UNIVERSIDAD DON BOSCO
II/2021
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
CLASE 1 DE UNIDAD I
Definición de ecuación diferencial : Una ecuación diferencial es una ecuación que
involucra Derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas
variable independientes
Ejemplo 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 2 𝑒 3𝑥 esta es una ecuación diferencial por que contiene derivadas
donde la variable dependiente es “y” y la variable independiente es “x”
Ejemplo 2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
+ 4 𝑑𝑥 + 4𝑦 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥 También ecuación diferencial por que contiene
derivadas
𝑑𝑖
Ejemplo 3 𝐿 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) también es una ecuación diferencial
Ejemplo 4
Ejemplo 5
𝜕𝑣
𝜕𝑣
+ 𝜕𝑦 = 10 También es ecuación diferencial
𝜕𝑥
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡 2
𝑑𝑥
+ 4 𝑑𝑡 + 4𝑦 + 2𝑥 = cos⁡(𝑡) También ecuación diferencial por que
contiene derivadas
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de acuerdo a lo siguiente
1)Por el numero de variables independientes
2) Por el orden de la ecuación diferencial
3)Por la linealidad
1)Por el numero de variables independientes
Las ecuaciones diferenciales según el numero de variables independientes se clasifican en
a)Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
b)Ecuaciones Diferenciales Parciales
a)Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Es la ecuación que aparecen derivadas de las variables dependientes con respecto a una
única variable independiente
𝑑3 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 𝑑𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 + 4𝑦 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥
𝑑𝑥 3
esta solo posee una variable independiente “x”
b)Ecuación Diferencial Parcial
Son las ecuaciones en las que existen derivadas de las variables dependientes con
respecto a mas de una variable independientes
Ejemplo 1
Ejemplo 2
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
+ 𝜕𝑦 = 20 existen dos variables independientes
𝜕𝑥
𝜕2𝑣
+ 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 2 = 20 existen tres variables independientes
𝜕𝑥
2)Por el orden de la Ecuación Diferencial
El orden de una ecuación diferencial va estar determinado por la derivada mas alta que
exista en la ecuación diferencial y va clasificar en :
a)Ecuaciones diferenciales de primer orden
b)Ecuaciones diferenciales de orden superior
EJ, De que orden es la ecuación diferencial
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 𝑑𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 + 4𝑦 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥
es de orden 3 por que la mayor derivada es la tercera
derivada
a)Ecuaciones diferenciales de primer orden
Es la ecuación que contiene solo primeras derivadas
𝑑𝑖
Ejemplo 1 𝐿 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) la derivada mas alta es la primera derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑦 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥 la derivada mas alta es la primera derivada
b)Ecuaciones diferenciales de orden superior
Es la ecuación que contiene de las segundas derivadas en adelante
𝑑3 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 2 𝑑𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 + 8𝑦 = cos⁡(2𝑥)
𝑑𝑥 3
esta es de orden superior por que contiene
segundas y terceras derivadas
3)Por la linealidad
Una ecuación diferencial es lineal y de orden “n” en termino la variable dependiente si
dicha ecuación se puede escribir de la siguiente forma
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) esta ecuación es lineal en
“y”
Y en dicha ecuación se cumplen las siguientes condiciones
1)La variable dependiente y todas sus derivadas están elevados a la potencia unidad
2)La función g(x) tiene que estar solo en termino de la variable independiente o ser una
constante
3)La variable dependiente no puede estar de argumento de las funciones trigonométricas
, logarítmicas , exponenciales y también dentro de un radical
4)Que no exista producto de la variable dependiente por su derivada
5)Que no exista producto de derivadas entre si
Ej 1 Determinar si la ecuación diferencial es lineal
𝑑3 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 2 𝑑𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 + 8𝑦 = cos⁡(2𝑥)
𝑑𝑥 3
condiciones
esta es lineal en “y” por que cumple todas las
Ej 2 Determinar si la ecuación diferencial es lineal
𝑑𝑦
4 𝑑𝑥 + 8𝑒 𝑦 = cos⁡(2𝑥) esta no es lineal por que no cumple condición 3
Ej 3 Determinar si la ecuación diferencial es lineal
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 2𝑦 𝑑𝑥 2 + 4 𝑑𝑥 + 8𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) esta ecuación no es lineal por que no cumple la
condición 4 (Existe producto de la variable dependiente por su segunda derivada)
GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
El grado algebraico de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada mas alta
que existe en la ecuación diferencial
EJ Determinar de que grado es la ecuación diferencial
𝑑3 𝑦
4
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦 20
(𝑑𝑥 3 ) + 2𝑦 𝑑𝑥 2 + 4 (𝑑𝑥 )
+ 8𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) esta ecuación es de grado 4 por es el
exponente de la mayor derivada
NOTA :Toda ecuación diferencial lineal es de grado 1
Solución de una Ecuación Diferencial
La solución de una ecuación diferencial es una relación entre las variables dependientes e
independientes y dicha ecuación no contiene derivadas y tiene constantes según el orden
de la ecuación diferencial
Ejemplo 1)
Encontrar la solución
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑒 2𝑥 al resolverla como es de primer orden solo va tener una constante y para
resolverla se van a pasar todas las “x” a un lado y las “y” al otro lado y luego se va integrar
𝑑𝑦 = 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥⁡⁡⁡ + 𝐶 a cualquiera de los dos lados se le agrega una constante
𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 𝐶 esta es la solución y contiene la variable dependiente , la variable
independiente y la constante arbitraria y esa solución se va conocer como “solución
general de la ecuación diferencial
La constante “c” pertenece a los reales
Entonces se le puede dar cualquier valor
Para C= 0 la solución quedaría ⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 = 𝑒 2𝑥
Para C= 2 la solución quedaría ⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 2
Para C= -4 la solución quedaría ⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 = 𝑒 2𝑥 − 4
Para tres valores de “c” e encontrado tres soluciones pero como pertenece a los reales
pueden ver “n” soluciones a todas esas soluciones las vamos a llamar soluciones
particulares de la ecuación diferencial
Y estas soluciones las podemos representar en una grafica
EJEMPLO 2
𝑑𝑦
2 𝑑𝑥 =⁡𝑥 4 ln(𝑥)
𝑑𝑦 =
𝑥 4 ln⁡(𝑥)
2
dx
integrando
𝑦=
1
1 5
1
1 5
1
∫ 𝑥 4 ln(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥 ln(𝑥) − ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 + 𝐶 =
𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 5 + 𝐶
2
10
10
10
50
Y obtenemos la solución general
Ejemplo 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=xyarcsen(x)= ⁡
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥=∫
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑥2
2
1
𝑥2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 2 ∫ √1−𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥2
1
ln(𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)𝑑𝜃
2
2
𝑥2
1 1 − cos⁡(2𝜃)
ln(𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫
𝑑𝜃
2
2
2
𝑥2
1
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) + 𝐶
2
4
8
𝑥2
1
1
= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝜃 + (2𝑠𝑒𝑛(𝜃) cos(𝜃)) + 𝐶
2
4
8
Ln(y) =
𝑥2
2
1
1
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 4 𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 𝑥√1 − 𝑥 2 + 𝐶
Las soluciones generales y particulares se pueden expresar de las dos siguientes formas
1)Solución en forma explicita
2)Solución en forma implícita
1)Solución en forma explicita
Es cuando la variable dependiente se puede expresar en términos de la variable
independientes
Y = f(x) + C
Ej: y= x3+C esta es una solución explicita
2)Solución en forma implícita
Es cuando la variable dependiente no se puede expresar en termino de la variable
independiente y su forma es la siguiente f(x,y)= C
Ejemplo de solución implícita
𝑥
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝐶𝑒 𝑦
En esta ecuación no podemos despejar y en función de x
Comprobación de las Soluciones
Para comprobar una solución general o particular se va realizar lo siguiente
1)Derivar la solución según el orden de la ecuación diferencial
2)Sustituir en la ecuación diferencial las derivadas si la solución esta dada en forma
explicita ahora si la solución esta en forma implícita trabajarla algebraicamente para llegar
a la ecuación diferencial dada
3)Comprobar que se cumpla la igualdad
Ejemplo 1 Comprobar que la solución 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 4𝑥 es solución de la ecuación
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
diferencial⁡⁡⁡𝑑𝑥 2 − 6 𝑑𝑥 + 8𝑦 = 0
veces
como la ecuación es de segundo orden se deriva dos
𝑦 ! = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 + 4𝐶2 𝑒 4𝑥
𝑦 ‼ = 4𝐶1 𝑒 2𝑥 + 16𝐶2 𝑒 4𝑥
ahora se sustituye en la ecuación diferencial
𝑑2 𝑦
⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑑𝑥 2 → ⁡ 4𝐶1 𝑒 2𝑥 + 16𝐶2 𝑒 4𝑥
−6
𝑑𝑦
𝑑𝑥
→ −12𝐶1 𝑒 2𝑥 − 24𝐶2 𝑒 4𝑥
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡8𝑦 → 8𝐶1 𝑒 2𝑥 + 8𝐶2 𝑒 4𝑥
O
=0
y vemos que se cumple la igualdad por lo tanto si es solución de la ecuación diferencial
Ejemplo 2 Comprobar que la solución
la ecuación diferencial
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
𝑑2 𝑦
y=𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥 es solución de
𝑑𝑦
− 6 𝑑𝑥 2 + 11 𝑑𝑥 − 6𝑦 = −2𝑒 2𝑥
Como es de tercer orden se va derivar tres veces
𝑦 ! = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 + 3𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 2𝑒 2𝑥 + 4𝑥𝑒 2𝑥
𝑦 ‼ = 4𝐶1 𝑒 2𝑥 + 9𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 4𝑒 2𝑥 + 4𝑒 2𝑥 + 8𝑥𝑒 2𝑥
𝑦 ‼ = 4𝐶1 𝑒 2𝑥 + 9𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 8𝑒 2𝑥 + 8𝑥𝑒 2𝑥
𝑦 ‼! = 8𝐶1 𝑒 2𝑥 + 27𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 16𝑒 2𝑥 + 8𝑒 2𝑥 + 16𝑥𝑒 2𝑥
𝑦 ‼! = 8𝐶1 𝑒 2𝑥 + 27𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 24𝑒 2𝑥 + 16𝑥𝑒 2𝑥
Ahora se sustituye en la ecuación diferencial
𝑑3 𝑦
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑑𝑥 3
−6
11
⁡⁡⁡⁡⁡ → 8𝐶1 𝑒 2𝑥 ⁡⁡⁡ + 27𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 24𝑒 2𝑥 + 16𝑥𝑒 2𝑥
𝑑2 𝑦
→ −24𝐶1 𝑒 2𝑥 − 54𝐶2 𝑒 3𝑥 −6𝐶3 𝑒 𝑥 − 48𝑒 2𝑥 − 48𝑥𝑒 2𝑥
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
→ 22𝐶1 𝑒 2𝑥 + 33𝐶2 𝑒 3𝑥 + 11𝐶3 𝑒 𝑥 + 22𝑒 2𝑥 + 44𝑥𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
−6𝑦 → −6𝐶1 𝑒 2𝑥 − 6𝐶2 𝑒 3𝑥 ⁡⁡⁡ − 6𝐶3 𝑒 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ − 12𝑥𝑒 2𝑥
-2e2x =-2e2x
Por lo tanto como cumple la igualdad es solución de la ecuación diferencial
Comprobar que x + yln(x) = Cy es solución de la ecuación diferencial (y2 + xy)dx – x2 dy= 0
Esta esta en forma implica y se va derivar una vez y se va ser en forma implícita
1 + 𝑦 ! ln(𝑥) +
𝑦
= 𝑦!𝐶
𝑥
Ahora se va despejar “c” de la solución dada y se va sustituir en la primera derivada
encontrada y trabajarla algebraicamente
𝑥
+ ln(𝑥) = 𝐶
𝑦
1 + 𝑦 ! ln(𝑥) +
𝑦
𝑥
= 𝑦 ! (⁡ + ln(𝑥))
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥𝑦 !
1 + 𝑦 ln(𝑥) + = ⁡
+ 𝑦 ! ln(𝑥)
𝑥
𝑦
!
𝑦
𝑥𝑦 !
1 + =⁡
𝑥
𝑦
𝑥+𝑦
𝑥𝑦 !
=⁡
𝑥
𝑦
(𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = ⁡ 𝑥 2 𝑦 !
Cambiar la forma de escribir la derivada
𝑦! =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) = ⁡ 𝑥 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Realizar la multiplicación cruzada
(𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = ⁡ 𝑥 2 𝑑𝑦
Pasar todos los términos a un solo lado
(𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − ⁡ 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
Comparar con la ecuación diferencial dada al inicio
Y se puede ver que si son iguales y por lo tanto es solución de la ecuación diferencial
𝑦
Ejemplo 2 Comprobar que (𝑥 + 𝑦)2 = 𝐶𝑥𝑒 𝑥
es solución de la ecuación diferencial
(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
Vamos a derivar una ves
!)
2(𝑥 + 𝑦)(1 + 𝑦 =
𝑦
𝐶𝑒 𝑥
+
𝑦
𝐶𝑥𝑒 𝑥
𝑥𝑦 ! − 𝑦
(
)
𝑥2
Sacando factor común y simplificar
!)
2(𝑥 + 𝑦)(1 + 𝑦 =
𝑦
𝐶𝑒 𝑥
𝑥𝑦 ! − 𝑦
(1 + (
))
𝑥
Despejar “c”
𝑦
(𝑥 + 𝑦)2
= 𝐶𝑒 𝑥
𝑥
Sustituir
(𝑥 + 𝑦)2
𝑥𝑦 ! − 𝑦
(1 + (
2(𝑥 + 𝑦)(1 + 𝑦 =
))
𝑥
𝑥
!)
Simplificar
(𝑥 + 𝑦) 𝑥 + 𝑥𝑦 ! − 𝑦
2(1 + 𝑦 =
(
)
𝑥
𝑥
!)
Realizar una multiplicación cruzada
2𝑥 2 + 2𝑥 2 𝑦 ! = 𝑥 2 + 𝑥 2 𝑦 ! − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑦 ! − 𝑦 2
Al simplificar
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + (𝑥 2 − 𝑥𝑦)𝑦 ! = 0
Al cambiar la forma de expresar la derivada queda
(𝑥 2 + 𝑦 2 ) + (𝑥 2 − 𝑥𝑦)
𝑑𝑦
=0
𝑑𝑥
(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
Y al ecuación diferencial es la misma por lo tanto si es solución de la ecuación diferencial
Problema inverso
El problema inverso consiste en dada la solución encontrar la ecuación diferencial, es decir
dada la respuesta encontrar el problema.
Para resolver este tipo de problema se va realizar lo siguiente
1)Derivar la solución dada según el numero de constantes arbitrarias que existan
2)Aplicar métodos algebraicos para eliminar las constantes y la ecuación encontrada va ser
nuestra ecuación diferencial
Ejemplo Dada la solución 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 + 2𝑥 + 6 encontrar la ecuación diferencial
A la ecuación dada la vamos a llamar 1
𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 + 2𝑥 + 6 (ecuación 1)
Como existen dos constantes se van derivar dos veces
𝑦 ! = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 + 5𝐶2 𝑒 5𝑥 + 2 Ecuación 2
𝑦 !! = 4𝐶1 𝑒 2𝑥 + 25𝐶2 𝑒 5𝑥 Ecuación 3
Simultanear las tres ecuaciones
Primero tomar la 1 con la 2
𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 + 2𝑥 + 6 (-2) para eliminar 𝐶1
𝑦 ! = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 + 5𝐶2 𝑒 5𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡ + 2
𝑦 ! − 2𝑦 = 3𝐶2 𝑒 5𝑥 ⁡ − 4𝑥 − 10⁡⁡⁡⁡(ec 4)
Ahora la ec 2 y ec 3
𝑦 ! = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 + 5𝐶2 𝑒 5𝑥 + 2 (-2)
𝑦 !! = 4𝐶1 𝑒 2𝑥 + 25𝐶2 𝑒 5𝑥
𝑦 !! − 2𝑦 ! = 15𝐶2 𝑒 5𝑥 − 4 ec 5
Simultanear 4 y 5
𝑦 ! − 2𝑦 = 3𝐶2 𝑒 5𝑥 ⁡ − 4𝑥 − 10⁡⁡⁡⁡(-5)
𝑦 !! − 2𝑦 ! = 15𝐶2 𝑒 5𝑥 − 4
𝑦 !! − 7𝑦 ! + 10𝑦 = 20𝑥 + 46
Y esta seria la ecuación diferencial
PROBLEMA DE VALORES INICIALES(IVP)
Al resolver una ecuación diferencial se hace necesario encontrar una solución particular que
pase por un punto determinado(x0,y0),por a dicha ecuación diferencial se le darán
condiciones a la solución general y a sus derivadas hasta la derivada de un orden anterior
del orden de la ecuación diferencial
𝑑𝑛 𝑦
𝑑𝑛−1 𝑦
𝑑𝑦
𝑎𝑛 (𝑥) 𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑥) 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)
+ 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
y(x0)= y0 , y! (x0)= y1 , y!!(x0)=y2 ,………..,yn-1(x0) =yn-1
ósea que según sea el orden a si se van a dar condiciones
Ejemplo: Encontrar una solución particular de 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 la cual es solución de la
ecuación diferencial ⁡⁡𝑦 !! − 7𝑦 ! + 10𝑦 = 0 sujeta a las siguientes condiciones
y(0)=2 , y!(0)=6
En este caso solo se toma la solución y se deriva una vez y la solución general y la primera
derivada de evalúa en el punto dado
X= 0 ,y=2
𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 5𝑥
2 = 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 0 2 = 𝐶1 + 𝐶2 ⁡⁡(𝑒𝑐⁡1)
X= 0 ,y! =6
𝑦 ! = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 + 5𝐶2 𝑒 5𝑥
6 = 2𝐶1 𝑒 0 + 5𝐶2 𝑒 0 6 = 2𝐶1 + 5𝐶2 ⁡⁡(𝑒𝑐⁡2)
Luego simultanear ec 1 y ec 2
𝐶1 + 𝐶2 = 2⁡(-2)
2𝐶1 + 5𝐶2 = 6(1)
2
3C2=2 𝐶2 = 3
Luego se sustituye en ec 1
2
4
𝐶1 + 3 = 2 𝐶1 = 3 y al solución particular seria
𝑦=
4 2𝑥 2 5𝑥
𝑒 + 𝑒
3
3
EXISTENCIA Y UNICIDAD
𝑑𝑦
Existen muchas ecuaciones de primer orden 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) que no se pueden resolver por
integración sencilla , por lo que es necesario saber cuando existe solución y cuando la
solución es única bajo las condiciones de valores iniciales dadas.
Entonces para determinar si existe una solución única para el problema de valores
iniciales se va realizar lo siguiente
1)Escribir la ecuación diferencial de la siguiente forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦)
2)Determinar donde f(x,y) es Continua es decir obtener el dominio de f(x,y)
3)Obtener la derivada parcial con respecto a y
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
⁡⁡, 𝑦⁡determinar donde es
continua
4)Comprobar que el punto (x0,y0) pertenece a los dos dominios para poder decir que
tiene solución única en ese punto
5)Para determinar a donde tiene solución única la ecuación diferencial se van a
interceptar los dos dominio y dicha intersección es donde tiene solución
𝑆. 𝑈 = 𝐷𝑓(𝑥, 𝑦) ∩ 𝐷
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
Ejemplo Determinar si la ecuación diferencial tiene solución para el problema de valores
iniciales
𝑑𝑦
= ln⁡(𝑦 − 4 + 𝑥 2 )
𝑑𝑥
Y(0)= 4
La forma ya la tiene se selecciona f(x,y) y se le encuentra su dominio
f(x, y) = ln⁡(𝑦 − 4 + 𝑥 2 )
Df(x,y)={(𝑥, 𝑦)/𝑦 − 4 + 𝑥 2 > 0}
ahora encontramos la derivada parcial
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
1
=
𝜕𝑦
𝑦 − 4 + 𝑥2
𝐷
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
= {(𝑥, 𝑦)/𝑦 − 4 + 𝑥 2 ≠ 0}
𝜕𝑦
Comprobar que el punto (0,4) pertenece a los dos dominios
𝑦 − 4 + 𝑥 2 > 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡4 − 4 + 0 > 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 > 0⁡⁡𝑛𝑜⁡𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑦 − 4 + 𝑥 2 ≠ 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡4 − 4 + 0 ≠ 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡0 ≠ 0⁡⁡⁡𝑛𝑜⁡𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
Con uno que no cumpla ya podemos concluir que no tiene solución en dicho punto
Ahora determinemos donde tiene solución única al ED
𝑆. 𝑈 = 𝐷𝑓(𝑥, 𝑦) ∩ 𝐷
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
= {(𝑥, 𝑦)/𝑦 − 4 + 𝑥 2 > 0}
Por es lo que esta en común en los dos
NOTA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE LA SECCION 1.1 DEL PROBLEMA 1 AL 24 DEL LIBRO
MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA CUARTA EDICION DE DENNIS G.ZILL MAS
LA GUIA 1