Introduction
Terms in Modern Portfolio Theory (MPT)
Efficient Market Hypothesis (EMH)
Efficient frontier
Efficient portfolio
Market portfolio (tangency
portfolio)
Capital Market Line (CML)
Security Market Line (SML)
Additional
Гипотеза эффективного гипотеза, согласно которой вся существенная информация немедленно и в полной мере
рынка
отражается на рыночной курсовой стоимости ценных бумаг.
- набор портфелей, удовлетворяющих такому условию, что не существует другого
Граница
портфеля с более высокой ожидаемой доходностью, но с таким же стандартным
эффективности
отклонением доходности, т.е. это портфель, оптимизированный в отношении риска и
доходности.
Эффективный
- портфель, позволяющий получить максимально возможную доходность при заданном
портфель
уровне риска.
a portfolio of all the risky assets in proportion to their market value (портфель из всех
Рыночный портфель
активов на рынке, доступных инвестору.
the set of optimal portfolios: a linear combination of the market portfolio and the risk-free
Линия рынка
asset.
капиталов
Линия рынка ценных
a line that represents the relationship between risk (beta) and return.
бумаг
Minimum variance portfolio (MVP)
- a portfolio with minimum of risk (= variance) for each level of return.
Global minimum variance portfolio
(Global MVP)
- the left-most point on the minimum-variance frontier, a portfolio with minimum variance
when compared to all possible portfolios of risky assets.
Portfolio possibilities сurve (PPC)
- all of the lowest-risk portfolios from the Opportunity Set.
Risk-averse investors
Не расположенные к
риску инвесторы
Expected return
Ожидаемая прибыль
Excess return (abnormal rate of Избыточная
return, alpha)
доходность
- rational investor is risk-averse and seeks maximum utility.
- средневзвешенный, наиболее ожидаемый доход финансового инструмента
(рассчитывается по CAPM).
- доходность, которая превышает ожидаемую или прогнозируемую моделями, такими
как модель CAPM (напр., инвестор ожидал, что портфель принесет 15% годовых, но
фактически портфель принес 16%. Избыточная доходность = 1%).
FRM – 5.1 - Explain modern portfolio theory and interpret the Markowitz
efficient frontier (1/3)
Modern portfolio theory: basic concepts
•
The standard single-factor capital asset pricing model (CAPM) is among the simplest model that allows us to determine a relationship between
(systematic) risk and expected asset return when markets are in equilibrium.
•
Модель CAPM основывается на гипотезе эффективного рынка капитала (perfect market).
•
Исходя из гипотезы эффективного рынка, У. Шарп сделал предположение, что на будущую доходность акции будут оказывать влияние
только рыночные (системные) риски.
•
В результате, модель У. Шарпа имеет всего один фактор – рыночный риск (коэффициент бета). Двумя другими параметрами модели
являются доходность безрискового актива и доходность рыночного портфеля.
•
Активы могут быть безрисковыми (доходность безрисковых активов = ожидаемая прибыль, риск предполагается нулевым) или рисковыми
(доходность ≠ ожидаемая прибыль).
•
Модель CAPM применима для оценки требуемой доходности по акциям (if we only use the CAPM to generate a discount rate (i.e., presumably
with an equity or levered beta), then it is a cost of equity, not a weighted average cost of capital).
•
Фундаментальной основой CAPM является наблюдение, что рисковые ценные бумаги можно объединить таким образом, чтобы
комбинация (портфель) будет менее рискованной, чем любой из ее компонентов (риск снижается диверсификацией).
•
На эффективных финансовых рынках, где доминируют не расположенные к риску инвесторы (risk-averse investors), ценные бумаги с более
высоким риском обеспечивают более высокую ожидаемую прибыль, чем ценные бумаги с низким уровнем риска.
•
According to Markowitz theory, the allocation of a security (in the portfolio) should be a function of its contribution to the portfolio’s overall return
distribution. The security’s contribution to the portfolio return variance, in turn, is based on the covariance between the security’s return and the
portfolio’s return. Due to diversification benefits, the risk of the portfolio is less than the average of the risks of each asset taken individually.
•
There is no cost involved in reduction of risk exposures through diversification. Consequently, there is no compensation for taking asset specific risk.
FRM – 5.1 - Explain modern portfolio theory and interpret the Markowitz
efficient frontier (2/3)
Markowitz efficient frontier:
•
Portfolio diversification ensures maximum return at given level of risk (aka, optimization). For each level of risk there is an optimal return. The plot of the expected return
against risk level results in a portfolio possibilities curve (PPC) which the dominating (upper) segment is the efficient frontier (только верхняя часть гиперболы).
•
On the efficient frontier, higher return can only be achieved through higher risk.
•
Market portfolio assumes equilibrium. It includes all risky assets in the economy weighted by their relative market values
•
Efficient frontier ограничивает область допустимых решений для всех соотношений в портфеле (выше доходность при заданном уровне риска не получить).
•
The typical proxy for the market portfolio is an index such as the S&P 500 or Russell 2000.
C
Ideal Market
Portfolio
C
K
B
B
N
A
A
•
В точке А – портфель из 100% среднесрочных пятилетних облигаций:
низкая доходность и высокий риск, т.к. отсутствует диверсификация.
•
В точке В – портфель из 80% бондов и 20% рискового актива (акций),
диверсификация дает бОльшую доходность и меньший риск, чем в А
(market portfolio – more efficient).
•
В точке С – портфель из 100% рискового актива (акций), риск значительно
выше, чем в В, при этом доходность возросла не так значительно.
Capital Market Line (CML)
•
Если в модели отсутствует безрисковый актив,
efficient frontier является восходящая часть
гиперболы (NK). Тогда все активы на efficient
frontier являются рисковыми.
•
Если в модели присутствует безрисковый
актив, efficient frontier является Capital Market
Line CML (AC), поскольку на при любом
уровне риска CML предлагает более высокую
доходность.
•
•
•
•
L
LNK: portfolios with minimum variance
N: global minimum variance portfolio
АВ: портфели, состоящие из комбинаций безрискового
и рискового активов (размещение в безрисковый
актив – lending at risk-free rate).
ВС: портфели, образуемые короткой позицией в
безрисковом активе (кредитование под безрисковую
ставку с размещением в рисковые активы borrowing at risk-free rate) и инвестированием в
рисковые активы.
FRM – 5.1 - Explain modern portfolio theory and interpret the Markowitz
efficient frontier (3/3)
•
is represented
by standard
deviation σ
•
•
is rewarded
is represented by beta
•
is NOT rewarded as it can
be eliminated for free by
diversification
FRM – 5.2 – Understand the derivation and components of the CAPM (1/3)
FRM – 5.5 – Apply the CAPM in calculating the expected return on an asset
The CAPM is an equilibrium model that predicts the expected return on an asset, given the expected return on the market, the stock's
beta coefficient, and the risk-free rate.
Quantity of risk
Expected return on portfolio is a weighted sum of returns on individual assets:
rp = σ𝑁
𝑖=1 𝑤𝑖 ∙ 𝑟𝑖
rp
𝑤𝑖
N
expected return on portfolio
ожидаемая доходность портфеля p
weight of asset i in portfolio
вес актива i в портфеле
number of assets in portfolio
количество активов в портфеле
E(Rp)
Price of time
Expected return on an asset i (CAPM):
ri = rf + βi,M ‧(rm – rf)
= Price of time + (Price of Risk * Quantity of Risk)
Expected excess return on an asset i / on a portfolio p:
ri - rf = βi,M ‧(rm – rf)
𝑟𝑖
𝑟𝑓
𝑟𝑚
𝛽𝑖,M
=
Price of Risk * Quantity of Risk
expected return on asset i
требуемая (ожидаемая) доходность актива i
risk-free rate
безрисковая ставка доходности (return on a riskless asset)
return on market portfolio
рыночная доходность (напр., доходность фондового индекса)
beta
бета-коэффициент актива i
E(Ri)
E(RM)
You may be asked to use CAPM to compute expected return (R), then discount a cash flow; e.g.:
PV =
𝐹𝑉
(1+𝑅)𝑛
, where R = CAPM
Price of risk
- excess market return
or market return
premium (market risk
premium)
FRM – 5.2 – Understand the derivation and components of the CAPM (2/3)
Security market line – SML:
•
In the CAPM, all portfolios are expected to lie on the SML. If a portfolio lies above or below the SML, there is an arbitrage opportunity (to gain a
riskless profit):
— above SML – undervalued portfolios/assets;
— under SML – overvalued portfolios/assets.
•
SML represents the relationship between risk (beta) and return. The SML uses the market beta as a risk measure.
•
The SML describes the expected return for all assets and portfolios of assets in the economy, whether it is efficient or not.
Построить уравнение прямой SML можно
по двум точкам:
1. Market portfolio, β = 1: (1; Rm)
2. Return on riskless asset, β = 0: (0; Rf)
ri = rf + βi,M ‧(rm – rf)
Дополнительно: построение уравнения
прямой по двум точкам:
FRM – 5.2 – Understand the derivation and components of the CAPM (3/3)
Частные случаи корреляции
Чем < Corr, тем < Риск (standard deviation/variance/volatility):
Риск портфеля (variance) из 2-х активов в зависимости от корреляции:
Correlation
Covariance and Variance
ρ(A,B) = 1
Cov(A,B) = σA ‧ σB ‧ 1 = 𝜎𝐴 ‧ 𝜎𝐵
2
𝜎𝑝
ρ(A,B) = 0
2
ρ(A,B) = -1
PPC form
2
PPC - изогнутая линия
<=>
= 𝑤𝐴2 ‧ 𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2 ‧ 𝜎𝐵2
Cov(A,B) = σA ‧ σB ‧ (-1) = - 𝜎𝐴 ‧ 𝜎𝐵
𝜎𝑝
PPC прямая линия (нет возможности
снизить риск за счет диверсификации
портфеля)
<=>
= 𝑤𝐴2 ‧ 𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2 ‧ 𝜎𝐵2 + 2𝑤𝐴2 ‧ 𝑤𝐵2 ‧ 𝝈𝑨 ‧ 𝝈𝑩
Cov(A,B) = σA ‧ σB ‧ 0 = 0
𝜎𝑝
Expected return, 𝑟𝑖
<=>
= 𝑤𝐴2 ‧ 𝜎𝐴2 + 𝑤𝐵2 ‧ 𝜎𝐵2 - 2𝑤𝐴2 ‧ 𝑤𝐵2 ‧ 𝝈𝑨 ‧ 𝝈𝑩
PPC касается оси Риск стремится к нулю
Beta, 𝛽𝑖,M
CAPM assumes THE STRONG FORM of the efficient
market hypothesis (ALL information is available for any
investor, including private information):
FRM – 5.3 - Describe the assumptions underlying CAPM
Assumptions of CAPM
Description
1
No transaction costs
2
Perfect information
3
Absence of personal income tax
4
Совершенная конкуренция: на цену актива инвесторы повлиять не
могут.
Активы бесконечно делимы. При желании инвестор может купить
часть акции.
Нормальное распределение случайных величин доходностей
ценных бумаг.
Инвесторы оценивают инвестиционные портфели, основываясь на
ожидаемых доходностях и их стандартных отклонениях за период
владения.
Unlimited short sales allowed
There is no limit on amount of short selling the shares.
Нет ограничений на короткие продажи.
Unlimited lending and borrowing There is no limit on lending and borrowing of funds at the rate of return for Нет ограничений на заем/предоставление займа по безрисковой
at the riskless rate
riskless security.
ставке.
Homogeneity of expectations: Investors have homogeneous expectations with respect to price of a security over Для всех инвесторов период вложений одинаков.
single period
a single period. All Investors define the single period in the same manner.
Homogeneity of expectations: The model assumes that all investors have identical expectation related to return, Инвесторы имеют однородные (гомогенные) ожидания, то есть они
identical expectations
variance and correlation between the returns of the assets.
одинаково оценивают ожидаемые доходности, стандартные
отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.
All assets are marketable
Model assumes that all the assets (tangible or intangible including human capital) Активы имеют высокую ликвидность.
can be bought and sold in the market.
Investors are rational
When choosing between two portfolios, investors will prefer the one that, other Инвесторы при выборе между двумя портфелями они предпочтут
things being equal, gives the highest expected return and has the lowest standard тот, который при прочих равных условиях дает наибольшую
ожидаемую доходность и имеет наименьшее стандартное
deviation (risk).
отклонение (риск).
5
6
7
8
9
10
11
12
CAPM assumes no transaction costs (in buying or selling). Historically, this
assumption was unrealistic but increasing it is a valid approximation, at least for
liquid securities!
All participants have access to all available information and the information is
accessed free.
Any change in information about the company immediately leads to a change in
the value of its assets (shares).
Предпосылки CAPM
This assumption (no personal income tax) implies investors are indifferent to
whether capital is returned via dividends or capital gains.
Perfect competition (individuals Perfect competition implies that investors are “price takers” who cannot affect
are “price-takers”)
the asset’s price when buying or selling.
Assets are infinitely divisible
CAPM that assets can divided indefinitely: investors can hold as little as they
want.
Mean-variance framework
Returns are normally distributed.
Investors only care about the first two moments of the return distribution i.e.
mean (return) and standard deviation (risk). Investors do not care about skew or
kurtosis.
Трансакционные издержки несущественны / отсутствуют.
Информация свободно и незамедлительно доступна для всех
инвесторов.
Любое изменение информации о компании сразу приводит к
изменению стоимости ее активов (акций).
Налоги несущественны / отсутствуют.
Assumption of the perfect market
№
FRM – 5.4 – Interpret and compare the capital market line (CML)
and the security market line (SML)
The capital market line (CML) is the set of optimal portfolios: a linear combination of
(i)
the market portfolio
(ii)
(ii) the risk-free asset.
If there is no lending and borrowing (no
risk-free asset):
•
•
While ABC represents the portfolios
with minimum variance, BC
represents the efficient frontier (i.e.
the portfolios with maximum return
for the same amount of risk)
Efficiency for each investor will
differ due to differences in each
asset’s risk-return expectations
When lending and borrowing (at the risk-free rate) are added to the mix (when they are
“allowed”):
•
Each investor can also invest in the risk-free asset:
- either the investor can add leverage by borrowing at the risk-free rate,
- or can reduce risk by allocating some fraction to the risk-free asset.
•
If the investors have homogeneous expectations and can lend and borrow at same risk-free
rate, then all the investors will have identical portfolio of risky assets.
•
In equilibrium, all the investors will hold the market portfolio. In such a scenario, all investors
will construct an optimum portfolio by combining the market portfolio with a riskless asset.
•
Therefore, all investors will have portfolios along the CML and all efficient portfolios will lie
along the CML, which defines an efficient frontier (i.e., there do not exist more efficient
portfolios “vertically above” the CML).
• The CML does not include all the securities or portfolios, the inefficient portfolios of risky and riskless assets lie below the CML.
• CML is a special case of SML (CAPM) where the portfolio is efficient and perfectly correlated to the market portfolio - ρ(i,M) = 1.0.
• The market portfolio has the highest Sharpe ratio.
CML and SML: Difference
Criteria
Plot (что означает
график)
Capital market line (CML)
Security market line (SML)
a plot of all the linear combinations of the efficient portfolio of
risky assets with a risk-free investment in equilibrium (under the
set of assumptions) (efficient frontier)
a plot of the expected return as a function
of a portfolio’s (or asset’s) systemic risk
Slope of the line (угол
наклона)
the Sharpe ratio of the Market Portfolio
market risk premium; i.e., the expected
excess return on the market portfolio
Portfolios included
only efficient portfolios (because they mix only two assets - the
market portfolio and the risk-free asset).
any asset or portfolio, including inefficient
portfolios
Measure of risk
Standard deviation (total risk)
Beta coefficient (systemic risk)
The CML equation gives the return on the efficient
portfolio:
𝑟ഥ𝑒 = 𝑟𝑓 +
𝑟𝑚 − 𝑟𝑓
𝜎𝑚
‧ 𝜎𝑒
𝜎𝑒 - standard
deviation
of the
the Sharpe ratio of
return
of
the
market portfolio
efficient portfolio
FRM – 5.6 – Interpret beta and calculate the beta of a single asset portfolio
Примеры:
𝛽𝑖,𝑀 =
𝐶𝑜𝑣(𝑖,𝑀)
2
𝜎𝑚
=
𝜌 𝑖,𝑀 ∙ 𝜎𝑖 ∙𝜎𝑚
2
𝜎𝑚
=
𝜌 𝑖,𝑀 ∙ 𝜎𝑖
𝜎𝑚
•
Если у акции бета=1, это значит, что при
росте доходности рыночного индекса на
1%цена акции также вырастет на 1%
•
Если у акции бета=0,5, то при росте
доходности рыночного индекса на
1%доходность акции вырастет на 0,5%
•
Если у акции бета=-2, то при росте
доходности рыночного индекса на
1%доходность акции снизится на 2%
In a well-diversified portfolio:
𝛽𝑝 ≈
β>1
β=1
0<β<1
β=0
β<0
Доходность акция более чувствительная к изменению доходности рынка (сист.риску)
Доходность акции совпадает доходности рынка
Доходность акции менее чувствительна к изменениям доходности рынка (сист.риску)
Связь между доходностью акции и рынка отсутствует
Доходность акции демонстрирует разнонаправленное движение с доходностью рынка
𝜎𝑝
𝜎𝑀
since in a well-diversified
portfolio 𝜌 𝑝, 𝑀 = 1.
FRM – 5.7 - Альфа-параметр (α)
•
•
•
•
•
Параметр альфа (α, Jensen’s alpha) (остаточная доходность - residual return) –
разница между фактической доходностью актива и его ожидаемой доходностью,
прогнозируемой моделью CAPM:
Alpha - часть полученного инвестором от данного актива дохода, не зависящая от
общей доходности рыночного портфеля ценных бумаг (т.е. та часть доходности,
которая объясняется не общей доходностью рыночного портфеля (систематическим
риском), а свойствами самого актива и его эмитента (специфическим риском)).
В ex ante CAPM (теоретической, прогнозной, расчетной) alpha равна 0 и не
рассчитывается, в ex post CAPM (фактической, наблюдаемой), alpha
определяется как избыточная доходность актива или портфеля (excess return
on an asset i / portfolio p) минус бета-коэффициент, умноженный на
избыточную доходность рыночного портфеля (excess market return).
Может быть рассчитана как для конкретного актива i, так и для портфеля p.
Jensen’s alpha – рассчитывается, если известна
фактическая доходность (explained by specific risk)
rp - rf
= αp + βp,M ‧(rm – rf) =>
Excess return on
a portfolio
At the chart of SML:
— in ex post CAPM (фактической, наблюдаемой), alpha is the vertical
distance from the SML to the point of actual return of an asset (X).
— in ex ante CAPM (теоретической, прогнозной, расчетной), alpha is
zero and ri (actual) is the same point as ri (CAPM).
•
•
•
•
•
Если α>0, то актив является недооцененным
Если α=0, то актив оценен верно
Если α<0, то актив является переоцененным
Выше линии SML находятся недооцененные активы, так как их фактическая
(наблюдаемая) доходность оказывается выше, чем расчетная по модели САРМ
(следовательно цены этих активов ниже, чем должны быть), а ниже линии SML
находятся переоцененные активы.
Aктив X находится выше линии SML и является недооцененным (его
фактическая доходность выше прогнозируемой доходности по модели CAPM).
ri (actual)
SML
Excess market return
(explained by systematic risk)
=> αp = rp – rf - βp,M ‧(rm – rf) =>
=> αp
Additional
ri (CAPM).
= rp – (rf + βp,M ‧(rm – rf)) =>
rp (CAPM) – расчетная доходность
=> αp
= rp (actual) – rp (CAPM)
βi
Points from Tests