Análisis de Variable Real 2
Corto 3
Andrea Argüello
Entrega: 29 de octubre
Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series.
1.
∞
P
(1 − cos n1 )
n=1
• Nótese que | cos n1 | ≤ 1 ⇒ 1 − cos n1 ≥ 0, ∀n. Además,
1
1
+
2n 2n
1
1
1
1
cos
− sin
sin
= cos
2n
2n
2n
2n
1
1
= cos2
− sin2
2n
2n
1
1
= 1 − sin2
− sin2
2n
2n
1
= 1 − 2 sin2
2n
1
cos = cos
n
⇒ 1−cos n1 = 2 sin2
1
.
2n
Por otro lado si x ≥ 0, sin x ≤ x. Entonces, como los n son
1
1
1 2
positivos, 2n
también lo es y se tiene que 2 sin2 2n
≤ 2( 2n
) = 2n1 2 ⇒ 1−cos n1 ≤ 2n1 2
∞
∞
∞
∞
P
P
P
P
1
1
1
1
⇒
(1 − cos n1 ) ≤
=
≤
, la cual converge por p-series dado
2n2
2
n2
n2
n=1
n=1
n=1
n=1
1
que p = 2 > 1
∞
P
⇒
(1 − cos n1 ) converge por comparación
n=1
2.
∞
P
(sin n)n
n=1
• Nótese que lim (sin n)n no existe. En efecto, tómese las subsucesiones ((sin (2πn))n )
n→∞
y (sin (2πn + π2 ))n , nótese que (sin (2πn))n = 0n y (sin (2πn + π2 ))n = (sin (2πn) cos ( π2 )+
cos (2πn) sin ( π2 ))n = (cos (2πn))n = 1n , ∀n ∈ [1, ∞)
⇒ (sin (2πn))n −−−→ 0 y (sin (2πn + π2 ))n −−−→ 1
n→∞
n→∞
n
⇒ lim (sin n) es indeterminado
n→∞
∞
P
⇒
(sin n)n diverge por criterio de divergencia.
n=1
3.
∞ √
√
P
( n2 + 1 − 3 n3 + 1)
n=0
• Nótese que
√
n2 + 1 −
√
√
√
3
3
n3 + 1 = n2 + 1 − n + n − n3 + 1
Por diferencia de cuadrados y cubos, respectivamente, se tiene que
√
√
( n2 + 1)2 − n2
2
n +1−n= √
n2 + 1 + n
1
=√
n2 + 1 + n
√
3
3
√
n
−
(
n3 + 1)3
3
3
√
√
n− n +1=
n2 + n 3 n3 + 1 + ( 3 n3 + 1)2
1
√
√
=−
3
n2 + n n3 + 1 + ( 3 n3 + 1)2
2
⇒
√
n2 + 1 −
√
3
1
1
√
√
−
3
n2 + 1 + n n2 + n n3 + 1 + ( 3 n3 + 1)2
1
1
q
= q
− √
3
1
1
3
3
3
n
1 + n2 + 1
n n + n + 1 + n + 2 + n3


1
1
1

q
= q
−
√
3
n
1
1
3
3
3
1+ +1 n+ n +1+ n +2+
n3 + 1 = √
n2
n3
Por criterio de comparación al lı́mite, tómese la serie divergente
∞
P
n=1
1
n
lim
q 1
1+ 12 +1
n→∞
n
−
1q
√
n+ 3 n3 +1+ 3 n3 +2+
1
n
1
n
1
n3
1
1
q
−
= lim q
√
n→∞
1 + n12 + 1 n + 3 n3 + 1 + 3 n3 + 2 +
1
−0
2
1
=
2
=
⇒
∞ √
√
P
( n2 + 1 − 3 n3 + 1) diverge por criterio de comparación al lı́mite
n=0
4.
∞
P
( n1 ln (1 + n1 ))
n=1
• Nótese que los términos de la serie son positivos, ya que 1 + n1 > 1, y por lo tanto
al evaluarlo en el logaritmo natural su resultado será positivo (el resultado del
logaritmo natural es negativo para 0 < n < 1). Por desigualdad de Bernoulli, se
tiene que
x k
1 + kx ≤ (1 + x) ⇒ 1 + x ≤ 1 +
−−−→ ex
k→∞
k
k
3
1
n3
Sustituyendo x por n1 se tiene que 1 + n1 ≤ e1/n ⇒ ln 1 + n1 ≤ ln e1/n =
∞
∞
P
P
1
Entonces,
( n1 ln (1 + n1 )) ≤
, la cual converge por p-series
n2
⇒
5.
∞
P
n=1
∞
P
n=1
n=1
( n1
n=1
1
.
n
ln (1 +
1
))
n
converge por criterio de comparación
nn
en n!
• Por el criterio del logaritmo
nn
en n!
(n+1)n+1
en+1 (n+1)!
lim n ln
n→∞
!
nn e
nn en+1 (n + 1)!
= lim n ln
= lim n ln
n→∞
n→∞
(n + 1)n+1 en n!
(n + 1)n
n e
1
= lim n ln
= lim n ln e − ln 1 +
n→∞
n→∞
n
(1 + n1 )n
1
= lim n 1 − n ln 1 +
n→∞
n
Recordando que la serie de Taylor de ln (1 + x) =
∞
P
n
(−1)n+1 xn
n=1
1
1
1
1
1
lim n 1 − n ln 1 +
= lim n 1 − n
−
+
−
+ ...
n→∞
n→∞
n
n 2n2 3n3 4n4
1
1
1
= lim n 1 − 1 +
−
+
− ...
n→∞
2n 3n2 4n3
1
1
1
= lim −
+ 2 − ...
n→∞ 2
3n 4n
1
= <1
2
⇒
∞
P
n=0
6.
∞
P
n=1
nn
en n!
diverge por criterio del logaritmo
1
√
2
n
• Nótese que
√
n es una función monótona creciente y positiva para n ≥ 0, i.e.
4
√
√
p
√
n
n ≤
(n + 1) ⇒ 2
≤ 2 (n+1) ⇒
√1
2 (n+1)
≤
1
√
n
2
. Sea entonces f (x) =
1
, notando que por las propiedades anteriormente mencionadas, f (x) es no
R∞
negativa, integrable y monótona decreciente en [1, ∞). Entonces, 1 f (x)dx =
R∞ 1
Ra 1
Ra 1
√
1
1
√ dx = lim
√ dx, sea w =
√ dx =
√
x,
dw
=
dx
=
dx
⇒
lim
x
x
x
2w
1 2
2 x
a→∞ 1 2
a→∞ 1 2
Ra w
lim 2 1 2w dw; integrando por partes, con u = w, dv = ( 21 )w , du = dw, v =
a→∞
Ra 1
a
a
1
1
w
1
dw = lim [− 2wwln 2 − 2w ln
+
lim
=
1 = − 2w ln 2 ⇒ lim − 2w ln 2
2 ]
w
1 2w ln 2
2 1
1
2 ln
√
x
2
a→∞
2
a
lim − w2wlnln2+1
2
2 1
a→∞
=
a→∞
a→∞
ln 2+1
lim − a2alnln2+1
.
2 +
2
2 ln2 2
a→∞
H
Nótese que lim − a2alnln2+1
= lim − 2alnln23 2 =
2
2
a→∞
a→∞
0
R∞
a
ln 2+1
⇒ lim − w2wlnln2+1
=
⇒
f (x)dx converge
2
2
1
2 1
2 ln 2
a→∞
∞
P 1
√
⇒
converge por criterio de la integral. En particular,
2 n
n=1
∞
ln 2 + 1 1
ln 2 + 1 X 1
√ ≤
≤
+
2
n
2
2
2 ln 2
2 ln2 2
n=1
7.
∞
P
n=1
1
2ln n
• Nótese que ln n es una función monótona creciente y positiva para n ≥ 1, i.e.
ln n ≤ ln (n + 1) ⇒ 2ln n ≤ 2ln (n+1) ⇒
1
2ln (n+1)
≤
1
.
2ln n
1
,
2ln x
Sea entonces f (x) =
notando que por las propiedades anteriormente mencionadas, f (x) es no negativa,
R∞
R∞
integrable y monótona decreciente en [1, ∞). Entonces, 1 f (x)dx = 1 2ln1 x dx,
R∞
R∞
1
( e )u ∞
sea u = ln x, du = x1 dx = eln x dx = e−u dx ⇒ 1 2ln1 x dx = 0 ( 2e )u du = ln2 e , la
2
cual diverge
∞
P
1
⇒
diverge por criterio de la integral
2ln n
n=1
8.
∞
P
n=3
1
n(ln n)(ln (ln n))
5
0
•
∞
P
n=3
1
n(ln n)(ln (ln n))
=
∞
P
n=1
1
(n+2)(ln (n+2))(ln (ln (n+2)))
Nótese que las funciones n, ln n, ln (ln n),
en el dominio [1, ∞), son no negativas y monótonas crecientes. Entonces, el producto de las tres (n + 2)(ln (n + 2))(ln (ln (n + 2))) también será no negativa (en
particular, mayor a 0) y monótona creciente en [1, ∞), i.e. (n+2)(ln (n + 2))(ln (ln (n + 2))) ≤
(n+3)(ln (n + 3))(ln (ln (n + 3))) ⇒
indicando que
1
(n+3)(ln (n+3))(ln (ln (n+3)))
1
(n+2)(ln (n+2))(ln (ln (n+2)))
≤
1
,
(n+2)(ln (n+2))(ln (ln (n+2)))
es monótona decreciente y no negativa en
1
[1, ∞); sea f (x) = (x+2)(ln (x+2))(ln
y nótese que esta misma es integrable.
(ln (x+2)))
R∞
R∞
1
dx, sea u = ln (ln (x + 2)), du =
Entonces, 1 f (x)dx = 1 (x+2)(ln (x+2))(ln
(ln (x+2)))
R∞
R∞
1
1
dx ⇒ 1 (x+2)(ln (x+2))(ln
dx = ln (ln 3) u1 du = ln |u||∞
ln (ln 3) =
(x+2)(ln (x+2))
(ln (x+2)))
ln | ln (ln x)||∞
3 , la cual diverge
∞
P
1
⇒
diverge por criterio de la integral.
n(ln n)(ln (ln n))
n=3
9.
∞
P
an , donde a1 = 1, an+1 = cos an , n ∈ Z+
n=1
• Sea f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = cos x, nótese que f es diferenciable en (0, 1) tal que
f 0 (x) = − sin x. Por TVM, ∃c ∈ (0, 1) 3 cos 1 − cos 0 = − sin c ⇒ | cos 1 − 1| =
| sin c| ⇒ cos x es Lipschitz, además dado que | sin c| < 1, ∀c ∈ (0, 1), cos x es
contracción ⇒ ∃!x0 ∈ (0, 1) 3 cos x0 = x0 por teorema del punto fijo para contracciones.
Por otro lado, nótese que cos x es decreciente en el intervalo [0, 1], y a2n =
cos a2n−1 = cos (cos a2n−2 ) y a2n+1 = cos a2n = cos (cos a2n−1 ). Entonces ∀n, m ≥
3 se tiene que
cos 1 = a2 < a4 < ... < a2n < ... < a2m+1 < ... < a5 < a3 < a1 = 1
6
Tómense entonces las subsucesiones (a2n ) y (a2n−1 ), ∀n ∈ Z+ , las cuales son acotadas y monótonas creciente y decreciente, respectivamente. Entonces, el lim a2n
n→∞
y lim a2n−1 existen por teorema de convergencia monótona; además, si se busn→∞
casen los puntos fijos de ambas se llega a L = cos L, y esto solo se cumple para
L = x0 ya que el punto fijo es único. Como ambas subsucesiones convergen a x0
y dado que (a2n ) ≤ (an ) ≤ (a2n−1 ), ∀n ∈ Z+ ⇒ (an ) converge y lim an = x0 > 0
n→∞
∞
P
+
⇒
an , donde a1 = 1, an+1 = cos an , n ∈ Z diverge por criterio de divergencia
n=1
10.
∞
P
√
(−1)n ( n n − 1)n
n=1
•
∞
P
√
√
(−1)n ( n n − 1)n es una serie alternante, con an = ( n n − 1)n . A probar:
n=1
√
( n n − 1)n → 0.
√
Nótese que n n = eln
1
lim 1
n→∞ n
√
n
n
1
= e n ln n . Como e es una función continua, lim
n→∞
ln n
√
n
n=
lim e n ln n = e
. Además, ln n < n, ∀n > 0, entonces lim n1 ln n = 0 ⇒
n→∞
√
0
lim n n = e = 1
n→∞
√
⇒ lim n n − 1 = 1 − 1 = 0
n→∞
√
⇒ lim ( n n − 1)n = 0
n→∞
∞
P
√
⇒
(−1)n ( n n − 1)n es convergente por criterio de series alternantes
n→∞
n=1
7