Programa del Diploma
Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
cuadernillo de fórmulas
Para ser utilizado durante la enseñanza de la asignatura y en los exámenes
Primeros exámenes: 2021
Versión 1.1
© International Baccalaureate Organization 2019
Índice
Conocimientos previos
NM y NS
2
Únicamente NS
2
Tema 1: Aritmética y álgebra
NM y NS
3
Únicamente NS
4
Tema 2: Funciones
NM y NS
5
Únicamente NS
5
Tema 3: Geometría y trigonometría
NM y NS
6
Únicamente NS
7
Tema 4: Estadística y probabilidad
NM y NS
Únicamente NS
9
10
Tema 5: Análisis
NM y NS
11
Únicamente NS
11
Conocimientos previos – NM y NS
Área de un paralelogramo
A = bh , donde b es la base y h es la altura
Área de un triángulo
1
A = (bh) , donde b es la base y h es la altura
2
Área de un trapecio
=
A
1
(a + b) h , donde a y b son los lados paralelos y h es la altura
2
Área de un círculo
A = πr 2 , donde r es el radio
Circunferencia (perímetro) de
un círculo
C = 2πr , donde r es el radio
Volumen de un ortoedro
V = lwh , donde l es la longitud, w es el ancho y h es la altura
Volumen de un cilindro
V = πr 2 h , donde r es el radio y h es la altura
Volumen de un prisma
V = Ah , donde A es el área de la sección transversal y h es la
altura
Área de la superficie lateral de
un cilindro
A= 2πrh , donde r es el radio, h es la altura
Distancia que hay entre dos
puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
d=
Coordenadas del punto medio
de un segmento de recta
cuyos extremos son
( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
 x1 + x2 y1 + y2 
, 

2 
 2
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2
Conocimientos previos – Únicamente NS
Soluciones de una ecuación
cuadrática
Las soluciones de ax 2 +=
bx + c =
0 son x
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
−b ± b 2 − 4ac
,a≠0
2a
2
Tema 1: Aritmética y álgebra – NM y NS
NM
1.2
NM
1.3
El n-ésimo término de una
progresión aritmética
un = u1 + (n − 1) d
La suma de los n primeros
términos de una
progresión aritmética
S n=
El n-ésimo término de una
progresión geométrica
un = u1r n −1
n
n
( 2u1 + (n − 1) d ) ; Sn= (u1 + un )
2
2
La suma de los n primeros
u1 (r n − 1) u1 (1 − r n )
, r ≠1
=
Sn =
términos de una
r −1
1− r
progresión geométrica
NM
1.4
NM
1.5
NM
1.6
kn
Interés compuesto
r 

FV = PV × 1 +
 , donde FV es el valor futuro,
 100k 
PV es el valor presente (actual), n es el número de años,
k es el número de períodos de composición del interés que hay
en un año, r% es el tipo de interés nominal anual
Potencias y logaritmos
a x = b ⇔ x = log a b , donde a > 0, b > 0, a ≠ 1
Porcentaje de error
ε=
vA − vE
× 100% , donde vE es el valor exacto y vA es el
vE
valor aproximado de v
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3
Tema 1: Aritmética y álgebra – Únicamente NS
TANS Propiedades de los
1.9
logaritmos
log=
log a x + log a y
a xy
x
log
=
log a x − log a y
a
y
log a x m = m log a x
for a, x, y > 0
TANS Suma de los infinitos
1.11
términos de una
progresión geométrica
TANS Números complejos
1.12
Discriminante
S∞ =
u1
, r <1
1− r
z= a + bi
∆= b 2 − 4ac
TANS Forma módulo-argumental
1.13
(polar) y forma exponencial
(de Euler)
z=
r (cos θ + isen θ ) =
re i θ =
r cis θ
TANS
Determinante de una
1.14
matriz 2 × 2
a b
A=
A =
ad − bc

 ⇒ det A =
c d
Inversa de una matriz
2× 2
TANS Fórmula de la potencia de
1.15
una matriz
a b
1  d
−1
=
A 
 ⇒ A=

det A  −c
c d
−b 
 , ad ≠ bc
a
M n = PD n P −1 , donde P es la matriz de vectores propios y D
es la matriz diagonal de valores propios
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4
Tema 2: Funciones – NM y NS
NM
2.1
NM
2.5
Ecuaciones de la recta
0 ; y − y1= m ( x − x1 )
=
y mx + c ; ax + by + d =
y2 − y1
x2 − x1
Fórmula de la pendiente
m=
Eje de simetría del gráfico
de una función cuadrática
f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒ el eje de simetría es x = −
b
2a
Tema 2: Funciones – Únicamente NS
TANS
Función logística
2.9
f ( x) =
L
, L , k,C > 0
1 + Ce − kx
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5
Tema 3: Geometría y trigonometría – NM y NS
NM
3.1
Distancia que hay entre
dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y
d=
Coordenadas del punto
medio de un segmento de
recta cuyos extremos son
( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )
 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 
, , 

2
2 
 2
Volumen de una pirámide
recta
V=
1
Ah , donde A es el área de la base y h es la altura
3
Volumen de un cono recto
V=
1 2
πr h , donde r es el radio y h es la altura
3
Área de la superficie
lateral de un cono
A = πrl , donde r es el radio y l es la generatriz
Volumen de una esfera
V=
Área de la superficie de
una esfera
A = 4πr 2 , donde r es el radio
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2
( x2 , y2 , z2 )
NM
3.2
NM
3.4
4 3
πr , donde r es el radio
3
Teorema del seno
a
b
c
= =
sen A sen B sen C
Teorema del coseno
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C =
Área de un triángulo
1
A = ab sen C
2
Longitud de un arco
=
l
Área de un sector circular
=
A
θ
360
a 2 + b2 − c2
2ab
× 2πr , donde θ es el ángulo en grados y r es el radio
θ
360
× πr 2 , donde θ es el ángulo en grados y r es el radio
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
6
Tema 3: Geometría y trigonometría – Únicamente NS
TANS Longitud de un arco
3.7
Área de un sector circular
TANS Relaciones
3.8
trigonométricas
l = rθ , donde r es el radio, θ es el ángulo en radianes
1
A = r 2θ , donde r es el radio, θ es el ángulo en radianes
2
cos 2 θ + sen 2θ =
1
tan θ =
TANS Matrices de
3.9
transformación
senθ
cos θ
 cos 2θ

 sen 2θ
sen 2θ 
 , simetría respecto a la recta y = (tan θ ) x
− cos 2θ 
 k 0

 , estiramiento horizontal / estiramiento paralelo al eje x
 0 1
con factor de escala k
1 0

 , estiramiento vertical / estiramiento paralelo al eje y
0 k 
con factor de escala k
k 0

 , homotecia, con factor de escala k y centro en (0, 0)
0 k
 cos θ

 sen θ
− sen θ 
 , rotación en sentido contrario a las agujas del
cos θ 
reloj de ángulo θ alrededor del origen ( θ > 0 )
 cos θ

 − sen θ
sen θ 
 , rotación en sentido de las agujas del reloj de
cos θ 
ángulo θ alrededor del origen ( θ > 0 )
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
7
TANS
3.10
Módulo de un vector
TANS Ecuación vectorial de una
3.11
recta
Forma paramétrica de la
ecuación de la recta
TANS
3.13
Producto escalar
 v1 
 
v + v2 + v3 , donde v =  v2 
v 
 3
2
1
v =
2
2
r = a + λb
x =+
x0 λ l , y =+
y0 λ m, z =+
z0 λ n
 v1 
 w1 
 
 
v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3 , donde v =  v2  , w =  w2 
v 
w 
 3
 3
v⋅w =
v w cos θ , donde θ es el ángulo que forman v y w
v1w1 + v2 w2 + v3 w3
v w
Ángulo que forman dos
vectores
cos θ =
Producto vectorial
 v2 w3 − v3 w2 
 w1 
 v1 
 


 
v ×=
w  v3 w1 − v1w3  , donde v =  v2  , w =  w2 


 
v 
 w3 
 v1w2 − v2 w1 
 3
v×w =
v w sen θ , donde θ es el ángulo que forman v y w
Área de un paralelogramo
A=
v × w donde v y w constituyen dos lados adyacentes
del paralelogramo
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
8
Tema 4: Estadística y probabilidad – NM y NS
NM
4.2
NM
4.3
NM
4.5
NM
4.6
RIC
= Q3 − Q1
Rango intercuartil
k
∑fx
i i
k
∑f
Media ( x ) de un conjunto
de datos
x=
Probabilidad de un
suceso A
P ( A) =
Sucesos complementarios
P ( A) + P ( A′) =
1
Sucesos compuestos
P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B)
Sucesos incompatibles
(mutuamente excluyentes)
P ( A ∪ B )= P ( A) + P ( B)
Probabilidad condicionada
P ( A B) =
Sucesos independientes
P ( A ∩ B) =
P ( A) P ( B)
NM
4.7
Valor esperado de
una variable aleatoria
discreta X
NM
4.8
Distribución binomial
i =1
E(X )
=
, donde n =
n
i =1
i
n ( A)
n (U )
P ( A ∩ B)
P ( B)
x P(X
∑=
x)
X ~ B (n , p)
Media
E ( X ) = np
Varianza
Var (=
X ) np (1 − p )
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
9
Tema 4: Estadística y probabilidad – Únicamente NS
TANS Transformación lineal de
4.14
una variable aleatoria
unidimensional
Combinaciones lineales
de n variables aleatorias
independientes
X 1 , X 2 , ..., X n
E ( aX +=
b ) aE ( X ) + b
Var ( aX + b ) =
a 2 Var ( X )
a1E ( X 1 ) ± a2 E ( X 2 ) ± ... ± an E ( X n )
E ( a1 X 1 ± a2 X 2 ± ... ± a=
n Xn )
Var ( a1 X 1 ± a2 X 2 ± ... ± an X n )
= a12 Var ( X 1 ) + a2 2 Var ( X 2 ) + ... + an 2 Var ( X n )
Estadísticos muestrales
Estimación sin sesgo
de la varianza de la
población sn2−1
sn2−1 =
n 2
sn
n −1
TANS Distribución de Poisson
4.17
X ~ Po (m)
Media
E(X ) = m
Varianza
Var ( X ) = m
TANS Matrices de transición
4.19
T n s0 = sn , donde s0 es el estado inicial
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
10
Tema 5: Análisis – NM y NS
NM
5.3
NM
5.5
Derivada de x n
f ( x) =
x n ⇒ f ′( x) =
nx n −1
Integral de x n
dx
∫x=
Área entre una curva
y = f ( x) y el eje x,
donde f ( x) > 0
NM
5.8
Regla del trapecio
n
x n +1
+ C , n ≠ −1
n +1
b
A = ∫ y dx
a
1
y dx ≈ h ( ( y0 + yn ) + 2( y1 + y2 + ... + yn −1 ) ) ,
2
b−a
donde h =
n
∫
b
a
Tema 5: Análisis – Únicamente NS
TANS Derivada de sen x
5.9
f ( x) =sen x ⇒ f ′( x) =cos x
Derivada de cos x
cos x
f ( x) =⇒
f ′( x) =
− sen x
Derivada de tan x
f ( x) =tan x ⇒ f ′( x) =
Derivada de e x
f ( x) =
e x ⇒ f ′( x) =
ex
Derivada de ln x
1
f ( x) =
ln x ⇒ f ′( x) =
x
Regla de la cadena
y = g (u ) , donde u = f ( x) ⇒
Regla del producto
y =uv ⇒
Regla del cociente
du
dv
v −u
u
dy
d
x
d
x
y= ⇒
=
2
v
dx
v
1
cos 2 x
dy dy du
= ×
dx du dx
dy
dv
du
=u + v
dx
dx
dx
Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación
11
TANS Integrales inmediatas
5.11
1
dx
∫ x=
ln x + C
− cos x + C
∫ sen x dx =
x dx
∫ cos =
1
∫ cos=
x
2
∫e
TANS
Área de la región que está
5.12
delimitada por una curva y
por el eje x o el eje y
Volumen de revolución
alrededor del eje x o del
eje y
TANS
Aceleración
5.13
x
sen x + C
tan x + C
x ex + C
d=
b
b
a
a
A = ∫ y dx o A = ∫ x dy
b
b
a
a
V = ∫ πy 2 dx o V = ∫ πx 2 dy
=
a
dv d 2 s
dv
= = v
dt dt 2
ds
Distancia recorrida entre
t1 y t2
distancia =
Desplazamiento entre
t1 y t2
desplazamiento =
TANS Método de Euler
5.16
Método de Euler para
sistemas acoplados
∫
t2
t1
v(t ) dt
∫
t2
t1
v(t ) dt
yn +=
yn + h × f ( xn , yn ) ; xn +=
xn + h , donde h es una
1
1
constante (denominada ‘paso’)
xn +1 = xn + h × f1 ( xn , yn , tn )
yn +1 = yn + h × f 2 ( xn , yn , tn )
tn +1= tn + h
donde h es una constante (denominada ‘paso’)
TANS Solución exacta de un
5.17
sistema de ecuaciones =
x Aeλ1t p1 + Beλ2t p2
diferenciales lineales
acopladas
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12