Formularium 3-Statistiek
Hoofdstuk 1: Kansrekenen
Definitie
Formule
A∪B
(A unie B)
nA∪B = nA + nB - nA∩B
AC
(complement van gebeurtenis A)
nA C = nW - nA
Vnk
(variatie van n elementen uit k
genomen)
Vnk = (n−k)!
Pn
(permutatie van n elementen)
Pn = n!
Cnk
(combinatie van n elementen uit k
genomen)
Cnk =
fA
(relatieve frequentie van
gebeurtenis A)
fA =
P[A]
(kans dat gebeurtenis A zich
voordoet)
P[A] = lim fA
n!
n!
k! (n−k)!
mA
m
m→∞
=
nA
nW
Axioma’s van de kansrekening
P[ø] = 0
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] – P[A ∩ B]
P[AC] = 1 – P[A]
P[A|B]
P[A|B] =
(kans op A gegeven dat B zich
heeft voorgedaan)
P[A ∩ B]
P[B]
Productregel van de kansrekening
P[A ∩ B] = P[A].P[B|A]
P[B ∩ A] = P[B].P[A|B]
Wet van de totale kans
P[B] = ∑ni=1 P[Ai ] . P[B|Ai ]
Regel van Bayes
P[Ai|B] =
=
Voorwaarde voor statistisch onafhankelijke
gebeurtenissen
P[Ai ]. P[B|Ai ]
P[B]
P[Ai ] . P[B|Ai ]
∑n
i=1 P[Ai ] . P[B|Ai ]
P[A ∩ B] = P[A].P[B]
= P[B].P[A|B]
Hoofdstuk 2: Toevalsveranderlijken
Definitie
Kansberekening bij discrete toevalsveranderlijke
Formule
P[X = x] = f(x)
P[X ≤ x] = F(x)
P[X > x] = 1 – F(x)
P[X < x] = F(x – e)
P[X ≥ x] = 1 – F(x – e)
Kansberekening bij continue toevalsveranderlijke
P[X = x] = 0
P[x1 ≤ X ≤ x2] = F(x2) – F(x1)
P[X ≤ x] = F(x)
P[X ≥ x] = 1 – F(x)
E(x) of μ
E(x) = ∑ni=1 xi . f(xi ) (discrete toevalsveranderlijke)
E(x) = ∫bld(X) x. f(x)dx (continue toevalsveranderlijke)
(verwachtingswaarde van
toevalsveranderlijke)
Eigenschappen E-operator
X(u) = k ⇒ E(x) = k
E(X + k) = E(X) + k
E(k.X) = k.E(X)
E(∑ni=1 ai . X i) = ∑ni=1 ai .E(X i)
var(X)
var(X) = E[(X – μ)²]
(algemeen)
= E(X²) – μ²
var(X) = ∑ni=1(xi − μ)². f(xi ) (discrete
(variantie van toevalsveranderlijke)
toevalsveranderlijke)
var(X) = ∫bld(X)(x − μ)². f(x)dx (continue
toevalsveranderlijke)
σ
(standaardafwijking van
toevalsveranderlijke)
σ = √var(X)
Eigenschappen var-operator
X(u) = k ⇒ var(X) = 0
var(X + k) = var(X)
var(k.X) = k².var(X)
var(∑ni=1 ai . X i) = ∑ni=1 ai ².var(X i)
Z
(Z-score)
Z=
μr
(centrale moment van
toevalsverandelijke)
μr = E[(X – μ)r ]
Scheefheidscoëfficiënt
X− μ
σ
μ
scheefheidscoëfficiënt = σ 33
1
= σ 3 . E[(X – μ)³]
μ4
σ4
1
= σ4
Spitsheidscoëfficiënt
spitsheidscoëfficiënt =
. E[(X – μ)4 ]
Hoofdstuk 3: Discrete kansverdelingen
Definitie
Formules voor uniforme discrete kansverdeling
Formule
f(xi) = 1/n
F(xi) = i/n
(kansfunctie)
(cumulatieve kansfunctie)
x1 + xn
2
n2 −1
var(X) = 12
E(X) =
σ=√
n2 −1
12
(verwachtingswaarde)
(variantie)
(standaardafwijking)
Formules voor dichotome kansverdeling
E(X) = p
var(X) = p.q
σ = √p. q
Formules voor binomiale kansverdeling
P[X = x] = Cnx.px.qn-x
f(x) = Cnx.px.qn-x
F(x) = ∑xi ≤ x f(xi )
E(X) = n.p
var(X) = n.p.q
σ = √n. p. q
Formules voor geometrische kansverdeling
Formules voor negatief binomiale kansverdeling
1−p
p²
1−p
√ p²
(kansfunctie)
(cumulatieve kansfunctie)
(verwachtingswaarde)
var(X) =
(variantie)
σ=
(standaardafwijking)
x
f(x) = Cx+k−1
.pk.qx
x
= Cx+k−1.pk.(1-p)x
(kansfunctie)
E(X) =
(verwachtingswaarde)
σ=√
Formules voor Poisson kansverdeling
(kansfunctie)
(cumulatieve kansfunctie)
(verwachtingswaarde)
(variantie)
(standaardafwijking)
f(x) = qx.p = (1-p)x.p
F(x) = 1-qx+1 = 1-(1-p)x+1
1−p
E(X) = p
k.(1−p)
p
k.(1−p)
var(X) = p²
Formules voor hypergeometrische kansverdeling
(verwachtingswaarde)
(variantie)
(standaardafwijking)
k.(1−p)
p²
(variantie)
(standaardafwijking)
CxK .Cn−x
n−K
Cn
N
n.K
E(X) = N
n.K
K
N−n
var(X) = N . (1 − N).(N−1)
n.K
K
N−n
σ = √ N . (1 − N) . (N−1)
f(x) =
f(x) =
e−λ .λx
x!
E(X) = λ
var(X) = λ
σ = √λ
(kansfunctie)
(verwachtingswaarde)
(variantie)
(standaardafwijking)
(kansfunctie)
(verwachtingswaarde)
(variantie)
(standaardafwijking)
Hoofdstuk 4: Continue kansverdelingen
Definitie
Formules voor normale kansverdeling
Formule
f(x) =
=
1
(x−a)²
2b²
1
(x−μ)²
−
2 σ²
. e−
b.√2π
σ.√2π
.e
(kansfunctie, NK)
E(X) = a
σ=b
Formules voor chi-kwadraatverdeling
f(x) =
(verwachtingswaarde)
(standaardafwijking)
1
n
n
2 ⁄2 . Г ( )
.x
n⁄ −1 −x⁄
2 .e
2
(kansfunctie, NK)
2
E(X) = n
σ = √2π
Formules voor Student t-verdeling
f(x) =
(verwachtingswaarde)
(standaardafwijking)
n+1
)
2
n
√nπ . Г ( 2 )
Г(
1
.
x²
(1+ )
n
n+1⁄
2
E(X) = n
σ = √2π
(kansfunctie, NK)
(verwachtingswaarde)
(standaardafwijking)
Hoofdstuk 5: Data
Definitie
IKA
(interkwartielafstand)
Formule
IKA = Q3 – Q1
Hoofdstuk 6: Schatten van parameters
Definitie
Formule
μX̅
(steekproefgemiddelde)
μX̅ = μ
σX̅
(standaardafwijking steekproef)
σX̅ =
Betrouwbaarheidsinterval voor
populatiegemiddelde μ als σ bekend
σ
√n
σ
√n
x̅ – z0.
σ
√n
≤ μ ≤ x̅ + z0.
met
α
-z0 = FSN-1(2 )
s’
(standaardafwijking steekproef)
Betrouwbaarheidsinterval voor
populatiegemiddelde μ als σ niet bekend
en
1
s’ = √n−1 . ∑ni=1(xi − x̅)²
s′
√n
x̅ – t0.
s′
√n
≤ μ ≤ x̅ + t0.
met
α
-t0 = FT-1(2 ; n − 1)
L
(intervallengte)
α
z0 = FSN-1(1 − 2 )
σ
√n
s′
2.t0.
√n
en
α
t0 = FT-1(1 − 2 ; n − 1)
L = 2.z0.
(als σ bekend)
L=
(als σ niet bekend)
n
(minimale steekproefgrootte)
Betrouwbaarheidsinterval voor populatievariantie
σ²
n>
4.z20 .σ2
L20
(als σ bekend)
n>
4.t20 .s′2
L20
(als σ niet bekend)
(n−1)s′²
≤
X2b
(n−1)s′²
X2a
σ² ≤
met
α
Xa2 = FX²-1(2 ; n − 1)
Betrouwbaarheidsinterval voor proportie p van een
populatie
-z0 =
Lp
(proportie-intervallengte)
n
(minimale steekproefgrootte)
̂ .(1−p
̂)
p
n
α
FSN-1(2 )
p̂ - z0.√
Lp = 2.z0.√
n>
en
≤ p ≤ p̂ + z0.√
en
α
Xb2 = FX²-1(1 − 2 ; n − 1)
̂ .(1−p
̂)
p
n
̂ .(1−p
̂)
p
n
̂ .(1−p
̂)
4.z20 .p
L20
Hoofdstuk 7: Toetsen van hypothesen
Definitie
Formule
̅− μ
X
φ
(toetsveranderlijke of stochastiek)
φ=
φ*
(toetswaarde)
φ* =
S′
√n
x̅− μ
s′
√n
α
z0 = FSN-1(1 − 2 )