Лабораторна робота № 1
Пошук рішення однокритеріальних задач в умовах визначеності
1.1. Мета роботи:
Вивчення математичних моделей і методів рішення однокритеріальних
задач в умовах визначеності. Вивчення методики рішення оптимізаційних
задач за допомогою пакета Excel з використанням надбудови «Пошук
рішення» на прикладі задачі оптимізації виробничої програми підприємства.
1.2. Побудова економіко-математичних моделей в умовах
визначеності зовнішніх факторів.
Побудова економіко-математичної моделі задачі ухвалення рішення в
умовах визначеності складається з наступних етапів:
1) Формування мети ухвалення рішення;
2) Формування безлічі керованих перемінних, тобто незалежних
внутрішніх параметрів, що ми можемо змінювати за своїм розсудом
для досягнення поставленої мети;
3) Виявлення обмежень на значення керованих перемінних і інших
(залежних від них) невідомих внутрішніх параметрів;
4) Побудова математичних залежностей мети і залежних внутрішніх
параметрів від значень керованих перемінних (у виді лінійних або
нелінійних рівнянь);
Математичні методи для рішення однокритеріальних оптимізаційних
задач носять загальна назва «методи математичного програмування» (така
назва не має відносин до програмування на комп'ютері).
Зручним програмним засобом для рішення задач математичного
програмування служить надбудова «Пошук рішення» пакета Microsoft Excel.
1.3. Рішення оптимізаційних задач за допомогою Excel.
Для рішення оптимізаційної задачі за допомогою Excel необхідно:
1. Виділити на робочому листі комірку для кожної з керованих
перемінних і заповнити їх якими-небудь початковими значеннями.
2. Для зручності набору наступного набору формул виділити комірку
для всіх або деяких постійних величин, що входять у формули, і
заповнити ці комірки. У принципі, можна цей пункт не виконувати, а
вводити постійні величини у формули безпосередньо.
3. Виділити на робочому листі комірку для залежних внутрішніх
параметрів і увести формули для обчислення їхніх значень.
4. Виділити комірку для функції мети і увести відповідну формулу.
5. Зберегти книгу Excel (про усякий випадок).
6. Викликати надбудову «Пошук рішення» (меню «Сервіс»). Якщо цієї
надбудови ні, то установити неї за допомогою пункту «Надбудови»
меню «Сервіс».
7. В отриманому діалоговому вікні вказати:
- цільову комірку;
- напрямок її оптимізації (мінімум або максимум);
- керовані перемінні (у рядку «змінюючи комірку»);
- обмеження на керовані і залежні внутрішні перемінні (за допомогою
кнопок «додати», «змінити»), указавши значення, що обмежуються,
їхній вид і границі. Обмеження, задані у виді подвійних нерівностей
розбиваються на пари звичайних;
- якщо які-небудь внутрішні перемінні повинні бути цілими, двоїчними,
або ненегативними, то відобразити ці вимоги, додавши відповідні
обмеження.
- якщо всі керовані перемінні повинні бути ненегативними, то можна
вказати це в діалоговому вікні, викликуваному за допомогою кнопки
«Параметри»;
8. Виконати пошук рішення за допомогою кнопки «Виконати»;
9. Проаналізувати отримане рішення. Якщо воно коректне, зберегти
його.
1.4. Складання детермінірованої математичної моделі на прикладі
задачі оптимізації виробничої програми підприємства.
Проблемна ситуація: Виробничу програму підприємства необхідно
оптимізувати з єдиною метою одержання максимального прибутку в
планований період. Підприємство може випускати 𝑛 видів продукції 𝑖 =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1,2, … , 𝑛. Для цього використовується 𝑚 видів ресурсів j= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1,2, … , 𝑚. Обсяг
виробництва продукції, номенклатурний склад, обсяг споживаних ресурсів
підприємство може варіювати, втім існують обмеження, пов'язані з
обмеженістю попиту і дефіцитом всіх або деяких ресурсів. Всі інші внутрішні
й зовнішні фактори, що впливають на підприємство (наприклад, ціни на
ресурси), відомі.
1. Метою оптимізації є одержання максимального прибутку П → 𝑚𝑎𝑥.
2. Внутрішні змінні: 𝑥𝑖 – обсяг виробництва 𝑖-ї продукції; 𝑦𝑗 – обсяг
споживання 𝑗-го ресурсу. Серед цих змінних обсяги виробництва є
незалежними, тобто керовані змінними, а обсяги споживання ресурсів –
залежними від них.
3. Обмеження: 𝑥𝑖𝑚𝑖𝑛 , 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑥 – нижні й верхні границі обсягу виробництва
𝑖-ї продукції; 𝑏𝑗 – запаси ресурсів.
4. Побудова математичних залежностей.
Відомі величини:
𝑎𝑖𝑗 – питома витрата 𝑖- го ресурсу на одиницю 𝑗-ї продукції;
𝑞𝑗 – ціна одиниці ресурсу;
𝑝𝑖 – ціна одиниці продукції;
𝑐𝑖 – питома собівартість виготовлення й реалізації одиниці 𝑖-ї продукції
без урахування вартості ресурсів. За необхідності слід враховувати зменшення
питомої собівартості зі збільшенням обсягів виробництва.
Математична модель задачі пошуку оптимального виробничого плану
має вигляд. Цільова функція – прибуток від випуску і реалізації продукції:
𝑛
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
П = ∑ 𝑝𝑖 𝑥𝑖 − ∑ 𝑐𝑖 𝑥𝑖 − ∑ 𝑞𝑗 𝑦𝑗 = ∑(𝑝𝑖 − 𝑐𝑖 )𝑥𝑖 − ∑ 𝑞𝑗 𝑦𝑗 → 𝑚𝑎𝑥
𝑖=1
𝑖=1
𝑗=1
𝑖=1
𝑗=1
Обмеження:
min
max
i 1,2,
,n(1.2)
x
x
по обсязі випуску продукції: x
,
i 
i
i
n
по обсязі споживання ресурсів:
yj 
a
x
b
,2,
,m
ij
i
j, j 1
(1.3)
i
1
Для рішення отриманої задачі застосовуються методи лінійного або
нелінійного математичного програмування.
1.5. Приклад рішення оптимізаційної задачі за допомогою Excel.
Підприємство випускає телевізори, монітори й акустичні системи,
використовуючи взаємозамінні комплектуючі. Кількість деяких з них, а також
фонд робочого часу обмежені. Обсяги виробництва також обмежені (знизу –
вимогами технології, зверху – величиною попиту). Математична модель такої
задачі була розглянута раніше і має вигляд (1.1)-(1.3).
Вихідні дані з цієї моделі заносяться в таблицю Excel, що може,
наприклад, мати вигляд табл.1.1. Розташування перемінних по осередках
показане в табл.1.2. Формули, що входять у модель, приведені в табл.1.3,.
Цільовим осередком служить осередок E13, керовані перемінні – E3-G3,
обмеження сформовані осередками D6, D7, D10, E3-G3 і C6, C7, C10, E2-G2,
E4-G4.
Таблиця 1.1. Приклад оформлення в Excel
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B
C
D
Найменування виробу
Мінімальний обсяг виробництва
Обсяг виробництва
Максимальний обсяг виробництва
Найменування
Ціна
Запас
Сумарна
ресурсу
ресурсу
ресурсу
витрата
ресурсу
Фонд робочого
0
10000
10000
часу
Кінескоп
300
1000
470
Динамік
50
100
40
Блок живлення.
50
200
470
Електрон.
50
500
490
плата
Ціна одиниці продукції
Собівартість одиниці продукції (без ресурсів)
191000
Прибуток:
Витрати ресурсів
E
Телевізор
20
20
200
F
Монітор
20
450
1000
G
Ак.сист.
0
0
1000
Питомі витрати ресурсів
50
20
20
1
2
1
2
1
0
1
1
0
4
1
1
1100
500
23500
700
250
400
100
Таблиця 1.2. Розташування перемінних по осередках
yj
aij
Перемінна П
xi
x min x max b j
i
Комірка
qj
i
Е13 E3-G3 D6- E2-G2 E4-G4 C6D10
C10
E6G10
B6B10
pi
ci
E11- E12G11 G12
Таблиця 1.3. Розташування формул у комірниках
Комірка
Формула
B13
E13
D6
D7
D8
D9
D10
Відповідно до проведеного розрахунку оптимальним планом є випуск 20
телевізорів і 450 моніторів, що дасть найбільший прибуток у 23500грн. Усі
чисельні результати розрахунку також приведені в табл. 1.1.
1.6. Індивідуальні завдання:
Вирішити задачу оптимізації виробничого плану підприємства (1.1)(1.3) з використанням пакета Excel. Коефіцієнти математичної моделі
вибираються відповідно до номера варіанта:
№ варіанта
1
2
3
4
a
50
1
2
1
2
40
1
2
1
2
50
1
2
1
2
50
1
2
1
2
20
1
1
1
1
20
1
1
1
1
25
1
1
1
1
20
1
1
1
1
b
20
0
4
1
1
20
0
4
1
1
20
0
4
1
1
25
0
4
1
1
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
1000
500
500
500
300
200
0
0
0
ximax
1000
5000
10000
1100
500
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1200
500
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1000
600
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
q
0
300
40
50
50
0
300
50
50
40
0
250
50
50
50
0
350
40
50
50
p
ximin
c
№ варіанта
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
a
50
1
2
1
2
50
1
2
1
2
40
1
2
1
2
40
1
2
1
2
55
1
2
1
2
60
1
2
1
2
60
1
2
1
2
50
1
2
1
2
45
1
2
1
2
55
1
2
1
2
20
1
1
1
1
15
1
1
1
1
20
1
1
1
1
15
1
1
1
1
20
1
1
1
1
20
1
1
1
1
15
1
1
1
1
25
1
1
1
1
20
1
1
1
1
25
1
1
1
1
b
15
0
4
1
1
20
0
4
1
1
20
0
4
1
1
25
0
4
1
1
15
0
4
1
1
20
0
4
1
1
15
0
4
1
1
25
0
4
1
1
25
0
4
1
1
15
0
4
1
1
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
5000
1000
1000
1000
1000
1000
700
500
500
300
200
0
0
0
ximax
1000
5000
10000
1000
500
600
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1000
500
700
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1000
500
800
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
900
700
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1200
500
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1200
700
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1200
600
500
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1100
600
400
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
1200
500
600
500
300
200
0
0
0
1000
5000
10000
q
0
300
40
50
50
0
300
50
70
50
0
300
50
60
50
0
300
50
50
60
0
250
40
50
50
0
300
40
50
40
0
300
60
50
60
0
250
60
50
60
0
300
50
40
50
0
300
60
50
40
p
ximin
c
№ варіанта
15
a
50
1
2
1
2
20 15
1 0
1 4
1 1
1 1
b
5000
1000
1000
1000
1000
q
0
300
50
40
40
p
1200
500
600
ximin
c
500
300
200
0
0
0
ximax
1000
5000
10000
1.7. Вимоги до оформлення:
Описати проблемну ситуацію, записати економіко-математичну модель
задачі, привести таблицю Excel, що містить результати розрахунку, і таблицю
використаних розрахункових формул (аналогічно таблицям 1.1-1.2).