1.0 REPASO DE DERIVADAS Y DIFERENCIALES
VARIABLES, CONSTANTES, FUNCIONES y LÍMITES
Variables, Es una cantidad a la que se puede asignar valores, durante un proceso de
análisis, un número ilimitado de valores. Se las designan usualmente por las últimas
letras del alfabeto: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z.
Constantes, Son cantidades que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo.
Estas pueden ser:
Numéricas o Absolutas, Son las que conservan los mismos valores en todos los
problemas, como 3, 7, √11,
3
5
, -10, π, etc.
Constantes arbitrarias, Son aquellas a las que se les puede asignar valores, pero
durante un proceso, debe mantener el valor asignado. Se las designan usualmente por
las primeras letras minúsculas del alfabeto: a, b, c, d, etc.
Funciones, Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la
primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la
primera es función de la segunda. Así, y = f (x), se lee, y es función de x
Variable Independiente y Dependiente, La segunda variable, a la cual se le puede
asignar valores a voluntad dentro de límites que dependen del problema particular, se
llama la variable independiente o el argumento. La primera variable, cuyo valor se
establece cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama variable
dependiente o Función. Así, en la ecuación y = f (x),
y = variable dependiente o Función; y,
x = variable independiente o argumento
La noción de límites se refiere en términos coloquiales a lo que nos lleva nuestra
intuición: es aquello a lo que nos podemos acercar hasta que queramos. El límite es
una noción muy importante en el cálculo matemático. Fundamental para
áreas, continuidad, asíntotas, convergencia, derivadas o integrales.
En el límite de una función las claves son la variable x y los diferentes valores que
adquiere la función f(x). En el límite de una sucesión, la equivalencia del papel de x es
el índice n, mientras que los términos an de la sucesión equivaldrían al papel de los
valores de f(x).
Límite define formalmente ese valor cuando nos acercamos a un determinado punto,
tanto para el límite de una función como para el límite de una sucesión.
En matemáticas, el límite de una función en un punto o el de una sucesión es el
valor único al que se acerca la función cuando la variable independiente x se
aproxima, tan cerca como queramos, a un valor establecido o es el término de
una sucesión cuando el índice n tiende al infinito.
1
Funciones explícitas e implícitas
Una función es explícita si viene dada como y = f(x), es decir, la variable
dependiente y está despejada. Cada variable, está en un miembro de la ecuación.
Una función es implícita si viene dada de la forma f (x, y) = 0, es decir, si la función
se expone como una expresión algebraica igualada a 0.
Toda función expresada en forma explícita se puede poner en forma implícita y
viceversa.
Ejemplo de funciones explícitas e implícitas
1) La función y = 7x - 3 está expresada en forma explícita y la podemos transformar
en implícita haciendo las transformaciones algebraicas adecuadas.
La función y - 7x + 3 = 0 estaría expresada en forma implícita.
2) La función y + 3x2 - 8x + 5 = 0 está expresada en forma implícita y si despejamos
la variable y obtenemos la forma explícita.
Es decir, y = - 3x2 + 8x - 5 sería la forma explícita.
DERIVACIÓN
En este capítulo vamos a investigar como varía el valor de una función o variable
dependiente (variable y) al variar la variable independiente (variable x). El problema
fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer con toda precisión una medida
de esta variación.
Definición, La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la
función al incremento de la variable independiente, cuando éste tiende a cero.
Para encontrar la Derivada de una Función, lo aprendimos en La Regla General
para la Derivación, la misma que consta de cuatro pasos (Libro de Cálculo
Diferencial e Integral de Granville).
Símbolos, La derivada, se la representa con el símbolo
una fracción, sino como el valor límite de una fracción.
𝒅𝒚
Si 𝑦 = 𝑓 (𝑥), i derivamos, podemos escribir
=
𝒅𝒙
de y con respecto a x es igual a f prima de x”
𝒅𝒚
𝒅𝒙
, el cual no se mira como
𝒇′(𝒙) que se lee “la derivada
El símbolo y’ es una forma abreviada de expresar la derivada
𝒅𝒚
𝒅𝒙
La operación de hallar la Derivada de una Función se llama Derivación.
2
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
TEOREMA: El valor de la Derivada en cualquier punto de una curva es igual a la
Pendiente de la Tangente a la curva en aquel punto.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) = lím tag ᶲ =tag ԏ = pendiente de la tangente en P.
∆x→0
Introducción a las derivadas de funciones
algebraicas
Vamos a explicar que es cada una (favor de ver la imagen de abajo).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Es la derivada de una constante.
Es la derivada de una variable (cuando se deriva respecto a ella misma).
Es la derivada de una constante por una variable.
Es la derivada de una suma algebraica (se pueden hacer individualmente)
Es la derivada de la variable elevada a una potencia.
Es la derivada de una función elevada a una potencia
Es la derivada de un producto (multiplicación).
Es la derivada de un cociente (división).
Es la derivada de un cociente de una variable sobre una constante (división)
3
9.
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
(𝑐 ) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑐
𝑦 = 𝑓 (𝑥), La derivada se obtiene de manera
directa, derivando 𝑦 con respecto a la variable independiente 𝑥.
Derivada de una Función Explícita,
Derivada de una Función de Función, siendo 𝑦 función de 𝑣 y 𝑣 función de
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑥
𝑑𝑣
= (𝑑𝑣 ) (𝑑𝑥) Se aplica esta formula
𝑑𝑥
Derivada de una Función Inversa, si tenemos esta ecuación: 𝑥
la función y
𝑑𝑦
𝑦 la variable independiente. 𝑑𝑥 =
Derivada de una Función Implícita, 𝑓(𝑥,
1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑓 (𝑦), siendo 𝑥
Se aplica esta formula
𝑦) = 0, Para obtener la derivada, se
deriva término a término considerando a 𝑥 como la variable independiente.
NOTA: Siempre que se DERIVA, en cualquier caso, se lo hace CON RESPECTO A LA
VARIABLE INDEPENDIENTE.
El buen uso de las reglas de derivación consiste en dominar el álgebra, así que una de
las cosas que le sugerimos al lector, es repasar los tópicos de potencia, radicales,
factorización, productos notables y operaciones con fracciones algebraicas, para hacer
el procedimiento más efectivo y conciso.
Ejemplos de Derivadas Algebraicas
Ejemplo 1. Resuelva la siguiente derivada
Solución:
Como se trata de una derivada con muchos términos de suma y resta, es posible hacer
la derivada individual de cada término para que al final se junte y se entregue la
respuesta completa de la derivada.
Para el primer término tenemos
reglas, quedando así:
, podemos aplicar el caso 5 de nuestra tabla de
4
Después tenemos
Aplicando la propiedad de la regla 3 combinada con la 5, tenemos.
Por ahora nos queda realizar la siguiente derivada
Que al derivar obtenemos:
Finalmente nos queda el valor de 2, que al derivar tendríamos un cero, puesto que se
trata de una constante.
Ahora ordenando los términos derivados.
Resultado:
Lo que vendría a ser nuestra derivada.
Ejemplo 2. Resuelva la siguiente derivada
Solución:
Tenemos la derivada de un cociente, por lo tanto, recordemos que para un cociente
tenemos que aplicar la siguiente fórmula:
Al seguir los pasos tenemos:
Ahora proseguimos a derivar donde está indicada la operación:
Seguimos simplificando
5
Con eso tendríamos nuestra derivada resuelta.
Resultado:
Ejemplo 3. Resuelva la siguiente derivada
Solución
Como en el caso anterior, tenemos la derivada de un producto, y ésta se resuelve
aplicando lo siguiente:
Por lo que al resolver el ejercicio anterior tenemos:
Aplicando la derivada donde está aplicada, tenemos lo siguiente:
Posteriormente tendríamos:
Que simplificando este se convierte en:
Y finalmente tendríamos lo siguiente:
Resultado:
Ejemplo 4. Resuelva la siguiente derivada
Solución:
6
En este caso tenemos la derivada de una potencia, y por fórmula sabemos que se aplica
lo siguiente:
Siguiendo la fórmula, podemos aplicarla para nuestra derivada y esto quedaría de la
siguiente manera:
Proseguimos a derivar lo que queda en el término final
Finalmente, esto lo podemos dejar expresado como un producto, de la siguiente
manera:
Resultado:
Por lo que esto finalmente sería la derivada de la función.
Ejemplo 5. Resuelva la siguiente derivada
Solución:
Observe que en este ejemplo se trata de una función que tiene una raíz cuadrada, lo
que haremos será pasarla a una potencia, esto es por las reglas del álgebra.
Por lo que tendremos que derivar tal como lo hicimos en el ejemplo anterior, de tal forma
que:
Ahora procedemos a derivar, pero recuerde que la derivada es respecto a “x”, así que
la variable “b” es una constante.
Ordenando:
7
Simplificando obtendremos el resultado:
R/.
Conclusión
Aprender a derivar no es en lo absoluto complicado, simplemente debemos escoger y
aplicar bien las reglas de derivación, de acuerdo con el ejercicio que nos presenten; no
escoger bien la fórmula correspondiente, es lo único que puede dificultar resolver una
derivada, es decir, no deben existir derivadas complicadas. más adelante en otro
artículo veremos otro tipo de derivadas que tienen un nivel de complejidad un poco más
difícil de lo normal.
Introducción a las derivadas de funciones
trascendentes
Las funciones trascendentes elementales son las exponenciales, las logarítmicas, las
trigonométricas, las funciones trigonométricas inversas (las que estudiaremos en este
semestre), las hiperbólicas y las hiperbólicas inversas, Es decir, son aquellas que no
pueden ser expresadas mediante un polinomio, un cociente de polinomios o raíces de
polinomios.
Se consideran funciones trascendentes también las que resultan de operaciones entre
funciones trascendentes o entre funciones trascendentes y algebraicas. Estas
operaciones son: la suma y diferencia de funciones, producto y cociente de funciones,
así como la composición de dos o más funciones.
Fórmulas de Derivación
Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales:
𝑑
1. 𝑑𝑥 (ln 𝑣) =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣
1 𝑑𝑣
𝑑
2. 𝑑𝑥 (log 𝑣) =
= 𝑣 𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑣
𝑑
𝑑𝑢
3. 𝑑𝑥 (𝑎𝑣 ) = 𝑎𝑣 𝑙𝑛𝑎 𝑑𝑥
4.
𝑑𝑣
5. 𝑑𝑥 (𝑢𝑣 ) = 𝑣𝑢𝑣−1 𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝑢. 𝑢𝑣 𝑑𝑥
8
𝑑
log 𝑒 𝑑𝑣
𝑣
𝑑𝑣
(𝑒 𝑣 ) = 𝑒 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Derivadas de Funciones Trigonométricas Directas,
𝑑
𝑑𝑣
6. 𝑑𝑥 (sen 𝑣) = cos 𝑣 𝑑𝑥
𝑑
7.
𝑑𝑣
8. 𝑑𝑥 (tan 𝑣) = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑣 𝑑𝑥
𝑑
9.
𝑑
𝑑𝑣
(cos 𝑣) =−sen 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑣
(ctg 𝑣) = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑣
𝑑𝑣
11. 𝑑𝑥 (csc 𝑣) =−csc 𝑣 𝑐𝑡𝑔𝑣 𝑑𝑥
10. 𝑑𝑥 (sec 𝑣 ) = sec 𝑣 𝑡𝑎𝑔 𝑣 𝑑𝑥
Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas,
12.
14.
16.
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑎𝑟𝑐 sen 𝑣 ) =
(𝑎𝑟𝑐 tan 𝑣 ) =
(𝑎𝑟𝑐 sec 𝑣) =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
13.
√1−𝑣 2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
15.
1+𝑣 2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣√𝑣 2 −1
17.
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑎𝑟𝑐 cos 𝑣) = −
(𝑎𝑟𝑐 ctg 𝑣) = −
(𝑎𝑟𝑐 csc 𝑣) = −
𝑑𝑣
𝑑𝑥
√1−𝑣 2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
1+𝑣 2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣√𝑣 2 −1
Cómo derivar funciones exponenciales
Vamos a ver ahora unos ejercicios resueltos en lo que explicaré cómo derivar funciones
potenciales. Pondremos en práctica las siguientes funciones derivadas:
Ejercicio 1
9
Tenemos una función exponencial compuesta, es decir, un número elevado a una función, la cual
es un cociente y se debe derivar mediante la derivada de un cociente:
Por tanto, aplicando directamente la fórmula de la función derivada de una función exponencial nos
queda:
Para terminar, operamos en el numerador:
Ejercicio 2
En esta función, tenemos un número que multiplica a la función exponencial, o en otras palabras,
un número que multiplica a una función.
Por tanto, lo primero que hay que aplicar es la fórmula de la derivada de una constante de una
función:
donde para calcular la derivada, aplicamos la fórmula de la función exponencial:
10
Ejercicio 3
Tenemos una resta de funciones, donde los dos primeros términos son funciones
exponenciales y además, el primer término es una función exponencial compuesta.
La derivada de esta función será la resta de las derivadas de cada uno de sus términos,
en los que aplicaremos la fórmula de la función derivada de una función exponencial
que corresponda en cada caso.
En el primer término aplicaremos la fórmula de la función exponencial compuesta, en el
segundo, la derivada de la función e elevado a x es igual a e elevado a x y la derivada
del tercer término es cero:
Ejercicio 4
Tenemos una multiplicación de funciones exponenciales.
Podríamos calcular su derivada aplicando la regla de la derivada de un producto:
Pero en este caso, vamos a resolverla tomando un camino mucho más sencillo que
simplificará mucho los cálculos.
Como los dos factores están elevados al mismo denominador, puedo poner ambos
entre paréntesis multiplicándose y elevados al exponente. Es lo contrario a tener una
multiplicación elevada a una potencia, donde para resolver el paréntesis, se mantiene
la base y se multiplican los exponentes (si lo necesitas puedes repasar las propiedades
de las potencias). Después multiplico lo que me queda dentro del paréntesis:
11
Esto sólo puede hacerse porque ambos factores. Si no hubieran tenido el mismo exponente, no
queda más remedio que aplicar la regla de la derivada de un producto.
Ahora sí, aplicamos la fórmula de la función derivada de una función exponencial compuesta:
Si quieres intentar resolverlo aplicando la regla de la derivada de un producto, al final tienes que
aplicar propiedades de las potencias y los logaritmos y llegarás al mismo resultado.
Ejercicio 5
Esta función la puedes derivar aplicando la regla de la derivada de un cociente, o puedes considerar
que la función exponencial está multiplicada por una constante, la cual es una fracción:
Aplicamos la fórmula de derivación de una constante por una función, cuya derivada es la derivada
de una función exponencial compuesta:
Finalmente operamos y simplificamos:
Ejercicio 6
Tenemos una función elevada a un número, por lo que debemos aplicar la fórmula de la función
derivada de una función potencial en primer lugar.
12
Después, para derivarla función exponencial de uno de los términos, aplicamos la fórmula de
derivación de una función exponencial compuesta:
Por último, operamos:
Cómo derivar funciones logarítmicas
Con los siguientes ejercicios resueltos te explicaré el procedimiento para derivar funciones
logarítmicas. Te recuerdo aquí las fórmulas de las funciones derivadas de funciones logarítmicas
que vamos a utilizar:
No sólo utilizaremos estas fórmulas, sino como verás, iremos aplicando las fórmulas de otros tipos
de las funciones derivadas de otros tipos de funciones.
Ejercicio 1
Se trata de una función logarítmica compuesta. Aplicamos su correspondiente fórmula, donde para
hallar f'(x) hay que aplicar la fórmula de la derivada de la función potencial:
13
Ejercicio 2
En este caso, la función que está dentro del logaritmo y de la que hay que obtener f'(x) es una
función potencial compuesta, así después de aplicar la fórmula de la función derivada de una función
logarítmica compuesta, aplicamos la de la derivada de una función potencial:
Después operamos por un lado en el denominador y por otro, para la función potencial, mantenemos
la base y restamos los exponentes:
Ejercicio 3
Aplicamos directamente al fórmula de la función logarítmica de base a, donde en este caso es de
base 2:
Ejercicio 4
Aplicamos la fórmula de la derivada logarítmica compuesta. Para hallar f'(x) tenemos que aplicar la
regla de la derivada de un cociente:
14
Después operamos y simplificamos:
Como ves, las operaciones con polinomios empiezan a estar presentes, por lo que debes tener muy
claro cómo operar con ellos. Si lo necesitas aprender más sobre las operaciones con polinomios, lo
tienes explicado paso a paso en el Curso de Polinomios y en el Curso de Fracciones
Algebraicas.
Ejercicio 5
Tenemos una función logarítmica compuesta, donde la función que está dentro del logaritmo vuelve
a ser otro logaritmo. Por tanto, primero aplicamos la fórmula de la derivada compuesta de la función
logarítmica y para hallar f'(x) utilizamos la de la derivada de la función logarítmica simple:
Ejercicio 6
Aplicamos la fórmula de la función derivada de una función logarítmica compuesta. Para obtener
f'(x) utilizamos la regla de derivación del producto:
Obtenemos denominador común dentro del paréntesis:
15
Multiplicamos fracciones y simplificamos términos:
Por último, sacamos factor común al 2 en el numerador y en el denominador, para anularlos después
y dejar el resultado completamente simplificado:
Cómo derivar funciones trigonométricas
Seguimos con ejercicios resueltos. Las fórmulas que necesitas las tienes en las Fórmulas de
Derivadas.
Ejercicio 1
Aplicamos directamente la fórmula de la función derivada compuesta del seno:
Ejercicio 2
En este caso tenemos una constante por una función trigonométrica. La constante la dejamos igual
y la multiplicamos por la derivada, aplicando la fórmula de la derivada del seno:
También lo puedes resolver aplicando la regla de la derivada del producto.
16
Ejercicio 3
Tenemos una función trigonométrica compuesta. Para simplificar los cálculos, podemos considerar
que la x está multiplicada por una constante:
Por tanto, derivamos aplicando la fórmula de la derivada del seno:
Ejercicio 4
Esta vez, después de aplicar la fórmula de la función compuesta del seno, no nos queda más
remedio que calcular f'(x) con la regla de la derivada de un cociente:
Para terminar, operamos y queda:
17
Ejercicio 5
En este ejercicio, la función trigonométrica está elevada a 4, por tanto, para empezar a derivar
tenemos que aplicar la fórmula de la función derivada de la función potencial compuesta, donde f'(x)
corresponde a sen x, que lo derivamos con su fórmula correspondiente:
Ejercicio 6
Este es un caso similar al anterior, pero esta vez tenemos una función trigonométrica compuesta
dentro del paréntesis, por tanto, primero aplicamos la fórmula de la derivada de la función potencial,
después la de la derivada del coseno y por último la regla de la suma de las derivadas:
Por último, operamos:
Ejercicio 7
Tenemos una constante por una función. La función es una función trigonométrica compuesta por
una función exponencial, por tanto, después de aplicar la fórmula de la derivada del coseno,
aplicamos la fórmula de la derivada de la función exponencial para hallar f'(x):
Después reordenamos términos:
18
Ejercicio 8
Aplicamos directamente la fórmula de la derivada de tangente compuesta:
Ejercicio 9
Tenemos una función potencial, donde la función de dentro del paréntesis es una
función trigonométrica, que a su vez es compuesta por una función polinómica.
Por tanto, primero aplicamos la fórmula de la derivada de la función potencial
compuesta, donde para calcular f'(x) aplicamos la fórmula de la derivada de la tangente
compuesta, que a su vez calculamos f'(x) con la regla de la suma de las derivadas:
Por último, operamos y reordenamos términos:
Ejercicio 10
Tenemos la función trigonométrica de la tangente compuesta por otra función trigonométrica, la del
seno.
19
Aplicamos primero la fórmula de la derivada de la tangente compuesta y hallamos f'(x) aplicando la
fórmula de la derivada del seno, quedando:
DIFERENCIALES
Hasta ahora hemos representado la derivada de 𝒚 = 𝒇 (𝒙) por la Notación
𝒅𝒚
𝒅𝒚
= 𝒇′(𝒙). También se ha insistido en señalar que el símbolo
no es una
𝒅𝒙
𝒅𝒙
∆𝒚
fracción, sino que es el símbolo que representa el límite del cociente
cuando ∆𝒙
∆𝒙
tiende a cero. (verificarlo en la Regla General para la Derivación).
Sin embargo, hay muchos problemas, en los que es importante dar interpretaciones a
𝒅𝒚 y 𝒅𝒙 separadamente. Esto se presenta, especialmente, en las aplicaciones del
Cálculo Integral.
Símbolos, la diferencial se la representa por la letra d. Así,
la diferencial de la función 𝒚 será 𝒅𝒚.
la diferencial de la variable independiente 𝒙 , será 𝒅𝒙
la diferencial de la variable 𝒕 , será 𝒅𝒕
la diferencial de la variable 𝒛 , será 𝒅𝒛
Definición, “La diferencial de una Función es igual al Producto de su derivada por el
Diferencial de la Variable Independiente”.
𝒅𝒚 = 𝒇′(𝒙) 𝒅𝒙 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒙
Fórmulas, Por la definición de diferenciales, podemos decir que las fórmulas para hallar
diferenciales son las mismas que hemos aprendido para hallar Derivadas.
Para hallar diferenciales, lo más fácil es hallar la derivada, y multiplicar el resultado de
ésta, por 𝒅𝒙.
La operación de hallar diferenciales se llama DIFERENCIACIÓN.
20