Series de Fourier
Funciones Periódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo
valor de t:
f(t) = f(t + T)
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante
T que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la
función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,...
2
Ejemplo 1
t
t
f (t )  cos  cos
3
4
f (t )  f (t  T )
Encuentre su periodo.
t
t
1
1
cos  cos  cos (t  T )  cos (t  T )
3
4
3
4
Sabemos que: cos   cos(  2m)
T
 2 m
3
T
 2 n
4
T  6m
T  8n
T  24
El más chico T
f(t)  cos ( 3t )  cos (
Gráfica de la función
t
4
)
3
2
T
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
f(t)
1
0
-1
-2
24
-3
0
50
100
150
200
t
4
Ejemplo 2
f (t )  cos 1t  cos 2t
f (t )  f (t  T )
1T  2m
2T  2n
Encuentre su periodo.
cos 1t  cos 2t  cos 1 (t  T )  cos 2 (t  T )
1 m

2 n
1 debe ser un
2 número racional
Fourier Series
Introducción
• Descomponer una señal de entrada periódica en
componentes periódicas primitivas.
Una secuencia periódica
f(t)
t
T
2T
3T
Síntesis
a0 
2nt 
2nt
f (t )    an cos
  bn sin
2 n 1
T
T
n 1
Componente
Componente
Corriente Directa Par
Componente
Impar
T es un periodo de todas las señales anteriores
sea 0=2/T

a0 
f (t )    an cos( n0t )   bn sin( n0t )
2 n 1
n 1
Producto interno de
funciones
El producto interno de dos funciones 𝑓1 𝑦 𝑓2 en un
intervalo [𝑎, 𝑏] es el número
𝑏
𝑓1 , 𝑓2 =
𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Funciones ortogonales
Dos funciones 𝑓1 𝑦 𝑓2
intervalo [𝑎, 𝑏] si
son ortogonales en un
𝑏
𝑓1 , 𝑓2 =
𝑓1 𝑥 𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo –1 < t < 1, ya que:
1
1
4
t
1t t dt  1t dt  4
2
1
3
0
1
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en
el intervalo – < t <, ya que
π
2
sen t
π sent cos tdt  2
π
0
π
13
Conjuntos de Funciones
Ortogonales
•Un conjunto de funciones {k} es ortogonal
en un intervalo a < t < b si satisface
0

(
t
)

(
t
)
dt


m
n
a
rn
b
mn
mn
Ortogonalidad de senos y
cosenos
El siguiente es un conjunto de infinitas funciones
ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:
{1, cos(0t), cos(20t), cos(30t),...,
sen(0t), sen20t, sen30t,...}
con 0= 2/T.
15
Vamos a verificarlo probándolo de a pares:
1.- f(t) = 1 vs. cos(m0t):
T/ 2
0= 2/T
sen(mω0t)
1cos (mω0t)dt 

mω0
T/ 2
T/ 2

T/ 2
2sen(mω0T/ 2 ) 2sen(mπ )


0
mω0
mω0
Ya que m es un entero.
16
2.- f(t) = 1 vs. sen(m0t):
0= 2/T
 cos (mω0t)
1 sen(mω0t)dt 

mω0
T/ 2
T/ 2
T/ 2

T/ 2
1

[ cos (mω0T/ 2 )- cos (mω0T/ 2 )]  0
mω0
3.- cos(m0t) vs. cos(n0t):
cos A cos B =
½[cos(A+B)+cos(A-B)]
cos2 = ½ (1+cos2)
 0
cos(m0 t)cos(n 0 t)dt  

T / 2
T / 2
T /2
para m  n
para m  n  0
17
Prueba de 3
T /2

T / 2
1
cos  cos   [cos(   )  cos(  )]
2
cos( m0t ) cos( n0t )dt
mn
1 T /2
1 T /2
  cos[( m  n)0t ]dt   cos[( m  n)0t ]dt
2 T / 2
2 T / 2
1
1
1
1
T /2
T /2

sin[( m  n)0t ] T / 2 
sin[( m  n)0t ] T / 2
2 (m  n)0
2 (m  n)0
1
1
1
1

2 sin[( m  n)] 
2 sin[( m  n)]
2 (m  n)0
2 (m  n)0
0
0
0
1
cos   [1  cos 2]
2
2
Prueba de 3
T /2

T / 2
m=n
cos( m0t ) cos( n0t )dt
1 T /2
  cos (m0t )dt  T / 2 [1  cos 2m0t ]dt
T / 2
2
T /2
2
T /2
T /2
1
1
 t

sin 2m0t ]
2 T / 2 4m0
T / 2
T

2
0
mn
 0
T / 2 cos(m0t ) cos(n0t )dt  T / 2 m  n
T /2
4.- sen(m0t) vs. sen(n0t):
sen A sen B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]
sen2 A =½ (1-cos2)
 0
sen(mω0t)sen(nω0t)dt  

T/ 2
T/ 2
T/ 2
5.- sen(m0t) vs. cos(n0t):
para m  n
para m  n  0
sen A cos B =
½[sen(A+B)+sen(A-B)]
T/ 2
 sen(mω t)cos (nω t)dt  0
0
0
para cualquier m,n
T/ 2
20
Serie trigonométrica de
Fourier
Las funciones periódicas f(t) de periodo T pueden
expresarse por la siguiente serie, llamada serie
trigonométrica de Fourier
f (t )  12 a0  a1 cos(0t )  a2 cos( 20t )  a3 cos(30t )  ...
...  b1sen(0t )  b2 sen(20t )  b3 sen(30t )  ...
Donde 0 = 2/T se denomina frecuencia fundamental.

f (t )  12 a0   [an cos( n0t )  bn sen(n0t )]
n 1
21
¿Cómo calcular los coeficientes
de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su
serie de Fourier?

f(t)  12 a0   [an cos (nω0t)  bn sen(nω0t)]
n 1
Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones
seno y coseno.
22
¿Cómo calcular los coeficientes
de la serie?
Vamos a aprovechar la ortogonalidad que acabamos de
demostrar del conjunto de funciones:
{1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),...,
sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...}
con 0 = 2/T , en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular
los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de
Fourier:

f(t)  12 a0   [an cos (nω0t)  bn sen(nω0t)]
n 1
23
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por
cos(m0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
T /2

f (t ) cos( m0t )dt  12 a0
T / 2
0, si m ≠ 0
T /2
 cos (mω t)dt 
0
T / 2

T /2
 a  cos (nω t)cos (mω t)dt 
n 1
n
0
0
0, si m ≠ n
T/2, si m = n
T / 2

0
T /2
 b  sen(nω t)cos (mω t)dt
n 1
n
0
T / 2
T /2
am  T2
0

f (t ) cos( m0t )dt
T / 2
m  1, 2, 3,...
24
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar aparte:
T /2

T /2
f (t ) cos( m0t )dt  12 a0
T / 2
T, si m = 0
 cos (mω t)dt 
0
T / 2

T /2
 a  cos (nω t)cos (mω t)dt 
n 1
n
0
0
T / 2

0, si m ≠ n
T/2, si m = n
0
T /2
 b  sen(nω t)cos (mω t)dt 
n 1
n
0
0
T / 2
1
a0T
2
T /2
2
a0 
f
(
t
)
dt

T T / 2
25
Similarmente, multiplicando por sen(m0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
T /2

0
T /2
f (t ) sen(mω0t) dt  12 a0
T / 2

0
T / 2
0
T /2
 sen(mω t)dt 
 a  cos (nω t)sen(mω t)dt 
n 1
n
0
0
T / 2

T /2
 b  sen(nω t)sen(mω t)dt
n 1
n
0
0
0, si m ≠ n
T/2, si m = n
T / 2
T /2
bm  T2
 f (t )sen(m t )dt
0
m  1, 2, 3,...
T / 2
26
Serie de Fourier
La serie de Fourier de una función 𝑓 definida en el
𝑇 𝑇
intervalo (− , ) es:
2 2

a0 
f (t )    an cos( n0t )   bn sin( n0t )
2 n 1
n 1
2 T2
a0   T f (t )dt
T 2
2 T2
an   f (t ) cos n0tdt
T T 2
n  1,2, 
2 T2
bn   f (t ) sin n0tdt
T T 2
n  1,2, 
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la
serie de Fourier para la función de onda cuadrada de
periodo T:
f(t)
1
t
...
-T/
2
0
T/
2
T ...
-1
La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
 1 para  T2  t  0
f (t )  
T
1
para
0

t

2

0= 2/T
28
Coeficiente a0:
 1

f (t )  
1

para  T  t  0
2
para 0  t  T
2
0
T /2



a0  T2    dt   dt T2  t
0
 T / 2
 
T /2
a  2  f (t )dt
0 T
T / 2
0
T / 2
t
T /2
0

0

29
Coeficientes an:
 1 para   t  0
f (t )  
T
1
para
0

t

2

T
2
T /2
an  T2
 f (t ) cos(n t )dt
0
T / 2
0
T /2


2
an  T    1 cos( n0t )dt   1 cos( n0t )dt 
0
T / 2

0
T /2


1
1
 T2 
sen (n0t )

sen(n0t )   0
n0
 n0
T / 2
0 

para n  0
30
Coeficientes bn:
 1 para   t  0
f (t )  
T
1
para
0

t

2

T
2
T /2
bn  T2
 f (t )sen(n t )dt
0
T / 2
0
T /2


2
bn  T    sen(n0t )dt   sen(n0t )dt  
0
 T / 2

0
T /2


1
1
 T2 
cos( n0t )

cos( n0t ) 
n0
 n0
T / 2
0 

1
(1  cos(n ))  (cos( n )  1)

n
2


1  (1) n ) para n  0
n
31
Finalmente, la serie de Fourier queda como
f (t ) 
4

sen(0t )  13 sen(30t )  15 sen(50t )  ...

1
f (t )  
sen((2n  1)0t ) )
 n 1 2n  1
4
En la siguiente figura se muestran: la componente
fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma
parcial de estos primeros cuatro términos de la serie
para 0 =  (0= 2/T), es decir, T = 2:
32
f (t ) 
Componentes
1.5
4

sen(0t )  13 sen(30t )  15 sen(50t )  ...
Componentes de la Serie de Fourier
1
0.5
0
-0.5
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
séptimo armónico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
1
33
Nota:
Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita
estar centrada en el origen. Simplemente debemos
tomar el intervalo, donde está definida, como el
periodo de la serie.
La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no
sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en
cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de
t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.
34
f(t)
Habíamos calculado
los coeficientes para:
1
t
 1 para  T / 2  t  0
f (t )  
para 0  t  T / 2
1
...
-T/
0
2
T/
2
T ...
-1
Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos:
f(t)
1
 1 para 0  t  T / 2
f (t )  
 1 para T / 2  t  T
t
...
-T/
2
0
T/
2
T ...
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
35
De hecho si repetimos
para cualquier intervalo
de longitud igual al periodo
T de la función, será lo
mismo:
T /2
a0  T2

T /2

T /2

t
...
t0
T
t 0 T
0
t0

-1
t0 +T
...
f (t )dt  T2  f (t )dt
T
f (t ) cos( n0t )dt  ...  T2  f (t ) cos(n0t )dt
T / 2
bn  T2
1
f (t )dt  T2  f (t )dt  T2
T / 2
an  T2
f(t)
T
f (t ) sen(n0t )dt  ...  T2  f (t ) sen(n0t )dt
T / 2
T
36
Serie de Fourier
La serie de Fourier de una función 𝑓 definida en el
intervalo [𝑡0 , 𝑡0 + 𝑇] es:

a0 
f (t )    an cos( n0t )   bn sin( n0t )
2 n 1
n 1
2 t 0 T
a0  
f (t )dt
t
T 0
2 t 0 T
an  
f (t ) cos n0tdt
T t0
n  1,2, 
2 t 0 T
bn  
f (t ) sin n0tdt
t
T 0
n  1,2, 
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
2
f (t )  1  cos(3t ) de periodo T 
3
2
3
a0   f (t )dt 
T T

2
3
an   f (t ) cos( n0t )dt 
T T

2
3
bn   f (t ) sen (n0t )dt 
T T

2
3
 (1  cos(3t ))dt  2
0
2
3
1, si n  1
0 (1  cos(3t )) cos(n0t )dt  0, si n  1
2
3
 (1  cos(3t )) sen(n t )dt  0
0
para todo n
0
en definitiva


n 1
n 1
f (t )  1   an cos( n0t )   bn sen (n0t )  1  cos(3t )
La serie
es la
propia
función..
38
Ejemplo: Onda Cuadrada
f(t)
1
-6 -5 -4 -3 -2 -

2
3
4
5
2 
a0 
1dt  1

0
2
2 
1

an 
cos
ntdt

sin
nt
0

0
0
2
n
2
bn 
2


0
n  1,2, 
2 / n
1
1

sin ntdt  
cos nt 0  
(cos n  1)  
n
n
0
n  1,3,5,
n  2,4,6,
1 2
1
1

f (t )    sin t  sin 3t  sin 5t  
  Cuadrada
3
5

Ejemplo: 2Onda
f(t)
1
-6 -5 -4 -3 -2 -

2
3
4
5
2 
a0 
1dt  1

0
2
2 
1

an 
cos
ntdt

sin
nt
0

0
0
2
n
2
bn 
2


0
n  1,2, 
2 / n
1
1

sin ntdt  
cos nt 0  
(cos n  1)  
n
n
0
n  1,3,5,
n  2,4,6,
1 2
1
1

f (t )    sin t  sin 3t  sin 5t  
2 
3
5

f(t)
1
-6 -5 -4 -3 -2 -

2 3
4 5
2 
a0 
1dt  1

0
1.5 2
1
2 
1

an 0.5  cos ntdt 
sin nt 0  0
2 0
n
0
n  1,2, 
2 / n n  1,3,5,
1 
1
1

bn -0.5

sin ntdt   cos nt 0   (cos n  1)  

0
n  2,4,6,
2
n
n
0