Chapitre 4 1 Eléments Finis bi dimensionnels 4.1 Introduction : Dans l’analyse des barres, poutres et portique, les éléments constituant la structure complète correspondent généralement à des parties discrètes bien connues de la structure ; il était par conséquent évident quels éléments étaient requis et comment ils doivent être placés pour aboutir à la solution. Ceci n’est pas le cas lorsqu’on considère l’analyse par éléments finis des structures bi ou tri dimensionnelles. Dans ce cas il n’existe pas généralement une seule méthode pour modéliser ou idéaliser la structure par élément finis car ces éléments sont davantage simplement des régions mathématiques du milieu continu que des parties physiques discrètes. Dans pratiquement tous les cas, les relations élémentaires déterminées ainsi que les relations assemblées sont approchées. La précision de la solution dépendra de la précision des relations des éléments individuels et du nombre, type et arrangement des éléments à partir desquels est assemblée la structure. Il y a un choix considérable disponible pour l’analyste pour la sélection de la forme de l’élément, du champ de déplacement et le maillage des éléments. Dans l’analyse bi dimensionnelle une forme qui peut être utilisée est le triangle à côtés droits. Dans la figure 4.1 sont montrées une structure plane arbitraire ainsi que deux possibles idéalisations par éléments finis du problème en utilisant des éléments triangulaires. Le choix du maillage de l'élément n'est pas clairement établi et les deux idéalisations montrées sont seulement deux d'un nombre infini pouvant être employé. De plus il y a une grande variété dans le type de l'élément triangulaire pouvant être imaginé. Figure 4.1 Structure en contraintes planes modélisée par des éléments finis triangulaires a) la structure b) maillage grossier c) maillage fin D'autres formes d'éléments peuvent être utilisées pour ce problème. L'élément rectangulaire est une autre possibilité mais s'il est utilisé seul il est clairement limité pour modéliser avec précision des structures plus complexes. Certains éléments rectangulaires ont une meilleure précision que les éléments triangulaires correspondants et il n'y a pas de raison qui empêche l'association des éléments rectangulaires avec les éléments triangulaires. Cette association est permise si les éléments peuvent être 2 proprement connectés en leurs nœuds; c'est-à-dire aussi longtemps que les côtes adjacents ont le même nombre de nœuds et le même nombre de degrés de liberté. Les éléments triangulaires et rectangulaires que nous aborderons dans ce chapitre ont le handicap des côtés droits qui rend impossible la correcte modélisation des bords courbes; bien que les triangles permettent une bonne approximation des tels bords si un nombre suffisant d'éléments est utilisé. Il convient de noter qu'il existe d'autres éléments plus sophistiqués qui ont des côtés courbes et dont les formes sont décrites comme des rectangles curvilignes ou des triangles curvilignes, d'autres systèmes de coordonnées autres que le système cartésien classique et qui sont beaucoup plus commodes à utiliser. III.2 Conditions requises pour les champs de déplacements des éléments Dans une formulation cartésienne d'un problème plan les deux critères relatifs aux mouvements des corps rigides et états de déformation constante sont satisfaits si le champ de déplacement inclue au moins les termes u = u(x,y) = A1 + A2x + A3y (4.1) v = v(x,y) = A4 + A5x + A6y Ceci peut être vérifié car les déformations sont : x y xy A2 A6 A3 A5 Donc les déformations sont uniformes sous toutes les conditions. De plus, si les déplacements nodaux sont de telle sorte que A2 A6 0 et A3 A5 0 , alors toutes les composantes des déformations seront nulles correspondant au cas d’un mouvement de corps rigide plan général qui est donné par : u r A1 A3 y vr A4 A3 x Le mouvement général de corps rigide comprend une composante de translation suivant x ( ur A1 ), une composante de translation suivant y ( vr A4 ) et une composante de rotation dans le plan xy ( u r A3 y , vr A3 x ) Ces composantes sont montrées dans la figure 4.2 3 Figure 4.2 Composantes du mouvement de corps rigide plan a) translation v=A4, b) translation u=A1 c) rotation u=-A3y+A5x III.3 Elément triangulaire à déformation constante L’élément triangulaire le plus simple pour l’analyse des structures planes est montré dans la figure 4.3. Il possède des nœuds au sommet du triangle qui sont numérotés dans un ordre croissant dans le sens trigonométrique et a deux degrés de liberté par nœud, les déplacements u et v. Par conséquent, cet élément possède six degrés de liberté qui sont : d u1 v1 u 2 v2 u3 v3 (4.2) V3 U3 3 V2 Y,v V1 U2 2 U1 1 X,u Fig.4.3 L’élément triangulaire à déformation constante Il convient de noter que l’orientation de cet élément par rapport au système de coordonnées xy est complètement arbitraire et que u et v sont les composantes des déplacements dans les directions x et y respectivement. Donc, les propriétés de l’élément seront directement exprimées dans le système global xy. Cet élément a été le premier élément fini bidimensionnel à être utilisé avec succès La satisfaction d’un mouvement de corps rigide et des états de déformation constante requiert la supposition d’un champ de déplacement où u et v sont écrits 4 comme des polynômes complets dans les directions x et y. du fait que ce champ de déplacement est exprimé en fonction des déplacements généralisés, il peut être utilisé directement pour la formulation des propriétés de l’élément de la figure 4.3. Le champ de déplacement sous forme matricielle est : A1 A 2 u 1 x y 0 0 0 A3 ou v 0 0 0 1 x y A4 A5 A6 u A (4.3) Les déplacements généralisés A peuvent être exprimés en fonction des déplacements nodaux d en utilisant les conditions aux limites en chaque nœud i (i=1, 2,3), u=ui et v=vi en x=xi et y=yi. Ceci peut être exprimé comme suit : u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v3 1 x1 0 0 1 x2 0 0 1 x3 0 0 y1 0 0 0 1 y2 0 x1 0 0 y3 1 x2 0 0 0 1 x3 0 y1 0 y2 0 y3 A1 A 2 A3 ou d C A A4 A5 A6 (4.4) L’inversion de la matrice C peut être faite algébriquement. Si on remarque que u1,u2 et u3 dépendent uniquement de A1,A2 et A3 et que v1,v2 et v3 dépendent uniquement de A4,A5 et A6, le système précèdent peut être séparé en deux ensembles indépendants de trois équations dont chacune peut être résolue indépendamment. Ce ci nécessite la détermination de l’inverse de la matrice : 1 x1 1 x 2 1 x3 y1 y 2 y3 L’inverse est donné par l’expression : 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 (4.5) 5 Où : x 1 2 x3 y2 x2 y3 x3 y 2 y3 1 y 2 y 2 y3 1 y3 1 (4.6) 1 x2 x3 x2 1 x3 1 Les autres coefficients 2 ................ 3 sont définis par changement cyclique des indices dans l’ordre 1,2,3, par exemple 2 x3 y1 x1 y3 . Aussi 1 x1 2 1 x2 1 x3 y1 y 2 1 2 3 y3 (4.7) Où représente l’aire du triangle 1-2-3. Par conséquent, l’inverse complet est : A C 1 d Où : 1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3 0 1 1 0 2 0 3 0 C 1 2 0 1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3 (4.8) A partir des équations, nous obtenons la forme standard : u C 1 d N d (4.9) Où N1 0 N 2 N 0 N1 0 0 N3 N2 0 0 N 3 La matrice des fonctions de forme et les Ni sont données par : (4.10) 6 N i N i x, y 1 i x i y i i 1,2,3 2 (4.11) Les équations déformations-déplacements pour le cas des problèmes en contraintes planes et déformations planes sont utilisées pour déterminer la matrice B. Avec défini par : x 0 y 0 x u 0 y v x y 0 N1 y 0 x 0 N2 0 N3 N1 0 N2 0 0 d Bd N 3 (4.12) Avec Ni définies par l’équation, la matrice B devient : 1 0 2 1 B 0 1 0 2 1 1 2 0 2 2 3 0 3 0 3 3 (4.13) Les composantes individuelles de B sont constantes pour cet élément reflétant le fait que les trois composantes des déformations sont constantes à travers tout l’élément. La matrice de rigidité de cet élément est donnée par : k B T EBdV e Ve hB T EBdxdy (4.14) Où est l’aire du triangle et h son épaisseur. Après intégration, on obtient : k11 k12 k k 21 k 22 k31 k32 k13 k 23 k33 (4.15) Où dans le cas des contraintes planes, les k mn (m, n 1,2,3) sont des sous matrices de 2x2 données par : 1 1 m n 1 m n m n 1 m n T 2 2 k mn k nm (4.16) 1 1 2 41 m n 1 m n m n 1 m n 2 2 Eh La matrice des contraintes S est égal à: 7 S EB E 2 1 2 1 x 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 2 1 1 3 2 3 3 (4.17) Chaque contrainte a une valeur uniforme à travers le triangle. III.4 Vecteur des forces nodales L'expression générale du vecteur des forces nodales correspondant à des charges de volume ou de surface données est donnée par l'expression: Q N T R dV e Ve N T Tds (4.18) Se Le vecteur des forces nodales équivalentes d'une force de volume uniforme ayant deux composantes Rx et RY dans les directions x et y respectivement est donné par: N1 0 N2 Q N T R dVe 0 Ve Ve N3 0 N1R x 0 N R N1 1 y N 2 Rx 0 Rx R dVe h N R dx dy N2 y 2 y N3Rx 0 N 3 N 3 R y (4.19) Pour simplifier l'intégration, il est plus commode de supposer que l'origine des coordonnées est confondue avec le centre de l'élément; Ceci n'affectera pas les résultats du fait qu'il n'y a pas de rotation d'axes. Dans ce cas précis on a: xdxdy ydxdy 0 (4.20) et 1 2 3 3 (4.21) en utilisant les équations on obtient: Q h Rx R y Rx R y Rx R y 3 (4.22) 8 qui est le vecteur des forces nodales équivalentes correspondant à la force de volume uniforme. On peut voir que la force totale de volume agissant dans la direction x est partagée d’une manière égale entre les trois nœuds. La même remarque s’applique dans la direction y. Considérons maintenant le cas d’une force de surface. Le vecteur des forces nodales équivalentes est donné par : Q N T TdS (4.23) Se Il est très important de noter que cette intégrale est à calculer uniquement sur la partie de la surface S e d’un élément qui coïncide avec une partie de la surface extérieure du corps sur laquelle agissent les forces de surface : Figure 4.4 Tractions sur un bord du triangle à déformation constante Sur cette figure est montré un élément triangulaire qui est orienté d'une manière quelconque par rapport aux axes globaux et dont le côté 1-2 se trouve sur la limite de l'élément. Une force de traction agit sur ce côté. Cette traction peut être de n'importe quelle forme mais nous considérerons en premier lieu le cas spécifique d'une traction variable distribuée sur le côté 1-2 et agissant dans la direction x; Cette traction Tx(η) est une fonction de η qui est mesurée le long du côté 1-2 ayant une longueur l12 . Du fait que Tx est la seule traction différente de zéro, la seule composante de déplacement à considérer est la composante u. du fait que pour ce triangle les déplacements varient d'une manière linéaire, le long du côté 1-2 la composante u aura la forme: u12 A B où A et B sont coefficients constants. Puisque u = u1 en η = 0 et u = u2 en η = l12 ceci peut être exprimé en fonction des fonctions de forme comme suit: 12 u12 n1 u1 n2 u2 n12 u du ici n12 u n1 n2 12 u u du 1 2 (4.24) 9 et n1 1 l12 n2 l12 L’équation de Q peut être remplacée par l’expression : Qu12 l12 0 n12 T hd u x (4.25) 12 est la matrice colonne de ces Pour le cas particulier montré dans la figure 4.4. Ici Qu charges équivalentes agissant dans la direction u en tous les nœuds le long le côté 1-2 uniquement. L’intégration de l’équation précédente donne : l12 1 l Qu12 12 Tx hd 0 l12 (4.26) Tx est une grandeur scalaire et sa distribution le long du côté 1-2 est supposée connue. Pour le cas d’une variation linéaire de Tx de la valeur t x1 au nœud 1 à t x 2 t x1 t x2 . La substitution de cette au nœud 2 nous avons Tx 1 l l 12 12 expression dans l’équation (4.26) donne : hl Qu12 12 6 2t x1 t x2 t x1 2t x2 (4.27) Il est clair que ces deux charges seront localisées dans le vecteur des forces nodales équivalentes de l’élément Q dans les positions 1 et 3 correspondant aux positions de u1 et u2 dans le vecteur d. Il convient de noter que : (i) Si t x1 t x2 t * , la charge de traction appliquée est uniforme entre les nœuds 1 et 2 et 1 2 * Q12 hl x 12 1 t 2 (4.28) c'est-à-dire que la moitié de la charge appliquée est concentrée en chacun des nœuds 1 et 2. 10 (ii) Si t x1 0 la charge de traction a une distribution triangulaire variant de zéro au nœud 1 à une valeur maximale t x 2 au nœud 2. Alors hl12 Q12 x 6 1 2 1 t x 2 2 (4.29) C'est-à-dire que la charge totale appliquée est divisée dans un rapport de 2 à 1 entre les nœuds 2 et 1. Ces deux résultats auraient pu être anticipés par une concentration directe des charges aux nœuds mais pour des cas plus complexes les méthodes décrites précédemment sont d’une grande importance. Le cas d’une traction T y se traite d’une manière similaire et donne naissance à un vecteur de forces nodales équivalentes dans la direction y (ou v) ‘une manière similaire à l’équation (4.25) Q12 v l12 nv 0 12 T hd y (4.30) III.5 Elément rectangulaire L’élément rectangulaire le plus simple pour l’analyse des structures est montré dans la figure 4.5. Il possède quatre nœuds situés aux coins, chaque nœud a deux degrés de liberté soit au total huit degrés de liberté pour tout l’élément. Les axes des coordonnées cartésiennes x et y sont parallèles aux côtés de l’élément et par conséquent ces axes sont des axes locaux. Si les directions des axes x et y ne coïncident pas avec les axes globaux, il sera nécessaire de transformer les propriétés de l’élément des axes locaux aux axes globaux. Ceci peut être fait de manière identique au cas des éléments uni dimensionnels. L’origine des axes a été choisie au centre de l’élément par commodité mais elle peut être placée n’importe où sans les propriétés de l’élément en aucune manière car l’élément doit être géométriquement invariant. y 4 3 b x v1 b u1 1 2 a a Figure 4.5 Elément rectangulaire de base Pour satisfaire le mouvement de corps rigide et l’état de déformation constante, le champ de déplacement choisi pour l’élément doit inclure les termes donnés par 11 l’équation 4.1, et aussi pour satisfaire la condition de compatibilité (pour avoir un élément conforme), chaque composante de déplacement doit varier linéairement le long d’un côté du fait que deux valeurs nodales sont disponibles par côté. Par conséquent, il est facile de voir que le champ de déplacement approprié pour cet élément est : u 1 x y v 0 0 0 A1 A 2 0 . ou u A xy . . A8 xy 0 0 0 0 1 x y (4.31) Le vecteur des déplacements nodaux est : d u1 v1 u 2 v2 v4 u3 v3 u 4 (4.32) En utilisant la même procédure que pour les éléments précédents, la matrice C 1 sera définie par : ab 0 ab 0 ab 0 ab 0 b 0 b 0 b 0 b 0 a 0 a 0 a 0 a 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 C 4ab 0 ab 0 ab 0 ab 0 ab b 0 b 0 b 0 b 0 0 a 0 a 0 a 0 a 1 0 1 0 1 0 1 0 (4.33) La définition du champ de déplacement est complétée en calculant les fonctions de forme qui sont : N1 0 N C 1 0 N1 N2 0 N3 0 N4 0 N2 0 N3 0 0 N 4 4 3 1 1 (4.34) 2 12 Figure 4.6 Fonction de forme N1 pour l’élément rectangulaire de base Où N1 1 x y 1 1 4 a b N2 1 x y 1 1 4 a b (4.35) N3 1 1 4 x y 1 a b N4 1 x y 1 1 4 a b La fonction de forme N1 montrée sur la figure 4.6 et est typique du reste. Avec la matrice d’élasticité connue, il ne nous reste plus qu’à déterminer la matrice de déformation B pour pouvoir établir la matrice de rigidité de l’élément. x 0 y 0 x u 0 y v x y 0 N1 y 0 x 0 N2 0 N3 0 N4 N1 0 N2 0 N3 0 0 d Bd N 4 (4.36) La matrice de rigidité peut être calculée el utilisant la formule bien connue : k B Ve T BdV e hB T Bdxdy (4.37) Pour le cas des contraintes planes, la matrice de rigidité est donnée par l’expression : 13 k eh 3 12 1 2 4r 1 4 r 4r 4 r 1 4r 1 2 r 2r 4 r 1 2r 1 2 r 2r 2 r 1 1 2r 4 r 4r 2 r 1 4r 1 4 r 4r 4 r 1 2r 1 4 r 4r 2 r 1 2r 1 2 r 2r 2 r 1 4r 1 4 r 4r 1 4 r 1 1 4r 2 r 4r 4 r 2r 4 r 1 4r 4 r 1 (4.38) Où r=a/b, 1 , 31 et 31 2 2 2 La matrice des contraintes est donnée par : bd Sd b y a x b y a x b y a x y b x a S y b x a b y x a b y ax b y a x 4ab 1 2 x a y b a x b y a x b y a x b y (4.39) de l’observation de l’équations 4.36, il est clair que chaque composante de déplacement est représentée par un polynôme du second ordre en x et y incomplet, il s’ensuit que les déformations directes x et y sont représentées comme des polynômes du premier ordre incomplets ; par conséquent x varie linéairement avec y mais non pas avec x alors que y varie linéairement avec x et non pas avec y. Les trois composantes des contraintes varient linéairement avec x et y à travers l’élément. Du fait que les déformations et les contraintes ne sont pas uniformes sur l’élément, l’élément rectangulaire est généralement plus performant que l’élément triangulaire. Les deux éléments triangulaire et rectangulaire sont basés sur des champs de déplacement qui donnent une variation linéaire de u et v sur chaque côté. Il s’ensuit que ces deux éléments peuvent être connectés l’un à l’autre, combiné ensemble sans aucune perte de compatibilité et peuvent être utilisés ensemble pour modéliser une structure plane. De plus, l’élément barre qui a une variation linéaire du déplacement sur toute la longueur peut être connecté aux éléments plans pour simuler par exemple une armature. III.6 Eléments d’ordre supérieur Les fonctions de forme de l’élément rectangulaire sont données par l’équation 4.35 sous forme de produit d’une fonction de x et d’une fonction de y. Ces fonctions peuvent être identifiées comme étant des polynômes d’interpolation de Lagrange uni dimensionnels. En prenant x1 =-a et x2 = a (l’origine des coordonnées de la région uni dimensionnelle de longueur 2a est prise au centre) on a : 14 1 x 1 2 a 1 x l 2 x 1 2 a l1 x (4.40.a) (4.40.b) et de la même manière en remplaçant x par y et a par b on obtient : 1 y 1 2 b 1 y l 2 y 1 2 b l1 y (4.40.c) (4.40.d) L’expression pour u pour l’élément rectangulaire peut être réécrite sous la forme : u l1x l1 y u1 l2 x l1 y u 2 l2 x l2 y u3 l1x l2 y u 4 (4.41) Celle de v est similaire. Si l1 et l2 sont définies par les équations (4.40.a)-(4.40.d), alors le schéma d’interpolation indiqué dans l’équation (4.41) est dit interpolation bilinéaire. Les idées représentées par l’équation (4.41) peuvent être clairement étendues pour générer directement des éléments d’ordre supérieur en utilisant des produits appropriés de polynômes d’interpolation unidimensionnels comme fonctions de forme dans les expressions de u et v. Figure 6.4 Eléments rectangulaires Lagrangien a) second ordre b) troisième ordre Par exemple, on peut développer un élément basé sur une interpolation bi quadratique des composantes des déplacements c'est-à-dire sur l’utilisation directe de fonctions de forme qui sont le produit de polynômes uni dimensionnels de Lagrange du second ordre. Ils sont donnés par : l1 x 1 x 2 x 2 a2 a l 2 x 1 x2 a2 l3 x 1 x 2 x 2 a2 a (4.42) On obtient des expressions similaires pour l1 y , l 2 y et l3 y quand x et a sont remplacés par y et b respectivement. L’expression pour u sera identique à celle de v et est donnée par : 15 u l1 x l1 y u1 l3 x l1 y u 2 l3 x l3 y u3 l1 x l3 y u 4 l 2 x l1 y u5 l3 x l 2 y u6 l 2 x l3 y u7 l1 x l 2 y u8 l 2 x l 2 y u9 (4.43) et l’arrangement des nœuds pour cet élément est montré sur la figure 4.4. Une représentation schématique d’une fonction de forme pour un nœud de coin, un nœud au milieu et un nœud intérieur est montrée sur la figure 4.8 Puisque nous traitons ici une interpolation bi quadratique complète, on peut obtenir l’équation (4.43) indirectement en commençant à partir de : u A0 A1x A2 x 2 B0 B1 y B2 y 2 (4.44) et déterminer les coefficients en appliquant les conditions aux limites aux neuf nœuds. La représentation des coefficients d’une interpolation bi quadratique est montrée sur le triangle de Pascal dans la figure 4.8. Même des interpolations d’ordre plus élevé peuvent être utilisées pour générer des éléments encore plus raffinés d’une manière directe. Pour tous les éléments de cette catégorie, il est clair d’après le triangle de Pascal que les champs de déplacement choisis sont des polynômes bi dimensionnels incomplets. En effet, si les champs de déplacements sont construits comme produits de polynômes d’interpolation de Lagrange unidimensionnels d’ordre m alors ces champs sont complets en deux dimensions jusqu’à l’ordre m et incomplets jusqu’à l’ordre 2. Les remarques précédentes concernaient des éléments rectangulaires dont les déplacements ont été interpolés de la même manière dans les directions x et y respectivement. Ceci n’est en aucun cas obligatoire du fait qu’il est possible de générer des éléments rectangulaires lagrangiens en utilisant des ordres de polynômes différents dans les directions x et y. Il en résulte des éléments ayant différents nombres de nœuds suivant x et y. Figure 4.8 Fonctions de forme pour l’élément Lagrangien du second ordre a) nœud de coin N4, b) nœud au milieu N4 c) nœud central N9 16 Figure 4.9 Triangle de Pascal