Guide d’application
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2
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Maîtrise
de l’eurocode 2
Guide d’application
Jean Roux
Jean Roux
12160
2
Appliquer les méthodes de calcul de l’eurocode 2
Maîtrise de l’eurocode 2 complète l’ouvrage Pratique de l’eurocode 2 qui traite notamment du
dimensionnement des éléments de base d’une structure en béton armé (tirant, poteau, poutre, dalle)
par l’étude des efforts normal et tranchant, et des moments fléchissant et de torsion.
Maîtrise de l’eurocode 2 présente, à partir des lois classiques de la résistance des matériaux et des
méthodes d’analyse des structures préconisées par l’eurocode 2, les justifications complémentaires
à faire vis-à-vis du poinçonnement et des états limites d’instabilité de forme, de maîtrise de la
fissuration, de déformation et de fatigue.
Chaque chapitre comporte des rappels théoriques suivis d’une ou plusieurs applications traitées en
détail. Les applications sont accompagnées de nombreuses informations utiles pour les calculs.
Permettre une transition entre l’application des règles françaises BAEL 91
et de l’eurocode 2
L’organisation de l’ouvrage s’apparente à celle de l’ouvrage Maîtrise du BAEL 91 paru chez le même
éditeur, ce qui permet d’assurer la transition entre les Règles françaises amenées à disparaître et
l’eurocode 2 destiné à les remplacer, en y introduisant les spécificités propres à ces nouvelles règles
(ouverture des fissures, corbeaux, dispositions constructives, etc.).
Guide d’application
Afin d’harmoniser les règles de conception des structures en béton entre les états membres de l’Union
européenne, les règles de calcul ont été unifiées avec la publication de l’eurocode 2. La phase finale de
la rédaction des Annexes françaises de la norme NF EN 1992-1-1, « Eurocode 2 : Calcul des structures en
béton - Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments » publiée par AFNOR en octobre 2005,
a été achevée en 2007.
Maîtrise de l’eurocode 2
EURO
CODE
Chapitre 1 — Analyse structurale
J. Roux
Chapitre 2 — Instabilité de forme - Flambement
Chapitre 4 — État limite de service de déformation
Chapitre 6 — Corbeaux
Chapitre 7 — État limite ultime de fatigue
Les fichiers relatifs à certaines annexes (méthodes simplifiées pour la double intégration de la
courbure, analyse non linéaire – diagramme contraintes – déformations du béton) au format pdf sont
disponibles à l’adresse suivante : www.editions-eyrolles.com
Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en bâtiment et génie civil,
aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireux d’acquérir les
mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués en calcul
des ossatures en béton armé ou de mettre à jour et approfondir
leurs connaissances dans ce domaine.
www.boutique-livres.afnor.org
Code éditeur : Eyrolles : G12160
ISBN EYROLLES : 978-2-212-12160-5
Code éditeur : Afnor 3273212
ISBN AFNOR : 978-2-12- 273212-0
Chapitre 5 — Poinçonnement
barbary-courte.com | Photos : Patrice LEFEBVRE | Entreprise QUILLE (quille.fr)
Chapitre 3 — État limite de service de maîtrise de la fissuration
Maîtrise
de l’eurocode 2
Dans la même collection
Eurocode 2
J.-M. Paillé. – Calcul des structures en béton, G12043, 2009.
J. Roux. – Pratique de l’eurocode 2, G12044, 2009.
Eurocode 5
Y. Benoit, B. Legrand, V. Tastet. – Calcul des structures en bois, 2e édition, G12481,
(à paraître en 2009).
Eurocode 6
M. Hurez, N. Juraszek, M. Pelcé. – Dimensionner les ouvrages de maçonnerie, G12280,
2009.
Eurocode 8
V. Davidovici. – Constructions parasismiques (à paraître en 2009).
Le programme des Eurocodes structuraux comprend les normes suivantes, chacune
étant en général constituée d’un certain nombre de parties :
EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures
EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton
EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton
EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois
EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie
EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique
EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes
EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium
Les normes Eurocodes reconnaissent la responsabilité des autorités réglementaires
dans chaque État membre et ont sauvegardé le droit de celles-ci de déterminer, au
niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de sécurité, là où
ces valeurs continuent à différer d’un État à un autre.
Maîtrise
de l’eurocode 2
Jean Roux
ÉDITIONS EYROLLES
61, bd Saint-Germain
75240 Paris Cedex 05
www.editions-eyrolles.com
AFNOR éditions
11, rue Francis-de-Pressensé
93571 La Plaine Saint-Denis Cedex
www.boutique-livres.afnor.org
Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit en effet expressément la photocopie
à usage collectif sans autorisation des ayants droit. Or, cette pratique s’est généralisée notamment
dans les établissements d’enseignement, provoquant une baisse brutale des achats de livres, au
point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer
correctement est aujourd’hui menacée.
En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent
ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation
du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris.
© AFNOR et Groupe Eyrolles, 2009.
ISBN AFNOR : 978-2-12-273212-0
ISBN Eyrolles : 978-2-212-12160-5
TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos ..........................................................................................
1.
2.
3.
4.
5.
1
Présentation des eurocodes et de l’ouvrage ..................................
Références règlementaires ............................................................
Numérotation des formules ...........................................................
Couleurs des figures ......................................................................
Notations et symboles particuliers ................................................
1
2
3
4
4
Notations et symboles .........................................................................
7
1. Majuscules romaines .....................................................................
2. Minuscules romaines ....................................................................
3. Majuscules ou minuscules grecques .............................................
7
10
14
1
Analyse structurale ....................................................................... 17
I. RAPPELS THÉORIQUES ...........................................................
1. Définition ......................................................................................
2. Modélisation des structures ...........................................................
2.1
17
17
17
Éléments de structures ....................................................................
2.1.1 Poutre et poutre-cloison .....................................................
2.1.2 Poteaux et voiles ................................................................
2.1.3 Dalles ..................................................................................
Largeur participante des poutres en T ............................................
Portées utiles des poutres et dalles ..................................................
2.3.1 Définitions – Principes .......................................................
2.3.2 Portées à prendre en compte dans les calculs .....................
Imperfections géométriques ............................................................
2.4.1 Cas des éléments isolés et des ponts ..................................
2.4.2 Cas des structures ...............................................................
Moments sur appuis – Vérifications ...............................................
18
18
18
18
19
20
20
22
22
24
26
26
3. Méthodes de calcul .......................................................................
27
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Types d’analyse structurale ............................................................
3.1.1 Analyse vis-à-vis des états limites de service ....................
3.1.2 Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime ............................
Analyse élastique linéaire ...............................................................
Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments .............
Analyse plastique ............................................................................
3.4.1 Dispense de la vérification de la capacité de rotation ........
3.4.2 Vérification de la capacité de rotation ...............................
3.4.3 Analyse par la méthode avec bielles et tirants ...................
Analyse non linéaire ......................................................................
28
28
28
28
29
30
31
31
33
34
VI
4. Analyse structurale des poutres et des portiques ..........................
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
34
35
35
35
35
35
36
5. Analyse structurale des dalles .......................................................
36
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
2
34
Analyse élastique et linéaire ..........................................................
Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments .............
Analyse plastique ...........................................................................
Analyse non linéaire ......................................................................
Dispositions constructives – Aciers en chapeau ............................
4.5.1 Chapeaux sur appuis de rive ..............................................
4.5.2 Chapeaux sur appuis intermédiaires ..................................
Analyse élastique et linéaire ..........................................................
Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments .............
Analyse plastique ...........................................................................
Analyse non linéaire ......................................................................
Dispositions constructives .............................................................
5.5.1 Armatures de flexion .........................................................
5.5.2 Armatures d’effort tranchant .............................................
37
37
37
38
38
38
41
II. APPLICATIONS ..........................................................................
Application n˚ 1 : analyse d’une poutre ........................................
42
42
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
42
43
Application n˚ 2 : analyse d’une poutre continue .........................
52
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
52
53
Instabilité de forme – Flambement ....................................... 69
I. RAPPELS THÉORIQUES ...........................................................
1. Rappels de résistance des matériaux .............................................
1.1
1.2
69
69
Force critique d’Euler ....................................................................
Amplification de la déformée d’une poutre comprimée ................
1.2.1 Équation différentielle de la ligne moyenne déformée .....
1.2.2 Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée
– Coefficient d’amplification ............................................
1.2.3 Excentricités du premier et du second ordre .....................
71
73
2. Classification des structures et des éléments structuraux .............
75
2.1
2.2
69
70
71
Éléments contreventés et non contreventés ...................................
Cas des poteaux isolés ...................................................................
2.2.1 Élancement ........................................................................
2.2.2 Cas des sections rectangulaires .........................................
2.2.3 Cas des sections circulaires ...............................................
Cas des éléments de structure isolés ..............................................
75
75
75
76
76
76
3. Imperfections géométriques ..........................................................
4. Méthode générale ..........................................................................
78
78
2.3
4.1
4.2
4.3
Domaine d’application ...................................................................
Hypothèses complémentaires .........................................................
4.2.1 Hypothèses mécaniques ....................................................
4.2.2 Hypothèse géométrique supplémentaire ...........................
Excentricité « externe » .................................................................
79
80
80
82
83
Table des matières
4.4
4.5
4.6
Excentricité « interne » ...................................................................
Étude de l’équilibre .........................................................................
Méthode de l’équilibre – Méthode des déformations internes .......
4.6.1 Méthode générale ...............................................................
4.6.2 Méthode simplifiée .............................................................
4.6.3 Remarque ...........................................................................
Cas des sections rectangulaires à deux nappes d’armatures ...........
84
85
87
87
87
88
88
5. Dispense de la vérification de l’état limite ultime de stabilité
de forme (flambement) .................................................................
92
4.7
5.1
5.2
Cas des éléments isolés ...................................................................
Cas des structures ...........................................................................
92
94
6. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme
à un calcul de section – Méthode de la rigidité .............................
95
6.1
6.2
Domaine de validité ........................................................................
Rigidité nominale ............................................................................
A
6.2.1 Cas où 0,002 ≤ ρ = ------s < 0,01 .........................................
Ac
6.2.2
6.3
6.4
6.5
A
Cas où ρ = ------s ≥ 0,01 ......................................................
Ac
Principe de la méthode ....................................................................
Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier ordre
différentes aux deux extrémités ......................................................
Processus d’application de la méthode de la rigidité ......................
95
95
96
96
97
99
99
7. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme
à un calcul de section – Méthode de l’estimation
de la courbure ................................................................................ 101
7.1
7.2
7.3
Domaine de validité ........................................................................
Principe de la méthode ....................................................................
7.2.1 Introduction ........................................................................
7.2.2 Moment de calcul de l’élément ..........................................
7.2.3 Courbure .............................................................................
Processus d’application de la méthode de l’estimation
de la courbure .................................................................................
101
101
101
106
107
109
II. APPLICATIONS .......................................................................... 111
Application n˚ 1 : vérification au flambement par la méthode
de l’équilibre (charges quelconques) ............................................ 111
–Énoncé– .................................................................................................. 111
–Corrigé– .................................................................................................. 112
Application n˚ 2 : dimensionnement des armatures par la méthode
de la rigidité .................................................................................. 124
–Énoncé– .................................................................................................. 124
–Corrigé– .................................................................................................. 125
Application n˚ 3 : vérification au flambement par la méthode
de l’estimation de la courbure ....................................................... 138
–Énoncé– .................................................................................................. 138
–Corrigé– .................................................................................................. 139
VII
VIII
Application n˚ 4 : dimensionnement des armatures
par la méthode de l’estimation de la courbure .............................. 148
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
3
148
149
État limite de service de maîtrise de la fissuration ........... 161
I.
1.
2.
3.
RAPPELS THÉORIQUES ...........................................................
Considérations générales ...............................................................
Exigences ......................................................................................
Section minimale d’armatures ......................................................
161
161
162
163
3.1
3.2
163
165
Cas général .....................................................................................
Cas des sections rectangulaires ......................................................
4. Calcul des ouvertures de fissures .................................................. 166
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Introduction ....................................................................................
Principe du calcul ...........................................................................
4.2.1 Ouverture moyenne des fissures ........................................
4.2.2 Distance moyenne srm entre fissures .................................
4.2.3 Allongement relatif de l’armature par rapport au béton ....
Espacement maximal des fissures sr, max ......................................
4.3.1 Armatures tendues avec faible espacement .......................
4.3.2 Armatures tendues avec espacement important ................
4.3.3 Éléments armés dans deux directions orthogonales ..........
Ouverture calculée des fissures .....................................................
Vérification ....................................................................................
166
169
169
170
170
174
174
175
176
176
178
5. Contrôle de la fissuration sans calcul direct .................................. 178
5.1
5.2
Cas des dalles de bâtiment .............................................................
Autres cas .......................................................................................
5.2.1 Fissuration due principalement aux déformations gênées ...
5.2.2 Fissuration due principalement aux charges .....................
178
178
179
180
6. Armatures de peau ........................................................................ 181
6.1
6.2
Domaine d’application ...................................................................
Armatures de peau supplémentaires ..............................................
181
181
II. APPLICATION ............................................................................ 182
Application : section rectangulaire – Maîtrise de la fissuration .... 182
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
4
182
182
État limite de service de déformation ................................... 197
I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 197
1. Généralités .................................................................................... 197
1.1
1.2
1.3
Influence de la fissuration sur la flèche .........................................
Influence de la durée d’application des charges sur la déformée ..
Influence de l’inertie ......................................................................
1.3.1 Rappels de résistance des matériaux .................................
1.3.2 Particularités du béton armé ..............................................
197
198
198
198
199
Table des matières
2. Calcul des flèches à l’état limite de service de déformation ......... 200
2.1
2.2
2.3
Section entièrement comprimée .....................................................
Section partiellement tendue ...........................................................
2.2.1 Courbure dans l’état fissuré ..............................................
2.2.2 Courbure dans l’état non fissuré ........................................
2.2.3 Déformations .....................................................................
2.2.4 Méthode de la double intégration de la courbure ...............
2.2.5 Paramètres de déformation .................................................
2.2.6 Calcul des flèches ...............................................................
Méthodes simplifiées ......................................................................
2.3.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure ..
2.3.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique
à celle du moment fléchissant ............................................
200
200
200
203
205
205
208
209
210
210
212
3. Bâtiments courants ........................................................................ 217
3.1
3.2
3.3
Vérification de la flèche ..................................................................
Vérification des flèches par le calcul ..............................................
Dispense de la vérification ..............................................................
3.3.1 Rapports de base portée sur hauteur utile ..........................
3.3.2 Corrections des valeurs /d ................................................
217
218
218
218
224
4. Prise en compte du retrait et du fluage .......................................... 225
4.1
4.2
Module d’élasticité du béton .......................................................... 225
Effets du retrait ............................................................................... 226
II. APPLICATIONS .......................................................................... 227
Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis simples – Flèche ......... 227
–Énoncé– .................................................................................................. 227
–Corrigé– .................................................................................................. 228
Application n˚ 2 : flèche d’une dalle de plancher ......................... 240
–Énoncé– .................................................................................................. 240
–Corrigé– .................................................................................................. 241
5
Poinçonnement ............................................................................ 245
I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 245
1. Contours de référence ................................................................... 247
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Définitions ......................................................................................
Aire chargée éloignée d’un bord libre ............................................
Aire chargée près d’une ouverture ..................................................
Aire chargée proche de bords libres ...............................................
Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles) ......................
1.5.1 Cas des poteaux circulaires ................................................
1.5.2 Cas des poteaux rectangulaires ..........................................
247
248
249
249
250
250
251
2. Résistances au poinçonnement ..................................................... 253
2.1
Contraintes tangentes résistantes .................................................... 253
2.1.1 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement
d’une dalle ou d’une semelle de poteau sans armatures
de poinçonnement .............................................................. 253
IX
X
2.1.2
2.2
2.3
2.4
Valeur maximale de calcul de la résistance
au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle
de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement .......
2.1.3 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement
d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures
de poinçonnement ..............................................................
Vérification de la valeur maximale de calcul de la résistance
au poinçonnement ..........................................................................
2.2.1 Contrainte maximale de poinçonnement ...........................
2.2.2 Vérification ........................................................................
Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement .....
2.3.1 Contrainte maximale de poinçonnement ...........................
2.3.2 Vérification ........................................................................
Dalles ou semelles de poteaux avec armatures de poinçonnement .....
2.4.1 Contrainte maximale de poinçonnement ...........................
2.4.2 Calcul des armatures de poinçonnement ...........................
2.4.3 Contour de la zone avec armatures de poinçonnement .....
2.4.4 Dispositions constructives .................................................
2.4.5 Section minimale d’armatures de poinçonnement ............
2.4.6 Barres relevées utilisées comme armatures
de poinçonnement ..............................................................
255
255
256
256
263
264
264
264
265
265
265
265
266
267
267
II. APPLICATIONS .......................................................................... 269
Application n˚ 1 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire
chargée circulaire .......................................................................... 269
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
269
269
Application n˚ 2 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire
chargée rectangulaire .................................................................... 272
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
6
272
273
Corbeaux ........................................................................................ 281
I.
1.
2.
3.
RAPPELS THÉORIQUES ...........................................................
Définition ......................................................................................
Vérification de la compression des bielles de béton .....................
Armatures ......................................................................................
281
281
283
285
3.1
3.2
3.3
285
286
287
287
287
Armatures supérieures tendues ......................................................
Armatures horizontales de répartition ............................................
Armatures verticales ......................................................................
3.3.1 Cas où ac ≤ 0,5.hc .............................................................
3.3.2 Cas où ac > 0,5.hc .............................................................
4. Dispositions constructives ............................................................. 288
II. APPLICATION ............................................................................ 290
Application : console courte ......................................................... 290
–Énoncé– ..................................................................................................
–Corrigé– .................................................................................................
290
291
Table des matières
7
État limite ultime de fatigue ..................................................... 297
I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 297
1. Introduction ................................................................................... 297
2. Combinaisons d’actions ................................................................ 297
2.1
2.2
Combinaison de base ...................................................................... 298
Combinaison de base plus action cyclique ..................................... 298
3. Calcul des contraintes ................................................................... 299
4. Vérification pour les armatures ..................................................... 299
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Vérification explicite de l’endommagement ..................................
4.1.1 Principe de la vérification ..................................................
4.1.2 Caractéristiques de la courbe S-N ......................................
4.1.3 Processus de vérification ....................................................
4.1.4 Remarque ...........................................................................
Cas de cycles multiples d’étendue variable ....................................
Méthode de l’étendue de contrainte équivalente ............................
Cas particuliers ...............................................................................
Cas des armatures d’âme ................................................................
4.5.1 Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte ......
4.5.2 Vérification ........................................................................
299
299
300
301
302
303
303
303
304
304
305
5. Vérification pour le béton comprimé ............................................ 305
5.1
5.2
Éléments pour lesquels aucune armature d’âme n’est requise ....... 305
Éléments comportant des armatures d’âme .................................... 306
II. APPLICATION ............................................................................ 309
Application : section rectangulaire sans aciers comprimés .......... 309
–Énoncé– .................................................................................................. 309
–Corrigé– .................................................................................................. 310
Annexe ....................................................................................................... 317
Bibliographie............................................................................................ 333
Index........................................................................................................... 335
XI
Avant-propos
1.
Présentation des eurocodes et de l’ouvrage
Le programme des eurocodes structuraux constitue un ensemble de textes
cohérents dans le domaine de la construction. Il comporte les normes suivantes,
chacune étant, en général, constituée d’un certain nombre de parties :
EN 1990 eurocode 0 : Bases de calcul des structures,
EN 1991 eurocode 1 : Actions sur les structures,
EN 1992 eurocode 2 : Calcul des structures en béton,
EN 1993 eurocode 3 : Calcul des structures en acier,
EN 1994 eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton,
EN 1995 eurocode 5 : Calcul des structures en bois,
EN 1996 eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie,
EN 1997 eurocode 7 : Calcul géotechnique,
EN 1998 eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes,
EN 1999 eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium.
L’eurocode 2, pour sa part, comporte les parties suivantes :
Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments,
Partie 1-2 : règles générales – Calcul du comportement au feu,
Partie 2 :
ponts en béton – Calcul et dispositions constructives,
Partie 3 :
silos et réservoirs.
Les eurocodes structuraux constituent des normes européennes transposables en
normes nationales dans les pays suivants : Allemagne, Autriche, Belgique,
Chypre, Danemark, Espagne, Estonie, Finlande, France, Grèce, Hongrie,
Irlande, Islande, Italie, Lettonie, Lituanie, Luxembourg, Malte, Norvège, PaysBas, Pologne, Portugal, République Tchèque, Royaume-Uni, Slovaquie,
Slovénie, Suède et Suisse.
Les normes nationales transposant les eurocodes comprennent la totalité du
texte des eurocodes (toutes annexes incluses). Ce texte peut être :
• précédé d’une page nationale de titres et par un avant-propos national,
• et eventuellement suivi d’une Annexe nationale.
Ces normes nationales sont amenées à se substituer aux textes réglementaires
correspondants en vigueur dans les pays européens cités ci-dessus. Ainsi, en
France, l’eurocode 2 remplacera définitivement les Règles BAEL 91 pour le
béton armé et BPEL 91 pour le béton précontraint en mars 2010.
2
Le présent ouvrage est établi à partir des normes européennes et de leurs
Annexes nationales françaises suivantes :
• EN 1992-1-1 : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 1-1 : règles
générales et règles pour les bâtiments (décembre 2004),
• EN 1992-2 : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 : ponts en
béton – calcul et dispositions constructives (mai 2006),
• NF EN 1992-1-1/NA : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 11 : règles générales et règles pour les bâtiments – Annexe nationale à la NF
EN 1992-1-1 : 2005 (mars 2007),
• NF EN 1992-2/NA : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 :
ponts en béton – calcul et dispositions constructives – Annexe nationale à la
NF EN 1992-2 (avril 2007).
Le lecteur est invité à s’assurer que les documents de référence n’ont pas évolué
depuis ces versions.
Nous ne développerons, dans cet ouvrage que les parties de l’eurocode 2
relatives au béton armé, en laissant de côté celles applicables au béton précontraint.
Certaines données et formules ont été volontairement répétées dans plusieurs
chapitres pour éviter au lecteur d’effectuer des recherches dans le premier
chapitre où elles ont été définies (c’est le cas par exemle de la longueur de
flambement qui intervient dans le calcul des poteaux et dans la vérification au
flambement).
Le texte qui suit a été rédigé en adoptant les principes énumérés ci-après.
2.
Références règlementaires
Les références réglementaires relatives à l’eurocode 2 (parties 1 ou 2), sont
indiqués dans des notes de bas de page reprenant les numéros des articles de
l’eurocode 2 après le sigle « EC 2 ». La différenciation entre les deux parties
s’effectuant par le numéro entre parenthèses qui est supérieur à 100 pour la
partie 2 relative aux ponts.
Lorsque ces références ne concernent pas l’eurocode 2, elles sont indiquées de
la même façon, sans le sigle « EC 2 ».
Lorsque le texte réglementaire renvoie à une annexe nationale, la référence,
portée en bas de page, est : « voir AN » après le sigle « EC 2 ».
Avant-propos
3.
Numérotation des formules
Les numéros des formules figurant dans l’eurocode 2 (ou dans tout autre texte
réglementaire) sont indiqués, entre parenthèses et en gras, en regard de la
formule concernée.
Pour les besoins de l’exposé, lorsqu’il a été nécessaire de numéroter des
formules, cette numérotation est indiquée, en caractères normaux placés entre
crochets, à la suite de la formule visée. Cette numérotation comporte deux
nombres, séparés par un point :
• le premier correspond au numéro du chapitre de l’ouvrage,
• le second est un numéro d’ordre à l’intérieur de ce chapitre.
Exemple :
60
2.
Disposition des armatures
c
o
o
o
o
o
o
c
2.1
Enrobage
On appelle enrobage la distance du nu d’une armature à l’arrase de béton la plus
proche (c = cover en anglais).
L’« enrobage nominal » doit être spécifié sur les plans1 :
c nom
c min
c dev
(7.8)
avec :
c min = enrobage minimal,
Corps du texte
c dev = marge pour tolérances d’exécution.
et formules
2.2
Références
de la formule
dans l’EC 2
Enrobage minimal
L’« enrobage minimal » doit être assuré afin de garantir2 :
• une transmission correcte des forces d’adhérence ;
Numéro de la formule
du chapitre
• la protection de l’acier contre la corrosion ;
• une résistance au feu convenable.
c min, b ,
c min
Max c min, dur
c dur ,
c dur , st
10 mm.
1.
2.
3.
EC 2 – 4.4.1.1
EC 2 – 4.4.1.2 (1)P
EC 2 – 4.4.1.2 (2)P
Références au texte
de l’EC 2 en note
de bas de page
c dur , add ,
3
[4.1]
3
4
Les annexes sont repérées de la façon suivante par des renvois situés en bas de
page :
• [Annexe A1] : pour celles relatives au texte de l’ouvrage (repérage par la
lettre A suivi d’un chiffre arabe),
• [Annexe 1] : pour celles disponibles en ligne sur www.editions-eyrolles.com
sur la fiche de l’ouvrage (repérage par un chiffre arabe),
• EC 2 – Annexe J 3.2 : pour celles figurant dans les textes règlementaires
(repérage, après le sigle EC2, par la lettre de l’annexe suivie éventuellement
de chiffres arabes renvoyant au paragraphe de la dite annexe).
4.
Couleurs des figures
Les couleurs utilisées pour les figures illustrant cet ouvrage respectent autant
que faire se peut les règles suivantes :
1/ pour la résistance des matériaux :
– rouge : moment fléchissant,
– bleu : effort tranchant,
– vert : effort normal, centre de pression.
2/ pour le béton armé :
– rouge : armatures longitudinales tendues, parties tendues des diagrammes des contraintes ou des déformations,
– bleu : parties comprimées des diagrammes des contraintes ou des déformations, bielles de béton comprimé,
– vert : armatures d’âme et armatures transversales.
5.
Notations et symboles particuliers
Les symboles et notations utilisés dans cet ouvrage sont conformes aux
symboles et notations utilisés dans l’eurocode 2.
Néanmoins, pour plus de clarté, d’autres notations sont apparues nécessaires ;
La symbolisation adoptée alors respecte les principes énoncés par ces Règles
pour les notations.
La terminologie employée a été parfois volontairement simplifiée pour éviter
d’avoir des définitions trop longues. Par exemple, on utilise « section » (ou
« aire ») pour désigner « l’aire d’une section droite » ; de même, les termes
« moment d’inertie » ou même « inertie » sans autre précision, désignent le
« moment d’inertie d’une section à plan moyen par rapport à l’axe perpendiculaire au plan moyen passant par le centre de gravité de celle-ci », etc.
Les sigles ELU et ELS signifient respectivement « état-limite ultime » et « état
limite de service ». Le sigle AN signifie « axe neutre ».
Avant-propos
Pour ne pas alourdir les formules, le signe multiplié (x) a été systématiquement
remplacé par un point (.).
Les symboles utilisés sont les suivants :
• X
valeur absolue de X,
• cf
confer,
• Cste
valeur constante,
• O.K.
vérification assurée,
n
•
∑ Ak
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
⇒
k =1
⇔
</
>/
<<
>>
><
≈
∀
≠
max
min
n
∑ A k = A1 + A 2 + ... + A k + ... + A n ,
k =1
implique,
équivalent à,
pas inférieur à,
pas supérieur à,
très inférieur à,
très supérieur à,
comparé à,
sensiblement égal à,
quel que soit,
différent de,
maximal,
minimal.
Le surlignage est utilisé pour distinguer une valeur limite (par exemple une
contrainte) définissant un état limite de service.
5
Notations et symboles
Dans le tableau ci-dessous :
• la première colonne comporte les notations et symboles extraits des Règles
eurocode 2 et utilisés dans le présent ouvrage,
• la seconde colonne reprend les définitions attachées aux symboles précédents,
• la troisième colonne indique les notations correspondantes des Règles
françaises BAEL 91.
Remarque
Lorsqu’une grandeur figurant dans les Règles EC 2 n’est pas utilisée dans les
Règles BAEL 91, la ligne correspondante ne comporte pas de symbole dans la
troisième colonne.
1.
Majuscules romaines
Notations
EC 2
Signification
Notations
BAEL 91
A
surface totale d’une section délimitée par le périmètre extérieur, aires des parties creuses comprises (torsion),
Ac
aire de la section droite (béton seul),
A c , eff
aire de la section effective de béton autour des armatures tendues,
A cont
aire de contrôle de référence,
A ct
aire de la zone de béton éventuellement tendu,
aire de la zone de béton tendu avant la formation de la pre- Bt
mière fissure,
Ad
valeur représentative d’une action accidentelle,
FA
A Ed
valeur représentative d’une action sismique,
FA
Ak
aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois d’une section
Ω
creuse,
A load
aire chargée,
AN
axe neutre = axe des déformations (ou des contraintes) nulAN
les,
B0 ou B
8
A sf
aire totale des armatures longitudinales tendues,
section des barres longitudinales situées dans le talon d’une A
poutre à talon,
section d’un cours d’armatures de liaison (jonction hourdisAs + A i
nervure),
A s, inf
aciers inférieurs d’une dalle,
∑ Asl
A s, min
section complémentaire d’armatures longitudinales nécessaire pour la torsion,
section minimale d’armatures dans la zone tendue pour la
maîtrise de la fissuration,
A s, prov
section d’armatures effectivement prévue,
A s, req
section d’armatures requise par le calcul,
A s, sup
aciers supérieurs d’une dalle,
A s, surf
section des armatures de peau,
A sw
section d’une nappe d’armatures d’âme,
aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour d’une aire chargée,
At
A swr
section d’une nappe de barres relevées,
Ar
As
∑ Al
A min
A s1
aire d’une armature longitudinale,
aire totale des armatures longitudinales tendues,
section des barres longitudinales situées dans une saillie de
table,
A s2
aire totale des armatures longitudinales comprimées,
A’
∑ As, ink
Section totale d’armatures de répartition d’une console
courte :
• horizontales,
• ou verticales,
∑ Ar
A s, main
armatures supérieures tendues d’une console courte,
A
E cd
module d’élasticité de calcul du béton,
E c , eff
module d’élasticité effectif tangent du béton,
E vj
E cm
module de déformation instantanée du béton,
E bi
Es
module d’élasticité de l’acier,
Es
Fc
résultante des efforts de compression dans le béton,
Fbc
FEd
effort vertical ultime (consoles courtes),
Vu
A sl
A
A1
∑ A tv
Notations et symboles
FEd, sup
réaction d’appui,
Fsc
résultante des efforts dans la zone comprimée d’une section, Fbsc
Fs1
résultante des efforts dans les armatures tendues,
Fs
Fs2
résultante des efforts dans les aciers comprimés,
Fsc
G kj, sup
valeur caractéristique de l’action permanente défavorable,
G max
G kj, inf
valeur caractéristique de l’action permanente favorable,
G min
H Ed
effort horizontal ultime (consoles courtes),
Hu
I ch
moment d’inertie de la section droite fissurée (section
homogène réduite),
moment d’inertie de la section droite non fissurée (section
homogène non réduite),
Mcr
moment de fissuration,
Mf
Mlu
moment limite ultime,
Mlu
Mrc
moment résistant béton,
Mrb
I cf
I1
MTu
moment fléchissant de service de référence pour le calcul des
MTser
sections en T,
moment fléchissant ultime de référence pour le calcul des
MTu
sections en T,
MEd
moment fléchissant ultime,
M0 e
moment du premier ordre équivalent,
MTser
Mu
NB
moment du premier ordre (à l’ELU) tenant compte des
imperfections géométriques,
moment de service du premier ordre sous la combinaison
d’actions quasi permanente (ELS),
charge de flambement évaluée sur la base de la méthode
de la rigidité nominale,
N Ed
effort normal de compression à l’ELU,
Nu
Qk, i
valeur caractéristique d’une action variable,
valeur caractéristique des actions variables
« d’accompagnement »,
Qi
Q k, 1
valeur caractéristique de l’action variable « dominante »,
Q1
TEd
couple de torsion,
Tu
M 0 Ed
MOEqp
9
10
Vccd
couple maximal de torsion auquel peuvent résister les bielles
de béton comprimées,
composante parallèle à VRd, s de la force de compression dans la
membrure comprimée d’une poutre de hauteur variable,
VEd
effort tranchant de calcul à l’ELU dû aux charges appliquées,
TRd, max
effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans
armatures d’effort tranchant,
effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté
sans provoquer l’écrasement des bielles de béton comprimé,
effort tranchant de calcul pouvant être supporté par un
élément avec armatures d’effort tranchant travaillant
à la limite d’élasticité,
composante parallèle à VRd, s de la force de traction dans les
armatures tendues d’une poutre de hauteur variable.
VRd , c
VRd, max
VRd , s
Vtd
2.
Vu
Minuscules romaines
Notations
EC 2
Signification
Notations
BAEL 91
beff
distances libres verticale ou horizontale entre barres et/ou
ev , eh
paquets de barres,
distance de la ligne d’application de FEd à la face la plus
a
proche du poteau (consoles courtes),
distance de la face supérieure du dispositif d’appui à la ligne
moyenne des armatures les plus proches de la face supérieure d’une console courte,
largeur participante de la table de compression d’une section
b
en T,
bt
largeur moyenne de la zone tendue d’une section,
a
ac
aH
largeur d’une section rectangulaire, largeur de l’âme d’une
section en T,
diamètre d’un poteau,
distance des barres longitudinales à la paroi la plus proche
(torsion),
bw
c
enrobage minimal,
c min
c min,
b
c min, dur
enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérence,
enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement,
b0
b0
Notations et symboles
c nom
enrobage nominal,
d
distance du centre de gravité des armatures tendues à la fibre
la plus comprimée d’une section droite,
d
hauteur utile des armatures les plus proches de la face supérieure d’une console courte,
dg
grosseur maximale des granulats,
d’
distance du centre de gravité des aciers comprimés à la fibre
d’
de béton la plus comprimée,
fb
contrainte d’adhérence moyenne,
τs
fbd
contrainte ultime d’adhérence,
τsu
cg
fck
contrainte de compression du béton correspondant à la partie
fbu
rectiligne du diagramme parabole-rectangle,
résistance caractéristique à la compression du béton à 28
fc28
jours,
fcm
résistance moyenne à la compression du béton à 28 jours,
fctd
résistance de calcul en traction du béton,
fctk , 0 , 05
résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,05,
fctk,
résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,95,
fcd
0 , 95
fctm
résistance à la traction du béton à 28 jours,
ft28
fcu
contrainte uniforme de compression du béton,
fbu
ft
résistance à la traction,
fyd
résistance de calcul des armatures (limite d’élasticité),
fed
fyk
limite d’élasticité des aciers,
fe
fywd
résistance de calcul des armatures d’âme (limite d’élasticité), fetd
fywk
limite d’élasticité des aciers transversaux
f0 , 2 k
h
hc
h c , ef
fet
limite caractéristique d’élasticité conventionnelle à 0,2 %
d’allongement rémanant de l’acier,
hauteur totale d’une section,
h
hauteur de la console au niveau de son encastrement dans le
poteau,
hauteur de la section effective de béton autour des armatures
tendues pour le calcul de l’ouverture des fissures,
11
12
hf
épaisseur de la table de compression d’une section en T
h0
i
rayon de giration d’une section droite (béton non fissuré),
i
lb
longueur d’ancrage de référence,
l bd
longueur d’ancrage de calcul,
l b, eq
longueur d’ancrage équivalente (ancrages courbes),
l b, rqd
longueur d’ancrage requise,
l eff
portée utile (de calcul) d’une poutre, d’une travée,
l
ln
portée entre nus d’appuis,
l
l0
hauteur utile d’un poteau (longueur de flambement),
lf
l0
longueur de recouvrement,
lr
n
effort normal relatif,
1
r
courbure,
1
r
s
espacement des cours d’armatures d’âme
st
espacement des armatures transversales d’un poteau,
s t ou s 't
espacement maximal des armatures transversales d’un
poteau,
s t , stmax
espacement des armatures transversales d’un poteau,
st
espacement des armatures de couture,
st
scl ,
t
scl ,
t max
scl ,
t
sf
smax
espacement longitudinal maximal des armatures d’effort
tranchant,
espacement longitudinal maximal des armatures d’effort
tranchant ou des barres relevées dans une dalle,
smax, slabs
espacement des armatures de flexion d’une dalle,
sr
espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement,
sr, max
espacement maximal des fissures,
sl, max
st
s t, max
espacement tangentiel des cours d’armatures de poinçonnement,
espacement transversal maximal des armatures d’effort tranchant,
la
Notations et symboles
u
écartement initial des armatures d’âme pour l’application de
s t0
la méthode Caquot,
écartement de départ des armatures d’âme pour l’application
s t1
de la méthode Caquot,
profondeur d’appui,
épaisseur d’un tube creux,
épaisseur équivalente du tube creux associé à une section
e
pleine,
périmètre extérieur d’une section (torsion),
u1
périmètre du contour de contrôle de référence,
u1*
périmètre du contour de contrôle de référence réduit,
uk
périmètre de l’aire A k,
u
vR
contrainte tangente pour l’effort tranchant,
τR
s0
s1
t
t ef , i
v
Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’un
semelle sans armatures de poinçonnement,
valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une
dalle sans armatures de poinçonnement,
valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une
dalle avec armatures de poinçonnement,
valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle,
hauteur de la zone comprimée d’une section droite fléchie,
hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée
à l’ELU,
hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée
à l’ELS,
contrainte tangente,
wk
ouverture calculée des fissures,
w max
valeur limite de l’ouverture calculée des fissures,
z
bras de levier des forces élastiques = distance entre Fsc et Fs1,
distance du pied de la bielle à l’axe horizontal des aciers
supérieurs tendus (consoles courtes),
bras de levier de la résultante des contraintes de compression
du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELU = distance
entre Fc et Fs1,
bras de levier de la résultante des contraintes de compression
du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELS = distance
entre Fc et Fs1.
v Rd
v Rd , c
v Rd , cs
v Rd, max
x
xu
x1
z0
zc
z c1
y
yu
y1
t
z
z
zb
z b1
13
14
3.
Majuscules ou minuscules grecques
Notations
EC 2
Signification
Notations
BAEL 91
α
inclinaison des armatures d’âme sur la ligne moyenne,
α
αe
coefficient d’équivalence,
n
αu
hauteur relative de l’axe neutre à l’ELU,
a
αθ
coefficient de dilatation thermique moyen du béton armé,
αθ
α1
hauteur relative de l’axe neutre à l’ELS,
α1
Δc dev
marge pour tolérances d’exécution,
Δc dur , add
Δc dur , st
réduction de l’enrobage minimal dans le cas de protection
supplémentaire,
réduction de l’enrobage minimal dans le cas d’acier inoxydable,
Δc dur,
marge de sécurité sur l’enrobage,
γ
εc
raccourcissement de la fibre la plus comprimée d’une section,
ε cc ( t)
déformation unitaire de fluage,
ε cm
allongement unitaire moyen du béton sur sr, max ,
ε cs ou ε cs
déformation unitaire de retrait,
ε cu2
ε yd
raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le
diagramme parabole-rectangle,
raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le
diagramme bi-linéaire,
raccourcissement relatif maximal en compression simple du
béton correspondant à la contrainte fcd dans le diagramme
parabole-rectangle,
raccourcissement relatif maximal en compression simple du
béton correspondant à la contrainte fcd dans le diagramme
bi-linéaire,
déformation moyenne de l’armature de béton armé sous la
combinaison de charges considérée,
allongement des aciers tendus lorsque leur contrainte est
εsl
égale à leur limite d’élasticité,
εs1
allongement des aciers tendus,
ε cu3
ε c2
ε c3
εsm
ε bc
εs
Notations et symboles
εs2
raccourcissement des aciers comprimés,
ε ud
allongement maximal relatif de l’acier tendu dans le cas du
diagramme σ−ε à palier incliné,
ϕ ( t, t 0 )
coefficient de fluage,
ϕ ef
coefficient de fluage effectif,
φ
φeq
diamètre d’une barre d’acier,
φ
diamètre équivalent d’un groupe de barres pour le calcul de
l’ouverture des fissures,
φlarge
diamètre maximal des barres de faible diamètre,
φm
diamètre du mandrin de cintrage,
φn
diamètre fictif équivalent d’un paquet de barres,
γc
λ
coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul du
béton,
coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul des
aciers,
hauteur relative de la zone de béton uniformément comprimée du diagramme rectangulaire simplifié en flexion simple,
élancement,
λ lim
Elancement limite d’une pièce comprimée,
μ cu
moment fléchissant ultime réduit,
μ bu
μ lu
moment fléchissant limite ultime réduit,
μ lu
μ rc
moment résistant béton réduit,
μ rb
ψ 0, i .Q k , i
valeur de combinaison d’une action variable,
ψ 0, i .Q i
ψ1, i .Q k , i
valeur fréquente d’une action variable,
ψ1, i .Q i
ψ 2, i .Q k , i
valeur quasi permanente d’une action variable,
ψ 2, i .Q i
ρl
pourcentage d’armatures longitudinales,
ρp, eff
pourcentage d’armatures dans la section effective de béton
autour des armatures tendues : A c , eff ,
ρw
pourcentage d’armatures transversales,
σc
contrainte limite de compression du béton à l’ELS,
σ bc
σs
contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS,
σs
γs
λ
εsc
ϕ
D
γb
γs
0,8
λ
15
16
σ Rd, max
Contrainte maximale de compression d’une bielle de béton,
σs
valeur de la contrainte dans une armature métallique,
σs
τt, i
contrainte tangente due à la torsion.
τu
1
Analyse structurale
I.
RAPPELS THÉORIQUES
1.
Définition
Le but de l’analyse structurale est de déterminer soit la répartition des sollicitations, soit celle des contraintes, déformations et déplacements, pour l’ensemble
ou pour un élément d’une structure1.
Lorsque l’hypothèse d’une distribution linéaire des déformations unitaires ne
s’applique plus, une analyse locale complémentaire est à faire2 :
• à proximité des appuis ;
• au droit des points d’application des charges concentrées ;
• aux nœuds entre poutres et poteaux ;
• dans les zones d’ancrage ;
• aux changements de section transversale.
L’analyse peut être basée sur un modèle de comportement3 :
• élastique linéaire (sollicitations proportionnelles aux actions) ;
• élastique linéaire avec redistribution limitée ;
• plastique (avec ou sans modélisation par bielles et tirants) ;
• non linéaire.
Pour les ponts, des méthodes d’analyse reconnues peuvent être utilisées pour les
effets dépendants du temps4 :
2.
Modélisation des structures
Les éléments constitutifs d’une structure sont normalement classés d’après leur
nature et leur fonction en5 : poutres, poteaux, dalles, voiles, etc.
1.
2.
3.
4.
5.
EC 2 – 5.1.1 (1)P
EC 2 – 5.1.1 (2)
EC 2 – 5.1.1 (7)
EC 2 – 5.1.1 (108) + annexe KK
EC 2 – 5.3
18
2.1
Éléments de structures
Dans le cas des bâtiments, on applique les dispositions énumérées ci-après6.
2.1.1
Poutre et poutre-cloison
Pour les poutres : ≥ 3.h
h
Pour les poutres-cloisons :
< 3.h
l
2.1.2
Poteaux et voiles7
Pour les poteaux7 : --- ≥ 3 et h < 4.b
h
h
Pour les voiles : --- < 3 ou h ≥ 4.b
h
l
A
A
COUPE AA
b
h (>b)
2.1.3
Dalles
Définition8 :
x ≤ y
x ≥ 5.h
h
lx ( ly )
ly
6.
7.
8.
EC 2 – 5.3.1 (3)
EC 2 – 5.3.1 (7)
EC 2 – 5.3.1 (4)
Analyse structurale
Une dalle soumise en majeure partie à des charges uniformes porte dans un seul
sens si9 :
• La dalle est appuyée sur
deux côtés avec deux bords
libres sensiblement parallèles.
Sens de
flexion
l
ou
• La dalle est appuyée sur
son contour lorsque :
Sens de
flexion
x
----- < 0,5
y
lx (≤ ly )
ly
2.2
Largeur participante des poutres en T
Valable pour tous les états limites. La largeur participante de la table de
compression (c’est-à-dire la partie de dalle associée à la nervure d’une poutre
pour constituer une section en T) est définie comme indiqué ci-dessous.
Dans les cas courants, la distance 0 entre points de moment nul est obtenue
par10 :
l0 = 0,7 / 2
l0 = 0,85 / 1
l0 = 0,15 (l1 + l2 )
l1
9. EC 2 – 5.3.1 (5)
10. EC 2 – 5.3.2.1 (2)
l
l0 = 0,15 l2 + l3
l2
l3
19
20
avec :
2 1 3
--- ≤ ----- ≤ --- pour deux travées consécutives,
3 2 2
et 3 < ----2- pour les consoles.
2
Largeur participante de la table de compression des poutres en T (zone sur
laquelle on peut admettre une distribution uniforme des contraintes11) :
beff
beff 1
beff 2
hf
h
b1
b1
b2
b2
bw
b
⎧⎪ ∑ beff , i + bw
beff = Min ⎨
⎩⎪ b
(5.7)
avec :
b eff, i
⎧ 0,2.b i + 0,10. 0
⎪
= Min ⎨ 0,2. 0
⎪
⎩ bi
(5.7a et 5.7b)
Lorsqu’une grande précision des calculs n’est pas exigée (poutres continues des
bâtiments par exemple), l’analyse peut être faite en admettant une largeur de
table beff constante sur toute la portée12 :
2.3
Portées utiles des poutres et dalles
2.3.1
Définitions – Principes
La portée utile (de calcul) eff est donnée par13 :
11. EC 2 – 9.3.2.1 3
12. EC 2 – 5.3.2.1 4
13. EC 2 – 5.3.2.2 (1)
Analyse structurale
ln
a1
a2
leff
eff = n + a 1 + a 2
(5.8)
avec :
n= portée entre nus d’appuis,
t = profondeur de l’appui,
a1 et a 2 = distances définies ci-dessous :
h
ai
h
ai
ln
t
ln
t
leff
leff
Éléments isostatiques
Éléments continus
1
1
a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥
2 ⎦
⎣2
1
1
a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥
2 ⎦
⎣2
Axe de l'appareil
d'appui
h
ai
ln
t
ai
h
ln
t
leff
Appuis considérés comme encastrements
parfaits
1
1
a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥
2 ⎦
⎣2
leff
Cas d’appareils d’appui
21
22
h
ln
ai
t
leff
Extrémité en porte-à-faux
1
1
a i = Min ⎡⎢ t ; h ⎤⎥
2 ⎦
⎣2
Ces dispositions s’appliquent aussi bien aux bâtiments qu’aux ponts.
2.3.2
Portées à prendre en compte dans les calculs
Le calcul des sollicitations est effectué sur la base des portées utiles.
Les sollicitations aux nus d’appui sont déduites des précédentes :
• pour les vérifications à l’effort tranchant (sauf dans le cas de transmission
directe des charges aux appuis lorsque les charges permanentes sont prédominantes où l’effort tranchant est calculé dans la section à la distance d du nu
d’appui comme nous l’avons vu au § 2.3.1, chapitre 8 : « Effort tranchant »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) ;
• pour le moment sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent
(voir § 2.5).
Le calcul des sollicitations est effectué sur la base des portées entre nus
d’appuis :
• par simplification de calcul pour les travées isostatiques (absence des termes
hyperstatiques ΔM/eff) ;
• pour les moments d’encastrement parfaits sur appuis lors des vérifications sur
appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir § 2.5).
2.4
Imperfections géométriques
Il faut tenir compte des incertitudes sur la mise en œuvre et sur la position du
point de passage de la force extérieure.
Les imperfections géométriques ne sont à prendre en compte qu’à l’ELU dans
les situations de projet durables et dans les situations de projet accidentelles14.
14. EC 2 – 5.2 (2)P & (3)
Analyse structurale
Elles concernent15 :
• les éléments soumis à une compression axiale ;
• les structures soumises à des charges verticales (bâtiments).
Pour les bâtiments, les imperfections sont représentées par une inclinaison
globale d’un angle θi défini par16 :
θi = θ0 .α h .α m
(5.1)
avec :
1
= valeur de base recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
200
française17,
2
α h = ------- = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur,
où :
θ0 =
2
≤ αh ≤ 1
3
= longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage (voir § 2.4.1 et 2.4.2) en
mètres,
1
α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments,
⎝
m⎠
où :
m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total.
La définition de et de m dépend de l’effet considéré18.
• Effet sur un élément isolé (voir § 2.4.1) :
– = longueur réelle de l’élément,
– m = 1.
• Effet sur un système de contreventement (voir § 2.4.2) :
– = hauteur du bâtiment,
– m = nombre d’éléments verticaux transmettant la force horizontale
appliquée au système de contreventement.
• Effet sur les planchers de contreventement ou les diaphragmes des toitures
(voir § 2.4.2) :
– = hauteur de l’étage,
– m = nombre d’éléments verticaux dans l’étage transmettant la force horizontale totale appliquée au plancher.
15.
16.
17.
18.
EC 2 – 5.2 (4)
EC 2 – 5.2 (5)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 5.2 (6)
23
24
Pour les ponts, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale
d’un angle θi défini par19 :
θi = θ0 .α h
(5.101)
avec :
θ0 =
1
= valeur de base recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
200
française20,
⎧ 2
⎪ ------α h = Min ⎨ = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur,
⎪
⎩1
= longueur ou hauteur en mètres.
2.4.1
Cas des éléments isolés et des ponts
Il s’agit d’éléments effectivement isolés ou d’éléments d’une structure pouvant
être traités comme tels pour les besoins du calcul. Ces éléments sont considérés
comme21 :
• contreventés, lorsqu’ils ne contribuent pas à la stabilité horizontale
d’ensemble de la structure à laquelle ils appartiennent ;
• non contreventés, dans le cas contraire.
On a le choix entre les deux méthodes ci-dessous (qui conduisent au même
moment extrême dans l’élément22) :
• ajout d’une excentricité additionnelle à l’excentricité e1 (du premier ordre) de
la force extérieure :
e i = θ i ----0(5.2)
2
où 0 = longueur efficace (de flambement) de l’élément (voir § 2.1,
chapitre 6 : « Compression centrée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles).
• ou remplacement de l’inclinaison par une force transversale dans la position
conduisant au moment maximal :
19.
20.
21.
22.
H i = θi .N : éléments non contreventés,
(5.3a)
H i = 2.θi .N : éléments contreventés,
(5.3b)
EC 2 – 5.2 (105)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 5.8.1
EC 2 – 5.2 (7)
Analyse structurale
où N = effort normal.
ei
N
ei
N
N
N
Hi
ou
l = l0 /2
ou
Hi
l = l0
i
En pied :
À mi-travée :
M = N.e i = N.θ i ----02
M = N.e i = N.θ i ----02
ou M = H i ----0- = N.θ i ----02
2
Hi 0
----- = N.θ i ----0ou M = -----.
2 2
2
Élément isolé non contreventé
Élément isolé contreventé
Remarque
Une solution alternative simplifiée, applicable aux voiles et aux poteaux isolés
dans les structures contreventées consiste à prendre23 :
αh = 1 ⎫
⎬ ⇒ αm =
m = 1⎭
⇒
1
1
1 0,5 ⎛ 1 + -- ⎞ = 1 ⇒ θ i = --------- 1.1 ⇒ e i = --------- . ----0 ⇒
⎝
1⎠
200
200 2
0
e i = --------400
Cette simplification ne s’applique pas aux ponts.
Pour les ponts en arc, il convient d’établir la forme des imperfections dans les
plans horizontal et vertical à partir de la déformée du premier mode de
flambement horizontal et vertical respectivement. Chaque déformée modale
peut être représentée par un profil sinusoïdal. Il convient de prendre l’amplitude
égale à a = θ i --- , où l est la demi-longueur d’onde24.
2
23. EC 2 – 5.2 (9)
24. EC 2 – 5.2 (106)
25
26
2.4.2
Cas des structures
On remplace l’inclinaison globale θi par une force transversale égale aux
composantes horizontales des efforts normaux dans les éléments inclinés25 :
H i = θi ( N b − N a ) : système de contreventement,
H i = θi
(5.4)
N b + Na
: plancher de contreventement,
2
(5.5)
H i = θi .N a : diaphragme de toiture.
(5.6)
Na
Hi
Na
Nb
Hi
l
l
Système de contreventement
θi / 2
Na
Hi
l
θi
Hi
θi
l
Hi
Nb
θi / 2
Plancher de
contreventement
Na
Diaphragme de
toiture
Remarque
Pour les figures ci-dessus :
H représente la réaction de la structure s’opposant à l’inclinaison θi ,
Na et Nb sont les forces action poteau sur nœud.
2.5
Moments sur appuis – Vérifications
Dans certaines configurations d’appuis, une poutre (ou une dalle) continue peut
être considérée comme simplement posée sur ses appuis. Dans ce cas, pour ne
pas créer de gêne à la rotation, il faut « écrêter » la courbe des moments sur
appuis, tracée en considérant les portées entre axes des éléments, de la
quantité26 :
25. EC 2 – 5.2 (8)
26. EC 2 – 5.3.2.2 (4)
Analyse structurale
ΔM Ed =
FEd , sup t
.
2
4
⇒
t
ΔM Ed = F Ed, sup --8
avec :
FEd, sup = réaction d’appui,
t = profondeur de l’appui ou largeur de l’appareil
d’appui,
MEd = moment calculé à partir des portées entre
axes des appuis.
C’est le cas, par exemple, des poutres reposant :
• sur des voiles ;
• sur des poteaux métalliques ou en bois ;
• sur des appareils d’appuis.
ΔM Ed
FEd , sup
2
t
4
t
Dans le cas où la poutre (ou la dalle) est solidaire des poteaux (ou murs) qui la
supportent, le moment critique de calcul peut être pris égal au moment du nu
d’appui sans que la valeur retenue puisse être inférieure à 65 % du moment
d’encastrement parfait de la même poutre (de portée n entre nus d’appuis27).
3.
Méthodes de calcul
Toutes les méthodes d’analyse doivent satisfaire les conditions d’équilibre – ce
qui, normalement, est à vérifier pour la structure non déformée (premier ordre).
Si les conditions de compatibilité ne sont pas vérifiées directement pour les états
limites considérés, il convient de prendre des mesures pour que :
• à l’état limite ultime, l’ouvrage ait une capacité de déformation suffisante ;
• dans les conditions de service, son comportement soit satisfaisant.
27. EC 2 – 5.3.2.2 (3)
27
28
3.1
Types d’analyse structurale
3.1.1
Analyse vis-à-vis des états limites de service
L’analyse est normalement faite sur la base de l’élasticité linéaire, en prenant en
compte la rigidité initiale, correspondant à la section non fissurée28.
Si la fissuration a un effet défavorable, elle doit être prise en compte.
On peut aussi avoir recours à l’analyse non linéaire (voir § 3.5).
3.1.2
Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime
Dans ce cas, l’analyse peut être29 :
• élastique linéaire sans redistribution ;
• élastique linéaire avec redistribution limitée ;
• plastique (avec ou sans modélisation par bielles et tirants) ;
• non linéaire.
Pour l’application de la théorie élastique et linéaire, aucune mesure spécifique
n’est à prendre pour assurer une ductilité convenable, sauf celle d’éviter les
pourcentages élevés.
Bien entendu, si l’on effectue une redistribution des moments, il convient de
s’assurer que les sections critiques ont une capacité de rotation suffisante pour
permettre la redistribution (angles des portiques précontraints par exemple30).
Dans l’analyse non linéaire, on tient compte du comportement non linéaire des
sections en béton armé ou en béton précontraint (ne pas confondre avec
l’analyse au second ordre qui tient compte du comportement non linéaire dû à la
déformation des éléments eux-mêmes).
On ne peut recourir à l’analyse plastique que pour des éléments très ductiles,
armés d’aciers eux-mêmes de haute ductilité31.
3.2
Analyse élastique linéaire
Le calcul des éléments aux états limites de service comme aux états limites
ultimes peut être effectué selon une analyse linéaire basée sur la théorie de
l’élasticité32.
28.
29.
30.
31.
32.
EC 2 – 5.4 (1)
EC 2 – 5.1.1 (7)
EC 2 – 5.5 (5)
EC 2 – 5.6.1 (2)P
EC 2 – 5.4 (1)
Analyse structurale
L’analyse linéaire peut être utilisée pour la détermination des sollicitations,
moyennant les hypothèses suivantes33 :
1/ sections non fissurées ;
2/ relations contraintes-déformations linéaires ;
3/ et valeurs moyennes du module d’élasticité.
Pour les effets des déformations d’origine thermique, des tassements et du
retrait à l’état limite ultime (ELU), on peut admettre une rigidité réduite, correspondant aux sections fissurées, en négligeant la participation du béton tendu
mais en incluant les effets du fluage34.
Pour l’état limite de service (ELS), il convient de considérer une évolution
graduelle de la fissuration35.
3.3
Analyse linéaire avec redistribution limitée
des moments
Pour les calculs à l’état limite ultime, les moments de flexion déterminés par
une analyse linéaire élastique peuvent être redistribués, c’est-à-dire que les
moments dans les sections les plus sollicitées (sur appuis) sont alors multipliés
par un coefficient réducteur δ, les moments dans les autres sections étant
augmentés en conséquence pour assurer l’équilibre36.
i
Pour les dalles et les poutres continues telles que 0,5 ≤ ---------≤ 2 , un contrôle de
i + 1
la capacité de rotation des sections critiques n’est pas nécessaire si37 :
Mred
vérifie les valeurs recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale
Mcal
française :
δ=
⎛
0, 0014 ⎞ x u
1 ≥ δ ≥ 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
si fck ≤ 50 MPa,
ε cu 2 ⎟⎠ d
⎝
⎛
0, 0014 ⎞ x u
1 ≥ δ ≥ 0, 54 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
si fck > 50 MPa ,
ε cu 2 ⎟⎠ d
⎝
33.
34.
35.
36.
37.
EC 2 – 5.4 (2)
EC 2 – 5.4 (3)
EC 2 – 5.4 (3)
EC 2 – 5.5 (3)
EC 2 – 5.5 (4) + (104)
xu
AN
d
As
29
30
avec :
⎧ 0, 7 pour des aciers de classe B ou C (haute ou très haute ductilité),
δ </ ⎨
ductilité normale).
⎩ 0, 8 pour des aciers de classe A (d
x u = hauteur de l’axe neutre à l’ELU dans la section critique après redistribution,
d = hauteur utile dans la section critique.
Remarque
Pour les ponts, les aciers de classe de ductilité A ne sont pas recommandés (voir
§ 1.3.1, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions
Eyrolles).
Toutes les conséquences de la redistribution supposée et de la dispersion
possible doivent être prises en compte dans le calcul, à toutes les étapes de la
vérification :
• effort tranchant ;
• ancrages et arrêt des barres ;
• fissuration.
En particulier, les longueurs des armatures doivent être suffisantes pour
qu’aucune autre section ne devienne critique.
Aux nus d’appuis d’une poutre ou d’une dalle formant un ensemble monolithique avec ses appuis, le moment pris en compte doit être au moins égal à 65 %
du moment d’encastrement parfait38.
Pour le calcul des poteaux (moments et réactions d’appuis), il n’y a pas lieu de
tenir compte de la redistribution des moments39.
Il convient de ne pas effectuer de redistribution pour les ponts courbes ou biais
par exemple40.
3.4
Analyse plastique
L’analyse plastique n’est utilisée qu’à l’ELU41. Pour les ponts, ce type
d’analyse n’est à utiliser que si les autorités nationales le permettent.
L’analyse plastique est basée42 :
• soit sur le théorème de la borne inférieure (méthode statique) :
– méthode des bandes pour les dalles ;
38.
39.
40.
41.
42.
EC 2 – 5.3.2.2 (3)
EC 2 – 5.5.(6)
EC 2 – 5.5.(105)
EC 2 – 5.6.1 (1)P + (101)P
EC 2 – 5.6.1 (3) P
Analyse structurale
– méthode des bielles et tirants pour les poutres-cloisons, consoles courtes,
ancrages et voiles chargés dans leur plan ;
• soit sur le théorème de la borne supérieure (méthode cinématique) :
– rotules plastiques pour les poutres, portiques et dalles portant dans un
seul sens ;
– théorie des lignes de rupture pour les dalles.
Les effets des chargements antérieurs peuvent généralement être négligés et on
peut admettre une croissance monotone de l’intensité des actions43.
3.4.1
Dispense de la vérification de la capacité de rotation
La ductilité des sections critiques est suffisante, sans vérification explicite de la
capacité de rotation, si44 :
• l’aire de la section des armatures tendues est telle que, dans toute section :
xu
≤ 0, 25 pour des bétons de classe inférieure ou égale à C50/60 (0,15
d
pour les ponts en dehors des dalles pleines),
αu =
xu
≤ 0, 15 pour des bétons de classe supérieure à C50/60 (0,10 pour les
d
ponts en dehors des dalles pleines) ;
αu =
• seuls les aciers à haute ou très haute ductilité (classes B ou C) sont utilisés
(vérification de la capacité de rotation non nécessaire) ;
• les moments sur appuis intermédiaires et en travée doivent vérifier :
0, 5 ≤
3.4.2
Ma
≤2
Mt
Vérification de la capacité de rotation
Pour les poutres et les dalles continues portant dans un seul sens45 :
• dans la région des rotules plastiques, il faut vérifier :
xu
≤ 0, 45 pour des bétons de classe inférieure ou égale à C50/60 (0,30
d
pour les ponts),
αu =
43. EC 2 – 5.6.1 (4)
44. EC 2 – 5.6.2 (2) + (102)P
45. EC 2 – 5.6.3 + (102)P
31
32
xu
≤ 0, 35 pour des bétons de classe supérieure à C50/60 (0,23 pour les
d
ponts) ;
αu =
• la rotation plastique θs calculée sous l’action considérée est mesurée sur une
longueur 1,2.h et doit vérifier :
θs ≤ k λ .θpl , d
0,6.h
0,6.h
avec :
λ = élancement vis-à-vis de l’effort
tranchant (c’est-à-dire distance entre
le point de moment nul et le point de
moment maximal après redistribution rapportée à la hauteur
utile d),
θs
λ
= coefficient multiplicateur
3 à prendre en compte lorsque λ ≠ 3,
kλ =
h
(5.11N)
h = hauteur de l’élément,
θpl , d = rotation plastique admissible tirée du tableau ci-dessous (valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française46) :
θpl,d (mrad)
35
30
≤ C 50/60
25
20
C 90/105
Classe C
15
Classe B
10
≤ C 50/60
5
0
C 90/105
0
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
(Xu/d)
Rotation plastique
admissible θpl, d
pour λ = 3
Pour les classes intermédiaires de béton comprises entre C50/60 et C 90/105, on
opère par interpolation linéaire.
46. EC 2 – voir AN
Analyse structurale
Remarque
Par simplification, on peut prendre pour les valeurs concomitantes de MSd et de VSd :
M Sd
λ = -------------.
V Sd .d
3.4.3
(5.12N)
Analyse par la méthode avec bielles et tirants
Cette méthode est utilisée pour47 :
• le dimensionnement à l’ELU des régions sans discontinuité dans lesquelles
les sections droites restent planes (soit au-delà d’une distance à la discontinuité supérieure à la hauteur h de l’élément) ;
• le dimensionnement et les dispositions constructives des régions présentant
des discontinuités (nœuds des portiques par exemple).
La méthode est basée sur la modélisation48 :
• par des bielles représentant les zones où transitent les contraintes de
compression ;
• par des tirants qui représentent les armatures tendues ;
• et par les nœuds qui assurent leurs liaisons.
Les modèles bielles-tirants peuvent être définis49 :
• à partir des isostatiques des contraintes et des répartitions de contraintes
obtenues par la théorie de l’élasticité linéaire ;
• ou en partant du cheminement des charges.
Bielle
Tirant
F
Fsd
Hsd
Ft
Fc
Fc
Fc 0
Fc
h=l
Fsd
Ft
F/2
l
Massif d'appui
47. EC 2 – 5.6.4 (1)
48. EC 2 – 5.6.4 (3)
49. EC 2 – 5.6.4 (5)
F/2
Console courte
33
34
3.5
Analyse non linéaire
Méthodes utilisées aussi bien à l’ELU qu’à l’ELS, en admettant un comportement non linéaire adapté pour les matériaux. L’analyse peut être du premier
ou du second ordre50.
À l’état limite ultime, il convient de vérifier, pour les sections critiques
localisées, leur capacité à résister à toutes les déformations inélastiques
résultant de l’analyse, en tenant convenablement compte des incertitudes51.
Pour des structures principalement soumises à des charges statiques52 :
• les effets des chargements antérieurs peuvent généralement être négligés ;
• et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des actions.
Pour les structures élancées des bâtiments, dans lesquelles les effets du second
ordre ne peuvent être négligés, il est possible d’utiliser une méthode générale de
calcul incluant la non-linéarité géométrique53 (voir la méthode de l’équilibre ou
des déformations internes au § 4, chapitre 2 : « Instabilité de forme –
Flambement »).
Pour les ponts, l’analyse non linéaire peut être utilisée à condition54 :
• que le modèle puisse couvrir de manière appropriée tous les modes de ruine
(flexion, effort normal, cisaillement, ruine par compression influencée par la
réduction de la résistance effective du béton, etc.) ;
• et que la résistance en traction du béton ne soit pas utilisée dans le schéma
principal de résistance.
En cas d’insuffisance de l’analyse pour vérifier tous les mécanismes de ruine, il
convient d’effectuer des analyses complémentaires séparées.
4.
Analyse structurale des poutres
et des portiques
Toutes les méthodes énumérées au § 3 peuvent être utilisées.
4.1
Analyse élastique et linéaire
Voir § 3.2.
50.
51.
52.
53.
54.
EC 2 – 5.7 (1)
EC 2 – 5.7 (2)
EC 2 – 5.7 (3)
EC 2 - 5.7 (5) + 5.8.6 (1)P
EC 2 – 5.7 (105)
Analyse structurale
Hormis les programmes de calcul sur ordinateurs, ce type d’analyse peut être
réalisé à partir des méthodes usuelles de la résistance des matériaux :
• théorème des trois moments ;
• méthode des forces (formule de Bertrand de Fontviolant) ;
• méthode des déplacements (méthode des rotations ou méthode de relaxation
de Hardy-Cross pour les ossatures et portiques) ;
• etc.
4.2
Analyse linéaire avec redistribution limitée
des moments
Voir § 3.3.
4.3
Analyse plastique
Voir § 3.4.
Hormis les programmes de calcul sur ordinateurs, ce type d’analyse peut être
réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plasticité (résistance des
matériaux) :
• théorème de la borne inférieure ;
• théorème de la borne supérieure ;
• méthode des lignes de rupture pour les dalles (méthode de Haas Jacobsen) ;
• etc.
4.4
Analyse non linéaire
Voir § 3.5.
4.5
Dispositions constructives – Aciers en chapeau
Les armatures équilibrant les moments négatifs sur appuis sont dites
« armatures en chapeau » ou plus simplement « chapeaux ».
4.5.1
Chapeaux sur appuis de rive
Lorsqu’une poutre forme une construction monolithique avec ses appuis (y
compris lorsque, dans le calcul, on a adopté un appui simple), il faut disposer
sur ceux-ci des aciers supérieurs calculés pour équilibrer un moment55 :
55. EC 2 – 9.2.1.2 (1)
35
36
As
Mt
M = β1 .M t
avec :
M t = moment maximal en travée,
β1 = 0, 15 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française56).
Il faut, de plus, vérifier que A s ≥ A s, min donné au § 7, chapitre 7 : « Flexion
simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles.
4.5.2
Chapeaux sur appuis intermédiaires57
Répartition des aciers tendus sur appui
intermédiaire sur la largeur participante
beff pour les sections en T. Une partie de
ces armatures peut être concentrée au
droit de l’âme57 :
As
hf
beff 1
beff 2
bw
5.
Analyse structurale des dalles
Toutes les méthodes énumérées au § 3 peuvent être utilisées.
56. EC 2 – voir AN
57. EC 2 – 9.2.1.2 (2)
Analyse structurale
5.1
Analyse élastique et linéaire
Voir § 3.2.
Les calculs manuels ne sont possibles que pour :
• les dalles rectangulaires isolées portant dans un seul sens ( ----x- < 0,5) ;
y
• les dalles rectangulaires continues dans le sens parallèle à leur petit côté et
portant dans un seul sens ( ----x- < 0,5) ;
y
• les dalles rectangulaires isolées portant dans un ou deux sens, soumises à des
charges concentrées.
Dans ce cas, pour des charges uniformément réparties, la dalle est découpée en
bandes de largeur unité fléchissant dans le sens x et l’on peut utiliser les
méthodes usuelles de la résistance des matériaux :
• calcul en travée isostatique pour un panneau de dalle isolé ;
• utilisation du théorème des trois moments pour les dalles continues ;
• etc.
Pour des charges concentrées appliquées sur des panneaux isolés, la dalle est
découpée en bandes de largeur unité fléchissant dans chaque sens et l’on peut
utiliser les abaques de l’inspecteur général Pigeaud, par exemple.
5.2
Analyse linéaire avec redistribution limitée
des moments
Voir § 3.3.
5.3
Analyse plastique
Voir § 3.4.
Hormis les programmes de calcul sur ordinateur, ce type d’analyse peut être
réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plasticité (résistance des
matériaux) :
• méthode des lignes de rupture pour les dalles isolées ou continues et de forme
quelconque (méthode de Haas Jacobsen) ;
• etc.
37
38
5.4
Analyse non linéaire
Voir § 3.5.
5.5
Dispositions constructives
5.5.1
Armatures de flexion
5.5.1.1 Section minimale d’armatures
Pour les armatures disposées suivant la direction principale (c’est-a-dire parallèles au petit côté), il faut vérifier les limites suivantes recommandées et à
utiliser par l’Annexe nationale française58 :
A s1 ≥ A s, min
fct , eff
⎧
b t .d
⎪ 0, 26 f
.
= Max ⎨
yk
⎪ 0, 0013.b .d
t
⎩
(9.1N)
avec59 :
fct , eff
⎧ fctm : si la maîtrise de la fissuration est requise,
⎪
⎧⎛
h ⎞
⎪
=⎨
f
⎪ ⎜ 1, 6 −
1 000 ⎟⎠ ctm : dans les autres cas,
⎪ fctm , fl = Max ⎨ ⎝
⎪f
⎪
⎩ ctm
⎩
(3.23)
h = hauteur de la section droite en mm,
b t = largeur moyenne de la zone tendue = 1,00 m si l’on raisonne par bandes de
dalle de largeur unité.
En dehors des zones de recouvrement, il faut vérifier60 :61
AN
As 2
A s1 et A s2 ≤ 0,04.A c valeur recommandée et
AN
à utiliser pour l’Annexe nationale française61.
A c = aire de la section transversale de béton.
As 1
Lorsque la maîtrise de la fissuration est requise, la section effective des
armatures longitudinales de traction ne doit pas être inférieure à la section
58.
59.
60.
61.
EC 2 – 9.3.1.1 (1)
EC 2 – 7.1 (2)
EC 2 – 9.2.1.1 (3)
EC 2 – voir AN
Analyse structurale
nécessaire au contrôle de la fissuration (voir § 3.1, chapitre 3 : « État limite de
service de maîtrise de la fissuration62 »).
5.5.1.2 Armatures transversales
Dans les dalles portant dans un seul sens, il y a lieu de prévoir une section
d’armatures transversales au moins égale à 20 % de la section des armatures
longitudinales63.
Au voisinage des appuis, des armatures transversales aux barres principales
supérieures ne sont pas nécessaires lorsqu’il n’existe aucun moment fléchissant
transversal64.
5.5.1.3 Espacements maximaux
Dans la suite, nous désignerons par65 :
h = épaisseur de la dalle,
x (≤ y) = sens principal de flexion de la dalle,
y (≥ x) = sens secondaire de flexion de la dalle.
a) Cas des zones sollicitées par des charges concentrées et des zones de moment
maximal :
smax, slabs,
x
⎧ 2.h,
≤ Min ⎨
: armatures dans le sens lx,
⎩ 25 cm.
smax, slabs,
y
⎧3.h,
: armatures dans le sens ly.
≤ Min ⎨
⎩ 40 cm.
b) Autres cas :
smax, slabs,
x
⎧3.h,
: armatures dans le sens lx,
≤ Min ⎨
⎩ 40 cm.
smax, slabs,
y
⎧3, 5.h,
≤ Min ⎨
: armatures dans le sens ly.
⎩ 45 cm.
5.5.1.4 Arrêts des barres
Le décalage de la courbe des moments est pris égal à66 :
62.
63.
64.
65.
66.
EC 2 – 9.2.1.1 (1)
EC 2 – 9.3.1.1 (2)
EC 2 – 9.3.1.1 (2)
EC 2 – 9.3.1.1 (3)
EC 2 – 9.3.1.1 (4) + 9.2.1.3
39
40
al = d
Dans les dalles sur appuis simples, la moitié de la section d’aciers en travée est
prolongée et ancrée sur appuis67.
Aciers inférieurs sur appuis de rive68 :
• voir § 9.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles.
Aciers inférieurs sur appuis intermédiaires69 :
• voir § 9.3, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles.
5.5.1.5 Aciers supérieurs sur appuis
Lorsqu’une dalle présente un encastrement partiel non pris en compte dans le
calcul sur une ligne d’appuis, il faut disposer sur ceux-ci des aciers supérieurs
calculés pour équilibrer un moment70 :
As
Mt
M = β1 .M t
avec :
M t = moment maximal en travée,
⎧ 0, 25 : appui intermédiaire,
: valeur recommandée et à utiliser pour
β1 = ⎨
⎩ 0, 15 : appui d'extréémité,
l’Annexe nationale française71.
Les armatures correspondantes doivent :
• se prolonger, à partir du nu d’appui sur une longueur au moins égale à 0,2 fois
la portée de la travée adjacente ;
• être continues au droit des appuis intermédiaires ;
67.
68.
69.
70.
71.
EC 2 – 9.3.1.2 (1)
EC 2 – 9.3.1.1 (4) + 9.2.1.4
EC 2 – 9.3.1.1 (4)
EC 2 – 9.3.1.2 (2)
EC 2 – voir AN
Analyse structurale
• ancrées aux appuis de rive.
5.5.1.6 Armatures de bords libres
Le long d’un bord libre, il convient de prévoir des armatures de rive
particulières72 :
h
≥ 2.h
Les armatures courantes peuvent jouer le rôle d’armatures de rive.
5.5.2
Armatures d’effort tranchant
Les armatures d’effort tranchant ne peuvent être disposées que dans des dalles
telles que73 :
h ≥ 200 mm
Lorsque VEd ≤ 1 3.VRd , max, les armatures d’effort tranchant peuvent être entièrement constituées74 :
• de barres relevées ;
• ou de cadres, étriers ou épingles.
L’espacement longitudinal maximal vaut75 :
pour les cadres, étriers ou épingles :
smax = 0, 75.d (1 + cotgα )
(9.9)
avec :
α = inclinaison des armatures d’effort tranchant,
pour les barres relevées :
smax = d
L’espacement transversal maximal vaut76 :
s t, max = 1, 5.d
72.
73.
74.
75.
76.
EC 2 – 9.3.1.4
EC 2 – 9.3.2 (1)
EC 2 – 9.3.2 (3)
EC 2 – 9.3.2 (4)
EC 2 – 9.3.2 (5)
(9.10)
41
42
II.
APPLICATIONS
Application n˚ 1 : analyse d’une poutre
–Énoncé–
On considère la poutre à travées égales schématisée ci-dessous reposant sur des
voiles de 30 cm d’épaisseur :
COUPE AA
ÉLÉVATION
q = 45 kN/m
A
0,50 m
A
0,30 m
6,00 m
0,30m
0,30m
• Matériaux :
• béton : fck = 25 MPa ;
• aciers : S 500 avec diagramme σ−ε à palier horizontal et de classe de
ductilité B.
Maîtrise de la fissuration non requise.
Classe d’exposition : XC2.
On se propose de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU
résultant :
1/ d’une analyse linéaire sans redistribution ;
2/ d’une analyse linéaire avec redistribution ;
3/ d’une analyse plastique.
Analyse structurale
–Corrigé–
1. Analyse linéaire sans redistribution
1.1 Portée utile de calcul
⎧1 t
⎧ 1 0, 30 = 0, 15 m
⎪⎪ 2
⎪⎪ 2
⇒ a = Min ⎨
a = 0, 15 m = Min ⎨
⎪1 h
⎪ 1 0, 50 = 0, 25 m
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2
Poutre continue
ef = n + a1 + a2 = n + 2.a
eff = 6,00 + 2.0,15 = 6,30 m
1.2 Moment fléchissant théorique sur appui
g = ϖ.bw .h
g = 25.0,3.0,5 = 3,75 kN/m
p u = 1, 35.g + 1, 5.q
p u = 1, 35.3, 75 + 1, 5.45 = 72, 56 kN/m
2
eff
M Edth, a = p u ------12
MEdth , a = 72, 56
6, 30 2
= 240 mkN
12
1.3 Écrêtage de la courbe des moments sur appui
Réaction d’appui (poutre multi-travées) :
p u . eff
- = p u . eff
F Ed, sup = 2 -------------2
FEd, sup = 72, 56.6, 30 = 457, 13 kN
Réduction du moment sur appui :
ΔMEd = FEd , sup
t
8
ΔM Ed = 457, 13
0, 30
= 17, 14 mkN
8
1.4 Diagramme des moments à l’ELU
En utilisant l’exposant « * » pour distinguer le moment « écrêté » du moment
résultant des calculs RdM :
M*Ed , a = MEdth , a − ΔMEd
M*Ed , a = 240 − 17, 14 = 222, 86 mkN
2
eff
M Ed, t = p u ------24
MEd 0 = M*Ed , a + M Ed ,
MEd , t = 72, 56
t
6, 30 2
= 120 mkN
24
MEd0 = 222, 86 + 120 = 342, 86 mkN
43
44
RdM
MEd
(mkN)
240
222,86
RdM
corrigée
MEd 0 = 342,86
l eff
2
= 3,15 m
120
1.5 Remarque 1
Si l’on considère que la poutre forme un ensemble monolithique avec ses appuis
(ce qui n’est pas le cas ici), il faut faire la vérification ci-dessous.
Moment au nu d’appui :
MEd = MEdth , a − p u
a2
2
MEd = 240 − 72, 56
0, 152
= 239,18 mkN
2
Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln :
2
M Ed, enc = p u -----n12
MEd , enc = 72, 56
6, 00 2
= 217,68 mkN
12
Vérification :
MEd >< 0, 65.MEd , enc
MEd = 239, 18 mkN > 141, 49 mkN = 0, 65.217, 68 = 0, 65.M Ed , enc O.K.
1.6 Remarque 2
En considérant la portée entre nus d’appuis :
2
M Ed = p u ----n8
MEd = 72, 56
6, 00 2
= 326, 52 mkN = MEd 0 à 5 % près.
8
2. Analyse linéaire avec redistribution
2.1 Caractéristiques des matériaux
fcd = α cc
fck
γc
fcd = 1
25
= 16, 7 MPa
1, 5
Analyse structurale
fyd =
fyk
fyd =
γs
500
= 435 MPa
1, 15
2.2 Coefficient réducteur du moment sur appui
i
--------->< 2
i + 1
⇒ 0,5 < -------i--- = 1 < 2 O.K.
i + 1
Travées de portées égales
fck >< 50 MPa ⇒ δ
⎛
0, 0014 ⎞ ⎛ x u ⎞
fck = 25 MPa ⇒ δ = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
.
ε cu 2 ⎟⎠ ⎝ d ⎠
⎝
en posant :
αu =
xu
,
d
⎧ λ,
fck >< 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η
⎧ λ = 0, 8
fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η = 1
fcu = η.fcd
fcu = 1.16, 7 = 16, 7 MPa
μ cu ,
th
=
MEdth , a
bw .d 2 .fcu
avec MEdth , a = moment sur appui :
on obtient à l’ELU
M 'Ed , a = δ.MEdth , a :
sous
μ cu ,
th
l’effet
0, 240
= 0, 237
0, 30.0, 452.16, 7
du moment « redistribué »77
=
μ cu = μ cu , th .δ,
1
α u = --- [ 1 – 1 – 2.δ.μ cu, th ] ,
λ
d’où :
⎛
0, 0014 ⎞ x u
0, 0014 ⎞
⎛
δ ≥ 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
= 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
α u = 0, 44 + 1, 25.α u
⎝
ε cu 2 ⎟⎠ d
3, 5.10 −3 ⎟⎠
⎝
77. Pour différencier les sollicitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres sollicitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M’, V’).
45
46
2
5
δ ≥ 0, 44 + ⎛ ⎞ ⎡⎣1 − 1 − 2.δ.μ cu ,
⎝ 4⎠
16
[ δ − 0, 44 ] ≥ 1 − 1 − 2.δ.μ cu,
25
16
------ δ – 0,44 – 25
-----25
16
≥–
th
⎤
⎦
th
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
1 – 2.δ.μ cu, th
δ–2
et en supprimant le radical (en remarquant que δ – 2 < 0) :
2
⎛ 16 ⎞ ⎡ δ 2 − 4.δ + 4 ⎤ ≤ 1 − 2.δ.μ
cu ,
⎦
⎝ 25 ⎠ ⎣
th
d’où l’inéquation du second degré en δ :
⎧
⎨
⎩
2
25 2
25 2
δ – 4.δ + 4 ≤ ⎛ ------⎞ – 2 ⎛ ------⎞ δ.μ cu, th
⎝ 16⎠
⎝ 16⎠
2,44
(
δ 2 − 4 1 − 1, 22.μ cu ,
th
) δ + 1, 56 ≤ 0
(
⇒
Δ ' = 4 1 − 1, 22.μ cu ,
⇒
δ = 2 1 − 1, 22.μ cu ,
(
th
th
)2 − 1, 56
) ± 4 (1 − 1, 22.μ cu, th )2 − 1, 56
⎧ 2, 101
δ = 2 (1 − 1, 22.0, 237 ) ± 4 (1 − 1, 22.0, 237 )2 − 1, 56 = ⎨
⎩ 0, 743
Le trinôme étant du signe du coefficient multiplicateur de δ2
en dehors des racines, il est négatif si δ ∈[ 0, 743 2, 101].
⇒
M 'Ed , a = δ.MEdth, a
μ cu =
M 'Ed , a
2
bw .d .fcu
⎧ 0,7 pour aciers de classe B ou C,
Prenons δ = 0,76 > ⎨
⎩ 0,743
M 'Ed , a = 0, 76.240 = 182 mkN
μ cu =
0, 182
= 0, 179
0, 30.0, 452.16, 7
Analyse structurale
αu =
1
⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦
λ⎣
αu =
1
⎡1 − 1 − 2.0, 179 ⎤⎦ = 0, 248
0, 8 ⎣
On vérifie que :
x
fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ δ lim = 0, 44 + 1, 25 ⎛ u ⎞ = 0, 44 + 1, 25.α u
⎝ d⎠
δ lim = 0, 44 + 1, 25.0, 248 = 0, 75
δ >< δ lim
δ = 0, 76 > 0, 75 = δ lim O.K.
2.3 Diagramme des moments à l’ELU
Moment élastique théorique redistribué sur appui :
M 'Ed , a = δ.MEdth , a
M 'Ed , a = 0, 76.240, 00 = 182, 00 mkN
Moment élastique redistribué réduit :
M'*Ed , a = M 'Ed , a − ΔMEd
M'*Ed , a = 182, 00 − 17, 14 = 164, 86 mkN
et comme le moment sur appui est négatif, nous obtenons à mi-travée :
M'*Ed , t = M'*Ed , a + M Ed 0
M Edth , a = 240,00
M'*Ed , t = −164, 86 + 342, 86 = 178, 00 mkN
RdM sans
redistribution
MEd
(mkN)
M*Ed, a = 222,86
M'*Ed, a = 164,86
RdM avec
redistribution
MEd 0 = 342,86
MEd 0 = 342,86
MEd, t = 120,00
M'*Ed, t = 178,00
leff
2
= 3,15 m
47
48
2.4 Remarque
Si l’on considère que la poutre forme un ensemble monolithique avec ses appuis
(ce qui n’est pas le cas ici), il faut faire la vérification ci-dessous.
Moment au nu d’appui :
MEd = M 'Ed , a − p u
a2
2
MEd = 182 − 72, 56
0, 152
= 181,18 mkN
2
Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln :
2
M Ed, enc = p u -----n12
MEd , enc = 217,68 mkN (voir § 1.5)
Vérification :
MEd >< 0, 65.MEd , enc
MEd = 181, 18 mkN > 141, 49 mkN = 0, 65.217, 68 = 0, 65.MEd , enc O.K.
3. Analyse plastique
3.1 Introduction – Moments à prendre en compte
Aciers
S500 classe B à haute ductilité O.K.
Moments fléchissants :
0, 5 ≤
Ma
≤2
Mt
Prenons MEd , a = MEd , t = 0,5. MEd0
⇒ M Ed , a = 0, 5.342, 86 = 171, 43 mkN
⇒ M Edt = MEda = 171, 43 mkN
3.2 Armatures calculées sur appui
μ cu =
MEd , a
bw .d 2 .fcu
μ cu =
171, 43.10 −3
= 0, 169
0, 30.0, 452.16, 7
fck = 25 MPa ⎫
MEd
⎪
S 500
: μ lu = μ ls = 0,33717
⎬ ⇒ ∀γ =
Mser
⎪
XC2
⎭
μ cu >< μ lu
μcu = 0,169 < 0,3717 = μcu ⇒ As2 =
Analyse structurale
αu =
1
⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦
λ⎣
αu =
⎡ λ ⎤
z c = d ⎢1 − α u ⎥
2 ⎦
⎣
A s1,
u
=
1
⎡1 − 1 − 2.0, 169 ⎤⎦ = 0, 233
0, 8 ⎣
0, 8
0, 233⎤⎥ = 0, 408 m
z c = 0, 45 ⎡⎢1 −
2
⎦
⎣
MEd , a
A s1,
z c .fyd
u
=
0, 17143
10 4 = 9, 66 cm 2
0, 408.435
3.3 Section minimale d’armatures
fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]
2
3
2
fctm = 0, 3 [ 25]
3
= 2, 56 MPa
Maîtrise de la ⎫
⎧⎛
h ⎞
⎪ ⎜ 1, 6 −
⎪
⎟⎠ fctm
⎝
1
000
Max
fissuration ⎬ ⇒ fct, eff = fctm , fl =
⎨
⎪f
non requise ⎪⎭
⎩ ctm
⎧⎛
500 ⎞
2, 56 = 2, 82 MPa
⎪ 1, 6 −
1 000 ⎟⎠
fct , eff = 2, 82 MPa = Max ⎨ ⎜⎝
⎪ f = 2, 56 MPa
⎩ ctm
A s, min
fct , eff
⎧
b t .d
⎪ 0, 26 f
= Max ⎨
yk
⎪ 0, 0013.b .d
t
⎩
A s, min
⎧ 0, 26 2, 82 30.45 = 1, 98 cm 2
⎪
500
= 1, 98 cm = Max ⎨
⎪ 0, 0013.30.45 = 1, 76 cm 2
⎩
2
A s1 = 9, 66 cm 2 > 1, 98 cm 2 = A s, min
A s1 >< A s, min
As1 et As2 >< 0,04.Ac
As1 = 9, 66 cm 2 < 54, 0 cm 2 = 0, 04.30.45 O.K.
3.4 Dispense de la vérification de la rotation des rotules plastiques
αu =
xu
>< 0, 25 si fck ≤ 50 MPa
d
Aciers de classe B ou C
α u = 0, 233 < 0, 25 O.K.
S 500 B O.K.
49
50
0, 5 ≤
Ma
≤2
Mt
MEd , a = MEd ,
t
O.K.
⇒ Dispense de la vérification de la
rotation des rotules plastiques.
3.5 Diagramme des moments à l’ELU
MEd
(mkN)
240,00
222,86
171,43
Analyse
élastique
linéaire
MEd 0 = 342,86
MEd 0 = 342,86
120
171,43
Analyse
plastique
leff
2
= 3,15 m
3.6 Remarque – Contraintes à l’ELS dans la section sur appui
Sur la base des valeurs théoriques de A s1, u et d trouvées ci-dessus.
En adoptant un coefficient d’équivalence moyen : α e =
Es
E c, eff
= 15 .
3.6.1 Calcul en section non fissurée
A w = bw .h + α e ( A s1 + A s 2 )
A ch = 30.50 + 15.9, 66 = 1 644, 9 cm 2
bw h 2
+ α e ( A s1 .d + A s 2 .d ')
v' = 2
A ch
30.50 2
+ 15.9, 66.45
2
v' =
= 26, 76 cm
1 644, 9
v = h - v’
v = 50 - 26,76 = 23,24 cm
I ch =
bw .h3
+ α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch v '2
3
(
)
Analyse structurale
I ch =
30.503
+ 15.9, 66.452 − 1 644, 9.26, 762
3
I ch = 365 514 cm 4
pser = g + q
pser = 3, 75 + 45 = 48, 75 kN/m
MEd = M*Ed , a du § 1.4, le calcul à l’ELS n’étant pas conduit par analyse
plastique.
Mser = MEd
σ ct =
pser
pu
Mser = 222, 86
Mser .v
I ch
σ ct =
48, 75
= 149, 73 mkN
72, 56
149, 73.10 −3.0, 2324
= 9, 52 MPa
365 514.10 −8
Maîtrise de la fissuration non requise (pour la même contrainte de traction du
béton que celle utilisée pour la section minimale d’armatures) :
σ ct >< fct , eff
σ ct = 9, 52 MPa > 2, 82 MPa = fct , eff
⇒
Calcul en section fissurée.
3.6.2 Calcul en section fissurée
bw .x12
+ α e .A s1 .x1 − α e .A s1 .d = 0
2
15.x12 + 15.9, 66.x1 − 15.9, 66.45 = 0
x12 + 9, 66.x1 − 434, 7 = 0
Δ = 42, 80 2
I cf =
−9, 66 + 42, 80
= 16, 57 cm
2
bw .x13
2
+ α e .A s1 ( d − x1 )
3
I cf =
K=
⇒ x1 =
Mser
I cf
σ c = K.x1
30.16, 573
+ 15.9, 66 ( 45 − 16, 57 )2 = 162 613 cm 4
3
K=
149, 73.10 −3
= 92, 08 MN/m 3
162 613.10 −8
σ c = 92, 08.16, 57.10 −2 = 15, 3 MPa
σ c = 15, 3 MPa ≈ 0, 6.fck = 0, 6.25 = 15 MPa
51
52
d’autant plus que la section d’aciers utilisée
est la section calculée et non la section réelle
(qui lui est supérieure).
σ s = α e .K ( d − x1 )
σ s = 15.92, 08 ( 45 − 16, 57 ) 10 −2 = 393 MPa
σ s = 393 MPa ≈ 0, 8.fyk = 0, 8.500 = 400 MPa
Application n˚ 2 : analyse d’une poutre
continue
–Énoncé–
On considère la dalle constituée de deux panneaux ne portant que dans un seul
sens, schématisée ci-dessous :
B
0,20 m
C
A
0,185
m
4,81 m
0,24 m
5,00 m
3,81 m
0,185
m
4,00 m
Matériaux :
• béton : fck = 20 MPa ;
• aciers : S 500 A, diagramme à palier horizontal.
Charges :
• revêtements divers : 1,1 kN/m2 ;
• exploitation : 5,0 kN/m2 ;
Classe d’exposition : XC2.
On se propose :
1/ de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant d’une
analyse linéaire sans redistribution ;
2/ de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant d’une
analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ;
3/ de calculer les armatures longitudinales sur appuis et en travée dans le cas de
l’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ;
4/ de faire les vérifications à l’effort tranchant.
Analyse structurale
–Corrigé–
1. Introduction
1.1 Portées à prendre en compte
⎧1 t
⎪⎪ 2
⇒ a1 = Min ⎨
⎪1 h
⎪⎩ 2
Appuis de rive :
⎧ 1 0, 185 = 0, 0925 m
⎪⎪ 2
a1 = 0, 0925 m = Min ⎨
⎪ 1 0, 20 = 0, 10 m
⎪⎩ 2
Appui central :
⎧1 t
⎧ 1 0, 24 = 0, 12 m
⎪⎪ 2
⎪⎪ 2
⇒ a 2 = Min ⎨
a 2 = 0, 10 m = Min ⎨
⎪1 h
⎪ 1 0, 20 = 0, 10 m
⎪⎩ 2
⎪⎩ 2
Travée AB :
eff = n + a 1 + a 2
eff = 4,81 + 0,0925 + 0,10 = 5,00 m
Travée BC :
eff = n + a 1 + a 2
eff = 3,81 + 0,0925 + 0,10 = 4,00 m
1.2 Charges
Permanentes :
• poids propre :
• revêtements :
25 kN/m3.0,20 = 5,0 kN/m2
1,1 kN/m2
____________
Total :
g = 6,1 kN/m2
Exploitation :
q = 5,0 kN/m2
53
54
2. Analyse linéaire sans redistribution
2.1 Rappels de RdM
P1
P2
C
A
x1
B
x2
l1
l2
Le théorème des trois moments appliqué à l’appui B s’écrit :
3
3
3
p 2 . 2 p 1 . 1
1
2
------- + ------- M B = – -----------– -----------24EI 24EI
3EI 3EI
⇒
3
p . + p2 . 2
M B = – ----1-------1-------------------8 ( 1 + 2 )
Les moments maximaux en travée s’obtiennent de la façon suivante :
• pour la travée AB :
⎫
MB – MA
V 1 = p 1 ⎛ ----1- – x 1⎞ + ---------------------= 0⎪
1 MB
⎝2
⎠
1
⎬ ⇒ x 1 = ----- + -----------2 p 1 . 1
⎪
MA = 0
⎭
p 1 .x 1 ( 1 – x 1 )
x ⎫
x
- + M A ⎛ 1 – ----1-⎞ + M B ----1- ⎪
M t1 = --------------------------------x
p 1 .x 1 ( 1 – x 1 )
⎝
⎠
2
1 ⎬ ⇒ M t1 = --------------------------------1
- + M B ----11
2
⎪
MA = 0
⎭
• pour la travée BC :
⎫
MC – MB
V 2 = p 2 ⎛ ----1- – x 2⎞ + --------------------- = 0⎪
2 MB
⎝2
⎠
2
⎬ ⇒ x 2 = ----- – -----------2 p 2 . 2
⎪
MC = 0
⎭
p 2 .x 2 ( 2 – x 2 )
x ⎫
x
- + M B ⎛ 1 – ----2-⎞ + M C ----2- ⎪
M t2 = --------------------------------⎝
⎠
2
2 ⎬
2
⎪
MC = 0
⎭
p .x ( – x )
x
⇒ M t2 = ----2-------2--------2-----------2--- + M B ⎛ 1 – ----2⎞
⎝
2
2⎠
Analyse structurale
Remarque
Pour les cas de charge faisant intervenir à la fois les charges per manentes et les
charges variables, il n’est pas possible d’obtenir par superposition la position et
la valeur des moments extrêmes en travée lorsque le chargement n’est pas
symétrique.
2.2 Moments sur appuis
Les calculs sont conduits pour une bande de dalle de largeur unité portant sur
les appuis A, B et C (sens de la petite portée).
2.2.1 Charges permanentes
p
p
1
2
C
A
x1
B
l1
p1 = p2 = g
x2
l2
p1 = p2 = 6,1 kN/m2
3
3
p 1 . 1 + p 2 . 2
6, 1.5, 003 + 6, 1.4, 003
- M B, g = −
M B, g = – ------------------------------= −16, 01 mkN/m
8 ( 1 + 2 )
8 ( 5, 00 + 4, 00 )
2.2.2 Charge d’exploitation totale
p1
p2
C
A
x1
B
l1
p1 = p2 = q
x2
l2
p1 = p2 = 5,0 kN/m2
3
3
p 1 . 1 + p 2 . 2
5, 0.5, 003 + 5, 0.4, 003
- M B, q = −
M B, q = – ------------------------------= −13, 12 mkN/m
8 ( 1 + 2 )
8 ( 5, 00 + 4, 00 )
2.2.3 Charge d’exploitation sur la travée AB
p1
A
C
x1
B
l1
x2
l2
55
56
p1 = q ; p2 = 0
p1 = 5,0 kN/m2 ; p2 = 0
3
3
p 1 . 1 + p 2 . 2
5, 0.5, 003
- M B, qw = −
M B, qw = – ------------------------------= −8, 68 mkN/m
8 ( 1 + 2 )
8 ( 5, 00 + 4, 00 )
2.2.4 Charge d’exploitation sur la travée BC
p2
C
A
B
x1
l1
p1 = 0 ; p2 = q
x2
l2
p1 = 0 ; p2 = 5,0 kN/m2
3
3
p 1 . 1 + p 2 . 2
5, 0.4, 003
- M B, qe = −
= −4, 44 mkN/m
M B, qe = – ------------------------------8 ( 1 + 2 )
8 ( 5, 00 + 4, 00 )
2.3 Superposition des cas de charge
2.3.1 Travée AB
⎧1, 35.g + 1, 5.q : travées chargées,
pu = ⎨
⎩1, 35.g : travéées non chargées,
⎧⎪1, 35.6, 1 + 1, 5.5, 0 = 15, 735 kN/m 2 : travées chargées,
pu = ⎨
2
⎩⎪1, 35.6, 1 = 8, 235 kN/m : travées non chargées,
A
A
A
l1
B
l1
x1
l1
1,35.g
x1
B
B
1,35.g + 1,5.q
x1
1,35.g + 1,5.q
Cas 1
Cas 2
l2
x2
Cas 3
1,35.g + 1,5.q
l2
x2
1,35.g
l2
x2
1,35.g + 1,5.q
Cas de charge
C
C
C
3
3
– 1,35.16,01 – 1,5.4,44
= – 28,27 mkN/m
– 1,35.16,01 – 1,5.8,68
= – 34,63 mkN/m
– 1,35.16,01 – 1,5.13,12
= – 41,29 mkN/m
p 1 . 1 + p 2 . 2
M B = – -------------------------------8 ( 1 + 2 )
x
p 1 .x 1 ( 1 – x 1 )
M t1 = --------------------------------- + M B ----11
2
1,813
5,00
28,27
(5,00 – 1,813)
x 1 = ---------- – ------------------------- = 1,813 m M t1 = 8,235.1,813
---------------------------------------------------------------- – 28,27 ------------- = 13,54 mkN/m
5,00
2
8,235.5,00
2
2,060
5,00
34, 63
(5,00 – 2,060)
x 1 = ---------- – ---------------------------- = 2,060 m M t1 = 15,735.2,060
------------------------------------------------------------------- – 34,63 ------------- = 33,38 mkN/m
5,00
2
15,735.5,00
2
1,975
5,00
41,29
(5,00 – 1,975)
x 1 = ---------- – ---------------------------- = 1,975 m M t1 = 15,735.1,975
------------------------------------------------------------------- – 41,29 ------------- = 30,69 mkN/m
5,00
2
15,735.5,00
2
MB
x 1 = ----1- + ------------2 p 1 . 1
Analyse structurale
57
A
A
A
l1
B
l1
x1
l1
1,35.g
x1
B
B
1,35.g + 1,5.q
x1
1,35.g + 1,5.q
Cas 1
Cas 2
l2
x2
C
C
C
Cas 3
1,35.g + 1,5.q
l2
x2
1,35.g
l2
x2
1,35.g + 1,5.q
Cas de charge
2.3.2 Travée BC
– 28,27 mkN/m
– 34,63 mkN/m
– 41,29 mkN/m
3
3
p 1 . 1 + p 2 . 2
M B = – -------------------------------8 ( 1 + 2 )
4,00
28,27
x 2 = ---------- + ---------------------------- = 2,456 m
2
15,735.4,00
4,00
34,63
x 2 = ---------- + ------------------------- = 3,051 m
2
8,235.4,00
4,00
41,29
x 2 = ---------- + ---------------------------- = 2,656 m
2
15,735.4,00
MB
x 2 = ----2- – ------------2 p 2 . 2
2,456
– 28,27 ⎛ 1 – -------------⎞ =
⎝
4,00 ⎠
14,21 mkN/m
18,92 mkN/m
3,71 mkN/m
15,735.2,456 (4,00 – 2,456)
M t2 = ------------------------------------------------------------------2
3,051
– 34,63 ⎛ 1 – -------------⎞ =
⎝
4,00 ⎠
8,235.3,051 (4,00 – 3,051)
M t2 = ---------------------------------------------------------------2
2,656
– 41,29 ⎛ 1 – -------------⎞ =
⎝
4,00 ⎠
15,735.2,656 (4,00 – 2,656)
M t2 = ------------------------------------------------------------------2
p 2 .x 2 ( 2 – x 2 )
x
M t2 = --------------------------------- + M B ⎛ 1 – ----2-⎞
⎝
2
2⎠
58
Analyse structurale
D’où le diagramme des moments fléchissants :
Echelles :
: cas 1
10 mkN/m
-41,29
: cas 2
-34,63
-28,27
: cas 3
A
+
3,71
14,21
+
+
18,92
B
13,54
1m
C
30,69
+
+
33,38
l1
l2
3. Analyse linéaire avec redistribution
3.1 Caractéristiques des matériaux
fcd = α cc
fyd =
fck
γc
fyk
γs
fcd = 1
fyd =
20
= 13, 33 MPa
1, 5
500
= 435 MPa
1, 15
3.2 Coefficient réducteur du moment sur appui
i
--------->< 2
i + 1
i
5,00
0,5 < ---------= ---------- = 1,25 < 2 O.K.
i + 1
4,00
⎛
0, 0014 ⎞ ⎛ x u ⎞
fck >< 50 MPa ⇒ δ fck = 20 MPa ⇒ δ = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
.
ε cu 2 ⎟⎠ ⎝ d ⎠
⎝
en posant :
αu =
xu
,
d
59
60
⎧ λ,
f ck >< 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η
⎧ λ = 0,8
f ck = 20 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η = 1
fcu = η.fcd
fcu = 1.13, 33 = 13, 33 MPa
μ cu ,
=
th
MEd , a
bw .d 2 .fcu
avec MEd , a = moment sur appui
μ cu ,
th
=
0, 04129
= 0, 107
1, 00.0, 172.13, 33
on obtient à l’ELU sous l’effet du moment « redistribué78 » M 'Ed ,
B
= δ.MEd , a :
μ cu = μ cu , th .δ
1⎡
1 − 1 − 2.δ.μ cu ,
λ⎣
αu =
th
⎤,
⎦
d’où :
0,0014 x
0,0014 ⎞
δ ≥ 0,44 + 1,25 ⎛ 0,6 + ----------------⎞ ----u- = 0,44 + 1,25 ⎛ 0,6 + ------------------ α = 0,44 + 1,25.α u
– 3⎠ u
⎝
⎝
ε cu2 ⎠ d
3,5.10
5 2
δ ≥ 0, 44 + ⎛ ⎞ ⎡⎣1 − 1 − 2.δ.μ cu ,
⎝ 4⎠
16
[ δ − 0, 44 ] ≥ 1 − 1 − 2.δ.μ cu,
25
⎤
⎦
th
≥ – 1 – 2.δ.μ cu, th
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
16 δ – 0,44 – 25
----------16
25
th
δ–2
et en supprimant le radical (en remarquant que 2 – δ < 0) :
2
⎛ 16 ⎞ ⎡ δ 2 − 4.δ + 4 ⎤ ≤ 1 − 2.δ.μ
cu ,
⎦
⎝ 25 ⎠ ⎣
th
78. Pour différencier les sollicitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres sollicitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M’, V’).
Analyse structurale
d’où l’inéquation du second degré en δ :
⎧
⎨
⎩
2
25 2
25 2
δ – 4.δ + 4 ≤ ⎛ ------⎞ – 2 ⎛ ------⎞ δ.μ cu, th
⎝ 16⎠
⎝ 16⎠
2,44
(
δ 2 − 4 1 − 1, 22.μ cu ,
⇒
⇒
th
) δ + 1, 56 ≤ 0
(
Δ ' = 4 1 − 1, 22.μ cu ,
(
δ = 2 1 − 1, 22.μ cu ,
th
th
)2 − 1, 56
) ± 4 (1 − 1, 22.μ cu, th )2 − 1, 56
⎧ 2, 949
δ = 2 (1 − 1, 22.0, 107 ) ± 4 (1 − 1, 22.0, 107 )2 − 1, 56 = ⎨
⎩ 0, 529
Le trinôme étant du signe du coefficient multiplicateur de δ2
en dehors des racines, il est négatif si δ ∈[ 0, 529 2, 949 ] .
⇒
M 'Ed ,
μ cu =
αu =
B
⎧ 0,8 pour aciers de classe A,
Prenons δ = 0,85 > ⎨
⎩ 0,529.
= δ.M Ed , a
M 'Ed ,
B
bw .d 2 .fcu
1
⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦
λ⎣
= 0, 85.41, 29 = 35, 10 mkN/m
M 'Ed ,
B
μ cu =
0, 0351
= 0, 091
1, 00.0, 172.13, 33
αu =
1
⎡1 − 1 − 2.0, 091 ⎤⎦ = 0, 119
0, 8 ⎣
On vérifie que :
x
fck = 20 MPa < 50 MPa ⇒ δ lim = 0, 44 + 1, 25 ⎛⎝ ----u-⎞⎠ = 0,44 + 1,25.α u
d
δ lim = 0, 44 + 1, 25.0, 119 = 0, 589
δ >< δ lim
δ = 0, 85 > 0, 589 = δ lim O.K.
3.3 Diagramme des moments redistribués à l’ELU
3.3.1 Moment fléchissant maximal dans la travée AB
Effort tranchant sur l’appui A lorsque M B = M 'Ed ,
§ 2.3.1) :
B
(cas de charge du
61
62
M
V’ Ed, A = p u ----1- + -------B2
1
V 'Ed ,
A
= 15, 735
5, 00 35, 1
−
= 32,3 kN/m
2
5, 00
Abscisse de la section soumise au moment maximal en travée :
MB
V’ Ed, A
x 0 = ----1- + -----------= --------------2 p u . 1
pu
x0 =
5, 00
35, 1
−
= 2,054 m
2
15, 735.5, 00
Moment maximal redistribué en travée :
x
p u .x 0 ( 1 – x 0 )
M’ Ed, AB = --------------------------------- + M’ Ed, B ----01
2
15, 735.2, 054 ( 5, 00 − 2, 054 )
2, 0544
− 35, 10
2
5, 00
M 'Ed ,
AB
=
M 'Ed ,
AB
= 33,19 mkN/m < 33, 38 mkN/m = M Ed ,
AB
⇒ M 'Ed , AB non retenu pour le calcul de la section
d’aciers dans la travée AB.
3.3.2 Moment fléchissant maximal dans la travée BC
Abscisse de la section soumise au moment maximal en travée (cas de charge du § 2.3.2) :
MB
x 0 = ----2- – -----------2 p u . 2
x0 =
4, 00
35, 1
+
= 2,558 m
2
15, 735.4, 00
Moment maximal redistribué en travée :
p u .x 0 ( 2 – x 0 )
x
M’ Ed, BC = --------------------------------- + M’ Ed, B ⎛ 1 – ----0-⎞
⎝
2
2⎠
15, 735.2, 558 ( 4, 00 − 2, 558 )
2, 558 ⎞
⎛
− 35, 10 ⎜ 1 −
⎝
2
4, 00 ⎟⎠
M 'Ed ,
BC
=
M 'Ed ,
BC
= 16,37 mkN/m < 18, 92 mkN/m = M Ed ,
BC
⇒ M 'Ed , BC non retenu pour le calcul de la section d’aciers
dans la travée BC.
4. Armatures longitudinales
4.1 Caractéristiques des matériaux
Voir § 3.1.
Analyse structurale
4.2 Aciers sur appui B
4.2.1 Écrêtage des moments sur appui
Efforts tranchants de part et d’autre de l’appui central (indices w = ouest pour
gauche, et e = est pour droite) :
p u = 1, 35.g + 1, 5.q
p u = 1, 35.6, 1 + 1, 5.5, 0 = 15, 735 kN/m 2
M’ Ed, B
V’ Ed, Bw = – p u ----1- + ---------------- V 'Ed ,
2
1
M’ Ed, B
V’ Ed, Be = p u ----2- – ---------------2
2
V 'Ed ,
Bw
Be
= −15, 735
= 15, 735
5, 00 35, 1
−
= – 46,36 kN/m
2
5, 00
4, 00 35, 1
+
= + 40,25 kN/m
2
4, 00
Réaction d’appui sur l’appui central :
FEd , sup = V 'Ed ,
Be
− V 'Ed ,
Bw
FEd, sup = 40, 25 + 46, 36 = 86,61 kN/m
Écrêtage du moment sur l’appui central :
t = profondeur d’appui :
ΔMEd = FEd , sup
t
8
t = 0,24 m
ΔM Ed = 86, 61
0, 24
= 2,60 mkN/m
8
Moment fléchissant à prendre en compte sur l’appui central :
En utilisant l’exposant « * » pour distinguer le moment « écrêté » du moment
résultant des calculs RdM :
M'*Ed ,
B
= M 'Ed , B + ΔMEd
M'*Ed ,
B
= −35, 10 + 2, 60 = – 32,50 mkN/m
4.2.2 Vérification – Valeur minimale du moment en B
Moment au nu d’appui :
MEd = M'*Ed ,
B
− pu
a2
2
MEd = 32, 5 − 15, 735
0, 10 2
= 32,42 mkN
2
Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln :
2
M Ed, enc = p u -----n12
MEd , enc = 15, 735
4, 812
= 30,34 mkN
8
Vérification :
MEd >< 0, 65.MEd , enc
MEd = 32, 42 mkN > 19, 72 mkN = 0, 65.30, 34 = 0, 65.MEd , enc O.K.
63
64
Remarque
Cette vérification est en fait inutile ici, car la dalle n’est pas solidaire de l’appui B.
4.2.3 Armatures
μ cu =
M'*Ed ,
B
μ cu =
bw .d 2 .fcu
32, 5.10 −3
= 0, 085
1, 00.0, 172.13, 33
fck = 20 MPa ⎫
MEd
⎪
S 500
: μ lu = μ ls = 0,33717
⎬ ⇒ ∀ γ=
M
ser
⎪
XC2
⎭
μ cu >< μ lu
αu =
μ cu = 0, 085 < 0, 3717 = μ lu
1
⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦
λ⎣
⎡ λ ⎤
z c = d ⎢1 − α u ⎥
2 ⎦
⎣
A s1,
u
=
M'*Ed ,
αu =
⇒ A s2 = 0
1
⎡1 − 1 − 2.0, 085 ⎤⎦ = 0, 111
0, 8 ⎣
0, 8
0, 111⎤⎥ = 0,162 m
z c = 0, 17 ⎡⎢1 −
2
⎦
⎣
B
A s1,
z c .fyd
u
=
32, 5.10 −3 4
10 = 4, 61 cm 2 /m
0, 162.435
4.2.4 Contrôle du coefficient de redistribution d
i
--------->< 2
i + 1
i
5,00
0,5 < ---------= ---------- = 1,25 < 2 O.K.
i + 1
4,00
fck >< 50 MPa ⇒ δ
x
0,0014
δ = 0,44 + 1,25 ⎛ 0,6 + --------------- ⎞ . ⎛ ----u⎞
⎝
ε cu2 ⎠ ⎝ d ⎠
⎧
⎨
⎩
f ck = 20 MPa ⇒
αu
0, 0014 ⎞
⎛
δ = 0, 44 + 1, 25 ⎜ 0, 6 +
.0, 111 = 0, 579
⎝
0, 0035 ⎟⎠
⎧ 0, 579
O.K.
δ = 0, 85 > ⎨
⎩ 0, 8 classe A
Analyse structurale
Remarque
Du fait de l’« écrêtage » du moment sur appui, sa valeur absolue a diminué, donc
α u aussi, et le contrôle du coefficient de redistribution est assuré sans qu’il soit
nécessaire d’effectuer les calculs ci-dessus.
4.3 Armatures en travée
4.3.1 Travée AB
Comme : M 'Ed , AB < M Ed , AB (voir § 3.3.1), nous retenons cette dernière valeur
pour le calcul des armatures.
μ cu =
MEd ,
AB
bw .d 2 .fcu
μ cu =
33, 38.10 −3
= 0, 087
1, 00.0, 172.13, 33
fck = 20 MPa ⎫
MEd
⎪
S 500
: μ lu = μ ls = 0,33717
⎬ ⇒ ∀γ =
Mser
⎪
XC2
⎭
μ cu >< μ lu
αu =
μ cu = 0, 087 < 0, 3717 = μ lu
1
⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦
λ⎣
⎡ λ ⎤
z c = d ⎢1 − α u ⎥
2 ⎦
⎣
A s1,
u
=
MEd ,
AB
z c .fyd
αu =
⇒ A s2 = 0
1
⎡1 − 1 − 2.0, 087 ⎤⎦ = 0, 114
0, 8 ⎣
0, 8
0, 114 ⎤⎥ = 0,162 m
z c = 0, 17 ⎡⎢1 −
2
⎦
⎣
A s1,
u
=
33, 38.10 −3 4
10 = 4, 74 cm 2 /m
0, 162.435
4.3.2 Travée BC
Comme M 'Ed , BC < MEd , BC (voir § 3.3.2), nous retenons cette dernière valeur
pour le calcul des armatures.
μ cu =
MEd ,
2
BC
bw .d .fcu
μ cu =
18, 92.10 −3
= 0, 049
1, 00.0, 172.13, 33
fck = 20 MPa ⎫
MEd
⎪
S 500
: μ lu = μ ls = 0,33717
⎬ ⇒ ∀γ =
M
ser
⎪
XC2
⎭
μ cu >< μ lu
μ cu = 0, 049 < 0, 3717 = μ lu
⇒ A s2 = 0
65
66
αu =
1
⎡1 − 1 − 2.μ cu ⎤⎦
λ⎣
αu =
⎡ λ ⎤
z c = d ⎢1 − α u ⎥
2 ⎦
⎣
A s1,
u
=
MEd ,
1
⎡1 − 1 − 2.0, 049 ⎤⎦ = 0, 063
0, 8 ⎣
0, 8
0, 063⎤⎥ = 0,166 m
z c = 0, 17 ⎡⎢1 −
2
⎦
⎣
BC
A s1,
z c .fyd
u
=
18, 92.10 −3 4
10 = 2, 62 cm 2 /m
0, 166.435
5. Vérification à l’effort tranchant
5.1 Effort tranchant à prendre en compte
Effort tranchant maximum obtenu à gauche de l’axe de l’appui B, compte tenu
du moment redistribué :
M’ Ed, B
V’ Ed, Bw = – p u ----1- + ---------------2
1
V 'Ed ,
Bw
= −15, 735
5, 00 35, 10
−
= – 46,36 kN/m
2
5, 00
Effort tranchant réduit pour transmission directe des charges aux appuis (à la
distance d du nu d’appui pour des charges réparties) :
V 'Ed 0 ,
Bw
= V 'Ed ,
Bw
t
− pu ⎛ + d⎞
⎝2
⎠
V 'Ed 0 ,
Bw
0, 24
= 46, 36 − 15, 735 ⎛
+ 0, 17⎞ = 41,80 kN/m
⎝ 2
⎠
Effort tranchant résistant de calcul de l’élément sans armatures d’âme :
A sl = aire de l’armature longitudinale
dans la section distante de d + l bd
A sl = 5, 03 cm 2 / m (TS HA ST 50 ADETS)
de celle étudiée :
ρl =
A sl
>/ 2 %
bw .d
N Ed = effort normal
σ cp =
N Ed
< 0,2.fcd
Ac
ρl =
5, 03
= 0, 003 < 2 %
100.17
N Ed = 0 (flexion simple)
σ cp = 0
Analyse structurale
Effort tranchant pouvant être supporté sans armatures d’âme :
VRd , c
⎧ ⎡ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤ bw .d = VRd , c1
⎦
⎪⎣
= Max ⎨
⎪ ⎡⎣ v min + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d = VRd , c 2
⎩
avec :
CRd , c =
0, 18
γc
CRd , c =
⎧
200 mm
⎪1 +
k = Min ⎨
d
⎪2
⎩
0, 18
= 0, 12
1, 5
⎧
200
= 2, 08
⎪1 +
k = 2 = Min ⎨
170
⎪2
⎩
k1 = 0,15
3/2
3/2
v min = 0,035.k . f ck
v min = 0,035.2 . 20 = 0,443
k1 = 0, 15
k31 = 0, 15
⎧⎡
⎤
20 + 03 , 15.0 ⎥ 1, 00.0, 17 = 0, 074 MN/m
⎪ ⎢302, 12.2 3 100
2
1
000
Min
V
vRd
.k⎣ . fck v min = 0, 035.2 . 20⎦ = 0, 443
min, c==0, 035⎨
⎪
⎩( 0, 443 + 0, 15.0 ) 1, 00.0, 17 = 0, 075 MN/m
Remarque pour l’Annexe nationale française
v min
⎧ 0, 34
fck : dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale
⎪ γ
⎪ c
⎪
e cas de charge considéré,
sous le
⎪
= ⎨ 0, 053 3 2
⎪ γ k . fck : poutres et autres dalles,
⎪ c
⎪ 0, 35
fck : voiles.
⎪
⎩ γc
Dalle portant dans un seul sens :
⇒ v min =
0, 053 3 2
0, 053 3 2
2 . 20 = 0, 447
k . fck =
1, 5
γc
Soit sensiblement la même valeur que celle recommandée par l’EC 2.
(
0, 053 0, 053
=
= 0, 0353 ≈ 0, 035)
γc
1, 5
5.2 Vérification
V 'Ed 0 ,
Bw
>< VRd , c
V 'Ed 0 ,
⇒
Bw
= 0, 0418 MN/m < 0, 074 MN/m = VRd , c
armatures d’effort tranchant non nécessaires.
67
68
6. Vérifications à l’ELS
On trouvera ci-après la liste des vérifications complémentaires à effectuer pour
que l’application soit complète.
6.1 Contraintes à l’ELS
Pour mémoire.
6.2 Fissuration
Pour mémoire.
6.3 Flèches
Pour mémoire.
7. Dispositions constructives
On trouvera ci-après la liste des calculs complémentaires à effectuer pour
compléter cette application.
7.1 Longueurs d’ancrage
Pour mémoire.
7.2 Ancrages sur l’appui A
Pour mémoire.
7.3 Ancrages sur l’appui B
Pour mémoire.
7.4 Espacements des barres
Pour mémoire.
7.5 Armatures minimales
Pour mémoire.
7.6 Recouvrement des armatures
Pour mémoire.
2
Instabilité de forme –
Flambement
I.
RAPPELS THÉORIQUES
1.
Rappels de résistance des matériaux
1.1
Force critique d’Euler
Considérons une poutre G 0 G1 articulée à ses
deux extrémités.
0 : longueur de la poutre,
S : aire de la section droite supposée constante,
G 0 xy : repère associé à la pièce de telle sorte
que l’axe G 0 x supporte le segment G 0 G1,
F : forces axiales de compression appliquées à
chacune des extrémités de la poutre,
y(x) : déplacement de la section d’abscisse x par
rapport à la ligne d’action de F.
x
F
G1
Pour que la déformée y(x) corresponde à une
déformée stable, il faut que :
dω d y M ⎫
=
= ⎪
dx dx 2 EI ⎬ ⇒
⎪
M = − F .y
⎭
2
d2 y F
+ y=0
dx 2 EI
F et EI étant constants, posons γ 2 =
ces
conditions,
nous
obtenons
F
. Dans
EI
l’équation
⎧ d2 y
2
⎪⎪ 2 + γ .y = 0
dx
différentielle : ⎨
dont l’intégrale
⎪γ 2 = F
⎪⎩
EI
l0
(S)
y
y
x
G0
F
générale est : y = A.sin γx + B. cos γx
Les constantes d’intégration A et B s’obtiennent en exprimant les conditions
aux limites :
70
⎧ [ y ]x = 0 = 0
⎨
⎩ [ y ] x = 0 = 0
⇒
⎧B = 0
⎨
⎩ A.sin γ 0 = 0
La seconde relation conduit à :
⎧ A = 0 ⇒ forme rectiligne stable,
⎪
⎨ ou
⎪ γ = n π ⇒ forme non rectiligne stable.
⎩ 0
Nous en déduisons qu’il y a une infinité de déformées non rectilignes stables
vérifiant :
x
y = A.sin ⎛⎝ nπ -----⎞⎠
0
Les valeurs correspondantes de la force F sont données par :
EI
F = γ 2 EI ⇒ F = n 2 π 2 -----20
La forme rectiligne cesse d’être une forme d’équilibre stable lorsque l’intensité
de la force F atteint la plus petite de ces valeurs soit :
2 EI
F c = π -----2- = force critique d’Euler.
0
0 est appelée longueur de flambement de la poutre. Sa valeur dépend des
liaisons aux deux extrémités de cette dernière (voir § 2.2 et 2.3).
1.2
Amplification de la déformée d’une poutre comprimée
Considérons une poutre G 0 G1 articulée à ses deux extrémités :
0 : longueur de la poutre,
S : section droite constante,
F : forces axiales de compression appliquées à chacune des extrémités de la
poutre,
x
y 0 = a.sin ⎛ π -----⎞ : défaut de rectitude initial,
⎝ 0⎠
y(x) : déplacement de la section d’abscisse x par rapport à la ligne déformée
initiale de la poutre.
Instabilité de forme – Flambement
1.2.1
Équation différentielle de la ligne moyenne déformée
Moment fléchissant dans la section d’abscisse x :
x
M ( x ) = −F ( y + y0 )
Pour que la déformée soit stable, il faut que :
F
d2 y M
=
dx 2 EI
G1
soit :
d2 y
F
= − ( y + y0 )
EI
dx 2
(S)
Équation que l’on écrit :
⎧ 2
x⎞
⎪ d-------y- + γ 2 .y = – γ 2 a.sin ⎛ π ---⎝ 0⎠
⎪ dx 2
⎨
⎪ 2
F
⎪ γ = -----EI
⎩
y
y y0
l0
x
G0
F
Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée
– Coefficient d’amplification
L’intégrale générale de l’équation différentielle précédente s’écrit :
x⎞
y = A.sin γx + B.cos γx + C.sin ⎛ π ---⎝ 0⎠
y
1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
1.2.2
y0
x
La constante d’intégration C est déterminée en écrivant que y 0 = C.sin ⎛ π -----⎞
⎝ 0⎠
est solution de l’équation différentielle avec second membre :
2
2
2
π
x
x
x
– ----2- C.sin ⎛ π -----⎞ + γ C.sin ⎛ π -----⎞ = – γ a.sin ⎛ π -----⎞
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
⎝ 0⎠
0
ce qui donne :
a
C = -----------------------π ⎞2
⎛ ------- –1
⎝ γ 0⎠
71
72
2 EI
π -----2
F
π
π
et, en remarquant que : ----------- = ----------- = -----------0- = -----c , on obtient :
2 2
2
F
F
F
γ . 0
------ 0
EI
2
C=
2
aF
Fc − F
Il en résulte que la solution de l’équation différentielle complète s’écrit :
y = A.sin γx + B. cos γx +
aF
x⎞
sin ⎛ π ---⎝ 0⎠
Fc − F
Les constantes d’intégration A et B sont déterminées par les conditions aux
limites :
⎧ [ y ]x = 0 = 0
⎨
⎩ [ y ] x = 0 = 0
d’où :
2
⎧B = 0
2
2 π EI
2
⇒ γ 0 = n π ⇒ F = EI γ = n -------2---- = n F c ⇒ F = F c
⎨
A.sin
γ
=
0
0
⎩
0
Si l’on suppose que F < Fc , nous avons :
sin λ0 ≠ 0 ⇒ A = 0
et la solution de l’équation différentielle de la ligne moyenne déformée s’écrit :
F
x
F
y = -------------- a.sin ⎛ π -----⎞ = -------------- y 0
⎝ 0⎠
Fc – F
Fc – F
Nous en déduisons :
⎤
⎡ F
Fc
y + y0 = ⎢
+ 1⎥ y 0 =
y0
F
−
F
F
c −F
⎦
⎣ c
M = −F ( y + y0 ) = −F
Fc
y0
Fc − F
d’où en posant M0 = − F.y 0 , moment résultant de la déformée initiale :
Instabilité de forme – Flambement
Fc
- M ≥ M0
M = ------------Fc – F 0
Fc
- ≥ 1 est appelé coefficient d’amplification
K = ------------Fc – F
Il en résulte qu’une déformation initiale de la ligne moyenne engendre, sous
l’effet d’une compression :
• une augmentation du moment fléchissant ;
• une force critique de flambement inchangée.
Remarque
Dans le cas où la poutre est soumise à un moment variant sinusoïdalement, il
suffit
de
remplacer,
dans
le
calcul
précédent,
x
y 0 = a.sin ⎛ π -----⎞
⎝ 0⎠
par
M
x
y 0 = ------0- = a.sin ⎛ π -----⎞ , ce qui conduit au même coefficient d’amplification du
⎝ 0⎠
F
moment du premier ordre.
1.2.3
Excentricités du premier et du second ordre
Considérons une potence verticale soumise à l’action :
• d’une force verticale P d’excentricité structurale e 0 en tête ;
• d’une force horizontale H en tête.
P
P
H
e0
f
e0
l0
+
2
P.e0 H.l0 2
M1
Charges
Déformations
=
P.f
M2
M1 + M2
Moments fléchissants
Le moment du second ordre résulte du supplément d’excentricité provenant de
l’apparition de la flèche f.
73
74
Sollicitations en pied de poteau avant déformation :
⎧N = P
⎪
⎪ M 1 = P.e 0 + H ----02
⎨
⎪
H ⎪e = M
------1- = e 0 + ---- . ----0⎩ 1
P 2
N
Sollicitations du second ordre dues à la déformation :
⎧
⎪N = P
⎪⎪
⎨ M2 = P.f
⎪
M
⎪e 2 = 2 = f
N
⎩⎪
Sollicitations totales (1er + 2e ordre) :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
{
⎧N = P
⎪
0
⎪
⎪ M = M 1 + M 2 = P [ e 0 + f ] + H ---2
⎨
⎪
⎪e = M
----- = e 0 + H
---- . ----0- + f
N
P 2
⎪
e2
⎩
e1
On appelle :
• excentricité du premier ordre : l’excentricité e1 évaluée sans tenir compte des
déformations (résultat des calculs de RdM) ;
• excentricité du second ordre : l’excentricité e 2 représentant les déformations
de l’élément (influence des déformations sur le moment fléchissant).
Remarque
L’excentricité additionnelle ei et le supplément d’excentricité pour les sections
droites avec ferraillage symétrique Δe0 (voir § 1.2.1, chapitre 11 : « Flexion
composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) doivent être
ajoutées à l’excentricité du premier ordre.
Instabilité de forme – Flambement
2.
Classification des structures et des éléments
structuraux
2.1
Éléments contreventés et non contreventés
Voir § 2.4.1, chapitre 1 : « Analyse structurale » pour leur définition.
2.2
Cas des poteaux isolés
Voir § 2.4.1, chapitre 1 : « Analyse structurale » pour leur définition.
2.2.1
Élancement
L’élancement est défini par1 :
λ = ----0i
(5.14)
avec :
Ic
= rayon de giration de la section droite,
Ac
I c = moment d’inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de
flambement (c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à celui-ci),
i=
A c aire de la section transversale (béton seul).
La longueur efficace 0 d’un poteau est égale à sa longueur de flambement2 :
a)
b)
c)
l0 = 2. l
l
l
d)
e)
f)
≃ 0,7.l
l
2
l
<l < l
2 0
g)
l
1.
2.
EC 2 – 5.8.3.2 (1)
EC 2 – 5.8.3.2 (2)
l
2
l0 > 2.l
75
76
2.2.2
Cas des sections rectangulaires
Il faut normalement envisager les deux possibilités :
• flambement dans le plan parallèle au petit côté ;
• et flambement dans le plan parallèle au grand côté.
En désignant par 0b et 0h les longueurs efficaces (de flambement) correspondant aux liaisons d’extrémité dans le sens b (parallèle à la dimension b) et h
(parallèle à la dimension h), on retiendra :
⎧ 0b 12
⎪ -----------------⎪ b
λ = Max ⎨
b
⎪ 0h 12
⎪ -----------------⎩ h
h
2.2.3
3
b
h
⎛ I = -h.
-------- , B = h.b, i = ---------⎞
⎝
12
12⎠
Cas des sections circulaires
4 ⎫
π.a
I c = ---------- ⎪
64 ⎪
⎬
2
π.a ⎪
A c = ---------- ⎪
4 ⎭
a
2.3
3
⎛ I = -h.
----b---- , B = h.b, i = ----b-----⎞
⎝
12
12⎠
⇒
a
i = -- ⇒
4
Cas des éléments de structure isolés
l
4. λ = ---------0
a
Instabilité de forme – Flambement
Éléments de portiques non intégrés au contreventement (donc contreventés3) :
k
k
1
2
0 = 0,5.1 ⎛⎝ 1 + ---------------------⎞ . ⎛ 1 + ---------------------⎞
0,45 + k 1⎠ ⎝
0,45 + k 2⎠
(5.15)
Éléments de portiques intégrés au contreventement (donc non contreventés) :
⎧
k 1 .k 2
⎪ 1 + 10 ---------------k1 + k2
⎪
0 = .Max ⎨
k1 ⎞ ⎛
k2 ⎞
⎪⎛
- . 1 + ------------⎪ ⎝ 1 + ------------⎠
⎝
1 + k1
1 + k 2⎠
⎩
(5.16)
avec :
k1 , k 2 = coefficients de souplesse aux extrémités 1 et 2 respectivement tels
que :
EI θ
k.
θ = K.M = -------- M ⇒ k = ----- . --- M
EI
où :
θ = rotation des éléments s’opposant à la rotation pour le moment fléchissant M,
EI = rigidité à la flexion de la colonne,
= longueur libre de la colonne entre les liaisons d’extrémité.
Remarque
Pour un encastrement parfait : θ = 0 ⇒ k = 0,
pour une extrémité libre : M = 0 ⇒ k → ,
les encastrements parfaits n’existant pas dans la pratique, la valeur minimale à
considérer pour les coefficients de souplesse est : k1 ou k 2 = 0,1.
Dans le cas où le nœud comporte un autre poteau pouvant influencer la rotation
EI
EI
EI
d’extrémité, il faut remplacer ------ par ⎛ ------⎞ + ⎛ ------⎞ , a et b désignant respec⎝ ⎠a ⎝ ⎠b
tivement le poteau supérieur et le poteau inférieur4.
Dans le cas où l’effort normal et/ou la section du poteau n’est pas constant sur
toute sa hauteur, la longueur efficace est obtenue par la théorie du flambement
(RdM)5 :
EI
0 = π ------NB
3.
4.
5.
EC 2 – 5.8.3.2 (3)
EC 2 – 5.8.3.2 (4)
EC 2 – 5.8.3.2 (6)
(5.17)
77
78
avec : N B = charge critique de flambement.
Dans l’évaluation de la longueur efficace, il convient de tenir compte de la fissuration à moins que les éléments s’opposant à la déformation restent non fissurés
à l’ELU6.
3.
Imperfections géométriques
Voir § 2.4, chapitre 1 : « Analyse structurale ».
4.
Méthode générale
La méthode générale, appelée méthode de l’équilibre ou méthode des déformations internes, est basée sur une analyse non linéaire, incluant7 :
• la non-linéarité géométrique (effets du second ordre) ;
• la non-linéarité des lois de comportement des matériaux (diagrammes σ−ε).
La méthode de calcul peut être schématisée par l’organigramme ci-dessous :
6.
7.
EC 2 – 5.8.3.2 (5)
EC 2 - 5.8.6 (1)P
Instabilité de forme – Flambement
On dispose également de méthodes simplifiées8 :
• la méthode de la rigidité décrite au § 6 ;
• la méthode de la courbure décrite au § 7.
4.1
Domaine d’application
Poteaux chargés de façon excentrée et d’élancement géométrique élevé :
λ = ----0- > λ lim
i
8.
EC 2 – 5.8.5
79
80
avec :
0 = hauteur efficace (longueur de flambement) de l’élément vertical
généralement déduite de la théorie du flambement élastique (voir § 2),
Ic
= rayon de giration de la section droite,
Ac
A c = aire de la section droite (béton seul),
I c = moment d’inertie de la section droite (béton seul) dans le plan de
flambement (c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à ce plan),
λ lim = valeur limite de l’élancement du poteau (voir § 5.1).
Poteaux de section constante (béton et armatures).
La ligne moyenne est symétrique par rapport à la section médiane.
Poteaux articulés à leurs deux extrémités ou en console (mâts).
i=
l0
2
l0
Poteaux soumis à un effort normal constant.
Poteaux soumis à un moment du premier ordre de signe constant dont la valeur
maximale se produit dans la section à 0 / 2 du sommet.
4.2
Hypothèses complémentaires
4.2.1
Hypothèses mécaniques
Les sections droites restent planes.
Il n’y a pas de glissement relatif entre l’acier et le béton.
On néglige le béton tendu par sécurité.
Les armatures sont caractérisées par leur diagramme contraintes-déformations
de calcul (voir § 2.4.2.1, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de
l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans le cas des ponts, fyk et k.fyk
sont remplacés par les valeurs recommandées suivantes : 1, 1.fyk et 1, 1.k.fyk 9.
9.
EC 2 – 5.7 (105) – note 1
Instabilité de forme – Flambement
Le béton est caractérisé par le diagramme contraintes-déformations de calcul défini
au § 2.4.2.3, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J.
Roux, Éditions Eyrolles, en corrigeant le coefficient k de la façon suivante10 :
⎧ fcd : bâtiments,
γ
avec γ cf = 1, 1 s 11,
fcm est remplacé par ⎨
γc
⎩ γ cf .fck : ponts.
E cm
(5.20)
γ cE
avec : γ cE = 1, 2, valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française12.
E cm est remplacé par E cd =
Prise en compte du fluage en effectuant sur un diagramme contraintes-déformations
réaliste du béton une affinité parallèle à l’axe ε c, de rapport [1 + ϕ ef ] avec13 :
ϕ ef = ϕ ( , t 0 )
MOEqp
(5.19)
= coefficient de fluage effectif,
MOEd
où :
ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage14 (voir § 2.3.3.4,
chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J.
Roux, Éditions Eyrolles).
MOEqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison de
charges quasi permanente15 (ELS),
moment ultime du premier ordre sous la combinaison de
MOEd =
charges de calcul (y compris imperfections géométriques16),
Chargement de
courte durée
c
Chargement de
durée quelconque
Arctg Ecm
c
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
EC 2 – 5.8.6 (3)
EC 2 – 5.7 (105) – note 1
EC 2 – voir AN
EC 2 – 5.8.4 (2)
EC 2 – 3.1.4 (4)
EC 2 – 5.8.4 (2)
EC 2 – voir A.NF
c
(1+ )
ef
c
81
82
Remarque 1
On peut négliger le fluage ( ϕ ef = 0 ) lorsque les trois conditions suivantes sont
réunies17 :
ϕ ( , t0 ) ≤ 2,
λ ≤ 75,
M0Ed
≥ h,
NEd
avec : h = hauteur de la section dans la direction correspondante.
Remarque 2
Si le rapport
M0Eqp
N0Ed
varie dans l’élément, on peut18 :
– soit utiliser le rapport correspondant au moment maximal ;
– soit adopter une valeur moyenne représentative.
Remarque 3
Pour les ponts, une méthode d’évaluation plus précise du fluage peut être
appliquée19.
4.2.2
Hypothèse géométrique supplémentaire
Cas général
On se donne la déformée du poteau de façon arbitraire mais raisonnable.
Cas de base
On assimile la déformée à :
• une demi-onde de sinusoïde pour un poteau bi-articulé ;
• un quart d’onde de sinusoïde pour un poteau en console.
l0
2
l0
2
f
17. EC 2 – 5.8.4 (4)
18. EC 2 – 5.8.4 (3)
19. EC 2 – 5.8.4 (105) + annexe KK
f
Instabilité de forme – Flambement
4.3
Excentricité « externe »
Pour un poteau encastré en pied et libre en tête (mât) :
P
(
P e0 + ei
H
ei
P
O
P
)
H
y
e0
l0
l0
2
2
(
)
M1 = P e0 + ei +H
l0
2
M1
P
= e1
f
x
Chargement
Sollicitations du premier ordre
Total en pied
Dans le repère Oxy lié à l’extrémité libre du poteau, la déformée a pour
équation :
⎧
π.x
⎪ y = f .sin -------0
⎨
⎪
⎩ f = flèche maximale en tête
La courbure est donnée par la relation :
1
y"
=
r
1 + y '2
(
)3 2
≈ y"
2
π
π.x
1
--- = – f ----2- sin -------0
r
0
soit, en pied du poteau et en valeur absolue :
2
π
1
--- = f ----2r
0
2
⇒
1
f = e 2 = ----02- . -π r
L’excentricité « externe » ou excentricité de l’effort normal N Ed dans la section
la plus sollicitée (en pied de poteau) vaut donc :
2
1
e ext = e 1 + e 2 = e 1 + ----02-. --π r
1
D’où sa représentation dans le repère (e, ) :
r
[16.1]
83
84
e
eext
l2
0
2
e1
1
r
0
4.4
Excentricité « interne »
Dans la section la plus sollicitée, tout état de déformation défini par sa
courbure 1/r et une déformation relative ε en un point particulier de la section,
conduit aux équations de compatibilité et d’équilibre (moments rapportés au
centre de gravité G0 du béton seul) :
b
Déformations
d+j
+
c
AN
G0
(
x
x+
Aj
εsj
1 εc
=
=
r x x − v '− d j
Ni =
x
v'
1
r
dj
)
n
∫ 0 bξ .σ cξ .dξ +∑ A j .σ sj
1
Mi =
x
∫0
n
bξ .σ cξ . ( v '− ξ ) .dξ + ∑ A j .σ sj .d j = N i .e int
1
c
c
c
sj
Contraintes
sj
+
Instabilité de forme – Flambement
D’après les diagrammes contraintes-déformations de l’acier et du béton, les
contraintes sont fonction des déformations relatives, donc de la courbure 1/r
d’après les relations de compatibilité.
D’où, en éliminant les contraintes, puis les déformations, on obtient une relation
de la forme :
1
Φ ⎛ N i , e int , ⎞ = 0
⎝
r⎠
[16.2]
Cette relation se traduit, dans le plan (e, 1/r) par :
e
N = Cste
N1
i
N2
N3
N1<N2<N3
Limite de résistance par :
- plastification des aciers ;
- ou écrasement du béton.
1
r
0
Remarque
Dans ce cas, le diagramme des défor mations n’est pas tenu de passer par les
pivots A, B ou C, sans toutefois que les défor mations limites puissent être
dépassées.
4.5
Étude de l’équilibre
Dans le plan (e, 1/r) :
• la relation géométrique [16.1] est représentée par une droite ;
• la relation mécanique [16.2] est représentée par un réseau de courbes correspondant à N i = Cste.
D’où, ces deux types de courbes peuvent :
• n’avoir aucun point commun
⇒
• avoir au moins un point commun
peut être stable ou instable.
il n’y a pas d’équilibre possible ;
⇒
il y a une position d’équilibre qui
La charge critique de calcul N u , c correspond à celle des courbes N i qui est
tangente à la droite e ext = e1 + f.
85
86
1 position d’équilibre
2 positions d’équilibre
e
Ni = Cste
E2
instable N1
N2
Nu, c = charge critique de calcul
N3
E1
fc
Pas d’équilibre
stable
e1
1
r
1
rc
0
Il suffit de remarquer que si, en E1, on écarte le poteau de sa position d’équilibre
par augmentation de la courbure 1/r :
e
eint
eext
E1
0
1
r
⎛ 1⎞
1
+ Δ⎜ ⎟
⎝r ⎠
r
1
r
e int croît plus vite que e ext, d’où la réaction du poteau à la déformation complémentaire tend à le ramener à la position d’équilibre E1 qui est par conséquent
une position d’équilibre stable. C’est l’inverse qui se produit au point E 2 qui
caractérise un équilibre instable.
Instabilité de forme – Flambement
4.6
Méthode de l’équilibre – Méthode des déformations
internes
4.6.1
Méthode générale
Pour les poteaux dont la section a une forme quelconque, la stabilité est assurée,
si l’on peut trouver dans chaque section, compte tenu de la déformée que l’on
s’est donnée, un état de déformation tel que l’on ait simultanément :
⎧ ⎛ 1⎞
⎪ N i ⎝ ε, r ⎠ ≥ N ext
⎪
⎪
1
⎨
M i ⎛ ε, ⎞
⎝
1
r⎠
⎛
⎞
⎪e
=
ε,
≥ e ext = e1 + f
1⎞
⎪ int ⎝ r ⎠
⎛
N i ε,
⎪
⎝ r⎠
⎩
avec :
N ext = effort normal dû aux actions appliquées à la structure,
1 ⎫
M i ⎛ ε, ⎞ ⎪
⎝ r⎠⎪
⎬ = sollicitations internes, intégrales des contraintes développées par
1⎞ ⎪
⎛
N i ε,
⎝ r ⎠ ⎪⎭
la déformation.
4.6.2
Méthode simplifiée
Dans le cas des poteaux articulés aux deux extrémités ou des mâts, l’étude de
l’équilibre consiste à rechercher un point situé à l’intérieur de la zone colorée
dans le plan (e, 1/r) pour la section la plus sollicitée (à mi-hauteur du poteau biarticulé ou à l’encastrement du mât), c’est-à-dire, à vérifier simultanément :
⎧ N ⎛ ε, 1---⎞ ≥ N
ext
⎪ i ⎝ r⎠
⎪
⎪
1
M i ⎛ ε, ---⎞
⎨
2
⎝ r⎠
0 1
1
⎪
⎛ ε, ---⎞ = ---------------------- ≥ e = e + ----. --e
ext
1
⎪ int ⎝ r ⎠
2 r
1⎞
π
⎛
⎪
N i ε, --⎝ r⎠
⎩
avec :
N i, N ext et Mi définis au § 4.6.1,
0 = longueur de flambement de la pièce.
87
88
e
Nu
Ni > Nu
eint
eext
f
e1
0
4.6.3
1
r
1
r
Remarque
La méthode de l’équilibre présente des avantages et des inconvénients.
4.6.3.1 Avantages
Elle est valable quelle que soit la forme de la section.
Elle ne nécessite pas l’utilisation de tables.
4.6.3.2 Inconvénients
Le calcul est long car itératif, en particulier dans le cas où l’effort normal de
calcul est proche de l’effort normal critique (réduction de l’aire colorée sur le
diagramme, d’où la courbure d’équilibre est plus difficile à trouver. Il faut partir
d’une valeur de 1/r fixée a priori et progresser avec un pas de variation très
faible).
4.7
Cas des sections rectangulaires à deux nappes
d’armatures
1/ On se donne, dans la section la plus sollicitée, un diagramme de déformations défini par :
⎧ ε c = ε c1 (1 + ϕ ef )
⎪
fyd
⎨
⎪ εs1 = E = ε yd
s
⎩
Instabilité de forme – Flambement
avec :
ϕ ef = ϕ ( , t 0 )
M0 Eqp
M0 Ed
= coefficient de fluage effectif20,
(5.19)
où :
ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage21 (voir § 2.3.3.4,
chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles),
M 0 Eqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison de
charges quasi permanentes (ELS)22,
moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges
M 0 Ed =
de calcul (y compris imperfections géométriques23),
2/ D’après l’hypothèse de la déformation plane :
x
d' = '.d
As2
AN d
xu =
c
G u
Fs2
.d
u
s2
Fc
As1
bw
xu = d
s1
Fs1
εc
ε c + εs1
εs 2 = ε c
xu − d '
⇒ σ s 2 par le diagramme de calcul des aciers,
xu
εs1 = ε yd ⇒ σ s1 = fyd que le diagramme contrainte-déformation des
aciers soit à palier horizontal ou incliné.
3/ On en déduit la valeur de l’effort normal interne :
N i = Fc + Fs 2 − Fs1
soit :
N i = ψ .bw .x u .fcd + A s 2 .σ s 2 − A s1 .fyd
20.
21.
22.
23.
EC 2 – 5.8.4 (2)
EC 2 – 3.1.4 (4)
EC 2 – 5.8.4 (2)
EC 2 – voir ANF
89
90
avec, compte tenu du fluage par le biais du coefficient ϕef :
ψ=
εc
1 ⎤
1 ⎤
1
k ⎡
⎡1
.
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ −
⎢
⎢
⎝
⎝
⎠
a⎠⎦
k−2⎣
a ⎦ k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 2
où :
a=
1 ε c1 (1 + ϕ ef )
,
.
k−2
εc
k = 1, 05
E cm . ε c1 (1 + ϕ ef )
γ cE .fcd
avec γ cE = 1, 2, valeur recommandée et à utiliser
pour l’Annexe nationale française24.
4/ Si N i << N ext, on réduit εs1 en gardant :
ε c = ε c1 (1 + ϕ ef )
et on recommence les étapes 2 et 3 (avec la même formule pour ψ et
Fs1 = A s1 .E s .εs1) jusqu’à ce que N i > N ext mais avec N i ≈ N ext
5/ Si N i >> N ext , on réduit ε c en gardant εs1 = ε yd =
fyd
Es
pour l’armature tendue
et on refait les calculs des étapes 2 et 3 jusqu’à ce que N i > N ext mais avec
N i ≈ N ext, (avec la même formule pour ψ et Fs1 = A s1 .fyd).
6/ On calcule le moment Mi des forces Fc, Fs1 et Fs1 au centre de gravité du
béton seul. D’où l’on obtient l’excentricité interne :
e int =
Mi
Ni
avec :
pour les étapes 3 ou 5 :
h
h
h
Mi = ψ .bw .x u .fcd . ⎛ − δ G x u ⎞ + A s 2 .σ s 2 ⎛ − d '⎞ + A s1 .fyd ⎛ d − ⎞
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝
2⎠
24. EC 2 – voir AN
Instabilité de forme – Flambement
avec :
δG = 1 −
+
1 ⎤
k
⎡1
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎝
ψ ( k − 2 ) ⎢⎣ 2
a⎠⎦
⎡ 6.a 2 − 3.a + 2
εc
1
1 ⎤
.
− a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
ψ ( k − 2 ) ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣
6
a⎠⎦
où :
a=
E . ε c1 (1 + ϕ ef )
1 ε c1 (1 + ϕ ef )
.
et k = 1, 05 cm
avec γ cE = 1, 2,
k−2
εc
γ cE .fcd
pour l’étape 4 :
h
h
Mi = ψ .bw .x u .fcd . ⎛ − δ G x u ⎞ + A s 2 .σ s 2 ⎛ − d '⎞
⎝2
⎠
⎝2
⎠
h
+ A s1 .E s .εs1 ⎛ d − ⎞
⎝
2⎠
7/ On cherche à réaliser, puisque N i > N ext :
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
2
⎧
⎪ e int > e ext = ( e 0 + e i + Δe 0 ) + ----0-. 1--2
⎪
π r
e1
⎨
⎪1
ε c + ε s1
⎪ --- = ---------------r
d
⎩
S’il en est ainsi, l’équilibre du poteau est assuré.
S’il n’en est pas ainsi ( e int < e ext) il faut explorer d’autres couples
⎛ 1--- , ε ⎞ ou ⎛ 1--- , ε ⎞ :
⎝ r c⎠
⎝ r s1⎠
8/ Si e1 est faible et 0 élevé (sans qu’il soit possible de quantifier les valeurs
limites), on peut partir de :
⎧ ε c = ε c1 (1 + ϕ ef )
⎪
ni suivant le diagramme σ − ε d'acier
⎨ εs1 croissant jusqu'à ε uk ou l'infin
⎪
utilisé
⎩
91
92
9/ Si e1 est élevé et 0 faible, on peut partir de :
fyd
⎧
⎪ εs1 =
Es
⎨
⎪ ε croissant jusqu'à ε
cu1
⎩ c
5.
Dispense de la vérification de l’état limite
ultime de stabilité de forme (flambement)
Il est inutile de vérifier la pièce au flambement et l’on peut se contenter d’un
calcul en flexion composée (sans tenir compte des effets du second ordre) dans
les cas ci-après.
5.1
Cas des éléments isolés
Il faut vérifier25 :
20.A.B.C
λ = ----0- < λ lim = ---------------------i
n
(5.13N)
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française,
avec :
0 = longueur efficace (longueur de flambement de la pièce) définie aux § 2.2 et
2.3,
i = rayon de giration de la section de béton non fissurée,
1
A=
= 0,7 si ϕ ef est inconnu,
1 + 0, 2.ϕ ef
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu,
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu,
N Ed
n=
= effort normal relatif,
A c .fcd
où :
M OEqp
- = coefficient de fluage effectif,
ϕ ef = ϕ ( , t 0 ) --------------M OEd
(5.19)
ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage26 (voir § 2.3.3.4,
chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles),
25. EC 2 – 5.8.3.1 (1) + voir AN
26. EC 2 – 3.1.4 (4)
Instabilité de forme – Flambement
MOEqp =
M0 Ed =
ω=
A s .fyd
A c .fcd
moment de service du premier ordre sous la combinaison
d’actions quasi permanente (ELS27),
moment ultime du premier ordre sous la combinaison de
charges de calcul (y compris imperfections géométriques28),
= pourcentage mécanique d’armatures,
A s = aire totale des armatures longitudinales,
A c = aire de la section droite (béton seul),
fck
( α cc = 1 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe
γc
nationale française),
fcd = α cc
fyd =
fyk
γs
,
⎧
⎪1 : éléments non contreventés en général,
⎪
ments contreventés avec moments du premier ordre
⎪1 : élém
⎪
rm = ⎨ dus principalement à des imperfections ou à des
⎪ chaarges transversales,
⎪
⎪ M 01
⎪ M : autres cas.
⎩ 02
M01 et M02 = valeurs algébriques des moments du premier ordre aux
deux extrémités de l’élément avec : M02 ≥ M01 .
Remarque
λ lim
Dans les cas courants où A = 0,7, B = 1,1 et C = 0,7, on obtient en fonction des
valeurs de n :
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
n
27. EC 2 – 5.8.4 (2)
28. EC 2 – voir AN
0,8
0,9
1
1,1
1,2
93
94
5.2
Cas des structures
Les dispositions de ce paragraphe ne s’appliquent pas au cas des ponts29.
Lorsque les conditions suivantes sont remplies30 :
• la structure est raisonnablement symétrique (absence de torsion) ;
• les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (contreventement assuré par des voiles sans grandes ouvertures) ;
• les éléments de contreventement sont fixés rigidement à leur base ;
• la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur
toute leur hauteur ;
• la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à
chaque étage ;
il faut vérifier :
FV , Ed ≤ k1
ns
∑ E cd .I c
.
ns + 1, 6
L2
(5.18)
avec :
FV , Ed = charge verticale totale (sur les éléments contreventés et sur les
éléments de contreventement),
ns =
nombre d’étages,
L=
hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du
moment,
E cd =
valeur de calcul du module d’élasticité du béton (voir § 4.2.1),
Ic =
moment d’inertie de l’élément de contreventement (béton non fissuré),
k1 = 0, 31 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française31.
Remarque
Lorsque l’on peut montrer que les éléments de contreventement sont non fissurés
à l’ELU, on peut prendre32 :
k1 = k 2 = 0, 62 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française33.
29.
30.
31.
32.
33.
EC 2 – 5.8.3.3 (101)
EC 2 – 5.8.3.3 (1)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 5.8.3.3 (2)
EC 2 – voir AN
Instabilité de forme – Flambement
6.
Méthodes ramenant la vérification
de stabilité de forme à un calcul
de section – Méthode de la rigidité
6.1
Domaine de validité
La méthode de la rigidité consiste à tenir compte des effets du second ordre par
amplification du moment du premier ordre34.
Cette méthode s’applique aux ossatures et aux poteaux isolés à condition que
leur rigidité soit estimée d’une façon appropriée35 (voir § 6.2).
Pour les structures hyperstatiques, il faut tenir compte des effets défavorables de
la fissuration des éléments adjacents à l’élément considéré. Pour simplifier, à
défaut d’un calcul plus précis, on peut admettre36 :
que les sections sont entièrement fissurées ;
que le module du béton vaut :
E cd , eff =
E cd
1 + ϕ ef
(5.27)
avec :
E cd = valeur de calcul du module d’élasticité donnée au § 6.2,
ϕ ef = coefficient de fluage effectif figurant au § 6.2.
Cette méthode n’est à retenir que si l’Annexe nationale d’un pays l’autorise (ce
qui est le cas de l’Annexe nationale française37).
6.2
Rigidité nominale
La rigidité nominale d’un poteau ou d’un élément d’ossature est donnée par la
formule38 :
EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s
(5.21)
avec :
E cd =
34.
35.
36.
37.
38.
E cm
= valeur de calcul du module de déformation du béton,
γ cE
EC 2 – 5.8.7.3 (1)
EC 2 – 5.8.5 (2)
EC 2 – 5.8.7.2 (4)
C 2 – voir AN
EC 2 – 5.8.7.2 (1)
(5.20)
95
96
où γ cE = 1, 2 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française39,
I c = moment d’inertie de la section de béton,
E s = valeur de calcul du module d’élasticité de l’acier,
Is = moment d’inertie de la section des armatures par rapport au centre de
gravité de la section de béton seul,
K s = coefficient tenant compte de la contribution des armatures défini ci-après,
K c = coefficient tenant compte de la fissuration et du fluage défini ci-après.
6.2.1
As
Cas où 0,002 £ ρ = ----- < 0,01 40
Ac
Ks = 1
Kc =
(5.22)
k1 . k 2
1 + ϕ ef
avec :
k1 =
fck
(MPa) = coefficient dépendant de la classe du béton,
20
⎧ λ
⎪n
k 2 = Min ⎨ 170 = coefficient dépendant de l’effort normal
et de l’élancement,
⎪⎩ 0, 20
(5.23)
(5.24)
où :
n=
N Ed
= effort normal relatif,
A c .fcd
λ=
l0
= élancement géométrique (si λ est inconnu, on peut prendre
i
⎧ n.0, 30
),
k 2 = Min ⎨
⎩ 0, 20
(5.25)
ϕ ef = coefficient de fluage (voir § 5.1).
6.2.2
As
Cas où ρ = ----- ≥ 0,01
Ac
Pour une première itération, on peut partir de41 :
Ks = 0
39. EC 2 – 5.8.6.(3) + voir AN
40. EC 2 – 5.8.7.2 (2)
41. EC 2 – 5.8.7.2 (3)
(5.26)
Instabilité de forme – Flambement
Kc =
0, 3
1 + 0, 5.ϕ ef
Les itérations suivantes sont conduites avec les coefficients correspondant au
cas où 0, 002 ≤ ρ < 0, 01.
6.3
Principe de la méthode
D’après les résultats du § 1.2.2, dans le cas d’un élément soumis à l’action d’un
moment du premier ordre de forme sinusoïdale, l’augmentation du moment du
premier ordre peut s’écrire :
M = M0
Fc
avec :
Fc − F
M0 = moment du premier ordre,
Fc = force critique d’Euler,
F = effort normal appliqué.
Ce qui conduit à un moment total (premier + second ordre) :
⎡
⎤
⎡
⎢
Fc − F + F
1 ⎥
F ⎤
M = M0
= M 0 ⎢1 +
⎥ ⇒ M = M 0 ⎢1 + F
⎥
Fc − F
c
⎣ Fc − F ⎦
− 1⎥
⎢
⎣
⎦
F
Le moment de calcul total (premier et second ordre) proposé par l’EC 2 est pris
égal à42 :
MEd
⎛
⎞
⎜
β ⎟
= M0 Ed ⎜ 1 +
⎟
NB
⎜
− 1⎟
N Ed
⎝
⎠
(5.28)
avec :
M 0 Ed = moment du premier ordre (à l’ELU) tenant compte des imperfections
géométriques (dans le cas où l’élément n’est pas soumis au même
moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini
au § 6.4 ci-après43),
N Ed = effort normal agissant à l’ELU,
EI
= charge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la
l 20
rigidité nominale,
N B = π2
42. EC 2 – 5.8.7.3 (1)
43. EC 2 – 5.8.8.2 (2)
97
98
β = coefficient relatif à la distribution des moments du premier et du second
ordre44 :
• pour des poteaux isolés, de section constante et soumis à un effort normal
constant sur leur hauteur, l’allure de la déformée peut être assimilée à une
sinusoïde et β =
π2
où :
c0
(5.29)
⎧8 : moment du premier ordre constant ,
⎪9, 6 : momentt du premier ordre parabolique ,
⎪
c0 = ⎨
⎪12 : moment du premier ordre triangulaire symétrique,
⎪⎩ etc.
• pour les cas où la détermination de c 0 et/ou du moment équivalent ne serait
pas possible, on prend β = 1 et l’expression (5.28) se réduit à45 :
MEd =
M0 Ed
N
1 − Ed
NB
(5.30)
Remarque 1
L’augmentation du moment du premier ordre n’a de sens que si :
NB
β
>0 ⇒
−1> 0 ⇒
NB
NEd
−1
NEd
NEd < NB
ce qui fournit une condition supplémentaire à vérifier pour l’application de la
méthode des rigidités (à adjoindre aux conditions du § 6.1).
Remarque 2
En écrivant la relation (5.28) sous la forme :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
β
M Ed = M 0Ed + M 0Ed ------------------ ⎫
NB
⎪
--------- – 1 ⎬ ⇒ M Ed = N Ed e 1 + e 1 --------β
---------N Ed
N
⎪
------B-- – 1
⎭
N Ed
M 0Ed = N Ed .e 1
e2
la méthode de la rigidité conduit donc à prendre une excentricité du second
ordre donnée par la formule :
e2 = e1
44. EC 2 – 5.8.7.3 (2)
45. EC 2 – 5.8.7.3 (4)
β
NB
−1
NEd
Instabilité de forme – Flambement
6.4
Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier
ordre différentes aux deux extrémités
Pour des poteaux soumis à des moments du premier ordre différents à leurs
extrémités, M01 et M02 , on peut considérer un moment du premier ordre
équivalent M0 e constant défini par46 :
⎧ 0, 6.M02 + 0, 4.M01
M 0 e = Max ⎨
⎩ 0, 4.M02
(5.31)
avec :
M01 et M02 de même signe s’ils donnent des tractions du même côté de
l’élément, de signe opposé dans le cas contraire,
M02 ≥ M01 .
Remarque
Dans ce cas, pour rester cohérent avec l’hypothèse sur le moment du premier
ordre équivalent, on peut, pour l’application de la for mule (5.29) du § 6.3,
prendre47 :
c0 = 8.
6.5
Processus d’application de la méthode de la rigidité
Le mode opératoire est décrit ci-dessous.
1/ se fixer la section d’aciers :
A s = 0 ou valeur estimée a priori si les armatures sont inconnues (détermination des armatures),
A s = A s, prov si les armatures sont données (vérification au flambement),
2/ calculer l’élancement de l’élément :
λ = ----0i
3/ vérifier s’il est nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre :
20.A.B.C
λ = ----0- < λ lim = ---------------------- : élément isolé (voir § 5.1),
i
n
46. EC 2 – 5.8.8.2 (2)
47. EC 2 – 5.8.7.3 (3)
99
100
FV , Ed ≤ k1
ns
∑ E cd .I c : élément d’une structure (voir § 5.2),
.
ns + 1, 6
L2
4/ évaluer les sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques :
M 0 Ed (voir § 3),
5/ calculer la rigidité nominale de l’élément :
EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s (voir § 6.2),
6/ en déduire le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par
rapport au centre de gravité de la section de béton seul :
MEd
⎛
⎞
⎜
β ⎟
= M0 Ed ⎜ 1 +
⎟ (voir § 6.3 et éventuellement 6.4 si M01 ≠ M02),
NB
⎜
− 1⎟
N Ed
⎝
⎠
7/ calculer les armatures équilibrant ce moment en flexion composée :
⎧ A s1
(voir chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2,
As = ⎨
⎩ As2
J. Roux, Éditions Eyrolles),
8/ si l’on cherche à déterminer la section d’armatures : recalculer à l’aide des
étapes 3/ à 6/ et compte tenu de la section d’aciers déterminée à l’étape 7/ le
moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre
de gravité de la section de béton seul :
M 'Ed
⎛
⎞
⎜
β ⎟
= M0 Ed ⎜ 1 +
⎟ et recommencer les étapes 3/ à 7/ jusqu’à ce que
NB
⎜
− 1⎟
N Ed
⎝
⎠
M 'Ed ≈ M Ed
9/ si l’on cherche à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont
connues, vérifier que :
⎧ A s1
As = ⎨
⎩ As2
⎪⎧ A s1, prov
.
≤ A s, prov = ⎨
⎪⎩ A s 2, prov
Instabilité de forme – Flambement
7.
Méthodes ramenant la vérification
de stabilité de forme à un calcul de section –
Méthode de l’estimation de la courbure
7.1
Domaine de validité
La méthode de la courbure consiste à tenir compte des effets du second ordre en
se donnant la valeur de l’excentricité e 2 du second ordre de façon forfaitaire48.
Cette méthode s’applique aux éléments isolés dans lesquels l’effort normal est
constant sur toute leur hauteur et pour lesquels la longueur efficace est
connue49.
Cette méthode n’est à retenir que si l’Annexe nationale d’un pays l’autorise (ce
qui est le cas de l’Annexe nationale française50).
7.2
Principe de la méthode
Le principe de la méthode consiste à ramener la vérification au flambement à un
calcul à l’ELU de résistance en se donnant la valeur de l’excentricité e 2 du
second ordre de façon forfaitaire51.
7.2.1
Introduction
7.2.1.1 Excentricité du second ordre
Pour le poteau de section constante encastré en pied et libre en tête (mât)
envisagé au § 4.3 :
2
π
1
--- = f ----2r
0
2
⇒
1
f = e 2 = ----02- . -π r
7.2.1.2 Courbure correspondant à la charge critique de flambement
En faisant abstraction du fluage, on admet que la charge critique de flambement
correspond au cas où les deux nappes d’armatures atteignent simultanément
48.
49.
50.
51.
EC 2 – 5.8.8
EC 2 – 5.8.5 (3)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 5.8.8.2 (1)
101
102
leur résistance de calcul fyd, c’est-à-dire la même déformation unitaire
ε yd =
fyd
Es
.
La représentation graphique de P. Faessel (voir § 4.5) montre que, pour une
section donnée, dans l’hypothèse de la déformée sinusoïdale du poteau, la
charge critique de flambement est obtenue lorsque la droite représentative de
2
l’excentricité externe ( e ext
1
= e 1 + e 2 = e 1 + ----02-. ---) est tangente à la ligne de
π r
1
niveau de la surface définie par la relation Φ ⎛ N i , e int , ⎞ = 0.
⎝
r⎠
e
eext
Nu, c = charge
critique
de calcul
e1
0
1
r0
1
r
Du fait du changement de pente du diagramme contraintes-déformations de
l’acier au point E de coordonnées (ε yd, fyd), la courbe correspondant à N u , c
présente une brusque variation de pente avec un « genou » de raccordement. Le
point de tangence de n’importe quelle droite Δ et de la courbe N u , c ne peut se
trouver que sur le « genou », au voisinage de la courbure
point E.
1
qui correspond au
r0
Instabilité de forme – Flambement
σs
Palier incliné
E
Palier horizontal
fyd
Es = 2.105 MPa
Arctg Es
εs
εud
Cette courbure est d’autre part obtenue par la pente du diagramme des déformations qui vaut, dans le cas d’une section symétrique armée symétriquement :
d = 0,10.h
As2 = As1
h
= fyd / Es =
1
pente :
r0
s2
0,80.h
d
AN
c
yd
As1
bw
0,10.h
s1
= fyd / Es =
yd
Diagramme
déformations
ε yd
1
=
r0 0, 4.h
soit en prenant d = 0, 9.h ⇒ h ≈ 1, 1.d, lorsque la charge appliquée
correspond à la charge critique de calcul, il vient :
ε yd
ε yd
1
=
≈
r0 0, 44.d 0, 45.d
7.2.1.3 Courbure correspondant à la charge de calcul
On pose :
N Ed = effort normal agissant à l’ELU,
N ud = effort normal centré maximal que peut équilibrer la section droite en pied
de poteau :
103
104
N ud = A c .fcd + A s .fyd
nu =
⇒ nu =
A s .fyd
N ud
= 1+
,
A c .fcd
A c .fcd
A s .fyd
N ud
,
= 1 + ω avec ω =
A c .fcd
A c .fcd
N bal = effort normal qui, appliqué à une section, maximalise sa capacité de
moment ultime. Cet effort correspond au point A du diagramme d’interaction de la section qui correspond lui-même à ε c = 3, 5 ‰ (bétons tels
que C < 50/60) et simultanément à εs1 =
fyd
que les Anglo-Saxons
Es
appellent « l’état de déformations balancées », d’où l’indice « bal ».
L’examen d’un diagramme d’interaction (tel que celui figurant au § 5.8,
chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions
Eyrolles) montre que la courbure prise sous l’effet de la force N Ed peut être
déterminée par une règle de proportionnalité :
1
1
= Kr
r
r0
Nu
Nud
Simplification
NEd
ϖtot
A
Nbal
1
r
1
Kr = r
1
r0
⇒
Kr =
N ud − N Ed
≤1
N ud − N bal
Mu max
⎛ 1⎞
ou ⎜ ⎟
⎝ r0 ⎠
⎛ 1⎞
Mu ou ⎜ ⎟
⎝r ⎠
Instabilité de forme – Flambement
7.2.1.4 Valeur de Nbal
Dans le cas d’une section rectangulaire à armatures symétriques, pour
fck ≤ 50 MPa et des aciers S 500 à palier horizontal :
ε c = 3,5 ‰
d′
As2 = As1
εs2
xu = αu .d
d
AN
fcu
λ.xu
σs2
λ.xu / 2
Fs2
Fc
zc
As1
σs1
εs1 = fyd / Es
bw
Diagramme
déformations
Diagramme
contraintes
Fs1 = As1.σ s1
Forces
internes
L’équilibre des forces s’écrit :
N bal = λ.bw .x u .fcu + A s 2 .σ s 2 − A s1 .σ s1
les valeurs ε c = 3, 5 ‰ et εs1 =
xu
εc
=
=
d
ε c + εs1
3, 5.10 −3
3, 5.10
−3
+
fyd
fyd
Es
=
sont simultanément atteintes pour :
700
puisque Es = 200 000 MPa
700 + fyd
Es
La condition pour qu’alors l’acier comprimé atteigne aussi le raccourcissement
fyd
s’écrit :
Es
εs 2 = ε c
d' ≤
x u − d ' fyd
≥
xu
Es
700
700 + fyd
fyd ⎤
⎡
⇒ d ' ≤ x u ⎢1 −
⎥
5
⎣ 2.10 .ε c ⎦
fyd ⎤
700 − fyd
⎡
⎢1 − 700 ⎥ d = 700 + f d
⎣
⎦
yd
comme les armatures sont symétriques d + d’ = h et la condition s’écrit :
d' ≤
1−
fyd
700 ( h − d ') ⇒ d ' ≤ h ⎡1 − fyd ⎤ ou d ≥ h ⎡1 + fyd ⎤
fyd
2 ⎢⎣ 700 ⎥⎦
2 ⎢⎣ 700 ⎥⎦
1+
700
105
106
les deux nappes d’armatures sont alors soumises − dans le cas du diagramme bilinéaire avec palier horizontal − à σ s 2 = σ s1 et :
N bal = λ.bw .x u .fcu ⎫
7000
⎪
700
⇒ N bal = λ
fcu .bw .d
⎬
xu =
d ⎪
700 + fyd
700 + fyd
⎭
pour d ≈ 0, 9.h, fck ≤ 50 MPa et des aciers S 500 :
500
= 435 MPa ⎫⎪
1, 15
⎪⎪
700
A c = bw .h
1.fcd .0, 9.bw .h = 0, 444.fcd .A c
⎬ ⇒ N bal = 0, 8
700
+ 435
⎪
fcu = η.fcd = fcd
⎪
λ = 0, 8
⎪⎭
fyd =
Les règles EC 2 adoptent par sécurité :
N bal = 0, 4.A c .fcd
⇒
n bal =
N bal
= 0, 4
A c .fcd
Remarque
Pour le diagramme d’interaction du § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, on a pour μmax = 0, 5 :
nbal = νmax ≈ 0, 40
7.2.2
Moment de calcul de l’élément
Le moment de calcul de l’élément est défini par la relation52 :
MEd = M0 Ed + M 2
(5.31)
avec :
M 0 Ed = moment du premier ordre tenant compte des imperfections
géométriques (dans le cas où l’élément n’est pas soumis au même
moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini
au § 6.4 ci-devant),
M 2 = N Ed .e 2 = moment du second ordre,
où53 :
N Ed = effort normal agissant de calcul,
52. EC 2 – 5.8.8.2 (1)
53. EC 2 – 5.8.8.2 (3)
(5.33)
Instabilité de forme – Flambement
2
1
e 2 = ----0- --- = excentricité du second ordre,
c r
1
= courbure de l’élément (voir § 7.2.3),
r
0 = longueur efficace54,
c = coefficient dépendant de la distribution de la courbure totale (premier +
second ordre) :
⎧8 : courbure constante ,
c=⎨ 2
⎩ π ≈ 10 : autres cas.
7.2.3
Courbure
Dans le cas d’éléments de section droite symétrique (y compris armatures), elle
est donnée par la relation55 :
1
1
= K r .K ϕ
r
r0
(5.34)
avec :
K r = coefficient de correction dépendant de l’effort normal,
K ϕ = coefficient de correction tenant compte du fluage,
ε yd
1
,
=
r0 0, 45.d
ε yd =
fyd
Es
(5.35)
,
d = hauteur utile de la section.
Remarque
Dans le cas où les armatures ne sont pas disposées sur deux faces opposées,
mais aussi, pour partie, sur les autres faces, on peut prendre56 :
d=
h
+i
2 s
où is = rayon de giration de la section totale des armatures.
54. EC 2 – 5.8.8.2 (4)
55. EC 2 – 5.8.8.3 (1)
56. EC 2 – 5.8.8.3 (2)
(5.35)
107
108
Le coefficient K r est donné par la relation57 :
⎧ nu − n
⎪
K r = Min ⎨ n u − n bal
⎪1
⎩
(5.36)
avec :
n=
N Ed
= effort normal relatif,
A c .fcd
N Ed = effort normal agissant à l’ELU,
n bal = valeur de n correspondant au moment fléchissant résistant maximal. On
peut prendre la valeur 0,4 (voir § 7.2.1.4),
n u = 1 + ω (voir § 7.2.1.3),
ω=
A s .fyd
A c .fcd
= pourcentage mécanique d’armatures,
A s = aire totale des armatures longitudinales,
A c = aire de la section droite (béton seul).
Le coefficient K ϕ est donné par la relation58 :
⎧1 + β.ϕ ef
K ϕ = Max ⎨
⎩1
(5.37)
avec :
fck
λ
,
−
200 150
λ = élancement mécanique.
β = 0, 35 +
ϕ ef = ϕ ( , t 0 )
où :
57.
58.
59.
60.
MOEqp
MOEd
= coefficient de fluage effectif,
(5.19)
ϕ ( , t 0 ) = valeur finale du coefficient de fluage59 (voir § 2.3.3.4,
chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles),
MOEqp = moment de service du premier ordre sous la combinaison
d’actions quasi permanente (ELS)60,
EC 2 – 5.8.8.3 (3)
EC 2 – 5.8.8.3 (4)
EC 2 – 3.1.4 (4)
EC 2 – 5.8.4 (2)
Instabilité de forme – Flambement
M 0 Ed =
moment ultime du premier ordre sous la combinaison de
charges de calcul (y compris imperfections géométriques61),
Remarque
On peut négliger le fluage ( ϕ ef = 0 ) lorsque les trois conditions de la remarque 1
faite au § 4.2.1 sont réunies.
7.3
Processus d’application de la méthode de l’estimation
de la courbure
Le mode opératoire est décrit ci-dessous.
1/ se fixer la section d’aciers :
A s = 0 ou valeur estimée a priori si les armatures sont inconnues (détermination des armatures),
A s = A s, prov si les armatures sont données (vérification au flambement),
2/ calculer l’élancement de l’élément :
λ = ----0i
3/ vérifier s’il est nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre :
20.A.B.C
λ = ----0- < λ lim = ---------------------- : élément isolé (voir § 5.1),
i
n
FV , Ed ≤ k1
ns
∑ E cd .I c : élément d’une structure (voir § 5.2),
.
ns + 1, 6
L2
4/ évaluer les sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques :
M 0 Ed (voir § 3),
5/ calculer la courbure :
1 ⎫
r0 ⎪
⎪
⎪
1
1
= K r .K ϕ (voir § 7.2.3),
Kr ⎬ ⇒
r
r0
⎪
⎪
Kϕ ⎪
⎭
6/ en déduire le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par
rapport au centre de gravité de la section de béton seul :
MEd = M0 Ed + M 2 (voir § 7.2.2 et éventuellement 6.4 si M01 ≠ M02),
61. EC 2 – voir ANF
109
110
7/ calculer les armatures équilibrant ce moment en flexion composée62 :
⎧ A s1
As = ⎨
(voir chapitre 11 « Flexion composée », Pratique de l’eurocode
⎩ As2
2, J. Roux, Éditions Eyrolles),
8/ si l’on cherche à déterminer la section d’armatures : recalculer à l’aide des
étapes 3/ à 5/ et compte tenu de la section d’aciers déterminée à l’étape 7/ le
moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre
de gravité de la section de béton seul :
MEd = M0 Ed + M 2 et recommencer les étapes 3/ à 6/ jusqu’à ce que
M 'Ed ≈ MEd
9/ si l’on cherche à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont
connues, vérifier que :
⎧ A s1
As = ⎨
⎩ As2
62. EC 2 – 5.8.8.1 (2)
⎪⎧ A s1, prov
≤ A s, prov = ⎨
.
⎪⎩ A s 2, prov
Instabilité de forme – Flambement
II.
APPLICATIONS
Application n˚ 1 : vérification au flambement
par la méthode de l’équilibre
(charges quelconques)
–Énoncé–
NEd
COUPE AA
5 ∅ 20 HA
5 ∅ 20 HA
HEd
e
l = 6,00m
40 cm
A
e
A
32 cm
40 cm
N
Ed
Sollicitations :
N G = 333 kN ⎫
⎬ excentrées de e = 6 cm,
N Q = 100 kN ⎭
H = 8,3 kN, action variable d’accompagnement, avec ψ 0 H = 0, 77 ,
poids propre négligé,
ψ 2i = 0 pour les valeurs quasi permanentes de N Q et H.
Poteau isolé contreventé.
Matériaux :
• béton : fck = 25 MPa ;
• aciers : S 400 à palier horizontal.
On se propose de vérifier l’état limite ultime de stabilité de forme en utilisant la
méthode de l’équilibre lorsque ϕ ( , t 0 ) = 2 .
111
112
–Corrigé–
1. Caractéristiques des matériaux
1.1 Béton
fcd = α cc
fck
(α cc = 1)
γb
25
f cd = 1 ------- = 16,7 MPa
1,5
fcm = fck + 8 ( MPa )
⎡f ⎤
E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥
⎣ 10 ⎦
fcm = 25 + 8 = 33 MPa
0,3
33
E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 10 ⎦
( MPa )
0,3
= 31 476 MPa
1.2 Aciers
fyd =
fyk
fyd =
γs
400
= 348 MPa
1, 15
2. Nécessité du calcul au flambement
2.1 Longueur efficace
poteau ⎫
⎬ ⇒ 0 = 2.
mât ⎭
0 = 2.6,00 = 12,00 m
2.2 Élancement
Pour un poteau de section rectangulaire :
⎧
0b 12
⎪ ----------------⎪ b
λ = Max ⎨
⎪ 0h 12
⎪ -----------------⎩ h
0 12
12,00 12
section carrée : λ = --------------= ------------------------- = 104
b
0,40
2.3 Excentricité à prendre en compte
La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant une excentricité corrigée
du premier ordre égale à :
e tot = e 0 + e i + Δe 0
avec :
e0 =
excentricité résultant des calculs de RdM,
Instabilité de forme – Flambement
ei =
excentricité due aux imperfections géométriques,
Δe 0 = supplément d’excentricité pour une section symétrique (béton et
armatures).
2.3.1 Excentricité résultant des calculs de RdM
N Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q
e0 = e +
N Ed = 1, 35.333 + 1, 5.100 = 600 KN
H Ed .l
N Ed
avec H Ed = 1, 3.ψ 0 H .H
e0 = 6 +
1, 3.0, 77.8, 3.6, 00 2
10 = 14,3 cm
600
2.3.2 Excentricité due aux imperfections géométriques
Les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi
défini par :
θi = θ0 .α h .α m
avec :
θ0 =
1
= valeur de base recommandée :
200
θ0 =
1
200
2
α h = ------- = coefficient de réduction
relatif à la longueur ou à la hauteur :α h =
2
= 0, 816
6, 00
où :
= longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage,
2
≤ αh ≤ 1
3
2
< α h = 0, 816 < 1 O.K.
3
1
α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments :
⎝
m⎠
où :
m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total :
1
α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = 1
⎝ 1⎠
113
114
θi =
1
.0, 816.1 = 0, 00408
200
Excentricité additionnelle pour l’élément isolé :
e i = θ i ----0- = θ i .
2
e i = 0, 00408.6, 00 = 0,024 m
2.3.3 Supplément d’excentricité pour une section symétrique
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = Max ⎨ h
⎪⎩ 30
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 400
⎪⎩ 30 = 13, 33 mm
2.3.4 Excentricité du premier ordre corrigée en pied de poteau
e1 = e 0 + e i + Δe 0
e1 = 14,3 + 2,4 + 2 = 18,7 cm.
2.4 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme
20.A.B.C
Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i
n
avec :
A=
1
= 0,7 si ϕ ef est inconnu :
1 + 0, 2.ϕ ef
ϕ ef inconnu
⇒
A = 0, 7
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu :
ω=
A s .fyd
ω=
A c .fcd
2.5.3, 14.10 −4.348
= 0, 409
0, 40.0, 40.16, 7
⇒ B = 1 + 2.0, 409 = 1, 348
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu :
N Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q :
e = e 0 + e i + Δe 0
M01 = N Ed .e
N Ed = 600 kN (voir § 2.3.1)
e = 6 + 2, 4 + 2 = 10,4 cm en tête de poteau
M01 = 600.0, 104 = 62,4 mkN
M02 = N Ed .e + 1, 3.ψ 0 H .H.l
M02 = 600.0, 104 + 1, 3.0, 77.8, 3.6, 00 = 112,25 mkN
Instabilité de forme – Flambement
rm =
M01
avec M02 > M01
M 02
rm =
62, 4
= 0, 556
112, 25
⇒ C = 1, 7 − 0, 556 = 1, 144
n=
N Ed
= effort normal réduit :
A c .fcd
n=
0, 600
= 0, 225
0, 40 2.16, 7
20.0, 70.1, 348.1, 144
0, 225
⇒ nécessité de prendre en compte les effets
du second ordre.
λ = 104 > 45, 51 = λ lim =
3. Méthode de l’équilibre
3.1 Première itération
3.1.1 Déformations de départ (étapes 1 et 2)
• Pour les aciers :
fyd
348
εs1 =
εs1 =
= 1,74/1 000
200 000
Es
• Pour le béton :
ϕ ef = ϕ ( , t 0 )
MOEqp
MOEd
= coefficient de fluage effectif,
ϕ ( , t 0 ) = coefficient final de fluage :
ϕ ( , t 0 ) = 2
MOEqp = moment de service du
premier ordre sous la combinaison de
charges quasi permanente (ELS) :
⎛
⎞
MOEqp = M1L ⎜ G + ∑ ψ 2 i .Q i ⎟
⎝
⎠
i ≥1
MOEqp = 333.0, 06 = 19,98 mkN
MOEd = moment ultime du premier
ordre tenant compte des imperfections
géométriques :
⎛
⎞
MOEd = M1L ⎜ 1, 35.G + γ Q1 Q1 + ∑ 1, 3.ψ 0 i .Q i ⎟
⎝
⎠
i≥2
MOEqp = 600 ( 0, 06 + 0, 024 + 0, 02 ) + 1, 3.0, 77.8, 3.6, 00 = 112,25 mkN
⇒ ϕ ef = 2
19, 98
= 0, 356
112, 25
115
116
εc1 = raccourcissement relatif correspondant à la contrainte maximale fcm
du diagramme contrainte-déformation
du béton utilisé pour l’analyse du
second ordre (voir § 2.4.2.3, chapitre
3 « Béton armé – Généralités »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
2, 1
Éditions Eyrolles) :
fck = 25 MPa ⇒ ε c1 =
1 000
2, 1
ε c = ε c1 (1 + ϕ ef )
εc =
(1 + 0, 356 ) = 2,85/1 000
1 000
3.1.2 Contrainte des aciers comprimés
d'
c
s2
xu
d
s1
2, 85
1 000
x u = 0, 36
= 0,224 m
2, 85 1, 74
+
1 000 1 000
εc
xu = d
ε c + εs1
εs 2 = ε c
xu − d '
xu
εs2 =
2, 85 0, 224 − 0, 04
.
= 2,34/1 000
1 000
0, 224
⇒ σ s2 par le diagramme de calcul des
aciers :
fyk
Diagramme caractéristique simplifié
fyd = fyk y s
Diagramme de calcul
Arctg Es
fyd
Es
Es = 2.105 MPa
uk
Instabilité de forme – Flambement
εs 2 =
2, 34 1, 74
>
= ε yd
1 000 1 000
⇒
σ s 2 = fyd = 348 MPa
3.1.3 Effort normal interne (étape 3)
• Béton comprimé :
k = 1, 05
E cm . ε c1 (1 + ϕ ef )
γ cE .fcd
avec γ cE = 1, 2
k = 1, 05
31 476.2, 1.10 −3 (1 + 0, 356 )
= 4, 70
1, 2.16, 7
a=
1 ε c1 (1 + ϕ ef )
.
k−2
εc
ψ=
εc
1 ⎤
1 ⎤
1
k ⎡
⎡1
.
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ −
⎢
⎢
⎝
⎝
⎠
a⎠⎦
k−2⎣
a ⎦ k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 2
ψ=
4, 70 ⎡
1 ⎞⎤
⎛
1 − 0, 370.Log ⎜ 1 +
⎝
4, 70 − 2 ⎢⎣
0, 370 ⎟⎠ ⎥⎦
−
a=
1
2, 1.10 −3 (1 + 0, 356 )
= 0, 370
.
4, 70 − 2
2, 85.10 −3
⎡1
1 ⎞⎤
1
2, 85.10 −3
⎛
− 0, 370 + 0, 370 2.Log ⎜ 1 +
.
⎝
0, 370 ⎟⎠ ⎥⎦
4, 70 − 2 2, 10.10 −3 (1 + 0, 356 ) ⎢⎣ 2
ψ = 0, 783
Fc = ψ.bw .x u .fcd
Fc = 0, 783.0, 40.0, 224.16, 7 = 1,172 MN
• Aciers comprimés :
Fs 2 = A s 2 .σ s 2
Fs2 = 5.3, 14.10 −4.348 = 0,5464 MN
• Aciers tendus :
− Fs1 = − A s1 .σ s1
− Fs1 = − 5.3, 14.10 −4.348 = − 0,5464 MN
• Effort normal interne :
N i = Fc + Fs 2 − Fs1
N i = 1,172 + 0,5464 − 0,5464 = 1,172 MN
• Effort normal externe :
N ext = 1, 35.N G + 1, 5.N Q
N ext = 600 kN (voir § 2.3.1)
N i = 1,172 MN > N ext = 0,600 MN
117
118
3.1.4 Moment fléchissant interne (étape 6)
x
d' = '.d
As2
AN
d
G u
c
xu
.d
Fs2
s2
Fc
u
As1
bw
s1
Fs1
• Béton comprimé :
1 ⎤
k
⎡1
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
ψ ( k − 2) ⎣ 2
a⎠⎦
δG = 1 −
+
⎡ 6.a 2 − 3.a + 2
εc
1 ⎤
1
.
− a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
)
6
a⎠⎦
ψ ( k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣
δG = 1 −
+
⎡1
4, 70
1 ⎞⎤
⎛
− 0, 370 + 0, 370 2.Log ⎜ 1 +
⎝
0, 783 ( 4, 70 − 2 ) ⎢⎣ 2
0, 370 ⎟⎠ ⎥⎦
⎡ 6.0, 370 2 − 3.0, 370 + 2
1 ⎞⎤
2, 85
1
⎛
− 0, 3703.Log ⎜ 1 +
.
⎢
⎥
⎝
6
0, 370 ⎟⎠ ⎦
0, 783 ( 4, 70 − 2 ) 2, 1 (1 + 0, 356 ) ⎣
δ G = 0, 416
h
Mc = Fc ⎛ − δ G .x u ⎞
⎝2
⎠
0, 40
Mc = 1, 172 ⎛
− 0, 416.0, 224 ⎞ = 0,1252 mMN
⎝ 2
⎠
• Aciers comprimés :
h
Ms 2 = Fs 2 ⎛ − d '⎞
⎝2
⎠
0, 40
Ms2 = 0, 5464 ⎛
− 0, 04 ⎞ = 0,0874 mMN
⎝ 2
⎠
• Aciers tendus :
h
Ms1 = Fs1 ⎛ d − ⎞
⎝
2⎠
Ms1 = 0, 5464 ⎛ 0, 40 − 0, 04 −
⎝
0, 40 ⎞
= 0,0874 mMN
2 ⎠
• Total :
Mi = Mc + Ms 2 + Ms1
Mi = 0,1252 + 0,0874 + 0,0874 = 0,3000 mMN
Instabilité de forme – Flambement
3.1.5 Excentricité interne
e int =
Mi
Ni
e int =
0, 3000
= 0,256 m
1, 172
3.1.6 Excentricité externe
• Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde :
1 ε c + εs1
=
r
d
f=
1 2, 85 + 1, 74 −3
−1
10 = 0,0128 m
=
r
0, 36
l 20 1
.
π2 r
f=
12, 00 2
0, 0128 = 0,1868 m
π2
• Excentricité externe en pied de poteau :
e ext = e1 + f
e ext = 0,187 + 0,187 = 0,374 m
3.1.7 Conclusion
L’équilibre est assuré si :
e
Nu
Ni > N u
eint
eext
f
e1
0
⎧ N i > N ext
⎨
⎩ e int > e ext
1
r
1
r
⎧ N i = 1,172 MN > 0,600 MN = N ext
⎨
⎩ e int = 0,256 m < 0,374 m = e ext
eint < eext ⇒
Il faut augmenter Mi et
diminuer N i en diminuant ε c.
119
120
3.2 Seconde itération
3.2.1 Déformations de départ
• Pour les aciers :
εs1 inchangé
εs1 =
1, 74
(voir § 3.1.1)
1 000
⇒
Prenons ε c =
• Pour le béton :
ε c diminué
1, 9
1 000
3.2.2 Contrainte des aciers comprimés
d'
c
s2
xu
d
s1
1, 9
1 000
x u = 0, 36
= 0,188 m
1, 9
1, 74
+
1 000 1 000
εc
xu = d
ε c + εs1
εs 2 = ε c
xu − d '
xu
εs2 =
1, 9 0, 188 − 0, 04
= 1,50/1 000
.
1 000
0, 188
⇒ σ s2 par le diagramme de calcul des
aciers :
fyk
Diagramme caractéristique simplifié
fyd = fyk y s
Diagramme de calcul
Arctg Es
fyd
Es
Es = 2.105 MPa
uk
Instabilité de forme – Flambement
εs 2 =
1, 50
1, 74
<
= ε yd
1 000 1 000
⇒
σ s 2 = E s .εs2 = 2.105.1, 50.10 −3 = 300 MPa
3.2.3 Effort normal interne
• Béton comprimé :
ε c < ε c1 (1 + ϕ eff )
⇒ le diagramme des contraintes est constitué par une
fraction de sa partie croissante, d’où :
k = 1, 05
E cm . ε c1 (1 + ϕ ef )
γ cE .fcd
avec γ cE = 1, 2
k = 4, 70 (voir § 3.1.3)
a=
1 ε c1 (1 + ϕ ef )
.
k−2
εc
ψ=
εc
1 ⎤
1 ⎤
1
k ⎡
⎡1
.
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ −
⎢
⎢
⎝
⎝
⎠
a⎠⎦
k−2⎣
a ⎦ k − 2 ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣ 2
ψ=
4, 70 ⎡
1 ⎞⎤
⎛
1 − 0, 555.Log ⎜ 1 +
⎢
⎝
4, 70 − 2 ⎣
0, 555 ⎟⎠ ⎥⎦
−
a=
1
2, 1.10 −3 (1 + 0, 356 )
= 0, 555
.
4, 70 − 2
1, 9.10 −3
⎡1
1 ⎞⎤
1
1, 90.10 −3
⎛
− 0, 555 + 0, 5552.Log ⎜ 1 +
.
⎝
0, 555 ⎟⎠ ⎥⎦
4, 70 − 2 2, 10.10 −3 (1 + 0, 356 ) ⎢⎣ 2
ψ = 0, 681
Fc = ψ.bw .x u .fcd
Fc = 0, 681.0, 40.0, 188.16, 7 = 0,8552 MN
• Aciers comprimés :
Fs 2 = A s 2 .σ s 2
Fs2 = 5.3, 14.10 −4.300 = 0,4710 MN
• Aciers tendus :
− Fs1 = − A s1 .σ s1
− Fs1 = − 5.3, 14.10 −4.348 = − 0,5464 MN
• Effort normal interne :
N i = Fc + Fs 2 − Fs1
N i = 0,8552 + 0,4710 − 0,5464 = 0,7798 MN
• Effort normal externe :
N ext = 1, 35.N G + 1, 5.N Q
N ext = 600 kN (voir § 2.3.1)
N i = 0,780 MN > N ext = 0,600 MN
121
122
3.2.4 Moment fléchissant interne
x
d' = '.d
As2
AN
xu
d
G u
c
.d
Fs2
s2
Fc
u
As1
s1
bw
Fs1
• Béton comprimé :
δG = 1 −
+
ε
⎡ 6.a 2 − 3.a + 2
1 ⎤
1
c
.
− a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝ a⎠⎦
6
ψ ( k − 2 ) ε c1 (1 + ϕ ef ) ⎣
δG = 1 −
+
1 ⎤
k
⎡1
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎝ a⎠⎦
ψ ( k − 2 ) ⎢⎣ 2
⎡1
4, 70
1 ⎞⎤
⎛
− 0, 555 + 0, 5552.Log ⎜ 1 +
⎝
0, 681 ( 4, 70 − 2 ) ⎢⎣ 2
0, 555 ⎟⎠ ⎥⎦
⎡ 6.0, 5552 − 3.0, 555 + 2
1 ⎞⎤
1
1, 90
⎛
− 0, 5553.Log ⎜ 1 +
.
⎢
⎥
⎝
6
0, 555 ⎟⎠ ⎦
0, 681 ( 4, 70 − 2 ) 2, 1 (1 + 0, 356 ) ⎣
δ G = 0, 398
h
Mc = Fc ⎛ − δ G .x u ⎞
⎝2
⎠
0, 40
Mc = 0, 8552 ⎛
− 0, 398.0, 188⎞ = 0,1071 mMN
⎝ 2
⎠
• Aciers comprimés :
h
Ms 2 = Fs 2 ⎛ − d '⎞
⎝2
⎠
0, 40
Ms2 = 0, 4710 ⎛
− 0, 04 ⎞ = 0,0754 mMN
⎝ 2
⎠
• Aciers tendus :
h
Ms1 = Fs1 ⎛ d − ⎞
⎝
2⎠
Ms1 = 0, 5464 ⎛ 0, 40 − 0, 04 −
⎝
0, 40 ⎞
= 0,0874 mMN
2 ⎠
• Total :
Mi = Mc + Ms 2 + Ms1
Mi = 0,1071 + 0,0754 + 0,0874 = 0,2699 mMN
3.2.5 Excentricité interne
e int =
Mi
Ni
e int =
0, 2699
= 0,346 m
0, 7798
Instabilité de forme – Flambement
3.2.6 Excentricité externe
• Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde :
1 ε c + εs1
=
r
d
f=
1 1, 90 + 1, 74 −3
−1
10 = 0,0101 m
=
r
0, 36
l 20 1
.
π2 r
f=
12, 00 2
0, 0101 = 0,1474 m
π2
• Excentricité externe :
e ext = e1 + f
e ext = 0,187 + 0,147 = 0,334 m
3.2.7 Conclusion
L’équilibre est assuré si :
e
Nu
Ni > N u
eint
eext
f
e1
0
⎧ N i > N ext
⎨
⎩ e int > e ext
1
r
1
r
⎧ N i = 0, 780 mMN > 0, 600 mMN = N ext
⎨
⎩ e int = 0, 346 m > 0, 334 m = e ext
⇒ la stabilité au flambement est
assurée.
123
124
Application n˚ 2 : dimensionnement
des armatures par la méthode de la rigidité
–Énoncé–
Pu
COUPE AA
A?
e0
40 cm
l = 6,00 m
30 cm c
40 cm
A
A
Sollicitations :
Pu = 0, 300 MN et Pser = 0, 105 MN excentrées de e 0 = 9,6 cm,
poids propre négligé.
Poteau isolé contreventé.
Matériaux :
• béton : fck = 25 MPa, ϕ ef = 2 ;
• aciers : S 500 à palier horizontal.
On se propose :
1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ϕ ef inconnu ;
2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode
de la rigidité ;
3/ de calculer les armatures longitudinales dans le cas où la section est armée
symétriquement ;
4/ de vérifier le poteau au flambement.
Instabilité de forme – Flambement
–Corrigé–
1. Caractéristiques des matériaux
1.1 Béton
⎧ λ = 0, 8
fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η = 1
⎧ λ,
fck >< 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η
fcd = α cc
fck
γc
fcu = η.fcd = η.α cc
fcd = 1
fck
γc
fcu = 1.1
fcm = fck + 8 ( MPa )
⎡f ⎤
E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥
⎣ 10 ⎦
25
= 16,7 MPa
1, 5
25
= 16,7 MPa
1, 5
fcm = 25 + 8 = 33 MPa
0,3
33
E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 10 ⎦
( MPa )
fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]
2
3
2
fctm = 0, 3 [ 25]
3
0,3
= 31 476 MPa
= 2,56 MPa
1.2 Aciers
fyd =
fyk
γs
fyd =
500
= 435 MPa
1, 15
2. Nécessité du calcul au flambement
2.1 Section initiale d’armatures (étape 1)
A s1
Section d’armatures non encore
déterminée :
A s1 = 0, 00 cm 2
2.2 Élancement (étape 2)
Longueur efficace :
poteau isolé
⎫
⎪
encastré en pied ⎬ ⇒ 0 = 2.1
⎪
libre en tête
⎭
0 = 2.6, 00 = 12,00 m
125
126
Pour un poteau de section rectangulaire :
⎧
0b 12
⎪ ----------------⎪ b
λ = Max ⎨
⎪ 0h 12
⎪ -----------------⎩ h
0 12
12,00 12
section carrée : λ = --------------= ------------------------- = 104
b
0,40
2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme
(étape 3)
20.A.B.C
Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i
n
avec :
A=
1
= 0,7 si ϕ ef est inconnu : ϕ ef inconnu
1 + 0, 2.ϕ ef
⇒
A = 0,7
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu :
ω=
A s .fyd
A c .fcd
ω inconnu B = 1,1
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu : rm inconnu
n=
⇒ C = 0, 7
N Ed
= effort normal réduit :
A c .fcd
N Ed = Pu ,
N Ed = Pu = 0,300 MN
n=
0, 300
= 0, 112
0, 40 2.16, 7
λ = 104 > 32, 21 = λ lim =
20.0, 7.1, 1.0, 7
0, 112
⇒ nécessité de prendre en compte les
effets du second ordre.
Instabilité de forme – Flambement
3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4)
3.1 État limite ultime
3.1.1 Sollicitations de calcul
∑ γ i .N i = N Ed = Pu
∑ γ j .M jG
e1 =
0
= Pu .e 0
∑ γ j .M jG
∑ γ i .N i
∑ γ i .N i
∑ γ j .M jG
e1 =
0
0
= 0,300 MN
= 0, 300.0, 096 = 0,0288 mMN
0, 0288
= 0, 096 m
0, 300
3.1.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques
Puisque N Ed > 0 est une compression.
Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée
poteau isolé d’une structure contreventée :
⇒ ei =
l0
400
⇒ ei =
12, 00
= 0,03 m
400
sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul :
⎧ N Ed = ∑ γ i .N i
⎪⎪
⎨ MEdG0 = N Ed ( e1 + e i )
⎪
⎪⎩ e 0 = e1 + e i
⎧ N Ed = 0, 300 MN
⎪
⎨ MEdG0 = 0, 300 ( 0, 096 + 0, 03) = 0, 038 mMN
⎪
⎩ e 0 = 0, 096 + 0, 03 = 0, 126 m
3.2 État limite de service
⎧N = N + N
g
q
⎪ ser
⎪
⎪
⎨ MserG0 = Mg + Mq
⎪
MserG0
⎪e
=
⎪ 0 ser
N ser
⎩
⎧ N ser = 0, 105 MN
⎪
⎪⎪
⎨ MserG0 = N ser .e 0 ser = 0, 105.0, 096 = 0, 0101 mMN
⎪
0, 0101
⎪e
=
= 0, 096 m
⎪⎩ 0 ser
0, 105
On remarque que e 0 à l’ELU est différent de e 0 ser à l’ELS.
4. Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité
La méthode de la rigidité est imposée par l’énoncé.
127
128
4.1 Rigidité nominale (étape 5)
4.1.1 Section d’armatures initiale
La section d’armatures étant inconnue à ce stade de l’étude, nous prendrons une
section de départ, symétrique, obtenue en négligeant les effets du second ordre à
partir des diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion
composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
Pour une section symétrique (béton et armatures), il convient de prendre en
compte le supplément d’excentricité :
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = Max ⎨ h
⎪⎩ 30
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 400
⎪⎩ 30 = 13, 3 mm
Arguments d’entrée dans les abaques :
Md = MEdG0 + N Ed .Δe 0
μ=
Md = 0, 038 + 0, 300.0, 02 = 0,044 mMN
Md
b.h 2 .fcd
μ=
N d = N Ed
ν=
0, 044
= 0, 041
0, 40.0, 40 2.16, 7
N d = 0,300 MN
Nd
b.h.fcd
ν = n = 0,112 (voir § 2.3)
Pourcentage d’armatures sorti des abaques :
μ = 0, 041⎫
⎬ ⇒ ϖ tot ≈ 0
ν = 0, 112 ⎭
ν
ϖtot
ν
μ
Section d’armatures :
μ
Instabilité de forme – Flambement
∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪
f
yd
A s1 = A s 2
fcd
1
⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h
2
fyd
⎪
⎭
A s1 = A s 2 = 0, 00 cm 2
4.1.2 Rigidité nominale correspondante
EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s
avec :
E cm
γ cE
E cd =
où :
31 476
= 26 230 MPa
1, 2
γ cE = 1, 2
E cd =
I c = moment d’inertie de la section
de béton :
Ic =
E s = valeur de calcul du module
de déformation de l’acier :
E s = 200 000 MPa
0, 40 4
= 2, 133.10 −3 m 4
12
Is = moment d’inertie de la section des armatures par rapport au centre de
gravité de la section de béton seul :
ρ=
As
Ac
ρ = 0, 00 < 0, 002
donc, pour rester dans les limites
ρ ≥ 0, 002 permettant de calculer les
coefficients K s et K c , nous retiendrons :
ρ=
As
= 0, 005, d’où :
Ac
A s = ρ.A c = 0, 005.0, 40.0, 40 = 8, 0.10 −4 m 2
Is = 2
As
2
Ks = 1
⎛ h − c⎞
⎝2
⎠
2
Is = 2
8, 0.10 −4
( 0, 20 − 0, 05)2 = 1, 80.10 −5 m 4
2
Ks = 1
129
130
Kc =
k1 . k 2
1 + ϕ ef
avec :
fck
(MPa) = coefficient
20
dépendant de la classe du béton :
k1 =
25
= 1, 12
20
k1 =
⎧ λ
⎪n
k 2 = Min ⎨ 170 = coefficient dépendant de l’effort normal et de l’élancement,
⎪⎩ 20
où :
N Ed
= effort normal relatif : n = 0, 112 (voir § 2.3)
A c .fcd
ϕ ef = coefficient de fluage :
ϕ ef = 2
n=
⎧ 0, 112 104 = 0, 069
⎪
k 2 = 0, 069 = Min ⎨
170
⎪⎩ 0, 20
Kc =
1, 12.0, 069
= 0, 026
1+ 2
EI = 0, 026.26 230.2, 133.10 −3 + 1.200 000.1, 80.10 −5
EI = 5, 055 MNm 2
Remarque
NEd >< NB = π2
EI
l20
NEd = 0, 300 MN < NB = π2
5, 055
= 0, 346 MN
12, 002
d’où le moment corrigé MEd sera supérieur au moment du premier ordre
M0Ed = MEdG0.
4.2 Moment de calcul total (premier + second ordre) à l’ELU (étape 6)
Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre :
M Ed
⎛
⎞
⎜
β ⎟
= M 0Ed ⎜ 1 + ------------------⎟
NB
⎜
-------- – 1⎟⎠
⎝
N Ed
avec :
N Ed = effort normal agissant à l’ELU : N Ed = 0,300 MN (voir § 2.3)
Instabilité de forme – Flambement
M 0 Ed = Md = 0,044 mMN (voir § 4.1.1)
M 0 Ed = moment du premier ordre :
5, 055
EI
N B = π 2 -----2- = charge de flambement : N B = π 2
= 0,346 MN
12
, 00 2
0
β=
π2
où :
c0
⎧8 : moment du premier ordre constant ,
⎪9, 6 : momentt du premier ordre parabolique ,
⎪
c0 = ⎨
⎪12 : moment du premier ordre triangulaire symétrique,
⎪⎩ etc.
Moment du
⇒ c0 = 8
β=
premier
ordre
constant
π2
= 1,234
8
MEd
⎛
⎞
1, 234 ⎟
⎜
= 0, 044 ⎜ 1 +
⎟ = 0,398 mMN
0, 346
−
1
⎜
⎟
⎝
⎠
0, 300
Moment de calcul à l’ELU par rapport aux aciers tendus :
MG
N
0
eA
N
G0
M Ed
⎧
⎪e 0 = N
Ed
⎪
h⎞
⎪
⎛
⎨e A = e 0 + ⎝ d − ⎠
2
⎪
⎪ MEdA = N Ed .e A
⎪
⎩
e0
C
G0
h/2
d
As1
⎧ e = 0, 398 = 1, 327 m
⎪ 0 0, 300
⎪
0, 40
⎪
= 1, 477 m
⎨ e A = 1, 327 + 0, 35 −
2
⎪
⎪ MEdA = 0, 300.1, 477 = 0, 443 mMN
⎪
⎩
131
132
5. Calcul des armatures (étape 7)
5.1 Introduction
Moment réduit de référence à l’ELU :
Allongement Raccourcissement
fcu
3,5 ‰
B
h
xu = h
d
As1
C
fcu
λ.xu
2‰
λ
x
2 u
Fc
zc
O
0‰
λ h⎞
h⎛
μ BC = λ ⎜ 1 − . ⎟
d⎝
2 d⎠
μ BC = 0, 8
35 ⎛
35
1 − 0, 4 ⎞ = 0, 455
⎝
40
40 ⎠
Moment réduit agissant :
μ cu =
MEdA
bw .d 2 .fcu
μ cu =
0, 443
= 0, 541
0, 40.0, 352.16, 7
Conclusion :
μ cu >< μ BC
⇒
μ cu = 0, 541 > 0, 455 = μ BC
Section entièrement comprimée.
La section étant entièrement comprimée, nous utiliserons les diagrammes
d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de
l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
Nous supposerons donc que la section est armée symétriquement.
5.2 Armatures
5.2.1 Arguments d’entrée dans les abaques
Md = MEd
μ=
Md
b.h 2 .fcd
Md = 0,398 mMN (voir § 4.2)
μ=
0, 398
= 0, 372
0, 40.0, 40 2.16, 7
Nd = NEd
ν=
Nd
b.h.fcd
ν = n = 0,112 (voir § 2.3)
Instabilité de forme – Flambement
5.2.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques
μ = 0, 372⎫
⎬ ⇒ ϖtot = 0, 79
ν = 0, 112 ⎭
ν
ϖtot
ν
μ
μ
5.2.3 Section d’armatures
∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪
f
yd
A s1 = A s 2
fcd
1
⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h
2
f
yd
⎪
⎭
A s1 = A s 2 =
1
16, 7
0, 79.40.40
= 24, 26 cm 2
2
435
comme As1 = As2 > As, prov = 0,00 cm2 (voir § 4.1.1), nous effectuons une vérification au flambement pour la section d’armatures que nous venons de déterminer et que nous adopterons comme section réelle.
6. Vérification au flambement
6.1 Section d’armatures de départ (étape 1)
A s1, prov = A s 2, prov = 24, 26 cm 2
6.2 Dispense de vérification au flambement (voir § 2.3) (étapes 2 et 3)
En ne mentionnant que les paramètres qui sont affectés par la donnée de la
section d’armatures, il vient :
A=
1
= 0,7 si ϕ ef est inconnu :
1 + 0, 2.ϕ ef
ϕ ef = 2
⇒
A=
1
= 0, 714
1 + 0, 2.2
133
134
A s .fyd
ω=
ω=
A c .fcd
2.24, 26.435
= 0, 790
40.40.16, 7
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : B = 1 + 2.0, 790 = 1, 606
rm =
M01
avec M02 > M01
M 02
M01 = M02 = Pu .e 0
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu :
λ=
l0
20.A.B.C
>< λ lim =
i
n
⇒ rm = 1
⇒ C = 1, 7 − 1 = 0, 7
λ = 104 > 47, 97 = λ lim =
20.0, 714.1, 606.0, 7
0, 112
⇒ nécessité de prendre en compte les
effets du second ordre.
6.3 Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité
6.3.1 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections
géométriques (étape 4)
⎧ N Ed = ∑ γ i .N i
⎪⎪
⎨ MEdG0 = N Ed ( e1 + e i + Δe 0 )
⎪
⎪⎩ e 0 = e1 + e i + Δe 0
⎧ N Ed = 0, 300 MN
⎪
⎨ MEdG0 = 0, 300 ( 0, 096 + 0, 03 + 0, 02 ) = 0, 044 mMN
⎪
⎩ e 0 = 0, 096 + 0, 03 + 0, 02 = 0, 146 m
6.3.2 Rigidité nominale (voir § 4.1.2) (étape 5)
E cd =
E cm
γ CE
E cd = 26 230 MPa (voir § 4.1.2)
I c = moment d’inertie de la section
de béton :
I c = 2, 133.10 −3 m 4 (voir § 4.1.2)
E s = valeur de calcul du module
de déformation de l’acier :
E s = 200 000 MPa (voir § 4.1.2)
Is = moment d’inertie des aciers
par rapport au centre de gravité
de la section de béton seul :
Is = 2.24, 26.10 −4.0, 152 = 1, 092.10 −4 m 4
Instabilité de forme – Flambement
ρ=
As
Ac
ρ=
⎧K s = 0
⎪
ρ > 0, 01 ⇒ ⎨
0, 3
⎪K c = 1 + 0, 5.ϕ
ef
⎩
2.24, 26
= 0, 030
40.40
⎧K s = 0
⎪
0, 3
⎨
⎪⎩K c = 1 + 0, 5.2 = 0, 15
EI = K c .E cd .I c + K s .E s .I s
EI = 0, 15.26 230.2, 133.10 −3 + 0.200 000.1, 092.10 −4
EI = 8,392 MNm2
6.3.3 Moment de calcul total (premier + second ordre) à l’ELU (étape 6)
Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre :
N Ed = effort normal agissant à l’ELU : N Ed = 0,300 MN (voir § 6.3.1)
M 0 Ed = moment du premier ordre :
N B = π2
β=
EI
8, 392
= charge de flambement : N B = π 2
= 0,575 MN
l 20
12, 00 2
π2
c0
M Ed
M 0 Ed = MEdG0 = 0,044 mMN
⎛
⎞
⎜
β ⎟
= M 0Ed ⎜ 1 + ------------------⎟
NB
⎜
-------- – 1⎟⎠
⎝
N Ed
β=
π2
= 1,234 (voir § 4.2)
8
⎛
⎞
1,234
M Ed = 0,044 ⎜ 1 + ----------------------⎟ = 0,103 mMN
⎜
⎟
0,575
------------- – 1⎠
⎝
0,300
Moment de calcul à l’ELU par rapport aux aciers tendus :
M Ed
⎧
⎪e 0 = N
Ed
⎪
⎪
h⎞
⎛
⎨e A = e 0 + ⎝ d − ⎠
2
⎪
⎪
⎪ MEdA = N Ed .e A
⎩
0, 103
⎧
⎪ e 0 = 0, 300 = 0, 343 m
⎪
0, 40
⎪
= 0, 493 m
⎨ e A = 0, 343 + 0, 35 −
2
⎪
⎪
⎪ MEdA = 0, 300.0, 493 = 0, 148 mMN
⎩
135
136
6.4 Calcul des armatures (étape 7)
6.4.1 Introduction
λ h⎞
h⎛
μ BC = λ ⎜ 1 − . ⎟
d⎝
2 d⎠
μ cu =
μ BC = 0, 455 (voir § 5.1)
MEdA
bw .d 2 .fcu
0, 148
= 0, 181
0, 40.0, 352.16, 7
μ cu =
μ cu >< μ BC
μ cu = 0, 181 < 0, 455 = μ BC
⇒
Section partiellement tendue.
La section étant partiellement tendue, pour une section armée symétriquement,
nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 :
« Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
6.4.2 Arguments d’entrée dans les abaques
Md = MEd
μ=
Md = 0,103 mMN
Md
b.h 2 .fcd
μ=
0, 103
= 0, 096
0, 40.0, 40 2.16, 7
Nd = NEd
ν=
Nd
b.h.fcd
ν = n = 0,112 (voir § 2.3)
6.4.3 Pourcentage d’armatures sorti des abaques
μ = 0, 096⎫
⎬ ⇒ ϖ tot = 0, 12
ν = 0, 112 ⎭
ν
ϖtot
ν
μ
μ
Instabilité de forme – Flambement
6.4.4 Section d’armatures
f
1
A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h cd
2
fyd
A s1 = A s 2 =
1
16, 7
0, 12.40.40
= 3, 69 cm 2
2
435
6.4.5 Conclusion (étape 8)
As1 et As2 >< A s, prov
A s1 = A s 2 = 3, 69 cm 2 < A s1, prov = A s 2, prov = 24, 26 cm 2
Nous avons alors deux possibilités :
1/ si nous voulons affiner le ferraillage, il nous faut recommencer les calculs
développés dans le présent § 6, en partant de
A s1, prov = A s 2, prov > 3, 69 cm 2 ;
2/ si nous voulons vérifier la stabilité du poteau armé avec
A s1, prov = A s 2, prov = 24, 26 cm 2 déterminées au § 5.2.3 ci-devant, il suffit
de vérifier les conditions :
⎧⎪ A s1 ≤ A s1, prov
⎨
⎩⎪ A s 2 ≤ A s 2, prov
⎧⎪ A s1 = 3, 69 cm 2 < 24, 26 cm 2 = A s1, prov
O.K.
⎨
2
2
⎪⎩ A s 2 = 3, 69 cm < 24, 26 cm = A s 2, prov
137
138
Application n˚ 3 : vérification au flambement
par la méthode de l’estimation de la courbure
–Énoncé–
Pu
COUPE AA
A?
e0
40 cm
l = 6,00 m
30 cm
40 cm
A
A
Sollicitations :
Pu = 0, 300 MN et Pser = 0, 105 MN excentrées de e0 = 9,6 cm,
poids propre négligé.
Poteau isolé contreventé.
Matériaux :
• béton : fck = 25 MPa , ϕ ef = 2 ;
• aciers : S 500 à palier horizontal.
On se propose :
1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ϕ ef inconnu ;
2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode
de l’estimation de la courbure ;
3/ de calculer les armatures longitudinales dans le cas où la section est armée
symétriquement ;
4/ de vérifier le poteau au flambement.
Instabilité de forme – Flambement
–Corrigé–
1. Caractéristiques des matériaux
1.1 Béton
⎧ λ = 0, 8
fck = 25 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η = 1
⎧ λ,
fck >< 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η
fcd = α cc
fck
γc
fcu = η.fcd = η.α cc
fcd = 1
fck
γc
fcu = 1.1
fcm = fck + 8 ( MPa )
⎡f ⎤
E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥
⎣ 10 ⎦
25
= 16,7 MPa
1, 5
25
= 16,7 MPa
1, 5
fcm = 25 + 8 = 33 MPa
0,3
33
E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 10 ⎦
( MPa )
fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]
2
3
2
fctm = 0, 3 [ 25]
3
0,3
= 31 476 MPa
= 2,56 MPa
1.2 Aciers
fyd =
fyk
γs
fyd =
500
= 435 MPa
1, 15
2. Nécessité du calcul au flambement
2.1 Section initiale d’armatures (étape 1)
A s1
Section d’armatures non encore
déterminée :
A s1 = 0, 00 cm 2
2.2 Élancement (étape 2)
Longueur efficace :
poteau isolé
⎫
⎪
encastré en pied ⎬ ⇒ 0 = 2.
⎪
libre en tête
⎭
0 = 2.6, 00 = 12,00 m
139
140
Pour un poteau de section rectangulaire :
⎧
0b 12
⎪ ----------------⎪ b
λ = Max ⎨
⎪ 0h 12
⎪ -----------------⎩ h
0 12
12,00 12
section carrée : λ = --------------= ------------------------- = 104
b
0,40
2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme
(étape 3)
20.A.B.C
Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i
n
avec :
A=
1
= 0,7 si ϕ ef est inconnu : ϕ ef inconnu
1 + 0, 2.ϕ ef
⇒
A = 0, 7
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu :
ω=
A s .fyd
A c .fcd
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu :
n=
ω inconnu B = 1, 1
rm inconnu
⇒ C = 0, 7
N Ed
= effort normal réduit :
A c .fcd
N Ed = Pu ,
NEd = Pu = 0,300 MN
n=
0, 300
= 0, 112
0, 40 2.16, 7
λ = 104 > 32, 21 = λ lim =
20.0, 7.1, 1.0, 7
0, 112
⇒ nécessité de prendre en compte les
effets du second ordre.
3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4)
3.1 État limite ultime
3.1.1 Sollicitations de calcul
∑ γ i .N i = N Ed = Pu
∑ γ i .N i
= 0,300 MN
Instabilité de forme – Flambement
∑ γ j .M jG
e1 =
0
= Pu .e 0
∑ γ j .M jG
∑ γ i .N i
∑ γ j .M jG
e1 =
0
0
= 0, 300.0, 096 = 0,0288 mMN
0, 0288
= 0, 096 m
0, 300
3.1.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques
Puisque N Ed > 0 est une compression.
Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée
poteau isolé d’une structure contreventée :
⇒ ei =
l0
400
⇒ ei =
12, 00
= 0,03 m
400
sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul :
⎧ N Ed = ∑ γ i .N i
⎪⎪
⎨ MEdG0 = N Ed ( e1 + e i )
⎪
⎪⎩ e 0 = e1 + e i
⎧ N Ed = 0, 300 MN
⎪
⎨ MEdG0 = 0, 300 ( 0, 096 + 0, 03) = 0, 038 mMN
⎪
⎩ e 0 = 0, 096 + 0, 03 = 0, 126 m
3.2 État limite de service
⎧N = N + N
g
q
⎪ ser
⎪
⎪
⎨ MserG0 = Mg + Mq
⎪
MserG0
⎪e
=
⎪ 0 ser
N ser
⎩
⎧ N ser = 0, 105 MN
⎪
⎪⎪
⎨ MserG0 = N ser .e 0 ser = 0, 105.0, 096 = 0, 0101 mMN
⎪
0, 0101
⎪e
=
= 0, 096 m
⎪⎩ 0 ser
0, 105
On remarque que e 0 à l’ELU est différent de e 0 ser à l’ELS.
4. Courbure (étape 5)
La méthode de l’estimation de la courbure est imposée par l’énoncé.
La courbure est obtenue par la formule :
1
1
= K r .K ϕ
r
r0
4.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal
ε yd =
fyd
Es
ε yd =
435
= 2, 175.10 −3
200 000
141
142
1 2, 175.10 −3
=
= 0, 0138 m −1
r0
0, 45.0, 35
ε yd
1
=
r0 0, 45.d
4.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal
⎧ nu − n
⎪
K r = Min ⎨ n u − n bal
⎪1
⎩
où :
n=
N Ed
A c .fcd
n = 0,112 (voir § 2.3)
n bal = 0,40
n bal
n u = 1 + ω avec ω =
A s .fyd
A c .fcd
A s inconnu
⇒ ω = 0 ⇒ nu = 1
⎧ 1 − 0, 112 = 1, 480
⎪
K r = 1, 00 = Min ⎨ 1 − 0, 40
⎪⎩1
Remarque
Kr ≥ 1 ⇔
soit : n =
nu − n
≥ 1 ⇔ n ≤ nbal = 0, 40
nu − nbal
NEd
≤ nbal = 0, 40
A c .fcd
d’où : NEd ≤ 0, 40.A c .fcd
NEd = 0, 300 MN ≤ 0, 40.0, 402.16,7 = 1, 06 MN
ce qui est le cas ici.
4.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage
⎧1 + β.ϕ ef
K ϕ = Max ⎨
⎩1
avec :
β = 0, 35 +
fck
λ
−
200 150
β = 0, 35 +
25 104
−
= −0, 218
200 150
Instabilité de forme – Flambement
ϕ ef = ϕ ( , t 0 )
M0 Eqp
M0 Ed
ϕ ef = 2
⎧1 − 0, 218.2 = 0, 564
K ϕ = 1, 00 = Max ⎨
⎩1
4.4 Courbure
1
1
= K r .K ϕ
r
r0
1
= 1, 00.1, 00.0, 0138 = 0, 0138 m −1
r
5. Moment ultime de calcul total (étape 6)
5.1 Excentricité du second ordre à l’ELU
2
1
e 2 = ----0- . --- = excentricité du second ordre
c r
avec :
0 = longueur efficace
0 = 12,00 m
⎧8 : courbure constante ,
c=⎨ 2
⎩ π ≈ 10 : autres cas.
c = 10
e2 =
12, 00 2
.0, 0138 = 0, 199 m
10
5.2 Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre
MEd = M0 Ed + M 2
avec :
M 0 Ed = moment du premier ordre :
M 0 Ed = MEdG0 =
0,038
mMN
(voir
§ 3.1.2)
M 2 = N Ed .e 2 = moment du second ordre
où :
N Ed = effort normal agissant de calcul : N Ed = 0,300 MN
M2 = 0, 300.0, 199 = 0,0597 mMN
MEd = 0, 038 + 0, 0597 = 0,0977 mMN
143
144
6. Calcul des armatures (étape 7)
6.1 Moment par rapport aux aciers tendus à l’ELU
N
MG
0
eA
N
C
e0
G0
G0
h/2
d
As1
M Ed
⎧
⎪e 0 = N
Ed
⎪
⎪
h⎞
⎛
⎨e A = e 0 + ⎝ d − ⎠
2
⎪
⎪
⎪ MEdA = N Ed .e A
⎩
0, 0977
⎧
⎪ e 0 = 0, 300 = 0, 326 m
⎪
0, 40
⎪
= 0, 476 m
⎨ e A = 0, 326 + 0, 35 −
2
⎪
⎪
⎪ MEdA = 0, 300.0, 476 = 0, 143 mMN
⎩
6.2 Introduction
Moment réduit de référence à l’ELU :
Allongement
Raccourcissement
fcu
3,5 ‰
fcu
B
h
C
xu = h
d
.xu
2‰
2
xu
Fc
zc
As1
O
0‰
λ h⎞
h⎛
μ BC = λ ⎜ 1 − . ⎟
d⎝
2 d⎠
μ BC = 0, 8
35 ⎛
35
1 − 0, 4 ⎞ = 0, 455
40 ⎝
40 ⎠
Moment réduit agissant :
μ cu =
MEdA
bw .d 2 .fcu
μ cu =
0, 143
= 0, 175
0, 40.0, 352.16, 7
Conclusion :
μ cu >< μ BC
μ cu = 0, 175 < 0, 455 = μ BC
⇒
Section partiellement tendue.
Instabilité de forme – Flambement
La section étant partiellement tendue et armée symétriquement, nous utiliserons
les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
Pour une section symétrique (béton et armatures), il convient de prendre en
compte le supplément d’excentricité :
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = Max ⎨ h
⎪⎩ 30
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 400
⎪⎩ 30 = 13, 3 mm
6.3 Armatures
6.3.1 Arguments d’entrée dans les abaques
Md = MEd + N Ed .Δe 0
μ=
Md = 0, 0977 + 0, 300.0, 02 = 0,1037 mMN (voir § 5.2)
Md
b.h 2 .fcd
μ=
0, 1037
= 0, 097
0, 40.0, 40 2.16, 7
Nd = NEd
ν=
Nd
b.h.fcd
ν = n = 0,112 (voir § 2.3)
6.3.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques
μ = 0, 097⎫
⎬ ⇒ ϖ tot = 0, 130
ν = 0, 112 ⎭
tot
145
146
6.3.3 Section d’armatures
∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪
f
yd
A s1 = A s 2
fcd
1
⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h
2
fyd
⎪
⎭
A s1 = A s 2 =
1
16, 7
0, 130.40.40
= 3, 99 cm 2
2
435
comme A s1 + A s 2 > A s, prov = 0, 00 cm 2 (voir § 2.1), nous effectuons une vérification au flambement pour la section d’armatures que nous venons de déterminer et que nous adopterons comme section réelle.
7. Vérification au flambement
7.1 Section d’armatures de départ (étape 1)
A s1, prov = A s 2, prov = 3, 99 cm 2
7.2 Dispense de vérification au flambement (étapes 2 et 3)
En ne mentionnant que les paramètres qui sont affectés par la donnée de la
section d’armatures, il vient :
1
= 0,7 si ϕ ef est inconnu :
1 + 0, 2.ϕ ef
A=
ϕ ef = 2
A s .fyd
ω=
ω=
A c .fcd
⇒
A=
1
= 0, 714
1 + 0, 2.2
2.3, 99.435
= 0, 130
40.40.16, 7
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu : B = 1 + 2.0, 130 = 1, 122
rm =
M01
avec M02 > M01
M 02
M01 = M02 = Pu .e 0
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu :
λ=
l0
20.A.B.C
>< λ lim =
i
n
⇒ rm = 1
⇒ C = 1, 7 − 1 = 0, 7
λ = 104 > 33, 51 = λ lim =
20.0, 714.1, 122.0, 7
0, 112
⇒ nécessité de prendre en compte les effets
du second ordre.
Instabilité de forme – Flambement
7.3 Sollicitations du second ordre par la méthode de l’estimation
de la courbure (étapes 4, 5, 6 et 7)
Pour cette itération, la section d’armatures n’intervient que pour le calcul du
coefficient K r où elle est prise en compte par le biais du coefficient n u = 1 + ω .
Comme, d’après la remarque du § 4.2 : NEd = 0,300 MN ≤ 0,40.402.16,7 = 1,06 MN,
K r et le moment de calcul total (premier + second ordre) sont inchangés et on
peut conserver : A s1 = A s 2 = 3, 99 cm 2 .
7.4 Conclusion
As1 et As2 > < As, prov As1 = A s 2 = 3, 99 cm 2 = A s1, prov = A s 2, prov = 3, 99 cm 2
O.K.
147
148
Application n˚ 4 : dimensionnement
des armatures par la méthode de l’estimation
de la courbure
–Énoncé–
NG, NQ
COUPE AA
As 2
l = 6,50 m
e02 = 10
As 2
30 cm
x
A
A
24 cm
e01 = 0
30 cm
Sollicitations :
N G = 600 kN ⎫
⎬ excentrées de e 02 = 10,0 cm en tête de poteau et de e 01 = 0,0 cm
N Q = 300 kN ⎭
en pied de poteau,
poids propre négligé.
Poteau isolé contreventé.
Matériaux :
• béton : fck = 35 MPa ;
• aciers : S 500 à palier horizontal.
On se propose :
1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ϕ ef = 2 ;
2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode
de l’estimation de la courbure lorsque ϕ ( , t 0 ) = 2 ;
3/ d’en déduire les armatures longitudinales du poteau.
Instabilité de forme – Flambement
–Corrigé–
1. Caractéristiques des matériaux
1.1 Béton
fcd = α cc
fck
(α cc = 1)
γb
fcd = 1
35
= 23, 3 MPa
1, 5
1.2 Aciers
fyd =
fyk
γs
fyd =
500
= 435 MPa
1, 15
2. Nécessité du calcul au flambement
2.1 Section initiale d’armatures (étape 1)
A s1
Section d’armatures non encore
déterminée :
A s1 = 0, 00 cm 2
2.2 Élancement (étape 2)
Longueur efficace
poteau isolé ⎫
⎬ ⇒ 0 = bi − articulé ⎭
0 = 6,50 m
Pour un poteau de section rectangulaire :
⎧
0b 12
⎪ ----------------⎪ b
λ = Max ⎨
⎪ 0h 12
⎪ -----------------⎩ h
0 12
6,50 12
section carrée : λ = --------------= ---------------------- = 75
b
0,30
2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme
(étape 3)
20.A.B.C
Poteau isolé : λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i
n
149
150
avec :
1
= 0,7 si ϕ ef est inconnu :
1 + 0, 2.ϕ ef
A=
ϕ ef = 2
⇒
A=
1
= 0, 71
1 + 0, 2.2
B = 1 + 2.ω = 1,1 si ω est inconnu :
A s .fyd
ω=
ω est inconnu
A c .fcd
⇒ B = 1, 1
C = 1, 7 − rm = 0,7 si rm est inconnu :
rm =
M01
avec : M 02 > M 01
M 02
M01 = 0
M02
⎫
M01
=0
⎬ ⇒ rm =
= N u .e 02 ⎭
M02
⇒ C = 1, 7 − 0 = 1, 7
n=
N Ed
= effort normal réduit :
A c .fcd
N Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q :
N Ed = 1, 35.600 + 1, 5.300 = 1 260 kN
n=
1, 260
= 0, 601
0, 30 2.23, 3
λ = 75 > 34, 25 = λ lim =
20.0, 71.1, 10.1, 7
0, 601
⇒ nécessité de prendre en compte les
effets du second ordre.
3. Sollicitations corrigées des imperfections géométriques (étape 4)
On suppose que le poteau est astreint à se déformer uniquement dans le sens x
(voir coupe AA, figure de l’énoncé).
3.1 Excentricité à prendre en compte
La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant, à l’ELU, une excentricité
totale égale à :
e tot = e 0 + e i + Δe 0 + e 2
Instabilité de forme – Flambement
avec :
e0 =
excentricité résultant des calculs de RdM,
ei =
excentricité due aux imperfections géométriques,
Δe 0 = supplément d’excentricité pour une section symétrique (béton et
armatures),
e2 =
excentricité du deuxième ordre.
3.1.1 Excentricité résultant des calculs de RdM
Les excentricités aux deux extrémités du poteau étant différentes, on prend une
excentricité équivalente donnée par :
⎧ 0, 6.M02 + 0, 4.M01
M 0 e = Max ⎨
⎩ 0, 4.M02
⎧ 0, 6.e 02 + 0, 4.e 01
⇒ e 0 e = Max ⎨
⎩ 0, 4.e 02
avec : e 02 ≥ e 01
⎧ 0, 6.0, 10 + 0, 4.0 = 0, 06 m
e 0 e = 0, 06 m = Max ⎨
⎩ 0, 4.0, 10 = 0, 04 m
3.1.2 Excentricité due aux imperfections géométriques
Les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi
défini par :
θi = θ0 .α h .α m
avec :
θ0 =
αh =
1
= valeur de base recommandée :
200
θ0 =
1
200
2
= coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur :
l
αh =
2
= 0, 784
6, 50
où :
l = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage,
2
≤ αh ≤ 1
3
2
< α h = 0, 784 < 1 O.K.
3
1
α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments,
⎝
m⎠
151
152
où :
m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total :
1
α m = 0, 5 ⎛ 1 + ⎞ = 1
⎝ 1⎠
θi =
1
.0, 784.1 = 0, 00392
200
Excentricité additionnelle pour l’élément isolé :
e i = θ i ----02
e i = 0, 00392
6, 50
= 0,0127 m
2
3.1.3 Supplément d’excentricité pour une section symétrique
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = Max ⎨ h
⎪⎩ 30
⎧ 20 mm
⎪
Δe 0 = 20 mm = Max ⎨ 300
⎪⎩ 30 = 10 mm
3.2 Sollicitations du premier ordre
e1 = e 0 + e i + Δe 0
e1 = 0, 06 + 0, 0127 + 0, 02 = 0, 0927 m
M 0 Ed = N Ed .e1
M 0 Ed = 1, 260.0, 0927 = 0,117 mMN
4. Courbure (étape 5)
La méthode de l’estimation de la courbure est imposée par l’énoncé.
La courbure est obtenue par la formule :
1
1
= K r .K ϕ
r
r0
4.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal
ε yd =
fyd
Es
ε yd
1
=
r0 0, 45.d
ε yd =
435
= 2, 175.10 −3
200 000
1 2, 175.10 −3
=
= 0, 0179 m −1
r0
0, 45.0, 27
Instabilité de forme – Flambement
4.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal
⎧ nu − n
⎪
K r = Min ⎨ n u − n bal
⎪1
⎩
où :
N Ed
A c .fcd
n=
n = 0,601 (voir § 2.3)
n bal
n bal = 0,40
n u = 1 + ω avec ω =
A s .fyd
A c .fcd
A s inconnu
⇒
prenons, quitte à faire une
itération ultérieure : A s =
ω=
3 435
.
= 0, 560
100 23, 3
3
Ac
100
⇒ n u = 1 + 0, 560 = 1, 560
⎧ 1, 560 − 0, 601 = 0, 827
⎪
K r = 0, 827 = Min ⎨ 1, 560 − 0, 40
⎪⎩1
Remarque
Kr ≥ 1 ⇔
soit : n =
nu − n
≥ 1 ⇔ n ≤ nbal = 0, 40
nu − nbal
NEd
≤ nbal = 0, 40
A c .fcd
d’où : NEd ≤ 0, 40.A c .fcd
NEd = 1, 260 MN > 0, 40.0, 302.23, 3 = 0, 839 MN
ce qui n’est pas le cas ici.
4.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage
⎧1 + β.ϕ ef
K ϕ = Max ⎨
⎩1
avec :
β = 0, 35 +
fck
λ
−
200 150
β = 0, 35 +
35
75
−
= 0, 025
200 150
153
154
M 0 Eqp = N G .e 0
M 0 Eqp = 0, 600.0, 06 = 0,036 mMN
)
(
M 0 Ed = (1, 35.0, 600 + 1, 5.0, 300 ) 0, 0927
M 0 Ed = 1, 35.N G + 1, 5.N Q .e1
M 0 Ed = 0,117 mMN
ϕ ef = ϕ ( , t 0 )
M0 Eqp
ϕ ef = 2
M0 Ed
0, 036
= 0, 615
0, 117
⎧1 + 0, 025.0, 615 = 1, 015
K ϕ = 1, 015 = Max ⎨
⎩1
4.4 Courbure
1
1
= K r .K ϕ
r
r0
1
= 0, 827.1, 015.0, 0179 = 0, 0150 m −1
r
5. Moment ultime de calcul total (étape 6)
5.1 Excentricité du second ordre à l’ELU
e2 =
l 20 1
. = excentricité du second ordre
c r
avec :
0 = longueur efficace
0 = 6,50 m
⎧8 : courbure constante ,
c=⎨ 2
⎩ π ≈ 10 : autres cas.
c = 10 (déformée sinusoïdale)
e2 =
6, 50 2
.0, 0150 = 0, 0634 m
10
5.2 Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre
MEd = M0 Ed + M 2
avec :
M 0 Ed = moment du premier ordre :
M 0 Ed = MEdG0 = 0,117 mMN (voir § 3.2)
M 2 = N Ed .e 2 = moment du second ordre
Instabilité de forme – Flambement
où :
N Ed = effort normal agissant de calcul : N Ed = 1,260 MN
M2 = 1, 260.0, 0634 = 0,0799 mMN
MEd = 0, 117 + 0, 0799 = 0,197 mMN
6. Détermination des armatures (étape 7)
La section étant armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes
d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de
l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
6.1 Arguments d’entrée dans les abaques
Md = MEd
μ=
Md = 0,197 mMN (voir § 5.2)
Md
b.h 2 .fcd
μ=
0, 197
= 0, 313
0, 30.0, 30 2.23, 3
N d = N Ed
ν=
Nd
b.h.fcd
ν = n = 0,601 (voir § 2.3)
6.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques
μ = 0, 313⎫
⎬ ⇒ ϖ tot = 0, 67
ν = 0, 601 ⎭
tot
155
156
6.3 Section d’armatures
∑ A = As1 + As2 = ϖtot .b.h fcd ⎫⎪
f
yd
A s1 = A s 2
fcd
1
⎬ ⇒ A s1 = A s 2 = ϖ tot .b.h
2
fyd
⎪
⎭
A s1 = A s 2 =
1
23, 3
0, 67.30.30
= 16, 15 cm 2
2
435
en vérifiant (voir hypothèse faite au § 4.2) :
As =
3
Ac
100
A s 2.16, 15
3
O.K.
=
= 0, 037 ≠
30.30
100
Ac
7. Itérations suivantes
7.1 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3)
A = 0,71 (voir § 2.3)
ω=
A s .fyd
A c .fcd
B = 1 + 2.ω
2.16,15.435
ω = ---------------------------- = 0,670
30.30.23,3
B =
1 + 2.0,670 = 1,53
C = 1, 7 (voir § 2.3)
n = 0,601 (voir § 2.3)
20.A.B.C
λ = ----0- >< λ lim = ---------------------i
n
20.0,71.1,53.1,7
λ = 75 > 47,64 = λ lim = --------------------------------------0,601
⇒ nécessité de prendre en compte les
effets du second ordre.
7.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques
(étape 4)
M 0 Ed = 0,117 mMN (voir § 3.2)
7.3 Courbure (étape 5)
7.3.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal
ε yd = 2, 175.10 −3 (voir § 4.1)
Instabilité de forme – Flambement
1
= 0, 0179 m −1 (voir § 4.1)
r0
7.3.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal
n = 0,601 (voir § 6.1)
n bal = 0,40 (voir § 4.2)
ω=
A s .fyd
2.16,15.435
ω = ---------------------------- = 0,670
30.30.23,3
A c .fcd
nu = 1 + ω
⎧ nu − n
⎪
K r = Min ⎨ n u − n bal
⎪1
⎩
n u = 1 + 0,670 = 1,670
⎧ 1,670 – 0,601
⎪ --------------------------------- = 0,842
K r = 0,842 = Min ⎨ 1,670 – 0,40
⎪1
⎩
7.3.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage
β = 0, 025 (voir § 4.3)
ϕ ef = 0, 615 (voir § 4.3)
K ϕ = 1, 015 (voir § 4.3)
7.3.4 Courbure
1
1
= K r .K ϕ
r
r0
–1
1
--- = 0,842.1,015.0,0179 = 0,0153 m
r
7.4 Moment ultime de calcul total (étape 6)
7.4.1 Excentricité du second ordre à l’ELU
2
1
e 2 = ----0- . --c r
2
6,50
e 2 = ------------.0,0153 = 0,0646 m
10
7.4.2 Moment ultime de calcul total
M 2 = N Ed .e 2
M2 = 1,260.0,0646 = 0,0814 mMN
MEd = M0 Ed + M 2
MEd = 0,117 + 0,0814 = 0,198 mMN
157
158
7.5 Détermination des armatures (étape 7)
7.5.1 Arguments d’entrée dans les abaques
Md = MEd
Md = 0,198 mMN
Md
b.h 2 .fcd
Nd = NEd
0,198
μ = ------------------------------------ = 0,315
2
0,30.0,30 .23,3
μ=
ν=
Nd
b.h.fcd
ν = n = 0,601 (voir § 6.1)
7.5.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques
μ = 0,315 ⎫
⎬ ⇒ ϖ tot = 0,68
ν = 0,601 ⎭
tot
7.5.3 Section d’armatures
A s1 = A s 2 =
f
1
ϖ tot .b.h cd
2
fyd
2
1
23,3
A s1 = A s2 = --- 0,68.30.30 ---------- = 16,39 cm
2
435
Instabilité de forme – Flambement
7.6 Schéma de ferraillage
En prenant deux nappes de 4 φ 20 HA et 2 φ 16 HA :
As1 = As2 = 4.3,14 + 2.2,01 = 16,58 cm2
30 cm
24 cm
30 cm
4 ∅ 20 HA
4 ∅ 20 HA
2 ∅ 16 HA
2 ∅ 16 HA
159
3
État limite de service
de maîtrise de la fissuration
I.
RAPPELS THÉORIQUES
1.
Considérations générales
La fissuration doit être limitée de façon à1 :
• ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure ;
• ne pas rendre son aspect inacceptable.
La fissuration est normale pour les ouvrages en béton armé soumis2 :
• à la flexion ;
• à l’effort tranchant ;
• à la torsion ;
• ou à la traction ;
sous l’action d’un chargement direct ou de déformations gênées ou imposées.
On peut admettre les fissures sans même tenter de contrôler leur largeur ou de
les éviter en prenant des mesures (création de joints) pourvu qu’elles ne soient
pas préjudiciables au bon fonctionnement de la structure3.
Il convient d’établir, en accord avec le client, des limites appropriées tenant
compte4 :
• de la nature de la structure ;
• de sa destination finale ;
• du coût de la limitation de la fissuration.
Les fissures résultant du retrait plastique ou des réactions chimiques expansives
internes au béton ne sont pas couvertes par les règles ci-après5.
1.
2.
3.
4.
5.
EC 2 – 7.3.1 (1)P
EC 2 – 7.3.1 (2)
EC 2 – 7.3.1 (4)
EC 2 – 7.3.1 (5)
EC 2 – 7.3.1 (3)
162
2.
Exigences
En l’absence d’exigences spécifiques (étanchéité par exemple), il faut vérifier6 :
w k ≤ w max
avec :
w k = ouverture calculée des fissures,
w max = valeur limite de l’ouverture calculée des fissures.
À défaut de valeurs données par l’Annexe nationale, les valeurs recommandées
pour w max sont les suivantes7 :
Classes d’exposition
X0, XC1
XC2, XC3, XC4
Sous combinaison quasi permanente des charges
w max = 0, 4 mm(1) s’il y a une exigence vis-à-vis de l’aspect
w max = 0, 3 mm(2)
XD1, XD2, XS1, XS2, XS3 w max = 0, 3 mm (0,2 mm pour l’Annexe nationale française)
XD3
Dispositions particulières fonction de la nature de l’agent agressif
impliqué(3).
L’Annexe nationale française apporte les compléments suivants :
(1) : sauf demande spécifique des documents du marché, le calcul de w
max n’est
pas requis si les dispositions constructives autres que celles du présent chapitre
sont respectées ;
(2)
: comme précédemment pour les bâtiments des catégories d’usage A à D8 ;
(3)
: w max = 0, 2 mm en l’absence d’autres dispositions particulières9.
Dans le cas des ponts, à défaut de valeurs données par l’Annexe nationale, les
valeurs recommandées pour w max sont les suivantes10 :
Classes d’exposition
Sous combinaison quasi permanente des charges
X0, XC1
w max = 0, 3 mm
XC2, XC3, XC4
w max = 0, 3 mm
XD1, XD2, XD3,
XS1, XS2, XS3
w max = 0, 3 mm
Lorsque la maîtrise de la fissuration est exigée, la méthode de calcul de w k est
celle indiquée au § 4. Une option simplifiée consiste à limiter le diamètre ou
l’espacement des barres11 (voir § 5).
6.
7.
8.
9.
10.
EC 2 – 7.3.1 (5)
EC 2 – tableau 7.1N + voir AN
EN 1991-1-1
EC 2 – 7.3.1 (7)
EC 2 – 7.3.1 (105) + tableau 7.101N
État limite de service de maîtrise de la fissuration
Il y a lieu de respecter un pourcentage minimal d’armatures dans les zones
tendues si la maîtrise de la fissuration est requise12.
3.
Section minimale d’armatures
Si la maîtrise de la fissuration est requise (à moins d’un calcul plus rigoureux),
la section minimale d’armatures à disposer dans les zones tendues des éléments
est celle donnée ci-après13.
Dans le cas des sections profilées (exemple : poutres en T et poutres-caissons),
il faut déterminer séparément le ferraillage minimal pour les membrures et pour
les âmes. Dans le cas des ponts, la décomposition suivante des sections en T est
recommandée :
A
A
A
As2
As2
B
B
As1
3.1
A = élément de section « membrure »
As1
B = élément de section « âme »
Cas général
A s, min = k c .k.fct , eff .
A ct
σs
[14.1]
(7.1)
avec :
A s, min = section minimale d’armatures dans la zone tendue,
A ct =
11. EC 2 – 7.3.1 (9)
12. EC 2 – 7.3.2 (1)P
13. EC 2 – 7.3.2 (2)
aire de la zone de béton tendu avant la formation de la première fissure
(section homogène non fissurée avec σ ct = fct , eff) :
163
164
AN
Act
fct, eff
σ s = fyk ou valeur inférieure si l’on veut maîtriser la fissuration sans calcul
direct, calculée après formation de la première fissure dans la section
homogène fissurée (voir § 5.2.1, étape 3) ; l’Annexe nationale française
préconise σ s = fyk14,
fct , eff = fctm ou fctm ( t ) à l’âge où se produit la première fissure,
⎧ fctm ( t )
fct , eff = Max ⎨
à l’âge où se produit la première fissure pour les
⎩ 2, 9 MPa
ponts15,
k = coefficient prenant en compte l’effet des contraintes non uniformes autoéquilibrées conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations
gênées :
k
1
h
0,65
bw
30
80
h (cm) : âmes
bw (cm) : membrures
k c = coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes
dans la section immédiatement avant la fissuration :
• en traction pure : k c = 1 ;
14. EC 2 – voir ANF
15. EC 2 – 7.3.2 (105)
État limite de service de maîtrise de la fissuration
• en flexion simple ou composée :
a) pour les sections rectangulaires et les âmes des caissons et des sections en T :
⎡
⎤
⎢
⎥
σc
k c = 0, 4 ⎢1 −
⎥ ≤1
h
⎢ k1 * fct , eff ⎥
⎣
⎦
h
(7.2)
b) pour les membrures des caissons et des sections en T :
k c = 0, 9
Fcr
≥ 0, 5
A ct .fct , eff
(7.3)
où :
σc =
N Ed
= contrainte moyenne du béton régnant dans la partie de section
b.h
(7.4)
considérée,
N Ed = effort normal, à l’ELS dans la partie de section considérée
(membrures, âmes des sections en T et des caissons),
⎧h
h* = Min ⎨
⎩1, 00 m
⎧1, 5 si N Ed est une compression,
⎪
=
k1 ⎨ 2.h*
si N Ed estt une traction,
⎪
⎩ 3.h
Fcr = valeur absolue de l’effort de traction dans la membrure juste avant la
fissuration résultant du moment de fissuration calculé avec fct , eff.
3.2
Cas des sections rectangulaires
Flexion simple :
⎫
⎪
⎪
fct , eff = fctm
bw .h
⎪
⎧A
: h ≤ 30 cm
s , min = 0, 4.1, 0.fctm
⎪
⎪
2
.fyk
⎧1 : h ≤ 30 cm
⎪
⎪
k=⎨
⎬ ⇒ ⎨
⎩ 0, 65 : h ≥ 80 cm ⎪
⎪ A , min = 0, 4.0, 65.fctm bw .h : h ≥ 80 cm
⎪
⎪⎩ s
2.fyk
k c = 0, 4 ( σ c = 0 )
⎪
⎪
b .h
A ct = w
⎪
⎭
2
σ s = fyk
165
166
⇒
A s, min
⎧ 0, 20 fctm b .h si h ≤ 30 cm
w
⎪
fyk
⎪
=⎨
⎪ 0, 13 fctm b .h si h ≥ 80 cm
w
⎪⎩
fyk
[14.2]
Remarque
Cette section minimale est inférieure à celle exigée au titre des dispositions
constructives pour les poutres (voir § 7, chapitre 7 « Flexion simple », Pratique de
l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
Traction simple :
σ s = fyk
⎫
⎪
fct , eff = fctm
bw .h
⎧A
⎪
: h ≤ 30 cm
s , min = 1.1.fctm
⎪
⎪
fyk
⎧1 : h ≤ 30 cm
⎪
⎪
k=⎨
⎬ ⇒ ⎨
⎩ 0, 65 : h ≥ 80 cm ⎪
⎪ A s, min = 1.0, 65.fctm bw .h : h ≥ 80 cm
⎪⎩
⎪
fyk
k c = 1, 00
⎪
A ct = bw .h
⎪⎭
⇒
A s, min
⎧ fctm b .h si h ≤ 30 cm
w
⎪f
⎪ yk
=⎨
⎪ 0, 65 fctm b .h si h ≥ 80 cm
w
⎪⎩
fyk
[14.3]
Remarque
La prise en compte des aciers tendus préexistants dans le calcul des caractéristiques géométriques des sections droites non fissurées conduit à augmenter la
profondeur x de l’axe neutre et corrélativement à diminuer l’aire A ct de la zone
tendue, donc aussi la section minimale d’armatures A s, min .
4.
Calcul des ouvertures de fissures
4.1
Introduction
Pour comprendre le mode opératoire, il est nécessaire de faire appel à quelques
notions concernant la fissuration d’un tirant, auquel peut être assimilée
localement, sur une distance comportant deux à trois fissures, la zone de béton
entourant les armatures d’une poutre fléchie.
État limite de service de maîtrise de la fissuration
« Tirant » de section droite Ac
Fissure f1
Fissure f2
F
F
As
σct
{
< fct
σctx
0 σs1
σs2 σ
s1x
s rmoy
0
σs 2
σs1, moy
{
Contraintes
dans les
aciers
4
x
Contraintes
dans le
béton
s rmoy
1,8.s r 0 = s rmoy
2
Si l’on soumet un tronçon de tirant, comportant un pourcentage d’armatures
supérieur au pourcentage minimal, à une force de traction axiale F progressivement croissante, pour une certaine valeur de F, une première
fissure f1 apparaît dans une section (dont la position relève du hasard). À
l’emplacement de f1, la contrainte de rupture par traction du béton fct a été
atteinte.
Dans cette section, l’acier doit donc équilibrer seul la force de traction ; sa
contrainte y atteint sa valeur maximale.
Les sections situées à proximité de la fissure sont dans un état intermédiaire
entre :
• l’état homogène non fissuré, encore appelé « état I » où l’effort de traction est
équilibré à la fois par le béton et par les armatures tendues :
F = A c .σ ct + A s .σ s1,
• l’état totalement fissuré, encore appelé « état II nu » où l’effort de traction est
équilibré par les seules armatures tendues :
F = A s .σ s 2 (avec σ s 2 > σ s1).
De part et d’autre de la fissure, du fait de la mise en jeu de l’adhérence, la part
de l’effort équilibrée par l’acier diminue, tandis que celle équilibrée par le béton
augmente, de sorte que l’on ait toujours :
A c .σ ct + A s .σ s1 = F
⇒
A s .dσ s1 = A c .dσ ct si F = Cste.
avec : A c = aire de la zone de béton tendu entourant les armatures.
167
168
Comme entre deux sections A et B d’une barre infiniment voisines (voir § 3.5,
chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles) :
FB = FA + π.φ.fbd .dx
On a donc, en partant de la fissure (section B de la barre pour l’application de la
formule précédente) :
dF = FB − FA = A s .dσ s1 = π.φ.fbd .dx
soit :
π.φ2
dσ s1 = π.φ.fbd .dx
4
⇒
dσ s1 =
4.fbd
dx
φ
Il vient donc :
As
4.fbd
dx = A c .dσ ct
φ
As
, on
Ac
obtient pour le béton, par intégration de la formule précédente à partir de la
section où s’est produit la fissure f1 :
ou, en supposant que fbd est constant le long des barres, et en posant ρ =
σ ctx =
4.ρ.fbd
x
φ
Ainsi, de part et d’autre des lèvres d’une fissure, l’hypothèse faite sur fbd
entraîne que la contrainte de traction du béton croît linéairement et, en contrepartie, la contrainte de traction de l’acier décroît linéairement.
La contrainte de traction du béton ne peut atteindre à nouveau la valeur fct
(valeur moyenne) qu’à une distance sr0 de la première fissure telle que :
x 0 = sr 0 =
φ fct
.
4.ρ fbd
[14.4]
sr0 est la distance minimale entre deux fissures successives.
Pour x 0 > sr 0, σ c = fct , et l’état mécanique du tirant est le même que si la
fissure f1 ne s’était pas produite. De nouvelles fissures f2, f3… peuvent
apparaître. Le béton du tirant se découpe en tronçons de longueur sr ≥ sr 0 , mais
il ne peut y avoir de tronçon de longueur supérieure à 2sr 0.
Quand la relation :
sr 0 ≤ sr ≤ 2sr 0
État limite de service de maîtrise de la fissuration
est satisfaite pour tous les tronçons, il ne peut plus apparaître de nouvelles
fissures et l’état de fissuration atteint est qualifié de fissuration complète .
L’expérience montre qu’il y a davantage de fissures distantes de 2.sr0 que de
fissures distantes de sr0 et que la distance moyenne entre deux fissures est de
l’ordre de srmoy ≈ 1, 8.sr 0.
La contrainte moyenne des aciers correspond à la contrainte à l’abscisse :
x0 =
s rmoy
4
= 0, 45.sr 0.
Un tel développement de la fissuration ne s’observe que si l’effort de traction est
suffisant pour provoquer la fissuration du béton par traction. C’est-à-dire si :
A s .σ s1 ≥ A c .fct
⇒ ρ=
As
f
≥ ct
A c σ s1
avec :
A s = section des aciers du tirant,
A c = section du béton du tirant,
F
σ s1 =
= contrainte de l’armature,
As
fct = résistance à la traction du béton.
Si une fissure apparaît alors que cette condition n’est pas remplie, elle ne peut
être qu’accidentelle (reprises de bétonnage, effets thermohygrométriques par
exemple). Dans ce cas, on se trouve dans un état de fissuration non systématique, les barres se comportent comme si elles étaient scellées entre deux blocs
de béton.
4.2
Principe du calcul
4.2.1
Ouverture moyenne des fissures
Les sections d’un élément tendu ou fléchi n’étant pas toutes fissurées, la
présence de zones non fissurées d’une certaine longueur rend le comportement
de l’élément considéré discontinu.
Nous sommes donc conduits à nous référer à des valeurs moyennes.
En désignant par :
srm = distance moyenne finale entre fissures,
εsm = allongement unitaire moyen de l’armature seule sur la distance srm,
ε cm = allongement unitaire moyen du béton sur cette même distance,
l’allongement unitaire moyen de l’armature par rapport à celui du béton
adjacent vaut :
169
170
εsm , r = εsm − ε cm
[14.5]
L’ouverture moyenne w m des fissures est égale à l’allongement que subit
l’armature par rapport au béton sur la distance srm :
w m = srm .εsm , r = srm [ εsm − ε cm ]
[14.6]
Du point de vue pratique, seule la distance srm est directement mesurable.
4.2.2
Distance moyenne srm entre fissures
Les résultats des essais concernant la distance moyenne srm entre fissures
montrent une grande dispersion dus aux paramètres affectant cette longueur :
• diamètre φ des barres ;
• enrobage c des armatures ;
• pourcentage d’armatures ρr généralement rapporté à une section d’enrobage ;
• espacement a entre axes des barres ;
• etc.
4.2.3
Allongement relatif de l’armature par rapport au béton
On désigne par :
σ s2 = contrainte de l’armature dans une section fissurée sous la combinaison
d’actions considérée,
σ sr = contrainte de l’armature au moment où le béton se fissure (calcul en
section fissurée soumise au moment de fissuration correspondant à
l’atteinte de la contrainte fct pour le béton tendu de la section non
fissurée),
εs1 = déformation relative de l’armature dans l’état I (section homogène non
fissurée),
εs2 = déformation relative de l’armature dans l’état II nu en négligeant la
contribution du béton tendu entre les fissures (section homogène fissurée),
εs1r et εs 2 r = déformations relatives de l’armature correspondant à la
contrainte σ sr dans les états I et II nu respectivement.
Dans l’exemple du tirant, l’effort de traction qui provoque la fissuration du
béton est donné par la formule :
Fr = A c .fct + A s .σ s1
Comme, par adhérence :
ε c = εs1 ⇒
fct σ s1
=
E c Es
⇒ σ s1 =
Es
fct = α e .fct
Ec
État limite de service de maîtrise de la fissuration
il vient :
Fr = ( A c + α e .A s ) fct
[14.7]
avec :
Es
= coefficient d’équivalence.
Ec
αe =
Il lui correspond, après apparition de la première fissure, dans l’acier tendu, une
contrainte qui a pour valeur :
⎞
Fr ⎛ A c
=⎜
+ α e ⎟ fct
As ⎝ As
⎠
σ sr =
[14.8]
Pour une force de traction F > Fr , l’allongement du tirant vaut Δl et la déformation relative moyenne de l’armature vaut :
Δ
ε sm = ------- = ε s2 – Δε s
avec :
εs1 < εsm < εs 2
Δεs = contribution du béton tendu entre les fissures.
La représentation graphique de l’état de déformation, dans le repère ( εs , σ s ) est
donc le suivant :
• tant que le tirant n’est pas fissuré (état I avec σ s ≤ σ sr), le point représentatif
décrit la droite εs1 passant par l’origine ;
• lorsque le tirant est entièrement fissuré (état II nu, fissuration complète), le
point représentatif décrit la droite εs2 de pente E s passant par l’origine ;
• entre ces deux états, le point représentatif décrit une courbe admettant pour
asymptote la droite εs2 de pente E s passant par l’origine.
σs
εs1
Δεs
εs2
Δεs max
σs2
« Acier nu »
σsr
Arctg Es
εs1r
εs1
εs2r
εsm εs2
εs
171
172
Dans l’état intermédiaire entre les états I et II nu, la contrainte dans les
armatures vaut σ s2 et la déformation relative εsm = εs 2 − Δεs. Le point représentatif de la déformation des armatures est décalé vers l’origine de Δεs sur
l’horizontale d’ordonnée σ s2 par rapport à la droite de Hooke.
On peut admettre (simplification plausible) que pour σ s > σ sr (ou F > Fr ) la
courbe représentant la variation de εsm en fonction de σ s2 est un arc d’hyperbole
asymptote à la droite représentant la variation de σ s2 pour l’acier nu.
Cet arc d’hyperbole est défini par :
Δεs = Δεs max
σ sr
σs2
(il suffit de remarquer que : σ s 2 = σ sr
⇒ Δεs = Δεs max et lim Δεs = 0)
σs 2 → On en déduit :
εsm = εs 2 − Δεs = εs 2 − ( εs 2 r − εs1r )
εsm = εs 2 − εs 2 r
σ sr
σs2
σ sr
σ
+ εs1r sr
σs2
σs2
[14.9]
Comme, d’après les relations entre triangles semblables, on a :
εs1r
ε
= s1
σ sr σ s 2
⇒ εs1r = εs1
εs 2 r εs 2
=
σ sr σ s 2
⇒ εs 2r = εs 2
σ sr
σs2
[14.10]
σ sr
σs2
[14.11]
on obtient, en fonction de εs1 et εs2 :
2
⎛σ ⎞
⎛σ ⎞
εsm = εs 2 − εs 2 ⎜ sr ⎟ + εs1 ⎜ sr ⎟
⎝ σs2 ⎠
⎝ σs2 ⎠
εsm
2
2
⎡ ⎛ σ ⎞2⎤
⎛ σ sr ⎞
sr
⎢
⎥
= εs 2 1 − ⎜
⎟ + εs1 ⎜⎝ σ ⎟⎠
⎢⎣ ⎝ σ s 2 ⎠ ⎥⎦
s2
2
⎛σ ⎞
En posant : ξ = 1 − ⎜ sr ⎟ ≤ 1, l’expression précédente s’écrit :
⎝ σs2 ⎠
εsm = (1 − ξ ) .εs1 + ξ.εs 2
[14.12]
État limite de service de maîtrise de la fissuration
Établie dans le cas d’un tirant, donc de la traction pure, cette expression
demeure valable pour la flexion si l’on considère que la zone tendue de la poutre
est assimilable à un tirant de section A c, eff.
σ sr résulte de l’équilibre des forces au moment où le « tirant » de section A c, eff
se fissure et où l’effort équilibré par la section homogène est transmis à l’acier :
)
(
A s .σ sr = A c, eff + α e .A s fctm
En posant :
ρp, eff =
As
A c, eff
[14.13]
il vient :
(
)
(
)
ρp, eff .σ sr = 1 + α e .ρp, eff fctm
d’où :
σ sr =
fctm
1 + α e .ρp, eff .
ρp, eff
[14.14]
Pour déterminer la différence εsm − ε cm à utiliser pour le calcul de l’ouverture
des fissures, en ne prenant pas en compte le coefficient ξ et en considérant que
l’allongement unitaire moyen du béton est proportionnel à εsr = εs 2 r ,
l’eurocode 2 donne la formule :
εsm − ε cm = εs 2 − k t .εsr =
1
( σ s2 − k t .σ sr )
Es
avec :
k t = coefficient empirique permettant une évaluation de la déformation
moyenne sur la distance maximale entre fissures en fonction de la durée du
chargement.
D’où :
σs2 − k t
εsm − ε cm =
(
fctm
1 + α e .ρp, eff
ρp, eff
)
Es
Comme la contribution du béton tendu est donnée par :
Δεs = εs 2 − εsm (voir figure précédente),
Δεs = ε cm = k t .εsr (formule règlementaire de l’EC 2),
[14.15]
173
174
cela revient à substituer à la variation hyperbolique de la figure précédente une
variation linéaire :
σs
εs1
Δεs = kt ⋅ εsr
εs2
σs2
« Acier nu »
σsr
Arctg Es
εs1r
εs2r
εsm
εs2
4.3
Espacement maximal des fissures sr, max
4.3.1
Armatures tendues avec faible espacement
εs
φ
Lorsque a + φ ≤ 5 ⎛ c + ⎞ (voir figure du § 2, chapitre 4 : « Dispositions
⎝
2⎠
constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles),
l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression16 :
sr , max = k 3 .c + k1 .k 2 .k 4
φ
ρp, eff
(mm)
[14.16] (7.11)
avec :
φ = diamètre de la barre ou diamètre équivalent des barres en mm :
⎧φ : barre isolée
⎪
φ=⎨
n1 .φ12 + n 2 .φ22
⎪φeq = n .φ + n .φ : n1 + n 2 barres
⎩
1 1
2 2
c = enrobage des armatures longitudinales,
16. EC 2 – 7.3.4 (3)
(7.12)
État limite de service de maîtrise de la fissuration
⎧ 0, 8 : barres HA,
k1 = ⎨
= facteur caractérisant l’adhérence des armatures,
⎩1, 6 : ronds lisses
k 2 = coefficient tenant compte de la distribution des déformations :
⎧ 0, 5 : flexion,
⎪
⎪ ε + ε2
k2 = ⎨ 1
: flexion + traction avec section entièrement tendue ,
⎪ 2.ε1
⎪1 : traction simple ( ε = ε ) .
1
2
⎩
(7.13)
ε2
pour la section fissurée,
ε1(≥ ε2)
k 3 = 3,4 valeur recommandée17,
⎧3, 4 si c ≤ 25 mm,
⎪
2
k3 = ⎨
pour l’Annexe nationale française,
25 mm ⎞ 3
⎛
sinon
⎪3, 4 ⎝
c ⎠
⎩
k 4 = 0,425 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française18,
ρp, eff =
4.3.2
As
pour la section effective de béton définie au § 4.4.
A c, eff
Armatures tendues avec espacement important
φ
Lorsque a + φ > 5 ⎛ c + ⎞ (voir figure du § 2, chapitre 4 : « Dispositions
⎝
2⎠
constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles),
l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression19 :
sr, max = 1, 3 ( h − x )
17. EC 2 – voir AN
18. EC 2 – voir AN
19. EC 2 – 7.3.4 (3)
[14.17] (7.14)
175
176
L’Annexe nationale française stipule que cette valeur n’est à retenir que si elle
est supérieure à celle obtenue par la formule [14.16]20.
4.3.3
Éléments armés dans deux directions orthogonales
Lorsque l’angle entre les directions des contraintes principales et les directions
des armatures est significatif (> 15˚), l’espacement maximal des fissures est
donné par l’expression21 :
sr , max =
1
cos θ
sr , max,
+
y
sin θ
[14.18] (7.15)
sr , max, z
avec :
θ = angle entre les armatures dans la direction y et la direction de la contrainte
principale de traction,
sr , max,
4.4
y
et sr , max, z = espacements des fissures calculés respectivement dans les
directions y et z pour les valeurs de sr, max choisies
suivant le cas comme indiqué aux § 4.3.1 ou 4.3.2.
Ouverture calculée des fissures
L’ouverture calculée des fissures (différente de l’ouverture réelle des fissures)
est obtenue par la formule22 :
w k = sr , max ( εsm − ε cm )
[14.19] (7.8)
avec :
wk =
ouverture calculée des fissures,
sr, max = espacement maximal des fissures calculé au § 4.3 ci-dessus,
20.
21.
22.
23.
ε cm =
allongement unitaire moyen du béton sur cette même distance,
εsm =
déformation moyenne de l’armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, incluant l’effet des déformations
imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu. Seul
est pris en compte l’allongement relatif au-delà de l’état correspondant
à l’absence de déformation du béton au même niveau23 :
EC 2 – voir AN
EC 2 – 7.3.4 (4)
EC 2 – 7.3.4 (1)
EC 2 – 7.3.4 (2)
État limite de service de maîtrise de la fissuration
σs − k t
εsm − ε cm =
fct , eff
ρp, eff
(1 + α e .ρp, eff )
Es
≥ 0,, 6
σs
Es
[14.20] (7.9)
où :
σ s = contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la
section fissurée,
αe =
Es
= coefficient d’équivalence acier/béton,
E cm
ρp, eff =
A s − ξ 21 .A 'p
A c, eff
=
As
en béton armé ( A 'p = 0),
A c, eff
(7.10)
⎧ 0, 6 : chargement de courte durée,
kt = ⎨
nt de longue durée,
⎩ 0, 4 : chargemen
A c , eff = aire de la section effective de béton autour des armatures tendues (de
hauteur h c, ef, grisée sur les figures ci-après) :
x
ε2 = 0
h d
hc, ef
ε1
Poutre
x
h
ε2 = 0
d
hc, ef
ε1
Dalle
ε2
hc, ef
h
d
d
hc, ef
Élément sollicité en traction
ε1
177
178
dans tous les cas :
h c , ef
4.5
⎧
⎪ 2, 5 ( h − d )
⎪
⎪h − x
= Min ⎨
⎪ 3
⎪h
⎪2
⎩
avec x correspondant à σ s
Vérification
Il faut s’assurer que24 :
w k ≤ w max
Cette méthode est également recommandée pour les ponts25 :
5.
Contrôle de la fissuration sans calcul direct
5.1
Cas des dalles de bâtiment
Aucune disposition particulière n’est nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque26 :
• l’épaisseur totale de la dalle est telle que : h ≤ 200 mm ;
• les dispositions constructives de la dalle sont vérifiées (voir § 5.5, chapitre 1 :
« Analyse structurale »).
5.2
Autres cas
Les méthodes décrites ci-après, s’appliquent aussi bien aux ponts, qu’aux
bâtiments27.
Les largeurs de fissures ne sont en général pas considérées comme excessives
( w k ≤ w max) si28 :
1/ le pourcentage minimal d’armatures du § 3 est vérifié ;
24.
25.
26.
27.
28.
EC 2 – 7.3.1 (5)
EC 2 – 7.3.4 (101)
EC 2 – 7.3.3 (1)
EC 2 – 7.3.3 (101)
EC 2 – 7.3.3 (2)
État limite de service de maîtrise de la fissuration
2/ les diamètres et espacements des barres respectent des valeurs limites suivant que la fissuration est due principalement :
– aux déformations gênées, ce qui limite le diamètre des armatures (voir
§ 5.2.1) ;
– ou aux charges, ce qui limite l’espacement des barres (voir § 5.2.2) ou le
diamètre des armatures (voir § 5.2.1).
Dans la pratique, on a toujours les deux origines de fissuration.
5.2.1
Fissuration due principalement aux déformations gênées
Le diamètre maximal des armatures est déterminé en fonction29 :
• de la contrainte des armatures tendues (calculée pour la section homogène
fissurée à l’ELS) ;
• de l’ouverture maximale des fissures.
Diamètre maximal des barres
q*s(mm)
Contrainte de l’acier
σ s (MPa)
w k = 0, 4 mm
w k = 0, 3 mm
w k = 0, 2 mm
160
200
240
280
320
360
400
450
40
32
20
16
12
10
8
6
32
25
16
12
10
8
6
5
25
16
12
8
6
5
4
–
La méthode est la suivante :
1/ déterminer la sollicitation immédiatement après fissuration dans la section
homogène non fissurée lorsque la contrainte maximale de traction du béton
vaut fctm ;
2/ en déduire la hauteur h cr de la zone tendue de la section ;
3/ calculer, dans la section homogène fissurée, la contrainte σ s de l’acier à
l’ELS sous charges quasi permanentes ;
4/ tirer du tableau ci-dessus, par interpolation linéaire si nécessaire, le diamètre
maximal φ*s correspondant à la contrainte σs obtenue à l’étape précédente ;
5/ corriger le diamètre maximal obtenu à l’étape précédente :
⎧ *
⎪ φs
⎪
φs = ⎨
⎪φ*
⎪⎩ s
29. EC 2 – 7.3.3 (2)
fct , eff
2, 9
fct , eff
.
k c .h cr
: section non entiièrement tendue,
8 (h − d)
h cr
.
: section entièrement tendue.
2, 9 8(h − d)
[14.21] (6.6N & 7.7N)
179
180
où :
φs = diamètre maximal modifié de la barre,
φ*s = diamètre maximal de la barre, tiré du tableau ci-dessus,
k c = coefficient prenant en compte la nature de la distribution des
contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration donné
au § 3.1,
h = hauteur totale de la section,
h cr = hauteur de la zone tendue, juste avant fissuration,
d = hauteur utile du lit extérieur d’armatures,
6/ vérifier que :
φréel ≤ φs
avec : φréel = diamètre maximal des armatures utilisées ;
7/ vérifier que la section minimale d’armatures du § 3 est respectée en prenant
la valeur de σ s trouvée à l’étape 3, au lieu de fyk .
5.2.2
Fissuration due principalement aux charges
L’espacement ou le diamètre maximal des armatures sont déterminés en
fonction30 :
• de la contrainte des armatures tendues ;
• de l’ouverture maximale des fissures.
Même méthode qu’au § 5.2.1 en utilisant :
• soit le tableau du diamètre maximal des armatures ;
• soit le tableau des espacements maximaux ci-dessous :
Contrainte de l’acier
Espacement maximal des barres (mm)
σ s (MPa)
w k = 0, 4 mm
w k = 0, 3 mm
w k = 0, 2 mm
160
200
240
280
320
360
300
300
250
200
150
100
300
250
200
150
100
50
200
150
100
50
–
–
30. EC 2 – 7.3.3 (2)
État limite de service de maîtrise de la fissuration
6.
Armatures de peau
6.1
Domaine d’application
Poutres de grande hauteur (h ≥ 1, 00 m).
Armatures tendues concentrées sur une petite portion de la hauteur31.
6.2
Armatures de peau supplémentaires
En plus des armatures de peau (voir § 10, chapitre 4 : « Dispositions
constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), il faut
prévoir, sur chaque face de la section, une section d’armatures de peau supplémentaires régulièrement disposées entre l’axe neutre et les aciers tendus, à
l’intérieur de cadres, telle que :
x1
As, min
(∅)
bw
A s, min = k c .k.fct , eff .
A ct
σs
[14.22]
(7.1)
avec les paramètres du § 3.1 modifiés comme suit :
k = 0,5,
σ s = fyk.
Le diamètre et l’espacement des armatures de peau sont choisis comme indiqué
aux § 5.2.1 et 5.2.2 :
• avec σ s égal à la moitié de la contrainte des aciers tendus ;
• et en se plaçant dans le cas d’une traction simple (voir § 5.2.1, étape 5 pour le
calcul de φs ).
31. EC 2 – 7.3.3 (3)
181
182
II.
APPLICATION
Application : section rectangulaire – Maîtrise
de la fissuration
–Énoncé–
On considère la section droite
rectangulaire figurée ci-contre.
d = 60 cm
h = 65 cm
Classe structurale : S4
Classe d’exposition : XC2
Granulats : d g = 25 mm
4 ∅ 20 HA
bw = 24 cm
Moment
de
service :
Matériaux :
• acier : S 500 B ;
• béton : fck = 30 MPa.
Mser = 160 mkN,
charges
de
longue
durée
(ϕ = ϕ ( , t 0 ) = 2).
γ=
M Ed
= 1, 45.
Mser
Enrobage nominal : c nom = 35 mm.
Ouverture maximale calculée des fissures : w max = 0,3 mm.
On se propose :
1/ de vérifier que la section équilibre bien le moment appliqué ;
2/ de déterminer la contrainte dans les armatures :
– dans le cas où la section n’est pas fissurée (béton tendu pris en compte) ;
– dans le cas où la section est fissurée (béton tendu négligé) ;
3/ d’effectuer le contrôle de la fissuration sans calcul direct ;
4/ de déterminer l’ouverture calculée des fissures.
–Corrigé–
1. Vérifications
1.1 Conditions d’enrobage
Voir application n˚ 1, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de
l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles.
État limite de service de maîtrise de la fissuration
Enrobage nominal :
c nom = 35 mm.
1.2 Vérification de la résistance de la section
• Caractéristiques des matériaux :
⎧ λ = 0, 8
fck = 30 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η = 1
⎧ λ,
fck >< 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η
fcu = η.α cc
fyd =
fck
γc
fcu = 1.1
fyk
fyd =
γs
30
= 20 MPa
1, 5
500
= 435 MPa
1, 15
• Position de l’axe neutre :
en écrivant l’égalité des forces dans la section, il vient :
Fc = λ.bw .x u .fcu
Fs = A s1, u .fyd
Fs = Fc
⇒ A s1, u .fyd = λ.bw .x u .fcu
⇒ xu =
xu =
A s1, u .fyd
λ.bw .fcu
4.3, 14.10 −4.435
= 0,142 m
0, 8.0, 24.20
• Moment ultime équilibré par la section :
zc = d −
λ
xu
2
MRd = A s1, u .fyd .z c
z c = 0, 60 −
0, 8
0, 142 = 0,543 m
2
MRd = 4.3, 14.10 −4.435.0, 543 = 0,297 mMN
• Vérification :
γ=
M Ed
Mser
⇒ M Ed = γ .Mser
MRd >< M Ed
MEd = 1, 45.0, 160 = 0,232 mMN
MRd = 0, 297 mMN > 0, 232 mMN = MEd O.K.
183
184
2. Contrainte des aciers tendus
2.1 Section non fissurée immédiatement avant fissuration
2.1.1 Caractéristiques des matériaux
fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]
2
3
2
fctm = 0, 3 [ 30 ]
3
= 2,9 MPa
Es
Es = 2.105 MPa
fcm = fck + 8 MPa
fcm = 30 + 8 = 38 MPa
⎡f ⎤
E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥
⎣ 10 ⎦
E c, eff =
0,3
(MPa)
38
E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 10 ⎦
0,3
= 32 837 MPa
E cm ( t )
1 + ϕ ( , t 0 )
• Charges de courte durée d’application :
αe =
Es
E c, eff
ϕ = 0 ⇒ αe =
Es
2.105
=
= 6, 09
E cm 32 837
⇒ αe = 6
• Charges de longue durée d’application :
αe =
Es
E c, eff
ϕ = 2 ⇒ αe =
Es
2.105
=
3 = 18, 27
E cm
32 837
1+ ϕ
⇒ α e = 18
2.1.2 Paramètres
A s1 = 4.3, 14.10 −4 = 12, 56 cm 2
ρ=
A s1
bw .d
ρ=
12, 56
= 0, 0087
24.60
η=
h
d
η=
65
= 1, 083
60
État limite de service de maîtrise de la fissuration
2.1.3 Hauteur de l’axe neutre
(voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles, les valeurs numériques correspondant au cas des charges de
longue durée d’application figurent, entre parenthèses, dans les formules) :
⎫
bw .h 2
bw .h 2
+ α e .A s1 .d ⎪
+ α e .A s1 .d
⎪
x = v' = 2
⇒ x = v' = 2
⎬
A ch
bw .h + α e .A s1
⎪
⎪⎭
A ch = bw .h + α e .A s1
⎛ h2
A s1 ⎞ η2
bw .d 2 ⎜
2 + αe
+ α e .ρ
bw .d ⎟⎠
⎝ 2.d
= 2
d
x=
η + α e .ρ
⎛h
A s1 ⎞
bw .d ⎜ + α e
bw .d ⎟⎠
⎝d
1, 0832 (18)
+ 6 .0, 0087
( 35, 97 )
2
x=
60 = 33, 75 cm
1, 083 + 6 .0, 0087
(18 )
2.1.4 Moment d’inertie de la section droite homogène par rapport
à l’axe neutre
(voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles)
A ch = bw .h + α e .A s1
I ch =
(18 )
( 0 ,1786 )
A ch = 0, 24.0, 65 + 6 .12, 56.10 −4 = 0, 1635 m 2
bw .h3
+ α e .A s1 .d 2 − A ch .x 2
3
( 0,1786.0,35972 )
I ch
0, 24.0, 653 (18)
=
+ 6 .12, 56.10 −4.0, 60 2 − 0, 1635.0, 33752
3
( 0 , 00700 )
I ch = 0, 00606 m 4
2.1.5 Moment fléchissant provoquant l’apparition de la première fissure
fctm =
Mcr ( h − x )
I
⇒ M cr = ch fctm
I ch
h−x
( 0 , 00700 )
( 0 , 0699 )
0, 00606
Mcr =
2, 9 = 0, 0562 mMN
0, 65 − 0, 3375
( 0 , 3597 )
185
186
Remarque
Plus rapidement, en négligeant les armatures, nous avons :
Mcr =
bw .h2
f
6 ctm
Mcr =
0, 24.0, 652
2, 9 = 0,049 mMN
6
2.1.6 Contrainte de l’acier au moment de la fissuration
σ sr = α e
Mcr ( d − x )
I ch
( 0 , 0699 ) ⎛
( 0 , 3597 ) ⎞
0, 0562 ⎜ 0, 60 − 0, 3375⎟ ( 43, 2)
⎠
⎝
= 14, 6 MPa
σ sr = 6
0, 00606
(18 )
( 0 , 00700 )
2.2 Section fissurée sous chargement appliqué
2.2.1 Paramètres
A s1 = 4.3, 14 = 12, 56 cm 2
ρ=
A s1
bw .d
ρ=
12, 56
= 0, 0087
24.60
η=
h
d
η=
65
= 1, 083
60
2.2.2 Hauteur de l’axe neutre
(voir § 8.3.2.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2,
J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques correspondant au cas des
charges de courte durée d’application figurent, entre parenthèses, dans les
formules) :
bw .x12
+ α e .A s1 .x1 − α e .A s1 .d = 0
2
⇒ Δ = α 2e .A s21 + 2.bw α e .A s1 .d
⇒ x1 =
−α e .A s1 + α 2e .A s21 + 2.bw α e .A s1 .d
(racine positive)
bw
⇒ x1 =
⎡
⎤
α e .A s1 ⎡
bw .d ⎤
2
− 1⎥
⎢ −1 + 1 + 2.
⎥ = α e .ρ.d ⎢ 1 +
α e .ρ ⎦
bw ⎣
α e .A s1 ⎦
⎣
État limite de service de maîtrise de la fissuration
⎡
⎤ ( 0 ,165)
2
⎢
⎥
x1 = 18 .0, 0087.0, 60 1 +
− 1 = 0, 255 m
⎢
⎥
18 .0, 0087
(6)
⎢⎣
⎥⎦
(6)
2.2.3 Contrainte dans les armatures à l’ELS
Bras de levier des forces élastiques :
( 0 ,165)
0, 255 ( 0 ,545)
z c = 0, 60 −
= 0, 515 m
3
x
zc = d − 1
3
Contrainte de l’acier :
Mser = A s1 .z c .σ s 2
⇒ σs2 =
( 234 )
Mser
0, 160
σ s2 =
= 247 MPaa
−4
A s1 .z c
12, 56.10 . 0, 515
( 0 , 545)
Remarque
En prenant une valeur forfaitaire du bras de levier, on trouve plus rapidement :
z c = 0, 9.d
σ s2 =
z c = 0, 9.0, 60 = 0,54 m
Mser
A s1.z c
σ s2 =
0,160
= 236 MPa
12, 56.10 −4.0, 54
2.3 Conclusion
La contrainte des aciers tendus sous charges de longue durée est toujours plus
élevée que celle obtenue sous charges instantanées. C’est par conséquent sous
l’effet des charges de longue durée que nous effectuerons le contrôle de la fissuration (voir σ s maximal conduit au diamètre et à l’espacement minimaux dans
les tableaux des § 5.2.1 et 5.2.2 des rappels théoriques).
3. Contrôle de la fissuration sans calcul direct
3.1 Diamètre maximal des armatures
L’ouverture maximale des fissures vaut : w k = w max = 0,3 mm.
1/ Sollicitation immédiatement après fissuration (section homogène non
fissurée) :
Mcr =
I ch
fctm
h−x
Mcr = 0,0699 mMN (voir § 2.1.5 pour α e = 18)
2/ Hauteur de la zone tendue correspondante dans la section droite :
h cr = h − x
h cr = 65 − 35, 97 = 29, 03 cm (voir § 2.1.3 pour α e = 18)
187
188
3/ Contrainte des armatures, à l’ELS, sous charges quasi permanentes (section
homogène fissurée) :
σ s = σ s 2 = 247 MPa (voir § 2.2.3 pour
α e = 18)
4/ Diamètre maximal φ*s correspondant à la contrainte σ s obtenue à l’étape
précédente :
le tableau du § 5.2.1 des rappels théoriques donne :
σ s = 240 MPa ⎫
*
⎬ ⇒ φs = 16 mm
w k = 0, 3 mm ⎭
σ s = 280 MPa ⎫
*
⎬ ⇒ φs = 12 mm
w k = 0, 3 mm ⎭
5/ Diamètre maximal φ*s corrigé (section rectangulaire non entièrement
tendue) :
φs = φ*s
fct , eff
2, 9
.
k c .h cr
8 (h − d)
N Ed = 0 MN (flexion simple)
N Ed
σc =
N Ed
b.h
σc =
N Ed
=0
b.h
⎡
⎤
⎢
⎥
σc
k c = 0, 4 ⎢1 −
⎥ ≤1
h
⎢ k1 * fct , eff ⎥
⎣
⎦
h
k c = 0, 4 (section rectangulaire
sollicitée en flexion simple)
fct , eff = fctm
fct , eff = fctm = 2,9 MPa
Pour σ s = 240 MPa :
φs = 16
2, 9 0, 4.0, 2903
.
= 4, 64 mm
2, 9 8 ( 0, 65 − 0, 60 )
φs = 12
2, 9 0, 4.0, 2903
.
= 3, 48 mm
2, 9 8 ( 0, 65 − 0, 60 )
Pour σ s = 280 MPa :
État limite de service de maîtrise de la fissuration
D’où pour σ s = 247 MPa :
φs = 4, 64 −
4, 64 − 3, 48
7 = 4, 44 mm
280 − 240
6/ Vérification :
φréel >< φs
φréel = 20 mm </ 4, 44 mm = φs
⇒
Condition non vérifiée.
La condition sur le diamètre maximal des armatures n’étant pas vérifiée et la
fissuration étant due aux charges, on peut vérifier l’espacement maximal des
armatures (au lieu de leur diamètre maximal).
3.2 Espacement maximal des armatures
L’ouverture maximale des fissures vaut : w k = w max = 0,3 mm.
La contrainte des armatures vaut (voir § 2.2.3) :
σ s = σ s 2 = 247 MPa sous charges de
longue durée d’application dans la
section de béton fissurée.
Le tableau du § 5.2.2 des rappels théoriques donne :
σ s = 240 MPa ⎫
⎬ ⇒ a = 200 mm
w k = 0, 3 mm ⎭
σ s = 280 MPa ⎫
⎬ ⇒ a = 150 mm
w k = 0, 3 mm ⎭
σ s = 247 MPa ⎫
200 − 150
7 = 191 mm
⎬ ⇒ a = 200 −
w k = 0, 3 mm ⎭
280 − 240
L’espacement réel des armatures vaut :
cnom
a
∅
a
∅
∅
bw
cnom
a
∅
189
190
a réel =
bw − 2.c nom − 4.φ
3
a réel =
240 − 2.35 − 4.20
= 30 mm
3
Vérification :
a réel >< a
a réel = 30 mm < 191 mm = a O.K.
⇒ Comme l’une ou l’autre des
conditions (diamètre ou espacement)
doit être vérifiée, le contrôle de la fissuration sans calcul direct est assuré.
3.3 Section minimale d’armatures
N Ed = 0 MN (flexion simple)
N Ed
σc =
N Ed
b.h
σc =
N Ed
=0
b.h
pour une section rectangulaire sollicitée en flexion simple :
⎡
⎤
⎢
⎥
σc
k c = 0, 4 ⎢1 −
⎥ ≤1
h
⎢ k1 * fct , eff ⎥
⎣
⎦
h
k c = 0, 4
⎧300 mm
⎪
h >< ⎨ et
⇒ k
⎪800 mm
⎩
15
= 0, 76
50
800 mm > h = 650 mm > 300 mm
⇒ k = 0, 65 + 0, 35
fct , eff = fctm
fct , eff = fctm = 2,9 MPa
σs
σ s = 247 MPa (maîtrise de la fissuration
sans calcul direct, voir § 3.1, étape 3, ou
§ 2.2.3),
A ct =
bw .h
2
A s, min = k c .k.fct , eff .
A s1 >< A s, min
A ct =
A ct
σs
0, 24.0, 65
= 0, 078 m 2 (voir remarque ci-après)
2
A s, min = 0, 4.0, 76.2, 9.
0, 078 4
10 = 2, 78 cm 2
247
A s1 = 12, 56 cm 2 > A s, min = 2, 78 cm 2 O.K.
État limite de service de maîtrise de la fissuration
Remarque
Compte tenu de la section d’aciers tendus en place dans la section, l’aire
minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est
obtenue en considérant la section droite homogène non fissurée (avec α e = 18
correspondant à la contrainte σ s prise en compte) :
A ct = bw (h − x )
A ct = 0, 24 ( 0, 65 − 0, 3597) = 0, 070 m2 < 0, 078 m2
D’où le fait de négliger les aciers tendus préexistants va dans le sens de la
sécurité.
4. Calcul de l’ouverture des fissures
Bien que la fissuration soit contrôlée sans calcul de l’ouverture des fissures (voir
§ 3), nous calculerons ci-après l’ouverture des fissures.
4.1 Espacement final maximal entre fissures
• Espacement latéral entre axes des armatures :
φ
a + φ >< 5 ⎛ c + ⎞
⎝
2⎠
avec c = c nom = 35 mm
20
a + φ = 30 + 20 = 50 mm < 225 mm = 5 ⎛ 35 + ⎞
⎝
2⎠
• Espacement maximal entre fissures :
sr , max = k 3 .c + k1 .k 2 .k 4
φ
ρp, eff
⎧φ : barre isolée
⎪
barres de même diamètre : φ = 20 mm
φ=⎨
n1 .φ12 + n 2 .φ22
φ
=
: n1 + n 2 barres
eq
⎪
n1 .φ1 + n 2 .φ2
⎩
⎧ 0, 8 : barres HA,
k1 = ⎨
⎩1, 6 : ronds lisses.
barres HA ⇒ k1 = 0, 8
⎧ 0, 5 : flexion,
⎪
⎪ ε + ε2
k2 = ⎨ 1
: flexion + traction avec section entièrement tendue ,
⎪ 2.ε1
⎪1 : traction simple ( ε = ε ) .
1
2
⎩
flexion simple ⇒ k 2 = 0, 5
191
192
h c , ef
⎧
⎪ 2, 5 ( h − d )
⎪
⎪h − x
= Min ⎨
⎪ 3
⎪h
⎪2
⎩
x
ε2 = 0
h d
hc, ef
ε1
Poutre
x correspondant à σ s
x = x1 = 0,255 m pour σ s = 247 MPa à
l’ELS (voir § 2.2.3 et 2.2.2, section
homogène fissurée avec α e = 18)
h c , ef
⎧
⎪ 2, 5 ( 650 − 600 ) = 125 mm
⎪
⎪ h − x 650 − 255
= 132 mm
= 125 mm = Min ⎨
=
3
⎪ 3
⎪ h 650
⎪ 2 = 2 = 325 mm
⎩
A c , eff = bw .h c, ef
A c , eff = 0, 24.0, 125 = 0, 0300 m 2
c = c nom
c = 35 mm
k 3 = 3, 4
⇒ k 3 = 3, 4
k 4 = 0, 425
⇒ k 4 = 0, 425
ρp, eff =
As
A c, eff
ρp, eff =
12, 56.10 −4
= 0, 0419
0, 0300
sr, max = 3, 4.35 + 0, 8.0, 5.0, 425
20
= 200 mm
0, 0419
• Pour l’Annexe nationale française :
⎧3, 4 si c ≤ 25 mm,
⎪
2
k3 = ⎨
25 mm ⎞ 3
⎛
sinon
⎪3, 4 ⎝
c ⎠
⎩
25
c = 35 mm ⇒ k 3 = 2, 72 = 3, 4 ⎛ ⎞
⎝ 35 ⎠
sr, max = 2, 72.35 + 0, 8.0, 5.0, 425
23
20
= 176 mm
0, 0419
État limite de service de maîtrise de la fissuration
4.2 Allongement relatif des aciers
σs − k t
εsm − ε cm =
fct , eff
ρp, eff
(1 + α e .ρp, eff )
Es
≥ 0,, 6
σs
Es
⎧ 0, 6 : chargement de courte durée,
kt = ⎨
nt de longue durée,
⎩ 0, 4 : chargemen
charges de longue durée
cation ⇒ k t = 0, 4
fct , eff = fctm
fct , eff = fctm = 2,9 MPa
σs = σs2
αe =
d’appli-
σ s = 247 MPa (voir § 2.2.3 avec α e = 18)
Es
α e = 18 (voir § 2.3)
E c, eff
εsm − ε cm =
247 − 0, 4
2, 9
(1 + 18.0, 0419 )
0, 0419
= 0, 99.10 −3
2.105
0, 99.10 −3 > 7, 41.10 −4 = 0, 6
247
O.K.
2.105
4.3 Ouverture calculée des fissures
w k = sr , max ( εsm − ε cm )
w k = 200.0, 99.10 −3 = 0, 198 mm
4.4 Vérification
w k ≤ w max
w k = 0, 198 mm < 0, 3 mm = w max O.K.
4.5 Section minimale d’armatures
N Ed = 0 MN (flexion simple)
N Ed
σc =
N Ed
b.h
σc =
N Ed
=0
b.h
193
194
pour une section rectangulaire sollicitée en flexion simple :
⎡
⎤
⎢
⎥
σc
k c = 0, 4 ⎢1 −
⎥ ≤1
h
⎢ k1 * fct , eff ⎥
⎣
⎦
h
k c = 0, 4
⎧300 mm
⎪
h >< ⎨ et
⇒ k
⎪800 mm
⎩
15
= 0, 76
50
800 mm > h = 650 mm > 300 mm
⇒ k = 0, 65 + 0, 35
fct , eff = fctm
fct , eff = fctm = 2,9 MPa
σ s = fyk
A ct =
σ s = fyk = 500 MPa (maîtrise de la fissuration avec calcul direct)
bw .h
2
A s, min = k c .k.fct , eff .
A ct =
A ct
σs
0, 24.0, 65
= 0, 078 m 2
2
A s, min = 0, 4.0, 76.2, 9.
A s1 >< A s, min
0, 078 4
10 = 1, 38 cm 2
500
A s1 = 12, 56 cm 2 > A s, min = 1, 38 cm 2 O.K.
Cette valeur est différente de celle établie dans le cas du contrôle de la fissuration sans calcul direct (voir § 3.3 avec σ s < fyk ).
Remarque
Compte tenu de la section d’aciers tendus en place dans la section, l’aire
minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est
obtenue en considérant la section droite homogène non fissurée (voir § 2.1.3
avec A ct maximum pour x minimum, soit pour α e = 6) :
A ct = bw (h − x )
A ct = 0, 24 ( 0, 65 − 0, 3375) = 0, 075 m2 < 0, 078 m2
D’où le fait de négliger les aciers tendus préexistants va dans le sens de la
sécurité.
4.6 Remarque
Bien que l’Eurocode 2 ne le demande pas, assurons-nous que la fissuration est
bien systématique, c’est-à-dire vérifions (voir § 4.2.3 des rappels théoriques,
formule [14.14] donnant σ sr) :
(
)
A s1 .σ s 2 ≥ A c , eff + α e .A s1 fctm,
État limite de service de maîtrise de la fissuration
soit en posant :
ρp, eff =
A s1
A c, eff
vérifions :
)
(
ρp, eff .σ s 2 ≥ 1 + α e .ρp, eff fctm
⇒ σs2 ≥
1 + α e .ρp, eff
ρp, eff
fctm
σ s2 ≥
1 + 18.0, 0419
2, 9 = 121 MPa
0, 0419
σ s2 = 247 MPa > 121 MPa O.K.
et la fissuration est bien systématique.
195
4
État limite de service
de déformation
I.
RAPPELS THÉORIQUES
1.
Généralités
1.1
Influence de la fissuration sur la flèche
Avant fissuration, le béton armé se comporte comme un matériau homogène.
Après fissuration, en négligeant le béton tendu, nous obtenons un matériau
hétérogène.
Les sollicitations provoquant la fissuration ( Mcr, N cr ) correspondent à l’atteinte
de la contrainte de traction limite sur la fibre de béton la plus tendue dans la
section homogène non fissurée (c’est-à-dire à l’apparition de la première
fissure). Cette contrainte limite a pour valeur1 :
⎧ fctm en général,
⎪
⎨ fctm , fl en l'absence de contraintes provoquées par le retrait ou les effets
⎪
thermiquues.
⎩
La flèche réelle − y − est, par conséquent, intermédiaire entre :
• la flèche y I correspondant à la condition non fissurée, état dans lequel l’acier
et le béton agissent ensemble de manière élastique en traction et en
compression ;
• la flèche y II associée à la condition entièrement fissurée, état dans lequel
l’influence du béton tendu est négligée.
y
Condition
entièrement fissurée
yII
0
1.
EC 2 – 7.4.3 (4)
Mcr
y
yllyI pour M ≤ Mcr
yllyII pour M > Mcr
Condition
non fissurée
yI
Charge
ou
moment
198
1.2
Influence de la durée d’application des charges
sur la déformée
Les déformations sous charges de longue durée d’application étant plus importantes que celles obtenues pour des charges de courte durée d’action, il faut
envisager deux courbes de déformation.
En tenant compte :
• de la nature du matériau (fissuré ou non) ;
• de la durée d’application des charges ;
nous avons :
y
Charges de longue durée
d'application
Charges de courte durée
d'application
Mcr
Section
homogène
Ac + αe. As
Charge
ou
Section homogène moment
fissurée
1.3
Influence de l’inertie
1.3.1
Rappels de résistance des matériaux
1.3.1.1 Travée isostatique uniformément chargée
2
p
B
A
p.
M 0 = ---------8
(EI)
l
2
p. 2
2
---------- 5 8
1 M 0 .
5.p.
f = ---------------- = ------ . ------------------ = ------- . --------------- ⇒
48 EI
9,6 EI
384.EI
4
2
1 M0 . f ≈ ----- . -------------10 EI
État limite de service de déformation
1.3.1.2 Travée isostatique soumise à l’action d’un couple sur appui
C
A
3 C.
27 EI
2
1 C.
16 EI
2
B f = ------- . ----------- ⇒ f = ------ . ----------(EI)
l
1.3.1.3 Travée continue uniformément chargée
Mi +1
Mi
M0
p
i
2
p.
M 0 = ---------8
i +1
(EI)
Mt
l
2
2
2
M 0 .
M i .
M i + 1 .
f = -------------- – ---------------- – ----------------------10.EI
16.EI
16.EI
2
5 Mi + Mi + 1
f = ------------- M 0 – --- . ------------------------------10.EI
4
2
or :
M t = M0 −
M i + M i +1
5 M + M i +1
> M0 − . i
2
4
2
d’où :
2
1 M t .
- (très peu inférieur à).
f ≈ ------ . ------------10 EI
1.3.2
Particularités du béton armé
En béton armé, l’inertie n’est pas constante le long des travées des poutres du
fait :
• des arrêts de barres et de la hauteur de la zone comprimée des sections
droites ;
• de la prise en compte ou non du béton tendu suivant que M < Mcr ou non.
Donc, les formules de la RdM ne sont pas directement applicables.
199
200
2.
Calcul des flèches à l’état limite de service
de déformation
2.1
Section entièrement comprimée
La détermination des flèches se fait par les méthodes classiques de la résistance
des matériaux (double intégration de l’équation différentielle
d2 y M ( x )
=
où
EI
dx 2
I = moment d’inertie de la section homogène non fissurée).
2.2
Section partiellement tendue
La flèche réelle (et donc la courbure) est intermédiaire entre :
• la flèche y II associée à la condition entièrement fissurée ;
• la flèche y I correspondant à la condition non fissurée.
2.2.1
Courbure dans l’état fissuré
2.2.1.1 Équation de la courbure
Pour deux sections droites (Σ1) et (Σ2) distantes de dξ et soumises à l’action
d’un moment fléchissant M :
0
dθ
εc. dξ
d
y
dθ
r
M
x1
M
dξ
z
x
(Σ2)
εs1. dξ
(Σ1)
As1
État limite de service de déformation
La section (Σ2) subit, vis-à-vis de la section (Σ1), une rotation dθ sous l’effet du
moment fléchissant M.
En désignant par r le rayon de courbure de la ligne moyenne, on a :
dξ = r.dθ
D’autre part, le diagramme des déformations de la section (Σ2) donne :
( ε + εs1 ) dξ
dθ = c
d
D’où :
dθ =
dξ ε c + εs1
=
dξ
r
d
Ce qui donne l’équation de la courbure :
1 ε c + εs1
=
r
d
Remarque
Les déformations s’écrivent en fonction du moment fléchissant de service :
M ser
---------- x 1
Ec ( t 0 )
σc
cf
M ser .x 1
ε c = ------------ = --------------- = -------------------- avec : Ec, eff =
E c, eff
E c, eff
E c, eff . cf
1 + ϕ ( , t0 )
ε s1
M ser
---------- ( d – x 1 )
σ s1
cf
M ser ( d – x 1 )
E
= ------- = -----------------------------= ----------------------------- avec : α e = s
Es
α e .E c, eff
E c, eff . cf
Ec, eff
d’où la courbure :
ε c + ε s1
M ser x 1 + ( d – x 1 )
1
--- = ----------------- = -------------------- . -------------------------------- ⇒
r
d
E c, eff . cf
d
ε +ε
M
1
y” = -- = ---c------------s1
--- = -----------ser
---------r
d
E c, eff . cf
[15.1]
2.2.1.2 Cas des sections rectangulaires
As 2
AN
d
d'
x1
AN
αe =
Es
Ec, eff
As1
bw
La position de l’axe neutre est fournie par l’équation des moments statiques
(voir § 8.3.2.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2,
J. Roux, Éditions Eyrolles) :
201
202
bw .x12
+ α e .A s 2 ( x1 − d ') − α e .A s1 ( d − x1 ) = 0
2
⇒ x1
En l’absence d’aciers comprimés, le bras de levier s’obtient par :
zc = d −
x1
3
[15.2]
D’où les contraintes :
⎫
⎪⎪
2.Mser
⎬ ⇒ σc =
bw .x1 .z c
1
Fc = bw .x1 .σ c ⎪
⎪
⎭
2
Mser
zc
Fc =
A s1 =
Mser
z c .σ s1
⇒ σ s1 =
Mser
A s1 .z c
[15.3]
[15.4]
Puis les déformations :
εc =
σc
E c, eff
εs1 =
avec : E c , eff =
Ec ( t0 )
1 + ϕ ( t, t 0 )
σ s1
Es
[15.5]
[15.6]
Et enfin la courbure :
y" =
1 ε c + εs1
=
r
d
Remarque
Que la section droite comporte ou non des aciers comprimés, la courbure peut
également être obtenue par la formule :
M ser
1
y” = --- = -------------------r
E c, eff . cf
[15.7]
avec :
Icf =
bw .x13
2
2
+ α e .A s2 ( x1 − d ') + α e .A s1 (d − x1 )
3
2.2.1.3 Cas des sections en T
La position de l’axe neutre est fournie par l’équation des moments statiques
(voir § 8.3.2.1, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2,
J. Roux, Éditions Eyrolles) :
État limite de service de déformation
beff
d'
hf
As2
h
d
AN
x1
AN
αe =
Es
Ec, eff
As1
bw
⎡
⎤
bw .x12
h2
+ ⎡⎣( beff − bw ) h f + α e ( A s1 + A s 2 )⎤⎦ x1 − ⎢( beff − bw ) f + α e ( A s1 .d + A s 2 .d ')⎥ = 0
2
2
⎣
⎦
⇒ x1
Si x1 ≤ h f on se ramène à une section rectangulaire de largeur beff et il suffit
d’appliquer la méthode du § 2.2.1.2 avec : bw = beff.
Si x1 > h f, on a une section en T :
• le moment d’inertie est obtenu par la formule :
( x − h f ) + α .A x − d ' 2 + α .A d − x 2
beff .x13
− ( beff − bw ) 1
)
e
s2 ( 1
e
s1 (
1)
3
3
3
I cf =
• la courbure est donnée par :
y" =
2.2.2
Mser
1
=
r E c, eff .I cf
[15.8]
Courbure dans l’état non fissuré
2.2.2.1 Équation de la courbure
y" =
Mser
1
=
r E c, eff .I ch
[15.9]
I ch = moment d’inertie de la section homogène non fissurée.
2.2.2.2 Cas des sections rectangulaires
Caractéristiques géométriques (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :
203
204
d'
As 2
AN
ν'
d
AN
αe =
h
Es
Ec, eff
ν
As1
bw
A ch = bw .h + α e ( A s1 + A s 2 )
bw .h 2
+ α e ( A s1 .d + A s 2 .d ')
v' = 2
A ch
I ch =
bw .h3
+ α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch .v '2
3
)
(
Courbure :
y" =
Mser
1
=
r E c, eff .I ch
[15.10]
2.2.2.3 Cas des sections en T
Caractéristiques géométriques (voir § 8.2.1 chapitre 7 : « Flexion simple »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :
beff
d'
As2
h
d
hf
ν'
AN
AN
As1
ν
bw
A ch = bw .h + ( beff − bw ) h f + α e ( A s1 + A s 2 )
2
bw .h 2 ( beff − bw ) h f
+
+ α e ( A s1 .d + A s 2 .d ')
2
v' = 2
A ch
αe =
Es
Ec, eff
État limite de service de déformation
I ch =
3
bw .h3 ( beff − bw ) h f
+
+ α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch .v '2
3
3
)
(
Courbure :
y" =
2.2.3
Mser
1
=
r E c, eff .I ch
[15.11]
Déformations
Pour chaque condition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la
flèche par double intégration de la courbure puisque :
d 2 y Mser 1
=
=
E.I
r
dx 2
avec I = I ch ou I cf selon le cas.
2.2.4
Méthode de la double intégration de la courbure
On obtient successivement par double intégration sur la portée de la poutre :
1/ à partir de la courbure :
y" =
1
r
1
r
x
l
x
0
2/ par intégration de la courbure 1/r (1re intégration) :
y ' =θ = ∫
dξ
r
x
0
0
x
dξ
r
l
x
205
206
3/ par intégration de la dérivée de la flèche y’ (2e intégration) :
y = ∫ y '.dξ = ∫ θ.dξ
A
f
x
y (l)
y’.dξ
0
l
y (l)
x
l
x
0
x
La droite OA d’équation y = ω 0 .x + y 0 permet de déterminer les constantes
d’intégration résultant des calculs précédents :
I
I +1
0
l
• sur l’appui origine I (x = 0) :
y=0 ⎫
⎬ ⇒ y 0 = 0 ⇒ y = ω 0 .x
ω 0 ≠ 0⎭
• sur l’appui extrémité I + 1 (x = ) :
y ( ) = ω 0 .
⇒
y()
ω 0 = ---------
• d’où la valeur de la flèche :
y()
f = y ( x ) – ----------- x
La première intégration numérique donnant les rotations peut être conduite par
la méthode consistant à assimiler sur deux intervalles successifs de longueur a
1
la courbe y " = à des arcs de parabole :
r
État limite de service de déformation
a
∫ i −1 y ".dx = 3 [1, 25.y "i −1 + 2.y "i − 0, 25.y "i +1 ]
y''
i
i +1
∫i
y''i
1
y''i
y ".dx =
[α]
a
[ −0, 25.y "i −1 + 2.y "i + 1, 25.y "i +1 ] [β]
3
y''i +1
x
a
a
On remarquera que :
i +1
i +1
i
∫ i −1 y ".dx = ∫ i −1 y ".dx + ∫ i
y ".dx =
a
[ y "i −1 + 4.y "i + y "i +1 ]
3
[γ]
C’est la formule dite des « trois niveaux ».
La seconde intégration numérique donnant les flèches peut être menée en
utilisant la formule des trapèzes complétée par le premier terme du développement d’Euler-Maclaurin :
y' = f (x)
i
∫ i −1
f ( x ) .dx =
a
a2
fi −1 + fi ] + ⎡⎣ f ' ( x i −1 ) − f '( x i ) ⎤⎦
[
2
12
soit :
i
∫ i −1
y'i
y'
y'i + 1
y '.dx =
a
a2
y 'i −1 + y 'i ] + [ y "i −1 − y "i ] [δ]
[
2
12
x
a
a
La flèche devant être nulle sur les appuis, il convient de corriger les valeurs
x
trouvées à la fin de la seconde intégration en retranchant y ( ) --- pour trouver la
valeur de la flèche f dans chaque section de calcul :
y()
f = y ( x ) – ----------- x
207
208
2.2.5
Paramètres de déformation
On désigne par paramètre de déformation2 :
• la déformation ;
• ou la courbure ;
• ou la rotation ;
• ou, dans le cas général, la flèche.
Le paramètre de déformation correspondant à une condition intermédiaire entre
les conditions entièrement fissurée et non fissurée est obtenu par la relation :
α = ζ.α II + (1 − ζ ) .α I
[15.12] (7.18)
avec :
α = paramètre de déformation,
α I = paramètre dans la condition non fissurée,
α II = paramètre dans la condition entièrement fissurée,
2
⎧
⎛σ ⎞
⎪1 − β ⎜ sr ⎟ : section fissurée,
ζ=⎨
= coefficient de distribution,
⎝ σs ⎠
⎪
⎩ 0 : section non fissurée,
(7.19)
où :
⎧1 : charge unique de courte durée,
=
β=⎨
⎩ 0,5 : chargementt à long terme ou fréquemment répété,
prenant en compte la durée de chargement,
paramètre
σ s = contrainte de l’acier tendu calculée en supposant la section fissurée
sous l’effet du chargement appliqué,
σ sr = contrainte de l’acier tendu calculée pour la section fissurée sous l’effet
du chargement provoquant la première fissure dans la section.
Remarque 1
σ sr Mcr
en flexion simple,
=
σs
M
σ sr Ncr
en traction simple,
=
σs
N
avec :
M et N = sollicitations agissantes,
2.
EC 2 – 7.4.3 (3)
État limite de service de déformation
Mcr et Ncr = sollicitations provoquant la fissuration.
Remarque 2
La formule donnant le paramètre de déformation correspondant à une condition
intermédiaire est à rapprocher de la formule [14.12], chapitre 3 : « État limite de
service de maîtrise de la fissuration ».
2.2.6
Calcul des flèches
Pour le calcul des flèches, la méthode de calcul rigoureuse par intégration de la
courbure le long de l’élément compte tenu de l’équation :
1 ε c + εs1
=
r
d
1
⇒ y = ∫ ⎡⎢ ∫ dx ⎤⎥
⎣ r ⎦
est laborieuse. Il est admis d’opérer comme suit3 :
• calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant
la poutre non fissurée ;
• calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant
la poutre fissurée ;
• en déduire la flèche y I par double intégration en supposant la poutre non
fissurée ;
• en déduire la flèche y II par double intégration en supposant la poutre fissurée ;
• déterminer la flèche pour la condition intermédiaire :
y = ζ.y II + (1 − ζ ) y I
Remarque
Il revient au même et il est plus simple d’opérer comme suit (on n’effectue qu’une
seule double intégration) :
1) calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la
poutre non fissurée ;
2) calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la
poutre fissurée ;
3) déterminer la courbure totale par la condition intermédiaire :
1
1
1
= ζ + (1 − ζ )
r
rII
rI
4) en déduire la flèche y par double intégration.
Cette méthode n’est pas directement applicable aux sections fissurées soumises
à un effort normal significatif.
3.
EC 2 – 7.4.3 (7)
209
210
2.3
Méthodes simplifiées
2.3.1
Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure
Cette méthode permet de s’affranchir de la double intégration de la courbure 1/r.
Elle suppose que, sur la base d’un découpage de la poutre en un nombre pair de
tronçons, la variation de la courbure est linéaire sur chaque tronçon et, par suite,
que l’équation correspondante de la flèche sur chacun des tronçons est un
polynôme du troisième degré4.
La flèche est obtenue par la formule :
2 n
y i = – ----N
1
∑ k i, j --r-j
j=1
⎧ i = indice de la section où l'on calcule la flèche,
⎪
où ⎨ j = indice de la section dont on connaît la courbure,
⎪ n = nombre (impair) de sections du découpage.
⎩
[15.13]
avec :
( )
1 Mser x j
et I = I ch ou I cf selon le cas.
=
rj
E c , eff I
Les valeurs de N et k i , j étant données ci-après.
Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive
dans le sens ascendant.
Les coefficients donnés ci-après ont été déterminés à partir des conditions aux
limites (continuité de la courbure, des rotations et des flèches) aux extrémités
des tronçons successifs de poutre.
2.3.1.1 Découpage en 2 tronçons
l /2
1
N = 48 ; y1 = 0 , y3 = 0
⎡1 r1 ⎤
y 2 = ⎡⎣1 4 1 ⎤⎦ . ⎢⎢1 r2 ⎥⎥
⎢⎣1 r3 ⎥⎦
4.
Voir l’annexe 1 en fin d’ouvrage.
l /2
2
3
État limite de service de déformation
2.3.1.2 Découpage en 4 tronçons
l /4
1
l /4
l /4
2
l /4
3
4
5
N = 384 ; y1 = 0, y5 = 0
⎡1 r1 ⎤
⎡ y 2 ⎤ ⎡ 3 14 12 6 1 ⎤ ⎢⎢1 r2 ⎥⎥
⎢ y ⎥ = ⎢ 2 12 20 12 2 ⎥ . ⎢1 r ⎥
⎢ 3⎥ ⎢
⎥ ⎢ 3⎥
⎢⎣ y 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 6 12 14 3 ⎥⎦ ⎢1 r4 ⎥
⎢⎣1 r5 ⎥⎦
2.3.1.3 Découpage en 6 tronçons
l /6
l /6
1
l /6
2
3
l /6
4
l /6
5
l /6
6
7
N = 1 296 ; y1 = 0, y 7 = 0
⎡ y2 ⎤ ⎡ 5
⎢ y ⎥ ⎢4
⎢ 3⎥ ⎢
⎢ y4 ⎥ = ⎢ 3
⎢ y ⎥ ⎢2
⎢ 5⎥ ⎢
⎢⎣ y6 ⎥⎦ ⎢⎣ 1
24 24 18
24 42 36
18 36 48
12 24 36
6 12 18
12
6
24
36
42
24
12
18
24
24
⎡1 r1 ⎤
1 ⎤ ⎢1 r2 ⎥
⎥
⎢
2 ⎥ ⎢1 r3 ⎥
⎥
3 ⎥ ⎢⎢1 r4 ⎥⎥
4 ⎥⎥ ⎢1 r5 ⎥
⎢
⎥
5 ⎥⎦ ⎢1 r6 ⎥
⎣⎢1 r7 ⎥⎦
2.3.1.4 Découpage en 8 tronçons
l /8
1
l /8
2
l /8
l /8
3
4
N = 3 072 ; y1 = 0 , y9 = 0
l /8
5
l /8
6
l /8
7
l /8
8
9
211
212
⎡ y2 ⎤ ⎡ 7
⎢ y ⎥ ⎢6
⎢ 3⎥ ⎢
⎢ y4 ⎥ ⎢ 5
⎢ y ⎥ ⎢4
⎢ 5⎥ = ⎢
⎢ y6 ⎥ ⎢ 3
⎢ ⎥ ⎢
⎢ y7 ⎥ ⎢ 2
⎢⎣ y8 ⎥⎦ ⎢⎣ 1
34 36 30 24
36 64 60 48
30 60 82 72
24 48 72 88
18 36 54 72
12 24 36 48
6 12 18 24
18
36
54
72
82
60
30
12
24
36
48
60
64
36
6
12
18
24
30
36
34
1
2
3
4
5
6
7
⎡1 r1 ⎤
⎢
⎥
⎤ ⎢1 r2 ⎥
⎥ ⎢1 r ⎥
⎥⎢ 3⎥
⎥ ⎢1 r4 ⎥
⎥ ⎢1 r ⎥
⎥⎢ 5⎥
⎥ ⎢1 r6 ⎥
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢1 r7 ⎥
⎥⎦ ⎢1 r8 ⎥
⎢⎣1 r9 ⎥⎦
2.3.1.5 Découpage en 10 tronçons
l /10
1
l /10
2
l /10
3
l /10
4
l /10
5
l /10
6
l /10
7
l /10
8
l /10
9
l /10
10
N = 6 000 ; y1 = 0, y11 = 0
⎡ y2 ⎤ ⎡9
⎢ y ⎥ ⎢8
⎢ 3⎥ ⎢
⎢ y4 ⎥ ⎢ 7
⎢ y ⎥ ⎢6
⎢ 5⎥ ⎢
⎢ y6 ⎥ = ⎢ 5
⎢ ⎥ ⎢
⎢ y7 ⎥ ⎢4
⎢ y8 ⎥ ⎢ 3
⎢ ⎥ ⎢
⎢ y9 ⎥ ⎢ 2
⎢⎣ y10 ⎥⎦ ⎢⎣ 1
44
48
42
36
30
24
18
12
6
48 42 36 30 24 18 12 6
86 84 72 60 48 36 24 122
84 116 108 90 72 54 36 18
72 108 134 120 96 72 48 24
60 90 120 140 120 90 60 30
48 72 96 120 1344 108 72 36
36 54 72 90 108 116 84 42
24 36 48 60 72 84 86 48
12 18 24 30 36 42 48 44
1
2
3
4
5
6
7
8
9
⎡ 1 r1 ⎤
⎢
⎥
⎤ ⎢ 1 r2 ⎥
⎥ ⎢1 r ⎥
⎥⎢ 3 ⎥
⎥ ⎢ 1 r4 ⎥
⎥ ⎢1 r ⎥
⎥⎢ 5 ⎥
⎥ ⎢ 1 r6 ⎥
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢ 1 r7 ⎥
⎥ ⎢ 1 r8 ⎥
⎥⎢
⎥
⎥ ⎢ 1 r9 ⎥
⎥⎦ ⎢1 r10 ⎥
⎢1 r ⎥
⎣ 11 ⎦
Remarque
Cette méthode s’applique aussi aux poutres continues, à condition de considérer
que les courbures des sections soumises à des moments fléchissants négatifs
sont elles aussi négatives.
2.3.2
Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle
du moment fléchissant
Cette méthode permet de s’affranchir :
• de la double intégration de la courbure 1/r ;
11
État limite de service de déformation
• du calcul de la courbure 1/r dans plusieurs sections le long de la travée considérée.
Elle suppose que la forme du diagramme des courbures et celle du moment
1 M ( x)
fléchissant sont les mêmes ( =
).
r
EI
La flèche maximale est obtenue, à partir de la courbure dans la section soumise
au moment maximal, par la formule :
21
f = – k. ---[15.14]
r0
avec :
k = coefficient fonction du diagramme des moments,
1
= courbure dans la section la plus sollicitée,
r0
= portée de la poutre.
Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive
dans le sens ascendant.
Le coefficient k dépend de la forme du diagramme des moments fléchissants. Il
est donné par le tableau ci-après :
213
M0
M0
.l
l
l
l
Chargement
P
M0
M0
l
l
Mmax = P (1– )l
l
M0
P
Diagramme du moment fléchissant
2
0,0625
1 1
si α = --- : -----2 12
3 – 4.α
-----------------------48 ( 1 – α )
0,125
k
214
MA
0
.l
P/2
p
p
l
l
MB
MA
l
Mt
l
l
p
l
P.l 2
8
P. α . l
2
l
.l
l
P/2
p.l 2
15,6
MB
MA + MB
avec : β = ---------------------Mt
β
0,104 ⎛ 1 – ------⎞
⎝
10⎠
0,102
0,104
2
α
0,125 – -----6
État limite de service de déformation
215
α.l
MA
p
l/2
α.l
α.l
P
l
p
l
P
l
l
α.l
MB
MA
p.α 2.l2
2
P. α.l
Mt
l
2
p.l
(3 − 4.α )
24
2
l
l
l
MB
2 2
1 ( 5 – 4.α )
------ . -------------------------80 3 – 4.α 2
MA + MB
avec : β = ---------------------Mt
β
0,083 ⎛ 1 – ---⎞
⎝
4⎠
1
si α = 1 : --4
α(4 – α)
--------------------12
1
si α = 1 : --3
α(3 – α)
--------------------6
216
État limite de service de déformation
3.
Bâtiments courants
Les dispositions décrites dans ce paragraphe ne s’appliquent pas aux ponts5 :
3.1
Vérification de la flèche
Les déformations ne doivent pas excéder les valeurs que peuvent supporter les
éléments liés à la structure6 :
• cloisons ;
• vitrages ;
• bardages ;
• appareillages ;
• finitions.
Pour l’aspect et les conditions d’utilisation, il faut vérifier7 :
f ≤ --------250
[15.15]
f = flèche calculée sous charges quasi permanentes,
= portée de l’élément (poutre, dalle ou console).
Une contreflèche peut être prévue pour compenser en totalité ou en partie les
déformations. Sa valeur ne doit pas excéder8 : --------- .
250
Pour les cloisonnements et autres éléments en contact avec l’élément fléchi, il
faut vérifier9 :
f ≤ --------500
[15.16]
f = flèche calculée après construction.
L’ELS de déformation peut être vérifié :
• en comparant une déformation calculée à une valeur limite (voir § 3.2) ;
• en limitant le rapport portée/hauteur (voir § 3.3).
5.
6.
7.
8.
9.
EC 2 partie 2 (ponts) – 7.4.1 et 7.4.2
EC 2 – 7.4.1.(2) & (3)
EC 2 – 7.4.1.(4)
EC 2 – 7.4.1.(4)
EC 2 – 7.4.1.(5)
217
218
3.2
Vérification des flèches par le calcul
Le calcul est alors conduit suivant les indications10 du § 2.
3.3
Dispense de la vérification
3.3.1
Rapports de base portée sur hauteur utile
Un élément dont le béton est faiblement sollicité est tel que11 :
ρ=
As
< 0, 5 %
bw .d
Un élément dont le béton est fortement sollicité est tel que :
ρ=
As
> 1, 5 %
bw .d
On peut admettre que les flèches des poutres et dalles ne dépassent pas les
limites figurant au § 3.1 lorsque leur rapport portée/hauteur vérifie les conditions ci-dessous, corrigées suivant les indications du § 3.3.2 :
3⁄2
ρ
f ck ⎛ ----0- – 1⎞
si ρ ≤ ρ0
⎝ρ
⎠
--- ≤ K 11 + 1,5
d
ρ
f ck ----0- + 3,2
ρ
--- ≤ K 11 + 1,5
d
ρ0
1
ρ’
f ck -------------+ ------ f . ----- si ρ > ρ0
ρ – ρ’ 12 ck ρ 0
[15.17a] (7.16a)
[15.17b] (7.16b)
avec :
fck en MPa,
= portée de l’élément,
d = hauteur utile de l’élément,
K = coefficient tenant compte des différents systèmes structuraux, fixé par
l’Annexe nationale12 (voir tableaux ci-après),
ρ0 = fck .10 −3 = pourcentage d’armatures de référence,
ρ = pourcentage d’armatures de traction nécessaires :
• à mi-portée (travées) ;
• ou sur appuis (consoles) ;
10. EC 2 – 7.4.3
11. EC 2 – 7.4.2.(2)
12. EC 2 – voir AN
État limite de service de déformation
ρ’ = pourcentage d’armatures de compression nécessaires :
• à mi-portée (travées) ;
• ou sur appuis (consoles).
Ces formules ont été établies en admettant que dans la section fissurée à miportée (dalles ou poutres) ou sur appuis (consoles), sous charges de calcul à
l’ELS :
• la contrainte de l’acier à l’ELS est égale à 310 MPa (ce qui correspond sensiblement à fyk = 500 MPa) ;
• le béton est de la classe C30/35.
Les correctifs à appliquer aux valeurs de /d trouvées ci-dessus, compte tenu :
• du niveau de contrainte ;
• de la forme de la section droite ;
• etc.
figurent au paragraphe 3.3.2.
Les formules [15.17a] et [15.17b] conduisent aux valeurs recommandées du
tableau ci-dessous13 :
13. EC 2 – tableau 7.4 N
219
Dalle sans nervures sur poteaux (planchers-dalles).
Travée intermédiaire :
– d’une poutre ;
– d’une dalle portant dans une ou deux directions.
Travée de rive :
– d’une poutre continue ;
– d’une dalle continue portant dans une direction ;
– d’une dalle continue le long d’un grand côté portant dans deux directions.
Poutre sur deux appuis simples.
Dalles sur appuis simples portant dans une ou deux
directions.
Système structural
= portée la plus longue
= petite portée pour les dalles
1,2
l
= petite portée pour les dalles
1,5
l
= petite portée pour les dalles
1,3
l
1,0
K
1
Rapport portée sur hauteur : --d
17
20
18
24
30
26
20
As
⎛ ρ = ---------- = 0,5 %⎞
⎝
⎠
b w .d
As
⎛ ρ = ---------- = 1,5 %⎞
⎝
⎠
b w .d
14
Béton faiblement sollicité
Béton fortement sollicité
220
l
Système structural
14. Voir AN
Travée de rive d’une poutre continue.
Dalle sur appuis simples portant dans une direction.
l
= petite portée pour les dalles
1,3
l
1,0
l
1,0
K
1
Rapport portée sur hauteur : --d
L’Annexe nationale française préconise les valeurs du tableau ci-dessous14 :
Poutre sur deux appuis simples.
Console.
0,4
18
25
26
30
20
As
⎛ ρ = ---------- ≤ 0,5 %⎞
⎝
⎠
b w .d
14
Béton faiblement sollicité
As
ρ = ⎛ ---------≥ 1,5 %⎞
⎝ b w .d⎠
8
Béton fortement sollicité
6
État limite de service de déformation
221
Dalle sans nervures sur poteaux (planchers−dalles).
Travée intermédiaire d’une dalle portant dans une
ou deux directions.
Travée intermédiaire d’une poutre
Travée de rive
– d’une dalle continue portant dans une direction ;
– d’une dalle continue le long d’un grand côté portant dans deux directions.
= portée la plus longue
= petite portée pour les dalles
1,2
l
1,5
l
= petite portée pour les dalles
1,5
l
1,3
17
35
20
30
24
40
30
35
222
Dalle en console.
Poutre en console.
l
0,4
l
0,4
10
6
12
8
État limite de service de déformation
223
224
Si le pourcentage d’armatures est connu, on peut interpoler entre les deux
limites du tableau.
Les valeurs de /d ainsi obtenues, même corrigées (voir § 3.2.2) sont souvent
« conservatives », c’est-à-dire qu’un calcul précis montrerait que des éléments
plus élancés donnent encore des flèches acceptables.
3.3.2
Corrections des valeurs /d
Le rapport portée sur hauteur utile à retenir est obtenu par correction de celui
extrait des tableaux précédents ou des formules [15.17a] et [15.17b] de la façon
suivante15 :
--- = β. --d
d
[15.18]
tableau
le coefficient β est donné ci-dessous.
Dans le cas de plusieurs corrections, le coefficient résultant β est obtenu par
multiplication des différents coefficients partiels β donnés ci-après.
Cas des sections en T :
beff
beff
>3 ⇒
bw
β = 0, 8
[15.19]
bw
Cas des poutres et des dalles supportant des cloisons susceptibles d’être
endommagées :
7,00 m
eff > 7,00 m ⇒ β = ---------------[15.20]
eff
eff = plus petite portée pour une dalle.
Cas des planchers-dalles supportant des cloisons susceptibles d’être
endommagées :
8,50 m
eff > 8,50 m ⇒ β = ----------------[15.21]
eff
eff = plus grande portée de la dalle.
15. EC 2 – 7.4.2.(2)
État limite de service de déformation
Cas où la contrainte des aciers tendus dans la section de moment maximal (à
mi-portée d’une poutre ou d’une dalle ou à l’encastrement d’une console), à
l’ELS, est différente de 310 MPa (valeur de base pour l’établissement des
tableaux du § 3.3.1) :
β=
310 MPa
σs
[15.22]
ou en prenant la valeur plus restrictive donnée par :
310 MPa 500 MPa A s, prov
=
.
σs
fyk
A s, req
[15.23] (7.17)
avec, dans la section considérée :
σ s = contrainte de traction de l’acier à mi-portée (ou sur appui pour les
consoles) sous les charges de calcul à l’ELS,
A s, prov = section d’acier prévue,
A s, req = section d’aciers nécessaire à l’ELU.
4.
Prise en compte du retrait et du fluage
Il y a lieu de prendre en compte, en plus des déformations produites par le
chargement appliqué, les déformations résultant des effets du retrait et du
fluage.
4.1
Module d’élasticité du béton
Pour tenir compte du fluage, la déformation totale, fluage inclus, peut être
calculée en utilisant le module d’élasticité effectif du béton16 :
E c, eff =
E cm
1 + ϕ ( , t 0 )
[15.24] (7.20)
avec :
0,3
⎡f ⎤
E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥ ( MPa ) (voir § 2.3.2.2, chapitre 2 : « Matériaux »,
⎣ 10 ⎦
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles),
ϕ ( , t 0 ) = coefficient de fluage (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux »,
Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
16. EC 2 – 7.4.3.(5)
225
226
4.2
Effets du retrait
Le raccourcissement du béton est gêné par la présence des armatures.
L’effet du retrait agissant seul peut être assimilé à un effort normal de traction
(fictif) appliqué au centre de gravité de la section de béton seul et de valeur :
N c = ε cs .E c .A c
[15.25]
avec :
ε cs = déformation de retrait considérée,
E c = module d’élasticité du béton,
A c = aire de la section droite de béton seul.
Les armatures, en s’opposant au retrait, exercent un effort égal et directement
opposé à Nc dans la section homogène. D’où les éléments de réduction au
centre de gravité de la section homogène :
h
Nc
h/ 2
h/ 2
Ncs
Nc
dc AN
As
Ncs
ds
bw
bw
Section de béton seul
Section homogène
N cs = − N c : effort normal de compression,
Mcs = N cs .d c : moment fléchissant positif,
en désignant par d c la distance du centre de gravité du béton seul au centre de
gravité de la section homogène.
Par définition du centre de gravité de la section homogène, on a :
A c .d c = α e .A s .ds
[15.26]
en désignant par ds la distance du centre de gravité des aciers tendus au centre
de gravité de la section homogène.
On en déduit :
Mcs = ( ε cs .E c .A c ) .d c = ε cs .E c .α e .A s .ds = ε cs .E c .α e .S
en posant S = A s .ds = moment statique des armatures tendues par rapport au
centre de gravité de la section homogène.
État limite de service de déformation
D’où, la courbure due au retrait s’écrit17 :
M
1
S
= cs = ε cs .α e
rcs E c .I
I
[15.27] (7.21)
avec :
ε cs = déformation de retrait considérée,
I = moment d’inertie de la section droite homogène par rapport au centre de
gravité de cette section,
αe =
Es
= coefficient d’équivalence,
E c, eff
S = moment statique de la section d’armatures par rapport à l’axe passant
par le centre de gravité de la section homogène.
La courbure étant un paramètre de la déformation (voir § 2.2.5), le calcul de S et
de I sont à faire deux fois18 :
• pour la section homogène non fissurée ;
• pour la section homogène totalement fissurée ;
la courbure finale étant obtenue en appliquant la formule [15.12] :
1
1
1
=ζ
+ (1 − ζ )
.
rcs
rcsII
rcsI
II.
(7.18)
APPLICATIONS
Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis
simples – Flèche
–Énoncé–
COUPE AA
A
leff = 5,10 m
45 cm
A
As = 4 ∅ 16 HA
50 cm
As
30 cm
17. EC 2 – 7.4.3 (6)
18. EC 2 – 7.4.3 (7)
227
228
Actions uniformément réparties :
• permanentes : g1 = 6,25 kN/m (hors poids propre) ;
• variables : q = 10 kN/m ;
• ϕ ( , t 0 ) = 2 ;
• retrait : ε cs = 3 / 10 000 .
Matériaux :
• béton : fck = 20 MPa, ε cu 2 = ε cu 3 = 3, 5 ‰ ;
• aciers : S 500 A.
On se propose :
1/ dans la section à mi-travée :
– de déterminer la courbure sous chargement appliqué ;
– de calculer la courbure due au retrait ;
2/ de déterminer la courbure dans chacune des sections de la poutre (découpage en dix tronçons d’égale longueur) ;
3/ de calculer la flèche le long de la poutre en supposant que les 4 φ 16 HA sont
conduits sur appuis ;
4/ de vérifier l’ELS de déformation vis-à-vis des conditions d’utilisation.
–Corrigé–
1. Caractéristiques des matériaux
1.1 Béton
fcm = 20 + 8 = 28 MPa
fcm = fck + 8
fck ≤ 50 MPa ⇒ fctm = 0, 3 [ fck ]
2
⎡f ⎤
E cm = 22 000 ⎢ cm ⎥
⎣ 10 ⎦
E c, eff =
αe =
0,3
E cm
1 + ϕ ( , t 0 )
Es
E c, eff
3
2
fctm = 0, 3 [ 20 ]
= 2, 2 MPa
28
E cm = 22 000 ⎡⎢ ⎤⎥
⎣ 10 ⎦
E c , eff =
αe =
0,3
= 29 962 MPa
29 962
= 9 987 MPa
1+ 2
200 000
= 20, 07 ≈ 20
9 987
1.2 Aciers
fyk
3
fyk = 500 MPa
État limite de service de déformation
2. Sollicitations de flexion
Les calculs sont conduits à l’état limite de service.
Actions au ml :
3
ϖ = poids volumique du béton armé
ϖ = 25 kN/m
g = g1 + ϖ.bw .h
g = 6,25 + 25.0,30.0,50 = 10,00 kN/m
pser = g + q
pser = 10 + 10
pser = 20 kN/m
Moment fléchissant maximal :
Mser = pser
l 2eff
8
Mser = 20
5, 10 2
8
Mser = 65 mkN
3. Courbures dues au chargement
3.1 Section non fissurée
3.1.1 Caractéristiques géométriques de la section non fissurée
4 φ 16 HA
A ch = bw .h + α e ( A s1 + A s 2 )
⇒ A s = 4.2,01= 8,04 cm2
A ch = 0, 30.0, 50 + 20.8, 04.10 −4 = 0,16608 m2
bw .h 2
+ α e ( A s1 .d + A s 2 .d ')
v' = 2
A ch
0, 30.0, 50 2
+ 20.8, 04.10 −4.0, 45
2
v' =
= 0,26936 m
0, 16608
v = h − v'
I ch =
v = 0, 50 − 0, 269 = 0,231 m
bw .h3
+ α e A s1 .d 2 + A s 2 .d '2 − A ch .v '2
3
)
(
I ch =
0, 30.0, 503
+ 20.8, 04.10 −4.0, 452 − 0, 16608.00, 269362
3
I ch = 3, 70629.10 −3 m 4
229
230
3.1.2 Courbure
y" =
Mser
1
=
r E c, eff .I ch
y "I =
1
65.10 −3
=
= 1, 756.10 −3
rI 9 987.3, 70629.10 −3
3.1.3 Sollicitation provoquant la fissuration
σt =
Mcr .v
= fctm
I ch
⇒ Mcr = fctm
I ch
v
Mcr = 2, 2
3, 70629.10 −3
= 0,035 mMN
0, 231
Remarque
Comme Mcr < Mser, nous sommes certains que la section médiane sera fissurée.
3.2 Section fissurée
3.2.1 Caractéristiques géométriques de la section fissurée
bw .x 21
2
+ α e .A s 2 ( x1 − d ') − α e .A s1 ( d − x1 ) = 0
0, 30.x12
− 20.8, 04.10 −4 ( 0, 45 − x1 ) = 0
2
0, 15.x12 + 0, 01608.x1 − 0, 007236 = 0
Δ = 0, 016082 + 4.0, 15.0, 007236 = 0, 06782
x1 =
zc = d −
x1
3
− 0, 01608 + 0, 0678
= 0,172 m
2.0, 15
z c = 0, 45 −
0, 172
= 0,393 m
3
3.2.2 Courbure
σc =
2.Mser
bw .x1 .z c
εc =
σc
E c, eff
σc =
2.65.10 −3
= 6,41 MPa
0, 30.0, 172.0, 393
εc =
6, 41
= 6, 42.10 −4
9 987
État limite de service de déformation
σ s1 =
Mser
A s1 .z c
σ s1 =
65.10 −3
= 206 MPa
8, 04.10 −4.0, 393
εs1 =
σ s1
Es
εs1 =
206
= 1, 03.10 −3
200 000
1 6, 42.10 −4 + 1, 03.10 −3
=
= 3, 71.10 −3 m −1
rII
0, 45
1 ε c + εs1
=
r
d
3.2.3 Remarque
I cf =
bw .x13
2
2
+ α e .A s 2 ( x1 − d ') + α e .A s1 ( d − x1 )
3
I cf =
0, 30.0, 1723
+ 20.8, 04.10 −4 ( 0, 45 − 0, 172 )2
3
I cf = 1, 752.10 −3 m 4
y" =
Mser
1
=
r E c, eff .I cf
y "II =
1
65.10 −3
=
= 3, 71.10 −3 m −1
rII 9 987.1, 752.10 −3
valeur établie au § 3.2.2.
3.3 Courbure due aux charges
α = ζ.α II + (1 − ζ ) .α I
α I = paramètre dans la condition
non fissurée :
αI =
α II = paramètre dans la condition
entièrement fissurée :
1
= 1, 756.10 −3 m −1
rI
α II =
1
= 3, 71.10 −3 m −1
rII
2
⎛σ ⎞
ζ = 1 − β ⎜ sr ⎟ = coefficient de distribution :
⎝ σs ⎠
⎧1 : charge unique de courte durée,
⎪
β = ⎨ 0,5 : chargementt à long terme ou
⎪
fréquemment répété,
⎩
β = 0, 5
231
232
σ s = contrainte de l’acier tendu
calculée en supposant la section
fissurée :
σ s = σ s1 = 206 MPa (voir § 3.2.2)
σ sr = contrainte de l’acier tendu
calculée pour la section fissurée
sous l’effet du chargement provoquant la première fissure dans
la section :
σ sr =
Mcr
0, 035
= 111 MPa
=
A s .z c 8, 04.10 −4.0, 393
111 ⎞ 2
ζ = 1 − 0, 5 ⎛
= 0, 85
⎝ 206 ⎠
⇒
1
= 0, 85.3, 71.10 −3 + (1 − 0, 85) .1, 756.10 −3 = 3, 42.10 −3 m −1
r
4. Courbure due au retrait
4.1 Section non fissurée
Distance du centre de gravité des armatures tendues au centre de gravité de la
section homogène non fissurée :
ds = d − v '
ds = 0, 45 − 0, 269 = 0,181 m
Moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la
section homogène :
S = 8, 04.10 −4.0, 181 = 1, 46.10 −4 m 4
S = A s .ds
Courbure due au retrait :
1
rcsI
=
M cs
S
= ε cs .α e
E c .I
I ch
1
rcsI
= 3.10 −4.20
1, 46.10 −4
= 0, 236.110 −3 m −1
3, 70629.10 −3
4.2 Section fissurée
Distance du centre de gravité des armatures tendues au centre de gravité de la
section homogène réduite :
ds = d − x1
ds = 0, 45 − 0, 172 = 0,278 m
Moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la
section homogène réduite :
S = A s .ds
S = 8, 04.10 −4.0, 278 = 2, 24.10 −4 m 4
État limite de service de déformation
Moment d’inertie de la section homogène :
I cf =
bw .x13
2
2
+ α e .A s 2 ( x1 − d ') + α e .A s1 ( d − x1 )
3
I cf =
0, 30.0, 1723
+ 20.8, 04.10 −4 ( 0, 45 − 0, 172 )2
3
I cf = 1, 752.10 −3 m 4
Courbure due au retrait :
1
rcsII
=
Mcs
S
= ε cs .α e
E c .I
I cf
1
rcsII
= 3.10 −4.20
2, 24.10 −4
= 0, 767.10 −3 m −1
1, 752.10 −3
4.3 Courbure totale due au retrait
α = ζ.α II + (1 − ζ ) .α I
α I = paramètre dans la condition
non fissurée :
α II = paramètre dans la condition
entièrement fissurée :
–3
–1
1
α I = ------- = 0,236.10 m
r csI
–3 –1
1
α II = -------- = 0,767.10 m
r csII
2
⎛σ ⎞
ζ = 1 − β ⎜ sr ⎟ = coefficient de distribution : ζ = 0, 85 (voir § 3.3)
⎝ σs ⎠
⇒
1
= 0, 85.0, 767.10 −3 + (1 − 0, 85) .0, 236.10 −3 = 0, 687.10 −3 m −1
rcs
5. Calcul de la flèche par double intégration numérique
Pour chaque condition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la
flèche par double intégration de la courbure puisque :
d 2 y Mser 1
=
=
E.I
r
dx 2
La poutre est découpée en dix intervalles de longueur 0,1..
233
234
5.1 Courbures dues au chargement
5.1.1 État non fissuré
Données :
I ch = 3, 70629.10 −3 m 4 (voir § 3.1.1)
E c , eff = 9 987 MPa (voir § 1.1)
Équations utilisées :
p.x. ( – x )
M ( x ) = -------------------------2
Mser
1
=
rI E c, eff .I ch
y" =
5.1.2 État fissuré
Données :
bw = 0,30 m
A s1 = 8, 04.10 −4 m 2
d = 0,45 m
E s = 2.105 MPa
x1 = 0,172 m (voir § 3.2.1)
z c = 0,393 m (voir § 3.2.1)
Équations utilisées :
2.Mser
bw .x1 .z c
σc =
εc =
σc
E c, eff
σ s1 =
Mser
A s1 .z c
εs1 =
σ s1
Es
État limite de service de déformation
1 ε c + εs1
=
rII
d
5.1.3 Courbure due aux charges
Donnée :
σ sr = 111 MPa (voir § 3.3)
Équations utilisées :
⎛σ ⎞
ζ = 1 − β ⎜ sr ⎟
⎝ σ s1 ⎠
2
avec β = 0,5
1
1
1
= ζ + (1 − ζ )
r
rII
rI
5.2 Courbures dues au retrait
5.2.1 État non fissuré
Équation utilisée :
1
rcsI
=
M cs
S
= ε cs .α e
E c .I
I ch
1
rcsI
= 0, 236.10 −3 m −1 (voir § 4.1)
5.2.2 État fissuré
Équation utilisée :
1
rcsII
=
Mcs
S
= ε cs .α e
E c .I
I cf
5.2.3 Courbure due au retrait
Équation utilisée :
1
1
1
=ζ
+ (1 − ζ )
rcs
rcsII
rcsI
–3
–1
1
-------- = 0,767.10 m (voir § 4.2)
r csII
235
0,000
0,023
0,042
0,055
0,062
0,065
0,062
0,055
0,042
0,023
0,000
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
74
132
173
198
206
198
173
132
74
0
(10-3)
0,000
0,231
0,411
0,539
0,616
0,642
0,616
0,539
0,411
0,231
0,000
εc
État fissuré
(Mpa)
σs1
(10-3)
0,000
0,370
0,659
0,864
0,988
1,029
0,988
0,864
0,659
0,370
0,000
εs1
0,000
1,337
2,377
3,119
3,565
3,714
3,565
3,119
2,377
1,337
0,000
(10-3 m-1)
1/rII
0,000
0,000
0,640
0,791
0,840
0,853
0,840
0,791
0,640
0,000
0,000
ζ
0,000
0,632
1,926
2,776
3,265
3,425
3,265
2,776
1,926
0,632
0,000
(10-3 m-1)
1/r
Courbure sous charges
1/rcsII
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,236
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
0,767
1/rcs
1/rtot
Total
0,236
0,236
0,576
0,656
0,682
0,689
0,682
0,656
0,576
0,236
0,236
0,236
0,868
2,502
3,432
3,947
4,114
3,947
3,432
2,502
0,868
0,236
(10-3 m-1) (10-3 m-1)
Retrait & Fluage
(10-3 m-1) (10-3 m-1)
1/rcsI
On retrouve bien, pour la section médiane, les résultats établis :
– au § 3 pour l’effet du chargement ;
– au § 4 pour l’effet du retrait.
Remarque 3
Les courbures obtenues sont symétriques par rapport à la section médiane.
Remarque 2
Pour x = 0,1.l et x = 0,9.l (cases grisées), on a M(x) = 0,023 mMN < 0,035 mMN = Mcr et la section n’est pas fissurée. On prend alors
ζ = 0.
Remarque 1
(10-3 m-1)
x/l
0,00
2,31
4,10
5,39
6,16
6,41
6,16
5,39
4,10
2,31
0,00
(Mpa)
1/rI
M(x)
(mMN)
0,000
0,632
1,124
1,476
1,686
1,757
1,686
1,476
1,124
0,632
0,000
σc
État non fissuré
Moment
Abscisse
5.3 Tableau récapitulatif des courbures
236
3.9468
4.1140
3.9468
3.4323
2.5022
0.8684
0.2360
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5
6
7
8
9
10
11
i +1
∫i
y ".dx =
]
0.8170
1.8993
2.0697
1.5310
0.2391
a
− 0, 25 . y" i −1 + 2 . y" i + 1, 25 . y" i +1
3
]
(β)
(α)
0.2391
1.5310
2.0697
1.8993
0.8170
(β)
intervalles
pairs
(10-3)
8.6258
6.5561
4.4863
2.5870
1.0560
0.2391
0.0000
y' i
Cumul
(10-3)
13.1121
12.8730
12.0561
10.5251
Première intégration
(α)
intervalles
impairs
(10-3)
a
1 , 25 . y " i − 1 + 2 . y " i − 0 , 25 . y " i + 1
3
[
3.4323
0.3
4
[
2.5022
0.2
3
=
0.8684
0.1
0.2360
2
∫ i − 1 y ". dx
i
-1
(10 m )
-3
y" i =1/r tot
Courbure
0
x/l
Abscisse
1
Sections
5.4 Tableau de calcul des flèches
i
a
a
2
25.9851
24.9291
22.5812
19.1509
15.1818
11.0424
7.0733
3.6430
1.2951
0.2391
(10 )
-3
y' i -1+y' i
6.6399
6.3923
5.7784
4.8946
3.8750
2.8122
1.7925
0.9088
0.2948
0.0473
(δ)
(δ)
(10-3 m)
∫i −1 y.dx = 2 [y ' i −1 + y ' i ] + 12 [y " i −1 − y" i ]
0.6324
1.6338
0.9301
0.5145
0.1672
-0.1672
-0.5145
-0.9301
-1.6338
-0.6324
-1
(10 m )
-3
y" i-1 -y" i
Seconde intégration
33.4359
26.7959
20.4036
14.6252
9.7306
5.8556
3.0434
1.2509
0.3421
0.0473
0.0000
yi
Cumul
(10-3 m)
33.4359
30.0923
26.7487
23.4051
20.0615
16.7179
13.3743
10.0308
6.6872
3.3436
0.0000
y(l)/l*x
(10-3 m)
0.0000
-3.2963
-6.3451
-8.7799
-10.3309
-10.8623
-10.3309
-8.7799
-6.3451
-3.2963
0.0000
y =f
(10-3 m = mm)
Correction
État limite de service de déformation
237
238
Remarque 1
Les calculs conduisent bien à une déformée symétrique par rapport à la section
médiane.
Remarque 2
Pour la première intégration, la formule des trois niveaux donne dans la section
d’extrémité (compte tenu de la symétrie) :
y’i =
5,10 1
. {2 [1.0, 2360 + 4.0, 8684 + 2.2, 5022 + 4.3, 4323 + 2.3, 9468 ] + 4.4,1140} = 13,1120
10 3
Soit la valeur établie par double intégration.
5.5 Méthodes simplifiées
5.5.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure
Nous avons (voir § 2.3.1 des rappels théoriques) pour le découpage de la poutre
en dix intervalles égaux :
2 n
y i = – ----N
1
∑ k i, j --r-j
j=1
⎧ i = indice de la section où l'on calcule la flèche,
⎪
où ⎨ j = indice de la section dont on connaît la courbure,
⎪ n = nombre (impair) de sections du découpage.
⎩
avec :
( )
1 Mser x j
=
rj
E c , eff I
et I = I ch ou I cf selon le cas,
N = 6 000 ; y1 = 0 , y11 = 0
Soit, compte tenu de la symétrie :
2
⎧
1
1
1
1
1
1⎫
y 6 = – ------------- ⎨ 2 5 ---- + 30 ---- + 60 ---- + 90 ---- + 120 ---- + 140 ---- ⎬
6 000 ⎩
r1
r2
r3
r4
r5
r6 ⎭
y6 = −
5, 10 2
{2 [5.0, 236 + 30.0, 8684 + 60.2, 5022 + 90.3, 4323 + 120.3, 9468] + 140.4,1140}
6 000
y6 = −10, 819 mm
et on retrouve quasiment la valeur de
la flèche établie par double intégration
de la courbure :
y6 = −10, 819 mm ≈ −10,862 mm
à 4 ‰ près par défaut.
État limite de service de déformation
5.5.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle
du moment fléchissant
Nous avons (voir § 2.3.2 des rappels théoriques) à partir de la courbure de la
section à mi-portée de la poutre :
21
f = k. ---r0
avec :
k = coefficient fonction du
diagramme des moments :
1
= courbure dans la section
r0
la plus sollicitée :
= portée de la poutre :
chargement uniforme complet
⇒ k = 0, 104
1
= 4, 1140.10 −3 m −1 pour x = --- .
2
r0
= 5,10 m
Soit :
f = −0, 104.5, 10 2.4, 1140.10 −3 = −0, 011129 m
et on retrouve quasiment la valeur de
la flèche établie par double intégration
de la courbure :
y6 = −11, 129 mm ≈ −10,862 mm
à 2,4 % près par excès.
239
240
Application n˚ 2 : flèche d’une dalle
de plancher
–Énoncé–
A
5 ∅ 12 HA pm
COUPE AA
l y = 13,00 m
A
lx = 5,00 m
5 ∅ 12 HA pm
20 cm
On considère le panneau intermédiaire rectangulaire de dalle représenté cidessus.
Le panneau de dalle supporte des cloisons susceptibles d’être endommagées.
Matériaux :
• béton : fck = 25 MPa ;
• aciers : S 500.
On se propose de vérifier la flèche à l’ELS à partir des rapports portée/hauteur
en utilisant :
1/ les valeurs tirées du tableau ;
2/ les formules.
État limite de service de déformation
–Corrigé–
1. Valeurs tirées du tableau
Sens de flexion de la dalle :
α = ----x- >< 0,5
y
α=
5, 00
= 0, 38 < 0, 5
13, 00
⇒ le panneau de dalle porte dans le
sens x.
Pourcentage d’armatures :
ρ=
As
bw .d
ρ=
5.1, 13
= 0, 33 %
100.17
ρ=
As
>< 0, 5 %
bw .d
ρ=
As
= 0, 33 % < 0, 5 %
bw .d
⇒ le panneau de dalle est faiblement
sollicité.
Rapport portée/hauteur sorti du tableau :
⎫
⎪
⎬ ⇒
système structural ⎪⎭
ρ=
As
bw .d
--d
tableau
⎫
⎪
⎪
⎬
dalle intermédiaire portant ⎪
⎪
dans le sens x
⎭
As
ρ = ---------- = 0,5 %
b w .d
⇒
-d
= 30
tableau
Corrections :
• panneau de dalle supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées
avec :
7,00 m
eff = x ≥ 7,00 m ⇒ β = ---------------- eff = x = 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1
eff
• contrainte des aciers tendus dans la section à mi-travée :
β=
310 MPa
σs
241
242
avec :
310 MPa 500 MPa A s, prov
=
.
σs
fyk
A s, req
fyk = 500 MPa ⎫⎪
⎬ ⇒ β =1
A s, req inconnu ⎪⎭
Valeur du rapport portée/hauteur retenue :
--- = β. --d
d
--- = 1.1.30 = 30
d
tableau
⇒
d ≥ ----- = 500
-------- = 16,7 cm
30
30
⇒ d = 17 cm > 16, 7 cm O.K.
⇒
dispense de calcul de la flèche.
Remarque pour l’Annexe nationale française
⎫
⎪
⎬ ⇒
système structural⎪⎭
ρ=
As
bw .d
--d
tableau
⎫
⎪
⎪
⎬
dalle intermédiaire portant ⎪
⎪
dans le sens x
⎭
As
ρ = ----------- ≤ 0,5 %
b w .d
⇒
= 40
--d tableau
7,00 m
eff = x ≥ 7,00 m ⇒ β = ----------------- eff
eff = x ≥ 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1
β=
310 MPa
σs
avec :
310 MPa 500 MPa A s, prov
.
=
σs
fyk
A s, req
--- = β. --d
d
tableau
f yk = 500 MPa ⎫
⎬
A s, req inconnu ⎭
⇒
β = 1
--- = 1.1.40 = 40
d
500
⇒ d ≥ ------ = --------- = 12,5 cm
40
40
État limite de service de déformation
Valeur plus favorable que celle recommandée par l’EC 2.
⇒ d = 17 cm > 12, 5 cm O.K.
⇒
dispense de calcul de la flèche.
α=
5, 00
= 0, 38 < 0, 5
13, 00
2. Utilisation des formules
Sens de flexion de la dalle :
α = ----x- >< 0,5
y
⇒ le panneau de dalle porte dans le
sens x
Pourcentage d’armatures :
ρ=
As
bw .d
ρ=
5.1, 13
= 0, 33 %
100.17
Pourcentage d’armatures de référence :
ρ0 = fck .10 −3 (en MPa)
ρ0 = 25 .10 −3 = 0, 5 %
Coefficient tenant compte des différents systèmes structuraux tiré du tableau :
⎫
⎪
⎪
⎬ ⇒ K = 1,5
dalle intermédiaire portant ⎪
⎪
dans le sens x
⎭
As
ρ = ---------- = 0,5 %
b w .d
⎫
⎪
⎬ ⇒ K
type de dalle ⎪⎭
As
ρ=
bw .d
Remarque pour l’Annexe nationale française
La valeur du coefficient K est celle recommandée.
Rapport portée/hauteur obtenu par les formules :
ρ >< ρ0
ρ < ρ0
⇒
⇒
Formule à utiliser
-≤ K 11 + 1,5
d
ρ = 0, 33 % < ρ0 = 0, 5 %
ρ
f ck ----0- + 3,2
ρ
--- ≤ 1,5 11 + 1,5
d
3⁄2
ρ
f ck ⎛ ----0- – 1⎞
⎝ρ
⎠
0,5
25 ---------- + 3,2
0,33
0,5
25 ⎛ ---------- – 1⎞
⎝ 0,33 ⎠
3⁄2
= 42
243
244
Corrections :
• panneau de dalle supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées
avec :
7,00 m
eff = x ≥ 7,00 m ⇒ β = ---------------- eff = x = 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1
eff
• contrainte des aciers tendus dans la section à mi-travée :
β=
310 MPa
σs
avec :
310 MPa 500 MPa A s, prov
=
.
σs
fyk
A s, req
fyk = 500 MPa ⎫⎪
⎬ ⇒ β =1
A s, req inconnu ⎭⎪
Valeur du rapport portée/hauteur retenue :
--- = β. --d
d
--- = 1.1.42 = 42
d
tableau
⇒
500
d ≥ ----- = -------- = 11,9 cm
42
42
⇒ d = 17 cm > 11, 9 cm O.K.
⇒
dispense de calcul de la flèche.
Remarque
--d
Tableau
>< --d
Formules
--d
Tableau
= 30 ou 40 < 42 = --d
Formules
ce qui corrobore le fait que les valeurs extraites du tableau soient plus
« conservatives » que celles obtenues par les formules (et, par suite, que celles
résultant d’un calcul de la flèche par double intégration de la courbure).
5
I.
Poinçonnement
RAPPELS THÉORIQUES
Le poinçonnement est un phénomène qui est susceptible de se produire au
voisinage des zones d’application des charges concentrées sur les faces
supérieures ou inférieures des dalles (ou des appuis des poteaux sur les semelles
de fondation1).
La transmission de la charge concentrée à la dalle (ou à la semelle) s’effectue
par l’intermédiaire de bielles de béton :
• partant du contour de l’aire chargée ;
• formant un angle θ avec le feuillet moyen de l’élément.
Si la charge concentrée est trop importante et/ou si l’aire d’application de cette
charge est trop petite, il risque de se produire un « arrachement » d’une portion
de la dalle entourant la zone de chargement par rapport au reste de la dalle :
Aire
chargée
Pu
Feuillet
moyen
Revêtement
h1
h
h
2
Bielle de béton
Ce phénomène peut se rencontrer dans les cas suivants :
• Charge concentrée à la
surface d’une dalle,
Feuillet
Revêtement
moyen
h
2
1.
EC 2 – 6.4.1 (2)P
h1
θ
θ
d
h
246
• Appui d’une dalle sur
un poteau avec ou
sans chapiteau,
h
hH
θ
• Appui d’un poteau
sur une semelle de
fondation.
θ
d
θ
h
Il convient alors de vérifier la résistance au poinçonnement de la dalle2 :
• à l’origine de la bielle de béton partant du contour de l’aire chargée ;
• à l’extrémité de cette bielle, à son intersection avec le plan contenant les
armatures tendues sur la face de la dalle opposée à l’aire chargée (soit en
prenant θ = arctg1/2 : à la distance 2.d du contour de l’aire chargée) ;
• éventuellement, au-delà de l’extrémité de la bielle, si la vérification précédente conduit à prévoir des armatures de poinçonnement, pour délimiter la
zone où doivent être disposées ces armatures.
Ce qui conduit à considérer trois contours de vérification :
u 0 = contour confondu avec la limite de l’aire chargée,
u1 = contour excentré de 2.d par rapport au contour de l’aire chargée,
uout, ef ou uout = contour excentré par rapport au contour u1, délimitant la zone
où sont disposées les armatures de poinçonnement éventuelles.
Aire
chargée
1
θ = Arctg
2
d
θ
u0
2.
EC 2 – 6.4.1 (4)
h
θ
u1
uout, ef ou uout
Poinçonnement
1.
Contours de référence
1.1
Définitions
On désigne par :
• aire chargée ( A load) : l’aire d’application, à la surface d’une dalle, d’une
charge concentrée (appliquée ou réaction d’appui) ;
• contour de contrôle de référence (u1) : le contour entourant une aire chargée à
une distance donnée de celle-ci. Cette distance est prise égale à 2.d ;
• aire de contrôle de référence (A cont ) : l’aire délimitée par le contour de
contrôle de référence3 ;
• section de contrôle de référence : la section qui suit le contour de contrôle de
référence et s’étend sur la hauteur utile d ;
• contour de contrôle : un contour de même forme et parallèle au contour de
contrôle de référence4.
Aire
chargée
h
Trace de la section
de contrôle de référence
d
θ
θ = Arctg
θ
1
⇒ θ = 26,6°
2
As1y
2.d
As1z
Aire de contrôle
de référence
Aire de contrôle
de référence: Acont
Autre contour
de contrôle
2.d
Contour de contrôle
de référence : u1
Aire chargée : Aload
3.
4.
EC 2 – 6.4.1 (3)
EC 2 – 6.4.2 (7)
247
248
La hauteur utile de la dalle est considérée comme constante et prise égale à5 :
d eff =
d y + dz
(6.32)
2
avec : d y et dz = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpendiculaires.
Pour des dalles ou semelles de fondation de hauteur variable, mais pas à redans,
la hauteur utile peut être prise égale à l’épaisseur le long du contour de l’aire
chargée6 :
d0
θ = Arctg
1
2
2.d
Aire
chargée
Section de
contrôle de référence
2.d
d
θ
1.2
h
θ
Aire chargée éloignée d’un bord libre
Il convient de minimiser la longueur du contour de contrôle de référence tout en
respectant la distance 2.d à l’aire chargée7 :
u1
2.d
u1
u1
2.d
2.d
2.d
5.
6.
7.
EC 2 – 6.4.2 (1)
EC 2 – 6.4.2 (6)
EC 2 – 6.4.2 (1)
Poinçonnement
1.3
Aire chargée près d’une ouverture8
l1 (≤ l2 )
≤ 6.d
u1
2.d
l2
Aire chargée
1.4
La partie du contour de
contrôle comprise entre les
deux tangentes à la trémie
issues du centre de l’aire
chargée est considérée comme
non participante8.
Pour 1 > 2, remplacer 2
par :
Trémie
1 . 2.
Aire chargée proche de bords libres
Remplacer les contours de contrôle de référence obtenus au § 1.2 par ceux indiqués
ci-dessous si le périmètre qui en résulte (bords libres déduits) est plus faible9 :
Bord libre
u1
u1
Bord libre
2.d
2.d
u1
Bord libre
2.d
Bord libre
2.d
2.d
2.d
Pour une charge située à une distance inférieure à d d’un bord libre, il convient
de prévoir des armatures de rive particulières10 :
≤d
h
≥ 2.h
8. EC 2 – 6.4.2 (3)
9. EC 2 – 6.4.2 (4)
10. EC 2 – 6.4.2 (5) + 9.3.1.4
249
250
1.5
Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles)
1.5.1
Cas des poteaux circulaires
On désigne par :
H = distance du nu du poteau au bord du chapiteau,
h H = hauteur du chapiteau,
c = diamètre du poteau.
Suivant que la face latérale du chapiteau est située en deçà ou au-delà de la
bielle de béton partant du contour de l’aire chargée, on distingue les deux cas ciaprès.
1.5.1.1 Cas où H < 2.hh
La vérification des contraintes de poinçonnement n’est exigée que pour une
section de contrôle située à l’extérieur du chapiteau à la distance 2.d du contour
du sommet du chapiteau, soit à une distance de la ligne moyenne du poteau telle
que11 :
r cont = 2.d + H + 0,5.c .
(6.33)
θ
hH
θ
lH
lH
c
A = section de contrôle de référence,
11. EC 2 – 6.4.2 (8)
d
θ
θ
B = aire chargée.
A
rcont
rcont
B
θ = Arctg
1
⇒ θ = 26,6°
2
Poinçonnement
1.5.1.2 Cas où h ≥ 2.hH
La vérification des contraintes de poinçonnement est exigée pour les deux
sections de contrôle situées12 :
• à l’extérieur du chapiteau (ce qui correspond à la bielle de béton partant du
sommet du chapiteau, comme pour le cas du § 1.5.1.1) ;
• et à l’intérieur du chapiteau (ce qui correspond à la bielle de béton partant de
la base du chapiteau) ;
soit aux distances de la ligne moyenne du poteau suivantes13 :
r cont, ext = 2.d + H + 0,5.c (contour à l’extérieur du chapiteau),
(6.36)
rcont, int = 2 ( d + h H ) + 0, 5.c (contour à l’intérieur du chapiteau).
(6.37)
A
rcont, ext
A
rcont, int
A
rcont, int
d
d
dH
dH
hH
A
rcont, ext
lH
lH
c
hH
B
= Arctg
1
⇒ = 26,6
2
A = sections de contrôle de référence,
B = aire chargée.
Pour la vérification des contraintes de poinçonnement à l’intérieur du chapiteau
la hauteur utile à prendre en compte est égale à d H14.
1.5.2
Cas des poteaux rectangulaires
On désigne par :
h H = hauteur du chapiteau,
c1 et c 2 = dimensions du poteau,
12. EC 2 – 6.4.2 (9)
13. EC 2 – 6.4.2 (11)
14. EC 2 – 6.4.2 (10)
251
252
H1 et H2 = distances du nu du poteau au bord du chapiteau, parallèlement à c1
et c 2 respectivement.
Les dimensions du chapiteau au niveau de la sous-face de la dalle sont obtenues
par :
1 = c1 + 2.H1 = largeur parallèle à c1,
2 = c2 + 2.H2 = largeur parallèle à c 2,
avec 1 ≤ 2.
lH1
(l )
lH1
H2
(l )
H2
c1
(c )
l1 (< l2 )
2
(l )
2
1.5.2.1 Cas des chapiteaux rectangulaires avec H < 2.hH
La vérification des contraintes de poinçonnement n’est exigée que pour une
section de contrôle située à l’extérieur du chapiteau (voir figure § 1.5.1.1) à la
distance de la ligne moyenne du poteau15 :
⎧ 2.d + 0,56 1 . 2
.
r cont = Min ⎨
⎩ 2.d + 0,69. 1
(6.34 & 6.35)
Remarque
Pour les Règles EC 2, le domaine d’application de ce cas est : H < 2.d. Le cas
où 2.d ≤ H ≤ 2.hH n’est, par conséquent, pas couvert lorsque d ≤ hH.
1.5.2.2 Cas où H > 2.hH
La vérification des contraintes de poinçonnement est exigée pour les deux
sections de contrôle situées à l’extérieur et à l’intérieur du chapiteau16 (voir
figure § 1.5.1.2).
15. EC 2 – 6.4.2 (8)
16. EC 2 – 6.4.2 (9)
Poinçonnement
2.
Résistances au poinçonnement
2.1
Contraintes tangentes résistantes
Les valeurs de calcul des résistances au poinçonnement le long des sections de
contrôle sont17 :
v Rd , c = valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans
armatures de poinçonnement,
v Rd , cs = valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec
armatures de poinçonnement,
v Rd, max = valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une
dalle.
2.1.1
Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle
ou d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement
2.1.1.1 Cas des dalles
La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans
armatures de poinçonnement est donnée par la formule18 :
v Rd , c
1
⎧⎪ C
3 + k .σ
1 cp
Rd , c .k. (100.ρl .fck )
(MPa)
= Max ⎨
+
k
v
.σ
1 cp
⎩⎪ min
(6.47)
avec :
CRd , c =
0, 18
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
γc
française19,
fck en MPa,
⎧
200
⎪1 +
k = Min ⎨
d où d est en mm,
⎪2
⎩
⎧⎪ ρly .ρlz
ρl = Min ⎨
,
⎩⎪ 0, 02
17. EC 2 – 6.4.3 (1)P
18. EC 2 – 6.4.4 (1)
19. EC 2 – voir AN
253
254
où :
ρly et ρlz = pourcentages d’armatures tendues dans les directions y et z
respectivement. Il s’agit des valeurs moyennes calculées
pour une largeur de dalle égale à la largeur du poteau
augmentée de 3.d de part et d’autre de celui-ci,
3
v min = 0, 035.k 2 . fck
(6.3N)
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française20,
k1 = 0 , 1
σ cp =
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française21,
σ cy + σ cz
2
où :
σ cy et σ cz = contraintes normales supportées par le béton dans la
section critique suivant les directions y et z respectivement (MPa, positives en compression),
N Ed , y
N Ed , z
σ cy =
, σ cz =
A cy
A cz
N Ed ,
A cy
et N Ed , z = efforts normaux agissant sur les largeurs de
dalle participante associées aux poteaux,
et A cz = aires des sections de béton qui correspondent aux
efforts normaux N Ed , y et N Ed , z pris en compte.
y
Remarque
La formule de vRd, c est identique à celle figurant au § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort
tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles.
2.1.1.2 Cas des semelles de poteaux
La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une semelle de poteau
sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule22 :
v Rd
1 2.d
⎧C
3.
k
f
.
.
100
.
ρ
.
(
)
,
Rd
c
ck
⎪⎪
a
(MPa)
= Max ⎨
⎪ v min 2.d
⎪⎩
a
(6.49) et (6.50)
avec :
a = distance du nu du poteau au contour de contrôle considéré,
20. EC 2 – voir AN
21. EC 2 – voir AN
22. EC 2 – 6.4.4 (2)
Poinçonnement
CRd , c =
0, 18
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
γc
française23,
3
v min = 0, 035.k 2 . fck
(6.3N)
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française24,
⎧
200
⎪1 +
k = Min ⎨
d où d est en mm.
⎪2
⎩
2.1.2
Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle
ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement
La valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou
d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement est donnée
par la formule25 :
v Rd , max = 0, 5.ν.fcd
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française26
où :
f
ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞
⎝
250 ⎠
(6.6N)
valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française avec fck en
MPa27.
2.1.3
Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle
ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement
La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une
semelle de poteau avec armatures de poinçonnement est donnée par la
formule28 :
v Rd , cs = 0, 75.v Rd , c + 1, 5
23.
24.
25.
26.
27.
28.
EC 2 – voir AN
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.4.5 (3)
EC 2 – voir AN
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.4.5 (1)
d
1
A sw .fywd , ef
sin α (MPa)
sr
u1 .d
(6.52)
255
256
avec :
A sw = aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre
autour du poteau ou du contour chargé en mm2,
sr = espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement en mm,
d = hauteur utile moyenne en mm,
fywd , ef = limite d’élasticité
poinçonnement :
de
calcul
efficace
des
armatures
de
⎧ 250 + 0, 25.d
fywd , ef = Min ⎨
en MPa,
⎩ fywd
α = angle des armatures de poinçonnement avec le feuillet moyen de la
dalle.
2.2
Vérification de la valeur maximale de calcul
de la résistance au poinçonnement
2.2.1
Contrainte maximale de poinçonnement
2.2.1.1 Cas d’une charge localisée centrée par rapport au contour de contrôle à la surface d’une dalle
La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le
contour de contrôle considéré29 :
v Ed =
VEd
u i .d
(6.38)
avec :
ui =
périmètre du contour de contrôle,
VEd = effort agissant (charge poinçonnante),
d=
d=
hauteur utile moyenne de la dalle :
d y + dz
2
(6.32)
d y et dz = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions
perpendiculaires.
29. EC 2 – 6.4.3 (3)
Poinçonnement
2.2.1.2 Cas d’une semelle de fondation
La valeur nette de l’effort agissant vaut30 :
VEd , red = VEd − ΔVEd
(6.48)
avec :
VEd = effort tranchant appliqué,
ΔVEd = valeur nette de la force de réaction verticale à l’intérieur du contour
de contrôle considéré (réaction du sol moins poids propre de la
fondation).
Cas d’une charge centrée
La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le
contour de contrôle considéré31 :
v Ed =
VEd , red
u i .d
(6.49)
avec :
u i = périmètre du contour de contrôle,
d = hauteur utile moyenne de la semelle :
d=
d y + dz
2
(6.32)
d y et dz = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions
perpendiculaires.
Cas d’une charge excentrée
La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le
contour de contrôle considéré32 :
v Ed =
VEd , red ⎡
M Ed .u ⎤
⎢1 + k
⎥
u.d ⎢⎣
VEd , red .W ⎥⎦
(6.51)
avec :
k = coefficient déterminé par le tableau du § 2.2.1.3, cas général
W = coefficient W1 donné au § 2.2.1.3, cas général, 2.2.1.4 ou 2.2.1.5 ciaprès suivant la position du poteau considéré (courant, de rive ou
d’angle) calculé sur le périmètre du contour de contrôle u.
30. EC 2 – 6.4.1 (5) + 6.4.4 (2) + 6.4.3 (8)
31. EC 2 – 6.4.3 (1) & 6.4.4 (2)
32. EC 2 – 6.4.4 (2)
257
258
2.2.1.3 Cas d’une charge localisée excentrée par rapport au contour
de contrôle à la surface d’une dalle
Cas général
La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le
contour de contrôle considéré33 :
v Ed = β
VEd
u i .d
(6.38)
avec :
d = hauteur utile moyenne de la dalle,
u i = périmètre du contour de contrôle considéré,
β donné par la formule :
β = 1+ k
MEd u1
.
VEd W1
(6.39)
où :
u1 = périmètre du contour de contrôle de référence,
k = coefficient fonction des dimensions c1 et c 2 du poteau prenant en
compte la proportion du moment non équilibré transmis par
cisaillement non uniforme et par flexion et torsion :
W1 =
c1
---c2
≤ 0,5
1,0
2,0
≥ 3,0
k
0,45
0,60
0,70
0,80
u
1
∫0 e .d correspond à une répartition des contraintes de cisaillement
telle que représentée ci-dessous et dépend du périmètre du contour de
contrôle de référence u1 :
33. EC 2 – 6.4.3 (3)
Poinçonnement
2.d
c1
e
MEd
dl
c2
2.d
d = longueur élémentaire du contour,
e = distance de d à l’axe autour duquel le moment MEd agit.
Cas d’un poteau rectangulaire
La formule générale s’applique avec :
W1 =
c12
+ c1 .c 2 + 4.c 2 .d + 16.d 2 + 2.π.d.c1
2
(6.41)
où :
c1 = dimension du poteau parallèle à l’excentricité de la charge,
c 2 = dimension du poteau perpendiculaire à l’excentricité de la charge.
Cas d’un poteau circulaire intérieur
La formule générale s’applique avec :
β = 1 + 0 , 6. π
e
D + 4.d
(6.42)
où : D = diamètre du poteau circulaire.
Cas d’un poteau rectangulaire intérieur avec charge excentrée
dans les deux directions
La formule générale s’applique avec :
2
⎛e ⎞
⎛ ey ⎞
β = 1 + 1, 8 ⎜ ⎟ + ⎜ z ⎟
⎝ bz ⎠
⎝ by ⎠
2
(6.43)
259
260
où :
e y et e z = excentricités de
MEd
,suivant les axes y et z respectivement,
VEd
b y et bz = dimensions du contour de contrôle :
z
VEd
ez
2.d
bz
y
ey
u1
by
2.2.1.4 Cas des poteaux de rive soumis à des moments fléchissants
On pose :
e per = excentricité dans le sens perpendiculaire au bord libre,
e par = excentricité dans le sens parallèle au bord libre,
N Ed = effort normal à l’ELU.
⎪⎧1,5.d
Min ⎨
⎩⎪0,5.c1
u1*
Bord libre
2.d
c2
epar
NEd
c1
2.d
eper
Poinçonnement
Poteau sollicité en flexion composée avec un moment fléchissant d’axe
parallèle au bord libre de la dalle
Dans le cas où34 :
e per est dirigée vers l’intérieur,
e par = 0,
l’effort de poinçonnement peut être considéré comme uniformément réparti le
long du contour de contrôle réduit u1* défini sur la figure ci-dessus.
La contrainte maximale de poinçonnement est obtenue par la formule :
v Ed =
VEd
u1* .d
Dans le cas où e per est dirigée vers l’extérieur, les formules (6.38) et (6.39) du
§ 2.2.1.3 s’appliquent :
v Ed = β
VEd
u1 .d
avec, pour l’évaluation du coefficient W1, l’excentricité e mesurée depuis l’axe
du contour de contrôle (et non pas depuis l’axe du moment).
Poteau sollicité en flexion déviée
La formule (6.38) du § 2.2.1.3, cas général, donnant la contrainte maximale de
poinçonnement s’applique avec35 :
β=
u1
u
+ k 1 e par
u1*
W1
(6.44)
où :
u1 = périmètre du contour de contrôle de référence (voir figures du § 1.4),
u1* = périmètre du contour de contrôle de référence réduit (voir figure cidevant),
k = coefficient déterminé par le tableau du § 2.2.1.3, cas général, en
remplaçant c1 c 2 par c1 2.c 2,
=
W1 coefficient calculé sur le périmètre du contour de contrôle de référence
u1.
Dans le cas d’un poteau rectangulaire (voir figure ci-devant) :
W1 =
c 22
+ c1 .c 2 + 4.c1 .d + 8.d 2 + π.d.c 2
4
34. EC 2 – 6.4.3 (4)
35. EC 2 – 6.4.3 (4)
(6.45)
261
262
2.2.1.5 Cas des poteaux d’angle soumis à des moments fléchissants
c1
Bord libre
u1*
c2
Bord libre
⎪⎧1,5.d
Min ⎨
⎩⎪0,5.c2
2.d
2.d
⎧⎪1,5.d
Min ⎨
⎪⎩0,5.c1
La formule (6.38) du § 2.2.1.3, cas général, donnant la contrainte maximale de
poinçonnement s’applique avec36 :
• si l’excentricité est dirigée vers l’intérieur de la dalle :
β=
u1
u1*
(6.46)
où :
u1 = périmètre du contour de contrôle de référence (voir figure de droite au
§ 1.4),
u1* = périmètre du contour de contrôle de référence réduit suivant lequel la
répartition de l’effort de poinçonnement est uniforme (voir figure ci-devant),
• si l’excentricité est dirigée vers l’extérieur de la dalle :
β = 1+ k
MEd u1
.
VEd W1
(6.39)
2.2.1.6 Cas des structures contreventées
Pour les structures37 :
• dont la stabilité latérale ne dépend pas du fonctionnement en portique des
dalles et des poteaux ;
• et où les longueurs des travées adjacentes ne diffèrent pas de plus de 25 % :
36. EC 2 – 6.4.3 (5)
37. EC 2 – 6.4.3 (6)
Poinçonnement
i
0,8 ≤ ---------≤ 1,25
i + 1
on peut prendre en compte les valeurs approchées suivantes du coefficient β,
recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale française38 :
⎧1, 5 : poteau d'angle,
⎪
β = ⎨1, 4 : poteau de rive,
⎪1, 15 : pooteau intérieur.
⎩
Bord libre
= 1,5
Bord libre
= 1,4
= 1,15
2.2.1.7 Cas des planchers-dalles
Lorsqu’une charge concentrée est appliquée au voisinage d’un poteau, il n’y a
pas lieu de tenir compte de la réduction d’effort tranchant pour transmission
directe des charges aux appuis39.
2.2.2
Vérification
Il convient de vérifier le long du contour de l’aire chargée ou du poteau la
condition40 :
v Ed = β
VEd
≤ v Rd , max
u 0 .d
où :
• pour une charge concentrée à la surface d’une dalle41 :
38.
39.
40.
41.
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.4.3 (7)
EC 2 – 6.4.3 (2)
EC 2 – 6.4.3 (2a)
(6.53)
263
264
u 0 = contour de l’aire chargée,
• pour une semelle de poteau42 :
⎧
⎪ périmètre du poteau : poteau intérieur,
⎪
⎪⎪
⎧ c 2 + 3.d
: poteau de rive,
u 0 = ⎨ Min ⎨
⎩ c 2 + 2.c1
⎪
⎪
3.d
⎪ Min ⎧⎨
: poteau d'angle.
⎪⎩
⎩ c1 + c 2
Si cette condition n’est pas satisfaite, il convient :
• soit d’augmenter l’épaisseur de la dalle :
v Ed = β
VEd
≤ v Rd , max = 0, 5.ν.fcd
u 0 .d
⇒ u 0 .d ≥
β.VEd
;
0, 5.ν.fcd
• soit d’utiliser un béton de résistance supérieure ;
• soit d’augmenter l’aire de chargement (interposition d’une plaque entre la
charge et la dalle).
2.3
Dalles ou semelles de poteaux sans armatures
de poinçonnement
2.3.1
Contrainte maximale de poinçonnement
Voir § 2.2.1 pour la contrainte maximale de poinçonnement et § 2.1.1 pour la
valeur de calcul de la résistance au poinçonnement.
2.3.2
Vérification
2.3.2.1 Cas des dalles
Aucune armature de poinçonnement n’est requise si, pour la section de contrôle
de référence (à l’intérieur ou à l’extérieur des chapiteaux pour les plancherschampignons43) :
v Ed ≤ v Rd , c
Si cette condition n’est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de
poinçonnement calculées comme indiqué au § 2.4.
42. EC 2 – 6.4.5 (3)
43. EC 2 – 6.4.3 (2) + 6.4.2 (10)
Poinçonnement
2.3.2.2 Cas des semelles de poteaux
Aucune armature de poinçonnement n’est requise si, pour les contours de
contrôle situés au plus à 2.d du nu du poteau44 :
v Ed ≤ v Rd
Si cette condition n’est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de
poinçonnement calculées comme indiqué au § 2.4.
2.4
Dalles ou semelles de poteaux avec armatures
de poinçonnement
2.4.1
Contrainte maximale de poinçonnement
Voir § 2.2.1 pour la contrainte maximale de poinçonnement.
2.4.2
Calcul des armatures de poinçonnement
La condition à vérifier pour une dalle avec armatures de poinçonnement s’écrit
(voir § 2.1.3) :
v Ed ≤ v Rd , cs = 0, 75.v Rd , c + 1, 5
d
1
A sw .fywd , ef
sin α
sr
u1 .d
On en déduit la section des armatures de poinçonnement :
)
(
v Ed − 0, 75.v Rd , c u1 .d
A sw
.fywd , ef ≥
1, 5.d.sin α
sr
avec :
A sw = aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre
autour du poteau en mm2,
sr = espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement en mm.
2.4.3
Contour de la zone avec armatures de poinçonnement
Le contour de contrôle au-delà duquel aucune armature de poinçonnement n’est
requise est défini par45 :
v Ed = β
VEd
uout, ef .d
44. EC 2 – 6.4.3 (2) + 6.4.4 (2)
45. EC 2 – 6.4.5 (4)
≤ v Rd , c
⇒
uout, ef = β
VEd
v Rd , c .d
(6.54)
265
266
Il convient de placer la file périphérique extérieure des armatures de poinçonnement à une distance inférieure ou égale à k.d à l’intérieur de uout, ef ou de
uout :
u out, of
u out
> 2.d
≤ 2.d
k.d
k.d
d
Contour uout
Contour uout, ef
k = 1,5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française46.
2.4.4
Dispositions constructives
Les armatures de poinçonnement sont disposées entre l’aire chargée (ou le
poteau support) et le contour à la distance k.d à l’intérieur du contour à partir
duquel les armatures d’effort tranchant ne sont plus exigées47 :
k = 1,5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française48.
Armatures de
poinçonnement
A
x ≤ 0,75.d ≤ 0,75.d ≤ 0,75.d ≤ k.d
0,5.d > x > 0,3.d
A
B
46. EC 2 – voir AN
47. EC 2 – 9.4.5 (2) +9.4.3 (1) et (4)
48. EC 2 – voir AN
B
Poinçonnement
Espacement radial (2 cours au moins) :
sr ≤ 0, 75.d
Espacement tangentiel le long d’un contour (voir figure § 2.4.3) :
⎧1, 5.d : contour à l'intérieur du contour de référrence,
⎪
s t ≤ ⎨ 2.d : contour à l'extérieur du premier contour où les
⎪
armatures de poinçonnement sont nécessaaires.
⎩
2.4.5
Section minimale d’armatures de poinçonnement
Elle est donnée par la formule49 :
A sw , min
sr .s t
(1, 5.sin α + cos α ) ≥ 0, 08
fck
fyk
(9.11)
avec :
A sw, min = aire du brin d’un étrier,
α = angle entre les armatures de poinçonnement et les armatures principales
(c’est-à-dire α = 90˚ pour des cadres verticaux),
sr = espacement dans la direction radiale,
s t = espacement dans la direction tangentielle,
fck et fyk en MPa.
2.4.6
Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement
Les barres relevées traversant l’aire chargée ou se trouvant à une distance de
cette aire inférieure à 0,25.d peuvent jouer le rôle d’armatures de poinçonnement50.
Pour des barres relevées disposées comme indiqué sur la figure ci-dessous, une
seule file périphérique de cadres et étriers est suffisante51.
49. EC 2 – 9.4.3 (2)
50. EC 2 – 9.4.3 (3)
51. EC 2 – 9.4.3 (1)
267
268
0,25.d
Barres relevées
utilisées comme
armatures de
poinçonnement
A
< 0,5.d
A
2.d
A
Lorsqu’une seule file de barres relevées est prévue :
• leur angle de pliage52 peut être réduit à 30˚ ;
• l’expression (6.52) du § 2.1.3 donnant v Rd , cs s’applique en prenant53
d
= 0, 67.
sr
52. EC 2 – 9.4.3 (4)
53. EC 2 – 9.4.5 (1)
Poinçonnement
II.
APPLICATIONS
Application n˚ 1 : étude au poinçonnement
d’une dalle – Aire chargée circulaire
–Énoncé–
On considère la dalle supportant une charge concentrée P = 52 kN, éloignée des
bords de la dalle, figurée ci-dessous :
- VUE EN PLAN -
- ÉLÉVATION 20 cm
P
dz = 9 cm dy = 10 cm
h
As1y : 5 ∅ 12 HA p.m.
As1z : 3 ∅ 8 HA p.m.
Matériaux :
• acier : S 500 ;
• béton : fck = 25 MPa.
On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement.
–Corrigé–
1. Contour de référence
La charge concentrée étant centrée et éloignée des bords de la dalle :
u1
2.d
c = 20 cm
20 cm
269
270
Périmètre de l’aire chargée :
u 0 = π.c
u 0 = π.0, 20 = 0,628 m
Hauteur utile de la dalle :
d=
d y + dz
2
d=
10 + 9
= 9,5 cm
2
Périmètre du contour de référence :
u1 = π ( c + 2.2.d )
u1 = π ( 0, 20 + 4.0, 095) = 1,822 m
2. Contrainte tangente de référence
Charge poinçonnante :
VEd = 1, 5.Q
VEd = 1, 5.52 = 78 KN
Contrainte maximale de poinçonnement :
v Ed =
VEd
u1 .d
v Ed =
78.10 −3
= 0,451 MPa
1, 822.0, 095
3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle
sans armatures de poinçonnement
v Rd , c
1
⎧⎪ C
.k. (100.ρl .fck ) 3 + k1 .σ cp
Rd
,
c
= Max ⎨
⎩⎪ v min + k1 .σ cp
avec :
fck en MPa,
fck = 25 MPa
⎧
200
⎪1 +
k = Min ⎨
d où d est en mm,
⎪2
⎩
⎧
200
= 2, 45
⎪1 +
k = 2 = Min ⎨
95
⎪2
⎩
A s1y
ρ ly = ---------------------1,00 m.d y
ρly =
5.1, 13
= 0, 00565
100.10
A s1z
ρ lz = ---------------------1,00 m.d z
ρlz =
3.0, 5
= 0, 0017
100.9
Poinçonnement
⎪⎧ ρly .ρlz
ρl = Min ⎨
⎪⎩ 0, 02
σ cp =
⎧ 0, 00565.0, 0017 = 0, 0031
ρl = 0, 0031 = Min ⎨
⎩ 0, 02
σ cy + σ cz
σ cp = 0 (dalle fléchie uniquement)
2
0, 18
γc
CRd , c =
CRd , c =
0, 18
= 0, 12
1, 5
k1 = 0 , 1
3
3
v min = 0, 035.k 2 . fck
v min = 0, 035.2 2. 25 = 0, 495 MPa
⎧⎪ 0, 12.2. (100.0, 0031.25) 13 + 0, 1.0 = 0, 475
v Rd , c = Max ⎨
⎩⎪ 0, 495 + 0, 1.0 = 0, 495
v Rd , c = 0, 495 MPa
4. Nécessité d’armatures de poinçonnement
4.1 Au voisinage de l’aire chargée
Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de l’aire chargée :
v Ed = β
VEd
u 0 .d
v Ed = 1
78.10 −3
= 1,307 MPa
0, 628.0, 095
(β = 1 pour une charge localisée centrée
par rapport au contour de contrôle).
Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec
ou sans armatures de poinçonnement :
vRd, max = 0,5.ν.fcd
f
ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞
⎝
250 ⎠
fcd = α cc
fck
γc
25 ⎞
ν = 0, 6 ⎛ 1 −
= 0, 54
⎝
250 ⎠
fcd = 1
25
= 16,7 MPa
1, 5
v Rd, max = 0, 5.0, 54.16, 7 = 4,51 MPa
271
272
Vérification :
v Ed >< v Rd , max
v Ed = 1, 307 MPa < 4, 51 MPa = v Rd , max
O.K.
4.2 Sur le contour de référence
Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de référence :
v Ed =
VEd
u1 .d
v Ed =
78.10 −3
= 0,451 MPa (voir § 2)
1, 822.0, 095
Vérification :
v Ed >< v Rd , c
v Ed = 0, 451 MPa < 0, 495 MPa = v Rd , c
⇒ armatures de poinçonnement non
nécessaires.
Application n˚ 2 : étude au poinçonnement
d’une dalle – Aire chargée rectangulaire
–Énoncé–
On considère la dalle supportant une charge concentrée P = 75 KN, éloignée des
bords de la dalle, figurée ci-dessous :
- VUE EN PLAN -
- ÉLÉVATION 12 cm x 12 cm
p
dz = 9 cm dy = 10 cm
h
12 cm
As1y : 5 ∅ 12 HA p.m.
As1z : 5 ∅ 8 HA p.m.
Matériaux :
• acier : S 500 ;
• béton : fck = 25 MPa.
On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement.
12 cm
Poinçonnement
–Corrigé–
1. Contour de référence
La charge concentrée étant centrée et éloignée des bords de la dalle :
u1
2.d
c1 = 0,12 m
0,12 m
Périmètre de l’aire chargée :
u 0 = 4.c1
u 0 = 4.0, 12 = 0,48 m
Hauteur utile de la dalle :
d=
d y + dz
d=
2
10 + 9
= 9,5 cm
2
Périmètre du contour de référence :
u1 = 4.c1 + 4
2.π. ( 2.d )
4
u1 = 4.0, 12 + 4
2.π. ( 2.0, 095)
= 1,674 m
4
2. Contrainte tangente de référence
Charge poinçonnante :
VEd = 1, 5.Q
VEd = 1, 5.75 = 112,5 KN
Contrainte maximale de poinçonnement :
v Ed =
VEd
u1 .d
v Ed =
112, 5.10 −3
= 0,707 MPa
1, 674.0, 095
3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle
sans armatures de poinçonnement
v Rd , c
1
⎧⎪ C
3 + k .σ
1 cp
Rd , c .k. (100.ρl .fck )
= Max ⎨
⎩⎪ v min + k1 .σ cp
273
274
avec :
fck en MPa,
fck = 25 MPa
⎧
200
⎪1 +
k = Min ⎨
d où d est en mm,
⎪2
⎩
⎧
200
= 2, 45
⎪1 +
k = 2 = Min ⎨
95
⎪2
⎩
A s1y
ρ ly = ---------------------1,00 m.d y
ρly =
5.1, 13
= 0, 00565
100.10
A s1z
ρ lz = ---------------------1,00 m.d z
ρlz =
5.0, 5
= 0, 00278
100.9
⎧⎪ ρly .ρlz
ρl = Min ⎨
⎩⎪ 0, 02
σ cp =
CRd , c
⎧ 0, 00565.0, 00278 = 0, 0040
ρl = 0, 0040 = Min ⎨
⎩ 0, 02
σ cy + σ cz
σ cp = 0 (dalle fléchie uniquement)
2
0, 18
=
γc
CRd , c =
0, 18
= 0, 12
1, 5
k1 = 0 , 1
3
3
v min = 0, 035.k 2 . fck
v min = 0, 035.2 2. 25 = 0, 495
⎧⎪ 0, 12.2. (100.0, 0040.25) 13 + 0, 1.0 = 0, 517
v Rd , c = Max ⎨
⎩⎪ 0, 495 + 0, 1.0 = 0, 495
v Rd , c = 0, 517 MPa
4. Nécessité d’armatures de poinçonnement
4.1 Au voisinage de l’aire chargée
Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de l’aire chargée :
v Ed = β
VEd
u 0 .d
v Ed = 1
112, 5.10 −3
= 2,47 MPa
0, 48.0, 095
(β = 1 pour une charge localisée centrée
par rapport au contour de contrôle).
Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec
ou sans armatures de poinçonnement :
v Rd , max = 0, 5.ν.fcd
Poinçonnement
f
ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞
⎝
250 ⎠
fcd = α cc
25 ⎞
ν = 0, 6 ⎛ 1 −
= 0, 54
⎝
250 ⎠
fck
γc
fcd = 1
25
= 16,7 MPa
1, 5
v Rd, max = 0, 5.0, 54.16, 7 = 4,51 MPa
Vérification :
v Ed >< v Rd , max
v Ed = 2, 47 MPa < 4, 51 MPa = v Rd , max
O.K.
4.2 Sur le contour de référence
Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de référence :
v Ed =
VEd
u1 .d
v Ed =
Vérification :
v Ed >< v Rd , c
112, 5.10 −3
= 0,707 MPa (voir § 2)
1, 674.0, 095
v Ed = 0, 707 MPa > 0, 517 MPa = v Rd , c
⇒ armatures de poinçonnement
nécessaires.
5. Armatures de poinçonnement
5.1 Armatures calculées
Armatures résistantes :
)
(
v Ed − 0, 75.v Rd , c u1 .d
A sw
.fywd , ef ≥
1, 5.d.sin α
sr
⎧ 250 + 0, 25.d
fywd , ef = Min ⎨
(MPa, mm)
⎩ fywd
fywd , ef
⎧ 250 + 0, 25.95 = 274 MPa
⎪
= 274 MPa = Min ⎨ 500
⎪⎩ 1, 15 = 435 MPa
α = angle des armatures
de poinçonnement avec le feuillet
moyen de la dalle :
α = 90˚ (armatures droites)
A sw ( 0, 707 − 0, 75.0, 517 ) 1, 674.0, 095 2
≥
10
1, 5.0, 095.1.274
sr
A sw
1
≥
cm 2 /cm de contour
7, 69
sr
275
276
Contour de la zone contenant les armatures de poinçonnement :
uout, ef = β
VEd
uout, ef = 1
v Rd , c .d
uout, ef = 4.c1 + 4
112, 5.10 −3
= 2,291 m
0, 517.0, 095
2.π. ( 2.d ')
4
uout, ef = 4.c1 + 2.π. ( 2.d ') ⇒ 2.d ' =
uout, ef − 4.c1
2.π
2.d ' =
2, 291 − 4.0, 12
= 0,288 m
2.π
5.2 Dispositions constructives
5.2.1 Espacement radial des armatures de poinçonnement
En disposant les nappes d’armatures de poinçonnement parallèlement aux côtés
de l’aire chargée :
Armatures de poinçonnement
x
100
= 20 cm
5
sr
B
A
sr
≤ k.d
sr
2.d
2.d'
20 cm
5 ∅ 12 HA p.m.
ou
5 ∅ 8 HA p.m.
st
12 cm
4 cm
2.d = 19 cm
2.d' = 28,8 cm
Poinçonnement
x >< 0, 3.d
x = 4 cm > 2, 85 cm = 0, 3.9, 5 O.K.
2.d '− 2.d >< k.d
28, 8 − 19 = 9, 8 cm < 14, 25 cm = 1, 5.9, 5 O.K.
Pour deux cours d’armatures de poinçonnement :
sr = 2.d − x >< 0, 75.d
sr = 19 − 4 = 15 cm > 7, 125 cm = 0, 75.9, 5
⇒ prenons 4 cours (ce qui imposera de
prévoir des barres de montage, parallèles au
feuillet moyen de la dalle et de faible diamètre) :
sr =
15
= 5 cm < 7, 125 cm O.K.
3
⇒ vérification de la section d’armatures de
poinçonnement
calculée
pour
des
épingles φ 6 HA, le long du contour uout, ef :
A sw = 8.0,28 = 2,24 cm2
sr = 2,24.7,69 = 17,23 cm > 5 cm O.K.
19 2 = 26,87 cm > 19 cm = 2.9,5 = 2.d
k.d = 14,25 cm > 9,8 cm
st = 12 cm
d = 9,5 cm
28,8
1914 9 4
5.2.2 Espacement tangentiel des armatures de poinçonnement
⎧ 1,5.d : contour à l’intérieur du contour de référence,
⎪
s t ≤ ⎨ 2.d : contour à l’extérieur du premier contour où les armatures
⎪
de poinçonnement sont nécessaires
⎩
st = 12 cm < 14,25 cm = 1,5.9,5 O.K.
277
278
5.2.3 Section minimale
A sw , min
sr .s t
(1, 5.sin α + cos α ) ≥ 0, 08
A sw , min ≥
0, 08 fck . ( sr .s t )
(1, 5.sin α + cos α ) fyk
fck
fyk
2
0,08 25.5.12
A sw, min ≥ --------------------------------- = 0,032 cm
( 1,5 + 0 ).500
A sw = 0, 28 cm 2 > 0, 032 cm 2 = A sw , min
O.K.
6. Schéma de ferraillage
- COUPE AA 4
3
3
5
2
- VUE EN PLAN 1
1
3
2
4 5
A
A
3
3
3
4 5
Poinçonnement
Repère
Armature
Nombre
Observations
φ 12 HA
φ8
Cadres φ 6 HA
φ 6 HA
φ 6 HA
5 pm
5 pm
4×4
2×2
2×2
Armatures inférieures dalle
Armatures inférieures dalle
Armatures de poinçonnement
Aciers de montage supérieurs
Aciers de montage inférieurs
279
6
I.
Corbeaux
RAPPELS THÉORIQUES
L’eurocode 2 traite des corbeaux dans une annexe informative.
1.
Définition
On désigne par1 :
FEd = effort vertical ultime,
H Ed = effort horizontal ultime,
a c = distance horizontale de la ligne d’action de FEd à la face la plus proche
du poteau,
h c = hauteur de la console au niveau de son encastrement dans le poteau,
d = hauteur utile des armatures les plus proches de la face supérieure de la
console,
a H = distance de la face supérieure du dispositif d’appui à la ligne moyenne
des armatures les plus proches de la face supérieure de la console.
Les consoles courtes peuvent être étudiées au moyen d’un modèle de « bielle –
tirant » défini comme suit2 :
• tirant = armatures les plus proches de la face supérieure de la console ;
• bielle = élément de béton comprimé incliné d’un angle θ sur l’horizontale,
partant de l’intersection de l’axe de l’effort vertical FEd avec l’axe
horizontal des aciers supérieurs tendus et coupant le plan de la face
verticale du poteau ;
z 0 = distance du pied de la bielle à l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus.
Un corbeau ou console courte est une console telle que :
a c < z0
[17.1]
et
1 ≤ tgθ ≤ 2, 5
1.
2.
EC 2 – annexe J 3 (1)
EC 2 – 6.5
[17.2]
282
FEd
ac
aH
H Ed
As, main
θ
bw
z0
d hc
La hauteur du corbeau peut être constante ou variable le long de sa portée.
L’équilibre des moments au droit de la face du poteau s’écrit :
FEd
ac
Fs
aH
A
θ
Tirant
z0
HEd
Bielle
bw
d
B
Fc
t
[17.3]
t
[17.4]
M B = F Ed .a c + H Ed ( a H + z 0 ) = F s .z 0
M A = F Ed .a c + H Ed .a H = F c .a c .sin θ
Nous en déduisons :
[17.3 ] ⇒
[17.4 ] ⇒
Fs = FEd
⎛
ac
a ⎞
+ H Ed ⎜ 1 + H ⎟
z0
z0 ⎠
⎝
FEd + H Ed
Fc =
sinθ
aH
ac
[17.5]
[17.6]
Corbeaux
Les consoles pour lesquelles a c ≥ z 0 sont considérées comme des poutres en
console (portes-à-faux).
Lorsque la charge est directement appliquée au niveau de l’extrados de la
console, on a un « appui direct » ; dans le cas contraire, on a un « appui
indirect ». C’est le cas par exemple, d’une console courte supportant une poutre,
lorsque le volume de la console est noyé dans la poutre :
« Appui direct »
2.
« Appui indirect »
Vérification de la compression des bielles
de béton
Limitation de la contrainte de compression des bielles de béton (en l’absence de
traction transversale3) :
fc ≤ σ Rd , max = fcd = α cc
fck
γc
[17.7] (6.55)
avec :
α cc = 1, valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française4 dans
le cas des bâtiments,
α cc = 0, 85 , valeur recommandée dans le cas des ponts. L’Annexe nationale
française préconise αcc = 1 (voir § 2.4.2.2, chapitre 3 : « Béton armé –
Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
Dans la section droite a.bw de la bielle, nous avons :
3.
4.
EC 2 – 6.5.2 (1)
EC 2 – voir AN
283
284
a
cos θ = 2
d − z0
FEd
ac
HEd
FEd + H Ed
aH
A s , main
Fc =
θ
fc =
z0
bw
aH
ac
sinθ
Fc
≤ σ Rd , max
a .b w
d
Fc
aν
π
−θ
2
a
fc
d− z 0
θ
ah
bp
t
D’où la vérification de la compression de la bielle de béton :
1 ≤ tgθ ≤ 2, 5 ⇒
choix de l’angle θ d’inclinaison de la bielle
FEd + H Ed
aH
ac
⇒
Fc =
⇒
a≥
⇒
a h = a.sin θ ≤ t (profondeur de l’appui)
sinθ
Fc
bw .σ Rd , max
[17.8]
[17.9]
[17.10]
a
z 0 = d − 2 > a c sinon, la structure envisagée est à considérer comme
⇒
cos θ
une poutre-console.
D’où la condition à satisfaire pour avoir une console courte, en respectant la
compression de la bielle de béton :
z0 > a c
Corbeaux
a
d − 2 > ac
cos θ
d−
Fc
> ac
2.bw .σ Rd , max . cos θ
aH
a
FEd + H Ed H
ac
ac
d−
=d−
> ac
2.bw .σ Rd , max . cos θ.sinθ
bw .σ Rd , max .sin2θ
FEd + H Ed
aH
ac
d − ac >
bw .σ Rd , max .sin2θ
FEd + H Ed
FEd + H Ed
sin2θ >
aH
ac
bw ( d − a c ) .σ Rd , max
⇒ θ
Remarque
Contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton
comprimée :
– sur la facette « verticale » :
fc =
Fc .cos θ
avec a v = a.cos θ et en désignant par bp l’épaisseur du poteau ;
bp .a v
– sur la facette « horizontale » :
fc =
Fc .sin θ
avec ah = a.sinθ.
bp .ah
3.
Armatures
3.1
Armatures supérieures tendues
Elles peuvent être constituées5 :
• de cadres horizontaux ;
• de barres avec crochet d’extrémité, ancrées :
5.
EC 2 – annexe J 3 (4)
285
286
– dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du
poteau les plus proches de cette paroi ;
– au voisinage du nez de la console, au-delà du bord intérieur de la zone
chargée.
FEd
ac
HEd
A s, main
Ancrage
Ancrage
Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le
tirant avec une contrainte :
fs ≤ fyd =
fyk
γs
D’où leur section :
Fs = FEd
ac
+ H Ed
z0
A s, main =
3.2
⎛
aH ⎞
⎜⎝ 1 + z ⎟⎠
0
Fs
fyd
[17.11]
Armatures horizontales de répartition
Si a c < 0, 5.h c , elles sont constituées de cadres fermés horizontaux ou inclinés,
de section donnée par6 :
∑ As, ink = k1.As, main
[17.12]
avec :
k1 = 0, 25 , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française7.
6.
7.
EC 2 – annexe J 3 (2)
EC 2 – voir AN
Corbeaux
As, main
∑ As, ink
Dans le cas contraire, les armatures horizontales de répartition ne sont pas
imposées.
3.3
Armatures verticales
Elles sont constituées de cadres et étriers verticaux non calculés pour8 :
• équilibrer les efforts de torsion (décentrement accidentel des charges, ou
décentrement de construction) ;
• équilibrer les efforts de fendage lorsque les aciers horizontaux sont de
diamètre relativement gros et ancrés par courbure en nez de console ;
• maintenir les aciers horizontaux.
Dans le cas « d’appuis indirects », ces armatures servent d’armatures de
suspension et doivent donc être calculées en conséquence.
3.3.1
Cas où ac ≤ 0,5.hc
Aucune armature verticale n’est requise.
3.3.2
Cas où ac > 0,5.hc
Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort
tranchant (voir § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2,
J. Roux, Éditions Eyrolles)9 :
8.
9.
EC 2 – annexe J 3 (3)
EC 2 – 6.2.2 (1)
287
288
⎧ ⎡ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤ bw .d = VRd , c1
⎦
⎪⎣
VRd , c = Max ⎨
⎪⎩ ⎡⎣ v min + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d = VRd , c 2
[17.13]
(6.2.a)
(6.2.b)
(MN, MPa, m)
Si FEd > VRd , c, on dispose une section d’armatures verticales constituée de
cadres fermés verticaux de section totale :
∑ As, ink = k 2
FEd
fyd
[17.14]
avec :
k 2 = 0, 5 , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française10.
Si FEd ≤ VRd , c, les armatures verticales ne sont pas requises.
As, main
∑ As, ink
4.
Dispositions constructives
L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de console
pour éviter la rupture de l’angle supérieur de la console.
10. EC 2 – voir AN
Corbeaux
FEd
FEd
A s, main
A s, main
bw
bw
hc
hc
OUI
NON
ou
De même, pour éviter les risques de désordre au voisinage du nez de la console
par écrasement du béton ou par fissuration, il faut prévoir un décalage entre le
dispositif d’appui et l’extrémité de la console.
Décalage
d’appui
H Ed
As, main
bw
hc
289
290
Disposition des armatures :
As, main
As, main
∑ As, ink
si FEd > VRD, c
=
k 2.As, main
∑ As, ink = k1.As, main
∑ As, ink = k1.As, main
a c ≤ 0, 5.h c
a c > 0, 5.h c
Remarque
Dans le cas où a c > 0, 5.hc, contrairement aux indications du § 3.2 et par sécurité,
on disposera des armatures horizontales de répartition.
II.
APPLICATION
Application : console courte
–Énoncé–
On considère les consoles d’appui de la poutre, figurée ci-dessous :
25
25
10 m
cm
cm
10 cm
H
40
cm
2 cm
35
cm
15
cm
50 cm
Actions sur la poutre :
• charges permanentes (poids propre
compris) : g = 10 kN/m ;
• charges d’exploitation :
– composante verticale (assimilable à une charge uniforme) :
q = 15 kN/m ;
– résultante des composantes
horizontales :
H = + 24 kN.
Matériaux :
• béton : fck = 25 MPa ;
• aciers : S 500 HA.
Corbeaux
On se propose :
1/ de vérifier le béton ;
2/ de calculer les armatures.
–Corrigé–
1. Sollicitations en tête de console
Réaction verticale :
L = longueur totale de la poutre
FEd = (1, 35.g + 1, 5.q )
L = 10,00 + 2.0,25 = 10,50 m
L
2
FEd = (1, 35.10 + 1, 5.15)
10, 50
= 189 kN
2
Réaction horizontale :
H Ed = 1, 5.H
H Ed = 1, 5.24 = 36 kN = 0,036 MN
2. Vérification de la compression des bielles de béton
2.1 Type de console
d = 0, 9.h c
d = 0,9.0,35 = 0,315 m
σ Rd , max = fcd = α cc
fck
γc
FEd + H Ed
sin2θ >
aH
ac
bw ( d − a c ) .σ Rd , max
σ Rd, max = 1
25
= 16,7 MPa
1, 5
⇒ θ
0, 02
0, 25
sin2θ >
10 −3 = 0, 442 < 1
0, 40 ( 0, 315 − 0, 25) .16, 7
189 + 36
⇒
1 ≤ tgθ ≤ 2, 5
FEd + H Ed
Fc =
sinθ
2.θ = 26, 23° ⇒
θ = 13, 12°
⇔ 45° ≤ θ ≤ 68, 20° θ = 13, 12° < 45° ⇒
aH
ac
prenons θ = 45˚
0,02
189 + 36 ---------0,25
F c = ---------------------------------- = 271,36 kN
sin 45°
291
292
a≥
Fc
bw .σ Rd , max
a≥
271, 36
10 −3 = 0,0406 m
0, 40.16, 7
a h = a.sin θ >< t
a h = 0, 0406.sin 45 = 0, 0287 m < 0, 50 m = t O.K.
a
z 0 = d − 2 >< a c
cos θ
0,0406
---------------2
z 0 = 0,315 – ----------------- = 0,286 m > 0,25 m = a c
cos 45°
⇒ La vérification du béton de la bielle est
assurée et on a une console courte.
2.2 Remarque : contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied
de la bielle de béton comprimé
• sur la facette « verticale » :
a v = a. cos θ
av = 0,0406.cos 45° = 0,0287 m
bp = épaisseur du poteau bp = 0,40 m (en l’absence d’indication de l’énoncé)
fc =
Fc . cos θ
bp .a v
–3
271,36.10 .cos 45°
f c = ------------------------------------------------ = 16,71 MPa
0,40.0,0287
fc >< σ Rd , max
fc = 16, 71 MPa ≈ 16, 7 MPa = σ Rd , max O.K.
• sur la facette « horizontale » :
a h = a.sin θ
fc =
ah = 0,0406. sin 45° = 0,0287 m
Fc .sin θ
bp .a h
fc >< σ Rd , max
–3
271,36.10 .sin 45°
f c = ----------------------------------------------- = 16,71 MPa
0,40.0,0287
fc = 16, 71 MPa ≈ 16, 7 MPa = σ Rd , max O.K.
Conclusion
Pour pouvoir satisfaire la vérification du béton sur le prisme à base triangulaire
en pied de la bielle de béton comprimé, il faut augmenter l’épaisseur du poteau
(et éventuellement celle de la console). En partant de la plus grande contrainte fc
(ici, θ = 45˚ et les contraintes sur les côtés de l’angle droit du prisme à base
triangulaire sont égales) :
fc =
Fc .sin θ
≤ σ Rd , max
bp .a h
⇒ bp ≥
Fc .sin θ
a h .σ Rd , max
–3
271,36.10 .sin 45°
b p ≥ ----------------------------------------------- = 0,4003 m
0,0287.16,7
Corbeaux
⇒ bp = 45 cm
3. Armatures
3.1 Armatures supérieures tendues
Section :
fs ≤ fyd =
Fs = FEd
fyk
fs =
γs
⎛
ac
a ⎞
+ H Ed ⎜ 1 + H ⎟
z0
z0 ⎠
⎝
A s, main =
Fs = 189
Fs
fyd
500
= 435 MPa
1, 15
0, 25
0, 02 ⎞
⎛
+ 36 ⎜ 1 +
= 203,73 kN
⎝
0, 286
0, 286 ⎟⎠
A s, main =
⇒
203, 73.10 −3 4
10 = 4, 68 cm 2
435
2 boucles φ 14 HA :
A s, main = 2.2.1,54 = 6,16 cm2
1 U ∅ 14 HA
1 U ∅ 14 HA
Ancrages aux deux extrémités : pour mémoire.
3.2 Armatures horizontales de répartition
Cadres fermés horizontaux :
a c >< 0, 5.h c
a c = 0, 25 m > 0, 175 m = 0, 5.0, 35 = 0, 5.h c
⇒ pas d’armatures horizontales de répartition requises. Néanmoins, nous garderons
par sécurité, la section minimale requise :
k1 = 0, 25 , valeur recommandée
et à utiliser par l’Annexe
nationale française :
k1 = 0, 25
∑ As, ink = k1.As, main
∑ As, ink = 0, 25.6,16 = 1, 54 cm 2
⇒
2.2 boucles φ 6 HA :
A s, ink = 2.2.0, 28 = 1, 12 cm 2
293
294
∑ As, ink = 2.1,12 = 2,24 cm2
1 U ∅ 6 HA
1 U ∅ 6 HA
1 U ∅ 6 HA
1 U ∅ 6 HA
3.3 Armatures verticales
a c >< 0, 5.h c
a c = 0, 25 m > 0, 175 m = 0, 5.0, 35 = 0, 5.h c
⇒
nécessité de comparer FEd à VRd , c.
Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort
tranchant :
A sl = aire de l’armature longitudinale tendue dans la section distante de d + l bd
de celle étudiée : A sl = 2.2.1, 54 = 6, 16 cm 2 (2 boucles supérieures).
ρl =
A sl
>/ 2%
bw .d
N Ed = effort normal
ρl =
6, 16
= 0, 0049 < 2 %
40.31, 5
N Ed = 0 (flexion)
σ cp =
N Ed
Ac
VRd , c
⎧ ⎡ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤ bw .d = VRd , c1
⎦
⎪⎣
= Max ⎨
⎪ ⎡⎣ v min + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d = VRd , c 2
⎩
σ cp = 0
avec :
CRd , c =
0, 18
γc
CRd , c =
0, 18
= 0, 12
1, 5
Corbeaux
⎧
200 mm
⎪1 +
k = Min ⎨
d
⎪2
⎩
⎧
200
= 1, 8
⎪1 +
k = 1, 8 = Min ⎨
315
⎪2
⎩
k1 = 0, 15
k1 = 0, 15
3
3
v min = 0, 035.k 2 . fck
v min = 0, 035.1, 8 2. 25 = 0, 423
⎡
⎤
4, 9
VRd , c1 = ⎢ 0, 12.1, 8 3 100
25 + 0, 15.0 ⎥ 0, 40.0, 315 = 0, 063 MN
1 000
⎣
⎦
VRd , c 2 = ( 0, 423 + 0, 15.0 ) 0, 40.0, 315 = 0, 053 MN
⎧⎪ 0, 063 MN = VRd , c1
VRd , c = 0, 063 MN = Max ⎨
⎪⎩ 0, 053 MN = VRd , c 2
Nécessité d’armatures verticales :
FEd >< VRd , c
FEd = 0, 189 MN > 0, 063 MN = VRd , c
⇒
nécessité d’armatures verticales.
Armatures verticales :
k 2 = 0, 5, valeur recommandée
et à utiliser par l’Annexe
k 2 = 0, 5
nationale française :
∑ As, ink = k 2
FEd
fyd
∑ As, ink = 0, 50
⇒
189.10 −3 4
10 = 2, 17 cm 2
435
2.2 cadres φ 6 HA :
∑ As, ink = 2.2.2.0,28 = 2,24 cm2
1 cadre
∅ 6 HA
1 cadre
∅ 6 HA
295
296
4. Schéma de ferraillage
40 cm
2 U ∅ 14 HA
horizontaux
40
cm
2 U ∅ 6 HA
horizontaux
2.2 cadres ∅6 HA
2 U∅ 6 HA
horizontaux
35 cm
7
État limite ultime de fatigue
I.
RAPPELS THÉORIQUES
1.
Introduction
Il convient d’effectuer une vérification à la fatigue pour les structures et les
éléments de structure soumis à des cycles de chargement réguliers comme par
exemple1 :
• les chemins de roulement des grues ;
• les ponts soumis à des charges de trafic élevées.
L’Annexe nationale française exclut de la vérification à la fatigue les ouvrages
suivants2 :
• bâtiments ;
• fondations et murs de soutènement ;
• structures enterrées avec une couverture minimale de 1,00 m de terre ;
• piles et poteaux non rigidement reliés aux superstructures ;
• culées de voûtes et ponts à l’exception des culées creuses.
Pour les ponts, la liste précédente est complétée par3 :
• les passerelles, à l’exception des éléments de structure très sensibles au vent ;
• les structures enterrées avec couverture de terre minimale de 1,50 m pour les
ouvrages ferroviaires ;
• les piles et poteaux non rigidement liés au tablier.
La vérification à la fatigue est effectuée séparément pour le béton et pour
l’acier4.
2.
Combinaisons d’actions
Les actions cycliques potentiellement génératrices de fatigue dans les structures
sont définies par :
1.
2.
3.
4.
EC 2 – 6.8.1 (2)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.8.1 (102)
EC 2 – 6.8.1 (1)P
298
• une intensité maximale ;
• une intensité minimale ;
• un nombre de cycles (occurrences) pendant lequels elles agissent, sur une
période donnée (un an en général pour les charges routières par exemple).
Pour le calcul des étendues de contrainte, on doit faire la distinction entre5 :
• les actions non cycliques ;
• et les actions cycliques génératrices de fatigue.
2.1
Combinaison de base
Cette combinaison d’action ne prend en compte que les actions non cycliques.
Symboliquement, elle se formule de la façon suivante (c’est une combinaison
fréquente à l’ELS telle que définie au § 1.3.4, chapitre 3 : « Béton armé –
Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :
∑ G k , j + ψ1, 1.Q k , 1 + ∑ ψ 2, i .Q k , i
j ≥1
(6.67)
i >1
avec :
Q k , 1 et Q k , i actions non cycliques et non permanentes.
Bien que la combinaison d’actions précédente corresponde aux ELS, la fatigue
est considérée comme un ELU.
2.2
Combinaison de base plus action cyclique
Cette combinaison d’actions prend en compte toutes les actions (cycliques et
non cycliques). Symboliquement, elle se formule de la façon suivante :
∑ G k , j + ψ1, 1.Q k , 1 + ∑ ψ 2, i .Q k , i + Q fat
j ≥1
(6.69)
i >1
avec :
Q fat = charge de fatigue considérée (charge de trafic telle que définie dans
l’EN 1991 par exemple, ou tout autre charge cyclique6).
5.
6.
EC 2 – 6.8.3
EN 1991
État limite ultime de fatique
3.
Calcul des contraintes
Le calcul des contraintes doit être conduit dans l’hypothèse des sections
fissurées7 (voir § 8.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2,
J. Roux, Éditions Eyrolles, et § 2.4.3, 3.4 et 4.2.2, chapitre 11 : « Flexion
composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles).
On appelle étendue de contrainte, la différence de contrainte, dans l’acier ou le
béton, entre les contraintes calculées sous les deux combinaisons d’actions
définies au § 2.
4.
Vérification pour les armatures
4.1
Vérification explicite de l’endommagement
4.1.1
Principe de la vérification
Le principe de la vérification pour les armatures consiste à comparer l’étendue
de contraintes agissante (entre les combinaisons de base et de base plus action
cyclique) à une étendue de contraintes résistante correspondant au type de
barres utilisées.
L’étendue de contraintes résistante est obtenue pour un nombre N* de cycles
défini à partir d’une courbe caractéristique de résistance en fatigue8 (aussi
appelée courbe S-N) :
log ΔσRsk
A : armatures à la limite d’élasticité
A
b = k1
1
b = k2
1
log N
N*
Pour cette courbe :
N* = nombre de cycles de référence,
Δσ Rsk = étendue de contraintes résistante,
7.
8.
EC 2 – 6.8.2 (1)P
EC 2 – 6.8.4 (1)
299
300
b = k1 ou b = k 2 caractérisent les pentes des segments inclinés de la courbe,
A correspond au cas des armatures soumises à la limite élastique sous la
combinaison de base plus action cyclique.
Les valeurs recommandées et à utiliser par l’Annexe nationale française des
paramètres de la courbe S-N des armatures de béton armé sont données dans le
tableau ci-dessous :
Exposant de la contrainte
k1
k2
DsRsk(MPa)
Pour N* cycles
106
5
9
162,52
Barres soudées et treillis soudé
107
3
5
58,5
Dispositifs de couplage
107
3
5
35
Type d’armatures
N*
Barres droites et barres pliées1
Note 1
Pour les barres pliées, il convient de multiplier Δσ Rsk par le coefficient de réduction :
ξ = 0, 35 + 0, 026
D
φ
avec :
D = diamètre du mandrin de cintrage,
φ = diamètre de la barre.
Note 2
L’Annexe nationale française préconise :
⎧ 160 MPa : φ ≥ 40 mm
Δσ Rsk = ⎨
⎩ 210 MPa : φ ≤ 16 mm
avec interpolation linéaire pour 16 mm < φ < 40 mm
4.1.2
Caractéristiques de la courbe S-N
Notations :
Δσ A = fyk − σ sb = ordonnée
de A ,
avec :
log ΔσRsk
log ΔσA
σ sb = contrainte des arma- log Δσ*
Rsk
tures sous combinaison
de base,
N B = nombre de cycles
correspondant au point
B,
de
Δσ *Rsk = étendue
contrainte résistante
correspondant
à
N* cycles,
N = nombre de cycles de
l’action cyclique considérée.
A
A : armatures à la limite d’élasticité
B
b = k1
1
log NB
log N*
b = k2
1
log N
Ordonnée du point A correspondant à la limite d’élasticité des armatures :
(
log Δσ A = log fyk − σ sb
)
État limite ultime de fatique
Abscisse du point B :
log N* − log N B
k
= 1
1
log Δσ A − log Δσ *Rsk
⎛ Δσ * ⎞
N B = N ⎜ Rsk ⎟
⎝ Δσ ⎠
⇒
N* ⎛ Δσ A ⎞
=
N B ⎜⎝ Δσ *Rsk ⎟⎠
k1
⇒
k1
*
A
Étendues de contraintes résistantes :
Δσ Rsk = Δσ A
1/ N ≤ N B ⇒
2/ N B < N ≤ N*
⇒
⎛ Δσ * ⎞
N = N* ⎜ Rsk ⎟
⎝ Δσ ⎠
1
k1
Δσ Rsk
⇒
Rsk
3/ N > N*
⇒
N ⎛ Δσ *Rsk ⎞
=
N* ⎜⎝ Δσ Rsk ⎟⎠
4.1.3
log N − log N*
k
= 2
1
log Δσ *Rsk − log Δσ Rsk
⎛ N * ⎞ k1
= Δσ *Rsk ⎜
⎝ N ⎟⎠
⇒
1
k2
⇒
Δσ Rsk =
Δσ *Rsk
⎛ N* ⎞ k 2
⎜⎝ N ⎟⎠
Processus de vérification
La vérification à la fatigue pour l’acier est réalisée de la façon suivante :
1/ déterminer les caractéristiques géométriques de la section la plus sollicitée
considérée comme étant fissurée ;
2/ établir la combinaison de base et en déduire les contraintes σ sb des
armatures ;
3/ établir la combinaison de base plus action cyclique et en déduire les
contraintes σ sc des armatures ;
4/ en déduire, par différence, l’étendue de contraintes appliquée dans les armatures Δσ s = γ F , fat .σ sc − σ sb9
avec :
γ F , fat = 1,0 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française10 ;
5/ déterminer les caractéristiques de la courbe S-N correspondant aux aciers
utilisés ( k1, k 2, N* et Δσ *Rsk correspondant à N*) dans le tableau du § 4.1.1
et tracer la courbe S-N avec :
9. EC 2 – 6.8.4 (1)
10. EC 2 – voir AN
301
302
Δσ A = fyk − σ sb
k
⎛ Δσ * ⎞ 1
N B = N* ⎜ Rsk ⎟ ;
⎝ Δσ A ⎠
6/ en déduire sur cette courbe l’étendue de la contrainte résistante Δσ Rsk correspondant au nombre N de cycles de l’action cyclique appliquée :
N ≤ NB
⇒
Δσ Rsk = Δσ A
1
N B < N ≤ N*
⇒
Δσ Rsk
⎛ N * ⎞ k1
= Δσ *Rsk ⎜
⎝ N ⎟⎠
1
N>N
⇒
*
Δσ Rsk =
7/ vérifier11 : Δσ s ≤
Δσ *Rsk
⎛ N* ⎞ k 2
⎜⎝ N ⎟⎠
Δσ Rsk
γ s, fat
avec :
γ s, fat = 1,15 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française12.
8/ On appelle endommagement des armatures dû à la fatigue, le rapport :
D Ed =
N
N*
Il faut vérifier de plus13 :
D Ed =
4.1.4
N
≤1
N*
Remarque
Pour évaluer la durée de vie résiduelle de structures existantes ou la nécessité
d’un renforcement une fois la corrosion amorcée, l’étendue de contrainte peut
être déterminée en réduisant l’exposant k 2 pour des barres droites ou pliées14 :
11.
12.
13.
14.
EC 2 – 6.8.4 (1)
EC 2 – 2.4.2.4 (1) note et voir AN
EC 2 – 6.8.4 (2)
EC 2 – 6.8.4 (5)
État limite ultime de fatique
k 2 = 5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française15.
4.2
Cas de cycles multiples d’étendue variable
L’endommagement total des armatures dû à la fatigue est calculé en appliquant
la règle de cumul de Palmgren-Miner et doit vérifier16 :
D Ed = ∑
i
n ( Δσ i )
N* ( Δσ i )
≤1
(6.70)
avec pour l’étendue de contrainte ( Δσ i ) appliquée :
n ( Δσ i ) = nombre de cycles,
N* ( Δσ i ) = nombre de cycles à la rupture.
4.3
Méthode de l’étendue de contrainte équivalente
La résistance en fatigue est satisfaisante si l’on vérifie17 :
( )
γ F , fat .Δσ s, equ N* ≤
avec :
( )
Δσ Rsk N*
γ s, fat
(6.71)
( )
( )
Δσ Rsk N* = étendue de contraintes pour N* cycles, donnée par les courbes SN (voir § 4.1),
Δσ s, equ N* = étendue de contraintes équivalente pour N* cycles, donnée par
les procédures de l’EN 1992-2 pour les ponts routiers et ferroviaires18,
*
Δσ s, equ N = σ s, max = étendue de contraintes équivalente pour N* cycles,
pour les bâtiments sous les combinaisons de charge
appropriées.
( )
4.4
Cas particuliers
La résistance en fatigue des barres d’armatures non soudées tendues est satisfaisante si19 :
Δσ s ≤ k1
15.
16.
17.
18.
19.
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.8.4 (2)
EC 2 – 6.8.5 (3)
EN 1992-2
EC 2 – 6.8.6 (1)
303
304
avec :
k1 = 70 MPa valeur recommandée et k1 = 100 MPa valeurs à utiliser pour
l’Annexe nationale française20,
Δσ s = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente.
La résistance en fatigue des barres d’armatures soudées tendues est satisfaisante
si21 :
Δσ s ≤ k 2
avec :
k 2 = 35 MPa valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française22,
Δσ s = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente.
4.5
Cas des armatures d’âme
4.5.1
Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte
L’inclinaison θ des bielles sur la ligne moyenne est choisie de telle sorte que23 :
1 ≤ cotgθ ≤ 2, 5
⇔ 21, 8° ≤ θ ≤ 45°
(6.7N)
ou valeur fixée par l’Annexe nationale24
L’Annexe nationale française préconise :
1 ≤ cotgθ ≤ 2, 5
1+
⇔ 21, 8° ≤ θ ≤ 45° (flexion simple ou compression), (6.7aNF)
σ ct
σ
≤ cotgθ ≤ 2, 5 1 + ct (traction).
fctm
fctm
(6.7bNF)
avec : σ ct ( < 0 ) : contrainte de traction au niveau du centre de gravité de la
section.
L’inclinaison θfat des bielles à retenir pour la vérification à la fatigue est telle
que25 :
⎧ tgθ
tgθfat = Min ⎨
⎩1, 0
20.
21.
22.
23.
24.
25.
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.8.6 (1)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.2.3 (2)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 6.8.2 (3)
.
(6.65)
État limite ultime de fatique
4.5.2
Vérification
Les armatures d’effort tranchant26 doivent être telles que (voir § 4.4.3,
chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions
Eyrolles) :
VRd , s
⎧ A sw
⎪ s ≥ z.f ( cotgθ + cotgα ) .sin α
ywd
fat
⎪
⎪
⎨ VRd , s = VEd , VEd 0 ou V 'Ed 0
⎪
⎪z = 0, 9.d
⎪⎩
5.
Vérification pour le béton comprimé
5.1
Éléments pour lesquels aucune armature d’âme
n’est requise
On désigne par27 :
VEd, max = valeur de calcul de l’effort tranchant agissant maximal sous la combinaison fréquente de charges,
VEd, min = valeur de calcul de l’effort tranchant agissant minimal sous la combinaison fréquente de charges,
VRd , c = effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort
tranchant (voir § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de
l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) :
VRd , c = ⎡⎣ CRd , c .k. 3 100.ρl .fck + k1 .σ cp ⎤⎦ bw .d (MN, MPa, m)
(6.2.a)
Le béton résiste à la fatigue due aux sollicitations d’effort tranchant si :
pour
VEd , min
VEd , max
26. EC 2 – 6.2.3 (2)
27. EC 2 – 6.8.7 (4)
≥ 0 on vérifie :
VEd , max
VRd , c
⎧
VEd , min
⎪ 0, 5 + 0, 45
VRd , c
⎪
⎪
⎪
≤ Min ⎨ 0, 9 si fck ≤ 50 MPa
⎪
⎪
⎪ 0, 8 si fck > 50 MPa
⎪
⎩
(6.78)
305
306
pour
VEd , min
VEd , max
< 0 on vérifie :
VEd , max
VRd , c
≤ 0, 5 −
VEd , min
VRd , c
(6.79)
Remarque
En général, le second cas correspond aux appuis des poutres continues (pour
lesquelles VEd, min et VEd, max sont de signes contraires), alors que le premier cas
relève des appuis des poutres droites isostatiques (pour lesquelles VEd, max et
VEd, min ont le même signe).
5.2
Éléments comportant des armatures d’âme
On désigne par28 :
σ cd , max, equ = borne supérieure de l’étendue de contraintes pour N cycles,
σ cd , min, equ = borne inférieure de l’étendue de contraintes pour N cycles,
fcd , fat = résistance à la fatigue du béton ( fck en MPa),
f
fcd , fat = k1 .β cc ( t 0 ) .fcd ⎛ 1 − ck ⎞
⎝
250 ⎠
(6.76)
avec (voir § 2.2.2, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux,
Éditions Eyrolles) :
k1 = 0, 85 pour N = 106 cycles, valeurs recommandées et à utiliser pour
l’Annexe nationale française29,
t 0 = date de début du chargement cyclique en jours,
β cc ( t 0 ) = e
28
s 1 – -----t0
(3.2)
où :
⎧ 0,20 : ciment de classe R (CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R)
⎪
s = ⎨ 0,25 : ciment de classe N (CEM 32,5 R et CEM 42,5 N)
⎪
⎩ 0,38 : ciment de classe S (CEM 32,5 N)
fck
⎧1, 2 pour les situations accidentelles, 30
avec : γ c = ⎨
γc
⎩1, 5 danss les autres cas.
= 1 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française31.
fcd = α cc
α cc
28.
29.
30.
31.
EC 2 – 6.8.7 (1) & (2)
EC 2 – voir AN
EC 2 – 3.1.6 (1)P & 2.4.2.4 (1)
EC 2 – voir AN
État limite ultime de fatique
On définit :
E cd , min, equ =
E cd , max, equ =
R equ =
σ cd , min, equ
fcd , fat
σ cd , max, equ
fcd , fat
E cd , min, equ
E cd , max, equ
= niveau minimal des contraintes de compression,
= niveau maximal des contraintes de compression,
= rapport des contraintes.
On peut admettre une résistance en fatigue satisfaisante pour le béton travaillant
en compression si :
1/ pour les contraintes de flexion32 :
E cd , max, equ + 0, 43 1 − R equ ≤ 1
(6.72)
2/ pour les contraintes de flexion et pour la compression des bielles33 :
σ c, max
fcd , fat
σ c, min
⎧
⎪ 0, 5 + 0, 45 f
cd , fat
⎪
⎪⎪
≤ Min ⎨ 0, 9 si fck ≤ 50 MPa
⎪
⎪
⎪ 0, 8 si fck > 50 MPa
⎪⎩
(6.77)
où, dans la même fibre, sous la combinaison fréquente de charges :
σ c, max = contrainte de compression maximale,
σ c, min = contrainte minimale (prise comme nulle s’il s’agit d’une traction),
⎪⎧ fcd , fat : contraintes de flexion,
34
fcd , fat = ⎨
⎩⎪ ν.fcd , fat : compression des bielles.
avec comme valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale
française35 :
f
ν = 0, 6 ⎛ 1 − ck ⎞ où fck en MPa,
⎝
250 ⎠
32.
33.
34.
35.
EC 2 – 6.8.7 (1)
EC 2 – 6.8.7 (2) & (3)
EC 2 – 6.8.7 (3)
EC 2 – voir AN
(6.6N)
307
308
Pour les ponts, la première vérification précédente est remplacée par36 :
m
n
∑ Ni
i =1
≤1
(6.105)
i
avec :
m = nombre d’intervalles d’amplitude constante,
⎛ E cd , max, i ⎞
14 ⎜ 1 −
⎟
1− R i ⎠
⎝
N i = 10
(6.106)
n i = nombre réel de cycles d’amplitude constante dans l’intervalle i,
où :
Ri =
E cd , min, i
E cd , max, i
= rapport des contraintes,
E cd , min, i =
E cd , max, i =
σ cd , min, i
fcd , fat
σ cd , max, i
fcd , fat
(6.107)
= niveau minimal des contraintes de compression,
= niveau maximal des contraintes de compression,
σ cd , max, i = contrainte maximale pour un cycle,
σ cd , min, i = contrainte minimale pour un cycle,
fcd , fat = résistance de calcul à la fatigue du béton
(formule (6.76) ci-devant).
Pour les ponts routiers et ferroviaires, une méthode simplifiée, basée sur des
abaques, figure en annexe des Règles EC 2, partie 237.
36. EC 2 – 6.8.7 (101)
37. EC 2 – 6.8.7 (101) + annexe NN
État limite ultime de fatique
II.
APPLICATION
Application : section rectangulaire sans aciers
comprimés
–Énoncé–
leff
COUPE AA
3 ∅ 12 HA (montage)
Q
2
A
leff = 6,85 m
3 cm
g, q
60 cm
A
5 cm
1 ∅ 20 HA
2 ∅ 25 HA
18 cm
Actions uniformément réparties :
• permanentes : g1 = 15,40 kN/m (hors poids propre) ;
• variables : q = 3 kN/m avec ψ1, 1 = 0, 77 et ψ 2, 1 = 0, 77 ;
• cycliques : 0 ≤ Q fat ≤ 20 kN avec N = 105 cycles, ψ 2, i = 0, 77 et t 0 = 28
jours,
αe =
Es
= 15.
E c, eff
La poutre considérée comporte des armatures d’âme.
Matériaux :
• béton : fck = 40 MPa, ciment de classe N, ε cu 2 = ε cu 3 = 3, 5 ‰ ;
• aciers : S 500 A.
On se propose, pour la vérification à la fatigue :
1/ de déterminer les sollicitations dans la section médiane ;
2/ de vérifier la résistance des armatures longitudinales ;
3/ de vérifier la résistance du béton comprimé.
309
310
–Corrigé–
1. Sollicitations de flexion pour la vérification à la fatigue dans la section
médiane
1.1 Combinaison de base
Actions au ml :
ϖ = poids volumique du béton armé
ϖ = 25 kN/m3
g = g1 + ϖ.bw .h
g = 15,40 + 25.0,18.0,60 = 18,10 kN/m
p b = g + ψ1, 1 .q
p b = 18,10 + 0,77.3
p b = 20,41 kN/m
Moment fléchissant maximal :
Mb = pb
l 2eff
8
M b = 20, 41
6, 852
8
M b = 119,71 mkN
1.2 Combinaison de base plus action cyclique
Actions :
pc = g + ψ1, 1 .q
pc = 18,10 + 0,77.3
pc = 20,41 kN/m
Q fat
Q fat = 20 kN
Moment fléchissant maximal :
2
eff
eff
M c = p c ------+ Q fat ------8
4
Mc = 20, 41
6, 852
6, 85
+ 20
8
4
Mc = 153,96 mkN
2. Vérification de la résistance à la fatigue des armatures tendues
2.1 Caractéristiques géométriques de la section droite fissurée
2.1.1 Position de l’axe neutre
Pour la section d’armatures en place : A s1 = 12, 96 cm 2 = 2.4, 91 + 3, 14
bw .x12
+ α e A s1 .x1 − α e .A s1 .d = 0
2
État limite ultime de fatique
0, 18.x12
+ 15.12, 96.10 −4.x1 − 15.12, 96.10 −4.0, 55 = 0
2
0, 09.x12 + 0, 01944.x1 − 0, 01069 = 0
Δ = 0, 01944 2 + 4.0, 09.0, 01069 = 0, 0650 2
x1 =
−0, 01944 + 0, 0650
= 0, 253 m
2.0, 09
α1 =
0, 253
= 0, 4599
0, 55
2.1.2 Moment d’inertie de la section fissurée
I cf =
bw .x13
2
+ α e .A s1 ( d − x1 )
3
I cf =
0, 18.0, 2533
+ 15.12, 96.10 −4 ( 0, 55 − 0, 253)2 = 0, 002664 m 4
3
2.2 Contraintes des armatures sous la combinaison de base
K=
Mb
I cf
σ c = K.x1
σ sb = α e .K ( d − x1 )
K=
0, 11971
= 44, 94 MN/m 3
0, 002664
σ c = 44, 94.0, 253 = 11, 37 MPa
σ sb = 15.44, 94 ( 0, 55 − 0, 253) = 200 MPa
2.3 Contraintes des armatures sous la combinaison de base plus action
cyclique
K=
Mc
I cf
σ c = K.x1
σ sc = α e .K ( d − x1 )
K=
0, 15396
= 57, 79 MN/m 3
0, 002664
σ c = 57, 79.0, 253 = 14, 62 MPa
σ sc = 15.57, 79 ( 0, 55 − 0, 253) = 257 MPa
2.4 Étendue de contraintes sous l’action cyclique considérée
Δσ s = γ F , fat .σ sc − σ sb
311
312
avec :
Δσs = 1.0,257 – 200 = 57 MPa
γ F , fat = 1,0
2.5 Caractéristiques de la courbe S-N correspondant aux aciers utilisés
Δσ A = fyk − σ sb
Δσ A = 500 − 200 = 300 MPa
⎧ N*
⎪
Armatures⎫
⎪ k1
⇒
⎬
⎨
utilisées ⎭
⎪k2
⎪ Δσ *
⎩ Rsk
⎧ N* = 106
Barres ⎫
⎪
⎪ k1 = 5
⎪
droites ⎬ ⇒ ⎨
⎪k2 = 9
tendues⎪⎭
⎪ Δσ * = 162, 5 MPa
⎩ Rsk
⎛ Δσ * ⎞
N B = N* ⎜ Rsk ⎟
⎝ Δσ A ⎠
k1
162, 5 ⎞ 5
N B = 106 ⎛
= 0, 047.106 = 4, 7.10 4
⎝ 300 ⎠
2.6 Étendue de la contrainte résistante DsRsk
N ≤ NB
⇒
Δσ Rsk = Δσ A
N = 105 > 4, 7.10 4 = N B
1
NB < N ≤ N
*
⇒
Δσ Rsk =
Δσ *Rsk
⎛ N * ⎞ k1
⎜⎝ N ⎟⎠
1
N = 10 < 10 = N
5
6
*
⇒
Δσ Rsk
⎛ 106 ⎞ 5
= 162, 5 ⎜ 5 ⎟ = 258 MPa
⎝ 10 ⎠
2.7 Vérification
Étendue de contrainte :
Δσ s ≤
Δσ Rsk
γ s, fat
avec :
γ s, fat = 1,15
258
Δσ s = 57 MPa ≤ 224 MPa = ---------- O.K.
1,15
Endommagement des armatures dû à la fatigue :
D Ed =
N
>< 1
N*
D Ed =
105
= 0, 1 < 1 O.K.
106
⇒ la résistance en fatique des armatures
est satisfaisante.
État limite ultime de fatique
2.8 Remarque
Pour des barres non soudées :
Δσ s >< k1
avec :
k1 = 70 MPa
Δσ s = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente :
Δσ s = 57 MPa < 70 MPa
et la résistance en fatigue des armatures est
satisfaisante.
2.9 Cas de l’Annexe nationale française
2.9.1 Vérification
⎧ 160 MPa : φ ≥ 40 mm
*
Δσ Rsk = ⎨
⎩ 210 MPa : φ ≤ 16 mm
En prenant par sécurité :
φ = φmax
φ = 25 mm
Il vient :
*
25 – 16
Δσ Rsk = 210 – 50 ------------------ = 191,25 MPa
40 – 16
191,25
Δσ Rsk = 258 ---------------- = 303,65 MPa
162,5
303,65
Δσ s = 57 MPa < 264 MPa = ---------------- = O.K.
1,15
2.9.2 Vérification simplifiée
k1 = 100 MPa
Δσs = 57 MPa < 100 MPa OK
3. Vérification de la résistance à la fatigue du béton
La poutre considérée comporte des armatures d’âme.
3.1 Première vérification
3.1.1 Caractéristiques des matériaux
313
314
⎧ λ,
fck >< 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η
fcd = α cc
⎧ λ = 0, 8
fck = 40 MPa < 50 MPa ⇒ ⎨
⎩η = 1
fck
γc
fcu = η.α cc
fcd = 1
fck
γc
40
= 26,7 MPa
1, 5
fcu = 1.1
40
= 26,7 MPa
1, 5
f
fcd , fat = k1 .β cc ( t 0 ) .fcd ⎛ 1 − ck ⎞
⎝
250 ⎠
avec :
k1 = 0, 85 valeur recommandée
et à utiliser pour l’Annexe nationale
française :
k1 = 0, 85
t 0 = date de début du chargement cyclique en jours : t 0 = 28 jours
β cc ( t 0 ) = e
28
s 1 – -----t0
où :
⎧ 0,20 : ciment de classe R (CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R)
⎪
s = ⎨ 0,25 : ciment de classe N (CEM 32,5 R et CEM 42,5 N)
⎪
⎩ 0,38 : ciment de classe S (CEM 32,5 N)
Ciment de classe N
β cc ( t 0 ) =
⎡
28 ⎤
0 , 25 ⎢1 −
⎥
28 ⎦
⎣
e
⇒
s = 0,25
=1
40 ⎞
= 19,06 MPa
fcd , fat = 0, 85.1.26, 7 ⎛ 1 −
⎝
250 ⎠
3.1.2 Vérification
Contraintes extrêmes et niveau de contraintes dans le béton comprimé :
σ cd , max, equ = borne supérieure de l’étendue de contraintes :
σ cd , max, equ = 14, 62 MPa (voir § 2.3)
σ cd , min, equ = borne inférieure de l’étendue de contraintes :
σ cd , min, equ = 11, 37 MPa (voir § 2.2)
État limite ultime de fatique
σ cd , max, equ
E cd , max, equ =
E cd , min, equ =
R equ =
fcd , fat
σ cd , min, equ
fcd , fat
E cd , min, equ
E cd , max, equ
E cd , max, equ =
14, 62
= 0, 77
19, 06
E cd , min, equ =
11, 37
= 0, 60
19, 06
R equ =
0, 60
= 0, 78
0, 77
Vérification :
E cd , max, equ + 0, 43 1 − R equ >< 1
0, 77 + 0, 43 1 − 0, 78 = 0, 97 < 1
⇒ résistance à la fatigue satisfaisante.
3.2 Seconde vérification
3.2.1 Contraintes extrêmes de compression du béton
On considère la section de béton fissurée.
3.2.1.1 Contrainte maximale
Moment fléchissant maximal sous la combinaison fréquente :
p b = g + ψ1, 1 .q
p b = 18,10 + 0,77.3
p b = 20,41 kN/m
ψ 2, i .Q max
ψ 2, i .Q max = 0,77.20 = 15,4 KN
2
eff
eff
M b = p b ------+ ψ 2, i .Q max ------8
4
M b = 20, 41
6, 852
6, 85
+ 15, 4
8
4
M b = 146,08 mkN
Contrainte maximale sous la combinaison fréquente (voir § 2.2) :
K=
Mb
I cf
σ c, max = K.x1
K=
0, 1461
= 54, 84 MN/m 3
0, 002664
σ c, max = 54, 84.0, 253 = 13, 87 MPa
3.2.1.2 Contrainte minimale
Moment fléchissant minimal (obtenu sous l’effet du poids propre et des charges
d’exploitation quasi permanentes) :
p b = g + ψ 2, 1 .q
p b = 18,10 + 0,77.3
315
316
p b = 20,41 kN/m
ψ 2, i .Q min
ψ 2, i .Q min = 0,77. 0 = 0 kN
2
eff
eff
M b = p b ------+ ψ 2, i .Q min ------8
4
M b = 20, 41
6, 852
6, 85
+0
8
4
M b = 119,71 mkN
Contrainte minimale :
K=
Mb
I cf
K=
σ c, min = K.x1
0, 11971
= 44, 94 MN/m 3
0, 002664
σ c, min = 44, 94.0, 253 = 11, 37 MPa
3.2.2 Vérification
σ c, max
fcd , fat
σ c, min
⎧
⎪ 0, 5 + 0, 45 f
cd , fat
⎪
⎪⎪
>< Min ⎨ 0, 9 si fck ≤ 50 MPa
⎪
⎪
⎪ 0, 8 si fck > 50 MPa
⎪⎩
⎧ 0, 5 + 0, 45 11, 37 = 0, 77
⎪⎪
19, 06
13, 87
= 0, 73 < 0, 77 = Min ⎨
19, 06
⎪ 0, 9
⎪⎩
⇒ résistance à la fatigue satisfaisante.
ANNEXE
A2
1.
Analyse non linéaire –
Diagramme contraintesdéformations du béton
Préambule
Soit à rechercher les primitives des fonctions :
1
x
x2
x3
,
,
et
.
a+x a+x a+x a+x
Nous obtenons :
1
∫ a + x dx = Log (a + x ) + K1
a+x−a
a ⎤
dx = ∫ ⎡⎢1 −
dx = x − a.Log ( a + x ) + K 2
a+x
⎣ a + x ⎦⎥
x2
( a + x )2 − 2.a.x − a 2
dx
∫ a + x dx = ∫
a+x
x
∫ a + x dx = ∫
= a .x +
x2
− 2.a [ x − a.Log ( a + x )] − a 2 .Log ( a + x ) + K 3
2
x2
+ a 2 .Log ( a + x ) + K 3
2
x3
( a + x )3 − 3.a 2 .x − 3.a.x 2 − a 3
dx
=
dx
∫a+x
∫
a+x
⎡
x
x2
a3 ⎤
= ∫ ⎢( a + x )2 − 3.a 2
− 3.a
−
⎥ dx
a+x
a + x a + x⎦
⎣
= − a .x +
= a 2 .x + 2.a
⎡
⎤
x 2 x3
x2
+
− 3.a 2 [ x − a.Log ( a + x )] − 3.a ⎢ −a.x +
+ a 2 .Log ( a + x )⎥
2
3
2
⎣
⎦
− a 3 .Log ( a + x ) + K 4
= a 2 .x + a .x 2 +
x3
3
− 3.a 2 .x + 3.a 3 .Log ( a + x ) + 3.a 2 .x − a.x 2 − 3.a 3 .Log ( a + x )
2
3
− a 3 .Log ( a + x ) + K 4
x3
1
= a 2 .x − a .x 2 +
− a 3 .Log ( a + x ) + K 4
2
3
6.a 2 .x − 3.a.x 2 + 2.x3
=
− a 3 .Log ( a + x ) + K 4
6
334
2.
Diagramme contraintes-déformations
du béton
Pour le calcul des effets du second ordre et pour des charges de courte durée
d’application, on utilise le diagramme de calcul défini de la manière suivante1 :
σc
k.η − η2
=
fcm 1 + ( k − 2 ) η
σc
(3.14)
fcm
avec :
εc
où ε c et ε c1 sont pris
ε c1
en valeur absolue,
k.fcm
(k = 0,4)
η=
0 , 31
ε c1 = 0, 7.fcm
= déformation
correspondant au pic de la
courbe σ−ε ,
εc
εcul
εcl
Classe
de
résistance
du béton
C16/20
C20/25
C25/30
C30/37
C35/45
C40/50
C45/55
C50/60
C55/67
C60/75
C70/85
C80/95
C90/105
E cm . ε c1
fcm
C12/15
k = 1, 05
Arctg Ecm
fck
12
16
20
25
30
35
40
45
50
55
60
70
80
90
fctm
1,6
1,9
2,2
2,6
2,9
3,2
3,5
3,8
4,1
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
fctk 0 , 05
1,1
1,3
1,5
1,8
2,0
2,2
2,5
2,7
2,9
3,0
3,1
3,2
3,4
3,5
fctk 0 ,95
2,0
2,5
2,9
3,3
3,8
4,2
4,6
4,9
5,3
5,5
5,7
6,0
6,3
6,6
εc1 (‰)
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,25
2,3
2,4
2,45
2,5
2,6
2,7
2,8
2,8
εcu1 (‰)
3,5
3,2
3,0
2,8
2,8
2,8
εc2 (‰)
2,0
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
εcu2 (‰)
3,5
3,1
2,9
2,7
2,6
2,6
εc3 (‰)
1,75
1,8
1,9
2,0
2,2
2,3
εcu3 (‰)
3,5
3,1
2,9
2,7
2,6
2,6
L’EC 2 laisse la possibilité d’utiliser un autre diagramme contraintesdéformations dans la mesure où celui-ci représente bien le comportement du béton2.
1.
2.
EC 2 – 3.1.5
EC 2 – 5.8.6 (2)P
Annexe
Pour la méthode générale d’évaluation des effets du second ordre, le
diagramme ci-dessus est modifié comme suit3 :
• fcm est remplacé par fcd ,
• E cm est remplacé par E cd =
E cm 4
γ cE
avec :
γ cE = 1, 2 valeur recommandée et à utiliser pour l’annexe nationale française.
3.
Coefficients de remplissage et de centre
de gravité du diagramme contraintesdéformations du béton (analyse non linéaire)
3.1.
Diagramme contraintes-déformations envisagé
Le diagramme contraintes-déformations du béton pour une analyse non
linéaire et des charges de courte durée d’application est celui figurant au
paragraphe 2.4.2.3. du chapitre 3 : « Béton armé – Généralités »5.
Dans le cas d’une section rectangulaire, nous avons :
εc
d
AN
xu = αu.d
ξ
As1
σ cξ
fcd
Diagramme
déformations
=
k.η − η2
1 + ( k − 2) η
avec :
3.
4.
5.
εcξ = εc
εs1
bw
EC 2 – 5.8.6 (3)
EC 2 – 5.8.4 (4)
EC 2 – 3.1.5 + 5.8.6 (3)
δG.xu fcd
ξ
xu
σs1
σcξ
fcd
Fc = ψ.Fc0
σs1
Diagramme contraintes
réelles
de référence
Fc0
335
336
η=
ε cξ
ε c1
=
εc ξ
. ,
ε c1 x u
0 , 31
,
ε c1 = 0, 7.fcm
k = 1, 05
Coefficient de remplissage
Résultante des efforts de compression dans le béton :
Fc =
xu
b .σ .dξ
0 w cξ
∫
=
2
xu
k.η – η
----------------------------- .dξ
b
.f
0 w cd 1 + ( k – 2 )η
∫
εc ξ ⎛ εc ξ ⎞
----- – ------. ----k. ------.
ε c1 x u ⎝ ε c1 x u⎠
xu
= ∫0 b w .f cd ---------------------------------------------- .dξ
εc ξ
----1 + ( k – 2 ) ------.
ε c1 x u
a
Fc = bw .x u .fcd ∫
{
ε ξ 2
ξ
k. ----- – ------c ⎛ -----⎞
⎝ ⎠
x
ε
x
u
c1 x u
1
ξ
= b w .x u .f cd ∫0u ------------ . ------------------------------------------ .d ⎛ -----⎞
⎝
⎠
k–2
ε
x
1
ξ
c1
u
------------ . -----+ ----k – 2 εc
xu
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3.2.
E cm . ε c1
avec γ cE = 1, 2.
γ cE .fcd
u
1 1
ε
k
u
u2
.
.du − bw .x u .fcd ∫
. c .
.du
0 k−2 ε
0 k−2 a+u
c1 a + u
1
Compte tenu des primitives calculées au paragraphe 1, il vient :
Fc = bw .x u .fcd
k
[ u − a.Log (a + u ) + K 2 ] 10
k−2
− bw .x u .fcd
ε
1
. c
k − 2 ε c1
1
⎡
⎤
u2
+ a 2 .Log ( a + u ) + K 3 ⎥
⎢ − a .u +
2
⎣
⎦0
k
[1 − a.Log (a + 1) + a.Loga ]
k−2
ε
1
1
. c ⎡⎢ −a + + a 2 .Log ( a + 1) − a 2 .Loga ⎥⎤
− bw .x u .fcd
k − 2 ε c1 ⎣
2
⎦
= bw .x u .fcd
Annexe
Fc = bw .x u .fcd
k ⎡
1 ⎤
1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
k−2⎣
a⎠⎦
ε ⎡1
1
1 ⎤
. c ⎢ − a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎝
k − 2 ε c1 ⎣ 2
a⎠⎦
− bw .x u .fcd
D’où le coefficient de remplissage :
Fc = ψ .Fc 0 = ψ .bw .x u .fcd
soit :
ψ=
ε ⎡1
1 ⎤
1 ⎤
1
k ⎡
. c
1 − a.Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥ −
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎝
⎝
a⎠⎦
k − 2 ⎢⎣
a ⎠ ⎦ k − 2 ε c1 ⎢⎣ 2
avec :
a=
Coefficient de centre de gravité
Le moment des forces internes, pris par rapport à l’axe neutre, donne :
( x u – δ G .x u )F c =
2
xu
xu
k.η – η
- .ξ.dξ
∫0 b w .σ cξ .ξ.dξ = ∫0 b w .f cd ----------------------------1 + ( k – 2 )η
εc ξ ⎛ εc ξ ⎞
----- – ------. ----k. ------.
=
ε c1 x u ⎝ ε c1 x u⎠
xu
- .ξ.dξ
b .f --------------------------------------------0 w cd
εc ξ
∫
1 + ( k – 2 ) ------. ----ε c1 x u
a
= bw .x u .fcd ∫
{
ε ξ 2
ξ
k. ----- – ------c ⎛ -----⎞
x u ε c1 ⎝ x u⎠
x
1
ξ
= b w .x u .f cd ∫0u ------------ . ------------------------------------------ .ξ.d ⎛ -----⎞
⎝
⎠
k–2
ε
x
1
ξ
c1
u
------------ . -----+ ----k – 2 εc
xu
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3.3.
1 ε c1
.
k − 2 εc
u
1 xu
k.x u u
ε
u3
.
.du − bw .x u .fcd ∫
. c .
.du
0 k−2 a+u
0 k−2 ε
c1 a + u
1
2
337
338
Compte tenu des primitives calculées au paragraphe 1, il vient :
1
⎤
k.x u ⎡
u2
+ a 2 .Log
g (a + u ) + K 3 ⎥
⎢ − a .u +
2
k−2⎣
⎦0
( x u − δ G .x u ) Fc = bw .x u .fcd
1
− bw .x u .fcd
k.x u ⎡ 1
− a + a 2 .Log ( a + 1) − a 2 .Loga ⎤⎥
k − 2 ⎢⎣ 2
⎦
= bw .x u .fcd
− bw .x u .fcd
Fc
{
( x u – δ G .x u )
ψ.b w .x u .f cd
⎤
x u ε c ⎡ 6.a 2 .u − 3.a.u 2 + 2.u3
.
− a 3 .Log ( a + u ) + K 4 ⎥
⎢
6
k − 2 ε c1 ⎣
⎦0
⎤
x u ε c ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2
− a 3 .Log
.
g ( a + 1) + a 3 .Loga ⎥
⎢
k − 2 ε c1 ⎣
6
⎦
k.x 1
2
1
= b w .x u .f cd -----------u- --- – a + a .Log ⎛ 1 + ---⎞
⎝
k–2 2
a⎠
x u ε c 6.a 2 – 3.a + 2
3
- . ------ -------------------------------- – a .Log ⎛ 1 + 1---⎞
– b w .x u .f cd ----------⎝
k – 2 ε c1
6
a⎠
D’où le coefficient de centre de gravité :
ψ ( x u − δ G .x u ) =
k.x u ⎡ 1
1 ⎤
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
k − 2 ⎣2
a⎠⎦
−
δG = 1 −
+
4.
x u ε c ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2
1 ⎤
.
− a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
6
k − 2 ε c1 ⎣
a⎠⎦
1 ⎤
k
⎡1
− a + a 2 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎢
⎝
ψ ( k − 2) ⎣ 2
a⎠⎦
ε ⎡ 6.a 2 − 3.a + 2
1
1 ⎤
. c ⎢
− a 3 .Log ⎛ 1 + ⎞ ⎥
⎝
ψ ( k − 2 ) ε c1 ⎣
6
a⎠⎦
Remarque
Pour les charges de durée d’application quelconque :
• εc est remplacé par ε c (1 + ϕ ef ),
• εc1 est remplacé par ε c1 (1 + ϕ ef ),
• k = 1, 05
E cm . ε c1 (1 + ϕ ef )
γ cE .fcd
avec γ cE = 1, 2,
dans les expressions de ψ et de δ G.
A1
1.
Calcul numérique
des déformations
Pose du problème
Soit à rechercher l’aire limitée :
• par l’axe des abscisses (x),
• par la courbe y = f(x),
• entre les abscisses x 0 et x 0 + 2 Δx.
y = f(x)
y'
y0
x0
2.
y1
y2
x0 + x x0 + 2 x
x
Arc de parabole circonscrit
En remplaçant la courbe réelle par un arc de parabole :
• d’équation y = a.x 2 + b.x + c,
• passant par les points ( x 0 , y 0 ) ; ( x 0 + Δx, y1 ) et ( x 0 + 2 Δx, y 2 ),
on obtient, en se plaçant dans le repère (x, y’), passant par le point ( x 0 , 0 ) :
⎧ y0 = c
⎪
2
⎨ y1 = a.Δx + b.Δx + c
⎪
2
⎩ y 2 = a. ( 2 Δx ) + b.2 Δx + c
320
D’où les coefficients de l’équation de l’arc de parabole :
y0
y1
y2
0
a=
0 1
Δx 1
2 Δx 1
y ( Δx − 2 Δx ) − y1 ( −2 Δx ) + y 2 ( − Δx )
y − 2.yy1 + y 2
= 0
⇒ a= 0
0 1
2.Δx 2
2.Δx3 − 4.Δx3
( Δx )2
Δx
4 ( Δx )2
2 Δx 1
0
y0 1
( Δx )
b=
2
y1 1
(
)
(
− y 0 Δx 2 − 4 Δx 2 + y1 −4 Δx 2 − y 2 − Δx 2
y2 1
=
0 1
−2.Δx3
( Δx )2
Δx
4 ( Δx )
2 Δx 1
( Δx )
3.
)
(
4 ( Δx )2
0
2
0
2
4 ( Δx )
0
c=
1
2
⇒ b=
4.y1 − 3.y 0 − y 2
2.Δx
1
0
y0
Δx
y1
)
(
y 0 2 Δx3 − 4 Δx3 − y1 ( 0 ) + y 2 ( 0 )
2 Δx y 2
⇒ c = y0
=
0 1
−2.Δx3
( Δx )2
Δx
4 ( Δx )
2 Δx 1
2
)
1
Calcul numérique des intégrales
La primitive de la fonction y = a.x 2 + b.x + c s’écrit dans le repère (x, y’) :
Y = a.
x3
x2
+ b. + c.x + d avec d = 0
3
2
D’où, par intégration de y(x) sur l’intervalle [ x 0 , x 0 + Δx ] du plan (x, y) :
x 0 + Δx
∫x
y( x).dx =
0
Δx
∫0
y( x).dx = a.
Δx3
Δx 2
+ b.
+ c.Δx
3
2
Soit, en remplaçant les constantes a, b et c par leurs valeurs :
x 0 + Δx
∫x
0
y( x).dx =
y 0 − 2.y1 + y 2 Δx3 4.y1 − 3.y 0 − y 2 Δx 2
+ y 0 .Δx
+
.
.
2.Δx
2
3
2.Δx 2
Annexe
x 0 + Δx
∫x
y( x).dx =
0
y
Δx ⎡ y 0
9
3
⎤
− y 1 + 2 + 3.y1 − y 0 − y 2 + 3.y 0 ⎥
⎢
3 ⎣2
2
4
4
⎦
⎡
⎢
x 0 + Δx
Δx ⎢ ⎛ 1 9
⎞
⎛1
∫ x0 y(x).dx = 3 ⎢ ⎝ 2 − 4 + 3⎠ y 0 + ( −1 + 3) y1 + ⎝ 2 −
⎢
⎢ 2 − 9 +12 = 5
⎣
4
4
⎤
⎥
3⎞ ⎥
y2
4 ⎠ ⎥⎥
⎥
⎦
[1]
Et par intégration de y(x) sur l’intervalle [ x 0 , x 0 + 2 Δx ] du plan (x, y) :
x 0 + 2 Δx
∫x
y( x).dx =
0
2 Δx
∫0
y( x).dx = a.
8 Δx3
4 Δx 2
+ b.
+ c.2 Δx
2
3
Soit, en remplaçant les constantes a, b et c par leurs valeurs :
x 0 + 2 Δx
∫x
y( x).dx =
Δx
[ 4.y 0 − 8.y1 + 4.y 2 + 12.y1 − 9.y0 − 3.y2 + 6.y0 ]
3
y( x).dx =
Δx
[( 4 − 9 + 6) y 0 + ( −8 + 12) y1 + ( 4 − 3) y2 ]
3
y( x).dx =
Δx
[ y 0 + 4.y1 + y 2 ]
3
0
x 0 + 2 Δx
∫x
y 0 − 2.y1 + y 2 8 Δx3 4.y1 − 3.y 0 − y 2 4 Δx 2
+ y 0 .2 Δx
+
.
.
3
2.Δx
2
2.Δx 2
0
x 0 + 2 Δx
∫x
y( x).dx =
0
x 0 + 2 Δx
∫x
0
[2]
Cette formule est appelée « formule des trois niveaux ».
Pour calculer l’intégrale de y(x) entre y 0 et y 2 n (le nombre d’ordonnées étant
impair ⇔ le nombre d’intervalles étant pair), on considère les arcs de
parabole successifs correspondant à y(x) sur les paires d’intervalles successives.
On obtient ainsi de proche en proche :
y = f(x)
y0
y1
y2
y3
y4
y2n – 2
y2n – 1
y2n
x
I
N
II
321
322
y 0 + 4.y1 + y 2
I
y 2 + 4.y3 + y 4
II
...
……
y 2 n − 2 + 4. y 2 n − 1 + y 2 n
N
2n
Δx
∫ 0 y ( x ) .dx = 3 [ y 0 + 4.y1 + 2y 2 + 4.y3 + ... + 2y 2n − 2 + 4.y 2n −1 + y 2n ]
Total :
[ x0 + Δx, x0 + 2Δx ]
Remarque : l’intégration de y(x) sur l’intervalle
s’obtient en écrivant :
x 0 + 2 Δx
∫x
y( x).dx =
0
x 0 + Δx
∫x
0
y( x).dx + ∫
x 0 + 2 Δx
x 0 + Δx
y( x).dx
D’où :
x 0 + 2 Δx
∫x
0 + Δx
x 0 + 2 Δx
∫x
0
+ Δx
x 0 + 2 Δx
∫x
0
+ Δx
y( x).dx =
x 0 + 2 Δx
∫x
0
y( x).dx − ∫
x 0 + Δx
x0
y( x).dx
y( x).dx =
Δx
Δx
[ y 0 + 4.y1 + y 2 ] − 3 [1, 25.y0 + 2.y1 − 0, 25.y 2 ]
3
y( x).dx =
Δx
[ −0, 25.y 0 + 2.y1 + 1, 25.y 2 ]
3
Soit une formule « symétrique » de celle relative à
x 0 + Δx
∫x
y( x).dx .
0
4.
Méthodes simplifiées pour la double
intégration de la courbure
4.1.
Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure
4.1.1.
Introduction
Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée , découpée en
deux tronçons de longueur /2 :
x
x'
/2
1
/2
2
3
Annexe
Sur chacune des demi-travées, en supposant que la variation de la courbure
est linéaire, nous pouvons poser :
Demi-travée de gauche
y" =
y' = θ =
y=f=
Demi-travée de droite
1
= a .x + b
r
y" =
1 2
a.x + b.x + c
2
y' = θ =
1
1
a.x3 + b.x 2 + c.x + d
6
2
y=f=
1
= α . x '+ β
r
1
α.x '2 + β.x '+ γ
2
1
1
α.x '3 + β.x '2 + γ .x '+ δ
6
2
Les conditions aux limites à respecter s’écrivent :
• pour les courbures :
y "( x = 0) = b =
1
r1
y "( x ' = 0) = β =
1
r3
1
y” ⎛ x = ---⎞ = y” ⎛ x’ = ---⎞ = ---⎝
⎝
r2
2⎠
2⎠
1
1
1
a. + b = α. + β =
r2
2
2
⇒
⎧ 1 a. + 1 = 1
⎪⎪ 2
r1 r2
⇒ ⎨
⎪ 1 α. + 1 = 1
⎪⎩ 2
r3 r2
⇒
⎧
2 1 1
⎪ a = --- ⎛⎝ ---- – ----⎞⎠
r2 r1
⎪
⎨
1 1⎞
⎪ α = 2--- ⎛ --- – ---⎪
⎝ r 2 r 3⎠
⎩
• pour les flèches :
y ( x = 0) = d = 0 ⇒
d=0
y ( x ' = 0) = δ = 0 ⇒
δ=0
y ⎛ x = ---⎞ = y ⎛ x’ = ---⎞
⎝
⎝
2⎠
2⎠
⇒
1
1
1
1
1
1
a.3 + b.2 + c. + d =
α.3 + β.2 + γ . + δ
48
8
2
48
8
2
2
2
2
2
1 1
1 1
1 1
1 1
⇒ ----- ⎛ --- – --- ⎞ + -- . ---- + -- c. = ----- ⎛ --- – --- ⎞ + -- . ---- + -- γ . 24 ⎝ r 2 r 1⎠ 8 r 1 2
24 ⎝ r 2 r 3⎠ 8 r 3 2
323
324
2
2
2
2
2
1 1
⇒ c. – γ . = ----- ⎛ -1-- – -1-- ⎞ + -- ⎛ ---- – ---- ⎞ = – ---- . --- + ---- . --⎝
⎠
⎝
⎠
12 r 1 r 3
4 r3 r1
6 r1 6 r3
[α]
• pour les rotations :
y’ ⎛ x = ---⎞ = y’ ⎛ x’ = ---⎞
⎝
⎝
2⎠
2⎠
1 2 1
1
1
a. + b. + c = − α.2 − β. − γ
8
2
8
2
⇒
⇒
-- ⎛ 1 1 ⎞ -- -1-
1
--- – --- + . + c = – -- ⎛ -1-- – -1-- ⎞ – -- . --- – γ
4 ⎝ r 2 r 1⎠ 2 r 1
4 ⎝ r 2 r 3⎠ 2 r 3
⇒
c + γ = – -4
⎛ -2-- – -1-- – -1-- ⎞ – -- . -1-- – -- . -1--⎝ r 2 r 3 r 1⎠ 2 r 3 2 r 1
1 1 1
⇒ c+γ = − . − . − .
2 r2 4 r3 4 r1
[β]
• d’où les coefficients c et γ :
[ α ] ⇒ c. − γ . = −
[β ]
2 1 2 1
. + .
6 r1 6 r3
1 1 1
⇒ c+γ = − . − . − .
2 r2 4 r3 4 r1
2
2
2
2
1 1 1
2.c. = – ⎛ ---- + ---- ⎞ --- – -- . ---- + ⎛ ---- – ---- ⎞ --⎝ 6 4 ⎠ r1 2 r2 ⎝ 6 4 ⎠ r3
[ α ] + . [ β ]
⇒
⇒ 2.c. = −
5.2 1 2 1 2 1
. − . − .
12 r1 2 r2 12 r3
. [ β ] – [ α ]
1 1
1
⇒ 2. γ . = ⎛ – ---- + ---- ⎞ --- – ---- . --- – ⎛ ---- + ---- ⎞ --⎝ 4 6 ⎠ r1 2 r2 ⎝ 6 4 ⎠ r3
⇒ 2.γ . = −
2 1 2 1 5.2 1
. − . −
.
12 r1 2 r2
12 r3
2
2
⇒ c=−
2
⇒ γ=−
5. 1 1
1
. − . − .
24 r1 4 r2 24 r3
2
2
1 1 5. 1
. − . −
.
24 r1 4 r2 24 r3
La flèche à mi-portée s’exprime alors en fonction des courbures par la
relation :
3
2
1
1
1
y 2 = y ⎛ ---⎞ = f = ------ a. + --- b. + --- c. + d
⎝ 2⎠
48
8
2
1 2 1 1 3 1 1 2 1
5. 1 1 1
y 2 = ------ . --- ⎛ ---- – ----⎞ . + --- . ---- . + --- ⎛ – -------- . ---- – --- . ---- – ------ . ----⎞ . + 0
48 ⎝ r 2 r 1⎠
8 r1
2 ⎝ 24 r 1 4 r 2 24 r 3⎠
Annexe
y2 =
2 1 2 1 2 1 5.2 1 2 1 2 1
. − . + . −
. − . − .
24 r2 24 r1 8 r1
48 r1 8 r2 48 r3
2
2
2
2
2
2
1
5. 1 1
y 2 = ⎛ ------ – -----⎞ . ---- + ⎛ – ------ + ----- – ----------⎞ . ---- – ------ . ---⎝ 24 8 ⎠ r 2 ⎝ 24 8
48 ⎠ r 1 48 r 3
y2 = −
2 1 2 1 2 1
. − . − .
12 r2 48 r1 48 r3
2
1
1
1
y 2 = – ------ ⎛ 1. ---- + 4. ---- + 1. ----⎞
48 ⎝ r 1
r2
r 3⎠
sur les appuis extrêmes :
y1 = y3 = 0
Cette méthode peut être généralisée au cas de poutres dont la portée a été
découpée en n parties égales (avec n pair).
Remarque : dans le cas d’une poutre découpée en deux tronçons, on retrouve
la formule des trois niveaux (cf. § 3).
4.1.2.
Généralisation
1
Nous pouvons évaluer la flèche à partir de la courbure , sans double
r
intégration, en utilisant la formule :
yi = −
2
N
n
1
j =1
j
∑ k i, j r
⎧ i = indice de la section où l’on calcule la flèche,
⎪
où ⎨ j = indice de la section dont on connaît la courbure,
⎪ n = nombre (impair) de sections du découpage.
⎩
avec :
( )
1 Mser x j
=
rj
E c , eff I
et I = I ch ou I cf selon le cas.
Les valeurs de N et k i , j étant donnés ci après.
Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive
dans le sens ascendant.
325
326
4.1.2.1. Découpage en 2 tronçons
/2
/2
1
2
3
N = 48 ; y1 = 0 , y3 = 0
⎡1 r1 ⎤
y 2 = [1 4 1] . ⎢⎢1 r2 ⎥⎥
⎣⎢1 r3 ⎦⎥
4.1.2.2. Découpage en 4 tronçons
/4
1
/4
/4
2
3
/4
4
5
N = 384 ; y1 = 0, y5 = 0
⎡1 r1 ⎤
⎡ y 2 ⎤ ⎡ 3 14 12 6 1 ⎤ ⎢⎢1 r2 ⎥⎥
⎢ y ⎥ = ⎢ 2 12 20 12 2 ⎥ . ⎢1 r ⎥
3
⎢ 3⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ y 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 6 12 14 3 ⎥⎦ ⎢⎢1 r4 ⎥⎥
⎢⎣1 r5 ⎥⎦
4.1.2.3. Découpage en 6 tronçons
/6
1
/6
2
/6
3
/6
4
N = 1 296 ; y1 = 0, y 7 = 0
⎡ y2 ⎤ ⎡ 5
⎢ y ⎥ ⎢4
⎢ 3⎥ ⎢
⎢ y4 ⎥ = ⎢ 3
⎢y ⎥ ⎢
⎢ 5 ⎥ ⎢2
⎢⎣ y6 ⎥⎦ ⎢⎣ 1
24 24 18
24 42 36
18 36 48
12 24 36
6 12 18
12
6
24
36
42
24
12
18
24
24
⎡1 r1 ⎤
1 ⎤ ⎢1 r2 ⎥
⎥
⎢
2 ⎥ ⎢1 r3 ⎥
⎥⎢
⎥
3 ⎥ ⎢1 r4 ⎥
4 ⎥⎥ ⎢1 r5 ⎥
⎢
⎥
5 ⎥⎦ ⎢1 r6 ⎥
⎣⎢1 r7 ⎥⎦
/6
5
/6
6
7
Annexe
4.1.2.4. Découpage en 8 tronçons
/8
/8
1
/8
2
3
/8
4
/8
5
/8
6
/8
7
/8
8
9
N = 3 072 ; y1 = 0 , y9 = 0
⎡ y2 ⎤ ⎡ 7
⎢ y ⎥ ⎢6
⎢ 3⎥ ⎢
⎢ y4 ⎥ ⎢ 5
⎢y ⎥ ⎢
⎢ 5 ⎥ = ⎢4
⎢ y6 ⎥ ⎢ 3
⎢ ⎥ ⎢
⎢ y7 ⎥ ⎢ 2
⎢⎣ y8 ⎥⎦ ⎢⎣ 1
34 36 30 24
36 64 60 48
30 60 82 72
24 48 72 88
18 36 54 72
12 24 36 48
6 12 18 24
18
36
54
72
82
60
30
12
24
36
48
60
64
36
6
12
18
24
30
36
34
⎡1 r1 ⎤
1 ⎤ ⎢1 r2 ⎥
⎢
⎥
2 ⎥ ⎢1 r3 ⎥
⎥⎢
⎥
3 ⎥ ⎢1 r4 ⎥
4 ⎥⎥ ⎢1 r5 ⎥
⎢
⎥
5 ⎥ ⎢1 r6 ⎥
⎥
6 ⎥ ⎢1 r7 ⎥
⎢
⎥
7 ⎥⎦ ⎢1 r8 ⎥
⎢⎣1 r9 ⎥⎦
4.1.2.5. Découpage en 10 tronçons
/10
1
/10
2
/10
3
/10
4
/10
5
/10
6
/10
7
/10
8
/10
9
/10
10
N = 6 000 ; y1 = 0 , y11 = 0
⎡ y2 ⎤ ⎡9
⎢ y ⎥ ⎢8
⎢ 3⎥ ⎢
⎢ y4 ⎥ ⎢ 7
⎢y ⎥ ⎢
⎢ 5 ⎥ ⎢6
⎢ y6 ⎥ = ⎢ 5
⎢ ⎥ ⎢
⎢ y7 ⎥ ⎢4
⎢ y8 ⎥ ⎢ 3
⎢ ⎥ ⎢
⎢ y9 ⎥ ⎢ 2
⎢⎣ y10 ⎥⎦ ⎢⎣ 1
44
48
42
36
30
48 42 36 30 24
86 84 72 60 48
84 116 108 90 72
72 108 134 120 96
60 90 120 140 120
24
18
12
6
48
36
24
12
72
54
36
18
96
72
48
24
18
36
54
72
90
12
24
36
48
60
6
122
18
24
30
120 1344 108 72 36
90 108 116 84 42
60 72 84 86 48
30 36 42 48 44
⎡ 1 r1 ⎤
1 ⎤ ⎢ 1 r2 ⎥
⎢
⎥
2 ⎥ ⎢ 1 r3 ⎥
⎥
3 ⎥ ⎢⎢ 1 r4 ⎥⎥
4 ⎥⎥ ⎢ 1 r5 ⎥
⎢
⎥
5 ⎥ ⎢ 1 r6 ⎥
⎥
6 ⎥ ⎢ 1 r7 ⎥
⎢
⎥
7 ⎥ ⎢ 1 r8 ⎥
⎥
8 ⎥ ⎢ 1 r9 ⎥
⎢
⎥
9 ⎥⎦ ⎢1 r10 ⎥
⎢1 r ⎥
⎣ 11 ⎦
11
327
328
4.1.3.
Exemples
4.1.3.1. Charge concentrée à mi-portée d’une poutre sur deux appuis
simples
/2
x
P
M ( x) =
P
x
2
⇒
dω 1 M ( x )
P
= =
=
x
dx r
EI
2EI
Pour un découpage en quatre tronçons :
1
1
P. 1
P. 1 1
P. 1 1
; =
; = =
; = =0
= 0; =
r1
r2 8.EI r3 4.EI r4 r2 8.EI r5 r1
D’où la flèche à mi-portée (cf. § 4.1.2.b) :
y3 =
2 ⎡ 1
1
1
1
1⎤
⎢ 2 + 12 + 20 + 12 + 2 ⎥
r2
r3
r4
r5 ⎦
384 ⎣ r1
y3 =
3
3
2 P. ⎡
1
1
1
⎤ = 8.P. = P.
.
.
2
0
+
12
+
20
+
12
+
20
⎥⎦ 384.EI 48.EI
384 EI ⎢⎣
8
4
8
4.1.3.2. Charge uniformément répartie sur une poutre sur deux appuis
simples
P
x
M ( x) =
p.x ( − x )
2
⇒
dω 1 M ( x ) p.x ( − x )
= =
=
dx r
EI
2.EI
Pour un découpage en dix tronçons :
1
1
p.2
1
1
p.2 1 1
; = = 0, 16
;
=
= 0; =
= 0, 09
r1 r11
2.EI
r2 r10
2.EI r3 r9
Annexe
1 1
p.2 1 1
p.2 1 1
p.2
= = 0, 21
; = = 0, 24
; = = 0, 21
r4 r8
2.EI r5 r7
2.EI r4 r8
2.EI
D’où la flèche à mi-portée (cf. § 4.1.2.e) :
y6 =
2 ⎪⎧ ⎡ 1
1 ⎪⎫
1
1
1
1⎤
⎨ 2 ⎢5 + 30 + 60 + 90 + 120 ⎥ + 140 ⎬ par symétrie.
r2
r3
r4
r5 ⎦
6 000 ⎩⎪ ⎣ r1
r6 ⎭⎪
y6 =
2 p.2
.
{2 [5.0 + 30.0, 09 + 60.0,16 + 90.0, 21 + 120.0, 24 ] + 140.0, 25}
6 000 2.EI
y6 =
77, 5 p.4 5.p.4
5.p.4
.
=
≈
6 000 EI
387.EI 384.EI
Écart :
5
5
−
Δy6 384 387
=
= 8 ‰.
5
y6
384
4.2.
Méthode basée sur une variation de la courbure
identique à celle du moment fléchissant
4.2.1.
Introduction
Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée , uniformément
chargée :
M0 =
p.2
8
1 M0
=
r0
EI
4
5.p.
f = y ⎛ ---⎞ = – ---------------⎝ 2⎠
384.EI
On peut donc écrire, en se plaçant à mi-travée :
f=−
5.p.4
5 M
1
= − . 0 2 = −0, 104 2
384.EI
48 EI
r0
329
330
4.2.2.
Généralisation
Nous pouvons évaluer la flèche maximale, à partir de la courbure dans la
section soumise au moment maximal, par la formule :
21
f = – k. ---r0
avec :
k = coefficient fonction du diagramme des moments,
1
= courbure dans la section la plus sollicitée,
r0
= portée de la poutre.
Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive
dans le sens ascendant.
Le coefficient k dépend de la forme du diagramme des moments fléchissants.
Il est donné par le tableau ci-après :
Chargement
Diagramme du moment fléchissant
k
M0
M0
M0
0,125
.
P
Mmax = P(1 – )
P
3 − 4.α 2
48(1 − α )
si α = 1 : 1
2 12
M0
M0
0,0625
Annexe
α.l
P/2
P/2
P.α.l
2
α.l
0, 125 −
l
l
p
p.l
8
α2
6
2
0,104
l
l
P.l2
15,6
p
0
0,102
l
MA
p
l
Mt
MB
β⎞
⎛
0, 104 ⎜ 1 − ⎟
⎝ 10 ⎠
avec :
l
α.l
MA
l
MB
M + MB
β= A
Mt
P.α.l
P
α (3 − α )
6
l
l
si α = 1 : 1
3
331
332
p.α2.l2
2
α.l
P
α(4 – α)
--------------------12
si α = 1 :
l
l/2
1
4
l
P
MA
MB
MB
MA
a.l
l
a.l
P
avec :
Mt
l
β⎞
⎛
0, 083 ⎜ 1 − ⎟
⎝
4⎠
M + MB
β= A
Mt
p.l
(3 − 4.α2)
24
2
(
)2
2
1 5 − 4.α
.
80 3 − 4.α 2
l
l
Bibliographie
J.-A. Calgaro et J. Cortade, Applications de l’eurocode 2 : calcul des bâtiments
en béton, Presses des Ponts-et-Chaussées, 2005.
J. Perchat, Le calcul plastique, cours ESTP 1973.
J. Roux, Résistance des matériaux par la pratique, tomes 1 à 4, Éditions
Eyrolles 1995, 1998 et 1999.
Index
Cette table alphabétique reprend les expressions courantes utilisées en béton
armé en renvoyant à la page dans laquelle elles sont définies ou utilisées la
première fois.
–A–
Actions cycliques....................................................................................
297
Aire chargée............................................................................................
247
Aire de contrôle de référence..................................................................
247
Analyse élastique linéaire .......................................................................
28
Analyse linéaire avec redistribution limitée ...........................................
29
Analyse non linéaire ...............................................................................
34
Analyse plastique....................................................................................
30
Applui direct ...........................................................................................
283
Appui indirect .........................................................................................
283
Armatures de peau ..................................................................................
181
Armatures en chapeau ............................................................................
35
–B–
Bielle.......................................................................................................
281
–C–
Chapeaux ................................................................................................
35
Coefficient d’amplification .....................................................................
71
Condition entièrement fissurée ...............................................................
197
Condition non fissurée ............................................................................
197
Console courte ........................................................................................
281
Contour de contrôle de référence............................................................
247
Contour de contrôle réduit ......................................................................
261
Contour de contrôle ................................................................................
247
336
Corbeau..................................................................................................
281
Courbe caractéristique de résistance en fatigue .....................................
299
Courbe S-N ............................................................................................
299
–D–
Dalles .....................................................................................................
18
–E–
Endommagement des armatures dû à la fatigue ....................................
302
Étendue de contrainte.............................................................................
299
Étendue de contraintes résistante...........................................................
299
Excentricité du premier ordre ................................................................
74
Excentricité du second ordre..................................................................
74
–F–
Fissuration complète ..............................................................................
169
Fissuration non systématique.................................................................
169
Force critique d’Euler ............................................................................
69
–L–
Longueur de flambement .......................................................................
70
Longueur efficace...................................................................................
75
–M–
Méthode de l’équilibre...........................................................................
78
Méthode de la courbure .........................................................................
79
Méthode de la rigidité ............................................................................
79
Méthode des déformations internes .......................................................
78
Moment du premier ordre équivalent ....................................................
99
–N–
Nombre de cycles...................................................................................
298
Index
–O–
Ouverture calculée des fissures............................................................... 162, 176
–P–
Paramètre de déformation.......................................................................
208
Portée utile ..............................................................................................
20
Poteaux ...................................................................................................
18
Poutres ....................................................................................................
18
Poutres-cloisons......................................................................................
18
–R–
Rigidité nominale ...................................................................................
95
–S–
Section de contrôle de référence.............................................................
247
–T–
Tirant.......................................................................................................
281
–V–
Valeur limite de l’ouverture calculée des fissures...................................
162
Voiles ......................................................................................................
18
337