Análisis estructural
Universidad de Antioquia
Facultad de ingeniería
Trabajo análisis Matricial
Jeferson Esteban Atis Tacan
1085953802
Solución
Para solucionar el pórtico ABCD primero se debe encontrar el ancho aferente del pórtico, se analiza
el pórtico lateral, EFG con el método de distribución de momentos con el objetivo de calcular la carga
de 8.2 kN/m2 que se distribuye en el en pórtico ABCD.
𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝐴𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
La carga distribuida que reposa en EFG, tienen influencia en el pórtico central, por lo tanto, para
determinar el ancho aferente podemos suponer que la carga se distribuye como se observa en la figura
donde la viga EGF está apoyado sobre apoyos fijos.
E
F
G
Hacemos distribución de momentos para encontrar las reacciones, como la viga EFG es simétrica
empotramos E y F y en centramos los momentos sus momentos de empotramiento que serán iguales
que los momentos en F y G.
𝑤𝐿2
−
12
2
F
E
−3.1587 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑤𝐿
=
12
((8.2
𝑘𝑁
) ∗ (2.15𝑚)2 )
𝑚2
12
3.15587 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Con los momentos de empotramiento de la viga EFG, calculamos los factores de distribución de
cada elemento.
𝐹𝐷𝐸𝐹 = 𝐹𝐷𝐺𝐹 = 1
Para los valores de FE y FG se necesita la rigidez relativa.
𝐾𝐹𝐸 = 𝐾𝐹𝐺 =
𝐼
2.15
𝐾𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =
Ahora el factor de distribución es:
𝐹𝐷𝐹𝐸 = 𝐹𝐷𝐹𝐺
𝐼
𝐼
2𝐼
+
=
2.15 2.15 2.15
𝐼
𝐾𝐹𝐸
2.15
=
=
= 0.5
2𝐼
𝐾𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
2.15
Con esto procedemos a realizar la distribución de momentos en la viga EFG/
−3.1587 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
3.1587 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
E
F
−3.1587 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
G3.1587 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Con los momentos al interior de los elementos encontramos las reacciones
4.7380 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
𝑉𝐹
𝑉𝐸
∑ 𝑀𝐸 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
∑ 𝑀𝐸 = 4.7380𝑘𝑁 ∗ 𝑚 + 8.2
𝑉𝐹 =
𝑘𝑁
2.15𝑚
∗ 2.15𝑚 ∗
− 𝑉𝐹 ∗ 2.15𝑚 = 0
𝑚
2
𝑘𝑁
2.15𝑚
∗ 2.15𝑚 ∗
𝑚
2
2.15𝑚
4.7380𝑘𝑁 ∗ 𝑚 + 8.2
𝑉𝐹 = 11.0187𝑘𝑁
∑ 𝑀𝐹 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
∑ 𝑀𝐹 = 4.7380𝑘𝑁 ∗ 𝑚 − 8.2
𝑉𝐸 =
𝑘𝑁
2.15𝑚
∗ 2.15𝑚 ∗
+ 𝑉𝐸 ∗ 2.15𝑚 = 0
𝑚
2
𝑘𝑁
2.15𝑚
∗ 2.15𝑚 ∗
𝑚
2
2.15𝑚
−4.7380𝑘𝑁 ∗ 𝑚 + 8.2
𝑉𝐸 = 6.6113𝑘𝑁
Como la viga EFG es simétrica las reacciones son idénticas entonces
11.0187 𝑘𝑁 11.0187 𝑘𝑁
4.7380 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
11.0187 𝑘𝑁
6.6113 𝑘𝑁
−4.7380 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
22.0375 𝑘𝑁
11.0187 𝑘𝑁
6.6113 𝑘𝑁
𝑉𝐹 = 11.0187𝑘𝑁 + 11.0187𝑘𝑁 = 22.0375𝑘𝑁
Por lo tanto, las relaciones son:
6.6113 𝑘𝑁
22.0375 𝑘𝑁
6.6113 𝑘𝑁
Encontramos las ecuaciones de cortante para diferentes cortes en la viga
Valido para 0<x<2.15
V
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
−𝑉 + 6.6113 − 8.2(𝑥) = 0
6.6113 𝑘𝑁
𝑉 = 6.6113 − 8.2(𝑥)
Valido para 2.15<x<4.3
V
∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
−𝑉 + 6.6113 + 22.0375 − 8.2(𝑥) = 0
22.0375 𝑘𝑁
6.6113 𝑘𝑁
𝑉 = 6.6113 + 22.0375 − 8.2(𝑥)
Se analiza donde los cortantes se hacen cero para determinar el ancho aferente
para 0<x<2.15
0 = 6.6113 − 8.2(𝑥)
𝑥=
6.6113
8.2
= 0.8063𝑚
para 0<x<2.15
0 = 6.6113 + 22.0375 − 8.2(𝑥)
𝑥=
6.6113 + 22.0375
= 3.4937𝑚
8.2
Diagrama de cortante
11.0187 𝑘𝑁
6.6113 𝑘𝑁
0.8063𝑚
2.15𝑚
3.4947𝑚
−6.6113 𝑘𝑁
−11.0187 𝑘𝑁
Por lo tanto, el ancho aferente que corresponde al área donde influye la carga distribuida en el
pórtico central ABCD es:
𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2.15𝑚 − 0.8063𝑚 + 3.4937𝑚 − 2.15𝑚
𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2.6874𝑚
La carga distribuida que influye en el pórtico central está definida como,
𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 8.2
𝑘𝑁
kN
∗
2.6874𝑚
=
22.0371
𝑚2
m
Por lo tanto, el pórtico central ABCD es,
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
120 𝑘𝑁
Para resolver el pórtico ABCD, se consideran dos casos en donde la estructura está restringida más
los efectos que se generan al liberar los grados de libertad que en realidad no están restringidos, es
decir resolvemos el pórtico considerando la suma de dos situaciones.
Considerando los efectos de la estructura restringida
2
−
𝑤𝐿
12
−8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
/𝑚
𝑤𝐿2
12
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
/𝑚
8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Encontramos los cortantes en los extremos, como la viga el pórtico es simétrico los cortantes son
𝑘𝑁
22.0371 𝑚 ∗ 2.15𝑚
𝑉=
= 23.690 𝑘𝑁
2
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
/𝑚
23.690 𝑘𝑁
23.690 𝑘𝑁
La estructura restringida queda de la siguiente manera
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
/𝑚
−8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
23.690 𝑘𝑁
8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
23.690 𝑘𝑁
Se determina el efecto al liberar las restricciones en la estructura, como se liberan se cambia el
sentido de las fuerzas y momentos
23.690 𝑘𝑁
23.690 𝑘𝑁
120 𝑘𝑁
8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
−8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Resolvemos la estructura por el método de análisis matricial, empezaremos determinando la matriz
de rigidez de los elementos para luego ensamblarlas y determinar la matriz de rigidez de la estructura,
inicialmente definimos los elementos, grados de libertad, el sentido de las fuerzas y de los momento
de la siguiente manera.
1
3
4
6
5
2
Sistema de referencia,
positivo en sentido horario
X
y
8
9
7
Seguidamente se realiza la matriz de rigidez de cada elemento.
Elemento 1
10
12
11
Elemento 2
Elemento 3
Haciendo superponían de los elementos, la matriz de la estructura es,
Donde obtenemos K11
Encontramos los desplazamientos con K11-1 * Q de las cargas
Seguidamente encontramos las reacciones en los empotramientos de la siguiente manera K21*∆f
como el sistema de referencia para el análisis matricial se escogió de tomo de una manera especifica
los valores de las reacciones deben cambiar para que las reacciones se tomen de manera trivial
positivo al derecha y hacia arriba para las reacciones en los empotramientos por lo tanto las reacciones
serian.
Para resolver la estructura realizamos superposición de efectos de las dos situaciones, estructura
restringida más los efectos que se generan al liberar los grados de libertad.
23.690 𝑘𝑁
23.690 𝑘𝑁
−8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
/𝑚
8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
120 𝑘𝑁
8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
−8.489 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
23.690 𝑘𝑁
+
−106.426 𝑘𝑁/𝑚
57.406 𝑘𝑁
−42.910 𝑘𝑁
−110.367 𝑘𝑁/𝑚
62.594 𝑘𝑁
90.307 𝑘𝑁
23.690 𝑘𝑁
El resultado de la superposición y solución del pórtico central ABCD es.
22,0371 𝑘𝑁/𝑚
/𝑚
120 𝑘𝑁
−110.367 𝑘𝑁/𝑚
−106.426 𝑘𝑁/𝑚
62.594 𝑘𝑁
57.406 𝑘𝑁
−42.910 𝑘𝑁
90.307 𝑘𝑁
Seguidamente calculamos las fuerzas al interior de cada elemento con la matriz de transformación
de coordenadas
𝛥𝑖𝑥
𝛥
𝑖𝑦
𝑐 𝑠 0 0
𝛿𝑖
( )=(
)∗ 𝛥
0 0 𝑐 𝑠
𝛿𝑗
𝑗𝑥
𝛥
( 𝑗𝑦 )
𝐹𝑖𝑗 = (𝛿𝑗 − 𝛿𝑖)
Al cambiar el sistema de coordenadas en el análisis marcial también se debe cambiar los signos en
las fuerzas al interior de los elementos.
Finalmente se dibujan los diagramas de fuerzas axiales, cortante y de momento de cada elemento
deportico.
Diagramas Elemento 1
[𝐴]
[𝑉]
[𝑀]
B
B
−57.406 𝑘𝑁
65.792 𝑘𝑁/𝑚
[+]
Área [+]
172.218
42.910 𝑘𝑁
[-]
𝑋
𝑀
57.406 𝑘𝑁
−106.426 𝑘𝑁/𝑚
A
Diagramas Elemento 2
A
[𝑉]
[𝐴]
𝑦
−62.594𝑘𝑁
B
Área [-] = -(42.910*2.15 + 1/2 *(90.307-42.910) *2.15)
= -143.208
C
−42.910 𝑘𝑁
−90.307 𝑘𝑁
[𝑀]
𝑀
Como la viga esta
conectada
con
la
columna el momento
que se tiene en B es igual
para la columna como
para la viga
−77.416 𝑘𝑁/𝑚
B
65.792 𝑘𝑁/𝑚
C
Diagramas Elemento 3
[𝐴]
C
[𝑀]
[𝑉]
−62.594 𝑘𝑁
C
77.415 𝑘𝑁
C
[+]
Área [+]
187.782
−90.397 𝑘𝑁
[-]
D
𝑋
D
62.594 𝑘𝑁
−110.367 𝑘𝑁/𝑚
B
𝑀