Logique des propositions
Damien Nouvel
Damien Nouvel (Inalco)
Logique des propositions
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Fondements de la logique
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
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Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Le monde de la logique formelle classique
‚
‚
‚
ñ
ñ
Valeurs de vérité : vrai, faux
Monde ouvert (non clos)
Manipulation de propositions
Pas d’ambigüités (tiers exclu)
Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique : est-elle bien formée ?
‚ Sémantique : a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses : propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion : proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sont suffisantes (et nécessaires) ?
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Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est
ñ Syntaxe de la prédication
ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel
ñ Sémantique de la quantification
ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚
‚
‚
ñ
Tout chat est mortel
Or Socrates est mortel
Donc Socrates est un chat ?!
Règles d’inférence (déduction)
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Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langage formel
‚
‚
‚
‚
Formules (dont variables atomiques) : p, q, r …
Parenthèses (op. syntaxique) : ( et _
)
Négation (op. unaire) : ␣ (ou !, „, )
Connecteurs logiques (op. binaires)
‚
‚
‚
‚
Conjonction, et : ^ (ou ., &)
Disjonction, ou : _ (ou +, |)
Implication : Ñ
Équivalence : Ø
‚ Priorité (à gauche) des opérateurs : (, ), ␣, ^, _, Ñ, Ø
‚ Formules bien formées (définition récursive)
‚ Si p est une f.b.f. alors ␣pet(p) aussi
‚ Si p et q sont des f.b.f. alors p ^ q, p _ q, p Ñ q et p Ø q aussi
‚ Les autres formules ne sont pas bien formées
ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
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Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décomposition d’une formule sous forme d’arbre
‚
‚
‚
ñ
Éléments : nœuds (ronds) et arcs (traits)
Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
Position des nœuds : racine (haut) et feuilles (bas)
Description de la structure de l’expression
‚ Nœuds internes : opérateurs
‚ Feuilles : atomes
§ Exemple
‚ Formule : ␣p _ q ^ r
‚ Équivalente (priorité) à : ␣(p) _ ((q) ^ (r))
_
␣
p
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^
q
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r
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Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeurs à des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de vérité V, F (ou 1, 0, J, K)
ñ Permet le calcul des formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
Formule : ␣p _ q ^ r
Assignation : p = V, q = V et r = V
Calcul : ␣V _ V ^ V = F _ V ^ V = F _ V = V
Assignation : p = V, q = F et r = V
Calcul : ␣V _ F ^ V = F _ F ^ V = F _ F = F
Assignation : p = F, q = F et r = F
Calcul : ␣F _ F ^ F = V _ F ^ F = V _ F = V
ñ Pour n variables, 2n assignations possibles
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Fondements de la logique
Tables de vérité (assignations)
Négation
p ␣p
V F
F V
Conjonction
p q
p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Implication
p q
pÑq
V V V
V F F
F V V
F F V
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Disjonction
p q
p_q
V V V
V F V
F V V
F F F
Équivalence
p q
pØq
V V V
V F F
F V F
F F V
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Fondements de la logique
Exercice
§ Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la
table de vérité pour
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
p ^ ␣q
␣(p _ q)
p ^ ␣q _ ␣p ^ q
␣(p ^ q) _ (␣p ^ r) _ (p ^ ␣r)
pÑq^r
␣p Ñ q
(p Ñ q) ^ (q Ñ p)
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Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Transports :
tbus, metro, tram, rer, voiture, taxi, velo, moto, pied, autolibu
‚ Motorisation : tmoteur, pedale, 2roues, 4rouesu
‚ Caractéristiques :
tvehicule, elec, public, proprio, location, payant, gratuitu
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Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Aliments : tsalade, carotte, herbe, steak, oeuf, lait,
biscuit, compote, eau, jus, the, cafeu
‚ Mode d’alimentation :
tcarnivore, herbivore, omnivore, vegetarien, veganu
‚ Moments d’alimentation :
trepas, petitdej, dejeuner, diner, gouter, encasu
‚ Restauration :
tmenu, cafegourmant, entree, plat, dessert, boissonu
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Formes normales
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
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Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p ^ q Ñ r et p ^ q Ñ r
‚ Identiques aux parenthèses près
p ^ q Ñ r et (p ^ q) Ñ r
‚ Identiques à une commutation près
p ^ q Ñ r et q ^ p Ñ r
‚ Et autres propriétés (associativité, distributivité, etc.)
‚ Pour toute assignation, les formules ont même valeur
p ^ q Ñ r et ␣(p ^ q) _ r
‚ …
ñ Notation avec ”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ?
ñ Mettre les expressions sous forme normale
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Formes normales
Équivalence de formules logiques
Faux
Vrai
Contradiction
Tiers-exclus
Double négation
Implication
Équivalence
Lois de De Morgan
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p^F”F
p_F”p
p^V”p
p_V”V
p ^ ␣p ” F
p _ ␣p ” V
␣␣p ” p
p Ñ q ” ␣p _ q
p Ø q ” (p Ñ q) ^ (q Ñ p) ” (p ^ q) _ (␣p ^ ␣q)
␣(p _ q) ” ␣p ^ ␣q
␣(p ^ q) ” ␣p _ ␣q
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Formes normales
Équivalence de formules logiques
Idempotence
Commutativité
Associativité
Distributivité
Absorption
p^p”p_p”p
p^q”q^p
p_q”q_p
(p ^ q) ^ r ” p ^ (q ^ r) ” p ^ q ^ r
(p _ q) _ r ” p _ (q _ r) ” p _ q _ r
p _ (q ^ r) ” (p _ q) ^ (p _ r)
p ^ (q _ r) ” (p ^ q) _ (p ^ r)
p _ (p ^ q) ” p
p ^ (p _ q) ” p
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Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs : ␣, ^, _
‚ Littéral : variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux
(p _ q) ^ (p _ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux
(p ^ q) _ (p ^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteurs Ñ, Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚
”
”
”
␣p Ñ (q ^ r)
␣␣p _ (q ^ r)
p _ (q ^ r)
(p _ q) ^ (p _ r)
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Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FNC les formules
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
␣(p ^ q)
p_q^r
(p Ñ q) ^ (p Ñ r)
p _ ␣(q ^ r)
q Ñ ␣p ^ ␣q _ r
(p Ñ q) ^ ␣(q Ñ p)
(␣p ^ q) _ r
pØq
␣(p _ q) _ (p ^ r)
(p _ q) Ñ r
(␣p Ñ q) Ñ r
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Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FND les formules
‚ ␣(p Ñ q)
‚ p ^ ␣(q ^ r)
‚ p ^ (p Ñ q)
§ Dire si les équivalences suivantes sont justes
‚ p ^ q _ r ” ␣(p Ñ ␣q) _ r
‚ ␣(p _ q ^ ␣r) ” ␣p ^ ␣q _ r
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Formes normales
Problème
§ Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions
Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide
Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit
Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde
Chacun est humain et homme ou humain et femme
Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux
Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être
riche rend heureux
‚ On ne peut être bête et malheureux si on est riche
‚
‚
‚
‚
‚
‚
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Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme : pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme : pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p
q
formule
min/max
terme
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
min
max
min
max
p^q
␣p _ q
␣p ^ q
p_q
ñ FND : (p ^ q) _ (␣p ^ q)
ñ FNC : (␣p _ q) ^ (p _ q)
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Formes normales
Exercice
§ Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNC
et la FND pour la table de vérité suivante
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
formule
F
V
F
F
V
V
F
V
§ Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pas
être pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique,
donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND.
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Dérivations logiques
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
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Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Système logique
‚
‚
‚
‚
‚
ñ
Théorèmes : formules admises ou démontrées
Les formules admises (faits ou règles) sont des axiomes
Symbole de la dérivation logique : $
Utilisation de règles d’inférence (prémisses Ñ conclusion)
Mécanismes d’interprétation des formules
Le système est-il consistant, complet ?
§ Règles d’inférences
‚ Modus ponens : p, p Ñ q $ q
‚ Modus tollens : p Ñ q, ␣q $ ␣p
‚ Autre notation
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p
pÑq
q
(modus ponens)
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Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Exemple d’inférence logique
‚ Axiomes
‚
‚
‚
‚
$ ␣(p ^ q)
$p
$rÑq
$rØs
ñ On peut inférer : ␣r
ñ On peut inférer : ␣s
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Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entre sémantique et assignations
ñ Une formule peut être
‚
‚
‚
‚
Valide : vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
Satisfiable : au moins une interprétation qui la rend vraie
Contingente : satisfiable et une interprétation la rend fausse
Insatisfiable : aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F}
ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
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Dérivations logiques
Résolution par réfutation
§ Principe de la réfutation (absurde / apagogie)
‚
”
”
”
”
Démontrer que q est la conséquence logique de p1 , p2 . . . pn
démontrer que p1 , p2 . . . pn $ q
démontrer que ␣(p1 ^ p2 . . . pn ) _ q est valide
démontrer que ␣(␣(p1 ^ p2 . . . pn ) _ q) est insatisfiable
démontrer que p1 ^ p2 . . . pn ^ ␣q est insatisfiable
§ Exemple
‚ Axiomes
‚ $ (p Ñ q) _ (p Ñ r) (1)
‚ $ p ^ ␣q (2)
‚ Démonstration que 1, 2 $ r par réfutation
‚
”
”
”
((p Ñ q) _ (p Ñ r)) ^ (p ^ ␣q) ^ ␣(r)
(␣p _ q _ ␣p _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
(␣p _ q _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
(␣p _ q _ r) ^ ␣(␣p _ q _ r) …(contradiction A ^ ␣A)
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Dérivations logiques
Exercice
§ Montrer par réfutation
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
(p Ñ ␣q), q $ ␣p
(␣p _ ␣q), p $ ␣q
(p _ q), (p _ r), (p _ s), ␣p $ q ^ r ^ s
(␣p Ñ ␣q) $ (q Ñ p)
p Ñ q, q Ñ r $ p Ñ r
((p Ñ r) _ (q Ñ r)), ␣r $ (␣p _ ␣q)
p _ q Ñ r, p _ s, ␣s $ r
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Dérivations logiques
Complétude et cohérence des systèmes logiques
§ Cohérence (ou consistance)
‚ Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation
soient conséquences du système
ñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900)
ñ Contre-exemple : p, ␣q, p Ñ q
ñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903)
§ Complétude
‚ Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte
peut être dérivée par le système
ñ Exemple : calcul des prédicats du 1er ordre (Gödel, 1929)
ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931)
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Problème / exercice
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco)
Logique des propositions
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Problème / exercice
Politiquement logique
§ Prouvez les assertions suivantes par réfutation
‚ Tout politicien ment, tu fais de la politique donc tu mens
‚ Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne fais
pas de politique
‚ Je connais un politique qui ne ment pas : il n’est pas vrai
que tous les politiciens sont des menteurs
‚ Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés et
dans une dictature, il n’y a ni l’un ni l’autre. Donc un
régime ne peut être à la fois démocratique et dictatorial
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Logique des propositions
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Problème / exercice
Cuisine logique
§ Sujet : un étudiant doit manger la veille d’un examen
§ Soient les (assertions) propositions suivantes
‚
‚
‚
‚
‚
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza
Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza
Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen
Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen
Si je révise mon cours, je vais me coucher tard
Damien Nouvel (Inalco)
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Problème / exercice
Cuisine logique (suite)
§ Questions
Traduire toutes les propositions en logique
Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3)
Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive
Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax
Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera
nécessairement des pâtes
‚ Prouver que s’il veut réussir son examen, l’étudiant devra se
coucher tard
‚ En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront
ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’il
veut réussir l’examen ?
‚ Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ?
‚
‚
‚
‚
‚
Damien Nouvel (Inalco)
Logique des propositions
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