11. ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ. СТАТИКА.
11.1. Лабораторна робота С1.
Дослідження рівноваги збіжної системи сил.
11.1.1. Мета роботи
Поглибити теоретичні знання, отримані студентами під час вивчення
розділу “Система збіжних сил”, визначити теоретично і дослідити на
лабораторній установці параметри збіжної системи сил: положення рівноваги
та реакції гнучких в’язей.
11.1.2. Опис лабораторної установки
Установка складається із стенда 1, нерухомого шарніра 2, рухомого
блока 3, кронштейнів 4, вантажів 6, нерозтяжної нитки 5 (рис. 1.1 а). Стенд 1
має 20 посадочних місць (А1 – А10; В1 – В10) для встановлення шарніра 2 та
блока 3. Фіксація блока 3 та шарніра 2 здійснюється за допомогою гайок
(рис. 1.1 б, в ).
Координати посадочних місць А1 – А10 та В1 – В10 наведені в таблиці 1.1.
Таблиця 1.1
X,мм
Y,мм
А1
0
40
А2
0
140
А3
0
240
А4
0
340
А5
0
440
А6
100
40
А7
100
140
А8
100
240
А9
100
340
А10
100
440
X,мм
Y,мм
В1
800
40
В2
800
140
В3
800
240
В4
800
340
В5
800
440
В6
900
40
В7
900
140
В8
900
240
В9
900
340
В10
900
440
Вага вантажів згідно їх нумерацією наведені в таблиці 1.2.
Таблиця 1.2
№ ван.
Вага
(Н)
1
2,04
2
2,05
3
1,65
4
1,65
5
1,28
6
1,28
7
0,90
8
0,90
Підвісивши вантажі Р1 та Р2 згідно схеми (рис. 1.1 а), система займе
положення рівноваги. Лабораторною роботою передбачено знайти положення
рівноваги та реакції гнучких в’язей.
33
a)
1
5
y
2
A5
Г
A10
A4
A9
Г
A8
A3
A2
A1
A7
B5
D
B10
D
B4
B9
B3
B8
B2
B7
l
3
P1
XC
YC
A6
B1
4
B6
x
P2
6
Г-Г
D-D
в)
б)
3
2
7
7
1
Рис. 1.1
34
1
11.1.3. Послідовність проведення роботи
Лабораторна робота складається з двох частин: експериментальної та
розрахункової.
В експериментальній частині потрібно знайти положення рівноваги
системи, тобто координати точки С (рис. 1.1 а) на лабораторній установці.
В розрахунковій частині потрібно підрахувати координати точки С і
реакцію Т гнучкої в’язі АіС.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
11.1.4. Експериментальна частина
Встановити шарнір 2 та блок 3 в положення, задане викладачем
(Аі та Ві) за допомогою гайок 7 (рис. 1.1).
Закріпити кронштейн 4 на нитці 5, відклавши задану викладачем
відстань L (рис. 1.1 а) за допомогою лінійки.
Закріпити вантажі 6 на кронштейнах 4. Після встановлення вантажів
система займе положення рівноваги.
Виміряти координати т. С (за допомогою лінійки), що визначає
положення рівноваги всієї системи.
Експеримент повторити тричі, змінюючи послідовність закріплення
вантажів.
Знайти середнє значення координати т. С за формулами:
X C1 + X C 2 + X C3
YC + YC 2 + YC3
XC =
;
YC = 1
.
3
3
Заповнити колонки 1, 2, 3, 4, 5 таблиці 1.3
Таблиця 1.3
1
Координати т.А,
м
XA YA
Експериментальна частина
2
3
4
КоордиВага
нати т.В, вантажів,
м
Н
м
XB YB
P1
P2
L
5
Координати т.С,
м
XC
YC
Аналітична частина
6
7
Координати т.С,
м
Н
XĆ
YĆ
TA i C
11.1.5. Розрахункова частина
1. Нарисувати схему установки.
2. Вибрати розрахункову схему.
3.
Записати умови рівноваги отриманої плоскої збіжної системи сил
в проекціях на осі координат.
35
Отримані два рівняння містять три невідомих – реакцію гнучкої в’язі
TA i C та кути α та β.
4.
Для знаходження невідомих систему рівнянь необхідно
доповнити рівнянням, яке враховує геометричне положення т.С.
5.
Тригонометричні функції кутів α і β, отриманих у рівняннях,
подати через координати точок Аі, Ві та С.
Отриману систему рівнянь можна звести до однорідного ірраціонального
рівняння, розв’язати яке аналітично не вдається. Тому лабораторною роботою
передбачено розв’язання даного рівняння на комп’ютері числовим методом.
Програма розв’язання ірраціонального рівняння методом половинного
поділу написана мовою PASCAL і відлагоджена в системі TURBO PASCAL –
6 (додаток 1.1) для ІВМ РС. Вхідними величинами є значення параметрів,
занесениз в перших чотири колонки таблиці 1.3, введення яких реалізоване в
діалоговому режимі.
6. Обчислити значення TA i C , XĆ, YĆ.
7. Заповнити колонки 6, 7 таблиці 1.3.
Знайти в процентному відношенні розходження між експериментально
визначеними XC, YC та аналітичноотриманими значеннями XĆ, YĆ
координат т. С.
11.1.6. Контрольні запитання
Що називається в’яззю? В чому полягає принцип звільнення від
1.
в’язей?
2. Перерахувати основні типи в’язей, для яких лінії дії реакції відомі.
3. Як визначається напрямок рівнодійної системи збіжних сил при
побудові силового багатокутника?
4.
Які умови і які рівняння рівноваги системи збіжних сил,
розміщених в просторі і в площині?
5. Як формулюється план розв’язку задач зі статики на рівновагу сил?
36
Додаток 1.1
Програма обчислення координат т. С (x, y)
PROGRAM RIVNOVAGA;
Uses Crt;
VAR x1, y1, x2, y2, l, p, gt, x, y, c_alfa, c_beta, t1,
a, b, a1, a2, h, zl, zp, zh
: real;
i
: integer;
label kin, poch, pax;
function f (x: real) : real;
var
a1, a2: real;
begin
a1: =sqrt(sqr(1)-sqr(x-x1));
a2: =y2-y1+a1;
f: = (x2-x)*a1+(x-x1)*a2-p*(x-x1)*
sqrt(sqr(x2-x)+sqr(a2))/gt;
end;
begin
writeln ( ́ !!! ВВедіть значення вхідних параметрів ́);
write ( ́ x1= ́); readln(x1); write ( ́ y1= )́ ; readln(y1);
write ( ́ x2= ́); readln(x2); write ( ́ y2= )́ ; readln(y2);
write ( ́ P= ́); readln(p); write ( ́ GT= ́); readln(gt);
write ( ́ l= )́ ; readln(l);
a:=x1; b:=x1+2;
i:=1;
while i=1 do
begin
zl:=f(a);
if abs(zl)<1e-6 then
begin writeln ( ́
РОЗВ. x= ́ , a:11); x:=a; goto kin; end;
zl:=f(b);
if abs(zp)<1e-6 then
begin writeln ( ́
РОЗВ. x= ́ , b:11); x:=a; goto kin; end;
if zl/zp>0 then
begin writeln ( ́ РОЗВ. не існує на проміжку zl= ́ ,
zl:11, zp= ́ , zp:11);
goto kin; end;
h:=(a+b/2);
zh:=f(h);
if abs(zh)<1e-6 then
begin writeln ( ́
РОЗВ. x= ́ , h:11); x:=h; goto kin; end;
if zl/zp>0 then a:=h else b:=h;
end;
kin:
y:=y1-sqrt(sqr(1)-sqr(x-x1));
a1:=( x2-x); a2:=y2-y;
c_beta:=a1/sqrt(a1*a1-a2*a2); c_alfa:=(x-x1);
t1:=gt*c_beta/c_alfa;
writeln( ́ y= ́, y:11;) writeln( ́ T= ́, t1:11;)
writeln( ́ ** натисніть клавішу для продовження *** ́)’
repeat until KeyPressed;
end.
37
11.2. Лабораторна робота С2.
Дослідження умов рівноваги твердого тіла при дії на нього довільної
плоскої системи сил.
11.2.1. Мета роботи
Поглибити теоретичні знання, здобуті під час вивчення рівноваги
твердого тіла при дії на нього плоскої довільної системи сил побудовою
розрахункової схеми, складанням рівнянь рівноваги і розв’язуванням їх.
Для виконання лабораторної роботи студент повинен знати такі розділи
теоретичної механіки:
- в’язі та їх реакції;
- проекція вектора на вісь та визначення вектора по його проекціях;
- момент сили відносно точки (центра);
- пара сил та момент пари сил;
- умови та рівняння рівноваги довільної плоскої системи сил;
- порядок розв’язування задач статики.
Вміти:
- користуватись лабораторною установкою та необхідними для її
виконання інструментами;
- по розрахунковій схемі складати рівняння рівноваги дії довільної
плоскої системи сил на тверде тіло і розв’язувати їх.
11.2.2. Опис лабораторної установки
Однорідна балка 1 (рис. 2.1) трубчатого перерізу, яка закріплена в точці
А нерухомим шарніром, знаходиться в стані рівноваги під дією вантажів Q1,
Q2, Q3, а також ваги балки, яка розподілена рівномірно по всій її довжині.
Вантаж Q1 масою М1 прикріплений до балки за допомогою нитки, яка
перекинута через блок О1 і повзуна С, який може рухатись вздовж балки,
змінюючи відстань а, яка в свою чергу, не може бути більшою за довжину b.
Нитка з вантажем Q1 нахилена бо осі балки під кутом α, який може
змінюватись від зміни відстані а. Вантаж Q2 масою М2 прикріплений до
повзуна D, який може, рухаючись вздовж балки, змінювати відстань b.
Вантаж Q3 масою М3 закріплений до балки в точці В ниткою, яка перекинута
через блок О2 і нахилена до осі балки АВ під кутом β. Повзуни С і Д
фіксуються на балці на потрібних відстанях а і b за допомогою стопорних
гвинтів. Радіусами блоків О1 та О2, а також вагою повзунів С і D нехтуємо.
Інтенсивність розподіленого навантаження q від маси балки становить
q = 14 Н/м. Кути α і β визначаються через геометричні розміри установки. Дві
38
із мас М1, М2, М3 вантажів Q1, Q2, Q3 задаються викладачем. Одну з них, а
також реакцію опори А потрібно знайти.
6
5
O1
2
h
O2
11
12
Q1
9
A α
O
a
10
7
C
D
1
3
b
13
Q3
8
β
B
4
K
Q2
c
Рис. 2.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
11.2.3. Послідовність проведення роботи
Відстопорити гвинти 9 і 10 повзунів 7 і 8.
Прикріпити до нитки 11, яка перекинута через блок 5 вантаж 2.
Повзуни 7 застопорити гвинтом 9 за допомогою викрутки на
довільній відстані а від А.
Прикріпити до нитки 12, яка перекинута через блок 6, вантаж 4.
Прикріпити до нитки 13, яка прив’язана до повзуна 8, вантаж 3.
Поступово рухаючи вантаж 8 знайти таку віддаль b, при якій балка АВ
буде знаходитися в горизонтальному положенні.
За допомогою викрутки застопорити гвинтом 10 повзун 8.
Користуючись мірною лінійкою, яка приклеєна на фронтальній стінці
установки, визначити геометричні розміри а, b i c.
Розмір h, |OA| та |BK| задані: h = 28 cм, |OA| = 2 cм, |BK| = 17 cм.
39
10.Маючи геометричні розміри потрібних величин, знайти: sin α, cos α,
sin β, cos β.
11.Накреслити розрахункову схему установки за розмірами, які були
попередньо виміряні.
12.Для даної схеми записати рівняння рівноваги довільної плоскої
системи сил.
13.Розв’язати рівняння і знайти значення реакції опори А, а також масу
одного з вантажів (заданого викладачем).
14.Результати занести в таблицю 2.1.
Таблиця 2.1.
№
з/п
1.
2.
3.
а,
м
b,
м
с,
м
h,
м
ОА,
м
ВК,
м
Q1 ,
H
Q2 ,
H
Q3 ,
H
Реакції
опори А
X, H Y, H
11.2.3. Вимоги до звіту
Звіт до лабораторної роботи повинен містити:
1. Основні теоретичні відомості.
2. Короткий опис і принцип роботи лабораторної установки.
3. Розрахункову схему лабораторної установки.
4. Послідовність проведення роботи.
5. Результати вимірювань і обчислень повинні бути записані в
таблицю 2.1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
11.2.4. Контрольні запитання
Чому дорівнює момент сили відносно точки (центра)?
Як привести силу до заданої точки?
Що таке головний вектор і головний момент довільної системи сил?
Як сформулювати теорему Пуансо?
Як сформулювати теорему Варіньойона?
Назвіть умови рівноваги довільної плоскої системи сил.
Напишіть рівняння рівноваги довільної плоскої системи сил.
40
11.3. Лабораторна робота С3.
Визначення реакцій опор з’єднаних конструкцій із внутрішніми
односторонніми в’язями при застосуванні персональних комп’ютерів.
11.3.1. Мета роботи
Навчитися складати аналітичні рівняння рівноваги для складних плоских
конструкцій та отримати практичні навики роботи на ІВМ – сумісних
персональних комп’ютерах.
При проведенні лабораторної роботи студент повинен вміти складати
рівняння рівноваги плоскої довільної системи сил, мати навики роботи на
ІВМ РС, програмувати мовою PASCAL в системі TURBO PASCAL.
Розглянемо на прикладі хід виконання лабораторної роботи.
Приклад. Задано конструкцію, зображену на рисунку 3.1.
І. Визначити реакції опор конструкції у випадку сталої за напрямом
сили Р1.

P2
4
1
А
F
3
 O
P1
B
30◦
L
D
3
М
2
3
2
C
E
3
2
2
Рис. 3.1
Визначити реакції опор А і В, зусилля у внутрішніх в’язях С і D та в
однорідних в’язях E і F.
Р1 = 12 кН, Р2 = 16 кН, М = 25 кН, q = 2 кН/м.
Розв’язування.
Оскільки нам не відомо, в якій із односторонніх в’язях E чи F виникає
реакція, то потрібно розглянути два варіанти.

Варіант 1. Нехай реакція в’язі E дорівнює нулеві: RE = 0. Тоді частини
АС і ВF (рис. 3.1) конструкції перебувають в контакті одна з одною і реакція
в’язі F (RF) має напрям, вказаний на рисунку 3.3.
41
Конструкція (рис. 3.2) складається з трьох частин: АС, СD і ВF. В точках
А, С, D, В містять шарніри, напрям реакцій яких невідомий,

 розкладемо
 тому


ці реакції на горизонтальні і вертикальні складові: X A, YA, X C , YC , X D ,



YD , X B , YB .
Отже, для визначення реакцій опор А, В, зусиль в шарнірах С і D, а також
в односторонній в’язі F необхідно знати дев’ять величин: XA, YA, XC, YC, XD,
YD, XB, YB, RF. Для цього слід скласти 9 рівнянь рівноваги. Складемо
аналітичні рівняння рівноваги для кожної частини: АС, СD, BF.

P2
4
1
А
F
3
 O
P1
B
30◦
L
D
3
М
2
3
2
C
E
3
2
2
Рис. 3.2
Розглянемо рівновагу частини АС (рис.
 рівняння
3.3). Складемо
  три

рівноваги плоскої довільної системи сил X A, YA, X C , YC , RF , P2 , які діють
на частину АС:
 X i = 0 , X A + X C = 0;
 Yi = 0 , − P2 + YA + RF + YC = 0;
 M iA = 0 , RF  3 + YC  6 − P 2 4 − X C  1 = 0.
42
(3.1)
y

P2
1
4

yC

xC
C

yA
А x A

RF
3
x
3
Рис. 3.3
Розглянемо рівновагу частини СD (рис. 3.4).
C

yD

xD

x C
O
P1
x
30◦
3
D
2

y C
4
3
у
М
4
6
Рис. 3.4
Складемо три рівняння рівноваги плоскої довільної системи сил, які
діють на частину СD:
 M iD = 0 − X C  3 + YC  6 + P1 cos 300  10 −
− P1 sin 300  1 + M = 0 ;
 Xi = 0
X D + X C + P1 sin 300 = 0'
 Yi = 0
YD + YC + P1 cos 300 = 0.
43
(3.2)
Згідно аксіоми рівності дії і протидії в шарнірі С:
 X i = 0,
 Yi = 0 ,
X C + X C = 0 ,
X C = − X C ;
YC + YC = 0 ,
YC = −YC .
(3.3)
Тепер складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до частини ВF
конструкції (рис. 3.5).
3
y

 
y B yD Q
F
x
B 
x B D x D L
2
3
5
E
Рис. 3.5
Рівномірно розподілене навантаження qзамінимо зосередженою силою
Q – рівнодійною системи паралельних сил, прикладеною до середини
навантаженої частини ВL:
Q = q  L = 2  5 = 10 kH .
(3.4)
Тоді рівняння рівноваги запишемо у вигляді:
 M iB = 0
 Xi = 0
Yi = 0
YD  2 − Q  2.5 − RF  5 = 0;
 = 0;
XB + XD
(3.5)
YB + YD − Q − RF = 0.
Згідно з аксіомою рівності дії і протидії:
 , YD = −YD .
RF = RF , X D = − X D
(3.6)
Система дев’яти рівнянь (3.1), (3.2), (3.5) з врахуванням (3.3) та (3.6)
приймає вигляд:
44
RF  3 + YC  6 − P2  4 − X C  1 = 0;
X A+ X C = 0 ;
Y A + RF + YC − P2 = 0;
X C  3 − YC  6 + P1 cos 30 0  10 − P1 sin 30 0  1 + M = 0;
X D − X C + P1 sin 30 0 = 0 ;
(3.7)
YD − YC + P1 cos 30 0 = 0 ;
− YD  2 + Q  2.5 − RF  5 = 0;
X B − X D = 0;
YB − Q − YD − RF = 0.
Оскільки задача розв’язується за умови, що в’язь F «працює», то система
лінійних алгебраїчних рівнянь (3.7)визначає дійсні значення всіх шуканих
значень сил тільки за умови R F > 0.
Варіант 2. Нехай реакція в’язі F дорівнює нулеві ( R F = 0). Тоді частини
ВЕ і DС (рис. 3.6) конструкції перебувають в контакті одна з одною і реакція
в’язі Е має напрям, вказаний на рисунку 3.7.

P2
4
1
А
F
3
 O
P1
B
30◦
L
D
3
М
2
E
3
3
Рис. 3.6
45
2
2
2
C

yC

yD
3

xC
C

xD
D
3

RE
x
M
O
P1
2
y
30◦
E
2
2
6
Рис. 3.7
Розглянемо рівновагу частини АС даної конструкції (рис. 3.8). Рівняння її
рівноваги запишемо у вигляді:
y

P2
1
4

yC

xC
C

yA
А x A
x
6
Рис. 3.8
\
 X i = 0 , X A + X C = 0;
Yi = 0 , − P2 + YA + YC = 0;
 M iA = 0 , YC  6 − P 2 4 − X C  1 = 0.
(3.8)
Складемо рівняння рівноваги частини СD (рис. 3.7)
 M iD = 0
− X C  3 + YC  6 + P1 cos 30 0  10 −
− P1 sin 30 0  1 + M − RF  8 = 0;
 Xi = 0
Yi = 0
X D + X C + P1 sin 30 = 0'
0
YD + YC + P1 cos 30 0 − RE = 0.
46
(3.9)
Тепер складемо рівняння рівноваги частини ВЕ (рис. 3.9):
y



y B yD Q
F
3
B 
 L
x B D xD
3
2
x
5

RE
E
Рис. 3.9
 M iB = 0
 Xi = 0
Yi = 0
YD  2 − Q  2.5 − RE  10 = 0;
 = 0;
XB + XD
(3.10)
YB + YD − Q + RF = 0.
Тоді система дев’яти рівнянь (3.8), (3.9), (3.10) із врахуванням (3.3), (3.6)
і також за умови RE = RE , приймає вигляд:
YC  6 − P2  4 − X C  1 = 0 ;
X A+ X C = 0 ;
Y A + YC − P2 = 0 ;
X C  3 − YC  6 + P1 cos 30 0  10 − P1 sin 30 0  1 + M − RE  8 = 0;
X D − X C + P1 sin 30 0 = 0;
(3.11)
YD − YC − RE + P1 cos 30 0 = 0;
− YD  2 − Q  2.5 + RE  10 = 0 ;
X B − X D = 0;
YB − Q − YD + RE = 0.
47
Оскільки в цьому варіанті в’язь Е «працює», то система лінійних
алгебраїчних рівнянь (3.11) визначає дійсні значення всіх шуканих значень
сил за умови R F > 0.
Перепишемо системи (3.7) і (3.11) із врахуванням числових значень Р1,
Р2, М, q.
Тоді систему рівнянь (3.7) запишемо і вигляді:
RF  3 + YC  6 − X C  1 = 64;
X A+ X C = 0;
YA + RF + YC = 16 ;
X C  3 − YC  6 = −122.923;
X D − X C = −6 ;
(3.12)
YD − YC = −10.392;
− YD  2 − RF  5 = 25;
X B − X D = 0;
YB − YD − RF = 10.
а систему рівнянь (3.11) подамо в такому вигляді:
YC  6 − X C  1 = 64;
X A+ X C = 0;
YA + YC = 16 ;
X C  3 − YC  6 + + M − RE  8 = −122.923;
X D − X C = −6 ;
(3.13)
YD − YC − RE = −10.392;
− YD  2 + RE  10 = 25;
X B − X D = 0;
YB − YD + RE = 10.
Систему рівнянь (3.13) запишемо в матричній формі:
A  X = B,
48
(3.14)
де
 0

 0
 0

− 8
A = 0

−1

 10
 0

 1
 RE 


X
 A
Y 
 A 
 XB 
X =  YB 


XD 


Y
D


 XC 


 YC 
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 0
0 −1 6 

0 0
0
1
0 
0 0
0
0
1 

0 0
0
3 −6
0 1
0 −1 0 

0 0
1
0 − 1

0 0 −2 0
0 
0 −1 0
0
0 

1 0 −1 0
0 
64




0




16


 − 122.923 
B =  −6 


 − 10.392 


25




0


10


(3.14 а)
(3.14 б)
Систему рівнянь (3.12) запишемо в матричній формі:
A1  X 1 = B1 ,
де
 3

 0
 1

 0
A1 =  0

 0

− 5
 0

−1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 0
0 −1 6 

0 0
0
1
0 
0 0
0
0
1 

0 0
0
3 −6
0 1
0 −1 0 

0 0
1
0 − 1

0 0 −2 0
0 
0 −1 0
0
0 

1 0 −1 0
0 
49
(3.15)
64
 RE 






X
0
 A


Y 


16
 A 


X
−
122
.
923
 B





(3.15 а)
(3.15 б)
X 1 = YB
B=
−6 




XD 
 − 10.392 




Y
25
D




 XC 


0




Y
10


 C 
Отримані системи рівнянь (3.14) і (3.15) розв’язуємо чисельним
способом задопомогою модифікованого методу Гаусса.
Програма розв’язування поставленої задачі написана мовою РASCAL в
системі TURBO РASCAL для ІВМ РС. Головна програма REAKCIJA
(додаток 3.3) призначена для вводу матриць коефіцієнтів системи рівнянь
(А,А1; В), виклику підпрограми GAUSSA (додаток 3.5) призначена для
розв’язування системи лінійних рівнянь методом Гаусса.
Ввід вихідних даних програмою REAKCIJA реалізується таким
способом:
- для роботи з програмою користувач зобов’язаний створити файли
(наприклад, в режимі EDIT - редактора), які містять коефіцієнти
відповідних матриць (файл А.МАТ – матриця А; файл А1.МАТ – матриці
А1; файл В.МАТ – матриця – вектор В). Числа у файлі записуються у
форматі з фіксованою крапкою, через пробіл і розміщуються
стандартним способом подання матриць – по рядках;
- програма REAKCIJA читає вхідні файли і розміщує дані у відповідних
масивах;
Для розв’язування систем A1 X 1 = B1 та AX = B двічі викликається
програма GAUSSA (А, В, X, n) та GAUSSA (А1, В1, X1, n) з вхідними
параметрами:
А, А1 – матриці коефіцієнтів А[n, n], А1[n, n];
B – стовпець вільних членів B[n];
X – вектор-розв’язок системи X[n], X1[n];
n – кількість рівнянь.
Вивід результатів розрахунків подається як на екран дисплея, так і у
файл ZZ. REZ для роздрукування.
Після введення матриць А, А1, В згідно із запропонованим прикладом та
виконанням програми на комп’ютері, одержимо такі результати:
50
0
0
0
−8
0
−1
10
0
1
3
0
1
0
0
0
−5
0
−1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Матриця А
0 0 0
0 −1 6
0 0 0
0
1
0
0 0 0
0
0
1
0 0 0
0
3 −6
0 0 1
0 −1 0
0 0 0
1
0 −1
0 0 0 −2 0
0
1 0 −1 0
0
0
0 1 0 −1 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Матриця А1
0 0 0
0 −1 6
0 0 0
0
1
0
0 0 0
0
0
1
0 0 0
0
3 −6
0 0 0
0 −1 0
0 0 0
1
0 −1
0 0 0 −2 0
0
1 0 −1 0
0
0
0 1 0 −1 0
0
Вектор В
64 0 16 − 122.923 − 6
Розв’язок системи рівнянь AX = B
X[1] = 2.359
X[2] = 20.024
X[3] = 8.671
X[4] = -26.024
X[5] = 6.937
X[6] = -26.024
X[7] = -0.703
X[8] = -20.024
X[9] = 7.329
51
− 10.392 25 0 10
Розв’язок системи рівнянь A1 X 1 = B1
X[1] = -4.494
X[2] = 22.721
X[3] = 11.367
X[4] = -28.721
X[5] = 4.241
X[6] = -28.721
X[7] = -1.265
X[8] = -22.721
X[9] = 9.127
З отриманих розв’язків систем (3.14), (3.15) видно, що x[1] > 0, a
x1[1] < 0. Це свідчить про те, що «працює» в’язь Е.
Відповідно до структури вектора X з (3.14) і одержаних результатів,
шукані реакції мають такі значення:
XA = 20,024 кН, YA = 8,671 кН, XC = -20,024 кН,
YC = 7,329 кН, XD = -26,024 кН, YD = -0,703 кН,
XB = -26,0,24 кН, YB 6,937 кН, RE = 2,359 кН.
Отже, при заданій схемі навантаження з’єднаної конструкції «працює»
в’язь Е, а у в’язі F зусилля відсутнє.
Перевірку проведених розрахунків здійснимо, склавши рівняння
рівноваги для всієї конструкції (рис. 3.1):
 M iF = −YA  3 + X A  1 − P2 cos 30  7 + Q  2.5 +
+ P1 sin 30   2 + M + X B  3 − YB  5 = 0 ;
 M iE = M − P1 sin 30  4 + P1 cos 30  2 + P2  4 +
+ Q  7.5 − X A  5 − YA  8 − X B  3 − YB  10;
 X i = 0,
 Yi = 0 ,
X A + X B + P1 sin 30  = 0;
YA + YB − P2 + P1 cos 30  − Q = 0.
Під час підставлення отриманих на комп’ютері реакцій повинні
виконуватись:
 M iF = −8.671  3 + 20.0.24  1 − 16  1 + 12  0.866  7 + 10  2.5 +
+ 12  0.5  2 + 25 − 26.024  3 − 6.937  5 =
= −154.77 + 154.77 = 0 ;
52
 M iE = 25 − 12  0.5  4 + 12  0.866  2 + 16  4 +
+ 10  7.5 − 20.024  5 − 8.671  8 + 26.024  3 −
− 6.937  10 = 262.856 − 262.856 = 0;
 X i = 0,
 Yi = 0 ,
20.024 − 26.024 + 12  0.5 = 26.024 − 26.024 = 0;
8.671 + 6.937 − 16 + 12  0.866 − 10 = 26 − 26 = 0.
Всі рівняння рівноваги виконуються, тому розрахунки проведено вірно.
ІІ. Дослідження зміни реакції опор А, В, F, E конструкції при зміні
напрямку дії сили Р1.
Нехай навантаження Р1 прикладене в точці О, яке діє на конструкцію
(рис. 3.1), є функцією кута α: Р1 = Р1(α) (рис. 3.10).
Дослідимо зміну реакцій опор А, В, F, E.
Приймаючи до уваги рис. 3.1 та рис. 3. 10, умови рівноваги (3.7) та
(3. 11) запишемо у вигляді:
а) у випадку «роботи» в’язі F:
RF  3 + YC  6 − X C  1 − P2  4 = 0;
X A+ X C = 0;
YA + RF + YC − P2 = 16 ;
X C  3 − YC  6 + P1 sin  b − P1 cos   a + M = 0;
X D − X C + P1 cos  = 0;
YD − YC + P1 sin = 0;
− YD  2 − Q  2.5 − RF  5 = 0;
X B − X D = 0;
YB − YD − RF − Q = 0.
53
(3.16)
б) у випадку «роботи» в’язі E:
YC  6 − P2  4 − X C  1 = 0;
X A+ X C = 0;
YA + YC − P2 = 0;
X C  3 − YC  6 − P1 cos   a + P1 sin   b + M − RE  8 = 0;
X D − X C + P1 cos  = 0;
(3.17)
YD − YC − RE + P1 sin  = 0;
− YD  2 − Q  2.5 + RE  10 = 0;
X B − X D = 0;
YB − Q − YD + RE = 0.
Як видно з систем (3.16) та (3.17), матриці А, А1, та вектор-стовпці X, X1
залишаються без змін по відношенню до п.І, а вектор-стовпець В=В1 набуває
вигляду:
64




0




16


 − M − P1 sin   b + P1 cos   a 

B = B1 = 
− P1 cos 




− P1 sin 


25




0


10


Розрахунки здійснюємо з використанням програми REAKMOD
(додаток 3.4). Дана програма призначена для розв’язування системи рівнянь
(3.16), (3.17) залежно від зміни кута α та «роботи»в’язі F чи E. В раз заміни
знаку (плюс на мінус) однієї з реакцій F чи E інша реакція також повинна
змінювати свій знак. Для кожного значення кута α з кроком 5◦ методом Гаусса
розв’язуються системи (3.16), (3.17). Значення реакцій RA, RB шукаються за
розв’язком тієї системи, яка відповідає «працюючій» в’язі F чи E.
Беручи до уваги, що відповідні матриці А, А1 вже сформовані (п. І), в
діалоговому режимі вводимо значення а = 1 м, в = 10 м, с = d = 0,
М = 25 кНм, Qx = Qy = 0, вказуючи, на яку частину (АВ, СD, ВЕF) діють Р1,
Qx, Qy, і отримуємо результати у вигляді таблиці 3.1.
54
α
5α
10◦
RA, kH
58.5
50.9
…
RB, kH
55.4
47.9
…
RE, kH
8.2
7.6
…
RA1, kH
49.2
42.4
…
Таблиця 3.1
RB1, kH
RF, kH
42.5
-15.6
35.8
-14.5
…
…
Тут RA, RB – реакції в’язей А, В за умови «роботи» в’язі RE; RA1,
RB1 - реакції в’язей А, В за умови «роботи» в’язі RF.
За результатами розрахунку будуємо графіки залежностей (рис. 3.11).
Проводимо аналіз отриманих результатів, визначаючи максимальні та
мінімальні значення реакцій та відповідних їм кутів α.
11.3.2. Послідовність проведення роботи
І. Визначення реакцій опор конструкції у випадку сталої за напрямом
сили Р1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Виходячи
із
схеми
та
даних
свого
варіанту
(додаток 3.1, 3.2) скласти рівняння рівноваги конструкції за
умови роботи однієї з внутрішніх односторонніх в’язей.
Вважаючи, що перша в’язь «не працює», скласти умови рівноваги
у випадку «роботи» другої внутрішньої односторонньої в’язі.
Сформувати вектор-стовпці невідомих Х, Х1 та матриці
коефіцієнтів А, А1 двох отриманих систем рівнянь.
Для
проведення
розрахунків,
використовуючи
PASCAL – програму REAKCIJA, необхідно в режимі редактора –
EDIT сформувати файли А.МАТ, А1.МАТ, В.МАТ, які містять
відповідні матриці А, А1, В, записані по рядах.
Виділивши курсором на екрані дисплея файл REAKCIJA. ЕХЕ,
запустити програму на виконання (натиснути на клавішу
«ENTER»).
Результати розрахунку занести з екрану у звіт відповідно до
структури векторів Х та Х1 (3.14 а), (3.14 б). Від’ємне значення
розв’язку Х(1) або Х1(1) систем (3.12) чи (3.13)свідчить про те, що
відповідна реакція не «працює».
Для працюючої внутрішньої в’язі провести перевірку виконаних
розрахунків, склавши рівняння рівноваги сил, прикладених до
всієї конструкції.
55
ІІ. Дослідження зміни реакцій опор А, В, F, E конструкції при зміні
напряму дії сили Р1
1. Вважаючи, що навантаження Р1, яке діє на конструкцію (рис.3.1), є
функцією кута α: Р1 = Р1(α), (рис. 3.10) скласти умови рівноваги,
виходячи із схеми та даних свого варіанта.
qx

P1
y

Qx
 
Qy
О
b
d
M
qy
a
c
О1
x
Рис. 3.10
На рис. 3.10:
α – кут між додатним напрямком осі О1х та сили Р1;
О1- точка, яка відповідає т. А або т. D чи т. В, відносно якої складаються
рівняння
 моментів сил залежно від того, на яку частину конструкції діє
сила P1 ;

а – найкоротша віддаль від осі О1х до точки прикладання сили P1 ;

b - найкоротша віддаль від осі О1y до точки прикладання сили P1 ;

с – плече зосередженої сили Q y відносно точки О1;

d - плече зосередженої сили Q x відносно точки О1.
2. Для проведення розрахунків користуємось PASCAL – програмою
REAKMOD. Вважаючи, що файли А.МАТ, А1.МАТ містять матриці А,
А1 задачі (використовуючи результати попереднього пункту І),
запустити файл REAKMOD. ЕХЕ на виконання.
3. В загальному
  частина вектор-стовпця В, що характеризує дію
 випадку
зосереджених сил P1 , Q y , Q x і моменту М (рис. 3.10),має вигляд:
56
 − M − P1 sin  b  P1 cos   a − Qx  d + Q y  c 


L =  − P1 cos  + Qx



 − P1 sin + Q y

Вектор-стовпець В матиме таку структуру:
M 
 
B =  N ,
K
 
де М – три вільні члени в рівняннях рівноваги І частини конструкції;
N - три вільні члени в рівняннях рівноваги ІІ частини конструкції;
К - три вільні члени в рівняннях рівноваги ІІІ частини конструкції.
від того, до якої частини конструкції (І, ІІ, ІІІ) прикладені сили
 
 Залежно
P1 , Q y , Q x і моменту М, вираз L підставляємо замість М, N чи К.
4. В діалоговому режимі ввести відповідні значення М, Р1, Qx, Qy, a,
b, c, d.
5. Результати розрахунку занести з екрана дисплея в таблицю та
побудувати графіки RE ( ), RF ( ), R A ( ), RB ( ), R A1 ( ), RB1 ( ).

5◦
10◦
RA, kH
RB, kH
RE, kH
RA1, kH
RB1, kH
RF, kH
6. Провести аналіз отриманих результатів. Знайти по графіку для
min
max
max
«працюючої» в’язі R Amin , RAmax , RBmin , RBmax , R Amin
і
1 , R A1 , RB1 , RB1
значення кута  для цих величин.
Дослідити поведінку RA та RB при зміні знака реакцій RE або RF .
57
Рис. 3.11
58
11.3.3. Зміст звіту
1. Завдання відповідно до варіанта.
2. Рівняння рівноваги для визначення реакцій опор і зусиль в проміжних
шарнірах з’єднаної конструкції.
3. Матрична форма систем рівнянь, які розв’язуються.
4. Результати, одержані на комп’ютері.
5. Рівняння для перевірки результатів розрахунків.
рівноваги для частини конструкції, до якої прикладені сили

 Рівняння
 6.
P1 , Q y , Qx і момент М .
7. Графіки залежностей RA , RB , RA1 , RB1 , RE , RF від кута .
8. Аналіз результатів.
59
Додаток 3.1
Номер
варіанта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Р1,
кН
8
9
12
7
8
9
9
8
6
7
12
20
11
8
22
8
20
16
18
19
6
10
16
14
8
6
16
14
16
17
Р2,
кН
9
10
15
5
12
14
6
10
7
5
14
15
12
10
18
7
18
15
14
14
11
10
15
11
9
5
16
11
12
23
М,
кНм
10
12
20
13
16
8
10
12
8
14
6
23
16
12
20
10
24
20
12
18
15
11
9
20
18
7
20
15
14
18
60
q,
кН/м
1,5
1
2
1,2
3
1,5
2
1
1,8
1,4
3
2,2
1,5
1,8
1,2
2
2,8
3
2,5
1,8
2
3
2
1,6
1,6
2,5
1,9
2
1,7
1
Примітка
ЕК і NF-нитки
ЕК і NF-нитки
ЕК і NF-нитки
ЕК і NF-нитки
NF-нитка
ЕК і NF-нитки
NF-нитка
ЕК і NF-нитки
NF-нитка
ЕК і NF-нитки
ЕК і NF-нитки
Додаток 3.2
61
62
63
Додаток 3.3
program reakciya;
uses Crt, Opys, Gauss;
label kin;
var i, j: integer;
aaaa: real;
b, x: mas1;
a, a1: mas2;
f1, f2,f3,f4: text;
begin
ClrScr;
assign (f1, 'a. mat'):
reset(f1);
assign (f2, 'a1. mat');
reset(f2);
assign (f3, 'b. mat');
reset(f3);
assign (f4.'zz. rez);
rewrite(f4);
writeln ( Роз"язок системи рівнянь: A*X=B ');
writeln;
writeln ('Матриця А[I,j] - файл A.MAT; A1[i.j] - файл Ai.MAT);
writeln ( Вектор В[i] -файл B.MAT);
writeln;
writeln ( Матриця А[i,j] ');
readln (fl);
for i:=1 to n do
begin
for j: =1 to n do
begin read (f1,a[i,j]); write(a[i, j]:8:3); end;
writeln;
end;
writeln (** натисніть 1 для продовження, 0 - авaрійний вихід ); read (aaaa);
if aaaa=0 then goto kin: writelnC Матриця AiCi.ji '); readln(f2); for i:=i to n do begin
for j:=1 to n do
,
begin read(f2.alCI.j]); wrIte(alCi.j3:8:3); end; writeln;
end;
writeln (** натисніть 1 для продовження, 0 - аварійний вихід );
read (aaaa);
if aaaa=0 then goto kin;
writeln (Матриця А1 [i,j] ');
readln(f2);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin read (f2, a1, [i,j]); write (a1 [i,j]:8:3); end;
writeln;
end;
writeln ( ** натисніть 1 для продовження, о- аварійний вихід);
read (aaaa);
if aaaa=0 then goto kin;
64
writeln ( Вектор В[i] );
readln (f3);
for i:=1 to n do
degin read (f3, b[i]);
write(b[i]:8:3); end;
writeln;
writeln ( Роз’язок системи рівнянь:
А*Х=В ');
gaus (a,b,x);
writeln(f4, ' Роз’язок системи рівнянь:
А*Х=В );
for і:=1 to n do
begin
writeln (f4, x[ , i: 1,']=' ,x[i]: 10:3);
writeln (x[ ,i:1, ]=, x[i]:l0:3);
end;
writeln ( Розв’язок системи рівнянь: A1*X1=B );
gaus (al,b,x);
writein (f4,' Розв'язок системи рівнянь: А1*ХІ=В ');
for i:=1 to n do
begin
writeln (f4, 'x[', i:1, ']=', x[i]:10:3);
writeln (' x[ ,i:l, ']= x[i]:10:3);
end;
kin:
close(fl); close(f2); close(f3); close(f4);
writeln (** натисніть будь-яку клавішу для продовження **');
repeat until KeyPressed;
end.
Додаток 3.4
program reakmod;
uses Crt, Opys, Gauss;
label kin;
var i, i1, j, k: integer;
alfa, delh, га, га1, rb, rb1, aaaa,
m, p1, qx, qy, a_mal, b_mal, c, d : real;
b, x, x1: masl;
a,al: mas2;
f1, f2, f3, f4: text;
procedure stov1;
var і : integer;
begin
for i:=l to 73 do
begin
delh:=5*3.14/180; alfa:=(i-1)*delh;
b[l]:=-m-pl*sin(alfa)*b_mal+pl*cos(alfa)*a__malqx*d+qy*c;
b[2]:= -p1 *cos(alfa) + qx; b[3]: -p1*sin(alfa) +qy;
65
gaus (a, b, x); gaus (al, b, xi);
ra:=sqrt(sqr(x[2])+sqr(x[3]));rai:=sqrt(sqr(xl[2])+sqr(xl[3]));
rb:=sqrt(sgr(x[4])+sqr(x[5]));rbl:=sqrt(sqr(xl[4])+sqr(x1[5]));
writein(alfa*180/3.14:4:0, ' .ra:8:3,' rb:8:3, ,x[l]:8:3,
 ,ra1:8:3, ' ,rbl:8:3,' ',x1[1]:8:3);
writeln (f4, alfa*180/3.14:4:0, ' ',ra:8:3,' ,rb:8:3,  ,
x[l]:8:3.' ', ra1:8:3, ' ,rbl:8:3, ' , x1[1]:8:3);
end;
end;
procedure stov2;
var і : integer;
begin
for i:=l to 73 do
begin
delh:=5*3.14/180; alfa:=(i-l)*delh;
b[4]: =-ml-p1*sin (alfa) *b_mal+p1*cos (alfa) *a_malqx*d+qy*c;
b[5]: -p1*cos (alfa) +qx; b[6]: -p1 *sin (alfa) +qy;
gaus (a. b, x); gaus (a1. b, x1);
ra:=sqrt(sqr(x[2])+sqr(x[3]));ral:=sqrt(sqr(x1[2])+sqr(xl[3]));
rb:=sqrt(sqr(x[4])+sqr(x[5]));rbl:=sqrt(sqr(x1[4])+sqr(xl[5]));
writeln (alfa*180/3.14:4:0,  ,ra:8:3,' ,rb:8:3, ' х[1]:8:3,
' ',га1:8:3, ' ,rbl:8:3, ' ,х1[1]:8:3;
writeln (f4, alfa*180/3.14:4:0, ' ,га:8:3,' ',rb:8:3, ' ,
x[l]:8:3. ' ,ra1:8:3, ' ,rbl:8:3, ' ,х1[1]:8:3);
end;
end;
procedure stov3;
var і : integer;
begin
for i:=l to 73 do
begin
delh:=5*3.14/180; alfa: =(i-1)*deih;
b[7]:=-m-p1*sin(alfa)*b_mal+p1*cos(alfa)*a_malqx*d+qy*c;
b[8]:=-p1*cos(alfa)+qx; b[9]:=-p1*sin(alfa)+qy;
gaus (a, b, x); gaus(a1, b, xl);
га:=sqrt(sqr(x[2]+sqr(x[3]));ra1:= sqrt(sqr(x1[2]+sqr(x1[3]));
гb:=sqrt(sqr(x[4]+sqr(x[5]));rb1:= sqrt(sqr(x1[4]+sqr(x1[5]));
writeln (alfa*180/3.14:4:0,' ' ra:8:3, ' ,rb:8:3,  ,x[1]:8:3,
' ' ra1:8:3, ' ,rb1:8:3,  ,x1[1]:8:3,
writeln (f4, alfa*180/3.14:4:0,' ' ra:8:3, ' ,rb:8:3,  ,
x[1]:8:3, ' ' ra1:8:3, ' ,rb1:8:3,  ,x1[1]:8:3);
end;
end;
begin
CIrScr;
assign(fi, 'a.mat');
reset(f1);
66
assign(f2, 'al.mat); reset(f2);
assign(f3, 'b.mat):
reset(f3);
assign(f4, 'vv.dat');
rewrite(f4);
readln(fi):
for i:=1 to n do
for j:=i to n do read(fl,a[i,j]);
readln(f2);
for i:=1 to n do
for j:=l to n do read(f2,a1[i,j]);
readln(f3);
for i:=1 to n do read(f3.b[l]);
writeln (*** Введіть N чатини конструкції )’
writeln (*** до якої належить сила Р1 ');
read(k);
write ( !!! Введіть M = ); read (m);
write ( !!! Введіть P1 = ); read (p1);
write ( !!! Введіть Qx = ); read (qx);
write ( !!! Введіть Qy = ); read (qy);
write ( !!! Введіть a = ); read (a_mal);
write ( !!! Введіть b = ); read (b_mal);
write ( !!! Введіть c = ); read (c);
write ( !!! Введіть d = ); read (d);
CIrScr;
writeln (alfa  , 
Ra , Rb , Re ,

Ra1 , Rb1 , Rf );
writeln;
if k=1 then stov1; if k=2 then stov2; if k=3 then stov3;
kin: close(fl); close(f2); close(f3); close(f4);
writeln (** натисніть будь-яку клавішу для продовження **');
repeat until KeyPressed;
end.
Додаток 3.5
unit Gauss;
interface
uses Crt,Opys;
kin: close(fl); close(f2); close(f3); close(f4);
procedure Gaus (a: mas2; b: masl; var x:mas1);
implementation
{ Розв'язування системи рівнянь методом Гаусса
з вибором головного елемента в стовпці }
procedure Gaus (a:mas2;b:mas1; var x:mas1);
label 1, 2, 3, 10;
var i, i1, j, k, 1: integer;
r:real;
a1:mas2;
67
begin
for i:=1 to n do
begin for j:=l to n do a1[i. j]: =a[i, j]; х[i]:=b[i]; end;
l:=0;
for i;=1 to n do
begin k:=i; r:=abs(al[i, i);
for j:=i+1 to n do
begin if abs (a1[j, i])>r then
begin k:=j; r: =abs(a1[j,i]); end;
end;
if r=0 then goto 1;
if ki then
begin r: =x[k]; x[k]: =x[i]; x[i]: =r;
for j:=i to n do
begin r:=a1[k,j]; al[k,j]: =al[i,j]; al[i,j]:=r; end;
end;
r:=a1[i,i]; x[13:=x[l]/r:
for j:=i to n do a1[i, j]:=a1[i,j]:=a1[i,j] j]/r;
for k:=i+1 to n do
begin r:=a1[k.i]; x[k]:=x[k]-r*x[i];
for j:=i to n do al[k,j]:=a1[k,j]-r*a1[i.j];
end;
goto 2;
1: writeln ( Визначник системи - 0);
goto 3;
I:=1; i:=n+1;
2: end;
if ll then
begin
for i:=l to n - 1 do
begin i1:=n - i; for j:=i1+1 to n do
x[i1]:=x[i1]-a1[i1,j]*x[j]; end;
3: end;
end;
end.
unit opys;
interface
const n=9;
type mas1=array[i. .n] of real;
mas2=array[1.. n, 1.. n] of real;
implementation
end.
68
11.4. Лабораторна робота С 4.
Дослідження рівноваги вала під дією довільної просторової системи сил.
11.4.1.Мета роботи
- поглибити теоретичні знання, які стосуються рівноваги твердого тіла
складної (просторової) конфігурації під дією довільної просторової системи
сил;
- дослідити реальну схему лабораторної установки і встановити
розрахункову схему, яка їй відповідає;
- визначити експериментально одну із складових реакції опори;
Для виконання лабораторної роботи студент повинен:
знати основні теоретичні відомості рівноваги довільної
просторової системи сил;
знати будову і принцип роботи лабораторної установки, методику
експериментальних вимірювань;
вміти опрацьовувати експериментальні вимірювання, аналізувати
отримані результати;
неухильно дотримуватись основних правил техніки безпеки при
проведенні роботи та в лабораторії.
11.4.2. Опис, будова і принцип роботи лабораторної установки
Установка призначена для дослідження рівноваги вала просторової
конфігурації під дією довільної просторової системи сил, зокрема, для
експериментального визначення горизонтальної складової реакції в опорі В та
кута нахилу αпр нитки до горизонту противаги Gпр .
Лабораторна установка складається з горизонтального вала 1, на який
вільно насаджені і фіксуються п’ять циліндричних маточин 2, розташованих
на відстані (b + a), (b + c) мм одна від одної (рис. 4.1). В радіальному
напрямку маточини кріпляться з валом гвинтами 3, що дозволяє
встановлювати маточини під необхідним кутом 1 до горизонту. Вздовж
радіуса маточини закріплені стержні 4 – циліндричні тіла з рівномірно
розподіленою вагою, на яких закріплюються вантажі 5 відповідної ваги Рі на
заданих відстанях ri від осі вала.
В осьовому напрямку маточини зафіксовані лімбами 6, що жорстко
закріплені на валу гвинтами. Лімби проградуйовані через 2◦ від 0 до 360◦, на
поверхні маточин нанесені риски – позначки для відрахування кута 1.
На валу, крім цього, закріплені великий 7 і малий 19 диски радіусами
RД = 135 мм і RЕ = 49 мм. На малий диск намотана нитка, яка нахилена під
кутом αпр до горизонту. До кінця нитки, яка перекинута через нерухомий
блок 8, закріплений вантаж 9 вагою Gпр. Цей вантаж спричинює
горизонтальні реакції в опорах А і В вала.
69
c
b
b
c
b
z
16
5
15
y
B
3
10
a
2
16
r3
a
12
11
a
d
14 13
r3
b
a
b
f
e
7
4
r1
18
r2
l
Д

3 19 пр
A
2
1
4
17
5
8
9
x
Рис. 4.1
Ліва опора вала А закріплена у сферичному підшипнику, який дозволяє
валові невеликі переміщення в горизонтальній площині. Правий кінець вала В
закріплений в радіальному підшипнику, змонтованому в каретці 10. Віддаль
між опорами А і В відома. Каретка може переміщатися вздовж напрямної
планки 11 на підшипниках 12 в горизонтальній площині і утримується в
центральному положенні двома пружинами 13, розтяг яких регулюється
гвинтами 14*.
Для вимірювання горизонтальної реакції в правій опорі В
використовується індикатор 16 типу UЧ – 10.
Установка змонтована на двох швелерах (№ 14), закріплених на чавунній
плиті 17, до яких прикріплені стояки 18 з опорами А і В.
Установка комплектується набором змінних вантажів Р, що дозволяє
багатоваріантність умов завдань студентам.
70
* ПРИМІТКА: Центральне положення каретки з валом у горизонтальній
площині фіксується стрілкою-покажчиком 15.
11.4.3. Основні правила техніки безпеки
1. Під час експерименту необхідно надійно закріпити стержні 4 у
маточинах, а вантажі 5 зафіксувати стопорними гвинтами.
2. З метою запобігання поламання вимірювальних пристроїв, зокрема
індикатора годинникового типу UЧ – 10, вимірювання здійснювати у строгій
послідовності, згідно з інструкцією до лабораторної роботи.
3. Після завершення експериментального дослідження провести
демонтаж вимірювального пристрою (індикатора), змінних вантажів і
стержнів у зворотньому порядку їх встановлення.
11.4.4 Тарування пружини
1. Встановити установку на горизонтальній площині за рівнем.
2. До стояка правої опори В закріпити кронштейн з роликом-блоком. З
рухомою кареткою з’єднати нитку і перекинути її через блок.
3. До кінця нитки приєднати контрольний вантаж вагою G1* = 5 H ,
зафіксувати показання n*1 стрілки вимірюваного пристрою. Потім приєднати
інший вантаж вагою G*2 = 15 H і повторно зафіксувати покази n*2 .
4. Тарувальний масштаб визначити за формулою:
T =
G*2 − G1*
n*2
− n*1
.
(4.1)
5. Після закінчення тарування вантаж, нитку і кронштейн з роликом
зняти з установки.
11.4.5. Визначення величини горизонтальної реакції опори В
1. Згідно із завданням, виданим викладачем, надійно закріпити на
вказаних ним маточинах стержні (1-й … 5-й).
2. На стержнях закріпити вантажі вказаної викладачем ваги Рі та радіусі
ri під заданими кутами і.
3. До кінця нитки, яка намотана на диск 19 і перекинута через блок, під
кутом αпр до горизонту, закріпити вантаж. Значення ваги Gпр вантажу і кута
71
нахилу нитки до горизонту, повинні відповідати рівновазі вала – контрольна
мітка на диску 7 повинна займати вертикальне (горизонтальне) положення.
Кут αпр, визначений з рівняння рівноваги вала, відраховується від
вертикалі до радіуса диска 19 в точці дотику нитки до диска. Диск
проградуйований від 0 до 360◦.
Для визначення значення Gпр і αпр необхідно:
зобразити розрахункову схему навантаження вала з врахуванням
конкретно заданих викладачем значень
ri, кутів і;
 ваг
 Рі,радіусів

нанести на схемі реакції опор А і В ( X A , Z A , X B , Z B ) ;
скласти аналітичні рівняння рівноваги вала під дією утвореної
довільної просторової системи сил:
 Fix = 0 ,  Fiy = 0 ,
 M ix = 0 ,  M iy = 0 ,  M iz = 0.
(4.2)
з рівнянь рівноваги (4.2) визначити величини кута αпр та ваги Gпр
вантажу.
4. Оскільки в п’яти рівняннях рівноваги є шість невідомих
X A , Z A , X B , Z B ,  пр , Gпр , тому одну з них, а саме X B пропонується
-
(
)
визначити експериментально. Для цього потрібно:
- закріпити індикатор UЧ – 10 з кронштейном на корпусі правої опори В,
встановити нульову мітку на шкалі приладу; при цьому ніжка індикатора
торкається опори В;
- при заданому навантаженні вала фіксувати покази n B стрілки
індикатора;
- обчислити значення горизонтальної реакції в опорі В за формулою:
X B = T  nB
(4.3)
5. Скласти таблицю результатів при таруванні (табл. 4.1) та основних
вимірювань та обчислень (табл. 4.2)
Таблиця 4.1
№
з/п
Вага
Вага
G1* , Н
G*2 , Н
Покази
індикатора
Покази
індикатора
n*1
n*1
1
2
3
72
Масштаб
T ,
Н/мм
Примірка
Таблиця 4.2
Величини, які задаються
№
з/п
Рі,
Н
Qk ,
Н
к,
град.
Величини, які вимір. або обчисл.
Величини реакцій,
Н
Gпр, αпр, n B
ХА ХВ
ZA
ZB
Н град
rk ,
мм
Маточина
І=
Стержень
К=
5.1. Геометричні розміри вала і закріплених на ньому деталей, мм
Таблиця 4.3
а
в
с
d
e
f
Відстань між опорами
АВ = 5а+5в+2с+d+e
5.2. Вага вала і закріплених на валі деталей, Н
Таблиця 4.4
Наймен.
Вага
Вага, Н
Вал
(1)
7,5
Маточина
(2)
1,9
Лімб (6) Стержень Диск вел. Диск мал.
з втулкою (4), l=190мм (7)  270мм (19) 98мм
1,2
1,1
8,5
0,9
* Примітки. Центр ваги вала обчислюється за формулою :
YC =
Yi  Si = Y1  S1 + Y2  S2 + Y3  S3 + Y4  S4 + Y5  S5
S1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5
 Si
де Y1 ,Y2 ,Y3 ,Y4 ,Y5 - координати центра ваги 1, 2, 3, 4, 5 ділянок вала.
S1 ,S 2 ,S3 ,S4 ,S5 - площі відповідних ділянок вала.
YC = 215 мм
73
** Інтенсивність розподілу ваги стержня
qcт =
Gст
1.1
; qcт =
= 0.05789 H / cм .
lст
19
11.4.6. Оформлення звіту
У звіті необхідно викласти мету роботи, основні математичні записи, які
стосуються даної теми, зобразити розрахункову схему, дати короткий опис
установки і її роботи. Хід виконання роботи, одержані результати
експериментальних вимірювань і обчислень необхідно подати у звіті без
скорочень.
Одержані результати занести у таблиці.
11.4.7. Контрольні запитання
1. Як визначається момент сили відносно осі?
2. У яких випадках момент сили відносно осі дорівнює нулеві?
3. Як визначається момент сили відносно координатних осей при відомих
координатах точки її прикладання?
4. Напишіть рівняння рівноваги просторової системи паралельних сил.
74
11.5. Лабораторна робота С 5.
Визначення коефіцієнта тертя ковзання.
11.5.1.Мета роботи
Експериментальне визначення задопомогою приладу ТММ 32А
статичного і динамічного коефіцієнтів тертя ковзання між двома тілами.
11.5.2. Будова і принцип роботи пристрою
Пристрій для визначення коефіцієнта тертя ковзання складається з таких
основних приладів і вузлів:
1. Прилад для визначення коефіцієнта тертя ковзання ТММ 32А.
2. Кронштейн з роликом ТММ 32А зб. 8.
3. Тяга ТММ 32А зб. 11 завдовжки l = 0.572 м.
4. Тяга ТММ 32А зб. 12 завдовжки l = 0.52 м.
5. Вантаж верхній ТММ 32А зб. 14, вагою 4,6 кГс = 45,08 Н.
6. Вантаж верхній тарувальний ТММ 32А зб. 17, вагою 1,5 кГс = 14,7 Н.
7. Вантаж тарувальний ТММ 32А зб. 18, вагою 1,0 кГс = 9,8 Н.
8. Вантаж тарувальний ТММ 32А зб. 19, вагою 0,5 кГс = 4,9 Н.
9. Пружина ТММ 32А – 58.
10.Плита стальна ТММ 32А – 59.
11.Плита алюмінієва ТММ 32А – 60.
12.Плита чавунна ТММ 32А – 61.
13.Зразок чавунний ТММ 32А – 62.
14.Зразок стальний ТММ 32А – 63.
15.Зразок латунний ТММ 32А – 64.
16.Індикатор ІЧ – 10.
11.5.3. Технічні дані
1. Швидкість відносного переміщення зразків досліджених матеріалів
0,027 м/с.
2. Досліджувані матеріали:
- змінних плит – сталь, чавун, алюміній;
- змінних зразків – сталь, латунь, чавун.
3. Нормальне зусилля між досліджуваними матеріалами (вага вантажу із
змінним зразком) дорівнює 5 кГс = 49 Н.
4. Метод вимірювання сил тертям: за допомогою індикатора з ціною
поділки 0,01 мм.
5. Максимальна сила тертя ковзання, яка може бути виміряна за
допомогою приладу 2 кГс = 19,6 Н.
75
6. Джерело живлення – однофазний змінний струм частотою 50 Гц і
напругою 220 В.
11.5.4. Будова і робота приладу ТММ 32А
Визначення коефіцієнта тертя ковзання для пар матеріалів, які входять до
складу пристрою, базується на вимірюванні сил тертя спокою і сил тертя при
русі. Ці сили виникають при переміщенні змінної плити, встановленої на
візку, відносно вантажу, який притискає змінний зразок до плити.
Прилад ТММ 32А (рис. 5.1) складається з таких основних вузлів:
основа1, візок 2, стояк вимірювального пристрою 6, змінної плити 3,
вантажу 4, який притискає змінний зразок 8 до плити, тяги 5, яка з’єднує
вантаж 4 з пружиною вимірювального пристрою.
2
3
4
1
5
8
6
7
Рис. 5.1
Візок, встановлений в спрямовуючі основи; рухається зворотньопоступально за допомогою механізму електропривода. Як приводний
електродвигун, використаний асинхронний електродвигун, який задає
постійну швидкість руху візка. Хід візка обмежується з обох боків кінцевими
вимикачами. На площадку візка встановлюються змінні плити, виготовлені з
різних матеріалів. На плиту 3, встановлюється вантаж 4, який притискає
змінний зразок 8. Вантаж з’єднується з пружиною вимірювального пристрою
через тягу 5. Пружина вимірювального пристрою закріплена в стояку 6. В
стояку закріплений також індикатор, який своїм штоком дотикається до
76
пружини вимірювального пристрою. Запуск візка і зміна напрямку руху візка
здійснюється вимикачем 7.
При русі візка від стояка, вантаж, який притискає зразок до плити,
намагається зрушитися разом з візком і створює зусилля, яке через тягу
передається на пружину вимірювального пристрою. Пружина починає
згинатись і розвиває зусилля, яке утримує вантаж разом із зразком на місці,
при цьому зразок починає ковзати по плиті. Таким чином, сила тертя, яка
виникає між зразком і плитою, без всяких втрат сприймається пружиною
вимірювального пристрою. Деформація пружини вимірюється індикатором.
Прилад дозволяє виміряти силу тертя при русі (динамічну силу тертя) і
силу тертя спокою (статичну силу тертя). Для вимірювання динамічних сил
тертя використовується тяга без пружини, а для статичних сил тертя – тяга з
проміжною пружиною. За рахунок незначної жорсткості проміжної пружини
наростання сили, прикладеної до вантажу, проходить плавно. Вантаж
спочатку переміщається разом із візком. Вантаж із зразком почне рухатися
відносно плити лише тоді, коли проміжна пружина розвине зусилля, яке
дорівнює максимальній статичній силі тертя. В момент зрушення вантажу
фіксується показ індикатора, за яким визначається максимальна статична
сила тертя ковзання.
11.5.5. Послідовність виконання роботи
11.5.5.1. Тарування приладу
Виконання лабораторної роботи потрібно почати з тарування
вимірювального приладу. Для цього необхідно:
1. Прилад встановити на столі в горизонтальному положенні за рівнем.
2.
На основу приладу встановити кронштейн з роликом ТММ 32А
зб. 8. До пружини вимірювального пристрою прикріпити тягу без проміжної
пружини ТММ 32А зб. 11 і перекинути її через ролик кронштейна.
3.
Індикатор на стояку вимірювального пристрою встановити так,
щоб його шток торкався пружини вимірювального пристрою. Шкалу
індикатора повернути до суміщення стрілки з нулем.
4.
До тяги, перекинутої через блок, підвісити тарувальний вантаж
вагою G1 = 0,5 кГс = 4,9 і зафіксувати показ індикатора. Після цього до тяги
підвісити тарувальний вантаж вагою G2 = 1,5 кГс = 14,7 Н і повторно
зафіксувати показ індикатора.
5.
Тарувальний масштаб за індикатором визначити за формулою:
mінд. =
G2 − G1  H 
,
n2 − n1  под 
77
(5.1)
де n1 та n2 – покази індикатора при вазі вантажів, відповідно G1 = 0,5 кГс =
= 4,9 Н та G2 = 1,5 кГс = 14,7 Н.
6. Після закінчення тарування, кронштейн з роликом зняти з основи
приладу.
11.5.5.2. Визначення динамічного коефіцієнта тертя ковзання
В роботі передбачено такі комбінації матеріалів тіл, що контактують при
ковзанні: сталь посталі; сталь по латуні; сталь по алюмінію; сталь по чавуну;
чавун по чавуну; чавун по латуні; чавун по алюмінію; алюміній по латуні.
Кількість величин, які потрібно визначити, і комбінацію матеріалів,
контактуючих тіл, вказує викладач, який веде лабораторні заняття.
1.
Відповідно до завдання, вказаного викладачем, встановити на
візок відповідну плиту і прикріпити до вантажу ТММ 32А зб. 14
відповідний зразок.
2.
Увімкненням приводу візок перемістити в бік вимірювального
пристрою до зупинки візка кінцевим вимикачем.
3.
Встановити вантаж із зразком на плиту і з’єднати його тягою. (без
проміжної пружини) з пружиною вимірювального пристрою.
4.
Для визначення сили тертя ковзання при русі (динамічну силу
тертя ковзання), потрібно увімкненням приводу привести в рух
візок з плитою і через 3 – 4 сек після початку руху фіксувати
покази індикатора. Через стрибкоподібну зміну сил тертя на
різних ділянках плити стрілка індикатора буде коливатися в
деякому діапазоні. Тому фіксують крайні покази стрілки і за ними
визначають середній показ.
5.
Визначити динамічну силу тертя ковзання за формулою:
Fд = mінд  nср
Н ,
(5.2)
де nср - середнє значення показів індикатора за час переміщення візка (в
поділках).
6.
Вирахувати динамічний коефіцієнт тертя ковзання за формулою:
fд =
Fд
,
N
(5.3.)
де N – нормальний тиск, який дорівнює вазі вантажу із зразком, тобто
N = 5кГс = 49 Н.
78
11.5.5.3. Визначення статичного коефіцієнта тертя ковзання
1. Для визначення максимальної статичної сили тертя ковзання між
вантажем, розміщеним на плиті, і вимірювальним пристроєм встановити тягу
з проміжною пружиною.
2. Після увімкнення приводу вантаж із зразком почне переміщатися
разом з візком. Вантаж із зразком відносно плити почне рухатись лише тоді,
коли проміжна пружина розвине зусилля, яке дорівнює максимальній сили
тертя ковзання. Фіксувати покази індикатора потрібно в момент зрушення
вантажу, тобто за максимальним відхиленням стрілки.
3. Максимальну статичну силу тертя ковзання і статичний коефіцієнт
тертя обчислюється за формулами:
f max = mінд  nmax H ;
(5.3)
Fmax
,
N
(5.4)
fc =
де nmax – максимальний показ в поділках стрілки індикатора в момент
зрушення вантажу із зразком.
11.5.5.4. Звіт про лабораторну роботу
Звіт повинен містити схему пристрою, короткий опис будови і роботи
приладу, послідовність виконання лабораторної роботи. Результати
вимірювань і обчислень повинні бути зведені в таблицю:
№
з/п
комбінація
матеріалів
n1
n2
mінд
nср
fд
nmax
f max
fc
1
2
11.5.6. Контрольні запитання
1. Що таке сила тертя ковзання?
2. Чим обумовлена сила тертя ковзання?
3. Сформулювати основні закони сухого тертя ковзання при спокої.
4. Сформулювати основні закони сухого тертя ковзання при русі.
5. Як визначити статичний і динамічний коефіцієнт тертя ковзання.
6. Від чого залежить статичний і динамічний коефіцієнт тертя ковзання?
79