ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ(частина 1) для студентів спеціальності 151 «Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології» Модуль1. Теорія лінійних неперервних систем ЗМ1. Математичний опис неперервних лінійних САУ Лекція 3 Часові та частотні характеристики САУ к.т.н., професор О.В. Токарєва Факультет автоматики і комп’ютеризованих технологій, Кафедра комп’ютерно-інтегрованих технологій, автоматизації та мехатроніки, ХНУРЕ Теорія автоматичного управління Тема: ЧАСОВІ ТА ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ Мета лекції – вивчити методи описання неперервних лінійних систем автоматичного управління за допомогою часових та частних характеристик Зміст лекції 1 Часові характеристики 2 Частотні характеристики 2 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 1 Часові характеристики Для оцінки динамічних властивостей системи необхідно вирішити диференціальне рівняння системи, що можливо тільки при заданій задаючій дії. Щоб не вирішувати кожного разу приватну задачу дослідження динаміки елементу при конкретному вхідному сигналі, а отримати досить повне уявлення про динамічні властивості елементу в результаті одного рішення рівняння динаміки, доцільно ввести деяку типову задаючу дію, яка відбиває найбільш вірогідний режим роботи елементів. 3 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Види типових задаючих дій 1) Одинична ступінчаста дія 1(t) 2) Одинична імпульсна дія (t ) (дельта-функція) jt e 3) Гармонійний сигнал 4 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Види типових задаючих дій Одинична ступінчаста дія 1(t) - це функція, незмінна за величиною і рівна одиниці для усіх моментів часу t>0, а при усіх значеннях t<0 рівна 0. x 0 t Наприклад, підключення напруги до ланки або системи, початок обробки на верстаті, обурення у вигляді ударів в механічних системах та ін. 5 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Аналітично одинична ступінчаста функція може бути представлена таким чином: 1, t 0 1(t ) = 0, t 0 6 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Види типових задаючих дій Одинична імпульсна дія (дельта-функція) (t ) - це функція Діраку, яка є імпульсом нескінченно великої амплітуди з нескінченно малою тривалістю. Як правило, це шуми, перешкоди. 7 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Аналітично Дельта-функція представлена таким чином: може бути 0 при t 0 (t ) = при t = 0 0 при t 0 8 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Між одиничною ступінчастою функцією і дельта-функцією існує зв'язок виду d (t ) = 1(t ) dt 9 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Види типових задаючих дій Гармонійний сигнал e jt - гармонійні коливання з постійною амплітудою, рівною 1. x T 0 t 10 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Аналітично гармонійний сигнал може бути представлений таким чином: e jt = cos t + j sin t x(t ) = A sin( t + ) x(t ) = A cos( t + ) де А - амплітуда коливань - кругова частота - початкова фаза 11 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Часові характеристики Часові характеристики є функціями часу, вони служать для оцінки динамічних властивостей елементів при їх дослідженні в області дійсної перемінної t. До часових характеристик належать: - перехідна характеристика - імпульсна перехідна характеристика, яку ще називають ваговою характеристикою. 12 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Перехідна функція ланки – це функція h(t), яка описує реакцію ланки на одиничну ступінчасту дію 1(t), за нульових початкових умов. Графік перехідної функції – крива залежності h(t) від часу t – називається перехідною характеристикою. За видом перехідної характеристики судять про якість системи. 13 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління а б в Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua 14 Теорія автоматичного управління Імпульсна перехідна (вагова) функція ланки – це функція (t), яка описує реакцію ланки на одиничний імпульсний вплив за нульових початкових умов. Графік імпульсної перехідної функції – крива залежності (t) від часу t – називається імпульсною перехідною характеристикою. 15 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Встановимо зв'язок між функціями (t) та W(s) x = (t ) W(s) y = (t ) Відповідно з визначенням функції ваги (t ) при x( t ) = (t ) вихідна величина y( t ) = (t ) Оскільки L (t ) = 1 16 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління L (t ) = W (s ) Передатна функція W(s) є зображенням Лапласа функції ваги W ( s ) = ( t ) e − st dt 0 17 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Встановимо зв'язок між функціями h(t) та W(s) x = 1(t ) y = h(t ) W(s) Відповідно з визначенням перехідної функції при x ( t ) = 1(t ) вихідна величина y( t ) = h(t ) Оскільки 1 L1(t ) = s 18 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління W (s ) Lh(t ) = s S Lh( t ) = W ( s ) 19 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Встановимо зв'язок між функціями h(t) та (t) Оскільки за нульових початкових умов множенню зображень на s відповідає диференціювання оригіналу, то при переході до оригіналів з останнього рівняння отримаємо dh(t ) (t ) = dt 20 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 21 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Часові характеристики: а)перехідна характеристика; б) імпульсна (вагова) перехідна функція 22 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 23 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 24 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Перехідна характеристика Імпульсна перехідна характеристика 25 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 2. Частотні характеристики Якщо на вхід лінійної САУ подати гармонічну дію, то на її виході встановиться гармонічний процес з амплітудою b і фазою, яка зсунена відносно фази вхідного сигналу на кут x=a sin wt W(s) y=b sin (wt+φ) 26 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Графіки вхідного та вихідного сигналів САУ x, y b а x(t) y(t) 0 t Амплітуда і фаза на виході за інших рівних умов залежатимуть від частоти збудження. За цими характеристикам можна судити про динамічні властивості не тільки ланок, а й складних замкнутих САУ. 27 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотні характеристики 1. Частотна передатна функція W ( j ) , яку можливо отримати, замінивши s на j в передатній функції в перетвореннях Лапласа 28 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотна передатна функція є комплексною функцією від змінної. Її як і будь-яке комплексне число, можна записати в алгебраїчній та показниковій формах W ( j ) = U ( ) + jV ( ) = A( ) e j ( ) де U ( ) - дійсна частина частотної передатної функції V ( ) - уявна частина частотної передатної функції A( ) - модуль частотної передатної функції ( ) - аргумент частотної передатної функції 29 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління На комплексній площині частотну передатну функцію визначає вектор ОС, довжина (модуль) якого дорівнює A( ) , а кут, утворенний цим вектором з дійсною додатною піввіссю, дорівнює ( ) 30 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 2. Крива, яку описує кінець вектора ОС при зміні частоти від 0 до нескінченності (годограф вектора), називається амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ). Для визначення модуля та фази частотної передатної функції на заданій частоті слід відповідну точку годографа з’єднати прямою з початком координат. Довжина відрізка, який отримано, відповідає у визначеному масштабі модулю, а фаза визначається кутом, утвореним цією прямою та додатною напіввіссю дійсних величин. 31 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотні характеристики 3. Дійсна частотна функція U ( ) Це дійсна частина частотної передатної функції U ( ) = ReW ( j ) Дійсну частотну функцію розраховують за виразом U ( ) = A( ) cos ( ) Графік залежності U від частотною характеристикою називають дійсною 32 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотні характеристики 4. Уявна частотна функція V ( ) Це уявна частина частотної передатної функції V () = ImW ( j) Уявну частотну функцію розраховують за виразом V () = A() sin () Графік залежності V від частотною характеристикою називають уявною 33 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотні характеристики 5. Амплітудна частотна функція A( ) Це модуль частотної передатної функції A( ) = W ( j ) Амплітудну частотну функцію розраховують за виразом A( ) = U 2 ( ) + V 2 ( ) Графік залежності А від називають амплітудною частотною характеристикою 34 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління АЧФ визначається відношенням амплітуди вихідного сигналу до амплітуди вхідного гармонічного сигналу в усталеному режимі b A= a АЧХ показує, як пропускає ланка сигнали різних частот. Оцінка пропускання робиться відносно амплітуд вихідної та вхідної величин. 35 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотні характеристики 6. Фазова частотна функція ( ) Це аргумент частотної передатної функції ( ) = arg W ( j ) Фазова частотна функція визначається зсувом фази вихідного сигналу Графік залежності від називають фазовою частотною характеристикою. Вона показує фазові зсуви, які вносить ланка на різних частотах. 36 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Фазову частотну функцію розраховують за виразом V arctg U , + arctg V , U V arg W ( j ) = − arctg , U 2, − , 2 якщо U 0, якщо U 0, V 0, якщо U 0 , V 0 , якщо U = 0 , V 0, якщо U = 0 , V 0. 37 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Логарифмічні частотні характеристики 7. ЛАЧХ - логарифмічна амплітудна частотна характеристика 8. ЛФЧХ - логарифмічна фазова частотна характеристика 38 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Логарифмічною амплітудною частотною характеристикою САУ називають АЧХ цієї системи, виражену в децибелах та побудовану в логарифмічному масштабі частот. ЛАЧХ визначають так L( ) = 20 lg A( ) = 20 lg W ( j ) 39 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Логарифмічною фазовою частотною характеристикою САУ називають залежність фази, виражену в градусах чи радіанах, від частоти в логарифмічному масштабі. ЛЧХ – це ті самі частотні характеристики системи, але побудовані в іншій системі координат. Це найбільш зручна форма представлення частотних характеристик для вирішення задач аналізу і синтезу систем. 40 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Системи координат логарифмічних частотних характеристик ЛАЧХ та ЛФЧХ По осі абсцис відкладають частоту в логарифмічному масштабі, що дозволяє відкласти на заданому відрізку значний діапазон частот. 41 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 𝑙𝑔 𝜔 , дек Одиницею виміру частоти є декада – інтервал, на якому частота змінюється у десять разів. По осі ординат значення ЛАЧФ відкладають в децибелах (дБ), а значення ЛФЧФ – у градусах чи радіанах 42 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління 43 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Дані для побудови АФЧХ та АЧХ 0 1,25 5 2,5 0 0 -2,5 0 5 1,58 0 Оскільки U(ω)>0, V(ω)<0 ФЧФ визначається як: 44 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Частотні характеристики АЧХ АФЧХ ФЧХ Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua 45 Теорія автоматичного управління ВИСНОВКИ До часових характеристик відносять: перехідна характеристика та імпульсна перехідна характеристика Перехідна функція ланки – це функція h(t), яка описує реакцію ланки на одиничну ступінчасту дію 1(t), за нульових початкових умов. Імпульсна перехідна (вагова) функція ланки – це функція, яка описує реакцію ланки на одиничний імпульсний вплив за нульових початкових умов. До частотних характеристик відносять: частотна передатна функція, АФЧХ, дійсна частотна функція, уявна частотна функція, амплітудна частотна функція, фазова частотна функція та логарифмічні функції Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua 46 Теорія автоматичного управління Питання для експрес-контролю - Перелічіть часові характеристики систем автоматичного управління. - Як пов’язані між собою часові характеристики? - Як за відомою перехідною функцією визначити імпульсну перехідну? - Для чого використовуються часові функції? - Для чого використовуються частотні характеристики системи автоматичного управління? 47 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua Теорія автоматичного управління Питання для експрес-контролю - Які частотні функції Вам відомі? Поясніть їх фізичний зміст. - Як будується АФЧХ системи за відомою передатною функцією? - Який висновок можна зробити про роботу системи за її АЧХ? - Який висновок можна зробити про роботу системи за її ФЧХ? - Що таке логарифмічні частотні характеристики? В якій системі координат вони будуються? - У чому полягають переваги логарифмічних частотних характеристик? 48 Харківський національний університет радіоелектроніки Кафедра КІТАМ, тел. 7021486, d_tapr@nure.ua
