Université Hassane II
Faculté des Scineces Ain Chock
Filière SMA6 Cryptograhie
Année Universitaire 2021-2022
Série VIII
Exercice 11
Soit E(F7 ) une courbe elliptique dénit par l'equation suivante
E : y 2 = x3 + 2x + 3
1)
Déterminer tout les points de E(F7 ).
2)
Supposons que P = (0, 1), T = (1, 2) et Q = (0, 6).
Calculer R = P + Q
ii) Calculer C = P + T
iii) Calculer 2P
i)
Exercice 12
Soit E(F13 ) une courbe elliptique dénit par l'equation suivante
E : y 2 = x3 + 2x + 3
1) Déterminer tout les points de E(F13 ).
2)
Supposons que P = (3, 6), T = (4, 7), Q = (3, 7) et F = (12, 0).
i) Calculer R = P + Q
ii) Calculer C = P + T
Calculer 2P
iv) Calculer 2F
iii)
Exercice 13
Soit E(F17 ) une courbe elliptique dénit par l'equation suivante
E : y 2 = x3 + x + 3
1)
Déterminer les residus quadratiques de F17 , En déduire les carrées de F17 .
2)
Déterminer tout les points de E(F17 ). En deduire E(F17 ) est cyclique
1
3)
Supposons que P = (3, 4), T = (3, 13) et Q = (6, 2).
Calculer R = P + Q, C = P + T et 2P
4)
Calculer 11F avec F = (8, 9).
Exercice 15
Alice et Bob sont d'accord d'utiliser la courbe elliptique E : Y 2 = X 3 + 3X + 7
dans le corps F11
1)Donner les residu quadratiques F11
2) Determiner les points elliptiques de E(F11 )
3) Montrer que card(E(F11 )) = 10
4) En deduire que E(F11 ) = ⟨(8, 2)⟩ est cyclique
Bob choisi b = 3 comme cle prive, et Alice choisi a = 4 comme cle prive,
i) Determiner les cles publiques d'Alice et de Bob
ii) Comment Alice va decrypter le message (5, 2) selon la methode El Gamal
et l'envoie à Bob Cle emephere k = 5
iii) Comment Bob decrypter le message [T1 , T2 ]
5)
Exercice 16
Alice et Bob sont d'accord d'utiliser la courbe elliptique E : Y 2 = X 3 + 2X + 3
dans le corps F13
1)Donner les residu quadratiques F13
2) Determiner les points elliptiques de E(F13 )
3) Montrer que card(E(F13 )) = 18
4)
Montrer que o ((4, 6)) = 18. En deduire que E(F13 ) est cyclique
Bob choisi b = 8 comme cle prive, et Alice choisi a = 6 comme cle prive,
Determiner les cles publiques d'Alice et de Bob
ii) Comment Alice va decrypter le message (7, 10) selon la methode El Gamal
et l'envoie à Bob Cle emephere k = 5
iii) Comment Bob decrypter le message [T1 , T2 ]
5)
i)
2
Université Hassane II
Faculté des Scineces Ain Chock
Filière SMA6 Cryptograhie
Année Universitaire 2017-2018
Série VIII
Exercice 11
Soit E(F7 ) une courbe elliptique dénit par l'equation suivante
E : y 2 = x3 + 2x + 3
1)
Déterminer tout les points de E(F7 ).
Les residus quadratiques de F7 sont 1; 4; 2;
03 + 2 × 0 + 1 = 12 = (−1)2 (0,1) ; (0,6)
13 + 2 × 1 + 1 = 4 = 22 = (−2)2 (1,2) ; (1,5)
23 + 2 × 2 + 1 = 6mod7 6 n'est pas residu quadratique
33 + 2 × 3 + 1 = 6mod7 6 n'est pas residu quadratique
43 + 2 × 4 + 1 = 3mod7 3 n'est pas residu quadratique
53 + 2 × 5 + 1 = 3mod7 3 n'est pas residu quadratique
63 + 2 × 6 + 1 = 3mod7 5 n'est pas residu quadratique
D'ou E(F7 ) = {(0, 1); (0, 6); (1, 2); (1, 5); ∞}
Card(E(F7 )) = 5
2)
Supposons que P = (0, 1), T = (1, 2) et Q = (0, 6).
Calculer R = P + Q
R = P + Q = ∞ car XP = XQ et YP = −YQ mod7
ii) Calculer C = P + T
i)
C = P + T = (XC , YC ) = (0, 6)
−yT
= 1−2
mod7 = 1,
m = xyPP −x
0−1
T
2
XC = m − XP − XT = 1 − 0 − 1 = 0mod7
et YC = m(XP − XC ) − YP = (0 − 0) − 1 = −1 = 6mod7
iii)
Calculer 2P
2P = P + P = (X2P , Y2P ) = (1, 5)
m = (3XP2 + A) × (2YP )−1 = (3 × 02 + 2) × (2 × 1)−1 mod7 = 1,
3
X2P = m2 − 2XP = 12 − 2 × 0 = 1mod7
et Y2P = m(0 − X2P ) − 1 = −2 = 5mod7
Exercice 12
Soit E(F13 ) une courbe elliptique dénit par l'equation suivante
E : y 2 = x3 + 2x + 3
1) Déterminer tout les points de E(F13 ).
2)
Supposons que P = (3, 6), T = (4, 7), Q = (3, 7) et F = (12, 0).
Les residus quadratiques de F13 sont 12 = 1; 4; 9; 3; 12; 10
(0, 4); (0, 9); (3, 6); (3, 7); (4, 6); (4, 7); (6, 6); (6, 7); (7, 3); (7, 10)
(9, 3); (9, 10); (10, 3); (10, 10); (11, 2); (11, 11); (12, 0); ∞
i) Calculer R = P + Q
R = P + Q = ∞ car XP = XQ , YP = −YQ mod13
ii) Calculer C = P + T
C = P + T = (XC , YC ) = (7, 3)
T
= 6−7
mod13 = 1,
m = xyPP −y
−xT
3−4
2
XC = m − XP − XT = 1 − 3 − 4 = 7mod13
et YC = m(XP − XC ) − YP = (3 − XC ) − 6 = 3mod13
iii) Calculer 2P
2P = P + P = (X2P , Y2P ) = (3, 7)
m = (3XP2 + 2)(2YP )(−1) = (3 × 32 + 2)(2 × 6)(−1) mod13 = 10,
X2P = m2 − 2XP = 3
et Y2P = m(3 − X2P ) − 6 = 7
iv)
Calculer 2F
2F = F + F = ∞ car XF = XF , YF = YF = 0
Exercice 13
Soit E(F17 ) une courbe elliptique dénit par l'equation suivante
E : y 2 = x3 + x + 3
1)
Déterminer les residus quadratiques de F17 , En déduire les carrées de F17 .
2)
Déterminer tout les points de E(F17 ). En deduire E(F17 ) est cyclique
4
3)
Supposons que P = (3, 4), T = (3, 13) et Q = (6, 2).
Calculer R = P + Q, C = P + T et 2P
4)
Calculer 11F avec F = (8, 9).
Exercice 15
Alice et Bob sont d'accord d'utiliser la courbe elliptique E : Y 2 = X 3 + 3X + 7
dans le corps F11
1)Donner les residu quadratiques F11
On sait que
12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 5, 52 = 3,
62 = 3, 72 = 5, 82 = 9, 92 = 4, 102 = 1,
Donc les residu quadratique sont {1, 4, 9, 5, 3}
Donc les carrées de F11 sont {0, 1, 4, 9, 5, 3}
2) Determiner les points elliptiques de E(F11 )
03 + 3 × 0 + 7 = 7 7 nest pas residu quadratique
13 + 3 × 1 + 7 = 0 (1, 0)
23 + 3 × 2 + 7 = 10 10 nest pas residu quadratique
par la meme procedure on trouve les points suivants (5, 2), (5, 9), (8, 2), (8, 9), (9, 2), (9, 9), (10, 6)
3) Montrer que card(E(F11 )) = 10
on sait que E(F11 ) = {(5, 2), (5, 9), (8, 2), (8, 9), (9, 2), (9, 9), (10, 6), (10, 5), (1, 0), ∞}
D'ou card(E(F11 )) = 10
4)
En deduire que E(F11 ) = ⟨(8, 2)⟩ est cyclique
10
(5, 2)
5
i)
= (5, 2) + (5, 2) = (10, 5)
4(5, 2) = 2(10, 5) = (10, 5) + (10, 5) = (5, 9)
10
(5, 2) = 4(5, 2) + (5, 2) = (5, 9) + (5, 2) = ∞ D'ou o((5, 2)) = 5
2
10
(8, 2) = (8, 2) + (8, 2) = (10, 5)
5
4(8, 2) = 2(10, 5) = (10, 5) + (10, 5) = (5, 9)
10
(8, 2) = 4(8, 2) + (8, 2) = (5, 9) + (8, 2) = (1, 0) D'ou o((8, 2)) = 10
2
et par suite E(F11 ) = ⟨(8, 2)⟩
5) Bob choisi b = 3 comme cle prive, et Alice choisi a = 4 comme cle prive,
Determiner les cles publiques d'Alice et de Bob
Cle publique de Bob B = 3(8, 2) = (9, 2)
5
ii) Comment Alice va decrypter le message (5, 2) selon la methode El Gamal
et l'envoie à Bob Cle emephere k = 5
E(F11 ) = ⟨g⟩ = ⟨(8, 2)⟩
message crypté [T1 , T2 ] = [(5, 2), (5, 2)]
avec T1 = kg = 6(8, 2) = (5, 2)
et T2 = M + kB = (5, 9) + 6(9, 2) = (5, 9) + (10, 6) = (10, 5)
Comment Bob decrypter le message [T1 , T2 ]
M = T2 − bT1 car T2 − bT1 = M + kB − bkg = M + kbg − bkg = M
iii)
Exercice 16
Alice et Bob sont d'accord d'utiliser la courbe elliptique E : Y 2 = X 3 + 2X + 3
dans le corps F13
1)Donner les residu quadratiques F13
les residu quadratique sont {1, 4, 9, 3, 12, 10}
Donc les carrées de F13 sont {0, 1, 4, 9, 3, 12, 10}
2)
Determiner les points elliptiques de E(F13 )
03 + 2 × 0 + 3 = 3 = 42 = 92
(0,4), (0,9).
13 + 2 × 1 + 3 = 6 6 n'est pas residu quadratique
23 + 2 × 2 + 3 = 2 2 nest pas residu quadratique
33 + 2 × 3 + 3 = 10 = 62 = 72
(3,6), (3,9)
par la meme procedure on trouve les points suivants
(0, 4), (0, 9), (3, 6), (3, 9), (4, 6), (4, 7), (6, 6), (6, 7), (7, 3)
(7, 10), (9, 3), (9, 10), (10, 3), (10, 10), (11, 2), (11, 11), (12, 0), ∞
3)
Montrer que card(E(F13 )) = 18
On sait que
E(F11 ) = {(0, 4), (0, 9), (3, 6), (3, 9), (4, 6), (4, 7), (6, 6), (6, 7), (7, 3)
(7, 10), (9, 3), (9, 10), (10, 3), (10, 10), (11, 2), (11, 11), (12, 0), ∞,
4) Montrer que o ((4, 6)) = 18. En deduire que E(F13 ) est cyclique
2(4, 6) = (9, 10), , 4(4, 6) = 2(9, 10) = (11, 11)
8(4, 6) = 2(11, 11) = (0, 9), , 16(4, 6) = 2(0, 9) = (9, 3)
18
(4, 6) = 9(4, 6) = 8(4, 6) + (4, 6) = (0, 9) + (4, 6) = (12, 0) ̸= ∞
2
18
(4, 6) = 6(4, 6) = 4(4, 6) + 2(4, 6) = (11, 11) + (9, 10) = (3, 6) ̸= ∞
3
D'ou o ((4, 6)) = 18 et comme ⟨(4, 6)⟩ ⊂ E(F13 ) et card(E(F13 )) = 18
6
et Par suite E(F13 ) = ⟨(4, 6)⟩
Bob choisi b = 8 comme cle prive, et Alice choisi a = 6 comme cle prive,
i) Determiner les cles publiques d'Alice et de Bob
Cle publique de Bob B = 8(4, 6) = (0, 9)
Cle publique d'Alice A = 6(4, 6) = 4(4, 6) + 2(4, 6) = (11, 11) + (9, 10) = (3, 6)
ii) Comment Alice va decrypter le message (7, 10) selon la methode El Gamal
et l'envoie à Bob Cle emephere k = 5
5)
E(F11 ) = ⟨g⟩ = ⟨(4, 6)⟩
message crypté [T1 , T2 ] = [(7, 3), (4, 7)]
avec T1 = kg = 5(4, 6) = (7, 3)
et T2 = M + kB = (7, 10) + 5(0, 9) = (7, 3) + (11, 11) = (4, 7)
iii) Comment Bob decrypter le message [T1 , T2 ]
M = T2 − bT1 car T2 − bT1 = M + kB − bkg = M + kbg − bkg = M
M = (4, 7) − 8(7, 3) = (4, 7) − (11, 11) = (4, 7) + (11, 2) = (7, 10)
7