LÍMITES INFINITOS Y AL
INFINITO
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante comprende la operación de
límite al infinito y reconoce algunos teoremas importantes
¿Cuándo se presentan?.
En caso de los límites infinitos y al infinito, se presenta el caso que cuando 𝑥 → 𝑎 la
función toma valores grandes y más grandes a medida que nos aproximamos a 𝑎, en este
caso decimos que la función 𝑓(𝑥) diverge a ∞ en el punto 𝑥 = 𝑎.
𝟏
Ejemplo: Analizar la función 𝒇 𝒙 = 𝟐 cuando 𝒙 → 𝟎
𝒙
Solución. Tomamos valores próximos a 0.
𝑥
𝒇(𝒙)
𝒙
𝒇(𝒙)
−0.1
100
0.1
100
−0.001
104
0.001
104
0.00001
108
−0.00001 108
↓
↓
↓
↓
0−
∞
0+
∞
1
𝑥→0 𝑥 2
Entonces lim
=∞
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
A medida que x se aproxima a
cero, la función va tomando
valores cada vez mayores
Ejemplo: Analizar la función 𝑓
𝑥 =
Solución:
1
𝑥−2
cuando 𝑥 → 2
Tomamos valores próximos a 2.
𝑥
𝒇(𝒙)
𝒙
𝒇(𝒙)
1.9
−10
2.1
10
1.99
−100
2.01
100
1.9999
−104
2.0001
104
↓
↓
↓
↓
2−
−∞
0+
+∞
Observamos que a medida que 𝑥 → 2+ la función crece a +∞ y cuando la 𝑥 → 2 función tiende a
−∞
Entonces no existe lim 𝑓 𝑥
𝑥→2
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
1 LÍMITES INFINITOS
Si 𝑛 es un entero positivo, entonces:
a)
b)
1
lim
𝑥→0+ 𝑥 𝑛
= +∞
1
lim+ 𝑛
𝑥
𝑥→0
−∞; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
=
+∞; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
Observación: Para 𝑘 = 0 una constante, llevando al limite:
a)
𝑘
0+
+∞; 𝑠𝑖 𝑘 > 0
=
−∞; 𝑠𝑖 𝑘 < 0
a)
𝑘
0−
=
+∞; 𝑠𝑖 𝑘 < 0
−∞; 𝑠𝑖 𝑘 > 0
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
Casi como si se aplicara la
regla de signos
2 LÍMITES AL INFINITO
Para 𝑛 un entero positivo
1
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
1
lim
𝑥→−∞ 𝑥 𝑛
a) lim
=0
b)
=0
Para evaluar límites de funciones exponenciales y logarítmicas, debemos recordar:
•
•
•
•
lim 𝑒 𝑥 = +∞
𝑥→+∞
lim 𝑒 𝑥 = 0
𝑥→−∞
lim ln(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
lim ln(𝑥) = −∞
𝑥→0+
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar el siguiente límite:
𝑥 2 − 13𝑥 − 12
lim
𝑥→ +∞
𝑥 2 − 3𝑥 − 5
Solución:
Dividimos el numerador y denominador
entre 𝑥 2
𝑥 2 − 13𝑥 − 12
𝟐
𝒙
= lim
𝑥→ +∞
𝑥 2 − 3𝑥 − 5
𝒙𝟐
2
= lim
𝑥→ +∞
𝑥
13𝑥 12
−
− 2
𝑥2
𝑥2
𝑥
𝑥 2 3𝑥 5
−
−
𝑥2 𝑥2 𝑥2
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
13 12
− 2
𝑥
𝑥
= lim
3 5
𝑥→ +∞
1− − 2
𝑥 𝑥
Llevando al limite cuando𝑥 → +∞
1−
=
Rpta.: 1
1−0−0
1−0−0
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Hallar el siguiente límite:
9𝑥 4 + 10
lim
𝑥→ +∞
2𝑥 2 − 7
Solución:
Dividimos el numerador y denominador
entre 𝑥 2
= lim
𝑥→ +∞
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
10
𝑥4
= lim
7
𝑥→ +∞
2− 2
𝑥
Llevando al limite cuando𝑥 → +∞
9+
9𝑥 4 + 10
𝒙𝟐
2𝑥 2 − 7
𝒙𝟐
=
Rpta.:
= lim
𝑥→ +∞
9𝑥 4 + 10
𝑥4
2𝑥 2 7
− 2
𝑥2
𝑥
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
3
2
9+0
2−0
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
3. Hallar el siguiente límite:
lim
𝑥 2 − 3𝑥 + 4 + 𝑥
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
𝑥→−∞
Solución:
Multiplicamos por el conjugado
= lim
𝑥→−∞
= lim
𝑥→−∞
𝑥2
𝑥2
− 3𝑥 + 4 + 𝑥
− 3𝑥 + 4 −
𝑥2
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 − 𝒙
𝑥2 = 𝑥 =
𝑥; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥; 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 − 𝒙
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 − 𝒙
= lim
𝑥→−∞
−3𝑥 + 4
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 − 𝒙
Dividimos entre x
−3𝑥 + 4
4
−3
+
𝑥
𝑥
= lim
= lim
𝑥→−∞
𝑥→−∞
𝒙𝟐 − 3𝑥 + 𝟒
𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟒 − 𝒙
−
−𝟏
𝑥
𝒙𝟐
= lim
𝑥→−∞
3 𝟒
− 𝟏−𝒙+ 𝟐−𝟏
𝒙
Llevando al limite cuando 𝑥 → −∞
= lim
𝑥→−∞
Rpta.:
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
4
−3 + 𝑥
−3 + 0
− 1−0+0−1
3
2
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
4. Hallar el siguiente límite:
𝑥2 − 4
lim
𝑥→2+
𝑥−2
Solución:
𝑥−2 𝑥+2
= lim+
𝑥→2
𝑥−2
𝑥+2
= lim+
𝑥→2
𝑥−2
2+2
= lim
2+ − 2
2
= lim +
0
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
Rpta.:+∞
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
5. Hallar el siguiente límite:
1
3
lim
− 2
𝑥→2− 𝑥 − 2
𝑥 −4
Solución:
𝑥+2−3
= lim−
𝑥→2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
𝑥−1
= lim−
𝑥→2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
1
= lim
(4)(0− )
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
Rpta.:−∞
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
6. Hallar el siguiente límite:
lim+
𝑥→1
𝑥2
𝑥+1
−
𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥 − 1
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1
= lim+
𝑥→1
Solución:
𝑥2
𝑥+1
= lim+
−
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 𝑥 − 1
𝑥 2 − (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
= lim+
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
𝑥 2 − (𝑥 2 + 4𝑥 + 3)
= lim+
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
LÍMITES – DEFINICIÓN - PROPIEDADES
−4𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
−7
= lim
(0+ )(4)
Rpta.: −∞
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Tener presente las
formas
indeterminadas
para límites infinitos
2. Identificar y
diferenciar los
límites infinitos y al
infinito
Datos/Observaciones
PARA TI
Gracias por tu
participación
Hemos visto la
importancia de los
métodos de
factorización para la
resolución de límites
Ésta sesión
quedará grabada
1. Revisa los
ejercicios indicados
y realiza la Tarea
de ésta sesión.
2. Consulta en el
FORO tus dudas.
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO
Resuelva el siguiente límite
lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥 − 𝑥2 + 1
Límites infinitos y
al infinito
Datos/Observaciones