Probabilidad
y estadística
para bachilleratos tecnológicos
Ludwing Javier
Salazar Guerrero
2a
edición
Probabilidad
y estadística
para bachilleratos tecnológicos
Ludwing Javier
Salazar Guerrero
Acorde con el modelo educativo para la educación obligatoria
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Renacimiento 180
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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Diagramación: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez
Coordinadora editorial: Alma Sámano Castillo
Ilustraciones y fotografías: Perla Alejandra López Romo, Jorge Antonio
Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez, Thinkstock
Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diseño de portada e interiores: Perla Alejandra López Romo
Agradecemos a CASIO México Marketing, S. de R.L. de C.V., su apoyo para
la publicación de pantallas de la calculadora científica CASIO FX-991ES.
0ROBABILIDAD Y ESTADÓSTICA
para bachilleratos tecnológicos
Serie DGETI
Derechos reservados:
© 2018, Ludwing Javier Salazar Guerrero
© 2018, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca
Del. Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
)3". E BOOK 0RIMERA EDICIØN E BOOK
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido
de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas,
sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
0RIMERA edición E BOOK: 2018
II
Tabla de contenidos
INTRODUCCIÓN
VII
COMPETENCIAS
VIII
VIII
#OMPETENCIAS GENÏRICAS
VIII
#OMPETENCIAS DISCIPLINARES
VIII
PARTE
0ROPØSITOS DE LA ASIGNATURA
1
Eje. Del manejo de la información al pensamiento
estocástico. Primera parte
APERTURA
%VALUACIØN DIAGNØSTICA
2
3
3
DESARROLLO
8
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad
8
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque de probabilidad?, ¿qué significan
las medidas de tendencia central?, ¿para qué obtener estos valores?
17
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases para la determinación de probabilidades
27
CIERRE
47
Evaluación sumativa
47
1. !UTOEVALUACIØN
49
2. !UTOEVALUACIØN DISCIPLINAR
49
III
PARTE
CONTENIDO
2
Eje. Del manejo de la información al pensamiento
estocástico. Segunda parte
APERTURA
50
51
%VALUACIØN DIAGNØSTICA
51
DESARROLLO
57
2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad y estadística en el estudio del riesgo?
Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas
57
2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas
57
2.3 Análisis de la información
60
2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad
72
2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad
73
CIERRE
94
Evaluación sumativa
94
PARTE
1. !UTOEVALUACIØN
3
95
2. !UTOEVALUACIØN DISCIPLINAR
Eje. Del manejo de la información al pensamiento
estocástico. Tercera parte
APERTURA
%VALUACIØN DIAGNØSTICA
95
96
97
97
DESARROLLO
102
3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas de tendencia central?, ¿cómo
representar la información en un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadístico?,
¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la información?
102
3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su representatividad en términos
de la variabilidad y contexto situacional
110
3.3 Construcción de gráficos estadísticos en la representación de la información
121
3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos
121
CIERRE
124
Evaluación sumativa
124
1. !UTOEVALUACIØN
IV
125
2. !UTOEVALUACIØN DISCIPLINAR
125
PARTE
CONTENIDO
4
Eje. Del manejo de la información al pensamiento
estocástico. Cuarta parte
APERTURA
%VALUACIØN DIAGNØSTICA
126
127
127
DESARROLLO
132
4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media aritmética, la mediana?
¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una medida de dispersión?, ¿qué es una medida de forma?,
¿qué es una medida de correlación?
132
4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué información brindan las medidas
de tendencia central?, ¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma información?,
¿en cualquier fenómeno tienen significado?
151
CIERRE
170
Evaluación sumativa
1. !UTOEVALUACIØN
Glosario
170
171
2. !UTOEVALUACIØN DISCIPLINAR
171
172
V
Introducción
3I LA GENTE NO PIENSA QUE LAS MATEMÉTICAS SON SIMPLES
ES SØLO PORQUE NO SE DAN CUENTA DE LO COMPLICADA QUE ES LA VIDA
John von Neumann
,AS MATEMÉTICAS CONSTITUYEN LA CIENCIA DE LA FORMA Y LA CANTIDAD
EL RAZONAMIENTO MATEMÉTICO ES SIMPLEMENTE LØGICA APLICADA A LA
OBSERVACIØN DE LA FORMA Y LA CANTIDAD %L GRAN ERROR ESTÉ EN SUPONER
QUE INCLUSO LAS VERDADES DE LO QUE SE DENOMINA ÉLGEBRA PURA CONSTITUYEN
VERDADES ABSTRACTAS O GENERALES
Edgar Allan Poe
0ROBABILIDAD Y ESTADÓSTICA PARA BACHILLERATOS TECNOLØGICOS es una obra que tiene como base el modelo de competencias
y está apegado al programa de estudios de la Dirección General de Educación Tecnológica e Industrial (DGETI) de la
Secretaría de Educación Pública.
El libro se divide en cuatro partes; en cada una de ellas se presentan secuencias didácticas (Deduce y aprende)
diseñadas con la finalidad de resolver situaciones problemáticas y vinculadas al tema integrador.
La obra propicia que el estudiante trabaje en forma individual y en equipo; posibilita la discusión, para que comunique de manera asertiva sus ideas; también promueve el uso de la hoja electrónica Excel y la calculadora científica.
Al principio de cada parte se encuentra un examen diagnóstico y una secuencia integradora, así como la rúbrica
para evaluarla; al final de cada unidad se presenta una lectura, una autoevaluación y la recuperación de la información.
Cada parte está organizada en tres momentos: Apertura, Desarrollo y Cierre. Las actividades de apertura son aquellas a partir de las cuales es posible identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las percepciones y los conocimientos previos del alumno, se realizan por medio de diferentes técnicas, como, lluvia de ideas, cuestionarios y aquello que el
maestro considere pertinente, podrán tener una duración de 5 a 10 minutos. Las actividades de desarrollo relacionan los
saberes, los conocimientos previos del alumno e introducen nuevos conocimientos técnicos y científicos. Finalmente,
las actividades de cierre permiten al estudiante sintetizar y recuperar lo estudiado. Para ello se sugiere utilizar mapas
mentales o conceptuales, exposiciones orales, solución de ejercicios y portafolios de evidencias.
La obra se ha diseñado para que el alumno sea el protagonista y desarrolle sus habilidades de lectura, expresión
oral y escrita. Además, contiene ejercicios y problemas que le permitan relacionar la teoría con su entorno social.
En esta obra se reflejan más de 40 años de experiencia docente, por ello, se ha puesto especial atención a los
temas que se le dificultan al alumno y por eso mismo se utiliza un lenguaje claro y acorde al nivel educativo, se abordan los contenidos por aprender en forma concisa y con el suficiente rigor matemático con el fin de que fundamente
las bases de los conocimientos para la probabilidad y la estadística. Asimismo, el diseño del libro es atractivo e invita al
estudiante a trabajar evitando el tedio y la monotonía.
Espero que esta segunda edición de 0ROBABILIDAD Y ESTADÓSTICA PARA BACHILLERATOS TECNOLØGICOS se convierta en un
auxiliar didáctico para el docente y una útil herramienta de apoyo para el alumno en su trabajo diario.
Finalmente, deseo agradecer a la Secretaría Académica y a la Comisión de Operación y Fomento de Actividades
Académicas del Instituto Politécnico Nacional.
El autor
VII
Competencias
Propósitos de la asignatura
Que el estudiante aprenda a identificar, utilizar y comprender los sistemas de tratamiento estadístico; inferir sobre la
población a través de las muestras; el tratamiento del azar y la incertidumbre.
Competencias genéricas
• Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
– Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.
– Identifica sus emociones, las maneja de manera constructiva y reconoce la necesidad de solicitar apoyo ante
una situación que lo rebase.
– Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
– Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.
• Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
– Valora el arte como manifestación de la belleza y expresión de ideas, sensaciones y emociones.
• Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos
y herramientas apropiados.
– Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
– Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
• Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
– Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
– Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.
– Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
• Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
– Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando
sus reacciones frente a retos y obstáculos.
• Participa y colabora de manera efectiva en grupos diversos.
– Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de
acción con pasos específicos.
– Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
– Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro
de distintos equipos de trabajo.
Competencias disciplinares
• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación.
• Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
VIII
COMPETENCIAS
• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades
físicas de los objetos que lo rodean.
• Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Perfil de Egreso: El Perfil de Egreso de la Educación Media Superior, expresado en ámbitos individuales, define el tipo
de alumno que se busca formar.
A través del logro de los aprendizajes esperados de la asignatura Probabilidad y estadística, gradualmente se impulsará el desarrollo de los siguientes ámbitos:
Pensamiento crítico y solución de problemas: Utiliza el pensamiento lógico y matemático, así como los métodos de
las ciencias para analizar y cuestionar críticamente fenómenos diversos. Desarrolla argumentos, evalúa objetivos, resuelve problemas, elabora y justifica conclusiones y desarrolla innovaciones. Asimismo, se adapta a entornos cambiantes.
Pensamiento matemático: Construye e interpreta situaciones reales, hipotéticas o formales que requieren la utilización
del pensamiento matemático. Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos o analíticos. Adicionalmente, de forma transversal se favorecerá
el desarrollo gradual de los siguientes ámbitos:
Lenguaje y comunicación: Se expresa con claridad en forma oral y escrita tanto en español como en lengua indígena en caso de hablarla. Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.
Se comunica en inglés con fluidez y naturalidad.
Habilidades digitales: Utiliza adecuadamente las Tecnologías de la Información y la Comunicación para investigar, resolver problemas, producir materiales y expresar ideas. Aprovecha estas tecnologías para desarrollar ideas e
innovaciones. Exploración y comprensión del mundo natural y social: obtiene, registra y sistematiza información,
consultando fuentes relevantes, y realiza los análisis e investigaciones pertinentes. Comprende la interrelación de
la ciencia, la tecnología, la sociedad y el medio ambiente en contextos históricos y sociales específicos. Identifica
problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas.
Habilidades socioemocionales y proyecto de vida: Es autoconsciente y determinado, cultiva relaciones interpersonales sanas, maneja sus emociones, tiene capacidad de afrontar la adversidad y actuar con efectividad y reconoce
la necesidad de solicitar apoyo. Fija metas y busca aprovechar al máximo sus opciones y recursos. Toma decisiones
que le generan bienestar presente, oportunidades y sabe lidiar con riesgos futuros.
Colaboración y trabajo en equipo: Trabaja en equipo de manera constructiva, participativa y responsable, propone
alternativas para actuar y solucionar problemas. Asume una actitud constructiva.
1
PA R T E
1
EJE
Del manejo de
la informacion
al pensamiento
estocástico
Primera parte
Componentes
O
Aprendizajes esperados
Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Estadística y la Probabilidad.
O
O
Contenido central
O
O
Conceptos básicos de Estadística y Probabilidad. Recolección de datos y su clasificación en clases. Uso del conteo y
la probabilidad para eventos.
O
Usa un lenguaje propio para situaciones que necesiten del
estudio con elementos de estadística y probabilidad.
Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación
de probabilidades.
Organiza la información como parte de la estadística para
el estudio de la probabilidad.
Estudia el complemento que ofrece la estadística para la
probabilidad.
Productos esperados
O
Contenidos específicos
Dada una colección de datos, calcular su promedio.
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad.
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque de
probabilidad?, ¿qué significan las medidas de tendencia
central?, ¿para qué obtener estos valores?
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases para la determinación de probabilidades.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la letra que hace verdadera la oración y anótala
en el paréntesis.
1. En la compra de un refrigerador de $13 500, se da una oferta de
30% de descuento. ¿Cuánto tendrá que pagar la persona que lo
compra?
( )
A) $13 500
B) $4 050
C) $9 450
D) $10 000
2. Una persona compra una televisión con un costo de $7 500
en la cual le ofrecen un descuento de 20% y sobre éste 40%.
¿Cuánto dinero le descontarán del precio del televisor?
( )
A) $3 000
B) $1 200
C) $3 900
D) $4 500
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
3. En una circunferencia de 6 cm de radio se desea trazar un ángulo que cubra 30% del área del círculo.
¿De cuántos grados debe ser el ángulo?
B) 108°
A) 60°
C) 120°
5. Un equipo de futbol ha ganado 8 partidos de un total de 20 que ha jugado. ¿Qué porcentaje de partidos
ha perdido?
B) 60%
C) 2.5%
B) 6 varillas
C) 7 varillas
D ) 3 varillas
7. Si seis manzanas cuestan $10.50. ¿Cuál será el costo de 10 manzanas?
( )
A) $17.50
B) $20.50
C) $13.50
D ) $25.00
8. Un banco cobra $3.50 por cada $500 que emite un cheque certificado, si por la emisión de un cheque cobra $66.50, ¿cuál es el
valor del cheque?
( )
A) $70.00
B) $66.50
C) $3.50
D ) $9 500
9. Escribe los dos números que siguen en las siguientes sucesiones
( )
3, 8, 13, 18, ___, ___.
A) 24, 28
B) 23, 28
C) 31, 81
D ) 22, 28
10. Un sastre tiene un paño de 16 m del cual cada día corta un octavo de la tela. ¿Al cabo de cuántos días cortará el sastre el último
pedazo de tela?
( )
A) 10 días
4
B) 6 días
C) 4 días
D ) 8 días
(
)
(
)
(
)
D ) 4%
6. La longitud de una varilla para construcción es de 12 m. ¿Cuántas varillas se comprarán para cubrir
un techo de 3 w 3 m, formando una cuadrícula de separación de 10 cm?
A) 15.5 varillas
)
D) 50°
4. Un maestro viaja a su centro de trabajo en Chiapas y recorre 50 km, de los cuales recorre en autobús
1
1
1
en ferrocarril, en burro
y el resto a pie. ¿Cuántos kilómetros recorrió a pie?
del camino,
3
10
2
B) 70 km
C) 140 km
D ) 100 km
A) 3.333 km
A) 8%
(
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Tema integrador
Secuencia didáctica
Un fabricante de ropa debe de confeccionar 100 000 playeras para jóvenes entre 16 y 22 años de edad. Para determinar las preferencias
del mercado debe contratar una compañía que haga el estudio.
El estudio se forma por las siguientes etapas:
a) Primera etapa: Consiste en documentar la información acerca de las modas, cortes y colores, etc., en un máximo de tres hojas.
b) Segunda etapa: Cada compañía debe de definir las estrategias para determinar el color, talla, tela, el tipo de corte de la camisa y todo lo que considere
para el proyecto. Para ello, sugerimos diseñar un cuestionario que le ayude
en la obtención de la información y la metodología que usará. (Esta información se utilizará en las unidades siguientes.)
c) Tercera etapa: Realiza una presentación utilizando los medios electrónicos para exponer sus conclusiones a las que llegue el equipo. En esta primera parte encontrarás actividades que te permitan desarrollar tu proyecto.
Apertura
Desarrollo
• Formen equipos de cinco
alumnos.
• Lean el tema integrador.
• Realicen la secuencia
didáctica que se plantea.
Cierre
• Escriban en el cuaderno el análisis que
hicieron sobre la situación didáctica.
• ¿Cuáles son los requerimientos de información que se desean para poder diseñar el
cuestionario que se va a utilizar? La muestra se aplica por lo menos a 40 personas
por cada alumno, en total 200.
• ¿Todas las preguntas de tu cuestionario
son cuantificables para poder procesarlas?
• ¿Qué tipo de playera es la que se
fabricará?
• ¿Cuántas playeras se fabricarán de cada
color?
• ¿Cuántas playeras de cada talla se
fabricarán?
• ¿Hay algún material en especial a utilizar
en la fabricación de las playeras?
• Analicen el problema.
• Analicen la información obtenida y determinen para qué sirve.
• Diseñen los instrumentos para agrupar la
información que se requiere.
• Determinen los instrumentos de presentación gráfica.
• Realicen una presentación de la
información.
• Realicen intercambio de información con
sus compañeros de otros equipos para
meditar las situaciones no consideradas,
recuerden que se van a producir 100 000
playeras.
• Elaboren con esta información un resumen
y agréguenlo a su portafolio de evidencias.
5
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador, primera y segunda etapas
Aspecto a
evaluar
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Satisfactorio
(2)
Deficiente
(1)
Análisis de
la situación
didáctica.
Realiza una investigación
completa de la situación.
Realiza una investigación
clara y convincente.
La investigación no es
clara y sólo se presentan
recortes de páginas web.
La investigación es
deficiente y no aporta
conocimientos claros.
Desarrollo
del tema
integrador.
La presentación del
tema usa los medios
electrónicos, su lenguaje
es claro y preciso, tiene un
orden en los contenidos,
los argumentos que
presenta están bien
fundamentados y sus
conclusiones son correctas.
La presentación del tema
usa los medios electrónicos,
su lenguaje no es muy claro
y poco preciso, tiene un
orden en los contenidos, los
argumentos que presenta
están bien fundamentados
y sus conclusiones son
correctas.
La presentación del
tema usa los medios
electrónicos, su lenguaje
no es muy claro y poco
preciso, no hay orden en los
contenidos, los argumentos
que presenta están bien
fundamentados y sus
conclusiones son correctas.
La presentación del tema
usa los medios electrónicos,
su lenguaje no es muy
claro y poco preciso, no hay
orden en los contenidos, los
argumentos que presenta
están bien fundamentados
y sus conclusiones no son
correctas.
Contesta entre 70 y 89%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta menos de 60%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Presentación Contesta más de 90%
de
de las preguntas y realizó
resultados.
todas las actividades.
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador, tercera etapa
Actividad: Exposición
Instrumento: Rúbrica
Valor: 40
Aspecto a
evaluar
Excelente
(4)
Presentación Destaca su organización y
comprensión del proyecto. La
exposición fue clara. El grupo
siempre se interesó por el tema.
Cualidades
de la
expresión
oral
Tiempo
Material de
apoyo
6
Bueno
(3)
Satisfactorio
(2)
Fue adecuada y con cierta
organización. El grupo pudo entender
la mayor parte de lo que se dijo.
Presentación mal preparada.
Información desorganizada e
incompleta. El grupo no prestó
atención a la exposición.
Valor: 15 puntos
Valor: 8 puntos
Valor: 4 puntos
Correcta dicción, volumen adecuado;
estableció contacto visual con el
grupo; empleó correctamente el
lenguaje kinésico; y confianza. No
incurre en el uso de muletillas.
Demostró poca confianza, ya que
evitaba el contacto visual con el
grupo. Empleó correctamente el
lenguaje kinésico. Ocasionalmente
se observó el uso de muletillas. El
volumen fue adecuado.
Demostró inseguridad, empleando
muletillas; con un volumen bajo y
no se observó control del lenguaje
kinésico.
Valor: 15 puntos
Valor: 8 puntos
Valor: 4 puntos
Duró el tiempo asignado.
Duró, aproximadamente, el tiempo
asignado.
La presentación fue muy breve
o muy extensa.
Valor: 5 puntos
Valor: 3 puntos
Valor: 1 punto
Presenta lenguaje icónico, que
refuerza lo expresado verbalmente. El
material contiene palabras acordes al
nivel del receptor y ortografía. Coloca
solamente los datos relevantes.
Presenta lenguaje icónico, pero
el material está recargado de
información. Presenta errores
ortográficos. Contiene palabras
acordes al nivel del receptor.
Presenta material con ausencia de
lenguaje icónico. Errores ortográficos
y descuida el nivel del receptor.
Valor: 5 puntos
Valor: 3 puntos
Valor: 1 punto
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Propósito del portafolio de evidencias
Periodo
Integrar los productos esperados de la asignatura relacionando el proceso de aplicación de los
principios y técnicas de la estadística a la vida cotidiana del estudiantado.
Asignatura
Estadística
Nombre del
alumno
Criterios de reflexión sobre los productos esperados
Comentarios del alumno
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar los productos
esperados que se presentaron?
¿Qué aprendizajes esperados se confirman en este portafolios?
Monitoreo de productos
#
Título
Fecha
de Comentarios del docente
elaboración
1
2
3
4
5
6
7
8
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística y de la teoría de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
• Usarás una gran cantidad de información con la que podrás realizar una tabla de frecuencias para evaluar el comportamiento de una
muestra determinada y, por ende, el comportamiento de una población con respecto a una variable.
¿Para qué te servirá?
Podrás manejar la información de un gran número de datos en forma individual o agrupada y representarla gráficamente.
7
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
“Maestro,
tú que me diste lo más valioso, que
es la letra para expresar mi
pensamiento: te doy mi agradecimiento.”
Anónimo
“Pobre discípulo el que no deja atrás
a su maestro.”
“El verdadero discípulo es el que supera
al maestro.”
Leonardo da Vinci
(1452-1519)
Aristóteles
(384-322)
DESARROLLO
1.1 Nociones y conceptos básicos de estadística y probabilidad
Por mucho tiempo, el hombre ha tratado de predecir el futuro; por ejemplo, para las
profecías de Nostradamus hoy se realiza una gran cantidad de estudios, a fin de
asociar sus predicciones a hechos que suceden, lo que muestra que el hombre
trata cada día de saber lo que puede ocurrir en el futuro cercano y a largo plazo, ya
que si esto no sucediera se podría crear una catástrofe mundial, la cual nos llevaría
indiscutiblemente a la destrucción del mundo.
Un ejemplo actual es determinar el porqué del calentamiento de la Tierra y sus
consecuencias, el crecimiento de la población y sus requerimientos de alimentos,
vestido, espacios y servicios. En la seguridad social se tiene que predecir con gran
certeza el número de pensiones que se tendrán que pagar en el año o en un futuro cercano o lejano, y esto no puede considerarse una adivinanza o predicción sin
fundamento científico, lo mismo sucede con el número de consultas médicas, cirugías y medicamentos que se utilizarán en determinado tiempo. En una compañía de
seguros, el número de personas que morirán durante el año por muerte natural o
por accidente, y la cantidad de siniestros por incendio son datos importantes a considerar para evitar riesgos en los
negocios, sus predicciones son tan exactas que les permite determinar la utilidad y el pago de dividendos que tendrán
en el año. Las grandes compañías no pueden tomar decisiones basadas en un adivino que lee cartas o consulta su
bola de cristal; por el contrario, requieren tomar decisiones
con un alto grado de seguridad y de una base científica de
alto nivel.
Por otro lado, te habrás preguntado alguna vez para
qué sirven las matemáticas, y es posible que aún no encuentres la razón. Hoy que te toca estudiar una de las tantas
ramas de esta ciencia: la estadística y la probabilidad,
posiblemente te preguntes lo mismo. En
la actualidad lo que
nació como un simple
juego es una de las
herramientas más poderosas en la toma de decisiones de muchas empresas, que
con base en las experiencias pasadas pueden predecir lo que su futuro les depara
y con ello establecer las políticas que se deben seguir.
Otras compañías utilizan la estadística para reportar su información o realizar
los controles de calidad de sus productos, supervisar el cobro de los impuestos y
establecer el buen o mal funcionamiento de una empresa. Al finalizar este libro descubrirás el significado de la estadística y la probabilidad, recuerda que tú eres el actor
principal en este libro, así que adelante caminante, que el camino se hace al andar.
8
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Desarrollo histórico de la estadística
Los inicios de la estadística datan del año 2238 a.C., en China, cuando el emperador
Yao efectuó el primer censo general de su imperio. Los egipcios y los judíos también
efectuaron recuentos de su población. Los romanos, con el objeto de cobrar los
tributos, realizaron censos que les servían para saber la cantidad de recursos que
tenían para la guerra, situación muy importante en esa época.
Un censo de los más famosos es el mandado a hacer por Octavio Augusto,
primer emperador romano (63 a.C.-14 d.C.), para que se inscribiera todo el mundo,
según frases del evangelio.
En España, los árabes se dedicaron al estudio de la estadística en los años 727
d.C. a 746 d.C., se sabe que en 1139 d.C., se concedió a los muzárabes de Toledo
permiso para la formación de un catastro para la reparación de las tierras, los censos
efectuados se utilizaron en las provincias españolas para el recuento de la población, así como las tierras que le pertenecían para el cobro de los tributos.
En Inglaterra se iniciaron las publicaciones gráficas y se ordenaron en forma de índices los fenómenos sociales ya
calculados en números, basándose en libros parroquiales introducidos en el curso del siglo xvi, en los que se llevaba un
recuento de los nacimientos, matrimonios y defunciones; esto, en el siglo xvii influyó en la formación del seguro y los
juegos de azar, lo que desarrolló el cálculo de probabilidades.
El comerciante de paños Juan Graunt fue considerado Benemérito de la estadística, pues en 1662 demostró la
uniformidad de los matrimonios, nacimientos y defunciones basados en libros parroquiales.
La estadística recibió un nuevo impulso hasta los trabajos de Adolphe Quetelet (1796-1874), quien hizo la ciencia
del cálculo de los casos y acontecimientos afines, a partir de la cual ellos dedujeron las regularidades y legalidades;
entonces, la estadística moral empezó a considerarse.
También apareció la estadística comercial dedicada a comparar el movimiento de los países, el volumen de importación y exportación, precios de productos agrícolas, principales manufacturas y todo aquello que formara parte de
la balanza comercial; gracias a esto y a las estadísticas oficiales es posible la realización en la época moderna de los
trabajos elaborados en la investigación estadística.
La primera organización de estadística oficial es la formada en Suecia en 1756, en donde una condición editaba
los índices de población anual; además, se crearon departamentos con servicios completos de registro, ordenación y
publicación de material estadístico en Francia en 1796 y 1800, Baviera en 1801, Italia en 1803, Prusia en 1805, Australia en 1810, Bélgica en 1832, Grecia en 1834, Hannover y Holanda en 1848, Sajonia en 1849, Mecklemburgo en
1851, Brunswick en 1853, Oldemburgo en 1855, Rumania en 1859, Suiza en 1860, Gran Ducado de Hesse en 1861
y Serbia en 1862. En Estados Unidos no hay departamento fijo de estadística y en Inglaterra está a cargo de empleados
de distintos negocios.
En 1902, en Alemania, se creó la estadística obrera, así como en Francia, Austria e Inglaterra, con el fin de recoger
todos los hechos relativos a la situación de la clase trabajadora para servir a los fines de los mismos.
En 1885 se creó el Instituto Internacional de Estadística con la conmemoración de la 3TATISTICAL 3OCIETY de Londres,
esta institución se destina a favorecer los progresos de la estadística tanto administrativa como científica, está integrada
por miembros titulares y honorarios de las distintas naciones que se distinguen en el dominio de la estadística tanto
administrativa como científica, este instituto se encarga de publicar un boletín trimestral y un anuario de estadística
internacional.
El boletín trimestral contiene notas minuciosas sobre las decisiones del instituto e informa acerca de la estadística
oficial de varios países; además, presenta trabajos sobre estadística internacional y un resumen de las publicaciones más
importantes y recientes sobre estadística, así como también una bibliografía internacional de las últimas publicaciones
en estadística.
El anuario ofrece comparaciones de estadística internacional elaborada por datos facilitados por diversos países y celebra sesión o congresos cada dos años, siendo el primero en 1887 en Roma, 1889 en París, 1891 en Viena, 1893 en Chicago, 1895 en Berna, 1897 en San Petersburgo, 1899 en Christiania, 1901 en Budapest, 1903 en Berlín y 1905 en Londres.
9
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La estatura
Propósito: Desarrolla tus habilidades para organizar una serie de datos.
Conocimientos previos: Básicos de aritmética.
Material: Libro
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de tres alumnos.
2. Cada alumno pregunta la estatura a 20 personas diferentes, pueden ser familiares, amigos o compañeros. Registren sus respuestas en la siguiente tabla y compartan los datos obtenidos con los demás integrantes del equipo para que todos tengan la misma
información.
Tabla 1.1
3. Ordenen los datos de la tabla anterior en forma creciente o decreciente y escríbanlos en la siguiente tabla.
Tabla 1.2
Datos
a) ¿Qué diferencias encuentran en la recopilación de datos?
b) El número de datos es
c) El dato mayor es
d) El dato menor es
e) El rango del dato mayor y del dato menor es
da creen que se debe utilizar en esta actividad?
10
. ¿Qué unidad de medi-
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
f ) ¿Sería correcto utilizar kilómetros?
. ¿Por qué?
4. Anoten en la siguiente tabla el número de veces que se repiten las estaturas.
Tabla 1.3
Frecuencias
Estatura
Frecuencia
Multiplica la estatura por la frecuencia
Suma
5. Obtengan el promedio de las estaturas. Escriban su respuesta a continuación.
6. Otra forma de calcular el promedio es utilizando los datos de la tercera columna
de la tabla 1.3, cuyos valores se obtienen multiplicando la estatura (dato de la
primera columna) por la frecuencia (dato de la segunda columna) y el resultado
se escribe en la tercera columna. Se suma lo obtenido en la tercera columna y se
coloca en el último renglón, se divide entre la suma de la segunda columna, con
. Comparen los resultados de los incisos 6 y
ello se obtiene el promedio:
5. ¿Cómo son?
7. Observen la tabla 1.3, columna de la frecuencia. ¿Cuál es el número mayor?
¿A qué renglón corresponde en la estatura?
, este valor es la moda.
Cierre de la actividad
8. Consideren sus respuestas anteriores y redacten una descripción o definición con sus propias palabras de los siguientes términos.
a) Frecuencia.
b) Rango.
c) Promedio.
d ) Moda.
11
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Estadística
Desde el punto de vista etimológico, la palabra estadística proviene del latín STATUS, estado; del alemán STAAT, estado;
y del latín STATERA, balanza. Definimos estadística como la ciencia de recolectar, describir e interpretar una cantidad de
datos, los que se organizan y procesan para brindar información y tomar decisiones o inferir.
La estadística trabaja sobre una gran cantidad de datos, utiliza las bases de la matemática pura y las enlaza con el
mundo real. Cuando existe un fenómeno social podemos representarlo con un modelo matemático, y por medio de
éste hacer predicciones futuras del sistema, basado en hipótesis, mientras más datos se tengan, más precisa será la
toma de decisiones.
Divisiones de la estadística
La estadística se divide en dos ramas: estadística descriptiva y estadística inferencial. La primera se dedica a la organización y resumen de los datos, utilizando fórmulas, reglas y procedimientos para su presentación en forma tabular como
gráfica; la segunda permite la emisión de juicios o conclusiones basados en los conocimientos que se tienen de la
población o muestra.
Estadística descriptiva
División de la estadística
Estadística inferencial
Concepto de probabilidad
El concepto de probabilidad proviene del término latino PROBABILITAS que tiene como significado aquella posibilidad de
que un hecho suceda. Este concepto se inicia con los juegos de azar, y esto dio auge a que muchos científicos se dedicaran a su estudio. Cardano publicó en 1520 %L LIBRO DE LOS JUEGOS DE AZAR; más tarde, en el siglo xvii, Pierre Fermat y Blaise
Pascal son los primeros en interactuar con el estudio de los problemas relacionados con los juegos de azar. Blaise Pascal
al que se le considera como el fundador de la estadística, podemos citar al caballero que en 1657 publicó el primer libro
de probabilidad. El auge de la probabilidad se alcanza en el siglo xviii debido principalmente a los juegos de azar, en 1713
se publica el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, en 1738 De Moivre desarrolla el teorema central de límite.
La probabilidad, junto con la estadística, nos permite la recolección de datos, organizarlos y procesarlos, utilizando
tablas que nos ayudan a tomar de decisiones.
Dentro del manejo de datos hay datos que se repiten una serie de veces, los cuales reciben el nombre de frecuencia, cuando esta frecuencia se divide entre el total de datos obtenemos la frecuencia relativa, conocida como
probabilidad frecuencial.
Tipo de datos
Cuando realizamos una encuesta nos encontramos con una serie de datos que podemos clasificar como: cuantitativos
o cualitativos. Los primeros se refieren a la cantidad, es decir, son números que representan un conteo de datos, ejemplo
de ello es el número de años, el peso o la estatura de una persona. Los segundos se refieren a una cualidad, categoría
o atributo de los datos, por ejemplo: el género de las personas, masculino o femenino.
Ejercicio 1
Determina si los siguientes datos son cuantitativos o cualitativos.
A) Precio de una computadora.
B) Marca de una computadora.
12
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
C) Tiempo de uso de la computadora.
D) Uso principal de la computadora.
E) Número de personas que usan la computadora.
F) Indicar si la computadora tiene conexión a Internet.
G) Edad de los usuarios de la computadora.
H) Estado civil de la persona.
I) Número de hermanos.
J) Estado civil de los padres: casados, divorciados, …
Actividad socioemocional
1. ¿Consideras importante esta materia?
2. ¿Sabes cuándo la aplicarás?
3. ¿Crees que es una materia complicada?
4. ¿Conoces los requisitos de aplicación de esta materia?
Datos cuantitativos
Este tipo de datos se dividen en discretos y continuos, los primeros se refieren a cuando los datos pueden contarse; por ejemplo, edad, peso, número
de huevos que pone una gallina, número de suscripciones a una revista,
número de lectores de un periódico y el padrón electoral del país, entre
otros. Los segundos se refieren a que los datos pueden tomar un número
infinito de valores cubriendo un rango o intervalo; por ejemplo, el tiempo
que tarda un avión en un viaje, el tiempo que se tarda en ordeñar una vaca,
la duración en minutos de una llamada y la distancia de tu casa a la escuela.
Ejercicio 2
Determina si los siguientes datos son continuos o discretos. Escribe en el paréntesis C si es continuo o una D si es
discontinuo.
F) El número de hijos de una persona.
(
)
G) El costo de un artículo.
(
)
)
H) El dinero que gastas en diversiones.
(
)
(
)
I) El tiempo que dura la clase.
(
)
D) El número de horas que estudias.
(
)
E) Tiempo de estudio en tu casa.
(
)
J) El número de personas que pasan
por una esquina.
(
)
A) Número de materias que llevas este
semestre.
(
)
B) Tiempo de espera para ser atendido
por el cajero.
(
C) El salario de una persona.
13
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Datos cualitativos
Otra forma de clasificar estos datos es con el uso de dos niveles de medición: nominal y ordinal.
El nivel de medición nominal consiste en nombres etiquetados o categorías que pueden ordenarse; por ejemplo,
el nivel de clase social: bajo, medio y alto. El nivel de medición ordinal es cuando los datos se pueden colocar en un
orden, pero no es posible diferenciar entre los valores; por ejemplo, en una empresa: gerente, subgerente, empleado
de oficina y empleado de aseo.
Ejercicio 3
Determina si los siguientes datos cualitativos son nominales u ordinales.
A) Los maestros de una escuela.
B) En una tabla de peso existen los niveles alto, normal y bajo.
Recolección de datos
Las técnicas de recolección de datos y el diseño de los experimentos facilitan la obtención de los datos en forma rápida
y económica, de ellas depende el éxito de una buena información, éstas deben ser lo más apegadas a la población en
estudio. Las formas más comunes de la recolección de datos son:
1. Entrevista por teléfono. Es una técnica habitual que se utiliza para recoger datos, su ventaja es que es rápido, barato
y sencillo. Sus desventajas son que pueden hacer preguntas sencillas y las personas que contestan el teléfono no
siempre desean ser entrevistadas, lo que causa una molestia. La ventaja es que se pueden cubrir grandes áreas sin
desplazarse.
2. De puerta en puerta. Contienen alto grado de respuesta, los cuestionarios deben ser cortos, se puede fijar el nivel
socioeconómico de las personas, se cubren grandes áreas, permiten tener fácilmente un control del sector económico al que se dirige.
3. Abordaje en la calle. Las áreas deben ser de gran movimiento y, por lo general, se utiliza para establecer la aceptación que se tiene en los productos, la entrevista debe ser breve, ya que por lo general la persona se dirige a un
lugar donde se tiene una hora de entrada.
4. Entrevista personal. La entrevista personal resulta costosa y emplea mucho tiempo realizarla, por lo general, son
muestras pequeñas. Se debe tener en cuenta la buena selección de los entrevistadores, pues de ellos depende la
respuesta.
5. Utilizando el correo. Se usa con frecuencia para recopilar datos cuando se cuenta con un listado o cuando los
entrevistados están dispersos en un área muy grande. En él se pueden incluir preguntas en las que los encuestados dispondrán de tiempo suficiente para releerlas y pensar la respuesta, pero si es extenso no lo contestarán. La
devolución es el mayor problema que plantea el cuestionario por correo.
6. Entrevista en centros comerciales. Esta actividad se realiza cuando se desea ver el impacto de un producto y obtener opiniones de compradores. Los entrevistadores se instalan en áreas de mucho movimiento e invitan a las
personas elegidas a contestar algunas preguntas.
La recolección de datos es muy importante, y cómo se realice es un factor determinante en costos y en la calidad
de la información. El diseño del cuestionario debe ser cuantificable y realizado por un experto para obtener la información necesaria que facilite su procesamiento.
14
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Estadística descriptiva
Como vimos en la sección Deduce y aprende, la estadística descriptiva es una rama de las matemáticas que se encarga
de recolectar ciertas características de un conjunto de datos, por ejemplo, el peso y la estatura de los cuales procedemos
a ordenar, realizar un análisis y una representación gráfica con el fin de poder estudiar las características de esa población
o muestra.
Población y muestra
Una población es el conjunto de individuos o elementos de interés; por ejemplo: los habitantes de un país, los peces
que viven en un lago, los alumnos de una escuela o los alumnos que estudian preparatoria; como observamos, la
población es relativa al tipo de estudio que realizamos, es decir, que la población es cuando se considera a todos los
elementos.
Muestra es una parte de la población y se utiliza cuando al estudiar la población tiene un alto costo o no se puede
acceder a ella. Un problema que se presenta en la elección de la muestra es que ésta sea representativa y proporcione
una visión útil de la naturaleza de la población. Si la muestra no es representativa es posible obtener conclusiones incorrectas sobre la población. Ejemplo de ello es cuando nosotros deseamos
saber el número de peces que se encuentran en un lago, si el muestreo
lo realizamos en una sola parte del lago lo más seguro es que esta muestra no sea representativa.
Los parámetros son medidas que se obtienen de la población, como
ejemplos tenemos el promedio y la moda.
Los datos que se obtienen de una muestra forman una estadística,
como son la media y la moda muestrales, la diferencia entre un parámetro y un estadístico depende de si se considera a la población o a la
muestra.
Muestreo aleatorio simple
Para elegir una muestra podemos utilizar métodos muy sofisticados, pero
una de las formas más sencillas es el muestreo aleatorio simple, nos
referimos a que cada elemento de la población tenga la misma oportunidad de ser seleccionado. Este tipo de muestreo nos permite tener una
muestra con rapidez y con cierta confianza. Se puede utilizar una tabla de
números aleatorios, o si se desea se puede generar con una computadora, o utilizar una urna, procediendo de la siguiente manera:
Se numera la población en forma consecutiva, dependiendo del
número de elementos, se selecciona una tabla de números aleatorios;
por ejemplo, para una población de 450 elementos la tabla será de tres cifras, para una de 70 elementos la tabla será
de dos cifras. Cuando utilizamos una tabla de números aleatorios elegimos de ésta un lugar para iniciar el conteo y se
excluyen aquellos que se repiten. Otra forma es utilizar algún tipo de programa que permita generar los números aleatorios, por ejemplo, Excel.
Ejemplo
De la siguiente lista de alumnos elegimos a siete:
A) Utilizando un generador de números aleatorios.
B) Utilizando una urna con papeles numerados del 1 al 30.
15
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Lista de alumnos:
1. Pérez García Juan
11. Perea Carbajal Luis
21. Chávez Bravo Omar
2. Toledo Álvarez Isaac
12. Mejía Flores Andrea
22. Espinosa Andrade Mauricio
3. Uribe Rodríguez Luis
13. Sánchez Pérez Liliana
23. Pérez Lara Manuel
4. Pérez Rodríguez Alberto
14. Herrera Brito Yolanda
24. Zapata Rodríguez Emiliano
5. Jiménez Lira Israel
15. Alejo Peralta Carlos
25. Torres Anaya Luz María
6. Juárez Chavarría Iván
16. Flores Rodríguez Pedro
26. Anaya Cervantes Federico
7. Alcántara Talavera Rodrigo
17. Ayala Martínez Sofía
27. Hernández López Disney
8. García Pedro Omar
18. Rodríguez Hernández Juan
28. Hernández Gutiérrez Norma
9. Rodríguez Anaya Enrique
19. Salgado González Gustavo
29. Ramírez Martínez Luis
20. Guardado Gutiérrez Gabriel
30. Olan González Juan
10. González Juárez Efraín
Utilicemos un programa para generar números aleatorios, en este caso son siete, pueden pedir a la máquina más
números si lo desean. A continuación se presenta cómo se genera un número aleatorio menor que 30 utilizando
Excel:
En la hoja de Excel se debe teclear =aleatorio.entre(Inferior, superior) y enter para la aceptación, con lo que se genera un número
aleatorio entre los valores inferior y superior definidos por el usuario,
basta copiar la fórmula para cada uno de los siete lugares y listo.
Con la calculadora
En la calculadora Casio fx-991ES pueden generar números aleatorios entre cero y uno utilizando la tecla Shift Ran# =.
Corta 30 pedazos de papel de igual forma y tamaño, colócalos en una caja y saca siete de ellos, estas muestras son
ejemplo de muestreo aleatorio simple y el seleccionador no tiene culpa de los errores que ocurran con dicha muestra.
Existen otras técnicas de muestreo, como el aleatorio estratificado, sistemático, por conglomerados (muestreo probabilístico) y no probabilístico, como son: las muestras subjetivas, por cuotas y las muestras por grupos naturales, las
cuales no son objeto de estudio en este libro.
16
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Ejercicio 4
Realiza lo que se pide.
1. Una encuesta sobre los periódicos que se leen en tu ciudad
o estado. Para ello, cada alumno debe encuestar a 20 personas y preguntarles: ¿qué periódico o periódicos leyó hoy?
Haz una tabla de frecuencias y obtén el promedio, moda y
rango.
2. Realiza un muestreo aleatorio simple para escoger 5, 10 y 15
alumnos de la lista de alumnos de tu salón.
1.2 Enfoques de probabilidad. ¿Qué significa cada enfoque
de probabilidad?, ¿qué significan las medidas de tendencia
central?, ¿para qué obtener estos valores?
Las técnicas de conteo nos posibilitan abordar situaciones donde se requiere saber el número de permutaciones o combinaciones que hay en un evento dado. Este tema se trata en forma algebraica y gráfica, para ello se utiliza el diagrama
de árbol y se hacen necesarias las operaciones factoriales.
Espacio muestral
Definimos el espacio muestral de un experimento aleatorio como el conjunto de posibles resultados que se pueden
presentar al realizar dicho experimento. La notación usual que se utiliza para representar el espacio muestral es S o Ω.
Ejemplo
Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja, ¿cuáles son los posibles resultados al sacar dos canicas sin
reemplazo?
Nota: Sin reemplazo quiere decir que una vez que se saca una de las canicas no se regresa al saco, con reemplazo
la canica sí se regresa al saco y se toma otra.
Solución
Formas en que se pueden sacar las dos canicas:
Primera canica
Azul
Verde
Roja
Segunda canica
Formas
Verde
AV
Roja
AR
Azul
VA
Roja
VR
Azul
RA
Verde
RV
17
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
El espacio muestral se forma de los seis resultados.
3 " {AV, AR, VA, VR, RA, RV}
Ejercicio 5
Si en un saco se tienen tres canicas: azul, verde y roja, ¿cuáles son los posibles resultados, al sacar dos canicas con
reemplazo?
Ejemplo
Consideremos un dado de cuatro caras, ¿cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlo?
Solución
El espacio muestral son los resultados que se pueden obtener cuando se lanza el dado, y se observa la cara que
queda hacia abajo, por lo que los resultados que se pueden obtener son: 1, 2, 3, 4.
El espacio muestral es Ω " {1, 2, 3, 4}.
Ejemplo
Consideremos dos dados de cuatro caras, uno azul y otro rojo. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?
Solución
Cada cara del dado está numerada del 1 al 4, el espacio muestral se considera como el conjunto de parejas (A, B),
donde A es el resultado del dado rojo y B el resultado del dado azul.
Resultados dado rojo
Resultados dado azul
1
2
3
4
1
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4)
2
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4)
3
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
4
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4)
Ejercicio 6
Resuelve el siguiente problema.
Considera dos dados de seis caras, uno azul y otro rojo. ¿Cuál es el espacio muestral que se obtiene al lanzarlos?
18
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Ejemplo
Lancemos tres monedas y observemos el número de soles que caen. Determinemos el espacio muestral.
Solución
Cuando se lanzan las monedas, el número de soles que pueden caer es 0, 1, 2 o 3 soles; éste es el espacio muestral.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Espacio muestral
Propósito: Desarrollar sus habilidades en la obtención de espacios muestrales.
Conocimientos previos: ¿Qué es una permutación? ¿Qué es una combinación?
Materiales:
• Tres monedas de diferente valor
• Tres dados de diferente color
• Tres dados del mismo color
Desarrollo de la actividad
1. Reúnanse en parejas y contesten las siguientes preguntas. Recuerden que pueden repetir el experimento las
veces que deseen.
2. Realicen el siguiente experimento: Lancen una moneda, ¿qué resultados pueden obtener?
Cierre de la actividad
3. El espacio muestral al lanzar una moneda es:
4. Lancen un dado. ¿Qué resultados pueden obtener?
5. El espacio muestral de lanzar un dado es:
6. Tomen dos monedas y láncenlas (como si echaran volados). Determinen el espacio muestral que se puede
obtener.
7. Tomen dos dados y láncenlos. Determinen el espacio muestral.
8. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar un dado y una moneda.
9. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados y observen la suma de las caras superiores.
10. Determinen el espacio muestral que se obtiene al lanzar dos dados y observen la diferencia de las caras superiores, la mayor menos la menor.
11. Determinen el espacio muestral al lanzar una moneda cinco veces.
12. Determinen el espacio muestral al lanzar tres monedas.
Ejercicio 7
Determina el espacio muestral en los siguientes ejercicios.
1. Tira un dado. Determina el espacio muestral y el subconjunto de resultados posibles para cada evento.
19
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
A) Obtén un par.
B) Obtén un impar.
C) Obtén un número primo.
2. Lanza cuatro monedas y cuenta el número de soles que se pueden obtener en los lanzamientos.
3. El número de personas atendidas en una de las cajas de supermercado.
4. El número de llamadas por teléfono que se reciben en una casa.
5. Lanza cinco monedas al aire y observa el número de águilas.
6. Cuando se prueba un foco, ¿cuáles son los posibles resultados que
se pueden obtener?
7. Una caja con 50 focos tiene 10% de focos defectuosos. Los focos
se prueban uno a uno hasta que se encuentran los que están en mal
estado. ¿Cuáles son los posibles resultados que se pueden obtener?
8. Lanza un dado 10 veces y registra el número de veces en el cual el
dado es mayor que cuatro.
9. Lanza dos monedas y un dado, ¿cuál es el espacio muestral que se
puede obtener?
10. En un saco se tienen tres canicas de diferente color: azul, negra y roja. Saca una canica, observa su color
y regrésala al saco; saca una segunda canica y regrésala al saco. ¿Cuál es el espacio muestral? Si la canica no se
regresa al saco, ¿cuál es el espacio muestral?
Introducción a la probabilidad
El concepto de probabilidad tiene varias definiciones:
1. Empírica.
2. Clásica o de Laplace.
3. Frecuencia relativa o de von Misses.
4. Axiomática o de Kolmogorov.
Probabilidad empírica
En la vida diaria, escuchamos frases como:
1. Es muy probable que llueva mañana.
2. Con 99% de probabilidad aprobó el examen de estadística.
3. La probabilidad de que tenga un accidente es de 1%.
4. La probabilidad de que muera de influenza es de 2%.
5. Probablemente mañana mi tía venga a cenar.
6. Posiblemente me operen.
20
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
La escuela empírica expone que la probabilidad es una medida de nuestro grado de incertidumbre respecto a la
verdad, de una afirmación o de la ocurrencia de un hecho.
Definición clásica de probabilidad o de Laplace
La definición clásica de probabilidad considera que la probabilidad de un evento ! es igual al cociente del número de
casos favorables al evento, entre el número total de casos posible:
0( !) =
N
.
Donde:
A es un evento de N puntos favorables y queremos asignar una probabilidad de que suceda ! sobre un espacio muestral
de . puntos, tal que todos los eventos elementales tengan la misma probabilidad. Esta corriente considera que todos
los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, ejemplo de ello es que al tirar un dado obtengamos un 6 que es
igual a obtener un 5 o un 3, o cualquiera de los otros números, y es igual a un sexto.
0 (1) = 0 ( 2 ) = 0 ( 3 ) = 0 ( 4 ) = 0 ( 5 ) = 0 ( 6 ) =
N
.
=
1
6
Probabilidad relativa
La interpretación relativa considera que un experimento es aleatorio si se puede realizar un número indefinido de veces. Al menos teóricamente, cada repetición nos da un resultado que forma uno de los puntos del espacio muestral.
Definimos que el evento ! ha ocurrido en una repetición si el resultado obtenido es uno de los puntos que caracterizan
(favorable) a !.
Este tipo de probabilidad se basa en la frecuencia que se obtiene al realizar un evento, ejemplo de ello es lanzar
un dado n veces y se anota el resultado de cada lanzamiento.
.! es el número de repeticiones en las que se ha obtenido el resultado !, y . es el número total de repeticiones,
así la probabilidad del evento ! es:
⎛. ⎞
0 ( ! ) = lím ⎜ ! ⎟
.→∞ ⎝ . ⎠
Si deseamos obtener la probabilidad relativa de 3, al lanzar un dado . veces; entonces: .! representa el número
de veces que se obtuvo tres y . representa el número de lanzamientos, así la probabilidad relativa está dada por:
⎛. ⎞
1
0 ( 3 ) = lím ⎜ ! ⎟ =
.→∞ ⎝ . ⎠
6
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Calcula la probabilidad relativa
Propósito: Determinar la probabilidad relativa de la cara de un dado.
21
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Conocimientos previos:
1. ¿Qué es un espacio muestral?
2. ¿Qué es un evento?
3. ¿Cuál es el espacio muestral de un dado?
4. ¿Qué es la frecuencia simple?
Materiales:
• Dado
• Pirinola
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de tres alumnos.
2. Realicen la tabla de frecuencias absolutas simples para el lanzamiento de un dado 200 veces.
3. En la siguiente tabla escriban sus resultados para los primeros 100, 150 y 200 tiros del dado.
Tabla 1.4
Cara del dado
Para 100
Para 150
Para 200
1
2
3
4
5
6
4. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?
5. La probabilidad de un evento es igual al cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de las frecuencias. Este cociente recibe el nombre de
Calculen las siguientes probabilidades:
0(1) "
0(2) "
0(3) "
0(4) "
0(5) "
0(6) "
La primera de ellas se lee: “La probabilidad de obtener un uno al tirar un dado es igual a
6. ¿Todas las probabilidades son iguales?
7. Cuando . (el número de tiradas crece) y la probabilidad tienden a estabilizarse hacia un número en particular,
¿cuál es?
8. Comparen este número con el de sus compañeros. ¿Se parecen?
9. Anoten en la siguiente tabla los resultados que obtuvieron sus compañeros para el caso de 200 lanzamientos.
22
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Tabla 1.5
Probabilidad
P (1)
P (2)
P (3)
P (4)
P (5)
P (6)
A
B
C
D
Equipo
E
F
G
H
I
J
K
Suma
Promedio
10. Sumen las probabilidades de cada columna y obtengan su promedio.
11. ¿Todas las probabilidades son iguales?
12. Cuando . (el número de tiradas), crece, ¿la probabilidad tiende a estabilizarse hacia un número en particular?
¿Cuál?
13. ¿La probabilidad 0(I) tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál?
¿A cuál?
14. Si tiran el dado y cae cinco, ¿la siguiente tirada se verá afectada por este resultado? ¿Por qué?
15. Realicen la tabla de frecuencias absolutas simples para el giro de una pirinola 100 veces.
16. En la siguiente tabla escriban los resultados para los primeros 75, 100 y 125 giros de la pirinola.
Tabla 1.6
Frecuencias absolutas simples
Cara de la pirinola
Para 75
Para 100
Para 125
Todos ponen
Toma uno
Toma dos
Toma todo
Pon uno
Pon dos
¿Cuál es el espacio muestral del experimento?
23
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
17. La probabilidad de un evento es igual al cociente de las frecuencias absolutas simples entre el total de las frecuencias. Calculen las siguientes probabilidades:
0(Todos ponen) "
0(Toma uno) "
0(Toma dos) "
0(Toma todo) "
0(Pon uno) "
0(Pon dos) "
18. ¿Todas las probabilidades son iguales?
19. Cuando . (número de giros crece), ¿la probabilidad tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál?
20. Comparen este número con el de sus compañeros. ¿Se parecen?
21. Anoten en la siguiente tabla los resultados que obtuvieron sus compañeros para el caso de 125 giros.
Tabla 1.7
Probabilidad
P (Todos ponen) P (Toma uno) P (Toma dos) P (Toma todo) P (Pon uno) P (Pon dos)
A
B
C
Equipo
D
E
F
G
H
I
J
K
Suma
Promedio
22. Sumen las probabilidades de cada columna y obtengan su promedio.
23. ¿Todas las probabilidades son iguales?
24. ¿La probabilidad 0(I) tiende a estabilizarse hacia un número en particular? ¿Cuál?
Definición axiomática o de Kolmogorov
Este tipo de probabilidad se basa en axiomas que fundamentan de manera formal el estudio de la probabilidad y el
desarrollo científico de esta disciplina, basados en los axiomas de Kolmogorov.
La probabilidad es una función en la cual se mide la posibilidad de que ocurra un evento. Para cualquier experimento es necesario asignar a cada evento ! del espacio muestral S un número 0(!) que mida la ocurrencia de !.
Sea la función de probabilidad:
24
0( !) =
Total de casos favorables
Total de casos equiprobables
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
El número 0(!) debe cumplir los siguientes axiomas.
1. P(S) " 1; S es el evento seguro.
2. Para cualquier evento A se tiene P(A) > 0.
3. Para cualquier sucesión infinita de eventos disjuntos: A1, A2, A3, …, es decir, Ai Š Aj " φ; si i | j, se tiene:
⎛ ∞
⎞
0 ⎜ , !N ⎟ =
⎝ N =1 ⎠
∞
∑ 0 ( !N )
= 0 ( !1 ) + 0 ( !2 ) + 0 ( !3 ) + 0 ( !4 ) + ...
N =1
El símbolo U expresa la unión de los conjuntos !N desde N " 1 hasta infinito y el símbolo 8 nos indica la suma
desde N " 1 hasta infinito de las probabilidades de los eventos !I .
El primero y segundo axiomas aseguran que la probabilidad de cualquier evento ! debe ser un número en el
intervalo cerrado [0, 1]. El axioma uno nos asegura que si un evento siempre se da, éste es el evento seguro y tiene
probabilidad uno, el dos nos asegura que la probabilidad del evento imposible es cero.
Ejemplo
Lancemos un dado y observemos el número que aparece en la cara superior. Determinemos:
1. El espacio muestral.
2. La probabilidad de un número impar.
3. La probabilidad de un número par.
Solución
Cuando se lanza un dado los resultados que se pueden obtener son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, lo que forma el espacio muestral.
En las siguientes soluciones utilizamos la fórmula:
Sea la función de probabilidad:
0( ) =
Total de casos favorables
Total de casos equiprobables
1. Sea ! el evento de que el dado caiga un número impar, entonces, los resultados favorables son tres y el total de
resultados son 6, aplicando la fórmula de probabilidad:
0( !) =
3
6
=
1
2
2. Sea " el evento de que el dado caiga un número par, entonces, los resultados favorables son tres y el total de
resultados son 6, aplicando la fórmula de probabilidad:
0( !) =
3
6
=
1
2
Ejercicio 8
Lanza un dado y observa el número que aparece en la cara superior. Determina la probabilidad de un número primo.
25
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
En un saco se tienen cuatro canicas rojas, tres azules y cinco blancas. Si se saca una canica al azar con reemplazo
(regresando la canica que se saca al saco), calculemos las siguientes probabilidades.
1. Sacar una canica roja.
2. Sacar una canica azul.
3. Sacar una canica blanca.
4. Sacar una canica negra.
5. Sacar una canica.
Solución
Primero definimos los eventos:
1. ! obtén una canica azul.
2. 2 obtén una canica roja.
3. " obtén una canica blanca.
4. . obtén una canica negra.
5. 3 obtén una canica.
Para determinar la probabilidad de estos eventos utilizamos la fórmula de probabilidad clásica.
Sea la función de probabilidad:
0( !) =
Total de casos favorables
Total de casoss equiprobables
Los casos favorables para el evento ! son 3, para 2 son 4 y " son 5, para . son cero; el total de casos equiprobables
son 12.
Las probabilidades de los eventos son:
A) 0 ( ! ) =
B) 0 ( 2 ) =
C) 0 ( " ) =
3
12
4
12
=
=
1
4
1
3
D) 0 ( . ) =
E) 0 ( 3 ) =
0
12
12
12
= 0
= 1
5
12
Ejercicio 9
Un saco contiene ocho canicas rojas, cuatro azules y 15 blancas. Se elige una canica con reemplazo. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
1. la canica sea roja?
2. la canica sea azul?
3. la canica sea blanca?
26
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
¿Qué significan las medidas de tendencia central?
En ocasiones, se requieren características que representen a los datos que se están trabajando,
como las gráficas, que muestran de manera rápida
su comportamiento. Las características de dichos
datos comúnmente son las medidas de tendencia
central que nos permiten tener una idea de su
comportamiento. Por ejemplo, cuando nos dicen
que el promedio para ingresar a nivel medio superior es de 7.5, esto representa el comportamiento
de calificaciones que deben tener esos alumnos;
o bien, decir que el color de moda esta primavera
es el verde determinará que una gran cantidad de
gente utilice este color.
Las medidas de tendencia central más utilizadas son media o promedio, mediana y moda.
Para qué obtener estos valores?
Estas medidas se utilizan para resumir en un solo
valor a una serie de valores. Como su nombre lo indica, “medidas de tendencia central”, ubican al conjunto de datos en un centro. Éstos en ocasiones pueden representar
al conjunto de datos y en otras puede suceder que la idea que se dé está muy alejada de la realidad. Un primer ejemplo
es la edad que tienen los alumnos de tu grupo, si obtenemos el promedio de ellos posiblemente sea de 16 años, esto
nos indicaría que si tomamos a un alumno de ese grupo su edad estaría muy cerca de los 16 años. En un segundo ejemplo, los salarios que perciben los trabajadores de una compañía cualquiera, si el promedio es $8 000, ¿crees que todos
los trabajadores estarían alrededor de este salario?
1.3 Técnicas de conteo y agrupación en clases
para la determinación de probabilidades
La probabilidad nace con los juegos de azar y a través del tiempo toma mayor relevancia en la ciencia para la determinación de fenómenos que se pueden predecir con una cierta exactitud. Utilizaremos ejemplos que te permiten entender
cómo utilizar esta herramienta en diversos problemas.
El factorial de un número entero positivo o cero se define como el producto de todos los números naturales
menores e iguales a él y está dado por:
N! " N(N – 1)(N – 2)(N – 3) … 5 w 4 × 3 × 2 × 1
Donde:
! " Define la operación factorial.
El factorial de cero se define como uno, es decir: 0! " 1.
Ejemplo
El factorial de cinco se escribe como 5!, se lee: “el factorial de cinco” y está dado por:
5! " 5 × 4 × 3 × 2 × 1 " 120
27
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 10
Escribe el factorial de los siguientes números.
A) 3! "
D) 2! "
B) 7! "
E) 0! "
C) 10! "
Operaciones con factoriales
Se pueden realizar operaciones con el factorial de un número, para ello consideren los siguientes ejemplos.
Ejemplo
5!
Realicemos la siguiente operación:
4!
=
Solución
Por la definición de factorial de un número, el numerador y el denominador de la fracción es:
5!
4!
=
4 × 3 × 2 ×1
5
3 × 2
4
= 5
1
Ejercicio 11
Realiza la siguiente operación:
8!
7!
=
Ejemplo
Realicemos la siguiente operación:
7!
3!( 4 − 4 )!
=
Solución
7!
3!( 4 − 4 )!
=
7!
3! 0 !
=
7!
3!
=
7
6
5
4 × 3 × 2 ×1
3
2 ×1
Ejercicio 12
Realiza las siguientes operaciones.
A)
28
3!
( 3 − 2 )!
=
B)
5!
( 6 − 3 )!
=
= 7
6
5
4
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
C)
D)
E)
F)
G)
H)
9!
( 2 − 9 )!
=
12!
I)
=
(12 − 5 )!
j
14 !
13!(15 − 13 )!
9!
4 !( 7 − 4 )!
15 !
( 4 − 2 )!
K)
=
13!(15 − 13 )!
7!
=
L)
=
M)
=
N)
8!
( 8 − 4 )!
=
13!
(14 − 9 )!
10 !
(10 − 9 )!
5!
3!( 5 − 3 )!
=
=
=
51!
35 !( 35 − 33 )!
15 !
13!( 27 − 23 )!
=
=
Análisis combinatorio
En muchas situaciones de la vida diaria y de las matemáticas, en particular en la probabilidad, nos encontramos con el problema de agrupar elementos de un cierto conjunto, siguiendo un determinado criterio o característica. La parte de las matemáticas que se ocupa de esta tarea se le conoce con el nombre de análisis combinatorio o simplemente combinatoria.
El análisis combinatorio nos permite conocer cuál es el número de eventos posibles al realizar un experimento,
ejemplo de ello son los juegos de azar, en los que se tienen que contar los posibles resultados de números que se
tienen al jugar la lotería, el melate, el trébol, etcétera.
Principio de suma y multiplicación
El principio de multiplicación nos permite contar el número de maneras en las que podemos realizar dos eventos, si el primero de ellos se
puede realizar de cualesquiera N maneras, y el segundo igualmente
de M maneras (la segunda inmediatamente después de la primera),
entonces, ambas operaciones se pueden realizar de N × M maneras.
En general, si tenemos M eventos, donde el primero de ellos se puede
realizar de cualesquiera N1 maneras, el segundo inmediatamente después del primero de N2 maneras y así sucesivamente hasta el enésimo
evento, el cual se puede realizar de NM maneras, entonces las M operaciones se pueden realizar de N1 × N2 × … × NM maneras distintas.
Ejemplo
Se tienen tres ciudades distintas !, " y #, donde se puede ir de la ciudad ! a la " de tres maneras distintas y de la
ciudad " a la # de cuatro maneras distintas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad ! a la #?
Solución
!
"
3 maneras
#
4 maneras
29
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Para cada camino de ! a " se pueden tomar cuatro caminos de " a #
Y como tenemos tres caminos de ! a " se puede viajar de la ciudad ! a la # en un total de 3 × 4 " 12 maneras.
Ejercicio 13
Se tienen tres ciudades !, " y #, donde se puede ir de la ciudad ! a la " de cuatro maneras distintas y de la ciudad
" a la # de tres maneras distintas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de la ciudad ! a la #?
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
Se lanzan tres monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
Solución
Cada moneda puede caer de dos formas distintas: águila o sol,
entonces la operación de lanzar al aire tres monedas, da como
resultado 2 × 2 × 2 " 23 " 8 resultados posibles, en las que
pueden caer las monedas.
Ejercicio 14
Determina lo siguiente:
Se lanzan cinco monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
Ejemplo
Se lanzan tres dados tetraedros (dados de cuatro caras), la cara que cae hacia abajo es la que se toma en cuenta.
Calculemos de cuántas maneras diferentes pueden caer.
Solución
Cada tetraedro puede caer de cuatro formas distintas, entonces, la operación de lanzar al aire tres tetraedros da como
resultado: 4 × 4 × 4 " 43 " 64 resultados posibles.
Ejercicio 15
Determina lo siguiente:
Se lanzan cinco tetraedros al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
30
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Ejercicio 16
Resuelve los siguientes problemas.
1. Se lanzan 15 dados al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
2. Se lanzan 20 monedas al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
3. Se lanzan dos dados dodecaedros al aire. ¿De cuántas maneras diferentes pueden caer?
4. Un arreglo floral se puede hacer con tres colores distintos de rosas:
dos colores distintos de margaritas y dos tipos de colores de gladiolas. ¿Cuántos arreglos florales distintos se pueden realizar?
5. Una aerolínea tiene programados siete vuelos diarios en temporada
vacacional de la Ciudad de México a Cancún y cinco vuelos de Cancún a Isla Mujeres. ¿Cuántas opciones diferentes de vuelo ofrece la
aerolínea para viajar de la Ciudad de México a Isla Mujeres?
6. Un restaurante ofrece seis tipos de sopa, ocho tipos de guisado y tres
tipos de postre. ¿Cuántos tipos distintos de menú podemos tener?
7. Un experimento consiste en lanzar tres monedas al aire y dos tetraedros. ¿De cuántas maneras distintas pueden caer?
8. Supón que una placa de automóvil consta de dos letras distintas
seguidas de tres dígitos distintos. ¿Cuántas placas distintas pueden
hacerse?
Dos técnicas de conteo que se consideran importantes en el análisis combinatorio son las permutaciones y las combinaciones. En las primeras, el orden es el que importa y en las combinaciones no importa el orden. Ésta es la diferencia
que se debe tener en cuenta para determinar si es una combinación o una permutación.
Ejemplo
Hallemos las permutaciones y combinaciones que se pueden obtener de los números 1, 2 y 3.
Permutaciones
123
Combinaciones
123
132
213
231
312
321
Observemos que cada permutación de los números 1, 2 y 3 es distinta, o sea, cada número obtenido al permutar
los números 1, 2 y 3 es diferente. En cambio, en las combinaciones, el orden no importa y por ello sólo se tiene un
resultado. Así los arreglos: 123, 213, 321, 231 y 312, todos son iguales cuando se habla de combinaciones y son diferentes si se trata de permutaciones, es lo que establecemos como la diferencia entre permutación y combinación.
31
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 17
Escribe todas las permutaciones y combinaciones de la palabra tres.
Ejemplo
Hallen todas las permutaciones y combinaciones de los números 1, 2 y 3 que se pueden formar con dos cifras.
Solución
Permutaciones
Combinaciones
12
13
21
23
31
32
12
13
23
Como el orden en las combinaciones no importa, es lo mismo tener 12 que 21, 13 y 31, 23 y 32.
Ejercicio 18
De todas las permutaciones y combinaciones de la palabra tres, que se forman con dos letras (aunque la palabra
no tenga sentido).
Permutaciones
Una ordenación de un conjunto con N objetos en un orden dado se llama permutación de los N objetos tomados todos
a la vez. Una permutación de R elementos tomados de N elementos distintos con R g N, está determinada por:
PNR = P ( N , R ) =
N
N!
( N − R )!
0R =
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
¿Cuántas permutaciones de dos cifras se forman con los números 1, 2 y 3?
Solución
Tenemos tres diferentes elementos (1, 2 y 3) y debemos seleccionar dos entre ellos, entonces, N " 3, R " 2 y, por
tanto, el número de permutaciones de dos objetos tomados de tres elementos es:
0
3 2
32
=
3!
(3
2 )!
=
3
2 ×1
1!
= 6
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Ejercicio 19
Determina lo siguiente:
¿Cuál es el número de permutaciones de dos letras de la palabra tres?
Ejemplo
Determinemos el número de permutaciones, si N " 4 y R " 3.
Solución
043
4
03 =
4!
(4
3 )!
=
4
3 × 2
1
1
= 24
Ejercicio 20
Determina el número de permutaciones para los valores de N y R que se dan a continuación:
A) N " 5, R " 3
F) N " 10, R " 6
B) N " 3, R " 3
G) N " 8, R " 3
C) N " 5, R " 1
H) N " 7, R " 5
D) N " 7, R " 4
I) N " 9, R " 4
E) N " 9, R " 5
J) N " 11, R " 10
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra AMOR?
Solución
Consideremos que el orden importa debido a que cada palabra tiene un significado diferente.
Por el principio de multiplicación podemos utilizar tres casillas, una por cada letra que ocupará ese lugar.
Letras
En la primera casilla puede ir cualquiera de las cuatro letras que forman la palabra AMOR, como consideramos que
el orden importa; en la segunda casilla sólo pueden ir tres letras y así en la tercera casilla sólo pueden ir dos letras.
4
3
2
Letras
Realizamos el producto: 4 × 3 × 2 " 4! " 24 posibles palabras.
Este problema visto como el número de permutaciones de cuatro objetos tomados de tres a la vez, en lenguaje común es hallar el número de palabras de tres letras diferentes que pueden formarse con las cuatro letras mencionadas.
33
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Tenemos permutaciones de tres letras tomadas de cuatro, entonces, tenemos que N " 4 y R " 3; por lo tanto, hay:
4
03 =
4!
(4
3 )!
=
4!
1!
= 4!
24 palabras posibles
Diagrama de árbol
Otra forma de solucionar este problema es utilizando un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una representación gráfica que se utiliza para enumerar todos los posibles resultados de una serie de experimentos en donde cada
uno puede ocurrir de un número finito de maneras. La construcción de un diagrama de árbol se ilustra a continuación
para este ejemplo:
La construcción de un diagrama de árbol se ilustra a continuación para la letra A, observa cómo se forman las
ramas y trata de construir las demás para las letras M, O y R.
1ª. letra
2ª. letra
3ª. letra
4. letra
palabras que se forman
O
R
AMOR
R
O
AMRO
M
R
AOMR
R
M
AORM
M
O
ARMO
O
M
AROM
M
A
O
R
Para realizar el diagrama de árbol para la palabra de tres letras tomadas de la palabra AMOR se procede de la
siguiente manera: la primera letra se puede elegir de la palabra AMOR de cualquiera de las letras, por ello se colocaron
las letras de la palabra AMOR en la primera columna; la segunda letra, dado que en la primera opción tomamos la letra A
(o la M; O; R), en esta rama sólo podemos elegir de las letras palabras restantes M, O, R, por ello en esa rama colocamos esas letras en la segunda columna, en las otras letras se suprime la letra que se tomó. La tercera letra que se elige
depende de las elecciones hechas anteriormente, en la primera rama se tomaron las letras A y M, así que se pueden
tomar las letras O y R; en la segunda rama se han tomado las letras A y O, por lo que sólo se pueden elegir M y R; en
la tercera rama se utilizaron las letras A y R, así que podemos utilizar las letras M y O, por lo que se continúa cada una
de las ramas hasta que se hayan utilizado todas las letras dadas.
Ejercicio 21
Utiliza las tres formas antes descritas y resuelve los siguientes problemas.
A) ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra COPIA?
B) ¿Cuántas palabras de dos letras se pueden formar con las letras de la palabra AMOR?
34
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Ejemplo
En un saco hay cinco canicas: blanca, azul, roja, negra y amarilla, si se extraen del saco tres de ellas sin repetición, es
decir, no se devuelve al saco la canica extraída. ¿Cuántas posibles formas podemos tener?
Solución
Si aplicamos el principio de multiplicación, utilicemos tres casillas: una para cada canica que vamos a extraer.
Canicas
En la primera casilla, podemos colocar cinco canicas; en la segunda sólo quedan cuatro dentro del saco, por ello,
colocamos un cuatro y ahora dentro del saco sólo tenemos tres, por ello, colocamos el tres en la tercera casilla.
5
4
3
Canicas
Realizamos el producto 5 × 4 × 3 " 60 formas distintas en que pueden aparecer las canicas.
Por otra parte, podemos ver este problema como el número de permutaciones de tres canicas tomadas de cinco,
entonces, N " 5 y R " 3.
5
03 =
5!
(5
3 )!
=
5
4 × 3 × 2 ×1
2!
= 60 formas posibles de que salgan las canicas
Una tercera forma es utilizando el diagrama de árbol. Veamos de cuántas formas podemos sacar la primera canica, podemos colocar las canicas en un saco o usar una caja y dentro de ésta poner un papelito con el color de la canica.
Ahora, trata de sacar una canica de la caja, ¿cuál crees que puede salir? En efecto, puede ser blanca, azul, roja, negra o
amarilla, así la primera canica la podemos obtener de cinco formas distintas. La segunda canica la podemos sacar de
cuatro formas diferentes debido a que ya salió una y la tercera la sacamos de tres formas diferentes, es decir, hay 60
formas distintas en que podemos extraer tres canicas de un saco que contiene 5, por cualquier método que elijamos.
Ejercicio 22
1. Realiza en el cuaderno el diagrama de árbol para el problema anterior.
2. En la bolsa de tu pantalón hay cinco monedas de varias cantidades (cincuenta centavos, un peso, dos pesos,
cinco pesos y diez pesos). Si se extraen:
A) Dos
B) Tres
C) Cuatro
D) Cinco
monedas. Halla el número de formas distintas que pueden salir las monedas.
3. Un saco contiene cinco canicas de colores: blanca, azul, roja, negra y amarilla. ¿De cuántas formas diferentes
podemos sacar 1, 2, 4 o 5 canicas?
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
En el salón de clases desean escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. Si en el salón se tienen 50 alumnos, ¿de
cuántas formas se pueden elegir?
35
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Solución
Tenemos cincuenta formas de elegir al jefe de grupo que es el total de los alumnos del salón, ahora. Si ya escogimos
al jefe de grupo, sólo tenemos 49 alumnos dentro de los cuales podemos elegir al vocal y ya que se escogió al vocal,
para elegir al tesorero sólo tendremos 48 alumnos.
50
49
48
Jefe
Vocal
Tesorero
Es decir, tenemos 117 600 formas distintas de escoger al jefe de grupo, vocal y tesorero. En este problema el orden
se considera, ya que no tienen las mismas funciones cada uno de los elementos.
Planteando el problema como el número de permutaciones que se pueden hacer de 50 objetos tomados de tres,
tenemos que N " 50 y R " 3.
50
03 =
50 !
( 50 − 3 )!
=
50 !
47 !
= 50
49
48
117600
Ejercicio 23
Resuelve los siguientes problemas.
1. Si un equipo de futbol tiene 11
jugadores y 4 reservas y se desea
elegir un capitán y el suplente del
capitán, ¿de cuántas formas se
puede hacer?
2. En una compañía que cuenta con
100 trabajadores se desea elegir
a un comité sindical formado por
un representante, un secretario
y un tesorero, ¿de cuántas formas
se puede formar el comité?
3. Entre 40 personas se realiza una rifa de un refrigerador como primer premio y
de una pantalla como segundo. ¿De cuántas formas se pueden elegir a los dos
ganadores?
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
Virginia desea realizar una rifa y para ello utiliza los números del 0 al 9. ¿Cuántos números se formarán de tres cifras
sin repetirse ninguno de ellos?
36
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Solución
Utilicemos el principio de multiplicación, el primer número lo podemos elegir de 10 formas diferentes, el segundo
de 9 y el tercero de 8 formas.
10
9
8
Como son 10 los elementos y queremos tomar tres de ellos, pues nos piden encontrar el número de permutaciones
de N " 10, tomados de tres, por ello R " 3, es decir:
10
03 =
10 !
(10 − 3 )!
=
10 !
7!
= 10 × 9
8 = 720
Ejercicio 24
Realiza lo siguiente:
Virginia desea realizar una rifa y para ello utiliza los números del 3 al 9. ¿Cuántos posibles números se formarán de
4 cifras?, sin repetirse ninguno de los números.
Permutaciones donde el número de elementos se repiten
Cuando tenemos permutaciones donde los objetos tienen varios artículos iguales y deseamos saber el número de permutaciones de cierto número de ellos, utilizamos la siguiente fórmula.
N!
N1 ! × N2 ! × $ × NR !
Donde:
n " Objetos que forman el numerador y el denominador. Se forman por los elementos que se repiten: n1, n2,
…, nr.
Ejemplo
Hallemos lo siguiente:
Un saco contiene dos canicas de color verde y dos canicas de color blanco. ¿De cuántas formas se pueden ordenar?
Solución
Sean N1 las dos canicas de color verde, N2 las dos canicas de color blanco y N es el número de canicas, o sea, cuatro,
aplicamos la fórmula anterior.
4!
2! 2!
= 6 formas
37
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
Un grupo de exploradores tiene dos banderas rojas, tres verdes y
cinco azules. ¿De cuántas formas las puede ordenar?
Solución
Sean N1 las dos banderas de color rojo, N2 las tres banderas de
color verde, N3 las cinco banderas de color azul y N es el número
de banderas, o sea, 10.
10 !
2! 3! 5 !
= 2 520
Ejercicio 25
Resuelve los siguientes problemas.
1. Un saco contiene tres canicas de color verde y dos canicas de color blanco. ¿De cuántas formas se pueden
extraer?
2. En una bolsa hay monedas de varios valores: tres de cincuenta centavos, dos de un peso, dos de cinco pesos y
dos de diez pesos. Si se extraen del saco monedas, ¿de cuántas formas se pueden ordenar?
3. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con ocho banderas colocadas en una línea vertical, si se tienen
cuatro banderas rojas, tres blancas y una azul?
4. Una persona tiene seis libros de cálculo diferencial, cinco de física y dos de química. ¿De cuántas formas los
puede ordenar?
5. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras: NACIONALIDAD, aunque éstas no tengan ningún significado?
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
Una placa se forma por tres números y tres letras. ¿Cuántas placas se pueden obtener?
Solución
Utilicemos seis casillas, una por cada número o letra:
Números
Letras
En la primera casilla, podemos colocar nueve números, del 1 al 9, el cero no lo contamos. En la segunda podemos
colocar 10 números del 0 al 9 (los números se pueden repetir) y en la tercera podemos colocar del 0 al 9, para las
letras consideremos que el abecedario está formado por 26 letras y excluimos la LL y Ñ. Entonces, el número de
placas que se pueden formar es:
9
Números
10
10
26
26
26
Letras
Realizamos el producto y obtenemos: 9 × 10 × 10 × 26 × 26 × 26 " 900 × 17 576 " 15 818 400.
38
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
Ejercicio 26
Resuelve los siguientes problemas:
1. ¿Cuántas placas se forman si cada una tiene un número y una letra?
2. ¿Cuántas placas se forman si cada una tiene tres números y dos letras?
3. ¿Cuántas placas se forman si cada una tiene tres números y cuatro letras?
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las letras no se repitan. ¿Cuántas
placas se pueden formar?
Solución
Utilizamos el principio de multiplicación, en los números no hay restricciones, por lo que podemos colocar 10 números en cada casilla, excepto en la primera que colocamos 9; en la primera casilla de las letras podemos colocar 26,
como piden que no se repitan, en la siguiente casilla sólo podemos colocar 25 letras, y en la última 24. Realizamos
el producto y obtenemos:
9
10
Números
10
26
25
24
" 14 040 000 placas
Letras
Ejercicio 27
Resuelve los siguientes problemas.
1. Se desean diseñar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las placas no tengan el número
nueve y la letra A. ¿Cuántas placas se pueden formar?
2. Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las placas no empiecen con un
número impar y las letras inicien con la letra A. ¿Cuántas placas se pueden formar?
3. Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las letras de las placas no tengan
vocales y no se repitan las letras. ¿Cuántas placas se pueden formar?
4. Se desean realizar placas de tres números y tres letras, con la condición de que las letras empiecen con una
vocal y las demás letras no se repitan. ¿Cuántas placas se pueden formar?
5. En cierto país se cuenta con un parque vehicular de dos millones de vehículos automotores y se prevé que el
crecimiento de éstos sea de 10% cada año. ¿Cuántas placas se requieren tener para estos vehículos, si la condición es que tenga el mismo número de letras y números?
6. Se tienen tres canicas verdes y dos azules en una caja. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sacar cuatro
canicas?
7. En un salón de clases de 20 alumnos se desea escoger a tres para el comité (presidente, secretario y vocal).
¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir?
8. Si una persona juega a la lotería y sabe que los billetes están formados por números de seis dígitos. ¿Cuántos
números se jugarán?
39
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
9. En la televisión existen siete canales disponibles. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar tres de ellos?
10. En una tienda hay cinco tipos diferentes de dulces. ¿De
cuántas formas se pueden elegir cuatro de ellos?
11. Juan cuenta con cuatro camisas y seis pantalones de diferentes colores. ¿De cuántas formas se puede vestir?
12. Una nevería tiene ocho sabores de helados. ¿Cuántos helados de dos bolas se pueden vender?
A) Si se repiten los sabores.
B) Si no se repiten los sabores.
13. En el problema anterior, si fueran tres bolas de helado,
¿cuántas formas diferentes de helado se pueden vender?
Considera que existe un orden en las bolas del helado.
Combinaciones
En una combinación el orden no importa, la palabras TRES la podemos escribir en diferentes formas: SERT, REST,
SETR, …, todas tienen diferentes significado. Si el orden se considera, entonces son diferentes y esto recibe el nombre
de permutación. Si el orden no importa todas son iguales, recibe el nombre de combinación.
Otro ejemplo es cuando se tiran dos dados, si caen: (1, 2) o (2, 1), se considera una sola combinación. Si tenemos
los números 1, 2 y 3, los números que podemos formar de tres cifras son: 123, 132, 231, 213, 321, 312, para el efecto
de una combinación todos son iguales.
Cuando deseamos seleccionar R elementos de entre N elementos diferentes, sin tomar en cuenta el orden, lo
calculamos utilizando la siguiente fórmula:
# ( N, R ) =
N
# R = # N , K = # RN =
( )=
N
R
N!
R !( N − R )!
Ejemplo
Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra RADIO, tomadas de tres en tres.
Solución
La palabra RADIO se compone de cinco letras, que es el total de elementos, o sea N, y de ellos se desean seleccionar
subconjuntos de tres elementos, o sea R.
5
#3 =
5!
3!( 5 − 3 )!
=
5 × 4 × 3 × 2 ×1
( 3 × 2 × 1) 2!
=
5 × 4 × 3 × 2 ×1
( 3 × 2 × 1) 2 × 1
" 5 w 2 " 10
RAD, RAI, RAO, RDI, RDO, ADI, ADO, DIO, RIO, AIO
Ejercicio 28
Resuelve los siguientes problemas.
1. Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra MONEDA, tomadas de tres en
tres. Escribe todas las combinaciones.
40
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
2. Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra EVENTO, tomadas de tres en tres.
Escribe todas las combinaciones.
3. Determina el número de combinaciones que se pueden realizar con la palabra PARAGUAS, tomadas de dos en
dos. Escribe todas las combinaciones.
Ejemplo
Determinemos lo siguiente:
Un grupo de cinco amigos desea realizar un torneo de videojuegos, si sólo se cuenta con cuatro controles para jugar.
¿Cuántos equipos se podrán formar? Un equipo se considera diferente a otro si un amigo es la diferencia.
Solución
El número de amigos es cinco, que es el total de elementos, o sea N, y de ellos se desean seleccionar subconjuntos
de cuatro elementos, o sea R. Como el orden no importa, entonces, hablamos de combinaciones donde N " 5 y R " 4.
5
#4 =
5!
4 !( 5 − 4 )!
=
5 × 4 × 3 × 2 ×1
( 4 × 3 × 2 × 1)(1)
"5
Si nombramos con A, B, C, D y F a los cinco amigos, las combinaciones que se pueden dar son:
ABCD, ABCF, ABFD, AFCD, FBCD
Ejemplo
En un salón de clases con 50 alumnos se desea formar equipos de básquetbol de cinco alumnos. ¿Cuántos equipos
se podrán formar?
Solución
Como el orden no importa, porque todos los alumnos son iguales, entonces hablamos de combinaciones donde
N " 50 y R " 5.
50
#5 =
50 !
5 !( 50
5 )!
=
50 !
5! × 4
45
5!
=
50 × 49 × 48 × 47 × 46 × 45 !
5 × 4 × 3 × 2 × 45 !
" 10 w 49 w 2 w 47 w 46 w 45! " 2 118 760
Ejercicio 29
Resuelve los siguientes problemas.
1. ¿Cuántos equipos de futbol (11 jugadores) se formarán en un salón de clases de 50 alumnos?
2. ¿Cuántos equipos de voleibol (seis jugadores) se formarán en un grupo de 50 alumnos?
41
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
3. Determina el valor de las siguientes combinaciones.
A) 4#3 "
E)
16#3 "
B) 4#1 "
F) 8#1 "
C) 8#3 "
G)
16#16 "
D) 6#4 "
H)
20 #13 "
I)
14#7 "
J)
16#14 "
4. De un grupo de alumnos, se va a seleccionar un grupo de tres para el equipo de atletismo. ¿Cuántos diferentes
grupos se pueden formar?
5. En un saco se encuentran seis monedas numeradas, del 1 al 6. ¿De cuántas formas se pueden tomar montoncitos de tres monedas?
6. La selección de futbol se forma por 28 jugadores. ¿De cuántas maneras puede integrarse un equipo de 11 jugadores?
7. La selección de 28 jugadores se forma por tres porteros, nueve defensas, siete medios volantes y nueve delanteros. Si se juega una formación 4, 2, 4 (4 defensas, 2 medios, 4 delanteros), ¿de cuántas formas pueden elegir
a cada posición?
8. En el problema anterior, si juegan una posición 4, 3, 3, ¿de cuántas formas pueden elegir a cada posición?
9. Una persona llega a un almacén donde encuentran ocho pantalones diferentes. ¿Cuántas formas diferentes
pueden elegir cuatro de ellos?
10. De las camisas, el almacén tiene seis modelos diferentes. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro de ellas?
11. En una caja de 12 colores tienes que escoger seis. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir?
12. En un vivero se tienen 20 diferentes tipos de orquídeas.
¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir cuatro?
13. Un niño llega a la dulcería donde se tienen 18 diferentes tipos de dulces. ¿De cuántas formas diferentes
puede elegir 2, 6 y 10 dulces?
14. Un florista tiene que realizar arreglos florales con ocho
flores diferentes. ¿De cuántas maneras los podrá hacer,
si cuenta con 15 diferentes tipos?
15. El dueño de un restaurante sabe que una persona se
come cuatro de sus tacos. Si tiene 12 platillos, ¿de
cuántas formas puede elegir?
16. Comprueba la siguiente igualdad, sí es o no verdadera:
0 #N " 0N – 1 " (N – 1)!
17. En cierto sorteo se eligen cinco números de un total de 39. Determina la cantidad de números que se juegan:
A) Si el orden no importa.
B) Si el orden importa.
18. En un salón de clases se tienen 23 hombres y 27 mujeres, se desea elegir a un grupo de cuatro hombres y cinco
mujeres. ¿De cuántas formas se puede elegir al grupo?
42
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
19. Una persona tiene tres pares de zapatos de distintos
colores, seis camisas de colores distintos y cuatro pantalones también de distinto color. ¿Cuántos días puede
vestirse sin repetir la combinación?
20. Néstor llega a comer a un restaurante, el menú indica
tres tipos de sopa, cuatro guisados, agua o refresco y dos
postres. ¿De cuántas formas puede elegir su comida?
21. Con tres letras distintas: a, b y c, ¿cuántas palabras diferentes de dos letras se pueden formar con repetición y
sin repetición?
LECTURA SUGERIDA
https://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zenon
Actividades a realizar
1. Lee el artículo de la liga anterior y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
2. Contesta las preguntas que se realizan.
A) ¿Cuál es la idea central del artículo?
B) ¿Cuándo surge la combinatoria?
C) ¿En dónde y cuándo aparece la combinatoria?
D) Investiga dos trabajos sobresalientes de Wilhelm
Leibniz.
E) A qué se debe que la combinatoria sea considerada como una nueva e independiente rama de
las matemáticas.
F ) ¿A quién se debe el desarrollo de la combinatoria?
G) ¿Cuál es la importancia que tiene este artículo
con otras materias?
43
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
ACTIVIDAD TRANSVERSAL
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
Una de las aplicaciones de la estadística es el manejo de la información y la relación que existe entre los datos que se obtienen. En
las siguientes actividades transversales tendrás la oportunidad de poner en juego tus habilidades y los conocimientos adquiridos
en cada una de las unidades, la información que se va a obtener permite al alumno el manejo de la información en la práctica, por ello
te sugerimos seguir con atención las siguientes instrucciones.
Deduce y aprende
La Encuesta
Propósito: Aplicará un cuestionario para determinar el tipo de datos, la forma de encuestar, la frecuencia, moda, promedio, rango y
determinar probabilidades.
1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos.
2. Aplicación del cuestionario a los alumnos de nuevo ingreso o del menor de los grados escolares de tu escuela con un mínimo de
15 cuestionarios por alumno del equipo, que se encuentra al final de esta actividad.
3. Se reúnen los integrantes de cada equipo para determinar la forma de trabajo, considerando para ello, la mejor forma de organizar
la información, toma en cuenta las preguntas que debes de contestar.
4. En cada una de las preguntas, indica qué tipo de dato es.
5. En cada una de las preguntas ordena la información de mayor a menor, en caso de que no se pueda, indica por qué.
El número de datos es n =
El dato mayor es DM =
El dato menor es Dm =
Realiza la diferencia del dato mayor menos el dato menor, Rango = DM – Dm =
6. El número de veces que se repite un dato se llama frecuencia, en cada una de las preguntas realiza una tabla con las siguientes
columnas, anota el número de veces que se repite cada dato. (Realízalas en tu cuaderno.)
7. Otro elemento muy conocido es el promedio, cuando tú calculas el promedio de tus calificaciones ¿qué es lo que haces?
8. De la misma manera podemos obtener el promedio de cada uno de los datos, los sumamos y los dividimos entre el número de
Realízalo en tu cuaderno o usa los medios
datos n. ¿Cuál es el promedio de cada uno de los datos de la encuesta?
electrónicos.
44
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
9. Otra forma de encontrar el promedio es utilizando la columna C de la tabla A, la cual se obtiene multiplicando el dato (columna A)
por la frecuencia (columna B) y se coloca en la columna C, suma la columna C y el resultado lo divides entre la suma de la columna
B con lo que se obtiene el promedio
. Compara los resultados de los incisos 7 y 8, ¿cómo son?
10. Observa la tabla A, en la columna de la frecuencia. ¿Cuál es el número mayor? ¿Hay coincidencias?
valores corresponden en la columna A?
, a este valor se le llama moda.
¿A qué valor o
¿Cómo defines la moda?
11. Seleccionemos una de las hojas del cuestionario, para elegirlo, piensa un número y cuenta el número de hojas y toma la que está
en ese lugar, verifica si coinciden los datos con la media o la moda que determinaste. Recuerda que esto es sólo un pronóstico de
lo que esperamos que suceda, pero no es suficiente para determinarlo.
12. Elige un renglón de la columna B de frecuencias y divídelo entre la suma de las frecuencias, exprésalo en forma decimal. ¿Qué
nombre recibe este valor? Realízalo para cada dato.
Cuando se tiene una información, lo importante es poder procesarla de la mejor forma, ello nos permite tomar decisiones más
acertadas, por esta razón muchas compañías forman sus bancos de datos, esta información es procesada a tal grado que se pueda
determinar con exactitud la decisión que se va a tomar.
13. Contesta lo que se te pide.
a) Crees que son suficientes estas medidas para tomar decisiones.
b) ¿El promedio o la moda son representativos de la información que se tiene?
c) ¿Qué tipos de probabilidad conoces?
d) Cuando se calcula la probabilidad, ¿tenemos la certeza de que sucederá ese evento?
e) Si un alumno tarda en promedio
en llegar a la escuela, ¿implica que todos tardan lo mismo?
f) ¿Los alumnos que se toman son una muestra o es la población?
45
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Cuestionario que se sugiere:
Examen de ingreso al NMS
Puntaje del examen
Promedio de la secundaria
Grupo en el que estás inscrito
I. Datos personales
Nombre del alumno
Tiempo que tardas en trasladarte a la escuela
Edad
Sexo M-F
Estado civil
Estado civil de los padres: Casados
Divorciados
Unión libre
Núm. de hermanos
Separados
Otra
II. Datos del padre: Edad
Grado máximo de estudios:
Sin estudios
Primaria
Secundaria
Preparatoria
Carrera trunca
Carrera comercial/técnica
Licenciatura
Maestría
Doctorado
Preparatoria
Carrera trunca
Carrera comercial/técnica
Licenciatura
Maestría
Doctorado
III. Datos de la madre: Edad
Grado máximo de estudios:
Sin estudios
Primaria
Secundaria
IV. Preguntas para el estudiante
¿Tienes un lugar específico de estudio?
¿Existe privacidad en tu espacio de estudio?
¿Tienes computadora?
¿Trabajas?
¿Tienes horario de estudio?
¿Estás en la escuela que deseas?
¿Cursaste secundaria?: Diurna
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Sí
Técnica
No
No
No
No
No
No
¿Tienes acceso a Internet? Sí
No
¿Con quién vives?
¿Controlas tu tiempo?
Sí
No
Procedencia Secundaria: Pública
Privada
Para trabajadores
Foránea
Problemas de conteo
1. Toda la sangre está compuesta de los mismos componentes. El tipo de sangre depende de dos factores: el grupo
sanguíneo con base en los antígenos A, B, AB y O y el factor Rh, que puede ser positivo o negativo. Determina los
tipos de sangre que se pueden formar.
2. En un hospital se tiene que clasificar a los pacientes de acuerdo con el tipo de anemia que tienen y su tipo de
sangre, si los tipos de anemia son: deficiencia de B12, deficiencia de folato, ferropénica, por enfermedad crónica,
hemolítica aplástica, idiopática y megaloblástica, perniciosa, drepanocítica y talasemia, y los tipos de sangre son:
A+, A–, B+, B–, AB+, AB–, O+ y O–. Determina los tipos de paciente que se tendrán en el hospital.
46
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
CIERRE
EVALUACIÓN SUMATIVA
Resuelve los siguientes problemas.
1. Si no se permiten repeticiones, ¿cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los números 4, 5, 6, 7,
8, 9?
2. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en una reunión a siete personas, en una fila de siete sillas?
3. ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir un comité formado por un secretario, una vocal y un tesorero de
un total de 30 trabajadores?
4. Juan escribe cinco cartas de amor para su novia que vive en Yucatán, al llegar a la oficina de correos se da
cuenta que hay cuatro buzones para depositar sus cartas. ¿De cuántas maneras las puede depositar?
5. En un evento deportivo a seis jugadores se les colocará al azar las letras A, B, C, D, E y F. ¿De cuántas maneras
se pueden colocar las letras?
6. Cinco amigos, al salir de la escuela, abordan el coche de uno de ellos. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar si el dueño maneja?
7. Con cuatro lienzos del mismo tamaño y de color distinto cada uno: azul, verde, blanco y rojo, ¿cuántas banderas
de tres colores, sin repetirse, se pueden formar?
8. En una urna se tienen 4 bolas blancas, 5 azules y 7 rojas. Si se extraen dos bolas determina las siguientes probabilidades: que la segunda bola sea blanca, con reemplazo y sin reemplazo.
9. Una persona realiza una rifa con 20 boletos. Un primer premio consta de $20 000 y el segundo de $10 000.
Determina la probabilidad de sacar el segundo premio.
10. Se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda vez salga el 3?
11. Se extraen tres cartas de una baraja inglesa (52 cartas). ¿Qué probabilidad tiene la tercera carta de salir un as si se
extraen las cartas con reemplazo o sin reemplazo?
12. Se sacan dos cartas al azar de una baraja inglesa, una a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada evento
las dos cartas sean ases?
13. En un saco se tienen cuatro canicas de diferentes colores: verde, blanca, amarilla y roja, se saca una canica, se
observa su color y se regresa al saco; se repite el mismo procedimiento: se saca una segunda canica y se regresa al saco. ¿Cuál es el espacio muestral de este evento? Si la canica no se regresa al saco, ¿cuál es el espacio
muestral?
14. Tiran un dado rojo, uno rosa y uno azul, y se realiza la diferencia del dado rojo menos el azul más el dado rosa.
¿Cuál es el espacio muestral?
47
PART E
1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
15. En un grupo de 50 alumnos que estudian idiomas se sabe que 35 estudian inglés y 42 francés. Si se elige
un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sólo estudie inglés? ¿Cuál es la probabilidad de que estudie
ambos? ¿Cuál es la probabilidad de que estudie inglés o francés?
16. Se sabe que 10% de los teléfonos celulares fabricados por una máquina tienen algún defecto. Si se seleccionan al azar 10 teléfonos celulares fabricados por esta máquina, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno esté
defectuoso? ¿Cuántos se encontrarán defectuosos?
17. Si se lanza una sola vez cinco dados, ¿cuál es la probabilidad de que salga al menos un 3? ¿Cuál es la probabilidad de que salgan al menos dos 3?
18. Si una pareja tiene 6 hijos y tiene la misma probabilidad de tener niña o niño. Halla la probabilidad de que:
A) Sean 3 niñas y 3 niños.
B) Menos niñas que niños.
C) Más niñas que niños.
D) Al menos una niña.
19. Tenemos tres urnas: ! con tres bolas rojas y cinco negras, " con dos bolas rojas y una negra, y # con dos bolas
rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna !?
48
EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. PRIMERA PARTE
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar
Excelente
Bueno
Regular
Satisfactorio
Realicé los ejercicios
correctamente
Más de 90%
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 15 puntos
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo,
resolví las actividades
Deduce y aprende
Más de 90%
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 15 puntos
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Valor 7 puntos
Valor 4 puntos
Valor 2 puntos
Contesté correctamente
más de 90% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 80 y 89% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 70 y 79% de las
preguntas
Contesté correctamente
menos de 70% de las
preguntas
Valor 5 puntos
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
Realicé todas mis
tareas
Realicé 80% de mis
tareas
Realicé 60% de mis
tareas
Realicé 50% de mis
tareas
Valor 5 puntos
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
De 45 a 50 puntos
De 40 a 44 puntos
De 35 a 39 puntos
Menos de 35 puntos
Actividad integradora,
Valor 10 puntos
ver puntaje
Lectura de la unidad
Trabajo extra clase
Suma de puntos por
columna
Total de las columnas
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Resuelve los problemas de recuperación de información, y contesta el dominio que tienes de los siguientes conceptos.
Concepto
Lo domino
No lo domino
Tipo de datos
Tipo de recolección de datos
Población y muestra
Espacio muestral
Enfoques de probabilidad
Las medidas de tendencia central
Factorial de un número
Operaciones con números factoriales
Diagrama de árbol
Principio de suma
Principio de multiplicación
Permutaciones
Combinaciones
49
PA R T E
2
Eje
Del manejo de
la informacion
al pensamiento
estocástico
Segunda parte
Componentes
O
Aprendizajes esperados
Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Estadística y la Probabilidad.
O
O
Contenido central
O
O
Concepto de riesgo en situaciones contextuales. Contextualización de los elementos de probabilidad condicional e
interpretación intuitiva del teorema de Bayes (probabilidad
subjetiva).
O
Reconocen la diversidad de situaciones que precisan de la
incertidumbre en el tratamiento del riesgo.
Modelan con estadística y probabilidad el estudio de la información.
Organizan la información recolectada de la situación estudiada.
Construyen fórmulas de probabilidad.
Productos esperados
Contenidos específicos
O
2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad y estadística en el estudio del riesgo?
2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas.
2.3 Análisis de la información.
2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad.
2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad.
APERTURA
O
Construir tablas de frecuencia.
Calcular la probabilidad de un evento dado.
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Anota en el paréntesis la respuesta correcta:
1. Es el número de veces que se repite un dato:
A) Intervalo
B) Población
C) Frecuencia
D) Muestra
2. La estadística se divide en descriptiva e:
A) Población
B) Inferencial
C) Muestra
D) Frecuencia
(
)
(
)
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
3. Es una parte de la población.
A) Moda
B) Mediana
C) Promedio
D) Muestra
4. Los tipos de datos son cuantitativos y:
A) Cualitativos
B) Numéricos
C) Alpha
D) Muestra
5. De los tipos de recolección de datos, ¿cuál crees que es la más económica?
A) Por teléfono
B) De puerta en puerta
C) Entrevista personal
D) Utilizando el correo
6. Son medidas que se obtienen de la población:
A) Muestra
B) Parámetros
C) Estadístico
D) Población
7. Las frecuencias son simples y:
A) Clase
B) Marca de clase
C) Intervalo
D) Relativas
8. Representa en la tabla de distribución de frecuencias el punto medio del intervalo:
A) La clase
B) La marca de clase
C) El límite inferior
D) El límite superior
9. Los tipos de gráficas que utilizan la marca de clase se llaman:
A) De barras
B) Histogramas
C) Pie
D) Polígono de frecuencias
10. Una gráfica circular recibe el nombre de:
52
A) De barras
B) Histogramas
C) Pie
D) Polígono de frecuencias
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
Tema integrador
Secuencia didáctica
Deduce y aprende
Aprendiendo a contar
Propósito: Desarrolla sus habilidades de contar considerando que el orden no importa.
Material: Cinco canicas de diferentes colores.
Contesta las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es el valor de 5!?
• ¿Cuál es el valor de 3!?
• ¿Cuál es el valor de (5 – 3)!?
• ¿Cómo se expresa el producto 5 w 4 w 3, utilizando la notación de factoriales?
• ¿Cómo se expresa el producto 6 w 5 w 4, utilizando la notación de factoriales?
• Obtén el valor de las siguientes permutaciones:
P "
5 5
P "
5 4
P "
5 3
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de cinco alumnos.
2. Continúen con la formación de su portafolio de evidencias.
3. Coloca cuatro canicas de distintos colores en el saco. ¿De cuántas formas se
puede sacar la primera canica?
4. Construye un árbol que represente sacar tres canicas del inciso anterior y escribe
todas las tercias que se forman.
5. Determina el valor de 4P3 "
6. Compara los resultados obtenidos en 4 y 5.
7. En las tercias formadas revisa cuáles son iguales, si el orden no importa, por
ejemplo si las canicas son de color azul, negro y rojo, consideramos que son
iguales las tercias, por ejemplo:
negro, azul y rojo
negro, rojo y azul
rojo negro y azul
53
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
8. Escribe las tercias que no son iguales:
9. Consideremos una de las tercias, por ejemplo, negro, azul y rojo. ¿Cuántas veces se repite en las tercias formadas en el punto cuatro?
Si contestaste seis, contaste correctamente, esto se debe a que el número de permutaciones de las tres canicas es 3!, o sea que 6
veces se está contando cada tercia, por ello el número de tercias formadas la dividimos entre 3!, lo que representamos:
4!
0
4 3
=
3!
(4
4
3 )!
3
2
=
3 × 2
4 3 × 2
1
=
= 4
3 2
3 2
En general, una combinación se puede escribir como:
N
#R "
N( N
)(
)( N
)( N
))...(
...(( N
(R
))
R!
En el ejemplo anterior, los valores de n " 4 y r " 3 los sustituimos en la fórmula para comprobar cómo trabaja esta fórmula.
4( 4
1)( 4
(3
3
1))
2
=
3 × 2
4
3
= 4
2
Esta fórmula nos permite el cálculo de las combinaciones de n elementos tomados de r en r.
Multipliquemos la fórmula anterior por el cociente de
N( N
)(
)( N
(
)!
(
)!
)(( N
))...(
...(( N
(R
R!
))
×
(N
R )!
(N
R )!
Realizando operaciones en el numerador
N( N
)(
)( N
)( N
))...(
...(( N
R + 1)( N
R)
R !( N − R )!
El numerador es el factorial de n, lo que escribimos como
N
#R =
N!
R !( N − R )!
10. Dado el conjunto de canicas de colores {azul, verde, negro y blanco} obtén todos los subconjuntos de tres canicas que se puedan dar.
Cierre de la actividad
Contesta las siguientes preguntas:
1. En una urna se colocan tres canicas azules, dos blancas y una roja.
¿De cuántas maneras distintas se pueden extraer dos canicas?
2. En el mercado existen 7 compañías telefónicas, las cuales se identifican por los primeros dos dígitos; si un número telefónico consta de
ocho dígitos, ¿cuántos números tiene cada compañía telefónica?
3. Si en una ciudad un número telefónico consta de 6 dígitos, ¿cuántos
números telefónicos se pueden realizar?, toma en cuenta que no empieza con cero.
54
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
4. En el problema anterior, si se utilizan las letras marcadas en cada tecla, ¿cuántos números se podrán realizar?
5. Demuestra las siguientes propiedades.
1. N0N " N!
2. N01 " N
6. De un grupo de sexto semestre de bachillerato se han escogido a seis alumnos con promedio de nueve, de ellos se formará un equipo integrado por cuatro alumnos, que representen al grupo en un encuentro académico. ¿De cuántas maneras se puede formar el
equipo?
7. ¿De cuántas maneras se puede elegir una comisión de cinco alumnos que representen al grupo durante todo el año? El grupo está
integrado por 40 alumnos.
Apertura
Desarrollo
Cierre
• Formen equipos de cinco
alumnos.
• Formen su portafolio de evidencias.
• Escriban en el cuaderno el análisis que
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean la secuencia didáctica
que se plantea.
• Reunidos los alumnos del equipo discutan
cómo realizarán las actividades.
• Realiza un mapa mental de la unidad.
• Analicen los problemas.
• Resuelve los problemas que se plantean en
el desarrollo
• Contesta las preguntas del desarrollo.
• Resuelve los ejercicios del cierre de la
actividad.
55
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador
Aspecto a
evaluar
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Satisfactorio
(2)
Deficiente
(1)
Análisis de
la situación
didáctica
Realiza una investigación
completa de la situación
y realiza el mapa mental.
Realiza una investigación
clara y convincente
y realiza el mapa mental.
La investigación no es
clara y sólo se presentan
recortes de páginas web
y no realiza el mapa
mental.
La investigación es
deficiente y no aporta
conocimientos claros y no
realiza el mapa mental.
Desarrollo
del tema
integrador
Contesta más de 90%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta entre 70 y 89%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta entre 60 y 69%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta menos de 60%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Presentación
de resultados
Contesta más de 90%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta entre 70 y 89%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta entre 60 y 69%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta menos de 60%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría
de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
• En esta unidad manejarás las técnicas de contar más conocidas, las permutaciones y las combinaciones, las cuales aplicarás a la
resolución de problemas.
¿Para qué te servirá?
Estos cálculos constituyen una herramienta muy importante en las técnicas de conteo y te permitirá contar el número de eventos que
tendrá un periodo, para aplicar a la solución de problemas.
56
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
DESARROLLO
2.1 ¿Qué es el riesgo?, ¿qué papel juega la probabilidad
y estadística en el estudio del riesgo? Usos de la
estadística y probabilidad en situaciones dadas
La palabra riesgo proviene del árabe RIZQ, indica que alguien está a punto de sufrir un daño. Etimológicamente, “risco”
significa un peñasco alto.
Una amenaza la podemos definir como una acción que anticipa la intención de dañar a alguien en caso de que
el sujeto no cumpla con ciertas condiciones. Un riesgo se puede definir como la probabilidad de que una amenaza se
convierta en un desastre y, por último, decimos que un desastre es el que produce un daño o destrucción.
Así entonces, podemos decir que un riesgo es una acción que anticipa la intención de dañar a alguien produciendo
un daño. Debemos señalar que riesgo y peligro no son lo mismo, el riesgo es el resultado de salir dañado y el peligro
se refiere a la probabilidad del daño.
Existen un SIN FÓN de riesgos, por ejemplo, cuando sales de tu casa a la escuela estás expuesto a una serie de
riesgos: el que te tropieces y caigas, el que un auto te atropelle, el caerte del camión, contraer una enfermedad, el que
un auto choque etcétera.
Así, la estadística nos permite llevar un control del número de veces que ocurre un riesgo, por ejemplo, el que un
automóvil choque, y así poder determinar la probabilidad de que ocurra un siniestro, lo que permitirá a las compañías
aseguradoras determinar el valor que tendrá un seguro de automóviles. O por ejemplo el número de personas de cierta
edad que morirán en un accidente, obviamente no sabremos qué personas van a sufrir un accidente pero sí la cantidad.
Otro caso que podemos citar es lo que escuchamos a diario, el número de autos que se roban en la ciudad, con ayuda
de la estadística determinamos cuántos autos se roban, y con la probabilidad se establece qué posibilidad tiene una
persona de que le roben su auto.
Discute con tus compañeros: a) las zonas donde se roban más autos, es decir, las zonas de mayor riesgo, b) cuáles
son los autos de mayor riesgo de robo.
2.2 Usos de la estadística y probabilidad en situaciones dadas
La estadística y la probabilidad son materias relativamente nuevas, la primera trabaja sobre una gran cantidad de datos,
los cuales recolecta, describe e interpreta; la segunda establece la posibilidad de que un hecho suceda. A continuación
se realiza una actividad donde pondremos en juego estos dos conceptos.
Deduce y aprende
El peso
Propósito: Desarrollará sus habilidades para organizar una serie de datos.
Conocimientos previos: Conocimientos básicos de aritmética.
Material: Impreso
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de tres alumnos.
57
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2. Todos los alumnos del salón escriban su peso (o el peso que quisieran tener) en el pizarrón. Anótenlos en el siguiente cuadro.
3. En la siguiente tabla ordenen los datos en forma creciente o decreciente, como lo deseen.
Tabla A
ordenada
4. El número de datos es
5. El dato mayor es
6. El dato menor es
7. Realiza la diferencia del dato mayor menos el dato menor, esta diferencia recibe el nombre de rango
8. Al número de veces que se repite un dato, se le llama frecuencia: en la siguiente tabla anota el número de veces que se repiten los pesos.
Tabla B
Columna A
Columna B
Peso
Frecuencia
Suma
58
Columna C
Multiplica el peso
por la frecuencia
Columna D
Frecuencia relativa
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
9. Otro elemento muy conocido es el promedio. Cuando tú calculas el promedio de tus calificaciones ¿qué es lo que haces?
10. De la misma manera podemos obtener el promedio de los pesos: sumamos todos los pesos y dividimos entre el número de datos.
¿Cuál es el promedio?
11. Otra forma de encontrar el promedio es utilizando la columna C de la tabla B, la cual se obtiene multiplicando el peso (columna A) por
la frecuencia (columna B) y se coloca en la columna C, suma la columna C y el resultado lo divides entre la suma de la columna B, con
lo que se obtiene el promedio
. Compara los resultados de los incisos 10 y 11, ¿cómo son?
12. Observa la tabla B; en la columna de la frecuencia, ¿cuál es el número mayor?
ponde?
A este valor se le llama moda.
¿A qué valor de la columna A corres-
. Para elegir al alumno, piensa un
13. Seleccionemos a uno de los alumnos del salón de clases ¿Qué peso crees que tendrá?
número entre uno y diez, cuenta los lugares iniciando por la fila que tú desees y pregúntale su edad. ¿Qué medida se puso en juego,
la moda o el promedio?
Recuerda que esto es sólo un pronóstico (probabilidad) de lo que esperamos que suceda,
pero no es suficiente para determinarlo.
14. Cuando se tiene una información, lo importante es poder procesarla de la mejor forma, ello nos permite tomar decisiones más acertadas. Por esta razón muchas compañías forman sus bancos de datos, esta información es procesada a tal grado que se pueda determinar con una gran exactitud la decisión que se va a tomar.
15. Ahora, entre los integrantes del equipo, definan con sus propias palabras
los siguientes términos:
Tabla:
Frecuencia:
Rango:
___________________
Promedio:
Moda:
16. Obtengan la columna D dividiendo cada valor de la columna B, entre
la suma de la columna B, este valor que se obtiene es la probabilidad
frecuencial, la cual se puede representar como:
P (A) "
Casos favorables
Total de casos
la cual se representa como un número decimal entre 0 y 1.
Actividad socioemocional
Tu maestro:
1. ¿Cómo lo consideras?
2. ¿Crees que él propicia tu desarrollo?
3. ¿Resuelve tus dudas?
4. ¿Sabes cómo te calificará?
5. ¿Tus calificaciones son acordes a tu dedicación?
59
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2.3 Análisis de la información
Distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias permite ordenar los datos en una forma sistemática. Consiste en agrupar los
datos en clases, cada clase es un intervalo donde los extremos se llaman límites del intervalo. Los datos pueden presentarse en forma individual o formando grupos, la segunda forma se utiliza cuando el volumen de los datos es muy
grande. A continuación, se muestran las columnas que forman una tabla de distribución de frecuencias.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
6
7
8
9
10
5
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
( fi )
Sumas
Descripción del llenado de la tabla
Ahora, describiremos el llenado de cada una de las columnas y al mismo tiempo realizaremos ejercicios que primero
te permitan comprender qué es lo que intentamos realizar. Las columnas se han marcado con números y el tipo de
notación que se utiliza para representarlas.
Ejemplo
Realicemos la tabla de distribución que representa los ingresos en miles de pesos de 56 personas de una cierta
compañía. Primero ordenamos los datos en forma decreciente o creciente, en nuestro caso optamos por la segunda.
60
28
23
19
19
18
23
20
20
11
13
15
15
16
16
16
17
27
21
23
17
15
16
19
19
17
17
17
17
17
18
18
18
17
31
18
17
25
13
20
17
19
19
19
19
19
19
20
20
24
26
22
26
11
19
15
23
20
20
20
20
21
21
21
21
24
20
24
21
22
21
19
25
21
21
22
22
22
23
23
23
17
23
20
18
27
24
20
29
23
23
24
24
24
24
25
25
22
21
12
21
26
16
16
17
26
26
26
27
27
28
29
31
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
1. Se llama clase a los intervalos donde se agrupan los datos que pueden ser de tipo cuantitativo o cualitativo.
Tomemos cinco clases para nuestro ejemplo, en forma cuantitativa las representamos de la siguiente manera:
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
2
3
4
5
Sumas
En forma cualitativa se pueden representar de la siguiente forma:
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
(Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
Muy alto
Alto
Mediano
Bajo
Muy bajo
Sumas
En nuestro ejemplo, el rango se obtiene a partir de los siguientes valores.
El valor más grande es: 31
El valor más pequeño es: 11
La diferencia es 20.
Por tanto, el rango es igual a 20.
2. Los intervalos de clase o intervalo exacto son aquellos donde pueden agruparse los datos de una variable
estadística. Es conveniente que cuando se seleccione el número de intervalos o de clases NC, éste no sea muy
pequeño o muy grande, esto depende de la experiencia del analista que realice la tabla. En ocasiones, se toma el
criterio de la raíz cuadrada del número de datos, en otras la raíz cúbica o la regla de Storges que está dada por la
ecuación:
NC = 1 + 3.3 log n
61
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Donde:
N Número de datos u observaciones.
Para obtener la amplitud del intervalo se divide el rango entre el número de clases que se seleccionaron, si éste
es fraccionario se redondea a la unidad de variación siguiente:
Amplitud del intervalo =
Rango
NC
=
20
5
= 4
Ejercicio 1
Encuentra el número de clase utilizando la regla de Storges, redondea el entero mayor y halla el número de intervalos
o de clases NC.
NC "
Se llama unidad de variación a la medida que se está utilizando. Por ejemplo, cuando hablamos de peso nos
referimos a kilogramos como unidad de variación; si hablamos de estatura, la unidad de variación estará dada en centímetros, aunque posiblemente podríamos tomar como unidad de variación los milímetros, poco acostumbrado; en
cambio, no sería correcto tomar kilómetros. En nuestro ejemplo, la unidad de variación es miles de pesos.
El intervalo de clase se forma por el límite inferior y el límite superior. El límite inferior de la primera clase es
el valor del menor de los datos, en el ejemplo es 11; los límites inferiores siguientes se obtienen sumando el tamaño del
intervalo 4 al valor de la clase anterior: 11 4.
Los límites superiores los obtenemos restando una unidad de variación al límite inferior de la siguiente clase:
11 + 4 – 1.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
1
11
11 4 – 1
2
11 4
18
3
15 4
22
4
19 4
26
5
23 4
30
Sumas
Observación: el valor 31 no se encuentra en la tabla, así que se debe realizar el siguiente ajuste: el último intervalo
de clases se termina en 31, con lo que todos los datos están incluidos, y se debe cambiar 30 por 31.
Las consideraciones que debemos tomar en cuenta cuando determinamos los límites de cada clase son:
A) Todos los datos deben estar incluidos.
B) Al ubicar los datos que no se tengan ambigüedades, por ejemplo, que un dato tenga dos clases distintas.
62
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
Ejercicio 2
En el ejercicio anterior calculaste el número de clase (NC), ahora determina los límites de cada clase en la siguiente
tabla, la cual se llenará conforme avancemos en los conocimientos necesarios.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
(fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
A
B
C
D
E
F
G
H
Sumas
Esta tabla la utilizaremos para resolver los siguientes ejercicios, refiriéndonos a ella como la tabla de ejercicio.
3. Los límites reales o exactos se obtienen restando media unidad de variación al límite inferior, y al límite superior se
le suma; como la unidad de variación es 1000, media unidad son 500, lo que representamos como 0.5 en la tabla.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
2
15
18
14.5
18.5
3
19
22
18.5
22.5
4
23
26
22.5
26.5
5
27
30
26.5
31.5
Sumas
Observación: el límite superior real coincide con el límite inferior de la siguiente clase.
63
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 3
En el ejercicio anterior determinaste los intervalos de clase, ahora halla los límites reales o exactos en la tabla de
ejercicio.
4. Marca de clase se llama al punto medio entre los extremos de cada intervalo, el cual se obtiene sumando los
extremos del intervalo de clase (columna 2) o intervalos reales (columna 3), y se divide entre 2.
Por ejemplo, para la primera clase se tiene:
Límite inferior más el límite superior igual a:
Límites:
Límites reales:
11
14
"
25
10.5
14.5
"
25
Dividimos entre 2 y se obtiene 12.5, que es la marca de clase. Una forma sencilla de obtener las marcas de clase
siguientes es sumar a la primera el tamaño del intervalo.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
15
18
14.5
18.5
16.5
3
19
22
18.5
22.5
20.5
4
23
26
22.5
26.5
24.5
5
27
30
26.5
31.5
29.0
Sumas
Siempre que se agrupe un conjunto de datos por intervalos se produce una pérdida de información, ya que cuenta
la pertenencia de cada dato en el intervalo y no su valor exacto.
Ejercicio 4
Determina la marca de clase en la tabla de ejercicio.
5. Se llama frecuencia absoluta simple (fi ) al número de elementos de
la clase.
Para su cálculo utilizamos la tabla con los 56 datos ordenados.
64
11
13
15
15
16
16
16
17
17
17
17
17
17
18
18
18
19
19
19
19
19
19
20
20
20
20
20
20
21
21
21
21
21
21
22
22
22
23
23
23
23
23
24
24
24
24
25
25
26
26
26
27
27
28
29
31
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
En el intervalo de clase 11 – 14 tenemos dos datos: el 11 y el 13, anotamos en la columna 5 de la frecuencia
absoluta simple (FI ) el número 2.
En el intervalo 19 – 22 la frecuencia absoluta simple (FI ) es 21.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
2
15
18
14.5
18.5
16.5
14
3
19
22
18.5
22.5
20.5
21
4
23
26
22.5
26.5
24.5
14
5
27
30
26.5
31.5
29.0
5
Sumas
56
Ejercicio 5
Determina la frecuencia simple en la tabla de ejercicio.
6. Se llama frecuencia relativa (Fi ) al cociente de la frecuencia simple y la suma de las frecuencias simples o número total de datos, se puede expresar como un porcentaje multiplicado por 100 o en forma decimal.
Observación: La notación para las frecuencias relativas utiliza una & mayúscula.
Ejemplo
Determina la frecuencia absoluta relativa de la clase número uno.
Solución
La frecuencia simple es 2 y la suma de las frecuencias es 56, por lo que el cociente es:
2
56
= 0.035
Lo que representamos en porcentaje como 3.5%, el que se obtiene multiplicando el
100 por 0.035 " 3.5%
65
PART E
2
Tabla 2.1
1
Clase
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Distribución de frecuencias
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
Límite Límite
de
clase Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
Inferior Superior
inferior superior
(mi )
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
(fc )
( Fr )
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
0.035
2
15
18
14.5
18.5
16.5
14
0.25
3
19
22
18.5
22.5
20.5
21
0.375
4
23
26
22.5
26.5
24.5
14
0.25
5
27
30
26.5
31.5
29.0
5
0.09
Sumas
56
1
Ejercicio 6
Calcula en la tabla de ejercicios la frecuencia relativa y exprésala en forma de porcentaje.
7. La frecuencia acumulada simple (fa ) es la suma de todas las frecuencias simples de las clases anteriores y la
correspondiente a la clase que se está trabajando.
Veamos la columna 7, en la primera clase se tienen sólo dos personas, la frecuencia acumulada es igual a 2; en la
segunda clase tenemos 14 y las dos de la clase anterior suman 16, que será la frecuencia acumulada en la clase
2; en la tercera clase se suman las 21 que se tienen y las 16 anteriores, por lo que la frecuencia acumulada es 37,
así se continúa hasta el final.
Observación: La frecuencia acumulada de la última clase es igual a la suma de todas las frecuencias, que es el
número total de datos.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
0.035
0 035
2
2
15
18
14.5
18.5
16.5
144
0 25
0.25
166
3
19
22
18.5
22.5
20.5
21
0.375
377
4
23
26
22.5
26.5
24.5
14
0.25
51
5
27
30
26.5
31.5
29.0
5
0.09
56
Sumas
56
1
Ejercicio 7
Calcula la frecuencia acumulada en la tabla de ejercicio.
66
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
8. La frecuencia acumulada relativa (Fa ) es el cociente de la frecuencia acumulada simple y la suma de las frecuencias simples, se puede expresar como un porcentaje multiplicando por 100. En los dos casos, la suma de
las frecuencias absolutas debe ser igual a la unidad, si está expresada en porcentajes la suma debe ser 100%.
Factores de redondeo hacen que se pierdan decimales y posiblemente la suma no sea de 100%, pero sí un
valor muy cercano.
Para la primera clase:
Segunda clase:
Tabla 2.1
1
Clase
16
56
2
56
= 0.035 = 3.5%
= 0.29 = 29%
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
0.035
2
0.035
2
15
18
14.5
18.5
16.5
14
0.25
16
0.29
3
19
22
18.5
22.5
20.5
21
0.375
37
0.66
4
23
26
22.5
26.5
24.5
14
0.25
51
0.91
5
27
30
26.5
31.5
29.0
5
0.09
56
1
Sumas
56
1
Ejercicio 8
Calcula la frecuencia acumulada relativa en la tabla de ejercicio.
9. La frecuencia complementaria simple (fc ) para la primera clase se obtiene restando al total de las frecuencias
simples y la frecuencia simple de la primera clase (columna 5), las subsecuentes se obtienen restando la frecuencia simple y de la clase la frecuencia complementaria de la clase anterior, en la última clase su valor es cero.
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
0.035
2
0.035
54
0.96
2
15
18
14.5
18.5
16.5
14
0.25
16
0.29
40
0.71
3
19
22
18.5
22.5
20.5
21
0.375
37
0.66
19
0.34
4
23
26
22.5
26.5
24.5
14
0.25
51
0.91
5
0.09
5
27
30
26.5
31.5
29.0
5
0.09
56
1
0
0
Sumas
56
1
67
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Calculamos el primer valor: el total es 56 y le restamos 2 al valor fi de la columna 5, así obtenemos 54, este
resultado lo anotamos en la columna 9 y le restamos 14 de la columna 5 para obtener 40, resultado que se
anota en la columna 9 y así se continúa.
Ejercicio 9
Calcula la frecuencia complementaria simple en la tabla de ejercicio.
10. La frecuencia complementaria relativa (Fr ) se obtiene dividiendo la frecuencia complementaria simple (FC) entre
54
= 0.96 y en la segunda clase
el total de la frecuencia simple (6); por ejemplo, en la primera clase se divide
56
40
.
se obtiene
56
Tabla 2.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
( fi )
(Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
1
11
14
10.5
14.5
12.5
2
0.035
2
0.035
54
0.96
2
15
18
14.5
18.5
16.5
14
0.25
16
0.29
40
0.71
3
19
22
18.5
22.5
20.5
21
0.375
37
0.66
19
0.34
4
23
26
22.5
26.5
24.5
14
0.25
51
0.91
5
0.09
5
27
30
26.5
31.5
29.0
5
0.09
56
1
0
0
Sumas
56
1
Ejercicio 10
Calcula la frecuencia complementaria relativa en porcentaje en la tabla de ejercicio.
El trabajo que hemos realizado recibe el nombre de tabla de distribución,
debemos tener en cuenta que utilizamos F minúscula para las frecuencias
simples y & mayúscula para las frecuencias relativas, las que expresaremos en forma decimal o en forma de porcentajes.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La entrevista
Propósito: Desarrolla sus habilidades para organizar una serie de datos en forma
agrupada.
Conocimientos previos: Básicos de aritmética.
Material: Libro
68
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
Desarrollo de la actividad
1. Se forman equipos de tres alumnos.
2. Todos los alumnos del equipo entrevistan a 50 personas y les piden su estatura, se concentra la información recabada entre alumnos.
El total de personas con las que trabajarán son 150.
3. Ordenan la información de datos que obtuvieron. Nombra la tabla con el tipo de datos que te tocaron.
Tabla de
Cada alumno realiza lo siguiente con sus respectivos datos.
Escribe tus datos en forma decreciente.
4. El número de datos es
5. El dato mayor (D) es
6. El dato menor (d ) es
7. Realiza la diferencia del dato mayor menos el dato menor, esta diferencia recibe el nombre de rango: R =
8. Escribe una fórmula para este cálculo: R =
9. Cada alumno determina el número de clases a utilizar.
10. Cada alumno determina la amplitud del intervalo dividiendo el rango (R ) entre el número de clases (NC), recuerda que este resultado
se redondea a la unidad de variación más próxima.
Expresa una fórmula para obtener la amplitud del intervalo: Ai =
Realiza la tabla con los datos que se obtuvieron.
11. En la columna del intervalo de clase o límite de clase (2) anotamos en la columna del límite inferior de la clase 1 el valor que se tiene
del dato menor (d ), a este valor cada alumno le suma el valor de la amplitud del intervalo que obtuvo en el punto 10.
12. La unidad de variación es
En la columna del intervalo de clase (2) anotamos en la columna del límite superior de la clase 1 el valor del límite inferior de la clase
siguiente disminuida en una unidad de variación, o sea, réstale una unidad de variación al límite inferior de la clase 2.
13. A continuación, obtenemos los siguientes límites superiores, puedes utilizar las siguientes formas; la primera, resta una unidad de
variación al límite inferior de la clase siguiente, otra es sumar al límite superior que se obtuvo la amplitud del intervalo, se obtuvo en
el punto 10.
14. Para obtener los límites reales inferiores restamos media unidad de variación a los límites inferiores de clase (2).
15. Para obtener los límites reales superiores sumamos media unidad de variación a los límites superiores de clase (2).
16. Para obtener la marca de clase 4 se suman el límite inferior real y el límite superior real y se divide entre 2.
17. Con tu lista de datos ordenada obtenemos la frecuencia de cada una de las clases, para ello basta contar cuántos datos caen en cada
una de las clases. Anota el resultado en la columna de frecuencia simple, columna 5, al final suma todos los valores de la columna,
debe ser igual al número de datos.
18. Divide cada valor de la columna de frecuencia simple 5 entre el número de datos, el resultado es un número decimal, anótalo en la
columna de la frecuencia relativa (6), o lo puedes expresar en forma de porcentaje.
19. En la columna 7 anota la frecuencia acumulada simple, en la primera clase se anota el valor de la frecuencia absoluta simple (5), en
la segunda clase se suma la frecuencia acumulada de la clase anterior más la frecuencia simple de la clase y así se continúa.
20. Para obtener la frecuencia acumulada relativa (8), dividimos cada valor de la columna de frecuencia acumulada simple entre el número de datos y anotamos el resultado en forma decimal o porcentaje.
21. En la columna (9) resta al número total de datos el valor de la frecuencia absoluta simple (5), el siguiente valor lo obtienes restando
al valor anterior el valor de la frecuencia absoluta (5) y así se continúa.
69
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 11
Realiza la tabla de distribución con los siguientes datos, utiliza seis intervalos.
Datos ordenados
18
19
19
23
24
22
18
22
20
14
20
22
17
23
20
24
22
17
22
18
20
21
25
13
17
14
12
25
23
15
19
23
25
19
24
16
14
19
22
18
19
14
22
18
22
25
23
22
21
22
Ejercicio 12
En la siguiente tabla se muestra el valor de la producción bruta de la industria manufacturera, según tipos de industria
del 2002-2004 en millones de pesos, tomada de los centros de consulta, a través de los cuales el Instituto Nacional de
Estadística, Geografía e Informática, inegi, ofrece gratuitamente el servicio de información.
Tabla 2.2
Valor de la producción bruta de la industria manufacturera
2002
Industrias
Valor
Lugar de
importancia
2003
Valor
Lugar de
importancia
2004
Valor
Productos alimenticios,
bebidas y tabacos
415 523 335
447 642 250
490 746 939
Textiles, prendas de vestir
e industrias del cuero
60 764 303
60 768 180
65 972 259
Industria de la madera
y producción de madera
8 988 576
8 966 612
10 140 360
Papel, producción de
imprenta y editorial
73 303 542
76 255 904
83 004 477
Sustancias químicas derivadas,
petróleo y producción de caucho
279 351 603
301 695 554
336 075 522
Producción de minerales
no metálicos y derivados
del petróleo
79 222 034
84 557 719
89 552 180
Industrias metálicas básicas
112 714 264
137 739 491
212 570 181
Productos metálicos,
maquinaria y equipo
549 917 888
541 826 535
592 442 657
3 666 053
3 930 888
4 966 360
Otras industrias manufactureras
TOTAL
Fuente: Banco de Información Económica (bie). Sector Manufacturero. Encuesta Industrial Mensual.
70
Lugar de
importancia
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
Indica qué industrias crecieron en el periodo 2002-2004, indicando el crecimiento en millones de pesos y el porcentaje respecto al total.
A) ¿Cuál es la industria de mayor crecimiento?
B) Determina la frecuencia absoluta relativa.
Ejercicio 13
Realiza la tabla de distribución para los siguientes datos si éstos representan las ventas en millones de pesos de
ciertas compañías en el ramo textil.
35
42
35
36
33
23
24
33
28
21
21
21
37
29
13
11
6
32
23
14
18
17
24
19
28
21
31
13
12
38
14
23
45
19
33
34
28
25
26
7
29
11
22
9
43
36
10
4
43
30
43
29
24
29
19
18
9
36
35
10
Tabla 2.3
1
Clase
Distribución de frecuencias
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
(fi )
(Fi )
(fa )
( Fa )
( fc )
(Fr )
I
II
III
IV
V
VI
VII
Sumas
71
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 14
Realiza la tabla de distribución para los siguientes datos.
Estaturas de niños menores de 7 años en metros
0.06
0.90
0.08
0.65
0.07
0.17
0.28
0.72
0.78
0.51
0.61
0.86
0.60
0.76
0.53
0.16
0.88
0.68
0.96
0.77
0.41
0.74
0.08
0.67
0.46
0.37
0.47
0.86
0.45
0.06
0.82
0.81
0.55
0.96
0.60
0.59
0.52
0.21
0.41
0.45
0.87
0.99
0.07
0.17
0.45
0.59
0.52
0.61
0.53
0.46
0.45
0.28
0.38
0.35
0.62
0.17
0.16
0.57
0.20
0.82
0.65
0.72
0.99
0.20
Ejercicio 15
Realiza la tabla anterior utilizando Excel.
2.4 Nociones de incertidumbre, azar y aleatoriedad
Incertidumbre, azar y aleatoriedad, tres palabras que se relacionan, pero tienen significados diferentes:
La incertidumbre se refiere a la duda o grado de desconocimiento acerca de una condición futura en la cual no se
pueden predecir los hechos; o bien, no podemos calcular su probabilidad de que ocurra determinada situación.
La ctep define el riesgo como “la probabilidad de que pase algo malo.”
Ejercicio 16
Investiga ¿qué tipos de incertidumbre existen?
El azar es un concepto que se relaciona con la suerte, la fortuna o con la casualidad; por lo general, lo asociamos a
la idea de ganar o perder en un juego. En el juego de la lotería está implícito el azar, ganar o perder, y así en todos los
juegos. Los juegos de azar son considerados como el nacimiento del estudio de la probabilidad y la estadística.
Ejercicio 17
Menciona cinco juegos e indica cómo se establece el azar en ellos.
Aleatorio es un concepto relacionado con la suerte, esto es, un suceso aleatorio es aquel que puede o no suceder. Un ejemplo es la lotería nacional, donde las bolitas se fabrican de tal manera que todas tengan el mismo peso,
esto permite que la elección de una de ellas tenga la misma probabilidad de salir. Un número aleatorio es aquel
obtenido al azar, es decir, que todo número tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno
no dependa de la elección del otro. Hoy en día existen tablas de números aleatorios, y generadores electrónicos de
números aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel que si se reproduce con las mismas condiciones iniciales no
72
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
garantiza que se obtengan los mismos resultados, un ejemplo que ya mencionamos es el de la lotería nacional, las
condiciones iniciales son las mismas pero el resultado es diferente. Ejemplos clásicos de eventos aleatorios son el
lanzamiento de un dado, una moneda, etcétera.
Ejercicio 18
Investiga cómo se genera un número aleatorio, en una calculadora, usando Excel, y en tablas de números aleatorios.
Genera cinco números aleatorios.
2.5 Tipos de eventos en el estudio de la probabilidad
Eventos mutuamente excluyentes
Se dice que dos eventos ! y " son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultados en común, esto es, ! intersección " es igual al vacío o al evento imposible. Así, ! y " son dos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente.
Se dice que dos eventos no son mutuamente excluyentes entre sí, cuando la realización de uno de ellos no impide
la realización del otro, o sea, que se pueden dar los dos eventos al mismo tiempo.
Ejemplos
1. Consideremos el experimento de lanzar dos dados y definamos los eventos:
! la suma de las caras de los dados es 6.
" la suma de las caras de los dados es 9.
Estos eventos son mutuamente excluyentes, ya que si ocurre ! no puede ocurrir " en la misma tirada, y no se
puede tener al mismo tiempo la suma de 6 y 9.
2. Consideremos el clima de cierta región del planeta y definamos los eventos, ! un día caluroso y " un día frío,
indiquemos si los eventos son mutuamente excluyentes o no.
Solución
Los eventos ! y " son mutuamente excluyentes, ya que no podemos tener un día caluroso y un día frío al mismo
momento.
3. En un grupo de 40 alumnos, 27 estudian inglés y 32, francés. Determinemos si los eventos: estudiar inglés o
estudiar francés, son eventos mutuamente excluyentes o no.
Solución
Si sumamos los alumnos que estudian inglés o francés obtenemos 27 32 " 59, lo que implica que existan
alumnos que estudian las dos materias: 59 – 40 " 19; por ello, los eventos no son excluyentes.
Ejercicio 19
Escribe cinco ejemplos de eventos mutuamente excluyentes dos a dos. Coméntalos con tus compañeros.
73
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplos
1. Consideremos el clima en una región del planeta, definimos los eventos: ! que esté lloviendo y " que salga el Sol.
Solución
Se dice que los dos eventos no son excluyentes, ya que puede estar lloviendo y salir el Sol.
2. Consideremos el clima en cierta región del planeta y definamos los eventos: ! que esté lloviendo, " que salga
el Sol y # ir manejando. Determinemos dos a dos si los eventos son mutuamente excluyentes o no.
Solución
Los eventos ! y " se analizaron en el ejemplo anterior. Los eventos ! y # no son mutuamente excluyentes
porque puede ser que esté lloviendo e ir manejando. El evento " y # son mutuamente no excluyentes, ya que
puede salir el Sol e ir manejando.
3. En el grupo 3A hay 50 alumnos. Si 40 son regulares (no deben ninguna materia): 30 son mujeres y 10 hombres,
y 10 son irregulares (porque deben al menos una materia): 7 son hombres y 3 mujeres. Si elegimos un alumno
aleatoriamente determinemos si los eventos siguientes son mutuamente excluyentes.
A) Es un alumno regular.
C) El alumno es una mujer.
B) Es un alumno irregular.
D) El alumno es un hombre.
Solución
Los eventos ! y " son mutuamente excluyentes, ya que un alumno no puede ser al mismo tiempo regular e
irregular, los eventos # y $ son mutuamente excluyentes, ya que un alumno no puede tener los dos sexos.
Ahora, utilicemos lo que hemos aprendido de probabilidad y de eventos mutuamente excluyentes, en el siguiente problema damos esa relación.
4. Utilicemos el ejemplo anterior y determinemos las probabilidades para los siguientes eventos. Si se elige a un
alumno al azar:
1. Que sea hombre.
4. Que sea alumno irregular.
2. Que sea mujer.
5. Que sea alumno regular y mujer.
3. Que sea alumno regular.
6. Que sea alumno irregular y hombre.
Solución
Concentremos la información en la siguiente tabla.
Tabla 2.4
74
Alumnos regulares (que no deben ninguna materia) e irregulares (que deben al menos
una materia)
Hombres
Mujeres
Total
Regulares
10
30
40
Irregulares
7
3
10
Total
17
33
50
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
Determinemos las probabilidades de:
1. Que sea hombre.
El total de hombres en el salón son 17 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
0( !) =
17
50
2. Que sea mujer.
El total de mujeres en el salón son 33 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
0( ") =
33
50
3. Que sea alumno regular.
El total de alumnos regulares en el salón son 40 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
0(# ) =
40
50
4. Que sea alumno irregular.
El total de alumnos irregulares en el salón son 10 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de
0( $) =
10
50
5. Que sea regular y sea mujer.
El total de alumnos regulares y que son mujeres son 30 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
0( % ) =
30
50
=
3
5
6. Que sea irregular y sea hombre.
El total de alumnos irregulares que son hombres son 7 de 50 alumnos, por lo que la probabilidad es de:
0( & ) =
7
50
Ejercicio 20
Determina las siguientes probabilidades utilizando el ejemplo anterior.
1. Que sea irregular y sea mujer.
2. Que sea regular y sea hombre.
75
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Problemas de baraja
Una baraja de póker, inglesa, consta de 52 cartas divididas en cuatro palos: corazones, tréboles, diamantes y picas (corazones negros), cada palo consta de números y figuras, los números del 2 al 10 y las figuras: J, Q y K, que corresponden
a las palabras inglesas Jockey (jinete o caballero), Queen (reina) y King (rey); en cuanto a la A de as, corresponde a la
palabra inglesa As.
King de picas
Queen de corazones
Jockey de diamantes
As de tréboles
Ejemplos
De una baraja inglesa selecciona una carta, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea:
1. un as de corazones negros?
2. una figura?
Solución
1. Definimos el evento ! y obtenemos un as de corazones negro.
Como las cartas son 52 en total y sólo hay un as de corazones negro, aplicamos la definición de probabilidad
clásica.
0( !) =
1
52
2. Definimos el evento ", obtener una figura:
El total de cartas son 52 y el número de figuras son tres de cada palo y cuatro palos, entonces, son 12 casos
favorables, por tanto, la probabilidad pedida es:
0( ") =
12
52
Ejercicio 21
1. Resuelve los siguientes problemas.
De una baraja inglesa se selecciona una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea:
A) un as de diamantes?
B) un número?
76
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
2. Selecciona al azar una carta de una baraja de 52 cartas y determina las siguientes probabilidades:
A) Obtén un diamante.
B) Obtén una figura.
C) Obtén un diamante o una figura.
3. Determina la probabilidad de obtener una tercia en un juego de póker.
4. Determina la probabilidad de obtener dos pares (distintos) en un juego de póker.
5. Selecciona al azar un naipe de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea
A) un as?
B) un corazón rojo?
C) K de diamantes?
D) una reina?
6. En una escuela se tiene el siguiente número de alumnos, 1er año, 30 alumnos; 2º año, 25, y 3er año, 24. Se elige
un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea:
A) alumno de primer año?
B) alumno de segundo año?
C) alumno de tercer año?
7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que las caras de los dados sumen dos?
8. Se lanzan tres dados, ¿cuál es la tercia que tiene mayor probabilidad de salir?
9. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las caras sea menor que seis?
10. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea mayor que seis?
11. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que tres?
12. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que cuatro?
13. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor que tres?
14. Una persona desea apostar a la ruleta, juego de azar que
consiste en una rueda con 38 ranuras equiprobables, numeradas del 0 al 37. La persona gana seleccionando su
número, en el caso contrario pierde.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que gane?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que pierda?
15. Se lanzan dos monedas, ¿cuál es la probabilidad de que:
A) las dos monedas caigan sol?
B) una caiga águila y la otra sol?
77
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
16. De una baraja inglesa se selecciona una carta, ¿cuál es la probabilidad de que
A) sea una figura?
B) no sea una figura?
C) no sea una carta de diamantes?
Eventos independientes
Estadísticamente, dos eventos cualesquiera ! y " son independientes si y sólo si:
0(! Š ") " 0(!)0(")
En términos de la probabilidad condicional, si ! y " son independientes, entonces:
)
0(! | " =
0( ! ! ")
0( ")
=
0( !)0( " )
0( ")
= 0 ( ! ), si 0(") > 0
Es decir, si conocemos que ocurrió ", esto no cambia la ocurrencia de !.
En caso contrario, si los eventos no son independientes se dice que los eventos son dependientes.
Ejemplo
Consideremos el lanzamiento de tres monedas, entonces, el espacio muestral es 3 " {AAA, AAS, ASS, ASA, SAA, SAS,
SSA, SSS}.
Reflexionemos en los eventos:
! el primer lanzamiento cayó águila.
" el segundo lanzamiento cayó águila.
#, los dos primeros lanzamientos son águilas.
¿Son ! y " independientes?
¿Son ! y # independientes?
¿" y # son independientes?
Solución
Calculemos la probabilidad de los eventos !, " y #, considerando el espacio muestral:
0( !) =
4
8
=
1
0( ") =
2
4
8
=
1
0(# ) =
2
2
8
=
1
4
Determinemos la probabilidad de la intersección:
0( !
") =
2
8
=
1
0( !
4
#) =
2
8
=
1
4
0( "
#) =
Entonces:
1
4
78
= 0(
) = 0( )0( ) =
11
22
=
1
4
Por tanto, ! y " son independientes.
2
8
=
1
4
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
1
4
1
4
= 0( ! ∩ # ) = 0( !)0( # ) =
= 0( " ∩ # ) = 0( " )0( # ) =
11
24
11
24
=
=
1
8
1
8
Por tanto, ! y # no son independientes.
Por tanto, " y # no son independientes.
Ejercicio 22
Se lanzan tres monedas y su espacio muestral es 3 " {AAA, AAS, ASS, ASA, SAA, SAS, SSA, SSS}.
Consideremos los eventos:
1. A, en el primer lanzamiento cayó sol.
2. B, el segundo lanzamiento cayó sol.
3. C, los dos primeros lanzamientos fueron soles.
¿Son ! y " independientes?, ¿son A y C independientes? y ¿B y C son independientes?
Ejemplo
Si se lanza un dado y una moneda determinemos:
A) El espacio muestral.
B) La probabilidad de obtener un cinco y un sol.
Solución
Los eventos de lanzar una moneda y el dado son eventos independientes, porque, el evento ! no afecta el evento ".
1. La moneda tiene dos posibilidades: águila (A) o sol (S), y el dado: 1, 2, 3, 4, 5 y 6; por ello, el espacio muestral
es A1, A2, A3, A4, A5, A6, S1, S2, S3, S4, S5 y S6.
2. Tenemos que: 0 ( 3 ) =
0(
y
l) =
1
12
1
2
y 0( ) =
1
6
entonces, 0 ( ) 0 ( 5 ) =
1 ⎛ 1⎞
1
=
2 ⎝ 6⎠
12
porque sólo se tiene un caso favorable de doce.
Entonces:
0(5 y sol) " 0(S) 0(5) esto nos indica que los eventos son independientes.
Ejercicio 23
Si se lanza un dado y una moneda, determina la probabilidad de obtener un número impar y un sol.
Probabilidad condicional
Cuando se conoce cierta información de que ha ocurrido un evento, ésta se puede utilizar para calcular la probabilidad
de otro, a esto le llamamos probabilidad condicional.
79
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
La probabilidad condicional de que ocurra el evento !, dado que ocurrió el evento ", se escribe como 0(!|") es:
0( ! ∩ ")
)
0(! | " =
0( ")
, si la 0(") > 0.
Ejemplo
Sean !, " y # tres eventos, tales que 0(!) " 0.2, 0(") " 0.5 y 0(! Š ") " 0.1. Calculemos:
1. 0(!|")
2. 0("|!)
3. 0(!|" c)
4. 0("|! c)
Solución
)
0( !
)
0( "
1. 0(!|")
0(! | " =
2. 0("|!)
0 (" | ! =
")
0( ")
=
!)
0( !)
=
0.1
0.5
0.1
0.2
= 0.2
= 0.5
3. 0(!|" c)
A
B
Utilicemos el diagrama de Venn.
Del diagrama de Venn se tiene: ! Š " c " ! – "
0 " ! – (! Š ")
Lo que podemos escribir como:
Determinemos la probabilidad de la intersección:
0(! Š " c) " 0(! – ") " 0(!) – 0(! Š ") " 0.2 – 0.1 " 0.1
La probabilidad del complemento es:
0(" c) " 1 – 0(") " 1 – 0.5 " 0.5
Sustituimos en la fórmula de probabilidad condicional.
0 ( ! | "c ) =
"c )
0(!
c
0( " )
=
0.1
0.5
= 0.2
4. 0(" |!c)
Solución
A
!c Š " " " – (! Š ")
80
B
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
0(!c Š ") " 0(" n !) " 0(") – 0(! Š ") " 0.5 – 0.1 " 0.4
0(!c) " 1 – 0(!) " 1 – 0.2 " 0.8
0 ( " | !c ) =
0 ( !c
")
c
0( ! )
=
0.4
0.8
= 0.5
Ejercicio 24
Sean !, " y # tres eventos, tales que: 0(!) " 0.3, 0(") " 0.6 y 0(! Š ") " 0.18. Calcula:
1. 0(!|")
3. 0(!|"c)
2. 0("|!)
4. 0("|!c)
Ejemplo
En una encuesta realizada acerca de qué periódico lee la gente se obtuvieron los siguientes datos: 30% de la gente
lee ,A *ORNADA, 20% %L 5NIVERSAL y 4% lee ambos. Si se selecciona un lector que lee %L 5NIVERSAL, ¿cuál es la probabilidad de que lea ,A *ORNADA?
Solución
Definimos los siguientes eventos:
1. !, que sea lector del periódico %L 5NIVERSAL.
2. ", que sea lector del periódico ,A *ORNADA.
3. ! Š ", son los lectores que leen ,A *ORNADA y %L 5NIVERSAL.
Las probabilidades correspondientes para cada evento son:
0(!) " 0.2
0(") " 0.3
0(! Š ") " 0.04
Por tanto, la probabilidad buscada es:
)
0 (" | ! =
0( !
0( !)
")
=
0.04
0.2
= 0.2
Ejercicio 25
Determina lo siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a un lector que lee ,A *ORNADA y también lea el periódico %L 5NIVERSAL? ¿Son
iguales la 0(!|") y 0("|!)?
Ejemplo
En una escuela 50% de los alumnos tienen el cabello castaño, 35% los ojos de color verde y 15% el cabello castaño
y los ojos de color verde. Si se elige un alumno al azar y éste:
81
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
1. Tiene cabello castaño. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga
ojos color verde?
2. Tiene ojos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga
pelo color castaño?
Solución
Definimos los eventos:
1. !, tiene el cabello color castaño
2. ", tiene ojos color verde
)
0( !
)
0( "
A) 0 ( ! | " =
B) 0 ( " | ! =
")
0( ")
0( !)
!)
=
=
0.15
0.35
0.15
0.5
=
=
3
5
3
10
Ejercicio 26
En una escuela se sabe que 60% de los alumnos tiene cabello castaño, 30% ojos color verde y 10% cabello
castaño y los ojos de color verde. Si se elige un alumno al azar y éste:
1. Tiene cabello castaño. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga ojos color verde?
2. Tiene ojos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga pelo color castaño?
Teorema de Bayes
Una forma más general de calcular la probabilidad condicional
es el teorema de Bayes, el cual utilizamos cuando deseamos
calcular la probabilidad de que ocurra un evento !I dado que
" ocurrió.
A1
A3
B
A2
0 ( !I | " ) =
δ
A4
An
0 ( " | !I ) 0 ( !I )
0 ( !1 ) 0 ( " | !1 ) + 0 ( !2 ) 0 ( " | !2 ) + ... + 0 ( !N ) 0 ( " | !N )
Ejemplo
Una máquina ! produce 60% de tornillos de la producción total de una fábrica, la máquina " produce el 40%
restante. Se sabe que la máquina ! produce 2% de tornillos defectuosos y la máquina " produce 3% de tornillos
defectuosos. Determinemos las siguientes probabilidades.
82
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
1. Se elige un tornillo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea
defectuoso?
2. Si se eligió un tornillo al azar y salió defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido producido por la máquina !?
3. Si se eligió un tornillo al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido producido por la máquina "?
4. Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina !?
5. Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina "?
Solución
Definimos los siguientes eventos:
1. $ el tornillo es defectuoso.
2. .$ el tornillo no es defectuoso.
Utilicemos un diagrama de árbol.
$ (2%)
! (60%)
.$ (98%)
$ (3%)
" (40%)
.$ (97%)
1. La probabilidad de que un artículo sea defectuoso es:
0($) " 0(!)0($|!) 0(") 0($|")
" 0.6 (0.02) 0.4 (0.03)
" 0.024
2. Si se eligió un tornillo al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la
máquina !? Utilizamos el teorema de Bayes para dos elementos:
0( ! | $) =
0( !)0( $ | !)
0( !)0( $ | !)
0( " )0( $ | " )
El numerador es la rama de defectuoso de la máquina ! y el denominador se forma por la probabilidad de que
sea defectuoso.
)
0(! | $ =
0.6 (0.02)
0.6 (0.02) + 0.4 (0.03)
=
0..012
0.024
= 0.5
83
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
3. Es el mismo caso anterior, pero ahora se considera a la máquina ":
0( " | $) =
=
0( $ | " )0( " )
0( !)0( $ | !)
0( " )0( $ | " )
0.4 (0.03)
0.6 (0.02) + 0.4 (0.03)
=
0.012
0.024
0
=
05
4. Para resolver este inciso toma en cuenta que la selección del tornillo es que éste no es defectuoso, por ello las
probabilidades que utilizaremos son las ramas de no defectuoso y en la fórmula de Bayes el denominador será
la probabilidad de no defectuoso.
$ (2%)
! (60%)
.$ (98%)
$ (3%)
" (40%)
.$ (97%)
0(.$) " 0(!)0(.$|!) 0(")0(.$|")
" (0.60) (0.98) (0.40)(0.97) " 0.868
Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina ! está
dada por:
0 ( ! | .$ ) =
=
0 ( .$
. | !)0( !)
0 ( ! ) 0 ( .$
. | !)
0( " )0( .
.$ | " )
0.6 (0.98)
0.6 (0.98) + 0.4 (0.97)
=
0.588
0.868
8
= 0.0677
5. Si el tornillo seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina
"? Para contestar esta pregunta sólo se cambia el numerador y en él se coloca la probabilidad de no defectuoso,
dado que lo produjo la máquina ".
0 ( " | .$ ) =
=
0 ( .$
. | " )0( " )
0 ( ! ) 0 ( .$
. | !)
0( " )0( .
.$ | " )
(0.97)(0.4)
0.6 (0.98) + 0.4 (0.97)
= 0.397
Ejercicio 27
Se tienen dos máquinas, ! y ", que ensamblan una tarjeta madre para computadora, una de ellas produce 70% y
otra 30% de la producción de la fábrica. Se sabe que la máquina ! tiene 2% de tarjetas defectuosas y la máquina
" tiene 1%. Determina las siguientes probabilidades.
84
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
1. Si se elige una máquina al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta produzca una tarjeta defectuosa?
2. Si se eligió una tarjeta al azar y ésta salió defectuosa,
¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la
máquina !?
3. Si se eligió una tarjeta al azar y ésta salió defectuosa,
¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la
máquina "?
4. Si la tarjeta seleccionada no es defectuosa, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina !?
5. Si la tarjeta seleccionada no es defectuosa, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina "?
Ejemplo
Tres máquinas: !, " y #, producen 40%, 25% y 35% de la producción total de una empresa, respectivamente. Se ha
detectado que 6%, 2% y 4% de teléfonos celulares manufacturado por estas máquinas son defectuosos.
1. Si se elige una máquina al azar, ¿cuál es la probabilidad de que produzca un teléfono celular defectuoso?
2. Si se eligió un teléfono celular al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido
por la máquina !?
3. Si se eligió un teléfono celular al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida
por la máquina "?
4. Si se eligió un teléfono celular al azar y éste salió defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido
por la máquina #?
5. Si un teléfono celular seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la
máquina !?
6. Si el teléfono celular seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la
máquina "?
7. Si el teléfono celular seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la
máquina #?
Solución
Realicemos el diagrama de árbol correspondiente.
$ (6%)
! (40%)
.$ (94%)
$ (2%)
" (25%)
.$ (98%)
$ (4%)
# (35%)
.$ (96%)
85
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Definimos los siguientes eventos.
1. $, el teléfono celular es defectuoso.
2. .$, el teléfono celular no es defectuoso.
3. ! que el teléfono celular provenga de la máquina !.
4. ", que el teléfono celular provenga de la máquina ".
5. #, que el celular provenga de la máquina #.
Utilicemos el teorema de Bayes:
1. La probabilidad de que ésta produzca un teléfono celular defectuoso es la rama que se marca en color azul.
0($) " 0(!)0($ ª!) 0(") 0($ ª") 0(#) 0($ ª#)
" 0.4(0.06) 0.25(0.02) 0.35(0.04) " 0.043
2. 0 ( ! | $ ) =
0( $ | !)0( !)
0( !)0( $ | !)
0( " )0( $ | " ) + 0( # )0( $ | # )
Sustituyendo los valores:
0( ! | $) =
0..
0..
( 0. )
( 0. ) + 0.
) + 0.
( 0..
( 0..04 )
= 0.558
3. Solución análoga al punto 1.
0( " | $) =
0( " | $) =
0( $ | " )0( " )
0( " )0( $ | " ) + 0( # )0( $ | # )
0( !)0( $ | !)
0..
0..
( 0.
)
( 0. ) + 0.
( 0..
) + 0.
( 0.08 )
= 0.116
4. Ahora, trata de hacerlo:
0(#|.$) " 0(!)0(.$|!) 0(")0(.$|") 0(#)0(.$|#)
" (0.40)(0.94) (0.25)(0.98) (0.35)(0.96) " 0.957
0 ( ! | .$ ) =
0 ( ! | .$ ) =
0 ( " | .$ ) =
0 ( ! | .$ ) =
86
0 ( .$
. | !)0( !)
0 ( ! ) 0 ( .$
. | !)
0 ( " ) 0 ( .$
. | " ) + 0 ( # ) 0 ( .$
. | #)
( .4 )( 0.
( .40 )( 0.
)
) + ( .25 )( 0.98 )
( 0..
)( .96 )
= 0.392
0 ( .$
. | " )0( " )
0 ( ! ) 0 ( .$
. | !)
0 ( " ) 0 ( .$
. | " ) + 0 ( # ) 0 ( .$
. | #)
( .25 )( 0.
( .40 )( 0.
)
) + ( .25 )( 0.23
3)
( 0.35 )( 0.31)
= 0.190
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
5. Ahora trata de hacerlo a continuación:
0(#².$) "
Ejercicio 28
Existen tres líneas de ensamble para automóviles !, " y #, las que tienen una producción de 25%, 50% y 25%. Se
sabe que 2%, 2.5% y 3% son los porcentajes de artículos defectuosos de cada una de ellas. Determina:
1. Si se elige una línea al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
ésta produzca un automóvil defectuoso?
2. Si se elige un automóvil al azar y éste sale defectuoso,
¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la
línea !?
3. Si se elige un automóvil al azar y éste sale defectuoso, ¿cuál es
la probabilidad de que haya sido producido por la línea "?
4. Si se eligió un automóvil al azar y salió defectuoso, ¿cuál es
la probabilidad de que haya sido producido por la línea #?
5. Si un automóvil seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido fabricado por la línea !?
6. Si el automóvil seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la
probabilidad de que haya sido fabricado por la línea "?
7. Si el automóvil seleccionado no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la línea #?
Ejemplo
Una ciudad recibe visitantes en sus museos de historia natural, historia de la ciudad y ciencia y tecnología, en una
proporción de 18%, 32% y 50%, respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se ha dado un mal
servicio en 3%, 1% y 4% de cada uno de los museos.
1. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un buen servicio?
2. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un buen servicio?
3. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que él no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que haya visitado el museo de historia natural?
4. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que haya visitado el museo
de ciencia y tecnología?
87
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Solución
Si usamos un diagrama de árbol, obtenemos lo siguiente:
- (3%)
. (18%)
" (97%)
- (1%)
# (32%)
" (99%)
- (4%)
4 (50%)
" (96%)
Definimos los eventos:
- " {visitante que se le dio un mal servicio}
" " {visitante que se le dio un buen servicio}
. " {visitante que visitó el museo de historia natural}
# " {visitante que visitó el museo de historia de la ciudad}
4 " {visitante que visitó el museo de ciencia y tecnología}
1. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un buen servicio?
0(") " 0(.)0("².) 0(#)0("²#) 0(4)0("²4)
" 0.18 (0.97) 0.32 (0.99) 0.50 (0.96) " 0.971
2. Si se selecciona a un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un mal servicio?
0(-) " 0(.)0(-².) 0(#)0(-²#) 0(4)0(-²4)
" 0.18 (0.03) 0.32 (0.01) 0.50 (0.04) " 0.028
La suma de las probabilidades de un buen servicio y de un mal servicio suma
3. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que a él se le dio un buen servicio, ¿cuál es la probabilidad
de que haya visitado el museo de historia natural?
0( . | ") =
0( . | ") =
88
0( " | . )0( . )
0( . )0( " | . )
0( # )0( " | # ) + 0(4 )0( " | 4 )
( .97 )( 0.
)
0.18 (0.97) + 0.32 (0.99)) + 0.50 (0.96)
= 0.179
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
4. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya visitado el museo
de ciencia y tecnología?
0(4 | - ) =
0(4 | - ) =
0( - | 4 )0(4 )
0( . )0( - | . )
0..
0( # )0( - | # ) + 0(4 )0( - | 4 )
( 0. )
0.18 (0.03) + 0.32 (0.01) + 0.50 (0.04)
= 0.699
Ejercicio 29
Responde lo siguiente:
En tres hoteles de la ciudad hospedan al mes a 3 000 personas en el primero de ellos, 4 500 personas en el segundo y el tercero 3 900 personas. Por medio de una encuesta se sabe que 120, 75 y 135 personas, respectivamente,
se quejaron por alguna causa, esto hace que el servicio no sea considerado como excelente en estos hoteles.
1. Si se selecciona a un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un buen servicio?
2. Si se selecciona a un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya dado un mal servicio?
3. Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que él no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido cliente del:
A) primer hotel?
B) segundo hotel?
C) tercer hotel?
4. Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido cliente del:
A) primer hotel?
B) segundo hotel?
C) tercer hotel?
Ejercicio 30
1. Resuelvan los siguientes problemas.
En una fábrica de chips se tienen dos máquinas con la siguiente producción semanal.
Tabla 2.5
Buenos
Defectuosos
Máquina A
4 392 034
29 348
Máquina B
6 893 842
39 204
Total
Total
a) Realicen lo siguiente:
A) Un árbol de probabilidad.
B) Determinen la probabilidad de que un artículo sea defectuoso.
C) Determinen la probabilidad de que un artículo no sea defectuoso.
89
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
b) Determinen la probabilidad de que un artículo defectuoso sea producido por:
A) La máquina !.
B) La máquina ".
c) Determinen la probabilidad de que un artículo bueno sea producido por:
A) La máquina !.
B) La máquina ".
2. En una compañía de seguros se tiene que 20% del personal son economistas, 30% administradores, 25% abogados y 25% ingenieros. Los puestos de dirección de la empresa se forman por 20% de abogados, 35% de economistas, 25% de administradores y 60% de ingenieros. ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo sea ingeniero?
3. En el aeropuerto internacional de cierta ciudad se
tienen las siguientes probabilidades para el clima: probabilidad de lluvia 35%, probabilidad de neblina 45% y
20% nieve. Para que un vuelo se cancele se tienen las
siguientes probabilidades: por lluvia 40%, por neblina
60% y por nieve 85%. Si un vuelo se cancela, ¿cuál
es la probabilidad de que sea por: A) lluvia, B) neblina,
C) nieve.
4. Tres máquinas producen 9 000, 10 000 y 11 000 impresiones por día, la primera, ! tiene 3%, la " 2% y la #
tiene 1% de impresiones defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de pliegos defectuosos? ¿Cuál es la probabilidad
de que si un pliego se elige al azar y es defectuoso éste sea impreso por la máquina !, " y #?
5. Se tienen tres sacos, uno de ellos contiene dos monedas de oro, el segundo dos monedas de plata y el tercero
una moneda de oro y otra de plata, si se saca una moneda de plata, ¿cuál es la probabilidad de que provenga
del segundo saco? ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del tercer saco?
6. Se tienen tres máquinas para controlar la emisión de los contaminantes de los automóviles que se fabrican, la
primera revisa 30% de los automóviles, la segunda 45% y la tercera el resto. Se sabe que la eficiencia de cada
una de ellas es de 95%, 90% y 98%, respectivamente. Determinen:
A) La probabilidad de que un automóvil no pase la verificación.
B) Si un automóvil falla, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de cada una de las máquinas?
7. Se tienen dos cajas idénticas, la primera contiene tres bolas rojas y dos
blancas; la segunda tiene dos bolas rojas y tres blancas; se selecciona una
caja al azar y se extrae una bola si ésta es roja. Determina la probabilidad
de que provenga:
A) De la primera caja.
B) De la segunda caja.
8. En un encuentro de box entre dos competidores, llamémosles ! y ", será
vencedor el que gane dos asaltos seguidos o tres alternos. Escriban el
espacio muestral de los posibles resultados.
9. Consideren que un experimento consiste en lanzar un dado dos veces y
los eventos: ! " {en un lanzamiento se obtiene 5} y " " {la suma de puntos
90
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
obtenida en ambos lanzamientos es mayor que 9}. Escriban el espacio muestral de los posibles resultados para
los eventos ! y ".
10. Si el resultado de un experimento es el sexo de un descendiente, determinen el espacio muestral de los posibles resultados.
11. Si el resultado de un experimento consiste en el orden de llegada a la meta en una carrera de 100 m planos
en la que participan ocho competidores identificados con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Escriban el espacio
muestral de los posibles resultados.
12. Una caja contiene tres canicas: una azul, una dorada y una blanca. Consideren el experimento de extraer una
canica de la caja, con reemplazo, y extraigan una segunda canica. Escriban el espacio muestral de los posibles
resultados.
13. Repitan el problema anterior, pero sin reemplazar la primera canica.
14. En una prueba de degustación se pide clasificar cuatro distintas marcas de yogur: !, ", # y $. Escriban el espacio
muestral de los posibles resultados.
15. En una conocida tienda de comida rápida se realizó una encuesta para conocer el tipo de combo que pide la
clientela: Combo A, Combo B, Combo C y Combo D. Escriban el espacio muestral de los posibles resultados.
16. Si ! es el evento de un número impar cuando se lanza un dado.
A) Describe con palabras el evento !c.
B) Describe con palabras el evento (!c) c.
Selección al azar con reemplazo y sin reemplazo
Selección al azar es tomar una muestra de un cierto conjunto, tomar una carta de una baraja de naipes, tomar una
canica de un saco, etc. Será con reemplazo cuando esa muestra se regresa, y es sin reemplazo cuando la muestra no
se regresa. Estas muestras afectan la probabilidad de un evento.
Ejemplo
Una persona saca dos canicas de un saco. Determina la probabilidad de que la segunda canica sea roja si se sabe
que el saco contiene dos canicas rojas y tres azules, a) sin reemplazo; b) con reemplazo.
Solución
El número de canicas es 5, de las cuales 2 son rojas y 3 son azules.
Definimos
0(R) como la probabilidad de sacar una canica roja.
0(A) como la probabilidad de sacar una canica azul.
A) Sin reemplazo
B) Con reemplazo.
Se saca la primera canica
N=5
R=2
A=3
0(R) =
2
5
N=5
R=2
A=3
0(R) =
2
5
91
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Se saca la segunda canica, suponemos que salió roja la primera canica.
N=4
R=1
A=3
0(R) =
1
4
N=5
R=2
A=3
0(R) =
R=2
A=2
0(R) =
2
5
Se saca la segunda canica, suponemos que salió azul la primera canica.
N=4
R=2
A=2
0(R) =
2
4
N=5
2
5
Observa que las condiciones de sacar una canica con reemplazo son siempre las mismas, en cambio sin reemplazo sí cambian las condiciones.
Ejercicio 31
1. En una urna se tienen 4 bolas blancas, 5 azules y 7 rojas. Si se extraen dos bolas determina las siguientes probabilidades que la segunda bola sea blanca, con reemplazo y sin reemplazo.
2. Una persona realiza una rifa con 20 boletos. Un primer premio consta de $20 000 y un segundo premio de
$10 000. Determina la probabilidad de sacar el segundo premio.
3. Se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que en la segunda vez salga el 3?
4. Se extraen tres cartas de una baraja inglesa (52 cartas). ¿Qué probabilidad tiene la tercera carta de salir un as si
se extraen las cartas con reemplazo o sin reemplazo?
5. Se sacan dos cartas al azar de una baraja inglesa, una a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada evento
las dos cartas sean ases?
LECTURA SUGERIDA
http://www.hablandodeciencia.com/articulos/2013/04/05/thomas-bayes-un-reverendo-un-teorema-y-multiples-aplicaciones/
Actividades a realizar
1. Lee el artículo de la lectura sugerida y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
2. Contesta las preguntas que se realizan.
A) ¿Cuál es la idea central del artículo?
B) ¿Qué es un Teorema?
C) ¿Cuáles son sus aportaciones a la teoría de probabilidad?
D ) ¿Por qué consideras que él escribe sobre probabilidad?
E) ¿Cómo se consideraron las aportaciones de Bayes, en un principio? ¿Por qué?
F ) ¿Por qué Laplace puede darle la importancia que merece el teorema?
G) ¿Qué aplicaciones tiene el teorema?
H) ¿Tú crees que Bayes se imaginó en algún momento el impacto del trabajo que realizó?
I ) ¿Por qué consideras que el trabajo de Bayes tiene relevancia?
92
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
ACTIVIDAD TRANSVERSAL
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
Deduce y aprende
La Encuesta
Tablas de distribución
Propósito: Utilizando la información de la unidad transversal de la unidad I, para realizar la tabla de distribución para cada dato del
cuestionario.
1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos, de preferencia los mismos que trabajaron en la unidad 1.
2. De cada uno de los datos del cuestionario que aplicaste, realiza la tabla de distribución.
Tabla de distribución de frecuencias
1
Clase
2
Intervalo de clase
Límites
3
Límites reales
4
Marca
de clase
(mi )
Inferior Superior Inferior Superior
Frecuencia
absoluta
5
Simple
(fi )
6
Relativa
(Fi )
Frecuencia
acumulada
7
Simple
(Fa)
8
Relativa
(Fa)
Frecuencia
complementaria
9
Simple
(fc )
10
Relativa
(Fr )
Sumas
Para determinar el número de clases de la tabla de distribución, usa la regla de Storges que está dada por la ecuación:
NC = 1 + 3.3 log n
Debes tener en cuenta que las clases pueden ser cuantitativas o cualitativas.
3. ¿Consideras que con la elaboración de la tabla de frecuencias es suficiente para el estudio de la población o muestra?
4. ¿Qué información brinda la tabla de frecuencias?
5. ¿Qué importancia tiene la tabla de frecuencias?
6. ¿Qué información se puede perder en la tabla de frecuencias?
93
PART E
2
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CIERRE
EVALUACIÓN SUMATIVA
1. Realicen una encuesta y determinen la probabilidad de que un padre
o una madre tenga estudios universitarios. Si los hombres representan
48% de la población, calcula la probabilidad de que sea hombre una
persona que se sabe que tiene estudios universitarios.
2. Tres personas toman pedidos en la librería. La persona ! toma 40% de
los pedidos, la persona " 35% y # el restante. Además se sabe que la
persona ! comete cinco errores por cada 100 pedidos; la " 4% de las
veces y # 6%. Si una persona recibe un libro equivocado, ¿cuál es la
probabilidad de que la persona ! tome el pedido?
3. La probabilidad de que un jugador de la selección nacional anote un
1
penalti es de
y sus tiros se consideran independientes. Suponiendo
9
que se pueden hacer cinco tiros penales en un partido:
A) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todos?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que falle en todos?
C) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte cuando menos la mitad de
los tiros?
Apertura
Deduce y aprende
Suma las caras de los dados
Propósito: Desarrolla habilidades para la realización de tablas de frecuencias y sus diferentes representaciones gráficas a partir de una situación concreta.
Conocimientos previos:
• ¿Qué entiendes por tabla de distribución?
• ¿Cuáles son los distintos tipos de gráficas para representar datos?
Materiales:
• Tres dados
• Cuaderno de notas
Desarrollo
1. Formen equipos de dos alumnos.
2. Tiren los tres dados y anoten sus resultados, para ello sumen los puntos de cada cara superior.
3. Repitan el experimento 100 veces y registren en el cuaderno sus resultados.
Cierre
4. Realicen con estos datos la tabla de distribución.
5. ¿Cuáles son los posibles resultados del evento?
6. ¿Todos los resultados tienen la misma frecuencia?
7. ¿Cuál de los resultados es el de mayor frecuencia?
8. Si tuvieras que apostar, ¿a cuál resultado apostarías?
94
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. SEGUNDA PARTE
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar
Excelente
Bueno
Regular
Satisfactorio
Más de 90%
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 15 puntos
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo,
Más de 90%
resolví las actividades
Valor 15 puntos
Deduce y aprende
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Valor 7 puntos
Valor 4 puntos
Valor 2 puntos
Contesté correctamente
más de 90% de las
preguntas.
Contesté correctamente
entre 80 y 89% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 70 y 79% de las
preguntas
Contesté correctamente
menos de 70% de las
preguntas
Valor 5 puntos
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
Realicé todas mis
tareas
Realicé 80% de mis
tareas
Realicé 60% de mis
tareas
Realicé 50% de mis
tareas
Valor 5 puntos
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
De 45 a 50 puntos.
De 40 a 44 puntos.
De 35 a 39 puntos.
Menos de 35 puntos.
Realicé los ejercicios
correctamente
Actividad integradora,
Valor 10 puntos
ver puntaje
Lectura de la unidad
Trabajo extra clase
Suma de puntos por
columna
Total de las columnas
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Resuelve los problemas de recuperación de información y contesta el dominio que tienes de los siguientes conceptos.
Concepto
Lo domino
No lo domino
¿Qué es el riesgo?
Uso de la estadística y probabilidad
Tablas de distribución
Eventos mutuamente excluyentes
Eventos independientes
Probabilidad condicional
Teorema de Bayes
95
PA R T E
3
Eje
Del manejo de
la informacion
al pensamiento
estocástico
Tercera parte
Componentes
O
Aprendizajes esperados
Riesgo, inferencia y aleatoriedad: Elementos de la Estadística y la Probabilidad.
O
O
O
O
Contenido central
O
Manejo de la información en situaciones de la vida cotidiana.
Recolecta y ordena la información de alguna situación.
Interpreta y analiza la información.
Representan la información.
Toma decisiones a partir del análisis de la información.
Productos esperados
O
Construir distintos tipos de gráficos y emitir opiniones derivadas de ellos.
Contenidos específicos
3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas
de tendencia central?, ¿cómo representar la información en
un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadístico?, ¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la
información?
3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su representatividad en términos de la variabilidad y contexto situacional.
3.3 Construcción de gráficos estadísticos en la representación
de la información.
3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la opción correcta y anótala en el paréntesis.
1. Una placa de automóvil se forma por tres números y tres letras. ¿Cuántas placas se pueden obtener?
A) " 1 581 840
B) " 15 818
C) " 158 184
D) " 15 818 400
(
)
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2. Un restaurante ofrece seis distintos tipos de sopa, ocho tipos diferentes de guisado y tres tipos de postre.
¿Cuántos tipos diferentes de menú podemos tener?
A) 3
B) 144
C) 100
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
D) 18
3. En un salón de clases con 20 alumnos, se desean formar equipos de dos alumnos. ¿Cuántos equipos
se podrán formar?
A) 2#20
B) 40
C) 20
D) 190
4. En la bolsa de tu pantalón hay cinco monedas de varias cantidades (cincuenta centavos, un peso, dos
pesos, cinco pesos y diez pesos). Si se extraen dos monedas halla el número de formas distintas que
pueden salir las monedas.
A) 5 w 4
B) 5 w 5
C) 4
D) 60
5. Al realizar la operación 16#16, el resultado es:
A) 4
B) 16
C) 1
D) 64
6. No son representaciones gráficas:
98
A) Los diagramas de Venn
B) Conjuntos
C) Diagrama de árbol
D) Diagramas de probabilidad
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Tema integrador
Secuencia didáctica
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Chicos y grandes
Propósito: El alumno desarrollará sus habilidades para determinar la honestidad del juego de Chicos y grandes con ayuda del cálculo de
probabilidades.
Conocimientos previos:
• Tabla de distribución
• Gráficos
• Cálculo de probabilidad clásica
Material:
• Un tablero de chicos y grandes
• 50 fichas para apostar
• 2 dados
Desarrollo de la actividad
Se forman equipos de 5 alumnos, uno de ellos es la banca, los demás se enumeran con las letras A, B, C y D.
Chicos y grandes es un juego de azar que se divide en dos formas de apuestas:
La primera de ellas es apostar a Chicos o Grandes, colocando sus apuestas en el tablero. En el lugar que dice Chicos o dice Grandes, se
tiran los dados; si la suma de éstos es menor que 7, entonces ganan una ficha los que apostaron a Chicos y pierden los que apostaron a
Grandes. Si la suma de los dados es mayor que 7, pierden los que apostaron a Chicos y ganan los que apostaron a Grandes, todos pierden
si la suma de los dados es 7.
La segunda forma para jugar consiste en colocar su apuesta en cada uno de los números del 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 o 12 que se encuentran
en el tablero, ganan si los dados suman el número al que se apostó, pierden si la suma de los dados es 7.
Al jugar, se pueden combinar las dos formas de apuesta, siguiendo las reglas anteriores, por ejemplo una persona apuesta a Chicos y al
número 12, si los dados caen 8, él pierde en chicos pero no en el ocho, en el cual sigue jugando.
Las apuestas se realizarán de la siguiente manera
A
Apuesta a Chicos
B
Apuesta a Grandes
C
Apuesta al número 2
D
Apuesta al número 6
Todos los alumnos toman 10 fichas, las apuestas siempre serán de una ficha.
Se inicia el juego, todos realizan su apuesta (la banca no), el alumno A tira los dados, y suma las caras.
99
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
La banca paga a los ganadores y recoge las fichas de los que perdieron.
Así continúan jugando, se termina el juego cuando un alumno tenga todas las fichas.
Vamos a jugar
6
5
8
CHICOS
4
3
7
9
GRANDES
2
12
10
11
Repitan el juego, cada jugador apostará libremente a lo que considere lo lleve a ganar, se pueden formar alianzas.
Cierre de la actividad
1. Determina cuál es el espacio muestral.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno B?
2. Si una persona apuesta en la misma jugada a Chicos y Grandes, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
3. ¿Cuál es la probabilidad de perder del alumno A?
4. ¿Cuál es la probabilidad de perder del alumno B?
5. ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno C?
6. ¿Cuál es la probabilidad de ganar del alumno D?
7. Si una persona apuesta a Chicos y al número seis, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
8. Si una persona apuesta a Grandes y al número ocho, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
9. Si una persona apuesta a Chicos y Grandes, ¿cuál es la probabilidad de perder?
10. ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se apuesta a un número?
11. ¿Cuál es la probabilidad de perder si se apuesta a un número?
12. De las opciones de juego a) Chicos o Grandes o b) Apostar a un número, ¿cuál consideras mejor? ¿Por qué?
13. ¿A qué número te conviene apostar?
14. ¿Consideras que éste es un juego honesto?
100
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Apertura
Desarrollo
Cierre
• Formen equipos de cinco
alumnos.
• Formen su portafolio de evidencias.
• Escriban en el cuaderno el análisis que
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean la secuencia didáctica
que se plantea.
• Reunidos los alumnos del equipo discutan
cómo realizarán las actividades.
• Realiza un mapa mental de la unidad.
• Analicen los problemas.
• Resuelve los problemas que se plantean en
el desarrollo.
• Contesta las preguntas del desarrollo.
• Resuelve los ejercicios del cierre de la
actividad.
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica del tema integrador
Aspecto a
evaluar
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Satisfactorio
(2)
Deficiente
(1)
Análisis de
la situación
didáctica
Realiza una investigación
completa de la situación
y traza el mapa mental.
Realiza una investigación
clara y convincente
y traza el mapa mental.
La investigación no es
clara y sólo se presentan
recortes de páginas web
y no realiza el mapa
mental.
La investigación es
deficiente y no aporta
conocimientos claros y no
realiza el mapa mental.
Desarrollo
del tema
integrador
Contesta más de 90% de
las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta entre 70 y 89%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta menos de 60%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Presentación
de resultados
Contesta más de 90% de
las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta entre 70 y 89%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta menos de 60%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría
de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
• En esta unidad manejarás las técnicas de la probabilidad condicional y el teorema de Bayes, técnicas que aplicarás a la resolución
de problemas.
¿Para qué te servirá?
Estos cálculos son una herramienta muy importante para solucionar problemas de probabilidad condicional.
101
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
DESARROLLO
3.1 Estudio de la información. ¿Qué papel juegan las medidas
de tendencia central?, ¿cómo representar la información
en un gráfico estadístico?, ¿cómo estudiar un gráfico estadístico?,
¿qué papel juega la probabilidad en el manejo de la información?
Las gráficas son representaciones pictóricas que permiten realizar un análisis rápido y en forma visual de lo que sucede en algún conjunto de datos. Los gráficos pueden ser de diferentes formas, los más comunes en la estadística son los de
barras, histogramas, de pastel o pie o circulares y polígonos de frecuencias.
Los gráficos deben reunir ciertas características de identificación, como son:
1.
2.
3.
4.
5.
El título, que indica el tema de la gráfica.
La fecha de realización.
Las leyendas en los ejes.
La unidad de medición que se utiliza.
Indicar la escala en caso de usar alguna.
Diagrama de barras
También llamado gráfico, asocia a cada valor de la variable con una barra, generalmente vertical, pero también puede
ser horizontal, proporcional a la frecuencia (o a la cantidad) con que se presenta.
Ejemplo
Las ventas mensuales de una compañía pueden representarse en una gráfica de barras, para ello se trazan dos ejes perpendiculares en forma de L. En el eje
horizontal se anotan los intervalos de clase (mes) y en
el vertical, la frecuencia (ventas); en la intersección del
mes con las ventas se traza una barra que tiene por
ancho el tamaño del intervalo.
Mes
Ventas
Mes
Ventas
Mes
Ventas
1
8
5
9
9
8
2
3
6
10
10
9
3
1
7
4
11
14
4
7
8
7
12
16
Ventas anuales
Ventas en millones de pesos
20
15
10
5
0
01
20
03
04
05
06
07
Mes
102
08
09
10
11
12
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Contesta las siguientes preguntas a partir de la información de la gráfica.
1. ¿Cuál es el mes de menos ventas?
2. ¿Cuál es el mes de más ventas?
Entre cada una de las barras hay un espacio, debido a que se utilizan los intervalos de clase. La altura está dada por
la frecuencia.
Ejemplo
Elaboración de una gráfica de barras con la siguiente tabla de distribución.
Tabla 3.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
(fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
( fc )
(Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
A
12
15
11.5
15.5
13.5
15
0.083
5
0.083
55
0.917
B
16
19
15.5
19.5
17.5
21
0.35
26
0.433
34
0.567
C
20
23
19.5
23.5
21.5
21
0.35
47
0.783
13
0.217
D
24
27
23.5
27.5
25.5
11
0.183
58
0.967
2
0.033
E
28
31
27.5
31.5
29.5
2
0.0333
60
1.000
0
0
Sumas
59
1
Primero trazamos dos ejes perpendiculares, en uno de ellos se marcan los intervalos de clase, en este caso se eligieron los nombres de las clases, en el otro eje se colocan las frecuencias absolutas simples (columnas) y, por último,
se forman las barras.
Edades de socios del deportivo Azul
25
Edad
20
15
10
5
0
A
B
C
D
E
Clase
103
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Edades de socios del deportivo Azul
E
Clase
D
C
B
A
0
5
10
15
20
25
Edad
Ejercicio 1
1. En tu cuaderno, elabora lo que se pide, utilizando la información de la siguiente tabla.
A) Una gráfica de barras para el número de nacimientos registrados por año.
B) Realiza una gráfica de la condición de la actividad económica de la madre (2000 a 2006), observa que son
dos tablas en una sola gráfica.
Tabla 3.2 Distribución porcentual de los nacimientos registrados, según la condición de actividad económica de la madre (2000 a 2006)
Año
Nacimientos registrados
Económicamente activa
No económicamente activa
2000
2 798 339
17.3
82.7
2001
2 767 610
18.2
81.8
2002
2 699 084
18.4
81.6
2003
2 655 894
17.7
82.3
2004
2 625 056
19.3
80.7
2005
2 567 906
20.8
79.2
2006
2 505 939
23.3
76.7
Fuente: INEGI, Estadística de natalidad.
2. En tu cuaderno, realiza la gráfica de barras para la siguiente
información.
Defunciones por sida, según nivel de escolaridad del fallecido.
Según la escolaridad de los fallecidos por causa del sida: de
cada 100, 20 tenían la primaria completa; 20 la secundaria
o equivalente; 17 la primaria incompleta; 13 la preparatoria o
104
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
equivalente, 11 eran profesionistas; 7 la secundaria incompleta; 6 no tenían instrucción y 6 no especificaron su
escolaridad.
Fuente: inegi. Internet. Consulta interactiva de datos, Base de datos de las estadísticas de mortalidad, 2006.
Con esta información, el inegi brinda indicadores para contribuir al conocimiento del SIDA en México.
Histogramas
Se realizan de la misma forma que las gráficas de barras, la única diferencia es que en ellas se utilizan los límites reales,
por ello las barras quedan pegadas, éstas se pueden realizar en forma vertical u horizontal.
Ejemplo
Elabora un histograma con la información de la siguiente tabla.
Tabla 3.1
1
Clase
Distribución de frecuencias
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
4
absoluta
acumulada
complementaria
Marca
5
6
7
8
9
10
de
clase
Límite Límite
Inferior Superior (m )
Simple Relativa Simple Relativa Simple Relativa
inferior superior
i
(fi )
( Fi )
( fa )
(Fa )
(fc )
( Fr )
2
Intervalo de clase
3
Límites reales
A
12
15
11.5
15.5
13.5
15
0.083
5
0.083
55
0.917
B
16
19
15.5
19.5
17.5
21
0.35
26
0.433
34
0.567
C
20
23
19.5
23.5
21.5
21
0.35
47
0.783
13
0.217
D
24
27
23.5
27.5
25.5
11
0.183
58
0.967
2
0.033
E
28
31
27.5
31.5
29.5
2
0.0333
60
1.000
0
0
Sumas
59
1
Solución
Trazamos dos ejes perpendiculares en forma de L,
en el horizontal colocamos los límites reales y en el
vertical, la frecuencia absoluta simple.
Título de la gráfica
20
16
12
8
4
0
11.5
15.5
19.5
23.5
27.5
31.5
105
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 2
En tu cuaderno, elabora una gráfica de histograma para el número de nacimientos registrados por año. Utiliza la tabla
3.2.
Polígono de frecuencias
Para obtener el polígono de frecuencias se trazan dos ejes perpendiculares, en uno de ellos se indican las marcas de
clase y en el otro, la frecuencia absoluta simple. Se localizan los puntos que se forman por la intersección de la marca
de clase y la frecuencia; luego, se unen por medio de un segmento de recta. El polígono de frecuencias es la línea que
une los puntos que se forman por la marca de clases e intersección con las frecuencias de cada valor.
Ejemplo
Trazamos el polígono de frecuencias, utilizando la información de la tabla 3.1.
25
Polígono de frecuencias
Título del eje
20
Serie 1
15
10
5
0
0
10
20
Título del eje
30
40
Gráfica de pastel
Las gráficas de pastel o circulares se elaboran trazando un círculo, que puede dividirse en secciones correspondientes
al número de intervalos que se utilizaron en las clases, para obtener el ángulo central de cada sección se multiplica la
frecuencia absoluta relativa por 360°.
Ejemplo
Elabora una gráfica de pastel con los datos siguientes
del deportivo Azul.
106
Tabla 3.3
Edades de los socios del deportivo Azul.
Clase
Frecuencia absoluta relativa
1
8%
2
36%
3
35%
4
18%
5
3%
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Solución
Multiplica la frecuencia absoluta relativa por 360° para obtener el ángulo central correspondiente a cada una de las clases. Recuerda que el
porcentaje se debe expresar en forma decimal. Ejemplo: 8% = 0.08.
8% w 360s " 28.8s
35% w 360s " 126s
3% w 360s " 10.8s
36% × 360s " 129.6s
Edades de los socios del deportivo Azul
5
3%
1
8%
4
18%
2
36%
18% w 360s " 64.8s
3
35%
Con ello, se divide el círculo en secciones, cada una de ellas representa
la frecuencia absoluta.
Ojivas menor que y mayor que
En este tipo de gráfica se utiliza una línea poligonal y la marca de clase. Para la ojiva menor que se utiliza la frecuencia
acumulada; para la ojiva mayor que se usa la frecuencia complementaria.
Ejemplo
Realicemos las gráficas de las ojivas mayor que y menor que, para ello utilicemos la tabla 3.1.
Solución
Edades de los socios del deportivo Azul
En la primera gráfica, en el eje horizontal se colocan las marcas de clase, la altura del punto está dado por
la frecuencia acumulada simple, una
vez localizados los puntos se unen
por una línea continua, esta poligonal
recibe el nombre de gráfica de la frecuencia acumulada o menor que.
Frecuencia
Observaciones:
70
60
50
40
30
20
10
0
55
34
26
13
2
5
A
60
58
47
B
C
Clase
D
0
E
La segunda gráfica de la frecuencia complementaria se realiza de la misma forma: se localizan puntos utilizando
la marca de clase en el eje horizontal y en el eje vertical, la frecuencia complementaria simple. Los puntos que se
obtienen de la intersección de las rectas paralelas a los ejes se unen para formar la poligonal.
Ejercicio 3
Realiza el polígono de frecuencias para determinar gráficamente
el valor de la mayor producción bruta de la industria manufacturera, según tipos de la industria del 2002-2004, en millones de
pesos, tomada de los Centros de consulta, a través de los cuales
el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática ofrece
gratuitamente el servicio público de información en materia estadística y geográfica.
107
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Tabla 3.4
Producción bruta de la industria manufacturera
2002
Industrias
Valor
2003
Lugar de
importancia
Valor
Lugar de
importancia
2004
Valor
Productos alimenticios,
bebidas y tabacos
415 523 335
447 642 250
490 746 939
Textiles, prendas de vestir
e industrias del cuero
60 764 303
60 768 180
65 972 259
Industria de la madera
y producción de madera
8 988 576
8 966 612
10 140 360
Producción de papel, uso
en imprenta y editorial
73 303 542
76 255 904
83 004 477
Sustancias químicas
derivadas del petróleo
y producción de caucho
279 351 603
301 695 554
336 075 522
Producción de minerales
no metálicos y derivados
del petróleo
79 222 034
84 557 719
89 552 180
Industrias metálicas básicas
112 714 264
137 739 491
212 570 181
Productos metálicos,
maquinaria y equipo
549 917 888
541 826 535
592 442 657
Otras industrias
manufactureras
3 666 053
3 930 888
4 966 360
Lugar de
importancia
TOTAL
Fuente: Banco de Información Económica (BIE). Sector manufacturero. Encuesta industrial mensual.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La familia
Propósito: Desarrolla las habilidades para organizar la información.
Materiales:
• Papelitos de 4 w 5 cm
• Bolígrafo
Desarrollo de la actividad
1. Anoten en un papelito el número de personas que habitan en su vivienda y colóquenlo sobre el escritorio.
2. El profesor dictará a los alumnos las cantidades anotadas en los papelitos para que las escriban a continuación y uno de los alumnos
las escribirá en el pizarrón. No tires los papelitos.
.
.
.
3. El profesor guardará los papelitos por cualquier aclaración o duda hasta finalizar la actividad.
108
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Cierre de la actividad
4. Ordenen los datos de mayor a menor.
.
.
.
= n.
5. ¿Cuántos datos son en total?
6. ¿Cuál es el dato mayor?
= límite superior
7. ¿Cuál es el dato menor?
= límite inferior
8. Obtén la diferencia entre el mayor y el menor, es decir, el rango: R =
9. Si sumamos todos los datos y los dividimos entre n, obtenemos el
10. ¿Cuál es el elemento que más se repite?
que es igual a
¿Cómo se le llama?
11. De todos los elementos ordenados, encuentra el elemento que está a la misma distancia del límite mayor y del límite menor,
es
.
¿Cómo se llama?
12. En la siguiente tabla anota el número de habitantes en una vivienda, en la primera columna y en la segunda, el número de veces
que se repite esa cantidad. ¿Qué nombre recibe?
Tabla 3.5
Habitantes por vivienda
Número de habitantes en una vivienda
Frecuencia
Gráficas con Excel
Una forma muy sencilla de realizar gráficas es utilizando Excel, sólo debemos seleccionar los datos que deseamos graficar de la hoja Elige insertar; después, seleccionamos hacer gráfica.
Edades de los socios del deportivo Azul
4
18%
5 1
3% 8%
2
36%
3
35%
109
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Para realizar un gráfico en Excel 2007 vista utilizamos la pestaña Insertar (1) del menú Gráficos (2), seleccionamos
el tipo de gráfico que se desea realizar (3), dentro de este menú encontraremos una cantidad de formas gráficas que
les permitirán expresar los datos de la forma que consideren más pertinente.
1
2
3
Actividad socioemocional
En el trabajo en equipo:
1. ¿Cómo consideras el trabajo en equipo?
2. ¿Cómo te gusta trabajar?
3. ¿Eres un alumno disperso?
4. ¿Aprendes de tus exámenes?
5. Describe la emoción que sientes cuando te entregan tus exámenes.
3.2 Cálculo de las medidas de tendencia central y su representatividad
en términos de la variabilidad y contexto situacional
Es común que escuches la palabra promedio, por ejemplo, cuando te preguntan: ¿cuál es tu promedio de calificaciones?
La forma de obtenerlo es realizando la suma de todos los datos y dividiéndolo entre el total.
Es conveniente tener en cuenta el tipo de datos que se está trabajando, si son de la población o de una muestra,
agrupados o no. Para la realización de nuestros cálculos la forma de proceder es diferente, también debes de tener
en cuenta que cuando hablamos de la población, estas medidas reciben el nombre de parámetros, cuando los datos
corresponden a una muestra reciben el nombre de estadístico. En símbolos utilizamos X barra ( X ) para la media poblacional, que es un parámetro y μ (mu) para la media muestral, lo que representa un estadístico o una estadística, para
nuestros estudios nos referiremos a muestras.
μ =
∑ XI
N
Donde:
XI " a cada valor de la muestra.
8 " la suma de los valores XI.
N " número de datos con los que se trabajan.
En el caso de que sea una población, la forma de cálculo es la misma, sólo que cambiamos el símbolo que la
representa.
110
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Ejemplo
Determinemos el promedio de las calificaciones de Luis, si éstas son 5, 6, 10, 4, 9, 7 y 8.
X =
∑ XI
N
=
5 + 6 + 10 + 4 + 9 + 7 + 8
49
=
= 7
7
7
Por tanto, su promedio es 7, pero esto no significa que todas las materias tengan calificación de 7.
Ejercicio 4
Obtén el promedio de las edades de cinco de tus compañeros y la mía, que es 50 años. ¿Consideras que el promedio sea representativo de la edad de ustedes y la mía?
¿Qué piensas del promedio?
Esto puede resultar engañoso en algunos casos, veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo
Consideremos los siguientes grupos de datos que son unas muestras obtenidas de cierta población y obtén el promedio de cada uno de ellos.
Datos
Promedio o media
50, 49, 51, 48, 52, 50, 50
100, 0, 10, 90, 95, 5, 50
50, 50, 50, 50, 50, 50, 50
20, 30, 40, 50, 60, 70, 80
Solución
En todos los casos, el número de datos son 7 y las sumas son:
50 49 51 48 52 50 50 " 350
100 0 10 90 95 5 50 " 350
50 50 50 50 50 50 50 " 350
20 30 40 50 60 70 80 " 350
El promedio es μ " 50 en todos los casos. Analicemos qué sucede en el primer caso, la media representa el conjunto
de datos, y en el segundo y tercero esto no sucede; por ello, es conveniente tener en cuenta otras medidas que nos
permitan conocer la dispersión de los datos. Supón que fueran los sueldos de los empleados de alguna compañía.
¿En cuál de ellas te gustaría trabajar?
Ejercicio 5
En una empresa se realiza una encuesta a 4 trabajadores. Si el administrador de la compañía recibe un sueldo de
$300 000 y 3 obreros reciben un sueldo de $1 500 cada uno, ¿cuánto ganan en promedio?
111
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 6
En una compañía se tienen los siguientes sueldos para el personal del departamento de administración:
Tabla 3.6 Sueldos del departamento de
administración.
Jefe del departamento
$35 000
Secretaria A
$ 9 000
Secretaria B
$ 7 000
Secretaria C
$ 5 000
Archivista
$ 4 000
Capturista
$ 6 500
Determina el promedio de los sueldos.
Media o promedio de datos agrupados
Cuando hablamos de datos agrupados, la forma de calcular el promedio es diferente, sumamos el producto de cada
marca de clase y lo multiplicamos por la frecuencia simple; luego, el resultado se divide entre la suma de las frecuencias.
μ =
∑ FI MI
∑ FI
Donde:
FI " Frecuencia de la clase I.
MI " Marca de la clase I.
∑ " Indica la suma de los valores.
Mediana
Es una medida de tendencia central que se sitúa a la mitad de los datos ordenados, o sea, deja 50% de datos menores
y 50% de datos mayores.
Datos no agrupados
Para situar la posición de la mediana (Me) tenemos dos casos, cuando el número de datos es impar o el número de
datos es par.
Caso impar
Si el número de datos es un número impar, entonces a éste se le suma uno y se divide entre dos el valor que se obtiene,
nos indica en la lista ordenada de los datos la posición del valor que representa a la mediana.
112
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Ejemplo
Localicemos la mediana de la siguiente lista de datos.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11
Solución
El número de datos es 7, si aplicamos la regla sumamos 1 y dividimos entre 2.
-E =
7 +1
2
=
8
2
= 4
El valor que se encuentra en la cuarta posición es el número 6 y es la mediana.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11
Este valor deja de cada lado 50% de los valores, en este caso son tres valores de cada lado.
Ejercicio 7
Encuentra la posición y el valor de la mediana en los siguientes datos.
13, 45, 34, 24, 23, 65, 78, 54, 57, 21, 45, 12, 72
Caso par
Si el número de datos es un número par, la posición de la mediana se obtiene dividiendo el número de datos entre 2.
Este valor se sitúa en un primer dato en la lista ordenada, que se promedia con el siguiente; el resultado obtenido es
el valor de la mediana.
Ejemplo
De la siguiente lista de datos localiza la mediana.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 15
Solución
El número de datos es 8, si aplicamos la regla y dividimos entre 2. El valor de la mediana es el promedio de los valores que se encuentran en la posición 4 y 5.
2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 15
-E =
6 + 8
2
= 7
Este valor deja de cada lado 50% de los valores, en este caso son cuatro valores de cada lado.
Ejercicio 8
Encuentra la posición y el valor de la mediana en los siguientes datos.
13, 45, 34, 24, 23, 65, 78 ,54, 57, 21, 45, 12, 72, 80
113
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
De los siguientes datos obtén la mediana.
Caso impar
Caso par
50, 49, 51, 48, 52, 50 y 50
100, 60, 10, 90, 95, 5, 50 y 40
Solución
Primero ordenamos los datos:
48, 49, 50, 50, 50, 51, 52
5, 10, 40, 50, 60, 90, 95, 100
Número de datos: 7
Número de datos: 8
Sumamos 1
8
Dividimos:
2
= 4
8
Dividimos:
2
= 4
Por lo que el valor de la mediana es:
El valor que se encuentra en el lugar 4:
El lugar de la mediana está entre 50 y 60, luego
se promedian estos valores.
48, 49, 50, 50, 50, 51, 52
(
)
2
= 55
Por tanto, el valor de la mediana es 55.
Ejercicio 9
De las siguientes listas de datos determina el lugar de la mediana:
A)
66
70
13
95
65
80
63
39
56
91
53
75
7
8
B)
57
65
55
18
21
69
23
81
25
34
21
96
91
42
C)
17
32
85
81
34
93
61
78
67
71
52
95
40
83
21
D)
81
73
66
0
23
26
56
35
83
46
55
12
84
68
85
31
89
Mediana para datos agrupados
El lugar de la mediana para datos agrupados debe cumplir con la condición de dejar la misma cantidad de datos de
un lado y del otro. Utilizaremos algo que se llama interpolación lineal, lo que quiere decir, encontrar un valor que se
encuentra entre dos extremos a una cierta razón.
114
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
En una fracción
A
(número racional), B indica el número de partes en el cual se divide la unidad (es distinto de
B
cero) y A es el número de partes que se toma. Cuando se multiplica esta fracción por una cantidad, el resultado corresponde a tomar de ese valor la cantidad que indica la razón.
Ejemplo
1
3
Si deseo tomar la mitad de un intervalo de 5 unidades sólo tengo que multiplicar por . Si deseo tomar
partes
2
7
3
tendré que multiplicar por .
7
Pensemos que en la recta numérica se tiene un intervalo de 5 unidades, cuyo límite inferior es 3 y como superior es
3
8. En dicho intervalo se desea encontrar un punto que se encuentre a
del 3, esto quiere decir que el segmento
7
se divide en 7 partes y se toman 3, a este valor se le tiene que sumar el valor del límite inferior.
3
4
5
6
La solución es multiplicar el tamaño del intervalo (cinco) por
3 +
3
7
(5)
Localicemos ese valor, para ello utilizamos equivalencias:
3 +
36
3
7
7
8
y sumarlo al límite inferior 3, en símbolos:
15
7
=
= 5 +
36
7
1
, de manera que la unidad que está entre 5
7
7
y 6 se divide entre siete partes iguales y se toma una, éste es el punto que andamos buscando.
3
4
5
1
5+ −
7
6
7
8
Ejercicio 10
Utiliza el mismo intervalo de 3 a 8 y realiza lo siguiente:
1. Interpolar un valor en este intervalo que se encuentre a cinco séptimos de 3, localízalo en la recta numérica.
2. Interpolar un valor que se encuentre a la mitad del intervalo, localízalo en la recta numérica.
3. Interpolar un valor que se encuentre a un cuarto de 3, localízalo en la recta numérica.
Interpolación lineal se refiere a encontrar un valor entre los polos unidos por una línea recta.
Utilicemos estos conocimientos para encontrar la mediana en datos agrupados, recordemos que la mediana debe
situarse a la mitad de los datos.
115
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
En la siguiente tabla se encuentra el valor de la mediana.
Tabla 3.7
1
Clase
Ingresos de una compañía.
2
Intervalo de clase o límites
4
Marca
de clase
(mi )
Frecuencia absoluta
5
Simple
(fi )
Frecuencia acumulada
6
Relativa
( Fi )
7
Simple
( fa )
Inferior
Superior
A
1 000
3 000
15
15
B
4 000
6 000
11
26
C
7 000
9 000
22
48
D
10 000
12 000
8
56
E
13 000
15 000
4
60
Sumas
8
Relativa
(Fa )
60
Solución
Sin importar si el número de datos es impar o par realizamos lo siguiente:
Como el número de valores es N " 60.
Lo dividimos entre 2:
60
2
= 30 .
El valor de 30 se encuentra contenido en la clase #, la clase " sólo cuenta con 26 datos y se requieren 4 para tener
los 30, a fin de localizar la mediana en ese intervalo, utilicemos la interpolación lineal; para ello, primero determinamos el límite inferior. El límite inferior de la clase # es 7 000, a continuación, determinamos el tamaño del intervalo.
Tamaño del intervalo " límite superior – límite inferior
" 9 000 – 7 000
" 2 000
El tamaño del intervalo es 2 000, como la frecuencia absoluta simple del intervalo es 22, entonces se divide en
22 partes y a la frecuencia acumulada de la clase anterior B que es igual a 26, le debemos sumar cuatro partes de
las 22 para sumar los 30 datos de la mediana. Entonces, a 7 000 le sumamos las cuatro partes faltantes de las 22
del intervalo y el resultado obtenido lo multiplicamos por el tamaño del intervalo 2 000.
Gráficamente:
26
⎛4⎞
⎜⎝ ⎟⎠ (2.000)
22
22 valores
7 000
9 000
Tamaño 2 000
116
48
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
En símbolos se tiene:
7 000 +
El valor de la posición de la mediana es
81000
⎛ 4⎞
2000 =
≈ 7 363.63
⎝ 22 ⎠
11
81000
≈ 7 363.63 , el último valor es una aproximación a dos decimales.
11
Ejercicio 11
Utiliza la siguiente tabla para encontrar el valor de la mediana.
Tabla 3.7
Ingresos de una compañía
2
Intervalo de clase o límites
1
Clase
4
Marca
de clase
(mi )
Frecuencia absoluta
5
Simple
(fi )
6
Relativa
( Fi )
Frecuencia acumulada
7
Simple
( fa )
Inferior
Superior
A
10
30
15
15
B
40
60
11
26
C
70
90
12
38
D
100
120
8
46
E
130
150
4
50
Sumas
8
Relativa
(Fa )
50
Moda
Es una medida de tendencia central, la cual nos indica el valor o los valores que más se repiten, o sea, el de mayor
frecuencia. Una serie de datos pueden tener varias modas, el símbolo que se utiliza para representar la moda es X̂ .
Ejemplo
En las siguientes series de datos encuentra la moda.
50, 49, 51, 48, 52, 50, 50
Moda " X̂ " 50
100, 0, 10, 90, 95, 5, 50
Moda no tiene.
3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25
Moda " X̂ " 50 y 25.
En los ejemplos anteriores podemos observar que el valor de la moda es 50 por ser el valor que más se repite. En
el segundo ejemplo, la moda no existe porque ninguno de los datos se repite y, por último, en el tercer ejemplo se
tienen dos modas: 50 y 25, ya que estos valores se repiten cuatro veces, por lo que se tienen dos modas o multimodal por tener varias modas.
117
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 12
En las siguientes series de datos encuentra la moda.
A)
66
70
13
95
65
80
63
39
56
91
53
75
7
8
31
B)
57
65
55
18
21
69
23
81
25
34
21
96
91
42
C)
17
32
85
81
32
93
61
78
67
71
32
95
40
83
32
D)
81
30
66
30
23
26
56
30
30
46
55
12
84
68
85
89
Moda en datos agrupados
Cuando se trata de datos agrupados, lo primero que hacemos es localizar la clase modal de mayor frecuencia, de ella
tomamos el límite inferior exacto que nombramos como ,I , el segundo paso es determinar el tamaño del intervalo ), y
en el tercer paso se obtienen las siguientes diferencias:
FM " Frecuencia modal
FAS " Frecuencia absoluta simple
D1 " FM menos la Fas anterior a la frecuencia modal.
D2 " FM menos la Fas siguiente a la frecuencia modal.
Y se calcula la moda con la siguiente fórmula:
⎛ D1 ⎞
Xˆ = ,I + ⎜
)
⎝ D1 + D2 ⎟⎠
Ejemplo
Utiliza la siguiente tabla de datos para encontrar la moda.
Tabla 3.4
1
Clase
Ingresos de una compañía
2
Intervalo de clase o límites
4
Marca
de clase
(mi )
5
Simple
(fi )
6
Relativa
(Fi )
Frecuencia acumulada
7
Simple
(fa )
Inferior
Superior
A
1 000
3 000
15
15
B
4 000
6 000
11
26
C
7 000
9 000
22
48
D
10 000
12 000
8
56
E
13 000
15 000
4
60
Sumas
118
Frecuencia absoluta
60
8
Relativa
(Fa )
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
Solución
Primer paso
La clase modal de mayor frecuencia: Es la clase C con 22:
,I = Límite inferior exacto de la clase modal =
6 000 + 7 000
= 6 500
2
Segundo paso
Tamaño del intervalo: ) " 9 000 – 7 000 " 2 000
Tercer paso
Obtener las diferencias siguientes:
D2 " FAS siguiente a la frecuencia modal menos la frecuencia modal " 22 – 8 " 14
D1 " Frecuencia modal menos la FAS anterior a la modal " 22 – 11 " 11
Utilizamos la fórmula para el cálculo de la moda:
⎛ D1 ⎞
Xˆ = ,I + ⎜
)
⎝ D1 + D2 ⎟⎠
Sustituimos los valores de cada paso:
Xˆ = 6 500 +
⎛ 11 ⎞
2 000
⎝ 11 + 14 ⎠
X̂ " 7 380
Ejercicio 13
1. Utiliza la tabla siguiente de datos para encontrar la moda.
Tabla 3.8
1
Clase
Salarios del personal administrativo de la compañía “El cisne”
2
Intervalo de clase o límites
4
Marca de clase
(mi)
Frecuencia absoluta
5
Simple
( fi )
Inferior
Superior
A
1 000
3 000
15
B
4 000
6 000
11
C
7 000
9 000
16
D
10 000
12 000
28
E
13 000
15 000
14
Sumas
6
Relativa
( Fi )
60
119
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Solución
Primer paso
La clase modal de mayor frecuencia es la clase:
,I " Límite inferior exacto de la clase modal "
Segundo paso
Tamaño del intervalo: ) "
Tercer paso
Obtener las diferencias siguientes D1, D2.
D2 " FM menos la FAS siguiente a la frecuencia modal "
D1 " FM menos la FAS anterior a la frecuencia modal "
El cálculo de la moda se hace utilizando:
D1
⎛
⎞
Xˆ = ,I + ⎜
⎟)
D
+
D
⎝ 1
2 ⎠
Sustituimos los valores de cada paso:
X̂ =
(
)
⎛
+ ⎜
⎝
⎞
⎟⎠ (
)
2. Utilizando la siguiente tabla de la temperatura media a nivel nacional, determina las medidas de tendencia
central, media o promedio, mediana, moda, cuartiles y el rango intercuartílico, para el mes de marzo.
Tabla 3.9
Temperatura media a nivel nacional
Entidad
Aguascalientes
Baja California
Baja California Sur
Campeche
Ciudad de México
Coahuila
Colima
Chiapas
Chihuahua
Durango
Guanajuato
Guerrero
Hidalgo
Jalisco
Estado de México
Michoacán
Enero
Febrero
Marzo
12.1
13.8
17.7
23.9
14.1
12.4
24.8
22.9
9.5
10.5
14.2
24.0
13.8
17.2
11.6
17.2
15.0
18.8
21.1
23.9
15.8
16.4
26.1
23.0
13.8
14.6
15.6
25.2
14.9
18.8
12.5
19.0
17.0
17.7
21.1
28.4
17.4
20.4
25.0
26.5
16.9
16.7
18.1
25.1
18.5
19.9
14.3
19.3
3. Representa gráficamente los datos del mes de marzo.
120
Entidad
Morelos
Nayarit
Nuevo León
Oaxaca
Puebla
Querétaro
Quintana Roo
San Luis Potosí
Sinaloa
Sonora
Tabasco
Tamaulipas
Tlaxcala
Veracruz
Yucatán
Zacatecas
Enero
Febrero
Marzo
18.2
20.4
14.1
21.9
14.7
14.8
24.3
16.2
19.1
13.9
23.3
16.8
12.3
18.3
23.1
10.6
20.7
23.9
17.5
21.9
15.6
16.2
23.6
17.9
22.4
19.0
23.4
19.4
14.3
19.1
22.8
14.2
22.5
23.5
21.6
25.2
18.6
18.7
26.9
22.7
22.8
19.6
27.4
23.6
14.9
23.3
27.1
15.8
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
3.3 Construcción de gráficos estadísticos
en la representación de la información
En la construcción de un gráfico debemos tener en cuenta algunas condiciones al realizarlos, primeramente, el tipo de
información que se tiene debe ser seleccionado para que sea representativa de la información, ya que se puede incurrir
en el hecho de que el gráfico no muestre lo que se desea. Los tipos de gráficos pueden ser: histograma, diagrama de
dispersión, de barras, cartesianas, bidimensionales o multidimensionales, polares, pie.
La información debe presentarse en forma clara, y es recomendable realizar por lo menos dos tipos para efectuar
comparación entre ellos.
En un gráfico, el título debe ser representativo de la información que se proporciona, debe ser claro y no permitir
ambigüedad; en los ejes deben incluir las etiquetas y la escala que se utiliza.
Un ejemplo es cuando se trata de representar variables cualitativas y se utiliza un gráfico de dispersión, o bien
cuando representamos variables que no tienen ninguna relación, por decir, en un gráfico que representemos la edad de
una persona con las ventas del mes, la relación que existe entre éstas es nula, pero la inexperiencia muchas ocasiones
nos lleva a la realización de este tipo de gráficos.
Otros tipos de errores comunes son la elección de la escala, que puede ocasionar que los gráficos no manifiesten
el verdadero contenido de la información; de hecho, en algunos casos se llega a omitir el origen.
3.4 Análisis de tipos de gráficos estadísticos
Una de las preguntas que nos hacemos es ¿para qué nos sirve un gráfico? Los gráficos nos permiten un análisis rápido
de la información, es un aspecto visual en el cual se tiene una idea clara y rápida sin tener que recurrir a análisis más
profundos de los datos.
Análisis de una planta de frijol
Altura de la planta
68.0
66.0
64.0
62.0
60.0
58.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observación
En la gráfica podemos observar rápidamente cuál planta es la mayor, o la menor, o si existiera igualdad entre
algunas de ellas, permitiendo un análisis rápido de la información, lo cual en una tabla de distribución de frecuencias
sería difícil de lograr. En la siguiente gráfica podemos observar que si se utiliza un gráfico diferente, el análisis de la
información no es el mismo.
Altura de la planta
68.0
66.0
64.0
62.0
60.0
0
5
10
15
121
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Altura de la planta
Observa la misma gráfica, pero usando un diagrama de dispersión, el cual no brindará la misma información que
el anterior, siendo ésta la misma en los dos gráficos, lo que nos puede llevar a conclusiones erróneas al utilizarlo, y las
decisiones que se tomen también pueden ser erróneas.
En los siguientes gráficos la información es la misma, pero las escalas se han modificado, con lo que se pueden
crear confusiones al verla. En la primera podemos decir que la tercera observación es muy grande en relación con la
cuarta observación.
68.0
67.0
66.0
65.0
64.0
63.0
62.0
61.0
60.0
59.0
Análisis de una planta de frijol
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observación
En este gráfico podemos inferir que todas las observaciones presentan poca variación.
Análisis de una planta de frijol
Altura de la planta
70.0
60.0
50.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observación
Es por ello que cuando realizamos un gráfico se debe tener mucho cuidado en la elección de la presentación y
las escalas de los ejes.
LECTURA SUGERIDA
http://geiuma-oax.net/invdoc/importanciaydef.htm
Actividades a realizar
1. Lee el artículo de la lectura sugerida y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
2. Contesta las preguntas que se realizan.
A) ¿Por qué es importante la investigación documental, según el artículo?
B) ¿Cuál es la idea central del artículo?
122
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
C) ¿Cuáles son las características de la investigación documental?
D ) ¿Cuáles son los conceptos básicos?
E) ¿Qué son las fichas de investigación?
F ) Cuando redactas un artículo, ¿qué debes
tomar en cuenta?
G) ¿Qué es una fuente documental?
H) Indica la unidad documental donde van a
trabajar.
ACTIVIDAD TRANSVERSAL
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
Deduce y aprende
La Encuesta Gráficos
Propósito: utilizar la información de la unidad transversal de la unidad I para realizar la representación gráfica de la información.
1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos, de preferencia los mismos que trabajaron en la unidad 1.
2. De cada uno de los datos del cuestionario que aplicaste, y la tabla correspondiente realiza las gráficas que se piden a continuación, selecciona para cada caso la que tu consideres la mejor para la representación de la información.
a) Tiempo de traslado a la escuela
b) Número de hermanos
c) Estado civil de los padres
d ) Edad de los padres
e) Grado máximo de estudios de los padres
f ) ¿Tienes computadora? ¿Tienes acceso a Internet?
3. De cada una de las gráficas realiza comentarios relativos a ellas.
4. Determina las medidas de tendencia central de cada uno de los datos agrupados.
123
PART E
3
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CIERRE
EVALUACIÓN SUMATIVA
Deduce y aprende
Multiplica las caras de los dados
Propósito: Desarrolla habilidades para realizar el cálculo de las medidas de tendencia central a partir de una situación concreta.
Conocimientos previos:
• ¿Qué entiendes por medidas de tendencia central?
• ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
Materiales:
• Dos dados
• Cuaderno de notas
1. Formen equipos de dos alumnos.
2. Tiren los dos dados y anoten sus resultados, para ello multiplica los puntos de cada cara superior.
3. Repitan el experimento 100 veces y registren en el cuaderno sus resultados.
4. Realicen con estos datos la tabla de distribución.
5. Realicen el cálculo de las medidas de tendencia central para datos no agrupados, media, mediana, moda, y los cuartiles 1, 2 y 3.
6. Realicen el cálculo de las medidas de tendencia central para datos agrupados, media, mediana, moda, y los cuartiles 1, 2 y 3.
7. Realicen las gráficas, diagrama de barras y el histograma.
8. ¿Cuáles son los posibles resultados del evento?
9. ¿Todos los resultados tienen la misma frecuencia?
10. ¿Cuál de los resultados es el de mayor frecuencia?
11. Si tuvieras que apostar, ¿a cuál resultado apostarías?
124
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. TERCERA PARTE
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar
Excelente
Bueno
Regular
Satisfactorio
Más de 90%
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 15 puntos
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo,
Más de 90%
resolví las actividades
Valor 15 puntos
Deduce y aprende
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Valor 7 puntos
Valor 4 puntos
Valor 2 puntos
Contesté correctamente
más de 90% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 80 y 89% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 70 y 79% de las
preguntas
Contesté correctamente
menos de 70% de las
preguntas
Valor 5 puntos
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
Realicé todas mis tareas
Realice 80% de mis
tareas
Realicé 60% de mis
tareas
Realicé 50% de mis
tareas
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
De 40 a 44 puntos
De 35 a 39 puntos
Menos de 35 puntos
Realicé los ejercicios
correctamente
Actividad integradora,
Valor 10 puntos
ver puntaje
Lectura de la unidad
Trabajo extra clase
Valor 5 puntos
Suma de puntos por
columna
Total de las columnas
De 45 a 50 puntos
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Resuelve los problemas de recuperación de información, y contesta el dominio que tienes de los siguientes conceptos.
Concepto
Lo domino
No lo domino
Representación gráfica de datos
Tipos de gráficas
Medidas de tendencia central
125
PA R T E
4
Eje
Del manejo de
la informacion
al pensamiento
estocástico
Cuarta parte
Componentes
O
Aprendizajes esperados
Riesgo, inferencia y aleatoriedad: elementos de la Estadística y la Probabilidad.
O
O
Contenido central
O
Tratamiento de las medidas de tendencia central. Tratamiento y significado de medidas de dispersión.
O
Calculan las medidas de tendencia central, medidas de dispersión, medidas de forma y medidas de correlación.
Interpretan las medidas de tendencia central desde el
análisis del gráfico estadístico, así como su variabilidad y
representación de la situación contextual.
Toman decisiones a partir de las medidas de tendencia central y su representación respecto a un conjunto de datos.
Productos esperados
O
Contenidos específicos
4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media
aritmética, la mediana? ¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una
medida de dispersión?, ¿qué es una medida de forma?,
¿qué es una medida de correlación?
4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué
información brindan las medidas de tendencia central?,
¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma información?, ¿en cualquier fenómeno tienen significado?
O
O
Argumentar qué es una medida de tendencia central y qué
es una medida de dispersión.
Dar ejemplos de dichas medidas.
Construir cuartiles a partir de datos dados.
APERTURA
Evaluación diagnóstica
Instrucciones: Resuelve cada uno de los siguientes problemas, elige la letra que hace verdadera la oración y anótala
en el paréntesis.
1. Es el valor que más se repite en una muestra.
A) Moda
B) Mediana
C) Promedio
B) Sesgo
C) Coeficiente de variación
B) 9.7
C) 9
(
)
(
)
D) Simetría
3. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, la media es:
A) 7
)
D) Muestra
2. Indica cuál no es una medida de forma:
A) Moda
(
D) 7.9
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
4. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, la desviación media es:
A) 15
B) 7.6
C) 20.37
B) 4.84
C) 20.37
B) 20
C) 12
B) 6
C) 20
B) 6
C) 12
9. Realiza la siguiente operación, α = 3
A) –1.75
C) 0.58
B) Varianza
C) Rango intercuartílico
D) Y
Y1 =
Y2
Y1
X2
X1
(X
D) Y Y
Y1 =
Y2
Y1
X2
X1
(X
B) –1
C) 0
B) Y " –X 8
C) Y " X – 8
128
B) 15s
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
D) X – Y – 8 " 0
15. Si una recta tiene pendiente uno, el ángulo de inclinación es:
A) 60s
(
D) 2
14. La ecuación de la recta que pasa por los puntos !(3, 5) y "(5, 3) es:
A) X " Y
)
X1 )
13. Dados los puntos !(3, 5) y "(5, 3) determina el valor de la pendiente:
A) 1
(
X1 )
12. La fórmula para calcular la pendiente de una recta es:
Y
Y1
B) Y " MX B
A) M = 2
X2
X1
C) Y – Y1 " M(X – X1)
)
D) Rango
11. La ecuación de la recta en su forma punto pendiente es:
Y − Y1
B) Y " MX B
A) M = 2
X 2 − X1
C) Y – Y1 " M(X – X1)
(
D) 2.35
10. Es el valor mayor menos el valor menor, recibe el nombre de:
A) Moda
)
D) 17
Media − mediana
si se sabe que μ " 2.7, Me " 5 y σ " 3.94.
Desviació
ón estándar
B) 1.75
(
D) 15
8. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, el rango intercuartílico es:
A) 18
)
D) 6
7. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, el cuartil 3 es:
A) 12
(
D) 2
6. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, el cuartil 1 es:
A) 2
)
D) 23.5
5. De los siguientes datos: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 15, 20, la varianza es:
A) 5
(
C) 30s
D) 45s
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Tema integrador
Secuencia didáctica
1. Un fabricante de ropa debe confeccionar 100 000 playeras para jóvenes entre 16
y 22 años de edad. Para determinar las preferencias del mercado debe contratar
una compañía que haga el estudio, para ello desea incluir el análisis de las formas.
Utiliza los datos de la secuencia didáctica que obtuviste en la unidad 1.
2. Utiliza la tabla de la temperatura media a nivel nacional, determina las medidas de
sesgo, la asimetría y el coeficiente de variación para cada uno de los meses. La tabla
la encontrarás en la secuencia didáctica de la unidad 1.
Apertura
Desarrollo
Cierre
• Formen equipos de cinco
alumnos.
• Formen su portafolio de evidencias.
• Escriban en el cuaderno el análisis que
hicieron sobre la situación didáctica.
• Lean la secuencia didáctica
que se plantea.
• Reunidos los alumnos del equipo discutan
cómo realizarán los cálculos
de las medidas de dispersión
• Determinen el valor de:
Sesgo
Apuntamiento
• Realicen un mapa mental de la unidad.
• Analicen los dos problemas.
• Analicen la importancia de estas medidas
para el proyecto de fabricación de las
playeras. Anoten sus conclusiones.
• Analicen la información obtenida
y determinen para qué sirve,
en el proyecto.
• Diseñen los instrumentos para agrupar
la información que se requiere.
• Determinen los instrumentos
de presentación gráfica.
• Determinen el coeficiente de variación.
• ¿Los datos presentan algún tipo de sesgo?
• Determinen la asimetría de los datos.
• Determinen el coeficiente de asimetría.
• Realicen una de las gráficas para el mes
de enero.
• Resuelvan el problema 2.
• Recuerden incluirlo en la presentación
de la información.
129
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Rúbrica para evaluar la secuencia didáctica
del tema integrador
Aspecto a
evaluar
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Satisfactorio
(2)
Deficiente
(1)
Análisis de
la situación
didáctica
Realiza una investigación
completa de la situación.
Realiza una investigación
clara y convincente.
La investigación no es
clara y sólo se presentan
recortes de páginas web.
La investigación es
deficiente y no aporta
conocimientos claros.
Desarrollo
del tema
integrador
Tiene un orden en
los contenidos, los
argumentos que
presenta están bien
fundamentados y
sus conclusiones son
correctas.
Tiene un orden en
los contenidos, los
argumentos que
presenta están bien
fundamentados y sus
conclusiones no son
correctas.
No hay orden en
los contenidos, los
argumentos que
presenta están bien
fundamentados y sus
conclusiones no son
correctas.
No hay orden en
los contenidos, los
argumentos que
presenta no están bien
fundamentados
y sus conclusiones
no son correctas.
Presentación
de resultados
Contesta más de 90%
de todas las preguntas
y realizó todas las
actividades.
Contesta entre 70 y 89%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta entre 60 y 69%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Contesta menos de 60%
de las preguntas y realizó
todas las actividades.
Propósito
Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría
de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.
¿Qué aprenderás?
• En esta unidad manejarás una gran cantidad de información, la cual te permitirá calcular las medidas de forma y las aplicarás a la
solución de problemas.
¿Para qué te servirá?
Estos cálculos son una herramienta muy importante en el estudio del comportamiento de una muestra o población, esto es, realizar un
estudio del comportamiento o tendencia de los datos, respecto a la forma de su representación gráfica.
130
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Actividad socioemocional
Fuera del salón de clases:
1. Menciona cómo te sientes antes de entrar a la clase de matemáticas.
2. Describe lo que sucede cuando estás leyendo.
3. ¿Cómo puedes mejorar tu atención?
4. Cita 15 factores que distraen tu atención.
Realiza la siguiente prueba con tus compañeros: determina quién puede leer más líneas de texto sin distraerse.
131
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
DESARROLLO
4.1 Medidas de tendencia central. ¿Qué es la moda, la media aritmética,
la mediana? ¿Qué es un cuartil?, ¿qué es una medida de dispersión?,
¿qué es una medida de forma?, ¿qué es una medida de correlación?
Representación gráfica de las medidas de tendencia central
Utilicemos el ejemplo siguiente para representar gráficamente las medidas de tendencia central.
Ejemplo
Realiza la gráfica de las edades de niños que asistieron a consulta el día 4 de agosto: 5, 8, 1, 5, 4, 2,
7, 1, 4, 8, 4, 8, 7, 7, 8. Calcula y localiza la media o
promedio, la mediana y la moda.
Solución
Primero ordenamos los datos: 1, 1, 2, 4, 4, 4, 5, 5,
7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.
Cálculo de la media o promedio, utilizamos la fórmula correspondiente.
μ =
∑ X I FI
N
=
Tabla 4.1
De frecuencias
xi
fi
fa
xi fi
A
1
2
2
2
B
2
1
3
2
C
4
3
6
12
D
5
2
8
10
E
7
3
11
21
F
8
4
15
32
79
= 5.27
15
Cálculo de la mediana
El número de datos son 15, es un número impar de datos, aplicamos la
regla y le sumamos uno, con lo que se obtiene 16, los dividimos entre 2 y
obtenemos 8, nos indica que el lugar de la mediana está en la posición 8, lo
que buscamos en los datos ordenados.
1, 1, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.
Lugar de la mediana
Entonces, el valor de la mediana es 5.
El valor de la moda es el que más se repite, entonces, la moda es 8.
132
15
79
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Edades de los niños que asistieron a
consulta médica el día 4 de agosto
FRECUENCIA
10
8
8
7
6
5
4
4
4
1
0
8
8
8
7
5
Media
4
2
2
7
Moda
1
Mediana
Edad
Ejercicio 1
1. Realiza la gráfica de las edades de niñas que asistieron a consulta el día 4 de agosto: 6, 3, 1, 5, 6, 5, 1, 3, 6, 5,
5, 1, 4. Calcula y localiza la media o promedio, la mediana y la moda.
2. Una compañía realiza un estudio sobre la duración
de uno de sus productos obteniendo los siguientes
resultados.
Tabla 4.2 Duración de focos de alto
rendimiento
Realiza la tabla de distribución, las gráficas de histograma, polígono de frecuencias, pie y ojivas. Calcula
las medidas de tendencia central.
Duración en meses
Número de productos
10-14
15
15-19
18
20-24
25
25-29
23
30-34
24
35-39
12
3. Contesta lo que se te pide en los siguientes problemas.
A) A 20 trabajadores de una empresa X elegidos
aleatoriamente se les solicitó que dijeran el número de horas que durmieron la noche anterior,
con lo que se obtuvieron los siguientes datos:
9
11
10
8
10
4
7
5
8
9
6
8
11
8
8
6
8
7
6
9
Encuentra la media, la mediana y la moda.
133
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
B) En una autopista se midieron las velocidades de 50 automóviles en km/h, los resultados se citan a continuación.
111
93
130 118 118 109 106 126 149
94
85
88
122 120 123
88
142 114
92
92
106 114
119
98
113
89
86
94
137 146 134
126 148
102 149
94
99
135 139 111 122 122 104
143 145 129
97
145 123 132 139 121 139 104
86
Clasifica los datos en una tabla de distribución de frecuencias y determina la media, la mediana y la moda.
C) A 20 de tus compañeros elegidos aleatoriamente se les
preguntó el número de horas que durmieron la noche
anterior, se concentraron los datos a continuación.
9
11
10
8
10
4
7
5
8
9
6
8
11
8
8
6
8
7
6
9
Determina la media, la mediana y la moda.
Media geométrica
Para obtener la media geométrica de un conjunto de datos se procede de la siguiente manera: se realiza el producto de
todos los N datos y se obtiene la raíz enésima del número de factores del producto.
Ejemplo
Obtén la media geométrica de 2, 3 y 6.
Solución
Media geométrica =
3
2 × 3 × 6 = 3.301
Ejercicio 2
1. Obtén la media geométrica de 2 y 8.
La media geométrica se utiliza para obtener el promedio de porcentajes, tasas de interés y en aquellas situaciones donde los datos son acumulativos.
134
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
2. Obtén la media geométrica del crecimiento anual de la población, con los siguientes datos:
Tasa media de crecimiento anual de la población, 2008: 0.82.
Tasa media de crecimiento anual de la población, 2000: 1.33.
Tasa media de crecimiento anual de la población, 1990: 1.92.
3. Obtén la media geométrica de:
Grado promedio de escolaridad de la población de 15 años y más, 2005: 8.1.
Grado promedio de escolaridad de la población de 15 años y más, 2000: 7.5.
4. Obtén la media geométrica de:
Población analfabeta, 2005: 8.4.
Población analfabeta, 2000: 9.5.
Cuantiles
Son medidas que nos permiten dividir el conjunto de datos en 4, 10 o 100 partes, y esto depende del número de datos
que se tengan, ya que si la cantidad de los datos son menores que 100 se entiende que no tendría relevancia dividirlos en 100 partes.
Cuartiles
Los cuartiles van a dividir en cuatro partes iguales al conjunto ordenado de datos que se tengan, de tal manera que el
primer cuartil deja 25% de los datos de un lado y del otro 75%, el segundo cuartil coincide con la mediana, y el tercer
cuartil deja primero 75% de un lado y 25% del otro. Entonces, para encontrar los cuartiles se requiere dividir el conjunto
1 1 3
1
de datos en cuatro partes iguales: , y . El cuartil con valor de corresponde a la mediana.
4 2 4
2
Por lo general, los cuartiles se nombran con la letra Q, así para el primer cuartil Q1 dividimos entre 4 el conjunto de datos para tomar la cuarta parte del conjunto de datos ordenados, o sea, que de la población o muestra deja del lado izquierdo
25% y del derecho 75%, para ello realizamos lo siguiente:
11 =
N +1
4
=
1
4
( N + 1) = 0.25 ( N + 1)
Donde:
N " número de datos
El cuartil 2 es igual al de la mediana:
12 =
1( N + 1)
2
=
1
2
( N + 1) = 0.5 ( N + 1)
El cuartil 3 es:
13 =
3 ( N + 1)
4
=
3
4
( N + 1) = 0.75 ( N + 1)
Cuando el valor del cuartil es exacto, se toma el valor de la posición que indica; si el valor no es exacto, seguimos
los siguientes criterios: si éste es 0.5 promediamos entre los valores en que se colocó el cuartil, si es diferente de 0.5,
entonces redondeamos al entero más cercano.
135
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
En un grupo de 30 alumnos se obtuvieron las siguientes calificaciones: 9, 3, 10, 8, 8, 8, 7, 4, 8, 9, 5, 7, 8, 10, 9, 7, 7,
5, 7, 9, 8, 9, 4, 7, 6, 9, 5, 6, 9, 7. Obtener el primero, segundo y tercer cuartiles.
Solución
Lo primero que se hace es ordenar los datos: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
10, 10.
Tenemos que para los cuartiles N " 30:
11 =
30 + 1
4
1
=
4
( 30 + 1)
7.75
En el cuartil redondeamos a 8, y en la posición ocho encontramos el valor 6:
3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10.
El cuartil 2 es igual al de la mediana:
12 =
30 + 1
2
=
1
2
( 30 + 1)
15 5
En el cuartil 2 tomamos el promedio de los valores que se encuentran en la posición 15 y 16, que corresponden al
promedio de 7 y 8, o sea, que el cuartil 2 es 7.5:
3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10.
Posición 15.5
Promediamos los valores
(
)
2
El cuartil 3 es:
13 =
3 ( 30
1)
4
=
3
4
( 30 + 1)
= 7.5
23 25
El cuartil 3 corresponde a la posición 23, ya que redondeamos el entero más cercano y en la posición 23 encontramos el valor 9.
3,4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10
En la tabla siguiente se tiene marcado cada uno de los cuartiles.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
3
4
4
5
5
5
6
6
7
Q1
136
7
7
7
7
7
7
8
Q2 7.5
8
8
8
8
8
9
9
Q3
9
9
9
9
9 10 10
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Ejercicio 3
En una tienda de celulares, durante 50 días se registran las ventas del
modelo rx-3454 que se presentan a continuación:
9, 3, 10, 8, 18, 2, 8, 7, 5, 14, 8, 9, 5, 7, 8, 10, 9, 17, 7, 9, 7, 5, 7, 19, 8,
9, 4, 7, 6, 9, 5, 6, 9, 7, 11, 15, 17, 3, 9, 12, 7, 4, 13, 2, 7, 16, 4, 6, 18, 9,
obtener el primero, segundo y tercer cuartiles.
Rango intercuartílico
Es una medida de posición que se obtiene con la diferencia de los cuartiles 13 y 11, lo que nos indicará cómo se concentra 50% de los datos respecto al centro.
Ejemplo
Determina en el ejemplo anterior el rango intercuartílico.
Solución
Realizamos la diferencia de 13 y 11.
2I " 13 – 11
"9–6"3
Ejercicio 4
Durante 20 días se realiza la toma de temperaturas que se presentan en un cultivo y se dan a continuación: 9, 3, 8,
8, 8, 7, 4, 8, 9, 5, 7, 8, 9, 7, 7, 5, 7, 9, 8, 9. Calcula el primero, segundo, tercer cuartiles y rango intercuartílico.
Ejercicio 5
Resuelve los siguientes problemas.
A) Investiga los ingresos públicos que por estado se reciben y calcula los cuartiles 1°, 2° y 3°, el rango intercuartílico.
B) Investiga el número de habitantes que por estado se tienen y calcula los cuartiles 1°, 2° y 3°, el rango intercuartílico.
C) Determina los ingresos públicos PER CÉPITA y calcula los cuartiles 1°, 2° y 3°, y el rango intercuartílico.
Ya tienes los conocimientos de las medidas de tendencia central, y como habrás notado, no son suficientes para
la toma de decisiones; por ello es importante aprender qué tan dispersos están los datos.
137
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Medidas de dispersión
Como su nombre lo dice, son medidas que nos permiten determinar la dispersión que existe entre los datos, permitiendo una mejor interpretación de la información.
Las medidas que estudiaremos son rango, desviación media, varianza y desviación estándar, cuanto más grandes
son estas medidas nos indicarán que la dispersión de los datos es mayor, resultado que debemos tener en cuenta para
el análisis de datos.
Rango
Esta medida nos permite tener nuestro primer acercamiento y mide la amplitud entre los datos. Para determinar el
rango, se realiza la diferencia entre el dato mayor menos el dato menor, es conveniente ordenar los datos para facilitar
el trabajo.
Ejemplo
Determina el rango de los siguientes datos: 50, 49, 51, 48, 52, 50, 50.
Solución
Primero ordenemos los datos: 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52.
El dato mayor es 52.
El dato menor es 48.
Rango (2) " 52 – 48 " 4
Ejercicio 6
Determina el rango de los siguientes datos:
A) 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50.
B) 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25
Desviación media
Es una medida que compara cada valor Xi con la media, midiendo qué tan separado se encuentra el dato de la media;
para ello, se realiza la diferencia de cada elemento menos la media y se toma el valor absoluto, después se suman todas
y se divide entre el número de datos, lo que se expresa en símbolos.
$- =
∑ XI
− μ
N
Donde:
$- " Desviación media
XI " Dato I
μ " Media
N " Número de datos
Medimos la distancia de cada valor con respecto a la media y al dividirlas entre n obtenemos el promedio de todas
estas medidas.
138
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Ejemplo
Determinemos la desviación media de los siguientes datos: 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52.
Tabla 4.3
Simplificación de cálculos de la
media
X
ax – μa
A
48
2
B
49
1
C
50
0
D
50
0
E
50
0
F
51
1
G
52
2
Solución
Primero obtenemos la media:
μ =
48 + 49 + 50 + 50 + 50 + 51 + 52
= 50
7
$- =
6
7
= 0.8571
∑ "6
Ejercicio 7
Encuentra la desviación media de los siguientes grupos de datos.
A) 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50.
B) 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25.
• ¿Cuál tiene la mayor desviación media?
• ¿A qué se debe esto?
El cálculo de las medidas de dispersión para datos agrupados: desviación media ($-), varianza (σ2) y desviación
estándar (σ), se efecturá a partir de los datos contenidos en la tabla 4.4.
Desviación media para datos agrupados
La desviación media para datos agrupados se obtiene en forma parecida a la de datos no agrupados, ya que esta medida persigue comparar los datos con la media. Para el cálculo realizamos la suma del valor absoluto de la diferencia entre
la marca de clase y la media, multiplicado por la frecuencia de la clase, lo que dividimos entre el número de datos.
$- =
∑ MI −
∑ FI
μ FI
Donde:
$- " Desviación media
MI " Marca de clase
FI " Frecuencia absoluta simple
μ " Media
139
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
Determinemos la desviación media para los datos que se presentan en la tabla siguiente:
Tabla 4.4
Distribución
2
Intervalo de clase
Frecuencia absoluta
Límite inferior
Límite superior
4
Marca de clase
(mi)
A
15
19
17
5
B
20
24
22
7
C
25
29
27
13
D
30
34
32
8
E
35
39
37
4
Sumas
37
1
Clase
5
Simple
(fi )
Solución
Primero calculamos la media μ con la siguiente fórmula:
μ =
∑ FI MI
∑ FI
=
17 × 5 + 22 × 7 + 27 × 13 + 32 × 8 + 37 × 4
= 26.8648
37
El llenado de la siguiente tabla nos ayudará a calcular el $-. Construyamos las columnas siguientes: FI MI, aMI – μa y
aMI – μa FI
Tabla 4.5
1
Clase
Simplificación de cálculos de la desviación media
2
Intervalo de clase
4
Marca de clase
(mi )
Frecuencia
absoluta
5
Simple
( fi )
fi mi
ami – μa
ami – μafi
17
5
85
9.86
49.3
24
22
7
154
4.86
34.02
25
29
27
13
351
0.13
1.69
D
30
34
32
8
256
5.13
41.04
E
35
39
37
4
148
10.13
40.52
Sumas
37
994
Límite
inferior
Límite
superior
A
15
19
B
20
C
Por tanto:
$- =
140
∑ | MI
− μ | FI
N
=
166.57
= 4.5
37
166.57
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Ejercicio 8
Determina la desviación media para los datos que se presentan en la tabla siguiente y para determinar el $- auxíliate de una tabla similar a la 4.5 del ejemplo anterior:
Tabla 4.6
De distribución
2
Intervalo de clase
Frecuencia absoluta
Límite inferior
Límite superior
4
Marca de clase
(mi)
A
15
19
17
15
B
20
24
22
27
C
25
29
27
33
D
30
34
32
18
E
35
39
37
4
1
Clase
5
Simple
(fi )
Sumas
Varianza σ 2
Es un promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado, para encontrarlas es conveniente calcular primero las desviaciones realizando la diferencia de cada valor menos la media y ésta se eleva al cuadrado, después se suman y se divide
entre el número de observaciones, en símbolos se tiene:
Para la población:
σ2 =
∑( XI
Para una muestra:
_
− X )2
N
S2 =
∑( XI
− μ )2
N −1
Donde:
XI " Dato I
μ " X es la media
N " Número de datos
Ejemplo
Calcula la varianza de los datos: 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52.
Solución
Realiza una tabla en tu cuaderno que contenga las columnas X, X – μ y (X – μ)2. (Ver la tabla 4.3)
Cálculo de la media: suma los valores de XI, los divides entre el número de datos, usa para ello la suma de la columna
X, el número de datos es 7 = N.
141
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Dividimos la suma de los cuadrados de las desviaciones entre el total de datos.
σ2 =
10
= 1.4285
7
Ejercicio 9
Encuentra la varianza de los siguientes grupos de datos.
A) 100, 0, 10, 90, 95, 5, 50, 25, 45, 80.
B) 3, 50, 25, 50, 25, 25, 50, 50, 4, 25, 40, 70, 95.
• ¿Cuál de ellos es el de mayor varianza?
• ¿A qué se debe esto?
Varianza para datos agrupados
La varianza con datos agrupados se obtiene realizando la diferencia de la marca de clase menos la media, cada una
de estas diferencias se eleva al cuadrado y se multiplica por la frecuencia para dividirla entre el número de datos. En
símbolos se tiene:
σ2 =
∑ ( -C
− μ )2 FI
N
Donde:
-C " Marca de clase
μ " X es la media
FI " Frecuencia simple
N " Número de datos
Ejemplo
Determina la varianza de los datos proporcionados en la tabla 4.4.
Solución
Primero calculamos la media μ con la siguiente fórmula:
μ = X =
∑ FI MI
N
=
17 × 5 + 22 × 7 + 27 × 13 + 32 × 8 + 37 × 4
= 26.8648
37
Utilicemos la información de la tabla y construyamos las columnas siguientes: FI MI, (-C – μ)2 y (-C n μ)2FI.
142
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Simplificación para el cálculo de la varianza
Tabla 4.7
1
Clase
2
Intervalo de
clase o límites
4
Marca de
clase
(mi )
Inferior Superior
Frecuencia
absoluta
5
Simple
(fi )
fi m i
(Mc – μ)2
(Mc – μ)2 fi
A
15
19
17
5
85
97.32
486.57
B
20
24
22
7
154
23.66
165.66
C
25
29
27
13
351
0.02
0.23
D
30
34
32
8
256
26.37
210.96
E
35
39
37
4
148
102.72
410.88
Sumas
37
994
Por tanto, σ 2 =
∑ ( -C
− μ )2 FI
N
=
1 274.3
1274.3
= 34.44
37
Ejercicio 10
Durante una semana se realizan mediciones por computadora del
tiempo que se tardan en atender a un cliente en las cajas de un supermercado, con lo que se obtiene la siguiente tabla. Determina la
varianza con intervalos de tiempo en minutos.
Tabla 4.8
1
Clase
Distribución
2
Intervalo de clase o límites
4
Marca de clase
(mi )
Frecuencia absoluta
5
Simple
(fi )
Inferior
Superior
A
0
2
360
B
3
5
1 365
C
6
8
2 469
D
9
11
1 423
E
12
14
745
Sumas
143
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Desviación estándar
La varianza presenta un problema en el manejo de los datos, ya que como se observa, está elevada al cuadrado. Por
ejemplo, cuando deseamos ver la dispersión de las estaturas, éstas se compararán con estaturas cuadradas, por lo que
se prefiere utilizar para la comparación de datos la desviación estándar que se obtiene con la raíz cuadrada de la varianza
que tiene las mismas unidades.
Para datos no agrupados es: σ =
Para datos agrupados es:
σ =
σ2
∑ ( -C
− μ )2 FI
N
Ejemplo
Si tienes una varianza de 34.44, calcula la desviación estándar.
Solución
Basta con obtener la raíz cuadrada de σ 2 " 34.44.
σ2 =
34.44 = 5.868
La desviación estándar es 5.868.
Ejercicio 11
Resuelve los siguientes problemas.
A) Determina el valor de la desviación estándar si σ 2 " 13.75.
B) Elige un tipo de refresco o líquido envasado del mismo tipo. Como los
envases son de la misma forma y tamaño, considera solamente la altura;
para ello, toma la altura del líquido de los 20 refrescos y determina la
desviación media, varianza y desviación estándar.
C) Formen equipos de cinco alumnos, elijan un tornillo del mismo tipo y
tamaño, tomen 150 tornillos y midan la longitud de cada uno de ellos.
Determinen la desviación media, varianza y desviación estándar. Utilicen datos agrupados.
Uso de la calculadora fx-991ES
Cálculo estadístico STAT
La calculadora que utilizamos para realizar los cálculos estadísticos es la Casio
fx-991ES. Para ingresar al modo de cálculo estadístico (STAT) presiona la tecla
MODE y elige el número 3 del teclado, en adelante se escribirá MODE 3.
Cuando se oprime esta combinación de teclas aparece el siguiente
menú de la tabla, del cual seleccionamos 1 (1 - VAR).
144
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Tabla 4.9
Cálculos estadísticos
Tecla
Ítem de menú
1
1 - VAR
2
Cálculo estadístico
Tecla
Ítem de menú
Cálculo estadístico
Una sola variable
5
e^x
Regresión exponencial e
A + BX
Regresión lineal
6
A z B^X
Regresión exponencial ab
3
_ + CX2
Regresión cuadrática
7
Azx^B
Regresión de potencia
4
Ln X
Regresión logarítmica
8
1/x
Regresión inversa
Ingreso de datos
Para ingresar datos selecciona mode 3, 1 (3 corresponde al modo STAT y 1 corresponde a trabajar con una variable),
con esta instrucción estamos listos para introducir datos, tecleamos el dato y el signo igual.
Ejemplo
Introducir los datos 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Tecleamos 1 y el valor que ingresa aparece en el área de fórmula, cuando se oprime igual se registra el dato y el
cursor se mueve una celda hacia abajo. Así continuamos introduciendo los datos 2, 3, 4, 5 y 6. Para salir del editor
presionamos AC.
El número de líneas en la pantalla del editor STAT o número de datos de la muestra es de 80 líneas o datos con una
sola variable. Sólo se obtiene la mitad cuando se usan dos variables.
Se debe tener cuidado cuando uno sale del modo STAT, pues la información se borra.
Reemplazo de datos en una celda
Sobre la pantalla del editor STAT movemos el cursor a la celda que se desea reemplazar. Ingresamos el valor del dato
nuevo y presionamos el signo =.
Ejemplo
Reemplazamos el valor 4 del editor por el valor 35.
Solución
Presionamos SHIFT 1, 2, con ello regresamos al editor de STAT, nos colocamos en el valor 4 (el que deseamos reemplazar), tecleamos 35 y presionamos =. Verificamos con el cursor que el cambio se haya realizado. Presionamos AC.
Ejercicio 12
Reemplaza el valor de 35 por el valor 4. Reemplaza el valor de 3 por el valor 45 y el valor 45 por el valor de 5, al
final presiona AC.
Borrando una línea
Sobre la pantalla del editor STAT mueve el cursor a la celda que deseas borrar, presiona DEL.
145
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejemplo
Borramos el dato 2.
Solución
Presiona SHIFT 1, 2, con ello regresará al editor de STAT. Colócate en el valor 2 (el que deseamos borrar), presionamos DEL. Verificamos con el cursor que se borró este dato y presionamos AC.
Ejercicio 13
Borra el dato 4.
Verifica que los datos que se encuentran en la calculadora son 1, 3, 5 y 6.
Presiona SHIFT 1, 2 y utiliza el cursor. Al final presiona AC para salir.
Insertando líneas
Sobre la pantalla del editor STAT (SHIFT 1, 2) movemos el cursor a la línea que estará abajo del dato que deseamos
insertar, presionamos SHIFT 1, 3, 1 (el 3 nos indica el menú editar y el 1 insertar), observemos que la elección SHIFT
1, 3, 2 borra todos los datos.
Ejemplo
Insertemos el valor 2 entre 1 y 3.
Solución
Entra a la pantalla del editor STAT (SHIFT 1, 2) movemos el cursor a la línea que estará abajo del dato que insertará,
o sea, 3; presionamos SHIFT 1, 3, 1, presionemos 2 y el signo =, presionemos AC para salir. Verifiquemos que se
realizó la inserción, utilicemos SHIFT 1, 2, utilicemos el cursor para verificar.
Ejercicio 14
Inserta el valor 4 entre 3 y 5, verifica que los datos que se tienen son 1, 2, 3, 4 y 5.
Borrando todos los datos
Sobre la pantalla del editor STAT (SHIFT 1, 2), presionemos SHIFT 1, 3, 2, con lo que todos los datos se borrarán. Borremos todos los datos y verifiquemos.
Has aprendido algunas cosas de cómo utilizar la calculadora, a continuación veremos algunas medidas de tendencia central y de variación que se pueden obtener.
Uso del menú STAT
El menú 34!4 depende del tipo de operación estadística que se desea realizar.
Cuando se oprime SHIFT 1, aparece el siguiente menú:
146
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Para entrar al submenú de STAT presiona SHIFT 1 y, luego, el número del menú que deseas utilizar; por ejemplo,
para seleccionar Type presionaremos SHIFT 1, 1.
1. Type. Visualizamos la pantalla de selección de tipo de cálculo estadístico.
Seleccionamos 1 para el trabajo en una sola variable.
2. Data. Visualizamos la pantalla de selección de tipo de cálculo estadístico,
como ya se ha visto.
3. Edit. Visualizamos el menú secundario de edit para editar los contenidos de la pantalla, insertar 1: Ins, borrar el
contenido 2: Del- A.
4. Sum. Nos permite entrar a un menú secundario donde aparece:
1 8 X 2 suma de los datos al cuadrado.
2 8 X suma de los datos.
Ejemplo
Encuentra la suma de los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Solución
A) Capturamos los datos, seleccionamos el menú STAT para una sola variable (mode 3, 1).
B) Presionamos 1 y el signo =, 2 y el signo =, ..., 6 y el signo =.
C) Presionamos AC.
D) Presionamos SHIFT 1, 3, y seleccionamos 2 8 X, aparece en el display 8 X,
presionamos = para obtener el valor
(21). Puede realizar la operación que
desee, sumar, restar, elevar al cuadrado, etcétera.
Ejercicio 15
Encuentra la suma de los cuadrados de los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
5. Var. Visualizamos el menú secundario de los comandos para calcular la media y la desviación estándar (S), etcétera.
Ejemplo
Determinamos el valor de la media, desviación estándar y varianza de los datos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si los datos son de
una población (el valor del denominador es N) para los casos de S y S2.
Solución
Capturamos los datos y presionamos AC.
Presionamos SHIFT 1, 5, 2. Aparece en el display.
1. N
3. σX
2. X
4. sX
147
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
A) El valor 1 nos indica el número de datos que se capturaron. Si presionamos 1 aparece:
Oprimimos el signo = para ver su valor. Checamos que sea correcto.
B) Para la media seleccionamos 2, aparece en el display X, presionamos
igual para obtener su valor.
C) Para la desviación estándar poblacional, presionamos 3 y signo = para
obtener su valor.
D) Para la varianza poblacional presionamos 3, aparece σX, ahora presionamos la tecla para elevar al cuadrado: X 2, y el signo = para obtener
su valor. Observamos que el valor de la desviación estándar se utilizó
como un operador.
Ejercicio 16
Determina el valor de la media, desviación estándar y varianza de los datos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si sabemos que son los
datos de una muestra, el valor del denominador es (N – 1) para los casos de S y S2.
6. Max, Min. Visualizamos el menú secundario de los comandos para calcular el valor máximo (2) y el valor mínimo
(1) de los datos de la muestra.
Ejemplo
Determinemos el rango de la muestra 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
Solución
Presionamos SHIFT 1, 6, 2. Aparece en el display maxX, presionamos el signo menos (–) y SHIFT 1, 6, 1. Aparece en
el display maxX – minX, presionamos el signo = para obtener el valor del rango.
148
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Activación del modo de frecuencia
Para activar o desactivar la frecuencia en datos agrupados utilizamos la siguiente secuencia de teclas:
1. Shift mode. Con lo que aparece el menú de SETUP.
Ahora se oprime el cursor hacia abajo y aparece un submenú
del cual se elige 4:STAT, aparece el submenú: frequency? 1: ON 2: OFF
Se elige la opción deseada, en este caso 1: ON, para activar, y la frecuencia 2: OFF para desactivar. Desactivemos
la frecuencia y verifiquemos que se ha desactivado.
Este menú te permite trabajar con datos agrupados, utilizando los menús anteriores.
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Calculadora y datos no agrupados
Propósito: Calcula las medidas de tendencia central, de dispersión, de posición y las gráficas para realizar la comparación de los datos
presentados, utilizando para ello la tabla de distribución y la calculadora.
Conocimientos previos:
• ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
• ¿Cuáles son las medidas de dispersión?
• ¿Cuáles son las medidas de posición?
Material: Calculadora fx-991ES
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de cuatro alumnos.
149
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2. Utilicen la información de la tabla y determinen lo siguiente:
Tabla 4.10
Primeros ingresos y egresos de licenciatura, según el área de la ciencia, 1995-2004
Año
Total de ingresos
Total de egresos
1995
276 838
173 693
1996
298 557
191 024
1997
320 758
183 417
1998
352 670
184 258
1999
378 663
200 419
2000
412 464
209 795
2001
430 921
227 095
2002
458 769
249 085
2003 a/
473 568
269 184
2004 a/
501 361
290 597
Fuente: Los egresos de 2003 y los ingresos y egresos del 2004 son estimaciones de CONACYT.
CONACYT. Informe General del Estado de la Ciencia y la Tecnología. 2004. México, D.F. 2004.
Cierre de la actividad
Trabajando los datos sin agrupar
3. Determina las medidas de tendencia central.
A)
B)
C)
D)
Ingreso
Egreso
Ingreso
Egreso
Ingreso
Egreso
Valor de N:
Media:
Mediana:
Moda:
4. Determina las medidas de dispersión.
Rango:
Valor mínimo:
Valor máximo:
Varianza:
Desviación estándar:
5. Determina las medidas de posición.
A) 11:
B) 12:
C) 13:
D) Rango intercuartílico:
E Dispersión:
150
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
6. Realiza las gráficas para comparar los datos de ingreso y egreso, utiliza las que a tu consideración permitan mostrar mejor la
información.
4.2 Análisis de la información y toma de decisiones. ¿Qué
información brindan las medidas de tendencia central?,
¿cuándo se puede considerar que todas dan la misma
información?, ¿en cualquier fenómeno tienen significado?
Las medidas de forma nos permiten estudiar la apariencia externa de las frecuencias, utilizando para ello formas analíticas sin recurrir al modo gráfico. Las medidas de forma que estudiaremos son el coeficiente de variación, la asimetría
y coeficiente de Pearson.
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación nos permite determinar la dispersión relativa entre los datos de la muestra o población y se
realiza por medio del cociente que se forma entre la desviación estándar y la media de los datos.
Muestra
#6 =
Población
3
#6 =
8
σ
μ
A mayor coeficiente de variación tendremos mayor dispersión de los datos.
Ejemplo
Determinemos el coeficiente de variación. Si se sabe que en una compañía de llantas para automóvil se mide la duración en kilómetros de
dos tipos que fabrica: ! y ", obteniendo los siguientes datos:
Tabla 4.11
Duración de llantas de automóvil
Llanta
Media (en miles de km)
Desviación estándar
A
56
2.5
B
59
2.7
Llanta !
#6 =
3
8
#6 =
25
56
= 0.446
Llanta "
#6 =
27
59
= 0.457
Como podemos observar, existe mayor dispersión de los datos en la llanta ".
151
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 17
Dados los siguientes sueldos de dos empresas en miles de pesos, determina cuál de las dos tiene mayor dispersión.
Tabla 4.12
Sueldos de empleados de las compañías A y B
Salario/empresa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
$17 738
$17 972
$8 726
$24 343
$22 725
$12 451
$13 312
$20 898
$7 548
B
$18 195
$13 820
$22 134
$12 099
$19 999
$4 526
$14 723
$18 390
$30 448
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
La educación
Propósito: Desarrolla habilidades en el proceso de la información.
Conocimientos previos:
• ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
• ¿Cuáles son las medidas de dispersión?
• ¿Cómo se obtienen?
Material: Libro
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de cinco alumnos.
2. Consideren la información de la siguiente tabla.
Tabla 4.13
Alumnos egresados del nivel de licenciatura nacional (1982-2001)
Periodo
Primer ingreso
Matrícula
1982
2 853
10 426
1983
3 556
1984
Egresados
Periodo
Primer ingreso
Matrícula
Egresados
812
1992
15 008
69 193
6 222
12 901
990
1993
17 938
74 915
8 026
4 362
17 538
978
1994
20 651
85 925
8 775
1985
5 360
21 715
1 367
1995
24 792
100 257
10 559
1986
7 688
29 855
1 683
1996
26 861
109 253
11 980
1987
10 092
36 235
1 814
1997
31 384
121 174
12 498
1988
10 338
42 238
2 490
1998
36 857
133 925
13 801
1989
12 809
52 624
3 375
1999
41 945
153 283
14 121
1990
14 742
63 974
3 698
2000
44 130
157 642
15 806
1991
15 793
68 855
5 031
2001
49 524
177 110
17 965
Fuente: ANUIES.
3. Realicen en hojas blancas las gráficas de barras, pastel y polígono de frecuencias para los alumnos de primer ingreso, matrícula y
egresados.
152
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
4. Realicen las ojivas mayor que y menor que para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
5. Discutan sobre cuál de ellas representan la mejor forma de interpretar la información.
6. Calculen las medidas de tendencia central para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
7. Calculen las medidas de dispersión para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
8. Determinen el coeficiente de variación para los alumnos de primer ingreso, matrícula y egresados.
Sesgo
Asimetría y coeficiente de Pearson
La relación que existe entre las medidas de tendencia central y la simetría de la distribución lo podemos definir de la
siguiente forma: si un conjunto de datos es simétrico, entonces la moda, la media y la mediana son iguales, cuando el
conjunto de datos no es simétrico pueden suceder dos cosas:
1. Que la moda sea mayor que la mediana y ésta sea mayor que la media, lo que llamaremos sesgo positivo o a la
derecha.
2. El otro caso es que la moda sea menor que la mediana y ésta menor que la media, lo que llamamos sesgo negativo o a la izquierda.
En ambos casos decimos que los datos son asimétricos.
En la gráfica de la derecha podemos observar que los datos son
simétricos y la moda, la mediana y la media son iguales.
X̂ " Me " μ
X̂ " Me " μ1
6
5
4
3
2
1
0
1
x̂ = Me = μ
Sesgo positivo o asimétrico hacia la derecha.
En esta figura los datos están cargados hacia la derecha, por lo
que la moda es menor que la mediana y ésta es menor que la media.
X̂ ! Me ! μ
6
5
4
3
2
1
0
1
x̂
En la gráfica de la derecha los datos están cargados hacia la derecha, por lo que la moda es mayor que la mediana y ésta mayor que
la media.
μ ! Me ! X̂
μ
Me
6
5
4
3
2
1
0
1
μ
Me
x̂
153
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
El coeficiente de asimetría, también conocido como el segundo coeficiente de Pearson, nos ayuda a determinar la
asimetría de los datos, llamemos al coeficiente de asimetría Pearson como α (alpha).
⎛ Media − mediana ⎞
⎛ μ − -E ⎞
= 3⎜
α = 3⎜
⎟
⎝
⎝ Desviación estandar ⎟⎠
σ ⎠
Ejemplo
Determinemos el coeficiente de asimetría Pearson de los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2 y 1.
Solución
Para utilizar la fórmula del coeficiente de asimetría es necesario calcular la media, mediana y desviación estándar.
Media ( μ)) =
1
2 + 3 + 4
5
9
4 + 3 + 2 +1
Posición de la mediana ( -E ) =
9 +1
2
= 2.777
= 5
Los elementos ordenados son 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 y 5, el elemento en la posición 5 es 3 y éste el valor de la mediana.
Desviación estándar ( σ ) =
(1 − 2.777 )2 + (1 − 2.777 )2 + ( 2 − 2
2.777
777 )2 + ( 2 − 2
2.777
777 )2 ( 3 − 2
2.777
777 )2
2
2
2
2
+ ( 3 − 2.777 ) ( 4 − 2
2.777
777 ) + ( 4 − 2
2.777
777 ) ( 5 − 2.777 )
9
σ " 3.944
Los valores los sustituimos en nuestra fórmula:
α = 3
⎛ μ − -E ⎞
⎝
σ ⎠
3
⎛ 2.777 − 3 ⎞
= −0.169
⎝ 3.944 ⎠
Es un valor negativo, por ello sabemos que la media está a la izquierda de la mediana.
Desviación estándar = 3.944
Mediana = 3
Media = 2.777
Ejercicio 18
1. Determina el coeficiente de asimetría para los siguientes
datos de una muestra de salarios de una compañía A:
48, 49, 50, 50, 50, 51 y 52.
Tabla 4.14
Salarios de la compañía A
x
A
48
B
49
C
50
D
50
E
50
F
51
G
52
∑
154
x–μ
x – (x-)2
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
2. Determina el coeficiente de asimetría para los datos 48, 49, 50, 50, 50, 51, 52, 53, 55, 60 y 75 que representan
las edades de un grupo de personas que realizan ejercicios.
Apuntamiento o curtosis
La curtosis determina qué tan puntiaguda es una serie de datos, o sea, qué tan alargada o achatada es una distribución
de los datos.
Para calcular el coeficiente de curtosis utilicemos la siguiente fórmula:
#U =
1S − 11
2( 0C90 − 0C10 )
Como observamos, debemos calcular los cuartiles 1 y 3, así como los percentiles 10 y 90. Para ello, se presentan
tres casos.
Ejemplo
Determinemos el coeficiente de curtosis de los siguientes valores, que son los retardos en minutos de los trabajadores de la compañía A: 5, 6, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 7, 9, 5, 8, 3, 4, 7, 9, 6, 8, 3, 5, 9, 4, 6, 4, 5, 7, 5, 8 y 9.
Solución
Obtenemos la siguiente tabla.
Retardos del personal de la compañía A
Tabla 4.15
xi
fi
Fa
3
4
4
4
6
10
5
7
17
6
3
20
7
3
23
8
3
26
9
4
30
Título de la gráfica
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
30
Obtenemos el cuartil 13.
Recordemos que el cuartil es una medida de posición:
13 =
3
4
( 30 + 1)
23 25
Utilicemos la tabla y en la frecuencia acumulada (&A) podemos ver que el número 23 corresponde a 7 de las XI, por
lo que el cuartil 13 = 7.
155
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Obtenemos el cuartil 11.
11 =
1
4
( 30 + 1)
8.25
Utilicemos la tabla y en la frecuencia acumulada (&A) podemos ver que el número 8 corresponde a la posición 4 de
la XI , por lo que el cuartil 13 = 3. Calculemos la posición de los percentiles.
Obtenemos el percentil 090.
Recordemos que los percentiles, al igual que los cuartiles, son una medida de posición.
090 =
90
100
( 30 + 1)
27 9
Utilicemos la tabla y en la frecuencia acumulada (&A) podemos ver que el número 28 corresponde al 9 de las XI, por
lo que el cuartil 090 = 9. Obtenemos el percentil 010.
010 =
10
100
( 30 + 1)
3.1
Observemos la información de la tabla anterior, en la frecuencia acumulada (&A) podemos ver que el número 3
corresponde a la posición 3 de las XI, por lo que el cuartil 010 = 3.
Para calcular el coeficiente de curtosis utilicemos la fórmula:
#U =
1S
11
2 ( 0C90
0C10 )
=
7 − 3
2( 9 − 4 )
= 04
Este valor se compara con el valor de #U = 0.263 donde los datos no son aplanados ni alargados; por ello, este valor
será la constante de curtosis y recibe el nombre de mesocúrtica, en el caso de que el valor obtenido sea menor que
#U < 0.263. Los datos son aplanados y reciben el nombre de platicúrtica, si es mayor #U # 0.263, entonces, los datos
son alargados, como es el caso de nuestro ejemplo y reciben el nombre de leptocúrtica.
Ejercicio 19
Encuentra el coeficiente de curtosis para los siguientes problemas.
A) A 20 trabajadores de una empresa X elegidos aleatoriamente se les solicitó que dijeran el número de horas que
durmieron la noche anterior, con lo que se obtuvieron los siguientes datos. Halla las medidas de forma de los
siguientes datos.
156
11
9
9
8
7
11
9
8
9
11
9
11
9
7
11
6
11
6
11
10
8
6
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
B) En una autopista se midieron las velocidades de 50 automóviles, cuyos resultados se
anotan a continuación.
88
90
107 145 142
132 144 112
89
137
91
103
87
130
99
87
90
139
95
147 119
89
145 113 146 110
123
89
133 134 122 123
94
90
98
88
135 145 110
120 138
91
95
130
100 137 110 137 142 120 143 140 136 150
96
Hasta el momento, hemos hablado de la forma en que se distribuye un conjunto de datos. A continuación estudiaremos la relación entre dos conjuntos de datos. El conjunto de pares ordenados que se forma lo llamamos distribuciones
bidimensionales, los cuales primero los representaremos gráficamente, lo que nos permitirá tener una idea de cómo se
encuentran los datos y así poder elegir el modelo más apropiado para describir la relación entre las variables.
Medidas de correlación
Las medidas de correlación nos indican si dos variables están relacionadas y qué tan relacionadas pueden estar. Para
ello estudiaremos covarianza, coeficiente de correlación, recta de regresión lineal.
Ejemplo
Consideremos los siguientes conjuntos de datos para establecer una relación entre el peso y la estatura de 10 personas y la manera como se relacionan estas variables.
Estatura
1.33
1.57
1.51
1.29
1.28
1.26
1.44
1.58
1.56
1.54
Peso
35
57
54
48
50
44
59
57
46
55
70.00
60.00
50.00
Peso
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
Estatura
157
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Gráfica de dispersión
Gráfica de dispersión
Peso vs Altura
Altura vs Peso
1.60
60
1.55
55
50
1.45
Peso
Estatura
1.50
1.40
45
1.35
40
1.30
35
1.25
40
50
60
1.3
1.4
Estatura
Peso
1.5
1.6
Cuando localizamos los puntos en un plano de coordenadas cartesianas podemos observar en forma gráfica la dispersión de los datos, a esta representación le llamamos diagrama de dispersión o nube de puntos.
Ejercicio 20
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno.
1. Realiza en forma gráfica la dispersión de los siguientes datos, en tu cuaderno.
A)
B)
Estatura
1.39
1.12
1.14
1.04
1.01
1.68
1.02
1.5
1.48
1.56
Peso
45
31
39
45
36
33
40
59
53
58
Estatura
1.39
1.4
1.42
1.35
1.37
1.38
1.42
1.36
1.44
1.35
Peso
45
31
39
45
36
33
40
59
53
58
2. Toma una muestra de 20 varones. Registra su peso, estatura y medida de la cintura y realiza la gráfica de dispersión que se tiene para:
A) El peso y la estatura.
B) El peso y la medida de la cintura.
C) La estatura y la medida de la cintura.
3. Investiga el precio del dólar y el euro en los últimos 12 meses. Realiza la gráfica de dispersión.
4. En grupo elijan a cinco hombres y cinco mujeres. Enumérenlos del 1 al 5 y se forman las parejas: (1, 1), (2, 2),
(3, 3), (4, 4) y (5, 5). Marquen una distancia de 25 m y registren en el cuaderno los tiempos que emplea cada
pareja en recorrer la distancia. Con la información realicen la gráfica de dispersión correspondiente.
158
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Covarianza
Es una medida que determina el coeficiente de variación entre dos conjuntos de datos o entre dos variables. Es un dato
básico para determinar si existe una dependencia entre las variables y además, es el dato necesario para estimar otros
parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la recta de regresión. Se representa mediante el símbolo Cov(X, Y), Sxy, donde X y Y son dos conjuntos de datos a estudiar. Para calcular la covarianza se utiliza el siguiente
modelo matemático:
Cov (8 , 9 ) =
∑ XI YI
N
− XY
Donde:
XI YI " Producto de los valores I de cada conjunto.
X Y " Producto de las medias aritméticas de cada conjunto de datos.
N " Número de valores tomados en cuenta.
La covarianza la describimos como el promedio de los productos de los datos menos el producto de las medias.
Ejemplo
Determinemos la covarianza del peso y la estatura de 10 personas con los siguientes datos:
Estatura
1.33
1.57
1.51
1.29
1.28
1.26
1.44
1.58
1.56
1.54
Peso
35
57
54
48
50
44
59
57
46
55
Solución
Utilicemos la información de la tabla de la derecha
para facilitar los cálculos.
En la primera columna de la tabla anterior se tiene
el valor de cada I = 1, 2, 3, …, 10. En la segunda y
tercera columnas están los valores de la estatura
y el peso, respectivamente. En la última columna
está el producto de las columnas de la estatura y
el peso. En el último renglón se tienen las medidas y el producto de éstas.
Por último, se sustituyen estos valores en la fórmula de Cov(8 9 ).
Cov (8 ,
) =
=
∑ XI YI
N
− XY
730.42
− 72.518
10
Tabla 4.16
Peso y estatura
Valor i
xi
yi
xi yi
1
1.33
35
46.55
2
1.57
57
89.49
3
1.51
54
81.54
4
1.29
48
61.92
5
1.28
50
64
6
1.26
44
55.44
7
1.44
59
84.96
8
1.58
57
90.06
9
1.56
46
71.76
10
1.54
55
84.7
Suma
14.36
505
730.42
Media de x y y
X = 1.436
Y = 50.5
X Y = 72.518
" 0.524
159
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Ejercicio 21
Determina la covarianza del peso y la estatura de 10 personas, cuyos valores se muestran a continuación.
Estatura
1.39
1.12
1.14
1.04
1.01
1.68
1.02
1.5
1.48
1.56
Peso
45
31
39
45
36
33
40
59
53
58
A) Toma una muestra de 20 hombres de la misma edad y determina la covarianza que se tiene para el peso y la
estatura, y el peso y la medida de la cintura.
B) Toma una muestra de 20 mujeres de la misma edad y determina la covarianza del peso y la medida de la cintura.
Coeficiente de correlación
Cuando hablamos de correlación nos referimos al comportamiento que existe entre dos fenómenos cualesquiera, en
matemáticas determinamos la forma en que se relacionan dos variables, ya sea que ambas crezcan o decrezcan, tomando en cuenta la proporcionalidad que se dé entre ellos. Diremos que los fenómenos están relacionados positivamente
cuando hablamos de una proporcionalidad directa y cuando ambos crecen o decrecen, y será negativa cuando uno de
ellos crece y el otro decrece.
Existe una medida que nos permite determinar el grado de correlación que existe entre dos variables o los datos del
fenómeno, éstos reciben el nombre de coeficiente de correlación. Este coeficiente se mueve en el intervalo [–1, 1], existe
una correlación fuerte e inversa cuando el valor es igual a –1 y se considerará una correlación fuerte y directa para un valor
de 1. El valor de cero nos indica la ausencia de correlación. Puedes utilizar el coeficiente de correlación para medir el grado de
relación lineal entre dos variables. El coeficiente nos permite tener una idea clara de la correlación existente, ya que el movimiento que se tenga de un valor en el intervalo [–1, 1] indicará el aumento de éste cuanto más se acerque a los extremos.
Para este coeficiente utilizaremos la letra griega rho (ρ) o R, lo cual es indistinto cuando se utilice para calcularla:
R = ρ =
Cov (8 , 9 )
3 X 3Y
Donde:
Cov(8, 9) " Covarianza
3X " Desviación estándar de X
3Y " Desviación estándar de Y
Si R " 1, los puntos en la nube están sobre la recta creciente y si R " –1 están sobre la recta decreciente, entonces
se dice que entre las variables hay una dependencia funcional.
Otra forma de calcularlo es utilizando la siguiente fórmula con cada uno de los elementos de la fórmula anterior.
N ∑ XY −
ρ =
N∑ X2 −
(∑ X )
2
∑X∑Y
N∑ Y 2 −
(∑ Y )
2
Ejemplo
Determinemos el coeficiente de correlación que hay entre los siguientes datos.
160
Estatura
1.33
1.57
1.51
1.29
1.28
1.26
1.44
1.58
1.56
1.54
Peso
35
57
54
48
50
44
59
57
46
55
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Solución
Utilicemos la fórmula siguiente para determinar la correlación entre las dos variables.
N∑
ρ =
N∑
∑ ∑Y
(∑ )
2
2
N∑
(∑ )
2
2
Para ello, realizaremos diferentes sumas, utilizando la información de la siguiente tabla para facilitar los cálculos.
Tabla 4.17
Peso y estatura.
Valor
x
y
xy
x2
y2
1
1.33
35
46.55
1.7689
1 225
2
1.57
57
89.49
2.4649
3 249
3
1.51
54
81.54
2.2801
2 916
4
1.29
48
61.92
1.6641
2 304
5
1.28
50
64
1.6384
2 500
6
1.26
44
55.44
1.5876
1 936
7
1.44
59
84.96
2.0736
3 481
8
1.58
57
90.06
2.4964
3 249
9
1.56
46
71.76
2.4336
2 116
10
1.54
55
84.7
2.3716
3 025
Suma
14.36
505
730.42
20.7792
26 001
Ȉ al cuadrado
206.20
255 025
53 3513.37
431.77
676 052 001
N∑
∑ ∑Y
ρ =
ρ =
N∑
2
(∑ )
10( 730.42 )
2
N∑
(∑ )
2
2
(14.36 )( 505 )
10( 20.77 ) − 206
206.20
20 10( 26 001)
( 255 025 )
= 0.589
Ejercicio 22
1. Pregunta a 20 personas lo siguiente y registra las respuestas en el cuaderno.
A) Si el lugar donde vive es rentado o propio.
B) El número de metros cuadrados de la casa que habitan.
C) El costo de la renta o el valor de la casa que habita.
2. Divide en dos grupos: uno, los que tienen casa propia, y otro, los que rentan, ordena su información como consideres más conveniente.
161
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
3. Determina el coeficiente de correlación que hay entre el valor de la casa propia y el terreno.
4. Determina el coeficiente de correlación que hay entre el pago de la renta y los metros cuadrados que se rentan.
Error estándar de estimación
El error estándar de estimación nos permite medir la dispersión media entre los valores de las dos variables 8 y 9, de la
ecuación de regresión lineal.
∑ ( 9 − 9 )2
Para ello utilizamos la notación y la fórmula: 3E =
N − 2
Si deseamos estar seguros en aproximadamente 65% de que el valor real de 9 caerá dentro del intervalo, entonces sumamos t1 del error estándar de 9.
Si deseamos estar seguros en aproximadamente 95.5% de que el valor real de 9 caerá dentro del intervalo, entonces sumamos t2 del error estándar de 9.
Por último, si deseamos estar seguros en aproximadamente 99.7% de que el valor real de 9 caerá dentro del
intervalo, entonces sumamos t3 del error estándar de 9.
Ejemplo
Enseguida se presentan las calificaciones que obtuvieron dos alumnos. Determina el error estándar de estimación de
los datos que se muestran a continuación: X toma los valores 5, 7, 6 y 3, mientras que Y toma los valores 6, 9, 6 y 4.
Solución
Construimos una tabla con las siguientes columnas y realizamos los cálculos que se piden. Toma en cuenta que el
valor de N = 4.
Sustituimos en la fórmula: 3E =
x
y
y
(y – y)2
5
6
6.25
0.0625
7
9
6.25
7.5625
6
6
6.25
0.0625
3
4
6.25
5.0625
Sumas
21
25
∑(
)2
N − 2
=
12.75
12.75
= 2.5248
4 2
Ejercicio 23
Determina la nube de puntos, el coeficiente de correlación, la recta de regresión lineal y el error estándar de estimación para los siguientes grupos de datos:
162
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
1.
Estatura (cm)
133
157
151
129
128
126
144
Peso (kg)
35
57
54
48
50
44
59
2.
3.
Calificación
133
157
151
129
128
126
Edad
35
57
54
48
50
44
Cantidad de fibra
20
32
38
45
55
70
78
85
94
104
Resistencia
133
144
155
166
179
190
205
220
235
250
4.
Distancia
215
550
480
920
1 350
670
1 070
Tiempo
1
2
1.5
3
4.5
2.5
5
Recta de regresión
Cuando realizamos el análisis del comportamiento que existe entre dos fenómenos, en la mayoría de los casos se
requiere determinar un modelo matemático que sea representativo de la muestra o población, éste puede ser de tipo:
lineal, cuadrático, exponencial, logarítmico, etc. De ellos, se escoge el que mejor se ajuste al comportamiento de los
datos, por ello la importancia de conocer la gráfica de dispersión. El ajuste dependerá en mucho de la experiencia del
analista. Uno de los métodos que se utiliza con mayor frecuencia es el de mínimos cuadrados. Para obtener la recta que
mejor se ajuste utilizamos la ecuación de la recta en su forma punto pendiente, siendo el punto el que corresponde
a la media de cada conjunto de los datos, y la pendiente es el cociente de la covarianza y la varianza de x, finalmente,
expresamos la recta utilizando la forma pendiente ordenada al origen.
Y − Y =
3 XY
3 2X
(X − X )
Ejemplo
Determinemos la recta de regresión por mínimos cuadrados que dé el mejor ajuste para los siguientes datos.
Estatura
133
157
151
129
128
126
144
158
156
154
Suma = 1436
Peso
35
57
54
48
50
44
59
57
46
55
Suma = 505
Solución
Cálculo de la media:
Estatura =
Peso =
1436
= 143.6 = X
10
505
= 50.5 = Y
10
Punto ( X , Y ) = (143.6, 50.5)
163
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
En el plano se marca el punto que se forma por las medias de cada conjunto de datos.
El cálculo de la pendiente de la recta de regresión lineal se realiza de la siguiente manera:
3 XY
Y − Y =
)
∑ XI YI
3 XY =
Cálculo de la covarianza:
(
3 2X
N
− XY
Cálculo de la varianza:
3 2X
∑ (X I
=
− X )2
N
Para ello, utilicemos la información de la siguiente tabla para facilitar el cálculo de estos valores.
Tabla 4.18
Peso y estatura.
Valor
x
y
xy
–
(x – x )2
1
133
35
4 655
112.36
2
157
57
8 949
179.56
3
151
54
8 154
54.76
4
129
48
6 192
213.16
5
128
50
6 400
243.36
6
126
44
5 544
309.76
7
144
59
8 496
0.16
8
158
57
9 006
207.36
9
156
46
7 176
153.76
10
154
55
8 470
108.16
Suma
1 436
505
73 042
1 582.4
3 XY =
∑ XI YI
N
3 2X
164
=
− XY =
∑(
73 042
− (143.6 )( 50.5 ) = 52.4
10
)2
I
N
=
1582.4
= 158.24
10
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta para obtener la recta de mejor ajuste:
Y
52. 4
50 5
158 24
( X − 143.6 )
Despejamos Y:
Y = 0.33114X – 47.552 + 50.5
Y = 0.33114X + 2.948
Realizamos la gráfica de la recta.
55
(x–, –
y)
50
45
40
35
30
130
135
140
145
150
155
160
Ejercicio 24
1. Determina la recta de mejor ajuste de los datos siguientes y utilizando la recta de regresión lineal del peso y la
estatura de 10 personas que se muestran a continuación.
Estatura
139
112
114
104
101
168
102
15
148
156
Peso
45
31
39
45
36
33
40
59
53
58
165
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2. Una compañía de transportes decide realizar una inspección a su flotilla de transportes, así que toma una muestra de 8 unidades y registra la distancia recorrida en kilómetros y el tiempo de entrega, con lo que obtiene los
siguientes datos.
Embarque
A
B
C
D
E
F
G
H
Distancia x
675
358
865
433
1 059
237
578
175
Tiempo y
8.7
4.3
10.9
5.2
14.5
3
7
2.4
A) Determina la recta de regresión lineal por el método de mínimos cuadrados.
B) Utiliza la recta de regresión y determina:
• Si el camión recorre una distancia de 500 km, ¿qué tiempo se espera que tarde?
• Si el camión tardó 6.7 horas, ¿qué distancia recorrió?
Ejercicio 25
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno:
1. De los datos finales de algún torneo de futbol toma los datos de
los juegos ganados y el número de goles anotados y realiza:
A) El diagrama de dispersión o nube de datos.
B) La covarianza de los dos conjuntos de datos.
C) La correlación que hay entre los datos.
D) La recta de mejor ajuste para los datos que se tienen.
2. Localiza 20 departamentos nuevos que están a la venta, de ellos
averigua el costo y el número de metros cuadrados que tienen
y realiza lo siguiente:
A) El diagrama de dispersión o nube de datos.
B) La covarianza de los dos conjuntos de datos.
C) El coeficiente de correlación que hay entre los datos.
D) La recta de mejor ajuste para los datos que se tienen.
Ejercicio 26
Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.
1. A continuación se presenta el número de aciertos obtenidos por 12 estudiantes del curso pasado de la materia
Estadística y probabilidad, correspondiente a su primera evaluación y a su calificación final. Se quiere saber si la
166
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
calificación del primer parcial influye en su calificación final. Encuentra la recta de regresión por mínimos cuadrados para saber cómo interactúan estas calificaciones.
Tabla 4.19
Relación entre exámenes
Primer
examen
parcial
x
Examen
final
y
Primer
examen
parcial
x
Examen
final
y
71
83
58
60
49
45
82
60
80
75
64
48
73
60
32
51
93
80
87
73
85
90
80
89
2. Los siguientes datos corresponden al número de horas que
los alumnos de primaria se pasan viendo la televisión en una
semana y la calificación obtenida en la materia de Matemáticas. Ajusta la recta de regresión por mínimos cuadrados. ¿Qué
puedes concluir de este ejercicio?
Tabla 4.20
Aprovechamiento
Horas
Calificación
Horas
Calificación
4
9
10
5
6
8
12
2
8
8
14
2
3. Los siguientes datos corresponden a los gastos de publicidad y de utilidades que presentaron cinco compañías de
ventas de automóviles. Ajusta la recta de regresión por mínimos cuadrados a los datos.
Tabla 4.21
Gastos de publicidad
Gastos (mill.)
Ganancias (mill.)
1.5
3.6
1.0
2.8
2.8
5.4
0.4
1.9
1.3
2.9
2.0
4.3
167
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
4. Los dueños de un centro comercial saben que los clientes acuden a su negocio en función de la distancia (en
kilómetros) respecto a la ubicación de un núcleo de población C. (El número de clientes se mide en cientos).
Los datos se presentan a continuación.
Relación entre distancia de un centro comercial
y clientes de un núcleo de población
Tabla 4.22
Número de clientes (x)
8
7
6
4
2
1
Distancia (y)
15
19
25
23
34
40
Calcula el coeficiente de correlación lineal y de la ecuación de la recta de
regresión por mínimos cuadrados, en tu cuaderno.
5. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un taller (8)
y a unidades producidas (9), determina la recta de regresión de 9 sobre 8 y
el coeficiente de correlación lineal.
Horas (X)
80
79
83
84
78
60
82
85
79
84
80
62
Producción (Y)
300
302
315
330
300
250
300
340
315
330
310
240
6. Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a
dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla.
Número de horas dormidas (X )
6
7
8
9
10
Número de horas de televisión (Y )
4
3
3
2
1
Frecuencias absolutas (fi )
3
16
20
10
1
A) Calcula el coeficiente de correlación.
B) Determina la ecuación de la recta de regresión de 9 sobre 8.
C) Si una persona duerme ocho horas y media, ¿cuánto se espera que vea la televisión?
D) Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kg.
E) Halla la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso.
F) ¿Cuál sería el peso aproximado de un niño de seis años?
LECTURA SUGERIDA
http://scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1729-519X2009000200017
Actividades a realizar
1. Lee el artículo de la lectura sugerida y escribe las palabras que no entiendas, busca su significado.
168
• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
2. Contesta las preguntas que se realizan.
A) Indica el tema central del que trata el artículo.
B) Escribe la palabra clave del artículo.
C) ¿Cuáles son los objetivos, en la ciencia de la Estadística, que permiten medir la relación entre dos variables
cuantitativas?
D ) Describe lo que lleva a Galton a enunciar su “principio de la mediocridad”.
E) En qué consiste el paquete Estadístico para Ciencias Sociales (SPSS).
F ) En qué consiste el coeficiente de correlación de los rangos de Spearman.
G) Señala en los ejemplos en los que se aplica el coeficiente de correlación de los rangos de Spearman en
la solución de problemas de salud.
ACTIVIDAD TRANSVERSAL
Proyecto: Estudio de la población de nuevo ingreso
Deduce y aprende
La Encuesta
Representación gráfica de las medidas de tendencia central y dispersión.
Propósito: Utilizando la información de la actividad transversal de la página 44, para realizar la representación gráfica de la información de las medidas de tendencia central y de dispersión.
1. Se forman equipos de 4 o 5 alumnos, de preferencia los mismos que trabajaron en las unidades anteriores.
2. De los datos agrupados en las tablas de frecuencia, calcula las medidas de dispersión.
3. En las gráficas que realizaste en la unidad transversal III, traza gráficamente las medidas de tendencia central y de dispersión.
4. Utiliza las medidas de forma, para comparar: los estudios de los padres, la edad.
5. Argumentar qué es una medida de tendencia central y qué es una medida de dispersión.
6. Construir cuartiles a partir de los datos dados (tiempo de traslado).
7. Realiza una presentación de la información que tienes utilizando los medios electrónicos que desees, definan la fecha en la cual
se expondrán los trabajos de todo lo realizado en las Actividades transversales.
169
PART E
4
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CIERRE
EVALUACIÓN SUMATIVA
Apertura de la actividad
Deduce y aprende
Suma y multiplica las caras de los dados
Propósito: Desarrolla habilidades para la realización del cálculo de las medidas de correlación de la dispersión a partir de una situación concreta.
Conocimientos previos:
• ¿Qué entiendes por medidas de correlación?
• ¿Cuáles son las medidas de correlación?
Materiales:
• Dos dados
• Cuaderno de notas
Desarrollo de la actividad
1. Formen equipos de dos alumnos.
2. Tiren los dos dados y anoten sus resultados, para ello, uno de ustedes suma y el otro multiplica los puntos de cada cara superior.
Suma
Multiplicación
3. Repitan el experimento 25 veces y registren en el cuaderno sus resultados.
Cierre de la actividad
1. Realicen con estos datos el diagrama de dispersión o nube de puntos.
2. Calcula la covarianza de los datos.
3. Calcula el coeficiente de correlación.
4. ¿Qué tipo de proporcionalidad presenta?
5. Determina la recta de regresión lineal para los datos que obtienes.
6. Realiza de nuevo las actividades anteriores 1 a 5, pero con datos agrupados.
7. ¿Cuáles son los posibles resultados del evento?
8. ¿Todos los resultados tienen la misma frecuencia?
9. ¿Cuál de los resultados es el de mayor frecuencia?
10. Si tuvieras que apostar, ¿a cuál resultado apostarías?
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• EJE. DEL MANEJO DE LA INFORMACIÓN AL PENSAMIENTO ESTOCÁSTICO. CUARTA PARTE
1. AUTOEVALUACIÓN
Aspecto a evaluar
Excelente
Bueno
Regular
Satisfactorio
Más de 90%
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 15 puntos
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Trabajé en equipo,
Más de 90%
resolví las actividades
Valor 15 puntos
Deduce y aprende
Entre 80 y 89%
Entre 70 y 79%
Menos de 70%
Valor 11 puntos
Valor 7 puntos
Valor 3 puntos
Valor 7 puntos
Valor 4 puntos
Valor 2 puntos
Contesté correctamente
más de 90% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 80 y 89% de las
preguntas
Contesté correctamente
entre 70 y 79% de las
preguntas
Contesté correctamente
menos de 70% de las
preguntas
Valor 5 puntos
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
Realicé todas mis tareas
Realicé 80% de mis
tareas
Realicé 60% de mis
tareas
Realicé 50% de mis
tareas
Valor 4 puntos
Valor 3 puntos
Valor 2 puntos
De 40 a 44 puntos
De 35 a 39 puntos
Menos de 35 puntos
Realicé los ejercicios
correctamente
Actividad integradora,
Valor 10 puntos
ver puntaje
Lectura de la unidad
Trabajo extra clase
Valor 5 puntos
Suma de puntos por
columna
Total de las columnas
De 45 a 50 puntos
2. AUTOEVALUACIÓN DISCIPLINAR
Revisa la actividad Deduce y aprende, titulada 3UMA Y MULTIPLICA LAS CARAS DE LOS DADOS, y contesta el dominio que
tienes de los siguientes conceptos.
Concepto
Lo domino
No lo domino
Distribuciones bidimensionales
Covarianza
Coeficiente de correlación
Recta de regresión
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Glosario
Covarianza: Es una medida que nos indica el grado de variación de dos variables.
Cuartil: Son valores que dividen a la muestra en cuatro.
Desviación media: Es una medida que compara cada valor XI con la media.
Estadística: Es una ciencia que se encarga de recolectar, describir e interpretar una cantidad de datos, los que se
organizan y procesan para brindar información y tomar decisiones o inferir.
Mediana: Es una medida de tendencia central que se sitúa a la mitad de los datos ordenados.
Moda: Es una medida de tendencia central, la cual nos indica el valor o los valores que más se repiten, o sea el de
mayor frecuencia.
Muestra: Es una parte de la población.
Población: Una población es el conjunto de individuos o elementos de interés.
Probabilidad: Circunstancia de que algo suceda al azar.
Promedio: Realizar la suma de todos los datos y lo dividimos entre el número total de datos.
Rango: Esta medida nos permite tener nuestro primer acercamiento mide la amplitud entre los datos.
Rango intercuartílico: Es una medida de posición que se obtiene con la diferencia de los cuartiles Q3 y Q1.
Varianza: (σ 2) Es un promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado.
Tabla de distribución de frecuencias
Diagrama de barras: Recibe el nombre de diagrama de barras el gráfico que asocia a cada valor de la variable una
barra, generalmente vertical, puede ser horizontal.
Gráfica: Las gráficas son representaciones pictóricas que nos permiten realizar un análisis rápido y en forma visual
de lo que sucede en algún conjunto de datos.
Histograma: Se realizan de la misma forma que las gráficas de barras, la única diferencia es que en ellas se utilizan
los límites reales.
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