ערכת מבחן 2020 2021 180821

‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪1‬‬ ‫מושגי יסוד‬ ‫• מהו ההבדל בין הסתברות לסטטיסטיקה? • הגדרות בסיסיות של תורת ההסתברות • אלגברת מאורעות‬ ‫• סוגי מאורעות • שלוש גישות להסתברות • חוקי אלגברה בוליאנית‬ ‫‪1.1‬‬ ‫מהו ההבדל בין הסתברות לסטטיסטיקה?‬ ‫ההסתברות וסטטיסטיקה מהוות שתי מסגרות מתמטיות לתיאור תופעות אקראיות‪ .‬הן‬ ‫מסגרות שונות אך משלימות אחת את השנייה‪ .‬כדי להדגים את ההבדל בין תורת‬ ‫ההסתברות לסטטיסטיקה‪ ,‬אנחנו נתבונן בבעיה פשוטה ונראה איך פותרים אותה‬ ‫הסתברותאי וסטטיסטיקאי‪.‬‬ ‫שאלה ‪L1.1‬‬ ‫מהי ההסתברות שבמשפחה בת שני ילדים‪ ,‬כל הילדים בנות?‬ ‫פתרון של הסתברותאי‪ .‬בשלב הראשון‪ ,‬הסתברותאי יבחן ילד בודד וישאל את עצמו מהי ההסתברות‬ ‫‪ p M‬ללדת ילד‪-‬בן ומהי ההסתברות ‪ p F‬ללדת ילד‪-‬בת‪ .‬על מנת לענות על השאלה זו‪ ,‬הוא יצטרך‬ ‫להשתמש במונח "סימטריה" כדי להגיע למסקנה ששתי ההסתברויות אמורים להיות שוות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪pM = pF‬‬ ‫)באו נתאר מה הייה קורה אילו זה הייה אחרת?! אין ספור של בעיות זוגיות בקנה מידה של כדור‬ ‫הארץ‪(...‬‬ ‫בשלב הבא‪ ,‬ההסתברותאי יתבונן בלידת שני ילדים‪ ,‬אחד אחרי השני ויתאר שרשרת לידות‬ ‫באמצעות דיאגראמת עץ‪.‬‬ ‫מהדיאגראמה עולה כי בשלב "ילד שני" קיימות‬ ‫סך הכל ‪ 4‬אופציות כאשר רק אחת מהן מתאימה‬ ‫לאופציה "שתי בנות"‪ .‬כך‪ ,‬דרך חישוב אופציות‪,‬‬ ‫הוא מגיע לתשובה‪:‬‬ ‫בחישוב זה‪ ,‬הסתברותאי השתמש בגישה קלאסית‬ ‫להסתברות שמניחה סבירות שווה של כל אופציה‬ ‫בודדת – לידת בן ולידת בת‪.‬‬ ‫ניתן לראות כי אפשר לקבל אותה התשובה אם‬ ‫נצמיד לכל חץ בדיאגראמה את ההסתברויות‬ ‫הזהות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪pM = pF‬‬ ‫ונחשב את המכפלה‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪⋅ = .‬‬ ‫‪2 2 4‬‬ ‫= )‪P ( FF‬‬ ‫‪ 4‬אופציות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪P( FF‬‬ ‫‪ 2‬אופציות‬ ‫ילד שני‬ ‫נקבה‬ ‫ילד ראשון‬ ‫זכר‬ ‫דיאגראמת עץ‪ :‬חישוב אופציות‬ ‫‪L-1‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫בחישוב השני השתמשנו – עדיין ללא הצדקה‬ ‫פורמלית! – בעיקרון הכפל‪ .‬אותו אנחנו נלמד‬ ‫בהמשך הקורס‪ .‬בכל מקרה‪ ,‬אם נניח שמותר לנו‬ ‫להשתמש בעיקרון זה‪ ,‬נוכל גם לעשות הכללה‬ ‫עבור עולם דמיוני בו הסיכויים ללדת בן ובת‬ ‫‪pF ≠ pM‬‬ ‫שונים זה מזה‪:‬‬ ‫הכללית לשאלה תהייה‪:‬‬ ‫במצב הכללי‬ ‫‪pM pM‬‬ ‫‪pM‬‬ ‫‪pM pF‬‬ ‫‪pF‬‬ ‫‪pF pM‬‬ ‫‪pM‬‬ ‫‪pM‬‬ ‫‪ .‬במקרה זה‪ ,‬התשובה‬ ‫‪P ( FF) = p F2 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  p F ≠ ‬זה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pF‬‬ ‫‪pF‬‬ ‫‪pF pF‬‬ ‫שונה מהתשובה‬ ‫ילד שני‬ ‫שקיבלנו דרך חישוב אופציות!‬ ‫כתוצאה‪ ,‬אנחנו חייבים להסיק כי סבירות שווה‬ ‫של אופציה בודדת – לידת בן ולידת בת – היא‬ ‫נקודה מרכזית לחישוב הסתברויות דרך חישוב‬ ‫האופציות!‬ ‫נקבה‬ ‫ילד ראשון‬ ‫זכר‬ ‫דיאגראמת עץ‪ :‬הצמדת הסתברויות ועיקרון הכפל‬ ‫לסיכום‪ ,‬ההסתברותאי בונה מודל מתמטי המתאים לתיאור הסתברותי מין הילדים‬ ‫במשפחה בת שני ילדים‪.‬‬ ‫פתרון של סטטיסטיקאי‪ .‬הסטטיסטיקאי יפעל בדרך אחרת לגמרי‪ .‬במקום בניית‬ ‫מודל מתמטי‪ ,‬הוא יערוך ניסוי סטטיסטי – יארגן סקר בו ישתתפו משפחות בנות‬ ‫שני ילדים‪ .‬לצורך הדוגמה‪ ,‬נניח כי סטטיסטיקאי בחר מקרית ‪ n = 100‬משפחות‬ ‫ומתוכן ל‪ n FF = 26 -‬משפחות היו שתי בנות‪ .‬על סמך נתונים אלו‪ ,‬הוא יחשב את‬ ‫פרופורצית המשפחות בנות שתי בנות‪:‬‬ ‫‪n FF‬‬ ‫‪26‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.26 .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪100‬‬ ‫= )‪Fn ( FF‬‬ ‫היחס הזה שנקרא שכיכות יחסית מביא הערכה בלבד להסתברות הדרושה‪ .‬אנחנו‬ ‫נלמד בהמשך שעל מנת לשפר את הערכה‪ ,‬הסטטיסטיקאי יצטרך להגדיל את‬ ‫מספר המשפחות המשתתפות בסקר‪ .‬ההערכה החדשה שלו תהייה קרובה יותר אך‬ ‫עדיין לא זהה להסתברות המדויקת שחישבנו יחד עם הסתברותאי‪.‬‬ ‫סיכום‪ .‬שתי דרכים לפתור את הבעיה ‪ – 1-1.1‬אחת של הסתברותאי והשנייה של‬ ‫סטטיסטיקאי – מדגימות את ההבדל העיקרי בין הסתברות לסטטיסטיקה‪.‬‬ ‫תורת ההסתברות מתרכזת בבניית מודלים מתמטיים—פיסיקליים של תופעות אקראיות‬ ‫בטבע ובחברה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬מטרת הסטטיסטיקה היא לאמוד פרמטרים מסוימים‬ ‫)ובתוכם – הסתברויות( של תופעות אלו על סמך הנתונים הנלקחים באמצעות ניסוי‬ ‫סטטיסטי‪.‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה הן מסגרות שונות אך משלימות אחת את השנייה בדיוק‬ ‫כמו פיסיקה ניסויית משלימה את פיסיקה תיאורתית‪ .‬הסתברות וסטטיסטיקה לא‬ ‫קיימות בנפרד וחוזקן באיחודן‪.‬‬ ‫‪L-2‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪1.2‬‬ ‫הגדרות בסיסיות‬ ‫השלב הראשון באנליזה של תופעה אקראית כלשהי הוא תרגום של תופעה‬ ‫פיסיקלית למישור פורמלי מתמטי‪ .‬לשם כך‪ ,‬אנחנו צריכים לפתח שפה מתמטית‬ ‫מסוימת‪.‬‬ ‫הגדרה ‪D1.1‬‬ ‫ניסוי אקראי ]‪ [RANDOM EXPERIMENT‬הוא ניסוי שיתכנו בו מספר תוצאות אפשריות‬ ‫כך שלא ניתן לדעת מראש מה תהיה תוצאת הניסוי‪.‬‬ ‫הגדרה ‪D1.2‬‬ ‫מרחב המדגם ]‪ [SAMPLE SPACE‬הוא אוסף של כל התוצאות האלמנטריות האפשריות‬ ‫של הניסוי‪.‬‬ ‫סימון – ‪Ω‬‬ ‫הגדרה ‪D1.3‬‬ ‫מאורע ]‪ [EVENT‬הוא קבוצה חלקית כלשהי של תוצאות אלמנטריות של הניסוי‪.‬‬ ‫סימון – אותיות לטיניות ‪ C , B , A‬וכד'‬ ‫הגדרה ‪D1.4‬‬ ‫גודל המאורע ]‪ [SIZE OF EVENT‬הוא מספר תוצאות אלמנטריות מהן מורכב המאורע‪.‬‬ ‫סימון – ‪ A‬הוא גודל המאורע ‪. A‬‬ ‫דוגמא ‪E1.1‬‬ ‫ניסוי אקראי‪} :‬הטלת מטבע פעם אחת{‬ ‫מרחב המדגם‪) Ω = {H, T} :‬פה‪ H ,‬הוא עץ ו‪ – T -‬הוא פלי(‬ ‫מאורע‪}= A :‬עץ{ ← }‪A = {H‬‬ ‫גודל המאורע‪A = 1 :‬‬ ‫דוגמא ‪E1.2‬‬ ‫ניסוי אקראי‪} :‬הטלת מטבע פעמיים{‬ ‫מרחב המדגם‪) Ω = {HH, HT, TH, TT} :‬פה‪ H ,‬הוא עץ ו‪ – T -‬הוא פלי(‬ ‫מאורע‪}= A :‬עץ בהטלה הראשונה{ ← }‪A = {HH, HT‬‬ ‫גודל המאורע‪A = 2 :‬‬ ‫דוגמא ‪E1.3‬‬ ‫ניסוי אקראי‪} :‬הטלת קובייה{‬ ‫מרחב המדגם‪Ω = {1,2,3,4,5,6} :‬‬ ‫מאורע‪}= A :‬פאה עם מספר זוגי של נקודות{ ← }‪A = {2,4,6‬‬ ‫גודל המאורע‪A = 3 :‬‬ ‫‪L-3‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫אלגברת מאורעות‬ 1.3 ‫אלגברת מאורעות היא אוסף הפעולות על מאורעות שמאפשרים הרכבת מאורעות‬ ‫ בסעיף זה נלמד הגדרות של פעולות שונות ונתאר‬.‫מורכבים ממאורעות בסיסיים‬ .(Venn Diagram) ‫אותן בצורה גראפית באמצעות דיאגרמות וון‬ D1.5 ‫הגדרה‬ ‫ או‬B -‫ או ב‬A -‫ אוסף כל המאורעות הכלולים ב‬: A  B [UNION] ‫איחוד מאורעות‬ .‫בשניהם‬ E1.4 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת מטבע שלוש פעמים‬:‫הניסוי האקראי‬ Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} :‫מרחב המדגם‬ A = {HHH, HHT, HTH, THH} ← {‫ =}יותר פעמים עץ מאשר פלי‬A ‫המאורע‬ B = {HHH, HTH, THH, TTH} ← {‫ =}עץ בהטלה האחרונה‬B ‫המאורע‬ A  B = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH} :‫האיחוד‬ :‫דיאגרמת וון‬ A B A Ω B Ω D1.6 ‫הגדרה‬ B -‫ וגם ב‬A -‫ אוסף כל המאורעות הכלולים ב‬: A  B [INTERSECTION] ‫חיתוך מאורעות‬ E1.5 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת מטבע שלוש פעמים‬:‫הניסוי האקראי‬ Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} :‫מרחב המדגם‬ A = {HHH, HHT, HTH, THH} ← {‫ =}יותר פעמים עץ מאשר פלי‬A ‫המאורע‬ B = {HHH, HTH, THH, TTH} ← {‫ =}עץ בהטלה האחרונה‬B ‫המאורע‬ A  B = {HHH, HTH, THH} :‫החיתוך‬ :‫דיאגרמת וון‬ A Ω A B B Ω L-4 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ D1.7 ‫הגדרה‬ ‫ אך‬A -‫ הוא אוסף כל המאורעות הכלולים ב‬: A \ B [SUBTRACTION] ‫חיסור מאורעות‬ B -‫לא כלולים ב‬ E1.6 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת מטבע שלוש פעמים‬:‫הניסוי האקראי‬ Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} :‫מרחב המדגם‬ A = {HHH, HHT, HTH, THH} ← {‫ =}יותר פעמים עץ מאשר פלי‬A ‫המאורע‬ B = {HHH, HTH, THH, TTH} ← {‫ =}עץ בהטלה האחרונה‬B ‫המאורע‬ A \ B = {HHT} :‫החיסור‬ :‫דיאגרמת וון‬ A Ω A\ B B Ω D1.8 ‫הגדרה‬ ‫ הוא אוסף של תוצאות אלמנטריות‬: A [COMPLEMENTARY EVENT] ‫מאורע משלים‬ A -‫הכלולות במרחב המדגם אך לא כלולות ב‬ E1.7 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת מטבע שלוש פעמים‬:‫הניסוי האקראי‬ Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} :‫מרחב המדגם‬ A = {HHH, HHT, HTH, THH} ← {‫ =}יותר פעמים עץ מאשר פלי‬A ‫המאורע‬ A = {HTT, THT, TTH, TTT} :‫המאורע המשלים‬ :‫דיאגרמת וון‬ A Ω A Ω L-5 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ D1.9 ‫הגדרה‬ ‫ ( אם כל תוצאה אלמנטרית השייכת‬A ⊆ B ) B [CONTAINED IN] -‫ מוכל ב‬A ‫מאורע‬ B ‫ שייכת גם למאורע‬A ‫למאורע‬ E1.8 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת מטבע שלוש פעמים‬:‫ניסוי אקראי‬ Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} :‫מרחב המדגם‬ A = {HHH} ← {‫ =}שלישית עץ‬A ‫מאורע‬ B = {HHH, HHT, HTH, THH} ← {‫ =}יותר פעמים עץ מאשר פלי‬B ‫מאורע‬ A ⊆ B :‫אזי‬ :‫דיאגרמת וון‬ A Ω A⊆ B B L-6 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫סוגי מאורעות‬ 1.4 D1.10 ‫הגדרה‬ ‫ מאורע שכולל את כל התוצאות האלמנטריות של‬: Ω [SURE EVENT] ‫מאורע וודאי‬ ‫הניסוי‬ D1.11 ‫הגדרה‬ ‫ מאורע שאינו כולל אף תוצאה אלמנטרית ממרחב‬: ∅ [EMPTY EVENT] ‫מאורע ריק‬ ‫המדגם‬ . A  A = ∅ -‫ ו‬A  A = Ω ‫ מתקיים‬A ‫ עבור כל מאורע‬:‫זהויות חשובות‬ D1.12 ‫הגדרה‬ ‫ הם מאורעות זרים אם הם לא‬B -‫ ו‬A ‫ מאורעות‬:[DISJOINT EVENTS] ‫מאורעות זרים‬ . A  B = ∅ – ‫כוללים מאורעות משותפים‬ D1.13 ‫הגדרה‬ ( n > 2 ) A n ,... , A 2 , A 1 ‫ מאורעות‬:[MUTUALLY DISJOINT EVENTS] ‫מאורעות זרים בזוגות‬ . i ≠ j ‫ עבור כל‬A i  A j = ∅ ‫הם מאורעות זרים בזוגות אם‬ :‫דיאגרמות וון‬ A1 A3 B A A2 Ω Ω ‫עבור מאורעות זרים בזוגות‬ ‫עבור מאורעות זרים‬ L-7 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫שלוש גישות להסתברות‬ ‫הגישה הקלאסית‬ 1.5 1.5.1 A ‫ הסתברות של מאורע‬,‫ על פי גישה זו‬.‫גישה זאת לא קשורה לניסוי ישירות‬ A ‫ להתרחשות של המאורע הנבחן‬n A = A ‫מחושבת כיחס בין מספר האופציות‬ :‫ של כל האופציות האפשריות‬n = Ω ‫לבין המספר‬ . P ( A) = A nA = n Ω .‫גישה זו מניחה סבירות שווה של כל אחת מן התוצאות האפשריות‬ E1.8 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת מטבע מאוזן שלוש פעמים‬:‫ניסוי אקראי‬ Ω = 8 ← Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} :‫מרחב המדגם‬ ← A = {HHH, HHT, HTH, THH} ← {‫ = }יותר פעמים עץ מאשר פלי‬A ‫מאורע‬ A =4 P ( A) = A 4 1 :‫הסתברות‬ = = Ω 8 2 E1.9 ‫דוגמא‬ {‫ }הטלת זוג קוביות הוגנות שונות‬:‫ניסוי אקראי‬ :‫מרחב המדגם‬   Ω=   (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ... ... (6,1), (6,2), ... (6,3), ... (6,4), ... (6,5),  ...  (6,6) Ω = 36 ← ← {7 ‫ = }סכום של שתי התוצאות עולה על‬A ‫מאורע‬ A = {(2,6 ), (3,5), (3,6 ), (4,4 ), (4,5), (4,6 ), (5,3), (5,4 ), (5,5), (5,6 ), (6,2 ), (6,3), (6,4 ), (6,5), (6,6 )} A = 15 ← P ( A) = A Ω = 15 5 :‫הסתברות‬ = 36 12 L-8 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪1.5.2‬‬ ‫הגישה הסטטיסטית‬ ‫גישה זאת קשורה ישירות לניסוי‪ .‬היא מתבססת על המושג של שכיכות יחסית‬ ‫]‪ .[RELATIVE FREQUENCY‬כדי לקבוע את השכיכות היחסית יש לחזור על הניסוי ‪n‬‬ ‫פעמים‪ .‬אם ‪ n A‬הוא מספר הניסויים בהם התרחש המאורע ‪ , A‬השכיכות היחסית‬ ‫)לא הסתברות!!( שווה‬ ‫‪nA‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הסתברות המאורע היא‬ ‫= )‪. Fn ( A‬‬ ‫‪ nA ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪. P( A) = lim n→∞ Fn ( A) = lim n→∞ ‬‬ ‫הגישה הסטטיסטית לחקר ההסתברויות לעולם לא תהיה מדויקת לגמרי כי אין‬ ‫באפשרותנו לחזור על אותו ניסוי אינסוף של פעמים ) ∞ → ‪ .( n‬אי לכך‪ ,‬זוהי דרך‬ ‫חזקה להעריך הסתברויות בקירוב שהולך ומשתפר ככל שמספר הניסויים ‪ n‬הולך‬ ‫וגדל‪.‬‬ ‫‪1.5.3‬‬ ‫הגישה האקסיומתית‬ ‫גישה אקסיומתית היא גישה פורמאלית מינימאליסטית שנבנתה על ידי אנדרי‬ ‫קולמוגורוב ב‪ .1933-‬על פי גישה זו‪ ,‬כל חוקי ההסתברות נובעים משלוש אקסיומות‬ ‫בלבד‪.‬‬ ‫שלוש אקסיומות של קולמוגורוב‬ ‫‪1.5.3.1‬‬ ‫לכל מאורע ‪ A‬מתאימה פונקצית הסתברות ]‪[PROBABILITY FUNCTION‬‬ ‫שווה למספר ממשי כך שמתקיימות שלוש אקסיומות הבאות‪:‬‬ ‫)‪ P( A‬אשר‬ ‫אקסיומה ראשונה‪ :‬לכל מאורע ‪ , A‬פונקצית הסתברות אינה שלילית‪. P( A) ≥ 0 ,‬‬ ‫אקסיומה שנייה‪ :‬עבור מרחב המדגם ‪ Ω‬מתקיים ‪. P(Ω ) = 1‬‬ ‫אקסיומה שלישית‪ :‬עבור אוסף מאורעות ‪ A1 , A2 ,..., An‬זרים בזוגות מתקיים‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫) ‪ i  = ∑ P( Ai‬‬ ‫‪ i =1  i =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. P ‬‬ ‫כל חוקי ההסתברות יוצאים מאקסיומות אלו‪.‬‬ ‫‪L-9‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫תכונות של פונקצית הסתברות‬ 1.5.3.2 ‫בסעיף זה נתרכז בתכונות של פונקצית הסתברות הנובעות משלוש אקסיומות של‬ .‫קולמוגורוב‬ .1 '‫תכונה מס‬ 0 ≤ P( A) ≤ 1 ‫טווח של פונקצית הסתברות‬ .2 '‫תכונה מס‬ P ( A) = 1 − P( A) :‫ מתקיים חוק המשלים‬A ‫עבור כל מאורע‬ .3 '‫תכונה מס‬ . P(∅ ) = 0 :‫עבור מאורע ריק מתקיים‬ . P ( A) ≤ P (B ) .4 '‫תכונה מס‬ :‫ מתקיים‬, A ⊆ B ‫אם‬ .5 '‫תכונה מס‬ :‫ כלשהם מתקיים חוק האיחוד‬B -‫ ו‬A ‫עבור מאורעות‬ . P ( A  B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A  B ) .‫בואו נוכיח את התכונות האלו בסדר הפוך‬ L-10 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ :5 '‫הוכחת תכונה מס‬ -‫ ו‬A 2 , A1 ‫בואו נגדיר את המאורעות‬ A1 A .‫ כמפורט ציור‬A 3 B A2 Ω A3 ‫ מאורעות אלה הם מאורעות‬.‫א‬ ‫זרים בזוגות‬ A1 = A  B :‫ מתקיים‬.‫ב‬ :‫ מתקיים‬.‫ג‬ A1  A 2  A 3 = A  B ,'‫ג‬ ‫פי‬ ‫על‬ . P( A  B ) ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫לחשב‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ,‫ הם מאורעות זרים בזוגות‬A 3 -‫ ו‬A 2 , A1 -‫ כיוון ש‬. P ( A  B ) = P ( A 1  A 2  A 3 ) :‫ מביאה‬3 '‫אקסיומה מס‬ . P( A  B ) = P( A1  A 2  A 3 ) = P( A1 ) + P( A 2 ) + P( A 3 ) :‫ זה מביא‬,'‫יחד עם ב‬ (1) . P( A  B ) = P( A  B ) + P( A 2 ) + P( A 3 ) ‫ יחד‬3 '‫ אקסיומה מס‬,‫ הם מאורעות זרים‬A 2 -‫ ו‬A1 -‫ וכיוון ש‬A = A 1  A 2 -‫כיוון ש‬ :‫עם ב' מביאה‬ P( A) = P( A1  A 2 ) = P( A1 ) + P( A 2 ) = P( A  B ) + P( A 2 ) -‫כך ש‬ (2) . P ( A 2 ) = P ( A) − P ( A  B ) ,‫באותה דרך‬ P( B ) = P( A1  A 3 ) = P( A1 ) + P( A 3 ) = P( A  B ) + P( A 3 ) -‫כך ש‬ P( A 3 ) = P( B ) − P( A  B ) (3) :‫( מביא‬3)-‫( ו‬2) ,(1) ‫שילוב של הנוסחאות‬ P( A  B ) = P( A  B ) + P( A 2 ) + P( A 3 ) = P( A  B ) + P( A) − P( A  B ) + P( B ) − P( A  B )   P( A2 ) P( A3 ) = P( A) + P( B ) − P( A  B ). .‫סוף ההוכחה‬ L-11 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ :4 '‫הוכחת תכונה מס‬ -‫ ו‬A -‫ כיוון ש‬.(!! ‫י את דיאגרמת וון‬/‫ )צייר‬B = A  ( B \ A) :‫ מתקיים‬, A ⊆ B ‫אם‬ :‫מביאה‬ 3 '‫מס‬ ‫אקסיומה‬ ,‫זרים‬ ‫מאורעות‬ ‫הם‬ ( B \ A) ‫ כדי‬1 '‫ עכשיו משתמשים באקסיומה מס‬. P ( B ) = P ( A  ( B \ A) ) = P ( A) + P ( B \ A) :‫להגיע למסקנה‬ . P ( B ) = P ( A) + P ( B \ A) ≥ P ( A)    ≥0 .‫סוף ההוכחה‬ :3 '‫הוכחה של תכונה מס‬ 3 '‫ אקסיומה מס‬,‫ ∅ הם מאורעות זרים‬-‫ ו‬Ω -‫ כיוון ש‬. Ω = Ω  ∅ ‫נתחיל מהטענה‬ :‫מביאה‬ . P ( Ω ) = P ( Ω  ∅ ) = P ( Ω ) + P (∅ ) .‫ מסיים את ההוכחה‬P (Ω) ‫צמצום של‬ :2 '‫הוכחה של תכונה מס‬ :‫ מביאה‬3 '‫ אקסיומה מס‬. Ω = A  A ‫הפעם נתחיל מהטענה‬ . P (Ω) = P ( A  A ) = P ( A) + P ( A ) .‫ מסיים את ההוכחה‬3 '‫שימוש באקסיומה מס‬ :1 '‫הוכחה של תכונה מס‬ ‫ כדי‬.1 '‫ הוא אקסיומה מס‬P ( A) ≥ 0 ‫ אי שוויון‬. 0 ≤ P( A) ≤ 1 ‫אנחנו רוצים להוכיח כי‬ :‫ מביאה‬4 '‫ התכונה מס‬,‫ אזי‬. A ⊆ Ω ‫ נשתמש בעובדה‬P ( A) ≤ 1 -‫להוכיח ש‬ .‫ מסיים את ההוכחה‬2 '‫ שימוש באקסיומה מס‬. P ( A) ≤ P (Ω) L-12 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫חוקי אלגברה בוליאנית‬ 1.5.4 ‫חוק קומוטטיבי‬ A B = B  A A B = B  A ( A  B )  C = A  (B  C ) = A  B  C ( A  B )  C = A  (B  C ) = A  B  C ‫חוק אסוציאטיבי‬ ‫חוק דיסטריבוטיבי‬ ( A  B )  C = ( A  C )  (B  C ) ( A  B )  C = ( A  C )  (B  C ) ‫חוק דה מורגאן‬ (A  B) = A  B (A  B) = A  B :‫הכללת חוק דיסטריבוטיבי‬ n  n    A j   B =  ( A j  B ) —‫ו‬   j =1  j =1  n  n    A j   B =  (A j  B )   j =1  j =1  :‫הכללת חוק דה מורגאן‬  n  n   Aj  =  Aj    j =1  j =1 —‫ו‬  n  n   Aj  =  Aj    j =1  j =1 L-13 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪2‬‬ ‫הסתברות מותנית‬ ‫• הסתברות מותנית • אי תלות של מאורעות • הסתברות שלמה • משפט בייס •‬ ‫‪ 2.1‬הסתברות מותנית‬ ‫הסתברות מותנית מתארת איך ידע נוסף משפיע על חישוב ההסתברות של מאורע‬ ‫כלשהו‪.‬‬ ‫הגדרה ‪D2.1‬‬ ‫ההסתברות המותנית ]‪ [conditional probability‬של המאורע ‪ A‬כאשר ידוע שהמאורע‬ ‫‪ B‬התרחש )בקיצור‪ ,‬ההסתברות של ‪ A‬בתנאי ‪ ( B‬מסומנת כ— )‪ P( A / B‬ונתונה‬ ‫על ידי הנוסחא‬ ‫)‪P( A ∩ B‬‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫= )‪. P( A / B‬‬ ‫כאן ‪. P( B) ≠ 0‬‬ ‫שאלה ‪L2.1‬‬ ‫אריק ובנץ יוצאים למסעדה‪ .‬כדי להחליט ביניהם מי ישלם עבור הסעודה‪ ,‬הוחלט‬ ‫להטיל מטבע שלוש פעמים‪ .‬אם עץ יופיע יותר פעמים מאשר פלי — אריק ישלם;‬ ‫אחרת בנץ ישלם‪.‬‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות שאריק ישלם ומה ההסתברות שאריק ישלם?‬ ‫ב‪ .‬ידוע כי אריק ובנץ הטילו מטבע פעם אחת ויצא להם עץ‪ .‬מה עכשיו‬ ‫הסיכויים לכל אחד לשלם?‬ ‫ג‪ .‬בדקו את תוצאותיכם כנגד הנוסחה להסתברות מותנית‪.‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫א‪ .‬נגדיר את המאורעות ‪} = A‬אריק משלם{ ו— ‪} = B‬בנץ משלם{‪ .‬רואים כי‬ ‫} ‪A = {HHH , HHT , HTH , THH‬‬ ‫ו—‬ ‫} ‪. B = {HTT , THT , TTH , TTT‬‬ ‫כיוון שמרחב המדגם הוא‬ ‫‪L-13‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ , Ω = {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT } . P( B) = B Ω = A 4 1 4 1 = -‫ ו‬P( A) = = = ‫אנוחנו מגיעים לתשובות‬ 8 2 Ω 8 2 ‫ אזי יש לנו ידע נוסף המאפשר לדייק‬,‫ אם אנחנו נמצאים באמצע הטלות‬.‫ב‬ ‫ עובדה‬.‫ עכשיו ידוע כי בהטלה הראשונה יצא עץ‬.‫את ההסתברות לתשלום‬ —‫ ל‬Ω ‫זו מצמצמת את מרחב המדגם‬ . Ω' = {HHH , HHT , HTH , HTT } —‫ = }אריק משלם{ מצטמצם ל‬A ‫אזי המאורע‬ A' = {HHH , HHT , HTH } ‫ = }בנץ משלם{ הופך להיות‬B ‫ומאורע‬ . B' = {HTT } :‫ הסתברויות לתשלום משתנות‬,‫כתוצאה‬ . P( B' ) = B' Ω' = A' 3 1 —‫ ו‬P( A' ) = = Ω' 4 4 ‫ קל לבדוק כי אותן התוצאות מתקבלות מן הנוסחא הכללית להסתברות‬.‫ג‬ .‫מותנית‬ -‫ למעשה מאורע זה זהה ל‬.{‫ = }עץ בהטלה הראשונה‬E ‫נגדיר את המאורע‬ A ∩ E = {HHH , HHT , HTH } = A' B ∩ E = {HTT } = B' :‫מתקיים‬ :‫וכן‬ :‫לפיכך‬ P( A / E ) = A' 3 P ( A ∩ E ) P ( A' ) A' / Ω = = = = P( E ) P( E ) E /Ω Ω' 4 —‫ו‬ P( B / E ) = B' 3 P( B ∩ E ) P( B' ) B' / Ω = = = = P( E ) P( E ) E /Ω Ω' 4 L-14 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪2.2‬‬ ‫אי תלות של מאורעות‬ ‫‪ 2.2.1‬אי תלות של שני מאורעות‬ ‫איך אפשר להגדיר את המונח של "מאורעות בלתי תלויים" )בקיצור ב"ת(?‬ ‫יש לצפות כי עבור מאורעות ‪ A‬ו— ‪ B‬בלתי תלויים מתקיים‬ ‫)‪P( A / B) = P( A‬‬ ‫כי עבור מאורעות בלתי תלויים ההתרחשות של מאורע ‪ B‬לא צריכה להשפיע על‬ ‫התרחשות של מאורע ‪ . A‬כיוון ש—‬ ‫) ‪P( A ∩ B‬‬ ‫) ‪P( B‬‬ ‫= ) ‪P( A / B‬‬ ‫אנחנו מגיעים למסקנה כי עבור מאורעות בלתי תלויים מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫)‪. P( A ∩ B) = P( A) P( B‬‬ ‫דוגמא ‪E2.1‬‬ ‫ניסוי‪ :‬הטלת מטבע שלוש פעמים‬ ‫מרחב המדגם‪Ω = {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT } :‬‬ ‫מאורע ‪} = A‬יותר פעמים עץ מאשר פלי{‪A = {HHH , HHT , HTH , THH } :‬‬ ‫אותן‬ ‫הן‬ ‫הראשונות‬ ‫התוצאות‬ ‫}שתי‬ ‫‪=B‬‬ ‫מאורע‬ ‫} ‪B = {HHH , HHT , TTH , TTT‬‬ ‫מאורע ‪} = C‬עץ בהטלה האחרונה{‪C = {HHH , HTH , THH , TTH } :‬‬ ‫תוצאות{‪:‬‬ ‫האם מאורעות ‪ B , A‬ו— ‪ C‬הם מאורעות בלתי תלויים?‬ ‫כדי לענות על השאלה‪ ,‬יש לחשב את החיתוכים הזוגיים‪, A  B = {HHH , HHT } :‬‬ ‫ו— } ‪ ; B  C = {HHH , TTH‬ההסתברויות הנדרשות‬ ‫} ‪A  C = {HHH , HTH , THH‬‬ ‫לבדיקת אי התלות הן‪:‬‬ ‫‪B 4 1‬‬ ‫‪A 4 1‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫= )‪= = , P ( A‬‬ ‫= =‬ ‫= ) ‪= , P( B‬‬ ‫‪Ω 8 2‬‬ ‫‪Ω 8 2‬‬ ‫‪8 2‬‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫= ) ‪. P (C‬‬ ‫כמו כן‪,‬‬ ‫‪A B 2 1‬‬ ‫‪B C 2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ) ‪, P( B  C‬‬ ‫= =‬ ‫= ) ‪= = , P( A  B‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫‪8 4‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫‪8 4‬‬ ‫=‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫= ) ‪. P( A  C‬‬ ‫כיוון ש— )‪ P( A ∩ B) = P( A) P( B‬ו— ) ‪ , P ( B ∩ C ) = P ( B ) P (C‬אנחנו מגיעים למסקנה‬ ‫כי המאורעות ‪ A‬ו— ‪ B‬הם מאורעות בלתי תלויים; כמו כן‪ ,‬המאורעות ‪ B‬ו— ‪ C‬הם‬ ‫מאורעות בלתי תלויים‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬המאורעות ‪ A‬ו— ‪ C‬הם מאורעות תלויים כי‬ ‫) ‪! P ( A ∩ C ) ≠ P ( A) P (C‬‬ ‫‪L-15‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ אי תלות של יותר משני מאורעות‬2.2.2 ‫מהי הדרך להגדרת אי תלות עבור יותר משני מאורעות? נוח להתחיל משלושה‬ ‫ הדרך הטבעית להגדיר אי תלות במקרה זה – לדרוש קיום‬. C —‫ ו‬B , A ‫מאורעות‬ :‫של התנאים הבאים‬ , P( A / B) = P( A) , P ( A / C ) = P ( A) , P( B / C ) = P( B ) , P ( B  C ) = P ( B ) P (C ) —‫ו‬ • • • P ( A  C ) = P ( A) P (C ) , P ( A  B ) = P( A) P( B ) —‫)כך ש‬ :‫( וגם‬2.2.1 ‫ראו פיתוח בסעיף‬ , P (( A  B ) / C ) = P ( A  B ) , P (( A  C ) / B ) = P ( A  C ) . P (( B  C ) / A) = P ( B  C ) • • • . P ( A  B  C ) = P ( A) P ( B ) P (C ) :‫שלושת התנאים האחרונים מניבים‬ ‫ הם מאורעות בלתי תלויים אם מתקיימים‬C —‫ ו‬B , A ‫ שלושה מאורעות‬,‫כלומר‬ :‫ארבעת התנאים הבאים‬ , P ( B  C ) = P ( B ) P (C ) , P ( A  C ) = P ( A) P (C ) , P ( A  B ) = P ( A) P ( B ) . P ( A  B  C ) = P ( A) P ( B ) P (C ) E2.2 ‫דוגמא‬ ‫ המאורע‬,E2.1 ‫קל לראות כי עבור שלושת המאורעות שמוגדרים בדוגמא‬ —‫ כך ש‬A  B  C = {HHH } . P( A  B  C ) = ‫כי‬ ‫תלויים‬ ‫מאורעות‬ A B C Ω ‫הם‬ = ‫האלה‬ 1 1 1 1 = P ( A) P ( B ) P (C ) = ⋅ ⋅ 8 2 2 2 ‫המאורעות‬ ‫שלושת‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ . P ( A ∩ C ) ≠ P ( A) P (C ) ‫ על מנת ששלושה מאורעות יהיו ב"ת אם ורק אם כל‬:‫הלקח מהדוגמה האחרונה‬ .‫ארבעת התנאים שצוינו לעיל יתקיימו עבורם‬ ‫הם מאורעות בלתי תלויים אם עבור כל סט אפשרי‬ D2.2 ‫הגדרה‬ A1 , A2 ,..., An ‫המאורעות‬ ‫ מתקיים‬1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n ‫ ( מסודר‬2 ≤ k ≤ n ) Ai1 , Ai2 ,..., Aik . P ( Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ) = P ( Ai1 ) P ( Ai2 )... P ( Aik ) L-16 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫ הסתברות שלמה‬2.3 ‫נוסחא להסתברות שלמה מאפשרת חישוב הסתברות של מאורע כלשהו על סמך‬ .‫ידע חלקי‬ ‫נוסחא להסתברות שלמה‬ ‫ ואיחודם‬,( i ≠ j ‫ עבור כל זוג‬Ai ∩ A j = ∅ ) ,‫ הם מאורעות זרים בזוגות‬A1 , A2 ,... ‫אם‬ ‫ אזי לכל מאורע‬,( A1 ∪ A2 ∪ ... = Ω ‫)זאת אומרת‬ n A i = Ω ‫הוא כל מרחב המדגם‬ i =1 . P( B ) = ∑ n i =1 :‫ מתקיים‬B ⊆ Ω P ( B / Ai ) ⋅ P ( Ai ) = P ( B / A1 ) ⋅ P ( A1 ) + ... + P ( B / An ) ⋅ P( An ) :‫ נצטייד בדיאגרמת וון‬.‫הוכחה‬ A1 A2 A3 A4 .B = n  (B ∩ A ) —‫כך ש‬ i B B ∩ An —‫ ו‬..., B ∩ A2 , B ∩ A1 ‫ מורכב ממאורעות‬B ‫מאורע‬ i =1 ‫ על פי‬,‫ הם מאורעות זרים בזוגות‬B ∩ An —‫ ו‬... , B ∩ A2 , B ∩ A1 ‫כיוון שהמאורעות‬ :‫ מתקיים‬,‫אקסיאומה מספר שלוש של קולמוגורוב‬ . P( B) = n ∑ P (B ∩ A ) i =1 i ,‫לקיחה בחשבון של נוסחא להסתברות מותנית‬ P(B ∩ Ai ) = P(B / Ai ) ⋅ P( Ai ) :‫מביאה לנו את הנוסחא הדרושה‬ . P( B) = ∑ n i =1 P( B / Ai ) ⋅ P( Ai ) L-17 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫שאלה ‪L2.2‬‬ ‫מוכר גלידה אמור להחליט האם הוא צריך להזמין עוד מלאי לסוף שבוע‪ .‬הוא‬ ‫מעריך שההסתברות למכור את כל המלאי היא ‪ 90%‬בתנאי שמזג האוויר חם‪ .‬אם‬ ‫יהיה מעונן‪ ,‬ההסתברות יורדת ל‪ .60%-‬בתנאי גשם‪ ,‬ההסתברות למכור את כל‬ ‫המלאי היא רק ‪.20%‬‬ ‫לפי תחזית מזג האוויר‪ ,‬ההסתברות שמגז האוויר יהיה חם היא ‪ ,30%‬ההסתברות‬ ‫שמזג האוויר יהיה מעונן היא ‪ 45%‬וההסתברות לגשם היא ‪ .25%‬מה ההסתברות‬ ‫השלמה שהמוכר ימכור את כל המלאי?‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫נגדיר את המאורעות הבאים‪} = A1 :‬מזג אוויר חם{‪} = A2 ,‬מזג אוויר מעונן{ ו— ‪= A3‬‬ ‫}גשם{‪ .‬המאורע ‪ B‬הוא ‪} = B‬מוכר ימכור את כל המלאי{‪ .‬על פי נתוני השאלה‪:‬‬ ‫‪ P ( A2 ) = 0.45 , P ( A1 ) = 0.3‬ו— ‪ . P ( A3 ) = 0.25‬כמו כן‪ ,‬נתונות הסתברויות מותנות‬ ‫הבאות‪ P ( B / A2 ) = 0.6 , P ( B / A1 ) = 0.9 :‬ו— ‪ . P ( B / A3 ) = 0.2‬אחרי בדיקת תנאי‬ ‫הנוסחא להסתברות שלמה‪ ,‬אנחנו יכולים להשתמש בנוסחא‪:‬‬ ‫) ‪P( B) = P( B / A1 ) ⋅ P( A1 ) + P( B / A2 ) ⋅ P( A2 ) + P( B / A3 ) ⋅ P( A3‬‬ ‫הצבת נתונים מביאה‪. P ( B ) = 0.9 ⋅ 0.3 + 0.6 ⋅ 0.45 + 0.2 ⋅ 0.25 ≈ 0.59 :‬‬ ‫משפט בייס‬ ‫‪2.4‬‬ ‫משפט‪ .‬עבור מאורעות ‪ A‬ו‪ B -‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪P( B / A) ⋅ P( A‬‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫= )‪. P( A / B‬‬ ‫כאן‪ P ( A) ≠ 0 ,‬ו— ‪. P ( B ) ≠ 0‬‬ ‫הוכחה‪ .‬יש להכפיל שני צדדים של הנוסחא ב— ) ‪ , P (B‬להשתמש בנוסחא‬ ‫להסתברות מותנית ולהיעזר בחוק קומוטטיבי‪.‬‬ ‫הערה‪ .‬אם ‪ A1 , A2 ,...‬הם מאורעות זרים בזוגות ואיחודם הוא כל מרחב המדגם‬ ‫‪=Ω‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ ,‬אזי לכל מאורע ‪ B ⊆ Ω‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫) ‪P( B / Ai ) ⋅ P( Ai‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪∑ P( B / A ) ⋅ P( A‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫= )‪. P( Ai / B‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪L-18‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫שאלה ‪L2.3‬‬ ‫בתנאי השאלה ‪ ,L2.2‬מהי ההסתברות שמזג האוויר היה שמשי אם נתון כי מוכר‬ ‫מכר את כל המלאי?‬ ‫פתרון‪ .‬צריכים לחשב ) ‪ . P ( A1 / B‬משפט בייס אומר כי‬ ‫) ‪P( B / A1 ) ⋅ P( A1‬‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫= ) ‪. P ( A1 / B‬‬ ‫‪0.9 ⋅ 0.3‬‬ ‫אזי הצבת נתונים מביאה את התשובה‪≈ 0.46 :‬‬ ‫‪0.59‬‬ ‫= ) ‪. P ( A1 / B‬‬ ‫שאלה ‪L2.4‬‬ ‫בוחרים אקראית בין מכוניות הנעות בכביש מסוים‪ .‬נתון כי הסתברות למצוא אוטו‬ ‫בצבע כסוף היא ‪ ;3/100‬הסתברות למצוא נהג עם שיער מאפיר היא ‪ ;1/5‬הסתברות‬ ‫למצוא אוטו כסוף ובו נהג מאפיר היא ‪.1/50‬‬ ‫א‪ .‬בחרת באוטו כסוף‪ .‬מהי ההסתברות שנהג מאפיר?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות של אוטו כסוף בהינתן נהג מאפיר?‬ ‫ג‪ .‬האם מאורעות ‪} = A‬אוטו כסוף{ ו‪} = B -‬נהג מאפיר{ בלתי תלויים?‬ ‫פתרון‪ :‬נתונים כי ‪ P ( B ) = 1 / 5 , P ( A) = 3 / 100‬ו‪. P ( A ∩ B ) = 1 / 50 -‬‬ ‫‪P( B ∩ A) 1 / 50‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫א‪ .‬צריך לחשב )‪ . P( B / A‬מקבלים‪= :‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪3 / 100 3‬‬ ‫= )‪. P ( B / A‬‬ ‫‪P ( A ∩ B ) 1 / 50 1‬‬ ‫ב‪ .‬צריך לחשב ) ‪ . P ( A / B‬מקבלים‪:‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫‪1 / 5 10‬‬ ‫= )‪. P( A / B‬‬ ‫דרך‬ ‫אחרת‪:‬‬ ‫על‬ ‫‪P( B / A) ⋅ P( A) 2 / 3 ⋅ 3 / 100 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫‪1/ 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫פי‬ ‫משפט‬ ‫בייס‬ ‫= )‪P( A / B‬‬ ‫ג‪ .‬צריך לבדוק האם ) ‪ . P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B‬מכיוון ש‪, P ( A) = 3 / 100 -‬‬ ‫‪ P ( B ) = 1 / 5‬ו‪ , P ( A ∩ B ) = 1 / 50 -‬מקבלים כי ‪ 1 / 50 ≠ 3 / 100 ⋅ 1 / 5‬ולכן‬ ‫המאורעות ‪ A‬ו‪ B -‬הם תלויים אחד בשני!‬ ‫‪L-19‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫שאלה ‪L2.5‬‬ ‫‪ 2%‬מאוכלוסיה סובלים ממחלת דם בצורה קשה‪ 10% ,‬בצורה בינונית ול‪ 88%-‬אין‬ ‫מחלה בכלל‪ .‬חוקרים פיתחו מכשיר חדש לבדיקת קיום המחלה‪ .‬הסתברות שבדיקה‬ ‫באמצעות המכשיר תצביע חיובית )מחלה קיימת( היא ‪ 0.9‬אם הנבדק סובל קשה‬ ‫מהמחלה‪ 0.6 ,‬אם הנבדק סובל בינונית‪ ,‬ו—‪ 0.1‬אם לנבדק אין מחלה בכלל‪.‬‬ ‫נעשתה בדיקה לאדם שנבחר מקרית מאוכלוסיה והמכשיר הצביע חיובית‪ .‬מהי‬ ‫ההסתברות שנבדק זה סובל ממחלת דם בצורה קשה?‬ ‫פתרון‪ .‬נגדיר את המאורעות הבאים‪} = A1 :‬אדם סובל ממחלה בצורה קשה{‪= A2 ,‬‬ ‫}אדם סובל ממחלה בצורה בינונית{‪} = A3 ,‬לאדם אין מחלה כלל{ ו— ‪} = B‬מכשיר‬ ‫הצביע חיובית{‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ . P( A3 ) = 0.88 , P( A2 ) = 0.1 , P ( A1 ) = 0.02‬גם ידוע כי ‪, P ( B / A1 ) = 0.9‬‬ ‫‪ . P ( B / A3 ) = 0.1 , P ( B / A2 ) = 0.6‬צריך לחשב‬ ‫) ‪ . P ( A1 / B‬על פי משפט בייס‬ ‫) ‪P( B / A1 ) ⋅ P( A1‬‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫) ‪. P ( B ) = P ( B / A1 ) ⋅ P ( A1 ) + P ( B / A2 ) ⋅ P ( A2 ) + P ( B / A3 ) ⋅ P ( A3‬‬ ‫‪0.9 ⋅ 0.02‬‬ ‫= ) ‪. P ( A1 / B‬‬ ‫מקבלים‪ . P( B) = 0.166 :‬אזי ‪≈ 0.108‬‬ ‫‪0.166‬‬ ‫= ) ‪ . P ( A1 / B‬כדי לחשב )‪ P(B‬נשתמש בנוסחא להסתברות שלמה‪:‬‬ ‫שאלה ‪L2.6‬‬ ‫במשפחה שני ילדים‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות ששניהם בנים אם ידוע כי לפחות ילד אחד הוא בן?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות ששניהם בנים אם ידוע כי הבכור הוא בן?‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫א‪ .‬נתחיל ממרחב המדגם ‪ . Ω‬מבחינת מן הילדים‪. Ω = {MM , MF , FM , FF } ,‬‬ ‫נגדיר שני מאורעות‪} = A :‬שני הילדים בנים{ ו— ‪} = B‬לפחות ילד אחד הוא‬ ‫בן{‪ .‬ההסתברות הדרושה היא‬ ‫‪A B‬‬ ‫‪P( A  B ) A  B / Ω‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) ‪P( B‬‬ ‫‪B /Ω‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ) ‪. P( A / B‬‬ ‫כאן השתמשנו בגישה קלאסית להסתברות‪ .‬כיוון ש—‬ ‫} ‪ A = {MM‬ו— } ‪B = {MM , MF , FM‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מקבלים כי } ‪ A  B = {MM‬כך ש— =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ) ‪. P( A / B‬‬ ‫‪L-20‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ . C = {MM , MF } ,{‫ = }הבכור הוא בן‬C ‫ כאן אנחנו מגדירים מאורע נוסף‬.‫ב‬ ‫ההסתברות הדרושה היא‬ . P( A / C ) = . P( A / C ) = AC C = AC C 1 —‫ כך ש‬A  C = {MM } :‫חישוב פשוט מביא‬ 2 L-21 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hait.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪3‬‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫• עצרת של מספר ופונקצית גאמא • עקרון הכפל • סידורים ובחירות • תמורות • חליפות • צירופים •‬ ‫• נוסחת ניוטון • משפט מולטינומי •‬ ‫קומבינטוריקה עוסקת בסוגים שונים של סידורים ובחירות‪.‬‬ ‫התוצאה עבור מספר סידורים או בחירות מכילה עצרת של מספר‪.‬‬ ‫בהרבה מקרים‬ ‫‪ 3.1‬עצרת של מספר ופונקצית גאמא‬ ‫הגדרה ‪D3.1‬‬ ‫עצרת של מספר ]‪ [factorial‬מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים ‪, n = 1,2,3,...‬‬ ‫מסומנת ב‪ n! -‬ונתונה על ידי הנוסחא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = ∏ j‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫פונקצית עצרת היא מקרה פרטי של פונקצית גאמא ]‪ [Gamma‬המוגדרת על ידי‬ ‫האינטגרל‪:‬‬ ‫‪e −t‬‬ ‫‪α‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪∫ dt t‬‬ ‫= )‪. Γ(α + 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כאן‪ α ,‬הוא מספר ממשי שנמצא בתחום ‪ . α > −1‬עבור ‪ α‬שלמים )כולל אפס(‬ ‫‪ α = n ≥ 0‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪. n!= Γ(n + 1‬‬ ‫כתוצאה מכך‪,‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪−t‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪∫ dt e‬‬ ‫= )‪. 0! = Γ(1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שאלה ‪L3.1‬‬ ‫הוכיחו את הנוסחה‬ ‫) ‪ Γ(α + 1) = αΓ(α‬עבור כל ‪. α > 0‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫נתחיל מהגדרה ‪e −t‬‬ ‫‪α‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪∫ dt t‬‬ ‫= )‪ Γ(α + 1‬ונבצע את האינטגרציה בחלקים פעם אחת‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞ ‪ α −t +‬‬ ‫‪α −t‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α −1 − t ‬‬ ‫‪−t‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪de‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪∫0‬‬ ‫‪∫0‬‬ ‫‪∫0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ‪ = αΓ(α‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫= )‪. Γ(α + 1‬‬ ‫סוף ההוכחה‪.‬‬ ‫‪L-13‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ L3.2 ‫שאלה‬ 1 2 . Γ  = π ‫הוכיחו כי‬ .‫פתרון‬ ,‫על פי ההגדרה‬ +∞ +∞ e−t  1  + 1 = ∫ dt t α e − t = ∫ dt t 1  2  0 0 α =− 1 2 . I = Γ  = Γ − 2 : t = x ‫בואו נבצע החלפת משתנה האינטגרציה‬ 2 +∞ +∞ 2 e−t I = ∫ dt = 2 ∫ dx e − x t 0 0 : I ‫ במקום‬I 2 ‫ונחשב‬ 2 +∞ +∞  +∞ 2  2 2 I = 4 ∫ dx e − x  = 4 ∫ dx ∫ dy e − ( x + y ) 0 0  0 :‫ נקבל‬. dxdy = ρdρdθ —‫ כך ש‬x = ρ sin θ —‫ ו‬x = ρ cos θ ‫בקואורדינטות פולריות‬ 2 π /2 ∫ +∞ ∫ . I = 4 dθ dρ ρe 2 −ρ 2 0 0  π /2 +∞ = 2π ∫ dρ ρe − ρ = π 0   2 1/ 2 ,‫כתוצאה‬ 1 2 . Γ  = I2 = π .‫סוף הוכחה‬ L-14 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 3.2‬עקרון הכפל‬ ‫בניסוח הראשון‪ ,‬עקרון הכפל מאפשר חישוב מספר התוצאות האפשריות בניסוי רב‬ ‫שלבי‪:‬‬ ‫מספר התוצאות האפשריות בניסוי רב שלבי ניתן על ידי מכפלת מספרי התוצאות‬ ‫האפשריות בכל אחד משלבי הניסוי ‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ניסוי מתבצע ב— ‪ k‬שלבים בזה‬ ‫אחר זה כאשר‪:‬‬ ‫בשלב הראשון ישנן ‪ n1‬תוצאות אפשריות‪,‬‬ ‫ישנן ‪ n2‬תוצאות אפשריות‪,‬‬ ‫בשלב השני‬ ‫‪,...‬‬ ‫בשלב ה— ‪ k‬האחרון ישנן ‪ nk‬תוצאות אפשריות‪,‬‬ ‫אזי מספר התוצאות השונות בניסוי כולו הוא‬ ‫‪k‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∏n‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫= ‪. N = n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk‬‬ ‫בניסוח השני )הידוע תחת השם כלל השרשרת(‪ ,‬עקרון הכפל מאפשר חישוב‬ ‫ההסתברות של ניסוי רב שלבי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫עבור המאורע‬ ‫‪j‬‬ ‫‪A‬‬ ‫= ‪ B‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫) ‪. P ( B ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 / A1 ∩ A2 ) ⋅ ... ⋅ P ( An / A1 ∩ ... ∩ An −1‬‬ ‫במילים אחרות‪,‬‬ ‫‪j −1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪/‬‬ ‫∏‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j =2‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ j =1 ‬‬ ‫‪. P‬‬ ‫הערה‪ .‬המשמעות של כלל השרשרת פשוטה; קל לקלוט אותה עבור ניסוי דו שלבי‪.‬‬ ‫במקרה זה‪ B = A1  A2 ,‬כך ש— ) ‪ . P ( B ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1‬הנוסחא אומרת כי‬ ‫הסתברות של מאורע ‪ B‬שווה לכפל בין שתי הסתברויות‪ :‬בין הסתברות ההתרחשות‬ ‫) ‪ P ( A1‬של השלב הראשון להסתברות ההתרחשות ) ‪ P ( A2 / A1‬של השלב השני‬ ‫בהינתן שהשלב הראשון אכן התרחש!‬ ‫‪L-15‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪3.3‬‬ ‫‪3.3.1‬‬ ‫סידורים‬ ‫תמורות‪ :‬סידורים של איברים שונים בשורה‬ ‫הגדרה ‪D3.2‬‬ ‫מספר התמורות ]‪ [permutations‬הוא מספר האפשרויות לסדר ‪n‬‬ ‫בשורה‪ .‬מסומן ב— ‪ , Pn‬הוא ניתן על ידי הנוסחא‬ ‫איברים שונים‬ ‫!‪. Pn = n‬‬ ‫הוכחה‪ .‬נתבונן באוסף של ‪ n‬איברים שונים } ‪ {a1 , a 2 , a3 ,..., a n‬בשורה‪ .‬מספר‬ ‫אפשרויות )אופציות( לסדר אותם בשורה הוא מספר האופציות למקם את האיברים‬ ‫} ‪ {a1 , a 2 , a3 ,..., a n‬בתוך ‪ n‬תאים שבציור‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫מיקום של ‪ n‬איברים הוא ניסוי בעל ‪ n‬שלבים‪ .‬בשלב הראשון יש למקם את‬ ‫האיבר הראשון ‪ . a1‬אפשר לעשות זאת ב— ‪ n‬דרכים‪ .‬בשלב השני יש למקם את‬ ‫האיבר השני ‪ . a 2‬מכיוון שאחד מהמקומות כבר תפוס על ידי האיבר ‪ , a1‬קיימות רק‬ ‫‪ n − 1‬אופציות לעשות זאת‪ .‬כך ממשיכים עד שנגיע למיקום האיבר האחרון ‪a n‬‬ ‫שעבורו קיימת אופציה אחת בלבד‪ .‬אזי‪ ,‬על פי עקרון הכפל‪ ,‬מספר הסידורים הכולל‬ ‫הוא ‪ . n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ 1‬במילים אחרות‪. Pn = n! ,‬‬ ‫דוגמא ‪E3.1‬‬ ‫מספר תמורות של שלושה איברים שונים }‪ {a, b, c‬בשורה הוא ‪ . P3 = 3!= 6‬הסידורים‬ ‫האפשריים הם }‪. {c, b, a} , {c, a, b} , {b, c, a} , {b, a, c} , {a, c, b} , {a, b, c‬‬ ‫שימו לב שדרכים אפשר לסדר את ‪ 3‬ספרים שונים על המדף‪ ,‬שווה למספר‬ ‫התמורות שלהם בשורה‪P3 = 3!= 6 :‬‬ ‫שאלה ‪L3.3‬‬ ‫נתונות הספרות ‪ .6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1‬אם חובה להשתמש בכל אחת מהספרות‪ ,‬כמה‬ ‫מספרים בעלי שש ספרות ניתן לרשום בעזרתן במקרים הבאים?‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ללא הגבלות‪.‬‬ ‫שהספרה ‪ 3‬ראשונה משמאל‪.‬‬ ‫שהספרה ‪ 3‬איננה ראשונה משמאל‪.‬‬ ‫שהספרות ‪ 3‬ו‪ 4-‬נמצאות בקצוות‪.‬‬ ‫ש‪ 3-‬הספרות הראשונות משמאל הן אי זוגיות ו‪ 3-‬הספרות מימין הן זוגיות‪.‬‬ ‫‪L-16‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫פתרון‪ .‬נוח לחשוב על הרכבת המספר כעל מילוי שישה תאים על ידי הספרות ‪,2 ,1‬‬ ‫‪.6 ,5 ,4 ,3‬‬ ‫א‪ .‬אם אין הגבלות להרכבה‪ ,‬מדובר על מספר תמורות של שישה איברים שונים‬ ‫בשורה‪ .‬אזי התשובה היא ‪. P6 = 6!= 720‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ 3‬היא ספרה ראשונה משמאל‪ ,‬חייבים למלא את החמישה התאים‬ ‫הנשארים על ידי הספרות ‪.6 ,5 ,4 ,2 ,1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ניתן לעשות זאת ב— ‪ P5 = 5!= 120‬אופנים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬דרך ראשונה‪ :‬אם הספרה ‪ 3‬לא יכולה להופיע כראשונה משמאל‪ ,‬ישנן חמש‬ ‫אופציות למלא את התא השמאלי; עבור התא הבא קיימות חמש אופציות‬ ‫)הספרה ‪ 3‬ועוד ארבע ספרות אחרות(‪ .‬עבור התא השלישי משמאל נשארות‬ ‫התשובה‪:‬‬ ‫את‬ ‫מביא‬ ‫הכפל‬ ‫עקרון‬ ‫וכד'‪.‬‬ ‫אופציות‬ ‫ארבע‬ ‫‪. 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 5 ⋅ 5!= 600‬‬ ‫דרך שנייה‪ :‬אם הספרה ‪ 3‬איננה ראשונה משמאל‪ ,‬אפשר לראות כי התשובה‬ ‫ניתנת על ידי ההפרש בין א‪ .‬ו‪-‬ב‪. P6 − P5 = 6!−5!= 600 :‬‬ ‫ד‪ .‬אם הספרות ‪ 3‬ו—‪ 4‬נמצאות בקצוות‪ ,‬ישנן שתי אופציות‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ארבעה מקומות פנויים ממלאים ב— ‪P6−2 = P4 = 4!= 24‬‬ ‫באמצעות הספרות ‪ 6 ,5 ,2 ,1‬כך שהתשובה הסופית היא ‪. 2 ⋅ P4 = 2 ⋅ 24 = 48‬‬ ‫דרכים שונות‬ ‫ה‪ .‬הרכבת מספר בסעיף זה היא ניסוי דו שלבי‪ .‬בשלב הראשון ממלאים שלושה‬ ‫תאים משמאל באמצעות הספרות ‪ .5 ,3 ,1‬עבור זה קיימות ‪P3 = 3!= 6‬‬ ‫אופציות‪ .‬בשלב השני ממלאים שלושה תאים מימין באמצעות הספרות ‪,4 ,2‬‬ ‫‪ .6‬עבור זה קיימות ‪ P3 = 3!= 6‬אופציות גם כן‪ .‬עקרון הכפל מביא את‬ ‫התשובה‪. P3 ⋅ P3 = 36 :‬‬ ‫‪L-17‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 3.3.2‬תמורות‪ :‬סידורים של איברים שונים בשורה‬ ‫טענה‪ :‬מספר האפשרויות לסדר ‪ n‬איברים במעגל הוא !)‪. (n − 1‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נחשוב על הושבת ‪ n‬אנשים סביב "שולחן עגול" הנמצא בחלל ריק )כלומר‪ ,‬ללא‬ ‫חפצים נוספים סביבו(‪ .‬כמה אופציות יש לאדם הראשון אם בוחר את מקומו‬ ‫אקראית? התשובה האינטואיטיבית הייתה ככל הנראה ‪ n‬אופציות‪ ,‬כמספר‬ ‫המושבים‪ ,‬אך זו טעות‪ .‬מכיוון שלמעגל אין נקודת מוצא‪ ,‬הבחירה במושב אחד על‬ ‫ידי האדם הראשון אינה מועדפת על אף מושב אחר )שבנוסף‪ ,‬אין שום דרך להבדיל‬ ‫בין מושב למושב כשכולם פנויים – "שולחן עגול" נמצא בחלל ריק!(‪ .‬מסיבה זו‪ ,‬כל‬ ‫המושבים שקולים ולכן לאדם הראשון יש מצב בחירה יחיד‪.‬‬ ‫לאחר הושבת האדם הראשון אנו נותרים עם ‪ n − 1‬מושבים המאורגנים כמו‬ ‫"שורה"‪ ,‬בה עלינו להושיב כעת ‪ n − 1‬אנשים‪ ,‬לכן יש !)‪ (n − 1‬אופציות להושיב‬ ‫אותם‪.‬‬ ‫הפעלה של עקרון הכפל )בניסוח הראשון( מניבה כי מספר האופציות להושיב את כל‬ ‫‪ n‬האנשים במעגל הוא !)‪ . 1 × (n − 1‬סוף הוכחה‪.‬‬ ‫‪3.3.3‬‬ ‫תמורות‪ :‬סידורים בשורה כאשר ישנם איברים זהים‬ ‫טענה‪ .‬מספר האפשרויות לסדר ‪ n‬איברים בשורה שבתוכם ישנם ‪ n1‬איברים זהים‬ ‫מסוג ראשון‪ n2 ,‬איברים זהים מסוג שני‪ nk ,.. ,‬איברים זהים מסוג ה— ‪ , k‬הוא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ) ‪. P ( n ,..., n‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n ! n !...n !  n1, n2 ,..., nk ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫כאן ‪= n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪L-18‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫הערה ‪R3.1‬‬ ‫המכנה ! ‪ n1!n2 !...nk‬מקטין מספר התמורות !‪ n‬בגלל נוכחות של ‪ k‬תת קבוצות של‬ ‫איברים זהים‪ :‬אין צורך למנות תמורות של איברים זהים תוך כל תת קבוצה‪.‬‬ ‫הערה ‪R3.2‬‬ ‫המקרה של "כל האיברים שונים"‬ ‫הפרמטרים ‪: n1 = n2 = ... = nn = 1‬‬ ‫הוא מקרה פרטי של הנוסחא הנ''ל עבור‬ ‫!‪n‬‬ ‫!‪= Pn = n‬‬ ‫= )‪P (1,...,1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪1!⋅1!...1‬‬ ‫דוגמא ‪E3.2‬‬ ‫באוסף של חמישה ) ‪ ( n = 5‬איברים }‪ {a, a, b, b, b‬ישנן שתי תת קבוצות של איברים‬ ‫זהים ) ‪ ( k = 2‬שבתוכם תת קבוצה עם ‪ n1 = 2‬איברים מסוג }‪ {a‬ו— ‪ n2 = 3‬איברים‬ ‫!‪5‬‬ ‫= )‪ . P (n , n ) = P (2,3‬האופציות‬ ‫מסוג }‪ . {b‬אזי‪ ,‬מספר תמורות הוא ‪= 10‬‬ ‫‪n 1 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫!‪2!⋅3‬‬ ‫הכלולות במספר זה הן‬ ‫}‪{a, b, a, b, b‬‬ ‫}‪{b, b, a, b, a‬‬ ‫}‪{a, b, b, a, b‬‬ ‫}‪{b, a, b, a, b‬‬ ‫}‪{a, b, b, b, a‬‬ ‫}‪{b, a, b, b, a‬‬ ‫}‪{b, b, b, a, a‬‬ ‫}‪{b, a, a, b, b‬‬ ‫}‪{a, a, b, b, b‬‬ ‫}‪{b, b, a, a, b‬‬ ‫שאלה ‪L3.4‬‬ ‫על המדף תשעה ספרים מהם ארבעה ספרי מתמטיקה זהים‪ ,‬שלושה ספרי פיסיקה‬ ‫זהים ושני ספרי כימיה זהים‪ .‬מצא‪/‬י בכמה אופנים ניתן לסדר את הספרים במקרים‬ ‫הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬ללא הגבלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל הספרים מאותו מקצוע סמוכים זה לזה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ענה על סעיף א' בתנאי ששלושה ספרי פיסיקה שונים זה מזה‪.‬‬ ‫פתרון‪ .‬משתמשים בנוסחא עבור תמורות בסעיף ‪.3.3.2‬‬ ‫!‪9‬‬ ‫= )‪. P (4,3,2‬‬ ‫א‪ .‬כאשר אין הגבלות‪ ,‬מקבלים ‪= 1260‬‬ ‫‪9‬‬ ‫!‪4!⋅3!⋅2‬‬ ‫ב‪ .‬אם כל הספרים מאותו מקצוע סמוכים זה לזה‪ ,‬המצב הוא זה של שלושה‬ ‫איברים שונים בשורה‪ ,‬כך שהתשובה היא ‪. 3!= 6‬‬ ‫‪L-19‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ג‪ .‬אם מתייחסים לספרי פיסיקה כלספרים שונים זה מזה‪ ,‬מספר התמורות‬ ‫!‪9‬‬ ‫= )‪P (4,1,1,1,2‬‬ ‫הוא ‪= 7560‬‬ ‫‪9‬‬ ‫!‪4!⋅2‬‬ ‫‪ 3.4‬בחירות‬ ‫אנחנו נתבונן בארבעה סוגים של בחירות‪ :‬עם ובלי החזרות‪ ,‬עם ובלי חשיבות‬ ‫לסדר‪ .‬כל הנוסחאות קשורות לנושא יופיעו בטבלה בסוף הסעיף‪.‬‬ ‫‪3.4.1‬‬ ‫בחירה בלי החזרה ועם חשיבות לסדר‬ ‫הגדרה ‪D3.3‬‬ ‫מספר החליפות ]‪ [variations‬הוא מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מאוסף המכיל‬ ‫‪ n‬איברים שונים כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת )בחירה בלי‬ ‫החזרה( אך ישנה חשיבות לסדר הבחירה‪.‬‬ ‫דוגמא ‪E3.3‬‬ ‫מספר האפשרויות לבחור שני איברים‬ ‫)‪(k = 2‬‬ ‫מאוסף‬ ‫}‪{a, b, c‬‬ ‫המכיל שלושה‬ ‫איברים )‪ (n = 3‬כאשר מדובר על בחירה ללא החזרה עם חשיבות לסדר שווה ל—‬ ‫‪ .6‬האופציות הקיימות הן‬ ‫}‪. {c, b} , {b, c} , {c, a} , {a, c} , {b, a} , {a, b‬‬ ‫מכיוון שהבחירה היא ללא החזרה‪ ,‬האופציות }‪ {c, c} , {b, b} , {a, a‬לא מופיעות‬ ‫ברשימה‪.‬‬ ‫טענה‪ .‬מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים שונים כאשר הבחירה‬ ‫היא ללא החזרה ועם חשיבות לסדר )מספר חליפות( הוא‬ ‫!‪n‬‬ ‫!) ‪(n − k‬‬ ‫= ‪Pnk‬‬ ‫הוכחה‪ .‬נוח לחשוב על בחירה ללא החזרה ועם חשיבות לסדר של ‪ k‬איברים מתוך‬ ‫‪ n‬איברים שונים כעל מילוי של ‪ k‬תאים על ידי ‪ k‬איברים ‪ . ai ,... , ai , ai‬את‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫התא הראשון מותר למלא ב— ‪ n‬דרכים שונות‪ ,‬את התא השני – ב— )‪ ( n − 1‬דרכים‪,‬‬ ‫את התא השלישי – ב— )‪ ( n − 2‬דרכים‪ ,... ,‬את התא ה— ‪) k‬האחרון( – ב—‬ ‫)‪ ( n − k + 1‬דרכים‪.‬‬ ‫‪aik‬‬ ‫‪ai2‬‬ ‫‪ai1‬‬ ‫‪L-20‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫על פי עקרון הכפל‪ ,‬מספר האופציות למלא את כל ‪ k‬התאים הוא‬ ‫!‪n‬‬ ‫!) ‪(n − k‬‬ ‫= )‪. Pnk = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫הערה ‪R3.3‬‬ ‫עקרון הכפל בניסוח הראשון )אשר מתייחס לחישוב מספר האופציות בניסוי רב‬ ‫שלבי( לוקח בחשבון כל הסדרים האפשריים‪ .‬אנחנו נראה בהמשך כי עקרון הכפל‬ ‫בניסוח השני )אשר מטפל בחישוב הסתברות בניסוי רב שלבי( לא מתייחס לסדרים‬ ‫שונים כלל‪.‬‬ ‫הערה ‪R3.4‬‬ ‫בדוגמא ‪ ,E3.3‬הפרמטרים ‪ k = 2‬ו— ‪ n = 3‬כך שמספר אפשרויות הבחירה הוא‬ ‫!‪3‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫!)‪(3 − 2‬‬ ‫= ‪. P32‬‬ ‫שאלה ‪L3.5‬‬ ‫מכיתה בה שמונה בנים ושתים עשרה בנות בוחרים ועדה בת ארבעה תלמידים‪ .‬כל‬ ‫התפקידים בוועדה שונים זה מזה ותלמיד כלשהו לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד‬ ‫אחד‪.‬‬ ‫א‪ .‬בכמה אופנים ניתן לבחור את הוועדה?‬ ‫ב‪ .‬בכמה אופנים ניתן לבחור את הוועדה אם לתפקיד מסוים יש לבחור אחד‬ ‫מהבנים ולשלושת התפקידים האחרים יש לבחור רק בנות?‬ ‫פתרון‪" .‬תלמיד כלשהו לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה‬ ‫ללא החזרה‪" .‬כל התפקידים בוועדה שונים זה מזה" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה עם‬ ‫חשיבות לסדר‪ .‬אזי נשתמש בחליפות ‪. Pnk‬‬ ‫!‪20‬‬ ‫א‪ .‬מספר אופנים ‪= 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17 = 116280‬‬ ‫!‪16‬‬ ‫= ‪. P204‬‬ ‫ב‪ .‬מדובר על בחירת הוועדה המכילה בן אחד ושלוש בנות‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫בן‬ ‫‪8‬‬ ‫בת‬ ‫‪‬‬ ‫‪L-21‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫דרך ראשונה‪ .‬בחירת הוועדה הוא "ניסוי" דו שלבי‪ .‬בשלב הראשון נבחר בן אחד‬ ‫מתוך ‪ 8‬בנים בכיתה‪ .‬אפשר לעשות זאת ב‪ P81 -‬אופנים‪ .‬בשלב השני‪ ,‬בוחרים ‪3‬‬ ‫בנות מתוך ‪ 12‬בנות בכיתה‪ .‬מספר אופציות אפשריות בשלב זה הוא ‪ . P123‬על פי‬ ‫עקרון הכפל‪ ,‬מספר אפשרויות לבחור את הוועדה כולה שווה ל—‬ ‫‪. P81 ⋅ P123 = 8 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 = 10560‬‬ ‫דרך שנייה‪ .‬אפשר להתייחס לבחירת הוועדה כלמילוי ארבעה תאים‪ .‬את התא‬ ‫הראשון אפשר למלא על ידי בן ב—‪ 8‬אופנים‪ .‬את התא השני אפשר למלא על ידי‬ ‫אחת הבנות ב—‪ 12‬אופנים‪ .‬אזי למילוי התא השלישי קיימות ‪ 11‬אופציות‪ ,‬ולתא‬ ‫האחרון נשארו רק ‪ 10‬אופציות‪ .‬עקרון הכפל מביא את התשובה‬ ‫‪. 8 ⋅12 ⋅11 ⋅10 = 10560‬‬ ‫שאלה ‪L3.6‬‬ ‫ישנם ‪ 3‬מסלולים שונים המקשרים עיר ‪ A‬לעיר ‪ . B‬בכמה אופנים ניתן לעבור מעיר‬ ‫אחת מסויימת לעיר שנייה וחזרה אם לא חוזרים באותה דרך?‬ ‫פתרון‪" .‬לא חוזרים באותה דרך" – פרוש הדבר‪:‬‬ ‫בחירה ללא החזרה‪ .‬מניסוח השאלה עולה כי‬ ‫מדובר על בחירה עם חשיבות לסדר‪:‬‬ ‫המסלולים }‪ {a, b‬ו‪ {b, a} -‬הם מסלולים שונים!‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪c‬‬ ‫מניית המסלולים הלוך ושוב זו בחירה של ‪ k = 2‬איברים מתוך ‪ n = 3‬איברים‪ .‬אזי‬ ‫!‪3‬‬ ‫התשובה היא ‪= 6‬‬ ‫!‪1‬‬ ‫= ‪. P32‬‬ ‫שאלה ‪L3.7‬‬ ‫פתקים עם שמות של ‪ 7‬ימי השבוע מונחים בכובע‪ 3 .‬פתקים נלקחו משם כדי‬ ‫לקבוע ‪ 3‬ימים בהם יתקיימו ‪ 3‬הרצאות שונות‪ .‬מה ההסתברות שההרצאות לא‬ ‫יחולו בסוף שבוע )יום שישי ושבת(? לא תתקיים יותר מהרצאה אחת ביום אחד‪.‬‬ ‫הסדר בו יתקיימו ההרצאות חשוב‪.‬‬ ‫פתרון‪ 3" .‬הרצאות שונות" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה ללא החזרה‪" .‬סדר בו יתקיימו‬ ‫הרצאות חשוב" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה מסודרת‪.‬‬ ‫כדי לחשב את ההסתברות הדרושה‪ ,‬אנחנו חייבים לחשב שני מספרים – גודל‬ ‫מרחב המדגם ומספר האופציות עבור בחירה המובילה לתוצאה עליה שואלים את‬ ‫השאלה‪.‬‬ ‫דרך ראשונה‪.‬‬ ‫‪L-22‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫א‪ .‬גודל מרחב המדגם מתאים לבחירה של ‪ 3‬איברים מתוך ‪ .7‬אזי‪,‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫‪= 210‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫= ‪. P73‬‬ ‫ב‪ .‬אם הרצאות לא יתקיימו בסוף שבוע‪ ,‬כל שלושת הפתקים הגיעו מהחלק של‬ ‫‪ 5‬ימות החול כמצויר למטה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ימות החול‬ ‫!‪5‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫זה מביא את מספר האופציות‬ ‫הדרושה היא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪60 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪210 7‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ‪ . P53‬לכן ההסתברות‬ ‫‪.‬‬ ‫דרך שנייה‪ .‬אפשר לחשב את ההסתברות הנשאלת באמצעות עקרון הכפל בניסוח‬ ‫השני )כלל שרשרת(‪:‬‬ ‫‪5 4 3 2‬‬ ‫= ⋅ ⋅‬ ‫‪7 6 5 7‬‬ ‫‪3.4.2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫בחירה עם החזרה ועם חשיבות לסדר‬ ‫בבחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרה נקראות חליפות עם החזרה‪ .‬בבחירות אלו‬ ‫ניתן לבחור באותו איבר יותר מפעם אחת‪.‬‬ ‫דוגמא ‪E3.4‬‬ ‫מספר האפשרויות לבחור ‪ 2‬איברים‬ ‫)‪(k = 2‬‬ ‫מאוסף של שלושה איברים‬ ‫)‪(n = 3‬‬ ‫}‪ {a, b, c‬כאשר מדובר על בחירה עם החזרה ועם חשיבות לסדר שווה ל‪.9-‬‬ ‫האופציות הקיימות הן‬ ‫}‪. {c, b} , {b, c} , {c, c} , {c, a} , {a, c} , {b, b} , {b, a} , {a, b} , {a, a‬‬ ‫טענה‪ .‬מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים שונים כאשר הבחירה‬ ‫היא עם החזרה ועם חשיבות לסדר הוא‬ ‫‪. nk‬‬ ‫הוכחה‪ .‬נתבונן באוסף של ‪ n‬איברים שונים } ‪ . {a1 , a 2 , a3 ,..., a n‬נתייחס לסידורם‬ ‫כמילוי של ‪ k‬תאים‬ ‫‪L-23‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫מילוי של ‪ k‬תאים הוא ניסוי בעל ‪ k‬שלבים‪ .‬בכל שלב מותר למלא את התא‬ ‫הרלבנטי ב— ‪ n‬אופנים מכיוון שהבחירה היא בחירה עם החזרה‪ .‬אזי‪ ,‬על פי עקרון‬ ‫הכפל‪ ,‬מספר כולל של אפשרויות שווה ל‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪⋅ n‬‬ ‫‪⋅ ...‬‬ ‫‪⋅ n = nk‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫שאלה ‪L3.8‬‬ ‫כמה מספרים בני ‪ 4‬ספרות ניתן לרשום באמצעות הספרות ‪ ? 0 ,1, 2, 3 ,4 ,5‬כל‬ ‫ספרה יכולה להופיע יותר מפעם אחת‪.‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫דרך ראשונה‪" .‬כל ספרה יכולה להופיע יותר מפעם אחת" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה עם‬ ‫החזרה‪ .‬מובן שסדר הספרות במספר הוא כן חשוב‪ .‬אזי‪ ,‬אפשר לבחור ‪ 4‬ספרות‬ ‫מתוך ‪ 6‬ב— ‪ 6 4‬אופנים‪.‬‬ ‫הנקודה החשובה – מספר לא יכול להתחיל מהספרה ‪ .0‬זה אומר שצריך להוריד מ—‬ ‫‪ 6 4‬את מספר האופציות להרכיב "קוד" בן ‪ 4‬ספרות עם ספרה ‪ 0‬ראשונה משמאל‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מספר אופציות כאלו הוא ‪ . 6 3‬אזי‪ ,‬התשובה היא ‪. 6 4 − 6 3 = 1080‬‬ ‫דרך שנייה‪ .‬מכיוון ש—‪ 0‬לא יכול להופיע במקום הראשון‪ ,‬קיימות ‪ 5‬אופציות למלא‬ ‫את התא השמאלי‪ .‬ל—‪ 3‬תאים מימין ישנן ‪ 6‬אופציות עבור כל אחד מתאים אלה‪.‬‬ ‫אזי‪ ,‬לפי עקרון הכפל זה מביא את התשובה הבאה‪. 5 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 1080 :‬‬ ‫שאלה ‪L3.9‬‬ ‫ישנם ‪ 3‬מסלולים שונים המקשרים עיר ‪ A‬לעיר ‪ . B‬בכמה אופנים ניתן לעבור מעיר‬ ‫אחת מסויימת לעיר שנייה וחזרה אם אפשר לחזור באותה דרך?‬ ‫פתרון‪" .‬אפשר לחזור באותה דרך" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה עם החזרה‪ .‬מהשאלה גם‬ ‫עולה כי מדובר על בחירה עם חשיבות לסדר‪ .‬מניית המסלולים הלוך ושוב זו‬ ‫בחירה של ‪ k = 2‬מתוך ‪ n = 3‬איברים‪ .‬אזי התשובה היא ‪. 32 = 9‬‬ ‫‪L-24‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪3.4.3‬‬ ‫בחירה בלי החזרה ובלי חשיבות לסדר‬ ‫הגדרה ‪D3.4‬‬ ‫מספר הצירופים ]‪ [combinations‬הוא מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪n‬‬ ‫איברים שונים כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת )בחירה בלי החזרה(‬ ‫ואין חשיבות לסדר הבחירה‪.‬‬ ‫דוגמא ‪E3.5‬‬ ‫מספר האפשרויות לבחור ‪ 2‬איברים‬ ‫)‪(k = 2‬‬ ‫מאוסף של שלושה איברים‬ ‫כאשר מדובר על בחירה ללא החזרה ובלי חשיבות לסדר‬ ‫}‪{a, b, c‬‬ ‫האופציות הקיימות הן‬ ‫)‪(n = 3‬‬ ‫הוא ‪.3‬‬ ‫}‪. {b, c} , {a, c} , {a, b‬‬ ‫טענה‪ .‬מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים שונים כאשר הבחירה‬ ‫היא ללא החזרה ובלי חשיבות לסדר )מספר צירופים( הוא‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪=  ‬‬ ‫‪k! (n − k )!  k ‬‬ ‫= ‪. Cnk‬‬ ‫הוכחה‪ .‬ניתן לראות כי מספר הצירופים ‪ Cnk‬ומספר החליפות ‪ Pnk‬קשורים אחד לשני‬ ‫‪Pnk‬‬ ‫כ—‬ ‫!‪k‬‬ ‫= ‪. Cnk‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫שאלה ‪L3.10‬‬ ‫הוכח‪/‬הוכיחי כי‬ ‫‪n−k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.C = C‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫שאלה ‪L3.11‬‬ ‫בכד ‪ 8‬כדורים שונים‪ .‬בכמה אופנים ניתן להוציא ממנו בלי החזרה‬ ‫א‪ 3 .‬כדורים?‬ ‫ב‪ 4 .‬כדורים?‬ ‫מקום אסיפת הכדורים לא מוגדר‪.‬‬ ‫פתרון‪ .‬מדובר על בחירה ללא החזרה‪" .‬מקום אסיפת הכדורים לא מוגדר" – פרוש‬ ‫הדבר‪ :‬אין חשיבות לסדר‪ .‬התשובה היא‬ ‫א‪C83 = 56 .‬‬ ‫ב‪. C84 = 70 .‬‬ ‫‪L-25‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫שאלה ‪L3.12‬‬ ‫מצא‪/‬י בכמה אופנים ניתן לבחור מכיתה של ‪ 15‬תלמידים את ועד הכיתה בו ‪4‬‬ ‫תלמידים במקרים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬ללא הגבלה )אין בוועד תפקידים מוגדרים(‬ ‫ב‪ .‬בתנאי שתלמיד בשם מסוים חייב להיבחר לוועד‬ ‫ג‪ .‬בתנאי שתלמיד בשם מסוים חייב להיבחר ושניים אחרים )גם בשמות‬ ‫מסוימים( אינם יכולים להיבחר?‬ ‫אין בוועד תפקידים מוגדרים‪ .‬תלמיד אחד לא יכול להיבחר ליותר מתפקיד אחד‪.‬‬ ‫פתרון‪" .‬אין בוועד תפקידים מוגדרים" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה בלי חשיבות לסדר‪.‬‬ ‫"תלמיד אחד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד" – פרוש הדבר‪ :‬בחירה בלי החזרה‪.‬‬ ‫א‪ .‬התשובה היא ‪. C154 = 1365‬‬ ‫ב‪ .‬הרכבת הוועד הוא ניסוי דו שלבי‪ .‬אם תלמיד בשם מסוים חייב להיבחר‬ ‫לוועד‪ ,‬בשלב הראשון בוחרים בתלמיד זה – מספר האופציות לעשות זאת‬ ‫הוא ‪ . C11 = 1‬בשלב השני אנחנו בוחרים ב—‪ 3‬תלמידים נוספים מתוך ‪14‬‬ ‫שנשארו – מספר האופציות הוא ‪ . C143 = 364‬על פי עקרון הכפל‪ ,‬מגעים‬ ‫לתשובה‪. C11 ⋅ C143 = 364 :‬‬ ‫ג‪ .‬מכיוון ששני תלמידים בשמות מסוימים לא יכולים להיבחר לוועד‪ ,‬התשובה‬ ‫היא ‪. C11 ⋅C123 = 220‬‬ ‫שאלה ‪L3.13‬‬ ‫בכיס המרצה ישנם ‪ 6‬מטבעות מזהב‪ 4 ,‬מכסף ו—‪ 3‬מארד‪ .‬המרצה מוציא ‪3‬‬ ‫מטבעות בצורה אקראית‪ .‬מהי ההסתברות שכל המטבעות שיוציא הם מאותו‬ ‫חומר?‬ ‫פתרון‪ :‬השאלה מתייחסת להסתברות‪ .‬אזי צריך לחשב את גודל מרחב המדגם ואת‬ ‫גודל המאורע אליו מתייחסת השאלה )במילים אחרות‪ ,‬יש לחשב את מספר‬ ‫האופציות המביאות לבחור ‪ 3‬מטבעות מאותו חומר(‪.‬‬ ‫מרצה מוציא מטבעות בלי החזרה‪ .‬השאלה גם לא מתייחסת לסדר הבחירה כך‬ ‫שהבחירה היא בחירה לא מסודרת‪ .‬הוצאה של ‪ 3‬מטבעות מתוך ‪ 13‬הנמצאים‬ ‫בכיס מתאימה למרחב המדגם בגודל ‪. Ω = C133 = 286‬‬ ‫נגדיר את המאורע ‪} = E‬שלושה מטבעות מאותו חומר{‪ .‬המאורע ‪ E‬מורכב‬ ‫משלושה מאורעות זרים בזוגות‪:‬‬ ‫‪} = AG‬שלושה מטבעות מזהב{‪,‬‬ ‫‪} = AS‬שלושה מטבעות מכסף{‬ ‫‪} = AB‬שלושה מטבעות מארד{‬ ‫‪L-26‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫כך ש‪ . E = AG ∪ AS ∪ AB -‬אזי ההסתברות הדרושה ) ‪. P ( E ) = P ( AG ) + P ( AS ) + P ( AB‬‬ ‫כדי לחשב שלוש הסתברויות אלו‪ ,‬יש למצוא את מספר האופציות להוציא ‪3‬‬ ‫מטבעות מזהב )מכסף‪ ,‬מארד( מכיס המרצה‪ 3 .‬מטבעות מזהב הגיעו מחלק הכיס בו‬ ‫נמצאו ‪ 6‬מטבעות מזהב‪ .‬אזי מספר האופציות הדרוש הוא ‪ . AG = C 63 = 20‬באותה‬ ‫דרך‪ AS = C 43 = 4 ,‬ו— ‪ . AB = C33 = 1‬כתוצאה‪,‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AS‬‬ ‫‪C33‬‬ ‫‪C63‬‬ ‫‪C 43‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Ω C13 286‬‬ ‫‪Ω C13 286‬‬ ‫‪C13 286‬‬ ‫=‬ ‫‪AG‬‬ ‫‪Ω‬‬ ‫= ) ‪. P( AG‬‬ ‫אזי‪ ,‬ההסתברות הדרושה היא‬ ‫‪25‬‬ ‫‪286‬‬ ‫‪3.4.4‬‬ ‫= ) ‪. P( E ) = P( AG ) + P( AS ) + P( AB‬‬ ‫בחירה עם החזרה ובלי חשיבות לסדר‬ ‫הגדרה ‪D3.5‬‬ ‫מספר החלוקות ]‪ [divisions‬הוא מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪n‬‬ ‫איברים שונים כאשר אין לבחור אותו איבר יותר מפעם אחת )בחירה בלי החזרה(‬ ‫ואין חשיבות לסדר הבחירה‪.‬‬ ‫דוגמא ‪E3.6‬‬ ‫מספר האפשרויות לבחור ‪ 2‬איברים‬ ‫)‪(k = 2‬‬ ‫מאוסף של שלושה איברים‬ ‫)‪(n = 3‬‬ ‫}‪ {a, b, c‬כאשר מדובר על בחירה עם החזרה ובלי חשיבות לסדר שווה ל—‪.6‬‬ ‫האופציות הקיימות הן‬ ‫}‪. {c, a} , {c, c} , {b, c} , {b, b} , {a, b} , {a, a‬‬ ‫טענה‪ .‬מספר האפשרויות לבחור ‪ k‬איברים מתוך ‪ n‬איברים שונים כאשר הבחירה‬ ‫היא עם החזרה ובלי חשיבות לסדר הוא‬ ‫!)‪ n + k − 1 ( n + k − 1‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫!)‪ k! ( n − 1‬‬ ‫‪. Pn + k −1 ( k , n − 1) = Cnk+ k −1 = ‬‬ ‫‪L-27‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫הוכחה‪ .‬כדי להבין את ההיגיון מאחורי ההוכחה‪ ,‬נחזור לדוגמא ‪ E3.6‬ונציג אותה‬ ‫דרך הטבלה‪:‬‬ ‫הצגה‬ ‫פורמאלית‬ ‫| | √√‬ ‫שכיחות ‪c‬‬ ‫שכיחות ‪b‬‬ ‫|√|√‬ ‫√‬ ‫| √√ |‬ ‫√√‬ ‫√|√|‬ ‫√‬ ‫√√ | |‬ ‫√√‬ ‫√||√‬ ‫√‬ ‫שכיחות ‪a‬‬ ‫אופציות‬ ‫√√‬ ‫}‪{a, a‬‬ ‫}‪{a, b‬‬ ‫}‪{b, b‬‬ ‫}‪{b, c‬‬ ‫}‪{c, c‬‬ ‫}‪{c, a‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫כאן‪ ,‬מספר סימני הנוכחות "√" מסמן שכיחות איבר מסוים באופציה‪ ,‬וסימן‬ ‫ההפרדה "|" מפריד בין איברים שונים‪ .‬הצגה פורמאלית בטבלה מרמזת כי מספר‬ ‫הבחירות הוא שווה למספר האופציות לסדר ‪ 4‬איברים בשורה כאשר בתוכם יש‬ ‫שתי תת קבוצות‪ :‬הראשונה מכילה ‪ 2‬איברים זהים )√√( והשנייה מכילה גם שני‬ ‫איברים זהים )| |(‪ .‬התשובה במקרה זה היא ‪. P4 ( 2,2) = C42 = 6‬‬ ‫קל לראות כי במקרה הכללי‪ ,‬הצגה פורמאלית תכלול ‪ k‬סימני נוכחות √ ו— )‪( n − 1‬‬ ‫סימני הפרדה‪ .‬מספר האופציות לסדר ‪ n −1 + k‬איברים בשורה כאשר בתוכם ישנם‬ ‫שתי תת קבוצות בגודל ‪ k‬ו— )‪ ( n − 1‬בהתאמה הוא‬ ‫‪ n + k − 1‬‬ ‫!)‪( n + k − 1‬‬ ‫‪= Cnk+ k −1 = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫!)‪k! ( n − 1‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪. Pn + k −1 ( k , n − 1‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫‪3.4.5‬‬ ‫בחירות‪ :‬טבלת סיכום‬ ‫בלי החזרה‬ ‫עם החזרה‬ ‫‪Pnk‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫מסודרת‬ ‫‪Cnk‬‬ ‫)‪Pn + k −1 ( k , n − 1‬‬ ‫לא מסודרת‬ ‫‪L-28‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫מקדם בינומי ומקדם מולטינומי‬ 3.5 :‫נוסחאות קומבינטוריות מכילות שני מקדמים חשובים‬ n Cnk =   ‫מקדם בינומי‬ k  k  n   ‫מקדם מולטינומי‬ . ∑ n j = n ‫ עם‬Pn ( n1 ,..., nk ) =  n ,..., n j =1 k  1 • • .‫שני מקדמים אלה הם חלק בלטי נפרד של שני משפטים הבאים‬ .(‫ )משפט ניוטון‬T3.1 ‫משפט‬ . ( a + b) n = n ∑C a b k =0 k n k n−k n n = ∑   a k bn − k k =0  k  .(‫ )משפט מולטינומי‬T3.2 ‫משפט‬ . ( x1 + x2 + ... + xk ) n = ∑ Pn ( n1 ,..., nk ) x1n1 ... xknk = ( n1 ≥ 0 ,..., n k ≥ 0 ): n1 + ... + n k = n  n  n1 nk   x1 ... xk ( n1 ≥ 0 ,..., n k ≥ 0 ):  n1 ,..., nk  ∑ n1 + ... + n k = n :‫בצורה "מפחידה" יותר‬ n   k  n  .  ∑ x j  =   ∑  j =1  ( nn1 ≥+0...,...,+ nnk =≥n0 ):  n1 ,..., nk  1 k k ∏x j =1 nj j = n! k n xj j ∑ ∏n! ( n1 ≥ 0 ,..., n k ≥ 0 ): j =1 n1 + ... + n k = n j L-29 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪4‬‬ ‫משתנה מקרי חד ממדי בדיד‬ ‫• משתנה מקרי בדיד • פונקצית הסתברות • פונקצית התפלגות מצטברת • מדדים של משתנה מקרי‬ ‫מטרת ההרצאה‪ :‬לפתח שיטת תיאור של ניסוים אקראיים על ידי פונקציית‬ ‫הסתברות‪.‬‬ ‫‪ 4.1‬הגדרות בסיסיות‬ ‫הגדרה ‪D4.1‬‬ ‫משתנה מקרי ‪ [random variable] X‬על מרחב מדגם ‪ Ω‬הוא פונקציה ממשית‬ ‫המוגדרת על ‪ Ω‬כך שלכל תוצאה ‪ ω‬של ניסוי אקראי מתאים ערך מספרי ממשי‬ ‫) ‪. X (ω‬‬ ‫דוגמא ‪E4.1‬‬ ‫בניסוי "הטלת קוביית שש‪-‬בש"‪ ,‬מרחב המדגם הוא } ‪; Ω = {ω1 ,ω 2 ,ω 3 ,ω 4 ,ω 5 ,ω 6‬‬ ‫התוצאה האלמנטרית ‪ ω k‬הוא המאורע במשמעות "פאה עם ‪ k‬נקודות"‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫נקודות‬ ‫א‪ .‬נגדיר משתנה מקרי ‪ X‬על ידי הפונקציה ‪ X (ω k ) = k‬כך ש—‬ ‫‪. X (ω1 ) = 1, X (ω 2 ) = 2, X (ω 3 ) = 3, X (ω 4 ) = 4, X (ω 5 ) = 5, X (ω 6 ) = 6‬‬ ‫ב‪ .‬אפשר להגדיר כמה משתנים מקריים על אותו מרחב מדגם‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫הפונקציה ‪ Y (ωk ) = 10 ⋅ k − 5‬מגדירה משתנה מקרי ‪ Y‬על אותו מרחב‬ ‫המדגם ‪. Ω‬‬ ‫דוגמא ‪E4.2‬‬ ‫בניסוי "הטלת מטבע שלוש פעמים"‪ ,‬מרחב המדגם הוא‬ ‫} ‪. Ω = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT‬‬ ‫א‪ .‬נגדיר משתנה מקרי ‪ X‬כפונקציה אשר שווה ל—‪ 1‬אם בהטלה הראשונה‬ ‫מתקבל עץ ושווה ל—‪ 0‬במקרים אחרים‪.‬‬ ‫‪TTT‬‬ ‫‪TTH‬‬ ‫‪THT‬‬ ‫‪THH‬‬ ‫‪HTT‬‬ ‫‪HTH‬‬ ‫‪HHT‬‬ ‫‪HHH‬‬ ‫תוצאה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪L-27‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ב‪ .‬עבור אותו הניסוי אפשר להגדיר משתנה מקרי בדרך אחרת‪ .‬למשל‪ ,‬נגדיר‬ ‫משתנה מקרי ‪ Y‬כפונקציה אשר שווה ל—‪ 1‬אם פלי נתקבל באמצע ושווה‬ ‫ל—‪ 0‬במקרים אחרים‪.‬‬ ‫‪TTT‬‬ ‫‪TTH‬‬ ‫‪THT‬‬ ‫‪THH‬‬ ‫‪HTT‬‬ ‫‪HTH‬‬ ‫‪HHT‬‬ ‫‪HHH‬‬ ‫תוצאה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫הגדרה ‪D4.2‬‬ ‫משתנה מקרי בדיד ‪ [discrete random variable] X‬על מרחב מדגם ‪ Ω‬הוא משתנה‬ ‫מקרי המקבל רק מספר סופי או בן מניה של ערכים )למשל‪ ,‬מספרים שלמים –‬ ‫אפשר למנות אותם למרות כמותם האינסופית(‪.‬‬ ‫‪ 4.2‬פונקצית הסתברות ותכונותיה‬ ‫פונקצית הסתברות מכילה את כל האינפורמציה על תופעה מקרית‪ .‬היא מחושבת‬ ‫ממודל פיסיקלי—מתמטי של התופעה הנחקרת‪.‬‬ ‫‪4.2.1‬‬ ‫פונקצית הסתברות‬ ‫בסעיף זה‪ ,‬נתבונן במשפחות בנות ‪ 2‬ילדים‪ .‬יהיה ‪ X‬משתנה מקרי המתאר מספר‬ ‫בנות במשפחה שנבחרה מקרית‪ .‬נסמן בת ב— ‪ F‬ובן ב— ‪ . M‬כל התוצאות‬ ‫האפשריות של הניסוי מביאות את מרחב המדגם‪ .‬מבחינת מין הילדים‪ ,‬מרחב‬ ‫המדגם הוא } ‪. Ω = {MF , FM , MM , FF‬‬ ‫לכל תוצאה אלמנטרית ממרחב המדגם מתאים ערך מסוים של משתנה מקרי ‪: X‬‬ ‫‪. X ( MM ) = 0, X ( MF ) = X ( FM ) = 1, X(FF) = 2‬‬ ‫אזי‪ ,‬הערכים האפשריים של המשתנה ‪ X‬הם ‪ .2 ,1 ,0‬נחשב את ההסתברות לקבלת‬ ‫כל אחד מן הערכים האלה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P( X = 0) = P ( MM ) = ,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 14 = ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪P ( X = 1) = P ( FM ) + P ( MF‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P ( X = 2) = P ( FF ) = .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫כרגע חישבנו את פונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי ‪. X‬‬ ‫הגדרה ‪D4.3‬‬ ‫פונקצית הסתברות ]‪[probability function‬‬ ‫)‪ PX (x‬של משתנה מקרי בדיד‬ ‫מצמידה לכל ערך אפשרי ‪ x‬של המשתנה ‪ X‬את ההסתברות ) ‪. PX ( x) = P( X = x‬‬ ‫‪X‬‬ ‫הפונקציה הפורמאלית )‪ PX (x‬מכילה את כל האינפורמציה ההסתברותית על משתנה‬ ‫מקרי ‪ . X‬בעזרתה נוכל לחשב כל ההסתברויות הדרושות‪ .‬למשל‪,‬‬ ‫— ההסתברות שישנן בנות במשפחה היא ‪P ( X ≥ 1) = P ( X = 1) + P ( X = 2) = 3 4‬‬ ‫— ההסתברות שישנן יותר בנות מאשר בנים היא ‪ P ( X > 1) = P ( X = 2) = 1 4‬וכו'‪.‬‬ ‫‪L-28‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪4.2.2‬‬ ‫תכונות של פונקצית הסתברות‬ ‫תכונות של פונקצית הסתברות נובעות משלוש אקסיומות של קולמוגורוב )ראה‪/‬י‬ ‫את ההרצאה הראשונה(‪ .‬הן‪:‬‬ ‫א‪ .‬פונקצית הסתברות אינה שלילית‪ PX ( x) ≥ 0 :‬לכל ערך ‪. x‬‬ ‫ב‪ .‬עבור פונקצית הסתברות כלשהי מתקיימת תכונת הנרמול‪( x) = 1 :‬‬ ‫‪∑P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ .‬כאן‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הסכום עובר על כל הערכים האפשריים של המשתנה ‪. X‬‬ ‫‪4.2.3‬‬ ‫הצגות שונות של פונקצית הסתברות‬ ‫נתבונן בדוגמא של סעיף ‪ 4.2.1‬כדי לייצג שלוש דרכי הצגה של פונקצית הסתברות‪.‬‬ ‫א‪ .‬טבלת הסתברות‬ ‫נרמול )‪( x‬‬ ‫‪∑P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1/4‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫‪1/4‬‬ ‫)‪PX (x‬‬ ‫ב‪ .‬דיאגרמת מקלות )האיור משמאל(‬ ‫תרשים בו בכל ערך של המשתנה המקרי מוצב מקל באורך השווה לערך‬ ‫המתאים של פונקציית ההסתברות‪ .‬שיטה זו שימושית גם בניסוי סטטיסטי‪,‬‬ ‫בו אורכי המקלות מתאימים לשכיחויות היחסיות של ערכי המשתנה הנחקר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬היסטוגרמה )האיור מימין(‬ ‫תרשים בו סביב כל ערך של המשתנה המקרי מיוצרת עמודה באורך השווה‬ ‫לערך המתאים של פונקציית ההסתברות‪ .‬שיטה זו נפוצה יותר‬ ‫בסטטיסטיקה מאשר בהסתברות‪.‬‬ ‫)‪PX (x‬‬ ‫פונקצית הסתברות‬ ‫או שכיחות יחסית‬ ‫שכיחות יחסית‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪L-29‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ פונקצית התפלגות מצטברת ותכונותיה‬4.3 ‫פונקצית התפלגות מצטברת‬ 4.3.1 D4.4 ‫הגדרה‬ ‫ של משתנה‬FX (t ) [cumulative distribution function] ‫פונקציית התפלגות מצטברת‬ ‫ מוגדרת על ידי הנוסחא‬X ‫מקרי בדיד‬ . FX (t ) = P ( X ≤ t ) = ∑ P (x ) X x ≤t ‫ הסכום רץ על הערכים של המשתנה המקרי אשר לא עולים על ערך נתון‬,‫כאן‬ . FX (t ) ‫ הוא ארגומנט של פונקצית התפלגות מצטברת‬t ‫ הערך‬. − ∞ < t < +∞ E4.3 ‫דוגמא‬ ‫ נוח‬.4.2.1 ‫חישוב והצגה של פונקצית ההתפלגות מצטברת עבור הדוגמא של סעיף‬ ‫ מהגרף‬. PX (x) ‫להתחיל את החישוב מדיאגרמת מקלות עבור פונקצית הסתברות‬ :‫ מקבלים‬. t = 0,1,2 :‫ נקודות חשובות‬3 ‫עולה כי קיימות‬ FX (t < 0) = 0, FX (0 ≤ t < 1) = P( X = 0) = 1 / 4, FX (1 ≤ t < 2) = P( X = 0) + P( X = 1) = 1 / 4 + 1 / 2 = 3 / 4, FX (t ≥ 2) = P( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) = 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 4 = 1. : FX (t ) ‫גרף עבור‬ FX (t ) 1 3 4 1 4 t 0 1 2 L-30 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫תכונות של פונקצית התפלגות מצטברת‬ limt → −∞ FX (t ) = 0 limt → +∞ FX (t ) = 1 x1 < x2 ‫ עבור‬P( x1 < X ≤ x2 ) = FX ( x2 ) − FX ( x1 ) FX (t1 ) ≤ FX (t 2 ) :‫ מתקיים‬t1 < t 2 ‫עבור כל‬ t ≤ t 0 ‫ עבור כל‬FX (t ) = 0 ‫ אזי‬,‫ כלשהו‬t 0 ‫ עבור‬FX (t 0 ) = 0 ‫אם‬ .‫א‬ .‫ב‬ .‫ג‬ .‫ד‬ .‫ה‬ :‫הוכחות‬ . limt → −∞ FX (t ) = P ( X ≤ −∞ ) = 0 ,‫ אזי‬. FX (t ) = P ( X ≤ t ) ,‫ על פי הגדרה‬.‫א‬ .‫סוף הוכחה‬ . limt → +∞ FX (t ) = P ( X ≤ +∞ ) = 1 ,‫ אזי‬. FX (t ) = P ( X ≤ t ) ,‫ על פי הגדרה‬.‫ב‬ .‫סוף הוכחה‬ : t1 < t 2 ‫ מקבלים עבור‬, FX (t ) = P ( X ≤ t ) —‫ כיוון ש‬.‫ג‬ FX (t2 ) − FX (t1 ) = P( X ≤ t2 ) − P( X ≤ t1 ) = P(t1 < X ≤ t2 ) .‫סוף הוכחה‬ . t1 < t 2 ‫ עבור‬FX (t 2 ) − FX (t1 ) = P (t1 < X ≤ t 2 ) :‫ כאמור בסעיף הקודם‬.‫ד‬ . P (t1 < X ≤ t2 ) ≥ 0 ‫ מתקיים‬,‫ של קולמוגורוב‬1 '‫על בסיס אקסיומה מס‬ . FX (t2 ) − FX (t1 ) ≥ 0 ,‫כתוצאה מכך‬ .‫סוף הוכחה‬ ,‫ כתוצאה‬.('‫י סעיף ג‬/‫ )ראה‬FX (t0 ) − FX (t ) ≥ 0 :‫ מתקיים‬t ≤ t 0 ‫ עבור כל‬.‫ה‬ ‫ בשילוב עם‬FX (t ) = P ( X ≤ t ) ‫ ההגדרה של‬,‫ מצד שני‬. FX (t ) ≤ FX (t0 ) = 0 ‫ האופציה‬.‫ אינה שלילית‬FX (t ) ‫ מניבות כי‬,‫ של קולמוגורוב‬1 '‫אקסיומה מס‬ . FX (t ) = 0 ‫היחידה שנשארת היא‬ .‫סוף הוכחה‬ L-31 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 4.4‬מדדים של משתנה מקרי‬ ‫נלמד מספר מדדים חשובים של משתנה מקרי‪ :‬תוחלת‪ ,‬שונות‪ ,‬חציון‪ ,‬שכיח וכו'‪,‬‬ ‫ותכונותיהם‪.‬‬ ‫‪4.4.1‬‬ ‫תוחלת של משתנה מקרי ותכונותיה‬ ‫הגדרה ‪D4.5‬‬ ‫תוחלת ]‪ [expectation value=mean‬של משתנה מקרי ‪ X‬נתונה על ידי הנוסחא‬ ‫‪∑x⋅P‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ] ‪. µ = E[X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כאן‪ ,‬הסכום רץ על כל הערכים האפשריים ‪ x‬של משתנה מקרי ‪. X‬‬ ‫הערה ‪R4.1‬‬ ‫המשמעות של תוחלת‪ :‬תוחלת של משתנה מקרי היא ממוצע של אותו המשתנה‬ ‫המחושב על סמך מספר אינסופי של חזרות הניסוי‪ .‬נוכיח טענה זו בהמשך הקורס‪.‬‬ ‫דוגמא ‪E4.4‬‬ ‫תוחלת עבור המשתנה ‪} = X‬מספר בנות במשפחה בת ‪ 2‬ילדים{ היא‬ ‫‪. E[ X ] = 0 ⋅ 1 4 + 1 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 4 = 1‬‬ ‫על פי הערה ‪ ,R4.1‬משמעות התשובה‪ :‬בממוצע )המחושב על סמך מספר רב של‬ ‫משפחות—מספר אינסופי( תימצא בת אחת במשפחות בנות ‪ 2‬ילדים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪D4.6‬‬ ‫תוחלת של פונקציה כלשהי של משתנה מקרי ‪ X‬מחושבת על פי הנוסחא‪:‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫‪∑ g ( x) ⋅ P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ]) ‪. E[ g ( X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫תכונות התוחלת‬ ‫א‪ .‬תוחלת של משתנה המקבל ערך קבוע ‪ a‬בוודאות‪ ,‬היא קבוע עצמו‪:‬‬ ‫‪. E[a ] = a‬‬ ‫הוכחה‪( x) = a ⋅ ∑ PX ( x) = a :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∑a⋅ P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ] ‪. E[a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ב‪ .‬עבור כל קבוע ‪ , a‬מתקיים‪. E[ X + a ] = E[ X ] + a :‬‬ ‫הוכחה‪( x) = ∑ x ⋅ PX ( x) + a ⋅ ∑ PX ( x) = E[ X ] + a :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∑ (x + a ) ⋅ P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ] ‪. E[ X + a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ג‪ .‬עבור כל קבוע ‪ , b‬מתקיים‪. E[b ⋅ X ] = b ⋅ E[ X ] :‬‬ ‫הוכחה‪( x) = b ⋅ ∑ x ⋅ PX ( x) = b ⋅ E[ X ] :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∑b ⋅ x ⋅ P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ] ‪. E[b ⋅ X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ד‪ .‬אם ‪ X 1‬ו— ‪ X 2‬הם שני משתנים מקריים‪. E[ X 1 + X 2 ] = E[ X 1 ] + E[ X 2 ] ,‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בהמשך הקורס‪.‬‬ ‫‪L-32‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫שונות של משתנה מקרי ותכונותיה‬ 4.4.2 D4.7 ‫הגדרה‬ ‫ נתונה על ידי הנוסחא‬X ‫[ של משתנה מקרי‬variance] ‫שונות‬ [ ] σ 2 = var[X ] = E ( X − µ )2 = ∑ ( x − µ )2 ⋅ PX ( x ) x [ ]− (E[X ]) . var[X ] = E X 2 2 . µ = E [ X ] ,‫כאן‬ R4.2 ‫הערה‬ ‫הנוסחא המקבילה לחישוב השונות היא‬ .‫הוכחה‬ [ var[X ] = E ( X − µ ) 2 ] = ∑ (x − µ ) ⋅ P (x ) = ∑ (x 2 X x 2 − 2 µ x + µ 2 ) ⋅ PX ( x ) x [ ] = ∑ x ⋅ PX ( x ) − 2 µ ∑ x ⋅ PX ( x ) + µ ∑ PX ( x ) = E X 2 − µ 2 x x x      2 [ ] 2 µ 1 = E X − (E [X ]) . 2 2 .‫סוף הוכחה‬ R4.3 ‫הערה‬ :‫מתקיים‬   . var[X ] = ∑ x ⋅ PX ( x ) −  ∑ x ⋅ PX ( x ) x  x  2 2 D4.7 ‫הגדרה‬ :‫ היא שורש השונות‬X ‫[ של משתנה מקרי‬standard deviation] ‫סטיית התקן‬ .σ = var[ X ] R4.4 ‫הערה‬ ‫ משמעות של‬.‫ לשונות עצמה אין משמעות‬:‫משמעות של שונות וסטיית התקן‬ ‫סטיית התקן היא סדר גודל הרוחב של פונקצית הסתברות ברמה של מחצית‬ ‫ סטיית התקן היא מידת הפיזור של ערכי המשתנה סביב‬,‫ במילים אחרות‬.‫הגובה‬ .‫מרכזם‬ L-33 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫תכונות השונות‬ . X ‫ לכל משתנה מקרי‬var[ X ] ≥ 0 :‫ שונות אינה שלילית‬.‫א‬ [ . var[X ] = E ( X − µ ) 2 ] = ∑ ( x − µ ) ⋅P ( x ) ≥ 0 ,‫ על פי הגדרה‬:‫הוכחה‬    2 X x ≥0 ≥0 .‫סוף הוכחה‬ .‫ הוא קבוע בוודאות‬X ‫ אך ורק כאשר‬var[ X ] = 0 .‫ב‬ [ ‫ השוויון‬. var[X ] = E ( X − µ ) 2 ] = ∑ ( x − µ ) ⋅P ( x ) = 0    2 X x ≥0 ,‫ על פי הגדרה‬:‫הוכחה‬ ≥0 ‫ מקבל רק ערך אפשרי אחד השווה‬X ‫אפשרי אך ורק כאשר משתנה מקרי‬ .‫ התכונה הוכחה‬,‫ הוא קבוע‬µ —‫ מכיוון ש‬. µ —‫ל‬ . var[ X + a ] = var[ X ] :‫ מתקיים‬a ‫ עבור כל קבוע‬.‫ג‬ .‫הוכחה‬ [ var[X + a ] = E ( X + a ) 2 ] − (E[X + a]) 2 [ ] = E [X ] − (E [X ]) [ ] = E X 2 + 2aX + a 2 − (E [X ] + a ) 2 = E X 2 + 2aE [X ] + a 2 − (E [X ]) − 2aE [X ] − a 2 2 2 2 = var[X ] .‫סוף הוכחה‬ . var[b ⋅ X ] = b2 ⋅ var[ X ] :‫ מתקיים‬, b ‫ עבור כל קבוע‬.‫ד‬ .‫הוכחה‬ [ var[b ⋅ X ] = E (b ⋅ X ) 2 ] − (E[b ⋅ X ]) 2 [ ] [ ] = E b2 ⋅ X 2 − (b ⋅ E [X ]) 2 = b2 ⋅ E X 2 − b2 ⋅ (E [X ]) = b2 ⋅ var[X ] 2 :‫ מתקיים‬,‫ בלתי תלויים‬Y —‫ ו‬X ‫ עבור שני משתנים מקריים‬.‫ה‬ . var[ X + Y ] = var[ X ] + var[Y ] .‫ בהמשך הקורס‬.‫הוכחה‬ L-34 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ p—‫חציון וערך החלוקה ה‬ 4.4.3 D4.8 ‫הגדרה‬ ‫ המקיים את שני התנאים‬M ‫ הוא ערך‬X ‫[ עבור משתנה מקרי‬median] ‫חציון‬ :‫הבאים‬ . P( X ≤ M ) ≥ 1 2 .‫ב‬ P( X < M ) ≤ 1 2 .‫א‬ R4.5 ‫הערה‬ . 1 ‫ שעבורו פונקצית ההתפלגות המצטברת היא לפחות‬,‫חציון הוא הערך הראשון‬ 2 E4.5 ‫דוגמא‬ {‫ ילדים שנבחרה מקרית‬2 ‫ = }מספר בנות במשפחה בת‬X ‫ עבור המשתנה‬M ‫חציון‬ .(‫י ציור‬/‫ )ראה‬M = 1 ‫הוא‬ FX (t ) 1 3 4 1 2 1 4 t M =1 0 2 D4.9 ‫הגדרה‬ ‫ המקיים את שני התנאים‬M p ‫ הוא ערך‬X ‫ עבור משתנה מקרי‬p -‫ערך החלוקה ה‬ :‫הבאים‬ . P( X ≤ M p ) ≥ p .‫ב‬ P( X < M p ) ≤ p .‫א‬ . 0 < p < 1 ,‫כאן‬ R4.6 ‫הערה‬ ‫ שעבורו פונקצית ההתפלגות המצטברת היא‬,‫ הוא הערך הראשון‬p -‫ערך החלוקה ה‬ . 0 < p < 1 ‫לפחות‬ L-35 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫שכיח‬ 4.4.4 D4.10 ‫הגדרה‬ ‫ בו פונקצית ההסתברות היא הגבוהה‬X ‫ הוא ערך של משתנה מקרי‬S ‫שכיח‬ :‫ביותר‬ . PX ( x ≠ S ) < PX ( x = S ) PX (x) ‫שכיח‬ x S R4.7 ‫הערה‬ :‫ עבורם מתקיים‬. S2 —‫ ו‬S1 :‫ ישנם שניים )או יותר( שכיחים‬,‫לפעמים‬ . PX ( x ≠ S1 , S2 ) < PX ( x = S1 ) = PX ( x = S2 ) PX (x) ‫שכיח ראשון‬ ‫שכיח שני‬ x S1 S2 L-36 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪5‬‬ ‫התפלגויות בדידות מיוחדות‬ ‫• התפלגות אחידה • ניסוי והתפלגות ברנולי • התפלגות בינומית‬ ‫• התפלגות בינומית שלילית • התפלגות היפרגיאומטרית •‬ ‫• זרם אירועים פואסוני והתפלגות פואסון • נוסחת סטירלינג •‬ ‫• קירוב בינומי שלילי להתפלגות היפרגיאומטרית שלילית •‬ ‫ומשפט הפרוק • התפלגות גיאומטרית •‬ ‫התפלגות היפרגיאוטרית שלילית •‬ ‫קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרי •‬ ‫קירוב פואסון להתפלגות בינומית •‬ ‫בהרצאה זו נלמד התפלגויות בדידות חשובות המופיעות בתיאור תופעות שונות בטבע‪.‬‬ ‫‪ 5.1‬התפלגות אחידה‬ ‫‪5.1.1‬‬ ‫פונקצית הסתברות‬ ‫הגדרה ‪D5.1‬‬ ‫משתנה מקרי בדיד ‪ X‬נקרא בעל התפלגות אחידה ]‪ [uniform distribution‬בין ‪ 1‬ל—‬ ‫‪ N‬אם הוא מקבל כל אחד מהערכים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1,2,..., N‬בהסתברות‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫= ) ‪PX ( x = k ) = P( X = k‬‬ ‫עבור ‪ . k = 1,2,..., N‬אנחנו נסמן משתנה כזה כ— ) ‪. X ~ U d (1, N‬‬ ‫דוגמא ‪E5.1‬‬ ‫בניסוי "הטלת קובייה מאוזנת"‪ ,‬משתנה מקרי ‪} = X‬מספר נקודות על הפאה{ הוא‬ ‫משתנה מקרי בדיד בעל התפלגות אחידה בין ‪ 1‬ל— ‪. X ~ U d (1,6) : 6‬‬ ‫‪5.1.2‬‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‬ ‫טענה‪ .‬פונקצית התפלגות מצטברת של משתנה מקרי ) ‪ X ~ U d (1, N‬נתונה על ידי‬ ‫הנוסחא‬ ‫‪t <1‬‬ ‫‪1≤ t < N‬‬ ‫‪t≥N‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪FX (t ) =    ,‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאן‪ t  ,‬מסמן את הפונקציה "החלק השלם של מספר"‪ ,‬אשר מחזירה לכל מספר את‬ ‫המספר השלם הקרוב ביותר אליו מלמטה )ולכן פונקציה זו נקראת לפעמים גם‬ ‫) ‪ ( floor ( x‬לדוגמה‪. 5 = 5 , 3.8 = 3 , 2.2 = 2 ,‬‬ ‫‪L-36‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ מדיאגרמת מקלות עבור פונקצית ההסתברות נובע כי‬.‫הוכחה‬ . FX (t = k ) = P ( X ≤ k ) = k k ∑ P( X = m ) =∑ 1 k = N m =1 N m =1 ‫ מהדיאגרמה ניתן להיווכח כי בין ערכים שלמים של‬,‫ כמו כן‬. k = 1,2,..., N ,‫כאן‬ :‫ לכן‬,‫המשתנה המקרי אנו לא צוברים הסתברות חדשה‬ k N . FX ( k ≤ t < k + 1) = .‫ סוף הוכחה‬.‫שתי הנוסחאות האחרונות מוכיחות את הטענה‬ ‫ תוחלת ושונות‬5.1.3 ‫ נתונה על ידי הנוסחא‬X ~ U d (1, N ) ‫ התוחלת של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . E[ X ] = . E[X ] = N +1 2 ,‫ על פי הגדרת התוחלת‬.‫הוכחה‬ N 1 ∑ x ⋅ P (x ) = ∑ k ⋅ N X k =1 x N ,‫ אזי‬. ∑k = k =1 E[X ] = N ( N + 1) ‫ניקח בחשבון כי‬ 2 1 N 1 N ( N + 1) N + 1 k= ⋅ = ∑ N k =1 N 2 2 .‫ סוף הוכחה‬.‫כנדרש‬ ‫ נתונה על ידי הנוסחא‬X ~ U d (1, N ) ‫ השונות של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . var[ X ] = N 2 −1 12 ,‫ על פי הנוסחה לחישוב השונות‬.‫הוכחה‬ [ ] . var[X ] = E X 2 − (E [X ]) 2 :‫חישוב‬ [ ] ∑x N ⋅ PX ( x ) = ∑ k 2 ⋅ 1 N x k =1 N N ( N + 1)(2 N + 1) :‫ אנחנו מקבלים‬, ∑ k 2 = —‫מכיוון ש‬ 6 k =1 .E X2 = [ ] .E X 2 = 1 N N ∑k k =1 [ ] 2 = 2 1 N ( N + 1)(2 N + 1) ( N + 1)(2 N + 1) ⋅ = N 6 6 var[X ] = E X 2 − (E [X ]) = 2 (N + 1)(2 N + 1) − (N + 1)2 6 4 ,‫אזי‬ = N 2 −1 12 .‫ סוף הוכחה‬.‫כנדרש‬ L-37 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ L5.1 ‫שאלה‬ ‫ = }מספר נקודות על‬X ‫ שונות וסטיית תקן של משתנה מקרי בדיד‬,‫חשבו תוחלת‬ ."‫הפאה{ בניסוי "הטלת קובייה מאוזנת‬ —‫ ו‬N = 6 —‫ כך ש‬X ~ U d (1,6) .‫פתרון‬ 6 +1 7 = ; 2 2 62 − 1 35 = ≈ 2.92; var[ X ] = 12 12 1 35 σ = var[ X ] = ≈ 1.71. 2 3 E[ X ] = L5.2 ‫שאלה‬ ‫ שונות וסטיית תקן של המשתנה‬,‫ חשבו תוחלת‬.‫ נבחרת באופן מקרי‬X ‫ספרה‬ . X ‫המקרי‬ ‫ אי אפשר להשתמש ישירות בנוסחאות עבור משתנה מקרי אחיד מפני‬.‫פתרון‬ ‫ של‬X ~ U d (1, N ) ‫ )כלומר לא מתאים לתבנית‬9—‫ ל‬0 ‫ מקבל ערכים בין‬X ‫שכעת‬ , Y ~ U d (1,10) ‫ מתקיים‬. Y = X + 1 ‫ נגדיר את המשתנה החדש‬.(1 ‫התחלה מהמספר‬ :‫לכן‬ . E[ X ] = E[Y − 1] = E[Y ] − 1 = . var[ X ] = var[Y − 1] = var[Y ] = .σ = 10 + 1 −1 = 9 2 2 102 − 1 99 33 = = 12 12 4 ,‫באותה דרך‬ ‫סטיית התקן‬ 1 33 ≈ 2.87 2 L-38 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 5.2‬התפלגות ברנולי ]‪[Bernoulli distribution‬‬ ‫‪ 5.2.1‬ניסוי ופרמטר ברנולי‬ ‫הגדרה ‪D5.2‬‬ ‫ניסוי ברנולי הוא ניסוי בו יתכנו רק שתי תוצאות אפשריות – הצלחה ]‪[S - success‬‬ ‫וכישלון ]‪ .[F - failure‬נהוג לסמן את ההסתברות להצלחה דרך ‪ P ( S ) = p‬ואת‬ ‫ההסתברות לכישלון דרך ‪ P ( F ) = 1 − p‬כך ש— ‪ . P ( S ) + P ( F ) = 1‬הפרמטר ‪ p‬נקרא‬ ‫פרמטר של ניסוי ברנולי‪.‬‬ ‫דוגמא ‪E5.2‬‬ ‫א‪ .‬הטלת מטבע עם שתי תוצאות אפשריות – "עץ" ו"פלי"‪ .‬עבור מטבע מאוזן‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ . p‬עבור מטבע מזויף‪ ,‬הסתברות להצלחה‪ ,‬למשל )"עץ"( ‪ , P‬יכולה לקבל‬ ‫כל ערך ‪. 0 ≤ p ≤ 1‬‬ ‫ב‪ .‬הטלת קובייה מאוזנת עם ההצלחה המוגדרת כ—}פאה עם ‪ 6‬נקודות{‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫במקרה זה‪,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪.p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ .‬לידת בן או בת‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪.p‬‬ ‫‪ 5.2.2‬משתנה והתפלגות ברנולי‬ ‫הגדרה ‪D5.3‬‬ ‫משתנה ברנולי ) ‪ X ~ Ber( p‬בעל פרמטר ‪ p‬הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערך‬ ‫‪ 1‬במקרה של "הצלחה" ואת הערך ‪ 0‬במקרה ההפוך של כישלון‪:‬‬ ‫הערה ‪R5.1‬‬ ‫שמות אחרים של המשתנה‪ :‬משתנה מצביע‪ ,‬משתנה מציין‪ ,‬משתנה בוליאני‪.‬‬ ‫משתנה ברנולי מונה את ה''הצלחות''‪.‬‬ ‫הגדרה ‪D5.4‬‬ ‫התפלגות ברנולי של משתנה ברנולי ) ‪ X ~ Ber( p‬נתונה על ידי פונקצית הסתברות‬ ‫‪. P ( X = 1) = p, P ( X = 0) = 1 − p‬‬ ‫‪L-39‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ פונקצית התפלגות מצטברת עבור משתנה ברנולי‬5.2.3 ‫ פונקצית התפלגות מצטברת היא‬. X ~ Ber( p ) ‫ יהיה‬.‫טענה‬ t < 0, 0,  FX (t ) = 1 − p, 0 ≤ t < 1, 1, t ≥1  ‫ קרי לצבור את‬,‫ יש להשתמש בהגדרה של פונקצית התפלגות מצטברת‬.‫הוכחה‬ . t ‫הערכים של פונקציית ההסתברות עד הערך המבוקש של‬ ‫ תוחלת ושונות‬5.2.4 ‫ נתונה על ידי הנוסחה‬X ~ Ber( p ) ‫ התוחלת של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . E[ X ] = p . E[ X ] = ∑ x ⋅ P(x ) = 0 ⋅ (1 − p ) + 1⋅ p = p .‫הוכחה‬ x .‫סוף הוכחה‬ ‫ נתונה על ידי הנוסחה‬X ~ Ber( p ) ‫ השונות של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . var[ X ] = p (1 − p ) .‫הוכחה‬ [ ]   2 . var[ X ] = E X 2 −   E [X ] =    p  ∑x 2 ⋅ P ( x ) − p 2 = 02 ⋅ (1 − p ) + 12 ⋅ p − p 2 = p (1 − p ) x .‫סוף הוכחה‬ L-40 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ [Binomial distribution] ‫ התפלגות בינומית‬5.3 ‫ משתנה בינומי‬5.3.1 D5.4 ‫הגדרה‬ ‫ הוא משתנה בדיד אשר‬0 < p < 1 —‫ ו‬n ‫ בעל פרמטרים‬X ~ Bin(n, p ) ‫משתנה בינומי‬ ‫ בהסתברויות‬k = 0, 1, ..., n ‫מקבל את הערכים‬ . PX ( x = k ) = P ( X = k ) = Cnk p k (1 − p ) n − k ‫ – חלק ראשון‬E5.3 ‫דוגמא‬ ‫ מרחב‬,‫ מבחינת מין הילדים‬.‫נתבונן במשפחה בת שלושה ילדים שנבחרה מקרית‬ . Ω = {MMM , MMF , MFM , MFF , FMM , FMF , FFM , FFF } ‫המדגם הוא‬ ,0 ‫ הם‬X ‫ הערכים האפשריים של‬.{‫ = }מספר בנות במשפחה‬X ‫נגדיר משתנה מקרי‬ :‫ על פי גישה קלאסית להסתברות ערכים אלה מופיעים בהסתברויות‬.3 ,2 ,1 X 0 ‫מאורע‬ MMM 1 8 PX (x ) 1 MMF , MFM , FMM 3 8 3 2 MFF , FMF , FFM 3 8 FFF 1 8 —‫ ו‬n = 3 ‫ניתן לזהות את ההתפלגות שבטבלה כהתפלגות בינומית בעלת פרמטרים‬  1  2 1 2 3 1 1 P ( X = 1) = C31     = , 8  2  2 ‫ חישוב פשוט מראה כי‬. X ~ Bin 3,  —‫ כך ש‬p = 0 3 2 1 1 1 1 P( X = 0) = C30     = , 8  2  2 3 1 1 3 P ( X = 2) = C     = ,  2  2 8 1 2 0 1 1 1 P ( X = 3) = C     = . 8  2  2 2 3 3 3 .‫הסבר לעובדה זו מגיע ממשפט הפרוק‬ ‫ משפט הפרוק‬5.3.2 ‫ — ניסוח‬T5.1 ‫משפט‬ ‫ מתפלג‬p ‫ בלתי תלויים בעלי פרמטר‬X 1 , X 2 ,..., X n ‫ משתני ברנולי‬n ‫ של‬X ‫סכום‬ ,‫ כלומר‬. p -‫ ו‬n ‫בינומית עם פרמטרים‬ . X = X 1 + X 2 + ... + X n = n ∑X j =1 j ~ Bin(n, p ) L-41 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫דוגמא ‪ – E5.3‬חלק שני‬ ‫משפט הפרוק עוזר לנו להבין הופעה של התפלגות בינומית עבור משתנה מקרי ‪= X‬‬ ‫}מספר בנות במשפחה אקראית בת ‪ 3‬ילדים{‪ .‬כדי למנות את מספר הבנות‬ ‫במשפחה‪ ,‬נגדיר שלושה משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי פרמטר ‪p = 1 / 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫קל להבין כי מספר בנות ‪ X‬במשפחה אקראית נתון על ידי הסכום‬ ‫‪ . X = X 1 + X 2 + X 3‬כיוון ש— ) ‪ ,( j = 1,2,3 ) X j ~ Ber( p‬על פי משפט הפרוק המשתנה‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ X‬מתפלג בינומית עם פרמטרים ‪ n = 3‬ו— ‪ . p = 1 / 2‬כלומר‪. X ~ Bin 3,  ,‬‬ ‫משפט ‪ — T5.1‬הוכחה‬ ‫נתבונן בסדרה של ‪ n‬משתני ברנולי בלתי תלוים‬ ‫‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬בעלי פרמטר ‪: p‬‬ ‫) ‪ X j ~ Ber( p‬עבור ‪: j = 1,..., n‬‬ ‫מהי ההסתברות למצוא ‪= k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫= ‪) ? X‬ברור כי הערכים האפשריים של ‪ X‬הם‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .( k = 0,1,..., n‬על מנת לחשב את ההסתברות ‪= k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ j =1‬‬ ‫התא ה— ‪ j‬שמור לערך של המשתנה ‪ X j‬אשר ‪ 0‬או ‪ .1‬כדי להגיע לסכום‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪=k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P ‬נתבונן ב— ‪ n‬תאים‪,‬‬ ‫= ‪ , X‬יש להבטיח כי ב‪ n -‬תאים ישנם בדיוק ‪ k‬אחדים ו ) ‪ ( n − k‬אפסים‪:‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫על פי עקרון הכפל‪ ,‬הסתברות של מאורע זה היא ‪ . p k (1 − p ) n − k‬הסתברות זו‬ ‫מתייחסת לסדרה מסוימת של ‪ k‬אחדים ו— ) ‪ ( n − k‬אפסים‪ .‬כיוון שישנם סדרות‬ ‫אחרות נוספות שמורכבות מ— ‪ k‬אחדים ו— ) ‪ ( n − k‬אפסים‪ .‬מסיבה זו יש להכפיל‬ ‫את ההסתברות ‪ p k (1 − p ) n − k‬במספר האופציות לסדר ‪ k‬אחדים ו— ) ‪ ( n − k‬אפסים‬ ‫בשורה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪= Cnk‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫!) ‪ k , n − k  k! ( n − k‬‬ ‫‪. Pn ( k , n − k ) = ‬‬ ‫כתוצאה‪,‬‬ ‫‪L-42‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪P  ∑ X j = k  = Cnk p k (1 − p ) n − k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ j =1‬‬ ‫עבור ‪ . k = 0,1,..., n‬סוף הוכחה‪.‬‬ ‫‪ 5.3.3‬תוחלת ושונות‬ ‫טענה‪ .‬התוחלת של משתנה מקרי ) ‪ X ~ Bin(n, p‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫‪. E [ X ] = np‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫על פי משפט הפרוק‪ ,‬מותר לפרק את המשתנה ) ‪ X ~ Bin(n, p‬לסכום של ‪ n‬משתני‬ ‫ברנולי בלתי תלויים ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬בעלי פרמטר ‪ .( j = 1,..., n ) X j ~ Ber( p ) : p‬אזי‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪p = n ⋅p‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. E [X ] = E ‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫טענה‪ .‬השונות של משתנה מקרי ) ‪ X ~ Bin(n, p‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫) ‪. var[ X ] = np (1 − p‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫על פי משפט הפרוק‪ ,‬מותר לפרק את המשתנה ) ‪ X ~ Bin(n, p‬לסכום של ‪ n‬משתני‬ ‫ברנולי בלתי תלויים ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬בעלי פרמטר ‪ .( j = 1,..., n ) X j ~ Ber( p ) : p‬אזי‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫‪var‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫) ‪p(1 − p ) = n ⋅p(1 − p‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪p (1 − p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. var[X ] = var ‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫שאלה ‪L5.3‬‬ ‫בתהליך ייצור נורות‪ ,‬קיימת הסתברות של ‪ 2%‬לייצור נורה פגומה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבמשלוח של ‪ 50‬נורות ימצאו בדיוק ‪ 4‬נורות פגומות?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שבמשלוח יהיו פחות מ—‪ 4‬נורות פגומות?‬ ‫פתרון‪ .‬ייצור נורה בודדת הוא ניסוי ברנולי בעל הסתברות ל''הצלחה'' = }ייצור נורה‬ ‫פגומה{ ‪ . p = 0.02‬עבור הנורה ה— ‪ ( j = 1,...,50 ) j‬נגדיר את המשתנה המקרי‬ ‫אזי‪ ,‬מספר כולל של נורות פגומות במשלוח של ‪ n = 50‬נורות הוא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫= ‪ . X‬אם‬ ‫‪j =1‬‬ ‫נניח שאין תלות בין ייצור נורות שונות‪ ,‬מותר להתייחס לסדרה של ‪ 50‬משתני‬ ‫‪L-43‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ברנולי כלסדרה של משתנים בלתי תלויים‪ .‬על פי משפט הפירוק‪,‬‬ ‫) ‪~ Bin(n = 50, p = 0.02‬‬ ‫‪n = 50‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫= ‪ . X‬כתוצאה מכך‪,‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪. P ( X = 4) = C 50‬‬ ‫א‪(0.02) 4 (1 − 0.02) 50 − 4 ≈ 0.0145 .‬‬ ‫ב‪. P ( X < 4) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) ≈ 0.982 .‬‬ ‫שאלה ‪L5.4‬‬ ‫מכשיר מכיל ‪ 5‬יחידות זהות בלתי תלויות ולכל אחת הסתברות ‪ 80%‬להימצא במצב‬ ‫תקין‪ .‬המכשיר כולו פועל רק כשיש בו לפחות ‪ 3‬יחידות תקינות‪ .‬מהי ההסתברות‬ ‫שהמכשיר יפעל ברגע מסוים?‬ ‫פתרון‪ .‬בדיקת מצבה של יחידה אחת היא ניסוי ברנולי בעל פרמטר ‪ . p = 0.8‬מדובר‬ ‫על סדרה של ‪ 5‬ניסויי ברנולי‪ .‬לכן‪ ,‬אם ‪ X‬הוא מספר היחידות התקינות )מתוך‬ ‫‪ ( n = 5‬הרי )‪ X ~ Bin(n = 5, p = 0.8‬בהתאם למשפט הפירוק‪ .‬כתוצאה‪ ,‬ההסתברות‬ ‫הדרושה היא‬ ‫‪. P( X ≥ 3) = P( X = 3) + P( X = 4 ) + P( X = 5) ≈ 0.942‬‬ ‫שאלה ‪L5.5‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות שני סטודנטים מכיתה המונה ‪ 20‬איש נולדו באותו‬ ‫תאריך מסוים נתון?‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון‪ .‬אם נתון תאריך מסוים‪ ,‬בהסתברות‬ ‫‪365‬‬ ‫באותו תאריך‪ .‬מספר כולל של סטודנטים ‪ X‬שנולדו באותו תאריך )מתוך ‪20‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ X ~ Bin n = 20, p‬כך‬ ‫שבכיתה( הוא מספר מקרי המפולג בינומית ‪‬‬ ‫‪365 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫שההסתברות למצוא בדיוק ‪ 0 ≤ k ≤ 20‬סטודנטים כאלה היא‬ ‫= ‪ p‬סטודנט שנבחר מקרית נולד‬ ‫‪(364)20−k‬‬ ‫‪(365)20‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪P( X = k ) = C‬‬ ‫עבור ‪ . k = 0, 1, ..., 20‬אזי‪ ,‬ההסתברות המבוקשת היא‬ ‫‪. P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1) ≈ 1.13 ⋅10 −4‬‬ ‫‪L-44‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 5.4‬התפלגות גיאומטרית ]‪[Geometric distribution‬‬ ‫‪ 5.4.1‬סדרת ניסוי ברנולי עד ההצלחה הראשונה‬ ‫נניח שאנחנו מבצעים סדרה של ניסוי ברנולי )יכולה להיות סדרה אינסופית(‪.‬‬ ‫בוודאי שלא ידוע לנו מתי נגיע להצלחה הראשונה‪ .‬נסמן ב— ‪ X‬את מספר הניסוי‬ ‫ברנולי שידרשו כדי להגיע להצלחה בפעם ראשונה‪ .‬מהי ההסתברות לקבלת‬ ‫‪) ? X = k‬כאן‪.( k = 1,2,... ,‬‬ ‫אם ההצלחה הראשונה התרחשה בניסוי ה— ‪ , k‬הניסויים הקודמים הסתיימו‬ ‫בכישלון‪:‬‬ ‫התא ה— ‪k‬‬ ‫ההצלחה ה— ‪k‬‬ ‫כשלון ‪ ...‬כשלון כשלון כשלון‬ ‫‪ k − 1‬תאים עם ‪ k − 1‬כישלונות‬ ‫על פי עקרון הכפל‪ ,‬ההסתברות המתאימה היא ‪⋅ p‬‬ ‫‪. k = 1,2,...‬‬ ‫) ‪ P ( X = k ) = (1 − p‬עבור‬ ‫‪k −1‬‬ ‫הגדרה ‪D5.5‬‬ ‫משתנה גיאומטרי ) ‪ X ~ G( p‬בעל פרמטר ‪ 0 < p < 1‬הוא משתנה בדיד אשר מקבל‬ ‫את הערכים ‪ k = 1, 2, ...‬בהסתברויות‬ ‫‪. PX ( x = k ) = P ( X = k ) = p (1 − p ) k −1‬‬ ‫‪ 5.4.2‬פונקצית התפלגות מצטברת עבור משתנה גיאומטרי‬ ‫טענה‪ .‬יהיה ) ‪ . X ~ G( p‬פונקצית התפלגות מצטברת היא‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪t <1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FX (t ) = ‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪1 − (1 − p ) , t ≥ 1‬‬ ‫הוכחה‪ .‬יש להשתמש בהגדרה של פונקצית התפלגות מצטברת כדי לחשב אותה‬ ‫עבור נקודות ‪: t = k = 1,2,...‬‬ ‫) ‪1 − (1 − p‬‬ ‫‪k‬‬ ‫⋅‪= p‬‬ ‫) ‪= 1 − (1 − p‬‬ ‫) ‪1 − (1 − p‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪j −1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪∑ (1 − p‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫‪. FX (t = k ) = P ( X ≤ k ) = p‬‬ ‫)השתמשנו בטור גיאומטרי סופי(‪ .‬כיוון ש— ) ‪ X ~ G( p‬הוא משתנה מקרי בדיד‪ ,‬מיד‬ ‫מגיעים לנוסחא הדרושה‪ .‬סוף הוכחה‪.‬‬ ‫‪L-45‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ R5.2 ‫הערה‬ :‫הטענה מביאה לנוסחה חשובה‬ P( X > k ) = 1 − P( X ≤ k ) = (1 − p ) k .‫ חיובי שלם‬k = 1,2,... ‫עבור כל‬ ‫ תוחלת ושונות‬5.4.3 ‫ נתונה על ידי הנוסחא‬X ~ G( p ) ‫ התוחלת של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . E[ X ] = 1 p .‫הוכחה‬ ‫ יש לחשב‬,‫על פי הגדרת התוחלת‬ ∞ . E [X ] = ∑ x ⋅ P ( x ) = p ∑ k ⋅ (1 − p )k −1 k =1 x ∞ ‫ חישובו מתבצע בעזרת גזירה של טור‬. | q |< 1 ‫ עם‬S ( q) = ∑ k ⋅ q k −1 ‫הגענו לטור מסוג‬ k =1 :‫גיאומטרי‬ ∞ ∞ . S ( q) = ∑ k ⋅ q k −1 = d ∑ q k = d q = 1 2 dq k =1 dq 1 − q (1 − q) k =1 .‫ סוף הוכחה‬. E [X ] = pS (1 − p ) = 1 ‫ כך שהתוחלת‬S (1 − p ) = 12 ‫ מביאה‬q = 1 − p ‫הצבת‬ p p ‫ נתונה על ידי הנוסחא‬X ~ G( p ) ‫ השונות של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . var[ X ] = 1− p p2 .‫הוכחה‬ ,‫על פי הגדרה‬ 2   1 . var[ X ] = E X 2 −   E [X ] = E X 2 − 2   p  1/ p  [ ] [ ] ‫יש לחשב את התוחלת‬ [ ] ∑ x P ( x) = p∑ k ∞ .E X2 = 2 X 2 (1 − p ) k −1 k =1 x ‫נתבונן בטור‬ ∞ T ( q) = ∑ k 2 ⋅ q k −1 k =1 ‫ קל לראות כי‬. | q |< 1 ‫עבור‬ ∞ d ∞ k ⋅ q k = ∑ k 2 ⋅ q k −1 ∑ dq k =1 k =1 .‫ב‬ q ∞ d ∞ k q = ∑ k ⋅ qk ∑ dq k =1 k =1 .‫א‬ L-46 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫שילוב הנוסחאות מראה כי‬ ‫‪. T ( q) = d  q d ∑ q k ‬‬ ‫‪dq  dq k =1 ‬‬ ‫∞‬ ‫ביצוע טור גיאומטרי מביא‪:‬‬ ‫‪. T ( q) = d  q d q  = d  q 2  = 1 + q 3‬‬ ‫)‪dq  dq 1 − q  dq  (1 − q)  (1 − q‬‬ ‫כתוצאה‪,‬‬ ‫‪2− p‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫כך שהשונות היא‬ ‫∞‬ ‫] [‬ ‫= ) ‪E X 2 = p ∑ k 2 (1 − p ) k −1 = pT (1 − p‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪1 1− p‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫] [‬ ‫‪. var[ X ] = E X 2 −‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫שאלה ‪L5.6‬‬ ‫כמה לידות בממוצע יובילו ל''הצלחה'' – לידת הבת?‬ ‫פתרון‪ .‬יהיה משתנה מקרי ‪} = X‬מספר לידות עד לידת הבת הראשונה{‪ .‬הסתברות‬ ‫‪1‬‬ ‫להצלחה‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪p‬‬ ‫כך ש— )‪ . X ~ G( p = 1 / 2‬ממוצע מספר הלידות עד ה"הצלחה"‬ ‫הראשונה הוא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. E[X ] = = 2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫שאלה ‪L5.7‬‬ ‫בתהליך ייצור של פריט מסוים‪ ,‬הסתברות של פריט פגום היא ‪.1%‬‬ ‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבבדיקת איכות של פריטים מוגמרים בזה אחר זה יימצאו‬ ‫‪ 6‬תקינים והשביעי פגום?‬ ‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שביקורת שגרתית בה נבדקים ‪ 5‬פריטים בזה אחר זה‪ ,‬לא‬ ‫תגלה אף פריט אחד פגום?‬ ‫פתרון‪ .‬נתייחס לגילוי של פריט פגום כל''הצלחה''‪ .‬הרי לפנינו סדרה של ניסוי ברנולי‬ ‫בעלי פרמטר ‪ . p = 0.01‬אם ‪ X‬הוא מספרו של הפריט הפגום הראשון בו אנחנו‬ ‫נתקלים‪ ,‬אזי )‪. X ~ G( p = 0.01‬‬ ‫א‪ .‬הסתברות המבוקשת היא ‪. P ( X = 7) = p (1 − p ) 6 ≈ 0.094‬‬ ‫‪. P ( X > 5) = (1 − 0.01) 5 ≈ 0.95‬‬ ‫ב‪ .‬הסתברות המבוקשת היא‬ ‫לאותה תשובה דרך התפלגות בינומית!(‬ ‫)ניתן להגיע‬ ‫‪L-47‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 5.5‬התפלגות בינומית שלילית ]‪[Negative binomial distribution‬‬ ‫‪ 5.5.1‬סדרת ניסוי ברנולי עד ההצלחה ה— ‪m‬‬ ‫נניח שאנחנו מבצעים סדרה של ניסויי ברנולי‪ .‬נסמן ב— ‪ X‬את מספר הניסויים עד‬ ‫שנגיע להצלחה ה— ‪ . m‬מהי ההסתברות לקבלת ‪ ? X = k‬במילים אחרות‪ ,‬מהי‬ ‫ההסתברות שנצטרך לבצע ‪ X = k‬ניסוי ברנולי עד שנגיע להצלחה ה‪? m -‬‬ ‫ניתן לראות מהציור‬ ‫התא ה— ‪k‬‬ ‫ההצלחה ה—‬ ‫‪m‬‬ ‫הצלחה‬ ‫כשלון ‪ ...‬כשלון‬ ‫שנייה‬ ‫כשלון‬ ‫הצלחה‬ ‫ראשונה‬ ‫כשלון‬ ‫‪ k − 1‬תאים עם ‪ m − 1‬הצלחות ו— ) ‪ ( k − m‬כישלונות‬ ‫כי הסתברות של סדרת ההצלחות וכישלונות שבציור היא ‪ . p m ⋅ (1 − p ) k −m‬אבל ישנן‬ ‫סדרות נוספות עם אותו מספר הצלחות וכישלונות המתאימות להגדרה "הצלחה ה—‬ ‫‪ m‬בניסוי ה— ‪ ." k‬מספר כולל של סדרות כאלו הוא‬ ‫‪k −1 ‬‬ ‫!)‪( k − 1‬‬ ‫‪= Ckm−−11‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫!) ‪ m − 1, k − m  ( m − 1)! ( k − m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. Pk −1 ( m − 1, k − m ) = ‬‬ ‫אזי‪ ,‬ההסתברות להגיע להצלחה ה— ‪ m‬בניסוי ה— ‪ k‬היא‬ ‫‪P( X = k ) = Ckm−−11 p m (1 − p ) k − m‬‬ ‫עבור ‪. k = m, m + 1,...‬‬ ‫הגדרה ‪D5.6‬‬ ‫משתנה בינומי שלילי ) ‪ X ~ NegBin(m, p‬בעל פרמטרים ‪ 0 < p < 1‬ו— ‪) m ≥ 1‬שלם‬ ‫חיובי( הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים ‪ k = m, m + 1, ...‬בהסתברויות‬ ‫‪= k ) = P( X = k ) = Ckm−−11 p m (1 − p ) k − m‬‬ ‫‪. PX ( x‬‬ ‫‪ 5.5.2‬תוחלת ושונות‬ ‫טענה‪ .‬תוחלת של משתנה מקרי ) ‪ X ~ NegBin(m, p‬נתונה על ידי הנוסחא‬ ‫‪m‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= ] ‪. E[ X‬‬ ‫טענה‪ .‬שונות של משתנה מקרי ) ‪ X ~ NegBin(m, p‬נתונה על ידי הנוסחא‬ ‫) ‪m(1 − p‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫= ] ‪. var[ X‬‬ ‫‪L-48‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫שאלה ‪L5.8‬‬ ‫מהי ההסתברות שהילד השלישי במשפחה יהיה בן שני?‬ ‫פתרון‪ .‬נגדיר את המשתנה ‪} = X‬מספר הלידות עד ילידת הבן השני{‪ .‬כיוון ש—‬ ‫)‪ , X ~ NegBin(m = 2, p = 1 / 2‬ההסתברות הדרושה היא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 1‬‬ ‫= ‪1 − ‬‬ ‫‪ 2 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. P ( X =3) =C  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 5.6‬התפלגות היפרגיאומטרית ]‪[Hypergeometric distribution‬‬ ‫‪ 5.6.1‬משתנה היפרגיאומטרי‬ ‫הגדרה ‪D5.7‬‬ ‫משתנה היפרגיאומטרי ) ‪ X ~ Hyp( N , D, n‬בעל פרמטרים ‪ 1 ≤ D < N , N ≥ 2‬ו—‬ ‫‪ 1 ≤ n ≤ N‬הוא משתנה בדיד אשר מקבל את הערכים ‪ k = 0, 1, ..., n‬בהסתברויות‬ ‫‪CDk CNn −−kD‬‬ ‫‪C Nn‬‬ ‫= ) ‪. PX ( x = k ) = P ( X = k‬‬ ‫‪ 5.6.2‬מתי התפלגות היפרגיאומטרית מופיעה?‬ ‫נתבונן באוסף של ‪ N ≥ 2‬פרטים )כדורים( בה ‪ 1 ≤ D < N‬פרטים בעלי תכונה‬ ‫מסוימת )פריטים ''מיוחדים''‪ ,‬לצורך הדוגמא – כדורים אדומים( ושאר ‪N − D‬‬ ‫הפרטים הם ''רגילים'' )למשל‪ ,‬כדורים שחורים(‪ .‬נוציא מהאוסף באופן מקרי מדגם‬ ‫של ‪ 1 ≤ n < N‬פרטים ללא החזרה‪ .‬מהי ההסתברות שבין ‪ n‬פריטים שהוצאו ישנם‬ ‫בדיוק ‪ 0 ≤ k ≤ n‬פריטים מיוחדים?‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬אם משתנה מקרי ‪ X‬מוגדר כ"מספר פרטים מיוחדים במדגם של‬ ‫‪ n‬פריטים"‪ ,‬מהי ההסתברות ) ‪ P ( X = k‬למצוא ‪? X = k‬‬ ‫‪N −D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫רגילים‬ ‫‪k‬‬ ‫מיוחדים‬ ‫כדי לענות על השאלה‪ ,‬נתייחס להוצאת כדורים ללא החזרה מהאוסף כלמילוי של‬ ‫‪ n‬תאים באמצעות פריטים משני סוגים – מיוחדים ורגילים‪.‬‬ ‫‪L-49‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫בשלב הראשון‪ ,‬נחשב את ההסתברות ש— ‪ k‬תאים משמאל ממולאים על ידי‬ ‫פריטים מיוחדים בלבד‪ .‬על פי עקרון הכפל‪ ,‬הסתברות זו ) ‪ ( PL‬היא כפל בין‬ ‫ההסתברויות הבאות‪:‬‬ ‫•‬ ‫הסתברות ‪ p1‬שהפריט הראשון שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד‪ .‬על פי‬ ‫גישה קלאסית להסתברות‪,‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫•‬ ‫= ‪. p1‬‬ ‫הסתברות ‪ p2‬שהפריט השני שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד‪ .‬מכיוון‬ ‫שמדובר על הוצאת פריטים ללא החזרה‪,‬‬ ‫‪D −1‬‬ ‫‪N −1‬‬ ‫= ‪. p2‬‬ ‫)בהחלט‪ ,‬לפני הוצאת הפריט השני‪ ,‬האוסף מכיל ‪ N − 1‬פריטים‪ ,‬ביניהם‬ ‫‪ D − 1‬פריטים מיוחדים(‪.‬‬ ‫•‬ ‫‪...‬‬ ‫•‬ ‫הסתברות ‪ pk‬שהפריט ה— ‪ k‬שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד‪:‬‬ ‫)‪D − ( k − 1‬‬ ‫)‪N − ( k − 1‬‬ ‫= ‪. pk‬‬ ‫כתוצאה‪ ,‬ההסתברות ‪ PS‬ש— ‪ k‬תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים‬ ‫מיוחדים היא‬ ‫)‪D ( D − 1)...( D − k + 1‬‬ ‫)‪N ( N − 1)...( N − k + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∏p‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫= ‪. PL‬‬ ‫)קל לראות כי‬ ‫‪D ( D − 1)...( D − k + 1) ⋅ ( D − k )( D − k − 1)...1‬‬ ‫= )‪D ( D − 1)...( D − k + 1‬‬ ‫‪( D − k )( D − k − 1)...1‬‬ ‫!‪D‬‬ ‫=‬ ‫!) ‪( D − k‬‬ ‫כך ש—‬ ‫!‪N‬‬ ‫!) ‪( N − k‬‬ ‫= )‪N ( N − 1)...( N − k + 1‬‬ ‫ו—‬ ‫‪k‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪N‬‬ ‫!) ‪D! ( N − k‬‬ ‫!‪D‬‬ ‫‪( N − k )! k! C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫! ‪( D − k )! N‬‬ ‫!‪( D − k )! k‬‬ ‫!‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∏p‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫= ‪. PL‬‬ ‫בשלב השני‪ ,‬נחשב את ההסתברות ש— ) ‪ ( n − k‬תאים מימין ממולאים על ידי‬ ‫פריטים רגילים בלבד‪ .‬על פי עקרון הכפל‪ ,‬הסתברות זו ) ‪ ( PR‬היא כפל בין‬ ‫ההסתברויות הבאות‪:‬‬ ‫‪L-50‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ על פי‬.‫ ( שהוצא מהאוסף הוא פריט רגיל‬k + 1) —‫ שהפריט ה‬pk +1 ‫הסתברות‬ ,‫גישה קלאסית להסתברות‬ . pk +1 = ,‫ פריטים‬N − k • N −D N −k ‫ האוסף מכיל‬, ( k + 1) —‫ לפני הוצאת הפריט ה‬,‫)בהחלט‬ .(‫ פריטים רגילים‬N − D ‫ביניהם‬ .‫ ( שהוצא מהאוסף הוא פריט מיוחד‬k + 2) —‫ שהפריט ה‬pk + 2 ‫הסתברות‬ ,‫מכיוון שמדובר על הוצאת פריטים ללא החזרה‬ . pk + 2 = N − D −1 N − k −1 ... :‫ שהוצא מהאוסף הוא פריט רגיל‬n —‫ שהפריט ה‬pn ‫הסתברות‬ . pn = • • • N − D − ( n − k − 1) N − D − ( n − k ) + 1 = N − k − ( n − k − 1) N − n +1 ‫ ( תאים מימין ממולאים על ידי פריטים‬n − k ) —‫ ש‬PR ‫ ההסתברות‬,‫כתוצאה‬ ‫רגילים היא‬ . PR = n ∏ j = k +1 pj = ( N − D )( N − D − 1)...( N − D − ( n − k ) + 1) ( N − k )( N − k − 1)...( N − n + 1) ( N − D )( N − D − 1)...( N − D − ( n − k ) + 1) ‫)קל לראות כי‬ ( N − D )( N − D − 1)...( N − D − ( n − k ) + 1) ⋅ ( N − D − ( n − k ))( N − D − ( n − k − 1))...1 ( N − D − ( n − k ))( N − D − ( n − k − 1))...1 ( N − D )! = ( N − D − ( n − k ))! —‫ו‬ = ( N − k )( N − k − 1)...( N − n + 1) ( N − k )( N − k − 1)...( N − n + 1) ⋅ ( N − n )( N − n − 1)...1 ( N − n )( N − n − 1)...1 ( N − k )! = ( N − n )! = —‫כך ש‬ L-51 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ PR = n ∏ j = k +1 pj = ( N − D )! ( N − n )! ⋅ ( N − D − ( n − k ))! ( N − k )! ( N − D )! ( n − k )! ( N − n )! n! N ! ⋅ ( N − D − ( n − k ))! ( n − k! ) n! N ! ( N − k )! ( N − D )! ( N − n )! n! N ! ( n − k )! = ⋅ ⋅ ( N − D − ( n − k ))! ( n − k! ) ( N − k )! n! N! = . = C Nn −−kD ⋅ 1 ( n − k )! k! C Nn −−kD C Nk N! ⋅ ⋅ = n ⋅ k C Nn ( N − k )! k! n! C N Cn ‫ תאים משמאל ממולאים על ידי‬k —‫ מצאנו כי ההסתברות ש‬,‫כסיכום בינוני‬ ‫פריטים מיוחדים היא‬ k PL = ∏ p j = j =1 CDk C Nk ‫ ( תאים מימין ממולאים על ידי פריטים רגילים היא‬n − k ) —‫וההסתברות ש‬ C Nn −−kD C Nk . PR = ∏ p j = ⋅ C Nn Cnk j = k +1 n ‫ תאים משמאל ממולאים על ידי פריטים מיוחדים‬k —‫ ההסתברות ש‬,‫אזי‬ ‫ ( תאים מימין ממולאים על ידי פריטים רגילים היא‬n − k ) —‫וגם ש‬ . PL PR = k ∏ pj j =1 n ∏ j = k +1 n pj = ∏ pj = j =1 CDk CNn −−kD CNk CDk CNn −−kD 1 ⋅ ⋅ = ⋅ k CNk CNn Cnk CNn Cn 0 ≤ k ≤ n ‫ פריטים שהוצאו ישנם בדיוק‬n ‫ שבין‬P ( X = k ) ‫האם זו ההסתברות‬ ‫ מתייחסת לסדר מסוים של‬PL PR ‫פריטים מיוחדים? התשובה היא לא כי הסתברות‬ ‫ יש להכפיל את‬,‫ כדי לקחת בחשבון את כל הסדרים האפשריים‬.‫ פריטים שהוצאו‬n ‫ ( פריטים רגילים‬n − k ) —‫ פריטים מיוחדים ו‬k ‫התוצאה במספר אופציות לסדר‬ ‫ מספר זה ניתן על ידי הנוסחא‬.‫בשורה‬ . Pn ( k , n − k ) = n! = Cnk k! ( n − k )! ,‫ סך הכל‬.‫זהו השלב השלישי‬ . P ( X = k ) = Pn ( k , n − k ) ⋅ PL PR = ‫היפרגיאומטרי‬ ‫משתנה‬ ‫של‬ CDk C Nn −−kD C Nn ‫נוסחא שקיבלנו היא פונקצית הסתברות‬ .D5.7 ‫ בהתאם להגדרה‬X ~ Hyp( N , D, n ) L-52 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫הערה ‪R5.3‬‬ ‫ניתן לפרש את הנוסחה עבור ) ‪ P ( X = k‬באופן הבא‪ .‬המספר ‪ C‬הוא מספר‬ ‫האופציות להוציא ‪ n‬פריטים מתוך ‪ N‬פריטים שבאוסף )כלומר‪ ,‬גודל של מרחב‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫המדגם(‪ .‬הכפל ‪ CDk C Nn −−kD‬הוא מספר האופציות להוציא ‪ k‬פריטים מיוחדים מתוך ‪D‬‬ ‫מיוחדים שבאוסף וגם ) ‪ ( n − k‬פריטים רגילים מתוך ) ‪ ( N − D‬רגילים שבאוסף‪.‬‬ ‫שימוש בגישה קלאסית להסתברות מביא את הנוסחא עבור ) ‪. P ( X = k‬‬ ‫שאלה ‪L5.9‬‬ ‫כד מכיל ‪ 3‬כדורים לבנים ו—‪ 2‬כדורים שחורים‪ .‬איך מפולגים משתנים מקריים‬ ‫הבאים‪:‬‬ ‫א‪} = X 1 .‬מספר הכדורים השחורים במדגם של ‪ 3‬כדורים שנבחרו מקרית עם‬ ‫החזרה{‪.‬‬ ‫ב‪} = X 2 .‬מספר הכדורים השחורים במדגם של ‪ 3‬כדורים שנבחרו מקרית בלי‬ ‫החזרה{‪.‬‬ ‫ג‪} = X 3 .‬מספר הכדורים שנבחרים אחד אחד עם החזרה עד אשר יתקבל‬ ‫הכדור השחור הראשון{‪.‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫א‪ .‬משתנה מקרי ‪ X 1‬הוא מספר ההצלחות )כאו‪ ,‬הצלחה היא הוצאת כדור‬ ‫שחור( בסדרה של שלושה ניסוי ברנולי בלתי תלויים‪ .‬כתוצאה‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪. X 1 ~ Bin n = 3, p‬‬ ‫ב‪ .‬בהתאם לפיתוח בסעיף ‪,5.6.2‬‬ ‫)‪. X 2 ~ Hyp(N = 5, D = 2, n = 3‬‬ ‫ג‪ .‬משתנה מקרי ‪ X 3‬הוא מספר ניסוי ברנולי עד ההצלחה הראשונה‪ .‬כתוצאה‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪. X 3 ~ G p‬‬ ‫‪ 5.6.3‬תוחלת ושונות‬ ‫טענה‪ .‬התוחלת של משתנה מקרי ) ‪ X ~ Hyp( N , D, n‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪. E[ X ] = n‬‬ ‫טענה‪ .‬השונות של משתנה מקרי ) ‪ X ~ Hyp( N , D, n‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D ‬‬ ‫‪n −1 ‬‬ ‫‪ 1 −  1 −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N  N  N − 1 ‬‬ ‫‪. var[ X ] = n‬‬ ‫‪L-53‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 5.7‬התפלגות היפרגיאומטרית שלילית‬ ‫]‪[Negative Hypergeometric distribution‬‬ ‫‪ 5.7.1‬משתנה היפרגיאומטרי שלילי‬ ‫הגדרה ‪D5.8‬‬ ‫משתנה היפרגיאומטרי שלילי ) ‪ X m ~ NegHyp(m; N , D‬בעל פרמטרים ‪, 1 ≤ m ≤ D‬‬ ‫משתנה‬ ‫הוא‬ ‫‪,N ≥2‬‬ ‫‪1≤ D < N‬‬ ‫‪ k = m, m + 1, ..., N - D + m‬בהסתברויות‬ ‫‪C ND−−km‬‬ ‫‪C ND‬‬ ‫בדיד‬ ‫אשר‬ ‫מקבל‬ ‫את‬ ‫הערכים‬ ‫‪. PX m ( xm = k ) = P ( X m = k ) = Ckm−−11‬‬ ‫‪ 5.7.2‬מתי התפלגות היפרגיאומטרית שלילית מופיעה?‬ ‫נתבונן באוסף של ‪ N ≥ 2‬פרטים )כדורים( בה ‪ 1 ≤ D < N‬פרטים בעלי תכונה‬ ‫מסוימת )פריטים ''מיוחדים''‪ ,‬לצורך הדוגמא – כדורים אדומים( ושאר ‪N − D‬‬ ‫הפרטים הם ''רגילים'' )למשל‪ ,‬כדורים שחורים(‪ .‬אנחנו מוציאים פריטים אחד אחד‬ ‫)כאן‪ .( 1 ≤ m ≤ D ,‬מהי‬ ‫וללא החזרה עד אשר יתקבל הפריט המיוחד ה— ‪m‬‬ ‫ההסתברות להגיע לפריט המיוחד ה— ‪ m‬בהוצאה ה— ‪? k‬‬ ‫נגדיר משתנה מקרי ‪} = X m‬מספר הוצאות הפריטים עד הוצאת הפריט המיוחד ה—‬ ‫‪ { m‬ונחשב את פונקצית ההסתברות שלו‪.‬‬ ‫הם ‪ . k = m,..., N − D + m‬הערך המינימלי‬ ‫א‪ .‬הערכים האפשריים של ‪X m‬‬ ‫) ‪ ( k = m‬מתאים למצב בו כל ‪ m‬הפריטים הראשונים שהוצאו הם פריטים‬ ‫מיוחדים‪ .‬הערך המירבי ) ‪ ( k = N − D + m‬מתאים למצב בו אנחנו מוציאים‬ ‫כל הפריטים הרגילים ) ‪ N − D‬במספר( ורק לאחר מכן מוציאים ‪ m‬פריטים‬ ‫מיוחדים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פונקצית ההסתברות ) ‪ P ( X m = k‬היא הסתברות להגיע לפריט המיוחד ה—‬ ‫‪ m‬בהוצאה ה— ‪ . k‬אפשר להסתכל על המאורע } ‪ { X m = k‬כעל מילוי של ‪k‬‬ ‫תאים באמצעות פרטי האוסף כך שהתא ה— ‪ k‬יהיה שמור לפריט המיוחד‬ ‫ה— ‪ , m‬כאשר ‪ k − 1‬התאים הקודמים תפוסים על ידי ‪ m − 1‬פריטים‬ ‫מיוחדים ו— ‪ k − 1 − ( m − 1) = k − m‬פריטים רגילים )ראה‪/‬י ציור(‪.‬‬ ‫התא ה— ‪k‬‬ ‫פריט פריט מיוחד פריט פריט מיוחד פריט‬ ‫פריט‬ ‫‪...‬‬ ‫פריט מיוחד‬ ‫רגיל‬ ‫ראשון‬ ‫רגיל‬ ‫שני‬ ‫רגיל‬ ‫רגיל‬ ‫ה— ‪m‬‬ ‫‪ k − 1‬תאים עם ‪ m − 1‬פריטים מיוחדים ו— ) ‪( k − m‬‬ ‫פריטים רגילים‬ ‫‪L-54‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫נתייחס למילוי של ‪ k‬תאים כמו לניסוי דו—שלבי‪ .‬בשלב הראשון‪ ,‬אנחנו ממלאים‬ ‫‪ k − 1‬התאים הראשונים באמצעות ‪ m − 1‬פריטים מיוחדים ו— ) ‪ ( k − m‬פריטים‬ ‫רגילים‪ .‬הסתברות לביצוע השלב הראשון ניתנת על ידי התפלגות היפרגיואמטרית‪:‬‬ ‫‪CDm −1C Nk −−mD‬‬ ‫‪C Nk −1‬‬ ‫= ‪. P1‬‬ ‫בשלב השני‪ ,‬אנחנו ממלאים את התא האחרון – ה— ‪ k‬באמצעות הפריט המיוחד‪.‬‬ ‫גישה קלאסית להסתברות מביאה את הסתברות השלב השני‪:‬‬ ‫)‪D − ( m − 1‬‬ ‫)‪N − ( k − 1‬‬ ‫= ‪P2‬‬ ‫על פי עיקרון הכפל‪,‬‬ ‫)‪C Dm −1C Nk −−mD D − ( m − 1‬‬ ‫‪C Nk −1‬‬ ‫)‪N − ( k − 1‬‬ ‫= ‪. P ( X m = k ) = P1 P2‬‬ ‫ניתן לפשט את התשובה עד הנוסחא הבאה‪:‬‬ ‫כאן‪. k = m,..., N − D + m ,‬‬ ‫‪C ND−−km‬‬ ‫‪C ND‬‬ ‫‪. P ( X m = k ) = Ckm−−11‬‬ ‫נוסחא שקיבלנו היא פונקצית הסתברות של משתנה היפרגיאומטרי שלילי‬ ‫) ‪ X m ~ NegHyp(m; N , D‬בהתאם להגדרה ‪.D5.8‬‬ ‫הערה ‪R5.4‬‬ ‫ניתן לראות‬ ‫כי‬ ‫פונקציות‬ ‫הסתברות‬ ‫והיפרגיאומטרי שלילי מכילות אותו מקדם‬ ‫עבור‬ ‫‪m −1‬‬ ‫‪k −1‬‬ ‫משתנה‬ ‫מקרי‬ ‫בינומי‬ ‫שלילי‬ ‫‪.C‬‬ ‫‪ 5.7.3‬תוחלת ושונות‬ ‫טענה‪ .‬התוחלת של משתנה מקרי ) ‪ X m ~ NegHyp(m; N , D‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫‪N +1‬‬ ‫‪D +1‬‬ ‫‪. E[ X m ] = m‬‬ ‫טענה‪ .‬השונות של משתנה מקרי ) ‪ X m ~ NegHyp(m; N , D‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫‪N +1 N − D ‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪1 −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D + 1 D + 2  D + 1‬‬ ‫‪. var[ X m ] = m‬‬ ‫‪L-55‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 5.8‬התפלגות פואסון ]‪[Poisson distribution‬‬ ‫‪ 5.8.1‬פונקצית הסתברות‬ ‫הגדרה ‪D5.9‬‬ ‫משתנה פואסון ) ‪ X ~ P(λ‬בעל פרמטר ‪ λ > 0‬הוא משתנה בדיד אשר מקבל את‬ ‫הערכים ‪ k = 0, 1, ...‬בהסתברויות‬ ‫‪e−λ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫= ) ‪. PX ( x = k ) = P ( X = k‬‬ ‫הערה ‪R5.5‬‬ ‫התפלגות פואסון מתאר מספר התרחשויות בזרם אירועים פואסוני בפרק זמן נתון‬ ‫מסוים‪ .‬האירועים בזרם מתרחשים ללא תלות ובאחידות בזמן‪ .‬דוגמאות קלאסיות‬ ‫של תופעות אקראיות המתאורות על ידי זרם אירועים פואסוני הן‪:‬‬ ‫א‪ .‬מספר פניות למוקד טלפוני בפרק זמן מסוים‬ ‫ב‪ .‬מספר התפרקויות הגרעינים של חומר רדיואקטיבי בפרק זמן נתון‬ ‫‪ 5.8.2‬תוחלת ושונות‬ ‫טענה‪ .‬התוחלת של משתנה מקרי ) ‪ X ~ P(λ‬נתונה על ידי הנוסחה‬ ‫‪. E[ X ] = λ‬‬ ‫הוכחה‪ .‬הגדרת תוחלת מביאה‪:‬‬ ‫‪λk −1‬‬ ‫!)‪(k − 1‬‬ ‫∞‬ ‫∑ ‪=λe − λ‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫∞‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪k =0‬‬ ‫⋅ ‪E [X ] = ∑ x ⋅ P ( x ) =e − λ ∑ k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫באמצעות החלפת אינדקס הסכום ‪j = k − 1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫∞‬ ‫‪. E [ X ] = λe − λ ∑ λ = λ‬‬ ‫מגיעים ל—‬ ‫!‪j = 0 j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪eλ‬‬ ‫סוף הוכחה‪.‬‬ ‫הערה ‪R5.6‬‬ ‫מהחישוב נובעת משמעות הפרמטר ‪ λ‬בהתפלגות פואסון ) ‪ . X ~ P(λ‬הפרמטר ‪λ‬‬ ‫הוא "ממוצע" התרחשויות בפרק זמן נתון‪.‬‬ ‫‪L-56‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ נתונה על ידי הנוסחה‬X ~ P(λ ) ‫ השונות של משתנה מקרי‬.‫טענה‬ . var[ X ] = λ ,‫ על פי הגדרת שונות‬.‫הוכחה‬ 2   . var[ X ] = E X −   E [X ] = E X 2 − λ 2    λ  [ ] [ ] 2 ‫יש לחשב את התוחלת‬ [ ] ∞ . E X 2 = ∑ x 2 ⋅ P ( x ) =e − λ ∑ k 2 ⋅ k =0 x λ k k! ‫נתבונן בטור‬ ∞ S (λ ) = ∑ k 2 ⋅ k =0 λ k k! ‫קל לראות כי‬ λ k ∞ λk d ∞ 2 λ ⋅ = ⋅ k k ∑ ∑ k! dλ k =0 k! k =0 .‫ב‬ λ ∞ λk d ∞ λk = ⋅ k ∑ ∑ dλ k = 0 k ! k = 0 k ! .‫א‬ ‫שילוב הנוסחאות מראה כי‬    k  ∞ d  d λ d λ  . S (λ ) = λ d  λ d (λeλ ) = λ (λ + 1)eλ e =λ =λ λ ∑ dλ  dλ  k ! d d d λ λ λ    k =0    eλ   [ ]= e EX 2 ,‫כתוצאה‬ −λ S (λ ) = λ (λ + 1) [ ]− λ . var[ X ] = E X 2 —‫כך ש‬ 2 =λ .‫סוף הוכחה‬ L-57 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ L5.10 ‫שאלה‬ ‫אם ידוע שמספר פניות בדקה למודיעין של שירותי טלפון מתפלג פואסונית עם‬ ‫ מהי ההסתברות‬,‫ פניות בדקה אחת‬5 ‫ממוצע של‬ ?‫ לא תתקבל אף פנייה‬10:01—‫ ל‬10:00 ‫שבין השעה‬ ?‫ פניות‬3 ‫שבדקה הזאת יתקבלו לכל היותר‬ ?‫ דקות לא תכנס אף שיחה‬2 ‫שבמשך‬ ?‫ שיחות‬333 ‫שבשעה הראשונה יכנסו‬ .‫א‬ .‫ב‬ .‫ג‬ .‫ד‬ .‫פתרון‬ ,‫ על פי נתוני השאלה‬.{‫ = }מספר פניות בדקה אחת‬X 1 ‫יהיה משתנה מקרי‬ . X 1 ~ P(λ = 5) . P ( X 1 = 0) = 0 5 −5 e ≈ 0.0067 0! P ( X 1 ≤ 3) = P ( X 1 = 0) + P ( X 1 = 1) + P ( X 1 = 2) + P ( X 1 = 3) = e−5 + .‫א‬ .‫ב‬ 51 − 5 52 − 5 53 − 5 e + e + e ≈ 0.265 1! 2! 3! ‫ על פי נתוני‬.{‫ = }מספר פניות במשך שתי דקות‬X 2 ‫ יהיה משתנה מקרי‬.‫ג‬ . X 2 ~ P(λ = 10) ,‫השאלה‬ P ( X 2 = 0) = 0 10 −10 e ≈ 0.000045 0! ‫ על פי נתוני‬.{‫ = }מספר פניות במשך שעה אחת‬X 3 ‫ יהיה משתנה מקרי‬.‫ד‬ . X 3 ~ P(λ = 300) ,‫השאלה‬ P (= X 3 333) = 300333 −300 e ≈ 0.0038 333! L-58 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫נוסחאות הסתברותיות מקורבות‬ 5.9 [Stirling formula] ‫נוסחת סטירלינג‬ 5.9.1 :‫ מתקיים‬, n >> 1 ,‫ חיובי גדול מאוד‬n ‫ עבור‬.(‫טענה )נוסחת סטירלינג‬ . Γ( n + 1) = 2π n n+ e (1 + O ( n −1 ) ) 1 2 −n .‫כל הקירובים בהמשך מתבססים על נוסחא זו‬ ‫ קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרית‬5.9.2 ‫ המתואר על ידי‬X ~ Hyp( N , D, n ) ‫ משתנה מקרי היפרגיאומטרי‬X ‫ יהיה‬.‫טענה‬ (‫פונקצית הסתברויות )מדויקת‬ CDk C Nn −−kD C Nn —‫ ( כאלה ש‬N >> 1 —‫ ו‬D >> 1 ) ‫ גדולים מאוד‬N —‫ ו‬D ‫ סופי ופרמטרים‬n ‫עבור כל‬ D :‫ מתקיימת נוסחא מקורבת‬,‫מקבל ערך קבוע‬ =p N . PX ( x = k ) = P ( X = k ) = . PX ( x = k ) ≈ Cnk p k (1 − p ) n − k . k ≤ n << D < N ,‫כאן‬ ‫ ניתן לוודא כי‬,‫ באמצעות נוסחת סטירלינג‬.‫הוכחה‬ D! Dk :‫ מתקיים‬k << D ‫עבור‬ ≈ k!(D − k )! k! N! Nn :‫ מתקיים‬n << N ‫עבור‬ ≈ C Nn = n! (N − n )! n! D :‫קבוע מתקיים‬ = p —‫ ו‬k ≤ n << D < N ‫עבור‬ N C Dk = C Nn −−kD ≈ ( N − D) n−k (n − k )! • • • :‫שילוב של שלוש נוסחאות מקורבות אלו מביא‬ . k D n −k N −D n N C C C D ≈ Cnk   N k D  1 −   N n −k ,‫כתוצאה‬ . PX ( x = k ) ≈ C p (1 − p ) k n k n −k .‫סוף הוכחה‬ L-59 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫הערה ‪R5.7‬‬ ‫משמעות הקירוב ברורה לחלוטין‪ :‬עבור ‪ D‬ו— ‪ N‬גדולים מאוד‪ ,‬הוצאה ללא החזרה‬ ‫של מספר סופי של פריטים מהאוסף כמעט לא משפיעה על פרופורצית הפריטים‬ ‫המיוחדים באוסף‪ .‬כתוצאה‪ ,‬אין הבדל משמעותי בין הוצאה ללא ועם החזרה‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬בתנאי הטענה מתקיים‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪. Hyp( N , D, n ) ≈ Bin n, p‬‬ ‫‪ 5.9.3‬קירוב בינומי שלילי להתפלגות היפרגיאומטרית שלילית‬ ‫טענה‪ .‬יהיה ‪ X m‬משתנה מקרי היפרגיאומטרי שלילי‪ X m ~ NegHyp(m; N , D ) ,‬בעל‬ ‫פונקצית הסתברות‬ ‫‪C ND−−km‬‬ ‫‪C ND‬‬ ‫‪. PX m ( xm = k ) = P ( X m = k ) = Ckm−−11‬‬ ‫עבור כל ‪ m‬סופי ופרמטרים ‪ D‬ו— ‪ N‬גדולים מאוד ) ‪ D >> 1‬ו— ‪ ( N >> 1‬כאלה ש—‬ ‫‪D‬‬ ‫‪=p‬‬ ‫‪N‬‬ ‫מקבל ערך קבוע‪ ,‬מתקיימת נוסחא מקורבת‪:‬‬ ‫‪. PX ( x = k ) ≈ Ckm−−11 p m (1 − p ) k − m‬‬ ‫כאן‪. m ≤ k << D < N ,‬‬ ‫הוכחה‪ :‬באמצעות נוסחת סטירלינג‪.‬‬ ‫הערה ‪R5.8‬‬ ‫משמעות הקירוב ברורה גם כאן‪ :‬עבור ‪ D‬ו— ‪ N‬גדולים מאוד‪ ,‬הוצאה ללא החזרה‬ ‫של מספר סופי של פריטים מהאוסף כמאת לא משפיעה על פרופורצית הפריטים‬ ‫המיוחדים באוסף‪ .‬כתוצאה‪ ,‬אין הבדל משמעותי בין הוצאה ללא ועם החזרה‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬בתנאי הטענה מתקיים‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪. NegHyp(m; N , D ) ≈ NegBin m, p‬‬ ‫‪ 5.9.4‬קירוב פואסון להתפלגות בינומית‬ ‫טענה‪ .‬יהיה ‪ X‬משתנה מקרי בינומי‪ X ~ Bin(n, p ) ,‬בעל פונקצית הסתברות‬ ‫‪. PX ( x = k ) = P ( X = k ) = Cnk p k (1 − p ) n − k‬‬ ‫עבור הפרמטר ‪ n‬גדול מאוד ) ‪ ( n >> 1‬והפרמטר ‪ p‬קטן מאוד ) ‪ ( p << 1‬כאלה‬ ‫שהכפל ‪ λ = np‬מקבל ערך קבוע‪ ,‬מתקיימת נוסחא מקורבת‪:‬‬ ‫‪e−λ‬‬ ‫כאן‪. k << n ,‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫≈ ) ‪. PX ( x = k‬‬ ‫‪L-60‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ .‫הוכחה‬ :‫ מתקיים‬k << n ‫ ניתן לוודא כי עבור‬,‫• באמצעות נוסחת סטירלינג‬ n! nk ≈ k!(n − k )! k! ( p << 1 ) ‫ קטן מאוד‬p ‫ ( ופרמטר‬n >> 1 ) ‫ גדול מאוד‬n ‫ עבור פרמטר‬,‫כמו כן‬ :‫ מתקיים‬,‫ מקבל ערך קבוע‬λ = np ‫כאלה שהכפל‬ . C nk = •  λ 1 −  n ≈ e −λ = k  λ 1 −   n n . (1 − p ) n−k :‫שילוב של שתי נוסחאות מקורבות אלו מביא‬ . Cnk p k (1 − p ) n − k ≈ λk n k λk − λ ⋅ k ⋅ e = e−λ k! n k! . PX ( x = k ) ≈ λ k k! ,‫כתוצאה‬ e−λ .‫סוף הוכחה‬ R5.9 ‫הערה‬ :‫ בתנאי הטענה מתקיים‬,‫במילים אחרות‬ . Bin(n, p ) ≈ P(λ = np ) L5.11 ‫שאלה‬ ‫י השוואה כמותית של שתי נוסחאות – המדויקת והמקורבת – של קירוב‬/‫בצע‬ . p = 0.02 —‫ ו‬n = 100 , k = 3 ‫פואסון להתפלגות בינומית עבור‬ .‫פתרון‬ ‫נוסחא מדויקת מביאה‬ 3 (0.02) (0.98) ≈ 0.182 . Pexact = P ( X = 3) = C100 3 97 —‫ כך ש‬λ = n ⋅ p = 100 ⋅ 0.02 = 2 ‫בנוסחא מקורבת פרמטר‬ . Papprox = P ( X = 3) ≈ 23 − 2 e ≈ 0.180 3! ‫אפשר לכמת דיוק הקירוב )באחוזים( על ידי הפרמטר‬ .α = Pexact − Papprox Pexact = 0.182 − 0.180 ≈ 0.011 = 1.1% 0.182 L-61 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪6‬‬ ‫משתנה מקרי דו‪-‬ממדי‬ ‫• הגדרות בסיסיות • תכונות של פונקציית ההסתברות • פונקציית הסתברות שולית‬ ‫• תלות ומתאם • שונות משותפת‪ ,‬שונות של סכום משתנים ומקדם המתאם‬ ‫בהרצאה זו נכיר משתנה מקרי בדיד דו‪-‬ממדי המהווה זוג של משתנים מקריים בדידים‬ ‫המתארים תופעות אקראיות מורכבות יותר‪ .‬המשתנים המקריים שיוצגו כאן יהיו בדידים‪,‬‬ ‫כך שנושא זה מכליל את הנושא מס' ‪.4‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫הגדרות בסיסיות‬ ‫‪ 6.1.1‬משתנה מקרי דו‪-‬ממדי‬ ‫הגדרה ‪D6.1‬‬ ‫יהיו ‪ X‬ו‪ Y -‬שני משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב מדגם‪ .‬אזי הזוג‬ ‫) ‪ ( X , Y‬יקרא משתנה מקרי דו‪-‬ממדי ]‪.[bivariate random variable‬‬ ‫דוגמה ‪E6.1‬‬ ‫נתבונן במשפחה בת ‪ 3‬ילדים‪ ,‬ונגדיר שני משתנים מקריים‪ — X :‬מספר הבנים‬ ‫במשפחה ו‪ — Y -‬מינו של הבכור כך ש‪ Y = 1 -‬אם הבכור הוא בן ו‪ Y = 0 -‬אם הבכור‬ ‫המדגם‬ ‫מרחב‬ ‫אותו‬ ‫על‬ ‫מוגדרים‬ ‫אלו‬ ‫משתנים‬ ‫שני‬ ‫בת‪.‬‬ ‫הוא‬ ‫} ‪ . Ω = {MMM , MMF , MFM , MFF , FMM , FMF , FFM , FFF‬הערכים האפשריים של‬ ‫שני המשתנים הם }‪ X = {0,1,2,3‬ו‪ . Y = {0,1} -‬למשל‪ ,‬עבור התוצאה } ‪ω1 = {MMM‬‬ ‫מתקיים‪ X (ω1 ) = 3 :‬ו‪. Y (ω1 ) = 1 -‬‬ ‫זוג המשתנים ) ‪ ( X , Y‬המקבל את הערכים‬ ‫)‪( X , Y ) = (0, 0), (0,1), (1, 0), (1,1), (2, 0), (2,1), (3, 0), (3,1‬‬ ‫הוא דוגמא למשתנה מקרי דו‪-‬ממדי‪ .‬ניתן לאגרן את ערכי המשתנה המקרי הדו‪-‬‬ ‫ממדי הנ"ל בטבלה דו‪-‬ממדית‪ ,‬בה כל משבצת פנימית בתא ה‪ (i, j ) -‬מתארת תכונה‬ ‫כלשהי המשותפת לצמד הערכים המסוים ) ‪ , ( xi , y j‬ראו מטה‪.‬‬ ‫‪ 6.1.2‬פונקציית הסתברות משותפת‬ ‫הגדרה ‪D6.2‬‬ ‫הסתברות של התוצאה‬ ‫) ‪ ( xi , y j‬מסומנת‬ ‫) ‪ PXY ( xi , y j ) = P ( X = xi , Y = y j‬ונקראת‬ ‫פונקציית ההסתברות המשותפת ]‪ PXY ( x, y ) [joint probability function‬של משתנה‬ ‫מקרי דו‪-‬ממדי ) ‪. ( X , Y‬‬ ‫‪L-36‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ :‫ – המשך‬E6.1 ‫דוגמא‬ ‫ ניתן לראות כי פונקציית ההסתברות‬.‫חישוב של פונקציית הסתברות משותפת‬ :‫ ( המוגדר למעלה היא‬X , Y ) ‫המשותפת עבור הזוג‬ PXY (0,0) = P( FFF ) = 1 8 PXY (0,1) = P(∅) = 0 PXY (1,0) = P( FMF ) + P( FFM ) = PXY (1,1) = P( MFF ) = 1 1 4 8 PXY (2,0) = P( FMM ) = 1 8 PXY (2,1) = P( MFM ) + P( MMF ) = 1 4 PXY (3,0) = P(∅) = 0 PXY (3,1) = P( MMM ) = 1 8 :‫ממדית המציגה את ההסתברויות בהתאם לערכי שני המשתנים‬-‫ולהלן הטבלה הדו‬ yj 0 1 0 1/ 8 0 1 1/ 4 1/ 8 2 1/ 8 1/ 4 3 0 1/ 8 xi ‫ תכונות של פונקציית ההסתברות משותפת‬6.1.3 ‫ניתן לראות את התכונות הבאות כהכללה של תכונות מקבילות של פונקציית‬ :‫ממדי‬-‫ההסתברות עבור משתנה מיקרי חד‬ ( xi , y j ) ‫ לכל זוג ערכים אפשרי‬0 ≤ PXY ( xi , y j ) ≤ 1 .‫א‬ ∑∑ P XY xi ( xi , y j ) = 1 .‫ב‬ yj ‫ מתקיימות עבור‬,‫ כמובן‬,‫ שתיהן‬.‫תכונות אלו נובעות מאקסיומה הראשונה והשנייה של קולמוגורוב‬ .‫הדוגמה הנ''ל‬ L-37 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫פונקציות הסתברות שוליות‬ ‫‪6.2‬‬ ‫הגדרה ‪D6.3‬‬ ‫פונקציית ההסתברות השולית של משתנה מקרי‬ ‫) ‪( xi , y j‬‬ ‫‪∑P‬‬ ‫‪XY‬‬ ‫‪ X‬מוגדרת על ידי הנוסחה‬ ‫= ) ‪ PX ( xi‬ופונקציית ההסתברות השולית של ‪ Y‬ניתנת על ידי נוסחה‬ ‫‪yj‬‬ ‫דומה‪( xi , y j ) :‬‬ ‫‪∑P‬‬ ‫‪XY‬‬ ‫= ) ‪. PY ( y j‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫המשמעות של פונקציית הסתברות שולית‪ PX ( xi ) :‬מביאה את ההסתברות למצוא את‬ ‫המשתנה הראשון‬ ‫‪ X‬בזוג השווה ל‪ xi -‬כאשר לא חשוב כלל מהו הערך של‬ ‫המשתנה השני ‪ . Y‬באותה דרך‪ PY ( y j ) ,‬היא הסתברות למצוא את המשתנה השני‬ ‫‪ Y‬בזוג השווה ל‪ y j -‬כאשר לא חשוב כלל מהו הערך של המשתנה הראשון ‪. X‬‬ ‫המשך דוגמה ‪ :E6.1‬נחשב את ההסתברויות השוליות ) ‪ PX ( xi‬ו‪ PY ( y j ) -‬בהתאם‬ ‫להגדרתן‪:‬‬ ‫‪yj‬‬ ‫) ‪PX ( x i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1/ 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1/ 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3/8‬‬ ‫‪1/ 8‬‬ ‫‪1/ 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3/8‬‬ ‫‪1/ 4‬‬ ‫‪1/ 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1/ 8‬‬ ‫‪1/ 8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/ 2‬‬ ‫‪1/ 2‬‬ ‫) ‪PY ( y j‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫דוגמה ‪E6.2‬‬ ‫שלושה מטבעות תקינים‪ ,‬המסומנים ‪ 3 ,2 ,1‬מונחים בשקית‪ .‬בוחרים מטבע באופן‬ ‫מקרי ומטילים אותו ‪ 3‬פעמים‪ .‬נסמן‪ — X :‬מספר המטבע שנבחר‪ — Y ,‬מספר‬ ‫התוצאות "עץ" בשלוש ההטלות‪ .‬נא לחשב את פ‪ .‬ההסתברות המשותפת של ‪ X‬ו‪-‬‬ ‫‪ Y‬וגם את ההסתברויות השוליות‪ .‬וודא משמעותן‪.‬‬ ‫‪L-38‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫מתקיים ) ‪ PXY ( xi , y j ) = P ({ X = xi } ∩ {Y = y j }) = PX ( xi ) PY ( y j‬כי מדובר על ניסוי‬ ‫דו‪-‬שלבי )בחירת המטבע בשלב הראשון והטלת המטבע ‪ 3‬פעמים בשלב השני‬ ‫ואחרון( כשאר שלבים אלו אינם תלויים אחד בשני )במילים אחרות‪ ,‬המאורעות‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C3 j‬‬ ‫} ‪ { X = xi‬ו‪ {Y = y j } -‬בלתי תלויים(‪ .‬מכיוון ש‪ P( X = xi ) = 1 3 -‬ו‪P(Y = y j ) = 3 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C j‬‬ ‫)כי מדובר על משתנה בינומי ) ‪ ,( Y ~ B (3, 1 2‬אנו מגיעים לתשובה‪. PXY ( xi , y j ) = 3 :‬‬ ‫‪24‬‬ ‫לפעמים‪ ,‬נוח להציג את תוצאות החישוב של פונקציית הסתברות משותפת‬ ‫ופונקציות הסתברות שוליות באמצעות הטבלה‪:‬‬ ‫‪yj‬‬ ‫) ‪PX ( xi‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪1 / 24‬‬ ‫‪3 / 24‬‬ ‫‪3 / 24‬‬ ‫‪1 / 24‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪1 / 24‬‬ ‫‪3 / 24‬‬ ‫‪3 / 24‬‬ ‫‪1 / 24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪1 / 24‬‬ ‫‪3 / 24‬‬ ‫‪3 / 24‬‬ ‫‪1 / 24‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1/8‬‬ ‫‪3/8‬‬ ‫‪3/8‬‬ ‫‪1/8‬‬ ‫) ‪PY ( y j‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫שאלה‪ :‬בתנאי השאלה הקודמת‪ ,‬חשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬ ‫)‪. P( X ≥ 2, Y ≥ 2); P( X = 1, Y ≥ 2); P(0 < Y < 3); P( X = 1); P(Y = 2‬‬ ‫דוגמה ‪E6.3‬‬ ‫ציוניהם של ‪ 40‬תלמידי כיתה ט' באנגלית ובחשבון נרשמו בטבלה הבאה‪:‬‬ ‫אנגלית‬ ‫טוב‬ ‫עבר‬ ‫נכשל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נכשל‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫עבר‬ ‫חשבון‬ ‫טוב‬ ‫אחד מן התלמידים נבחר באופן מקרי‪ .‬נסמן ב‪ X -‬את ציונו בחשבון וב‪ Y -‬את‬ ‫ציונו באנגלית‪ ,‬כאשר ‪ 0‬מסמן נכשל‪ – 1 ,‬עבר ו‪ – 2-‬טוב‪.‬‬ ‫א' רשמו את פונקציית ההסתברות המשותפת של‬ ‫ההסתברויות השוליות‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ו‪ Y -‬ואת פונקציות‬ ‫‪L-39‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ קיבל ציון 'עבר' או‬,‫ את מספר הבחינות שבהן עמד התלמיד )כלומר‬Z -‫ב' נסמן ב‬ . Z ‫ רשמו את פונקציית ההסתברות של המשתנה‬.('‫'טוב‬ '‫פתרון לסעיף א‬ yj 0 1 2 PX ( xi ) 0 1 / 40 1 / 40 0 2/40 1 2 5 / 40 1 / 40 21 / 40 2 / 40 28/40 3 / 40 6 / 40 10/40 PY ( y j ) 7/40 25/40 8/40 1 xi '‫פתרון לסעיף ב‬ Z = {0,1,2} (0,0) : Y = 0 -‫ ו‬X = 0 ‫ פירושו‬Z = 0 ‫המאורע‬ (2,0), (0,2), (1,0), (0,1) ‫ פירושו‬Z = 1 ‫המאורע‬ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) ‫ פירושו‬Z = 2 ‫המאורע‬ 0 zi Pi 1 2 1/40 7/40 32/40 [Dependence and Correlation] ‫תלות ומתאם‬ 6.3 ‫ הגדרות בסיסיות‬6.3.1 ‫ יקראו משתנים בלתי תלויים‬PXY D6.4 ‫הגדרה‬ ‫שני משתנים מקריים בעלי התפלגות משותפת‬ ‫ ( מתקיים‬xi , y j ) ‫[ אם לכל‬independent random variables] . PXY ( xi , y j ) = PX ( xi ) PY ( y j ) (‫ הם בלתי מתואמים? )לא‬E6.1 '‫ בשאלה מס‬X , Y ‫ האם המשתנים‬:'‫שאלה א‬ (‫ הם בלתי מתואמים? )כן‬E6.2 '‫ בשאלה מס‬X , Y ‫ האם המשתנים‬:'‫שאלה ב‬ (‫ הם בלתי מתואמים? )לא‬E6.3 '‫ בשאלה מס‬X , Y ‫ האם המשתנים‬:'‫שאלה ג‬ L-40 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ D6.5 ‫הגדרה‬ g ( X , Y ) ‫תוחלת של פונקציה‬ ‫ידי הנוסחה‬ ‫ ניתנת על‬Y —‫ ו‬X ‫התלויה בשני משתנים מקריים‬ . E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( x, y) P XY x ( x, y ) y ‫ ראו‬,‫זו הכללה טבעית של תוחלת של פונקציה התלויה במשתנה מקרי חד ממדי‬ .4 '‫הרצאה מס‬ D6.6 ‫הגדרה‬ ‫[ אם מתקיים‬uncorrelated] ‫שני משתנים מקריים נקראים בלתי מתואמים‬ . E[ X ⋅ Y ] = E[ X ] ⋅ E[Y ] ‫כאשר‬ E[ X ⋅ Y ] = ∑∑ xyPXY ( x, y) x y ‫טענה‬ ,‫ במילים אחרות‬.‫ אזי הם גם בלתי מתואמים‬,‫תלויים‬-‫ הם משתנים בלתי‬X , Y ‫אם‬ !‫ ההפך לא בהכרח נכון‬.‫אי תלות גוררת אי מתאם‬ ‫הוכחה‬ ‫ אשר‬Y —‫ ל‬X ‫ תוך שימוש באי תלות בין‬E[ X ⋅ Y ] ‫נתמקד בחישוב של התוחלת‬ :‫ נקבל‬. PXY ( x, y ) = PX ( x) PY ( y ) :(6.4 ‫מביאה את הפירוק הבא )ראו הגדרה‬ = E[ X ⋅ Y ] xyP ( x, y ) ∑∑ xyP ∑∑= XY x X y x ( x) PY ( y ) y = ∑ xPX ( x) ⋅ ∑ yPY ( y ) = E[ X ]E[Y ] y x       E[ X ] E [Y ] .‫סוף הוכחה‬ (‫ הם בלתי מתואמים? )לא‬E6.1 '‫ בשאלה מס‬X , Y ‫ האם המשתנים‬:'‫שאלה א‬ (‫ הם בלתי מתואמים? )כן‬E6.2 '‫ בשאלה מס‬X , Y ‫ האם המשתנים‬:'‫שאלה ב‬ (‫ הם בלתי מתואמים? )לא‬E6.3 '‫ בשאלה מס‬X , Y ‫ האם המשתנים‬:'‫שאלה ג‬ ‫פתרונות‬ T = XY :E6.1 ‫בשאלה‬ ti Pi 0 1 1/2 1/8 2 3 1/4 1/8 E[T ] = E[ XY ] = 1; E[ X ] = 3 / 2; E[Y ] = 1 / 2; 1 ≠ 3 2 ⋅ 1 2 T = XY :E6.2 ‫בשאלה‬ E[T ] = E[ XY ] = 3; E[ X ] = 2; E[Y ] = 3 / 2; 3 = 3 2 ⋅2 T = XY :E6.3 '‫בשאלה מס‬ E[T ] = E[ XY ] = 11 / 8; E[ X ] = 6 / 5; E[Y ] = 41 / 40; 11/8 ≠ 6 5 ⋅ 41 40 L-41 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ [Covariance and Correlation Coefficient] ‫ שונות משותפת ומקדם המתאם‬6.3.2 D6.7 ‫הגדרה‬ ‫ בעלי‬Y —‫ ו‬X ‫[ של שני משתנים מקריים‬covariance] ‫השונות המשותפת‬ :‫ ומוגדרת על ידי הנוסחה‬cov( X , Y ) ‫ידי‬-‫תוחלת סופית מסומנת על‬ cov( X , Y ) = E[ X ⋅ Y ] − E[ X ] ⋅ E[Y ] ‫נראה בהמשך כי שונות משותפת מתארת את מידת הקשר הסטטיסטי‬ .‫הלינארי בין שני המשתנים‬ . cov( X , Y ) = 0 ‫ בלתי מתואמים‬Y -‫ ו‬X ‫ למשתנים‬:‫תכונה חשובה‬ D6.8 ‫הגדרה‬ -‫ מסומן ב‬Y -‫ ו‬X ‫[ בין משתנים מקריים‬correlation coefficient] ‫מקדם המתאם‬ :‫ידי הנוסחה‬-‫ ומוגדר על‬ρ ( X , Y ) ρ ( X ,Y ) = cov( X , Y ) var[ X ]var[Y ] ‫הערות‬ ‫( מצביע על קשר סטטיסטי בין שני משתנים‬1-‫ מקדם מתאם חיובי גבוה )קרוב ל‬.‫א‬ .‫מקריים‬ . ρ ( X ,− X ) = −1 -‫ ו‬ρ ( X , X ) = 1 .‫ב‬ E6.1, E6.2, E6.3 ‫ חשבו את מקדם המתאם בדוגמאות‬:‫שאלה‬ ‫ תכונות של מקדם המתאם‬6.3.3 ρ ( X , Y ) = ρ (Y , X ) :‫ סימטריה‬.1 :‫ אי תלות בקנה המידה ובהזזות‬.2 ρ (α X + β , γ Y + δ ) = sgn(α ) sgn(γ ) ρ ( X , Y ) . α ‫ מסמן את הסימן של‬sgn(α ) ‫כאשר‬ ‫ עלינו לחשב‬ρ ( β X + α , γ Y + δ ) ‫ על מנת לחשב את מקדם המתאם‬:‫הוכחה‬ var(α X + β ) ‫ וגם את השונויות‬cov( β X + α , γ Y + δ ) ‫את השונות המשותפת‬ :‫ עבור השונויות מתקיים‬. var(γ Y + δ ) —‫ו‬ . var(γ Y + δ ) = γ 2 var(Y ) , var(α X + β ) = α 2 var( X ) L-42 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ :‫עבור השונות המשותפת נקבל‬ δ ) E[(α X + β )(γ Y + δ )] − E[α X + β ]E[γ Y + δ ] cov(α X + β , γ Y += = E[αγ XY + αδ X + βγ Y + βδ ] − (α E[ X ] + β )( γ E[ X ] + δ ) = αγ E[ XY ] + αδ E[ X ] + βγ E[Y ] + βδ − (α E[ X ] + β )( γ E[ X ] + δ ) =αγ ( E[ XY ] − E[ X ]E[Y ]) =αγ cov( X , Y ) ,‫מכאן‬ cov(α X + β , γ Y + δ ) var(α X + β ) var(γ Y + δ ) ρ (α X + β , γ Y + δ ) = = αγ cov( X , Y ) = sgn(α ) sgn(γ ) ρ ( X , Y ) | α || γ | var( X ) var(Y ) :‫ מתקיים‬Y -‫ ו‬X ‫ לכל‬.3 − 1 ≤ ρ ( X , Y ) ≤ +1  X Y  2 2 var  ±  ‫ ונחשב שונות‬var(Y ) = σ Y —‫ ו‬var( X ) = σ X ‫ נסמן‬:‫הוכחה‬  σ X σY  :‫אשר מהווה מספר לא שלילי‬  X  X Y  Y  ± = ± var   E   σ σY   σ X σY   X 2 2   X Y   −E  ±  ≥ 0    σ X σ Y   :‫ מתקיים‬,‫בהתאם לתכונות התוחלת‬ 2  X Y   1 2 1  ± E  E[ X 2 ] ± E[ XY ] + 2 E[Y 2 ] = 2 σ XσY σY  σ X σ Y   σ X ,‫ובנוסף‬ 2  X Y    X ±   =  E   E   σ X σ Y    σ X 1 2 2 = E[ X ]) ± 2 ( σX  X : ‫ מביאה‬var  σX σ XσY ±  Y ±E  σ Y     E[ X ]E[Y ] + 2 1 σ 2 Y ( E[Y ]) 2 Y   ‫ ההצבה בתוך הנוסחה הראשונה עבור‬,‫מכאן‬ σY  L-43 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬  X Y  1 2 1 E[ X 2 ] ± E[ XY ] + 2 E[Y 2 ] var  ±=  2 σ XσY σY  σ X σY  σ X  1 2 1 2 2 E[ X ]E[Y ] + 2 ( E[Y ])  −  2 ( E[ X ]) ± σ XσY σY σX  E[ XY ] − E[ X ]E[Y ] var[ X ] var[Y ] = + ±2 2 2 σ σY σ XσY  X     1 ρ ( X ,Y ) 1 2 [1 ± ρ ( X , Y ) ] ≥ 0 = .‫ מביא את התכונה המבוקשת‬1 ± ρ ( X , Y ) ≥ 0 ‫אי השוויון‬ ‫ למשתנים בלתי מתואמים‬ρ ( X , Y ) = 0 .4 ρ ( X , Y ) = +1 , a > 0 ‫אם‬ ρ ( X , Y ) = −1 , a < 0 ‫אם‬ -‫ ו‬E [ X ] = µ X :‫ אזי‬Y = aX + b ‫ אם‬.5 ‫ ונסמן‬Y = aX + b ‫ נניח שקיים הקשר הלינארי‬:‫הוכחה‬ ‫ מקבלים כי‬, var[ X ] = E[ X 2 ] − (E[ X ]) -‫ כייון ש‬. var[ X ] = σ X2 2 2 ‫ אנחנו עומדים לחשב‬. E [ X 2 ] = σ X + . ρ ( X ,Y ) = µ X2 cov( X , Y ) Var[ X ]Var[Y ] :‫ נשתמש בהגדרתה‬,‫כדי לחשב את השונות המשותפת‬ . cov( X , Y ) = E[ X ⋅ Y ] − E[ X ] ⋅ E[Y ] E[Y ] = E[aX + b] = aE[ X ] + b = aµ X + b ‫ברור כי‬ -‫ו‬ :‫ זה מביא‬. E[ XY ] = E[ X ( aX + b)] = aE[ X ] + bE[ X ] = a (σ + µ ) + bµ X 2 2 X 2 X cov( X , Y ) = E[ X ⋅ Y ] − E[ X ] ⋅ E[Y ] = a (σ X2 + µ X2 ) + bµ X − µ X ( aµ X + b) = aσ X2 ‫ שילוב הנוסחאות האלו‬. var[Y ] = var[aX + b] = a 2 var[ X ] = a 2σ X2 ,‫בנוסף‬ :‫נותן‬ ρ ( X ,Y ) = aσ X2 a + 1, a > 0 cov( X , Y ) . = = = a − 1, a < 0 Var[ X ]Var[Y ] σ X a 2σ X2 .‫סוף הוכחה‬ L-44 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫ תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים‬6.3.4 T6.1 ‫משפט‬ :‫התוחלת של סכום המשתנים ניתנת על ידי הנוסחה‬ E[ X + Y ] = E[ X ] + E[Y ] :‫הוכחה‬ ‫על פי הגדרה‬ E[ X += Y] ∑∑ ( x + y) P XY x ( x= , y) y     ( x, y )  + ∑ y  ∑ PXY ( x, y )  x y y       ∑ x∑ P XY x PY ( y ) PX ( x ) = E[ X ] + E[Y ] ∑ xPX ( x) + ∑ yPY ( x) = x y ‫ במילים‬.‫ בלתי תלויים‬Y —‫ ו‬X ‫נדגיש שבשום שלב לא הנחנו כי משתנים מקריים‬ .‫ קיימות‬Y —‫ ו‬X ‫ תכונה זו מתקיימת תמיד כל עוד התוחלות של‬,‫אחרות‬ T6.2 ‫משפט‬ :‫השונות של סכום המשתנים ניתנת על ידי הנוסחה‬ Var[ X + Y ] = Var[ X ] + Var[Y ] + 2 cov( X , Y ) Var[ X + Y ] = E[( X + Y ) ] − (E[( X + Y )]) 2 :‫הוכחה‬ 2 E[( X + Y ) ] = E[ X ] + E[Y ] + 2 E[ XY ] 2 2 -‫מכיוון ש‬ 2 E[ X + Y ] = E[ X ] + E[Y ] -‫ו‬ :‫אנחנו מיד מקבלים‬ . Var[ X + Y ] = Var[ X ] + Var[Y ] + 2 cov( X , Y ) .‫סוף הוכחה‬ . cov( X , Y ) = 0 ‫ הם גם בלתי מתואמים וכתוצאה‬,‫ בלתי תלויים‬Y —‫ ו‬X ‫ אם‬.‫הערה‬ :‫במקרה זה מתקיים‬ . Var[ X += Y ] Var[ X ] + Var[Y ] L-45 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ .‫שאלה‬ ‫ של אמצע הסמסטר לבין‬X ‫ של גמר הקורס מחושב כממוצע רגיל בין ציון‬Z ‫ציון‬ ‫ ממוצע ציון אמצע‬:‫ התוצאות שהתקבלו הן‬.‫ של המבחן בסוף הקורס‬Y ‫ציון‬ ‫ עם‬75 ‫; ממוצע ציון גמר הקורס הוא‬11 ‫ עם סטיית תקן של‬80 ‫הסמסטר הוא‬ ‫ של אמצע‬X ‫ כמו כן ידוע שהשונות המשותפת בין ציון‬.10 ‫סטיית תקן של‬ .50 ‫ של המבחן בסוף הקורס היא‬Y ‫הסמסטר לבין ציון‬ ? ( Y ) ‫מהן תוחלת וסטיית תקן של ציון מבחן סוף הקורס‬ .‫פתרון‬ :‫=מתקיים‬ ,Z = E[ Z ] 1 ( X + Y ) -‫מכיוון ש‬ 2 1 ( E[ X ] + E[Y ]) 2 ,‫מכאן‬ E[Y ] =2 E[ Z ] − E[ X ] =2 ⋅ 75 − 80 =70 ,‫בנוסף‬ var(= Z) 1 1 1 1 var( X += Y) var( X ) + var(Y ) + cov( X , Y ) 4 4 4 2 ,‫מכאן‬ , var(Y ) = 4 var( Z ) − var( X ) − 2 cov( X , Y ) = 4 ⋅10 − 11 − 2 ⋅ 50 = 279 2 .σY = 2 279 ≈ 16.7 ‫ סטיית התקן הינה‬,‫כלומר‬ L-46 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY AND STATISTICS‬‬ ‫הסתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪rights reserved 2005/06‬‬ ‫מאת‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪  Eugene Kanzieper  All‬כל הזכויות שמורות ‪2005/06‬‬ ‫עריכה‪ :‬מאיר זיליג‪-‬הס )‪(2020‬‬ ‫הרצאה ‪7‬‬ ‫משתנה מקרי רציף‬ ‫• הגדרה בסיסית • פונקציית הסתברות ופונקציית התפלגות מצטברת • נוסחאות תוחלת ושונות של מ‪.‬מ‪ .‬רציף‬ ‫• התפלגות אחידה רציפה • התפלגות מעריכית • התפלגות נורמלית‬ ‫בהרצאה זו נתבונן במשתנה מקרי רציף על מנת להבין מה ההבדל בינו למשתנה‬ ‫מקרי בדיד‪ .‬גם נלמד מספר התפלגויות מיוחדות עבור משתנה מקרי רציף‪ ,‬בדומה‬ ‫לאלו שהכרנו עבור המשתנה הבדיד‪.‬‬ ‫‪7.1‬‬ ‫הגדרות בסיסיות‬ ‫‪ 7.1.1‬משתנה מקרי רציף‬ ‫משתנה מקרי בדיד הוא משתנה אשר יכול לקבל רק מספר סופי )או בן מנייה( של‬ ‫ערכים בכל רווח נתון של ערכים ממשיים‪ .‬למשל‪ :‬מספר בנים במשפחה‪ ,‬מספר‬ ‫אנשים שפנו בין שעות מסוימות אל פקיד פלוני‪ ,‬וכדומה‪.‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬משתנה מקרי רציף )‪ (continuous random variable‬הוא משתנה אשר‬ ‫יכול לקבל כל ערך בתוך מרווח מספרים נתון‪ .‬למשל‪ :‬גבוהו של גבר מבוגר )כל‬ ‫מספר בין ‪ 150‬ל‪ 220-‬ס''מ(; אורך חיים של אוטו; זמן המתנה אצל פקיד הדואר‬ ‫וכו'‪.‬‬ ‫‪ 7.1.2‬למה אנחנו צריכים להגדיר פונקציית צפיפות?‬ ‫למדנו כי ניתן לתאר משתנה מקרי בדיד על ידי פונקציית הסתברות )‪ PX (x‬אשר‬ ‫מביאה הסתברות סופית ) ‪ P ( X = xi‬למצוא ‪ X = xi‬כאשר ‪ xi‬הוא ערך אפשרי‬ ‫ספציפי של מ‪.‬מ‪ . X .‬למשל‪ ,‬אם ‪ X‬הוא מספר כלשהו שמופיע על פאה בהטלת‬ ‫קובייה מאוזנת‪. P ( X = 5) = 1 6 ,‬‬ ‫זה לא המצב עבור מ‪.‬מ‪ .‬רציף‪ .‬ניתן לראות כי לכל תוצאה אפשרית של משתנה מקרי‬ ‫רציף מתאימה הסתברות אפס‪.‬‬ ‫כדי להבין את הטענה הנ''ל‪ ,‬באו נזרוק מבט על המחוג הגדול של שעון‪ .‬הסתברות‬ ‫למצאו את המחוג בין הזוויות ‪ α‬ל‪ β -‬שווה ל‪-‬‬ ‫‪β −α‬‬ ‫‪360‬‬ ‫= ) ‪. P(α ≤ θ ≤ β‬‬ ‫רואים כי הסתברות ) ‪ P (α ≤ θ ≤ β‬למצאו את המשתנה המקרי ‪ θ‬בתווך מסוים )בין‬ ‫‪ α‬ל‪ ( β -‬היא סופית‪ .‬למרות זאת‪ ,‬ההסתברות למצוא את המחוג מצביע על זווית‬ ‫מסוימת שווה בדיוק ל‪ 0-‬מכיוון ש‪-‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪α −α‬‬ ‫‪360‬‬ ‫= ) ‪. P (θ = α ) = lim P (α ≤ θ ≤ β‬‬ ‫‪β →α‬‬ ‫‪L-36‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫מהדוגמא עולה כי – עבור מ‪.‬מ‪ .‬רציף – השאלה הבסיסית היא לא ''מה ההסתברות‬ ‫שהמשתנה יקבל ערך מסוים?'' אלא ''מה ההסתברות שהמשתנה יקבל ערך בתוך‬ ‫מרווח מסוים?''‬ ‫חשוב! בגלל הטענה ‪ P (θ = α ) = 0‬ו‪ P(θ = β ) = 0 -‬אין הבדל בין ) ‪ P (α ≤ θ ≤ β‬ל‪-‬‬ ‫) ‪. P (α < θ < β‬‬ ‫התאפסות של ‪ P (θ = α ) = 0‬מביאה לצורך להגדיר תחליף לפונקציית הסתברות‬ ‫כאשר מדובר על מ‪.‬מ‪ .‬רציף‪ .‬תחליף כזה הוא פונקציית צפיפות ההסתברות‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬פונקצית הצפיפות ההסתברות )‪ (probability density function‬של משתנה‬ ‫מקרי רציף ‪ X‬היא פונקציה ממשית )‪ f X (x‬אשר מוגדרת עבור ∞ < ‪− ∞ < x‬‬ ‫ומקיימת בתחום זה את התכונות הבאות‪:‬‬ ‫א‪f X ( x) ≥ 0 .‬‬ ‫ב‪ .‬לכל שני מספרים ממשיים ‪ a‬ו‪ b -‬המקיימים ‪ , b > a‬ההסתברות‬ ‫)‪ P (a < X < b‬שווה לשטח מתחת לעקומה )‪ y = f X (x‬בין ‪ a‬לבין ‪ b‬כך ש‪-‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪∫ f ( x)dx‬‬ ‫= )‪. P ( a < X < b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ג‪ .‬השטח הכולל בין )‪ y = f (x‬לבין ציר ‪X‬‬ ‫שווה ל‪∫ f ( x)dx = 1 :1-‬‬ ‫)נירמול(‪.‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ 7.1.3‬פונקציית התפלגות מצטברת והיחס בינה לפונקציית ההסתברות‬ ‫תזכורת‪ :‬עבור מ‪.‬מ‪ X .‬כלשהו‪ ,‬פונקציית התפלגות מצטברת‬ ‫)‪ distribution function‬שווה ל‪. FX (t ) = P ( X ≤ t ) -‬‬ ‫‪(cumulative‬‬ ‫‪t‬‬ ‫מהגדרה זו ומהסעיף הקודם נובע כי ‪( x)dx‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪∫f‬‬ ‫= ) ‪. FX (t‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫מזה ניתן לראות כי מתקיים )‪FX ( x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫= )‪. f X ( x‬‬ ‫‪L-37‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ הסתברות כשטח‬:‫ גרפים‬7.1.4 ‫הסתברות‬ f(x) ‫פונקציית התפלגות מצטברת‬ P(a<x<b) a F(t)=P(X≤t) f(x) b x t x ‫ נתונה על ידי הנוסחה‬X ‫ פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי‬:1 ‫שאלה‬  x 1 − , 0 ≤ x ≤ 2 f X ( x) =  2  0, otherwise .‫ וודאו שאמנם זו פונקציית צפיפות‬,‫ שרטטו את הפונקציה‬.‫א‬ . FX (t ) ‫ חשבו ושרטטו את‬.‫ב‬ . P (0.3 < X < 1.8), P ( X ≥ 1.5), P ( X < 0.2) :‫ חשבו את ההסתברויות הבאות‬.‫ג‬ ‫ תוחלת ושונות של משתנה מקרי רציף‬7.1.5 +∞ . E[ X ] = ∫ xf X ( x)dx ‫תוחלת של משתנה מקרי רציף ניתנת על ידי הביטוי‬ −∞ .‫ עבור משתנה מקרי בדיד‬E[ X ] = ∑x P X .‫א‬ ( x) ‫הנוסחה הזאת מקבילה לביטוי‬ x ‫ שונות של משתנה מקרי רציף ניתנת על ידי הביטוי‬.‫ב‬  +∞  Var[ X ] = E[ X ] − ( E[ X ]) = ∫ x f X ( x)dx − ∫ xf X ( x)dx  −∞  −∞  +∞ 2 2 2 2 2   .‫ עבור משתנה מקרי בדיד‬Var[ X ] = ∑ x PX ( x) − ∑ x PX ( x)  ‫אשר מקביל לביטוי‬ x  x  2 . σ = Var[ X ] -‫ שווה ל‬X ‫ סטיית תקן של משתנה מקרי רציף‬.‫ג‬ L-38 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫התפלגויות מיוחדות רציפות‬ 7.2 ‫ התפלגות אחידה‬7.2.1 ‫ אם הוא‬, b -‫ ו‬a ‫ אחיד בעל פרמטרים‬.‫מ‬.‫ נקרא מ‬X ‫ משתנה מקרי רציף‬:‫הגדרה‬ ‫מתואר על ידי פונקציית הצפיפות‬ . X ~ U c ( a, b) :‫סימון‬ ‫ משתנה מקרי רציף אחיד קשור למודל של בחירה מקרית של מספר‬:‫מודל מתמטי‬ . b -‫ ל‬a ‫ממשי שערכיו בין‬ ‫ ניתן לראות כי זווית עליה מצביע המחוג‬.6.1.2 ‫ המחוג של השעון מהסעיף‬:‫דוגמא‬ -‫ כך ש‬b = 360 -‫ ו‬a = 0 ‫מתפלגת התפלגות אחידה עם הפרמטרים‬ 0, t < 0  t  , 0 ≤ t < 360 FΘ (t ) =   360 1, t ≥ 360 0, θ < 0  f Θ (θ ) =  1 360 , 0 < θ < 360 0, θ > 360  +∞ a+b 1 . E[ X ] = ∫ xf X ( x)dx = xdx = ∫ b−a a 2 −∞ :‫התוחלת של משתנה אחיד‬ 1 (b − a ) 2 a+b 2 . Var[ X ] = x dx −  = 12 b − a ∫a  2  :‫השונות של משתנה אחיד‬ b b 2 0, t < a t −a  . FX (t ) = ∫ f X ( x)dx =  , a≤t <b −∞ b − a 1, t ≥ b t :‫פונקציהת ההתפלגות המצטברת‬ L-39 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ 2 ‫שאלה‬ ‫ הם משתנים מקריים‬b -‫ ו‬a ‫ הפרמטרים‬x − ax + b = 0 ‫במשוואה ריבועית‬ ‫ נסמן‬. b ~ U c (0,1) -‫ ו‬a ~ U c (0,1) :‫רציפים בלתי תלויים בעלי התפלגות אחידה‬ 2 . x 2 -‫ ו‬x1 -‫את שורשיה ב‬ ?‫ מהי ההסתברות ששני השורשים ממשיים‬.‫א‬ ? x1 − x 2 < 1 -‫ מה ההסתברות ש‬,‫ אם ידוע שכל השורשים ממשיים‬.‫ב‬ 2 :‫פתרון‬ . x1 = ‫כך‬ a 2 − 4b > 0 a + a 2 − 4b a − a 2 − 4b -‫ ו‬x1 = ‫שורשי המשוואה הם‬ 2 2 ‫שיווין‬ ‫אי‬ ‫מתקיים‬ ‫אם‬ ‫ממשיים‬ ‫הם‬ ‫ שורשים‬.‫א‬ ‫ אשר מתאימה לשטח מתחת‬P (b < a / 4) ‫שההסתברות הדרושה היא‬ 2 b 1 1/4 a 1 0 : b = a 2 / 4 ‫לעקומה‬ 1 . P (b < a / 4) = 2 a2 1 ∫0 4 da = 12 ‫אזי‬ ‫שימו לב כי בחישוב הנ''ל השתמשנו בגישה הקלאסית להסתברות לאור‬ .‫ מפולגים באחידות‬b -‫ ו‬a ‫העובדה שמשתנים מקריים‬ ‫ ההסתברות הדרושה היא‬, x1 − x2 = a 2 − 4b -‫ מכיוון ש‬,‫ באותה דרך‬.‫ב‬ 1 1     P a 2 − 4b < / a 2 > 4b  = P a 2 − 4b < / a 2 > 4b  4 2      1 P a 2 − 4b <  ∩ a 2 > 4b 4  =  2 P a > 4b ( { )  a2 1 a2  P − < b <  4   =  4 16 2  a  P b <  4  } 1  a2 1  a2 − da ∫0 4 ∫  4 − 16 da 1 1/ 2  . -‫ניתן לראות כי זה שווה ל‬ = 1 2 12 1 L-40 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 7.2.2‬התפלגות מעריכית‬ ‫הגדרה‪ :‬משתנה מקרי רציף ‪ Y‬נקרא מ‪.‬מ‪ .‬מערכי בעל פרמטר ‪ λ‬אם הוא מתואר על‬ ‫ידי פונקציית הצפיפות‬ ‫‪y≥0‬‬ ‫‪y<0‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫‪λ exp(− λy ),‬‬ ‫‪fY ( y) = ‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪. Y ~ Exp(λ‬‬ ‫מודלים מתמטיים המביאים למשתנה מערכי‪:‬‬ ‫א‪ .‬משך הזמן עד התרחשות האירוע הראשון בזרם אירועים פואסוני‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אורך חיי מכשיר חשמלי או מכני‪.‬‬ ‫הסברים והוכחות‪:‬‬ ‫נתבונן בזרם אירועים פואסוני בעל קצב ‪) λ‬השווה לממוצע של התרחשויות‬ ‫ביחידת זמן(‪ .‬אם נגדיר משתנה מקרי בדיד ‪}= X‬מספר האירועים במשך יחידת‬ ‫זמן{‪ ,‬המשתנה הזה יתפלג פואסונית‪ X ~ P (λ ) :‬כך שההסתברות‬ ‫‪e −λ‬‬ ‫עבור ‪. k = 0,1,2,...‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫= ) ‪P( X = k‬‬ ‫אם נתבונן בפרק זמן ) ‪ , (0, t‬מספר האירועים ‪ X t‬המתרחשים במשך זמן זה יתפלג‬ ‫פואסונית אם פרמטר ‪ X t ~ P(λt ) : λt‬כך שההסתברות‬ ‫‪(λt )k e −λt‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫עבור ‪. k = 0,1,2,...‬‬ ‫= ) ‪P( X t = k‬‬ ‫באו נגדיר משתנה רציף ‪}= Y‬משך הזמן שיחלוף עד התרחשותו האירוע הראשון{‪.‬‬ ‫ברור כי המשתנה ‪ Y‬יכול לקבל כל ערך בתווך )∞ ‪ . (0,‬איך מתפלג ה‪? Y -‬‬ ‫כדי לענות על השאלה‪ ,‬נצטרך לחשב את ההסתברות ) ‪ P (Y > t‬שעד התרחשותו‬ ‫של האירוע הראשון יחלוף זמן גדול מ‪ . t -‬ההסתברות )‪ P (Y > t ) = P ( X t = 0‬כך ש‪-‬‬ ‫) ‪(λt )0 e −λt = exp(−λt‬‬ ‫!‪0‬‬ ‫= ) ‪. P(Y > t‬‬ ‫מזה נובע כי ) ‪. P(Y < t ) = 1 − exp(−λt‬‬ ‫דרך זו אנחנו מגיעים למסקנה שפונקציית התפלגות מצטברת עבור המשתנה‬ ‫המקרי ‪ Y‬ניתנת על ידי הנוסחה‬ ‫) ‪. FY (t ) = P(Y < t ) = 1 − exp(−λt‬‬ ‫‪L-41‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫אם ניקח בחשבון את הקשר בין פונקציית ההתפלגות המצטברת לפונקציית‬ ‫‪d‬‬ ‫הצפיפות – ) ‪FY ( y‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫= ) ‪ – f Y ( y‬נקבל‪:‬‬ ‫) ‪f Y ( y ) = λ exp(−λy‬‬ ‫עבור ‪ . y ≥ 0‬זה מוכיח כי משך הזמן עד התרחשותו האירוע הראשון מתפלג מערכית‬ ‫עם פרמטר ‪) λ‬השווה לממוצע של התרחשויות ביחידת זמן(‪.‬‬ ‫תוחלת של משתנה מערכי‪:‬‬ ‫שונות של משתנה מערכי‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪λ2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‬ ‫= ‪∫ yfY ( y)dy = λ ∫ y exp(−λy)dy‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫= ] ‪. E[Y‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫‪. Var[Y ] = λ y 2 exp(−λy )dy −‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נא להוכיח תכונת ''חוסר זיכרון''‪. P(Y > s + t / Y > s ) = P(Y > t ) :‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫) ‪P(Y > s + t  Y > s ) P(Y > s + t‬‬ ‫=‬ ‫) ‪P(Y > s‬‬ ‫) ‪P(Y > s‬‬ ‫]) ‪exp[− λ ( s + t‬‬ ‫) ‪= exp(−λt ) = P(Y > t‬‬ ‫=‬ ‫] ‪exp[− λs‬‬ ‫= ) ‪P (Y > s + t / Y > s‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫ניתן להניח שהבקעות השערים במשחק כדורגל מהווה זרם אירועים פואסוני‪.‬‬ ‫בדיקה העלתה שבמשחקי הליגה הלאומית מובקעים בממוצע ‪ 3‬שערים במשחק‬ ‫)‪ 90‬דקות(‪ .‬השתמשו בהתפלגות המערכית כדי לחשב את ההסתברויות הבאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬ההסתברות שהשער הראשון במשחק יובקע רק במחצית השנייה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נכנסת למשחק באיחור והתוצאה הייתה ‪ .1:0‬מהי ההסתברות שבחצי השעה‬ ‫הבאה התוצאה לא תשתנה?‬ ‫פתרון‪ :‬הפרמטר ‪ λ‬של זרם אירועים פואסוני שווה לממוצע של הבקעות ביחידת‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫זמן )= דקה ‪ .(1‬אזי‪,‬‬ ‫=‬ ‫‪90 30‬‬ ‫= ‪.λ‬‬ ‫א‪ .‬נגדיר משתנה מקרי ‪} = Y‬זמן המתנה עד הבקעת השער הראשון{‪ .‬ברור‬ ‫שהוא מתפלג מערכית‪ .‬בגלל זה‪ ,‬ההסתברות שהשער הראשון במשחק‬ ‫יובקע רק במחצית השנייה שווה ל‪. P (Y > 45) -‬‬ ‫ב‪ .‬בגלל תכונת ''חוסר זיכרון''‪ ,‬ההסתברות הדרושה היא )‪. P (Y > 30‬‬ ‫‪L-42‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫‪ 7.2.3‬התפלגות נורמלית‬ ‫הגדרה‪ :‬משתנה מקרי רציף ‪ X‬נקרא מ‪.‬מ‪ .‬נורמלי אם הוא מתואר על ידי פונקציית‬ ‫הצפיפות‬ ‫‪( x−µ )2‬‬ ‫‪2σ 2‬‬ ‫עבור ∞‪. − ∞ < x < +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪f X ( x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪σ 2π‬‬ ‫סימון‪X ~ N ( µ ,σ 2 ) :‬‬ ‫כדי להבין מהי המשמעות של הפרמטרים ‪ µ‬ו‪ σ 2 -‬יש לחשב את תוחלתו ושונותו‬ ‫של משתנה מקרי ) ‪. X ~ N ( µ ,σ 2‬‬ ‫תוחלת של משתנה נורמלי‪:‬‬ ‫‪( x)dx = µ‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪∫ xf‬‬ ‫= ] ‪. E[ X‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫שונות של משתנה נורמלי‪:‬‬ ‫‪f X ( x)dx −µ 2 = σ 2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫x‬‬ ‫= ] ‪. Var[ X‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫הגדרה‪ :‬משתנה נורמלי ‪ Z‬בעל תוחלת ‪ 0‬ושונות ‪ 1‬נקרא משתנה נורמלי סטנדרטי –‬ ‫)‪Z ~ N (0,1‬‬ ‫)‪ .(standard normal variable‬פונקציית צפיפות עבורו ניתנת על ידי‬ ‫הנוסחה‪:‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫עבור ∞‪. − ∞ < z < +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫= )‪f Z ( z‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ) ‪ , X ~ N ( µ ,σ 2‬המשתנה הנורמלי הסטנדרטי מתקבל על ידי הנוסחה‬ ‫‪X −µ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫= ‪.Z‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נא להוכיח את הטענה הנ"ל באמצעות תכונות של תוחלת ושונות‪.‬‬ ‫פונקציית התפלגות מצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי שווה ל‪-‬‬ ‫) ‪dz = Φ (t‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪∫e‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪. P ( Z ≤ t ) = ∫ f Z ( z )dz‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫יש להתיחס לפונקצית‪ Φ -‬כמו לפונקציה חדשה‪.‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪L-43‬‬ ‫‪Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights‬‬ ‫‪reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at‬‬ ‫‪http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author.‬‬ ‫ערכת מבחן‬ Φ (−t ) = 1 − Φ (t ) ‫נא להוכיח כי‬ ,‫ דרך גראפית‬.‫א‬ .‫ דרך נוסחאות‬.‫ב‬ 7 ‫שאלה‬ ‫ באמצעות הטבלה של‬Φ (0.91), Φ (2.03), Φ (0.02), Φ (3.06), Φ (0.41), Φ (1.23) ‫חשבו‬ . Φ -‫פונקצית‬ 8 ‫שאלה‬ :‫ מתקיים‬X ~ N ( µ ,σ ) ‫נא להוכיח כי עבור‬ 2 a−µ   .‫א‬  σ  b−µ  a−µ  . P ( a ≤ X ≤ b) = Φ  − Φ  .‫ב‬  σ   σ  , P ( X ≤ a ) = Φ 9 ‫שאלה‬ . X ~ N (8,4) ‫ עבור‬P (5 ≤ X ≤ 10) ‫חשבו את ההסתברות‬ 10 ‫שאלה‬ ‫נא להוכיח כי‬ , P ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) ≈ 0.68 .‫א‬ . P ( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) ≈ 0.95 .‫ב‬ ‫ הדגימו את התכונות הנ"ל באמצעות הציור ותן ניסוח כמותי למשמעות של‬.‫ג‬ .‫ נורמלי‬.‫מ‬.‫סטיית התקן של מ‬ ‫ סכום של שני משתנים נורמליים בלתי תלויים‬:‫תכונה חשובה של התפלגות נורמלית‬ !‫הוא משתנה נורמלי גם כן‬ 11 ‫שאלה‬ . X 2 ~ N ( µ 2 ,σ ) -‫ ו‬X 1 ~ N ( µ1 ,σ ) ‫נתונים שני משתנים נורמליים בלתי תלויים‬ 2 2 2 1 2 2 . X ~ N ( µ1 + µ 2 ,σ 12 + σ ) : ‫ מתפלג נורמלית‬X = X 1 + X 2 ‫הוכיחו כי סכומם‬ L-44 Terms of Use: Everyone is allowed to use these course materials for free provided the author's copyright notice is kept (Eugene Kanzieper  All rights reserved, 2005/06). No part of the lecture notes and other accompanying materials may be reproduced or stored in a retrieval system other than at http://www.hit.ac.il/staff/kanzieper, copied or transmitted in any form or by any means without the prior permission of the author. ‫ערכת מבחן‬ ‫‪PROBABILITY FOR ENGINEERS‬‬ ‫הסתברות למהנדסים‬ ‫פרופ'‬ ‫יוג'ין קנציפר‬ ‫‪ © Eugene Kanzieper © All rights reserved 2010/11‬כל הזכויות שמורות ‪2010/11‬‬ ‫■ נוסחאון למבחן סוף הקורס‬ ‫הרצאה ‪ :1‬מושגי יסוד‬ ‫הגדרות בסיסיות‬ ‫• מרחב המידגם ‪ – Ω‬אוסף כל התוצאות האפשריות של הניסוי‪.‬‬ ‫• מאורע ‪ – A‬קבוצה חלקית כלשהי של תוצאות ניסוי‪.‬‬ ‫• הסתברות של המאורע ‪ A‬היא ‪ . P ( A) = A / Ω‬הנוסחא מניחה‬ ‫סבירות שווה של כל אחת מן‬ ‫התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי‪.‬‬ ‫אלגברת מאורעות‬ ‫• איחוד ‪ – A U B‬אוסף כל המאורעות הכלולים ב‪ A -‬או ב‪ B -‬או בשניהם‪.‬‬ ‫• חיתוך ‪ – A I B‬אוסף כל המאורעות הכלולים ב‪ A -‬וגם ב‪. B -‬‬ ‫• מינוס ‪ – A \ B‬אוסף כל המאורעות הכלולים ב‪ A -‬ולא כלולים ב‪B -‬‬ ‫• השלמה ‪ – A‬אוסף כל המאורעות הכלולים במרחב המדגם ולא כלולים ב‪. A -‬‬ ‫• הכלה ‪ – A ⊂ B‬כל תוצאה השייכת למאורע ‪ A‬שייכת גם למאורע ‪. B‬‬ ‫סוגי מאורעות‬ ‫• מאורע וודאי ‪ – Ω‬מאורע שכולל את כל המאורעות של מרחב המדגם‪.‬‬ ‫• מאורע ריק ∅ – תוצאה בלתי אפשרית‪ ,‬מאורע שאינו כולל אף מאורע של מרחב המדגם‪.‬‬ ‫• מאורעות זרים – ‪ A‬ו‪ B -‬הם מאורעות זרים אם הם לא כוללים מאורעות משותפים‪,‬‬ ‫∅ = ‪. AI B‬‬ ‫•‬ ‫מאורעות זרים בזוגות – ‪ Ai‬ו‪ A j -‬הם מאורעות זרים בזוגות אם ∅ = ‪ Ai I A j‬לכל ‪. i ≠ j‬‬ ‫תכונות של פונקצית הסתברות וחוקים חשובים‬ ‫• ‪ 0 ≤ P( A) ≤ 1‬לכל ‪. A‬‬ ‫• ‪ P(Ω) = 1‬כאשר ‪ Ω‬הוא מרחב המדגם‪.‬‬ ‫• אם ‪ Ai‬ו‪ A j -‬הם מאורעות זרים בזוגות‪ ,‬אזי ‪. P( A1 U A2 U ...) = P( A1 ) + P( A2 ) + ...‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪1‬‬ ‫אם ‪ A ⊂ B‬אזי )‪. P( A) ≤ P( B‬‬ ‫) (‬ ‫חוק המשלים‪. P A = 1 − P( A) :‬‬ ‫חוק האיחוד‪. P( A U B ) = P( A) + P(B ) − P( A I B ) :‬‬ ‫חוק קומוטטיבי‪. A I B = B I A , A U B = B U A :‬‬ ‫חוק אסוציאטיבי‪, ( A U B ) U C = A U (B U C ) = A U B U C :‬‬ ‫‪( A I B ) I C = A I (B I C ) = A I B I C‬‬ ‫) ‪, ( A U B ) I C = ( A I C ) U (B I C‬‬ ‫חוק דיסטריבוטיבי‪:‬‬ ‫) ‪( A I B ) U C = ( A U C ) I (B U C‬‬ ‫‪. (A I B) = A U B , (A U B) = A I B‬‬ ‫חוק דה מורגן‪:‬‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫הרצאה ‪ :2‬הסתברות מותנית‬ ‫הסתברות מותנית ואי תלות‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫נוסחא להסתברות מותנית‪. P ( A / B ) = P ( A I B ) / P (B ) :‬‬ ‫אי תלות – המאורעות ‪ A‬ו‪ B -‬הם מאורעות בלתי תלויים אם ) ‪. P ( A I B ) = P( A) ⋅ P (B‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬עבור מאורעות בלתי תלויות מתקיים‪. P ( A / B ) = P ( A) :‬‬ ‫הסתברות שלמה‬ ‫•‬ ‫הסתברות שלמה – אם ‪ A1 , A2 ,..., An‬הם מאורעות זרים בזוגות‪ ,‬כך ש‪ Ai ∩ A j = ∅ -‬עבור כל זוג‬ ‫‪ , i ≠ j‬ואיחודם הוא כל מרחב המדגם‬ ‫‪=Ω‬‬ ‫)זאת אומרת ‪ ,( A1 ∪ A2 ∪ ... = Ω‬אזי לכל‬ ‫‪n‬‬ ‫‪UA‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫מאורע ‪ B‬מתקיים‪. P( B ) = ∑i =1 P( B / Ai ) ⋅ P( Ai ) :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫משפט בייס‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫משפט בייס – עבור מאורעות ‪ A‬ו‪ B -‬בעלי הסתברות חיובית מתקיים‪:‬‬ ‫)‪. P( A / B) = P( B / A) ⋅ P( A‬‬ ‫)‪P( B‬‬ ‫משפט בייס בשילוב נוסחא להסתברות שלמה‪:‬‬ ‫) ‪P ( B / Ai ) ⋅ P( Ai‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪∑ P( B / A ) ⋅ P( A‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫= )‪P( Ai / B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪j =1‬‬ ‫הרצאה ‪ :3‬קומבינטוריקה‬ ‫עצרת של מספר ‪,‬פונקצית גאמא ונוסחת סטירלינג‬ ‫•‬ ‫עצרת של מספר‪ :‬מוגדר עבור מספרים שלמים חיוביים ‪ n = 1,2,3,...‬ושווה ל‪. n != 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n -‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית גאמא‪Γ(α + 1) = ∫ dt t α e −t :‬‬ ‫)‪. n != Γ(n + 1‬‬ ‫•‬ ‫)מוגדרת עבור ‪ . ( α > −1‬עבור ‪ α = n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נוסחת סטירלינג‪ :‬עבור ‪ n >> 1‬מתקיים בקירוב‬ ‫‪n +1 / 2 − n‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪. n !≈ 2π ⋅ n‬‬ ‫עקרון הכפל‬ ‫•‬ ‫ניסוח ראשון‪ :‬אם ניסוי מתבצע ב‪ k -‬שלבים בזה אחר זה כאשר בשלב הראשון יש ‪ n1‬תוצאות‬ ‫אפשריות‪ ,‬בשלב השני יש ‪ n2‬תוצאות אפשריות‪ ,... ,‬בשלב ה‪ k -‬יש ‪ nk‬תוצאות אפשריות‪ ,‬אזי‬ ‫מספר התוצאות האפשריות בניסוי כולו שווה ל‪. n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk -‬‬ ‫•‬ ‫ניסוח שני – כלל שרשרת‪ :‬לכל ‪ A1 , A2 ,..., An‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪. P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A2 / A1 ) ⋅ P ( A3 / A1 ∩ A2 ) ⋅ ... ⋅ P ( An / A1 ∩ ... ∩ An −1‬‬ ‫מספר סידורים ונוסחא מולטינומית‬ ‫•‬ ‫של ‪ n‬איברים שונים בשורה שווה ל‪. Pn = n ! -‬‬ ‫•‬ ‫של ‪ n‬איברים שונים במעגל שווה ל‪. (n − 1) ! -‬‬ ‫•‬ ‫של ‪ n‬איברים בשורה שמתוכם ‪ n1‬איברים זהים מסוג ראשון‪ n2 ,‬איברים זהים מסוג שני‪nk ,.. ,‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫= ) ‪. P (n ,..., n‬‬ ‫איברים זהים מסוג ה‪) k -‬כך ש‪ ( n1 + n2 + ... + nk = n -‬שווה ל‪-‬‬ ‫! ‪n ! n ! ... n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫•‬ ‫נוסחא מולטינומית‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪x1n1 ... xknk‬‬ ‫‪!...‬‬ ‫!‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪( n1 ≥0 ,...,nk ≥0 ): 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪Pn ( n1 ,..., nk ) x1n1 ... xknk‬‬ ‫∑‬ ‫‪( n1 ≥0 ,...,nk ≥0 ):‬‬ ‫‪n1 +...+ nk = n‬‬ ‫‪n1 +...+ nk = n‬‬ ‫= ‪( x1 + x 2 + ... + xk ) n‬‬ ‫מספר בחירות‬ ‫עם החזרה‬ ‫בלי החזרה‬ ‫!‪n‬‬ ‫! ) ‪(n − k‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫= ‪C nk‬‬ ‫! ) ‪k ! (n − k‬‬ ‫= ‪Pnk‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫מסודרת‬ ‫—‬ ‫לא מסודרת‬ ‫הרצאה ‪ :4‬משתנה מקרי חד ממדי‬ ‫פונקצית הסתברות )‪ PX (x‬ופונקצית התפלגות מצטברת ) ‪FX (t‬‬ ‫•‬ ‫תכונות של פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫א‪ 0 ≤ P ( x) ≤ 1 .‬לכל ערך ‪. x‬‬ ‫ב‪∑ P( x) = 1 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪∑ P (x ) :‬‬ ‫•‬ ‫תכונותיה‪:‬‬ ‫א‪. FX (t = −∞) = 0 .‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪x ≤t‬‬ ‫= ) ‪. FX (t ) = P ( X ≤ t‬‬ ‫‪. FX (t = +∞) = 1‬‬ ‫אם ‪. FX (t1 ) ≤ FX (t 2 ) , t1 < t 2‬‬ ‫) ‪ P ( x1 < X ≤ x2 ) = FX ( x 2 ) − FX ( x1‬עבור ‪. x1 < x2‬‬ ‫מדדים של משתנה מקרי‬ ‫•‬ ‫תוחלת ותכונותיה‪:‬‬ ‫א‪( x ) .‬‬ ‫‪∑x⋅P‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ] ‪. µ = E[ X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∑ g ( x) ⋅ P‬‬ ‫= ]) ‪. E[ g ( X‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪ a , E[a ] = a‬קבוע‪.‬‬ ‫‪ a , E[ X + a] = E[ X ] + a‬קבוע‪.‬‬ ‫] ‪ b , E[b ⋅ X ] = b ⋅ E[ X‬קבוע‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫] ‪. E[ X 1 + X 2 ] = E[ X 1 ] + E[ X 2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x‬‬ ‫•‬ ‫שונות‪ ,‬סטיית תקן ותכונותיהן‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫] ‪. σ 2 = Var [X ] = E[( X − µ ) 2‬‬ ‫)] ‪[ ]− (E[X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. σ = Var [ X ] = E X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫ג‪.‬‬ ‫] ‪. σ = Var[ X‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪ Var[ X ] ≥ 0‬לכל משתנה מקרי ‪. X‬‬ ‫‪ Var[ X ] = 0‬אך ורק כאשר ‪ X‬הוא קבוע‪.‬‬ ‫] ‪ a , Var[ X + a] = Var[ X‬קבוע‪.‬‬ ‫ז‪ b , Var[b ⋅ X ] = b 2 ⋅ Var[ X ] .‬קבוע‪.‬‬ ‫ח‪ .‬אם ‪ X‬ו‪ Y -‬הם משתנים מקריים בלתי תלויים )מתייחסים לשני ניסויים בלתי תלויים(‪,‬‬ ‫אזי מתקיים‪. Var[ X + Y ] = Var[ X ] + Var[Y ] :‬‬ ‫הרצאה ‪ :5‬התפלגויות בדידות מיוחדות‬ ‫התפלגות אחידה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫סימון‪ a , X ~ U d (a , b ) :‬ו‪ b -‬מספרים שלמים‪.‬‬ ‫= ) ‪ P( X = k‬עבור ‪k = a, a + 1,..., b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫‪b − a +1‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫תוחלת‪:‬‬ ‫= ] ‪. E[X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(b − a + 1) 2 − 1‬‬ ‫= ] ‪. Var [ X‬‬ ‫שונות‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪k − a +1‬‬ ‫= ) ‪ FX (k ) = P( X ≤ k‬עבור ‪. k = a, a + 1,..., b‬‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪:‬‬ ‫‪b − a +1‬‬ ‫התפלגות ברנולי – ''הצלחה'' או ''כשלון''‬ ‫•‬ ‫סימון‪. 0 ≤ p ≤ 1 , X ~ Ber ( p ) :‬‬ ‫‪⎧1 − p, x = 0‬‬ ‫‪⎩ p, x = 1‬‬ ‫⎨ = )‪. PX ( x‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪. E[ X ] = p :‬‬ ‫שונות‪. Var[ X ] = p(1 − p ) :‬‬ ‫התפלגות בינומית – מספר כולל של "הצלחות" בסדרת ניסוי ברנולי‬ ‫•‬ ‫סימון‪ n , 0 ≤ p ≤ 1 , X ~ Bin (n, p ) :‬מספר שלם חיובי‬ ‫‪n−k‬‬ ‫) ‪ P ( X = k ) = C p (1 − p‬עבור ‪. k = 0,1,..., n‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪. E[ X ] = np :‬‬ ‫שונות‪. Var[ X ] = np (1 − p ) :‬‬ ‫•‬ ‫משפט הפירוק‪ :‬סכום ‪ X‬של ‪ n‬משתני ברנולי ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬בלתי תלויים בעלי אותו פרמטר‬ ‫‪ p‬מתפלג בינומית עם פרמטרים ‪ n‬ו‪: p -‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪= X 1 + X 2 + ... + X n ~ B(n, p‬‬ ‫•‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫= ‪.X‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫קירוב פואסוני להתפלגות בינומית‪ :‬אם פרמטר ‪ n‬גדול מאוד ) ‪ ( n >> 1‬ו‪ p -‬קטן מאוד‬ ‫) ‪ ( p << 1‬כך שהכפל ‪ λ = n ⋅ p‬מקבל ערך ''בינוני''‪ ,‬בקירוב מתקיים‪:‬‬ ‫‪e −λ‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫≈ ) ‪. P( X = k‬‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫התפלגות גיאומטרית – מספר ניסוי ברנולי עד ל"הצלחה הראשונה"‬ ‫•‬ ‫סימון‪. 0 ≤ p ≤ 1 , X ~ G ( p ) :‬‬ ‫‪k −1‬‬ ‫) ‪ P( X = k ) = p (1 − p‬עבור ∞ ‪. k = 1,...,‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪ FX (k ) = P ( X ≤ k ) = 1 − (1 − p ) :‬עבור ∞ ‪. k = 1,...,‬‬ ‫•‬ ‫הסתברות‪ P ( X > k ) = (1 − p ) :‬עבור ∞ ‪. k = 1,...,‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1− p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ] ‪ . E[ X‬שונות‪:‬‬ ‫תוחלת‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫תכונת "חוסר זיכרון"‪P ( X > k + n / X > k ) = P ( X > n) :‬‬ ‫= ] ‪. Var[ X‬‬ ‫התפלגות בינומית שלילית – מספר ניסוי ברנולי עד ל"הצלחה ה‪" m -‬‬ ‫•‬ ‫סימון‪ 0 ≤ p ≤ 1 , X ~ NegBin( p, m ) :‬ו‪m = 1,2,..., ∞ -‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪ P ( X = k ) = C km−−11 p m (1 − p ) k −m :‬עבור ∞ ‪. k = m, m + 1,...,‬‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪ . E[ X ] = m :‬שונות‪. Var[ X ] = m(1 − p) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫התפלגות היפרגיאומטרית – מספר פריטים מיוחדים בבחירה ללא החזרה מאוסף מעורב‬ ‫•‬ ‫סימון‪. n, D ≤ N , X ~ Hyp(N , D, n ) :‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫‪N −D‬‬ ‫‪C ⋅C‬‬ ‫‪C Nn‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪D‬‬ ‫= ) ‪ P ( X = k‬עבור ) ‪. 0 ≤ k ≤ min(n, D‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪ . E[X ] = n D :‬שונות‪. Var[ X ] = n D 1 − D 1 − n − 1  :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N  N  N − 1 ‬‬ ‫•‬ ‫‪D‬‬ ‫קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרית‪ :‬אם ‪ D, N >> 1‬אך ‪= p‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪k k‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫) ‪. P ( X = k ) ≈ C n p (1 − p‬‬ ‫‪ , k ≤ n << D < N‬בקירוב מתקיים‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫שומר על ערך סופי וגם‬ ‫קירוב בינומי להתפלגות היפרגיאומטרית‪ :‬אם ‪ D, N >> 1‬אך ‪= p‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ , k ≤ n << D < N‬בקירוב מתקיים‪P( X = k ) ≈ C nk p k (1 − p ) n−k :‬‬ ‫•‬ ‫שומר על ערך סופי וגם‬ ‫התפלגות היפרגיאומטרית שלילית – מספר הוצאות ללא החזרה עד הפריט המיוחד ה‪m -‬‬ ‫•‬ ‫סימון‪. 1 ≤ D < N , 1 ≤ m ≤ D , X m ~ NegHyp(m; N , D ) :‬‬ ‫‪D −m‬‬ ‫‪N −k‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ P( X m = k ) = Ckm−−11 C‬עבור ‪. k = m,..., N − D + m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪:‬‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪ . E[ X m ] = m N + 1 :‬שונות‪. var[ X m ] = m N + 1 N − D 1 − m  :‬‬ ‫‪D + 1‬‬ ‫‪D +1‬‬ ‫‪D +1 D + 2 ‬‬ ‫התפלגות פואסון – מספר התרחשויות ביחידת זמן בזרם אירועים פואסוני‬ ‫•‬ ‫סימון‪. λ > 0 , X ~ P(λ ) :‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית הסתברות‪e −λ :‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪. E[ X ] = λ :‬‬ ‫שונות‪. Var[ X ] = λ :‬‬ ‫נוסחאות נוספות‬ ‫‪5‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫= ) ‪ P ( X = k‬עבור ∞ ‪. k = 0,...,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬הסתברות למציאת ערך זוגי ‪ 1 + (−1) X ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( X even‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫=‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫הרצאה ‪ :6‬משתנה מקרי דו ממדי‬ ‫פונקצית הסתברות משותפת ) ‪ PXY ( x, y‬ופונקציות הסתברות שוליות )‪ PX (x‬ו‪PY ( y ) -‬‬ ‫•‬ ‫תכונות של פונקצית הסתברות משותפת‪:‬‬ ‫א‪ 0 ≤ PXY ( xi , y j ) ≤ 1 .‬לכל זוג ערכים אפשרי ) ‪. ( xi , y j‬‬ ‫ב‪( x i , y j ) = 1 .‬‬ ‫‪∑∑ P‬‬ ‫‪XY‬‬ ‫‪yj‬‬ ‫•‬ ‫‪.‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫פונקציות הסתברות שוליות‪:‬‬ ‫= ) ‪. PX ( xi‬‬ ‫א‪PXY ( xi , y j ) .‬‬ ‫∑‬ ‫‪yj‬‬ ‫ב‪( xi , y j ) .‬‬ ‫‪∑P‬‬ ‫‪XY‬‬ ‫= ) ‪. PY ( y j‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫תלות ומתאם‬ ‫•‬ ‫אי תלות‪ :‬שני משתנים מקריים בעלי התפלגות משותפת ‪ PXY‬נקראים משתנים בלתי תלויים אם‬ ‫לכל זוג ) ‪ ( xi , y j‬מתקיים ) ‪. PXY ( xi , y j ) = PX ( xi ) PY ( y j‬‬ ‫•‬ ‫אי מתאם‪ :‬שני משתנים מקריים נקראים בלתי מתואמים אם מתקיים ] ‪ . E[ X ⋅ Y ] = E[ X ] ⋅ E[Y‬פה‬ ‫)‬ ‫‪j‬‬ ‫‪∑ x y P( x , y‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫= ] ‪. E[ X ⋅ Y‬‬ ‫‪xi , y j‬‬ ‫•‬ ‫אם ‪ X , Y‬הם משתנים בלתי תלויים‪ ,‬אזי הם גם בלתי מתואמים‪ .‬ההפך לא בהכרח נכון!‬ ‫מדדים של משתנה דו ממדי‬ ‫•‬ ‫שונות משותפת‪. Cov( X , Y ) = E[ X ⋅ Y ] − E[ X ] ⋅ E[Y ] :‬‬ ‫•‬ ‫) ‪Cov ( X , Y‬‬ ‫מקדם המתאם‪:‬‬ ‫] ‪Var[ X ]Var[Y‬‬ ‫•‬ ‫תכונות של מקדם המתאם‪:‬‬ ‫א‪. ρ ( X , Y ) = ρ (Y , X ) .‬‬ ‫ב‪ .‬לכל ‪ γ , β , α‬ו‪ δ -‬חיוביים מתקיים ) ‪. ρ(βX + α, γY + δ) = sgn(βγ )ρ( X , Y‬‬ ‫ג‪ .‬לכל ‪ X‬ו‪ Y -‬מתקיים‪. − 1 ≤ ρ ( X , Y ) ≤ +1 :‬‬ ‫ד‪ .‬עבור משתנים בלתי מתואמים ‪. ρ ( X , Y ) = 0‬‬ ‫ה‪ .‬אם ‪ Y = aX + b‬אזי‪ ρ ( X , Y ) = +1 :‬עבור ‪ a > 0‬ו‪ ρ ( X , Y ) = −1 -‬עבור ‪. a < 0‬‬ ‫= ) ‪. ρ ( X ,Y‬‬ ‫שונות של סכום המשתנים ורגרסיה לינארית‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫שונות הסכום‪. Var[ X + Y ] = Var[ X ] + Var[Y ] + 2Cov( X , Y ) :‬‬ ‫רגרסיה לינארית‪ :‬הניבוי הלינארי הטוב ביותר ל‪ Y -‬בהינתן ‪ X‬ניתן על ידי קו הרגרסיה‬ ‫‪ Y = aX + b‬עם הפרמטרים‬ ‫) ‪Cov( X , Y‬‬ ‫) ‪Cov( X , Y‬‬ ‫] ‪Var[Y‬‬ ‫) ‪= ρ ( X ,Y‬‬ ‫] ‪, b = E[Y ] − E[ X‬‬ ‫] ‪Var[ X‬‬ ‫] ‪Var[ X‬‬ ‫] ‪Var[ X‬‬ ‫= ‪.a‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫עבור מדגמים גדולים‪ ,‬יש להשתמש בנוסחאות‪∑ X k :‬‬ ‫‪n k =1‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫‪(X k − X )2‬‬ ‫≈ ) ‪. Cov ( X , Y‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‬‫ו‬ ‫‪Var‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≈‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n − 1 k =1‬‬ ‫‪n − 1 k =1‬‬ ‫= ‪, E[ X ] ≈ X‬‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫הרצאה ‪ :7‬משתנה מקרי רציף‬ ‫הסתברות‪ ,‬פונקצית צפיפות ופונקצית התפלגות מצטברת‬ ‫‪b‬‬ ‫‪∫f‬‬ ‫= )‪. P ( a < X < b‬‬ ‫•‬ ‫הסתברות‪( x)dx :‬‬ ‫•‬ ‫תכונותיה של פונקצית צפיפות‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫א‪. f X ( x) ≥ 0 .‬‬ ‫ב‪∫ f ( x)dx = 1 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪t‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪( x)dx :‬‬ ‫•‬ ‫‪d‬‬ ‫נוסחת הקשר‪FX ( x) :‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪∫f‬‬ ‫= ) ‪. FX (t ) = P( X ≤ t‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫•‬ ‫= )‪. f X ( x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫תוחלת‪. E[ X ] = xf X ( x)dx :‬‬ ‫∫‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫•‬ ‫⎞‬ ‫∞‪⎛ +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫⎠‬ ‫∞‪⎝ −‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫שונות‪. Var[ X ] = E[ X 2 ] − ( E[ X ]) 2 = x 2 f X ( x)dx −⎜ xf X ( x)dx ⎟ :‬‬ ‫∫‬ ‫∫⎜‬ ‫⎟‬ ‫התפלגות אחידה‬ ‫•‬ ‫סימון‪. a < b , X ~ U c (a , b ) :‬‬ ‫•‬ ‫‪⎧ 1‬‬ ‫‪, a≤ x≤b‬‬ ‫⎪‬ ‫‪. f X ( x) = ⎨ b − a‬‬ ‫פונקצית צפיפות‪:‬‬ ‫אחרת ‪⎪⎩0‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪:‬‬ ‫‪⎧0, t < a‬‬ ‫‪⎪t −a‬‬ ‫⎪‬ ‫‪, a≤t <b‬‬ ‫⎨ = ‪. FX (t ) = P( X ≤ t ) = ∫ f X ( x)dx‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪⎪b − a‬‬ ‫‪⎪⎩1, t ≥ b‬‬ ‫‪t‬‬ ‫•‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪(b − a) 2‬‬ ‫= ] ‪ . E[ X‬שונות‪:‬‬ ‫תוחלת‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ] ‪. Var[ X‬‬ ‫התפלגות מערכית – זמן המתנה עד התרחשותו האירוע הראשון בזרם פואסוני‬ ‫•‬ ‫סימון‪. λ > 0 , Y ~ Exp(λ ) :‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית צפיפות‪:‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪FY (t ) = P(Y ≤ t ) = 1 − exp(−λt ) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ] ‪ . E[Y‬שונות‪. Var[Y ] = 2 :‬‬ ‫תוחלת‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪y<0‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫⎩‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫תכונת ''חוסר זיכרון''‪. P(Y > s + t / Y > s ) = P(Y > t ) :‬‬ ‫זמן המתנה עד תרחשותו האירוע ה‪ k -‬בזרם אירועים פואסוני מתפלג על פי החוק‪:‬‬ ‫‪t k −1e −λt‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪. f Y ( y ) = ⎧⎨λ exp(− λy ), y ≥ 0‬‬ ‫‪λk‬‬ ‫!)‪(k − 1‬‬ ‫= ) ‪. f T (t‬‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫ערכת מבחן‬ ‫התפלגות נורמלית‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪. X ~ N µ ,σ 2‬‬ ‫•‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫•‬ ‫פונקצית צפיפות‪⎞ :‬‬ ‫⎟⎟‬ ‫⎠‬ ‫•‬ ‫תוחלת‪ . E[X ] = µ :‬שונות‪ . Var[ X ] = σ 2 :‬פונקצית‪: Φ -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪⎛ (x − µ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪exp⎜⎜ −‬‬ ‫‪2σ 2‬‬ ‫‪σ 2π‬‬ ‫⎝‬ ‫= ) ‪ f X ( x‬עבור ∞‪. − ∞ < x < +‬‬ ‫‪−z2 / 2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪∫ dze‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪. Φ(t ) = 1‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫⎞ ‪t−µ‬‬ ‫⎜⎛‪. FX (t ) = P( X ≤ t ) = Φ‬‬ ‫פונקצית התפלגות מצטברת‪⎟ :‬‬ ‫⎠ ‪⎝ σ‬‬ ‫הסתברות‪. P (a ≤ X ≤ b) = Φ⎛⎜ b − µ ⎞⎟ − Φ⎛⎜ a − µ ⎞⎟ :‬‬ ‫⎠ ‪⎝ σ‬‬ ‫⎠ ‪⎝ σ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תכונה‪ :‬סכום של משתנים נורמליים ) ‪ X 1 ~ N ( µ1 ,σ 1‬ו‪ X 2 ~ N ( µ 2 ,σ 2 ) -‬בלתי תלויים‪,‬‬ ‫‪ , X = X 1 + X 2‬מתפלג נורמלית גם כן ‪. X ~ N ( µ1 + µ 2 ,σ + σ ) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הרצאה ‪ :8‬משפט הגבול המרכזי פלוס‬ ‫קירוב נורמלי להתפלגות בינומית – משפט דה מואבר‪-‬לפלס‬ ‫•‬ ‫עבור ‪ , n >> 1‬משתנה בינומי ) ‪ X B ~ Bin( n, p‬מתנהג כמשתנה נורמלי‬ ‫•‬ ‫תיקון רציפות בחישוב הסתברויות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎞ ‪⎛ k + 1 2 − np‬‬ ‫א‪⎟ − Φ⎜ k − 2 − np ⎟ .‬‬ ‫⎜‪. P ( X B = k ) = P (k − 1 2 < X N < k + 1 2 ) = Φ‬‬ ‫⎟ ) ‪⎜ np (1 − p‬‬ ‫⎟ ) ‪⎜ np (1 − p‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎞ ‪⎛ k + 1 2 − np‬‬ ‫ב‪⎟ .‬‬ ‫⎜‪. P ( X B ≤ k ) = P ( X N ≤ k + 1 2 ) = Φ‬‬ ‫⎟ ) ‪⎜ np (1 − p‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫) ) ‪. X B a X N ~ N (np, np (1 − p‬‬ ‫משפט הגבול המרכזי‬ ‫•‬ ‫משפט‪ :‬יהיו ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות זהה שתוחלתה ‪µ‬‬ ‫ושונותה ‪ . σ 2‬אם ‪ n‬גדול מאוד‪ , n >> 1 ,‬המשתנה‬ ‫בקירוב‪~ N ( nµ , nσ 2 ) :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫= ‪ X‬מתפלג נורמלית‬ ‫‪k =1‬‬ ‫= ‪.X‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫•‬ ‫הסתברויות‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬הם משתנים רציפים‪ ,‬בקירוב מתקיים‪:‬‬ ‫⎟⎞ ‪. P(k1 ≤ X ≤ k 2 ) = Φ⎛⎜ k 2 − nµ ⎞⎟ − Φ⎛⎜ k1 − nµ‬‬ ‫⎠ ‪⎝ σ n‬‬ ‫⎠ ‪⎝ σ n‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬הם משתנים בדדים‪ ,‬בקירוב מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎛‬ ‫⎞‬ ‫⎟ ‪⎜ k 2 + − nµ‬‬ ‫⎟ ‪⎜ k1 − − nµ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎜‪⎟ − Φ‬‬ ‫⎟‬ ‫⎜‪P (k1 ≤ X ≤ k 2 ) = Φ‬‬ ‫‪⎜ σ n‬‬ ‫⎟‬ ‫⎟ ‪⎜ σ n‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫•‬ ‫‪.‬‬ ‫משפט על ממוצע‪ :‬יהיו ‪ X 1 , X 2 ,..., X n‬התצפיות עבור משתנה מקרי כלשהו‪ .‬אם ‪ n‬גדול מאוד‪,‬‬ ‫‪ , n >> 1‬הממוצע‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∑X‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ X n‬מתפלג נורמלית בקירוב ⎟⎞ ‪. X n ~ N ⎛⎜ µ , σ‬‬ ‫⎟ ‪⎜ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫‪File: LifeLine-20019-2011.pdf | Dated by June 12, 2011 | Available online at http://www.hit.ac.il/acc/eugene.kanzieper‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ערכת מבחן‬ Appendix to the Lecture No 7 Normal distribution table: Don't forget to add 1/2 !! NA (0,d) = area of shaded region 0 d 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981 .4987 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .5000 .0040 .0438 .0832 .1217 .1591 .1950 .2291 .2611 .2910 .3186 .3438 .3665 .3869 .4049 .4207 .4345 .4463 .4564 .4649 .4719 .4778 .4826 .4864 .4896 .4920 .4940 .4955 .4966 .4975 .4982 .4987 .4991 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .5000 .0080 .0478 .0871 .1255 .1628 .1985 .2324 .2642 .2939 .3212 .3461 .3686 .3888 .4066 .4222 .4357 .4474 .4573 .4656 .4726 .4783 .4830 .4868 .4898 .4922 .4941 .4956 .4967 .4976 .4982 .4987 .4991 .4994 .4995 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0120 .0517 .0910 .1293 .1664 .2019 .2357 .2673 .2967 .3238 .3485 .3708 .3907 .4082 .4236 .4370 .4484 .4582 .4664 .4732 .4788 .4834 .4871 .4901 .4925 .4943 .4957 .4968 .4977 .4983 .4988 .4991 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0160 .0557 .0948 .1331 .1700 .2054 .2389 .2704 .2995 .3264 .3508 .3729 .3925 .4099 .4251 .4382 .4495 .4591 .4671 .4738 .4793 .4838 .4875 .4904 .4927 .4945 .4959 .4969 .4977 .4984 .4988 .4992 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0199 .0596 .0987 .1368 .1736 .2088 .2422 .2734 .3023 .3289 .3531 .3749 .3944 .4115 .4265 .4394 .4505 .4599 .4678 .4744 .4798 .4842 .4878 .4906 .4929 .4946 .4960 .4970 .4978 .4984 .4989 .4992 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0239 .0636 .1026 .1406 .1772 .2123 .2454 .2764 .3051 .3315 .3554 .3770 .3962 .4131 .4279 .4406 .4515 .4608 .4686 .4750 .4803 .4846 .4881 .4909 .4931 .4948 .4961 .4971 .4979 .4985 .4989 .4992 .4994 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0279 .0675 .1064 .1443 .1808 .2157 .2486 .2794 .3078 .3340 .3577 .3790 .3980 .4147 .4292 .4418 .4525 .4616 .4693 .4756 .4808 .4850 .4884 .4911 .4932 .4949 .4962 .4972 .4979 .4985 .4989 .4992 .4995 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0319 .0714 .1103 .1480 .1844 .2190 .2517 .2823 .3106 .3365 .3599 .3810 .3997 .4162 .4306 .4429 .4535 .4625 .4699 .4761 .4812 .4854 .4887 .4913 .4934 .4951 .4963 .4973 .4980 .4986 .4990 .4993 .4995 .4996 .4997 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000 .0359 .0753 .1141 .1517 .1879 .2224 .2549 .2852 .3133 .3389 .3621 .3830 .4015 .4177 .4319 .4441 .4545 .4633 .4706 .4767 .4817 .4857 .4890 .4916 .4936 .4952 .4964 .4974 .4981 .4986 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .5000

ערכת מבחן 2020 2021 180821

Related documents

Products

Support

ערכת מבחן 2020 2021 180821

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib