03/05/2017
Reinterpretando o paradoxo de Faraday ­ Belmiro Wolski
Reinterpretando o paradoxo de Faraday
Belmiro Wolski
© 2010
Divulgação autorizada para o ECC
Introdução: O funcionamento do gerador homopolar,
inventado pelo próprio Michael Faraday em 1831, tem sido alvo
de inúmeras discussões que persistem até hoje no meio
científico. O estranho comportamento aparentemente desafia o
bom senso e a relatividade do movimento, e por esta razão é
conhecido como “o paradoxo de Faraday”. Alguns trabalhos
afirmam que é o único caso em que a tensão induzida não
pode ser explicada pela Lei de Faraday. O objetivo deste
trabalho é defender a universalidade da Lei de Faraday,
mostrando que ela também se aplica ao gerador homopolar.
Abstract: The homopolar generator is a simple machine,
created by Faraday in 1831. Is an application of electomagnetics
induction’s law discovered by himself, also well­known as
Faraday’s Law. Consists in a aluminum disc that spins into a
magnetic field, and the energy is capted by brushes in the
center and the rim of the disc. The curiosity about this machine
is the apparently violation of the relativity movement´s, because
no energy is obtained when the magnetic field is in movement
and the disc is stationary. In literature, this fact puts in doubt
the Faraday’s Law application. In present work, we pretend
demonstrate that Faraday’s Law is applicable in whole cases.
Palavras­chave: Fluxo magnético, Lei de Faraday, disco,
força eletromotriz, polaridade.
Key­words: Magnetic flux, Faraday’s Law, disc, induced emf,
polarity.
Referências:
­ Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 29, n03, São Paulo
2007.
­ O Gerador de Faraday ­ Manuel Vaz Guedes
­ Homopolar generator ­ Wikipedia
­ Homopolar Generator ­ Brown University
1 – O gerador homopolar
O gerador homopolar consiste de um disco metálico, livre para girar em
torno de seu eixo de simetria, e de um ímã permanente também em formato
de disco, cujos pólos envolvem o disco metálico. Os pólos do ímã são
também acoplados a um eixo de forma que tanto o disco quanto os pólos
podem executar movimentos de rotação. A tensão gerada é coletada por
escovas que deslizam uma na borda do disco e outra no eixo acoplado ao
disco. O esquema do gerador homopolar pode ser visto na figura 01 abaixo.
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2 – Funcionamento
O funcionamento do gerador homopolar se dá quando o disco é posto a
girar dentro do campo magnético, inicialmente mantido estacionário. Vamos
mostrar o disco em vista superior com o campo magnético do ímã sendo
representado pelas suas linhas de força penetrando no plano do papel, como
mostrado na figura 02 abaixo.
Figura 02
Com o movimento do disco, todas as cargas elétricas contidas no
mesmo, ficam sujeitas à força de Lorentz, segundo a equação:
Admitindo­se que o disco esteja girando com velocidade angular , cada
ponto do disco estará sujeito a uma velocidade tangencial dada por
,
onde r é a distância radial do ponto. Desta forma, as cargas livres presentes
no disco serão deslocadas pela ação da força:
Na figura 03 abaixo, é ilustrada a força sobre uma carga positiva
localizada em um determinado ponto do disco.
Figura 03
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O sentido da força foi determinado pelo produto vetorial da equação da
força de Lorentz, utilizando­se a conhecida regra do tapa. As forças atuando
sobre as cargas livres, promoverão uma redistribuição de cargas no disco,
como mostrado na figura 04 abaixo.
Figura 04
A força eletromotriz gerada entre qualquer ponto na borda do disco e o
centro será a mesma, o que nos permite calculá­la, considerando apenas um
filete radial do disco. Então, sobre este filete, temos:
Os sinais de vetores dentro da integral foram eliminados pelos produtos
vetorial e escalar e a integral no percurso fechado se resume à integral sobre
o raio do disco, haja vista não haver cargas no restante do percurso.
3 – O paradoxo de Faraday
Vimos que ao girarmos o disco no interior do campo magnético, gera­se
entre a borda e o centro do disco uma força eletromotriz dada por:
. Considerando­se a relatividade do movimento, é de se esperar
que, ao girarmos o imã, mantendo o disco parado, obtenhamos o mesmo
valor para a força eletromotriz. Entretanto, não é o que a prática nos mostra.
Nestas condições, a força eletromotriz gerada é nula. É nisto que consiste o
paradoxo de Faraday. Depois de constatado este fato, o próprio Faraday se
encarregou de realizar outras experiências, alterando os elementos em
movimento, entre eles o sistema de escovas. Todas as possibilidades estão
ilustradas na tabela I abaixo:
4 – Variação de fluxo
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Como dito anteriormente, coloca­se em dúvida a aplicabilidade da Lei de
Faraday em relação ao gerador homopolar, devido ao fato de não ficar claro
como o fluxo varia.
Tomemos o caso de um condutor de comprimento determinado, se
deslocando no interior de um campo magnético constante, conforme figura 05
abaixo.
Figura 05
Podemos determinar a força eletromotriz gerada no condutor mediante a
aplicação da equação da força de Lorentz:
Pela regra do tapa para o produto vetorial, podemos concluir que o lado
direito do condutor possui polaridade positiva.
Podemos também determinar a polaridade da força eletromotriz,
considerando­se a variação de fluxo que o condutor sofre ao se deslocar de
uma posição a outra dentro do campo magnético. Para isto, podemos
associar às pontas do condutor, um percurso imaginário que feche o circuito.
Esse percurso deve ficar mentalmente imóvel em relação ao condutor e,
necessariamente, deve estar parcialmente fora do campo magnético, para
que a variação de fluxo sobre ele possa ser observada. Um possível percurso
fechado está mostrado na figura 06 a seguir:
Figura 06
Neste caso, com o avanço do condutor e do percurso imaginário a ele
vinculado para baixo, o fluxo magnético no interior do circuito fechado está
variando de forma crescente. Pela lei de Faraday, se o fluxo está variando,
então há uma força eletromotriz induzida atuando no condutor. E, pela lei de
Lenz, a polaridade da força eletromotriz induzida deve ser tal que tenda a
estabelecer uma corrente no percurso fechado para criar um campo
magnético que se oponha ao tipo de variação de fluxo que estiver ocorrendo.
Como o fluxo está aumentando e aponta para dentro do plano do papel, então
essa corrente deveria circular no sentido anti­horário através do percurso
fechado, de forma a criar um fluxo apontando para fora do plano do papel.
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Assim, observamos que essa hipotética corrente deveria sair pelo lado direito
do condutor, o qual então, obviamente é positivo. Isto corrobora a polaridade
obtida anteriormente através da regra do tapa.
O mesmo resultado seria obtido se tivéssemos escolhido um percurso
imaginário voltado para baixo do condutor. Neste caso, o fluxo no interior do
percurso estaria diminuindo o que forçaria a criação de uma corrente no
sentido horário através do percurso, o que coincide com o mesmo sentido de
corrente através do condutor.
Para determinar o valor da força eletromotriz não se pode fazê­lo
determinando a taxa de variação de fluxo sobre o percurso todo, incluindo o
imaginário. Com isto estaríamos determinando a força eletromotriz sobre o
percurso todo e não somente sobre o condutor, como é de nosso interesse.
Desta forma temos que imaginar a variação de fluxo sofrida pelo condutor ao
sair de uma posição inicial e chegar a uma posição final varrendo uma
distância incremental dx num tempo dt. A variação de fluxo será: d = BdS,
onde dS = Ldx, sendo L o comprimento do condutor e dx o deslocamento
incremental sofrido pelo condutor no tempo dt. Desta forma, a força
eletromotriz será:
Observação: O sinal negativo no resultado foi omitido neste caso, pois,
ele é inútil para indicar a polaridade, visto que não há um referencial adotado.
5 – Variação de fluxo no gerador homopolar
Comportamento do gerador homopolar nas diversas situações.
Na tabela I, para a situação 1, obviamente a força eletromotriz gerada é
nula, pois disco, imã e escova estão parados. Vamos agora analisar a
situação 2.
Como vimos no item 2, a força eletromotriz é simétrica radialmente. Na
figura 07 a seguir, tomamos uma linha radial que intercepta um ponto da
escova da borda do disco. A escova que toca o eixo foi omitida, para facilitar a
visualização, o que não prejudica a análise, mesmo porque ela não precisa
estar necessariamente no mesmo plano da escova da borda.
Figura 07
Todas as cargas contidas nesta linha viajam, vinculadas ao disco, com
velocidade angular . Durante o tempo que esta linha fica em contato com a
escova, o que depende da largura desta última e da velocidade angular ,
teremos o fluxo magnético variando sobre a linha. Consideremos um instante
de tempo qualquer em que a linha está tocando a escova. Um instante de
tempo dt depois, a linha varreu uma área correspondente a um setor circular
como mostrado na figura 08 a seguir:
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Figura 08
A correspondente variação de fluxo sofrida pela linha de cargas será d
= BdS. Assim, a força eletromotriz será:
onde novamente desconsideramos o sinal negativo no resultado.
Observa­se que a força eletromotriz obtida é a mesma que a encontrada
pela equação da força de Lorentz. Para determinar a polaridade da força
eletromotriz, utilizamos o artifício do percurso fechado imaginário. Adotando
então um percurso arbitrário como ilustrado na figura 09 a seguir, observamos
que o fluxo magnético está diminuindo em seu interior.
Figura 09
Por conta disto, a hipotética corrente que deveria circular, teria o sentido
horário através do percurso, de forma a criar um fluxo no mesmo sentido que
o do ímã, conforme ilustração a seguir.
Figura 10
Concluímos assim que, a polaridade do ponto correspondente à escova
externa, ou seja, a borda do disco é positiva.
Para justificar o comportamento do gerador homopolar na situação 3 da
tabela I, imaginemos a figura 11 abaixo.
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Figura 11
Quando o disco está parado e o ímã girando, não se observa variação
de fluxo sobre o percurso fechado. A linha de cargas, considerada como parte
integrante do percurso fechado, não se move. Desta forma, o percurso se
mantém sempre o mesmo. Como o campo magnético é uniforme, cada linha
de força que deixa o percurso fechado é imediatamente reposta por uma linha
que entra pelo lado oposto. Sendo assim, a variação de fluxo resultante no
percurso fechado é nula, tornando nula também a força eletromotriz.
Na situação 4, disco e ímã estão parados e a escova está em
movimento, havendo força eletromotriz gerada.
Figura 12
Considerando o mesmo percurso fechado imaginário, percebemos que,
com o movimento da escova, a cada instante uma nova linha de cargas radial
toca a escova. Isto é equivalente a uma única linha de cargas que se desloca,
promovendo uma variação de fluxo no interior do percurso fechado. Como tal,
uma força eletromotriz é gerada. Observa­se que o gerador homopolar nesta
situação se comporta como o analisado na situação 2.
Para analisar a situação 5, observemos que na situação 3, não há força
eletromotriz gerada quando o ímã está em movimento e o disco e escova
estão parados, justamente porque não há variação de fluxo. Comparando com
a situação 1, observamos que é indiferente se o ímã está ou não em
movimento quando disco e escovas estão parados. Logo, a situação 5 é
equivalente a situação 4.
Pelo mesmo raciocínio, a situação 6 é equivalente à situação 2, pois
novamente é indiferente se o ímã está ou não em movimento.
Nas situações 7 e 8, vai depender apenas da maneira como o disco e a
escova estão girando, haja vista que o movimento do ímã não irá afetar a
tensão gerada. Desta forma, se disco e escova girarem de forma que haja
movimento relativo entre eles, haverá força eletromotriz gerada. Caso
contrário, a força eletromotriz será nula.
Conclusão
Do exposto no trabalho acima, conclui­se que a Lei de Faraday também
se aplica ao caso do gerador homopolar e que a polaridade da tensão gerada
pode ser determinada pelo método da variação de fluxo em um circuito
fechado imaginário.
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Belmiro Wolski é professor do Departamento Acadêmico de Eletrotécnica da
Universidade Tecnológica Federal do Paraná, UTFPR.
Leia, do mesmo autor:
Análise Alternativa de Interações Magnéticas
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