Université Hassan II – Casablanca
Faculté des
Sciences
Master de Mécanique
Analyse Numérique 2
Année Universitaire 2009 / 2010
Méthode Numérique en Mécanique
Contrôle continu : Méthode de Différences finies
Durée 1h 30 mn.
Exercice 1 : Questions de cours
1234-
Quelle est la différence entre un schéma explicit et un schéma implicite ?
Quel est l’avantage du schéma implicite ?
Donner quelques critères du choix de la méthode numérique.
Citer quelques avantages de la résolution d’un problème par une méthode
numérique.
5- Avantages et inconvénients des différences finies.
6- Expliquer en quelques mots ce que veut dire un schéma convergent, un
schéma consistant, et un schéma stable
Exercice 2 : Discrétisation des dérivées partielles
1 - Donner la forme discrétisée de la dérivée première
 f 
  avec un schéma plus
 x 
précis d'ordre 2 progressif avancé et retardé.
2 - Donner la forme discrétisée de la dérivée seconde avec un schéma plus précis
d'ordre 4 progressif centré.
Exercice 3 : Condition de stabilité d’un schéma numérique, Crank-Nicholson.
L’équation aux dérivées partielles permettant d’obtenir le champs de température
T(x,t) à une dimension est donnée par :
𝜕𝑇
𝜕2 𝑇
= 𝛼
𝜕𝑡
𝜕 𝑥2
La discrétisation de cette équation par un schéma de Crank-Nicholson est donné
par :
𝑛
𝑛
𝑛+1
𝑛+1
𝑇𝑖𝑛+1 − 𝑇𝑖𝑛
𝑇𝑖+1
− 2 𝑇𝑖𝑛 + 𝑇𝑖−1
𝑇𝑖+1
− 2 𝑇𝑖𝑛+1 + 𝑇𝑖−1
= 𝛼 {[
]
+
[
]}
Δ𝑡
2(Δx)2
2(Δx)2
1 – Appliquer la méthode de stabilité de Von Neumann pour calculer le coefficient
d’amplification G.
2 – Déterminer la condition de stabilité du schéma.