Б.В.Гнеденко КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Изд. 6-е, перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988) Дается систематическое изложение основ теории вероятностей, проиллюстрированное большим числом подробно рассмотренных примеров, в том числе и прикладного содержания. Серьезное внимание уделено рассмотрению вопросов методологического характера. Настоящее издание значительно отличается по содержанию от 5-го (1969 г.): введены дополнительные параграфы математического и прикладного характера, добавлен большой очерк истории теории вероятностей, содержащий результаты исследований самого последнего времени. Для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов. Содержание Предисловие к шестому изданию 7 Из предисловия ко второму изданию 9 Из предисловия к первому изданию 9 Введение 11 Глава 1. Случайные события и их вероятности 16 § 1. Интуитивные представления о случайных событиях 16 § 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 20 § 3. Примеры 29 § 4. Геометрические вероятности 38 § 5. О статистической оценке неизвестной вероятности 45 § 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей 49 § 7. Условная вероятность и простейшие основные формулы 54 § 8. Примеры 62 Упражнения 69 Глава 2. Последовательность независимых испытании 72 § 9. Вводные замечания 72 § 10. Локальная предельная теорема 77 § 11. Интегральная предельная теорема 85 § 12. Применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа 92 § 13. Теорема Пуассона 97 § 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний 103 Упражнения 106 Глава 3. Цепи Маркова 109 § 15. Определение цепи Маркова 109 § 16. Матрица перехода 110 § 17. Теорема о предельных вероятностях 112 Упражнения 115 Глава 4. Случайные величины и функции распределения 116 § 18. Основные свойства функций распределения 116 § 19. Непрерывные и дискретные распределения § 20. Многомерные функции распределения § 21. функции от случайных величин § 22. Интеграл Стильтьеса Упражнения Глава 5. Числовые характеристики случайных величин § 23. Математическое ожидание § 24. Дисперсия § 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии § 26. Моменты Упражнения Глава 6. Закон больших чисел § 27. Массовые явления и закон больших чисел § 28. Закон больших чисел в форме Чебышева § 29. Необходимое и достаточное условие для закона больших чисел § 30. Усиленный закон больших чисел § 31. Теорема В.И.Гливенко Упражнения Глава 7. Характеристические функции § 32. Определение и простейшие свойства характеристических § 33. Формула обращения и теорема единственности § 34. Теоремы Хелли § 35. Предельные теоремы для характеристических функций § 36. Положительно определенные функции § 37. Характеристические функции многомерных случайных § 38. Преобразование Лапласа - Стильтьеса Упражнения Глава 8. Классическая предельная теорема § 39. Постановка задачи § 40. Теорема Линдеберга § 41. Локальная предельная теорема Упражнения Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения § 42. Безгранично делимые законы и их основные свойства § 43. Каноническое представление безгранично делимых законов § 44. Предельная теорема для безгранично делимых законов § 45. Постановка задачи о предельных теоремах для сумм § 46. Предельные теоремы дли сумм § 47. Условия сходимости к законам нормальному и Пуассона § 48. Суммирование независимых случайных величин в случайном Упражнения Глава 10. Теория стохастических процессов § 49. Вводные замечания 123 127 135 148 153 158 158 164 169 175 180 184 184 187 191 195 201 207 209 209 214 219 224 228 234 238 244 248 248 251 257 263 264 265 267 272 276 277 280 283 288 290 290 § 50. Процесс Пуассона § 51. Процессы гибели и размножения § 52. Условные функции распределения и формула Байеса § 53. Обобщенное уравнение Маркова § 54. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова § 55. Чисто разрывный процесс. Уравнения Колмогорова - Феллера § 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями § 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции § 58. Понятие стохастического интеграла. Спектральное разложение стационарных процессов § 59. Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина Глава 11. Элементы статистики § 60. Основные задачи математической статистики § 61. Классический метод определения параметров распределения § 62. Исчерпывающие статистики § 63. Доверительные границы и доверительные вероятности § 64. Проверка статистических гипотез Дополнение. Очерк истории теории вероятностей Глава 1. Предыстория понятия вероятности и случайного события § 1. Первые данные § 2. Исследования Дж.Кардане и Н.Гарталья § 3. Исследования Галилео Галилея § 4. Вклад Б.Паскаля и П.Ферма в развитие теории § 5. Работа X.Гюйгенса § 6. О первых исследованиях по демографии Глава 2. Период формирования основ теории вероятностей § 7. Возникновение классического определения вероятности § 8. О формировании понятия геометрической вероятности § 9. Основные теоремы теории вероятностей § 10. Задача о разорении игрока § 11. Возникновение предельных теорем теории вероятностей § 12. Контроль качества продукции Глава 3. К истории формирования понятия случайной величины § 13. Развитие теории ошибок наблюдений § 14. формирование понятия случайной величины § 15. Закон больших чисел § 16. Центральная предельная теорема § 17. Общие предельные распределения для сумм § 18. Закон повторного логарифма § 19. Формирование понятий математического ожидания и дисперсии Глава 4. К истории теории случайных процессов § 20. Общие представления 294 300 312 316 317 326 333 338 344 348 353 353 357 367 369 377 386 386 386 388 390 393 397 400 402 402 405 409 412 413 415 418 418 420 423 425 429 432 434 436 436 Таблица значений функции ϕ( x ) = (1 / 2 π ) exp( − x 2 / 2) x Таблица значений функции Φ ( x ) = (1 / 2π ) ∫ exp( − z 2 / 2)dz 441 442 0 k −a Таблица значений функции Pk ( a ) = a e / k! k Таблица значений функции ∑a m −a e / m! 443 445 m =0 Список литературы 447
