Analyse de structures par éléments finis
Elément de Barre 1D
I-1 Matrice de rigidité de l’élément Barre.
Un élément Barre est un élément unidimensionnel qui est sollicité à la
traction compression. Une Barre est définie par :
Sa section A, sa Longueur L et son module d’élasticité E
Figure I.1 Elément barre.
La modélisation de cet élément est assurée par un segment entre deux
points qu’on nomme nœuds. Il est important de noter que les deux nœuds
de la Barre sont des articulations.
Figure I.2 Modélisation de l’élément Barre.
Une charge de traction ou de compression appliquée à la Barre, engendre
des déplacements des deux nœuds i et j.
1
Analyse de structures par éléments finis
L’équilibre de la Barre est assuré par le système élémentaire suivant :
πΈπΈππ .π΄π΄ππ
πΏπΏππ
ππππ
1 −1 π’π’ππ
οΏ½
οΏ½ οΏ½π’π’ οΏ½ = οΏ½ οΏ½
ππππ
ππ
−1 1
(I-1)
La matrice du système est dite matrice de rigidité.
Le vecteur {ππ} est le vecteur des déplacements.
Le vecteur {ππ} est le vecteur des charges extérieures.
I.2 Vecteur charges équivalentes
Dans le cas où la barre est soumise à une charge répartie comme indiqué
dans la figure 3.
Figure I.3 Charges équivalentes
Le vecteur charges équivalentes, dans le cas d’une charge répartie de densité
d constante, sera exprimé par :
ππ.πΏπΏ
ππππ
2
οΏ½ οΏ½ = οΏ½ππ.πΏπΏ
οΏ½
ππππ
(I-2)
2
2
Analyse de structures par éléments finis
Exemple :
Soit la structure suivante, constituée de deux Barres Sollicitée comme suit :
Figure I.4 Structure discrétisée par deux éléments de barre.
Les deux barres ont :
Une même section π΄π΄1 = π΄π΄2 = π΄π΄ = 20 mm2
Une même longueur πΏπΏ1 = πΏπΏ2 = πΏπΏ = 200 mm
Les deux barres sont en acier et ont pour module d’élasticité E 1 = E 2 = E =
200000 MPa.
Nous présenterons dans ce qui suit les étapes à suivre pour la résolution
d’un problème de structure par la méthode des éléments finis.
Etape 1 : Calcul élémentaire.
Dans cette étape on défini le système élémentaire pour chaque Barre :
− L’Elément (1)
L’élément (1) est localisé entre les nœuds 1 et 2, on dit alors que la
connectivité de l’élément est 1 - 2.
NB : La Connectivité de l’élément est très importante car elle permet
d’assembler le système élémentaire dans le système global, qu’on abordera
dans une étape ultérieure.
Figure I.4 Représentation de l’élément (1)
3
Analyse de structures par éléments finis
Son système élémentaire, d’après le système (I-1), sera :
πΈπΈ1 .π΄π΄1 1
οΏ½
πΏπΏ1
−1
ππ
−1 π’π’1
οΏ½ οΏ½π’π’ οΏ½ = οΏ½ 1 οΏ½
ππ2 ⁄2
2
1
(I-3)
NB : La force au niveau du nœud 2 a été divisée par deux car le nœud 2 est
commun aux deux éléments (1) et (2).
− L’Elément (2)
L’élément (1) est situé entre les nœuds 2 et 3, on dit alors que l’élément est
localisé entre les nœuds 2 et 3 et sa connectivité est 2-3.
Figure I.5 Représentation de l’élément (2)
Son système élémentaire, d’après le système (I-1), sera :
πΈπΈ2 .π΄π΄2 1
οΏ½
πΏπΏ2
−1
Etape 2 : Assemblage.
ππ ⁄2
−1 π’π’2
οΏ½ οΏ½π’π’ οΏ½ = οΏ½ 2 οΏ½
ππ3
3
1
(I-4)
Le but de cette étape est la détermination du système global qui décrit le
comportement des deux barres ensemble.
Pour commencer, on doit déterminer la taille du système global.
La taille est donnée par :
ππ = π΅π΅π΅π΅ ∗ ππππππππ
(I-5)
Où : Nn : est le nombre de nœuds de la structure
ndln : est le nombre de degré de liberté par nœuds ou nombre de
déplacement par nœud.
Dans cet exemple, Nn = 3 et ndln = 1, donc la taille du système global sera :
4
Analyse de structures par éléments finis
ππ = ππ ∗ ππ = ππ
Dans ce cet exemple, les deux éléments ont les mêmes caractéristiques :
π΄π΄1 = π΄π΄2 = π΄π΄ = 20mm2, πΏπΏ1 = πΏπΏ2 = πΏπΏ = 200 mm et E 1 = E 2 = E = 200000 MPa.
L’assemblage consiste à écrire les coefficients des matrices de rigidité des
systèmes
élémentaires
dans
le
système
global
en
respectant
leurs
connectivités.
La connectivité de l’élément (1) est 1 – 2, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (1) seront écrits dans les cases, de la matrice globale,
correspondantes aux déplacements u 1 et u 2 .
La connectivité de l’élément (2) est 2 – 3, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (2) seront écrits dans les cases, de la matrice globale,
correspondantes aux déplacements u 2 et u 3 .
Les coefficients qui coïncident dans une case sont additionnés et les cases
vides sont des rigidités nulles.
Pour simplifier l’opération, on reprend les deux systèmes élémentaires :
L’élément (1)
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
1
οΏ½
−1
πΈπΈ. π΄π΄
πΏπΏ
L’élément (2)
ππ1
−1 π’π’1
οΏ½ ;
οΏ½οΏ½ οΏ½ = οΏ½
ππ2 ⁄2
1 π’π’2
1
-1
0
E.A
οΏ½
L
1 -1 u2 f2⁄2
οΏ½ οΏ½u οΏ½ = οΏ½
οΏ½
f3
3
-1 1
-1
0
u1
-1
u2
-1
1
u3
1+1
f1
=
f 2 /2+
f 2 /2
f3
5
Analyse de structures par éléments finis
Le système global sera :
πΈπΈ. π΄π΄ 1
οΏ½−1
πΏπΏ
0
ππ1
−1 0 π’π’1
2 −1οΏ½ οΏ½π’π’2 οΏ½ = οΏ½ππ2 οΏ½
ππ3
−1 1 π’π’3
Avant de passer à l’étape suivante qui est la résolution, on doit définir les
conditions aux limites.
− Comme le nœud 1 est un appui double, donc le déplacement u 1 est
nul ; u 1 =0.
− Le nœud 2 est un nœud libre, donc le déplacement u 2 est inconnu et à
déterminer.
− Le nœud 3 est un appui simple libre dans la direction du chargement,
donc u 3 est inconnu et à déterminer.
− f 1 est la force au nœud 1 et comme le nœud 1 est un appui alors f 1
est une réaction à déterminer.
− f 2 est la force appliquée au niveau du nœud 2, dans notre cas aucune
force n’est appliquée alors f 2 = 0.
− f 3 est la force appliquée au niveau du nœud 3 et est égale à 1000 N
Donc le système global peut s’écrire :
ππ1
πΈπΈ. π΄π΄ 1 −1 0 π’π’1 = 0
οΏ½−1 2 −1οΏ½ οΏ½ π’π’2 οΏ½ = οΏ½ 0 οΏ½
πΏπΏ
π’π’3
0 −1 1
1000
6
Analyse de structures par éléments finis
Etape 3 : Résolution.
La résolution se réalise en deux étapes. On commence par la détermination
des déplacements inconnus puis on déduit les forces inconnues (Les
réactions aux appuis).
1. Détermination des déplacements inconnus.
Dans cette étape, on doit isoler du système global, les équations contenant
les déplacements inconnus. On appelle le système ainsi obtenu un
système réduit.
Dans cet exemple, le système réduit est défini par les équations 2 et 3, tel
que :
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
[(−1). π’π’1 + 2. π’π’2 + (−1). π’π’3 ] = 0
[0. π’π’1 + (−1). π’π’2 + (1). π’π’3 ] = 1000
Équation (2)
Équation (3)
Avec u 1 =0, le système sera sous forme matricielle :
πΈπΈ. π΄π΄ 2 −1 π’π’2
0
οΏ½
οΏ½ οΏ½π’π’ οΏ½ = οΏ½
οΏ½
3
1000
πΏπΏ −1 1
Pour la résolution de ce système de deux équations à deux inconnues u 2 et
u 3 , on utilise n’importe quelle méthode de résolution des systèmes
algébriques.
Dans ce cas on va utiliser la méthode de l’inverse. Pour un système
algébrique [π΄π΄]{π₯π₯ } = {ππ} où : [π΄π΄] est la matrice du système.
{π₯π₯ } est le vecteur des inconnues
{ππ} est le vecteur second membre.
La solution du système est donnée par :
{π₯π₯ } = [π΄π΄]−1 {ππ}
Pour notre exemple la matrice inverse de [π΄π΄]−1 est donnée par
7
Analyse de structures par éléments finis
[π΄π΄]−1 =
πΏπΏ 1 1
οΏ½
οΏ½
πΈπΈ. π΄π΄ 1 2
Donc le vecteur des déplacements inconnus sera déterminer par :
πΏπΏ 1
π’π’2
οΏ½π’π’ οΏ½ =
οΏ½
3
πΈπΈ. π΄π΄ 1
1
0
οΏ½οΏ½
οΏ½
2 1000
Le déplacement u 2 est obtenu par un produit scalaire entre la première ligne
de la matrice [π΄π΄]−1 et le vecteur {ππ} comme suit :
πΏπΏ
π’π’2 = πΈπΈ.π΄π΄ ⟨1
πΏπΏ
1000.πΏπΏ
0
(1 ∗ 0 + 1 ∗ 1000) =
οΏ½=
1⟩ οΏ½
πΈπΈ.π΄π΄
πΈπΈ.π΄π΄
1000
;
π’π’2 =
1000.πΏπΏ
π’π’3 =
2000.πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
Le déplacement u 3 est obtenu par un produit scalaire entre la deuxième
ligne de la matrice [π΄π΄]−1 et le vecteur {ππ} comme suit :
π’π’3 =
πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
⟨1
πΏπΏ
2000.πΏπΏ
0
(1 ∗ 0 + 2 ∗ 1000) =
οΏ½=
2⟩ οΏ½
πΈπΈ.π΄π΄
πΈπΈ.π΄π΄
1000
;
Le vecteur des déplacements inconnus est donné par :
πΈπΈ.π΄π΄
1000. πΏπΏ 1
π’π’2
οΏ½π’π’ οΏ½ =
οΏ½ οΏ½
3
πΈπΈ. π΄π΄ 2
2. Détermination des réactions aux appuis.
Dans cet exemple, on a une seule réaction f 1 de l’équation (1) du système
global.
ππ1 =
πΈπΈ. π΄π΄
πΈπΈ. π΄π΄
[(1). π’π’1 + (−1). π’π’2 + (0). π’π’3 ] =
[−π’π’2 ]
πΏπΏ
πΏπΏ
ππ1 =
πΈπΈ. π΄π΄ 1000. πΏπΏ
οΏ½−
οΏ½ = 1000 ππ
πΏπΏ
πΈπΈ. π΄π΄
8
Analyse de structures par éléments finis
Elément de Barre 2D
Un élément de barre 2D est un élément de barre 1D orienté dans le plan,
comme indiquer dans la Figure II.1
Figure II.1 Représentation d’un élément de Barre 2D
L’orientation de l’élément dans le plan est déterminée par :
πΆπΆπΆπΆπΆπΆ ππ =
ππππππ ππ =
ππ ππ −ππππ
(II-1)
ππππ −ππππ
(II-2)
πΏπΏππ
πΏπΏππ
Avec L e la longueur de l’élément déterminée par :
2
πΏπΏππ = οΏ½οΏ½ππππ − ππππ οΏ½ + οΏ½ππππ − ππππ οΏ½
2
(II-3)
Remarque très importante : le nœud i est toujours le nœud inférieur de
la barre et le nœud j est le nœud supérieur de la barre.
Sous l’effet des charges πΉπΉπ₯π₯π₯π₯ , πΉπΉπ₯π₯π₯π₯ , πΉπΉπ¦π¦π¦π¦ et πΉπΉπ¦π¦π¦π¦ , l’équilibre de la barre est exprimé
par le système élémentaire suivant :
9
Analyse de structures par éléments finis
ππ 2
πΈπΈππ π΄π΄ππ ππ. π π
οΏ½ 2
πΏπΏππ
−ππ
−ππ. π π
ππ. π π −ππ 2
−ππ. π π
π π 2
ππ 2
−ππ. π π
π π 2 ππ. π π
πΉπΉπ₯π₯π₯π₯
−ππ. π π ππππ
β§
β«
β§
β«
πΉπΉ
2
ππ
π¦π¦π¦π¦
ππ
−π π οΏ½
=
ππ. π π β¨ππππ β¬ β¨πΉπΉπ₯π₯π₯π₯ β¬
π π 2 β© ππππ β β©πΉπΉπ¦π¦π¦π¦ β
()
Où : ππ = cos Θ , π π = sin Θ et ππ. π π = cos Θ . sin Θ
II.2 Vecteur charges équivalentes
Dans le cas où la barre est soumise à une charge répartie comme indiqué
dans la Figure II.2.
Figure II.2. Charges équivalentes
Le vecteur charges équivalentes, dans le cas d’une charge répartie de densité
d constante, sera exprimé par :
10
Analyse de structures par éléments finis
Exemple :
πΉπΉπ₯π₯π₯π₯
ππ
β§ πΉπΉ β«
π¦π¦π¦π¦
ππ.πΏπΏππ π π
= 2 οΏ½ οΏ½
ππ
β¨πΉπΉπ₯π₯π₯π₯ β¬
π π
β©πΉπΉπ¦π¦π¦π¦ β
(2)
Soit le treillis plan, à trois nœuds articulés, suivant. Il est composé de trois
éléments de barre, de même nature et même section. Le nœud 1 repose sur
un appui double, le nœud 2 repose sur un appui simple et le nœud libre 3
supporte une charge à composantes οΏ½
ππ
οΏ½ comme indiqué dans la Figure II.3
3ππ
Les caractéristiques du treillis sont définies par π΄π΄1 = π΄π΄2 = π΄π΄3 = π΄π΄, πΈπΈ1 = πΈπΈ2 = πΈπΈ3 = πΈπΈ
et ππ = 120 πΎπΎπΎπΎ
οΏ½
ππ
οΏ½
3ππ
Figure II.3 Treillis plan à 3 Barres
Pour la résolution de ce système, on suit les mêmes étapes suivies
précédemment.
11
Analyse de structures par éléments finis
Etape 1 : Calcul élémentaire.
Dans cette étape on défini le système élémentaire pour chaque Barre :
•
L’Elément (1)
La connectivité de l’élément (1) est 1 - 2.
Les coordonnées des nœuds de l’élément (1) sont : ππ1 = 0, ππ1 = 0 , ππ2 = 0 et
ππ2 = 0.
− La Longueur de l’élément (1) est donnée par :
πΏπΏ1 = οΏ½(ππ2 − ππ1 )2 + (ππ2 − ππ1 )2 = οΏ½(0 − 0)2 + (πΏπΏ − 0)2 = L
− L’orientation de l’élément (1) est déterminée par :
πΆπΆπΆπΆπΆπΆ ππ1 =
ππππππ ππ1 =
ππ2 − ππ1
0−0
=
=0
πΏπΏ1
πΏπΏ
ππ2 − ππ1
πΏπΏ − 0
=
=1
πΏπΏ1
πΏπΏ
ππ1 = 90° , ππ 2 = 0 , π π 2 = 1 et
Donc,
ππ. π π = 0
− La matrice de rigidité de l’élément (1) sera :
ππ 2
ππ. π π
πΈπΈ π΄π΄
[ππ1 ] = 1 1 οΏ½ 2
πΏπΏ1
−ππ
−ππ. π π
•
ππ. π π −ππ 2
−ππ. π π
π π 2
ππ 2
−ππ. π π
π π 2 ππ. π π
L’Elément (2)
−ππ. π π
0
2
−π π οΏ½ = πΈπΈ.π΄π΄ οΏ½0
πΏπΏ 0
ππ. π π
0
π π 2
0
1
0
−1
0
0
0 −1
οΏ½
0
0
0 1
La connectivité de l’élément (2) est 1 - 3.
Les coordonnées des nœuds de l’élément (2) sont ππ1 = 0, ππ1 = 0 , ππ3 = πΏπΏ et
ππ3 = 0.
− La Longueur de l’élément (2) est donnée par :
πΏπΏ2 = οΏ½(ππ3 − ππ1 )2 + (ππ3 − ππ1 )2 = οΏ½(πΏπΏ − 0)2 + (0 − 0)2 = L
12
Analyse de structures par éléments finis
− L’orientation de l’élément (2) est déterminée par :
πΆπΆπΆπΆπΆπΆ ππ2 =
ππππππ ππ2 =
ππ3 − ππ1
πΏπΏ − 0
=
=1
πΏπΏ2
πΏπΏ
ππ3 − ππ1
0−0
=
=0
πΏπΏ2
πΏπΏ
ππ2 = 0° , ππ 2 = 1 , π π 2 = 0 et
Donc,
ππ. π π = 0
− La matrice de rigidité de l’élément (2) sera :
ππ 2
ππ. π π
πΈπΈ π΄π΄
[ππ2 ] = 2 2 οΏ½ 2
πΏπΏ2
−ππ
−ππ. π π
•
ππ. π π −ππ 2
−ππ. π π
π π 2
ππ 2
−ππ. π π
π π 2 ππ. π π
−ππ. π π
1 0
2
0
−π π οΏ½ = πΈπΈ.π΄π΄ οΏ½ 0
πΏπΏ −1
0
ππ. π π
2
0
0
π π
−1
0
1
0
0
0
οΏ½
0
0
L’Elément (3)
La connectivité de l’élément (3) est 2 - 3.
Les coordonnées des nœuds de l’élément (3) sont ππ2 = 0, ππ2 = πΏπΏ, ππ3 = πΏπΏ et
ππ3 = 0
− La Longueur de l’élément (3) est donnée par :
πΏπΏ3 = οΏ½(ππ2 − ππ3 )2 + (ππ2 − ππ3 )2 = οΏ½(πΏπΏ − 0)2 + (πΏπΏ − 0)2 = √2 L
− L’orientation de l’élément (3) est déterminée par :
πΆπΆπΆπΆπΆπΆ ππ3 =
ππππππ ππ3 =
Donc,
1
ππ2 − ππ3
0 − πΏπΏ
−1
=
=
πΏπΏ3
√2 πΏπΏ
√2
ππ2 − ππ3
πΏπΏ − 0
1
=
=
πΏπΏ3
√2 πΏπΏ √2
1
ππ3 = 135° , ππ 2 = 2 , π π 2 = 2 et
ππ. π π = −
1
2
13
Analyse de structures par éléments finis
− La matrice de rigidité de l’élément (1) sera :
ππ 2
ππ. π π
πΈπΈ π΄π΄
[ππ3 ] = 3 3 οΏ½ 2
πΏπΏ3
−ππ
−ππ. π π
ππ. π π −ππ 2
−ππ. π π
π π 2
ππ 2
−ππ. π π
π π 2 ππ. π π
1
β‘ 2
−ππ. π π
β’− 1
2
πΈπΈ.π΄π΄
−π π οΏ½ =
β’ 2
1
πΏπΏ
2
√
ππ. π π
β’−
2
π π 2
β’ 1
β£ 2
1
1
−2
−2
2
1
2
1
1
2
1
−2
1
2
1
−2
1
2β€
1β₯
−2
β₯
− 2β₯
1β₯
2β¦
1
Etape 2 : Assemblage.
Le but de cette étape est la détermination du système global qui décrit le
comportement des deux barres ensemble.
La taille du système global est donnée par :
(5)
ππ = π΅π΅π΅π΅ ∗ ππππππππ
Où : Nn : est le nombre de nœuds de la structure
ndln : est le nombre de degré
de liberté par nœuds ou nombre de
déplacement par nœud.
Dans cet exemple, Nn = 3 et ndln = 2, donc la taille du système global sera :
ππ = ππ ∗ ππ = ππ
Dans ce cet exemple, les trois éléments ont les mêmes caractéristiques :
π΄π΄1 = π΄π΄2 = π΄π΄3 = π΄π΄ = 100 cm2, πΏπΏ1 = πΏπΏ2 = πΏπΏ3 = πΏπΏ = 700 mm et E 1 = E 2 = E 3 = E =
200000 MPa.
Pour faciliter l’assemblage des trois matrices élémentaires dans la matrice
globale, on réécrit la matrice de rigidité de l’élément (3) de telle manière à
avoir une même rigidité
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
pour les trois éléments :
14
Analyse de structures par éléments finis
1
β‘ 2
β’ 1
πΈπΈ.π΄π΄ β’− 2
[ππ3 ] =
√2 πΏπΏ β’ 1
−
2
β’ 1
β£ 2
1
1
−2
−2
2
1
2
1
1
−
2
1
2
1
2β€
1
− β₯
2β₯
1 =
− β₯
2
1β₯
2β¦
1
−
2
1
2
1
β‘ 2 √2
β’ 1
−
πΈπΈ.π΄π΄ β’ 2√2
1
πΏπΏ β’
β’ − 2 √2
β’ 1
β£ 2 √2
1
− 2 √2
1
−
2 √2
1
2 √2
1
2 √2
−2
−
1
√2
1
2 √2
1
2 √2
1
2 √2
1
β€
β₯
−
2 √2 β₯
1 β₯
−
2 √2 β₯
1 β₯
2 √2 β¦
2 √2
1
L’assemblage consiste à écrire les coefficients des systèmes élémentaires
dans le système global en respectant leurs connectivités.
La connectivité de l’élément (1) est 1 – 2, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (1) seront écrits dans les cases de la matrice globale
correspondantes aux déplacements U 1 , V 1 , U 2 et V 2 .
La connectivité de l’élément (2) est 1 – 3, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (2) seront écrits dans les cases de la matrice globale
correspondantes aux déplacements U 1 , V 1 , U 3 et V 3 .
La connectivité de l’élément (3) est 2 – 3, donc les coefficients de la matrice
de rigidité de l’élément (3) seront écrits dans les cases de la matrice globale
correspondantes aux déplacements U 2 , V 2 , U 3 et V 3 .
Le système global sera :
0+1
0+0
0
0
-1
0
U1
0+0
1+0
0
-1
0
0
V1
−1
1
U2
0
πΈπΈ. π΄π΄
πΏπΏ
0
-1
0
0
-1
0
0
0+
0−
ππ
ππ. √ππ
1
2. √2
−1
2. √2
1
2. √2
0−
1+
1
2. √2
1
2. √2
1
2. √2
−1
2. √2
2. √2
1
2. √2
1+
0−
1
2. √2
1
2. √2
2. √2
−1
2. √2
0−
0+
1
2. √2
1
V2
πΉπΉπ₯π₯1
πΉπΉπ¦π¦1
πΉπΉπ₯π₯2
=
πΉπΉπ¦π¦2
πΉπΉπ₯π₯3
U3
πΉπΉπ¦π¦3
V3
2. √2
Avant de passer à l’étape suivante qui est la résolution, on doit définir les
conditions aux limites.
15
Analyse de structures par éléments finis
− Comme le nœud 1 est un appui double, donc les déplacements U 1 et
V 1 sont nuls :
U 1 = 0 ; V 1 = 0.
− Le nœud 2 est un appui simple libre dans la direction Y, donc le
déplacement U 2 est nul; U 2 =0 et V 2 inconnu à déterminer.
− Le nœud 3 est un nœud libre, donc les déplacements U 3 et V 3 sont
inconnus et à déterminer.
− Le nœud 1 est un appui double, donc Fx 1 , Fy 1 sont des réactions
qu’on notera Rx 1 et Rx 2 .
− Le nœud 2 est un appui simple dans la direction des X et libre dans la
direction des Y, donc dans la force Fx 2 est une réaction qu’on notera
Rx 2 . Aucune force n’est appliquée au nœud 2 dans la direction des Y,
donc la force Fy 2 = 0.
− Fx 3 et Fy 3 sont les forces appliquées ai niveau du nœud libre 3 et qui
ont pour valeurs Fx 3 = -P et Fy 3 = -3P.
Donc le système global devient :
0+1
0+0
0
0
-1
0
U 1 =0
0+0
1+0
0
-1
0
0
V 1 =0
−1
1
U 2 =0
0
πΈπΈ. π΄π΄
πΏπΏ
0
-1
0
0
-1
0+
0−
0
0
ππ
ππ. √ππ
1
2. √2
−1
2. √2
1
2. √2
0−
1+
1
2. √2
1
2. √2
1
2. √2
−1
2. √2
2. √2
1
2. √2
1+
0−
1
2. √2
1
2. √2
2. √2
−1
2. √2
0−
0+
1
2. √2
1
V2
π
π
π₯π₯1
π
π
π¦π¦1
π
π
π₯π₯2
=
0
−ππ
U3
−3ππ
V3
2. √2
Etape 3 : Résolution.
La résolution se réalise en deux étapes. On commence par la détermination
des déplacements inconnus puis on déduit les forces inconnues (Les
réactions aux appuis).
16
Analyse de structures par éléments finis
1. Détermination des déplacements inconnus.
Dans cette étape, on doit isoler du système global les équations contenant
les déplacements inconnus. On appelle le système ainsi obtenu un système
réduit.
Pour cet exemple, le système réduit est défini par les équations (4), (5) et (6),
tel que :
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
οΏ½(0). ππ1 + (−1). ππ1 + οΏ½
οΏ½(−1). ππ1 + (0). ππ1 + οΏ½
οΏ½(0). ππ1 + (0). ππ1 + οΏ½
−1
2.√2
οΏ½ . ππ2 + οΏ½1 +
2.√2
2.√2
1
−1
2.√2
οΏ½ . ππ2 + οΏ½
οΏ½ . ππ2 + οΏ½
−1
1
2.√2
1
2.√2
οΏ½ . ππ2 + (
οΏ½ . ππ2 + (1 +
οΏ½ . ππ2 + (
−1
2.√2
1
2.√2
1
2.√2
). ππ3 + οΏ½
). ππ3 + οΏ½
). ππ3 + οΏ½
1
2.√2
−1
2.√2
−1
2.√2
οΏ½ . ππ3 οΏ½ = 0
Équat (4)
οΏ½ . ππ3 οΏ½ = −ππ Équat (5)
οΏ½ . ππ3 οΏ½ = −3ππ
Équat (6)
Avec U 1 =0, V 1 =0, U 2 =0, le système réduit sera sous forme matricielle :
1
β‘1 +
2. √2
β’
1
πΈπΈ. π΄π΄
β’
πΏπΏ β’ 2. √2
β’ −1
β£ 2. √2
On peut l’écrire :
1 + 2. √2
οΏ½
1
2. √2. πΏπΏ
−1
πΈπΈ. π΄π΄
1
2. √2
1
1+
2. √2
−1
2. √2
−1
β€
2. √2
β₯
−1
ππ2
0
β₯ οΏ½ππ3 οΏ½ = οΏ½ −ππ οΏ½
2. √2β₯
ππ3
−3ππ
−1 β₯
2. √2β¦
0
1
−1 ππ2
1 + 2. √2 −1οΏ½ οΏ½ππ3 οΏ½ = οΏ½ −ππ οΏ½
−3ππ
−1
1 ππ3
Pour la résolution de ce système de trois équations à trois inconnues V 2 , U 3
et V 3 , on utilise la méthode de l’inverse.
Pour notre exemple la matrice inverse de [π΄π΄]−1 est donnée par :
17
Analyse de structures par éléments finis
[π΄π΄
0
0.3536
2. √2. πΏπΏ 0.3536
οΏ½ 0
=
0.3536 0.3536οΏ½
πΈπΈ. π΄π΄
0.3536 0.3536 1.7071
]−1
Donc le vecteur des déplacements inconnus sera déterminer par :
ππ2
2. οΏ½2. πΏπΏ οΏ½0.3536
οΏ½ππ3 οΏ½ =
0
πΈπΈ. π΄π΄ 0.3536
ππ3
0
0.3536
0
οΏ½
οΏ½
0.3536 0.3536 −120000οΏ½
0.3536 1.7071 −360000
Le déplacement V 2 est obtenu par un produit scalaire entre la première ligne
de la matrice [π΄π΄]−1 et le vecteur {ππ} comme suit :
ππ2 =
2.√2.πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
⟨0.353 0
0
⟩
0.353 οΏ½−120000οΏ½ = −0.126 ππππ
−360000
ππ2 = −0.126 ππππ
;
Le déplacement U 3 est obtenu par un produit scalaire entre la deuxième
ligne de la matrice [π΄π΄]−1 et le vecteur {ππ} comme suit :
ππ3 =
2.√2.πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
⟨0
0.353
0
⟩
οΏ½
0.353 −120000οΏ½ = −0.168 ππππ
−360000
ππ3 = −0.168 ππππ
;
Le déplacement V 3 est obtenu par un produit scalaire entre la troisième ligne
de la matrice [π΄π΄]−1 et le vecteur {ππ} comme suit :
ππ3 =
2.√2.πΏπΏ
πΈπΈ.π΄π΄
⟨0.353 0.353
0
⟩
οΏ½
1.707 −120000οΏ½ = −0.650 ππππ
−360000
;
ππ3 = −0.650 ππππ
Détermination des réactions aux appuis.
De l’équation (1) du système global, on a :
π
π
π₯π₯1 =
πΈπΈ. π΄π΄
[(1). ππ1 + (0). ππ1 + (0). ππ2 + (0). ππ2 + (−1). ππ3 + (0). ππ3 ]
πΏπΏ
π
π
π₯π₯1 =
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
[(−1). ππ3 ] =
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
[−(−0.168)] = 480 πΎπΎπΎπΎ
De l’équation (2) du système global, on a :
18
Analyse de structures par éléments finis
π
π
π¦π¦1 =
πΈπΈ. π΄π΄
[(0). ππ1 + (1). ππ1 + (0). ππ2 + (−1). ππ2 + (0). ππ3 + (0). ππ3 ]
πΏπΏ
π
π
π₯π₯1 =
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
[(−1). ππ2 ] =
πΈπΈ.π΄π΄
πΏπΏ
[−(−0.168)] = 360 πΎπΎπΎπΎ
De l’équation (3) du système global, on a :
π
π
π₯π₯2 =
πΈπΈ. π΄π΄
1
1
−1
1
οΏ½(0). ππ1 + (0). ππ1 + οΏ½
οΏ½ . ππ2 + οΏ½1 +
οΏ½ . ππ2 + (
οΏ½ . ππ3 οΏ½
). ππ3 + οΏ½
πΏπΏ
2. √2
2. √2
2. √2
2. √2
π
π
π₯π₯2 =
πΈπΈ. π΄π΄
1
−1
1
οΏ½οΏ½1 +
οΏ½ . (−0.126) + οΏ½
οΏ½ . (−0.168) + οΏ½
οΏ½ . (−0.650)οΏ½
πΏπΏ
2. √2
2. √2
2. √2
π
π
π₯π₯2 = −360 πΎπΎπΎπΎ
Exercice :
Soit la structure suivante :
1
(1)
L
F
(3)
2
L
(2)
Y
3
L
X
Résolvez ce problème avec :
Les sections des barres : A 1 = 100 = A 2 = A 3 = 100 mm2
Le module d’Young est E = 210000 N/mm2
F = 10 KN
L = 0.2 m.
-
Déterminez les déplacements inconnus.
-
Déduisez les réactions aux appuis.
19
