Dinámica de una partícula
1. Una partícula empieza a moverse en la parte superior de una superficie cilíndrica lisa. Calcule el
ángulo 𝜙 donde abandonará la superficie.
2. En el sistema mostrado en la figura 𝑚𝑜 , 𝑚1 y 𝑚2 son las masas de los cuerpos. Las poleas y los hilos
tienen masas despreciables y no hay rozamiento. Calcule la aceleración del cuerpo 𝑚1 .
4𝑚 𝑚 +𝑚 (𝑚 −𝑚 )
R. 𝑦̈1 = 4𝑚1 𝑚2 +𝑚0 (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑔
1
2
0
1
2
3. En un plano inclinado que forma un ángulo 𝛼 con el piso se arrastra un bloque de masa 𝑚 con un hilo
a velocidad constante. El coeficiente de rozamiento es 𝜇. Calcule el ángulo 𝛽 que debe formar el hilo
con el plano inclinado para que la tensión sobre el hilo sea mínima.
R. 𝑡𝑎𝑛 𝛽 = 𝜇
𝑇𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑔(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝜇 𝑐𝑜𝑠𝛼)/√1 + 𝜇2
4. Un bloque de masa 𝑚 se coloca sobre una cuña de masa 𝑀. La cuña descansa sobre una superficie
horizontal y el sistema está inicialmente en reposo. Todas las superficies son lisas, de modo que tanto
el bloque como el plano inclinado pueden moverse. Si el bloque inicialmente se encuentra a una altura ℎ, calcule la velocidad de la cuña en el instante en que el bloque toca la mesa. También calcule la
ecuación de la trayectoria de la partícula.
2𝑚2 𝑔ℎ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
R. √(𝑀+𝑚)(𝑀+𝑚 𝑠𝑒𝑛2 𝛼)
𝑚
ℎ
𝑦 − ℎ = (1 + 𝑀 ) 𝑡𝑎𝑛𝛼 (𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝛼)
5. Un bloque de masa 𝑚 se encuentra sobre una cuña de masa 𝑀, la que a su vez descansa sobre una
mesa horizontal como se muestra en la figura. Todas las superficies carecen de fricción. Si el sistema
parte del reposo estando el bloque a una altura h sobre la mesa. Calcule la velocidad de la cuña en
función de la posición vertical “y” del bloque aplicando teoremas de conservación.
R.
2𝑚2 𝑔(ℎ−𝑦) 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
√(𝑀+𝑚)(𝑀+𝑚 𝑠𝑒𝑛2 𝛼)
6. Una partícula de masa 𝑚 se deja caer desde una altura ℎ sobre una superficie parabólica lisa 𝑦 = 𝑎𝑥 2 .
Calcule la fuerza que la superficie le ejerce a la partícula.
R. 𝑁 =
𝑚𝑔(1+4𝑎ℎ)
3
(1+4𝑎2 𝑥 2 )2
7. Una partícula de masa 𝑚 se suelta desde el reposo a una distancia 𝑏 de un origen de fuerzas fijo que
atrae a la partícula con una fuerza 𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 −2 . Calcule el tiempo requerido para que la partícula
alcance el origen.
R. 𝑇 = 𝜋√𝑚𝑏 3 ⁄8𝑘
8. Sobre una tabla horizontal con un escalón de altura 𝐻 se apoya un cilindro homogéneo de radio 𝑅 > 𝐻
como se muestra en la figura. Determine la aceleración máxima posible 𝑎 de la tabla, de tal manera que
el cilindro no empiece a subir el escalón. Se desprecia el rozamiento entre la tabla y el piso.
R. 𝑎𝑚á𝑥 =
𝑔√2𝑅𝐻−𝐻 2
𝑅−𝐻
9. Un cuerpo de masa 𝑚 está suspendido mediante un resorte vertical de constante elástica 𝑘, el cuerpo
al mismo tiempo se encuentra sobre una tabla justo en la posición en donde el resorte no está estirado. La tabla empieza a bajar desde el reposo con aceleración 𝑎. Calcule el alargamiento del resorte
en el instante en que la tabla se despegue del cuerpo. ¿Cuál será la longitud del alargamiento máximo
del resorte?
R.
𝑚
𝑘
(𝑔 + √2𝑔𝑎 − 𝑎2 ), 𝑎 < 𝑔
10. Un proyectil es lanzado desde el origen con velocidad inicial 𝑣0 a un ángulo de elevación θ con la
horizontal. Si el aire produce una resistencia proporcional a la velocidad 𝒇 = −𝑚𝛾𝒗. Calcule el decremento aproximado en el alcance horizontal del proyectil.
R.
4𝑣𝑜3 𝛾𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃
3𝑔2
11. Una partícula 𝑃 de masa 𝑚 se encuentra sobre una mesa horizontal lisa sujeta a una cuerda larga e
inextensible que pasa por un orificio en su superficie. El otro extremo de la cuerda soporta una partícula 𝑄 de masa 𝑘𝑚 que cuelga libremente. Cuando la partícula 𝑃 está a una distancia 𝑎 del orificio
se proyecta a partir del reposo con una rapidez √8𝑎𝑔 a lo largo de la mesa formando un ángulo recto
con la cuerda. Demostrar que la partícula 𝑄 empezará a ascender si 𝑘 < 8 y que si la distancia máxima
entre 𝑃 y el orificio es 2𝑎, entonces 𝑘 = 3. Calcule la tensión en la cuerda.
R. 𝑇 =
8𝑘𝑚𝑔𝑎 3 1
𝑘+1
𝑟3
+ 𝑘𝑚𝑔 −
𝑘 2 𝑚𝑔
𝑘+1
MPQ