Compus Universitaire
Ait Melloul
CUAM
‫بسم اهلل الرحمان الرحيم‬
Faculté des Sciences
Appliquée-Département
de Physique
Réalisé par : Professeur DERRA Mourad
Filière : SMP – S6
Parcours : Électronique
Année universitaire : 2019/2020
Chapitre I
Introduction
⦿ Les lignes de transmission sont des dispositifs capables de transmettre sans trop de
perte la puissance d’un point à un autre.
⦿ Les lignes de transmission se retrouvent partout et non pas seulement chez les
compagnies de téléphones, d’électricité ou de télévision-câblée. Un circuit imprimé
contient une grande quantité de lignes de transmission ; de même un réseau
informatique, un bus IDE ou USB, et une banale sonde d’oscilloscope, constituent
d’excellents exemples.
⦿ Les lignes de transmission sont composées d’un ou plusieurs conducteurs entourés d’un
isolant.
⦿ Une ligne de transmission est un ensemble de conducteurs qui permettent de joindre un
générateur (émetteur) à une utilisation quelconque appelée charge (récepteur).
⦿ Ligne homogène : ligne dont toutes les sections transversales sont identiques.
Dans ce cours
Pr. Derra Mourad
étude des lignes homogènes à deux conducteurs
Lignes de transmission
Printemps 2020 p2
Chapitre I
Types de lignes de transmission
 Câble coaxial
Le câble coaxial permet de transporter des
signaux de toutes les fréquences, selon les
dimensions. Il est constitué de deux
conducteurs cylindriques sur un même axe,
séparés par un isolant de qualité.
 Ligne microruban
La ligne microruban (microstrip line) est le
type de guide d’onde le plus utilisé pour les
circuits intégrés à haute fréquence. La ligne
microruban est composée d’un substrat dont
le dessus comporte une ligne de métal et le
dessous est plaqué en métal et fournit la mise
à terre.
 ligne bifiliaire
Les deux fils sont de moins en moins utilisés.
On s’en servait principalement pour raccorder
une antenne à une télévision.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p3
Chapitre I
Mise en évidence du phénomène de propagation
Une ligne de transmission de longueur D est constituée de deux conducteurs. La ligne est
alimentée à une extrémité par un générateur HF (hautes fréquences) et fermée à l'autre
extrémité par une impédance Z R (récepteur).
En pratique, lorsqu’on applique une tension à
l’entrée de la ligne, cette dernière ne peut pas
apparaitre instantanément à la sortie. Elle
nécessite un temps de propagation fini t r  D v
pour atteindre la sortie. Quel que soit alors D, il y
a une ddp entre les bornes de la ligne.
En BF : v s  ve  0 , on peut donc négliger le temps de propagation. Les lois de Kirchoff
sont valables pour l’analyse du circuit.
1
D
v
T  tr       D
f
v
f
En HF : v s  ve  0 , le rôle du temps de propagation devient important. Les lois de
Kirchoff ne sont plus valables pour l’analyse du circuit.
T  tr 
Pr. Derra Mourad
1
D
v
    D
f
v
f
Lignes de transmission
Printemps 2020 p4
Chapitre I
Mise en évidence du phénomène de propagation
 Ce qui fait la spécificité des circuits hyperfréquences, c’est que ce sont des circuits
dont les dimensions géométriques sont notablement plus importantes que la longueur
d’onde des signaux qu’ils traitent. Ceci à pour conséquence immédiate le fait que la
ligne équipotentielle (le strap) n’existe plus, car on est obligé de tenir compte des
phénomènes de propagation le long de ces lignes, dites lignes de transmission, et
utilisées en hyper comme éléments de circuits au même titre que les résistances,
capacités ou inductances..
 Tous les circuits électroniques sont composés de trois, et seulement trois, types de
composants passifs (les résistances, les inductances et les capacités) associés aux
composants actifs.
 Pour les circuits hyperfréquences, outre les composants actifs (diodes transistors), et
les éléments localisés passifs classiques (résistances, inductances, capacités), on a en
plus le tronçon de ligne de transmission avec les deux paramètres qui le caractérisent
(son impédance caractéristique et sa longueur électrique).
 On fait alors des « hyper » quand le tronçon de ligne de transmission devient un
élément de circuit au même titre que les autres éléments passifs.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p5
Chapitre I
Modèle circuit d’une ligne de transmission
Dans l’analyse des circuits on ne prend pas en considération la notion d’espace c.à.d la
taille des composants. Si la longueur d’onde est de l’ordre de grandeur des dimensions des
composants, il faut tenir compte du temps de propagation et l’analyse des circuits en HF
ne doit pas s’éloigner de l’analyse en BF. Pour cela on considère que la ligne est formée
d’une infinité de tronçons de longueur infiniment petite z en cascade (   z ). Dans
ce cas, il faut connaitre la valeur des composants par unité de longueur.

E
Pr. Derra Mourad

B
Lignes de transmission
Printemps 2020 p6
Chapitre I

Lz
 C z
Modèle circuit d’une ligne de transmission
Inductance représente les effets magnétiques liés au passage du courant dans
les conducteurs.
Capacité modélise le condensateur composé de deux conducteurs portés à
des potentiels différents.
 Rz
Résistance représente les pertes par effet joule dans les conducteurs.
 Gz
Conductance représente les pertes dans le diélectrique.
L : inductance linéiqueH / m
Pertes dans les conducteurs
R : résistance linéique  / m
G : conductance linéique / m
Pertes dans les diélectriques
C : capacité linéique F / m

Les quatre éléments R, L, C et G ainsi définis sont appelés constantes primaires de la
ligne.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p7
Chapitre I
Modèle circuit d’une ligne de transmission
 Pour un tronçon z de la ligne, il est possible de le modéliser par un circuit RLC et
appliquer les lois de Kirchoff.
 La ligne de transmission peut être considérer comme une succession de quadripôles
placés en cascade:
 En hyperfréquence, les inductances et les capacités jouent un rôle important lors du
transfert de la puissance d’un bout à l’autre bout de la ligne.

L’étude du comportement d’une ligne de transmission aux hautes fréquences revient
à l’étude de la propagation des tensions et courants ( ou plus précisément des champs
électriques et magnétiques ) le long de la ligne.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p8
Chapitre 1
Équations générales de propagation
On considère un petit tronçon de ligne ( z  0 )
Loi des mailles:
i( z ,t )
v( z ,t )  Rz  i( z ,t )  Lz 
 v( z  z ,t )
t
v( z ,t ) v( z  z ,t )  v( z ,t )
i( z ,t )

  R  i( z ,t )  L 
z
z
t
1
Loi des noeuds:
v( z  z ,t )
 i( z  z ,t )
t
i( z ,t ) i( z  z ,t )  i( z ,t )
v( z  z ,t )

 G  v( z  z ,t )  C 
z
z
t
i( z ,t )  Gz  v( z  z ,t )  C z 
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p9
2
Chapitre I
Équations générales de propagation
i
 v
  Ri  L
1 
 z
t

i
v
2 
 Gv  C

t
 z

  2v
i
 2i
 2  R  L
 z
z
z t
 2
2

i

v

v

 G
C 2

t
t
 zt
 2v
 2v
v

LC

RC

LG
 RGv


2
2
z
t
t
Les équations de télégraphiste
 2i
 2i
i
 LC 2   RC  LG   RGi
2
z
t
t

On voit bien que le courant et la tension ne sont pas reliés par une
équation polynômiale mais ils sont reliés par une équation différentielle.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p10
Chapitre I
Solutions en régime harmonique
À n’importe quel point de la ligne, le courant et la tension varient d’une manière sinusoïdale.
Autrement-dit ils ont une variation harmonique dans le temps. D’où on multiplie les équations
par e j t
En régime harmonique : v( z,t )  v( z )e
j t
;
i( z,t )  i( z )e j t
3
 2 v( z ,t )
2


LC

v( z ,t )  ( RC  LG ) j v( z ,t )  RGv( z ,t )
2
z
 2 v( z ,t )
2

(
R

jL

)(
G

jC

)v(
z
,t
)


v( z ,t )
2
z
2
Avec :
    j   ( R  jL )( G  jC )
Constante de
propagation
Constante de
perte
Constante de
phase
Par définition, la vitesse de phase s’écrit : v ph 
Pr. Derra Mourad
 2 f



Lignes de transmission

2 rad


m
Printemps 2020 p11

Chapitre I
Si on pose : 
2
Solutions en régime harmonique : lignes avec pertes
 ( R  jL )( G  jC )  (   j  )2
On obtient par identification :
 RG  LC 2   2   2

 ( LG  RC )  2
On déduit les valeurs de
 et  :
  1 2 

2
2 2
2
2 2
2
R


L
G


C

RG

LC





  1 2 

2
2 2
2
2 2
2
R


L
G


C

RG

LC





f 0
  min  RG
f     max
Pr. Derra Mourad
R C G L


2 L 2 C
Lignes de transmission
;  min  0
;    LC
Printemps 2020 p12
Chapitre I
Solutions en régime harmonique : lignes avec pertes
Les solutions des équations du télégraphiste sont :
v( z,t )  V  e  z e j(  t   z )  V  e z e j( t   z )
i( z ,t )  I  e  z e j(  t   z )  I  e z e j(  t   z )
Où V  ,V  , I  , I  sont des constantes complexes qui dépendent des conditions aux
limites c.à.d du générateur et de la charge. Ces constantes ne sont pas indépendantes.
2


i
v
 Gv  C
z
t
v
 j v( z ,t )
t
avec
di
 ( G  jC )v( z ,t )  i( z ,t )  ( G  jC ) v( z ,t )dz
dz
 i( z ,t ) 

R  jL
(V  e   z  V  e  z )e j t
v( z )  V  e   z  V  e  z  Vi ( z )  Vr ( z )
2 et
3
Pr. Derra Mourad
1
i( z ) 
(V  e   z  V  e  z )  I i ( z )  I r ( z )
ZC
Lignes de transmission
Printemps 2020 p13
Chapitre I
Solutions en régime harmonique : lignes avec pertes
La tension v( z,t ) ( le courant i( z,t ) ) est la superposition de deux ondes. La première est
une onde qui se propage vers les z croissants alors que la seconde se propage vers les z
 z
décroissants, mais elles s’atténuent toutes au cours de leur propagation d’un facteur e .
● La première s’éloignant du générateur (déplacement du générateur vers le récepteur) est
appelée onde incidente (onde progressive).
● La seconde revenant vers le générateur (déplacement du récepteur vers le générateur) est
appelée onde réfléchie (onde régressive).
Impédance caractéristique de la ligne: elle détermine le flux d’énergie transmis dans la ligne.
ZC 
R  jL


R  jL
G  jC
Z C ne dépend que des caractéristiques électriques de la ligne. Dans le cas général d’une ligne
avec pertes elle s’écrit : ZC  r  jx .
Le rapport entre tension et courant incidents d’une part et tension et courant réfléchis d’autre
part est constant et représente l’impédance caractéristique de la ligne :
z
Pr. Derra Mourad
Vi ( z )
Vr ( z )
ZC 

Ii ( z )
Ir ( z )
Lignes de transmission
Printemps 2020 p14
Chapitre I
Solutions en régime harmonique : lignes sans pertes
Lignes sans pertes:
Si on peut faire l’approximation d’un conducteur parfait (R = 0) et d’un diélectrique sans
pertes (G = 0) on trouve :
  j LC

  0


1
R  G  0      LC  v ph 
LC


 Z C  L  RC : Résistance caractéristique

C

Les équations précédentes deviennent :
v( z ,t )  V  e j ( t  LC z )  V  e j ( t  LC z )
1
i( z ,t ) 
(V  e j ( t  LC z )  V  e j ( t  LC z ) )
RC
Les quatre grandeurs  ,  , , ZC ne dépendent que des constantes primaires R, L, C, G
de la ligne et de la pulsation  : ce sont les constantes secondaires.

Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p15
Chapitre I
Solutions en régime harmonique : lignes à faibles pertes
Lignes à faibles pertes:
Dans ce cas, on a : R  L et G  C
1

R  
G 
    j   ( R  jL )( G  jC )    j LC  1 
1

 

jL

jC


 

En se limitant au premier ordre (approximation), on peut écrire :
2
1
2


j R
G 
1
C
L
  j LC  1  

G
 R

    j  LC 

2  L C  
2
L
C



R  jL
ZC 

G  jC
jL ( 1  R jL )
L
 ZC 
( 1  R jL )( 1  G jC )
jC ( 1  G jC )
C
L
1 R
G 
L
 ZC 

1 
 
C
2  jL jC  
C
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p16
Chapitre I
Solutions en régime harmonique : lignes à faibles pertes
Résumé


1 R
 GZ C 
  j LC  
2  ZC




1 R

 GZ C  très petite
  
lignes à faible pertes: 
2  ZC


    LC

Z  L
C

C

⚠
Ainsi, pour une ligne à faibles pertes, les expressions pour  et Z C sont presque
identiques à celles d’une ligne sans pertes. Par la suite on pourra considérer une ligne à
faibles pertes comme une ligne sans pertes.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p17
Chapitre I
La constante d’atténuation
La constante de perte  est le paramètre qui détermine de combien l’amplitude de l’onde
diminue lorsqu’elle se propage dans la ligne de transmission. D’où  est la constante
d’atténuation.

 z
V e
V
e  z
z
 est reliée avec la distance sur laquelle l’onde est atténuée de 1
e par rapport à sa valeur
initiale. Ceci entraîne à une diminution de la puissance de l’onde.
On peut donc représenter  en terme de dB .
Onde initiale : Ai  V 
Onde finale : A f  V
Pour
  1Np / m
Pr. Derra Mourad

e  z
et
 Ai 
dB  20 log10 
 20 log10  e z 

A 
 f 
1Np  8.68dB
z  1
Lignes de transmission
Printemps 2020 p18
Chapitre II
lignes chargées : introduction
La propagation des ondes dans une ligne de transmission est régie par les conditions aux
limites c.à.d. les composants ou circuits connectés aux deux extrémités de la ligne. On prend
l’origine soit à la source ou à la charge.
On considère une ligne d’impédance caractéristique Z C , de longueur
générateur d’impédance interne Z g et chargée par une impédance Z L
Zg
 excitée par un
z=0
Onde incidente
Onde réfléchie
ZL
0
En un point z de la ligne :v( z )  V  e  z
 z
V e
Dans ce cas l’origine est prise à la charge  z  
1
; i( z ) 
(V  e  z  V  e z )
ZC
 v     Vi     Vr   
 v(  )  V  e   V  e  



1
1


 
  
i(

)

V
e

V
e
i(

)

Vi     Vr    





ZC
ZC


Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p19
Chapitre II
lignes chargées : coefficient de réflexion
On définit le coefficient de réflexion en tension et en courant par :
  
Vr (  )


V
e
En tension  V (  ) 

(

)



Vi (  )

 V
V  e 


  
I
(

)
V
r
 (  )   e
En courant   (  ) 
  V (  )
I
I
 


Ii (  )
V e


V
Sur la charge (   0 ), le coefficient de réflexion en tension est égale à : V ( 0 )  
V



v(

)
V

V
Or, au point (   0 ) on a : Z  Z  Z 
  ZC 
L
L
i(  )  0
V V 
1 et
2
1
2
 1  V ( 0 ) 
Z L  ZC
 Z L  ZC 




(
0
)


L
V
1


(
0
)
Z L  ZC
V


Une onde se propageant sur une ligne de transmission d’impédance caractéristique Z C chargée
également par une impédance Z C ( c.à.d Z L  ZC ) ne subit aucune réflexion :  L  0
La condition d’adaptation d’impédance
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p20
Chapitre II
lignes chargées : coefficient de réflexion
 La tension et le courant en tout point de la ligne peuvent être exprimées en fonction de
L:
 
2  

v(

)

V
e
(
1


e
)

L

 
2  
i(

)

I
e
(
1


e
)


L
 On peut aussi définir le coefficient de réflexion pour n’importe quel point  sur la ligne :
V  e  
 V (  )       Le 2 
V e
  L est un nombre complexe. Il s’écrit sous la forme suivante :  L 
 Pour une ligne de transmission sans perte :
 L e j
 V (  )   L e j(   2   )
On constate que le module de  V (  ) ne dépend pas de la position sur la ligne, tandis que
son argument est une fonction de  .

Pr. Derra Mourad
 v(  )  V  e j   ( 1   L e j(   2   ) )


V  j 
j(   2   )
i(

)

e
(
1


e
)

L
ZC

Lignes de transmission
Printemps 2020 p21
Chapitre II
lignes chargées : coefficient de réflexion
Coefficient de réflexion dans le plan complexe :
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Lorsqu'on se déplace sur la ligne, le module de  L reste constant. Le lieu des points V (  )
est un cercle centré sur l’origine. Quand le déplacement se fait vers le générateur c’est-à-dire
quand  augmente, l’argument diminue.
Im  V ( )
 V ( )

  2
Re  V ( )
L
 Déplacement vers le générateur : rotation horaire
 Déplacement vers la charge : rotation anti-horaire
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p22
Chapitre II
Les nombres complexes : rappel
Rappel sur les nombres complexes :
z  a  ib  z  a  ib
z  z   a  ib    a  ib   2a  2 Re  z 
z  z   a  ib    a  ib   2ib  2i Im  z 
z  a 2  b2
z  z    a  ib  a  ib   a 2  b 2  z
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
2
Printemps 2020 p23
Chapitre II
Variation du module de la tension le long de la ligne
Variation du module de la tension le long de la ligne
Calculons l’amplitude de la tension en chaque point d’une ligne sans pertes.
v(  )  V  e j  ( 1   V (  ))
v(  )  V e

2
V
 2
j 
;
v(  )  v(  )  v(  )
2
( 1   V (  )) V e

j 
( 1   V (  ))

( 1   V (  ))( 1   V (  ))
2
 V   1   V (  )   V (  )   V (  ) V (  ) 
Or,   V (  ) 
 L e j(   2   )



  V (  )   V (  )  2 Re  V (  )  2  L cos(   2   )

2


(

)

(

)



V
L
 V

2
v(  )  V
Pr. Derra Mourad
 2
1  2  cos(   2   )   2 
L
L 

Lignes de transmission
Printemps 2020 p24
Chapitre II
Variation du module de la tension le long de la ligne
1  cos(   2   )  1
V   1   L   v(  )  V   1   L

v(  )
vmax
 2

vmin


4
Pr. Derra Mourad
3 

4 4



2 4



4 4
Lignes de transmission

4
Printemps 2020 p25
Chapitre II
Variation du module de la tension le long de la ligne
 V (  )   Le  j 2     L e j(   2   )
 Position des Maximas ( ventres ) :
 Le  j 2  
max
  L   L e  j 2 k
   2   max  2k
  max 


 k
4
2
 Position des Minimas ( nœuds ) :
 Le  j 2  
min
   L   L e  j( 2k  1 )
   2   min  ( 2k  1 )
  min 
Pr. Derra Mourad


(   )  k
4
2
Lignes de transmission
Printemps 2020 p26
Chapitre II
Taux d’onde stationnaire (TOS)
Taux ( ou Rapport ) d’onde stationnaire : TOS ( ou ROS )
Selon la charge, le signal maximum et le signal minimum sur la ligne peut varier. Le taux
d’onde stationnaire (TOS) définit précisément le rapport entre ces signaux :
vmax 1   L


vmin 1   L
● Le TOS sur la ligne ne dépend que de la charge de cette ligne.
● Si cette charge est différente de l’impédance caractéristique de la ligne, il va se produire une
onde réfléchie au niveau de la charge qui va générer un régime d’ondes stationnaires avec
des nœuds et des ventres, dont le TOS permet de caractériser l'amplitude.
●
 1
1   
 
L 0
L  1
Ligne adaptée
Ligne en circuit ouvert
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
L  1
 L  1
Ligne en court-circuit
Printemps 2020 p27
Chapitre II
Taux d’onde stationnaire (TOS)
Relation entre TOS et les impédances maximale et minimale :
⦿ Lorsque la tension est maximale, l’impédance est maximale et purement résistive :
Z max  Rmax
 1  L
vmax

 ZC 
imin
 1  L
 Rmax  ZC 



1
⦿ Lorsque la tension est minimale, l’impédance est minimale et purement résistive :
Z min
1
et
2
 1  L
vmin
 Rmin 
 ZC 
imax
 1  L
ZC
2
 Rmin 

Z min  Z max  ZC
Pr. Derra Mourad



2
;
Lignes de transmission
Z max
 2
Z min
Printemps 2020 p28
Chapitre II
Pr. Derra Mourad
Impédance ramenée
Lignes de transmission
Printemps 2020 p29
Chapitre II
Impédance ramenée
On en déduit, après calcul, l’impédance en un point de la ligne :
Z L  Z C 2  
e
Z L  ZC
Z(  )  Z C
Z  Z C 2  
1 L
e
Z L  ZC
1
Car l’origine est
prise sur la charge

Z L cosh    ZC sinh  
Z(  )  ZC
ZC cosh    Z L sinh  
Avec :
e   e  
cosh   
2
e   e  
sinh   
2
Cette équation implique que la ligne de transmission transforme l’impédance de la charge à
une autre valeur ( en n’importe quel autre emplacement de la ligne ).
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p30
Chapitre II
Impédance ramenée
 On peut aussi déterminer les relations inverses c’est-à-dire lorsqu’on se déplace du
générateur vers la charge ( la référence est prise à la source). Dans ce cas, il suffit de
remplacer  par  .
2
Zg
1
ZL
Z2
   2  Z 2  ZC
Z1
Z 1 cosh   2  Z C sinh   2
Z C cosh   2  Z 1 sinh   2

Z 2 cosh    Z C sinh  
Z 1  ZC
Z C cosh    Z 2 sinh  
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p31
Chapitre II
Impédance ramenée
Impédance ramenée pour une ligne sans perte :
  j
Or,

Z(  )  ZC
Z L cosh( j   )  ZC sinh( j   )
ZC cosh( j   )  Z L sinh( j   )
cosh( j   )  cos   ; sinh( j   )  j sin  
 Z(  )  ZC
Z L cos(   )  jZC sin(   )
ZC cos(   )  jZ L sin(   )
Z(  )  ZC
Pr. Derra Mourad
Z L  jZC tg(   )
ZC  jZ L tg(   )
Lignes de transmission
Printemps 2020 p32
Chapitre II
Impédance normalisée
Impédance normalisée ( ou réduite ) :
Pour les calculs dans les lignes de transmission, on utilise toujours l’impédance normalisée.
Z 
ZL
Z
Z
; ZL 
; Z   
ZC
ZC
ZC
Z(  ) 

Z L  jtg(   )
1  j Z L tg(   )
Si Z L  1 càd Z L  ZC  Z     1  Z     ZC
L’impédance est égale toujours à l’impédance caractéristique
de la ligne quelque soit la longueur de la ligne

L’impédance en un point  de la ligne dépend de :
 L’impédance de charge Z L
 L’impédance caractéristique Z C
 La distance réduite
Pr. Derra Mourad


:    2


Lignes de transmission
Printemps 2020 p33
Chapitre II
Tronçon de ligne demi-onde
Sur une ligne de transmission, il y a trois caractéristiques très importantes de la transformation
d’impédance
 Tronçon de ligne demi-onde :
Les variations de la partie réelle et imaginaire de l’impédance ramenée, dans le cas d’une
ligne sans pertes, terminée par une charge sont représentées sur la figure ci-dessous pour :
 On retrouve la même impédance sur la ligne
tous les  2 . Il n'y a pas de transformation
d'impédance. En effet :
Z(  )  0.5  j1.0
Z(  )
  2 


   


   


2
 
2

 tg        tg    

 Z 


 Z 


 Z 

2
Re
Im

 Z 

2
Pr. Derra Mourad
 2
 
Lignes de transmission
Printemps 2020 p34
Chapitre II
Tronçon de ligne quart d’onde
 Tronçon de ligne quart d’onde : inverseur d’impédance
 4
Zg

ZL
Z    4 
Z 



       
4
2

  Z L  jtg    

 Z   
4  1  j Z L tg 1    

1

1

 Z   
4  Z 



 Z      Z     Z C2
4

Pr. Derra Mourad

Une ligne de transmission de longueur
quart d’onde à la fréquence de
fonctionnement possède un comportement
d’inverseur d’impédance.
Ce type de ligne est
l’adaptation d’impédance.
Lignes de transmission
utilisé
pour
Printemps 2020 p35
Chapitre II
Ligne de transmission adaptée
 Ligne de transmission adaptée (terminée par une impédance caractéristique) :
Z L  ZC

ZL 1

Z   1
Quelque soit donc la longueur de la line de transmission, si la ligne est terminée par une
impédance caractéristique, alors l’impédance vue à chaque endroit de la ligne de
transmission est égale à l’impédance caractéristique de la ligne.
Puisque dans ce cas seul le signal incident est présent le long de la ligne; le signal réfléchi nul
n’interfère pas. C’est le cas idéal où toute la puissance délivrée par la source est absorbée
pour ne pas revenir vers la source et l’endommager.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p36
Chapitre II
Ligne en Court-circuit

Zg
Z incc
iL
vL  0
ZL  0
La tension, le courant et la puissance oscillent sinusoïdalement en fonction du temps avec des
amplitudes différentes à différents points de la ligne. On n’observe plus de propagation
longitudinale mais uniquement un déplacement transversal de chacun de ses points. Ces ondes
sont connues comme des ondes stationnaires. La charge ne reçoit pas de puissance et toute la
puissance injectée par le générateur lui revient.
Z L  ZC
V
On a : Z L  0   L 
 1    1  V   V 
Z L  ZC
V
 La tension et le courant en un point  de la ligne court-circuitée, sans pertes, sont données par :
 vcc (  )  V  e j   1   Le  j 2    vcc (  )  V  e j   e  j   vcc (  )  j2V  sin  

 












V
V j 
V
 j2
j 
 j 



  icc (  )  2 cos  
i
(

)

e
1


e
i
(

)

e

e
 cc
 cc
L



ZC
ZC
ZC



Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p37
Chapitre II
Ligne en Court-circuit
 Position des ventres de tension :
 Position des nœuds de tension :

vcc (  )  0  2  n


  min  n
2
 v min  0


 
sin  2   1  2   2n  1 

2
 
1

  max   n  
2 2

 v max  2 V 
En dehors des nœuds de tension distancés d’une demi-longueur d’onde, la tension sur une ligne
court-circuitée est non nulle, son amplitude peut atteindre 2 V  .
 Le taux d’onde stationnaire est infini :
vmax


vmin
 L’impédance d’entrée en un point  de la ligne court-circuitée est :
Z (  )  Z in (  )
cc
in
Z L 0
vcc (  )

 jZC tg  
icc (  )
L’impédance est purement réactive
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p38
Chapitre II
Ligne en Court-circuit
 Z incc varie selon la longueur de la ligne :
   0  Zincc  0 avec   2k 
 

4
 Z incc
vcc (  )
j2V 
Tension
4
 
  avec    2k  1
4
Dans ce cas, la ligne a transformé le courtcircuit en circuit ouvert.
0   
4
: 
 2k


4
    2k  1 


4
L’impédance de la ligne est positive et
imaginaire. Dans ce cas, la ligne se comporte
comme une inductance.


4
 

:

Courant


Z incc (  )
jZC
 2k  1     k  1  
2
4
2
L’impédance de ligne est négative et
imaginaire. Dans ce cas, la ligne se comporte
comme une capacité.

icc (  )Z C
2V 
Impédance

L’impédance d’entrée est inductive et
capacitive tous les quart de longueur d’onde.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p39
Chapitre II
Ligne en Court-circuit
 Inductance :
Z
cc
in
 j Léq  jZ C tg  
Z incc
 Capacitance :
1

 jZ C tg  
j C éq

Léq 
Z C tg  


1
C éq  
Z C  tg  
(H )

(F )

tg    0

tg    0
Z incc
Z incc
Pr. Derra Mourad
j Léq
Z incc
Lignes de transmission
1
j C éq
Printemps 2020 p40
Chapitre II
Ligne en Circuit ouvert

Zg
iL  0
ZL  
vL
Z inco
Le courant est nul au niveau de la charge, donc celle-ci ne reçoit aucune puissance. En
conséquence, toute la puissance injectée par le générateur lui revient. 2 nœuds ou 2 ventres
sont distants de  2 .
On a :
Z L  ZC
V
ZL     L 
 1   1V V
Z L  ZC
V
 La tension et le courant en un point  de la ligne ouverte, sans pertes, sont données par :
 vco (  )  V  e j   1   Le  j 2    vco (  )  V  e j   e  j    vco (  )  2V  cos  

 












V
V j 
V
 j2
j 
 j 
sin  



  ico (  )  j2
i
(

)

e
1


e
i
(

)

e

e
 co
 co
L



ZC
ZC
ZC



 L’impédance d’entrée en un point  de la ligne ouverte est :
Z inco (  )  Z in (  )
Pr. Derra Mourad
Z L 

vco (  )
  jZC cot  
ico (  )
Lignes de transmission
Printemps 2020 p41
Chapitre II
Ligne en Circuit ouvert
co
 Z in varie selon la longueur de la ligne :
vco (  )
2V 
   2k   Z inco  
Tension
4
    2k  1   Z inco  0
4

Dans ce cas, la ligne a transformé le circuit
ouvert en court- circuit.

2k


4
    2k  1


4
L’impédance est inductive si :
 2k  1

Courant
L’impédance est capacitive si :
ico (  )ZC
j2V 

4
    k  1

2
La ligne en circuit ouvert passe d’un
comportement
capacitif
à
un
comportement inductif tous les quart de
longueur d’onde.
Pr. Derra Mourad
Impédance

Lignes de transmission
Printemps 2020 p42
Z inco (  )
jZ C
Chapitre II
Ligne terminée par une autre ligne


Z0
Z1
Ligne infinie
(ou terminée par Z 1 ).
z
0
 Si la première ligne est infiniment longue, ou terminée par sa propre impédance,
l’impédance vue par la première ligne est Z 1 .
Z 1  Z0
 Le coefficient de réflexion est :  
Z 1  Z0
 Une partie de l’onde incidente est réfléchie, et le reste est transmis sur la deuxième ligne.
 Le coefficient de transmission est :   1   
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
2Z0
Z 1  Z0
Printemps 2020 p43
Chapitre II
Transfert de puissance : Introduction
Le but d’une ligne de transmission est de transférer efficacement la puissance délivrée par le
générateur à la charge. Si Z L  ZC il y’aura une réflexion sur la ligne de transmission et
une partie de l’énergie va revenir au générateur.
Lorsqu’on parle de la condition du transfert maximal de la puissance, deux problèmes se
posent :
 la puissance fournie par le générateur doit être transférée au maximum vers la charge.
 la puissance réfléchie frappe le générateur. Ce dernier est incapable d’absorber la
puissance (il délivre la puissance). La puissance revient avec une amplitude et une phase
différentes, cela affecte la performance du générateur. Elle change la phase et l’amplitude
caractéristique du générateur.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p44
Chapitre II
Transfert de puissance
Calcul de la puissance réelle à la charge :
Première méthode :
v    0   V   1   L 

⦿ La tension et le courant à la charge sont : 
V
1   L 
i   0  
ZC

⦿ La puissance réelle est :
1
 réelle  Re v    0   i     0 
2
V 2
1

 Re 
1  2 j Im  L   L
2
Z

 C


Pr. Derra Mourad
V
 2
2 ZC

1  L
Lignes de transmission
2
2







Printemps 2020 p45
Chapitre II
Transfert de puissance
Deuxième méthode :
⦿ La puissance portée par l’onde incidente est donnée par :  incidente 
⦿ La puissance réfléchie par la charge est donnée par :
⦿ La puissance réelle est :
 réfléchie 
V
 2
2 ZC
V
 2
2 ZC
 réelle   incidente   réfléchie
 V 2 V 2 
1

 

2  ZC
ZC 


 2 
V
V
1
1


2 ZC 
V

 2
1V

2 ZC
Pr. Derra Mourad

1  L
Lignes de transmission


2


2
2

Printemps 2020 p46
Chapitre II
Transfert de puissance
Calcul de la puissance complexe à un endroit quelconque de la ligne :
 v     V  e    1   L e 2   

⦿ La tension et le courant en un point  de la ligne sont : 
V  
e  1   L e 2   
i   
ZC

1
⦿ La puissance complexe est :  complexe   v  i  
2
 2
1V

2 ZC
Elle est la même en tout point
de la ligne. Elle représente
l’énergie délivrée à la charge.

1   L  j 2 Im   Le 2  
2
Puissance
résistive
Puissance
réactive
Elle dépend du point  de la
ligne. Elle représente l’énergie
stockée à cet endroit  .
 Pour calculer cette puissance il faut savoir la valeur de V  .
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p47

Chapitre II
Transfert de puissance
Calcul de V  :
Zg

A
C
ZC
Z 
Circuit
équivalent
VS

B
Zg
D
i 
v 


A
Z 
B
Pr. Derra Mourad
ZL
Lignes de transmission


Z  
VS
v    
Z    Z g

avec 
v  

i    Z  

Printemps 2020 p48
Chapitre II
Transfert de puissance
 v     V  e    1   L e 2   
Or , 

V  
e  1   L e 2   
i   
ZC

V 
Z   VS e   
 Z    Z   1  
g
2  
e
L

 On peut donc calculer la puissance délivrée à la charge ou bien la puissance à un
endroit particulier sur la ligne.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p49
Chapitre III
Abaque de Smith
Introduction :
⦿
L’abaque de Smith (Phillip Hagar Smith 1939) est un outil graphique qui permet de
résoudre des calculs de ligne de transmission, de circuits d’adaptation d’impédance etc.,
mais qui permet aussi d’afficher plusieurs paramètres comme l’impédance,
l’admittance, le coefficient de réflexion, etc...
⦿
L’abaque de Smith a été introduit pour visualiser les charges vues sur une ligne de
transmission.
⦿
L’avantage principal de l’abaque de Smith est qu’il permet de convertir rapidement un
coefficient de réflexion en impédance, et vice-versa. On travail généralement avec des
impédances normalisées sur l’abaque de Smith.
⦿
L’abaque de Smith consiste à superposer deux plans complexes : un plan cartésien
représentant le coefficient de réflexion et un faisceau de courbes représentant les
impédances normalisées (ou admittances normalisées, car les unes correspondent aux
autres par un décalage de  4 .
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p50
Chapitre III
Abaque de Smith
Construction de l’abaque de Smith :
L’idée consiste à tracer les lieux des impédances (admittances) ayant :
 une même résistance r  cte ( conductance g  cte );
ou ayant une même réactance x  cte (susceptance b  cte );
Pour arriver à décrire ces lieux dans le plan complexe des coefficients de réflexion, Smith a
du faire une certaine gymnastique mathématique qui est présentée ici dans un but de
démystification.
Soit Z     r  jx , alors le coefficient de réflexion peut s’écrire sous deux formes :
 Forme polaire :      Re j
 Forme cartésienne :      u  jv
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p51
Chapitre III
Abaque de Smith
On commence par la relation qui relie le coefficient de réflexion en un point  de la ligne
de transmission et l’impédance normalisée en ce point :
  
Z   1
Z   1
 r  jx   1

 r  jx   1
 u
   
Pr. Derra Mourad
 r  1 
jv 
 r  1 
r 2  1  x2
 r  1
2
x
2
j
jx
jx
2x
 r  1
2
 x2


u  Re      
v  Im      
Lignes de transmission
Printemps 2020 p52
Chapitre III

Abaque de Smith
Si Z    est purement réelle : Z     r ; x  0
u
r 1
; v0
r 1
    u 
Re     

r 1
r 1
0 r  1
 Arg        
 r  1
Im      
r0
Pr. Derra Mourad
●
13
●
1
●
3
●
Lignes de transmission

●
Re      
Printemps 2020 p53
Chapitre III

Abaque de Smith
Si Z    est purement imaginaire : Z     jx ; r  0
    1
 2x 
 Arg        arctg  2

 x 1
Im      
x 1
●
x
●
●
x0
Re      
● x  1
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p54
Chapitre III

Abaque de Smith
Si Z    est complexe et sa partie réelle est constante
 r  Cte 
2
2
r 

 1 




 Re        r  1   Im         r  1 




2
Cercle de centre 
et de rayon
r

Im      
,
0
 r 1 


Cercles à résistance
1
normalisée constante
r 1
:
Axe de
résistance
Re      
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p55
Chapitre III

Abaque de Smith
Si Z    est complexe et sa partie imaginaire est constante
 x  Cte  :
2
2
1 1





Re        1   Im           
x  x

1
1
Cercle de centre 1,
et de rayon
x
x
Im      
Cercles à
Im       Axe de
x  0.5
réactance normalisée
Réactance



2

constante
x  0.2
x2
Prolongement
des arcs
Re      
x 1
x0
x  2
x  0.2
x  1
x  0.5
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p56
Chapitre III
Abaque de Smith
L’abaque de Smith est simplement constitué de la superposition des figures précédentes
(Réseau des cercles à réactance normalisée constante et Réseau des cercles à résistance
normalisée constante ) pour une grande quantité de valeurs de r et x .
Im   
Z  0.2  j 0.5
Re   
Z  0.5  j 0.5
x  x0 donne un point qui indique la valeur du
L’intersection du lieu r  r0 avec celui
coefficient de réflexion de la charge normalisée Z0  r0  jx0. Il ne peut y avoir qu’un seul point
d’intersection car la relation est bijective entre la charge et son coefficient de réflexion.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p57
Chapitre III
Pourtour de l’abaque
correspond aux charges
dont le module du
coefficient de réflexion
est maximal et unitaire.
Abaque de Smith
L’abaque que nous
utiliserons le plus
souvent se présente
comme la figure
suivante.
Réactance inductive
Court-circuit
Circuit-ouvert
Z 0
Z 
Réactance capacitive
L’axe des réels entre -1
et 1 correspond à des
charges résistives pures.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Centre de l’abaque
correspond à une
charge adaptée dont le
coefficient de réflexion
est nul. Z  1
Printemps 2020 p58
Chapitre III
Abaque de Smith
Module et Argument du coefficient de réflexion :
⦿ Le module du coefficient de réflexion est
évalué par une règle de 3 en notant la distance
du centre O au point de charge P, et en
considérant que la distance entre le centre et
le pourtour vaut 1. on peut aussi se servir de
l’une des échelles radiales dessinées au bas de
l’abaque, identifiées par COEF. DE REFL.
(V,I), sur la quelle on reporte la distance notée
précédemment.
P

rmin
⦿ L’angle mesuré entre l’axe des réels et le
vecteur OP donne l’argument du coefficient
de réflexion. On peut l’obtenir en allongeant
le vecteur OP jusqu’à ce qu’il atteigne la
deuxième échelle circonférentielle.
rmax
O
Cercle TOS
⚠ Attention de ne pas prendre la première
échelle circonférentielle qui est destinée au
coefficient de transmission en tension.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p59
Chapitre III
Abaque de Smith
⦿ Le module du coefficient de réflexion est constant en tout point de la ligne. Si on se déplace
sur la ligne en allant de la charge vers la source, cela revient à faire pivoter le vecteur OP dans
le sens horaire. Ce dernier va décrire un cercle centré sur le centre de l’abaque qui représente
toutes les impédances normalisées vues pour une charge donnée. Chaque point sur ce cercle
identifie une impédance vue possible à rencontrer sur la ligne. On l’appelle aussi le cercle de
taux d’onde stationnaire constant ( TOS ). Ce dernier coupe l’axe des réels à deux endroits :


Coté négatif de l’axe des réels à la valeur r
min
Coté positif de l’axe des réels à la valeur rmax  1 rmin
⦿ Pour une ligne de transmission, l’impédance normalisée maximale est équivaut au TOS.
Ceci suggère une manière de lire le TOS sur l’abaque de Smith : Intersection du cercle TOS
constant avec l’axe positif, la valeur de r lue est rmax  TOS . Il est toutefois possible de
reporter la longueur du vecteur OP sur l’échelle radiale en bas de l’abaque identifié par TOS
pour une lecture directe sur l’abaque.
⦿ Pour un tour complet (360°), on retrouve la même impédance. Ce qui correspond à une
ème
ème
distance d’une demi-longueur d’onde sur la ligne. Cela explique la graduation des 3 et 4
échelles circonférentielles allant de 0 à 0.5 dans chacun des sens. Ces échelles sont donc
employées pour les déplacements de position d’observation qui modifient le coefficient de
réflexion de la charge vue.
Pr. Derra Mourad
Lignes de transmission
Printemps 2020 p60
Chapitre III
Abaque de Smith
⦿ Les distances  min et  max sont rapidement déterminées en terme de longueur d’onde, grâce
aux repères sur la graduation des 3èmeet 4ème échelles circonférentielles. On évalue de quelle
distance il faut tourner le vecteur OP, dans le sens horaire, pointant vers la charge afin qu’il
croise l’axe négatif des réels pour obtenir  min et l’axe positif des réels pour obtenir  max .
⦿ On a déjà montré que dans le cas d’un
transformateur quart d’onde :
Z(  )  Z(  

)1
4
ZL
 min
sur l’abaque cela se traduit ainsi :
l’admittance normalisée est diamétralement
opposée par rapport à l’origine à
l’impédance normalisée.
Pr. Derra Mourad
 max
YL
Lignes de transmission
Printemps 2020 p61