TD
Electrostatique
Série 2
1
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Exercice 7
On considère l’Exercice 6 de la série 1.
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1- Calculons au point O et en fonction de q, le potentiel
électrique V créé par l'ensemble des charges.
Le potentiel en O est la somme des quatre potentiels
créés en O par q1, q2, q3 et q4 :
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
2- Peut-on en déduire les composantes du champ E ?
Le potentiel calculé en O est constant, donc on ne pas
utiliser la relation :

E   gradV

pour déduire les composantes du champ E .
Pour le faire il faudra déterminer V en fonction d’une
distance r quelconque.
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Exercice 9
On considère un cylindre d'axe Oz, de rayon R et de
longueur infinie, portant une distribution de charge
surfacique uniforme σ.
1- Déterminer le champ électrostatique créé en tout
point M de l'espace.
2- En déduire le potentiel en tout point M de l'espace.
On considère que V(a) = V0 avec a > R.
3- Tracer l'allure des variations de E(M) et V(M).
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Réponse :
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a- r > R :
La charge totale contenue à l’intérieur de cette surface
fermée Σ = S1 + S2 + SL est :
Qi = σ.S = σ.2πRH.
(S est la surface chargée du cylindre de rayon R et de
hauteur H)
Φ = Qi /ε0 = σ.2πRH/ε0
(2)
En égalisant les expressions des deux flux (1) et (2) on
obtient :
E.2πrH = σ.2πRH/ε0
==˃ E = σR/(rε0)
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b- r < R :
La surface fermée Σ = S1 + S2 + SL se trouve maintenant
à l’intérieur du cylindre de rayon R et de hauteur H, donc
il n’y a pas de charge intérieure, Qi est nulle (Qi = 0) :
==˃ E = 0
c- r = R :
La surface fermée Σ = S1 + S2 + SL coïncide avec celle du
cylindre de rayon R et de hauteur H, donc (QΣ = σ.2πRH) :
Φ = QΣ/(2ε0) = σ.2πRH/(2ε0)
Or
Φ = E.2πRH
==˃ E = σ/(2ε0)
(2)
(1)
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2- Déduisons le potentiel en tout point M de l'espace. On
considère que V(a) = V0 avec a > R.
A partir de la relation suivante :

E   gradV
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Question : Comment trouver les constantes V1 et V2
d'intégration ?
On sait que, de point de vue mathématique, le potentiel V
est une fonction continue. Ainsi lors de la traversée de la
surface du cylindre de rayon R, V est continu.
V(r = R) = V1 = - σR/ε0.lnR + V2
Or si r tend vers l’infini alors lnr va tendre vers l’infini.
C’est pour cette raison qu’on a choisi un potentiel de
référence V0 = V(a) pour a ˃ ˃ R. C’est par rapport à V0
qu’on va définir les constantes V1 et V2.
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Ainsi pour r ˃ R on a :
V0 = V(a) = - σR/ε0.lna + V2
D’où :
V2 = V0 + σR/ε0.lna
V1 = - σR/ε0.lnR + V0 + σR/ε0.lna = V0 + σR/ε0.ln(a/R)
et :
V = - σR/ε0.lnr + V0 + σR/ε0.lna = σR/ε0.ln(a/r) + V0.
3- Traçons l'allure des variations de E(M) et V(M).
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Exercice 10
On considère maintenant un cylindre volumique d'axe Oz, de
rayon R et de longueur infinie, portant une distribution de
charge volumique uniforme .
1- Déterminer le champ électrostatique créé en un point M
de l'espace
2- En déduire le potentiel en tout point M de l'espace. On
considère que V(a) = V0 avec a >> R.
3- Tracer l'allure des variations de E(M) et V(M).
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Réponse
1- Déterminons le champ électrostatique créé en tout
point M de l'espace.
Volume élémentaire du cylindre : dτ = r.d.dr.dz = r.dr.d. dz
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34
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• r > R :
La charge totale contenue à l’intérieur de cette
surface fermée Σ = S1 + S2 + SL lorsque r > R est :
Qi = .τ = .πR2H.
(τ est le volume chargé du cylindre de rayon R et de
hauteur H puisque r est supérieur à R)
E.2πrH = .πR2H/ε0.
==˃
E = R2/(2ε0r)
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• r < R :
La charge totale contenue à l’intérieur de cette
surface fermée Σ = S1 + S2 + SL lorsque r < R est :
Qi = .τ = .πr2H.
(τ est le volume chargé du cylindre de rayon r et de
hauteur H puisque r est inférieur à R)
==˃
E = .r/(2ε0)
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Remarque :
Si r = R l’expression du champ est E = .R/(2ε0). Le champ est
continu sur la surface du cylindre de rayon R et de hauteur H.
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