Laboratorium 1 – Badania operacyjne i teoria optymalizacji – metoda graficzna
Zadanie 1 (model optymalizacji produkcji)
Zakład produkuje dwa wyroby, które wykonywane są na trzech maszynach (2 obrabiarkach
i frezarce). Czas pracy tych maszyn jest ograniczony i wynosi odpowiednio:
O 1 – 33 000 h, O 2 – 13 000 h, F – 80 000 h. Zużycie czasu pracy tych maszyn w h na produkcję jednostki każdego wyrobu podano w tablicy:
Maszyny
O1
O2
F
Zysk jedn.
Zysk jedn*.
WYRÓB 1
3
1
5
1
4
WYRÓB 2
1
1
8
3
3
MAX
33 000
13 000
80 000
-
Zysk ze sprzedaży wyrobu 1 wynosi 1 zł, a wyrobu 2 – 3 zł. Z analizy sprzedaży z lat ubiegłych wynika, że W2 nie będzie można sprzedać więcej niż 7 000 szt. Zaplanuj strukturę
asortymentową produkcji tak, aby przy przyjętych ograniczeniach zysk ze sprzedaży wyrobów był jak największy. Sprawdź jak zostały wykorzystane moce przerobowe maszyn? Czy
optymalna struktura asortymentowa ulegnie zmianie, jeżeli dzięki zastosowaniu importowanego surowca, zysk ze sprzedaży W1 wzrośnie o 3 zł?
ROZWIĄZANIE:
Zapisujemy zagadnienie programowania liniowego:
1. Określamy zmienne decyzyjne
X 1 – oznacza ILOŚĆ wyprodukowanego wyrobu pierwszego,
X 2 – oznacza ILOŚĆ wyprodukowanego wyrobu drugiego.
2. Zapisujemy funkcję celu
F (Xi) = 1 X 1 + 3 X 2 → MAX
3. Definiujemy warunki ograniczające = warunki strukturalne, warunki wewnętrznej
zgodności 1) - 4) i warunki brzegowe 5) (zasada nieujemności):
1) 3 X 1 + 1 X 2 ≤ 33 000 (obrabiarka 1)
2) 1 X 1 + 1 X 2 ≤ 13 000 (obrabiarka 2)
3) 5 X 1 + 8 X 2 ≤ 80 000 (frezarka)
4) 0 X 1 + 1 X 2 ≤ 7 000 (sprzedaż - marketing)
5) X i ≥ 0
i = 1, 2
Metody do rozwiązywania zagadnień programowania liniowego:
I)
Graficzna (geometryczna) metoda – warunkiem zastosowania są 2 zmienne decyzyjne.
Musimy wyznaczyć dla każdego warunku ograniczającego dwa punkty przecięcia: z osią
odciętych (ox = X1) oraz rzędnych (oy = X2).
Strona 1 z 7
Prosta 3X 1 + 1X 2 = 33000, będzie przechodziła przez punkty (0; 33000) oraz (11000; 0)
Prosta 1X 1 + 1X 2 = 13000, będzie przechodziła przez punkty (0; 13000) oraz (13000; 0)
Prosta 5X 1 + 8X 2 = 80000, będzie przechodziła przez punkty (0; 10000) oraz (16000; 0)
Prosta 0X 1 + 1X 2 = 7000, będzie przechodziła przez punkty (0; 7000) oraz (
0; 0)
X2
33 O1
13 O2
10 F
7
B
S
C
D
A
E
F
E
E F
X1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 D
10 11 12 13 14 15 16 17
Wielokąt ABCDEF jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (obszar pod linią spełnia warunki nieostre ≤ co najwyżej), rozwiązania optymalnego szukamy w punktach wierzchołkowych. Musimy, zatem obliczyć współrzędne punktów wierzchołkowych (powstały poprzez
przecięcie dwóch linii):
Strona 2 z 7
A
B
C
D
E
F
X1/X2
X2/S
F/S
O2/F
O1/O2
O1/ X1
(
0,
(
0,
( 4800 ,
( 8000,
(10000,
(11000 ,
0)
7000)
7000)
5000)
3000)
0)
F(XA) = 1*0 + 3*0 = 0
F(XB) = 1*0 + 3*7000 = 21000
F(XC) = 1*4800 + 3*7000 = 25800
F(XD) = 1*8000 + 3*5000 = 23000
F(XE) = 1*10000 + 3*3000 = 19000
F(XF) = 1*11000 + 3*0 = 11000
Firma osiąga maksymalny zysk w wysokości 25 800 zł. Produkując 4 800 szt. wyrobu 1
i 7 000 szt. wyrobu 2. Produkcja wyrobu W2 jest na poziomie produkcji zeszłorocznej. Wykorzystanie maszyn jest następujące:
Obrabiarka 1 pracuje 3*4800 + 1*7000 = 21400 godzin.
Obrabiarka 1 mogła przepracować 33000 godzin.
Obrabiarka 1 ma niewykorzystane moce przerobowe (S1) = 33000 - 21400 = 11600 godzin. Co stanowi 35,15 % całości czasu do dyspozycji.
Obrabiarka 2 pracuje: 1*4800 + 1*7000 = 11800 godzin.
Obrabiarka 2 mogła przepracować 13000 godzin.
Obrabiarka 2 ma niewykorzystane moce przerobowe (S2) = 13000 - 11800 = 1200 godzin. Co stanowi 9,23 % całości czasu do dyspozycji.
Frezarka pracuje: 5*4800 + 8*7000 = 80000 godzin.
Frezarka mogła przepracować 80000 godzin.
Frezarka ma niewykorzystane moce przerobowe (S3) = 80000 - 80000 = 0 godzin. Co
stanowi 0 % całości czasu do dyspozycji.
Analiza sprzedaży: 0*4800 + 1*7000 = 7000 sztuk.
Analiza sprzedaży mogła wygenerować 7000 sztuk.
Analiza sprzedaży ma niewykorzystane moce przerobowe (S4) = 7000 - 7000 = 0 sztuk.
Co stanowi 0 % całości sprzedaży do dyspozycji.
Zmienna dodatkowa Si oznacza niewykorzystany zasób tu czasu pracy maszyn i sprzedaży.
Czas pracy maszyn jest ograniczony i limituje wielkość produkcji, zasób będący do dyspozycji równy jest zasobowi zużytemu i zasobowi niewykorzystanemu.
Czy optymalna struktura asortymentowa ulegnie zmianie, jeżeli dzięki zastosowaniu importowanego surowca, zysk ze sprzedaży W1 wzrośnie o 3 zł?
Zapisujemy zagadnienie programowania liniowego:
Określamy zmienne decyzyjne
X 1 – oznacza ILOŚĆ wyprodukowanego wyrobu pierwszego,
X 2 – oznacza ILOŚĆ wyprodukowanego wyrobu drugiego.
Zapisujemy funkcję celu (która zmienia współczynniki)
F (Xi) = 4 X 1 + 3 X 2 → MAX
Strona 3 z 7
Warunki ograniczające nie ulegają zmianie. Zatem zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest taki
sam. Wyznaczamy nowe wartości funkcji celu:
A
B
C
D
E
F
X1/X2
X2/S
F/S
O2/F
O1/O2
O1/ X1
(
0,
(
0,
( 4800 ,
( 8000,
(10000,
(11000 ,
0)
7000)
7000)
5000)
3000)
0)
F(XA) = 4*0 + 3*0 = 0
F(XB) = 4*0 + 3*7000 = 21000
F(XC) = 4*4800 + 3*7000 = 40200
F(XD) = 4*8000 + 3*5000 = 47000
F(XE) = 4*10000 + 3*3000 = 49000
F(XF) = 4*11000 + 3*0 = 44000
Firma osiąga maksymalny zysk w wysokości 49 000 zł. Produkując 10 000 szt. wyrobu 1
i 3 000 szt. wyrobu 2. Produkcja wyrobu W2 jest na niższym poziomie, niż produkcja zeszłoroczna. Wykorzystanie maszyn jest następujące:
Obrabiarka 1 pracuje 3*10000 + 1*3000 = 33000 godzin.
Obrabiarka 1 mogła przepracować 33000 godzin.
Obrabiarka 1 ma niewykorzystane moce przerobowe (S1) = 33000 - 33000 = 0 godzin.
Obrabiarka 1 ma niewykorzystane moce przerobowe w ilości 0 %.
Obrabiarka 2 pracuje 1*10000 + 1*3000 = 13000 godzin.
Obrabiarka 2 mogła przepracować 13000 godzin.
Obrabiarka 2 ma niewykorzystane moce przerobowe (S2) = 13000 - 13000 = 0 godzin.
Obrabiarka 2 ma niewykorzystane moce przerobowe w ilości 0 %.
Frezarka pracuje 5*10000 + 8*3000 = 74000 godzin.
Frezarka mogła przepracować 80000 godzin.
Frezarka ma niewykorzystane moce przerobowe (S3) = 80000 - 74000 = 6000 godzin.
Frezarka ma niewykorzystane moce przerobowe w ilości 7,5 %.
Analiza sprzedaży 0*10000 + 1*3000 = 3000 sztuk.
Analiza sprzedaży mogła wygenerować 7000 sztuk.
Analiza sprzedaży ma niewykorzystane moce przerobowe (S4) = 7000 - 3000 = 4000
sztuk.
Analiza sprzedaży ma niewykorzystane moce przerobowe w ilości 57,14 %.
Jeżeli zastosujemy importowany surowiec firma zmieni strukturę produkcji (tak jak
w punkcie E) i wówczas max zysk będzie wynosił 49 000 zł produkując 10 000 szt. W1
i 3 000 szt. W2. Czas pracy maszyny i ilość sprzedaży będzie następująca:
O1 – 3*10 000 + 1*3 000 + S1 = 33 000
S1 =
0
tj.
0%
O2 – 1*10 000 + 1*3 000 + S2 = 13 000
S2 =
0
tj.
0%
F – 5*10 000 + 8*3 000 + S3 = 80 000
S3 = 6 000
tj.
7,5%
S – 0*10 000 + 1*3 000 + S4 = 3 000
S4 = 4 000
tj. 57,14%
REASUMUJĄC:
Korzystniejszy jest wariant z zastosowaniem importowanego surowca.
Strona 4 z 7
Zadanie 2 (model diety)
Dziecko w pewnym wieku potrzebuje tygodniowo:
✓ Co najmniej 120 jednostek witaminy A,
✓ Co najmniej 60 jednostek witaminy B,
✓ Co najmniej 36 jednostek witaminy C,
✓ Co najmniej 180 jednostek witaminy D.
Witaminy te są zawarte w dwóch produktach P1 i P2. Ze względu na uboczne działanie witaminy A nie można jej dostarczyć więcej niż 240 jednostek (nie więcej niż). Zawartość witamin w poszczególnych produktach i ceny jednostkowe podaje tablica:
Witaminy
Produkt P1 Produkt P2. Min
Max
A
6
3
120
240
B
1
3
60
C
9
1
36
D
6
6
180
Cena jednostkowa w zł
1,2
1,8
Ile należy zakupić produktu P1 i P2, aby dostarczyć dziecku witamin w niezbędnych ilościach
przy jak najmniejszym koszcie zakupu?
ROZWIĄZANIE:
Zapisujemy zagadnienie programowania liniowego:
1. Określamy zmienne decyzyjne (musimy sprecyzować w stosunku, do czego będziemy podejmować decyzję),
Planujemy strukturę mieszanki pokarmowej, czyli ile, czego będziemy kupować:
X 1 – oznacza ILOŚĆ zakupionego produktu pierwszego,
X 2 – oznacza ILOŚĆ zakupionego produktu drugiego.
2. Zapisujemy funkcję celu, (funkcję optymalizacji, kryterium celu/optymalizacji, co
powoduje podjęta przez nas decyzja),
Celem jest zakup możliwie jak największej ilości produktów, które dostarczają dziecku niezbędnych witamin. Produkty kupujemy, więc ich cena będzie kreowała możliwie jak najniższy, ale konieczny wydatek:
F (Xi) = 1,2 X 1 + 1,8 X 2 → MIN
3. Definiujemy warunki ograniczające = warunki strukturalne, warunki wewnętrznej
zgodności 1) - 5) i warunki brzegowe 6) (zasada nieujemności):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
6 X 1 + 3 X 2 ≤ 240 (górna granica witaminy A)
6 X 1 + 3 X 2 ≥ 120 (dolna granica witaminy A)
1 X 1 + 3 X 2 ≥ 60 (dolna granica witaminy B)
9 X 1 + 1 X 2 ≥ 36 (dolna granica witaminy C)
6 X 1 + 6 X 2 ≥ 180 (dolna granica witaminy D)
Xi≥0
i = 1, 2
Strona 5 z 7
Zastosujemy metodę graficzną (geometryczną) ponieważ mamy 2 zmienne decyzyjne. Musimy wyznaczyć dla każdego warunku ograniczającego dwa punkty przecięcia: z osią odciętych (ox = X1) oraz rzędnych (oy = X2).
Prosta 6 X 1 + 3 X 2 = 240, będzie przechodziła przez punkty (0; 80) oraz (40; 0)
Prosta 6 X 1 + 3 X 2 = 120, będzie przechodziła przez punkty (0; 40) oraz (20; 0)
Prosta 1 X 1 + 3 X 2 = 60, będzie przechodziła przez punkty (0; 20) oraz (60; 0)
Prosta 9 X 1 + 1 X 2 = 36, będzie przechodziła przez punkty (0; 36) oraz (4; 0)
Prosta 6 X 1 + 6 X 2 = 180, będzie przechodziła przez punkty (0; 30) oraz (30; 0)
X2
B 80 wit A
A 40 wit A
36 wit C
30 wit D
20 wit B
A
0
4
E
D
F
E
E
D
10
C
X1
20
30
40
50
60
Wielokąt o wierzchołkach ABCDE jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (obszar pod /
nad linią spełnia warunki nieostre ≤ co najwyżej / ≥ co najmniej) Rozwiązania optymalnego
szukamy w punktach wierzchołkowych. Musimy, zatem obliczyć współrzędne punktów
wierzchołkowych (powstały poprzez przecięcie dwóch linii):
Punkty: Powstał z przecięcia prostych: x1
x2
Wartość funkcji celu:
A
B
C
D
E
WitA1/X2
WitA2/X2
WitA2/WitB
WitD/WitB
WitA1/WitD
0
0
36
15
10
40
80
8
15
20
72
144
57,6
45
48
45
MIN
Należy zakupić 15 jednostek produktu P1 i P2. Koszt mieszanki osiągnie minimalną wartość
wynosząca 45 zł. Przy takich proporcjach, dostarczamy następujące ilości witamin:
Strona 6 z 7
A
6*15 + 3*15 + S1 = 135
S1 = 135 – 120 = 15
tj. 12,5%
B
1*15 + 3*15 + S2 = 60
S2 = 60 – 60 = 0
tj.
0%
C
9*15 + 1*15 + S3 = 150
S3 = 150 – 36 = 114
tj. 316,67%
D
6*15 + 6*15 + S4 = 180
S4 = 180 – 180 = 0
tj.
0%
Zmienna dodatkowa Si oznacza nadwyżkę dostarczonych witamin ponad wymagany minimalny poziom. Minimalna wymagana ilość równa jest ilości dostarczonej pomniejszonej
o nadwyżkę.
REASUMUJĄC:
Witaminy B i D dostarczamy dokładnie tyle, ile wynosi zapotrzebowanie dziecka, zatem nie
można obniżyć kosztu zakupu mieszanki, ponieważ nie mogę kupić mniej obu preparatów.
Strona 7 z 7