
i)
f'U )
errores que po­
= 1
,
x <
2
(c o rre cto )
>
x > 2
(co rre cto )
=
f*2 ( * ) =
1
2
426
ii)
Cap. 5
Análisis Matemático 1
f(2 + h) - f (2)
lím
Í'_ ( 2 ) =
h —y 0
h
lím
lím
f ' (x) =
l (correcto)
lím f ' ( x )
«+
lím
f ' (x) =
l (correcto)
1)
x —* 2+ 2
ENTONCES EXISTE
EXPLICACIÓN.-
(2 -
(correcto)
I
f' (x)
lím
I -
h
h —►0
Y como
=
lím
h —>0
(2 + h ) -
f'(2) = 1
. ..
i FALSO !
Es falso que f sea diferenciable en x Q = 2 debido a que f NO
ES CONTINUA en x Q = 2 . En efecto,
lím
f (x) =
x —> 2 “
=
lím
x-*->~
fj (x)
lím
( x — I) =
1
x -► 2 ~
lím
f (x) =
=
lím
í7
(x)
lím
( x + 1) = 3
«+
NO EXISTE
lím
x
f(x),
2
de donde f resulta no ser continua
en xQ (vea la gráfica adyacente).
Por lo tanto, f no es diferenciable en
xQ = 2 .
Note que f sí es diferenciable en ( - o o , 2 ) u ( 2 t o o ) .
10.2 CONCLUSIONES.-
En este tipo de problemas, el análisis de diferenciabilidad
debe realizarse de la siguiente manera:
1a) Se verifica la continuidad de la función en todo su dominio; si f falla en ser con­
tinua en algún punto x Q de su dominio entonces f no es diferenciable y ya no es
necesario proseguir con el (2a) paso siguiente. Sin embargo, puede analizarse la
diferenciabilidad de f en los demás puntos diferentes de xQ .
Cap. 5
2*)
427
La Derivada
Habiendo comprobado previamente que
f
SÍ ES CONTINUA EN
x Q 6 Dom f
se puede presentar los siguientes casos:
CASO A.-
Si
ff
U)
f ,, ( (*x))
i
=
1
x se x Q
,
k = f U 0)
X =
X
o
entonces
i)
x e ( - o o , * 0 ) u < *o
ii)
en x =
Se verifica la diferenciabilidad de f j ( x )
-
,
es decir para los
•
Luego, se verifica la diferenciabilidad de f en x Q mediante la existencia de
,
f'(x
f ( x + h) - f ( x
l í m -------2-------------------h->0
h
) =
°
CASO B.-
f, ( x + h ) - k
—!— 2--------------------------------------
Hm
=
)
Si
f, (x )
f(x)
<
=
k =
[
f ( x Q)
f2 ^
,
X e <a , x o )
,
x = xQ
*
€
(xQ, b)
entonces
i)
ii)
Se analiza la diferenciabilidad de f en los intervalos
abiertos en x Q , evaluando
f ' (x )
p a r a todo
.
x € {xQ t b)
)
=
y (* 0 ,b)
p a r a todo x € < a , x Q ) y f'2 ( x)
Luego, se comprueba la diferenciabilidad de
f (x
{ a , x Q)
f
en
x Q vía la relación:
f (x + h) - f (x )
lím
------- ^------------------- 2—
h-»0
h
para lo cual obviamente deben tomarse los límites laterales:
428
Cap. 5
Análisis Matemático 1
los cuales deberían existir y coincidir para que exista
f ' ( x Q)
C A S O C : Si
f,
f(*)
donde
f
(x )
,
f2U )
,
X e
( a , x o ]
=
x e ( x Q , b>
también se puede expresar en forma equivalente como:
f| ( x )
f(x)
=
k = f,(x0)
,
x € (a, xQ)
■
*
,
x 6 ( x
f (x0 )
f 2 (x)
= *0
, b)
entonces este caso se reduce al CASO B.
C A S O D.-
Si
f(x)
f, ( x )
,
x € ( a , x Q)
f2 (x)
,
x 6 [ xQ , b )
=
entonces este caso, en forma análoga al CASO C , se reduce al CASO B,
pues:
f, ( x )
f(x)
=
k
k
<
-=
*f-,
2
[
3S)
( x „ ) = f (x
)
,
x e ( a , xQ)
,
x = xo
f2 (x)
Adicionalmente, si en cualquiera de los casos A , B , C y D se tuviera que el
dominio de f es CERRADO EN ALGUNO DE LOS EXTREMOS
valos ( a , x Q )
[ a , x Q)
y/o
y
( *0 , b)
( x Q, b ]
respectivamente, es decir si el D om f contiene a
f
EN LOS PUNTOS
a y/o b
f, (a + h ) =
f
(a )
lím
o
+
f2 (b 4- h) - f 2 (b )
r
(a )
=
de los inter­
entonces se debería ANALIZAR LA EXISTENCIA DE LAS
DERIVADAS LATERALES DE
f ; (a )
a o b
lím
h —► O
respectivamente:
La Derivada
Cap. 5
10.3 EJEMPLO.-
429
Analice la diferenciabilidad de la función
x Sen —
f(x)
=
x *
.
0
'
,x = 0
0
SOLÚCIÓN.1S) La función
i { (x) = xSen(l/x)
lím x Sen (1/x) = 0
x -> o
bién. Así, f
29) i)
es continua para todox * o ;
entonces f resulta ser continua en
x =
y como
o tam-
resulta ser CONTINUA en todo R .
Para todo
x e ( - o o , 0 ) u ( O , o o ) , es decir x * 0 , se tiene
que
y = 1/x
es diferenciable y en consecuencia lacomposición
Sen(l/x) también resulta diferenciable para todo x * o pues la fun­
ción S E N O lo es en todo R .
Y por el teorema de la Diferenciabilidad del Producto de Funciones,
f(x) = x S e n (l/x)
también resultará ser diferenciable para todo
x * 0 , y donde su Derivada es :
f ' (x)
=
S e n ( l / x ) + x Cos ( 1 / x ) * ( — 1 / x 2 )
=
S e n ( l / x ) — ( 1 / x ) Cos ( 1 / x )
ii) Sólo falta analizar la existencia de f'(x)
t (0) =
lim
h —► 0
„
-----------------------------
h
ií m M
=
lím
=
Sen—
0
V x
=
w _f(h)-o
üm
h —► 0
-----------------
i ím hSe" Q / h )
NO EXISTE.
h
En un capítulo anterior demostramos que este limite no existe
La función dada f
10.4 EJEMPLO.-
NO ES DIFERENCIABLE EN
f(x)
=
<
0
SOLUCION.-
x = 0 .
Analice la diferenciabilidad de la función
x 2 C o s ( —!— )
x3
,
» 0 .
xQ = o :
para
f(0 + h ) - f ( 0 )
,
x / O
, x = 0
h
430
Cap. 5
Análisis Matemático 1
1e) Puesto que
(x ) = x 2 C o s ( l / x 3 )
f
=
lím f (x)
x —► 0
es continua para todo
=
l í m x 2 Cos ( 1 / x 3 )
x —► 0
0
=
x *
f (0) , entonces
0
y
fresulta
ser continua en 0 . Por lo tanto lo es en todo R .
2S) i) P a ra todo x * 0 :
f'(x )
f
es d ife re n c ia b le
ysu derivada es:
= 2 x C o s ( l / x 3 ) + x 2 [ — Sen ( l / x 3 ) * ( — 3 / x 4 ) ]
= 2 x Cos ( 1 / x 3 ) + ( 3 / x 2 ) Sen ( 1 / x 3 )
ii)
Solamente falta analizar la existencia de
f (0) =
f (0 + h ) — f ( 0)
lim
h —► 0
=
h
Cos ( l / h
h -> 0
)
]im
h
x =
„
f(h) lim
h —>■0
h
=
_
V x *
f'(x) en
h
Jim
,
0
hCos(1/h3)
0 .
0:
=
=
„
h -► 0
f'(0) = 0 .
Por lo tanto, f
10.5EJEMPLO.-
resulta ser diferenciable también en x = o .
Analice la diferenciabilidad de la función f ( x ) = x|x| , x e R
SOLUCIÓN.-
1C) f ( x )
=
x |x |
es c o n tin u a en
R .
28) i) Como
x2
f(x)
,
x >
0
= i
=*
- x2
y f, ( x ) = x 2 ,
,
f (0) = 0
X < 0
x > o ;
f2 (x) = - x 2
,
x <
o ;
los cuales, por ser polinomios, son diferenciables en sus respectivos domi­
nios, así tenemos la derivada
(x)
f(x)
=
2x
,
x >
0
f ' (x) = — 2x
,
x <
0
=
Así, f resulta ser diferenciable para todo x * o .
ii) Analizando la existencia de f'(x0 ) para
xQ = o
Cap. 5
La Derivada
f'(0)
=
=
431
, fm
h -.0
f (0 + h > h
f W.
lím
h —f 0
^ Ihi
h
lím (h|
h —v 0
=
=
I,m
h -»0
=
h
0
f'(0) = 0 .
Así, hemos demostrado que f es una función diferenciable en todo R
10.6 EJEMPLO.*
Analice la diferenciabilidad de la función
{
f
SOLUCIÓN.-
2x — 1 ,
x <
2x + 1 ,
x >
19) f es continua en todo x * 3 , pero no lo es en
lím
x->3"
f (x )
=
lím
f (x)
=
x->3+
=>
lím
(2 x x->3~
lím
i)
=
xQ = 3
que es diferente a :
5,
( 2 x + 1) =
pues
7
x-*3+
f no es diferenciable en xQ = 3 .
26) Por otro lado, f sí es diferenciable para todo x * 3 , pues
f'(x)
f no es diferenciable en R , pues falla en serlo en el punto x Q = 3 .
10.7 EJEMPLO.-
Analice la diferenciabilidad de la función
l(x ) =
SOLUCIÓN.-
f (2) =
8 - 2
,
x2- 1
,
0 < x <
4x -
,
x >
2
2
2
= 6 ,
2x
f'(x)
,
0 < x <
=
X > 2
ESTO ES LO QUE NO SE DEBE HACER :
Tomamos el límite de f'(x) cuando x
y obtenemos :
tie n d e a
2:
2
432
Cap. 5
Análisis Matemático 1
lím
f , (x)
=
x -+ 2~
lím
Es FALSO
f ' (x)
=
lím
=
4
4
= 4
x —► 2 +
entonces
y como coinciden
pues
2x
x -*2~
x —► 2 +
" ...
lím
f
NO ES CONTINUA EN
f'(2) = 4 "
f
y como
(2 )
=
¡ FALSO!
x 0 = 2 , lo cual se puede verificar fácil
mente, y por lo tanto NO EXISTE LA DERIVADA f ' ( 2 ) .
„
hm
...
En efecto,
f (2 + h ) — f ( 2 )
1#
hm
— =
f (2 + h ) — 6
------------------------
_
h —> o ~
=
lím
^
( h + 4 ----- —)
h —► 0
f'
(2 )
=
=
0 + 4 + oo
— + oo
h
lím
= 4
[ 4 (2 + h ) — 2 ] — 6
h ^ 0 +
x
h
por lo tanto, se concluye que la derivada f ' ( 2 )
NO EXISTE .
MÉTODO CORRECTO :
1S) f es continua en
< -o o ,2 )u (2 ,o o )
Analicemos ahora si f es continua en el empalme x q = 2
lím
f(x)
x —► 2+
lím
x
f (x)
2~
=
lím
x->2
( 4 x — 2)
+
=
6
=
lím
( x 2 — 1)
=
3
x-»2~
f NO ES CONTINUA en
x q
= 2 .
En consecuencia f tampoco es diferenciable en x Q = 2 .
29) Sólo falta analizar la diferenciabilidad de f en x * 2 :
f'(x)
=
2x
,
4
,
o <
x < 2
x > 2
{ '_ ( 2 )
La Derivada
Cap. 5
Ademas,
f
433
f(0 + h ) - f ( 0 )
----------------------------=
hm
h —► o+
h
(0 )
(VEA EL DOMINIO DE f )
=
lím
^
r
f(x)
SOLUCIÓN.f (x )
=
h
h
=
h —► 0 +
,
0 < a: <
x) — 2
,
x >
—
Observe que
(x
3
=
3
-
f(0)=
4
+ —
4)
3
f (x) =
^
1
3
4
J . ( * — 4) + —
3
3
— (x 2 2
18)
_
Analice la diferenciabilidad de la función
f
1
=
- 0 + 1
h-»0 +
10.8 EJEMPLO.-
,,
f (h ) - ( - 0
hm
--------h
h —> o+
-20
,
f(3)=
e
es continua para
x
es continua para
x e
3
1
[0,3)
3
1
2
— (x -
x) -
2
{3 , oo)
2
y como
lím
x
f (x ) =
lím
—► 3—
lím
x —* - 3"
f (x) =
lím
x —► 3+
=>■
f
28)
i)
lím f (x)
x
3
[— (x
3
1 =
=
1
3
[ — ( x 2 — x) — 2 ]
x —>■3+
=
— 4 ) 3+ — ]
=
1
2
f ( 3) .
ES CONTINUA EN x Q = 3 .
Analizaremos la diferenciabilidad de
.
f (x )
=
.
_
(* -
4 )2
x — 1
„
f'
(0) =
f
,
0 < x
,
x > 3
en
hm
f (0 + h ) — f ( 0 )
-----------------------------
h->0+
h
x *
3 :
<3
=
hm
h -M > +
f(h ) — f(0)
------------h
0 .
-434
=
ll)
lím
( — h 2 — 4h + 16 )
+
3
DIFERENCIABILIDAD EN
f'_ ( 3 )
=
f(3 + h ) ~ f(3 )
h —)■0
^
-
(3)
f'(3)
=
16.
— [ — (3 + h — 4 ) 3 + —-------1 ]
h
3
lím
( h 2 — 3h + 3)
h —► 0—
f'
=
= 3 :
lím
lím
10.9
Cap. 5
Análisis Matemático I
=
3
,
lím
-f -<-3 + h ) . 7 f (3 )
h->0+
h
lím
- L [ — ((3 + h)2 + h
2
lím
— ( h + 5)
+ 2
NO EXISTE
COROLARIO.-
=>
Sean
y
fj
[
—
=6
f'
2 -
( 3)
1]
=
f NO ES DIFERENCIABLE EN
3 .
xQ=
y f 2 dos funciones diferenciables en
, b )
f(x)
=
(3 + h ) ) -
respectivamente, donde
f, (x )
,
X e (a , x0 )
f 2 (x)
,
x € [ x0 . b >
f,' ( x )
,
x e (a , xQ >
f ' (x)
,
X 6 (x 0 , b)
=
entonces
f'(x )
=
;
Además, si f es diferenciable en x = x Q y si existen los límites laterales
lím
f . '( x )
_
•
y
lím
f ' (x )
- L
¿
e nton ce s:
3 .
<a,:t0 )
La Derivada
Cap. 5
lím
f'(x 0)
435
f' (x)
lím
X —>X .
o
10.10 PROBLEMA.*
f ' (x)
Dada la función
X
f(x)
+
X +
1
x <
1
X + a
=
x 3 + b x 2 — 5x + 3
,
x € [ l , “
]
si f es diferenciable en { - o o , 3 / 2 ] , halle a y b.
SOLUCIÓN.*
i)
Ambas funciones componentes de f son diferenciales en sus res
pectivos dominios. Como f es diferenciable en x = l entonces
f es continua en
lím
X
f(x)
x = i y por lo tanto
=
lím
f(x)
+
l
=
I)
,
X
<
I
.
X € O , - )
2
(x + a)2
f'(x) =
3x
como
1
1+ a
x ¿ + 2ax + (a -
ii)
b -
+ 2bx -
f debe ser diferenciable en
5
x = l
también y como existen los limites
laterales de la función derivada :
lím
f'(x)
=
3a
lím
O + a)
x-H
+
f'(x) =
2b - 2
entonces
3a
f'd )
=
=
1+ a
(1 + a)
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
10.11
PROBLEMA.-
Si
f (0) =
... de (i)
2 (b - 1) =
a = - 2 , b = - 2 .
g(0) = 0 , y siendo ambas funciones diferen
dables en o con
g'(0) * 0 , demuestre que
Análisis Matemático 1
SOLUCIÓN.-
En general, si
f (0 ) = 0
l ím
Ií£ l
=
x ->0
x
Cap. 5
entonces existe
f ' ( 0)
=
lím
f U ) ~ f(0)
x —► 0
x —0
ror lo tanto,
hm
*-*°
f(x)
--------g(x)
f(x)
X
hm
[ ------- -- •
x-j-0
x
g(x)
,,
=
r
hm
-i
J
[f(x )/x ]
x-> 0
f
lím
[ g(x)/x ]
( 0)
g'(0)
x - f 0
11
.
Dada una función, por ejemplo
derivada f '
es otra función :
=
f'(x)
= S e n ( 2 x ) ,su
f(x)
2Cos(2x)
la cual a su vez también puede derivarse obteniéndose otra función llamada la
S E G U N D A DERIVADA DE f . A esta nueva función se le denota en las formas:
f"
,
D2 f
,
D [ Df ]
f C21 M
,
,
—
dx
[ f'(x) ] ,
2
D _[D
f(x)]
.
—
[ —
dx
f(x)]
.
dx
En el caso de la función del ejemplo inicial:
f"(x)
= —
[ f'(x )]
=
dx
^-L(x)
dx2
f(x)
—
2
=
,
Sen2x
[2Cos2x]
=
- í — Í M .
,
— 4 Sen 2 x .
dx
Análogamente, la derivada de f"
se le denota por:
d
»•
[ f
r „ \
es llamada la T E R C E R A DERIVADA de f y
i
(X) ]
,
eUt
f" '(x )
,
D
’
f (x)
,
dx
d
dx
Así,
ttt e
f'"(x )
=
d
—
dx
f(x )
,
f (3 )(x)
3
r rtt '
,
-^-4-(x)
dx
^
[ f " (jc ) ]
=
d
—— [ — 4 Sen 2 x ]
dx
.
3
=
-8C os2x.
Las derivadas de
f
,
(n )
(5)
«
DJ f
A
f(x)
se denotan por
órd en es su p erio res
(4 )
D4 f
437
La Derivada
Cap. 5
,
dx
•••
,
.5
-2 — f(x)
•
Dn f = D [ Dn
1
n
,
■
4
•
dx
dx
n
f U)
,
' f ]
dn f
dx
,
(x )
n
.
11.1 NOTACION.11.2 TEOREMA.-
Si
Dnf
y
Dn [ f + g]
1)
Dn [ f + g ]
=
Dng
y
existe n en un in te rv a lo
existen sob re
D n [ f ■g ]
I,
I en to n c e s
y además :
Dn f + Dn g
2) R E GLA DE LEIBNIZ (DERIVADA DE LA POTENCIA n-ésima DEL PRODUCTO)
O” [ f * g ]
=
E
( u ) [D n
k = 0
=
( o ) [ D " f ]'g
k f ] - [ D k g]
+ ( " )[D n
' f 1 - Dg
+ ( "
2n -D 2g +
+ (
11.3 PROBLEMA.-
) [ ° n
" , )(D f ]-D n _ , g +
...
(¡| ) f - [ D n g ]
Pruebe que
m !
x
m —n
,
0 <
n <
(m — n ) !
D" (xm ) =
i
m !
n = m
0
11.4 EJEMPLOS.-
D2 (x 5)
5!
----------- X
(5 -
D*(x6)
6!
(6-6)!
6-6
(7 -
n >
m
5-3
5!
2
— x
2!
=
60 x
7 —4
7!
3
— x
3 I
=
840 x
3)!
7!
D ^ U 7)
,
4)!
6! 0
— X
=
0!
6!
=
720
,
,
CONSTANTE,
m
438
D * ( * 6)
=
11.5 PROBLEMA.-
Evalúe
SOLUCIÓN.-
D3 [ x 3 Señar],
Aplicando la Regla de LEIBNIZ para
D?. Sen x = Sen x
,
D* Sen x = D
A
D
Sen =
D °I3 =
— Cos
I3
3
[ I Sen ]
=
n = 5 , donde
Sen x = Cos x , D 2 Sen x = — Sen x
A
D 4 Sen = Sen
D3 ! 3 = 6
D
Cap. 5
Análisis Matemático 1
,
D 5 Sen = Cos ,
2 3
I = 61
D I3 = 3 I2
D
D4 ! 3 = 0
D5 I3 = 0
( g ) ( C o s ) - ( r ) + ( , ) ( S e n ) - ( 3 r ) + ( " ) ( - Cos) • (61)
+ ( 3)(-Sen)-(6) + 0 + 0
x 3 Cos x +
D3 [ x 3S e n x]
12
;
es d e c ir ,
1 5 x 2 S e n x — 6 0 x C o s x — 60 Sen x .
.
Esta es una técnica que en ciertos casos facilita el cálculo
de la derivada d y / d x , cuando no se puede tener despejada la variable ” y" en la
forma explícita:
y = f (x) .
Por ejemplo, la siguiente ecuación determina en f o r m a
im plícita a la variable "y" como función de la variable " x",
xy
y de la cual se desea evaluar
1e)
+ Sen y + n
dy/dx
=
en el punto
0
...
( — 1, j i )
(*)
de la curva:
SE DERIVA AMBOS MIEMBROS DE ( * ) CON RESPECTO A LA VARIABLE x :
d ( x y ) 4- — ( Sen y ) +
dx
dx
y + x
du
dx
„
+ Cos y
dy
dx
=
(0)
dx
0
dx
dy_
y
dx
x + Cos y
La Derivada
Cap. 5
dy/dx
28) Luego se evalúa
dy
dx
439 -
en el punto
(x,y) = ( - 1 , 71 ) :
ti
jt
(— I) + Cos 7i
2
Interpretamos este valor como la pendiente m
de la recta tangente a
la curva y = f (x) en el punto (— 1 , 71).
12.1 PROBLEMA.- Halle la ecuación de la recta tangente en el punto (3, 1) de la curva
7
y
y = f (x) definida por la ecuación: y + 2 yx - 3x - 10 = 0.
SOLUCIÓN.-
m
= —
T
dx
(3) = f'(3) .
19) Derivando ambos miembros, implícitamente, con respecto a la variable x :
d
y
_
+
2 x
2
dx
_
_
=
i
0
x = 3 , y - l , obteniendo:
+ ,2 + 1 8 -^ - - 3
=
0
-
dx
dx
29
y
dx
donde reemplazamos
3Í L
d
Por lo tanto L T :
LT :
dy
3
dx
7
y-1 =
[—
y -
- (3/7) (x - 3) .
1
=
dx
(3) ]-(x - 3)
12.2 PROBLEMA.- Demuestre que la recta tangente en un punto (xQ> y Q ) de la elipse
C :
x2
v2
+ ——
a2
b2
SOLUCIÓN.-
= i
(x0 . y0 ) e e
tiene ecuación
=>•
L~ :
'
(x2 /a2 ) + ( y 3 /b2 ) = 1
Jf
...(*)
1
Y derivando implícitamente la ecuación de la elipse obtenemos la pendiente
dy
m _ - — 2.
T
dx
.
de
L„, :
T
2x
2y dy
^
--- + — --- 2- = o
a2
b2
dx
.
—^
dx
x_ b
que en el punto ( x Q , y Q ) es
mT
=
=
dy
----------- 2
2
--
xb
2
ya 2
440
Análisis Matemático I
* o
Así,
b
Cap. 5
y realizando operaciones
(x -
a
X X
o
T *
12.3 PROBLEMA.-
y yo
+
o
+
yo
=
Sea P un punto de la curva
1
de
(*) .
x y 3 + y + 2x2 = 2 6
en el PRIMER CUADRANTE y de ordenada 2 cm.
...(*)
La recta
Lj :
x = a , y las rectas tangente y normal a la gráfica de la curva dada en el punto
2
P forman un triángulo de área 440.5 cm . Dar la ecuación de la recta L . .
SOLUCIÓN.*
P = (x , y ^ )
v 0 *0
Sea
Pendiente de L -
,
en
u = 2
*0
m
LT :
y
- 2 = — (1 6 /2 5 ) ( x -
LN :
y
- 2 = (2 5 /1 6 ) ( x - 2)
Haciendo
^0
para
en
(*) .
(♦) ,
24 y* + 8 + y* + 8 = 0
= -16/25 ,
x = a
y, = 2 para
de
tomando d / d x
P = (2,2) :
2
3
3xy y' + y + y' + 4x = O
y' =
xQ = 2
en
2)
LT :
( 1 6 / 2 5 ) (a -
2)
R = ( a , y }) .
*
y2 — 2 +
S = (a , y . ) .
ÁREA A PRS
440.5 =
=
25
(a — 2 ) ,
16
Luego ,
— I 2/ 1 — y 2 I * I 2 — a
881
1 ,
— (a 2
_2
881
2 ) --------400
a -
Así tenemos dos soluciones válidas posibles para
L, :
x =
22
Lj :
x =
-1 8
2 =
±20
:
x = a
, ambas verticales.
y son
a =
22
a =
-18
Cap. 5
La Derivada
- 441 -
13.
y - f(x) una función diferenciable en al­
gún intervalo abierto I , y sea h * o tal que x Q y (xQ + h) pertenezcan al
Sea
intervalo I en el Dominio de f . Entonces existe :
f'U c)
=
f (x + h) - f ( x )
H m ------- ^---------------------- 2 _
h —► O
h
Vemos que, eligiendo e > 0 tan pequeño como uno quiera, la diferencia
<
e
se hace obviamente tan pequeña como uno quiera para los
vecindad reducida Vg (0)
de 8 > 0.
f (x
4>(h) =
lím
H —► o
dentro de una
del O , suficientemente pequeña también debido al valor
De este modo, si se define la función
vemos que
h * o
<J>(h) =
<t>(h)
+ h) - f ( x )
2----------------------2— _
en la forma
f'
)
...
(*)
O . Luego.de ( * ) :
. . .
(* *)
Anteriormente habíamos denotado vía incrementos la expresión
A y
=
f ( x Q+ h )
-
f ( x Q)
,
A x
=
h
de modo que (* *) se transforma equivalentemente en la expresión
(***)
DEFINICIÓN.-
Al producto:
f'(xQ ) •A x
se le llama LA DIFERENCIAL DE f
con respecto al punto xQ , y se 1^ denota por dy o
" DIFERENCIAL DE
respecto al punto
d f ( x Q) :
f
xQ "
442
Análisis Matemático l
Cap. 5
En general, el DIFERENCIAL DE f con respecto a x está dado por:
dy
donde
—
di
(x) =
f'(x )-A x
y = f(x) y
A x = h .
13.1 C A S O PARTICULAR
Si y =
y además
dy
=
así como
dy =
dx
f(x) =
d f (x) =
[ pues
x
entonces
f'(x)-Ax
y = x
=
f'(x) =
l*Ax
=
l
Ax
en este caso ].
Pero como, por definición, A x = h , entonces de aquí en adelante al incre­
mento h en la variable x lo denotaremos indistintamente como:
dx =
Ahora,
=>*
Y como
A y
A y -
=
f'(x )-d x
=
dy
dy
lím
4>(h)
h —» 0
=
A x
+ <j>(h)*h
§ (h) • h
+
=
h
h*<J)(h)
=
0
lím
( A y — dy)
h —► 0
entonces
=
lím
[ (A y — f ' (x) dx ) ]
d x —► 0
=
0
Cap. 5
La Derivada
Por lo tanto, se puede hacer la diferencia
dx [ = h ]
eligiendo el
13.2 NOTA.
- 443 dy |
| A y -
tan pequeña como se quiera,
lo suficientemente pequeño para ello.
Por tal razón, el valor
d y = f ' (x ) dx
ción al valor del incremento
dx [ = h ]
A y
es una muy buena aproxima­
=
f( x + h ) - f( x )
cuando
es relativamente pequeño, lo cual se expresa como
A y
^
dy
es decir
para
dx
relativamente pequeño.
Esta relación es llamada
PROPIEDAD DE APROXIMACIÓN DEL VALOR DE UNA
FUNCIÓN POR DIFERENCIALES.
13.3
EJEMPLO.-
'
SOLUCION.-
Mediante diferenciales halle una aproximación del valor de
Sea
y
=
f(x)
=
3/
v x
^ 128 .
x = x Q para el cual su
. Elegiremos un
raíz cúbica es fácilmente calculable y tal que x q sea cercano al número
128 :
. Elegimos
x Q = 125 , entonces
. Entonces
128 =
f'(x o
O)
x Q+ h
=
----------------=
.1
=
125 + h
13.4 NOTA.-
=
— f (125)
ll 128
-
^ 128
= 5 + 0.04
ll 125
Ay
S
dy
=
= — -3
75
=
=
dx
=
3 =
=
i 1 (125)
f ' ( x Q) d x
—
25
=
0.04
5.04(muy aproximadamente).
^ 122
función f habría sido la misma y
sería
—
75
5 .
= f '(125)-3
Si hubiésemos deseado calcular
x
=
h
=
3 y[~l25
f (128)
en
^ 125
=>■
------¡I - L —
- r
tfx f
f ( x Q+ h ) - f ( x Q)
f(*0) =
h = dx = - 3
,
en forma aproximada, la
x Q = 125 ; pero el incremento
pues
444
Análisis Matemático 1
xo + h =
122 =
125 + h = >
Cap. 5
h = -3
= dx .
El valor de h debe mantener su correspondiente signo siempre:
i ( x Q+ h ) - f ( x o ) =
^ 122
S
es:
(0 .0 4 )
=
£ f'(125)-(-3)
=
-0.04
4.96 .
Si el radio de un globo esférico crece de 8 m. a 8.1 m. , ¿Cuán­
to crece el volumen aproximadamente?
13.5 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.
5 -
122 - 1] 125
Sea V(r) = ( 4 / 3 ) ^ r 3 el v o lu m e n , el aumento exacto de volumen
AV
=
— ji (8.1)3 - — n 83
V (r + h) — V (r ) =
o
para
0
3
3
,
rQ = 8 , rQ + h = 8.1 , h = 0.1 = dr .
Sin embargo, tal incremento lo podemos aproximar por:
AV
£
dV
13.6 PROBLEMA.-
=
V'(rQ )dr
,
=
4 ti r " d r
o
=
4 7t 8^ (0.1)
=
radianes:
80.42 m 3 .
Calcule aproximadamente el valor de Sen 59° , si se sabe que
Sen 60° = 0.86603
SOLUCIÓN.-
25.6 71 ^
y Cos 60° = 0.5 , mediante diferenciales.
f(x) = S e n * , la variable x debe estar dada en
Para la función
s = medida en grados sexagesimales.
R = medida en radianes.
R =
-5-S
180
59° = 60° -
Io =
x Q = j i / 3 = 60°
Sen 59°
=
ti /3
tt/180
h= d x -
,
Sen ( — + h )
3
-
=
— 7t/180 = - 0 .0 1 7 4 5
Sen ( — ) + f ' ( — ) d x
3
3
=
Sen ( — ) + Cos ( — ) ( ^ - ^ )
3
3
180
=
0.86603 - — (0.01745)
2
=
0.857305 .
,
entonces
La Derivada
Cap. 5
445
13.7 OBSERVACIONES
1.
La notación para la derivada de
dy_
dx
df
y = í{x ) :
(x) = f ' ( x )
(*)
. . .
dx
sugiere también la definición de la DIFERENCIAL
con
h = dx
lo que aparentemente "parece" que pudiera pasarse el d x del primer miembro
en (*) f multiplicando al 28 miembro .
2.
La diferencial de una composición
d (f o g)(x)
d (f ° g )(x )
3.
fog
es igual a;
=
(f o g ) '( * ) d x
=
f'[g (*)]'g 'U )d *
=
f'[g (x )]-d g (x )
F O R M U L A S ADICIONALES
donde
a)
b)
d ( f ± g)
C)
d (f-g )
=
df
±
C = función constante
dg
= f - ( d g ) + g* ( d f )
g. d i - f • d g
d)
e)
d (-L )
g
=
d f (u )
=
PRUEBA DE [C ] :
g
f'(li)-d u
d [ f ■g ](x) =
(fg )' (x) dx
=
[ f ( * ) • g' (x)
=
f(x )*[g '(x )d x ]
=
Hx)'dg(x)
=
[ f-dg
+
+
g (x)-f'(x) ]d x
+ g (x )-[f'(x )d x ]
g (x) • d f (x)
+ g -d f ](x)
- 446 -
Cap. 5
Análisis Matemático 1
13.8
Se llama
DIFERENCIAL DE 2o
- ORDEN de
y = f(x)
a ia expresión:
d
y =
d[dy]
= d[f'(x)dx]
( d x ) ' = o , pues
donde
=
dx = h
[ f ' ( x) d x ] ' - d x
es independiente de x
Así,
razón por la cual se tiene la siguiente notación para la D e r iv a d a de 2o orden
En general,
si
y = f(x)
entonces se tiene que
13.9 ERROR RELATIVO Y ERROR PORCENTUAL APROXIMADO
Cuando una cantidad
tidad
f ( x Q+ h )
con un error
y0 ~
A y
=
f(* 0)
se aproxima mediante la can
f ( x Q+ h )
-
f U 0)
se llama ERROR RELATIVO al valor:
Ay
y0
y ai valor
o
-
X
E R R O R RELATIVO
Ay
se le llama PORCENTAJE DE ERROR
entonces
Cap. 5
447
L a D e r iv a d a
Y cuando A y
es aproximado por
dy =
entonces se definen:
d f ( x Q)
df(xo)
ERROR RELATIVO APROXIMADO
f U c)
PORCENTAJE DE ERROR APROXIMADO
d í (x
)
[ --------- - — * 100 ] %
=
O ERROR PORCENTUAL APROXIMADO
13.10
Se mide el radio de un cilindro de 25 pulgadas de altura, encon­
trándose que es de 20 pulgadas con un error de 0.05 pulgadas.
Encuentre el porcentaje de error aproximado de:
PROBLEMA.-
a) El volumen , b)
SOLUCIÓN.-
f(* 0>
La superficie lateral ,
Error Porcentual Aproximado =
c) El área de la base.
d f (*0>
100 %
fu „ )
a)
h = 25 p u lg
altura
=
rQ = 20 p u lg
d r = 0.05 p u lg
V (r) =
nr2h
V (r
=
o
)
d V ( r0 ) =
=
25
=
ti
r2
10 000 7i
V '(ro)dr
= 50 7 i r o d r
1000 7T- (0.05) =
50 71
ERROR PORCENTUAL APROXIMADO :
d V (r )
— • 100 % = — 50?I
-100% =
10 000 n
V(rQ )
b)
A ( r ) = 2 7trh = 50 7tr
A '(ro ) =
50 7t
,
,
A ( r Q) = 1 000 7i
d r = 0.05
ERROR PORCENTUAL APROXIMADO :
c)
BASE
B ( r ) = Ji r
,
0. 5%
,
d A ( r Q) =
r dA{r )
[ ----------- 2—
A(r0)
A ' ( r Q) d r
100 ] 96
® ( r 0 ) = 400 71 , d r = 0.05
=
0.25%
448
Análisis Matemático I
d B ( r Q)
=
B / ( r Q) - d r
Cap. 5
Inr^dr
=
=
40 jt * ( 0. 05)
=
2n
dJ$ ( r )
ERROR PORCENTUAL APROXIMADO :
13.11
[
° _ . joo] %
B(ro )
=
0.5% .
Utilizando diferenciales halle el valor aproximado de
PROBLEMA.-
W = [ (3 .0 1 )2 + (4 .0 2 )2 + (12.03)2 ] l / 2
.
Calcule también el porcentaje aproximado del error cometido.
SOLUCIÓN.- Después de algunos ensayos buscando la función f(x)
tenemos la expresión
o
W =
( (1 + 2.01)
adecuada ob
o
+ [2(2.01)]
1/ 2
+ [6 + 3(2.01)]
)
lo que sugiere la forma de f (x) :
2 -,1/ 2
[ ( l + x ) 2 + ( 2 x ) 2 + (6 + 3 x ) 2 ]
f(x) =
xQ =
con
f(xo)
=
f ' (x ) =
2 , h = 0.01 -
dx
f (2) =
=
(1 6 9 )l / 2
0 + * o } + 4Xo + 3 ( 6
13
+ 3Xo )
=
iZ
f(x0)
W =
f ( x Q+ h )
=
13
f ( x Q) + f ' ( x o ) d x
=
13 + 0.036
=
13.036
Porcentaje de error (aproximado):
A f (x0 )
°
f(*0)
13.12 NOTA.-
100%
=
2— 100%
f ( x Q)
*0 = 3 ,
=
[ x 2 + (2x -
d x = h = 0.01 ,
f (x
+ h) ,
— — — ■ 100 %
13
=
0 .2 7 6 9 %
=
x Q + h = 3.01 ,
°
f'(3)
=
2 ) 2 + (3 + 3 x ) 2 ] l / 2
f(* 0) =
f(3) =
13
x + 2 ( 2 x - 2) + 3(3 + 3 x )
) = — 2--------------2----------------------------- 2—
f'(x
°
f'(* 0)
=
0 036
Verifique que también pudo haberse elegido ia función :
f(x)
W =
df U o )
47/13
f(*0)
,
y el resultado es exactamente igual al
La Derivada
Cap. 5
449
obtenido con ia función anterior.
13.13 PROBLEMA.-
Un tanque cilindrico de hierro tiene 6 pies de altura y un diámetro
exterior de 2 pies ; si la tapa y la parte inferior del tanque tienen
1 /2 pulg. de grosor y las paredes 1 /4
de pulg.; usar diferenciales para calcu-
. 3
lar aproximadamente el peso del tanque, si el hierro pesa 450 lb / p ie .
SOLUCIÓN.Z
Calcularemos el volumen de hierro del tanque:
^ ° * 'e x t e r io r
„(
1 ) 2
6
^ ° ^ ‘IN T E R I0R
_ jt(i _ - L ) 2[ - — ]
6
48
12
Z = J i ( i r [ 2 + 4(1)] -
n ( l - — ) 2 [ 2 + 4( 1 48
1
48
x
-1/48
Elegimos
-Z
=
1
=
f (x
dx = h =
,
+ h) -
f (x
)
=
,
x Q+ h
f(I
-
=
I -
(1/48)
=
— n/3
f(l)
48
f(x
Luego,
/.
+ h)
Z
f(x
=
)
=
f'(x
)dx
=
tt(4x0 + \2x*)dx
=
ti
(16) • ( — 1/ 48)
n / 3 pies
PESO DE HIERRO
=
450 Z
=
450 • ( t i / 3 )
=
150 n lib r a s .
Se llama RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO o
VELOCIDAD PROMEDIO DE CAMBIO
del valor de una función
CON RESPECTO A SU VARIABLE x , para x
h = A x
fijo , al cociente :
en el intervalo
y = f(x)
[ x Q, x Q+ h ] ,
450
Análisis Matemático 1
Cap. 5
Si en esta fórmula denotamos x ] =
VELOCIDAD PROMEDIO DE CAMBIO d e
x Q+ h
tendremos la
c o n r e s p e c t o a x , en el in te r ­
f(x)
valo [ x Q , * | ] como :
A
f
y
( * , )
-
f ( x Q
)
A x
del cual también se dice que es la
V elocidad de C a m b io d e
p o r u n id a d
f (x )
(de cambio) d e la v a r ia b le x .
Si y = f ( t )
determ ínala TRAYECTORIA RECORRIDA por un móvil hasta el instan
te t entonces la VELOCIDAD PROMEDIO del móvil en el intervalo de tiempo [ t Q , t ]
está dada por :
f(t) -
f ( t Q)
A
y
A
t
-
t
A
o
t
=
t
-
t
o
x
Espacio recorrido prom edio p o r unidad
de tiempo en el intervalo [ t Q , t ] .
Cuando en el intervalo
entonces
x Q+ h
f x ^ . x
+ h]
1 o
o
ó íx
o
+ h , x
RAZÓN DE CAMBIO DE
CON RESPECTO A x
f(x)
se hace tender
en el punto x Q .
f(x)
h a 0
—
Es decir,
f ( x 0
+
h
hm
------h —► 0
EN x
=
f'O O
ih '
A
NOTA.-
]
tiende a x Q , y se obtienen las VELOCIDADES (o RAZONES) DE
CAMBIO INSTANTÁNEAS de la función
14.1
o
x
-
f
(
x
)
—
h
dy
=
dx
( xo)
A &
m
— ►
)
--------0
A
x
Más precisamente , cuando se trata de la v a r ia b le TIEMPO t , es
cuando se usa la denominación de VELOCIDAD DE CAMBIO d e
resp ecto al tie m p o
lím
A l
A t - t -0 A x
donde
t en el in s ta n te
t =
t
, y viene a s e r :
dy
dx
ü (t0 ) =
f(t)
v e lo c id a d en el in s ta n te t = t Q .
La Derivada
Cap. 5
En este caso, a la
en el instante t
instante
t =
RAZÓN DE CAMBIO DE LA VELOCIDAD
se le llama la ACELERACIÓN
t
o
a (i0)
14.2
a ( t Q)
=
respecto al tiempo
INSTANTÁNEA del móvil en el
2
dv
di
En cierto instante t
PROBLEMA.-
451
— ^ (t )
•) v o '
=
f " ( t )
v o'
d t“
, la longitud del lado de un cuadrado mide
10 pulgadas, y cada lado del cuadradoestá :
a)
aumentando en longitud a razón de 0 . 2 p u l g / m
b)
disminuyendo en longitud a razón de 0.4 p u l g / m i n .
in .
¿Cuál es la velocidad de cambio del área del cuadrado:
i)con respecto al
tiempo en el instante t
?
ii)con respecto ala longitud del lado en el instante
14.3 NOTA.1)
En el instante en que x = x
o
indica que si x está creciendo en ese instante entonces y también está creciendo a una velocidad iguala : { d y / d x ) (xQ )
> o
dx
con respecto
t ?
a la magnitud x ; y si x está disminuyendoenese instante enton­
ces la magnitud
y también está disminuyendo a la razón de : { d y / d x ) (xQ )
con respecto a la magnitud x .Observe la figura.
YA
m
=
y = fU)
o = f(x0)
y DECRECE
m > 0
CONFORME
X CRECE
y CRECE CONFORME
(Y VICE^.)
-------------- :— H
X CRECE (Y VICEV.)
o
2)
dy (x ) < 0
o
dx
I------------------------------
O
indica que si x está creciendo en ese instante entonces la magnitud y está disminuyendo a la razón :
( d y / d x )(*o )
con respecto a x . Y si x estuviera disminuyendo en ese instante entonces y
taría creciendo a razón de { d y / d x ) (xQ ) con respecto a x (ver la Fig.).
es­
-452
Cap. 5
Análisis Matemático 1
SOLUCIÓN-
Sean
x = x (t) =
longitud del lado
2
A(x) =
a)
área
x”
=
, la velocidad x
En el instante t
mide xQ =
10
, y su velocidad de
cambio respecto al tiempo (dato) es:
dx
(t0) =
+ 0.2 p u l g / m i n .
dt
El signo
indica que x está creciendo en ese instante t
(+)
a razón de
0.2 p u l g / m i n .
dA
i)
dt
( Oo
dA
=
dx
( Oo
dx
dt
( Oo
• 0.2
=
2x
—
4.0 p u l g
q
=
2 0 (0 .2 )
/m in .
Este valor viene a ser la velocidad de cambio del área respecto al tiempo en el
instante t
, y el signo (+) indica que en ese instante el área está cre­
ciendo a razón de
ü)
dA (x ) =
o
dx
2*
4.0 p u lg a d a s c u a d r a d a s / m i n .
=
20
P U lg ' (d e área)
p u lg (d e lado)
representa la razón de cambio (variación) del área respecto a la longitud de su
lado cuando éste mide xQ = 10. Su signo (+) indica que, como el lado
[dato] está creciendo, en ese instante el área también está creciendo, a ra­
zón de 20
b)
p u lg 2
En el instante t
de área por pulgada de lado.
en que xQ = 10 t como x está disminuyendo a razón de
0.4 p u l g / m i n . :
dx
(t
)
=
-0 .4
p u lg /m in .
dt
i) La velocidad de cambio del área respecto al tiempo en el instante t
dA
dt
dx
d A
U „ )
(‘ o)
dx
-
0
20 ( —0.4)
( t D)
dt
=
es :
2 x 0 - ( — 0.4)
0
— 8 pulg " / m i n .
La Derivada
Cap. 5
453
El signo (— ) indica que el área está disminuyendo a razón de
p u lg 2/m in
8
en dicho instante t .
ii) La razón de cambio del área respecto al lado x en el instante en que mide
x = 10 es :
o
dA
p u l g “ de área
(*0)
=
2*o
=
20
p u lg de lado
dx
y el signo (+} indica que como el dato es que en ese instante su lado x es­
taba disminuyendo entonces el área también está disminuyendo con respecto
al lado x a razón de 20 pulg2 de área por cada pulgada del lado.
PROBLEMA.- Dentro de un tanque cónico está entrando agua a razón constante
14.4
de 3 m 3/ seg . El radio del cono mide 5 m y su altura mide 4 m .
a)
b)
Calcule la velocidad con que asciende la superficie libre del agua.
Calcule la razón de cambio (o variación) respecto al tiempo de la velocidad de su­
bida cuando la profundidad del agua es de 2 m. (Considere el vértice del cono
hacia abajo).
SOLUCIÓN.-
Resolveremos para el instante t
en que h
ho = 2m
5h
r
h
y el volumen del agua estará dado por
v
=
25
1
2,
— n r «h
3
=
DATO:
,3
nh
48
+ 3m
/se g .
,
V t ,
dt
lo que indica que el volumen está
aumentando.
a)
INCÓGNITA:
dh
(tQ ) = ? , para
hQ = 2 :
dt
3 =
3
dV
dt
dV
dh
dh
dt
25 n , 2 d h
h • ----16
dt
25 7i'
dh
---------- ( 4 ) --------
dh
dt
dt
16
=
(+ )
t
12
25
t i
•
(*)
m /seg.
• 454 -
b)
Análisis Matemático 1
INCÓGNITA:
d2h
— (—
)
dt
dt
De ( * ) :
dh
48
dt
25 7T
d
dt
?
Cap. 5
para h Q = 2 :
dt
y por la regla de la cadena
1 , dh
(Ü Ü o
dt
dh
(y para h = 2 m. ) =
25
— J'
dt
jt
48
12
25 7!
25 n
144
-
m /se g
(**)
625 7t
14.5 NOTA.-
El signo (+) en [ a ] indica que la superficie libre del agua está su­
biendo a razón de 12/(25 n) m /se g en ese instante.
En cambio, el signo (-) en [b] indica que la velocidad de subida
de la superficie [ la aceleración ] está disminuyendo en ese instante a
la razón indicada en (* *) .
Unavía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60° .
Una locomotora dista 160 metros del cruce y se aleja de él a una
velocidad de 100 km/hr. Un automóvil dista del cruce 160 metros y se acerca a
él a una velocidad de 50 km/hr. ¿A qué razón varía la distancia entre ellos?
14.6 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
DATOS:
=
100 k m / h r
;
=
—
- 50 km/hr
¿porqué?
dt
dt
PRIMER CASO,
SEGUNDO CASO
PRIM ER CASO
y
=
z2 =
y• como
160 = x
;
O
z = distancia entre tren y auto
7
x 2 + y 2 — 2 x y Cos 60°
xn
= yn =
o
160
=
x 2 + y 2 — xy
entonces
z Q = 160 m.
...
(*)
La Derivada
Cap. 5
dz
INCÓGNITA.-
-----dt
=
?
para
x
o
=
u
o
- 455 -
=
160 m ,
z rt =
o
160 m .
Derivando en (*) implícitamente respecto a t :
2z
dz
=
2x
dx
,
dy
+ 2y —^
dt
dt
dt
dy
x —
y
dt
dx
dz
dt
dt
=
+ 25 k m / h r .
(en dicho instante, la distancia entre tren y auto está aumentando)
SEGUNDO CASO.-
xQ = yQ =
z
2
x
=
zQ =
2z
dz
dt
dt
2 , 2 ,
+ y
z2 =
,
x2 + y2...
+ xy
2 x y Cos 120°
(**)
160 V T
dx
2x
160
„
dy
+ 2y—
dt
dy
dx
+ x - 2- + y -----dt
dt
y evaluando esta expresión para los valores dados de x Q , y Q
dz
=
+ 25 V T
, zQ:
km /h r.
dt
14.7
PROBLEMA.-
En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rec­
tángulo es de 10 pies y está aumentando a razón de 1 p i e / m i n .
y el otro cateto es de 12 pies y está disminuyendo a razón de
2 p i e s / m i n . . Halle la razón de cambio respecto al tiempo del
ángulo opuesto al cateto que en ese instante mide 12 píes.
SOLUCION.-
o
dy
=
12
X
,
dx
= -2
dt
y
Sec2 0
=
10
=
+1
,
Tan 0 =
x d y /d t
1 + Tan2 0
d0
10 (— 2 ) - 1 2 (1)
8
dt
244
61
Es decir, el ángulo está disminuyendo a razón de
=
y
x
dt
Sec2 0 - —
dt
Y en el instante to
=
o
— y d x /d t
1 + (— ) 2
10
p ie s /m in
8/61
p ie s /m in
244
100
- 456 14.8 PROBLEMA.-
Análisis Matemático 1
Cap. 5
Un cuerpo M se mueve a razón de
5 m /s e g . a lo largo de un pa­
tio circular. Una luz L ubicada de uno de los extremos de un diá­
metro perpendicular al anterior proyecta la sombra de M sobre la pared circular,
¿con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la pared cuando M se en­
cuentra a R / 2 metros del centro del patio? ( R = ra d io ).
SOLUCIÓN.-
dy
DATO:
= 5 m /se g .
dt
x = (20) R ,
y = R Tan 0
,
h =
2R—
dt
en el instante en que
5 =
dt
yo =
d0
4_
dt
R
dx
d0
2 R ----dt
dt
/
0
v
\
O
R ( 1 + Tan
íffl
5R
0)
dt
y como
=
2R
/A
Tan 0 = 1/2
R / 2 , es decir, cuando
*
h \
R
A 20
(*)
„ 0 2 „ d0
= R Sec 0 ----dt
=
\
R Sen ( 2 0 )
dy
dt
dy
M
e 6 ( 0 , 71/ 2)
dx
INCOGNITA:
P
:
d0
dt
x = 20R
_4
=
8 m /seg
R
14.9 PROBLEMA.-
Un peso se amarra en un extremo de un cable de 48 pies el cual
pasa por una polea situada a 23 pies sobre el nivel del suelo. Si
un hombre mantiene el otro extremo del cable a 5 pies sobre el nivel del suelo y se ale­
ja a razón de 5 p ie s /s e g ., ¿con qué rapidez se está elevando el peso cuando el
hombre se encuentra a 24 pies del punto directamente debajo de la polea?
SOLUCION.-
DATO:
dz
= 5
dt
dx
INCÓGNITA:
— •?
dt
Puesto que
y
'
z
o
=
-2(48 -
(48 -
24
x )2 =
entonces
x Q)
dx
=
182 + z 2
x
o
2z
dt
dx
dt
= — 4 pies/seg
=18
dz
0 dt
457
La Derivada
Cap. 5
Por lo tanto, el peso se está elevando a razón de
z Q = 24
(cuando
4 pies/seg.
en ese instante
p i e s ).
Cuando los puntos
( x , y)
de una curva
c
en el plano están re
presentados por ecuaciones del tipo
*
=
g (t)
,
t
6
Dom g n
Dom h
(*)
y = h (t)
entonces se dice que la c u r v a C está r e p r e s e n ta d a p a r a m é t r i c a m e n t e
A la variable t se le llama PARÁMETRO y a las ecuaciones
(*)
.
se les conoce
como ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la curva C .
Algunas veces un par de ecuaciones paramétricas definen una FUNCIÓN
lo cual ocurrirá si la función
t
=
g
g(t)
tiene función inversa
y =
'(X)
h [g
'(a:)]
t = g- 1 (x)
f
=
h o
y = f(x)
:
g- 1
Por ejemplo, las ecuaciones
x
=
y =
2t + 1
t+ i
determinan puntos sobre la recta que tiene dirección paralela al vector ( 2 , 1 )
pasa por ( 1 , 1 ) .
y que
458
Análisis Matemático 1
Cap. 5
Además, estas ecuaciones paramétricas definen una función de la forma y = f ( x )
pues siendo
t =
(x - l ) / 2
entonces
x —1
y = ------ + i
1
i
—
X + —
2
2
y así vemos que la gráfica corresponde a una recta de pendiente
a le je Y en
y Q = 1/2
para
m =
1/2
que cort£
t = -1/2.
f•
NOTA. -
No siempre las ecuaciones paramétricas definen1a la variable y como una
función de x . Por ejemplo, las ecuaciones
x = 2 Cos t
t 6 [ 0 , 2 n)
y — 2 Sen t
x 2 + y 2 = 4 , que determina la
al ser combinadas entre sí producen la relación
ecuación de los puntos de una circunferencia de radio
ceden en sentido antihorario cuando el parámetro
t
r = 2
y cuyos puntos se su­
crece desde 0 hasta 2n .
YA
t = j i/ 2
t = 3n/4
t = j i/4
i = 71
t = 7 j i/ 4
t = 5 jt/ 4
t = 3 re /2
El dominio
[ 0, 2 n ]
para el parámetro t
sea tocado DOS VECES, para
t =
o y para
hace posible que el punto
(2 , 0)
t = 2n .
En este caso, los puntos generan la circunferencia completa, lo que imposibilita de­
finir a y como una fu n c ió n de x , pues
y =
Sin embargo, si restringimos los valores de t
± V 4 a un nuevo dominio
[ o , n ] , en­
tonces se generan los puntos sobre la semicircunferencia superior con centro
( 0 , 0)
La Derivada
Cap. 5
y de radio 2 , incluyendo a los punios
y
(-2 ,0 ) y
-459
(2,0)
.En este caso la variable
resulta ser una FUNCIÓN DE LA VARIABLE x :
y = V 4 - x2
, x G [ - 2 , 2] .
Asimismo, si hubiésemos restringido el dominio a los valores de t en el in­
tervalo [ ti , 2 7i ]
se habría generado la semicircunferencia inferior, lo que definiría a
y como FUNCIÓN DE LA V A R IA B L E x
y = - 1¡ 4 - x 2
,
x 6[ - 2 , 2 ]
[ 0 ,2 n ]
Ahora bien, si en lugar de restringir eldominio original
lo extendemos a por ejemplo
[ o , 4 ji)
.
para elparámetro
t
entonces las ecuaciones paramétricas
x = 2 Cos t ,
y — 2 Sen
t ,
generan puntos que recorren la circunferencia completa en exactamente dos vueltas, en
sentido antihorario. La imagen, por lo tanto, corresponde a un alambre de longitud
2 ( 2 n r ) = 8 n , pues r = 2 , que se ha enrollado produciendo dos circunferencias
completas superpuestas:
Y A
►
X
En este ejemplo hemos presentado dos enfoques de la forma cómo se ubican los puntos
sobre una misma curva:
a)
El enfoque ESTÁTICO :
x2 + y 2 = 4
{
x
=
C os t
,
y =
t 6
[ a , b ]
Se n t
en el que los puntos se suceden con una cierta orientación de movimiento.
15.1 EJERCICIO.-
Verifique que las ecuaciones paramétricas
460
Análisis Matemático 1
Cap. 5
x = Sen t
t < 2 tt ,
0 <
y = Cos t
describen los puntos de una circunferencia de radio
es recorrida en sentido horario conforme t crece.
15.2
NOTA.-
Cuando se tiene una función
1 , centrada en el origen, que
y = f(x)
, x D o m f , entonces a
esta función se le puede dar un carácter dinámico representándola paramétricamente en la forma :
x =
t
t 6 D om f .
y = f (t)
y = x
Por ejemplo, en
-
4 ,
x e [ - 3, 3]
, si hacemos
2
1.
x = t
,
y = t
-
4 ,
t € [- 3 , 3 ]
t = -3
, obtenemos la siguiente parábola:
t = 3
t = 2
t = -2
t = 0
pero, la misma gráfica también pudimos haberla obtenido haciendo:
2.
y = ( 3 t ) 2 - 4 = 9t2 - 4 ,
x = 31 ,
t
€ [ - l , l ] ; aquí el dominio es
[ - l , 1]
(más corto) , lo que indica que, para cubrir la misma imagen anterior,
conforme
t
va creciendo desde
- 1 hasta
1 los puntos sobre la misma pará­
bola la van recorriendo a una velocidad triple de la anterior.
15.3 EJERCICIO.-
Verifique que las ecuaciones
x = 3Cos(2t)
,
y = 3Sen(2t) ,
t 6 [ 0, n )
determinan puntos sobre una vuelta completa de la circunferencia
de centro en el origen de coordenadas y de radio r = 3 .
15.4 PROBLEMA.-
Describir el comportamiento de la curva dada por:
461
La Derivada
Cap. 5
x
SOLUCIÓN.-
V t e
= 1 +
t2
,
R , l + t2
x> 1
,y >
1
y
=
1
>
1
t
+ t 2
Vemos así que se genera una
parte de una recta (RAYO) con
pendiente l que estáticamen­
te se apoya en el punto (1 , l)
{—00, 00)
€
(*)
luego:
y = x ,
,
,t
de ( * ) .
t —y — 0 0
YA
pero que enfocada dinámica­
mente (paramétricamente) vie­
nen a ser puntos que recorren
un alambre infinito doblado en
dos en el punto ( 1 , 1 ) y su­
+ 00
t = 0
perpuestas las dos partes en el
sentido indicado en la figura.
0
t -------->± 00
Pues si
la recta
y =
: x
+ 00 , y
y
+ 00 , pero siempre sobre
x .
15.5 PROBLEMA.-
Describir el comportamiento de la curva definida por
x SOLUCIÓN.- Se
l - t2
--------- — ,
1 + r
verifica que
lím
y =
—1
=
,
,
t € ( - 00, 00) .
l,
y ( t ) — 0.
lím
t —f i o o
El recorrido NO INCLUYE al único punto
quiera cuando t tien d e a
r-
1 + r
x2+ y 2
x(t) =
21
t —► ± 00
lor de t .
y
±
00 .
(-1,0)
pero sí se le acerca tanto como se
Note que x = — 1 no es tomado por ningún va­
y A
t = l
462
Cap. 5
Análisis Matemático I
15.6 PROBLEMA.-
Grafique la curva descrita por el conjunto de puntos
E = { ( * , » ) /
X
lt
=
> y =
I + ltl
SOLUCIÓN.-
x >
i)
, para todo
0
th i
, t e ® }
( i + 111)
t e R ;
t —► +
ii)
iii)
x 2 =
lím
x (t)
t —V i oo
t 2/ ( l
=
1
lím
i/ ( t ) =
t —► + OO
1
.
OO
+ 111)2
lím
y (t) = - 1
t —► — OO
t
i v)
❖
Si
t €
•> Si
v)
t 6 ( —o o , 0)
Para
15.7
[ 0 , oo )
t =
0 :
PROBLEMA.-
y = x
;
x = o ,y
,
x 6 [0,1)
= o.
Halle dos representaciones paramétricas para todos los puntos de
una elipse
SOLUCIÓN.-
y = —x
x e [o , \)
,
2
—► — OO
x2
y2
------ + —
a
=
i
.
En sentido antihorario :
= a Cos t
= a Cos 3 t
l
i)
=
b Sen t , t € [ 0 , 2 n ]
=
1 5 .8
Dada una curva C definida por las ecuaciones
x = f(t)
y = g(t) , t e i
bSen3t,
t€[0,2n/3]
La Derivada
Cap. 5
463
, el valor de la derivada d y / d x
se desea calcular para un valor t
( x Q, y Q)
senta la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto
x
que repre­
para
= f ( t Q) , y Q = g ( t o ) . Para ello aplicamos la regla de la cadena:
dy
dy
dx
d t
dx
dt
dx_
donde
df ,
(t.)
dt
dt
15.9 EJEMPLO.-
=>
,
dy
—
dt
dy
dy/dt
dx
dx/dt
dg ,
= — ( O
dt
.
Para la función y de x dada por:
t e [ 0 , n ] , halle
a)
dy/dx
x = 3Cost , y = 3Sent ,
para
cualquier valor de t ,
b)
t
=
ji/
4
.
SOLUCION.a)
d x / d t = — 3 Sen t
d y / d t = 3 Cos t
dy
dy/dt
3 Cos t
dx
dx/dt
— 3 Sen t
dy
= -
Cot(t)
dx
b)
Para
t
=
ji/4
0
5.10 PROBLEMA.-
:
—
=
— Cos ( n / 4 )
=
—1
dx
Demuestre que
d2y
dx2
dx
d2y
dy
d2x
dt
d t2
dt
dt2
dx
r-
(*)
^3
dt
SOLUCION.(REGLA DE LA CADENA) :
d / dy %
d r dy ^ dx
----- ( — = -) = ------ ( — - ) -----------dt
dx
dx dx
dt
d2y
dx
M.
f ---------- ... (1)
¿ x2
dt
- 464 -
Análisis Matemático 1
Y también,
dt
dx
dx
d y
dy
d x
dt
dt
dt
dt
dy/dt ] =
dx/dt
= -*-[
dt
Cap. 5
... (2)
dt
Igualando los segundos miembros de [1 ] y [2 ] obtenemos la fórmula
EJEMPLO.-
x = t +
Dada la curva
(*) .
y = t t
(Í¡L )
dt
dy
1+
t2+ I
d)
dx
d2x
d2y
y como
t2-
1-
C— )
dt
dt2
entonces
dt2
t
(i
t
4 -)
t
d2y
1
-
(i +
4t
t
dx2
[i
(t2 -
-
l) 3
t
15.11 PROBLEMA
Halle la ecuación de la recta tangente
x =
2 + 4 Cos t
aquellos puntos en que
SOLUCIÓN.-
Puesto que
—
2)
+
LT
(x -
,
y =
LT
1 + 2 Sen t
,
a la curva
t 6 [0 , 2 n ]
,
en
sea horizontal, y en los que sea vertical.
2)/4 = Cost
(y ~ 0
=
1 :
,
ELIPSE
(y -
l ) / 2 = Sen t
con
a = 4
,
b = 2 .
16
Y como
en
t e [ 0 , 2 ti ]
(2,1)
t
los puntos recorren toda la vuelta de la elipse con centro
en sentido antihorario.
Además,
dy
dx
dx/d t
— 4 Sen t
dy/dt
2 Cos t
t = tt/ 2
t = 0 , 2 7i
t = 71
- — Cot(t)
2
...
(*)
t
= 3n/2
La Derivada
Cap. 5
dy_
= O
tj = n/2
para t :
y
- 465 -
t 2 = 3n/2
(HORIZONTALES)
dx
que corresponden a los puntos
( x } , y } ) = (2 , 3) , ( * 2 , y 2 ) = (2 , - I) .
Luego, L ?
Para
HORIZONTALES:
Para
Lt
,
LT :
y = 3
(2 ,-1 ),
LT :
y = - l
(2,3)
m = ± oo = d y / d x
VERTICALES:
t = 0, 2n :
Si
t = n
15.12
a)
:
( t = 3 n/2 )
[ Ver ( * ) ] ,
P = (6,1)
LT :
x = 6
P = ( - 2 , 1)
Lt :
* = -2
PROBLEMA.-
= n/2)
para
= 0 , n , 2n .
t
Si
(t
.
Un PUNTO MÚLTIPLE es el punto de una curva que corresponde
a dos o más valores diferentes del parámetro t .
En el punto múltiple de la curva paramétrica
*
=
t
y = r -
— 41
4
,
t e
[ - 3 , 3 ] ,
halle el ángulo que forman entre sí las rectas tangentes
b)
Halle las rectas tangentes horizontales.
c)
Halle las rectas tangentes verticales.
SOLUCION.a)
jc
= t(t2-
4)
:
(x (t,), y (tj))
t. (t? -
t.
=
=
( x ( t 2) , y ( t 2))
4) = t 2 ( t j -
4)
A
t ?I -
t¡ *
t2
(-15,5)
(15,5)
entonces
y de lo cual se tiene:
2t
1
4 = ti -
± t 2
pero como debe ser
- t,
O
+ 4 t,
8 t] =
0
t, ( t [ - 4) = 0
t= 0
4
* 466 -
Análisis Matemático 1
t? = 0
t| = 0
DESCARTADOS POR SER IGUALES
tt =
Y como
dy_
dx
para
t
2
b)
- 2
A
tj = - 2
:
P = ( 0 , 0)
,
= dy/dx
=
-1/2
t2 = 2
:
P = ( 0 , 0)
,
m 0 = dy/dx =
i/2
nij — m ?
l
1 + m ( m^
l - (1/4)
dy_
2
t
= 0
0 = 53°
(H o rizo n ta le s)
t =
0
3t~ - 4
P = (0, -4) ,
m =
2
dy
dx
t
= ± oo
y
(V erticales)
= -4
t = ± 2 //I
3t~ - 4
=>
P =
16
(±
-
3 / 7
=
- - )
?
3
L T2 :
16
2
3t - 4
dx
c)
t2 =
entonces
Tan 0 =
m —
Cap. 5
16/(3-/7)
x = - 16/(3a/T )
.
16.1 SIMETRÍAS.
I)
La gráfica de una curva paramétrica
AL EJE X
existe
si p a r a ca d a
t 2 € D om r(t) n
(x(t),
y ( t ) ) es SIMÉTRICA RESPECTO
tj e D o m x ( t) O D o m y (t)
Dom y(t)
tal que
( * ( t 2) , y ( t 2)) = ( x ( tj) , - y ( t , ) )
La Derivada
Cap. 5
II)
La gráfica de una curva paramétrica
AL EJE Y
existe
t,
si p a r a ca d a
467
(x(t),
y ( t ) ) es SIMÉTRICA RESPECTO
e Dom x(t) n
6 Dom x(t) n
Dom y(t)
Dom y(t)
tal que
( * ( t 2 ), y (t 2 ) ) =
( - x ( t , ) , y ( t j ))
(
En particular, si
x(t)
es una función
PAR y
y (t)
es una función
IMPAR,
entonces la gráfica es SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE X :
( x ( - t), y ( - t ) )
y si
x(t)
=
es una función IMPAR
( *(t), - y (t)) .
y
y(t)
es una función PARentonces la gráfica
resulta SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y :
(* (-t), y (-t))
=
(-x (t),
y(t)) .
16.2
Dada una curva
x = x(t)
se realiza como para una curva dada por la ecuación
Se evalúan las derivadas
,
y = y ( t ) , el bosquejo
y = f(x) .
x f ( t ) , y ' ( t ) , lo que da origen a la derivada:
dy
y ' ( t)
dx
*'(t)
Los valores críticos de t son aquellos valores
tj , t 2 , ... , t k
,
para los cua­
les al m en o s u n a d e las d e r iv a d a s se hace cero o se v u e lv e d isc o n tin u a .
Luego se analiza el signo de
dy/dx
en los intervalos
{ ,
t2 ) , { t2 , t3 ) ,
* ■ ■ » ( t k _ | » k ) • Para determinar el crecimiento o decrecimiento de la curva.
Para determ inar el sentido de la concavidad se evalúa la segunda derivada
- 468 -
Análisis Matemático 1
d2 y
y " ( t ) x ' ( t )
Para hallar las ASÍNTOTAS
x(t)
y/o
y(t)
se ubican aquellos valores de
A)
a)
- ►
=>
( t )
hacia los cua
t -► t *
ó
t
t“
, y
x
i
y
t
tienden al infinito.
Se puede presentar los casos en que
x ( t )
x " ( t ) y ' ( t )
l*'(t)]3
dx2
les los valores de
-
Cap. 5
±
-)•
ASÍNTOTA VERTICAL:
x
=
x
o
o o
( SUPERIOR ( + ) , INFERIOR ( - ) )
*
( t )
—
►
+
o o
b)
C)
y = yo
ASINTOTA HORIZONTAL DERECHA :
y(t)
-»• y 0
x
-¥
( t )
—
o o
i
=>
y = yo
ASÍNTOTA HORIZONTAL IZQUIERDA :
y ( O -> y 0
B)
x ( t ) —y + oo
i
entonces se busca la ASÍNTOTA OBLICUA DERECHA de e
y = mx + b
cuación:
m =
b =
i*
y
hm
—
x - » + oo x
lím
x -> + oo
=
donde
y(0
hm
—------x (t)
♦
[y — m x ]
,
=
[ y(t) — m x ( t )
lím
]
t +
o
C)
x(t)
:
- o o
entonces se busca la
ecuación:
m
b
16.3 PROBLEMA.-
=
lím
ü -
x-> -oo
x
lím
x-+-oo
=
y =
mx
=
m x)
—
+ b
lím
t - + t
( y
ASÍNTOTA OBLICUA IZQUIERDA
,
donde
X Ü I
+
o
=
lím
[
y
( t )
m x(t)
—
.
]
+
O
Bosqueje la gráfica de la curva paramétrica definida p o r ;
x
=
a
C o s 3
t
,
y
=
a
S e n
3
t
,
t
€
[ 0
,
2
jt
]
,
a
>
0
de
La Derivada
Cap. 5
= — 3a Cos2 t Sen t
y ' (t) =
3 a S e n 2t C o s t
0 , n / 2 , n , 3 n / 2 , 2n .
Los valores críticos de t son :
d yy
y*
y (vt );
dx
x
Observe que
f
dy/dx
_
no existe en
dy/dx = 0
t
-Tan(t)
Rango de
x
,
d 2 yy
l
dx2
3 a C o s 4t S e n t
t = n / 2 , 3 ^/2
en
0 , n , 2n .
t =
Rango de
y
dy/dx
d 2y / d x 2
x > 0
0 <
y
<
a
<
0
> 0
(n/2, n)
0 > x > -a
a >
y
>
0
>
0
> o
(n, in/2)
—a < x < 0
0 >
y > —a
< 0
< 0
(in/2,2n)
0 < x < a
-a < y < 0
> 0
<
(0,n/2)
Note que
x(t)
a >
, y ( t)
nunca tienden a
coseno, ambas están acotadas entre
y ( t) e [ — a, a ] )
Note que
x(t)
-a
+oo
y
ó
a
—oo
0
X
w
x '(t)
II
SOLUCIÓN.-
469
y
r
pues debido al seno y al
(es decir
x(t)
€ [ - a , a]
,
. Por lo tanto la gráfica no tiene ninguna asíntota.
es una función par, que
y (t)
tanto la gráfica resulta ser simétrica al eje X .
t € [ 0 , n]
es una función impar, y que por lo
De modo que bastaba analizar para
- 470 -
Análisis Matemátic. 1
16.4 PROBLEMA.-
Cap. 5
Halle las asíntotas de la curva cuyas ecuaciones son:
3a t
x = --------- —
1+ r
,
3a t 2
y = ----------- —
1+ t
,
(a >
0)
así como sus valores críticos.
SOLUCIÓN.-
lím
V t e R -
= —o o
x (t)
{-1 }
:
,
lím
y (t)
= +oo
lím x(t) = + o o ,
lím y (t) = —o o
t—
►—1~
t-+ -l“
t = 0 :
—► + oo :
x
—► 0
,
y —► 0
t
—>• — o o :
x
—y 0 +
,
y —> 0
lím
x -¥ +
=
— =
oo
lím
x
lím
[y
— m x ]
=>
—
Ademas,
—oo
,
— í —12, =
t
— 3a ( 2 t 3 —
3
(1 + t 3 )
1)
2
t
— 1+ .
,, x
,y ( t ) =
se hacen cero o no existen para
— 3 a t ( t 3 — 2)
3
(1 + t )
(1 + r r
t = o,
sultar los valores críticos de t . Note que
2
I / 3 T T , W T , que vienen a re­
t = —l
no pertenece al dominio
de la curva paramétrica dada.
16.5 PROBLEMA.-
.
es ASÍNTOTA OBLICUAIZQUIERDA , pues
si y sólo si
x ( t ) = -----------------
—a
es la ASÍNTOTAOBLICUA DERECHA
Se verifica que esta misma recta
x
3at
lím
= —x — a
y
,
— = —1
t-v-1 -
* - + + «>
»*
,
t
m=
b
( x , y ) = ( O, 0)
Halle todas las asíntotas de la curva paramétrica
La Derivada
Cap. 5
SOLUCIÓN.-
Evaluaremos los valores h a c i a l os c u a l e s t i e n d e
y (t)
x(t)
=
— oo ,
lím
t — —1
x(t)
— 00 ,
a)
lím
x(t)
=
+00
si y sólo si
t —> — l -
ó
t —>
x
—► — 00
si y sólo si
t —► — 1+
ó
t - ► 1+ .
se presentan cuando
«.2
i*
lim
=
t
[y — m x]
lím
—l “
*
----2 t
=
lím
+ °°
1
------2
=
—— í - í -
t - y - r
I -
=
— -
t2
2
.2
..v
i'
m =
x
b =
y
lim
—
+ 00 x
i'
=
lim
t —► i -
,( y — m x )•> =
lím
* - > + oo
y = (x -
1
----2t
—1
2
=
ihm
t —► I
t 2 _ t =
--------1— t2
iii)
m=
lím
x -*■ b=
—
=
00 x
lím
. v
iv)
m =
y =
(y + — )
-(x
=
2
x - y - oo :
=
— —
2
l í m ——
t - >
- l +
=
1 -
+ l)/2 .
,
lím
y
—
x —> — 00
x
1
2
——
2t
lím
— 1+
t
x - > - o o
=>>
---------->
2
0/2
LAS ASÍNTOTAS OBLICUAS IZQUIERDAS :
*2
=
lim
t-H +
t
2t
=
+ 00 :
x
y = - ( x + l)/2 .
11)
+00
—> + 0 0
y
lim
—
x -*■ + 00 x
b =
=
x
ASÍNTOTAS OBLICUAS DERECHAS
m =
x(t)
t - + 1-
b)
1■)\
=
i+
Es decir
cuando x ( t ) y/o
t —► — 1
lím
t
t
tienden a ± oo :
lím
Las
471
1
—
2
t 2
— 2
-472
Cap. 5
Análisis Matemático 1
b =
lím ( y
I - - ° 0
=>-
—)
=
lím
—------- — =
t->! + I - t2
2
y = (x - l)/2 .
16.6 PROBLEMA.-
Trace la gráfica de la curva:
x (t) = a(t —
SOLUCION.-
Sen t )
(a > 0 )
, y ( t ) = a ( l — Cos t )
,
t € [0,
4 jt]
Observe que no existen asíntotas
( t ) = a (1 — Cos t )
y ' (t)
x / / ( t ) = a Sen t
Valores críticos de
d 2y
— —
2
=
y
t:
= a Sen t
( t ) = a Cos t
t = o , j i , 2 j i , 3 j i t 4ji.
y ” (t) x' (t) - j / ( t ) ; r " ( t )
dx2
=
___________ 1
U '(t)]3
a (1 — Cos t ) 2
y así la gráfica resulta ser siempre cóncava hacia abajo.
X
Rang ( x )
(0,n)
(
7 1
,
2 7 1
0
)
a 7i
< x < a
<
x <
dy/dx
Rang ( y )
0
ti
2a
ti
y <
<
2a
2a
y >
>
0
y < 2a
( 2n , 3 n )
2 a 7t
<
x
<
3a
ti
0 <
(3 n , 4 n )
3 a 7i
<
x
< 4a
7i
2a > y > 0
>
0
<
0
<
0
<
0
>
0
<
0
< 0
<
0
n , 3 tt en los puntos:
Existen máximos relativos para
t =
Existen mínimos relativos para
t = 0 , 2 n , 4 ji
y existen picos para
d 2y / d x 2
t = 0 , 2 jt , 4 n
en :
en
y = f(x)
r
r
(a7c,2a), (3aji,2a)
( 0 , 0 ), ( 2 a j x , 0 ) , ( 4 a j i , 0)
(0,0),
, 0) , 4 a n , 0) .
Cap. 5
473
L a D e r iv a d a
16.7 PROBLEMA.-
Halle las asíntotas de:
x (t)
t2
=
--------------
t3
= ------------ —
t y (t)
I + t
x (t)
y (t)
SOLUCIÓN.-
Para
t
tiende hacia
= — oo :
t =
t €
R .
I + t
nunca tiende hacia infinito ;
+ oo :
± oo
si
t
±
lím
y (t)
t —► — oo
=
lím
x (t)
t —► — oo
— 1 ,
x = 1
=>•
Para
,
— oo ,
oo :
lím
y (t)
t —► + oo
lím
t —► — oo
y (t)
=
=
+ oo
— oo
es una asíntota vertical inferior.
lím
x (t)
t —► + oo
=
1
,
lím
t —> + oo
y (t) =
+ oo
x = 1 es una asíntota vertical superior.
Esta recta resulta por lo tanto ser LA ÚNICA ASÍNTOTA .
16.8 EJERCICIO.-
Bosqueje la gráfica de
x =
t2
--------------
y =
,
. + t2
16.9 PROBLEMA.SOLUCIÓN.-
El dominio D para la variable
_i_
a)
t
i
0""
m
. + t2
x = t + (l/t)
Bosqueje la gráfica de:
te s
D =
t3
,
R -
y = t 3 — 3t .
{ 0 } . Además, si
+ o°
;
o
lo que origina la recta ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA :
y = o
Esto se puede verificar mediante:
4 _
m =
b =
b)
lím
x —► + oo
lím
x-H -o o
r
t —> 0
° _— : -í
\
L
—
x
=
lím
t _ >0+
(y — m x)
— oo
x —► —
c
,
y -» 0 +
=
.
2
---------------t2 +1
lím
t-+ 0 +
=
0
( t 3 — 3 1)
=
0
=>• ASÍNTOTA HORIZONTAL IZQUIERDA :
y
= 0
474
Cap. 5
Análisis Matemático 1
Lo que puede verificarse con las fórmulas para
m y b e n
y
=
m * + b.
No hay asíntotas.
,
x ' ( t ) = 1 ------ —
Además,
y ' (t) = 3 t 2 -
3
t2
Valores Críticos de t :
dy
_
o, ± l
y '( t)
dx
_
x 'ít)
d 2y
x*(t )y"(t ) -
=
6 13
y ’ W x " (t) =
U'(t)]3
dx2
t
t2 - l
X
(-00,-1)
{ - i - o)
-
oo
<
oo
— 2
>
x <
x >
y
-
2
>
La curva pasa por
2 < x <
(-2 ,2 )
— oo
oo
y < 2
0> y >
-
para
<
2 > y > 0
— oo
+ oo > x > 2
( o- 0
{ 1,
3 t2
2
- 2
< y <
í = -1
oo
dy/dx
d 2y / d x 2
y = f(x)
> 0
< 0
r
o
y
> 0
< 0
r
> o
> 0
y
>
0
, y por ( 2 , - 2 )
>
para
f = 1 .
17. SERIE DE PROBLEMAS.
1.
Encuentre una ecuación para cada una de las rectas que pasan por
y que sean tangentes a la curva
y
= ( x — l ) / ( x + 3) .
( — 16, — 3)
La Derivada
Cap. 5
2.
Encuentre
!a ecuación
f ( x )=
x3-
SUG.-
LN :
4x
de
cada
3.
rectas
y -
f(s
) =
- (X l
*
o
»
normales
x +
8y -
) = m (x -
x
a
8=
la
curva
0.
)
1
Encuentre una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva
i
2
3y = x - 3 x + 6 x + 4 que sean paralelas a la recta 2x - y + 3 = 0.
Lt
: y -
f ( * 0 ) = f'( x o )(x -
x Q) , m = f ' ( x Q) =
2.
Dada la función
f(x)
SUG.-
5.
las
m = — l / f ' ( x 0 ) = — 1/8 .
SUG.4.
de
que sean paralelas a la recta L :
f
donde
una
475
=
í
* 2 S e n (l/*)+ *
. x * 0
l
O
, x = O
Evalúe
f'(0)
demuestre que
f , (0) = ,
por definición, con el límite.
Dada la función
x
f(*)
=
2
+ Sen x
x = O
;
[ [ X + 0.2 J
halle
+ x 2 C o s(l/x)
f ' ( 0 ) , si existe, usando
SUG.-
Siendo
vecindad
X 5C O
la definición de derivada.
f ( 0 ) = O yl í m
(x
x —► O
V § ( 0 ) (con
,
O < 5 <
+ 0.2) =
0.2 ¿
0.1 ) se tiene que
Z entonces en una
[ [ x + 0.2 ] ]
= O ,
V x e { - O . l , 0 .1 ) ; de modo que para efectos del límite buscado, en una ve­
cindad pequeña a lre d e d o r de
0 .2 :
V g (0 .2 )
con
8 = 0.1
por ejemplo, la
función es equivalente a :
o
f(*)
=
Si
x = o
,
x ^ 0 ,
.
x 2 Cos(l/x)
6.
,
f ( x ) = | x 3 Sen ( ■ ™* ■■ ) | , halle
x2+ 1
SUG.-
f (0) = 0 ,
................... 2
| h | = | h Ih .
x 6
f'(0)
Vg (0 .2 )
(re d u c id a )
por definición
- 476 -
7.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
Sea
x 2 +, a x — 7
f (x ) =
tangente a la gráfica de f
x g R -
{ l } , a € Z
, Lt
PQ = ( x Q , f ( x Q) )
en el punto
y corta a una de
las asíntotas de la gráfica de f en el punto cuya abscisa es 3 .
f'(2 -
a) = 7 / 4
1 :
f ' (x ) =
SUG.-
a) =
7/4
f'(2 -
L :
SUG.9.
1 + (6 -
=>-
= x + 4 ;
y
Sea
2 | <
f (—I) =
= $~x
f(x)
| |x | -
a) (x -
1)
2 ,
y halle el punto PQ .
a = 3 g Z . Pruebe que la asíntota no verti­
(3 , y ) e L D
Sea f una función tal que para todo
I f(*) -
Además ,
Utilizando la definición de derivada, demuestre que para
cualquier x ^
cal es
8.
.
es la recta
i |3
LT
y = 7 .
=3*
x g R :
,
halle
f '( - i)
.
2 (verifíquelo).
,
x e R , si
LT
es la recta tangente en el punto cuya
abscisa es a , halle una ecuación de la recta tangente L en el otro punto Q en
que
10. Sean
Lt
corta a la gráfica de f , (a * 0) .
=
f(x )
f ' ( 0 ) t ni
3x + \ x\
,
g(x)
g ' ( 0 ) existen pero que
11.
Si
12.
Sean f y g dos funciones tales que
i)
ii)
iii)
g (x ) =
13.
xf(x) +1
g U -I- y ) =
lím
f (x) =
x -f 0
g'(x)
,
g(x)g(y)
(l/4 )|x |
,
pruebe que ni
( f o g ) ' ( o ) sí existe.
halle
probar que
SUG
= (3 /4 )x -
Domf=
D
y .
Dom g = R
, si
V x G R
, V x , y GR
1
= g(x) .
Utilizar la definición de derivada.
Demuestre que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta
tangente, en cualquier punto, a la curva de ecuación x y = 5 essiempre cons­
tante (independiente del punto P sobre la gráfica).
14. Halle f ' ( x )
y f'(0)
si
La Derivada
Cap. 5
a)
b)
f( x )
.
<{
=
f(x) =
^
477
, x
*
O
O
, x
=
O
x 3 /2 Cosd/x)
. x
>
O
, x
= O
x 2 Sen ( 1 / x )
O
15. Halle la(s) recta(s) tangente(s) trazadas desde el punto
ta por f ( x ) = x
16.
2
( l , 2)
a la curva descri-
+ 2x .
Por el punto P de la curva de
y -
2 t¡~x
se trazan la normal a la curva y una
perpendicular al eje X determinando sobre éste los puntos T y S . Demuestre
que la longitud del segmento TS es constante (independiente de P ).
SUG.17.
P = (a , b)
y — 2 - / a " = — V~a~(x — a ) .
Ln :
Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
que pasan por el punto
SUG.-
f (x ) = 3x
2
-
8
( 2 , — 44) .
Halle los puntos
( jcq , f ( x Q) )
de tangencia.
i
en el punto cuya abscisa es igual a i.
SUG.19. Si
f (x)
f'(x )
20.
Si
Halle
y
(l)
.
pruebe que
= (2Cosecx)4 .
f es diferenciable en
x
f'_
= ( t g 2 x — 1) ( t g 4 x + 10 t g 2 x + l ) / ( 3 t g 3 x ) ,
hm
21.
(l)
—y a
xf(a ) -
x = a , demuestre que
af(x)
=
f
(a) — a f
,
(a) .
x - a
Demuestre que el segmento de la tangente a la hipérbola
y -
a / x t compren­
dido entre los ejes coordenados está dividido en dos partes iguales por el punto de
contacto. (Considere a > 0 ).
2
22. Halle la ecuación de la tangente a la parábola
x
= 4cy
en su punto
( x o , y Q ) • Demuestre que la tangente en el punto cuya abscisa es
es
23.
LT :
x Q = 2cm
x = ( y /m ) + cm .
Halle la ecuación de la normal a la parábola
y = x 2 - 6x + 6
perpendicular
a la recta que une el origen de coordenadas con el vértice de la parábola.
24.
Halle la tangente a la hipérbola
y = (x + 9 )/(x +
5)
de manera que atraviese
478
Análisis Matemático I
Cap. 5
el origen de coordenadas.
25.
Demuestre que las tangentes a la curva
los puntos en que
26.
y =
y = (1 + 3 x
ii)
)
trazadas en
R
que poseen las siguientes propieda­
f(x + y) = f(x )g (y ) + f(y)g (x)
f y g son diferenciables en
g(0) = i
,
g'(o) =
f
a)
Demuestre que
b)
Si además se sabe que
x = 0 , con
Sea
f (l/2n ) =
f (0 ) =
0,
f'(0)
= 1 ,
o .
es diferenciable en todo
g (x + y) =
R
i / 2 2n ,
para
y que f ' ( x )
g (x )• g(y)
demuestre que g es diferenciable en todo
27.
)/(3 + x
2
I t se cortan en el origen de coordenadas.
Sean f y g funciones definidas en todo
des:
i)
2
R
—f ( x ) • f ( y )
y que
n = 1,2,3,
= g(x).
g'(x) =
... ,
y
,
—f(x).
f(x) = o
para
otros valores de x .
a)
¿Es f diferenciable en
b)
¿Cuál es la situación si se define
f( —
)
=
— !—
2n
28.
lílim
t
30.
para
n = 1,2,3,
...
?
2n
0
f (a + 2 t ) — f ( a )
1■
t
,
ii}
lím
t ->■ 0
f (a + 2 t ) - f (a + t )
■—
■
t
.
Calcule las derivadas de las funciones:
a)
f ( x ) = Sen ( Sen [ Sen ( x 2 ) ] )
b)
g ( x ) = Sen ( 4 Cos [ 4 Sen (4 Cos 4 x ) ] ) .
Sea f un polinomio. El número a se llama
f ( x ) = ( x — a ) 2 ■g ( x )
Pruebe que:
31.
,
Si f es diferenciable en a , evalúe
i)
29.
x = 0 ?
Si
RAÍZ DOBLE
( para algún polinomio g
a es r a íz d o ble de f
ta lq u e
a es raíz de f y
X ) + Se n 2 ( x C o s 2 x )
f ( x ) = Tan ( —
s i:
,
halle
g(a) *
0 .
f' .
f ' (tt/2) .
2
32.
Determine
g'(0)
si
g ( x ) = ( x 2 + 2x + 3 ) f ( x )
lím
[ ( f (x ) — 5 )/x ] = 4 .
x -> o
33.
Si
f (x) = |x -
8|(x -
SUG.-
Pruebe que
,donde
f (0 )
= 5 y
f'(0) = 4 .
8 ) 2 , halle todos los puntos donde f es diferenciable.
Cap. 5
La Derivada
(JC — 8 ) 3 ,
SUG.-
f(x)
x >
8
[ f ( 8) = O ]
=
-(x
-
8)3 ,
x < 8
Solamente falta ver que exista
34.
- 479
f ' (8 ) .
Sea f una función definida en todo R tal que
i) f (a + b ) =
i i i)
f ( a ) ■f ( b )
f es diferenciable en
,
ii)
f (0 ) =
35.
Si la
36.
a)
b)
y que
f 7(0 ) • f ( x ) .
función f está definida por la regla:
f (x )
halle
=
, y
x = 0 .
Demuestre que f es diferenciable para cualquier x ,
f'(x)
1
=
i
ax3 + 4x2
.
x < -1/2
bx —3
,
x > — 1/2
los valores de a y b
para ios que
f es diferenciable en todo R .
Si
f ( x ) = | x — 3 |3 • ( x — 3) + x 3
en
x = 3 ?
Si
f (x ) = [ [ x j + (x - [ [ * ] ]
1
3
x -----2 1
, 0 <
,
¿ e s f diferenciable
x < 3, bosqueje su
gráfica.
¿ Qué puede decir acerca de la continuidad y diferenciabilidad de
x = i y en x = 2 ?.
Además, eliminando los corchetes escriba una fórmula para
f
en
f(x)
con
x 6 ( 0 , 1 ) , y úsela para hallar f ' ( 1 / 2 ) .
SUG - a) Basta considerar una vecindad pequeña V § (3 )
de modo que
37.
[[x -
3 / 2 ] ] tenga un único valor, si es posible.
Halle los valores de a , b y c para que la
8 /M 3
alrededor de 3
función
,
|x| >
2
,
| x |< 2
H x) = 4
ax2 + bx + c
sea continua en
38.
Si
f(x) =
x = 2 , y diferenciable en
x = - 2 .
i / ( x + 1) , demuestre que f ' [ f ( x ) ]
=
- (
x * 1 )2
x + 2
.
39.
Dada la función
fo o
halle los valores
40.
Cap. 5
Análisis Matemático l
480
Si
í
de a y b
f (x) = ax
de f
=
2
aJf2+b • x ^
l/|x |
, X >
1
1
de tal forma que f ' ( x )
.
exista.
+ b x + 2 , halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica
en el punto
( 2 , 8 ) , que sea paralela a la recta tangente a la gráfica de
g ( x ) = ( 4 / x ) + 6 , en el mismo punto.
41.
Demuestre que si
f
es diferenciable en a , entonces
r, ( x
,,
hm
h-40
f (a) =
42.
f (a + h ) -
si existe,
se lellama
f ' ( x Q)
lím
h)
0
LA DERIVADA SIMÉTRICADE f
=
lím
h -fO
f'(*0)
J .h l ~ I z . - L
2h
EN
xo
. [ Puede
existir
; por ejemplo, para la función
=
o , pero
f'(0)
no existe. ]
Si
entonces tiene d e r iv a d a s im é tr ic a , y que
f es diferenciable en x
O
,
entonces
x Sen ( l / x )
Sea
f(x)
,
(0)
x *
f'(x ) =
b
o
;
pero que no existe
f ' ( x rt).
o
0
=
o
43.
-
Demuestre que si f es diferenciable por la derecha y por la izquierda en el
punto x q
c)
f (x
| x | y el punto x Q = 0 :
f ' (0)
s
b)
x Q , al límite
f ( x . + h) 0
sin que exista la derivada
f (x ) =
a)
=
h)
2h
Sea f la función definida en una vecindad de
C ( O
f (a -
demuestre que existe
, x = o
( 0 ) ni
(0) .
Dada la función
, .
g(x)
.
x + x 3 S e n (l/x 4 )
0
,
x x
0
.
x = 0
Cap. 5
La Derivada
a)
Pruebe que g es diferenciable en
b)
¿Es
g'
x -
continua en
481
x = O.
0?
2
44.
Halle el siguiente límite:
L
=
^
[ Sen ( n x 2 Cosji x ) ]
< /x 2
lím
x
1
| Cos ( — x ) |
2
dx2
45. Si
46.
f(x)
=
a)
Halle
b)
¿Es continua
x ^
0
f'(0) .
f'
x = o ? .
en
im p a r ,
y que
Emplear la definición de Derivada.
Sea
fW
=
<
x + i
,
x <
x
,
0 < x <
,
> < * < 2
,
x >
2 - x
3x — x 2
Analice la existencia y continuidad de
48.
,
Demuestre que la derivada de una f u n c i ó n p a r es una f u n c i ó n
la derivada de una f u n c i ó n i m p a r es una f u n c i ó n p a r .
SUG.-
47.
5^ 2 Sen ( 1 / x )
Si
f ( 0 ) = 0,
a)
¿Para qué valores de n ,
f'(x)
b)
¿Para qué valores de n ,
f'
c)
¿Para qué valores de n ,
V
49. Si
0
1
2
f'(x) .
f ( x ) = x n S en ( 1 / x 2 ) ,
f ' ( x ) = Sen(x2 )
,
y si
n 6 Z
existe en x =
será continua en
, n >
o
0 ,
?
x = 0 ?
será diferenciable en
x = 0?
y — f ( — ----- - ) , halle
dy/dx .
x + 1
50.
Dada la función
gU )
x 5/|x |
0
Halle
,
x *
0
.x =
0
g ' ( x ) , g " ( x ) , g ' " ( x ) , g ^ 4^ ( x )
donde existan ; ¿son continuas?
482
51. Sea f una función dos veces diferenciable en
diferenciable en R ) ,
halle
52.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
f '( i ) = i,
y
R (es decir que f '
F(*)
= f [ S e n 2( ttjc/ 2 )
es también
] ,
F "(l).
Halle todos los puntos de la curva
* + y 3 = 8 donde la tangente sea paralela a
la recta x + 3 y = 2 .
53. a)
Encuentre las ecuaciones de las normales a la gráfica de
que son paralelas a la recta 3 * SUG.-
b)
A x 1 + 9 y 2 = 36
2 y = 12 .
= —4jc/3y = 3/2 .
y'
x 2 + y 2 = 40*
¿Qué ángulo forman las curvas
(1 0 -*) y2 = * 3
, y
en el punto común? .
(7 i~ 2+ 1 - 1
54.
Sea
f(*)
,
=
0
55.
a)
¿Es continua f en o ?
c)
¿Es
f'
SUG.-
en el punto
¿Bajo qué ángulo
*
57.
continua en 0 ?
y = *
4
-
Dada la ecuación
Si
f(x)
xe R
i2
] 3
=
y
Definición de derivada.
que es tangente a
4 y 3 + x 2 y - * + 5y = 0 ,
Sea
z =
2
_
I
, ab
*
0 , demuestre que
dx1
f (xr) • g (jc)
f'U )
y
o
] 2 .
a Sen 3 x + b Cos 3x ,
=
f" U )
*
=
y = * “ + b* + c
( * + a )2 + (y + b )2 =
+3f O)
=
Si f y g son dos funciones tales que
2
(b)
se intersectan las curvas
f " (x ) + 4 f ' O )
60.
*
( l , i) .
dx
59.
o
3
4 y + 5 * + y = 0 en el origen de coordenadas?.
[ i + i^
58.
>
¿Es f diferenciable en 0 ?
Halle los valores de b y c de la curva
la recta
56.
b)
*
=
_
b para que se cumpla
que
10 Cos 3 * .
f"(x)y
g"(x)
g"(x)
existen para todo
R , pruebe que
=
g'(x)
f(x)
f (S e n 2 u )
y
, para todo x en
i
: f'(x)
halle a
,
donde
= S e n ( * y ) Cos ( * + y ) .
u = y 3 + 2 . Además,
Calcule
dz/dx .
f'(t) = t2 ,
61.
Sea
z = f( u 2) ,
2xy
u3 + y 3 =
Sabiendo que
62.
Halle
donde f es diferenciable en un entorno de 1 ;a dem ás,
,
f'(l)
f' , f"
,
es una función diferenciable de y .
u
= -1/2
para
SUG.-
-1
< x <
Pruebe que
b)
y = u = 1 .
para
f " ( — 0.5) , si existen, para
[ [ x ] ] — O.s]] ) + [ [ x 2 + l j Sen [ 4 tí ( x 2 + 2 ) ]
1 .
, para x
[-1/2,0),
[ 0 , 1/2)
y
y2 =
6 , que sean paralelas a la recta
SUG.-
Pendiente de todas las tangentes L T :
en:
[1/2,1).
3x + 3y
Halle las ecuaciones de las rectas tangentes
2
+ y
SUG.-
2
=72
Ly
: y -
Pruebe que
m =
LT
- 1¿ por qué
donde ( x 0 ,y Q )
en
x = xQ .
Además
( x , y) = (4 ,4 ) € Lt
Utilice esta relación en ( * )
(x
. y
pruebe que
,
.
2
€ E
, y
2
4 x q + y Q = 7 2 (*) .
yutilizando el hecho de
que
y Q + 4 x Q = 18 .
y encuentre las dos posibles soluciones para el
) . [(3,6)
¿Qué ángulos forman al cortarse las curvas
ó
(21/5,6/5)].
2
y = x
Halle las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola
sean perpendiculares a la recta
?
a la elipse £ :
yQ = m (x -
x Q) ,
x 2 + 4xy +
8.
(4,4)
m = y7 = “ (4 *o /yo)
punto de contacto
=
que pasan por el punto
m = dy/dx
65.
dz/dy
Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
4x
64.
halle
f ( x ) = Sen [ 4 n ( x 2 + 2 ) )
< - l , - l / 2 ) ,
a)
,
f ' ( — 0.5) y
f ( x ) = | 2x | Tan ( t i [ [ x -
63.
483
La Derivada
Cap. 5
,
x
y
2
2
= x?
/x -
y
2
/7 = 1
que
2x + 4y = 7 .
66.
Aplique la fórmula de Leibniz para calcular la derivada:
67.
a)
Halle un valor aproximado mediante diferenciales de:
[ ( x 2 + 1) Sen x ] ^30^ .
484
b)
68.
Cap. 5
Análisis Matemático I
Halle el valor aproximado de
z = ^ 81.6 V~8K6
Demuestre que en la astroide
2/3 ,
2/3
x ' + y '
=
b 2 / 3 , ( b > 0)
el segmento tangente comprendido
entre los ejes de coordenadas, tiene
magnitud constante e igual a b . .
69.
Sea
( m , n e Z + ) . Mediante diferenciales se sabe que el
f ( x ) = x my,n
error porcentual en el cálculo de f ( x )
70.
do el error porcentual de x es
1 % . Calcule m y n sabiendo que suman 8 .
Calcule aproximadamente,
mediante diferenciales, el
|--------------; ----------(2 .0 3 7 )" — 3
V
valor de la expresión:
71.
74.
11
+2x
Pruebe que
^
1
+ 3 x + 2 x + x
+ 3.
V = - i í - ( - A - ) 3/ 2 ,
3
4 tt
Mediante diferenciales, aproximar el valor de
0.999
.
Utilizando diferenciales aproximar con 5 cifras decimales el valor de
=
7 + [S + (2 .9 9 ) 2 ] I / S
[ 270 -
75.
?Q
¿En qué porcentaje aumenta el volumen de una esfera si su área aumenta en
( 1 /4 ) % (mediante diferenciales) ?
SUG.-
73.
( 2 o3 7 ) 2 + 5
Usando diferenciales, calcule f (0.00009) sabiendo que
f(x) = x
72.
es aproximadamente igual a 0 . 6 % cuan­
(2 .9 9 )3 ] 2/ 5
La altura de un cilindro es
10 cm.
y el radio cambia de 2 a
2.06 cm. Con dife­
renciales calcule el cambio aproximado correspondiente en el volumen del cilindro
¿Cuál es el porcentaje de cambio en el volumen, es decir: ( t / V / V ) 100 ? .
76.
Demuestre que si se comete un error al medir el diámetro de una esfera, el error
relativo del volumen de la esfera es tres veces el error relativo del radio.
La Derivada
Cap. 5
77.
485
Un niño vuela un cometa a una altura de 300 pies mientras el viento aleja el co­
meta del niño horizontalmente a una velocidad de 25 p ie s /s e g . ¿Con qué rapidez
está el niño soltando la cuerda cuando el cometa se encuentra a 500 pies de él?.
78.
Se extrae el agua de un reservorio cónico de 8 pies de diámetro y 10 pies de pro­
fundidad (vértice hacia abajo) a la velocidad constante de 5 p ie s 3 / m i n .
¿Qué
tan rápido está bajando el nivel del agua cuando la profundidad del agua en el re­
servorio es de 6 pies?.
79.
a)
¿En qué punto de la parábola
y
2
= I8 x
la ordenada crece dos veces más
de prisa que la abscisa?
SUG.c)
Si
dy/dx = + 2 .
y = 4x — X3 , y
x
crece de modo uniforme a razón de
1/3 unida­
des por segundo, halle cómo varía la pendiente de la gráfica cuando
80.
x = 2.
Si el radio de la base de un cono circular recto es la mitad de su altura y si el radio
de la base mide 2 cm. con un posible error de 0.01 , aproximar el error posible
cometido al calcular el volumen.
81.
Una escalera de 25 pies de largo se apoya contra una pared vertical. Si la base de
la escalera se tira horizontalmente alejándola de la pared a 4 p /s e g . , ¿qué rápi­
do resbala la parte superior de la escalera cuando la base se encuentra a 15 pies
de la pared?.
82.
Un hombre en un muelle tira de una soga atada al nivel del agua a un bote a razón
de 50 p / m i n . Si las manos del hombre están a 16 pies sobre el nivel del agua,
¿con qué rapidez se acerca el bote al muelle cuando la cantidad de soga suelta es
de 20 pies?.
83.
Una partícula se mueve a lo largo de la curva
tancia al origen aumenta a razón de
y = ^ x 2 + 16
tal que su dis­
6 m /s e g . ¿Cuál es la velocidad de cambio
de x respecto al tiempo cuando la partícula se encuentra en el punto de coorde­
nadas ( 3 , 5) ?.
84.
Un punto se mueve a lo largo de la curva
y
2
~ x
3
de tal manera que su dis­
tancia al origen aumenta a razón de 2 u n id a d e s /s e g .
Halle
85.
dx/dt
en el punto ( 2 , 2 - / T ) .
Un contratista está de acuerdo en pintar ambos lados de 1000 rótulos circulares
cada uno de radio 3 pies. Al recibir los rótulos se descubre que el radio es de
0.5 p u lg . más grande. Usar diferenciales para encontrar el aumento aproximado,
en porcentaje, de pintura que se necesitará.
SUG.-
86.
A ( r ) = 2 0 0 0 ? ir2 ,
rQ = 3 .
Los extremos A y B de una escalera se encuentran respectivamente sobre una
pared inclinada y sobre un piso horizontal, conforme se muestra en la figura. Si di-
486
Cap. 5
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
cha escalera mide
2 V l9
m.
y el extremo
B se acerca al punto o a razón de
16 c m / s e g . , ¿a qué velocidad sube el extremo A cuando éste diste 6 m. de 0?
SUG.87.
Sean
x — l o n g . O A , z = l o n g . OB ,
w =
l o n g . AB =
2 V 19 .
Una barrera, en un paso a nivel, tiene dos brazos que giran alrededor del mismo
eje OY. El brazo O A mide 6 metros y el brazo OB 8 metros, y ambos giran a
razón de 2 5 r a d / m in .
¿Con qué velocidad (en
m /s e g ) se acercan los
extremos A y B , en el
instante en que 0 mide
45° ?
88 . Para
x > o , sea f ( x ) = - \ / x
. Halle la razón instantánea de cambio del
área del triángulo formado por el Eje Y , la recta tangente T y la recta normal a
la gráfica de f , en el instante en que T corta al Eje X en el punto ( 4 / 3 , 0 ) y
w
está aumentando a razón de 4 unidades/seg. donde
( w , 0)
es la intersec­
ción de T con el Eje X.
89.
Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por su parte superior
por un cono circular recto cuya altura coincide con la del cilindro, y por su parte in­
ferior por un hemisferio.
Si se sabe que el volumen del sólido permanece constante e igual a
54
cm3. ¿ A
qué razón varía el área del sólido en el instante en que la altura del cono mide 3
cm. y aumenta a razón de
90.
2lV~2~
cm/seg.
Halle la variación respecto al tiempo del ángulo agudo formado por las diagonales
de un rectángulo si el lado mayor crece a razón de 4 cm /se g . en una dirección y
el otro permanece constante e igual a
crece mide 17 cm .
SUG.-
Tan —
2
=
—
y
,
10 c m . , en el instante en que el lado que
Cap. 5
91.
La Derivada
- 487 -
Si se bombea agua en el tanque hemisférico que muestra la figura, a razón de
22.5 p ie s 3 / m i n . ¿Con qué rapidez está ascendiendo el nivel del agua, cuando
está a 5 pies de profundidad en el centro?
1 2
= — h (3r 3
SUG.- Volumen del Segmento Esférico
92.
Dado un triángulo isósceles cuya base mide
están disminuyendo a razón de
16 cm .
h) .
y cuyos lados congruentes
3 m m / s e g . , ¿a qué razón está variando el área
de éste, cuando la longitud de los lados congruentes es de 10 cm. ?
93.
Un policía en un carro de patrulla se aproxima a una intersección a una velocidad
de 40 m / s e g . Cuando se encuentra a 125 m. de la intersección, un carro la
atraviesa viajando perpendicularmente al policía a una velocidad de 30 m /s e g . Si
el policía enfoca su luz sobre el carro, ¿con qué rapidez está girando su luz dos
segundos después, suponiendo que ambos vehículos continúan con sus velocida­
des originales?
94.
Un punto se mueve a lo largo de la curva
f(x )
=
x 2 + 3x
,
x <
I
5x — 1
,
x > 1
de modo que su abscisa cambie a razón de
a)
b)
95.
5 u nidades/s eg.
¿Cuál es la razón de cambio de su ordenada?
¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por
Un depósito cónico con un ángulo de
agua a razón de
razón de
96.
"y "
18 ?
60° en el vértice tiene un pequeño orificio
en el vértice por el que escapa el agua a razón de
do el nivel del agua está a
f (x ) =
0.08 T V
pies3 / m i n .
cuan­
pies por encima del vértice. El depósito recibe el
c p ie s 3 / m i n . Cuando
y = 6 pies se observa que aumenta a
0.02 p i e s / m i n . En tal caso, encuentre el valor de
c .
El diámetro y la altura de un cilindro circular recto miden, en un cierto instante, 10
y 20 cm. respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de l c m / m i n . ,
¿qué variación de la altura mantendrá el volumen constante?.
488
97.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
Una rueda gira de modo que e! ángulo
9
de giro es proporcional al cuadrado del
tiempo. La primera vuelta ha sido hecha en 8 segundos. Halle la velocidad angu­
lar w luego de 32 segundos de iniciado el movimiento.
98.
Un punto móvil se desplaza sobre una recta de modo que su distancia s del punto
1 4
2
^
inicial al cabo de t segundos es igual a
s = — t - 4 t + 16 t~ .
4
a) ¿En qué instante se encontró en el punto de partida el móvil.
b) ¿En qué instantes su velocidad fue igual a cero?.
99.
Halle la razón de cambio de
100.
- y * 2 +16
con respecto a * / ( * - ] )
en
xQ= 3
Un tren sale de una estación en cierto momento y viaja hacia el norte a
50 K m / h . Un tren B sale hacia el Este de la misma estación 2 horas después
y va a
60 K m / h .
Halle la razón a la cual los dos trenes se separan
1.5 horas
después de que el segundo tren deja la estación.
101.
En una plaza cuadrada de lado
a
hay un foco luminoso en una esquina. Un
hombre ubicado en el centro de la plaza camina con una velocidad de
2 m /s e g . sobre la diagonal hacia
la esquina
gura.
A
según muestra la fi­
Halle la variación del ángulo
0 con
respecto al tiempo.
SUG.-
102.
Calcule
T a n (— 4
0) .
La longitud de una artesa horizontal es de 4 m , su sección transversal es un
trapecio, el fondo tiene 2 m de ancho, el seno del ángulo entre sus caras late­
rales y el plano horizontal es igual a 4 / 5 . Si se vierte agua a la artesa a razón
de 1/4 m 3 / m i n , ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando el agua tie ­
ne
103.
60 cm
de profundidad?.
Si ia longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es
constante, igual a 30 c m , está aumentando a razón de \ / n c m / s e g , ¿a qué
razón está variando el volumen del cono generado por la rotación de dicho trián­
gulo alrededor del otro cateto cuando el radio del cono mide 5 cm ?.
104.
Una lámpara está colgada a 15 pies sobre una recta horizontal. Si una persona
de 6 pies de altura camina alejándose de dicha recta a razón de 5 p ie s /s e g ,
a)
b)
¿Con qué rapidez se alarga su sombra?.
¿ A qué razón se mueve la punta de su sombra?.
La Derivada
Cap. 5
105.
La ordenada del punto que describe la circunferencia
a una velocidad de
1.5
Un caballo corre a
x 2 + i / 2 = 25
decrece
c m /s e g ¿A qué velocidad varía la abscisa del punto
cuando la ordenada llega
106.
489
a ser igual a 4 cm ?
20 k m / h
a lo largo de una circunferencia en cuyo centro
se halla un farol. En el punto inicial de la carrera del caballo está ubicada una
cerca que sigue la dirección de la tangente.
¿A qué velocidad se desplaza la sombra del caballo a lo largo de la cerca en el
momento en que éste ha recorrido 1/ 8 de la circunferencia?
107.
Los puntos A y B se mueven a los largo de los Ejes X , Y , respectivamente,
de tal forma que la distancia perpendicular r
del origen a AB permanece
co n sta n te . ¿A qué rapidez está variando OA y está creciendo (o decreciendo)
cuando
OB = 2 r
y B está moviéndose hacia
o
a
razón de
0.3 u n id a d e s /s e g , en el primer cuadrante?
SUG.108.
AB
es tangente a la circunferencia
?
x~ + y
2
=
r
2
.
Una persona camina por el diámetro de un patio circular de radio 15 m a una
velocidad uniforme de 34 m / m i n . Una lámpara en un extremo del diámetro
perpendicular al diámetro sobre el cual está caminando proyecta su sombra a lo
largo del muro en el instante en que su distancia al centro del patio es x Q = 8.
109.
Un triángulo rectángulo variable ABC en el plano es rectángulo en B tiene un
vértice A fijo en el origen y el vértice C sobre la parábola de ecuación
7
2
y = 1 + — x . El vértice B parte del punto de coordenadas ( 0 , 1 ) en el
36
instante t = 0
constante de
y se desplaza hacia arriba siguiendo el EJE Y a una velocidad
2 c m /s e g .
¿Con qué rapidez crece el área del triángulo cuando
110.
a) Si
t
t = 7 /2 seg. ?
seg. es el tiempo para una oscilación completa de un péndulo simple
de L pies de longitud, entonces
4 n 2 L = g t 2 , ( g = 32.2 p ie s / s 2 ).
¿Cuál es el efecto sobre el tiempo si se comete un error de 0 . oí pies al medir
la longitud de! péndulo ?
b)
Si
L = i pie , y si el reloj se adelanta 5 minutos cada día, ¿cuánto debe
alargarse al péndulo para corregir el error?
111.
El tiempo (en seg.)
n 2 L / g , siendo
de una oscilación de un péndulo está dada por
L =
lo n g
del péndulo (metros),
g =
9.8 .
t
H a lle :
2
=
490
Cap. 5
Análisis Matemático l
a)
La longitud de un péndulo que oscila una vez por segundo.
b)
La alteración en
t
si el péndulo en (a) se alarga a 3 mm.
112.
Una persona está caminando sobre un puente a razón de 5 pies/seg mientras
que una barca pasa por debajo del puente inmediatamente debajo de él a 10
pies/seg. El puente está a 20 pies sobre la barca. ¿Con qué rapidez se están
alejando el hombre y la barca 2 segundos después?
113.
Halle el valor del parámetro que corresponde al punto dado sobre la curva dada
en forma paramétrica:
114.
a)
x = 3 (2 Cos t — Cos 2 t ) t
y = 3 (2 Sen t — Sen 2 t ) ; ( — 9 , 0 )
b)
x = t 2 + 2t
,
y = t3+
t
;
(3,2)
c)
x = t2
1
,
y = t3-
t
;
(0,0)
d)
x = 2 T an t
,
y = 2 S e n 2 t + Sen 2 t
;
Demuestre que el segmento de la recta normal a la curva
x = 2a Sen t + a Sen t C os2 t
y — — a Cos2 t
,
2 a , p a r a to d o t .
limitado por los ejes coordenados tiene longitud
115.
(2,2).
Demuestre que en dos puntos de la curva
x = a (2 Cos t — Cos 2 t )
,
y = a (2 Sen t — Sen 2 t )
que corresponden a los valores del parámetro t
que se diferencian en 2 j i / 3 ,
las tangentes son paralelas.
116.
117.
Evalúe
dy/dx ,
d 2 y / d x 2 , para
a)
x =
3t +
1
,
y=
t2- 2
b)
x=
t2-
t
,
x=
t3+ I
c)
x =
— Cos3 t ,
3
y=
— Sen3 t .
3
Demuestre que
x 2^ 3 + y 2 ^ 3 = a 2y^3
ecuaciones paramétricas
(ó
118.
t €
es una ecuación determinada por las
x = aCos3 t ,
y = a S en3 t
,
t e[ 0 , 2 n ]
R ).
Para la curva que es la gráfica de:
x = t(4 -
t2)
i
y = t
2
(4 -
para
t e [-3 ,3 ]
2
O
demuestre que ( 0 , 0 ) es un p u n t o tr ip le de la gráfica y encuentre el valor de
La Derivada
Cap. 5
491
la pendiente de cada una de las tres rectas tangentes a la curva, en ese punto,
y los puntos de la curva que corresponden a cada uno de los siguientes valores
del parámetro: 1 y - 1 .
119.
Dada la curva (CICLOIDE):
x = a (0 -
Cos 6 ) f
y = a ( l - Cos0) ,
0 6 [ 0 , 2 n ] , demuestre que:
dy
Sen 0
dx
1 — Cos 0
-1
d2y
dx2
120 .
a (1 — Cos 0 )
Una piedra soltada en un pozo de agua origina ondas concéntricas que viajan a
una velocidad de 5 p ie s /s e g . ¿Con qué rapidez el área de la superficie pertur­
bada está aumentando 6 segundos después de que la piedra hace contacto con
la superficie?
121 .
Si
a >
0 ,
halle, para
y = a (1 — Cos t )
x = a ( t — Sen t ) ,
,
t 6 [ 0 , 2 ji ]
t = n /2 ,
d2y
dx2
1 1+ 1
122.
Si
f ' ( 2 x + 1) = ij 2 x 2 + 6 x — 16
para
123.
,
y = f ( | x |3 + 3) , halle d y / d x
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva
SUG.-
125.
dx
x = - 2 .
. .
124
d y |2 | 3/ 2
Si
5 + x
en ei punto de abscisa 2.
^ 5 + x 2 ^ 5 + x 2 ^ 5 + •••'
y 2 = $ + x 2 y . Utilice la derivada implícita.
f ( x ) = - / 2x*fc-
8x
,
halle la derivada de
1/(3 -
2 x ) , y halle el dominio mayor de f .
SUG.-
Hacer
u = 1/(3 -
2 x ) , y aplicar la regla de la cadena.
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva
y = ^ 2x en el punto de abscisa 5 .
f(x)
2 -
J 2x -
2 -
2x -
2 -
respecto de
492
Cap. 5
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
126.
Dos partículas comienzan a moverse en el mismo instante, la primera siguiendo
el camino elíptico:
Cj :
x = 2 — 3 Cos J it
y ss 3 + 7 Sen n t
,
t
t > 0 ,
y la segunda el camino parabólico:
C2 :
y = — [ 157 - 7 ( 3 1 + l ) 2 ) ,
x = 3t + 2
t >
0
15
a)
b)
127.
¿En qué puntos, si existen, se cortarán los caminos?
¿En qué puntos, si existen, chocarán las partículas?
Halle las asíntotas de la curva paramétrica:
C:
,
y = 6 t 2 / ( t 3 - 1) ,
y - 3 = ( x + 5) ,
4y = (x -
x = 6t/(l -
t3)
t *
1.
CLAVE DE RESPUESTAS
1.
L
2.
xo = ± 2
TI *
;
(2,0).
(—2. 0)
;
L N : y = — (1 /8 ) ( x ± 2)
LT| : y -
3.
* o
=
0
7.
* o
=
2
f'(0) = O ;
Lt
:
:
( 0
>
4 / 3 )
'
(
2
>
4 )
:
(4/3) = 2x ,
y - 4 = 2 ( x - 2) .
T2 *
5.
■
l)
6.
f'(0) = O .
y - f ( x Q) = f ' ( x 0 ) - ( x - x Q) ;
( 3 , 7) € L T
x 0
-
8.
2
,
P0 = ( 2 , 3) .
f(xo ) = 3
, í
-
m
l í m
2
, pero
O
| f ( h — 1) — 2 1 < | | h — 11 — 113
= I (1 f(h O <
9.
y -
Lx :
Q
LT :
I <
’
,
f
f(h -
lí m
h —> O
f (a ) =
=
x_ = — 8a
2
I
{' ( — 1) =
<
*
l 3 =
h) -
1) -
”
f ( x j
6
1) -
2
a)
L
= - 2 í a
y + 2 3 fa " =
12 a
2/3
donde
h e ( - S , 8 ) - { 0 }
|h |
| h |2 , y aplicando el Teorema del Sándwich:
f'(a )-(x o
,
( x + 8a)
= O .
Cap. 5
L a D e r iv a d a
x > O
4x ,
10.
f(x)
= ■
I
y
g ' (0 )
— x ,
g(x) = i
,
2x , x < O
f '9 ( 0 )
- 493 -
x >
O
2
x
.
x < O
no existen [ verifique con derivadas laterales ] ,
por ejemplo:
f '
(0)
=
H m
1
h) -
*
h - » 0+
f1 ( 0 ) .
lím
f'(0)
11-
12 .
14.
2x ,
x
b)
0t
h
lím
^
x > 0
(f ° g)(x) =
x <
( V x 6 R i
lím
h —>0
2x
, x € R
0
=> (f ° g)'(o)
8( x)
= 2 .
{ x2 ~ x \(2x
* l + * ) l /X2 - —
[ iX +
=
lím
h —► 0
- o ]
h
= g (x ) - lím
h —*■0
h
A = ( l/2 ) ( 2 x o )(1 0 /xo ) =
*
=
4
En forma análoga, g ' ( 0 ) tampoco existe.
g '( x ) = lím
6(x+ h ) h —¥ O
h
a) x
.
h —►O
v ' = y [ * 2 + 3] - ( l * 2 -
= g(x)13.
f(0 )
^
2x ,
( f o g J 'O O — 2
llm
h-fO +
f(0 + h ) -
no existe.
{
.
h
h —► 0
=>-
f 101
f (h)
=
g(x) .
10 .
f ' ( x ) = 2 x Sen ( l / x ) — Cos ( l / x )
f ' (0) =
= 0,
lím
h S e n (l/h )
h -¥ 0
x > 0
,
f'(x )
=
x = 0
,
f'(0 )
=
=
0
— x I / 2 C o s (l/x ) +
Sen
2
V T
lím
h*^2 C o s (l/h ) =
(l/x )
0 .
h —¥ 0
15.
L t : y - ( x ^ + 2 x Q) = ( 2 x Q + 2 ) ( x x Q=
16.
y= 0
2 , L T1 :
y = 2x ,
en L N ,
x =
a + 2
x Q) , ( 1, 2) 6 L x
L T 2 : y - 8 = 6 (x
=>
-
long. TS = 2 .
2) .
=>
xQ = 0
- 494 17.
Lt
:
XI :
18.
20.
21.
L t
:
y -
1 =
f(x
y — 100 =
a:
=
I
:
f'(x
O'
'
'
o ''
36 ( x — 6 )
O
,
■(2, -4 4 )
o
LT2:
pues
y — 4
( l)
—
6
=
— oo
x
L
o
= 6 , - 2
’
— 12(x + 2 ) .
f 7 (1) — +
A
oo
.
en el numerador.
a f(a )
(a/ x Q ) =
y -
H x
v e r tic a l,
Sumar y restar
L T
Cap. 5
Análisis Matemático 1
-
- ( a / x ft)(x
o
x n ) ,
o
(0 , r)
y
( s , 0) €
L T
, y con-
cluir de aquí.
22.
L
x x „ = 2 c ( y + y o)
T *
23. Vértice
(3,-3)
,
x + 25y
=
24.
Lt
:
26.
a)
x =
0 ,
:
0 ,
4y
L~ :
f 7( x ) —
4 x — 21
=
y — —x .
f ( x + h) -
lím
f(x)
h —► 0
f(x)g(h) + f(h)g(x) -
lím
h —¥ 0
I ím
g ( h ) - g ( 0)
h —► 0
h
27.
( jc )
+ gU ).
, y como
Hm
h
= f ( x ) • g ' ( 0 ) + g ( x ) * f 7( 0 )
b)
f
=
g (0 ) = 1 , f ( 0 ) = 0 ,
Ü U L z -L W
0
h
g(x) .
Análogamente al caso ( a ) .
a)
fU )
x
=
0
h , si
0
entonces
b)
f'(0) =
1/2
,
para
n =
o tr o s va lo re s de x
f (h )
y como
=
n
,
lím
h —¥ 0
si
h =
h
f(h)
1,2,3,
(in clu so
n
1/2“
,
n =
x
=
.
0)
1, 2 , 3 ,
es o t r o v a l o r .
= 0 , pues
f (0 ) =
0
Como
f(*)
=
x/2
,
0
f (h)
x =
1/2
n
n =
1, 2 , 3 ,
o t r o s v a lo re s de x .
1/2
0
,
h =
1/ 2
n
n =
o tr o s v a lo re s de
1,2,3,
h í
0.
La Derivada
Cap. 5
entonces
res
28.
1/ 2 y 0
no existe , pues va tomando los valo
l í m — 1— h->o
h
en forma oscilante mientras h tiende a 0 .
i) Equivalentemente,
ii)
L =
lím
t->0
f ( a + *) —
t/2
=
2f'(a).
En forma equivalente,
w
L =
f (a + 2 t ) -
f(a) + f(a) -
f ( a + t)
lím
----------------------------------------------------------------------
t —► 0
21
=
=
29.
f'(0) =
495
a)
f'(x)
b)
g' ( x )
[
lím
f(a + t ) - f ( a )
t -+0
t
j
_
t
lfm
f(a
+ t)
t -> 0
f ' ( a ) — ( 1 /2 ) f ' ( a )
-
f(a)
}
2 1
(1 /2 ) { ' ( a ) .
=
= Cos [ Sen (Sen x 2 ) ] * Cos (Sen x 2 ) • Cos ( x 2 ) • 2 x
= 256 Cos { 4 Cos [ 4 Sen (4 Cos 4 x ) ] } Sen [ 4 Sen ( 4 Cos 4 x ) ] •
tm
• Cos (4 Cos 4 x ) • Sen ( 4 x ) • ( —l ) 2
30.
i) ( = > )
f ( x ) = (x -
a ) 2 g ( x ) , con g polinomio ,
f ' ( x ) = 2 (x -
ii)
(4=)
/.
a
Si
f (a) = 0 y
a ) . g ( x ) + (x -
es raíz de f y
f' ,
x g'(x)
y
0 =
31.
I ;
32.
Como
entonces
además
f ( x ) = (x — a )g (x )
f ' ( x ) = g ( x ) + ( x — a) x
g (x) = (x -
=>
h(x)
es raíz doble de f .
5 = f (0 )
=
entonces
4 =
f ^
lím
lím
h -f o
f ^
~ 5
=
~
V (0 )
;
de modo que:
h
=>
33. f resulta diferenciable en ( - c x > , 8 ) u ( 8 , o o ) . Además,
+
lím
h - 0 +
S =
x
g ' ( x ) = ( 2 x + 2) f ( x ) + ( x 2 + 2 x + 3 ) f ' ( x )
(8) =
a)-h(x)
f(x) = ( x - a ) 2 -h(x)
x-yO
f'
f'(a) = 0
f(a) = 0 = f'(a ).
f ' ( a ) = g(a)
para algún polinomio
a
pues
f'(a) = 0
para algún polinomio g ;
a ) 2 g ' ( x ) =>►
f (8 + h )
h
f (8)
=
Hm
h _ 0+
—
h
=
0
g ' ( 0 ) = 22 .
-496
Cap. 5
Análisis Matemático 1
V (8) =
lím
existe
=
f'(8) = o
35.
a = - 8 ,
36.
a)
Para
- (s + h )
lím
( - —
) =
f es diferenciable en todo
o
R .
b = -1 0 .
x e V<. ( 3) = ( 2 . 5 , 3. 5)
6 = 1/2,
x
e <l,2)
,
implica que
x —
y en tal vecindad
= 1
2
así que ahí:
f ( x ) = |x -
3 |3 *(x -
3) + x
f ( 3 ) = 27
f ' (3 ) =
lim
[IM
h + (3 + h ) 3 ] -
h —> 0
b)
37.
0 <
x <
27
=
27
h
1 :
f(x ) = V T
,
f ; (1/2) =
l/V T
.
x = 2 , y f es diferenciable en x = - 2 (y por
lo tanto es continua en x = — 2 ) entonces
Como
f
1 =
es continua en
4a + 2 b + c
A
— 1 = 4a — 2 b + c
b = 0
...
(*)
Además,
x > 2
— 24 / jc
f'U )
=
24/x
JC <
2ax + b ,
y como
f
-2
x € { —2 , 2 )
x = - 2
debe ser diferenciable en
entonces deben existir los s¡-
guientes límites laterales (y se ig u a le s ):
x
lím
+
- 2
f'í*)
= 2a * ( — 2) + b
=
— 4a
- 4 a = 3 /2
lím
f'(x )
=
2 4 / ( — 2)
=
3/2
x —► — 2 ~
/.
b =
O , a =
39.
a =
-1 /2
40.
a =
2
,
,
b =
-3 /8
b =
— 1,
,
c =
5/2
[de (*)] .
3/2 .
LT :
y — 8 = 7 ( x — 2) .
Cap. 5
La Derivada
41. Sumar y restar f ( a )
, o c)*
42.
fr*' ( 0 ) =
ihm
.
s
en el numerador.
h Sen ( l / h ) “ ( “ h ) Sen [
h) ]
------------------------------------------------------------
h->0
(0) =
.
lím
0.
43. a)
h Sen (1/h) - 0 =
..
h
/
Si, pues existe
¡fm
SenJ_
h -* 0+
..
lím
g'(x)
44.
L
45.
a) f ' ( 0 ) =
b)
h
x
.
=
1 .
* 0
,x = 0
-
x = o
es continua en
n 2 )/n
pues
lím
g '(x ) = 1 = g'(0)
x —► o
.
lím h3/2
h —►0
Sen —
h
= 0 .
Sí, pues
—x V T Sen —
f'(x)
=
i
2
V T Cos — , x * 0
x
x
0
lím
x —►0
f ' es continua y existe en
R -
48.
a) n
4
>
2
,
b)
n
Como debe existir
g(x) _ f'(x) =
>
, x = 0
f '( 0 )
f'(x) = 0 =
47.
c)
.
q e x is t e
=
g'
2(2
N
-------------------------------------b —► 0
h
g (0 ) =
1
=
0
h + h3 Sen(l/h) — 0
1 + 3x2 Sen— — xCos — ,
b)
=
h
h-+0+
..
- 497 -
{ o , 1,
£"(0) =
i
=>
2}
f'
x
es continua en
=
g(x)
n x I I _ I SenCl/x2 ) -
=
f '( x )
lím
existe y s u v a l o r e s 0 , para
.
2 x n “ 3Cos(l/x2) , x * 0
,x = 0
, n — 10
f " ( 0 ) = g'(0) =
0
,
0
nh
]
(a)
.
para
g'(0)
[ de
Sen
1
2
- , n —3 ~
2h
h
n > 5 ( pues n — 3 > 2 )
Cos
1
2
h
498
49.
--------- 1-------
Üü- =
La función
0 <
g
------- 1-------- s e n [ ( 2 x . - ' r - ]
=
(x + o 2
x+ 1
dx
50.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
(x + i r
(x + o 2
es continua en 0 ( así como en todo r
|g(*)| <
| jc| 4
=>■
Hm
.
),
pues
g(x) = 0 .
X -¥ o
Para
g'(x) :
X
-—
x
l| xi | 5e x 4 •\
i)
Si
t,
^
0 :
x í
^
g ( x ) = ------------
x5
4
4x
x|
ii)
Si
x = 0 :
g / (0) =
l í m ———
h-fO
h
pues o < | ( h 4 / 1h | ) |
lím
x —> o
g'(x) =
M
< |h|3
=>
0 = g'(0) =>
g'
-
g"
I
12x 3 / | x | ,
y
g '"
EJERCICIO.-
y
g '"(x ) :
_ / / > , .
=
|f
22 44 x 22 / | x | ,
x
3= 0
g * 4^ ( 0 )
g ^
y que
g ^ ( x ) = 24x/|x| ,
es continua en su dominio
{0 } .
)
2
F "(x)
= —
4
[ f " ( S e n 2( —
/.
F "(l)
=
) * Sen ( j t x )
) ) - S e n 2 (?ix) + 2 f ' ( Sen2 ( —
2
2
- 7 i 2 /2 .
52.
(7,1), (9 ,-1 ) .
53.
Puntos de Tangencia:
8
y .i —
S í , pues
que )
escontinua en 0 (y en todo R ) .
y que por lo tanto
F '(x) = — f'(S e n 2 (
2
54. a)
0
Compruebe que no existe
R -
iLv j .•
W
*
— O
son continuas en todo R .
x 5= o ,
51.
x
l í m ——
h-fO |h |
( por el Teorema del Sándwich
Procediendo en forma análoga para g " ( x )
«/..x
=
5
(9/5,-8/5)
y
( - 9 / 5 , 8/5)
;
2 ,( x ? 9 “> ■) .
— — —*
3
5
lím
f(x)
x —► o
=
0
,
b)
f'(0) = 0 .
) ) • Cos ( t i x ) ]
La Derivada
Cap. 5
c)
f'
499
no es continua en o , pues
3
V * 3 /2 + 1 “
= < /7 7 I 7 7
f'w
1
2x /7
’ X> 0
0
lím
*->°
55.
Como
f'(x)
Lt
:
En
y =
lím
x _ 0+
x
f'(x)
y = x —x +
= 11/ 4
*
y - \ = x - \
=>
2
ecuación
56.
=
, x =
0
f ' (0) = 0 .
lo que implica que la curva tiene
1 .
(*0 »y0 ) = (0,0)
el ángulo 0 lo forman las rectas tangentes:
a)
para
(1)
con
m( = dy/dx
b)
para (2)
con
m2 = dy/dx
=
De estos resultados se concluye que
1/5
= —5
0 =
90° .
d y / d x = - ( x + a ) / ( y + b ) ; luego ,
57.
d2 y
(x + a) y ' -
dx2
(y + b)
_
(x + a )2 + (y + b )2
(y + b )2
_
_
(y + b )3
1
(y + b )3
con lo que ya se puede demostrar lo pedido.
58.
a =
2/3
,
b = -1 /3 .
59.
d z / d x = N U M / D E N O M , donde
N U M = 2 S e n 5 ( y 3 + 2) Cos ( y 3 + 2 ) • 3 y 2 [ y Cos ( x + y ) Cos ( x y )
— Sen(x + y ) S e n ( x y ) — 2 x y 2 ]
D E N O M = 2 x 2 y + Sen ( x + y ) Sen ( x y ) — x Cos ( x + y ) Cos ( x y ) .
61.
du/dy
—1
—
=>■ f'
( u 2 ) 2u ( d u / d y )
= 1
dz/dy = I
62.
f ' (x) =
8 j i x Cos [ 4 j i ( x 2 + 2 ) ]
, para
—1 <
x <
1
f " ( x ) = — 64 n 2 x 2 Sen [ 4 j i ( x 2 + 2) ] + 8n Cos [ 4 t t ( x 2 + 2) ] ,
-1
63.
a)
<
x <
1 ,
í* ( — 1 / 2 ) = j i / 4 ,
f,,(-l/2 )
= -8 n.
Hallando los puntos de la curva donde la pendiente de
y ' = - U 0 + 2 y 0 )/(2 x
+ y )
= - i
=►
para
L T es
x0 = y0
-
1 :
500
6 ^ = 6
b)
64.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
=>
LT :
y ± i = — ( x ± i)
L T1 :
y - 6
a)
3) , L T2 : y - y
(0 , 0)
, b)
0 = 90° . Para ( b ) :
y ' = 2x = 2 = m,
m- = y' =
1/ 2,
Tan6 =
(1,0
=>
LT :
66.
f ( x ) = ( x 2 + 1) f D ° f
= - 14 ( x - - j - )
y = x2
,
2 y y' =
2 ~ (1/2)
1
=>
= —
1+ 1
65.
y
(1,1)
en
y2 = x
,
(i, i) y( - i , - i )
respectivamente,
= - 2 (x -
Puntos de Contacto:
Para ( a ) :
=>-
xo = ±\
0 = Ar e T a n — = 37°
4
4
2x — y ± 1 = 0 .
f"(x)
= 2
g'(x) =
g ^ (x )
=
;f ( k ) ( x )
= 0 ,
Cos x , g " ( x )
= Sen x ,
k >
= — Sen x
g ( 8^ ( x ) =
g(27)(x) = - C o s x
D 30 t g • f 1 =
f (0)(x) =
,
E
(f
k = 0
f ( x ) , f ' (jc)
3 ;
,
Sen x
g(x) =
g '"(x )
,
2x
=
,
Sen x ,
= - Cos x
,
g ^ 28^ ( x ) = Sen x ,
g(29)(x) = Cosx ,
g(30)U )
= — Sen x ,
) D " “ k g • D k f = ( D 30 g ) • f + 30 ( D 29 g ) • f '
+ ( 20 ) ( D 2 8 g ) . f "
= — (Sen x ) ( x 2 + 1 ) + 60 x Cos x + 870 Sen x .
67. a)
Eligiendo (debido a la potencia 2 /3 )
5x + 2 ] ^
f(x) = [ —
x2-
xQ = 2 ,
x + 1
f ( * 0 + h)
f ( x Q ) + f ' ( x Q ) d x = 4 + ( 1 9 / 9 ) ( - 0 . 0 9 ) = 3.81
f ( x ) = ^ x -J~x
z =
-0.91 = -1.91 + 1
d x = h = — 0.09 , f ( x Q ) = 4 , IN CÓ G NITA:
f ( x Q + h) ^
b)
pues
f ( x o + h) £
= x 3/4
,
x Q = 81
f ( * Q) + f ' ( x o ) d x ,
z =
,
d x — h = 0.6
f ( x 0 ) = 27
27 + 0.15 = 27.15 .
=
68.
y'
=
— ( y 1 / 3 ) / ( jc, / 3 )
Y como
(jcq , 0)
x Q = r + (rs
entonces
Ow.
■
71.
2x1/3
,entonces
)
dy
— -
—
y
m
dx
n
x
,
y Q = s + ( r s)
;
b2
m
—
(mediante reemplazos)
1
j*
1* 1 —
n
0.355 , pues f ( x ) = [ ( x 2 -
11.99891
resulta que:
, , 2 xl/3
d2 = x2 + y2 =
100
70.
- ( s/ r ) l/3
( 0 , y o) e LT
y
r
6.6
=
y - s = — ( s / r ) 1^ 3 ( x - r )
LT :
cn
501
La Derivada
Cap. 5
m
3)/(x2 +
5 ) ] ,/2
, dx
— % ,
dV/V
En
pues
,
f(x) =
lT x
,
jcq =
=
74.
1 ,
f (x
=— dA/A.
d x = -0.001 ,
6% .
77¿
20 p ie s /s e g .
a)
(9/8, 9/2)
80.
AV
= 0.08 ti .
81.
DATO:
,
b)
m
= 4 -
x 3 ) 2/ 5
, xQ = 3 ,
=
x + z
INCÓGNITA:
dx = -0.01,
2
0.99918 .
125
A ------------- p ie s / m in .
144 n
3x
,
J
------- = - 4 u n id ./s e g .
dt
dz/dt = + 4 ,
2
S
10
f ( x Q ) + f ' ( x Q) d x
78.
0.999
) d x = 1 ------— C0.00I) = 0.9999 .
) + f'(x
0
0
.
79.
f ( x „ + h) =
f ' ( 3 ) = 59/720 ,
M = f (x Q+ dx) S
75.
xQ = 2 ,
2
f ( x ) = [ 7 + (5 + x 3 ) 1/5 ]/( 2 7 0 f ( 3) = 1 ,
n — 5 .
= 0.037.
8
73.
>
___ e
100
f ( x Q) = f ( 2 ) = 1/3
72.
— 3
,
d = b
= 25
dx/dt ,
d x / d t = — 3 pies/seg.
Esto indica que x está acortándose en ese instante.
- 502 82.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
d z / d t — — 50 ,
DATO:
z0 =
20
=
1 2
dx/dt ,
INCOGNITA:
d x / d t = — 250/ 3 p ie s / m in
83.
d 2 = x 2 + y 2 = 2 x 2 + 16
d (d ) = 6 ,
dt
84.
2d„ —
o
DISTANCIA z :
,
x
= 3 ,
’
O
2z
dx
0 dt
dt
= 2x
dt
En ( 2 ,
85.
VT) , z = 2-/T
INCOGNITA:
,
,
— V 34 cm /seg
además
dx
„ 2 dx
+ 3 x -----
dt
dt
dx/dt = 8
dA
100
= V 34
dz/dt ~ 2
z2 = x 2 + y 2 ,
dz
o
dx
(d) = 4 i
dt
d
/16 = V~3~/2 u n id /s e g
dx = 1/24 pies ,
de donde
A (r )
v o'
100
dA
,d r
200
100
-----36
=
o
86.
DATOS:
dx/dt
=
2
+ z
2
+ xz
z2 =
,
0 =
INCÓGNITA:
x Q = 6 m.
,
dx/dt = ? ,
z q
ángulo entre OA y OB
1 0 0 + 96 Cos 2 0
z Q — 10 m . . Ello implica:
w Q = 4/3.
,
2.77 % de aumento
= 4 m.
14 c m /s e g .
z = d [ A ; B]
Demuestre que
88.
=
d z / d t = — 16 c m /s e g . ;
76 = x
87. Sea
25
dz/dt
(por la ley de c o s e n o s ), y que
= — 4 m /s e g .
P, = ( Xj , - l / x p
Si
= n - 20 .
e f
por donde pasa T y N entonces
pruebe que
T :
y + l/ X j3 = ( 3 / x f ) . ( * - * , )
N :
y + l / X|
1
( w , 0) € T
=
1
4 ,
x, (x 3 1
1
,
x ,)
1
w = 4Xj /3
( x p f ( xj ) )
Cap. 5
La Derivada
S = (0 , ( j cf — 3 ) / ( 3 x f ) )
,
y quitándole los subíndices:
A (x ) = (x 6 + 9)/(6x2 )
INCÓGNITA:
xQ =
para
I
dw/dt = + 4
DATO:
89.
dA/dt
Aa
- 503 -
dA
dA
di
dx
= ( x * + 9 ) / ( 6 jc 32 )
,
dx
O)
1
( t i
dt
= ------- • 3 = - 7
3
0
= n r g
,
ÁREA DE LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA
Aj =
/ t 2
A = ti r -y h + r "
VT
V =
— ^ r 2 h+
3
1
DATO:
hQ = 3 ,
.
y de
..
V =
54 7t :
,
+ 27irh
z H O
,
y
54 n
=>
dr
r—
------ = — 6 V 2
,
0
pero como
wo = —
,
dA
dx
dd
dt
/s e g .
2
= 54 n
dh/dí
= +21-/T ;
4 5 ti c m 2
. .
= —= -------------- en ese instante
dt
V2
seg
—
= 0
,
dt
x
dt
u n id
2
long. de la generatriz.
rQ = 3 ,
ÉL = 4 ,
dt
y
c 2 , 0 . 1
Sec ( — )
2 2
,
= 4 jtr2
^ r 2 h + — Tr r 3
3
V =
= 17
g =
+ 27Tr
dt
90.
w = — x
pues
dx/dt = 3 y
ÁREA LATERAL DE UN CONO
=
.
dy
dt
y2
Sec2 ( 0 / 2 ) = ( x 2 + y 2 ) / y 2
entonces
^
dt
91.
0.3 p i e s / m i n .
92.
x Q = 100 m m ;
( x ) = 80
93.
d x / d t — — 3 mm /seg. ,
d A / d t = — 400 m m 2 /se g .
x 2 — 6 400
x Q — 125 — 2 (4 0 ) = 45 m . ,
=
_40
= +30
di
o
,
y Q = 60 m.
Tan0 =
di
2 A d0
e
1
7
x d y /d í =
p
y d x /d í
----------------------
y
x
80
389
504
Cap. 5
Análisis Matemático l
d Q / d t = ( 2 / 3 ) ra d /s e g .
94.
dx/dt — 5
DATO:
INCÓGNITA:
du
3)
—
=
dx
b)
2x d x / d t + 3 d x / d t
f
<
I
lO x + 15 , x <
=
5 d x / d t = 25
Si
f(x)
= 18
=>-
i)
Para
x = - 6 ,
ii)
Para
x =
, x > I
x = - 6 Ó x =
dy/dt
19/ 5
= io (-6 )
, dy/dt
19/ 5
I
+ 15 = - 4 5 .
= 25.
3
95.
V
(t) =
T
2
y
— y2
3
dt
J_
VQ +
VE ( t ) -
3 3
0 .0 8 -J~y
= c -
c = ( 0 .2 4 :i +
96.
En
tQ :
dV/dt = 0 ,
INCÓNGNITA:
97.
0 = k t2 ,
Vs ( t ) =
rQ =
5 ,
, de donde
p ie s 3 / m i n .
h Q = 20
d r / d t = 1/2
,
d h / d t = — 4 c m / m in .
t, = 8
0, = 2 ti
=>
=>
k = ji / 3 2
,
t,
t, =
8.
= 32
w ~ d Q / d t = 2 k t 7 = 2 ti ra d /s e g .
98.
99.
a)
s (t) =
b)
v ( t ) = s' ( t ) =
0 =>■ t j
0= >
=
0
,
t2= 8 ¡
t. = 0
, t,
=
u = x / ( x — 3) . Se busca el valor de ——
4
,
J x 2 + 16 = A = ? :
da
^ x 1 + 16 ) =
dx
^ x2+
16 ) •
da
, es decir,
dx
2
a
r
1
n
= A • [ ------------------ - ]
^ x
=>
A=
-
1)
, .
^ x 2 + 16
+ 16
Para
X ( X
---------
xQ = 3
re su lta .d e ( * ) ,
A =
-12/5.
(*)
La Derivada
Cap. 5
100.
A en 2 horas ha recorrido
dy
dx
= 50
dt
100 km
= 60 .
dt
Cuando
t } = 1.5 horas:
= 75 km
De
505
= 90 k m .
,
z 2 = ( y + 100)2 + x 2
z } = 196.5 .
se obtiene
Derivando respecto a t :
dz
z
dt
dz
Reemplazando y despejando,
= ( j / + io o ) ± L + x d x
dt
dt
= 72 k m / h
dt
d0
101 .
l ^ - C o s 1 ( — - 0)
dt
a
4
102 .
h /x .
T a n 0 = 4 /3 =
DATOS:
h Q = 0.6 ,
V = — [ (2 + 2 x ) + 2 ] • h • 4 = (8 + 3 h ) h
2
dV/dt =
\_
dV
dV
dh
4
dt
dh
dt
dh
1
m
dt
46.4
seg
103. d y / d t
-
\/n
,
INCÓGNITA:
(8 + 6 h ) - ^ dt
yQ = 5
p = 30 = x + y +
+ y
De lo cual hallamos
12
xQ =
1/ 4 ,
=
dh/dt = ? :
1 1 .6 -^ dt
,
dedonde
506
Análisis Matemático 1
x
0 =
dx
+
—
dy
2
dt
-
dx
dy
+ y —
dt
dt
-
+
-
dt
,
V
x
Cap. 5
2
+ y
2
d x / d t = — 18/ (25 n)
ji , 2 d x
„
dy .
„,
,
— ( y ------- + 2 x y -------) = 34 c m /s e g .
3
dt
dt
1
2
, •
.
dV
V = — ti y x , derivando, -----3
dt
d x / d t = (+ ) 5
104. DATO:
INCÓGNITAS:
dy/dt ,
a)
b)
dz/dt .
Para (a) utilizaremos la semejanza de trián
gulos. Así,
105. d x / d t
106.
=
2 c m /s e g
en
( 3 , 4) ,
INCÓGNITA:
dy/dt = ?
9o = 2* / 8 *
lo = 0 x o
a)
( 1 0 / 3 ) p ie s /s e g .
b)
( 2 5 / 3 ) p ie s /s e g .
d x / d t = — 2 c m /s e g en ( — 3 , 4)
y
d l
„
= 20
= x
dt
o
Y de
T a n 0 = ( y / x Q) ,
dt
CERCA
Sec2 e - —
dt
y o = (T a n 0 Q )
107.
1
dy
xo
dt
=
*0
d y / d t = 40 k m / h r .
Por semejanza de triángulos:
■ /a 2 + B2
A
B
r
r 2 (A 2 + B2 ) = A 2 B2
r
, es decir
, de donde
(2 A d A / d t + 2 B d B / d í ) =
La Derivada
Cap, 5
=
Si
B = 2r
entonces
d A / d t = V ” 3~/30
108. r =
15
,
x =
A
=
2r/V T
507
2AB2
y
dA/dt +
d B /d í
=
2BA2 d B /d i .
- 0 . 3 , y por lo tanto:
un id /se g .
d x / d t = 34
8 ,
8
ds/dt = ?
INCÓGNITA:
s = ( 2 0 ) r = 3 00
15
Tan 0 = x / 1 5 ,
Sec
En
109.
0d0/dí
1
dx
15
dt
=
t Q : d Q / d t = 30/17 m / m i n
C = (x , I + — x 2)
36
= U , y)
B = (0 , 1 + — x 2 )
36
dy/dt = 2 ,
Si
tj =
yQ =
1
7 /2 seg :
i/l = 8 y
x 1 = 6.
En este instante:
dy
-2dt
7
18
S = xy/2
x
dx
. . .
6
dt
7
, de donde —
dt
ds
,
dy
= ( * —-
di
110.
dx
a)
dt = 4n2 dL/(2gt)
b)
t =
di
=
+ y
dx .
1
) • -
di
,
66
2
— cm /s e g
2
Jt2 / ( 1 6 1 0 t ) Seg.
tiempo (en seg.) de una oscilación, por definición.
508
Si
L =
En
l
i :
día
t
= 2^//g"seg
= 86 400 seg
86 7 0 0 - / g " / ( 2 j i )
=
tiempo de una oscilación.
debería hacer
pero hace un equivalente a
y
—
1
=
2
=
tQ =
, de lo cual
b)
d h = 0.003 , d t
6n
-------- —
867 / g
seg.
0.00115
pies que debe alargarse el
Como
Lq =
86 400 ose.
►
1
86 400
1.00151
seg ,
1 día ,
ose.
= 0.00151 seg.
10
+ d t = 1.00151
pero hace:
y
1.00151 seg.
^
i
día
( = 86 400 seg.)
I/1 .0 0 1 5 I, y para i día mar
ca 86400/1.00151 = 86269.7 seg.
=
= 23 h , 57’ , 4 6 " . Se ha atrasado
2" y 14" .
_
seg.
entonces debe hacer
Cuando ha transcurrido i seg.' el reloj marca
112.
.. .. ,
(por oscilación)
0.9929
= n 2 d L / { 2 t Qg)
y l
1 ose.
.
péndulo.
Así, el nuevo tiempo de oscilación es:
c)
seg.
86 400 (2 :*)
--------------= - seg.
86 700 / g
867
a)
i
N
) =
pies
86 400
y
o scil.
Luego, el error cometido es
2 ti
, 864
2n
dt = —
——
fg
867
dt
oscilaciones;
oscilaciones:
1
8
dL = —
86 400 / g " / ( 2 jt)
(24 h r + 5 ' ) = 86 700 seg , es decir, hace
86 700 ^~ g ~ /(2 7t) o scil.
111.
Cap. 5
Análisis Matemático 1
z =
0.99849 de día
= 23.963 horas
distancia de la persona P a la
barca 6 :
z
DATOS:
2
= y
2
4- 20
2
+ x
2
d x / d t = 5 , d y / d t = 10
Después de 2 segundos:
Cap. 5
- 509 -
La Derivada
d z / d t = ( 2 5 / 3 ) pie s/s eg.
113.
a)
t = ( 2 n + I ) ji
b)
t =
C)
1
tj
d)
=
i
,
t 2 = -1
t = ( tt/ 4) + n tt
i
116.
d y / d x = 2 t/3
a)
d 2 y / d x 2 = 2/9
,
b)
d y / d x = 3 t 2 / ( 2 t - 1) ,
c)
d y / d x = —T a n (t) ,
d
=
dx
j
dx
L
(
í
dt
*
L
)
.
d 2 y / d x 2 = 6 t 2 ( t - l ) / ( 2 t - i;
j
*
dx
L
=
dx
d
(
dt
d
y
)
i
dx
d
x
dt
= — Sec2 t / ( — Cos2 t Sen t ) = Sec4 t Cosec t .
118. y
y = 2x ;
= 0 ;
t
y = — 2x
= i :( 3 , 3 ) ;
y = x - (a n / 2 )
LN :
120. d x / d t -
dA
ti
=
t = - i :(-3,3)
y — x =2 a — ( a j i / 2 )
119. b) L t :
A =
t = —2 , 0 , 2 .
r
+5
después de 6 segundos:
r =
rQ =
30 pies
2
^
dr
n 2 r
dt
° dt
3
=
300
tx
pies
/seg
121.
1 /(2 •J~2 a ) .
122.
Por la regla de la cadena:
= f ' ( | x | 3 + 3) - 3 1jc |2
dx
d V - [ f y( l ! ) ] • ( - 1 2 )
dx
Pero
f'(il)
= 4
f'(2 x +1) =
123.
,
pues
para
2 x + 1 = 11
2 x 2 + 6 x — 16 ; luego,
Para
x = 2 ,
Ljl
lOx -
y ~ 5
3y =
5 ,
pues
y > 0
jc
= -2
=>
x
\x
.
x = 5
en
d y / d x = — 48.
para todo x ;
: 3x + lOy = 56.
3
- 510 ío .
1Z4.
<¿f
——
Análisis Matemático 1
=
du
di
dx
dx
du
—— . • --------
=
di
du
dx
dx
•■■■ ■■ ¡ --------
=
Cap. 5
(3 — 2 x ) 2 ( x — 2)
---------- =
fZ
z
•y 2 x
=
2
^
-------
"
— 8*
125.
Lx :
2 x - l y + 11 = 0 .
126.
a) En
(2,10)
127.
Tiene una sola asíntota, que es oblicua tanto derecha como izquierda:
y = - x + 2 .
y
(5,3) .
b)
Las partículas chocan en
(5,3) .
Cap. 6
511
APLICACIONES DE
LA DERIVADA
1.
[ a, b ]
Las funciones continuas sobre un intervalo cerrado
alcanzan su máximo valor y su mínimo valor en puntos del intervalo
[ a , b ] .Hasta el momento no disponemos de un método para hallarlos. En este
capítulo resolveremos este problema.
1.1
DEFINICION,
Una función f tiene un MÁXIMO RELATIVO ( O MÁXIMO LOCAL )
en un punto x Q g D o m f si existe un entorno
^ ( ^ 0)
de x Q
tal que:
f (jc)
<
f (x
YA
f(x)
H -N (x
)-H
) ,
V X € Jif ( * 0 ) n D om f
512
Cap. 6
Análisis Matemático 1
1.2 DEFINICIÓN.-
Una función f tiene un MÍNIMO RELATIVO
(o
MÍNIMO LOCAL )
en un punto x Q e Dom f si existe un entorno - V ( * 0 ) de x Q
tal que:
f (*) >
f U o ) > p a r a todo
x €
n
Do m f .
H - N ( xo ) - H
1.3 DEFINICION.-
Se llaman VALORES EXTREMOS de una función a todos sus
v a lo re s M á x i m o s y M í n i m o s relativos.
Según las gráficas anteriores, si
f'(*0)
existe y si
f ( * 0 ) es un valor extre­
mo entonces la recta tangente en este punto debe ser h o r i z o n t a l ;
que su pendiente sea igual a cero, es decir equivale a que:
1.4
esto equivale a
f / (^0 ) = 0 .
TEOREMA.- Si una función f satisface las siguientes tres características:
I)
f fíe n e u n v a lo r e x t r e m o en el p u n t o
II)
f e s fd d e fin id a en u n e n t o r n o
III)
PRUEBA.-
E xiste
f'(a ) ,
entonces
x = a ,
-V(a)
f'(a )
de
a ,
= 0 .
(1) Sea tal valor extremo un MÁXIMO RELATIVO de f en a , entonces
existe 6 > 0 tal que f está definida en v g ( a )
f(x) <
V h
f(a)
6 ( 0 , 8 ) :
y por lo tanto,
f'
(a ) =
,
y
V x € Vg ( a ) = ( a -
f (a + h) <
lím
h -» 0 +
f ( a)
,
f ( a + h) —
h
8, a + 8)
f(a + h
<
r _ í .(J L L
o .
< 0
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Además,
V h 6 ( - 6 , 0) :
y por lo tanto
f(a)
,
f ( a + h ) ----- >
0
f'_ ( a ) > o . Y puesto que f ' ( a ) existe entonces
f ' ( a ) = fj_ ( a ) =
(2)
f (a + h ) <
513
f'_ ( a ) = 0 ,
es decir:
f ' (a ) = 0 .
□
Si tal valor extremo es un MÍNIMO RELATIVO la prueba es similar.
2.
EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
2.1
TEOREMA DE ROLLE.-
S e a f c o n tin u a so b re
d iferen cia b le so b re ( a , b )
tal que
f(a) = 0
en to n c e s existe al m e n o s u n p u n t o c en
f'(c )
[ a, b ] , a <
y
{a, b)
b
y
f (b) = 0 ,
que satisface
= 0 .
Antes de proceder con la demostración interpretaremos geométricamente
este teorema. Según las condiciones dadas, la gráfica de f no debe te n e r e sq u in a s
(o vértices) d e n tr o d e
(a, b)
y que para
x = a y para x = b
la gráfica de
f corta af Eje X . Así, es factible tener la figura siguiente.
Cuando esto ocurre, el teorema asegu­
ra que existe por lo menos un punto c
en el intervalo abierto ( a , b )
tal que
en dicho punto la recta tangente a la
gráfica es h o r i z o n t a l ,
PENDIENTE
m™ = f ' ( c ) = 0
En esta figura existen hasta tres valores para tal c . Note además que
diferenciable en a f pero esto no a fe c ta al teorema pues
f no es
a 0 { a , b ).
PRUEBA DEL TEOREMA DE ROLLE :
i)
ii)
Si f ( x ) = 0
V x g (a, b)
= 0 p a r a todo
es válido pues
f'(c]
Si f ( x
para algún
) > 0
[c o n s ta n te ], entonces cualquier
*o € (a ,b )
c e (a , b)
c e (a, b) .
, entonces, por el TEOREMA [9 .1 1 ]
Cap. 4 , f alcanza su MÁXIMO en algún punto
f ( c ) = máx { f ( x ) / x e [ a , b ] }
,
c e [ a, b ] :
514 pero como
y
iii)
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
c í
f (c )
b ¡ así,
>
f ( x Q)
> o
y
f (a) = f ( b )
= 0
entonces
entonces:
f'(c )
Si
para algún
x Q e ( a , b ) , f alcanza su MÍNIMO
punto
f(c) <
f ( x Q) <
=
0 .
c €
0
Consideremos la función
[- 1 ,1 ],
f(x)
f ( - 1) = o ,
= 2 -
en el cual
f'(c )
=
0
f'(c )
2|x|,
f ( 1) = o ,
por observación de la figura debajo, también vemos que
c e (-1,1)
en algún
c € [ a, b ] :
yco m o fs a tis fa c e e n ( a , b ) e l Teorema [1 .4 ] entonces:
que es continua en
a
c e ( a , b ) . Y como f satisface en ( a , b ) las condiciones
del Teorema [1 .4 ]
f ( x Q) < o
c *
(a ,b )
=
0.
;
□
x e [ - 1, i ] ,
pero que sin embargo,
NO EXISTE
ningún valor
( r e c ta ta n g e n te h o r iz o n ta l) .
Esto se presenta debido a que f no cumple
con la condición de ser d ife re n c ia b le en
2.1.1
NOTA.-
todo
{ - 1, I ) , pues falla en serlo en el
punto
x = o .
En el Teorema de Rolle, la condición de c o n t i n u i d a d d e f en
[ a , b ] es obviamente muy importante, pues asegura que la gráfica
de f no tenga saltos bruscos dentro de
[ a, b ] .
Extenderemos el Teorema de Rolle a funciones que no necesariamente tocan
al EJE X en ambos extremos de [ a , b ] y veremos las condiciones para que existan
puntos
c € (a , b )
donde las rectas tangentes sean p a r a le la s al s e g m e n to RS
que tiene como p e n d i e n t e :
YA
f
»S (b,f(b))
(a , f ( a )
Cap. 6
2.2
Aplicaciones de la Derivada
-515-
T E O R E M A D E L V A L O R M E D I O T.V.M. (TEOREMA DE LAGRANGE)
Sea f una función y
a <
b .
Si se cumplen ambas condiciones :
❖
f
es c o n tin u a so b re [ a , b ] ,
❖
f
es d ife re n c ia b le so b re
/
1.V
y
(a, b ) ,
entonces existe al
í/r ^
I LCJ =
1
menos un c € ( a , b ) ta l que
f ( b ) - f (a )
------------------------b — a
-------------------------------------------[ es d e c ir ,
PRUEBA.-
f (b ) — f (a ) =
c 6 ( a, b ) ]
Aplicamos el Teorema de Rolle a la función g definida por
r \
r ci \
LfU) -
g(*) =
f / »i
f (b ) — f (a ) .
.
f ( a ) J ----------------------------- ( x - a)
b —a
pues vemos que g es continua sobre
to ( a , b )
f ' (c ) • (b — a) ,
[ a , b ] y diferenciable sobre el intervalo abier­
, y además que g ( a ) = 0 = g ( b ) . Entonces dicho teorema nos asegura
que existe
c e (a , b)
0 = g'(c) =
fa lq u e
g ' ( c ) = 0 , es decir,
f(b)
f'(c) -
-
f(a)
b —a
lo que implica que:
2.3
PROBLEMA.-
f (b ) — f (a )
=
f'(c)*(b — a).
Aplique, si es posible, el Teorema del Valor Medio a la función
a)
f (x ) = x
—4
b)
f (x) = x
+ 2x
c)
f ( x ) = Cos x
X 6 [ - 2 , 2]
,
,
x e [ o, 3]
;
;
x 6 [ 0 , n /2 ] .
SOLUCIÓN.a)
a = —2 ,
b = 2 ,
f (a) = f ( - 2 )
= 0
f ( b ) = f (2) = 0
f continua en
[ - 2 , 2 ]
f diferenciable en
(-2 ,2 )
Por el Teorema de Rolle, existe
c e ( - 2, 2)
Y como
tal que:
f ' (c ) =
f ' ( x ) = 2x = 0
0 .
para x = 0 solam ente,
entonces
c =
0
516
A dem ás,
b)
Cap. 6
Análisis Matemático I
c = o se encuentra en el intervalo
f (x) = x
f(b)
+ 2x
,
x € [ 0, 3]
= f ( 3) = 15 ,
,
( —2 , 2 ) .
a = 0
f es continua en
,
b = 3 ,
[o,3]
f (a) = o
y diferenciable en
,
<0.3) ,
entonces el T.V.M. asegura que
existe
c € { o , 3)
f '( c ) .
f » ) - f ( 0 )
3 - 0
= 5
Como f ' ( x ) = 2 x + 2 =
entonces
c)
(3,15)
tal que
x = 3 /2 =
5
c e ( o , 3 ) .
f (x) = Cosx , x 6 [ 0 ,
n/2] ,
f (a) = 1 ,
es continua en
f ( b ) = 0 ,f
{0 , n/2 ) ,
, b = n/2
a = 0
,
[ o , n / 2 ] y diferenciable
en
entonces el Teorema del Valor Medio asegura la existencia de algún
c e ( 0 , n / 2 ) tal que
f / (c )
f (*/2) -
f (0)
=
n/2 — O
n
— Sen(c) = — 2 /n
c = Are Sen ( 2 / n ) € ( 0 , n / 2 )
2.4
Senx <
.
PROBLEMA.-
Demuestre que
SOLUCIÓN.-
Aplicaremos el Teorema del Valor Medi^ (T.V.M.)
f ( x ) = Sen x b e R+
Como f
f (0 ) = 0 ,
es continua y diferenciable en r ,
f'(c )
=
f ' ( c ) = Cos e — 1 < 0 ,
y en particular para
x =
< 0
Sen b <
V b >
Sen x < x
a la función
p a r a c u a lq u ie r
f ( b ) = Sen b -
,
...
(*)
0
pues
—1 < Cosx <
1 ,
V x e R ,
Sen b — b < 0
0
b .
por el T.V.M. existe c € ( 0 , b ) fa lq u e
c ; entonces de la relación (♦)
(Sen b — b ) / b
b
x e [0 ,o o ) .
(Sen b — b ) — 0
b -
Pero,
,
parax € [ O ' b ] ,
x ,
tal que
x
,
V x > 0 .
así como también para
b = 0
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
2 .5
Dada la función
P R O B L E M A .-
f (x )
Sen x ,
=
x
517
€ t 0 , 2 j i
] , halle los valo­
res c del Teorema del Valor Medio, si es que existen.
SOLUCIÓN.-
a = o
,
b = 27i
renciable en todo
,
f (b ) = 0
R , entonces por el Teorema del Valor Medio exis­
te algún c e ( 0 , 2 n )
f(b)
(c) =
f
, y como f es continua y dife­
-
tal que
f(a)
-------------------------------
=
0
(QUE ES EN REALIDAD EL TEOREMA DE ROLLE)
b — a
Como f ' ( c ) = C o s ( c )
entonces
Cos(c) = 0
para c = n / 2 , 3 n / 2 ,
dos valores posibles para
c tal que
2n
0 < c <
como se puede verificar
en la gráfica.
2.6
PROBLEMA.-
Aplicando el Teorema de Rolle demuestre que la ecuación cúbica
7
J
x - 3 x + b = ono puede tener más de una raíz en el inter­
valo
SOLUCIÓN.-
[ - 1, l ]
Sea t una raíz de
=>■
f (t)
para ningún valor de
f (x ) = x 3 -
= 0
3x2 +
( por ejemplo, si
Ahora, supongamos que existe otra raíz w de f ,
tonces
❖
f(w )
o
=
1 <
-
t <
w <
así, existe un valor
—l <
t <
❖Si se supone
c € (t,w )
3c2 — 3 =
c <
—i
0 entonces
e [ - i , i ]
,
t = 0 ).
w
*
t
,
en­
i : como f es un polinomio, satisface las
condiciones del Teorema de Rolle en
=
w
b = 0 , t e [ - i , i ] ,
, y
Supongamos que
f'(c )
b =
b .
tal que
0
w
< 1 .
<
w < t <
[ t ,w ]
c
1
ya que
f (t) = f (w ) = o ;
V ( c ) = 0 , es decir,
=
±1
lo cual es ABSURDO pues
en forma análoga se llega a otro absurdo.
No p u e d e e x is tir m á s d e u n a ra íz en [ — 1 , 1 ] p a r a n in g ú n v a lo r real
de b
en la ecuación
x3- 3 x 2+ b = 0 .
518
2.7
Análisis Matemático )
PROBLEMA.-
Utilice el Teorema de! Valor Medio para demostrar que:
— < v~6<r 9
SOLUCIÓN.-
Cap. 6
Como
V 64
= 8 , sea
8 < —
8
.
,
f (x ) =
a = 64
, b =
66
,
f resulta continua en [ a , b ] y diferenciable en ( 64 , 68 ) = ( a , b )
entonces por el T.V.M.
existe
f (b ) — f (a )
b . .
.
de donde
1
—
18
c e ( 64 , 68 )
=
=
_
a
*y 66 — 8
1
< —-------------- < —
66 - 64
16
c
( 64, 81)
tal que
! _
g /
1
■
2-/T
\
18
16
.
=>
1
_ <
9
/----V 66 -
8 <
1
8
3.
TEOREMA GENERALIZADO DEL VALOR MEDIO
REGLAS DE L'HOSPITAL
3.1
TEOREMA GENERALIZADO DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY
Sean f y g c o n tin u a s en
con
a < b , tales q u e
e n to n c e s existe
g(a) *
c e (a, b)
f(b)
PRUEBA.-
g(b)
y
d ife re n c ia b le s en
(a, b)
g ' ( x ) x 0 , V x 6 ( a , b ),
tal que
-
f (a)
f'(c)
g(b) -
g(a)
g'(c)
Aplicando el Teorema de Rolle a la función
H(x) =
entonces
y
[ a, b ]
f C x ) - f ( a ) -
H(a) = o
renciableen
(a,b)
,
f(b) ~ f(a)
g ( b ) - g (a )
H(b) = 0 ,
y como
.(g(r) -
H
g(a))
es continua en
entonces por el Teorema de Rolle existe
de lo cual se concluye el teorema.
f(b) g(b) -
[a,b]
y dife-
c e ( a , b ] i tal que
H ' ( c ) = o , es decir
o = H '(c) =
en[ a, b] ,
,la)
g (a)
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
519
3.2
Estas reglas nos serán de mucha
utilidad cuando nos encontremos con funciones f y g tales que
tenga una de las formas indeterminadas :
Por ejemplo, si
f ( x ) = x — T an x ,
f (x )
lím
=
lím
x —► 0
gU )
—
0
g ( x ) = x — Sen x ,
x — Tan x
0
x — Sen x
0
ó
± —
oo
entonces
y donde, hasta donde nos es posible, es muy complicado tratar de evaluar este límite.
Precisamente, las REGLAS DE L’HOSPITAL
cuando se tiene la forma indeterminada
nos indicarán que, en este caso ,
0 /0 , ó o o /o o , se puede calcular este lím i­
te utilizando las correspondientes derivadas en la siguiente forma.
TEOREMA ( REGLA DE L 1HOSPITAL PARA: O/O )
3.3
S e a n f y g d iferen cia b les en ( a , b ) , tales que
g' (x ) *
lím
x -¥ a
+
L =
0 , V x € { a , b ) . S i se c u m p le q u e :
f (x ) = 0 ,
lím
f'U )
lím
*_,a +
g(x) = 0
e n to n c e s
g 'W
lím
x-»a+
L
=
=
lím
x->0
lím
x —►0
y si existe el lím ite
,
fU )
lím
g(x)
1 — Sec“ x
l — Cos x
f'OO
lím
x -¥ 0
lim
g(x)
g'(x)
=
..
f(x)
f'(x)
+
------------
=
g 'U )
( x — Ta n x ) ;
=
lím
--------------------------
x -► 0
( x — Sen x Y
( Cos x + 1) ( Cos x — 1)
Cos2x ( 1 — Cos x )
»
L
.
520
Análisis Matemático 1
r
— [
=
1 + Cos *
hm
-----------------x
0
C o s 'x
Así, obtenemos el valor
n*
i
Otro ejemplo,
i'
x —f 0
----x
*
: L
x ^
, x
lím
rrado
[ a, x ]
F(x) -
F(a)
f (x )
Además,
[ a, b)
pues
entonces
G(x)
F y G en
I ,
g (x) ,
x *
a
=
= lím
g(x)
,
x = a
, entonces
F y G
f
y
g
son diferenciables en
(a, b ) .
F y G resultan continuas en el intervalo ce­
Aplicando el Teorema Generalizado de
[ a , x ] ,tales
.
,
C
<
que F ( a ) = 0
y
G (a ) = 0 :
C
DEPENOE DE X )
,.
para algún c tal que
G'(c)
f(x)g/(c) =
<
g(x) * 0 , pues si fuera
f" te)
g U)
g'(c)
Así, se concluye que
entonces
lím
<
b
g(x) =
tal que
( NOTE QUE
g'(c) *= 0 .
0 =
g(a)
, por el Teorema de
g'(x0 ) = 0 , lo cual es A B S U R D O
para todo x € (a, b) .
f(x)
x -► a +
X
g(x)f'(c) , con
pues por hipótesis g'(x) * 0
Y cuando
=
]
0
(a ,x ) .
Rolle existiría algún x Q e ( a , x )
Por lo tanto
x-+0
f
= 0
a
si y sólo si
hm
.
x -4 a
F'(c)
G (x) - G (a)
Cosx
= a
y diferenciables en
Cauchy a las funciones
=
a
x —► a +
x e { a, b )
.
( Senx)
,
0
Si
= —2
Sean
{
resultan ser continuas en
—2
o/o .
f(x) ,
Y como por hipótesis
=
h m — --------x —>0
D
(x)
P R U E B A DEL T E O R E M A [ 3.3 ]
=
=
D
=
por tener la forma indeterminada
F(x)
l + l
del límite buscado
Sen x
hm
J
C ap. 6
c -* a +
f ^
x —► a + » ( * )
=
, pues
lím
c->a +
a <
^ ^c -g 'íc )
c < x .
=
L .
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
x
Existen resultados similares cuando
a”
Extenderemos el teorema dado al caso en que
1.4
Sean
TEOREMA.lím
f U )
f y g
=
x —y + oo
X
S i existe
x —► -+■oo
= L
,
0
0 ,
V
x
> M .
entonces
X
f (X )
X -Í- +
g (x)
L .
II
e
Sea
x > M >
g (x ) = 0 , g' (x) *
ii
PRUEBA.-
± oo .
g ' (x)
lím
X —►+ oo
x
—► + oo
f'U )
lím
x ->• a .
, y cuando
d ife re n c ia b le s p a r a
lím
0
- 521 -
g (x)
00
F(z) = f ( l/ z ) , G(z) = g (l/z )
, entonces si
z = —
x
x -+ +
s i y sólo si
oo
f (x )
F (z )
g(x)
G (z)
.
z —>
miaefA nilfl
y puesto que
' (z)
=
G' ( z)
donde
G '(z) *
r
hm
z->0+
aplicamos el 1er. Teorema al cociente
f
0+ , y
F'(z)/G '(z)
f ' ( i / z ) - ( - i / z2)
=
0 ,
V z
ta lq u e
0 <
0
G ^z )
0
:
f'd /z )
g '(l/z )-(-l/z 2)
F (^)
=
g'O /z)
z <
l/M
r(x)
g '(*)
[ -^
x >
M ]
El 1er. Teorema asegura que, como
f'U )
hm
t
_
-------------- = L
x -> + oo
w
F'(z)
lím
g'(x)
-------------- =
z->0+
L
G' ( z )
entonces
.
L =
,,
hm
F (z )
--------------
=
G (z )
* *
y por ,lo tanto
w
hm
x - > + oo
f (^)
g(x)
hm
x -> + oo g ( x )
=
1.
hm
x - > + oo
Existe el teorema análogo para cuando
se generalizan al caso en qde
L =
f (x )
± oo .
f '0O
=
L .
g '(x )
x -► — oo , y ambos teoremas
522
3 .5
Cap. 6
Análisis Matemático 1
TEOREMA (REGLA DE L'HOSPITAL PARA oo/oo )
Sean
f y g
f (x) =
lím
X —►C
d ife re n c ia b le s en (
± oo
,
lím
+
X —►c
f ' (x)
----------lí m
+ g' (*)
=
L
a, b )
+
f (x)
---------gU )
c
Este resultado también se cumple para cuando
Todas las demás formas indeterminadas:
ó
,
c
. Si
y s i existe
e n to n c e s:
.
x
o /o
= ± oo
g (x )
,,
hm
se pueden reducir a
al cu a l p e r te n e c e
=
ti
lím
r-> r +
T
L
=
g '( * )
, x -► c .
x ->■ c
oo -
f'( x )
oo , 0 * o o ,
1°° , 0° , o o ° ,
o o / o o , mediante transformaciones algebraicas , trigo­
nométricas, logarítmicas o exponenciales y recién entonces poder aplicar las REGLAS
DE L'H O S P IT A L.
3.6
EJEMPLO.-
Calcule
lím
( T a n x — Sec x ) .
x -► n f 2~
SOLUCIÓN.-
lím
Tan x
=
Sec x
=
+ oo ,
x —y n f 2
lím
x-+ k/2~
lím
— !—
x —y n / 2 Cos x
Así hemos llegado a la forma indeterminada 00 -
=
=
.
+00
q+
00 . Mediante transformaciones tri­
gonométricas:
w
hm
~
( T a n x — Sec x )
=
x->n/2~
(L 'H O S P IT A L )
=
hm
Sen x — 1
-----------------
x-t-ji/2 -
Cosx
lím
n/2~
w
hm
=
0
—
0
(Senx-1)'
(Cos x ) '
C osx
--------------
=
0
=
n
U
Cap. 6
3.7
- 523 -
Aplicaciones de la Derivada
PROBLEMA.-
Halle
í ' (0 )
SÍ
g U)
f(x)
=
0
y si
SOLUCIÓN.-
g ( 0) = g ' ( 0 ) = o ,
= g(0) = 0 .
=
16 .
Entonces
w
f (h ) — f (0 )
,,
f(h)
hm
------------------------ = h m ---- --------h -» 0
h —0
h -> 0
h
(L’H o s p ita l: )
=
lím
g ' (- - -
h —► 0
2h
= — g"(0)
3.8
g" ( o )
x = 0
g es continua en o , pues es diferenciable en o , luego
lím
g(x)
x —► 0
f'(0) =
,
PROBLEMA.-
= — • lím
2 h —► 0
= —
„
=
hm
g(h)
h -* 0
—
^2
g > ( h ) ~ g ' ( 0)
[ pues
/ rn\
h
= 8
o
= —
o
g (0 ) = 0 1
f'(0) = 8 .
En el problema previo pruebe que
lím
f (x )
x -*Q
=
o =
lo que indicará que f también es continua en o .
3.9
PROBLEMA..
a)
Calcule los siguientes límites:
..
lím
Tan x — 5
oo
Sec x + 4
— oo
x —* n / 2 +
b)
lím
x — Sen x
lím
0
---------------------—
—
(x S e n x )3
^
0
x
Cos
d)
oo• 0
oo
X
C)
Se n
(Sen x ) — Cos x
h m ------------------------------------------------
x - >Q
e)
lím
XA
(1 —
0
—
0
x ) Tan ( n
*
)
[ 0 ■o o ] .
I
SOLUCION.a)
Como
lím
x —► n / 2 +
Tan(x)
=
+ oo
,
lím
x —> n / 2 +
Sec(x)
=
— oo
f (0 )
,
- 524 -
Análisis Matemático I
Cap. 6
*>
t
L
b)
z
Haciendo
i*
S e c '
= V~x" :
x —>• +
=
■C o s ( * j
lím
,,
lím
x
x — Senx
=
1
lím
x
z —► +
Sen(t)
v t
oo
__
,
[ t = 1/z
(
m
2 V T Cos ( t ) =
,,
lím
(1) =
(2) (0)
lím
0
( I — Cos x )
0
x2
l/x"
'
l/x "
( 3 / 2 ) ( x Sen x ) 1^ " [ Sen x + x Cos x ]
Sen x
= hm
x —> 0
,,
S e n X ) l / 2
0
]
0
1 . l í m ------------- ( i - Cos g ) / f ^ -------------3 x ->■ o ( S « X ) l / 2 ( S e n * +
H
I
t —>0+
---------------------- =
0 ( x S e n x ) 3^ "
x
v/,,
I — Cos x
Y como
hm
x-*0
.
=
Sen ( * )
s i y s ó l o si
lím
t
0+
= i ím
, ^ 0+ 1/(2 V t )
.
c)
oo
lím
-J~z S e n ( l / z ) =
z -> + oo
L =
x
------------------------hm
x - > n / 2 + Sec ( x ) T a n ( x )
=
=
1
=
(0
—
2x
( | ) l/2
_
2
=
,
f
x
Cosx
=
I
,
entonces, en
(*) ,
x —> 0
=
l
=
3
„
d)
hm
x -> 0
(1 + I)
6
Cos (Sen x ) — Cos x
------------------------------------
x*
=
i
0
= —
o
— Cos x Sen (Sen x ) + S e n x
hm
...
A
4 x-sr^
X —►0
lím
[
x -+0
0
—
0
Cos x Sen (Sen x ) + Sen x Cos x Cos (Sen x ) +
24 x
4- 2 Cos x Sen x Cos (Sen x ) + Cos3 x Sen (Sen x ) — Sen x
24 x
r ...
L utilizaremos:
hm
i- > 0
Sen ( S e n x )
x
=
,,
hm
X -► 0
Sen (Sen x )
Senx
Sen x
x
=
. n
1 J
j
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
+
24
3.10
NOTA.-
I
2
+
24
525 -
1
+
24
24
24
En este ejemplo previo se ilustra el hecho de que la REGLA DE
L’HOSPITAL puede aplicarse repetidas veces, siempre que la
expresión se reescriba en una de las dos formas
o
oo
±
Ó
o
oo
En (d) se aplicó tres veces sucesivas esta regla.
e)
Hm
x
x)
(l -
Sen ( n x / 2 ) * Cos
=
(jt
x
-
lím
1•
/2 )
lím
x
|~
Calcule el límite
Cos
(jt
X)
x
/2 )
1
( jt/ 2) [ - Sen ( 7T x / 2 ) ]
3.11 EJERCICIO.-
(1 -
L =
lí m
71
x 2 — Sen(x2 )
i
i2
x|Sen x |
X -> O
SOLUCION.L
=
lim
2
x - Sen ( x ‘ )
-------------------------
=
2 x — 2 x Cos ( x
hm
x S en“ x
n
9
S e n " x + 2 x Sen x Cos x
=
,,
2x
r
1 - Cos(x )
lim
----------• [ ---------------------------------- J
x -► O Sen x
Sen x + 2 x Cos x
=
1#
2 [ 2 x Sen ( x “ ) ]
h m ---------------------------------- =
x - * 0 3 Cos x — 2 x S e n x
0
)
=
.
4.
4.1
DEFINICIÓN.-
Una función f se llama NO DECRECIENTE so b re un c o n ju n to S
si
V Xj , x 2 e S :
- 526 -
Cap. 6
A n á lis is M a te m á tic o 1
FU N C IO N ES
NO D E C R E C I E N T E S
YÁ
f(*l ) <
f ( x , ) < f ( x 2)
FIG . I
FIG. 2
Conforme x crece, la gráfica debe ir subiendo o al menos mantenerse cons­
tante pero nunca debe bajar (o decrecer) y , en caso de haber saltos verticales ( f no
continua) estos deben ocurrir hacia arriba.
4.2
EJEMPLOS.-
Las siguientes funciones son no decrecientes:
1)
[[* ]]
f U ) =
,
*
*
2)
6 [ i , 4)
€ [0,5)
f(x)
3)
f(x) = x
,
x e K
x € [5,7}
Verifíquelo bosquejando las gráficas correspondientes.
4.3
DEFINICION.-
Una función
f
se llama
CRECIENTE
CIENTE so b re u n c o n ju n to S
si
O ESTRICTAMENTE CRE­
V Xj , * 2 € S
se cumple
que:
v i
f creciente
creciente).
(o estrictamente
Cap. 6
527
Aplicaciones de la Derivada
En este caso, conforme x crece, la gráfica de f va siempre subiendo, sin
mantenerse constante en ningún tramo ni mucho menos bajar.
4.4
EJEMPLOS.1)
4.5
f(x)
Las siguientes funciones son CRECIENTES sobre el conjunto S ,
= X3 ,
DEFINICION.-
S =
R
2)
f(x)
= x2,
S =
[0 , oo)
Una función f se llama NO CRECIENTE so b re un c o n ju n to S
si
V x] , x2 e S
se cumple que:
Esta definición implica que, conforme x crece, la gráfica de f puede ir bajando o man
tenerse constante en algún segmento, pero que en ningún momento debe subir.
f NO CRECIENTE
f ( * 2 )+
4.6
DEFINICIÓN.-
Una función
f
se llama
X,
<
x2
f(x,)
>
f(x 2)
DECRECIENTE O ESTRICTAMENTE DE­
CRECIENTE so b re u n c o n ju n to S si
x, < x 2
=>
:
V Xj , x , e S :
f ( Xj ) > f ( x 2 )
- 528 -
Análisis Matemático 1
Cap. 6
Geométricamente esta definición indica que conforme x crece, la gráfica de f siempre
está bajando, sin mantenerse constante en ningún tramo ni mucho menos subir.
4.7
EJEMPLO.- Consideremos la función f ( x ) = C o s x
y el conjunto S = [ 0 , 7 l ] .
Vemos en la gráfica que esta función es DECRECIENTE
c o n ju n to S .
so b re
el
YA
f = Cos
4.8
NOTA.-
Note que la función f ( x ) =
S1 =
4.9
[31,231]
Cosx
es CRECIENTE sobre el conjunto
. (FIGURA DE ARRIBA)
DEFINICIÓN.- Una función f es llamada MONÓTONA SOBRE
s , sisobre el
conjunto S la función f es de alguno de los 4tipos antes men­
cionados.
4.10
*> Una función creciente es no decreciente.
NOTA.-
❖ Una función decreciente es no creciente.
4.11
TEOREMA.1)
2)
Si f es una función CRECIENTE sobre S , entonces:
f tie n e in v e r s a
f
i
-
f ”
1 d e fin id a so b re
ta m b ié n es crecien te s o b re Rang f = f (S )
PRUEBA.1)
Es suficiente probar que f
es inyectiva sobre S :
*
Si
f(xp
= f(x2)
...
V Xj , x 2 e S
Si
x1
*
Rang f = f (S )
x2
entonces
(a)
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
i)
A'j <
X-,
Ó
Ü)
Xj >
529
A-,
pero en ambos casos se llega a una contradicción pues:
❖
Si (i)
x ^ entonces f ( X j ) <
Xj <
f ( x 7)
(pues f es creciente)
lo cual contradice ( a ) .
❖
Si (ii)
x} >
x 7 entonces x 7
x } =>■
<
f(x,)
f ( x })
<
(pues f es creciente) lo cual contradice a ( a ) .
Por lo tanto, de la relación f ( x ] ) =
f (x2)
se concluye que
Xj = x 7 de mo
do que f resulta ser univalente sobre S y por lo tanto tiene una inversa
2)
Sea
❖
i/j , y-> 6 Rang ( f ) , entonces existen
Si
yj <
y( = f (Xj)
ó
y2 = f (x2)
ó x2 = f
y0
entonces
Xj , x 7 € S
x, = f “ 1
f(Xj) <
1.
tales que
(y,)
(y2)
f(x^)
...
luego, si suponemos que x ( >
ó
f “
x.,
(a)
entonces
i)
si Xj = x 1
= r* f ( x , )
= f ( x 7 ) , contradice a ( a ) ,
ii)
si Xj > x 2
=>> x ^ <
x(
=>• f ( x ^ )
<
f ( jc2 )
( pues f es c re c ie n te ), lo cual contradice a ( a ) .
Por
lotanto
x ( < x 2 , es decir
f“ 1 ( y , ) <
resulta ser una función e s tr ic ta m e n te crecien te so b re
TEOREMA.-
4.12
Si f
f “ 1(y ,)
así
f ”
1
R a n g (f) .
es u n a fu n c ió n d ecrecien te so b re S e n to n c e s
1)
f tien e in v e r s a
f~ *
d e fin id a so b re el R a n g ( f ) = f ( S) .
2)
f ~ 1 ta m b ié n es d e c re c ie n te so b re el
R a n g ( f ) = f ( S) .
4.13 EJEMPLOS.1)
f ” 1 (x ) =
Are Cos x
función directa
es una función decreciente en [ - 1, 1 ] , pues la
f ( x ) = Cos x
es decreciente sobre el intervalo
[ 0 , n ].
530
Cap. 6
A n á lis is M a te m á tic o 1
4.14 TEOREM A DE CONTINUIDAD DE
f _ I
PARA UNA f CONTINUA
S ea f e s tr ic ta m e n te crecien te y c o n tin u a en [ a , b ] . S e a n
s = f (b )
y
f — 1 la in v e r s a de f so b re
f — 1 es e s tr ic ta m e n te crecien te s o b re
1)
V y , , y2 en
< y2 ^
f [ a , b] :
2)
f [ a ,b ] = [ f ( a ) , f ( b ) ]
3)
f “
PRUEBA.2)
Rang ( f )
=
1 es c o n tin u a so b re
1)
f[a,b]
,
r = f(a),
e n to n c e s :
; es decir,
~ 1(y,) <
f _ 1( y 2 ) .
[r,s ].
f [ a , b ] = [ f ( a ) , f (b) ] = [ r , s ].
Teorema, anterior.
Sabemos que siendo f continua so­
bre [ a , b ] entonces la imagen
f [ a, b] =
( f ( x ) /
x € [ a, b] }
es también un intervalo, y que f al­
canza su máximo y su mínimo en el
intervalo cerrado
[a , b ] :
f [ a , b ] = [ f ( x Q) , f ( X j )
]
para algún x Q ,
e [a , b ] .
Esto implica que
f(*0) <
f(x) <
Como Xj € [ a , b ] , si suponemos
debido a que f
es creciente sobre
x
f (Xj ) , V x € [ a f b ]
< b
resultaría que
...
(a)
f ( xt ) < f(b)
[ a , b ] , lo cual es ABSURDO pues contra-
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
dice la relación ( a ) . Por lo tanto
x ] < b también.
3)
Dado
yQ € ( f (a), f (b ))
{a, b ) .
te rv a lo
Dado
e >
{a, b )
8 =
0
xQ -
y €
<yQ-
f
U 0 ~ *0
8,
<
y Q +
f ( x Q) -
Aplicando f “
1:
=>•
x0 -
yQ = f ( * 0 )
xQ — e
tal que
p a r a un único
x Q+ e
y
f (xQ8> c
8
=
e) , f ( x Q + e) -
xQ €
p e rte n e c e n a l in ­
y Q
<
<
y
e))
f~'(y)
<
<
<
.
x Q+ e
8 =
f ( x Q + e)
f “ 1( y )
,
<
V
y
f - , (f(xo +e))
e V g ( y Q)
V y € Vg ( yQ)
resulta ser continua sobre
f - 1
yQ+
<
f (x0 ) + 8
f “ 1( f ( x o e
- 8
f ( x Q) }
lo que implica que
(f(a), f(b)>
I f " ’ ( y) - f _ , ( y 0 ) | < e ,
De esta forma
b .
a .
entonces
=
=>
=
, elegimos
m i n { f ( x Q) -
Si
e [ a , b ] entonces
b < x , . Y como
Así concluimos que:
Análogamente se prueba que:
-531-
( f ( a ) , f ( b ) ) .
Además, con unas pequeñas variantes se prueba que:
lím
f — 1(y)
=
f-
' (f(a ))
=
a
,
f-
=
f - ' (f ( b ) )
=
b
.
y -rf(a)+
lím
y
f(b)
Por lo tanto
4.15
' (y)
resulta ser continua sobre
f _ 1
TEOREMA.-
S ea f e s tr ic ta m e n te d ecrecien te y c o n tin u a en [ a , b ]
y
f [a , b ] =
3)
4.16
f ~~ 1
su in v e rsa . E n to n c e s
es e s tr ic ta m e n te d e c re c ie n te so b re
1)
2)
[ f (a ), f ( b) ] .
APLICACIÓN.-
Rang ( f )
t f (b ) , f (a) ]
es c o n tin u a so b re
[f(b ),f(a )]
.
Todas las funciones Trigonométricas Inversas resultan ser con­
tinuas en sus respectivos dominios.
532
Análisis Matemático 1
C ap. 6
5.
APLICACIONES DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
5.1
TEOREMA.-
Si
f
si
f'(x)
V jtj ,
> 0 ,
[ a, b ] , a <
b , y
V x € ( a , b ) , en to n ces
es N O D E C R E C IE N T E s o b re
f
PRUEBA.-
es c o n tin u a en
[ a, b] .
6 [a , b ] ,
Xj < x 2 , entonces por el T.V.M.
existe
c € { Xj , x 2 )
f(x,) -
tal que
f (x.)
= f ' Ce) >
X2
0
x\
f U 2) >
f U ,)
f es NO DECRECIENTE en [ a ,
5.2
TEOREMA.-
Si
es c o n tin u a en
f
p a r a to d o
[a,b]
t
a <
b
y
f'(x)
< O
x 6 { a , b ) , e n to n c e s f es NO CRECIENTE
so b re [ a , b ] .
5.3
TEOREMA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE
S i f es c o n tin u a so b re
{ a , b ) , e n to n c e s
PRUEBA.-
Para todo
f ( x ) — f (a )
5.4
f (x ) =
PROBLEMA.-
f (a )
.
f ; (x) = 0 ,
a < x < b
c e <a , x )
=
y si
es CONSTANTE ( f = C )
x € [ a , b ] t
implica que existe
=>
f
[a , b ]
en [ a , b ] .
, el Teorema del Valor Medio
tal que
f ' (c ) • (x — a)
PARA TODO
V x 6
=
0 * ( x — a)
x e [a , b ] .
=
0
( C = f(a) )
Pruebe que la función definida por la regla:
*
f (x )
=
*
C os2 x + Cos2 ( — + x ) — (Cos x ) • Cos ( — + x )
3
3
es CONSTANTE ( no depende de x ). Halle este valor constante.
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
SOLUCIÓN.-
PARA TODO
533
x € R :
f ' ( x ) = — Sen 2 x — Sen
+ 2x)
+ Sen x Cos ( — + x ) + Cos x Sen ( — + x )
3
3
3
= — Sen 2 x — S e n (2 ? i/3 + 2 x ) + S e n ( ji/ 3 + 2 x )
f ' ( x ) = — Sen 2 x —
Cos 2 x + — Sen 2 x +
2
2
Luego, por el Teorema previo:
f(x)= C ,
con a <
=
b . Y como
Así resulta que
f(x)
=
f (0 )
f (x ) =
3/4
3 /4
t
Cos 2 x + — Sen 2 x =
2
2
V x € [ a , b ] , V a t b € R
1+ ( 1 / 4 ) -
=
C .
V x e [ a , b ] , V a , b e K
con
,
(CONSTANTE),
,
v x e (0,4)
0
(1 /2 )
=
3 /4
a <
b .
V x € R .
5.5 PROBLEMA.1)
Si
f'(x)
= o
, y
acerca de los valores de f sobre todo
2)
Si
f ' (x) = o ,
v
x e (0,4)
f(3)
(0,4)
u
=
-20
?
( 6 , 10) ,
puede inferir de los valores de f sobre todo
, ¿qué se puede inferir
y
(0,4)
f (3 ) = - 2 0
u
,
¿qué se
( 6 , 10) ?
SOLUCIÓN.1)
Por el teorema previo tenemos que
f(x) = C
(constante)
Y como para
xQ =
-2 0
2)
Por estar
f'(x)
V x e (0,4)
implica que
V x e (o , 4) .
3 € ( 0 , 4 )
se tiene f (3 )
= f ( x Q ) = f ( 3) = C
(0,4)
= 0,
=>
f(x) =
= - 2 0 entonces
-20
,
V x € (0, 4) .
formado de dos in te r v a lo s a b ie r to s d isju n to s
u (6,10)
entonces EN CADA INTERVALO la función
f (x )
resulta CONSTANTE , aunque
en general puede ser u n a c o n s ta n te d is tin ta p a r a c a d a in te r v a lo :
i)
f í^ )
= C,
, V x 6 ( 0, 4) ,
y así
ii)
f ( x ) = C2
,v
f ( x ) = - 20
x 6 (6,10)
de f dentro de ( 6 , 1 0 )
f ( x ) = 7T,
,
=>
C,
V x €
= -20
V x € (o, 4) .
y como no hay ningún dato para el
entonces no se puede conocer c 2
plo, se hubiese tenido que
lo tanto
f ( 3) = - 2 0
f (7 ) = n
se habría obtenido
(6,10)3
7.
valor
; si, por ejem­
C 2 = ji
y por
•534 -
Análisis Matemático 1
Cap. 6
De modo que, en tai caso:
- 20
f(x)
=
,
0 < x < 4
;
. 6 < x < 10
ti
5.6
COROLARIO.-
Si
f y g son dos funciones diferenciables en
si
f'(x)
= g'(x)
, V x € [a, b] ,
existe una constante c
f (x )
PRUEBA.-
Sea
h(x) =
=
f(x ) — g(x)
h ' (x ) = f ' (x ) -
[a,b]
y
entonces
real tal que :
g (x ) + C
V x 6 [ a, b ] .
entonces h es diferenciable sobre [ a , b ]
g ' (x ) = o ,
V x
en
[ a , b ] , entonces por el
Teorema de la Función Constante
existe una constante C real tal
que
h (x ) = C , V x € [ a , b ] ,
es decir
f(x)
=
g (x) + C ,
V x 6 [ a , b ].
Si las gráficas de dos funciones f y g tienen rectas tangentes paralelas en
todos los puntos con la misma coordenada x entonces una gráfica se puede ob­
tener de la otra con sólo subirla o bajarla en C unidades.
Con un método similar al de la prueba del Teorema de la Función Constante se
obtienen los siguientes resultados.
5.8
TEOREMA.-
S i f es c o n íz n iia so b re [ a , b ] y s i f 7 ( x ) > 0
so b re [ a , b ] e n to n c e s f es e s tr ic ta m e n te
CRECIENTE s o b re [ a , b ] •
TEOREMA.-
S i f es c o n tin u a so b re
so b re [
e n to n c e s
DECRECIENTE so b re [
a
,
b
[
a
f
]
a
,
,
b
y si f 7( x ) < 0
es e s tr ic ta m e n te
b
]
]
.
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
YA
f
a
5.9
CRECI ENTE
Y i
535
f
DECRECI ENTE
►
x
b
COROLARIO.-
Si
f
es continua sobre
(a, b)
( o si
x
a
X
[a,b]
f 7( x ) < 0
►
b
y si
sobre
X
f 7( x ) >
0
( a , b ) ) , entonces f es
inyectiva sobre [ a , b ] y por lo tanto ahí tiene inversa
5.10
COROLARIO.-
Si
f
es continua sobre
( a, b )
( o si f 7 ( x ) < 0
inyectiva sobre ( a , b )
(a,b)
sobre
y si
f 7( x) >
f ”
1,
0
sobre
sobre ( a , b ) ) , entonces
y por lo tanto ahí tiene inversa f “
f
es
1.
El hecho de que para los resultados anteriores el dominio de f sea u n in te r v a
lo es MUY IMPORTANTE , pues para cualquier D o m f = S la afirmación
" Si
f
es continua sobre un conjunto
f 7( x ) <
0
S
fU )
=
x
,
1 x - 1 ,
=>
f 7( x ) >
0
sobre S ) entonces f es inyectiva sobre S "
veremos en el siguiente ejemplo donde S
f
<
y si
f 7( x ) = 1
sobre
(o si
es FALSA como
no es un in te rv a lo :
x € (0 , l)
=>
S = ( o , l> u ( l , 2 )
x € (1 , 2 )
( > 0)
,
V x 6 S = D om f = ( 0 , 1 )
U (1,2),
y sin embargo la función f no es inyectiva, como se puede ver en la gráfica.
Lo que sí es cierto, es que
f
S
Sí ES CONTINUA SOBRE S .
y Jk
f
(¿ P o rq u é ? )
►
X
• 536 *
5.11
Análisis Matemático 1
PROBLEMA.-
f (*)
Demuestre que la siguiente función tiene inversa:
=
<
n
Cos [ — ( x 2
[4/(x -
SOLUCIÓN.-
Cap. 6
El dominio de
f es continua sobre
1)] -
f
lím f ( x ) =
x
l
1) ]
es
1
,
2
,
x 6 { 1, 3 ]
,
x G <3, 6]
S = < -o o ,6 ]
,
lím f ( x ) = — I
x —► 3
un in te rv a lo ; además
,
( u n a co n d ició n m u y im p o r ta n te )
S = { — oo , 6 ]
Al encontrar la función derivada de f , es decir
2 (x f'U )
=
l
1) <
O
,
— Sen[ — (x -
i) ] < O ,
2
1y
<
O
,
De aquí deducimos que f es d e c re c ie n te so b re
f
G
{ -
oo , 1)
x € (1 , 3)
2
-4/(x -
pero como
X
ES CONTINUA
en
x =
l
y
DECRECIENTE so b re to d o el in te r v a lo
x e (3 , 6)
( —0 0 , 1 ) ,
x = 3
(l,3)
entonces
f(x)
y
(3,6],
re su lta ser
( — 0 0 , 6 ] , y por lo tanto la función es­
tá asegurada la existencia de la f u n c i ó n in v e r s a a h í .
A continuación presentaremos algunas condiciones que se requieren para de­
terminar los valores máximos y mínimos de una función.
5.12
TEOREMA.-
PRUEBA.- Como
S ea f c o n tin u a y in y e c tiv a so b re [ a , b ] , a < b ,
e n to n c e s f es o u n a f u n c i ó n c re c ie n te o u n a fu n c ió n
d e c re c ie n te so b re [ a , b ] .
f(a) *
f ( b ) .pues
y s i e x is tie ra u n
a *
xQ g ( a , b )
b t supongamos que f ( a ) < f ( b )
tal que
entonces, por el Teorema del Valor Intermedio, existiría un
f ( X j ) = f ( a ) , lo que implica que:
ab su rd o
pues
a < xQ <
f ( x Q) <
Xj g
(x
f (a)
, b)
<
f (b)
tal que
x x = a ( por la univalencia de f ) t lo cual es
x} < b .
Y como nuestra suposición sobre x Q no re su ltó v á lid a entonces se cumple que
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
p a r a to d o
f (a ) < f ( * )
x G [ a , b ] ; así, f ( a ) = m ín {
x] < x2
y
f(Xj)
>
f (x2) >
entonces el T. del V. Intermedio implica que existe
f ( u Q) = f ( x 2 )
lo cual es a b s u rd o pues
entonces
f (Xj) <
f (x,) <
f
=>•
f(x 2)
f(x 2)
TEOREMA.-
,
tal* que
( por la inyectividad ) ,
b .
x} < x7 ,
para todo
Xj > a
u Q G ‘( a » x j )
u0 = * 2
para
=>
y como
f(Xj)
* f(x 2)
x] < x2 .
resulta ser una función creciente sobre
una función decreciente sobre
f (a ) >
[ a, b ] .
f ( b ) , entonces f habría resultado ser
[ a, b] .
S í la / u n c i ó n
f
s a tis fa c e la s tre s p r o p ie d a d e s :
1)
f (c )
es un v a lo r e x tr e m o ( m á x im o o m ín im o r e la tiv o )
2)
f (x )
e s tá d e fin id a en un e n to r n o
3)
existe f ' ( c ) ,
ENTONCES
y
f (a)
a < u Q < Xj < x 2 <
Si la suposición hubiese sido:
5.13
f (x ) / x G [ a , b ] } .
x { , x 2 e [ a , b ] tal que
Ahora, si existiera un par
Por lo tanto:
- 537 -
f'(c) = 0
N (c )
de
c .
.
v i
A
m = f'(c) = 0
f Ce)
(m á xim o
re la tiv o )
f(c)+
(m ín im o
re la tiv o )
X
El hecho de que para una función dada:
cesariamente que
f ' ( c ) = o , para algún c , no implica ne
f ( c ) sea un máximo o un mínimo, como por ejemplo para
f ( x ) = (x - 1)3 + 1
=>
f'(l) = 0
538
pero
Cap. 6
Análisis Matemático 1
f ( l)
no es un máximo
ni un-mínimo; esto lo vemos
en su gráfica:
f(x) = ( x -
1)3+ 1
f'(c) = 0
5.14
CONCLUSIONES
❖
Los
VALORES EXTREMOS
de una función definida sobre un intervalo
[ a , b ] pueden presentarse solamente en aquellos puntos c de este inter­
valo que satisfacen :
(1)
f'(c)
(3)
son extremos del intervalo
ó en
= 0
c =
ó
(2)
f'(c)
[a ,b ],
NO EXISTE
es decir,
en
ó
c =
b .
( a , b ) entonces los v a lo re s e x tr e m o s se
Si el intervalo es el abierto
presentan sólo en puntos que satisfacen (1) ó ( 2) .
Si es
[a, b)
entonces,
en (1) ó en (2)
ó en c =
a.
Si es
(a , b ]
entonces,
en (1) ó en (2)
ó en c =
b .
En la figura previa se tiene que:
En a :
a ,
mínimo relativo .
En
Cj :
máximo relativo
y f'ícj)
En
c 2:
mínimo relativo
y f'(c 2)
En
c,:
máximo relativo
y
f'(c,)
= 0
NO EXISTE
= o
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
❖
En c 4 :
*>
En
mínimo relativo
b :
y
- 539
f'(c4) = o
máximo relativo.
Si el intervalo es
[ a , b ) , b no está considerado y por lo tanto
allí no existe mínimo relativo.
A los puntos c de las CONCLUSIONES [5 .1 4 ] , se les denomina
PUNTOS CRÍTICOS de la función f dada.
6.1
DEFINICIÓN.-
Si f es una función continua sobre un intervalo I ,
PUNTOS CRÍTICOS de f
a aquellos puntos
c
se llaman
del intervalo
I que satisfacen a lg u n a de las condiciones siguientes;
f'(c)
i)
ii)
o
iii)
f'(c)
= 0
no existe
c es uno de los extremos , de pertenecer al intervalo I .
Según esta definición, los V a l o r e s E x t r e m o s de una función f con­
tinua sobre un intervalo cerrado
[ a , b ] t es decir su s V a l o r e s M á x i m o s
y M í n i m o s , p u e d e n p r e s e n ta r s e s o l a m e n t e en los P u n t o s C r í t i ­
c o s d e la / u n c i ó n f en el in te r v a lo
[ a, b ] .
De manera que para hallar el valor MÁXIMO GLOBAL
GLOBAL de f sobre
y el valor MÍNIMO
[ a , b ] t se calculan los valores de f e n c a d a P u n to
Crítico , y si existe un número finito de puntos críticos en el intervalo [ a , b ] ,
entonces el mayor de estos valores resulta ser el MÁXIMO de f sobre
y el menor de todos ellos viene a ser el MÍNIMO de f sobre [ a , b ] .
6.2
EJEMPLO.-
Encuentre los valores MÁXIMO y MÍNIMO de la función
f (x) = x -
SOLUCIÓN.-
Identificamos
3 x 2^ 3
[a,b]
sobre el intervalo
= [ - 8 , 16].
[ - 8 , 16 ] .
Derivando,
[ a, b ]
540
Cap. 6
Análisis Matemático 1
f'(x) =
y
l - 2 x
❖
f'(x) = 0
*>
f ' (x)
1/3
=
( f 7 - 2 ) / 3 / T
para
x = 8
no e x is te p a r a
Luego, los PUNTOS CRÍTICOS de f
c = 8
en
[-8,16]
f'(8) = 0 ,
c = 0
/
c = -8
f'(0)
•
c = 16
x = 0 .
son
f(8) = - 4
f (0) =
,
MÁXIMO de f
0
M ÍNIM O de f
f ( — 8) = - 2 0
»
f (16)
=
16 -
2V T
^
-0.97
YA
El método para bosquejar
esta gráfica se verá más
adelante.
Por ahora la presentamos
tan sólo como ilustración.
6.3
TEOREMA.-
S ea
si
f (x )
d e fin id a en [ a , b ] . Se c u m p le que
f'(a) >
e n to n c e s
0
f (a)
es un VALOR
M ÍN IM O RELATIVO.
PRUEBA.-
Considerando que
dado
a tal que
e = L /2
L - - L
<
2
0 <
f ( x ) - f (a)
x —v a
b .
Sea
0 , existe una vecindad
V x e vó (a ) n
En particular, si
o <
e >
a <
[ a, b ] :
> 0 ,
f tx ) -
L =
f'(a) >
V g ( a ) , de radio
f ( x ) - f (a )—
x —a
V x € ( a - 8 , a
f (,.)
0 .
<
Por definición
6 > 0 y centro
L
< e .
+ 8 ) n [ a , b ] - { a } :
L +
x — a
V x /
a < x < a
+ 8
A
x € [ a , b ]
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
=>■
=>
6.4
f(a)
<
f(x)
,
V x /
f (a)
<
f (x)
,
V x / a < x < a
f (a )
<
f (x )
,
V x 6 Vg ( a ) n
TEOREMA.-
0
Sea
f
TEOREMA.-
PROBLEMA.-
<
Sea
f'(b )
>
+ 8
A
x
6 [ a, b]
A
x G [ a , b ]
Dom f
sobre
[a ,b ].
d e fin id a so b re [ a , b ] :
f
<
f'(b)
Si
6.7
Sea
f'(b)
TEOREMA.-
Si
6.6
x < a + 8
f ( a ) es un Mínimo Relativo de f
Si
6.5
a <
- 541
e n to n c e s
es u n M ÍNIM O RELATIVO.
f(b)
d e fin id a so b re [ a , b ] :
e n to n c e s
0
f (x )
0
d e fin id a so b re [ a ,
e n to n c e s
Dada la función
es u n M ÁXIM O RELATIVO.
f(a)
f(b )
f(x) =
b ] :
es u n M ÁXIM O RELATIVO.
(l/2)x
2
-
2x
, halle todos sus valo
res extremos en:
a) < - 1, 6 > , b) [ - i, 6),
c) < - i, 6 ] r d) [ - i, 6 ] . e) { 2 , 6 > t
- 542
Análisis Matemático 1
f)
[2 , 6>,
g)
(2,6 ],
i)
(-1 ,1 ),
h)
Cap. 6
[2,6],
j)
[-1 ,1 ].
0
SOLUCION.-
Como f es un polinomio es diferenciable en todo
existen aquellos puntos críticos c para los que
más,
f'(x)
Completando cuadrados:
a)
:
= x - 2 , y
f(x) =
punto crítico
f'(x)
— (x -
2
R , de modo que no
f'(x)
=
o
para
2)2 — 2
,
entonces
x = 2
no existe. Ade­
x = 2 .
en :
f ( 2 ) = — 2 M ÍNIM O .
No hay Máximos.
b)
[ —1 , 6 )
: puntos críticos x =
2,
x = -1
c)
{ - i , 6 ]
: puntos críticos x =
x =
d)
[ —1 , 6 ] :
puntos críticos x
f'(2)
Extremo,
(2,6)
y como
f(-l)
MÍNIMO
= 5/2
MÁXIMO
f ( 2) =
- 2
6
Extremo,
f (6 ) =
6
= 2 ,f ' ( 2 ) = 0,
f'(x)
f es estrictamente creciente en
—2
f ' ( 2 ) = o,
Extremo,
: NO HAY PUNTOS CRÍTICOS
x = 2 0 { 2 , 6 ) ,
f (2) =
2,
x = - l
e)
= o,
pues
MÁXIMO
f (2 )
= -2
f ( — l)
= 5 /2
f'(x)
= x -
2
p a r a todo x e ( 2 , 6 )
> 0
[2 ,6 ];
MÍNIMO
y además en
(2,6)
MÍNIMO
= 0
para
entonces
no tiene ningún
máximo ni mínimo relativo por ser un intervalo abierto.
f)
[2,6)
: PUNTO CRÍTICO
valor MÍNIMO
f'(x)
x = 2 , Extremo
pues
> o para
f (2 ) = — 2
f ( x ) es creciente en
x € (2,6)
.
[2,6)
y
,
es el único
puesto que
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
g)
(2,6]
:
h)
[ 2 , 6 ] :
Como
creciente en [ 2 , 6 ]
PUNTOS CRÍTICOS :
x = 2 ,
2 >
0
en
.
x 6 ( 2 , 6 ) entonces
f
es
Extremo
f(2) = - 2
MÍNIMO
<
x = 6 , Extremo
f ' (x ) = x -
decreciente en
es creciente en ( 2 , 6 ]
y esel único
, de modo que se tiene:
t
(-1 ,1 ):
pues f ( x )
f ' (x ) = x -
f
i)
x = 6 , Extremo f ( 6 ) = 6 ,
PUNTO CRITICO
valor MÁXIMO
543
2 <
( - l , i ) , y
0
f(6)
para
= 6
x 6
MAXIMO.
( - i , i ) , entonces
NO TIENE MÁXIMOS NI MÍNIMOS
f es
aquí por ser
este un intervalo abierto.
j)
[-1,1]
:
decreciente en
f 9( x ) = x -
2 <
0
para
x €
( - 1 , 1 ) , entonces
( - 1 , 1 ) . Pero, por incluir el intervalo
[-1,1]
f es
a sus extremos
existen dos puntos críticos:
x = -1
x = I
=>
=>-
f(-l)
=
5/2
f (1) = — 3 /2
...
MÁXIMO
...
MÍNIMO.
En cada caso observe la gráfica dada para verificar estos resultados.
6.8
DEFINICION.-
Una función f es S E C C I O N A L M E N T E D I F E R E N C I A B L E
sobre [ a , b ] si existe un número finito de puntos
a = xQ < x} < x2 <
i)
ii)
,
f ' ( x ¿)
NO EXISTE para cada
... <
x
= b
tales que
i = 1 ,2 , . . . , n - 1 .
f es d ife re n c ia b le sobre ( x . _ | > * , - )
,
para cada
i = 1,2, ... , n —l
- 544 -
Cap. 6
Análisis Matemático 1
7.
7.1
TEOREMA.-
S ea
(C R IT E R IO D E L A P R IM E R A D E R IV A D A )
un P U N T O C R ÍT IC O de f . S i existe u n in te rv a lo
[ a , b ] d o n d e f es c o n tin u a y c £ { a , b ) , e n to n c e s
1)
c
f ' (*) > 0
x e (a, c)
,
es u n M Á X IM O
R E L A T IV O de f.
f (c )
y
2)
f ' (x ) < 0
,
x 6 ( c, b )
f ' (x ) < 0
,
x e (a, c )
es u n M ÍN IM O
R E L A T IV O de f.
f (c )
f' (*) > 0
3)
,
x € <c , b )
{' (x ) < 0 , x 6 ( a , c )
f ' (x ) > 0 , x 6 ( a , c )
y
f ' (x ) >
0 , x
f (c )
{
e
no es
C
f' ( * ) < 0 , x 6 < c , b )
, b )
n i M Á X IM O R E L A T IV O
ni M ÍN IM O R E L A T IV O de f .
Interpretando de otra manera se tiene que:
1)
Si f ( x )
crece en
( a , c ) y decrece en
MÁXIMO RELATIVO en
2)
Si f ( x )
decrece en
i) Si
f
crece en
(c,b)
Análogamente, si
f
tiene un
entonces f
tiene un
c .
(a,c)
y sigue creciendo en
f NO TIENE MÁXIMO NI MÍNIMO RELATIVO en
ii)
entonces
c .
( a , c ) y luego crece en
MÍNIMO RELATIVO en
3)
<c,b)
f
decrece en
(a,c)
(c,b)
entonces
c .
y sigue decreciendo en
entonces f NO TIENE MÍNIMO NI MÁXIMO RELATIVO en
En la figura se tienen los PUNTOS CRÍTICOS :
c =
1, 2 ,
4,
6,
(c,b)
c .
8
donde
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
i)
f ' (c ) = o
para
ii)
f'(c)
iii)
Extremos del intervalo:
NO EXISTE para
E X T R E M O S RELATIVOS :
d)
f (2 ) ,
, x € ( i , 2)
f(6) ,
f'(x)
> 0 ,
f(2)
es un MÁXIMO RELATIVO.
f'(x)
< 0 ,
f(4)
NO ES MÁXIMO NI MÍNIMO RELATIVO.
f'(x) < 0 ,
x e <1, 2 )
y
x 6 (2,4)
x 6 (4,6)
y
y
f(8)
pues
, f es creciente en
es un MÍNIMO RELATIVO.
f'U )
f'(x)
[ 1, 2 )
0
en
x e {2,4)
< 0
en
x € (4,6)
<
f'(x)
>
0
en
x € (6,8)
f'íx)
< o
en
x
de modo que
es un MÍNIMO RELATIVO.
f'(Jc) > 0 ,
f (8)
7.2
f (1) ,
c = 1
f(D
f ( 6)
e)
sólo
x e (6, 8)
y
o
c)
f ' (jc ) > 0
c = 8
00
b)
Como
6
m
a)
c = 2, 4 y
- 545 -
es un MÁXIMO RELATIVO.
TEOREMA.-
(C R IT E R IO D E LA SE G U N D A DERIVADA)
S ea f
u n a f u n c i ó n d ife re n c ia b le en un e n to r n o
de c
. Si f'(c)
= 0
y s i e x iste
f"(c)
Af { c )
e n to n c e s :
1)
f " (c)
< 0 =>
f (c)
es un MÁXIMO RELATIVO.
2)
f"(c)
> 0
f(c)
es un MÍNIMO RELATIVO.
- 546 -
Análisis Matemático 1
Cap. 6
t
PRUEBA.1)
Como
f resulta continua en el entorno
Por hipótesis:
f"(c)
=
lím
lo que
implica que existe una vecindad
----- — <
x —0
f ' (x ) > o
,
<
Vg (c ) c
p a r a to d o x
0
^ ^
de
— — — - ■^ —
X c
c
X
*V(c)
c :
o
c ) de
c
tal que
en la v e c in d a d re d u cid a
VÓ ( c ) .
0
x e {c - 6 , c>
para
A
f ' (x ) < o
f(c)
7.3
,
para
x € ( c , c + 8)
resulta ser un MÁXIMO RELATIVO
EJEMPLO.-
Halle los valores extremos de
SOLUCIÓN.-
f / (x ) =
6x -
3x2 =
PUNTOS CRÍTICOS :
1)
f"(o)
=
2)
f"(2)
=
6 > 0
-6
<
=>>
0 =>
( por el 1er. Criterio de la D e riva d a ).
f (x ) = 3x2 -
3 x (2 — x )
x = 0 ,
f (0 ) = 0
,
x3 .
f"(x)
=
6 -
x = 2
es un MÍNIMO RELATIVO,
f (2 ) = 4
es un MÁXIMO RELATIVO,
lo cual podemos comprobar geométricamente en el siguiente problema.
7.4
PROBLEMA.SOLUCIÓN.-
Bosqueje la gráfica de
f ( x ) = 3x
2
- x
3
,
x e R .
Calculando los puntos críticos con la primera derivada:
f ' (x ) =
6x -
f'(x)
0
=
3x2 =
- 3x ( x -
s i y sólo si
Luego, los PUNTOS CRÍTICOS son :
X
f'U )
< - oo , 0 )
< 0
c = 0
|
x = 0
y
f(x)
Decreciente
(0.2>
>
o
Creciente
( 2 , oo)
<
0
Decreciente
2) .
y
c = 2 .
Entonces
x = 2 .
6x
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
f (0 ) = 0
Mínimo relativo,
f (2 ) = 4
Máximo relativo
7.5
PROBLEMA.-
Halle las dimensiones del cono circular recto de volumen mínimo que
se puede circunscribir a un hemisferio de radio
SOLUCIÓN.-
Sea V
= volumen del cono
x =
,
0<
RSec0
547
0<
R = 3 -/T .
ti / 2
h = R Cosec 0
V = (l/3 )o 2h
= ( 1 /3 ) n R 3 Sec2 0 Cosec 0
El volumen mínimo ha de ocurrir en
algún 0 tal que 0 <
0 < n /2 :
V'(0) = 0
si 2 Tan 0 == Cot 0
Radio de la base
Altura =
7.6
h
PROBLEMA.-
o
= x
=
Minimizando el volumen
r
y
constantes:
V
cono
= 9 -/T
VT
Encuentre las dimensiones del cono circular recto de menor volumen
que puede ser circunscrito alrededor de un cilindro circular recto de
radio r y altura h .
SOLUCION.-
del cono, con
9 .
Tan 0 = 1 / V T
= V
1
2
= — ti y x
3
h
548
Cap. 6
Análisis Matemático 1
Semejanza de triángulos:
y > r > 0
—
^
-
y - r
y
V
=
—
V '(y )
ji
=
h (——
)
y - r
0
=
3y
V(y)
(y -
y 2 (2y y
=
r) = 0
3r)
=
0
,
x
=
3r/2
3h .
Dimensiones del cono circular de menor volumen:
7.7
❖
x =
altura
=
❖
y =
radio de la base
= 3r/2
PROBLEMA.-
Halle el punto sobre la curva
próximo al punto
SOLUCIÓN.-
3h
MÉTODO 1 :
y
2
—x
2
=
i
que se encuentre más
(2 , 0) .
d = z =
YA
z
2
distancia de
(x,y)
' j o
2 )'+ y"
= (x -
a (2,0) :
= (x -
2
2
2) z + x ¿ + l
Minimizaremos z como función de x ,
haciendo d z / d x = 0 :
2z
(2 , 0)
c/z
=
2 ( x — 2) + 2x
=
4(x -
dx
dz
= 0
para
sobre la curva
y2-
1)
x =
I , y
=
± V T
dx
existiendo por lo tanto
DOS PUNTOS
distancia más próxima a (2 , o ) :
MÉTODO 2:
( i ,
VT)
y
( l, -
x 2 = 1 que tienen la
VT)
.
El punto crítico que MAXIMIZA la función DISTANCIA
d = z
MAXIMIZA la función DISTANCIA AL CUADRADO d 2 =
z2 .
también
Una propiedad sim ilar se cumple también si la palabra 11 MAXIMIZA " se reemplaza
por la palabra 1 MINIMIZA " .
Cap. 6
Minimizaremos
f
(
f ' ( jc) = 4 x -
jc
)
4 ,
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
2 }" + x 2 + 1
= d 2 = (x f'(x) = 0
obteniéndose así los DOS puntos:
7.8
549
Aplicaciones de la Derivada
para
=>•
y = ± -íí ,
( 1 , - -J~2 ) .
y
Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipóte
nusam ide i , halle el mayor valor de la suma a + 2 b .
a2 + b 2 = \ ,
2a + V i -
f'(a) =
x = 1
( 1 , -J~2 )
y como a > o
ción
f(a) =
Derivando ,
0
=>•
,
b > 0 ,
maximizaremos la fun
f = a + 2b .
a2
2 = a/ J l - a 2
a = 2 /V T
• • •
7.9
f m á x
= f(2 /V T )
PROBLEMA.-
3 < x <
= VT
.
Un camión ha de recorrer 300 Km. en una carretera llana a veloci­
dad constante de x k m / h .
Las leyes de tránsito prescriben
55 . Se supone que el combustible cuesta
moesde
10 + ( x
/1 2 0 )
i
dólar el litro y que el consu-
litros por hora. Si el conductor cobra P dólares por hora y
si obedece las leyes del tránsito, determine la velocidad más económica para el propie­
tario del camión en el caso:
a)
p = o
,
b)
P = 5
c)
P =
10 .
SOLUCIÓN.I
COSTO:
para
x km
-------------------- ►
300 km
------------------- ►
x e
C(x) =
RECORRE EN
I
,
,
hora
( 3 0 0 / x ) horas
[ 35 , 55 ] ,
l - ( 10 -h —
120
...(*)
x
+ p.(22L)
x
dólares
cuyo valor mínimo hallaremos mediante la derivada:
C'(x)
Además, si
= — (* 2
12
x e [ 35 , 55 ]
~ 1200 ~ l 2 0 P ) .
x2
entonces
x 2 e [ 1225, 3025 ]
y
...(**)
550
a)
Análisis Matemático 1
p = o :
C'(x) >
0
sobre
[ 35 , 55 ]
que e! mínimo (costo) de
Cap. 6
=>
C(x)
C(x)
es creciente, de modo
se presenta en el extremo izquierdo
x = 35 k m / h .
b)
P = 5 :
x 2 = 1800 (pues 30
C' (x ) = 0
<£=>
x = 30
C"(x) =
VT
€ [ 35 , 55 ]
C)
P = 20 :
(**)
para
=>
x Q = 30 V T
x 2 — 3600 <
Esto significa que C ( x )
C(x)
7.11 PROBLEMA.-
error posible de
0
entonces
MÍNIMO
costo sobre el intervalo
= 42.4 k m / h .
=>
C'(x) <
0
en
[ 35 , 55 ] .
es decreciente ahí, y que por lo tanto el mínimo de
corresponde al extremo:
7.10 EJERCICIO.-
es el
= 42.4 )
y como
5 (1200 + 120 P ) / x 3 > o
C ( x Q) = c p o V T )
[ 35 , 55 ]
,
VT
x Q = 55 k m / h .
Analice el problema anterior para
En una esfera de radio
P =
R = 30 c m
10.
se inscribe un cilindro circular
recto de volumen máximo . Si el radio de la esfera se mide con un
± 0.3 c m , encuentre el error cometido al calcular el volumen máxi­
mo aproximado del cilindro usando diferenciales, así como el valor aproximado de dicho
volumen máximo.
SOLUCIÓN -
Maximizando el volumen del cilindro:
c
V'(r)
= 0
para
r = R
2 /3
=>
h = 2R/VT .
Por lo tanto, el volumen máximo del cilindro se puede expresar en términos del radio R
de la esfera:
Vc =
en el cual, para
R q = 30 c m
V(Ro + d R )
=>
V ( R)
V (R
o
=
nr2h =
y
dR
4
jiR3
= ± 0.3 c m :
=
V (R q ) + V '(R o )dR
=
36 000 n / - / T
+ d R)
.
J max
=
/(3-/7)
±
1 080 n / V T
37 000 n / V T .
'
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
V' ( R q ) d R = ± 1 080 x / J T .
a)
AV
b)
V(Ro + d R )
7.12
=
- 551 -
^
PROBLEMA.-
V(R
) + V' (R
=
)dR
( 36 000 ± 1080 ) n / - / T
Una estación de telecomunicaciones situada en un bosque está si­
tuada a 4 k m del punto más cercano de una carretera (recta).
La distancia de este punto a una tienda situada en la carretera es de
9 k m . Si una
persona desea caminar de la estación a la tienda en un tiempo mínimo, ¿qué ruta debe­
ría seguir si puede caminar a la velocidad de 50 m / m i n por el bosque y 5 k m /h o r a
por la carretera?
SOLUCION.CT = Carretera,
T =
x e [
Estación ,
E =
Tienda,
o , 9 ] .
Minimizaremos el tiempo total:
b = 9 —x
T = T
+ T
b •
16 + x "
50
a
km
m /m in
16 + x
Tk =
T U ) = — V 16 + x 2
+
1
— (9 -
b /vK =
(9 -
horas
x)/5
horas
x)
3
T 'U )
=
0
x = 3 e [ 0 , 9 ] , la persona debería caminar una distancia
Y por lo tanto, como
a = V l6~+9
= 5 km
para
un tiempo
llegar en
T (0 ) = S ^ ^ 9 T / 1 5 £
7.13
PROBLEMA.-
x = — 3 (descartado).
ó
para
por el bosque
y
b = 9 -
T ( 3 ) = 43/15
49.2/15
horas,
y
horas,
T"(3)
=
3 = 6 km
el
cual
por la carretera
es
mínimo,
pues
16/375 > 0 .
Un faro se encuentra ubicado en un punto A , situado a
4 km
del punto más cercano C de una costa recta. En el punto B tam
bién en la costa y a 4 k m de C hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a
4 km /h
y caminar a
5 km /h
, ¿qué ruta debe seguir para llegar del faro a la tienda
en EL MENOR TIEMPO posible?
SOLUCIÓN.-
CT = Costa
,
F =
F a ro ,
x e [0,4] •
- 552 -
Análisis Matemático 1
Minimizando el tiempo
Cap. 6
T = Ta +
(4 -
x)
, T ( x ) = Ta + Tb
5
T'(x) = 0
T
(0,4)
x = —
3
g [o , 4]
T
x = (1 6 /3 ) g [ 0 , 4 ]
pero como
tonces
para
no
tiene
puntos
en-
críticos
b = 4 -
en
4
, de modo que debe ser creciente
siempre o siempre
[ o , 4 ] , y como
decreciente
x
P
sobre
FARO
C
4
entonces
ó
T ' (x ) *
0 ,
T'(x)
o
<
V x e [ 0, 4 ]
siempre, sobre
Para decidir ello tomemos un
T '( x 0 ) = T'(3) =
Así resulta que
T'(x)
^
T ' (x ) >
-1/20
<
cualquiera, digamos
[0 ,4 ],
extremo del intervalo
x = 4
xQ = 3 :
0 .
, V x g [0,4]
p r e d e c re c ie n te en
siempre
[0,4].
xQ e [ 0 , 4 ]
< 0
0
. Esto implica que
y alcanza de este modo su
T(x)
es s ie m ­
MÍNIMO valor para el
b = o .
L a p e r s o n a d e b e r e m a r DIRECTAMENTE d e s d e el f a r o hacia la tienda.
7.14
PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
Una estatua de 6 m de altura tiene su base a 2 m arriba del nivel del ojo de un observador. ¿A qué distancia de la estatua debe
colocarse el observador para que el ángulo subtendido desde su
ojo por la estatua sea máximo?
INCÓGNITA:
Sea
Tan a
/? = 0 + a ,
Tan f i = —
x
Como
- — ,
xQ
0 =
correspondiente a 0
O < 0 <
máximo:
n /2
,
/? — a ,
6
x
entonces
2
O
i*
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Tan p — T a n a
---------1 + T a n f í Tan a
_
n
Tan6 =
Maximizando
0
553
4x
=
...
(1)
...
x 2 + 12
con el criterio de los puntos críticos, derivamos ambos miembros res
pecto a la variable x :
c 2ü de
Sec
4(12
0
dx
y como
Sec2 0 = 1 + T a n 2 0 >
d0
= 0
para
x = ±
l
(x2 + !2 )2
,
i T \2
- x 2)
V 0 ,
entonces
xQ = V T
=>
= 2VT m .
dx
que por la característica del problema corresponde a 0 máximo.
7.15 PROBLEMA.-
1000 volantes o menos a razón de SI.
Un impresor imprimirá
600
soles por cada ciento. Por cada ciento adicional reducirá suprecio
por ciento en todo el trabajo por 15 soles. ¿Qué número de volan­
tes maximizará el precio del trabajo?
SOLUCIÓN.-
Sea
a)
Si
o
< x <
b)
Si
x
> 10
x =
10
,
número de cientos de volantes.
el precio es
entonces
=
P(x)
P (x)
=
x
= 11
=>
x
= 12
x.
600
x ( 600 -
( x - 10)15 ]
si
[ 600 [600
15 ] (11)
-
2(I5)](12)
Así resulta que
600 x
.0 <
<
x
10
P(x)
x (750 -
Vemos que
P(x)
es continua en
x
15 x )
=
10.
600 >
30 (25 > 0
P '(x )
i>
=
0
< 0
P '(x )
=
0
O
,
,
,
,
>
x
10
Además,
0
,
0 < x <
x)
,
x
0<
10
<
10
10 < x <
25
x
x
>
>
x = 25 .
25
10
pues
- 554 -
Análisis Matemático I
crece
Luego,
P(x)
=
^
crece
decrece
P(x)
,
0< x
,
10 < x
,
x >
tiene un valor máximo en
Cap. 6
<
10
< 25
25
x = 25 cientos, y tal precio es
P ( 25) = 9 375 nuevos soles.
El número de volantes que maximiza el precio del trabajo es de 2 500 volantes.
7.16
PROBLEMA.-
Dada la función
y = a x ~ ' ^ 2 + b x 1^ 2
,
donde
y (9 ) = 6
es un valor extremo.
Halle los coeficientes a y b .
i)
¿Qué tipo de valor extremo es y ( 9 ) = 6 ?. ¿ Es un máximo o un mínimo ?
ii)
SOLUCIÓN.-
f(x) = a x - , / 2 + b x I/2 ,
f'íx)
=
( — a / 2 ) x ~ 3j/2 + ( b / 2 ) x ” ' ^ 2
PUNTO CRÍTICO :
a/b
=
x = a /b ,
9
,
y como
x > 0 ,
PARA TODO
=
( b x — a) / ( 2 x 3^ 2 )
f (9 ) = 6 es un valor extremo, entonces:
6 = f (9) = (a + 9b)/V~9~
=>
a + 9b
= 18 ;
i)
ii)
f"(x)
f
7.17
= ( 3a — b x ) / ( 4 x 5^ 2 )
(9) =
PROBLEMA.-
1/ 54 > 0
=>•
SOLUCION.x = Cost,
6
es un MINIMO relativo y absoluto.
Halle las distancias mínima y máxima del punto
cunferencia
'
f (9 ) =
7
7
x ~ + y~ =
0 < t <
2 n . Entonces,
7
x " + y
2
=
l
(x - 4 )2 + (y - 3 )2
f ( t ) = d 2 = (C os t — 4 ) 2 + (Sen t — 3 ) 2
,
f'(t)
3) ( C o s t )
=
2 (C os t -
4) ( - S e n t )
=
8 Sen t — 6 Cos t
+ 2 (Sent -
en la forma
de la figura tenemos la rela­
ción pitagórica:
d2 =
a la cir-
1.
Parametrizamos la circunferencia
y = Sent,
(4,3)
d -
f (t)
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
f'(t)
si y sólo si
= 0
- 555 -
T an t = 3 / 4 .
(4,3)
Así, hay dos posibilidades:
❖
Sen t = 3 /5
,
Cos t = 4 /5
...
(a)
U ,y)
❖
Sen t = — 3 / 5 , Cos t = — 4 / 5
Como
❖
f"(t)
...
(/?)
= 8 Cos t + 6 S e n t , entonces
De ( a ) :
f"(t)
=
10 >
f(t)
0
=
16
es un MINIMO RELATIVO
d = ^ f (t)
:•
De
(p ) :
f"(t)
= -1 0
f(t)
< o
= 4
= 36
d = ^ f (t)
El otro punto crítico es
f ( 0 ) = 18 ,
t
= o
d = /T T Ó T
( extremo del dominio
= /T T
es un MÁX. RELATIVO.
= 6
es un MÁX. REL
[ o , 2 n ) ) , para el cual
= 4.41 .
Por lo tanto,
la DISTANCIA MÁXIMA es 6
, para
y
la DISTANCIA MÍNIMA es 4
, para
7.18
es un MÍNIMO REL.
(x , y) = ( - 4 / 5 , - 3 / 5 ) ,
( x , y) = ( 4 / 5 , 3 / 5 ) .
TECNICA PARA HALLAR EL MAXIMO o EL MINIMO EN UNA
APLICACIÓN FÍSICA, GEOMÉTRICA o ALGEBRAICA.
19)
Hacer un bosquejo geométrico, lo mejor posible, para ilustrar el problema, indican­
do las partes más importantes. Se deben allí precisar las variables, las constantes
y todos los datos posibles.
2°)
Escribir la ecuación para la cantidad que se ha de maximizar (o minimizar). Esta
cantidad debe ser expresada como una función en términos de UNA SOLA VARIA­
BLE INDEPENDIENTE mediante relaciones auxiliares como: semejanza de trián­
gulos, relaciones pitagóricas, geométricas, trigonométricas, etc.
3e)
Si
y -
res de
4S)
f (x )
x
Para cada
es la cantidad que se ha de maximizar o minimizar, halle los valo­
tales que:
x Q tal que
f'(*0)
determine si corresponde a un máximo, a un
mínimo, o ninguno, mediante el criterio siguiente:
a)
*>
Si
f
( x Q) >
0 :
f(*0)
es un Mínimo relativo.
*
Si
f
( x Q) < 0 :
f(*0)
es un Máximo relativo.
<
b)
<*
Si
0
> 0
c)
Si
f'(x)
^
^ ( ^ q)
x
<
x
para
x > xQ
para
x < x
a
°
<
Si
para
i
f'(x)
> 0
59)
Cap. 6
Análisis Matemático 1
556
0
x
para
NO EXISTE y si
f ( x Q)
<
=>
f {x
=>■
f (x
xQ
o
)
es un Mínimo R.
)
es un Máximo R.
0
está definida entonces compárelo con todo
los valores extremos hallados en (3-) y (49) .
69)
Si f está definida en
[a , b ]
pruebe si
x = a
y
x = b corresponden a
valores extremos de f .
79)
8
De acuerdo al PROBLEMA DADO (fórmulas o condiciones físicas, geométricas o
algebraicas) es GENERALMENTE OBVIO si es que EL PUNTO CRÍTICO HALLADO
corresponde a un máximo o a un mínimo sin necesidad de aplicar la Segunda Deri­
vada u otros criterios.
.
f (x )
Cuando se está tratando de bosquejar la gráfica de una función
es muy conveniente conocer la forma en la que se está arqueando (curvando) en
cierto intervalo.
En el caso en que
(a,b)
, la segunda derivada
riando la pendiente f ' ( x )
( a , b )
:
f"(x)
f
sea dos veces diferenciable en un intervalo
= (f')'(x)
indica la forma en que está va­
de la recta tangente en tal intervalo, y así tenemos que en
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
i)
Si
>
í"(x )
0
entonces
557
está creciendo en ( a , b )
f'(x)
y por lo tanto
las pendientes están creciendo, y en tal. caso surge un tipo de a r q u e a m ie n to
llamado CONCAVIDAD HACIA ARRIBA en ( a , b ) .
ii)
Si
< o entonces
f"(x)
f'(x)
está decreciendo en < a , b )
, es decir, que
las pendientes de las rectas tangentes van disminuyendo conforme x
avanza de
izquierda a derecha en { a , b ) . En este caso se presenta el tipo de arqueamien­
to llamado CONCAVIDAD HACIA ABAJO en el intervalo { a , b ) .
YA
f
CONCAVA HACIA
ABAJO EN
( a , b >
decreciendo
x
a
i i i)
Cuando en
(a, b )
b
X
la segunda derivada f " ( x )
c a m b ia de signo, es decir
que f pasa de un tipo de concavidad
al otro en un punto x Q de
entonces el punto
(a,b),
Y^
( x Q t f ( x Q) )
recibe el nombre de
PUNTO DE INFLEXIÓN
donde x
o
es un elemento del Domia
nio de la función f , por supuesto.
YA
PUNTO DE
INFLEXION
f" > 0
xo
b
X
Análisis Matemático 1
558
Cap. 6
Ahora formalizaremos estas ideas generales, en base al gráfico siguiente
x e ( x¡ , x., )
Un punto cualquiera
x
= x f= x } + / ( x 7 = (l -
=>
P,
=
siempre puede ser expresado en la forma
X j)
t)x]+ í x 7
(x, # f ( x , ) )
,
,
para algún
,
para algún
t
e (0,1)
í
e (0,1)
P2 = ( x 2 , f ( x 2 ) )
Por proporcionalidad vemos que M y N corresponden al mismo valor de t :
M
= Pt + t (P ? — P , )
= ((1 -
O x, + t x 2 ,
= ( x t , (1 -
y asi
M
f) f ( X j) +
,
(I -
t f (x2) )
= (xt , f (( 1 -
y
N se encuentran en la misma vertical
f ) Xj + f x 2 ) )
,
ra (cóncava h a cia a r r ib a ) la ordenada de M
N , es decir
8.1
DEFINICIÓN.-
+ t f (x2) )
f) f ( X j )
N
f U t ) = f ( (l -
t e < o , 1)
para algún
t) x, + t x 2 ) < (I -
,
í 6 ( 0,1)
í 6 ( o , 1)
x = x t , y en el caso de la figu­
está más arriba que la ordenada de
t) f ( x j ) + t f ( x 7 ) .
La gráfica de f es CÓNCAVA HACIA ARRIBA en el intervalo
( a , b ) , si V Xj , x 2 € ( a , b ) , x¡ * x 2
f ((1 -
t 6 (0,1)
t ) X j + t x 2 ) < (I -
t) f ( x ( ) + t f ( x 2 )
,
, se tiene:
V t 6 (0,1)
Cap. 6
8.2
Aplicaciones de la Derivada
DEFINICIÓN.-
f ((I -
559
La gráfica de
f
es CÓNCAVA HACIA ABAJO en el intervalo
{ a , b ) , si
V Xj , X j € ( a , b ) , x ( *
t ) f (x,) + t f (x2)
t ) X j + t x 2 ) > (I -
,
x 2 , se tiene:
V t 6 (0,1)
En el siguiente teorema relacionamos estas definiciones con las ideas inicia
les dadas acerca de la segunda derivada
8.3
TEOREMA.i)
Sea f dos veces diferenciable en
(x )> 0
f"
.
f"
en ( a , b )
implica que
(a , b ) :
la g r á fic a de
es CÓNCAVA HACIA ARRIBA
ii)
en { a , b )
f " (x ) < 0
implica que
i)
Sean x } , x 2 e { a , b >,
x, <
t ) Xj + t x 2 )
f (1 — t ) JCj + t x 2 ) -
so b re
implica que existe
c2
f (x2 )
Además, f " ( x ) >
o
bre ( a , b ) , y como
f ((l -
t)xj
[ xt , x2 ] =
f ((1 -
t)Xj
[ (l -
c2
t
(c 2 )
implica que f ' es una función creciente so­
entonces
f (x¡)
f ' (c t ) <
f (x2) (1 -
<
:
+ tx 2 ]
Xj)
+ t x 2)
tal que
=
en ( a , b )
Cj <
t ) x¡ + t x 2 , x 2 ]
+ tx 2)
t)Xj
[( l- t) x ,
+ t x 2) -
t(x2-
f'C c ,)
Xj
~
JC2 -
t) x } + t x 2 ]
tal que :
e < ( l — t ) jc1 + t x 2 ,x 2 )
- f (1 -
t fijo .
f(x,)
t) x ] + Xx2 -
El Teorema del Valor Medio sobre
<a,b).
[ x¡ , ( I -
=
=
(1 -
f
x 2 , ysea t e ( 0 , 1 ) ,
El T. del Valor Medio sobre [ x¡ , x t ]
implica que existe Cj e ( x x , (1 -
{a , b )
la g r á fic a de
es CÓNCAVA HACIA ABAJO
PRUEBA.-
so b re
f
(I -
t)f (xp
la gráfica de f es cóncava hacia arriba en
+
f'( c 2)
f ((1 -
t)Xj + t x 2 )
t ) (x2 t f (x2)
(a, b ) .
y por lo tanto:
Xj)
8.4
Cap. 6
Análisis Matemático I
560
DEFINICION.-
Un punto
(xQ , f ( * 0 ))
de una función continua
f
donde la
concavidad cambia de dirección recibe el nombre de PUNTO DE
INFLEXIÓN DE LA GRÁFICA DE f .
8.5
TEOREMA.-
Sea
(c , f (c))
un punto de inflexión de la gráfica de una fun
ción f diferenciable en
S i e x iste
8.6
NOTA.-
f"(c)
e n to n c e s
y sea
c € (a, b ) .
f"(c)
=
0 .
Con respecto a la recíproca de este teorema t es d e c ir , si se tiene que
f"(c)
= o , esto no necesariamente implica que ( c , f ( c ) ) sea un
P u n to d e In fle x ió n .
f (x) = (x f"(x)
( a, b )
= 12 ( x -
si y sólo si
3 )*
=
3r
Por ejemplo, dada la función
+ !
f'(x)
= 4(x -
3)
,
0
x = 3 .
Entonces
f"(x)
> 0
f " (x) > 0
si x <
3
si x >
3,
y como f " no cambia
de
signo en x = 3 entonces
la concavidad no varía, man­
teniéndose siempre cóncava
hacia arriba.
Por lo tanto ( 3 , f ( 3 ) ) =
8.7 TEOREMA.-
S ea
(3,1)
no es p u n t o d e in fle x ió n d e la g r á fic a d e f .
f u n a ./u n c ió n c o n tin u a s o b re u n in te r v a lo
cual perten ece
xq
ta l que
no e x is te , e n t o n c e s
f " ( x Q) = 0
(a, b )
ó ta l que
al
f " ( x Q)
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
(x )
i)
2)
3)
>
0
x
,
, xQ
e { a
)
■
(a )
<
0
,
a
e
(
<
0
,
a
6 ( a , x Q >
a
)
{
x0 ,
(x Q , f ( * 0 ))
es P' de Inflexión
(x
e s P. de inflexión
b )
(
a
)
>
O
,
a
g (
(
a
)
>
0
,
a
€ ( a ,
a q
(
a
)
>
0
,
a
6 (
, b )
a q
- 561 -
, f(x
))
, b )
f
>
(x) < 0
,
x e ( a , xQ )
,
x
•
a q
f " (x)
<
0
6
{
xQ
, b )
NO ES P. DE IN F L E X IÓ N de la g r á fic a de f .
(xQ , f (x0 ))
Según este teorema los POSIBLES PUNTOS DE INFLEXIÓN de una función con­
tinua Seccionalmente Diferenciable SE BUSCAN entre aquellos x Q e D om f
tales que:
8.8
EJEMPLO.-
í"(x o) = o
í " ( x Q) no existe .
ó donde
Halle los puntos de inflexión de
f (x )
=
1] X
— 1
+
1 .
SOLUCIÓN.f'(x)
= - ( x
-
1)
2
2/ 3
.
f " ( x )
9
>/(A
POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION
i)
tales que
ii)
tales que
f" ( * 0) = o :
f
(x
)
a
O
-
O
:
NO EXISTEN en este caso.
No Existe: En
xQ = \ .
ANALISIS CORRESPONDIENTE:
a)
V x e (-o o ,l)
:
f ; / (x) >
O
CONCAVA HACIA ARRIBA.
b)
V x e ( l , oo) :
f"(x)
<
O
CONCAVA HACIA ABAJO.
El punto
(x Q , f ( x 0 )) =
(1,1)
es además el único punto de inflexión.
SÍ ES PUNTO DE INFLEXIÓN de f
y
562
8.9
Cap. 6
Análisis Matemático 1
PROBLEMA.- Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la grá­
fica de
f (x )
=
x^J JC - 4
x e M. .
,
SOLUCION.-
f ' U ) = ± ■- (-f. z . 3)
3
U - 4 ) 2^3
POSIBLES PUNTOS DE INFLEXIÓN:
en
f" O)
X
(
oo
>
(4,6)
(6,
Y como
oo )
f
{ —o o , 4 )
(4)
=
o
no exista.
, (4,6)
y
(6,oo).
CONCLUSIONES
(4 ,
f
(4))
es p. de inflexión
(6 ,
f
(6))
es p. de inflexión
Hacia abajo
Hacia arriba
0
y
( jcq )
Hacia arriba
0
>
x o para los que f " ( * o ) = 0
CONCAVIDAD
0
<
f
U _ 4 ) 5/ 3
x Q = 6 , lo cual verificamos analizando el signo de
f " U )
, 4)
9
En aquellos
ó
xQ = 4 ,
, f" U) = 4
f
(6)
=
, entonces
6
( 4 , 0 )
y
( 6 , 6
1 [ T ) son dos
únicos puntos de inflexión.
8.10
PROBLEMA.-
Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de
f ( jc) =
SOLUCIÓN.-
10x2 /3 -
f ' (y) = — • (2 ~
3
x '/3
x)
2 x 5/ 3 .
,
f"(;r)
= -1 0 (* + 0
*4/3
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
f
(x ) -
o
para
563
x = - l
Esto significa que:
f"(x)
x =
no existe para
o
POSIBLES PUNTOS DE INFLEXIÓN en
Analizaremos en los
x = 0 ,
x e ( - o o , - l > ,
(-1 ,0 ),
X
f"U )
C O N C A V ID A D
( - o o , - 1)
> 0
Hacia arriba
< o
Hacia abajo
<
Hacia abajo
( 0 , oo )
0
Por lo tanto, el único punto de inflexión es
x = -1 .
(O,oo)
C O N C LU SIO N ES
( - 1 , f ( - 1 ) ) : punto de inflexión
( 0, f (0 ))
( — l , f C— l ) ) =
NO ES p. de inflexión
(-1,12).
9.
El método a seguir se ilustra en el siguiente ejemplo en el que se
desea graficar la función:
fU )
a)
= y
U + 4)
INTERSECCIONES CON LOS EJES:
f'(x) = — •
( x ~ 2) ,
3
U - 4 ) 2' 3
PUNTOS CRÍTICOS:
*
=
4
X -
(-4.0), (4,0) , (0 , - 2 ^ T )
,
f"(x)
2
,
f (x )
,
£
y
( x - 8)
9 U _ 4 ) 5/ 3
x
...(<*)
= 4 .
x = 8
...(/?)
-3.8
f (8 ) = 6 -ÍT T ^
9.5
Considerando to d o s los p u n to s de
f'(x)
2
en cada uno de estos puntos hallados:
f ( 2 ) = — 3 ^¡~2
f ( 4) = 0
=
x= 4
POSIBLES PUNTOS DE INFLEXIÓN:
Se evalúa
.
f"(x)
(a ) y
(/?) se analizan los signos de
en los siguientes intervalos:
< - o o # 2)
,
(2 , 4)
,
( 4 ,8 ),
( 8 , oo > :
564
Análisis Matemático I
X
f ' ( x )
f " U )
( - o o , 2)
<
0
>
0
(2,4)
>
o
>
0
(4.8)
>
0
<
0
>
o
>
0
(
En
8 , oo
)
x = 2
hay un mínimo
r
f(2) -
- 3 ifi
Para
x = 4
hay un punto de inflexión.
Para
x = 8
hay otro punto de inflexión.
SOLUCIÓN.-
Cap. 6
^
-3.8
Calculando las derivadas:
f'(x)
( x - 7)
5
=
( x - 5)
PUNTOS CRÍTICOS:
x =
1 ,
POSIBLES Puntos de Inflexión: en
x = 5 .
x = 5 ,
x =
7 .
Además,
4/3
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
f ( 0) = o ,
X
9.2
f(l)
= V T
^
f"(x)
f'OO
( - o o , 1)
>
0
<
0
(1,5)
<
0
<
0
<5,7)
>
0
<
0
<7 >°°>
>
o
>
0
PROBLEMA.-
1.6 ,
f ( 5) = 0
- 565 ,
f (7) = 7
•
r
r
y
Bosqueje la gráfica de
f (x ) =
— (3x5 -
2 0 x 3 + 16) .
8
SOLUCIÓN.-
f'(x)
= — x 2 ( x + 2 )(x 8
2) = — ( I 5 x 4 8
60x2 )
f" (x) = — *x(x2 - 2) = — -x(x - VT)(x + VT)
8
/.
PUNTOS CRÍTICOS:
2
x =
-2 ,0 ,2
POSIBLES Puntos de Inflexión:
Además,
f ( - 2) =
f (--V T ) =
10
,
en
x =
f (0 ) = 2 ,
2 8 -VT + 16 ^
7 ,
-VT,
0,
VT
f (2) = - 6
f ( V T ) = - 2 8 V T 4- 16 £ - 3
- 566 -
Análisis Matemático 1
X
< -o o ,
f'U )
- 2 )
-VT)
{ - V T , o)
<0, V T )
(VT, 2 )
< - 2 ,
(2,
=>*
oo)
f ( — 2) =
0
<
0
<
0
<
0
<
0
>
0
<
o
<
0
<
0
>
0
>
0
>
o
r
MÁXIMO RELATIVO ,
( - V T , f ( - V T ) ) » (0, f (0))
SOLUCIÓN.-
FORM A
f"U )
>
f'(x)
f(2)=
y
MÍNIMO RELATIVO ;
( V T , f ( V T ) ) : Puntos de Inflexión.
= ------------ ----------- ,
f"(x)=
3 ( x - 2 ) 1/3
PUNTO CRÍTICO :
Además,
f (2 ) = 1 ,
en
x = 2.
f (0 ) = V T + l =
----------------- ---------9(x -
x = 2.
POSIBLE Punto de Inflexión:
Cap. 6
2.6
2 ) 4/ 3
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
X
f ' ( X)
f " (x )
( - o o , 2)
<
0
<
0
( 2 , oo)
>
0
<
0
567
GRÁFICA DE
f
r
8
SOLUCIÓN.-
f'( x ) = - — [ x ( x + 2)(x -
2)]
2
f"(x )
=
- — [x
-
( 2 / V T ) ] [
x
+ (2 /V T )]
2
La gráfica de f pasa por
(0,0)*
PUNTOS CRÍTICOS :
x =
( —2 V T , o )
2 , x
POSIBLES Puntos de Inflexión :
en
,
= 0 , x
(2 - / T , o ) .
= -2
x = -2 /V T
^ -1 .2
x =
S
2 /V T
1*2 .
Y como la gráfica de f es simétrica respecto al EJE Y :
X
f'(x )
f"(x )
<o , 2 / V 7 >
>
0
> o
<2/VT,2)
>
0
<
( 2 , oo)
G R Á F IC A D E
0
f
y
r
< o
< 0
En
x = 2 MAX. REL.
En
x = 2 /V T
hay Punto de Inflexión.
En
x = -2
En
x = -2 /-/T
hay Punto de Inflexión.
Además,
MAX. REL.
f ( 2 ) = 2 = f ( - 2) ,
f ( 0) = o ,
f
( ± 2 / V T ) = 10/9.
568
Análisis Matemático 1
Cap. 6
a) Encuentre las asíntotas de su gráfica.
b) Halle sus puntos críticos y sus posibles puntos de inflexión. Eva­
lúe f ( x ) en cada uno de estos puntos.
c)
Establezca su tabla de intervalos de crecimiento, decrecimiento
de concavidades.
y
d) Bosqueje la gráfica de f .
SOLUCION.-
a)
m
lím
=
( - x ) ^ l
f (X)
=
lím
( 6 / jO
l í m
x —> + o o
b =
-
X
+ oo
[ f (jc) — ( — jc) ]
x — ►o o
b =
x
6
lím
X -> oo
x -> o o
r
( x
3
.
—
6 x
2 .2 /3
)
;
,
+
,
x ( x
ASÍNTOTA OBLICUA DERECHA:
3
—
y
,
6 x
=
2.1/3
)
-
'
,
+
X
b)
f ' ( x )
f"U )
=
í
x ( 6
-
PUNTOS CRÍTICOS :
2
x + 2 .
En forma sim ilar se prueba que ASINT. OBLIC. IZQUIERDA:
4 — X
=
y
= - x
8
=
4 / 3 ( x - 6 ) 5' 3
x )
x = 4, 0, 6
POSIBLES Puntos de Inflexión :
en
x = 0, 6
+ 2.
2
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
Ademas,
c)
f(l) = 0
X
,
2 IT T
f(4) =
f'(x)
f " (x)
( - oo , 0 )
<
0
<
0
<0,4>
>
0
<
0
(4,6)
<
o
<
0
( 6 , oo)
MÍNIMO RELATIVO :
Punto de inflexión :
< 0
f(0) = 0 ,
^
569
3.2 ,
f(6) =
G R Á F IC A DE
0 .
f
r
> 0
MÁXIMO RELATIVO :
f(4) = 2 ^ 7 .
( 6 , f ( 6 ) ) = ( 6 , 0) .
d)
►
X
10
.
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Debido a la construcción de la gráfica de la función f ~~ 1 (inversa
de f ) , podemos ver que si f es una función diferenciable entonces f ” 1 tam­
bién lo será en todos aquellos puntos
yQ = f ( * c )
con
f ' (jcq ) *
0 tales
que la R e c ta T a n g e n te a la g r á fic a d e i n o sea h o rizo n ta l.
En caso contrario, la recta tangente a la gráfica de
f " 1 en el punto correspon­
diente sería vertical y no estaría definida la pendiente
m = ( f - 1 )'(y0).
570
❖
Si
0 < p <
*>
Si
n / 2 < p < 3t i / 2
En ambos casos:
entonces
a = p - n /2
entonces
a = 3n/2 - p
, Tan p =
D f (x
n/2
Tan a = D f ~ 1 ( y Q )
T a n a = Cot p
,
*0 = f
,
por lo cual
1
1
D f U 0)
TEOREMA.-
) = D f t f “ 1( y Q) ] .
1( y 0 )
1
10.1
Cap. 6
Análisis Matemático 1
d
f [ f
-
|
' (y0 ) 1
[ f ' ° f
1 ] ( y Q)
S e a f u n a f u n c i ó n d ife re n c ia b le so b re un in te r v a lo I tal
q u e f ' ( x ) > 0 , V x 6 I , e n to n c e s la fu n c i ó n in v e rsa
- i
f
es d ife re n c ia b le s o b re el in te r v a lo f ( I ) , y a d emás V
X0 e
I :
y0
=
f(x 0 )
, *o = f
-
1
‘ (yo )
571
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
PRUEBA.-
f
resulta ser creciente sobre
Además,
si k *
k(o) = o ,
0 , y así
-
y por ser
f
1 también resulta ser
y Q = f ( * Q) .
creciente por un teorema anterior. Sea
k = f — 1( y Q + h) — f — 1( y o )
í y por lo tanto
k (h) ,
f “
Y
tal que
j 0 +h
1 univalente entonces:
f ~ 1( t / Q + h ) =
k + f - 1 ( y Q)
ef (I)
.
o s i y só lo
h *
k + xQ
=
V0 + h = f ( x Q + k ) .
f
Entonces
Df
1( y
+ h) -
l/f'U 0)
pues
h -¥ 0
s i y só lo s i
10.2
NOTA.-
1)
k
)
hh
m
I
h —► o
(h/k)
H
f ( x . + k) - f ( * )
1/ l í m ------- 2----------------------—
k —► 0
k
1/ l í m —
h
0 k
=
! (y
i ---------------------------------- =
lím
h -¥ 0
1 C«/0 )
f
,
V yQ € f(I) ,
0 .
Se tiene un teorema análogo cuando
f'(x)
< 0 , para todo
x G I •
2)
Observe que se puede escribir
sobre
10.3 EJEMPLO.-
Halle
Df
D om f =
SOLUCIÓN.-
Puesto que
*(6)
para
f ( x ) = x 2 + 2x + 3 , donde
[ — 1, oo ) .
D f _ 1 (y0) =
l/f'(* o)
identificar a y Q y a su correspondiente
y = f (x) =
f (I) .
+ 2x + 3 ,
6 = f ( * ) = x “ + 2x + 3
yo =
entonces primero debemos
x0 :
6
x ' + 2x -
3 = 0
(jr + 3 ) ( x -
x = —3 ,
1) = 0
x = 1 ,
pero como solamente d e b e e x i s t i r u n a ú n ic a s o l u c i ó n vemos que el valor que se des­
carta es x = - 3 pues - 3 g D om f = [ - l , o o ) . Así, nos quedamos con
572 -
Cap. 6
Análisis Matemático 1
1( 6 )
xQ = í = f
f'(x )
=
2x + 2
=>
D f " ‘ (6) =
f ' U 0 ) =
'
f'(f
f'd )
'
f'O )
'(6))
=
4
'
4
2
10.4 EJEMPLO.-
Halle
D f ~ ’ ( 3/ 2)
para
f(x)
=
—
x + 1
t x e [ 1, oo ) .
2
SOLUCIÓN.-
y
Para
= — =
0
2
=£>
Descartamos
x
=
1/2
2 x “ — 3x + 1 =
por
f ' ( x ) = ( x 2 + 2x -
10.5 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
=
( 2 x — l ) ( x — 1)
=
0 .
no pertenecer al dominio def , de modo que elegimos el
valor adecuado correspondiente
D f — 1( 3 / 2 )
* + 1
x + 1
xQ =
1 = f " 1( y 0 ) € D o m f .
2)/(x + l)2
-------------!-----------f ' ( f — 1( 3 / 2 ) )
Dada la función
f ' (1) = — 1/4
=>
=
— !—
f 'O
=
-4
f (x ) = (2 x + 4 )/(x -
.
2)
,
a)
Halle los intervalos máximos sobre cada uno de los cuales
tiene una función inversa continua.
b)
Evalúe
Como f
f
D f ~~ 1 ( - 2) .
es continua sobre
(-oo,2)
u
veremos sobre
(2,oo)
cuáles regiones f tiene inversa: para esto, mediante la derivada
f'(x)
, encontra­
remos las regiones sobre las que f es creciente o decreciente:
f'(x) =
a)
i)
En { - o o , 2 )
tanto f
— 8 /(x -
: f
ii)
<
0
es continua y decreciente pues
tiene allí una inversa
/
lím
f (x)
' x —► 2~~
2 )2
,
f -1
lím
x-^-oo
f'(x)
< O y por lo
continua definida sobre
f (x) \
=
( —oo,2)
.
En ( 2 , oo ) :análogamente a [ i ] , existe una función inversa continua
definida sobre
/lím
f (x ) ,
'x ^ o o
lím
f (x ) )
x —► 2 +
=
(2 , o o ) .
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
b)
Para
Df
y
= —2
'(-2 )
=
se tiene
Df
573
x o = n , de modo que
'(y
) =
I
l
f'U 0>
f'(0)
—
Comenzaremos evaluando la derivada de la función inversa de SENO ,
es decir, evaluaremos
y = f (*)
x -
-1
f
(y ) =
Are Sen ( y )
-O-
y G [ — 1,1]
x = ± ti / 2
•<=>
y = ±1
0 , V x 6 { - n/2 , tt/2 )
= Cos x >
' ( y ) = ------1
,
x e [ —n/2, n/2]
,
f ' (x) = 0
Df
x e [ — Jt/2 ,71/2 ]
= Sen x
f ' Í J t ) = Cos x
f'U )
Are Sen x :
D
;
esta relación implica que
<=>
y € < - 1, 1)
V y e { - l, l > :
D f W
1
1
Dx Sen ( x )
Cos(x)
0 ^ Are Sen ( y ) =
>
0
1
V i -
.
Sen
(x)
y e ( - i ,
V 1- y 2
Con el símbolo x :
EVALUACIÓN
Sea
de
D
y = f(x)
x =
f'(x)
A re Cos ( x )
= Cos(x)
f “ 1( y ) =
,
x e
Ar e Cos ( y )
= — Sen ( x ) < 0
D„ Are Cos ( y ) =
:
para
,
[ 0 ,n ]
y € [ - 1, I ]
x e
1
1
D x Cos (x )
—Sen ( x )
,
< 0 ,
entonces
x 6 ( 0 , ti )
i)
- 574 -
Cap. 6
Análisis Matemático 1
.
V 1-
C os2 (X)
•y 1 -
y e (-i. O
y
Por lo tanto, regresando al símbolo x :
En forma análoga se puede verificar los resultados de la siguiente tabla:
1)
D
X
Are Sen x
h - x 2
2)
Are Cos x
D
* e (-i,i>.
/TI
3)
D
Are T a n x
4)
D
Are C ot x
I 4- X
5)
D
6)
D
•A
Are Sec x
,
x e (-0 0 ,-1 )
x
Ar e Csc x
6
U ( 1, oo) .
{ ~ oo , — I ) U
( I , oo ) .
U ~ - 1
Se recomienda ver las gráficas de estas funciones inversas, que ya fueron presen
tadas anteriormente.
PRUEBA DE [ 5 ] :
(Las demás se dejan como ejercicio)
y = f ( x ) = Sec x ,
x =
f
*(y) =
x € [ —ti, — n / 2 ) u [ 0 , y r / 2 )
A r e Sec
y
,
y
6 { - o o , - I] U [ l , oo)
y como
>
O ,
x 6 (O , n / 2 >
<
O ,
x 6
Sec x
entonces
(
-
ti
, - n/2
)
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
Tan x =
( + ) y Sec2 ( x ) - 1
D í( Are Sec ( y )
^
=
D
,
x
- 575 -
G ( — 7t, — — ) U { 0 , — )
2
2
*
Sec(x)
*
Sec x • Tan x
1
Sec x ^ Sec ~ x —
,
y € ( - oo , - 1 )
U ( I , oo) .
y V y2Por lo tanto,
D
Are Sec ( x ) = ----------------------- ,
x € ( - o o ,- l)
i 1— 1r
U (l,o o )
x y x
11.1 PROBLEMA.-
Demuestre que si
D
u = u(x) :
Are Sen ( u ) =
U
J l - u 2
D
Are Cos ( u ) = —
D . A r e Tan ( u ) =
x
v '
U
U ^
2
1+
D w Are Cot ( u ) = —
*
D
Are Sec ( u ) =
D
Are Csc ( u ) = —
U
1+ u
2
U ^
u y/ u 2 — i
U
u yn u
SOLUCIÓN.1)
Empleando la regla de la cadena :
—— ( A r e Sen u )
dx
—
=
—— ( A r e Sen u )
d u
1
dx
y 1—u
La prueba de cada una de las demás fórmulas es similar. (Ejercicio)
*^U
Y
dx
576
11.2
Análisis Matemático 1
Cap. 6
EJEMPLOS,
1)
D
A re Sen ( 4 x
I 2x
— 1) =
3
(4 x
D ^ í 2)
D „ A re T a n ( —------
)
=
-
I)-
-)
1 / x
*
1+ ( -
( 2 x 2 - 2x + l ) / x 2
-)2
2x~ - 2x + 1
3)
D
[ x Ar e Cos x — -J I — x 2 ] =
=
x.(D
0^
Ar e Cos x ) +
+
Ar e Cos x
Ar e Cos x ~
D
(-*)
—
11.3 PROBLEMA.- Un avión está volando a 300 k m / h
=
Ar e Cos x .
en vuelo recto y a nivel. El pun­
to Q más cercano en su trayectoria de vuelo a una antena de radar
está a 10 k m , ¿a qué velocidad debe estar girando el ángulo de
la antena para seguir el rastro del avión 6 minutos después de que
ha pasado por Q ?
t
SOLUCION.-
Estableciendo la figura en un plano:
x
o
= 1 0 km =
=
30 k m
d y / d t — 300 k m / h
INCÓGNITA:
dd/dt
en
í
o
METODO 1 :
0 = Are Tan
y
dÜ
(1 / x Q) ( . d y / d t )
o
dt
i + ( y / x Q) 2
( y en
MÉTODO 2:
Derivando implícitamente respecto a t
o
t Q = (1 /1 0 ) h = 6 m in
Cuando
u
C onstante = x
t
* 0 dy/dt
x0 + y
)
= 3
la relación
ra d /h o ra .
Tan0 = —
resulta:
Sec2
xo
yen t Q :
entonces
11.4
577
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
= --- — ------ —
Sec2 0
=
1 + Tan2 0
1 0 - ^ - = — * 300
dt
10
TEOREMA.-
x no
dt
=
di
l + (y0 / * 0 )2 =
=>
=
1+ 9 =
3 ra d /h o ra .
dt
Sea f c o n tin u a y m o n ó to n a en [ a , b ] . S i
ciable dos veces en [ a , b ] y f ' ( x ) *
f es d ife r e n ­
0 , V x e [ a , b ],
e n to n ces la d e r iv a d a s e g u n d a d e la f u n c i ó n in v e r s a
es :
Observe que si
u
= f(x„)
:
- i
(f
)"(y„)
=
[ f 'U 0)]3
PRUEBA.-
Del Teorema [1 0 .1 ]
para la 1ra. derivada de
f -1
:
[ f ' ° f -1 ](y)
Tomando la derivada a esta expresión:
...(a )
[ f ' ° f
donde
[ f ' o f - 1 ] ' = ( f " o f “ 1) . ( f ~ 1) '
]
(y )
1 —1 f
=
í ' o f
Por lo tanto, en ( « ) :
[f
1]"(y)
=
------- — 1[f
[f'(f
Note que
11.5
f
NOTA.-
! (y) = x
1
(y))
'(y ))]3
correspondiente.
De la fórmula anterior vemos que si
i)
( f ~ l ) // >
0
10
si y sólo s i
f' > 0
f "
< 0 .
e n to n ce s:
f
1
578
Análisis Matemático 1
ii)
Además, si
(f' )"
V < o
11.6 PROBLEMA.-
s i y sólo si
< 0
f (x ) =
f"
>
0 .
i)
( f - 1 )" > o
si y sólo s i
f" >
o
ii)
( f - 1 )" < 0
si y sólo s i
f" <
0 .
entonces:
Sea
Cap. 6
ax
3
2
+ bx
+ ex + d
una función cuya inversa
f “ 1 es decreciente y cóncava hacia abajo sobre
que
f “ 1( 2 ) =
[2,4]
I , f “ 1( 4 ) = 0 , a + d =
y tal
5 , halle el do­
minio y el rango de la función f . Además se sabe que:
(
f
=
8
SOLUCIÓN.-
Siendo f
los datos se tiene que
sobre
[f
f
d
Asimismo
= 4 ,
f ( l) =
a =
1,
( f - ')'(— )
8
=
í n (x) =
entonces, de
< 0
(a )
=
s o b re
-
V
(2 ,4 )
o, i ] .
'
t
ü
)
=
_
6 4
243
, y que f es d e c re c ie n te
Además, de los datos obtenemos:
a + d = 5
=>
| / f ' ( f “ 1( i i ) )
=
entonces
b + c = —3 .
_ ±
8
64
243
, y desde que se tiene
3 x 2 + 2 b x + ( — 3 — b)
6x + b
= -9/4
1
4
f"(z)
64
f'(z )
9
[f'( z ) ]3
243
,
f"(z )
f"(z )
=
6z + 2b
=
f'(z )
=
3z2 + 2bz -
...
(a )
...
Í P)
9
f " ( f — 1( 2 7 / 8 ) )
-------------------;---------------- —=
[f'(f
(2 7 /8 )) ]
y (p ) :
f'(z )
f
8
2 y puesto que
z = f — 1 ( 2 7 /8 )
f ; (x)
(
a + b + c + d = 2
,f - l , „ , 2 7 ,
U
) ( ------) =
8
Si denotamos
,
un polinomio es dos veces diferenciable, por lo menos. De
1( 2 ) ] = [
(0 ) = 4 ,
±
9
( í- 1 )"
1 (4), f
_
=
- 3
-3
(3 + b )
;
pero
z — -(3
=
-9 /4
+
2b)/6
Cap. 6
Al reemplazar en la última ecuación
z =
2
2b + 3
-
2b + 3
2b
6
II
ír
0
<
f' <
sobre
(0,1)
y
c == - 3
b = -3
=>
11
0
lo cual por ( * )
ii)
c
f"(x)
Por lo tanto,
1 ,
a =
...
6x >
= 6x -
1
- 3x2 + 4
[0,1]
Dom f = [ 0 , 1 ]
.
(*)
0 , V x 6 (0,1),
y por lo tanto se descarta .
6
=>■
V x e ( 0 , 1) :
, que no contradice a ( * ) .
< 0
es decreciente en
11.7 PROBLEMA.-
-9/4
entonces por la nota [ 1 1 . 5 ] :
es a b s u rd o ,
f" U )
X
n
f
=
b = -3
d = 4 , b = - 3 ,
X
1-M
Como
(3 + b)
0 ,
0
H
=>
b = 0
' c o y
( f‘ V
f"
0
b ( b + 3)
Además, como
-
6
11
de donde
(2 b + 3 ) / 6 :
-
II
3
i)
579
Aplicaciones de la Derivada
,
c = 0 :
x e [o . i] .
entonces
Rang ( f ) = [ f ( ! ) , f ( 0 ) ] =
Sea
f (x ) = x -
2-/T
[2,4]
, x > l , demuestre que f es inyec-
tiva. Halle todos los puntos donde
f
1 es diferenciable , y halle
- 1
df
-(y)
dy
y = f(x)
SOLUCIÓN.-
f'(x ) =
f'(x )
f
;
x >
1
1 - 0 / 7 7 )
> 0
,
x
e [0,1)
>
1
pues
l
x e [ i , o o )
y como
f es continua en
entonces f es creciente en [ l , o o ) , ypor lo tanto es inyecti­
va (univalente)
sobre
Además, para
xQ =
por lo tanto existe
y
(<*)
V x 6 (1 , oo)
es creciente y continua sobre { 1 , oo > ,
xQ =
...
=
[ i , oo) .
1
vemos que
( f * 1) ’
x - 2 /7
f'(i)
solamente para
=
= 0,
xe(l,<x>)
(
( V T — l ) 2 — 1 6 ( — 1, 00 ) ) .
O-
580
La inversa
x = f
1( y )
y = x — 2 yTx
* = (i + V
(f
o también
y+
será hallada utilizando
~ (
-
i) 2 -
1 )2
i /
(1 + ■%
/ y + 1)
) (y ) = ---------------- —
v y + 1
(f
1) ' ( y )
=
1 /f'U )
Luego,
f
SOLUCIÓN.-
=
L =
=
•y i -
i +
,
,
i/[ i -
( 1/VT) ]
-
,
y > - 1
( - i , oo ) .
se cumple que:
— 1] / x
S e n 2 ( A r e Sen (jc 3 )
x6
y > - 1
Cos [ Ar e Sen ( x 3 ) ] > 0 ,
l
lím
—---------------------x -* 0
v6
11.9 PROBLEMA.-
(i + V V - m ~)2
Cos ( Are Sen x 3 ) — I
y
lím
[ + ■ / * “
x -> 0
i + V y + 1
=
l + V y + i
—
V y + l
xQ = 0
0
V T
v y + 1
—i
En una vecindad de
:
j
=
,L =
lim
*-►0
Are Sen ( x 3 ) ^
entonces
=
1 resulta ser diferenciable sobre
nn^m
« n i- x
PROBLEMA.- Evalué
(a)
<=>
i
f ” ! ( y)
x
..o
11.8
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
=
lím
—
x —►O ,
i
i
_________
r
6
1+ \ I — x
2
Grafique la función:
f (x ) =
A re Sen ( —------—)
2 — x
,
x € ( — oo , — ] .
2
SOLUCIÓN.f(l)
=
0 ,
x < 3/2 <
f ' ( x ) = --------------- -l ----------------- ,
(2 - x ) , ] 3 - 2 x
PUNTO CRÍTICO :
X
= 3/2.
sobre
2 ,
f (3/2) = n /2
f"O r) =
(x ( - 0 0 , 3/2) ,
5_3x
2 ) 2 (3 - 2 x ) 3/2
f ' ( x ) > 0.
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
Posible Punto de Inflexión: en
581
x ~ 5 /3 g { — o o , 3 / 2 ) , luego, en este intervalo
no e x is te Punto de Inflexión ,
y por lo tanto
f" (x) > 0
en su dominio.
Sobre
f es cre­
{ - o o , 3 / 2 ]
ciente y cóncava hacia arriba.
Se verifica además que existe una
Asíntota Horizontal:
y = -n/2 .
11.10 PROBLEMA.-
Dada la función f
f (x ) =
a) Calcule
b) Si
definida para
3x4 + 2x3 -
( f ” ')"(y0 )
para
Luego, f
- 1
por:
2
20x -
160 ,
yQ = 5 .
g = f “ ' , mediante diferenciales calcule un valor aproxi
madode
SOLUCIÓN.-
8x2 -
x >
g ( 5 - 0.031) .
yy o = 5 = 3 x 4 + 2 x 3 - S x 2 - 2 0 x - 160
(5 ) = 3 ,
= 3 .
8x -
10) , f ' (3 ) = 310 ,
f " (x ) = 4 ( 9 x ¿ + 3x -
4)
//
f " (3 ) = 344
(f _ 1 ) " ( 5 ) = - f / ' ( 3 ) / [ f , ( 3 ) ] 3 =
b)
Dado
h = dy =
=
o
f ' (x ) = 2 (6 x 3 + 3x2 -
a)
g (5 — 0 . 0 3 1 ) =
X
— 0.031
,
— 3 4 4 /( 3 10)3
g = f
- 1
g(5) = f
'(5) = 3
g (5 ) + g ' (5 ) dy
f
'(5) + (f
' )" ( 5 ) - ( — 0.031) =
3 -
0.031
f'(3)
3 -^ 0 1 1
310
11.11
PROBLEMA.-
=
3 _ , 0- 4
=
2.9999 .
Sea f una función tal que f (x) > o, para todo x en algún in
tervalo I , y que cumple la relación :
f'(x )
=
l + [f(*)]
2
. . .
- 1
a)
¿Existe (f')
b)
Halle la regla de correspondencia de [ (f')
]
(cr)
582
SOLUCIÓN.-
Sea
g ( .v ) =
g '(x )
a)
De la relación
g '(x) >
f'
b)
Cap. 6
A n álisis M a t e m á t i c o !
0
f'(x )
f"{x)
=
(a )
y la función
y =
2 f ( x ) f 7( x ) .
0 , y como
f ( x ) > 0 entonces
resulta ser creciente en su dominio
f 7( x )
f ( x ) = t] y — l
=
f 7( x ) >
I,
y por lo
=
l + [ f ( x ) ] 2,
( raíz p o s i t i v a pues
( g ~ 1) ' ( y )
=
ent onces
f (x ) > 0 )
1
,
y así:
1
g'U)
f"U )
1
I
2 f 7( x ) f ( x )
11.12 PROBLEMA.-
Sea
tanto
( f 7) - 1 .
g(x) =
]'(y )
=
se sigue que
tiene función inversa
Como
. entonces
f ( x ) = Sen x
2y V y “
, x £ {0 , n / 2 )
{ jt , 3:n/2 ) .
U
a)
Demuestre que ta función
b)
Calcule las pendientes de las rectas tangentes a f ~ 1 en los
puntos
c)
f ~~ 1
1
(V T /2,71/4)
y
existe.
( - V T / 2 , 5n/4).
Halle la regla de correspondencia y el dominio de
( f ~ 1/
.
SOLUCIÓN.a)
f 7( x )
=
f
es creciente en
f
es decreciente en
Cosx > 0
,
x 6
(0 ,n /2 )
Cos
,
X €
{ 7T , 5 7 T / 2 )
;
< 0
X
( o , n/2 )
: R ang! ( f ) = < 0 , 1 ) .
{ n , 3^/2)
: Rang7 ( f ) = ( - 1 , 0 )
.
Como los rangos parciales son disjuntos, la función siendo univalente encada subintervalo resulta por lo tanto siéndolo en todo
inversa
b)
f “
EN ELPUNTO
m =
1 definida sobre
(-1 ,0 )
(V T /2 ,n /4 )
(f _ 1 )'
( + VT/2)
de f _ 1
=
Dom f , así
u (0,1)
f
tiene una función
.
:
1/ f ' ( t i / 4 )
=
I/C o s —
=
V T
.
4
EN EL PUNTO
( - / I / 2 ,
5n/4)
m = (f _ l y ( - V T / 2 )
=
de
f _ l :
l/f '( 5 n /4 )
=
1 / Cos —
=
- -J~2 .
Cap. 6
c)
Aplicaciones de la Derivada
y
f (x )
=
0
y
6
=
x :
S e n
{0 , l)
,
(f “ V ( y )
de (a) se sigue que
e
x
=
{ 0
71/2 ) :
,
1
y €
( —1 ,0 )
,
( f - 1 Y (.y) =
C o s
* 6
I
1
i
-
1 1 . 1 3
Si f
P R O B L E M A . -
( x )
jc
^
(Are
T a n
6
( 0 , 1 )
T
S e n
x )
a
=
= £ •
x
y „
o
=
f
( x )
.
,
=
T
)
n
—
x <
C o s
A-I
A dem as:
xQ w ,
a
n
3
*
S e n
*
*
,
x €
x)
,
X2
3( A r e
Are
2
S e n
]
"
(
x
S e n
(Are
S e n
x)
C o s
( A r e
S e n
x )
( A r e
3
=
x
\/2
S e n 2
S e n
x
)
d
6
/ ( i
-
x
( A r e
=
2,
,,
,
[ 0 <
^
x
/
3
)
<
0
,
3
/
2
n / 2
r
y I — y
< 0 , l )
( - 1 ,0 )
G
<
)
0
,
l
>
,
e v a l u a r
.
)
x
3
S e n
x )
/
—
3 / 2
(
l
ij
I
x
2
)
X 2
-------------------------
x <
l
-
2
x
l ]
3
3 x
f (x ) =
(l -
x
x
) 3 ^ 2
l
, ,
—
2
v
w =
I
0
3
Resolviendo,
^ — y~
jc
S e n *
=
,,3/2 ,
i / ( 3
-
'
—
=
i
[ f
i¡\
y
V
/
I
1
r
"
2
— -y I — Sen x
1/ V 1 -
=
W
S O L U C I Ó N . -
:
1
Cos x
Por lo tanto,
=
O
^
x
< 7 i,3 n /2 )
1
f ; (x)
( f 1 ) ' ( * )
x >
C o s
1
f ' ( x )
ü)
583
—
,
r / / ,
f
.
6 x
(x ) =
+
2 , 5 / 2
)
9 x
2 , 7 / 2
'
(1
f " Cxo )
f"(l/2)
[ f 'U 0 )]3
tf '( l/2 ) ] 3
-
x
)
9 9
32
2
584
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
12. SERIE DE EJERCICIOS
1.
Sea
f (x ) =
i -
x 2^ 3 . Pruebe que f ( i ) = f ( - 1) = o
, pero que
f ' (x )
no se hace cero en f - l , l ] . Explique el porqué este resultado "contradice" apa­
rentemente el Teorema de Rolle.
Para cada función,
f (b ) -
se refieren al Teorema del Valor Medio:
f (a ) = f ' ( c ) • ( b -
a ) . Halle
c
para:
3)
= X 2 + 2x - i , a = 0 , b =
3
, a = o , b = 3.
f(*) = x
2/3
a = 0 , b = 1•
f(x) = X
4)
f(x)
=
5)
f(x)
=
6)
fU )
3
1 2
= x — 3x + 2 x
i)
f(*)
2)
3.
a , b y c
X
+ (1 / X )
X
—
1
,
a =
1/2
a == 1 ,
.
,
,
1.
b = 2 .
b == 3 .
a = 0
,
b =
Verifique la validez del Teorema de Rolle para
1/2 .
f (x )
2¡
y x
=
2
— 3x + 2
en
[1,2].
4.
Halle el valor de
c
que satisface el Teorema de Rolle para
f ( x ) = ( x + 2 ) 2n ( x 5.
Sea
f
a <
una función continua sobre
b , tal que
V x € ( a ,b )
| f (a) -
6.
Si
, x e [ - 2 , 2 ] ,n entero positivo.
2 )n
g (x)
=
f (b) | >
x 4 Sen (4 x )
,
x
e
:
[ a , b ] y diferenciable sobre
f ' (x )
*
{ a, b > ,
0 . Demuestre que
0 .
[ -
Jt/8
,
ji/
8 ]
,
¿existe
c 6
(——
8
tal que
7.
Si
g ' ( c ) = ( jt / 8 ) 3
f (x) = (x -
?
3) ( x + 2 ) 2 / 3
,
x € [ - 2 , 3 ] . halle
c €
(-2 ,3 )
si existe, que satisfaga la conclusión del Teorema de Rolle.
8.
En la función dada f halle el
c G (0,3/2)
x 3 - x 2 + x
f(x)
=
8
,
del Teorema del Valor Medio:
0 <
x
<
l
I < x < 3 /2
,
Cap. 6
9.
Aplicaciones de la Derivada
Si x e [ - 4 * 5 ]
y
585
f (jc) = jc3 -h 3 x 2 + x + 1 ,
compruebe que se satisfa­
cen las hipótesis del Teorema del Valor Medio, y halle
c e { - 4 , 5)
tal que
f (5 ) = f ( - 4 ) + 9 f ' ( c ) .
10.
Explique porqué
aQ x
raíz real entre 0 y I
4
+ a fx
3
^
+
+
+ a4 =
0
debe tener una
si se cumple que
(a0 /5) + ( a ,/4 ) + (a 2 /3) + (a3 /2 ) + a4 =
11.
0.
Pruebe las siguientes desigualdades con el Teorema del Valor Medio:
a)
VX
b)
p (*
1
+
+ — (x -
<
15)
,
x >
15 .
8
-
1) <
m ( x — 1)
c)
X
1— m
1
d)
*
2
<
< x m — l < m ( x
-----------------T—
0 <
m <
1 --------------------------t t t
2(1 + x ) 3/2
<
(1 + x ) 1 / 2
l + — x
<
2 V 1+ x
e)
— I),
1+x
<
l + — ,
2
*
“
I ,
x > l .
1 < * < 0,
—I < x <
12. Con el Teorema de Rolle demuestre que la ecuación
f
= o
(x )
o , x
x
>
0
> o .
tiene una y so­
lamente una raíz en los intervalos indicados, donde
a)
f (x) =
b)
f (x)=
x 4 + 2x3 — 2
c)
f (x)
=
SUG.13.
Si
14.
Sea
x 4 + 3x + 1
,
x <
o< x <
2 x 3 — 3 x 2— I 2 x — 6 ,
|f'(x )|
f
< 1 , demuestre que | f
—I<
x <
(b ) -
— 1.
l .
0.
f (a) | <
una función dos veces diferenciable sobre
Pruebe que si f ( a ) =
tonces existe un punto
Si
—2 <
Por reducción al absurdo: suponga que existe otra raíz.
[ a, b] .
15.
,
f'(x )
d
e (a , b)
f (c )
(a,b)
= f (b ) = o (
tal
> 0 , demuestre que f ( x )
que f " ( d )
a)
b)
| Sen x — Sen y | <
<
b —a
| x — y | ,
ycontinua sobre
a < c <
= 0 .
tiene a lo más una raíz real.
16. Utilizando el Teorema del Valor Medio pruebe que
Cos a x — Cos b x
| b —a | .
.
si
x í
0
V x , y € R .
b , en­
Análisis Matemático 1
586
c)
17.
Utilizando (b) :
f (x ) =
Dado
Sen x < x
,
el intervalo
SUG.18.
V x > 0 .
l + x m (x — l) n , m
derivada demuestre que la ecuación
Cap. 6
y
n
enteros positivos. Sin calcular la
f'(x ) = o
tiene por lo menos una raíz en
(0,1).
Aplique el Teorema de Rolle en
Sin evaluar la derivada de
[0,1].
f (x ) = (x -
cuántas raíces reales tiene la ecuación
1) ( x -
2) ( x -
f ' (x ) = 0
3) ( x -
4) , indique
e indique en qué intervalos
se encuentran.
Mediante el T.V.M.
-
19.
20.
21.
Si
Sen b— Sen a
Cos a — Cos b
<
f (x ) =
Mediante
^
—
b
entonces
—a
C os2 b
= C o t ( c ) , donde
x4-
2 x 3 + 2x~ -
c 6 (a , b)
tiene al menos
x , demuestre que la ecuación
y a < b .
4x3 -
6x2 +
una raíz real en el intervalo ( 0 , 1 ) .
elTeorema de Rolle pruebe que la ecuación
tiene exactamente una raíz en el intervalo
SUG.-
b < n/2 ,
a <
Aplique el Teorema Generalizado de Cauchy.
+ 4 x - i= 0
22.
0 <
b —a
^ ^
< T an b — T a n a
C os“ a
Demuestre que
SUG.-
pruebe que si
Demuestre que existe al menos un
x 5 + x 3 + 2x — 3
= 0
(0,1).
xQ e (0 , l )
que es raíz de la ecua­
ción dada, luego suponga que existe otra raíz en este mismo intervalo y
llegue a un absurdo.
23.
Calcule
a)
b)
c)
d)
lím
— (C o t x — —)
x->0 x
x
lím
x —► 0
lím
x —► 0
lím
x —► 0
Sen x — x
e)
lím
g)
Sen [ n Cos x ]
-----------------------x-*0
xSenx
]ím
x 3 S e n (x 3 )
[ S U G .-
z = x
( ----------- !----------------------- % - )
0
)
]
2x
w
hm
x Tan x
1 — C o s (x
Cos 2 x -
x —>0
^
i)
1 — Cos x
I -
h)
lím
x
7i/2
l — Cos x
(
x2
I
i — Sen x
)
Cos x
Cap. 6
24.
Aplicaciones de la Derivada
¿Para qué valores de las constantes
lím
x
25.
(x
a y b
3 Sen 3 x + a x
- 587 -
es:
2+ b) =
0 ?
0
Un peso está suspendido por una cuerda y se le causa una vibración mediante una
fuerza. Su desplazamiento f ( t ) en el instante t está dado por
A
f(t) =
c
A , a , c:
2
— a
[ Sen ( a t ) — Sen ( c t ) ]
2
constantes positivas,
a *
c.
,
Halle
lím
c
26.
Para cierto valor de a , el límite
L =
lím
x
— »• +
f (t) .
— ►a
[ ( x 5 + 7 x 4 + 2 )a -
x ]
es
o o
finito y no nulo. Halle a y L .
27.
Calcule el límite
L =
X —f +
28.
f
lí m
r
[ (x
4
.
+ x
2 J/2
) ' -
b)
C)
o o
i
l
lím
( - ------------- :— )
x —► 0
x
Sen x
1
lím ( —
x —► 0
x Sen x
lím
)
1
(
lí m
x —► 0
e)
1
)
x
Sen(I/x)
Sen x
Cos [ ( n / 2 ) C o s x ]
l ir a ------------------------------x
0
Sen2 x
t)
d)
lím
x Sen ( l / x ) .
x —► 0
Tan2 x
Calcule:
.
a)
b)
.,
2 x + Tan 4 x
lím
---------------------x —¥ 0 2 x — Tan 4 x
1 + Cos
lím
1
c)
7 IX
1
lím
(
* -*’ 0
Sen2 x
d)
lí m
x 2 - 2x + 1
30.
2 ,
] .
Evalúe:
a)
29.
x
( x — 1)
)
x2
T a n ( jix /2 ) .
x -H +
Evalúe:
a)
b)
x 4* Sen x
lím
x —> o o
ax
lím
SUG .-
+ b
t =
l/x
c)
c x2— d
d)
lím (
x -> 0
-
1
Cot x
)
f)
.
Tan x — x
lí m
x —► 0
lím
x ~*°
x — Sen x
(
1
1
x2
x 2 Sec x
)
Análisis Matemático 1
- 588 -
2 ( T a n x — Sen x ) — x
h m ----------------------x —■►0
r
e)
31.
x Cos x — Sen x
lím
X
b)
2 Sen n x + n ( x
lím
lím
—
x —y 7 i / 4 s e c ^ x — 2 T a n x
— 1)
(x -
lím
l)2
( I — Sen x ) T a n x .
x —y j t / 2
Evalúe:
a)
3 S e n 7tx — S e n 3 n x
lím
—¥ 0
X
b)
lím
33. Sea
I
( —~
0
2
f una función continua en
ysi
Si
) •
x Tan x
, a + h ) , h > 0 ,
f"(a )
f
y
g
f / (^) >
SUG.-
si
[ a - h , a
g (h )
existe demuestre que
=
f (a + h ) — 2 f (a ) +
lím
g(h)
h —> 0
son funciones diferenciables en
g'ÍJf).
Tomar
V x c
+ h ] y diferenciable en ( a -
en
i)
f (a — h)
f"(a ).
tales que
r
R , demuestre que:
h (x ) = f (x) — g (x )
=
h ,
f(x)
f (0 ) = g ( 0 )
>
,
g(x) , V x e R
x > 0 ,
ii)
x < 0 .
Calcule
a)
( j t / 2 ) (1 — C o s x )
nm
---------------------------------x —► 0
2 ti ( x Cot x — 1)
.
D)
Cos [
hm
SUG.- (b) Pasar a un límite equivalente con
36.
1 + Cos x
f)
x -»• l
I + COSX
hm
------------------x —► jt
x Sen x
e)
5/3
0
i'
d)
x — Sen x
lím
c)
35.
g)
A \
0
- ¥
x
34.
1 - Cos x
Hm
-------------------x —> 0 x + T a n x
Calcule:
a)
32.
,
Cap. 6
0
Sen [
x
o .
ti
(n/2)
Sen
(nx/2) ]
(1 — x ) T a n ( j i x / 2 ) ]
Una circunferencia de radio 1 subtiende un ángulo de x radianes , donde
0 < x < ti / 2 . El punto R es la intersección de las dos rectas tangentes en Q
y en P.
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Sea
F(x)
589
el área del triángulo
PQR , G ( x ) el área del sector
sombreado.
L =
37.
Calcule
F(x)
lím
*-►0
Halle
G (x)
^/ Sen n
lím
y
lím
x —► I
x-H ~
38.
R
0
Sen n x
.
Un triángulo ABC está formado por la cuerda BC de la parábola
y = 4x
y
las tangentes AB y AC en cada extremo de la cuerda. Si BC es perpendicular
al eje de la parábola y se acerca al vértice a razón de 4 u nid a d e s/se g , ¿con
qué rapidez el área del triángulo varía cuando la cuerda
unidades del vértice? .
BC
se encuentra a
39. Evalúe:
a)
lím
(•
0
SUG.40.
Cot x
1
2
b) Pas ar a
lím
( —— — C o t 2 x )
x —► 0
2
b)
)
Cosec~ x
Dada la función definida por
Sup { 4 x t — t
f(x)
=
X
2
/ 3 x < t < x }
-
Sen(x2 )
0 < x < 1
x|Sen x |
¿Es posible definir f ( 0 ) de modo que f sea continua en ( - 1 , 1 ) ?
41.
Halle
f'(-l)
f(x)
=
si para todo x real definimos la función
C o s ( iL Í_
+
+ ^ | x + 11 • | x 3 + 3 x 2 — 5 x — 7 | • T a n 3 { n x / 4 )
42.
Calcule las sumatorias
1
a)
S =
1 + 2 x + 3x
+
... + n x n
,
n >
1 , n
entero .
4
Cap. 6
Análisis Matemático 1
590
b)
S =
2 + 2 (3 x ) + 3 ( 4 x 2 ) +
n
SUG.-
Considere
x
f (x ) =
l) x n
. . . + n (n i
k
=
2 , n entero >
.
n
l + x + ... + x n
x n + 1— 1
.
=
x - 1
k = o
43.
2
Se da un círculo de radio r y
centro o y una tangente AT.
M
Si A M es igual al arco AP ,
B es la intersección de la rec­
ta M P con la recta AO , ha­
lle la posición límite de B
cuando P —► A
como po­
sición límite.
44.
Sea f diferenciable en una vecindad de a tal que
rtt, .
n
*
Demuestre que
SUG.45.
f
Como
lf
lí m
h ->°
(a ) =
f"(a )
e x is te .
f ( a + 2 h ) — 2 f (a + h ) + f ( a )
h2
L = 0 / 0 , aplicar una vez la regla de L'Hospital.
Si la función g es creciente en el intervalo I , pruebe que
a)
Si
b)
Si
f (x ) =
- g ( j r ) , entonces f es diferenciable en I .
f (x ) =
l / g ( x ) , entonces f es
decreciente en I -
{ g ” 1( 0 ) }
46.
Sif creciente en un intervalo I y si g es creciente en un intervalo
f o g existe en J , pruebe que f ° g es creciente sobre J .
47.
a)
Si
f'(x
f (x)
b)Si
Si
f'
existe sobre
f
x e V g ( x Q) n
[ V x 6 V g ( x Q) n
[a ,b ]
tal que
[a ,
[ v
y
f'(a ) < o
Vg (x 0 )
J , y si
sobre la cual
Dom f ] .
pruebe que existe una vecindad
continua sobre
c e
49.
0
es creciente
c € (a, b>
SUG.-
0 pruebe que existe una vecindad
es decreciente
f ' ( x Q) >
f (x)
48.
) <
.
v g ( x Q)
sobre la
cual
Dom f ] .
, f'(b )
> 0 , pruebe que existe
f ' (c ) = 0 .
[a ,b ]
implica que f alcanza su mínimo en un punto
b ] .
T E O R E M A D E L V A L O R IN T E R M E D IO
existe sobre el intervalo [ a , b ]
y
P A R A D E R IV A D A S :
f'(a ) < f'(b )
Si
entonces, para todo t
f'
tal
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
que
f ' (a ) <
SUG.50.
t <
f ' (b ) ,
existe
c e <a , b )
Aplique el problema [4 8 ] a la función
tal que:
g(x) =
f ' (c ) =
f( x )-
t .
tx .
Sea
x2 -
{
,
x € [ —1,0]
I 2 — -V |
,
x G <0 , 3 ]
x ‘ — 5x + 7
,
* 6 ( 3 , 4 ]
2x + 2
halle, si existen, los valores extremos absolutos de
51.
591
f sobre
[ —1,4]
.
Dada la función f ( x ) = ( x 3 + b x 2 + 9 x + 4 ) 2^ 5 , donde D o m f = [ - 5 , 0 ]
halle todos los valores extremos relativos y absolutos sobre [ - 5 , o ]
indicando
los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
2
52.
Sea C la elipse:
2
—— + ——
a2
b2
= l
,
(a >
b > 0) .
Encuentre un punto Q g C , en el primer cuadrante, tal que el segmento *c u y o s
e x tr e m o s son los p u n t o s de intersección de los ejes c o o r d e n a d o s y la re­
cta ta n g e n te a C en el p u n t o Q * tenga longitud mínima.
Q = ( x Q , y Q) e C .
SUG.53.
Pruebe que
x x Q / a 2 + y y Q/ b 2 .
LT :
Uno de los lados de un rectángulo T está contenido en la recta
otros dos vértices pertenecen a la parábola:
x + Ay = y “ +
x =
9
, y sus
7 .
Halle las dimensiones del rectángulo T de área máxima y el valor de dicha área.
SUG.54.
a)
Complete cuadrados.
Dada la función
f (x ) =
3/
*?
2
\ x " (x
-
16) ,
halle todos los valores extre­
mos relativos.
b)
Sea
f (x) =
(2 7/S e nx) + (64/C osx)
, 0 <
x
<
n / 2 . ¿Por qué de­
be haber un mínimo absoluto en ese intervalo? Halle el punto donde ello
ocurre y el correspondiente valor de la función.
55.
C
es la curva cuya ecuación es:
( x Q , i) €
C ,
donde
x 2^ 3 + y 2^ 3 = 5
(astroide)
y
PQ =
x Q > 0 . Uno de los lados de un rectángulo R está
contenido en el Eje Y , y sus otros vértices pertenecen a las rectas tangente y nor­
mal a C , en
PQ , de tal forma que R está contenido en la región triangular de­
terminada por el Eje Y
56.
y las rectas dadas. Halle el valor del área máxima de R .
La esquina inferior derecha de una página se dobla hasta alcanzar el lado izquier­
do. Si el ancho de la página mide a pulgadas, encuentre la longitud mínima del
Análisis Matemático 1
592
Cap. 6
pliegue BC.
¿Qué ángulo hará este pliegue
mínimo con el lado mayor de­
recho de la página?
Suponga que la página es
lo bastante larga para evitar
que el pliegue alcance la parte
superior.
B
57.
Respecto al problema [5 6 ] previo, halle las dimensiones del triángulo ABC
área mínima.
de
2
58.
y -
Halle un punto sobre la parábola
4 -
x
tal que la recta tangente en el
2do. cuadrante determine con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.
59.
Dadas dos esferas concéntricas de radios ^
y r2
( r2 >
>
es el volumen comprendido entre ellas. Si en el instante t = 0
r 2 = R cm .
r2
y para
t >
0 ,
0)
donde V
, r 1 = r cm . y
crece a la velocidad constante de a cm /seg
y crece a la velocidad constante de b
c m /s e g ,
(a >
b ) , hállese el ins­
tante en que V es máximo.
60.
Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector
circular. Si para cercarlo posee un alambre de 200 m . de longitud, calcule el ra­
dio que debe tener el sector para que el campo sea lo más grande posible.
61.
Halle la gráfica de
f (*) =
Cos ( * ~ ^
^) -
[ (x + | x | )/2 ] .
2
*
o , demuestre que entre todos los enteros positivos x e y tales que
62. Dado k >
x + y 63.
Dado k >
x
64.
k ,
2
+ y
2
la suma
x
2
+ y
2
es mínima cuando
x = y .
o , demuestre que entre todos los enteros positivos x e y
= k , la suma
x + y
es máxima cuando
x -
tales que
y .
Cada lado de un cuadrado tiene una longitud a . Demuestre que entre todos los
cuadrados inscritos en el cuadrado dado, el de área mínima tiene lados de longitud
a /V T
.
65.
Cada lado de un cuadrado tiene una longitud a . Halle el lado del cuadrado de
máxima área que se puede circunscribir al cuadrado dado.
66.
Demuestre que entre todos los rectángulos de área dada a , el cuadrado tiene el
círculo circunscrito de área mínima.
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
67.
593
Entre todos los cilindros circulares rectos de área lateral dada a , demuestre que
la menor esfera circunscrita tiene el radio R igual al radio
plicado por
r
del cilindro m ulti­
VT .
68.
Dado un cono circular recto de radio R y altura H , halle el radio y la altura del
cilindro circular recto de mayor área lateral que puede circunscribirse en el cono.
69.
Halle las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que puede ins­
cribirse en un cono circular recto de radio R y altura H .
70.
Dada una esfera de radio R , calcule en función de R , del radio r y de la altura
h del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en esa esfera.
71.
Halle el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio
R , teniendo la base inferior en el diámetro.
72.
Halle el trapecio de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio
r , teniendo la base mayor en el diámetro.
73.
Se desea construir una caja rectangular con tres clases de materiales. Un material
A que se usará en la parte lateral de la caja, un material B que se usará en la
base de la caja y un material C que se usará en la tapa de la caja.
Se sabe que el costo de B es el doble de A por unidad de área y que el costo de
C es el triple de B por unidad de área. Si se quiere que la caja sea de un volu­
men V = 288 c m 3 , que su largo sea el doble de su ancho, halle las dimen­
siones de la caja que hacen que el costo total sea mínimo.
74.
Un triángulo isósceles está circunscrito a un círculo de radio R . Demuestre que el
triángulo de perímetro mínimo tiene por altura 3 R .
75.
Un vaquero que monta un caballo sediento se encuentra a 3 km . de un río recto.
Antes de regresar ai rancho, que se encuentra en la misma orilla del río, el vaquero
desea observar al caballo. Si el rancho está a V 153 km .
del vaquero y a
6 km .
del río, ¿cuál es la distancia más corta que puede cabalgar el vaquero para regre sar al rancho?.
76.
Una central hidroeléctrica está ubicada en una orilla de un río, y una fábrica está
en la orilla opuesta del río a 1 000 pies río abajo.
El río tiene una anchura de l 000 pies y sus orillas son paralelas. Cuesta 12 dóla­
res por pie tender líneas de energía sobre la tierra y 20 dólares por pie bajo el
agua.
a)
b)
77.
a)
¿Qué ruta debe seguirse de la estación hidroeléctrica a la fábrica para mini­
mizar el costo?
Si el costo fuera de 16 dólares por pie sobre la tierra y 20 dólares por pie ba­
jo el agua , ¿qué ruta debe seguirse entonces?.
Encuentre el menor valor de B y el mayor de A para los que se tenga
Análisis Matemático 1
594
x + 7------ < b
A <
x
SUG.b)
78.
f (x )
+ 4x + 4
=
Definir f en
valo
ii)
para todo x e [ - 1 , 3 ]
Halle el valor máximo y el valor mínimo de
Considere
i)
,
Cap. 6
—S- n —x
* (1 - x)
x = o
[0,1]
,
,
x =
o <
x <
f (x )
sobre
[-1,3].
l .
l , para que f sea continua en el inter­
.
Halle el máximo y el mínimo absolutos de
f (x )
sobre
[0,1]
.
Un granjero tiene un galpón con 10 000 pollos, cada uno de los cuales pesa 2 kg.
y el costo de la manutención de cada pollo por día es de 30 pesetas y sube de
peso 50 gr. por día. Si el precio actual del pollo por kg. en el mercado es de 1200
pesetas y disminuye
10 pesetas por día, ¿Cuántos días debe esperar el granjero
para vender los pollos para obtener la máxima ganancia y cuál es ésta?
79.
Halle las dimensiones del rectángulo de mayor área y con ios lados paralelos a los
ejes coordenados que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parábolas:
3y = 12 — x 2 ,
6y = x 2 — 12 .
80. Halle la longitud de la varilla más larga que se puede transportar horizontalmente
en la esquina que une un corredor de a píes de ancho con otro perpendicular de
b pies de ancho.
CASO PARTICULAR :
81.
a)
Si
f(x) =
f (*) > O ,
b)
82.
a = 27 ,
m x + 1 + (l/x)
para todo
x >
b = 64 .
,
halle el
mínimo
m
de
f
tal que
0 .
Una persona desea ir desde un punto X a un punto B los cuales se encuen­
tran diametralmente opuestos entre*sj-en la orilla deuna laguna circular. La
persona puede remar 2 k m / h , y caminar a 4 k m / h .
i)
Si existe un bote disponible en A . ¿Qué combinación de remo y caminata
lo llevará hasta B en el menor tiempo posible?
ii)
Discutir el problema en el caso general de remo y caminata a velocidad u
y v k m / h respectivamente.
La ecuación de la trayectoria de un proyectil es
y = m x -
+ ^
x2
200
Se toma el origen como un punto desde el cual se lanza el proyectil, siendo m
la
pendiente de la curva en el origen.
a)
Si existiera una pared vertical de ecuación x = 75 , ¿para qué valor de m
la altura a la que impactará el proyectil sobre dicha pared será máxima?
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
b)
595
¿Para qué valor de m el proyectil caerá en el mismo nivel horizontal, a la
mayor distancia posible?
83.
Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima (y halle ésta) que puede
inscribirse en la región determinada por las parábolas
y = x 2 y x = y 2 , si
dos de sus vértices están en una parábola y los otros dos en la otra, y uno de sus
lados es paralelo a la recta y = x + 1 .
84.
Encuentre un punto P de la gráfica de
f (x ) =
2 / T / x 2
tal que el segmento
cuyos extremos son las intersecciones de la recta tangente a la gráfica de f con
los ejes coordenados tenga la menor longitud.
85.
Por la producción de hasta 500
lapiceros una fábrica obtiene 1200 pesetas de
utilidad por unidad. Si su producción no sobrepasa los 600 lapiceros, el beneficio
por unidad adicional a los 500
disminuye 2 pesetas, y por producir más de 600
lapiceros su ganancia disminuye en
por unidad adicional a los 6 0 0 .
1 peseta (con relación a la utilidad anterior)
Si se sabe además que en este último caso el gobierno crea un impuesto de loo
pesetas, ¿cuántos lapiceros representan para dicha fábrica su producción óptima?
86.
Se dan dos esferas con centros en o y
o ' , de radios R y r
(R > r ) . La distancia entre los centros es d ( >
R + r)
respectivamente
. Halle un punto
P
en la línea de los centros tal que la suma de las áreas de los casquetes que se ven
en cada esfera desde el punto P sea máxima.
[ Área de un casquete = 2 n v h , siendo r
el radío de la esfera y h
la altura
del casquete. ]
87.
Dos ciudades A y B se encuentran a 8 millas de distancia una de otra. Si el
punto p, equidistante de A y B es tal que la suma de las distancias PA , PB y
PC es la menor posible, ¿a qué distancia está P de C ?
SUG.-
88.
Usar el ángulo ABP como variable.
En la figura todas las líneas
sólidas son de longitud 1 .
¿Para qué valor de
A
B
0
es máximo el área del
trapecio?
C
89.
D
Una planta productora de acero puede producir x to n /d ía
se y y to n /d ía de acero de 1ra. Clase, siendo
de acero de 2da. Cla­
y = (40 - 5 x ) / (10 - x ) .
Si el precio del acero de 2da. es la mitad del de 1ra., ¿cuántas toneladas diarias
de acero de 2da. clase determinarán el máximo beneficio?
Análisis Matemático 1
596
90.
Cap. 6
Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba. Su distancia
de t segundos está dada por
a)
b)
s = 192 t -
s
al suelo después
16 t 2 .
¿Hasta qué altura llegará el cuerpo?
¿Con qué velocidad llegará al suelo nuevamente?
91.
Halle las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo de
lados 8 , 10 y 12 m . tal que un lado del rectángulo está contenido en el lado
del triángulo de lado 12 m .
92.
a)
b)
Dada la curva
x2+ y2 -
h a lle :
9,
i)
La menor distancia del punto
( 1 5 , 8 ) a la curva.
ii)
La mayor distancia del punto
(15 , 8 ) a la curva.
Considerar a y b fijos con
0<
0 <
el ángulo agudo entre las rectas tangentes a la
b <
c < a . Sea
circunferencia
0
x 2 + y 2 = c2
punto de intersección. Halle
ángulo
0 sea máximo.
SUG.-
Pruebe que
b < a.
y a la elipse
Tan0
Tan0
Sea
c una variable
tal que
(x/a)2 + (y /b )2 =
1 en un
cuando c es elegido de manera que el
= xy (a2 — b2 )/(ab)2
y que
x y = ab ^ ( c 2 — b 2 ) ( a 2 — c 2 )/ (a 2 — b 2 ) .
Como —
Tan 0
=
Sec20 - ^ -
dc
zar
entonces el problema equivale a maximi-
de
T a n 0 , lo que equivale a maximizar la raíz
^ ( c 2- b 2 ) ( a
- c ) .
Y sabemos que esto equivale a maximizar, respecto a la variable c ,
sión
f (c ) =
máximo
(c 2 -
b2)(a2 - c 2)
c2 = (a2 + b2 )/2
de lo cual se obtiene que , para
0
.
De aquí resulta el valor correspondiente de
93.
la expre­
T a n 0 = (a
Debe construirse una lámina triangular isósceles y de
2
60 cm .
-
b
2
)/(2ab) .
de perímetro, de
manera que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes determíne un
sólido de volumen máximo. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la
lámina triangular?
94.
Exprese el número 4 como la suma de dos números positivos de forma que la
suma del cuadrado del primero y el cubo del segundo sea tan pequeña como sea
posible.
95.
Dada la función
f(x)
= ( x + 8 ) 2^ 3 ( x 2 + 32) , determine los intervalos so­
bre los cuales f es creciente o decreciente , y halle todos los valores extremos
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
597
relativos de f .
96.
97.
a)
Si deseas cercar un jardín rectangular y si tienes 200 pies de cerca, ¿cuáles
son las dimensiones del jardín más grande que puedes cercar?
b)
Si dos de tus amigos desean ayudarte con el jardín, pero ellos quieren dividir
el jardín en tres partes iguales colocando dos cercas extras a lo ancho; con
los 200 pies de cerca disponibles, ¿cuál es e! área total máxima de las tres
partes?
Una ejecutiva de una aerolínea ha calculado que el costo de vuelo por x
ros desde Lexington hasta Louisville es
0.1 x 2 + 4 0 x + 100 .
C (x ) =
El ingreso total para ese número de pasajeros es
pasaje­
R (x ) =
I2 0 x -
o.ix2 .
Ella tiene normalmente reservaciones para 220 pasajeros por vuelo. Determine si
ella debería vender más o menos pasajes para maximizar el beneficio B ( x ) .
98.
Un fabricante puede tener una utilidad de 20 dólares en cada artículo si se produ­
cen semanalmente no más de 800 artículos. La utilidad en cada artículo decrece
2 centavos por artículo que sobrepase los 800. ¿Cuántos artículos deben fabricar­
se a la semana para obtener la utilidad máxima?
99.
Un viaje subsidiado por un colegio le costará a cada alumno 15 000 pesetas si
viajan no más de 150 estudiantes ; sin embargo, el costo por alumno se reduce
en 50 pesetas por cada estudiante que exceda los 150. ¿Cuántos alumnos deben
hacer el viaje para que el colegio reciba los mayores ingresos brutos?
100.
Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de
tener un área de
10.800 m
2
. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera,
¿cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo al cercarla sea
para el dueño de la huerta el mínimo?
101.
102.
Dada la suma K de las áreas de una esfera y un cubo, demuestre:
a)
Que la suma de sus volúmenes será mínima cuando el diámetro de la esfera
sea igual a la arista del cubo.
b)
¿Cuándo será máxima la suma de los volúmenes?
Halle la base y la altura de un triángulo isósceles de área mínima circunscrito a
la elipse
103.
(x/a)
2
+ (y/b)
Pruebe que la ecuación
x
2
2
=
1 , y cuya base sea paralela al EJE X .
= x Sen x + Cos x
se verifica exactamente para
d o s valores de x .
SUG.104.
Si
f ( x ) = x Sen x + Cos x — x 2 , f
x > 0 , sea
f (x ) = 5x
menor valor de A tal que:
2
+ Ax
f (x ) >
—5
14 ,
es par en
R .
, A constante positiva,
V x >
0 .
halle el
105.
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
598
a)
Un triángulo isósceles está
inscrito en una circunferencia
de radio r como se indica
en la figura. Suponiendo que
el ángulo 2 a
está en el
vértice,
0 <
2a
< n/2
halle el mayor valor del pe­
rímetro del triángulo.
b)
106.
¿Cuál es el radio del menor disco circular suficientemente grande para c u ­
b rir todo triángulo isósceles de perímetro dado P.
Una ventana tiene forma de rectángulo terminado por un semicírculo de diámetro
igual a la base del rectángulo. La porción rectangular ha de ser de cristal trans­
parente y la parte circular ha de ser de cristales de color que admiten sólo la
mitad de luz por metro cuadrado que el cristal transparente.
El perímetro total de la ventana ha de tener longitud fija P. Halle, en función de
P , las dimensiones de la ventana que deja pasar la mayor cantidad de luz.
107.
Dado S >
a
2
+ b
2
0 , pruebe que entre todos los números positivos a y
= S ,
la suma
a + b
es máxima cuando
b tales que
a = b .
108.
Un minero desea cavar un túnel desde un punto A hasta un punto B 200 me­
tros por debajo y 600 metros al Este de A . Bajo el nivel de A el lecho es
rocoso y encima tierra blanda. Si el costo del túnel a través de la tierra es de 5
dólares por metro lineal y de 13 dólares a través de la roca, halle el costo míni­
mo de un túnel.
109.
Dada una esfera de radio R , halle el radio r y la altura h del cilindro circular
recto de mayor superficie lateral 2n r h que puede inscribirse en la esfera.
110.
Halle el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de
radio R , teniendo la base inferior en el diámetro.
111.
Si r y s son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa i ,
mayor valor de ( 2 r + s ) .
112.
Dentro de una casa un pasadizo es perpendicular a otro de 8 pies de ancho.
¿Cuál debe ser el ancho mínimo del primer pasadizo para que una barra de ace­
ro de 27 pies de longitud pueda pasar de un pasadizo al otro en posición
horizontal?
113.
Una pared de a pies de altura está situada a una distancia de b pies de un
edificio. Calcule la longitud de la escalera más corta que puede apoyarse en el
suelo, en la cima de la pared y en el edificio.
CASO PARTICULAR :
114.
halle el
a = 27/8 , b = 8 .
La base inferior de un trapecio isósceles es el eje mayor de una elipse:
(x/a)
2
+ (y/b)
2
= 1 .
Los extremos de la base superior son puntos de la
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
599
elipse. Demuestre que en el trapecio de este tipo de área máxima, la longitud de
la base superior es la mitad de la inferior.
115.
En la elipse
(x/a )2 + (y /b )2 =
vértice es el punto
1
se inscribe un triángulo isósceles cuyo
( 0 , b ) . Halle la ecuación de la base correspondiente al
triángulo de área máxima.
116.
Halle la base y la altura del triángulo isósceles de área mínima circunscrito a la
elipse
1 , y cuya base sea paralela al Eje X .
(x/a )2 + (y /b )2 =
117.
Se debe hacer un embudo cónico que tenga la generatriz de longitud 2 0 cm.
¿Cuál debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible?
118.
Un sector de ángulo central
9
está recortada de un círculo de radio R . Al en­
rollarse el sector, se genera una superficie cónica.
¿Cuál debe ser el ángulo
0
para que el volumen del cono obtenido sea el ma­
yor posible?
119.
Tres puntos A ,
B y C se hallan situados de modo que
< A B C = 60° . Un
automóvil sale de A y en el mismo instante parte del punto B un tren. El auto
avanza hacia el punto B a 80 k m / h , y el tren se dirige hacia el punto C a
50 k m / h . Si la distancia de A
a B es de
200 k m , ¿en qué instante luego
de comenzar el movimiento será mínima la distancia entre el automóvil y el tren?
120.
Dado un punto A en una circunferencia de radio R , trazar una cuerda BC
paralela a la tangente en el punto A de modo que el área del triángulo ABC
sea máxima.
121.
Dados dos puntos A = ( 1 , 4 )
y B = (3,0)
en la elipse
2 x 2 + y 2 = 18
halle un tercer punto C tal que el área del triángulo ABC sea máxima.
122.
Un cuadro de altura 1.4 m . cuelga de la pared de modo que su borde inferior
está 1.8 m . por encima del radio de la vista de un observador. ¿A qué distan­
cia de la pared debe colocarse el observador para que su posición sea la más
ventajosa para contemplar el cuadro?
[ Ángulo visual: el mayor posible] .
123.
Un tanque de forma cilindrica circular recta, sin tapa y con base horizontal ha de
contener 400 n metros cúbicos. El material de la base cuesta el doble por me­
tro cuadrado que el de los lados.
Calcule las dimensiones del tanque más económico.
124.
Halle el área del mayor rectángulo que tiene su base inferior en el EJE X y con
los vértices en la curva
125.
y
= 12 -
x
2
Una recta variable que pasa por el punto
(1,2)
interfecta al Eje X en el punto
to
P = (a,0)
y al Eje Y en
POQ de área m á x im a , si
126.
Cap. 6
Análisis Matemático 1
600 -
Q -
a > 0
Más cercanos al origen,
y
b >
0.
5 x 2 — 6 x y + 5y 2 = 4
Halle los puntos sobre la curva
a)
( 0 , b ) . Halle el área del triángulo POQ
b)
que están :
Más alejados del origen.
127.
Un alambre de longitud L es cortado en dos secciones, una para form ar un
cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debería cortarse
el alambre: a) Si la suma de las dos áreas es mínima? ,
b) Si la suma de las dos áreas es máxima?.
128.
Un silo se va a construir en forma de un cilindro coronado por un hemisferio. El
costo de producción por pie cuadrado de área superficial es el doble para el
hemisferio que para el cilindro. Determine las dimensiones requeridas si el vo­
lumen V es fijo y el costo de la construcción ha de ser mínima. Despreciar el
grosor del silo.
129.
La pendiente de una curva en cualquier punto
ción
= 6 ( x — 1) ( x —
-
3)2 ( x
( x , y)
5 )3 (x -
está dada por la ecua­
7 )4
dx
130.
a)
¿Para qué valor (es) de x , es y
un máximo?
b)
¿Para qué valor (es) de x , es y
un mínimo?
Si
a <
0 < b
y
f ( x ) = x 1^ 3 ,
verifique que existe un valor de
c que
satisface el Teorema del Valor Medio aún cuando no exista la derivada de f
en
x = o . Haga un bosquejo de la gráfica respectiva.
131.
Halle aquel número que más excede a su cuadrado.
132.
Dado un sector circular de radio r , si el perímetro P mide 100 pies, ¿qué va­
lor del radio r producirá un área máxima?
133.
Una recta se traza por el punto fijo
(a , b)
en el primer cuadrante e intersecta
a los Ejes X , Y , en P y Q respectivamente . Demuestre que los valores
mínimos de
PQ , OP + OQ
( a 2 / 3 + b 2 / 3 ) 3/2
134.
Si
x >
ax + ( b / x ) >
Demuestre que si
son respectivamente:
(-/7 + -/1T)2
si
y
mx -
4ab .
l + (l/x)
debe ser
> o
0 .
c , para todo
tes positivas, demuestre que:
136.
OP • OQ
Halle el mínimo valor de la constante m
para todo
135.
,
, y
x >
ab >
ax2 + (b /x )
>
0 , donde a , b y c son constan­
c2 /4 .
c , para todo
c son constantes positivas , demuestre que:
x >
27 a b 2 >
0 , donde a , b y
4 c3 .
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
137.
138.
SUG.-
Similar al problema [1 3 5 ] .
Dado
f (x ) = a x 2 + bx + c ,
a >
pruebe que
f (x ) >
0 , V
SÍ
y
1 , pruebe que
x >
negativo.
o
m >
SUG.-
considerando su valor mínimo,
2
, si y sólo si
b — 4ac < 0 .
x € R
Pruebe que
601
0 ,
f ( x ) = x m — 1 — m ( x — 1)
f ( i ) = o es el mínimo de
no es
f (x ) .
139.
Halle la base superior de un trapecio isósceles de base 12 m y lados de 6 m ,
si su área es máxima.
140.
Una placa tiene la forma de ün sector circular de radio
r
y
0
r
y ángulo
0 . Halle
0 es el á n ­
si el área A es fija y el perímetro P es mínimo. Aquí,
g ul o central.
141.
Un reservorio se va a construir en forma de un cono circular recto y el área late­
ral a prueba de agua. Si la capacidad del reservorio ha de ser de
si un galón de material protector contra el agua cubrirá
72 n p ie s 3 y
80 p ie s 2 , ¿cuántos ga -
Iones serán requeridos como mínimo?.
142.
Si la suma de dos números positivos es 8 , halle tales números si la suma de
sus cubos es mínima.
143.
Bosqueje la gráfica de
144.
Sea E la elipse:
1
f (x ) = — (x
4
4
-
6x
(x/a)2 + (y /b )2 = l
2
+ 8x) + 5 .
,
(a >
mensiones del triángulo rectángulo inscrito en
paralelo a su eje mayor, cuya área sea máxima.
145.
b >
0) , halle las di-
£ , uno de cuyos catetos es
Dada la función
(30 — 4 x — 2 x 2 ) / ( x + 6)
8 -
f(x)
2x
,
x < 4
A
,
x
6
{ - 6 ,
,
x
>
4
x *
—6
4>
Bosqueje la gráfica de f hallando a) las asíntotas, b) los intervalos de creci­
miento y decrecimiento, y los valores extremos relativos, c) los intervalos de
concavidad y los puntos de inflexión.
146.
Dada la función
do
f (x ) =
^ (x + 4 )2 (x -
a) la asíntota oblicua ,
b)
Dada la curva:
x = t3 ,
, bosqueje la gráfica indican-
los intervalos de crecimiento ,
valos de concavidad.
147.
5)
y = 1-
t2 ,
c)
los inter­
- 602 -
148.
Análisis Matemático 1
t
tal que
dy/dx
Cap. 6
a)
Halle el valor de
no existe.
b)
Halle los intervalos donde la curva es cóncava hacia arriba.
Determine los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de
f (x ) =
- x / ( x 2 + 1) .
149.
Bosqueje la gráfica de
150.
Si
f ( x ) = 5 x 2 ^ 3 - x 5^ 3 .
f ( x ) = ( x + i ) / ( x 2 + l ) , demuestre que la gráfica de f tiene tres pun­
tos de inflexión que son colineales. Bosqueje la gráfica de f .
151.
152.
153.
Dada la función
f (x ) = ( x 3 -
2)/(x -
l) 2 ,
x *
l :
a)
Halle las asíntotas y los puntos críticos.
b)
Analice los intervalos de concavidad.
c)
Halle los valores extremos y puntos de inflexión, si existen,
b)
Bosqueje la gráfica.
Grafique la función f ( x ) = x 4 - 1 2 x 2 + 36 .
Halle
a, b ,c
yd
para que
y = ax
i
5
+ b x + e x + d , sea tangente al
Eje X en
( 2 , 0 ) y tenga punto de inflexión en
154.
Grafique
f (x ) =
155.
Encuentre ios intervalos donde f es monótona (siempre creciente o siempre
d e cre cie n te ), de concavidad y los puntos de inflexión para la función
g(x) = (x3 -
x 2/ ( l + x 2 ) .
18x 2 + 81 x + 3 6 )/1 8 .
156.
Grafique la función f ( x ) =
157.
Grafique la función f ( x ) = x - C o s ( 2 x )
158.
Grafique las funciones
(x 2 -
3 ) / ( x + 2)
f (x ) = 4 (x 2 -
,
Grafique
160.
Si
f ( x ) = ( x 2 + 3)/-J x 2 + !
incluyendo asíntotas.
x € [ - jí. ji] .
l ) 2^ 3
g (x) = $ (x + 4)2
159.
(0,4).
i/ ( x - 4)
-
.
, incluyendo asíntotas.
f ( x ) = a x 3 + b x 2 + e x + d , determine los valores de
para que f tenga un extremo relativo en ( 0 , 3 )
a ,b , c y d
y la gráfica de f un punto de
inflexión en ( l , - 1) .
161.
Grafique
162.
Dada
f (x ) =
f (x ) =
Sen2 x — | x | ,
2(l8x + 6x2 -
x e [ —n/2 , n/2 ] .
2x3 - 5 4 )^ 3 ,
halle: a)Las asíntotas ,
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
b) Los máximos y mínimos relativos,
163.
Grafique
164.
Grafique:
165.
Sea
f (x ) =
(x 2 -
3x -
a)
f(x)
=
2x4 -
4x3
b)
f (x)
= 4x5 -
5x4
c)
f (x) =
f (x) =
Grafique
f (x )
167.
Grafique:
a)
169.
, incluyendo asíntotas.
x 3 + 6 x 2 + 9x .
=
(x 2 -
f (x )
=
. Pruebe que
f
0.
4 ) / ( x 2 - 9) .
x — Sen x ,
b)
SUG.- Investigar lasimetría.
g( x ) =
x + Cos x .
2
Grafique
f (x ) =
Sen x .
SUG.-
es continua, diferenciable y
ti
-
periód ica ;
f >
o.
Determine la constante a de modo que la función f ( x ) = x 2 + ( a / x ) pueda
tener (a) un mínimo relativo en x = 2 ,
(c)
un punto de inflexión en
Pruebe que la función
de a .
170.
2)
u n a f u n c i ó n c u y a d e r i v a d a es 1 / ( 1 + x 4 )
166.
f
Los intervalos de concavidad.
4 ) / (x -
tiene un punto de inflexión en x =
168.
c)
603
f
Determine las constantes
+ ax2 + bx + d
mínimo relativo en
(b) un mínimo relativo en x =
-3 ,
x = 1.
no puede tener un máximo relativo para ningún valor
a
y
b
pueda tener:
x = 3 ;
de
manera que la función f ( x ) =
(a)
un máximo relativo en x = - l
(b) un mínimo relativo en x = 4
x3+
y un
y unpunto de
inflexión en x = I .
171.
Determine los coeficientes a , b , c y d de tal forma que la función
ax
3
-f b x
2
+ ex + d
f (x ) =
tenga un valor máximo en el punto ( - l , 10) y un
punto de inflexión en ( 1 , - 6 ) .
172.
Esbozar la gráfica de
f (x ) =
(1 + C o s x ) S e n x ,
0 < x < 2n ,
a)
Indicando los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos relativos.
b)
Indicando los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
NOTA."
Asumir que
Cos (
it)
=
n)
Cos (
360
360
=
— .
4
173.
Grafique la función
174.
Un cilindro se ha obtenido haciendo girar un rectángulo alrededor del Eje X , tal
que su base se encuentra en el Eje X , y todo el rectángulo esté contenido en la
f ( x ) = x / ( x 2 + 1) .
604
Cap. 6
Análisis Matemático 1
región encerrada por la curva
y =
x / ( x 2 + 1)
y el Eje X . Halle las di­
mensiones del cilindro de mayor volumen.
SUG.- Ver el problema [1 7 3 ] , donde se debe tomar
f (x ) = f (x + h)
' •k ^
en
el primer cuadrante, como la altura del rectángulo.
175.
x + 2 y = 8 , encuentre las dimensiones del rectángulo de
Dada la recta L :
área máxima con uno de sus lados sobre esta recta y cuyos otfos dos vértices
se encuentran sobre los semiejes coordenados positivos.
176.
Halle D f
1 (5 )
177.
Demuestre que
,
donde
f (x ) =
f(x)
2 Cos x -
para x = ( n / 3) + 2 n jt
, y para
valores mínimos relativos para
178.
Halle D f _ I ( 2 ) , donde
179.
Si
f (x ) =
,
Cos ( 2 x )
x <
0 .
tiene valores máximos relativos
x = ( 5 j t / 3 ) + 2 n jt , y que f ( x )
n n
,
x >
tiene
n 6 Z .
x ^ x + 3
f (x ) =
( x 2 + 2 ) / ( x 2 + 1) ,
inversa en el punto
180.
x =
= x2— 4
, x > - l .
0 , halle la derivada de la función
y Q ~ 3 /2 .
2 t/2
+ * )--------( x € [ — 2 , — i ] , posee función
x
Pruebe que la función y =
inversa. Hallarla.
181.
Sea
f 00
= - l / ( x 8 + 6 x 2 + 2) .
a)
Encuentre los intervalos en los cuales f
tiene función inversa.
b)
Encuentre los intervalos en los cuales cada función inversa
definida.
c)
Halle ( f ”
1) ' ( - 1 / 7 ) cuando f (1) = - — , y cuando
f ”
1 está
f ( - 1) = - —
1
182.
183.
Sea
f (x ) =
8 x / ( x 2 + 3) .
a)
b)
Encuentre el mayor intervalo sobre el cual f tiene función inversa.
Encuentre el dominio de cada función inversa hallada en (a).
c)
Evalúe
dadas
( f “ 1Y ( 2 ) .
f (x ) = x 2 + 2
derivada de
184.
1
, x e R
es c o n s t a n t e
para
f (x ) =
x >
,
Pruebe que
f'(x)
3 /4 , halle la
2x
2 A re Tan ( x ) + A re Sen (--------- ^ - )
1+ x
1 .
Halle el valor de esta constante.
SUG.-
x >
y Q = 3 /2 .
( f / g ) " " 1 para
Pruebe que la función
; g (x ) = x + i
=
o ,
para todo
x >
1.
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
185.
Si 0 <
b <
a ,
pruebe que la función
J —---------
f ( x ) = 2 Are T a n [
*
es constante cuando
186.
b)
,,,
C)
a + b
x >
o .
— Are Cos [ —— — * + — ]
a + b Cos x
Halle el valor de esta constante.
Si
x — Are Tan x
------------------------x3
lím
x ”* °
x -
hm
x -)• 0
d)
x — Tan x
Are T a n x — Are Sen x
lím *
x->0
x ( 1— C o s x )
f (x) =
10 -
[( f
x5-
f _1
i i ) Si para cada
Si
x — Are Sen x
l í m ------------------------x _ *'°
Sen3 x
Sen x
i) Pruebe que
188.
• Tan — ]
2
Evalúe los siguientes límites
a)
187.
605
x3y
a < 0
2x ,
siendo
x <
0 :
( f ' ) ~ 1 , existen, así como sus primeras derivadas.
se sabe que
f'(a ) =
m , f"(a )
=
n , calcule
1) " ° f ] (a ) •
f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 , halle
w
-lw /
= — — -— —
, en cada caso:
(f ~ V (6 )
189.
a) Cuando el dominio de f es
( - i , oo) .
b) Cuando el dominio de f es
( - o o , - l) .
f (x) =
Sea
2 / ( x 4 + 4x2 + 2)
[(f
f -1
y calcule
V (2 /7 )]3
Si
y = f ( x ) y existe f _ I
a)
(
f
0 . Grafique
( f_ l )"(2 /7 )
= ----
w
190.
, x <
-
H
f
'
W
sobre
]
D o m f = < a , b ) , pruebe que:
2 r
| t¡
(, w > 0
>
, entonces
[f'(x )]3
b)
Si
3 [f"(x )]2 -
f ' ( x ) f (3)(x) = 0 , f '( x )
f - 1 es un polinomio de grado menor o igual que 2 .
SUG.191.
b) Utilice el resultado de ( a ) .
Demuestre que
V x > 0 :
0
- 606 -
Análisis Matemático 1
x
—
Are Tan x
<
<
Cap. 6
x .
x2 + 1
SUG.-
Aplique el T.V.M. a
f ( x ) = A re T a n x
También puede probar que
f'(x ),
probando que
Análogamente para
192.
Sea
f
[0,x]
Are Tan x -
(0,oo)
2
[ x/(x
y que
,
193.
SUG.-
mediante
f (0 ) = 0
y sea
= f ( — - — ) . Demuestre que F es inyectiva y halle F - 1
x - 1
f ~ 1 .
0 .
+ 1)] .
una función creciente definida sobre [ 2 , o o )
f
, x >
f ( x ) = x — Are T a n x > 0
es creciente en
h(x) =
en
F(x) =
en términos de
Si f es una función creciente sobre A entonces f es inyec­
tiva sobre A .
Utilizando el criterio de la primera derivada, indique si f tiene función inversa,
r , .
f(x)
.
=
x2+ 1
,
x < 0
Co s ( jtx / 2)
,
0 < x < 2
b
En caso afirmativo, encuentre la derivada de esta función inversa.
194.
Mediante el Teorema del Valor Medio demuestre las siguientes desigualdades
a)
Are Tan x
b)
—--------- !------—
4
1+ x2
SUG.-
a)
b)
195.
< —-------------4
2
T.V.M.
<
a
,si x >
A re Tan x
f (x ) =
< —--------!------—
4
2
A re T a n x
Lo mismo, pero sobre
1
sobre
[ x , l ] ,
,
0 <
[l,x ]
x <
, x >
1 .
1.
0 < x < ! .
Calcule los siguientes límites
v
a)
Hm
------------- ! — !■—
x —>■+ oo A r e T a n ( 1 / x )
.
(1/x2 ) -
..
C)
lirn
x —>• + o o
d)
(1/x)
Se n
,,
lím
( A re Sen
, x
b)
c)
----------------x —► 0
x
2 Ar e T a n ( 1 / x )
(1 /x )
x )
(Cosec
e)
x )
lím
x “
Pasar al límite cuando
h
0+ ,
haciendo
X& n x
---------------------------------
x ->0
x -> 0
SUG.-
lím
A r e Sen x
^ x
h =
1 /x
Cap. 6
196.
Aplicaciones de la Derivada
Si
f (x ) =
x > i , halle D 2 f
2 x / ( x 2 — l),
607
1 ( 4 / 3 ) , la segunda deri­
vada de la función inversa de f en el punto 4 /3 .
197.
C a lcu le :
lím
y¡ 1 — Sen ( ti x / 2 ) / (1 — V T )
x -> 1
a)
A re Cos (1 — x ) • J T an x
-------------—
V T V Csc x — Cot x
,
lím
b)
.
x 2 VT [ Cos ( x 2 ) — 1 ] A re Sen ( V x + 1 — 1)
-----------------------— ------------------------------------= z i z z —
lím
x
y 0 T a n x • ( V Sec x — 1 ) • x 3 Sen x • [ ( x + 1) — V x + 1 ]
C)
f
4
2
u 1”
( -----------------------------------------x ""1y ® Sen x
1 “ Cos x
id) l i m
198.
^
2Cosx + C o t2 x
x3
Una entidad bancada tiene las siguientes tasas: 30 dólares por cada mil para
operaciones de hasta 50 000 dólares ; para la operación que sobrepase esta
cifra disminuye la tasa anterior en
0.375
dólares por cada mil. Halle la opera­
ción óptima de manera que el beneficio de esta entidad bancada sea máximo.
SUG.199.
Tome
x =
número de miles de dólares.
Calculando sus máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión y asíntotas,
3
2
3
bosqueje la gráfica de la curva y - 4 x + x = 0 .
SUG.-
Despeje la variable
y .
CLAVE DE R E S P U E S T A S
1.
f'(x )
= - 2 / ^ 7
x = 0
2.
X o
en
[ —i, i] — { 0 }
(en este punto de la gráfica debe haber un pico).
(1)
c = 1/2
,
(2)
c = V 7
(5)
c = 3/2
.
(6)
c = 2 -
4.
-2
.
(3)
c = 8/27
(/T T /3 )
c = 3/2
5.
Aplique el Teorema del Valor Medio a f ( x )
g ( — ) = (— ) 4 .
8
8
c € < - n / 8 f n/8)
<
,
3.
6.
, pero f no es diferenciable en
c < 2
,
(4)
c = 1.
.
=>•
c = 2/3 .
en
[a,b].
g ( - — ) = - ( — ) 4 . entonces el Teorema del Valor M e 8
8
dio asegura la existencia de
tal que
2 ( — ) 4 / [ 2 (— ) ] = g ' (c ) = (— ) 3 .
8
8
8
J(Cscx
608
7.
Cap. 6
Análisis Matemático 1
c = — 2 /5 6 [ — 2 , 3 ] ,
8.
c =
l,
9.
c = 2 € { - 4, 5) .
10. Aplicar el Teorema del Valor Medio a la función
2
r
2i
a
2a
^
2^
2i
f ( x ) = - 2 - x 5 + —í - x 4 + - ^ - x j + - ^ - x ¿ + —2 - x ,
5
4
3
2
1
11. a)
T.V.M.
Existe
a
= J~x~+ i
f(x)
c:
15 <
c <
en
[15, x ]
f'(c )
(*) ,
V x + 1 -
x>
= 1 /(2 ^ c + i ) <
15 :
4 < (x -
f (15) =
1/8
f'(c )*(x -
puesc >
15 ,
T.V.M.
a
f (x )
= x^ — 1
en [ 1, x ]
, x >
1.
c)
T.V.M.
a
f (x )
= xm — i
en [ 1, x ]
, x >
1:
Existe
c
6 (1 , x )/
f (x ) -
f'(c )-(x -
f ' ( c ) = m Cm — 1 6 ( m x m — 1, m )
pues
0 < m < l
=>
—1 <
y
1 <
=>•
x m “ * < cm_1
De estas relaciones y
T.V.M.
i) [ 0 , x
]
1,
entonces de
1)
...(*)
m — 1 < 0
<
1 .
m—
— < xm — 1 <
1— m
x
= 1/ (1 + x ) l / 2
af ( x )
... ( * )
(*) :
V x >
d)
f (1) =
Y como
x
15)
15) / 8 .
b)
c <
[0,1].
x tal que
f (x ) -
y como
,
sobre
, x > 0 :
m ( x — 1) .
en:
f (x) -
f (0) = f ' ( c ) - ( x -
0)
...(*)
m
donde
=?►
f ' ( c ) = — 1/ [ 2 (1 + c ) 3 / 2 ]
1 < (1 + c ) 3 / 2 <
que al utilizar en ( * )
ii) [ x , 0
], - 1 <
donde
=>■
x <
0 :
[ 0, x ]
, x >
0 < (1 + x ) 3 / 2 <
0
,
(*)
ii)
x
(1 + x ) 3 / 2
se obtiene lo que se busca.
f (0 ) -
Análogamente a ( d ) , T.V.M. a
i)
0 < c <
f ( x ) = f ' ( c ) • (0 -
f ' ( c ) = - l / [ 2 (1 + c ) 3 / 2 ] , - 1 <
que al utilizar en
e)
,
(1 + c ) 3 / 2 <
x)
x < c
1
se obtiene lo que se quería.
f (x ) = 2 ^ * + x
[ x , 0]
en:
, —l < x < 0 .
... ( * )
< 0
12.
a)
Por el Teor. del V. Intermedio y
a e { - 2, - l >
existe
f ( — 2) = 11 > 0 , f ( - l )
tal que
con
a <
b
así existe un
f ' ( c ) = 4c3 + 3
ab su rd o pues
b) y
b € ( - 2 , — 1)
c 6 (a,b)
c
g (-2 ,-1 )
- ^ 3 /4
d g ( Cj , c 2 ) c
Suponiendo que
= f (b )
Cj 6
(verifíquelo).
(a,c)
f
( a , b ) tal que
tiene dos raíces a y b
y existe un
c e (a,b)
y c 2g ( c , b )
18.
f'(x )
= 0
tiene tres raíces:
19.
V x G [ a , b ] C ( 0 , J i / 2 ) :
1 < Sec a <
en
a e(1,2),
entonces f ( a )
b)
= 0
0 <
b e (2,3)
Cos b < Cos x
y
c
g
(3,4).
< Cos a < 1
^ Y
=>-
1
(0 , n/2)
~
T a n b — Tan a
- 2
------------------------- = Sec
b —a
c
Sec2 c G [ Sec2 a , Sec2 b ] C ( 1, oo
( b — a ) Sec2 a < T a n b
,
f 7( c )
Cos b — C o s a
g 7( c )
tal que
1 >
Cos(c)
=
^
.
— Cot ( c ) .
— Se n ( c )
en
0 ,
f ( x Q) = 0
Supongamos que existe otra raíz
l. q . q . d .
, 9 c G ( a , b ) :
21. Aplicar el Teorema de Rolle a f ( x )
f (0 ) = - 3 < 0 , f (1) =
)
—T an a < ( b — a ) Sec2 b
g ( x ) = Cos x
Sen b — Sen a
x0 € (0,1)
(a <
tal que f ' ( c ) = o por el Teorema de Ro­
tal que
f ( x ) = Sen x
0 .
Así,
[ a, b ]
( o , n / 2 ) . El T.V.M.
existe c G ( a , b ) c
[ c j , c 2 ].
f " (d) =
Sec x < Sec b
Sea f ( x ) = T an x
f ' sobre
tales que
f y( j c ) > 0 , p a r a todo x .
lle; pero esto es absurdo pues
22.
lo cual es
c) análogos a (a).
existe
20.
o
tal que
c = — \j 3 /4
, pero ello implica que
Por el Teorema de Rolle existen
c
es decir f ( b ) =
( - 2 , - 1 )
f ' f C j ) = f ' ( c 2 ) = 0 . Aplicamos el Teorema a
15.
< o
por ejemplo. Aplicamos el Teorema de Rolle en [ a , b ] c
( - 2 , - 1 ) ;
0 =
= -1
f (a ) = 0 .
Supongamos que existe otra raíz
14.
609
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
[0,1].
f continua en
[ 0 , 1]
=>
existe
por el Teorema del Valor Intermedio.
wQ g (0,1)
y que
0 < xQ <
wQ <
1
610
Cap. 6
Análisis Matemático 1
xQ *
w
. Como
Q
f ( * Q) =
f ( w
camos el Teorema de Rolle a
f
c e (x Q , wQ> c
tal que
(0 , l )
(
jc
= 0
Q )
f
[x Q,
en
)
y
es diferenciable en
w
Q
r
apli­
] , con lo que se tiene un
o = f ' (c ) = 5c4 + 3c2 + 2
a
lo cual es a b su rd o , pues
real :
V x
5jc
+ 3x
+ 2 >
2 >
0 , y por lo
tanto n u n c a se hace cero.
23.
nü
24.
a)
-1/3
f)
n/2
,
b) - 1 / 6
,
g) 1/6
/n
j l.
•
Como debe existir
,
,
w
lim
X
Así,
x [
=
0
,
= 9 /2 .
Si
lím
*_*()
-2 /3 ,
3x2
=
A
x2
a /3 = - 1
-S enx
------------- =
x -> 0
b
e)
Cos x + ( a / 3 )
9 lím
b =
(oo-oo)
do:
1
-(9 /2 ) +
Derivando respecto a
=
0 , entonces
x2
L =
26.
Cosx -
,
3Cos3x + a
x ~>°
x
a = -3
1/2
.
9 Hm
x —»■0
Por lo tanto
25.
=
cuando
0 /0
9 hm
L =
-1/2
(3x)2
el cual debe ser
A
A =
h)
d)
*3
Cos ( 3 x ) + ( a / 3 )
0
1 ,
Sen3x + ax
0
= 9 Hm
c)
9
------------- .
2x
implica que
, en cuyo caso
2
b = 9 /2 .
c :
lím
—
c —►a 2 c
a <
0
[ —tCos(ct) ]
=
— A t Cos ( a t ) / ( 2 a ) .
no existe límite, de modo que:
(*5+ 7 s4+2)a
_
a > 0 , y reescribien
, ]
X
que como debe seguir siendo indeterminado:
( X5 + 7 X 4 + 2 ) a
hm
X — ►o o
L =
i
— 1
entonces
. ,/r
3 — 1/ 5
r
y
t) x 5 + 7 x 4 + 2
lím
oo*0 ,
-
x
=
7/ 5
(Cociente Notable)
X -» ■ o o
27.
L = 1/2 .
28.
a)
0 ,
b)
0 ,
C a *\
a) Como
lím
x —► 0
c)
y
2 /3
m
,
1 ,
e)
0 ,
f)
jt/ 4
.
y
= 0 ,
x
d)
lím
x —► 0
Senx = 0
y
lím Cosx =
x —► 0
1
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
,,
lim
L =
(Sen* — x ) /x
-------------------------- =
0
Sen x
0
L =
( x Cos r — Sen x ) / x
----------------------------------0
Cos x
( x Cos x — Sen x )
------------------------------- =
hm
c)
.,
lim
lím
x —► 0
X
2
0
x -¥0
x
i,
*
Sen x
- 3 ,
30.
a)
1,
31.
a)
0 ,
32. a)
33.
b) n / 2
b) a / c ,
b) 0 ,
4n3 ,
o/o
y
,
c)
c)
2
n ,
c)
COS X
[ 1+ x
lím
0
Sen x
=
d)
d)
-1 /2
1
2(
)
=
2 + 1
1 /3,
,
]
L = n/4 .
Aplique la Regla de L'Hospital. Así,
a)
2x
r
2 l í m -------x
0 2 x Se n x + x 2 Cos x
29.
0
Sen2 x
x Sen x
f)
=
( Sen x + x Cos x )
Sen x — x Cos x
lím
hm
2
(Sen x — x Cos x )
X
- x Sen x
----------------
~4/n
d)
1/3 ,
e)
,
e)
[O -(-o o )]
1/4 ,
2 ,
f)
f) o
1/2 ,
g) o
... [ O - ( - o o ) ]
b) 1/3 .
f diferenciable,
lím g ( h ) =
lím
h -*• 0
h —► 0
=
l í m
entonces
f 7 (a + h ) -
f'(a -
h)
,
y como
f"(a )
existe:
2h
f
'
c
-
n
h —►O
o
-
f
'
w
_
2h
i í m
h —► 0
2h
1
^
í ' (a + h ) — f ' ( a )
1
= — f " ( a ) + — • lím
*
‘ “ y----- = f " ( a )
2 h —► 0
h
2
34.
h (0 ) =
0
i)
[0, x ]
En
y
h (x) -
En
,
= f'(x ) -
x > 0 ,
[ x , o]
>
g(x)
,
x <
,
L
=
0 ,
V x € R .
existe
0) > 0
o , análogamente a ( 1) .
Sen x
— l í m --------------------------4 x —► 0 x Cos x — Sen x
c / 0 < c < x
h(x) > 0
+
V x € Rt U {0 } .
3
35. a)
g '(x) >
el T.V.M.
h (0) = h ' ( c ) ( x -
fU )
ii)
h '(x )
1
1 + Cos x
612
1
Sen3 x
— ( l í m ------------- ) ( h m
2 x
0
x
0
_1_
4
lím
x
8
b)
L =
lím
x -+
Sean
L =
3*
—
0 — x Sen x
_
lím
x —>■0
Tan ( x / 2 ) =
Sen A
(Regla de L'Hospital)
A
x —► 0
o
B
—
B
Sen B
Sen [ n / 2 — ( t i / 2 ) C os x ]
^
A = [ j i / 2 — ( n / 2 ) Cos x ]
entonces
)
8
Sen [ 2 t i x Cot x ]
0
x Cos x — Sen x
3
Cos [ ( j i / 2 ) Cos x ]
x -> 0
Sí
36.
Cap. 6
Análisis Matemático 1
Sen [ 2
jix
Cot x — 2n ]
, B = [2nxC otx — 2n] :
y
B
o
= (0(1).
lím
x
luego
, de (a).
—
0 B
8
u /[S e n (x/2 )]
u = Sen ( x / 2 ) T a n ( x / 2 )
F (x) =
u Sen ( x / 2 ) =
=
[ Sen3 ( x / 2 ) ] / Cos ( x / 2 )
=
T a n ( — ) ----- — Sen x
2
G (x) =
lím
X - + 0+
2
— ( r 2x ) — Sen ( — ) Cos ( — )
2
2
2
F (x)
..
=
Sec
lím
G (x)
0
=
+
lím
X
Sec
=
— ( x — Sen x )
2
,
r = 1
( x / 2 ) — Cos x
■
1 — Cos x
( x / 2 ) T a n ( * / 2 ) + Sen x
1
+ 1 =
2
Sen x
0
3
37. Ambos existen y son iguales a 0 . ¿ P orqué?
38.
( — 12 m
39.
a)
40.
1/3 ,
/seg.)
Está disminuyendo en ese instante.
b) 2 / 3 .
Con L'Hospital pruebe que
lím
0+
x2-
Sen ( x 2 )
=
0
.
x | Sen x |
h (t) = 4xt - t2 = 4 x 2 - (t - 2x)2 , t e (3 x , x > = S
- 1 < x < 0 .
Además,
t e ( 3x, x )
con x fijo :
t - 2x e ( x , —
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Luego,
2x)2 e { - X 2 , 0 ]
(t -
S up[h(S )] = 4x2 ,
=>
613
h ( t ) € <3x2 , 4 x 2 ] =
y así
4x2
fU )
h (S)
,
—i <
,
0
x < 0
=
[ x2-
y se prueba que
lím
S e n ( x 2 ) ] / C x | S e n x |2 )
f ( x ) = o . Se debe definir
f(0)
< x <
1
= 0.
x -► o
41.
Para la derivada en un punto recuerde que basta considerar una pequeña vecindad
de
x Q = —1 :
x e
( - 1 - 8 ,
Dentro de una tal vecindad:
f ( x ) = Cos ( n X
2
[ [ — x 2 /5 ] | =
) + | x + l | 3^ 2 [ 8 -
f (- O = 0
f
- 1 + 8)
- 1t
y ahí la función se reduce a
(x + l ) 2 ] Tan3( -^ í-)
4
,
C o s [ j i ( h — l ) 3 / 2 ] + | h | 3 / 2 (8 — h 2 ) T a n 3 [ n ( h — 0 / 4 ]
( - 1 ) = l í m ---------------------------------------------------------------------------------------------------h -f 0
h
Cos [ n ( h - l ) 3/ 2 ]
= h m ----------------------------------h —► 0
h
=
42.
V R ( - 1) .
=
\
a)
f
lím
h-fO
(x )
—
2
1+
=
2x
o
= —
0
( h — l ) 2 Sen [ — ( h — l ) 3 ]
2
+
.
3x
2
+
...
+
n— 1
=
n x
=
.
2
x n + 1 + (n + l ) x n
-----------------------
n
(X
b)
f"(x )
=
_
2 + 3 (2x) +
...
+ n ( n — 1)
jcn
2
=
-
+
1
l ) 2
S
n (n — l ) r n + 1— 2 ( n 2 — l) x n + n (n + l ) x n — * — 2
U
Por L'Hospital note que si x
t i ende a
-
o3
1 , en (a)
S =
n (n + l)/2
, y en
- 614 -
Análisis Matemático 1
INCÓGNITA:
B
lím
x
z + r
r Sen x
z
0
P =
.
=>•
z + r Cos
=
(rC o s x , rS enx)
0
xr
w
lim
;
Cap. 6
+
z =
jc
x
lim
xSenx
--------------------
x-+0+
1 -C o s *
r
r ( Se n x — x Cos x )
=
r
— Sen x
x Se n
lim
Sen2 x
*-¡.0 +
( por la regla de L 'H o s p ita l) , y por lo tanto
B =
lím
+ Cos x )
(1
jc
(-2r,0)
.
jc —► o
aa
44.
,
L =
2 f '( a + 2 h ) - 2 f ' ( a + h)
lim
----------------------------------------------h->o
2 h
=
2
f'(a + 2 h ) - f ' ( a )
h —y 0
=
48.
Como
_
f*(at
b —y 0
2 h
f"
(a) -
f'
existe en
2
f " (a)
,
, ,
( respecto a h )
f"
=
c e [a,b]
entonces por un teorema:
La función g es diferenciable sobre
g ' (b ) = f ' (b ) g ' (c ) = o =
50. f ( 2 ) = o
son dos
f(-i)
t >
f ' (c ) -
existe
= 5
f'(c )
= 0 , y
ni con b .
y
g ' (a ) = f ' (a ) -
c e (a,b)
tal que
t < 0 ,
g ' (c ) = 0 ,
por el Problema [ 4 8 ] .
es un mínimo relativo
máximos
51. f ' ( x) =
,
t
[a , b ]
=>
0
h
(a) .
por los datos presentados c na coincidir con a
*
49.
h) - f > )
relativos.
f ( - 1) = 5
(y el único) ;
Luego,
f (2 ) = o
es
y
f (4 ) = 3
el mínimo
absoluto y
es el máximo absoluto.
— (x +
3 ) / [ ( j c
+
4 ) 3 /,5 (jc
+ l)1^5 ]
5
Puntos Críticos:
x e
-5 ,
( - 5 , - 4 )
<
f'íx)
Hx)
- 4, - 3, - 1 ,
( - 4 , - 3 )
0
>
decrece
f(-5 ),
f ( - 3 ) ,
f(-4 ),
f( - i)
El máximo de f es
0
( - 3 , - 1 )
(-1 ,0 )
< o
crece
f ( 0) :
:
0 .
decrece
>
0
crece
máximos relativos
mínimos relativos.
f(-5 )
=
3] 256
y el mínimo
f(-4 )
=
f(-l)
= o
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
52.
- 615 -
( r , 0 ) , ( 0 , s) G L T
( eliminamos el subíndice para
^ 4
2
los cálculos).
(x Q , y Q) e C
Y como
dz
Deriv. Im plícita m en te :
=
entonces
z
g 2 ,p2
= — — + — ------- a —x
O < x < a,
O ,
dx
■ = aVa" / ^ a + b , i/0 = bVb~ / ^ a + b
y en este caso la l o n g i t u d m í n i m a resulta
53.
Parábola
( i/ -
2)
z
=
a + b .
= x - 3
A = (x,2 + ijx —3)
B = (x , 2 ÁREA ( T )
V * -
= H =
H = 2 /7 ^ 7
H '(x ) =
3 (5 -
O
-(9 -
x)/^ x - 3
= O
Se descarta
Dimensiones:
base
ÁREA MÁXIMA
a)
f'(x )
x)
implica:
x = 5 .
54.
3 )
=
x = 3
= 9 -
x = 4 , altura
= 2^ x —3
=
2 V T
8-VTu2 .
= ( y H * + 2)(x f ( — 2) = - 1 2 V T
f ( 0) =
pues origina ÁREA = O
o
2 )/V T
= f (2 )
,
Puntos Críticos:
x = - 2 ,0 ,2
son mínimos relativos y
es el único máximo relativo.
616
b)
Pues como
Are T an z
es continua en todo
( 0 , 7 1 / 2 ) , el valor mínimo absoluto de
55.
Cap. 6
Análisis Matemático 1
( x Q , 1) € C
=>
f
y su rango es el intervalo
es
f ( Are T an — ) =
4
125 .
xQ = 8 > 0
d y / d x = - ( y / x ) 1^ 3 = - 1 / 2
y - 1 = - — ( x - 8)
Lt :
2
Ln :
y r =
1 =
I -
2(x
-
— (x -
8)
8)
2
s =
A
=
1 + 2 ( x — 8)
x ( r — s)
=
-
— (x2 -
8x)
2
A' (x ) =
0
=£•
A "(x) = - 5 <
x
4
=
0
A (4) =
56.
m á xim o v a lo r
Sen 0 = z / x
,
= 40 .
Cos 20 = (a — z ) / z
f
=$> Cos 20 = [ a / ( x S e n 0 ) ] — 1
Minimizaremos x :
,
a
x (0)
x = a / (2 Sen 0 Cos
2
0)
r Cos3 0 — 2 S e n 2 0 Cos 0
L------------- ::-------- :----------- J
Sen 2 0 Cos4 0
2
B
a—z
Si
x' — 0
que
<=>
Cos 0 = V 2 / 3
,
Sen 0 =
0 = Are T a n ( l / V T )
57.
y — aCosec(20)
,
,
x t i ende a oo , así es
0 = 0 ó jt/2 :
-O -
3Cos2 0 = 2
1/-/7
x mín = 9 - / J / 2
Cos 20 = (a — z ) / z
=
.
(a/z) — 1
2
z = — Sec2 0 ,
2
A '( 0 ) = 0
O-
ÁREA
=
A =
,
2
Tan 0 =
0 =
VT
*
A (0) = (—
8
2a
/T
l
)(
Sen 0 Cos 0
con lo cual
’
)
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
y
58.
= 2 a //7 ,
z0 =
y' = 2 x Q , L T :
2a/3
A m ¡n = 2 a 2 / ( 3 / I
) .
y - 4 + xQ = -
( 0 , s) , ( - r , 0)
s =
,
-617-
€ L~
xo + 4
r =
y0 J
ÁREA
A = rs/2 =
( - r , 0)
+ V 2
A ( x Q) =
4x_
quitando el cerito : A 7 ( x ) = o si
cuadrante) . S i
59.
V = ( 4 ji/3 ) ( r 3 V
r2 =
tj =
A
= r
A (r)
=
,
dV /dt =
,
(maximizar) ;
- 2 <
,
0
m ín
A 7(r)
=>•
=
1+ x
,
x
>
0
Cos x
,
x
<
0
= 32-/T/9 .
r2 =
r j V a/ b
2r + Gr =
100 — 2 r
2 500
=
0
(2 + 0 ) r
r =
es el máximo valor.
f(x)
62.
x = k/2 = y
63.
x =
64.
x Sen 0 + x C o s 0 = a
^ k/2
=
,
-2 -/T
— b V~b* ) .
200 =
A (50) =
=
r2 ^ ri = f l / b
T\ = r + t ( a ,
P =
x
4 n ( r 2 b - r 2 a)
dV /dt = 0
R + tjb
(100 — r ) r
A 77 ( 5 0 ) =
61.
rj3 )
( R V~b" — r V"a" ) / ( a - / T
0/2
4 , es decir si
el área es infinita .
es máximo para t , :
Además,
60.
x = o
3x2 =
ÁREA = x
=
a / ( I + Sen20)
50 m
(2do.
618
Análisis Matemático 1
= 0
A '(0 )
x
para
20 =
n¡2
=>-
0 =
ji/ 4
Cap. 6
T
x Sen 0
a
=
x
Se n 0 + Cos 0
i
JL
H
= x = aV T
65. Lado
.
2
66.
Rectángulo de lados x , y :
xy = a ,
A = — [ x 2 + (a2 / x 2 ) ] ,
ÁREA
A '(x ) = 0
= 7T ( —
para
4
67. Minimizando
a =
n2
R
2
«
ti
V = ( 4 j i / 3 ) R 3 en términos de r .
r (2 V R 2 — r
a
^ y/ i /
/(1 6 n
^
=
(*) :
R
0
^\
) + r
2
s \
...
( ♦)
2
t
para
=
)
+ r 2 ] 3/2
-,
2
16 n
V '(r)
r
r
=
a/(2n)
a/(4 jr)
.
R =
• •
68.
r
=
R /2
69.
r
=
2R /3
70.
Maximizando el volumen V del cono
V
=
(n/3) r
H /2
h
H /3
=
h
R +
V
(n /3 ) r 2 (R +
=
r =
=
tj R 2 -
0
t
...
(*)
J R 2 - r2
)
para
2 V T R /3
Dimensiones:
VT
,
h =
V '(r)
71.
,
h =
r
,
h
LARGO
ANCHO
=
4 R /3 .
VT ,
y = R VT/2 , x = 2 y .
x = R
Cos 0
x =
2
h —— )
a
= y
72.
- 619 -
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Maximizando el área del trapecio para
0 < n/2
0 <
A = — (rC o s 0 )(2 r + 2rSen0)
2
A / (0) = 0
para
Cos ( 2 0 ) = Sen 0 :
2 S e n 2 0 + Sen 0 (2 Sen 0 Sen 0 =
1 /2
ALTURA
Sea
,
2rSen0 = r
r Cos 0 = V T r / 2
k = Costo del material A por era
.
y = 2x .
;
Los 4 lados = 4 k y z
V = xyz =
Costo total
La base
= (2k) xy
La tapa
= (6k)xy
288 = 2 x 2 z
(*)
= C = 4k ( y z + 2 x y )
I
—
i
a
8 k x ( z + 2 x ) 16k [ ( 1 4 4 / x ) + x 2 ]
C '(x) = 0
74.
= 0
0 = j i/ 6
:
Costo de :
=
1
i
1) (Sen 0 + 1) = 0
BASE SUPERIOR:
73.
r Sen 0
para
0 = 90 — 2 a ,
x = 2 ^ /T T
,
y = 4 ^TT ,
z = ^TT
, de
(*)
y = R C ot 0 t
z = x = R C ot a ,
h =
R + R Cosec 0
Minimizando el perímetro p :
p = 2 ( y + z + x ) = 2R (C o t 0 + 2 C ot a)
p ( a ) = 2 R ( T a n 2 a + 2 Cot a)
p'(a) = 0
para
Sec2 ( 2 a ) = C osec2 a ,
Sen a = Cos ( 2 a )
B
Sen a =
£
_1_
2
Luego,
75.
a = tc/ 6 ,
Minimizando
para
h = 3R .
d = a + b ,
x e [ 0 , 12 ] :
a = -y 9 + x 2
,
b = -y x 2 — 2 4 x + 180 ,
620
Análisis Matemático 1
d ' (x ) -
Luego,
76.
0
para
Cap. 6
x = 4 .
d m in =
5 + 10
=
15 km .
H
x G [ 0 , 1000 ]
a)
Costo C =
C =
20 a + 12 b
C(x) =
C '(x) = 0
,
x G [ 0 , 1 000 ]
2 0 ( x 6 + x 2 ) 1/2 + 12 (1000
para
- x)
x = 750 , a = 1 250 ,
b = 250 pies.
Se debe tender i 250 pies bajo el agua y 250 pies
b)
Costo
C = C (x) = 2 0 (x 6 +
En [ 0 , 1 0 0 0 ] ,
Elegimos un
xQ =
750 ,
C '(x) *
x
0 ,
2 ) 1/2 +
pues
sobre la tierra
16(1000 -
C '(x) =
0
x)
para
x = 1333 .
x Q g [ 0 , 1 0 0 0 ] para ver el signo de C ' ( x ) :
entonces
C ' ( x Q) = - 4
<
o
ra todo
x g [ 0 , 1000 ] .
C (x )
resulta ser decreciente, con el mínimo en
; luego,
sea
C '(x)
< 0
pa­
x Q = 1000.
Así, se deben tender las líneas de energía todas dentro del agua en cantidad
de
77.
a)
a = 1 0 0 0 -/T =
A =
1414.2
m in f [ - 1, 3 ] = f (3 ) = 2 /5
para lo cual se probó que f ' ( x )
b)
78.
Sea
Máximo = 4 ,
x =
G(x) =
pies.
<
0
m áx f = f ( - 1) = 6 ,
en [ - 1 , 3 ] .
Mínimo = n .
N ú m e ro de días ;
50 g r = 0.05 kg
Ganancia obtenida al transcurrir x días.
=
Precio de venta -
=
[ 1200 -
( x - 1) 10 ] [ 2 + ( x -
0
x =
G '(x) =
, B =
para
Costo
11 días
1) 0.05 ] [ 10 000 ] -
300 000 x
( que corresponde a la ganancia máxima ) .
79.
Se intersectan en
(± 2 -/T ,0 )
Lados:
( x 2 /2 )
2x , 6 -
ÁREA
... Eje X
A ( x ) = 12 x — x 3 ,
0 <
x <
a'C x) = o
Base
2VT
para
x = 2
= 2x = 4
Altura
= 4 ,
A (2 )
es el máximo valor
pues
80 .
621
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
A " (2 ) <
0 .
Equivale a hallar la varilla más corta que está pegada a A y B (deslizantes), pa­
ra 6 tal que o < 0 < ji / 2 :
x = A Cosec 0 , y =
b Sec 0
z = x + y
Longitud
Minimizando la función z ( 0 ) :
z '(0 ) = 0
-O
aCos3 0 =
T a n 0 = lj a / b
es decir
bSen3 0
,
que por las condiciones del problema
corresponde a z mínimo; así,
mí n
a
2 /3 , , 2 / 3 3 / 2
= x + y = (a
+ b '
)
CASO PARTICULAR:
81 . a)
(a
MÉTODO 1.-
( o, oo)
y como
z
.
=
m in
f'(x ) =
125 pies.
r
m - ( l / x 2 ) ; si
y no tiene mínimo ahí. Si
f ; / (x) = 2 /x 3 >
0
1/3
m >
en
m <
0 , f es decreciente en
o , f'(x ) = o
(0,oo)
entonces
para x =
1/V " m " ,
x = l/ V " n T
corres­
ponde al mínimo de f ( x ) .
Es decir,
V x >
Como f ( x )
m >
MÉTODO 2.-
0 :
debe ser > o ,
1/ 4 ,
>
>
v
f (l/V m ") = 2 V m — 1 .
x e (O .oo)
siendo el mínimo de tales m :
mx — 1 + (l/x ) = (mx
mx2 — x + l > 0 ,
ni
f (x )
1/4
,
V x > 0
-O
2 Vm~ m =
— x + l)/x
1/4
> 0
DISCRIMINANTE
y el mínimo de tales m re s u lta se n
i >
o
.
-O
> 0 : 1
m =
— 4m <
1/4 .
0
Cap. 6
Análisis Matemático 1
62 2
b)
0 6 [ 0 , ji / 2 ]
:
Tx = x / u •
y/v •
Ty =
T = Tx + Ty = x /u + y /v
y = R • 20 , x = 2 R C o s 0
T '(0 ) = 0
para
Sen0 = —
v
*>
Si
u >
v : T ' > o en
( 0 , n / 2 ) , entonces T ( 0 ) es el valor mínimo, es decir
y = 0
solamente Remo .
❖
Si
v
u <
puesto que
<
entonces el punto crítico 0
0
para
0 6 ( 0 , 71/ 2 )
Sen0 = u / v
tal que
corresponde a un
máximo (único) y por lo tanto el T mínimo está entre
2R
71 R
, eligiendo el menor de ellos.
T (0) =
Ó T ( ti / 2 ) =
u
V
CASO PARTICULAR:
Si
u = 2
.
v = 4
,
T m ¡n = n R / 4
que corresponde a 0 = n / 2 , es decir sólo c a m i n a t a
82.
a)
Para
x = 75
(x
= 0) .
maximizaremos
la altura y — g ( m ) = 75m —
(m 2 + 1)225/8,
f(x)
g'(m ) = 0
para m = 4 / 3 , que corresponde 3
b)
^m á x ’ pues
y = 0:
g"
<
Jt = 200 m / ( m
0’
+
1) ,
d x / d m = 0 para m = 1 ,
(m
83.
i,
L|
=
- i
e [o ,i]
:
y -
2
x,
i
se descarta pues
x > 0 ).
,
=
x
que al intersectar con
se obtiene x = x } ó
-
x,
i
y x =
,
x
i — x
1
En tal caso,
x máx =
100
,
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Y por la simetría de la figura:
C = ( (1 — X j )
- 623 -
, l — Xj ) , D
Y quitando los subíndices:
ÁREA
=
=
d [ A , B ] - d [ A , D ]
A '(x )
2( 1 -
=
2 x (1 — x ) I 1 — 2x1
2x)(6x
-
= A (x )
6 x + 1)
I 1 — 2x I
Descartamos el punto critico
x =
ría = 0 (mínima). Luego,
A '(x ) = 0
= (3 ;
VT ) / 6
.
84.
V 2 /3
=
= V T /9
a > 0 , Long . = g =
T *
y -
b =
pues en tal caso
para
x = (3
Para el área máxima elegimos
Largo = d [ A , B ]
Área máxima
1/2
,
Ancho
Xj =
A =
B y el Area se
±VT )/6 , l ( 3 - VT ) / 6 .
= d [ A , D] =
V T /6
x =
,
.
/ r
2
,
+ S
2
( — 4 V T / a 3 ) (x -
a)
b = 2 V T / a 2 , ( 0 , s) , ( r , 0) 6 L t
r = 3a/2
,
s = 6-V T/a2
MINIMIZAR g EQUIVALE A MINIMIZAR g 2 :
g'Ca) = 0
85.
para
a = 2
g m in
= 3 -/T /V T
G (x)
=
, p = (2 , i / V T ) .
Ut i l i dad p o r x lapiceros,
1 200 x
G(x)
=
100 x [ 12 -
0.02 ( x -
500)]
100 x [ 10 -
0.01 ( x -
600)] -
>
1 200
G '(x)
=
^
2 200 -
4x
1 600 -
2x
G"(500) <
0 y
60 000
0 ,
0 < x <
500
,
500 < x <
600
,
< x <
500
500 < x <
600
x
>
600
600 < x
Puntos Críticos para el problema:
Como
0
x =
500, 550 , 600, 800 .
G^CSOO) < 0
entonces 550 y 800 corresponden
a valores de G máximos, en sus dominios. Luego,
G (50 0 ) = 600 000,
624
Análisis Matemático 1
G (550) =
605 000 , G ( 8 0 0 ) = 580 000.
Así, la producción debe ser de 550
lapiceros para obtener una utilidad máxima de
86.
D = d -
(R + r )
,
0 < x <
D ,
Cap. 6
605 000 pesetas.
S = 2:*RH + 27irh
Además, por semejanza de triángulos:
H = x R / ( x + R)
>1
■■
,
h = (D -
cS t ,( x )^ = „0 para
A
Maximizando,
x
x) r/(D -
x + r)
r 3 / 2 (D + r ) - R r 3/2
= ---------- ----------- ------------------R3
+ r 2
Que corresponde a S máxima, pues
S " (x ) = -
87.
4n
[ R 3 /(R + x ) 3 + r 3 /(D -
0 6 [ 0 , ji/ 3 ] , S =
a = 4 Sec 0 ,
S'(0) = 0
Sen 0 =
x =
2a + ( 4 - / T -
x + r)3 ] <
0 .
x)
4 Tan 0
para
1/2
0 = n/6 .
Siendo
S " ( j i / 6) >
S(jt/6) = 8 V T
88
Cos 0
0
entonces
es el mínimo.
1
Cos 0
A = Sen 0 + (2 Sen 0 Cos 0 ) / 2
A ' ( 0 ) = (2 Cos 0 - 1 ) (Cos 0 + 1)
A ' (0) = 0
A máx =
para
0 = jt , n / 3
= 3 V T /4 .
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
89.
k =
precio de i tonelada de primera ,
k /2 =
k >
625
0
precio de 1 tonelada de acero de segunda.
Beneficio:
f = (k/2) x + ky
f(x)
f'(x )
= 0
...
= ( k / 2 ) jc + k ( 5 x para
x = 10 -
por día
4 0 )/(x -
2V T
ó
10) ,
0 <
x = 10 + 2 V T
Así, el Beneficio máximo corresponde a la producción de
x < 10 ,
(descartad
VT
1 0 - 2
toneladas
por día de acero de 2da. Clase.
90.
s ' ( f ) = 192 0
32 f =
32(6 -
si y sólo si
a)
s'(f) =
b)
s (£) = 0 para
f)
,
s"(í)
t = 6 seg. ,
t = 0 ó t -
= - 32 < 0
s ( 6 ) = s m^x =
576
(ALTURA)
s ' (12) = v (12) = - 1 9 2 m / s .
12
Área
= a ( b + c)
64 = h 2 + m 2
100 = h 2 + (12 =>
5
VT
h = -ü
m )2
m = 9 /2
, m 6 [ 0 , 12]
Por semejanzas:
b =
m (h — a )/h ,
A '(a ) =
a = 5 V T /4
para
92. x = 3 Cos t
{
12 -
, y
24 ( a / h ) = 0
= h /2
= 3 Sen t ,
( t ) = d 2 = (15-
f'(t) = 0
c = (12 — m ) ( h — a ) / h
para
b + c = 12 ( h — a ) / h
0 <
3 Cos t ) 2 + (8 -
T a n t = 8/15
t <
= 6
2 n
3 Sen t ) 2
Sen t = 8 / 1 7 ,
Cos t = 15/17 .. ( a )
Sen t = - 8/17 , Cos t = - 15/17 (fi)
y como
93.
f"(t)
= 6( 15 Cos t + 8 Sen t )
entonces:
❖
de
(a) :
d(t) = J fT t)
=14
❖
de
(¿3) :
d ( t ) = V f (O
= 20(d. m á x ) .
p = 60 = 2a + 2 x
, Volumen = V = n h
( d . mí n) .
(2 x )/3 ,
donde
626
Cap. 6
Análisis Matemático 1
h 2 = a 3 — x 2 — 60(15 — x ) ,
V 7( x ) =
v"
Como
x = 15/ 2 .
0 para
< 0
para
x = 1 5 / 2 , corresponde a V máx.
Así, las dimensiones son
a = 30 — x = 4 5 / 2 ,
94.
a + b =
4 , a > 0
f 7(a ) =
0
para
2x = 15 .
, b > 0 ,
a = 8 / 3 . Siendo f 77 ( 8 / 3 )
es mínima para a = 8 /3
95
f ' (x) = (8/3) (x es creciente sobre
f
es decreciente sobre
0 y
a)
>
f (a) =
0
a 2 + ( 4 —a ) 3 ,
la suma
f = a2 + b
(8/3) = 4/3 .
2) / ( x + 8 ) 1 / 3 . Ptos Críticos: x = - 8 , 2, 4
[ - 8 , 2 ]
y
[4,oo)
{ - o o ,- 8 ]
f ( 4 ) = 48 ^ 144
f ( 2 ) = 36 ^ 100
96.
, b = 4 -
4) ( x -
f
f (-8) =
f = a2 + b3 ,
y
[2,4]
son mínimos relativos,
es un máximo relativo.
y
5 0 x 50 = 2 500 p ie s 2
x + y = 200
4 x + 2 y = 200
b)
A = x y = x (100 - 2 x )
ÁREA
A 7( x ) =
Siendo
97.
B (x ) =
0
para
x =
50.
A 77 < o , ambos valores corresponden a
R (x ) -
C ( x ) = 80x -
B 7( x ) = 8 0 - 0 . 4 x
que
x = 25 , y =
= 0,
para
0.2 x
-
=
20
pasajes
x = 900
100.
x <
800
0.02 ( x -
800) ]
,
x > 800
artículos producidos por semana, para u maxima
225 alumnos.
xy =
S =
<
o
MENOS DE LO NORMAL
|
x [ 20 -
99.
100
x = 200 , B 77( x ) = - 0 . 4
20 x
u(x)
= 1 250 .
indica
200 corresponde a un beneficio máximo.
Por lo tanto, ella debería vender
maximizar su beneficio.
98 .
max
y/2
10 800
2x + 3(y/2)
=>
120
y
para
Cap. 6
101.
Aplicaciones de la Derivada
K = 4 7iR 2 +
6x2 ,
V = (4ti/3)R 3 +
x = [ ( K — 4 t i R 2 ) / 6 ] 1^ 2 ;
a)
R
=>
b)
X = 0 ,
R
tal que
v0
x3
V ' (R ) =
K = 4 n R 2 pues
tal que
V'
- 627 -
si y sólo si
0
no existe ( ¿ p o r q u é ? ) ,
= ( 4 j i / 3 ) [ K / ( 4 t i ) ] 3/2
K * 4 tiR 2
;
V '(R ) = 0
m áxim a;
para
x =
ver(b).
2R
=>
V = ( 4 / 3 ) R 3 ( n + 6)
V
= -1— L . ( — íS— ) 3^ 2 (7t + 6)
1
3
8
ti + 6
102.
Altura
h = 3b ,
103.
f (0 ) = i ,
Base = 2a V T
mínima, es
<
V
.
°
.
f { n / 2 ) = ti (2 — ?r) / 4
<
0 ; f es continua y diferenc. en
Por T. del V. Intermedio existe c en el intervalo ( 0 , n / 2 ) tal que
f (c ) = 0.
[ o , oo ) :
Como la gráfica es simétrica respecto al Eje Y analizaremos f sobre
f ' ( x ) = x (Cos x — 2) <
es estrictamente decreciente en
para
c € ( 0 , 71/ 2 )
V x 6 ( 0 , oo)
0 ,
[ 0 , o o ) , y como
entonces
f (x ) = o
104.
v
f (0 ) =
x > 0 :
hallar
A mín
l
equivale
14
A >
a hallar el m á x i m o
( 0 , 0 0 ) . Para que A m í n = g ( x 0 ) m á x .
g' (x ) -
70x4 -
rresponde a
35x6 -
g m áx
pues
35 x 4 ( 2 g"(V T )
= 16 V T .
105.
a)
a e [ 0 , t i / 4 ] , Maximizando
P ( a ) = 4 r Cos a 4* 2 r Sen 2 a
P'(ír) = 0
si y sólo si
Cos 2 a = Sen a
,
(2 Sen a — 1) (Sen a + 1) = 0
para
Sen a =
1/2
a = n/6
y
f(c) = 0
I4x5 de
< 0.
f (x ) = o .
5x7 ;
de modo que,
g ( x ) = 14x5 - 5 x 7
pues A >
x 2) = 0
(0,oo),
( - 0 0 , o ).
entonces hay exactamente dos raíces de
5x2 + A x " 5 >
f
tiene una sola raíz en
y por la simetría también tiene una sola raíz en el rayo
Como
^
f (0 ) = l
R.
g ( x Q) m á x > g ( x ) ,
para
Luego,
en
x = V T
A m ¡n =
, que co­
g(V T) =
-628
Análisis Matemático 1
Como
P " ( tt/ 6) <
Y por ser
o
P (0 ) =
entonces
4 r ,
pm ,
ma x
Cap. 6
= P U /6) = 3 r V T
= 2( 1 + V T ) r , entonces
P (n /4 )
.
Pm ín = 4 r .
b) Para cubrir todo triángulo isósceles de perímetro p , el mínimo valor de r
para a e [ o , j i / 2 ] lo elegimos de modo que tal círculo cubra incluso a
los valores máximo y mínimo de
P(or)
tal r m í n i m o será el mayor entre
P(0) = 4 r ,
P ( 7 t / 0 ) = 0 , es decir el mayor entre
Así,
106.
Sea
=
m ín
k =
=
2k
a e [ 0 , t t / 2 ] ; es decir,
para
P(jt/6) = 3 r V T ,
r = P /4
y
r = P /(3 -/T ) .
P /4 .
cantidad de luz que admite
B /m
cantidad de luz que admite
C /m
Cantidad total de luz:
A
=
k 71 X
2
2kx
+
,
(p -
7ix .
x
)
y
8
A '(x ) = 0
x/2
c
x = 4 P / ( 8 + 3n)
para
y = P * ( n + 4 ) /( 1 6 + 6 ji) .
108.
5 400 dólares.
109.
h2 =
4R2 — r 2 ,
( A m ín im o ),
Luego
110.
r =
0 < 0 <
A = xy
ó
A
Anrij R2 -
= R /-/T
r
R /V T
n/2 ,
=
,
h =
r2 ,
A '(r)
=
, ( A máximo).
2r
= V T R .
x = 2 R Cos 0 ,
y = R Sen 0 .
= R 2 Sen 20
a '(0 ) = o
para
0 = tt/4
que corresponde a A máxima
pues
A "
<
0
Luego, ALTURA
BASE
111.
r =
2/VT
112.
0 <
0 <
.
en este valor.
= y = R /V T
= x = V T R .
s
=
n/2 , a
Minimizando
1/VT , (2r
=
8 Csc 0
x = 27 Cos 0 -
,
+
x
8Cot0
s)máx
=
=
VT .
(27 — a ) C o s 0
o
para
r =
R ,
y
x ' (6 ) = o
Así,
113.
- 629 -
A p lic a c io n e s d e la D e r iv a d a
Cap. 6
para
Sen 0
2 /3 ,
Cos 0
V T /3
m ín
x = a Csc 0 ,
0 < 0 <
y = bSec0 ,
ji/2 , z = x + y
minimizando
z (0 ) :
z'(0) = 0
para
Tan0 = ^ a/b
Sen 0 = y 7 W a 2 / 3 + b 2/ 3
Cos 0 = H T / h 2 1 3 * * 213
mín
= x + y
r 2/3 , , 2 / 3 ,3/2
= [ a ' + b
] '
CASO PARTICULAR:
114.
a = 2 7 / 8 , b = 8 , z = 125/8
(mín).
A = (x + a) y , 0 < x < a
x * ( x + a)
A (x ) =
A '(x ) = 0
para
BASE SUPERIOR
=
115.
.
x = a /2
= 2x = a =
MITAD DE LA INFERIOR.
A = x (b — y )
,
A -
y 2 * (b -
b2 -
—b < y < 0
y)
b
A 7( y ) = 0
para 2 y + b = 0
que es la ecuación de la base,
es decir
y = — b /2
116.
[ A m áx ] .
LT : I f
a
+ - * f
b
(o , q) y
(p ,-b )
=
,.
€ Lt
=>
q =
b 2 /s ,
p = a(b + s )/(b r)
630
Cap. 6
Análisis Matemático 1
a b ( b + s)
A = p (q + b) =
- S
S VV bD2 —
A'Cs) =
0
para
s = b /2 ,
r = VT a/2 .
/.
BASE
2p
=
ALTURA
117.
r 2 = 400 V '(h ) =
=
2a VT
q + b
h2 ,
0
=
para
= 3b .
V =
(l/3)jth(400 -
h = 2 0 /-/7
h2) =
V(h)
,
.
118.
V
=
— r2 h
V '(0 )
119.
= O
=
para
En un instante
R 3 0 2 -J 4 j i 2 0 = 2n V 2 /3
t > o :
1
=
d 2 = (200 -
80 t ) 2 + (50 t ) 2 -
Minimizando
f (t) = d2 :
f'( t)
para
=
0 2 / (24 j i 2 )
801 ,
...
[ V máx ]
y = 50t ,
50 t (200 -
O
t = 70/43
horas.
B
120.
O <
x <
BM =
ÁREA
, 0 < 0 <
n/A
B
R Sen 2 0 , x = R Cos 9
=
A '(0 )
R
A = ( x + R ) R Sen 2 0
= 0
para
Cos 2 0 =
1 /2 ,
0 = j t / 6 , A ( j t / 6) = 3 R 2
VT/4
Y la distancia correspondiente entre
la cuerda BC y el punto A r e s u lta s e n
x + R =
3R/2 .
20\
1 M — X—
(máx).
C
R
^
121.
- 631 -
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
AREA A
r
1
A = — valor.abs.
2
s
I
1 4
1
3
1
0
A (1,4)
A — I 6 — 2r —s
2x 2 + y 2 =
ELIPSE:
B
18
(3,0)
C ( r , s)
x = 3 Cos t = r
=£-
y = 3 VT Sen t = s
t e ( 0 , 2n)
t *
y
A re Cos ( 1 / 3 )
A (t) =
[ Primer cuadrante ]
( 6 - 6 Cos t -
f ( t ) = 6 - 6 Cos t maximizar la función
3 VT Sen t |
A = 0
, denotado por
3 VT Sen t . Maximizar la función
f (t) =
0
0 [ Amín
De
: A (t) = | 6 -
{P) :
A (t) =
122.
0
6 -
=
Tant =
Cos t =
,
C osí =
3 VT -
9 V 2/3 | =
3VT + 6
t)
1/VT
V 2/3
— V 2 /3
(a)
...
6
= ( -
««•
max
VT , - VT ) .
0 = P — a
máximo :
Tan p
Ó
,
9 V 2/3 | =
C = ( r , s) = (3 Cos t , 3 VT Sen
/.
equivale a
3 VT Cos t ]
0]
=
fc 1/VT
Sen t = —1/VT
Sen t
De ( a )
| f (t) |
[ f (t) ] 2 = S (t) = [ A ( t ) ] 2 :
S' ( t ) = 2 f ( t ) ■í ' ( t ) = 2 f ( t ) - [ 6 Sen t S "(t) =
(Área mínima).
3.2/x , T a n a =
1.8/x
1.4 x
Tan 0 =
x
+ 5.76
Derivando implícitamente :
d0/dx
= 0
éb d e c i r , para
123.
=
para
x2 =
x =
2 .4 m.
Sea
2k
V o l.
V = 400 n = J i r 2 h
5.76
Costo por metro cuadrado de la base
,
Costo
C = (2 k)n r2 +
k(2 n rh )
(/?)
632
C(r) = 2 k n [ r
C 7( r ) = 0
124.
Cap. 6
Análisis Matemático 1
ÁREA
+ 400/r]
implica que:
= 2xy
r = 2^25*
,
h = 4^~25
= 2x(12 — x 2 ) ,
x e [o, 2 V T ] .
A '(x ) = 0
y = 8 .
x = 8 ,
A
125.
,
= 32 .
má x
L:
para
y = ( — b / a ) ( x — a)
=
A =
a /(a -
A 7(a ) = 0
para
AREA._ • a
mínima
126.
Dominio =
a >
i Y
1 ,
b = 2 a / ( a — I)
( 1, 2) € L
Área
,
=
1)
a = 2
4 u
Rango
(0,b)
, b = 4
( a , 0)
.
= [ - V T / 2 , V T / 2 ] , x = ( 3y ± 2 ^ 5 -
4 y 2 )/5
Considerando
f =
f'(y )
1
= 0
(4 + 6 x y )
para
4
=
— +
5
(4y 2 -
— (3y2 ±
25
1) ( y 2 — 1) =
0 :
con los valores en los extremos :
Con estos puntos críticos de
(1.1).
(1/5,1),
(1/2, - 1 / 2 ) ,
Y evaluando en
127.
f =
f (y )
y =
x
+ y
± 1/2
( - 1 / 2 , 1/ 2)
(-3/C 2V T ),- VT/2)
verificamos que los puntos:
a)
más cercanos al origen son
( — 1/2, 1/2)
b)
más alejados del origen son
(1,1)y
a)
Lado del cuadrado
Lado del triángulo
± 1,
± V T /2
(-1,1),
( 3/ ( 2 V T ) , V T / 2 ) ,
2
y =
4y2 )
obtenemos en la curva:
(-1/5, -1) ,
2
2y V 5 -
y
( 1 / 2 , — 1/2)
( - 1 , - 1 ) .
=
V"Tl / ( 9 + 4 - / T )
=
3 L / ( 9 + 4 VT) .
Cap. 6
Aplicaciones de la Derivada
b)
633 -
El área total máxima se obtiene cuando todo el alambre es empleado para for­
mar un cuadrado, de lado L / 4 . Así, el área total máxima resulta ser
A máx =
L
128.
Altura del cilindro
129.
a)
130 .
f'(x ) =
/ ' 6 '
= h = ]j 3V / n
En x = l
b)
l/o V P " )
c = ±
=>
En
,
,
b 2/ 3 +
x *
0 ,
f'(c ) =
132.
P =
100 =
( f (b ) -
f (a)]/(b -
a)
Av
1F7
f(x) =
entonces
(ab),/3 +
Maximizando
h /2 .
[ b 2/ 3 + ( a b ) ' / 3 + a 2/ 3 ]
b
131.
=
x = 5 .
se puede verificar que si
a < 0 <
radio
a 2/3
>
0 .
f (x ) = x — x
2 r + r 0
A
x
=
=
1/2 .
- r 20
A (r)
1
=
— r(P -
2r) ,
2
= 0
A '(r)
implica que
r =
P /4
=
25 .
Este valor produce un Area m á x i m a puesto que
134.
135.
m
Sea
f (x) =
ax + —
,
f'(x )
=
a -
—
f (x ) >
entonces
=
ab >
x Q = —b/(2a)
139.
f Cjcq )
x e R
,
f"(x )
=
2V
para
x Q = -J b / a
que como debe ser
—
> 0
x3
>
>
0 que produce un mínimo:
c
p a r a t odo x > 0 ,
c2 /4 .
f ' (x ) = 2 a x + b
f (x-) >
,
x 2
( x > 0) . f ' ( * 0 ) = 0
do
(r) = —2 < 0 .
= 1/4 .
*
137.
a
,
f " (x ) = 2 a ( V x e R ) ,
f ; ( x Q) = 0
para
que produce un mínimo :
=
(4 a c — b 2 ) / ( 4 a )
entonces
x = 12 — 2 (6 Cos 0) ,
b2 -
que como debe ser
> 0
4 a c < 0 , y recíprocamente .
h = 6 Sen 0 ,
0 < 0 <
jt
p a r a t o­
-634
Análisis Matemático 1
A (6)
=
72 S e n 0 -
A ' (6)
=
0
A "(0 )
=
-/T
1)
:•
Si
Cos 0 = (1 + V T ) / 2
,
A" > 0
!•
Si
Cos 0 =
,
A "
(1 -
= 0
n =
=
Cos0
,
P =
para
r
= VT"
t
j i r - y h 2 + r 2
A '(r)
=
para
0
A mín =
=
galón cubre
a = 4
143.
Puntos Críticos:
x =
,
-2 ,
1
Posibles Puntos
de Inflexión:
en
x =
± 1 .
0 <
n
,
>
]
2 r a d , que corresponden al perímetro
0 .
216/r2 ,
minimizando el área la te r a l:
6 /V T
pies2 .
80 p i e s 2
b = 4
2 [ r + —
r
, 0 =
entonces
el área lateral será cubierta por
142.
n/2 <
para
n V 2 1 6 2 + r 2 / r
r =
36 71 t f 2 7 / 4
=
4 A /r¿
h =
entonces el área maxíma
16.4 .
2 r + r 0
P " (rQ) =
(jt/3 )r2 h
£
12
h
< 0
VT)
— (l 2
=
//
mínimo, pues
72
V T )/2
x = 6 + 6V T
A
1 r2 0
a
A
= —
P '(r)
141.
1±
72 S e n 0 ( 2 C o s 0 -
y así
140.
18 S e n 2 0
para Cos 0 =
corresponde a
Cap. 6
, Suma mínima
(36
n V
= 128 .
27/4 )/8 0
^
1. 94 gal
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
144.
AREA
- 635 -
= 2xy
2
A ( x ) = 2x • — ^ a 2 —
a
A '(x ) = 0
para :
x = a /V T
►
-a
,
X
y = b /-/T .
145.
a) V E R TIC A L:
x = -6
y = - 2 * + 8
, OBLICUA IZQUIERDA :
OBLICUA DERECHA :
b)
PUNTOS CRÍTICOS:
- 9 , - 3 ,
5,
POSIBLES PUNTOS DE INFLEXIÓN
6,
f'íx) =
(* [(x -
6)
x G { - o o , 4) —
,
x € (4 , oo) -
»
x G { - o o , 4) -
f'
y
f"
f(-9)
=
32 ,
f (8 )
Máximos Relativos:
f ( — 3) =
8 ,
f (6 ) =
Puntos de Inflexión:
(5 , f (5 )) = ( 5 , 0 ) .
f ( — 4) = f ( 5 ) = 0
=
,
( x
Puntos Críticos :
+
x =
f'(x )
4 ) 4 (
=
lím
X —►± oo
ASÍNTOTA :
b)
c)
f(x)
y =
x +
1
-4
1
(x -
{-6}
x G (4,oo) — { 5,8}
=
o
T
2 )/^ [(x + 4)(x -
f (2 ) =
5 ) 5
, 2 ,
x =
=
=
-
x
- 4
Posibles P. de Inflexión en
m
{ 5 ¡, 8 }
resulta que
Mínimos Relativos:
a)
{-6 }
=
Completando la tabla de signos de
f"(x )
pues
,
4 i 1/3
— 2 / [ ( x — 5) ( x — 8) ]
,
146.
x = 8 ,
8 ) ( x - 5 ) 2 ] 1/3
— 36 / ( x + 6)
f"U )
7
8
x = 5 ,
- 2 ( x + 9 ) ( x + 3 ) / ( x + 6)
y = x -
-3^4~
5 )2
^
-
4. 7
5
, 5
b =
lím
[ f (x) — x ]
X —►± oo
1 ,
636
Cap. 6
Análisis Matemático 1
X
f"(x)
f'(x)
( - 0 0 , - 4 )
>
0
>
0
( - 4 , 2)
<
0
>
0
(2,5)
>
0
>
0
(5 , oo)
>
0
<
0
Máx. r e í . :
f ( - 4) =
Mín. r e í . :
f (2 ) =
r
0
- 3 3[T
Punto de Inflexión :
(5 , f (5 )) =
147.
(5,0).
n
x' = 3 t 2 ,
= 6t
a)
d y / d x = — 2 / ( 3 1)
b)
d2y /d x 2 = (x'y" i)
=>■
148
f'(x )
ii)
no existe para
t = 0 .
y'x")/(x')3 =
2 / ( 9 14 )
t *
0
- 2 x ( x 2 - 3 ) / ( x 2 + l) 3
:
t e {-o o ,0 ]
:
cóncava hacia arriba
t e [ o , oo)
:
cóncava hacia abajo
= (x2 - l ) / ( x 2 + o 2 ;
f"(x )
=
f
cóncava hacia arriba :
x e (-o o , -V T ]
f
cóncava hacia abajo :
x e [ — V T , O] , [ V T , o o )
Puntos de Inflexión:
149.
y' = -
,
f'(x )
=
f"(x)
f (2) =
f (0) =
( f
x)/x
— (2 10
=
( - V T , VT/4)
1/ 3
(x + l ) / x
9
2VT"
O ,
W —
£
3. 2
f (5) = O
>
0 ,
, [o, V T ]
, ( o , 0) , ( V T ,
-VT/4)
.
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
150.
f'(x )
=
f" ( x )
[2 -
=
(x + l )2 ] / ( x 2 + l ) 2
2(x -
l) [( x
+ 2)2 — 3 ] / (
Posibles puntos de inflexión en:
X
<
0
>
CÓNCAVA ABAJO
f
* =
x
2 +
l) 3
+
1 , - 2
( _ 2 - / I , - 2
( - 0 0 , - 2 - V~3~)
f'( x )
637
+
VT)
VT,
- 2
(-2 +
7T,
0
<
CÓNCAVA ARRIBA
VT
-
.
(l,o o )
1)
0
>
CÓNCAVA ABAJO
0
C. ARRIBA
Existen 3 puntos de inflexión:
(x , , y ,) = ( - 2
-
V T ,
f (-2
-
V T ))
= ( - 2
-
V T,
(1 -
V T ))
(x2 , y2 ) = ( - 2 + V T , f ( - 2 + V T ) ) = ( - 2 + V T , ( 1 + V T ) )
( x , , y , ) = ( 1 , f ( 1 ) ) = ( 1 , 1) .
Con
(Xj,
yj)
punto ( 1 , i )
y
(x2 , y2 )
L y se prueba que el tercer
e L , de modo que los tres puntos resultan colineales.
151. a) ASÍNTOTAS,
vertical:
x = I .
AS.OBL. Der.:
Además,
lím
J L ííl =
x —► i OO
y = x + 2 ,
f '( x ) = (x + l)(x = -3 /4
,
2) 2 / (
AS.OBL. Izq.:
x
-
f (2) = 6 ,
l)3 =>
t
Luego,
y = x + 2 .
Puntos Críticos:
f (0) = - 2
i
X
2x^ _ y _ 2
=
lím
------------------------ = 2 .
x -> i oo
( x — 1)^
lím
[ f (x ) — x ]
x —f ± oo
f(-I)
se forma la recta
,
x = - l , 2
f'(2 ) = 0 .
*
b)
f"(x )
= 6(x -
X
2)/(x -
f'(x )
l)4 ,
POSIBLE P. DE INFLEXIÓN:
f " (x)
(-o o , -1 )
>
0
< 0
( - 1 ,1 )
<
0
<
(1,2)
>
o
< 0
( 2 , oo)
>
0
> 0
G R Á F IC A D E f
r
0
Intervalos de concavidad hacia arriba:
r
y
( 2 , oo)
x = 2 .
- 638 -
Análisis Matemático 1
Intervalos de concavidad hacia abajo:
c)
De ( b ) :
152.
f'(x )
=
Máx Reí.
f(-l)
= -3 /4
6) ,
f"(x)
4x(x2 -
Mínimos relativos:
f(--/ó ")
Puntos de Inflexión:
153.
y = f (x )
,
en
=
f
Cap. 6
( - 0 0 , - 1),
( - 1, 1), ( 1, 2 ) .
,
= 12 ( x 2 — 2)
(VT)
( — V " 2" , 1 6 )
= 0
y
, Máx. reí.:
(VT,16).
f *( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c ,
f " (x ) = 6 a x + 2 b .
Siendo f un polinomio y debiendo tener un punto de inflexión en
ces
0 = f"(0 )
entonces
Además,
= 2b
0 = f ' (2 ) =
f (0 ) = 4
de donde resulta que:
154.
f'(x )
=
=>-
y
b =
2 x /(l + x 2)2
c = -12a.
f (2 ) — 0
d =
,
(0 , 4)
0 , y por tener un punto crítico en
12 a + c
a = l/4,
f ( 0 ) = 36
b = o ,
f" (x )
=
4 ,
enton­
(2,0)
8a + 2 c + 4 = 0 ,
c = - 3 ,
d = 4 .
(1 - 3 x 2 ) / ( l + x 2 ) 3 .
Aplicaciones de la Derivada
Cap. 6
Punto crítico:
x = 0 .
m
=
Posibles puntos de inflexión en x =
1/VT) =
f (0 ) = 0 , f ( ±
lím
^^
x —►± oo
X
=
1/4
0
.
,
b =
x
X
f'U )
f"U )
< -oo, - í / V T )
< 0
< 0
<
o
>
0
> 0
>
0
>
< 0
(o,
o>
i/V T >
{ í / V T , oo)
Mínimo
f (0 ) =
Puntos críticos:
X
0 ,
lím
f (x )
—►i oo
x = 3 , 9 .
g '( x)
g"(x)
0
<
0
(3,6)
<
0
<
0
(6,9)
<
0
>
0
( 9, oo)
> 0
>
0
Punto de Inflexión :
ASÍNTOTA V e rtic a l:
g(3) = 8 ,
I/VT
= 1
1 .
r
1/VT,
(±
Posible punto de inflexión en
>
:
y =
Puntos de Inflexión en:
{ - o o , 3)
Máximo Relativo
156.
0
±
ASÍNTOTAS OBLICUAS :
ASÍNTOTA OBLICUA Derecha e Izquierda :
{ -í/V T ,
639
G rá fic a de
x = 6 .
g
r
y
Mínimo R e la tiv o :
g(9) = 2
( 6 , g ( 6 ) ) = ( 6 , 5) .
x = - 2
ASÍNTOTA Oblicua derecha e izquierda :
y = x - 2
.
1/4) .
;
640
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
f'(x )
(x + 3 ) ( x + l) / ( x + 2 ) 2 , f " (x) =
=
Puntos Críticos:
jc
=
1 ,
—
—
Posibles Puntos de Inflexión:
pues
x
=
—2 ¿
3
[
x
=
2
2/(x
£
D
o
m
f
+ 2)
]
No existen ,
Dom f .
Luego de hacer el cuadro
-2
f (-1 ) -
resulta que
es el único valor MÍNIMO ,
y que
f (-3)
= - 6
es
el único valor MÁXIMO.
Además,
157 .
f'(x)
f (0 ) =
=
-3/2
1 + 2Sen2x
Puntos Críticos:
,
f ; / (x) =
- ti , - 5 n / l 2
x =
4Cos2x
, - ti/1 2
x 6 [ — tt , 7t ]
,
, n
, 7^/12 , lln/12
Posibles Puntos de Inflexión en:
x — ± n/4 ,
Evaluando
f
( —
f en cada uno de estos puntos:
7i)
=
f ( j i )
f
C —
5
± 3 n/4 .
j i
- 4 . 1 4
,
f
( —
=
2 . 1 4
,
/ 1 2
)
=
- 0 . 4 4
t
=
- 1 . 1 3
,
f ( - 7 t / 1 2 )
X
f
3
f'U )
( 3
j i
t i
/ 4 )
/ 4 )
f
o
>
0
( - 3 7 1 / 4 , — 531/12 >
>
0
<
0
(-571/12, -
<
0
<
0
(-7 1 /4 , -71/12)
<
0
>
0
( -
>
o
>
0
tt/ 1 2 ,
j i / 4 )
=
2 . 3
( 7
t t
/ 1 2
,
=
,f ( n )
)
2 . 7
=
2 . 0 1
,
X
(
ti / 4 ,
(7
0 . 7 8
f ( 0 )
=
-
f'U )
771/12)
ti / 1 2 ,
- 0 . 7 8
=
=
f " U )
>
4)
- 2 . 3
f ( l l n / 1 2 )
( - 7 1 , — 371 / 4 )
tt/
=
3 ti / 4 )
( 3 ti / 4 , H
ti / 1 2 )
< 1 l 7 t / 1 2 , TT )
I
f"(x )
>
o
<
o
<
o
<
o
<
o
>
0
>
0
>
o
Cap. 6
158.
641
A p lic a c io n e s de la D e r iv a d a
f (0 ) = 4 ,
f'(x)
= —
f( ± l)
= 0 ,
Gráfica SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE V ;
-------------- - --—
3
( x 2
-
!
)
x =
Puntos Críticos:
,
(
±
VT) =
-1
4 ^ ~ 4 ~
S
f'(x )
x = ± -/T
6 . 3 5
_
<1 . V T )
>
0
< 0
> 0
> 0
A
8----4^TT:
1\
1 \
4
1 \
! \ / 2
\ /
x = ± 1,
,
CON CLU SIO N ES
f"(*)
< 0
r
y
y
\
0
í
/1
/ \
/ 1
/ 1
/ 1
\
V
-VT-i
( * 2
.
0
1
(* 2 - 3 )
i
)
4 / 3
, 0 , 1 .
<
V
16
9
(o,i>
<V T , 0 0 )
=
1 / 3
Posibles Puntos de Inflexión en
f
f"(x)
1
1
VT
x
donde
642
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
g (*)
(x + 4 r
Asíntota H o riz o n ta l:
y = 0 (Eje X )
159.
Gráfica
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y ;
f'U ) =
+ 1)(* ~ 0
,
f(0) = 3 .
f"(x) = — 5*
( x 2 + l ) 3/ 2
m
=
lím
x —►OO
^ ^X ^
~ 1—
( x 2 + l ) 5/ 2
= 1
b
,
=
f
lím
[
X —►OO
X
(*)
—
m x
]
=
2
b =
[f ( x ) — x ] =
lím
x->oo
lím
x - k x >
Puntos Críticos:
y = x .
=
2 ^ Í 2 .
£
f'(x)
X
(o. i / V T
>
( i / V T . i>
oo>
y -
2
,
.
,
2
1 ( x
,
+ 3
Y por simetría A.O.
---------------------- =
, ,
+
/
x y
2
,
, .
x+ 1 )
Izquierda:
y =- x
x = - 1, 0 , 1 .
Posibles Puntos de Inflexión en
( ! ,
/
+
Asínt. Oblicua Derecha:
f(= bl)
—= = = ---------- -—
2.83
x = ± l/V T
,
{"
f ( ± l/ V T )
(X)
<
0
<
0
<
0
>
0
>
0
> 0
.
=
16 /
GRÁFICA DE f
y
- x
•i >
\\ //
— 85—
- i -i/VT 1 i/VT i
J1Ó £
2. 90
0
Cap. 6
- 643 -
A p lic a c io n e s de la D e r iv a d a
160.
a =
2 ,
161.
f (0 ) =
b =
0;
—6
,
c =
0 , d
3.
n / 2 , n / 2 ] . Gráfica simétrica respecto al Eje Y.
f continua en [ -
f(*)
=
Sen x + x
,
x 6 [
S e n 2x — x
,
x G [0 , n/2]
=
Sen(2x) + 1 ,
f'U )
—n/2 < x < 0
=
Sen(2x) — 1 ,
f"(x)
= 2Cos(2x)
Puntos Críticos:
x = ± n/2
Posibles Puntos de Inflexión en
X
( 0 ,
0, f
f '( x )
n/2)
{ n/ A , n / 2 )
0 <
—n/2 < x < n/2
,
x = 0 ,
Además, f ( 0 ) =
0)
— ti/2 ,
x =
0 ,
{n/ 2) = (2 -
,
x
x ^
n/2
<
0 .
x = ± n/ A ,
,
x = ± n/ 4 .
tt)/2
^
-0.57 ,
f(7t/4)
f " ( * )
<
0
>
0
<
0
>
0
y luego por simetría.
162.
f (x)
i)
ii)
=
- 2 ^/T [ (x -
3 ) 2 ( x + 3) ]
1/3
y = - 2 1/~2 ( x - l )
Asíntota oblicua derecha e izquierda:
f'(x )
f"(x )
=
— 6 t¡ ~ 2 ( x +
=
— 48
l)/[(x
-
2 /3
3) I / 3 ( x + 3 ) 2/3 ]
y~2 ( x - 3 ) 2 / 3 ( x + 3)
Puntos Críticos:
x = - 3 , 1 , 3 .
Posibles Puntos de Inflexión en
X
f'(x)
f"(x)
{ -o o ,-3 )
< 0
> 0
(“ 3,-l>
< 0
< 0
(-1.3)
>
0
< 0
( 3 , oo)
< o
< 0
x = -3
,
3 .
CONCLUSIONES
r
^
-0.28
644
Máx. reí.:
f (3 ) = 0
Punto de Inflexión:
163.
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
(x -
=
f"(x)
(-3,
4 )(x + l) /( x -
00)
( - 00, 2 )
f (0) =
f ( - l)
=
:
=
2)
-8
0) .
Oblicua Derecha e Izquierda:
,
f'(x)
1 + [6/(x -
=
< o
cóncava hacia abajo
f"(x )
> o
cóncava hacia arriba
f(4 )
=
O
f (6) =
y = x - 1
2)2 ]
> 0
f es siempre creciente por intervalos
f"(x)
O ,
,
f(-l)
f ( —3 )) = ( - 3 ,
= — 1 2 / ( x - 2 ) . Luego,
x € (2 ,
x €
Mín. reí.:
x = 2 , Asíntota
Asíntota Vertical:
f (x )
,
0 ,
7/2
La gráfica de esta función es
la de una hipérbola cuyo eje
focal tiene pendiente negativa
771 =
1
- V T
Es decir, que tiene un ángu­
lo de inclinación de - 22, 5 0 .
165.
f " (x ) = to
166.
4 x 3/ ( l + x 4 ) 2
;
analice la concavidad a ambos lados del pun
x = o .
f (x)
=
f'(x )
1+
=
[ 5/(x
-
-1 0 x /(x 2 -
9)]
9)2
X se ± 3 .
3 0 ( x ¿ + 3)
f"O c) =
(x -
Asíntotas Verticales :
x ^
± 3 ,
Gráfica simétrica respecto al Eje Y
Punto Crítico:
nece al
f (0)
f(± 2 )
X
3)3 ( x + 3)3
Asíntota Horizontal
=
4/9
=
O
f'(x )
.
f" (x )
<0,3)
<
0
<
0
<3, oo)
<
0
>
0
= i-
(verifique).
x = O . Ningún Punto de Inflexión pues
Dom f
y
±3
no
p e r te -
Cap. 6
A p lic a c io n e s de la D e r iv a d a
lím
f (x) =
,
+00
lím
x - + 3 +
167.
a)
x
f (x) =
=>
f (x) =
— 00
3~
x — Sen x
g ( x ) = x + Cos x
b)
=r> g ( x + 2 n ) = g ( x ) + 2n
f ( x + 2 jt) = f ( x ) H- 2 ji
n — periódica,
168. f es continua, diferenciable y
645
f > 0
, y su gráfica es simétri­
ca respecto al Eje Y.
[ otro método:
169.
f'(x)
a)
=
2 x — (a / x 2 ) ,
a = 16 ;
d) Como
f ( x ) = Sen2 x = — ( C o s 2 x ) / 2 + ( 1 /2 ) ]
b)
f " (x)=
a = - 54
f ' ( x Q) = 0
mismo signo; y como
;
c)
2 [ 1 + (a /x3) ]
a = -1
para
x Q = \j a / 2
6 =
f" ( * 0) > 0
;
entonces
entonces
xQ y
f (x
)
a
tienen el
nunca puede
ser un máximo relativo sino más bien un mínimo relativo para cualquier a .
Observe que
í
0
pues
0
no pertenece al dominio de f .
Análisis Matemático 1
- 646 170.
a)
a
=
171.
a = l ,
172.
f ' ( x ) = (2 Cos x — 1) (Cos x + 1)
f'(x)
- 3
,
b
=
b = —3
- 9
,
;
b)
c = —9 ,
a
=
d=
Cap. 6
-
3 ,
b
=
-
24.
5.
, f " (jc )
—Sen x (1 + 4 Cos x ) .
=
x — t t / 3 , n ,5 t t / 3 .
= 0 para
PUNTOS CRÍTICOS : x —
0 ,
ti/
,
3
ti
,
,2n
5 ti/ 3
RAÍCES DE : 1 + 4 C o s x = 0 , C o s x = - 1/4 , que según el círculo trigo­
nométrico debe haber DOS RAÍCES en
❖ Sean
=
151 j i /3 6 0 ,
=>■
Como
k
=
1 /4
0
:
]
2 ji
569 ti /3 6 0
...
Cos ( 9 , ) = C o s ( 0 2 ) = 1 /4
=
—Cosx
=
jt — x + 2 k n
Xj
k = 1 :
02 =
[ 0,
=
=
ti — 0 |
Xj =
3 ji —
(DATO)
Cos (71 — x + 2k7T)
=
,
02 =
2 0 9 ti/3 6 0
0j ^
[0 ,
2 ti]
entonces
7i — x + 2k7i
,
x 2
=
,
x2 =
(*)
n
,
—
3 ji
donde s i :
í
t 0 »
]
— 0 2 = 5 1 1 n /3 6 0
Luego, los posibles puntos de inflexión corresponden a
Xj =
209 7 t/3 6 0
f (0 ) = 0 ,
f (2 0 9
j i/ 3
60)
f (2 0 9 7t / 3 60 )
,
x = 7i ,
f (n/3) = 3 / 7 / 4
3 /7 ? /1 6
=
S
-0.7
,
S
x 2 = 511
s
tt /
3 6 0
1. 3,
0 .7 ,
f(5n/3) =
f
(
j i)
=
0
- 3 / 7 / 4
,
=
-1.3
A Y
3 V I/4 ■
1f (*,)•■
0
►
X
f ( * ,2) ■
1■ •
•• - 1
-3V T/4-.--
Cap. 6
- 647 -
A p lic a c io n e s d e la D e r iv a d a
V
( x )
=
V ' ( x )
tt
=
f
( x ) ]
*
( 1
x
2
0
-
x
=
) / x
m á x
=
*
/
4
,
3
x = ^ 3 - 2 V T
de lo cual
V
[
= V T -
l
¿PORQUE?
h
=
2
;
*
1 7 5 .
T a n
T a n
a
A
P
S
4
C o s
—
a
S e n
=
0
=
0
=
p e n d i e n t e
1 8 0
—
=
—
1 / 2
ex
1 / 2
0
semejante al
Q
or
0
A
Q
O
R
:
a
1
1
a
Despejando,
ÁREA
A ' ( a )
=
b = (8 V T
0
176.
yQ =
5 ,
178.
yc =
2
.
0
C o s
-
=
= -3
jcq
=
1 ,
2
,
V
T
Df
D f
0
2a)/5 ,
= ab = ( 8 a / V T ) -
A
=
C o s
,
-
(2a2 /5)
b
=
4
/
=
V
T
A
.
1
' (5 ) = - 1/6 .
1 (2 ) =
9 /4
.
(a)
648
179.
y Q = 3/2 , x Q = 1 ,
( f - 1)' ( 3 /2 )
=
--------------J-------------f'( f
180.
f
es continua en
todo x € ( - 2 ,
=
— i—
(3/2))
[- 2 ,- 1 ]
f
y
f'(x)
- i ) . Entonces f
=
[ f ( - 1 ) , f ( — 2) ]
[ - V T ,
x2 + i ,
f -1 (x) = - i / V
f
=
es continua en todo R ,
tonces
f ' (x) =
2
- 1/( x 2 ^ x 2 + l ) < o
=
resulta decreciente sobre
para
para
x
>
f'(x )
< 0
para
x
< o y así
a)
b)
ii)
a)
0 y así
f tiene inversa
f
f j -1
tiene inversa
Como para
f^ -1
€ [0,
x
; en-
x = 0 ; además
> 0
i)
y
- V T /2 ] .
= 8 x 5( x 2 + 3 ) / ( x 8 + 4 x 6 + 2)3
f'(x )
f'(x )
=>
[- 2 ,- 1 ]
, y así
€ [- V T ,
x
para
f ~ 1 sobre el intervalo
]
- V 7 / 2
s i y sólo s i
0
.
(O
por lo tanto es univalente y posee función inversa
181.
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
f ( x ) es creciente en [ 0 , o o )
f ( x ) es decreciente en
en
[o , oo)
en
(-o o ,0 ]
oo) ,
=
(x)
- i/(x 8+
( —o o , 0 ]
4 x 6 + 2)2
es
creciente entonces
Dom f . 1 =
Rang f . =
[ f. (0) ,
lím
f. (x )
)
=
[ — 1/2 , 0 )
X —►o o
b)
Como para
x e ( —oo, o ] , f 2 (*) =
— 1/ ( * 8 + 4 x 6 + 2 ) 2
es decreciente entonces
Dom f* 1 =
Rang f *
=
[ f- (0) ,
lím
f- (x) ) =
[ — 1/2 , 0 )
X —►— o o
iii)
Si y Q
Si
=
-
mi
y0 = - 1 / 7 ,
,
x 0= t
xQ= -1
:D f - ’ ( - 1 / 7 )
:
— i
Df2
=
I
( - — )
-
182.
f es continua en R ,
a)
i)
V (x ) =
x e ( —o o , —- / T ) :
x g ( - V T , V T ) :
i i
49
f'(l)
32
8 (3 - x 2 ) / ( x 2 + 3 ) 2
f ' (x ) < o , f
entonces f tiene inversa f j ” 1 en
ii)
=
1
=
7
i -
decreciente en ( — o o , — V I ]
(-oo, - V T ]
f ' (x) > 0 t f
.
creciente en
[- V T , V T ]
649
A p lic a c io n e s de la D e r iv a d a
Cap. 6
f tiene inversa f 2 1 en
entonces
iii)
x €
[-V T ,
VT ] .
, oo) : f ' (x) < 0 , f es decreciente en [ -VT, oo)
=>-
f tiene inversa f “ 1 en
[V T ,o o ).
b) Domf” 1 = Rang(f.) = [ f (—V T ) ,
1
1
lím
f ( jc)) = [ - 4 / V T , 0)
x -*• — o o
Domf” 1 = Rang(f2) = [ f ( - V T ) , f ( V T ) ] = [ - 4 / V T , 4 / V T ]
Domf” 1 = Rang(f3) = ( lím
X
c)
y Q = 2 co rresp on d e a
h(x)=
=
3/2
= h ( x Q) = »
h '(x )
- 1 —
=
f'(x )
1 +
f (*)
=
=
C =
185.
f(x)
186.
a)
187.
i)
ti
= 0 ,
1/3 ,
f'(x)
b)
=
— i—
f'(l)
(2x0 -
(x2 +
+
( x Q= 3se
=
1 .
l)(x0 -
=
v
x
.
> i
1) =
2
ti
=
xQ
= 1
,
4 .
=
0
,
V x > 1
f(l)
, C onstante
=
ti /
2 +
n /2
= n
V x > 1 .
V x > 0 .
-1/2
,
c)
1/ 3
- ( 5 x 4 + 3 x 2 + 2 )
e s diferenciable
f ” 1 y además
Sea
=►
1)
,
d)
< 0 ,
-1/6 .
V x e ( - oo , 0 )
f " ( x ) = — ( 20 x 3 + 6 x ) = — 2 x (3 + 1 0 x 2 )
Así f
0
h '(l)
y ) 0 + X)
, y como
f (x) =
oo) ,
[3/4,
D h "‘ ( - ) =
(1 + x 2 ) ( l + x ) ( x -
C ,
d e sc a rta pues
2x - 2 ) / {x + l ) 2 ,
2(1-
x2
=
l
D o m f 2 ) .Luego,
D ( f / g ) _ 1 (— )
2
184.
xQ =
= ( x 2 + 2 ) / ( x + 1) , x e
f(x )/g (x )
yQ =
, f ( V T ) ] = ( 0 , —4 / V T ].
—► o o
(f~')'(2)
183.
(jc )
f2 1 y a
[ - V T , VT]
X0 = 3 £
f
y
f'(x) < 0
en
f ” 1 e s diferenciable sobre
g (x) = f' ( x ) =
> 0 , V
( —o o , 0 )
x 6
( - oo , 0 )
en tonces existe
(10, oo) = R ang(f)
- ( 5 x 4 + 3 x 2 + 2) , g' (x) =
.
f " (x) < 0
650
en
( —o o , 0 ) ,
(-oo, - 2 )
ii)
Sea
entonces
x 2 + 2x + 3
f"(x )
=
2
y
=
V
x
-1
:
( f - 1 )'(6)
l/f'(l)
V x < - 1 :
f " (x)
=
-
=
=
6 ,
- n / m 3
2 ( x + 1)
,
1
1/ 4
=£•
-2 /6 4
W
=
-1 /8
x0 = - 3
f " ( - 3 ) / [ f ' ( - 3 ) ] 3 =
— 1 / f ' ( — 3)
=
-1 /4
2/64
W
=
-1 /8
8 x ( x 2 + 2 ) / ( x 4 + 4 x 2 + 2)2
8 ( 5 x 6 + 18x4 + 18x2 -
Sea
g '(x )
1)' (6) =
-
=
f " ( l ) / [ f ' ( l ) ] 3 =
y0 =
=
f ' (x)
6 ,xQ =
-
=
=
1) = O ,
yQ =
y
f " ( a ) / [ f ' ( a ) ] 3 =
( f “ ' ) " ( 6 ) =
( f
=
-
+ 3) ( x -
( f _ 1 )"(6 )
f'(x )
=
existen en ( - 0 0 , - 2 )
b e (10, 0 0 )
( f _ 1 )" (f(a ))
(x
>
[(f')- *]'
entonces
( f _ 1 )"(b)
=>-
i)
ii)
189.
existe y además es diferenciable sobre
b = f (a) , a < O ,
=
6 =
g-
; es decir
[ ( f - 1 ) " ' ° f ] (a)
188.
Cap. 6
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
g (x)
=
4 ) / ( x 4 + 4 x 2 + 2)3
( NUMERADOR de f " )
30x 5 + 72x 3 + 36x
<
O
par a
5 x 6 + 18x4 + 18x2 -
=
x e ( - o o , 0 )
4
g(x)
es
decreciente en ( - o o , o ] .
Como
en
R ,
g ( — 1/ 2) >
O ,
g (0 ) =
—4
< oy
entonces existe un único c e ( - 1 / 2 , 0 )
y por lo tanto
f"(c)
Además
lím
f(x)
x —>• — oo
0 ,
>
o
para x e ( - 0 0 , 0 )
f(x)
f (0 ) =
y = f (*) :
diferenciable
tai que
g(c) = O ,
= o .
f'(x )
=
g e s
y0 = y
l
>
O , V x € (
f'_ ( 0 ) = O ,
,
^
x0 =
- i
=>
f es c re c ie n te ,
—o o .O ),
y por lo ta n to :
€ ( - o o , o)
Cap. 6
651
A p lic a c io n e s d e la D e r iv a d a
de donde resulta que
W
=
V i
296
343
-
2/7
2/7
-1
—l e
0
2
c
✓
X
-
190.
2
(b )
( f -
= 0
1) '" ( y )
= a
( f _ I ) ''( y )
( f ~ 1)' ( y )
( f
192. Sea
=
ay
1) ( y ) =
+
b
— y 2 + by + c
2
g(jt) =
=
, donde a , b
1
1+
X =
1
,
x
x
- 1
x
x
Como
-1
g'(x) =
<
0
c
son constantes
D om f = [ 2 , o o ) =
1
2 <
R ang
entonces
y
—2
- 1
€
<
0
( 1, 2 ]
=
Dom g
.
para x e ( 1 , 2 ]
(x - i r
entonces
g (x )
es decreciente
Además,
F = f og
valentes entonces f
g
1 (y ) = i +
f
1
f
f
ciente :
193.
lím
x —>o
w
f (x)
=
( 1 , 2 ] . Ya se ha visto que siendo f y g uni
sobre
también es univalente. Y como
y
1
y - i
1 (w) = g ! ( f
-
y por lo tanto univalente sobre ( i , 2 ] .
y -
1 =
F
g
1o f
1
se tiene que
i
! (w )) = f
1( w ) /[f
! (w) - l ]
- 1
donde
1-
f (y)
f
1 (w ) = y >
2 , y siendo f cre­
l
>
f (2) ,
existe y vale 1
...
Dom F
(*)
1
= [
f (2), oo )
- 652 -
Cap. 6
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
2x < 0
f 'M
,
x < 0
si
=
de donde vemos que f es decreciente en cada intervalo.
Y como la intersección de ambos rangos es vacía entonces f tiene función inver­
sa tal que su respectiva derivada está dada por
1
y >
2x
(f
')'(y )
2 V y -
n Se n ( ------- )
a) l ;
c)
i
=
, nx .
195.
i
b) I ;
c)
-2
;
d) 1 ;
e)
/V T ,
l
L ( + ) = —i ,
No, pues
n( T -
196.
1/12 .
( —) =
t i/ V
T
189/125 .
= 2
d) - l
L ( —) = l ;
198.
30 x
x
<
50
x
>
50
f(x)
[30 -
f =
199.
beneficio .
f'o o
1
4x
=
— x
3
x 1/ 3 ( x -
4)
2/3
1
32
-
9
x
4 / 3 ( x - 4 ) 5/ 3
Asíntota derecha e izquierda
y = - x
8
-
3
f"0 0
2
3x -
i
=
50)(0.375)]x
,
El beneficio máximo corresponde a
A
y = f(x) =
(x -
+ (4/3)
.
x = 65 mil dólares.
Cap. 6
13.
653
E l M é t o d o d e N e w to n
ESCRITURA DE POLINOMIOS PARA SU EVALUACIÓN
CON CALCULADORA DE B O L S IL L O .Presentaremos una forma especial de escribir un P O L IN O M IO
P ( x ) para hallar su valor numérico en un x cualquiera, usando una simple
calculadora de bolsillo con memoria. Esta técnica resultará muy útil cuando se
trate de aplicar el M É T O D O D E N E W T O N de la siguiente sección .
Para facilitar el cálculo del valor de un POLINOMIO
P ( x ) , para cualquier
valor fijo de la variable x , m e d ia n te u n a ca lcu la d o ra d e bolsillo , se recomienda
expresar el polinomio en la
FORMA ANIDADA I e n tr e c o rch e te s siguiente :
(PARTIDA)
y luego se va evaluando desde el corchete m ás interno hacia el m ás externo .
Note que si el polinomio es de grado n
EJEMPLOS.-
entonces hay
3=
n -
1)
P(x) = 2x2 + Ax -
2)
P(x) = 5x3 + 3x2 - 6x + 2
= x[x[5x + 3 ]-6 ] + 2
3)
P(x) = 4x8 - 9x5 + 1=
x[2 x + 4 ] - 3
x 5 (4x3 - 9) + 1
=x • x •x •x •
o sino
1 pares de corchetes.
x [4x • x • x — 9]
A
o sino
4)
=
P(x) = - 2 x 5 + 6x3 -
x -x
A
■x
[4x*x
— 9] + 1
l Ox
= x [ x [ x ( x [ — 2 x + 0 ] + 6 ) + 0 ] — 10 ] ,
= x [ x 2 (—2x2 + 6 ) EJERCICIO 1.-
Para x = 2.54
evalúe
1
+
10] .
P (x) = 5x3 + 3x2 -
la memoria de una calculadora.
O sino
6x + 2
utilizando
- 654 -
A n á lis is M a te m á tic o 1
SOLUCIÓN.-
Expresando
P(x) = x [ x [ 5 x
18)
Deposite x = 2.54
2B)
Evalúe el corchete
3fi)
Luego, multiplique este resultado por el valor
Cap. 6
+ 3 ] - 6 ] + 2
en la memoria.
[5 x + 3 ] =
15.7
x = 2.54
m e m o ria ) obteniendo el valor del corchete [ x [ 5 x
49)
,
( recuperándolo de la
+ 3] -
6 ] = 33.878
Multiplique este resultado por el valor x = 2 .5 4 ( recuperándolo de
la memoria)
y luego súmele el término independiente 2 obteniendo el valor final solicitado :
P (x ) = x [ x [ 5 x + 3 ] — ó ] + 2
EJERCICIO.-
14
=
x [ 33.878 ] + 2
=
86.05012
Para el mismo polinomio del ejemplo anterior [1 ] y con el mismo proce
dimiento que acabamos de presentar, verifique que:
a)
P(x) =
13.6567385
b)
P ( x ) = -6 5 4 .3 2 9 0 4 2 2
para
x =
1.41421 .
para
x = -5.372 .
.
Con mucha frecuencia nos encontramos con la necesidad
de hallar las raíces (soluciones) de ecuaciones del tipo:
En algunos casos, hallar las raíces exactas de una función f ( x )
no es difícil,
como en las funciones lineales y en los polinomios de 2fl grado. Y aún en este
caso, como en
x 2 — 28 = o
de la so lu c ió n x = V 28
no es fácil conocer la representación decimal
a menos que lo aproximemos con algunas cifras
decimales utilizando el algoritmo escolar para extraer r a í c e s c u a d r a d a s
bien una calculadora.
Sin embargo, cuando se tiene un polinomio f ( x )
o
de grado mayor o igual a 3 ,
o una función de otro tipo es, en general, mucho más difícil.
El famoso físico matemático Isaac Newton (1642 -
1727)
diseñó un proce­
dimiento geométrico muy simple para encontrar aproximaciones decimales al valor de la
raíz de una función con el grado de precisión que uno quiera.
Por observación del comportamiento de la recta tangente a la gráfica de una
función en la cercanía de su intersección con el Eje X , Newton descubrió este método
como una aplicación muy sencilla del concepto de d e r i v a d a .
Cap. 6
E l M é t o d o d e N e w to n
- 655 -
MÉTODO DE NEWTON
14.1
Consideremos una f u n c i ó n d ife re n c ia b le
y = f(x)
y el problema de hallar el valor aproximado, con la precisión que
uno quiera, de una RAÍZ r
de la función
f ( x ) , cuando se sabe que r
encuentra entre los números reales a y b :
se
a < r < b .
v i
Se requiere que en los pun­
tos x = a y x = b , los valo­
y =
res que toma la función, f ( a ) y
f U )
f ( b ) , tengan signos diferentes.
o
En tal caso, el Teorema del Va­
lor Intermedio asegura que
entre los puntos x = a
y
x = b se encuentra una ra íz
. S up on g am o s que nos e s difícil conocer la representación decimal del valor
exacto de e s t a raíz; e s aquí que p rese n ta m o s el MÉTODO DE NEWTON que nos pro­
porcionará la aproximación correspondiente con el grado de precisión que uno quiera.
El método de NEWTON requiere
que se elija una primera aproximación
X j , la cual puede ser cualquier núme­
ro en el intervalo cerrado
[a ,b ]
dentro del cual se encuentra la raíz
exacta r .
Se traza la recta tangente
en el punto
(X j , f ( x j ) )
L Tl
; su pen
UwfCXj))
diente es
o f'(x,)
f(x,)
________________ i
=
x2 -
X,
Despejando x , se obtiene el intercep
*
•
-i
to de la recta tangente con el eje X :
- 656
Cap. 6
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
Este valor
x 2 viene a ser una segunda
aproximación a la raíz
r , mejor que
.
TERCERA APROXIMACIÓN
Se traza la recta tangente
X3 -
Despejando
L T2
en el punto
( x 2 , f ( x 2 ) ) ; su pendiente es
*2
* 3 se obtiene
( x l , f ( x [))
una tercera
aproximación
mejor que las dos primeras,
y viene a ser el intercepto de
la recta tangente L T 2
con
el Eje X ; es decir
Este procedimiento es repetido iterativamente hasta obtener una aproximación
con el grado de precisión fijado de antemano.
Así vemos que po­
demos obtener un algoritmo
(procedimiento) muy sencillo
realmente para conocer la
YA
f(*n )+
Tn
—
(n + i)-é s im a aproximación
n + 1
conociendo la enési-
ma aproximación
R A ÍZ V E R D A D E R A
( * n + l ' 0)
xn
o
Esta relación recibe el nombre de e s q u e m a d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l
MÉTODO DE NEWTON.
Cap. 6
El Método de Newton
EJEMPLO 1
657
Aplique el método de Newton para aproximar el valor de
^"To"
con
siete cifras decimales exactas.
SOLUCIÓN.-
f (r) = o
ó
El método de Newton requiere tener una función
f (x )
raíz al valor r = ^ " u T
f
; es decir, una función
f ( aT h T ) = 0 . Y puesto que
r3 =
que tenga como
para la cual:
10 , podemos elegir como una
función adecuada a:
f (x ) = x
-
10
Además, descubrimos que
f (2 ) = - 2
f (x )
f (3 ) =
cambia de signo.
17
Por ser una función continua, el cambio de signo indica que la función se hace
f (x ) = o
para algún x
METODO DE NEWTON.*
Función:
ESQUEMA:
en el intervalo
[2,3]
. Esta x es la raíz
r
buscada.
1 ra. Aproximación:
f ( x ) = x 3 — 10 ,
*n
, =
f ; (x) = 3x2
*n f'(*n)
E m p le a n d o u n a c a lc u la d o ra de bolsillo o b te n e m o s el c u a d r a d o s ig u ie n te
f ( * n )
n
--------
*n + l
7------------
f 'U „ )
=
D
* n - [ f ( * n ) / f ' ( * n )]
1
Xj = 3.0
17.0
-0 .6 2 9 6 2 9 6 2 9
2.370370370
2
2.37037037
3.318294975
-0 .1 9 6 8 6 1 7 3 8
2.173508632
3
2.173508632
0.267958581
-0 .0 1 8 9 0 7 0 4 5
2.154601587
4
2.154601587
0.002324175
-0 .0 0 0 1 6 6 8 8 3
2.154434703
5
2.154434703
0.00000018000
-0 .0 0 0 0 0 0 0 1 2
2.154434690
6
2.154434690
0.00000000011
t
t
SIETE CEROS
DECIMALES
Por lo tanto, la aproximación al valor de
x = 2.1544346 .
l[To
APROXIM. BUSCADA
con siete cifras decimales exactas es
658
Cap. 6
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
Como la aplicación de este método requiere al menos de una calculadora es que en la
sección anterior hemos presentado una técnica para expresar un polinomio P ( x ) en
una forma especial, y así facilitar su evaluación en cualquier punto
OBSERVACIÓN.-
x
que uno desee.
En el ejemplo anterior, al comparar los valores
x 5 = 2.154434703
-»•
f { x $ ) = 0.000 000 018
x 6 = 2.154434690
-►
f ( * 6 ) = 0.000 000 00011
en una calculadora que provee hasta 10 cifras vemos que la a p r o x im a c ió n b u sca d a
con 1 c ifr a s d e c im a le s e x a c ta s no se c o n s ig u e tr u n c a n d o x fi e n la 7ma. cifra
decim al:
2.1544346(00)
pues nos distanciaríamos de x 5
y
-►
x6
f ( 2.1544346) = 0.000 001254
, sino comparando
x$ y
x6
hasta la 8va
cifra decimal:
X J- = 2.15443470(3)
• •• •
-►
f ( x <j. ) =
0.000 000 180 0
x 6 = 2.15443469(0)
-►
f ( x fi ) = 0.000 000 001 1
Vemos que nos conviene redondear y elegir x = 2.1544347 , [ f (2.1544347) =
0.0000000138 ]
como la raíz cúbica de 10 con siete cifras decimales exactas.
C O N V E N C IÓ N .-
Al cociente
f ( x n ) / f ' ( x Q)
lo denominaremos TÉRMINO DE
ERROR. Si en alguna iteración en el método de Newton su magni­
tud es <
l
y si antes de la primera cifra decimal significativa a-
parecen K CEROS (decimales)
1fi)
Se comparan los valores de
2B)
Se elige como la RAÍZ buscada con K
xn
y
EJERCICIO.-
xn
xn y
hasta la
K + l
cifra decimal.
c i f r a s d e c i m a l e s e x a c t a s entre
| , ya sea por truncamiento o por redondeo, según convenga.
Si la pantalla de su calculadora lo permite, compruebe que el valor de
^TuT
obtenido por el método de Newton, con una precisión de ocho ci­
fras decimales exactas es:
NOTA 1.-
*n + 1
entonces:
2.15443469 .
Este método de Newton se puede utilizar para hallar raíces cuadradas, raí­
ces cúbicas, raíces cuartas y en general raíces enésimas
número a , empleando la ecuación polinómica:
y encontrando su solución (o raíz).
*V~a"
P(x) = x D -
de un
a =
o ,
659
E l M é t o d o d e N e w to n
Cap. 6
NOTA 2.-
Cuando el método de Newton funciona (converge), se demuestra que el nú­
mero de cifras decimales exactas por lo menos SE DUPLICA con cada
iteración sucesiva.
EJEMPLO 2
Halle una aproximación a la raíz o solución de la ecuación:
x3- 3 x 2+5x + 5 =
0 , con un error menor que
l o - 8 ; es de­
cir, con ocho cifras decimales exactas.
SOLUCIÓN.-
P (x )
P' (x )
Vemos que:
= x 3 - 3 x 2 + 5x + 5 =
x [ x ( x - 3) + 5 ] + 5
= 3x2 -
x ( 3 x — 6) + 5
para x = — l
Para
x =
6x + 5
=
—►P ( x ) =
—4 ( —)
0 —► P ( x ) =
...
cambio de signo
5 (+ )
Entonces existe una raíz real en el intervalo [ - l , o ] . Aplicaremos el método de New­
ton, eligiendo como PRIMERA APROXIMACIÓN :
= -0.5
.
*n + l
f(xn)
n
•
o
1
II
>r
1
—
r 1—
f(x n }
f'(*n)
“
* n - [ f (xn ) /f / (xn )]
+ 1.625
- 0.185714285
- 0.685714285
2
- 0.685714285
-0 .1 6 1 6 0 9 3 2 9
+ 0.015354954
-0 .6 7 0 3 5 9 3 3 1
3
-0 .6 7 0 3 5 9 3 3 1
- 0.001188726
+ 0.000114627
- 0.670244703
4
-0 .6 7 0 2 4 4 7 0 3
- 0.000000065
+ 0.000000006
-0 .6 7 0 2 4 4 6 9 7
5
- 0.670244697
- 9 . 7 x 10“ 10
«
t
t
RAÍZ
OCHO CEROS DECIM.
Luego, x =
- 0.670244697
es la raíz buscada, con una precisión de ocho c i­
fras decimales exactas.
Por ser e! polinomio
ciente, pues su derivada
P'(x)
es
>
P (x )
0 V x e R
una función estrictamente cre­
[D IS C R IM IN A N TE <
0 ] , la
raíz hallada es la única raíz real de la ecuación dada.
Note en el cuadro previo que
x = -
0.670
es una aproximación a la solución
buscada , con TRES cifras decimales exactas.
EJEMPLO 3.-
En la ecuación:
x 6 + 2x5 -
x 2 + 7x -
1 = 0
, halle la raíz posi­
tiva entre 0 y 1 , con cinco cifras decimales exactas.
SOLUCIÓN.-
660
Cap. 6
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
P(x)
=
x 6 + 2x5 - x 2 + Ix - 1
P 'U )
=
6 x 5 + 10x4 -
P (0) = — i
n
, p(i) = 8 .
II
o
•
o
-
x [ x ( x 3[x
+ 2] -
x [ x 3 ( 6 x + 10) -
=
Elegimos 1ra. A P R O X . :
P(*n )
xn
1
2x + 7
=
x, =
0. 0
- P ( x n )/P '(xn )
x n +, .1
0.142857142
0.142857142
1.0
2
0.142857142
- 0.020280665
0.003018491
0.145875634
3
0.145875634
- 0.000008510
0.000001267
0.145876902
4
0.145876902
- 0.0000000005
t
t
La raíz buscada es
EJERCICIO.-
1
2] + 7
CINCO CEROS DECIM.
• •
i) + 7] -
RAIZ
x = 0.145877 , con cinco cifras decimales exactas.
Pruebe que la raíz negativa de la ecuación del EJEMPLO [3 ],
con seis cifras decimales exactas es:
-2 .3 3 0 7 2 9 .
SUG.-
P ( — 3) =
212
,
P ( — 1) = - 1 9
;
x { = -2.5 .
14.2
EJEMPLO 1.-
Dada la ecuación:
x = 2 Sen x
,
notamos por simple inspección
que una solución es
x = 0 , pero de la intersección
de las gráficas de y = 2 S e n x
y y = x
vemos que existen DOS
soluciones adicionales: una solu­
ción r
n /2
y = 2Sen x
que se encuentra entre
y n (es decir, entre 1.570
y 3.14159) y la otra
- r
, por
la simetría de la gráfica respecto
al Eje Y.
Aplicaremos este método de
Newton a la función
mado de la raíz r
Puesto que
f ( x ) = (2 Sen x ) tal que
f (1.5) ^
f(r)
= 0
x
, y trataremos de hallar un valor aproxi­
, con 9 c ifr a s d ecim a les.
+ 0 .4 9 4 9 , f ( 2 ) =
- 0 .1 8 1 4
(cambio de signo), tomamos:
Cap. 6
El Método de Newton
f (x ) =
(2 Sen x ) — x ,
1ra. Aproximación:
x. =
f ' (x) =
661
2 Cos x — 1
2.0
n
Xn
f U n)
1
2.0
2
- f ( * n )/f'(x n )
*n + l
-0 .1 8 1 4 0 5 1 4 6
- 0.099004405
1.900995594
1.900995594
-0 .0 0 9 0 4 0 0 8 7
-0 .0 0 5 4 8 3 9 4 8
1.895511646
3
1.895511646
- 0.000028467
-0 .0 0 0 0 1 7 3 7 8
1.895494267
4
1.895494267
- 5.3
- 0.0000000003
1.895494267
X
10” 10
í---------------------------T
CINCO CEROS DECIM.
RAÍZ
Las soluciones son:
EJEMPLO 2.-
±
1.895494267
con nueve cifras decimales exactas.
Aplique el método de Newton para encontrar el mínimo valor positivo x
tal que: x = T an x , con una precisión de seis cifras decimales exac­
tas.
SOLUCIÓN.- Intersectando las gráficas de
y = Tan x , y = x
encontramos en el 1er.
cuadrante el punto de in­
tersección de abscisa
r .
Este valor a calcular viene
a ser la r a íz de :
f ( x ) = Tan x — x .
Primero verificamos que
f ( x ) es estrictamente
creciente en
0 < x < n /2
f 7(x)
Y como
f (0 ) = 0
=
donde
Sec2 x — 1 =
Tan2 x
, entonces se deduce que
>
f (x ) >
0 .
o
en
0 < x < n /2 .
Así, de la figura vemos que el punto de intersección buscado P tiene
como abscisa a la raíz r ubicada entre n = 3.14159 y 3 j i / 2 = 4.71238 .
Por encontrarse
al valor
r
más cerca de 3 j i / 2
x { = 4.40 .
elegiremos como PRIMERA APROXIMACIÓN
Aplicamos el método de Newton a la función
f O ) = Tan x — x t
f ' (x) = Sec2 x — 1 = Tan2 x
- 662 -
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
n
Cap. 6
f (xn )
- f ( * n)/f'(x n)
xn + l
1
4.40
- 1.303676219
+ 0.135980616
4.535980617
2
4.535980617
1.073759712
- 0.034120987
4.501859630
3
4.50185963
0.177687204
- 0.008114253
4.493745376
4
4.493745376
0.006793199
-0 .0 0 0 3 3 5 3 8 6
4.493409990
5
4.49340999
0.000010744
-0 .0 0 0 0 0 0 5 3 2
4.493409458
6
4.493409458
4.2 X 1 0 " 10
2 x 10“ 11
4.493409458
RAIZ
Raíz
r = 4.493409458 , con seis ( incluso n u e v e )
EJEMPLO 3.-
Hallando f ( l ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 )
*5
A
f ( x ) = 3x
-
24x
y
f
cifras decimales exactas.
( 5 ) ,pruebe que la ecuación
1
+ 5 ix
-
32x + 64 =
0
tiene al menos dos
raíces reales. Encontrarlas con el método de Newton.
SOLUCIÓN.-
f (2 ) =
Por ser f ( x )
una función continua, deducimos que tiene almenos DOSraíces re­
ales: una entre
3 y 4 , y otra entre 4 y 5.
a)
lio
,
f (3 ) = 22
,f ( 4 ) = — 16
CÁLCULO DE LA RAÍZ EN EL INTERVALO [ 3 , 4 ]
I------------------- 1
x . = 3 .6 . ALGORITMO:
L_J
1ra. Aproximación
( f (5 ) = 54
:
x
= x
" + '
---------------2—
n
f'(x n)
f ( x ) = x { x [ x ( 3 x — 24) + 51 ] — 32 } + 64
f ' ( x ) = x { x [ 12x -
72 ] + 102 } -
32
n
xn
f(*n)
- f ( * n >/f'(*n>
xn + 1
1
3.60
- 6.0992
-0 .1 6 0 3 0 2 7 7 5
3.439697225
2
3.439697225
+ 0.567370753
+ 0.012704774
3.452401999
3
3.452401999
+ 0.002667980
+ 0.000060313
3.452462313
4
3.452462313
0.000000062
+ 0.000000001
3.452462314
RAÍZ
La raíz es
r
j
= 3.452462314
,
.
con 8 cifras decimales exactas.
b)
663
E l M é t o d o d e N e w to n
Cap. 6
CÁLCULO DE LA RAÍZ EN EL INTERVALO
[4,5]
:
1ra. Aproximación
n
f ( * B)
- f ( * n )/f '(x n )
Xn + 1
0.065
4.565
1
4.50
- 4.0625
2
4.565
0.394879801
-
0.005280656
4.559719344
3
4.559719344
0.002712233
- 0.000036774
4.559682569
4
4.559682569
0.000000128
-0 .0 0 0 0 0 0 0 0 1
4.559682567
RAIZ
La raíz es
r 2 = 4.559682567
Y si dividimos
f (x) = 3x4 -
entre
r^Cx -
(x -
24x3 + 5 ix 2 -
r2 ) = ( x =
f(x)
=
(x -
, con 8 cifras decimales exactas.
rj)(x -
polinómicamente
3 2 * + 64
3.452462314) ( x -
x 2 -
8. 012144881 x
+
r 2 ) ( 3 x 2 + 0. 036434643 x
4.559682567)
15. 74213223
+
4. 065522948 ) .
Y debido a que el D is c r im in a n te del tercer factor (cuadrático) es evidentemente n e ­
g a tiv o se concluye que este factor no tiene ninguna raíz real, de manera que f ( x )
tiene solamente DOS RAICES REALES:
EJEMPLO 4.-
i
y
r
La figura muestra una falla geológica que va de Este a Oeste y separa a
dos pueblos A y
B .Suponga que A está a akm. al Norte de la fa­
lla y B a b km. al Sur de la falla y a 4 km. al Este
de A.
Se desea construir una carretera
de A a B. Debido a diferencias
del terreno el costo de construc­
ción es
C}
millones de dólares
por kilómetro al Norte de la falla
y C 2 al Sur.
¿Dónde debe ubicarse el punto P
para minimizar el costo total de
construcción de la carretera?
a)
Tomando
C2 =
a =
b = C, = 1,
2 , demuestre que la ecuación que proporciona la distancia
equivale a :
f (x )
=
3x4 -
24x3 +
5 l x 2 — 3 2 x 4- 64 =
0.
x buscada
664
b)
Cap. 6
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
Halle la solución x
ubicada en el intervalo [ 3 , 4 ]
, con una precisión de 8 ci
fras decimales exactas.
C(x) =
SOLUCIÓN.- Sea
Costo total de construcción de la carretera cuando P es
tá a una distancia x de 0 .
De la figura,
C(x) =
es decir
C (x)
C'(x) = C
Cn ( x )
=
i
=
Cj/,
C 2 l2
+
C, 1¡ a 2 + x 2
I
-
C(x)
C'(x) = 0 ;
Si
a =
b = Cj =
l
y
C2 = 2 ,
x2 [l + ( 4 - x ) 2 ]
2
,
+ x
0
(+)
P se ubica en la coor­
C 2 (4 -
x)
(*)
2
V b 2 + (4 - x ) 2
la ecuación
=
>
es decir, si
C xx
ó sin o
C2 Sen02
3/2
se m in im iz a cuando el punto
a
a)
= Cj SenSj — C 2 S e n 0 2
3/ 2 + C - [ b 2 + ( x — 4 ) 2 ]
denada x que satisface la ecuación
=
x)
x)
^ b 2 + (4 — x ) 2
C ,(a2 + x 2)
CjSenGj
C , V b ‘ + (4 (4 -
C
a2 + x 2
Así, vemos que el costo
i
+
4(4 -
( * ) se transforma en
x ) 2 (l + x 2 ).
Desarrollando obtenemos la ecuación equivalente:
f(x) =
b)
3x4 -
La solución x
[3,4]
2 4 x 3 + 5 l x 2 - 3 2 x + 64
de esta ecuación f ( x ) = o ,
=
0
ubicada en el intervalo cerrado
, y aproximada a 8 cifras decimales exactas ya fue hallada en el EJEM­
PLO [3 ]
EJEMPLO 5.-
por el método de Newton:
x = 3.452 462 314 .
H állelas tres raíces de la ecuación :
C osx = - x / 5
, con 7 cifras
decimales exactas.
SOLUCIÓN.Grafícamos
y =
Cos x
y = -x/5
Por observación, ele­
gimos las primeras a
proximaciones para
y = C osx
E l M é t o d o d e N e w to n
Cap. 6
665
las abscisas de los puntos de intersección:
fj:
X j = — 1.4 ,
r2 :
x( =
Aplicaremos el algoritmo de Newton:
1.7
,
*n + i
:
=
x^ =
3.9
xn ~
f ' U n )
a la función
f (x ) =
n
5 Cos x + x
xn
X|
1
=
— 1.4
,
f ' ( x ) = — 5 Sen x + 1
f(* n)
- f ( * n )/f'(x n )
Xn + 1
- 0.550164285
0.092819504
- 1.307180495
2
- 1.307180495
- 0.004314659
0.000740425
- 1.306440070
3
- 1.306440070
- 0.000000357
0.000000061
-1 .3 0 6 4 4 0 0 0 8
Redondeando,
n
xn
f U n)
- f (*n )/f'(*n)
*n + l
1
x { = 1.7
1.055777529
0.266723369
1.96672337
2
1.966723370
0.038404966
0.010629081
1.977352451
3
1.977352451
0.00010985
0.000030578
1.977383029
4
1.977383029
0.000000001
2.7 X 10“ 10
1.977383029
•
r2 =
• 9
n
1
1.977 383 029
xn
Xj
= 3.9
, con 9 cifras decimales exactas.
f(* n)
- f ( * n )/f '(x n)
Xn + 1
0.27033879
- 0.060903082
3.839096917
2
3.839096917
0.006858911
-0.0 0 1 62 8 60 1
3.837468316
3
3.837468316
0.000005085
-0 .0 0 0 0 0 1 2 0 9
3.837467107
4
3.837467107
4 . 2 x 1 0 “ 10
— 1.0 x 10“ 10
3.837467107
• •
NOTA 3.
r { = - 1.306 440 0(10) , con 7 cifras decimales exactas.
r 3 = 3.837 467 107
,
con 9 cifras decimales exactas.
En algunos casos e! método de Newton puede fallar, en cuyo caso se dice
que no converge. Por ejemplo, si la gráfica de la función es como la de la
figura siguiente y si tomamos
x. =
r — h
.
x*
=
r + h
666
Cap. 6
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
entonces las aproximaciones
sucesivas van y vienen entre
estos 2 valores en forma al­
ternada.
V i
x
Esta propiedad la tiene
la función
•J x
Hx)
— r
i
i
para
x >
r
, para
x <
r
,
x
0
=
—
^ r — x
En estos casos se puede usar un procedimiento llamado MÉTODO DE
b i s e c c i ó n , el cual no será tratado en este texto, pues usualmente requiere
demasiadas iteraciones; p e r o fu n c io n a .
NOTA 4
Si en alguna iteración en el método de Newton el valor que toma
f' (*n)
está muy cercano a cero entonces el método no converge.
En este caso la recta tangente en
xn
tiende a ser horizontal y el s i­
guiente "punto de aproximación" se
aleja de la raíz exacta en vez de
acercarse.
una esfera de radio R es
V = — h 2 (3 R - h )
3
Si un plano está a una distancia x del cen­
tro de una esfera unitaria y la corta en dos
segmentos, uno de doble volumen que el
otro, pruebe que x satisface la ecuación
3 x 3 — 9x + 2 =
0 .
Por el método de Newton halle la distancia x , con siete cifras decimales exactas.
SOLUCIÓN.-
Sea
Vp =
Vol. de la esfera
e
En la figura siguiente usamos el dato y hacemos
= — 7 i( l) 3 = —
3
h = i -
.
3
x
, R = l ;
CONDICIÓN:
=>-
667
E l M é t o d o d e N e w to n
Cap. 6
V2 = 2 V ]
3Vj = 4 ti/3
=>
3 (x — l ) 2 (x + 2) = 4
3x3 - 9x
+
2
=
0
cuya solución hallaremos.
3
Consideremos la función
f (x) = 3x - 9x
+ 2 .
Por construcción del problema debe haber una raíz
En efecto, debido a que f ( 0 ) = 2
ta.
y
r
en el intervalo
f ( l) = - 4 ,
[0,1].
nuestra suposición es correc­
Aplicamos el método de Newton a la función f ( x ) ,
f (x) = 3 x (x 2 - 3) + 2
= 0.5
f ' (oc) = 9 ( x 2 - 1)
(digamos).
*n
f( * n)
- f ( x n) /f'( x n)
*n + l
II
o
1ra. Aproximación
,
-2.125
- 0.314814814
0.185185185
2 0.185185185
+ 0.352385307
+ 0.04470521
0.229890395
3 0.229890395
- 0.032564719
-0.003820198
0.226070197
4 0.226070197
+ 0.000030026
+ 0.000003515
0.226073713
8.3xl0“ 10
9.7x10” 11
0.226073713
n
•
i
5
0.226073713
x =
EJEMPLO 7.-
0.2260737 , con siete cifras decimales exactas.
Aproximar el valor de
do:
Sen (x/6) = 1/2
n con nueve cifras decimales exactas, resolvien­
.
SOLUCIÓN.La gráfica de y
= Sen (x/6)
tiene la forma de la figura. Apli­
caremos el Método de Newton
xn + l
xn
_ _ L ÍÍ¿ L
f'(x n)
a la función:
f (x) =
2 Sen (x/6) — 1
f '( x ) =
[ Cos ( x / 6 ) ] / 3
Observando la gráfica, elegiremos como 1ra Aproximación:
Xj = 0.0
668 -
A n á l i s i s M a t e m á t ic o 1
Cap. 6
n
*n
f(*n)
- f ( * n)/f'(*n)
*n + 1
1
Xj = 0.0
-1
3.0
3.0
2
3.0
- 0.041148922
0.14066684
3.14066684
3
3.14066684
-0 .0 0 0 2 6 7 2 7 1
0.000925771
3.141592612
4
3.141592612
-0 .0 0 0 0 0 0 0 1 2
0.000000041
3.141592653
5
3.141592653
— 1.06 X 10— 10
3 . 6 7 X 1 0 “ 10
3.141592654
x = n =
,
3. 141592654
con nueve cifras decimales exactas.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Empleando el método de Newton halle la solución de la ecuación dada f ( x ) = o
el intervalo indicado
[ a, b ]
en
con una precisión de siete cifras decimales exactas. Re­
cuerde que debe elegir una primera aproximación en dicho intervalo.
1)
x2- l = o
2)
x3 -
,
[2 ,3 ]
o
,
[ 2 , 3 ] ( raíz cúbica de 20 )
3)
x 5 - 12 = 0
,
[ 1 , 2 ] ( raíz quinta de 12 )
4)
X3 + 4x -
5)
x 3 + 3x2 + 2x
6)
x — Cos x
10)
x + Tan x
11) 1 13)
20 =
x -
x 4 -
1 =
=
0 ,
[0,1]
= 10 ,
0 ,
= 0
Senx
( raíz cuadrada de 7 )
=
,
X3 -
8)
x 5 4- 2 x 4 + 4 x
9)
[0,1]
3n/2 <
x
2x -
12)
18 =
,
0
5 =
x3 + x — 3 =
< 8 , X j = 7. 9
0 ,[0,1]
18x2 + 72x -
4x3 -
[1,2]
7)
2x3 -
Ó
,[2 ,3 ]
0
= 5 , [0,1]
0 , [1,2]
Xj = 8 .
6x2 -
5 = 0 , [ 3, 4 ]
[0,1]
14) Demuestre que la fórmula de iteración babilónica para calcular la r a íz c u a d r a d a
de un núm ero positivo A d a d a p o r :
*n + 1 =
~“ ( x n + “
2
)
xn
es un caso especial del método de Newton, aplicado a la ecuación:
f (x) = x 2 — A =
0 .
15. Utilizando el método babilónico del Problema [1 0 ] previo, encuentre con una pre­
cisión de nueve cifras decimales exactas:
a)
16
V~4<r
,
b)
V 238
,
C)
V 7246
Halle todas las raíces reales de la ecuación x
sión de ocho cifras decimales exactas.
3
-
3x
2
+ 1 = 0
con una preci­
Cap. 6
E l M é t o d o d e N e w to n
SUG.-
17.
669
Evalúe el polinomio del primer miembro en
Cosx
Resuelva la ecuación:
x
=
x = —1, 0, 1,2
y 3.
, con una precisión de ocho cifras decimales
exactas.
18.
x
Pruebe que la ecuación de Leonardo
3
2x
+
2
lüx - 20
+
=
0
tiene una úni­
ca solución real, verificando que el polinomio del primer miembro es una función
estrictamente creciente. Calcule dicha solución con una precisión de siete cifras
decimales exactas.
19.
x
Halle el mínimo valor positivo
Tanx
tal que:
3x
=
con una precisión de
ocho cifras decimales exactas.
SUG.20.
Tan x — 3x
3 [ — Tan x
3
=
—
x
Halle las soluciones de la ecuación
x]
.
2
Cos x
=
con una precisión de ocho ci­
fras decimales exactas.
SUG.-
y = x
Grafique
2
función f ( x ) = x
21.
y = Cosx
y
-
. Aplique el método de Newton a la
x} =
C o s x . Primera aprox.
Halle las soluciones no nulas de la ecuación
x3
=
Senx
1.0 .
con una precisión de
ocho cifras decimales exactas.
SUG.22.
Primera aproximación
X j = 1.0
Halle la solución de la ecuación
/ x
.
¿Porqué?
+ 3 = x2 ,
con una precisión de nueve
cifras decimales exactas.
SUG.-
Aplique el método de Newton a:
f
(x) = x 4 - x -
3
=
0
.
CLAVE DE RESPUESTAS
1.
2.6457513
5.
1.3089073 ,
, 2.
2.7144176
6.
0.73908513
,
3. 1.6437518
,
10. 7. 9786657,
7.
2.0945514
9.
1.21341166,
13.
0.26911576 , 15.
16.
- 0.532088886 ,
18.
Redondeando:
1.36880811 ,
20.
± 0.82413231
por simetría respecto al Eje Y.
21.
± 0.9286263(10)
a)
...
4.
,
11. 0.51097342,
6.324555320
0.652703644 ,
,
, b)
0.2462661
8.
0.8596240
12.
3.23838697
15.427248620 , c)85.123439780
2.879385242 ,
17.
0.739085133
19. 1.32419445
por simetría respecto al origen.
22)
1.452626879
.
- 670 -
Cap. 7
LOGARITMO Y
EXPONENCIAL
1.
Una de las funciones más importantes del Análisis Matemático
es la función LOGARITMO NATURAL, denotada por
también
1
y = —
x
,
, *
> 0 , o
y que se define en base a la gráfica de la curva
p a r a x > 0 s o l a m e n t e , de la siguiente manera:
ÁREA BAJO LA CURVA y = —
X
, entre 1 y x ,
si
i
>
1
L n (*) =
- ( ÁREA BAJO LA CURVA y = — , entre 1 y x ) , si 0 < x < 1
Cap. 7
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
- 671 -
CONSECUENCIA DE LA DEFINICION.y = Ln(x) está definida s o la m e n te para
a)
La función
b)
De las figuras:
c)
Si
x > i ,
d)
Si
o <
NOTA.-
si
x =1 ,
Ln(l) =
entonces Ln ( x )
x < i , entonces
A esta función
x € {0 ,o o ).
0 ( área nula entre 1 y 1 ).
es positivo.
Ln ( x )
y = Ln(x)
es negativo; como
L n (l/2 ), Ln(3/8).
también se le llama LOGARITMO NEPERIANO
1.1
, p a r a to d o
Demostraremos que
Para ello, probaremos que el lím ite , c u a n d o
Ln (x + h) — Ln (x)
a)
Si
es ig u a l a:
o , del cociente
En efecto ,
h > 0 :
Ln (x
=
h
x > 0 .
4-
h) — Ln (x) =
1
y =
Área bajo la curva
sobre el Eje X , entre x
x + h .
=
- Ln (x)
D IF E R E N C IA DE Á R E A S , si
x +
h
X y
están am bas a la d e re ch a
o am bas a la iz q u ie rd a d e 1 .
=
SU M A DE ÁREAS ,
Como la gráfica de
si
X
está a la izquierda de 1 , y
y = l/x
x
+ h a la derecha de 1
es decreciente se cumplen las siguientes desigual
dades entre áreas:
h -(
1
) < Ln (x + h) — Ln (x) < h*( — )
x + h
donde
( l/ x )
1/ ( x + h )
= altura del rectángulo grande
=
altura del rectángulo pequeño (inferior) ,
y la base de ambos rectángulos mide:
h .
Luego,
672
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
1
x + h
Ln (x + h) — Ln (x)
-----------------—
h
<
1
—
x
<
y por el TEOREMA DEL SANDWICH:
,
para
,
h >
0
,
Ln (x + h) — Ln (x)
lím
x
h —¥ 0
b)
Si
h < 0 :
( - h) >
0 , y note que
Ln (x) — Ln (x + h) =
=
Área debajo de la curva
_i_
y =
x
y sobre el Eje X ,
entre x +
h
Ln (x) — Ln (x + h)
y x.
Asimismo, de la gráfica adyacente, tenemos
la siguiente relación entre áreas:
( _ h ) . — < - [ Ln(x + h) - Ln(x) ] < ( - h)
1 ^
Ln (x + h) — Ln(x)
1
h
x + h
x
por el TEO. DEL SANDWICH:
lím
1
x + h
...
pues
P o rlo ta n to .d e (a) y ( b ) , concluimos que:
.
,
.
Ln (x) =
dx
hm
x
Y puesto
p a r a to d o x > O ,
Ln (x + h ) — Ln (x)
---------------------------
h —► O
que esta función
h
y = Ln(x)
x
resulta ser diferenciable para cada
x > O , entonces también resulta ser CONTINUA en todo su dominio.
2.
PROPIEDAD 1.-
Para todo x
gU) > O :
tal que
0
Ln (x + h) — Ln (x)
h —► 0
d
(—h) >
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
Sea
-673
u = g ( x ) , por la regla de la cadena:
d Ln [ g ( x ) ] =
dx
—
Ln (u )
=
dx
=
±
du
.
u
' ( x )
=
U
PROPIEDAD 2.-
Para todo
g (x)
a > 0 ,
Ln(ab)
En efecto, sea
b >
=
0:
L n (a ) +
L n (b )
g ( x ) = L n ( a x ) , donde a > 0 , x > 0 ; de la propiedad 1 :
g ' ( x ) = _JL_ -
_L
ax
, y haciendo
x
f'(x )
f ( x ) = L n (x )
i/x
=
g(x) = f (x) +
Ln(ax)
x
Para
=
Ln(x)
Ln (a)
= 1 :
x
Y en particular, si
PROPIEDAD 3 .-
Si
n
=
€ Z
,
Ln (1)
+ C
Ln (x)
=
b
+
Ln(ab)
:
=
n
existe una constante C
=
tal que
0
+ C =
...(*)
C
[ de ( * ) ]
Ln(a)
+
Ln(b)
.
a>0:
, y
nLn(a)
= o , la fórmula se cumple obviamente.
❖
Si
n
>
0
,
n€
Z ,
por Inducción M. y la PROPIEDAD (2) Previa.
❖
Si
n
< 0
,
n6
Z ,
hacemos
n
= -
m
, con
m
€ Z+
0 = Ln (1) = Ln(a°) = Ln(am -a m )
=
Ln (am )
+
Ln (a“
m )
...
de la propiedad (2)
=
m (Ln a)
+
Ln (a“
m)
...
de lo anterior,
y por lo tanto,
es d e c ir :
Ln(a~
Ln(an )
) =
=
.
.
Ln (a)
Ln(an ) =
Si
de donde se tiene
p a r a to d o x > 0
+ C
=
Ln (ax)
^
x > 0
p a r a to d o
C ,
,
g'(x) = f ' ( x )
, entonces
Y por aplicación del teorema del Valor Medio,
Luego,
dU
dx
[-^ -L n (u )]
( — m)Ln(a)
n L n (a ).
:
- 674 -
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
PROPIEDAD 4 .•
Para todo
a > 0 ,
Cap. 7
b > 0 :
L n (a /b ) = Ln(ab
= Ln(a) + Ln(b *)
= Ln(a) + (—l)L n (b )
En efecto,
• •
de (2)
de (3)
= Ln (a) — Ln (b)
PROPIEDAD 5
L a fu n c ió n
y
—
Ln ( x )
e s e s tr ic ta m e n te crecien te
y
su g rá fi
ca es c ó n c a v a h a cia a b a jo t en to d o su d o m in io .
f ( x ) = Ln(x)
En efecto, como el dominio de
f'W
i
=
>0
1
f"(x )
=
-
f (x) = Ln (x)
< o
es
(0,oo)
es estrictamente creciente,
lo que implica que la gráfica de f ( x ) = L n ( x )
entonces
y además
es cónca­
va hacia abajo en todo su dominio.
PROPIEDAD 6 .- La función (continua) y = L n ( x )
toma valores arbitrariamente gran
des, tanto positivos como negativos; es decir,
Efectivamente, de la definición geométrica mediante áreas:
y como
L n (2
n
) = n ( L n 2 )
,
entonces
❖ Si n es un E N T E R O P O S I T I V O
Ln (2
) =
:
n ( L n 2)
n
—
<
_
n v
Ln (2 ) <
n
2
de modo que si
n
toma valores muy grandes entonces
2n
y
Ln(2n )
toma
rán valores positivos muy grandes.
❖ Si
n
es un E N T E R O P O S I T I V O i
entonces
-n
<
L n ( —— ) <
on
y como
- —
2
L n (-^ -) = (-n)Ln2 ,
• •
de modo que si n toma valores muy grandes, entonces
valores negativos muy grandes, por ( * ) .
COROLARIO 7
Como
f (x ) = Ln (x )
(*)
L n ( —— )
tomará
2n
es continua en su dominio ( o , o o ) , de ( 6 ) :
Cap. 7
- 675 -
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
lím
Ln (x) =
lím
— oo
í -4 00
0+
COROLARIO 8 .-
Ln (x) = + oo
La función
Ln :
( 0 , o o ) — ► ( —o o .o o )
es biyectiva
3.
Siendo la función L O G A R IT M O una función continua, por
biyectividad se tiene que, para cada número b e R = R a n g ( L n ) , e xiste un
núm ero (y solam ente uno)
ticular, para
letra e .
b = i ,
a € { —o o ,o o )
tal que
Ln(a) =
b . En par­
el único número a que le corresponde es denotado con la
Es decir,
El número e es llamado ocasionalmente núm ero de Euler, debido al matemático
suizo Leonhard Euler, o también c o n s ta n te de Neper, en honor al matemático es­
cocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático.
Por ser la función LOGARITMO
inyectiva, continua y creciente, se tiene
Ln (1) = O < 1 = Ln (e)
Ahora, en la gráfica de
y -
1
—
consideremos las áreas correspondientes a
x
las abscisas consecutivas n y ( n + I ) , para n un entero p o s itiv o ,
AREA SOMBREADA =
Ln (n + 1) — Ln (n)
y se tiene
i * ( — !—
)
<
= Ln ( n
Ln(l + — )
n+ 1
n
<
1 ) = Ln (1 + — )
n
n
l-(— )
, y como
1 = L n (e ) :
n
. , 1/ ( n + I) .
_ ,,
1.
_ , 1/n .
Ln ( e
) < Ln ( 1 H ) < Ln (e
)
n
y por ser
Ln
• *
creciente:
e
l/(n + 1)
Por lo tanto:
( La sucesión de la izquierda es CRECIENTE
<
.
(i + — )
n
<
e
1/n
n € Z+ .
y la de la derecha es DECRECIENTE )
676
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
Cap. 7
Hallaremos valores aproximados de e , para distintos valores del entero n
n =
1
2
<
n
10
2.593
< e < 2.8531
n
100
2.7048
< e < 2.7318
n
10 000
2.7181459
< e < 2.7184177
n
100 000
2.7182682
< e < 2.7182954
n
1000 000
2.7182804
< e < 2.7182831
n
100 000 000
2.71828181
< e < 2.71828184
Para
e <
4
Otra técnica para estimar el valor de e , con mayor rapidez de convergencia, es la de
e =
las SERIES INFINITAS. En todo caso,
2 .7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 2 3 5 3 6 0 2 8 7 . . . .
3.1
Como consecuencia de la definición y de las propiedades
enunciadas la gráfica de y = Ln x :
♦ Dominio:
< 0 , oo > , x > 0
♦ Es creciente y continua
♦ Es cóncava hacia abajo
♦ Si
0 <
x <
1 :
y =
Ln x
<
♦ Ln (1) = 0
♦ Si
x >
1 :
y =
Ln x
♦ Ln (e) = 1
lím
0+
Ln (x )
=
— oo
< 0
0
Cap. 7
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
■
♦
■
■
1
- 677 -
\
1
lím Ln (x) = + oo
x —►oo
y = Ln(x)
* La pendiente de la recta tangente a la curva
es
y' = —
>
0.
x
3.2
n
EJERCICIO.- Como ya se sabe que:
a)
Ln x
= —1
b)
Ln x
= 5
SO LUCIÓN.-
a)
,
Ln (x — 2)
c)
,
Ln(en )
=
Ln (4
d)
Ln(x) = Ln(e_ I )
—
x 2)
x = e-1
=>
c)
Ln (x — 2) = 6 = Ln(e6 )
=>*
x —2 =
d)
Ln(4 — x 2 )
2)
=>
= —2 =
x
x = 1 /e
Ln(x)
=>■
=
Ln (e
^
G Z , resuelva:
,
=
por ser inyectiva la
0 .3 6 7 8 7 9 . . .
1 4 8 .4 1 3 1 5 9 . . .
e6
4—
x 2 = 4 — e—2 = (4e2 — l) / e 2
Aproximando hasta la quinta cifra decimal:
NOTA.-
n
= —3 .
b)
=>■
Ln(e5)
V
= 6
función LOGARITMO. Luego,
=
,
x 2=
e
x = 2 + e6
2
x = ± — \ 4e2 - 1 .
e
=$>-
x
^
^
± 1 .9 6 5 8 7
El número e es un núm ero irracional: su representación decimal es
infinita y no periódica. Es además un n ú m e r o t r a s c e n d e n t e , pues
así como el número n , está demostrado (por HERMITE) que x = e no
es r a íz de n in g ú n p o lin o m io de g r a d o n con co eficien tes racionales.
3.3 EJERCICIO.-
Resuelva las inecuaciones:
a) Ln (x) < —2 ,
SOLUCIÓN.- RESTRICCIÓN INICIAL
a) Ln(x) < Ln (e 2 ) = —2
b) Ln | x | < —1 ,
para
Ln ( u )
:
c) Ln (x + 4) < 0 .
u > 0
;
x > 0 y x < e 2 (Ln : creciente)
O
0 < x < e- 2 ( ^ 0.13533 ... )
b)
0 < |x | < e-1
Ln | x | < Ln (e 1) = —1
4=^
EJERCICIO.-
0 <
-4 <
x
V
3.4
Ln (x + 4) < Ln (1) = 0
+
X
w
c)
x G ( —(e—1) , e—1) - { 0 } .
< - 3.
Demuestre que existe un único número x que satisface la ecuación:
*
x + Ln (x ) =
0 .
- 678
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
SOLUCIÓN.- Consideremos la función
f (x ) = x + L n ( x )
, que es continua pues
es la suma de dos funciones continuas, para todo
Evaluamos:
f
(e ) = e +
> o
l
1
f(l) =
,
> 0
1
>
f (l/e) = (l/e) -
x > o .
h a y u n c a m b io de signo.
i < 0 J
Por el Teorema del VALOR INTERMEDIO, aseguramos la existencia de (al menos) un
número
x Q entre
l/e
^
0.3678
y
1 , tal que
f ( x Q) = 0 .
Ahora aseguramos la unicidad de esta raíz derivando
f '( x ) = i + (l/x) > o
=>■
f
f (x )
y observando que
es creciente y por ende, inyectiva.
Aplicando el MÉTODO DE NEWTON,
para aproximar raíces de ecuaciones, encontra
mos el valor, con cinco cifras decimales correctas, de
x „ = 0,56714 .
o
Una forma gráfica de ver la existen­
cia de esta raíz *
, es considerar
«
o *
las gráficas de las ecuaciones:
y
= Ln(x)
y
y = - x .
De la figura vemos que existe un
único
punto
de
intersección
(x
, y Q)
de estas gráficas; esto
indica que aquí se tiene:
ij
= Ln (x ) = —x n
*o
v oJ
o
x 0 + Ln ( x 0 ) = 0 .
3.5 TEOREMA.-
PRUEBA.Denotemos
Sea
x > o y
a cualquier número racional; entonces
Consideremos las funciones
u = x
a
f (x ) = L n ( x
) , g(x) = a L n (x ),
.
f'(x ) = —
fOO = —
dx
—
du
dx
L n (u )
du
1
a
,
'(ax
a —1.
g'OO = (a)(— ) =
X
) =
a
x
a
—
x
1 .
a -K
-•(ax
)
u
t
¿POR QUÉ?
Cap. 7
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
679
Al tener f y g la misma derivada, entonces, por el TEOREMA DEL VALOR CONS TANTE, EXISTE UNA CONSTANTE C tal que
f ( x ) = g(x) + C , V x > 0 .
Tomando
x
= l :
=>
f(i)
g (i)
=
Ln (1) =
Ln ( I a )
=>■
a L n (1) + C
f (x)
Por lo tanto, concluimos que
3.6
+ C
=
aLn (1)
=
0 = 0 + C
g(x)
. Así:
Ln(xa )
+ C
=>
=
C = 0 .
aLn(x) .
TEOREMA
PRUEBA
Puesto que
da de
f (x )
Ln(l) =
= Ln ( x )
0
identificamos al primer miembro como la deriva
para
x = 1.
En efecto, podemos reescribir el
primer miembro
Ln (1 + h) - Ln (1)
lím
h —►o
pues
3.7
Partiendo de
La gráfica de
y = Ln (x)
=
=
g(x) = L n |x | ,
b)
la gráfica del
f (x) = L n (—x)
LOGARITMO NATURAL
x <
(1)
C)
h (x ) =
Ln x
y = Ln(x) :
0 , se obtiene REFLEJANDO la gráfica de
hacia el semi-
YA
EJE Y fuera un espejo.
y = L n (-x)
y = Ln (x) ^
Puesto que
Ln
0
{
La gráfica de
0
g(x) = L n |x |
está
constituida por la reunión de ambas
curvas: derecha e izquierda.
Su dominio es
1
{ TAMBIÉN PUDO HABERSE APLICAOO LA REGLA
DE L'HOSPITAL A ESTE LÍMITE.)
plano izquierdo , como si el
b)
f'(l)
1
Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:
f(x) = L n ( - x ) ,
SOLUCIÓN.a)
f ' ( x ) = (Ln x)' =
PROBLEMA.a)
i
=
_
R -
{0 }
.
y = Ln x
680
c)
L n (x 2)
Como —
2
=
es idéntica a la función
3.8
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
L n [ ( x 2 )*^2 ]
L n |x |
=
,
g(x) = L n |x | , y por
entonces la función
lo tanto sus gráficas coinciden.
Explique la razón por la cual la función f (x)
ción g ( j c ) = 2 Ln ( j c ) no so n iguales.
EJERCICIO.-
3.9 PROBLEMA.-
h(x)
Ln(x
=
2
)
y la
fun­
Demuestre que
SOLUCIÓN.a)
Si
x > 0 :
—
b)
Si
x < 0 :
L n |x | = L n (—x) ,
dx
Ln I x
dx
Ln(x) =
x
de modo que si denotamos
u = -x ,
entonces aplicando la regla de la cadena tenemos
—
Ln | x | = —^ - L n ( —x)
dx
dx
3.10 EJERCICIO.-
para todo x
SOLUCIÓN.-
=
— -— (—1)
(—x)
=
— .
x
Demuestre que:
tal que
a)
f(x)
>
0
,
b)
f (x) * 0 .
Aplique la regla de la cadena. Usar el PROBLEMA [3 .9 ].
3.11
a)
b)
dx
dx
Ln
[
v
1
5x + 6x
=
- + Ln (— ) ]
Ln x
x
1 Ln ( 5 x 4 +
dx 3
6x)
=
d
4
— Ln (5x + 6x)
3 dx
—
1
( 5 x 4 + 6 x )'
20 x + 6
3
(5x 4 + 6 x )
3 (5x4 + 6x)
[—
] + -¿ -[-L n O O ]
dx Ln x
dx
d
(Ln x ) f
(Ln x ) 2
(l/x )
x
T
L
n
2
x
1
Cap. 7
c)
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
Ln ( x 2 + 9)
—— ^
— [L n (x2 + 9 )]
=
dx
• ——
2
— Ln (x +
r—2------Í
x
***
Ln ( x 2 + 9)
dx
= — [ L n (x 2 + 9)]
2
d)
^
681
(x + J x 2 -
2x
1/2 •
x ¿+9
1 + {x¡<¡x2 - 1 ]
1 )'
- 1 ) = ______ ______
( x + ^ x2 - 1 )
= ----------- .
( x + ^ x2- 1 )
1
V x2 - 1
3.12 PROBLEMA.-
Encuentre los puntos de la gráfica de
y =
x2+ 4Lnx ,
que la recta tangente es paralela a la recta L :
SOLUCIÓN.-
Derivando la ecuación y =
x2 + 4Lnx
,
y — 6 x + 5 = 0.
2x + (4/x)
y' =
La recta tangente a la curva dada tendrá como pendiente en
y'
valor de la derivada
y -
en los
.
(x , y )
el
, y como debe ser paralela a la recta dada L :
6 x + 5 = o , que tiene pendiente igual a :
m = 6 , entonces
estas pendientes deben ser iguales; así , tenemos que
y' = 2x + (4/x) = 6
=>
Obtenemos dos valores:
x =
Los puntos buscados son:
x = 2
(1,1)
3.13 PROBLEMA.SOLUCIÓN.-
i
x 2 - 3x + 2 = 0 = (x - 2)(x - 1)
y su correspondiente
0
y = 4 + 4 Ln (2) .
( 2 , 4 + 4 Ln (2 )) .
y
.
x
ASÍNTOTA VERTICAL:
Además,
m=
lím
x —y
oo
x
^
x
^
1 (en la curva)
"
Bosqueje la gráfica de la función
Dom f : x >
y =
= 0
x
(x ) =
-
.
lím f (x) = ------- = —oo
—*■ 0+
0+
(Eje Y)
lím
=
f
oo
*
^2
=
lím
x —
►oo 2x
b = lím
[ f (x) —mx ] = lím
*
x —►oo
x -*■ oo x
ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA:
y =
= o
= lím
m x + b =>-
x
y =
_!Zí_
—►oo 1
0 (Eje
o
X).
- 682 -
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
PUNTO CRÍTICO :
Evaluando
x = e
f (1) =
0
,
,
Cap. 7
POSIBLE P. DE INFLEXIÓN :
f (e ) =
i/e
^
0.37 ,
x =
e3/2
£
4. 48
f ( e 3yí2) =
^
0.33
e '
X
>
< 0 , e >
Forma
f" U )
f'U )
<
0
r
0
( e , e 3/ 2 )
<
0
<
0
( e 3^ 2 , o o )
<
0
>
o
VER LA GRÁFICA DESPUÉS
DEL PROBLEMA 3.16
En el siguiente problema, veremos una aplicación muy elegante
ción del concepto de GRÁFICA CÓNCAVA HACIA ABAJO.
de la defini­
Por definición, la gráfica de una función
f es CÓNCAVA HACIA ABAJO en unintervalo
{a, b )
Xj =* x 2 , se tiene:
si
V X| , x 2 6 ( a , b )
3.14 PROBLEMA.-
Sean p , q >
,
1 , tales que
(1 /p ) + ( l / q ) =
1 ; si
x >
1 ,
demuestre que
(*)
SOLUCION.-
1)
Si
x
= 1 , la igualdad en
2)
Si
CAVA HACIA ABAJO
V x >
Ln ( (1 — t ) • 1 + t ■x ) >
Y en particular, para
L n ( — -1
q
=>.
0 ,
se cumple directamente.
x > 1 , sabemos que la función
entonces para
x]=
(1 — t ) L n (1) + t L n ( x ) ,
t =
l/p
+ — • x ) > — • (0)
P
q
— +—
q
P
(*)
,
i -
t =
l/q
+ — • Ln ( x )
P
l
y
t < 1
(por hipótesis)
=
Ln(x^p)
m o n ó to n a creciente.
A t»A T o n
3.15 PROBLEMA.-
Demuestre,
V x >
0 :
Ln(x)
x (> l )
V t : 0 <
p o r s e r la f u n c i ó n L n
> x 1 /p ,
x2 =
f (x ) =
L n ( i + x)
>
y
.
1+ x
SOLUCIÓN.-
Como
x > 0
=>
( x + 1) L n ( x + 1) >
( x + 1) >
o , será equivalente demuestre que:
A re T a n x ,
p a ra todo
x > 0.
esCÓN­
Cap. 7
683
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
f (x)
Sea
Derivamos:
f'(x)
= (x +
=
1)
Ln (x +
1)
— Are Tan x
1
L n ( x + i ) + i -----------------------=
,
[ f (0 )
=
x
> 0
=>
(x
,
V x
> 0
f'
(x)
> 0
f
(x)
>
f (0 )
(x
^
l)
+
>
=>>
1+ x2
i
Ln(x
f
es creciente
l)
+
V
> o
,de donde
x > o
1) Ln (x + 1) — Are Tan x
+
x2
L n ( x + 1) +
1+ x2
Además,
0 ].
,
resulta:
es decir
, V x>
> 0
0
.
x
3.16 PROBLEMA.-Trace la
gráfica de la función
f (x )
=
Ln
Dom f
SOLUCIÓN.-
= { 0 ,1 ) U (1 ,
oo )
x
a)
lím f (x) =
lím ------- =
x —►0+
x—►0+ ^n x
b)
lím
f (x) =
lím
*-n +
x-n +
lím
x-> r
c)
f (x) =
ASÍNT. OBLICUA.:
b =
(L'HOSPITAL)
=
*,
0
-
o
, entonces se puede definir
f(0) = 0.
—— = — = +oo
Lnx
o+
=>• ASÍNTOTA VERTICAL:
la recta x = l .
Hm —- — = —!— = —oo .
x - 4 i ~ ^ nx
o
m =
lím 1 Í £ Í =
x ►+ oo x
nm
— 1— = —
= 0
x-» + oo L n x
+00
lím
[ f (x) — m x ] =
lím
f (x) =
lím
*
x —►+ oo
x —►+ 00
x —f + 00 Ln x
lím
1
--------
x —►+ 00 l / x
=
lím
x —►+ 00
x
=
| + oo
NO EXISTE ASÍNTOTA OBLICUA (DERECHA).
d)
.
Ln (x) — 1
f ' ( x ) = -----5-J-----Ln2 x
PUNTO CRÍTICO:
,
f
..
f'(x)
(x) =
2 — Ln (x)
x L n 3(x)
x = e £ 2.71,
POSIBLE PUNTO DE INFLEXIÓN:
X
x
f"(x)
para x = e2
FORMA
s
7.4
684
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
-
(0 ,1)
<l.e>
—
+
+
+
+
—
<e,e2 )
(e2
, oo)
r
G R A F IC A D E L
PROBLEM A
(•)
Hm
[3 .1 3 ]
f'(x)
(T
SERIE DE EJERCICIOS
1.*
Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones
f (x ) :
a)
Ln ( 2x + 6)
h)
b)
L n (x 3 + 7x)
i) Ln ( j c Ln x )
c)
Ln | Are Sen jc|
d) Ln ( Are Tan ( x 2 + 1) )
e)
f)
g) ( Ln | x + 11) / x
3.
Resuelva tas ecuaciones:
a)
C)
x
>
L n ( l — x) + Ln ^ x + 1
L n (x 2 Lnx)
k)
L n (x 2 + 1 ) 12
n)
1 , demuestre que:
L n (l + x) — L n (l — x)
j)
m) x 4 — Ln | 2x + 6 |
x/L n x
Si
)
I) xLn(Cos3x)
Ln ( Ln ( Ln x ) )
2.
Ln (
Ln(x +
=
1
=
1
x2- 1
—Ln x2+ 1
y x 2 - 1 ) = — Ln (x - ( 7 ~ - i )
b)
Ln (x
Ln ^ x 2 + 1
+ 1) — L n ( x + 1) =
0
Cap. 7
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
d)
4.
5.
Ln ( V"x" +
x + 1) = 3 .
^
Demuestre que
685
D
Ln(x
[
k
) ]
k
—
=
.
x
Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a ia curva cuya ecuación es:
y Ln (3y) = x ,
en el punto de ordenada
y
1/3
=
.
.
x y /r
+ y = 0
Halle todas las asíntotas posibles de la gráfica de
7.
Si
8.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación:
=
y
=
y
9.
10.
11.
ASen(Lnx)
BCos(Lnx)
+
x(Lnx)2+ ( — - —
Ln x
) ,
=
Ln ( 4 - x 2 )
6.
y
, pruebe que:
xy'
+
(e,2e) .
en el punto
Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones, en base a la de
= Ln x
y
a)
y -
-
Ln X
d)
y
-
Ln ( - x)
g)
y
= 2
Ln | x
b)
y =
1 + Ln x
e)
y
=
Ln (2 — x)
h)
y
= 2 Ln ( x 2 )
c)
y
— Ln(x — 3)
f)
y
— — Ln (3 — x)
i)
y
=
+
4Ln(x)
4|
.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación:
a)
y -
2x3 - Ln x
,
en el punto
b)
y = Ln ( x 2 — 3)
,
en el punto de abscisa
c)
x 2 + Ln (x
+ l) + y 2 = 9 ,
(1,2).
en el punto
x
= 2.
(0,3) .
Indicando sus valores extremos, puntos de inflexión y asíntotas, halle la gráfica de:
a)
y
— Ln 2x
b)
2
d)
y = Ln (8x — x )
g)
y = x 2 Ln x
j)
y = Ln[ x 4/ ( x
e)
h)
-
x
y =
1
y=
—
+
Ln x
2
x — Ln x
y = L n [ x / ( x 2+ 1) ]
1) ]
k)
y -
c)
y
=
x
f)
y
=
xLnx
i)
y =
Ln [ x 3/ ( x - 1) ]
—
Ln x
Ln x
.
12. Aplique el método de NEWTON para aproximar a cuatro cifras decimales:
a)
La coordenada x del punto de intersección de las gráficas de las ecuaciones:
y = Lnx ,
b)
13.
La raíz de la ecuación:
Demuestre que:
b)
y = 2 —x .
a)
x + Lnx-2
=
0.
Ln | Cosec x — Cot x | = —Ln | Cosec x + Cot x |
. i |oSec x + Tan
™ x | i = —1 Ln»(t ------------1+ Sen x ).
Ln
2
1 — Sen x
686
c)
i
Ln | Cosec x — C ot x \
14.
Demuestre que
15.
Sean a , b >
t
<
Sean p >
1 ,
q >
x*^p <
Sean a > o
SUG.-
i)
a = P
— + —
P
q
,
ii)
2
=
at b 1 “
1
— — < Ln (x ) ,
x
(a /p ) >
L n (x ) >
x
<
,
x
,
para todo
f (x ) = l -
1
A re T an ( x ) .
< ta + (l -
2xArcTanx
Dada la función
>
para todo
x > 0 ,
t)b
1 , de­
como en el
— + —
P
q
.
) ,
x > i .
para todo
para
x >
x ^
(l/x)
( x + 1 ) Ln ( x ) >
L n (l + x
f (x ) =
x >
p, q
<
para todo
Ln(x) -
2 ( x — l ) / ( x + l) ,
SUG.- Demuestre que
1 , y
» 1/p / í 1 /q
ciente tanto en el intervalo o < x <
19.
Tan —
a * p .
L n ( x + I) <
SUG.- Considere
e)
Ln
.
Pruebe que
Ln(x)
b)
d)
=
x
( 1 / p ) + ( 1 / q ) = 1 . Si
p > o , tales que
,
Demuestre que: a)
c)
1 . Pruebe que:
1 , tales que
EJERCICIO anterior [ 1 6 ] .
18.
=
—— [ x A re Tan ( x ) — - L n ( x 2 + 1 ) ]
dx
2
0 , 0 <
muestre que
17.
1
I “ Cos x
— Ln ( ------------------ )
2
1 + Cos x
Aplicar la definición de c o n c a v id a d hacia a b a jo ala gráfica dela fun­
ción LOGARITMO NATURAL , en la desigualdad dada.
SUG.-
16.
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
0.
1 .
, y pruebe que f es cre­
i , como en
x > 0 ,
2 (x -
x
> l
x *
.
1.
1) , usando (c) .
x < 0 ,
x = 0,
x > 0 .
A re Sen Ln ( x 2 + 1) , indique su dominio, sus puntos
críticos, y sus valores extremos (máximos y mínimos relativos).
20.
Construir la gráfica de
f (x ) = A rc T a n (L n (x ))
valor límite de la pendiente de la curva cuando
21.
Demuestre
a <
—i/e
que la ecuación:
, tiene una raíz real doble cuando
simples cuando
SUG.-
x L n (x )= a
-l/e
<
a <
Halle la raíz de la ecuación
o+ .
no tiene
a =
raíces
-1/e
reales cuando
, dos raíces reales
y una raíz real simple cuando
Construir la gráfica de la función
con la recta h o r iz o n ta l
22.
0 ,
x -*
, indicando en particular el
f(x)
= xLn(x)
,
a >
0.
e intersectarla
y = a , para varios valores de a .
xLn(x)=
1/2 , con cuatro cifras decimales exac-
Cap. 7
- 687 -
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
tas, aplicando el MÉTODO DE NEWTON.
23.
Por Inducción Matemática demuestre que
n
a)
dx
Ln (x)
n
n + 1 (n - 1)
(-0
n
=
n
b)
dx
n
Ln (1 — x )
(n - 1)!
—
n
(1 - x )
=
CLAVE DE RESPUESTAS
1.
a)
d)
e)
l/(x + 3),
2x
1 /[
b) (3x2 +
c)
7 ) / ( x 3 + 7x ),
l/(/T -
. Are Sen x )
x
/ { Are Tan ( x 2 + 1). [ 1 + ( x 2 + l ) 2 ] } ,
x Ln (x) Ln ( Ln (x) ) ]
h)
I * / (
x
2 - 2 )
,
2
f)
1+ L n x ,
g) [
x
- (x + l ) L n | x + l| ] / [ x 2 (x + 1) ] ,
i) (1 + L n x ) / ( x L n x ) ,
j) (1 + 2 L n x ) / ( x L n x ) ,
k) 24 x/(x2 + l )
I) Ln (Cos 3x) — 3x Tan (3x) , m) 4x3 — [ 1/ (x + 3) ] ,
0) ( V * + 1 -
3.
0 /2
a) ( e - l ) / ( e + l ).
b) { 0. 1} .
c) { o , 1- V T } , d) ( e 6 - l ) 2/ ( 4 e 6 )
L ^ : 3x + 3y —1 = O .
Asíntotas Verticales ( d o s ) :
x
=
± 2
.
,
b)
y
=
4 (x
10. a)
y — 2 =
5 ( x — 1)
11. a) y A y = Ln(2x)
n) x / ( x 4 — 1)
p) Ln (x + ■/1 + x* ) ,
,
5. L^, : 3x — 3y + I = O ,
6.
,
8). y
-
2e = 3 ( x -
—2) ,
b) YA
c)
x
+
6y
e ).
— 18
.
C)
0.367
y = x
= x —Ln
X
+ Ln x
d)
f)
= Ln (8x —x 2)
y = {x
/2) —Ln x
y
=
x
Ln x
x
-688
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
h)
g)
YA
¡)
= L n [x /(x 2 + 1)]
y = x Lnx
Y | y = VTLn
, il+ T T
f(x)
=
x + L n ( x ) - 2 , xQ =
12.
Tomando
19.
f (x) = Are Sen [ Ln ( x 2 + 1) ] , Dom f =
x
Puntos Críticos:
= 0
x=
x
=
-
V e - 1
i : a)
1.557145,
f
(0 )
=
0
MÍNIMO ABSOL.
jt/2
MÁXIMO RELAT.
=»
f ( / e —1
)=
=>
f
l ) =
V
e
-
Jt/2
MÁXIMO RELAT.
20.
f(0+ ) = -
ji / 2
f ' ( 0 + ) = +oo
22.
Tomar
g(x)
=
x L n ( x ) — 0.5
,
x
=
1.557145
[ —V e —1 , V e — 1 ] ,
=>•
(-
b)
1 :
R A ÍZ =
1.421529.
Cap. 7
4
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
- 689 -
.
Esta es una técnica muy eficaz para calcular la derivada de
expresiones que contengan
PRODUCTOS , COCIENTES , POTENCIAS y / o
RADICALES .
Indicaremos los pasos que se siguen mediante un ejemplo; así, si queremos hallar
la derivada de y = F(x) ,
donde
F(x) =
12)
p(x)
Aplicamos la función LOGARITMO NATURAL a ambos miembros, asumiendo que
cada función involucrada es positiva, y usamos las Propiedades del Logaritmo:
t
i n r/ m
Ln
[r y ]i = Ln
[ F (x) ] =
Ln [ y ] =
29)
g (x)- ^ h(x)
i r S W * V hW
Ln
[ ----------------- IJ
p (x)
= L n [g (x )] + — L n [h (x )] - L n [p (x )]
5
Derivamos implícitamente respecto a la variable independiente, x en este caso ,
es decir, aplicamos el operador
[
]
en ambos miembros y obtenemos
dx
38)
y '( x )
g '(x ) + 1 h '( x ) _
p '( x )
y(x)
g(x)
p(x)
Y por último despejamos
5
y'(x)
h (x)
, pasando el denominador
multiplicar a todo el 2® miembro de
y . (XJ
=
NOTA.-
a
(*) :
+
g(x)
4.1
y(x) = F(x)
5
h
(x)
P
(x)
En el caso de tener algún factor que tome valores negativos, solamente
se modifica el 1er. PASO tomando LOGARITMO NATURAL al VALOR AB­
SOLUTO de ambos miembros. Sin embargo, esto no altera en nada los
dos pasos siguientes debido a la propiedad de la derivada siguiente:
d
dx
tLn I| y (r x )i |I =
y ' {x)
y (x )
Este hecho hace que no sea necesario preocuparse por el signo de cada
factor cuando se aplica esta técnica.
690
4.2
Cap. 7
A n á l is is M a t e m á t ic o 1
EJEMPLO.-
Hallaremos
f'(x)
para:
(x + 1) (x - 2x)
f (x ) =
(x + 8 )5
SOLUCIÓN.-
1a)
LOGARITMO NATURAL
Tomamos
(x + l) ( x - 2x)
Ln f (x) = Ln
en ambos miembros :
,
y usamos las propiedades como
(x + 8 )5
Ln | f (x) | = Ln | x + 11 + Ln | x 4 — 2x| — 5 Ln | x + 8
2a)
d []
Derivamos ambos miembros respecto a la variable x , es decir, aplicamos
dx
i'íx)
y obtenemos
+
X + 1
f (x )
3a)
Despejamos
f'U )
=
f'(x)
[
EJEMPLO.-
pasando a multiplicar por
f (x )
(x + 1) (JC — 2x)
]•[
Derivar
y
x + 8
x — 2x
(x + 8)5
4.3
4x - 2
x +
= (Senx)-3
4x - 2
+
1
al segundo miembro:
x + 8
x — 2x
]
x2+ l
x2- 1
SOLUCIÓN.-
Como
y
=
y{x)
:
1a) Ln | y | = Ln | Sen (x) | + “ I Ln ( x 2 + 1) — Ln ( x 2 — 1)
3
2a)
d
Derivamos implícitamente, con respecto a x , aplicando
[ ] , y obtenemos :
dx
y*
y'(x)
Cosx
y(x)
Sen x
(x) = (Senx)
3
1f
+ —
2x
x
*
+ 1
x2- 1
4.4
EJERCICIO.- Hallar
=
y/ (x)
+
Senx
y
b)
y = (x + Tan x ) 2 (x - l)5/ ( x + 3)7
c)
y
=
-
l ) 6 ( x 2 + 2)3
x 3 ( S e n 2 x ) / y¡ \ + C o s x
;
d e sp e ja n d o ,
2x
2x
3 ( x 2 + 1)
3(x2 - l )
derivando l o g a r í t m i c a m e n t e
a)
x \ x
)
x2- 1
+ 1
Cos x
•[
2x
la función y
]
= y(x):
Cap. 7
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
d)
y 2 /3
=
e)
y =
¿j(x
RPTA:
b)
H- 1) C3jc + 4)1/2/ ^ (2x + 3) (x - 4)
(jc 2
+
y ( jc) • [
1 )/(jc
-
1)
.
2(1 + Sec* x )
x + Tan x
2x
d)
+
»(*)•[
+
]
3/2
3x + 4
x2+ 1
5
691
2x
]
5(2* + 3)
5 (*
-
4)
.
FO RMA S I N D E T E R M I N A D A S :
0
oo
0
oo
0 ‘ OO ,
oo — oo .
La presencia de estas formas indeterminadas en el cálculo de
LÍMITES de ciertas expresiones Logarítmicas, con frecuencia nos obliga a calcularlos
aplicando las REGLAS DE L'HOSPITAL.
Recordemos que estas
REGLAS DE L'HOSPITAL son aplicables
solamente cuando el límite involucrado tiene la forma de un COCIENTE
y se encuentre
escrito de manera que tenga una de las dos fo r m a s indeterm inadas siguientes :
0
oo
0
oo
0
El cálculo de LÍMITES es muy importante cuando se desea trazar
la gráfica de funciones que contienen LOGARITMOS , para hallar las ecuaciones de sus
r e c t a s a s í n t o t a s , así como para determinar en aquellos puntos donde la función no
es c o n tin u a si es que es posible evitar la discontinuidad, y de qué manera.
5.1
EJEMPLO.-
Calcule
L =
lím
x -y oo
Ln
jc
x
SOLUCION.- Note que la expresión toma la FORMA INDETERMINADA
, de modo
que podemos aplicar directamente la REGLA DE L'HOSPITAL, derivando
tanto el numerador como el denominador y pasando al límite en cuestión:
( Ln x Y
L =
lím
X —► o o
(*)'
lí m
X —¥ OO
\/x
x
lím
—y o o
x
692
5.2
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
EJEMPLO.-
Calcule
L
=
lím
(xLnx) .
r->0+
SOLUCIÓN.-
Aquí tenemos la FORMA INDETERMINADA
0 • ( - o o ) , de modo que
así no es posible aplicar la REGLA DE L'HOSPITAL ; sin embargo pode­
mos reescribir el límite en la forma
L =
lím
o+
X
L =
0 +
( —
L'HOSPITAL
+ °°
( Ln x
--------— =
EJEMPLO.-Calcule
SOLUCIÓN.-
-y
... FORMA INDETERMINADA:
(— )
lím
j c - í-
5.3
-Ln X
lím
)'
x - + 0
L
=
1¡ x
+
=
-l/x 2
lím
x
i i
fo]
( - x) =
—)■0 +
lím ( x L n x ) .
x —>0
Puesto que el DOMINIOde
f (x ) = ( x L n x )
ces, por la teoría de LÍMITES, el límite en
es
( 0 ,oo)
xQ = 0
, enton­
co in cid e con el
lím ite la te r a l d erech o en x Q = 0 . Luego, del EJEMPLO [5 .2 ]:
L —
5.4
EJEMPLO.-
lím ( x L n x )
x->0
Usando [ 5 . 2 ] ,
=
lím( x L n x )
= I 0 I .
X ^ Q+---------------------- ---lím
pruebe que
( x — L n x ) = + oo
.
X —►o o
I
h = — ; entonces x -»• oo
x
SOLUCION.-
Hagamos
L =
(i - Lnx) =
lím
x^°°
de [5 .2 ] :
5.5
EJEMPLO.-
=
lím [ —
h->0+
h
h -»• o
^
4*
:
Ln (— ) ] =
l í m [ —— h Ln ( h ) ]
hh - > 0 +
h
1 + h Ln h
lím
------------------h —► 0 +
h
=
1+ 0
l
— ¡—
0+
= —— =
0+
| + oo
Calcule los siguientes límites
a)
lím
x —► OO
Ln (
X
X
+ * )
b)
lím
x
X —y OO
— 1
X
Como la función LOGARITMO es c o n t i n u a
SOLUCIÓN.- a)
Ln ( * + * ) .
— 1
en todo su dominio, el
l í m i t e puede ingresar dentro del argumento del LOGARITMO L n :
1'
lirn
x
oo
i
( X
Ln
L
^ ^
X — 1
)
i
(
= Ln
L
\*
hm
X —►o o
X + 1 %
--------)
x
— 1
t / ' i
= Ln
v.
x
'
hm
OO
®
O /* )
--------------J
I —
(l/x)
Cap. 7
= Ln (
b)
693
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
, , x + 1,
x Ln (-------- )
hm
oo
x
)
,
..( o o -0 )
=
=
hm
X — 1
[
x —> oo
L n [ ( x + l) / ( x - I ) ]
o
—
( 1 / JC)
0
1
1
x —► oo
a)
lím
x -> 1
L =
lím
b)
0 /0
x f
—4 (
1w 0 \
( --------) • ( — )
0
=
[
^
=
1^
_
» >
2 x )2
w
hm
-l/x
lím
*
lím
— 2 x)
= ( ------- ) •
< s “
A plicándola REGLA DE L'HOSPITAL :
.
(-2-)
0
Sen x )
L"
x —¥ j i / 2
x6 - 3x2 + 2
6 x 5 — 6x
(Cos
71
/-
0 /0
llm
b )
- 1 + (l/x)
L = lím
t>)
m
T
/• * + 1
x
Ln
(
--------- )
y =
x - 1
1 — x + Ln x
x -► i
a)
-
Calcule los dos límites siguientes:
a)
SOLUCIÓN.-
x2 - 1
y = 2 ]
tiene ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA la recta
EJEMPLO.-
2x
lím
=
]
[ Ambos resultados (a) y (b) indican que la gráfica de :
5.6
[~Ó~[
1
X -
lím
=
—> o o
x
1
L'HOSPITAL
Ln(l)
1 30x
1
(-
n
—6
r
)].[
Cos x
i
l í m --------- ]
JL (Jt - 2x )
t
4 Sen x
, - Sen x
( --------------- ) =
£t
- 2
1
1
( ------ ) • ( — ) =
2
5.7
EJEMPLO.-
lím
Calcule
[-
x —► 1+
SOLUCION.-
L = [
1
1
1
1
x - 1
Ln*
]
=
oo - oo
...
FORMA INDETERMINADA.
+
+
0'
0
Reescribiendo de modo que podamos aplicar la REGLA DE L'HOSPITAL :
(x - 1) - L n x
L = hm
-------------------------x
|+
(x — 1) * Ln x
=
lím
x - H +
o ,
(— )
0
=
lím
x - > \+
(l/x2 )
1
(1/X -) + (l/x )
1 +1
1-
O /*)
—
1 “ O /* ) + Lnx
(-2 -)
0
694
5.8
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
EJERCICIO.-
Pruebe que
lím
[
]
Ln
minada
-o o
+ oo,
tiene la Forma Indeter­
x —1
a:
y que su verdadero valor es:
Así, de [5 .7 ], se concluye que también
1 /2 .
lím
[ — !---------------l-— ]
x —►1
Ln x
x —1
=
SERIE DE EJERCICIOS
Verifique que los siguientes resultados se cumplen:
1)
lím l Ü í L x —^ o o
lím
3)
Ln (Tan x)
n ¡ 2-
5)
= O
1
lím [ x ->• 1
Ln x
x - 1
Tan
x ->• 1/2
Ln [ ( x 6 + 3 x 5 + 4 ) ^ 6 — x ] =
—
]
=
-
2
x
ti
— Ln 2
X —►o o
6)
8)
10)
x
lím
(x — Ln x) = + oo
lím
x Ln ( *
) =
x ^ oo
x —1
9)
Ln(Lnx)
lím
-------- ------------- =
x
oo Ln (x — Ln x)
—> OO
lím
Ln (
x —>• oo
* ) =
O
x
iím
=
X —►O
r
=
X —► OO
lím
J £ Í L t x2
Sen x
14)
lím
L n ( x ~ 1} = O
xK x - i)
i+
, lm
_ 6
12)
16)
7)
=
,
13)
,r,
15)
„
X
,,
Ln x
h m
--------------------
—
O
o+ 1/Senx
lím
x->0
Ln0 + X } = 1
2
hm
19)
—> o o
x + Ln x
--------------- = O
x Ln x
lím
(x — xCos — ) = O
21)
lím x Ln | Sen x | = O
x —►O
23)
l í m x CLn | x | )
x —> O
18)
x
20)
x —> o o
22)
lím
X
^ OO V 7
= O
lím
X —► o o
lím
x-+oo
x
O
lím
x Ln x = O
x->0 +
x ->
17)
2
Ln(X + U = 1
Ln (x + 5)
Ln (-
2x
) = - oo
*2
= O
Cap. 7
24.
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
Ln x
lím
-------- = 0
x —►0 + C o t *
26)
lím
30)
lím
27)
Are Tan x
x
lím
x->!
lím
—*•
34)
- f
33)
[ x — x 2 Ln (1 + — ) ] = 0
lím
x —►0
Y
0
lím
x
= 0
x Ln | Sen x | = 0
35)
lím
lím [ — —
x —> 0+
(1 + x)
Ln —
l í m ( x p L n x ) = 0,
x —►0
40)
Ln I Sen x I
lí m ------------------ — 1
x —* n Ln | Sen 2x |
Ln x
) =
lím
[
jc )
4 -
x —y 0
lí m
x
e
p>0,
39)
— — oo
Ln x
( L n x ) L n ( l —x) = 0
l í m x [ Ln ( x + a) — Ln x ] = a
x —¥ oo
41)
C o s ( tt/ x ) Ln x
-----------------------( x 3 + 5 ) ( x - 1)
lím
1
Ln (x + / 7 T T 2 )
Ln (1 +
lím
Ln (1 + x)
]
=
6
\_
-
2
4x + 2 x 2 - ( 4 / 3 ) x 3 + x 4
=
16
6 Sen x — 6x + x 3
(Ln x) — 1
45)
x —e
Dada la función
lím
—
=
x —►0 x
f ( x ) = x 4 ( 12 L n ( x ) - 7 ) ,
encuentre:
a)
lím
x -►0
b)
2
lím
Ln (C0t X) = 0
Cosec x
x -¥ 0
1
1
* “ >0+
46.
I
—
37)
] = o
x +
38)
44)
-1
0
x
42)
=
Ln I Tan 7x I
l í m ------!----------- = 1
x - > 0 Ln | Tan 2x |
31) n m ( —
x -* 1 x — I
x
43)
U l )
lím
—y oo Ln [ ( x - l ) / x ]
29)
Ln(x
Tan [ n / ( 2 x ) ]
= 0
n
Ln Sen 3x1
l í m ----------------- - = l
x —►0 Ln | Sen x |
32)
36)
(n > 0)
x -m o
Ln ( 1 + ( l / x ) )
X —¥ OO
28)
25)
695
La pendiente de la curva en el origen:
f'(0 + )
=
lím
f'(x) .
+
c)
Los valores extremos.
d)
Los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad.
RPTA:
a)
0 ,
b)
0 ,
c)
Sólo Mínimo:
f( ^ /" e ~ )
=
- 3$
4
1
f (x )
696
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
d) Cóncava hacia abajo:
punto de inflexión:
47) Halle a y b para que la
en
en
x = 1 y
x =
RPTA:
x > 1 ;
( i , - 7) .
f (x ) =
a = -2/3
,
aLnx
+bx2 + x
tenga valores extremos
x = 1 la función tiene un
mínimo y
b = -1/6 .
Ln x <
(1 ¡ f x ) , V x > 1 .
V "x" -
u — ( l / u ) — 2 Ln ( u )
49) ¿Para qué valor de x la función
> 0 ,
V u >
f (x ) = x 2 L n ( l / x )
SUG. Hacer u =
1 ,
f (1) =
x2
0 .
alcanza su máximo?
1/-/"e " .
50) Pruebe que
g(x) = x + l + xL nx
x + l + xLnx
deducir que:
51) * Demuestre que
SUG.-
hacia arriba:
2 tiene un máximo, para estos valores hallados de a y b .
f (u ) =
RPTA:
<1 ;
x = 2 . Pruebe que en
48) Demuestre que:
y que
o < *
g (x ) =
Verifique que
toma su mínimo valor en x = l / e 2 , y
2
1 - (l/e ) > 0 ,
V x > 0.
>
X +
1
1
L n ( ---------- ) ------------------ > 0 ,
x
x + 1
D om g = ( - o o , - l )
V x 6
D om g .
♦
u ( 0 ,oo)
, y analice elcreci­
miento de g en cada intervalo para lo cual evalúe y pruebe que
lím g ( x ) = 0 ,
x “ >“ °°
lím
g ( x ) = + oo = l í m
g (x)
x —» ( —!)“
x-*0+
lím g (x) ~ 0 .
X—f oo
52) Dada la curva
x / L n ( x ) , ¿Cuál es el menor valor positivo de y ?
y =
¿Cuál es el valor de la pendiente en el origen ?
RPT:
y = e
para
x = e ; f'CO*) =
lím
f'(x )
= 0
(horizontal).
x —►0+
53)
Dada
la función f ( x ) = L n ( l
+ x 2 ) tdemuestre que tiene un mínimo abso­
luto en ( 0 , 0 ) , tiene los puntos de inflexión
( ± i ,
( 0 , o o ) , es cóncava hacia arriba en
y hacia abajo en
(0,1)
tiene asíntotas. Trazar su gráfica, probando
54)
Sea f ( x )
, x >
V x > 0 ,
demuestre que
0 , una función tal que:
y > 0 ,
f(l)
= o
y
y que
ii)
Ln2)
, es creciente en
(1 , o o )
y no
que es simétrica al Eje Y.
i)
f (x • y ) = f (x) + f ( y ) ,
lím
^^ +
x —v 0
x
=
,
1 ,
V x > 0 .
Cap. 7
L o g a r it m o y E x p o n e n c ia l
- 697-
SOLUCION.-
f ( x + h) = f ( * + h -X ) = f ( * + h ) + f (x) = f ( l + — ) + f ( x )
X
f ' (x) = lím
h —►0
Y de
X
f (x + h) — f (x)
1 • hm
w
—
x
[ haciendo
De ( i ) :
X
a> = h / x :
h ->• 0
f (l) = f ( l x l )
f'C*) = -
h —>• 0
o
x
1 =
0 , y usando ( ii) ] .
f (O = 0
= f (l) + f(l)
Ln (x)
=
f (1 + ( h / x ) )
(h/x)
(O
f (x) = Ln (x) + C , V x > 0
dx
Tomando
6
x = i y usando ( * ) resulta
C = o , y así:
.
La función
e x p o n e n c i a l n a t u r a l , denotada e x p , es la
inversa de la función LOGARITMO NATURAL. Así
exp :
( —oo, oo)
y
exp = Ln
1
-
, y e s b iy e c tiv a
+ ( 0 , o o ) . Por definición de fu n c ió n inversa :
= exp(x)
si y só lo s i
Ln(y)
= x
Dom (exp) = IR
Rang (exp) = {0 , oo )
= e x p (x )
Luego, s i e m p r e se cumplirá que
"7 "
0
/ 1
De la definición, también se cumple que:
t
Ln(exp(x)) = x
, x6 R
exp ( Ln ( y ) ) =
,
y >
6
R
Y por ser i n y e c t i v a :
y
V Xj , x2
,
y -
Ln (x)
0
exp(Xj) = exp(x2)
x\
X2
La función exponencial natural también se denomina A N T I L O G A R I T M O { n a t u r a l ) .
698
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t ic o 1
6. 1
De las propiedades generales de las Funciones Inversas tenemos:
PROPIEDAD 1
La función Exponencial
exp
es C O N T I N U A y C R E C I E N T E , debi
do a que la función Logaritmo Natural Ln
exp (Xj) < exp ( x 2 ) ,
x \ < *2
LnCxj)
x, < x 2
<
Ln(x2)
Y más aún, ya se puede reemplazar
PROPIEDAD 2 . -
a) e x p ( O ) =
pues
Ln(l) = 0
pues
Ln(e) = 1
exp(l) =
e
,
c)
exp (a + b )
=
exp
{
Ln [ exp ( a ) - exp ( b )
]
=
Ln [ exp ( a ) ■exp ( b )
]
=
a +
] }
=
exp ( a
Ln [ exp ( a ) • exp ( b )
Y de ( 2 ) :
a) l í m
x
— f
c) l í m
exp(x) = +
o o
x —►0
PROPIEDAD 4
P a ra to d o r
En efecto, como
y aplicando e x p :
Tomando en particular
(de P R O P .[2 .(b )]) :
b)
exp ( l í m
pues, de (1), la función
1
'
por
1
,
V a, b e R
+
0
Ln [ exp ( b )
]
b
+ b)
exp(a + b ) .
x
o o
exp(x)=
, x2 e R
V Xj , x 2 >
Ln [ exp ( a ) ]
=
,
V
,
exp ( a ) • exp ( b )
[ exp ( a ) - e x p ( b ) ]
PROPIEDAD 3 . -
' ^
1 ,
b)
En efecto, como
lo es. De aquí,
x-»0
lím
— ►
x) =
exp
—
. exp(x)
= 0
o o
exp(O)
=
IT]
—
es c o n tin u a en to d o
R
r - Ln [ exp (x) ] =
r.x
ra c io n a l:
L n {[e x p (x )]r } =
[e x p (x )]r
x = 1 , y como
=
exp(r-x) , V x e R
exp(l) =
[ exp (1) ] r = exp (r)
e =
2 .7 1 8 2 8 1 .
e
= exp ( r )
Por lo tanto,
p a ra todo x ra c io n a l
;
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
Sin embargo, si x
e s i r r a c i o n a l , la expresión
6.1.1
e x como aquel único número real
DEFINICIÓN.*
Si
x
y
tal que
Ln y = x
.
e s cualquier número real, en to n ces
Y
e
I)
aún c a r e c e de significado, pero
e x p a r a to d o n ú m e r o r e a l x .
la PROPIEDAD [4] sirve para definir:
Se d efinirá
ex
- 699 -
y
=
s i y sólo s i
Ln (y ) =
x
Comparando con la definición de la función EXPONENCIAL
y =
e x p , dad a al inicio de e s t a Sección, resulta que
II)
exp(x)
=
e
y por lo tanto:
p a r a to d o x real.
,
Esta e s la razón por la cual la función
exp (x )
exp
es u n a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l y
n o u n a fu n c i ó n p o ten cia 9 y por la que recibe el nombre de FUNCIÓN EXPO­
NENCIAL DE BASE e , o también FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL .
ex
En adelante u sarem o s
en lugar de
exp(x) .
.
6 1. 2
a)
S ab em o s que
b)
Si
a > 0 ,
c)
Si
x > 0 ,
d)
Ln [x]
a ^ l ,
x > 0 ,
m S R
m e R :
Ln (1) = 0
L o g ^(a ) =
3
= Loge [ x ] .
,
1
,
Ln (e) = 1
para
a >
0
,
a *
1
- 700 -
e)
Cap. 7
Análisis Matemático 1
Si
€ R :
x
y si
a > 0 , a *
l
5
= Ln [ e ]
5
= Log , [ 25 ] = Log , [ 32 ]
5 =
= Ln [ 148.4131591 ]
Log 0 [ 105 ] =
Log
=
[lO5 ]
Log [ 100 000 ]
= Ln [ e 3] = Ln [ 0.04978706837 ]
-3
\_
=
Ln [ e ’ / 2 ] = L n [ / 7 ]
2
= Ln [ 1.648721271 ] .
f)
Si a > 0
,
g)
Si
x
y si
a > 0 :
Ln [ a
m G R ,
m
] =
m • Ln [ a ]
0 :
>
Así, s e puede ex p resar el número 5 como exponencial de diferentes b a s e s
5 =
e
Ln (5)
= e
1.609437912
L o g 2 (5)
5 = 2
=
Log
5
=
2
(5)
=
71
71
2.321928095
1.405954306
h) Sean a , b E R :
e° = 1 ;
=
i)
Si
e
e
a —b
a , b E R
+
a
•e
b
=
e
(a + b)
1
:
=
(e
e
)
=
e
ab
—a
L n [a ] = L n [b ]
Ln[a]<Ln[b]
-O-
a = b
a < b
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
j)
Si
e
a , b G R :
e
k)
Los valores que loma
lím
X —► +
e
=
+
=
a
e
<
y = e*
ex > 0
I)
a
e
b
b
- 701 -
<=>
a = b
<=>
a < b
siempre son POSITIVOS:
para todo x r e a l .
,
+
e
o o
o o
=
+
oo
oo
lím
e
= 0
e
— OO
=
0
X —> — OO
m)
Si
lím
g(x) =
A
g
R
,
en tonces
0
i)
Si A > 0 :
lím
Ln [ g ( x ) ]
=
Ln [ l í m g ( x ) ]
x ~*x o
=
Ln
X —► X „
[ A
]
[ Hm g(x) ]
lím [ e
ü)
X —¥ X
]
=
x-+ x0
e
-
e
0
Note que el límite s e transporta hacia el argumento del logaritmo Ln
y
hacia el exponente de la b a s e e . La razón para e s te hecho e s que am
bas funciones
L n(x)
y ex
son continuas en todo su dominio.
6. 2
Sea
y = e
,
s a b e m o s que esto significa:
x = L n(y) ,
de modo que , por la teoría de la Derivada de la Función Inversa ,
1
1
D
*
D
e
x
L n
1
=
=
D y
Ln (y )
y
=
e
(-Í-)
y
Así o b tenem o s uno de los resultados m ás importantes del Cálculo Diferencial:
D
[ e* ]
=
ex
,
V x
real
0^
y que sin embargo, tiene una forma extraordinariamente simple.
Análisis Matemático 1
- 702
Cap. 7
Como consecuencia, para toda constante C :
Asimismo, si
f ( x ) e s una
función diferenciable,
En efecto, haciendo
d
u = f(x) ,
ef U )
d
dx
EJEMPLOS.-
por la regia de la c a d e n a resulta
d
eu
e 2x
Dx ( 2 x 3 + I)4
u
.
)'
+ 5
=
D
(2
x
e
4
3
3
V x ¿ + 5
( 2 x - * + 1) - e ^
= ( 2 x J + i)
(
T
(D
e
J x
2
+ 5 ) +
+ 1)
e
2x
u
• f'(x)
,
4.
• ( lOx ) ,
i a 4 2x
lOx • e
x 2+ 5
3 + 1 )4
2x(2x
í
e
/
=
dx
2x
+ e '
3
du
e 2 x • Dx ( 2 x 5 )
=
e s decir,
b)
(e
du
dx
a)
f
x e
+
X2 + 5
e
- D v (2x
V*”+
5
3
■2 4 x
4* 1)
2 ,
(2x
4
3
>3
+ 1)
+ 24x2 ] .
[
v
2v x + 5
b y
6.3 TEOREMA.-
Una exponencial de la forma
piedad de que su derivada
f (x) = C e
f 9( x )
e s p r o p o r c i o n a l a la misma
función f ( x ) , e n to d o s u d o m i n i o .
6.4 TEOREMA.-
Si
f'(x)
=
C (ek x .k)
f'(x)
=
kf(x)
e n to n c es f ( x )
,
=
Es decir,
V x e R ,
k.f(x) .
V x € I ,
tiene la forma:
satisface la pro­
algún intervalo I ,
f (x) =
Ce
para alguna constante C , y para todo x 6 I .
kx
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
f ' ( x ) = k f (x)
PRUEBA.-
703
f ' ( x ) - k f (x) = 0
=>
Multiplicando am bos miembros por el número ( p o s i t i v o ! )
e“ k x - [ f ' 0 0 — k -f (x)]
0
=
=►
—
k
e
[ e _ k * f (x) ]
je
:
0
=
dx
y por el Teorema de la FUNCIÓN CONSTANTE existe una co n stan te C tal que
V
jc g
e —k * f (x )
I :
C ,
=
e s decir
f (x) = C e ^ x t
donde
NOTA.-
La co nstante
x = í = TIE M PO
ecuación:
y
6.5
si k
d y /d t
-
,
y
k y (O
> 0 , y s e llama
PROBLEMA.-
VALOR INICIAL
e s llamada
de la función f
e s su C o n s t a n t e d e P r o p o r c i o n a l i d a d .
y k
Si
C = f (0)
C = f (0) .
= f (t) ,
en to n c es la derivada
recibe el nombre de
tasa
de
en la
d y/d t
t a sa d e c r e c im ie n t o
d e c r e c im ie n t o
de
y si
de
k < 0.
Una función, definida en todo R , tiene la propiedad de que en c a ­
da punto ( x , y ) de su gráfica la pendiente de su recta tangente es
el triple de su o rdenada. Si la curva p a s a por ( 0 , 6 ) , halle f ( x ) .
SOLUCIÓN.[6.4] :
V x 6 R ,
= f ' ( x ) = 3 f ( x ) , y por el'TEOREMA
f (x) = C e 3* , y como p a s a por ( 0 , 6) :
C = 6
6.6
pendiente
,
6 = C e3^
= C e° = C
f (x) = 6 e 3 x .
PROBLEMA.-El azú c ar se disuelve en el a g u a a una rapidez proporcional a la c a n ­
tidad aún presente (no disuelta). Si hubiera 30 kg de azúcar
presente inicialmente y luego de 4 horas e s t a cantidad s e redujera
a 10 kg. ¿En qué tiempo s e disolverá el 8 0 % del azúcar?
SOLUCIÓN.-
Sea
y (f) =
cantidad (kg) de azú car p rese n te en el a g u a en el ins­
tante t ( h o r a s ) ,
f > 0 .
Por condición del problema s e tiene la ecuación
------ =
ky(r)
dt
cuya solución ( TEOR. [ 6.4 ] ) e s :
CÁLCULO DE C :
DATO:
Si
f = 0
,
y =
y (0
= Ce
let
30 k g , en *(*) ,
(*)
C = 30
/V
CÁLCULO DE k :
Si
f = 4
hr ,
y =
lOkg , sustituyendo en ( * ) :
a/
704
Análisis Matemático 1
10 — 30
4 k = Ln —
k= ----- í ü i .
3
4
INCÓGNITA: ¿En qué tiempo T sólo q u e d a r á p r e s e n t e el 20% del azúcar, osea
y (T) = 20% de 30 kg = 6 kg ? : despejando T de (*) :
6 = y (T) = 30 ekT
4
Cap. 7
=>
Y con ayuda de una calculadora,
6.7 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
=£•
kT = Ln(l/5)
=>■
T = 4
.
Ln 3
T = 5.8599 hr = 5hr, s r , 3 5 M .
En una reacción química, la rapidez de conversión de u n a sustan cia
e s proporcional a la cantidad que aún no s e ha transformado h asta
e s e instante. D esp u é s de 10 min. se ha convertido una te rc e ra parte
de la cantidad original. Si 20 gr. se convierten a los 15 min., ¿cuál
era la cantidad original?
y (f) =
cantidad (gr.) de su stan cia p resen te (no convertida) en el ins­
tante t .
ECUACIÓN:
dy
_
cuya solución e s :
donde
dt
CONDICIONES:
«Si
Si
t
6.8
C=
20/[
3
= 15 : y = C - 20 ,
sustituyendo
Despejando
—
k
(*)
= CeIOk
...
de
(* ) ,
k = — Ln —
10
3
C - 20 = C e
1Sk
... de
(*),
C - 20 = C ( 2 / 3 ) 3^ 2 .
2 3/2
l - (— )
]
3
Cekí
C a n tid a d o r ig in a l.
Ln (2/3) = 10 k = >
=>■
*
y(0) = C =
2C/3 ,
f = 10: y =
y(t) =
43.89 gr. =
s
Cantidad original.
PROBLEMA.- Las v en tas de un nuevo sistem a de sonido estéreo , sobre un período
de tiempo, s e e s p e r a que satisfagan la llamada CURVA LOGÍSTICA:
_
5 000
j + 5e- t
SOLUCIÓN.-
donde
*
V elo cid a d
PUNTO CRÍTICO DE v ( t ) :
t
e s la medida en años,
t > 0 . De-
termine el año y número de m es en el q u e la
v e l o c i d a d de las ventas s e a máxima.
f ' ( t ) = 25 000 e — ‘ / ( l + 5 e - t ) 2 .
v( t ) =
v '( t)
=
(1 0 3 ) - ^ ------ —
(l + 5e
------ —
*)3
)
, de donde
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
Despejando: t = Ln(5) =
6.9 PROBLEMA.-
1.6094 =
1año , 7 meses, 9 días .
f (x) = e x ,
En la gráfica de
705
halle el punto cuya recta tangente
a la gráfica p a s e por el origen.
SOLUCIÓN.-
E n
( x 0
>
y
L.j, :
0
^
=
( x o
y = m x
>
e
0
)
(*)
:
•yo >
m = f '( x Q) = e 0
En L -
:
e*°
= ( e * ° ) ■jc
El punto buscado resulta:
6.10 PROBLEMA
,
( 1, e ) .
En b a s e a la gráfica de
y = e* ,
y solam ente por traslaciones y
reflexiones, trazar la gráfica de la ecuación:
y = I3 - e
SOLUCION.-
2 -x
=
y = I3 - e
- U - 2 )
706
Análisis Matemático 1
Cap. 7
6.11 PROBLEMA.- Los vértices de un rectángulo se encuentran en ( 0 , 0 ) , (0, e ),
(x,0 )
y ( x , e x ) . Si x crece a razón de
locidad e s tá creciendo el ÁREA cuando
SOLUCIÓN.-
DATO:
u/seg , ¿ a qué v e ­
x = 3 ?
ÁREA A ( x ) = x e x .
A'
dx
2
= (x + 1) e
(x )
= +2 u/seg.
dt
INCOGNITA:
dh
dh
dx
dt
dx
dt
dh
para
x =
i
y
= (x + 1) e • 2 = 4e (2) = 8e
i
?
^
160.68 u/seg.
dt
Si
6.12 PROBLEMA.-
SOLUCIÓN.-
f ( x ) = e1 - x , halle un valor aproximado de f ( 1 . 0 5 ) .
(Mediante DIFERENCIALES) Recordemos que para valores p eq u eñ o s del
incremento d x :
Elegimos por comodidad
como
f (x) = e
en to n ces.d e
(*) :
e
= 1 , y
1- x
-0 .0 4 =
f(-0 .0 4 )
0 04
^
^
dx s
0.05 ;
f'O) = - 2 ,
s
f (l) + f '( l) - d x = i + ( - 2 ) ( 0 . 0 5 )
=
l - (0.1 0 )
f(x) = e*.
=
0.90
e
0,04 .
f'(x) = ex .
0 + ( - 0 . 0 4 ) , tom am os
f (0) + f ' ( 0 ) - d x
=
1 +
=
(1 )(— 0 .0 4 )
(MÉTODO DE NEWTON).Sen x = e
SOLUCIÓN.-
s e s a b e que
f ' (x ) = — 2x e
f (1.05)
Como
6.14 PROBLEMA.-
,
o
Por diferenciales, aproximar el valor de
SOLUCIÓN.- S e a
e
xQ = l
i - x
6.13 PROBLEMA.-
Entonces
(O
— X
,
para
xQ = 0 , dx = -0 .0 4
e°+(e°)(-0.05)
0 .9 6
Aproximar la raíz de la ecuación
x € [ 0,
Equivale a hallar la raíz de la función
ti/ 2
].
f (x) =
Senx -
(e
x )
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
f ' (x) = Cos x + e
707
x .
De la figura, tomamos como
primera aproximación:
xQ = 0.00
f u
x n
- f U
n )
Xn + 1
n ) / f ' U n )
x
n
- f ( x
n
)/f'(x
)
'
n
0 .0 0
-
1.00
2.0 0
+ 0.5
0.5
0.5
-
0 .1 2 7 1 0 5 1 2 1
1 .4 8 4 1 1 3 2 2 2
+ 0 .0 8 5 6 4 3 8 1 6
0 .5 8 5 6 4 3 8 1 6
0 .5 8 5 6 4 3 8 1 6
-
0 .0 0 4 0 1 1 2 7 7
1.3 90 10 37 01
+ 0 .0 0 2 8 8 5 5 9 5
0 .5 8 8 5 3 9 4 1 2
0 .5 8 8 5 2 9 4 1 2
-
0 .0 0 0 0 0 4 6 2 0
1 .3 8 6 9 0 1 0 2 9
+ 0 .0 0 0 0 0 3 3 3 1
0 .5 8 8 5 3 2 7 4 3
0 .5 8 8 5 3 2 7 4 3
-
0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
0 .5 8 8 5 3 2 7 5 0
+
0 .0 0 0 0 0 0 0 0 8 0
R A IZ
=
0 .5 8 8 5 3 2 7 4
Análogamente, se prueba que la raíz x ubicada entre
x = 3.0963639 , para lo cual tomamos como primer p aso x Q = 3
Pero, si elegimos el primer p a s o
x Q = 2 .0
n/2
y n
es:
(¿ p o r q u é ? )
el método falla (no converge). Como el
término de e r r o r no va tomando valores c a d a vez m ás cerc an o s a cero, hace que las
s u p u e s ta s a p r o x i m a c i o n e s s u c e s i v a s se vayan alejando de la raíz que buscam os.
E s to o c u r r e c u a n d o
6.15 PROBLEMA.-
f ' (x Q) e s tá m u y p r ó x i m o a cero.
Halle las c o o rd e n a d a s del punto de inflexión de la curva:
ex
y = —
3
2
(x - 6x + I9x - 30)
(*)
10
con una aproximación de cinco cifras decimales exactas.
SOLUCIÓN.-
Ello equivale a hallar la
(única) raíz x de :
x3+ x - 4 = 0
(ver la gráfica), y su correspondiente
valor de y en ( * ) .
Análisis Matemático 1
708
Aplicando el MÉTODO DE NEWTON
=
Cap. 7
1.3787967
-4.9 97 645 1
6.16 PROBLEMA.-
a)
Pruebe geom étricam ente que la ecuación:
xLnx = 1
tiene
una sola raíz. Por el Método de Newton aproximar el valor de
e s t a raíz con cinco cifras decim ales exactas.
b)
Aproximar el valor de la raíz de la ecuación:
1/ X
e ' = x , con cinco
cifras deci­
males exactas. ¿ P o r qué s e obtiene la misma solución d e (a) ?
c)
f (x) = e ~ x L n x
Pruebe que
tiene un único punto crítico, el cual satisface la
x L n x = 1 . ¿Cuál e s el valor de e s t a raíz?. ¿ Q u é tipo de valor e x ­
ecuación:
tremo tiene f en e s te punto crítico y cuánto vale?
SOLUCIÓN.-
a)
Graficamos las curvas
1
y = — , y = Ln x
x
y vemos que existe un único punto de inter­
sección ( x , y ) tal que
x Ln x = 1
Lnx = 1/x
Aplicando el M. de NEWTON a la función
g(x) = ( x L n x ) - l
1
en
< x < e = 2.718 , obtenem os
la raíz :
b)
,
x = 1.763222 .
Aplicando el M. de NEWTON a la función
x = l , encontram os la raíz:
pues
c)
e
1/x
f (x) = e
x Ln x = l
= x
x Lnx
-<=>•
=£>
h ( x ) = ( e 1^ * ) - x , iniciando con
x = 1.763222
1/x = Lnx
f'(x) =
, cuya solución e s
e
que e s la misma solución de (a)
^
x Ln x = 1.
x *(l — x L n x ) / x = 0
x = 1.763222
por la parte ( a ) , y e s a d e m á s
el único punto crítico de f p a r a el cual s e tiene el valor
= 0 .0 9 7 2 6 : VALOR MÁXIMO de f .
Es un MÁXIMO de f p u e s el signo de
f / (x)
cam bia d e p o s i t i v o a n e g a ­
ti v o en una vecindad d e la raíz x .
Y como s e p u ede verificar que
s i y s ó lo s i
f ( x ) = f (1 .7 6 3 2 2 2 )
Cap. 7
lím
f (x) = —oo ,
lím
0+
JC
entonces la gráfica de
6.17 EJEMPLO.SOLUCIÓN.-
f
f (x) = 0
OO
tiene una forma como la de la figura
Derivar la función
f (x) =
e
ee*
P u esto que
D
f (j c) =
D
=
}
e
=
'-D
e^e
}
e ve
f ( x ) - e (e* } -D^ (ex )
=
6.18
709 -
Logaritmo y Exponencial
e
e ~e X
• e
ex
• e
x
=
e
[ e (eX) + e x + x ]
Empleando d i f e r e n c i a l e s , dem uestre que, p a r a v a l o r e s p e q u e
ñ o s d e x , s e pueden aproximar los valores de las funciones
PROBLEMA.-
e
y
~
1+
x
i
+ —
2
x
J
2
SOLUCIÓN.-
Considerem os la función
eh - (1 + h + — h 2 )
f (h) =
2
=>- f ' ( h )
Probaremos que
i)
Sea
f
= e h - (i +
y tomamos d h = x
•
^
(x) — 0 = 0
,
x
I
e
=
1+
S ea
x < 0
(x pequeño) :
con el diferencial
dh = x
mulas de la parte ( i ).
P a ra x
f ' (0) • d h
f ' (0) • x
e s decir
x + — x
2
ii)
^
(incremento positivo)
f (0 + x ) - f ( 0 )
f(0) = f'(0) = 0
en to n c es en el intervalo
f (0 + d h ) — f ( 0 )
•
;
( x ) £ 0 ,para x p equeño .
x > o ( x pequeño ) :
f
h)
2
e
en
,
= 0 se cumple que
[ 0, x ]
...
(*)
(*) :
donde
f (0) = f ' (0) = 0
— (i +
1 2
h-------- x ) =
2
Y
x
0
, p a r a valores p e q u e ñ o s de x .
'
en to n ce s en el intervalo
[x,0]
, usando
(*)
(incremento negativo) s e obtienen las mismas fór­
- 710 -
Análisis Matemático 1
Cap. 7
SERIE DE EJERCICIOS
1.
Si Ln 2 = 0.6932 , Ln 3 = 1.0986 , Ln 5 = 1.6094 , usando solamente
propiedades de los logaritmos, calcule: a) Ln o.i
b)
Ln 0.75 , c) Ln 15
d)
Ln 20
e)
Ln (1/12)
2
2
Ln (x /e ) - 2 L n ( e
2.
Simplifique
3.
Simplifique las expresiones:
x
4
Ln(5/36)
Ln(e3/18).
h)
) , y avaluarla para
x
-
-e
.
eLn (2jr)
b)
Ln (e3x)
c) e- Ln(* 4)
d) L n í e " ^ )
e)
Ln (e2/* )
f)
L n (2 /e * )
g) eL n l,/x )
h) e - L n ( l / x )
i)
e
¡v x 2 +
j) e
+2Lnx
m\ ,
m)
Ln r(x 3 e —2x.)
Ln ( x
Derive las siguientes funciones
)
k)
. ,^x—x3 .
Ln(e
)
h)
e " * / L n 2U - l )
b)
i) V'xVe^”7
j)
L n (x3 e* }
d)
Ln(2x + e- * )
e)
4 (e* - Ln x )
I)
l ¡ e 3 x + e ~ 3x
f)
Sen (1— e — * )
m)
e l/x - ( l / e * )
q)
k) e '^ 7 - e _ '^7
a)
eax(ax — l) / a 2
b)
e ax
c)
[L n (K + Cea* ) ] / ( a C )
f l 7
Ln (e2* + e—2x)
p)
(x 2 + l ) e “ *
Derive las siguientes funciones
o). e 2Ln2 + Ln x
o) e ^ 7 -
c)
n)
. , 2 „—3x.
I) Ln(x e
)
n
f (x) :
a ) e I/x2
x e^~*
2
n)v e —2Ln(x3)
g) (2 - x ) / e x
5.
2
g)
a)
2
4.
Ln 30
f)
Ln [ (e* + l)/(e * - 1) ]
r) [ Ln (e* + 1) ]/[ Ln (e* - 1) ]
s)
( e 2jf- e " 2 x )6
t) e a * ( a 2 x 2 - 2 a x + 2 ) / a 3
e_Ln2* .
f (x) :
k) e2* (2 Cos 3x + 3 Sen 3x)
(a Cos bx + b Sen bx)/(a2 + b2 )
m)
I) e
x
Are Tan ( x 2 )
e“ *Sen2x
_
d)
Are Tan (e
*)
n)
Are Sen (x ) —xe
2
x
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
711
e)
eSen(e3X)
o) (Ln
()
(ex - e“ x )/(e x + e“ x )
p) L n [ e x /(l + ex ) ]
g)
Tan(2x) + e2x
q) xe
h)
ArcSec(e2 x )
r) Ln [ (1 + x 2 ) /e x ]
i)
Are Sen x
e
s)
T , x , / . , 2x ^
Ln (e + *y 1 + e
)
i)
(4x2 - 3x + 2)e3*
t)
[Cos(e^"*")]
x) /ex
a xSenbx
/-J~ x
.
6.
Si y = e
7.
Si ex + ey = ex + y , halle d y / d x
8.
Si
9.
Si y = (a /2)(ex^a + e_ x ^a ) , demuestre que y " = y /a 2 .
x
Sen x , halle t/'Ty/dx"' .
.
y = ex^2 — e—x^2 , pruebe que d 2 y / d x 2 = y/4 .
10. Halle el punto donde la tangente a la curva y = x e x es horizontal.
11. Si
x = e* Sent , y = e* C o s t , demuestre que
i-( x +.
d2y
------- =
y)
dy
2 ( x
y)
.
d x 2
12. Si
13. Si
e2x — 1
y = ----------- ,
e2x + 1
y
pruebe que:
Arc ^en x ,
=
d y /d x = I - y
pruebe que :
14. Halle las asíntotas de la gráfica de
f
(1 —
x 2
2
)yn —
.
x y
(x) = x e _ x /(x +
l)
7 — k2
y
=
0 .
.
15. Halle las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a lagráfica de
y = Ln (ex + 2 )
en x = 0 .
16. Por Inducción Matemática, pruebe que V n
a)
Da ( x e x ) = (x + n )e x
b)
Da + 1(x n Lnx) = —
x
.v
d)
,
c)
x
/
(x
n —I
1/x..
e '
) =
e
Z+ :
D* ( x e " x ) = ( - l) n (x - n ) e “ x
x
re . \ B
L (- O
e
17. Halle el punto de inflexión de la curva:
1/xi /
J /x
n + 1
y = xex .
Análisis Matemático 1
712
Cap. 7
18.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y =
perpendicular a la recta x + 3y = 2 .
19.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva cuya ecuación es
y = (x -
e x -
x
—
e
x
quesea
2 Ln (x) + 3 , en el punto (1,3) .
20. Dada la función f ( x ) = L n |x | , x < 0 . Demuestre que f tiene función
inversa g . Determine g (x) y su dominio correspondiente.
21. DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Halle
a)
e xy
c)
e)
+ y3 = 4
Ln x = C
d y /d x
de las ecuaciones:
b )
xey -f 2x — y Ln x =
d)
ex + ey = y
6
y e y = ex + 1 , ¿Cuál es el valor de y '( x ) en el punto (1,1)?
22. Si f ( x ) = e*Senx , calcule f (0) , f'(0 ) , f " ( 0 ) y f " ' ( ü )
23. Halle la derivada y^n^ en: a) y =
x e x , b) y = x 3 Lnx .
24. Halle el valor máximo que toma la función f (x) = 1 —x — e
—3x
25. SÍ y = (eu + u2 ) (eu + u2 ) 2 ... (eu + u2 ) n , u = Sen x ,
d y /d x .
SUG.- Tome
L o g a ritm o N a tu ra l
26. Demuestre que f ( x ) = — e x -
27. a) Demuestre que: e* >
halle
en ambos miembros.
Ln(l - e- x ) es decreciente para x > 0
1
1+ x t V x * 0.SUG.- Pruebe que
es el único mínimo def (x) = ex para todo x * 0 .
f (0) = 0
(1 + x ) . Luego,f (x) > f (0)
b)
Demuestre que: e_ x > 1 - x , V x ^ O .
c)
Demuestre que: e* > 1 + x + ( x 2 /2) , V x > 0 .
SUG. (a).
28. Halle d 2 y / d x 2 :
a)
x = e " at ,
at
y = e
29. Halle d 3 y / d x 3 :
b) x = e ^ o s t ,
t0
y = e Sen t
a)
x = e ^ost
y = e“ 1Sen t ,
b)
c)
y = x 2e 2x
x =e 1
y = t3
c) x = e at
y = eat
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
713
4*
/\
4%
30.
Halle el punto crítico y el valor máximo de
f ( x ) = 25x
31.
Si a , b 6 R + , halle el valor mínimo de
y = a e kx + b e “ k \
32.
Un rectángulo tiene dos lados en los ejes co o rd en ad o s y un vértice en un punto
( x , y)
1/2 u / m in .
rectángulo cuando
33.
Si
34.
para
k * o.
y
aumen­
¿Con qué rapidez aum enta el ÁREA del
y = 3?
x = (a + b x ) e ^ X ,
SUG.-
x > o .
,
y = e x de modo que
que se mueve a lo largo de la curva
ta a razón constante de
*x
e-
pruebe que
Tome Logaritmo Natural
Ln
x3 y " = (xy' — y)2 .
a la primera ecuación, y d esp eje y .
Encuentre el punto de inflexión y la pendiente en dicho punto de la función
f ( x ) = (1 + e * r ‘ .
35.
Halle una función f ( x )
36.
Una función, definida en todo R , posee la propiedad de tener en c a d a punto de
su gráfica la pendiente igual al d o b le de su ordenada. Determine tal función si su
gráfica p a s a por: a) ( 0 , 5 ) ;
b) ( - 1 , 3 ) ;
c) ( 4 , - 2 ) .
37.
Un punto s e mueve sobre una curva de modo que la razón de cambio de la orde­
nad a con respecto a la a b s c is a e s proporcional a la ordenada. Halle la ecuación de
la curva si su pendiente e s ( - 3) en el punto ( 2 , 1 ) .
38.
La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del Eje X e s proporcional a
la coordenada x . En el instante t = 0 la partícula s e encuentra en x = 2 ,
y en el instante
SUG:
39.
tal que
t = 10 e s tá en
u ( t ) = x ' ( t ) = k x (t)
f'(x) =
4
f (x)
, f (l) = —2e .
x = 6 . Halle su ubicación en
=>
t = 5.
x (t) = C e k t .
Demuestre que p a r a v a l o r e s p e q u e ñ o s d e x , se puede aproximar los valores
de e x mediante:
a)
ex
^
2
3
l + x + —
2!
+ —
3!
2
3
=
[(— + i)—
3
2
+ i]x + l
(VER EL PROBLEMA 6.18)
u\
b)
e
X
^
X
X
4
5
X
X
1 + x + -------+ -------+ --------+ ------- .
2!
3!
4!
5!
Use e s to s resultados para calcular
e 0'4
y compare con el valor obtenido por
cálculo directo (con u n a calculadora científica de bolsillo).
40. S e a
b)
y =
Si
x
4e^osx.
y y
a)
Calcule
dy/dx ,
d2y/dx2 .
varían con el tiempo de tal modo que
y
crece a una velocidad
714
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
Cap. 7
constante de 5 u / s e g , ¿ a qué velocidad e s t á variando x cuan d o
41.
(x,y)
Un punto
x = n /2 ?
y = 6 e ” x ArcTanx.
s e e s tá d e sp la z a n d o en la curva
Si
la a b s c is a s e mueve hacia la izquierda con una velocidad co n stan te de
2 c m / s e g , ¿ a qué velocidad e s t a r á moviéndose la o rd en ad a cuan d o a) x = 1,
b)
x = 0?
42. Mediante diferenciales y u sa n d o sólo dos teclas de su cale.
f(x) = x
calcule aprox.
2
Lnx
y
"x"
,
x = 2.70 , y el único dato e = 2.71828.
para
U s a n d o DIFERENCIALES , c a l c u l e a p r o x i m a d a m e n t e lo s v a l o r e s d e:
43.
f (0.01)
para
44.
f ( — 2.997)
45. Aproxime
f ( x ) = x + e 4x
para
a)
.
f ( x ) = x 3 e 18 “ 2* 2 .
e 2'03
sab iend o que
e2 ^
7.39
,
b)
e _ 0 ‘! 2 .
46.
Si f ( x ) = e 0 | ( i - * ) * ( calcule aproxim adam ente
47.
MÉTODO DE NEWTON. Aproximar con cinco cifras decimales ex actos la raíz de la
ecuación
a)
c)
48.
e_x
= x
,
b)
ex + x = 5 ,
y = 6x
49. Grafique
Ln x + 2 x
y = e*.
3
e 2 x - 8x + 1 =
0
r
d) L n x = 1 .
Aproxime el valor de las c o o rd e n a d a s
2
f (1.05) .
del punto de inflexión de la curva
2
- 9 x «, con cinco cifras decimales exactas.
y = 2 / x , y dem u estre que la ecuación x e x = 2
tiene
una sola raíz real entre 0 y i. Halle un valor aproximado de e s t a raíz, con cinco
cifras decim ales exactos.
50.
a) ¿Existe otra raíz d e
¿cu áles?.
x =
51.
( L n x ) / x = ( L n 2 ) / 2 , distinta de x = 2 ?. Si e s así,
(b). ¿Existe otra raíz de:
(Lnx)/x = - 2 L n 2
1 /2 ? . Si e s así, ¿cuál e s ?
Demuestre que la ecuación
ex = mx
(*)
tiene al m en o s una solución,
y a lo m ás dos, para cualquier número real m , excepto para
SUG.-
Encuentre el valor de m
la curva
52.
, distinta de
para el cual la recta
0 < m < e .
y = m x
e s tangente a
y = e * . Trace un dibujo de e s ta situación.
Halle los valores de a para los c u a le s la gráfica de
puntos de inflexión. SUG.-
Grafique
lores de a existe intersección?.
f (x) = e
y = ex , y = - 6 a x ,
x
+ ax
3
tiene
¿ p a r a qué va­
(Compare con el EJERCICIO [ 5 1 ] )
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
f ( x ) = e 2x — 10 e x , x e K . (a)
53. S e a
Halle el mayor valor
que la restricción de f al intervalo [ 0 , N ]
b)
715
N > o
tal
tenga función inversa g .
Halle e s t a función inversa g y su derivada
g '.
CLAVE DE RESPUESTAS
1.
a)
e)
2.
3.
Ln (3
x 22 )
a)
2x,
e)
2 /x
x ,
m)
11 .
;
x > 0 ;
3=
, x
x
k) x — x
6.
1 = - 2.485 ,
- 6 ( 1 + Ln | x | )
h)
C) Ln (3 x 5) = 2.7080,
L n ( 2 x 5 ) “ * = - 2 .3 0 2 6 ,
>
0
;
0
;
;
-12
x Sen x
;
Ln[5x(2x3)
c)
1/x
b)
3x ;
f)
(Ln
2) -
i)
x2 ex
I)
Ln | x I — 3x ,
0 ;
(7).
n)
- e
y -x
dx
dx/dt
Se n t + Cos t
d2y
d
dt
dx
x
1 /x
Cos t — Se n t
, x >
0 ;
.
dx
dt
dx
x — 3 y + 3 Ln 3 = 0 ;
y =
19.
y = (e - 2)x + 5 - e ;
(20).
g(x) =
22.
0 , 1, 2 , 2 ;
(24).
(2 — Ln 3 ) / 3 ;
25.
j)
x
o)
4x , x
e
, x * 0 ;
>
0 .
y = 0
3 x + y = Ln 3 .
:
4)
x2
x = -1 ,
(18).
-
2
(14).
( - 2 , —2 / e 2 ) ;
6 ( - l) n (n
l/x , x > 0 ;
( — 1, — l / e ) .
17.
b)
;
(10).
LT :
N
- x
0 ;
í
15.
23. a) (x + n ) e x ,
- 1.9742 ,
d)
g)
, x > 0 ;
dy/dt
dx
] =
, x * 0 ;
;
x
dy
dx2
- 2
.
3 (L n x ) — 2x , x >
—4 e
g)
3 x — L n ( 4 V~e") i
!/x
- e x , x e R ;
n —3
,
SÍ
n
>
4.
y* = y - — n ( n + 1) • ( e Sen x + 2 S e n x ) (C o s x ) / ( e Sen x + S e n 2 x )
2
28. a)
2e3at , b) 2e - tl / ( C o s t - Sen t ) J ,
29.
4 e 2t (2 S e n t — Cos t ) / ( S e n t + Cos t ) D ;
a)
b)
— 6 e 3t (1 + 3t + t 2 ) ,
c) — 6 e 4at
c)
2e
-
2x
(2x¿ - 4x + 1)
- 716 -
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
30.
x = 10 , máximo:
34.
(0,1/2) ,
oc • \
37.
y
40.
a)
f'(0) = - 1 /4
e
36, a)
2 5 0 0 /e2
3x
y = 5e
%
,
b)
;
b)
di
;
(35).
*
2
2x
y = 3e e
i
,
,
d 2 y / d x
42.
e [ e - 3 ( 0 .0 1 8 2 8 ) ] = 7.239975683 .
(43).
45.
a)
7.611
(46).
47.
a)
0.567143 ,
48.
Aproximando la raíz de
b)
0.88
;
,
49.
f(x) = x e X-
2 , f (0) = - 2
50.
a)
51.
En
Sí, por
c)
=
-1 .2 5 u /seg .
(44).
- 27.891 .
0.995 .
1.306558 ,
d)
2.71828182 .
y = -3 .6 2 4 5 5 3 .
, f (1) = ( e -
ten d rá solución si
f"(x) = e * + 6 a x
= 0
m < 0
2) > 0 ; x
x =
= Ln (5 — J
= 0.8526055.
No, Ver y
ó
m = - 6a :
= (Lnx)/x
m = e.
Luego, la
m > e .
e x = —6 a x
s i y só lo s i
en el c a s o del EJERCICIO [51 ], con
a) Punto Crítico:
“ 8
12 c m / s e g .
1.05 ;
M. de Newton: x = 4 (¡entero!), b)
(*)
2x
4 e Cos x ( S e n 2 x — Cos x )
2 =
x Q = l a m b a s gráficas son ta n g e n te s con pendiente
ecuación
/Te"
h ( x ) = x + L n x = 0 por el método de NEWTON:
x = 0.5671433
53.
y = —2 e
b) hacia abajo a razón de
0.407263 ,
Ln
2 ^ 7 .
( 3 / e ) ( j r - 2 ) , sub ien d o ;
b)
(32).
3
= Í f L . ^ 2 . = _ _ ! ------- ( 5) = — !----- • (5 )
dy
dt
d y /d x
( — 4)
,
;
.
c)
(38).
= — 4 e *''os x S e n x
4x -
— 2e
41.
52.
ah
(31). Mínimo:
= e6-3x ;
d y /d x
Cap. 7
(* ) . y ya estam o s
a > 0 ó
a <
-e/6.
Ln 5 = N .
) ,
e [ - 25 , - 9 ] .
b)
g (y)
C)
g ' ( y ) = (5 + V 25 + y ) / ( 2 y J 2 5 + y
25 + y
y
) ,
- 25
< y
<
- 9.
7.
FORMAS INDETERMINADAS:
0 /0
»
oo/O O
9
0 •oo *
00 — 00
El análisis de límites exponenciales e s de su m a utilidad para averi­
guar el comportamiento asintótico de este tipo de funciones así como en la evaluación
de integrales impropias de ellas.
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
717
Si s e nos p resen tan alguna de e s t a s formas indeterminadas y d e ­
seam os aplicar las REGLAS DE L'HOSPITAL , s a b e m o s que antes d eb em o s convertirlas
a una de las d o s formas: 0 / 0 ó ± ( o o / o o )
solamente; y esto s e realiza m e ­
diante operaciones algebraicas o m e d i a n t e u n c a m b i o d e v a r i a b l e a d e c u a d o q u e
s i m p l i f i q u e los cá lcu lo s.
y
Antes recordemos que:
y que
e° = 1
es u n a f u n c i ó n c o n t i n u a y p o s i t i v a
e
,
ex = +oo
lím
,
x —y — o o
e + °°
=
+ oo
,
p
EJEMPL01 . .
( 0 / 0 ) . Calcule
Al ya ten er la forma
LH
L = hm
x^-0
ex = 0
lím
x —► + o o
o en forma simbólica:
V x € R ,
L =
3x
e “ °°
^
_
fjQ C
=
o
.
y
l í m --------------------x -* 0
x
:
0 / 0 , aplicamos directamente la regla de L'Hospital
— Cosx)
3e3 x+Senx
3+ 0
=
= 3
— -------------------- = hm
D (x)
x -f 0
1
1
Dx (e
2
EJEMPLO 2 .-
( oo / o o ) .
Calcule
Como ya s e tiene la forma
L’H
L =
L' H
EJEMPLO 3 .-
L =
lím
x —y
*
o o / o o , aplicamos directamente la regla de L'Hospital
° XU 2)
lím
—
x - f + oo D
2x
=
lím
-----x - ^ + oo e *
D (2x)
2
lím
— £----------- =
lím
—
x - > + oo D { e J )
x - f + oo e *
(o o -o o ).
e x
+ oo
Calcule
L =
, oo . .
. . . ( — ) de nuevo aplicaoo
remos el método
2
= — -—
e +oo
2
= ——
+00
=
1-----1
|0 ]
(x 2 - e x ) :
lím
X - > + OO
Al ten er ( o o - o o )
L =
lím
X -¥ + oo
e
JC
*f a c t o r i z a m o s 1 por cualquiera de los su m an d o s
2
• [ ( ------- ) - l ]
...
(*)
,
y c a lc u la m o s :
e x
T
(A )
(ver EJEMPLO [ 2 ] ) ; luego, en (*)
lím
x —►+
A =
oo
x2
lím
x —y +
oo
=
0
718
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
L =
lím
x —►+
e
* [A — 1]
e+
Cap. 7
• [ 0 — 1]
0 0
oo
=
( + o o ) * ( - l )
=
(NO HUBO NECESIDAD DE RECURRIR A LAS REGLAS DE L'HOSPITAL)
(0 0 — 0 0 ) .
EJEMPLO 4
Calcule
L =
lím
[ —----+
x —y 0
]:
(e - i)
Por ten er la forma ( 0 0 — 0 0 ) lo convertimos a cociente dando c o m ú n d e n o m i
n a d o r para obtener ( 0 / 0 )
ó
L =
0
..(— )
0
lím
0*
x(e~ -
1)
( 0 0 / 0 0 ) y aplicamos la Regla, de L'Hospital:
L’H
=
lím
o+
(0 + 2 )
(x + 2)e
Calcule
L =
lím
x ( e ^ x — 1) :
x —►+ 00
Por comodidad h ag am o s
lím
t ^
,
p t‘ — 1
---------
. 0 +
lím
o
Calcule
asi
t -* o + ,
X = l/t
, y
t
n
L’H
(— ) =
t
( 0 • 00 ) .
EJEMPLO 6
0
1
EJEMPLOS.- ( 0 • 00 ) .
L =
lím
-+o+ (x + l ) eA- i
L' H
=
ex — 1
—
t - » 0 +
L =
lím
m .
-
1
xe
l/x
.
x —► 0 +
Hagamos
t —►+ 00 ,
t
L =
lím
t —►+ 00
EJEMPLO 7 .-
—
t
[ 0 • ( — 00 ) ] .
Debido a te n e r la forma
L =
00
...(— )
00
Calcule
x = l/t
t
L’H
=
lím
t —►+ 00
L =
—
1
=
e
+ 00
lím
t-Ln(el t -» 0 +
, y
=
1) :
o * ( — 0 0 ) f p a s a m o s uno de los factores al denominador
, íin
(l/t)
I + 00
00
t —►o+
(-l/t-)
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
lím
(e )
t
L=H ( - 1).
A
e* - 1
0
719
0
o+
t
EJEMPLO 8.- [ 0 • ( ± oo ) ] . Pruebe que:
a)
lím
2t
lím
et
( Sen t) * Ln (e* - 1) = 0
t -*-0 +
b)
lím
t Ln (1 + —) = 1 .
t —► oo
SUG.-
t
EJEMPLO 9.- ( —oo • 0 ).
Calcule
L =
e 1/x
lím
- ----- :
x
x -> 0
Hagamos
J
t
"4
+
,
t
L = — lím
OO
t —► +oo
entonces
,0 .
L' H
.. ( — )
o
g ^
EJEMPL01 0 Pruebeque:
=
lim
a)
lím
,
lim
— t - + + oo « t
= 0.
]/x
EJEMPL012.-
a)
t e 1/l
,
b)
e " 1/t2
-
lím
t
Si n e s un e n t e r o
ca s o que falta:
a)
Sea
h = l/t2 ,
0
+
,
t
b)
+oo
.
V n € Z .
e - 1/t2
----------- = 0 ,
V n 6 Z .
t 2°
t
2n — 1
< 0 , el resultado e s directo. Más bien, v eam o s el
n en tero
en to n ce s
-i-e - 1 /t.
= 0 ,
t —¥ 0 +
SOLUCIÓN.-
lím
t —►o -
lím
b)
SUG.- t = — .
*
E stas n o son formas indeterminadas, a) 0
Pruebeque:
1 = ni n° i
----------oo
1------ 1
=
x2
t-+o~
RPTA.-
x = — 1/t , y
11
-
—— e
*->o+
EJEMPL01 1 Calcule
1 + (1/t) = (t + l ) / t
L =
> 1 :
lím
h -> + oo
... ( — )
eh
y ahora aplicamos n v ece s reiteradas la Regla de L'Hospital
0
720
b)
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
En la expresión d a d a multiplicamos por un
t
al denominador y al numerador
p - i / t 2
L =
lím [ t ------------]
t- > 0 +
t 2n
y por la parte ( a ) :
L
lím
a)
=
[ lím t ] ■[ lím ------------- ]
t- > 0 +
t->0 +
t 2n
= [0]-[0]
EJEMPLO 13.- Demuestre que,
V
n e
=
0.
Z :
x(L n x)n = 0 ,
b)
x - > 0+
SUG . - a )
b)
lím
- --— = 0 .
x - H - o o
Seaf
x
t = - Lnx ,
x = e * , t —)■ + oo
t = Lnx ,
x = et ,t —> + oo
Y ver el proceso de la solución d e (a) en el EJEMPLO [12]
PROBLEMA 14.-
- 1 / * 2
p
u n a función diferenciable en
R
,
previo.
tal que
f (x + y ) = { (x) • f ( y ) , V x , y e R , d em u estre que
f (x) = 0
ó
f (x) = eax , p a ra alguna co n stan te a .
SOLUCIÓN.- 1) f(0 ) = f( 0 + 0) =
f(0 )-f(0 )
f(0 )
= 0 ó f (0) = 1
HI P
2)
Si f (0) = 0 :
f (x) = f (x + 0) =
f (x) • f (0)
= f (x) • 0 = 0
f (x) = 0 , V x € R , e s decir
3)
Si
f (0)
f '( 0 )
=1 :
siendo f diferenciable en todo
= lía, f(0 + h ) - f(0 )
h —►0
h
lím
f'(0) =
— L
b —* 0
...
f (x) = 0 .
R , existe la derivada
= lím
h—►0
f ( 0 ) - f ( h ) - f(0 )
h
(*) ; denotem os
a = f 7 ( 0)
-----------------
h
así, para x e R :
r / ,
,
f (x) =
v
f'(x )
„
f ( x + h ) - f ( x )
h m ----------------------------h —> 0
h
= f (x) - [ lím
h —>• 0
=
f (h) ~ 1 ]
1#
lim
b —►0
f ( x ) - f ( h )
-
f
(x)
h
= f (x) * a
. . . d e (*)
h
Y por el TEOR. [ 6 . 4 ] , existe u n a co n stan te C tal que, si
f'(x) = a-f(x)
Cap. 7
721
Logaritmo y Exponencial
ax
f ( x ) = C e UA
1 =
f(o)
=
Ce
. Por hipótesis:
a * (0)
=
C•1 = C ,
SOLUCIÓN.-
L =
Calcule
lím
[
e
Ln(Cotx)
x
e
].
(2 — x) Ln x
1- e
Por las propiedades de los límites, considerem os por separado,
Lj =
x
lím
0+
(1 -
e
=
(e ° ) •
A
lím
e~)
o+
(1 -
o+
e
lím
x->Q+
1
Ln(Cotx)
(2 -
x)L n x
lím
(—e
2
El límite
o
(l)-(-l)
=
-1
)
Ln (Cot x )
Ln x
( - — )•
(1/x)
= ( — 1 / 2 ) • (1) • ( I )
=
0
v
| *_
------------ - I i m
+
( 2 - 0
x^O
(—Cosec x)/(Cotx)
e~)
1
=H (1) • lím
Lj =
C = 1 .
o bien
Por lo tanto, de (2) y ( 3 ) :
EJEMPLO 15.-
e s decir
lím
x
-(-2 2 -)
— OO
(— - — ) (
^en x
)
^os x
= — 1/2
L es igual a:
L =
L2 - L { =
( — 1/2)
— ( — 1) =
| 1/2 | .
A continuación p asarem o s a trazar gráficas exponenciales, pero a n ­
tes recordemos que las notaciones
la t e r a le s p o r la d e r e c h a e n
f
(a+ ) y
f'
(a+ )
representan los l í m i t e s
x = a d e la f u n c i ó n f (x) y d e s u d e r i v a d a
f ' ( x ) , re s p e c tiv a m e n te :
f(a + ) =
lím
G eom étricam ente,
diente
f (x)
,
f'( a + ) =
lím
f'(x )
f ' ( a + ) v i e n e a s e r el v a l o r l í m i t e q u e t o m a la p e n ­
m = f ' ( x ) d e la r e c ta t a n g e n t e a la g r á f i c a d e y = f (x) cuan­
do x se a c e r c a h a c ia a p o r la d e r e c h a , es d e c ir , c u a n d o x
+
722
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
Asimismo te n e m o s las notaciones
p o r la i z q u i e r d a e n
x = a
f (a
)
y
Cap. 7
para lo s l í m i t e s l a t e r a l e s
f ' (a
)
f (x)
y de su d e riv a d a
d e la f u n c i ó n
f' (x).
8.
Indicaremos el procedimiento a seguir.
1.
Encontrar los puntos de D i s c o n t i n u i d a d y los i n t e r c e p t o s con los Ejes Coord.
2.
Hallar las A s í n t o t a s V e r t i c a l e s , H o r i z o n t a l e s
3.
Halle
O b lic u a s .
y
f ' ( x ) , los P u n t o s C ríticos, los intervalos de crecimiento, decrecimiento
y los v a l o r e s e x t r e m o s de f .
4.
Hallar los l í m i t e s l a t e r a l e s d e la f u n c i ó n D e r i v a d a :
a
en aquellos puntos
e R
( pueden no e s ta r en el
f'
(a+ )
Dom
f
y/o
f'
(a~) ,
) donde s e necesi -
te conocer c ó m o t i e n d e la p e n d i e n t e , para afinar la forma de la gráfica.
5.
Halle f " ( x ) , los intervalos de concavidad y los P u n t o s d e I n f l e x i ó n .
6.
Tabular algunos puntos por donde p a s a la curva, o hacia donde se acerca, y en
particular en el origen. Y finalmente trazar la gráfica por e sto s puntos tabulados.
Trace la gráfica de:
E J E M P L O 1 .-
a)
I i X
f (x) = e '
a)
=
f (x )
,
b)
=
g (x )
e - 1 ^*.
n o te que es p o s itiv a p o r doquier, además
:
f ( 0 “
)
=
lím
e"°°
f ( x ) =
=
0
x —> 0 ~
* *
f (0+ )
=
lím
f (x)
=
e+ °°
=
+ oo
x -+ 0 +
=>
= —(e
f 7(x)
f '( 0 + )
=
1/ x
x = 0
2
)/x
:
f'(x)
lím
es
siempre
=
- (
ASINTOTA VERTICAL SUPERIOR
< 0
o o
)(
=£-
f
)
=
o o
e s d e c r e c i e n t e s ie m p r e ,
,
- o o
directamente;
x -> 0 +
_
f 7(0
y.2
) =
lím
f '( x )
=
x —►0 ~
* *
f ( d= o o )
y =
=
h
lím f (x)
x —> i o o
1
lím
- - í i—
—> + o o
=
L’H
=
(h
0
=
- l / x )
e *i
lím
x —> ± o o
=
e°
=
1
es ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA e IZQUIERDA
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
f " ( x ) = e ^ x (2x + l ) / x 4 :
X
( - o o ,
b)
Punto de inflexión en
723
(-1/2, l/e2) ^
0.135
f "
f'
— 1/2 >
--
< -1 /2 . 0)
—
+
(0 , oo)
—
+
g(x) =
:
Note que
g(x) = f ( - x ) ,
la parte ( a ) ; entonces la gráfica de
la gráfica de
donde f
e s la función de
s e obtiene r e f l e j a n d o
g(x)
respecto al Eje Y( doble espejo ) .
f(x)
( EQUIVALE A ROTAR EN 180° LA GRÁFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE Y )
EJEMPLO 2 .a)
Dom
Trace la gráfica de
f :
R
—
{0}
b)
,
f ( x ) = x e 1^
f (0+ ) = +
=í>
x = 0
f(0")
f ( i
o o ) =
lím
X —► ±
c)
f'(x) =
x e 1^
=
=
[ t = 1/x
oo
e 1/x( x - l ) / x .
f " ( x ) = ( e !^x ) / x 3
( - o o ,
0)
( o . O
(1, oo)
R. de L'Hospital ]
: ASÍNTOTA VERTICAL SUPERIOR
0
¿porqué?
( ± o o ) • e°
=
PTO. CRÍTICO x =
...
=
- o o
( ±
o o ) • 1
=
1,
f(l) =
e
± o o
f'
f "
+
—
—
+
+
+
,
f '( 0 ~ )
=
0
...MÍNIMO
¿QUÉ INDICAN?
No hay puntos de inflexión, pero sí hay los dos tipos
de concavidad.
X
,
oo
f '( 0 + )
d)
.
724
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
EJEMPLO 3 .-
Trace la gráfica de
f (x) = e
Cap. 7
— X
x > 0 :
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y ; e s suficiente el análisis en:
a)
e s s i e m p r e p o s it iv a ] y a d e m á s
Note que f ( x )
lím
f(x) = e
00 = o
x —> ± o o
y = 0
e s ASINTOTA HORIZONTAL DERECHA E IZQUIERDA
2
b)
f ' ( x ) = - 2x e
c)
f " ( x ) = 2 (2x
*
,
PTO. CRÍTICO x = 0 , f ( 0 ) = 1
— 1) e
— x
... MÁXIMO.
2
,
PUNTOS DE INFLEXIÓN:
( ± l / / T , l / / 7 )
5 ? 0.6
X
(o.
i/V T )
(í/V T , oo)
PROBLEMA 4
f'
i"
+
—
—
+
Un rectángulo tiene un lado sobre el Eje X y los dos vértices superio
2
res sobre la gráfica de
f (x) = e
*
. ¿En qué puntos d eb e situar­
s e c a d a vértice superior para que el á r e a del rectángulo s e a máxima?
SOLUCIÓN.-
Empleando la gráfica del EJEMPLO [3] ,
res en las a b s c is a s x
para
ubiquemos los vértices inferio­
y - x , de modo que la b a s e del rectángulo medirá 2x ,
x > 0 , y la altura medirá
h = f(x).
Así, la fórmula para el á re a e s :
A(x) =
2xf(x)
Punto Crítico
=
2 xe
x = 1 /-/T
Debido al factor ( 2 x 2 - 3)
vo, por lo cual el ÁREA A ( x )
— x
,
A / ( x ) = 2( 1 - 2 x 2 ) e
— x
A/ ; (x) = 4 x ( 2 x 2 - 3 ) e
el signo de
a"(i/-/T )
es
resulta s e r MÁXIMA cuando
x
< 0 n eg a ti­
x = \/^^2 .
Y por la simetría respecto al Eje Y, concluimos que los vértices superiores deberían
situarse en ios puntos ( ± l / - / T ,
los P U N T O S D E i n f l e x i ó n
l / V ~ e " ) , y que precisam ente coinciden con .
de la gráfica de la función d a d a f .
EJEMPLOS.a)
Trace la gráfica de la función
D om f = R f(x)
b)
725
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
=
e
{ 0 } , Curva SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y . B asta analizar
— (Ln x)
2
y = 0
0
f'(x )
- 2 - i ^ - - e -(Lnx)
1
=
u .
f (o ) = e
M OO
= 0 , y como
e s ASÍNT. HORIZONTAL DERECHA E IZQUIERDA.
=
do L n x
J»
:
f ( ± o o )
=
f(x) = e
— (Ln| x | )
,
f'(0 + ) =
lím
f'(x )
=
0 , hacien
x-* o +
PUNTO CRÍTICO :
x = 1 ,
f(l) = 1
MÍNIMO
2
C)
í"w
si
= 2e _ ( L n l )
x =
1 /e
• (2 Ln x — I) (Ln x
+
I)/x 2 = 0
x = v e
,
^ 0.37
£ 1.65
PUNTOS de INFLEXIÓN
( l/e
e . 1/ V T )
, 1 /e ) , (
=
X
f '
(0. l/e )
(l/e. 1)
+
+
—
-
O. VT)
( VT, oo>
0.78
f "
+
—
—
+
(COMPLETAR POR SIMETRÍA)
EJEMPLO 6.-
Trace la gráfica de la función
a)
0
f
(0 ) =
,
lím
x — ►+
f
f ' ( x ) = x ' (3 - x ) e
= 1
f"(x) =
* :
Puntos CRÍTICOS
x ( x 2 — 6 x + 6) e
(0,0);
0
(L'HOSPITAL)
x = 0 y x = 3
2 7 /e3 s
1.34
...
MÁXIMO
x = x [ x — (3 — V T ) ] [ x — (3 + V T ) ]
PUNTOS de INFLEXIÓN e n x
y son
=
e s ASÍNTOTA HORIZONTAL DERECHA.
f (3) =
c)
x3/e*
x —f + o o
o o
y
b)
lím
(x ) =
x
f (x) = x 3 e
(1.26, 0 . 5 7 ) ;
= 0 , 3 - V 7 ^
( 4 .7 3 ,0 .9 3 )
1.27 ,
3 + > /T s
— X
4.73 ,
726
X
f'
f"
+
—
+
+
3)
+
—
VT)
—
—
( - oo , 0 )
VT)
( 0 , 3 -
VT,
(3 -
(3, 3 +
EJEMPLO 7
Tr ace ta gráfica de la función
f ( 0)
Dom f = [ 0 , 1 ] ,
d f
f
b)
( jc )
f"o o
+00
=
= e n / 1 = 4. 8
,
f'( l
) =
+00
x = (5 ±
f'
f"
4.8 = e
+
—
s ie m p r e crecien te
+ 2 X ) / [ 4 x ( l - X) 3 / 2 ]
VT ) / 2
=
0.27 ( - ) f 0.72 ( + )
y = e
Are Sen V*"
DOM INIO [ 0 , 1 ]
( 0 .2 7 , 0.72 )
+
+
( 0.72 , 1 )
+
+
0 .2 7
HAY UN ÚNICO PUNTO DE INFLEXIÓN
EJEMPLO 8
f
>0
¿QUÉ SIGNIFICAN?
POSIBLES P. de INFLEXIÓN en
( 0 , 0.27)
.
I , f(l)
=
eArcSen/7( V T V T ^ T - l
X
3e —x
., x
Are Sen V x
f(x ) = e
:
Are Sen V T / / , ¡— r r
v
= e
/ ( 2 V * y l —x ) . .
\
f'( 0 + ) =
C)
y = x
+
( 3 + V^3 , o o )
a)
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
A) Aproximar la raíz de la ecuación:
0 .7 2
1/ y
e '
—x = 0
, con cuatro ci
fras decim ales ex actas.
x
= 1.763222
f(x) =
e ^ * - x .
RPT.- (Método de Newton)
SOLUCIÓN.-
f (0
) =
B)
Trazar la gráfica de
B)
Intercepto con el EJE X :
lím
X -¥
e 1/x- x
= e
(Inicio:
SUG.
xQ
= 1)
Usar ( A ) .
x Q = 1.7632 ; D o m f = R - { 0 }
° ° - 0 = 0;
f
(0+ ) = e + 00 - 0 = + oo ,
0
x = 0
e s ASÍNT. VERT. SUPERIOR (derecha)
Cap. 7
De
Logaritmo y Exponencial
m =
lím
x
b =
f (x)/x
—> +
=
(l/o o ) — 1 =
[ f(x) — mx ] =
lím
X —► + o o
f'U )
= -
=
=
-1
oo
lím
y
0 -1
727
x —►
+ 1
x
-(1
e
oo
ASÍNT. OBLICUA DERECHA (e IZQUIERDA) ...
es
+ -y - •e
Vx
EJERCICIO
f s ie m p r e decreciente
X
f ' ( 0 + ) = - oo ; f '( 0
* f"(*)
) = 0
(aquí, h ac e r
t = l / x , t ->• - oo )
e I / x (2x + l ) / x 4
P. de INFLEXIÓN :
( - 1/2 , 0.635)
X
f'
f"
(-o o , -1 /2 )
—
—
(-1 /2 ,0 )
—
+
(0 , oo)
—
+
y = e
l/x
-
x
1.76322
-0.5
0
ls .
Note que
si
si
EJEMPLO9 .SOLUCION:
+oo
x —► — oo
x
en tonces
Grafique la curva C cuya ecuación e s :
DOMC = [ 0 , o o ) , G r á f ic a d e C
y -
Despejando y en C ,
m ita d su p erio r
a)
f(x) > 0 :
lím
lím
x -► + oo
f(x)
=
=
—Y
SIM ÉTRICA RESPECTO A L E JE X
2 - / T / e x/2
lím
analizaremos la
,
=
X —►+ OO
2/ ( V x " e
x /2
)
=
lím
x —►0+
f '
(x)
y = O ASÍNT. HORIZ. DER.
O
... Puntos
f(0 ) = O ... MÍNIMO,
f ' ( O - 1- )
= 4xe
± 2 * /x ~ e ~ x ¡ 2
f ' ( x ) = e *(1 - 2 x ) / ( 2 - / 7 )
Además
y
2
f (x ) = + 2 -/x ~ e ~ x ^2 :
X —► + OO
b)
f (x) —► —oo
f (x)
+oo
entonces
=
CRÍTICOS x = O, x = I,
f (1) = 2 / V T ^ 1.2 ... MÁXIMO
[ Ix
(l
- 0) ] / ( 0 +
)
=
+
oo
- 728 -
c)
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
f " (x) =
e
X^ 2 ( x 2 — 2 x — l ) / ( 2 x V T ) =
= e ~ x/2[x +
en
x =
VT
(V7
+1
=
(VT
- 1) ] [ jc -
+
1)]
2x VT
s e tiene el único PUNTO de INFLEXIÓN :
2.4
(V T + 1, f(V T + 1))
= ( 2 . 4 , 0.93) .
X
(o,
i>
f'
f "
+
—
—
+
( 1, 2.4 )
(2.4, oo)
Se completa f
EJEMPLO 10.1)
lím
t —►+ oo
graficando
en b a s e a la simetría de C r e s p e c t o a l E je X
- f
Halle las asín to tas de la curva :
x (t) =
lím
t—
y
+
=
t e
=
+ oo
,
y ad em ás
L'H
-------lím
t —f + OO
—
1
lím
t —> -f oo
=
L’H
lím
x (t)
t —y —oo
=
lím
y (t)
t —►— oo
=
lím
- 1
lím
te
t —►— oo
*
-
L’H
=
0
+
+ oo
\ y = 0
ASINTOTA HORIZONTAL DERECHA ( S u p e r i o r ) :
2)
- 1
y = te
o o
t
lím
y (t)
t —►+ oo
x = te t
lím
t —y —oo
( —o o ) ( + o o)
=
l
=
0
— oo
ASÍNTOTA VERTICAL INFERIOR ( I zqui er da) :
EJEMPLO 11.-
T race la gráfica de la curva paramétrica:
H o rizo n ta l
y = 0 , V e r ti c a l
x =
te 1 ,
1)
ASÍNTOTAS:
2)
x ' ( t ) = (1 + t ) e l , y ' ( t ) = (1 — t ) e _ t , Valores CRÍTICOS:
x ( — 1) = - 1 / e
3)
^
x " ( t ) =' ( t + 2 ) e *
-0 .3 7
,
MÍN. d e x
;
te
x = 0 , del EJEMPLO [10]
y (1) = 1 / e ^
y " ( t ) = ( t — 2) e
y -
- 1
*
0.37
t = - 1,
MÁX. d e y
1
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
dy
(I - t ) e
dx
d2 y
1
PUNTOS de INFLEXIÓN en
2 (t2 -
dx2
(1 + t ) e ‘
= - V T , - l , -/T.
t
= - 0.34 ,
x ( - 1) = - 0.37 ,
!/(-V T)
= -5.8
y ( — I) = — e ,
t
RECORRIDO DE
dy
X
y
dx
( — o o , — 5.8)
y ( / T ) = 0.34
y -
dx2
y ( x )
—
too"•
+
( - e , 0.37 )
+
—
<i. V T >
( e 7*58)
( 0 .3 4 , 0.3 7)
—
—
<V T , o o )
(5.8, oo)
( 0 , 0 .3 4 )
—
+
V
1
(-0.37, e)
O
= 5.8
COMPORTAMIENTO DE LA
CURVA
( - 0 .3 7 , - 0.34)
( -i,
x(VT)
j / ( l ) = 0.37 ,
i
(-VT, - O
La curva p a s a por ( 0 , 0
x(l) = e ,
RECORfilOO DE
( - 00, - V T ) ( - 0 . 3 4 , 0)
2)
( t + l ) 3 e 3t
x (-V T )
,
729
r
SERIE DE EJERCICIOS
Antes de aplicar las r e g l a s d e L’HOSPITAL , a s e g ú r e s e de ten er la expresión en la
f o r m a : ( 0 / 0 ) ó ± ( o o / o o ) , y trate de simplificar la expresión mediante o p e ­
raciones algebraicas o con un cambio de variable conveniente.
Pruebe que:
AY
Tanx
1)
H m
x —► 0
x
- ------------------ —
Tan x — x
=
t
0.37 = 1 /e
0.34
1
=
1
t=V2
-0 .3 4
2)
e
lím
0
x
— 1 — x
Se n
3
(2x)
t =
- l
128
t = -V2l
3)
lím
x —►0
e
x / 2 _ Co s x
4)
lím
n/2
1
12
Tan x
3 + 2e
Tan x
(EJEMPLO 11)
t =
— OO
Cos ( x e
2
2
x-»0
*) — Cos(se*)
_3
=
730
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
DIVIDIR ENTRE e T a ° X AL NUMERADOR Y AL DENOMINADOR.
SUG: [ 4 ]
Tan x
--------------------
lím
5)
n/2+
7)
=
ex
- e
lím
x —►0
1 (+)
x - f ± c »
lím
6)
5 + 2 e Tan X
lím
9)
0 (DIRECTO)
e
x
8)
= 2
Sen x
lím
eCosx
no existe
x —► OO
-1 (-)
“ x
— e
—x
[ L n ( 2 x + 1) — L n ( x + 6 ) ] = 2
oo
10)
x(e
lím
X - f oo
12)
x + 1)
2x 2
x
lím
e
\_
11 )
2
1
13)
= 0
lím x —►0 Ln (1 + x)
16)
lím
x
0
-
x -
15)
= 1
1
1
17)
2
x ( e x — 1)
1
2
3
3x
~nx
ex — 1
e
lím
x —►0
—x
2 - x
14)
e 2x -
xe
2
— x
lím
x —y 0 i _ Cos n x
ex -
n
1
lím •
x —►0 x (1 + x)
lím
e
x
— e
—x
— 2x
= 2
x — Sen x
x —► 0
- 1/ x
18)
20 )
22 )
lím
+
x
0
lím
x “ >°
lím
x
e
19)
= 0
999
Sen x - x
21 )
3x2 + x 5
x ( e x + l) -
2 (ex -
lím
lím
x —►O
999
e
x
-
,
1
lím
x
0 i — Cos x
+ oo
= 2
6
L n(a + be
X — ¥ OO
24)
=
\_
l)
X —¥ 0
23)
lím
x —►oo
)
( b > 0)
VT
a + bx
1
1
1
\_
ex —i
2
25)
lím
x —► oo
Ln(l + x e2x)
= 0
Cap. 7
26)
Logaritmo y Exponencial
lím
X
[ L n (1 + e
x ] = 0
SUG:
x = Ln(e*)
OO
,,
27)
) -
Ln(l + x
h m
--------------------------- ^
1e 2 x )
=
------------------------
+
o o
28)
lím
x-> oo
30)
lím
x —y o o
29 )
lí m
L? 0 - C o s 2 x )
x - * Q +
Ln ( T a n 2 x )
31)
lim
x
33)
= 2
32)
34)
lím
37)
lím
_
38)
lím
x
0+
Ln x
-
ex - 1
5
_
=
=
i
1- e
39)
— (Ln x )
) =
1
x e
3
j
= 1
¥ T
t a . 2 x Cosec x
(4 + x ) e
x -> 0
1
X
]
Sen 3x
1
]
Ln (C o t x )
x -+ 0 +
= 2
— X
(—
0
1/3
l í m [ --------------------- - -----X -> 0
x - Tan x
[
=
Ln(1 + C
— X
Ln (1 + e 2 x )
---------------------- = 2
lím
X -
X —► o o
e x + Ln ( - ----- — )
36)
(Lnx)
e1
x Ln X +
lím
Cos x — C o s 2 x
„
lím
X
I - t o o
.í-e - ~ l ) S e n ?.
0
= 2
x —> 0
35)
731
0
lím
x
0
SUG.-
e
— x Cos x
x Sen x
Ln x = u
2
—► — oo
x
40) Demuestre que
lím
= +00
e
; e s decir que, dado cualquier número
X —¥ + OO
M > 0 , es p o s i b l e h a l l a r u n n ú m e r o r e a l
que
> M , p a r a to d o
e
RPT:
B asta tom ar
41) Demuestre que
x > N .
N = | Ln(M)| + 1
lím
N > 0 (en función de M ) ta l
e* = 0
;
¿p o r q u é ?
e s decir que, dado cualquier número
X —► — OO
£ > 0
, es p o s i b l e h a l l a r u n n ú m e r o r e a l
tal que
e
RPT:
< 8
p a r a to d o
Basta elegir
N > 0
x < —N .
N = | Ln ( e ) | + 1
¿PORQUÉ?
( e n función de e )
732
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
42) Halle el punto PQ de la curva y = 2 Ln jc
el origen e s tangente a la curva.
Cap. 7
tal que la recta que p a s a por él y por
RPT:
m = 2 /e
; ( e , 2) .
43) En la gráfica s e tiene la tan g en te en
( x 0 , y 0 ) a la curva
y = e*.
(*0 >v
Probar que el seg m en to MN tiene
longitud 1 , cualquiera que s e a el
punto ( x Q , y Q ) .
44) Utilizando diferenciales d em u estre que p a r a x p e q u e ñ o s e puede u sa r la
Ln(l + x) ^
aproximación:
x . Estimar el valor de
x ~ 2 ( e K x - e * - 1)
45) Halle el valor de K para el cual la función
límite finito cuando
0
RPT:
,
L n(1.09) .
K = 2 ,
tiende a u n
Limite = 3 / 2 .
2
46) Se traza rectángulos con un vértice en la gráfica de y = e
X , y otro lado en la recta
ma.
RPT:
A m áx =
x = 1 /2 .
l/^ fe"
47) Calcule aproxim adam ente
;
4.1
= -1/2.
jc
, si se tiene que
48) Se construye un tubo rotando la gráfica de
dor de la recta L :
, un lado en el Eje
Halle el á re a del rectángulo de á re a máxi­
el otro lado
A = e
x
e = 2.7183 .
2x
y = e** , x e [ - 1 , 1 ]
alred e­
2 y = x . Halle el radio R de la mayor e sfe ra que puede ser
deslizada por todo el interior del tubo.
49) Halle las dim ensiones del rectángulo de á r e a máxima que s e puede construir debajo de la curva y = 6 e
50)
RPT:
B ase
Sea
f (x) =
continua en
RPT:
51)
-
4x
2 x rt = l / V T
2
, con la b a s e inferior en el Eje X .
, Altura 6 / J ~ e
x / [ 1 + e l^x ]
x= 0 ,
,
para x * 0 ,
pero no tiene derivada en
f (0+ ) = f (0_ ) = 0 ;
f'+ ( 0 ) = 0 ,
Halle los valores extrem os y puntos de inflexión de:
52) Demuestre q u e la curva
y = e
x Senx
ÁREAm áx
= 3/I /e
.
f ( 0 ) = 0 . Pruebe que f e s
x = 0 .
{'_( 0 )
x
=
1.
= e1 , y
= Sent .
e s tangente a la curva
y =
— X
en cada uno de s u s puntos de intersección.
53) Demuestre que las cu rv a s
y = e x , y = e x Cosx
son tan g e n tes en los pun-
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
tos
x =
,
2nn
V
n
€ Z ,
y = e
que las curvas
y
733
x
, y = e x Cosx
son mutuamente perpendiculares en dichos puntos.
54)
y = e~ x
Demuestre que la curva
y = e
la curva
x
a)
x
tiene rectas ta n g en te s com u nes con
—x
(análogam ente con la curva y = - e x ) en a l g u n o s
p u n t o s d e in f l e x i ó n d e la c u r v a
55)
Sen
y = e
Demuestre que la función f ( x ) = e
—x
Sen
- l' / x 2 ,
continua en x = 0 , y que todas s u s derivadas
SUG.b)
x .
x * 0,
f ^
f ( 0 ) = 0 , es
se a n u l a n e n x = 0 .
(x)
Ver el EJEMPLO [1 2 ], S e c c i ó n [ 7 ] .
Trace la gráfica de la función
f (x) = e
56)
Grafique
a)
y — xe* ,
57)
Grafique
a)
y = x e ~ * , b)
d) y =
58) Grafique
59) Grafique
y =
b)
, x * 0 ;
f (0) = 0.
y = x — ex ,
c) y
= x + e*
y = e*/x
c) y
= e*/x2
| Cos x | ,
Ln
'
,
e) V — x 2 e^^x .
e * /* 3 •
Cos x —
- l/x 2
a) y = x 2 e * ,
x e [ 0 , 2 7 i ] — { tt/2 , 3 n /2 } .
b) y = x 2 e
c) y = e
* ,
Are Tan x
2
60) Grafique
a)
61) Grafique
y — e
62) a)
y = xe
x
2x — 2 e
Aproxime la raíz de
b)
,
e
b) y = ( x 2 + 2 ) e
x
* .
2f x
-
x
= o
(M. Newton)
RPT.:
2.34575 .
Usando ( a ) , grafique
,1
1X
“ (n— r + — )
x |
1 — xe
f ( x )
x
=
1
63) Halle las asíntotas de la curva:
64) Grafique la curva:
65) S e a
A
x =
t + e
una constante. Si
intervalo I , dem ostrar que
v
x =
- 1
-
f ' (x) = k • [ f (x) f (x)
x € I , y para alguna constante
y=
2 e t/ ( t - l ) ,
tiene la forma
A
21
]
,
f (x) =
C = f (0) - A .
v x € I
Ce
ki
+ A
, algún
734
Cap. 7
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
66) Demuestre que el seg m en to de la recta tangente a la t r a c t r i z
y
=
—
x“
Ln
2
a -
y
/
2
a
— x
,
(a > 0) :
limitado por el eje de ord e­
2
n a d a s y el punto de contacto, tiene longitud co n stan te:
a .
CLAVE DE RESPUESTAS
47)
48)
f(x) =
x , d x = 0.1
A £ (1.025) e 2 = 7.5722 .
,
2*
PENDIENTE CURVA = PENDIENTE RECTA , e s decir
donde
2e
0 = 1/2
, de
x Q = - L n 2 , y Q = 1/4 .
Punto de T angencia:
Luego, el radio resulta
R = d [ { x Q , y o ); L ]
51)
=
|x0 - 2 y 0 |/ V T
=
d y / d x = ( C o s t ) e “ 1 , V. Extremos y = ( — l ) n
V
n
€ Z.
t = (3 n /4 ) + n n
V n € Z
d 2y / d x 2 =
Adem ás,
=>
—( S e n t
P. de INFLEX.:
+
(1 + 2 L n 2 ) / ( 2 - / 7 ) .
para
C o st)e
x =
2t
+ nn
=
0
para
( e (3* /4 ) + n * , ( _ i ) n / V T )
[ Note que la curva pudo h a b e r s e expresado:
,
y = Sen ( L n x ) ] .
—x
52) En
x n = (2nn) + (n/2)
s e cortan con la misma pendiente:
- e
n
V n 6 Z .
54) P. d e INFLEXIÓN en x n = ( 2 n + 1) n / 2 , V n € Z . TANGENTES COMUNES:
y =
e_ x
a)
Con
en tales
b)
Con y = — e “ x
para n P A R , con pendientes n e g a t i v a s ;
xn
en dichos
xn
vas.
55) b)
Simétrica respecto al Eje Y
As. Hor. Der. e Izq.: y = 1 ,
f'(0) = 0
(Def.)
f'(x) = (2e- 1 / *Z)/x3
é
f ' ( 0 + )
=
0
f"(x ) =
- 2e
X, x ( 2 -
i 2 ,,
3x
)/x
6
.
p a ra n I MPAR, con pendientes p o s i t i ­
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
b)
58)
f ( J t / 2 + ) = f (ji / 2
c)
) = +oo
,
f (3n/2+ ) = f (3 Jt/2 ) = +oo ,
f ( 0) = 1
f (2ji) = 1
f ' ( x ) s= Sen x (1 — Cosx)/Cosx
f'( 0 + ) = f'(2 n “ ) = 0
- 735 -
,
f " ( x ) = ( l — Cos3x)/C o s2x > 0
f ( ti) = - 1
- 736 -
A n á lis is M a t e m á t i c o 1
59) c)
(60)
Cap. 7
a)
(62) b)
y —\ —x
61)
Ln
-
Ln
2
S
0.69
X
2
y =
63) Asíntota Oblicua D erecha e Izquierda:
64) No asín to tas;
x (0) =
e ~ 1 , y ' ( t ) = 2 (1 - e _ 2 t ) , V. CRIT:
x'(t) = 1 -
1 MÍNIMO d e x ( t ) ,
*"(t) = e
- 1
d y / d x = 2( 1 + e
MÍNIMO d e y ( t ) ;
- 2t
) , ( t * 0) , > 0
d 2 y / d x 2 = — 2 / ( e t — 1)
...
(* ) ,
..............
(
oo * 0 )
(0 , oo)
RECORRIDO DE
RECORRIDO DE
dy
d 2y
X
y
dx
dx
(1, oo)
O* °°)
(1, oo)
(1, oo)
2
+
creciente ;
(1,1)
para
(*) ] .
COMPORTAMIENTO DE LA CURVA
y = y(x)
r
+
+
y(x)
P. de INFLEXIÓN:
t = o , con cambio abrupto de concavidad [ de
t
t = 0
y(0) = 1
y"(t) = 4 e
- t
-i-x + e .
y
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
- 737 -
Además, s e verifica que
lím
x (t) = + 0 0
t —* ± 00
,
lím
y (t) = + 00
t —►± 00
Valor l í m i t e de la pendiente
m =
(t)
dx
cuando
t
o
m = 2(1+ e
65) S e a
t -*> o
y cuando
°)
=
2(1 + e ° )
g ( x ) = f (x) - A ,
g'(x) = f'(x) =
e s decir
+
= 4,
entonces
k • [ f (x) — A ]
g*(x) = k - g ( x )
en am bos casos.
=
k-g(x)
,
V x e I .
,
Luego, por el TEOREMA [ 6 . 4 ] , existe una co n stan te C t a l q u e
g(x) = Ce
66)
kx
f (x) — A = C e
kx
V x € I
El valor de la pendiente de la recta tangente en el punto ( x , y )
es
(verificar).
/
El intercepto del eje Y con la recta tan gen te:
Y - y = y ' • (X — x )
es
a + J a2_ x2
Y =
Ln ( --------^ ----------------- ) .
r ~2
r
a — -y a
L
=
<f[(0, Y ) ; ( x ,
Luego , la longitud de dicho seg m en to e s :
—x
y)]
=
J
(0 - x ) 2 + ( Y - y ) 2
=
a
(VERIFICAR)
738
Análisis Matemático I
Cap. 7
9.
NOTACIÓN.-
lím
0+ =
x
=
0
0
lím
=
x->0+
lím
f (*0 )
f ( + oo) =
1)
+oo
+
o
lím
f(x )
f(*0 )
=
-oo
1
+ oo
_ 1 __
,
—oo
0
2)
3)
=
,
f ( —oo) =
0+
=
0
0
=
0
= 0
Tan (0+ ) = 0+ = 0
Tan (0 ) = 0
= 0
Cos ( n / 2
) = 0
Cos ( n / 2
Tan ( t i / 2
)
4- oo
Tan [ ( - — ) + ]
) = 0
Sec ( j i / 2
+
= 0
Tan(n/2+ ) = —oo
= —oo
T a n [(-—) ]
2
Sec ( n / 2
=
+oo
2
) =
1 /C o s ( ji/ 2
) =
l / 0 +
=
+ oo
) =
1/Cos (n /2 + ) =
1 /0 “
=
-
oo
4)
5)
6)
lím
X —¥ — OO
Sen (0 ) = 0
=
lím ^ f ( x )
=
Sen (0+ ) = 0+ = 0
= 0
0
x->xQ
f (x)
,
0
=
X —► 0 ~
X - ¥ + OO
=
x
Are Sen (1) =
jt/2
Are Sen ( —1) =
Are Cos (0) =
n/2
Are Cos (l) = 0
—n/2
si
X
>
1
si
X >
I
f (x)
Cap. 7
7.
Logaritmo y Exponencial
Are
Sec (1)
=
Are
Are
Sec ( 2 )
=
Are
e
4- o o
Ln [ 0 + ]
Cos (1 /1 )
=
Cos ( 1 / 2 )
=
ji/3
e
°°
=+oo
=
Cos (1)
Are
0
(...60o )
=
L n [ + oo ]
— oo
=
739
=
O
4 -o o
9. 1
J/x
,
i)
i)
lím
ii )
lím
(l + x )
O
( 1 4- — )
x
o o
iii)
lím
( 1 4- — )
X —►— o o
2)
TEOREMA.-
=
e
=
e
x
y
Si
!/□
i)
e
=
lím
=
(1 + □ )
a *
O ,
entonces
e
x->xQ
ii )
iii)
lím
x 1/d
(1 + a a )
=
lím
. a/o
(1 + □ )
=
e
e
a
a
x*
5)
Si
i)
ii)
lím
□
=
4 -o o
lím
0
0
lím
1
( 1 4- —
)
=
— oo
0
0
,
□
=
e
=
e
x —¥ x
lím
( 1 4-
o
j
iii)
lím
aa
( 1 4- —
o
lím
x
x
e
□
*
iv)
=
)
( 1 + —
□
bn
)
=
e
ab
b ^ O
,
a * O:
740
Análisis Matemático 1
lím (1 + Sen x
EJEMPLO 1 ,
Cap. 7
3 Cosec x
)
x —►0
=
lím (1 + Sen x )
3 Cosec x
lím (1 + □ )
x —►0
jc —►0
( o
pues
=
Sen x )
□ = S e n x ->• 0
✓
2 ^
lím ( l + — )
x —y oo
x
EJEMPLO 2 . -
3 /ü
x -*■ 0 , en [ 9.1 ](4)
cu an d o
=
e
(2)(5)
(P ro p ie d a d [9.1 ] ( 5 ) )
Si
f y g
son derivabies,
f ( x ) > 0 , se p u ede calcular la derivada de la
4
función exponencial g eneralizada
y = y(x) =
[f(x)]
g(x)
expresándola previamente como
y(x) =
,
y (;t) =
e
g(x) • Ln [ f (x) ]
e
g (x) • Ln [ f (x) ]
j
•./
- i g(x) • Ln [ f (x) ] y
Este resultado también s e obtiene m ediante Derivación Logarítmica,
Ln [ y (x) ] = Ln { [ f (x) ]
y '( x )
=
gW
}
g '(x ) Ln [ f (x) ] + g(x)
y(x)
y d esp ejan d o
EJEMPLO 1.
=
g (x) • Ln [ f (x) ]
f'(x )
f( x )
y'(x) .
f(x) =
(Senx)x
,
x e (0,n)
L n [f( x ) ] = L n [(S e n x )X ]
= x 2 Ln(Senx)
Cap. 7
- 741 -
Logaritmo y Exponencial
f '( x )
Derivamos
=
2 x L n (S e n x )
x
+
Cos x
2
Sen x
f( x )
y despejam os
f '( x )
=
f( x ) « [
2 x L n (S e n x )
x
+
Cot x ]
X
f ' (x)
( Sen x )
=
2r
EJEMPLO 2.
f(x) =
Ln [ f ( x ) ]
(x + e
1
,
— Ln l x
=
2 x L n ( Sen x ) +
• {
x
Cot x
} .
l/x
)
+ e
2x ^
)
2x
f'íx )
f( x )
x
f '( x )
2
=
f M
1
“
2
t
e
Ln ( x
+
e
2x ^
)
I
—
+
l +
r
• (
)
2X
y
x
. { -
2e
+
e
2x
L n (^ + e2 y )
+ _ l± 1 e
x (x
>
+
e
)
g(x)
=
B
i i .
FORMA:
I)
Si
A ,
B
€ R
,
lím
x —+ x
EJEMPLO.-
lím
f(x)
=
A
>
lím
X —►X
o
( 1 + 2 Sen x )
0 ,
=
32
o
=
X — ¥ 7l/2
II)
Son límites de funciones exponenciales gen eralizad as cu
yos resultados son directamente conocidos:
742
1)
2)
3)
Análisis Matemático i
[0 + ]°°
[oo]
Si
A
oo
>
=
0
=
0
[0+ ]
+ oo
,
[oo]
[0+ ] A
:
5)
Si
Si
A
>
1
0 < A < 1 :
PRUEBA.-
+oo
=
0
[ 0+ ]
,
+ oo
,
[oo]
oo
[A]
:
o
=
=
— oo
=
[oo]
4)
°°
Cap. 7
=
[A]
+
oo
OO
,
= 0 ,
- A
- A
=
+ oo
=
0
0
[A ]
°°
=
[A]
°°
=
+oo
C ad a uno de e s to s resultados s e obtiene expresando:
u
lím
X —¥ X
ítf
[f(x)]
r
lím
=
e
X —¥ X
O
(
=
O
lím
X
e
g(*)-Ln[f(x)]
—¥
g ( i ) • Ln [ f(x ) ] )
0
u n
Cuando un límite toma una de e s t a s formas, p u ed e dar como resultado un
número real no negativo , + o o , o p ued e no existir. Se calcula como sigue.
PASO 1
Exprese en la forma:
(
g(x)
lím
PASO 2
lím
g ( x ) - Ln [ f ( x ) ]
)
[ f ( jc) ]
Y por s e p a r a d o calcule el límite del exponente A :
A
=
lím
g ( x ) • Ln [ f ( x ) ]
x->xQ
y si requiere aplicarle las REGLAS DE L'HOSPITAL recuerde que an tes debe
transformarlo a una de las d o s formas:
0 /0
o
o o /o o
.
743
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
IV,
S¡
lím
x
x
f (x) =
1 ,
lím
o
g (x ) =
±
oo ,
y si se define
o
en tonces
a(x)
lím
=
0 , y por lo tanto
o
=
—
[ 1 + cc(x) ]
lím
lím
{
[ 1 + or(x) ]
g(x)
d
a ( x ) -
<* W
±0° )
g(x)
}
o
1
{
X
lím [ l + « ( x ) ] aCx)
-> x o
lím ar(x)*g(x)
}
”
*
o
lím a ( x ) - g ( x )
X
(9.1 TEOR. 2)
RESUMEN .•
{
e
X
}
o
L =
d
donde
A =
lím
[ f(x) — 1 ] • g(x)
±0° )
( 0 • oo )
o
1
EJEMPLO 1
L =
,
A =
lim
,
0
1 + Tan
x
1 — Tan
x
( ------------------- )
Hm ( 1 + T a n * x —
►0 l — Tan x
lím
------
Sen x
2 .
2 Tan x
•
•
±0° )
! ) ■ — L_
Senx
x —►0 (l — Tan x) Sen x
A =
d
lím
---------------------------
x —►0 (i — Tanx) Cosx
744
Cap. 7
Análisis Matemático 1
L =
EJEMPLO 2
lím (2 — x)
(,±
T a n [ t i/ ( 2 x ) ]
0 0
)
x-> 1
Sen [ 7i/(2x) ]
A =
L = e
lím (1 — x )
x —
►1
Cos [ n /(2 x) ]
1 -
(-2-J
0
0
X
= (1) lím —
x —► 1 Cos [ n /(2 x) ]
0
L'H
=
L =
EJEMPLO 3 .
e
L =
1 —Sen [ j t / ( 2
x
) ] ■[ — ji/ ( 2 x 2
71
)]
-2/71
lím [ i m i ] 2* - 1
x —y oo 3x + I
A =
A =
EJEMPLO 4
-------------------
lím
x
2
lím [ - ^ ---- !----- l ] * ( 2 x — 1)
x - + oo 3x + 1
( 0 • oo )
2(2x - 1)
4
3x + 1
3
oo
oo
lím —
oo
L =
d ° ° )
lím
( 1 + Tan2(V"x") )
l/(3x)
d ° ° )
0+
=
lím
Tan2
•
+
=
[u = V T i
A
=
lím
± [
3
Tan (u)
+
lím
u —>• 0 +
—
3x
I [
3
S6C (U) ] 2 =
1
lím
u -y 0+
\_
3
u
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
EJEMPLO 5
L =
lím
(8 + 5 e
A =
Ln ( 8 + 5 e T a n x )
lím
l/(3t -
n/2
lím
n/2
5
( 8e
n/2
1
8e
EJEMPLO 6
A =
L = e
A
=
+ 5
x
(
lí m
lím
x
[Tan( —
)
(iL - 2 X ) 2
Cos
x
ti — 2 x ^2
lím
—►n / 2 ”
Cos
x
-2
x -* n/2
~
— Sen
x
x)
r( o o 0 ^)
oo
Ln(x)
oo
x)
(^ ic í
lím
00 Q t f )
nx
1
2/{n - 2x)
lím
3/(1 + Ln
lím
oo (l + Ln
=
L =
—oo
lím x
—►oo
L’H
EJEMPLO 7 .•
^
x
Tan * + 5 )
(
1
* ------------2
( S ^ í
X
A
OO
/
L =
L = e
2x)
1
lím
2
Í-22-)
_ Tanx c 2
^ 5e
• Sec
Tan x
8 + 5e
L'H
=
( 0 • oo )
-4 n / 2
x
A
f( oo 0 )•>
(ti - 2 x ) L n ( 8 + 5 e Tan* )
lím
L'H
)
71 — Hx
—►n / 2
x
L = e
Tan í
745
lím
x
. -.Tan
)]
oo
3
(nx/2)
[ T a n ( ^ ) - 1 ] . Sen
-*• 1
4
Co s ( tix/ 2 )
( 1 ±oo
0
0
- 746
=
Análisis Matemático 1
Cap. 7
Tan (
j i x
0
C
(
(1) lím
1
L’H
A =
o s
/ 4 )
—
1
0
/ 2 )
t i x
Sec (
/ 4 ) • (
/ 4 )
lím ---------------------------1 —Sen (
/ 2 ) * ( n : / 2 )
t t x
jt
(V T )2
,
-1
2
j t x
EJEMPLO 8
L = e
L =
lím
A =
( Cot x )
+
lím
x —►0+
lím
(
x _>.0+
EJEMPLO 9
2 ( —Cosec x )
1
Cot x
(l/x )
— 2x
)■ [ lím
Sen x
lím
x —►0
lím
x-> 0 +
L =
— oo
Ln (x)
L'H
L'H
A =
r( o o 0 ^)
2 Ln ( Cot x )
lím
x —y 0+
—
2/Ln x
X
( — ?— ) ]
xv - f n+
0+
_ 7
( -----— M I ]
Cosx
=
Cos x
5/ ( 1+ Ln x )
( 0 + )°
L’H
L = e
ii„
A =
s L° w
■ i.
x - » 0+
x _*o+ 1 + L n (x )
A =
EJEMPL010.-
5 .
L =
• •
* * *
lím
x - > o + (i)
L = e
r n / L n ( —x)
lím _ (l-2 x)
( 0 + )°
x -> 0~
L = e
A =
lím
x —►0
n Ln ( 1 — 2 )
L n (-x )
(5)
— OO
— oo
Cap. 7
Logaritmo y Exponencial
L'H
_
7 i ( - 2 * L n ( 2 ) ) -----------1
------------------------------
j im
0
=
—
ti
- 747 -
1
Ln (2)
[l/x]
2
-
lím
(
)
1
0
_0_
0
2
-
L’H
=
— ti Ln (2)
lím
—7t Ln 2
(
A = 7T .
EJEMPLO 1 1 .-
-L n 2
- 2 Ln (2)
0
• ♦
Bosqueje la gráfica de
f(x) =
x
Ln x
D om f = { 0 , oo )
SOLUCIÓN
a)
lím
f(x) =
O+
la recta
li
b)
x
lím
e ( L n x *2
+
O
=
e + °°
= *foo
x = O (Eje Y) e s ASÍNTOTA VERTICAL.
hm
—y + oo
f(x)
--------- =
x
x
hm
e
—►+ oo
(Ln x) [ Ln(x) — 1]
=
+
oo
no tiene asíntota oblicua , ni horizontal.
c)
f'(x)
=
d)
f"(x ) =
2e
(Lnx)
Lnx
x = 1
e s un Punto Crítico
e(Lnx) [ 4 ( L n x ) 2 _ 2 L n (x) + 2 ] / x
2
f"(x ) =
e (Lnx)
[ ( 2
Ln x —
2
Este resultado indica que la gráfica
de
f
- V
f"(x ) > O
+ - 1 / X 2
4
YA
e s cóncava hacia arriba s o ­
bre todo su dominio . Y a la vez sir­
ve para concluir que en
valor
f(l) =
NIMO p u es
x = i el
1 e s un valor MÍ­
f"(i)
> O .
1 --------
►
O
1
X
- 748 -
Cap. 7
Análisis Matemático I
EJEMPLO 12
-
Dada la función
f(x) =
x
x > 0
a)
Pruebe que
f(x )
toma su mínimo valor en
b)
Pruebe que
f (x)
e s siempre có n cav a hacia arriba.
c)
Pruebe que
d)
lím f ( x ) = 1 ,
x 0+
,
x = 1/e .
lím f ( x ) = oo
-)• oo
x
Bosqueje su gráfica.
f(0 + ) =
SOLUCIÓN.-
A
=
lím x x
x —►0+
eA =
=
f"(x) >
0
f
implica que
0
x-X > +
(-
P. CRÍTICO:
x € { 0, 1/e )
:
decreciente
,
x e (l/e,oo)
:
creciente
1/ e
0 .69
...
x)
=
0
x = 1/e
valor MINIMO.
>
e s c ó n c a v a hacia arriba en todo
Se puede redefinir f ( 0 ) =
Además,
l/x
(-l/x 2)
x X { [l + L n (x )]2 + (l/x) }
Esto implica que
0
(
f (1/e) = e
f"(x) =
Ln (x)
lím
f ' ( x ) = x x [ 1 + L n (x ) ] = 0
0
1 , pues
=
(l/x )
lím
x - > 0 +
f'(x) <
e°
lím
lím x Ln (x) =
x —►0+
x —►0
L ’H
A
=
0
,
V x 6 (0,oo )•
( 0 , oo ) .
1 .
f / (0+ ) = —oo
x = 0
e s una
RECTA TANGENTE VERTICAL
en el punto ( 0 , 1 )
de la cur­
va.
\
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
749
SERIE DE EJERCICIOS
En los ejercicios del 1 al 80 probar los resultados indicados.
1)
lí m ( 1 + — )
oo
x
o\
i/
l ím
3)
x
Sen
x
2)
= e3
,
= 1
w
4)
lím
x->0+
11)
lím
<*\
13)
=
1
l í m (1 + Sen x )
x —►0
lí m
2*+ 2
6)
=
e
x
lím
x
0
8)
L
10 )
2
(
x-foo
ti
lím
*
1 )* + ' =
x2_j
x
Sen x
12 )
0
*
= 1
14)
x->0+
<c\
15)
11
lím
x
l/(x-I)
=
e
16)
lím
| Sec x | ^ ° S * =
1
n/2
19)
21)
l ím ( x + e * + e 2* ) ^
x —►o o
lím
x
lím
— 1)
= 1
=
e
(Senx)*^
X =
= e2
e
...
18)
—x
2
2*+ 2
*
=
lím ( — - — )* =
x —►oo 1 + x
x
1
lím
101/X=
—
e
1
—►OO
l í m | Sen x |
x -> 0
l í m (x
x —►1
=
1
l/X
*y
+ a )
=
( Senx J / x
l í m ( --------- )
x
x —►0
20)
22 )
1
=
e
-1/6
lím
( Cos — ) X =
X —►OO
X
lím
„
2
(x e)
l/ *
=
1
1
x —► oo
( C o s x ) 1^* =
lím x
x -f l
—e
x
2 X — 2~ X + *
l/V~e~
24)
x ->• 0
25)
Cos
lím
x-+0+
23)
i/L n ( e
1
i
17)
JC
x
vCscx
9)
(T a nx)
x->0+
i Tan
5)
lí m
(— )
x-»0+
x
7)
lím
x—
>n / 2
2 x — 71
1/(1 - x )
1
26)
lím
V x2
x —y oo
lím
x->0+
x (x
=
1
0 =
1
750
27)
AHt
29)
Análisis Matemático I
lím
x —
►0
,,
/
hm (
x
Sen x
a —a
x
+ e
2x
)
Cap. 7
,
Ln a
1/x
= e
28)
3
30)
1
Hm ( — )
x
0 x
lím
X -¥ 0
31)
33)
lím
37)
x
41)
43)
45)
47)
49)
cm
50)
51)
1
1] = - 1
[ x ÍX
=
34)
lím (e x + e
x —►00
e ~ l,x
lím --------x —>0 .1000
1
^x )
= —
=
= e
,
. Tan 2 x
(T a n x )
=
36)
lím [ Ln (— ) ]
x -> 0 +
x
38)
lím [Ln (— ) ] * =
x —►0+
X
42)
0
l/e
v
lím (5 — 1)
= 1
1/x
1
=5
Hm (1 + - L _ ) X= 1
X —^ OO
44)
1
lím (T a n
)
x-H
4
v(n/2) —x
(C o sx)
=
Tan ( ^ )
2a
=
46)
1
48)
e 71
i*
Cos ( x e x ) - C o s ( x e x )
lím ------------------------------------ =
x —►0
1
x —> n / 2
1/Lnx
x —► OO
^
, nx x
JiXxTan(~
}_
lím ( 2 - — )
x —y a
a
lím
40)
lím
(l + — ) X = 0
x —►—00
x
lím
x
x —* j i / 4
lím (1 + — ) * = oo
—►00
2x
lím
x —►n / 2 ~
w
lím
x-*0+
(Cos — ) *
x
* —►00
39)
««i
32)
_ I
lím ( C o tx ) ^ enX = 1
x
0+
35)
=
0
11» ( I —►0
x
Tan x
O + l e 7011* ) 71
2X =
e2
—2
lím (Cosx)
x —►0
I/Senx
lím ( ex + x )
I/ X
,
=
= e
gTan x _ &x
lím -------------------- =
x —►0 Tan x - x
1
J
1
Logaritmo y Exponencial
Cap. 7
52)
T an
lím
(3 + 2 e
, , __
53)
lím ( l + Tan y u )
u
y
2X
)
=
1/ ( 2 u )
= Ve
1
,__
0
1+ x
54)
55)
_ Ln (1 + x)
i
lím [ --------- ------------------L ] =
x —►0
2
x ( e * + 1) -
lím
lím
1
1
x
o
56)
751
x
2
2 ( e * ~ 1)
_
^
3
( C o tx ) 2^
6
^
X
o+
e2
5 7 )
x —v 0
58)
lím
[ . n u i l - i - ] 1/X =
i-»o
59)
2
X
e
Hm ( Are Senx y A 2 =
x — ►0
X
cn\
if
60)
lím x
i//7
e / ( I + Lnx)
^
=
e
e
x-+ 0 +
ím\ ir
^
Tan (nx/2)
61) lím (2 — x)
=
x-H
62)
63)
lím ( e x + e 2 x )
x —►oo
i
lím ( l + — )
x —►oo
2x
2/n
e
= e2
3 x + Ln x
=
64)
lím [ Ln(l + 2ex ) — x ] =
x —►oo
65)
lím ( 3 x - 4 ) U + 0 / 3 =
x - > oo
3x + 2
66)
x
lím [
—► 0+
0 + *}
X
]
,X =
x /•>
e '
Ln(2)
e_ 2/3
+ o o
SUG.-
x = Ln e
X
752
67)
lím
[ * 2 ~ 2* + 1 ] * = e2
x
68)
Cap. 7
Análisis Matemático 1
- 4x + 2
r
Hm [ Cos x + a Sen (bx) ]
x —►0
^
Sen x
Ux
= e
^
69)
lím ( _Sen*_) * - Sen x
x -+ 0
x
70)
lím
[ V T s e n * ] ' /(4* -,T) =
x —)■n / 4
71)
Hm
( _ 2 2 Ü L ) ,/x2 =
72)
lím
( Sen— + Cos — )
73)
Hm
x
—►o
x
Cos V""x~ =
= J_
e
^7
e 3/2
Cos2x
x
ab
= e
1/Ve~
x —► 0
74)
Calcule
dy/dx
donde
n
7
1/ =
p a ra
(e
+ z)(e
7
+ z)
2
2
. . . (e
+ z)
n
z = Tan x .
a
Rpt:
y
n ( n + 1)
« 2
í Tan
= ------- - -------. y . Sec x . ( e
/
x
+\ , ( ATan x , _
\
+ 1J / ( e
+ Tan x )
75) Halle el valor de la co n stan te c de modo que
Hm
(_ L ± JL )* =
x —> + o o
76)
lím ( S e n
4 .
Rpt:
X — C
x
) Ta“ *
=
1
lím (1 + 2 x ) COt X =
2
Hm ( e
x - + 0
1
Hm ( 2 - e * ) ' ^
79)
x
,
x ' /x =
x —v o o
* ^ 0 +
80)
lím
77)
x —► n / 2
78)
c = Ln2
2 % ! /*
+ x )
-
y 0
2
=
+00
lím
81)
x
1 /e
0
C osx — e
- x 2
----------------4
1
— —2
(i)
Análisis Matemático 1
- 753 -
ÍN D IC E
A
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA, 451
ÁLGEBRA DE FUNCIONES, 120
- IGUALDAD DE FUNCIONES, 120
- MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES, 122
- RESTA DE FUNCIONES, 122
- SUMA DE FUNCIONES, 121
ÁNGULO ENTRE RECTAS, 47
ANTILOGARITMO, 698
APLICACIONES DEL TEOR. DE VALOR MEDIO, 532
APLICACIONES DE A EN B, 76
APLICACIONES DE LA DERIVADA, 511
- AL TRAZADO DE GRÁFICAS, 563
APROXIMACIONES SUCESIVAS, 654
ARCO COSECANTE, 183
ARCO COSENO, 182
ARCO COTANGENTE, 182
ARCO SENO, 181
ARCO TANGENTE, 182
ARCO SECANTE, 183
ASÍNTOTA HORIZONTAL, 309
ASÍNTOTA OBLICUA, 310
ASÍNTOTA VERTICAL, 309
ASÍNTOTAS, 68
- REGLAS PARA HALLAR, 68
AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES. 1
- LEY DE LA ADICIÓN Y CANCELACIÓN, 1
- LEY DE LA MULTIPLIACCIÓN, 1
- LEY DE TRICOTOMÍA, 1
- LEY TRANSITIVA, 1
c
CÁLCULO CON LÍMITES INFINITOS, 304
CÁLCULO DE DOMINIOS Y RANGOS, 80
CÁLCULO DE LÍMITES, 282
CÁLCULO DE LÍMITES LOGARITMICOS, 690
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO, 179
CIRCUNFERENCIA, 60
COCIENTE DE FUNCIONES, 127
COMPLETACIÓN DE CUADRADOS, 5
- TÉCNICA DE, 7
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES, 130
- PROPIEDADES DE LA, 142
CONCAVIDAD, 556
CONJUNTO IMAGEN DE S vía F, 77
- PROPIEDADES, DEL 78
CONTINUIDAD, 339
- POR LA DERECHA, 348
- POR LA IZQUIERDA, 348
CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESPECIALES, 356
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, 339
CONTINUIDAD SOBRE UN CONJUNTO DEL DO *
MINIO, 344
CONSTRUCCIÓN DE UNA CURVA, 69
COSENO INVERSO, 182
COSECANTE INVERSA, 183
COTANGENTE INVERSA, 182
CRITERIOS PARA EXTREMOS RELATIVOS, 544
- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, 544
- CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA, 545
CRITERIOS PARA GRAFICAR ECUACIONES, 65
- EXTENSIÓN, 66
- INTERCEPTO CON LOS EJES, 65
- SIMETRÍAS, 66
D
DERIVACIÓN LOGARÍTMICA, 689
DERIVADA, 389
- NOTACIONES PARA LA, 393
DERIVADA DE e * , 701
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES, 740
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, 392
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA, 403
DERIVADA DE CURVAS PARAMÉTRICAS, 462
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA, 569
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO, 671
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRI­
CAS INVERSAS, 573
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR, 436
DERIVADA SIMÉTRICA DE, 480
DERIVADAS LATERALES, 414
DESPLAZAMIENTOS
- HORIZONTALES, 54
- VERTICALES, 56
DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD, 423
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES, 396
DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA, 438
DIFERENCIALES, 441
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR, 446
DISCRIMINANTE DE a x 2 + b x
+ c , 10
DISTANCIA
- ENTRE DOS PUNTOS, 37
- DE UN PUNTO A UNA RECTA, 45
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN, 77
DOMINIO DE UNA RELACIÓN, 23
E
ECUACIONES CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE, 2
- TEOREMAS DE, 3,4
ECUACIONES EQUIVALENTES. 2
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA CURVA, 457
EJE DE COSENOS. 179
EJE DE SENOS, 179
ENCONTRANDO DOMINIO Y RANGO DE FUNC., 80
E N T O R N O ,234
ENTORNOS REDUCIDOS, 247
ERROR PORCENTUAL. 446
- 754 -
Análisis Matemático 1
ERROR RELATVO, 446
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, 100
EXTENSIÓN CONTINUA DE f, 352
FORMA INDETERMINADA, 282.691
FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO, 38
FUNCIÓN, 74
- DOMINIO DE UNA. 77
- GRÁFICA DE UNA, 79
- GUALDAD DE. 120
- IMPAR, 116
- PAR, 116
- PERIÓDICA, 117
- RANGO DE UNA. 77
- RACIONAL, 129
FUNCIÓN COMPUESTA. 357
- INVERSA DE UNA, 170
FUNCIÓN CONTINUA, 340
FUNCIÓN CONTINUA SOBRE UN CONJUNTO, 346
FUNCIÓN COSENO INVERSO. 182
FUNCIÓN EXPONENCIAL (NATURAL), 697
- PROPIEDADES DE LA, 698
FUNCIÓN LOGARITMO (NATURAL). 670
- GRÁFICA DE LA. 676
- PROPIEDADES DE LA. 672
FUNCIÓN MONÓTONA SOBRE S. 528
FUNCIÓN RESTRINGIDA, 345
FUNCIÓN SENO INVERSO, 181
FUNCIONES, 74
• ÁLGEBRA DE. 120
- BIYECTIVAS. 153
- COCIENTE DE, 127
- COMPOSICIÓN DE. 130
- IGUALDAD DE. 120
- INVERSAS. 144, 153
- INVECTIVAS, 146
- MULTIPLICACIÓN DE, 122
- RESTA DE. 122
- SUMA DE. 121
- SURYECTIVAS. 144
- UNIVALENTES. 14Q
FUNCIONES ACOTADAS, 366
FUNCIONES CRECIENTES, 525. 526
FUNCIONES DECRECIENTES, 525.527
FUNCIONES ESPECIALES, 85
- CONSTANTE. 85
- COSENO, 91
- CUADRÁTICA, 88
- ESCALÓN UNITARIO, 86
- IDENTIDAD, 85
- MÁXIMO ENTERO. 87
- POLINOMIO, 90,356
- RAÍZ CUADRADA. 88, 357
- SENO, 91
- SIGNO. 86
- VALOR ABSOLUTO, 87
FUNCIONES INVERSAS. 144. 153
- PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS. 154
( ü )
FUNCIONES NO DIFERENCIABLES, 417
FUNCIONES RACIONALES, 302,357
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, 178
- DEFINICIONES DE. 184
- INVERSAS DE, 178
- PROPIEDADES DE, 185
GRAFICA DE ECUACIONES. 54
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO. 676
GRÁFICA DE RELACIONES. 26
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN, 79
GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES, 722
GRÁFICAS DE LA PARÁBOLA, 54
GRAFICAS ESPECIALES, TRAZADO DE. 108
GRÁFICAS QUE INVOLUCRAN EL VALOR ABSO­
LUTO. 49
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS, 178
IGUALDAD DE FUNCIONES, 120
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS, 16
IGUALDAD DE POLINOMIOS, 129
ILUSTRACIÓN GEOMÉTRICA DE LÍMITES LATE­
RALES. 272
INFIMO DE. 367
INVERSA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA, 170
INVERSA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA. 178
L MITE DE UNA FUNCIÓN, 251
L MITE DE FUNCIONES COMPUESTAS, 280
L MITE DE FUNCIONES EXPONENCIALES. 741
L MITE LATERAL DE LA DERIVADA. 415
L MITES ESPECIALES, 738
LIMITES EXPONENCIALES (NATURALES), 716
- GRÁFICAS de, 720
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS, 288
L MITES INFINITOS, 296
L MITES LATERALES, 267
L MITES LOGARÍTMICOS, 691
L MITES, 234, 251
M
MÁXIMO LOCAL, 511
MÁXIMO RELATIVO, 511
MÉTODO DE NEWTON, 655
MÉTODOS PARA ANÁLISIS DE INYECTIVIDAD.
CÁLCULO DEL RANGO Y DE LA INVERSA DE
FUNCIONES. 164
MÍNIMO LOCAL. 512
MÍNIMO RELATIVO. 512
(iii )
Análisis Matemático 1
MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES, 122
N
NÚMERO e , 675
NÚMERO TRASCENDENTE. 677
NÚMEROS REALES. 1
- VALOR ABSOLUTO DE. 12
P
PARÁBOLA, GRÁFICAS DE LA. 54
PARÁMETRO. 457
PARES ORDENADOS. 16
- IGUALDAD DE. 16
PENDIENTE. 39
PERÍODO MÍNIMO. 118
POLINOMIOS, 90
- IGUALDAD DE, 129
PRODUCTO CARTESIANO. 17
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUN­
CIONES, 142
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO. 672
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES INVERSAS, 154
PROPIEDADES DEL CONJUNTO IMAGEN. 78
PUNTO DE DISCONTINUIDAD. 350
- FINITA, 350
- REMOVIBLE, 351
PUNTO DE INFLEXIÓN, 557
- REGLAS PARA POSIBLES, 560
PUNTO MEDIO, FÓRMULA, 38
PUNTO MÚLTIPLE. 465
PUNTOS CRÍTICOS DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. 467
PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN EN UN IN­
TERVALO, 539
PUNTOS DE ACUMULACIÓN. 248
- DE UN CONJUNTO, 248
- DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN, 250
R
RAÍCES DEL TRINOMIO CUADRÁTICO, 4
RANGO DE UNA RELACIÓN. 23
RANGO DE UNA FUNCIÓN, 77
RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO, 449
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO, 449
RECTA NORMAL, 394
RECTA TANGENTE, 393
R E C T A S ,39
- ANGULO ENTRE, 47
- PARALELAS. 43
- PERPENDICULARES, 43
- TANGENTES. 64
REGLA DE CORRESPONDENCIA. 78
REGLA DE LA CADENA, 403, 405
REGLAS DE L'HOSPITAL, 519, 520, 691
RELACIÓN
- 755 -
- DOMINIO DE UNA. 23
- RANGO DE UNA, 23
RELACIONES, 16, 19
- DE EQUIVALENCIA. 22
- GRÁFICAS DE, 26
- INVERSAS, 34
- REFLEXIVAS, 21
- SIMÉTRICAS, 21
- TIPOS DE, 19
- TRANSITIVAS. 22
REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE CURVA, 457
REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS DEL PRO­
CESO DEL LÍMITE, 253
RESTA DE FUNCIONES, 122
s
SECANTE INVERSA, 183
SENO INVERSO. 181
SIMETRÍA. 66
- RESPECTO AL EJE X, 67
- RESPECTO AL EJE Y, 67
- RESPECTO AL ORIGEN, 67
SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN, 5
SUMA DE FUNCIONES. 121
SUPREMO DE. 367
T
TASA D EC R E C IM IE N TO , 702
TASA DE DECRECIMIENTO, 702
TÉCNICA DE COMPLETAR CUADRADOS, 7
TÉCNICA PARA HALLAR EL MÁXIMO O MÍNIMO
EN UNA APLICACIÓN FÍSICA. G E O M .. 555
TEOREMA
- DE RECTAS PARALELAS, 43
- DE RECTAS PERPENDICULARES, 43
- DE TANGENTE INVERSA, 182
- DEL VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REA­
LES, 12-15
D EL VALOR INTERMEDIO PARA DERIVADAS, 5 9 0
- REGLA DE LA CADENA, 403
TEOREMA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE, 532
TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS ABSO LUTOS, 369
TEOREMA DEL VALOR MEDIO, 513, 518
- D E G A U C H Y , 518
- D E LA G R A N G E , 513
- REGLA DE L’HOSPITAL, 519
- DE ROLLE, 513
TEOREMAS ESPECIALES SOBRE FUNCIONES
CONTINUAS. 362-366
- TEOREMA DEL CERO, 364
- TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO, 362
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES •
CONTINUAS. 369
TEOREMAS RELATIVOS A FUNCIONES INVER SAS. 528
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD, 353, 354
Análisis Matemático 1
- 756 -
TEOREMAS SOBRE DERIVADAS, 397
TEOREMAS SOBRE LÍMITES, 262
- DE FUNCIONES COMPUESTAS, 278*2281
- TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE, 264
- TEOREMA DEL SANDWICH, 262
TIPOS DE DISCONTINUIDADES, 350
- ESENCIAL O DE SALTO, 350
- FINITA
- INFINITA
- REMOVIBLE O EVITABLE
TIPOS DE RELACIONES, 19
TÓPICOS SOBRE ANÁLISIS DE LA DIFERENCIA BILIDAD, 425
TRAZADO DE CURVAS PARAMÉTRICAS, 466
- ASÍNTOTAS, 468
- PUNTOS CRÍTICOS, 467
- SIMETRIAS, 466
TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES, 108
V
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL, 12
VALOR INICIAL, 701
VALOR MÁXIMO GLOBAL. 539
VALOR MÍNIMO GLOBAL, 539
VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCION, 511,
512, 538. 539
VECINDAD REDUCIDA, 238
VECINDADES. 234
VELOCIDAD DE CAMBIO INSTANTÁNEO, 450
VELOCIDAD PROMEDIO DE CAMBIO, 449
(«O
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Enero del 2010, en los talleres gráficos
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