ANÁLISE DE VIBRAÇÕES ALEATÓRIAS EM UMA ESTRUTURA DE
NANOSSATÉLITE CUBESAT
PETERSON DA SILVA OLIVEIRA
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientadores:
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Eng. Jonas Mendonça Lima Degrave
Rio de Janeiro
Agosto de 2022
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES ALEATÓRIAS EM UMA ESTRUTURA DE
NANOSSATÉLITE CUBESAT
Peterson da Silva Oliveira
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECÂNICO.
Aprovado por:
_______________________________________________
Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
_______________________________________________
Eng. Jonas Mendonça Lima Degrave
_______________________________________________
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
_______________________________________________
Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2022
Oliveira, Peterson da Silva
Análise de Vibrações Aleatórias em uma estrutura de
nanossatélite CubeSat / Peterson da Silva Oliveira – Rio de
Janeiro: UFRJ / Escola Politécnica, 2022.
XX, 70 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Eng. Jonas Mendonça Lima Degrave
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica /
Curso de Engenharia Mecânica, 2022.
Referências Bibliográficas: p. 51-53.
1. Nanossatélite. 2. CubeSat. 3. Plataforma Multi
Missão. 4. Vibrações Aleatórias. 5. Vibrações Mecânicas. I.
Ritto, Thiago Gamboa et al. II. Universidade Federal do Rio
de Janeiro, UFRJ, Engenharia Mecânica. III.
Análise de
Vibrações Aleatórias em uma estrutura de nanossatélite
CubeSat.
iii
“Se eu vi mais longe, foi porque estava
sobre ombros de gigantes”.
Isaac Newton
iv
Agradecimentos
Em primeiro lugar, a Deus, que me deu forças para vencer todos os obstáculos e
chegar até aqui.
Aos meus pais por sempre acreditarem em mim e, mesmo em meio a tantas
dificuldades, sempre se esforçaram e fizeram o que podia para me ajudar a alcançar
meus objetivos.
À minha esposa Natália por todo suporte e ajuda nessa fase final, pela paciência
e cuidado, me ajudando muito a me dedicar neste projeto e não desistir.
Aos meus irmãos e meus amigos, por todas as palavras de incentivo, por me
encorajarem sempre em busca do melhor, e não permitiram que eu desistisse.
À Ester Maria (in memorian) que acreditava muito em mim e sempre me
incentivou a buscar meus sonhos.
Aos meus orientadores, Thiago Ritto e Jonas Degrave, que abraçaram a ideia
deste projeto e sempre estiveram dispostos a ajudar e contribuir para meu aprendizado.
À UFRJ, por ter me dada a oportunidade de aprender com os melhores
professores, por me fornecer todas as ferramentas que me permitiram chegar ao final
deste ciclo.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES ALEATÓRIAS EM UMA ESTRUTURA DE
NANOSSATÉLITE CUBESAT
Peterson da Silva Oliveira
Agosto/2022
Orientadores: Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Jonas Mendonça Lima Degrave
Departamento: Engenharia Mecânica
Os CubeSats são nanossatélites padronizados, criados inicialmente em 1999
através do Projeto CubeSat. Esses nanossatélites possuem uma vantagem quanto ao seu
rápido desenvolvimento e baixo custo, o que faz diversos setores desenvolverem
pesquisas e aplicações associadas aos CubeSats. Durante seu lançamento, o satélite fica
exposto a diferentes carregamentos que podem provocar deformações plásticas e falhas,
comprometendo a sua integridade mecânica estrutural perante o ambiente de
lançamento. O presente trabalho tem como objetivo realizar análises dinâmicas nas
estruturas de uma plataforma multi-missão para nanossatélites (PMM-n), uma
arquitetura modular integrando os diferentes subsistemas essenciais ao funcionamento
de um nanossatélite, a partir das análises de vibrações aleatórias sofridas por essas
estruturas durante o lançamento quando colocadas como carga útil secundária. A partir
do modelo matemático da estrutura, com auxílio do software Ansys Workbench, foram
feitas as análises modal, análises de vibração aleatória, análises de vida e dano por
fadiga para todas as variações das estruturas.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
ANALYSIS OF RANDOM VIBRATIONS IN A CUBESAT NANOSATELLITE
STRUCTURE
Peterson da Silva Oliveira
August/2022
Advisors: Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.
Jonas Mendonça Lima Degrave
Department: Mechanical Engineering
CubeSats are standardized nanosatellites, initially created in 1999 through the
CubeSat Project. These nanosatellites have an advantage in terms of their rapid
development and low cost, which makes several sectors develop research and
applications associated with CubeSats. During its launch, the satellite is exposed to
different loads that can cause plastic deformations and failures, compromising its
structural mechanical integrity in the launch environment. The present work aims to
perform dynamic analyzes on the structures of a multi-mission platform for
nanosatellites (PMM-n), a modular architecture integrating the different subsystems
essential to the functioning of a nanosatellite, from the analysis of random vibrations
suffered by these structures. during launch when placed as a secondary payload. From
the mathematical model of the structure, with the help of the Ansys Workbench software,
modal analysis, random vibration analysis, life analysis and fatigue damage were
performed for all variations of the structures.
vii
Lista de Figuras
Figura 1: A família de CubeSats 1U – 12U. Retirado de CDS (2022).
Figura 2: Amostra de Vibração Aleatória. Retirado de Irvine (2009).
Figura 3: Histograma/Função Densidade de Probabilidade de uma amostra de vibração
aleatória. Adaptado de Irvine (2009).
Figura 4: Sistema de um grau de liberdade com excitação de base.
Figura 5: Diagrama de corpo livre.
Figura 6: Comparação entre GEVS e ambiente de lançamento do Falcon 9 e Soyuz.
Figura 7: Densidade Espectral de Potência de Aceleração GEVS/NASA.
Figura 8: Densidade Espectral de Potência da Respostas para os três casos.
Figura 9: Espectro de Resposta à Vibração completo.
Figura 10: Blocos de carregamento e curva S-N.
Figura 11: Intervalos de confiança por desvio padrão (sigma).
Figura 12: Malha de elementos finitos (2D)
Figura 13: PMM-n CubeSat 1U, 2U e 3U. Retirado de Degrave (2021).
Figura 14: Estrutura dos PMM-n CubeSats 1U, 2U e 3U. Retirado de Degrave (2021).
Figura 15: Modelo PMM-n CubeSat 1U.
Figura 16: Modelo 1U final com simplificação de filetes, chanfros e furos.
Figura 17: Parâmetro de refinamento de malha Method.
Figura 18: Modelo após geração da malha hexaédrica.
Figura 19: Gráfico Skewness de verificação de qualidade de malha.
Figura 20: Gráfico Element Quality de verificação de qualidade de malha.
Figura 21: Ponto de massa adicionado à estrutura.
Figura 22 Poly Picosatellite Orbital Deployer (P-POD) e seção transversal (CALPOLY,
2014)
viii
Figura 23: Restrições na base da estrutura.
Figura 24: Restrições no topo da estrutura.
Figura 25: Detalhes de deslocamentos.
Figura 26: Primeiro modo de vibração da estrutura 1U.
Figura 27: Segundo modo de vibração da estrutura 1U.
Figura 28: Terceiro modo de vibração da estrutura 1U.
Figura 29: Análise de vibração aleatória da estrutura 1U.
Figura 30: Deformações direcionais na estrutura 1U.
Figura 31: Acelerações direcionais na estrutura 1U.
Figura 32: Densidade Espectral de Potência da Resposta em Tensão do nó de máxima
tensão da estrutura 1U.
Figura 33: Vida útil mínima da estrutura 1U por análise de fadiga.
Figura 34: Dano total sobre a estrutura 1U por análise de fadiga.
Figura 35: Primeiros quatro modos de vibração da estrutura 2U.
Figura 36: Análise de vibração aleatória da estrutura 2U.
Figura 37: Densidade Espectral de Potência da Resposta em Tensão do nó de máxima
tensão da estrutura 2U.
Figura 38: Vida útil mínima da estrutura 2U por análise de fadiga.
Figura 39: Dano total sobre a estrutura 2U por análise de fadiga.
Figura 40: Primeiros quatro modos de vibração da estrutura 3U.
Figura 41: Análise de vibração aleatória da estrutura 3U.
Figura 42: Densidade Espectral de Potência da Resposta em Tensão do nó de máxima
tensão da estrutura 3U.
Figura 43: Vida útil mínima da estrutura 3U por análise de fadiga.
Figura 44: Dano total sobre a estrutura 3U por análise de fadiga.
ix
Lista de Tabelas
Tabela 1: Probabilidade de um sinal aleatório com distribuição gaussiana/normal.
Tabela 2: Níveis de vibração aleatórias aplicadas ao nanossatélite CubeSat de acordo
com cada fonte mencionada.
Tabela 3: Nível de entrada PSD GEVS/NASA.
Tabela 4: Resposta Média G_RMS para fn = 200 Hz.
Tabela 5: Espectro de Resposta à Vibração para os três casos de frequência natural.
Tabela 6: Espectro de Resposta à Vibração completo.
Tabela 7: Massa das peças modeladas.
Tabela 8: Análise manual de convergência.
Tabela 9: Nível de entrada PSD GEVS/NASA.
Tabela 10: Frequências naturais da estrutura 1U.
Tabela 11: Máxima tensão equivalente e Fator de Segurança das estruturas.
Tabela 12: Frequências naturais da estrutura 2U.
Tabela 13: Frequências naturais da estrutura 3U.
x
Sumário
Agradecimentos .............................................................................................................. 5
Lista de Figuras .............................................................................................................. 8
Lista de Tabelas............................................................................................................. 10
Sumário ........................................................................................................................... 1
Introdução ....................................................................................................................... 1
1.1 Contextualização .................................................................................................... 1
1.2 Motivação e Delimitação ........................................................................................ 2
1.3 Objetivo .................................................................................................................. 3
1.4 Metodologia ............................................................................................................ 3
1.5 Estrutura do Trabalho ............................................................................................. 4
Fundamentação Teórica ................................................................................................. 6
2.1 Conceito de Vibrações Aleatórias ........................................................................... 6
2.2 Estatística de Processos Aleatórios ......................................................................... 7
2.3 Resposta em vibração de um sistema de um grau de liberdade para excitação de
base aleatória ................................................................................................................ 9
2.3.1 Função Densidade Espectral de Potência ...................................................... 13
2.4 Ambiente de Lançamento ..................................................................................... 15
2.5 Espectro de Resposta – Análise no Domínio da Frequência ................................ 17
2.6 Análise de Falha por Fadiga ................................................................................. 22
2.6.1 Regra de Miner .............................................................................................. 23
2.6.2 Formulação de Steinberg – Método das 3 bandas ......................................... 24
2.7 Método dos Elementos Finitos ............................................................................. 25
Modelagem Computacional ......................................................................................... 28
3.1 A estrutura ............................................................................................................. 28
xi
3.2 Malha .................................................................................................................... 31
3.3 Componentes não estruturais ................................................................................ 34
3.4 Condições de Contorno ........................................................................................ 35
3.5 Carregamento........................................................................................................ 37
3.6 Fator de Segurança Mínimo ................................................................................. 38
Simulações ..................................................................................................................... 40
4.1 Análise Modal ....................................................................................................... 40
4.2 Análise Aleatória .................................................................................................. 42
4.3 Análise de Fadiga ................................................................................................. 46
Conclusões e Recomendações ...................................................................................... 49
5.1 Conclusões ............................................................................................................ 49
5.2 Recomendações .................................................................................................... 50
Referências Bibliográficas ........................................................................................... 51
Apêndice A .................................................................................................................... 54
Apêndice B .................................................................................................................... 60
Apêndice C .................................................................................................................... 66
xii
Capítulo 1
Introdução
No Capítulo 1, serão apresentados a contextualização, motivação e delimitação,
objetivos, metodologia e estrutura do presente trabalho.
1.1 Contextualização
Os CubeSats são nanossatélites padronizados, criados inicialmente em 1999
através do Projeto CubeSat, um esforço colaborativo entre a Universidade de Stanford e
a Universidade Politécnica da Califórnia. Um projeto puramente educacional
objetivando a expansão das atividades práticas de exploração científica espacial. O
modelo básico é conhecido como 1U, formato de um cubo de 100 mm de aresta e massa
de até 2 kg (PUIG-SUARI; TWIGGS, 2020). A partir desse padrão os CubeSats podem
ser expandidos variando sua estrutura em designs de 1U a 12U conforme representado
na Figura 1.
Figura 1: A família de CubeSats 1U – 12U. Retirado de CDS (2022).
Esses
nanossatélites
possuem
uma
vantagem
quanto
ao
seu
rápido
desenvolvimento e baixo custo, o que faz diversos setores, além do educacional,
desenvolverem pesquisas e aplicações associadas aos CubeSats.
1
Em 2014 foi criada a CubeSat Initiative, com propósito de desenvolver uma
documentação específica regulamentada para essa classe de satélites. Essa
documentação fornece todas as informações necessárias de projeto e seus requisitos de
operação de modo a viabilizar as missões propostas a esse tipo de satélite (PUIGSUARI; TWIGGS, 2022).
Assim como os satélites artificiais maiores os CubeSats também são enviados ao
espaço através de foguetes, conhecidos como veículos lançadores. Comparados aos
satélites de maior porte, os nanossatélites possuem volume e massa bem inferior o que
os tornam uma carga secundária, isto é, são lançados ao espaço junto com um ou mais
satélites maiores que constituem a carga útil primária, reduzindo os custos de
lançamento. Ainda assim, há um alto custo para serem levados ao espaço. Portanto, é
essencial a realização de análises estruturais para conferir a integridade mecânica da
estrutura do CubeSat em sua viagem ao espaço.
As ferramentas de simulação são de extrema vantagem, pois nos permitem
simular o comportamento real de um sistema de alta complexidade. Desse modo, é
possível prever e corrigir possíveis falhas de projeto ainda na fase inicial, produzindo
protótipos virtuais em vez de físicos, reduzindo custos e tempo.
Assim, o trabalho visa analisar uma estrutura de nanossatélite (CubeSat) devido
aos esforços sofridos em sua estrutura, provenientes de vibrações aleatórias, durante seu
lançamento ao espaço. Para isso, será realizado uma análise das vibrações aleatórias
com software de simulação computacional Ansys.
1.2 Motivação e Delimitação
Durante seu lançamento o satélite fica exposta a diferentes carregamentos que
podem provocar deformações plásticas e falhas, comprometendo a sua integridade
mecânica estrutural perante o ambiente de lançamento.
Este estudo tem como objetivo dar ênfase aos esforços sofridos pela estrutura
devido as vibrações aleatórias, principal fonte de vibração para essa categoria (WIJKER,
2009), são geradas pelas vibrações e ruídos do motor durante sua decolagem e voo e
devido as turbulências da camada limite transferidas para a espaçonave.
2
Toda análise foi realizada no domínio da frequência, uma vez que processos
estacionários de vibrações aleatórias são mais comumente estudados no domínio da
frequência do que no domínio do tempo (WIRSCHING; PAEZ; ORTIZ, 2006). Não
serão abordadas nesse trabalho a análise estática e de choque, as análises nos
componentes internos do nanossatélites, nem dos possíveis efeitos térmicos devido ao
ambiente no qual a estrutura estará submetida.
1.3 Objetivo
O objetivo geral é analisar a estrutura mecânica de um CubeSat desenvolvido
por Degrave (2021) a partir das análises de vibrações aleatórias sofridas por esse
durante um possível lançamento quando colocado como carga útil secundária. Desta
forma, tem-se como objetivos específicos: (1) analisar o comportamento da estrutura
devido as vibrações aleatórias sofridas durante o voo e verificar a compatibilidade dos
dados obtidos com o padrão geral de verificação ambiental da NASA; (2) recomendar
possíveis melhorias no projeto.
1.4 Metodologia
O presente trabalho se desenvolve por intermédio da realização de pesquisa,
análise, modelagem, simulação e verificação de uma estrutura de nanossatélite CubeSat
quando sujeita à excitação por cargas de vibração aleatória.
A primeira etapa do trabalho será a identificação e estimativa das cargas que
atuarão na estrutura. Um nanossatélite CubeSat está sujeito a cargas estáticas e
dinâmicas no qual sua estrutura precisa sustentar quando estas atuam de forma
independente e/ou simultaneamente.
As cargas estáticas provém das tensões devido à montagem dos componentes da
estrutura. Já as cargas dinâmicas são geradas pelas vibrações e ruídos provenientes do
motor do veículo lançador durante o voo. Essas cargas não podem ser previstas com
certeza e, portanto, podem ser tratadas como cargas aleatórias (AZEVEDO, 1996,
CASTELLO; RITTO, 2016).
3
Os valores das cargas dinâmica serão contabilizados através de um função
densidade espectral de potência (PSD), uma medida estatística das excitações na qual a
estrutura estará submetida à condição de carregamento aleatório (THOMSON, 2018).
Essa função é fornecida pela documentação técnica do veículo lançador ou de padrões
preestabelecidos, como o GEVS (NASA, 2019).
Na etapa seguinte será feita uma estimativa do comportamento da estrutura
através de uma modelagem matemática prevendo seu comportamento usando como
entrada a PSD. A fim de analisar a estrutura para uma condição extrema será utilizado
como entrada a PSD fornecida pelo GEVS, uma vez que esta possui níveis superiores
aos PSDs dos demais possíveis veículos lançadores proposto nesse projeto: Soyuz
(ARIANESPACE, 2018) e Falcon 9 (SPACEX, 2020). Desse modo, será obtido a
resposta da estrutura diante das piores condições previstas.
Após as estimativas serão realizados as simulações computacionais utilizando o
software Ansys Workbench no qual será feito a análise espectral. Também será feita
uma análise modal prévia a fim de calcular as frequências naturais da estrutura. Esse
resultado será usado com o espectro de entrada fornecido pela NASA em uma longa
faixa de 20 a 2000 Hz analisando, estatisticamente, a resposta da estrutura a esse
ambiente de vibração aleatório. Essa análise permitirá conhecer a resposta geral da
estrutura bem como identificar as frequências nas quais haverá um alto ganho em
resposta aleatória para cada frequência natural.
Por fim, para saber se a estrutura será compatível com o ambiente de voo, será
utilizado o princípio da teoria da energia de distorção para materiais dúcteis. A
simulação computacional fornecerá a tensão equivalente de Von Mises, um valor teórico
que permitirá comparar a tensão real com o limite de escoamento da tensão uniaxial.
Assim, se a tensão de Von Mises for maior que a tensão de escoamento do material,
ocorrerá a falha (BUDYNAS; NISBETH, 2016).
1.5 Estrutura do Trabalho
O presente trabalho foi dividido em cinco capítulos. O Cápitulo 1 refere-se a
introdução e todo o desenho do estudo. O Capítulo 2 abordará a Fundamentação Teórica,
em que serão discutidos conceitos de Vibrações Aleatórias, Probabilidade e Estatística
aplicadas aos Sinais Aleatórios, o Ambiente de Qualificação da NASA e o Método dos
4
Elementos Finitos, todos relacionados com o desenvolvimento do trabalho. O Capítulo
3 apresenta toda modelagem da estrutura e o ambiente no qual ela estará submetida. O
Capítulo 4 apresenta as simulações feitas e os resultados obtidos através dessas
simulações. O Capítulo 5 conclui o presente trabalho e discute possíveis perspectivas.
5
Capítulo 2
Fundamentação Teórica
O Capítulo 2 abordará a Fundamentação Teórica, em que serão discutidos
conceitos de Vibrações Aleatórias, Probabilidade e Estatística aplicadas aos Sinais
Aleatórios, a dedução da resposta de um sistema de um grau de liberdade com excitação
de base aleatória, o Ambiente de Lançamento e o Método dos Elementos Finitos, todos
relacionados com o desenvolvimento do trabalho.
2.1 Conceito de Vibrações Aleatórias
Um processo determinístico é aquele no qual temos todos os dados necessários
para prever o resultado com 100% de certeza, ou seja, é possível deduzir uma expressão
matemática que traduza, incontestavelmente, a resposta de uma determinada excitação.
Quando não é possível deduzir uma expressão matemática de modo a prever os efeitos
causados pela excitação, dizemos que o processo é não determinístico e que tem
natureza aleatória (AZEVEDO, 1996, CASTELLO; RITTO, 2016). Nesse caso, a
resposta fica caracterizada por grandezas estatísticas obtidas a partir de dados amostrais
da excitação.
Durante decolagem e voo, o funcionamento do motor do foguete produz
vibrações e ruídos de natureza aleatória em todas as direções. A Figura 2 representa um
exemplo de uma amostra de vibração aleatória no qual uma determinada estrutura ficou
exposta durante um intervalo de tempo. Podemos notar dessa amostra que nem a
frequência, nem a amplitude desse tipo de vibração são constantes, podendo atuar
diversas frequências nessa estrutura ao mesmo tempo. Como as magnitudes instantâneas
não são determinadas para um dado instante de tempo, é necessário para esse tipo de
problema uma abordagem estatística de modo a prever tanto a entrada do sistema
quanto a resposta da estrutura.
6
Figura 2: Amostra de Vibração Aleatória. Retirado de Irvine (2009).
2.2 Estatística de Processos Aleatórios
Seja um processo aleatório x(t). Para esse projeto teremos as seguintes
considerações:
• O sistema é linear;
• O processo é estacionário, suas propriedades estatísticas não variam com o
tempo.
• O processo é ergódico, as médias temporais são iguais às médias amostrais.
Valor Médio
O valor médio do processo aleatório x(t) é definido por:
1
𝑇
µ𝑥 = 𝐸[𝑥] = lim 𝑇 ∫0 𝑥(𝑡)𝑑𝑡
𝑇→∞
Variância
A variância, o quadrado do desvio padrão, é definido por:
𝜎𝑥 2 = 𝐸[(𝑥 − µ𝑥 )2 ] = 𝐸[𝑥 2 ] − µ𝑥 2
7
Função Autocorrelação
A função de autocorrelação, uma representação do “grau de similaridade ao
longo do tempo”, é definida por:
1
𝑇
𝑅𝑥 (𝜏) = 𝐸[𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏)] = lim 𝑇 ∫0 𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡
𝑇→∞
A autocorrelação é uma função que compara o sinal a sí mesmo após um
intervalo de tempo decorrido τ. Para τ = 0 temos que:
2
𝑅𝑥 (0) = 𝑥𝑟𝑚𝑠
Distribuição Normal/Gaussiana
Uma distribuição normal, também conhecida como distribuição Gaussiana, é
uma das principais funções de densidade de probabilidade e é amplamente usada na
teoria da vibração aleatória para aproximar as características da excitação aleatória
(NEWLAND, 2012). Ela é dada pela seguinte equação:
1
𝑝(𝑥) = 𝜎√2π 𝑒
−(𝑥−µ)2
2𝜎2
A Figura 3 representa o histograma da amostra de vibração aleatória da Figura 2.
É possível observar que o histograma da amostra de vibração aleatória tem uma curva
em forma de sino, característica da distribuição normal. A partir das propriedades
estatístcas da amostra pode-se converter esses dados em uma função densidade de
probabilidade com característica da distribuição normal.
A Tabela 1 apresenta as probabilidades da ocorrência do valor da amplitude
dentro de certos limites em função da média e desvio padrão da amostra. Por exemplo,
considerando a média zero, uma análise 3σ significa que o módulo da amplitude da
vibração será menor que 3 vezes o desvio padrão da amostra em 99,73% das vezes. Esse
fator de escala será usado em todas as análises feitas nesse trabalho.
8
Figura 3: Histograma/Função Densidade de Probabilidade de uma amostra de vibração aleatória.
Adaptado de Irvine (2009).
Valor
Probabilidade Percentual
µ–σ<x<µ+σ
68,27%
µ – 2σ < x < µ + 2σ
95,45%
µ – 3σ < x < µ + 3σ
99,73%
Tabela 1: Probabilidade de um sinal aleatório com distribuição gaussiana/normal.
2.3 Resposta em vibração de um sistema de um grau de
liberdade para excitação de base aleatória
Considere o sistema de um grau de liberdade sujeito à excitação de base
mostrado na Figura 4.
Figura 4: Sistema de um grau de liberdade com excitação de base.
9
Podemos construir o diagrama de corpo livre desse sistema conforme a Figura 5:
Figura 5: Diagrama de corpo livre.
Aplicando a 2ª Lei de Newton para esse sistema, temos que a soma das forças na
vertical é dada por:
∑𝐹 = 𝑚𝑥̈
(2.3.1)
𝑚𝑥̈ = 𝑐(𝑦̇ − 𝑥̇ ) + 𝑘(𝑦 − 𝑥)
(2.3.2)
Vamos definir uma variável z como sendo o deslocamento relativo. Assim,
temos que𝑧 = 𝑥 − 𝑦. Substituindo o deslocamento relativo na equação (2.3.2) obtemos:
𝑚(𝑧̈ + 𝑦̈ ) = −𝑐𝑧̇ − 𝑘𝑧
(2.3.3)
𝑚𝑧̈ + 𝑐𝑧̇ + 𝑘𝑧 = −𝑚𝑦̈
(2.3.4)
Dividindo toda equação (2.3.4) pela massa:
𝑐
𝑘
𝑧̈ + (𝑚) 𝑧̇ + (𝑚) 𝑧 = −𝑦̈
(2.3.5)
Por convenção, adotamos:
𝑐
(𝑚) = 2ξω𝑛
(2.3.6)
𝑘
(𝑚) = ω𝑛 2
(2.3.7)
Onde ω𝑛 é a frequência natural, em radianos/segundos, e ξ é o fator de
amortecimento.
Substituindo esses termos na equação (2.3.5) chegamos na equação do
movimento abaixo:
10
𝑧̈ + 2ξω𝑛 𝑧̇ + ω𝑛 2 𝑧 = −𝑦̈
(2.3.8)
Agora, a fim de obter a aceleração de resposta do sistema, aplicaremos a
transformada de Fourier de cada lado da equação (2.3.8):
+∞
+∞
∫−∞ (𝑧̈ + 2ξω𝑛 𝑧̇ + ω𝑛 2 𝑧) e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = ∫−∞ (−𝑦̈ ) e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.9)
Seja,
+∞
𝑌(ω) = ∫−∞ [𝑦(𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.10)
+∞
𝑍(ω) = ∫−∞ [𝑧(𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.11)
Agora aplicaremos a transformada de Fourier no termo da velocidade:
+∞
+∞ 𝑑𝑧(𝑡)
∫−∞ [𝑧̇ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = ∫−∞ [
𝑑𝑡
] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.12)
Integrando por partes,
∫ 𝑢′. 𝑣 = ∫ (𝑢. 𝑣)′ − ∫ 𝑢. 𝑣′
𝑢′ =
𝑑𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
(2.3.13)
⇒ 𝑢 = 𝑧(𝑡)
(2.3.14)
𝑣 = e−𝑗ω𝑡 ⇒ 𝑣′ = −𝑗ωe−𝑗ω𝑡
(2.3.15)
Substituindo (2.3.14) e (2.3.15) em (2.3.13), obtemos:
+∞
+∞
+∞
∫−∞ [𝑧̇ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = ∫−∞ 𝑑[𝑧(𝑡)e−𝑗ω𝑡 ] − ∫−∞ [𝑧(𝑡)] (−𝑗ω)e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
+∞
+∞
−𝑗ω𝑡
𝑑𝑡
∫−∞ [𝑧̇ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = [𝑧(𝑡)e−𝑗ω𝑡 ]+∞
−∞ + (𝑗ω) ∫−∞ [𝑧(𝑡)] e
(2.3.16)
(2.3.17)
Podemos notar que [𝑧(𝑡)e−𝑗ω𝑡 ]+∞
−∞ = 0 conforme t se aproxima dos limites de
±∞. Assim, a expressão (2.3.17) se reduz à:
+∞
+∞
∫−∞ [𝑧̇ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = (𝑗ω) ∫−∞ [𝑧(𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
11
(2.3.18)
Substituindo (2.3.11) em (2.3.18), esta pode ser reescrita como:
+∞
∫−∞ [𝑧̇ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = (𝑗ω)𝑍(ω)
(2.3.19)
Além disso, podemos aplicar a transformada de Fourier no termo da aceleração:
+∞ 𝑑2 𝑧(𝑡)
+∞
∫−∞ [𝑧̈ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = ∫−∞ [
𝑑𝑡 2
] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.20)
Utilizando o mesmo raciocínio para integração em partes conforme foi feito para
o termo da velocidade anteriormente, obtemos:
+∞
+∞
𝑑𝑧(𝑡) −𝑗ω𝑡
e
]
𝑑𝑡
∫−∞ [𝑧̈ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = ∫−∞ 𝑑[
+∞
∫−∞ [𝑧̈ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = [
Podemos notar que [
𝑑𝑧(𝑡) −𝑗ω𝑡 +∞
e
]−∞
𝑑𝑡
𝑑𝑧(𝑡) −𝑗ω𝑡 +∞
e
]−∞
𝑑𝑡
+∞ 𝑑𝑧(𝑡)
− ∫−∞ [
𝑑𝑡
] (−𝑗ω)e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
+∞ 𝑑𝑧(𝑡)
+ (𝑗ω) ∫−∞ [
𝑑𝑡
] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.21)
(2.3.22)
= 0 conforme t se aproxima dos limites de
±∞. Assim, a expressão (2.3.22) se reduz à:
+∞
+∞ 𝑑𝑧(𝑡)
∫−∞ [𝑧̈ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = (𝑗ω) ∫−∞ [
𝑑𝑡
] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡
(2.3.23)
Substituindo (2.3.11) em (2.3.23), esta pode ser reescrita como:
+∞
∫−∞ [𝑧̈ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = (𝑗ω)(𝑗ω)𝑍(ω)
(2.3.24)
+∞
∫−∞ [𝑧̈ (𝑡)] e−𝑗ω𝑡 𝑑𝑡 = −ω2 𝑍(ω) (2.3.25)
Agora, podemos substituir as expressões (2.3.19) e (2.3.25) em (2.3.9), de modo
a solucionar a aplicação da transformada de Fourier na equação do movimento, obtendo:
−ω2 𝑍(ω) + 𝑗ω(2ξω𝑛 )𝑍(ω) + ω𝑛 2 𝑍(ω) = −ω2 𝑌(ω)
[−ω2 + 𝑗ω(2ξω𝑛 ) + ω𝑛 2 ]𝑍(ω) = −ω2 𝑌(ω)
[(ω𝑛 2 − ω2 ) + 𝑗2ξωω𝑛 ]𝑍(ω) = −ω2 𝑌(ω)
(2.3.26)
Tendo o índice A denotando aceleração, podemos escrever:
𝑌𝐴 (ω) = −ω2 𝑌(ω)
(2.3.27)
12
𝑍𝐴 (ω) = −ω2 𝑍(ω)
(2.3.28)
Desse modo, podemos reescrever (2.3.26) da seguinte maneira:
[(ω𝑛 2 − ω2 ) + 𝑗2ξωω𝑛 ]𝑍𝐴
𝑍𝐴 (ω) = (ω
(ω)
ω2
= 𝑌𝐴 (ω)
ω2 𝑌𝐴 (ω)
𝑛
(2.3.29)
2 −ω2 )+𝑗2ξωω
𝑛
A equação da aceleração relativa pode ser expressa em termos da transformada
de Fourier como:
𝑍𝐴 (ω) = 𝑋𝐴 (ω) − 𝑌𝐴 (ω)
(2.3.30)
𝑋𝐴 (ω) = 𝑍𝐴 (ω) + 𝑌𝐴 (ω)
(2.3.31)
Substituindo (2.3.29) em (2.3.31), obtemos:
𝑋𝐴 (ω) = (ω
𝑋𝐴 (ω) =
𝑋𝐴 (ω) =
𝑛
ω2 𝑌𝐴 (ω)
2 −ω2 )+𝑗2ξωω
𝑛
+ 𝑌𝐴 (ω)
ω2 +(ω𝑛 2 −ω2 )+𝑗2ξωω𝑛
(ω𝑛 2 −ω2 )+𝑗2ξωω𝑛
𝑌𝐴 (ω)
ω𝑛 2 +𝑗2ξωω𝑛
𝑌 (ω)
(ω𝑛 2 −ω2 )+𝑗2ξωω𝑛 𝐴
(32.3.2)
A fim de eliminar o número complexo j, multiplicaremos cada lado da equação
pelo seu conjugado complexo:
̅̅̅
𝑋𝐴 (ω)𝑋
𝐴 (ω) = [(ω
|𝑋𝐴 (ω)|2 = [(ω
(ω𝑛 2 +𝑗2ξωω𝑛 )(ω𝑛 2 −𝑗2ξωω𝑛 )
2 −ω2 )+𝑗2ξωω ][(ω 2 −ω2 )−𝑗2ξωω ]
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
[ω𝑛 4 +(2ξωω𝑛 )2 ]
𝑛
2 −ω2 )2 +(2ξωω
2
𝑛) ]
ω𝑛 2 [ω𝑛 2 +(2ξω)2 ]
|𝑋𝐴 (ω)|2 = [(ω
𝑛
2 −ω2 )2 +(2ξωω
2
𝑛) ]
𝑌𝐴 (ω)𝑌̅𝐴 (ω)
|𝑌𝐴 (ω)|2
|𝑌𝐴 (ω)|2
(2.3.33)
2.3.1 Função Densidade Espectral de Potência
Uma forma de representar a vibração aleatória no domínio da frequência é
através da função PSD (Power Spectral Density). Como o sinal é uma variável aleatória,
não podemos medir a contribuição de uma única faixa de frequência (IRVINE, 2009). A
função PSD indica a quantidade para a qual uma faixa de frequência contribui no valor
RMS (Room-Mean-Square) do sinal.
13
De acordo com Irvine (2009), a densidade espectral de potência da entrada e da
saída do sistema são dadas por:
1
𝑌𝐴 𝑃𝑆𝐷 = lim 𝑇 |𝑌𝐴 (ω)|2
(2.3.34)
𝑇→∞
1
𝑋𝐴 𝑃𝑆𝐷 = lim 𝑇 |𝑋𝐴 (ω)|2
(2.3.35)
𝑇→∞
Aplicando os limites em ambos os lados da equação (2.3.33), obtemos:
ω𝑛 2 [ω𝑛 2 +(2ξω)2 ]
𝑋𝐴 𝑃𝑆𝐷 (ω) = [(ω
𝑛
2 −ω2 )2 +(2ξωω
2
𝑛) ]
𝑌𝐴 𝑃𝑆𝐷 (ω)
(2.3.36)
A função da densidade espectral de potência é dada geralmente em função da
ω
frequência 𝑓 = 2π dada em Hz (THOMSON, 2018), em consequência, a equação
(2.3.36) torna-se:
2
2
2
𝑓 [𝑓 +(2ξ𝑓) ]
𝑋̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓) = [(𝑓 𝑛2 −𝑓𝑛2)2 +(2ξ𝑓𝑓 )2 ] 𝑌̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓)
𝑛
(2.3.37)
𝑛
Dividindo o numerador e o denominador do lado direito da igualdade da
equação (2.3.37) por 𝑓𝑛 4 obtemos:
𝑋̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓) =
𝑓 2
) ]
𝑓𝑛
[1+(2ξ
[(1−(
𝑓 2 2
𝑓
) ) +(2ξ( ))2 ]
𝑓𝑛
𝑓𝑛
𝑌̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓)
(2.3.38)
𝑓
De modo a simplificar a equação, adotaremos ρ = 𝑓 . Desse modo, a equação
𝑛
(2.3.38) torna-se:
2
[1+(2ξρ) ]
𝑋̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓) = [(1−ρ2)2 +(2ξρ)2] 𝑌̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓)
(2.3.39)
A resposta média em GRMS pode ser obtida integrando 𝑋̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 através do espectro
de frequência e extraindo a raiz quadrada desse resultado.
2
∞
[1+(2ξρ) ]
𝑥̈ 𝐺 𝑅𝑀𝑆 (𝑓𝑛 , ξ) = √∫0 [[(1−ρ2)2+(2ξρ)2 ]] 𝑌̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓)𝑑𝑓
14
(2.3.40)
Para aplicações numéricas, geralmente a integral dentro da raiz é substituída por
um somatório. Dessa forma, a função da resposta à excitação fica da seguinte maneira:
[1+(2ξρ )2 ]
𝑖
̂
𝑥̈ 𝐺 𝑅𝑀𝑆 (𝑓𝑛 , ξ) = √∑𝑁
𝑖=1[[(1−ρ 2 )2 +(2ξρ )2 ]] 𝑌𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓𝑖 )𝛥𝑓𝑖
𝑖
𝑖
(2.3.41)
𝑓
Onde ρ𝑖 = 𝑓 𝑖 e o termo 𝛥𝑓𝑖 é, geralmente, constante.
𝑛
2.4 Ambiente de Lançamento
Para realizar as análises e qualificar a estrutura ao teste de vibração aleatória, é
necessário ter conhecimento do ambiente de lançamento, o qual é definido a partir do
manual do veículo lançador. O manual fornece os níveis de teste de vibração aleatória
em densidade espectral de potência, uma medida da densidade de energia associada a
cada faixa de frequência (PSD – G²/Hz).
Para esse projeto o veículo lançador não foi definido. Logo, serão considerados
os seguintes níveis de qualificação:
• GEVS, padrão geral de verificação ambiental da NASA;
• Falcon 9, veículo lançador da fabricante estadunidense SpaceX;
• SOYUZ, veículo lançador russo – Roscosmos.
Com base no GEVS e nos manuais dos veículos lançadores citados acima será
definido o ambiente de lançamento para a realização da análise de vibração aleatória. A
Tabela 2 apresenta os níveis de vibrações aleatórias para cada fonte citada acima.
15
Tabela 2: Níveis de vibração aleatórias aplicadas ao nanossatélite CubeSat de acordo com cada fonte
mencionada.
Baseado nos dados da Tabela 2 foi gerado o gráfico da Figura 6 que representa
as curvas da função densidade espectral de potência (PSD) para cada fonte acima. O
gráfico representa o nível de aceleração em função da frequência tanto para o manual da
NASA (GEVS) quanto para os veículos lançadores Falcon 9 e Soyuz.
É possível observar que a amplitude desse gráfico tem unidade G²/Hz, em que G
é na verdade o valor eficaz do sinal (GRMS), a notação RMS geralmente fica otimido por
questões de brevidade. O valor de Hz na dimensão da amplitude (G²/Hz) representa a
largura de banda e não a frequência ao longo do eixo x.
Desse gráfico pode-se notar que os níveis de vibrações aleatórias do GEVS são
superiores aos demais.
16
Espectro de Vibração Aleatória
1
PSD (G²/Hz)
0,1
NASA
FALCON 9
0,01
SOYUZ
0,001
1
10
100
1000
10000
Frequência (Hz)
Figura 6: Comparação entre GEVS e ambiente de lançamento do Falcon 9 e Soyuz.
De modo conservador e com a oportunidade de abranger os requisitos dos
veículos lançadores Falcon 9 e Soyuz, será selecionado o padrão de qualificação da
NASA (GEVS) como espectro de vibração aleatória para realização das simulações
computacionais.
2.5 Espectro de Resposta – Análise no Domínio da Frequência
Vamos considerar um nanossatélite CubeSat modelo 1U que será testado no
nível PSD fornecido pela GEVS da NASA. Para essa análise, vamos desconsiderar
todos os componentes internos, levando em consideração apenas sua estrutura metálica.
Suponha ainda que essa estrutura possa ser modelada como um sistema de um grau de
liberdade com fator de amortecimento constante ξ = 0,05. Como a estrutura desse
CubeSat responderá ao nível de entrada?
Esse problema pode ser modelado conforme a Figura 3, onde a equação do
movimento em função do deslocamento relativo “z” é dado pela equação (2.3.8):
𝑧̈ + 2ξω𝑛 𝑧̇ + ω𝑛 2 𝑧 = −𝑦̈
17
A densidade espectral de potência de entrada (GEVS – NASA) é representada na
Tabela 3 e Figura 7 abaixo:
Tabela 3: Nível de entrada PSD GEVS/NASA.
DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE
ACELERAÇÃO
Aceleração (G²/Hz)
1
0,1
0,01
10
100
1000
Frequência (Hz)
Figura 7: Densidade Espectral de Potência de Aceleração GEVS/NASA.
A amplitude da resposta para esse tipo de problema é caracterizado por uma
função PSD e que foi deduzida no subcapítulo anterior, em que é dada pela equação
(2.3.39):
2
[1+(2ξρ) ]
𝑋̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓) = [(1−ρ2)2 +(2ξρ)2] 𝑌̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓)
18
Observe que 𝑌̂𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓) representa a função PSD de entrada, que nesse caso é
caracterizada pelos níveis de vibração apresentados na Tabela 3 fornecido pelo
GEVS/NASA que gerou o gráfico da Figura 7.
E a resposta média em GRMS é dada pela equação (2.3.41) também deduzida no
subcapítulo anterior:
2
[1+(2ξρ𝑖 ) ]
̂
𝑥̈ 𝐺 𝑅𝑀𝑆 (𝑓𝑛 , ξ) = √∑𝑁
𝑖=1[[(1−ρ 2 )2 +(2ξρ )2 ]] 𝑌𝐴 𝑃𝑆𝐷 (𝑓𝑖 )𝛥𝑓𝑖
𝑖
𝑖
𝑓
Onde ρ𝑖 = 𝑓 𝑖 e o termo 𝛥𝑓𝑖 é, geralmente, constante.
𝑛
Para uma amostra de resposta com média zero o valor eficaz (GRMS) representa o
desvio padrão dessa amostra.
Como pode ser visto na equação (2.3.39), a amplitude da resposta depende da
frequência natural. Portanto, para resolver esse problema faremos duas abordagens: (1)
frequência natural conhecida; (2) frequência natural desconhecida.
(1) Frequência natural conhecida
Nesta situação consideraremos uma frequência natural de 200 Hz a fim de
calcular a amplitude da resposta média em GRMS do sistema. O domínio será
discretizado em intervalos fixos, uma largura de banda 𝛥𝑓𝑖 = 10𝐻𝑧 . Nesse caso,
deveremos fazer uma interpolação da Tabela 3 a fim de obter os níveis de entrada para
as frequências não tabeladas. Foram feitas interpolações por regressão logarítmica
através de um algoritmo próprio desenvolvido em Python, que pode ser visto no
Apêndice C. A Tabela 4 mostra alguns valores da interpolação.
Tabela 4: Resposta Média GRMS para fn = 200 Hz.
Obtemos o resultado de 𝑋̈ = 22,5𝐺𝑅𝑀𝑆 . Observe que esse valor é para 1σ
considerando a média (µ) zero. Onde σ é o desvio padrão.
19
A resposta de pico é considerada para uma análise 2σ conforme declaração de
qualificação (NASA, 2019) para payload de até 22,7 kg:
𝑋̈ = 45,0𝐺
(2σ)
(2) Frequência natural desconhecida
Agora, caso a frequência natural fosse desconhecida, poderíamos escolher um
conjunto de frequências e calcular a amplitude da resposta média GRMS para cada uma
dessas frequências e construir um gráfico, o Espectro de Resposta à Frequência.
Arbitrariamente, escolheu-se três possíveis frequências naturais: f1 = 100 Hz, f2
= 200 Hz e f3 = 300 Hz. A densidade espectral de potência da resposta foi construída
para os três casos de frequência natural conforme a Figura 8.
CURVAS DE DENSIDADE ESPECTRAL DE
POTÊNCIA DA RESPOSTA
0.100
Entrada
Fn = 100
Hz
Aceleração PSD (G²/Hz)
0.010
Fn = 200
Hz
0.001
0.000
0.000
0.000
10
100
1000
Frequência (Hz)
Figura 8: Densidade Espectral de Potência da Respostas para os três casos.
20
Cada uma das curvas foi obtida a partir da função PSD de resposta (2.3.39)
deduzida no subcapítulo anterior. Em seguida será calculada a área abaixo de cada curva.
A raiz quadrada de cada área representa a resposta média GRMS para a dada frequência
natural. Vale ressaltar que a equação (2.3.41) já efetua esse cálculo direto do nível de
resposta média em GRMS.
Os valores das respostas médias GRMS para cada curva é representado na Tabela
5.
Tabela 5: Espectro de Resposta à Vibração para os três casos de frequência natural.
Os cálculos acima foram refeitos para um conjunto de possíveis frequências
naturais como pode ser visto na Tabela 6, a fim de gerar o espectro de resposta à
vibração. O espectro de resposta à vibração é dado pelo nível de resposta em função da
frequência natural como mostra a Figura 9.
Tabela 6: Espectro de Resposta à Vibração completo.
21
Espectro de Resposta à Vibração
SISTEMA SDOF, ξ = 0,05 BASE DE ENTRADA = GEVS - NASA
Aceleração (G_RMS)
50
5
10
100
1000
Frequência Natural (Hz)
Figura 9: Espectro de Resposta à Vibração completo.
O espectro de resposta à vibração é muito útil para fins de projeto. Através do
espectro mostrado na Figura 9, podemos verificar que a redução da frequência natural
reduz o nível de resposta. Além disso, podemos observar que a pior condição seria uma
frequência natural de 1000 Hz, em que temos uma resposta de máxima 45,20 GRMS.
Assim, um objetivo preliminar de projeto poderia ser evitar essa frequência natural.
2.6 Análise de Falha por Fadiga
A análise de falha por fadiga em componentes que estão submetidos a ambientes
sob cargas aleatórias é estimada no domínio da frequência em função das propriedades
estatísticas de resposta de tensão equivalente.
22
2.6.1 Regra de Miner
Um dos objetivos da análise de vibração aleatória em uma estrutura é prever sua
vida de fadiga. A teoria aqui aplicada se baseia na curva S-N do material. A curva S-N
de um material define os valores de tensão alternada em relação ao número de ciclos
necessários para causar falha. Por exemplo, S1 representa a tensão alternada e N1 o
número de ciclos necessários para lhe causar falha por fadiga sob essa tensão.
Considere um conjunto de blocos de carregamentos conforme a Figura 10, para
simular um processo aleatório.
Figura 10: Blocos de carregamento e curva S-N (WIRSCHING; PAEZ; ORTIZ, 2006).
Considere o primeiro bloco tendo um nível de tensão S1. Da curva S-N, podemos
observar que o número de ciclos necessários para ocorrer a falha é N1. Contudo, no
primeiro bloco apenas n1 ciclos são aplicados. Considerando que não ocorreu a falha
então n1 < N1. A Regra de Miner ou Regra do Dano Linear diz que a cada ciclo uma
23
fração de dano 1/N1 consome a vida útil da estrutura, ou seja, se temos um total de n1
ciclos no primeiro bloco então podemos definir a razão D1 = n1/N1 como o fator de dano
(WIRSCHING; PAEZ; ORTIZ, 2006). Claramente, se n1 ≥ N1 então ocorrerá a falha.
Portanto, a falha ocorre para um fator de dano maior ou igual a 1, D1 ≥ 1.
No conjunto de blocos da Figura 10 podemos notar que existem k blocos cada
um sujeito a um nível de tensão S diferente. Isso sugere que podemos definir um fator
de dano para cada bloco associado a cada nível de tensão S, Di = ni/Ni. Desse modo,
podemos definir o dano total como a soma de cada fator de dano dos k blocos, D = D1 +
D2 + … + Di + … + Dk, e o evento de falha ocorre quando o dano total exceder a
unidade (WIRSCHING; PAEZ; ORTIZ, 2006).
𝑛
•
Fator de Dano 𝐷1 = 𝑁1
•
Fator de Dano Total 𝐷 = ∑𝐷𝑖 = ∑ 𝑁𝑖
•
Falha ⇒ 𝐷 ≥ 1
1
𝑛
𝑖
Exemplo: Um fator de dano total de 0,47 significa que 47% da vida útil da
estrutura foi consumida.
2.6.2 Formulação de Steinberg – Método das 3 bandas
A formulação de Steinberg se baseia na função densidade de probabilidade da
resposta de tensão aleatória. Ela utiliza todas as três ocorrências (1σ, 2σ e 3σ) e suas
taxas de ocorrência combinado a Regra de Miner para calcular o dano total por fadiga
do sistema (ZHENG; SHEN; LUO, 2014). Isso porque considerando que a resposta de
tensão aleatória segue uma função densidade de probabilidade com distribuição
Gaussiana, as amplitudes de respostas de tensão estarão restringidas por níveis de
probabilidade.
24
Figura 11: Intervalos de confiança por desvio padrão (sigma). Retirado de Wikipédia (2022).
•
Tensão equivalente a 1 sigma (1σ) – 68,2% dos ciclos;
•
Tensão equivalente a 2 sigma (2σ) – 27,2% dos ciclos;
•
Tensão equivalente a 3 sigma (3σ) – 4,2% dos ciclos.
O dano por fadiga esperado é obtido por:
𝑛
𝑛
𝑛
𝐷 = 𝑁1𝜎 + 𝑁2𝜎 + 𝑁3𝜎
1𝜎
2𝜎
3𝜎
Onde,
•
n1σ: número real de ciclos igual ou menor que nível de 1σ;
•
n2σ: número real de ciclos igual ou menor que nível de 2σ;
•
n3σ: número real de ciclos igual ou menor que nível de 3σ.
2.7 Método dos Elementos Finitos
Desenvolvido na década de 1950, o método dos elementos finitos (MEF) é uma
ferramenta numérica utilizada para calcular soluções aproximadas para modelos
matemáticos complexos, caracterizados por equações diferenciais, comuns em
engenharia. As equações diferenciais raramente possuem soluções expressas por
fórmulas fechadas, contendo muitas equações matemáticas difíceis de serem resolvidas
analiticamente, sendo necessário aproximar suas soluções utilizando métodos numéricos.
A ideia geral do MEF é reduzir um problema complexo em diversos outros
problemas mais simples. Para isso, discretiza a geometria dividindo-a em um número
finito de elementos de geometria simples, como por exemplo: elemento de barra,
triangular, tetraédrico, hexaédrico e etc. A seguir, reestabelece a conexão de cada
25
elemento conectando-os em pontos nodais conhecidos como nós, pelos vértices de cada
elemento dessas geometrias mencionadas.
O desenvolvimento da solução de um problema utilizando o MEF segue, de
maneira resumida, os 6 passos abaixo (RAO, 2011):
1. Dividir o domínio em um número finito de elementos;
2. Atribuir uma solução aproximada para cada elemento;
3. Elaborar as matrizes características dos elementos;
4. Agregar as equações dos elementos: Sistema Global;
5. Resolver
as
equações
em
função
dos
pontos
nodais
desconhecidos;
6. Processar as resultantes dos elementos.
Figura 12: Malha de elementos finitos (2D). Retirado de Souza (2003)
Depois de discretizar a estrutura criando a malha de elementos finitos são
geradas diversas equações algébricas simultâneas (ALVES FILHO, 2013). De modo
geral, a equação global do movimento utilizando o MEF, considerando todos os
elementos que compõe a malha da estrutura, é expressa da seguinte forma:
[𝑀] · 𝑢̈ + [𝐶] · 𝑢̇ + [𝐾] · 𝑢 = [𝐹(𝑡)]
26
(2.7.1)
É possível notar que a equação é muito semelhante à equação (2.3.4) que trata
do caso simples de 1 grau de liberdade. Onde [M] representa a matriz de massa global,
[C] a matriz de amortecimento global, [K] a matriz de rigidez global, [F(t)] o vetor de
carregamentos nodais e (𝑢̈ ; 𝑢̇ ; 𝑢) representam acelerações, velocidades e os
deslocamentos nodais, respectivamente.
A precisão da solução depende do número de nós da malha que varia com a
quantidade de recursos computacionais disponíveis. A medida que aumentamos o
número de elementos, aumentamos o número de nós. Procura-se aumentar a precisão
com o reduzido uso de recurso computacional (TAVARES, 1998). Com isso, um dos
problemas da aplicação do MEF é projetar uma malha capaz de produzir resultados
precisos sem a necessidade de excessivo recurso computacional.
Desse modo, o MEF vem sendo muito utilizado em problemas de engenharia,
pois ele consegue solucionar um problema muito complexo dividindo-o em diversos
problemas de menor complexidade.
27
Capítulo 3
Modelagem Computacional
O Capítulo 3 apresenta toda modelagem do problema. Serão abordados a
estrutura na qual estão sendo feitas as análises, a malha, as condições de contorno e o
cálculo do fator de segurança mínimo de acordo com padrão da ECSS (European
Cooperation for Space Standardization).
3.1 A estrutura
O presente trabalho visa realizar análise de vibrações aleatórias em uma
estrutura de nanossatélite CubeSat. Tal estrutura decorre de um projeto de graduação
desenvolvido por Degrave (2021). O projeto refere-se a uma PMM-n (Plataforma MultiMissão para nanossatélites), trata-se de uma arquitetura modular integrando os
diferentes subsistemas essenciais ao funcionamento de um nanossatélite (DEGRAVE,
2021), classificação dada para satélites com massa de até 10 kg (NASA, 2021). A Figura
13 apresenta os três modelos de CubeSat da PMM-n.
Figura 13: PMM-n CubeSat 1U, 2U e 3U. Retirado de Degrave (2021).
28
Os componentes internos do CubeSat não são de interesse primário, portanto não
serão modelados nesse trabalho. Todas as análises feitas visa apenas a integridade física
da estrutura do CubeSat. A Figura 14 apresenta as estrutruras que serão submetidas as
análises realizadas nesse trabalho.
Figura 14: Estrutura dos PMM-n CubeSats 1U, 2U e 3U. Retirado de Degrave (2021).
As análises foram realizadas para os três modelos proposto por Degrave (2021).
Os resultados obtidos para as estruturas 2U e 3U são apresentadas nos apêndices A e B,
respectivamente.
A Figura 15 apresenta o modelo básico da PMM-n, um CubeSat 1U. Em sua
montagem são utilizados 4 trilhos laterais, um quadro superior e um quadro inferior.
Todas estas peças usinadas no material Alumínio 7075-T6. A fixação das peças é feita
por parafusos hexalobulares escareados M2,5 de Aço Inox 304. Já a fixação dos
componentes internos, as placas eletrônicas, foram utilizados espaçadores sextavados
M3 de Latão e parafusos hexalobulares escareados M3 de Aço Inox 304.
29
Figura 15: Modelo PMM-n CubeSat 1U.
A Tabela 7 apresenta as dimensões e massa de cada componente que integra a
estrutura 1U.
Tabela 7: Massa das peças modeladas. Adaptado de Degrave (2021).
A fim de reduzir o tempo de execução da análise, os elementos que não fazem
parte da estrutura e os detalhes de cada peça foram simplificados. Recursos como
pequenas extrusões, filetes sem contato com a estrutura e furos foram omitidos para
reduzir a carga computacional da simulação. A modelagem das conexões aparafusadas
entre trilhos e quadros foram feitas por conexões coladas em todas as partes que estão
em contato entre si, obtendo o modelo apresentado na Figura 16.
30
Figura 16: Modelo 1U final com simplificação de filetes, chanfros e furos.
3.2 Malha
Inicialmente foi gerada uma malha padrão com elementos de dimensão de 1 mm.
A fim de refinar nossa malha e aumentar a precisão dos resultados da simulação, foi
ajustado o refino pelo parâmetro Method conforme apresentado na Figura 17.
31
Figura 17: Parâmetro de refinamento de malha Method.
Neste ponto foi selecionado todo o modelo e aplicado o método MultiZone. Esse
método fornece decomposição automática da geometria em regiões mapeadas e regiões
livres, gerando automaticamente uma malha hexaédrica pura sempre que possível e, em
seguida, preenche as regiões mais difíceis de capturar com malha não estruturada
(ANSYS, 2010).
Após ajustes, chegou-se num modelo discretizado com elementos de um único
tipo hexaédrico conforme Figura 18, totalizando 21.855 elementos de tamanho 1,2 mm
e 127.333 nós, dentro dos limites estabelecidos pela versão do software.
Figura 18: Modelo após geração da malha hexaédrica.
32
Para avaliar a qualidade da malha foi utilizado dois parâmetros, Skewness e
Element Quality.
O Skewness é uma das principais medidas de qualidade para uma malha
(ANSYS, 2010), é definido como a diferença entre a forma do elemento e a forma de
um elemento equilátero de volume equivalente, ou seja, ele faz uma medida de
deformação, assimetria de cada elemento. Elementos muitos distorcidos podem reduzir
a precisão da simulação. O gráfico da Figura 19 exibe o número de elementos e sua
assimetria, o valor 0 corresponde a um tipo de elemento perfeito enquanto o valor 1
corresponde a um elemento deformado.
Figura 19: Gráfico Skewness de verificação de qualidade de malha.
A partir do gráfico Skewness apresentado na Figura 19, pode-se ver que todos os
elementos são do tipo Hex20 e de baixa assimetria, garantindo uma maior precisão nas
simulações.
O Element Quality é uma métrica que se baseia na razão entre volume e raiz
quadrada do cubo da soma dos quadrados dos comprimentos das arestas para elementos
3D (ANSYS, 2010):
𝑄𝑢𝑎𝑙𝑖𝑡𝑦 = C ∙
volume
√[∑(𝐸𝑑𝑔𝑒𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ2 )]3
Essa métrica de qualidade varia entre 0 e 1. O valor de 1 indica um cubo perfeito,
um bom elemento, e o valor de 0 indica que tem um volume zero ou negativo, um
elemento ruim.
33
Figura 20: Gráfico Element Quality de verificação de qualidade de malha.
A partir do gráfico Element Quality apresentado na Figura 20, pode-se notar que
a maioria dos elementos possuem valores acima de 0,90, indicando uma ótima
qualidade para a malha.
Por fim, de modo a conferir a convergência dos resultados foi feita uma análisa
manual, variando o tamanho do elemento (elemet size) o qual varia o número de
elementos e foi calculado a diferença percentual dos resultados obtidos anteriores,
conforme mostra a Tabela 8.
Element Size (mm) Elements Nodes Stress (MPa) Δ%
1,5
9742
65629
27,5
-
1,4
16003
97295
30,0
8,33%
1,3
17498
106074
32,4
7,41%
1,2
21855 127333
33,0
Tabela 8: Análise manual de convergência.
1,82%
Pode-se observar que para um tamanho de elemento 1,2 mm, no qual é o mínimo
tamanho dentro dos limites da licença estudantil, possui uma variação percentual de
Stress de apenas 1,82% em relação ao valor anterior. Portanto, concluímos que o valor é
aceitável e converge para o resultado.
3.3 Componentes não estruturais
Como pode ser visto no subcapítulo anterior, os componentes não estruturais não
foram modelados, pois não é objeto de estudo deste trabalho. Contudo, sabemos que a
34
massa desses componentes que são vinculados à estrutura afetam diretamente a matriz
global de massa, portanto devem ser contabilizados no modelo final. Deste modo, foi
considerado a massa desses componentes como um ponto de massa adicionado à
estrutura geral. O ponto de massa foi vinculado à estrutura pela equação de restrição,
destacada em vermelho na Figura 21.
Figura 21: Ponto de massa adicionado à estrutura.
O ponto de massa é vinculado à estrutura por links rígidos, que podem restringir
demais o modelo. Entretanto, os componentes internos não foram testados
anteriormente, a rigidez real desses componentes são desconhecidas e esse abordagem
foi escolhida. A massa, a coordenada e o momento de inércia foram considerados a
partir de Degrave (2021).
3.4 Condições de Contorno
Para este projeto, foi assumido que o CubeSat-1U foi colado dentro de um PolyPicoSatellite Orbital Deployer (P-POD). O P-POD é um sistema implantação padrão
que garante que todos os desenvolvedores do CubeSat estejam em conformidade com os
requisitos físicos comuns (CALPOLY, 2014). Basicamente, é uma caixa retangular com
uma mola mecânica e uma trava magnética na porta. E no seu interior, o CubeSat fica
alinhado com o eixo de aceleração do veículo lançador, eixo z. A Figura 22 apresenta o
modelo do P-POD e uma visão da seção transversal com visão da parte interna.
35
Figura 22: Poly Picosatellite Orbital Deployer (P-POD) e seção transversal (CALPOLY, 2014).
A base do CubeSat, parte inferior em contato com a placa impulsora, deve ser
restringido em todas as direções, de modo a simular o piso do P-POD durante o
lançamento. A Figura 23 apresenta a condição de contorno aplicada no modelo para
simular essa restrição do sistema.
Figura 23: Restrições na base da estrutura.
O design com mola do P-POD permite movimentos muito pequenos na direção
vertical durante o lançamento, enquanto os trilhos laterais mantêm o CubeSat
rigidamente fixo em duas direções, eixos x e y. Por isso, o lado do CubeSat voltado para
o céu deve ser restringido em todas as direções, exceto na direção vertical, eixo z como
pode ser visto na Figura 24.
36
Figura 24: Restrições no topo da estrutura.
A Figura 25 apresenta os detalhes dos deslocamentos da parte superior do
modelo, simulando essa restrição do sistema.
Figura 25: Detalhes de deslocamentos.
Isso permitirá que a estrutura se deforme levemente durante a decolagem e
simulará os lados rígidos do P-POD.
3.5 Carregamento
A estrutura do modelo PMM-n CubeSat 1U será excitada por um nível de
entrada PSD simultaneamente nas três direções, eixos (x, y e z). O espectro de vibração
aleatória utilizado será o fornecido pelo GEVS/NASA conforme a Tabela 9, pois se trata
de espectro de vibração de qualificação quando não é conhecido o veículo lançador.
37
Além disso, dentre os espectros discutidos nesse trabalho, é o que possui os maiores
níveis de intensidade, portanto, será avaliado o pior caso possível, no qual a estrutura
sofrerá a maior carga.
Tabela 9: Nível de entrada PSD GEVS/NASA.
3.6 Fator de Segurança Mínimo
O fator de segurança é um coeficiente que é multiplicado pelas cargas de projeto
a fim de contabilizar as incertezas que possam existir no projeto: simplificação do
modelo computacional, distribuição estatística das cargas, análise estrutural, fabricação,
propriedades do material e critérios de falha (AZEVEDO, 2017). Em geral, todas as
estruturas são projetadas com uma robustez acima do necessário. Isso aumenta a
confiabilidade do projeto, pois uma vez que este sofre uma sobrecarga é capaz de
manter a integridade estrutural.
Para se estabelecer um fator de segurança adequado é necessário forte
experiência em engenharia. Contudo, existem regulamentos criados como pela ECSS
que asseguram alguns fatores que devem ser considerados (FAGERUDD, 2015). Para
esse trabalho os seguintes fatores foram considerados:
• Fator de Modelagem (KM): aplicado para contabilizar incertezas em modelos
matemáticos ao prever resposta dinâmica, cargas e avaliar caminhos de carga.
• Fator de Material (KMT): aplicado para contabilizar as discrepâncias nos
valores os parâmetros dos materiais.
• Fator de Carga (KL): aplicado para contabilizar imprecisão na determinação da
carga.
38
O fator de segurança mínimo para a estrutura é determinado pela multiplicação
dos fatores mencionados acima (SECRETARIAT, 2019):
η𝑚í𝑛. = 𝐾𝑀 · 𝐾𝑀𝑇 · 𝐾𝐿
(3.4.1)
Conforme o padrão disponibilizado pela ECSS o valor de KM = 1,2 é usado para
satélites no início de desenvolvimento. O valor de KMT é selecionado de acordo com o
material da estrutura. Para estrutura metálica temos KMT = 1,25. Conforme descrito no
subcapítulo 2.4, o espectro de vibração da NASA foi utilizado como fonte de vibração,
de modo a ser o mais conservador possível, visto que seus valores GRMS são muito
superiores comparados aos espectros do SOYUZ e do FALCON 9 mencionados nesse
trabalho. Desse modo, foi selecionado um fator de carga KL = 1.
Para fins de projeto, foi calculado o fator de segurança mínimo como sendo:
η𝑚í𝑛. = 1,2 · 1,25 · 1 = 1,5
Portanto, para qualificarmos a estrutura de acordo com o padrão de segurança da
ECSS, após realizadas as simulações, o valor da tensão equivalente de Von Mises deve
estar abaixo da tensão de escoamento do material, com certa margem. Sendo assim,
podemos calcular o máximo valor da tensão equivalente de Von Mises permitido para
esse projeto:
η𝑚í𝑛. = σ
σ𝑦
𝑉𝑜𝑛𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠
σ𝑦
⇒ σ𝑉𝑜𝑛𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠,𝑀á𝑥. = 1,5
Dado que, para o Alumínio 7075-T6, a tensão de escoamento é de 510 MPa
temos que:
σ𝑉𝑜𝑛𝑀𝑖𝑠𝑒𝑠,𝑀á𝑥. =
510
1,5
𝑀𝑃𝑎 = 340𝑀𝑃𝑎
39
Capítulo 4
Simulações
O Capítulo 4 apresenta as simulações feitas para a estrutura 1U e os resultados
obtidos para todas as três estruturas. As simulações das estruturas 2U e 3U são
apresentadas nos apêndices A e B
4.1 Análise Modal
A análise modal foi realizada a fim de determinar os modos de vibração mais
predominantes na estrutura. A frequência natural é a frequência na qual a estrutura pode
vibrar naturalmente. Essa análise é importante pois uma vez determinada a frequência
natural, deve-se trabalhar de modo a evitar que a frequência de excitação se aproxime
desta. Uma vez aproximada, ocorre o fenômeno chamado ressonância, a amplitude da
resposta aumenta assintoticamente até o infinito, podendo causar ruptura da estrutura. A
Tabela 10 apresenta as frequências correspondentes a cada modo de vibração.
Tabela 10: Frequências naturais da estrutura 1U.
40
A Figura 26, Figura 27 e Figura 28 apresentam os três primeiros modos de
vibração em deformação para a nálise modal da estrutura 1U.
Figura 26: Primeiro modo de vibração da estrutura 1U.
Figura 27: Segundo modo de vibração da estrutura 1U.
41
Figura 28: Terceiro modo de vibração da estrutura 1U.
A maioria das grandes amplitudes de forças dos veículos lançadores ocorre
abaixo dos 100 Hz. Por isso, como requisito de especificação CubeSat, a primeira
frequência natural deve estar acima dos 100 Hz, de modo a evitar alguma frequência
ressonante na fase de lançamento. Como pode ser visto na Tabela 9, a primeira
frequência da estrutura está acima de 100 Hz qualificando-a para tal requisito. Além
disso, a fonte de excitação PSD está na faixa de 20 Hz a 20000 Hz. Analisando a Tabela
9 podemos notar que apenas os três primeiros modos estão dentro dessa faixa. Quanto
menos modos de vibração dentro da faixa de excitação, menor a probabilidade de
termos o fenômeno de ressonância, o que é positivo para a estrutura.
4.2 Análise Aleatória
A análise de vibração aleatória é de natureza estatística. É mostrada na Figura 29
o resultado dessa análise com um fator de escala 3σ do valor da tensão de Von Mises,
indicando que a resposta será menor que esse valor em 99,73% das vezes. É possível
notar que as regiões de contato entre os trilhos e os frames são as áreas mais sensíveis
da estrutura, com valores de tensões mais altos. O valor máximo da tensão equivalente
de Von Mises calculado é de aproximadamente 33 MPa.
42
Figura 29: Análise de vibração aleatória da estrutura 1U.
O valor da máxima tensão equivalente para uma análise de 3σ e as coordenadas
do nó de máxima tensão, para os três modelos de estrutura, são extraídos a fim de
calcular o fator de segurança da estrutura, conforme Tabela 11. As análises das
estruturas 2U e 3U são apresentadas nos apêndices A e B, respectivamente.
Tabela 11: Máxima tensão equivalente e Fator de Segurança das estruturas.
A Figura 30 mostra os resultados das deformações direcionais devido à excitação
aleatória. É possível notar que os esforços sofridos nas direções laterais, X e Y, afetam
diretamente as regiões mais próximas ao centro dos trilhos, os quais sofrem maior
deformação. Pode-se dizer que essas regiões são as mais sensíveis quando a estrutura é
solicitada
nessas
direções.
As
máximas
deformações
calculadas
foram
de
aproximadamente 0,04 mm e 0,04 mm nas direções X e Y respectivamente. Valores
menores que a folga de 0,5 mm permitida entre os trilhos do P-POD e o trilho do
CubeSat. Já na direção de aceleração do veículo lançado, eixo Z, é possível notar que as
regiões sensíveis estão localizadas no frame superior, próximas aos cantos em contato
43
com os trilhos. A máxima deformação calculada foi de aproximadamente 0,02 mm.
Todos esses valores estão com fator de escala de 3σ, indicando que a resposta será
menor que esse valor em 99,73% das vezes. Observe que não há forma de deformação,
pois esses resultados são de natureza estatística.
Figura 30: Deformações direcionais na estrutura 1U.
A Figura 31 mostra dos resultados das acelerações direcionais devido à excitação
aleatória. As regiões mais sensíveis são idênticas às regiões encontradas pela análise das
deformações vista acima, o que era esperado. É possível notar que os esforços sofridos
nas direções laterais, X e Y, afetam diretamente as regiões mais próximas ao centro dos
trilhos, os quais sofrem maior aceleração. As máximas acelerações calculadas foram de
aproximadamente 304G em ambas as direções. Já na direção de aceleração do veículo
44
lançado, eixo Z, a máxima aceleração calculada foi de aproximadamente 185G. Todos
esses valores estão com fator de escala de 3σ, indicando que a resposta será menor que
esse valor em 99,73% das vezes.
Figura 31: Acelerações direcionais na estrutura 1U.
A Figura 32 mostra três gráficos de densidade espectral de potência da resposta,
um para cada eixo, do nó onde ocorre a máxima tensão equivalente de Von Mises da
estrutura devido a excitação aleatória da GEVS/NASA. A resposta PSD fornece
informações sobre onde a potência média é distribuída em função da frequência. Notase em todos os gráficos que a resposta PSD de tensão atinge o pico no primeiro modo de
vibração da estrutura, frequência natural de 1473 Hz, como era esperado, vide Figura 8
no capítulo 2. Portanto, de modo bem conservador, será calculado o número de ciclos de
45
carga para essa frequência, assumindo o tempo total da etapa de lançamento de acordo
com GEVS/NASA, duração de 1000 segundos.
Figura 32: Densidade Espectral de Potência da Resposta em Tensão do nó de máxima tensão da estrutura
1U.
4.3 Análise de Fadiga
Embora as tensões geradas pelas vibrações aleatórias sejam baixas, por atuarem
continuamente sobre a estrutura elas podem causar fadiga. Sendo assim, é fundamental
realizar essa análise para avaliar os danos causados pelas vibrações e estimar a vida útil
46
da estrutura. O método de contagem de ciclos de Steinberg, combinado à Regra de
Miner, é usado para calcular o dano total por fadiga e a vida útil do sistema.
Figura 33: Vida útil mínima da estrutura 1U por análise de fadiga.
Figura 34: Dano total sobre a estrutura 1U por análise de fadiga.
A Figura 33 e Figura 34 mostram, respectivamente, a vida útil da estrutura e o
dano total causado por fadiga devido ao ambiente de vibração aleatória para uma
duração de 1000 segundos. Podemos notar que a expectativa de vida mínima da
estrutura obtida é de aproximadamente 2,7.109 segundos sob o carregamento definido
47
pela PSD e esta falhará próximo a área de contato entre o trilho e o frame superior, onde
ocorre a máxima tensão equivalente, conforme mostrado na Figura 33.
Na Figura 34 podemos ver que o dano total acumulado para uma duração de
1000 segundos é de aproximadamente 3,7.10-7, ou seja, apenas 0,000037% da vida útil
da estrutura foi consumida. Observe também que a região de máximo dano é a mesma
onde obtemos a vida útil mínima da estrutura, já que a vida é inversamente proporcional
ao dano.
48
Capítulo 5
Conclusões e Recomendações
Neste capítulo são apresentadas as conclusões e recomendações para
continuidade dos trabalhos neste projeto.
5.1 Conclusões
Os resultados da Tabela 11 indicam que todas as estruturas suportarão a condição
de carga solicitada. Os valores da máxima de tensão equivalente para uma análise de 3σ
é de aproximadamente 33 MPa, 75 MPa e 254 MPa, para as estruturas 1U, 2U e 3U,
respectivamente. Nota-se que todos os valores estão abaixo de 340 MPa, máximo valor
calculado para tensão equivalente na equação X para qualificar as estruturas diante dos
padrões da ECSS.
A carga utilizada é a de máximo nível possível, de modo a submeter a estrutura
às piores condições de ambiente de vibração aleatória. Foram considerados as massas
dos componentes não estruturais de modo a deixar o modelo o mais próximo da
realidade dentro das limitações computacionais.
Por fim, foi calculado o fator de segurança considerando a máxima tensão de
Von Mises para uma análise 3σ, obtendo um fator de segurança de 15,5 para estrutura
1U, 6,8 para a estrutura 2U e 2,0 para a estrutura 3U, todas acima do valor mínimo
obtido pelo padrão da ECSS. Com isso, chegou-se a conclusão que as estruturas estão
bem dimensionadas e suportarão a carga de vibração aleatória na qual estarão
submetidas.
Além disso, como as estruturas ficam submetidas à variações de tensões
aleatórias, foi realizado uma análise de falha por fadiga, a fim de analisar o dano total
acumulado e a vida útil das estruturas durante seus lançamentos. Para isso, foi
considerado que as estruturas ficam expostas a essas variações de tensões aleatórias
durante 1000 segundos. Com isso, chegou-se a resultados de vida útil mínima muito
acima do tempo de exposição das estruturas, no pior dos casos, que seria o da estrutura
3U, a vida útil mínima seria de aproximadamente 7,7 horas. Os dados acumulados em
cada uma delas estão abaixo de 3,6%, ou seja, no pior dos casos, que seria para a
49
estrutura 3U, apenas 3,6% da vida útil da estrutura seria consumida, indicando que a
estrutura irá se manter íntegra durante todo o lançamento. Portanto, chegou-se à
conclusão que as estruturas não falharão por fadiga.
5.2 Recomendações
Diante do presente estudo, sugere-se novos trabalhos a serem desenvolvidos para
dar continuidade à linha de pesquisa e aprimorar a arquitetura base proposta por
Degrave (2021). Abaixo são listados alguns pontos importantes:
1. Utilizar uma licença profissional que permita refinar a malha e obter melhores
resultados;
2. Aplicar o método MPF (Modal Participation Factor), de modo a verificar as
frequências que mais contribuem para a instabilidade da estrutura;
3. Fabricar a estrutura em AL7075-T6 e realizar testes experimentais para validar
os resultados.
50
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53
Apêndice A
Neste apêndice são apresentados os resultados da análise na estrutura 2U.
Análise Modal
Na análise modal são obtidas as frequências natural da estrutura conforme a
Tabela 12.
Tabela 12: Frequências naturais da estrutura 2U.
54
Figura 35: Primeiros quatro modos de vibração da estrutura 2U.
A Figura 35 apresenta os primeiro modos de vibração da análise modal para a
estrutura 2U. Como pode ser visto, o primeiro modo de vibração da estrutura está acima
dos 100 Hz. De acordo com as especificações do CubeSat, deve-se evitar frequências
naturais abaixo de 100 Hz prevenindo-se de possíveis frequências ressonantes da fase de
lançamento.
55
Análise Aleatória
Figura 36: Análise de vibração aleatória da estrutura 2U.
A Figura 36 apresenta o resultado da análise aleatória para estrutura 2U, obtendo
a tensão equivalente de Von mises. O valor máximo da tensão equivalente de Von Mises
calculada é de aproximadamente 75 MPa. Dado que a tensão de escoamento do AL
7075-T6 é 510 MPa, temos um fator de segurança global de 6,8.
56
Figura 37: Densidade Espectral de Potência da Resposta em Tensão do nó de máxima tensão da estrutura
2U.
A Figura 37 apresenta os gráficos da densidade espectral de potência da resposta
para cada eixo, calculada no nó onde ocorre a máxima tensão equivalente de Von Mises.
Esses gráficos indicam a potência média distribuida em função da frequência. Pode-se
notar que o pico ocorre em torno de 430 Hz, que corresponde ao primeiro modo de
vibração da estrutura.
.
57
Análise de Fadiga
Figura 38: Vida útil mínima da estrutura 2U por análise de fadiga.
Figura 39: Dano total sobre a estrutura 2U por análise de fadiga.
A Figura 38 e Figura 39 apresentam as análises de vida útil e dano total causado por
fadiga, considerando um tempo total de exposição de 1000 segundos, sendo o mais
conservador possível. Pode-se notar que a expectativa de vida útil da estrutura 2U é de
58
aproximadamente 4,3.107 segundos. Já o dano total acumulado é de aproximadamente
2,4.10-5, indicando que 0,0024% da vida útil da estrutura foi consumida.
59
Apêndice B
Neste apêndice são apresentados os resultados da análise na estrutura 3U.
Análise Modal
Na análise modal são obtidas as frequências natural da estrutura conforme a
Tabela 13.
Tabela 13: Frequências naturais da estrutura 3U.
60
Figura 40: Primeiros quatro modos de vibração da estrutura 3U.
A Figura 40 apresenta os primeiro modos de vibração da análise modal para a
estrutura 3U. Como pode ser visto, o primeiro modo de vibração da estrutura está acima
dos 100 Hz. De acordo com as especificações do CubeSat, deve-se evitar frequências
naturais abaixo de 100 Hz prevenindo-se de possíveis frequências ressonantes da fase de
lançamento.
61
Análise Aleatória
Figura 41: Análise de vibração aleatória da estrutura 3U.
A Figura 41 apresenta o resultado da análise aleatória para estrutura 3U, obtendo
a tensão equivalente de Von mises.O valor máximo da tensão equivalente de Von Mises
calculada é de aproximadamente 254 MPa. Dado que a tensão de escoamento do AL
7075-T6 é 510 MPa, temos um fator de segurança global de 2,0.
62
Figura 42: Densidade Espectral de Potência da Resposta em Tensão do nó de máxima tensão da estrutura
3U.
A Figura 42 apresenta os gráficos da densidade espectral de potência da resposta
para cada eixo, calculada no nó onde ocorre a máxima tensão equivalente de Von Mises.
Esses gráficos indicam a potência média distribuida em função da frequência. Pode-se
notar que o pico ocorre em torno de 250 Hz, que corresponde ao primeiro modo de
vibração da estrutura.
63
Análise de Fadiga
Figura 43: Vida útil mínima da estrutura 3U por análise de fadiga.
Figura 44: Dano total sobre a estrutura 3U por análise de fadiga.
A Figura 43 e Figura 44 apresentam as análises de vida útil e dano total causado
por fadiga, considerando um tempo total de exposição de 1000 segundos, sendo o mais
conservador possível. Pode-se notar que a expectativa de vida útil mínima da estrutura
64
3U é de 27.820 segundos, aproximadamente 7,7 horas. Já o dano total acumulado é de
0,035946, indicando que aproximadamente 3,6% da vida útil da estrutura foi consumida.
65
Apêndice C
Neste apêndice é apresentado o código Python escrito para calcular as PSDs das
respostas e os valores das acelerações médias em GRMS através da equação de resposta
obtida no capítulo 2, gerando os gráficos correspondentes.
Código Python
# -*- coding: utf-8 -*"""
Created on Wed Jun 29 20:25:27 2022
@author: Peterson Oliveira
"""
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Equação de Regressão Logarítmica para interpolar os valores da PSD
de entrada
def Y_psd_input(x):
if x<50:
y=0.146241794*math.log(x)-0.412101261
if 50<=x<800:
y=0.16
if x>=800:
y=-0.146241794*math.log(x)+1.137569608
return y
# Resposta PSD para excitação
66
def X_fi(fn, fi, e):
Yi=Y_psd_input(fi)
ρ=((fi)/fn)
X_fi=((1+(2*e*ρ)**2)/((1-ρ**2)**2+(2*e*ρ)**2))*(Yi)
return X_fi
# Criando tabela com valores de entrada e saída PSD
f = np.ones(199)
X_100_fi = np.ones(199)
X_200_fi = np.ones(199)
X_300_fi = np.ones(199)
x_gevs = np.array([20, 50, 800, 2000])
y_gevs = np.array([0.026, 0.16,0.16,0.026])
# Construindo dados para fn = 100 hz
for i in range(199):
f[i] = (i+2)*10
X_100_fi[i] = X_fi(100, f[i], 0.05)
# Construindo dados para fn = 200 hz
for i in range(199):
f[i] = (i+2)*10
X_200_fi[i] = X_fi(200, f[i], 0.05)
# Construindo dados para fn = 300 hz
for i in range(199):
f[i] = (i+2)*10
X_300_fi[i] = X_fi(300, f[i], 0.05)
# Gerando os gráficos das respostas PSD
67
plot1 = plt.figure(1)
plt.plot(f, X_100_fi, color='red', label='fn = 100 Hz')
plt.plot(f, X_200_fi, color='#17a589', label='fn = 200 Hz')
plt.plot(f, X_300_fi, color='#f4d03f', label='fn = 300 Hz')
plt.plot(x_gevs, y_gevs, label='Entrada')
plt.suptitle('CURVAS DE DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DA RESPOSTA',
fontsize=12)
plt.title('SISTEMA SDOF, ξ
= 0,05
BASE DE ENTRADA = GEVS - NASA',
fontsize=7)
plt.ylabel("Aceleração PSD (g²/Hz)")
plt.xlabel('Frequência (Hz)')
plt.yscale('log')
plt.xscale('log')
plt.xlim(20,2000)
plt.ylim(0.001,100)
plt.grid()
plt.legend()
# Resposta X_GRMS da axcitação, para as frequências naturais(100 Hz,
200 Hz e 300 Hz)
def X_grms(fn):
if fn == 100:
df = 10
Y_100 = sum(X_100_fi)
Y_100_df = (Y_100)*df
X_grms = math.sqrt(Y_100_df)
print("O valor G_RMS é:")
return X_grms
68
if fn == 200:
df = 10
Y_200 = sum(X_200_fi)
Y_200_df = (Y_200)*df
X_grms = math.sqrt(Y_200_df)
print("O valor G_RMS é:")
return X_grms
if fn == 300:
df = 10
Y_300 = sum(X_300_fi)
Y_300_df = (Y_300)*df
X_grms = math.sqrt(Y_300_df)
print("O valor G_RMS é:")
return X_grms
# Espectro de Resposta à Vibração
fn = np.array([20, 50, 100, 200, 300, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1600,
2000])
fi_vrs = np.ones(199)
X_vrs = np.ones(199)
R_vrs = np.ones(12)
for i in range(12):
df = 10
a = fn[i]
for j in range(199):
fi_vrs[j] = (j+2)*10
X_vrs[j] = X_fi(a, fi_vrs[j], 0.05)
69
Y_a = sum(X_vrs)
Y_a_df = (Y_a)*df
Xa_grms = math.sqrt(Y_a_df)
R_vrs[i] = Xa_grms
plot2 = plt.figure(2)
plt.plot(fn, R_vrs)
plt.title('Espectro de Resposta à Vibração')
plt.ylabel("Aceleração Média (g_RMS)")
plt.xlabel('Frequência Natural (Hz)')
plt.yscale('log')
plt.xscale('log')
plt.xlim(10, 2000)
plt.ylim(5, 50)
plt.grid()
plt.show()
70