Factorización
Profesor: Sebastián Quizhpi Salamea
September 18, 2022
1
1.1
Factorar
Factorar un Monomio
15 · ab = 3 · 5 · ab
1.2
1.2.1
(1)
Factorar un Polinomio
Términos de un polinomio con factor común
a2 + 2a
(2)
Los términos del polinomio están multiplicados por a:
a2 + 2a = |{z}
a · a +2 · a
a2
Agrupamos los términos:
a2 + 2a = a · a + 2 · a = a · (a + 2)
Ejercicios:
a2 + ab =
(3)
Resolución:
a2 + ab = a(a + b)
3a3 − a2 =
(4)
Resolución:
3a3 − a2 = a2 (a − 1)
15y 3 + 20y 2 − 5y
Resolución:
15y 3 + 20y 2 − 5y = 5y(3y 2 + 4y − 1)
1
(5)
1.2.2
Factor común de un polinomio
x(a + b) + m(a + b)
(6)
En este caso el ponlimonio tiene un factor común compuesto (a + b):
m · (a + b)
x · (a + b) + m · (a + b) = |{z}
x ·(a + b) + |{z}
| {z }
| {z }
c
d
e
d
=c·d+e·d
= d · (c + e)
= (a + b) · (x + m)
Ejercicios:
a2 + 1 − b(a2 + 1) =
(7)
Resolución:
a2 + 1 − b(a2 + 1) = (a2 + 1) − b(a2 + 1)
= (a2 + 1)(1 − b)
4m(a2 + x − 1) + 3n(x − 1 + a2 ) =
(8)
Resolución:
4m(a2 + x − 1) + 3n(x − 1 + a2 ) = 4m(a2 + x − 1) + 3n(a2 + x − 1)
= (a2 + x − 1) · (4m − 3n)
1.3
Factor común por agrupación de polinomios
ax + bx + ay + by
(9)
Generalmente las letras x, y, z representan las variables en el polinomio, y las letras: a, b, c, d, . . .
representan números. Primero agrupamos sacamos factor común de las variables:
x · (a + b) + y · (a + b)
Tenemos el factor común de un polinomio:
(a + b) · (x + y)
Ejercicios:
2
3ax − 3x + 4y − 4ay =
(10)
Resolución:
3ax − 3x + 4y − 4ay = (3ax − 4ay) − (3x − 4y)
= a(3x − 4y) − (3x − 4y)
= (3x − 4y)(a − 1)
ax − ay + az + x − y + z =
(11)
Resolución:
ax − ay + az + x − y + z = (ax − ay + az) + (x − y + z)
= a(x − y + z) + (x − y + z)
= (x − y + z)(a + 1)
1.3.1
Trinomio Cuadrado Perfecto
a2 + 2ab + b2 = (a + b) · (a + b)
2
2
(12)
2
a + 2ab + b = (a + b)
(13)
Demostración:
(a + b) · (a + b) = a · a + a · b + |{z}
b · a +b · b
a·b
= a2 + a · b + a · b +b2 = a2 + 2ab + b2
| {z }
2a·b
De la misma manera, puede tener la misma forma pero con el signo de los términos cruzados
cambiados:
a2 − 2ab + b2 = (a − b) · (a − b)
(14)
En este caso, (a−b) influye en el signo de los términos cruzados, pero no en los términos cuadráticos:
(−a) · (−a) = (−1) · (−1) ·a · a = a2
|
{z
}
1
Demostración:
(a − b) · (a − b) = a · a − a · b − |{z}
b · a + (−b) · (−b)
| {z }
a·b
b2
= a2 − a · b − a · b +b2 = a2 − 2ab + b2
| {z }
2a·b
Los términos cuadráticos pueden estar multiplicados por términos numéricos:
4x2 − 20xy + 25y 2
4x2 = 2x · 2x
a = 2x
3
(15)
25y 2 = 5y · 5y = (−5y) · (−5y)
b = −5y
(a − b) · (a − b) = (2x − 5y) · (2x − 5y) = (2x − 5y)2
Caso especial:
a2 + 2a(a − b) + (a − b)2
(16)
Descomponemos:
(a + (a − b)) · (a + (a − b))
Realizamos las operaciones que están dentro de los paréntesis:
(a + a −b) · (a + a − b) = (2a − b) · (2a − b) = (2a − b)2
| {z }
2a
Ejercicios
x2 + bx +
Resolución:
x2 + bx +
b2
=
4
(17)
b
b
b2
= (x + ) · (x + )
4
2
2
b
= (x + )2
2
(x + y)2 − 2(x + y)(a + x) + (a + x)2 =
(18)
Resolución:
2
(x + y)2 − 2(x + y)(a + x) + (a + x)2 = [(x + y) − (a + x)]
= [x + y − a − x]2
= [y − a]2
1.3.2
Diferencia de Cuadrados Perfectos
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
(19)
A diferencia del trinomio cuadrado perfecto, no puede expresarse de la forma (a + b)2 ya que
tenemos términos con signos opuestos: (a + b) y (a − b). Los terminos cruzados a · b se cancelan.
Demostración:
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
(a + b) · (a − b) = a · a + a · (−b) + |{z}
b · a +b · (−b)
ab
2
2
2
= a −ab + ab −b = a − b2
| {z }
=0
Caso especial:
(a + b)2 − c2
4
(20)
Donde:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b)
c2 = c · c
Tenemos la siguiente forma:
(a + b)2 − |{z}
c2 = d2 − e2 = (d + e) · (d − e)
| {z }
e
d
Aplicamos a nuestro caso:
(a + b)2 − c2 = [(a + b) + c] · [(a + b) − c]
Podemos quitar los parentesis:
= [a + b + c] · [a + b − c]
Ejercicios
b4
a2
−
=
4
9
Resolución:
a2
b4
−
=
4
9
a b2
+
2
3
(21)
a b2
·
−
2
3
16x2 − 25y 4 =
(22)
Resolución:
16x2 − 25y 4 = (4x + 5y) · (4x − 5y)
1.3.3
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
a4 + a2 b2 + b4
(23)
Tiene la forma del trinomio cuadrado perfecto, pero el término cruzado no cumple con el requisito
del mismo: a2 + 2ab + b2 . Para realizar la factorización, completamos el cuadrado:
a4 + a2 b2 + b4 = a4 + b4 + a2 b2
= a4 + b4 + a2 b2 + a2 b2 − a2 b2
|
{z
}
=0
4
4
2 2
2 2
= a + b + a b + a b −a2 b2
|
{z
}
2a2 b2
4
= a + b + 2a2 b2 − a2 b2
=
4
a4 + b4 + 2a2 b2
|
{z
}
−a2 b2
Trinomio Cuadrado Perfecto
= (a2 + b2 ) · (a2 + b2 ) − a2 b2
= (a2 + b2 )2 − a2 b2
5
Podemos seguir factorando, ya que tenemos una diferencia de cuadrados:
2
(a + b2 ) + ab · (a2 + b2 ) − ab
(a2 + b2 + ab) · (a2 + b2 − ab) = (a2 + ab + b2 ) · (a2 − ab + b2 )
Caso Especial:
a4 + 4b4
(24)
Como en el caso anterior, completamos el cuadrado:
a4 + 4b4 = a4 + 4b4 + 4a2 b2 − 4a2 b2
{z
}
|
=0
=
a4 + 4a2 b2 + 4b4
|
{z
}
−4a2 b2
Trinomio Cuadrado Perfecto
= (a2 + 2b2 )2 − 4a2 b2
|
{z
}
Diferencia de Cuadrados
= (a2 + 2b2 ) + 2ab · (a2 + 2b2 ) − 2ab
= a2 + 2ab + 2b2 · a2 − 2ab + 2b2
Ejercicios:
4a4 + 8a2 b2 + 9b4 =
(25)
4a4 + 8a2 b2 + 9b4 = 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 + 4a2 b2 − 4a2 b2
= (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) − 4a2 b2
= (2a2 + 3b2 )2 − 4a2 b2
= (2a2 + 3b2 + 2ab)(2a2 + 3b2 − 2ab)
1.3.4
Trinomio de la Forma x2 + bx + c
x2 + bx + c
(26)
x2 + 5x + 6
(27)
Hacemos este caso con un caso práctico:
Empezamos por plantear:
x2 + 5x + 6 = (x
) · (x
)
Ahora tenemos que encontrar dos números que multiplicados sean 6 y sumados sea 5:
6=2·3
5=2+3
Como encontramos las raı́ces del polinomio, sustituimos en la parte superior:
x2 + 5x + 6 = (x + 2) · (x + 3)
6
Comprobamos:
(x + 2) · (x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
Para este tipo de casos podemos usar la siguiente ecuación para determinar las raı́ces:
ax2 + bx + c = 0
√
−b ± b2 − 4ac
x1−2 =
2a
√
−b + b2 − 4ac
x1 =
2a
√
−b − b2 − 4ac
x2 =
2a
(28)
x2 − 5x + 6 = 0
(29)
Aplicándolo a la ecuación anterior:
x1−2 =
p
(−5)2 − 4(1)(6)
2(1)
r
5 ± 25 − 24
| {z }
−(−5) ±
1
x1−2 =
2
3
x1 =
5+1
6/
= 1 =3
2
2/
2
5−1
4/
x2 =
= 1 =2
2
2/
Ejercicios:
x2 + 2x − 15 =
(30)
Resolución:
x2 + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3)
x2 − 5x + 14 =
Resolución:
x2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2)
7
(31)
1.3.5
Cubo perfecto de binomios
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab3 + b3
3
3
2
3
(a − b) = a − 3a b + 3ab − b
3
(32)
(33)
Debe cumplir las siguientes condiciones:
1. Tener 4 términos.
2. Que el primero y el último término sean cubos perfectos.
3. El segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la ráiz cúbica del primer término
multiplicado por la raı́z cúbica del último término. 4. Que el tercer término sea más el triplo de la
raı́z cúbica del último.
Ejercicios:
1 + 12a + 48a2 + 64a3 =
(34)
Resolución:
1 + 12a + 48a2 + 64a3 = (1 + 4a)3
a3 − 18a6 b5 + 108a3 b10 − 216b15 =
Resolución:
a3 − 18a6 b5 + 108a3 b10 − 216b15 = (a3 − 6b5 )3
8
(35)