TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
TS. BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
GIẢI
TÍCH
II
(lưu hành nội bộ)
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN
PHỤ THUỘC THAM SỐ , T ÍCH PHÂN ĐƯỜNG , T ÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT
TRƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải
Hà Nội- 2018
(bản cập nhật Ngày 9 tháng 7 năm 2018)
Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh
máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được
sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi
về địa chỉ “dieu.buixuan@hust.edu.vn”
Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos.
Use at your own risk!
Hà Nội, Ngày 9 tháng 7 năm 2018.
MỤC
Mục lục .
LỤC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học . . . . . . .
5
1
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . .
1.1
Đường cong trong mặt phẳng R2 . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số . . .
1.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
2.1
Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Đường cong trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Chuyển động của vật thể trong không gian . . . . . . . .
2.4
Độ dài của đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Độ cong của đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Đường cong trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Mặt cong trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8
Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong . . . . .
2.9
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . .
1.3
Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . .
1.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes
2.3
Đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . .
2.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
9
9
12
12
13
14
16
16
18
19
22
24
. 27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
32
44
56
59
59
61
64
80
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
MỤC LỤC
3
Các ứng dụng của tích phân bội . . . . .
3.1
Tính diện tích hình phẳng . . . .
3.2
Tính thể tích vật thể . . . . . . .
3.3
Tính diện tích mặt cong . . . . .
3.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . .
Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
89
96
97
. 99
Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . .
1.3
Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. .
1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . .
2.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Đọc thêm: Tích phân Euler và Phép tính vi tích phân cấp phân số
Chương 4 . Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
99
99
103
104
107
107
117
122
122
126
126
127
130
132
. 139
Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Tích phân đường trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Tích phân đường trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.
2.8
Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường đi . . .
139
139
142
143
144
146
148
148
150
150
151
153
159
161
163
1
1
2
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
MỤC LỤC
3
2.9
Tích phân đường không phụ thuộc đường đi và định luật bảo toàn năng lượng164
Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1
Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . .
1.3
Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . .
1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . .
2.3
Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . .
2.4
Công thức Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Dạng véctơ của công thức Green . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . .
Chương 6 . Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
167
167
169
170
171
175
175
176
177
182
185
186
188
. 191
Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Thông lượng, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường đi
2.6
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
191
191
191
192
193
195
195
195
196
197
197
198
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
MỤC LỤC
4
CHƯƠNG
CÁC
1
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
§1. CÁC
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC PHẲNG
1.1 Đường cong trong mặt phẳng R2.
Ở chương trình học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đường cong cho bởi
phương trình y = f ( x ), chẳng hạn như đường parabol y = x2 , đường cong bậc ba y = x3 .
Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng "may mắn" biểu diễn một đường cong được dưới dạng
y = f ( x ), vì có thể với một giá trị x = x0 , ứng với nó có hai hoặc nhiều hơn giá trị y tương
ứng. Chẳng hạn như, tưởng tượng rằng có một hạt chuyển động dọc theo đường cong C
như hình vẽ dưới đây. Đường cong C này không thể biểu diễn được dưới dạng y = f ( x ).
Tuy nhiên, các tọa độ x và y của hạt này là một hàm số phụ thuộc thời gian t. Chính vì
5
6
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

 x = x ( t ),
vậy sẽ là thuận lợi nếu ta biểu diễn đường cong C dưới dạng
 y = y ( t ).
Đây chính là
phương trình đường cong cho dưới dạng tham số đã được giới thiệu ở học phần Giải tích I.
Ví dụ 1.1 (Đường Cycloid). Giả sử có một bánh xe hình tròn và cố định một điểm P trên
bánh xe đó. Cho bánh xe đó lăn không trượt trên một đường thẳng. Quỹ tích điểm P đó
được gọi là đường Cycloid. Hãy viết phương trình tham số của đường cong này.
y
(πa, 2a)
a
y
θ
x
2πa
aθ
x
[Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kính r và điểm xuất phát của P là gốc tọa độ, đồng
thời cho bánh xe lăn không trượt trên trục Ox. Gọi θ là góc quay của bánh xe (θ = 0 nếu P
ở gốc tọa độ). Khi đó, vì bánh xe lăn không trượt, nên
OT = độ dài cung PT = rθ.
Do đó,

 x = |OT | − | PQ| = rθ − r sin θ = r (θ − sin θ )
y = | TC | − | QC | = r − r cos θ = r (1 − cos θ ).
Một số điều thú vị về đường Cycloid.
6
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng
7
• Một trong những người đầu tiên nghiên cứu đường cong Cycloid là Galileo. Ông đề
xuất rằng các cây cầu nên được xây theo đường cong Cycloid và cũng là người đi tìm
diện tích của miền nằm phía dưới một cung Cycloid.
• Đường cong Cycloid này về sau xuất hiện trong bài toán "Brachistochrone" sau. Cho
hai điểm A và B sao cho điểm A cao hơn điểm B. Hãy tìm đường cong nối A với B
sao cho khi ta thả một viên bi từ A, viên bi chạy theo đường cong đó (dưới tác dụng
của lực hấp dẫn) từ A đến B với thời gian ngắn nhất. Nhà toán học người Thụy Sĩ,
John Bernoulli đã chỉ ra rằng, trong số tất cả các đường cong nối A với B thì viên bi
sẽ mất ít thời gian nhất để lăn từ A đến B nếu nó đi theo đường Cycloid.
• Nhà vật lý người Hà Lan, Huyghens, cũng đã chỉ ra rằng đường cong Cycloid là lời
giải cho bài toán "Tautochrone" sau. Cho dù đặt viên bi ở đâu trên cung Cycloid
ngược thì nó cũng mất một khoảng thời gian như nhau để lăn về đáy. Điều này được
ứng dụng khi ông phát minh ra đồng hồ quả lắc. Ông đề xuất rằng quả lắc nên được
lắc theo cung Cycloid, bởi vì khi đó con lắc sẽ mất một khoảng thời gian như nhau
để hoàn thành một chu kì dao động, cho dù là nó lắc theo một cung dài hay là ngắn.
Mỗi đường cong trong mặt phẳng có thể được cho dưới các dạng sau:

 x = x ( t ),
• Dạng tham số
 y = y ( t ).
• Dạng hàm hiện y = f ( x ).
7
8
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
• Dạng hàm ẩn f ( x, y) = 0.
1. Điểm chính quy.
• Cho đường cong ( L) xác định bởi phương trình f ( x, y) = 0. Điểm M ( x0 , y0 )
được gọi là điểm chính quy của đường cong ( L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng
′
′
f x ( M ) , f y ( M ) không đồng thời bằng 0.

 x = x (t)
• Cho đường cong ( L) xác định bởi phương trình tham số
y = y (t) .
Điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) được gọi là điểm chính quy của đường cong ( L) nếu tồn
tại các đạo hàm x ′ (t0 ) , y′ (t0 ) không đồng thời bằng 0.
• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.
2. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong.
• Chúng ta biết rằng hệ số góc k của tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M
chính là y′x ( M ). Do đó, nếu đường cong cho bởi phương trình f ( x, y) = 0 thì nó
xác định một hàm ẩn y = y( x ) và đạo hàm của nó tính theo công thức
k = y′x = −
f x′
.
f y′
Vậy
– Phương trình tiếp tuyến tại M là
( d ) : y − y0 = −
′
f x′ ( M )
( x − x0 )
f y′ ( M )
(1.1)
′
⇔ f x ( M) . ( x − x0 ) + f y ( M) . (y − y0 ) = 0.
– Phương trình pháp tuyến tại M là
x − x0
y − y0
= ′
.
d′ : ′
f x ( M)
f y ( M)
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f ( x )
thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M ( x0 , y0 ) chính quy là
y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương
trình phổ thông.

 x = x (t)
thì
• Nếu đường cong (C ) cho bởi phương trình tham số
y = y (t)
k = y′x =
Do đó,
8
y′
dy/dt
dy
=
= t′ .
dx
dx/dt
xt
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng
9
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) chính quy:
( d ) : y − y ( t0 ) =
y ′ ( t0 )
x − x ( t0 )
y − y ( t0 )
( x − x ( t0 ) ⇔
=
.
′
′
x ( t0 )
x ( t0 )
y ′ ( t0 )
Nói cách khác, véc tơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M ( x (t0 ) , y (t0 ))
là ~n = ( x ′ (t0 ), y′ (t0 )).
– Phương trình pháp tuyến tại M:
d′ : x ′ (t0 ) . ( x − x (t0 )) + y′ (t0 ) . (y − y (t0 )) = 0.
1.2 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham
số
Định nghĩa 1.1. Cho họ đường cong ( L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi
đường cong trong họ ( L) đều tiếp xúc với đường cong ( E) tại một điểm nào đó trên E và
ngược lại, tại mỗi điểm thuộc ( E) đều tồn tại một đường cong của họ ( L) tiếp xúc với ( E)
tại điểm đó thì ( E) được gọi là hình bao của họ đường cong ( L).
Quy tắc tìm hình bao
Định lý 1.1. Cho họ đường cong F ( x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ đường
cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách khử c từ hệ
phương trình

 F ( x, y, c) = 0
(1.2)
 F ′ ( x, y, c) = 0
c
Chú ý 1.1. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1.2) bao gồm
hình bao ( E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.
1.3 Bài tập
Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y = x3 + 2x2 − 4x − 3 tại (−2, 5).

Phương trình tiếp tuyến y = 5
Lời giải.
Phương trình pháp tuyến x = −2
b) y = e1− x tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 .
2
9
10
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
Lời giải.
– Tại M1 (−1, 1),
– Tại M2 (−1, 1),
c.
(
1+ t
t3
3
+ 2t1
2t3
x=
y=
Lời giải.

Phương trình tiếp tuyến 2x − y + 3 = 0
Phương trình pháp tuyến x + 2y − 1 = 0

Phương trình tiếp tuyến 2x + y − 3 = 0
Phương trình pháp tuyến x − 2y + 1 = 0
tại A(2, 2).
– Phương trình tiếp tuyến y = x.
– Phương trình pháp tuyến x + y − 4 = 0.
d. x 3 + y 3 = 5 tại M (8, 1).
2
2
Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến x + 2y − 10 = 0.
– Phương trình pháp tuyến 2x − y − 15 = 0.
Bài tập 1.2. Tìm hình bao của họ đường cong sau:
a. y =
x
c
+ c2
b. cx2 + c2 y = 1
c. y = c2 ( x − c)2
Lời giải.
a. Đặt F ( x, y, c) := y − xc − c2 = 0.
Điều kiện: c 6= 0.
(
(
Fx′ ( x, y, c) = 0
Fx′ ( x, y, c) = 0
Xét hệ phương trình:
⇔
Fy′ ( x, y, c) = 0
1 = 0.
Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có
(
F ( x, y, c) = 0
⇔
Fc′ ( x, y, c) = 0
(
y − xc − c2 = 0
⇔
−2c + cx2 = 0
x = 2c3
y = 3c2
3
− y3 = 0. Do điều kiện c 6= 0 nên x, y 6= 0. Vậy ta có hình bao của họ
2
y 3
đường cong là đường 2x − 3 = 0 trừ điểm O (0, 0).
nên
x 2
2
(
10
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng
11
b. Đặt F ( x, y, c) := cx2 + c2 y − 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã
cho nên điều kiện: c 6=(0.
(
Fx′ ( x, y, c) = 0
2cx = 0
Xét hệ phương trình:
⇔
⇔ x = c = 0, nhưng điểm kì
′
Fy ( x, y, c) = 0
c2 = 0
dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì
dị. Ta có
(
(
(
F ( x, y, c) = 0
cx2 + c2 y = 1
x = 2c
⇔
⇔
y = −c21
Fc′ ( x, y, c) = 0
x2 + 2cx = 0
Do đó x, y 6= 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = − x4 trừ điểm O(0, 0).
4
2
c. Đặt F ( x, y, c) := c2 ( x −
( c) − y = 0.
(
Fx′ ( x, y, c) = 0
Fx′ = 0
Xét hệ phương trình:
⇔
Fy′ ( x, y, c) = 0
−1 = 0.
Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có


 c2 ( x − c )2 − y = 0
 F ( x, y, c) = 0
(1)
⇔
2c ( x − c) − 2c2 ( x − c) = 0. (2)
 F ′ ( x, y, c) = 0
c

c=0

(2) ⇔  c = x , thế vào (1) ta được y = 0, y =
c = 2x
Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y =
11
x4
16 .
x4
16 .
12
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
§2. CÁC
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1 Hàm véctơ
Định nghĩa 1.2. Cho I là một khoảng trong R. Ánh xạ
I → Rn ,
t 7→ r (t) = ( x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)) ∈ Rn
được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R.
Nếu n = 2, ta viết
r (t) = x (t) i + y (t) j.
Nếu n = 3, ta viết
r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k.
Đặt M ( x1 (t) , x2 (t) , · · · , xn (t)), quỹ tích M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của
hàm véctơ r (t).
Giới hạn của hàm véctơ
Người ta nói hàm véctơ r(t) có giới hạn là a khi t → t0 nếu
lim |r (t) − a| = 0,
t → t0
kí hiệu lim r (t) = a, ở đó
t → t0
|r(t) − a| =
q
[ x1 ( t ) − a1 ]2 + [ x2 ( t ) − a2 ]2 + · · · + [ x n ( t ) − a n ]2
được hiểu là độ dài của véctơ r(t) − a.
Tính liên tục của hàm véctơ
Hàm véctơ r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t0 ∈ I nếu
lim r (t) = r (t0 ) .
t → t0
(Tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x1 (t) , x2 (t) , · · · , xn (t)).
12
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
13
Đạo hàm của hàm véctơ
Giới hạn, nếu có, của tỉ số
r ( t0 + h ) − r ( t0 )
∆r
= lim
h
h →0
h →0 h
lim
được gọi là đạo hàm của hàm véctơ r (t) tại t0 , kí hiệu r′ (t0 ) hay
véctơ r (t) khả vi tại t0 .
dr(t0 )
dt ,
khi đó ta nói hàm
Chú ý 1.2. Nếu x1 (t) , x2 (t) , · · · , xn (t) khả vi tại t0 thì r (t) cũng khả vi tại t0 và
r′ (t0 ) = ( x1′ (t0 ) , x2′ (t0 ) , · · · xn′ (t0 )).
Tích phân của hàm véc tơ
Cho r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k liên tục trên [ a, b]. Khi đó





Zb
a
r(t)dt = 
Zb
a
Nếu R′ (t) = r(t) thì
Zb
a
x (t)dt i + 
Zb
a
y(t)dt j + 
a
a

z(t)dt k.
b
r(t)dt = R(t) a = R(b) − R( a).
Một cách tổng quát, nếu r(t) = ( x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)) thì

Zb
Zb
r(t)dt = 
Zb
x1 (t)dt,
a
Zb
a
x2 (t)dt, · · · ,
Zb
a

xn (t)dt .
2.2 Đường cong trong Rn
Định nghĩa 1.3. Tập hợp tất cả các điểm ( x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)) ∈ Rn sao cho t biến thiên
trong khoảng I ⊂ R được gọi là một đường cong cho bởi phương trình tham số.
Nói cách khác, mỗi đường cong C trong Rn được cho dưới dạng hàm véctơ
I → Rn ,
Đặc biệt,
t 7→ r (t) = ( x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)).
• nếu n =2, đường cong C cho dưới dạng hàm véctơ r(t) = x (t)i + y(t)j hoặc dạng
 x = x ( t ),
tham số
 y = y ( t ).
13
14
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
• nếu n = 3, đường
 cong C cho dưới dạng hàm véc tơ r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k hoặc



 x = x ( t ),
dạng tham số y = y(t),



 z = z ( t ).
Ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm véctơ
−→
Nếu hai điểm P, Q ứng với các véctơ r(t), r(t + h), thì r(t + h) − r(t) = PQ là một véctơ
r(t+h)−r(t)
có cùng phương cùng hướng với r(t + h) − r(t).
dây cung. Do đó, nếu h > 0 thì
h
Khi h → 0 thì véctơ này sẽ tiến tới một véctơ r′ (t) nào đó nằm trên đường thẳng tiếp tuyến
của đường cong tại điểm P.
Định nghĩa 1.4. Cho đường cong C cho bởi phương trình r = r(t). Nếu hàm véctơ r(t)
khả vi thì
a) véctơ r′ (t) được gọi là véc tơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm P( x (t), y(t)).
b) Véctơ tiếp tuyến đơn vị là T(t) =
r′ (t)
.
|r′ (t)|
2.3 Chuyển động của vật thể trong không gian
Cho một vật thể chuyển động trong không gian sao cho quỹ đạo của nó là một đường
cong có phương trình cho bởi hàm véctơ r = r(t). Khi đó,
r(t + h) − r(t)
= r′ (t)
h
h →0
v(t) = lim
là véctơ vận tốc (velocity) của vật thể đó. Độ lớn của véctơ này, |r(t)| chính là vận tốc tức
thời (speed) của vật thể đó tại thời điểm t, vì
|v(t)| = |r′ (t)| =
ds
= sự thay đổi của hàm khoảng cách theo thời gian.
dt
14
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
15
Tương tự như trường hợp một chiều, véctơ gia tốc được định nghĩa bởi
a(t) = v′ (t) = r′′ (t).
Ví dụ 2.2. Một vật thể chuyển động với vị trí và vận tốc ban đầu là r(0) = (1, 0, 0) và
v(0) = i − j + k. Véctơ gia tốc của nó là a(t) = 4ti + 6tj + k. Tìm véctơ vận tốc và vị trí của
nó tại thời điểm t.
Gợi ý: Dùng các công thức
v ( t ) = v ( t0 ) +
Zt
a(u)du,
r ( t ) = r ( t0 ) +
Zt
v(u)du.
t0
t0
Trong phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các định luật của Newton để chứng minh Định
luật về quỹ đạo chuyển động của các hành tinh.
• Định luật II Newton F = ma,
• Luật vạn vật hấp dẫn F = − GMm
r = − GMm
u,
r3
r2
ở đó F là trường hấp dẫn trên hành tinh, m, M là khối lượng của hành tinh và mặt trời, G
là hằng số hấp dẫn, r = |r| và u = |rr| là véctơ đơn vị của r(t).
Định lý 1.2 (Định luật Kepler). Các hành tinh chuyển động xung quanh mặt trời theo
một quỹ đạo hình elip với mặt trời là một tiêu điểm.
Chúng ta chứng minh một ý nhỏ trong Định luật trên, đó là:
Chứng minh quỹ đạo chuyển động của các hành tinh nằm trên một mặt
phẳng. Hai định luật của Newton dẫn đến
a=−
Ta có
GM
r ⇒ a song song với r ⇒ r ∧ a = 0.
r3
d
(r ∧ v) = r′ ∧ v + r ∧ v′ = v ∧ v + r ∧ a = 0 + 0 = 0.
dt
Do đó,
r ∧ v = h,
ở đó h là một véctơ hằng số nào đó. Nghĩa là r = r(t) vuông góc với h với mọi giá trị của
t. Nói cách khác, quỹ đạo chuyển động của các hành tinh nằm trên một mặt phẳng vuông
góc với h.
15
16
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
2.4 Độ dài của đường cong
Cho đường cong C cho bởi phương trình r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k, a ≤ t ≤ b, ở đó r(t)
là một hàm véc tơ khả vi trên [ a, b]. Khi đó, độ dài của C được cho bởi công thức
l=
Zbq
x ′ (t)2 + y′ (t)2 + z′ (t)2 dt =
Zb
|r′ (t)|dt.
=
Zt
a
a
Hàm độ dài được định nghĩa như sau:
s(t) =
Zt q
x ′ ( τ )2
+ y ′ ( τ )2
+ z′ (τ )2 dτ
a
a
|r′ (τ )|dτ,
nghĩa là độ dài của phần của đường cong C giữa r( a) và r(t). Khi đó,
q
ds(t)
′
s (t) =
= x ′ (t)2 + y′ (t)2 + z′ (t)2 = |r′ (t)|.
dt
(1.3)
2.5 Độ cong của đường cong
Cho đường cong r = r(t). Khi đó, véc tơ tiếp tuyến đơn vị T(t) được xác định bởi
T(t) =
r′ (t)
.
|r′ (t)|
Véc tơ này xác định hướng của đường cong như hình vẽ dưới đây.
Độ cong của đường cong tại một điểm P là một đại lượng đo "tốc độ" thay đổi hướng của
đường cong tại điểm P đó. Một cách cụ thể, người ta định nghĩa độ cong của đường cong
tại điểm P là "tốc độ" thay đổi của véc tơ tiếp tuyến đơn vị theo độ dài cung tại điểm P đó.
Định nghĩa 1.5. Độ cong của đường cong r = r(t) là
C=
dT
,
ds
ở đó T(t) là véc tơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong và s(t) là hàm độ dài.
16
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
Ta có
C=
dT/dt
dT
|T′ (t)|
=
= ′
ds
ds/dt
|r (t)|
17
(xem (1.3)).
Định lý 1.3. Độ cong của đường cong r = r(t) được cho bởi công thức
C (t) =
Chứng minh. Ta có T(t) =
|r′ (t) ∧ r′′ (t)|
.
|r′ (t)|3
(1.4)
r′ (t)
⇒ r′ (t) = |r′ (t)|T(t) = s′ (t)T(t). Do đó,
|r′ (t)|
r′′ (t) = s′′ (t)T(t) + s′ (t)T′ (t).
Vì T(t) ∧ T(t) = 0 nên
r′ (t) ∧ r′′ (t) = [s′ (t)T(t)] ∧ [s′′ (t)T(t) + s′ (t)T′ (t)] = s′ (t)2 [T(t) ∧ T′ (t)].
(1.5)
Hơn nữa, |T(t)| = T(t) · T(t) = 1 nên đạo hàm 2 vế dẫn đến
T′ (t) · T(t) + T(t) · T′ (t) = 0 ⇒ T′ (t) · T(t) = 0,
nghĩa là T(t) ⊥ T′ (t). Thay vào (1.5) ta có
|r′ (t) ∧ r′′ (t)| = |s′ (t)|2 |T(t)|k T ′ (t)| sin
Do đó,
π
= |s′ (t)|2 |T′ (t)| = |r′ (t)|2 |T′ (t)|.
2
|r′ (t) ∧ r′′ (t)|
|T′ (t)|
= C ( t ).
=
|r′ (t)|
|r′ (t)|3
Độ cong của đường cong trong mặt phẳng.
• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f ( x ) thì áp dụng công thức (1.4) với hàm
véc tơ r = ( x, f ( x ), 0) = ti + f (t)j + 0k ta được:
|y′′ |
C ( M) =
3/2
(1 + y ′2 )

 x = x (t)
thì áp dụng công thức
• Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số
y = y (t)
(1.4) với hàm véc tơ r(t) = ( x (t), y(t), 0) = x (t)i + y(t)j + 0k ta được:
C ( M) =
x ′ y′
x ′′ y′′
( x ′2 + y ′2 )
17
3/2
18
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r ( ϕ) thì:
C ( M) =
r2 + 2r ′2 − rr ′′
( r 2 + r ′2 )
3/2
Độ cong của đường cong trong không gian




 x = x ( t ),
Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số y = y(t),



z = z(t)
C (t) =
v
u
u y′ z′
t
y′′ z′′
2
z′ x ′
+ ′′ ′′
z x
2
x ′ y′
+ ′′ ′′
x y
3
( x ′2 + y ′2 + z ′2 ) 2
thì
2
.
Ví dụ 2.3 (Cuối kì, K62). Tính độ cong của đường xoắn ốc cho bởi phương trình x =
cos t, y = sin t, z = t tại điểm ứng với t = π2 .
Lời giải. Đặt r (t) = (cos t, sin t, t) ⇒ r ′ (t) = (− sin t, cos t, 1), r ′′ (t) = (− cos t, − sin t, 0).
Ta có
|r ′ ( π2 ) ∧ r ′′ ( π2 )|
1
|(−1, 0, 1) ∧ (0, −1, 0)|
= .
=
C=
π 3
′
3
2
|r ( 2 )|
|(−1, 0, 1)|
2.6 Đường cong trong không gian R3
Mỗi đường cong trong không gian R3 được định nghĩa, một cách đơn giản, là tốc đồ của
một hàm véc tơ
r : [ a, b] → R3 ,
r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k.
Đường cong r = r(t) được gọi là trơn nếu như tồn tại r′ (t) liên tục và r′ (t) 6= 0 với
mọi t ∈ [ a, b]. Một véc tơ tiếp tuyến của đường cong r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k là r′ (t) =
x ′ (t)i + y′ (t)j + z′ (t)k. Do đó,
• Phương trình tiếp tuyến của γ tại điểm M ( x0 , y0 , z0 ) chính quy:
(d) :
y − y ( t0 )
z − z ( t0 )
x − x ( t0 )
=
=
.
′
′
x ( t0 )
y ( t0 )
z ′ ( t0 )
• Phương trình pháp diện tại M:
( P) : x ′ (t0 ) . ( x − x (t0 )) + y′ (t0 ) . (y − y (t0 )) + z′ (t0 ) . (z − z (t0 )) = 0.
18
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
19
2.7 Mặt cong trong không gian R3
Tương tự như cách chúng ta biểu diễn đường cong trong không gian bởi một hàm véctơ
một tham số r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k, mỗi mặt cong trong không gian được biểu diễn
dưới dạng
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
tức là một hàm véc tơ phụ thuộc vào hai tham số u, v.
Định nghĩa 1.6. Tập hợp tất cả các điểm ( x (u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 sao cho (u, v) biến
thiên trong miền D ⊂ R2 được gọi là một mặt cong cho bởi phương trình tham số.
Ví dụ 2.4. Mỗi mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 trong không gian có một tham số tự nhiên




 x = u,
y = v,



z = − d+ax+by ,
D = R2 .
c
Ví dụ 2.5. Mỗi mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 trong không gian đều có một tham số tự nhiên
là




 x = u,
D = {( x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2 }.
y = v,


p

 z = ± R2 − x 2 − y2 ,
và một tham số trong tọa độ cầu




 x = R sin θ cos ϕ,
y = R sin θ sin ϕ,



z = R cos θ,
D = {( ϕ, θ ) ∈ R2 : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.}
Như vậy, phương trình tham số của một mặt cong có thể không duy nhất.
19
20
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số
Bài toán: Tìm mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
tại điểm P0 ứng với u = u0 , v = v0 .
[Lời giải] Nếu ta cố định u = u0 thì r(u0 , v) xác định một đường cong C1 ⊂ S trong
không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véc tơ chỉ phương là
rv =
∂x
∂y
∂z
(u0 , v0 )i + (u0 , v0 )j + (u0 , v0 )k.
∂v
∂v
∂v
Tương tự như vậy, nếu ta cố định v = v0 thì r(u, v0 ) xác định một đường cong C2 ⊂ S trong
không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P0 có véc tơ chỉ phương là
ru =
∂y
∂z
∂x
(u0 , v0 )i + (u0 , v0 )j + (u0 , v0 )k.
∂u
∂u
∂u
Lấy tích có hướng của ru và rv ta được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
cong S tại điểm P0 . Nếu tại P0 , ru ∧ rv 6= 0 thì ta nói mặt cong S là trơn tại P0 .
Chú ý 1.3. Đường thẳng đi qua P0 và vuông góc với tiếp diện của S tại P0 được gọi là pháp
tuyến của mặt S tại P0 . Nó nhận véctơ N = ru ∧ rv làm véctơ chỉ phương.
Ví dụ 2.6. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số x =
u2 , y = v2 , z = u + 2v tại điểm (1, 1, 3).
[Lời giải] Ta có
∂y
∂z
∂x
i+
j+
k = 2ui + k,
∂u
∂u
∂u
∂y
∂z
∂x
i + j + k = 2vj + 2k.
rv =
∂v
∂v
∂v
ru =
20
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
21
Do đó,
i
j k
ru ∧ rv = 2u 0 1 = −2vi − 4uj + 4uvk.
0 2v 2
Điểm (1, 1, 3) ứng với giá trị u = v = 1 nên ru ∧ rv = (−2, −4, 4). Vậy phương trình tiếp
diện là
−2( x − 1) − 4(y − 1) + 4(z − 3) = 0 ⇔ x + 2y − 2z + 3 = 0.
Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình z = z( x, y)
Trường hợp đặc
 biệt, mặt cong S cho bởi phương trình z = z( x, y) thì S có một tham số

 x = u,


hóa tự nhiên là y = v,



z = z(u, v).
Khi đó, ru = (1, 0, z′u ), rv = (0, 1, z′v ) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là
i j k
ru ∧ rv = 1 0 z′u = (−z′u , −z′v , 1) = (−z′x , −z′y , 1).
0 1 z′v
Do đó, phương trình tiếp diện tại P( x0 , y0 , z0 ) là
z − z0 = z′x ( M ) . ( x − x0 ) + z′y ( M ) . (y − y0 ) .
(1.6)
Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình f ( x, y, z) = 0
Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình f ( x, y, z) = 0 và M ( x0 , y0 , z0 ) là một điểm
chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn z = z( x, y) và các đạo hàm z′x , z′y được tính
theo công thức
z′x
f′
= − x′ ,
fz
z′y
=−
f y′
f z′
.
Áp dụng công thức (1.6) ta được
• Phương trình tiếp diện tại M
f y′ ( M )
f x′ ( M )
z − z0 = − ′
( x − x0 ) − ′
( y − y0 )
f z ( M)
f z ( M)
⇔ f x′ ( M) . ( x − x0 ) + f y′ ( M) . (y − y0 ) + f z′ ( M) . (z − z0 ) = 0.
• Phương trình pháp tuyến tại M
(d) :
y − y0
z − z0
x − x0
=
=
.
f x′ ( M )
f y′ ( M )
f z′ ( M )
21
22
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
2.8 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong

 f ( x, y, z) = 0
Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau
.
 g ( x, y, z) = 0
Đặt n f = f x′ ( M ) , f y′ ( M ) , f z′ ( M ) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
cong f ( x, y,
z) = 0 tại M.
′
′
′
Đặt n g = gx ( M ) , gy ( M ) , gz ( M ) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt
cong g ( x, y, z) = 0 tại M.
Khi đó n f ∧ n g là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phương
trình tiếp tuyến là:

(

f x′ ( M ) . ( x − x0 ) + f y′ ( M ) . (y − y0 ) + f z′ ( M ) . (z − z0 ) = 0.


PTTQ
:



g′x ( M ) . ( x − x0 ) + gy′ ( M ) . (y − y0 ) + gz′ ( M ) . (z − z0 ) = 0.

x − x0
y − y0
z − z0
PTCT :
=
=



f y′ ( M ) f z′ ( M )
f x′ ( M ) f y′ ( M )
f z′ ( M ) f x′ ( M )




g′ ( M ) g′ ( M )
g′ ( M ) g′ ( M )
g′ ( M ) g′ ( M )
y
z
z
x
x
y
→
→
→
Bài tập 1.3. Giả sử −
p (t) , −
q (t) , −
α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng:
a.
d
dt
b.
d
dt
c.
d
dt
d.
d
dt
Lời giải.
−
→
→
p (t) + −
q (t) =
→
d−
p (t)
dt
+
→
d−
q (t)
dt
→
d−
p (t)
→
→
α (t) −
p (t)
p (t) = α (t) dt + α′ (t) −
→
→
d−
q (t)
→
−
→
q (t) = −
p (t) dt +
p (t) −
→
−
→
→
p (t) ∧ −
q (t) = −
p (t) ∧
→
d−
p (t) −
→
q (t)
dt
→
d−
q (t)
dt
+
→
d−
p (t)
dt
→
∧−
q (t)
→
→
a. Giả sử −
p (t) = ( p1 (t) , p2 (t) , p3 (t)) , −
q (t) = (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t)), khi đó:
d
d −
→
→
p (t) + −
q (t) =
( p1 (t) + q1 (t) , p2 (t) + q2 (t) , p3 (t) + q3 (t))
dt
dt
= p1′ (t) + q1′ (t) , p2′ (t) + q2′ (t) , p3′ (t) + q3′ (t)
= p1′ (t) , p2′ (t) , p3′ (t) + q1′ (t) , q2′ (t) , q3′ (t)
→
→
d−
p (t) d−
q (t)
=
+
dt
dt
22
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
23
b.
d
→
α (t) −
p (t)
dt
= [α (t) p1 (t)]′ , [α (t) p2 (t)]′ , [α (t) p3 (t)]′
= α′ (t) p1 (t) + α (t) p1′ (t) , α′ (t) p2 (t) + α (t) p2′ (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p3′ (t)
= α′ (t) p1 (t) , α′ (t) p2 (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p1′ (t) , α (t) p2′ (t) , α (t) p3′ (t)
→
d−
p (t)
→
= α (t)
+ α′ (t) −
p (t)
dt
c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.
d.
d −
→
→
p (t) ∧ −
q (t)
dt
!
p2 ( t ) p3 ( t )
p3 ( t ) p1 ( t )
p1 ( t ) p2 ( t )
d
,
=
,
dt
q2 ( t ) q3 ( t )
q3 ( t ) q1 ( t )
q1 ( t ) q2 ( t )
= ...
=
p2 (t) p3′ (t)
p3 (t) p1′ (t)
p1 (t) p2′ (t)
,
,
q2 (t) q3′ (t)
q3 (t) q1′ (t)
q1 (t) q2′ (t)
p2′ (t) p3 (t)
p3′ (t) p1 (t)
+
,
,
q2′ (t) q3 (t)
q3′ (t) q1 (t)
→
→
p (t) −
d−
q (t) d−
−
→
+
∧→
q (t)
= p (t) ∧
dt
dt
p1′ (t) p2 (t)
q1′ (t) q2 (t)
Bài tập 1.4. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

2

 x = a sin t
a.
y = b sin t cos t tại điểm ứng với t = π4 , ( a, b, c > 0).


z = c cos2 t

e t√
sin t


 x=
b.
2
tại điểm ứng với t = 0.
y=1

t

cos t
 z= e√
2
b.
x− a
y− b
z− c
– Phương trình tiếp tuyến: (d) : a 2 = 0 2 = −c2
– Phương trình pháp diện: ( P) : a x − 2a − c z − 2c = 0.
Lời giải.
a.
– Phương trình tiếp tuyến: (d) :
– Phương trình pháp diện: ( P) :
= y−0 1
√
√
2
2
x
+
2
2
√x
2
2
23
√
2
√2
2
2
z−
=
z−
√
.
2
2
= 0.
!
!
24
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
2.9 Bài tập
Bài tập 1.5. Tính độ cong của:
a. y = − x3 tại điểm có hoành độ x = 21 .
Lời giải.
C ( M) =
b.
(
|y′′ |
3/2
(1 + y ′2 )
= ... =
192
125
x = a (t − sin t)
( a > 0) tại điểm bất kì.
y = a (1 − cos t)
Lời giải.
C ( M) =
x ′ y′
x ′′ y′′
3/2
( x ′2 + y ′2 )
= ··· =
1
1
√ √
2a 2 1 − cos t
c. x 3 + y 3 = a 3 tại điểm bất kì ( a > 0).
(
x = a cos3 t
Lời giải. Phương trình tham số:
, nên
y = a sin3 t
2
2
2
C ( M) =
x ′ y′
x ′′ y′′
3/2
( x ′2 + y ′2 )
= ··· =
1
3a |sin t cos t|
d. r = aebϕ , ( a, b > 0)
Lời giải.
C ( M) =
r2 + 2r ′2 − rr ′′
3/2
( r 2 + r ′2 )
=
aebϕ
1
√
1 + b2
Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x2 − 4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2, 2, 3).
24
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2, 1, 12).
c) z = ln (2x + y) tại điểm (−1, 3, 0)
Lời giải.
a.
– Phương trình pháp tuyến: (d) :
x −2
4
=
y −2
−16
=
z −3
12
– Phương trình tiếp diện: ( P) : 4 ( x − 2) − 16 (y − 2) + 12 (z − 3) = 0
b.
– Phương trình pháp tuyến: (d) :
x −2
8
=
y −1
8
=
z−12
−1
– Phương trình tiếp diện: ( P) : 8 ( x − 2) + 8 (y − 1) − (z − 12) = 0.
c.
– Phương trình pháp tuyến: (d) :
x +1
2
=
y −3
1
=
z
−1
– Phương trình tiếp diện: ( P) : 2 ( x + 1) + (y − 3) − z = 0.
Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:
(
x2 + y2 = 10
a.
tại điểm A (1, 3, 4)
y2 + z2 = 25
(
2x2 + 3y2 + z2 = 47
b.
tại điểm B (−2, 6, 1)
x2 + 2y2 = z
(
f ( x, y, z) := x2 + y2 − 10 = 0
Lời giải.
a. Ta có
nên
g ( x, y, z) := y2 + z2 − 25 = 0
Do đó n f ∧ n g = 4 (12, −4, 3). Vậy:
– Phương trình tiếp tuyến (d) :
x −1
12
=
y −3
−4
=
y −1
27
=
(
n f = (2, 6, 0)
.
n g = (0, 6, 8)
z −4
3
– Phương trình pháp diện ( P) : 12 ( x − 1) − 4 (y − 3) + 3 (z − 4) = 0
(
n f = (−8, 6, 12)
b. Tương tự,
, n f ∧ n g = −2 (27, 27, 4) nên
n g = (−4, 4, −1)
– Phương trình tiếp tuyến (d) :
x +2
27
=
z −6
4
– Phương trình pháp diện ( P) : 27 ( x + 2) + 27 (y − 1) + 4 (z − 6) = 0
25
25
26
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
26
CHƯƠNG
TÍCH
§1. TÍCH
2
PHÂN BỘI
PHÂN KÉP
1.1 Định nghĩa
Diện tích và tích phân xác định
Cho f ( x ) là một hàm số xác định với a ≤ x ≤ b.
• Chia khoảng [ a, b] này thành n khoảng nhỏ [ xi−1 , xi ] với độ dài bằng nhau ∆x =
• Chọn xi∗ ∈ [ xi−1 , xi ] bất kì.
27
b− a
n .
28
Chương 2. Tích phân bội
• Lập tổng Riemann
n
S(n) =
∑ f ( xi∗ )∆x.
i =1
Tổng Rieman này chính là diện tích của các hình chữ nhật trên hình vẽ.
• Lấy giới hạn để thu được tích phân xác định từ a đến b của hàm số f ( x ):
Zb
f ( x )dx = lim S(n),
n→∞
a
(với điều kiện là giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn các điểm xi∗ ).
Thể tích và tích phân bội hai trên hình chữ nhật
Một cách hoàn toàn tương tự như trên, xét hàm số f phụ thuộc vào hai biến số x, y xác
định trên một hình chữ nhật đóng
R = [ a, b] × [c, d] = {( x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.
Gọi S là miền nằm phía dưới của mặt z = f ( x, y) và phía trên của hình chữ nhật R, nghĩa
là
S = {( x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f ( x, y), ( x, y) ∈ R}.
• Chia miền R thành các miền hình chữ nhật con, bằng cách chia khoảng [ a, b] thành
a
m khoảng con với độ dài bằng nhau và bằng b−
m , chia khoảng [ c, d ] thành n khoảng
28
1. Tích phân kép
29
c
con với độ dài bằng nhau và bằng d−
n . Như vậy, miền R được chia thành m × n hình
chữ nhật con
Rij = [ xi−1 , xi ] × [y j−1 , y j ]
mỗi hình chữ nhật con có diện tích ∆S = ∆x∆y.
• Trên mỗi hình chữ nhật Rij ta chọn một điểm ( xij∗ , yij∗ ) bất kì. Khi đó thể tích của
phần con của S nằm phía trên của hình chữ nhật Rij có thể được xấp xỉ bằng
f ( xij∗ , yij∗ )∆S.
• Tiếp tục quá trình này và thu được công thức xấp xỉ thể tích của miền S:
m
V (S) ≈
n
∑ ∑ f ( xij∗ , yij∗ )∆S.
i =1 j =1
Dễ dàng nhận thấy rằng nếu ta chia miền R càng nhỏ thì công thức xấp xỉ trên càng tốt.
Định nghĩa 2.7. Tích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số f ( x ) trên miền hình
chữ nhật R là
ZZ
m
f ( x, y)dxdy = lim
m,n→∞
R
n
∑ ∑ f ( xij∗ , yij∗ )∆S,
i =1 j =1
nếu như giới hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn điểm ( xij∗ , yij∗ ).
Chú ý 2.4. Nếu f ( x, y) ≥ 0 thì thể tích của miền nằm phía dưới mặt cong z = f ( x, y) và
phía trên hình chữ nhật R = [ a, b] × [c, d] là
V=
ZZ
f ( x, y)dxdy.
R
29
30
Chương 2. Tích phân bội
Tích phân lặp và Định lý Fubini
Giả sử f ( x, y) là một hàm số khả tích trên R = [ a, b] × [c, d]. Xét hai tích phân lặp sau:




I1 =
Zb
a

Zd
c
f ( x, y)dy dx,
I2 =
Zd
c

Zb
f ( x, y)dx  dy.
a
Định lý 2.4 (Định lý Fubini). Nếu f ( x, y) là hàm số liên tục trên miền hình chữ nhật
R = [ a, b] × [c, d] thì
ZZ
f ( x, y)dxdy =
Zb
dx
f ( x, y)dy =
Zd
dy
c
c
a
R
Zd
Zb
f ( x, y)dx.
a
Chứng minh. Trong khuôn khổ của Bài giảng này, thay vì đưa ra chứng minh cho trường
hợp tổng quát, chúng ta sẽ chỉ chứng minh cho trường hợp f ( x, y) ≥ 0. Trước hết, thể tích
của miền nằm phía dưới mặt z = f ( x, y) và phía trên hình chữ nhật R được tính theo công
thức.
ZZ
V=
f ( x, y)dxdy.
R
Trong học phần Giải tích I, phần ứng dụng của tích phân xác định để tính thể tích, chúng
ta có một công thức khác, đó là
V=
Zb
A( x )dx,
a
ở đó A( x ) là diện tích của thiết diện của miền V cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox.
Nhìn vào hình vẽ, có thể thấy A( x ) diện tích của miền là miền nằm phía dưới đường
z = f ( x, y), ở đó x được cố định và c ≤ y ≤ d. Do đó,
A( x ) =
Zd
c
f ( x, y)dy ⇒
ZZ
f ( x, y)dxdy =
Zb
a
R
30
dx
Zd
c
f ( x, y)dy.
1. Tích phân kép
31
Một cách hoàn toàn tương tự,
ZZ
f ( x, y)dxdy =
Zd
dy
c
R
Zb
f ( x, y)dx.
a
Tích phân kép trên miền bị chặn bất kì
Nếu như miền D không phải là hình chữ nhật mà chỉ là miền bị chặn bất kì thì ý tưởng
rất đơn giản là chọn một hình chữ nhật R chứa D và định nghĩa hàm số F với miền xác
định là R bởi

 f ( x, y), nếu ( x, y) ∈ D,
F ( x, y) =
0,
nếu ( x, y) 6∈ D.
Định nghĩa 2.8. Tích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số f ( x, y) trên miền D
được định nghĩa bằng
ZZ
ZZ
f ( x, y)dxdy =
F ( x, y)dxdy.
D
R
Có một cách định nghĩa khác của tích phân kép như sau.
Định nghĩa 2.9. Cho hàm số f ( x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia
miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là
∆S1 , ∆S2 , ..., ∆Sn . Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tuỳ ý M ( xi , yi ) và thành lập tổng tích
n
phân In = ∑ f ( xi , yi ) ∆Si . Nếu khi n → ∞ sao cho max {∆Si → 0} mà In tiến tới một giá
i =1
trị hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M ( xi , yi ) thì giới
hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f ( x, y) trong miền D, kí hiệu là
ZZ
f ( x, y) dxdy.
D
31
32
Chương 2. Tích phân bội
Cách định nghĩa này về cơ bản ý tưởng cũng giống như định nghĩa ở trên. Tuy nhiên, việc
chia miền D thành n mảnh nhỏ như vậy dẫn đến việc khó hình dung. Thay vào đó, do tích
phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta "chủ động"
chia D thành hai họ đường thẳng song song với các trục toạ độ như trong Định nghĩa 2.7.
ZZ
Chú ý 2.5. Nếu tồn tại tích phân kép
f ( x, y)dxdy thì ta nói hàm số f ( x, y) khả tích
D
trong miền D.
Tính chất cơ bản:
• Tính chất tuyến tính:
ZZ
[ f ( x, y) + g ( x, y)] dxdy =
D
ZZ
ZZ
f ( x, y) dxdy +
D
k f ( x, y) dxdy = k
ZZ
ZZ
g ( x, y) dxdy
D
f ( x, y) dxdy
D
D
• Tính chất cộng tính: Nếu D = D1 ∪ D2 , ở đó D1 và D2 không "chồng" lên nhau (có thể
ngoại trừ phần biên) thì
ZZ
f ( x, y) dxdy =
D
ZZ
f ( x, y) dxdy +
D1
ZZ
f ( x, y) dxdy.
D2
y
D1
D2
x
O
1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes
Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.
1. Nếu D là miền hình chữ nhật ( D ) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một
trong hai tích phân lặp
ZZ
D
f ( x, y) dxdy =
Zb
a
dx
Zd
f ( x, y) dy =
c
32
Zd
c
dy
Zd
c
f ( x, y) dx.
1. Tích phân kép
33
y
d
D
c
a
O
x
b
2. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, ( D ) : a 6 x 6 b, ϕ ( x ) 6
y 6 ψ ( x ) thì, một cách hết sức đơn giản, ta chọn hình chữ nhật R = [ a, b] × [c, d] như
hình vẽ.
y
R
d
y = ψ( x )
D
y = ϕ( x )
c
a
O
x
b
Khi đó,
ZZ
f ( x, y)dxdy =
D
ZZ
F ( x, y)dxdy =
F ( x, y) =
Ta có
Zd
c

 f ( x, y),
0,
F ( x, y)dy =
dx
a
R
ở đó, nhắc lại rằng,
Zb
ψZ( x )
F ( x, y)dy,
c
nếu ( x, y) ∈ D,
nếu ( x, y) 6∈ D.
F ( x, y)dy =
ϕ( x )
bởi vì với y > ψ( x ) hoặc y < ϕ( x ) thì F ( x, y) = 0.
33
Zd
ψZ( x )
ϕ( x )
f ( x, y)dy,
34
Chương 2. Tích phân bội
Do đó, tích phân kép trong trường hợp này được chuyển về tích phân lặp với thứ tự
như sau:
ZZ
f ( x, y) dxdy =
Zb
dx
a
D
ψZ( x )
f ( x, y) dy.
ϕ( x )
Một số miền có dạng hình thang cong có cạnh đáy song song với Oy khác được thể
hiện ở hình vẽ sau:
3. Một cách hoàn toàn tương tự, nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với
Ox, ( D ) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) thì tích phân kép được chuyển về tích phân lặp
với thứ tự như sau:
ZZ
f ( x, y) dxdy =
Zd
dy
c
D
ψZ(y)
f ( x, y) dx.
ϕ(y)
y
x = ϕ(y)
x = ψ(y)
d
D
c
x
O
4. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 2,3 thì thông thường ta sẽ chia
miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 2 hoặc 3 rồi sử dụng tính chất cộng tính
để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 2, 3.
Bài tập 2.1. Tính các tích phân sau:
34
1. Tích phân kép
a)
ZZ
D
35
x sin ( x + y) dxdy, D = ( x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6
π
2,0
6x6
π
2
.
Lời giải.
I=
0
b) I =
ZZ
D
π
π
π
Z2
dx
Z2
x sin ( x + y) dy = ... =
0
π
hoặc I =
2
Z2
π
dy
0
Z2
x sin ( x + y) dx = ... =
0
π
2
x2 (y − x ) dxdy, D giới hạn bởi y = x2 và x = y2 .
y
y = x2
x = y2
1
O
1
x
Hình 2.1
Lời giải.
I=
Z1
√
dx
0
Z x
x2
1
x2 y − x3 dy = ... = −
.
504
Một số dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.
Chúng ta bắt đầu bằng bài toán sau đây:
Bài tập 2.2. Tính I =
Z1
0
xdx
Z1
2
ey dy.
x2
Hàm số f ( x, y) = xey liên tục trên miền D nên chắc chắn khả tích trên D. Tuy nhiên, nếu
tính tích phân trên mà làm theo thứ tự dy trước dx sau như trong đề bài thì không tính
2
được, vì hàm số ey không có nguyên hàm sơ cấp! Do đó, nảy sinh nhu cầu đổi thứ tự lấy
tích phân.
2
35
36
Chương 2. Tích phân bội
y
2
O
x
1
Hình 2.2

0 ≤ x ≤ 1,
Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu diễn giải tích của miền D là
 x2 ≤ y ≤ 1.

0 ≤ y ≤ 1,
Ta vẽ miền D và biểu diễn nó lại dưới dạng
0 ≤ x ≤ √y.
Do đó,
I=
Z1
0
√
dy
Zy
y2
xe dx =
0
Z1
0
e
y2 x
2
2
√
x= y
x =0
1
dy =
2
Z1
2
ey .ydy =
0
1 y2 1 1
e
= ( e − 1) .
4
4
0
Quy trình làm bài toán đổi thứ tự lấy tích phân
Bài toán 1: Đổi thứ tự lấy tích phân
Zb
a
dx
ψZ( x )
f ( x, y)dy
ϕ( x )
1. Từ biểu
 thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là
 a 6 x 6 b,
(D) :
 ϕ (x) 6 y 6 ψ (x) .
2. Vẽ phác thảo miền D.
y
y = ψ( x )
D
y = ϕ( x )
a
O
36
b
x
1. Tích phân kép
37
3. Chia D thành các hình thang congcó các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải
c 6 y 6 d ,
i
i
tích của các miền con, ví dụ ( Di ) :
 ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) .
i
i
Sau đó viết
Zb
dx
a
ψZ( x )
f ( x, y) dy =
∑
Zdi
dy
i c
i
ϕ( x )
ψZi (y)
f ( x, y) dx.
ϕi ( y )
Làm tương tự với
Bài toán 2: Đổi thứ tự lấy tích phân
Zd
c
dy
ψZ(y)
f ( x, y)dx.
ϕ(y)
1. Từ biểu
 thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là
c 6 y 6 d,
(D) :
 ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) .
2. Vẽ phác thảo miền D.
y
x = ϕ(y)
x = ψ(y)
d
D
c
x
O
3. Chia D thành các hình thang congcó các cạnh song song với Oy. Tìm biểu diễn giải
a 6 y 6 b ,
i
i
tích của các miền con, ví dụ ( Di ) :
 ϕ (x) 6 y 6 ψ (x) .
i
i
Sau đó viết
Zd
c
dy
ψZ(y)
f ( x, y) dx =
∑
Zbi
i a
i
ϕ(y)
dx
ψZi ( x )
f ( x, y) dy.
ϕi ( x )
Bài tập 2.3. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:
37
38
a)
Chương 2. Tích phân bội
Z1
dx
1Z− x2
f ( x, y) dy.
√
−1
− 1− x 2
y
1
D2
1 x
O
D1
Hình 2.3 a)
Chia miền D thành hai miền con D1 , D2 như hình vẽ, với


0 6 y 6 1
 −1 6 y 6 0
, D2 :
D1 :
p
p
−p1 − y 6 x 6 p1 − y.
 − 1 − y2 6 x 6 1 − y2
Vậy
I=
Z0
−1
b)
Z1
0
1+
dy
√
Z 1− y
√
dy
−
Z1−y
√
2
f ( x, y) dx +
Z1
√
dy
0
1− y2
−
Z1−y
√
f ( x, y) dx.
1− y
2
f ( x, y) dx.
y
2− y
2
1
O
1
2 x
Hình 2.3 b)

1 6 x 6 2
Lời giải. Ta có biểu diễn giải tích của D là
√
2 − x 6 y 6 2x − x2
I=
Z2
1
√
dx
2x
Z − x2
2− x
38
f ( x, y) dy.
nên:
1. Tích phân kép
c)
Z2
39
√
Z 2x
dx
√
0
y
f ( x, y) dx.
2
2x − x2
1
O
x
2
1
Hình 2.3 c)
Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ, với


0 6 y 6 1
0 6 y 6 1
, D2 :
D1 : y2
p
p
1 + 1 − y2 6 x 6 2
 6 x 6 1 − 1 − y2
2
, D3 :
Vậy:
I=
Z1
0
√
d)
Z2
dy
0
Zy
0
1−
dy
√
Z 1− y
2
f ( x, y) dx +
f ( x, y) dx +
√
2
√
dy
dy
0
y2
2
Z2
Z1
Z4−y
1+
Z2
√
f ( x, y) dx +
1
1− y2
2
f ( x, y) dx.
0
y
√
2
√
O
2
Hình 2.3 d)
39
Z2
x
dy

1 6 y 6 2
 y2 6 x 6 2.
2
Z2
y2
2
f ( x, y) dx.
40
Chương 2. Tích phân bội

0 6 x 6 √2
Lời giải. Biểu diễn giải tích của D là
√
 x 6 y 6 4 − x2
√
√
I=
Z2
nên:
Z4− x2
dx
f ( x, y) dy.
x
0
Bài tập 2.4. [Cuối kì, K62] Tính các tích phân lặp
a)
Z1
0
dy
Z2
b)
x2
e dx
2y
Z1
dx
0
Z2
2
ey dy.
2x
Bài tập 2.5. Chứng minh rằng




Z1 Z1
Z1 Z1
x−y
x−y
 dx = 1 6= 
 dy = − 1 .

dy
dx
2
2
( x + y )3
( x + y )3
0
0
0
0
Hãy giải thích tại sao không đổi thứ tự lấy tích phân được trong tích phân trên.
[Gợi ý] Hàm lấy tích phân f ( x, y) =
x −y
( x + y )3
ZZ
[0,1]×[0,1]
không liên tục trên miền D = [0, 1] × [0, 1] nên
x−y
dxdy
( x + y )3
có thể không tồn tại. Đây thực chất là một tích phân bội suy rộng.
Dạng 2: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giả sử cần tính
ZZ
D
| f ( x, y)| dxdy.
Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy ta khảo sát dấu của
hàm f ( x, y). Do tính liên tục của hàm f ( x, y) nên đường cong f ( x, y) = 0 sẽ chia miền D
thành hai miền, D + và D − . Trên miền D + , f ( x, y) > 0, và trên miền D − , f ( x, y) 6 0. Ta
có công thức:
ZZ
D
| f ( x, y)| dxdy =
ZZ
f ( x, y) dxdy +
D+
ZZ
D−
− f ( x, y) dxdy
Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Vẽ đường cong f ( x, y) = 0 để tìm đường cong phân chia miền D.
40
(2.1)
1. Tích phân kép
41
2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào
là D + , miền nào là D − , ta xét một điểm ( x0 , y0 ) bất kì, sau đó tính giá trị f ( x0 , y0 ).
Nếu f ( x0 , y0 ) > 0 thì miền chứa ( x0 , y0 ) là D + và ngược lại.
3. Sau khi xác định được các miền D + , D − , sử dụng công thức (2.1) để tính tích phân.
Bài tập 2.6. Tính
ZZ
D
| x + y|dxdy, D := ( x, y) ∈ R2 || x 6 1| , |y| 6 1
y
1
D+
O
1
x
D−
Hình 2.6
Lời giải. Ta có:

−1 6 x 6 1,
D + = D ∩ { x + y > 0} =
− x 6 y 6 1.

−1 6 x 6 1,
D − = D ∩ { x + y 6 0} =
−1 6 y 6 − x.
nên
I=
ZZ
D+
Bài tập 2.7. Tính
ZZ p
D
( x + y) dxdy −
ZZ
D−
8
( x + y) dxdy = ... = .
3
|y − x2 |dxdy, D := ( x, y) ∈ R2 || x | 6 1, 0 6 y 6 1 .
41
42
Chương 2. Tích phân bội
y
1
D+
D−
O
x
1
Hình 2.7
Lời giải. Chia miền D thành hai miền con
n
o
n
o
D + = D ∩ ( x, y) y − x2 > 0
D − = D ∩ ( x, y) y − x2 6 0
Do đó
ZZ q
I=
D+
y−
x2 dxdy +
ZZ q
D−

−1 6 x 6 1,
=
 x2 6 y 6 1,

−1 6 x 6 1,
=
0 6 y 6 x 2 .
x2 − ydxdy = I1 + I2 ,
trong đó
I1 =
Z1
−1
dx
Z1 q
x2
I2 =
Kết luận I =
π
4
+ 13 .
y − x2 dy =
Z1
−1
Z1
2 3
−1
1 − x2
2
dx
Zx q
0
2
x2 − ydy =
3
3
Z1
−1
2
π
x =sin t
dx =
4
3
4
| x | dx =
3
3
Z2
cos4 tdt = ... =
0
Z1
0
1
x3 dx = .
3
Bài tập 2.8 (Cuối kì,K62). Tính tích phân
a)
ZZ
D
| x + y|dxdy,
b)
ZZ
D
| x − y|dxdy,
ở đó D : x2 + y2 ≤ 1.
42
π
,
4
1. Tích phân kép
43
Dạng 3: Tính tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đối
xứng.
Định lý 2.5. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và hàm là hàm lẻ
đối với y (tương ứng đối với x) thì
ZZ
f ( x, y) dxdy = 0.
D
Định lý 2.6. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và hàm là hàm
chẵn đối với y (tương ứng đối với x) thì
ZZ
f ( x, y) dxdy = 2
ZZ
f ( x, y) dxdy,
D+
D
trong đó D + là phần nằm bên trên trục Ox của D (tương ứng phía phải trục Oy của D).
Định lý 2.7. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f ( x, y) thoả mãn
f (− x, −y) = − f ( x, y) thì
ZZ
f ( x, y) dxdy = 0.
D
Bài tập 2.9. Tính
ZZ
| x |+|y|61
| x | + |y|dxdy.
y
1
D1
O
1
x
Hình 2.9
Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f ( x, y) = | x | + |y| là hàm chẵn với x, y nên
I=4
ZZ
D1
f ( x, y) dxdy = 4
Z1
0
43
dx
1Z− x
0
4
( x + y)dy = .
3
44
Chương 2. Tích phân bội
1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tống quát thường được
ZZ sử dụng trong trường hợp miền D là giao của
hai họ đường cong. Xét tích phân kép I =
f ( x, y) dxdy, trong đó f ( x, y) liên tục trên D.
D
Thực hiện phép đổi biến số

 x = x (u, v) ,
y = y (u, v)
thoả mãn:
(2.2)
• x = x (u, v) , y = y (u, v) là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong
miền đóng Duv của mặt phẳng O′ uv.
• Công thức (2.2) xác định song ánh từ Duv → D.
• Định thức Jacobi J =
D ( x,y)
D (u,v)
′
′
x x
= ′u ′v 6= 0 ∀(u, v) ∈ Duv .
yu yv
Khi đó ta có công thức đổi biến số:
I=
ZZ
f ( x, y) dxdy =
D
ZZ
Duv
f ( x (u, v) , y (u, v)) | J | dudv
Chú ý:
• Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dáng
phức tạp về tính tích phân trên miền Duv đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc
hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn
giản biểu thức tính tích phân f ( x, y).
• Để xác định được miền Duv , lưu ý rằng phép đổi biến số tổng quát sẽ biến biên của
miền D thành biên của miền Duv , biến miền D bị chặn thành miền Duv bị chặn.
• Có thể tính J thông qua
J −1
=
D (u,v)
D ( x,y)
′
′
u u
= ′x ′y .
v x vy
Bài tập 2.10. Chuyển tích phân sau sang hai biến u, v:

Z1
Zx
u = x + y
a)
dx
f ( x, y) dxdy, nếu đặt
v = x − y
0
−x
44
1. Tích phân kép
45
b) Áp dụng tính với f ( x, y) = (2 − x − y)2 .
v
2
y
1
D
1 x
O
2 u
O′
Hình 2.10
Lời giải. Ta có
Hơn nữa
nên

u = x + y
v = x − y

x =
⇒
y =
u+v
2
u−v
2

0 6 x 6 1
D
− x 6 y 6 x
1
I=
2
Bài tập 2.11. Tính I =
ZZ
D
Z2
0
du
, J −1 =
↔ Duv
2Z−u
0
f
1 1
D (u, v)
=
= −2.
D ( x, y)
1 −1

0 6 u 6 2
0 6 v 6 2 − u
u+v u−v
,
dv.
2
2

1 6 xy 6 4
4x2 − 2y2 dxdy, trong đó D :
 x 6 y 6 4x.
45
46
Chương 2. Tích phân bội
y
y = 4x
y=x
1
xy = 4
xy = 1
x
1
O
Hình 2.11
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến


1 6 u 6 4
u = xy
⇒ Duv :
1 6 v 6 4
v = y
, J −1 =
x
y
x
−y
x2
1
x
=
2y
= 2v.
x
Ta có
I=
Z4
du
1
Z4 1
1
u
4 − 2uv . dv =
v
2v
Z4
du
Z4 1
1
Z4
2u
45
3
− u dv = − udu = − .
2
2
4
v
1
Dùng tích phân kép để chứng minh Công thức Euler (Giải tích III)
Chứng minh công thức Euler sau
∞
π2
1
∑ n2 = 6 .
n =1
Có nhiều cách để chứng minh công thức này, một trong những cách đó là sử dụng khai
triển Fourier. Sau đây tôi xin giới thiệu một phương pháp chứng minh khác dựa vào Tích
phân kép. Trước hết, vì
Z 1
0
∞
1
=
∑ n2 ∑
n =0
n =1
∞
Z1
0
n
x dx
Z1
0
x n dx
=
∞
n
y dy =
∑
Z 1
0
yn dy =
Z1 Z1
1
n +1
n
nên
( xy) dxdy =
n =0 0 0
Z1 Z1 ∞
∑ ( xy)
0 0 n =0
46
n
dxdy =
Z1 Z1
0 0
1
dxdy.
1 − xy
1. Tích phân kép
47
Để tính được tích phân kép này ta thực hiện phép đổi biến x = u − v, y = u + v. Khi đó
J = 2 và miền D sẽ biến thành miền Duv như hình vẽ (Tại sao? Phải dựa vào nhận xét
phép đổi biến biến biên của miền D thành biên của miền Duv ).
v
x
1
1
2
O
Ta có
I=
Z
y
1
1
dxdy = 2
1 − xy
Z
=4
Z2
1
du
0
Vì
Zz
0
nên
Zu
0
1
dv + 4
1 − u2 + v2
I=4
√
0
1
1 − u2
Z1
du
1Z−u
0
1
2
(2.3)
1
dv.
1 − u2 + v2
t z 1
z
1
dt
= arctan
arctan
=
2
2
a
a 0 a
a
a +t
1
Z2
u
1
1
dudv
1 − u2 + v2
Duv
D
O
arctan√
u
1 − u2
du + 4
Z1
1
2
√
1
1 − u2
1−u
arctan√
du = I1 + I2 .
1 − u2
Đặt u = sin θ đối với tích phân I1 ta được
π
I1 = 4
Z6
0
π
p
cos θ
1 − sin2 θ
arctanp
sin θ
1 − sin2 θ
dθ = 4
Z6
π
arctan(tan θ )dθ = 4
0
Z6
0
θdθ =
π2
.
18
Đặt u = cos 2θ đối với tích phân I2 ta được
π
I2 = 4
Z6
0
Kết luận I =
π2
18
π
Z6
1 − cos 2θ
π2
√
dθ = 8 arctan(tan θ )dθ =
arctan √
.
9
1 − cos2 2θ
1 − cos2 2θ
2 sin 2θ
0
+
π2
9
=
π2
6
.
47
(2.4)
48
Chương 2. Tích phân bội
Phép đổi biến số trong toạ độ cực
Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản
hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có
dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,. . . và hàm dưới dấu tích
có những biểu thức
 phân
−
−
→
r = OM
x2 + y2 . Toạ độ cực của điểm M ( x, y) là bộ (r, ϕ), trong đó
−−→ .
\

ϕ = Ox, OM
y
M
y
−−→
r = |OM|
ϕ
O

 x = r cos ϕ
Công thức đổi biến:
y = r sin ϕ
x
x
trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình
dạng của miền D. Khi đó
D ( x, y)
J=
= r và I =
D (r, ϕ)
ZZ
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ.
Drϕ

ϕ 6 ϕ 6 ϕ
2
1
Đặc biệt, nếu miền lấy tích phân có dạng hình quạt
r1 ( ϕ ) 6 r 6 r2 ( ϕ )
thì
I=
Zϕ2
ϕ1
dϕ
rZ
2 ( ϕ)
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr.
r1 ( ϕ )
y
r = r2 ( ϕ )
r = r1 ( ϕ )
O
48
x
(xem hình vẽ)
1. Tích phân kép
49
Bài tập 2.12. Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I =
ZZ
f ( x, y) dxdy, trong đó D là
D
miền xác định như sau:
a) a2 6 x2 + y2 6 b2
y
b
a
b
a
O
x
Hình 2.12a
Lời giải.

0 6 ϕ 6 2π
D:
a 6 r 6 b
⇒I =
Z2π
Zb
dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr
a
0
b) x2 + y2 > 4x, x2 + y2 6 8x, y > x, y 6 2x
y
O
2
8
4
x
Hình 2.12b
Lời giải. Ta có:

π 6 ϕ 6 π
3
D: 4
4 cos ϕ 6 r 6 8 cos ϕ
π
⇒I =
49
Z3
π
4
dϕ
8Z
cos ϕ
4 cos ϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr.
50
Chương 2. Tích phân bội
Bài tập 2.13. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau:
a)
ZR
0
√
dx
R
Z2 − x2
0
ln 1 + x2 + y2 dy ( R > 0).
y
O
R
x
Hình 2.13 a
Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền D là:

0 6 x 6 R
√
0 6 y 6 R2 − x 2 .

 x = r cos ϕ
Chuyển sang toạ độ cực, đặt
y = r sin ϕ
π
Z2
ZR

0 6 ϕ 6 π
2
thì
0 6 r 6 R.
ZR
π
2
2
2
I = dϕ ln 1 + r rdr =
ln 1 + r d 1 + r
4
0
0
0
i
π h 2
R + 1 ln R2 + 1 − R2 .
=
4

ZZ
 x 2 + ( y − 1)2 = 1
2
b) Tính
xy dxdy, D giới hạn bởi
 x2 + y2 − 4y = 0.
D
y
4
2
O
Hình 2.13 b
50
x
1. Tích phân kép
51

 x = r cos ϕ
Đặt
y = r sin ϕ
I=
Zπ
dϕ

0 6 ϕ 6 π
⇒
2 sin ϕ 6 r 6 4 sin ϕ.
4Z
sin ϕ
r cos ϕ. (r sin ϕ)2 rdr
2 sin ϕ
0
= 0.
Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và f ( x, y) = xy2 là hàm số lẻ đối với x nên I = 0.
Bài tập 2.14. Tính các tích phân sau:
a)
ZZ
D

4y 6 x2 + y2 6 8y,
dxdy
√
2 , trong đó D :
( x 2 + y2 )
 x 6 y 6 x 3.
y
8
√
y=x 3
y=x
4
x
O
Hình 2.14a

 x = r cos ϕ
Lời giải. Đặt
y = r sin ϕ
Do đó
π
I=
Z3
π
4
b)
ZZ r
dϕ
8Z
sin ϕ
4 sin ϕ
1− x 2 − y2
dxdy
1+ x 2 + y2

π 6 ϕ 6 π
3
⇒ 4
4 sin ϕ 6 r 6 8 sin ϕ.
π
1
1
rdr = −
4
2
r
Z3 π
4
1
1
−
2
64 sin ϕ 16 sin2 ϕ
trong đó D : x2 + y2 6 1.
D
51
3
dϕ =
128
1
1− √
3
.
52
Chương 2. Tích phân bội
y
1
O
x
1
Hình 2.14b

 x = r cos ϕ
Đặt
y = r sin ϕ
Ta có:

0 6 ϕ 6 2π
⇒
0 6 r 6 1.
I=
Z2π
dϕ
0
Z1
0
s
1 − r2
u =r 2
= 2π
rdr
1 + r2
Z1
0
1
2
r
1−u
du.
1+u
Đặt
t=
Z1
r

du = −
4t
2 dt
1−u
(1+ t2 )
⇒
1 + u 0 6 t 6 1.
!
Z1
Z1
dt
4dt
+ 4π
dt = −π
I=π t −
2
2
2
1+t
(1 + t2 )
(1 + t2 )
0
0
0
1
1 t
1
+ arctan t 10
= −4π arctan t 0 + 4π
2 t2 + 1 2
π2
.
=
2
4t


x2 + y2 6 12




ZZ
 x2 + y2 > 2x
xy
dxdy
trong
đó
D
:
c)
√
x 2 + y2


x2 + y2 > 2 3y

D



x > 0, y > 0.
52
1. Tích phân kép
53
y
√
2 3
D2
D1
O
2
√
2 3
x
Hình 2.14c
Lời giải. Chia miền D thành hai miền D = D1 ∪ D2 như hình vẽ,


0 6 ϕ 6 π
π 6 ϕ 6 π
6
2
D1 =
, D2 = 6√
√
√
2 cos ϕ 6 r 6 2 3
2 3 sin ϕ 6 r 6 2 3.
Vậy I = I1 + I2 , trong đó
π
I1 =
Z6
dϕ
2 cos ϕ
0
π
I2 =
Z2
π
6
√
2Z 3
dϕ
√
2Z 3
√
2 3 sin ϕ
Kết luận I =
π
1
ϕ sin ϕ
rdr =
2
2
r
Z6
1
r2 cos ϕ sin ϕ
rdr
=
2
r2
Z2
r2 cos
0
π
π
6
17
cos ϕ sin ϕ 12 − 4cos2 ϕ dϕ = ... = ,
32
27
cos ϕ sin ϕ 12 − 12 sin2 ϕ dϕ = ... = .
32
11
8.
Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng.
Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse
hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các trục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt
buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi.

 x = ar cos ϕ
y2
x2
1. Nếu D : a2 + b2 = 1, thực hiện phép đổi biến
, J = abr.
y = br sin ϕ

 x = a + r cos ϕ
2. Nếu D : ( x − a)2 + (y − b)2 = R2 , thực hiện phép đổi biến
y = b + r sin ϕ
, J = r.
3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng.
53
54
Chương 2. Tích phân bội
4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến.
Bài tập 2.15. Tính
ZZ
D
9x2 − 4y2 dxdy, trong đó D :
x2
4
+
y2
9
6 1.
y
3
O
x
2
Hình 2.15
Lời giải.

 x = 2r cos ϕ
Đặt
y = 3r sin ϕ
Ta có:
I=6
ZZ
Drϕ

0 6 ϕ 6 2π
⇒ J = 6r,
0 6 r 6 1.
36r cos ϕ − 36r sin ϕ rdrdϕ = 6.36
2
Bài tập 2.16. Tính
2
ZR
0
2
√
dx
Rx
Z − x2
√
− Rx − x2
2
p
Z2π
0
|cos 2ϕ| dϕ
Z1
r3 dr = ... = 216
0
Rx − x2 − y2 dy, ( R > 0).
y
O
R
x
Hình 2.16
Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là:

0 6 x 6 R
R 2
R2
D:
.
⇔ x−
+ y2 6
√
√
− Rx − x2 6 y 6 Rx − x2
2
4
54
1. Tích phân kép
55

0 6 ϕ 6 2π
⇒ | J | = r,
0 6 r 6 R

 x = R + rcosϕ
2
Đặt
y = r sin ϕ
Vậy
I=
Z2π
dϕ
0
R
Z2 r 2
R
r
0
4
− r2 dr
2
= 2π.
R
Z2 r 2
R
−1
2
4
0
− r2 d
R2
− r2
4
=
πR3
.
12
Chú ý 2.6. Đối với Bài tập 2.16, nếu chỉ đổi biến số trong tọa độ cực thông thường


 x = r cos ϕ,
− π ≤ ϕ ≤ π ,
2
2
thì
y = r sin ϕ
0 ≤ r ≤ R cos ϕ.
Tích phân đã cho trở thành
π
I=
Z2
dϕ
− π2
RZcos ϕq
Rr cos
0
ϕ − r2
rdr.
p
Tích phân này không dễ tính vì nó chứa biểu thức vô tỉ Rr cos ϕ − r2 . Đây là một ví dụ
điển hình về việc phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng không những biến miền lấy
tích phân về miền đơn giản, mà còn có tác dụng làm đơn giản biểu thức tính tích phân.
Bài tập 2.17. Tính
ZZ
xydxdy, với
D
a) D là hình tròn ( x − 2)2 + y2 6 1.
y
O
3
1
x
Hình 2.17a
Lời giải.

 x = 2 + r cos ϕ
Đặt
y = r sin ϕ
55
⇒

0 6 r 6 1
0 6 ϕ 6 2π.
56
Chương 2. Tích phân bội
Ta có
I=
Z2π
dϕ
0
Z1
(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 0.
0
Cách 2. Nhận xét D là miền đối xứng qua Ox và f ( x, y) = xy là hàm lẻ đối với y nên
I = 0.
b) D là nửa hình tròn ( x − 2)2 + y2 6 1, y > 0.
y
O
3
1
x
Hình 2.17b
Lời giải.
Ta có

 x = 2 + r cos ϕ
Đặt
y = r sin ϕ
I=
Zπ
dϕ
0
Z1
0
⇒

0 6 r 6 1
0 6 ϕ 6 π.
4
(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = .
3
1.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 2.18. Tính
ZZ
ydxdy
3
[0,1]×[0,1]
(1 + x 2 + y2 ) 2
[Gợi ý] Nên tính tích phân này theo thứ tự dy trước, dx sau.
I=
Z1
0
dx
Z1
0
ydy
3
(1 + x 2 + y2 ) 2
Bài tập 2.19. Tính
56
.
1. Tích phân kép
a) I1 =
ZZ
57
trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, y = x và
x2
dxdy,
y2
D
hyperbol xy = 1.
b) I2 =
ZZ
( x2 + y)dxdy, trong đó C là miền giới hạn bởi các parbaol y = x2 và x = y2 .
C
[Đáp số]
a) I1 =
b) I2 =
9
4
Bài tập 2.20. Tính tích phân
I=
ZZ
33
140
x2 sin xy
dxdy,
y
D
trong đó D là miền giới hạn bởi bốn parabol
x2 = ay, x2 = by, y2 = px, y2 = qx, (0 < a < b, 0 < p < q).
[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u =
Bài tập 2.21. Tính tích phân I =
ZZ
x2
y ,v
=
y2
x.
xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
D
cong
y = ax3 , y = bx3 , y2 = px, y2 = qx, (0 < b < a, 0 < p < q).
[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u =
x3
y ,v
=
y2
x.
Bài tập 2.22. Chứng minh rằng
Z1
dx
0
1Z− x
y
e x+y dy =
0
e−1
.
2
[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến u = x + y, v = y.
Bài tập 2.23. Tính diện tích của miền giới hạn bởi các đường xy = 4, xy = 8, xy3 =
5, xy3 = 15.
[Gợi ý] Đặt u = xy, v = xy3 . Đáp số S = 2 ln 3.
Bài tập 2.24. Tính diện tích của miền giới hạn bởi bốn parabol y2 = x, y2 = 8x, x2 =
y, x2 = 8y.
[Gợi ý] Đặt u =
y2
x ,v
=
x2
y.
Đáp số S =
279π
2 .
57
58
Chương 2. Tích phân bội
Bài tập 2.25. Tính diện tích của miền giới hạn bởi các đường y = x3 , y = 4x3 , x = y3 , x =
4y3 .
[Đáp số] S = 18 .
Bài tập 2.26. Chứng minh rằng
ZZ
cos
x +y≤1,x ≥0,y≥0
x−y
x+y
dxdy =
sin 1
.
2
[Gợi ý] Đặt u = x − y, v = x + y.
Bài tập 2.27. Tính tích phân
I=
ZZ r
D
r x
y
+
dxdy,
a
b
trong đó D là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và parabol
58
px
a
q
+ yb = 1.
2. Tích phân bội ba
59
§2. TÍCH
PHÂN BỘI BA
2.1 Định nghĩa và tính chất
Tích phân bội ba trên miền hình hộp
Giống như tích phân xác định của hàm số một biến số f ( x ) hay tích phân kép của hàm
số hai biến số f ( x, y), tích phân bội ba của hàm số ba biến số f ( x, y, z) được định nghĩa một
cách hoàn toàn tương tự. Trước hết, ta xét trường hợp đơn giản nhất, ở đó hàm số f ( x, y, z)
được định nghĩa trên một hình hộp chữ nhật
B = [ a, b] × [c, d] × [r, s] = {( x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}.
• Chia B thành các hình hộp nhỏ bằng cách chia [ a, b] thành l khoảng con với độ dài
bằng nhau ∆x, chia [c, d] thành m khoảng con với độ dài bằng nhau ∆y, chia [r, s]
thành n khoảng con với độ dài bằng nhau ∆z. Khi đó, B được chia thành l × m × n
hình hộp nhỏ
Bijk = [ xi−1 , xi ] × [y j−1 , y j ] × [zk−1 , zk ],
mỗi hình hộp con với thể tích ∆V = ∆x∆y∆z.
∗ , y∗ , z∗ ) ∈ B và lập tổng tích phân
• Chọn mỗi điểm ( xijk
ijk
ijk ijk
l
m
n
∑∑∑
i =1 j =1 k =1
∗
∗
∗
f ( xijk
, yijk
, zijk
)∆x∆y∆z.
59
60
Chương 2. Tích phân bội
Định nghĩa 2.10. Tích phân bội ba của hàm số f ( x, y, z) trên hình hộp B là
ZZZ
l
f ( x, y, z)dxdydz =
B
m
n
∑∑∑
lim
l,m,n→+∞ i =1 j=1 k=1
∗
∗
∗
f ( xijk
, yijk
, zijk
)∆x∆y∆z,
(2.5)
∗ , y∗ , z∗ ). Khi đó
nếu giới hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn các điểm ( xijk
ijk ijk
ta nói rằng hàm số f ( x, y, z) khả tích trên B.
∗ , y∗ , z∗ ) = ( x , y , z ) thì công thức (2.5) trở thành
Chú ý 2.7. Nếu chọn ( xijk
i j k
ijk ijk
ZZZ
l
f ( x, y, z)dxdydz =
B
m
n
∑∑∑
lim
l,m,n→+∞ i =1 j=1 k=1
f ( xi , y j , zk )∆x∆y∆z,
Định lý 2.8 (Định lý Fubini). Nếu hàm số f ( x, y, z) liên tục trên hình hộp B = [ a, b] ×
[c, d] × [r, s] thì nó khả tích trên đó, và
ZZZ
Zb
f ( x, y, z)dxdydz =
dx
a
B
Zd
dy
c
Zs
f ( x, y, z)dz.
r
Tích phân bội ba trên miền bị chặn bất kì
Giống như cách định nghĩa tích phân kép, tích phân bội ba trên miền bị chặn V bất kì
được định nghĩa như sau:
• Chọn hình hộp chữ nhật B chứa V và định nghĩa hàm số mới

 f ( x, y, z) nếu ( x, y, z) ∈ V,
g( x, y, z) =
0
nếu ( x, y, z) 6∈ V.
• Định nghĩa
ZZZ
f ( x, y, z)dxdydz =
V
ZZZ
f ( x, y, z)dxdydz.
B
Các tính chất cơ bản
• Tính chất tuyến tính
ZZZ
[ f ( x, y, z) + g ( x, y, z)] dxdydz =
V
ZZZ
f ( x, y, z) dxdydz +
V
ZZZ
k f ( x, y, z) dxdydz = k
V
V
ZZZ
V
60
ZZZ
f ( x, y, z) dxdydz
g ( x, y, z) dxdydz
2. Tích phân bội ba
61
• Tính chất cộng tính: Nếu V = V1 ∪ V2 , ở đó V1 và V2 không "chồng" lên nhau (có thể
ngoại trừ phần biên) thì:
ZZZ
f ( x, y, z) dxdydz =
V
ZZZ
f ( x, y, z) dxdydz +
V1
ZZZ
f ( x, y, z) dxdydz
V2
2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes
Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích
phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép.
Tích phân ba lớp ⇒ Tích phân hai lớp ⇒ Tích phân lặp
Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phân ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc
tính tích phân kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ
thuộc chặt chẽ vào hình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng.
z = z2 ( x, y)
z
V
z = z1 ( x, y)
y
O
D
x
Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1 ( x, y) , z = z2 ( x, y), trong đó z1 ( x, y) , z2 ( x, y)
là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta
có:
I=
ZZZ
V
f ( x, y, z) dxdydz =
ZZ
D
dxdy
z2Z( x,y)
f ( x, y, z) dz
z1 ( x,y)
Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp
1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy.
2. Xác định biên dưới z = z1 ( x, y) và biên trên z = z2 ( x, y) của V.
61
(2.6)
62
Chương 2. Tích phân bội
3. Sử dụng công thức 2.6 để hoàn tất việc chuyển đổi.
Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là:
Xác định D và các biên z = z1 ( x, y) , z = z2 ( x, y) như thế nào?
Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền V.
Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học có ưu điểm là rất
trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy có thể áp dụng cho nhiều
bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Vì thế, chúng ta cố gắng thử cách vẽ hình trước.
Muốn làm được điều này, đòi hỏi bạn đọc phải có kĩ năng vẽ các mặt cong cơ bản trong
không gian như mặt phẳng, mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit
1 tầng, hyperboloit 2 tầng, hơn nữa cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt
của các mặt.
Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền
V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f ( x, y, z) đôi khi giúp giảm được khối lượng tính
toán đáng kể.
Định lý 2.9. Nếu
ZZZ V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0 (Oxy) và f ( x, y, z) là hàm số
lẻ đối với z thì
f ( x, y, z) dxdydz = 0.
V
Định lý 2.10. NếuZZZV là miền đối xứng quaZZZmặt phẳng z = 0 (Oxy) và f ( x, y, z) là hàm số
f ( x, y, z) dxdydz = 2
f ( x, y, z) dxdydz, trong đó V + là phần phía
chẵn đối với z thì
V+
V
trên mặt phẳng z = 0 của V.
Chú ý 2.8. Vai trò của z trong hai định lý trên có thể được thay đổi bằng x hoặc y. Hai
định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số.
Bài tập 2.28. Tính
ZZZ
zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi:
V

1


06x6


4

x 6 y 6 2x


q


 0 6 z 6 1 − x 2 − y2 .
Lời giải.
I=
1
Z4
0
dx
Z2x
x
√
dy
1
1− x 2 − y2
Z
0
zdz =
Z4
0
dx
Z2x
x
1
1
1 − x2 − y2 dy =
2
2
62
1
Z4 0
43
10 3
.
x − x dx =
3
3072
2. Tích phân bội ba
63
Bài tập 2.29. Tính
(
ZZZ
x2 + y2 dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt
V
x 2 + y2 + z2 = 1
x2 + y2 − z2 = 0.
z
z=
p
1 − x 2 − y2
z=
p
x 2 + y2
y
O
D
x
Hình 2.29
Lời giải. Do tính chất đối xứng,
ZZZ
x2
+ y2
V
dxdydz = 2
đó V1 là nửa phía trên mặt phẳng Oxy của V. Ta có
với D là hình chiếu của V1 lên Oxy. Ta có
I1 =
ZZ
D
√
2
2
x + y dxdy
1− x 2 − y2
√
Z
x 2 + y2
dz =
ZZ 2
x +y
D
63
2
ZZZ
x2 + y2 dxdydz = 2I1 , trong
 V1 q
q

 V1 : x2 + y2 6 z 6 1 − x2 − y2

 D : x 2 + y2 6 1 ,
2
q
1 − x 2 − y2 −
q
x2 + y2 dxdy.
64
Chương 2. Tích phân bội
Đặt
(


 0 6 ϕ 6 2π
x = r cos ϕ
⇒ J = r,
1 nên

y = r sin ϕ
0 6 r 6 √
2
√1
I1 =
Z2
0
r
3
p
1 − r2 − r dr
Z2π
√1
dϕ = 2π
0
Vậy
Z2
r
3
0
p
1 − r2 − r dr =
(r =cos α)
...
√
2π 8 − 5 2
=
.
.
5
12
√
4π 8 − 5 2
.
.
I=
5
12
2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tổng quát thường
ZZZđược sử dụng trong trường hợp miền V là giao của
ba họ mặt cong. Giả sử cần tính I =
Thực hiện phép đổi biến số
thoả mãn
f ( x, y, z) dxdydz trong đó f ( x, y, z) liên tục trên V.
V


x = x (u, v, w)


y = y (u, v, w)


 z = z (u, v, w)
(2.7)
• x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng Vuvw
của mặt phẳng O′ uvw.
• Công thức 2.7 xác định song ánh Vuvw → V.
• J=
D ( x,y,z)
D (u,v,w)
6= 0 trong Vuvw . Khi đó
ZZZ
ZZZ
I=
f ( x, y, z) dxdydz =
V
Vuvw
f [ x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)] | J | dudvdw
Chú ý 2.9.
1. Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong
tích phân bội ba cũng biến biên của miền V thành biên của miền Vuvw , biến miền V
bị chặn thành miền Vuvw bị chặn.
2. Có thể tính J thông qua J −1 =
D (u,v,w)
.
D ( x,y,z)
64
2. Tích phân bội ba
65


x + y + z = ±3

ZZZ

Bài tập 2.30. Tính thể tích miền V giới hạn bởi x + 2y − z = ±1 biết V =
dxdydz.


 x + 4y + z = ±2
V


u = x+y+z


Lời giải. Thực hiện phép đổi biến v = x + 2y − z


 w = x + 4y + z.
Vì phép đổi biến biến biên của V thành biên của Vuvw nên Vuvw
Ta có
J
−1
1 1 1
1 2 −1
1 4 1
D (u, v, w)
=
=
D ( x, y, z)
1
1
=6⇒J= ⇒V=
6
6
ZZZ
Vuvw


u = ±3


giới hạn bởi: v = ±1


 w = ±2.
1
dudvdw = .6.2.4 = 8.
6
Bài tập 2.31. Tính
a)
ZZZ
(3x2 + 2y + z)dxdydz, trong đó V : | x − y| ≤ 1, |y − z| ≤ 1, |z + x | ≤ 1.
b)
ZZZ
dxdydz, trong đó V : | x − y| + | x + 3y| + | x + y + z| ≤ 1.
V
V
[Gợi ý]




u = x − y,
a) Đặt v = y − z,



w = z + x




−1 ≤ u ≤ 1,
⇒ −1 ≤ v ≤ 1,



−1 ≤ w ≤ 1.




u = x − y,
b) Đặt v = x + 3y,



w = x + y + z
⇒ |u| + |v| + |w| ≤ 1.
Phép đổi biến số trong toạ độ trụ
Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu
D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f ( x, y, z) có chứa biểu thức ( x2 + y2 ) thì ta
hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ.
Toạ độ trụ của điểm M ( x, y, z) là bộ ba (r, ϕ, z), trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của
điểm M′ là hình chiếu của điểm M lên Oxy.
65
66
Chương 2. Tích phân bội
z
M 
−−→
r = |OM′ |
−−→
\
 ϕ = Ox,
OM′
O
y
ϕ
M′
x


x = r cos ϕ


Công thức đổi biến y = r sin ϕ


 z = z.
Định thức Jacobian của phép biến đổi là J =
I=
ZZZ
f ( x, y, z) dxdydz =
V
Nếu miền V :
(
f (rcosϕ, r sin ϕ, z) rdrdϕdz.
Vrϕz
( x, y) ∈ D
z1 ( x, y) 6 z 6 z2 ( x, y)
I=
ZZZ
= r, ta có:
D ( x,y,z)
D (r,ϕ,z)
Zϕ2
dϕ
ϕ1
rZ
2 ( ϕ)
r1 ( ϕ )
rdr
, trong đó D :
z2 (r cosZϕ,r sin ϕ)
(
ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2
r1 ( ϕ ) 6 r 6 r2 ( ϕ )
thì:
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz.
z1 (r cos ϕ,r sin ϕ)
z = z2 (r cos ϕ, r sin ϕ)
z
V
O
z = z1 (r cos ϕ, r sin ϕ)
y
D
x
66
2. Tích phân bội ba
Bài tập 2.32. Tính
67
ZZZ
x2 + y
V
2
dxdydz, trong đó V :
(
x 2 + y2 6 1
1 6 z 6 2.
z
2
V
1
y
O
x
Hình 2.32




x
=
r
cos
ϕ
0 6 ϕ 6 2π




Lời giải. Đặt y = r sin ϕ thì 0 6 r 6 1




z = z
 1 6 z 6 2.
Ta có
I=
Z2π
0
Bài tập 2.33. Tính
ZZZ
V
z
p
dϕ
Z1
0
2
r dr
Z2
zdz = ... =
1
3π
.
4
x2 + y2 dxdydz, trong đó:
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x và các mặt phẳng z = 0, z = a ( a > 0).
b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 6 a2 , z > 0 ( a > 0)
67
68
Chương 2. Tích phân bội
z
y
O
x
Hình 2.33a


x = r cos ϕ


Lời giải. a) Đặt y = r sin ϕ


 z = z.

π
π

− 6ϕ6


 2
2
Từ x2 + y2 = 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó: 0 6 r 6 2 cos ϕ



 0 6 z 6 a.
Vậy
π
I=
Z2
− π2
dϕ
2Z
cos ϕ
2
r dr
0
Za
0
68
zdz = ... =
16a2
.
9
2. Tích phân bội ba
69
z
y
O
x
Hình 2.33b




0 6 ϕ 6 2π
x = r cos ϕ




Lời giải. b) Đặt y = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 a


p


z = z

0 6 z 6 a2 − r 2 .
Ta có
Z2π
dϕ
Bài tập 2.34. Tính I =
ZZZ
I=
0
Za
0
√
2
r dr
a2 −r 2
Z
zdz = 2π
0
Za
0
r2 .
2πa5
a2 − r 2
dr =
.
2
15
ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi:
V
69
(
y=
p
y = h.
z2 + x 2
70
Chương 2. Tích phân bội
z
O
y
h
x
Hình 2.34




x = r cos ϕ
0 6 ϕ 6 2π




Lời giải. Đặt z = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 h




y = y
 r 6 y 6 h.
Do đó
I=
Z2π
0
Bài tập 2.35. Tính I =
dϕ
Zh
0
ZZZ p
rdr
Zh
ydy = 2π
r
Zh
0
r.
πh4
h2 − r 2
dr =
.
2
4
x2 + y2 dxdydz trong đó V giới hạn bởi:
V
70
(
x 2 + y2 = z2
z = 1.
2. Tích phân bội ba
71
z
y
O
x
Hình 2.35




x = r cos ϕ
0 6 ϕ 6 2π




Lời giải. Đặt y = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 1




z = z
 r 6 z 6 1.
Do đó
I=
Z2π
0
Bài tập 2.36. Tính
ZZZ
V
√
dϕ
Z1
2
r dr
0
dxdydz
x2 +y2 +(z−2)
Z1
dz = 2π
r
Z1
0
, trong đó V :
2
71
r2 (1 − r ) dr =
(
x 2 + y2 ≤ 1
|z| ≤ 1.
π
.
6
72
Chương 2. Tích phân bội
z
y
O
x
Hình 2.36




x = r cos ϕ
0 6 ϕ 6 2π




Lời giải. Đặt y = r sin ϕ ⇒ | J | = r, Vrϕz : 0 6 r 6 1




 z′ = z − 2
 −3 6 z′ 6 −1.
Ta có
I=
Z2π
dϕ
0
=π
Z−1
rdr
−3
0
Z1
0
Z1
√
′
r. ln z +

= 2π 
Z1
0
r ln
p
dz′
r 2 + z ′2
p
r2
+ z ′2
z′ =−1
z′ =−3
r2 + 1 − 1 dr −
dr
Z1
0
r ln
p

r2 + 9 − 3 dr 
= 2π ( I1 − I2 ) .
√
√
2
2
r + 1 − 1 = lim r ln
r + 9 − 3 = 0 nên thực chất I1 , I2 là các tích phân
Vì lim r ln
r →0
r →0
xác định.
√
Đặt r2 + 1 = t ⇒ rdr = tdt, ta có
Z
=
r ln
Z
p
r2 + 1 − 1 dr
t ln (t − 1) dt
Z
1
t2
t2
dt
= ln (t − 1) −
2
2 t−1
t2 − 1
t2
t
=
ln (t − 1) − − + C.
2
4
2
72
2. Tích phân bội ba
Do đó
73
1 1 √
1 √
t2
t √2
t2 − 1
2−1 − −
2−1 .
ln (t − 1) − −
I1 =
| = ln
2
4
2 1
2
4 2
t
3t
9
Tương tự, I2 = t −
2 ln ( t − 3) − 4 − 2 + C nên
2
1 3 √
t −9
1 √
t2 3t √10
10 − 3 − −
10 − 3 .
I2 =
ln (t − 3) − −
|3 = ln
2
4
2
2
4 2
2
2
Kết luận
!
√
√
√
2−1
I = 2π ( I1 − I2 ) = π ln √
+ 3 10 − 8 − 2 .
10 − 3
Phép đổi biến số trong toạ độ cầu
Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,. . . và khi hàm lấy tích
phân f ( x, y, z) có chứa biểu thức x2 + y2 + z2 thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ
độ cầu.
Toạ độ cầu của điểm M ( x, y, z) trong không gian là bộ ba (r, θ, ϕ), trong đó:

−−→

r = OM





\
−−→
θ = Oz, OM



\

−−→

 ϕ = Ox,
OM′ .
z
M
−−→
r = |OM|
θ
O
y
ϕ
M′
x


x = r sin θ cos ϕ


Công thức của phép đổi biến là: y = r sin θ sin ϕ


 z = r cos θ.
73
74
Chương 2. Tích phân bội
Định thức Jacobian J =
ZZZ
= −r2 sin θ. Ta có công thức đổi biến
D ( x,y,z)
D (r,θ,ϕ)
f ( x, y, z) dxdydz =
V
ZZZ
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ ) r2 sin θdrdθdϕ.
Vrθ ϕ
Đặc biệt, nếu miền Vrθ ϕ
I=
Zϕ2
dϕ
ϕ1
Bài tập 2.37. Tính


ϕ 6 ϕ 6 ϕ2 , ( ϕ2 − ϕ1 6 2π )

 1
thì
: θ1 ( ϕ ) 6 θ 6 θ2 ( ϕ )


 r θ, ϕ 6 r 6 r θ, ϕ
)
)
2(
1(
θZ
2 ( ϕ)
sin θdθ
θ1 ( ϕ )
ZZZ
r2Z(θ,ϕ)
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ )r2 dr.
r1 (θ,ϕ)
x 2 + y2 + z
V
2
dxdydz, trong đó V :
(
1 6 x 2 + y2 + z2 6 4
x 2 + y2 6 z2 .
z
V1
y
O
x


x = r sin θ cos ϕ


Lời giải. Đặt y = r sin θ sin ϕ


 z = r cos θ.
Hình 2.37
Do 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 nên 1≤ r ≤ 2. Trên mặt nón có phương trình x2 + y2 = z2 nên

0 6 ϕ 6 2π



π
θ = π4 . Vậy cận lấy tích phân là 0 6 θ 6

4


 1 6 r 6 2.
74
2. Tích phân bội ba
75
Ta có
I=2
Z2π
0
π
dϕ
Z4
sin θdθ
0
Z2
r2 .r2 dr = 2.2π. (− cos θ )
1
Bài tập 2.38. Tính
ZZZ p
π
4
0
r5
.
5
2
1
√ !
2
1−
.
2
4.31π
=
5
x2 + y2 + z2 dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z.
V
z
y
O
x
Hình 2.38


x = r sin θ cos ϕ


Lời giải. Đặt y = r sin θ sin ϕ


 z = r cos θ.
Nhìn hình vẽ ta thấy 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6
Do x2 + y2 + z2 6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy
I=
Z2π
0
π
dϕ
Z2
0
sin θdθ
cos
Z θ
π
2.
π
r.r2 dr = 2π.
Z2
0
0
π
1
sin θ. cos4 θdθ = .
4
10
Phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng.
1. Tương tự như khi tính tích phân kép, nếu miền V có dạng hình ellipsoid hoặc hình
cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ thì ta có thể nghĩ tới phép đổi biến số
trong toạ độ cầu suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi.
75
76
Chương 2. Tích phân bội
2.
– Nếu V :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1 thì thực hiện phép đổi biến


x = ar sin θ cos ϕ


y = br sin θ sin ϕ , J = − abcr2 sin θ


 z = cr cos θ
– Nếu V : ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 ≤ R2 thì thực hiện phép đổi biến


x = a + r sin θ cos ϕ


y = b + r sin θ sin ϕ , J = −r2 sin θ


 z = c + r cos θ
3. Xác định miền biến thiên của ϕ, θ, r.
4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến.
ZZZ
Bài tập 2.39. Tính
z
V
1, z > 0, ( a, b > 0) .
p
x2 + y2 dxdydz, trong đó V là nửa của khối ellipsoit
Ta có




0 6 ϕ 6 2π,
0 6 θ 6 π2 ,



0 6 r 6 1.
, J = a2 br
I=
dϕ
0
Z1
√
= 2a b π
Z1
0
2πa3 b2
15
′
2
bz .ar.a brdz
′
I=
0
0
3 2
=
Z1−r2
dr
, J = a2 br2 sin θ.
Vậy
Vậy
Z2π
2
+ bz2 6
2. Toạ độ cầu suy rộng.


x = ar sin θ cos ϕ


Đặt y = ar sin θ sin ϕ


 z = br cos θ
1. Toạ độ trụ suy rộng.


z = bz′


Đặt x = ar cos ϕ


 y = ar sin θ.
Lời giải.
Ta có




0 6 ϕ 6 2π,
0 6 r 6 1,


√

0 6 z ′ 6 1 − r 2 .
x 2 + y2
a2
Z2π
π
dϕ
0
1 − r2
dr
r .
2
2
Z2
dθ
0
3 2
= 2a b π
=
.
76
15
br cos θ.ar sin θ.a2 b sin θdr
0
Z2π
2
cos θ sin πdθ
0
2πa3 b2
Z1
.
Z1
0
r4 dr
2. Tích phân bội ba
Bài tập 2.40. Tính
77
ZZZ x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
V
dxdydz , ở đó V :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
6 1, ( a, b, c > 0).


x = ar sin θ cos ϕ


Lời giải. Đặt y = br sin θ sin ϕ , ta có


 z = cr cos θ
J=
D ( x, y, z)
= abcr2 sin θ, Vrϕz′ = {0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 π, 0 6 r 6 1} .
D (r, θ, ϕ)
Vậy
I = abc
Z2π
0
dϕ
Zπ
dθ
0
Z1
r2 .r2 sin θ =
0
4π
abc.
5
Tọa độ cầu vs Tọa độ cầu suy rộng
Phép đổi biến số không những có tác dụng làm đơn giản miền lấy tích phần, mà trong
nhiều tình huống nó còn có tác dụng làm đơn giản hóa biểu thức tính tích phân. Trong
bài tập sau đây, phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng sẽ làm cho biểu thức tính tích
phân đơn giản hơn rất nhiều so với phép đổi biến trong tọa độ cầu thông thường.
ZZZ p
z − x2 − y2 − z2 dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z.
Bài tập 2.41. Tính
V
z
y
O
x
Hình 2.41
Lời giải.
77
78
Chương 2. Tích phân bội
2. Tọa độ cầu suy rộng




 x = r sin θ cos ϕ,
Đặt y = r sin θ sin ϕ,



z = 1 + r cos θ.
2
1. Tọa độ cầu thông thường


x = r sin θ cos ϕ


Đặt y = r sin θ sin ϕ


 z = r cos θ.
Ta có




0 6 ϕ 6 2π,
Ta có




0 ≤ ϕ ≤ 2π,
0 ≤ θ ≤ π,



0 ≤ r ≤ 1 .
0 6 θ 6 π2



0 6 r 6 cos θ.
I=
Z2π
dϕ
0
π
Z2
dθ
0
2
cos
Z θ
0
p
r cos θ
I=
− r2 .r2 sin θdr
=
Bài tập 2.42. [Cuối kì, K62] Tính tích phân bội ba
I=
0
dϕ
0
dθ
4Z
cos θ
0
1
dθ
0
0
1
− r2 .r2 sin θdr
4
.
y = r sin θ sin ϕ,



z = 2 + r cos θ.
Ta có

0 ≤ ϕ ≤ 2π,



0 ≤ θ ≤ π,



0 ≤ r ≤ 2.
0 6 θ 6 π2



0 6 r 6 4 cos θ.
π
64
Z2 r
(4z − x2 − y2 − z2 )dxdydz, ở đó V là
Đặt
Ta có




0 6 ϕ 6 2π,
Z2
π2
Zπ
2. Tọa độ cầu suy rộng




 x = r sin θ cos ϕ,
Lời giải.
Z2π
ZZZ
V
1. Tọa độ cầu thông thường


x = r sin θ cos ϕ


Đặt y = r sin θ sin ϕ


 z = r cos θ.
dϕ
0
tích phân này không dễ tính
hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ 4z.
Z2π
(4r cos θ − r2 )r2 sin θdr
I=
Z2π
0
dϕ
Zπ
0
256π
.
=
15
tích phân này tính hơi dài
78
dθ
Z2
0
(4 − r2 )r2 sin θdr
2. Tích phân bội ba
79
Tọa độ cầu vs Tọa độ trụ
Nói chung thì việc sử dụng tọa độ cầu hay tọa độ trụ phụ thuộc vào hai yếu tố chính:
hình dáng của miền V và biểu thức tính tích phân.
• Nếu miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu và biểu thức tính tích phân có chứa x2 +
y2 + z2 thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ cầu (khi đó x2 + y2 + z2 = r2 ).
• Nếu miền V có dạng hình trụ hoặc có chứa mặt nón, mặt paraboloid và biểu thức
tính tích phân có chứa x2 + y2 thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ trụ
(khi đó x2 + y2 = r2 ).
Trong nhiều trường hợp thì chúng
ta có thể sử dụng được đồng thời cả tọa độ trụ lẫn tọa
ZZ
2
độ cầu. Chẳng hạn như, tính ( x + y2 )dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu
V
x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0.
z
y
O
x
1. Tọa độ cầu.




 x = r sin θ cos ϕ,
Đặt y = r sin θ sin ϕ,



z = r cos θ.




0 ≤ ϕ ≤ 2π,
Ta có
2. Tọa độ trụ.




 x = r cos ϕ,
Đặt y = r sin ϕ,



z = z.


0 ≤ ϕ ≤ 2π,


Ta có
0 ≤ θ ≤ π2 ,



0 ≤ r ≤ 1.
I=
Z2π
π
dϕ
0
Z2
0
dθ
Z1
2
2
2
0 ≤ r ≤ 1,


√

0 ≤ z ≤ 1 − r 2 .
I=
r sin θ.r sin θdr
0
Z2π
dϕ
0
4π
=
.
15
4π
.
=
15
79
Z1
0
√
dr
Z1−r2
0
r2 .rdz
80
Chương 2. Tích phân bội
Tuy nhiên, cũng có những tình huống mặc dù miền lấy tích phân là hình cầu nhưng
việc sử dụng tọa độ trụZZ lại thuận tiện hơn (vì biểu thức tính tích phân có chứa x2 + y2 ).
p
1 − x2 − y2 dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu
Chẳng hạn như, tính
V
x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0 (xem hình vẽ của ví dụ phía trên).
2. Tọa độ trụ.



 x = r cos ϕ,

Đặt y = r sin ϕ,



z = z.




0 ≤ ϕ ≤ 2π,
1. Tọa độ cầu.




 x = r sin θ cos ϕ,
Đặt
y = r sin θ sin ϕ,



z = r cos θ.




0 ≤ ϕ ≤ 2π,
Ta có
I=
Z2π
0
Ta có
0 ≤ θ ≤ π2 ,



0 ≤ r ≤ 1.
dϕ
π
Z2
0
dθ
Z1
0
p
1 − r2 sin2 θ.r2 sin θdr
0 ≤ r ≤ 1,


√

0 ≤ z ≤ 1 − r 2 .
I=
Z2π
0
dϕ
π
= .
2
(tích phân này không dễ tính).
Z1
0
√
dr
Z1−r2p
0
1 − r2 .rdz
Tác giả tin rằng các bạn độc giả sau khi làm một vài ví dụ sẽ tự rút cho mình được kinh
nghiệm và quyết định được là sẽ sử dụng phép đổi biến nào thích hợp.
2.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 2.43 (Cuối kì, K62). Tính tích phân bội ba
ZZZ
xzdxdydz, ở đó V là miền thỏa
V
mãn x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 2z ≤ −2.
[Gợi ý] Nhận xét rằng miền V có dạng ( x 
− y)2 + y − 1)2 + (z − 1)2 ≤ 1. Nếu thực hiện



 x = 1 + r sin θ cos ϕ,
thì
phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng y = 1 + r sin θ sin ϕ,



z = 1 + r cos θ
I=
Z2π
0
dϕ
Zπ
0
dθ
Z1
(1 + r sin θ cos ϕ)(1 + r cos θ )r2 sin θdr.
0
80
2. Tích phân bội ba
81
Tích phân này tính được nhưng dài dòng. Nếu tinh tế hơn một chút, đặt
V ′ : u2 + v2 + w2 ≤ 1 và
I=
ZZZ
=
v = y − 1,



w = z − 1
thì
(u + 1)(w + 1)dudvdw
′
V
ZZ
Z




u = x − 1,
uwdudvdw +
V′
ZZZ
ududvdw +
V′
ZZZ
wdudvdw +
V′
ZZZ
dudvdw.
V′
Dựa vào tính đối xứng của miền lấy tích phân và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân ta có
ZZZ
uwdudvdw = 0,
V′
ZZZ
ZZZ
ududvdw = 0,
V′
Do đó,
I=
ZZZ
dudvdw =
V′
Bài tập 2.44. Tính
I=
ZZZ
V
wdudvdw = 0.
V′
4
π.
3
dxdydz
,
(1 + x + y + z )3
trong đó V là tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1.
[Đáp số] I =
1
2
ln 2 −
Bài tập 2.45. Tính
5
8
.
ZZZ
zdxdydz,
V
trong đó V là nửa trên của ellipsoid
x 2 y2 z2
+ 2 + 2 ≤ 1, (z ≥ 0).
a2
b
a
[Đáp số] I =
πabc2
4 .
Bài tập 2.46. Tính các tích phân sau
ZZZ y2
x2
z2
a) I1 =
, trong đó B là ellipsoid
+
+
a2
b2
c2
b) I2 =
ZZZ
B
C
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1.
zdxdydz, trong đó C làm miền giới hạn bởi mặt nón z2 =
phẳng z = h.
81
h2
( x2
R2
+ y2 ) và mặt
82
Chương 2. Tích phân bội
c) I3 =
ZZZ
D
z2 dxdydz, trong đó D là phần chung của hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ R2 và hình
V
( x + y + z)2 dxdydz, trong đó V là phần chung của paraboloid x2 + y2 ≤ 2az
cầu x2 + y2 + z2 ≤ 2Rz.
d) I4 =
ZZZ
và hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ 3a2 .
Bài tập 2.47. Tính thể tích của vật thể giới hạn phía dưới bởi mặt phẳng 0xy, mặt bên là
các mặt phẳng x = 0, x = a, y = 0, y = b, phía trên bởi paraboloid elliptic
z=
x2
y2
+ , ( p > 0, q > 0).
2p 2y
I=
ZZZ q
Bài tập 2.48. Tính tích phân
x2 + y2 + z2 dxdydz,
V
trong đó V là miền giới hạn bởi mặt x2 + y2 + z2 = z.
[Đáp số] I =
π
10 .
Bài tập 2.49. Tính
I=
ZZZ
zdxdydz,
V
trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 và x2 + y2 + z2 = 6.
[Đáp số] I =
11π
3 .
Bài tập 2.50. Tính tích phân
I=
ZZZ
V
xyz
dxdydz,
x 2 + y2
trong đó V là vật thể giới hạn phía trên bởi mặt ( x2 + y2 + z2 )2 = a2 xy và phía dưới bởi
mặt z = 0.
82
3. Các ứng dụng của tích phân bội
§3. CÁC
83
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
3.1 Tính diện tích hình phẳng
Công thức tổng quát: S =
ZZ
dxdy
D


y = 2x


Bài tập 2.51. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi: y = 2− x


 y = 4.
y
y = 2− x
y = 2x
4
1
x
O
Hình 2.51
Lời giải. Nhận xét: D = D1 ∪ D2 , ở đó
D1
Do đó
S=
ZZ
D
dxdy =
ZZ
D1
(
, D2
(
dxdy = 2
ZZ
−2 6 x 6 0
2
−x
dxdy +
6y64
ZZ
D2
D1
83
06x62
2x 6 y 6 4.
3
dxdy = ... = 2 8 −
ln 2
.
84
Chương 2. Tích phân bội
Bài tập 2.52. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:
y
y = x2
(
y2 = x, y2 = 2x
x2 = y, x2 = 2y.
x2 = 2y
2x = y2
x = y2
x
O
Hình 2.52
Lời giải. Ta có S =
ZZ
dxdy. Thực hiện phép đổi biến
D

y2

(

u =
16u62
x
⇒ Duv :
,
2

x
16v62

v =
y
và
J
−1
D (u, v)
=
=
D ( x, y)
2
− yx2
2x
y
2y
x
2
− yx2
= −3.
Vậy
S=
ZZ
Duv
1
1
dudv = .
3
3
Bài tập 2.53. Tính diện tích miền D giới hạn bởi
84
(
y = 0, y2 = 4ax
x + y = 3a, y 6 0 ( a > 0) .
3. Các ứng dụng của tích phân bội
85
y
3a
3a
x
O
−6a
Hình 2.53


 −6a 6 y 6 0
nên
y2


6 x 6 3a − y
4a
3a
Z0
Z−y
ZZ
Z0 y2
S=
dxdy =
dy
dy = 18a2 .
dx =
3a − y −
4a
Lời giải. Nhìn hình vẽ ta thấy D :
−6a
D
−6a
y2
4a
Bài tập 2.54. Tính diện tích miền D giới hạn bởi
y
(
x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x
x = y, y = 0.
y=x
2
O
Lời giải. Ta có S =
ZZ
dxdy. Đặt
D
π
S=
Z4
0
dϕ
4
x
Hình 2.54
(
x = r cos ϕ

0 6 ϕ 6 π
4
thì D :
nên
 2 cos ϕ 6 r 6 4 cos ϕ
y = r sin ϕ
4Z
cos ϕ
2 cos ϕ
rdr =
π
1
2
Z4
12 cos2 ϕdϕ =
0
85
3π 3
+ .
4
2
86
Chương 2. Tích phân bội
Bài tập 2.55. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r =
√2
3
cos ϕ.
Chú ý:
• r = a là phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính a.
• r = 2a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm ( a, 0), bán kính a.
• r = 2a sin ϕ là phương trình đường tròn tâm (0, a), bán kính a.
y
x
O
Hình 2.55
Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn:
2
π
r = 1 = √ cos ϕ ⇔ ϕ = ± .
6
3
Do đó
π
S=2
Z6
0
dϕ
√2 cos ϕ
3Z
1
1
rdr = 2.
2
π
Z6 0
√
3
4
π
2
cos ϕ − 1 dϕ =
− .
3
6
18
Bài tập 2.56. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x2 + y2
86
2
= 2a2 xy ( a > 0).
3. Các ứng dụng của tích phân bội
87
y
r=a
p
sin 2ϕ
O
x
Hình 2.56
Lời giải. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt
(
x = r cos ϕ
, phương trình đường cong
y = r sin ϕ
tương đương với r2 = a2 sin 2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem
hình vẽ 2.56). Ta có

 0 6 ϕ 6 π , π 6 ϕ 6 3π
2p
2
D:

0 6 r 6 a sin 2ϕ
Do tính đối xứng của hình vẽ nên
π
S=2
Z2
0
a
dϕ
√
π
Zsin 2ϕ
rdr =
0
Z2
a2 sin 2ϕdϕ = a2 .
0
Bài tập 2.57. Tính diện tích của miền giới hạn bởi đường Lemniscate
( x2 + y2 )2 = 2a2 ( x2 − y2 ) ( a > 0).
y
r=a
O
Hình 2.57
87
p
2 cos 2ϕ
x
88
Chương 2. Tích phân bội
[Gợi ý] Phương trình của đường Lemniscate trong tọa độ cực là r2 = 2a2 cos 2ϕ, và do tính
đối xứng của miền nên
√
π
S
=
4
Z4
a 2 cos 2ϕ
dϕ
0
Z
a2
rdr = .
2
0
Bài tập 2.58. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x3 + y3 = axy ( a > 0)
(Lá Descartes).
y
1
2
1
2
O
x
TCX: y = − x − 31
Hình 2.58
(
x = r cos ϕ
Tham số hoá đường cong đã cho, đặt
, phương trình đường cong tương đương
y = r sin ϕ
với
a sin ϕ cos ϕ
.
r=
sin3 ϕ + cos3 ϕ
Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.58). Ta có

π


0 6 ϕ 6 2
D:
a sin ϕ cos ϕ


.
0 6 r 6
sin3 ϕ + cos3 ϕ
Do đó
π
S=
Z2
0
dϕ
a sin ϕ cos ϕ
sin3 Z
ϕ+cos3 ϕ
0
π
rdr =
a2
2
Z2
0
sin2 ϕ cos2 ϕ
sin3 ϕ + cos3 ϕ
2 dϕ
t=tan ϕ a2
=
1
.
2 3
+∞
Z
0
d t3 + 1
( t3 + 1)
2
=
a2
.
6
Bài tập 2.59. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) ( a > 0) (đường
Cardioids hay đường hình tim)
88
3. Các ứng dụng của tích phân bội
89
y
a
O
x
2a
−a
Hình 2.59
Lời giải. Ta có
D = {0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 a (1 + cos ϕ)}
nên
S=2
Zπ
dϕ
0
a (1+
Zcos ϕ)
rdr = a
0
2
Zπ
(1 + cos ϕ)2 dϕ = ... =
0
3πa2
.
2
3.2 Tính thể tích vật thể
Công thức tổng quát:
V=
ZZZ
dxdydz
V
Các trường hợp đặc biệt
1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục
Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phíaZZtrên giới hạn bởi mặt cong z =
f ( x, y) , f ( x, y) > 0 và liên tục trên D thì V =
f ( x, y) dxdy. (Xem hình vẽ dưới
D
đây).
89
90
Chương 2. Tích phân bội
z = f ( x, y)
z
y
O
D
x
2. Vật thể là khối trụ, giới hạn bởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt
z = z1 ( x, y) , z = z2 ( x, y). Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền D,
z1 ( x, y) , z2 ( x, y) là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó:
V=
ZZ
D
|z1 ( x, y) − z2 ( x, y)|dxdy
z = z1 ( x, y)
z
Ω
z = z2 ( x, y)
y
O
D
x


3x + y > 1


Bài tập 2.60. Tính thể tích miền giới hạn bởi 3x + 2y 6 2


 y > 0, 0 6 z 6 1 − x − y.
90
3. Các ứng dụng của tích phân bội
91
z
O
x
y
Hình 2.60
Lời giải.
V=
ZZ
f ( x, y) dxdy =
Z1
0
D
dy
2−2y
Z3
1− y
3
1
(1 − x − y) dx =
6
Bài tập 2.61. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi
(
Z1 0
1
1 − 2y + y2 dy = .
18
z = 4 − x 2 − y2
2z = 2 + x2 + y2 .
z
2z = 2 + x2 + y2
z = 4 − x 2 − y2
x
O
y
Hình 2.61
91
92
Chương 2. Tích phân bội
Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong:
(
x 2 + y2 = 2
z = 2,
nên hình chiếu của V lên mặt phẳng
2+ x 2 + y2
nên ta có:
Oxy là D : x2 + y2 ≤ 2. Hơn nữa trên D thì 4 − x2 − y2 >
2
ZZ 2 + x 2 + y2
2
2
V=
4−x −y −
dxdy.
2
D
Đặt
(
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Do đó
thì
(
0 6 ϕ 6 2π
√
0 6 r 6 2.
V=
Z2π
√
dϕ
0
Bài tập 2.62. Tính thể tích của V :
Z 2
0
(
3 2
3 − r rdr = ... = 3π.
2
0 6 z 6 1 − x 2 − y2
√
y > x, y 6 3x.
z
1
O
1
y
Hình 2.62
x
Lời giải. Do x ≤ y ≤
√
3x nên x, y ≥ 0. Ta có
ZZ V=
1 − x2 − y2 dxdy.
π
(
 6ϕ6 π
x = r cos ϕ
4
3
Đặt
thì

y = r sin ϕ
0 6 r 6 1.
D
92
3. Các ứng dụng của tích phân bội
93
Vậy
π
V=
Z3
Z1 dϕ
π
4
Bài tập 2.63. Tính thể tích V :
(
0
π
1 − r2 rdr = . . . = .
48
x2 + y2 + z2 6 4a2
x2 + y2 − 2ay 6 0.
z
2a
O
2a
2a
x
Hình 2.63
Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên
V=4
ZZ q
D
(
4a2 − x2 − y2 dxdy,
x2 + y2 − 2ay 6 0
trong đó D là nửa hình tròn D :
x > 0.

(
π
0 6 ϕ 6
x = r cos ϕ
2
Đặt
thì
 0 6 r 6 2a sin ϕ.
y = r sin ϕ
93
y
94
Chương 2. Tích phân bội
Vậy
π
V=4
Z2
2aZsin ϕ
dϕ
0
0
= 4.
−1
2
4
=
3
π
Z2
0
32a3
=
3
π
Z2
0
p
4a2 − r2 rdr
3
2 2
2
4a − r2
3
3
3
3
r =2a sin ϕ
r =0
dϕ
8a − 8a cos ϕ dϕ
π 2
−
2
3
.


z=0





x 2 y2
Bài tập 2.64. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi z = a2 + b2



2
2


 x + y = 2x .
a
a2
b2
z
z=
x2
a2
+
y2
b2
4
V
O
x
2a
Hình 2.64
Lời giải. Ta có hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D :
đối xứng của miền V nên:
ZZ 2
y2
x
+ 2 dxdy,
V=2
a2
b
D+
94
x2
a2
2
+ yb2 ≤
2x
a .
Do tính chất
3. Các ứng dụng của tích phân bội
95
y2
trong đó D + là nửa ellipse D + : xa2 + b2 ≤ 2x
a ,y > 0

(
0 6 ϕ 6 π
x = ar cos ϕ
2
Đặt
thì | J | = abr,

y = br sin ϕ
0 6 r 6 2 cos ϕ.
Vậy
2
π
V=2
Z2
0
dϕ
2Z
cos ϕ
r2 rdr = ... =
0
3π
.
2

 az = x2 + y2
q
Bài tập 2.65. Tính thể tích của miền V :
 z = x 2 + y2 .
z
a
−a
a
O
Hình 2.65
Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong:
z=
q
x 2 + y2
x 2 + y2 =
⇔
a
(
x 2 + y2 = a2
z=a
Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là
D : x 2 + y2 ≤ a2 .
Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên:
ZZ q
x 2 + y2
2
2
V=
x +y −
dxdy.
a
D
95
y
96
Chương 2. Tích phân bội
Đặt
(
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Vậy
thì
(
0 6 ϕ 6 2π
0 6 r 6 a.
V=
Z2π
dϕ
0
Za 0
πa3
r2
.
rdr = ... =
r−
a
6
3.3 Tính diện tích mặt cong
Mặt z = f ( x, y) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt
phẳng Oxy là D. Giả thiết f ( x, y) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D.
Khi đó:
ZZ q
1 + p2 + q2 dxdy, p = f x′ , q = f y′
σ=
D
z = f ( x, y)
z
y
O
D
x
Ví dụ 3.1 (Cuối kì, K62). Tính diện tích của phần mặt paraboloid x = y2 + z2 thỏa mãn
x ≤ 1.

y2 + z2 ≤ 1,
Lời giải.
i) Ta có miền D :
nên
x = 0
S=
ZZ q
1 + ( xy′ )2
+ ( xz′ )2 dydz
D

y = r cos ϕ,
ii) Đặt
z = r sin ϕ
⇒S=
=
ZZ q
1 + 4y2 + 4z2 dydz.
D
Z2π
0
dϕ
Z1 √
r 1 + 4r2 dr =
0
96
√
π
6 (5
5 − 1).
3. Các ứng dụng của tích phân bội
97
3.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 2.66. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hình trụ elliptic
phẳng z = 0 và paraboloid elliptic
2z
c
=
x2
p2
+
y2
q2
( c > 0).
x2
a2
+
y2
b2
= 1, mặt
Bài tập 2.67. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt hyperbolic xy = 1, xy = 9, xz =
4, xz = 36, yz = 25, yz = 49.
[Gợi ý] Đặt u = xy, v = xz, w = yz. Đáp số V = 64.
97
98
Chương 2. Tích phân bội
98
CHƯƠNG
TÍCH
§1. TÍCH
3
PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ .
PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ .
1.1 Giới thiệu
Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I (y) =
Zb
f ( x, y) dx, trong đó f ( x, y) khả
a
tích theo x trên [ a, b] với mỗi y ∈ [c, d]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số
tính chất của hàm số I (y)như tính liên tục, khả vi, khả tích.
1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc
tham số.
1) Tính liên tục.
Định lý 3.11. Nếu f ( x, y)là hàm số liên tục trên [ a, b] × [c, d] thì I (y)là hàm số liên
tục trên [c, d]. Tức là:
lim I (y) = I (y0 ) ⇔ lim
y → y0
y → y0
Zb
f ( x, y) dx =
Zb
f ( x, y0 ) dx
a
a
(có thể chuyển dấu lấy giới hạn vào bên trong biểu thức tính tích phân)
Ví dụ 1.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y) =
Z1
0
dương, liên tục trên [0, 1] .
99
y f (x)
dx
x 2 + y2
, với f ( x ) là hàm số
100
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g ( x, y) =
liên tục trên mỗi hình chữ nhật
y f (x)
x 2 + y2
[0, 1] × [c, d] và [0, 1] × [−d, −c] với 0 < c < d bất kì, nên theo Định lý 3.11, I (y) liên
tục trên mỗi [c, d] , [−d, −c] , hay nói cách khác I (y) liên tục với mọi y 6= 0.
Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I (y) tại điểm y = 0 . Do f ( x ) liên tục trên
[0, 1] nên tồn tại m = min f ( x ) > 0. Khi đó f ( x ) > m > 0 ∀ x ∈ [0, 1] và với ε > 0 thì:
[0,1]
I (ε) =
Z1
ε f (x)
dx >
x 2 + ε2
Z1
−ε f ( x )
dx 6
x 2 + ε2
0
I (−ε) =
0
Z1
x2
Z1
x
−ε.m
.
dx
=
−
m.arctan
ε
x 2 + ε2
0
0
x
ε.m
dx = m.arctan ,
2
ε
+ε
Suy ra | I (ε) − I (−ε)| > 2m. arctan xε → 2m. π2 khi ε → 0 , tức là | I (ε) − I (−ε)| không
tiến tới 0 khi ε → 0 , I (y) gián đoạn tại y = 0 .
Ví dụ 1.2. Xét tính liên tục của hàm số I (y) =
Z1
y2 − x 2
2 dx .
( x 2 + y2 )
0
Lời giải. Tại y = 0 , I (0) =
Z1
0
− x12 dx = −∞, nên hàm số I (y) không xác định tại
y = 0.
Tại y 6= 0, cũng có thể sử dụng Định lý 3.11 để khảo sát tính liên tục của I (y). Khi
đó phải xét hàm số f ( x, y) =
y2 − x 2
x 2 + y2 )2
trong khoảng [0, 1] × [c, d] với d > c > 0 bất kì
(để tránh điểm y = 0) giống như trong Ví dụ 1.1. Tuy nhiên, trong trường hợp này có
thể tính được I (y) một cách trực tiếp như sau:
I (y) =
Z1
0
x2 + y2 − 2x.x
2
( x 2 + y2 )
dx =
Do đó I (y) xác định và liên tục với mọi y 6= 0.
2) Tính khả vi.
Định lý 3.12. Nếu
i) f ( x, y) liên tục trên [ a, b] × [c, d],
ii) f y ( x, y) liên tục trên [ a, b] × [c, d]
′
100
Z1
0
d
x
2
x + y2
=
1
.
1 + y2
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số.
101
thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và
′
I (y) =
Zb
′
f y ( x, y) dx ,
a
nói cách khác, có thể đưa dấu đạo hàm vào trong dấu tích phân.
Ví dụ 1.3. Tính các tích phân sau:
a) In (α) =
Z1
x α lnn xdx , n là số nguyên dương.
0
Lời giải. ∗ Với mỗi α > 0, hàm số f n ( x, α) = x α lnn x, n = 0, 1, 2, ... liên tục theo
x trên [0, 1]
∗ Vì lim x α lnn+1 x = 0 nên
x →0+
∂ f n ( x,α)
∂α
= x α lnn+1 x liên tục trên [0, 1] × (0, +∞).
Nghĩa là hàm số f n ( x, α) = x α lnn x thoả mãn các điều kiện của Định lý 3.12
nên:
d
In−1 (α) =
dα
′
Z1
α
x ln
n −1
xdx =
0
Z1
0
d α n −1 x ln
x dx =
dα
Z1
x α lnn xdx = In (α) .
0
Tương tự, In−2 = In−1 , ..., I2 = I1 , I1 = I0 , suy ra In (α) = [ I0 (α)](n) . Mà
I0 (α) =
′
′
′
Z1
0
(n)
1
1
(−1)n n!
x dx =
.
=
⇒ In (α) =
α+1
α+1
( α + 1 ) n +1
α
π
b)
Z2
0
ln 1 + y sin2 x dx, với y > 1.
Lời giải. Xét hàm số f ( x, y) = ln 1 + y sin2 x thoả mãn các điều kiện sau:
• f ( x, y) = ln 1 + y sin2 x xác định trên 0, π2 × (1, +∞) và với mỗi y > −1
cho trước, f ( x, y) liên tục theo x trên 0, π2 .
π
2x
′
xác
định,
liên
tục
trên
0, 2 × (1, +∞) .
• Tồn tại f y ( x, y) = 1+sin
2
y sin x
π
π
Theo Định lý 3.12, I ′ (y) =
Z2
sin2
x
dx
1+y sin2 x
0
=
Z2
0
101
dx
1
+y
sin2 x
.
102
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Đặt t = tanx thì dx =
+∞
Z
′
I (y) =
0
dt
,0
1+ t2
π
2y
Suy ra
Z
1− p
+∞
0
−p
1
1+y
!
1
y+1
+∞ Z
1
1
1
dt
−
y t2 + 1 1 + ( y + 1) t2
0
#
p
+∞
arctan t y + 1
t2 dt
=
(t2 + 1) (1 + t2 + yt2 )
"
1
arctan t
=
y
=
6 t 6 +∞ .
0
π
1
p
= p
.
.
2 1+y 1+ 1+y
Z
p
1
π
p
p
.
dy = π ln 1 + 1 + y + C.
I (y) = I (y) dy =
2 1+y 1+ 1+y
p
Do I (0) = 0 nên C = −π ln 2 và I (y) = π ln 1 + 1 + y − π ln 2.
′
3) Tính khả tích.
Định lý 3.13. Nếu f ( x, y) là hàm số liên tục trên [ a, b] × [c, d] thì I (y)là hàm số khả
tích trên [c, d], và:
Zd
I (y) dy :=
c
c
Ví dụ 1.4. Tính
Zd
Z1
xb −x a
ln x dx,


Zb
a

f ( x, y) dx  dy =

Zb

a
Zd
c

f ( x, y) dy dx
(0 < a < b ).
0
Lời giải. Hàm lấy tích phân f ( x ) =
lim
x →0+
xb −x a
ln x
xb −x a
ln x
mặc dù không xác định tại x = 0 nhưng
= 0 nên có thể xếp tích phân này vào loại tích phân xác định.
Ta có:
xb − x a
= F ( x, b) − F ( x, a) =
ln x
Zb
′
Fy ( x, y) dy =
Zb
y
x dy;
a
a
xy
F ( x, y) :=
ln x
nên:
Z1
0
xb
xa
−
dx =
ln x
Z1
0


Zb
a

x dy dx =
y
Zb
a


Z1
0

x dx  dy =
y
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
102
Zb
a
b+1
1
dy = ln
.
y+1
a+1
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số.
103
1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với
cận biến đổi.
Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi
bZ(y)
J (y) =
a(y)
f ( x, y) dx, với y ∈ [c, d] , a 6 a (y) , b (y) 6 b ∀y ∈ [c, d] .
1) Tính liên tục
Định lý 3.14. Nếu
i) hàm số f ( x, y) liên tục trên [ a, b] × [c, d],
ii) các hàm số a (y) , b (y) liên tục trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6
b ∀y ∈ [c, d]
thì J (y) là một hàm số liên tục (đối với y) trên [c, d].
2) Tính khả vi
Định lý 3.15 (Định lý Leibniz). Nếu
i) hàm số f ( x, y) liên tục trên [ a, b] × [c, d],
ii) hàm số f y ( x, y) liên tục trên [ a, b] × [c, d],
′
iii) các hàm số a (y) , b (y) khả vi trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6
b ∀y ∈ [c, d]
thì J (y) là một hàm số khả vi (đối với y) trên [c, d], và:
′
′
J ′ ( y ) = f ( b ( y ) , y ) by ( y ) − f ( a ( y ) , y ) a y ( y ) +
Ví dụ 1.5. Tìm lim
y →0
1Z+y
y →0
y
a(y)
y
1Z+y
y
lý 3.14, nên lim
′
f y ( x, y) dx.
dx
.
1+ x 2 + y2
Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số I (y) =
1Z+y
bZ(y)
dx
1+ x 2 + y2
= I (0) =
Z1
dx
1+ x 2
= π4 .
0
103
dx
1+ x 2 + y2
liên tục tại y = 0 dựa vào định
104
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
1.4 Bài tập
Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy
tích phân
Giả sử cần tính I (y) =
Zb
f ( x, y)dx.
a
B1. Biểu diễn f ( x, y) =
Zd
F ( x, y) dy.
c
B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:

I (y) =
Zb
f ( x, y)dx =
Zb
a
a

Zd
c

F ( x, y) dydx =
Zd
c


Zb
a

F ( x, y) dx dy.
Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân.
Giả sử cần tính I (y) =
Zb
f ( x, y)dx.
a
B1. Tính
I ′ (y)
bằng cách
I ′ (y)
=
Zb
′
f y ( x, y) dx.
a
B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I (y) bằng cách I (y) =
C.
Z
I ′ (y) dy +
B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C.
Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.13 hoặc chuyển
dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.12.
104
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số.
Bài tập 3.1. Tính
Z1
xb −x a
ln x dx,
105
(0 < a < b ).
0
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP
Cách 1: Đổi TT lấy TP
Lời giải.
xb
xa
−
ln x
= F ( x, b) − F ( x, a)
=
Zb
Fy ( x, y) dy
Zb
x y dy
Đặt I (b) =
nên:
Z1
Ta có
0
a
′
I (b) =
xy
F ( x, y) :=
ln x


xb − x a
dx =
ln x
Z1
=
Zb
0
a
=
Zb
a
= ln



Zb
a
Z1
0
xb −x a
ln x dx.
0
′
a
=
Z1
Z1
x b dx =
0
.
1
.
b+1
nên
x y dy dx
I (b) =

Z
I ′ (b)db = ln(b + 1) + C.
Thay giá trị đặc biệt b = a vào biểu
thức tính tích phân I (b) ta được
x y dx  dy
1
dy
y+1
I ( a) = 0 ⇔ C = − ln( a + 1).
b+1
.
a+1
+1
Do đó I = ln ba+
1.
Bài tập 3.2. Tính tích phân sau:
a) I (y) =
Z1
arctan
b) J (y) =
x
y dx.
0
Z1
0
ln x2 + y2 dx.
[Gợi ý]
a) B1. Kiểm tra I (y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi.
B2. Nhận xét rằng I ′ (y) =
1
2
y2
ln 1+y2 .
y2
B3. I (y) = arctan 1y + 21 y ln 1+y2 + C.
B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y0 vào để tính C. Chẳng hạn, I (1) =
và tính được C = 0.
105
Z 1
0
arctan xdx,
106
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
b) B1. Kiểm tra J (y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi.
B2. Tính I ′ (y) = 2 arctan y1 .
B3. I (y) = ln(1 + y2 ) − 2 + 2y arctan 1y .
B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y0 vào để tính C. Chẳng hạn, I (0) =
tính được C = 0.
Bài tập 3.3. Cho hàm số f ( x ) =
Chứng minh rằng
π
=
4
Z1
0
nghĩa là hàm số I (y) =


Z1
0
Z 1
0


y2 − x 2
,
( x 2 + y2 )2
0,
Z 1
0
ln x2 dx, và
0 < x, y ≤ 1,
x = y = 0.

f ( x, y)dx  dy 6=
Z1
0


Z1
0

π
f ( x, y)dy dx = − ,
4
f ( x, y)dx khả tích trên đoạn [0, 1] nhưng không thể đổi thứ tự
lấy tích phân được trong trường hợp này. Hãy giải thích vì sao.
Bài tập 3.4. Chứng minh hàm Bessel
1
In ( x ) =
π
Zπ
0
cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ
thỏa mãn phương trình Bessel
x2 In′′ ( x ) + xIn ( x ) + ( x2 − n2 ) In = 0,
106
n = 0, 1, 2, . . .
§2. TÍCH
PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ .
Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I (y) =
+∞
Z
a
f ( x, y)dx, y ∈ [c, d]. Các kết quả
dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vô cùng) nhưng đều
có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới
dấu tích phân không bị chặn). Mục đích chính cũng là nghiên cứu các tính chất liên tục,
khả vi, khả tích của I (y). Tuy nhiên, các điều kiện để I (y) thỏa mãn các tính chất liên tục,
khả vi, khả tích sẽ không còn đơn giản như đối với tích phân xác định phụ thuộc tham số
nữa.
2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc
tham số.
Giả thiết
• f ( x, y) là hàm số xác định trên [ a, ∞) × [c, d],
• với mỗi y ∈ [c, d] cố định, f ( x, y) khả tích theo x trên [ a, b], ∀b > a.
Định nghĩa 3.11. Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là
• hội tụ tại y0 ∈ [c, d] nếu
Z ∞
a
f ( x, y0 )dx hội tụ, nghĩa là với mọi ǫ > 0, tồn tại b(ǫ, y0 ) >
a (phụ thuộc vào ǫ và y0 ) sao cho
I ( y0 ) −
Zb
f ( x, y0 )dx =
a
Z∞
f ( x, y0 )dx < ǫ với mọi b > b(ǫ, y0 ).
b
• hội tụ trên [c, d] nếu I (y) hội tụ tại mọi y ∈ [c, d],
• hội tụ đều trên [c, d] nếu với mọi ǫ > 0, tồn tại bǫ > a (chỉ phụ thuộc vào ǫ mà không
phụ thuộc vào y) sao cho
I (y) −
Ví dụ 2.6. I (y) =
Zb
f ( x, y)dx =
a
Z∞
1
Z∞
b
f ( x, y)dx < ǫ với mọi b > bǫ và với mọi y ∈ [c, d].
sin(yx )dx hội tụ khi y = 0 và phân kỳ khi y 6= 0.
107
108
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Ví dụ 2.7.
+∞
Z
a) Tính I (y) =
ye−yx dx
( y > 0).
0
b) Chứng minh rằng I (y) hội tụ đều tới 1 trên [y0 , +∞) với mọi y0 > 0.
c) Giải thích tại sao I (y) không hội tụ đều trên (0, +∞).
[Gợi ý]
∞
a) I (y) = −e−yx
0
= 1 với mọi y > 0.
b) Theo định nghĩa, muốn chỉ ra I (y) hội tụ đều tới 1 trên [y0 , +∞) ta phải chỉ ra với
mỗi ǫ > 0, tồn tại số bǫ chỉ phụ thuộc vào ǫ, không phụ thuộc vào y sao cho
I (y) −
Zb
ye−yx dx < ǫ,
∀ b > bǫ .
0
Thật vậy,
I (y) −
Zb
0
ye−yx dx = |1 − (1 − e−by )| = e−by ≤ e−by0 < ǫ nếu b >
Do đó, có thể chọn bǫ =
1
y0
1
1
ln .
y0 ǫ
ln 1ǫ .
c) Ta có
I (y) −
Muốn I (y) −
Z b
0
Zb
0
ye−yx dx = |1 − (1 − e−by )| = e−by .
ye−yx dx < ǫ thì e−by < ǫ ⇔ b >
1
y
ln 1ǫ . Tuy nhiên,
1
y
ln 1ǫ → +∞ khi
y → 0+ . Do đó, không thể chọn được hằng số bǫ chỉ phụ thuộc vào ǫ thỏa mãn yêu
cầu của hội tụ đều.
Ví dụ 2.8. Chứng minh rằng
+∞
Z
e−ax cos yx =
a
y2 + a2
với a > 0 và với mọi y.
0
[Gợi ý]
nên
Z
+∞
Z
e−ax cos yxdx = −
e−ax cos yxdx =
y
a
− ax
e
cos
yx
+
e−ax sin yx,
a2 + y2
a2 + y2
a
.
a2 + y2
0
108
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
109
1) Tiêu chuẩn hội tụ đều Weierstrass
Định lý 3.16. Nếu
i) | f ( x, y)| 6 g ( x ) , ∀ ( x, y) ∈ [ a, +∞] × [c, d],
ii) tích phân suy rộng
+∞
Z
g ( x ) dx hội tụ,
a
thì tích phân suy rộng I (y) =
+∞
Z
a
f ( x, y)dx hội tụ đều đối với y ∈ [c, d].
Ví dụ 2.9. Chứng minh rằng
a) I (y) =
Z∞
cos yx
x 2 +1
là hội tụ đều trên R.
0
b) I (y) =
+∞
Z
(y > 0) hội tụ đều trên [y0 , +∞) với mọi y0 > 0.
ye−yx dx
0
c) I (y) =
+∞
Z
0
e−yx cos αx hội tụ đều trên khoảng [ a, b] với mọi 0 < a < b và α ∈ R.
2) Tính liên tục
Định lý 3.17. Nếu
i) hàm số f ( x, y) liên tục trên [ a, +∞] × [c, d],
ii) tích phân suy rộng I (y) =
+∞
Z
a
f ( x, y)dx hội tụ đều đối với y ∈ [c, d]
thì I (y) là một hàm số liên tục trên [c, d], nghĩa là
lim I (y) = lim
y → y0
y → y0
Ví dụ 2.10. Tính lim
y →0
+∞
Z
f ( x, y)dx =
a
Z∞
+∞
Z
a
lim f ( x, y)dx =
y → y0
cos yx
.
x 2 +1
0
109
+∞
Z
a
f ( x, y0 )dx = I (y0 ).
110
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
+∞
Z
Ví dụ 2.11. Chứng minh rằng I (y) =
ye−yx dx không liên tục phải tại y = 0,
0
nghĩa là

lim 
y →0+
+∞
Z
ye
−yx
0

dx  6=
+∞
Z
0
lim ye
y →0+
−yx
dx.
Hãy giải thích tại sao không chuyển được dấu giới hạn vào trong biểu thức tính tích
phân trong trường hợp này.
3) Tính khả vi
Định lý 3.18. Nếu
i) các hàm số f ( x, y) và f y ( x, y) liên tục trên [ a, +∞] × [c, d],
′
ii) tích phân suy rộng I (y) =
+∞
Z
a
iii) tích phân suy rộng
+∞
Z
a
f ( x, y)dx hội tụ với mỗi y ∈ [c, d],
f y ( x, y)dx hội tụ đều đối với y ∈ [c, d]
′
thì I (y) là hàm số khả vi trên [c, d] và
I ′ (y)
=
+∞
Z
f y ( x, y) dx.
′
a
Ví dụ 2.12. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I (y) =
+∞
Z
arctan( x +y)
dx
1+ x 2
−∞
là một hàm số liên tục khả vi đối với biến y. Tính I ′ (y) rồi suy ra biểu thức của I (y).
Lời giải. Ta có:
1) f ( x, y) =
2)
arctan( x +y)
1+ x 2
arctan( x +y)
1+ x 2
6
liên tục trên [−∞, +∞] × [−∞, +∞].
1
π
2 . 1+ x 2
đều trên [−∞, +∞].
, mà
+∞
Z
1
1+ x 2
= π hội tụ, nên I (y) =
−∞
+∞
Z
arctan( x +y)
dx
1+ x 2
hội tụ
−∞
Theo Định lý 3.17, I (y) liên tục trên [−∞, +∞].
Hơn nữa f y ( x, y) =
′
1
(1+ x2 )[1+( x +y)2 ]
6
1
,
1+ x 2
∀y; do đó
+∞
Z
f y ( x, y)dx hội tụ đều trên
′
−∞
[−∞, +∞]. Theo Định lý 3.18, I (y) khả vi trên [−∞, +∞], và:
I ′ (y)
=
+∞
Z
−∞
110
1
dx.
(1+ x2 )[1+( x +y)2 ]
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
Đặt
1
(1+ x2 )[1+( x +y)2 ]
2
,B
được:A = y(y−2 +
4)
1
I ′ (y) = 2
y +4
1
+4
4π
= 2
y +4
=
y2
=
=
111
Ax+ B
+ Cx+ D 2 , dùng phương pháp
1+ x 2
1+( x +y)
2
, C = y21+4 , D = y23+4 . Do đó:
y ( y2 +4)
đồng nhất hệ số ta thu
"
#
−2x + y
2x + 3y
+
1 + x2
1 + ( x + y )2
−∞
i
h
∞
− ln 1 + x2 + y arctan x + ln 1 + ( x + y)2 + y arctan ( x + y) |+
x =−∞
+∞
Z
Z
Suy ra I (y) =
I ′ (y) dy
= 2 arctan + C, mặt khác I (0) =
y
2
y
Ví dụ 2.13. Tính
arctan x
dx
1+ x 2
= 0 nên
−∞
C = 0 và I (y) = 2 arctan 2 .
+∞
Z
+∞
Z
dx
n +1
( x2 +y)
0
Lời giải. Đặt In (y) =
+∞
Z
dx
n+1 , f n ( x, y )
( x2 +y)
=
1
n +1 .
( x2 +y)
Khi đó:
0
′

[ In−1 (y)]y = 
+∞
Z
0
′
dx
 = −n
n
2
( x + y)
y
+∞
Z
0
dx
( x2 + y)
′
′
1
= −n.In (y) ⇒ In = − ( In−1 ) .
n
n +1
′
′
1
1
Tương tự, In−1 = − n−
1 ( In−2 ) , In−2 = − n−2 ( In−3 ) , ..., I1 = − ( I0 ) .
Do đó, In (y) =
In (y) =
(−1)n
n!
[ I0 (y)]
(n)
. Mà I0 (y) =
+∞
Z
1
x2 +y
dx =
√1
y
arctan √xy
0
π (2n−1)!! √ 1
2 . (2n)!! . y2n+1 .
+∞
0
=
π
√
2 y
nên
Vấn đề còn lại là việc kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
1) Các hàm số f ( x, y) =
2)
′
1
,f
x2 +y y
( x, y) =
(n)
−1
2 , ..., f yn ( x, y )
2
( x +y)
trong [0, +∞) × [ε, +∞) với mỗi ε > 0 cho trước.
=
(−1)n
−1
1
1
6
,
...,
2
2
n +1 6
n +1
( x2 +y)
( x2 +ε)
( x2 +y)
( x2 +ε)
+∞
+∞
Z
Z
1
1
Mà các tích phân
dx, ...,
n+1 dx đều hội tụ, do đó
x2 +ε
( x2 +ε)
0
0
+∞
+∞
+∞
Z
Z
Z
′
(n)
f ( x, y) dx,
f y ( x, y) dx, ...,
f yn ( x, y) dx hội tụ đều trên
0
0
0
1
x2 +y
6
1
x2 +ε
(−1)n
n +1
( x2 +y)
liên tục
,
ε > 0.
111
[ε, +∞) với mỗi
112
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
4) Tính khả tích
Định lý 3.19. Nếu
i) hàm số f ( x, y) liên tục trên [ a, +∞] × [c, d],
ii) tích phân suy rộng I (y) hội tụ đều đối với y ∈ [c, d],
thì I (y) là hàm số khả tích trên [c, d] và ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân theo công
thức:




Zd
Zd
I (y) dy :=
c
c
Ví dụ 2.14. Tính
+∞
Z

e−αx −e− βx
dx,
x
+∞
Z
a
f ( x, y) dx  dy =
+∞ Zd
Z
a

c
f ( x, y) dy dx.
(α, β > 0).
0
Lời giải. Ta có:
e−αx − e− βx
x
F ( x,y):= e
=
−yx
x
F ( x, α) − F ( x, β) =
Zα
′
Fy ( x, y) =
Zβ
e−yx dy
α
β
nên:
+∞
Z
e−αx − e− βx
0
x
dx =

+∞ Zβ
Z
0

α

e−yx dydx =

Zβ

α
+∞
Z
0
e−yx dx dy =
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
Ví dụ 2.15 (Tích phân Gauss).
Z∞
e
− x2
G=u
+∞
Z
G=
dx =
√
0
π
.
2
Đặt x = ut ta có
2 2
e−u t dt.
0
112

Zβ
α
β
dy
= ln .
y
α
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
113
Ta có
2
G =G
=
+∞
Z
0

+
∞
Z

+∞
Z

0
=
1
2
+∞
Z
ue−u2
0
=
2
e−u du
+∞
Z
0
0
+∞
Z

2 2
e−u t dt du
ue−(1+t
2 ) u2
0
dt
1 + t2

du dt
π
= .
4
Suy ra
G=
Z∞
e
− x2
dx =
√
0
π
.
2
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
Ví dụ 2.16. Chứng minh công thức tích phân Gauss
√
Z∞
2
π
e− x dx =
2
0
bằng tích phân kép.
Lời giải. Đặt I M =
Z M
0
2
IM
2
e− x dx

=
ZM
0
e
=
− x2
Z M
e−y dy ta có
0


dx  
2
ZM
e
− y2
0
dy =
y
ZM ZM
e−( x
2 + y2 )
dxdy.
0 0
D
E
C
√
M 2 M
O
Hình 2.16
113
A
B
x
114
Vì e−( x
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
2 + y2 )
dxdy ≥ 0 nên
Z
e
−( x2 +y2 )
OAE
dxdy ≤
2
IM
Z
=
e
−( x2 +y2 )
OACE
dxdy ≤
Z
e−( x
2 + y2 )
dxdy.
OBD
Sử dụng tọa độ cực ta có
π
Z2
0
hay là
Cho M → +∞ ta được
dϕ
ZM
0
π
2
2
≤
e−r rdr ≤ I M
Z2
dϕ
0
√
M
Z 2
2
e−r rdr
0
2
2
π
π
2
≤ (1 − e−2M )
(1 − e − M ) ≤ I M
4
4
√
π
π
π
2
≤I ≤ ⇔I=
.
4
4
2
Ví dụ 2.17 (Tích phân Dirichlet).
D=
Z∞
0
π
sin x
dx = .
x
2
Nhận xét
1
=
x
Z∞
e− xt dt,
0
ta có
D=
=
Z∞
0
=
0
=
sin x 
0

Z∞ Z∞
Z∞


0
Z∞
0

e− xt dt dx

e− xt sin xdx  dt
dt
1 + t2
π
.
2
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
∞
Chú ý: Bạn đọc có thể so sánh với một kết quả trong Giải tích III, đó là ∑
n =1
Ví dụ 2.18. Áp dụng công thức tích phân Dirichlet, chứng minh rằng
114
sin n
n
=
π −1
2 .
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
a)
+∞
Z
sin3 x
x dx
=
Z +∞
b)
π
4.
115
0
1−cos x
dx
x2
c)
π
2
=
Z +∞
0
sin2 x
dx
x2
= π2 .
0
[Gợi ý]
a) Áp dụng công thức hạ bậc sin3 x =
1
4
sin 3x + 34 sin x.
b) Áp dụng công thức tích phân từng phần,
ZM
ǫ
1 − cos x
dx =
x2
1
−
x
(1 − cos x )
M
ǫ
+
ZM
ǫ
sin x
1 − cos ǫ 1 − cos M
dx =
−
+
x
ǫ
M
Cho ǫ → 0+ và M → +∞ ta được
lim
ǫ →0+
1 − cos ǫ
= 0,
ǫ
1 − cos M
=0
M
M→+∞
lim
Do đó,
+∞
Z
0
1 − cos x
dx =
x2
+∞
Z
0
sin x
π
= .
x
2
c) Hơn nữa,
+∞
Z
0
1 − cos x
dx = 2
x2
+∞
Z
0
x
2
sin2
x2
=
+∞
Z
0
sin2 u
du.
u2
Ví dụ 2.19 (Tích phân Fresnel).
I=
Z∞
0
r
1 π
,
sin( x )dx =
2 2
2
Đổi biến x2 = t ta có
1
I=
2
Từ công thức tích phân Gauss
Z∞
Z ∞
0
0
J=
0
sin t
√ dt,
t
2
e−u du =
2
1
√ =√
π
t
Z∞
1
J=
2
√
r
1 π
.
cos( x )dx =
2 2
Z∞
0
π
2
suy ra
Z∞
e−tu du.
0
115
2
2
cos t
√ dt.
t
ZM
ǫ
sin x
dx.
x
116
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Ta có
Z∞
0
2
sin t
√ dt = √
π
t
Z∞
2
=√
π
Z∞
2
=√
π
sin t
0
0
Z∞
0
Z∞
2
e−tu du
0
du
Z∞
2
e−tu sin tdt
0
du
1 + u2
2 π
=√ . √
π 2 2
r
π
.
=
2
Kết luận
r
1 π
I=J=
.
2 2
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
116
(3.1)
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
117
2.2 Bài tập
Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy
tích phân
Giả sử cần tính I (y) =
+∞
Z
f ( x, y)dx.
a
B1. Biểu diễn f ( x, y) =
Zd
F ( x, y) dy.
c
B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:

I (y) =
+∞
Z
f ( x, y)dx =
a
+∞ Zd
Z
a

c

F ( x, y) dydx =
Zd
c


+∞
Z
a

F ( x, y) dx dy.
Dạng 2. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đạo hàm qua dấu
tích phân.
Giả sử cần tính I (y) =
+∞
Z
f ( x, y)dx.
a
B1. Tính
I ′ (y)
bằng cách
I ′ (y)
=
+∞
Z
′
f y ( x, y) dx.
a
B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục I (y) bằng cách I (y) =
B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C.
Z
I ′ (y) dy + C.
Chú ý: Phải kiểm tra các điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.19 hoặc
chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.18.
117
118
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Bài tập 3.5. Tính
+∞
Z
e−αx −e− βx
dx,
x
(α, β > 0).
0
Cách 1: Đổi TT lấy TP
Lời giải.
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP
Ta có:
e−αx
− e− βx
x
F ( x, y) :=
= F ( x, α) − F ( x, β)
=
Zα
Zβ
′
Fy ( x, y) =
Đặt I (α) =
e−yx
e−αx −e− βx
dx.
x
0
x
I (α) =
+∞
Z
=
+∞
Z
′
e−yx dy.
nên
0
+∞
Z
e−αx − e− βx
x
0
=
=

α
Zβ
dy
β
= ln .
y
α
α

I (α) =

+∞
Z
0
Do đó

e−yx dy dx

−e−αx dx
1
=− .
α
dx
0
Zβ
α
=

+∞ Zβ
Z
′
f α ( x, α) dx
0
α
β
+∞
Z
Z
I ′ (α) dα
= − ln α + C.
e−yx dx dy
Mặt khác, I ( β) = 0 nên C = ln β.
Kết luận
β
I = ln .
α
Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
−αx
− βx
Với f ( x, α) = e −x e
ta có:
1) f ( x, α) =
e−αx −e− βx
x
liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi α, β > 0.
2) f α ( x, α) = −e−αx liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞).
′
3)
+∞
Z
0
′
f α ( x, α) dx =
+∞
Z
0
−e−αx dx = − α1 hội tụ đều đối với α trên mỗi khoảng [ε, +∞) theo
tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,
|−e−αx |
6
e−εx ,
mà
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
118
+∞
Z
e−εx dx =
0
1
ε
hội tụ.
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
+∞
Z
Bài tập 3.6. Tính
2
e−αx −e− βx
x2
2
119
dx, (α, β > 0).
0
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP.
Cách 1: Đổi TT lấy TP.
Lời giải.
2
e−αx − e− βx
x2
2
e−yx
F ( x, y) :=
x2
!
2
Đặt I (α) =
=
′
Fy ( x, y)dy =
Zβ
2
e−yx dy.
′
I (α) =
nên:
+∞
2
2
Z
e−αx − e− βx
x2
0
=
=
+∞ Zβ
Z

α
=
dx
e− x y dy dx
Zβ
√
√ p
√ π
β− α
√ dy = π
2 y
α


2
e− x y dx  dy
0
′
2
−e−αx dx
√
Z
π 1
.√
2
α
I ′ (α) dα
√ √
= − π. α + C.
⇒ I (α) =

+∞
Z
dx.
f α ( x, α) dx
0
+
Z∞
=−

2
+∞
Z
0
0
Zβ
α
=

2
Ta có
α
β
2
e−αx −e− βx
x2
0
= F ( x, α) − F ( x, β)
Zα
+∞
Z
√ p
Mặt khác, I ( β) = 0 nên C = π. β.
Kết luận
√ p
√ β− α .
I (α) = π
Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
Với f ( x, α) =
1) f ( x, α) =
2
e−αx −e− βx
x2
2
e−αx −e− βx
x2
2
2
ta có:
liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi α, β > 0.
2) f α ( x, α) = −e−αx liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞).
′
3)
+∞
Z
0
2
′
f α ( x, α) dx =
+∞
Z
0
2
−e−αx dx
√
x α=y
= −
+∞
Z
e−y
2
dy
√
α
0
=−
[ε, +∞) theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, −e
Trong chứng minh trên ta đã sử dụng công thức
+∞
Z
√
π √1
2 . α
−αx2
−εx2
2
e− x y dx =
0
mà
+∞
Z
e−εx dx hội tụ.
0
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
119
6e
hội tụ đều theo α trên
√
√π
2 y.
2
120
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
+∞
Z
Bài tập 3.7. Tính
sin cx
e−ax sin bx−
, ( a > 0).
x
0
Cách 1: Đổi TT lấy TP
Lời giải.
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP
Ta có:
sin bx − sin cx
e−ax
x
= F ( x, b) − F ( x, c)
=
Zb
′
Fy ( x, y)dy =
c
Zb
Đặt I (b) =
e−ax sin yx
F ( x, y) =
x
Ib ( x, b) =
I=
=

e
− ax
c
0
Zb

Zb
a
dy
a2 + y2
c
=

+∞ Zb
Z

c
= arctan

e−ax cos bx =
a2
a
,
+ b2
nên
cos yxdydx

+∞
Z
0
+∞
Z
0
c
nên
sin cx
dx. Ta có
e−ax sin bx−
x
0
′
e−ax cos yxdx.
+∞
Z
I=
e−ax cos yxdx  dy
Z
b
a
+ C.
db
=
arctan
a
a2 + b2
Mặt khác I (c) = 0 nên C = − arctan ac .
Kết luận
b
c
− arctan .
a
a
I = arctan
b
c
− arctan .
a
a
Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
sin cx
ta có
Với f ( x, b) = e−ax sin bx−
x
sin cx
liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi a, b, c > 0.
1. f ( x, b) = e−ax sin bx−
x
2. f b ( x, b) = e−ax cos bx liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞).
′
3.
+∞
Z
′
f b ( x, b) dx =
0
+∞
Z
e
− ax
cos bx =
0
=
a
b
− ax
− ax
− 2
e
cos bx + 2
e
sin bx |0+∞
a + b2
a + b2
a
a2 + b2
hội tụ đều theo b trên mỗi (0, +∞) theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,
|e−ax cos bx |
6
2
e−ax
mà
+∞
Z
e−ax dx hội tụ.
2
0
120
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
121
Trong chứng minh trên ta đã sử dụng công thức
Z
y
a
e−ax cos yx + 2
e−ax sin yx,
e−ax cos yxdx = − 2
2
a +y
a + y2
nên
+∞
Z
e−ax cos yxdx =
a
,
a2 + y2
0
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
Bài tập 3.8. Một cách tương tự như Bài tập 3.7, tính
+∞
Z
e−ax
0
[Đáp số] I =
1
2
Hệ quả 3.1.
cos bx − cos cx
, ( a > 0) .
x
+c
ln aa2 +
.
b2
2
2
+∞
Z
0
Bài tập 3.9. Tính
+∞
Z
c
cos bx − cos cx
= ln .
x
b
2
e− x cos (yx ) dx.
0
Lời giải. Đặt I (y) =
+∞
Z
e− x cos (yx ) dx, f ( x, y) = e− x cos (yx ) . Ta có:
2
2
0
1) f ( x, y) liên tục trên [0, +∞) × (−∞, +∞).
2) f y ( x, y) = − xe− x sin yx liên tục trên [0, +∞) × (−∞, +∞).
′
2
2)
+∞
Z
′
f y ( x, y) dx =
0
+∞
Z
0
− xe
− x2
2
1
sin yxdx = e− x sin yx
2
1
+∞
−
0
2
+∞
Z
0
−y
I (y)
=
2
hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,
′
f y ( x, y) 6 xe
− x2
, mà
+∞
Z
0
Do đó theo Định lý 3.18,
Mà I (0) = C =
√
π
2
I ′ (y)
I (y)
y2
= − y2 ⇒ I = Ce− 4 .
nên I (y) =
√
2
π − y4
2 e
.
121
2
xe− x dx =
2
ye− x cos yxdx
1
hội tụ.
2
122
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
2.3 Một số tích phân quan trọng
Tích phân Dirichlet
Z∞
sin x
π
dx = .
x
2
Z∞
− x2
0
Tích phân Gauss
e
dx =
√
π
.
2
0
Tích phân Fresnel
Z∞
2
sin( x )dx =
0
Z∞
0
r
1 π
.
cos( x )dx =
2 2
2
2.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 3.10. [Giữa kì, K62] Tính các tích phân
a)
+∞
Z
2
e− ax −e−bx
x
2
dx với a, b > 0.
b)
0
+∞
Z
3
e− ax −e−bx
x
3
dx với a, b > 0.
0
Bài tập 3.11. Tính các tích phân sau
a)
Z ∞
0
b)
2
e− ax −cos bx
dx, ( a
x2
> 0)
e)
ln(1 + y cos x )dx,
Z∞
e− x sin axdx,
f)
d)
0
Z∞
x2n e− x cos bxdx, n ∈ N.
0
2
g)
0
Z∞
e−ax cos bxdx ( a > 0),
2
0
Zπ
0
c)
Z∞
Z ∞
0
sin xy
x dx, y
≥ 0,
h)
Z ∞
0
[Gợi ý]
122
2
sin ax cos bx
dx,
x
sin ax sin bx
dx.
x
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
a) Đặt I ( a) =
ý rằng I (0)
b) Đặt I (y) =
Z ∞
123
2
e− ax −cos bx
dx và sử dụng công thức đạo
x2
0Z
Z ∞
∞
1−cos bx
bπ
1−cos bx
dx
=
b
=
2
2 dbx = 2 .
x
(
bx
)
0
0
hàm qua dấu tích phân. Chú
Zπ
ln(1 + y cos x )dx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân.
Z∞
e− x sin axdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân.
0
c) Đặt I ( a) =
2
0
d) Sử dụng công thức tích phân Dirichlet.
e) Đặt I (b) =
Z∞
e−ax cos bxdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân.
2
0
f) Đặt In (b) =
Z∞
x2n e− x cos bxdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân để
2
0
ra công thức truy hồi.
g) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tích phân Dirichlet.
h) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và Hệ quả 3.1.
Bài tập 3.12. Chứng minh rằng
a)
Z ∞
sin yx
0
b)
x (1+ x 2 )
dx =
Z ∞
1−cos yx
0
x2
=
π
−y
2 (1 − e ),
c)
y ≥ 0.
Z ∞
x sin yx
0
d)
π
2 | y |.
Z ∞
0
a2 + x 2
2
e−yx dx =
Bài tập 3.13. Sử dụng công thức
Z∞
0
x
1
dx
= arctan
2
2
a
a
x +a
tính
In =
Z∞
0
( x2
a) I (y) =
e−yx sinx x hội tụ đều trên [0, +∞).
0
123
0
dx
.
+ a2 ) n
Bài tập 3.14. Chứng minh rằng
+∞
Z
+∞
dx =
=
π
,
2a
π − ay
,
2e
√
√π
2 y,
a, y ≥ 0.
y > 0.
124
b) I (y) =
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
π
2
− arctan y.
Bài tập 3.15. Chứng minh rằng
+∞
Z
√
√
dx = πb − πa,
( a, b > 0).
arctan xa − arctan xb
π b
dx = ln ,
x
2
a
( a, b > 0).
e
−
a
x2
0
−e
b
x2
−
Bài tập 3.16. Chứng minh rằng
+∞
Z
0
Bài tập 3.17.
a) Chứng minh rằng
+∞
Z
0
ln(1 + α2 x2 )
= π ln(1 + α),
1 + x2
b) Sử dụng câu a), chứng minh rằng
π
Z2
0
Bài tập 3.18. Chứng minh rằng
Z∞
ln(sin θ )dθ = −
sin4 x
dx
x4
π
ln 2.
2
= π3 .
0
Bài tập 3.19. Sử dụng tích phân Fresnel chứng minh rằng
Z∞ Z∞
sin( x2 + y2 )dxdy =
0 0
π
.
4
Bài tập 3.20. Chứng minh rằng
I (y) =
+∞
Z
e
y 2
−( x− x )
0
Áp dụng, tính
+∞
Z
e−( x
2 + x −2 )
dx.
0
124
dx =
√
π
.
2
α ≥ 0.
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
Bài tập 3.21. Chứng minh rằng I (y) =
125
+∞
Z
y2 xe−yx không liên tục tại y = 0, nghĩa là
2
0
lim
y →0
+∞
Z
2
y xe
−yx2
0
6=
+∞
Z
0
2
lim y2 xe−yx .
y →0
Hãy giải thích tại sao?
Bài tập 3.22. Chứng minh rằng I (y) =
+∞
Z
y2 xe−yx không liên tục tại y = 0, nghĩa là
0
lim
y →0
+∞
Z
2
y xe
0
−yx
6=
+∞
Z
Hãy giải thích tại sao?
125
0
lim y2 xe−yx .
y →0
126
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
§3. TÍCH
PHÂN
EULER
3.1 Hàm Gamma
Γ ( p) =
+∞
Z
x p−1 e− x dx xác định trên (0, +∞) .
0
Thật vậy,
Γ( p) =
Z1
x
p −1 − x
e
+∞
Z
dx +
0
1
• Với tích phân I2 ta so sánh với
lim
x →+∞
mà
Z +∞
1
dx
x2
x p−1 e− x dx = I1 + I2 .
Z +∞
dx
.
x2
1
x
p −1 − x
e
Ta có
1
: 2
x
= lim
x →+∞
x 1+ p
= 0,
ex
hội tụ nên I2 hội tụ. Thậm chí, tích phân I2 hội tụ với mọi p ∈ R.
• Với tích phân I1 thì nếu p ≥ 1 ta có I1 thực chất là tích phân xác định. Còn nếu
0 < p < 1 thì ta so sánh I1 với
Z 1
dx
1− p .
0 x
lim
x →0+
mà
kì.
Z 1
dx
1− p
x
0
x
Ta có
p −1 − x
e
:
1
x 1− p
= 1,
hội tụ nên I1 cũng hội tụ. Nếu p < 0 thì
Z 1
dx
1− p
x
0
phân kì nên I1 sẽ phân
Các tính chất
1. Hạ bậc: Γ ( p + 1) = pΓ ( p) . Công thức này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng
tích phân từng phần. Thật vậy,
Γ ( p + 1) =
+∞
Z
0
p −x
x e
dx = −
+∞
Z
p
x d(e
−x
0
p −x
) = −x e
+∞
0
+p
+∞
Z
x p−1 e− x = pΓ( p).
0
Ý nghĩa: Để nghiên cứu Γ ( p) ta chỉ cần nghiên cứu Γ ( p) với 0 < p 6 1 mà thôi, còn
với p > 1 chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc.
2. Đặc biệt,
• Γ (1) = 1 (tính trực tiếp) nên Γ (n) = (n − 1)! ∀n ∈ N.
126
3. Tích phân Euler
127
• Từ công thức tích phân Gauss
(2n−1)!! √
Do đó, Γ n + 12 = 2n
π.
3. Đạo hàm của hàm Gamma:
Γ(k) ( p )
Z +∞
0
=
2
e− x
+∞
Z
0
4. Γ ( p) .Γ (1 − p) =
π
sin pπ
√
π
2
=
suy ra Γ
1
2
=
Z +∞
0
e− x
√
dx
x
=
x p−1 lnk x .e− x dx.
∀0 < p < 1.
3.2 Hàm Beta
Dạng 1: B ( p, q) =
Dạng 2: B ( p, q) =
Z1
x p −1 (1 − x )
0
+∞
Z
q −1
dx. Bằng cách đổi biến số x =
t
t +1
ta sẽ thu được:
x p −1
dx.
(1+ x ) p + q
0
π
Ví dụ 3.20. Biểu thị
Z2
sinm x cosn xdx qua hàm B (m, n).
0
Lời giải. Đặt sin x =
√
t ⇒ 0 6 t 6 1, cos xdx =
π
Z2
π
m
n
sin x cos xdx =
0
Z2
0
m
2
sin x 1 − sin x
π
1
=
2
1
√
dt
2 t
Z2
0
m
2
t (1 − t )
n −1
2
t
n −1
− 21
2
. cos xdx
1
dt = B
2
m+1 n+1
,
2
2
Từ ví dụ này ta suy ra:
π
Dạng lượng giác: B ( p, q) = 2
Các tính chất:
Z2
sin2p−1 t cos2q−1 tdt.
0
1. Tính đối xứng: B ( p, q) = B (q, p).
2. Hạ bậc:

B ( p, q) =
B ( p, q) =
p −1
p+q−1 B ( p − 1, q ) ,
q −1
p+q−1 B ( p, q − 1) ,
127
nếu p > 1
nếu q > 1
√
π.
128
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Ý nghĩa của công thức trên ở chỗ muốn nghiên cứu hàm bêta ta chỉ cần nghiên cứu
nó trong khoảng (0, 1] × (0, 1] mà thôi.
3. Đặc biệt, B (1, 1) = 1 nên

B (m, n) =
B ( p, n) =
( m −1) ! ( n −1) !
, ∀m, n ∈ N
( m + n −1) !
( n −1) !
B( p, 1)
( p+n−1)( p+n−2)...( p+1) p
4. Công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma: B ( p, q) =
∀n ∈ N.
Γ( p)Γ(q)
.
Γ( p+q)
Chứng minh.
Ta có
Γ( p)Γ(q) =
+∞
Z
t
p −1 − t
e dt
0
+∞
Z
s
q −1 − s
e
ds =
0
+∞ Z
+∞
Z
t p−1 sq−1 e−(t+s) dtds.
0
0
Áp dụng công thức đổi biến t = xy và s = x (1 − y) ta được


0 ≤ x < +∞,
0 ≤ t < +∞,
y
x
D (t, s)
=
= − x.
⇒
,J =
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ s < + ∞
D ( x, y)
1 − y −x
Do đó,
Γ( p)Γ(q) =
=
+∞
Z1 Z
0 0
+∞
Z
e
e− x x p−1 y p−1 x q−1 (1 − y)q−1 xdxdy
− x p + q −1
x
dx
0
Z1
0
y p−1 (1 − y)q−1 dy
= Γ( p + q) B( p, q).
π
sin pπ .
5. B ( p, 1 − p) = Γ ( p) Γ (1 − p) =
Ví dụ 3.21. Chứng minh công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma B ( p, q) =
bằng tích phân kép.
Lời giải. Xuất phát từ công thức Γ( p) =
được
Γ( p) = 2
+∞
Z
e
Z +∞
0
−t2 2p−1
t
x p−1 e− x dx thực hiện phép đổi biến x = t2 ta
dt = 2
0
+∞
Z
2
e− x x2p−1 dx.
0
Do đó,
Γ( p)Γ(q) = 4
+∞ Z
+∞
Z
e−( x
0
Γ( p)Γ(q)
Γ( p+q)
2 + y2 )
0
128
x2p−1 y2q−1 dxdy.
3. Tích phân Euler
Đặt I M =
Z MZ M
0
0
129
e−( x
2 + y2 )
x2p−1 y2q−1 dxdy. Ta có
lim
M→+∞]
=
Γ( p)Γ(q)
.
4
y
D
C
E
√
M 2 M
O
x
B
A
Hình 2.16
Ta có
Z
e−( x
2 + y2 )
OAE
x2p−1 y2q−1 dxdy ≤ I M ≤
Z
e−( x
2 + y2 )
OBD

 x = r cos ϕ,
Thực hiện phép đổi biến số trong tọa độ cực
y = r sin ϕ
π
Z2
(cos ϕ)
2p−1
(sin ϕ)
2q−1
dϕ
0
ZM
ta có
2
r2p+2q−1 e−r dr
0
(3.2)
≤ IM ≤
√
π
Z2
x2p−1 y2q−1 dxdy.
(cos ϕ)
2p−1
(sin ϕ)
2q−1
dϕ
0
M
Z 2
2
r2p+2q−1 e−r dr.
0
Ta có
lim
M→+∞
và
lim
M→+∞
ZM
r
2p+2q−1 −r2
e
+∞
Z
2
r2( p+q)−1 e−r dr =
dr =
0
0
√
M
Z 2
r
0
2p+2q−1 −r2
e
dr =
+∞
Z
2
r2( p+q)−1 e−r dr =
0
Ngoài ra,
π
Z2
0
1
(cos ϕ)2p−1 (sin ϕ)2q−1 dϕ = B( p, q).
2
129
Γ( p + q)
2
Γ( p + q)
.
2
130
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Cho M → +∞ trong bất đẳng thức (3.2) ta được
1
1
Γ( p)Γ(q)
1
1
B( p, q) Γ( p + q) ≤
≤ B( p, q) Γ( p + q).
2
2
4
2
2
Do đó,
B( p, q) =
Γ( p)Γ(q)
.
Γ( p + q)
3.3 Bài tập
Bài tập 3.23.
π
a)
Z2
sin6 x cos4 xdx.
0
Lời giải. Ta có
1
I= B
2
b)
Za
0
7 5
,
2 2
7
2
5
2
Γ
1 Γ
= .
2
Γ (6)
1
1
5!! √ 3!! √
Γ
3
+
Γ
2
+
2
2
3π
1
1 23 π. 22 π
=
= .
= .
2
Γ (6)
2
5!
512
√
x2n a2 − x2 dx ( a > 0) .
√
Lời giải. Đặt x = a t ⇒ dx =
adt
√
2 t
Z1
2n+2 1
adt
a
a2n+2
1
3
n− 12
I = a t .a (1 − t) . √ =
. t
B n+ ,
(1 − t) 2 dt =
2
2
2 2
2 t
0
0
√
3
1
(2n−1)!! √
π
2n
+
2
2n
+
2
Γ
Γ
n
+
π.
2
2
a2n+2 (2n − 1)!!
a
a
2n
2
=π
.
=
=
2
Γ ( n + 2)
2
2 (2n + 2)!!
( n + 1) !
Z1
c)
+∞
Z
1
2
2n n
2
x10 e− x dx.
0
Lời giải. Đặt x =
I=
+∞
Z
0
√
t ⇒ dx =
dt
√
2 t
1
dt
t e . √ =
2
2 t
5 −t
+∞
Z
0
1
t e dt = Γ
2
9
2
−t
130
11
2
√
√
1 9!! π
9!! π
= . 5 =
.
2 2
26
3. Tích phân Euler
d)
+∞
Z
131
√
x
2 dx.
(1+ x 2 )
0
Lời giải. Đặt x2 = t ⇒ 2xdx = dt
I=
+∞ 41 dt
Z
t . √
2 t
0
=
(1 + t )2
1
2
+∞
Z
0
Vậy
1
I= B
2
e)
+∞
Z
3 5
,
4 4

p − 1 = − 1
1
4
B
p,
q
với
=
(
)
2

2
(1 + t )
p+q = 2
1
t− 4 dt
1 45 − 1
= .3 5
B
2 4 + 4 −1
3 1
,
4 4
1
= .B
8
3 1
,
4 4

p = 3
4
⇒
q = 5
4
1 π
π
= .
π = √
8 sin 4
4 2
1
dx.
1+ x 3
0
Lời giải. Đặt x3 = t ⇒ dx = 31 t− 3 dt
2
1
I=
3
f)
+∞
Z
x n +1
dx,
(1+ x n )2
+∞ 2
Z
t− 3 dt
1
= B
1+t
3
0
1 2
,
3 3
=
1 π
2π
π = √
3 sin 3
3 3
(2 < n ∈ N ).
0
Lời giải. Đặt x n = t ⇒ dx = n1 t n −1 dt
1
I=
+∞
Z
t
0
=
g)
Z1
0
1
√
dx,
n
1− x n
1
.
n
2
1
2
+ 1, 1 −
dt = B
n
n
n
(1 + t )2
(1 + t )2
0
2
π
2
2
2
n
.
B
=
,
1
−
n
n
n2 sin 2π
+ 1 + 1 − n2 − 1
n
n +1
n
2
n
1
. n1 t n −1 dt
1
=
n
+∞
Z
2
tn
n ∈ N∗ .
Lời giải. Đặt x n = t ⇒ dx = n1 t n −1 dt
1
I=
Z1 1 n1 −1
dt
nt
0
1
=
1
n
(1 − t ) n
Z1
0
t
1
n −1
. (1 − t )
131
− n1
1
dt = B
n
1
1
,1−
n
n
=
1 π
n sin πn
132
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Bài tập 3.24. Chứng minh công thức Jacobi
B( p, q) =
[Gợi ý] Viết
Γ( p) =
Z∞
Γ( p)Γ(q)
.
Γ( p + q)
e−y y p−1 dy, Γ(q) =
0
Z∞
e− x yq−1 dx.
0
Nên
Γ( p)Γ(q) =
Z∞ Z∞
e− x−y x q−1 y p−1 dxdy.
0 0
Thực hiện phép đổi biến số x = u(v − 1), y = uv để suy ra
Γ( p)Γ(q) = Γ( p + q) B( p, q).
Bài tập 3.25. [Cuối kì, K62] Tính các tích phân
a)
+∞
Z
0
x4
dx,
(1 + x 3 )2
b)
+∞
Z
0
x7
dx.
(1 + x 6 )2
3.4 Đọc thêm: Tích phân Euler và Phép tính vi tích
phân cấp phân số
Chúng ta biết rằng đạo hàm cấp n của một hàm số
f (n) ( x ) =
dn f
dx n
đòi hỏi cấp của đạo hàm phải là một số tự nhiên, i.e., n = 0, 1, 2, . . . Bạn đã bao giờ nghe
nói đến đạo hàm cấp 12 của hàm số f ( x )? Vào năm 1695, trong một cuộc thảo luận giữa
Leibniz và L’Hospital, L’Hospital đã hỏi Leibniz, ". . . and what if n be 12 ". Leibniz đã trả lời
rằng "It will lead to a paradox, from which one day useful consequences will be drawn."
Đây là sự khởi đầu cho phép tính vi tích phân cấp phân số ra đời. Ý tưởng là mở rộng khái
niệm đạo hàm và tích phân cấp n ∈ N cho cấp s ∈ R tùy ý. Việc này khởi đầu bằng các
công trình của Euler khi vào năm 1729 ông đưa ra hàm Gamma
Γ( p) =
+∞
Z
0
t p−1 e−t dt ⇒ Γ(n) = (n − 1)!
Một năm sau (1730), ông đã công bố một số ý tưởng ban đầu cho việc định nghĩa đạo hàm
cấp phân số như sau.
132
3. Tích phân Euler
133
• Trước hết, xét đạo hàm cấp n của hàm số f ( x ) = x m ,

 m! x m−n = Γ(m+1) x m−n ,
n
d f
(n)
Γ ( m − n +1)
f ( x ) = n = (m−n!)
0,
dx
nếu m ≥ n,
nếu m < n.
Sử dụng hàm Gamma để mở rộng cho s, µ ∈ R≥0 .
f ( x) = xµ ⇒ Ds f =
ds f
Γ ( µ + 1) µ − s
=
x .
s
dx
Γ ( µ − s + 1)
• Bạn đọc có thể kiếm tra tính chất sau của đạo hàm cấp phân số
D s D t f = D s+t f ⇒ D s D t f = D t D s f .
• Công việc tiếp theo là dùng tính chất tuyến tính của đạo hàm cấp phân số để định
nghĩa đạo hàm cấp phân số cho các hàm đa thức f ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a0 .
Rồi sau đó mở rộng cho một hàm giải tích bất kì dựa vào khai triển Maclaurin của
nó
+∞ (n)
f (0) n
f (x) = ∑
x .
n!
n =0
Tiếp theo các công trình của Euler là các đóng góp của Riemann và Liouville. Ta biết rằng
hàm tích phân
1
J f (x) =
Zx
a
1
f (t)dt =
(1 − 1) !
Zx
a
( x − t)1−1 f (t)dt.
d
J 1 f ( x ) = f ( x ). Công thức này có thể mở rộng cho đếp cấp n
thỏa mãn tính chất dx
(thường được gọi là công thức Cauchy) như sau
n
J f (x) =
Zx Zx1
a
a
···
xZn−1
a
1
f ( xn )dx1 dx2 . . . dxn =
( n − 1) !
Zx
a
( x − t)n−1 f (t)dt.
Nghĩa là, tích phân cấp n ∈ N của hàm số f ( x ) được định nghĩa như sau:
1
J f (x) =
( n − 1) !
n
Zx
a
( x − t)n−1 f (t)dt.
Mở rộng kết quả này cho cấp α > 0 ta được
1
J f (x) =
Γ(α)
α
Zx
a
( x − t)α−1 f (t)dt,
133
x > 0.
134
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Sau khi đã định nghĩa được tích phân cấp α > 0 của hàm số f ( x ), ta định nghĩa đạo hàm
cấp α của nó với n − 1 < α ≤ n như là đạo hàm cấp n của tích phân cấp n − α:
n n−α
α
D f ( x ) := D J
1
Dn
f (x) =
Γ(n − α)
Zx
a
( x − t)n−α−1 f (t)dt.
Nếu 0 < α ≤ 1, thì


Zx
d
1
 ( x − t)−α f (t)dt .
D α f ( x ) : = D 1 J 1− α f ( x ) =
Γ(1 − α) dx
a
Nói riêng, đạo hàm cấp
1
2
được định nghĩa như sau


Zx
1
1 d 
f (t) 
√
dt .
D 2 f (x) = √
π dx
x−t
a
Chú ý 3.10.
• Đạo hàm cấp phân số của tại điểm x phụ thuộc vào tất cả các giá trị
của hàm f trong khoảng từ a đến x. Điều này là khác so với khái niệm đạo hàm theo
nghĩa cổ điển, khi mà giá trị của đạo hàm chỉ phụ thuộc một cách địa phương tại
điểm mà hàm số đó lấy đạo hàm.
• Riemann và Liouville phát triển lý thuyết này một cách độc lập. Liouville công bố
các công trình của mình vào khoảng 1832 và sử dụng a = −∞, trong khi đó Riemann
công bố các công trình của mình vào khoảng 1848 khi ông thậm chí vẫn còn là sinh
viên và sử dụng a = 0. Nếu không chú thích gì thêm thì a = 0 thường được chọn để
làm định nghĩa cho đạo hàm và tích cấp phân số Riemann-Liouville.
• Chọn a = 0 và quay trở lại trường hợp f ( x ) = x µ của Euler:
1
Dn
D f (x) =
Γ(n − s)
s
Zx
0
( x − t)n−α−1 tµ dt =
Γ ( µ + 1) µ − s
x .
Γ ( µ − s + 1)
Như vậy, đạo hàm Riemann-Liouville cấp phân số đã mở rộng các kết quả của Euler.
• Chọn a = −∞ thì ta có
1
J f (x) =
Γ(α)
α
Zx
−∞
( x − t)
α −1
1
f (t)dt =
Γ(α)
134
+∞
Z
0
tα−1 f ( x − t)dt
( đổi biến t 7→ x − t).
3. Tích phân Euler
135
Khi đó, nếu f ( x ) = e ax thì
1
J f (x) =
Γ(α)
α
+∞
Z
tα−1 e a( x−t) dt
0
1
=e
Γ(α)
ax
+∞
Z
tα−1 e−at dt
0
1
= a−α e ax
Γ(α)
=a
−α αx
Z +∞ t
(3.3)
α −1 − t
e dt
0
e .
Một cách tương tự,
D α f ( x ) = aα eαx .
• Thuật ngữ đạo hàm (tích phân) cấp phân số (fractional derivatives, fractional integrals, fractional calculus) có lẽ xuất phát từ yếu tố lịch sử của nó, khi mà Euler phát
triển khái niệm này cho α = 21 . Tuy rằng sau này, đạo hàm cấp α có thể được định
nghĩa cho α > 0 bất kì, thuật ngữ đạo hàm cấp phân số tiếp tục được sử dụng cho
đến ngày nay.
Ví dụ 3.22.
1
0
f (x) = 1 = x ⇒
d2 f
dx
1
2
=
1
Γ (0 + 1)
2 1
x0− 2 = √ .√ .
1
π x
Γ (0 − 2 + 1)
Chú ý rằng trong ví dụ trên, đạo hàm cấp phân số của một hàm số hằng không nhất thiết
bằng 0!!!
Một cách định nghĩa khác của đạo hàm cấp phân số, được đưa ra bởi Caputo, như sau:
D∗α f ( x )
:= J
n−α
1
D f (x) =
Γ(n − α)
n
Zt
0
f (n) ( u )
du,
( t − u ) α +1− n
tức là nó bằng tích phân cấp n − α của đạo hàm cấp n.
Ví dụ 3.23 (Bài toán tautochrone). Tìm đường đi C sao cho dù đặt viên bi ở đâu trên
C thì nó cũng mất một khoảng thời gian như nhau để lăn về đáy (giả thiết ma sát bằng
không).
Lời giải của Abel.
135
136
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
• Từ định luật bảo toàn năng lượng,
2
ds
1
1
ds
m
dy,
= mg(y0 − y) ⇒ dt = −p
2
dt
2g(y0 − y) dy
ở đó s là độ dài cung và y là chiều cao.
• Thời gian để vật lăn về đáy là
T=
Zy0
0
( y0 − y )
− 21
1 ds
ở đó f (y) = p
2g dy
f (y)dy,
!
.
Chú ý rằng chúng ta mong muốn T là một hằng số, và đây chính là Γ( 12 ) lần tích
phân cấp 21 của hàm số f .
• Tác động tích phân cấp 12 , J 2 , vào hai vế của phương trình trên ta được
1
√ 1 1
√
1
J 2 T = π J 2 J 2 f ( y0 ) = π J 1 f ( y0 ).
• Lấy đạo hàm hai vế ta được
1 d
f ( y0 ) = √
π dy0
Zy0
0
• Công việc tiếp theo là đi tính đạo hàm cấp
1 d
D T = T√
π dy0
1
2
1
1
2
của hàm hằng số T:
Zy0
0
1
2T d √
T
y0 = √
.
(y0 − y)− 2 dy = √
πy0
π dy0
Vậy
f ( y0 ) = √
ds
,
2g dy
• Nhớ lại rằng f (y) = √1
1
(y0 − y)− 2 Tdy = D 2 T.
T
.
πy0
ta có
p
2g 1
ds
=T
√ .
dy
π y
136
3. Tích phân Euler
137
Đây chính là phương trình của đường cong cycloid (ở đây ta đã đổi y0 thành y).
Thật vậy,bạn đọc có thể kiểm ra dễ dàng rằng đường cong cycloid có phương trình
 x = a(1 − cos t),
tham số
thỏa mãn
y = a(t − sin t)
ds
=
dy
=
p
x ′ (t)2 + y′ (t)2 dt
y′ (t)dt
q
a sin2 t + (1 − cos t)2
√
a(1 − cos t)
2
=√
1 − cos t
!
p
√
2g √
2a
=√
như vậy T
= 2a .
y
π
Điều này, về sau được nhà Vật lý người Hà Lan Huyghens ứng dụng để phát minh ra đồng
hồ quả lắc. Ông là người đầu tiền tìm ra công thức toán học
s
l
,
T = 2π
g
ở đó T là chu kì dao động của quả lắc, l là độ dài của quả lắc và g là gia tốc trọng trường.
137
138
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
138
CHƯƠNG
TÍCH
§1. TÍCH
4
PHÂN ĐƯỜNG
PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
I
1.1 Định nghĩa và tính chất
Bài toán dẫn đến tích phân đường loại một
Cho C : x = x (t), y = y(t), a ≤ t ≤ b là một đường cong và dọc theo C có phân phối một
khối lượng vật chất với mật độ tại ( x, y) là f ( x, y). Tính khối lượng của C.
Địnhg nghĩa
Tích phân đường của hàm số f ( x, y) được định nghĩa giống như tích phân xác định của
hàm số một biến số f ( x ), ngoại trừ việc thay vì lấy tích phân trên đoạn [ a, b] ta lấy tích
139
140
Chương 4. Tích phân đường
phân dọc theo đường cong C. Cho hàm số f ( x, y) xác định trên đường cong C có phương
trình r(t) = x (t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b.
• Chia đoạn [ a, b] thành n đoạn bằng nhau a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Khi đó, Pi ( xi , yi )
sẽ chia C thành n cung nhỏ.
n
• Chọn Pi∗ ( xi∗ , yi∗ ) và lập tổng tích phân Sn = ∑ f ( xi∗ , yi∗ )∆si .
i =1
Định nghĩa 4.12. Tích phân đường loại một của hàm số f ( x, y) dọc theo đường cong C là
Z
n
f ( x, y)ds = lim
n→+∞
C
∑ f ( xi∗ , yi∗ )∆si ,
(4.1)
i =1
nếu giới hạn này tồn tại và không phụ thuộc vào cách chọn điểm Pi∗ ( xi∗ , yi∗ ).
Trong Chương 1, độ dài của cung C được tính theo công thức
l=
Zbq
x ′ (t)2 + y′ (t)2 dt.
a
Một cách hoàn toàn tương tự, nếu hàm f ( x, y) là liên tục, thì giới hạn (4.1) luôn luôn tồn
tại, và
Zb
Z
q
f ( x, y)ds =
(4.2)
f ( x (t), y(t)) x ′ (t)2 + y′ (t)2 dt
a
C
hay là dưới dạng véctơ
Z
C
f ( x, y)ds =
Zb
f (r(t))|r′ (t)|dt.
a
140
(4.3)
1. Tích phân đường loại I
141
Tích phân đường dọc theo đường cong C ứng với x hoặc y
Hai loại tích phân đường khác, thu được bằng cách thay thế ∆si bởi ∆xi hoặc ∆yi (một
dạng đặc biệt của tích phân đường loại II) được định nghĩa một cách tương tự như sau:
Z
n
f ( x, y)dx = lim
n→+∞
C
Z
∑ f ( xi∗ , yi∗ )∆xi =
i =1
n
f ( x, y)dy = lim
C
n→+∞
∑
Zb
f ( x (t), y(t)) x ′ (t)dt,
(4.4)
Zb
f ( x (t), y(t))y′ (t)dt.
(4.5)
a
f ( xi∗ , yi∗ )∆yi
i =1
=
a
Chú ý 4.11. Nói chung, phương trình véctơ r(t) = x (t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b của đường cong
C xác định hướng dương của đường cong, tương ứng với chiều khi t tăng. Nếu ta kí hiệu
−C vẫn là đường cong r(t) = x (t)i + y(t)j nhưng theo hướng ngược lại, thì
Z
f ( x, y)dx = −
Z
Nghĩa là các tích phân đường
Z
−C
Z
f ( x, y)dx,
−C
f ( x, y)dx và
C
−C
Z
f ( x, y)dy = −
Z
f ( x, y)dy.
−C
f ( x, y)dy đổi dấu nếu ta đổi hướng của C.
C
Tuy nhiên, nếu tích phân đường này được lấy theo ds thay vì dx hay dy thì giá trị của
tích phân không đổi khi ta đổi hướng của đường cong,
Z
−C
f ( x, y)ds =
Z
f ( x, y)ds.
C
Lý do là ∆si luôn luôn là một đại lượng dương, trong khi đó, ∆xi và ∆yi đổi dấu khi ta đổi
hướng của đường cong.
141
142
Chương 4. Tích phân đường
Các tính chất cơ bản
• Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của cung C.
• Nếu
cung C có khối lượng riêng tại M ( x, y) là ρ ( x, y) thì khối lượng của nó là
Z
ρ ( x, y) ds, nếu tích phân đó tồn tại.
C



cos t,

 x =√
Ví dụ 1.1 (Cuối kì, K62). Tính khối lượng của đường cong y = 2 sin t,



 2π ≤ t ≤ 5π
3
6
biết
mật độ của nó tại điểm ( x, y) là ρ( x, y) = | xy|.
Lời giải.
5π
p
√ Z6
m = 2 | sin t cos t| 1 + cos2 tdt
2π
3
5π
p
√ Z6
= − 2 sin t cos t 1 + cos2 tdt
2π
3
√ Z5π6
2 p
1 + cos2 td(1 + cos2 t)
=
2
2π
3
√
√
3 7 7−5 5
=
.
.
3
8
√
• Chiều dài của cung C được tính theo công thức l =
Z
ds.
C
• Tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định như tính
tuyến tính và tính cộng tính.
1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I
1. Nếu C cho bởi phương trình x = x (t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, thì
Z
C
f ( x, y)ds =
Zb
f ( x (t), y(t))
a
142
q
x ′2 (t) + y′2 (t)dt,
(4.6)
1. Tích phân đường loại I
143
hay là dưới dạng véctơ
Z
f ( x, y)ds =
Zb
f (r(t))|r′ (t)|dt.
(4.7)
a
C
2. Nếu cung C cho bởi phương trình y = y ( x ) , a 6 x 6 b thì
Z
Zb
f ( x, y) ds =
f ( x, y ( x ))
a
C
q
1 + y′2 ( x )dx.
(4.8)
3. Nếu cung C cho bởi phương trình x = x (y) , c 6 y 6 d thì
Z
f ( x, y) ds =
Zd
f ( x (y) , y)
c
C
q
1 + x ′2 (y)dy.
(4.9)
4. Nếu cung C cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r ( ϕ) , ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 thì coi nó
p
như là phương trình dưới dạng tham số, ta được ds = r2 ( ϕ) + r ′2 ( ϕ)dϕ và
Z
f ( x, y) ds =
Zϕ2
f (r ( ϕ) cos ϕ, r ( ϕ) sin ϕ)
ϕ1
C
q
r2 ( ϕ) + r ′2 ( ϕ)dϕ.
(4.10)
1.3 Tích phân đường trong không gian
Cho C là một đường cong trơn trong không gian cho bởi phương trình véctơ
r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k, a ≤ t ≤ b
và f ( x, y, z) là một hàm số liên tục trên một miền nào đó của R3 chứa C. Tích phân đường
của hàm số f ( x, y, z) dọc theo đường cong C được định nghĩa hoàn toàn tương tự như đã
làm trong mặt phẳng
Z
C
f ( x, y, z)ds =
lim f ( xi∗ , yi∗ , zi∗ )∆si
n→∞
=
Zb
a
q
f ( x (t), y(t), z(t)) x ′ (t)2 + y′ (t)2 + z′ (t)2 dt,
(4.11)
hay là dưới dạng véctơ
Z
C
f ( x, y, z)ds =
Zb
a
143
f (r(t))|r′ (t)|dt.
(4.12)
144
Chương 4. Tích phân đường
Tích phân đường dọc theo C theo x, y, hoặc z cũng được định nghĩa tương tự
Z
C
lim f ( xi∗ , yi∗ , zi∗ )∆xi
n→∞
Z
C
lim f ( xi∗ , yi∗ , zi∗ )∆yi
n→∞
Z
lim f ( xi∗ , yi∗ , zi∗ )∆zi
n→∞
f ( x, y, z)dx =
f ( x, y, z)dy =
f ( x, y, z)dz =
C
=
Zb
f ( x (t), y(t), z(t)) x ′ (t)dt,
(4.13)
Zb
f ( x (t), y(t), z(t))y′ (t)dt,
(4.14)
Zb
f ( x (t), y(t), z(t))z′ (t)dt.
(4.15)
a
=
a
=
a
1.4 Bài tập
Bài tập 4.1. Tính
Z
C
( x − y) ds, C là đường tròn có phương trình x2 + y2 = 2x.

 x = 1 + cos t
Lời giải. Đặt
y = sin t
I=
Z2π
0
Bài tập 4.2. Tính
Z
C
Lời giải.
, 0 6 t 6 2π
(1 + cos t − sin t)
⇒I=
Z p
C
(− sin t)2 + cos2 tdt = 2π

 x = a (t − sin t)
2
y ds, C là đường cong
y = a (1 − cos t)

 x ′ (t) = a (1 − cos t)
y′ (t) = a sin t
Bài tập 4.3. Tính
q
Z2π
0
⇒
q
, 0 6 t 6 2π, a > 0.
x ′2 (t) + y′2 (t) = 2a sin
t
2
256a3
t
.
a2 (1 − cos t)2 .2a sin dt =
2
15

 x = a (cos t + t sin t)
x2 + y2 ds, C là đường
y = a (sin t − t cos t)
144
, 0 6 t 6 2π, a > 0.
1. Tích phân đường loại I
Lời giải.
⇒I=
Z2πr
a2
0
h
145

 x ′ (t) = at cos t
y′ (t) = at sin t
⇒
q
x ′2 (t) + y′2 (t) = at
i
a3
(cos t + t sin t) + (sin t − t cos t) .atdt =
3
2
2
q
3
(1 + 4π 2 )
−1
Bài tập 4.4. Tính tích phân đường
I=
Z 4
3
x +y
L
4
3
ds,
trong đó L là đường Astroid x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0).
y
2
2
2
O
x
Hình 4.4

 x = a cos3 t,
[Gợi ý] Tham số hóa đường cong
y = a sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0)
và dựa vào tính đối
xứng của đường cong và hàm dưới dấu tích phân để tính I. Đáp số: I = 4a 3 .
Bài tập 4.5. Tính
I=
Z
( x2 + y2 + z2 )ds,
γ
trong đó γ là đường xoắn ốc cho bởi phương trình tham số




 x = a cos t,
y = b sin t,



z = bt, (0 ≤ t ≤ 2π, a, b > 0).
√
[Đáp số] I = 2π a2 + b2 a2 + 34 π 2 b2
145
7
146
Chương 4. Tích phân đường
1.5 Bài tập ôn tập
Bài tập 4.6. Tính độ dài các cung sau đây.
a) x 3 + y 3 = a 3 ( a > 0).
2
2
2
y
O
x
Hình 4.6a
b) y2 = 2px, x ∈ [0, a], p > 0, a > 0.
c) x = cos4 t, y = sin4 t.
d) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π ).
Bài tập 4.7. Tính các tích phân đường loại I.
a) I =
b) I =
Z
Z
L
L
xyds, trong đó L là cung ellip
x2
a2
+
y2
b2
= 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất.
|y|ds, trong đó L là đường Cardioid r = a(1 + cos ϕ) ( a > 0).
y
a
O
2a
x
−a
Hình 4.7b
c) I =
Z
L
|y|ds, trong đó L là cung Lemniscate ( x2 + y2 )2 = a2 ( x2 − y2 ).
146
1. Tích phân đường loại I
147
y
r=a
p
2 cos 2ϕ
x
O
Hình 4.7c
d) I =
e) I =
Z p
L
Z
L
x2 + y2 ds, trong đó L đường tròn x2 + y2 = ax.
x2 ds, trong đó L là đường tròn x2 + y2 + z2 = a2 , x + y + z = 0.
Bài tập 4.8 (Cuối kì, K62). Tính các tích phân đường
a)
Z
b)
( x + y)ds,
C
Z
C
( x − y)ds,
ở đó C là đường tròn có phương trình x2 + y2 = 2y.
147
148
Chương 4. Tích phân đường
§2. TÍCH
PHÂN ĐƯỜNG LOẠI
II
2.1 Định nghĩa và tính chất
Bài toán dẫn đến tích phân đường loại hai
Cho F( x, y) = P( x, y)i + Q( x, y)j là một trường lực biến đổi liên tục trên R2 . Tính công
thực hiện bởi lực này để di chuyển một hạt dọc theo đường cong C.
Định nghĩa
Cho hai hàm số P ( x, y) , Q ( x, y) xác định trên cung C cho bởi phương trình véc tơ
r(t) = x (t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b.
• Chia đoạn [ a, b] thành n đoạn bằng nhau a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Khi đó, Pi ( xi , yi )
sẽ chia C thành n cung nhỏ.
• Chọn Pi∗ ( xi∗ , yi∗ ) ứng với ti∗ . Khi đó, công thực hiện bởi lực F để di chuyển hạt từ Pi−1
đến Pi được xấp xỉ bởi
[F( xi∗ , yi∗ ) · T(ti∗ )]∆si ,
ở đó T(ti∗ ) là véc tơ tiếp tuyến đơn vị.
• Toàn bộ công sẽ được xấp xỉ bởi
n
∑ [F( xi∗ , yi∗ ) · T(ti∗ )]∆si .
i =1
• Xấp xỉ này càng tốt nếu ta chia đường cong C càng nhỏ, do đó, ta định nghĩa công
thực hiện bởi lực F là giới hạn
n
W = lim
n→+∞
∑ [F( xi∗ , yi∗ ) · T(ti∗ )]∆si =
i =1
148
Z
C
F( x, y)T( x, y)ds.
2. Tích phân đường loại II
149
Định nghĩa 4.13. Cho F là một trường véc tơ xác đinh trên đường cong C trơn cho bởi
phương trình véc tơ r(t) = x (t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b. Tích phân đường loại II của F dọc theo
đường cong C là
Z
C
Chú ý 4.12. Vì T(t) =
Z
C
F · dr =
Z
C
F · dr =
Z
C
F · Tds.
p
r′ (t)
và |r′ (t)| = x ′ (t)2 + y′ (t)2 nên
′
|r (t)|
F · Tds =
Zb
q
F( x, y) · T( x, y) x ′ (t)2 + y′ (t)2 dt
=
Zb
F( x, y) · r′ (t)dt
Zb
( P( x (t), y(t)), Q( x (t), y(t))) · ( x ′ (t), y′ (t))dt
a
a
=
a
=
=
Zb Za
(4.16)
P( x (t), y(t)) x ′ (t) + Q( x (t), y(t))y′ (t) dt
P( x, y)dx + Q( x, y)dy
(xem lại (4.4), (4.5)).
C
Các tính chất cơ bản
• Mặc dù
Z
C
F · dr =
Z
C
F · Tds và tích phân đường loại I không phụ thuộc vào hướng
của đường cong, tích phân đường loại hai lại phụ thuộc vào hướng của đường cong,
Z
−C
P ( x, y) dx + Q ( x, y) dy = −
Z
P ( x, y) dx + Q ( x, y) dy.
C
Lý do là véctơ tiếp tuyến đơn vị T sẽ được thay thế bởi −T nếu C được thay bởi −C.
• Tích phân đường loại hai có các tính chất giống như tích phân xác định, đó là tính
chất tuyến tính và tích chất cộng tính.
149
150
Chương 4. Tích phân đường
2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II

 x = x (t)
1. Nếu cung C được cho bởi phương trình
y = y (t)
, điểm đầu và điểm cuối tương
ứng với t = a, t = b thì
Z
Pdx + Qdy =
Zb a
C
P ( x (t) , y (t)) .x ′ (t) + Q ( x (t) , y (t)) y′ (t) dt.
(4.17)
2. Nếu cung C được cho bởi phương trình y = y ( x ), điểm đầu và điểm cuối ứng với
x = a, x = b thì
Z
Pdx + Qdy =
Zb a
C
P ( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x )) .y′ ( x ) dx.
(4.18)
3. Nếu cung C được cho bởi phương trình x = x (y), điểm đầu và điểm cuối ứng với
y = c, y = d thì
Z
Pdx + Qdy =
C
Zd c
P( x (y), y).x ′ (y) + Q( x (y), y) dy.
(4.19)
2.3 Tích phân đường trong không gian
Cho C là một đường cong trơn trong không gian cho bởi phương trình véctơ
r(t) = x (t)i + y(t)j + z(t)k, a ≤ t ≤ b
và F = Pi + Qj + Rk là một trường véctơ liên tục trên một miền nào đó của R3 chứa C.
Tích phân đường của trường véctơ F dọc theo đường cong C được định nghĩa hoàn toàn
tương tự như đã làm trong mặt phẳng
Z
=
C
Zb
F · dr
F(r(t))|r′ (t)|dt
(4.20)
a
=
=
Zb
Za
[ P( x (t), y(t), z(t)) x ′ (t) + Q( x (t), y(t), z(t))y′ (t) + R( x (t), y(t), z(t))z′ (t)]dt
Pdx + Qdy + Rdz
(xem lại (4.13), (4.14), (4.15)).
C
150
2. Tích phân đường loại II
151
2.4 Bài tập
Bài tập 4.9. Tính
Z
c
AB
A (1, 1) đến B (2, 4).
c là cung parabol y = x2 từ
x2 − 2xy dx + 2xy − y2 dy, trong đó AB
Lời giải. Áp dụng công thức (5) ta có:
I=
Z2 h
1
Bài tập 4.10. Tính
Z
i
41
x2 − 2x3 + 2x3 − x4 .2x dx = − .
30
x2 − 2xy dx + 2xy − y2 dy trong đó C là đường cong xác định bởi
 C
 x = a(t − sin t)
một nhịp cycloid
y = a(1 − cos t)
theo chiều tăng của t, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0.
y
y
(πa, 2a)
a
y
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)
θ
x
m
2πa
aθ

 x ′ (t) = a(1 − cos t)
Lời giải. Ta có
y′ (t) = a sin t
I=
Z2π
0
x
Hình 4.10
O
nên:
{[2a(t − sin t) − a(1 − cos t)] a(1 − cos t) + a(t − sin t).a sin t} dt
2
Z2π
[(2t − 2) + sin 2t + (t − 2) sin t − (2t − 2) cos t]dt
= a2
Z2π
[(2t − 2) + t sin t − 2t cos t]dt
=a
n
0
0
= a2 4π 2 − 6π .
151
A
2πa
x
152
Chương 4. Tích phân đường
Z
Bài tập 4.11. Tính
ABCA
2 x2 + y2 dx + x (4y + 3) dy ở đó ABCA là đường gấp khúc đi
qua các điểm A(0, 0), B(1, 1), C (0, 2).
y
C
B
1
O
A
Lời giải. Ta có
I=
=
Z
AB
Z1
0
... +
Z
BC









x
1
Hình 4.11
phương trình đường thẳng AB : x = y
phương trình đường thẳng BC : x = 2 − y nên
phương trình đường thẳng CA : x = 0
... +
Z
...
CA
Z2 h
i
i
h 2
2
2 y + y + y (4y + 3) dy + 2 (2 − y)2 + y2 . (−1) + (2 − y) (4y + 3) dy + 0
1
=3
Bài tập 4.12. Tính
Z
ABCDA
dx +dy
| x |+|y|
trong đó ABCDA là đường gấp khúc qua các điểm
A(1, 0), B(0, 1), C (−1, 0), D (0, −1).
y
1 B
C
O
1
A
x
D
Lời giải. Ta có
Hình 4.12


AB : x + y = 1




 BC : x − y = −1


CD : x + y = −1




DA : x − y = 1
152
⇒dx + dy = 0
⇒dx = dy
⇒dx + dy = 0
⇒dx = dy
2. Tích phân đường loại II
153
nên
I=
Z
... +
AB
= 0+
Z
BC
=
Z
... +
BC
Z
... +
CD
2dx
+0+
x+y
Z−1
2dx +
0
Z1
Z
DA
Z
DA
2dx
x−y
2dx
0
=0

√


x
=
t
sin
t

Z √

4
√
x 2 + y2
dx + dy trong đó y = t cos t theo chiều tăng của t.
Bài tập 4.13. Tính
2



C
0 ≤ t ≤ π 2
4


 x = u2 sin u
 x ′ (u) = 2u sin u + u2 cos u
√
Lời giải. Đặt u = t⇒0 ≤ u ≤ π,
⇒
y = u2 cos u
y′ (u) = 2u cos u − u2 sin u
π
I=
Z2 h u
0
=
2
Zπ 3
u
0
2
2
2
i
2u sin u + u cos u + 2u cos u − u sin u du
+ 2u cos udu
3
= − π2 + 2
2
Bài tập 4.14 (Cuối kì, K62). Tính các tích phân đường
a)
H
L
b)
| x |(dx + dy),
H
L
|y|(dx + dy),
ở đó L là đường tròn x2 + y2 = 1 hướng ngược chiều kim đồng hồ.
2.5 Công thức Green.
Hướng dương của đường cong kín: Nếu đường lấy tích phân là đường cong kín thì
ta quy ước hướng dương của đường cong là hướng sao cho một người đi dọc theo đường
cong theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía
bên trái.
153
154
Chương 4. Tích phân đường
y
D
C
x
O
Giả sử D ⊂ R2 là miền đơn liên, liên thông, bị chặn với biên giới ∂D là đường cong kín với
hướng dương, hơn nữa P, Q cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D.
Khi đó
Z
ZZ ∂Q ∂P Pdx + Qdy =
−
dxdy
∂x
∂y
D
C
Chú ý:
• Nếu ∂D có hướng âm thì
Z
C
Pdx + Qdy = −
ZZ ∂Q
D
∂P −
dxdy
∂x
∂y
• Trong nhiều bài toán, nếu C là đường cong không kín, ta có thể bổ sung C để được
đường cong kín và áp dụng công thức Green. Tất nhiên, sau đó phải trừ đi phần đã
bổ sung.
Bài tập 4.15. Tính các tích phân sau
Z
C
( xy + x + y) dx + ( xy + x − y) dy bằng hai cách:
tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là đường:
a) x2 + y2 = R2
y
x
O
Hình 4.15 a
154
2. Tích phân đường loại II
155
1. Tính trực tiếp.
Tham
số hóa đường cong

 x = R cos t
⇒0 ≤ t ≤ 2π.
y = R sin t
2. Sử dụng công thức Green.

 P( x, y) = xy + x + y
 Q( x, y) = xy + x − y
Ta có
Ta có
∂Q
∂x
I=
I = ...
R3
=
2
−
Z2π
(cos t cos 2t + sin t cos 2t) dt
=
0
∂P
∂y
ZZ
D
ZZ
D
= y − x,
(y − x ) dxdy
ydxdy −
ZZ
xdxdy
D
= 0.
= 0.
b) x2 + y2 = 2x
y
x
O
Hình 4.15 b
1. Tính trực tiếp.
Vì x2 + y2 = 2x ⇔ ( x − 1)2 + y2 = 1
nên
 tham số hóa đường cong
 x = 1 + cos t
, 0 ≤ t ≤ 2π
y = sin t
ta được
I=
Z2π
[(1 + cos t) sin t + (1 + cos t) + sin t]
0
× (− sin t)dt
+
Z2π
0
[(1 + cos t) sin t + (1 + cos t) − sin t]
× cos tdt
2. Sử dụng
 công thức Green.


P( x, y) = xy + x + y


Ta có Q( x, y) = xy + x − y



 ∂Q − ∂P = y − x
∂x
ZZ
I=
( x − 1 ) 2 + y 2 61
π
I=
Z2
dϕ
= −π.
155
(y − x ) dxdy.

 x = r cos ϕ
Đặt
y = r sin ϕ
− π2
= −π.
∂y
2Z
cos ϕ
0
,−
π
π
≤ϕ≤
2
2
(r sin ϕ − 1 − r cos ϕ)rdr
156
c)
Chương 4. Tích phân đường
x2
a2
+
y2
b2
= 1, ( a, b > 0).
1. Tính trực tiếp

 x = a cos t
Đặt
y = b sin t
I = ...
=
Z2π
0




0 ≤ t ≤ 2π
⇒ x ′ (t) = − a sin t



y′ (t) = b cos t
2
2. Sử
 dụng công thức Green
 P( x, y) = xy + x + y
 Q( x, y) = xy + x − y
⇒ ∂Q
∂x −
= y−x
⇒I =
2
∂P
∂y
− ab sin t + ab cos t dt
=
ZZ
D
ZZ
D
= 0.
(y − x ) dxdy
ydxdy −
ZZ
xdxdy
D
= 0.
Z
Bài tập 4.16. Tính
x2 y +
x
4
x2 +y2 =2x
dy − y2 x +
y
4 dx.
y
x
O
Hình 4.16
Lời giải. Áp dụng công thức Green ta có:
Z Z Z
∂Q ∂P
3 2
3 2 3 2
2
I=
−
dxdy =
4xy + x + y dxdy =
x + y dxdy.
∂x
∂y
4
4
4
D

 vì
Z
D
D

4xydxdy = 0.
D
 x = r cos ϕ
Đặt
y = r sin ϕ
, ta có − π2 ≤ ϕ ≤
π
I=
3
4
Z2
− π2
dϕ
π
2,0
≤ r ≤ 2 cos ϕ. Vậy
π
2Z
cos ϕ
r2 .rdr =
0
156
3
4
Z2
− π2
4 cos4 ϕ =
9
π.
8
2. Tích phân đường loại II
Bài tập 4.17. Tính
H
OABO
157
e x [(1 − cos y) dx − (y − sin y) dy] trong đó OABO là đường gấp
khúc O(0, 0), A(1, 1), B(0, 2)
y
B
A
1
O
x
1
Hình 4.17

 P ( x, y) = e x (1 − cos y)
Lời giải. Đặt
 Q ( x, y) = −e x (y − sin y)
⇒ ∂Q
∂x −
∂P
∂y
= −e x y.
Áp dụng công thức Green ta có:
I=
=
ZZ
D
Z1
−e x ydxdy
dx
x
0
=
1
2
2Z− x
Z1
0
−e x ydy
e x (4x − 4) dx
= 4 − 2e.
Bài tập 4.18. Tính
H
x2 +y2 =2x
( xy + e x sin x + x + y) dx − ( xy − e−y + x − sin y) dy
y
x
O
Hình 4.18
157
158
Chương 4. Tích phân đường

 P ( x, y) = xy + e x sin x + x + y
Lời giải. Đặt
 Q ( x, y) = xy − e−y + x − sin y
⇒ ∂Q
∂x −
∂P
∂y
= −y − x − 2.
Áp dụng công thức Green ta có:
I=
=
ZZ
D
ZZ
D
−y − x − 2dxdy
− x − 2dxdy vì

 x = r cos ϕ
đặt
y = r sin ϕ
π
=
Z2
dϕ
− π2
ZZ
ydxdy = 0
D
⇒−
π
π
≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ
2
2
2Z
cos ϕ
0
(−r cos ϕ − 2) rdr
= −3π.
3
H
xy4 + x2 + y cos xy dx + x3 + xy2 − x + x cos xy dy
Bài tập 4.19. Tính
C

 x = a cos t
trong đó C
( a > 0).
y = a sin t
y
O
x
Hình 4.19

 P ( x, y) = xy4 + x2 + y cos xy
Lời giải. Đặt
 Q ( x, y) = x3 + xy2 − x + x cos xy
3
158
⇒ ∂Q
∂x −
∂P
∂y
= x2 + y2 − 4xy3 − 1.
2. Tích phân đường loại II
159
Áp dụng công thức Green ta có:
I=
=
ZZ
x2 + y2 − 4xy3 − 1dxdy
D
ZZ
D

 x = r cos ϕ
đặt
y = r sin ϕ
=
Z2π
0
=π
ZZ
x2 + y2 − 1dxdy vì
Za dϕ
0
4
a
2
4xy3 dxdy = 0
D
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ra
r2 − 1 rdr
−a
2
.
2.6 Ứng dụng của tích phân đường loại II
Áp dụng công thức Green cho hàm số P( x, y), Q( x, y) thoả mãn
S (D) =
ZZ
1dxdy =
D
• Lấy P( x, y) = 0, Q( x, y) = x thì S ( D ) =
• Lấy P( x, y) =
=
1
2y
∂D
= 1 ta có:
Pdx + Qdy.
Z
∂D
1
2
−ydx.
Z
∂D
x2
a2
∂P
∂y
xdy.
thì S ( D ) =
Bài tập 4.20. Tính diện tích của miền elip
−
∂D
Z
• Lấy P( x, y) = −y, Q( x, y) = 0 thì S ( D ) =
1
2 x, Q ( x, y )
Z
∂Q
∂x
+
y2
b2
xdy − ydx.
≤ 1.
[Gợi ý] Phương trình tham số của đường elip là x = a cos θ, y = b sin θ. Do đó
1
S=
2
I
1
xdy − ydx =
2
C
Z2π
0
( a cos θ )(b sin θ )dθ − (b sin θ )(− a sin θ )dθ = πab.
Bài tập4.21. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp
 x = a(t − sin t)
và Ox ( a > 0).
cycloid
y = a(1 − cos t)
159
160
Chương 4. Tích phân đường
y
y
(πa, 2a)
a
y
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)
θ
x
m
x
2πa
aθ
n
O
A
2πa
Hình 4.21
Lời giải. Áp dụng công thức
S( D ) =
Z
∂D
xdy =
Z
AmO
xdy +
Z
xdy =
Z0
2π
OnA
a (t − sin t) .a sin tdt = 3πa2 .
Bài tập 4.22. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi đường
Astroid x = cos3 t, y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π.
y
O
x
Hình 4.6a
[Đáp số] S =
3πa2
8 .
Bài tập 4.23. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi đường
sau
a) x2 + y3 = 3axy, a > 0 (lá Descartes, xem thêm Bài tập 2.58).
160
x
2. Tích phân đường loại II
161
y
1
2
1
2
O
x
TCX: y = − x − 31
Hình 4.23a
b) x4 + y4 = a2 ( x2 + y2 ).
y
r2 =
O
a2
cos4 ϕ+sin4 ϕ
x
Hình 4.23b
2.7 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc
đường lấy tích phân.
Giả sử rằng D là miền đơn liên, liên thông, P, Q cùng với các đạo hàm riêng cấp một
của chúng liên tục trên D. Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương:
1)
∂Q
∂P
=
với mọi ( x, y) ∈ D.
∂x
∂y
2)
Z
Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong đóng kín L nằm trong D.
Z
Pdx + Qdy không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B, với mọi đường cong AB nằm
L
3)
AB
trong D.
161
162
Chương 4. Tích phân đường
4) Pdx + Qdy là vi phân toàn phần. Nghĩa là có hàm số u( x, y) sao cho du = Pdx + Qdy.
Hàm u có thể được tìm theo công thức:
u( x, y) =
Zx
P( x, y0 )dx +
Zy
Q( x, y)dy =
P( x, y)dx +
Zy
Q( x0 , y)dy
y0
x0
y0
x0
Zx
Giải bài toán tính tích phân đường không phụ thuộc đường đi:
1) Kiểm tra điều kiện Py = Q x .
′
′
(1)
2) Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và đường lấy tích phân là đường cong kín thì I = 0.
3) Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và cần tính tích phân trên cung AB không đóng
thì ta chọn đường tính tích phân sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất, thông
thường ta chọn là đường thẳng nối A với B, hoặc đường gấp khúc có các cạnh song
song với các trục toạ độ. Mặt khác, nếu tìm được hàm u sao cho du = Pdx + Qdy, hay
là
−−→
F = ( P, Q) = gradu = (u′x , u′y )
thì I = u( B) − u( A).
Bài tập 4.24. Tính
(Z3,0)
(−2,1)
x4 + 4xy3 dx + 6x2 y2 − 5y4 dy.
y
−2
B
x
O
−1
A
C
Hình 4.24
′
′
Lời giải. Nhận xét rằng x4 + 4xy3 y = 6x2 y2 − 5y4 x nên tích phân đã cho không phụ
thuộc vào đường đi. Vậy ta chọn đường đi là đường gấp khúc ACB như hình vẽ.
I=
Z
AC
Pdx + Qdy +
Z
CB
162
Pdx + Qdy = 62.
2. Tích phân đường loại II
Bài tập 4.25. Tính
2,π )
(Z
(1,π )
163
1−
y2
x2
y
y
y
y
cos x dx + sin x + x cos x dy.
y
B
2π
π
A
O

 P = 1 − y2 cos y
x
x2
Lời giải. Đặt
y
y
 Q = sin + cos y
x
x
x
1 2 x
Hình 4.25
⇒ ∂P
∂y =
∂Q
∂x
y
= − 2y
cos x +
x2
y2
x3
sin x nên tích phân đã
y
cho không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B. Khi đó ta chọn đường lấy tích phân là
đường thẳng AB, nó có phương trình y = πx.
I=
Z2 1
2
1 − π cos π dx +
Z2
(sin π + π cos π ) πdx = 1.
1
Bài tập 4.1. [Cuối kì, K62] Chứng minh rằng nếu f (u) là một hàm số cùng với đạo hàm
của nó liên tục trên R và L là đường đi từ O(0, 0) đến A( a, b) thì
Z
f ( x + y)(dx + dy) =
aZ+b
f (u)du.
0
L
2.8 Tích phân đường (trong không gian) không phụ
thuộc đường đi
Cho Ω ⊂ R3 là miền đơn liên, liên thông, F = Pi + Qj + Rk là một trường véctơ thỏa
mãn P, Q, R cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên Ω. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
1)
Z
AB
F · dr =
Z
Pdx + Qdy + Rdz không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B, với mọi
AB
đường cong AB nằm trong Ω.
163
164
Chương 4. Tích phân đường
2) F là một trường bảo toàn (hay còn gọi là trường thế), nghĩa là có hàm số u( x, y, z) sao
cho
−−→
(1) gradu
= (u′x , u′y , u′z ) = F.
Hàm thế vị u có thể được tìm theo công thức:
u=
Zx
P(t, y0 , z0 )dt +
Z
Q( x, t, z0 )dt +
AB
F · dr =
Z
AB
Zz
R( x, y, t)dt + C.
(4.21)
z0
y0
x0
Khi đó,
Zy
Pdx + Qdy + Rdz = u( B) − u( A).
2.9 Tích phân đường không phụ thuộc đường đi và
định luật bảo toàn năng lượng
Chúng ta áp dụng các kiến thức đã biết trong chương này để liên hệ với định luật bảo
toàn năng lượng trong Vật lý. Cho F là một trường lực liên tục, để di chuyển một vật dọc
theo đường cong C cho bởi r = r(t), a ≤ t ≤ b, ở đó điểm đầu A = r( a) và điểm cuối
B = r(b). Trước hết, theo định luật II Newton, lực F và gia tốc a(t) = r′′ (t) được liên hệ với
nhau bởi công thức
F(r(t)) = mr′′ (t).
Do đó, công thực hiện bởi lực F là
W=
Z
C
F · dr =
Zb
F(r(t)) · r ′ (t)dt
=
Zb
mr′′ (t) · r′ (t)dt
a
a
m
=
2
Zb
d ′
[r (t) · r′ (t)]dt
dt
m
=
2
Zb
d ′
|r (t)|2 dt
dt
a
(4.22)
a
m ′
|r (b)|2 − |r′ ( a)2 |
=
2
m
m
= |v(b)|2 − |v( a)|2 ,
2
2
(1) Trong
−−→
các tài liệu tiếng Anh, véctơ gradient gradu của trường vô hướng u thường được kí hiệu là ▽u
164
2. Tích phân đường loại II
165
ở đó v(t) = r′ (t) là vận tốc. Đại lượng K (t) = m2 |v(t)|2 được gọi là động năng của vật
(kinetic energy). Do đó, công thức (4.22) có thể được viết lại thành
W = K ( B ) − K ( A ),
nghĩa là, công thực hiện bởi lực F để di chuyển một vật dọc theo đường cong C thì bằng với
sự thay đổi động năng của vật đó tại hai điểm đầu và cuối. Bây giờ, giả thiết thêm trường
véctơ F là một trường lực bảo toàn(2) (conservative forced field), nghĩa là
−−→
F = gradu = (u′x , u′y , u′z ).
Trong Vật lý, thế năng (potential energy)(3) của một vật được định nghĩa bởi
φ( x, y, z) = −u( x, y, z)(4) .
−−→
Do đó F = −gradφ và
W=
Z
C
Từ (4.22) và (4.23) ta có
F · dr = φ( A) − φ( B).
(4.23)
K ( B) − K ( A) = φ( A) − φ( B) ⇒ φ( A) + K ( A) = φ( B) + K ( B) .
Nói cách khác, nếu một vật di chuyển từ một điểm A đến một điểm B dưới tác dụng của
một trường lực bảo toàn thì tổng động năng và thế năng của nó luôn luôn là một hằng số.
Đây chính là Định luật bảo toàn năng lượng trong Vật lý.
Chú ý 4.13. Định luật bảo toàn năng lượng trong tiếng Anh là the Law of Conservation
of Energy. Đó là lý do vì sao trường thế F trong tiếng Anh được gọi là the conservative
field. Thuật ngữ trường thế trong tiếng Việt (xem Chương 6) có lẽ xuất phát từ việc nó là
−−→
gradient của một hàm thế vị (potential function) F = gradu. Một trong những trường lực
bảo toàn ai cũng biết (hoặc ít nhất đã từng nghe nói đến), là trường hấp dẫn. Trường hấp
dẫn g xung quanh một hạt khối lượng M là một trường vectơ mà tại mỗi điểm chứa một
vectơ chỉ theo hướng ra xa khỏi hạt. Độ lớn của trường tại mỗi điểm được tính bằng định
luật của Newton, và miêu tả lực trên một đơn vị khối lượng tác động lên một vật thể bất
kỳ nằm tại điểm đó trong không gian. Phương trình trường hấp dẫn là
g=
(2) Còn
−−→
d2 R
T
F
= − 2 = − GM 2 = −gradφ,
m
dt
|R|
gọi là trường thế
nhiều tài liệu, thế năng
véctơ lực bảo toàn F được định nghĩa, một cách tương
Z r
Z r của một trường
F · dr là tích phân đường không phụ thuộc đường đi cụ thể
F · dr, ở đó
đương, như sau: φ(r) = φ(r0 ) +
(3) Trong
r0
r0
từ r0 đến r và φ(r0 ) là giá trị thế năng quy ước ở mốc r0 . Đôi khi, khái niệm hiệu thế năng thường được dùng
khi so sánh thế năng giữa hai điểm, hoặc nói về thế năng của một điểm khi lấy điểm kia là mốc có thế năng
bằng 0.
(4) Dấu trừ trong công thức này để cho công thực hiện bởi lực F làm giảm thế năng
165
166
Chương 4. Tích phân đường
ở đó F là lực hấp dẫn, m là khối lượng của hạt thử, R là vị trí của hạt thử, T là véctơ tiếp
tuyến đơn vị theo hướng của R, t là thời gian và G là hằng số hấp dẫn.
Nếu chỉ tính về mặt độ lớn, thì theo Định luật này, vật có khối lượng m sẽ bị kéo về gần
vật có khối lượng M với gia tốc
GM
g= 2 ,
r
với r là khoảng cách giữa hai vật. Cũng theo Định luật II Newton, vật có khối lượng m
chịu lực hấp dẫn có độ lớn
GMm
.
F = mg ⇒ F =
r2
Công thức được đóng khung trên thường được gọi là định luật vạn vật hấp dẫn Newton,
trong đó lực hấp dẫn tỷ lệ thuận với tích của hai khối lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương
khoảng cách hai vật. Trong công thức này, kích thước các vật được coi là rất nhỏ so với
khoảng cách giữa chúng.
166
CHƯƠNG
TÍCH
§1. TÍCH
PHÂN MẶT LOẠI
5
PHÂN MẶT
I
1.1 Diện tích mặt cong
Xét mặt cong cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.
Để đơn giản ta chọn miền D là hình chữ nhật và chia D thành các hình chữ nhật con có
các cạnh song song với các trục tọa độ Ou và Ov. Giả sử Sij là ảnh của hình chữ nhật Rij .
Khi đó
ru = ru (ui , v j ) và rv = rv (ui , v j )
167
168
Chương 5. Tích phân mặt
là các véc tơ chỉ phương của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S tại điểm Pij .
−−−−→
Diện tích của Sij có thể được xấp xỉ bởi diện tích của hình bình hành có hai cạnh là Pij Pi+1,j
−−−−→
và Pij Pi,j+1 . Do đó,
−−−−→ −−−−→
A(Sij ) ≈ | Pij Pi+1,j ∧ Pij Pi,j+1 | ≈ |(∆uru ) ∧ (∆vrv )| = |ru ∧ rv |∆u∆v.
Vậy công thức tính xấp xỉ diện tích của mặt S là
m
n
∑ ∑ |ru ∧ rv |∆u∆v.
i =1 j =1
Nhận xét rằng nếu chia miền D thành các mảnh càng nhỏ thì công thức tính xấp xỉ
trên
càng tốt. Đồng thời, công thức ở vế phải chính là tổng Riemann của tích phân kép
ZZ
D
|ru ∧ rv |dudv. Điều này dẫn chúng ta tới định nghĩa sau:
Định nghĩa 5.14. Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D ⊂ R2
và S chỉ được phủ một lần khi (u, v) biến thiên trên miền D. Khi đó diện tích của mặt cong
S được định nghĩa bởi
ZZ
A=
D
ở đó
ru =
|ru ∧ rv |dudv,
∂x
∂y
∂z
i+
j+
k,
∂u
∂u
∂u
rv =
∂x
∂y
∂z
i + j + k.
∂v
∂v
∂v
Ví dụ 1.1. Tính diện tích của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 .
168
1. Tích phân mặt loại I
169
[Lời giải] Mặt cầu S có phương trình tham số trong tọa độ cầu là
Do đó,




 x = R sin θ cos ϕ,
y = R sin θ sin ϕ,



z = R cos θ.
i
j
k
rθ ∧ r ϕ = R cos θ cos ϕ R cos θ sin ϕ − R sin θ
− R sin θ sin ϕ R sin θ cos ϕ
0
= R2 sin2 θ cos ϕi + R2 sin2 θ sin ϕj + R2 sin θ cos θk.
Vì vậy, |rθ ∧ r ϕ | = R2 sin θ và
A=
Z2π
dϕ
0
Zπ
R2 sin θdθ = 4πR2 .
0
Trường hợp đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z( x, y) thì
r x ∧ ry = (−z′x , −z′y , 1).
Do đó,
A=
ZZ q
1 + (z′x )2 + (z′y )2 dxdy.
D
1.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I
Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D ⊂ R2
Hơn nữa, giả sử trên S có phân phối một khối lượng vật chất với mật độ (hay tỉ trọng bề
mặt) tại điểm ( x, y, z) là ρ( x, y, z), trong đó ρ( x, y, z là một hàm số liên tục trên S. Hãy tính
khối lượng mặt S.
[Lời giải] Tương tự như cách tính diện tích mặt S, ta chia miền D thành các miền con
bằng các đường song song với các trục tọa độ trong mặt phẳng Ouv. Khi đó mặt S được
chia thành các mặt con Sij và diện tích của nó được xấp xỉ bởi
A(Sij ) ≈ |ru ∧ rv |∆u∆v.
Do tính liên tục của ρ, nếu ta chia miền D thành các miền khá nhỏ thì miền Sij cũng khá
nhỏ và ta coi hàm ρ không đổi trên Sij và bằng ρ( x (ui∗ , v∗j ), y(ui∗ , v j ∗), z(ui∗ , v∗j )) = ρ( Pij∗ ).
Khi đó khối lượng của Sij là
m(Sij ) ≈ ρ( Pij∗ )|ru ∧ rv |∆u∆v
169
170
Chương 5. Tích phân mặt
Khối lượng của toàn bộ mặt S là
n
m(S) ≈
m
∑ ∑ ρ( Pij∗ )|ru ∧ rv |∆u∆v
i =1 j =1
Đây chính là tổng Riemann của tích phân kép
ZZ
D
Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây.
f ( x (u, v), y(u, v), z(u, v))|ru ∧ rv |dudv.
Định nghĩa 5.15. Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D ⊂ R2 ,
và f là một hàm số xác định trên S. Nếu tồn tại tích phân
ZZ
D
f ( x (u, v), y(u, v), z(u, v))|ru ∧ rv |dudv
thì ta gọi giá trị của tích phân này là tích phân mặt loại một của hàm f lấy trên S và kí
hiệu là
ZZ
f ( x, y, z)dS.
S
1.3 Các công thức tính tích phân mặt loại I
Mặt S cho bởi phương trình tham số
Nếu mặt S cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
thì
ZZ
S
f ( x, y, z)dS =
ZZ
D
(u, v) ∈ D ⊂ R2 ,
f ( x (u, v), y(u, v), z(u, v))|ru ∧ rv |dudv.
170
1. Tích phân mặt loại I
171
Mặt S cho bởi phương trình z = z( x, y)
Nếu mặt S được cho 
bởi phương trình z = z( x, y), ( x, y) ∈ D ⊂ R2 , thì đó nó có một



 x = u,
tham số hóa tự nhiên là y = v,



z = z(u, v).
Khi đó, ru = (1, 0, z′u ), rv = (0, 1, z′v ) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là
i j k
ru ∧ rv = 1 0 z′u = (−z′u , −z′v , 1) = (−z′x , −z′y , 1).
0 1 z′v
Vậy |ru ∧ rv | =
q
1 + (z′x )2 + (z′y )2 . Ngoài ra, miền xác định của (u, v) chính là hình chiếu
của S lên mặt phẳng Oxy. Do đó
ZZ
f ( x, y, z)dS =
ZZ
D
S
q
f ( x, y, z( x, y)) 1 + (z′x )2 + (z′y )2 dxdy.
1.4 Bài tập
Bài tập 5.1. Tính
ZZ z + 2x +
4y
3
S
dS trong đó
o
n
x y z
S = ( x, y, z) | + + = 1, x > 0, y > 0, z > 0 .
2 3 4
z
C
O
B
y
A
x
Hình 5.1
Lời giải. Ta có hình chiều của mặt S lên mặt phẳng Oxy là
n
o n
x y
x o
D = ( x, y) | + 6 1, x > 0, y > 0 = ( x, y) |0 6 x 6 2, 0 6 y 6 3 1 −
.
2 3
2
171
172
Chương 5. Tích phân mặt
Mặt khác z = 4(1 −
I=
x
2

 p = z ′ = −2
x
y
− 3 )⇒
′
q = z = 4
y
3
ZZ D
x y
4y
4 1− −
+ 2x +
2 3
3
Bài tập 5.2. Tính
ZZ
⇒dS =
p
1 + p2 + q2 dxdy =
√
61
3 dxdy
nên
3Z− 3x
√ Z2
2
√
61
61
dxdy = 4
dx
dy = 4 61.
3
3
√
0
0
x2 + y2 dS, S = ( x, y, z) |z = z2 + y2 , 0 6 z 6 1 .
S
z
1
−1
O
1
y
x
Hình 5.2
Lời giải. Ta có hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D = ( x, y) | x2 + y2 6 1 .
172
1. Tích phân mặt loại I
173

 p = z′ = 2x
x
2
2
Mặt khác, z = x + y ⇒
′
q = z = 2y
nên
y
I=
ZZ 2
x +y
2
D
q

 x = r cos ϕ
đặt
y = r sin ϕ
Z2π
dϕ
π
4
Z1
π
=
4
Z5
I=
0
=
=
Z1
0
r2
0
1
π
16
p
p
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1
1 + 4r2 rdr
1 + 4r2 d 1 + 4r2
t − 1√ tdt đặtt = 1 + 4r2
4
!
√
20 5
4
.
+
3
15
Bài tập 5.3. Tính tích phân mặt
ZZ
x2 y2 zdS, trong đó S là phần mặt nón z =
S
dưới mặt phẳng z = 1.
[Đáp số] I =
r2
1 + 4x2 + 4y2 dxdy,
ZZ
dS
, ở đó S là biên của tứ
(2 + x + y + z )2
ZZ
f ( x, y, z)dS,
S
diện x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.
Lời giải. Ta có
I=
ZZ
f ( x, y, z)dS + 3
D
S1
i)
ZZ
S1
x 2 + y2 ở
√
π 2
28 .
Bài tập 5.1. [Cuối kì, K62] Tính tích phân mặt
ở đó
p

 x + y + z = 1,
S1 :
 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
f ( x, y, z)dS =
ZZ √
D
1+(z′x )2 +(z′y )2 dxdy
9

 x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0,
và D :
z = 0.
√ ZZ
= 93
D
173
dxdy =
√
3
9 S( D )
=
√
3
18 .
174
ii)
Chương 5. Tích phân mặt
ZZ
f ( x, y, z)dS =
D
Kết luận: I =
ZZ
dxdy
(2+ x + y )2
D
√
3
18
= − 21 + ln 3.
− 1 + 3 ln 23 .
174
2. Tích phân mặt loại II
175
§2. TÍCH
PHÂN MẶT LOẠI
II
2.1 Định hướng mặt cong
Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D ⊂ R2 .
Như đã biết, véc tơ pháp tuyến đơn vị của S tại điểm P chính quy là n1 =
ru =
∂x
∂y
∂z
i+
j+
k,
∂u
∂u
∂u
rv =
ru ∧ rv
, ở đó
kru ∧ rv k
∂x
∂y
∂z
i + j + k.
∂v
∂v
∂v
Tại mỗi điểm P chính quy của mặt cong S có hai vectơ pháp tuyến đơn vị là n1 và n2 = −n1 .
Giả sử P0 ∈ S và L là một đường cong kín nằm trên S và đi qua P0 . Chọn n( P0 ) là một véc
tơ pháp tuyến đơn vị của mặt S tại P0 . Khi P di chuyển dọc theo đường cong kín L từ P0
và quay trở về P0 thì véc tơ n( P) cũng biến thiên liên tục, và khi P trở về P0 thì n( P) trở
thành n′ ( P0 ). Có hai khả năng xảy ra
• n′ ( P0 ) = n( P0 ), tức là, pháp tuyến trở lại như cũ. Khi đó ta nói mặt S định hướng
được (hay còn gọi là mặt hai phía).
175
176
Chương 5. Tích phân mặt
• Ngược lại, n′ ( P0 ) = −n( P0 ), tức là, pháp tuyến trở về vị trí cũ thì đổi hướng. Khi
đó ta nói mặt S gọi là không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía). Ví dụ
như lá Mobius sau đây (được mang tên nhà toán học người Đức August Ferdinand
Möbius).
hu
i
sam
st
2TG
Nếu mặt S định hướng được thì ta chọn một hướng làm hướng dương và hướng còn lại
được gọi là hướng âm.
2.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II
Giả sử có một mặt cong hai phía được nhúng vào một môi trường chất lỏng đang chảy
với mật độ ρ( x, y, z) và tốc độ v( x, y, z) = (v1 ( x, y, z), v2 ( x, y, z), v3 ( x, y, z). Hãy tính lượng
chất lỏng chảy qua S trong một đơn vị thời gian.
Ta chia mặt S thành các thành phần nhỏ Sij như hình vẽ trên. Nếu chia mặt cong đủ nhỏ
thì ta coi Sij như mặt phẳng và khối lượng chất lỏng trên một đơn vị diện tích là F = ρv
coi như hằng số trên Sij . Do đó, ta có thể xấp xỉ khối lượng của chất lỏng chảy qua Sij theo
hướng véc tơ pháp tuyến đơn vị n trên một đơn vị thời gian bởi
(F · n) A(Sij ).
176
2. Tích phân mặt loại II
177
Lượng chất lỏng chảy qua S trên một đơn vị thời gian là
n
m
∑ ∑ (F · n) A(Sij ).
i =1 j =1
Nếu chia mặt cong S càng nhỏ thì tổng trên chính là tổng Riemann của tích phân mặt loại
I sau
ZZ
ZZ
F · ndS =
S
( P cos α + Q cos β + R cos γ)dS,
S
ở đó F = ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) và n = (cos α, cos β, cos γ).
Định nghĩa 5.16. Cho mặt cong S trơn, định hướng được, cho bởi phương trình tham số
r (u, v) = x (u, v)i + y(t)j + z(t)k,
(u, v) ∈ D ⊂ R2
và n = (cos α, cos β, cos γ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị tại M( x, y, z) theo hướng dương đã
chọn của S. Giả sử
F = ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)),
( x, y, z) ∈ S
là một hàm véc tơ xác định trên S. Nếu tồn tại tích phân mặt loại I
ZZ
( P cos α + Q cos β + R cos γ)dS
S
thì giá trị đó được gọi là tích phân mặt loại II của hàm véc tơ F lấy theo hướng đã chọn
của mặt S và kí hiệu là
ZZ
S
F · dS hay là
ZZ
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.
S
2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II
Mặt cong cho bởi phương trình tham số
Nếu mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r (u, v) = x (u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D ⊂ R2 .
thì một véc tơ pháp tuyến của S tại điểm P chính quy là N = ru ∧ rv = ( A, B, C ).
177
178
Chương 5. Tích phân mặt
• Nếu véc tơ này cùng phương cùng hướng với n, tức là, hướng theo phía đã chọn của
mặt thì
cos α = √
cos β = √
A
A2 + B2 + C 2
B
A2 + B2 + C 2
C
,
,
,
cos γ = √
A2 + B2 + C 2
p
dS = A2 + B2 + C2 dudv
nên ta đi đến công thức tính tích phân mặt loại II sau
ZZ
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
ZZ
( AP + BQ + CR)dudv.
D
S
• Nếu véc tơ N = ru ∧ rv = ( A, B, C ) cùng phương, ngược hướng với n, tức là, ngược
hướng vói phía đã chọn của S thì
cos α = −√
cos β = −√
cos γ = −√
Do đó,
ZZ
S
A
A2 + B2 + C 2
B
A2 + B2 + C 2
C
A2 + B2 + C 2
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = −
ZZ
,
,
.
( AP + BQ + CR)dudv.
D
Mặt cong cho bởi phương trình f ( x, y, z) = 0
Giả sử
I=
ZZ
S
|
Pdydz +
{z
I1
}
ZZ
S
|
Qdzdx +
{z
I2
}
ZZ
S
|
Rdxdy .
{z
I3
}
Người ta tính tích phân mặt loại II bằng cách đưa về tích phân kép. Chẳng hạn xét tích
phân I3 . Giả sử mặt S có phương trình z = z( x, y), z( x, y) cùng với các đạo hàm riêng
của chúng liên tục trên miền D là hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy. Khi đó, véc tơ
N = r x ∧ ry = (−z′x , −z′y , 1). Véc tơ N này luôn lập với Oz một góc nhọn (Tại sao?(1) ) Do đó,
để thuận lợi cho việc xác định xem N cùng hướng hay ngược hướng với n, người ta xét góc
giữa n và Oz.
(1) vì
N · k = (−z′x , −z′y , 1) · (0, 0, 1) = 1 = |N||k| cos(N, k) ⇒ cos(N, k) > 0 ⇒ (N, k) <
178
π
2
2. Tích phân mặt loại II
179
• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương n tạo với Oz một góc nhọn thì
ZZ
Rdxdy =
S
ZZ
( AP + BQ + CR)dxdy =
ZZ
R ( x, y, z ( x, y)) dxdy.
(5.1)
D
S
• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương n tạo với Oz một góc tù thì
ZZ
S
Rdxdy = −
ZZ
R ( x, y, z ( x, y)) dxdy.
(5.2)
D
Tích phân I1 , I2 được đưa về tích phân kép một cách tương tự.
Bài tập
Bài tập 5.4. Tính
ZZ
S
z x2 + y2 dxdy, trong đó S là nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1, z > 0,
hướng của S là phía ngoài mặt cầu.
z
−
→
n ( x, y, z)
y
O
D:
x2
+ z2
≤
a2
Hình 5.4
x
p
Lời giải. Ta có mặt z = 1 − x2 − y2 , hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D :
→
x2 + y2 ≤ 1, hơn nữa −
n tạo với Oz một góc nhọn nên:
ZZ q
2
2
2
2
I=
1 − x − y x + y dxdy
D

 x = r cos ϕ
đặt
y = r sin ϕ
=
Z2π
dϕ
0
=
4π
.
15
Z1 p
0
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1
1 − r2 r3 dr
179
180
Chương 5. Tích phân mặt
Bài tập 5.5. Tính
0, y > 0, z > 0.
ZZ
ydxdz + z2 dxdy trong đó S là phía ngoài mặt x2 +
y2
4
S
z
−
→
n ( x, y, z)
y
O
Hình 5.5
x
Lời giải. Tính I1 =
ZZ
ydxdz.
S
√
• Mặt S : y = 2 1 − x2 − z2
• Hình chiếu của S lên Oxz là
1
4
hình tròn, D1 : x2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0.
→
• β = (−
n , Oy là góc nhọn.
Do đó
I=
ZZ
2
D1
p
1 − x2 − z2 dxdz

 x = r cos ϕ
đặt
z = r sin ϕ
π
=
Z2
dϕ
0
π
=
3
Tính I2 =
ZZ
Z1 p
2
0
⇒0 ≤ ϕ ≤
π
,0 ≤ r ≤ 1
2
1 − r2 rdr
z2 dxdy.
S
• Mặt S : z2 = 1 − x2 −
y2
4
• Hình chiếu của S lên Oxz là
1
4
elip, D2 : x2 +
→
• γ = (−
n , Oz là góc nhọn.
180
y2
4
≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
+ z2 = 1, x >
2. Tích phân mặt loại II
181
Do đó
I=
ZZ
1 − x2 −
D2
y2
dxdy
4

 x = r cos ϕ
đặt
y = 2r sin ϕ
π
=
Z2
0
dϕ
π
= .
4
Vậy I =
Z1
0
⇒0 ≤ ϕ ≤
π
, 0 ≤ r ≤ 1, J = −2r
2
(1 − r2 )2rdr
7π
12 .
Bài tập 5.6. Tính
R2 , z ≤ 0.
ZZ
x2 y2 zdxdy trong đó S là mặt trên của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 =
S
z
y
O
x
Hình 5.6
Lời giải. Ta có:
• Mặt S : z = −
p
R2 − x 2 − y2
• Hình chiếu của S lên Oxy là hình tròn, D : x2 + y2 ≤ R2 .
→
• β = (−
n , Oz) là góc nhọn.
181
182
Chương 5. Tích phân mặt
Do đó
I=−
ZZ
2 2
x y
q
R2 − x2 − y2 dxdy
D
 x = r cos ϕ
đặt
y = r sin ϕ
I=
Z2π
0
=−
dϕ
ZR
sin2 ϕ cos2 ϕ
0
7
2R
105
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, J = −r
p
R2 − r2 .r5 dr
.
2.4 Công thức Ostrogradsky
Giả sử P, Q, R là các hàm khả vi, liên tục trên miền bị chặn, đo được trong V ⊂ R3 . V
giới hạn bởi mặt cong kín S trơn hay trơn từng mảnh, khi đó:
ZZ
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
ZZZ V
S
∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z
dxdydz(2) ,
trong đó tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến ngoài.
Chú ý:
• Nếu tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến trong thì
ZZ
S
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = −
ZZZ V
∂P ∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z
dxdydz.
• Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S′ kín để áp dụng công
thức Ostrogradsky, rồi trừ đi phần bổ sung.
Bài tập 5.7. Tính
ZZ
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 +
S
y2 + z2 = a2 .
(2) Trong
các tài liệu tiếng Anh, công
thường ZZđược gọi là the
ZZ Divergence Theorem, và
ZZZ
ZZ thức Ostrogradsky
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,
F · dS =
F · dS =
div FdV, ở đó
thường được phát biểu dưới dạng
S
div F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
và dV = dxdydz
V
S
182
S
2. Tích phân mặt loại II
183
z
−
→
n ( x, y, z)
y
O
Hình 5.7
x
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có
ZZ
xdydz + ydzdx + zdxdy =
3dxdydz = 3V = 4πa2 .
V
S
Bài tập 5.8. Tính
ZZZ
ZZ
x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 +
S
y2 + z2 = R2 .
Lời giải. Xem hình vẽ 5.7, áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:
ZZZ 2
2
2
I=
3 x + y + z dxdydz
V
đặt
I=3




 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ



z = r cos θ
Z2π
dϕ
0
=
12πR5
5
Zπ
0
dθ
ZR
⇒
r4 sin θdr




0 ≤ ϕ ≤ 2π
0≤θ≤π



0 ≤ r ≤ R
0
.
183
, J = −r2 sin θ
184
Bài tập 5.9. Tính
Chương 5. Tích phân mặt
ZZ
y2 zdxdy + xzdydz + x2 ydxdz trong đó S là phía ngoài của miền x ≤
S
0, y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2 .
z
y
O
x
Hình 5.9
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:
I=
ZZZ V




 x = r cos ϕ
đặt
π
=
Z2
0
y = r sin ϕ



z = z
dϕ
π
= .
8
Bài tập 5.10. Tính
ZZ
S
y2 + z + x2 dxdydz
Z1
0
2
dr
Zr 0
⇒




0 ≤ ϕ ≤
π
2
0≤r≤1



0 ≤ z ≤ r 2
, J = −r
r2 + z rdr
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của miền (z − 1)2 6
x2 + y2 , a 6 z 6 1, a > 0.
184
2. Tích phân mặt loại II
185
z
−
→
n
a
y
a−1
1−a
O
x
Hình 5.10
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:
I=
ZZZ
V
1
3dxdydz = 3V = 3. Bh = π (1 − a)3 .
3
2.5 Dạng véctơ của công thức Green
Xét trường véctơ F = Pi + Qj. Tích phân đường của trường véctơ này dọc theo đường
cong kín C là
I
Z
C
F · dr =
Pdx + Qdy.
C
Coi F = Pi + Qj + 0k, ta định nghĩa véctơ xoáy của trường véctơ F như sau:
(3) curl F
=
Do đó,
(curl F) · k =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
6Q
0
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
=
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
k·k =
k.
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
Công thức Green có thể được viết lại dưới dạng véctơ như sau:
I
C
F · dr =
I
C
F · Tds =
ZZ
D
(curl F) · kdxdy.
.
(5.3)
Công thức này nói rằng tích phân đường của thành phần tiếp tuyến của trường véctơ F
dọc theo đường cong kín C bằng với tích phân kép của thành phần thứ ba (ứng với véctơ
(3) Véctơ
−
→
xoáy của trường véctơ F còn được kí hiệu là rotF
185
186
Chương 5. Tích phân mặt
k) của véctơ xoáy của nó, curl F, trên miền D được bao bởi C. Tiếp theo, chúng ta biến đổi
một chút để thu được một công thức khác, có chứa thành phần pháp tuyến của F. Giả sử
C cho bởi phương trình
r(t) = x (t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b,
khi đó, véctơ tiếp tuyến đơn vị là
T(t) =
x′ (t)
y′ (t)
r′ (t)
=
i
+
j.
|r′ (t)|
|r′ (t)|
|r′ (t)|
Véctơ pháp tuyến ngoài, đơn vị của C sẽ là
n(t) =
Ta có
I
C
F · nds =
=
=
=
Zb
a
a
P( x (t), y(t))y′ (t) Q( x (t), y(t)) x ′ (t) ′
−
|r (t)| dt
|r′ (t)|
|r′ (t)|
Zb P( x (t), y(t))y′ (t) − Q( x (t), y(t)) x ′ (t) dt
Za
(5.4)
Pdy − Qdx
ZZ D
Nói cách khác,
(F · n)|r′ (t)|dt
Zb C
=
y′ (t)
x′ (t)
i
−
j.
|r′ (t)|
|r′ (t)|
∂P ∂Q
+
∂x
∂y
I
C
dxdy
F · nds =
ZZ
(công thức Green).
div Fdxdy.
D
Công thức này nói rằng tích phân đường của thành phần pháp tuyến của trường véctơ F
dọc theo đường cong kín C bằng với tích phân kép của divergence của nó, div F, trên miền
D được bao bởi C.
2.6 Công thức Stokes
Giả sử S là mặt hai phía, đơn và trơn có biên giới là đường cong kín L. Giả sử n là
hướng dương của pháp tuyến của S. Khi đó, ta xác định hướng dương trên biên giới L của
mặt S là hướng sao cho, một người đứng thẳng theo hướng pháp tuyến n, đi theo hướng
đó thì thấy phần của mặt ở gần người đó nhất nằm ở phía tay trái. Ngoài ra, hướng của S
và L có thể được xác định theo quy tắc bàn tay phải.
186
2. Tích phân mặt loại II
187
Định lý 5.20 (Định lý Stokes). Giả sử S là một mặt cong trơn, có biên C là một đường
cong trơn. Giả thiết P, Q, R là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong một
tập mở nào đó chứa S. Khi đó
Z
ZZ ∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
Pdx + Qdy + Rdz =
−
dydz +
−
dzdx +
−
dxdy,
∂y
∂z
∂z
∂z
∂x
∂y
C
S
trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo hướng dương của C phù hợp với hướng dương
của mặt S.
Chú ý 5.14. Trong các tài liệu tiếng Anh, công thức Stokes thường được phát biểu dưới
dạng ngắn gọn
I
ZZ
F · dr =
curl F · dS,
C
ở đó
i)
H
C
F · dr =
H
S
Pdx + Qdy + Rdz là tích phân đường loại II (trong không gian) của trường
C
véctơ F = Pi + Qj + Rk,
∂Q
∂P
−
i
+
ii) (4) curl F = ∂R
∂y
∂z
∂z −
iii)
ZZ
S
curl F · dS =
ZZ S
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
∂R
∂z
j+
dydz +
mặt loại II của trường véctơ curl F.
∂Q
∂x
∂P
∂z
−
−
∂R
∂z
∂P
∂y
k là véctơ xoáy của trường véctơ F,
dzdx +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dxdy là tích phân
Theo dạng véctơ của công thức Green (5.3), công thức Stokes chính là một dạng mở rộng
của công thức Green sang trong không gian ba chiều, ở đó
i) công thức Green liên hệ tích phân kép trên miền D với tích phân đường trên biên
của D (trong mặt phẳng), trong khi đó,
ii) công thức thức Stokes liên hệ tích phân mặt trên mặt cong S với tích phân đường
trên biên của S (trong không gian).
(4) Véctơ
−
→
xoáy của trường véctơ F còn được kí hiệu là rotF
187
188
Chương 5. Tích phân mặt
2.7 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại
II
ZZ
=
ZZS
[ P( x, y, z) cos α + Q( x, y, z) cos β + R( x, y, z) cos γ] dS
(5.5)
P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy,
S
trong đó cos α, cos β, cos γ là cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S.
Bài tập 5.11. Gọi S là phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 nằm trong mặt trụ x2 + x + z2 =
0, y ≥ 0, hướng S phía ngoài. Chứng minh rằng
ZZ
S
( x − y)dxdy + (y − z)dydz + (z − x )dxdz = 0.
z
1
y
O
−1
x
Lời giải. Ta có y =
→
(−
n , Oy) < π2 nên
p
1
Hình 5.11
→
1 − x2 − y2 nên véctơ pháp tuyến của S là −
n = ±(−y′x , 1, −y′z ). Vì
−
→
n = (−y′x , 1, −y′z ) =
√
x
1 − x 2 − z2
188
, 1, √
z
1 − x 2 − z2
.
2. Tích phân mặt loại II
→
Do đó |−
n|=
q
x2
1− x 2 − z2
189
2
+ 1 + 1−xz2 −z2 =
√
1
.
1− x 2 − z2
Vậy

→

cos α = cos(−
n , Ox ) =





→
cos β = cos(−
n , Oy) =




−
→

cos γ = cos( n , Oz) =
n1
=x
−
→
|n|
n2
=y
−
→
|n|
n3
=z
−
→
|n|
Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II 5.5 ta có
I=
=
ZZ
ZZS
S
[( x − y) cos γ + (y − z) cos β + (z − x ) cos α] dS
( x − y)z + (y − z) x + (z − x )ydS
= 0.
Bài tập 5.12. Tính tích phân mặt loại II
I=
ZZ
xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
trong đó S là phía ngoài mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 .
[Đáp số] I = 4πa3 .
Bài tập 5.13. Tính tích phân mặt
z = x 2 + y2 (0 ≤ z ≤ 2).
ZZ
ydzdx, trong đó S là phía ngoài của mặt paraboloid
S
[Đáp số] I = 2π.
189
190
Chương 5. Tích phân mặt
190
CHƯƠNG
LÝ
§1. TRƯỜNG
6
THUYẾT TRƯỜNG
VÔ HƯỚNG
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 6.17. Cho Ω là một tập con mở của R3 (hoặc R2 ). Một hàm số
u:Ω→R
( x, y, z) 7→ u = u( x, y, z)
được gọi là một trường vô hướng xác định trên Ω.
Cho c ∈ R, khi đó mặt S = {( x, y, z) ∈ Ω|u( x, y, z) = c} được gọi là mặt mức ứng với giá trị
c (đẳng trị).
1.2 Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 6.18. Cho u = u( x, y, z) là một trường vô hướng xác định trên Ω và M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈
−
→
Ω. Giả thiết l = ( a, b, c) là một véctơ đơn vị bất kì trong R3 . Giới hạn (nếu có) của tỉ số
u( M0 + t~l )
u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u( x0 , y0 , z0 )
= lim
t →0
t →0
t
t
lim
(6.1)
−
→
được gọi là đạo hàm theo hướng l tại M0 của trường vô hướng u và được kí hiệu là
∂u
−
→ ( M0 ).
∂ l
Chú ý:
191
192
Chương 6. Lý thuyết trường
• Nếu ~l không phải là véc tơ đơn vị thì giới hạn trong công thức 6.1 có thể được thay
bằng
u( x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u( x0 , y0 , z0 )
,
lim
t →0
t
−
→
trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của l .
−
→
∂u
• Nếu l ↑↑ Ox thì ∂u
−
→ ( M0 ) = ∂x ( M0 ).
∂ l
−
→
• Đạo hàm theo hướng l tại điểm M0 của trường vô hướng u thể hiện tốc độ biến
−
→
thiên của trường vô hướng u tại M0 theo hướng l .
Định lý 6.21. Nếu u = u( x, y, z) khả vi tại M ( x0 , y0 , z0 ) thì nó có đạo hàm theo mọi hướng
−
→
l 6= 0 tại M0 và
∂u
∂u
∂u
∂u
−
→ ( M0 ) = ∂x ( M0 ). cos α + ∂y ( M0 ). cos β + ∂z ( M0 ). cos γ,
∂ l
−
→
trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của l .
(6.2)
Lời giải. Giả sử cos α = a, cos β = b, cos γ = c. Xét hàm số một biết số
g(t) = u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc).
Khi đó, theo định nghĩa,
g′ (0) = lim
t →0
g ( t ) − g (0)
u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u( x0 , y0 , z0 )
∂u
( M0 ).
= lim
=
t →0
t
t
∂~l
Mặt khác, g(t) có thể viết dưới dạng g(t) = u( x, y, z), ở đó x = x0 + ta, y = y0 + tb, z =
z0 + tc. Vì vậy, theo công thức đạo hàm của hàm hợp,
g′ ( h) =
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
+
+
= u x ( x, y, z).a + uy ( x, y, z).b + uz ( x, y, z).c
∂x ∂h ∂y ∂h
∂z ∂h
Thay t = 0 vào phương trình trên, ta có x = x0 , y = y0 , z = z0 , và
∂u
( M0 ) = u x ( M0 ).a + uy ( M0 ).b + uz ( M0 ).c.
∂~l
1.3 Gradient
Định nghĩa 6.19. Cho u( x, y, z) là trường vô hướng có các đạo hàm riêng tại M0 ( x0 , y0 , z0 ).
Người ta gọi gradient của u tại M0 là véctơ
∂u
∂u
∂u
( M0 ), ( M0 ), ( M0 )
∂x
∂y
∂z
−−→
và được kí hiệu là (1) gradu( M0 ).
(1) Trong
−−→
các tài liệu tiếng Anh, véctơ gradient gradu của trường vô hướng u thường được kí hiệu là ▽u
192
1. Trường vô hướng
193
−
→
Định lý 6.22. Nếu trường vô hướng u( x, y, z) khả vi tại M0 và l là một véctơ đơn vị thì
−−→
∂u
( M0 ) = gradu.~l
∂~l
∂u
( M0 ) thể hiện tốc độ biến thiên của trường vô hướng
∂~l
−−→ −−→
−−→
∂u
( M0 ) = gradu.~l = gradu ~l . cos gradu,~l ta có
Từ công thức
∂~l
−−−→
−−→ ~
nhất bằng gradu l nếu ~l có cùng phương với grad u. Cụ thể
Chú ý:
u tại M0 theo hướng ~l.
∂u
( M0 ) đạt giá trị lớn
∂~l
• Theo hướng ~l, trường vô hướng u tăng nhanh nhất tại M0 nếu ~l có cùng phương, cùng
−−−→
hướng với grad u.
• Theo hướng ~l, trường vô hướng u giảm nhanh nhất tại M0 nếu ~l có cùng phương,
−−−→
ngược hướng với grad u.
1.4 Bài tập
−
→
−
→
Bài tập 6.1. Tính đạo hàm theo hướng l của u = x3 + 2y3 − 3z3 tại A(2, 0, 1), l =
−→
AB, B(1, 2, −1).
−→
Lời giải. Ta có AB = (−1, 2, −2) nên
−1
−1
cos α = −→ =
,
3
| AB|
2
2
cos β = −→ = ,
3
| AB|
−2
−2
,
cos γ = −→ =
3
| AB|
∂u
∂u
= 3x2 ⇒
( A) = 12
∂x
∂x
∂u
∂u
= 6y2 ⇒
( A) = 0
∂y
∂x
∂u
∂u
= −9z2 ⇒
( A ) = −9
∂z
∂x
Áp dụng công thức 6.2 ta có
∂u
−1
2
−2
−
→ ( A) = 12. 3 + 0. 3 + (−9). 3 = 2
∂ l
−−→
Bài tập 6.2. Tính mônđun của gradu với u = x3 + y3 + z3 − 3xyz tại A(2, 1, 1). Khi nào thì
−−→
−−→
gradu⊥Oz, khi nào gradu = 0.
Lời giải. Ta có
−−→
gradu =
∂u ∂u ∂u
, ,
∂x ∂y ∂z
= (3x2 = 3yz, 3y2 − 3zx, 3z2 − 3xy)
√
√
−−→
−−→
nên gradu = (9, −3, −3) và gradu = 92 + 32 + 32 = 3 11.
193
194
Chương 6. Lý thuyết trường
D−−→ −
−−→
→E
• gradu⊥Oz ⇔ gradu, k = 0 ⇔
−−→
• gradu = 0 ⇔


2


 x = yz
y2 = zx



z2 = xy
∂u
∂x
= 0 ⇔ z2 = xy
⇔x=y=z
p
−−→
Bài tập 6.3. Tính gradu với u = r2 + 1r + ln r và r = x2 + y2 + z2 .
Bài tập 6.4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ
độ O(0, 0) là lớn nhất?
−−→ −−→ ~
−−→ ~
∂u
∂u
Lời giải. Từ công thức
(O) = gradu.l = gradu l . cos gradu,~l ta có
(O) đạt giá
∂~l
∂~l
−−→
−−→
trị lớn nhất bằng gradu ~l nếu ~l có cùng phương với gradu(O) = (0, −1, 0).
p
p
−−→
Bài tập 6.5. Tính góc giữa hai véctơ gradz của các hàm z = x2 + y2 , z = x − 3y + 3xy
tại M (3, 4).
Lời giải. Ta có
−−→
• gradz1 =
−−→
• gradz2 =
√
x
,
x 2 + y2
1+
√
y
x 2 + y2
−−→
3 4
nên gradz1 ( M ) = 5 , 5 .
√ 3y
√ , −3 + √3x
2 y
2 x
√
−−→
nên gradz2 ( M ) = 2, − 94 . Vậy
D−−→ −−→ E
gradz1 , gradz2
−12
cos α = −−→
= √
−−→
5 145
gradz1 . gradz2
194
2. Trường véctơ
195
§2. TRƯỜNG
VÉCTƠ
2.1 Định nghĩa
Cho Ω là một miền mở trong R3 . Một hàm véctơ
F : Ω → R3
M 7 → F = F ( M ),
trong đó
F = P( M )i + Q( M )j + R( M )k.
2.2 Thông lượng, trường ống
a) Thông lượng: Cho S là một mặt định hướng và F là một trường véctơ. Đại lượng
φ=
ZZ
(6.3)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
được gọi là thông lượng của F đi qua mặt cong S.
Ví dụ 2.1 (Cuối kì, K62). Cho trường vectơ ~F = ( xy2 + z)~i + ( x2 y + z)~j. Tính thông
lượng của ~F qua mặt paraboloid z = x2 + y2 với z ≤ 1 hướng lên trên.

ZZ
z = 1,
Lời giải. Thông lượng φ = ( xy2 + z)dydz + ( x2 y + z)dxdz. Bổ sung mặt D :
 x 2 + y2 ≤ 1
S
và áp dụng công thức Ostrogradski với véc tơ pháp tuyến trong ta có
I=
ZZ
+
S




 x = r cos ϕ,
Đặt y = r sin ϕ,



z = z
⇒I=−
Z2π
0
ZZ
D
dϕ
=−
Z1
0
dr
ZZZ
Z1
( x2 + y2 )dxdydz.
V
r3 dz
r2
=
− π6 .
Ngoài ra,
ZZ
= 0 nên
D
π
φ=− .
6
b) Trường véctơ F xác định trên Ω được gọi là một trường ống nếu div F( M ) = 0 với mọi
M ∈ Ω.
Tính chất: Nếu F là một trường ống thì thông lượng đi vào bằng thông lượng đi ra.
195
196
Chương 6. Lý thuyết trường
2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy
a) Toán tử vi phân "del" được định nghĩa như sau:
▽=
∂
∂
∂
i + j + k.
∂x
∂y
∂z
b) Dive: Cho F là một trường véctơ có thành phần P, Q, R là các hàm số có đạo hàm
∂Q
∂R
riêng cấp một thì tổng ∂P
∂x + ∂y + ∂z được gọi là dive của trường véctơ F và kí hiệu là
div F. Nói cách khác,
div F = ▽ · F.
c) Véctơ xoáy: Véctơ
−
→
(2) rotF

i
∂
:=  ∂x
P
j
k

∂
∂z 
∂
∂y
Q
R
= ▽ ∧ F.
được gọi là véctơ xoáy (hay véctơ rota) của trường véctơ F.
d) Hoàn lưu (hay lưu số): Cho C là một đường cong (có thể kín hoặc không kín) trong
không gian. Đại lượng
Z
Pdx + Qdy + Rdz
(6.4)
C
được gọi là hoàn lưu của F dọc theo đường cong C.
Ví dụ 2.2 (Cuối kì, K62). Tính lưu số của trường vectơ ~F = y~i + z~j + x~k dọc theo
đường xoắn ốc x = cos t, y = sin t, z = t đi từ A(1, 0, 0) đến B(0, 1, π2 ).
Lời giải. Lưu số φ =
Z
π
(ydx + zdy + xdz) =
Z2
(sin t(− sin t) + t cos t + cos t) dt = π4 .
0
L
e) Toán tử Laplace. Cho f ( x, y, z) là một hàm số ba biến số. Khi đó
div(▽ f ) = (▽ · ▽) f =
∂2 f
∂2 f
∂2 f
+
+
.
∂x2
∂y2
∂z2
Toán tử này được viết gọn thành
▽2 = ▽ · ▽,
và được gọi là toán tử Laplace, bởi vì nó có liên hệ với phương trình Laplace sau
▽2 f =
(2) Trong
∂2 f
∂2 f
∂2 f
+
+
= 0.
∂x2
∂y2
∂z2
−
→
các tài liệu tiếng Anh, véctơ xoáy rotF của trường véctơ F thường được kí hiệu là curl F
196
2. Trường véctơ
197
Bài tập 6.6. Cho f ( x, y, z) là một hàm số ba biến số có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp
hai. Chứng minh rằng
(3) curl(▽ f ) = 0.
Bài tập 6.7. Cho F = Pi + Qj + Rk là một trường véctơ trong R3 , ở đó P, Q, R có các đạo
hàm riêng liên tục đến cấp hai. Chứng minh rằng
(4) div curl F
= 0.
2.4 Trường thế - hàm thế vị
Trường véctơ F được gọi là trường thế (5) (trên Ω) nếu tồn tại trường vô hướng u sao
−−→
cho gradu = F (trên Ω). Khi đó hàm u được gọi là hàm thế vị.
Định lý 6.23. Điều kiện cần và đủ để trường véctơ F = F( M ) là một trường thế (trên Ω)
−
→
là rotF( M) = 0 với mọi M ∈ Ω.
Chú ý: Nếu F là trường thế thì hàm thế vị u được tính theo công thức
u=
Zx
P(t, y0 , z0 )dt +
x0
Zy
Q( x, t, z0 )dt +
Zz
R( x, y, t)dt + C.
(6.5)
z0
y0
2.5 Tích phân đường (trong không gian) không phụ
thuộc đường đi
Cho D ⊂ R3 là miền đơn liên, liên thông, F = Pi + Qj + Rk là một trường véctơ thỏa
mãn P, Q, R cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D. Khi đó bốn
mệnh đề sau là tương đương:
−
→
1) rotF( M ) = 0 với mọi M ∈ D.
2)
Z
Pdx + Qdy + Rdz = 0 với mọi đường cong đóng kín L nằm trong D.
Z
Pdx + Qdy + Rdz không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B, với mọi đường cong
L
3)
AB
AB nằm trong D.
−
→−−→
kí hiệu của môn Giải tích 2 này thì đẳng thức này được viết là rotgrad f = 0
−
→
(4) Theo kí hiệu của môn Giải tích 2 này thì đẳng thức này được viết là div rotF
=0
(5) Như đã thảo luận ở mục 2.9, thuật ngữ trường véctơ bảo toàn cũng được sử dụng, và có lẽ là hợp lý hơn
để ám chỉ tính chất bảo toàn năng lượng (động năng + thế năng = hằng số) của trường véctơ đó
(3) Theo
197
198
Chương 6. Lý thuyết trường
−−→
4) F là một trường thế, nghĩa là có hàm số u( x, y, z) sao cho gradu = F. Hàm thế vị u có
thể được tìm theo công thức:
u=
Zx
P(t, y0 , z0 )dt +
Zy
Q( x, t, z0 )dt +
R( x, y, t)dt + C.
(6.6)
z0
y0
x0
Zz
2.6 Bài tập
Bài tập 6.8. Trong các trường sau, trường nào là trường thế?
a. a = 5( x2 − 4xy)i + (3x2 − 2y)j + k.
b. b = yzi + xzj + xyk.
c. c = ( x + y)i + ( x + z)j + (z + x )k.
Lời giải.
a. Ta có
−
→
rota =
∂
∂y
∂
∂z
Q
R
,
∂
∂z
∂
∂x
R
P
,
∂
∂x
∂
∂y
P
Q
!
= (0, 0, 26x ) 6= 0
nên trường đã cho không phải là trường thế.
−
→
b. Ngoài cách tính rotb, sinh viên có thể dễ dàng nhận thấy tồn tại hàm thế vị u =
xyz + C nên b là trường thế.
c. Ta có
−
→
rotc =
∂
∂y
∂
∂z
Q
R
,
∂
∂z
∂
∂x
R
P
,
∂
∂x
∂
∂y
P
Q
!
= (0, 0, 0)
nên c là trường thế. Hàm thế vị được tính theo công thức 6.5:
u=
Zx
Fx (t, y0 , z0 )dt +
=
0
=
x2
2
Fy ( x, t, z0 )dt +
tdt +
Zy
( x + 0)dt +
0
+ xy +
Zz
Fz ( x, y, t)dt + C
z0
y0
x0
Zx
Zy
Zz
(t + y)dt + C
0
z2
2
+ yz + C.
Bài tập 6.9. Cho F = xz2 i + yx2 j + zy2 k. Tính thông lượng của F qua mặt cầu S : x2 +
y2 + z2 = 1 hướng ra ngoài.
198
2. Trường véctơ
199
Lời giải. Theo công thức tính thông lượng 6.3 ta có
φ=
ZZ
xz2 dydz + yx2 dxdz + zy2 dxdy.
S
Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có
φ=
ZZZ
( x2 + y2 + z2 )dxdydz
V
Thực hiện phép đổi biến trong toạ độ cầu








0 ≤ ϕ ≤ 2π
 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ , 0 ≤ θ ≤ π








0≤r≤1
z = r cos θ
ta có
φ=
Z2π
0
dϕ
Zπ
dθ
0
Z1
, J = −r2 sin θ
r2 .r2 sin θdr =
0
4π
.
5
Bài tập 6.10. Cho F = x (y + z)i + y(z + x )j + z( x + y)k và L là giao tuyến của mặt trụ
x2 + y2 + y = 0 và nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ 0. Chứng minh rằng lưu số của F dọc
theo L bằng 0.
Lời giải. Theo công thức tính lưu số 6.4
I=
I
x (y + z)dx + y(z + x )dy + z( x + y)dz
L
Áp dụng công thức Stokes ta có
I=
=
ZZ
ZZS
S
∂
∂y
∂
∂z
Q
R
dydz +
∂
∂z
∂
∂x
R
P
dzdx +
∂
∂x
∂
∂y
P
Q
dxdy
(z − y)dydz + ( x − z)dzdx + (y − x )dxdy
= 0 (theo bài tập 5.11).
199
200
Chương 6. Lý thuyết trường
200
MỘT
VÀI CHÚ THÍCH VỀ MẶT KÍ HIỆU VÀ
THUẬT NGỮ
Để tránh hiểu nhầm và giúp độc giả thuận lợi khi đọc sách tham khảo (đặc biệt là sách
tiếng Anh, theo sự hiểu biết của tác giả), cũng như là thống nhất kí hiệu với các đại lượng
trong Vật lý, các kí hiệu sau đây được dùng đồng thời.
→
−
→ −
→ −
1) Véctơ i, j, k, theo như kí hiệu của môn Giải tích II này là i , j , k , tức là có thêm
dấu véctơ vào các đại lượng đó. Trong Bài giảng này, các đại lượng có hướng (véctơ)
được viết in đậm, chẳng hạn như i, j, k, r, F hay là a, để phân biệt với các đại lượng vô
hướng như a, b, c.
2) Tích có hướng giữa hai véctơ a và b, theo kí hiệu trong môn Giải tích II này là a ∧ b,
các tài liệu tham khảo khác thường kí hiệu là a × b. Tích vô hướng thì có sự thống
nhất, được kí hiệu là ab hay là a · b (có dấu chấm ở giữa). Lý do là trong tiếng Anh,
tích có hướng giữa hai véctơ gọi là the cross product và tích vô hướng được gọi là the
dot product.
3) Tích phân đường loại I, theo như cách gọi của môn Giải tích II này, trong các tài liệu
tham khảo khác có thể được gọi là tích phân đường của trường vô hướng.
4) Tích phân đường loại II, theo như cách gọi của môn Giải tích II này, trong các tài
liệu tham khảo khác có thể được gọi là tích phân đường của trường véctơ.
5) Tích phân mặt loại I, theo như cách gọi của môn Giải tích II này, trong các tài liệu
tham khảo khác có thể được gọi là tích phân mặt của trường vô hướng.
6) Tích phân mặt loại II, theo như cách gọi của môn Giải tích II này, trong các tài liệu
tham khảo khác có thể được gọi là tích phân mặt của trường véctơ.
7) Tích phân đường loại
Z II của trường véctơ F = Pi + Qj, theo cách kí hiệu trong môn
Giải tích II này là P( x, y)dx + Q( x, y)dy, trong các tài liệu khác có thể được kí hiệu
C
201
202
Chương 6. Lý thuyết trường
là
Z
C
F · dr.
8) Tích phân mặt loại II của
ZZ trường véctơ F = Pi + Qj + Rk, theo cách kí hiệu trong
môn Giải tích II này là
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, trong các tài liệu tham khảo khác
có thể được kí hiệu là
ZZS
S
F · dS, chú ý rằng chữ S được viết in đậm và có dấu chấm ở
giữa F và dS, để nhằm phân biệt với tích phân mặt loại một
ZZ
f ( x, y, z)dS.
S
9) Các cách kí hiệu
Chẳng hạn như,
Z
C
F · dr,
ZZ
S
F · ndS và
i) công thức Stokes
I
C
và công thức Green
I
C
ZZ
F · dS này có những thuận lợi nhất định.
S
F · dr =
F · dr =
ZZ
S
ZZ
curl F · dS,
(curl F) · kdxdy.
D
nếu viết dưới dạng véctơ như trên thì bạn đọc sẽ hình dung ra công thức Stokes
là một phiên bản của công thức Green trong không gian ba chiều. Tương tự như
vậy là mối liên hệ giữa công thức Ostrogradsky
ZZ
S
F · ndS =
ZZZ
div Fdxdydz
V
và một dạng véctơ khác của công thức Green
I
C
F · nds =
ZZ
div Fdxdy.
D
Cũng chú ý thêm là công thức Ostrogradsky còn được gọi là công thức Gauss
hay Ostrogradsky - Gauss trong các tài liệu khác.
ii) Kí hiệu
Z
C
F · dr =
Z
C
F · Tds thường được dùng trong vật lý, vì nó thể hiện bản
chất của tích phân đường này chính là công của lực biến đổi F dọc theo đường
cong C.
202
2. Trường véctơ
iii) Ngoài ra, kí hiệu
203
Z
C
F · dr dùng để chỉ tích phân đường mà không cần phân biệt
đây là tích phân đường trong mặt phẳng
Z
Z
Pdx + Qdy hay trong không gian
C
Pdx + Qdy + Rdz.
C
10) Véctơ gradient của trường vô hướng f , theo kí hiệu trong môn Giải tích II này là
−−→
grad f , các tài liệu tham khảo khác thường kí hiệu là ▽ f để thể hiện mối liên hệ với
toán tử vi phân "del"
∂
∂
∂
▽=
i+ j+ k
∂x
∂y
∂z
và toán tử Laplace
▽2 = ▽ · ▽ =
∂2
∂2
∂2
+
+
.
∂x2 ∂y2 ∂z2
−
→
11) Véctơ xoáy của trường véctơ F, theo kí hiệu trong môn Giải tích II này là rotF, các tài
liệu tham khảo khác thường kí hiệu là curl F. Bởi vì trong tiếng Anh, curl nghĩa là
xoắn hay là xoáy.
12) Trường thế, theo như cách gọi của môn Giải tích II này, trong các tài liệu tham khảo
khác có thể được gọi là trường bảo toàn (conservative vector fields), để chỉ rõ tính
chất bảo toàn (động năng + thế năng = hằng số) của trường véctơ đó.
13) Về định nghĩa của tích phân kép, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau.
Định nghĩa 6.20. Cho hàm số f ( x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D.
Chia miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của
chúng là ∆S1 , ∆S2 , ..., ∆Sn . Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tuỳ ý M ( xi , yi ) và thành
n
lập tổng tích phân In = ∑ f ( xi , yi ) ∆Si . Nếu khi n → ∞ sao cho max {∆Si → 0} mà
i =1
In tiến tới một giá trị hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn
điểm M ( xi , yi ) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f ( x, y) trong
miền D, kí hiệu là
ZZ
f ( x, y) dxdy.
D
Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận khác, đó là đầu tiên đi định
nghĩa tích phân kép trên miền hình chữ nhật, sau đó mở rộng nó ra cho miền D bị
chặn bất kì.
14) Một cách tương tự, về định nghĩa của tích phân bội ba, nhiều tài liệu trình bày theo
cách sau.
203
204
Chương 6. Lý thuyết trường
Định nghĩa 6.21. Cho hàm số f ( x, y, z) xác định trong một miền đóng, bị chặn V
của R3 . Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ. Gọi các miền đó và thể tích
của chúng là ∆V1 , ∆V2 , . . . , ∆Vn . Trong mỗi miền ∆i lấy một điểm tuỳ ý M( xi , yi , zi )
n
và thành lập tổng tích phân In = ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi . Nếu khi n → +∞ sao cho
i =1
max {∆Vi → 0} mà In tiến tới một giá trị hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia
miền V và cách chọn điểm M( xi , yi , zi ) thì giới
ZZZ hạn ấy được gọi là
ZZZ tích phân bội ba của
hàm số f ( x, y, z) trong miền V , kí hiệu là
f ( x, y, z) dV hay
V
f ( x, y, z) dxdydz.
V
Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận khác, đó là đầu tiên đi định
nghĩa tích phân bội ba trên miền hình hộp chữ nhật, sau đó mở rộng nó ra cho miền
V bị chặn bất kì.
15) Về định nghĩa của tích phân đường loại I, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau.
c . Chia cung
Định nghĩa 6.22. Cho hàm số f ( x, y) xác định trên một cung phẳng AB
c thành n cung nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . Trên
AB
n
mỗi cung ∆si lấy một điểm Mi bất kì. Giới hạn, nếu có, của ∑ f ( Mi ) ∆si khi n → ∞
i =1
c và cách chọn các điểm
sao cho max ∆si → 0 không phụ thuộc vào cách chia cung AB
c , kí hiệu
Mi Zđược gọi là tích phân đường loại một của hàm số f ( x, y) dọc theo cung AB
f ( x, y) ds.
là
c
AB
Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận xuất phát từ bài toán thực tế là
tính khối lượng của một đường cong C cho bởi phương trình véctơ
r = r(t), a ≤ t ≤ b.
Khi đó ta chủ động chia [ a, b] thành n đoạn bằng nhau và định nghĩa tích phân đường
giống như cách đã làm với tích phân xác định
Zb
f ( x )dx.
a
16) Về định nghĩa của tích phân đường loại II, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau.
c thành n cung nhỏ ∆si bởi các điểm chia A0 =
Định nghĩa 6.23. Chia cung AB
−−−−→
A, A1 , A2 , ..., An = B.Gọi toạ độ của vectơ Ai−1 Ai = (∆xi , ∆yi ) và lấy điểm Mi bất
n
kì trên mỗi cung ∆si . Giới hạn, nếu có, của tổng ∑ [ P ( Mi ) ∆xi + Q ( Mi ) ∆yi ] sao cho
i =1
c và cách chọn các điểm Mi được
max ∆xi → 0, không phụ thuộc vào cách chia cung AB
c
gọi là tích
Z phân đường loại hai của các hàm số P ( x, y) , Q ( x, y) dọc theo cung AB , kí
P ( x, y) dx + Q ( x, y) dy.
hiệu là
c
AB
204
2. Trường véctơ
205
Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận xuất phát từ bài toán trong Vật
lý là tính công của một lực biến đổi và định nghĩa tích phân đường loại II thông qua
mối liên hệ với tích phân đường loại I.
17) Về định nghĩa của tích phân mặt loại I, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau.
Định nghĩa 6.24. Cho hàm số f ( x, y, z) xác định trên mặt cong S. Chia mặt cong S
thành n mặt nhỏ ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn . Trên mỗi ∆Si lấy một điểm Mi bất kì. Giới hạn,
n
nếu có, của ∑ f ( Mi )∆Si khi n → ∞ và max d(∆Si ) → 0 không phụ thuộc vào cách
1≤ i ≤ n
i =1
chia mặt cong S và cách chọn các điểm Mi được gọi là tích phân mặt loại I của hàm
số f ( M) trên mặt cong S, kí hiệu là
ZZ
f ( x, y, z)dS.
S
Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận xuất phát từ bài toán tính khối
lượng của mặt cong S và định nghĩa tích phân mặt loại I thông qua tích phân kép và
công thức tính diện tích mặt.
18) Về định nghĩa của tích phân mặt loại II, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau.
Định nghĩa 6.25. Cho một mặt cong định hướng S trong miền V ⊂ R3 và n =
(cos α, cos β, cos γ) là véctơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của S tại
−
→
điểm M( x, y, z). Giả trường vectơ F ( M) = ( P ( M) , Q ( M) , R ( M)) biến thiên liên
tục trên V , nghĩa là các toạ độ P ( M) , Q ( M) , R ( M) của nó là những hàm số liên tục
trên V . Chia mặt S thành n mặt cong nhỏ, gọi tên và cả diện tích của chúng lần lượt
là ∆S1 , ∆S2 , ..., ∆Sn . Trên mỗi ∆Si lấy một điểm Mi bất kì và gọi vectơ pháp tuyến đơn
vị theo hướng dương đã chọn của nó là ni = (cos αi , cos β i , cos γi ).
n
Giới hạn, nếu có, của tổng ∑ [ P ( Mi ) cos αi + Q ( Mi ) cos β i + R ( Mi ) cos γi ]∆Si được
i =1
gọi là tích phân mặt loại II của các hàm số P ( x, y, z) , Q ( x, y, z) , R ( x, y, z) trên mặt S,
và được kí hiệu là:
ZZ
P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy.
S
Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận dựa trên bài toán tính khối
lượng chất lỏng chảy qua mặt S trên một đơn vị thời gian và định nghĩa tích phân
mặt loại II thông qua tích phân mặt loại I.
205