UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y
ELECTRONICA
ESCUELA DE POST GRADO
DINAMICA Y CONTROL DE SISTEMAS
ELÉCTRICOS DE GRAN POTENCIA
Prof. F. F. Gamarra E.
National University of Engineering
Post Graduated School
Electrical and Electronics Department
P.O.B. 1301 Lima 1, Lima, Peru
Capítulo I
Introducción:
Definición y Clasificación de
Estabilidad de Sistemas de
Potencia.
Estado Estacionario de un Sistema de Potencia:
Operación del Sistema en Equilibrio
1.
Definición.- Se define la condición de estado estacionario de un sistema de
potencia cuando la frecuencia y las tensiones de las barras permanecen
constantes. Esta condición implica que los parámetros del sistema y cargas
se mantienen invariantes en un periodo de tiempo. Se dice que un sistema
se encuentra en equilibrio, solo y solo sí:

La tensión de los sistemas de excitación son constantes.

Los ejes de las máquinas síncronas giran a la velocidad síncrona.

Los ángulos entre los ejes de los rotores permanecen constantes.
2.
Objetivos

Seguridad: El sistema debe soportar una determinada contingencia sin
sobrepasar los límites de operación. Un punto operación de estado
estacionario debe garantizar las contingencias mas probables. En el
SEIN se permite contingencias N-1.

Calidad: El suministro de energía a los consumidores debe mantenerse
con las magnitudes de las variables de estado cuyos índices de control
de calidad se encuentren dentro de lo establecido por las normas.

Economía: El suministro seguro de la energía a los consumidores con
calidad debe tener un costo mínimo.
MODELO DINÁMICO DE UN SISTEMA
DE POTENCIA
0  g( x ,z )


.
x  f ( x ,z )


x

z

0

Vector de variables de estado
Vector de variables algebraicas
Vector con todos los elementos nulos
MODELO LINEALIZADO
.
x

Ax

bu



y  cx


x
 Vector de variables de estado
y Vector de salida

u

A
b
c
Vector de control
Matriz de estado del sistema
Matriz de entrada
Matriz de salida
CONCEPTOS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS
ELECTRICOS DE POTENCIA
1.
2.
Para una condición de operación en estado estacionario, estabilidad de
sistemas de potencia es la habilidad o capacidad que tiene el sistema para
permanecer en equilibrio, luego de haber sido sometido a una perturbación.

Magnitud de las Variables de Estado: Se dice que un sistema
recuperó su estabilidad cuando las variables de estado convergieron
dentro de sus límites permitidos de operación post perturbación.

Integridad del Sistema: Se debe preservar la integridad del sistema,
sin desconexión de unidades de generación, líneas y cargas, con
excepción de aquellos que deberán ser desconectados para mantener
la operación del resto del sistema.
La inestabilidad es una condición de desequilibrio entre fuerzas que se
oponen:

Identificación: El proceso de inestabilidad se identifica cuando en los
generadores se incrementa progresivamente la separación de los
ángulos de sus rotores y se detecta un progresivo decrecimiento de las
tensiones en las barras.

Consecuencia: Una condición inestable del sistema lleva a la
desconexión parcial o total de las cargas, líneas, transformadores y
unidades de generación.
Sistema 2
Sistema 1
Barra 1
V1V2
Pe 
sin 12
X 12
Falla Trifásica a Tierra:
Gran Perturbación
Barra 2
Conexión de una Carga:
Pequeña Perturbación
Gran Perturbación
Pequeñas Perturbaciones: Escalón
Velocidad Constante
Sistema 1
Sistema 2
DINÁMICA Y CONTROL COORDINADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS
DE GRAN POTENCIA
1.
2.
3.
Los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP) poseen una estructura jerárquica
natural de operación y tienen las siguientes características:

Sus unidades de control y decisión actúan dentro de límites definidos en la
referencia del tiempo y espacio dentro del contexto global de operación, por
esta razón el control de un SEP moderno es formulado como un conjunto
jerárquico de procesos.

Los niveles jerárquicos de un SEP tienen objetivos definidos, los cuales
dependen armoniosamente del funcionamiento de sus componentes.

Los diferentes niveles jerárquicos de un SEP se encuentran en continuo
intercambio de información y por este hecho el control jerárquico es un
control coordinado.
El control coordinado de los SEP está constituido por dos grandes áreas bien
definidas:

Control de Potencia Activa/Frecuencia.

Control de Potencia Reactiva/Tensión
El control coordinado de la frecuencia y la tensión, según la literatura francesa
de la década de los 80, posee tres niveles jerárquicos de control:

Control Primario

Control Secundario

Control Terciario
Control Coordinado de Sistemas Eléctricos de
Gran Potencia
Descomposición Temporal: Escala del Tiempo
Control Terciario: Optimización
Scada
Vpref1, Qaref1
Vp1
Control Secundario: Estabilización
Varef1
Va1, Qa1
Qa1
PL, QL
Control de Planta: Coordinación
Vgref1
Control
Primario
Vg1
G1
Vgref2
Control
Primario
Vg2
G2
Qa1
Qg2
Qg1
Descomposición Espacial: Escala del Espacio
Va1
CLASIFICACIÓN DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
GRAN POTENCIA
1.
2.
3.
4.
Las dos variables de estado mas importante de los SEP son la frecuencia y
la tensión.
Una característica extremadamente importante de los SEP consiste en que
estos sistemas no tienen la capacidad de almacenar una gran magnitud de
energía eléctrica.
Para mantener el equilibrio en los SEP la potencia generada siempre debe
ser igual a la potencia suministrada. No se puede almacenar grandes
magnitudes de energía dentro de estos sistemas, esta característica origina
fundamentalmente los problemas de estabilidad de sistemas de potencia.
La clasificación de los estudios de estabilidad de sistemas de potencia se
fundamenta en:

Naturaleza física de la inestabilidad, de los dos primeros ítems se
obtienen la clasificación en estabilidad de la frecuencia, tensión y
angular.

Magnitud del disturbio: Pequeñas Perturbaciones o Grandes
Perturbaciones.

Tiempo de duración: Corta Duración y Larga Duración.
Estabilidad de Sistemas de Potencia
Estabilidad Angular
del Rotor
Estabilidad Frente
a Pequeñas
Perturbaciones
Corta
Corta
Duración
Duración
Estabilidad
de Frecuencia
Estabilidad
Transitoria
Corta
Corta
Duración
Duración
Estabilidad de
Tensión
Pequeñas
Perturbaciones
Larga
Duración
Grandes
Perturbaciones
Corta
Duración
Larga
Duración
Naturaleza
Física:
Variables
Principales.
Tipo de
Perturbación
en el Sistema
de Potencia.
Tiempo de
duración de
la
perturbación.
Análisis de Estabilidad Según el Tiempo de
Duración de la Simulación: Dinámica de Corta
Duración y Larga Duración
Análisis de la Dinámica de Larga Duración en
Sistemas de Potencia: MÉTODO DE
PERTURBACIÓN SINGULAR
MÉTODO DE PERTURBACIÓN SINGULAR O SIMULACIÓN
RÁPIDA: T. Van Cutsem 1990 (Bélica), Glauco N. Taranto, D. M.
Falcao (Brasil) y W. Medina Causarano (Paraguay) 1996
0.18
0.15
0.12
Complete Simulation
0.09
0.06
Fast Simulation
0.03
0.
0
13
25
38
50
Time (s)
63
75
88
100
Capítulo II
Modelo Matemático del
Generador Síncrono,
Matriz de Park: Una
Definición Física y
Matemática.
Reguladores de Tensión y
Velocidad
OBJETIVO
1.
2.
3.
4.
Identificar las dificultades que presentan las
inductancias propias y mutuas de los devanados del
estator en la formulación del modelo matemático de
los generadores síncronos.
Análisis de las fuerzas magnetomotrices creadas
mediante los devanados del estator y rotor
considerando un eje de referencia con la finalidad
de obtener la transformación de Park.
Desarrollo de los modelos de los generadores
síncronos.
Desarrollo de los modelos de los reguladores de
tensión y velocidad.
Hipótesis de Cálculo
1.
2.
3.
4.
5.
Cada fase del devanado del estator se encuentra
distribuido en forma sinusoidal y con un
desplazamiento de 120 grados magnéticos.
Las ranuras del estator y del rotor no alteran la
magnitud de las inductancias.
Se desprecia la característica de histéresis del
material magnético.
La saturación del material magnético no se toma
en cuenta.
Las hipótesis 3 y 4, hacen concluir que el sistema
en estudio tiene comportamiento lineal.
1bs
ias
q
+
-
m   t
d
r
m
0
Eje de
Referencia
Síncrono
s
m
Ifd
Efd
st
s
a
1
+
Eje de
Referencia
del Estator
ibs
i
1cs
s
c
s
b
i
2

3
s
b
1
q
r
d
m   t
r
Ifd
m
+
Efd
-
s
+
ias
i
1cs
s
c
2

3
1as
El inconveniente mas importante que se debe
resolver en la construcción de los modelos
matemáticos del generador síncrono es la
característica de la inductancia de los devanados
del estator.
La inductancia propia y mutua de los devanados del
estator dependen de la posición del rotor
respecto al eje de referencia del estator.
i

+
Nmax
vt 
-
i
i0 i1
vt   2VEficaz cost 
i0  i1  i2
VEficaz  2 f N  max
LN

i
N
N
1
1
 N2
 N2
 N 2P
Ni
Ni


2
N
L  N 2P 

i2
s
b
i
s
b
1
s
s
4  N fase s s  s
2 
p
F  
K p 1 K d 1 ib cos  s 

 p
3 
2

s
b
2 

ibs  2 I cos  t 

3


s
+
s
4  N
2 
p
s
s
F  
K p 1 K d 1 ic cos  s 

 p
3 
2

2 

ics  2 I cos  t 

3


s
fase
s
c
i
1cs
s
c
1as
ias
s

s
N
4
p
fase
s
s
s


Fa  
K p 1 K d 1 ia cos  s
 p
2

ias  2 I cos t 
Ecuación de las Fuerzas Magnetomotrices
por Fases del Estator
s


N
4
p
fase
s
s
s  s

Fa 
K p 1 K d 1 ia cos  s ,

  p
2

ias  2 I cos t 
s


N
4
2 
p
fase
s
s
s  s

Fb 
K p 1 K d 1 ib cos  s 
,


 p
3 
2

2 

ibs  2 I cos  t 

3 

s


N
4
2 
p
fase
s
s
s  s

Fc 
K p 1 K d 1 ic cos  s 
,

  p
2
3



2 

ics  2 I cos  t 

3


Fas : Fuerza magnetomotriz producida por el devanado del estator
mediante la corriente alterna ias
I:
t:
Corriente eficaz
Tiempo en segundos
 s : Posición angular de un punto en la periferia del entrehierro
 : Velocidad angular de la corriente alterna en radianes por segundo
N sfase : Número de vueltas por fase
p:
Número de polos
K ps 1 : Factor de paso para el armónico el fundamental
K ds 1 : Factor de distribución para el armónico fundamental
Fuerza Magnetomotriz Resultante y su
Velocidad Respecto a la Referencia del
Estator
FEstator  Fas  Fbs  Fcs ,
s


N
4
fase
s
s
s

K Devanado  
K p 1 K d 1  2 I
 p


2   p
2  
p 



cos

t
cos


cos

t

cos







 
s
s

3  2
3 
2 

s


 K Devanado

4   p
4  

cos  t 
 cos  s 
 

3
2
3

 
 


3 s
p

K Devanado cos  s   t  ,
2
2

s
K Fmm

3 s
K Devanado
2
p

p

s
FEstator  K Fmm
cos  s   t  ,
  s   t   constante,
2

2

p

 s : Velocidad angular medida por un observador ubicado
d  s  t 
2
 0
en la referencia1s en radianes por segundo y se define
dt
como VELOCIDAD SÍNCRONA.
d s

 : Velocidad angular eléctrica en radianes por segundo

dt
p/2
s 

p/2
120 f
n
p
 s : Ángulo mecánico
p : Número de polos
n : VELOCIDAD SÌNCRONA en revoluciones por min uto.
f : Frecuencia de la corriente en segundos 1
1dr
r
r
q
+
d
m
s
Ifd
m   t
r
m
Efd
-
s
1as
+
r
Rotor
F
K
p 
I cos  r  ,
2 
r
Devanado fd
 s   r   mr t ,
p
p

s
r
FRotor
 K Fmm
cos  s   mr t  ,
2
2

p

s
r
1as : FRotor
 K Fmm
cos  s   t 
2

r
r
K Fmm
 K Devanado
I fd
 r   s   mr t
Si :
p r
m   ,
2
Fuerza Magnetomotriz Producida por el Devanado
del Estator y Rotor: Observadas en la Referencia
del Rotor y Estator Respectivamente
Fuerza Magnetomotriz Via Devanado de Campo del Rotor
r
La FRotor
se considera distribuida sin usoidalmente
p 
r
r
r
r
FRotor
 K Devanado
I fd cos  r  ,
K Fmm
 K Devanado
I fd
2 
I fd : Corriente continua que circula por el devanado del rotor
 s   r   mr t ,
 r   s   mr t
p
p

s
r
FRotor
 K Fmm
cos  s   mr t 
2
2

p
Si :  mr   , Se obtiene un campo magnético giratorio con las mismas
2
características del producido via el devanado del estator.
p
s
r
FRotor
 K Fmm
cos  s  
2

t

Fuerza Magnetomotriz Via Devanado Trifásico del Estator
p
p

s
s
1as : FEstator
 K Fmm
cos  s   t  , Re emplazando : s   r   mr t ,  mr  
2
2

p
p

p 
r
s
s
1dr : FEstator
 K Fmm
cos  r   mr t   t   K Fmm
cos  r 
2
2

2 

q
i fd
d
r
m
0
s
m
efd +
-
m   t
r
m
id+
ed
st
Metodología para el
Cálculo de Inductancias:
La metodología para el cálculo de las inductancias
de los devanados del estator consiste en considerar
a la Fuerza Magnetomotriz por fase como si fuera
un vector, de esta forma se proyecta en la dirección
de los ejes d-q, luego obtiene los flujos
concatenados en la dirección de estos ejes.
Finalmente se obtiene los flujos concatenados en la
dirección del eje de referencia de cada fase.
2

3
s
b
i
q
r
d
m
m  mt
s
b
F
s
+
Fas
s
c
i
F
i
s
c
1
s
c
2

3
s
a
1as
d
r
q
m
F cos 
s
a
+
s

s
N
4
p
fase
s
s
s

Fa  
K p1 K d 1 ia cos  s
 p
2

s 0
s

s
N
4
fase
s
s
s

Fa  
K p1 K d 1 ia  N a ias
 p

ias  2 I cos t 
m
 
 Fas sin  m
m  mt
s
a
s
F
ias
1as
r
q
 gad  N i cos  m Pd
s
a a
d
m
m  mt
s
 gaa   gad cos  m   gaq sin
+ m
ias
 gaq  N aias sin  m Pq
1as
r
q
d
m
m  mt
s
 Pd  Pq Pd  Pq

 gaa  N i 

cos
+ 2 m 
2
 2

1as
s
a a
l gaa 
ias
N a gaa
ias
P  Pq Pd  Pq

2 d
 N a 

cos 2 m 
2
 2

 Lgo  Laa 2 cos 2 m
laa  Lal  l gaa
 Lal  Lg 0  Laa 2 cos 2 m
 Laa0  Laa 2 cos 2 m
Inductancias Propias y Mutuas de los Devanados
del Estator y Rotor Respecto a la Referencia de la
Fase “a”



lbb  Laa0  Laa 2 cos 2   2  Induc tan cias Pr opias Estator
3

2

lcc  Laa0  Laa 2 cos 2  

3 
l ab  lba   Lab0  Lab 2 cos 2   
3 

lbc  lcb   Lab0  Lab 2 cos2     Induc tan cias Mutuas Estator  Estator
lca  l ac   Lab0  Lab 2 cos 2   
3 



l afd  Lafd cos


l akd  Lakd cos

l akq   Lakq sin


lbfd  Lafd cos   2 
3


2

lbkd  Lakd cos  
Induc tan cias Mutuas Estator  Rotor
3 

2

lbkq  Lakq cos  

3 
lcfd  Lafd cos   2 
3 
lckd  Lakd cos   2 
3 
lckq   Lakq sin   2 
3 

l aa  Laa0  Laa 2 cos 2




















Ecuaciones
Electromagnéticas del
Generador Síncrono y
Matriz de Transformación
de Park.
ibs  0
q
s
b
lbfd
1
2

3
d
r
m   t
r
lafd
lfkd
efd
ikq
m
i fd
s
ikd
1as
++
ias
lcfd
ics  0
1cs
2

3
Definición de las Ecuaciones Electromagnéticas del
Generador Síncrono en el Rotor: Origen de la
Ecuación de Transformación de Corrientes
e fd  p fd  R fd i fd
0  p kd  Rkd ikd
0  p kq  Rkqikq


 
2

2

i cos ib cos   ic cos   
3 
3 



afd  a

 fd  L ffdi fd  L fkdikd  L






 
2

2



i cos ib cos   ic cos   
3 
3 



akd  a

 kd  L fkdi fd  Lkkdikd  L


 
2

2

i sin ib sin   ic sin   
3 
3 



akq  a

 kq  Lkkqikq  L










 
2

2



id  k i cos ib cos   ic cos   
3 
3 



d a







 
2

2

iq   k i sin ib sin   ic sin   
3 
3 



q a






q
i fd
eq
iq
d
r
m
0
m
efd +
ikd
ikq
-
m   t
r
s
st
m
+
ed id
1as





ibs  I m cos  t  2   Corrientes por fase del estator.
3 




s
ic  I m cos  t  2  
3 




id  k d ias cos ibs cos  2 ics cos  2   
3 
3  



 Corrientes por fase del estator transformadas .






iq  k d ias sin ibs sin   2 ics sin   2   
3 
3 



Reemplazando las corrientes que circulan por las fases : a, b y c
ias  I m cos  t
id  k d  I m cos  t cos  I m cos  t  2  cos  2  I m cos  t  2  cos  2  
3  
3 
3  
3 



 k d 3 I m sin  t  
2
3
iq  k q I m cos t   
2
Considerando que el valor máximo de las corrientes id , iq y de las corrientes por fase son iguales :

2
3
Asimismo considerando :
1
i0  ia  ib  ic 
3
Se obtiene la matriz de Park :
kd  kq 

Transformación de Park: 1929

 cos 
id 
  2
iq   3  sin 
 1
i 
0

 2

ia   cos 
i   cos  2 

 b 
3 



ic  
  2 
cos


3 


 cos 
 d 
  2
 q   3  sin 
 1
 
 0

 2



 
cos  2  
3 



 sin  2  
3 


1

2

cos   2
3


 sin  2 
3 

1
2
 sin 


 sin  2 
3 



 sin  2 
3 



cos   2
3


 sin  2 
3 

1
2

1
1


1

ia 
i 
 b
ic 
id 
 
iq 
i 
0

 
cos  2  
3 



 sin  2  
3 


1

2

 a 
 
 b
 c 
Conclusiones
1.
2.
3.
4.
Hasta este momento se ha calculado las inductancias de los devanados
del generador síncrono y se ha definido la transformación de Park
manteniendo constante la magnitud de la fuerza magnetomotriz y
considerando que el valor máximo de las corrientes tanto en las fases a,
b y c así como en los devanados d-q son iguales.
Se puede prever que las inductancias de los devanados equivalentes del
estator ubicadas en los ejes d-q son constantes y no dependen de la
posición del rotor. Esta afirmación se sustenta debido a la magnitud
constante del entrehierro en la dirección de ambos ejes d-q.
El siguiente paso a ser abordado consiste en estudiar el comportamiento
electromecánico del generador utilizando las ecuaciones
electromagnéticas en el eje d-q. En tal sentido es necesario formular y
definir las ecuaciones que gobernarán el comportamiento del generador
síncrono.
Las ecuaciones a ser definidas son las ecuaciones de flujo concatenado
y las ecuaciones de tensión en el eje d-q. En las ecuaciones de flujo
concatenado las inductancias propias y mutuas deben ser constantes
(no deben depender de la posición del eje del rotor respecto al eje de
referencia del estator).
Ecuaciones de Flujo Concatenado del Generador
Síncrono en el Rotor




2

 d  cos  a  cos   23  b  cos  2   c  
3  

3



2


 q   sin   a  sin   23  b  sin  2   c   Flujo concatenado de las fases del estator en el eje d - q
3  

3


1
 0   a  b  c 

3



 a  laaia  labib  lacic  lafdi fd  lakd ikd  lakqikq 

 b  lbaia  lbbib  lbcic  lbfdi fd  lbkd ikd  lbkqikq  Flujo concatenado de las fases del estator en el eje 1s
 c  lca ia  lcbib  lcc ic  lcfd i fd  lckd ikd  lckqikq 





2



2

ib  cos   id  sin  
i i
Corrientes de fases del estator
3 q 0
3 




2

ic  cos  2  id  sin  
iq  i0 
3

3 

ia  cos id  sin  iq  i0




i fd , ikd , ikq :
Corrientes ins tan táneas de campo y en devanados amortiguadores
laa , lbb , lcc :
Induc tan cias propias del devanado del estator
lab , lbc , lca :
Induc tan cias mutuas del devanado del estator
lafd , lakd , lakq : Induc tan cias mutuas del devanado del rotor
l ffd , lkkd , lkkq :
Induc tan cias propias del devanado del rotor
Ecuaciones de Flujo Concatenado del Devanado
del Estator


 a  ia  Laa0  Laa 2 cos2   ib  Lab0  Laa 2 cos 2  3



 i  L  L cos 2     i L cos 
c

ab0
 ikd Lakd


3 
cos   ikq Lakq sin 
aa 2

fd




afd





 b  ia  Lab0  Laa 2 cos 2  3   ib  Laa0  Laa 2 cos 2   23








2

 ic  Lab0  Laa 2 cos2     i fd Lafd cos  


3


 ikd Lakd cos  2   ikq Lakq sin  2 
3 
3 










 c  ia  Lab0  Laa 2 cos 2  3   ib  Lab0  Laa 2 cos2   






 i  L  L cos 2   2   i L cos  2 
c

aa 0
 ikd Lakd
aa 2

3


fd
afd





2

2

cos     ikq Lakq sin  
3 
3 







3






Ecuación de Tensión en los Devanados Ficticios
del Rotor

 cos
ed 
  2
eq   3  sin 
 1
e 
 0

 2



cos   2  e
 a
3

  
 sin   2   eb 
3 

 e 
1
  c
2

cos   2
3


 sin   2 
3 

1
2










2

2 e  cos   2  e  
e

cos

e

cos


a

 d 3 
3 b
3  c  





2



2
 eq   sin  ea  sin   3 eb  sin   23  ec  
3




1


e

e

e

e
 0

a
b
c
3


ea  p a  Ra ia


eb  p b  Ra ib


2

ed  cos  p a  Ra ia   cos   2  p b  Ra ib   cos   2   p c  Ra ic 
ec  p c  Ra ic
3
3 

3





2
2
ed  cos p a  cos   2 p b  cos   2  p c  - Ra cos ia  cos   2 ib  cos   2  ic 
3
3
3 
3  


3
 3 
ed    Ra id ,   ed  Ra id


2
id  cos ia  cos   2 ib  cos   2  ic 
3
3  

3


2
 d  cos  a  cos   2  b  cos   2   c 
3
3  

3
   t  0


















d d 2 
2
 cos p a  cos   2 p b  cos   2  p c     sin   a  sin   2  b  sin   2   c 
3
3
3 
3  


dt
3
3

d d
     q  ed  Ra id    q
ed  p d  q p  Ra id
dt
ed  p d    q  Ra id
eq  p q   d p  Ra iq
e0  p 0  Ra i0
Ecuaciones de Flujo Concatenado, Inductancias y
Tensiones del Devanado del Estator y Rotor en el
Eje d-q
ESTATOR


 d   Laa 0  Lab 0  3 Laa 2  id  Lafd i fd  Lakd ikd
2



 q   Laa 0  Lab 0  3 Laa 2  iq  Lakqikq
2


 0   Laa 0 2 Lab 0 i0

3
Laa 2
2
3
Lq  Laa 0  Lab 0  Laa 2
2
L0  Laa 0  2 Lab 0
Ld  Laa 0  Lab 0 
 d   Ld id  Lafdi fd  Lakd ikd
 q   Lq iq  Lakqikq
 0   L0i0
ed  p d  q p  Ra id
eq  p q  d p  Ra iq
e0  p 0  Ra i0
ROTOR
3
 fd  L ffdi fd  L fkdikd  Lafd id
2
3
 kd  L fkdi fd  Lkkdikd  Lakd id
2
3
 kq  Lkkqikq  Lakqiq
2
e fd  p fd  R fd i fd
0  p kd  Rkd ikd
0  p kq  Rkqikq
Ecuaciones de Flujo Concatenado y Tensiones
del Devanado del Estator y Rotor en el Eje d-q
 d   Ld id  Lafd i fd  Lakd ikd
 q   Lq iq  Lakqikq
 0   L0 i0
ed  p d   q p  Ra id

q
m
eq  p q   d p  Ra iq
e0  p 0  Ra i0
 fd
 kd
 kq
e fd  p fd  R fd i fd
0  p kd  Rkd ikd
0  p kq  Rkqikq
0
s
+
eq
iq
efd ifd
ikd
ikq
3
 L ffdi fd  L fkdikd  Lafd id
2
3
 L fkdi fd  Lkkd ikd  Lakd id
2
3
 Lkkqikq  Lakqiq
2
d
r
m
+
i
d
ed
-
m   t
r
m
st
1as
Definición de las Bases para el Cálculo
en p.u.
Z s base 
es base
Ls base 
Z s base
 s base
es base
Tbase
Tbase
, henrys
f base
es base is base
2
t base
 m base
2
3
 es base is base , voltios  amperios
2
VAbase

m base
3  pf 
   s base is base , newton  metros
2 2 
línea  neutro, V
 valor pico de la corriente
de línea no min al , A
 frecuenciano min al , Hz
base  2f base , eléctrico,
, weber  vueltas
base
 3 ERMS base I RMS base , 3 Fases
3
VAbase
is base
base
 Ls base is base

VAbase
is base
, ohms
es base  valor pico no min al de
es base
radianes / segundo
1
1


, segundos
base 2f base
 2 
 , mecánico,
 base 
p 
 f 
radianes / segundo
 is base Z s base
es base  base s base
p
p
d
1 d

dt base dt
1
base
p
Ecuaciones de Tensión del ESTATOR y
ROTOR en p.u.
ECUACIONES DE TENSION : ESTATOR
ed  p d   q  r  Ra id
 1
 d   q  r
Ra
id
 p


  s base  s base   s base  base Z s base i s base
es base


1
ed 
p d   q  r  Ra id
ed
 base
p
1
p
 base
e d  p d   q  r  Ra i
e q  p q   d  r  R a i q
En forma similar :
e0  p 0  Ra i0
ECUACIONES DE TENSION : ROTOR
e fd  p fd  R fd i fd
0  p kd  Rkd ikd
0  p kq  Rkqikq
e d  p d   q  r  R a i d
e q  p q   d  r  R a i q
e0  p 0  Ra i0
Ecuaciones de Flujo Concatenado del
ESTATOR y ROTOR en p.u.
FLUJO CONCATENADO : ESTATOR
 d   Ld id  Lafd i fd  Lakd ikd
Lafd i fd 1
Lafd 

 q   Lq iq  Lakqiq
Ls base is base i fd
 0   L0 i0
Lafd 
Lafd i fd base
Ls base i s base
, Lakd
Lafd i fd
Ls base is base
i fd

Lafd i fd base
Ls base is base
i fd base
Lakq ikq base
Lakd ikd base

, Lakq 
Ls base i s base
Ls base i s base
FLUJO CONCATENADO : ROTOR
 fd  L ffdi fd  L fkdikd  L fdaid
 kd  Lkdf i fd  Lkkdikd  Lkdaid
 kq  Lkkdikq  Lkqaiq
L fda
L fkd ikd base
3 Lafd i s base

, L fkd 
,
2 L fd base i fd base
L fd base i fd base
Lkda
L fkd i fd base
3 Lakd i s base
3 Lakq i s base

, Lkdf 
, Lkqa 
2 Lkd base ikd base
Lkd base ikd base
2 Lkq base ikq base
Sistema en p.u. Para el ROTOR I
HIPOTESIS
( a ) La Induc tan cia Mutua en por unidad debe ser reciproca.
Por ejemplo : Lafd  L fda
( b ) Todas las Induc tan cias Mutuas en por unidad entre los circuitos del estator
y el rotor , en un mismo eje, deben ser iguales.
Por ejemplo : Lafd  Lakd
Entonces :
L fkd  Lkdf
L fkd ikd base
L fkd i fd base


L fd base i fd base Lkd base ikd base
Operando :
2
2
Lkd baseikd
base  L fd base i fd base , multiplicando por base , resulta :
base Lkd baseikd2 base  base L fd basei 2fd base
Desde que :
base Lbaseibase  ebase
Para que las Induc tan cias Mutuas sean iguales, las potencias
base en VA deben ser iguales, por ejemplo en el eje d :
ekd base ikd base  e fd base i fd base
Considerando que Lafd  L fda , se tiene :
Sistema en p.u. Para el ROTOR II
Lafd i fd base
Ls base i s base
3 Lafd i s base

2 L fd base i fd base
3
Ls base i s2base
2
Multiplicando por  base y teniendo en cuenta que Li  e , se obtiene :
L fd base i 2fd base 
3
es base i s base  VAbase ( 3 Fases ) en el estator.
2
VA ( 3 Fases )
 base
,V
i fd base
e fd base i fd base 
e fd base
En forma similar para Lakd  Lkda y Lakq  Lkqa :
3
ekd base ikd base  es base i s base
2
3
ekq base ikq base  es base i s base
2
Estas dos últimas ecuaciones satisfacen la hipótesis ( a ) donde la potencia de
base en los circuitos del rotor deben ser los mismos e iguales a base del estator.
Hasta aquí se ha especificado solo el producto de la corriente por la tensión.
Sistema en p.u. Para el ROTOR III
A continuación se especificarán las corrientes de base de los devanados amortiguamiento
y de campo ( excitación).
Por la hipótesis ( b ) todas las induc tan cias mutuas en por unidad en eje d deben ser iguales
y se establece las siguientes relaciones :
L
Lad  Lafd  Lakd  ad
Ls base
Las induc tan cias propias L y L están conformadas
d
Lafd 
Lakd
Lafd i fd base
Ls base i s base

Lad
Ls base
Lakd ikd base
L

 ad
Ls base i s base
Ls base
Se concluye que :
L
i fd base  ad i s base
Lafd
ikd base
L
 ad i s base
Lakd
q
por dos partes, una parte que considera las líneas de
flujo que recorren la longitud média del circuito
magnético del rotor  estator ( Lad , Laq ) y otra parte
que son las deno min adas líneas de dispersión ( Ll ).
Ld  Ll  Lad
Lq  Ll  Laq
En forma similar se establece la siguiente relación :
Laq
ikq base 
i s base
Lakq
Ecuaciones Para el Análisis del Estado
Estacionario I
ESTATOR : p d  p q  p 0  0
 d   Ld id  Lafd i fd  Lakd ikd
 q   Lq iq  Lakq ikq
 0   L0i0
ed   q  Ra id
ed  p d  q p  Ra id
eq   d   Ra iq
eq  p q  d p  Ra iq
Lad  Lafd  Ldaf  Lakd  Lkda
ROTOR : p fd  p kd  p kq  0
Laq  Lakq  Lkqa
 fd  L ffd i fd  L fkd ikd  L fda id
i fd 
 kd  L fkd i fd  Lkkd ikd  Lkda id
 kq  Lkkq ikq  Lakq iq
e fd  R fd i fd
e fd  p fd  R fd i fd
0  Rkd ikd
0  p kd  Rkd ikd
0  Rkq ikq
0  p kq  Rkq ikq
i fd 
i fd 
 d  Ld id
Lad
eq  Ra iq   Ld id
 Lad
eq  Ra iq  X d id
X ad
Ecuaciones Para el Análisis del Estado
Estacionario II
TESIONES DEL DEVANADO DEL ESTATOR
ea
eb
ec
ed
eq
ed
eq

 Em cos(  t   )

  es el desfasaje respecto a la referenciadel tiempo.
2


 Em cos(  t 
  ) Aplicando la transformación d  q a estas tensiones 
3
 se obtienen las tensiones en devanado ficticio:


2

 Em cos(  t 
  )
3

 Em cos(  t     ) 

 Re emplazando    t   0 se obtiene :
 Em sin(  t     ) 

 Em cos   0  Em es el valor pico de las tensiones por fase del estator


 Em sin   0   cuyo valor eficaz es Et , además en pu Em  Et , luego : 
ed  Et cos   0   Estas tensiones son cantidades escalares y se exp resan 


eq  Et sin   0   como fasores en un plano complejo según los ejes d  q :
TENSIÓN EN BORNES DE LA MÁQUINA
~  e  je
E
t
d
q
~ y se obtiene :
Si define  i como el ángulo entre el eje q y el fasor E
t
ed  Et sin  i
eq  Et cos  i
Ecuaciones Para el Análisis del Estado
Estacionario III
CORRIENTE EN EL DEVANADO DEL ESTATOR
id  I t sin(  i   ) 
  ángulo de factor de potencia.
iq  I t cos(  i   )
~
I t  id  jiq
q
eq
Et
i
 i  90 - (  -  0 )
ECUACIONES EN FUNCIÓN DE PARÁMETROS
e d   Lq i q  R a i d
ed
eq
eq
E~
t

 ed    q  Ra id
 X q i q  Ra i d

 - Ld id   Lad i fd  Ra iq 
 e q    d  Ra i q
  X d id  X ad i fd  Ra iq 
 ed  jeq
E~t  X q iq  Ra id  j  X d id  X ad i fd  Ra iq 
E~t  X q iq  Ra id  jiq   jX d id  jX ad i fd
E~  jX i  R ~
I  X i  jX i
t
ad fd
a t
q q
ad fd
E~q  E~t  Ra ~
I t  jX q ~
I t  j X d  X q ~
Id
d
ed
q
d d
E~t  jX ad i fd  Ra ~
I t  X q iq  jX d id  jX q id  jX q id
~
I d  id
E~t  jX ad i fd  Ra ~
I t  jX q id  jiq   j X d  X q ~
Id
E~t  jX ad i fd  Ra ~
I t  jX q ~
I t  j X d  X q ~
Id
E~  jX i
q
 -0
iq
Et

It
d
id
Eq
E qd
jX d I d
i
Iq
Id

It
d
Et
Ra I t
jX q I d
j( X d  X q ) I d
q
jX q I t
E q  E t  Ra I t  jX q I t  j( X d  X q )I d
~
POTENCIA ACTIVA Y REACTIVA S
P
~~
*
S~  E
I
t t
 t

 ( ed  jeq )( id  jiq )

T
 ( ed id  eq iq )  j( eq id  ed iq )
 e

Pt  ed id  eq iq , Qt  eq id  ed iq

~

S  Et I t cos(  )  jEt I t sin(  )

 Et I t cos(  )  jEt I t sin(  )


 Et I t cos(  ), Qt  Et I t sin(  ) 
TORQUE ELECTROMAGNÉTICO


  d iq   q id

2
2

 ( e d i d  e q i q )  Ra ( i d  i q )

2

 Pt  Ra I t

Análisis de las Ecuaciones del Generador Síncrono
Hipótesis
1.
2.
3.
4.
5.
Las ecuaciones deducidas describen completamente el comportamiento
dinámico de los generadores síncronos. Estas ecuaciones normalmente son
simplificadas para análisis de estabilidad angular.
Las ecuaciones del devanado equivalente del estator se encuentra
localizado en el rotor.
Estas ecuaciones contienen la característica del comportamiento de este
devanado en la referencia d-q.
En estas ecuaciones se hace presente el efecto de la variación del flujo
concatenado conocido como efecto transformador y el efecto de la variación
de la frecuencia.
Estos efectos pertenecen al devanado del estator que se encuentran unidos
físicamente con la red eléctrica.
Objetivo:
Analizar la influencia de los efectos transformador y la variación de la
frecuencia en la definición de los modelos matemáticos de generadores
síncronos y en las controversias que presentan en los estudios de
estabilidad angular.
Ecuaciones Electromagnéticas del Generador
Síncrono
ECUACIONES DEL ESTATOR
REDUCIDO AL ROTOR
 d   Ld id  Lad i fd  Lad ikd
Lad  Lafd  Ldaf  Lakd  Lkda
Laq  Lakq  Lkqa
 q   Lq iq  Laq ikq
 0   L0i0
 (t )
q
m( t )
ed  p d  q p  Ra id
eq  p q  d p  Ra iq
e0  p 0  Rai0
ECUACIONES DEL ROTOR
 fd  L ffd i fd  L fkd ikd  Lad id
d
r
m
m( t )
+
eq
iq
efd ifd
ikd
ikq
ed
i+
d
-
st
m( t )   t
r
m
- s t A
 kd  L fkd i fd  Lkkd ikd  Lad id
 kq  Lkkq ikq  Laq iq
e fd  p fd  R fd i fd
s
 m (t )   (t )  S (t  t A )
0  p kd  Rkd ikd
t A : Es el instante en el cual el eje
0  p kq  Rkq ikq
síncrono coincide con el eje A.
1as
Efecto Transformador
1.
2.
3.
4.
El término correspondiente al efecto transformador representa el transitorio
que ocurre en el devanado del estator y la red eléctrica.
La inclusión del transitorio de la red eléctrica en análisis de estabilidad
angular incrementa el orden del modelo de todo el sistema y resultaría en un
alto costo computacional del proceso de cálculo, sumándose la necesidad
de requerir de un paso de integración pequeño debido a que los transitorios
en la red son de alta frecuencia.
El transitorio asociado a la red eléctrica decae rápidamente por esta razón
no se justifica modelar sus efectos en estudios de estabilidad angular.
Cuando se desprecia estos términos es equivalente a considerar que las
ecuaciones del estator están sometidas a la frecuencia fundamental y
consecuentemente las ecuaciones de tensión del estator resultan ser
algebraicas. Esta simplificación permite el uso de la técnica de análisis
fasorial.
Efecto de la Variación de la Velocidad del Rotor en las
Ecuaciones de Tensión del Estator: ed y eq
1.
2.
En las ecuaciones del estator según la referencia d-q, la frecuencia angular
del rotor se asume igual a 1 pu. Esto no significa que la frecuencia angular
sea constante. Mediante esta consideración se debe interpretar que los
cambios de frecuencia en pu son pequeños y que no afectan o no altera
significativamente la magnitud de la tensión.
La suposición anterior no contribuye en la simplificación de los cálculos
computacionales, pero equilibra el hecho de no considerar en las
ecuaciones, el efecto transformador que representa el transitorio que ocurre
en el devanado del estator y en la red eléctrica.
ECUACIONES DEL ESTATOR
REDUCIDO AL ROTOR
 d   Ld id  Lad i fd  Lad ikd
 q   Lq iq  Laq ikq
 0   L0i0
ed   q  Ra id
ECUACIONES DE TORQUE
Pt  ed id  eq iq
Pt    q  Ra id  id   d Ra iq  iq
  d iq  q id   Ra  id2  iq2 
 Te  Ra I t2
eq   d  Ra iq
Pt  Pt  Ra I t2
e0   Ra i0
Pt  Te
Ecuaciones Electromagnéticas del Generador Síncrono
ECUACIONES DEL ESTATOR
REDUCIDO AL ROTOR
 d   Ld id  Lad i fd  Lad ikd
 q   Lq iq  Laq ikq
 0   L0i0
ed   q  Ra id
eq   d  Ra iq
e0   Ra i0










 fd  L ffd i fd  L fkd ikd  Lad id 

 kd  L fkd i fd  Lkkd ikd  Lad id 

 kq  Lkkq ikq  Laq iq

0  p kd  Rkd ikd
0  p kq  Rkq ikq





d
r
q
m
m( t )
+
eq
iq
m( t )
efd ifd
ikd
ikq
ed
ECUACIONES DEL ROTOR
e fd  p fd  R fd i fd
 (t )
i+
d
-
s
st
m( t )   t
r
m
- s t A
1as
Modelo del Generador Síncrono: Sin considerar los
Devanados de Amortiguamiento
ECUACIONES DEL ESTATOR
REDUCIDO AL ROTOR
 d   Ld id  Lad i fd
 (t )
d
r
q
m
m( t )
 q   Lq iq
m( t )
+
efd ifd
 0   L0i0
ed   q  Ra id
eq
iq
eq   d  Ra iq
-
ed id
+
s
st
m( t )   t
r
m
1as
- s t A
e0   Ra i0
ECUACIONES DEL ROTOR
 fd  L ffd i fd  Lad id
e fd  p fd  R fd i fd
Despejando : p fd
ECUACION DE ACOPLAMIENTO Estator  Rotor
p fd  e fd  R fd i fd
DEFINICION
EI  Lad i fd , proporcional a i fd
Eq 
Lad
 fd , proporcional a  fd
L ffd
L
E fd  ad e fd , proporcional a e fd
R fd
 Lad
p
 fd
L
 ffd
d  Eq' 
dt

1
 
  L ffd

 R fd
Lad i fd
Lad
e fd 
 R fd
 L ffd 



R

 fd 
1
 '  E fd  EI  ,
Td 0
L ffd
R fd
 Td' 0
ECUACIONES DEL ESTATOR
REDUCIDO AL ROTOR
 d   Ld id  EI
 q   Lq iq
 0   L0i0
ed   q  Ra id
eq   d  Ra iq
e0   Ra i0
ECUACIONES DEL ROTOR
 fd  L ffd i fd  Lad id
e fd  p fd  R fd i fd
Despejando : p fd
p fd  e fd  R fd i fd
DEFINICION
EI  Lad i fd , proporcional a i fd
Eq 
Lad
 fd , proporcional a  fd
L ffd
E fd 
Lad
e fd , proporcional a e fd
R fd
 Lad

1
p
 fd  
L
 L
ffd
 ffd


 R fd
d  Eq' 
dt
Lad i fd
Lad
e fd 
 R fd
 L ffd 



R

 fd 
L ffd
1
 '  E fd  EI  ,
 Td' 0
Td 0
R fd
a
a
b
c
+
+
Va
Vb
+
+
Za Za
Za
Zn
Vc
- - -
-
+
Ia
Ib
Va  1 1 1  Va 0 
V   1 a 2 a  V 
 b 
  a1 
Vc  1 a a 2  Va 2 
Va 0  1 1 1  Va 
V   1 1 a a 2  V 
 a1  3 
 b
Va 2  1 a 2 a  Vc 
Ic
Vc
Va
Vb
+
b
c
Va 0   0   Z0 0 0   I a 0 
V   V    0 Z 0   I 
1
 a1   a  
  a1 
Va 2   0   0 0 Z 2   I a 2 
Va1  Va  I a1Z1
Va 2   I a 2 Z 2
Va 0   I a 0 Z 0
F
a
-
-
b
c
Va
+
+
Va
Vb
Va1
+
+
Vc
I a1
Zf
- - -
Ib  Ic  0
Z1
I a1
Ia
Ib  Ic  0
Z2
I a 2  I a1
 Ia0 
1 1 1   I a 
1
 I   1 1 a a 2   0   1 I 1
 a1  3 
  3 a  
2
 I a 2 
1 a a   0 
1
I a  3I a 0  3I a1  3I a 2
Va 0  Va1  Va 2  3Z f I a1
Va 2
+
Va  Z f I a
Va  Z f I a  3Z f I a1
+
Z0
I a 0  I a1
Va 0
+
Va
I a 0  I a1  I a 2 
Z 0  Z1  Z 2  3Z f
3Z f
I a  0,
Ib   I c ,
Z f I b  Vb  Vc
Vb  Va 0  a 2Va1  aVa 2 

2
Vc  Va 0  aVa1  a Va 2 
Z f I b  Vb  Vc  (a 2  a )Va1  (a 2  a )Va 2
b
c
 Ia0 
1 1 1   0 
 I   1 1 a a 2   I 
 a1  3 
 b 
2
 I a 2 
1 a a    I b 
I a 0  0, I a1   I a 2 ,
Z f (a  a) I a1  (a  a)Va1  (a  a)Va 2
2
Z f I a1  Va1  Va 2
Va1  Va  I a1Z1 

Va 2   I a 2 Z 2 
Va
I a1   I a 2 
Z 0  Z1  Z 2  Z f
+
+
Va
Vb
Ia  0
+
Vc
2
-
-
-
Va
+
Zf
Ib   I c
- - -
I b  I a 0  a 2 I a1  aI a 2  0  a 2 I a1  aI a1
2
F
a
Z2
Va1
Va 2
+
Z1
Ia2
+
I a1
I a1  I a 2
Zf
I a  0  I a 0  I a1  I a 2 
 I a 0  ( I a1  I a 2 )**
Vb  ( Z f  Z g ) I b  Z g I c 
*
 , Vb  Vc  Z f ( I b  I c )
Vc  ( Z f  Z g ) I c  Z g I b 
Vb  Vc  ( Z f  Z g )( I b  I c )  Z g ( I b  I c )**
b
c
 Vb  Va 0  a 2Va1  aVa 2   I b  I a 0  a 2 I a1  aI a 2 

, 

2
2
 Vc  Va 0  aVa1  a Va 2   I c  I a 0  aI a1  a I a 2 
Vb  Vc  2Va 0  (Va1  Va 2 )** **Va1  Z f I a1 
I b  I c  2 I a 0  ( I a1  I a 2 )
F
a
+
+
Va
Vb
Ia  0
+
Ib
Ic
Zf
Zf
Vc
- - -
Ib  I c
Zg
Va 0  ( Z f  3Z g ) I a 0
Vb  Vc  (a 2  a)(Va1  Va 2 )
I b  I c  (a 2  a)( I a1  I a 2 )
(a 2  a)(Va1  Va 2 )  Z f (a 2  a)( I a1  I a 2 )*
Va1  Va 2  Z f ( I a1  I a 2 ) VVa1a1 ZZf If aI1a1VVa 2a 2ZZf If aI2a 2
I a1 
Z1  Z f 
Va
( Z 2  Z f )( Z 0  Z f  3Z g )
Z 0  Z 2  2Z f  3Z g
Va
+
-
-
-
Z2
Va1
Va 2
Va 0
Z0
+
Z1
Ia2
+
+
Zf
Ia0
I a1
Zf
Z f  3Z g
V1=1.05
A
T1: X1= X2=0.06
V=1.00
T2
T1
B
T2: X1=X2=0.10
Generador A:
Gran Sistema
H=Infinito
H=3.0
X’d=0.29
0.20
0.20
A
0.69
0.06
0.10
0.40
Xd=1.05
Xq=0.69
Secuencia Positiva
X’q=0.69
0.20
X2=0.18
Línea de Transmisión
0.18
0.20
0.10
0.06
0.40
XL1=XL2=0.4
Secuencia Negativa
XL0=0.65
La central A se encuentra generando
1.0 pu de potencia activa. Una falla
bifásica a tierra ocurre en la mitad de
una de las ternas, la cual es
eliminada en t=0.15 segundos por
apertura de la LT con falla. Utilice el
modelo del generador con acoplamiento Estator-Rotor (Xq) y el modelo
de tensión E’ constante (X’d).
0.325
0.325
0.10
0.06
0.650
Secuencia Cero
B
A
B
0.20
A
0.69
0.20
0.10
0.06
0.40
Secuencia Positiva
0.20
0.20
0.18
0.10
0.06
0.40
Secuencia Negativa
0.325
0.325
0.06
0.10
0.650
Secuencia Cero
B
A
B
A
0.75
0.10
0.05
0.10
0.10
0.05
0.10
0.10
0.0812
0.1625
0.10
Secuencia Positiva
0.24
0.10
Secuencia Negativa
0.06
0.1625
Secuencia Cero
B
0.85
A
0.85
A
0.20
0.20
0.05
0.05
0.2225
0.20
0.34
0.2625
0.08125
0.05
X2=0.17593
0.85
X0=0.20168
0.85
A
0.20
0.14396
ZZ
Z FALLA  2 0
Z0  Z2
A
B
0.05+0.09396
j2.23086
A
0.20
B
B
-j0.44826
j1.60579
-j0.62275
0.05
0.05
Circuito Equivalente con Falla
0.08125
A
0.12593
j0.37783
-j2.64669
1.2500
0.12043
Circuito Equivalente Post Falla
B
Dinámica y Control de Sistemas de Potencia
Sistema 2
Sistema 1
Pm  Constante!
 Tm
r
m
Agua
Te
Barra 2
Barra 1
Falla 3 a Tierra
Pm
V1 V2
Pe 
sin  12
X 12
de ( t ) 1
d e ( t )
 Pm  Pe 
 e ( t ) - e0
dt
M
dt
0  g( x,z )


.
x  f ( x ,z )


Ecuaciones Electromecánicas del Generador
Síncrono I: Ecuación de Oscilación
J  Momento de Inercia
 m  Aceleración Angular
 mr  Velocidad Mecánica Angular
Te  Torque Electromagnético
Pe  Potencia Eléctrica
Tm  Torque Mecánico
Pm  Potencia Mecánica
Torque Acelerante : Ta  Tm  Te
J  J Turbina  J Generador
d mr ( t )
Ta  J
dt
Potencia Acelerante : Pa  Pm  Pe
Pa  Ta  mr ( t )
d mr ( t )
Pa  J
dt
Cons tan te de Inercia : H
r
m
Potencia Acelerante en por unidad
Pa
d mr ( t )
J
r

m ( t )
MVAbase
MVAbase
dt
Pa
d mr ( t )
2H
r

m ( t )
2
r
MVAbase
dt
0 m


Variables Mecánicas a Variables Eléctricas :
 , e

Pa
MVAbase
Pa
MVAbase
p
 , m ,  , m   , e
2
p/2
2 H  e ( t ) 1 d e ( t )

2
 0 e  p / 2 p / 2 dt


p
/
2


d e ( t )
2H


(
t
)
dt
0 e 2 e
 e ( t )   e0
2 H d e ( t )
 e0 dt
Energía Cinética a Velocidad No min al
H
Potencia No min al en MVA
2
1
J 0rm
Energía Cinética
H 2

MVAbase
Potencia Base
Pa ( pu ) 
J
2H

2
MVAbase
0rm
d e ( t )
1
Pm  Pe 

dt
M
 
 
Pa ( pu )  M
d e ( t )
2H
, M 
dt
 e0
Ecuación de Oscilación
 (t )
d
Ecuaciones Electromecánicas del Generador
Síncrono II: Ecuación Cinemática
r
q
m
m( t )
m( t )
+
eq
iq
s
efd ifd
ikd
ikq
ed
-
m( t )   t
+
id
 m ( t )   m ( t )  s ( t  t A )
d m ( t ) d m ( t )

 s
dt
dt
d m ( t )
 mr ( t )   s
dt
d e ( t )
 e ( t )  0
dt
r
st
m
- s t A
1as
 (t )
d
Ecuaciones Electromagnéticas y Electromecánicas
r
ECUACIONES DEL ESTATOR
REDUCIDO AL ROTOR
 d   Ld id  Lad i fd  Lad ikd
 q   Lq iq  Laq ikq
 0   L0i0
ed   q  Ra id
eq   d  Ra iq
e0   Ra i0










ECUACIONES DEL ROTOR
 fd  L ffd i fd  L fkd ikd  Lad id 
 kd  L fkd i fd  Lkkd ikd  Lad id
 kq  Lkkq ikq  Laq iq
e fd  p fd  R fd i fd
0  p kd  Rkd ikd
0  p kq  Rkq ikq









q
m
m( t )
+
eq
iq
m( t )
s
efd ifd
ikd
ikq
ed
i+
d
0  g( x,z )
 
VV
Pe  1 2 sin  12
X 12
-
st
m( t )   t
r
m
1as
- s t A
.
x  f ( x ,z )
 
Ecuación de Oscilación
d e ( t ) 1
Pm  Pe 

dt
M
Ecuación Cinemática
d e ( t )
  e ( t ) -  e0
dt
A
T1: X1= X2=0.25
V1=1.05
T1
V=0.95/30
T2
B
T2: X1=X2=0.33
Generador A:
Gran Sistema
H=Infinito
H=3.40
X’d=0.15
El sistema B se encuentra consumiendo una potencia aparente igual a 0.6 + j0.25.
Xd=1.85
Se desconecta súbitamente las 02 líneas de transmisión mediante la apertura de
sus interruptores, los cuales se vuelve a conectar . Determinar el ángulo critico.
Utilice el modelo de la maquina síncrona correspondiente a tensión constante.
Xq=1.35
X2=0.18
Línea de Transmisión
XL1=XL2=1.1
XL0=2.5
 d e 
e  e  
t

 dt 
Ecuación Cinemática
d e (t )
 e (t )-e0
Ecuación de Oscilación
dt
d e
1
 d e (t ) 





 Pm - Pe 
e
e

 t
dt
M
 dt 
Potencia Eléctrica
V1V2
Pe =
sin
X 12
Potencia Eléctrica
Pe 
E'VB
Sen
X eq
 d e 
e  e  
 t
dt


Ecuación Cinemática
 0  32.6738; Pm  1.0
Ecuación de Oscilación
 d e
 dt
e  e  
X eq(post  falla)  0.8500
E'  1.2040; VB  1.0000
d e
 e -e0
dt
d e
1

 Pm - Pe 
dt
M
Datos
X eq(falla)  1.2752

 t

H  3.0; t  0.02
H
3.0
M 

 0.0159
 f 0 60
0  376.9911
Iteración No. 1,
Pe(t=0+ )
t  0.02 segundos
1.2040  1.0000 

E 'VB

Sen (t=0+ ) 
Sen  32.6738   0.5097
X eq
1.2752
1
1
 d 

P
P

1.0 - 0.5097   30.8050
m
e ( t=0  )

 +
0.0159
 dt (t=0 ) M


 d 
(t=0.02)  (t=0 )  
.t  376.9911+  30.8050   0.02   377.6072

 dt (t=0 )
+
+
 d 

 +  (t=0+ ) -0  376.9911-376.9911  0.0000
dt

(t=0 )
180
 d 
 (t=0.02)   (t=0 )  

t

32.6738

0.0000
0.02
 32.6738





 dt (t=0 )
+
+
Iteración No. 2
Pe(t=0.02)
t  0.04 segundos
1.2040 1.0000  Sen 32.6738  0.5097
E 'VB

Sen (t=0.02) 


X eq
1.2752
1
1
 d 

P
P

1.0 - 0.5097   30.8050

m
e(t=0.02) 


0.0159
 dt (t=0.02) M
 d 
.t  377.6072+  30.8050  0.02   378.2233

 dt (t=0.02)
(t=0.04)  (t=0.02)  
 d 
 (t=0.02) -0  377.6072-376.9911  0.6161


 dt (t=0.02)
180
 d 
.

t

32.6738

0.6161
0.02
 33.3798

 


 dt (t=0.02)
 (t=0.04)  (t=0.02)  
Iteración No. 3
Pe(t=0.04)
t  0.06 segundos
1.2040 1.0000  Sen 33.3798  0.5195
E 'VB

Sen (t=0.04) 


X eq
1.2752
1
1
 d 

P
P

1.0 - 0.5195   30.1921

m
e(t=0.04) 


0.0159
 dt (t=0.04) M
 d 
.t  378.2233+  30.1921 0.02   378.8272

 dt (t=0.04)
(t=0.06)  (t=0.04)  
 d 
 (t=0.04) -0  3378.2233-376.9911  1.2322


 dt (t=0.04)
180
 d 
.

t

33.3798

1.2322
0.02
 34.7918





 dt (t=0.04)
 (t=0.06 )  (t=0.04)  
Iteración No. 4
Pe(t=0.06)
t  0.08 segundos
1.2040 1.0000  Sen 34.7918  0.5387
E 'VB

Sen (t=0.06) 


X eq
1.2752
1
1
 d 

P
P

1.0 - 0.5387   28.9813

m
e(t=0.06) 


0.0159
 dt (t=0.06) M
(t=0.08)
 d 
 (t=0.06)  
.t  378.8272+  28.9813  0.02   379.4068

dt

(t=0.06)
 d 
 (t=0.06) -0  378.8272-376.9911  1.8360


dt

(t=0.06)
180
 d 
.

t

34.7918

1.8360
0.02
 36.8957




dt


(t=0.06)
 (t=0.08)  (t=0.06)  
Iteración No. 5
Pe(t=0.08)
t  0.100 segundos
1.2040  1.0000 

E 'VB

Sen(t=0.08) 
Sen  36.8957   0.5669
X eq
1.2752
1
1
 d 

P
P

1.0 - 0.5669   27.2155


m
e(t=0.08)


dt
M
0.0159

(t=0.08)
 d 
.t  379.4068 +  27.2155  0.02   379.9511

 dt (t=0.08)
(t=0.10)  (t=0.08)  
 d 
 (t=0.08) -0  379.4068 -376.9911  2.4157


 dt (t=0.08)
180
 d 
.

t

36.8957

2.4157
0.02
 39.6639




dt


(t=0.08)
 (t=0.10)  (t=0.08)  
Iteración No. 6
t  0.120 segundos
Nota : En t  0.100 se elimina la falla, luego X eq  0.85
Pe(t=0.10)
 1.2040 1.0000  Sen 39.6639  0.9041
E ' VB

Sen (t=0.10) 


X eq
0.85
1
1
 d 

P
P

 1.0 - 0.9041  6.0238


m
e(t=0.10)


0.0159
 dt (t=0.10) M
 d 
.t  379.9511+  6.0238  0.02   380.0716

dt

(t=0.08)
(t=0.10)  (t=0.08)  
 d 
 (t=0.08) -0  379.9511-376.9911  2.9600


 dt (t=0.08)
180
 d 
.

t

39.6639

2.9600
0.02
 43.0557




dt


(t=0.08)
 (t=0.10)   (t=0.08)  
Sistemas de Excitación de
Generadores Síncronos
1.
2.
3.
4.
5.
Funciones y Características de Comportamiento
Elementos que Conforman un Sistema de Excitación
Tipos de Sistemas de Excitación
Función de Control y Protección
Modelos de Sistemas de Excitación
Sistema de Generación y Transmisión
Diagrama de Bloques del Sistema de Excitación de
un Generador Síncrono
5
VC
2
VREF
Regulador de
Tensión
3
VR
Limitadores y
Sensores de Protección
Transductor de Tensión y
Compensación
de Carga
1
Efd
Excitatriz
V T ,I T
Generador y
Sistema de
Transmisión
VT
System
4 Power
Stabilizer:
PSS
Sistema de Excitación y Generador
 (t )
d
r
m
m( t )
q
+
-
Ifd
m( t )
Efd
st
m( t )   t
r
+
Figure 6-8—Type AC8B—Alternator-rectifier
excitation system
s
m
- s t A
1as
Elementos de un Sistema de Excitación
1.
2.
3.
4.
5.
Excitatriz: Suministra corriente continua al devanado de campo del
generador síncrono. Se debe tener presente que por este devanado existe
una magnitud de potencia que ingresa al generador.
Regulador de Tensión: Procesa y amplifica las señales de control a
magnitudes de tensión que deben encontrarse dentro de los límites de
tensión del devanado de campo. Asimismo las corrientes en el devanado de
campo no deben ocasionar fuerzas o torques fuera de los límites admitidos.
Transductor de Tensión y Compensación de Carga: Mide, compara la
tensión en bornes del generador con la tensión de referencia, rectifica y filtra
a una señal DC. Adicionalmente la opción de compensación de carga puede
activarse si se desea mantener una tensión constante en una barra remota.
Power System Stabilizer: Suministra señales estabilizantes al regulador
para amortiguar oscilaciones de potencia. Las señales mas comunes son las
desviaciones de frecuencias, velocidad del rotor y potencia acelerante.
Limitadores y Sensores de Protección: Esta parte se fundamenta sobre
las causas por las cuales el generador síncrono puede ser deteriorado, estas
por lo general son altas magnitudes de tensión, corriente y temperatura. En
tal sentido los controladores que producen señales de control, pueden
generar señales cuyas magnitudes se encuentren mas allá de lo permitido.
Por tanto deben poseer limitadores. Debe enfatizarse que la elevación de la
temperatura en una máquina eléctrica depende de la masa y el tiempo.
Funciones y Características de Comportamiento
del Sistema de Excitación
1.
2.
Funciones de un Sistema de Excitación.

Suministrar corriente continua al devanado de campo del generador
síncrono.

Controlar y proteger al generador síncrono para obtener una operación
satisfactoria del sistema eléctrico de potencia.
Características de Comportamiento de un Sistemas de Excitación.

Desde el Punto de Vista del Generador Síncrono: El sistema de
excitación debe suministrar y ajustar la corriente de campo según la
variación de la carga y manteniendo dentro de los límites de capacidad.
Asimismo responder en grandes perturbaciones aumentando la
corriente de campo sin ocasionar daños al aislamiento del rotor por alta
temperatura y magnitudes de tensión mayores a las que puede soportar
el aislamiento.

Desde el Punto de Vista del Sistema de Potencia: El sistema de
excitación debe contribuir en forma efectiva en el control de tensión en
el sistema eléctrico de potencia y mejorar la estabilidad del sistema:
a) La respuesta debe obedecer a criterios especificados previamente.
b) Debe tener funciones de limitación y protección para evitar daños.
c) Satisfacer requerimientos específicos para una operación flexible.
d) Debe ser confiable y mantenerse siempre disponible.
Figure 5-1—Type DC1A—DC commutator exciter
Figure 5-2Type DC2A—DC commutator exciter with bus-fed regulator
Figure 5-3—Type DC3A—DC commutator exciter with non-continuously
acting regulators
Figure 5-4—Type DC4B—DC commutator exciter with PID style regulator
Figure 6-1—Type AC1A—Alternator-rectifier excitation system with non-controlled
rectifiers and feedback from exciter field current
Figure 6-2—Type AC2A—High initial response alternator-rectifier excitation system
with non-controlled rectifiers and feedback from exciter field current
Figure 6-4—Type AC4A alternator-supplied controlled-rectifier exciter
Figure 6-5—Type AC5A—Simplified rotating rectifier excitation system
representation
Figure 6-6—Type AC6A—Alternator-rectifier excitation system with non-controlled
rectifiers and system-supplied electronic voltage regulator
Figure 6-7—Type AC7B—Alternator-rectifier excitation system
Figure 6-8—Type AC8B—Alternator-rectifier excitation system
Figure 7-1—Type ST1A—Potential-source, controlled-rectifier exciter
Figure 7-2—Type ST2A—Compound-source rectifier exciter
Figure 7-3—Type ST3A—Potential- or compound-source controlled-rectifier exciter
with field voltage control loop
Figure 7-4—Type ST4B—Potential- or compound-source controlled-rectifier exciter
Figure 7-6—Type ST6B—Static potential-source excitation system
with field current limiter
Figure 7-7—Type ST7B—Static potential-source excitation system
CARACTERÍSTICAS DE LOS REGULADORES DE
TENSIÓN RÁPIDOS Y DE ACCIÓN CONTINUA
KI
Kv( s)  ( KP  )
s
0.1Vref
CARACTERÍSTICAS DE LOS REGULADORES DE
TENSIÓN RÁPIDOS Y DE ACCIÓN CONTINUA: Vter
KI
Kv( s)  ( KP  )
s
CARACTERÍSTICAS DE LOS REGULADORES DE
TENSIÓN RÁPIDOS Y DE ACCIÓN CONTINUA: Wm
 (t )   0   (t )   max   min d (t )
0
EqVter
Pe (t ) 
sin  (t )
X sin
dPe (t ) EqVter

cos( (t ))  0
dt
X sin
 (t )   0
d (t ) d 0

0
dt
dt
Pe (t ) 
EqVter
X sin
dPe (t )
sin  0  P0
0
dt
dt
Definición del problema de
Oscilaciones Electromecánicas
Origen: Insuficiencia de Torque de Amortiguamiento
1. Elevadas Ganancia Transitoria de los Reguladores
de Tensión.
2. Líneas de Interconexiones Débiles: Líneas con altas
reactancias.
3. Configuraciones Topológicas con Tendencia Radial.
4. Sistemas Sobrecargados.
Consecuencias:
1. Acción de los dispositivos de control: Desconexión
de líneas de transmisión con peligro de colapso
total o parcial del sistema.
CONTROL DE OSCILACIONES
ELECTROMECÁNICAS
1. SEÑALES ESTABILIZANTES: POWER SYSTEM
STABILIZER (PSS).
2. LÍNEAS DE CORRIENTE CONTINUA.
3. FACTS: SVC Y TCSC.
VREF
Verr
+
-
DIAGRAMA GENERAL DE
FUNCIONAMIENTO DE UN SEP
VC
Ifd
Efd
Regulador de
Tensión
Excitatriz
VR
Vf
Transductor de
Compensación
de Carga
It
Vt
Generador y
Sistema de
Transmisión
Estabilizador
del Sistema
Excitación
Vpss
POWER SYSTEM
STABILIZER:
PSS
Wm
  max
 (t )
m(t )
q
+ Ifd
-
fd
Efd
m
0
d
  min
Eje de
Referencia
Síncrono
sinc

m0t
+
d, kd
q, kq
Eje de
Referencia
del Estator
m  m.t
DIAGRAMA GENERAL DE
CONTROL DE UN SEP
Conclusiones y Recomendaciones
•
•
•
Debido a su característica no lineal, el
comportamiento dinámico del un sistema eléctrico de
potencia es diferente cuando enfrenta grandes y
pequeñas perturbaciones.
El análisis de oscilaciones electromecánicas utilizando
la teoría de control lineal es bastante sencillo y fácil de
entender.
El inconveniente de este método se encuentra en el
hecho de haber realizados todos los procesos de
cálculo para un punto de operación que corresponde
normalmente al nominal. En el caso que el sistema
por alguna razón se aleja de este punto de operación
podría estar comprometido su estabilización.