Chapitre 4
1
Eléments Finis bi dimensionnels
4.1 Introduction :
Dans l’analyse des barres, poutres et portique, les éléments constituant la
structure complète correspondent généralement à des parties discrètes bien connues de
la structure ; il était par conséquent évident quels éléments étaient requis et comment ils
doivent être placés pour aboutir à la solution. Ceci n’est pas le cas lorsqu’on considère
l’analyse par éléments finis des structures bi ou tri dimensionnelles. Dans ce cas il
n’existe pas généralement une seule méthode pour modéliser ou idéaliser la structure
par élément finis car ces éléments sont davantage simplement des régions
mathématiques du milieu continu que des parties physiques discrètes. Dans
pratiquement tous les cas, les relations élémentaires déterminées ainsi que les relations
assemblées sont approchées. La précision de la solution dépendra de la précision des
relations des éléments individuels et du nombre, type et arrangement des éléments à
partir desquels est assemblée la structure. Il y a un choix considérable disponible pour
l’analyste pour la sélection de la forme de l’élément, du champ de déplacement et le
maillage des éléments.
Dans l’analyse bi dimensionnelle une forme qui peut être utilisée est le triangle à
côtés droits. Dans la figure 4.1 sont montrées une structure plane arbitraire ainsi que
deux possibles idéalisations par éléments finis du problème en utilisant des éléments
triangulaires. Le choix du maillage de l'élément n'est pas clairement établi et les deux
idéalisations montrées sont seulement deux d'un nombre infini pouvant être employé.
De plus il y a une grande variété dans le type de l'élément triangulaire pouvant être
imaginé.
Figure 4.1 Structure en contraintes planes modélisée par des éléments finis
triangulaires
a) la structure b) maillage grossier c) maillage fin
D'autres formes d'éléments peuvent être utilisées pour ce problème. L'élément
rectangulaire est une autre possibilité mais s'il est utilisé seul il est clairement limité
pour modéliser avec précision des structures plus complexes. Certains éléments
rectangulaires ont une meilleure précision que les éléments triangulaires correspondants
et il n'y a pas de raison qui empêche l'association des éléments rectangulaires avec les
éléments triangulaires. Cette association est permise si les éléments peuvent être
2
proprement connectés en leurs nœuds; c'est-à-dire aussi longtemps que les côtes
adjacents ont le même nombre de nœuds et le même nombre de degrés de liberté.
Les éléments triangulaires et rectangulaires que nous aborderons dans ce
chapitre ont le handicap des côtés droits qui rend impossible la correcte modélisation
des bords courbes; bien que les triangles permettent une bonne approximation des tels
bords si un nombre suffisant d'éléments est utilisé. Il convient de noter qu'il existe
d'autres éléments plus sophistiqués qui ont des côtés courbes et dont les formes sont
décrites comme des rectangles curvilignes ou des triangles curvilignes, d'autres
systèmes de coordonnées autres que le système cartésien classique et qui sont beaucoup
plus commodes à utiliser.
III.2 Conditions requises pour les champs de déplacements des éléments
Dans une formulation cartésienne d'un problème plan les deux critères relatifs
aux mouvements des corps rigides et états de déformation constante sont satisfaits si le
champ de déplacement inclue au moins les termes
u = u(x,y) = A1 + A2x + A3y
(4.1)
v = v(x,y) = A4 + A5x + A6y
Ceci peut être vérifié car les déformations sont :
 x  y  xy  A2 A6 A3  A5 
Donc les déformations sont uniformes sous toutes les conditions. De plus, si les
déplacements nodaux sont de telle sorte que A2  A6  0 et A3  A5  0 , alors toutes
les composantes des déformations seront nulles correspondant au cas d’un mouvement
de corps rigide plan général qui est donné par :
u r  A1  A3 y
vr  A4  A3 x
Le mouvement général de corps rigide comprend une composante de translation suivant
x ( ur  A1 ), une composante de translation suivant y ( vr  A4 ) et une composante de
rotation dans le plan xy ( u r   A3 y , vr   A3 x )
Ces composantes sont montrées dans la figure 4.2
3
Figure 4.2 Composantes du mouvement de corps rigide plan a) translation v=A4, b)
translation u=A1 c) rotation u=-A3y+A5x
III.3 Elément triangulaire à déformation constante
L’élément triangulaire le plus simple pour l’analyse des structures planes est
montré dans la figure 4.3. Il possède des nœuds au sommet du triangle qui sont
numérotés dans un ordre croissant dans le sens trigonométrique et a deux degrés de
liberté par nœud, les déplacements u et v. Par conséquent, cet élément possède six
degrés de liberté qui sont :
d  u1 v1 u 2 v2 u3 v3 
(4.2)
V3
U3
3
V2
Y,v
V1
U2
2
U1
1
X,u
Fig.4.3 L’élément triangulaire à déformation constante
Il convient de noter que l’orientation de cet élément par rapport au système de
coordonnées xy est complètement arbitraire et que u et v sont les composantes des
déplacements dans les directions x et y respectivement. Donc, les propriétés de
l’élément seront directement exprimées dans le système global xy. Cet élément a été le
premier élément fini bidimensionnel à être utilisé avec succès
La satisfaction d’un mouvement de corps rigide et des états de déformation
constante requiert la supposition d’un champ de déplacement où u et v sont écrits
4
comme des polynômes complets dans les directions x et y. du fait que ce champ de
déplacement est exprimé en fonction des déplacements généralisés, il peut être utilisé
directement pour la formulation des propriétés de l’élément de la figure 4.3.
Le champ de déplacement sous forme matricielle est :
 A1 
A 
 2
u
1
x
y
0
0
0
  
  A3 
  
   ou
v  0 0 0 1 x y   A4 
 A5 
 
 A6 
u  A
(4.3)
Les déplacements généralisés A peuvent être exprimés en fonction des déplacements
nodaux d en utilisant les conditions aux limites en chaque nœud i (i=1, 2,3), u=ui et v=vi
en x=xi et y=yi. Ceci peut être exprimé comme suit :
 u1 
v 
 1
u 2 
 
v 2 
u 3 
 
 v3 
1 x1
0 0

1 x2

0 0
1 x3

0 0
y1
0
0
0
1
y2
0
x1
0
0
y3
1 x2
0 0
0
1
x3
0
y1 
0

y2 
0

y3 
 A1 
A 
 2
 A3 
  ou d  C A
 A4 
 A5 
 
 A6 
(4.4)
L’inversion de la matrice C peut être faite algébriquement. Si on remarque que u1,u2 et
u3 dépendent uniquement de A1,A2 et A3 et que v1,v2 et v3 dépendent uniquement de
A4,A5 et A6, le système précèdent peut être séparé en deux ensembles indépendants de
trois équations dont chacune peut être résolue indépendamment. Ce ci nécessite la
détermination de l’inverse de la matrice :
1 x1
1 x
2

1 x3
y1 
y 2 
y3 
L’inverse est donné par l’expression :
1  2  3 
1 
1  2  3 

2
 1  2  3 
(4.5)
5
Où :
x
1   2
 x3
y2 
 x2 y3  x3 y 2
y3 
1 y 2 
  y 2  y3
1 y3 
1   
(4.6)
1 x2 
  x3  x2
1 x3 
1  
Les autres coefficients  2 ................ 3 sont définis par changement cyclique des
indices dans l’ordre 1,2,3, par exemple  2  x3 y1  x1 y3 . Aussi
1 x1
2  1 x2
1 x3
y1 
y 2   1   2   3
y3 
(4.7)
Où  représente l’aire du triangle 1-2-3. Par conséquent, l’inverse complet est :
A  C 1 d
Où :
1 0  2 0  3 0 


 1 0  2 0 3 0 
1  1 0  2 0  3 0 
C 1 


2  0 1 0  2 0  3 
 0 1 0  2 0  3 


 0  1 0  2 0  3 
(4.8)
A partir des équations, nous obtenons la forme standard :
u  C 1 d  N d
(4.9)
Où
 N1 0 N 2
N 
 0 N1 0
0
N3
N2
0
0 
N 3 
La matrice des fonctions de forme et les Ni sont données par :
(4.10)
6
N i  N i  x, y  
1
 i  x i  y i  i  1,2,3
2
(4.11)
Les équations déformations-déplacements pour le cas des problèmes en contraintes
planes et déformations planes sont utilisées pour déterminer la matrice B. Avec  défini
par :

 x
  0


 y


0 
 x
u




 0
y  v  

 
x 
 y

0 
   N1
y   0

 
x 
0
N2
0
N3
N1
0
N2
0
0 
d Bd
N 3 
(4.12)
Avec Ni définies par l’équation, la matrice B devient :
1 0  2
1 
B
0 1 0
2 
 1 1  2
0
2
2
3
0
3
0
 3 
 3 
(4.13)
Les composantes individuelles de B sont constantes pour cet élément reflétant le fait
que les trois composantes des déformations sont constantes à travers tout l’élément.
La matrice de rigidité de cet élément est donnée par :
k
B
T EBdV 
e
Ve
 hB
T EBdxdy
(4.14)

Où  est l’aire du triangle et h son épaisseur. Après intégration, on obtient :
 k11 k12
k  k 21 k 22
 k31 k32
k13 
k 23 
k33 
(4.15)
Où dans le cas des contraintes planes, les k mn (m, n  1,2,3) sont des sous matrices de
2x2 données par :
1
1


 m  n  1    m n  m n  1   m  n 

T 
2
2
k mn  k nm

 (4.16)
1
1
2


41     m  n  1    m n  m n  1    m  n 


2
2

Eh
La matrice des contraintes S est égal à:
7
S  EB 
E
2 1   2



1


x
1

 1 1    1
 2
1
1
2
2
 2
2
3
3
1
1  1
2
1
1   2
2
1
1   2
2
1
1   3
2




1
1  3 
2

 3
3
(4.17)
Chaque contrainte a une valeur uniforme à travers le triangle.
III.4 Vecteur des forces nodales
L'expression générale du vecteur des forces nodales correspondant à des charges
de volume ou de surface données est donnée par l'expression:
Q
N
T R dV 
e
Ve
N
T Tds
(4.18)
Se
Le vecteur des forces nodales équivalentes d'une force de volume uniforme ayant deux
composantes Rx et RY dans les directions x et y respectivement est donné par:
 N1
 0

N2
Q   N T R dVe   
0
Ve
Ve 
 N3

 0
 N1R x 
0 
N R 

N1 
 1 y
 N 2 Rx 
0  Rx 
  R dVe  h   N R  dx dy
N2   y 
2 y
 
N3Rx 
0 



N 3 
 N 3 R y 
(4.19)
Pour simplifier l'intégration, il est plus commode de supposer que l'origine des
coordonnées est confondue avec le centre de l'élément; Ceci n'affectera pas les résultats
du fait qu'il n'y a pas de rotation d'axes. Dans ce cas précis on a:
 xdxdy   ydxdy  0

(4.20)

et
1   2   3   3
(4.21)
en utilisant les équations on obtient:
Q

h
Rx R y Rx R y Rx R y
3

(4.22)
8
qui est le vecteur des forces nodales équivalentes correspondant à la force de volume
uniforme. On peut voir que la force totale de volume agissant dans la direction x est
partagée d’une manière égale entre les trois nœuds. La même remarque s’applique dans
la direction y.
Considérons maintenant le cas d’une force de surface. Le vecteur des forces nodales
équivalentes est donné par :
Q   N T TdS
(4.23)
Se
Il est très important de noter que cette intégrale est à calculer uniquement sur la partie
de la surface S e d’un élément qui coïncide avec une partie de la surface extérieure du
corps sur laquelle agissent les forces de surface :
Figure 4.4 Tractions sur un bord du triangle à déformation constante
Sur cette figure est montré un élément triangulaire qui est orienté d'une manière
quelconque par rapport aux axes globaux et dont le côté 1-2 se trouve sur la limite de
l'élément. Une force de traction agit sur ce côté. Cette traction peut être de n'importe
quelle forme mais nous considérerons en premier lieu le cas spécifique d'une traction
variable distribuée sur le côté 1-2 et agissant dans la direction x; Cette traction Tx(η) est
une fonction de η qui est mesurée le long du côté 1-2 ayant une longueur l12 . Du fait
que Tx est la seule traction différente de zéro, la seule composante de déplacement à
considérer est la composante u. du fait que pour ce triangle les déplacements varient
d'une manière linéaire, le long du côté 1-2 la composante u aura la forme:
u12  A  B
où A et B sont coefficients constants. Puisque u = u1 en η = 0 et u = u2 en η = l12 ceci
peut être exprimé en fonction des fonctions de forme comme suit:
12
u12  n1 u1  n2  u2  n12
u du
ici
n12
u  n1  n2  
12  u u 
du
1 2
(4.24)
9
et
n1   1 

l12
n2   

l12
L’équation de Q peut être remplacée par l’expression :
Qu12 
l12

 0
 n12 T hd 
 u  x
(4.25)
12 est la matrice colonne de ces
Pour le cas particulier montré dans la figure 4.4. Ici Qu
charges équivalentes agissant dans la direction u en tous les nœuds le long le côté 1-2
uniquement. L’intégration de l’équation précédente donne :
 

l12 1 
 l 
Qu12    12 Tx hd


0 
 l12 
(4.26)
Tx   est une grandeur scalaire et sa distribution le long du côté 1-2 est supposée
connue. Pour le cas d’une variation linéaire de Tx   de la valeur t x1 au nœud 1 à t x 2

  
 
t x1  
t x2 . La substitution de cette
au nœud 2 nous avons Tx    1 
l
l
12
12




expression dans l’équation (4.26) donne :
hl
Qu12  12
6
2t x1  t x2 


t x1  2t x2 
(4.27)
Il est clair que ces deux charges seront localisées dans le vecteur des forces nodales
équivalentes de l’élément Q dans les positions 1 et 3 correspondant aux positions de
u1 et u2 dans le vecteur d.
Il convient de noter que :
(i) Si t x1  t x2  t * , la charge de traction appliquée est uniforme entre les nœuds 1 et 2
et
 1 
2 *
Q12

hl
x
12  1 t
 2 
(4.28)
c'est-à-dire que la moitié de la charge appliquée est concentrée en chacun des nœuds 1
et 2.
10
(ii) Si t x1  0 la charge de traction a une distribution triangulaire variant de zéro au
nœud 1 à une valeur maximale t x 2 au nœud 2. Alors
hl12
Q12
x 
6
 1 
2
 1 t x 2
 2 
(4.29)
C'est-à-dire que la charge totale appliquée est divisée dans un rapport de 2 à 1 entre les
nœuds 2 et 1.
Ces deux résultats auraient pu être anticipés par une concentration directe des charges
aux nœuds mais pour des cas plus complexes les méthodes décrites précédemment sont
d’une grande importance. Le cas d’une traction T y   se traite d’une manière similaire
et donne naissance à un vecteur de forces nodales équivalentes dans la direction y (ou v)
‘une manière similaire à l’équation (4.25)
Q12
v 
l12
  nv
0
12 T hd 
 y

(4.30)
III.5 Elément rectangulaire
L’élément rectangulaire le plus simple pour l’analyse des structures est montré
dans la figure 4.5. Il possède quatre nœuds situés aux coins, chaque nœud a deux degrés
de liberté soit au total huit degrés de liberté pour tout l’élément. Les axes des
coordonnées cartésiennes x et y sont parallèles aux côtés de l’élément et par conséquent
ces axes sont des axes locaux. Si les directions des axes x et y ne coïncident pas avec
les axes globaux, il sera nécessaire de transformer les propriétés de l’élément des axes
locaux aux axes globaux. Ceci peut être fait de manière identique au cas des éléments
uni dimensionnels. L’origine des axes a été choisie au centre de l’élément par
commodité mais elle peut être placée n’importe où sans les propriétés de l’élément en
aucune manière car l’élément doit être géométriquement invariant.
y
4
3
b
x
v1
b
u1
1
2
a
a
Figure 4.5 Elément rectangulaire de base
Pour satisfaire le mouvement de corps rigide et l’état de déformation constante, le
champ de déplacement choisi pour l’élément doit inclure les termes donnés par
11
l’équation 4.1, et aussi pour satisfaire la condition de compatibilité (pour avoir un
élément conforme), chaque composante de déplacement doit varier linéairement le long
d’un côté du fait que deux valeurs nodales sont disponibles par côté. Par conséquent, il
est facile de voir que le champ de déplacement approprié pour cet élément est :
u  1 x y
 
 v  0 0 0
 A1 
A 
 2
0   . 
  ou u   A
xy  . 
 . 
 
 A8 
xy 0 0 0
0
1 x
y
(4.31)
Le vecteur des déplacements nodaux est :
d  u1 v1 u 2
v2
v4 
u3 v3 u 4
(4.32)
En utilisant la même procédure que pour les éléments précédents, la matrice C 1 sera
définie par :
 ab 0 ab 0 ab 0 ab 0 
 b 0
b
0
b 0  b 0 

 a 0  a 0
a 0
a
0


0 1 0
1 0 1 0 
1 1

1
C 
4ab  0 ab 0 ab 0 ab 0 ab 


b
0 b
0  b
 0 b 0
 0 a 0 a 0 a
0
a


1
0 1 0 1
0  1
 0
(4.33)
La définition du champ de déplacement est complétée en calculant les fonctions de
forme qui sont :
 N1 0
N  C 1  
 0 N1
N2
0
N3
0
N4
0
N2
0
N3
0
0 
N 4 
4
3
1
1
(4.34)
2
12
Figure 4.6 Fonction de forme N1 pour l’élément rectangulaire de base
Où
N1 
1
x 
y
1  1  
4  a  b 
N2 
1
x 
y
1  1  
4  a  b 
(4.35)
N3 
1
1 
4
x 
y
1  
a  b 
N4 
1
x 
y
1  1  
4  a  b 
La fonction de forme N1 montrée sur la figure 4.6 et est typique du reste.
Avec la matrice d’élasticité  connue, il ne nous reste plus qu’à déterminer la matrice
de déformation B pour pouvoir établir la matrice de rigidité de l’élément.

 x
  0


 y


0 
 x
  u    0
y  v  

 
x 
 y

0 
   N1
y   0

 
x 
0
N2
0
N3
0
N4
N1
0
N2
0
N3
0
0 
d  Bd
N 4 
(4.36)
La matrice de rigidité peut être calculée el utilisant la formule bien connue :
k
B
Ve
T BdV 
e
 hB
T Bdxdy
(4.37)

Pour le cas des contraintes planes, la matrice de rigidité est donnée par l’expression :
13
k
eh 3

12 1  2

 4r 1  4  r


4r  4  r 1

 4r 1  2  r



2r  4  r 1

 2r 1  2  r




 2r  2  r 1
 1

 2r  4  r


 4r  2 r 1
4r 1  4  r

4r  4  r 1
2r 1  4  r

 4r  2  r 1
 2r 1  2  r


 2r  2 r 1








4r 1  4  r



4r 1  4  r

1
1
 4r  2  r

4r  4  r


2r  4 r 1

4r  4 r 1 
(4.38)
Où r=a/b,   1   ,   31    et   31  
2
2
2
La matrice des contraintes est donnée par :
    bd  Sd
b y
  a  x  b  y  a  x   b  y
 a  x  
 y  b  x  a 


S
  y  b x  a
 b  y 
 x  a  b  y 
ax
  b  y 
a  x 
4ab 1   2 
  x  a    y  b    a  x   b  y   a  x   b  y   a  x    b  y 


(4.39)
de l’observation de l’équations 4.36, il est clair que chaque composante de déplacement est
représentée par un polynôme du second ordre en x et y incomplet, il s’ensuit que les
déformations directes  x et  y sont représentées comme des polynômes du premier ordre
incomplets ; par conséquent  x varie linéairement avec y mais non pas avec x alors que  y
varie linéairement avec x et non pas avec y. Les trois composantes des contraintes varient
linéairement avec x et y à travers l’élément. Du fait que les déformations et les contraintes ne
sont pas uniformes sur l’élément, l’élément rectangulaire est généralement plus performant
que l’élément triangulaire.
Les deux éléments triangulaire et rectangulaire sont basés sur des champs de déplacement qui
donnent une variation linéaire de u et v sur chaque côté. Il s’ensuit que ces deux éléments
peuvent être connectés l’un à l’autre, combiné ensemble sans aucune perte de compatibilité et
peuvent être utilisés ensemble pour modéliser une structure plane. De plus, l’élément barre
qui a une variation linéaire du déplacement sur toute la longueur peut être connecté aux
éléments plans pour simuler par exemple une armature.
III.6 Eléments d’ordre supérieur
Les fonctions de forme de l’élément rectangulaire sont données par l’équation 4.35
sous forme de produit d’une fonction de x et d’une fonction de y. Ces fonctions peuvent être
identifiées comme étant des polynômes d’interpolation de Lagrange uni dimensionnels. En
prenant x1 =-a et x2 = a (l’origine des coordonnées de la région uni dimensionnelle de
longueur 2a est prise au centre) on a :
14
1
x
1  
2 a
1
x
l 2  x   1  
2 a
l1  x  
(4.40.a)
(4.40.b)
et de la même manière en remplaçant x par y et a par b on obtient :
1
y
1  
2 b
1
y
l 2  y   1  
2
b
l1  y  
(4.40.c)
(4.40.d)
L’expression pour u pour l’élément rectangulaire peut être réécrite sous la forme :
u  l1x l1 y u1  l2 x l1 y u 2  l2 x l2  y u3  l1x l2  y u 4
(4.41)
Celle de v est similaire. Si l1 et l2 sont définies par les équations (4.40.a)-(4.40.d), alors le
schéma d’interpolation indiqué dans l’équation (4.41) est dit interpolation bilinéaire.
Les idées représentées par l’équation (4.41) peuvent être clairement étendues pour générer
directement des éléments d’ordre supérieur en utilisant des produits appropriés de polynômes
d’interpolation unidimensionnels comme fonctions de forme dans les expressions de u et v.
Figure 6.4 Eléments rectangulaires Lagrangien a) second ordre b) troisième ordre
Par exemple, on peut développer un élément basé sur une interpolation bi quadratique des
composantes des déplacements c'est-à-dire sur l’utilisation directe de fonctions de forme qui
sont le produit de polynômes uni dimensionnels de Lagrange du second ordre. Ils sont donnés
par :
l1  x  
1  x 2 x 

2  a2 a 


l 2 x   1 
x2
a2
l3  x  
1  x 2 x 

2  a2 a 


(4.42)
On obtient des expressions similaires pour l1 y , l 2  y  et l3  y  quand x et a sont remplacés
par y et b respectivement. L’expression pour u sera identique à celle de v et est donnée par :
15
u  l1 x l1  y u1  l3 x l1  y u 2  l3 x l3  y u3  l1 x l3  y u 4 
l 2 x l1  y u5  l3 x l 2  y u6  l 2 x l3  y u7  l1 x l 2  y u8  l 2 x l 2  y u9
(4.43)
et l’arrangement des nœuds pour cet élément est montré sur la figure 4.4. Une représentation
schématique d’une fonction de forme pour un nœud de coin, un nœud au milieu et un nœud
intérieur est montrée sur la figure 4.8
Puisque nous traitons ici une interpolation bi quadratique complète, on peut obtenir l’équation
(4.43) indirectement en commençant à partir de :
u   A0  A1x  A2 x 2  B0  B1 y  B2 y 2 



(4.44)
et déterminer les coefficients en appliquant les conditions aux limites aux neuf nœuds. La
représentation des coefficients d’une interpolation bi quadratique est montrée sur le triangle
de Pascal dans la figure 4.8. Même des interpolations d’ordre plus élevé peuvent être utilisées
pour générer des éléments encore plus raffinés d’une manière directe. Pour tous les éléments
de cette catégorie, il est clair d’après le triangle de Pascal que les champs de déplacement
choisis sont des polynômes bi dimensionnels incomplets. En effet, si les champs de
déplacements sont construits comme produits de polynômes d’interpolation de Lagrange
unidimensionnels d’ordre m alors ces champs sont complets en deux dimensions jusqu’à
l’ordre m et incomplets jusqu’à l’ordre 2.
Les remarques précédentes concernaient des éléments rectangulaires dont les déplacements
ont été interpolés de la même manière dans les directions x et y respectivement. Ceci n’est en
aucun cas obligatoire du fait qu’il est possible de générer des éléments rectangulaires
lagrangiens en utilisant des ordres de polynômes différents dans les directions x et y. Il en
résulte des éléments ayant différents nombres de nœuds suivant x et y.
Figure 4.8 Fonctions de forme pour l’élément Lagrangien du second ordre a) nœud de coin
N4, b) nœud au milieu N4 c) nœud central N9
16
Figure 4.9 Triangle de Pascal