UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LÉON
FACULTAD DE INGENIERIA MÉCANICA Y ELÉCTRICA
Formulario de Matemáticas
Autores:
M.C Santiago Neira Rosales
M.A. Claudia Moreno Rodriguez
Dr.Ricardo Jesus Villareal Lozano
ISBN:
Indice
Álgebra: conceptos básicos
Trigonometría: Conceptos básicos
Geometría Analítica
Álgebra
Cálculo Diferencia
Cálculo Integral
Ecuaciones Diferenciales
Series de Fourier
Transormadas de Laplace
Leyes de los Exponentes:
I.
( )
II.
( )
III.
(
IV.
V.
)
(
( )
)
Exponentes negativos:
(
)
Exponentes fraccionarios
⁄
(√ )
√
Exponentes nulos
(
)
Productos notables
1) Monomio por Polinomio
(
)
2) Producto de binomios conjugados
(
)(
)
3) Binomio al cuadrado
(
)
4) Binomio al cubo
(
)
5) Polinomio al cuadrado
(
)
6) Producto de binomios con términos semejantes
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
7) Binomio por Trinomio
)
(
)(
Función logaritmo con base
“a”:
( )
( )
Función logaritmo natural
( )
( )
( )
(
)
)
(
Leyes de los Logaritmos:
( )
( ⁄ )
( )
Propiedad de
exponencial
( )
la
función
Funciones trigonométricas
B
a
Angulo doble:
c
C
b
A
Funciones hiperbólicas:
Identidades trigonométricas:
(
(
)
)
( )
;
Identidades hiperbólicas:
( )
Números Complejos:
Forma rectangular:
Forma Polar:
Funciones hiperbólicas inversas:
( )
( )
(
( )
(
( )
(
( )
√
(
)
√
√
| |
|
√
| |
|
)
)
)
Transformación de forma rectangular a
forma polar:
;
√
Transformación de forma polar a forma
rectangular:
;
Teorema de De Moivre
Potencias:
[
]
[
]
Raíces:
⁄
[
]⁄
⁄
[
(
)
(
)]
Producto
vectorial
Vectores:
Sean:
Magnitud de
‖ ‖ √( )
o
[
(
)
(
)
Vector unitario ( ) en la dirección de
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Producto punto o Producto escalar
‖ ‖‖ ‖
cruz
Producto Mixto:
(
) (
Vectores paralelos:
Producto
]
)
Vectores ortogonales:
Área de un paralelogramo con
lados adyacentes los vectores
‖
‖ unidades
cuadradas
Volumen de un paralelepípedo con aristas
adyacentes los vectores
:
‖ (
)‖
Ecuaciones paramétricas de una línea recta
en el espacio:
Una recta L paralela al vector
Y que pasa por el punto (
) está dada
Por las ecuaciones paramétricas:
Ecuación canónica del plano en el espacio:
El plano que contiene el punto (
Y tiene un vector normal
)
Puede representarse en forma canónica por la
)
(
) (
)
Ecuación: (
Ecuación general de un plano en el espacio:
Definición de derivada:
(
)
( )
( )
Reglas básicas de derivación:
en donde c es una constante
[ ]
[ ]
[
[
]
( )]
[ ( )
[
[ ]
]
( )]
[ ]
[ ( )]
[ ]
[ ( )]
[ ]
[ ]
[ ( )]
Si
Derivadas de Funciones exponenciales:
Natural:
Con base
[
[
:
]
Derivadas de funciones logarítmicas:
Con base
[
]
funciones
Derivadas
de
funciones
trigonométricas inversas:
]
Natural:
Derivadas
de
trigonométricas:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
√
]
[
]
[
]
[
√
]
| |√
| |√
[
[
]
]
Derivadas de funciones hiperbólicas:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Derivadas de funciones hiperbólicas
inversas:
[
]
[
]
[
]
√
√
[
]
[
]
[
]
| |√
| |√
Gradiente:
( )
(
(
)
(
)
Derivada direccional:
)
(
)
(
)
(
)
La derivada direccional de f en la dirección del vector
unitario U está dado por:
(
(
)
)
(
(
)
)
Reglas básicas de integración:
Funciones exponenciales:
∫
∫
∫
∫
( )
∫[ ( )
( )]
∫ ( )
Cambio de variable:
∫
∫ ( )
Función logarítmica:
∫
| |
∫
Funciones trigonométricas
∫ ( )
∫
∫
∫
|
∫
|
∫
|
∫
|
|
|
|
|
Funciones hiperbólicas
Continuación de funciones trigonométricas
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
|
|
|
|
Funciones trigonométricas inversas
Integral definida:
∫
∫
∫
√
∫
√
( )
( )
(
| |
)
Funciones hiperbólicas inversas
∫
∫
∫
∫
∫
√
√
√
√
( )
( )
( )
y
Teoremas de sumatorias:
Sean
constantes
∑
∑
( )
( )
∑
∑[
∑
∑
∑
]
∑
∑
Teorema fundamental del Cálculo:
Si
( )
( )
Casos trigonométricos:
en donde
Caso 1: ∫
∫
“n” es entero impar positivo. Expresar:
Integración por partes:
∫
∫
u y v son funciones de x
Usar:
∫
( )
( )
( )
Sustitución trigonométrica:
Forma
√
√
√
en donde:
Usar:
Caso 2: ∫
en donde al
menos un exponente es entero impar positivo.
Utilizar:
de manera similar al
Caso 1.
Nota: Si los dos exponentes son enteros impares
positivos se cambia el impar menor.
Caso 3: ∫
∫
Donde n y m son enteros
∫
pares positivos. Utilizar:
( ) ( ) ;
Caso 4: ∫
( ) ( ) ;
∫
(
) ( ) ; En donde a y b son
∫
números cualesquiera,
Utilizar:
[
[
[
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)]
)]
)]
Caso 5: ∫
en donde
∫
n es cualquier número entero positivo. (
)
Expresar:
Caso 6: ∫
(
(
∫
n es entero par positivo (
(
)
)
)
en donde
). Expresar:
(
)
Nota: Si n es impar integrar por partes.
Caso 7: ∫
en donde n es entero
∫
par positivo, mayor a 2. Escribir:
como en el caso 6.
Caso 8: ∫
en donde m es entero
∫
impar positivo. Expresar:
Usar:
Usar:
Nota: Si m es par y n es impar integrar por partes
Fracciones parciales:
Caso I. Factores lineales distintos:
A cada factor lineal
, del
denominador, le corresponde una fracción
de la forma:
Caso II. Factores lineales repetidos:
A
cada
factor
lineal
repetido
, le corresponde la
suma de k fracciones parciales de la forma:
Caso III. Factores cuadráticos distintos:
) le
A cada factor cuadrático (
corresponde una fracción de la forma:
Caso IV: Factores cuadráticos repetidos:
A cada factor cuadrático repetido
(
) le corresponde la suma de
k fracciones parciales de la forma:
(
)
Aplicaciones de la integral definida:
Área entre dos curvas:
Utilizando
∫ [(
Utilizando
∫ [(
se genera un rectángulo vertical:
)
(
)
(
)]
se genera un rectángulo horizontal:
)]
Aplicaciones de la integral definida:
Volumen de sólidos de revolución:
Método del Disco o de la Arandela
Cuando el eje de revolución es horizontal:
∫ [( )
En donde
( ) ]
Cuando el eje de revolución es vertical:
∫ [( )
En donde
( ) ]
Método de la corteza cilíndrica.
Cuando el eje de revolución es horizontal:
∫ ( ) ( )
Cuando el eje de revolución es vertical:
∫ ( ) ( )
Distancia
(
)
√(
entre
)
(
(
dos
):
puntos
)
Punto medio ( ) de un segmento
cuyos extremos están dados
(
)
(
)
(
por
)
Pendiente ( ) de una recta:
Dado su ángulo de inclinación ( ):
Dados
(
dos
)
puntos
(
de
)
la
recta
Ecuación de la recta:
Forma punto pendiente
(
)
Circunferencia
Centro en
:
Forma ordenada en el origen
Centro en
Forma General u Ordinaria
Parábola
Forma simétrica
Donde:
es la pendiente de la recta.
son las coordenadas
de un punto que pertenece a la
recta.
(
) es el punto de intersección con
el eje X
( ) es el punto de intersección con
el eje Y
:
y eje sobre el eje X
y eje sobre el eje Y
y eje paralelo o sobre el eje X
y eje paralelo o sobre el eje Y
Elipse
y eje focal sobre el eje X
y eje focal sobre el eje Y
y eje focal paralelo o sobre el eje X
y eje focal paralelo o sobre el eje Y
Hipérbola
y eje focal sobre el eje X
y eje focal sobre el eje Y
y eje focal paralelo o sobre el eje X
y eje focal paralelo o sobre el eje Y
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1) Ecuación diferencial separable
( )
4) Ecuación diferencial de Bernoulli
( )
Se integra en ambos lados y se obtiene la
solución general.
( )
( )
∫ ( )
Se hace la sustitución
2) Ecuación diferencial exacta
( )
Es exacta si:
(
(
)
)
5) Ecuación diferencial homogénea
(
3) Ecuación diferencial lineal
( )
( )
)
(
)
(
)
(
)
Es homogénea si:
(
)
Se hace la sustitución:
∫ ( )
(
)
(
)
Ecuación diferencial lineal homogénea
con coeficientes constantes:
Ec.1 (
Su ecuación característica es:
)
i) Para cada raíz real distinta , le
corresponde un término en la solución
general de la forma:
ii) Cada raíz real
repetida
veces, le
corresponden
términos en la solución
general de la forma:
iii) Para cada par de raíces complejas,
,
le corresponden 2 términos en la solución
general de la forma:
iv) Para raíces complejas repetidas aplicar ii) y
iii)
Solución general de la Ec. 1
Ecuación diferencial lineal No homogénea
con coeficientes constantes:
(
La solución general es:
)
solución general de la ecuación
homogénea asociada a la Ec. 2
Método de variación de parámetros para
obtener
Continuación del Método de variación de
parámetros
Modelos Matemáticos:
Material Radiactivo
[
]
de W por la columna:
(
)
a “i”
Donde:
t = tiempo.
m = masa
dm / dt = rapidez con la que cambia la magnitud de la
masa con respecto al tiempo.
k = constante de proporcionalidad para la rapidez con la
que se desintegra la masa
Vida media = se refiere a cuánto tiempo transcurre para
que se desintegre la mitad de la masa por sí misma.
Modelos Matemáticos:
Circuito Eléctrico RL
Modelos Matemáticos:
Ley de enfriamiento de Newton
Donde:
I = Corriente Electrica
t = tiempo.
L = Inductancia de la bobina .
dI / dt = rapidez con la que cambia la magnitud de la corriente
eléctrica.
ε = voltaje de la batería. Fuente de baja potencia y de corriente
continua.
R= Resistencia eléctrica, limitación a el paso de la corriente
eléctrica.
(
)
Donde:
t = tiempo.
T = Temperatura.
dT / dt =rapidez con la que cambia la magnitud de la
Temperatura.
k = constante de proporcionalidad para la rapidez con la que se
enfría un cuerpo o masa
Tm = temperatura del medio donde se levanta el objeto
Modelos Matemáticos:
Crecimiento poblacional
Modelos Matemáticos:
Circuito Eléctrico RLC
Donde:
t = tiempo.
p = población.
dp / dt = rapidez con la que cambia la cantidad de población.
k = constante de proporcionalidad
Sistemas Masa Resorte
Donde:
X= longitud
t = tiempo.
k = constante de elasticidad.
m = masa.
( )
( )
Donde:
t = tiempo.
L =Inductancia de la bobina
i = corriente
C = capacitancia
q = carga
di / dt = derivada de la corriente con respecto al tiempo.
E = voltaje
R= Resistencia eléctrica, limitación a el paso de la corriente
eléctrica.
( ) es Par
Forma General. ( ) tiene periodo
( )
(
∑[
∫
∫
∫
⁄
(
)
⁄
⁄
()
(
)
⁄
()
(
)
⁄
(
∑[
)]
()
⁄
( )
∫
( ) es Impar
( )
⁄
∫
⁄
()
∑[
)]
()
(
)
(
)]
;
∫
⁄
()
(
)
( ) tiene Simetría de un Cuarto de Onda
Par
( ) tiene Simetría de Media Onda
( )
[(
∑[
∫
∫
⁄
⁄
)
[(
]
()
[(
)(
)]
()
[(
)(
)]
()
)
[(
∑[
]]
∫
⁄
()
;
[(
]]
)
)]
)(
( ) tiene Simetría de un Cuarto de Onda
Impar
()
[(
∑[
;
∫
⁄
()
;
[(
]]
)
)(
)]
Impulsos
Forma Compleja ( ) tiene periodo
( )
Si se conoce
∑
,
∫
⁄
⁄
y
(
Si se conoce
( )
,
( )
( )
se obtiene:
)
se obtiene:
( )
(
∑[
∫
∫
⁄
⁄
⁄
⁄
( )
(
()
( )
()
)
)]
(
)
(
)
Valores importantes del Seno
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[(
( )
( )
( )
Valores importantes del Coseno
( )
( )
( )
) ]
(
√
√
n = 1, 2, 3, 4,……………
)
(
)
( )
( )
(
)
) ]
[(
( ) ( )
[(
) ]
√
( )
( )
( )
√
[(
) ]
n = 1, 2, 3, 4,……………
TABLA DE TRANSFORMADAS ELEMENTALES
f(t)
1
F(s)
TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS ELEMENTALES
F(s)
C
f(t)
1
c
3
2
t
4
3
5
4
2
6
7
8
t
Cos at
Senh at
Cosh at
5
6
7
Cos at
NOTACIÓN:
{f(t)}= F(s)
{
Propiedad de Linealidad
( )
( )}
( )
( )
Transformada de la derivada
Primera Propiedad de Traslación
{
( )}
(
)
Segunda Propiedad de Traslación
{ (
) (
)}
Multiplicación por
{
( )}
(
)
( )
( )
Transformada de la Integral
{∫ ( )
}
( )
Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T, entonces:
∫
NOTACIÓN:
{F(s)}= f(t)
Propiedad de Linealidad
{
}
Primera Propiedad de Traslación
{
}
Segunda Propiedad de Traslación
{
}
Transformada Inversa de la Derivada
{
{
}
Nombre: _________________________
División por s
}
∫
∫
Teorema de Convolución
{
}
∫
∫
Matricula:________________________
Carrera: _________________________