Institut de Technologie du Cambodge
I4-GCI-B (2019-2020)
Béton armé
PROJET DE BÉTON ARMÉ 1
1. Estimer les dimensions des poutres et dalle
a. Section de poutre
On a
l ≔ 7.6 m
1
l ≔ 10.4 m
2
y La portée entre axes
y La hauteur de poutre est:
y la largeur de poutre est:
l ≔ 7.6 m
3
1
―
3
Lw ≔ ⎛l ⋅ l ⋅ l ⎞ = 8.438 m
⎝ 1 2 3⎠
Lw
= 703.135 mm
hw ≔ ――
12
bw ≔ 0.6 ⋅ hw = 421.881 mm
Donc, on ultilise la section de poutre de bw ≔ 400 mm , hw ≔ 700 mm
b. Dalle section
y La portée entre axes
Ldalle ≔ 4.3 m
y l'épaisseur de la dalle
Ldalle
hdalle ≔ ――= 0.172 m
25
Donc, on choissions l'épaisseur de la dalle de hd ≔ 180 mm
2. Calculer les charges
kN
γbéton ≔ 25 ――
m3
kN
Gdalle ≔ γbéton ⋅ hd = 4.5 ――
m2
kN
+ Poid propre de la poutre:
gpoutre ≔ γbéton ⋅ bw ⋅ hw = 7 ――
m
kN
+ Charge de la carrelage, MPE, faux-plafond :
Gcmf ≔ 1.5 ――
m2
+ Poid propre de la dalle:
+ Charge des murs
On a : Th20 ≔ 0.2 m
Alors
l20 ≔ 8.6 m
Th10 ≔ 0.1 m
l10 ≔ 61.08 m
kN
γ ≔ 16 ――
m3
hmur ≔ 3.5 m - 0.18 m = 3.32 m
_ F20 ≔ Th20 ⋅ l20 ⋅ hmur ⋅ γ = 91.366 kN
_ F10 ≔ Th10 ⋅ l10 ⋅ hmur ⋅ γ = 324.457 kN
Fmur ≔ F20 + F10 = 415.823 kN
Fmur
kN
= 3.335 ――
Gmur ≔ ―――――――――
((25.6 + 1.7 + 1.7)) m ⋅ 4.3 m
m2
kN
+ Charge variable:
Q ≔ 2 ――
m2
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kN
gmur10 ≔ γ ⋅ hmur ⋅ Th10 = 5.312 ――
m
kN
kN
+ charge permenent sur la surface= Gcmf + 1.0 ――
= 2.5 ――
2
m
m2
3. Calculer la charge appliquée sur la poutre
3.1. Calculer la charge en utilisant le logiciel Autodesk Robot.
Displacement de la poutre en ELS
10.4 m
Δallowable ≔ ―――
= 20.8 mm
500
OK
+ Etudier la sensibilité de l'inertie de dalle sur la distribution du moment de la poutre
Reduction of the moment of inertie 0.25 ⋅ Ig
Graphique de moment
Graphique de Effort tranchant
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Reduction of the moment of inertie 0.50 ⋅ Ig
Graphique de moment
Graphique de Effort tranchant
After reducing the moment of inertie, we realize that the more we reduce Ig , the more
moment and effort tranchant increase.
3.2. Calculer la charge appliquée sur la poutre en utilisant la méthode 45 degré
y le charge permenent sur la poutre
kN
G ≔ Gcmf + Gdalle + Gmur = 9.335 ――
m2
kN
g1 ≔ ((1.7 m - 0.2 m)) ⋅ G ⋅ 2 = 28.004 ――
m
kN
g2 ≔ ((4.3 m - 0.4 m)) ⋅ G = 36.405 ――
m
y le charge variable sur la poutre
kN
q1 ≔ ((1.7 m - 0.2 m)) ⋅ Q ⋅ 2 = 6 ――
m
kN
q2 ≔ ((4.3 m - 0.4 m)) ⋅ Q = 7.8 ――
m
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y Graphique du moment de combination charge en ELU: 1.35G+1.5Q
y Graphique du moment de combination charge alternative en ELU: 1.35G+1.5Q
ETAT LIMITE ULTIME
4. Calculer les armatures longitudinales pour les moments.
fck ≔ 30 MPa ; fyk ≔ 400 MPa ; δ ≔ 1.0 ; αcc ≔ 1 ;
d ≔ 650 mm
y Pour situation durable et transitoire γc ≔ 1.5
et
Es ≔ 200000 MPa
γs ≔ 1.15
fck
= 20 MPa
fcd ≔ αcc ⋅ ――
γc
fyk
fyd ≔ ――
= 347.826 MPa
γs
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fyd
εyd ≔ ――
= 0.002
Es
y Pour le béton fck ≤ 50 MPa : η ≔ 1.0 , λ ≔ 0.8 , εcu3 ≔ 0.0035
a. Calculer la hauteur limite comprimée
y Condition εs ≥ εyd
xlim1
εcu3
α ＝ ――
＝ ―――
1
d
εcu3 + εyd
εcu3
xlim1 ≔ ―――⋅ d = 434.232 mm
εcu3 + εyd
x
δ≥k +k ⋅―
1
2 d
y Condition pour le béton fck ≤ 50 KPa :
⎛δ - k ⎞
1⎠
xlim2 ⎝
α ＝ ――≤ ――― ;
2
d
k
k ≔ 0.44
1
2
;
⎛
0.0014 ⎞
k ≔ 1.25 ⋅ ⎜0.6 + ―――
⎟ = 1.25
2
εcu3 ⎠
⎝
((1.0 - 0.44))
α ≔ ――――= 0.448
2
1.25
xlim2 ≔ α ⋅ d = 291.2 mm
2
xlim ≔ min ⎛⎝xlim1 , xlim2⎞⎠ = 291.2 mm
b. Résistance de la section
y pour x ＝ xlim : MRd ＝ Mlim
⎛
xlim ⎞
Mlim ≔ λ ⋅ xlim ⋅ bw ⋅ η ⋅ fcd ⋅ ⎜d - λ ⋅ ――
⎟ = 994.311 kN ⋅ m
2 ⎠
⎝
c. Moment en appuis : MEd ≔ 534.67 kN ⋅ m
y Calculer x
⎛
x⎞
MEd ＝ λ ⋅ x ⋅ bt ⋅ η ⋅ fcd ⋅ ⎜d - λ ⋅ ―
MEd ＝ MRd
⎟
2⎠
⎝
MEd
μEd ≔ ―――――
= 0.158
bw ⋅ d 2 ⋅ η ⋅ fcd
d
x ≔ ⎛⎝1 - ‾‾‾‾‾‾‾‾
1 - 2 ⋅ μEd ⎞⎠ ⋅ ―= 140.711 mm
λ
y Calculer As
pour
Fs ＝ Fc
⎛ fcd ⎞
2
3
As ≔ ⎜η ⋅ ――
⎟ ⋅ λ ⋅ x ⋅ bw = ⎛⎝2.589 ⋅ 10 ⎞⎠ mm
f
⎝
yd ⎠
y Vérifier avec Asmin
fctm ≔ 2.896 MPa
⎛
⎞
fctm
⋅ bw ⋅ d , 0.0013 ⋅ bw ⋅ d⎟ = 489.424 mm 2
Asmin ≔ max ⎜0.26 ⋅ ――
fyk
⎝
⎠
As ≥ Asmin
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d. Moment en travée : MEd ≔ 391.35 kN ⋅ m
y Calculer x
pour MEd ＝ MRd
y Calculer As
pour
Fs ＝ Fc
⎛
x⎞
MEd ＝ λ ⋅ x ⋅ bt ⋅ η ⋅ fcd ⋅ ⎜d - λ ⋅ ―
⎟
2⎠
⎝
MEd
μEd ≔ ―――――
= 0.116
bw ⋅ d 2 ⋅ η ⋅ fcd
d
x ≔ ⎛⎝1 - ‾‾‾‾‾‾‾‾
1 - 2 ⋅ μEd ⎞⎠ ⋅ ―= 100.26 mm
λ
⎛ fcd ⎞
2
3
As ≔ ⎜η ⋅ ――
⎟ ⋅ λ ⋅ x ⋅ bw = ⎛⎝1.845 ⋅ 10 ⎞⎠ mm
f
⎝
yd ⎠
As ≥ Asmin
OK
5. Dessiner le diagramme enveloppe de résistance de en moment fléchissant
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6. calculer les armatures transversales en utilisant la méthode standard
y Graphique de effort tranchant en ELU
y Graphique de effort tranchant en ELU pour alternative charge
Pour poutre console P1(1.7m)
a. diagramme de l'effort tranchant
y Effort tranchant maximum à l'axe de l'appui: V0 ≔ 146.391 kN
y Effort tranchant à la face de l'appui: VEd;max ≔ 143.968 kN
y Effort tranchant à la distance d de la face de l'appui: VEd;d ≔ 127.894 kN
b. Vérifier la section san armature transversale
y Resistance de la bielle comprimée
⎛
fck ⎞
ν ＝ 0.6 ⋅ ⎜1 - ――
⎟
250 ⎠
⎝
⎛
30 ⎞
ν ≔ 0.6 ⋅ ⎜1 - ――
⎟ = 0.528
250 ⎠
⎝
VRd;max ≔ 0.5 ⋅ bw ⋅ d ⋅ ν ⋅ fcd = ⎛⎝1.373 ⋅ 10 3 ⎞⎠ kN
VRd;max ＝ ⎛⎝1.373 ⋅ 10 3 ⎞⎠ kN > VEd;max
y Resistance du tirant
3
VRd;c ＝ ⎛⎝CRd;c ⋅ k ⋅ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾
100 ⋅ ρL ⋅ fck + k1 ⋅ σcp⎞⎠ ⋅ bp ⋅ d > ⎛⎝vmin + k1 ⋅ σcp⎞⎠ ⋅ bp ⋅ d
0.18
CRd;c ≔ ――
= 0.12
γc
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k≔1+
‾‾‾‾‾‾‾‾
200 mm
―――= 1.555
d
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k < 2.0
l'armature inferieur 2DB25, 2HA8
ϕl ≔ 25 mm
;
ϕt ≔ 8 mm
π
AsL ≔ 2 ⋅ ―⋅ ⎛⎝ϕl⎞⎠ 2 = 981.748 mm 2
4
AsL
ρL ≔ ――= 0.004
ρL < 0.02
bw ⋅ d
σcp ≔ 0 MPa
vmin ≔ 0.035 ⋅
‾‾‾‾‾‾‾‾
fck
k 3 ⋅ ――⋅ MPa = 0.372 MPa
MPa
⎛
⎞
3 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
fck
VRd;c ≔ ⎜CRd;c ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρL ⋅ ――⋅ MPa + k ⋅ σcp⎟ ⋅ bw ⋅ d = 108.939 kN
MPa
⎜⎝
⎟⎠
⎛⎝vmin + k ⋅ σcp⎞⎠ ⋅ bw ⋅ d = 96.621 kN
VRd;c ＝ 119.573 kN > 96.46 kN
VRd;c ＝ 107.467 kN < VEd;d
Il faut de l'armature transversale
b. Vérifier la section avec armature transversale: section au droit de l'appui
on utilise la méthode standard θ ＝ 45° et armature transversale avec α ＝ 90° .
y Résistance de la bielle comprimée
αcw ≔ 1.0 pour flexion simple
v1 ≔ 0.528
z ≔ 0.9 ⋅ d = 585 mm
α ≔ 90° ; θ ≔ 45°
cot ((θ)) + cot ((α)) ⎛
VRd;max ≔ αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ v1 ⋅ fcd ⋅ ―――――
= ⎝1.236 ⋅ 10 3 ⎞⎠ kN
2
1 + ((cot ((θ))))
VRd;max > VEd;max
y Résistance du tirant
fywk
fywk ≔ 400 MPa
; fywd ≔ ――
= 347.826 MPa
1.15
VRd;s ≥ VEd;d
Asw
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα ≥ VEd;d
――
s
⎛ Asw ⎞
VEd;d
⎜――
⎟ ≥ ―――――――――
⎝ s ⎠ z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα
Asw
mm 2
≥ 0.628 ――
――
s
mm
y Le taux d'armature transversale est
VEd;d
1
ρw ≔ ――――
⋅ ―――――――――――
= 0.002
bw ⋅ sin ((α)) z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
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y Le taux d'armature transversale est
0.08 ⋅ ‾‾‾
fck
MPa
ρw;min ≔ ――――
⋅ ―――
= 0.001
fyk
‾‾‾‾‾
MPa
ρw;min ≤ ρw
On utilise l'armature transversale à 2 brincs de section HA8:
π ⋅ ⎛⎝ϕt⎞⎠ 2
Asw ≔ 2 ⋅ ―――= 100.531 mm 2
4
Asw
s ≔ ―――――――――――
= 159.944 mm
VEd;d
―――――――――――
z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
y On met premier armature transversale à x = 150mm/2 = 75mm du nu de l'appui.
y On prend l'espacement s = 150mm, HA8@150 pour poutre console P1(1.7m)
Pour poutre P2(7.6m)
a. diagramme de l'effort tranchant
y Effort tranchant maximum à l'axe de l'appui: V0 ≔ 146.391 kN
y Effort tranchant à la face de l'appui: VEd;max ≔ 143.968 kN
y Effort tranchant à la distance d de la face de l'appui: VEd;d ≔ 127.894 kN
b. Vérifier la section san armature transversale
y Resistance de la bielle comprimée
VRd;max > VEd;max
y Resistance du tirant
π
AsL ≔ 3 ⋅ ―⋅ ⎛⎝ϕl⎞⎠ 2 = ⎛⎝1.473 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
4
AsL
ρL ≔ ――= 0.006
ρL < 0.02
bw ⋅ d
⎞
⎛
3 ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
fck
VRd;c ≔ ⎜CRd;c ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρL ⋅ ――⋅ MPa + k ⋅ σcp⎟ ⋅ bw ⋅ d = 124.704 kN
MPa
⎜⎝
⎟⎠
VRd;c > 96.46 kN
VRd;c < VEd;d
Il faut de l'armature transversale
c. Vérifier la section avec armature transversale: section au droit de l'appui
on utilise la méthode standard θ ＝ 45° et armature transversale avec α ＝ 90° .
y Résistance de la bielle comprimée
VRd;max2 > VEd;max2
y Résistance du tirant
VRd;s2 ≥ VEd;d2
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Asw
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα ≥ VEd;d
――
s
Asw
VEd;d
≥ ―――――――――
――
s
z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα
Asw
mm 2
≥
0.628
――
――
s
mm
y Le taux d'armature transversale est
VEd;d
1
ρw ≔ ――――
⋅ ―――――――――――
= 0.002
bw ⋅ sin ((α)) z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
Le taux d'armature transversale est
0.08 ⋅ ‾‾‾
fck
MPa
ρw;min ≔ ――――
⋅ ―――
= 0.001
ρw;min ≤ ρw
fyk
‾‾‾‾‾
MPa
On utilise l'armature transversale à 2 brincs de section HA8:
π ⋅ ⎛⎝ϕt⎞⎠ 2
Asw ≔ 2 ⋅ ―――= 100.531 mm 2
4
Asw
s ≔ ―――――――――――
= 159.944 mm
VEd;d
―――――――――――
z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
On prend l'espacement s = 150 mm
y Determiner VRd;s pour espace de 200mm
On assume s' ≔ 200 mm , x ≔ 3.01 m , z ⋅ cot ((θ)) = 0.585 m , s ≔ 150 mm
Asw
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α)) = 102.279 kN
VRd;s ≔ ――
s'
xa ≔ 1.45 m
L ≔ xa - 0.2 m = 1.25 m
x150 ≔ L - zs⋅ cot ((θ)) = 665 mm
x150 - ―
2
n ≔ ―――= 3.933
s
y On met premier armature transversale à x = 150mm/2 = 75mm du nu de l'appui.
y On va arranger l'armature transversale avec l'espacement s = 150mm jusqu'à
150mmx4=600mm du nu de l'appui. La dernière armature se trouve à x = 75+ 4x150
= 675mm.
y À x=675mm, on va arranger l'armature transversale avec l'espacement s = 200mm
jusqu'à 3010-675= 2335mm, ce qui correspond à (2335)/200 = 11.675, on prend
donc 12x200mm. La dernière armature se trouve à x =675mm+2400mm=3075mm.
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La dernière armature de P2
a. diagramme de l'effort tranchant
y Effort tranchant maximum à l'axe de l'appui: V0 ≔ 264.346 kN
y Effort tranchant à la face de l'appui: VEd;max ≔ 261.989 kN
y Effort tranchant à la distance d de la face de l'appui: VEd;d ≔ 245.998 kN
b. Vérifier la section san armature transversale
on utilise la méthode standard θ ＝ 45° et armature transversale avec α ＝ 90° .
y Résistance de la bielle comprimée
VRd;max > VEd;max
y Résistance du tirant
VRd;s ≥ VEd;d
Asw
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα ≥ VEd;d
――
s
Asw
VEd;d
≥ ―――――――――
――
s
z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα
Asw
mm 2
≥ 1.209 ――
――
s
mm
y Le taux d'armature transversale est
VEd;d
1
ρw ≔ ――――
⋅ ―――――――――――
= 0.003
bw ⋅ sin ((α)) z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
y Le taux d'armature transversale est
0.08 ⋅ ‾‾‾
fck
MPa
ρw;min ≔ ――――
⋅ ―――
= 0.001
fyk
‾‾‾‾‾
MPa
On utilise l'armature transversale à 2 brincs de section HA8:
π ⋅ ⎛⎝ϕt⎞⎠ 2
Asw ≔ 2 ⋅ ―――= 100.531 mm 2
4
Asw
s ≔ ―――――――――――
= 83.155 mm
VEd;d
―――――――――――
z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
On prend l'espacement s = 80 mm
y Determiner VRd;s pour espace de 150mm
On assume s' ≔ 150 mm , x ≔ 3.01 m , z ⋅ cot ((θ)) = 0.585 m , s ≔ 80 mm
x' ≔ l - x = 4.59 m
1
Asw
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α)) = 136.372 kN
VRd;s ≔ ――
s'
xa ≔ 4.84 m
L ≔ xa - 0.2 m = 4.64 m
x80 ≔ L - zs⋅ cot ((θ)) = 4.055 m
x80 - ―
2
n ≔ ―――
= 50.188
s
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Béton armé
y On met premier armature transversale à x = 80mm/2 = 40mm du nu de l'appui à fin
de poutre.
y On va arranger l'armature transversale avec l'espacement s = 80mm jusqu'à
80mmx51=4080mm du nu de l'appui à fin de poutre P2. La dernière armature se
trouve à x = 3.075m de (7.6-0.04-4.08)=3.48m, ou 0.405m, on varranger l'armature
transversale avec l'espacement s = 150mm, ce qui correspond à (405)/150 =2.7, on
prend donc 3x150mm.
Le poutre B3 (portée de 10.4m)
a. diagramme de l'effort tranchant
y Effort tranchant maximum à l'axe de l'appui: V0 ≔ 300.144 kN
y Effort tranchant à la face de l'appui: VEd;max ≔ 297.384 kN
y Effort tranchant à la distance d de la face de l'appui: VEd;d ≔ 281.821 kN
b. Vérifier la section san armature transversale
y Resistance de la bielle comprimée
VRd;max > VEd;max
y Resistance du tirant
VRd;c > 96.46 kN
VRd;c < VEd;d
Il faut de l'armature transversale
b. Vérifier la section avec armature transversale: section au droit de l'appui
on utilise la méthode standard θ ＝ 45° et armature transversale avec α ＝ 90° .
y Résistance de la bielle comprimée
VRd;max > VEd;max
y Résistance du tirant
VRd;s ≥ VEd;d
Asw
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα ≥ VEd;d
――
s
Asw
VEd;d
≥ ―――――――――
――
s
z ⋅ fywd ⋅ ((cotθ + cotα)) ⋅ sinα
Asw
mm 2
≥ 1.385 ――
――
s
mm
y Le taux d'armature transversale est
VEd;d
1
ρw ≔ ――――
⋅ ―――――――――――
= 0.003
bw ⋅ sin ((α)) z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
y Le taux d'armature transversale est
0.08 ⋅ ‾‾‾
fck
MPa
ρw;min ≔ ――――
⋅ ―――
= 0.001
fyk
‾‾‾‾‾
MPa
Lecturer: Dr. LIM Sovanvichet
ρw;min ≤ ρw
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Béton armé
On utilise l'armature transversale à 2 brincs de section HA8:
π ⋅ ⎛⎝ϕt⎞⎠ 2
Asw ≔ 2 ⋅ ―――= 100.531 mm 2
4
Asw
s ≔ ―――――――――――
= 72.585 mm
VEd;d
―――――――――――
z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α))
On prend l'espacement s = 70 mm
y Determiner VRd;s pour espace de 150mm
On assume s' ≔ 100 mm , x ≔ 5.2 m , z ⋅ cot ((θ)) = 0.585 m , s ≔ 70 mm , d ≔ 50 mm
Asw
VRd;s ≔ ――
⋅ z ⋅ fywd ⋅ ((cot ((θ)) + cot ((α)))) ⋅ sin ((α)) = 204.559 kN
s'
xa ≔ 2.31 m
L ≔ xa - 0.2 m = 2.11 m
x70 ≔ L - z ⋅ cot ((θ)) = 1.525 m
x70 - d
n ≔ ―――
= 21.071
s
y On met premier armature transversale à x = 70mm/2 = 35mm du nu de l'appui à fin
de poutre.
y On va arranger l'armature transversale avec l'espacement s = 70mm jusqu'à
70mmx22=1540mm du nu de l'appui. La dernière armature se trouve à x = 35+
22x70 = 1575mm.
y À x=1575mm, on va arranger l'armature transversale avec l'espacement s = 100mm
jusqu'à 5200-1575= 3625mm, ce qui correspond à (3625)/100 = 36.25, on prend
donc 37x100mm. On va arranger l'armature transversale à (1575+37x100)=5275mm
de 10.4m par symétrie de partie précédente.
ETAT LIMITE DE SERVICE
Effort tranchant et moment de alternative charge en ELS G+Q
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Béton armé
Effort tranchant et moment de alternative charge en combination quasi-permanente ELS:
G+0.3Q
7. Vérifier les contraintes de béton et de l'acier à mi-porté et à l'appui
N1 ≔ 6
D1 ≔ 25 mm
N2 ≔ 0
D2 ≔ 25 mm
N'1 ≔ 8
D'1 ≔ 25 mm
N'2 ≔ 0
D'2 ≔ 25 mm
On a:
π
π
A's1 ≔ N'1 ⋅ ―⋅ D'1 2 = ⎛⎝3.927 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
A's2 ≔ N'2 ⋅ ―⋅ D2 2 = 0 mm 2
4
4
π
π
As1 ≔ N1 ⋅ ―⋅ D1 2 = ⎛⎝2.945 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2 As2 ≔ N2 ⋅ ―⋅ D2 2 = 0 mm 2
4
4
bw = 0.4 m
hw = 0.7 m
⎛ fck + 8 MPa ⎞
Ecm ≔ 22000 ⋅ ⎜――――⎟
⎝ 10 MPa ⎠
d ≔ 650 mm
0.3
Es = ⎛⎝2 ⋅ 10 5 ⎞⎠ MPa
⋅ MPa = ⎛⎝3.284 ⋅ 10 4 ⎞⎠ MPa
d' ≔ 50 mm
On donne: MELS1 est moment en travé: MELS1 ≔ 283.69 kN ⋅ m
MELS2 est moment en appui:MELS2 ≔ 389.54 kN ⋅ m
Let φ ( ∞ , to )= φ
Quasi permenante
φ ≔ 2.0
Ecm
Ec.eff ≔ ――
1+φ
Es
n ≔ ――= 18.272
Ec.eff
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Béton armé
_ Contrainte du béton tendu
+ En travé
Pour la section non fissure
N2 ≔ 0
As1 = ⎛⎝2.945 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
As2 = 0 mm 2
Ac ≔ bw ⋅ hw = ⎛⎝2.8 ⋅ 10 5 ⎞⎠ mm 2
Ach ≔ Ac + n ⋅ ⎛⎝As1 + As2⎞⎠ = ⎛⎝3.338 ⋅ 10 5 ⎞⎠ mm 2
⎛
hw ⎞
⎜Ac ⋅ ―⎟ + n ⋅ ⎛⎝As1 ⋅ d + As2 ⋅ d'⎞⎠
2 ⎠
⎝
v' ≔ ――――――――――
= 398.365 mm
Ach
v ≔ hw - v' = 301.635 mm
⎛b ⋅h 3
⎛ hw ⎞ 2 ⎞
w
w
⎜
+ Ac ⋅ ⎜―⎟ ⎟ + n ⋅ ⎛⎝As1 ⋅ d 2 + As2 ⋅ ((d')) 2 ⎞⎠ - Ach ⋅ v' 2 = 0.015 m 4
Ich ≔ ―――
⎝ 12
⎝ 2 ⎠ ⎠
fctm = 2.896 MPa
MELS1
σct ≔ ―――
⋅ v = 5.522 MPa
Ich
if σct > fctm
= “Laa section est donc fissurée”
‖ “Laa section est donc fissurée”
‖
else
‖ “Non fissurée”
‖
+ En appuis
A's1 = ⎛⎝3.927 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
A's2 = 0 mm 2
Ac ≔ bw ⋅ hw = ⎛⎝2.8 ⋅ 10 5 ⎞⎠ mm 2
A'ch ≔ Ac + n ⋅ ⎛⎝A's1 + A's2⎞⎠ = ⎛⎝3.518 ⋅ 10 5 ⎞⎠ mm 2
⎛
hw ⎞
⎜Ac ⋅ ―⎟ + n ⋅ ⎛⎝A's1 ⋅ d + A's2 ⋅ d'⎞⎠
2 ⎠
⎝
va' ≔ ――――――――――
= 411.198 mm
A'ch
va ≔ hw - va' = 288.802 mm
⎛b ⋅h 3
⎛ hw ⎞ 2 ⎞
w
w
I'ch ≔ ⎜―――
+ Ac ⋅ ⎜―⎟ ⎟ + n ⋅ ⎛⎝A's1 ⋅ d 2 + A's2 ⋅ ((d')) 2 ⎞⎠ - A'ch ⋅ va' 2 = 0.017 m 4
⎝ 12
⎝ 2 ⎠ ⎠
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fctm = 2.896 MPa
Béton armé
MELS2
σct ≔ ―――
⋅ va = 6.788 MPa
I'ch
if σct > fctm
= “Laa section est donc fissurée”
‖ “Laa section est donc fissurée”
‖
else
‖ “Non fissurée”
‖
2/ section fissurée pour poutre
_ contrainte de béton comprimé
+ En travé
Position de l'axe neutre:
b
2
―⋅ x1 + n ⋅ ⎛⎝As2 + As2⎞⎠ ⋅ x1 - n ⋅ ⎛⎝As2 ⋅ d + As2 ⋅ d'⎞⎠
2
bw
A ≔ ―= 200 mm
2
B ≔ n ⋅ ⎛⎝As1 + As2⎞⎠ = ⎛⎝5.382 ⋅ 10 4 ⎞⎠ mm 2
C ≔ -⎛⎝n ⋅ ⎛⎝As1 ⋅ d + As2 ⋅ d'⎞⎠⎞⎠ = -3.498 ⋅ 10 7 mm 3
Δ ≔ B 2 - 4 ⋅ A ⋅ C = 0.031 m 4
d' = 50 mm
-B + ‾‾
Δ
x1 ≔ ――――
= 0.305 m
2A
d = 650 mm
2
2
bw ⋅ ((x1)) 3
Icf ≔ ――――
+ n ⋅ As1 ⋅ ((d - x1)) + n ⋅ As2 ⋅ ((x1 - d')) = ⎛⎝1.019 ⋅ 10 10⎞⎠ mm 4
3
MELS1
σc ≔ ―――
⋅ x1 = 8.486 MPa
Icf
σ'c ≔ 0.6 fck = 18 MPa
if σ'c ≥ σc
= “OK”
‖ “OK”
‖
else
‖ “Non OK”
‖
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Béton armé
+ En appuis
Position de l'axe neutre:
bp
2
―⋅ x2 + n ⋅ ⎛⎝A's1 + A's2⎞⎠ ⋅ x2 - n ⋅ ⎛⎝A's1 ⋅ d + A's2 ⋅ d'⎞⎠
2
bw
A ≔ ―= 200 mm
2
B ≔ n ⋅ ⎛⎝A's1 + A's2⎞⎠ = ⎛⎝7.176 ⋅ 10 4 ⎞⎠ mm 2
C ≔ -⎛⎝n ⋅ ⎛⎝A's1 ⋅ d + A's2 ⋅ d'⎞⎠⎞⎠ = -4.664 ⋅ 10 7 mm 3
Δ ≔ B 2 - 4 ⋅ A ⋅ C = 0.042 m 4
-B + ‾‾
Δ
x2 ≔ ――――
= 0.336 m
2A
2
2
bw ⋅ x2 3
I'cf ≔ ―――
+ n ⋅ A's1 ⋅ ((d - x2)) + n ⋅ A's2 ⋅ ((x2 - d')) = 0.012 m 4
3
MELS2
σc.appui ≔ ―――
⋅ x1 = 9.786 MPa
I'cf
σ'c ≔ 0.6 fck = 18 MPa
if σ'c ≥ σc.appui = “OK”
‖ “OK”
‖
else
‖ “Non OK”
‖
_ Contrainte de l'acier en traction
+ En Travé
MELS1
σs ≔ ―――
⋅ n ⋅ ((d - x1)) = 175.639 MPa
Icf
σ's ≔ 0.88 fyk = 352 MPa
if σ's ≥ σs
= “OK”
‖ “OK”
‖
else
‖ “Non OK”
‖
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Béton armé
+ En appuis
MELS2
σs.appui ≔ ―――
⋅ n ⋅ ((d - x2)) = 184.352 MPa
I'cf
σ's ≔ 0.88 fyk = 352 MPa
if σ's ≥ σs.appui = “OK”
‖ “OK”
‖
else
‖ “Non OK”
‖
8/calculer la largeur de fissuration à mi-porté
_En travé
Ecm = ⎛⎝3.284 ⋅ 10 4 ⎞⎠ MPa
n = 18.272
Ec.eff = ⎛⎝1.095 ⋅ 10 4 ⎞⎠ MPa
As1 = ⎛⎝2.945 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
x1 = 304.782 mm
hw = 700 mm
ns est la nombre d'acier :
As2 = 0 mm 2
d = 650 mm
bw = 400 mm
ns ≔ 6
_ MQP1 est le moment quasi permanent en travé:
MQP1 ≔ 244.63 kN ⋅ m
MQP1
σc.QP1 ≔ ――⋅ x1 = 7.318 MPa
Icf
_ Proopriété de la setion fissurée
+Position de l'axe neutre pour la section fissurée:
+ Contrainte de l'acier en tractio:
Icf = ⎛⎝1.019 ⋅ 10 10⎞⎠ mm 4
_ Calculer la distance entre les fissures
Diamètre des barres:
La distance entre les barres:
Enrobage des barres:
ϕ ≔ 25 mm
bw - 2 ⋅ d'
s ≔ ―――= 100 mm
3
ϕ
cb ≔ d' - ―= 37.5 mm
2
⎛
ϕ⎞
5 ⎜cb + ―
⎟ = 250 mm >
2⎠
⎝
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s = 100 mm
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Béton armé
Léspacement entre les fissures peut être donc déterminée par
⎛
hw - x1 hw ⎞
hc.eff ≔ min ⎜2.5 ⎛⎝hw - d⎞⎠ , ―――
, ―⎟ = 125 mm
3
2 ⎠
⎝
Ac.eff ≔ bw ⋅ hc.eff = ⎛⎝5 ⋅ 10 4 ⎞⎠ mm 2
Es
αe ≔ ――
= 6.091
Ecm
2
―
3
⎛ fck ⎞
fct.eff ≔ 0.3 ⋅ ⎜――⎟ ⋅ MPa = 2.896 MPa
⎝ MPa ⎠
π
As ≔ ns ⋅ ―⋅ ϕ 2 = ⎛⎝2.945 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
4
As
ρp.eff ≔ ――= 0.059
Ac.eff
Avec
k1 ≔ 0.8
(Pour la barre HA)
k2 ≔ 0.5
(Pour la flexion simple)
k3 ≔ 3.4
k4 ≔ 0.425
kt ≔ 0.4
(Pour la chargement à longue durée)
⎛ k1 ⋅ k2 ⋅ k4 ⋅ ϕ ⎞
Sr.max ≔ ⎛⎝k3 ⋅ cb⎞⎠ + ⎜――――⎟ = 199.65 mm
ρp.eff
⎝
⎠
_ Calculer la déformation moyenne de l'acier par rarrport au béton
fct.eff
σc.QP1 - kt ⋅ ――⋅ ⎛⎝1 + αe ⋅ ρp.eff⎞⎠
ρp.eff
σc.QP
ε ＝ εsm - εcm ＝ ――――――――――≥ 0.6 ⋅ ――
Es
Es
fct.eff
σc.QP1 - kt ⋅ ――⋅ ⎛⎝1 + αe ⋅ ρp.eff⎞⎠
ρp.eff
ε ≔ ――――――――――= -9.704 ⋅ 10 -5
Es
σc.QP1
ε ≔ if ε > 0.6 ⋅ ――
= “On choisit en différent Wk”
Es
‖ “OK”
‖
else
‖ “On choisit en différent Wk”
‖
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Béton armé
σc.QP1
wk ≔ 0.6 ⋅ ―― ⋅ Sr.max = 0.004 mm
Es
_En appuis
Ecm = ⎛⎝3.284 ⋅ 10 4 ⎞⎠ MPa
Ec.eff = ⎛⎝1.095 ⋅ 10 4 ⎞⎠ MPa
A's1 = ⎛⎝3.927 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
n = 18.272
x2 = 335.767 mm
hw = 700 mm
ns est la nombre d'acier :
A's2 = 0 mm 2
d = 650 mm bw = 400 mm
n's ≔ 8
_ MQP1 est le moment quasi permanent en travé:
MQP2 ≔ 348.51 kN ⋅ m
MQP2
σc.QP2 ≔ ――⋅ x2 = 9.645 MPa
I'cf
_ Proopriété de la setion fissurée
+Position de l'axe neutre pour la section fissurée:
+ Contrainte de l'acier en tractio:
I'cf = ⎛⎝1.213 ⋅ 10 10⎞⎠ mm 4
_ Calculer la distance entre les fissures
Diamètre des barres:
ϕ ≔ 25 mm
La distance entre les barres:
Enrobage des barres:
⎛
ϕ⎞
5 ⎜cb + ―⎟ = 250 mm >
2⎠
⎝
bw - 2 ⋅ d'
s ≔ ―――= 100 mm
3
ϕ
cb ≔ d' - ―= 37.5 mm
2
s = 100 mm
Léspacement entre les fissures peut être donc déterminée par
⎛
hw - x2 hw ⎞
h'c.eff ≔ min ⎜2.5 ⎛⎝hw - d⎞⎠ , ―――
, ―⎟ = 121.411 mm
2 ⎠
3
⎝
A'c.eff ≔ bw ⋅ h'c.eff = ⎛⎝4.856 ⋅ 10 4 ⎞⎠ mm 2
Es
αe ≔ ――
= 6.091
Ecm
2
―
3
⎛ fck ⎞
fct.eff ≔ 0.3 ⋅ ⎜――⎟ ⋅ MPa = 2.896 MPa
⎝ MPa ⎠
π
A's ≔ n's ⋅ ―⋅ ϕ 2 = ⎛⎝3.927 ⋅ 10 3 ⎞⎠ mm 2
4
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Béton armé
A's
ρ'p.eff ≔ ――= 0.081
A'c.eff
Avec
k1 ≔ 0.8
(Pour la barre HA)
k2 ≔ 0.5
(Pour la flexion simple)
k3 ≔ 3.4
k4 ≔ 0.425
kt ≔ 0.4
(Pour la chargement à longue durée)
⎛ k1 ⋅ k2 ⋅ k4 ⋅ ϕ ⎞
S'r.max ≔ ⎛⎝k3 ⋅ cb⎞⎠ + ⎜――――⎟ = 180.059 mm
ρ'p.eff
⎝
⎠
_ Calculer la déformation moyenne de l'acier par rarrport au béton
fct.eff
σc.QP2 - kt ⋅ ――⋅ ⎛⎝1 + αe ⋅ ρ'p.eff⎞⎠
ρ'p.eff
σs
ε' ＝ εsm - εcm ＝ ―――――――――――
≥ 0.6 ⋅ ―
Es
Es
fct.eff
σc.QP2 - kt ⋅ ――⋅ ⎛⎝1 + αe ⋅ ρ'p.eff⎞⎠
ρ'p.eff
ε' ≔ ―――――――――――
= -5.87 ⋅ 10 -5
Es
σc.QP2
ε' ≔ if ε' > 0.6 ⋅ ――
= “On choisit en différent Wk”
Es
‖ “OK”
ε' ≔ 0.001
‖
else
‖ “On choisit en différent Wk”
‖
σc.QP2
w'k ≔ S'r.max ⋅ 0.6 ⋅ ―― = 0.005 mm
Es
Finally, we can conclude that our beam is workable but it's a waste of economic beceause the durable strenght of design
is more than the reality .
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