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Capítulo 5
Sistemas lineales
Pocos elementos físicos presentan características verdaderamente lineales. Por ejemplo, la
relación entre la fuerza en un muelle y el desplazamiento del muelle es siempre no lineal en
cierto grado. La relación entre la corriente que pasa por una resistencia y la caída de
tensión a través de ella también se desvía de una relación lineal. Sin embargo, si en cada
caso la relación es razonablemente lineal, se encontrará que el comportamiento del
sistema será muy cercano al que se obtiene suponiendo un elemento físico ideal y lineal, y
la simplificación analítica es tan enorme que hacemos suposiciones lineales siempre que
podemos hacerlo en conciencia.
R. Cannon, Dynamics of Physical Systems, 1967 [Can03].
En los capítulos 2-4 hemos considerado la construcción y el análisis de
modelos de ecuaciones diferenciales para sistemas dinámicos. En este capítulo
especializamos nuestros resultados al caso de sistemas lineales, invariantes en el
tiempo y de entrada/salida. Dos conceptos centrales son el exponencial matricial
y la ecuación de convolución, mediante los cuales podemos caracterizar
completamente el comportamiento de un sistema lineal. También describimos
algunas propiedades de la respuesta de entrada/salida y mostramos cómo
aproximar un sistema no lineal por uno lineal.
5.1 DEFINICIONES BÁSICAS
Hemos visto varios casos de ecuaciones diferenciales lineales en los ejemplos de
los capítulos anteriores, incluyendo el sistema muelle-masa (oscilador
amortiguado) y el amplificador operacional en presencia de pequeñas señales de
entrada (no saturadas). En general, muchos sistemas dinámicos pueden
modelarse con precisión mediante ecuaciones diferenciales lineales. Los
circuitos eléctricos son un ejemplo de una amplia clase de sistemas para los que
se pueden utilizar eficazmente modelos lineales. Los modelos lineales también
son ampliamente aplicables en la ingeniería mecánica, por ejemplo como
modelos de pequeñas desviaciones de los equilibrios en la mecánica de sólidos y
fluidos. Los sistemas de procesamiento de señales, incluidos los filtros digitales
del tipo utilizado en los reproductores de CD y MP3, son otra fuente de buenos
ejemplos, aunque a menudo se modelan mejor en tiempo discreto (como se
describe con más detalle en los ejercicios).
En muchos casos, creamos sistemas con respuesta lineal de entrada/salida
mediante el uso de la retroalimentación. De hecho, fue el deseo de un
comportamiento lineal lo que llevó a Harold S. Black a la invención del
amplificador de retroalimentación negativa. Casi todos los sistemas modernos de
procesamiento único, ya sean analógicos o digitales, utilizan la retroalimentación
para producir características de entrada/salida lineales o casi lineales. Para estos
sistemas, a menudo es útil representar las características de entrada/salida como
lineales, ignorando los detalles internos necesarios para obtener esa respuesta
lineal.
138
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Para otros sistemas, las no linealidades no pueden ignorarse, especialmente si
uno se preocupa por el comportamiento global del sistema. El problema
depredador-presa es un ejemplo de ello: para captar el comportamiento oscilante
de las poblaciones interdependientes debemos incluir los términos de
acoplamiento no lineal. Otros ejemplos son el comportamiento cambiante y la
generación de movimientos periódicos para la locomoción. Sin embargo, si nos
preocupamos por lo que ocurre cerca de un punto de equilibrio, a menudo basta
con aproximar la dinámica no lineal mediante su linealización local, como ya
exploramos brevemente en la sección 4.3. La linealización es esencialmente una
aproximación de la dinámica no lineal alrededor del punto de funcionamiento
deseado.
Linealidad
A continuación, procedemos a definir la linealidad de los sistemas de
entrada/salida de manera más formal. Consideremos un sistema de espacio de
estados de la forma
dx
dt
= f (x, u),
y = h(x, u),
(5.1)
donde x ∈∈∈
Rn , u Rp e y Rq . Al igual que en los capítulos anteriores, normalmente
nos limitaremos al caso de una sola entrada y una sola salida tomando p = q = 1.
También asumimos que todas las funciones son suaves y que para una clase
razonable de entradas (por ejemplo, funciones continuas a trozos del tiempo) que
las soluciones de la ecuación (5.1) existen para todo el tiempo.
Será conveniente suponer que el origen x = 0, u = 0 es un punto de
equilibrio para este sistema (x˙ = 0) y que h(0, 0) = 0. De hecho, podemos
hacerlo sin pérdida de generalidad. Para ver esto, supongamos que (xe , ue ) =
(0, 0) es un punto de equilibrio del sistema con salida ye = h(xe , ue ). Entonces
podemos definir un nuevo conjunto de estados, entradas y salidas
x˜ = x - xe
u˜ = u - ue
y˜ = y - ye
y reescribir las ecuaciones de movimiento en términos de estas variables:
d
x̃= f (x̃+xe , ũ+ ue )
dt
ỹ= h(x̃+xe , ũ+ ue ) - ye
=: f˜(x̃, ũ)
=: h̃(x̃, ũ).
En el nuevo conjunto de variables, el origen es un punto de equilibrio con salida
0, y por lo tanto podemos realizar nuestro análisis en este conjunto de variables.
Una vez que hemos obtenido nuestras respuestas en este nuevo conjunto de
variables, simplemente las "traducimos" de nuevo a las coordenadas originales
utilizando x = xe + x˜, u = ue + u˜ e y = ye + y˜.
Volviendo a las ecuaciones originales (5.1), suponiendo ahora sin pérdida de genSi el origen es el punto de equilibrio de interés, escribimos la salida y(t)
correspondiente a la condición inicial x(0) = x0 y la entrada u(t) como y(t; x0 ,
u). Utilizando esta notación, se dice que un sistema es un sistema lineal de
entrada/salida si
139
5.1. DEFINICIONES
BÁSICAS
se cumplen las condiciones:
(i) y(t; x1 + x2 , 0) = y(t; x1 , 0) + y(t; x2 , 0)
(ii) y(t; x0 , u) = y(t; x0 , 0) + y(t; 0, u)
(5.2)
(iii) y(t; 0, u1 + u2 ) = y(t; 0, u1 ) + y(t; 0, u2 ).
Así, definimos que un sistema es lineal si las salidas son conjuntamente lineales
en la respuesta de la condición inicial y la respuesta forzada. La propiedad (ii) es
la descomposición habitual de la respuesta de un sistema en la respuesta
homogénea (u = 0) y la particular
respuesta (x0 = 0). La propiedad (iii) es la definición formal del principio de super
posición.
La forma general de un sistema de espacio de estados lineal es
dx
dt
= Ax + Bu,
y = Cx + Du,
(5.3)
donde A Rn×n , B Rn×p , C Rq×n , D Rq×p . En el caso especial de un sistema de una
sola entrada y una sola salida, B es un vector columna, C es un vector fila y D es
escalar. La ecuación (5.3) es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden con entrada u, estado x y salida y. Es fácil demostrar que dadas las
soluciones x1 (t) y x2 (t) para este conjunto de ecuaciones, éstas satisfacen las
condiciones de linealidad (Ejercicio 5.1).
Definimos la solución xh (t) con entrada cero como la solución homogénea y
la solución xp (t) con condición inicial cero como la solución particular. La figura
5.1 ilustra cómo las soluciones homogénea y particular pueden superponerse
para
forman la solución completa.
También es posible demostrar que si un sistema dinámico de dimensión finita
es lineal de entrada/salida en el sentido que hemos descrito, siempre puede ser
representado por una ecuación del espacio de estados de la forma (5.3) mediante
la elección adecuada de las variables de estado. En la sección 5.2 daremos una
solución explícita de la ecuación (5.3), pero ilustramos la forma básica mediante
un ejemplo sencillo.
Ejemplo 5.1 Sistema escalar
Consideremos la ecuación diferencial de primer orden
dx
dt
= ax + u,
y=x
con x(0) = x0 . Sea u1 = A σιν1 t y u2 = B χοσ2 t. La solución homogénea es xh
(t) = eat x0 , y las dos soluciones particulares son
en
+1 χοσ1 t + a σιν1 t a2
,
+2 1
at
ae
a χοσ2 t +2 σιν2 t
xp2 (t) =
.
B
a2 + 2 2
xp1 (t) = -A
-1e
Supongamos que ahora elegimos x(0) = x0 y u = u1 + u2 . Entonces la resultante
140
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Estado (x , x )
Entrada (u)
2
12
2
H 1
o
m 0
og
én
-1
eo
2
1
-2
0204060
Salida (y)
1
0
0
-1
-1
-2
0204060
-2
0204060
222
111
P
ar
tic
ul
ar
es -2
000
-1-1-1
0204060
-2
0204060
-2
0204060
222
111
C
o
m
pl
et
a -2
000
-1-1-1
0204060
tiempo (seg)
-2
0204060
tiempo (seg)
-2
tiempo (seg)
0204060
Figura 5.1: Superposición de soluciones homogéneas y particulares. La primera fila
muestra la entrada, el estado y la salida correspondientes a la respuesta de la condición
inicial. La segunda fila muestra las mismas variables correspondientes a una condición
inicial nula, pero una entrada distinta de cero. La tercera fila es la solución completa, que
es la suma de las dos soluciones particulares.
solución es
x(t)
=
eat
(
x0 +
Α1
2+
)
Ba
2
a2 + 1a2 + 2
-a χοσ2 t +2 σιν2 t
1 χοσ1 t + a σιν1 t
-A
+B
. (5.4)
2a2
a2 + 1
+2 2
Para ver esto, sustituya la ecuación (5.4) en la ecuación diferencial. Así, se
satisfacen
la
s propiedades de un sistema lineal.
Invarianza temporal
La invariancia temporal es un concepto importante que se utiliza para describir
un sistema cuyas propiedades no cambian con el tiempo. Más concretamente,
para un sistema invariante en el tiempo, si la entrada u(t) da la salida y(t),
entonces si desplazamos el momento en que la entrada
se aplica una cantidad constante a, u(t + a) da la salida y(t + a). Sistemas
que son lineales e invariables en el tiempo, a menudo llamados sistemas LTI, tienen la
interesante
propiedad de que su respuesta a una entrada arbitraria está completamente
caracterizada por su respuesta a entradas escalonadas o su respuesta a "impulsos"
cortos.
Para explorar las consecuencias de la invariabilidad temporal, primero calculamos la
respuesta
141
5.1. DEFINICIONES
BÁSICAS
1
1.2
1
0.8
E 0.6
nt
ra
0.4
da
(u
) 0.2
0.8
u(t )
1
S
ali
da
(y
)
u(t ) - u(t )
0
1
u(t )
0
0.6
0.4
0.2
0
0
0246810
-0.2
Tiempo (s)
0246810
Tiempo (s)
(a)
(b)
Figura 5.2: Respuesta a entradas constantes a trozos. Una señal constante a trozos puede
representarse como una suma de señales escalonadas (a) y la salida resultante es la suma
de las salidas individuales (b).
a una entrada constante a trozos. Supongamos que el sistema está inicialmente en
reposo y consideremos la entrada constante a trozos mostrada en la Figura 5.2a.
La entrada tiene saltos en
tiempos tk y sus valores después de los saltos son u(tk ). La entrada puede verse
como una combinación de pasos: el primer paso en el tiempo t0 tiene una
amplitud u(t0 ), el segundo paso
- en el tiempo t1 tiene una amplitud u(t1 ) u(t0 ),
etc.
Suponiendo que el sistema se encuentra inicialmente en un punto de equilibrio (por lo
que el
es cero), la respuesta a la entrada puede obtenerse superponiendo las respuestas a
una combinación de entradas escalonadas. Sea H(t) la respuesta a un escalón
unitario aplicado en el tiempo 0. La respuesta al primer escalón) es entonces H(t - t0
)u(t0 ),
la respuesta al segundo paso es H(
tt1 u(t1 ) - u(t0 ) y encontramos que el
)
la respuesta completa viene dada por
)
y(t) = H(t - t0 )u(t0 ) + H(t - t1 ) u(t1 ) - u(t0 ) + - - ))
= H(t) - H(t - t1 ) u(t0 ) H(t - t1 ) - H(t - t2 ) u(t1 ) + - - )
+
= H(t - tn ) - H(t - tn+1 ) u(tn )
n=0
)
H(t - tn ) - H(t - t )n+1
u(t
)
t
t
t
n
n+1
n .
=
tn+1n
n=0
En la figura 5.2 se muestra un ejemplo de este cálculo.
La respuesta a una señal de entrada continua se obtiene tomando el límite como
tn+1 - tn → 0, lo que da
−
y(t) =
0
H′ (t - )u()d,
(5.5)
donde H′ es la derivada de la respuesta al escalón, también llamada respuesta al
impulso. La respuesta de un sistema lineal invariable en el tiempo a cualquier
entrada puede calcularse a partir de la respuesta al escalón. Obsérvese que la
salida sólo depende de la entrada, ya que
142
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Suponiendo que el sistema estaba inicialmente en reposo, x(0) = 0. Derivaremos
la ecuación (5.5) de una manera ligeramente diferente en la siguiente sección.
5.2 LA MATRIZ EXPONENCIAL
La ecuación (5.5) muestra que la salida de un sistema lineal puede escribirse
como una integral sobre las entradas u(t). En esta sección y en la siguiente
derivamos una versión más general de esta fórmula, que incluye condiciones
iniciales no nulas. Comenzamos explorando la respuesta de la condición inicial
utilizando la matriz exponencial.
Condición inicial Respuesta
Aunque hemos demostrado que la solución de un conjunto lineal de ecuaciones
diferenciales define un sistema lineal de entrada/salida, no hemos calculado
completamente la solución del sistema. Comenzamos considerando la respuesta
homogénea correspondiente al sistema
dx
= Ax.
(5.6)
dt
Para la ecuación diferencial
escalar
x˙ = axx
∈ R, a ∈ R
la solución viene dada por la exponencial
x(t) = eat x(0).
Queremos generalizar esto al caso vectorial, donde A se convierte en una matriz.
Definimos la exponencial matricial como la serie infinita
213
X1
¡e = I + X +
2
X+
k
1
X+ ---= κ X
3! ¡
!
k=0
,(5.7)
donde XR n×n es una matriz cuadrada e I es la matriz de identidad nn .
∈×la notación
Utilizamos
IX2 =
XXX n = Xn−1 X ,
X0 =
que define lo que entendemos por "potencia" de una matriz. La ecuación (5.7) es
fácil de recordar ya que no es más que la serie de Taylor para la exponencial
escalar, aplicada a la matriz X . Se puede demostrar que la serie en la ecuación
(5.7) converge para cualquier matriz X ∈ Rn×n de la misma manera que la
exponencial normal se define para cualquier escalar a ∈ R.
Sustituyendo X en la ecuación (5.7) por At donde t ∈ R encontramos que
3
At1
2 21 3
kk
1
¡e= I + At + A t +
At+ ---= κ At,
2
3! ¡
!
k=0
143
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
y diferenciando esta expresión con respecto a t se obtiene
d En
21 3 2
k
e = A + A t + A + - - - = ¡A κ1 A t = Ae
dt
!
2
k=0
t
kAt
.
(5.8)
Multiplicando por x(0) desde la derecha encontramos que x(t) = eAt x(0) es la
solución de la ecuación diferencial (5.6) con condición inicial x(0). Resumimos
este importante resultado como una proposición.
Proposición 5.1. La solución del sistema homogéneo de ecuaciones
diferenciales (5.6) viene dada por
x(t) = eAt x(0).
Obsérvese que la forma de la solución es exactamente la misma que para las
ecuaciones escalares, pero debemos poner el vector x(0) a la derecha de la matriz
eAt .
La forma de la solución nos permite ver inmediatamente que la solución es lineal
en la condición inicial. En particular, si xh1 (t) es la solución de la ecuación (5.6)
con condición inicial x(0) = x01 y xh2 (t) con condición inicial x(0) = x02 ,
entonces la solución con condición inicial x(0) = x01 + x02 viene dada por
x(t) = eAt x 0 + x02 ) = eAt x 0 + eAt x02 ) = xh1 (t) + xh2 (t).
1
1
Del mismo modo, vemos que la salida correspondiente viene dada por
y(t) = Cx(t) = yh1 (t) + yh2 (t),
donde yh1 (t) e yh2 (t) son las salidas correspondientes a xh1 (t) y xh2 (t).
Ilustramos el cálculo de la matriz exponencial con dos ejemplos.
Ejemplo 5.2 Integrador doble
Un sistema lineal muy sencillo que resulta útil para entender los conceptos básicos es
el sistema de segundo orden dado por
q¨ = u
y = q.
Este sistema se llama integrador doble porque la entrada u se integra dos veces
para determinar la salida y.
En forma de espacio de estados, escribimos x = (q, q˙) y
dx 0 1
=
x + 0 u.
01
dt0
La matriz dinámica de un integrador doble es
A=
01
0
0
y encontramos por cálculo directo que A2 = 0 y por lo tanto
1t
eAt = 1
0
.
144
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Así, la solución homogénea (u = 0) para el integrador doble viene dada por
1t x1 (0)
x (0) + tx2 (0)
x(t) =
= 1
)
)
0 1x2 (0
x2 (0
y(t) = x1 (0) + tx2 (0).
Ejemplo 5.3 Oscilador no amortiguado
Un modelo sencillo para un oscilador, como el sistema muelle-masa con
amortiguación cero, es
q¨ +2 0q = u.
Poniendo el sistema en forma de espacio de estados, la matriz dinámica de este
sistema puede escribirse como
χοσ0 tsin0 t
A= 0
0
yeAt =
. t
-0
-sin
tcos
0
0
0
Esta expresión para eAt puede verificarse por diferenciación:
d
− σιν0 τ0 χοσ0 t
eAt = 0
dt0000 − χοσ tσιν t
=
00 χοσ0 tsin0 t
= Ax(t).
-sin0 tcos
-0
0
0
t
La solución viene dada entonces
por
χοσ0 tsin0 t x1 (0)
x(t) = eAtx(0) =
.
-sin0 tcos 0
tx2 (0)
Si = 0 entonces la solución es más complicada, pero se puede demostrar que la
matriz exponencial es
eidt e idt -eidte-idt+
eidt + e-idt
21 2 - 12
2
2
t
−0
,
-idtidt
-idtidt
idt-idt
e
e+
e- e
e
e−e
+2
2
22
− 12 - 1
2 - 1 puede ser real o complejo,
2 - 1. Obsérvese que y
donded =0
d
pero las combinaciones de términos siempre arrojarán un valor real para las entradas del
matriz exponencial.
Una clase importante de sistemas lineales son los que pueden convertirse en
forma diagonal. Supongamos que nos dan un sistema
dx
= Ax
dt
tal que todos los valores propios de A son distintos. Se puede demostrar (Ejercicio
4.14) que podemos encontrar una matriz invertible T tal que TAT−1 sea diagonal. Si
elegimos
145
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
un conjunto de coordenadas z = Tx, entonces en las nuevas coordenadas la dinámica se
convierte en
dz
dx
= T = TAx = TAT−1 z.
dtdt
Por construcción de T , este sistema será diagonal.
Consideremos ahora una matriz diagonal A y la correspondiente potencia k de
At, que también es diagonal:
0
10
ktk
A=
0
2
..
1
ktk
2
k
(En) =
.
0
n
..
.
,
kt k
n
De la expansión de la serie se deduce que la exponencial de la matriz viene dada por
1t
eAt
e
=
0e
0
ε2τ
..
.
.
λ nt
Se puede hacer una expansión similar en el caso de que los valores propios sean
complejos, utilizando una matriz diagonal de bloques, de forma similar a lo que
se hizo en la sección 4.3.
Formulario
de
Jordania
Algunas matrices con valores propios iguales no pueden transformarse a la forma
diagonal. Sin embargo, pueden transformarse a una forma estrechamente
relacionada, denominada forma de Jordan, en la que la matriz dinámica tiene los
valores propios a lo largo de la diagonal. Cuando hay valores propios iguales
pueden aparecer 1s en la superdiagonal que indican que hay acoplamiento entre
los estados.
Más concretamente, definimos que una matriz está en forma de Jordan si se puede
escribir
como
0
10 . . .
0 ... 0i
J1
10
0i
0
0J
2
..
.
.
=
J
.. .
dondeJ i = . .
(5.9)
.
. . .. . 0
.
.0
0
0 ... i
1
0
...
Jk
00. . . 0 i
Cada matriz Ji se llama bloque de Jordan yi para ese bloque corresponde a un
Un bloque de Jordan de primer orden puede representarse como un sistema
formado por un integrador con la retroalimentación . Los bloques de Jordan de
orden superior pueden representarse como conexiones en serie de tales sistemas,
como se ilustra en la figura 5.3.
Teorema 5.2 (descomposición de Jordan). Cualquier
∈ matriz A Rn×n puede
transformarse en forma de Jordan con los valores propios de A determinandoi
en la forma de Jordan.
146
1
x
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
x1
2
x
1
x
2
x
2
x
Figura 5.3: Representación de un sistema lineal donde la matriz dinámica es un bloque de
Jordan. Un bloque de Jordan de primer orden puede representarse como un integrador con
retroalimentación, como se muestra a la izquierda. Los bloques de Jordan de segundo y
tercer orden pueden representarse como conexiones en serie de integradores con
retroalimentación, como se muestra a la derecha.
Prueba. Véase cualquier texto estándar sobre álgebra lineal, como el de Strang
[Str88]. El caso especial en el que los valores propios son distintos se examina en
el ejercicio 4.14.
Convertir una matriz en forma de Jordan puede ser complicado, aunque
MATLAB puede realizar esta conversión para matrices numéricas utilizando la
función jordan. La estructura de la forma de Jordan resultante es
especialmente interesante, ya que no es necesario que losi individuales sean
únicos y, por lo tanto, para un valor propio dado podemos tener uno o más
bloques de Jordan de diferente tamaño.
Una vez que una matriz está en forma de Jordan, la exponencial de la matriz
puede calcularse en términos de los bloques de Jordan:
J1
0
0J2 . . .
e
0e
0
.
(5.10)
..
J =
e 0
0
... .
.k
...
eJ
0
Esto se deduce de la forma diagonal de los bloques de J. Los exponenciales de los
bloques de Jordan pueden escribirse a su vez como
t
it
i
tn-1
it
itt2
. . ¡(n-1)!e
e
te
¡2! e
.
tn-2 ειt
it
λ
0e
te
. . ¡(n- 2)!.
Jit
it
.
.
.
.
(5.11)
e=
ειτ. .
.
..
t ειτ
0
eλ it
Cuando hay múltiples valores propios, los subespacios invariantes asociados
a cada valor propio corresponden a los bloques de Jordan de la matriz A. Nótese
que puede ser compleja, en cuyo caso la transformación T que convierte una
matriz en forma de Jordan también será compleja. Cuando tiene una componente
imaginaria no nula, las soluciones tendrán componentes oscilantes ya que
eσ+iωt = eσt (coste + i sint).
Ahora podemos utilizar estos resultados para demostrar el Teorema 4.1, que
establece que el punto de equilibrio xe = 0 de un sistema lineal es
asintóticamente estable si y sólo si Ρεi < 0.
147
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
Prueba del teorema 4.1. Sea ∈T Cn×n una matriz invertible que transforma A en la
forma de Jordan, J = TAT−1 . Usando las coordenadas z = Tx, podemos escribir
la solución z(t) como
z(t) = eJt z(0).
Dado que cualquier solución x(t) puede escribirse en términos de una solución
z(t) con z(0) = Tx(0), se deduce que es suficiente demostrar el teorema en las
coordenadas transformadas.
La solución z(t) puede escribirse como una combinación de los elementos de
la matriz exponencial y a partir de la ecuación (5.11) estos elementos decaen
todos a cero para z(0) arbitrario si y sólo si Ρεi < 0. Además, si cualquieri tiene
parte real positiva, entonces existe una condición inicial z(0) tal que la solución
correspondiente aumenta sin límite. Dado que podemos escalar esta condición
inicial para que sea arbitrariamente pequeña, ésta
se deduce que el punto de equilibrio es inestable si cualquier valor propio tiene
parte real positiva.
La existencia de una forma canónica nos permite demostrar muchas
propiedades de los sistemas lineales cambiando a un conjunto de coordenadas en
el que la matriz A está en forma Jordan. Esto se utilizará en los capítulos 6 y 7
para diseñar controladores. Lo ilustramos en la siguiente proposición, que sigue
la misma línea que la prueba del teorema 4.1.
Proposición 5.3. Supongamos que el sistema
x˙ = Ax
no tiene valores propios con parte real estrictamente positiva y uno o más
valores propios con parte real cero. Entonces el sistema es estable si y sólo si los
bloques de Jordan correspondientes a cada valor propio con parte real cero son
bloques escalares (1 × 1).
Prueba. Ejercicio 5.2.
El siguiente ejemplo ilustra el uso del formulario Jordan.
Ejemplo 5.4 Modelo lineal de un avión con vector de empuje.
Consideremos la dinámica de una aeronave de empuje vectorial como la descrita
en el examen 2.9. Supongamos que elegimos u1 = u2 = 0, de modo que la
dinámica del sistema
converti
z4
rse en
z5
z
d
z6
,(5.12)
=
t
-g
sin
z3 - cz˙1
d
-g(cos z3 - 1) - cz˙ 2
0
donde z = (x, y, , x˙, y˙, ˙). Los puntos de equilibrio del sistema vienen dados por la
fijación de las velocidades ẋe , ẏe y ˙e a cero y la elección de las restantes variables a
satisfacer
-g sin z3,e = 0
=⇒z
= 0.
3,e =e
-g(cos z3,e - 1) = 0
148
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Figura 5.4: Modos de vibración de un sistema formado por dos masas conectadas por
muelles. En (a) las masas se mueven a la izquierda y a la derecha de forma sincronizada en
(b) se mueven hacia o contra la otra.
Esto corresponde a la orientación vertical de la aeronave. Obsérvese que xe e ye
no están especificados. Esto se debe a que podemos trasladar el sistema a una
nueva posición (vertical) y seguimos obteniendo un punto de equilibrio.
Para calcular la estabilidad del punto de equilibrio, calculamos la
linealización mediante la ecuación (4.11):
0 0
0 0
∂F
=0
0
xA =z
0 0
e
0 0
0
0
0
-g
0
1
0
0
-c
0
0
0
10
01 .
00
-c 0
Los valores propios del sistema pueden calcularse como
(A) = {0, 0, 0, 0, -c, -c}.
Vemos que el sistema linealizado no es asintóticamente estable ya que no todos los
valores propios tienen parte real estrictamente negativa.
Para determinar si el sistema es estable en el sentido de Lyapunov, debemos hacer
uso de la forma de Jordan. Se puede demostrar que la forma de Jordan de A viene
dada por
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
J1
0
0
0
0
0
0
0
-c
0
0
0
0
0
0
-c
Como el segundo bloque de Jordan tiene el valor propio 0 y no es un valor
propio simple, la linealización es inestable.
Valores propios y modos
Los valores y vectores propios de un sistema proporcionan una descripción de
los tipos de comportamiento que puede presentar el sistema. En el caso de los
sistemas oscilantes, el término modo se utiliza a menudo para describir los
patrones de vibración que pueden producirse. La figura 5.4 ilustra los modos de
un sistema formado por dos masas conectadas por muelles. Uno de los patrones
se produce cuando
149
5.2. LA MATRIZ EXPONENCIAL
ambas masas oscilan al unísono a la izquierda y a la derecha, otra es cuando las
masas se acercan y se alejan la una de la otra.
La respuesta en condiciones iniciales de un sistema lineal puede escribirse en
términos de una matriz exponencial que involucra a la matriz dinámica A. Por
tanto, las propiedades de la matriz A determinan el comportamiento resultante del
∈
sistema. Dada una matriz A Rn×n , recordemos que v es un vector propio de A con
valor propio si
Av = ϖ.
En general y v pueden ser de valor complejo, aunque si A es de valor real
entonces para cualquier valor propio , su conjugado complejo ∗ también será un
valor propio (con v∗ como el correspondiente vector propio).
Supongamos en primer lugar que y v son un par de valores propios/vectores
propios de A. Si observamos la solución de la ecuación diferencial para x(0) = v,
se deduce de la definición de la matriz exponencial que
)
1 22
2t2
eAtv
t
= I + At + A t + - - - v = v + tv +
v + - - - = e v.
2
2
La solución se encuentra, pues, en el subespacio abarcado por el vector propio. El valor
propio
describe cómo varía la solución en el tiempo y esta solución suele llamarse modo
del sistema. (En la literatura, el término modo también se utiliza a menudo para
referirse al valor propio, en lugar de la solución).
Si observamos los elementos individuales de los vectores x y v, resulta que
ε tvi
xi (t)
,
=
xj (t) ε tv j
y, por tanto, las relaciones de los componentes del estado x son constantes para
un modo (real). El vector propio da, pues, la "forma" de la solución y también se
denomina forma del modo del sistema. La figura 5.5 ilustra los modos de un
sistema de segundo orden compuesto por un modo rápido y un modo lento.
Obsérvese que las variables de estado tienen el mismo signo para el modo lento y
signos diferentes para el modo rápido.
La situación es más complicada cuando los valores propios de A son
complejos. Dado que A tiene elementos reales, los valores propios y los vectores
propios son complejos con- jugados = ± ι y v = u ± iw, lo que implica que
v + v∗
v - v∗
w=
.
2i
2
Haciendo uso de la exponencial matricial, tenemos
u=
)
eAt v = eλt (u + iw) = e σt (u coste - w sint) + i(u sint + w coste ,)
lo que
implica
1 En
eAt = e v + eAtv∗ = ueσt coste — nosotrosσt sint
2
u
1 En
eAtw = e v — eAtv∗ = ueσt sint + nosotrosσt costo.
2i
150
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
1
1
0.5
x1 0.5
,
x2
Lento
de
0
x2
01020304050
0
1
-0.5
-1
51
-1-0.500.
Rápido de
mo
x1 0.5
,
x2 0
x1
t
01020304050
(b)
(a)
Figura 5.5: Ilustración de la noción de modos para un sistema de segundo orden con
valores propios reales. La figura de la izquierda (a) muestra el plano de fase y los modos
corresponden a las soluciones que parten de los vectores propios (líneas en negrita). Las
funciones temporales correspondientes se muestran en (b).
Una solución con condiciones iniciales en el subespacio abarcado por la parte
real u y la parte imaginaria w del vector propio permanecerá por tanto en ese
subespacio. La solución será una espiral logarítmica caracterizada por y .
Volvemos a llamar a la solución correspondiente a un modo del sistema y v a la
forma del modo.
Si una matriz A tiene n valores propios distintos1 , . . . ,n , entonces la respuesta
de la condición inicial puede escribirse como una combinación lineal de los
modos. Para ver esto, supongamos para simplificar que tenemos todos los
valores propios reales con los correspondientes valores propios unitarios v1 , . . .
, vn . A partir del álgebra lineal, estos vectores propios son linealmente
independientes
y podemos escribir la condición inicial x(0) como
x(0) =1 v1 +2 v2 + - - +n vn .
Utilizando la linealidad, la respuesta de la condición inicial puede escribirse como
x(t) =1 eλ 1tv1 +2 eλ 2tv2 + - - +n eλ ntvn .
Por lo tanto, la respuesta es una combinación lineal de los modos del sistema,
con la magnitud de los modos individuales creciendo o decayendo como eλ it . El
caso de los valores propios complejos distintos es similar (el caso de los valores
propios no distintos es más sutil y requiere el uso de la forma de Jordan discutida
en la sección anterior).
Ejemplo 5.5 Sistema acoplado muelle-masa
Consideremos el sistema muelle-masa de la figura 5.4. Las ecuaciones de
movimiento del sistema son
m1 q¨1 = -2kq1 - cq˙1 + kq2 m2
q¨2 = kq1 - 2kq2 - cq˙2
En forma de espacio de estados, definimos el estado como x = (q1 , q2 , q˙1 , q˙2 ) y
podemos reescribir
151
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
las ecuaciones
como
0010
0001
dx
2kkc
= x.0
m
m
m
k
2k
c
0
- m
m- m
Ahora definimos una transformación z = Tx que pone este sistema en una forma más
simple. 1
Sea z1 = (q1 + q2 ), z2 = z˙1 , z3 =1 (q1 - q2 ) y z4 = z˙3 , de modo que
-dt
22
1
z = Tx
1100
0011
=x.
2 1 -1 00
001-1
En las nuevas coordenadas, la dinámica se convierte en
0100
k
c
00
dz-- mm
=x
0001
dt
3kc
m
00my vemos que el sistema está en forma de bloque diagonal (o modal).
En los coor√dinatos z, los estados z1 y z2 parametrizan un modo con eigenvalores ≈ c/(2 km) ±
ik/m, y los estados z3 y z4 otro modo con ≈
c/(2√3km) ± 3k/m.
Por la forma de la transformación T vemos que estos
i
corresponden exactamente a los modos de la figura 5.4, en los que q1 y q2 se
mueven eitivamente hacia o contra el otro. Las partes real e imaginaria de los
valores propios dan las tasas de decaimiento y las frecuencias de cada modo.
5.3 RESPUESTA DE ENTRADA/SALIDA
En la sección anterior vimos cómo calcular la respuesta de la condición inicial
utilizando la matriz exponencial. En esta sección derivamos la ecuación de
convolución, que incluye también las entradas y salidas.
La ecuación de convolución
Volvemos al caso general de entrada/salida en la ecuación (5.3), que se
repite aquí:
dx
= Ax + Bu
dt
y = Cx + Du.
(5.13)
152
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
Utilizando la matriz exponencial, la solución de la ecuación (5.13) puede escribirse
como sigue.
Teorema 5.4. La solución de la ecuación diferencial lineal (5.13) viene dada por
x(t) = eAt x(0) +
-t
0
eA(t−τ) Bu()d.
(5.14)
Prueba. Para demostrarlo, diferenciamos ambos lados y utilizamos la propiedad
(5.8) de la exponencial matricial. Esto da
dxAt
-t
Aτ
Ae (− ) Bu()δ + Bu(t) = Ax + Bu,
= Ae x(0)
dt
0
+
que demuestra el resultado. Obsérvese que el cálculo es esencialmente el mismo
que para demostrar el resultado de una ecuación de primer orden.
De las ecuaciones (5.13) y (5.14) se deduce que la relación entrada/salida de un
sistema lineal viene dada por
y(t) = CeAt x(0) +
-t
0
CeA(t−τ) Bu()δ + Du(t).
(5.15)
Es fácil ver en esta ecuación que la salida es conjuntamente lineal tanto en las
condiciones iniciales como en el estado, lo que se deduce de la linealidad de la
multiplicación de matrices/vectores y de la integración.
La ecuación (5.15) se llama ecuación de convolución y representa la forma
general de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
acopladas. Vemos inmediatamente que la dinámica del sistema, caracterizada por
la matriz A, juega un papel crítico tanto en la estabilidad como en el rendimiento
del sistema. De hecho, la matriz exponencial describe tanto lo que ocurre cuando
perturbamos la condición inicial como la forma en que el sistema responde a las
entradas.
Otra interpretación de la ecuación de convolución puede darse utilizando el
concepto de respuesta al impulso de un sistema. Consideremos la aplicación de
una señal de entrada u(t) dada por la siguiente ecuación:
0
t<0
1/0
≤
t
<
u(t) = pε (t) =
(5.16)
0t
≥.
Esta señal es un "impulso" de duración y amplitud 1/, como se ilustra en la Fig.
5.6a. Definimos un impulso, (t), como el límite de esta señal como → 0:
(t) = lim pε (t).
→0
(5.17)
Esta señal, a veces llamada función delta, no es físicamente realizable pero
proporciona una abstracción conveniente para entender la respuesta de un
sistema. Nota:
153
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
1.2
1
1
0.8
0.8
u
0.6
0.6
y
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
02040
t
t
(a)
010203040
(b)
Figura 5.6: Respuesta al pulso y respuesta al impulso. La figura de la izquierda muestra
pulsos de anchura 5, 2 y 1, cada uno de ellos con un área total igual a 1. Las respuestas a
los pulsos correspondientes para un sistema {--}
lineal con valores propios = 0,08, 0,62 se
muestran a la derecha como líneas sólidas. La línea discontinua es la verdadera respuesta
al impulso, que está bien aproximada por un pulso de
duración 1.
que la integral de un impulso es uno:
- t-
t
() δ =
lim pε (t) δ = lim
000 →
−
= lim
→0 0
1/ δ = 1t
-t
→0 0
pε (t) δ
> 0.
En particular, la integral de un impulso sobre un periodo de tiempo
arbitrariamente corto es idéntica a 1.
Definimos la respuesta al impulso de un sistema, h(t), como la salida
correspondiente a tener un impulso como entrada:
h(t) =
-t
0
CeA(t−τ) B() δ = CeAt B,
(5.18)
donde la segunda igualdad se deriva del hecho de que (t) es cero en todas partes
excepto en el origen y su integral es idéntica a uno. Ahora podemos escribir la
ecuación de convolución en términos de la respuesta de la condición inicial, la
convolución del impulso
y la señal de entrada, y el término directo:
-t
y(t) = CeAt x(0) +h (t - )u() δ + Du(t).
0
(5.19)
Una interpretación de esta ecuación, explorada en el Ejercicio 5.5, es que la
respuesta del sistema lineal es la superposición de la respuesta a un conjunto
infinito de impulsos desplazados cuya magnitud está dada por la entrada, u(t).
Este es esencialmente el argumento utilizado en el análisis de la Figura 5.2 y la
derivación de la ecuación (5.5). Obsérvese que el segundo término de la ecuación
(5.19) es idéntico al de la ecuación (5.5) y puede demostrarse
que la respuesta al impulso es formalmente equivalente a la derivada de la
respuesta al escalón.
154
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
El uso de pulsos como aproximación de la respuesta al impulso también
proporciona un mecanismo para identificar la dinámica de un sistema a partir de
los datos. La figura 5.6b muestra las respuestas de los pulsos de un sistema para
diferentes anchos de pulso. Obsérvese que las respuestas de los pulsos se
aproximan a la respuesta al impulso a medida que la anchura del pulso -llega a
cero. Comoregla general, si el valor propio más rápido de un sistema estable tiene
parte realmax , entonces un pulso de longitud proporcionará una buena estimación
de la respuesta al impulso si
que para la figura 5.6, una anchura de pulso de = 1 s damax =
≪
max 1. Obsérvese
0,62 y la respuesta al pulso ya se acerca a la respuesta al impulso.
Invarianza de coordenadas
Los componentes del vector de entrada u y del vector de salida y vienen dados
por las entradas y salidas elegidas de un modelo, pero las variables de estado
dependen del marco de coordenadas elegido para representar el estado. Esta
elección de coordenadas afecta a los valores de las matrices A, B y C que se
utilizan en el modelo. (El término directo D no se ve afectado, ya que asigna las
entradas a las salidas.) Ahora investigamos algunas de las consecuencias de
cambiar los sistemas de coordenadas.
Introducir nuevas coordenadas z mediante la transformación z = Tx, donde T
es una matriz in- vertible. De la ecuación (5.3) se deduce que
dz
= T (Ax + Bu) = TAT −1 z + TBu = Ã+
z B̃udt
1
−
y = Cx + DU = CT z + Du = C̃z+ Du.
El sistema transformado tiene la misma forma que la ecuación (5.3) pero las matrices A,
B
y C son diferentes:
A˜ NO = TAT −1
B˜ = TB
C˜ = CT−1 .
(5.20)
A menudo hay elecciones especiales de sistemas de coordenadas que nos
permiten ver una propiedad particular del sistema, por lo que las
transformaciones de coordenadas pueden utilizarse para obtener una nueva
visión de la dinámica.
También podemos comparar la solución del sistema en coordenadas
transformadas con la de las coordenadas del estado original. Hacemos uso de una
importante propiedad del mapa exponencial,
-1
eTST = TeST -1,
lo que se puede comprobar por sustitución en la definición del mapa exponencial.
Utilizando esta propiedad, es fácil demostrar que
x(t) = T−1 z(t) = T−1 eÃt Tx(0) + T−1
-t
0
eÃ(t −τ ) B̃u() d.
A partir de esta forma de la ecuación, vemos que si es posible transformar A en
una forma A˜ para la cual la exponencial de la matriz es fácil de calcular,
podemos utilizar ese cálculo para resolver la ecuación de convolución general
para el estado no transformado x mediante simples multiplicaciones matriciales.
Esta técnica se ilustra en los siguientes ejemplos.
155
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
q1q2
cc
mm
ku
(t) = sint
kk
Figura 5.7: Sistema de masa con muelles acoplados. Cada masa está conectada a dos
muelles con rigidez k y a un amortiguador viscoso con coeficiente de amortiguación c. La
masa de la derecha se impulsa a través de un muelle conectado a un accesorio que varía
sinusoidalmente.
Ejemplo 5.6 Sistema acoplado muelle-masa
Consideremos el sistema acoplado de muelle-masa que se muestra en la figura
5.7. La entrada a este sistema es el movimiento sinusoidal del extremo del
muelle de la derecha y la salida es la posición de cada masa, q1 y q2 . Las
ecuaciones de movimiento vienen dadas por
m1 q¨1 = -2kq1 - cq˙1 + kq2 m2
q¨2 = kq1 - 2kq2 - cq˙2 + ku.
En forma de espacio de estados, definimos el estado como x = (q1 , q2 , q˙1 , q˙2 )
y podemos reescribir las ecuaciones como
0010
0
0001
0
dx 2kkc
=
x + 0 u.
--0
dtmmm
km
2k
c
k
0m- m
m
Se trata de un conjunto acoplado de cuatro ecuaciones diferenciales y bastante
complicado de resolver en forma analítica.
La matriz de la dinámica es la misma que en el ejemplo 5.5 y podemos
utilizar la transformación coordinativa definida allí para poner el sistema en
forma modal:
0
0100
00
dz mm
=x+
dt
--
kc
3kc k
m
k
2m
0001 0
u.
- 2m
mObsérvese que las ecuaciones matriciales resultantes son diagonales de bloque y,
por tanto, están desacopladas. Así, podemos resolver las soluciones calculando
las soluciones de dos conjuntos de sistemas de segundo orden representados por
los estados (z1 , z2 ) y (z3 , z4 ). En efecto, la forma funcional de cada conjunto
de ecuaciones es idéntica a la de un único sistema muelle-masa.
Una vez que hayamos resuelto los dos conjuntos de ecuaciones de segundo orden
independientes, tenemos
00-
156
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
10.1
0.
de
en
00
tr
ad -0.5-0
a,
u(
-1
t)
tiempo (seg)
de 50.05
sal
id
a,
y(t .05
)
-0.1
020406080
Transitori
o
Estado
estable
020406080
tiempo
(seg)
(a) Entrada
(b) Salida
Figura 5.8: Respuesta transitoria frente al estado estacionario. El gráfico de la izquierda
muestra la entrada de un sistema lineal y el de la derecha la salida correspondiente. La
señal de salida experimenta inicialmente un transitorio antes de estabilizarse en su
comportamiento de estado estacionario.
podemos recuperar la dinámica en las coordenadas originales invirtiendo la
trans- formación de estado y escribiendo x = T−1 z. También podemos determinar
la estabilidad del sistema observando la estabilidad de los sistemas
independientes de segundo orden (Ejercicio 5.6).
Respuesta en estado estacionario
Dado un sistema lineal de entrada/salida
dx
= Ax + Bu
dt
y = Cx + Du,
(5.21)
la forma general de la solución de la ecuación (5.21) viene dada por la ecuación de
convolución:
y(t) = CeAt x(0) +
-t
0
CeA(t−τ) Bu()δ + Du(t).
De la forma de esta ecuación se desprende que la solución consiste en una
respuesta de la condición inicial y una respuesta de entrada.
La respuesta de entrada, que corresponde a los dos últimos términos de la
ecuación anterior, consta de dos componentes: la respuesta transitoria y la
respuesta en estado estacionario. La respuesta transitoria se produce en el primer
periodo de tiempo tras la aplicación de la entrada y refleja el desajuste entre la
condición inicial y la solución de estado estacionario. La respuesta en estado
estacionario es la parte de la respuesta de salida que refleja el comportamiento a
largo plazo del sistema bajo las entradas dadas. Para las entradas que son
periódicas, la respuesta de estado estacionario será a menudo periódica y para las
entradas constantes la respuesta será a menudo constante. En la figura 5.8 se
muestra un ejemplo de respuesta transitoria y de estado estable para una entrada
periódica.
Una forma particularmente común de entrada es la entrada escalonada, que
representa un cambio abrupto en la entrada de un valor a otro. Un paso unitario
(a veces llamado
157
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
2
1.5
S
ali
da
Sobregiro, M
p
1
Tiempo de subida, T
0.5
r
Tiempo de
asentamiento,
T
Valor de estado estable, y
ss
s
0
051015202530
tiempo (seg)
Figura 5.9: Muestra de la respuesta al escalón. El tiempo de subida, el rebasamiento, el tiempo
de estabilización y el valor del estado estacionario proporcionan las principales propiedades de
rendimiento de la señal.
Función escalonada de Heaviside) se
define como
u = S(t) =
J
0t = 0
1t > 0.
La respuesta escalonada del sistema (5.21) se define como la salida y(t)
partiendo de una condición inicial cero (o del punto de equilibrio apropiado) y
dada una entrada escalonada. Observamos que la entrada escalonada es
discontinua y, por lo tanto, no se puede aplicar en la práctica.
mentable. Sin embargo, es una abstracción conveniente que se utiliza
ampliamente en el estudio de los sistemas de entrada/salida.
Podemos calcular la respuesta escalonada de un sistema lineal utilizando la
ecuación de convolución. Fijando x(0) = 0 y utilizando la definición de la
entrada escalonada anterior, tenemos
tiene
- t
n
y(t) = CeA(t−τ) Bu()δ + Du(t)
0
=
- t
0
CeA(t−τ) Bd + Dt
> 0.
Si A tiene valores propios con parte real negativa (lo que implica que el origen es
un punto de equilibrio estable en ausencia de cualquier entrada), entonces
podemos reescribir la solución como
−1 At
−1
y(t) = C
t > 0.
(5.22)
.- A e B+ D - CA B
...,.
-. ...,.
estado estacionario transitorio
El primer término es la respuesta transitoria y decae a cero como
→ t . El segundo
término es la respuesta en estado estacionario y representa el valor de la salida
para un tiempo grande.
En la figura 5.9 se muestra un ejemplo de respuesta escalonada. Se utilizan
varios términos para referirse a una respuesta escalonada. El valor de estado
estable, yss , de una respuesta escalonada es el nivel final de la salida, suponiendo
que converge. El tiempo de subida, Tr , es el tiempo necesario para que la señal
pase del 10% de su valor final al 90% de su valor final. También es posible
definir otros límites, pero en este libro utilizaremos estos porcentajes a menos que
se indique lo contrario. El rebasamiento, Mp , es el porcentaje de
158
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
22
Co
nc
ent
rac
ión,
C
1.51.5
11
2
0.50.5
0
0
01020304050
01020304050
0.40.4
Falta
(a)
D
os
is
de
en
tr
ad
a
0.30.3
0.20.2
0.10.1
0
0
01020304050
Tiempo (min)
(b)
Dividir
01020304050
Tiempo (min)
(c)
Figura 5.10: Respuesta de un modelo de compartimento a una infusión constante de
fármaco. En (a) se muestra un diagrama simple del sistema. La respuesta escalonada (b)
muestra la velocidad de aumento de la concentración en el compartimento 2. En (c) se
utiliza un pulso de concentración inicial para acelerar la respuesta.
el valor final por el que la señal se eleva inicialmente por encima del valor final.
Esto suele suponer que los valores futuros de la señal no sobrepasan el valor final
en más de este transitorio inicial, pues de lo contrario el término puede ser
ambiguo. Por último, el tiempo de estabilización, Ts , es la cantidad de tiempo
necesaria para que la señal se mantenga dentro del 5% de su valor final para
todos los tiempos futuros. El tiempo de estabilización también se define a veces
como el tiempo necesario para alcanzar el 1% o el 2% del valor final (véase el
ejercicio 5.8). En general, estas medidas de rendimiento pueden depender de la
amplitud del escalón de entrada, pero para los sistemas lineales puede
demostrarse que las tres últimas cantidades definidas anteriormente son
independientes del tamaño del escalón.
Ejemplo 5.7 Modelo de compartimentos
Consideremos el modelo de compartimentos ilustrado en la figura 5.10 y descrito
con más detalle en el apartado 3.6. Supongamos que se administra un fármaco
por infusión constante en el compartimento V1 y que el fármaco tiene su efecto en
el compartimento V2 . Para evaluar la rapidez con la que la concentración en el
compartimento alcanza el estado estacionario, calculamos la respuesta al escalón
que se muestra en la Figura 5.10b. La respuesta escalonada es bastante lenta, con
un tiempo de estabilización de 39 minutos. Es posible obtener la concentración
en estado estacionario mucho más rápido teniendo una tasa de inyección más
rápida inicialmente, como se muestra en la Figura 5.10c. La respuesta del
sistema en este caso puede calcularse combinando dos respuestas escalonadas
(Ejercicio ?? ).
Otra señal de entrada común a un sistema lineal es una sinusoide (o una
combinación de sinusoides). La respuesta en frecuencia de un sistema de
entrada/salida mide la forma en que el sistema responde a una excitación
sinusoidal en una de sus entradas. Como ya hemos visto para los sistemas
escalares, la solución particular asociada a una excitación sinusoidal es en sí
misma una sinusoide a la misma frecuencia. Por tanto, podemos comparar la
magnitud y la fase de la sinusoide de salida con la de entrada. Más generalmente,
si un sistema tiene una respuesta de salida sinusoidal a la misma frecuencia que
el forzamiento de entrada,
159
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
podemos hablar de la respuesta en frecuencia del sistema.
Para ver esto con más detalle, debemos evaluar la ecuación de convolución
(5.15) para u = coste. Esto resulta ser un cálculo muy complicado, pero podemos
aprovechar el hecho de que el sistema es lineal para simplificar la derivación. En
particular, observamos
que
1
coste = 2 eit + e-it .
Dado que el sistema es lineal, basta con calcular la respuesta del sistema a la
entrada compleja u(t) = est y podemos reconstruir la entrada a una sinusoide
promediando las respuestas correspondientes a s = it y s =- it.
Aplicando la ecuación de convolución a la entrada u = est con x(0) = 0, tenemos
y(t) =
=
-t
0
CeA(t-)Βεσ δ +
- t
0
Dest
CeA(t-)+sI Bd +
Dest
= eAt
- t
0
Ce(sI-A) Bd +
Dest
.
Si suponemos que ninguno de los valores propios de A es igual a s = ±i,
entonces la matriz sI - A es invertible y podemos escribir (tras un poco de álgebra)
y(t) =
CeAt
x(0) - (sI - A)−1 B
-....,.
+ C(sI - A)−1 B + D
transitorio
est
.
-....,.
estado
estable
Obsérvese que, una vez más, la solución consta de un componente transitorio y
un componente de estado estacionario. El componente transitorio decae a cero si
el sistema es asintóticamente estable y el componente de estado estacionario es
proporcional a la entrada (compleja) u = est .
Podemos simplificar un poco más la forma de la solución reescribiendo la constante
respuesta del estado como
yss(t) = Mei est = Me(st+i)
donde
Mejθ = C(sI - A)−1 B + D
(5.23)
y M y representan la magnitud y la fase del número complejo C(sI A)−1 B+D. Cuando s = i, decimos que M es la ganancia y es la fase del sistema a una
frecuencia de forzamiento dada . Utilizando la linealidad y combinando las
soluciones para s =
- +i y s =i , podemos demostrar que si tenemos una entrada
u = Au sin(t + ) y una salida y = Ay sin(t + ), entonces
gain() =
Ay
= Mphase () =
- =.
Au
La solución en estado estacionario para una sinusoide u = coste viene dada ahora por
yss (t) = M cos(t + ).
Si la fase es positiva, decimos que la salida "adelanta" a la entrada, en caso
contrario decimos que "retrasa" a la entrada.
160
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
2
entr
ada
1
E
ntr
ad 0
a,
sa
lid -1
a
100
salida
Ay
Au
102
10-1100101
0
-50
-100
-2
tiempo (seg)
-150
05101520
10-1100101
Figura 5.11: Respuesta en frecuencia, mostrando la ganancia y la fase. La ganancia viene
dada por la relación entre la amplitud de salida y la amplitud de entrada, M = Ay/Au. El
desfase viene dado por
= -2(t1 - t2 )/T ; es negativo para el caso mostrado porque la salida se retrasa respecto a la entrada.
En la Figura 5.11 se ilustra una muestra de la respuesta en frecuencia. La
línea continua muestra la sinusoide de entrada, que tiene una amplitud de 1. La
sinusoide de salida se muestra como una línea discontinua, y tiene una amplitud
diferente más una fase desplazada. La ganancia es la relación de las amplitudes
de las sinusoides, que puede determinarse midiendo la altura de los picos. La
fase se determina comparando la relación del tiempo entre los cruces por cero de
la entrada y la salida con el periodo global de la sinusoide:
T
=2- - .
T
Otra forma de ver la respuesta en frecuencia es representar cómo la ganancia
y la fase en la ecuación (5.23) dependen de (a través de s = i). La figura 5.11
muestra un ejemplo de este tipo de representación.
Ejemplo 5.8 Filtro pasabanda activo
Considere el circuito de amplificadores operacionales mostrado en la Figura
5.12a. Podemos derivar la dinámica del sistema escribiendo las "ecuaciones
nodales", que establecen que la suma de las- corrientes en cualquier nodo debe ser
cero. Suponiendo que v = v+ = 0, como hicimos en la sección 3.3, tenemos
0=
v1 - v2
R1
dt
- C1
dv2
, 0 = C1
dv2
+
dt
v3
+ C2
dtR2
dv3
, 0 = C2
dv3
+
v3
dv2
- C1
.
dtR2
dt
Si elegimos v2 y v3 como nuestros estados y utilizamos las ecuaciones primera y última,
obtenemos
dv2 v1 - v2
=
,
dtR1 C1
dv3 -v3 v1 - v2
=
.
dtR 2 C2
R 1 C2
161
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
100
C2
R1 C1
v1
G
an
ar
R2
-+
10-2
100102
v2
300
Fa
se 200
(d
eg
100
)
0
100102
Frecuencia (rad/seg)
(a)
(b)
Figura 5.12: Filtro pasabanda activo. El diagrama del circuito muestra un amplificador
óptico con dos filtros RC dispuestos para proporcionar un filtro pasa banda. El gráfico de la
derecha muestra la ganancia y la fase del filtro en función de la frecuencia.
Reescribiendo esto en forma de espacio de estado lineal obtenemos
1
1
-0
x R1
d
R1 C 1
C1
=x+
dt1
-1 u
- 1
R 1 C2
R2
R 1 C2
C2
y=01 x
(5.24)
donde x = (v2 , v3 ), u = v1 e y = v3 .
La respuesta en frecuencia del sistema puede calcularse mediante la ecuación (5.23):
Mejθ = C(
sIA)−1 B + D =R2R1C1s
s = i.
-R1 (1 + R1 C1 s)(1 + R2
C2 s)
La magnitud y la fase se representan en la Figura 5.12b para R1 = 100 , R2 = 5
κ y C1 = C2 = 100 µF. Vemos que el circuito pasa por señales con frecuencias
alrededor de 10 rad/s, pero atenúa las frecuencias por debajo de 5 rad/s y por
encima de 50 rad/s.
A 0,1 rad/s la señal de entrada se atenúa 20 veces (0,05). Este tipo de circuito se
denomina filtro de paso de banda, ya que deja pasar las señales en la banda de
frecuencias entre 5 y 50 rad/s.
Como en el caso de la respuesta escalonada, se definen una serie de
propiedades estándar para las respuestas en frecuencia. La ganancia del sistema a
= 0 se denomina ganancia de frecuencia cero y corresponde a la relación entre
una entrada constante y la salida estable:
M0 = -CA−1 B + D.
162
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
La ganancia de frecuencia cero sólo está bien definida si A es invertible (y, en
particular, si no tiene valores propios en 0). También es importante señalar que la
ganancia de frecuencia cero sólo es una cantidad relevante cuando un sistema es
estable en torno al punto de equilibrio correspondiente. Así, si aplicamos una
entrada constante u = r- entonces la correspondiente
punto de equilibrio xe = A−1 Br debe ser estable para poder hablar de la freganancia de frecuencia. (En ingeniería eléctrica, la ganancia de frecuencia cero suele
llamarse
"Ganancia de CC". DC significa "direct current" (corriente continua) y refleja la
separación habitual de las señales en ingeniería eléctrica en un término de
corriente continua (frecuencia cero) y otro de corriente alterna (AC)).
El ancho de banda√b de un sistema es la frecuencia en la que la ganancia ha disminuido
por un factor de 1/ 2 de su ganancia de frecuencia cero. Esta definición supone que
tenemos una ganancia de frecuencia cero no nula y finita. Para los sistemas que atenúan
las frecuencias bajas pero pasan por las altas, la ganancia de referencia se toma como la
alta
ganancia de frecuencia. Para un sistema como el filtro pasa banda del ejemplo 5.8,
√bandase define como el rango de frecuencias donde la ganancia es mayor que 1/ 2 de
la ganancia en el centro de la banda. (Para el ejemplo 5.8 esto daría un ancho de
banda de aproximadamente 50 rad/s).
Otra propiedad importante de la respuesta en frecuencia es el pico de
resonancia Mr , el mayor valor de la respuesta en frecuencia, y la frecuencia de
picomr , la frecuencia en la que se produce el máximo. Estas dos propiedades
describen la frecuencia de la entrada sinusoidal que produce la mayor salida
posible y la ganancia en la frecuencia.
Ejemplo 5.9 Dinámica del AFM
Consideremos el modelo para la dinámica vertical del microscopio de fuerza
atómica en modo de contacto, discutido en la sección 3.5. La dinámica básica
está dada por la ecuación (3.22). La pila piezoeléctrica puede ser modelada por
un sistema de segundo orden con frecuencia natural no amortiguada3 y
amortiguamiento relativo3 . La dinámica se describe entonces mediante el
sistema lineal
0
0100
dx-k/ (m1 + m2 ) -c/(m1 + m2 ) 1/m2
d= t
00-2
0001
3
1 0 x,
−2
33
0x0
+ 0u
2
3
m1 c
m2
m1 k
m1 + m2 m1 +
m1 + m2
m2
donde la señal de entrada es la señal de accionamiento del amplificador que
acciona la pila piezoeléctrica y la salida es la elongación del piezo. La respuesta en
frecuencia del sistema
se muestra en la figura 5.13. La ganancia de frecuencia cero del sistema es M0 = 1.
Hay dos polos resonantes con picos Mr1 = 2,12 amr1 =238 krad/s y Mr2 = 4,29
enmr2 =746 krad/s. Elancho de banda del sistema, definido como la frecuencia más baja.
quencia donde la ganancia es2menor que la ganancia de frecuencia cero, esb =292
krad/s.
También hay una caída en la ganancia Md = 0,556 paramd =268 krad/s. Esta
caída (a veces llamada antirresonancia) está asociada a una caída de fase y
limitará el rendimiento cuando el sistema sea controlado por controladores
y=
5.3.simples,
RESPUESTA
DEveremos
como
ENTRADA/SALIDA
163
164
CAPÍTULO 5. SISTEMAS
LINEALES
101
100
G
an
ar 10-1
10-2104
105106107
0
Fa
se
-90
-180
Imagen de
AFM
104105
106107
w
Figura 5.13: Respuesta en frecuencia del AFM. El gráfico de la derecha muestra la
ganancia y la fase de la pila piezoeléctrica de un microscopio de fuerza atómica. La
respuesta contiene dos picos de frecuencia en las resonancias del sistema, junto con una
antiresonancia a = 268 krad/s. La combinación de un pico de resonancia seguido de una
antirresonancia es común en los sistemas con múltiples frecuencias ligeras.
modos amortiguados.
en el capítulo 10
.
Muestreo
A menudo es conveniente utilizar tanto las ecuaciones diferenciales como las de
diferencias en la modelización y el control. Para los sistemas lineales es sencillo
transformar de una a otra. Consideremos el sistema lineal general descrito por la
ecuación (5.13) y supongamos que la señal de control es constante a lo largo del
intervalo de muestreo de longitud constante h. De la ecuación (5.14) del Teorema
5.4 se deduce que
- t+h
x(t + h) = e x(t) +
Ah
t
et+h−τ Bu(k) δ = x(t) + u(t),
(5.25)
donde hemos supuesto que la señal de control discontinua es continua por la
derecha. El comportamiento del sistema en los tiempos de muestreo t = kh se
describe mediante la ecuación en diferencias
x[k + 1] = x[k] + u[k], y [ k] = Cx[k] + Du[k].
(5.26)
Nótese que la ecuación de diferencia (5.26) es una representación exacta del
comportamiento del sistema en los instantes de muestreo. También se pueden
obtener expresiones similares si la señal de control es lineal en el intervalo de
muestreo.
La transformación de (5.25) a (5.26) se llama muestreo. Las relaciones entre
las matrices del sistema en las representaciones continua y muestreada son
-h
1
-h
-1
A = log,
B=
eA dt
eAs ds B;
= eAh , =
. (5.27)
t
h
0
0
Obsérvese que si A es invertible tenemos
)
= A−1 eAh - I .
165
5.3. RESPUESTA DE
ENTRADA/SALIDA
Todos los sistemas de tiempo continuo tienen una versión de tiempo discreto,
pero hay sistemas de tiempo discreto que no tienen un equivalente de tiempo
continuo. La condición precisa es que la matriz no puede tener valores propios
reales en el eje real negativo.
Ejemplo 5.10 Ecuación diferencial para el servidor IBM Lotus
En el ejemplo 2.4 describimos cómo se obtenía la dinámica de un servidor IBM
Lotus como sistema de tiempo discreto
y[k + 1] = ay[k] + bu[k]
donde a = 0,43, b = 0,47 y el periodo de muestreo es h = 60 s. Se necesita un
modelo de ecuaciones diferenciales si queremos diseñar sistemas de control
basados en la teoría del tiempo continuo. Dicho modelo se obtiene aplicando la
ecuación (5.27),
-h
por lo
-1
log
a
que
A=
= -0.0141,
B = 0 eAt dt
b = 0.0141.
h
y encontramos que la ecuación en diferencia puede interpretarse como una
versión muestreada de la ecuación diferencial ordinaria
dx
= -0,141x + 0,141u
dt