М.Л.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Задачи и упражнения
Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.
Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики —
вариационному исчислению.
По стилю и методике изложения предмета он непосредственно примыкает к
ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости» и «Интегральные уравнения».
В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения
(определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры.
Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для
самостоятельного решения.
Задачи снабжены ответами, в ряде случаев даются указания к решению.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
3
Предварительные замечания
5
Глава I. Экстремум функций многих переменных
7
§ 1. Безусловный экстремум
7
§ 2. Условный экстремум
15
Глава II. Экстремум функционалов
22
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства
22
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
46
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
61
§ 6. Инвариантность уравнения Эйлера
73
§ 7. Поле экстремалей
76
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала
88
§ 9. Условный экстремум
103
§ 10. Вариационные задачи с подвижными границами
119
§ 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации
131
§ 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принципы механики
140
Глава III. Прямые методы вариационного исчисления
155
§ 13. Конечно-разностный метод Эйлера
155
§ 14. Метод Ритца. Метод Канторовича
157
§ 15. Вариационные методы нахождения собственных значений и
164
собственных функций
Ответы и указания
178
Литература
189