ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 2
2.1 EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE P.L ....................................................... 3
2.2. EL MODELO PRIMAL Y EL DUAL ............................................................................. 4
2.3. LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA .................................................................... 10
2.4. EL MÉTODO SIMPLEX TABULAR .......................................................................... 14
2.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES OBJETIVOS,
......................................................................................................................................... 23
CAMBIOS EN LOS RECURSOS Y CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLÓGICOS ..... 23
REFERENCIAS ............................................................................................................... 27
INTRODUCCIÓN
La Programación Lineal es una poderosa herramienta matemática que
desempeña un papel fundamental en el campo de la Ingeniería Civil y muchas otras
disciplinas. Este modelo de optimización ha sido ampliamente estudiado y aplicado
desde su desarrollo a principios del siglo XX, y ha demostrado ser invaluable en la toma
de decisiones relacionadas con la asignación eficiente de recursos limitados en una
amplia variedad de situaciones.
La Programación Lineal se basa en el principio fundamental de maximizar o
minimizar una función lineal de múltiples variables, sujeta a un conjunto de restricciones
lineales; en la planificación de proyectos de construcción, puede ayudar a optimizar la
asignación de mano de obra y maquinaria para minimizar los costos y reducir el tiempo
de ejecución. Además, en la gestión de recursos hídricos, la Programación Lineal puede
ser empleada para optimizar la distribución de agua en sistemas de riego, considerando
factores como la demanda agrícola y las limitaciones de suministro.
La importancia de la Programación Lineal en la Ingeniería Civil radica en su
capacidad para abordar problemas complejos de manera sistemática y eficiente,
permitiendo la toma de decisiones informadas que optimizan el uso de recursos, reducen
costos y mejoran la eficiencia en una amplia gama de aplicaciones. A medida que las
demandas de la sociedad y la industria continúan creciendo, la Programación Lineal
sigue desempeñando un papel esencial en la planificación y ejecución de proyectos que
tienen un impacto significativo en la infraestructura y el desarrollo sostenible de nuestras
comunidades.
En esta investigación, exploraremos en detalle los fundamentos de la
Programación Lineal, sus aplicaciones en la Ingeniería Civil y cómo este modelo puede
contribuir a la toma de decisiones efectivas en diversos escenarios. A través de ejemplos
concretos y casos de estudio, profundizaremos en la comprensión de esta herramienta
matemática crucial y su relevancia en el ámbito de la ingeniería civil.
2.1 EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE P.L.
El planteamiento del problema de Programación Lineal se puede describir de la
siguiente manera:
Función Objetivo: En primer lugar, se define una función lineal que representa el
objetivo del problema. Esta función busca maximizar (en problemas de maximización) o
minimizar (en problemas de minimización) un valor particular. Por lo general, esta función
está compuesta por variables de decisión ponderadas por coeficientes que reflejan su
contribución al objetivo.
Variables de Decisión: Se identifican las variables que representan las decisiones
a tomar en el problema. Estas variables pueden ser números que describen la cantidad o
la asignación de recursos, como la cantidad de material a utilizar en una construcción, la
cantidad de trabajadores asignados a un proyecto, o cualquier otro factor relevante.
Restricciones: Se establecen restricciones lineales que limitan las posibles
combinaciones de valores que pueden tomar las variables de decisión. Estas
restricciones reflejan las limitaciones físicas, económicas o técnicas del problema y
garantizan que cualquier solución encontrada sea factible.
Objetivo: Se determina si el objetivo es maximizar o minimizar la función objetivo,
lo que indica si se busca obtener el máximo beneficio, minimizar costos, o lograr cualquier
otro objetivo específico.
Solución Óptima: El objetivo de la Programación Lineal es encontrar la
combinación de valores de las variables de decisión que optimiza la función objetivo,
respetando todas las restricciones impuestas. La solución óptima se caracteriza por
alcanzar el valor extremo (máximo o mínimo) de la función objetivo.
2.2. EL MODELO PRIMAL Y EL DUAL
Modelo Primal:
El modelo primal es la formulación original de un problema de Programación
Lineal. En este modelo, se define una función objetivo que se busca maximizar o
minimizar, y se establecen restricciones lineales que representan las limitaciones y
condiciones del problema. Las variables de decisión en el modelo primal representan las
cantidades a asignar o las decisiones a tomar.
El objetivo principal del modelo primal es encontrar una solución que optimice la
función objetivo, sujeta a las restricciones impuestas. Esta solución óptima proporciona
información valiosa sobre cómo asignar recursos de manera eficiente para lograr el
objetivo deseado.
Modelo Dual:
El modelo dual es una representación alternativa del mismo problema de
Programación Lineal. Se deriva del modelo primal y proporciona una perspectiva
diferente de la misma situación de optimización. El objetivo del modelo dual es encontrar
los valores de las llamadas variables duales o multiplicadores que están asociados con
las restricciones del modelo primal.
La importancia del modelo dual radica en su capacidad para proporcionar
información sobre el valor de las restricciones y cuánto podría aumentar o disminuir el
valor de la función objetivo si se relajan o modifican las restricciones en el modelo primal.
En otras palabras, el modelo dual ayuda a evaluar el impacto de cambios en las
condiciones o limitaciones del problema primal en su solución óptima, la relación entre
los modelos primal y dual se basa en el teorema fundamental de la dualidad en
Programación Lineal, que establece que cualquier solución óptima del modelo primal está
asociada con una solución óptima del modelo dual y viceversa. Esta relación dual es
fundamental para la teoría y la práctica de la Programación Lineal y permite un análisis
profundo de los problemas de optimización.
Al problema que se formula originalmente se lo conoce como primal, mientras que
a su contraparte estrechamente relacionada se lo conoce como dual. Las relaciones son
tales que cada uno es el dual del otro y encontrar la solución óptima de uno implica
encontrar inmediatamente la solución óptima del otro.
El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la
siguiente manera:
1.
Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el
2.
Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema
otro.
son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.
3.
Un problema busca maximizar y el otro minimizar.
4.
El problema de maximización tiene restricciones que y el problema
de minimización tiene restricciones que.
5.
Las variables en ambos casos son no negativas.
EJEMPLO DEL MODELO PRIMAL
Supongamos que eres un ingeniero civil que trabaja en una empresa de
construcción y te enfrentas al desafío de determinar la mejor manera de mezclar dos
tipos de materiales para crear un concreto de alta resistencia. Los dos materiales
disponibles son el Material A y el Material B, y tienes ciertas restricciones en la cantidad
de cada material que puedes utilizar debido a limitaciones de disponibilidad y costos. Tu
objetivo es minimizar el costo total de la mezcla de concreto mientras garantizas que
cumple con las especificaciones de resistencia requeridas.
Datos del Problema:
Costo por tonelada de Material A: $50.
Costo por tonelada de Material B: $40.
Producción mínima requerida: 100 toneladas de concreto.
Resistencia mínima requerida en el concreto: 80 unidades.
Contribución de resistencia por tonelada de Material A: 2 unidades.
Contribución de resistencia por tonelada de Material B: 3 unidades.
Variables de Decisión:
x = toneladas de Material A a utilizar. y
= toneladas de Material B a utilizar.
Función Objetivo:
Minimizar el costo total de la mezcla de materiales:
Minimizar Z=50x+40y
Restricciones:
1. Restricción de disponibilidad de Material A: x ≥ 0.
2. Restricción de disponibilidad de Material B: y ≥ 0.
3. Restricción de producción mínima: x + y ≥ 100.
4. Restricción de resistencia mínima: 2x + 3y ≥ 80.
Para resolver este problema de Programación Lineal, primero graficamos las
restricciones en un plano cartesiano:
Primero, grafiquemos la restricción x + y ≥ 100. Para hacerlo, dibujemos la línea x
+ y = 100 y sombreemos la región que está por encima de esta línea, ya que esta
restricción está en forma estándar:
Restricción 3: x + y ≥ 100
Para encontrar la región factible, dibujamos las restricciones x ≥ 0 y y ≥ 0 también:
Restricciones 1 y 2: x ≥ 0 y y ≥ 0
A continuación, grafiquemos la restricción 2x + 3y ≥ 80:
Restricción 4: 2x + 3y ≥ 80 Encuentra
la región factible.
La región factible es la región donde todas las restricciones se cumplen. En este
caso, es el área sombreada donde las tres restricciones se superponen:
Región Factible:
Encuentra el punto óptimo.
Para encontrar el punto óptimo dentro de la región factible, debemos evaluar la
función objetivo Z = 50x + 40y en los vértices de esta región y determinar cuál de ellos
minimiza Z. Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las
restricciones.
Los vértices son:
•
Punto A: (0,100)(0,100)
•
Punto B: (40,60)(40,60)
•
Punto C: (60,40)(60,40)
•
Punto D: (80,0)(80,0)
Ahora, calculamos Z en cada uno de estos vértices:
Punto A: ZA = 50 (0) + 40 (100) = 4000
Punto B: ZB = 50 (40) + 40 (60) = 4000
Punto C: ZC = 50 (60) + 40 (40) = 5200
Punto D: ZD = 50 (80) + 40 (0) = 4000
El punto que minimiza Z es el Punto B, donde x = 40 y y = 60. Por lo tanto, la
solución óptima es producir 40 toneladas de Material A y 60 toneladas de Material B para
minimizar el costo total de la mezcla de materiales, que es de $4000.
Este es el resultado de la optimización del problema primal. La empresa debería
mezclar 40 toneladas de Material A y 60 toneladas de Material B para cumplir con las
restricciones y minimizar los costos.
EJEMPLO DEL MODELO DUAL
Supongamos que eres un ingeniero civil que trabaja en una planta de producción
de materiales de construcción. La planta produce dos tipos de materiales: Ladrillos y
Bloques. Tu objetivo es maximizar las ganancias de la planta, sujeta a restricciones de
capacidad y demanda de mercado.
Datos del Problema:
•
El costo de producción por unidad de ladrillo es de $10.
•
El costo de producción por unidad de bloque es de $15.
•
La capacidad máxima de producción de ladrillos es de 2000 unidades.
•
La capacidad máxima de producción de bloques es de 1500 unidades.
•
La demanda de mercado para ladrillos es de 800 unidades.
•
La demanda de mercado para bloques es de 1200 unidades.
Variables de Decisión:
•
x = cantidad de ladrillos a producir.
•
y = cantidad de bloques a producir.
Función Objetivo:
Maximizar las ganancias totales:
Maximizar Z= 10x + 15y Restricciones:
1. Restricción de capacidad de producción de ladrillos: x ≤ 2000.
2. Restricción de capacidad de producción de bloques: y ≤ 1500.
3. Restricción de demanda de mercado para ladrillos: x ≤ 800.
4. Restricción de demanda de mercado para bloques: y ≤ 1200.
Ahora, vamos a resolver este problema de Programación Lineal paso a paso
utilizando el modelo dual.
Paso 1: Escribir el Modelo Dual
Para escribir el modelo dual, primero definimos las variables duales asociadas a
las restricciones del modelo primal. Denotaremos estas variables duales como u1, u2,
u3, y u4 respectivamente, una para cada restricción.
Función Objetivo Dual:
Minimizar el costo total de producción de los recursos, que es igual a la suma de
los costos de los recursos multiplicados por sus respectivas cantidades:
Minimizar
W
=
2000
u1
+
1500
u2
+
800
u3
+
1200
Restricciones Duales:
•
Para la primera restricción primal (x≤2000), tenemos la restricción dual: u1≥10.
•
Para la segunda restricción primal (y≤1500), tenemos la restricción dual: u2≥15.
•
Para la tercera restricción primal (x≤800), tenemos la restricción dual: u3≥10.
•
Para la cuarta restricción primal (y≤1200), tenemos la restricción dual: u4≥15.
Paso 2: Resolver el Modelo Dual
u4
Para resolver el modelo dual, vamos a encontrar los valores de u1,u2, u3, y u4
que minimizan la función objetivo dual W, mientras se cumplen las restricciones duales.
En este caso, las restricciones duales son simplemente las restricciones originales del
modelo primal.
•
u1≥10
•
u2≥15
•
u3≥10
•
u4≥15
Dado que las restricciones duales son todas "mayor o igual que", buscamos
maximizar cada una de las variables duales. Esto se logra tomando los valores máximos
posibles para u1, u2, u3, y u4.
•
Entonces, tenemos:
u1=10 (para minimizar u1 mientras se cumple u1≥10).
•
u2=15 (para minimizar u2 mientras se cumple u2≥15).
•
u3=10 (para minimizar u3 mientras se cumple u3≥10).
•
u4=15 (para minimizar u4 mientras se cumple u4≥15). Paso 3: Interpretación de
los Resultados del Modelo Dual
Los valores óptimos de las variables duales (u1, u2, u3, y u4) nos proporcionan
información valiosa. Se pueden interpretar como los precios sombra de las restricciones
del modelo primal. Estos precios sombra indican cuánto puede aumentar el valor de la
función objetivo del modelo primal si se relajan las restricciones correspondientes.
En este caso, los valores de u1 = 10, u2 = 15, u3 = 10, y u4 = 15 indican lo
siguiente:
•
El costo adicional de producir una unidad adicional de ladrillo (por encima de la
demanda de mercado) aumentaría las ganancias en $10.
•
El costo adicional de producir una unidad adicional de bloque (por encima de la
demanda de mercado) aumentaría las ganancias en $15.
•
El costo adicional de aumentar la capacidad de producción de ladrillos en una
unidad (por encima de la capacidad máxima) aumentaría las ganancias en $10.
•
El costo adicional de aumentar la capacidad de producción de bloques en una
unidad (por encima de la capacidad máxima) aumentaría las ganancias en $15.
Estos valores son útiles para la toma de decisiones en la planta de producción, ya
que indican cuánto valen cada unidad adicional de producción y cada unidad adicional
de capacidad de producción.
2.3. LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
En esencia, la interpretación geométrica se basa en la representación gráfica de
las restricciones y la función objetivo en un plano o espacio, lo que facilita la comprensión
intuitiva de las soluciones óptimas. Aquí están los elementos clave de la interpretación
geométrica:
Restricciones: Cada restricción del problema se representa como una región en el
espacio. En un problema bidimensional, una restricción lineal se representa como una
línea en el plano, mientras que, en un problema tridimensional, se representa como un
plano. La intersección de todas las restricciones crea una región factible, que contiene
todas las combinaciones de variables que cumplen con las restricciones.
Función Objetivo: La función objetivo se representa como una curva o una línea
(en un problema bidimensional) que muestra cómo varía el valor objetivo (por ejemplo,
ganancias o costos) a medida que cambian las variables de decisión. En un problema de
maximización, la función objetivo se desplaza hacia arriba, y en un problema de
minimización, se desplaza hacia abajo.
Punto Óptimo: La solución óptima se encuentra en el punto donde la función
objetivo alcanza su valor máximo (en problemas de maximización) o mínimo (en
problemas de minimización) dentro de la región factible. Este punto óptimo es la
respuesta al problema de optimización y proporciona las mejores decisiones dadas las
restricciones y objetivos del problema.
La interpretación geométrica es especialmente útil para problemas con pocas
variables, ya que permite una visualización clara y una comprensión intuitiva de las
soluciones. Sin embargo, en problemas con un gran número de variables, la
interpretación geométrica puede volverse más compleja y puede ser necesario utilizar
métodos computacionales para encontrar la solución óptima.
La representación gráfica de una función de una variable independiente en
un sistema de coordenadas rectangulares es una curva plana. De la interpretación
geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva, es claro
que, en los valores extremos relativos de la función, máximo o mínimo, la recta tangente
es horizontal y de pendiente igual a cero, como se muestra en la figura 1, en donde se
observa un valor máximo en x=-3 y un valor mínimo en x=3.
De
la
gráfica
se
justifica
que
analíticamente la ubicación de estos valores
extremos se realice al igualar a cero la derivada
y resolviendo la ecuación resultante para hallar
los valores críticos; sin embargo, los valores
críticos que se obtienen de esta forma no
necesariamente ubican los valores máximos o
mínimos. De hecho, la gráfica de la función
también puede tener un comportamiento como
el de la figura 2, donde existe un punto donde
la pendiente de la recta tangente es igual a cero
y no es un valor máximo o mínimo, sino un punto de inflexión.
La existencia de rectas de pendiente cero en los valores extremos y en un punto
de inflexión hace que sea necesario examinar el comportamiento del signo de la derivada
de la función a evaluar en la vecindad del punto crítico, para determinar si se trata de un
valor máximo, mínimo o punto de inflexión.
•
Si el signo de la derivada pasa de
negativo para valores menores al crítico a
positivo para valores mayores, hay un valor
mínimo en el punto crítico.
•
Si el signo de la derivada pasa de
positivo para valores menores al crítico a
negativo para valores mayores, hay un valor
máximo en el valor crítico.
•
Si el signo de la derivada en la
vecindad del punto crítico no cambia para
valores menores y mayores al crítico, hay un punto de inflexión.
Las afirmaciones anteriores constituyen lo que se conoce como el criterio de la
primera derivada para la determinación de valores extremos de una función de una
variable independiente, y se pueden justificar si se observa la gráfica de la derivada de
la función de la figura 1, mostrada en la figura 3, donde se nota que pasa de valores
positivos a negativos en la vecindad del punto crítico que corresponde con un valor
máximo y de valores negativos a positivos en el caso de un valor mínimo. De manera
similar, en la gráfica de la derivada de la función de la figura 2, mostrada en la figura 4,
se nota que el signo en la vecindad del valor crítico no cambia si se trata de un punto de
inflexión. El criterio de la segunda derivada [1] utiliza la derivada de segundo orden de la
función y examina el signo de la misma al evaluarla en el valor crítico.
En la figura 6, la gráfica de la función de
dos variables muestra que, también en un valor
extremo.
Du f(x,y)=∂f/∂x cosθ+∂f/∂y senθ (1)
Donde el vector unitario en el plano xy, que
define la dirección en la que se deriva es:
u=cosθi+senθj
Puesto que las componentes del vector
unitario son funciones seno y coseno, que son
continuas y tienen únicamente valores en el
intervalo de -1 a 1; dependiendo del ángulo de la dirección en la que se deriva y
considerando la expresión (1), concluimos que la derivada en todas las direcciones es
cero, si ∂f/∂x y ∂f/∂y son iguales a cero. Es decir el gradiente de la función en los llamados
valores críticos debe verificar f(x*)=0 (todas las derivadas parciales de primer orden de
la función son iguales a cero en los puntos críticos). Así, la interpretación geométrica de
la derivada direccional justifica que, en el caso de las funciones de dos variables, la
localización de los puntos críticos en donde pueden existir valores extremos o puntos
silla, se realice igualando a cero todas las derivadas parciales y resolviendo el sistema
de ecuaciones.
Conclusiones
La aplicación de la interpretación geométrica de la derivada direccional demuestra
gráficamente las condiciones de optimalidad de primer y segundo orden para funciones
de dos variables. La aplicación de los conceptos de diagonalización de matrices y formas
cuadráticas explica la relación existente entre la matriz hessiana y la derivada direccional
de segundo orden en la localización de valores extremos de funciones de dos variables.
El uso de la representación gráfica para la explicación de conceptos o la solución de
problemas es un recurso muy importante para mejorar la comprensión de temas, o en su
caso, obtener soluciones. En este contexto, el trabajo aporta, con el detalle necesario, la
interpretación geométrica de las condiciones de optimalidad de primer y segundo orden,
la cual no aparece en la literatura relacionada con el enfoque geométrico que aquí se
reporta con la integración y relación de diferentes conceptos matemáticos. Resulta de
interés extender esta interpretación geométrica al caso de más de dos variables, o bien,
analizar el caso de la optimización restringida, haciendo uso de otros conceptos del
cálculo vectorial y álgebra lineal adicionales a los usados en este trabajo.
2.4. EL MÉTODO SIMPLEX TABULAR
Los modelos lineales con dos o tres variables se pueden resolver gráficamente.
En el Tema 1 hemos visto la solución gráfica de modelos lineales de dos variables. Sin
embargo, este método no puede ser utilizado en modelos que tengan más de tres
variables. Para resolver modelos más grandes se necesita un procedimiento algebraico
como el algoritmo simplex, publicado en 1949 por George B. Dantzig, para dar soluciones
numéricas a problemas de programación lineal. El desarrollo de la teoría de la
programación lineal se basa en la siguiente forma de escribir el modelo. Forma estándar.
Un modelo lineal está escrito en forma estándar si todas las restricciones son del tipo =
y todas las variables del modelo y las componentes del vector b son no negativas. El
modelo en forma matricial: máx(min) z = c T x sujeto a Ax = b x ≥ 0 Si el objetivo es
maximizar, entonces se tiene la forma estándar de maximización y, si el objetivo es
minimizar, la forma estándar de minimización.
el Método Simplex Tabular es una técnica de resolución algorítmica que se utiliza
en la Programación Lineal para encontrar la solución óptima de un problema de
optimización lineal. Fue desarrollado por George Dantzig en la década de 1940 y se ha
convertido en uno de los métodos más ampliamente utilizados para resolver problemas
de Programación Lineal debido a su eficiencia y versatilidad.
A continuación, se describen los conceptos clave del Método Simplex Tabular:
1. Problema de Programación Lineal: El Método Simplex Tabular se utiliza para
resolver problemas de Programación Lineal, que son aquellos en los que se busca
maximizar o minimizar una función objetivo lineal, sujeta a restricciones lineales.
2. Tabla Simplex: El método implica la construcción y el uso de una tabla simplex.
La tabla simplex es una matriz que organiza los coeficientes de las variables de
decisión, las variables de holgura y las restricciones del problema. Cada fila de la
tabla representa una restricción, y cada columna representa una variable (ya sea
una variable de decisión o una variable de holgura).
3. Punto de Partida: El método comienza con una solución inicial factible del
problema, que se encuentra generalmente asignando cero a todas las variables
de decisión y resolviendo algunas de las ecuaciones de restricción para las
variables de holgura. Esta solución inicial está contenida en la tabla simplex.
4. Iteraciones: El proceso del Método Simplex Tabular se realiza mediante una serie
de iteraciones. En cada iteración, se selecciona una variable de entrada (que
puede aumentar para mejorar la solución) y una variable de salida (que puede
reducirse a cero). La elección de estas variables se basa en reglas específicas
para determinar la dirección en la que se debe mover a lo largo de las restricciones
para mejorar la función objetivo.
5. Optimalidad: El método continúa iterando hasta que se alcanza una solución
óptima, es decir, hasta que ya no es posible mejorar más la función objetivo sin
violar las restricciones. En este punto, se ha encontrado la solución óptima del
problema, y las variables de decisión en la tabla simplex proporcionan los valores
que maximizan o minimizan la función objetivo.
EJEMPLO DEL MODELOSIMPLEX
Una empresa inmobiliaria construirá un fraccionamiento, en un terreno que ha
adquirido en un municipio Dicho terreno cuenta con un área total de 20 hectáreas. Para
dicho proyecto se tienen visualizados la construcción de dos tipos diferentes de casashabitación: la casahabitación tipo 1 tendrá una superficie de 350m2 y un costo de
$1,700,000 y la casa-habitación tipo 2 tendrá una superficie de 300m2 y un costo de $
950,000. Así también el estudio de mercado realizado indicó que la demanda máxima
del tipo 1 es de 200 casas-habitación y para el tipo 2 es de 250 casas-habitación, y que
la demanda máxima conjunta de ambos tipos casas-habitación es de 350 casashabitación. Se desea determinar la combinación óptima de casas-habitación a construir,
para que la empresa inmobiliaria logre un ingreso elevado que sea garantizado, así
como interprete la solución óptima obtenida. Considere la totalidad del terreno.
V.D.D.
K’s
C.T.
X1→Casa-habitación Tipo 1
X1→1,700,000
X2→Casa-habitación Tipo 2
X2→950,000




200,000
200
250
350
Max(z)=1,700,000X1+950,000X2
s.a.
350X1+300X2≤200,000
X1
X2
X1+X2
•
Como la restricción 1 es del
•
•
•
de holgura X6.
Max(z)=1,700,000X1+950,000X2+0X3+0X4+0X5+0X
6 s.a.
350X1+300X2+X3=200,000
X1+X4=200
X2+X5=250
X1+X2+X6=350
Tabla 1
1700000
950000
0
0
0
0
Base
Cb
P0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
2000
00
350
300
1
0
0
0
X4
0
200
1
0
0
1
0
0
X5
0
250
0
1
0
0
1
0
X6
350
1
1
0
0
0
1
-Z
0
1700000
950000
0
0
0
0
COLUMNA PIVOTE
Se toma el valor más pequeño de los negativos en (–Z)
 -1,700,000
Valor más pequeño, se toma como la columna pivote y variable
saliente
 -950,000
FILA PIVOTE
𝑃𝑜
𝑃𝑜
=
𝑋𝑛
𝑋1
= 571.42 →X3
= 200 →X4
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜→ X5
= 350 →X6
= 0 →-Z
Se toma el valor más pequeño de los positivos.
Fila pivote y variable saliente= “X4”
ELEMENTO PIVOTE
Es el elemento que se encuentra en la intersección de la columna pivote y la fila
pivote.
Elemento pivote= 1.
NUEVA FILA PIVOTE
𝐴. 𝐸. 𝐹. 𝑃.
𝑁. 𝐹. 𝑃. =
𝐸𝐿𝐸𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝑃𝐼𝑉𝑂𝑇𝐸
= 200
=1
=0
=0
=1
=0
ACTUALIZACION DE LA TABLA 1, PARA CONSTRUIR TABLA 2.
𝑁. 𝐸. 𝐹. = 𝐴. 𝐸. 𝐹 − (𝐴. 𝐸. 𝐹. 𝐶. 𝑃 × 𝑁. 𝐸. 𝐹. 𝑃)
“X3”
“X5”
200,000 − (350 × 200) = 130,000
250 − (0 × 200) = 250
350 − (350 × 1) = 0
0 − (0 × 1) = 0
300 − (350 × 0) = 300
1 − (0 × 0) = 1
1 − (350 × 0) = 1
0 − (0 × 0) = 0
0 − (350 × 1) = −350
0 − (0 × 1) = 0
0 − (350 × 0) = 0
1 − (0 × 0) = 1
0 − (350 × 0) = 0
0 − (0 × 0) = 0
=0
“X6”
350 − (1 × 200) = 150
“-Z”
0 − (−1,700,000 × 200) = 340𝑥106
−1,700,000 − (−1,700,000 × 1) = 0
1 − (1 × 1) = 0
1 − (1 × 0) = 1
−950,000 − (−1,700,000 × 0) = −950,000
0 − (1 × 0) = 0
0 − (−1,700,000 × 0) = 0
0 − (1 × 1) = −1
0 − (−1,700,000 × 1) = 1.7𝑥106
0 − (1 × 0) = 0
0 − (−1,700,000 × 0) = 0
1 − (1 × 0) = 0
0 − (−1,700,000 × 0) = 0
Tabla
2
1700000
950000
0
0
0
0
Base
Cb
P0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
P3
0
130000
0
300
1
-350
0
0
P1
1700000
200
1
0
0
1
0
0
P5
0
250
0
1
0
0
1
0
P6
0
150
0
1
0
-1
0
1
34000000
0
0
950000
0
170000
0
0
0
Z
*Como aún existe una columna con valor negativo, se deberá construir otra tabla.
“Tabla
3”
COLUMNA PIVOTE
➢ -950,000 Valor más pequeño, se toma como la columna pivote y variable
entrante”X2” FILA PIVOTE
𝑃𝑜
𝑃𝑜
=
𝑋𝑛
𝑋2
= 433.42 →X3
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 →X4
= 250→ X5
= 150 →X6
Se toma el valor más pequeño de los positivos.
Fila pivote y variable saliente= “X6”
ELEMENTO PIVOTE
Es el elemento que se encuentra en la intersección de la columna pivote y la fila
pivote.
Elemento pivote= 1.
NUEVA FILA PIVOTE
𝐴. 𝐸. 𝐹. 𝑃.
𝑁. 𝐹. 𝑃. =
𝐸𝐿𝐸𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝑃𝐼𝑉𝑂𝑇𝐸
= 150
=0
=1
=0
= −1
=0
ACTUALIZACION DE LA TABLA 2, PARA CONSTRUIR TABLA 3.
𝑁. 𝐸. 𝐹. = 𝐴. 𝐸. 𝐹 − (𝐴. 𝐸. 𝐹. 𝐶. 𝑃 × 𝑁. 𝐸. 𝐹. 𝑃)
=1
“X3”
“X1”
130,000 − (300 × 150) = 85,000
200 − (0 × 150) = 200
0 − (300 × 0) = 0
1 − (0 × 0) = 1
300 − (300 × 1) = 0
0 − (0 × 1) = 0
1 − (300 × 0) = 1
0 − (0 × 0) = 0
−350 − (300 × −1) = −50
1 − (0 × −1) = 1
0 − (300 × 0) = 0
0 − (0 × 0) = 0
0 − (300 × 1) = −300
0 − (0 × 1) = 0
“X5”
“-Z”
250 − (1 × 150) = 150
0 − (1 × 0) = 0
1 − (1 × 1) = 0
0 − (1 × 0) = 0
0 − (1 × −1) = 1
340,000,000 − (−950,000 × 150) =
482500000
0 − (−950,000 × 0) = 0
−950,000 − (−950,000 × 1) = 0
0 − (−950,000 × 0) = 0
1 − (1 × 0) = 0
1,700,000 − (−950,000 × −1) = 1.7𝑥106
0 − (1 × 1) = −1
0 − (−950,000 × 0) = 0
0 − (−950,000 × 1) = 0
Tabla
3
1700000
950000
0
0
0
0
Base
Cb
P0
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P3
0
85000
0
0
1
-50
0
-300
P1
1700000
200
1
0
0
1
0
0
P5
0
250
0
0
0
0
1
0
P2
950000
150
0
1
0
-1
0
1
482500000
0
0
0
750000
0
950000
Z
La solución óptima es Z = 482500000
X1 = 200
X2 = 150
COMPROBACION EN M.P.L.
482500000=1,700,000(200) +950,000(150)
s.a.
350(200) +300(150)≤200,000
200≤200
150≤250
200+150≤350
∀𝑋𝑖 ≥ 0
482,500,000=482,500,000
s.a.
115,000≤200,000
200≤200
150≤250
350≤350
∀𝑋𝑖 ≥ 0
Datos Correctos en la comprobación.
INTERPRETACIÓN
Se debe de construir 200 casas-habitación del Tipo 1 y 150 casas-habitación del
Tipo 2, para garantizar un ingreso de 482,500,000 pesos, a la empresa inmobiliaria.
2.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES
OBJETIVOS, CAMBIOS EN LOS RECURSOS Y CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES
TECNOLÓGICOS
Consiste en evaluar cómo cambia la solución óptima de un problema de
optimización cuando se modifican ciertos parámetros o coeficientes del modelo. Los tres
tipos principales de análisis de sensibilidad se centran en cambios en los coeficientes
objetivos, cambios en los recursos y cambios en los coeficientes tecnológicos. A
continuación, se describe cada uno de estos aspectos:
1. Cambios en los Coeficientes Objetivos: Este tipo de análisis se refiere a la
evaluación de cómo cambiarían las soluciones óptimas si los coeficientes de la
función objetivo se modifican. Los coeficientes objetivos representan la
contribución de cada variable a la función objetivo. Al aumentar o disminuir estos
coeficientes, es posible determinar cuánto cambiaría el valor óptimo de la función
objetivo. Esto es útil para comprender cómo las decisiones de asignación de
recursos impactan en el resultado final. Por ejemplo, si el costo de un recurso
aumenta, el análisis de sensibilidad puede indicar cómo afecta esto al valor óptimo
de la función objetivo, como los costos o beneficios.
2. Cambios en los Recursos (Restricciones): Este análisis se enfoca en entender
cómo afectaría la solución óptima si los recursos disponibles (representados por
las restricciones) se modifican. Los cambios en las restricciones pueden incluir
aumentos o reducciones en la cantidad de recursos disponibles. Al realizar este
análisis, es posible determinar cuánto se puede ampliar o reducir la disponibilidad
de recursos sin cambiar la solución óptima. Esto es crucial para la planificación y
la gestión de proyectos, ya que permite evaluar cómo los cambios en la capacidad,
la demanda o los recursos pueden afectar la viabilidad de una solución óptima.
3. Cambios en los Coeficientes Tecnológicos: Los coeficientes tecnológicos
representan la relación entre las variables de decisión y las restricciones en un
modelo de optimización. El análisis de sensibilidad de estos coeficientes examina
cómo cambiaría la solución óptima si se alteran los coeficientes tecnológicos. Este
tipo de análisis es importante cuando se trata de comprender cómo cambios en la
tecnología o en la eficiencia de los procesos pueden influir en la asignación óptima
de recursos. Por ejemplo, si se mejora la eficiencia de producción de un producto,
el análisis de sensibilidad puede indicar cómo esto afecta la producción óptima y
los costos asociados.
Ventajas
El análisis de sensibilidad cuenta con no pocas ventajas, entre las que
destacamos las siguientes:

Facilita la toma de decisiones: el análisis de sensibilidad puede resultar de gran
utilidad para tomar una decisión, por lo que resulta muy ventajoso para las
empresas, sobre todo a la hora de planificar los proyectos que se pretenden llevar
a cabo. Esto es así porque el análisis de sensibilidad dará como resultado diversos
pronósticos sobre un proyecto concreto que estarán fundamentados en datos.

Asegura el control de calidad del proyecto: gracias al análisis de sensibilidad,
las empresas podrán determinar qué procesos y proyectos no están dando los
resultados esperados, es decir, qué proyectos no cumplen con los objetivos que
se fijaron en un principio. De esta forma, y gracias al análisis de sensibilidad, las
empresas podrán detectar los errores y fallos que se están produciendo, lo cual
les permitirá subsanarlos y esto redundará positivamente en la calidad de los
productos, así como suponer un ahorro importante de tiempo.

Mejora en la asignación de los recursos disponibles: gracias al análisis de
sensibilidad, las empresas podrán determinar cuáles son las fortalezas y las
flaquezas de un proceso o proyecto y, con base en esta información, podrán
asignar de mejor manera los recursos de que disponen. De esta forma, el impacto
de los recursos redundará en los resultados del proyecto.

Pronóstico del éxito o fracaso de un proyecto: el análisis de sensibilidad arroja
resultados fiables, ya que estos están basados en datos confiables y certeros. Así,
al estudiar las diferentes variables y los eventuales resultados que pueden
producirse, las
entidades y empresas podrán
tomar mejores y más
fundamentadas decisiones, lo que facilitará el éxito del proyecto.
Inconvenientes
Sin duda, el análisis de sensibilidad cuenta con no pocas ventajas, aunque
también cuenta con algún que otro inconveniente. Veamos los inconvenientes más
importantes:

Una sola variable cada vez: quizá el inconveniente principal del análisis de
sensibilidad es que este tan solo puede estudiar los cambios que se produce en
una sola variable cada vez.

No utilización de distribuciones de probabilidad: esta realidad limita de forma
bastante notable la capacidad predictiva del análisis de sensibilidad.
Análisis de sensibilidad: ejemplo
Para entender mejor toda esta información, lo mejor es ilustrarla con un ejemplo.
Imaginemos que una empresa ha invertido dinero en maquinaria nueva. Este cambio de
maquinaria es la novedad que se ha introducido y que puede afectar a la variable que
estamos midiendo. Así, en este caso, el VANe es de 564,29, mientras que el VANn es
de 648,61. En este caso concreto, aplicando la fórmula:
Análisis de sensibilidad = ((VANn – VANe) / VANe) x 100
Análisis de sensibilidad = ((648,61 – 564,29) / 564,29 x 100 = 14,94 %
En este caso, podemos afirmar que, gracias a la introducción de nueva
maquinaria, se produce un cambio en las ventas que trae consigo un incremento del VAN
de casi un 15 %, por lo que esta novedad puede resultar eficaz.
Sin duda, el análisis de sensibilidad es una buena estrategia para conocer o
estimar si un nuevo proyecto tendrá el éxito espera o no.
REFERENCIAS
Muñoz, M., & Lineal, P. Programación Lineal. Upct.es. Recuperado el 7 de octubre de
2023, de https://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/10251/mod_resource/content/1/T7.pdf
TEMA 2: PROGRAMACIÓN LINEAL. Unex.es. Recuperado el 7 de octubre de
2023, de
https://merkado.unex.es/operaciones/descargas/Material%20MCI/TEMA%202.pdf
https://ocw.ehu.eus/file.php/19/2._metodo_simplex.pdf
Ehu.eus.
Recuperado
el
7
de
octubre
de
2023,
https://ocw.ehu.eus/file.php/19/2._metodo_simplex.pdf
Larson, R. E., Hostetler, R. P., Edwards, B.H. Cálculo, volumen 1. México, DF:
McGraw-Hill, 2000.
González Pareja, A. Matemáticas con DERIVE en la economía y la empresa.
Madrid: RA-MA, 1995.
de