2022.2023
Université Ahmed DRAIA
ADRAR
Faculté des sciences et de la technologie
Département Génie Électrique
METHODES NUMERIQUES
APPLIQUEES ET OPTIMISATION
Cours de Mater Commande électrique
Réaliser par Mr. DEFFA Ahmed
COURS 04
RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS
AUX DERIVEES PARTIELES
[Volume Horaire :3 heurs]
Master commande électrique
Méthodes Numériques appliquées et optimisation
Table des matières
I. Introduction ........................................................................................... 18
1. Définition ................................................................................................18
2. Les équations aux dérivées partielles Linéaires, et non-linéaires..............19
a.Définition
19
b.Exemples :
19
3. Etude des EDP linéaires de deuxième ordre ............................................20
.4 Types des problèmes aux limites pour l’EDP ..........................................20
II. Méthodes numériques de résolution numérique de l’EDP (II ) ............... 22
1-La méthode de différence finie :.................................................................22
a.Approximation des 1ére et 2éme dérivées partielles par DF
22
b.Description les étapes de la résolution par la MDF
23
c.Exemple 01
24
d.Exemple2 :
25
Résolution numérique des équations aux dérivées partielles |Mr: DEFFA Ahmed
Master commande électrique
Méthodes Numériques appliquées et optimisation
I. Introduction
Notation : Dans tout ce document on utilise les notations suivantes :
2
u
,u 2
xi x 1
ux i
Si u :
n
2
u
,..., uxi x j
x 12
u
,...., ux1x2 ...xn
xi x j
n
u
x 1... x n
 ;(n  1) et x  (x1, x 2,..., xn )
1. Définition
 Equation aux dérivées partielles de l’inconnue u est toute équation
écrit sous la forme F x, u, ux ,.., ux , ux x , ux ..., ux ...x
f (x )...(E ) où
u:
n
 ;f :
n
1
 ,(n  1)
n
1 2
2
1
1
n
 les variables x1, x 2,.., xn sont les variables indépendantes de
 L’ordre de l’équation aux dérivées partielles
élevé des dérivées partielles de u dans (E )
(E )
est l’ordre le plus
(E )
 Le degré de l’EDP (E ) est la puissance le plus élevé du plus élevé
dérivée partielle de u dans (E )
- On suppose que
(E )
est une EDP d’ordre n
 Une solution de
(E )
toute fonction u  C n vérifiée
 Une solution générale de
arbitraire
(E ) est
 Une solution particulière de
arbitraire avec (m  n)
toute solution de
(E )
(E )
(E ) à n
est toute solution de
fonction
(E )
à m fonction
Exemples :
- la fonction de deux variables réelles u(x, y)
solution générale de l’EDP de premier ordre
ux
2 f '(2x
y)
uy
f '(2x
y)
ux
2uy
ux
2uy
f (2x
ux
2uy
y) est la
0
en effet ;
0
Résolution numérique des équations aux dérivées partielles |Mr: DEFFA Ahmed
Master commande électrique
Méthodes Numériques appliquées et optimisation
2
- la fonction g(x, y) (2x y)
k sin(2x
y)
c;(avec k, c des constants réelles)
est une solution particulière de cette EDP
2. Les équations aux dérivées partielles Linéaires, et non-linéaires
Soit l’EDP L(u)
f (x )...(E )
où u
L(u) : F x, u, ux1 ,.., uxn , ux1x2 , ux 21 ..., ux1 ...xn
a. Définition
- On dit que (E ) est Linéaire (respectivement non linéaire) c’est
l’opérateur L est Linéaire (respectivement non linéaire)
- Si (E ) est une EDP non- linéaire F est linéaire par rapport à tous
les dérivées partielles les plus élevés de u on dit que (E ) est quasilinéaire
- Si (E ) est une EDP quasi-linéaire et tous les coefficients dépendent
seulement des variables indépendantes, on dit qu’elle est une EDP
semi-linéaire
 L’équation homogène, non-homogène
- Si l’équation (E ) est linéaire et f
si non elle est non-homogène.
0
on dit que (E ) elle est homogène
b. Exemples :
EDP
uy
uyy
uyy
uyy
uxx
u uxx
u 2uxx
xuxx
3
1
u5
y ux
y
4
x
L’ordre
degré
Linéarité
2
1
linéaire
2
3
non-linéaire
2
1
quasi-linéaire
2
1
semi-linéaire
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Master commande électrique
uy
xuyxx
u
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3
1
1
linéaire
3. Etude des EDP linéaires de deuxième ordre
a. Types des EDP linéaires de deuxième ordre n
2:
Définition
La forme générale d’une EDP linéaire de deuxième ordre de l’inconnue
est donnée par :
2
u :D
A(x, y)uxx
B(x, y)uxy
C (x, y)uyy
D(x, y)ux
E(x, y)u
f (x, y )...(II )
b. Classification de l’EDP (II )
Corollaire :
On pose
B2
4AC
-Si
0 alors (II ) est dite EDP Hyperbolique
-Si
0 alors (II ) est dite EDP Elliptique
-Si
0 alors (II ) est dite EDP Parabolique
Exemples : soit u : u(t, x ) : D
2
 Equation de Laplace dans
 Equation des ondes dans
2
2
 Equation de la chaleur dans
: utt
: utt
2
uxx
0 est une EDP elliptique
c 2uxx est une EDP hyperbolique:
ut
kuxx est une EDP parabolique:
4. Types des problèmes aux limites pour l’EDP
n
Soit
un domaine de n et
le bord de ce domaine. On considère
un opérateur différentiel L et l’équation Lu(x, t ) f (x, t ); (x, t )
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Méthodes Numériques appliquées et optimisation
Pour résoudre cette équation dans laquelle u est l’inconnue et f une
donnée sur
, on lui adjoint des conditions aux limites.
Définition
On a 3 types des problèmes aux limites des EDP
1. Le problème de Dirichlet ou premier problème aux limites : on
cherche une solution de l’équation qui prend des valeurs données sur
le bord de . On cherche donc à résoudre le système .En général la
fonction g est (au moins) continue
Lu(x, t )
u(x, t )
f (x, t ) si x
g(x ) si x
2. Le problème de Neumann ou deuxième problème aux limites : on
cherche une solution de l’équation différentielle dont on connaît la
valeur du gradient sur le bord du domaine de résolution, on cherche
donc à résoudre le problème
u
n
- Notant Dnu
Lu(x, t )
f (x, t ) si x
Dnu(x, t )
g(x ) si x
u.n et n la normale unitaire dirigée vers
l’extérieur de
3. Le problème de Dirichlet-Neumann ou troisième problème aux
limites : on cherche une fonction qui vérifié la troisième condition au
bord
Lu(x, t )
f (x, t ) si x
Dnu(x, t )
ku(x, t )
g(x ) si x
; où k
k(x ) une fonction de x
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Exemples : soit les problèmes différentielles suivantes
P1 :
utt
uxx
u(t, x )
0, (t, x )
5(t 2
2)
0, 4
0, 5
ut
,
4uxx
P2 : u 0, t
x 2 ; (t, x )
u(4, t )
u x, 0
0
Sont deux problèmes
x
5 sin
de Dirichlet
Le problèmes
ut
c u, t
P2 : u 0, x
0, x
0
sin x
ux t, 0
Est un problème de Neumann
0
II. Méthodes numériques de résolution numérique de l’EDP (II )
Notation : Uij
uij
u(ti , x j ), fi, j
f (ti , x j ); k
ti
ti ; h
1
xi
xi
1
1-La méthode de différence finie :
La méthode MDF est basée sur l’approximation de la dérivée partielle par les
différences finies pour l’obtention d’un schéma numérique qui sera donnée une
approche de la solution du problème aux limites.
a. Approximation des 1ére et 2éme dérivées partielles par DF
Par les différences finies en avant
ux
uxx
ui, j 1 ui, j
u
(t, x )
, ut
x
h
2
ui, j 2 2ui, j 1
u
(t, x )
2
x
h2
u
(t, x )
t
ui, j
, utt
ui
ui, j
1, j
k
u
(t, x )
t2
ui
2
2, j
2ui
k
1, j
ui, j
2
- Par les différences finies en arrière
ux
uxx
ui, j ui, j 1
u
(t, x )
, ut
x
h
2
ui, j 2ui, j 1
u
(t, x )
2
x
h2
u
(t, x )
t
ui, j
2
ui
k
2
, utt
ui, j
1, j
u
(t, x )
t2
ui, j
2ui
k
1, j
2
ui
2, j
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Méthodes Numériques appliquées et optimisation
- Par les différences finies centrées
-ux
uxx
ui 1, j ui 1, j
u
(t, x )
, ut
x
2h
2
ui 2, j 2ui, j ui
u
(t, x )
2
x
4h 2
u
(t, x )
t
2, j
ui , j
ui , j
1
ui, j
2
, utt
1
2k
u
(t, x )
t2
2
2ui, j
4k
ui, j
2
2
b. Description les étapes de la résolution par la MDF
1. Discrétiser le domaine d’étude : c’est-à-dire définir à partir des pas
donnés des points appelés les nœuds pour avoir approché la solution
dans ces nœuds.
2. Tracer le problème : Dans le plan (
2
) ; Les calculs sont
effectués suivant un maillage obtenu par un double réseau
de parallèles aux axes.et par conséquence, chaque
intersection de deux droites du maillage définit un nœud .le
maillage est dit régulier si sinon il est irrégulier
3. Déterminer les connues du problème : les connues du problème
sont les valeurs approchée de la solution exacte utilisant les conditions
initiales et(ou) les conditions au bord de domaine d’étude
4. Discrétiser l’EDP : utiliser une approximation efficace par les DF de
chacun des dérivées partielles dans cette EDP pour l’obtention d’un
schéma numérique qui sera remplacée l’EDP.
5. Déterminer les inconnues du problème : D’après le schéma
numérique on peut calculer des valeurs approchées de la solution
exacte dans les nœuds.
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Méthodes Numériques appliquées et optimisation
c. Exemple 01
Soit le problème de Dirichlet suivant
ut'
P1 :
uxx" , (x , t )
0, 0, 6
u(x , 0)
2x , x
u(x , 0)
6
u(0; t )
u(0, 6; t )
0; 0, 04 ;
0; 0, 5
10x , x
0, 5; 0, 6
0, t
0; 0, 04
On doit résoudre le problème précédent par la MDF (avec DF en avant)
avec un pas
( x, t )
(0,2;0, 01) :
(h, k )
- Discrétisation du domaine : soit P la partition de 0, 0, 6
P
(xi , t j )
(x 0
ih; t0
jk ),
(x i , t j )
(0,2i; 0, 01j ), i
0; 0, 04
0, 3; j
0, 4
- Détermination les connues du problème :Soit u ij l’approximation de
uij ( u ij
uij ) ; D’après la condition aux limites au-dessus on a :
u(x ; 0)
2x
u 00
u(x i ; t 0 )
0; u 10
2x i ; x
0, 4; u 20
u(x , 0)
6
10x, x
u(0; t )
u(0, 6; t )
u3 j
0, j
u 00
u 01
u 02
ui 0
2(0,2i)
0, 4i, i
u(x i ; t 0 )
6
10x i ; pour i
3
0,2
0, 8;
0, 5; 0, 6
0, t
u0 j
0; 0, 5
u(x 0 ; t j )
0; 0, 04
u(x 3 ; t j )
0, j
u 30
0
0, 4
0, 4
u 03
u 04
u 30
u 31
u 32
u 33
u 34
0
- Discrétisation de l’EDP
ut'
ui , j
uxx"
k (ui
uij
1
uij
2ui
k
2ui
2, j
0, 01(ui
2, j
ui
2u i
2, j
1, j
ui
2, j
h
(k
)
2ui
1, j
1, j
2
h 2 )uij
)
0, 05uij
5u ij
4u i, j
1, j
h 2ui, j
1
0; i
0,1, j
0, 3
0
1
0, 04ui, j
, i
1
0
0,1, j
0, 3
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- Détermination les inconnues de l’EDP
- Toutes les inconnues sont u11; u12 ; u13 ; u14 ; u 21; u 22 ; u 23 ; u 24 On a
pour j
-
0:
i
0
u 20
2u 10
5u 00
4u 01
0
u 01
i
1
u 30
2u 20
5u 10
4u 11
0
u 11
pour j
1:
i
0
u 21
2u 11
5u 01
4u 02
0
u 21
i
1
u 31
2u 21
5u 11
4u 12
0
u 12
pour j
2:
i
0
u 22
2u 12
5u 02
4u 03
0
u 22
i
1
u 32
2u 22
5u 12
4u 13
0
u 13
pour j
3:
i
0
u 23
2u 13
5u 03
4u 04
0
u 23
i
1
u 33
2u 23
5u 13
4u 14
0
u 14
(Tu peux voir que si: i
0
0
1,2
1, 6
4
2u 11
2
u 21
1, 6
4
2
2u 12
0, 5
u 12
u 13
4
u 23
0,1
0,1
0,2
0, 4
2u 13
0, 4
0, 8
u 22
0, 025
0, 05
0,125
4
2u 3 j ; j alors u 24
u2j
u 11
2u 34
u 14
0, 00125
0
d. Exemple2 :
utt"
Soit le problème mixte
16uxx" ; (x , t )
u 1; t
P2 : u 2, 6; t
t
1 ; t
1; 2, 6
0; 0, 4
0; 0, 4
t
1, 8 ; t 0; 0, 4
x
u(x , 0) 0, 5
; x 1; 2, 6
2
x
ut' (x , 0)
, x 1; 2, 6
2
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On doit résoudre ce problème par la MDF (DF en avant) avec un pas
( x, t )
(0, 4;0,1) :
(h, k )
- Discrétisation du domaine : soit P la partition de 1,2, 6
P
(xi , t j )
(x 0
ih; t0
jk ),
(x i , t j )
0, 4i; 0,1j ), i
(1
0; 0, 4
0, 4; j
0, 4
- Détermination les connues du problème
Soit u ij l’approximation de uij ( u ij
uij ) ; D’après la condition aux limites
au-dessus on a :
u 1; t
t
u 00
1 ; t
1; u 01
u 2, 6; t
u(x 0 ; t j )
0; 0, 4
1,1; u 02
1,2; u 03
t
1, 8 ; t
u4 j
1, 8
0,1j, j
0, 4
u(x , 0)
0, 5
x
; x
2
1; 2, 6
ui0
0,2i, i
1
x
, x
2
ut' (x , 0)
u i1
ui0
u 01
1, 05; u 11
1; j
1, 3; u 04
1, 4
u(x 4 ; t j )
0; 0, 4
u 40
tj
u(x i ; t 0 )
1; u 10
u(x i ; t1 )
1, 9; u 42
1,27; u 21
1
0,1j, j
0, 4
1,2; u 20
u(x i ; t 0 )
2; u 43
2,1, u 44
2,2
xi
; i
2
0, 5
1, 4; u 30
1, 6, u 40
1, 8
xi
; i
2
k
0, 02i, i
u0 j
1, 8; j
1, 8; u 41
u 00
0, 4
1; 2, 6
0, 05
tj
0, 4
1, 49; u 31
1, 71; u 41
1, 93;
- Discrétisation de l’EDP
ut''
uij
16uxx"
ui
2, j
2ui, j
k
2u i
1, j
2u i, j
1
2
1
ui, j
u i, j
2
2
16
uij
2ui
1, j
2
ui
2, j
h
0, i, j
- Détermination les inconnues de l’EDP
- Elles restent 6 inconnues sont u12 ; u13 ; u14 ; u 22; u 23; u 24 vous utilisez le
schéma au-dessus pour les déterminer comme l’exemple 01 précédent !!!.
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