3. Helygörbék Eddig olyan áramköröket vizsgáltunk, amelyekben valamennyi elem jellemző értéke (ellenállása, induktivitása, kapacitása) állandó volt. Így egy adott gerjesztés hatására a kialakuló áramok illetve feszültségek időben állandó (egyenáramú hálózatok), illetve állandó amplitúdójú, időben szinuszosan váltakozó, állandó frekvenciájú mennyiségek (váltakozó áramú hálózatok). A továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy időben szinuszosan váltakozó gerjesztés esetén milyen következményekkel jár, ha az áramkör valamelyik elemének jellemzője változik. A vizsgált áramkör minden esetben lineáris, koncentrált paraméterű, invariáns hálózat. A váltakozó áramú hálózatok vizsgálatát a komplex számításmód alkalmazásával végeztük. Ennek során minden szinuszosan változó mennyiséghez hozzárendeltünk egy fázort, amelyeket a komplex számsíkon ábrázolhattunk (fázorábra). Ez az áramköri elemek egy adott értéke esetén kialakuló jellemzőket jeleníti meg. Egy változó áramköri jellemző – egy változó valós paraméter – hatására az áramkör valamennyi árama és feszültsége megváltozik. Ha energiatároló elem (tekercs vagy kondenzátor) található az áramkörben, akkor nemcsak a kialakuló áramok, feszültségek nagysága (csúcsértéke illetve effektív értéke) fog megváltozni, hanem a fázishelyzetük – pl. a feszültség és áram időfüggvények közötti fáziseltérések nagysága – is változhat. Természetesen ennek megfelelően változni az egyes fázorok helyzete, tehát a fázorábra is. A helygörbe a komplex számsíkon ábrázolt olyan görbe, amelyet egy valós változójú komplex függvény fázorjának (vektorának) végpontja ír le, mialatt a valós változó az értelmezési tartományának valamennyi lehetséges értékét folyamatosan felveszi. Először azt vizsgáljuk meg, hogy az áramköri jellemzők változásának leírására, ábrázolására milyen lehetőségeink vannak, majd részletesen tárgyaljuk a villamos jellemzők meghatározásának, ábrázolásának különböző módjait. Külön elemezzük a gerjesztés frekvenciájának változása miatt létrejövő jelenségeket. 3.1. Az impedancia- és az admittancia-diagram Im Z 0 p=0 L Ze p·R0 jXL 1 p=1 p-skála 2 p→∞ p=2 Z(p) R0+jXL 2·R0+jXL Re Z R0 a) 1. ábra Változó paraméterű hálózat a) kapcsolási rajz 2·R0 b) b) az impedancia-diagram Vizsgáljuk meg, hogy az ellenállás értékének változásakor (1a ábra), hogyan változik a kör impedanciája. A váltakozó áramú hálózatok tárgyalásánál megismertek szerint az impedancia értéke felírható Z e ( p) = p ⋅ Ro + jωL alakban. Tehát olyan komplex számmal adható meg, amelynek képzetes része állandó, és csak a valós része változik. Ezért az impedancia vektorok (komplex számok) ábrázolásakor (b 1 ábra) a vektorok végpontja egy – a valós tengellyel párhuzamos - egyenesen mozog. Az azonos tulajdonságú pontok halmazát mértani helynek nevezzük. Tehát az impedanciadiagram az impedancia-vektor végpontjainak mértani helye a komplex síkon. Nyilvánvaló, hogy a helygörbe egyes pontjaihoz a változó elem (pl. ellenállás) különböző értéke tartozik. A változó érték jelöléséhez bevezetjük a paramétert, amely a változónak egy alapértékhez (Ro) viszonyított arányát adja meg: R . Ro Tehát a paraméter azt mutatja meg, hogy a változó értéke a választott alapérték hányszorosa. A paraméterek értékét az impedancia helygörbével párhuzamos egyenesen tüntetjük fel. Ezt a lineáris léptékkel rendelkező - egyenest paraméter-skálának (p-skála) nevezzük. p= A kör áramának értékét az Ohm-törvény alkalmazásával határozhatjuk meg: U = U ⋅ Ye ( p ) I ( p) = Z e ( p) Tehát a feszültséget az impedancia reciprokával, az admittanciával kell szorozni, ezért az admittancia változását is egy helygörbével ábrázolhatjuk, amit admittancia-diagramnak nevezünk. Ebből következik, hogy minden impedancia vektorhoz hozzárendelhetünk egy megfelelő inverz (reciprok) admittancia vektort. Vizsgáljuk meg, hogy ezt a hozzárendelést hogyan kell elvégezni. A komplex inverzió az a matematikai művelet, amellyel egy vektort invertálunk, azaz a vektorhoz a megfelelő inverz (reciprok) vektort hozzárendeljük. Röviden foglaljuk össze a komplex inverzió legfontosabb jellemzőit az 1 1 1 − jϕ Y ( p) = = = ⋅e Z ( p ) Z ⋅ e jϕ Z összefüggés alapján. Eszerint egy vektor invertálása két lépésben történhet (2. ábra): 1./ Tükrözzük a vektort a valós tengelyre (a ’+ϕ’ szögből ’-ϕ’ szög lesz). 2./ Képezzük a vektor hosszának a reciprokát. Az impedancia-helygörbe Im a valós tengellyel párhuzamos p=0 egyenes, tehát a tükrözött görbe is a valós tengellyel párhuzamos egyenes lesz. A reciprokképzés jXL során az origóhoz (inverziós centrumhoz) legközelebb lévő ϕ pont (p=0) kerül az origótól 0 -ϕ legtávolabbra. Tételezzük fel, hogy XL egységnyi (XL=1), ezért B a reciproka is 1, tehát a p=0 pont helye nem változik (’A’ pont). Az A OA szakaszra, mint átmérőre, p=0 rajzoljunk egy félkört. A tükörkép helygörbe p=1 pontjához (C pont) húzott vektor a félkört a ’B’ pontban metszi. 2 p=1 p=2 Z(p) Re Z Z(p) tükörkép C p=1 p=2 2. ábra Mivel az OAC és OAB derékszögű háromszögek hasonlóak, felírhatjuk az oldalak arányára: OB OA Im = . OA OC p=1 p→∞ p=2 p=0 1 Feltételeztük, hogy OA =1, ezért OB = . Z(p) Z(1) OC Z(0) Z(2) Az OC a p=1 paraméterhez tartozó Re impedancia nagyságát jelenti, ezért ennek p=∞ reciproka az admittanciát adja meg. Y(2) Az inverzió eredményét a 3. ábrában foglaltuk össze. Az impedancia helygörbe egy Y(p) általános helyzetű félegyenes (0<p<∞), tehát Y(0) Y(1) p-skála az admittancia helygörbe egy origón átmenő félkör lesz. A félkörön a különböző paraméterű p=1 p=2 pontok elhelyezkedése nem lesz lineáris, de az p=0 adott ponthoz tartozó paraméter meghatározá3. ábra sához a tükrözött impedancia helygörbe paraméter-skálaként felhasználható, mivel lineáris (p=∞) Im léptékű. Ezzel párhuzamos bármely egyenes, azaz a kör p=∞ paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos bármely egyenes lehet Re paraméter-egyenes. a) p=∞ A félkör átmérőjét az határozza meg, hogy inverz milyen admittancia-léptéket választunk. Természe(p=0) egyenes tesen az impedancia és az admittancia léptéke egymástól függetlenül megválasztható. Im (p=∞) a p=∞ b) Re 1/ a tükrözött egyenes K A Im B Re c) K A inverz B kör tükrözött kör B’ A’ 4. ábra A komplex inverzió szabályait az alábbiakban foglalhatjuk össze: 1./ Az origón (inverziós centrumon) átmenő egyenes inverze a tükörkép-egyenes (4a ábra). A reciprok-képzés miatt a inverziós centrumban lévő pont megfelelője az inverz helygörbe végtelenben lévő pontja. Az inverz egyenes nem rendelkezik lineáris paraméter-skálával, ha az eredeti egyenes paraméterezése lineáris. 2./ Általános helyzetű egyenes inverze origón átmenő kör (4b ábra). A reciprok-képzés miatt az egyenes végtelenben lévő pontja (jelen esetben a p=∞ paraméterű pont) kerül az inverzió centrumába (az origóba), és az egyenesnek az origóhoz legközelebbi pontja lesz a kör origótól legtávolabbi pontja. Ez tehát a kör átmérőjének két végpontja, aminek felezési pontja lesz a kör középpontja.(A kör már ez alapján is megrajzolható.) Tehát a kör középpontja rajta lesz az origóból a tükrözött egyenesre bocsátott merőlegesen. 3 Ebből következik, hogy az egyenes egy pontjának ( a vektor) invertálásával (1/ a vektor), és a húrfelező merőleges megszerkesz-tésével is meghatározható a kör középpontja (K). A paraméter-skála elkészítéséhez egy további pontra is szükség van 3./ Általános helyzetű kör inverze általános helyzetű kör (4c ábra). Az inverzió első lépése tükrözés a valós tengelyre. A tükrözés előtt megrajzoljuk az origóból induló, és a kör középpontján átmenő egyenest, valamint egy szelőt is húzunk a körhöz (A és B pontok). A tükrözést követően ezek a tükrözött kör A’ és B’ pontjai. Rajzoljuk meg az origóból a tükrözött körhöz húzható érintőket. Nyilvánvaló, hogy ezek az inverz körnek is érintői lesznek, mert a reciprokképzés során a szögtartomány nem változhat. Az inverz kör középpontja rajta lesz az origót a tükrözött kör középpontjával összekötő egyenesen. Az A’ ponthoz tartozó vektor reciprok vektorának végpontja az A pontban van, illetve a B’ ponthoz tartozó vektor végpontja a B pont. Az eredeti körön a B pont volt közelebb az origóhoz, a reciprok körön viszont az A pont lesz közelebb, mert a nagyobb szám reciproka lesz kisebb. A két pont alapján megszerkesztett felező merőleges egyúttal az inverz kör húrfelező merőlegese, ami a tükrözött kör középpontjához az origóból húzott egyenesen kijelöli az inverz kör középpontját. Ennek ismeretében az inverz kör már megrajzolható. Természetesen a paraméter-skála elkészítéséhez itt is szükség van még egy pontra. Példa: Szerkesszük meg a komplex inverzió szabályainak alkalmazásával az 5. ábrán megadott kapcsolás eredő impedancia és admittancia diagramját ω = 2000 rad/s körfrekvencia esetén, ha a paraméter értéke a 0 ≤ p ≤ ∞ tartományban változik. R=2Ω L0 = 1 mH C = 250 µF ∼ C R p·L0 5. ábra Megoldás: Az energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 1 1 X L 0 = ω ⋅ L0 = 2000 ⋅ 10 −3 = 2 Ω XC = = = 2Ω ω ⋅ C 2000 ⋅ 250 ⋅ 10 −6 Az első lépésben a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás admittanciáit kell összegezni, amihez az induktivitás admittancia-diagramját kell meghatározni. Az induktivitás impedancia függvénye Z L ( p ) = j ⋅ 2 ⋅ p , a képzetes tengely pozitív részébe eső, félvégtelen 1 1 0,5 egyenes (6a ábra). Ennek reciproka az YL ( p ) = = =−j , ami a képzetes Z L ( p) j ⋅ 2 ⋅ p p tengely negatív részébe eső félvégtelen egyenes. Ennek a p=0 pontja van a ∞-ben, és a p=∞ 1 1 pontja kerül az origóba. Ha ehhez hozzáadjuk az ellenállás reciprokát - YR = = = 0,5 S -, R 2 akkor ennyivel tolódik el az egyenes a valós tengely irányában (6b ábra). Így megkapjuk Y p ( p ) -t, a párhuzamosan kapcsolt ágak eredő admittancia diagramját. Ennek reciproka a Z p ( p ) impedancia-diagram, amely a párhuzamosan kapcsolt ellenállás és induktivitás eredő impedanciáját adja meg. Ez egy félkör, tehát a képzetes tengellyel párhuzamos félvégtelen egyenes inverze a valós tengelyen nyugvó félkör. Az eredő impedanciát úgy kapjuk meg, hogy ehhez hozzáadjuk a vele sorba kapcsolt kapacitás impedanciáját, amely Z C = − j 2 Ω . Ezzel a félkört eltoljuk a képzetes tengellyel 4 párhuzamosan (6c ábra). Így egy általános helyzetű kört (félkört) kapunk, amely a megadott áramkör eredő impedanciájának helygörbéje. Im Z Im Y (p=∞) 2Ω 0,5 S Im Z p=1 p=1 1Ω ZL(p) 0,5 S Re Y p=∞ p=∞ Re Z I,A p=0 YL(p) 2Ω -0,5 S -1 Ω p=1 p=1 -2 Ω (p=0) (p=0) a) Re Z p=∞ p=0 Yp(p) Zp(p) 2Ω Ze(p) p=1 p=∞ p=0 b) c) 6. ábra Az eredő admittancia helygörbéjét ennek inverziójával kapjuk meg (7. ábra). Az ábrán – az inverziós lépések jobb követhetősége érdekében – feltüntettük a Z p ( p ) helygörbét is. Ye(p) Im Y 0,5 S p=0 L p=1 p=∞ 0,5 S 0 Re Y A képzetes tengelyen nyugvó pont (p=0) inverze is a képzetes tengelyen lesz (az admittancia-lépték most is ez előzőekben használttal megegyező). Mivel az impedancia helygörbének érintője a képzetes tengely, ezért az inverz körnek is érintője lesz (l. a 4c ábrát!). Tehát az inverz kör középpontja rajta van a p=0 pontban a képzetes tengelyre állított merőlegesen. Másrészt rajta van az eredeti kör középpontján áthaladó egyenes tükörképén is, így a kör középpontja a két egyenes metszéspontja (L pont). A másik két pont helyének meghatározásához húzzunk egyenest az impedancia-diagram p=1 paraméZe(p) terű pontján keresztül, amely most áthalad a p=∞ K (2 Ω) paraméterű ponton is. Ezt tükrözve a valós tengelyre, a p=∞ p=0 tükrözött egyenes metszi a kört, és a metszéspontok 7. ábra kijelölik a keresett pontokat. Vigyázzunk, mert – a reciprokképzés miatt – az origóhoz közelebbi pont (p=1) kerül az origótól távolabbra az inverz görbén (l. a 4c ábrán az A és B pontokat!). A keresett helygörbe a kör vastagon kihúzott szakasza, tehát egy 0,5 S átmérőjű háromnegyed kör. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a p=0 pontból kiindulva haladunk a görbe mentén a p=∞ pontig úgy, hogy közben a p=1 ponton is áthaladjunk (vastag vonallal jelzett szakasz). p=1 Tehát a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p=0 pontból a p=∝ pontba jutunk úgy, hogy közben a harmadik (például p=1 paraméterű) ponton is áthaladunk. Im Y Példa: 0 5 1S p=1 -1 S 2S Re Y p=∞ p=0 8. ábra Határozzuk meg a 8. ábrán megadott eredő admittancia-diagram alapján az áramkör felépítését, és az elemek értékét, ha ω = 2000 rad/s! Megoldás: Az admittancia diagramot bontsuk fel két összetevőre (9a ábra). Az egyik egy konstans ( Y1 = −1 j S ) míg a másik az Y2 ( p) félkör, amely a változó paramétert tartalmazza, tehát az eredő admittancia a kettő összege. Az admittanciák párhuzamos kapcsolás esetén összegződnek, tehát a kapcsolás két párhuzamos ágból áll. Az egyik ág impedanciája X 1 1 Z1 = = 1 j Ω , amiből az induktivitás értéke: L = L = H = 500 µH . Y1 2000 ω A másik ág admittancia diagramját megrajzoltuk (9b ábra), és az inverziót elvégeztük. A Z 2 ( p ) a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, tehát ez az ág egy soros RC-tag, ahol a kondenzátor kapacitása változik. p=1 Im Y p=1 -1 S 2S Re Y Y1 Y2(p) Im p=∞ Z2(p) Y2(p) p=∞ p=0 Re p=∞ p=0 ∼ R L p·C0 p=1 a) (p=0) b) 9. ábra 10. ábra 1 1 1 = = 0,5 − j 0,5 Ω , ezért az ellenállás értéke R = 0,5 Ω, a Y2 (1) 1 + j S 1 1 = F = 10 −3 F . kapacitás értéke pedig C 0 = ω ⋅ X C 0 2000 ⋅ 0,5 Az áramkör felépítése a 10. ábrán látható. Mivel Z 2 (1) = A példák alapján összefoglalóan megállapíthatjuk: Ha a passzív hálózatrész több elemet tartalmazó vegyes kapcsolás, akkor az eredő admittancia diagramját általában több lépésben – az inverziós szabályok ismételt alkalmazásával - határozhatjuk meg. Ezek a lépések lehetnek összegzések vagy komplex inverziók is. Ha egy diagramhoz egy vektor hozzáadunk, akkor a diagram alakja nem változik, csak eltolódik a vektornak megfelelően. Az komplex inverzió szabályaiból következik, hogy a helygörbék alakja kör vagy egyenes. Történhet olyan összegzés is, aminek következtében az eddig általános helyzetű kör átmegy az origón. Természetesen ennek inverze egyenes lesz. Ezek alapján kimondhatjuk: ha az áramkörben csak egy elem értéke változik, akkor a helygörbe egyenes vagy kör lehet. A továbbiakban mi csak ilyen eseteket vizsgálunk. Ilyenkor viszont nem szükséges a fenti – sokszor körülményes, hosszadalmas – lépésenkénti szerkesztést (komplex inverzió) alkalmaznunk. Ugyanis a három pontja ismeretében egyértelműen megállapítható a helygörbe alakja (egyenes vagy kör), és ez alapján a szerkesztés elvégezhető. A következő pontban ezt részletesen tárgyaljuk. Ellenőrző kérdések: 6 1./ Milyen következményekkel jár az energiatároló elemek reaktanciának változása szinuszos gerjesztés esetén? 2./ Hogyan ábrázolhatjuk a változó mennyiségeket? 3./ Mi a paraméter, és hogyan értelmezhető? 4./ Mi az impedancia-diagram? 5./ Mi az admittancia-diagram? 6./ Mi a komplex inverzió, és mik a szabályai? 7./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő impedancia-diagramja? 8./ Hogyan szerkeszthető meg az összetett áramkörök eredő admittancia-diagramja? 9./ Milyen jellegű helygörbe fordulhat elő, ha csak egy elem értéke változik? 3.2. Az áram-munkadiagram Ha az eddig vizsgált áramkörre egy állandó amplitúdójú, szinuszosan váltakozó feszültséget előállító generátort kapcsolunk (11a ábra), akkor a körben szinuszosan váltakozó áram alakul ki. Az ennek megfelelő fázorábra a 11b ábrán látható. Az UL = I·XL alapján nyilvánvaló, hogy a kör árama UL-el arányosan fog változni, tehát az ellenállás értékének növelésekor csökken. Az áram vektorának helyzete viszont az UR-el megegyező (az ellenállás áramának és feszültségének fázisszöge azonos). Ha R=0 (p=0), akkor UL=U, és az áram 90o-kal késik az U feszültséghez képest (12a ábra). Ha az ellenállás értékét növeljük, akkor a kör impedanciája nő, árama csökken és a ϕ fázisszög is kisebb U = U ⋅ Y ( p) lesz. A kialakuló áram az I ( p) = Z ( p) összefüggés alapján az impedancia reciprokával az ún. Im L U p·R0 I UR a) Im Re U ϕ UL UR I b) 11. ábra Im Re U UL p=∞ I(p) I(0) p=2 I(1) 0 I(0) p=0 a) Re U I(2) p=1 p-skála 2 1 I(p) b) 12. ábra admittanciával arányos. Vegyük észre, hogy az áram-munkadiagram csak az U konstans szorzóban tér el az admittancia diagramtól! Ha az U feszültséget nulla fázisúnak tételezzük fel (időfüggvényének fázisszöge nulla), akkor fázora a valós tengelyen helyezkedik el. Ha az áramléptéket az ⎡A⎤ ⎡ S ⎤ a I ⎢ ⎥ = U [V ] ⋅ aY ⎢ ⎥ ⎣ cm ⎦ ⎣ cm ⎦ 7 összefüggés alapján határozzuk meg, akkor az admittancia- és az áram-diagram ugyanaz a helygörbe lesz a komplex számsíkon, csak a léptékben különböznek! A 12b ábrán az ennek megfelelő helygörbét ábrázoltuk. Az U feszültségfázor ábrázolása csak tájékoztató jellegű (nul-la fázisú mennyiség). Így feszültség-léptéket sem definiálunk (az U fázor hossza tetszőleges). Az áram-munkadiagram az áramfázor végpontjainak mértani helye, amely a helygörbét és a hozzárendelt paraméter-skálát jelenti. Az áram-munkadiagram meghatározására a következő lehetőségek állnak rendelkezésre: 1./ Felírjuk a függvény komplex alakját, és ez alapján megállapítjuk („kitaláljuk”), hogy milyen görbe egyenlete (l. később). Ez a módszer csak egyszerűbb esetekben alkalmazható (ha a helygörbe egyenes vagy kör), és megfelelő matematikai ismereteket igényel. 2./ A függvény egyenletébe behelyettesítve az adott (p1 ≤ p ≤p2 ) tartomány több pontjában, kiszámoljuk a függvény értékét (pl. áramot). A kapott értékeket a komplex számsíkon ábrázolva az összekötő görbe megadja a keresett helygörbét. Mindig használható módszer, de sok számolással jár (l. számítástechnika!). 3./ A komplex inverzió szabályainak alkalmazásával megszerkesztjük a diagramot (részletesen megtalálható az előző pontban). A gyakorlatban ritkán használjuk. 4./ A diagramot számítással határozzuk meg, azaz 3 pontban az áram értékét meghatározzuk. Az egyenes 2 pontja, a kör 3 pontja ismeretében rajzolható meg. Ez az áram-munkadiagramok megrajzolásánál kettő illetve három áramfázor (komplex szám) meghatározását jelenti. A továbbiakban csak ezzel a módszerrel foglalkozunk! Mivel az általunk vizsgált áramkörökben csak egy elem értéke változik, ezért a helygörbe vagy egyenes, vagy kör lehet. Tehát három pont ismeretében egyértelműen eldönthetjük, hogy a diagram egyenes vagy kör. Ehhez ki kell választani azt a három pontot (paraméter értéket), amelyeknél kiszámoljuk az áram komplex értékét. A p=0 és p=∞ paraméter esetén mindig számolunk (még akkor is, ha utóbbi értéket a paraméter ténylegesen fel sem veszi). Ezekben az esetekben a változó elem – jellegétől függően - rövidzárral illetve szakadással helyettesíthető, ami egyszerű számolást tesz lehetővé. Másrészt a paraméter-skála megszerkesztéséhez a p=∞ paraméterű pontra szükségünk van. Ha a valós paraméter ennél szűkebb tartományban változik (pl. 0 ≤ p ≤ 3), a helygörbén az értelmezési tartományt utólag – a paraméter-skála segítségével – jelölhetjük ki. A harmadik pont egy tetszőleges paraméterű pont lehet, de a kiválasztásánál itt is a célszerűség a meghatározó (az áram komplex értékét minél egyszerűbben meghatározhassuk). Általában a p=1 (esetleg p=2 vagy p=0,5) paraméterű pontban számolunk. Ez a pont a paraméter-skála léptékének elkészítéséhez szükséges. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a helygörbe nyilvánvalóan egyenes. Egyéb esetekben a húrfelező merőlegesek szerkesztésével a kör középpontját meghatározhatjuk, így a kör megrajzolható. Számos esetben a három pont ábrázolása után – a pontok elhelyezkedése alapján – a kör középpontja közvetlenül megállapítható, tehát a húrfelező merőlegesek szerkesztésére nincs szükség! Ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a helygörbe a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p=0 pontból a p=∞ (vagy pmax) pontba jutunk el úgy, hogy közben a harmadik ponton (pl. p=1) is áthaladunk. 8 A diagramból közvetlenül leolvashatjuk az áram nagyságát és a fázisszögét, amely megadja, hogy mekkora szöggel késik az áram időfüggvénye a generátor feszültségéhez (U) képest. Ugyanakkor az ehhez tartozó paraméter értékét még nem ismerjük. Ha az ellenállás az impedanciának lineáris függvénye, akkor az impedancia-diagram lineáris paraméter-skálaként használható (l. a 2. és 3. ábrákat). A kör p = ∞ paraméterű pontjához húzható érintő adja meg az impedancia-diagram illetve tükörképének irányát. Ez a tapasztalatunk általánosítható: A paraméter-egyenes a helygörbe p = ∞ pontjához húzott érintővel párhuzamos egyenes. (12b ábra). Egy adott ellenállás értékhez (paraméterhez) tartozó pont helyének a helygörbén történő meghatározására szolgál a paraméter-skála, amely egy skála-beosztással ellátott paraméter-egyenes. Az egyenes önmagával párhuzamosan bármikor eltolható, így a skálaosztás tetszőlegesen nagyítható vagy kicsinyíthető. A paraméter-skála megrajzolásának a menete a következő (13. ábra): 1./ Húzzunk egy egyenest a helygörbe p = ∞ pontjába húzható érintővel párhuzamosan. 2./ Húzzunk segédegyenest a p = ∞ pontból a helygörbe p = 0 pontján keresztül, amely kijelöli a p = 0 pontot (A) a paraméter-egyenesen. 3./ Húzzunk segédegyenest a p = ∞ pontból a helygörbe p = 1 pontján keresztül, amely kijelöli a p = 1 pontot (B) a paraméter-egyenesen. 4./ A paraméter-skála lineáris, tehát a p = 0 és a p = 1 pontok helyének ismeretében az egyenesen a lineáris skálaosztást elkészíthetjük. A fenti egyenessel párhuzamos bár- 1,5 1 0 Im I mely egyenes paraméterskálaként használp-skála ható! Például keressük meg a helygörbén a Re I U p = 1,5 paraméterű pont helyét! p=∞ Az először megrajzolt paraméterI skálán a p = 1,5 pontot nem tudjuk kijelölp=1,5 ni, mert a rajzon erre nincs elegendő hely. Mivel a p = ∞ pontba húzható érintővel p=1 párhuzamos bármely egyenes felhasználB’ C’ p-skála A’ 0 ható paraméter-egyenesként, ezért a p-skála 1 1,5 I ( p) osztását kicsinyíthetjük a p = ∞ ponthoz B p=0 közelebb húzott párhuzamos egyenes A 0 1 p-skála felvételével. Ezen a paraméter-skálán az A′ B′ másfélszerese jelenti a p = 1,5 para13. ábra méterű pont helyét ( C′ pont). A p = ∞ pontból ezen a ponton keresztül kell húznunk egy segédegyenest, amelynek a helygörbével adódó metszéspontja jelenti a diagram p = 1,5 paraméterű pontját (az ehhez tartozó áramfázort ábrázoltuk). A paraméter-skála kicsinyítését, a p = ∞ ponthoz közelebb húzott párhuzamos egyenest megrajzolhattuk volna a valós tengely feletti részen is (tkp. középpontos tükrözés a p=∞ paraméterű pontra). Ennek a megoldásnak előnye, hogy a paraméter-skála a helygörbén kívül helyezkedik el, így áttekinthetőbb marad az ábra. Az egyes paramétereknek megfelelő pontok helyét a segédegyeneseknek a p=∞ ponton keresztül történő meghosszabításával jelölhetjük ki ezen a paraméter-egyenesen. 9 Példa: Rajzoljuk meg a 14. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! U = 60 V ω = 1000 rad/s Ie L R2 = 10 ohm R1 = 20 ohm L = 10 mH Co = 50 µF 0≤p≤5 p·C0 I1 U R2 R1 A diagram alapján határozzuk meg a p I2 paraméter értékét Ie = 9 A esetén, valamint az eredő áram legnagyobb értékét! 14. ábra Megoldás: Az áramkör két párhuzamosan kapcsolódó részre bontható, amelyek közvetlenül a generátor kapcsaira csatlakoznak. Az egyik az R1 ellenállás, a másik a vegyes RLC kapcsolás, amelyben a változó értékű elem található. Így az eredő áram a két áram összege I e ( p ) = I1 + I 2 ( p ) , ahol a párhuzamosan kapcsolt R1 ellenállás árama a paraméter változásától független: U 60 V I1 = = = 3A . R1 20 Ω Az I2 áram meghatározásához először határozzuk meg az energiatároló elemek reaktanciáját a megadott körfrekvencián: 1 1 X L = ω ⋅ L = 1000 ⋅ 10 ⋅ 10 −3 = 10 Ω illetve = = 20 Ω X C0 = ω ⋅ C 0 1000 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 A kondenzátor reaktanciája a paraméter függvényében az X 1 1 20 X C ( p) = = = C0 = Ω ω ⋅ C ω ⋅ p ⋅ C0 p p összefüggés szerint változik. Az áramot a p=0 és p=∞ paraméterű pontokban, valamint a p=2 paraméternél határozzuk meg. Utóbbit az indokolja, hogy ekkor könnyen meghatározható a párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája [ 10 ⊗ (− j10 ) = 5 − j 5 ]. A számítás során előbb az eredő impedanciákat határozzuk meg, majd ebből az áramokat. p=0 esetén a kondenzátor szakadással helyettesíthető: Z 2 (0) = (10 + j10) Ω p=∝ esetén a kondenzátor rövidzárral helyettesíthető: Z 2 (∞ ) = j10 Ω p=2 esetén a három elem eredő impedanciája: Z 2 (2) = j10 + 5 − j 5 = (5 + j 5) Ω Így az áramok az egyes paramétereknél: I 2 (0) = I 2 (∞ ) = I 2 (2) = 60 V 6 = = 3 − j3 A 10 + j ⋅ 10 Ω 1 + j ⋅ 1 I e (0) = I1 + I 2 (0 ) = 3 + 3 − j 3 = 6 − j 3 A 60 V = − j ⋅6 A j ⋅ 10 Ω I e (∞ ) = I1 + I 2 (∞ ) = 3 − j 6 A 60 V 12 = = 6 − j6 A 5 + j ⋅ 5 Ω 1 + j ⋅1 I e (2) = I1 + I 2 (2 ) = 3 + 6 − j 6 = 9 − j 6 A 10 Ez alapján az eredő áram léptékhelyes diagramja megrajzolható (15. ábra). Az ábrázoláshoz A aI = 1 léptéket vettünk fel. cm A három pont bejelölése után megállapíthatjuk, hogy a helygörbe 6 A átmérőjű kör, melynek középpontja (K) a koordináta-rendszer (6, -6) pontja. Tehát a kör húrfelező merőlegesek szerkesztése nélkül is megrajzolható (vékony vonal). A helygörbe háromnegyed kör lenne, ha a paraméter a 0…∞ tartományban változna (vastagabb vonal). Mivel a paraméter a 0…5 tartományban változik, ezért meg kell határozni a görbén a p=5 paraméterhez tartozó pont helyét. Ez a paraméter-skála felhasználásával végezhető el. Im I, A 0 5 U 10 Re I, A p-skála I=9 A 0 9A p=0 Imax 5 p=∞ K 2 p=2 I(p) p=5 10 5 15. ábra A kör p=∞ paraméterű pontjához húzható érintő a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, ezért a képzetes tengellyel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként hasz-nálható. A skálabeosztás elkészítéséhez húzzunk segédegyeneseket a kör p=∞ paraméterű pontjából a p=0 és p=2 paraméterű pontjain keresztül. Ezek kijelölik a paraméteregyenesen a 0 és 2 pontok helyét. Ez alapján a lineáris skálabeosztás elkészíthető, a keresett paraméterhez tartozó pont meghatározható Pl. a p=5 paraméter értékhez tartozó pont a 0 és 2 pontok távol-ságának másfélszeresére van a p=2 paraméterű ponttól. A paraméter-skála p=5 paraméterű pontját a kör p=∞ pontjával összekötve a segédegyenes és a kör metszéspontja adja meg a helygörbe p=5 paraméterű pontját. A körnek a p=0 és p=5 paraméterű pontok közötti része (vastag vonal) a keresett helygörbe. 11 Ezzel a léptékhelyes diagram elkészült, aminek kiértékelésével válaszolhatunk a kérdésekre. Rajzoljunk az origóból mint középpontból a 9 A-nek megfelelő (9 cm) sugarú körívet. Ez két pontban is metszi a megrajzolt kört, de csak az egyik pont tartozik a diagramhoz. (Ha a paraméter-tartomány felső határa ∞ lett volna, akkor két megoldás lenne.) A körív és a diagram metszéspontja a 9 A nagyságú eredő áramhoz tartozó fázor végpontja. Ezt a pontot a kör p=∞ paraméterű pontjával összekötő segédegyenes jelöli ki a paraméterskálán az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értékét (p=1,15). A maximális áramot a diagram origótól legtávolabb lévő pontja határozza meg. Ezt a pontot úgy kapjuk meg, hogy az origóból egyenest húzunk a kör középpontján keresztül. A kör és az egyenes metszéspontja adja meg a körnek az origótól legtávolabbi pontját, tehát a maximális áramhoz tartozó fázor végpontját. A léptékhelyes ábrából leolvasva: Imax= 11,5 A. Feladat: A leírtak alapján határozzuk meg szerkesztéssel a maximális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,35) Im I p=∞ O I·cos ϕ U Re I ϕ Q P p=∞ ϕ O I·sin ϕ I Q S p=1 B P p=1 B A A p=0 p=0 a) b) 16. ábra A 13. ábrán megrajzolt helygörbe (áram-diagram) nemcsak az áramok, hanem a teljesítmények meghatározására is alkalmas (16. ábra). Az I áramfázornak a valós tengelyre vett (az U feszültségvektor irányába eső) vetülete I ⋅ cosϕ (16a ábra), ami a hatásos teljesítménynyel arányos ( P = U ⋅ I ⋅ cosϕ ). Az I áramfázornak a képzetes tengelyre vett vetülete ( I ⋅ sin ϕ ) pedig a meddő teljesítménnyel ( Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ ) arányos. A látszólagos teljesítmény az áramfázor hosszával (az adott pontnak a koordináta-rendszer középpontjától mért távolságával) arányos ( S = U ⋅ I ). Tehát az áramfázornak az U kapocsfeszültség irányába eső, illetve arra merőleges vetületeit kell az U kapocsfeszültséggel megszoroznunk. A különböző teljesítmények közvetlenül leolvashatók az áram-diagramból is, ha a teljesítmény-léptéket megfelelően definiáljuk. Ha az áramlépték (aI) adott, akkor a 16a ábra alapján felírhatjuk: I [A] = OA ⋅ a I I ⋅ cos ϕ [A] = AB ⋅ a I I ⋅ sin ϕ [A] = OB ⋅ a I A teljesítmények a 16b ábra alapján: S = U ⋅ OA ⋅ a I = OA ⋅ a P P = U ⋅ AB ⋅ a I = AB ⋅ a P Q = U ⋅ OB ⋅ a I = OB ⋅ a P . Ez a - teljesítmények leolvasására alkalmas - diagram a munkadiagram (16b ábra). A felírt összefüggéseket összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy az áram-diagram és a munkadiagram ugyanaz a helygörbe, ha a teljesítmény-léptéket az 12 ⎡ VA ⎤ ⎡A⎤ aP ⎢ = U [ V] ⋅ aI ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ cm ⎦ ⎣ cm ⎦ összefüggés szerint rendeljük az áramléptékhez (tehát a kapocsfeszültséggel megszorozzuk az áramléptéket). Ilyenkor az áram és a teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható (l. a 16. ábrán), tehát az áram-diagramból egyúttal a teljesítmények is meghatározhatók, ezért nevezzük ezt áram-munkadiagramnak. A léptékhelyes ábra megrajzolásához az áramlépték (aI) tetszőlegesen felvehető, amihez a teljesítmény-lépték - a kapocsfeszültség alapján - egyértelműen hozzárendelhető (l. fentebb). Tehát a léptékhelyes ábrából a keresett teljesítmények közvetlenül, mennyiségileg helyesen leolvashatók, nincs szükség a számítással történő meghatározásukra. A görbe alapján az egyes mennyiségek szélső értékei (maximum, minimum) egyszerűen megállapíthatók. Példa: Rajzoljuk meg a 17. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! U = 50 V ω = 500 rad/s Ie L Ro = 10 Ω R1 = 20 Ω L = 20 mH Határozzuk meg a p = 0,5 paraméterhez tartozó jellemzők értékét! U IRL I1 R1 Megoldás: Az induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: X L = ω ⋅ L = 500 ⋅ 20 ⋅ 10 −3 = 10 Ω p·R0 17. ábra Itt is felesleges az áramkör eredő impedanciájának meghatározásával foglalkozni, mert a kere-sett eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: U I e (p ) = I1 + I RL (p ) ahol I RL (p ) = p ⋅ Ro + j ⋅ X L U 50 V = = 2,5 A R1 20 Ω A diagram három pontját az általánosan használt három paraméternél (p = 0, 1, ∞) határozzuk meg. A változó ellenállást tartalmazó ág árama az egyes paraméterek esetén: 50 V U I RL (0 ) = = = − j5 A 0 ⋅ Ro + j ⋅ X L j10 Ω A párhuzamosan kapcsolt ellenállás (R1) árama nem változik: I RL (1) = I1 = 50 V U = = (2,5 − j 2,5) A 1 ⋅ Ro + j ⋅ X L 10 + j10 Ω p=∝ esetén az ágban áram nem folyhat: I RL (∞ ) = 0 A Az eredő áram értéke az egyes paramétereknél: I e (0) = I1 + I RL ( 0 ) = (2,5 − j 5) A I e (∞ ) = I1 + I RL (∞) = 2,5 A I e (1) = I 1 + I RL ( 1 ) = 2,5 + (2,5 − j 2,5) = ( 5 - j2,5) A Az áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk. Tehát legyen 13 A A VA , amihez a teljesítmény lépték a P = 50 V ⋅ 0,5 = 25 , cm cm cm és ekkor az áramok és teljesítmények leolvasásához ugyanaz a helygörbe használható. aI = 0,5 A három pont alapján a léptékhelyes ábra a komplex síkon megrajzolható (18. ábra). A helygörbe egy félkör, a körnek az a szakasza, amelyet akkor érintünk, ha a p = 0 pontból a p = ∞ jutunk úgy, hogy közben a harmadik ( p = 1) ponton is áthaladunk. A paraméter-skála a p = ∞ ponthoz húzható érintővel ( a valós tengellyel) párhuzamos egyenes. A skálabeosztás a p = 0 és a p = 1 pontok alapján megrajzolható. A 01 távolság felezési pontja a p = 0,5 paraméterű pont. A kör p=∞ paraméterű pontjából ezen a ponton keresztül kell rajzolni egy segédegyenest, amely kimetszi a helygörbén a p = 0,5 paraméterhez tartozó pontot (az áramvektor végpontjának a helyét). Ezt az origóval összekötve kapjuk meg a keresett fázor hosszát. Im I,A 1 0 2 U 3 4 p=∞ 5 Re I,A A 1 I(0,5) 2 p=1 3 0,5 0 1 p-skála 4 5 B C p=0 18.ábra Az eredő áram nagysága a fázor hossza alapján: I = a I ⋅ OC = 0,5 A ⋅ 12 cm = 6 A , cm A vetületek alapján felírt komplex értékből - I = ( 4 ,5 − j ⋅ 4) A - is számolhatjuk: 14 I = I = 4,5 2 + 4 2 A = 6,02 A . A kijelölt (C) ponthoz tartozó teljesítmények a teljesítmény-lépték alapján: - a hatásos teljesítmény: P = a p ⋅ OA = 25 VA ⋅ 9 cm = 225 W cm - a meddő teljesítmény: Q = a p ⋅ OB = 25 VA ⋅ 8 cm = 200 var cm - a látszólagos teljesítmény az áram értékének ismeretében közvetlenül számolható: S = U ⋅ I = 50 V ⋅ 6 A = 300 VA , vagy az áramvektor hossza alapján: S = a p ⋅ OC = 25 VA ⋅ 12 cm = 300 VA . cm A teljesítmények szélsőértékei, és a hozzájuk tartozó paraméter értékek: Pmin = 125 W (p = 0 és p = ∞ esetén) Qmin = 0 Pmax = 250 W (p = ∞ esetén) (p = 1 esetén) Qmax = 250 var (p = 0 esetén) A látszólagos teljesítmény szélsőértékeinek meghatározásához a helygörbe origóhoz legközelebbi, illetve attól legtávolabbi pontját kell ismerni. A legközelebbi pont a helygörbe valós tengelybe eső pontja, míg a legtávolabbi pont az origóból a kör középpontján áthaladó segédegyenessel határozható meg. (p = ∞ esetén) Smin = 125 VA Feladat: A leírtak alapján határozzuk meg a látszólagos teljesítmény maximális értékét és a hozzá tartozó paraméter értékét! (Smax = 300 VA, p=0,4) A teljesítménytényező (cosϕ) meghatározása kapcsán ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a számítások és az ábrázolás során (l. a 12. és 13. ábrát) az U kapocsfeszültség fázor a valós tengelyen helyezkedik el, tehát a kapocsfeszültség időfüggvénye nulla fázishelyzetű. Ez egyrészt lehetővé teszi a teljesítménytényező értékének szerkesztéssel történő (cos ϕ-slála) meghatározását, másrészt az I áramfázor szöge egyúttal a kapocsfeszültség és az eredő áram közötti szög, amiből Im cosϕ értéke számolható: p-skála p’-skála Re( I ) 4 ,5 A cosϕ = = = 0,75 . 6A I p2 p’ 2 Feladat: Rajzoljunk cos ϕ-skálát, és szerkesztéssel ellenőrizzük a teljesítménytényező értékét! Nagyobb paraméter értékeknél a pont meghatározása egyre pontatlanabbul végezhető el, mert a segédegyenes és a helygörbe egyre kisebb szögben metszi egymást (metszéspontjuk meghatározása bizonytalanná válik), illetve a p-skála léptékét is egyre jobban kell kicsi- A2 p 1’ p 0’ p1 A1 A∞ A0 p0 Re S 19. ábra 15 nyíteni ( a 0 és 1 pontok távolsága egyre kisebb lesz, a leolvasás pontatlanabbá válik). Ebben az esetben a paraméter-skála elforgatásával érhetünk el pontosabb eredményt (19. ábra). Rajzoljuk meg a kör p=∞ paraméterű pontjába húzható érintővel párhuzamos egyenest mint paraméter-egyenest (p), és készítsük el a skála-osztást a bejelölt pontok segítségével. Ezután vegyük fel az új paraméter-egyenest (p’), és jelöljünk ki a körön a p=∞ paraméterű pont (A∞) helyett egy új pontot (S) úgy, hogy az ebből a pontból az A0 ponton keresztül húzott segédegyenes merőleges legyen az új paraméter-egyenesre. A kör másik két bejelölt pontján keresztül is húzzunk segédegyenest az S pontból (ezért hívják ezt a pontot sorozópontnak), így a paraméter-skála elkészíthető. A kettő egyenértékű, mivel az azonos köríveken nyugvó kerületi szögek egyenlők, tehát a megfelelő derékszögű háromszögek hasonlóak. A paraméter-skála sorozópontos szerkesztése az alábbi lépésekben történik: 1./ Kijelöljük az S sorozópontot a körnek azon a szakaszán, amely nem része a helygörbének. 2./ A sorozópontot összekötjük a kör p=∞ paraméterű pontjával. Ez az egyenes megadja a paraméter-egyenes irányát. Az ezzel párhuzamos bármely egyenes paraméter-egyenesként használható. 3./ A sorozópontból a helygörbe p0 paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p0 paraméterű pont helyét (pl. p0=0). 4./ A sorozópontból a helygörbe p1 paraméterű pontján keresztül rajzolt segédegyenes kijelöli a paraméter-egyenesen a p1 paraméterű pont helyét (pl. p1=1). 5./ A két pont ismeretében a paraméter-egyenesen a lineáris lépték elkészíthető. Ie Példa: Rajzoljuk meg a 20. ábrán látható áramkör léptékhelyes áram-munkadiagramját! Ug = 100 V R = 20 Ω L0 = 40 mH Ug ω = 500 rad/s C = 50 µF R IC p·L0 C IRL 20. ábra a./ Határozzuk meg 100 var eredő meddő teljesítmény esetén az eredő áram nagyságát és a hozzá tartozó paraméter értékét! b./ Határozza meg a legnagyobb és a legkisebb áram értékét, és a hozzá tartozó paramétert is! Megoldás: Az energiatároló elemek reaktanciája a megadott körfrekvencián: 1 1 X L 0 = ω ⋅ L0 = 500 ⋅ 40 ⋅ 10 −3 = 20 Ω illetve X C = = = 40 Ω ω ⋅ C 500 ⋅ 50 ⋅ 10 −6 Az induktivitás reaktanciája a paraméter függvényében változik: X L ( p ) = p ⋅ 20 Ω Az eredő áram a két párhuzamosan kapcsolt ág áramának összege: I e (p ) = I C + I RL (p ) A párhuzamosan kapcsolt kondenzátor árama a paraméter változásától független: U 100 V IC = = = j 2,5 A − j ⋅ X C − j 40 Ω 16 Az RL-ág áramát három paraméter értéknél kell meghatároznunk. A p=0 és a p=∞ mellett a p=1 értéket célszerű választani (egyszerű a gyöktelenítés elvégzése). Így az ág árama az egyes paraméterek esetén: 100 V 100 V I RL (0) = = 5A I RL (∞ ) = 0 A I RL (1) = = (2 ,5 − j 2 ,5) A 20 Ω 20 + j 20 Ω Az eredő áram értéke az egyes paramétereknél: I e (0) = I C + I RL ( 0 ) = (5 + j 2,5) A I e (∞ ) = I C = j 2,5 A I e (1) = I C + I RL ( 1 ) = 2,5 A Az áramléptéket úgy kell megválasztani, hogy jól kiértékelhető (elegendően nagy méretű) ábrát kapjunk, a megrajzolandó kör átmérője 10 cm körül legyen (kisebb ábrák esetén a kiértékelés nagyon pontatlanná válhat). A , amihez a teljesítmény lépték Fentiek alapján legyen az áramlépték aI = 0,5 cm A VA a P = 100 V ⋅ 0,5 . Így az áramok és teljesítmények leolvasásához most is = 50 cm cm ugyanaz a helygörbe használható. A kör megrajzolásához most sem szükséges a húrfelező merőlegesek szerkesztése. Ugyanis eddigi ismereteink alapján már tudjuk, hogy az RL-ág helygörbéje a valós tengelyen Im I, A 5 S 4 3 0 K p=∞ p=0 1 p-skála 2 100 var 1 p=p 2 p1 I(p1) p2 0 1 U 2 p=1 21. ábra 17 3 4 5 Re I, A nyugvó félkör, ha az induktivitás értéke változik. Ezt a félkört az I1 áram értékének megfelelően a képzetes tengellyel párhuzamosan kell eltolni pozitív irányban. Az ennek megfelelően megrajzolt kör a 21. ábrán látható. A helygörbe a vastag vonallal kihúzott félkör. Az ábrán feltüntettük a 100 var eredő meddő teljesítménynek megfelelő egyenest, ami az 1 A áramléptéknek felel meg (100 V·1 A). Ennek két metszéspontja van a helygörbével (p1 és p2 paraméter értékeknél), tehát a feladatnak két megoldása van. A p2 paraméterű pont közel esik a helygörbe p=∞ paraméterű pontjához, ezért p2 értékének meghatározása az eddig alkalmazott paraméter-skála szerkesztési eljárással nehézkesen, pontatlanul lenne elvégezhető. Ezért a paraméter-skálát elforgatjuk (l. a 19. ábrát!). A sorozópontos szerkesztési eljárást a következők szerint végezzük el. Jelöljük ki a sorozópont (S) helyét a körnek azon a szakaszán (a felső félkörön), amely nem része a helygörbének! Minél távolabb van a sorozópont a p=∞ paraméterű ponttól, annál nagyobb mértékű az elforgatás. Ezért a sorozópontot a felső félkör jobb oldali negyedében jelöljük ki. Kössük össze a sorozópontot a p=∞ paraméterű ponttal. Az így kapott egyenessel párhuzamos bármely egyenes paraméter-skála készítéséhez felhasználható, tehát húzzunk ezzel párhuzamosan egy egyenest, amelyen a paraméter-skálát elkészítjük. A paraméter-skála készítéséhez az S sorozópontból húzzunk egy segédegyenest a kör p=0 pontján keresztül, ami kijelöli az előbb megrajzolt paraméter-egyenesen a 0 paraméter helyét. Ezt ismételjük meg a kör p=1 pontjának felhasználásával is, így megkapjuk a slála 1 paraméterű pontját. Ezt a távolságot egységnek tekintve a lineáris skálabeosztás elkészíthető. A fenti eljárás megismétlésével a helygörbe tetszőleges pontjához tartozó paraméter értéke meghatározható. Tehát húzzunk segédegyenest az S sorozópontból a p2 paraméterű ponton keresztül! Ennek a paraméterskálával képzett metszéspontja adja meg a p2 paraméter helyét a skálán. A paraméter értéke a távolságok arányából közvetlenül számolható: p 2 107 mm 107 mm = , amiből a keresett paraméter értéke: p 2 = = 3,05 ≈ 3 . 35 mm 01 35 mm A leolvasás bizonytalansága (pontossága) miatt nincs fizikai tartalma (értelme) a túl sok jegy pontossággal elvégzett osztásnak, ezért általában két értékes jegyet veszünk figyelembe. Itt van jelentősége a nagyobb méretű (és így pontosabb) ábra rajzolásának! Feladat: A fenti eljárás megismétlésével határozzuk meg a p1 paraméter értékét! (p1=0,34) Az áramok nagyságát a helygörbe p1 és p2 paraméterű pontjainak az origótól mért távolsága adja meg. Tájékoztatásul az I(p1) fázort feltüntettük az ábrán. Feladat: Határozzuk meg a keresett áramok értékét! (I1=4,6 A, I2=1,15 A) A maximális áram értékét a helygörbe origótól legtávolabbi pontja határozza meg. Ez a p=0 paraméterű pont, amelynek távolsága az origótól 11,2 cm tehát Imax = 5,6 A. A minimális áram értéke a helygörbe origóhoz legközelebb lévő pontjához tartozó áram, ami Imin= 1 A. Feladat: Határozzuk meg a minimális áramhoz tartozó paraméter értékét! (p=2,4) A munkadiagramból nemcsak áramok, hanem teljesítmények is leolvashatók. A teljesítmények ismeretében azok aránya, tehát a hatásfok is megállapítható. Ehhez vizsgáljuk meg a 22. ábra szerinti elrendezést. A hálózatról egy ohmos jellegű fogyasztót táplálunk. A hálózat által betáplált teljesítmény (PBE) egy része a termelőt a fogyasztóval összekötő Zv impedanciájú vezetéken hővé alakul. A teljesítmény többi része (PH) hasznosul a fogyasztó 18 ellenállásán. Tehát a vizsgálat során az összekötő vezeték impedanciáját (Zv) – és így a rajta fellépő veszteséget - is figyelembe vesszük. Vizsgáljuk meg, hogyan alakulnak a teljesítmény viszonyok illetve a hatásfok a terhelő ellenállás változásának a függvényében! Zv U p·R0 I PH PBE Pv 22. ábra Az elrendezésnek megfelelő villamos helyettesítő kapcsolás a 23. ábrán látható. A vezeték impedanciája egy soros RL kör, tehát az áramkör ellenállása Rv (ez a p=0 paraméterű pont!) és ∞ között változik. Ehhez hasonló kapcsolás jellemzőit már vizsgáltuk (l. a 11. és 12. ábrákat), ezért az áram-munkadiagram menete most is hasonló az ott ábrázolthoz, de a helygörbe most nem lesz egy teljes félkör (24. ábra), mert az impedancia-diagram egyenese nem érinti a képzetes tengelyt. Az ábrába berajzoltuk az áramfázort p=0 esetén (I0) - ami a kör OB húrja -, és egy tetszőleges paraméter értékhez tartozó terhelő ellenállás (R1=p1·R0) esetén is (I1). Lv Rv p·R0 U I 23. ábra Im Z(p) p=0 Xv Re Rv Rv+R1 p=∞ O M F D C I1 B I(p) E I0 A p=∞ p=0 24. ábra Ha a terhelő ellenállás értéke 0 (p=0), akkor az Rv ellenálláson keletkező veszteség: Pv = I 02 ⋅ Rv = AB ⋅ a p , ahol ap a teljesítmény-lépték. Az I1 áram esetén a derékszögű háromszögek hasonlósága alapján felírhatjuk a megfelelő oldalak arányát: Rv CD = . Rv + R1 CE A kifejezés bal oldalát az áram négyzetével bővítve: Rv I12 ⋅ Rv Pv1 = = 2 2 Rv + R1 I 1 ⋅ Rv + I1 ⋅ R1 Pv1 + PH1 a teljesítmények arányát kapjuk meg. Tehát megállapíthatjuk, hogy a hasznos teljesítmény illetve a betáplált teljesítmény meghatározható a PH1 = DE ⋅ a p illetve a PBE1 = CE ⋅ a p összefüggés segítségével az ábrázolt diagram alapján. Az ábrából nyilvánvaló, hogy az OB húr (az I 0 áramfázor) és a képzetes tengely közötti szakasz ( AB vagy CD ) hossza a Pv teljesítménnyel arányos, míg az OB húr és a kör közötti szakasz a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény értékével arányos. A hatásfok definícióját alkalmazva: P DE η= H = ⋅ 100 [% ] , PBE CE 19 tehát az adott paraméterhez tartozó hatásfok a megfelelő szakaszok arányából közvetlenül számolható. Az előbbiekben láttuk, hogy az ábrából a teljesítmények értéke is meghatározható. Vizsgáljuk meg, hogy a hasznos teljesítmény legnagyobb értéke mikor (milyen ellenállás illetve paraméter értéknél) lép fel, és hogyan határozható meg az ábrából. Az OB húr és a kör közötti szakasz akkor a legnagyobb, amikor a kör adott pontja a húrtól legtávolabb van. Ez a húr felező merőlegesének megszerkesztésével kereshető meg (M pont). Így a változó értékű terhelőellenálláson fellépő teljesítmény maximális értéke: PH max = FM ⋅ a p . Paraméter-skála szerkesztése esetén az ehhez a ponthoz tartozó paraméter értéke – és így az ellenállás értéke is – meghatározható. Példa: Határozzuk meg egy ellenállással lezárt váltakozó feszültségű generátorból kivehető maximális teljesítmény értékét! (25. ábra) Ub ω =500 rad/s Ub = 40 V Rb = 2 ohm Rb Lb I p·R0 Lb = 8 mH 25. ábra Megoldás: A váltakozó áramú hálózatok vizsgálata során megállapítottuk, hogy a generátorból akkor vehető ki a maximális hatásos teljesítmény, ha a lezáró impedancia a generátor impedanciájának komplex konjugáltja ( Z t = Z b* ). Ez itt nem alkalmazható, mivel a lezárás ellenállással történik. Ezért a feladatot léptékhelyes áram-munkadiagram szerkesztésével oldhatjuk meg. Az induktivitás reaktanciája a megadott körfrekvencián: X b = ω ⋅ Lb = 500 ⋅ 8 ⋅ 10 −3 = 4 Ω . Az R0 ellenállás értékét úgy választjuk meg a számításokhoz, hogy p=1 esetén egyszerűen tud-junk számolni. Ezért legyen R0 = 2 Ω. A diagram három pontját az általánosan használt három paraméternél (p = 0, 1, ∞) Q, határozzuk meg. var P, W 40 V 240 80 160 I (0) = = (4 − j8) A p=∞ (2 + j 4) Ω 40 V I (1) = = (5 − j 5) A 80 (4 + j 4) Ω I (∞ ) = 0 A 160 p=1 240 0 320 1 p-skála 2,2 p=0 400 26. ábra 20 A kör a három pont alapján már megszerkeszthető (26. ábra). A kör középpontja a képzetes tengelyen található, mert „a valós tengellyel páthuzamos egyenes inverze a képzetes tengelyen nyugvó félkör” (l. a 26. ábrát!). A kör átmérője az Xb reaktancia értékéből számolható: 10 A. A helygörbe a félkör vastag vonal-lal jelölt szakasza. A maximális hasznos teljesítmény pontját az előzőekben ismertetett módon szerkesztettük meg (l. a 24. ábrát). A léptéket közvetlenül teljesítmény leolvasására készítettük, ezért egy osztás 1 A illetve 40 VA . A maximális teljesítménynek megfelelő vízszintes szakaszt bejelöltük az ábrába: hossza 3 W osztás. Így a maximális teljesítmény értéke: Pmax = 3 osztás ⋅ 40 = 120 W . osztás Az ehhez tartozó paraméter érték a paraméter-skála alapján p=2,2. Rt = p ⋅ R0 = 2,2 ⋅ 2 Ω = 4,4 Ω Tehát a terhelő ellenállás: Ellenőrzés: A kör árama a diagram alapján p=2,2 paraméternél: 5,2 A. Ebből a teljesítmény: Pmax = I 2 ⋅ Rt = 5,2 2 ⋅ 4,4 = 119,5 W Ellenőrző kérdések: 1./ Mi az áram-munkadiagram? 2./ Mikor lesz azonos helygörbe az eredő admittancia illetve az eredő áram helygörbéje? 3./ Hogyan rajzolható meg a diagram a gyakorlatban? 4./ Milyen paraméterű pontokban számolunk? 5./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála? 6./ Mikor van szükség a paraméter-skála elforgatására? 7./ Hogyan rajzolható meg a paraméter-skála sorozópontos szerkesztéssel? 8./ Mikor és miért alkalmas a diagram teljesítmények leolvasására (munkadiagram)? 9./ Hogyan olvashatók le a különböző teljesítmények az áram-munkadiagramból? 10./ Mit értünk léptékhelyes ábra alatt? 11./ Mit értünk minőségileg (jellegre) helyes diagram alatt? 12./ Hogyan határozható meg a hatásfok a diagram alapján? 21
