Статья для Трудов ВКА_3(для Виталия на доработку формул и графиков)
Звонарев, Бродский, Попов
Метод построения вероятностного пространства на
множестве совместных событий для расчета вероятностей
битовых ошибок приема радиосигналов с QPSK при
наличии помех
Предложен общий методический подход и методика расчета
вероятностей битовых ошибок приема четырехпозиционных
фазоманипулированных сигналов ФМ-4 на основе построения
вероятностного пространства на множестве совместных событий приемапередачи символов с битовыми знаками. Использованы вычисленные
вероятности перехода сигнальных символов. Построены графики
зависимостей вероятностей от энергии бита. Проведено сравнение
зависимостей вероятностей битовых ошибок без кодирования и с
кодированием по Грею. Результаты статьи позволяют определять битовые
ошибки при наличии структурных помех.
Ключевые слова: вероятности символьных и битовых ошибок,
четырехпозиционная фазовая манипуляция, вероятностное пространство,
множество совместных событий.
Сигналы с квадратурной фазовой манипуляцией
(quadrature phase shift keying - QPSK) находят широкое
применение в системах спутниковой связи и являются
фазоманипулированными радиосигналами с числом позиций 4,
т.е. ФМ-4. Оценка помехоустойчивости таких многопозиционных
сигналов осуществляется по значеням вероятностей битовых
ошибок при заданных уровнях сигнала, приходящихся на один
бит принимаемой информации. Расчет вероятностей битовых
ошибок, особенно при наличии помех в радиоканале, имеет
некоторые трудности. Во-первых, в доступной литературе не
приводится внятного описания общего методологического
подхода для расчета таких вероятностей. Хотя существует и
достаточно широко используется формула для расчета средней
битовой ошибки многопозиционного ФМ сигнала на основе
использования переходных вероятностей и хемминговых
расстояний между позициями символов, содержащих по
несколько битов каждый [1, 2, 3, 4]. Однако эта формула
справедлива только для симметричного сигнального созвездия в
присутствие гауссова шума и для случая отсутствия внешних
структурных помех. В некоторых работах приводятся результаты
вычисления вероятностей битовых ошибок, но методика их
вывода не объяснена [5]. Известны статьи, где вывод формул
для расчета опирается на приближенные результаты [6-14],
справедливые только для больших соотношений сигнал/шум и в
случае без помех. Кроме того, в этих работах негласно и
ошибочно не учитывается биортогональность
фазоманипулированных многопозиционных сигналов, считая их
ортогональными, что приводит к далеко не точным результатам.
Данная статья имеет целью восполнить этот пробел на примере
сигналов QPSK.
Методика построения вероятностного пространства
на множестве совместных событий
Обозначим передаваемые символы как априорные
события: 1-й символ (00), 2-й символ (01), 3-й символ (10), 4-й
символ (11). При приеме принимаются решения о том, какой
символ передавался. Обозначим принятые символы как
̂ ); 2-й символ (01
̂ ); 3-й
апостериорные события: 1-й символ (00
̂ ); 4-й символ (11
̂ ). Тогда составляющие множества
символ (10
совместных событий можно обозначить следующим образом:
̂ 00); (01,
̂ 00); (10,
̂ 00); (11,
̂ 00);
(00,
̂ 01); (01,
̂ 01); (10,
̂ 01); (11,
̂ 01);
(00,
̂ 10); (01,
̂ 10); (10,
̂ 10); (11,
̂ 10);
(00,
̂ 11); (01,
̂ 11); (10,
̂ 11); (11,
̂ 11) .
(00,
На первой позиции каждого события (символа)
располагается информационный знак 1-го бита, соответственно
на второй позиции - информационный знак 2-го бита. «Шляпка»
сверху обозначает принятый символ (или знак).
Каждому совместному событию соответствует величина
своей вероятности, обозначаемой буквой Р. Таким образом
получаем вероятностное пространство на множестве совместных
событий в виде таблицы:
̂ 00); Р(01,
̂ 00); Р(10,
̂ 00); Р(11,
̂ 00);
Р(00,
̂ 01); Р(01,
̂ 01); Р(10,
̂ 01); Р(11,
̂ 01);
Р(00,
̂ 10); Р(01,
̂ 10); Р(10,
̂ 10); Р(11,
̂ 10);
Р(00,
̂ 11); Р(01,
̂ 11); Р(10,
̂ 11); Р(11,
̂ 11) .
Р(00,
Вероятности совместных событий, как известно,
вычисляются через произведения априорных и условных
вероятностей, а именно:
̂00); Р(01,
̂00);
̂ 00) = Р(00)Р(00/
̂ 00) = Р(00)Р(01/
Р(00,
̂00); Р(11,
̂00);
̂ 00) = Р(00)Р(10/
̂ 00) = Р(00)Р(11/
Р(10,
и так далее.
Рассмотрим отдельно прием 1-го и 2-го битов. Внутри
каждого бита отдельно рассмотрим прием информационных
знаков 0 и 1. Обозначим 01, 11 – знаки 0 и 1 в 1-ом бите, а также
02, 12 – знаки 0 и 1 во 2-ом бите. Правильный прием знака 01
есть совместное событие (0̂
1 , 01 ), правильный прием знака 11 есть
совместное событие (1̂
1 , 11 ). Нетрудно увидеть, что События
̂
(0̂
1 , 01 ) и (11 , 11 ) равны объединению следующих совместных
событий
̂
̂
̂
̂
(0̂
1 , 01 ) = (00, 00) ∪ (01, 00) ∪ (00, 01) ∪ (01, 01);
̂
̂
̂
̂
(1̂
1 , 11 ) = (11, 11) ∪ (10, 11) ∪ (10, 10) ∪ (11, 10).
События (Правильный прием 1-го бита) и (Правильный
прием 2-го бита) есть объединения следующих совместных
событий
̂
(Правильный прием 1 − го бита) = (0̂
1 , 01 ) ∪ (11 , 11 );
̂
(Правильный прием 2 − го бита) = (0̂
2 , 02 ) ∪ (12 , 12 ).
Тогда вероятности правильного приема 1-го и 2-го битов
определяются выражениями
̂
Рправb1 = Р(0̂
1 , 01 )+ Р(11 , 11 );
̂
Рправb2 = Р(0̂
2 , 02 )+ Р(12 , 12 ).
Исходя из вышеизложенного, выпишем вероятности
правильного приема знаков 01 и 11
̂
̂
̂
̂
Р(0̂
1 , 01 ) = P(00, 00) + P(01, 00) + P(00, 01) + P(01, 01);
̂
̂
̂
̂
Р(1̂
1 , 11 ) = P(11, 11) + P(10, 11) + P(10, 10) + P(11, 10).
Вероятности ошибки приёма значений «0» и «1» 1-го бита,
соответственно, имеют вид:
̂
̂
̂
̂
Рош(01) = Р(1̂
1 , 01 )= Р(10, 00)+ Р(11, 00)+ Р(10, 01)+ Р(11, 01).
̂
̂
̂
̂
Рош(11)= Р(0̂
1 , 11 )= Р(00, 11)+ Р(01, 11)+ Р(00, 10)+ Р(01, 10).
Вероятность ошибки приема 1-го бита.
Рошb1 = Рош(01) + Рош(11).
Вероятности ошибки приёма значений «0» и «1» 2-го бита,
соответственно, имеют вид:
̂
̂
̂
̂
Рош(02)=Р(1̂
2 , 02 )= Р(01, 00)+ Р(11, 00)+ Р(01, 10)+ Р(11, 10).
̂
̂
̂
̂
Рош(12) = Р(0̂
2 , 12 )= Р(10, 11)+ Р(00, 11)+ Р(00, 01)+ Р(10, 01).
Вероятность ошибки приема 2-го бита.
Рошb2 = Рош(02) + Рош(12).
Примем, что априорные вероятности символов одинаковы,
все символы равновероятны, т.е.: Р(00) = Р(01) = Р(10) = Р(11) =
1⁄4. Тогда для определения символьных и битовых вероятностей
необходимо найти условные вероятности символов.
Определение условных вероятностей символов
Подробное изложение методики вывода формул для
вычисления условных вероятностей символов опубликовано в
статьях [15, 17]. В данном разделе используем уже выведенные
формулы и описанное вероятностное поле для сравнения
вероятностей битовых ошибок сигнала QPSK для случаев
отображения по Грею [1-4] и не по Грею в канале с белым
гауссовым шумом.
1-й и 2-й биты по Грею
Обычно априорные вероятности принимаются одинаковыми,
то есть передаваемые символы равновероятны, тогда имеем
P(00)= P(01)= P(10)= P(11)=1/4.
Вероятность ошибки приема знака «0» в первом бите
определяется по формуле
̂
̂
̂
̂
Рош(01) = Р(1̂
1 , 01 )= [ Р(10/ 00)+ Р(11/ 00)+ Р(10/ 01)+ Р(11/ 01)]/4
Условн6ые вероятности находим по выведенным
интегральным формулам [15,17]
∞
1
̂01) = Р(10/
̂00) =
Р(11/
∫
2𝜋
𝑥−√2(√2ℎ𝑏)
∫
𝑒
−
(𝑥 2 +𝑦 2 )
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
0 −𝑥−√2(√2ℎ𝑏)
̂01) = Р(11/
̂00) =
Р(10/
1
2𝜋
∞
𝑥−√2(√2ℎ𝑏)
∫
∫
(𝑥 2 +𝑦 2 )
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑒−
√2(√2ℎ𝑏) −𝑥+√2(√2ℎ𝑏)
Здесь введены обозначения: ℎ𝑏 = √𝐸𝑏 ⁄𝑁0 ; 𝐸𝑏 ⁄𝑁0 – отношение
сигнал/шум, приведенное к одному биту; 𝐸𝑏 – энергия одного
бита; 𝑁0 – односторонняя спектральная плотность белого
гауссового шума в канале.
Таким же образом находим вероятности Рош(11), Рош(02),
Рош(12), и вероятности ошибок приема 1-го и 2-го битов - Рошb1 и
Рошb2 по Грею.
На рис.1 построены графики зависимостей вероятностей
ошибок 1-го и 2-го битов по Грею. Так же третий график
показывает зависимость вероятности ошибки приема сигналов
ФМ-2. Все три графика, как и следовало ожидать, совпадают во
всех точках.
0.01
Psrob13( hb)
6
110
Psrob23( hb)
 10
110
Q( hb)
 14
110
 18
110
0
2
4
6
hb
(На рисунке
Psrob13(hb)
= Рошb1,
Psrob23(hb) =
Рошb2 по Грею)
Анализ показывает, что величина вероятности ошибки
приема 1-го бита от наличия или отсутствия отображения по
Грею не зависит, поэтому достаточно рассмотреть вероятность
ошибки приема только 2-го бита.
2-й бит не по Грею
̂
̂
̂
̂
Рош(02)=Р(1̂
2 , 02 )=[Р(01/ 00)+ Р(11/ 00)+ Р(01/ 10)+ Р(11/ 10)]/4.
̂
̂
̂
̂
Рош(12) = Р(0̂
2 , 12 )=[Р(10/ 11)+Р(00/ 11)+ Р(00/ 01)+ Р(10/ 01)]/4.
На 3-ей позиции в созвездии располагается символ-событие
(10), а на 4-ой – (11). Выполняются равенства
̂00) = Р(00/
̂01) = Р(11/
̂00) = Р(10/
̂01)
Р(01/


1 
P3213( hb ) 

2 
50  x 2
0





 x 2

2 hb
 2 2
 x y


e
2
dy dx
2 hb
̂10) = Р(10/
̂11) = Р(00/
̂11) = Р(10/
̂11)
Р(01/


1 
P3214( hb ) 

2 
50  x 2





 x 2
0

2 hb
 2 2
 x y


e
2
dy dx
2 hb
̂00) + Р(01/
̂10).
Рошb2 = Р(01/
Q( hb ) 


1 

2 
50
2
x
e
2
dx
2 hb
Q(hb) - вероятность битовой ошибки при BPSK (двоичной
ФМ-2).
Сравним вероятности ошибок 2-го бита по Грею и не по Грею при малых
отношениях сигнал/шум в увеличенном масштабе
1
Psrob2( hb)
Psrob23( hb)
Q( hb)
0.1
0.01
110
110
3
4
0
1
2
3
hb
(На рисунке
Грею)
Psrob23(hb) =
Рошb2г(hb) по Грею,
Psrob2(hb)
= Рошb2(hb) не по
Значения вероятностей ошибки 2-го бита по Грею и не по
Грею, соответственно, при hb=1(0 db) равны.
Рошb2г(1)=0.079;
Рошb2(1)=0.145.
Различие значений видно невооружённым глазом.
Замечание
Вероятности ошибок приема 1-го и 2-го битов совершенно
самостоятельны и могут иметь разные значения.
Последовательности 1-й и 2-ой битов образуют разные
генеральные совокупности, поэтому вычисление средней
вероятности по ним в вероятностном смысле является химерой и
с математической точки зрения некорректно. Обычно эти
вероятности приводятся раздельно и самостоятельно [5].
Выводы
1. На вероятность ошибки 1-го бита наличие или отсутствие
кодирования по Грею никак не сказывается.
2. При использовании кодирования по Грею вероятности
ошибок 1-го и 2-го битов одинаковы во всех точках
графиков.
3. Без использования кодирования по Грею вероятность
ошибки 2-го бита больше, чем у 1-го.
4. Правильность предложенной здесь методики
подтверждается совпадением известных и изложенных в
статье результатов.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P. J. Lee, .Computation of the bit error rate of coherent M-ary PSK with
Gray code bit mapping,. IEEE Transactions on Communications, vol. COM34, no. 5, pp. 488.491, May 1986.
J. Lassing, E. G. Ström, T. Ottosson, and E. Agrell, “Computation of the
exact bit error rate of coherent M-ary PSK with Gray code bit mapping,”
IEEE Transactions on Communications, vol. 51, no. 11, pp. 1758–1760,
Nov. 2003.
Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое
применение: пер. с англ. / Б. Скляр. – М.: Вильямс, 2003. – 1104 с.
Прокис Дж. Цифровая связь: Пер с англ. / Под ред. Д.Д. Кловского. –
М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.
Савищенко Н. В. Многомерные сигнальные конструкции: их частотная
эффективность и помехоустойчивость приема: Монография / Под ред.
Д. Л. Бураченко. СПб.: Изд-во Политехн, ун-та, 2005. 420 с.
Куликов Г.В., Нгуен Ван Зунг, Нестеров А.В., Лелюх А.А.
Помехоустойчивость приема сигналов с многопозиционной фазовой
манипуляцией в присутствии гармонической помехи // Наукоемкие
технологии. 2018. № 11. C. 32–38. DOI: 10.18127/j19998465-201811-06
7. Куликов Г. В., Лелюх А. А., Баталов Е. В., Кузеленков П. И..
Помехоустойчивость приема сигналов с квадратурной амплитудной
манипуляцией в присутствии фазоманипулированной помехи. Журнал
радиоэлектроники [электронный журнал]. 2019. № 7. Режим доступа:
http://jre.cplire.ru/jre/jul19/10/text.pdf. DOI 10.30898/1684-1719.2019.7.10
8. Куликов Г. В., Нестеров А. В., Лелюх А. А. Помехоустойчивость
приема сигналов с квадра-турной амплитудной манипуляцией в
присутствии гармонической помехи. Журнал радио-электроники
[электронный журнал]. 2018. № 11. Режим доступа:
http://jre.cplire.ru/jre/nov18/9/text.pdf DOI 10.30898/1684-1719.2018.11.9
9. Куликов Г.В., Нгуен Ван Зунг. Влияние погорешностей синхронизации
на помехоустойчивость когерентного приема сигналов М-ФМ //
Российский технологический журнал. 2019. Т. 7. № 5. С. 47–61.
https://doi.org/10.32362/2500-316X-2019-7-5-47-61
10.Куликов Г.В., Нгуен Ван Зунг, До Чунг Тиен. Влияние
фазоманипулированной помехи на помехоустойчивость
корреляционного демодулятора сигналов с многопозиционной фазовой
манипуляцией // Российский технологический журнал [электронный
журнал]. 2019. Т. 7. № 2. С. 18–28. Режим доступа:
https://rtj.mirea.ru/upload/medialibrary/4c2/RTZH_2_2019_18_28.pdf.
DOI: 10.32362/2500-316X-2019-7-2-18-28.
11.Куликов Г.В., Нгуен Ван Зунг. Анализ помехоустойчивости приема
сигналов с многопозиционной фазовой манипуляцией при воздействии
сканирующей помехи // Российский технологический журнал
[электронный журнал]. 2018. Т. 6. № 6. С. 5–12. Режим доступа:
https://rtj.mirea.ru/upload/medialibrary/947/RTZH_6_2018_5_12.pdf.
DOI: 10.32362/2500-316X-2018-6-6-5-12.
12.Куликов Г.В., Нгуен Ван Зунг, До Чунг Тиен Помехоустойчивость
приема сигналов с многопозиционной фазовой манипуляцией в канале
связи с нефлуктуационными помехами// II Международный научнотехнический форум СТНО-2019. Сборник трудов. Том 1. Стр. 9-13.
Рязань.
13.Нгуен Ван Зунг. Помехоустойчивость корреляционного приемника
сигналов с многопозиционной фазовой манипуляцией при наличии
ретранслированной помехи // Журнал радиоэлектроники [электронный
журнал]. 2019. № 3. Режим доступа:
http://jre.cplire.ru/jre/mar19/4/text.pdf. DOI 10.30898/1684-1719.2019.3.4.
14.Куликов Г.В., Лелюх А. А., Граченко Е. Н. Помехоустойчивость
когерентного приемника сигналов с квадратурной амплитудной
модуляцией при наличии ретранслированной помехи// Радиотехника и
электроника , 2020. Т. 65. № 8. Стр. 804-808. DOI
10.31857/S0033849420070074
15.Звонарев В. В., Пименов В.Ф.,, Попов А. С. Методика расчета
помехоустойчивости приема сигнала с четырехпозиционной фазовой
манипуляцией при воздействии гармонической когерентной помехи//
Труды ВКА, Вып. 673, 2020 г., стр. 79-89.
16.Афонин Г.И. , Парамонов И.Ю., Попов А.С. Корректный вывод формул
для расчета помехоустойчивости приема фазоманипулированного
радиосигнала // Сборник докладов 21-й международной конференции
«Лазеры. Измерения. Информация-2011». – СПб.: СПбГПУ, 2011. – Т. 1
– C. 209–225.
17.Звонарев В. В., Попов А. С. Методика расчёта потенциальной
помехоустойчивости оптимального когерентного приёма
многопозиционного фазоманипулированного радиосигнала с белым
шумом. Радиотехника, 2019, т. 83, № 4, с. 79–83. DOI
10.18127/j00338486-201904-79