C A P Í T U L O
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Láser
5.1.
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Calcule el coeficiente de ganancia y la diferencia de población umbrales para el láser de
He-Ne a 400 K. La transición láser se produce a la longitud de onda λmn = 632.8 nm y el
coeficiente de Einstein de emisión espontanea vale Amn = 1.4 × 106 s−1 . La cavidad tiene una
longitud de 50 cm y los coeficientes de reflexión de los espejos son r1 = 0.998 y r2 = 0.980.
El ensanchamiento predominante se debe al efecto Doppler. Calcule también la densidad de
átomos de Ne para una presión parcial de Ne de 0.2 torr.
Solución:
g
αumbral
= 2, 2 × 10−4 cm−1
∆numbral = 1, 6 × 109 átomos
cm3
nN e = 4, 8 × 1015 átomos
m3
2. Obtenga la expresión para el coeficiente de ganancia a la frecuencia de transición cuando
el ensanchamiento predominante de las lı́neas espectrales es de tipo lorentziano. Obtenga
también la expresión para la diferencia de población umbral.
Solución:
g
αumbral
=
λ2mn Amn
4π 2 ∆ν1/2 ∆n
∆ν1/2 1
ln
mn Amn l
∆numbral = 2π 2 λ2
1
r 1 r2
2
Capı́tulo 5
Láser
3. Calcule la diferencia de población umbral de un láser de rubı́ cuya varilla tiene 1 cm de
diámetro y mide 10 cm de largo. La transición láser se produce a la longitud de onda λmn =
694.3 nm, tiene una anchura lorentziana de 3.3×1011 Hz y el coeficiente de Einstein de
emisión espontánea vale 333 Hz. Los coeficientes de reflexión de los espejos valen r1 = 1.00
y r2 = 0.96, el coeficiente de pérdidas por dispersión en el medio activo es γ = 3 × 10−3
cm−1 y el ı́ndice de refracción del rubı́ vale 1.76. Calcule también la densidad de átomos de
cromo sabiendo que la concentración de los mismos es del 0.05 % en peso y que la densidad
del rubı́ vale 4 gr/cm3 .
Solución:
∆numbral = 2, 11 × 1017 átomos
cm3
nCr3+ = 2, 3 × 1019 átomos
cm3
4. El láser de rubı́ del problema anterior emite un pulso luminoso de 100 ps de duración. Calcule
la potencia del pulso suponiendo que todos los átomos de cromo están en el nivel láser superior
y se desactivan en su totalidad.
Solución:
Ppulso = 5, 1 × 1011 w
5. La concentración de átomos de Nd en un láser Nd-YAG es de 1.5×1026 átomos/cm3 . Calcule
la potencia radiativa media por metro cúbico de láser si todos estos átomos son bombeados
repentinamente al nivel superior y comienzan a radiar. La longitud de onda de la emisión vale
1064 nm y el tiempo de vida media del nivel láser superior es de 230 µs. Si toda la potencia
radiada por 1 cm3 del láser se pudiese concentrar en un punto de 1 mm de diámetro, ¿cuál
serı́a la intensidad de la radiación que incidirı́a sobre dicho punto?
Solución:
P̄radiativa/m3 = 1, 2 × 1011 mw3
I = 1, 55 × 1011 mw2
6. Un láser de Nd-YAG pulsado opera bombeado por una lámpara de flash a una velocidad de
10 pulsos por segundo. Si la potencia radiante promedio de la lámpara es de 100 W, calcule
el número máximo de fotones que contiene cada pulso láser usando esta fuente de bombeo.
Determine la eficiencia del láser si el número real de fotones que emite cada pulso es de
6.96×1017 . La longitud de onda de la transición láser vale 1064 nm.
Solución:
n = 5, 36 × 1019 fotones
Ef iciencia = 0, 0129 −→ 1, 29 %
Sección 5.1
Enunciados y soluciones de los Problemas
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7. Considere el efecto del ı́ndice de refracción del medio activo sobre la frecuencia de los modos
de la cavidad láser. Obtenga la expresión para dichas frecuencias cuando el medio activo
ocupa toda la cavidad (l = L) y cuando queda cierto espacio entre el mismo y los espejos de
la cavidad (l < L).
Solución:
c
Para l = L → ν = m 2Ln
Para l > L → ν = m 2c [nl+n01(L−l)]
8. Obtenga una expresión para el tiempo de vida media que permanece un fotón en el interior
de una cavidad resonante y calcule dicho tiempo para una cavidad de 50 cm de longitud
cuyos espejos tienen unos coeficientes de reflexión r1 = 1.00 y r2 = 0.98.
Solución:
tc =
2L
1
c0 1−r1 r2
Para c’= c → tc = 16, 7 µs
9. Obtenga las soluciones para las poblaciones Nm (t) y Nn (t) de un sistema de dos niveles sujeto
a las condiciones iniciales Nm (0) = 0 y Nn (0) = NT . Escriba la ecuación diferencial para
Nm (t) y pruebe una solución del tipo Nm (t) = c1 est + c2 , donde c1 , c2 y s son constantes a
determinar.
Solución:
Nm (t)
dt
= −[γmn + 2Bmn ρ]Nm (t) + Bmn ρNT
s = −(δmn + 2Bmn ρ))
c2 =
Bmn ρNT
γmn +2Bmn ρ
mn ρ
NT
c1 = − γmnB+2B
mn ρ
Nm (t) =
Nn (t) =
Bmn ρNT
γmn +2Bmn ρ
1 − e(γmn +2Bmn ρ)t NT
γmn +Bmn ρ[1+e(γmn +2Bmn ρ)t ]
NT
γmn +2Bmn
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Capı́tulo 5
Láser
10. Deduzca las expresiones para las poblaciones estacionarias de un sistema de dos niveles
incluyendo la degeneración de los mismos. Considere la posibilidad de conseguir en este caso
la inversión de población y si es posible entonces inducir la emisión láser.
Solución:
est
Nm
(t) =
Nnest (t) =
γm
Bmn ρ
γn [γmn +(1+ gm )Bmn ρ] NT
gn
γmn +Bmn ρ
[γmn +(1+ ggm
)Bmn ρ]
n
est
∆N = Nm
−
gm
est
gn N n
=
NT
γ
− ggm
n mn
[γmn +(1+ ggm
)Bmn ρ]
n
NT < 0
11. Calcule la potencia mı́nima que hay que suministrar al láser de rubı́ del problema 3 mediante
una lámpara de flas para bombear todos los átomos de cromo desde el nivel láser inferior al
nivel auxiliar. Suponga que la longitud de onda de los fotones de la lámpara vale 550 nm.
Solución:
Pmin = 21, 6 kw
12. Obtenga las expresiones para las poblaciones estacionarias de los niveles de energı́a del láser
de tres niveles.
Solución:
est
Nm
(t) =
Rp γim
γmn (γim +γin )+Rp (γim +γmn ) NT
Nnest (t) =
γmn (γim +γin )
γmn (γim +γin )+Rp (γim +γmn ) NT
Niest (t) =
Rp γmn
γmn (γim +γin )+Rp (γim +γmn ) NT
13. Deduzca la condición para la inversión de población del sistema láser de tres niveles cuando
se tienen en cuenta las transiciones radiativas que se producen entre los niveles que generan
la radiación láser. Compruebe el efecto que tienen estas transiciones sobre la velocidad de
bombeo necesaria para invertir la población.
Solución:
est
Nm
est
Nn
=
Rp >
γim (Rp +Bmn ρ)+γin Bmn ρ
(γmn +Bmn ρ)(γim +γin )
γmn (γim +γin )
γim
> 1
Sección 5.1
Enunciados y soluciones de los Problemas
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14. Suponga que el bombeo desde el nivel n hasta el nivel i en el láser de tres niveles se hace de
forma óptica. Analice como afecta este tipo de bombeo a la condición para la inversión de la
población.
Solución:
ρ>
γmn (γim +γin )
Bin (γim −γmn )
⇒ es preciso que se cumpla que: γim > γmn
15. Considere un sistema láser de tres niveles en el que el nivel auxiliar E0 está situado debajo
de los niveles láser En y Em . Obtenga la condición para la inversión de población teniendo
en cuenta las transiciones radiativas que se producen entre los niveles láser.
Solución:
γn0 +Bmn ρ
γmn +Bmn ρ
> 1
⇒ es preciso que se cumpla que: γn0 > γmn
16. Sea un sistema láser de cuatro niveles en el que los niveles auxiliares Ei y E0 están, respectivamente, por encima y por debajo de los niveles láser. Escriba las ecuaciones de velocidad
para los cuatro niveles y deduzca la condición para la inversión de población.
Solución:
dNi
dt
= Rp Nn − (γi0 + γim + γin )Ni
dNm
dt
= γim Ni − γmn Nm
dNn
dt
= γin Ni + γmn Nm − γn0 Nn
dN0
dt
= −Rp N0 + γi0 Ni + γn0 Nn
γn0
γ
γmn 1+ γ in
= > 1 ⇒ γim γin
im
17. La apertura de salida de un láser de He-Ne (λmn = 632.8 nm) tiene un diámetro de 4 mm.
Calcule la desviación del haz después de recorrer 1 km de distancia.
Solución:
h = 19 cm
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Capı́tulo 5
Láser
18. Calcule el tiempo y la longitud de coherencia de la luz blanca suponiendo que contiene todas
las longitudes de onda del espectro visible.
Solución:
τc = 2, 6 × 10−15 s
lc = 7, 7 × 10−7 m = 770 nm
19. Calcule la radiancia de la luz de un láser de He-Ne que emite a una potencia de 1 nW.
Suponga que Ω ≈ θ2 y que la apertura de salida es circular.
Solución:
B = 2, 6 × 105
w
cm2 srad
20. Una lente convexa enfoca un haz de radiación que incide sobre ella en la zona situada en el
punto focal de la lente. Para un haz de luz láser, el radio de la zona enfocada viene dado por
w0 = λ/(πθ), donde θ es el ángulo de convergencia. Calcule w0 para un haz procedente de
un láser de He-Ne de 0.5 mm de radio que atraviesa una lente convexa cuya distancia focal
vale 20 mm.
Solución:
w0 = 8 µm