MODELAMIENTO
MATEMATICO
Ing. JONATHAN FELIX GUARACHI SOLANO MsC. PhD.
MODELOS DE
POBLACIÓN
El problema de estimar los cambios de
población es claramente importante. El
hecho de que la tasa de natalidad en el
Reino Unido haya disminuido durante más
de una década tiene consecuencias en las
próximas décadas en términos de recursos
del país.
20XX
Presentación de lanzamiento
2
El problema de estimar los cambios de
población es claramente importante. El
hecho de que la tasa de natalidad en el
Reino Unido haya estado en declive durante
más de una década tiene consecuencias en
las próximas décadas en términos de
recursos del país.
3
Se requieren menos camas de maternidad en la primera etapa, se
necesitan menos instalaciones médicas para los niños pequeños y
disminuye el número de nuevos niños que ingresan a la escuela
primaria cada año. Los cambios en la forma en que se gastan los
recursos del país deben planificarse con mucha anticipación, por lo
que se necesitan buenas estimaciones de cómo está cambiando la
población, no solo en el tamaño general, sino también en la
distribución por edades. De manera similar, los pueblos y ciudades
necesitan estimar los cambios de población para que las
instalaciones y servicios adecuados estén disponibles.
Entonces, nuestro problema del mundo real es explicar la forma en que cambian las poblaciones y
formular un modelo para predecir cambios futuros. Nuestro primer intento se basa en las ideas
presentadas por el economista inglés Thomas Malthus en su artículo 'An Essay on the Principle of
Population' publicado en 1798.
Si N = N(t) denota la población total del país en el tiempo t, entonces en
un pequeño intervalo de tiempo, digamos en, se supone que tanto los
nacimientos como las muertes son proporcionales al tamaño de la
población y al intervalo de tiempo, es decir.
Así, el aumento, digamos δN, en la población total en el intervalo de tiempo δt
viene dado por
donde y = α – β. Dividiendo por δt y tomando el
límite como δt → 0 se obtiene la ecuación
diferencial
1.1
5
El comportamiento previsto de
la población depende mucho
del signo de la constante γ.
Tenemos
crecimiento
exponencial si γ > 0,
decaimiento exponencial si γ <
0 y ningún cambio si γ = 0.
Estas soluciones se ilustran en
la figura 1.1
Para ver si este modelo tiene algún valor en
las predicciones de población, nos dirigimos
a un problema específico. En la Tabla 1, las
estadísticas de población de EE. UU.
se dan para 1790, 1800 y 1810. Usaremos el modelo maltusiano
para predecir el total de la población futura de EE. UU. El tiempo t
= 0 corresponde a 1790, por lo que tomamos N0 = 3,9 x 106.
Trabajando en intervalos de tiempo de 10 años, en t = 1 (es decir,
1800), de (1,2)
Utilizando estos valores para N0 e γ, el modelo predice N(2) =
7,3 x 106, que está razonablemente cerca del valor observado
en 1810. Continuando de esta manera, calculamos la población
total pronosticada cada 10 años. Estos valores, junto con los
valores reales, se dan en la tabla 2.
Existe un acuerdo razonable
desde hace algún tiempo. Por
ejemplo, la cifra de 1850 tiene
un error del 10 %. Pero para
1870 el error ha aumentado al
30% y el modelo es de poca
utilidad.
Debemos mirar hacia atrás a las
suposiciones hechas y considerar
qué factores se han descuidado.
Tal como está, el modelo
maltusiano predice un crecimiento
ilimitado (para γ > 0) para todo el
tiempo futuro. Es muy poco
probable que esto ocurra ya que
existen
muchas
limitaciones
variadas para el crecimiento, como
la falta de recursos alimentarios, el
hacinamiento,
el
suministro
insuficiente de energía y otros
factores ambientales.
En
1837
Verhulst
propuso
una
modificación que tuvo en cuenta Factores
de "hacinamiento". Suponemos que hay
un límite superior, digamos N∞, para la
población que se puede sostener. Ahora
se supone que el cambio de población,
dN/dt, es proporcional a
(i) el nivel de población actual, N;
(ii) la fracción del recurso de
población que aún no se utiliza, es
decir, (1 - N/N∞)
Esta es nuevamente una ecuación diferencial de
primer orden que se puede resolver de manera
similar a (1.1). Tenemos
Si a t = 0, N = N0 ; tenemos A = ln [N0/(1-N0/N∞)
0
0
0
1.4
¿Qué predice ahora nuestro modelo? El cambio principal de la El modelo
malthusiano es que ya no hay crecimiento ilimitado. Como t - ∞, vemos de
(1.4) que
N → N∞
la población máxima sostenible. Cómo alcanza este nivel depende del valor del
número de población inicial. Si N0 < N∞. habrá un tipo de crecimiento exponencial al
principio, pero a medida que N se hace más grande, el crecimiento disminuye, y como
se puede ver en (1.3) como N → N∞, dN/dt → 0.
11
En la figura 1.2 se esboza una solución
típica. Por otro lado, si No > N∞, habrá
un decaimiento inicial de la población
que se nivelará cuando N se acerque a
N∞. Ahora pasamos a la etapa de
validación del proceso de modelado.
Usando nuevamente los datos de
población de EE. UU. que se dan en la
Tabla 1, Verhulst eligió los parámetros
como
Los valores predichos se dan
en la Tabla 3 junto con los
valores reales hasta 1930.
Ciertamente parece haber una
correlación notable, ya que
durante más de 100 años el
modelo de Verhulst predijo con
precisión la población de EE.
UU.
13
Entonces, en cuanto a la predicción de la población total
de EE. UU. después de 1810, el modelo parece excelente.
Pero después de 1930 se extravía. El valor límite del
modelo de Verhulst es 197 x 106, pero la población de EE.
UU. ya supera los 200 x 106. Tal vez sea un poco
irrazonable esperar que el modelo prediga con precisión
durante más de 100 años. Por otro lado, ¿podemos tener
mucha confianza en usar modelos de este tipo hoy para
predecir los cambios futuros de un país? Las leyes que
gobiernan los cambios de población no son tan precisas
como las que gobiernan un sistema mecánico, y por eso
es difícil tener una confianza real en las predicciones de
población para el futuro. No sabemos qué cambios
fundamentales podrían tener lugar en las próximas
décadas: ¿una guerra nuclear, una catástrofe
demográfica u otra revolución industrial?
20XX
14
UN MARCO PARA LA MODELIZACIÓN
Explicación y
predicción de
cargos de
población
El crecimiento es
proporcional a la
población.
No satisfactorio
para la población
estadounidense
1820-1930
Crecimiento
ilimitado si γ > 0
Crecimiento y decaimiento exponencial:
Una vez resuelta esta ecuación diferencial, hemos resuelto
efectivamente numerosos problemas. Por ejemplo,
desarrollaremos modelos matemáticos que representen
problemas de absorción de fármacos, datación de
muestras arqueológicas, enfriamiento con agua y absorción
de alcohol, todo lo cual se reduce a resolver una ecuación
diferencial del tipo (2.1). También establecemos, como
casos de estudio para el lector, otras aplicaciones de esta
ecuación diferencial, incluidos los modelos de población, la
previsión de la demanda de energía, el interés compuesto
continuo y la detección del tiempo de asesinato.
16
(
)
2.2
El comportamiento de la solución
depende claramente del signo de
la constante k. Si k es positivo
tenemos
crecimiento
exponencial, si k es cero y
permanece igual a su valor inicial,
y si k es negativo tenemos
decaimiento exponencial, y → 0
cuando x → ∞. Estas soluciones
se ilustran en la Fig. 2.1.
ABSORCIÓN DE DROGAS
El estudio de la forma en que un fármaco pierde su
concentración en la sangre de un paciente es
fundamental para la farmacología. La relación 'dosisrespuesta' juega un papel vital en la determinación del
nivel de dosificación requerido y el intervalo de tiempo
entre las dosis de un fármaco en particular. Suponga
que y = y(t) representa la cantidad de droga en el
torrente sanguíneo en el tiempo t.
La figura 2.2 muestra algunos
resultados experimentales para la
penicilina (tenga en cuenta que la
escala de concentración no es
lineal). La forma más sencilla de
modelar tal comportamiento es
asumir que la tasa de cambio de la
concentración es proporcional a la
concentración del fármaco en el
torrente sanguíneo. En términos
matemáticos
20
En términos matemáticos:
2.3
donde k es una constante positiva que debe ser determinada
experimentalmente, para el fármaco en estudio. Los experimentos han
demostrado que (2.3) es una buena aproximación a la realidad para muchas
drogas, siendo la penicilina la más importante. Habiendo determinado la
constante k para una droga en particular, ahora usamos la ecuación (2.3) como
modelo. Suponga que al paciente se le da una dosis inicial y0, que se supone
que la sangre absorbe instantáneamente en el tiempo t = 0, lo que da como
resultado una cantidad y = y0 en t = 0 en la sangre. El tiempo real de absorción
suele ser muy pequeño en comparación con el tiempo entre dosis. De nuestra
solución general (2.3), podemos escribir inmediatamente
21
(donde x se reemplaza por t, x0 por y0 y k por -k), -k muestra que
la concentración de la droga decae exponencialmente. Después
de un tiempo prescrito, digamos T, se administra una segunda
dosis, de la cantidad y0. Justo antes de la dosis en el tiempo t =
T_, la cantidad en la sangre viene dada por
+
Justo después de la dosis, en el tiempo T = T+,
+
¿Qué sucede con esta nueva cantidad en la sangre? Decae de acuerdo con la ecuación
(2.3) con la condición inicial
en t = T. Así, para t ≥ T, de (2.2)
(
)
Por lo tanto como t → 2T
Nuevamente, al darle al paciente una dosis y0 en t = 2T, se obtiene
+
Y ahora resolvemos 2.3 con
para t ≥ 2T.
con t =2T
(
)
Por lo tanto
y después de una dosis y0 en t = 3T,
+
20XX
23
Continuando en este camino,
2.4
+
para n = 1,2,…
Ahora podemos ver lo que sucede con la cantidad de la droga a medida
que aumenta el número de dosis. Para
+
(ya que (2.4) es una progresión geométrica) y a medida que n crece,
, de modo que
+
24
Dado que esto es independiente de n, el modelo predice que la cantidad
de droga tiende a un nivel de saturación, digamos y s , donde
Esta fórmula juega un papel clave. Se puede utilizar para determinar
(i) el intervalo de tiempo requerido, T, entre dosis para una dosis dada yo y
el nivel final prescrito ys;
(ii) el nivel de dosis y0 requerido para obtener un nivel de dosis final ys con un
intervalo prescrito entre dosis, T. Una desventaja de este método es la
lenta acumulación hasta el nivel de fármaco requerido ys. Otro enfoque es
comenzar con una dosis inicial grande, digamos el nivel final requerido ys,
en sí mismo, y luego en el tiempo T
25
El paciente ahora recibe una segunda dosis, digamos yd, que lleva el
nivel a ys nuevamente; es decir.
Esto da
usando (2.6). Así que volvemos a dar una dosis yo en cada intervalo de
tiempo T después del refuerzo inicial. Estos métodos de acumulación
se ilustran en la Fig. 2.3. Este segundo método tiene la gran ventaja de
alcanzar el nivel requerido inmediatamente, pero para muchas drogas
esto puede tener efectos secundarios desagradables en el cuerpo. A
menudo, en la práctica, se llega a un compromiso entre los dos
métodos ilustrados anteriormente.
20XX
El paciente comienza con una dosis inicial doble, 2y0, seguida de dosis
regulares y0. De esta forma se aprovechan las ventajas de cada método
y se minimizan las desventajas.
27
PRUEBA DE CARBONO
La figura muestra la famosa mesa
redonda que está fijada a la pared en el
gran salón del castillo de Winchester.
La mesa tiene 18 pies de diámetro y 25
sectores, uno para el Rey y otro para
cada uno de sus caballeros, siendo la
forma redonda para que ningún
caballero pueda reclamar precedencia
sobre los demás. Algunos expertos han
pensado que esta es la mesa redonda
real del Rey Arturo, pero ha habido
especulaciones recientes sobre su
autenticidad. En 1976 se retiró la mesa
de la pared y los científicos y
arqueólogos emplearon una serie de
métodos para estimar su fecha de
origen. Uno de los métodos más
importantes utilizados fue la “prueba de
carbono", una técnica desarrollada por
un químico estadounidense, W. F. Libby,
a fines de la década de 1940 (por la que
recibió el Premio Nobel de Química en
28
1960).
La prueba de carbono se basa en los principios de la radiactividad descubiertos y
desarrollados a principios de siglo por Rutherford y otros. Ciertos átomos son
intrínsecamente inestables, por lo que después de un tiempo sin ninguna influencia externa,
experimentarán una transición a un átomo de un nuevo elemento y durante la transición
emiten radiación. A partir de la evidencia experimental, Rutherford formuló un modelo simple
para describir la forma en que se descomponen las muestras radiactivas. Si N = N(t)
representa el número de átomos en una muestra radiactiva en el tiempo t, entonces
representa el número de desintegraciones en la unidad de tiempo. Rutherford
demostró que el número de desintegraciones era proporcional al número de
átomos presentes, de modo que
Aquí
es una constante positiva, llamada constante de
decaimiento. Esta constante tendrá diferentes valores para
diferentes sustancias; cuanto mayor sea el valor, más rápido
decae la muestra. Para una sustancia particular, tiene que ser
encontrado experimentalmente. En la práctica, no medimos
directamente , la constante de decaimiento, sino la vida media,
τ. Se define como el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad
de una cantidad dada de átomos. Para relacionar y τ, debemos
resolver (2.7) con la condición inicial N = N0, digamos en t = 0. De
(2.2)
N
2.8
de modo que si N = N0/2 en t = τ, tenemos
30
Entonces, para el Carbono 16, un isótopo del Carbono, la constante de
decaimiento tiene valor, usando (2.9),
λ = ln 2/τ = 1.245 x 10-4 por año
31
Podemos pasar a su aplicación en la datación por carbono. La atmósfera terrestre está
siendo bombardeada continuamente por rayos cósmicos. Esto produce neutrones en la
atmósfera y estos se combinan con nitrógeno para formar Carbon-14 (C14). En plantas y
animales vivos, la tasa de absorción de C14 se equilibra con la tasa natural de
descomposición y se alcanza un estado de equilibrio. La suposición básica en la datación
por carbono es que la intensidad del bombardeo de la superficie terrestre por los rayos
cósmicos se ha mantenido constante a lo largo del tiempo. Esto significa que la tasa
original de desintegración de C14 en una muestra de madera es la misma que la tasa
medida hoy en día en madera viva. Cuando se forma la muestra (por ejemplo, la mesa
hecha), la madera se aísla de su entorno original y los átomos de C14 se descomponen sin
absorción adicional.
Suponga que la tabla se formó en el tiempo t = 0. Sea R0 el tasa original de
desintegraciones, de modo que
20XX
La tasa actual de desintegraciones, R(t), viene dada por
Usando 2.8. por lo tanto
Para la madera viva, la tasa de desintegración (por minuto por gramo de muestra) es
6,68, por lo que tomamos este como el valor cuando se formó la tabla, es decir:
R0 = 6.68
De las mediciones tomadas en 1977, la tasa actual está dada por
Utilizando 2.10, la edad de la mesa esta dad por
20XX
R(t) = 6.08
Utilizando 2.10, la edad de la mesa esta dada por
Esto da una fecha para la mesa de alrededor de
1275, lo que indica claramente que la mesa no era
del rey Arturo (él vivió en el siglo V).
20XX
VARIABLES SEPARABLE DIFFERENTIAL EQUATIONS
20XX
REACCIÓN AL ESTÍMULO
Nuestros órganos sensoriales responden a una amplia gama de estímulos. Por
ejemplo, el oído puede detectar un sonido que varía en intensidad desde una
presión de 0,0002 unidades de fuerza (dinas) por centímetro cuadrado hasta
una presión de 2000 dinas por cm2. Esto significa que el oído puede detectar
sonidos tan bajos como el tictac de un reloj a veinte pies de distancia hasta
ruidos tan fuertes como un avión a reacción. El primer modelo matemático
para describir la respuesta, R, a un estímulo S, se debió al fisiólogo alemán
Gustav Fechner (1801-1887). El modelo se puede escribir en forma diferencial
donde k es una constante positiva. Esta ecuación implica que la incremento a la reacción para incrementos
iguales en el estímulo disminuye a medida que aumenta la magnitud del estímulo. Por ejemplo, un pequeño
ruido al estar despierto por la noche, cuando el ruido de fondo es bajo, es bastante significativo, mientras
que el mismo ruido pasaría desapercibido durante el día cuando el nivel de ruido de fondo es mucho más
alto.
36
La ecuación (3.3) es una
ecuación
diferencial
variable separable y
podemos escribir su
solución como
donde A es la constante
de integración
Ahora sea S0 el nivel más bajo del estímulo que
puede detectarse consistentemente. A esto lo
llamamos valor umbral o umbral de detección.
Como ejemplo, podemos tomar el tictac de un reloj
a 20 pies en condiciones tranquilas. A continuación
se dan otros ejemplos de umbrales de detección.
Estimulo
Umbral de detección
Luz
La llama de una vela a 30 millas de distancia en una
noche oscura
Gusto
Agua diluida con azúcar en la proporción de 1
cucharadita por dos galones
olfato
Una gota de perfume difundida en el volumen de tres
habitaciones de tamaño medio
tacto
El ala de una abeja cayó sobre tu mejilla a una
distancia de 1 centímetro (alrededor de 3/8 de una
pulgada)
Por lo tanto, tomamos la reacción al umbral de detección como cero, es
decir, R(S0) = 0. Usando esto en (3.4) da A = -k In S0 y finalmente
Una solución típica se
ilustra en la Fig. 3.2.
Claramente, los valores
de los parámetros k y S0
dependen tanto del tipo
de estímulo como del
individuo.
Como era de esperar, la solución nos dice que el
incremento en la reacción se vuelve más pequeño a
medida que uno recibe un estímulo más fuerte.
Por ejemplo, si está en una habitación de tamaño medio con solo una bombilla
de 50 vatios en una lámpara, un aumento de 50 vatios a 100 vatios produciría
una mejora espectacular en la calidad de la luz proporcionada; pero el mismo
aumento de 50 watts a 150 watts solo representaría una pequeña mejora. La
ley de Weber-Fechner esencialmente nos dice que las sensaciones solo
aumentan en forma aritmética en respuesta a cambios logarítmicos en la
estimulación. Esto explica la notable capacidad del oído para responder
eficientemente a una gama tan amplia de estímulos.
Durante algún tiempo este modelo fue considerado como base para la psicofísica; pero
a principios de la década de 1950 se idearon nuevos métodos para medir la percepción
sensorial. Estos fueron concebidos en gran medida por S. Stevens (1906-1973) y fue el
primero en demostrar que la Ley de Weber-Fechner era inadecuada. Formuló su propia
ley, que se basa en la ecuación diferencial
FORMULÓ SU PROPIA LEY,
QUE SE BASA EN LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
donde n es una constante positiva. Tenga en cuenta
que esto es lo mismo que (3.3) excepto por la
adición de un término R en el lado derecho. Así que
ahora estamos diciendo que la velocidad de cambio
de la reacción al estímulo varía inversamente con el
estímulo (como antes) pero también linealmente
con la reacción. Fácilmente podemos integrar (3.6)
para dar
donde A es la constante de integración.
Escribiendo A = ln k, tenemos:
Esto se conoce como la Ley de
Potencia de Stevens y predice que
proporciones de estímulo iguales
corresponden a proporciones de
reacción iguales. La constante K está
determinada por la elección de las
unidades, mientras que el exponente n
varía con la fuente de la sensación.
La ley de potencia para tres tipos
de sensaciones psicológicas:
• (i) descarga eléctrica percibida
• (ii) longitud visual aparente
• (iii) brillo
se ilustra en la Fig. 3.3. Los datos de
Stevens parecen demostrar que la ley de
potencia (3.7) describe con precisión la
relación entre estimulación y sensación.
41
MODELOS DE CRECIMIENTO INHIBIDO
Ya hemos conocido en primer lugar el modelo de población de Malthus
que predice un crecimiento ilimitado (ver Fig. 1.1) y el modelo de Verhulst
que predice un crecimiento de tipo sigmoideo (ver Fig. 1.2). Aunque este segundo
modelo ha sido particularmente exitoso en la descripción de algunas poblaciones,
hay muchas para las que no es adecuado, y ahora veremos una de las
modificaciones que se ha propuesto, a saber, un modelo de población limitado por
alimentos.
42
De (3.23) la tasa de crecimiento
pronosticada por individuo viene
dada por
lo que predice que la relación será lineal en N. A partir de experimentos
en cultivos de bacterias, Smith (en Ecology, No. 44, 1963) encontró
curvas de crecimiento de tipo sigmoide, pero no obtuvo una forma lineal
para la tasa de crecimiento por individuo frente a la población.
Continuó desarrollando un modelo de población con "alimentos
limitados". Primero supuso que el término (1 - N/N∞), el grado de
insaturación, debería ser reemplazado por (1 – F/T) donde F es la
tasa a la que una población de tamaño N usa alimentos y T es la tasa
de saturación. Por lo tanto
Supuso además que F tomaba la forma
aquí y μ son constantes. En la saturación F = T y N = N∞, de modo que obtenemos
T = N∞; y usando esto en (3.4a) da
Esta es la ecuación diferencial que gobierna el modelo, que ya no predice una tasa
de crecimiento lineal por individuo con un tamaño de población N.
Para resolver (3.26) debemos separar las variables, dando
donde k = eA
45
Aunque aún podemos obtener una
forma de la solución, concretamente
(3.27), debido a la complejidad del
modelo, no es posible resolver
explícitamente para N. Por otro lado,
se pueden usar métodos numéricos
para encontrar soluciones precisas.
Una solución típica se esboza en la
figura 3.10 y, como era de esperar,
sigue la forma de tipo sigmoide.
Smith usó este modelo para describir
el crecimiento de cultivos de
bacterias y el modelo se ajustó con
precisión a los datos disponibles.
46