MTHS 212-2019
WERKBLAD 3 / WORKSHEET 3
(1.6, 1.7, 2.1)
Bestudccr § 1.6 in Lay (bl. 49-53) en doen probleme 1-3. Jy moet probleme oor chemiese
vergelykings, verkeersvloei en ekonomie kan doen. Jy moet stelsels lineere vergelykings gebruik om
die probleem op te las. Skryf die volledige oplossing uit. Jy word aangeraai om Matlab gebruik om die
stelsels op te las, aangesien die stelsels nie maklik met die hand opgelos kan word nie.
Study §1. 6 in Lay (p. 49-53) and do problems 1 to 3. You have to be able to do problems
on chemical equations, traffic flow and economy. You have to use systems of equations to solve
the problem. Write out thefull solution. You are advised to use Matlab to solve the systems, since the
systems cannot easily be solved by hand.
1.
Balanscer die volgendc chcmiese vergelyking: / Balance the following chemical equation:
PbCr04 + JJC! + FeS04 _, PbCl2 + Cr2(S04)3 + FeCl3 + lhO + Fe2(S04)3
2. Ste! 'n stelsel lineere vergelykings op en las dit op om die algernene vloeipatroon vir die
volgende nelwerk te bepaal: /Set up a system of linear equations and solve it to
determine the general flow pattern for the following network:
15
10ot
200
,,t
+1JiO
A
D
100)
0
!
20ot
f,
f,
_,.
-•
---+----+--
,,l
�
100
t
B
'
4
;_L
C
100
_,.
-
F
10(1
3. 'n Ekonornie bestaan uil die sektore A, B, C, D en E en elke sektor voorsien aan die ander
volgens die volgende tabel. (Inskrywings in 'n kolorn verleenwoordig breukdele van die totalc
sektor se uitset.) Vind die ewewigsprysvektor vir die ekonornie.
An economy consists oif the sectors A, B, C, D and E and each sector supplies to all
the other according to the following table. (Entries in a column representsJi-actions of
the sector's total output.) Find
the equilibrium price vector for the economy.
-~--�--Ver-
Voorsieners / Suppliers
D
A
B
C
brui- A 0.4 0.3 0.1
kcrs B 0.2 0.3 0.3
Cons- C 0.2 0.2 0.4
mners D 0.2 0.2 0.2
0.1
0.3
0.3
0.3
(Studiegids / Study Guide 1.7, 2.1)
4. Bepaal of die versameling kolomme van die matriks / Determine if the set of columns of the matrix


−4 −3
0
 0 −1
5 


 1
1
−5 
2
1 −10
lineêr onafhanklik is. / are linearly independent.
5. Bepaal die waardes van h waarvoor die versameling hieronder lineêr onafhanklik is. Verduidelik u
antwoord. / Determine the values of h for which the set below are linearly independent. Explain
your answer.

 
 

3
−6
9 

 −6  ,  4  ,  h 


1
−3
3
6. Bepaal of die volgende versamelings lineêr onafhanklik is. Gee redes vir u antwoorde. / Determine
if the following sets are linearly independent. Give reasons for your answers.

 
 
 

1
−4
1
−3 

(a)  3  ,  −2  ,  2  ,  3  .


−5
−3
−1
−3

 
 

−2
0 
 2
(b)  1  ,  5  ,  0  .


0
4
0

 

4
 3

(c)  0  ,  −1  .


4
4
7. Hoeveel vrye veranderlikes moet ’n stelsel lineêre vergelykings hê as die ooreenstemmende
koëffisı̈ente-matriks ’n 4 × 6 matriks is waarvan die kolomme R4 onderspan? / How many free variables
must a system of linear equations have if the corresponding coefficient matrix is a 4 × 6 matrix whose
columns span R4?
8. Hoeveel vrye veranderlikes moet ’n stelsel lineêre vergelykings hê as die ooreenstemmende aangevulde matriks ’n 4 × 6 matriks is waarvan die kolomme R4 onderspan? / How many free variables must a
system of linear equations have if the corresponding augmented matrix is a 4 × 6 matrix whose columns
span R4?
9. Gegee / Given

−2 −1
A =  −4 −5
4 −3

−3
−9  .
1
Let op dat die derde kolom die som van die eerste twee kolomme is. Bepaal ’n nie-triviale oplossing
an Ax = 0. (Wenk: Skryf Ax = 0 as ’n vektorvergelyking.) / Observe that the third column is the
sum of the first two columns. Find a non-trivial solution of Ax = 0. (Hint: Write Ax = 0 as a
vector equation.)
10. Laat T : R3 → R3 gedefinieer wees deur T (x) = Ax. / Let T : R3 → R3 be defined by T (x) = Ax.
(i) Bepaal in elkeen van die volgende vrae ’n vektor x sodat T (x) = b. / Determine a vector x
such that T (x) = b.
(ii) Bepaal of x

−4
(a) A =  −4
2
uniek is. / Determine if x is unique.



−5 3
−24
0
3 ,
b =  −19 
1 −1
8

3
(b) A =  3
5

−3 −5
2
5 ,
−3 −3


4
b =  −26 
−12
11. Hoeveel rye en kolomme moet ’n matriks A hê as die afbeelding gedefinieer deur T (x) = Ax die
definisieversameling R5 het en die waardeversameling ’n deelversameling van R7 is? / How many rows
and columns must a matrix A have if the map defined by T (x) = Ax has the domain R5 and the range is a
subset of R7?
12. Laat T : R3 → R3 met / Let T : R3 → R3 with

−3 −4
T (x) =  −1 2
5
4

−1
5  x.
−2
Bepaal alle x só dat T (x) = 0. / Determine all x such that T (x) = 0.
13. Laat T : R3 → R3 die projeksie wees wat elke vektor / Let T : R3 → R3 be the projection that maps
each vector


x1
x =  x2 
x3
op die vlak x2 = 0 afbeeld, sodat / onto the plane x2 = 0, such that


x1
T1 (x) =  0  .
x3
Toon aan dat T1 ’n lineêre transformasie is. / Show that T1 is a linear transformation.