Université Hassan II
Faculté des Sciences
Ain Chock
Filière SMA S6
Prof ABDELALIM Seddik
Année Universitaire 2017-2018
Module: Cryptographie
1er Session: Mai 2018
Durée 1h30
Examen
Questions de Cours
Soit p un nombre premier
1) Montrer que p divise Cpk pour tout 1 ≤ k ≤ p − 1
p!
donc p! = Cpk k!(p − k)!
On a Cpk = k!(p−k)!
donc p divise Cpk k!(p − k)! = et comme p nombre premier alors p nombre premier alors
p ∧ 1 × 2 × 3 × ··· × k = 1
2) Montrer que ap−1 = 1 [p] si et seulement si a ∧ p = 1.
=⇒) On a ap−1 = 1 [p] donc ap−1 = 1 + kp.
il est clair que ap−1 a + (−k)p = 1, d’ou a ∧ p = 1
(⇐= On sait que card ((ZZ/pZZ)∗ ) = p − 1 et comme ((ZZ/pZZ)∗ , ×) est un groupe alors
ap−1 = 1 [p]
Exercice 1
A B
0 1
N O P
13 14 15
C D
2 3
E F
4 5
G H I
6 7 8
J K
9 10
Q R S T U V
16 17 18 19 20 21
L M
11 12
W X Y Z
22 23 24 25
1) Crypter LA SCIENCES par le cryptosystème affine avec clef k = (3, 2)
Le codage de ”LA SCIENCES” est ”11 00 18 02 08 04 13 02 04 18”, On applique la
fonction de chiffrement e(x) = 3x + 2, On trouve ”09 02 04 08 00 14 21 08 14 04”, on
dcode en texte: ”JCEIAOVIOE”.
2) Décrypter FSP par le cryptosystème AFFINE avec clef k = (3, 2)
Le texte chiffr est ”FSP”, son codage est ”05 18 15”, on applique le fonction de dchiffrement d(x) = 3−1 (x − 2) = 9(x − 2) = 9x − 18 = 9x + 8 on trouve ”01 14 13” ce qui donne
le texte clair ”BON”.
Exercice 2
Bob utilise le protocole RSA, ses cles publiques N = 209, et e = 7
1
1) Comment Alice peut chiffrer le message m = 15 avec la cle publique de Bob
me = 157 = 203 [209] 2) Donner la méthode de Bob pour dechiffrer le message d’Alice
Bob a recu le message chifferer mc On a ϕ(209) = ϕ(11×19) = ϕ(11)ϕ(19) = 10×18 = 180
1 = 3 × 180 − 77 × 7
D’ou d = −77 [180] = 103 [180]
Bob va decrypter le message par la methode suivante:
mdc = (me )d = me d = m1+kϕ(N ) = mmkϕ(N ) = m
Exercice 3
Résoudre l équation suivante par la méthode Baby step Giant step
5x ≡ 14 [17] √
On a n = E( 17) + 1 = 5
5kn+r = 14 alors 5r = 14 × 5−5k avec 0 ≤ k, r ≤ 4
{50 , 51 , 52 , 53 , 54 } = {1, 5, 8, 6, 13}
{14 × 50 , 14 × 5−5 , 14 × 5−10 , 14 × 5−15 , 14 × 5−20 } = {14, 1, ....}
D’ou 14 × 5−5 = 50 et par suite 55 ≡ 14 [17]
Exercice 4
Soit E(IF11 ) une courbe elliptique définit par l’equation suivante E : y 2 = x3 + x + 3
1) Déterminer six points de E(IF11 )
{(0, 5), (0, −5), (1, 4), (1, −4), (4, 4), (5, 1)}
2) Calculer R = P + Q avec P = (3, 0) et Q = (4, 4)
m = (0 − 4)/(3 − 4) [11] = 4; x3 = m2 − 3 − 4 [11] = 9 ; y3 = m ∗ (3 − 9) − 0 [11]
R = (x3 , y3 ) = (9, 9) 3) Supposons que card(E(IF11 )) = 18.
En déduire que R est un générateur de E(IF11 ) On a 2R = (2, 1); 2R + 2R = 4R = (1, 6);
4R + 4R = 8R = (3, 8);
Donc 2R = (2, 1); R + 2R = 3R = (5, 7); 2R + 4R = 6R = (2, 10) R + 8R = 9R = (4, 0)
Puis que les diviseurs de 18 sont {1, 2, 3, 6, 9, 18} et on a 2R 6= ∞, 3R 6= ∞, 6R 6= ∞,
9R 6= ∞, Dou O(R) = 18 et par suite
E(IF11 ) = hRi
2