Uploaded by Sengouga Mahieddine

analyse de structures par elements finis

advertisement
Analyse de structures par éléments finis
Elément de Barre 1D
I-1 Matrice de rigidité de l’élément Barre.
Un élément Barre est un élément unidimensionnel qui est sollicité à la
traction compression. Une Barre est définie par :
Sa section A, sa Longueur L et son module d’élasticité E
Figure I.1 Elément barre.
La modélisation de cet élément est assurée par un segment entre deux
points qu’on nomme nœuds. Il est important de noter que les deux nœuds
de la Barre sont des articulations.
Figure I.2 Modélisation de l’élément Barre.
Une charge de traction ou de compression appliquée à la Barre, engendre
des déplacements des deux nœuds i et j.
1
Analyse de structures par éléments finis
L’équilibre de la Barre est assuré par le système élémentaire suivant :
𝐸𝐸𝑒𝑒 .𝐴𝐴𝑒𝑒
𝐿𝐿𝑒𝑒
𝑓𝑓𝑖𝑖
1 −1 𝑒𝑒𝑖𝑖
οΏ½
οΏ½ �𝑒𝑒 οΏ½ = οΏ½ οΏ½
𝑓𝑓𝑗𝑗
𝑗𝑗
−1 1
(I-1)
La matrice du système est dite matrice de rigidité.
Le vecteur {𝒖𝒖} est le vecteur des déplacements.
Le vecteur {𝒇𝒇} est le vecteur des charges extérieures.
I.2 Vecteur charges équivalentes
Dans le cas où la barre est soumise à une charge répartie comme indiqué
dans la figure 3.
Figure I.3 Charges équivalentes
Le vecteur charges équivalentes, dans le cas d’une charge répartie de densité
d constante, sera exprimé par :
𝑑𝑑.𝐿𝐿
𝑓𝑓𝑖𝑖
2
οΏ½ οΏ½ = �𝑑𝑑.𝐿𝐿
οΏ½
𝑓𝑓𝑗𝑗
(I-2)
2
2
Analyse de structures par éléments finis
Exemple :
Soit la structure suivante, constituée de deux Barres Sollicitée comme suit :
Figure I.4 Structure discrétisée par deux éléments de barre.
Les deux barres ont :
Une même section 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 = 20 mm2
Une même longueur 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿 = 200 mm
Les deux barres sont en acier et ont pour module d’élasticité E 1 = E 2 = E =
200000 MPa.
Nous présenterons dans ce qui suit les étapes à suivre pour la résolution
d’un problème de structure par la méthode des éléments finis.
Etape 1 : Calcul élémentaire.
Dans cette étape on défini le système élémentaire pour chaque Barre :
− L’Elément (1)
L’élément (1) est localisé entre les nœuds 1 et 2, on dit alors que la
connectivité de l’élément est 1 - 2.
NB : La Connectivité de l’élément est très importante car elle permet
d’assembler le système élémentaire dans le système global, qu’on abordera
dans une étape ultérieure.
Figure I.4 Représentation de l’élément (1)
3
Analyse de structures par éléments finis
Son système élémentaire, d’après le système (I-1), sera :
𝐸𝐸1 .𝐴𝐴1 1
οΏ½
𝐿𝐿1
−1
𝑓𝑓
−1 𝑒𝑒1
οΏ½ �𝑒𝑒 οΏ½ = οΏ½ 1 οΏ½
𝑓𝑓2 ⁄2
2
1
(I-3)
NB : La force au niveau du nœud 2 a été divisée par deux car le nœud 2 est
commun aux deux éléments (1) et (2).
− L’Elément (2)
L’élément (1) est situé entre les nœuds 2 et 3, on dit alors que l’élément est
localisé entre les nœuds 2 et 3 et sa connectivité est 2-3.
Figure I.5 Représentation de l’élément (2)
Son système élémentaire, d’après le système (I-1), sera :
𝐸𝐸2 .𝐴𝐴2 1
οΏ½
𝐿𝐿2
−1
Etape 2 : Assemblage.
𝑓𝑓 ⁄2
−1 𝑒𝑒2
οΏ½ �𝑒𝑒 οΏ½ = οΏ½ 2 οΏ½
𝑓𝑓3
3
1
(I-4)
Le but de cette étape est la détermination du système global qui décrit le
comportement des deux barres ensemble.
Pour commencer, on doit déterminer la taille du système global.
La taille est donnée par :
𝒕𝒕 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∗ 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏
(I-5)
Où : Nn : est le nombre de nœuds de la structure
ndln : est le nombre de degré de liberté par nœuds ou nombre de
déplacement par nœud.
Dans cet exemple, Nn = 3 et ndln = 1, donc la taille du système global sera :
4
Analyse de structures par éléments finis
𝒕𝒕 = πŸ‘πŸ‘ ∗ 𝟏𝟏 = πŸ‘πŸ‘
Dans ce cet exemple, les deux éléments ont les mêmes caractéristiques :
𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 = 20mm2, 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿 = 200 mm et E 1 = E 2 = E = 200000 MPa.
L’assemblage consiste à écrire les coefficients des matrices de rigidité des
systèmes
élémentaires
dans
le
système
global
en
respectant
leurs
connectivités.
La connectivité de l’élément (1) est 1 – 2, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (1) seront écrits dans les cases, de la matrice globale,
correspondantes aux déplacements u 1 et u 2 .
La connectivité de l’élément (2) est 2 – 3, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (2) seront écrits dans les cases, de la matrice globale,
correspondantes aux déplacements u 2 et u 3 .
Les coefficients qui coïncident dans une case sont additionnés et les cases
vides sont des rigidités nulles.
Pour simplifier l’opération, on reprend les deux systèmes élémentaires :
L’élément (1)
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
1
οΏ½
−1
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
𝐿𝐿
L’élément (2)
𝑓𝑓1
−1 𝑒𝑒1
οΏ½ ;
οΏ½οΏ½ οΏ½ = οΏ½
𝑓𝑓2 ⁄2
1 𝑒𝑒2
1
-1
0
E.A
οΏ½
L
1 -1 u2 f2⁄2
οΏ½ οΏ½u οΏ½ = οΏ½
οΏ½
f3
3
-1 1
-1
0
u1
-1
u2
-1
1
u3
1+1
f1
=
f 2 /2+
f 2 /2
f3
5
Analyse de structures par éléments finis
Le système global sera :
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 1
οΏ½−1
𝐿𝐿
0
𝑓𝑓1
−1 0 𝑒𝑒1
2 −1οΏ½ �𝑒𝑒2 οΏ½ = �𝑓𝑓2 οΏ½
𝑓𝑓3
−1 1 𝑒𝑒3
Avant de passer à l’étape suivante qui est la résolution, on doit définir les
conditions aux limites.
− Comme le nœud 1 est un appui double, donc le déplacement u 1 est
nul ; u 1 =0.
− Le nœud 2 est un nœud libre, donc le déplacement u 2 est inconnu et à
déterminer.
− Le nœud 3 est un appui simple libre dans la direction du chargement,
donc u 3 est inconnu et à déterminer.
− f 1 est la force au nœud 1 et comme le nœud 1 est un appui alors f 1
est une réaction à déterminer.
− f 2 est la force appliquée au niveau du nœud 2, dans notre cas aucune
force n’est appliquée alors f 2 = 0.
− f 3 est la force appliquée au niveau du nœud 3 et est égale à 1000 N
Donc le système global peut s’écrire :
𝑓𝑓1
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 1 −1 0 𝑒𝑒1 = 0
οΏ½−1 2 −1οΏ½ οΏ½ 𝑒𝑒2 οΏ½ = οΏ½ 0 οΏ½
𝐿𝐿
𝑒𝑒3
0 −1 1
1000
6
Analyse de structures par éléments finis
Etape 3 : Résolution.
La résolution se réalise en deux étapes. On commence par la détermination
des déplacements inconnus puis on déduit les forces inconnues (Les
réactions aux appuis).
1. Détermination des déplacements inconnus.
Dans cette étape, on doit isoler du système global, les équations contenant
les déplacements inconnus. On appelle le système ainsi obtenu un
système réduit.
Dans cet exemple, le système réduit est défini par les équations 2 et 3, tel
que :
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
[(−1). 𝑒𝑒1 + 2. 𝑒𝑒2 + (−1). 𝑒𝑒3 ] = 0
[0. 𝑒𝑒1 + (−1). 𝑒𝑒2 + (1). 𝑒𝑒3 ] = 1000
Équation (2)
Équation (3)
Avec u 1 =0, le système sera sous forme matricielle :
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 2 −1 𝑒𝑒2
0
οΏ½
οΏ½ �𝑒𝑒 οΏ½ = οΏ½
οΏ½
3
1000
𝐿𝐿 −1 1
Pour la résolution de ce système de deux équations à deux inconnues u 2 et
u 3 , on utilise n’importe quelle méthode de résolution des systèmes
algébriques.
Dans ce cas on va utiliser la méthode de l’inverse. Pour un système
algébrique [𝐴𝐴]{π‘₯π‘₯ } = {𝑏𝑏} où : [𝐴𝐴] est la matrice du système.
{π‘₯π‘₯ } est le vecteur des inconnues
{𝑏𝑏} est le vecteur second membre.
La solution du système est donnée par :
{π‘₯π‘₯ } = [𝐴𝐴]−1 {𝑏𝑏}
Pour notre exemple la matrice inverse de [𝐴𝐴]−1 est donnée par
7
Analyse de structures par éléments finis
[𝐴𝐴]−1 =
𝐿𝐿 1 1
οΏ½
οΏ½
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 1 2
Donc le vecteur des déplacements inconnus sera déterminer par :
𝐿𝐿 1
𝑒𝑒2
�𝑒𝑒 οΏ½ =
οΏ½
3
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 1
1
0
οΏ½οΏ½
οΏ½
2 1000
Le déplacement u 2 est obtenu par un produit scalaire entre la première ligne
de la matrice [𝐴𝐴]−1 et le vecteur {𝑏𝑏} comme suit :
𝐿𝐿
𝑒𝑒2 = 𝐸𝐸.𝐴𝐴 ⟨1
𝐿𝐿
1000.𝐿𝐿
0
(1 ∗ 0 + 1 ∗ 1000) =
οΏ½=
1⟩ οΏ½
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐸𝐸.𝐴𝐴
1000
;
𝑒𝑒2 =
1000.𝐿𝐿
𝑒𝑒3 =
2000.𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
Le déplacement u 3 est obtenu par un produit scalaire entre la deuxième
ligne de la matrice [𝐴𝐴]−1 et le vecteur {𝑏𝑏} comme suit :
𝑒𝑒3 =
𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
⟨1
𝐿𝐿
2000.𝐿𝐿
0
(1 ∗ 0 + 2 ∗ 1000) =
οΏ½=
2⟩ οΏ½
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐸𝐸.𝐴𝐴
1000
;
Le vecteur des déplacements inconnus est donné par :
𝐸𝐸.𝐴𝐴
1000. 𝐿𝐿 1
𝑒𝑒2
�𝑒𝑒 οΏ½ =
οΏ½ οΏ½
3
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 2
2. Détermination des réactions aux appuis.
Dans cet exemple, on a une seule réaction f 1 de l’équation (1) du système
global.
𝑓𝑓1 =
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
[(1). 𝑒𝑒1 + (−1). 𝑒𝑒2 + (0). 𝑒𝑒3 ] =
[−𝑒𝑒2 ]
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝑓𝑓1 =
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 1000. 𝐿𝐿
οΏ½−
οΏ½ = 1000 𝑁𝑁
𝐿𝐿
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
8
Analyse de structures par éléments finis
Elément de Barre 2D
Un élément de barre 2D est un élément de barre 1D orienté dans le plan,
comme indiquer dans la Figure II.1
Figure II.1 Représentation d’un élément de Barre 2D
L’orientation de l’élément dans le plan est déterminée par :
𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 πœƒπœƒ =
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 πœƒπœƒ =
𝑋𝑋 𝑗𝑗 −𝑋𝑋𝑖𝑖
(II-1)
π‘Œπ‘Œπ‘—π‘— −π‘Œπ‘Œπ‘–π‘–
(II-2)
𝐿𝐿𝑒𝑒
𝐿𝐿𝑒𝑒
Avec L e la longueur de l’élément déterminée par :
2
𝐿𝐿𝑒𝑒 = ��𝑋𝑋𝑗𝑗 − 𝑋𝑋𝑖𝑖 οΏ½ + οΏ½π‘Œπ‘Œπ‘—π‘— − π‘Œπ‘Œπ‘–π‘– οΏ½
2
(II-3)
Remarque très importante : le nœud i est toujours le nœud inférieur de
la barre et le nœud j est le nœud supérieur de la barre.
Sous l’effet des charges 𝐹𝐹π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ , 𝐹𝐹π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ , 𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 et 𝐹𝐹𝑦𝑦𝑦𝑦 , l’équilibre de la barre est exprimé
par le système élémentaire suivant :
9
Analyse de structures par éléments finis
𝑐𝑐 2
𝐸𝐸𝑒𝑒 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑐𝑐. 𝑠𝑠
οΏ½ 2
𝐿𝐿𝑒𝑒
−𝑐𝑐
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 −𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2
𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2 𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝐹𝐹π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠 π‘ˆπ‘ˆπ‘–π‘–
⎧
⎫
⎧
⎫
𝐹𝐹
2
𝑉𝑉
𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑖𝑖
−𝑠𝑠 οΏ½
=
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 βŽ¨π‘ˆπ‘ˆπ‘—π‘— ⎬ ⎨𝐹𝐹π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ ⎬
𝑠𝑠 2 ⎩ 𝑉𝑉𝑗𝑗 ⎭ βŽ©πΉπΉπ‘¦π‘¦π‘¦π‘¦ ⎭
()
Où : 𝑐𝑐 = cos Θ , 𝑠𝑠 = sin Θ et 𝑐𝑐. 𝑠𝑠 = cos Θ . sin Θ
II.2 Vecteur charges équivalentes
Dans le cas où la barre est soumise à une charge répartie comme indiqué
dans la Figure II.2.
Figure II.2. Charges équivalentes
Le vecteur charges équivalentes, dans le cas d’une charge répartie de densité
d constante, sera exprimé par :
10
Analyse de structures par éléments finis
Exemple :
𝐹𝐹π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯
𝑐𝑐
⎧ 𝐹𝐹 ⎫
𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑑𝑑.𝐿𝐿𝑒𝑒 𝑠𝑠
= 2 οΏ½ οΏ½
𝑐𝑐
⎨𝐹𝐹π‘₯π‘₯π‘₯π‘₯ ⎬
𝑠𝑠
βŽ©πΉπΉπ‘¦π‘¦π‘¦π‘¦ ⎭
(2)
Soit le treillis plan, à trois nœuds articulés, suivant. Il est composé de trois
éléments de barre, de même nature et même section. Le nœud 1 repose sur
un appui double, le nœud 2 repose sur un appui simple et le nœud libre 3
supporte une charge à composantes οΏ½
𝑃𝑃
οΏ½ comme indiqué dans la Figure II.3
3𝑃𝑃
Les caractéristiques du treillis sont définies par 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴, 𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 = 𝐸𝐸3 = 𝐸𝐸
et 𝑃𝑃 = 120 𝐾𝐾𝐾𝐾
οΏ½
𝑃𝑃
οΏ½
3𝑃𝑃
Figure II.3 Treillis plan à 3 Barres
Pour la résolution de ce système, on suit les mêmes étapes suivies
précédemment.
11
Analyse de structures par éléments finis
Etape 1 : Calcul élémentaire.
Dans cette étape on défini le système élémentaire pour chaque Barre :
•
L’Elément (1)
La connectivité de l’élément (1) est 1 - 2.
Les coordonnées des nœuds de l’élément (1) sont : 𝑋𝑋1 = 0, π‘Œπ‘Œ1 = 0 , 𝑋𝑋2 = 0 et
π‘Œπ‘Œ2 = 0.
− La Longueur de l’élément (1) est donnée par :
𝐿𝐿1 = οΏ½(𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋1 )2 + (π‘Œπ‘Œ2 − π‘Œπ‘Œ1 )2 = οΏ½(0 − 0)2 + (𝐿𝐿 − 0)2 = L
− L’orientation de l’élément (1) est déterminée par :
𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 πœƒπœƒ1 =
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 πœƒπœƒ1 =
𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋1
0−0
=
=0
𝐿𝐿1
𝐿𝐿
π‘Œπ‘Œ2 − π‘Œπ‘Œ1
𝐿𝐿 − 0
=
=1
𝐿𝐿1
𝐿𝐿
πœƒπœƒ1 = 90° , 𝑐𝑐 2 = 0 , 𝑠𝑠 2 = 1 et
Donc,
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 = 0
− La matrice de rigidité de l’élément (1) sera :
𝑐𝑐 2
𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝐸𝐸 𝐴𝐴
[π‘˜π‘˜1 ] = 1 1 οΏ½ 2
𝐿𝐿1
−𝑐𝑐
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
•
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 −𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2
𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2 𝑐𝑐. 𝑠𝑠
L’Elément (2)
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
0
2
−𝑠𝑠 οΏ½ = 𝐸𝐸.𝐴𝐴 οΏ½0
𝐿𝐿 0
𝑐𝑐. 𝑠𝑠
0
𝑠𝑠 2
0
1
0
−1
0
0
0 −1
οΏ½
0
0
0 1
La connectivité de l’élément (2) est 1 - 3.
Les coordonnées des nœuds de l’élément (2) sont 𝑋𝑋1 = 0, π‘Œπ‘Œ1 = 0 , 𝑋𝑋3 = 𝐿𝐿 et
π‘Œπ‘Œ3 = 0.
− La Longueur de l’élément (2) est donnée par :
𝐿𝐿2 = οΏ½(𝑋𝑋3 − 𝑋𝑋1 )2 + (π‘Œπ‘Œ3 − π‘Œπ‘Œ1 )2 = οΏ½(𝐿𝐿 − 0)2 + (0 − 0)2 = L
12
Analyse de structures par éléments finis
− L’orientation de l’élément (2) est déterminée par :
𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 πœƒπœƒ2 =
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 πœƒπœƒ2 =
𝑋𝑋3 − 𝑋𝑋1
𝐿𝐿 − 0
=
=1
𝐿𝐿2
𝐿𝐿
π‘Œπ‘Œ3 − π‘Œπ‘Œ1
0−0
=
=0
𝐿𝐿2
𝐿𝐿
πœƒπœƒ2 = 0° , 𝑐𝑐 2 = 1 , 𝑠𝑠 2 = 0 et
Donc,
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 = 0
− La matrice de rigidité de l’élément (2) sera :
𝑐𝑐 2
𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝐸𝐸 𝐴𝐴
[π‘˜π‘˜2 ] = 2 2 οΏ½ 2
𝐿𝐿2
−𝑐𝑐
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
•
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 −𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2
𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2 𝑐𝑐. 𝑠𝑠
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
1 0
2
0
−𝑠𝑠 οΏ½ = 𝐸𝐸.𝐴𝐴 οΏ½ 0
𝐿𝐿 −1
0
𝑐𝑐. 𝑠𝑠
2
0
0
𝑠𝑠
−1
0
1
0
0
0
οΏ½
0
0
L’Elément (3)
La connectivité de l’élément (3) est 2 - 3.
Les coordonnées des nœuds de l’élément (3) sont 𝑋𝑋2 = 0, π‘Œπ‘Œ2 = 𝐿𝐿, 𝑋𝑋3 = 𝐿𝐿 et
π‘Œπ‘Œ3 = 0
− La Longueur de l’élément (3) est donnée par :
𝐿𝐿3 = οΏ½(𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋3 )2 + (π‘Œπ‘Œ2 − π‘Œπ‘Œ3 )2 = οΏ½(𝐿𝐿 − 0)2 + (𝐿𝐿 − 0)2 = √2 L
− L’orientation de l’élément (3) est déterminée par :
𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢 πœƒπœƒ3 =
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 πœƒπœƒ3 =
Donc,
1
𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋3
0 − 𝐿𝐿
−1
=
=
𝐿𝐿3
√2 𝐿𝐿
√2
π‘Œπ‘Œ2 − π‘Œπ‘Œ3
𝐿𝐿 − 0
1
=
=
𝐿𝐿3
√2 𝐿𝐿 √2
1
πœƒπœƒ3 = 135° , 𝑐𝑐 2 = 2 , 𝑠𝑠 2 = 2 et
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 = −
1
2
13
Analyse de structures par éléments finis
− La matrice de rigidité de l’élément (1) sera :
𝑐𝑐 2
𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝐸𝐸 𝐴𝐴
[π‘˜π‘˜3 ] = 3 3 οΏ½ 2
𝐿𝐿3
−𝑐𝑐
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑐𝑐. 𝑠𝑠 −𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2
𝑐𝑐 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
𝑠𝑠 2 𝑐𝑐. 𝑠𝑠
1
⎑ 2
−𝑐𝑐. 𝑠𝑠
⎒− 1
2
𝐸𝐸.𝐴𝐴
−𝑠𝑠 οΏ½ =
⎒ 2
1
𝐿𝐿
2
√
𝑐𝑐. 𝑠𝑠
⎒−
2
𝑠𝑠 2
⎒ 1
⎣ 2
1
1
−2
−2
2
1
2
1
1
2
1
−2
1
2
1
−2
1
2⎀
1βŽ₯
−2
βŽ₯
− 2βŽ₯
1βŽ₯
2⎦
1
Etape 2 : Assemblage.
Le but de cette étape est la détermination du système global qui décrit le
comportement des deux barres ensemble.
La taille du système global est donnée par :
(5)
𝒕𝒕 = 𝑡𝑡𝑡𝑡 ∗ 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏
Où : Nn : est le nombre de nœuds de la structure
ndln : est le nombre de degré
de liberté par nœuds ou nombre de
déplacement par nœud.
Dans cet exemple, Nn = 3 et ndln = 2, donc la taille du système global sera :
𝒕𝒕 = πŸ‘πŸ‘ ∗ 𝟐𝟐 = πŸ”πŸ”
Dans ce cet exemple, les trois éléments ont les mêmes caractéristiques :
𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴 = 100 cm2, 𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿3 = 𝐿𝐿 = 700 mm et E 1 = E 2 = E 3 = E =
200000 MPa.
Pour faciliter l’assemblage des trois matrices élémentaires dans la matrice
globale, on réécrit la matrice de rigidité de l’élément (3) de telle manière à
avoir une même rigidité
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
pour les trois éléments :
14
Analyse de structures par éléments finis
1
⎑ 2
⎒ 1
𝐸𝐸.𝐴𝐴 ⎒− 2
[π‘˜π‘˜3 ] =
√2 𝐿𝐿 ⎒ 1
−
2
⎒ 1
⎣ 2
1
1
−2
−2
2
1
2
1
1
−
2
1
2
1
2⎀
1
− βŽ₯
2βŽ₯
1 =
− βŽ₯
2
1βŽ₯
2⎦
1
−
2
1
2
1
⎑ 2 √2
⎒ 1
−
𝐸𝐸.𝐴𝐴 ⎒ 2√2
1
𝐿𝐿 ⎒
⎒ − 2 √2
⎒ 1
⎣ 2 √2
1
− 2 √2
1
−
2 √2
1
2 √2
1
2 √2
−2
−
1
√2
1
2 √2
1
2 √2
1
2 √2
1
⎀
βŽ₯
−
2 √2 βŽ₯
1 βŽ₯
−
2 √2 βŽ₯
1 βŽ₯
2 √2 ⎦
2 √2
1
L’assemblage consiste à écrire les coefficients des systèmes élémentaires
dans le système global en respectant leurs connectivités.
La connectivité de l’élément (1) est 1 – 2, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (1) seront écrits dans les cases de la matrice globale
correspondantes aux déplacements U 1 , V 1 , U 2 et V 2 .
La connectivité de l’élément (2) est 1 – 3, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (2) seront écrits dans les cases de la matrice globale
correspondantes aux déplacements U 1 , V 1 , U 3 et V 3 .
La connectivité de l’élément (3) est 2 – 3, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (3) seront écrits dans les cases de la matrice globale
correspondantes aux déplacements U 2 , V 2 , U 3 et V 3 .
Le système global sera :
0+1
0+0
0
0
-1
0
U1
0+0
1+0
0
-1
0
0
V1
−1
1
U2
0
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
𝐿𝐿
0
-1
0
0
-1
0
0
0+
0−
𝟏𝟏
𝟐𝟐. √𝟐𝟐
1
2. √2
−1
2. √2
1
2. √2
0−
1+
1
2. √2
1
2. √2
1
2. √2
−1
2. √2
2. √2
1
2. √2
1+
0−
1
2. √2
1
2. √2
2. √2
−1
2. √2
0−
0+
1
2. √2
1
V2
𝐹𝐹π‘₯π‘₯1
𝐹𝐹𝑦𝑦1
𝐹𝐹π‘₯π‘₯2
=
𝐹𝐹𝑦𝑦2
𝐹𝐹π‘₯π‘₯3
U3
𝐹𝐹𝑦𝑦3
V3
2. √2
Avant de passer à l’étape suivante qui est la résolution, on doit définir les
conditions aux limites.
15
Analyse de structures par éléments finis
− Comme le nœud 1 est un appui double, donc les déplacements U 1 et
V 1 sont nuls :
U 1 = 0 ; V 1 = 0.
− Le nœud 2 est un appui simple libre dans la direction Y, donc le
déplacement U 2 est nul; U 2 =0 et V 2 inconnu à déterminer.
− Le nœud 3 est un nœud libre, donc les déplacements U 3 et V 3 sont
inconnus et à déterminer.
− Le nœud 1 est un appui double, donc Fx 1 , Fy 1 sont des réactions
qu’on notera Rx 1 et Rx 2 .
− Le nœud 2 est un appui simple dans la direction des X et libre dans la
direction des Y, donc dans la force Fx 2 est une réaction qu’on notera
Rx 2 . Aucune force n’est appliquée au nœud 2 dans la direction des Y,
donc la force Fy 2 = 0.
− Fx 3 et Fy 3 sont les forces appliquées ai niveau du nœud libre 3 et qui
ont pour valeurs Fx 3 = -P et Fy 3 = -3P.
Donc le système global devient :
0+1
0+0
0
0
-1
0
U 1 =0
0+0
1+0
0
-1
0
0
V 1 =0
−1
1
U 2 =0
0
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
𝐿𝐿
0
-1
0
0
-1
0+
0−
0
0
𝟏𝟏
𝟐𝟐. √𝟐𝟐
1
2. √2
−1
2. √2
1
2. √2
0−
1+
1
2. √2
1
2. √2
1
2. √2
−1
2. √2
2. √2
1
2. √2
1+
0−
1
2. √2
1
2. √2
2. √2
−1
2. √2
0−
0+
1
2. √2
1
V2
𝑅𝑅π‘₯π‘₯1
𝑅𝑅𝑦𝑦1
𝑅𝑅π‘₯π‘₯2
=
0
−𝑃𝑃
U3
−3𝑃𝑃
V3
2. √2
Etape 3 : Résolution.
La résolution se réalise en deux étapes. On commence par la détermination
des déplacements inconnus puis on déduit les forces inconnues (Les
réactions aux appuis).
16
Analyse de structures par éléments finis
1. Détermination des déplacements inconnus.
Dans cette étape, on doit isoler du système global les équations contenant
les déplacements inconnus. On appelle le système ainsi obtenu un système
réduit.
Pour cet exemple, le système réduit est défini par les équations (4), (5) et (6),
tel que :
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
οΏ½(0). π‘ˆπ‘ˆ1 + (−1). 𝑉𝑉1 + οΏ½
οΏ½(−1). π‘ˆπ‘ˆ1 + (0). 𝑉𝑉1 + οΏ½
οΏ½(0). π‘ˆπ‘ˆ1 + (0). 𝑉𝑉1 + οΏ½
−1
2.√2
οΏ½ . π‘ˆπ‘ˆ2 + οΏ½1 +
2.√2
2.√2
1
−1
2.√2
οΏ½ . π‘ˆπ‘ˆ2 + οΏ½
οΏ½ . π‘ˆπ‘ˆ2 + οΏ½
−1
1
2.√2
1
2.√2
οΏ½ . 𝑉𝑉2 + (
οΏ½ . 𝑉𝑉2 + (1 +
οΏ½ . 𝑉𝑉2 + (
−1
2.√2
1
2.√2
1
2.√2
). π‘ˆπ‘ˆ3 + οΏ½
). π‘ˆπ‘ˆ3 + οΏ½
). π‘ˆπ‘ˆ3 + οΏ½
1
2.√2
−1
2.√2
−1
2.√2
οΏ½ . 𝑉𝑉3 οΏ½ = 0
Équat (4)
οΏ½ . 𝑉𝑉3 οΏ½ = −𝑃𝑃 Équat (5)
οΏ½ . 𝑉𝑉3 οΏ½ = −3𝑃𝑃
Équat (6)
Avec U 1 =0, V 1 =0, U 2 =0, le système réduit sera sous forme matricielle :
1
⎑1 +
2. √2
⎒
1
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
⎒
𝐿𝐿 ⎒ 2. √2
⎒ −1
⎣ 2. √2
On peut l’écrire :
1 + 2. √2
οΏ½
1
2. √2. 𝐿𝐿
−1
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
1
2. √2
1
1+
2. √2
−1
2. √2
−1
⎀
2. √2
βŽ₯
−1
𝑉𝑉2
0
βŽ₯ οΏ½π‘ˆπ‘ˆ3 οΏ½ = οΏ½ −𝑃𝑃 οΏ½
2. √2βŽ₯
𝑉𝑉3
−3𝑃𝑃
−1 βŽ₯
2. √2⎦
0
1
−1 𝑉𝑉2
1 + 2. √2 −1οΏ½ οΏ½π‘ˆπ‘ˆ3 οΏ½ = οΏ½ −𝑃𝑃 οΏ½
−3𝑃𝑃
−1
1 𝑉𝑉3
Pour la résolution de ce système de trois équations à trois inconnues V 2 , U 3
et V 3 , on utilise la méthode de l’inverse.
Pour notre exemple la matrice inverse de [𝐴𝐴]−1 est donnée par :
17
Analyse de structures par éléments finis
[𝐴𝐴
0
0.3536
2. √2. 𝐿𝐿 0.3536
οΏ½ 0
=
0.3536 0.3536οΏ½
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
0.3536 0.3536 1.7071
]−1
Donc le vecteur des déplacements inconnus sera déterminer par :
𝑉𝑉2
2. �2. 𝐿𝐿 �0.3536
οΏ½π‘ˆπ‘ˆ3 οΏ½ =
0
𝐸𝐸. 𝐴𝐴 0.3536
𝑉𝑉3
0
0.3536
0
οΏ½
οΏ½
0.3536 0.3536 −120000οΏ½
0.3536 1.7071 −360000
Le déplacement V 2 est obtenu par un produit scalaire entre la première ligne
de la matrice [𝐴𝐴]−1 et le vecteur {𝑏𝑏} comme suit :
𝑉𝑉2 =
2.√2.𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
⟨0.353 0
0
⟩
0.353 οΏ½−120000οΏ½ = −0.126 π‘šπ‘šπ‘šπ‘š
−360000
𝑉𝑉2 = −0.126 π‘šπ‘šπ‘šπ‘š
;
Le déplacement U 3 est obtenu par un produit scalaire entre la deuxième
ligne de la matrice [𝐴𝐴]−1 et le vecteur {𝑏𝑏} comme suit :
π‘ˆπ‘ˆ3 =
2.√2.𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
⟨0
0.353
0
⟩
οΏ½
0.353 −120000οΏ½ = −0.168 π‘šπ‘šπ‘šπ‘š
−360000
π‘ˆπ‘ˆ3 = −0.168 π‘šπ‘šπ‘šπ‘š
;
Le déplacement V 3 est obtenu par un produit scalaire entre la troisième ligne
de la matrice [𝐴𝐴]−1 et le vecteur {𝑏𝑏} comme suit :
𝑉𝑉3 =
2.√2.𝐿𝐿
𝐸𝐸.𝐴𝐴
⟨0.353 0.353
0
⟩
οΏ½
1.707 −120000οΏ½ = −0.650 π‘šπ‘šπ‘šπ‘š
−360000
;
𝑉𝑉3 = −0.650 π‘šπ‘šπ‘šπ‘š
Détermination des réactions aux appuis.
De l’équation (1) du système global, on a :
𝑅𝑅π‘₯π‘₯1 =
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
[(1). π‘ˆπ‘ˆ1 + (0). 𝑉𝑉1 + (0). π‘ˆπ‘ˆ2 + (0). 𝑉𝑉2 + (−1). π‘ˆπ‘ˆ3 + (0). 𝑉𝑉3 ]
𝐿𝐿
𝑅𝑅π‘₯π‘₯1 =
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
[(−1). π‘ˆπ‘ˆ3 ] =
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
[−(−0.168)] = 480 𝐾𝐾𝐾𝐾
De l’équation (2) du système global, on a :
18
Analyse de structures par éléments finis
𝑅𝑅𝑦𝑦1 =
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
[(0). π‘ˆπ‘ˆ1 + (1). 𝑉𝑉1 + (0). π‘ˆπ‘ˆ2 + (−1). 𝑉𝑉2 + (0). π‘ˆπ‘ˆ3 + (0). 𝑉𝑉3 ]
𝐿𝐿
𝑅𝑅π‘₯π‘₯1 =
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
[(−1). 𝑉𝑉2 ] =
𝐸𝐸.𝐴𝐴
𝐿𝐿
[−(−0.168)] = 360 𝐾𝐾𝐾𝐾
De l’équation (3) du système global, on a :
𝑅𝑅π‘₯π‘₯2 =
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
1
1
−1
1
οΏ½(0). π‘ˆπ‘ˆ1 + (0). 𝑉𝑉1 + οΏ½
οΏ½ . π‘ˆπ‘ˆ2 + οΏ½1 +
οΏ½ . 𝑉𝑉2 + (
οΏ½ . 𝑉𝑉3 οΏ½
). π‘ˆπ‘ˆ3 + οΏ½
𝐿𝐿
2. √2
2. √2
2. √2
2. √2
𝑅𝑅π‘₯π‘₯2 =
𝐸𝐸. 𝐴𝐴
1
−1
1
οΏ½οΏ½1 +
οΏ½ . (−0.126) + οΏ½
οΏ½ . (−0.168) + οΏ½
οΏ½ . (−0.650)οΏ½
𝐿𝐿
2. √2
2. √2
2. √2
𝑅𝑅π‘₯π‘₯2 = −360 𝐾𝐾𝐾𝐾
Exercice :
Soit la structure suivante :
1
(1)
L
F
(3)
2
L
(2)
Y
3
L
X
Résolvez ce problème avec :
Les sections des barres : A 1 = 100 = A 2 = A 3 = 100 mm2
Le module d’Young est E = 210000 N/mm2
F = 10 KN
L = 0.2 m.
-
Déterminez les déplacements inconnus.
-
Déduisez les réactions aux appuis.
19
Download