Algebra Lineal
Lisette J. Santana Jiménez
Agenda
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tipos de Sistemas
Método de Eliminación Gaussiana
Matrices
Matriz Inversa
Ecuaciones Lineales
• Una ecuación lineal en n variables 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3,…, 𝑥𝑛 tiene la forma:
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 +𝑎3 𝑥3 +…+𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏
• En este caso, los coeficientes son números reales y el término
constante b es un número real. El número 𝑎1 es el coeficiente principal
y 𝑥1 es la variable principal.
• Nota: Las ecuaciones lineales no tienen productos o raíces de variables;
variables que aparezcan en funciones trigonométricas, exponenciales o
logarítmicas. Las variables aparecen elevadas solamente a la primera
potencia.
Ecuaciones Lineales
• De las siguientes ecuaciones, identificar cuáles son lineales y cuáles son
no lineales:
a) 3x+2y=7
b)
c)
1
𝑥
2
+ 𝑦 − 𝜋𝑧 = 2
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
𝑥1 − 4𝑥2 = 𝑒 2
d) xy+z=2
e) 𝑠𝑒𝑛𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 0
Ecuaciones Lineales
• Una solución de una ecuación lineal en n variables es una sucesión de
n números reales 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , … , 𝑠𝑛 ordenados de modos que la ecuación
se
cumple
cuando
los
valores
𝑥1 = 𝑠1 , 𝑥2 = 𝑠2 , … , 𝑥𝑛 =
𝑠𝑛 se sustituyen en ésta. Por ejemplo, la ecuación:
𝑥1 + 2𝑥2 = 4
• Se cumple cuando 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 1. Otras soluciones son 𝑥1 = −4, 𝑥2 =
4; 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2; 𝑥1 = −2, 𝑥2 = 3. El conjunto de todas las soluciones
de la ecuación lineal se denomina conjunto solución y cuando se
determina este conjunto se dice que se ha resuelto la ecuación. Para
describir todo el conjunto solución a menudo se emplea una
representación paramétrica.
Ecuaciones Lineales
• Ejemplo 1: Resolver la ecuación lineal 𝑥1 + 2𝑥2 = 4. Para determinar
el conjunto solución resolvemos para una de las variables en
términos de la otra, por ejemplo:
𝑥1 = 4 − 2𝑥2
• En esta representación la variable 𝑥2 es libre, es decir, que puede tomar
cualquier valor real. Podemos representar el conjunto solución como:
𝑥1 = 4 − 2𝑡, 𝑥2 = 𝑡, t es cualquier número real denominado parámetro.
Sistemas Lineales
• Un Sistema de m ecuaciones lineales en n variables es un conjunto de
m ecuaciones, cada una de las cuales es lineal en las mismas n
variables:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥13 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏3
⋱
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + 𝑎𝑚3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
• Solucionar el Sistema:
3𝑥1 + 2𝑥2 = 3
−𝑥1 + 𝑥2 = 4
Sistemas Lineales
• Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es una sucesión de
números 𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 , … , 𝑠𝑛 que es solución de cada una de las ecuaciones
lineales del sistema.
• Un Sistema de ecuaciones lineales puede tener exactamente una
solución, un número infinito de soluciones o niguna solución. Un
sistema de ecuaciones lineales se denomina consistente si tiene al
menos una solución e inconsistente si no tiene solución.
Sistemas Lineales
Sistemas Lineales
• Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y graficar cada
Sistema como un par de rectas. A que conclusión podemos llegar sobre
cada sistema?
a) 𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = −1
b) 𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 2𝑦 = 6
c)𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥+𝑦=1
Sistemas Lineales
• Sustitución hacia atrás. Ejemplo:
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 9
𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑧=2
Sistemas Lineales
Eliminación Gaussiana directa:
• Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales, llevando un sistema de ecuaciones a
otro sistema equivalente con el mismo conjunto solución, a través de
diferentes operaciones.
Resumen del Algoritmo:
1.
2.
3.
Intercambiar cualesquiera dos filas 𝑅𝑖𝑗↔ 𝑅𝑘𝑗 ;
Multiplicar cada elemento de una fila por un escalar distinto de cero
𝐾 ≠ 0;
Reemplazar una fila por la suma de ésta con otra fila multiplicada por
un escalar múltiplo de otra fila de la matriz: 𝑅𝑖 +𝛼𝑅𝑗 .
Sistemas Lineales
El método de eliminación gaussiana para la solución de sistemas de
ecuaciones se resume a continuación:
- Escribir la matriz aumentada (orlada) del sistema;
- Usar operaciones entre filas
- Las columnas consistentes completamente de ceros se agrupan al final
de la matriz;
- Cada fila que contiene un 1 tiene cero en todos los demás
componentes;
- Al final se intenta contruir un matriz diagonal (triangular) donde todos
los elementos de la diagonal principal sean 1’s y el resto sean ceros; de
manera que los componentes a la derecha de la matriz ampliada
representen la solución del sistema.
Sistemas Lineales
• Se debe detener el proceso si todos los componentes de la fila son
ceros, a excepción del último elemento de la derecha de la fila. En este
caso el sistema se considera incosistente y por tanto no tiene solución.
De otro modo, se concluye el algoritmo y se obtienen las soluciones a
partir de la parte derecha del sistema.
• Nota al margen: Se dice que un Sistema de ecuaciones es
subdeterminado si tiene más variables que ecuaciones y
sobredeterminado si tiene más ecuaciones que variables.
Sistemas Lineales
• Ejemplo: Resolver el sistema lineal usando el método Gauss-Jordan:
𝑥+𝑦+𝑧=5
2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 8
4𝑥 + 5𝑧 = 2
• Solución: La matriz aumentada del sistema es la siguiente:
1 1 1 5
2 3 5 8
4 0 5 2
• Ahora se deben llevar a cabo operaciones con las filas para obtener
una matriz reducida:
Sistemas Lineales
1 1
→ 𝑅2 -2𝑅1 : 0 1
4 0
1
→ 𝑅3 -4𝑅1 : 0
0
→
1
𝑅 :
13 3
1 5
3 −2
5 2
1
1
−4
1
0
0
1 5
3 −2
1 18
1 1 5
1 3 −2
0 1 −2
⋮
→ 𝑅1 -𝑅2 :
1 1
0 1
0 0
0 3
0 4
1 −2
x=3;y=4;z=-2
Sistemas Lineales
• La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m
ecuaciones con n incógnitas tenga solución es que el rango (número
de filas o columnas linealmente independientes) de la matriz de
coeficientes de las incógnitas sea igual al rango de la matriz formada
por dicha matriz ampliada con la columna de términos independientes.
• Esta condición permite determinar si el sistema tiene solución sin
necesidad de resolverlo.
• Nota: Es importante que una vez se encuentre la solución del
sistema se compruebe si ciertamente verifica las ecuaciones del
mismo.
Sistemas Lineales
• Resolver los sistemas:
𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1
2𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 2
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −1
2𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 =0
3𝑥1 + 5𝑥2 =1
Aplicación, Cholesky-Impulso Respuesta
Sistemas Homogéneos
• Los sistemas de ecuaciones lineales en los cuales todos los términos
constantes son equivalentes a cero se denominan homogéneos. Por
ejemplo, un sistema homogéneo de m ecuaciones en n variables tiene
la forma:
Sistemas de Ecuaciones
• Sistemas homogéneos: Los sistemas de ecuaciones lineales en los
cuales todos los términos constantes son equivalentes a cero se
denominan homogéneos
• Definición 1.4: Un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con m
incógnitas a coeficientes es un sistema de tipo:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ 𝑎1𝑚 𝑥𝑚 = 0
⋮
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ 𝑎𝑛𝑚 𝑥𝑚 = 0
Método Gauss
Donde 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐾 para cada 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚. La matriz 𝐴𝑖𝑗 =𝑎𝑖𝑗 se llama
matriz asociada al sistema.
Sistemas de Ecuaciones
• Todo sistema homogéneo tiene al menos una solución; tal solución se
denomina trivial; por ejemplo un sistema de tres ecuaciones en tres
variables debe tener como solución trivial 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0.
• Resolver el sistema siguiente de ecuaciones lineales, utilizando la
eliminación de Gauss-Jordan:
𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0
2𝑥1 +𝑥2 + 3𝑥3 = 0
Matrices
• Una matriz puede ser presentada en alguna de las siguientes formas:
1.
Por una letra mayúscula: A, B, C,…
2.
Por un elemento representativo escrito entre corchetes: 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 ,
𝑐𝑖𝑗 ,…
3.
Por un arreglo rectangular de números:
𝑎11
𝑎21
⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋮
⋮
… 𝑎𝑚𝑛
Matrices
• Una matriz que tiene sólo una columna se denomina matriz columna
o vector columna.
• Análogamente, una matriz que tiene sólo un fila se denomina matriz
fila o vector fila.
 Suma de Matrices: Dos matrices pueden ser sumadas si tienen la
misma dimensión; se suman sus elementos correspondientes.
Formalmente, si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 son matrices de tamaño m x n,
entonces su suma es la matriz m x n dada por:
𝐴 + 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 .
Matrices
 Multiplicación por escalar: Si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 es una matriz de tamaño m x
n y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar de A por c es la matriz
de tamaño m x n, dada por:
𝑐𝐴 = 𝑐𝑎𝑖𝑗
 Multiplicación de matrices: Si 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 es una matriz m x n y
𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 es una matriz n x p , entonces el producto AB es una matriz de
m x p:
𝐴𝐵 = 𝑐𝑖𝑗
• Donde:
𝑛
𝑐𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖2 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗
𝑘=1
Sistemas Matriciales
• Resuelva de forma matricial Ax=0, el sistema:
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 0
• Dada la ecuación Ax=b , se denomina combinación lineal a las matrices
columna A, con coeficientes 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . El sistema es consistente si y
solo si b puede ser expresada como una combinación lineal, donde
los coeficientes de dicha combinación son una solución del sistema.