Лабораторная работа №5
Тема: Оценка достоверности результатов эксперимента с
помощью критерия Пирсона
Цель работы: ознакомление и приобретение навыков статической обработки
результатов экспериментальных данных в судостроении
Задача: выполнить статическую обработку экспериментальных данных, полученных в
лабораторной работе №1 методом Пирсона. Для чего:
1. Преобразовать совокупность замеров fi в статический ряд, сгруппировав
одинаковые замеры;
2. Определить математическое ожидание f ;
3. Определить дисперсию (степень рассеяния величины f ) D ;
Краткая теория:
Пусть на основе опытов, в которых проведено n независимых замеров величины,
получена совокупность замеров x1, x2,,x3,…,xn. Оценку достоверности результатов можно
выполнить с помощью критериев согласия, в частности, критерия Пирсона [2].
Критерий x2 Пирсона представляет собой величину:
k
x2=
 (n  n   )
i 1
i
n   i 
2
i
( 5.1)
где ni – число замеров отвечающих данному принятому диапазону изменений величины
x;
αi - вероятность числа замеров в соответствии с гипотетическим распределением;
k - число разрядов (диапазонов или участков с k = 1, 2, 3, 4… раза попадания в них
одинаковых значений fi);
n - общее число замеров.
Суть метода: выдвигается гипотеза, что случайная величина имеет ряд
распределения xi…xn согласно принятому гипотетическому, а отклонения наблюдаемых
частот замеров от гипотетического обусловлены случайными причинами; оценка
достоверности такой гипотезы проводится после подсчета критерия x2 по данным
табличного распределения (см. абл. 5) для определения уровня значимости P; считается,
что при уровне значимости более 7% опытные данные практически не противоречат
высказанной гипотезе, при этом полученное среднеарифметическое (математическое
ожидание) x можно с большей вероятностью (достоверностью) и достаточной
точностью (степенью погрешности эксперимента, принять в качестве точного
(среднестатистического) значения величины x. (т. е. xi ≈ xcp= x =хточное).
Ход работы:
Применение
критерия
Пирсона
для
статистической
обработки
экспериментальных данных замеров коэффициента трения f швартова о кнехт
выполняется в последовательности:
1. Произвести выборку замеров fi из лабораторной работы № 1, результаты выборки
внести в таблицу 1;
2. Преобразуем совокупность замеров fi из таблицы 1 в следующий статистический
ряд, сгруппировав их одинаковые замеры; данные обработки внести в таблицу 2,
где fi = f1, f2, f3, f4 – значения одинаковых замеров fi;
k = 1,2,3,4,… – число, показывающее сколько раз встречается одинаковое значение
замеров fi в таблице 1 выборки.
3. Определить математическое ожидание статистического распределения величины f по
данным таблицы 2 [1].
n
f


i 1
fi
( 5.2 )
k
4. Определить дисперсию Df (рассеяние значений fi):
D 
 f
2
n
i 1
i
 f

 Pi 
 f
2
n
i 1
i
 f


ki
k
( 5.3 )
5. Выскажем следующую гипотезу: статистическое (случайное) распределение
замеров fi подчинено нормальному закону распределения Гаусса с параметрами (5.2)
и (5.3), а следовательно, носит случайный характер.
6. Преобразуем статистический ряд (таблица 2), составив таблицу вероятностей
попадания случайных величин f в ряд разрядов , считая её распределенной по
нормальному закону с параметрами f  f , S f  D . Вероятность Р попадания
нормально распределенной величины f на участок от до по формуле
  f 


Ô g  f  
Pg  f     Ô 
 s

 s

f
f




( 5.4 )
где Ф – табулированная функция Лапласа , см. таблицу 3.
Свойства этой функции: Ф(0) = 0,5Ф(-х) = - Ф(-х),Ф(∞) = 0,5Ф(- ∞) = - 0,5. 
7. Подсчитаем критерий Пирсона по (5.1), имея ввиду, что Рі определяется по
выражению (5.4) для каждого разряда (диапазона) , а отвечает числу замеров в
опытах для каждого разряда .
8. Определяем число степеней свободы . оно равно разности числа разрядов и числа
независимых условий . Такими условиями могут быть:
8.1. Сумма всех частот должна быть равна единице (условие накладывается всегда);
Примечание к п. 5. Перед составлением таблицы 2 определить по таблице 1 выборки значений fi
разряды (диапазоны) gi ÷ βi количество разрядов k.

Таблица 1
Вероятность α
Объем
выборки n
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
0,999
1
2
3
4
5
6
7
4
1,6
2,4
3,2
4,5
5,8
12,9
5
1,5
2,1
2,8
3,7
4,6
8,6
6
1,5
2,0
2,6
3,4
4,0
6,9
7
1,4
1,9
2,4
3,1
3,7
6,0
8
1,4
1,9
2,4
3,0
3,5
5,4
9
1,4
1,9
2,3
2,9
3,4
5,0
10
1,4
1,8
2,3
2,8
3,3
4,8
11
1,4
1,8
2,2
2,8
3,2
4,6
12
1,4
1,8
2,2
2,7
3,1
4,5
13
1,4
1,8
2,2
2,7
3,1
4,3
14
1,4
1,8
2,2
2,7
3,0
4,2
15
1,3
1,8
2,1
2,6
3,0
4,1
16
1,3
1,8
2,1
2,6
2,9
4,0
17
1,3
1,7
2,1
2,6
2,9
4,0
18
1,3
1,7
2,1
2,6
2,9
4,0
19
1,3
1,7
2,1
2,6
2,9
3,9
20
1,3
1,7
2,1
2,5
2,9
3,9
30
1,3
1,7
2,0
2,5
2,8
3,7
40
1,3
1,7
2,0
2,4
2,7
3,6
60
1,3
1,7
2,0
2,4
2,7
3,5
∞
1,3
1,6
2,0
2,3
2,6
3,3
8.2. Совпадение статистического среднего с гипотетическим (предполагаемым);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Количество
разрядов k
f1 g1  1 
f12 g 2   2 
f 3 g 3   3 
f 4 g 4   4 
f 5 g 5   5 
f 7 g 7 7   7 
f 8 g 8   8 
f 9 g 9   9 
f10 g10  10 
f11 g11  11 
Разряды (участки) g ÷ β
f 6 g 6   6 
f12 g12  12 
f13 g13  13 
f15 g15  15 
Таблица 2
f14 g14  14 
8.3. Совпадение дисперсий статистического и гипотетического распределений и т.п.
Как видно, (см. п.5) в рассмотренном случае соблюдаются также и два последних
условия.
Таким образом, число степеней свободы определяется по формуле:
R=k–d=k–3
( 5.5 )
2
9. По таблицам 3,4,5,[3] критерий Пирсона х является распределением для полученных
степеней свободы r и по которому для подсчитанного значения х2 и определяется
уровень значимости Р.
Таким образом, если соблюдаются сформулированные высше условия достоверности
высказанной гипотезы по уровню значимости Р, то можно сделать вывод о том, что эта
гипотеза не противоречит экспериментальным статистически обработанным значениям fi.
В частном случае обработки данных по коэффициентам трения fi, это означает, что
среднее значение погрешности (среднеквадратичное отклонение) может быть принято в
качестве оценки погрешности измерений, а математическое ожидание f (среднее
арифметическое f ) может быть принято в качестве точного значения искомой
величины f с наибольшей вероятностью α и достоверностью D .
Результаты обработки:
1.
f1,2,3...
2. kl,2,3...
3. f  n
f
i 1
}
i
n
произвести выборку из таблицы 1, внести в таблицу 2
10.

(при п =k) по ф-ле (5.2)
4.
D    fi  f
n
i 1
по ф-ле (5.3)
2


ni

n
k
x2  
ni  n   i 2
(по ф-ле 5.1 )
11.
Р = Р(x2, r) =
(по табл.5)
n   i  
5.
6.
7.
Р ≥ [Р] = 7%
sf  D 
r=k-d=k-3=
12.
13.
f  f эксп .  f точное 
  f 

Ô
 s

f


14.
f теор.  f ср. 
15.
f 
по табл. (3,4)
g f 

Ô
 s 
f


8.
f теор.  f эксп .
f теор.
 100%  f   3%
по табл. (3,4)
  Ô   Ôg  
9.
по ф-ле (5.4)
Значение функции Лапласа Фх  
Х
0
1
2
3
1
х
 е
2  0
4

5
z2
2
Приложение 1
dz , для х=0÷2,99
6
7
Таблица 3
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,00000
03983
07926
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653
49744
49813
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
26103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49547
49664
49752
49819
00798
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
346850
37076
39065
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831
01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
713
49036
49266
49446
49585
49693
49774
49836
01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27377
30234
32894
35314
37493
39435
41149
42647
43943
45053
45994
46784
47441
47982
48432
48745
49061
49286
49461
49598
49702
49781
49841
02392
06356
10257
14058
17724
21226
24537
27637
30511
33247
35543
37698
38617
41309
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48778
49086
49305
49477
49609
49711
49788
49846
02790
03188
03586
06749
07142
07535
10642
11026
11409
14431
14803
15173
18082
18439
18793
21566
21904
22240
24857
25175
25490
27935
28230
28524
30785
31057
31327
33398
33646
33891
35769
35993
36214
37900
38100
38298
39796
29973
40147
41466
41621
41774
42922
43056
43189
44179
44295
44408
45254
45352
45449
46164
46246
46327
46926
46995
47062
47558
47615
47670
48077
48124
48169
48500
48537
48574
48809
48870
48899
49111
49134
49150
49324
49343
49361
49492
49506
49520
49621
49632
49643
49720
49738
49736
49795
49801
49807
49851
49856
49861
Значение функции Лапласа Ф(х) для х ≥ 3,0.
х
Ф(х)
3,0
0,49865
3,5
0,49977
4,0
0,499968
Таблица 4
5,0
0,49999997

Приложение 2
Значения х в зависимости от r и Р
2
Таблица 5

Примечание: обозначение в таблице 3, 4: x 
f
sf
и ли x 
2 f
;
sf
p
r
1
0.004
0.016
0.064
0.148
0.455
1.074
1.642
2.71
3.84
2
0.103
0.211
0.446
0.713
1.386
2..41
3.22
4.00
5.95
3
0,352
0,384
1,005
1,424
2,37
3,66
4,64
6,25
7,82
0.95
0.90
0.80
0.70
0.50
0.30
0.20
0.10
0.05
4
0,711
1,064
1,649
2,20
3,36
4,88
5,99
7,78
9,49
5
1,145
1,610
2,34
3,00
4,35
6,00
7,29
9,24
11,07
6
1,635
2,20
3,07
3,83
5,35
7,23
8,56
10,64
12,59
7
2,17
2,83
3,82
4,67
6,35
8,38
9,80
12,02
14,07
8
2,73
3,49
4,59
5,53
7,34
9,52
11,03
13,36
15,51
9
3,32
4,17
5,38
6,39
8,34
10,66
12,24
14,08
16,92
10
3,94
4,86
6,18
7,27
9,34
11,78
13,44
15,99
18,31
11
4,58
5,58
6,99
8,15
10,34
12,90
14,03
17,28
19,08
12
5,23
6,30
7,81
9,03
11,34
14,01
15,81
18,55
21,0
13
5,89
7,04
8,63
9,93
12,34
15,12
16,98
19,81
22,4
14
6,57
7,79
9,47
10,82
13,34
16,22
18,15
21,1
23,7
15
7,26
8,55
10,31
11,72
14,34
17,32
19,31
22,3
25,0
16
7,96
9,31
11,15
12,62
15,34
18,42
20,5
23,5
26,3
17
8,67
10,08
12,00
13,53
16,34
19,51
21,6
24,8
27,6
18
9,39
10,86
12,86
14,44
17,34
20,6
22,8
26,0
28,9
19
10,11
11,65
13,72
15,35
18,34
21,7
23,9
27,2
30,1
20
10,85
12,44
14,58
16,27
19,34
22,8
25,0
28,4
31,4
21
11,59
13,24
15,44
17,18
20,3
23,9
26,2
29,6
32,7
22
12,34
14,01
16,31
18,10
21,3
24,9
27,3
30,8
33,9
23
13,09
14,85
17,19
19,02
22,3
26,0
28,4
32,0
35,2
24
13,85
15,66
18,06
19,94
23,3
27,1
29,6
33,2
36,4
25
14,61
16,47
18,94
20,9
24,3
28,2
30,7
34,4
37,7
26
15,38
17,29
18,82
21,8
25,3
29,2
31,8
35,6
38,9
27
16,15
18,11
20,7
22,7
26,3
30,3
32,9
36,7
40,1
28
16,93
18,94
21,6
23,6
27,3
31,4
34,0
37,9
41,3
29
17,71
19,77
22,5
24,6
28,3
32,5
35,1
39,1
42,6
30
18,49
20,06
23,4
25,5
29,3
33,5
36,2
40,3
43,8
В ы в о д:
1. В результате статистической обработки экспериментальных данных по
коэффициенту трения f из лабораторной работы №1 можно сделать вывод о том,
что экспериментальное значение коэффициента трения f э = f
получено с
достаточной степенью точности Sf и входит в доверительный интервал его
значений f H < f < f B с достаточно высокой вероятностью α (с учетом критерия
Пирсона).
2. При этом рассчитанная погрешность (отклонение) значения коэффициента f э,
полученного экспериментально, от его теоретического значения
f T не
превышает допустимой.
Литература:
1. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. М.: Наука, гл. ред. физ. мат. лит. - 1988г. (Физико-математическая библиотека
инженера) - 480с.
2. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. - М.: Мир - 1982г. - 381с.
3. Давыдов В.В. Технические вычисления в кораблестроении. Москва. Морской
транспорт. 1991г.-250с.
4. Лабораторная работа №1. Общесудовые устройства и системы. Швартовное
устройство. Экспериментальная оценка формулы Эйлера. Кафедра морских
технологий НУК им. адмирала Макарова. Николаев 2007 г. (перечень
экспериментальных замеров f і, таблицы 1,2,3).
«___» _________200 г.
Работу выполнил(а):
Студент(ка) группы __________
_____________________________________
Фамилия, имя, отчество
Разработка: Зинкин В.Н.
Компьютерная верстка: Криницкий Д.А., Стоян В.А.