Mécanique de la rupture
EXERCICES
Exercice 1
Dans les installations industrielles, on inspecte des tôles de fortes épaisseurs afin de
détecter d’éventuelles fissures susceptibles de provoquer une rupture brutale en service.
Si le matériau a une fissure de 1mm.
a) Calculer la ténacité du matériau
b) Comparer la valeur trouvée avec le facteur d’intensité
critique puis déduire une
conclusion
c) Calculer la taille critique de la fissure
On donne :
Re = 480 MPa, facteur de correction géometrique α = 1.12 ; σ = Re,
KIC = 53 MPa.√m
Solution 1 :
K  .
a
K=1.2x480x
.1x10
3
 30.3 MPa
m
Cette valeur est bien plus basse que la ténacité KIC = 53 MPa.√m du matériau et par
conséquent la rupture, si elle a lieu, sera plutôt du type "déformation plastique
généralisée"... Donc le matériau se déforme progressivement avant de rompre...
2
2
3
1  K IC  1  53 


2.7x10
m  2.7 mm
aC  



   R e    1.2x480 
Exercice 2
Une large plaque a une fissure débouchante soumise à une contrainte de traction de 100
MPa, et d’une ténacité de KIC = 50 MPa m1/2.
a) Déterminer la taille critique de la fissure, on suppose que le matériau a un
comportement linéaire élastique
b) Calculer l’energie critque de ce matériau sachant que son module d’Young
E = 207000 MPa
Mécanique de la rupture
Solution 2:
À la rupture K IC  K I  
a c , donc
50MPa m 100MPa
a c  0.0796m  79.6 mm
a c
La longueur totale de la fissure est de 2ac= 159 mm

50MPa m
K IC
GC 

E
207000MPa

2
 0.0121MPa mm 12.1kPa m = 12.1kJ/m2
Exercice 3
Une large plaque en alliage d’Aliminium a une fissure centrée de 25 mm de longueur. Si la
contrainte de rupture de cet échantillion est σmax = 200 MN/m2 et la limite élastique
σy = 400 MN/m2
Claculer la ténacité du matériau en en utilisant :
- Le concept de la mécanique élastique linéaire de la rupture (MELR),
- En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure
Solution 3 :
a) En utilisant le concept de la mécanique élastique linéaire de la rupture (MELR)
K IC max
a  200
3/2
 0.025 


39.6MN.m

 2 
b) En introduisant la correction de la zone plastique autour de la fissure :
K IC max
K IC  200
  a  rp  max
 1  max 2 
a  1 
 
 2  y  


 0.025   1  200  

  1 

 2   2  400  
K IC  42MN.m
3/2
2
Mécanique de la rupture
Exercice 4 :
Un réservoir travaillant sou pression fabriquée à base d’une plaque en acier, qui peut-être :
a- Un acier marging (18 % nickel) avec σy = 1900 MN/m2 et KIC = 82 MN.m-3/2 ;
b- Un acier à moyenne résistance avec σy = 1000 MN/m2 et KIC = 50 MN.m-3/2.
- Lequel de ces deux aciers présente la meilleure tôlérance au défaut ?
- Comparer leurs ténacités si on suppose qu’ils ont la même tolérance aux défauts.
Le coefficient de sécurité est s = 2.
Solution 4 :
1) Pour une plaque de dimension infinie, nous avons la relation :
K IC 
a
a) La longueur de la fissure critique pour l’acier maraging :
2
1  K IC 
ac  
 ,
  d 
d 
y
2
2
1  82 
ac  
  0.0024m  2.4mm, soit une longueur critique 4.2mm
  950 
b) La longueur de la fissure critique pour l’acier à moyenne résistance :
2
1  50 
ac  
  0.0038m  3.18mm, soit une longueur critique 6.36mm.
  500 
On constate que l’acier à moyenne résistance présente la meilleure tolérance aux défauts.
2) Comparaison des ténacités :
K IC  d
a  950
.0.00318  95MN.m
3/2
Exercice 5
Une plaque d’acier (KIC=150 MPa. (m)1/2 ; σe =1500 MPa) est supposée contenir une
fissure débouchante semi-élliptique de longueur apparente 3 cm et de profondeur de 0.5
cm. Quelle est dans ce cas la contrainte causant la rupture de la plaque.
Schant que :
Prendre
=1
Mécanique de la rupture
Solution 5 :
La valeur maximale de KI est obtenue à l’éxtrimité du petit axe c.a.d (a=0.5 cm) et vaut
K I 1.12
a
 

K IC
1.12
a


150
1068MPa
.0.005
1.12
1
rup 1068MPa
Exercice 6
Un barreau en acier (σe = 1790 MPa, KIC = 90 MPa(m)1/2 ) de sectioncarré 120x120 mm2
est soumis à une force de traction F = 12 MN. Le barreau une fissure d’angle en quart de
cercle de rayon a=1cm. Si on évalue le facteur d’intensité de contraintes à partir de celui de
la fissure semi-circulaire débouchante, le facteur de corrosion sur la surface libre (1,12)
étant appliqué deux fois pour tenir compte des deux surfaces perpendiculaire
Le barreau résistera-t-il à la charge qui lui est appliquée ?
Solution 6 :
Le facteur d’intensité de contrainte peut etre évalué à partir de celui de la fissure semicirculaire débouchante, le facteur de corrosion sur la surface libre (1,12) peut etre appliqué
deux fois pour tenir compte des deux surfaces perpendiculaires.
Mécanique de la rupture

F
12

 833.33 M Pa
S 0.12 x 0.12
Donc : K I   1.12

2
x 2
a
 117.95 M Pa

K I  117.95  K I c  90 M Pa
on voit bien que K I  K I c ,
m
m
Donc le barreau se rompra sous la charge appliquée.
Exercice 7
Une plaque épaisse de dimension (W = 200 mm) présente deux fissures critiques de cotés
de longueur a = 10 mm chaque une. Supposons qu'elle est sollicitée à une contrainte de
traction de 650 MPa.
a) Déterminer le facteur d'intensité de contrainte.
b) Quelle serait le défaut qu'on peut tolérer (critique) pour une plaque de fissure centrale et
qui a la même valeur du facteur d'intensité de contrainte et sollicitée à la même contrainte
précédente.
On donne l’intensité de contrainte pour une plaque de deux fissures de cotés :
Le facteur d’intensité de contrainte pour une plaque de fissure centrale :
Solution 7 :
1/2
K 
W
 a  0.2W
 a  
a 
tan 
sin 


 W  a
 W 
 a
a) K I 16.65MPa
2
m
1  KI 
b) a c  
 11.97mm
  
Mécanique de la rupture
Exercice 8
On réalise des essais de rupture sur deux plaques de ce matériau contenant une fissure
centrale
:
- la première de largeur W = 500 mm contient une fissure de longueur 2a = 75mm
- la seconde de largeur W = 50 mm contient une fissure de longueur 2a = 25 mm.
Avec KIC= 100 MPa.m1/2, β1=1, β2=1.18
Pour chacune des plaques :
1)
Calculer la contrainte critique qui conduirait à la rupture brutale
2)
Déterminer la contrainte qui conduirait à une plastification généralisée de la
section contenant la fissure
3)
En déduire comment se produira la rupture dans chacun des cas et pour quelle
contrainte. On rappelle
Solution 8 :
1)
1max 
100
K IC

 291 MPa
1 a C 1 1x .37.5
 2 max 
100
K IC

 427.7 MPa
2 a C2 1.18 x
.12.5
2)
5 2
W  K2IC ,  e1 
e
e2 
5x K IC
W2

5x K IC
W1

5x100
 316.22 MPa
500
5x100
1000 MPa
50
3)
2
r P1 
a1. 1max
15.6 mm ,
2
 e1
r P2 
2
a 2.  2 max
1.6 mm
2
e2
Mécanique de la rupture
Exercice 9
Estimer la valeur de la contrainte théorique de rupture d'un matériau fragile, comportant
une fissure de forme elliptique de longueur de 0.5 mm, avec un rayon de courbure de 5.10-3
mm. Sachant que la contrainte appliquée de traction est de 103,5 MPa
Solution 9 :

a
 t   m  1 2



 t 103, 5  1 2





a
 t   m  1 2



 t 103, 5  1 2




0, 5
5x10 3
0, 5
5x10 3

  2174 MPa


  2174 MPa

Exercice 10
Une large vitre en verre est soumise à une contrainte de traction de 40 MPa. L’énergie de
surface du verre est de 0.3J/m2 et son module d’élasticité E= 69GPa. Déterminer la
longueur de la surface fissurée (surface perpendiculaire à la contrainte) qui pourra causer la
rupture.
Solution 10 :
c 
2E
a c
2E 2x0, 3  69x10 

 8, 2x106 m  0, 0082 mm  8, 2 m
2
2
6
c
 x40x10 
9
ac 
Exercice 11
Les calcules basés sur la force de cohésion suggèrent que la contrainte de traction du verre
est de 10GPa. Tandis que la valeur de la contrainte de traction trouvée expérimentalement
est seulement de 1.5 % de cette valeur. Griffith suppose que cette valeur est faible à cause
de la présence des fissures dans le verre.
Calculer la longueur de la fissure, de direction perpendiculaire à la contrainte de traction.
Mécanique de la rupture
On donne : Module d'Young E = 70 GPa, l'énergie surfacique est de γs = 0.5 J/m2
Solution 11 :
9
2 E 2x  70x10  x0, 5
 9, 9x10 7
ac  2 
9 2
 c
x  0,15x10 
2a c  2x10 6 m
Exercice 12
Une plaque en acier a une contrainte de traction de 1900 MPa. Calculer la valeur du
pourcentage de réduction de contrainte causée par la fissure dans cette plaque qui est de
longueur 2a = 3 mm (surface perpendiculaire à la contrainte)
On donne :
E = 200 GPa, l'énergie surfacique γs= 2 J/m2, l'énergie plastique γp = 2×104 J/m2
Solution 12 :

Gc  2 s   p

a  2
E
G cxE


.a
Gc 
reduction  %  
40004x200
 600, 54 MPa
.1, 5
 c 600, 54

 31, 6 %
 t 1900
Exercice 13
Deux poutres en bois sont assemblées à l'aide d'un adhésif époxy comme indiqué dans la
figure ci-dessous. L'adhésif a été agité avant l'application, entraînant de l'air des bulles qui,
sous pression dans la formation de l'articulation, se déforment en disques de diamètre 2a =
2 mm. Si le faisceau a les dimensions indiquées, Et l'époxy a une ténacité de fracture de
0,5 MN m-3/2.
Calculez la charge maximale F que le faisceau peut supporter.
Sachant que : σ = Mf .V/I0 , I0= bh3/12 et V= h/2
Mécanique de la rupture
Solution 13 :
K I 
a
K

a
=
0, 5
.1x10
 8, 92 MPa
3
.V
 M f  M f
I0
I0
V
F
Mf
M f  .L  F 
2
L
 0,1 
I 0  8, 92.
V
148666, 66
M f .
F  2x
3
3
3
  148666, 66 Nmm
3
10
6
 2973, 33N
1x10
Exercice 14
Lors d’un essai de détermination de la ténacité, on trouve KQ = 55 MPa√m. La limite
d’élasticité du matériau étant égale à 690 MPa et l’épaisseur de l’éprouvette étant de 12,7
mm.
a) Indiquer si l’essai est valide.
b) Donner la valeur maximale de la ténacité qui peut être mesurée avec une telle
éprouvette.
Solution 14 :
2
3
 K Q2 
 55 
a) Bmin  2, 5  2  10 x2, 5 
 15, 38mm
 690 
 e 
Bmin >12, 7 donc l ' essai n ' est pas valide
2
b) K Q 
R exB 
2, 5
2
950 x12, 7x10
2, 5
3
 67, 71 MPa
m
Mécanique de la rupture
Exercice 15
Une éprouvette en alliage AlCu4Mg1 de traction de type B (CT) 50 mm de largeur, 12.5
mm d'épaisseur, soumis à une force critique de FQ = 9,05 kN. La valeur de la fissure a =
25 mm sa contrainte élastique est de 390 MPa.
a) Calculer le facteur d’intensité de contrainte apparent du matériau
b) Déduire la largeur minimale Bmin de l’éprouvette
c) Que ce vous pouvez conclure ?
Solution 15 :
3 

 9050x 10  x10, 61
FQ
 a 


f
 34, 35 MPa
1) K Q 
 , KQ 
B W W
12, 5 50
2
m
2
3  34, 5 
 KQ 
2) B min  2, 5. 
  2, 5x10 
 19, 4 mm
 390 
 e 
3) B 12, 5 <19, 4 , cela signifie que K IC > K Q
Exercice 16
Une grande plaque d'épaisseur de 36 mm avec une fissure de bord a = 32 mm de longueur
est tirée très lentement sous charge de déplacement. Au déplacement de 7,2 mm, lorsque la
charge enregistrée est de 2750 N, la fissure commence à croître. A a = 41,7 mm, la fissure
est arrêtée et la charge diminue à 1560 N. Déterminer le taux d’énergie critique libérée.
Mécanique de la rupture
Solution 16 :
aire du  (OAB) aire du (OA C)  aire du (OBC)

Bxa
Bxa
a  a 2  a1  41.7  3.2  9.7 mm
GC 
GC
3
3




1/ 2  7.2x10 x2750  1/ 2  7.2x10 x1560 



 12268 J / m 2

(36x9.7) x 10
G C 12.27KJ / m
3
2
Exercice 17 :
Une plaque de perspex rectangulaire de 600 mm par 300 mm par 6 mm d'épaisseur est
décrite en deux carrés égaux par un couteau, laissant une coupe uniforme de profondeur de
0,3 mm. Quel est le moment de flexion nécessaire pour briser la plaque si la perspex a un
travail à une fracture de 500 J / m2 ? Notez que E = 2.5 GPa pour perspex.
Solution 17 :
f 
G C.E

.a
 f .I
,
Mf 
 t a  / 2
6
9
500x2.5x10
 36.4 MPa
x0.0003
I
b  t a 
3
12
3
36.4x10 x0.3x0.0057
M
 59.2 N.m
12x0.00285
Exercice 18
Si la contrainte de rupture d'une grande tôle d'acier maraging, qui contient une fissure
centrale de 40 mm, est de 480 MPa, calculez la contrainte de rupture d'une feuille similaire
contenant une fissure de 100 mm.
Mécanique de la rupture
Solution 18 :
G C.E
,
.a
K

x a 2
f 
f 
K
.a  480
120.32
x50x10
3
3
x20x10 120.32 MPa
m
 304 MPa
Exercice 19
Une poutre en porte-à-faux fissurée est déviée de 8 mm sous une charge de 10 kN. À la
même charge, la déviation est augmentée de 1 mm en raison d'une extension de la fissure
de 0,5 mm. Calculez le facteur d'intensité de contrainte initiale. Supposons E = 200 GPa,
épaisseur de la section = 0,5 m
Solution 19 :
2
P c
,
GC 
2.B a
8
mm/ N
10000
9
Complaisance finale 
mm / N
10000
Complaisance initiale 
2
c
1

,
a 5000
 4
 10 
 x 1  2x10 4 N / m
G
2x0.5 5000
2
K
G
E
K
G.E 
4
9
2x10 x200x10  63.2 MPa
m
AUTRES EXERCICES PROPOSES
Exercice 1
Calculer la contrainte maximale au fond d’une fissure de forme elliptique de longueur de
10 mm et de rayon de courbure ρ = 2,0 mm, telle que la contrainte de traction extérieure
appliquée est de 100 MPa.
Déduire le facteur de concentration de contrainte ?
Mécanique de la rupture
Exercice 2
Trois fissures sont détectées dans une structure par l’ultrason. La première d’une
longueur de 16 mm dans une région de contrainte de 100 MPa avec une fonction de forme
(f = 1,2)
La deuxième d’une longueur de 9 mm sous une contrainte de 150 MPa, avec f= 1.1 et la
troisième est d’une longueur de 25 mm dans une région de contrainte de 70 MPa et
(f = 1,3).
Quelle est la plus dangereuse fissure dans cette structure ?
Déduire l’énergie de griffith correspondant à cette fissure, sachant que E = 207 Gpa
Exercice 3
Lors d’un essai de la ténacité sur une éprouvette compacte.
a) Calculer KQ
b) Vérifier si l’essai est valide (KQ = KC)
c) Calculer l’énergie (état de déformation plane)
On donne :
σe =759 MPa, FQ = 42.3 KN, B = 25. 4 mm, W= 50.8 mm, a = 27.7 mm, E = 207 Gpa,
= 0.28.
a/w
0.40
f1(a/w) 7.18
0.45
0.50
0.54
8.22
9.52
11.17
Exercice 4
On considère deux matériaux, dont les caractéristiques mécaniques sont les suivantes :
- un alliage d'aluminium 2024-T3 : de limite d'élasticité Re = 490 MPa et de ténacité
K1C = 110 MNm-3/2
- un acier de limite d'élasticité Re = 1700 MPa et de ténacité K1C= 60 MNm-3/2.
On veut tester deux éprouvettes constituées respectivement de chacun de ces matériaux ;
on utilise des plaques à entaille centrale, contenant une fissure de longueur initiale
2a = 2 mm.
1) Déterminer la contrainte critique conduisant à la rupture brutale pour ces matériaux.
2) Commentez les résultats obtenus : selon vous, quel type de rupture obtiendra-t-on pour
chacun des matériaux ? Quel matériau suggéreriez-vous d'utiliser et pourquoi ?
Mécanique de la rupture
Exercice 5
Une plaque de verre de 2 m par 200 mm par 2 mm contient une fissure centrale parallèle au
côté de 200 mm. La plaque est fixée à une extrémité et chargée en tension de l’autre avec
une masse de 500 kg. Quelle est la longueur maximale admissible de la fissure avant la
rupture ? Supposons l'état de contrainte plane et les valeurs de propriété matérielle
suivantes : E = 60 GPa, l'énergie de surface est de 0,5 J / m2.
Exercice 6
La charge sur une plaque de 30 mm d'épaisseur avec une fissure de bord de 50 mm de
longueur a été augmentée très lentement et le déplacement du point de charge a été
surveillé. On a observé qu'à la charge de 2100 N et le déplacement u = 4,1 mm, la fissure a
commencé à croître. Le taux de croissance de la fissure était beaucoup plus rapide que le
taux d'augmentation de la charge et, par conséquent, la fissure a été essentiellement
augmentée à la charge de 2100 N. Grâce à un enregistrement rapide de la caméra, on a
constaté que la fissure augmentait jusqu'à 65 mm de longueur avec une augmentation
rapide du déplacement à u = 7,5 mm. Déterminer le taux critique de libération d'énergie.
Exercice 7
La contrainte de rupture d’une plaque en acier, dont elle contienne une fissure centrale de
longueur 40 mm est de 480 MPa.
Calculer la contrainte de rupture de ce même matériau, contenant une fissure d’une
longueur de 100 mm.
Mécanique de la rupture
Exercice 8
Un panneau, de 3 mm d'épaisseur et de 10 cm de large contenant une fissure de bord de 1
mm soumis en traction sous une charge de 150 Kn (a). Cependant, à une charge de 120 kN,
un autre panneau de même matière est rompu en deux pièces lorsque la fissure avait une
longueur de 5 mm (b). Avec cette information, calculer la contrainte élastique et la ténacité
de rupture du matériau. Tel que le facteur de forme est de Y= 1.12
Exercice 9
(a)
(b)
Quelle est la contrainte maximale appliquée au niveau du fond d’une fissure intérieure de
longueur 3,8.10-2 mm, avec un rayon de courbature de 1,9.10-4 mm, sachant que la
contrainte de traction nominale est de 140 MPa ?
a) Déduire le facteur de concentration de contrainte ?
Exercice 10
Pour les matériaux ayant une ténacité modérée (par exemple des alliages d'aluminium),
KIc peut être déterminé à partir de JIc. Exprimer l'épaisseur minimale requise pour l'essai
JIc (Bj) en termes d'épaisseur minimale requise pour le test KIc (Bk).
Tels que :
Le module d’ Young E = 70 000 MPa
la résistance élastique ys = 345 MPa
La résistance à la rupture uts = 500 MPa
Exercice 11
La valeur de l'intégrale J est indépendante du chemin exact suivi par la pointe de fissure
dans le sens antihoraire, en commençant par le plus bas et se terminant sur la fissure du
Mécanique de la rupture
flanc supérieure (figure ci-dessous).
a) Qu'est-ce que J pour un contour fermé, c'est-à-dire n’entourant pas la singularité de
pointe de fissure ?
b) Indiquez ce qui ne va pas dans le raisonnement du texte suivant :
Le long du contour fermé ABPA représenté sur la figure, l'intégrale J est nulle. Le long des
flancs AP et BP J est égal à zéro aussi. Par conséquent, J doit être nul le long du contour
entourant fissure, A
B.
Exercice 12
Un test JIc est réalisé sur de l'acier avec les propriétés suivantes :
E = 207 GPa ; σys = 360 MPa en σuts = 560 MPa ; ν = 0,28. A cet effet, une éprouvette de
flexion à 3 points est utilisée ayant les dimensions suivantes :
W = 50 mm ; B = 20 mm ; a = 30 mm.
La charge augmente linéairement avec le déplacement. Au début de l'extension de la
fissure, la charge est de 25 kN, tandis que le déplacement est de 4 mm.
a) Quelle valeur suit pour JIc, si cela est défini comme J au début de l'extension de la
fissure ?
b) Quelle est la valeur correspondante pour KIc ?
c) Quelle épaisseur doit avoir l'échantillon pour une détermination KIc valide ?