Instituto Tecnológico de Boca del rio
Examen Unidad 5
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Semestre: 4to Grupo “A”
Alumno(a): Sosa Copete Ana Minerva
Docente: Luis Eduardo Argüello Ahuja
Fecha: 12/06/22
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
1. 𝒇(𝒙) = {
𝟏 𝒔𝒊 − 𝝅/𝟐 < 𝒙 < 𝟎
𝝅
−𝟏 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒙 < 𝟐
La función f(x) es impar par en este caso tenemos que −f(1) = f(−1), no es necesario calcular los
coeficientes a0 y an por lo que igualamos a 0
𝑎0 = 0
coeficiente
𝑎𝑛 = 0
coeficiente
Calculamos el coeficiente bn
𝜋
2 0
2𝑛𝜋𝑥
2 2
2𝑛𝜋𝑥
𝑏𝑛 = ∫ [1]𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥 + ∫ [−1]𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝜋 −𝜋
𝑝
𝜋 0
𝜋
2
𝑏𝑛 =
2
cos(2𝑛𝑥) 0
2 cos(2𝑛𝑥) 𝜋2
(−
) 𝐼−𝜋 + (
) 𝐼0
𝜋
2𝑛
𝜋
2𝑛
2
Sustituimos los limites
𝑏𝑛 = [
cos(𝜋𝑛) − 1
cos(𝜋𝑛) − 1
]+[
]
𝜋𝑛
𝜋𝑛
sin(x) = 0 , sin(2π) = 0 , sin(3x) = 0 por lo tanto, podemos asumir que sin(n)= 0 haciendo la
sustitución
𝑏𝑛 = [
cos(𝜋𝑛) − 1
cos(𝜋𝑛) − 1
]+[
]
𝜋𝑛
𝜋𝑛
cos(π) = −1 , cos(2π) = 1, cos(3π) = −1 y por lo tanto podemos asumir que cos(nπ) = (1)n
𝑏𝑛 = [
cos(𝜋𝑛) − 1
cos(𝜋𝑛) − 1
]+[
]
𝜋𝑛
𝜋𝑛
Resultado de bn
𝑏𝑛 =
2((−1)𝑛 − 1)
𝜋𝑛
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Planteando la serie de Fourier
∞
𝑎0
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝐹(𝑥) =
+ ∑ 𝑎𝑛 cos (
𝑥) + 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛 (
𝑥)
2
𝑝
𝑝
𝑛=1
∞
2((−1)𝑛 − 1)sin(2𝑛𝑥)
𝐹(𝑥) = ∑
𝜋𝑛
𝑛=1
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
𝜋
𝜋
𝑥 𝑠𝑖 2 < 𝑥 < 3 2
2. 𝑓(𝑥) = {
𝜋
𝜋
0 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2
Esta función es impar
Esta función no es par ni impar
Función que no es par ni impar
∞
𝑎𝑏
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
+ 𝑏𝑛 sin (
))]
2
𝑡
𝑡
2
Donde sabemos que
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
Ahora teniendo esto calculamos los coeficientes
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝜋
𝜋
𝜋
1 2
1 32
1 𝑥2 2
1 𝜋 2
𝜋
1 𝜋 2
𝑎0 = [∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 0𝑑 𝑥 ] = [ | 𝜋] = (( ) − (− )2 ) = ( )
2 −𝜋
2 𝜋
2 2 −
4 2
2
2 2
2
2
2
1 𝜋 2
𝑎0 = ( )
2 2
Ahora procedemos con la siguiente integral
2 𝜋/2
2𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝜋
𝜋
3
2 2
2
𝑎𝑛 = [∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 0 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 ]
𝜋
2 −𝜋
2
2
Formula
𝜋
1 𝜋
1 𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + cos(𝑛𝑥) 2
𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛) + cos(𝑛) − 1
𝑎𝑛 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = [
]
| 𝜋] = 1 [
2
𝑛 0
1
𝑛
𝑛2
−
2
𝑎𝑛 =
2𝑛2
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
2𝜋 2 𝑛2 − 3𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 (
) + 𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 ( ) − 2 cos (
) + 2𝑐𝑜𝑠 ( )
2
2
2
2
2 𝜋/2
2𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝜋
𝜋
3
2 2
2
𝑏𝑛 = [∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 0𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 ]
𝜋
𝜋
2 −
2
2
𝜋
1 𝜋
(𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 2
𝑏𝑛 = ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 1 [−
]| 𝜋
1 0
𝑛2
−2
𝑏𝑛 =
1
𝜋2
Sustituimos los coeficientes en la serie de Fourier.
∞
𝑎0
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝑡
𝑡
𝑛=1
1 𝜋 2
∞
(2 )
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛)
2
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥)
−
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
2
𝑛2
𝜋𝑛2
𝑛=1
∞
3/4
2𝑛2
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥)
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
8
2 2
𝑛=1 2𝜋 𝑛 − 3𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) + 𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) − 2 cos ( 2 ) + 2𝑐𝑜𝑠 ( 2 )
−
1
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
𝜋2
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
𝜋
𝑥 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 <
3. 𝑓(𝑥) = {
𝜋 − 𝑥 𝑠𝑖
𝜋
2
𝜋
2
Esta función es impar
𝜋
< 𝑥 < 32
Esta función no es par ni impar
∞
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑏
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
+ 𝑏𝑛 sin (
))]
2
𝑡
𝑡
2
Donde sabemos que
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
Ahora teniendo esto calculamos los coeficientes
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝜋
𝜋
𝜋
1 2
1 32
1 𝑥2 3 2
1
𝜋 2 𝜋2
3
𝑎0 = [∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝜋 − 𝑥𝑑 𝑥 ] = [ | 𝜋 ] = ((3 ) − ) =
𝜋
𝜋
2 −
3
2 2
4
2
2
4
2
2
2
𝑎0 =
3
4
Ahora procedemos con la siguiente integral
2 𝜋/2
2𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝜋
𝜋
3
2 2
2
𝑎𝑛 = [∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝜋 − 𝑥 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 ]
𝜋
2 −𝜋
2
2
Formula
𝜋
1 𝜋
1 𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + cos(𝑛𝑥) 3 2
𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛) + cos(𝑛) − 1
𝑎𝑛 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = [
]
| 𝜋] = 1 [
2
𝑛 0
1
𝑛
𝑛2
−
2
𝑎𝑛 =
2𝑛2
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
2𝜋 2 𝑛2 − 3𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) + 𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) − 2 cos ( 2 ) + 2𝑐𝑜𝑠 ( 2 )
2 𝜋/2
2𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝜋
𝜋
3
2 32
2
𝑏𝑛 = [∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝜋 − 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 ]
𝜋
𝜋
2
2
2
𝜋
1 𝜋
(𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 3 2
𝑏𝑛 = ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 1 [−
]| 𝜋
1 0
𝑛2
−2
𝑏𝑛 =
1
𝜋2
Sustituimos los coeficientes en la serie de Fourier.
∞
𝑎0
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝑡
𝑡
𝑛=1
∞
3/4
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥) −
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
2
2
𝑛
𝜋𝑛2
𝑛=1
∞
3/4
2𝑛2
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥)
8
2 𝑛2 − 3𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 (3𝜋𝑛) + 𝜋𝑛𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑛) − 2 cos (3𝜋𝑛) + 2𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑛)
2𝜋
𝑛=1
2
2
2
2
−
1
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
𝜋2
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
−1 𝑠𝑖 0 < 𝑥 <
4. 𝑓(𝑥) = {
0 𝑠𝑖
𝜋
2
𝜋
2
< 𝑥 < 2𝜋
Estas ambas funciones son
pares
∞
𝑎𝑏
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
+ 𝑏𝑛 sin (
))]
2
𝑡
𝑡
2
Donde sabemos que
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝜋 2
𝜋
𝜋
2𝜋
(2 )
1
2
1
𝑥 2
1 𝜋 2
𝑎0 = 𝜋 [∫ −1𝑑𝑥 + ∫ 0𝑑𝑥 ] = 𝜋 [− | ] = 𝜋 (( ) − 02 ) = 𝜋
𝜋
1 0
2
2
2 0
2
2
2
𝜋2
2
2
4 = 2𝜋 = 𝜋
𝑎0 = 𝜋
4𝜋
2𝜋
2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝜋
2𝜋
2
2
𝑎𝑛 = 𝜋 [∫ −1 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 0 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 ]
𝜋
2
2 0
𝑎𝑛 = −
4𝑛
𝜋𝑛
𝜋 (𝑠𝑒𝑛 ( 2 ))
2 𝜋/2
2𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝜋
2𝜋
2
2
𝑏𝑛 = 𝜋 [∫ −1 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 0𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 ]
𝜋
2
2 0
𝑏𝑛 =
4𝑛
𝜋𝑛
𝜋 (−𝑐𝑜𝑠 ( 2 ) + 1)
Sustituimos los coeficientes en la serie de Fourier.
∞
𝑎0
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝑡
𝑡
𝑛=1
𝜋2
∞
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛)
2𝜋
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥) −
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
2
2
𝑛
𝜋𝑛2
𝑛=1
𝜋2
∞
4𝑛
4𝑛
2𝜋
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [−
cos(𝑛𝑥) −
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
𝜋𝑛
𝜋𝑛
4𝜋
𝜋 (−𝑐𝑜𝑠 ( 2 ) + 1)
𝜋 (𝑠𝑒𝑛 ( 2 ))
𝑛=1
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
0 si − π < x < 0
5. f(x) = {
x si 0 < x < π
∞
𝑎𝑏
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
+ 𝑏𝑛 sin (
))]
2
𝑡
𝑡
2
Donde
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
Cálculos de coeficientes
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑎0 =
0
𝜋
1
1 𝑥2 𝜋
1
𝜋2
(𝜋 2 − 02 ) =
[∫ 0𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 ] =
[ | ]=
2𝜋 −𝜋
2𝜋 4𝜋 0
4𝜋
4𝜋
0
𝑎0 =
𝜋
4
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝑎𝑛 =
0
𝜋
2
[∫ 0 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 ]
2𝜋 −𝜋
0
𝑎𝑛 =
1 𝜋
1 𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + cos(𝑛𝑥) 𝜋
1 𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = [
]
| ]= [
2
𝑛 0
𝜋
𝑛
0
𝜋
𝑛2
𝑎𝑛 =
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
𝑛2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝑏𝑛 =
0
𝜋
2
[∫ 0 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 ]
2𝜋 −𝜋
0
𝑏𝑛 =
1 𝜋
1 (𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝜋
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥 = [−
]|
𝜋 0
𝜋
𝑛2
0
𝑏𝑛 = −
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝜋𝑛2
Sustituimos los coeficientes en la serie de Fourier.
∞
𝑎0
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝑡
𝑡
𝑛=1
∞
𝜋/4
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥) −
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
2
2
𝑛
𝜋𝑛2
𝑛=1
∞
𝜋/4
𝑛𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛) + 𝜋 cos(𝜋𝑛) − 1
𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝑓(𝑥) =
+∑[
cos(𝑛𝑥) −
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
2
8
𝑛
𝜋𝑛2
𝑛=1
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
𝜋
𝜋
𝑥 2 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2
6. 𝑓(𝑥) = { 𝜋 𝜋
𝜋
𝑠𝑖 2 < 𝑥 < 3 2
4
∞
𝑎𝑏
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝑡
𝑡
𝑛=1
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫
𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝑙 𝜋/2
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑎0 =
𝜋/2
3𝜋/2
1
𝜋
1 𝑥 3 𝜋/2
𝜋𝑥 3𝜋/2
[∫
𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 ] =
[ |
+
]
|
2𝜋 −𝜋/2
2𝜋 3 −𝜋/2 4 𝜋/2
𝜋/2 4
𝑎0 =
1 𝜋3 𝜋2
(𝜋 + 3)𝜋
[ + ]=
2𝜋 12 4
24
𝑎0 =
(𝜋 + 3)𝜋
24
𝒂𝒏 =
𝟐 𝝅/𝟐
𝟐𝝅𝒏𝒙
∫
𝒇(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 (
) 𝒅𝒙
𝒕 −𝝅/𝟐
𝒕
𝜋/2
3𝜋/2
2
𝜋
2
𝑎𝑛 =
[∫
𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) + ∫
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)]
2𝜋 −𝜋/2
𝜋/2 4
1 𝑛2 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) + 2𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) − 2𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝜋/2
𝜋𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) 3𝜋/2
𝑎𝑛 = [
+
]
|
|
𝜋
𝑛3
−𝜋/2
4𝑛
𝜋/2
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
1 𝑛2 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥/2) + 4𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥/2) − 8𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥/2) 𝜋𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) − 𝜋𝑠𝑒𝑛( 2 )
𝑎𝑛 = [
+
]
𝜋
2𝑛3
4𝑛
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
𝜋𝑛
2
2 2
2
1 𝜋𝑛 𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) + (2𝑛 𝜋 − 𝑛 𝜋 − 16)𝑠𝑒𝑛 ( 2 ) + 8𝜋𝑛𝑐𝑜𝑠( 2 )
𝑎𝑛 = [
]
𝜋
4𝑛3
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
2𝑛2 𝜋 2 − 𝜋𝑛2 − 16)𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛/2) 𝑠𝑒𝑛( 2 ) 2cos( 2 )
𝑎𝑛 =
+
+
4𝜋𝑛3
4𝑛
𝑛2
2 𝜋/2
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫
𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝜋/2
𝑡
𝑏𝑛 =
𝜋/2
3𝜋/2
2
𝜋
[∫
𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
2𝜋 −𝜋/2
𝜋/2 4
𝑏𝑛 =
1 −(𝑥 2 𝑛2 cos(𝑛𝑥) − 2𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) − 2 cos(𝑛𝑥)) 𝜋/2
−𝜋cos(𝑛𝑥) 3𝜋/2
[(
+(
)|
]
)|
3
𝜋
𝑛
−𝜋/2
4𝑛
𝜋/2
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
− (𝜋 cos ( 2 ) − 𝜋 cos ( 2 ))
1
𝑏𝑛 = [0 +
]
𝜋
4𝑛
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
cos ( 2 ) + cos( 2 )
𝑏𝑛 = −
4𝑛
Sustituimos los coeficientes en la serie de Fourier.
∞
𝑎𝑏
2𝜋𝑛𝑥
2𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝑡
𝑡
𝑛=1
𝑓(𝑥) =
(𝑛 + 3)𝜋/24
4
𝜋𝑛
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
(2𝑛2 𝜋 2 − 𝜋𝑛2 − 16)𝑠𝑒𝑛( ) 𝑠𝑒𝑛(
) 2cos( 2 )
2
2
+ ∑ [(
+
+
) cos(𝑛𝑥)
4𝜋𝑛3
4𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
cos ( 2 ) + cos( 2
+ (−
) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
4𝑛
𝑓(𝑥) =
(𝑛 + 3)𝜋
48
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
(2𝑛2 𝜋 2 − 𝜋𝑛2 − 16)𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑛/2) 𝑠𝑒𝑛( 2 ) 2cos( 2 )
+ ∑ [(
+
+
) cos(𝑛𝑥)
4𝜋𝑛3
4𝑛
𝑛2
∞
𝑛=1
3𝜋𝑛
𝜋𝑛
cos ( 2 ) + cos ( 2 )
−(
) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)]
4𝑛
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
𝑆𝑒𝑛 𝑥
7. 𝐹(𝑥) = {
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖
𝑠𝑖
−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0
}
0≤𝑥≤𝜋
Una función 𝑓(𝑥) no tiene simetría si no cumple con la simetría necesaria par o impar, al tener una
función sin simetría es necesario calcular todos los coeficientes: “a0”, “an” y “bn”.
Planteamos el coeficiente para “a0”:
2 0
2 𝜋
𝑎0 =
∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 +
∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
2𝜋 0
𝑎0 =
2
2
[−𝐶𝑜𝑠(𝑥)]0−𝜋 +
[𝑆𝑒𝑛(𝑥)]𝜋0
2𝜋
2𝜋
Sustituimos los limites
2
𝑎0 = [− ] + [0]
𝜋
Y el coeficiente de “a0” es:
𝑎0 = −
2
𝜋
Ahora planteamos el coeficiente de “an”
𝑎𝑛 =
2 0
2𝑛𝜋𝑥
2 𝜋
2𝑛𝜋𝑥
∫ [𝑆𝑒𝑛(𝑥)]𝐶𝑜𝑠 (
) 𝑑𝑥 +
∫ [𝐶𝑜𝑠(𝑥)]𝐶𝑜𝑠 (
) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
𝑝
2𝜋 0
𝑝
2
Integramos 𝑎𝑛 = 2𝜋 [
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 0
+
]
2
𝑛 −1
𝑛2 −1
−𝜋
2
+ 2𝜋 [
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝜋
−
]
2
𝑛 −1
𝑛2 −1
0
Sustituimos los valores
𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 1
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝑎𝑛 = [
]+[
]
2
𝜋(𝑛 − 1)
𝜋(𝑛2 − 1)
Si 𝑆𝑒𝑛(𝑥) = −1, 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1, 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = −1, …, por lo tanto, podemos asumir que: 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) =
(−1)𝑛 , haciendo la sustitución:
(−1)𝑛 + 1
𝑎𝑛 = [
] + [0]
𝜋(𝑛2 − 1)
Entonces el coeficiente “an” es:
𝑎𝑛 =
(−1)𝑛 + 1
𝜋(𝑛2 − 1)
Planteamos para el coeficiente de “bn”:
𝑏𝑛 =
2 0
2𝑛𝜋𝑥
2 𝜋
2𝑛𝜋𝑥
∫ [𝑆𝑒𝑛(𝑥)]𝑆𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥 +
∫ [𝐶𝑜𝑠(𝑥)]𝑆𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
𝑝
2𝜋 0
𝑝
Integramos
0
𝑏𝑛 =
2
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
[−
+
]
2𝜋
𝑛2 − 1
𝑛2 − 1
−𝜋
𝜋
2
𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)
+
[−
−
]
2𝜋
𝑛2 − 1
𝑛2 − 1
0
Sustituimos los valores
𝑏𝑛 = [−
𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝑛 (𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 1)
]+[
]
2
𝜋(𝑛 − 1)
𝜋(𝑛2 − 1)
Si 𝐶𝑜𝑠(𝜋) = −1, 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1, 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) = −1, …, por lo tanto, podemos asumir que 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) =
(−1)𝑛 , haciendo la sustitución:
𝑛(𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 1)
𝑏𝑛 = [0] + [
]
𝜋(𝑛2 − 1)
El valor de “bn” es:
bn =
n((−1)n + 1)
π(n2 − 1)
Ahora que ya tenemos los coeficientes, podemos plantearnos la serie de Fourier:
∞
𝑎0
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝐹(𝑥) =
+ ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑥) + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑥)
2
𝑝
𝑝
𝑛=1
Al final tenemos la serie de Fourier:
∞
1 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥)
((−1)𝑛 + 1))𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑛((−1)𝑛 + 1)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝐹(𝑥) = − +
+
+∑
+
𝜋
2
2
𝜋(𝑛2 − 1)
𝜋(𝑛2 − 1)
𝑛=2
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
8. 𝐹(𝑥) = {
𝑠𝑖
𝑠𝑖
−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0
}
0≤𝑥≤𝜋
Una función f(x) no tiene simetría
Planteamos el coeficiente para “a0”:
𝑎0 =
2 0
2 𝜋
∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 +
∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
2𝜋 0
Integramos
𝑎0 =
2
2
[−𝐶𝑜𝑠(𝑥)]0−𝜋 +
[𝑆𝑒𝑛(𝑥)]𝜋0
2𝜋
2𝜋
Sustituimos los limites
2
𝑎0 = [− ] + [0]
𝜋
Y el coeficiente de “a0” es:
𝑎0 = −
2
𝜋
Ahora planteamos el coeficiente de “an”
𝑎𝑛 =
2 0
2𝑛𝜋𝑥
2 𝜋
2𝑛𝜋𝑥
∫ [𝑆𝑒𝑛(𝑥)]𝐶𝑜𝑠 (
) 𝑑𝑥 +
∫ [𝐶𝑜𝑠(𝑥)]𝐶𝑜𝑠 (
) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
𝑝
2𝜋 0
𝑝
2
Integramos 𝑎𝑛 = 2𝜋 [
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 0
+
]
2
𝑛 −1
𝑛2 −1
−𝜋
2
+ 2𝜋 [
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝜋
−
]
2
𝑛 −1
𝑛2 −1
0
Sustituimos los valores
𝑎𝑛 = [
𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 1
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑛)
]+[
]
2
𝜋(𝑛 − 1)
𝜋(𝑛2 − 1)
Si 𝑆𝑒𝑛(𝑥) = −1, 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1, 𝑆𝑒𝑛(3𝜋) = −1, …, por lo tanto, podemos asumir que: 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) =
(−1)𝑛 , haciendo la sustitución:
(−1)𝑛 + 1
𝑎𝑛 = [
] + [0]
𝜋(𝑛2 − 1)
Entonces el coeficiente “an” es:
𝑎𝑛 =
(−1)𝑛 + 1
𝜋(𝑛2 − 1)
Planteamos para el coeficiente de “bn”:
𝑏𝑛 =
2 0
2𝑛𝜋𝑥
2 𝜋
2𝑛𝜋𝑥
∫ [𝑆𝑒𝑛(𝑥)]𝑆𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥 +
∫ [𝐶𝑜𝑠(𝑥)]𝑆𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
𝑝
2𝜋 0
𝑝
Integramos
0
2
𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑏𝑛 =
[−
+
]
2𝜋
𝑛2 − 1
𝑛2 − 1
−𝜋
𝜋
+
2
𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)
[−
−
]
2𝜋
𝑛2 − 1
𝑛2 − 1
0
Sustituimos los valores
𝑏𝑛 = [−
𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑛)
𝑛 (𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 1)
]+[
]
2
𝜋(𝑛 − 1)
𝜋(𝑛2 − 1)
Si 𝐶𝑜𝑠(𝜋) = −1, 𝐶𝑜𝑠(2𝜋) = 1, 𝐶𝑜𝑠(3𝜋) = −1, …, por lo tanto, podemos asumir que 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋) =
(−1)𝑛 , haciendo la sustitución:
𝑛(𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑛) + 1)
𝑏𝑛 = [0] + [
]
𝜋(𝑛2 − 1)
El valor de “bn” es:
𝑛((−1)𝑛 + 1)
𝑏𝑛 =
𝜋(𝑛2 − 1)
Ahora que ya tenemos los coeficientes, podemos plantearnos la serie de Fourier:
∞
𝑎0
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝐹(𝑥) =
+ ∑ 𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑥) + 𝑏𝑛 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑥)
2
𝑝
𝑝
𝑛=1
Al final tenemos la serie de Fourier:
∞
1 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥)
((−1)𝑛 + 1))𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑥) 𝑛((−1)𝑛 + 1)𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝐹(𝑥) = − +
+
+∑
+
𝜋
2
2
𝜋(𝑛2 − 1)
𝜋(𝑛2 − 1)
𝑛=2
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
9. 𝒇(𝒙) = {
𝒆 𝒙 𝒔𝒊 − 𝝅 < 𝒙 < 𝟎
𝒆 ^(−𝒙 ) 𝒔𝒊 − 𝝅 < 𝒙 < 𝝅
Para esta función f(x) es simetría par en este caso tenemos que f(ex)=f(e-x)
Al tener una función par, no es necesario calcular el coeficiente bn por lo que igualamos a cero.
0
2
2
𝜋
𝑎0 = 2𝜋 ∫−𝜋 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + 2𝜋 ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
Integramos
𝑎0 =
2
2𝜋
[𝑒 𝑥 ] 0−𝜋 +
2
[ −𝑒 −𝑥 ] 𝜋0
2𝜋
Sustituyendo los limites
𝑎0 = [−
1
1
1
1
+ ] + [− 𝜋 + ]
𝜋
𝜋𝑒
𝜋
𝜋𝑒
𝜋
El resultado de a0
𝑎0 = −
2
2
+
𝜋
𝜋𝑒
𝜋
Calculamos el coeficiente an
𝑎𝑛 =
2 0 𝑥
2𝑛𝜋𝑥
2 𝜋 −𝑥
2𝑛𝜋𝑥
∫ [𝑒 ]𝑐𝑜𝑠 (
) 𝑑𝑥 +
∫ [𝑒 ]𝑐𝑜𝑠 (
) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
𝑝
2𝜋 0
𝑝
Integramos
𝑎𝑛 =
2 𝑛𝑒 𝑥 sin(𝑛𝑥) 𝑛𝑒 𝑥 cos(𝑛𝑥)
+
[
]
2𝜋
𝑛2 + 1
𝑛2 + 1
0
−𝜋
+
2 𝑛𝑒 𝑥 sin(𝑛𝑥)
cos(𝑛𝑥)
− 2 𝑥
[ 2 𝑥
]
𝑥
2𝜋 𝑛 𝑒 + 𝑒
𝑛 𝑒 + 𝑒𝑥
0
−𝜋
Sustituyendo los limites
𝑎𝑛 = [
𝑛𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑛) − cos(𝜋𝑛) + 𝑒 𝜋
𝑛𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑛) − cos(𝜋𝑛) + 𝑒 𝜋
]
+
𝜋(𝑛2 + 1)𝑒 𝜋
𝜋(𝑛2 + 1)𝑒 𝜋
sin(x) = 0 , sin(2π) = 0 , sin(3x) = 0 por lo tanto, podemos asumir que sin(n)= 0 haciendo la
sustitución
−cos(πn) + 𝑒 𝜋
−cos(πn) + 𝑒 𝜋
an = [
]
+
[
]
π(n 2 − 1)𝑒 𝜋
π(n 2 − 1)𝑒 𝜋
cos(π) = −1 , cos(2π) = 1, cos(3π) = −1 y por lo tanto podemos asumir que cos(nπ) = (-1)n
an =
−1(−1) 𝑛 + 𝑒 𝜋 −1(−1) 𝑛 + 𝑒 𝜋
+
π(n 2 − 1)e 𝜋
π(n 2 − 1)e 𝜋
El resultado de an
𝑎n
2((−1) n+1 + 𝑒 𝑥
=−
π(n 2 + 1)𝑒 𝑥
Coeficiente bn
bn = 0
Planteando la serie de Fourier
𝐹(𝑥) =
𝑎0
2
𝑛𝜋
𝑛𝜋
+ ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 cos ( 𝑝 𝑥) + 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑝 𝑥)
∞
−𝟏 + 𝒆𝝅
𝟐(−(−𝟏) 𝒏 + 𝒆𝝅 ) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙)
𝑭(𝒙) =
+
∑
−
𝝅𝒆𝒙
𝝅(𝒏𝟐 − 𝟏)𝒆𝝅
𝒏=𝟏
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊 − 𝝅 < 𝒙 < 𝟎
10. 𝒇(𝒙) = {
𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒙 < 𝝅
Una función f(x) no tiene simetría si no cumple con la simetría par o impar al tener una función sin
simetría, es necesario calcular todos los coeficientes
Calculamos el coeficiente a0
0
2
2
𝜋
𝑎0 = 2𝜋 ∫−𝜋 cos(𝑥) 𝑑𝑥 + 2𝜋 ∫0 sin(𝑥)𝑑𝑥
𝑎0 =
2
(sin(𝑥) 0−𝜋
2𝜋
+
2
[− cos(𝑥)𝜋0 ]
2𝜋
Sustituyendo los limites
2
𝑎0 = [0] + [ ]
𝜋
Obtenemos el resultado de a0
𝑎0 =
2
𝜋
Ahora el coeficiente an
𝑎𝑛 =
2
2𝜋
0
2𝑛𝜋𝑥
) 𝑑𝑥
𝑝
∫−𝜋[cos(𝑥) cos (
2
+ 2𝜋 +
2 𝜋
2𝑛𝜋𝑥
∫ [sin(𝑥)] cos ( 𝑝 ) 𝑑𝑥
2𝜋 0
Ahora integramos
𝑎𝑛 =
2 𝑛 sin(𝜋𝑛)
cos(𝜋𝑛)+1
[
+ 𝜋(𝑛 2 −1)
2𝜋 𝜋(𝑛 2 −1)
sin(x) = 0 , sin(2π) = 0 , sin(3x) = 0 por lo tanto, podemos asumir que sin(n)= 0 haciendo la
sustitución
an = [0] + [−
cos(πn) + 1
]
π(n 2 − 1)
cos(π) = −1 , cos(2π) = 1, cos(3π) = −1 y por lo tanto podemos asumir que cos(nπ) = (-1)n
an = −
1 − (−1) n+1
π(n 2 − 1)
El resultado de an
𝑎n =−
1 − (−1) n+1
π(n 2 − 1)
Ahora calculamos el coeficiente bn
𝑏𝑛 =
2 0
2 𝑛𝜋𝑥
2 𝜋
2𝑛𝜋𝑥
∫ [cos(𝑥) sin (
) 𝑑𝑥 +
∫ [sin(𝑥) sin(
) 𝑑𝑥
2𝜋 −𝜋
𝑝
2𝜋 0
𝑝
Integrando
𝑏𝑛 =
2
𝑛 cos(𝑥) cos(𝑛𝑥)
𝑛 sen(𝑥) s 𝑖𝑛(𝑛𝑥)
−
[−
2𝜋
𝑛2 −1
𝑛2 −1
]
0
𝜋
+
2
𝑛 sin(𝑥) cos(𝑛𝑥)
𝑛 sen(𝑥) cos(𝑛𝑥)
−
[−
2𝜋
𝑛2 −1
𝑛2 −1
]
Sustituyendo los limites
𝑏𝑛 = [
𝑛 (cos(𝜋𝑛)+1
]+
𝜋(𝑛2 −1
[0]
sin(𝑥) = 0 , sin(2𝜋) = 0 , sin(3𝑥) = 0 por lo tanto, podemos asumir que sin(n)= 0 haciendo la
sustitución
𝑏𝑛 = [−
n(cos(𝜋𝑛)+1)
]+0
𝜋(𝑛 2 −1)
cos(𝜋) = −1 , cos(2𝜋) = 1, cos(3𝜋) = −1 y por lo tanto podemos asumir que cos(n𝜋) = (-1)n
𝑏𝑛 = −
𝑛((−1) 𝑛 + 1)
+ [0]
𝜋(𝑛 2 − 1)
El resultado de bn
𝑏𝑛 = −
n((−1) n + 1
π(n 2 − 1)
Planteando la serie de Fourier
𝐹(𝑥) =
𝑭(𝒙) =
𝑎0
2
𝟏
𝑛𝜋
𝑛𝜋
+ ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 cos ( 𝑝 𝑥) + 𝑏𝑛 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑝 𝑥)
+
𝝅
𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝟐
+
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝟐
∑∞
𝒏=𝟏 −
((−𝟏) 𝒏 +𝟏) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙)
𝝅(𝒏𝟐 −𝟏)
+ −
𝒏((−𝟏) 𝒏 +𝟏) 𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙)
𝝅(𝒏𝟐 −𝟏)
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
11. 𝒇(𝒙) = {
𝑪𝒐𝒔 𝒉 𝒔𝒊 − 𝝅 < 𝒙 < 𝟎 Esta es una funcion impar
𝑺𝒆𝒏𝒉 𝒙 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒙 < 𝝅 Esta es una funcion par
∞
𝑎𝑏
𝜋𝑛𝑥
𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
+ 𝑏𝑛 sin (
))]
2
𝐿
𝐿
2
Donde
1 𝐿
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
2 𝐿
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝐿
𝐿
2 𝐿
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝐿
𝐿
Procedemos a hacer los cálculos y tenemos
1 𝐿
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
𝑎0 =
𝜋
1 0
1
1
[∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑑𝑥 ] = 𝜋 cos(ℎ) + 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
𝜋 −𝜋
𝜋
𝜋
0
𝑎0 = cos(h) + sen(h)
1 𝐿
𝑛𝜋𝑥
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
𝐿
𝑎𝑛 =
𝜋
1 0
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
[∫ 𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑥 cos (
) + ∫ 𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑥 cos (
)] =
𝜋 −𝜋
𝜋
𝜋
0
𝑎𝑛 = 0
1 𝐿
𝑛𝜋𝑥
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
𝐿
𝑏𝑛 =
𝜋
1 0
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
[∫ 𝐶𝑜𝑠 (ℎ) 𝑠𝑒𝑛 (
) + ∫ 𝑆𝑒𝑛(ℎ) 𝑠𝑒𝑛 (
)]
𝜋 −𝜋
𝜋
𝜋
0
1 𝑐𝑜𝑠 (ℎ)(−1 + (−1)𝑛 ) 1 𝑠𝑒𝑛 (ℎ)(−(−1)𝑛 + 1)
= ∗
+ ∗
𝜋
𝑛
𝜋
𝑛
𝑏𝑛 =
cos(ℎ) (−1 + (−1)𝑛 ) + 𝑠𝑒𝑛 (ℎ )(−(−1)𝑛 + 1)
𝜋𝑛

Sustituimos en la serie de Fourier y tenemos lo siguiente
∞
𝑎𝑏
𝜋𝑛𝑥
𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝐿
𝐿
𝑛=1
𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(ℎ) + 𝑠𝑒𝑛(ℎ)
2
∞
cos(ℎ) (−1 + (−1)𝑛 ) + 𝑠𝑒𝑛 (ℎ )(−(−1)𝑛 + 1)
𝑛𝜋𝑥
+∑
𝑠𝑒𝑛 (
)
𝜋𝑛
𝜋
𝑛=1
Determina si cada función es par (20%) y encuentra los coeficientes de Fourier
(20% c/u) y la serie correspondiente de la función dada (20%).
2
12. f(x) = {x 3si − π < x < 0
x si 0 < x < π
𝑥 2 𝑠𝑖 − 𝜋 < 𝑥 < 0 Esta es una funcion par
𝑥 3 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋 Esta es una funcion impar
∞
𝑎𝑏
𝜋𝑛𝑥
𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
+ 𝑏𝑛 sin (
))]
2
𝐿
𝐿
2
Donde
1 𝐿
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
2 𝐿
2𝜋𝑛𝑥
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝐿
𝐿
2 𝐿
2𝜋𝑛𝑥
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝑡 −𝐿
𝐿
1 𝐿
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
𝑎0 =
𝜋
1 0 2
1 𝜋3 1 𝜋4
[∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 ] = ∗
+ ∗
𝜋 −𝜋
𝜋 3 𝜋 4
0
a0 =
π3 π3
+
3
4
1 𝐿
𝑛𝜋𝑥
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) cos (
) 𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
𝐿
𝑎𝑛 =
an =
𝜋
1 0 2
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
[∫ 𝑥 cos (
) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 3 cos (
) 𝑑𝑥 ]
𝜋 −𝜋
𝜋
𝜋
0
1 2𝜋(−1)𝑛 1 −3(2(−1)𝑛 − 𝜋 2 (−1)2 𝑛2 ) + 6
= ∗
+ ∗
𝜋
𝑛2
𝜋
𝑛4
2(−1)n −3(2(−1)n − π2 (−1)n n2 ) + 6
+
n2
πn4
1 𝐿
𝑛𝜋𝑥
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥
𝐿 −𝐿
𝐿
𝑏𝑛 =
𝜋
1 0 2
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑥
[∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥]
𝜋 −𝜋
𝜋
𝜋
0
0
𝑛𝜋𝑥
2 − 2(−1)𝑛 𝜋 2 (−1)𝑛 1 2 − 2(−1)𝑛 𝜋 2 (−1)𝑛
∫ 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥 =
+
= (
+
)
𝜋
𝑛3
𝑛
𝜋
𝑛3
𝑛
−𝜋
𝜋
𝑛𝜋𝑥
1 6𝜋(−1)𝑛 − 𝜋 3 (−1)𝑛 𝑛2
∫ 𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 (
) 𝑑𝑥 = ∗
𝜋
𝜋
𝑛3
0
1 2 − 2(−1)𝑛 𝜋 2 (−1)𝑛
1 6𝜋(−1)𝑛 − 𝜋 3 (−1)𝑛 𝑛2
+
+
∗
(
)
𝜋
𝑛3
𝑛
𝜋
𝑛3
Simplificamos
bn =
(−1)n (−π2 n2 + 6)
1 2 − 2(−1)n π2 (−1)n
+
+
(
)
π
n3
n
n3
Sustituimos en la serie de Fourier y tenemos los siguiente:
∞
𝑎𝑏
𝜋𝑛𝑥
𝜋𝑛𝑥
𝑓(𝑥) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
𝐿
𝐿
𝑛=1
𝛑𝟑 𝛑𝟑
∞
+ 𝟒
𝟐(−𝟏)𝐧 −𝟑(𝟐(−𝟏)𝐧 − 𝛑𝟐 (−𝟏)𝐧 𝐧𝟐 ) + 𝟔
πnx
𝟑
f(x) =
+∑
+
∗ cos (
)
𝟐
𝟒
2
𝐧
𝛑𝐧
π
n=1
(−𝟏)𝐧 (−𝛑𝟐 𝐧𝟐 + 𝟔)
𝟏 𝟐 − 𝟐(−𝟏)𝐧 𝛑𝟐 (−𝟏)𝐧
πnx
+ (
+
)
+
∗ sen (
)
𝟑
𝟑
𝛑
𝐧
𝐧
𝐧
π