UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECÁNICA E INDUSTRIAL Investigación de Operaciones I Semestre 2021-1 TAREA Ejercicios – SIMPLEX Profesor: Dr. Javier Lara de Paz Grupo: 2 Integrantes del equipo: Chip Domínguez Juan Genaro Hernández Cuéllar Azahed Arturo Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 11 DE ENERO DE 2021 Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Z 1 -5 -9 -7 0 0 0 0 SALE X2 R1+9(R3/4)=R1 X4 0 1 3 2 1 0 0 10 10/3 = 3.33 R2-3(R3/4)=R2 R3/4=R3 R4-(R3/4)=R2 LD Iteración 1 X5 0 3 4 2 0 1 0 12 12/4 = 3 ENTRA X5 X6 0 2 1 2 0 0 1 8 8/1=8 Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD Z 1 7/4 0 -5/2 0 9/4 0 27 SALE X3 R1+(5/2)(R2/(1/2))=R1 R2/(1/2)=R2 Iteración 2 X4 0 -5/4 0 1/2 1 -3/4 0 1 1/(1/2) = 2 ENTRA X4 X2 0 3/4 1 1/2 0 1/4 0 3 1/(1/2) = 6 R3-(1/2)(R2/(1/2))=R3 5 5 5/(3/2) = 3.33 R4-(3/2)(R2/(1/2))=R4 X6 0 5/4 0 3/2 0 -1/4 Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD Iteración 3 Z 1 -9/2 0 0 5 -3/2 0 32 SALE X1 R1+(9/2)(R4/(5))=R1 X3 0 -5/2 0 1 2 -3/2 0 2 2/(-5/2) = 4/5 R2+(5/2)(R4/(5))=R2 X2 0 2 1 0 -1 1 0 2 2/2 = 1 R3-(2)(R4/(5))=R3 X6 0 5 0 0 -3 2 1 2 2/5 = 0.4 ENTRA X6 R4/5=R4 Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 LD Iteración 4 COEFICIENTES POSITIVOS Z 1 0 0 0 23/10 3/10 9/10 169/5 X3 0 0 0 1 1/2 -1/2 1/2 3 X2 0 0 1 0 1/5 1/5 -2/5 6/5 X1 0 1 0 0 -3/5 2/5 1/5 2/5 Concluír: π π ππ = π , ππ = π , ππ = π , π = πππ π π π πππ π΄ππ π = π ) + + π ) + + π(π) = π π π Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 LD Z 1 -3 -5 -6 0 0 0 0 0 SALE X3 R1+6(R4/2)=R1 X4 0 2 1 1 1 0 0 0 4 4/1 = 4 R2-(R4/2)=R2 X5 0 1 2 1 0 1 0 0 4 4/1 = 4 R3-(R4/2)=R3 R4/2=R4 R4-(R4/2)=R4 Iteración 1 X6 0 1 1 2 0 0 1 0 4 4/2 = 2 ENTRA X6 X7 0 1 1 1 0 0 0 1 3 3/1 = 3 Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 LD Iteración 2 Z 1 0 -2 0 0 0 3 0 12 SALE X2 R1+2(R3/(3/2)=)=R1 X4 0 3/2 1/2 0 1 0 -1/2 0 2 2/(1/2) = 4 R2(1/2)(R3/(3/2))=R2 X5 0 1/2 3/2 0 0 1 -1/2 0 2 2/(3/2) = 4/3 ENTRA X5 R3/(3/2)=R3 X3 0 1/2 1/2 1 0 0 1/2 0 2 2/(1/2) = 4 R4/2=R4 X7 0 1/2 1/2 0 0 0 -1/2 1 1 1/(1/2) = 2 R4(1/2)(R3/(3/2))=R4 Variables básicas Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 LD Iteración 3 Z 1 2/3 0 0 0 4/3 7/3 0 44/3 COEFICIENTES POSITIVOS X4 0 4/3 0 0 1 -1/3 -1/3 0 4/3 X2 0 1/3 1 0 0 2/3 -1/3 0 4/3 X3 0 1/3 0 1 0 -1/3 2/3 0 4/3 X7 0 1/3 0 0 0 -1/3 -1/3 1 1/3 Concluír: π π ππ = π , ππ = π , ππ = π , π = ππ π π π ππ π΄ππ π = π(π) + π ) + + π ) + = π π π 3.1. Resolviendo el primal con SOLVE en Excel: MAXIMIZAR: objetivo 1.00 x1 + 1.00 x2 + 3.00 x3 + 2.00 + + + + , 5.000 6.000 3.000 2.000 x3 = 9 VARIABLES: V1 V2 V3 V4 x1= x2= x3= x4= 2.00 1.00 2.00 0.00 RESTRICCIONES: R1 R2 R3 R4 naturaleza 1.000 5.000 2.000 -1.000 x1 x1 x1 x1 x1 + + + + , 2.000 -2.000 3.000 0.000 x2 x2 x2 x2 x2 + + + + , -3.000 0.000 -2.000 1.000 x3 x3 x3 x3 x3 x4 x4 x4 x4 x4 -2 8 3 0 <= <= <= <= >= 4.00 8.00 3.00 0.00 0.00 <= <= <= <= 4.00 8.00 3.00 0.00 Mediante análisis de sensibilidad obtenemos los precios sombra: Celdas de variables Celda $D$11 $D$12 $D$13 $D$14 Final Reducido Objetivo Permisible Permisible Nombre Valor Coste Coeficiente Aumentar Reducir x1 2 0 1 1E+30 4 x2 1 0 1 1E+30 2.6 x3 2 0 3 1E+30 3.596774194 x4 0 -14.86666667 2 14.86666667 1E+30 Restricciones Celda $M$24 $M$25 $M$26 $M$27 Final Nombre Valor R1 -2 R2 8 R3 3 R4 0 Sombra Precio 0 0.8 0.866666667 4.733333333 Restricción Lado derecho 4 8 3 0 Permisible Aumentar 1E+30 1E+30 15 1E+30 Permisible Reducir 6 10 3 1.5 3.2. Creamos el dual partiendo del primal anterior: Minimizar: π€ = 4π¦! + 8π¦" + 3π¦# + 0π¦$ Sujeto a: π¦! + 5π¦" + 2π¦# − π¦$ ≥ 1 2π¦! − 2π¦" + 3π¦# + 0π¦$ ≥ 1 −3π¦! + 0π¦" − 2π¦# + 0π¦$ ≥ 3 5π¦! + 6π¦" + 3π¦# + 2π¦$ ≥ 2 π¦! , π¦" , π¦# , π¦$ ≥ 0 Resolviendo el primal con SOLVE en Excel: MINIMIZAR: objetivo 4.00 x1 + 8.00 x2 + 3.00 x3 + 0.00 + + + + , -1.000 0.000 1.000 2.000 x4 = 9 VARIABLES: V1 V2 V3 V4 x1= x2= x3= x4= 0.0000 0.8000 0.8667 4.7333 RESTRICCIONES: R1 R2 R3 R4 naturaleza 1.000 2.000 -3.000 5.000 x1 x1 x1 x1 x1 + + + + , 5.000 -2.000 0.000 6.000 x2 x2 x2 x2 x2 + + + + , 2.000 3.000 -2.000 3.000 x3 x3 x3 x3 x3 x4 x4 x4 x4 x4 >= >= >= >= >= 1.00 1.00 3.00 2.00 0.00 1 1 3 16.87 >= >= >= >= 1.00 1.00 3.00 2.00 Mediante análisis de sensibilidad obtenemos los precios sombra: Celdas de variables Celda $D$11 $D$12 $D$13 $D$14 Final Reducido Objetivo Nombre Valor Coste Coeficiente x1= x1 0 6 4 x2= x1 0.8 0 8 x3= x1 0.866666667 0 3 x4= x1 4.733333333 0 0 Permisible Aumentar 1E+30 1E+30 15 1E+30 Permisible Reducir 6 10 3 1.5 Restricciones Celda $M$24 $M$25 $M$26 $M$27 Final Sombra Restricción Permisible Permisible Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir x4 1 2 1 1E+30 4 x4 1 1 1 1E+30 2.6 x4 3 2 3 1E+30 3.596774194 x4 16.86666667 0 2 14.86666667 1E+30 Resolviendo el primal con SOLVE en Excel: No hay solución factible ya que los valores de las variables no convergen. 4.2. Creamos el dual partiendo del primal anterior: Maximizar: π€ = 5π¦! + 8π¦" + 4π¦# Sujeto a: 5π¦! − π¦" + 2π¦# ≤ 2 −6π¦! + 3π¦" + 5π¦# ≤ −4 2π¦! + 5π¦" − 4π¦# ≤ 3 π¦! , π¦" , π¦# ≥ 0 No hay solución factible. 5.1. Resolviendo el primal con SOLVE en Excel: Mediante análisis de sensibilidad obtenemos los precios sombra: 5.2. Creamos el dual partiendo del primal anterior: Resolviendo el dual con SOLVE en Excel: Mediante análisis de sensibilidad obtenemos los precios sombra: Haciendo uso del programa de cómputo QM for Windows. Planteamiento del problema: Resolviendo el programa lineal: Se obtiene: Programa lineal dual: πΏπ = π πΏπ = π πΏπ = π ππáπ = ππ Resolviendo el programa lineal dual: Precios sombra: ππ = π ππ = π Variables de decisión: π₯! π₯" π₯# π₯$ = π΄πππππóπ 1 = π΄πππππóπ 2 = π΄πππππóπ 3 = π΄πππππóπ 4 Formulación del PL: πππ₯ππππ§ππ π§ = 8π₯! + 10π₯" + 12π₯# + 14π₯$ Sujeto a: π₯! + π₯" + π₯# + π₯$ = 1 6π₯! + 3π₯" + 2π₯# + π₯$ ≥ 3.5 3π₯! + 2π₯" + 5π₯# + 6π₯$ ≤ 3 8π₯! + 3π₯" + 2π₯# + π₯$ = 4 π₯! , π₯" , π₯# , π₯$ ≥ 0 Resolvemos el problema para el primal usando QM: 1. Planteamiento del problema: 2. Resolución: 3. Se concluye: πΏπ = ππ% πΏπ = ππ. π% πΏπ = π πΏπ = ππ. π% ππ¦áπ± = ππ Resolvemos el problema para el dual usando QM: Resolviendo el programa lineal dual: Precios sombra: • • • ππ = ππ ππ = −π ππ = π ππ = π Precio sombra Y1: Por cada “unidad" agregada a este recurso, se tendría un aumento de la función objetivo en 16 dólares. Precio sombra Y2: Por cada unidad de níquel que se aumente repercutirá devaluando en una magnitud de 4 el óptimo. Precio sombra Y4: Por cada unidad de manganeso añadida como necesaria esto repercutirá aumentando en 2 dólares el óptimo. Propuesta: • • Cambiar la condición de 4 toneladas de manganeso por 4.07%. Cambiar la condición de que al menos se tenga 3.46% de níquel. • De esta forma observamos que z se maximiza hasta 10.1436. a) Construya el PL Variables de decisión: Con base en los datos se define que: Función objetivo: π! = πΆπππ‘ππππ ππ ππππππππ πππ πππππ’ππ‘π ππ. 1 π" = πΆπππ‘ππππ ππ ππππππππ πππ πππππ’ππ‘π ππ. 2 Maximizar las utilidades obtenidas de los productos producidos πππ₯ππππ§ππ π=15π₯1+25π₯2 Restricciones: Mano de Obra Calificada [Horas]: 3π₯1+4π₯2≤100 Mano de Obra No Calificada [Horas]: 2π₯1 + 3π₯2 ≤ 70 Materia Prima [Unidades]: Demanda del Producto No. 2: π₯1 + 2π₯2 ≤ 30 π₯2 ≥ 3 Se considera que existe una no negatividad, es decir; π₯1, π₯2 ≥ 0 Programa lineal Haciendo uso de la herramienta Solver de Excel: Modelo del P.L y solución: Informe de respuestas: Informe de sensibilidad: b) Encuentre una política óptima para el problema. Del modelo del P.L. solución y del informe de sensibilidad podemos observar que una política óptima para el problema es: Z∗ = 435 [Unidades] π!∗ = 24 [ππππππππ ] π"∗ = 3 [ππππππππ ] c) Encuentre los precios sombra e interprete. Mano de Obra Calificada El precio sombra para la restricción de la Mano de Obra Calificada es de 0π1 [π·óπππππ ], esto se debe a que aún hay recursos sin consumir, por lo que un aumento en π1 unidades no incrementa las ganancias de la compañía. Las horas de Mano de Obra Calificada aceptables para que la solución siga siendo óptima se encuentran en el rango de: 100 − 16 ≤ ππππ ππ ππππ πΆπππππππππ ≤ 100 + 1π₯1030 84 ≤ ππππ ππ ππππ πΆπππππππππ ≤ 1π₯1030 El aumento en una unidad (1 π»πππ) de Mano de Obra Calificada (π1 = 1) no altera las ganancias de la compañía: (0)(1) = 0 [π·óπππππ ], por lo que las utilidades seguirán siendo las mismas. Es decir, si la restricción cambiase a: Mano de Obra Calificada [Horas]: 3π₯1 + 4π₯2 ≤ 101 Se obtendría: π = 435 [π·óπππππ ] Mano de Obra No Calificada El precio sombra para la restricción de la Mano de Obra No Calificada es de 0π2 [π·óπππππ ], esto se debe a que aún hay recursos sin haber sido utilizados, por ello, un aumento en π2 unidades no incrementaría las ganancias de la compañía. Las horas de Mano de Obra No Calificada aceptables para que la solución siga siendo óptima se encuentran en el rango de: 70 − 13 ≤ ππππ ππ ππππ πΆπππππππππ ≤ 70 + 1π₯1030 57 ≤ ππππ ππ ππππ πΆπππππππππ ≤ 1π₯1030 El aumento en una unidad (1 π»πππ) de Mano de Obra No Calificada (π2 = 1) no altera las ganancias de la compañía: (0)(1) = 0 [π·óπππππ ], por lo que, las utilidades seguirán siendo las mismas. Es decir, si la restricción cambiase a: Mano de Obra No Calificada [Horas]: 2π₯1 + 3π₯2 ≤ 71 Se obtendría: π = 435 [π·óπππππ ] Materia Prima El precio sombra para la restricción de la Materia Prima es de 15π3 [π·óπππππ ], esto se debe a que resulta rentable el aumento en π3 unidades de Materia prima, ya que ello permitirá el aumento de las ganancias en la compañía. Las unidades de Materia Prima aceptables para que la solución siga siendo óptima se encuentran en el rango de: 30 − 24 ≤ πππ‘ππππ πππππ ≤ 30 + 5.333 6 ≤ πππ‘ππππ πππππ ≤ 35.333 El aumento en una unidad (1 Unidad) de Materia Prima (π3 = 1) aumentará la solución óptima en (15)(1) = 15 [Dólares], por lo que la ganancia pasará de 435 [Dólares] a 450 [Dólares]. Es decir, si la restricción cambiase a: Materia Prima [Unidades]: π₯1 + 2π₯2 ≤ 31 Se obtendría: π = 450 [Dólares] Demanda de Producto El precio sombra para la restricción de la Demanda de Producto es de −5π4 [π·óπππππ ], ya que un aumento en π4 unidades de Demanda de Producto No.2 generará pérdidas a la compañía, debido a que se requiere de más recursos para ello. La cantidad de unidades en la Demanda del Producto No. 2 aceptables para que la solución siga siendo óptima se encuentran en el rango de: 3 − 3 ≤ π·ππππππ πππ πππππ’ππ‘π ππ. 2 ≤ 3 + 12 0 ≤ π·ππππππ πππ πππππ’ππ‘π ππ. 2 ≤ 15 El aumento en una unidad (1 π’πππππ) en la Demanda del Producto No. 2 (π4=1) disminuirá la solución óptima en −5(1) = −5 [π·óπππππ ], por lo que la ganancia pasaría de 435 [π·óπππππ ] a 430 [π·óπππππ ]. Es decir, si la restricción cambiase a: Demanda del Producto No. 2: π₯2 ≥ 4 Se obtendría: π = 430 [π·óπππππ ] d) Con la base óptima, ¿cuál sería el ingreso de la compañía si tuviera 35 unidades de materia prima? Las unidades de Materia Prima aceptables para que la solución siga siendo óptima se encuentran en el rango de : 6 ≤ πππ‘ππππ πππππ ≤ 35.333 La solución seguirá siendo óptima si la compañía tuviese 35 unidades de materia prima. Del inciso anterior, se observa lo siguiente: (15)(π3) = ππππππ ππππππ Por ello, el aumento de 5 unidades de la materia prima se obtiene lo siguiente: (15)(5) = 75 [π·óπππππ ] Por lo anterior, el ingreso de la compañía será de 75 [π·óπππππ ] más, es decir: Se obtendría: π = 435 [π·óπππππ ] + 75 [π·óπππππ ] π = 510 [π·óπππππ ] e) Con la base óptima, ¿cuál sería el ingreso de la compañía si tuviera 80 unidades de mano de obra calificada? Las horas de Mano de Obra Calificada aceptables para que la solución siga siendo óptima se encuentran en el rango de: 84 ≤ ππππ ππ ππππ πΆπππππππππ ≤ 1π₯1030 La solución ya no seguirá siendo óptima si la compañía tuviese 80 unidades de Mano de Obra Calificada. Del inciso anterior, se observa lo siguiente: (0)(π1) = ππππππ ππππππ Por ello, al disminuir en 20 unidades la Mano de Obra Calificada se obtiene lo siguiente: π1 = 80 − 100 π1 = −20 (0)(−20) = 0 [π·óπππππ ] Por lo anterior, el ingreso de la compañía será de 0 [π·óπππππ ], esto con la base óptima, es decir: Se obtendría: π = 435 [π·óπππππ ] Si se quisiese tener 80 horas de Mano de Obra Calificada, la solución óptima cambiaría a: Modelo del programa lineal: Informe de respuestas: Análisis de sensibilidad: f) Recomiende una estrategia alterna que le siga conviniendo a la empresa. Viendo los incisos anteriores podemos notar que la variable que produce un cambio visible en el ingreso máximo de la empresa es el de la materia prima, tal y como lo señala el análisis de sensibilidad. Con esta información y teniendo como objetivo la maximización de ingresos se recomienda: • • • Aumentar a 35 unidades o más de materia prima. No aumentar la demanda del producto 2. Aumentar las horas de la mano de obra ya sea calificada o no calificada, pues al no ser variables de impacto, se podría también modificar las unidades de materia prima y generar mayor ganancia. Uso de Recursos para los productos 1 y 2 Recursos Mano de obra calificada (hr) Mano de obra no calificada (hr) Productos 1 3 2 2 4 3 Al resolver en Excel con la función de solver se obtuvieron los siguientes resultados: La solución óptima sería tener una ganancia de $80 vendiendo 20 radios tipo 1 y 10 radios tipo 2. La columna de costo reducido nos indica que es rentable de forma óptima. a) En los rangos de los coeficientes objetivo, observamos que la solución o base actual seguirá siendo óptima para los valores de precio del radio tipo 1 de $26 a $23. b) En los rangos de los coeficientes objetivo, observamos que la solución o base actual seguirá siendo óptima para los valores de precio del radio tipo 2 de $26 a $21.5. c) A continuación, se muestra la nueva solución óptima si en trabajador 1 y 2 solo están dispuestos a trabajar 30 horas a la semana: La solución óptima sería tener una ganancia de $50 vendiendo 10 radios tipo 1 y 10 radios tipo 2. Considerando que ambos trabajadores están dispuestos a trabajar solo 30 horas a la semana. Variables de decisión Con base en los datos se define que: π»= Cantidad de Hamburguesas con queso por preparar. π΄= Cantidad de Albóndigas por preparar. π=Cantidad de platillos de Picadillo a preparar. πΆ= Cantidad de Chiles Rellenos por preparar. π= Cantidad de Pasteles de Carne por preparar. Función objetivo Maximizar las utilidades obtenidas por la cantidad de platillos de cada tipo que serán preparados, por lo tanto, la función objetivo es: πππ₯ππππ§ππ π = 60π» + 65π΄ + 55π + 70πΆ + 80π Restricciones Materia prima disponible: Carne Molida [gramos]: 50π» + 150π΄ + 150π + 350πΆ + 170π ≤ 3500 Queso [gramos]: 25π» + 315πΆ ≤ 1000 Cebolla [gramos]: 10π» + 115π΄ + 115π + 310πΆ + 115π ≤ 2000 Lechuga [gramos]: 25π» + 150π ≤ 1500 Tomate[gramos]: 35π» + 100π΄ + 100π + 115πΆ ≤ 4000 Chiles Poblanos [gramos]: 30π» + 100π΄ + 100π + 300πΆ + 150π ≤ 6000 Condimentos [gramos]: 10π» + 117π΄ + 15π + 310πΆ + 120π ≤ 1000 Pan disponible Panes [gramos]: 1π» ≤ 100 Se considera que existe una no negatividad: π», π΄, π, πΆ, π ≥ 0 a) ¿Cuánto se debe producir de cada alimento para maximizar las utilidades sin desperdiciar materia prima? Haciendo uso de la herramienta Solver de Excel se llevó a cabo lo siguiente: Modelo del P.L y solución: Informe de respuestas: De acuerdo con lo obtenido, la solución óptima para que el chef maximice sus utilidades sin que se desperdicie mucha materia prima, es la siguiente: π ∗ = $ 4,366.897856 [πππ ππ ] π»∗ = 32.28247163 [ππππππππ ] π΄∗ = 13.90920555 [ππππππππ ] π∗ = 0 [ππππππππ ] ∗ πΆ = 12.86254729 [ππππππππ ] π ∗ = 7.818411097 [ππππππππ ] b) b) Realice un análisis de sensibilidad para planificar la siguiente semana y concluya. Informe de sensibilidad Precios sombra: Los precios sombra, para cada una de las restricciones son los siguientes: Carne Molida [g]: (1.119168)(π1) Queso[g]: (0.2181589πΈ − 01)(π2) Cebolla [g]: (0)(π3) Lechuga [g]: (0)(π4) Tomate [g]: (0.9041614πΈ − 01)(π5) Chiles Poblanos [g]: (0.1105507πΈ − 01)(π5) Condimentos [g]: (0)(π6) De esto se entiende que un aumento en π Unidades permitidas (según el análisis de sensibilidad) de materia prima, permitirá obtener un incremento en las utilidades. Para la próxima semana se puede optar por incrementar la cantidad de materia prima (ingredientes) de la siguiente manera: Carne Molida [g]: 3,500 + 439 = 3,939 [π] = 3.939 [πΎπ] Queso [g]: 1,000 + 466 = 1,466 [π] = 1.466 [πΎπ] Cebolla [g]: 2,000 + π₯ = +2,000 [π] = +2 [πΎπ] Lechuga[g]: 1,500 + π₯ = +1,500 [π] = +1.5 [πΎπ] Tomate [g]: 4,000 + 1,319 = 5,319 [π] = 5.319 [πΎπ] Chiles Poblanos [g]: 6,000 + 5,028 = 11,028 [π] = 11.028[πΎπ] Condimentos [g]: 1,000 + π₯ = +1,000 [π] = +1 [πΎπ] Nota: El valor de x está a consideración, ya que de acuerdo con el análisis de sensibilidad se puede incrementar casi hasta el infinito. Conclusiones: Si el chef optara por incrementar los ingredientes para la semana próxima, de acuerdo con el análisis de sensibilidad, exceptuando aquellos cuyo valor puede incrementarse hasta casi el infinito, ya que de los precios sombra se observa que incrementar unidades de esos ingredientes no le generarían mayor ganancia, entonces obtendría: Modelo del programa lineal: Informe de respuestas: Informe de sensibilidad: En conclusión, el chef podrá incrementar sus utilidades al incrementar la cantidad de materia prima disponible hasta el límite aceptable, por lo que podría preparar: π ∗ = $ 4,945 [πππ ππ ] π» = 39 [π»ππππ’πππ’ππ ππ ] π΄∗ = 3 [π΄ππóππππππ ] π∗ = 0 [ππππππππππ ] ∗ πΆ = 31 [πΆβππππ ππππππππ ] π ∗ = 3 [πππ π‘ππππ ππ πΆππππ] ∗ (función objetivo) c) Realice un diagrama de Z (función objetivo) vs cada uno de los recursos en una sola gráfica.
