1
Модели найма
[[Shura Tsy@, my comments for you are in English, my new text is in
double brackets. ((text to be deleted in double parenthesis)) Something
wrong with fonts: instead of (s=1) or together with it, everywhere I see (
s
) and some other things……… S.Kokovin]]
s=1
Модели с неполной и неодинаковой (асимметричной) информированностью экономических субъектов о характере сделки, свойствах
обмениваемых благ, их воздействиях друг с другом и др. довольно
многообразны. В этой главе мы разберем ситуацию взаимодействия
двух экономических субъектов: нанимателя (заказ[[ч]]ика, владельца, начальника), и нанимаемого работника (подрядчика, менеджера,
подчиненного), известную под названием "Principal-Agent problem".
Модель с полной (симметричной) информацией
Рассмотрим сначала модель найма, в которой участники сделки полностью информированы обо всех ее характеристиках (ее условиях,
результатах).
В этой модели наниматель владеет неким «фактором производства»,
позволяющим получать доход (добавленную стоимость) величиной
y = y(x), если уровень усилий работника составляет величину x  X, где
X — множество возможных усилий (действий). Обычно предполагается, что функция y() является возрастающей и вогнутой, что означает, что доход возрастает с уровнем усилий, но с «убывающей отдачей». В предположении дифференцируемости функции y() это означает, что y(x) > 0, x  X и y() убывает.
Для стимулирования усилий работника наниматель выбирает схему
оплаты w() в зависимости от некоторого наблюдаемого им сигнала о
величине таких усилий. Схему оплаты w() называют также контрактом.
При этом, выбирая контракт, наниматель максимизирует остаточный
доход, то есть разность между создаваемым работником доходом y и
вознаграждением w. Будем называть эту величину прибылью нанимателя:
 = y(x) – w.
Естественно предполагать, что полезность работника в результате
работы по найму зависит от уровня усилий и от величины оплаты,
т.е. u = u(x, w). Для упрощения анализа будем предполагать, что эта
функция является сепарабельной:
u(x, w) = v(w) – c(x),
где v(w) — полезность от зарплаты w, а c(x) — тягость усилий x. Будем предполагать, что v() — возрастающая вогнутая функция, c() —
2
возрастающая выпуклая функция. Если эти функции дифференцируемы, то приведенные условия модифицируются следующим образом:
v(x) > 0, v() убывает (убывающая предельная полезность), c(x) > 0 и
c() возрастает (возрастающая предельная тягость усилий).
Предположим сначала, что работник характеризуется резервной полезностью u0. Это полезность альтернативной занятости, и работник
не согласится на работу по контракту, если его полезность окажется
меньше u0. (Мы будем предполагать, что когда u = u0, работник соглашается на данную работу).
Предполагают, что наниматель, выбирая схему оплаты (контракт)
знает функцию полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.
Можно рассматривать данную модель как динамическую игру. В ней
стратегия нанимателя — контракт w(). Мы рассмотрим один из вариантов модели, в которой контракт — это функция от усилий x:
w = w(x).
1. Начальник выбирает функцию w() — контракт.
2. Работник выбирает, работать ему или нет (заключать или не заключать контракт).
3. Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.
Можно изобразить эту игру в виде дерева.
Наниматель
w( )
 
 u0 
Работник
x
 y(x) – w( x) 
 v(w( x)) – c(x) 
Рисунок 1. Представление модели наниматель-работник в виде
дерева
Для полного описания игры необходимо задать множество допустимых выборов нанимателя — множество возможных контрактов {w()}
. В случае, если множество усилий не является конечным, решение
описанной игры существует не для всех множеств возможных контрактов: задача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не
для всех типов контрактов w(). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при котором
задача работника имеет решение.
Это ситуация полной информации — всем все известно [[о технологии, предпочтениях и производимых усилиях]]. Равновесие можно
найти с помощью обратной индукции. При данном контракте w()
работник решает задачу
3
u = v(w(x)) – c(x)  max xX ,
и выбирает соответствующие усилия x*:
x*  argmax xX(v(w(x)) – c(x)),
(ясно, что решение может быть и не единственное). При дифференцируемости функций
v(w(x*))w(x*) = c(x*)
для внутреннего решения.
v(w(x))
c(x)
x
x*
Рисунок 2. Выбор работником оптимальных действий
Далее, работник выбирает, подписывать ли ему контракт, зная оптимальное решение. Он сравнивает величины u0 и maxxX(v(w(x)) – c(x)).
Если maxxX(v(w(x)) – c(x)) < u0, работник отказывается подписывать
контракт и выигрыш предпринимателя оказывается равным нулю.
Если u0 оказывается выше, то работник не подписывает контракт.
Напомним, что если полезность одинакова [[при обоих вариантах его
поведения]], то мы предполагаем, что работник принимает решение
подписать контракт.
Таким образом, в этой ситуации решение работника зависит от предлагаемого ему контракта — w(). С другой стороны, от решения работника x* зависит величина прибыли  = y(x*) – w(x*). Наниматель
предлагает контракт, дающий ему максимальную прибыль с учетом
предсказуемого решения работника. [[Таким образом, концепция
решения игры — “совершенное в подыграх равновесие”
двухшаговой игры. В некоторых статьях эту концепцию для
двухшаговой игры называют также равновесием по Штакельбергу
(лидер и ведомый).]]
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую задачу, с
помощью которой можно найти решения игры:
 = y(x*) – w(x*)  max w()
x*  argmax xX(v(w(x)) – c(x)),
(1)
v(w(x*)) – c(x*)  u0 .
(2)
Ограничение (1) называют ограничением совместимости стимулов.
Ограничение (2) называют ограничением участия. Ограничение участия исключает из анализа случай v(w(x*)) – c(x*) < u0, для которого выигрыши участников известны, упрощая анализ (в противном случае
требовалось бы искать максимум, вообще говоря, разрывной функ-
4
ции выигрыша нанимателя). Если в полученном решении прибыль
нанимателя отрицательна, то он предложит работнику такой контракт, который тот не подпишет; при этом наниматель получит более
высокую прибыль (нулевую).1
Если решение задачи работника x* не единственно, то будем считать,
что работник делает выбор, благоприятный для нанимателя. Поэтому
можно предполагать, что начальник сам выбирает x* при тех же ограничениях. Т.е. он выбирает как w(), так и x*, решая следующую задачу:
 = y(x*) – w(x*)  max x , w()
v(w(x*)) – c(x*)  v(w(x)) – c(x), x  X,
v(w(x*)) – c(x*)  u0.
*
(Заметьте, что здесь ограничение совместимости стимулов записано
несколько в другом виде).
Решение этой задачи нанимателя включает в себя максимизацию по
функции, причем обычно решение является не единственным. Для
нахождения решения удобно рассмотреть сначала вспомогательную
задачу, без ограничения совместимости стимулов
 = y(x*) – w(x*)  max x , w()
v(w(x*)) – c(x*)  u0.
*
Вводя обозначения w = w(x*), x = x*, приходим к следующей задаче:
 = y(x) – w  max x, w
v(w) – c(x)  u0.
В этой задаче выбираются оптимальные для начальника значения x и
w при учете только ограничения участия. Поэтому уровень прибыли,
соответствующий решению этой задачи, не может быть ниже ее
уровня, соответствующего оптимальному контракту. В дальнейшем
мы покажем, что в действительности они совпадают.
Обозначим решение этой вспомогательной задачи через ( 
x, w
).
С учетом ограничения участия (которое в точке решения выполняется как равенство) ее можно свести к следующей задаче безусловной
оптимизации по уровню усилий x:
 = y(x) – v–1(c(x) + u0)  max x
Для данного уровня усилий 
x , в котором достигается максимум, пла–1
та должна быть равна w
x ) + u0).
 = v (c( 
При дифференцируемости функций внутреннее решение характеризуется соотношением
Можно было бы добавить еще один ход нанимателя: предлагать контракт или нет.
Тогда в рассматриваемом «невыгодном» случае нанимателю достаточно не предлагать работнику никакого контракта.
1
5
y( 
x)=
c( 
x)
.
v(w
)
y(x)
v–1(c(x) + u 0)
w
x
x
Рисунок 3. Идеальная для нанимателя ситуация, выбор 
x и w

Это будет Парето-оптимум с точки зрения целевых функций  и u,
(элемент переговорного множества, наиболее предпочитаемый
нанимателем: наниматель получит весь излишек от сделки), см.
Рис??.
u
u0

Рисунок 4. Идеальная для нанимателя ситуация на Паретогранице
Может ли начальник достичь этой идеальной для себя ситуации?
[[Если множество допустимых контрактов достаточно богато (что мы
предполагаем), то]] Да, причем несколькими способами. [[Действительно,]] Для этого [[достаточно]]((нужно)) выбрать контракт w()
таким образом, чтобы решение задачи работника
v(w(x)) – c(x)  max xX
достигалось в требуемой точке 
x и работник получал в этой точке
требуемую оплату w
=
w(
x
).
Графически
это означает, что кривая


v(w(x)) [[должна лежать]]лежит под кривой c(x) + u0 и совпадает с ней в
точке ( 
x, w
). [[Такую кривую легко подобрать, например, задав положительную оплату только для уровня усилий 
x!
Чтобы описать более широкий класс функций оплаты удовлетворяющих начальника, заметим, что]] Если c() и y() дифференцируемы и
ищется дифференцируемая функция w(), то для внутреннего решения
должно быть выполнено [[.. delete parenthesis below?]]
w( 
x)=
c( 
x)
( = y( 
x ) ).
v(w
)
6
v–1(c(x) + u 0)
y(x)
w(x)
w
x
x
Рисунок 5. Подбор схемы оплаты, реализующей идеальную для
нанимателя ситуацию
Таким образом, если стратегии нанимателя и работника составляют
равновесие, причем в равновесии выполнено ограничение участия, то
они обладают следующими характеристиками:
Усилия работника в равновесии равны x = 
x , а равновесный контракт
w() удовлетворяет условиям w(x)  v–1(c(x) + u0) x  X и w( 
x)= w
. Вне
равновесной [[траектории??]] работник при произвольном допустимом контракте w() выбирает уровень усилий x = x*(w()), который максимизирует полезность работника v(w(x)) – c(x).
Верно и обратное: если существует уровень усилий x, при котором
прибыль y(x) – v–1(c(x) + u0) положительна[[максимальна?]], то любые
стратегии, удовлетворяющие этим условиям, составляют равновесие
рассматриваемой игры. [[I doubt. Why?? ]]
Опишем несколько простейших контрактов, при использовании которых достигается идеальная для нанимателя ситуация [[(при наших
гипотезах о выпуклости)]].
1) Линейный по [[усилиям]]действиям контракт:
w(x) = a + bx.
[[Чтоб найти его параметры,]] Из условия w( 
x ) = y( 
x ) получаем, что
b = y( 
x ).
Из условия v(w( 
x )) = v(w
x ) + u0 получаем, что
) = c( 
a= w
x = v–1(c( 
x ) + u0) – b 
x,
 – b
Т.е. если 
x — оптимальные усилия, а w
 — соответствующая оплата
то
w(x) = w
x )(x – 
x ).
 + y( 
v–1(c(x)+u0)
w
w(x)
x
x
Рисунок 6. Оптимальный линейный по действиям контракт
2) Пакетный контракт («не хочешь, не бери», "take-it-or-leave-it"):
7
 0, x < 
0, x < x ,
x,
[[или w(x) = 
change < for `not-equal’]]
, x  x .
, x  x .
 w
 w

w(x) = 
Очевидно, что для оптимальности пакетного контракта его параметры x и w
 следует выбрать следующим образом:
x и w
x = 
=w
.
v–1(c(x)+u0)
w(x)
w
x
x
Рисунок 7. Оптимальный пакетный контракт
3) Линейный по результатам контракт:
w(x) = a + by(x).
Для того, чтобы выполнялось w( 
x ) = y( 
x ), требуется, чтобы b = 1. Таким образом, это должен быть контракт с полной ответственностью —
все прибыли и убытки берет на себя работник. Наниматель же получает фиксированную сумму [[(ренту)]] A = –a ( = A). Т.е.
w(x) = y(x) – A.
Для того, чтобы этот контракт был оптимальным для нанимателя,
следует выбрать
A = y( 
x)– w
.
Контракт с полной ответственностью заставляет работника, по сути
дела, самому решать задачу нанимателя, которая была сформулирована нами ранее.
y(x)
w
v–1(c(x) + u 0)
w(x)
x
x
Рисунок 8. Оптимальный линейный по результатам контракт
Мы рассмотрели модель с полной информацией. Далее рассмотрим
модели с неполной и, прежде всего, асимметричной информацией, в
которых работник владеет некоторой информацией, а наниматель —
нет.
Модель с ненаблюдаемыми действиями
Рассмотрим модель, в которой скрытыми являются действия работника, то есть наниматель не знает, какие действия произвел работник, он наблюдает только результат этих действий, и в этих условиях
8
нанимателю нужно стимулировать работника выбрать уровень усилий, который бы максимизировал ожидаемую прибыль.
Пример.??? Если условия страхования актуарно справедливы,
страхуемому выгодно заключить контракт на величину, равную потенциальным потерям. Однако, застраховав имущество, многие
начинают вести себя более неаккуратно, тем самым увеличивая риск
его гибели или порчи, то есть риск наступления страхового случая.
Как страховая компания может стимулировать своих клиентов не
менять свое поведение после заключения договора?
Действия работника, x, ненаблюдаемы. Результат же действий (доход), 
y , есть (нетривиальная) случайная величина, распределение
которой зависит от x:
y ~ Fx.

Здесь {Fx} — это семейство распределений с параметром x. Через Fx()
обозначим соответствующую функцию распределения.
(В соответствии с моделью принятия решений при риске, можно
предположить, что 
y — это случайная величина, заданная на состояниях мира sS).
Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что носитель
этого распределения (область значений, принимаемых величиной 
y)
не зависит от x. Содержательно это означает, что по наблюдаемым
значениям 
y нельзя однозначно определить, какие действия работник
выбрал (или не мог выбрать). Такое предположение позволяет избавиться от многих технических сложностей.
Кроме того, естественно предположить, что чем больше усилия, тем
более высоким должен быть результат. Поэтому будем предполагать,
что распределение Fx() «сдвигается вправо» при росте x, т.е.
Fx (y) > Fx (y) при x1 < x2.
1
2
Это означает, что Fx стохастически доминирует Fx при x1 < x2. Из этого свойства следует, что чем больше усилия, тем больше ожидаемый
доход:
2
1
Ex 
y < Ex 
y при x1 < x2.
1
2
Математическое ожидание берется по распределению Fx, следовательно, оно зависит от того, какие действия x выбрал работник. Соответственно, оператор мат. ожидания мы будем писать в виде Ex.
Предполагают, что наниматель нейтрален к риску, т.е. его функция
выигрыша — ожидаемая прибыль. Т.е. наниматель стремиться максимизировать величину
Ex = Ex( 
y –w
),
где w
 — оплата по контракту, которая, вообще говоря, является случайной величиной.
9
Работник максимизирует U = Exu — мат. ожидание элементарной
функции полезности u(x, w), которая, как и раньше, зависит от объема
усилий x и от [[(вообще говоря, случайного)]] вознаграждения w
.
Условие участия, по аналогии со случаем полной информации, состоит в том, что работник соглашается на работу по контракту только в том случае, если его ожидаемая полезность при этом не меньше,
чем его резервная полезность u0:
Exu = u0.
Для упрощения анализа чаще всего рассматривают частные случаи,
когда функция u(x, w) имеет простой вид. Две самых популярных спецификации функции полезности работника имеют следующий вид:
u(x, w) = v(w – c(x))
и
u(x, w) = v(w) – c(x),
где v() — возрастающая вогнутая функция, а c() — возрастающая
выпуклая функция.
Оба типа функции сепарабельны по w и x (первая в каком-то смысле
еще и квазилинейна по зарплате w), и включают функцию v(), позволяющую моделировать отношение работника к риску (риск может
быть связан с тем, что получаемая им оплата w является случайной
величиной). Нейтральный к риску работник будет иметь линейную
возрастающую функцию v(), которую без потери общности можно
считать равной v(z) = z. Поэтому мы будем называть работника
нейтральным к риску, если
u(x, w) = w – c(x).
Как правило, предполагается, что работник не склонен к риску, то
есть функция v() вогнута.2 Работник является рискофобом, если
функция v() строго вогнута. При этом, если v() дифференцируема, то
она имеет положительную убывающую производную.
Поскольку действия x ненаблюдаемы, то оплата по контракту не может быть обусловлена предпринимаемыми работником действиями
(усилиями) x. В предположении, что наблюдаемыми являются результаты 
y этих усилий, рассмотрим модель контрактных отношений, при которых оплата по контракту обуславливается полученными результатами (как сигналами относительно уровня усилий). Поэтому в рассматриваемой модели с ненаблюдаемыми действиями
контракт — это функция вида w =w(y).
Как и ранее, мы будем предполагать, что наниматель, выбирая контракт, знает функцию полезности и резервную полезность работника,
а работник принимает контракт как данный. Таким образом, модель
Ясно, что функция v() моделирует отношение к риску только с точки зрения, w,
но не с точки зрения x. Но для нас это несущественно, поскольку в данной модели
усилия x не являются случайными.
2
10
представляет собой динамическую игру. Последовательность ходов в
этой игре следующая:
1. Наниматель предлагает контракт w().
2. Работник выбирает, работать ему или нет.
3. Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.
4. «Природа» при данном x по распределению Fx случайным образом
«генерирует» 
y , [[и этот доход делится в соответствии с контрактом
между нанимателем и работником]].
Наниматель
w( )
 
 u0 
Работник
x
[F x ]
Природа
y
 Ex (y– w(y)) 
 Ex u(w(y), x) 
Рисунок 9. Представление модели наниматель-работник с
ненаблюдаемыми действиями в виде дерева
[[В этом смысле, можно считать, что последовательность игры такая:
наниматель предлагает контракт, затем работник выбирает уровень
усилий (в том числе уход – один из вариантов), затем природа определяет случайный параметр производительности или полезности,
затем наниматель распределяет наблюдаемую выручку согласно контракту, не видев ни случайного фактора, ни действий работника.]]
Для поиска решения этой модели можно воспользоваться обратной
индукцией. При заданном контракте w() оптимальный для работника
уровень усилий является решением следующей задачи:
U = Exu(w( 
y ), x)  max xX .
Учитывая это, задача поиска оптимального для нанимателя контракта имеет следующий вид:
Ex  = Ex ( 
y – w( 
y ))  max x , w()
*
*
*
Ex u(w( 
y ), x*)  Exu(w( 
y ), x),  x  X
*
(ограничение совместимости стимулов),
Ex u(w( 
y ), x*)  u0
*
(ограничение участия).
Объяснение того, почему задача нанимателя включает выбор усилий
x*, такое же, как для модели с наблюдаемыми действиями [[: работник предполагается «доброжелательным» к нанимателю, в том смысле, что из равновыгодных для себя действий готов выбрать выгодные
11
для нанимателя. Эта гипотеза реалистична, поскольку наниматель
может за доброжелательность доплатить малую величину (явное
введение ее в модель не добавило бы смысла)]].
Проанализируем сначала случай с наблюдаемыми действиями, но со
случайными результатами. Это даст нам «идеальную» точку отсчета
для анализа модели с ненаблюдаемыми действиями. При этом, как и
выше (в ситуации, когда результат однозначно определяется выбором уровня усилий), рассмотрим вспомогательную задачу, в которой
определятся оптимальные для нанимателя значения x и w при ограничении участия:
E x( 
y – w)  max x, w
Exu(w, x)  u0.
Поскольку здесь как w, так и x — детерминированные величины, то
u(w, x) — тоже детерминированная. Таким образом, задача сводится к
следующей:
Ex 
y – w  max x, w
u(w, x)  u0.
()
При
u(x, w) = v(w) – c(x),
выражая w из ограничения участия, получаем следующую задачу:
Ex 
y – v–1(c(x) + u0)  max x.
()
Как и раньше, обозначим соответствующую «идеальную» ситуацию
(
x, w
x , то
). Если из задачи () найден эффективный уровень усилий 
соответствующая плата должна быть равна
w
x ) + u0).
 = v–1(c( 
Как и при однозначности результата, эту идеальную ситуацию можно реализовать бесконечным числом способов в виде контракта w(),
зависящего от усилий x. (Например, можно использовать пакетный
контракт). Кривая w(x) должна лежать под кривой v–1(c(x) + u0) и касаться ее в точке ( 
x, w
). При этом достигается Парето-оптимум с
точки зрения соответствующих целевых функций: ожидаемой прибыли Ex( 
y –w
) и ожидаемой полезности Exv(w
) – c(x).
Действительно, если от произвольной оплаты w
, перейти к фиксированной оплате Exw
, то ожидаемая прибыль не изменится, а ожидаемая полезность не уменьшится (поскольку работник не склонен к
риску). Поэтому достаточно рассматривать только случаи, когда плата не случайная. При этом, как несложно понять, записанная выше
задача () представляет собой задачу, характеризующую Паретооптимальные состояния.
12
Предположим теперь, что действия (усилия) ненаблюдаемы. [[Тогда
приходится строить контракт зависимым от результата – дохода от
деятельности. Например,]] Из всех рассмотренных выше контрактов
(для модели с наблюдаемыми действиями) можно реализовать только линейный по результатам контракт:
w(y) = a + by.
Он являлся оптимальным [[и по Парето и для начальника]] в случае,
если это контракт с полной ответственностью:
w(y) = y – A.
Покажем, что этот контракт и в данном случае может являться оптимальным по Парето [[(как и другие контракты реализующие ту же
точку)]] – но лишь при ограничительных предположениях относительно отношения к риску работника или вероятностям! Об этом
свидетельствуют следующие утверждения.
Теорема 1
1) Если работник нейтрален к риску, то наилучший для нанимателя контракт с полной ответственностью w(y) = y – A является Парето-оптимальным и эквивалентен с точки зрения ожидаемой прибыли и ожидаемой полезности эффективному состоянию ( 
x, w
)
[[(достижимому при полной информации), причем 2)любой
контракт обеспечивающий это же сотстояние (w( 
x ,))=w
) и не
превышающий y – A тоже оптимален и по Парето и для
начальника. 3)Обратно, если работник рискофоб, то контракт с
полной ответственностью не является Парето-оптимальным и не
лучший с точки зрения ожидаемой прибыли??]]
Доказательство.
Ожидаемая прибыль в данной ситуации равна Ex( 
y–
y – A) = A, а ожидаемая полезность равна Ex( 
y – A) – c(x) = Ex 
y – A – c(x).
Задача максимизации ожидаемой полезности по x эквивалентна задаче (), учитывая, что при нейтральности к риску v–1(w) = w. Таким
образом, работник выберет эффективные усилия. Параметр наилучшего для начальника контракта с полной ответственностью находится из условия участия:
A = Ex 
y – c(x) – u0.
При этом ожидаемая полезность равна u0, а ожидаемая прибыль равна Ex 
y – c(x) – u0 (где x — эффективные усилия), то есть она такая же,
какая достигается в задаче ().
Док. (2), (3) помещены в …….. и опираются на следующую теорему.

Теорема 2
13
Если работник — рискофоб, и допустимый контракт w() таков,
что w
y ) — нетривиальная случайная величина, то соответ = w( 
ствующая ситуация не является оптимальной по Парето, поскольку можно увеличить ожидаемую прибыль, не уменьшая ожидаемой полезности.
Доказательство.
Действительно, в данной ситуации можно случайную оплату w
 заменить на ее безрисковый эквивалент. При этом по определению ожидаемая полезность работника не изменится, ожидаемая же прибыль
вырастет (у рискофоба безрисковый эквивалент нетривиальной случайной оплаты строго меньше математического ожидания такой
оплаты).

Из этого утверждения следует, что контракт с полной ответственностью в случае работника — рискофоба уже не будет Паретооптимальным, поскольку w
y – A — нетривиальная случайная вели= 
чина.
Другое следствие состоит в том, что если при ненаблюдаемости действий работник является рискофобом, то Парето-оптимальность достижима только в случае, когда плата w( 
y ) детерминированная[[, то
есть контракт – «вполне страхующий»]]. Ясно, что такой контракт не
является стимулирующим и работник, работая по нему, будет делать
наименьшие возможные усилия x = min(X) (если соответствующий
минимум существует). Следовательно, Парето-оптимальность достижима только если среди эффективных контрактов есть контракты
с минимальными возможными усилиями, то есть только в содержательно неинтересном случае, когда нанимателю нет смысла стимулировать работника, достаточно дать ему минимальную плату, обеспечивающую резервную полезность.
[[Обратное, в некотором смысле, утверждение к Теореме 2 есть
Теорема 3
Если работник — рискофоб, и оптимальный для начальника контракт w() таков, что выбирается наименьший уровень усилий, то
w
y ) — тривиальная случайная величина, то есть это контракт
 = w( 
с полной страховкой работника, и соответствующая ситуация является оптимальной по Парето.
Доказательство — очевидно из предыдущего рассуждения.
Отсюда следует, что «ограничение стимулирования» всегда не связывет решения (и обычно неактивно) при контракте с минимальными
усилиями.
Теорема 2 выявляет главную проблему построения контрактов при
неполной информации (стохастике): хозяин вынужден совмещать
цели стимулирования работника с необходимостью страховать
14
его от слишком малого потребления в случае неудачных производственных условий, возникающих после контракта (например, неурожай). А ведь эти две цели по самой своей идее противоположны: чем
более я страхую работника от неудач, тем менее стимулирую к удачам! Это и вынуждает неэффективность контрактов.
Впрочем, указаны простые случаи эффективности. А именно, разобранные в Теоремах 1,3 случаи делают задачу выбора оптимального
контракта «тривиальной».
В первом обе стороны контракта нейтральны к риску, так что риск
по сути элиминируется, и можно строить (линейный, с полной ответственностью) контракт в терминах матожиданий, задача страхования
не стоит.
Во втором задача стимулирования не стоит: работник и сам хочет
делать то, что выгодно хозяину (и можно строить контракт с полной
страховкой).
Укажем третий тривиальный случай: когда по исходу (выручке)
можно однозначно установить, выполнял ли работник нужное хозяину действие, или иное (носители распределения выручки при разных
действиях не пересекаются). Тогда, по сути, хозяин может наблюдать
действия косвенно, наблюдая выручку, и оказывается в уже известной нам ситуации с полной информацией (и можно строить контракт
зависящий только от усилий, с полной страховкой).
Видимо, во всех нетривиальных случаях равновесный, то есть оптимальный для хозяина контракт не может достичь Паретооптимальности: безболезненное примирение стимулирования и
страхования невозможно. Но формулировка этой идеи в иной форме,
чем Теорема 2, потребовало бы громоздких определений, строго исключающих тривиальность всех типов. ]]
Кроме Парето-оптимальности, интересен также вопрос о монотонности равновесных контрактов: всегда ли за больший выпуск выгодно
больше платить работнику? Оказывается, как ни странно – не всегда.
Для формулировки этого и других примеров нам удобно ввести дискретную модель.
Дискретный вариант модели со скрытыми действиями
Рассмотрим модель в дискретном случае: конечное число возможных
действий (xa, a = 1, ..., k) и конечное число возможных результатов (ys,
s = 1, ..., m). Поскольку сам по себе уровень x не имеет значения, то
вместо x мы будем использовать a и обозначим c(xa) = ca, предполагая,
что усилия xa растут с ростом индекса a. Каждое значение выбранных
работником усилий a приводит к случайному результату 
y , который
описывается [[некоторым]] дискретным распределением:
y1
…
ym
a1
… am
15
Здесь as > 0 — вероятность s-го результата в случае, когда работник
выбрал усилия a. По определению вероятностей, s as = 1. Мы будем предполагать, что все ys различны и возрастают по s. По предположению, распределение сдвигается вправо при росте усилий, поэтому [[вероятность низкой выручки падает:]]
s
s
s=1
s=1
 as >  bs, s = 1, ..., m – 1, a < b.
Исходные данные для дискретной модели можно представить в виде
следующей таблицы [[усилий, уровней выручки и вероятностей (см.
конкретный пример в разделе о монотонности):]]
y1
…
ym
a=1
11
…
1m
c1


{as}


a=k
k1
…
km
ck
Для упрощения анализа будем предполагать, что элементарная
функция полезности имеет вид:
u(a, w) = v(w) – ca.
Контракт задается величинами ws = w(ys) — каждому возможному результату ys контракт сопоставляет уровень оплаты ws. Таким образом,
контракт представляет собой вектор w = {ws}s. С другой стороны, это
случайная величина w
.
При этом ожидаемая полезность (как функция от a) равна
U(a, w) = Ea[v(w) – ca] = s asv(ws) – ca,
а ожидаемая прибыль при выбранных усилиях a —
e
 (a, w) = Ea = Ea(y – w
) = s as(ys – ws).
Задача нанимателя имеет вид:
e
 (a*, w)  max a , w
*
U(a*, w)  U(a, w), a =1, ..., k,
(ограничение совместимости стимулов),
U(a*, w)  u0
(ограничение участия).
Поскольку число возможных действий конечно, то эту задачу вообще говоря, можно решать перебором. Для этого, задавшись конкретным a*, следует найти контракт w = w(a*), минимизирующий ожидаемый уровень оплаты при условии, что при данной оплате работник
предпочтет (выберет) уровень усилий a*. Обозначим ожидаемый уровень оплаты
16
e
w (a, w) = Eaw
 = s asws.
Тогда соответствующая вспомогательная задача имеет следующий
вид:
e
w (a*, w)  min w
U(a*, w)  U(a, w), a =1, ..., k,
U(a*, w)  u0.
В этой задаче искомыми переменными являются только уровни
оплаты для различных результатов, т.е. величины ws. Соответствуюe
щее максимальное значение ожидаемой прибыли равно  (a*, w(a*)).
Получив все такие значения [[(для каждого a*)]], следует среди дейe
ствий a*=1, ..., k найти такое, при котором ожидаемая прибыль (
(a*, w(a*)) достигает максимума.
Поскольку элементарная функция полезности имеет специальный
вид
u(a, w) = v(w) – ca,
то эту задачу можно свести к задаче выпуклого программирования
(минимизация выпуклой функции на выпуклом многогранном множестве) путем замены переменных vs = v(ws). Как ограничение участия, так и ограничение совместимости стимулов будут в новых переменных линейными, а ожидаемая прибыль — вогнутой функцией
переменных vs:
e
 (a, v) = s as(ys – f(vs)),
где через f() мы обозначили v–1(). [Так как v() вогнута, то f() выпукла, а –f() вогнута]. Область определения переменных vs совпадает с
областью значений функции v() и ее описание должно в явном виде
присутствовать в формулировке соответствующей задачи. В дальнейшем мы будем предполагать, что решения рассматриваемых задач являются внутренними.
Предположим, что работнику доступны только два действия (два
уровня усилий). Обозначим их через H и L (высокий и низкий уровень усилий соответственно). По предположению о том, что распределение сдвигается вправо при росте усилий, имеем:
s
s
s=1
s=1
 Ls >  Hs, s = 1, ..., m – 1.
Напомним, что при конструировании оптимального контракта предe
e
варительно определятся величины  (L, w(L)),  (H, w(H)). Далее выбирается усилие (и соответствующий ему контракт), при котором веe
личина  (a, w(a)), a = L, H является максимальной.
Охарактеризуем оптимальный контракт a (a = L, H), обеспечивающий
e
нанимателю ожидаемую прибыль  (a, w(a)) (решение вспомогательной задачи с уровнем усилий a).
17
Если агент совершает действия a, то ожидаемая прибыль принципала
равна
s as(ys – ws).
Как обычно, Будем предполагать, что работник является рискофобом, а наниматель нейтрален к риску.
Ожидаемая полезность работника в случае, когда он выбирает действие a, будет равна
s asv(ws) – cL,
Тогда, в случае, если a = L, условие совместимости стимулов имеет
следующий вид:
s Lsv(ws) – cL  s Hsv(ws) – cH,
а условие участия:
s Lsv(ws) – cL  u0,
Соответствующая вспомогательная задача — минимизировать ожидаемую оплату по контракту (максимизировать ожидаемую прибыль)
s Ls ws  min w
(соответственно, s Ls(ys – ws)  max w) при указанных условиях
совместимости стимулов и участия.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда возможны всего два
результата (исхода): y1, y2. Мы предполагаем, что для вероятностей
выполнено H1 < L1, и, следовательно, H2 > L2 (более высокие усилия
способствуют более высокому результату).
Пусть наниматель хочет побудить работника выбрать низкие усилия
L. Тогда условие совместимости стимулов имеет вид
L1v1 + L2v2 – cL = H1v1 + H2v2 – cH.
Учитывая, что H2 > L2:
v2 =
Поскольку сумма
H1 + H2 = 1), то
L1 – H1
cH – cL
v1 +
.
H2 – L2
H2 – L2
вероятностей
v2 = v1 +
равна
единице
(L1 + L2 = 1,
cH – cL
.
H2 – L2
Второе слагаемое здесь положительно при cL < cH. Таким образом,
линия совместимости стимулов в координатах (v1, v2) — это прямая,
параллельная биссектрисе и проходящая выше нее. Допустимые точки лежат ниже этой линии.
Ограничение участия
18
L1v1 + L2v2 – cL = u0,
можно записать в виде
v2 =
u0 + cL – L1v1
.
L2
Оно задается прямой, наклон которой равен –L1/L2. Допустимые
точки лежат выше этой прямой. Это одна из линий безразличия работника. (Все линии безразличия работника имеют одинаковый
наклон –L1/L2).
Чтобы записать задачу нанимателя в терминах полезности обозначим
через f() функцию, обратную к v(), то есть f(vs) = ws:
EL = L1(y1 – f(v1)) + L2(y2 – f(v2)).
Соответствующие кривые безразличия выпуклы вправо вверх, множество лучших точек лежит под кривой безразличия.
Наклон кривой безразличия нанимателя определяется следующим
образом:
(EL)/v1
(EL)/v2
=–
L1f(v1) L1v(w2)
=–
.
L2f(v2) L2v(w1)
Кривая безразличия нанимателя касается прямой, определяемой
условием участия, в точке, где
–
L1v(w2) L1
=– .
L2v(w1) L2
Т.е. v(w1) = v(w2), что при убывании v(), означает, что точка касания
соответствует фиксированной оплате w1 = w2, то есть лежит на биссектрисе.
Поскольку в случае, когда a = L, линия, соответствующая ограничению совместимости стимулов, лежит выше биссектрисы, то ограничение совместимости стимулов неактивно. Следовательно, на диаграмме в координатах (v1, v2) оптимальное решение лежит на биссектрисе v1 = v2.
Таким образом, при a = L оплата по контракту должна быть фиксированной: w1 = w2 = w
 [[(контракт с полным страхованием работника)]].
19
v2
решение
v1
линии уровня
принципала
Рисунок Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
Аналогичным образом можно показать, что w1 = w2 = w
 и в случае, когда cL = cH. Обратно, если оплата по контракту не зависит от результатов, то из условия совместимости стимулов следует, что
v – cL = v – cH,
или
cH = cL,
Из этого можно сделать вывод, что оплата [[по контракту принуждающему к действиям L]] будет фиксированной в тех и только в тех
случаях, когда действия типа L требуют от агента меньших затрат,
чем действия типа H, то есть являются для него выгодными сами по
себе. [[(Аналогично можно рссуждать про контракт принуждающий
к каким-либо иным действиям и дающий полную страховку.)]]
Таким образом, для низких усилий линия совместимости стимулов
лежит выше биссектрисы, контракт должен изображаться точкой на
биссектрисе, и активным является только ограничение участия.
Проанализируем теперь случай, когда наниматель хочет побудить
работника выбрать высокий уровень усилий H. Условие совместимости стимулов в этом случае записывается в виде
H1v1 + H2v2 – cH  L1v1 + L2v2 – cL.
Множество допустимых по этому условию контрактов имеет ту же
границу, что и при L (она параллельна биссектрисе и лежит выше ее),
но допустимые точки лежат выше границы:
v2  v1 +
cH – cL
.
H2 – L2
Ограничение участия
H1v1 + H2v2 – cH  u0,
задается прямой
v2 =
u0 + cH – H1v1
.
H2
20
Ее наклон равен –H1/H2. Поскольку точка касания соответствующих
кривых безразличия работника и нанимателя лежит на биссектрисе и
поэтому в данном случае не принадлежит множеству допустимых
контрактов, ограничение совместимости стимулов оказывается активным.
В предположении, что активным является и ограничение участия,
решение представляется точкой пересечения двух соответствующих
прямых (см. Рис.???). Линии уровня нанимателя в точке пересечения
с биссектрисой имеют тот же наклон –H1/H2, что и линия участия
(это проверяется так же, как для L).
v2
решение
v1
Рисунок K
Оптимальное для нанимателя решение не является оптимальным по
Парето. Оптимальное решение находится в точке A, которая лежит на
пересечении линии совместимости стимулов h, и линии участия i.
Оно не оптимально по Парето, так как точка B лежит на той же кривой безразличия принципала, а для агента она дает большую ожидаемую полезность, чем A (лежит на более высокой линии безразличия
работника i). Точка B является Парето-оптимальной (кривые безразличия касаются), но ее нельзя реализовать как равновесие из-за условия совместимости стимулов. Если же наниматель изменит контракт
так, что агенту станет доступна точка B, то агенту будет выгодно изменить свои действия с H на L. Действительно, на диагонали выполняется неравенство
L1v + L2v – cL > H1v + H2v – cH.
При переходе от H к L карта кривых безразличия работника в координатах (v1, v2) меняется, так как меняются вероятности. Соответствующей точке B линией безразличия будет i. В то же время
EL = L1(y1 – f(v)) + L2(y2 – f(v))EH = L1(y1 – f(v)) + L2(y2 – f(v)).
Наниматель должен ограничивать полезность работника, чтобы тот
не выбрал еще большую в ущерб интересам нанимателя.
21
v2
h
A
B
i 
i
i
v1
Рисунок L
Решим теперь задачу в общем случае m исходов:
Лагранжиан равен:
s Hsv(ws) – cH  s Lsv(ws) – cL,
а условие участия:
L = s Hs(ys – ws) +  (s Hsv(ws) – cH – s Lsv(ws) + cL)
+ (s Hsv(ws) – cH – u0).
Тогда
L
= – Hs +  (Hsv(ws) – Lsv(ws)) + Hsv(ws).
ws
Отсюда получаем
1
Ls
=  +  (1 – ).
v(ws)
Hs
Из этого следует, что если ограничение совместимости стимулов
неактивно (выполняется как строгое неравенство, значит, соответствующий множитель Лагранжа  = 0), то v(ws) = 1/, s, то есть ws =
w
 = const, s.
Чтобы записать задачу принципала в терминах полезности обозначим через f() функцию, обратную к v(), то есть f(vs) = ws:
EH = H1(y1 – f(v1)) + H2(y2 – f(v2)).
Тогда можно определить наклон кривой безразличия принципала:
(EH)/v1
(EH)/v2
=–
H1f(v1) H1v(w2)
=–
.
H2f(v2) H2v(w1)
Кривая безразличия принципала касается прямой условия участия в
точке, где
–
H1v(w2) H1
=– .
H2v(w1) H2
22
То есть в оптимуме v(w1) = v(w2). Значит, оплата должна быть фиксированной: w1 = w2 = w
. Графически в координатах (v1, v2) оптимальное
решение лежит на биссектрисе v1 = v2.
Тогда из условия совместимости стимулов получаем
v – cH  v – cL,
или
cL  cH,
Из этого можно сделать вывод, что оплата должна быть фиксированной тогда и только тогда, когда действия типа H требуют от агента
меньших затрат, то есть являются для него более выгодными сами по
себе, независимо от системы оплаты.
Таким образом, когда линия совместимости стимулов лежит ниже
биссектрисы, то решение должно быть на биссектрисе и активным
является только ограничение участия. В противном случае оба ограничения активны и решение задается точкой пересечения двух соответствующих прямых (см. Рис.???) [[или пересечением условия стимулирования и условия положительности, обсуждаемом ниже]].
Решим теперь задачу в общем случае m исходов, ее Лагранжиан равен:
s Hsv(ws) – cH  s Lsv(ws) – cL,
а условие участия:
L = s Hs(ys – ws) +  (s Hsv(ws) – cH – s Lsv(ws) + cL)
+ (s Hsv(ws) – cH – u0).
Тогда
L
= – Hs +  (Hsv(ws) – Lsv(ws)) + Hsv(ws).
ws
Отсюда получаем
1
Ls
=  +  (1 – ).
v(ws)
Hs
Из этого следует, что если ограничение совместимости стимулов
неактивно (выполняется как строгое неравенство, значит, соответствующий множитель Лагранжа  = 0), то v(ws) = 1/, s, то есть ws =
w
 = const, s.
……
????(Мы предполагали, что работник принимает решение подписать
контракт благоприятное для нанимателя, поскольку)
(Наниматель всегда может чуть-чуть увеличить заработную плату).
Всегда ли контракт монотонен?
23
[[Пример: Пример выгодности немонотонного контракта таков.
Работник не испытывает неудовольствия от труда (с=0), имея
полезность от зарплаты вида квадратного корня и резервную
полезность 1. Возможны два уровня усилий и три уровня выручки, с
вероятностями, заданными таблицей:
y1 -1000
y1 10
y1 20
Ожидаемая
выручка/з.п
.
a=1




a=2




Контракт
w1000
w101.2
w20
1.17
Контракт (0.9, 1.2, 0..9) (подсчитанный неточно) немонотонен,
поскольку удачная выручка 20 тесно коррелирует с неудачной (1000), указывая с достаточной вероятностью на нежелательный
уровень действий a = 2.
Условие исключающее немонотонность равновесного контракта –
возрастание выручки по усилиям, то есть гипотеза, что 
y=
y (x,  возрастает по x при любом .
Утверждение. При неубывании выручки по усилиям, среди
равновесных контрактов есть неубывающий по выручке.
Доказательство - ??.
“Информационная рента”
В завершение поднимем вопрос о так называемой “квазиренте” или
“информационной ренте”, которую иногда может получать работник
в результате ненаблюдаемости его действий. Подразумевается
положительный излишек, получаемый им от контракта, по
сравнению с резервационной полезностью. На первый взгляд, хозяин
имеет возможность заплатить работнику по минимуму, то есть
оставить его без “квазиренты”, как и в случае с полной информацией.
Однако, во многих примерах это не так, благодаря условиям
положительности выплат, или другим условиям, ограничивающим
множество допустимых контрактов (учитываемым через область
определения и область значений функции v()), работник получает
полезность большую, чем резервационная, несмотря на возможную
конкуренцию
других
точно
таких
же
работников
(удовлетворяющихся меньшей, резервационной полезностью)!
Например, иногда можно наблюдать, что водитель дорогого
грузовика получает зарплату вдвое больше, чем другие водители той
же квалификации на такой же работе с менее дорогой техникой.
Суть дела в том, что возможные контракты ограничены: хозяин не
может в случае поломки грузовика возложить полную материальную
ответственность на водителя. Как правило, невозможна вообще
никакая ответственность (никакого штрафа), самое большее, что
24
возможно
–
уволить
подозреваемого
в
халатности
(неотрицательность выплат). Тогда разумный способ стимулировать
усердие – платить водителю выше, чем зарплата альтернативной
занятости, создавая избыточный поток доходов (квазиренту),
достаточную для стимулирования усилий удержаться на этой
выгодной работе. Аналогично, избыточным (по сравнению с
рыночной ценой такого труда) является стимулирование высших
менеджеров кампаний и др. Тем самым, асимметрия информации
препятствует выравниванию цен на одинаковый труд, несмотря на
совершенство конкуренции на стороне работника.
Математически, суть этого эффекта в том, что в рассмотренной выше
задаче выбора оптимального контракта ограничение участия не
активно. Вместо него (в комбинации с ограничением
стимулирования)
оказывается
активным
ограничение
положительности
выплат
(или,
в
других
постановках,
положительности полезности при любом состоянии мира).
Рассматривая приведенные графики (и пример с немонотонностью),
можно догадаться, что этого можно добиться во многих задачах,
варьируя исходный параметр резервационной полезности.
Действительно, опуская его, мы приближаем уровень ограничения
участия к началу координат. В пределе оно может стать избыточно, с
запасом
вытекать
из
ограничений
положительности
и
стимулирования. Это и есть ситуация квазиренты. Конечно, она
возникает только при стимулировании высоких усилий, и то не
всегда.
Сформулировать общее условие, когда квазирента появляется или
нет -- затруднительно, а для частного случая двух уровней усилий
оно выглядит так: …………
]]
Пример: (Tirole, p.???)
Выбор линейного контракта для непрерывной области определения
Пусть, выручка есть
y = x + ,

где  — случайная величина («возмущение»), распределение которой
не зависит от x, с носителем (–,+), имеющая нулевое мат. ожидание:
E = 0.
Работник имеет элементарную функцию полезности вида
u(x, w) = v(w – x2).
где  — постоянный коэффициент, функция v() дифференцируемая, с
положительной убывающей производной.
Рассмотрим линейные контракты:
25
w(y) = a + by.
Ожидаемая полезность работника равна
U = Exu = Ev(a + b(x + ) – x2).
Условие первого порядка для оптимальных усилий работника:
U
= E[v(a + b(x + ) – x2)(b – 2x)] =
x
= (b – 2x)Ev(a + b(x + ) – x2) = 0.
(Здесь мы можем дифференцировать под оператором математического ожидания, поскольку аргумент функции v() — это случайная величина, носитель которой не менялся при изменении x.)
Поскольку математического ожидание положительной сл. величины
v() положительно, получаем
x* =
b
.
2
Подставим эти оптимальные действия в задачу начальника:
................

Задачи
(Tirole, p.36)
Работник может выбрать два уровня усилий: высокий (H) и низкий
(L). Полезность работника в случае низких усилий равна v(w), а в случае высоких — v(w – c), где w — заработная плата, c — издержки, связанные с высокими усилиями. Функция v() возрастающая и строго
вогнутая (работник — рискофоб). Резервная заработная плата работника равна w0 (так что резервная полезность равна v(w0)).
Пусть доход нанимателя может принимать два значения, y1 и y2, причем y1 < y2. Если работник выберет высокий уровень усилий, то доход
будет равен y2 с вероятностью H и y1 с вероятностью 1 – H. Если же
он выберет низкий уровень усилий, то доход будет равен y2 с вероятностью L и y1 с вероятностью 1 – L, причем L < H.
(A) Рассмотрите сначала случай, когда усилия работника наблюдаемы. Объясните, почему, если начальник требует от работника выбрать низкий уровень усилий, то он должен назначить оплату
w1 = w2 = w0, а если высокий, то w1 = w2 = w0 + c.
(B) Покажите, что в ситуации пункта (A) нанимателю выгодно требовать от работника высокого уровня усилий в том и только в том
случае, если (H – L)(y2 – y1) > 0.
(C) Рассмотрите теперь случай, когда усилия работника ненаблюдаемы, и начальник хочет побудить работника выбрать высокий уровень
усилий. Запишите условие совместимости стимулов и условие участия.
26
(D) Покажите, что из условия совместимости стимулов следует, что
w2 > w1.
(E) Объясните, почему начальнику выгодно назначить такую оплату,
что оба ограничения выходят на равенство.
(F) Пользуясь тем, что работник — рискофоб, покажите, что ожидаемая зарплата работника выше, а ожидаемая прибыль начальника
ниже, чем при наблюдаемости усилий (предполагаем, что в обоих
случаях начальнику выгодно побуждать работника выбрать высокий
уровень усилий).
(G) Найдите оплату при нейтральности работника к риску.
(H) Найдите оплату в случае, когда начальнику выгодно побуждать
работника выбрать низкий уровень усилий.
Модель со «скрытым типом» агента (модель
самовыявления)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда монопольный наниматель предлагает контракт или несколько контрактов на выбор нескольким типам работников, не наблюдая тип каждого, а только зная, какие типы
бывают.
Последовательность ходов в этой игре следующая:
1. Наниматель предлагает контракт w().
2. «Природа» по распределению Fx случайным образом «генерирует»
тип пришедшего наниматься работника.
3. Работник, зная свой тип, выбирает уровень усилий x (в том числе,
вообще, работать ему или нет по этому контракту).
4. Доход делится в соответствии с контрактом между нанимателем и
работником.
Наниматель
w()
Природа
x
[Fx ]
Работник
y
Ex(y – w(y)) 
 Exu(w(y), x) 
Рисунок 13. Представление модели наниматель-работник с
ненаблюдаемым типом в виде дерева
[[Иными словами, можно считать, что последовательность игры такая: наниматель предлагает контракт, затем природа определяет случайный параметр производительности или полезности, затем работник выбирает уровень усилий (в том числе уход – один из вариантов)
27
видя ход природы, затем наниматель распределяет наблюдаемую
выручку согласно контракту, не видев ни случайного фактора, ни
действий работника.]]……..